Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - elementarz logiki człowieka Beta 2.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:46, 07 Paź 2012    Temat postu: Algebra Kubusia - elementarz logiki człowieka Beta 2.0

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Elementarz logiki człowieka

Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.

[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję

[link widoczny dla zalogowanych]
Daggera, dzięki któremu postawiona została zawsze najważniejsza, kropka nad „i”.
Na forum [link widoczny dla zalogowanych] zapisano po raz pierwszy ogólne definicje znaczków =>, ~> i ~~>.


Kim jest Kubuś?

Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po sześciu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych] zadanie zostało wykonane. Elementarz logiki człowieka to podręcznik matematyki do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół.

Uczeń powinien znać matematyczne definicje:
p=>q - warunku wystarczającego
p~>q - warunku koniecznego
p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności
Współczesna matematyka nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym:
Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q=~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty).
Podręcznik składa się z trzech części. Humanistom i przedszkolakom wystarczy Elementarz plus "Algebra Kubusia w służbie lingwistyki", ale tylko ta najprostsza, bez zdań złożonych. Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora.
To jedyny dział matematyki, którego nie musimy się uczyć!
Czyż nie jest to piękne?

Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący.

Przyjaciel Ziemian,
Kubuś - kosmita


Spis treści:

Część I
Algebra Kubusia: Elementarz logiki człowieka


1.0 Notacja
1.1 O co chodzi w algebrze Kubusia?

2.0 Zdania zdeterminowane i niezdeterminowane
2.1 Zdania proste

3.0 Kubusiowa teoria zbiorów
3.1 Operacje na zbiorach
3.2 Właściwości zbiorów

4.0 Operatory OR i AND w zbiorach
4.1 Operatory OR i AND w pigułce
4.2 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.3 Operator OR w zbiorach
4.4 Operator AND w zbiorach

5.0 Implikacja i równoważność w zbiorach
5.1 Implikacja i równoważność w pigułce
5.2 Implikacja prosta w zbiorach
5.3 Kwantyfikatory
5.4 Implikacja odwrotna w zbiorach
5.5 Równoważność
5.6 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych
5.7 Prawo kontrapozycji
5.8 Prawo eliminacji implikacji
5.9 Gwarancje matematyczne w implikacji i równoważności
5.10 Operator chaosu
5.11 Operator śmierci
5.12 Operatory logiczne w świecie zdeterminowanym

6.0 Nietypowe problemy logiki
6.1 Nietypowa równoważność
6.2 Wynikanie równoważnościowe |-
6.3 Samodzielny warunek wystarczający

Część II
Algebra Kubusia: Nie tylko dla Orłów


7.0 Równania algebry Kubusia
7.1 Tworzenie równań algebry Kubusia
7.2 Minimalizacja funkcji logicznych
7.3 Osiem równań opisujących operator OR
7.4 Osiem równań opisujących operator AND
7.5 Logika zero

8.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
8.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
8.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
8.3 Operatory transmisji P i Q
8.4 Operatory negacji NP i NQ

9.0 Algebra zbiorów rozłącznych
9.1 Operator XOR
9.2 Nietypowe warunki wystarczające

10.0 Definicje operatorów w bramkach logicznych
10.1 Algebra Kubusia - czyż nie jest piękna?

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki


11.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
11.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
11.2 Złożona implikacja prosta
11.3 Złożona implikacja odwrotna
11.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
11.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

12.0 Obietnice i groźby
12.1 Obietnica
12.2 Groźba
12.3 Obietnica w równaniach logicznych
12.4 Groźba w równaniach logicznych
12.5 Analiza złożonej obietnicy
12.6 Analiza złożonej groźby
12.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
12.8 Rodzaje obietnic


1.0 Notacja

Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
~1=0
~0=1
Wnioski:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli p=1 to ~p=0

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład:
Jutro będzie padało
Matematycznie powyższe zdanie jest równoważne zdaniu:
Jutro na pewno => będzie padało
J=>P =?
To nie jest zdanie w sensie matematycznym, bo nie da się określić jego prawdziwości.
Zbiór „będzie padło” może okazać się zbiorem pustym (gdy nie będzie padać), albo zbiorem niepustym (gdy będzie padać).
To zdanie może więc być albo prawdziwe, albo fałszywe.

ale!

Jutro może padać
J~~>P=1
To jest zdanie prawdziwe w sensie matematycznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

= - znak tożsamości

Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B

Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Notacja szczególna w implikacji:
W implikacji prostej zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
stąd:
Definicja warunku wystarczającego:
A: p=>q = p*q =p
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
Zapis A oznacza, że warunek wystarczający => zachodzi dla dowolnego elementu zbioru p*q=p

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać prawdę lub fałsz, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Inaczej zdanie jest fałszywe.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to matematyczny opis otaczającej nas rzeczywistości, w tym nieznanej przyszłości.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y
W operatorach implikacji funkcja logiczna p=>q zapisana jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
p=>q
~p~>~q
3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

Kubusiowa teoria zbiorów:

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element

Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności

p+~p = 1+1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny zbioru liczb naturalnych, stąd w wyniku 1
p*~p = 1*1 = 0 - iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych jest zbiorem pustym
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0

Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt

P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)
P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt
P*~P=0 - iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne


1.1 O co chodzi w algebrze Kubusia?

W dzisiejszej logice matematycznej króluje Klasyczny Rachunek Zdań i Predykatów (KRZiP).
Fundamentem KRZiP jest Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ).
KRZ techniczny tylko i wyłącznie to prawa rachunku zero-jedynkowego („przemiatanie” tabel zero-jedynkowych) bez żadnej interpretacji zer i jedynek w stylu:
1=prawda
0=fałsz
Dowolne prawo KRZ musi mieć swój dowód w rachunku zero-jedynkowym.
KRZ jest w 100% zgodny z algebrą Kubusia, ale chodzi w nim wyłącznie o sprzęt (hardware), natomiast naturalna logika człowieka to program (software), czyli poprawna interpretacja zer i jedynek w operatorach logicznych. Sprzęt bez oprogramowania to tylko nikomu niepotrzebna kupa złomu. Z punktu widzenia sprzętu (KRZ) wszystkie operatory logiczne są zbędne za wyjątkiem jednego, NAND (albo NOR, =>, ~>). Szczegóły poznamy w punkcie. 5.7.

Definicje implikacji w algebrze Kubusia.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” („musi”) w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”)

Nie ma implikacji ani prostej, ani odwrotnej, bez najzwyklejszego rzucania monetą, czyli warunku koniecznego ~>, spójnika „może”.

KRZiP o tym nie wie.
Dla niego logika matematyczna to wyłącznie: musi, musi, musi …
a to oznacza matematykę generującą zdania prawdziwe w stylu:
Jeśli krowa szczeka to Księżyc krąży wokół Ziemi
KS=>KK =1
Szczekanie krowy jest warunkiem wystarczającym na to, aby Księżyc krążył dookoła Ziemi.
Autentyczny dowód w wykonaniu eksperta KRZiP:
… udowodnij że w innym Wszechświecie to niemożliwe
… a widzisz, nie potrafisz, dlatego to zdanie jest prawdziwe

Nie ma logiki matematycznej bez operatorów implikacji prostej i odwrotnej!

Przykład z przedszkola, będący dowodem iż 5-cio latki doskonale posługują się matematyką ścisłą o której największym matematykom się nie śniło.

Pani w przedszkolu:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może”.

Jasiu czy chmury są warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało?
Jaś:
Tak proszę Pani, chmury są konieczne ~> aby jutro padło bo jak nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q

KRZiP nie rozumie poprawnej logiki matematycznej, tzn. nie zna poprawnej budowy ani jednego operatora logicznego!

KRZiP:
1 = prawda
0 = fałsz

Poprawnie musi być jak w algebrze Kubusia:
1 = zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 = zbiór pusty, zdanie fałszywe

Operatory logiczne działają fundamentalnie inaczej niż to jest w KRZiP!

Nie chodzi tu o tabele zero-jedynkowe wszystkich możliwych operatorów logicznych (bo te są identyczne w KRZiP i AK), ale o poprawną interpretację tych zer i jedynek. Operatory logiczne to banalnie prosta algebra zbiorów, którą poznamy w tym podręczniku.

Nie ma poprawnej logiki matematycznej bez dwóch spójników implikacyjnych umieszczanych między p i q w zdaniach „Jeśli p to q”
=> - „na pewno” (warunek wystarczający), ten spójnik jest domyślny i nie musi być wypowiedziany.
~> - „może” (warunek konieczny)

Dzisiejsza definicja matematyki musi ulec zmianie.
Matematyka musi akceptować wszystkie spójniki logiczne używane w naturalnej logice człowieka.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia, naturalnej logice człowieka:
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
„*” - spójnik „i” w mowie potocznej
„+” - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy


2.0 Zdania zdeterminowane i niezdeterminowane

Rozważmy zdanie:
A.
Pies jest różowy

Zdanie oczywiście fałszywe.
… czy to zdanie może być kiedykolwiek prawdziwe?
Nigdