Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - beta 1.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 2:00, 31 Mar 2013    Temat postu: Algebra Kubusia - beta 1.0

Końcowa wersja algebry Kubusia w podpisie lub w tym linku:
Algebra Kubusia 2013-05-05

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita i Yorgina.


Wstęp.

Algebra Kubusia to matematyka pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, człowiek nie jest tu wyjątkiem. Fundamentem algebry Kubusia jest nowa teoria zbiorów. Z punktu widzenia logiki teoria zbiorów to zaledwie dwa zbiory p i q we wszystkich możliwych wzajemnych położeniach z których wynikają zero-jedynkowe definicje znanych człowiekowi operatorów logicznych.

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

W świecie techniki inżynierowie przyjmują za aksjomat zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa logiczne.
Takie podejście jest poprawne jeśli interesuje nas fizyczne zbudowanie komputera (hardware), jednak sprzęt bez oprogramowania (software) to tylko bezużyteczna kupa złomu. Software (naturalna logika człowieka) to zupełnie co innego niż hardware, mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama, symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia).

Jest oczywistym, że jeśli istnieje matematyka pod którą podlega człowiek, to musi być ona absolutnie banalna, na poziomie 5-cio latka. Ta maksyma przyświecała Kubusiowi od samego początku walki o rozszyfrowanie matematycznych podstaw naturalnej logiki człowieka.

W nowej teorii zbiorów znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych jest inne niż w aktualnej logice matematycznej. Algebra Kubusia jest totalnie odwrotna w stosunku do logiki matematycznej Ziemian. Z tego powodu praktycznie niemożliwa jest dyskusja na rzeczowe argumenty. Warunkiem koniecznym zrozumienia nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia jest odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach i zaczęcie wszystkiego od zera.

Pisząc ten podręcznik starałem się aby zupełnie nowa wiedza, jaką jest algebra Kubusia, została podana po równi pochyłej od najprostszych pojęć poczynając. Proszę o sygnały w którym miejscu są ewentualne schody, będziemy je wspólnie likwidować.


Spis treści:

Część I
Nowa teoria zbiorów

1.0 Notacja
1.1 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach

2.0 Nowa teoria zbiorów
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

3.0 Operatory jednoargumentowe
3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
3.2 Operator transmisji w zbiorach
3.3 Operator negacji w zbiorach
3.4 Czym różni się tożsamość od równoważności?

4.0 Operatory implikacji i równoważności
4.1 Operator chaosu w zbiorach
4.2 Implikacja prosta w zbiorach
4.3 Implikacja odwrotna w zbiorach
4.4 Równoważność w zbiorach
4.5 Mutacje definicji równoważności
4.6 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ

5.0 Operatory OR i AND
5.1 Operator OR w zbiorach
5.2 Operator AND w zbiorach
5.3 Prawo przejścia do logiki przeciwnej
5.4 Operator XOR
5.5 Nietypowa równoważność
5.6 Nietypowa implikacja prosta
5.7 Samodzielny warunek wystarczający
5.8 Pseudo-operator Słonia

6.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
6.1 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
6.2 Implikacja i równoważność wyrażona spójnikiem „i”(*)


Cześć II
Techniczna algebra Boole’a

7.0 Techniczna algebra Boole’a
7.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a
7.2 Rachunek zero-jedynkowy w algebrze Boole’a
7.3 Najważniejsze prawa technicznej algebry Boole’a

8.0 Równania algebry Boole’a
8.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
8.2 Tworzenie równań logicznych w logice zero
8.3 Osiem równań opisujących operator OR
8.4 Osiem równań opisujących operator AND
8.5 Definicje operatorów w bramkach logicznych
8.6 Operatory jednoargumentowe w tabeli operatorów dwuargumentowych


Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

9.0 Obietnice i groźby
9.1 Definicje obietnicy i groźby
9.2 Obietnica
9.3 Groźba
9.4 Obietnica w równaniach logicznych
9.5 Groźba w równaniach logicznych
9.6 Analiza złożonej obietnicy
9.7 Analiza złożonej groźby
9.8 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
9.9 Rodzaje obietnic

10.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
10.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
10.2 Złożona implikacja prosta
10.3 Złożona implikacja odwrotna
10.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
10.5 Zdania złożone typu p*(q+r)


Część IV
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia


Część I
Nowa teoria zbiorów


1.0 Notacja

Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
W całej matematyce mamy zaledwie osiem różnych spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka


1.1 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach

Nowa teoria zbiorów

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem, zdanie fałszywe

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiory tożsame to zbiory identyczne.


Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0


Definicja naturalnego spójnika "może" ~~> w zbiorach:
p~~>q
Zbiory p i q mają przynajmniej jeden element wspólny

Ogólna definicja znaczka ~~>:
p~~>q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
~~> - symbol naturalnego spójnika „może”
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element należący do zbioru p i zbioru q.
Nic innego nas kompletnie nie interesuje.

Definicja operatora chaosu w zbiorach:
p~~>q=1
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A: P8~~>P3=1 bo 24
B: P8~~>~P3=1 bo 8
C: ~P8~~>~P3=1 bo 5
D: ~P8~~>P3=1 bo 3
Zdanie zawsze prawdziwe, czyli spełniające definicję operatora chaosu, to matematyczny śmieć.
Miedzy dowolnym p i q nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też warunek konieczny ~>.
Komu w matematyce potrzebne są twierdzenia typu A?


Definicja implikacji prostej w zbiorach:

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q

Ogólna definicja znaczka =>:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
=> - symbol warunku wystarczającego
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w A i B.
Ogólna definicja znaczka =>:
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~>:
~p~>~q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy


Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zabieram p i musi zniknąć q

Ogólna definicja znaczka ~>:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
~> - symbol warunku koniecznego
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
1.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~>:
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
2.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w C i D.
Ogólna definicja znaczka =>:
~p=>~q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy


Definicja implikacji w zbiorach jest użyteczną definicją warunku koniecznego.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Użyteczność tej definicji polega na tym, że warunki wystarczające => dowodzi się dużo prościej z powodu kontrprzykładu. Kontrprzykład to w świecie matematyki najczęstsze obalanie warunku wystarczającego =>, i słusznie.


Definicja równoważności w zbiorach

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
W równoważności tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p =~q

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

RA:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Równoważności można dowieść wyłącznie w sposób pośredni, dowodząc prawdziwość zdań cząstkowych p=>q i ~p=>~q
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór TP zawiera się w zbiorze SK
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza =>, aby zachodziła suma kwadratów
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK
Bycie trójkątem nie prostokątnym wystarcza =>, aby nie zachodziła suma kwadratów


Definicje operatorów OR i AND:

Definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logiki człowieka:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd otrzymujemy prawo De Morgana:
Y=p+q = ~(~p*~q)

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y=~K*~Y
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Czytamy!
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T


Definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logiki człowieka:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y=~p+~q
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd otrzymujemy prawo De Morgana:
Y=p*q = ~(~p+~q)

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y=~K+~Y
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Czytamy!
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T


Definicja spójnika „albo”($) w naturalnej logice człowieka:
p$q = p*~q +~p*q
Zbiory p i q są rozłączne
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Definicja operatora XOR:
p$q = p*~q +~p*q
~(p$q) = ~p*~q
Zbiory p i q są rozłączne i istnieje zbiór ~p*~q
p*q=0
~p*~q=1
Dziedzina:
p*~q + ~p*q + ~p*~q =1

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to na pewno ma cztery łapy
P$K=>4L
Zbiory P i K są rozłączne
P*K=0
Istnieje zwierzę które nie jest psem i nie jest kotem:
~P*~K=1 bo kura
Dziedzina:
P*~K + ~P*K + ~P*~K =1


Nietypowa równoważność:
p<=>~q = p*~q + ~p*q
Zbiory p i q są rozłączne i nie istnieje zbiór ~p*~q
p*q=0
~p*~q=0
Dziedzina:
p*~q + ~p*q =1
Przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)
Zbiory M i K są rozłączne, oraz nie istnieje zbiór ~M*~K
M*K=0
Nie istnieje człowiek który nie jest mężczyzną i nie jest kobietą
~M*~K =0


Zdanie ze spójnikiem „albo”($) gdzie nie istnieją zbiory M*K i ~M*~K
M*K=0
~M*~K=0
Dowolny człowiek jest mężczyzną albo kobietą
M$K = M*~K + ~M*K
M*K=0
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną i nie jest kobietą
~M*~K=0
Dziedzina:
M*~K + ~M*K =1


2.0 Nowa teoria zbiorów

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem, zdanie fałszywe

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.
Zauważmy, że w teorii zbiorów nie mają sensu sformułowania „zbiór prawdziwy”, czy też „zbiór fałszywy”. Nowa teoria zbiorów to matematyka ścisła pod którą podlega naturalna logika człowieka i tu już jest sens mówienia o „zdaniu prawdziwym (=1)” i „zdaniu fałszywym (=0)”.

Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiory tożsame to zbiory identyczne:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] =0 - zbiór pusty

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja:
Uniwersum = wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką
Pies to nie galaktyka
P=>~G =1
Zbiory: P*~G = P

Uzasadnienie:
Zbiór galaktyka =1 (niepusty)
Przyjmujemy dziedzinę:
Uniwersum
Zaprzeczenie galaktyki w tym przypadku to Uniwersum pomniejszone o galaktykę (U-G)
Oczywiście „pies” mieści się w takim zbiorze „nie galaktyka” (~G)
stąd:
P*~G=P

B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być galaktyką
P~~>G=0
Zbiory: P*G = 1*1 =0
Dziedzina:
Uniwersum
Oba zbiory istnieją (P=1 i G=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0.

Zdania A i B to definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia, za chwilę to poznamy.
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką
Pies to nie galaktyka
P=>~G =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => na to, aby nie być galaktyką.


2.2 Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia to najważniejsze prawo nowej teorii zbiorów (i algebry Boole’a):
p=~(~p)

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy:
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) = ~[3,4] = [1,2] = p

W naszej ustalonej dziedzinie:
D=[1,2,3,4]
Zbiór przeciwny (negacja „~”) do zbioru ~p to oczywiście zbiór p (dopełnienie do dziedziny)


3.0 Operatory jednoargumentowe

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Możliwe są dwa takie operatory:
Y=p - operator transmisji
Y=~p - operator negacji


3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę w której pracuje dwóch krasnoludków, Transmiterek i Negatorek.
Na przedniej ściance skrzynki zamontowany jest najzwyklejszy wyłącznik światła sterujący lampką człowieka typu zaświeć/zgaś. Po przeciwnej stronie skrzynki znajduje się lampka sterowana wyłącznie przez krasnoludka pracującego w środku skrzynki.

Po stronie człowieka dostępne są jeszcze dwa tajemnicze przyciski z opisem:
A - zezwalaj na pracę Transmiterka
A=1 - zezwalaj
A=0 - zabroń
B - zezwalaj na pracę Negatorka
B=1 - zezwalaj
B=0 - zabroń

Ustawmy na początek krasnoludkowe przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
1.
Jak widzimy lampką człowieka możemy sterować zaświecając ją i gasząc przełącznikiem, jednak lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona.
2.
Pozwólmy na pracę wyłącznie Transmiterka ustawiając przełączniki:
A=1 i B=0
Jak widzimy, jeśli zaświecimy lampkę człowieka to automatycznie zapali się lampka krasnoludka, jeśli ją zgasimy to lampka krasnoludka również zgaśnie.
3.
Ustawmy teraz przełączniki w pozycję:
A=0 i B=1
pozwalając pracować wyłącznie Negatorkowi
Tym razem każde zaświecenie lampki człowieka skutkuje wygaszeniem lampki krasnoludka i odwrotnie.
4.
Ostatnia możliwość to zezwolenie na jednoczesną pracę obu krasnoludków poprzez ustawienie przełączników w pozycję:
A=1 i B=1
Ajajaj!
Jak widzimy możemy bez problemów zapalać i gasić lampkę człowieka jednak żarówka krasnoludka ledwie się pali, na dodatek z pudła wydobywa się czarny dym co jest dowodem walki na śmierć i życie między Tansmiterkiem a Negatorkiem. Jeden za wszelką cenę chce zaświecić lampkę, a drugi za wszelką cenę ją zgasić.
Ustawmy szybko przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
Nie możemy przecież dopuścić do zagłady krasnoludków, bo co powiedzą nasze dzieci?

W naszym abstrakcyjnym modelu wejściową zmienną binarną p jest lampka człowieka.
Wyjściem w tym modelu jest lampka krasnoludka którą oznaczamy Y.

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja operatora transmisji:
Y=p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka też się świeci (Y=1)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to również lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)

Stąd mamy zero-jedynkową definicje operatora transmisji:
Y=p
Kod:

p  Y
1 =1
0 =0


Definicja operatora negacji:
Y=~p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to lampka krasnoludka się świeci (Y=1)

Stąd mamy zero-jedynkową definicję operatora negacji:
Y=~p
Kod:

p  Y
1 =0
0 =1


… a jeśli nie wiemy który krasnoludek aktualnie pracuje, to czy możemy rozszyfrować który?
Oczywiście że tak.
Na wejściu p wymuszamy wszystkie możliwe stany. Odpowiedź na wyjściu Y jednoznacznie definiuje nam operator. Najważniejsze operatory jednoargumentowe właśnie poznaliśmy.

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zer i jedynek na wejściu układu.

Nie jest prawdą, że możemy zdefiniować wyłącznie dwa operatory jednoargumentowe jak wyżej.

Dwa kolejne operatory jednoargumentowe to:
1.
Jednoargumentowy operator chaosu o definicji:
Kod:

p   Y
1  =1
0  =1

Jak widzimy, tu lampka krasnoludka pali się cały czas, bez względu na stan wejściowej lampki człowieka p. Nazwę zaczerpnięto z definicji operatorów dwuargumentowych, gdzie analogiczny operator to operator chaosu. Materia istnieje (Y=1) ale jest w kompletnym chaosie, wszystko może się zdarzyć.
2.
Jednoargumentowy operator śmierci:
Kod:

p   Y
1  =0
0  =0

Tu lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona, bez wzglądu na to co też ten człowiek na wejściu p sobie wyprawia. To jest stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem, materia nie istnieje, żadne pojęcie rodem z naszego Wszechświata nie jest zdefiniowane.

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zer i jedynek na wejściu układu.

W logice wyróżniamy:
1.
Operatory jednoargumentowe o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
2.
Operatory dwuargumentowe o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y.
Przy dwóch wejściach p i q możliwe są cztery różne wymuszenia na wejściach p i q.

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:
Kod:

p q  Y=?
1 1  =x
1 0  =x
0 1  =x
0 0  =x

Jak widzimy przy dwóch wejściach p i q możemy zdefiniować 16 różnych stanów na wyjściu Y, czyli 16 różnych na mocy definicji operatorów logicznych.

Najważniejsze operatory dwuargumentowe to:
Kod:

p q   OR AND => ~> <=> XOR ~~>
1 1   1  1   1  1   1  0   1
1 0   1  0   0  1   0  1   1
0 1   1  0   1  0   0  1   1
0 0   0  0   1  1   1  0   1

1.
Operator OR
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
Operator AND
Y=p*q
~Y=~p+~q
3.
Operator implikacji prostej
p=>q = ~p~>~q
4.
Operator implikacji odwrotnej
p~>q = ~p=>~q
5.
Operator równoważności
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
6.
Operator XOR
pXORq = p*~q + ~p*q
7.
Operator chaosu
p~~>q =1


3.2 Operator transmisji w zbiorach

Operator transmisji to funkcja niezanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=p

Operator transmisji w zbiorach:

Pełna definicja operatora transmisji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=p
~Y=~p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.

Utwórzmy tabelę zero-jedynkową operatora transmisji wędrując zgodnie ze strzałkami.

Tabela prawdy operatora transmisji:
Kod:

  Y=p      ~Y=~(p)  ~Y=~p       Y=~(~p)
A: 1 /Y=p    0        0          1
B: 0         1        1 /~Y=~p   0
   1         2        3          4

Zarówno z tabeli zero-jedynkowej jak i z diagramu w zbiorach odczytujemy:
Y =p = ~(~p)
~Y = ~p = ~(p)
bo kolumny wynikowe są identyczne.

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn wynikowych 1 i 4 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia.

To jest dowód prawa podwójnego przeczenia na gruncie rachunku zero-jedynkowego (algebry Boole’a). Interpretację tego samego prawa w zbiorach poznaliśmy wyżej, przypomnijmy.

Przykład:
Dany jest zbiór
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd przeczenie (uzupełnienie do dziedziny):
~p=[3,4]

Y = p= [1,2]
~Y = ~p = [3,4]
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y=~(~Y) = ~[3,4] = [1,2]
Negacja zbioru [3,4] do dziedziny to zbiór [1,2]

Związek teorii zbiorów z naturalną logiką człowieka to punkty A1 i B3.

Przykład przedszkolaka:
A1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
B3.
… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
~Y=~K
Stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla funkcji logicznej Y:
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y

Oczywiście matematyczne zachodzi:
Y # ~Y - bo kolumny wynikowe są różne
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A1 i B3 mamy:
Y=K = ~(~K)
Stąd zdanie równoważne do A1:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdę do kina
Y=~(~K)


3.3 Operator negacji w zbiorach

Operator negacji to funkcja zanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=~p

Operator negacji w zbiorach:

Pełna definicja operatora negacji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=~p
~Y=p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.

Wędrujemy według strzałek.

Tabela prawdy operatora negacji:
Kod:

  Y=~p      ~Y=~(~p)  ~Y=p       Y=~(p)
A: 1 /Y=~p   0         0          1
B: 0         1         1 /~Y=p    0
   1         2         3          4

Zarówno z tabeli zero-jedynkowej jak i z diagramu w zbiorach odczytujemy:
Y =~p = ~(p)
~Y = p = ~(~p)
bo kolumny wynikowe są identyczne.

Przykład:
Y=~p = [3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4]
~Y=p = [1,2]
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y=~(~Y) = ~[1,2] = [3,4]

Przykład przedszkolaka:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
… a kiedy skłamię?
Negujemy dwustronnie.
~Y=K
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K)
~Y=K


3.4 Czym różni się tożsamość od równoważności?

Przypomnijmy sobie operator transmisji w zbiorach.

Definicja:
Operator transmisji to funkcja niezanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=p

Operator transmisji w zbiorach:

Pełna definicja operatora transmisji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=p
~Y=~p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.

Definicja tożsamości dwóch funkcji logicznych w zbiorach:
Funkcja logiczna Q jest tożsama z funkcją logiczną R wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ten sam obszar w zbiorach

Z powyższego diagramu odczytujemy wszystkie możliwe funkcje tożsame:
Q: Y=p
R: Y=~(~p)
Y=Y
stąd:
p=~(~p)
W przełożeniu na naturalną logikę człowieka będą to przykładowe zdania:
Q.
Jutro pójdę do kina
Y=K
R.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K)
Y=~(~K)

Kolejne dwie funkcje tożsame to oczywiście funkcje ~Y:
S: ~Y=~p
T: ~Y=~(p)
S.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K)
~Y=~K
T.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdę do kina (K)
~Y=~(K)

Przypomnijmy sobie tabelę zero-jedynkową opisującą szczegółowo operator transmisji.
Tabela prawdy operatora transmisji:
Kod:

  Q:Y=p    T:~Y=~(p)  S:~Y=~p     R:Y=~(~p)
A: 1 /Y=p     0          0          1
B: 0          1          1 /~Y=~p   0
   1          2          3          4

Zarówno z tabeli zero-jedynkowej jak i z diagramu w zbiorach odczytujemy:
Q=R: Y =p = ~(~p)
S=T: ~Y = ~p = ~(p)
bo kolumny wynikowe są identyczne, bo odpowiednie zbiory są identyczne.

Definicja tożsamości funkcji logicznych Q i R w tabelach zero-jedynkowych:
Dwie funkcje logiczne Q i R są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczne kolumny wynikowe Y

Oczywiście nie są tożsame funkcje:
Q=R: Y = p = ~(~p) # S=T: ~Y =~p=~(p)
… bo kolumny wynikowe są różne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli Y=0 to ~Y=1

W powyższej tabeli zachodzi też równoważność, czyli wynikanie w dwie strony:
A.
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y) to automatycznie wiem kiedy skłamię (~Y)
Y=>~Y
C.
Jeśli wiem kiedy skłamię (~Y) to automatycznie wiem kiedy dotrzymam słowa (Y)
~Y=>Y
Definicja równoważności:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście definicja równoważności to zupełnie co innego niż definicja transmitera.

Powyższa równoważność nosi nazwę prawa Prosiaczka:
Y<=>~Y
stąd mamy:
I prawo Prosiaczka:
Y=0 <=> ~Y=1
II prawo Prosiaczka:
Y=1 <=> ~Y=0

Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszych praw algebry Boole’a. Bez nich niemożliwe jest przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a ją opisujących.

Zobaczmy jak to wygląda w naturalnej logice człowieka.
Q.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej bo Y
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1

.. a kiedy skłamię?
Negujemy równanie Q dwustronnie:
~Y=~K - funkcja zapisana w logice ujemnej bo ~Y
stąd:
S.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1

Tabela prawdy operatora transmisji dla naszego przykładu:
Kod:

  Q:Y=K    T:~Y=~(K)  S:~Y=~K     R:Y=~(~K)
A: 1 /Y=K     0          0          1
B: 0          1          1 /~Y=~K   0
   1          2          3          4

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla funkcji logicznej Y:
Y - funkcja Y zapisana jest w logice dodatniej jeśli nie jest zanegowana
~Y - funkcja Y zapisana jest w logice ujemnej gdy jest zanegowana
Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
… bo kolumny wynikowe są różne

Znaczenie zer i jedynek w logice dodatniej w kolumnie AB1:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię

Znaczenie zer i jedynek w logice ujemnej w kolumnie AB3:
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa

Matematycznie wynika z tego.
I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
Dotrzymam słowa w logice dodatniej (Y=1) jest tożsame z dotrzymam słowa w logice ujemnej (~Y=0)
oraz:
II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Skłamię w logice ujemnej (~Y=1) jest tożsame ze skłamię w logice dodatniej (Y=0)

Z powyższego wynika że nasze zdanie Q możemy matematycznie opisać na dwa sposoby i oba będą matematycznie poprawne.
1.
Naturalna logika człowieka:
Q.
Jutro pójdę do kina
Y=1
2.
Logika zero, totalnie odwrotna do logiki człowieka:
Q1.
Jutro pójdę do kina
~Y=0

Logika człowieka i logika zero to logiki równoważne, ale totalnie odwrotne. Jedną z nich musimy wykopać w kosmos, oczywiście logikę zero.

Definicja naturalnej logiki człowieka:
Naturalna logika człowieka to funkcja logiczna (Y lub ~Y) z jedynkami w kolumnie wynikowej.

Kompletnie nas nie interesują te wiersze w tabeli zero-jedynkowej, gdzie w wyniku mamy 0.

Wróćmy jeszcze raz do naszego operatora transmisji w zbiorach gdzie doskonale widać czym różni się tożsamość od równoważności.

Operator transmisji w zbiorach:

Pełna definicja operatora transmisji to oczywiście dwa równania logiczne, nie tożsame:
Y=p
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
W zbiorach są to dwa rozłączne obszary uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.

Udajmy się do przedszkola:
Pani:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K

Czy Pani musi mówić 5-cio latkom kiedy skłamie?
Oczywiście NIE, bo wszyscy podlegamy pod banalną matematykę ścisłą, teorię zbiorów z algebry Kubusia.

Chyba nikt nie ma wątpliwości że człowiek wypowiadający za każdym razem kiedy w przyszłości dotrzyma słowa i kiedy skłamie to idiota, nie znający matematyki pod którą sam podlega.

Pani przedszkolanka nie znająca matematyki pod którą sama podlega:
A.
Drogie dzieci, jutro pójdziemy do kina
Y=K
B.
… co oznacza że skłamię jeśli jutro nie pójdziemy do kina.
~Y=~K

Doskonale widać, że samo zdanie A nie jest kompletnym operatorem transmisji.
Kompletny operator transmisji to zdanie A wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y) plus zdanie B wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y),

Twierdzenie Kłapouchego:
Żadne zdanie z naturalnego języka mówionego (z wyjątkiem równoważności <=>) nie jest odpowiednikiem kompletnego operatora logicznego.

Spójnik logiczny ## operator logiczny
gdzie:
## - różne na mocy definicji (wyjątek <=>)

Błędem jest zatem mówienie, że spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego (z naturalnej logiki człowieka) to kompletny operator OR.
To samo dotyczy matematycznych spójników „i”(*), „na pewno” => (warunek wystarczający), „może” ~> (warunek konieczny) i „może” ~~> (naturalny spójnik „może”).


4.0 Operatory implikacji i równoważności

Operatory implikacji równoważności to najważniejsze operatory dwuargumentowe, o dwóch wejściach p i q oraz jednym wyjściu Y.

Algebra Kubusia = nowa teoria zbiorów = symboliczna algebra Boole’a

Definicja:
Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a z poprawnie rozszyfrowanym znaczeniem wszystkich zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych.

Konstrukcja zdania warunkowego:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnie

Możliwe są trzy różne formy zdania „Jeśli p to q”:
1.
Warunek wystarczający:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2
2.
Warunek konieczny:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zbiór P2 zawiera w sobie zbiór P8
3.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q
Zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24


4.1 Operator chaosu w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu ~~>:
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1

Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p~~>q =1

Definicja operatora chaosu w zbiorach:

Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p~~>q =1
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Ogólne znaczenie znaczka ~~> (naturalnego spójnika „może”):
p~~>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma przynajmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Operator chaosu ## naturalny spójnik „może” ~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element prawdziwy (jeden element należący do zbiorów p i q), wystarczy sama możliwość zajścia.
Nie ma tu wymagania, aby zbiory p i q były ze sobą w takiej a nie innej korelacji.

Definicja spójnika „może” (partykuły) ze słownika języka polskiego:
„może” - partykuła nadająca całej wypowiedzi lub jej części odcień przypuszczenia

Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
Wszyscy wiemy, że taka możliwość istnieje, dlatego zdanie to spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Symboliczna definicja operatora chaosu:
Kod:

A: p~~> q=1
B: p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=1

Gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element wspólny, wystarczy sama możliwość zaistnienia

Prosty przykład operatora chaosu w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Na mocy definicji musi to być operator chaosu.

Na gruncie nowej teorii zbiorów można łatwo udowodnić iż nasz przykład spełnia definicję operatora chaosu. Załóżmy na początek, że nie znamy powyższej definicji operatora chaosu i spróbujmy rozstrzygnąć definicję jakiego operatora spełnia nasza relacja zbiorów p i q.

Symboliczna definicja operatora logicznego w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q.

Symboliczna definicja operatora w zbiorach:
A: p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
B: p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
C: ~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] =[7,8] =1 - zbiór niepusty
D: ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 zbiór niepusty
stąd:
Symboliczna definicja operatora:
Kod:

A: p* q =1
B: p*~q =1
C:~p*~q =1
D:~p* q =1


Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd otrzymujemy:
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji operatora    |zero-jedynkowe
chaosu                  |definicji symbolicznej
p~~>q                   |
   p  q                 |  p  q  p~~>q
---------------------------------------------
A: p* q =1              |  1  1   =1
B: p*~q =1              |  1  0   =1
C:~p*~q =1              |  0  0   =1
D:~p* q =1              |  0  1   =1
   1  2  3                 4  5    6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne p i q łączymy w wierszach spójnikiem „i”(*)

Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja operatora chaosu.

Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A, B, C i D nie są puste.

Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.

To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka.

O co tu chodzi?
Wróćmy do naszego przykładu.

Mamy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Posiłkując się diagramem operatora chaosu wyżej przeanalizujmy ten przykład przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~~>q =1
Zbiory:
p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
p*q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~~>~q =1
Zbiory:
p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
p*~q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
C.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
~p~~>~q =1
Zbiory:
~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] =[7,8] =1 - zbiór niepusty
~p*~q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q =1
Zbiory:
~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 zbiór niepusty
~p*q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu:
A: p~~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Symboliczna definicja   |Kodowanie
operatora chaosu        |zero-jedynkowe
p~~>q                   |
   p   q                |  p  q   p~~>q
---------------------------------------------
A: p~~>q =1             |  1  1   =1
B: p~~>~q=1             |  1  0   =1
C:~p~~>~q=1             |  0  0   =1
D:~p~~>q =1             |  0  1   =1
   1   2  3                4  5    6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Zauważmy, że w operatorze chaosu nie ma znaczenia które zdanie przyjmiemy za punkt odniesienia, bowiem zawsze dostaniemy zero-jedynkową definicję tego operatora.

Przyjmijmy dla przykładu za punkt odniesienia zdanie C:
C: ~p~~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Symboliczna definicja   |Kodowanie
operatora chaosu        |zero-jedynkowe
~p~~>~q                 |
  ~p  ~q                | ~p ~q  ~p~~>~q
---------------------------------------------
A: p~~>q =1             |  0  0   =1
B: p~~>~q=1             |  0  1   =1
C:~p~~>~q=1             |  1  1   =1
D:~p~~>q =1             |  1  0   =1
   1   2  3                4  5    6

Zasady tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123 i odwrotnie są identyczne jak wyżej.
Doskonale widać, że zero-jedynkowo mamy cały czas ten sam operator chaosu.
Operator chaosu to zatem zdanie zawsze prawdziwe, bez względu na przeczenia p i q.
W algebrze Kubusia, zdanie zawsze prawdziwe to matematyczny śmieć czyli nie mamy żadnej gwarancji matematycznej we wszystkich czterech liniach, dlatego ten operator nosi nazwę operatora chaosu.

Symetrycznym do operatora chaosu jest operator śmierci, gdzie w wyniku mamy same zera.
Definicja operatora śmierci:
Kod:

p q N(p~~>q)
1 1  =0
1 0  =0
0 0  =0
0 1  =0

Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
N(p~~>q) =0
Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem, żadne pojęcie nie jest jeszcze zdefiniowane. Nie istnieje totalnie nic, nie istnieje materia.

Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
~P8~~>P3 =1 bo 3

Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q zatem jest to matematyczny śmieć.
Komu potrzebne są twierdzenia tego typu w matematyce?

Twierdzenie:
W operatorze chaosu argumenty są przemienne, zatem jeśli zdanie p~~>q spełnia definicję operatora chaosu to zdanie q~~>p również spełnia definicję operatora chaosu.

Nasze zdanie A po zamianie p i q przyjmuje postać:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24

Dowód formalny przemienności argumentów w operatorze chaosu:
Kod:

p q p~~>q q~~>p
1 1  =1    =1
1 0  =1    =1
0 1  =1    =1
0 0  =1    =1

Tożsamość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem formalnym przemienności argumentów w operatorze chaosu.


4.2 Implikacja prosta w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0

Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Na mocy definicji zachodzi równanie ogólne implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Definicja implikacji prostej w zbiorach:

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to mamy do czynienia z definicją implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Dokładnie tą definicję ilustruje powyższy diagram.
Jeśli zbiory p i q są tożsame, to mamy do czynienia zupełnie z inną bajką, równoważnością.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w A i B.
Ogólna definicja znaczka =>:
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~>:
~p~>~q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.

Z powyższej tożsamości wynika, że aby dowieść zachodzący warunek konieczny między ~p~>~q wystarczy dowieść warunek wystarczający p=>q zdefiniowany wyłącznie w liniach A i B w powyższej definicji.
… ale uwaga!
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego p=>q w liniach A i B o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji prostej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić. Równoważność, gdzie „rzucanie monetą” nie występuje, to zupełnie inna bajka niż implikacja, gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji prostej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
p=>q ## p=>q=~p~>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Prosty przykład implikacji prostej w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd otrzymujemy:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]

Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Na mocy definicji musi to być implikacja prosta.

Na gruncie nowej teorii zbiorów można łatwo udowodnić iż nasz przykład spełnia definicję operatora implikacji prostej. Załóżmy na początek, że nie znamy powyższej definicji implikacji prostej i spróbujmy rozstrzygnąć definicję jakiego operatora spełnia nasza relacja zbiorów p i q.

Symboliczna definicja operatora logicznego w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q.

Symboliczna definicja operatora w zbiorach:
A: p*q = [1,2]*[1,2,3,4] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
B: p*~q = [1,2]*[3,4,5,6] =[] =0 - zbiór pusty
C: ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] =[5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] =[3,4] =1 zbiór niepusty
stąd:
Symboliczna definicja operatora:
Kod:

A: p* q =1
B: p*~q =0
C:~p*~q =1
D:~p* q =1


Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
A: p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd otrzymujemy:
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji prostej      |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p=>q=~p~>~q             |
   p  q                 |  p  q  p=>q
---------------------------------------------
A: p* q =1              |  1  1   =1
B: p*~q =0              |  1  0   =0
C:~p*~q =1              |  0  0   =1
D:~p* q =1              |  0  1   =1
   1  2  3                 4  5    6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne p i q łączymy w wierszach spójnikiem „i”(*)

Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja implikacji prostej.

Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A, C i D nie są puste, natomiast zbiór wynikowy B jest zbiorem pustym.
B: p*~q = [1,2]*[5,6]=[] =0

Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.

To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 14:44, 05 Maj 2013, w całości zmieniany 62 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 2:01, 31 Mar 2013    Temat postu:

O co tu chodzi?
Wróćmy do naszego przykładu.

Posiłkując się diagramem implikacji prostej wyżej przeanalizujmy nasz przykład.

Zdanie p=>q w przełożeniu na naturalną logikę człowieka ma postać:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
co oznacza, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Jeśli weźmiemy dowolny element zbioru p to na pewno => będzie on należał do zbioru q.
czyli:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Przeanalizujmy nasz przykład według schematu przedstawionego na diagramie.

p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
p*q = [1,2]*[1,2,3,4] =[1,2] =p
p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
[1,2]=>[1,2,3,4] =1
Zbiór p zawiera się w zbiorze q

Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego) jest następująca:
p=>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
p=>q
Zajście p jest wystarczające dla zajścia q bo na mocy definicji znaczka => zbiór p zawiera się w zbiorze q.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją prostą - nasz przykład.

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =1
Zbiory:
p*~q = [1,2]*[5,6]= []
p*~q=1*1=0
[1,2]~~>[5,6] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Zauważmy, że zapis:
p=>~q=0
[1,2]=>[5,6]
Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka => bo:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>:
p~~>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - będące jednocześnie definicją implikacji prostej w równaniu logicznym
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zbiory:
~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] = [5,6]= 1
~p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.

Doskonale widać że w zdaniu C warunek konieczny ~> jest spełniony, czyli:
~p~>~q
[3,4,5,6]~>[5,6]
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia ~q.
Zabieramy zbiór ~p i znika nam zbiór ~q, czyli ~p jest konieczne ~> dla ~q
Dodatkowo widzimy iż zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co na mocy definicji wymusza nam implikację odwrotną, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C, co za chwilę udowodnimy.

Ostatnia możliwość przeczeń p i q to:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =1
Zbiory:
~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] = [3,4] =1
~p*q = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Sprawdźmy czy spełniony jest tu warunek konieczny:
~p~>~q
[3,4,5,6]~>[1,2,3,4]
Doskonale widać, że zbiór ~p nie zawiera w sobie zbioru ~q zatem warunek konieczny tu nie zachodzi.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość takiego zajścia.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej:
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji prostej      |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p=>q=~p~>~q             |
   p   q                |  p  q   p=>q
---------------------------------------------
A: p=> q =1             |  1  1   =1
B: p~~>~q=0             |  1  0   =0
C:~p~>~q =1             |  0  0   =1
D:~p~~>q =1             |  0  1   =1
   1   2  3                4  5    6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Sprawdźmy na koniec, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to otrzymamy definicję implikacji odwrotnej.
C: ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Tabela 2
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji odwrotnej    |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~q  |definicji symbolicznej
~p~>~q=p=>q             |
  ~p ~q                 | ~p ~q  ~p~>~q
---------------------------------------------
A: p=> q =1             |  0  0   =1
B: p~~>~q=0             |  0  1   =0
C:~p~>~q =1             |  1  1   =1
D:~p~~>q =1             |  1  0   =1
   1   2  3                4  5    6

Zauważmy, że algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej z definicji symbolicznej i odwrotnie jest identyczny jak wyżej.

Wniosek:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero- jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
Wszelkie zmienne w definicji symbolicznej to zmienne sprowadzone do jedynek.

Tabela 1:
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu A:
A: p=>q
(p=1) => (q=1)
stąd:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tabela 2:
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu C:
C: ~p~>~q
(~p=1)~>(~q=1)
stad:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Zauważmy, że dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C, zgodnie z oczekiwaniem dostaliśmy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.

Zauważmy, że treść wszystkich czterech zdań A, B, C i D nie zmieniła się, to są identyczne zdania jak w implikacji prostej p=>q=~p~>~q (tabela 1) z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - implikacja prosta w logice dodatniej (bo q - tabela 1)
Jest tożsama z:
~p~>~q = p=>q - implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2

Dowód formalny prawa Kubusia to tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 w tabelach 1 i 2.

Prawo Kubusia mówi, że implikacja prosta w logice dodatniej (bo q - tabela 1), jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)


Na zakończenie rozważmy przykład od którego zaczęła się przygoda Kubusia z logiką matematyczną.



Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Definicja implikacji prostej spełniona, bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” (P) zawiera się w zbiorze „zwierząt z czterema łapami” (4L)
Zajście P jest warunkiem wystarczającym dla zajścia 4L
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P
P=>4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =0
P~~>~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie.
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L
~P~>~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń, słoń, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L
~P~~>4L= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

W zdaniu D definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór ~P nie zawiera w sobie całego zbioru 4L, poza tym zbiorem jest zbiór P, czyli pies z czterema łapami. Stąd w zdaniu D nie wolno nam użyć znaczka ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>:
Prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd


4.3 Implikacja odwrotna w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
Jeśli zajdzie p to na może ~> zajść q
p~>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywanym przez strzałkę wektora ~>.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to mamy do czynienia z definicją implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Dokładnie tą definicję ilustruje powyższy diagram.
Jeśli zbiory p i q są tożsame, to mamy do czynienia zupełnie z inną bajką, równoważnością.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w C i D.
Ogólna definicja znaczka =>:
~p=>~q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~>:
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.

Z powyższej tożsamości wynika, że aby dowieść zachodzący warunek konieczny między p~>q wystarczy dowieść warunek wystarczający ~p=>~q zdefiniowany wyłącznie w liniach C i D w powyższej definicji.
… ale uwaga!
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego ~p=>~q w liniach C i D o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji odwrotnej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić. Równoważność ( gdzie „rzucanie monetą” nie występuje) to zupełnie inna bajka niż implikacja (gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje).
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
~p=>~q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
~p=>~q ## p~>q=~p=>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Definicja warunku koniecznego w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Zamiast dowodzić trudny w dowodzeniu warunek konieczny p~>q możemy udowodnić łatwy w dowodzeniu warunek wystarczający ~p=>~q. Prawdziwość prawej strony tożsamości gwarantuje prawdziwość lewej strony tożsamości. Warunek wystarczający => dowodzi się dużo prościej ze względu na kontrprzykład.

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Prosty przykład implikacji odwrotnej w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]]
q=[1,2]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6]
~q=[3,4,5,6]

Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Na mocy definicji musi to być implikacja odwrotna.

Na gruncie nowej teorii zbiorów można łatwo udowodnić iż nasz przykład spełnia definicję operatora implikacji odwrotnej, nawet bez znajomości definicji implikacji odwrotnej w zbiorach.

Symboliczna definicja operatora logicznego w NTZ:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q.
Symboliczna definicja operatora dla naszego przykładu:
A: p*q = [1,2,3,4]*[1,2] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
B: p*~q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
C: ~p*~q = [5,6]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~p*q = [5,6]*[1,2] =0 zbiór pusty
stąd:
Symboliczna definicja naszego operatora:
Kod:

A: p* q =1
B: p*~q =1
C:~p*~q =1
D:~p* q =0


Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.
A: p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd otrzymujemy:
Kod:

Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji odwrotnej    |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p~>q=~p=>~q             |
   p  q                 |  p  q  p~>q
---------------------------------------------
A: p* q =1              |  1  1   =1
B: p*~q =1              |  1  0   =1
C:~p*~q =1              |  0  0   =1
D:~p* q =0              |  0  1   =0
   1  2  3                 4  5    6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne p i q łączymy w wierszach spójnikiem „i”(*)

Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja implikacji prostej.

Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A, B i C nie są puste, natomiast zbiór wynikowy D jest zbiorem pustym.
D: ~p*q = [5,6]*[1,2] =0 zbiór pusty

Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.

To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka.

O co tu chodzi?
Wróćmy do naszego przykładu.

Zdanie p~>q w przełożeniu na naturalną logikę człowieka ma postać:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
co oznacza, że zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]

Przypomnijmy sobie nasz przykład i spróbujmy go przeanalizować w naturalnej logice człowieka.

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]]
q=[1,2]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd:
~p=[5,6]
~q=[3,4,5,6]

Analiza naszego przykładu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q na podstawie diagramu implikacji odwrotnej.
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
Zbiory:
p*q = [1,2,3,4]*[1,2] =[1,2] =p
p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
[1,2,3,4]~>[1,2] =1
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q.

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego) jest następująca:
p~>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywanym przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
[1,2,3,4]~>[1,2]
Doskonale widać, iż definicja warunku koniecznego w zdaniu A jest spełniona.
Zajście p jest konieczne dla zajścia q
Zabieramy p i musi zniknąć q
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją odwrotną - nasz przykład.

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =1
Zbiory:
p*~q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6]= [3,4] =1
p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
p~~>~q
[1,2,3,4]~~>[3,4,5,6]
Doskonale widać, ze zbiór p nie zawiera w sobie zbioru q, zatem nie zachodzi warunek konieczny ~> w zdaniu B
p~>~q =0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i ~q.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - będące jednocześnie definicją implikacji odwrotnej
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zbiory:
~p*~q = [5,6]*[3,4,5,6] = [5,6]= 1
~p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.

W zdaniu C warunek wystarczający jest spełniony:
~p=>~q
[5,6]=>[3,4,5,6]
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia ~q.
Dodatkowo widzimy iż zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co na mocy definicji wymusza nam implikację prostą, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C, co za chwilę udowodnimy.

Ostatnia możliwość przeczeń p i q to:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0
Zbiory:
~p*q = [5,6]*[1,2] = [] =0
~p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej:
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji odwrotnej    |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p~>q=~p=>~q             |
   p  q                 |  p  q  p~>q
---------------------------------------------
A: p~> q =1             |  1  1   =1
B: p~~>~q=1             |  1  0   =1
C:~p=>~q =1             |  0  0   =1
D:~p~~>q =0             |  0  1   =0
   1  2  3                 4  5    6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Sprawdźmy na koniec, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to otrzymamy definicję implikacji prostej.
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Tabela 2
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji prostej      |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~q  |definicji symbolicznej
~p=>~q=p~>q             |
  ~p ~q                 | ~p ~q  ~p=>~q
---------------------------------------------
A: p* q =1              |  0  0   =1
B: p*~q =0              |  0  1   =1
C:~p*~q =1              |  1  1   =1
D:~p* q =1              |  1  0   =0
   1  2  3                 4  5    6

Zauważmy, że algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej z definicji symbolicznej i odwrotnie jest identyczny jak w tabeli 1.
Wniosek:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero- jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
Wszelkie zmienne w definicji symbolicznej to zmienne sprowadzone do jedynek.

Tabela 1:
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu A:
A: p~>q
(p=1) ~> (q=1)
stąd:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tabela 2:
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu C:
C: ~p=>~q
(~p=1)=>(~q=1)
stad:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C, zgodnie z oczekiwaniem dostaliśmy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.

Zauważmy, że treść wszystkich czterech zdań A, B, C i D nie zmieniła się, to są identyczne zdania jak w implikacji odwrotnej p~>q=~p=>~q (tabela 1) z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q - tabela 1)
Jest tożsama z:
~p=>~q = p~>q - implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2

Dowód formalny prawa Kubusia to tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 w tabelach 1 i 2

Prawo Kubusia mówi, że implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q - tabela 1), jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)

Na koniec nasz sztandarowy przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie zbiór pies
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną



Analiza zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Zbiory:
4L*P=P
4L*P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 bo kura, wąż .. , twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Zbiory:
~4L*~P = ~4L
~4L*~P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 bo każdy pies ma cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
~4L*P = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia

Dwa dowody nie wprost iż w zdaniu B nie jest spełniony warunek konieczny ~>:
1.
Załóżmy że w zdaniu B zachodzi warunek konieczny:
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>
2.
Dokładnie to samo wynika z definicji znaczka ~>:
4L~>~P
Zbiór 4L musi zawierać w sobie zbiór ~P
Z diagramu widać, że zbiór ~P to także zbiór ~4L.
Definicja znaczka ~> nie jest wiec spełniona, warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.


4.4 Równoważność w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0

Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia wynikająca bezpośrednio z powyższej definicji zero-jedynkowej, co za chwilę pokażemy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

W równoważności z powodu tożsamości zbiorów obowiązuje wirtualny warunek konieczny [~>]
Dlaczego wirtualny?
... bo z powodu tożsamości zbiorów p i q nie ma tu szans na jakiekolwiek "rzucanie monetą" ~> charakterystyczne w implikacji.

Definicja wirtualnego warunku koniecznego obowiązująca wyłącznie w równoważności:
[p~>q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p i q w równoważności

W równoważności zachodzą prawa Kubusia na poziomie wirtualnym:
~p=>~q = [p~>q]
p=>q = [~p~>~q]

Stąd mamy intuicyjną definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego [~>] miedzy p i q

Przykład:
W dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy jest on prostokątny
SK<=>PR = (SK=>PR)*([SK~>PR])

Aby trójkąt był prostokątny potrzeba [~>] i wystarcza => aby zachodziła suma kwadratów.

W równoważności tożsamość zbiorów p i q wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q

Twierdzenie o tożsamości zbiorów:
Jeśli zbiory p i q są tożsame to tożsame są również zbiory ~p i ~q

Odwrotnie też zachodzi zatem jest to równoważność:
p=q <=> ~p=~q

Stąd mamy prawo algebry Boole'a:
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Prawe strony są tożsame, co kończy dowód.
Oczywiście można to samo zrobić rachunkiem zero-jedynkowym.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum = wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Prawo algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q

Zauważmy, że jest obojętne co będziemy tu rozumieli przez zbiór ~p=~q. W skrajnym przypadku może to być Uniwersum o definicji jak wyżej, pomniejszone o zbiór p=q.

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

RA:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Równoważność ## warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji w A i B ## warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w C i D
p<=>q ## p=>q ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Rozważmy prosty przykład równoważności w zbiorach

Przyjmijmy zbiory p i q:
p=[1,2,3,4,5,6]
q=[1,2,3,4,5,6]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[7,8]
~q=[7,8]
Zauważmy że dziedzinę możemy dowolnie poszerzać kończąc na zbiorze liczb naturalnych … a nawet na Uniwersum, to bez znaczenia.
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p =~q

Na początek podejdźmy do naszego przykładu z siekierą, czyli z prymitywną teorią zbiorów przy założeniu, iż w ogóle nie znamy definicji równoważności przedstawionej w diagramie wyżej.

Symboliczna definicja operatora logicznego w NTZ:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Na mocy tej definicji badamy wszystkie możliwe przeczenia p i q

A: p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór wynikowy niepusty
B: p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] = [] =0 - zbiór wynikowy pusty
C: ~p*~q = [7,8]*[7,8] = [7,8] =1 - zbiór wynikowy niepusty
D: ~p*q = [7,8]*[1,2,3,4,5,6] =0 - zbiór wynikowy pusty

Symboliczna definicja naszego operatora:
Kod:

A: p* q =1
B: p*~q =0
C:~p*~q =1
D:~p* q =0


Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora równoważności.
A: p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd otrzymujemy:
Kod:

Symboliczna definicja   |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p<=>q                   |
   p  q                 |  p  q  p<=>q
---------------------------------------------
A: p* q =1              |  1  1   =1
B: p*~q =0              |  1  0   =0
C:~p*~q =1              |  0  0   =1
D:~p* q =0              |  0  1   =0
   1  2  3                 4  5    6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to równoważność.

Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A i C nie są puste, natomiast zbiory wynikowe B i D są zbiorami pustymi.
B: p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] = [] =0 - zbiór wynikowy pusty
D: ~p*q = [7,8]*[1,2,3,4,5,6] =0 - zbiór wynikowy pusty

Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.

To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka.

Skorzystajmy z diagramu równoważności .

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4,5,6]
q=[1,2,3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd:
~p=[7,8]
~q=[7,8]

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
RA:
Definicja równoważności w logice dodatniej (bo q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiory:
p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]=1
p=1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
[1,2,3,4,5,6]=>[1,2,3,4,5,6]
Doskonale widać, że definicja warunku wystarczającego między p i q jest spełniona

Ogólna definicja znaczka [~>] (warunku koniecznego):
[p~>q]
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora [~>] musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
[p~>q]
[(1,2,3,4,5,6)~>(1,2,3,4,5,6)]
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p i q.
Tożsamość zbiorów w równoważności wyklucza spójnik „może” znany z warunku koniecznego ~> w implikacji („rzucanie monetą”), dlatego warunek konieczny w implikacji ma specjalną nazwę i symbol.

[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, gdzie wobec tożsamości zbiorów wykluczone jest jakiekolwiek „rzucanie monetą” (spójnik „może”).

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory:
p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] =[] =0
p*~q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
Definicja równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D.

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zbiory:
~p*~q = [7,8]*[7,8] = [7,8] =1
~p*~q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
~p=>~q
[7,8]=>[7,8]
Doskonale widać, że definicja warunku wystarczającego między ~p i ~q jest spełniona

Ogólna definicja znaczka [~>] (warunku koniecznego):
[p~>q]
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora [~>] musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
[~p~>~q]
[(7,8)~>(7,8)]
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~p i ~q.
Gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, gdzie wobec tożsamości zbiorów wykluczone jest jakiekolwiek „rzucanie monetą” (spójnik „może”).

Ostatnia możliwa kombinacja przeczeń p i q:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0
Zbiory:
~p*q = [7,8]*[1,2,3,4,5,6] =[] =0
~p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu RA otrzymujemy zero-jedynkowa definicję równoważności:
RA: p<=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p<=>q                   |
   p    q               |  p  q  p<=>q
---------------------------------------------
A: p=>  q =1            |  1  1   =1
B: p~~>~q =0            |  1  0   =0
C:~p=> ~q =1            |  0  0   =1
D:~p~~> q =0            |  0  1   =0
   1  2  3                 4  5    6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu RC otrzymujemy identyczną, zero-jedynkowa definicję równoważności:
RC: ~p<=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Tabela 2
Symboliczna definicja   |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~q  |definicji symbolicznej
~p<=>~q                 |
  ~p   ~q               | ~p ~q  ~p<=>~q
---------------------------------------------
A: p=>  q =1            |  0  0   =1
B: p~~>~q =0            |  0  1   =0
C:~p=> ~q =1            |  1  1   =1
D:~p~~> q =0            |  1  0   =0
   1  2  3                 4  5    6

Oczywiście algorytmy tworzenia tabeli zero-jedynkowej na podstawie tabeli symbolicznej i odwrotnie są identyczne jak wyżej.

Zauważmy że zdania A ,B, C i D zapisane w tabelach 1 i 2 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka:
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód formalny tego prawa to tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 w tabelach 1 i 2.

Rozważmy na koniec twierdzenie Pitagorasa.



Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.

TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w A i B spełniony

~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK)
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w C i D spełniony

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i B oraz w C i D. To nie są operatory logiczne.

Matematycznie zachodzi:
Równoważność ## warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) o definicji wyłącznie w A i B ## warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~SK) o definicji wyłącznie w C i D
TP<=>SK ## TP=>SK ## ~TP=>~SK
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Spójnik wtedy i tylko wtedy <=> to jedyny spójnik w logice będący jednocześnie operatorem logicznym.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Z definicji wynika, że nie można go dowieść w sposób bezpośredni. Dowieść prawdziwości równoważności możemy wyłącznie w sposób pośredni dowodząc prawdziwości niezależnych twierdzeń (warunków wystarczających) p=>q i ~p=>~q.

Błędne są zatem wszystkie zadania matematyczne zaczynające się od frazy:
„Wiemy że równoważność p<=>q jest prawdziwa …”
Jeśli wiemy że jest prawdziwa to uprzednio musieliśmy dowieść dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q czyli wiemy wszystko i matematycznie nie mamy szans na cokolwiek więcej.

Podobnie bez sensu jest twierdzenie iż z prawdziwości równoważności wynika prawdziwość zdań p=>q i ~p=>~q, bowiem aby udowodnić prawdziwość równoważności musimy uprzednio udowodnić właśnie te warunki wystarczające p=>q i ~p=>~q.

Sensowne jest więc wyłącznie twierdzenie iż z prawdziwości warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q wynika prawdziwość równoważności. Odwrotnie to bezsens, bowiem nie da się udowodnić równoważności w sposób bezpośredni.


4.5 Mutacje definicji równoważności

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Prawo algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód w równaniach logicznych:
Definicja równoważności:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy zmienne:
B.
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Prawe strony są tożsame, co kończy dowód.

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p.
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p.

Stąd dwie równoważne definicje równoważności:
C.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
D.
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Wyżej mamy udowodnioną tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd podstawiając zdanie C: p<=>q w miejsce D: ~p<=>~q mamy:
E.
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z A i C mamy pierwsze prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
C: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
A i C to tożsamość, zatem musi zachodzić:
q=>p = ~p=>~q

Z A i E mamy drugie prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
E: p<=>q = (~q=>~p)* (~p=>~q)
A i E to tożsamość, zatem musi zachodzić:
p=>q = ~q=>~p

Definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Prawa kontrapozycji poprawne w równoważności:
p=>q= ~q=>~p
~p=>~q =q=>p
Pełna definicja równoważności z uwzględnieniem praw kontrapozycji.
p<=>q = {(p=>q)=(~q=>~p)}*{(~p=>~q)=(q=>p)}
Stąd możliwe równoważne definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q = (q=>p)*(~q=>~p)
etc

W równoważności wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q zachodzą wirtualne prawa Kubusia:
p=>q = [~p~>q]
[p~>q] = ~p=>~q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności
Wirtualny warunek wystarczający [~>] istnieje, ale nie jest to znane nam z implikacji „rzucanie monetą” ~> bowiem wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q jest to fizycznie niemożliwe.

Stąd pełna definicja równoważności:
p<=>q = {(p=>q)=[~p~>~q]}*{(~p=>~q)=[p~>q]}
Z której wynikają przykładowe definicje równoważne:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
etc

Oczywiście prawa kontrapozycji i wirtualne prawa Kubusia można dowolnie mieszać skąd otrzymujemy kilkadziesiąt tożsamych definicji równoważności. Na gruncie nowej teorii zbiorów wszystkie te definicje są oczywistością i z każdej można korzystać (definicje znaczków => i ~>), jednak najpopularniejsze są wyżej przedstawione.

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] =1*1=1
Do tego aby w trójkącie kąty były równe potrzeba [~>] i wystarcza => aby był on równoboczny.
Dowód na mocy definicji znaczków [~>] i =>:
Wymuszam dowolny TR i pojawia mi się KR
TR=>KR=1
Zabieram (wszystkie) TR i znika mi zbiór KR
[TR~>KR]=1

Dla porównania implikacja:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Sprawdzamy czy zachodzi równoważność:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P8~>P2) =1*0 =0
Wymuszam dowolne P8 i pojawia się P2
P8=>P2 =1 ok.
Zabieram (wszystkie) P8 i nie znika mi P2
P8~>P2 =0 bo 2

Spójrzmy na definicję implikacji i równoważności w równaniach Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że warunki wystarczające => w implikacji i równoważności są identyczne.
Zatem jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający np.
p=>q=1
to wiem ze nic nie wiem, bo nie wiem czy to jest warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji, czy też to jest warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.


4.6 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0

Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Na mocy definicji zachodzi równanie ogólne implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

W algebrze Kubusia kluczowe są definicje znaczków => i ~>.
Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
Zbiór na podstawie wektora => musi się zawierać w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Weźmy wzorcową implikację prostą:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą o definicji.
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L

Weźmy wzorcową implikację odwrotną:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P

Jeśli przyjmiemy za poprawne definicje znaczków => i ~> w zbiorach (oczywistość!), to konsekwencją tego faktu jest takie a nie inne równanie ogólne implikacji.

A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dlaczego?
Bo tylko i wyłącznie w tym przypadku spełnione są definicje znaczków => i ~> po obu stronach znaku ##.

Wynika z tego że w równaniu ogólnym implikacji nie mamy ustalonego sztywnego punktu odniesienia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi, pomiędzy którymi nie występują żadne tożsamości matematyczne. Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.

Z naszego przykładu widać, że jeśli implikacja prosta p=>q jest prawdziwa:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L =1
to prawdziwą implikację odwrotną p~>q uzyskamy wtedy i tylko wtedy gdy zamienimy p i q
AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P =1

W równaniu ogólnym implikacji mamy prawo ustalić sztywny punkt odniesienia na zdaniu:
p=>q
albo na zdaniu:
p~>q

1.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: q~>p = ~q=>~p
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

A: p=> q ##  q~> p
B: p=> q ## ~q=>~p
C:~p~>~q ##  q~> p
D:~p~>~q ## ~q=>~p

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje znak tożsamości.

2.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p~>q
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: q=>p = ~q~>~p ## B: p~>q = ~p=>~q
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

E: q=> p ##  p~> q
F: q=> p ## ~p=>~q
G:~q~>~p ##  p~> q
H:~q~>~p ## ~p=>~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje znak tożsamości.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji wygląda zatem tak:
p=>q ## ~q=>~p
q=>p ## ~p=>~q

Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji.
Prawdziwość prawa kontrapozycji w równoważności udowodniliśmy w poprzednim punkcie.

Dlaczego nawet w implikacji możemy stosować prawo kontrapozycji?

Definicja równoważności wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Jeśli udowodnimy warunek wystarczający p=>q o definicji:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0

To mamy prawo założyć, że to jest warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności.
Na podstawie takiego założenia możemy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => wynikłego z prawa kontrapozycji:
~p=>~q
albo
q=>p
Jeśli udowodnimy którykolwiek z tych warunków to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1

Jeśli po udowodnieniu warunku wystarczającego p=>q obalimy warunek wystarczający w drugą stronę to automatycznie wykluczymy równoważność:
~p=>~q = q=>p =0
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0

W tym przypadku udowodniony warunek wystarczający p=>q może wchodzić w skład definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Dlaczego „może”?
Bo możliwy jest przypadek samodzielnego warunku wystarczającego =>, co zobaczymy przy okazji omawiania operatora XOR.


5.0 Operatory OR i AND

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Relacje między dwoma zbiorami, ich wzajemne położenie, generują ściśle określone definicje operatorów logicznych.

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

Ta sama definicja w układzie równań algebry Kubusia:
Y=p+q
~Y=~p*~q

Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1
1 0  =0
0 1  =0
0 0  =0

Ta sama definicja w układzie równań algebry Kubusia:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Równanie ogólne operatorów OR i AND:
Kod:

Operator OR ## Operator AND
 Y=p+q      ## Y=p*q
~Y=~p*~q    ## ~Y=~p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli lewa strona znaku ## nie ma nic wspólnego z prawą strona znaku ##

Przykład:
Jeśli wypowiem obietnicę bezwarunkową:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
~Y=~K*~T
stąd:
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T

To ta obietnica nie ma nic wspólnego z taką obietnicą:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
~Y=~K+~T
stąd:
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K+~T


5.1 Operator OR w zbiorach

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y = ~(p+q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora OR:
A: Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1
B: ~Y=~(p+q) = ~[1,2,3,4,5,6] = [7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Dziedzina:
Y+~Y = [1,2,3,4,5,6]+[7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1

Równoważny diagram operatora OR:

Y=p*q+p*~q+~p*q
~Y=~p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y = Ya+Yb+Yc
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Ya = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: Yb = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
C: Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora OR:
Y = Ya+Yb+Yc
Y=p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6]=[1,2,3,4,5,6]=1
~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8]=[7,8]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora OR w korelacji z naszym diagramem.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Ya
B:  p*~q= Yb
C: ~p* q= Yc
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR.
W: Y=p+q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Tabela 1
Definicja          |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna OR (Y) |
   p  q   Y=p+q    | p  q   Y=p+q
--------------------------------     
A: p* q = Ya       | 1  1  =1
B: p*~q = Yb       | 1  0  =1
C:~p* q = Yc       | 0  1  =1
D:~p*~q =~Y        | 0  0  =0
   1  2   3          4  5   6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne wejściowe łączymy spójnikiem „i”(*)

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora OR.

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Definicja ta dla dwóch zmiennych spełniona jest wyłącznie w obszarze ABC456, co w tabeli symbolicznej odpowiada zdaniom A, B i C (obszar ABC123):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Ten sam obszar ABC456 (symbolicznie ABC123) opisuje równanie tożsame:
Y=p*q+p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna Y=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND.
U: ~Y=~p*~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0
Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

Tabela 2
Definicja          |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna OR (~Y)|
  ~p ~q  ~Y=~(p+q) |~p ~q  ~Y=~p*~q
--------------------------------     
A: p* q = Ya       | 0  0  =0
B: p*~q = Yb       | 0  1  =0
C:~p* q = Yc       | 1  0  =0
D:~p*~q =~Y        | 1  1  =1
   1  2   3          4  5   6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123 jest identyczny jak wyżej.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Definicję spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) widzimy wyłącznie w linii D789:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Zauważmy, że treść zdań A, B, C i D w definicji symbolicznej w tabelach 1 i 2 jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. W tabelach 1 i 2 zmienił się tylko punkt odniesienia w patrzeniu na zdania w zapisie symbolicznym.

Jak widzimy dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
W: Y=p+q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456 - tabela 1)
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456 - tabela 2)

Matematycznie zachodzi:
Y=p+q (obszar ABC123) # ~Y=~p*~q (linia ABC123)
bo kolumny wynikowe 6 w tabelach 1 i 2 są różne
gdzie:
# - różne

To jest dowód, iż spójnik logiczny „lub”(+) to tylko połówka operatora OR.
Spójnik „lub”(+) ## Operator OR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y - obszar ABC456, tabela 1) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y - linia D456, tabela 2).

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:23, 21 Kwi 2013, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 2:02, 31 Mar 2013    Temat postu:

5.2 Operator AND w zbiorach

Definicja operatora AND w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja operatora AND w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y = ~(p*q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora AND:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora AND:
A: Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1
B: ~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1
C: ~Y=~(p*q) = ~[3,4] = [1,2,5,6,7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
bo to dwa rozłączne obszary
Dziedzina:
Y+~Y = [3,4]+[1,2,5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1

Równoważny diagram operatora AND:

Y=p*q
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
stąd:
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora AND:
Y=p*q = ~(~p+~q)

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: ~Yb =~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty
C: ~Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Yd = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora AND:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]=[1,2,5,6,7,8]]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora AND.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Yb
C: ~p* q=~Yc
D:  p*~q=~Yd

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie linie B, C, D

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND.
W: Y=p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Zero-jedynkowa definicja operatora AND w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Tabela 1
Definicja           |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna AND (Y) |
   p  q   Y=p*q     | p  q   Y=p*q
--------------------------------     
A: p* q = Y         | 1  1  =1
B:~p*~q =~Yb        | 0  0  =0
C:~p* q =~Yc        | 0  1  =0
D: p*~q =~Yd        | 1  0  =0
   1  2   3           4  5   6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne wejściowe łączymy spójnikiem „i”(*)

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora AND.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Definicja ta dla dwóch zmiennych spełniona jest wyłącznie w linii A456, co w tabeli symbolicznej odpowiada zdaniu A (linia A123):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 * q=1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora OR.
U: ~Y=~p+~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0
Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

Tabela 2
Definicja           |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna AND (~Y)|
  ~p ~q  ~Y=~(p*q)  |~p ~q  ~Y=~p+~q
------------------------------------     
A: p* q = Y         | 0  0  =0
B:~p*~q =~Yb        | 1  1  =1
C:~p* q =~Yc        | 1  0  =1
D: p*~q =~Yd        | 0  1  =1
   1  2   3           4  5   6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123 jest identyczny jak wyżej.

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) widzimy w obszarze BCD456:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Ten sam obszar BCD456 (symbolicznie BCD123) opisuje równanie tożsame:
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna ~Y=1.

Zauważmy, że treść zdań A, B, C i D w definicji symbolicznej w tabelach 1 i 2 jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. W tabelach 1 i 2 zmienił się tylko punkt odniesienia w patrzeniu na zdania w zapisie symbolicznym.

Jak widzimy dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
W: Y=p*q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456 - tabela 1)
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
U: ~Y=~p+~q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456 - tabela 2)

Oczywiście zdania z nagłówka tabel zero-jedynkowych 1 i 2 nie są tożsame czego dowodem formalnym jest brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD6
Y=p*q # ~Y=~p+~q
Y# ~Y
gdzie:
# - różne w znaczeniu
Jeśli Y=1 to ~Y=0 - dotrzymam słowa
Jeśli Y=0 to ~Y=1 - kłamstwo

To jest dowód, iż spójnik logiczny „i”(*) to tylko połówka operatora AND.
Spójnik „i”(*) ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y - linia A456, tabela 1) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y - obszar BCD456, tabela 2).

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


5.3 Prawo przejścia do logiki przeciwnej

Prawo przejścia do logiki przeciwnej to jedno z najważniejszych praw logiki z którego każdy mózg korzysta milion razy na dobę.

Obowiązuje ono w całej logice matematycznej, niezależnie od użytego spójnika logicznego.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Operator OR:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
Y = p+q = ~(~p*~q)
2.
Operator AND:
Y=p*q
~Y=~p+~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
Y = p*q = ~(~p+~q)

Wniosek:
W operatorach OR i AND prawo De Morgana mówi o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej dla funkcji logicznej z dowolną ilością zmiennych wyrażonej spójnikami „lub”(+) oraz „i”(*).

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: Y=p+q(r+~s)
B: Y = p+[q*(r+~s)]
C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
D: ~Y = ~p*(~q+~r*s)
Kolejność wykonywania działań:
„i”(*), „lub”(+)

Algorytm Wuja Zbója:
B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
D: Opuszczamy zbędne nawiasy

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i D mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Prawo przejścia do logiki przeciwnej w implikacji prostej:
1.
Implikacja prosta
p=>q
~p~>~q
2.
Złożona implikacja prosta:
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)
W implikacji prostej zachodzi prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
… a to co wyżej to nic innego jak prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej w implikacji odwrotnej:
1.
Implikacja odwrotna
p~>q
~p=>~q
2.
Złożona implikacja odwrotna:
(p+q) ~> (r*s)
(~p*~q)=>(~r+~s)
W implikacji odwrotnej zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
… a to co wyżej to nic innego jak prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.


5.4 Operator XOR

Operator XOR opisuje właściwości zbiorów rozłącznych.

Możliwe są tu dwa przypadki:
1.
Istnieje część wspólna zbiorów ~p*~q.
Dziedzina:
p*~q + ~p*q + ~p*~q
2.
Nie istnieje cześć wspólna zbiorów ~p*~q.
Dziedzina:
p*~q + ~p*q

Przypadek 1.
Definicja XOR1 w zbiorach:

Zbiory p i q są rozłączne i istnieje zbiór ~p*~q:
~p*~q=1
Z czego wynika dziedzina:
D=p*~q + ~p*q + ~p*~q

Definicja XOR1 w równaniu algebry Kubusia:
Y=p$q = p*~q+~p*q
~Y=~(p$q)=~p*~q
Gdzie:
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Przykład:
Zdefiniujmy dwa zbiory rozłączne:
p=[1,2]
q=[3,4]
Oraz dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[1,2,5,6]

Prawa nowej teorii zbiorów dla zbiorów rozłącznych:
1.
p*~q =p
Dowód:
p*~q = [1,2]*[1,2,5,6] =[1,2] =p
cnd
2.
~p*q =q
Dowód:
~p*q = [3,4,5,6]*[3,4] = [3,4] =q
cnd

Stąd otrzymujemy:
p$q = p*~q + ~p*q := p+q
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Wniosek:
W przypadku XOR1 nie ma znaczenia czy użyjemy spójnika „albo”($) czy tez spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka.
Na mocy nowej teorii zbiorów oba te spójniki znaczą dokładnie to samo.

Realny przykład z życia:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy
P+K=>4L
Oczywiście zbiory pies i kot są rozłączne, ale należą do tej samej dziedziny, tu:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Oczywiście zachodzi:
P*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0.

Zobaczmy co się zmieni jak w naszym przykładowym zdaniu zmienimy P+K na precyzyjne P$K:
A.
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to na pewno ma cztery łapy
P$K=>4L
Oczywiście zbiory pies i kot są rozłączne, ale należą do tej samej dziedziny, tu:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
P$K = P*~K + ~P*K
ale!
Na mocy nowej teorii zbiorów mamy:
P*~K = P
~P*K = K
stąd:
P$K = P*~K + ~P*K := P+K
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Jak widzimy jest rybka, czyli wszystko jedno czy w zdaniu A wyżej, użyjemy spójnika „albo”($), czy też spójnika „lub”(+).
Z tego powodu większość ludzi (prawie wszyscy) używa spójnika „lub”(+) w znaczeniu „albo”($).

Rozważmy zdanie gdzie zbiór ~p*~q jest zbiorem pustym, a nie jak wyżej zbiorem niepustym.
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Y = M$K
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo” w algebrze Kubusia
Oczywiście nie ma więcej możliwości, bo wykluczony jest przypadek, aby człowiek był jednocześnie kobietą i mężczyzną.
Tu dziedzina:
D=K+M
Nie ma innych możliwości.
Oczywiście dwa zbiory i brak trzeciej możliwości wymusza równoważność o której będzie za chwilę.

Zauważmy że prawa nowej teorii zbiorów również tu obowiązują:
M$K = M*~K + ~M*K := M+K
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy NTZ

Z tego względu większość ludzi powie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną lub kobietą
Y=M+K
Zauważmy że tu również obowiązuje prawo przejścia do logiki ujemnej.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y=~M*~K
czyli:
Zdanie będzie fałszywe (~Y=1) gdy powiemy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną i nie jest kobietą
~Y=~M*~K

Zauważmy, że prawa przejścia do logiki ujemnej w obu przypadkach są niezależne od tego czy użyjemy spójnika „albo”($) czy też spójnika „lub”(+), w obu przypadkach działają doskonale.

Zauważmy, że spójnik „albo”($) jest podzbiorem spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q

Stąd definicja spójnika „lub”(+) zapisana z wykorzystaniem „albo”($)
Y= p+q = p$q + p*q

Oczywiście mózg człowieka doskonale wyłapie że w przypadku naszego zdania:
K*M=0
p*q=0

Zauważmy że dla określenia przypadku kiedy zachodzi:
Y=p*q
Mamy specjalny, precyzyjny spójnik „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Z tego powodu nasz mózg używa prawie zawsze spójnika „lub”(+) i prawie zawsze rozumie go jako spójnik „albo”($).

„Prawie” … bo w przykładowym zdaniu wzorcowym dla spójnika „lub”(+) może zajść p*q=1 o czym wszyscy wiemy.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) mamy:
Y=K+T = K*T + K*~T +~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1

Wszyscy doskonale wiemy, iż tu możliwy jest przypadek pójścia i do kina i do teatru i nie ma tu mowy o żadnym kłamstwie.
Y=K*T =1*1 =1 - przypadek możliwy (oczywiście nie skłamię jak pójdę i tu i tu)

Podobny przykład z naturalnej logiki człowieka:
A.
Jan wszedł i padł martwy
Y=W*P
Spójnik „i”(*) jest w logice przemienny zatem zdanie tożsame:
B.
Jan padł martwy i wszedł
Y=P*W
W zdaniu A mamy następstwo czasowe gdzie nie zachodzi przemienność argumentów. Nasz mózg o tym doskonale wie i używa spójnik krótkiego „i”(*) zamiast długiego „po czym”.


5.5 Nietypowa równoważność

Przypadek 2.
Zbiory p i q są rozłączne z dziedziną:
D=p+q
czyli:
Nie istnieje zbiór ~p*~q:
~p*~q=0

Z założenia mamy tu wyłącznie dwa zbiory p i q, co wymusza nietypową równoważność:
p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)

Przykład takiego zdania to oczywiście klasyka:
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą
M$K = M*~K+~M*K
Nie ma innych możliwości!

Diagram nietypowej równoważności:

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Zamiast założonych zbiorów jak w diagramie zrobimy to od razu na przykładzie z życia, będzie ciekawiej.

RA.
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)
Sprawdzamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~K):
M=>~K
A.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to na pewno => nie jest kobietą
M=>~K=1
Zbiory:
M*~K=M
M*~K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (M=1 i ~K=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zbiór M zawiera się w zbiorze ~K
Z czego wynika że bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => aby nie być kobietą
stąd:
B.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to może ~~> być kobietą
M~~>K =0
Zbiory:
M*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (M=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 1

… a jeśli człowiek nie jest mężczyzną.
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p=>~q
Dowód:
Wyłącznie negujemy zmienne w równaniu RA:
~M<=>~K = (~M=>K)*(M=>~K)
Prawe strony tożsame, co kończy dowód.
RC
~M<=>K = (~M=>K)*(M=>~K)
Sprawdzamy warunek wystarczający w logice dodatniej (bo K):
~M=>K
C.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną, to na pewno jest kobietą
~M=>K =1
Zbiory:
~M*K = K
~M*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~M=1 i K=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór ~M zawiera się w zbiorze K bo:
~M=K - zbiory tożsame
Co oznacza że:
Nie bycie mężczyzną wystarcza => aby nie być kobietą
stąd:
D.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną to może ~~> nie być kobietą
~M~~>~K =0
Zbiory:
~M*~K = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~M=1 i ~K=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Dowód:
~M=K
~K=M
stąd:
~M*~K = K*M = 1*1=0
cnd

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
RA:
M<=>~K
stąd:
M=1, ~M=0
~K=1, K=0
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~K  |definicji symbolicznej
M<=>~K                   |
   M    ~K               |  M  ~K  M<=>~K
---------------------------------------------
A: M=>  ~K =1            |  1  1   =1
B: M~~>  K =0            |  1  0   =0
C:~M=>   K =1            |  0  0   =1
D:~M~~> ~K =0            |  0  1   =0
   1     2  3               4  5    6



5.6 Nietypowa implikacja prosta

Przykład:

Załóżmy dwa zbiory:
p=[1,2]
q=[3,4]
Oraz dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[1,2,5,6]

Przeanalizujmy zdanie:
p=>~q
zakładając że mamy do czynienia z implikacją o definicji:
p=>~q = ~p~>q

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=1
Zbiory:
p*~q = [1,2]*[1,2,5,6]=[1,2] =p
p*~q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka ~> spełniona bo:
[1,2]=>[1,2,5,6]
Zbiór p zawiera się w zbiorze ~q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
stad:
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q=0
Zbiory:
p*q = [1,2]*[3,4] =0
p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli nie zajdzie p?
Z założenia mamy do czynienia z implikacją, zatem stosujemy prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>q
stąd:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p~>q =1
Zbiory:
~p*q = [3,4,5,6]*[3,4] =~p
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
[3,4,5,6]~>[3,4]
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia q
Zabieram ~p i znika mi q
lub (ostatnia możliwość przeczeń)
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q =1
Zbiory:
~p*~q = [3,4,5,6]*[1,2,5,6] = [5,6] =1
~p*~q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo:
[3,4,5,6]~>[1,2,5,6]
Zbiór ~p nie zawiera w sobie zbioru ~q
stąd:
~p~>~q=0
cnd
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów ~p i ~q.

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1 bo pies
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory:
P*~K=P
P*~K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~K=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „nie kot”
stąd:
Bycie psem wystarcza => aby nie być kotem

Uzasadnienie:
K=1 - istnieje zbiór kotów
~K = ZWZ-K
Oczywiście w takim zbiorze zawiera się zbiór „pies”
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> jest kotem
P~~>K=0 - zbiory rozłączne
Zbiory:
P*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

... a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być kotem
~P~>K=1 bo kot
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem
Zbiory:
~P*K = K
~P*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i K=1) i maja cześć wspólną (K) co wymusza w wyniku 1
Zbiór ~P*K jest konieczny dla K bo zabieram ~P*K i znika mi zbiór K
Uzasadnienie:
P=1 - istnieje zbiór „pies”
~P = ZWZ-P - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o zbiór psów
~P*K = K
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> nie być kotem
~P~~>~K=1 bo koń, mrówka, wąż..
Zbiory:
~P*~K = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~K=1) i mają część wspólną (ogromną!) co wymusza w wyniku 1
Zbiór ~P nie jest konieczny dla ~K bo zabieram zbiór ~P i zostaje mi jeden element … „pies” który mieści się w zbiorze ~K.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Kod:

               |P ~K P=>~K
A: P=>~K=1     |1  1  =1
B: P~~>K=0     |1  0  =0
C:~P~> K=1     |0  0  =1
D:~P~~>~K=1    |0  1  =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
               |P=1, ~P=0
               |~K=1, K=0

Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej, w skrócie „jest implikacją prostą”


5.7 Samodzielny warunek wystarczający

Definicja:
Samodzielny warunek wystarczający => to warunek wystarczający => nie wchodzący ani w skład implikacji, ani też w skład równoważności.

Ciekawy jest wyjątek w implikacji zbiorów rozłącznych:
p=>~q
gdzie q jest zbiorem pustym:

Przeanalizujmy przez definicję implikacji następujące zdanie:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
stąd zbiory:
P*~ML = P
P*~ML=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~ML=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze ~ML
czyli:
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap

Wyjaśnienia:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
ML=0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
~ML = 1 - zbiór wszystkich zwierząt
Uzupełnienie zbioru pustego do dziedziny to zbiór wszystkich zwierząt
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek:
Kod:

                   |P ~ML P=>~ML
A: P=>~ML=1        |1  1   =1
B: P~~>ML=0        |1  0   =0
C:~P~> ML=0        |0  0   =0
D: bez znaczenia
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
                   |P=1, ~P=0
                   |~ML=1, ML=0

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.


5.8 Pseudo-operator Słonia

Pseudo-operator Słonia umożliwia matematyczny opis figury geometrycznej X przy pomocy definicji figury Y. Pseudo operator Słonia to odpowiednik makro rozkazu w języku asemblera.

Definicja pseudo operatora Słonia:
(~p*r)&p = p&(~p*r) = p*r
Algorytm działania pseudo operatora Słonia:
Ustawiamy polaryzację zmiennych w nawiasie na zgodną z polaryzacją po przeciwnej stronie znaku &


Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=(KW)&~BR = (KR*BR)&~BR = KR*~BR

Każda nowa teoria matematyczna potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania, zrozumiałego dla przeciętnie zdolnego matematyka.

Przykład zastosowania algebry Kubusia znajdziemy w IV części podręcznika:
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

W dzisiejszej matematyce definicje banalnych czworokątów rodem z pierwszych klas szkoły podstawowej są matematycznie do bani, bo nie są jednoznaczne.


6.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych.

Na początku było:
Kod:

1=1

i stał się cud:
Kod:

(p+~p)=(q+~q)

p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
q+~q=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
Kod:

A: p=>(q+~q)
C: ~p=>(~q+q)

stąd mamy …

Równoważność

Operatorowa definicja równoważności:
Kod:

   p   q p<=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q=0    /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =0    /o definicji w C i D

Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


Implikacja prosta

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności. Możliwe jest rozczepienie linii A i B albo linii C i D.

Implikacja prosta to rozczepienie linii C i D w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~>~q =0    /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1


Implikacja odwrotna

Implikacja odwrotna to rozczepienie linii A i B w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q p~>q
A: p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~> q =0    /o definicji w C i D

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


Operator chaosu

Możliwe jest totalne rozczepienie definicji równoważności, zarówno po stronie p jak i ~p.
Nie ma wtedy żadnej gwarancji, mamy tu zdanie ZAWSZE PRAWDZIWE, pełną przypadkowość

Operator chaosu, czyli definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
B: p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
C:~p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
D:~p~~> q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q

p~~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q

Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu ~~> dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1


Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.
Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =0    /zbiór pusty
B: p~~>~q =0    /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty
D:~p~~> q =0    /zbiór pusty


Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0



6.1 Alternatywne definicje implikacji i równoważności

Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego miedzy p i q:
A: p=>q=1
B: p~>q = ~p=>~q=0

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
A: p=>q=1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
Warunek wystarczający => spełniony

Na mocy tej definicji badamy warunek konieczny ~> między P i 4L
B: p~>q = ~p=>~q=0
Jeśli zwierze jest psem to może~> mieć cztery łapy
P~>4L = ~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: koń
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A możemy nazwać implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to tylko i wyłącznie warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji implikacji prostej:
P=>4L = ~P~>~4L
Definicja warunku wystarczającego:
A: P=>4L=1
B: P~~>~4L=0
cnd


Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q:
A: p~>q = ~p=>~q =1
B: p=>q=0

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Sprawdzamy warunek konieczny ~>:
4L~>P= ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Prawa strona jest prawdą, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Sprawdzamy warunek wystarczający:
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń
Warunek wystarczający nie zachodzi.
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w żargonie możemy powiedzieć że zdanie A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to wyłącznie zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.


Alternatywna definicja równoważności
Równoważność to jednoczesna zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego warunku koniecznego [~>]
A: p=>q=1
B: [p~>q] = ~p=>~q =1

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
A: p=>q=1
Warunek wystarczający A zachodzi.

Sprawdzamy zachodzenie wirtualnego warunku koniecznego:
B: [p~>q] = ~p=>~q =1
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to „może” [~>] zachodzić suma kwadratów
[TP~>SK] =?
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Wniosek:
Zdanie A i zdanie B to warunki wystarczające wchodzące w skład równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1


6.2 Implikacja i równoważność wyrażona spójnikiem „i”(*)

Przypomnijmy sobie symboliczną definicje implikacji prostej i jej kodowanie zero-jedynkowe:

Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji prostej      |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p=>q=~p~>~q             |
   p   q                |  p  q   p=>q
---------------------------------------------
A: p=> q =1             |  1  1   =1
B: p~~>~q=0             |  1  0   =0   /~(p~~>~q)=p*~q
C:~p~>~q =1             |  0  0   =1
D:~p~~>q =1             |  0  1   =1
   1   2  3                4  5    6

Tworzenie równania algebry Boole’a w spójniku „i”(*) dla dowolnej linii w tabeli zero-jedynkowej poznamy za chwilę w części „Techniczna algebrze Boole’a”.

To jest nieprawdopodobnie banalne więc krótko:
1.
Opisujemy dowolną linię tabeli zero-jedynkowej w naturalnej logice człowieka (spis z natury):
B: (p~~>~q)=0 <=> p=1 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a.
Prawo Prosiaczka (pkt. 3.4):
p=0 <=> ~p=1
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
B: ~(p~~>~q)=1 <=> p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Korzystając z tej definicji zapisujemy równanie końcowe w spójniku „i”(*) dla linii B:
B.
~(p~~>~q) = p*~q - twardy fałsz opisany spójnikiem „i”(*) w linii B

Z teorii wiemy, że w implikacji prostej twardy fałsz w linii B wynika wyłącznie z linii A, czyli z definicji warunku wystarczającego => zdefiniowanego wyłącznie liniami A i B i nie ma NIC wspólnego z liniami C i D.

Stąd negując stronami otrzymane równanie dla linii B, dostaniemy opis matematycznej gwarancji (=> - warunek wystarczający) zawartej w linii A.
Mamy:
B: ~(p~~>~q) = p*~q
Stąd po negacji stronami mamy gwarancję słowną z linii A wyrażoną spójnikiem „i”(*):
A: p=>q = ~(p*~q)

To jest ulubiona gwarancja prawników często używana na sali sądowej, aby dobitnie ją podkreślić.

Przykład:
Wyskoki Sądzie, Kargul orając swoje pole zaorał trzy palce ziemi Pawlaka.
KO=>3P
Nie mogło się zatem zdarzyć, że Kargul orał swoje pole i nie zaorał tego bezcennego kawałka ziemi jak to usiłuje wmówić Wysokiemu Sądowi Kargul.
KO=>3P = ~(KO*~3P)
Wynika z tego, że Kargul jest tu bezdyskusyjnie winny …

Analogicznie robimy dla implikacji odwrotnej.

Kod:

Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji odwrotnej    |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p~>q=~p=>~q             |
   p  q                 |  p  q  p~>q
---------------------------------------------
A: p~> q =1             |  1  1   =1
B: p~~>~q=1             |  1  0   =1
C:~p=>~q =1             |  0  0   =1
D:~p~~>q =0             |  0  1   =0  /~(~p~~>q)=~p*q
   1  2  3                 4  5    6

Tu twardy fałsz w linii D wynika tylko i wyłącznie z twardej prawdy (=> - gwarancji matematycznej) zapisanej w linii C.
D: ~(~p~~>q) = ~p*q
Negując zatem ten fałsz otrzymujemy równanie opisujące gwarancję w linii C.
C: ~p=>~q = ~(~p*q)

Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P

Dokładnie ta sama gwarancja wyrażona spójnikiem „i”(*) przyjmuje postać:
~CH=>~P = ~(~CH*P)
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie będzie pochmurno (~CH) i będzie padało (P).
~(~CH*P)

Na koniec to samo dla równoważności gdzie mamy dwie gwarancje matematyczne, zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności:

Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p<=>q                   |
   p    q               |  p  q  p<=>q
---------------------------------------------
A: p=>  q =1            |  1  1   =1
B: p~~>~q =0            |  1  0   =0  /~(p~~>~q)=p*~q
C:~p=> ~q =1            |  0  0   =1
D:~p~~> q =0            |  0  1   =0  /~(~p~~>q)=~p*q
   1  2  3                 4  5    6

W równoważności mamy dwie gwarancje.
1.
Tylko i wyłącznie z gwarancji w linii A (=> - warunek wystarczający) wynika twardy fałsz w linii B.
Negując zatem twardy fałsz w linii B otrzymamy gwarancje wyrażoną spójnikiem „i”(*) dla linii A.

Mamy twardy fałsz opisany równaniem w linii B:
~(p~~>~q) = p*~q
Negując ten fałsz otrzymamy twardą prawdę (gwarancję) opisaną linią A.
A: p=>q = ~(p*~q)

Podobnie:
2.
Tylko i wyłącznie z gwarancji w linii C (=> - warunek wystarczający) wynika twardy fałsz w linii D.
Negując zatem twardy fałsz w linii D otrzymamy gwarancje wyrażoną spójnikiem „i”(*) dla linii C.

Mamy twardy fałsz opisany równaniem w linii D:
~(~p~~>q) = ~p*q
Negując ten fałsz otrzymamy twardą prawdę (gwarancję) opisaną linią C.
C: ~p=>~q = ~(~p*q)

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Ta sama gwarancja wyrażona spójnikiem „i”(*):
TP=>SK = ~(TP*~SK)
A1.
Nie może się zdarzyć ~(…) że trójkąt jest prostokątny i nie zachodzi suma kwadratów

Drugie zdanie:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK
Dokładnie ta sama gwarancja wyrażona spójnikiem „i”(*):
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)
C1.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny (~TP) i zachodzi suma kwadratów (SK)
~(~TP*SK)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:26, 02 Kwi 2013, w całości zmieniany 16 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 2:06, 31 Mar 2013    Temat postu:

Część II
Techniczna algebra Boole’a

7.0 Techniczna algebra Boole’a

Podstawowym zadaniem sprzętowej algebry Boole’a (technicznej algebry Boole’a) jest fizyczna realizacja operatora X na wszelkie możliwe sposoby, w szczególności przy pomocy innych operatorów. Dawno temu budowano złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych i tu zadaniem technicznej algebry Boole’a było: minimalizacja złożonych funkcji logicznych, walka z wyścigami i hazardem. W dobie mikroprocesorów (kosztujących tyle co najprostsza bramka logiczna), te umiejętności nie są do niczego potrzebne.

W technicznej algebrze Boole’a nie interesuje nas wewnętrzna budowa poszczególnych operatorów logicznych, którą poznaliśmy wyżej.

Operujemy tu kompletnymi tabelami zero-jedynkowymi operatorów logicznych oraz banalnym rachunkiem zero-jedynkowym. Możemy sobie generować tysiące praw logicznych gdzie o zachodzeniu dowolnego prawa decyduje tożsamość kolumn wynikowych.


7.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a

Aksjomatyka technicznej algebry Boole’a to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1


Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

Komentarz:
Kolumna pNORq to zanegowana kolumna OR:
Y=p+q
Stąd:
~Y = ~(p+q)
pNORq = ~(p+q)
itd
W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


7.2 Rachunek zero-jedynkowy w algebrze Boole’a

Banalne zasady rachunku zero-jedynkowego w algebrze Boole’a najlepiej poznać na przykładach.

Najważniejsze dowody w rachunku zero-jedynkowym to dowody przemienności argumentów w operatorach OR, AND, <=> i dowody braku przemienności argumentów w operatorach implikacji.

Definicja operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

Dowód przemienności argumentów w operatorze OR:
Kod:

   p q Y=p+q  q p Y=q+p
A: 1 1  1     1 1  1
B: 1 0  1     0 1  1
C. 0 1  1     1 0  1
D: 0 0  0     0 0  0
   1 2  3     4 5  6

Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR

Definicja operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1
1 0  =0
0 1  =0
0 0  =0

Dowód przemienności argumentów w operatorze AND:
Kod:

   p q Y=p*q q p Y=q*p
A: 1 1  1    1 1  1
B: 1 0  0    0 1  0
C. 0 1  0    1 0  0
D: 0 0  0    0 0  0
   1 2  3    4 5  6

Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze AND.

Zobaczmy teraz jak wygląda przemienność argumentów w implikacji.

Definicja operatora implikacji prostej =>:
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

W algebrze Boole’a wiersze możemy dowolnie przestawiać to bez znaczenia, dla łatwości dowodów formalnych powinniśmy jednak zachowywać tą samą kolejność wejściową p i q zarówno w definicjach jak i dowodach.

Dowód braku przemienności argumentów w implikacji prostej =>:
Kod:

   p q p=>q q p q=>p
A: 1 1  =1  1 1  =1
B: 1 0  =0  0 1  =1
C: 0 0  =1  0 0  =1
D: 0 1  =1  1 0  =0
   1 2   3  4 5   6

Brak tożsamości kolumn ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

p q p~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0

Dowód braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

   p q p~>q q p q~>p
A: 1 1  =1  1 1  =1
B: 1 0  =1  0 1  =0
C: 0 0  =1  0 0  =1
D: 0 1  =0  1 0  =1
   1 2   3  4 5   6

Brak tożsamości kolumn ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.


7.3 Najważniejsze prawa technicznej algebry Boole’a

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
1  0 1 0  1   1   1
0  1 1 0  1   0   1

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość odpowiednich kolumn wynikowych

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
1  0 1 0  1   0   0
0  1 1 0  0   0   0

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość odpowiednich kolumn wynikowych

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej, które niedawno poznaliśmy, a którego piękne zastosowanie pokazuje przykład niżej.

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.


7.4 Minimalny zestaw operatorów w algebrze Boole’a

W sprzętowej algebrze Boole’a możemy postawić problem:
Jaki jest zestaw minimalny operatorów logicznych pozwalających zbudować wszystkie inne operatory.

Twierdzenie:
W sprzętowej algebrze Boole’a dysponując dowolnym z czterech operatorów:
NAND, NOR, implikacja prosta =>, albo implikacja odwrotna ~>
Możemy zbudować wszystkie inne operatory logiczne, zatem i dowolny komputer.

Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Boole’a.

Dowód:
1.
Definicja operatora NAND:
Y=~(p*q)
Dowód:
Wymuszamy q=1 i mamy definicję negatora
Y=~(p*1) = ~p
Mając negator, negujemy prawą stronę otrzymując definicje bramki AND:
Y=~(~(p*q) = p*q
Mając negator i bramkę AND mamy wszystko co potrzeba do zbudowania dowolnego innego operatora
2.
Definicja operatora NOR:
Y=~(p+q)
Dowód:
Wymuszamy q=0 i mamy definicję negatora
Y=~(p+0) = ~p
Mając negator, negujemy prawą stronę otrzymując definicje bramki OR:
Y=~(~(p+q) = p+q
Mając negator i bramkę OR mamy wszystko co potrzeba do zbudowania dowolnego innego operatora
3.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Dowód:
Wymuszając q=0 mamy definicję negatora
p=>q = ~p+0 = ~p
Mając negator negujemy sygnał wejściowy ~p i mamy bramkę OR
p=>q = ~(~p)+q = p+q
Mając negator i bramkę OR mamy wszystko co potrzeba do zbudowania dowolnego innego operatora
4.
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Dowód:
Wymuszając p=0 mamy definicję negatora
p=>q = p+~q = ~q
Mając negator negujemy sygnał wejściowy ~q i mamy bramkę OR
p=>q = p+~(~q) = p+q
Mając negator i bramkę OR mamy wszystko co potrzeba do zbudowania dowolnego innego operatora

Poprawność powyższych dowodów można bez problemu pokazać w laboratorium techniki cyfrowej.
Jeśli ktokolwiek twierdzi iż nie jest to prawdą, to musi udowodnić iż techniczna algebra Boole’a nie jest matematyką ścisłą, życzę powodzenia.

Pozostałe operatory nie są dobre bo …
5.
Definicja operatora AND:
Y=p*q
Nie mamy tu szans na zbudowanie negatora
6.
Definicja operatora OR:
Y=p+q
Tu również nie mamy szans na zbudowanie negatora
7.
Definicja XOR:
p XOR q = p*~q + ~p*q
Tu nie mamy szans ani na zbudowanie operatora OR, ani tez na zbudowanie operatora AND
Dowód:
Wymuszamy p=1
p XOR q = 1*~q + 0*q = ~q
Mamy definicje negatora ale nie mamy szans na definicja AND, ani też na definicję OR
8.
Równoważność:
p<=>q = p*q+~p*~q
W tym przypadku mamy identycznie jak w XOR
Podstawiamy p=1
p<=>q = 1*q + 0*~q = q
Podstawiamy:
p=0
p<=>q = 0*q + 1*~q = ~q
Mamy definicje negatora ale nie mamy szans na definicja AND, ani też na definicję OR
cnd


8.0 Równania algebry Boole’a

Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równoważnymi równaniami algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) oraz „i”(*).
Przypomnijmy sobie podstawowe definicje.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, r

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y


8.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

Fundamentem algorytmu są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego (naturalnej logiki człowieka) oraz prawa Prosiaczka które poznaliśmy w punkcie 3.4.

Definicja spójnika „i” (koniunkcji) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
„*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej

Definicja spójnika „lub”(alternatywy) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
Kod:

p ~p p*~p p+~p
1  0  =0   =1
0  1  =0   =1

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
„+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Algorytm tworzenie równania algebry Boole’a poznamy na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki
1.
Spis z natury:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Yb=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Yc=1 <=> p=0 i q=1
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a.
Prawo Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
ABC123:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.

Dokładnie ten sam obszar opisuje nagłówek tabeli:
ABC123:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).

Stąd mamy tożsamość matematyczną:
ABC123:
Y = p+q
ABC123:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.

Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123.

Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
ABC123:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
D123:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Postępujemy identycznie jak wyżej.

1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a.
Prawo Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1

Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.

Przejście z równaniem D123 do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Ya= p* q
B: 1 0  =1    / Yb= p*~q
C: 0 1  =1    / Yc=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y =~p*~q
   1 2   3

Y=Ya+Yb+Yc
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
1.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
2.
Zmienne wejściowe p i q łączymy spójnikiem „i”(*), przyporządkowując im funkcję Y (jeśli w wierszu widzimy Y=1) albo ~Y (jeśli w wierszu widzimy Y=0).

Uwaga:
Formalnie rzecz biorąc jeśli w kolumnie wynikowej mamy wiele jedynek (jak wyżej) lub wiele zer (tu akurat mamy tylko jedno) to powinniśmy się bawić w funkcje cząstkowe Ya, Yb, Yc których suma logiczna daje kompletną funkcję Y opisującą tabelę zero-jedynkową.

Kubuś jest zdecydowanym przeciwnikiem takiej super-precyzji bo:
Nadmierna precyzja = chaos

W początkach techniki mikroprocesorowej niektórzy autorzy (np. Intel) stosowali superprecyzyjne opisy, czyli jeśli różne to różne nazwy np.
HL - nazwa rejestru HL
(HL) - zawartość rejestru HL
((HL)) - zawartość komórki pamięci o adresie zapisanym w rejestrze HL

Oczywiście normalni ludzie to olali i dziś już nikt o tym nie pamięta.
Stan dzisiejszy:
HL - zawartość rejestru HL
(HL) - zawartość komórki pamięci o adresie HL

… no i co z tego że nawa rejestru HL zapisywana jest identycznie jak zawartość rejestru HL?
Nic!
… bo nasz mózg to nie komputer.
Wszystko jest zrozumiałe i doskonale czytelne.

Podobnie w naszej tabeli dopuszczalny jest taki opis matematyczny:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 1 0  =1    / Y= p*~q
C: 0 1  =1    / Y=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y =~p*~q
   1 2   3

… bo nasz mózg to nie komputer.
Zauważmy, że przy dużych tabelach to i literek z alfabetu na pewno by nam zabrakło.
Czyż ostatnia tabela nie jest piękniejsza i prostsza niż ta zapisana w matematycznej super-precyzji?
To uproszczenie będziemy w dalszej części podręcznika stosować jako regułę.

Wnioski:
Kompletną tabelę zero-jedynkową operatora OR (wszystkie cztery linie) opisuje układ równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dopiero to równanie opisuje kompletny operator OR, wszystkie cztery linie!
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód:
Twierdzenie:
Jeśli w operatorze OR zanegujemy wszystkie zmienne to na podstawie prawa De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND.

Definicja operatora OR:
1.
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód:
2.
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y = ~p +~q = ~(p*q)
3.
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q

Równanie 3 to oczywiście pełna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy że operator AND (3) jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (1).

Zauważmy że równanie:
Y=p+q
nie jest kompletnym opisem operatora OR (opisującym wszystkie cztery linie) bo negujemy zmienne i nie otrzymujemy definicji operatora AND.
~Y=~p+~q

Sensacyjny wniosek (który już znamy):

W równaniu logicznym:
Y=p+q
Znaczek „+” nie jest operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.
Znaczek „+” to tylko połówka operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator (ABCD123) jak to jest we współczesnej matematyce Ziemian.
cnd

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Kod:

Operator OR    ## Operator AND
Y=p+q=~(~p*~q) ## Y=p*q=~(~p+~q)

gdzie:
## - różne na mocy definicji
… bo w przejściu z operatora OR do operatora AND wyłącznie negowaliśmy zmienne bez zmiany spójników!

Równanie logiczne:
Y=p+q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Czytelnicy nie zainteresowani matematyką ścisłą (nie wszyscy muszą być matematykami), dalsze rozdziały z technicznej algebry Boole’a mogą potraktować jako ciekawostkę, lub w ogóle pominąć.


8.2 Tworzenie równań logicznych w logice zero

Podstawą matematyczną są tu definicje spójników „lub”(+) oraz „i”(*) w logice zero.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice zero:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.
Y=p+q
Y=0 <=> p=0 i q=0
Jak widzimy w zapisie symbolicznym mamy znaczek „+” natomiast w spisie z natury mamy znaczek „*”, co jest sprzeczne z naturalną logiką człowieka.

Zero-jedynkowa definicja operatora AND w logice zero:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 0 0  =0
B: 0 1  =0
C: 1 0  =0
D: 1 1  =1
   1 2   3

Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa zeru
Y=p*q
Y=0 <=> p=0 lub q=0
W zapisie symbolicznym mamy znaczek „*” natomiast w spisie z natury mamy znaczek „+”, co jest sprzeczne z naturalną logiką człowieka.

Wniosek:
Logika zero jest sprzeczna z naturalną logiką człowieka, tak więc ten sposób tworzenia równań logicznych traktujmy jako matematyczną ciekawostkę.

Pełna definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka, wyprowadzona w poprzednim punkcie.
Obszar ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Linia D123:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ostatni zapis pokazuje alternatywny sposób tworzenia równań algebry Boole’a.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

1.
Spis z natury dla wynikowych jedynek:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Yb=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Yc=1 <=> p=0 i q=1
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a.
Prawo Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
Jeśli p=1 to ~p=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera:
A: ~Ya=0 <=> ~p=0 i ~q=0
lub
B: ~Yb=0 <=> ~p=0 i q=0
lub
C: ~Yc=0 <=> p=0 i ~q=0
3.
Na mocy definicji spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice zero opuszczamy zera w powyższym spisie z natury stosując spójnik „lub”(+) w poziomach i spójnik „i”(*) w pionach. Otrzymane równanie opisuje linię D123, bowiem zapis ~Y w naturalnej logice człowieka to matematyczny zapis linii D123.
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Równanie algebry Boole’a dla linii D123 wyprowadzone w logice zero.
Dla linii D123 mamy:
1.
Spis z natury:
D: Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Wszystkie zmienne mamy sprowadzone do zera, więc nic nie musimy robić
3.
Równanie w logice zero:
Y=p+q
Oczywiście w logice człowieka równanie to opisuje obszar ABC123 a nie linię D123
Tak więc zdecydowanie logikę zero należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.

Logika zero i logika człowieka są równoważne bowiem posługując się dowolną z nich dojdziemy do tych samych równań logicznych opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową.

Dowód:
Równanie wyprowadzone ciut wyżej:
Y=p+q
to definicja spójnika „lub”(+) w logice człowieka opisująca obszar ABC123

Inne równanie wyprowadzone wyżej w logice zero:
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Przechodzimy do logiki dodatniej poprze negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
To jest alternatywna definicja spójnika „lub”(+) opisująca obszar ABC123 z naturalnej logiki człowieka
etc


8.3 Osiem równań opisujących operator OR

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
D:~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=p*q

Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam slowa: Y=1          |Sklamię: ~Y=1
1: Y=p+q                      |2: ~Y=~p*~q
4: Y=~(~p*~q)                 |3: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)      |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |7: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja    |                |
Symboliczna  |                |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q     |Y=p*q+p*~q+~p*q |                       |
             |p q Y=p+q       | ~p ~q ~Y=~p*~q        |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 /p*q =Y |  0  0   =0            | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 /p*~q=Y |  0  1   =0            | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p*q=Y |  1  0   =0            | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0         |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3            4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |Y=p+q           |~Y=~p*~q
             |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0       | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.


8.4 Osiem równań opisujących operator AND

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Definicja operatora AND w równaniach algebry Boole’a:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1            |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q                        |2: ~Y=~p+~q
4: Y=~(~p+~q)                   |3: ~Y=~(p*q)
6: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q)        |5: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]   |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
-------------------------------------------------------------
Definicja    |
Symboliczna  |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
             |
Dotrzymam    |
slowa: Y=1   |p q Y=p*q         | ~p ~q 2:~Y=~p+~q      | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0            | =1
Sklamie: ~Y=1|                  |  ~Y=~p+~q             |
U: ~Y=~p+~q  |                  |  ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q   |
B: ~p*~q=~Y  |0 0  =0           |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
C: ~p* q=~Y  |0 1  =0           |  1  0   =1 /~p* q=~Y  | =0
D:  p*~q=~Y  |1 0  =0           |  0  1   =1 / p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.


8.5 Definicje operatorów w bramkach logicznych

Definicja operatora OR:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p*~q
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =1    0  1   =0
C: 0 1  =1    1  0   =0
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to tabela prawdy ABC123 (bramka OR)
Spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to linia D456 (bramka AND)

Próbnik stanów logicznych to probówka z dwoma diodami świecącymi:
Zielona - logiczne „0”
Czerwona - logiczne „1”

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p+q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze ABC123, cały czas dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po dojściu do linii D zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w linii D456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p*~q
Musi być:
~p=1
~q=1
~Y=~p*~q=1


Definicja operatora AND:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Kod:

   p q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =0    0  1   =1
C: 0 1  =0    1  0   =1
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to linia A123 (bramka AND)
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to tabela prawdy BCD456 (bramka OR)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p*q
Na wejściach p i q wymuszamy stan logiczny pokazany w linii A123, dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po przejściu do linii B zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w obszarze BCD456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p+~q
Musi być dokładnie to co w tabeli.
Przykładowo dla linii B musi być:
~p=0
~q=1
~Y=~p+~q=1


Definicja bramki „musi”=>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi”=> to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Definicja bramki „może” ~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może”~> to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Definicja operatora implikacji prostej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „musi”=>:
p=>q =1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „może”~>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0   0  1   =0
C:~p~> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =1   1  0   =1
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji prostej to obszar ABCD123:
p=>q = ~p~>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii B456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p=>q) = p*~q
stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q
Fizyczna budowa operatora implikacji prostej to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=>)
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „może”~>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p=>q = ~p~>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B musi zaświecić się dioda zielona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek konieczny ~>).
Przykładowo dla linii D789 musi być:
~p=1
~q=0
~p~>~q =1

Definicja operatora implikacji odwrotnej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „może” ~>:
p~>q =1
p~~>~q=1
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „musi”=>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =1   0  1   =1
C:~p=> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =0   1  0   =0
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej to obszar ABCD123:
p~>q = ~p=>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii D456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p~>q) = ~p*q
stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q
Fizyczna budowa operatora implikacji odwrotnej to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „może”~>)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p~>q = ~p=>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek konieczny ~>). Oczywiście cały czas musi zaświecić się dioda czerwona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0

Definicja równoważności:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) mamy w bramce „musi”=> po lewej stronie:
p=>q=1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) mamy w bramce „musi”=> po prawej stronie:
~p=>~q=1
~p~~>q=0
Kod:

             p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1  1 1  =1    0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0    0  1   =0
C:~p=> ~q=1  0 0  =1    1  1   =1
D:~p~~> q=0  0 1  =0    1  0   =0
   1    2 3  4 5   6    7  8    9

Symboliczna definicja operatora równoważności to obszar ABCD123:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=> po lewej stronie)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=> po prawej stronie)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p<=>q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B dioda musi zaświecić się na zielono.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0

Bardzo ważne doświadczenie:
Sprawdzić w laboratorium układów logicznych rzeczywiste działanie wszystkich operatorów logicznych.


8.6 Operatory jednoargumentowe w tabeli operatorów dwuargumentowych

Wśród legalnych operatorów dwuargumentowych występują cztery operatory jednoargumentowe, oczywiście tak musi być!

Operatory transmisji P i Q

Definicje operatorów transmisji P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0


Definicja operatora transmisji Y=pPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pPq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =0
0 0  =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.

Definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=pP=p
1  =1
0  =0


Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q = p*(q+~q) = p*1 = p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q

Operatory negacji NP i NQ

Definicje operatorów negacji NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1


Definicja operatora negacji Y=pNPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pNPq
1 1  =0
1 0  =0
0 1  =1
0 0  =1

Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 8:30, 02 Kwi 2013, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 11:05, 31 Mar 2013    Temat postu:

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

9.0 Obietnice i groźby

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.


9.1 Definicje obietnicy i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Znaczenie znaczków => i ~>:
W=>N - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę, z powodu że spełniłeś warunek nagrody
~W~>~N - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody lub możesz ~~> dostać nagrodę
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

Znaczenie znaczków ~> i =>:
W~>K - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany, lub możesz ~~> nie zostać ukarany.
~W=>~K - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli nie spełnisz warunku kary to na pewno => nie zostaniesz ukarany, z powodu że nie spełniłeś warunku kary
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Wyprowadzenie definicji groźby

Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta
To jest nasz pierwszy aksjomat.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność

2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność

Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N

Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N

Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K

2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K

Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna na mocy definicji


9.2 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C

C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach spójnik „może” ~> jest domyślny i z reguły jest pomijany.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.


9.3 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


9.4 Obietnica w równaniach logicznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych. Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


9.5 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


9.6 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym dla dostania czekolady i obejrzenia dobranocki.
B.
p~~>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Zakaz karania z powodu spełnienia warunku nagrody.
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=0 - tu również jest kara (~D)
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody

… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
Mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~>.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
Jeśli warunek ukarania jest spełniony to mama może wybrać dowolny z poniższych przypadków:
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=1 - to jest 100% kary
B: ~C*D =1 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=1 - tu również jest kara (~D)
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


9.7 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać karę w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


9.8 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 9.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


9.9 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


10.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).
Zdania A i B to świat totalnie zdeterminowany bo znamy z góry wartości logiczne p i q.
Dla psa mamy:
4L=1, ~4L=0
S=1, ~S=0

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1
Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego. Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Prawo Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”.

Zdanie:
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
… a jeśli Jan nie był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


10.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
11. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


10.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P+K zawiera się w zbiorze 4L*~C
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to może ~~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
P+K ~~> ~4L+C =0
p~~>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty:
Mamy:
p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
~p~>~q = ~P*~K ~> ~4L+C
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P*~K zawiera w sobie zbiór ~4L+C
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
Kod:

Definicja
Symboliczna    |p q p=>q
A: p=> q=1     |1 1  =1
B: p=>~q=0     |1 0  =0
C:~p~>~q=1     |0 0  =1
D:~p~~>q=1     |0 1  =1
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja następnika.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w następniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

P+K=> 4L*~C=1*1=1
P+K=> 4L* C=1*0=0
P+K=>~4L*~C=0*1=0
P+K=>~4L* C=0*0=0

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy następnika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd

Rozważmy na koniec prawdziwość takiego zdania:
W.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem lub wróbelkiem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K+W=>4L*~C =0 bo kontrprzykład: wróbelek
Definicja znaczka => nie spełniona bo zbiór P+K+W nie zawiera się w zbiorze 4L*~C.
Poza zbiór 4L*~C wystaje wróbelek - kontrprzykład.


10.3 Złożona implikacja odwrotna

Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu, możemy to robić wyłącznie w implikacjach bezczasowych. Oba zdania będą prawdziwe, ale nie równoważne matematycznie (pkt. 6.1).
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K
Po stronie poprzednika mamy tu prawdę powstałą z negacji fałszu (~C=1) którą możemy sunąć ale nie musimy tego robić.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
p~>q=1
Posiadanie czterech łap i brak umiejętności ćwierkania jest warunkiem koniecznym aby być psem lub kotem.
Zbiory:
(4L*~C)*(P+K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (P+K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
Obliczanie ~q:
q=P+K
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~q = ~P*~K
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~~> nie być psem i nie być kotem
4L*~C ~~> ~P*~K =1 bo słoń, koń, hipopotam ...
p~~>~q=1
Zbiór zwierząt mających cztery łapy i nie ćwierkających ma część wspólną ze zbiorem zwierząt nie będących psami i nie będących kotami (słoń, koń, hipopotam...).
Zbiory:
(4L*~C)*(~P*~K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (~P*~K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

... a jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
4L*~C ~> P+K
stąd:
~4L+C => ~P*~K
To jest prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Dowód:
p~>q = ~p=>~q
mamy:
p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
Stąd:
~p=>~q
~4L+C => ~P*~K
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => nie jest psem i nie jest kotem
~4L+C => ~P*~K =1 bo wąż, mrówka, wróbelek ...
~p=>~q=1
Brak czterech łap lub ćwierkanie jest warunkiem wystarczającym => aby nie być psem i nie być kotem.
Zbiory:
(~4L+C)*(~P*~K)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (~P*~K)=1)]i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to może ~~> być psem lub kotem
~4L+C ~~> P+K =0
~p~~>q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap lub ćwierkających jest rozłączny ze zbiorem psów lub kotów, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(~4L+C)*(P+K)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (P+K)=1)] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
B: (4L*~C) ~> (~P*~K) = D: (~4L+C) => (P+K) =0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
Kod:

Definicja       |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna     |p q p~>q
A: p~> q =1     |1 1  =1
B: p~~>~q=1     |1 0  =1
C:~p=>~q =1     |0 0  =1
D:~p~~>q =0     |0 1  =0
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w skrócie jest implikacją odwrotną

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja poprzednika.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w poprzedniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

 4L*~C=1*1=1 ~~>P+K
 4L* C=1*0=0 ~~>P+K
~4L*~C=0*1=0 ~~>P+K
~4L* C=0*0=0 ~~>P+K

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy poprzednika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


10.4 Zdania złożone typu p+(q*r)

Przykład zdania złożonego typu p+(q*r):
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) oraz nie pójdę na basen (~B) lub nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K*(~B+~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Jak zobaczymy w niedalekiej przyszłości w zdaniu typu p*(q+r) człowiek zastępuje spójnik „i”(*) spójnikiem „oraz” (lub podobnym).
1.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Jak widzimy nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że tu nie wolno wstawić spójnika „i”(*), trzeba poszukać jakiegoś zamiennika.
Możliwości mamy tu duże:
Jutro pójdę do kina „jak również” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „a także” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „po czym” na basen lub do parku
itp.

Zauważmy, że wstawienie spójnika „i”(*) zmienia totalnie sens zdania:
2.
Jutro pójdę do kina i na basen lub do parku
Y=(K*B)+P
Oczywiście zdania 1 i 2 są totalnie różne!
Wracamy do tematu ...

Zobaczmy nasze równania:
Y = K+(B*P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Y = ~[~K*(~B+~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  0   1         0  0  1   1     0            1
1 0 1  0   1         0  1  0   1     0            1
1 0 0  0   1         0  1  1   1     0            1
0 1 1  1   1         1  0  0   0     0            1
0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=K+(B*P)
Y=1 <=> K=1 lub (B=1 i P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K * (~B+~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K * (~B+~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K*(~B+~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K*(~B+~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K+(B*P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K* ~B*~P + ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
lub
K*~B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i nie do parku (~P=1)
lub
~K*B*P=1*1*1=1 - nie do kina (~K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
A: 0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
B: 0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
C: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABC678 i kolumny wynikowej ABC10
~Y = ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


10.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

Przykład zdania złożonego typu p*(q+r):
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K+(~B*~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę na basen (~B) i nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K+(~B*~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).

Zobaczmy nasze równania:
Y = K*(B+P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Y = ~[~K+(~B*~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  1   1         0  0  1   0     0            1
1 0 1  1   1         0  1  0   0     0            1
1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) oraz na basen (B=1) lub do parku (P=1)
Y=K*(B+P)
Y=1 <=> K=1 i (B=1 lub P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K + (~B*~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K + (~B*~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K+(~B*~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K+(~B*~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)]

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K*(B+P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
A: 1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
B: 0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
C: 0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
D: 0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
E: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABCDE678 i kolumny wynikowej ABCDE10
~Y = K*~B*~P + ~K*B*P + ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P

W czasie pisania algebry Kubusia przydarzyła się rzecz niezwykła, w ciągu pięciu dni Wielkanocnych roku 2013 dokonało się tak wiele istotnych przełomów, jak nigdy w historii - oczywiście narodziła się nowa AK.

Raj, 2013-04-01


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 20:12, 01 Kwi 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 10:15, 01 Kwi 2013    Temat postu:

Część IV
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Wstęp:
Każda nowa idea potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania. Z algebrą Kubusia jest ten kłopot że nie jest w stanie nikogo zaskoczyć, bowiem algebrę Kubusia doskonale znają wszyscy ludzie na Ziemi od 5-cio latka po profesora. Myślę, że nowe definicje czworokątów w algebrze Kubusia w 100% jednoznaczne, oraz prawa matematyczne zachodzące pomiędzy tymi definicjami to piękny przykład realnego zastosowania algebry Kubusia, który mam nadzieję przekona wielu matematyków.


Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów
3.1 Grupa trapezów
3.2 Grupa równoległoboków
3.3 Grupa prostokątów
3.4 Grupa rombów

4.0 Grupa deltoidów
5.0 Twierdzenie prostokątów
6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów

7.0 Dowód poprawności definicji operatora i prawa Sowy w AK
8.0 Beznadziejna logika Ziemian w definiowaniu czworokątów
9.0 Kwadratura koła dla Ziemskich matematyków


1.0 Notacja

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Komentarz:
Logika matematyczna naszego Wszechświata jest jedna. Nie może być tak że do obsługi matematycznej zbiorów w matematyce obowiązuje logika X, a poza matematyką zbiory obsługiwane są logiką Y.

Podejrzyjmy zatem jak zbiory obsługują eksperci algebry Kubusia, humaniści i 5-cio latki … bo nie ma nic prostszego pod słońcem.

Dziedzina: Zbiór zwierząt
Kryterium tworzenia zbiorów: Ilość nóg

Zwierzęta dzielimy na zwierzęta bez nóg (wąż..), z dwiema nogami (kura ..), z czterema nogami (pies, kot ..) i pozostałe (np. mrówka)

Zwierzęta z czterema łapami to:
pies, kot, słoń i pozostałe
Implikacja prosta:
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S =>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy
Każdy kot zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy kot ma cztery łapy

Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem, kotem lub słoniem
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie ~> zbiór P+K+L
4L~>P+K+S

Zbiór psów, zbiór kotów i zbiór słoni to zbiory rozłączne.
Pies nie jest podzbiorem kota, ani odwrotnie.
Pies nie jest szczególnym przypadkiem kota ani odwrotnie.
Nie istnieje zwierzę pieso-kot, które by było jednocześnie psem i kotem.

Identycznie mamy w matematyce, co za chwilę zobaczymy.


2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia



Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Grupa czworokątów:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez + deltoid + pozostałe czworokąty
gdzie:
Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków

Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR
W logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany kwadrat którego nie sposób pomylić z innym czworokątem. Możemy go zatem łatwo użyć do utworzenia ścisłej definicji prostokąta i rombu.

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR

Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1

Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR


3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów

Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Ziemska definicja równoległoboku to definicja GRUPY równoległoboków a nie konkretnego, tego jedynego w swoim rodzaju równoległoboku o definicji INNEJ niż pozostałych równoległoboków.

Powinno być!
GRUPA równoległoboków
Grupa równoległoboków to czworokąty w których przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Definicja GRUPY równoległoboków w równaniu algebry Boole’a:
GR = ROWNOLEGŁOBOK + kwadrat + prostokąt + romb
GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Definicja równoległoboku (tego jedynego o definicji INNEJ niż pozostałe czworokąty):
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, nie mający kątów prostych i nie mający boków równych
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR

Oczywiście równanie algebry Boole’a opisujące grupę równoległoboków mamy prawo zminimalizować.

Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zminimalizować funkcję logiczną opisującą grupę równoległoboków

GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Podstawmy:
r = PBPRiR
p=KR
q=BR
stąd nasze równanie przybiera postać:
GR = r*~p*~q + p*q +p*~q +~p*q
GR = r*~p*~q + p*(q+~q) + ~p*q
Zastosowane prawo algebry Boole’a: wyciągnięcie zmiennej przed nawias
GR = r*~p*~q + p + ~p*q
Użyte prawa:
q+~q=1
p*1=p
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników. Oczywiście możemy to prawo stosować lokalnie, co wyjaśni dalsze działanie Kubusia o bardzo małym rozumku.
W powyższym równaniu zajmiemy się na razie dwoma ostatnimi wyrażeniami.
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*(p+~q)]
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*p+~p*~q]
Prawo: mnożenie zmiennej przez wielomian
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*~q]
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
p+0=p
… a teraz to sobie ruszymy ten pierwszy człon.
~GR = [~r+p+q]*[~p*~q]
… i mnożymy zmienną ~p*~q przez wielomian.
~GR = ~r*~p*~q + p*~p*~q + q*~p*~q
~GR = ~r*~p*~q
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
0*p=0
0+x=x
Przechodzimy do logiki przeciwnej:
GR = r + p + q

Przywracając znaczenie zmiennych:
GR = PPBRiR + KR + BR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
GR = PBPRiR + KR + BR
Matematycznie to równanie oznacza:
GR=1 <=> PBPRiR=1 lub KR=1 lub BR=1
1.
Losujemy dowolny czworokąt: równoległobok
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
Stwierdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Dalszych zmiennych nie musimy sprawdzać!
Równoległobok (ten konkretny, jedyny w swoim rodzaju!) należy do grupy równoległoboków
2.
Losujemy: kwadrat lub prostokąt
Stwierdzamy:
KR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i prostokąt należy do grupy równoległoboków!
3.
Losujemy: romb lub kwadrat
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i romb należy do grupy równoległoboków!
4.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=1
Trapez należy do grupy równoległoboków?!
Czy trapez ma przeciwległe boki parami równe i równoległe?

W ostatnim przypadku od razu wyszła tragiczna definicja trapezu w logice Ziemian.
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Poprawna definicja trapezu rozumiana jako ten JEDYNY w swoim rodzaju czworokąt różny od innych czworokątów musi być taka.

Algebra Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma DOKŁADNIE jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych

Dopiero przy tej definicji nasza matematyczna definicja grupy równoległoboków jest GENIALNA!

Powtórzmy punkt 4.
4A.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=0
Czyli:
Wszystkie boki równe = 0

Ziemska definicja trapezu tego nie wyklucza, czyli wedle Ziemian trapez może być:
kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem

Ziemska definicja trapezu:

[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Jak widzimy, jak bumerang wraca tu koszmar ziemskich matematyków.

Trapez to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez

Czyli:
Trapez to trapez

Oczywiście chodzi tu o grupę trapezów!

Grupa trapezów to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez

Zapis grupy trapezów w równaniu algebry Boole’a:
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
czyli:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBRiNR*~KR*~BR

Do definicji trapezu z AK dokładamy człon: ~KR*~BR
oczywiście to jest człon nieszkodliwy bo dla trapezu zachodzi:
~KR=1
~BR=1
Wolno nam!
stąd końcowe równanie grupy trapezów jest takie:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + (PBPRiR + JPBRiNR)*~KR*~BR

Jest oczywistością że po minimalizacji równanie logiczne dla GRUPY trapezów przyjmie postać!
GT = PBPRiR + KR + BR + JPBRiNR
czyli:
GT = GRUPA równoległoboków + trapez (ten konkretny trapez= JPBRiNR!)

5.
Losujemy: równoległobok
Sprawdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Równoległobok należy do grupy trapezów!
6.
Losujemy: trapez
Sprawdzamy:
JPBRiNR=1
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Trapez (ten konkretny trapez!) należy do grupy trapezów!

Czyż algebra Kubusia nie jest genialna?

Oczywiście nie Kubuś jest jej autorem bo … algebra Kubusia działała już w chwili Wielkiego Wybuchu!

Twierdzenie:
Autorem żadnego z praw fizyczno- matematycznych nie jest człowiek, człowiek to tylko odkrywca.

Czy człowiek mógłby odkryć jakiekolwiek prawo fizyczno-matematyczne gdyby nie działało ono od zawsze?
… czyli od wystarczająco długiego okresu.

Czy możliwy byłby Internet bez praw fizycznych działających od zawsze?


3.1 Grupa trapezów

I.
Grupa trapezów:

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Definicja grupy trapezów: JPBR
JPBR - jedna para boków równoległych
Grupa trapezów to:
GT = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące trapezami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest trapezem ( w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy trapez (ten konkretny: JPBR*~KR*~BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
itd.

Równanie logiczne dla grupy trapezów po minimalizacji przyjmuje postać:
GT = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) + JPBR (trapez)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Trapez (grupa trapezów):
JPBR - przynajmniej jedna para boków równoległych (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez)

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy trapezów użyliśmy liczby pojedynczej (trapez) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę trapezów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Podobnie mamy z prostokątem, rombem i równoległobokiem.

Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Prostokąt jest trapezem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
2.
Trapez jest trapezem
Trapez (ten jednoznacznie zdefiniowany: JPBR*~KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
itd
Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych to wszystko jest w porządku.

Mamy tu przypadek identyczny jak w implikacji:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
To też jest powszechnie używany skrót myślowy który matematycznie oznacza:
B.
/\x P8(x)=>P2(x)
Dla dowolnej liczby naturalnej x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 to na pewno => liczba x jest podzielna przez 2
Matematycznie zdania A i B są tożsame.


3.2 Grupa równoległoboków

II.
Grupa równoległoboków:

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe
Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Grupa równoległoboków to:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące równoległobokami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem ( w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten konkretny: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
itd

Równanie logiczne dla grupy równoległoboków po minimalizacji przyjmuje postać:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)

Matematycznie zachodzi.
Implikacja prosta:
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) to na pewno => zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR => PBPRiR

Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)

Implikacja odwrotna:
Jeśli czworokąt jest równoległobokiem (PBPRiR) może [~>] być kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR)

Oczywiście zbiory równoległoboków ściśle zdefiniowanych są rozłączne:
Kwadrat ## prostokąt ## romb ## równoległobok
KR*BR ## KR*~BR ## ~KR*BR ## PBPRiR*~KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykładowy dowód dla kwadratu i prostokąta:
Badamy czy istnieje część wspólna kwadratu (KR*BR) i prostokąta (KR*~BR)
Część wspólna = kwadrat * prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej kwadratu i prostokąta jest dowodem iż te czworokąty są rozłączne.
Identycznie dowodzimy rozłączność wszystkich pozostałych równoległoboków.

Wynika z tego że:
Zbiór kwadratów (KR*BR) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (KR*~BR)
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być prostokątem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) i odwrotnie.
itd.


3.3 Grupa prostokątów

III.
Grupa prostokątów

Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Definicja alternatywna:
Prostokąt to czworokąt o wszystkich kątach równych
Cechy charakterystyczne:
Wszystkie kąty proste
Definicja grupy prostokątów:
GP=KR
Grupa prostokątów to:
GP = kwadrat + prostokąt
GP = KR*BR + KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące prostokątami (należące do grupy prostokątów).
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt to czworokąt o kątach równych i nie równych bokach
Prostokąt = KR*~BR

Równanie logiczne opisujące grupę prostokątów po minimalizacji to:
GP=KR
Dowód:
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 = KR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy prostokątów użyliśmy liczby pojedynczej (prostokąt) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę prostokątów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.

Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)
Każdy prostokąt (ten ściśle zdefiniowany: KR*~BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)

Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Każdy kwadrat jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
2.
Każdy prostokąt jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
3.
Dopuszczalne jest także stwierdzenie (choć to jest bardzo naciągane):
Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)

Nigdy nie może być!
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) jest podzbiorem prostokąta (tego jednoznacznie zdefiniowanego: KR*~BR)
bo to są zbiory rozłączne!
Dowód:
badamy czy istnieje część wspólna tych zbiorów:
Kwadrat* prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
bo prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej jest dowodem rozłączności ściśle zdefiniowanych czworokątów: kwadratu i prostokąta

Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych jak wyżej to wszystko jest w porządku.


3.4 Grupa rombów

IV.
Grupa rombów

Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Cechy charakterystyczne:
Boki równe, przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja grupy rombów:
GR=BR
Grupa rombów to:
GR = kwadrat, romb
GR = KR*BR + ~KR*BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty należące do grupy rombów.
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Romb to czworokąt o kątach nie równych i równych bokach
Romb = ~KR*BR

Równanie logiczne opisujące grupę rombów po minimalizacji to:
GR=BR
Dowód:
GR = kwadrat + romb = KR*BR + ~KR*BR = BR*(KR+~KR) = BR*1 = BR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy rombów użyliśmy liczby pojedynczej (romb) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę rombów (więcej niż jeden czworokąt), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.

Każdy kwadrat (KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)
Każdy romb (ten ściśle zdefiniowany: ~KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)

Oczywiście zbiory kwadratów (KR*BR) i rombów (~KR*BR) są rozłączne
czyli:
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być rombem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem rombu (~KR*BR).
Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) nie jest też szczególnym przypadkiem równoległoboku ściśle zdefiniowanego (PBPRiR*~KR*~BR)
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Dowód:
Badamy czy istnieje cześć wspólna:
ROMB*równoległobok = (~KR*BR)*(PBPRiR*~KR*~BR) = 0
bo prawo algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0
cnd

Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) zawiera się w grupie równoległoboków o definicji.
Grupa równoległoboków:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Po minimalizacji:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)

Możemy zatem powiedzieć że:
Każdy romb (~KR*BR) zawiera się w grupie (zbiorze) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W skrócie:
Każdy romb (~KR*BR) jest równoległobokiem (o definicji: KR+BR+PBPRiR)

Zauważmy także że:
1.
Grupa rombów (o definicji: BR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy romb (BR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)
2.
Grupa prostokątów (o definicji: KR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy prostokąt (KR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)


4.0 Grupa deltoidów

[link widoczny dla zalogowanych]
Cytat:

Deltoid – czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Oś ta jest wówczas symetralną drugiej przekątnej. W takim czworokącie pewne dwa sąsiednie boki mają równą długość „a”, a pozostałe dwa boki mają także równą długość “b”.
Niektórzy autorzy żądają też, aby deltoid był wypukły. Według niektórych, np. Jana Zydlera[1] deltoid dodatkowo nie może mieć wszystkich boków równych[2]. Większość źródeł nie tworzy jednak takich wyjątków i uważa romb za szczególny przypadek deltoidu[3].
W deltoidzie kąty między bokami różnej długości są równe. Każdy deltoid wypukły jest sumą (mnogościową) dwóch trójkątów równoramiennych

[link widoczny dla zalogowanych]
Cytat:
Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe.

Jak widać wyżej minęło 2500 lat a Ziemianie nie mogą ustalić jednoznacznych definicji banalnych czworokątów …
Jest absolutną oczywistością że czerwone definicje przedstawione wyżej to są dwie różne definicje. Definicja z Wikipedii dotyczy grupy czworokątów zwanych deltoidami (więcej niż jeden), natomiast definicja z math.edu.pl to hiper precyzyjna definicja deltoidu (definicja ścisła) którego nie można pomylić ani z kwadratem, ani z rombem (czy też dowolnym innym czworokątem!).
Czyli:
1.
Jaś poproszony o narysowanie deltoidu o definicji z Wikpedii może sobie rzucać kostką i narysować cokolwiek: kwadrat, romb albo deltoid w ścisłym tego słowa znaczeniu jak w definicji z math.edu.pl.
Ta matematyka nie jest jednoznaczna!
2.
W myśl definicji z math.edu.pl Jaś poproszony o narysowanie deltoidu musi narysować deltoid zdefiniowany ściśle w tej definicji, czyli czworokąt różny od kwadratu, różny od rombu, różny od jakiegokolwiek innego czworokąta zdefiniowanego ściśle.
Ta matematyka jest jednoznaczna!

Definicja z math.edu.pl genialna!
To jedyna definicja ścisła (obok kwadratu) definiująca pewien czworokąt (deltoid) pozwalająca go odróżnić od jakichkolwiek innych czworokątów.

Zauważmy że:
„Żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe” eliminuje wszelkie trapezy czyli eliminuje:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Dwie sąsiednie pary boków równych wymuszają przecięcie się przekątnych pod kątem prostym!

Zdefiniujmy grupę deltoidów.

Definicja grupy deltoidów:
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym.
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja tożsama grupy deltoidów to definicja z Wikipedii:
Deltoid to czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.
Definicja tożsama grupy deltoidów z math.edu.pl:
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych

Oczywiście do tak zdefiniowanej grupy czworokątów należeć będą ściśle (czyli jednoznacznie) zdefiniowane czworokąty:
kwadrat (KR*BR), romb (~KR*BR) i deltoid (PKP*~KR*~BR)

Ścisłe definicje czworokątów:
1.
Kwadrat to czworokąt mający kąty równe i boki równe
Kwadrat=KR*BR
2.
Romb to czworokąt nie mający kątów równych ale mający boki równe
Romb=~KR*BR
3.
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR
gdzie:
KR - wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boi równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym

Grupa deltoidów:
GD = kwadrat + romb + deltoid (o definicji ścisłej!)
GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR
Podstawiamy:
p=KR
q=BR
r=PKP
GD = p*q + ~p*q + r*~p*~q
GD = q*(p+~p) + r*~p*~q
Prawo algebry Boole’a:
Wyciągnięcie zmiennej q przed nawias
GD = q +( r*~p*~q)
Prawa algebry Boole’a:
p+~p=1
q*1=q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~GD = ~q*(~r+p+q)
~GD = ~q*~r + ~q*p + ~q*q
Mnożenie zmiennej ~q przez wielomian
~GD = ~q*~r + ~q*p
Prawo algebry Boole’a:
~q*q =0
0+x = x
~GD = ~q*(~r+p)
Wyciągnięcie zmiennej ~q przed wielomian
Przechodzimy do logiki przeciwnej
GD = q+(r*~p) = r*~p + q
Przywracamy znaczenie zmiennych w oryginale
GD = PKP*~KR + BR

stąd:
Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji:
GD = PKP*~KR + BR
co matematycznie oznacza:
GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1

Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
A.
Losujemy:
kwadrat lub romb
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać.
Kwadrat (KR*BR) i romb (~KR*BR) należą do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
B.
Losujemy:
Deltoid
Stwierdzamy:
(PKP*~KR)=1*1=1
STOP!
Deltoid w ścisłym (PKP*~KR*~BR) znaczeniu należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)

Wszelkie inne czworokąty ściśle zdefiniowane nie mają prawa należeć do grupy deltoidów i nie należą do grupy deltoidów.

Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji:
GD = PKP*~KR + BR
co matematycznie oznacza:
GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1
C.
Losujemy:
Prostokąt (KR*~BR)
Stwierdzamy:
PKP*~KR = 0*0=0
Drugi człon definicji grupy deltoidów:
BR=0 - prostokąt nie ma wszystkich boków równych

Wniosek:
Prostokąt (KR*~BR) nie należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
GD = (PKP*~KR)=(0*0)=0 lub BR=0
GD=0
itd.

Podsumowanie:
Poprawne matematycznie są stwierdzenia:
Kwadrat (KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)!

Podobnie:
Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)!

Logika naszego Wszechświata jest jedna czyli identyczna logika musi obowiązywać zarówno w świecie humanistów i 5-cio Latków jak i w matematyce.

Weźmy zbiory obsługiwane logiką 5-cio Latków:
A.
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S => 4L
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałką wektora =>.
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami

Sensowne jest mówienie że:
Pies należy do zbioru zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy

Bezsensem jest twierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem czterech łap
Pies jest szczególnym przypadkiem grupy zwierząt z czterema łapami
itp.

IDENTYCZNIE mamy w matematyce!
Sensowne jest mówienie że:
Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
deltoid = grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (deltoid=PKP*~KR*~BR)!

Bezsensem jest twierdzenie iż:
1.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem deltoidu (tego zdefiniowanego ściśle: PKP*~KR*~BR)
Ten przypadek w świecie zwierzaków wyżej to stwierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem słonia!
… czyli bezsens absolutny.
2.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
itp.


5.0 Twierdzenie prostokątów

Twierdzenie prostokątów:
Jeśli czworokąt jest prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
PR=>GP
Implikacja prosta:
PR=>GP = ~PR~>~GP

Twierdzenie odwrotne prostokątów:
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR
Implikacja odwrotna:
GP~>PR = ~GP=>~PR

Dowód:

Ścisłe definicje kwadratu i prostokąta:

Kwadrat to czworokąt o równych kątach i równych bokach
KW=KR*BR
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=KR*~BR - kąty równe i boki nie równe

Zauważmy, że dopiero z precyzyjnych definicji kwadratu i prostokąta możemy wyprowadzić równanie opisujące grupę prostokątów.

GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Prawa algebry Boole’a:
wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Grupa prostokątów o definicji:
GP=KR
to dwa ściśle zdefiniowane czworokąty:
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt = KR*~BR

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje zatem żadnego konkretnego czworokąta!
cnd

Zobaczmy to wszystko na diagramie:


Twierdzenie:
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
KW+PR=>GP =1 bo kwadrat + prostokąt
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zarówno kwadrat jak i prostokąt zawiera się grupie prostokątów
Zbiory:
KW+PR=GD
(KW+PR)*GD =1*1=1
Oba zbiory istnieją (KW+PR=1 i GD=1) i mają część wspólną (są tożsame), co wymusza w wyniku 1
Tożsamość zbiorów (KW+PR) i GP wymusza równoważność, ale załóżmy, że o tym nie wiemy.
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to może ~~> nie należeć do grupy prostokątów
KW+PR~~>~GP=0
Zbiory:
(KW+PR)*~GP =1*1=0
Oba zbiory istnieją (KW+PR=1 i ~GP=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem?
Negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy spójniki
~KW*~PR ~>~GP
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
stąd mamy:
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR ~>~GP=1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0

STOP!
Zdanie D jest dowodem iż zdanie C spełnia warunek wystarczający =>, nie ma tu miejsca na warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą” charakterystyczne dla implikacji.
Zdania C i D muszą zatem brzmieć.
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to na pewno => nie należy do grupy prostokątów
~KW*~PR =>~GP=1 bo deltoid, romb, równoległobok, trapez
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~KW*~PR zawiera się w zbiorze ~GP, co jest oczywistością z powodu tożsamości tych zbiorów
Zbiory:
(~KW*~PR)*~GP = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~KW*~PR)=1 i ~GP=1) i mają część wspólną (są tożsame), co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0
Zbiory:
(~KW*~PR)*GP = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~KW*~PR=1 i GP=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Całość to oczywiście równoważność.
AR.
Grupa prostokątów wtedy i tylko wtedy gdy czworokąt jest kwadratem lub prostokątem
GP<=>KW+PR
Na tej podstawie możemy użyć tu znaku tożsamości:
GP=KW+PR

Rozważmy teraz zdanie:
A.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to należy do grupy prostokątów
PR=>GP=1
Definicja znaczka => spełniona bo:
Prostokąt zawiera się w grupie prostokątów
Dodatkowo zbiór PR nie jest tożsamy ze zbiorem GP co wymusza implikację prostą o definicji:
PR=>GP = ~PR~>~GP - definicja implikacji prostej
Zbiory:
PR*GP =PR
PR*GP=1*1=1
Oba zbiory istnieją (PR=1 i GP=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~~> nie zawierać się w grupie prostokątów
PR~~>~GP=0
Zbiory:
PR*GP=1*1=1
Oba zbiory istnieją (PR=1 i ~GP=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
… a jeśli czworokąt nie jest prostokątem?
Prawo Kubusia na skróty, czyli w równaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~PR~>~GP
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~PR~>~GP=1 bo deltoid
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~PR zawiera w sobie zbiór ~GP
Dodatkowo zbiór ~PR nie jest tożsamy ze zbiorem ~GP co wymusza implikację odwrotną:
~PR~>~GP = PR=>GP - definicja implikacji odwrotnej
Zbiory:
~PR*~GP=~GP
~PR*~GP=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~PR=1 i ~GP=1) i mają cześć wspólną (~GP), co wymusza w wyniku 1
lub
D.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~~> należeć do grupy prostokątów
~PR~~>GP=1 bo kwadrat
Zbiory:
~PR*GP=KW
~PR*GP=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~PR=1 i GP=1) i mają część wspólną (KW), co wymusza w wyniku 1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy dero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: PR=>GP
PR=1, ~PR=0
GP=1, ~GP=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~PR~>~GP
~PR=1, PR=0
~GP=1, GP=0
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie
                  |zero-jedynkowe
                  | PR GP PR=>GP  |~PR ~GP ~PR~>~GP
A: PR=> GP =1     |  1  1   =1    |  0   0   =1
B: PR~~>~GP=0     |  1  0   =0    |  0   1   =0
C:~PR~>~GP =1     |  0  0   =1    |  1   1   =1
D:~PR~~>GP =1     |  0  1   =1    |  1   0   =1
    1    2  3        4  5    6       7   8    9

Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający => o definicji wyłącznie w A i B.
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
PR=>GP = ~PR~>~GP
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q


Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).

Rozważmy implikacje odwrotną do zdania A wyżej.

Implikacja odwrotna:
A.
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR =1 bo prostokąt
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór GP zawiera w sobie zbiór PR
Dodatkowo zbiór GP nie jest tożsamy ze zbiorem PR co wymusza implikacje odwrotną o definicji:
GP~>PR = ~GP=>~PR
Zbiory:
GP*PR = PR
GP*PR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (GP=1 i PR=1) i mają część wspólną (PR), co wymusza w wyniku 1
lub
B.
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~~> nie być prostokątem
GP~~>~PR=1 bo kwadrat
Zbiory:
GP*~PR=KW
GP*~PR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (GP=1 i ~PR=1) i mają część wspólną (KW), co wymusza w wyniku 1

… a jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów?
Prawo Kubusia:
GP~>PR = ~GP=>~PR
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to na pewno => nie jest prostokątem
~GP=>~PR=1 bo romb, równoległobok, trapez, deltoid
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~GP zawiera się w zbiorze ~PR
Dodatkowo zbiór ~GP nie jest tożsamy ze zbiorem ~PR co wymusza implikację prostą o definicji:
~GP=>~PR = GP~>PR
Zbiory:
~GP*~PR = ~GP
~GP*~PR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~GP=1 i ~PR=1) i mają część wspólną (~GP) co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to może ~~> być prostokątem
~GP~~>PR =0
Zbiory:
~GP*PR = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~GP=1 i PR=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej:
A: GP~>PR
GP=1, ~GP=0
PR=1, ~PR=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~GP=>~PR
~GP=1, GP=0
~PR=1, PR=0
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie
                  |zero-jedynkowe
                  | GP PR GP~>PR  |~GP ~PR ~GP=>~PR
A: GP~> PR =1     |  1  1   =1    |  0   0    =1
B: GP~~>~PR=1     |  1  0   =1    |  0   1    =1
C:~GP=>~PR =1     |  0  0   =1    |  1   1    =1
D:~GP~~>PR =0     |  0  1   =0    |  1   0    =0
    1    2  3        4  5    6       7   8     9

Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek konieczny ~> o definicji :
GP~>PR = ~GP=>~PR
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
GP~>PR = ~GP=>~PR
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q


6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów

Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR

Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1

Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR

W poprzednim punkcie omówiliśmy równoważnościową definicję grupy prostokątów.

I.
Grupa prostokątów
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
GP = KW + PR
GP = KR*BR+ KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór, KW lub PR to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Otrzymamy wówczas.
Implikację prostą:
KW=>GP = ~KW~>~GP
albo
Implikację odwrotną:
GP~>KW = ~GP=>~KW
Szczegółowe omówienie problemu przedstawione zostało w poprzednim punkcie.

Identycznie mamy z pozostałymi grupami czworokątów.

II.
Grupa rombów
Grupa rombów = kwadrat + romb
GRombów = KR*BR + ~KR*BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór, KW lub ROMB to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Otrzymamy wówczas.
Implikację prostą:
KW=>GRombów = ~KW~>~Grombów
albo
Implikację odwrotną:
GRombów~>KW = ~GRombów=>~KW

III.
Grupa równoległoboków
GR = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+PR => GR = ~KW*~PR~>~GR
Definicja implikacji odwrotnej:
GR~>KW+PR = ~GR=>~KW*~PR

IV.
Grupa trapezów
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + PKP*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+TRAPEZ => GT = ~KW*~TRAPEZ~>~GR
Definicja implikacji odwrotnej:
GT~>KW+TRAPEZ = ~GT=>~KW*~TRAPEZ

V.
Grupa deltoidów
GD = kwadrat + romb + deltoid
GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+DELTOID => GD = ~KW*~DELTOID~>~GD
Definicja implikacji odwrotnej:
GD~>KW+DELTOID = ~GD=>~KW*~DELTOID


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 12:24, 01 Kwi 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 10:21, 01 Kwi 2013    Temat postu:

7.0 Dowód poprawności definicji operatora i prawa Sowy w AK

W tym punkcie udowodnimy na przykładzie definicji czworokątów poprawność definicji operatora logicznego i prawa Sowy w algebrze Kubusia.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Grupa czworokątów:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez + deltoid + pozostałe czworokąty
gdzie:
Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków

Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR

Prostokąt
Prostokąt to czworokąt o kątach równych o nie równych bokach
PR =KR*~BR

Romb
Romb to czworokąt o nie równych kątach i równych bokach
ROMB = ~KR*BR

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1

Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Rozważmy twierdzenie:
AR.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe i boki równe
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>~(KR*BR)] = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
bo prawo De Morgana:
~(p*q) = ~p+~q
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
~KW<=>~(KR*BR)
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Zbiory tożsame: KW = KR*BR
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: (KR=1)*( BR=1) =>1*1=1

Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: (KR=1)*( BR=0) => 1*0=0
ROMB: (KR=0)*( BR=1)=>0*1=0
INNE: (KR=0)*(BR=0) =>0*0 =0

B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: (~KR=0)+(~BR=0) =>0+0=0
Zbiór kwadratów nie mających kątów równych (~KR) jest zbiorem pustym, stąd ~KR=0
Zbiór kwadratów nie mających boków równych (~BR) jest zbiorem pustym, stąd ~BR=0

Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: (~KR=0)+(~BR=1) =>0+1=1
ROMB: (~KR=1)+(~BR=0) => 1+0=1
INNE: (~KR=1)+(~BR=1) =>1+1=1


… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: (~KR=0)+(~BR=1) =>0+1 =1
ROMB: (~KR=1)+(~BR=0) => 1+0 =1
INNE: (~KR=1)+(~BR=1) =>1+1=1
Zbiór prostokątów nie mających kątów równych (~KR) jest zbiorem pustym, stąd ~KR=0
Zbiór prostokątów nie mających boków równych (~BR) jest zbiorem niepustym, stąd ~BR=1
Zbiór rombów nie mających kątów równych (~KR) jest zbiorem niepustym, stąd ~KR=1
Zbiór rombów nie mających boków równych (~BR) jest zbiorem pustym, stąd ~BR=0
itd.

Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: (~KR=0)+(~BR=0) =>0+0=0

D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: (KR=1)*(BR=0) => 1*0 =0
ROMB: (KR=0)*(BR=1) => 0*1=0
INNE: (KR=0)*(BR=0) => 0*0 =0

Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: (KR=1)*(BR=1) =>1*1=1


Obszary fioletowe wykopujemy w kosmos bo są niezgodne z poprzednikiem i nie mają wpływu na wartość logiczną danego zdania.

Zróbmy to!

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Zbiory tożsame: KW = KR*BR
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: (KR=1)*( BR=1) =>1*1=1

B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: (~KR=0)+(~BR=0) =>0+0=0


… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: (~KR=0)+(~BR=1) =>0+1 =1
ROMB: (~KR=1)+(~BR=0) => 1+0 =1
INNE: (~KR=1)+(~BR=1) =>1+1=1

D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: (KR=1)*(BR=0) => 1*0 =0
ROMB: (KR=0)*(BR=1) => 0*1=0
INNE: (KR=0)*(BR=0) => 0*0 =0


Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
KW<=>KR*BR
KW=1, ~KW=0
KR*BR=1, (~KR+~BR)=0
Kod:

Zapis
Symboliczny         | KW KR*BR KW<=>KR*BR=(KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
A: KW=> (KR*BR)  =1 |  1   1      =1
B: KW~~>(~KR+~BR)=0 |  1   0      =0
C:~KW=> (~KR+~BR)=1 |  0   0      =1
D:~KW~~>(KR*BR)  =0 |  0   1      =0

cnd

Wnioski z powyższej analizy są druzgocące dla Klasycznego Rachunku Zdań:
1.
W dowolnym zdaniu wyżej iterujemy wyłącznie po obiektach zdefiniowanych w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”, bo wyłącznie to iterowanie decyduje o prawdziwości/fałszywości danego zdania, reszta jest bez znaczenia, to tylko bicie piany.
2.
Dowolny czworokąt rozpoznajemy po jego definicji ścisłej, w naszym przypadku badając parametry: KR, BR.
3.
Algebra Kubusia jest w 100% jednoznaczna tzn. uczeń poproszony o narysowanie czworokąta X nie ma najmniejszych szans, aby narysować cokolwiek innego.
4.
Prawo Sowy działa doskonale, bo obojętne jaki czworokąt wylosujemy, (kwadrat albo nie kwadrat) to dla konkretnego czworokąta prawdziwe może być wyłącznie zdanie A albo C, pozostałe zdania będą fałszywe, bo konkretny, wylosowany czworokąt nie należy do zbioru opisanego pozostałymi zdaniami.
5.
W Klasycznym Rachunku Zdań zachodzi matematyczna tożsamość:
Prostokąt (KRZ) = Grupa prostokątów (algebra Kubusia).

Oczywiście w przypadku KRZ (logika Ziemian) mamy tu definicję implikacyjną prostokąta, nadającą się doskonale na … papier toaletowy.

To jest dokładnie to samo jakby podać następujące definicje słonia i nosorożca:
Słoń ma cztery nogi, jest wielki, szary, i żyje w Afryce
Nosorożec ma cztery nogi, jest wielki, szary, i żyje w Afryce
Jest oczywistym, że nie odróżnimy słonia od nosorożca definiując cechy wspólne tych zwierząt.

Prawo Kreta
Aby odróżnić obiekt A od obiektu B wystarczy znaleźć jedną cechę która występuje w A i nie występuje w B.

Dowód:
Niech x oznacza dowolną ilość cech wspólnych obiektów A i B
Niech cecha y należy do obiektu A, a cecha ~y należy do obiektu B
Definicja ścisła obiektu A:
A = x*y
Definicja ścisła obiektu B:
B = x*~y
Badamy czy obiekty A i B są rozłączne, czyli badamy iloczyn logiczny tych obiektów:
A*B = x*y + x*~y = x*(y*~y) = x*0 =0
Prawa algebry Boole’a:
Wyciągnięcie x przed nawias
y*~Y=0
x*0 =0
Brak wspólnej części A i B oznacza, że te obiekty są rozpoznawalne.

Na poziomie genów kobieta od mężczyzny różni się zaledwie w 0,2-0,5%.
… no i co z tego ma wynikać?
Czy jakiś 5-cio latek będzie miał problemy w odróżnieniu mamy od taty?

Jaka jest różnica % między kwadratem a prostokątem?
Na pewno nie zerowa, zatem w matematyce nic co jest kwadratem nie ma prawa być prostokątem i odwrotnie.

Ponieważ matematycznie zachodzi:
Prostokąt (KRZ) = Grupa prostokątów (algebra Kubusia).

Przeanalizujmy następująca implikację rodem z beznadziei zwanej KRZ:
KRZ.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => jest prostokątem

Dokładnie to samo zdanie w algebrze Kubusia brzmi:
AK.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => należy do grupy prostokątów
KW=>GP
Ponieważ matematycznie zachodzi:
GP=KR
Nasze końcowe zdanie przybiera postać:
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe
KW=>KR

Dowód:
Definicja grupy prostokątów w AK to suma logiczna definicji ścisłych kwadratu i prostokąta rodem z algebry Kubusia.
GP = KW+PR = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciągnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p
stąd:
Definicja minimalna grupy prostokątów w algebrze Kubusia brzmi zatem:
GP=KR

To jest matematyczny dowód zachodzenia tożsamości:
Prostokąt (KRZ) = Grupa prostokątów (algebra Kubusia)
bo!
Ziemska definicja prostokąta:
[link widoczny dla zalogowanych]
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
PR=KR



Analiza matematyczna naszej implikacji prostej przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe
KW=>KR=1 bo kwadrat
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo kwadrat zawiera się w zbiorze czworokątów mających kąty równe
Dodatkowo zbiory KW i KR nie są tożsame co wymusza implikację prostą.
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=>KR=1
Zbiory:
KW*KR=KW
KW*KR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (KW=1 i KR=1) i mają część wspólną (KW) co wymusza w wyniku 1

B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych
KW~~>~KR=0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW~~> ~KR=0
Zbiory:
KW*~KR=1*1=0
Oba zbiory istnieją (KW=1 i ~KR=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0


… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
Prawo Kubusia:
KW=>KR = ~KW~>~KR
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> nie mieć kątów równych
~KW~>~KR=1 bo romb, równoległobok, trapez, deltoid
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~KW zawiera w sobie zbiór ~KR
Dodatkowo zbiory ~KW i ~KR nie są tożsame, co wymusza implikację odwrotną o definicji:
~KW~>~KR = KW=>KR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
Zbiory:
~KW*~KR=~KR
~KW*~KR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~KW=1 i ~KR=1) i mają część wspólną (~KR) co wymusza w wyniku 1

D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~~> mieć kąty równe
~KW~~>KR =1 bo prostokąt o definicji w AK!
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
Zbiory:
~KW*KR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~KW=1 i KR=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo:
Prawo Kubusia:
~KW~>KR = KW=>~KR=0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy znaczka:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej:
A: KW=>KR
KW=1, ~KW=0
KR=1, ~KR=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej:
C: ~KW~>~KR
~KW=1, KW=0
~KR=1, KR=0
Kod:

Zapis         |Kodowanie           |Kodowanie
Symboliczny   |zero-jedynkowe      |zero-jedynkowe
              |dla zdania A:KW=>KR |dla zdanie C:~KW~>~KR
              | KW KR KW=>KR       |~KW ~KR ~KW~>~KR
A: KW=>  KR=1 |  1  1   =1         |  0   0    =1
B: KW~~>~KR=0 |  1  0   =0         |  0   1    =0
C:~KW~> ~KR=1 |  0  0   =1         |  1   1    =1   
D:~KW~~> KR=1 |  0  1   =1         |  1   0    =1
    1     2 3    4  5    6            7   8     9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
              |KW=1, ~KW=0         |~KW=1, KW=0
              |KR=1, ~KR=0         |~KR=1, KR=0

cnd
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
KW=>KR = ~KW~>~KR


8.0 Beznadziejna logika Ziemian w definiowaniu czworokątów

W logice Ziemian jedynie definicja kwadratu jest identyczna jak w algebrze Kubusia, czyli precyzyjna tzn. Jaś poproszony o narysowanie kwadratu nie ma najmniejszych szans aby narysować cokolwiek innego.

Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Ziemskie definicje czworokątów.

Ziemska definicja kwadratu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie boki i kąty równe
KW=KR*BR

Ziemska definicja prostokąta:
[link widoczny dla zalogowanych]
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
PR=KR*BRx
Gdzie:
BRx - wszystkie boki mogą być równe albo nie być równe

Ziemska definicja rombu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Romb=KRx*BR
Gdzie:
KRx - wszystkie kąty mogą nie być równe albo być równe

Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Rownoległobok = PBPRiR*KRx*BRx
Gdzie:
KRx - wszystkie kąty mogą nie być równe albo być równe
BRx - wszystkie boki mogą być równe albo nie być równe

Ziemska definicja trapezu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Trapez = JPBR*KRx*BRx
Gdzie:
KRx - wszystkie kąty mogą nie być równe albo być równe
BRx - wszystkie boki mogą być równe albo nie być równe

[link widoczny dla zalogowanych]
Deltoid
Deltoid to czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.
Definicja równoważna:
Przekątne w deltoidzie przecinają się pod kątem prostym
Deltoid = PKP*KRx*BRx
Gdzie:
KRx - wszystkie kąty mogą nie być równe albo być równe
BRx - wszystkie boki mogą być równe albo nie być równe

Definicja deltoidu w math.edu.pl jest precyzyjna, identyczna jak w algebrze Kubusia. Celowo wybrałem definicje nieprecyzyjną z Wikipedii, bo ta jest w zdecydowanie częściej podawana.

Zobaczmy teraz co się dzieje w logice Ziemian!

Ziemianie kompletnie nie znają definicji ani czworokątów, ani definicji grup czworokątów w równaniach algebry Boole’a. To kolejna wielka porażka Ziemian w dążeniu do matematycznego podkładu pod naturalną logikę człowieka, w dobie komputerów najwyższy czas to naprawić.

Porównajmy diagramy grupy prostokątów w algebrze Kubusia i logice ziemian.

Algebra Kubusia:


Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje żadnego konkretnego czworokąta!
cnd

Logika Ziemian:


Oczywiście matematycznie zachodzi:
Prostokąt ## kwadrat ## prostokąt nie będący kwadratem
KR ## KR*BR ## PNKW=KR*~BR
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywiście nie da się opisać trzech różnych na mocy definicji zbiorów przy pomocy dwóch pojęć, prostokąta i kwadratu, jak to jest w logice Ziemian.

Jest oczywistym że zbiory:
KW=KR*BR
PNKW=KR*~BR
są rozłączne oraz że suma logiczna tych zbiorów tworzy GRUPĘ czworokątów zwanych prostokątami.
GP = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR

Z powyższego wynika że w logice Ziemian zachodzi:
Prostokąt = GRUPA czworokątów zwanych prostokątami

… czyli Ziemianie mają dwie tożsame nazwy na określenie tego samego pojęcia:
GRUPA czworokątów zwanych prostokątami

Nie mają natomiast precyzyjnego określenia prostokąta w sensie ścisłym (równoważnościowym):
PNKW = KR*~BR

Pani:
Jasiu narysuj prostokąt
- Jaś (rzucając monetą) namalował kwadrat
Pani:
Jasiu, chodziło mi o prostokąt nie będący kwadratem
Jaś
…aaa, jak tak to proszę.
Jaś namalował prostokąt w sensie ścisłym (KR*~BR) bo nic innego nie może już narysować.

ALE!
Definicja trapezu w logice Ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych
czyli:
Trapezem może być cokolwiek:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i … ???
No właśnie jak nazwać czworokąt ??? o definicji ścisłej w algebrze Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych

Zauważmy, że w prostokątach poszło gładko, był to prostokąt nie będący kwadratem.
Analogicznie dla trapezu mamy:
??? - czworokąt nie będący kwadratem, prostokątem, rombem albo równoległobokiem

Problem w tym, że w logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany wyłącznie kwadrat.
Nie mamy pojęcia jak precyzyjnie narysować na tablicy prostokąt, romb czy równoległobok.
W logice Ziemian nie da się precyzyjnie, czyli jednoznacznie narysować żadnego z czworokątów: prostokąta, rombu czy też równoległoboku.

Pani:
Jasiu narysuj trapez
- Jaś narysował kwadrat
Pani:
Nie o taki trapez mi chodziło, narysuj inny
- Jaś namalował prostokąt
Pani:
… no i nie trafiłeś, narysuj inny
- Jaś namalował romb
Pani:
Nie to miałam na myśli.
Jaś:
.. ale skąd ja mam wiedzieć co Pani ma na myśli?
Ja myślałem że chodzi Pani o kwadrat, później myślałem ze chodzi Pani o prostokąt …
Pani:
Siadaj pała,
Nie ważne synu co myślisz, ważne by twoje myśli z moimi się zgadzały
(ulubione powiedzonko polonisty że szkoły średniej Kubusia)


9.0 Kwadratura koła dla Ziemskich matematyków

Jak udowodniono wyżej zachodzi matematyczna tożsamość:
Prostokąt (KRZ) = Grupa prostokątów (algebra Kubusia)
bo definicje są identyczne:
Prostokąt (KRZ) = KR
Grupa prostokątów (AK) = KR
gdzie:
KR = wszystkie kąty równe

Precyzyjnie Pani matematyczka powinna zatem postawić zadanie:
Jasiu, narysuj grupę prostokątów (w KRZ to się nazywa prostokąt :) )

Oczywiście to zadanie jest niewykonalne tzn. nie istnieje jeden czworokąt o nazwie „grupa prostokątów”. Jaś może co najwyżej narysować wszystkie czworokąty należące do grupy prostokątów czyli: kwadrat i prostokąt - o definicjach ścisłych z algebry Kubusia!

Identycznie niewykonalne jest zadanie:
Jasi narysuj grupę trapezów (w KRZ to się nazywa trapez :) )
… bo nie ma żadnego czworokąta o nazwie „grupa trapezów”!
Jaś może co najwyżej narysować po kolei wszystkie czworokąty należące do grupy trapezów czyli: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Oczywiście o definicjach ścisłych z algebry Kubusia!


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 12:25, 01 Kwi 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 11:58, 01 Kwi 2013    Temat postu:

.........
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22191
Przeczytał: 41 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 12:01, 01 Kwi 2013    Temat postu:

................
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin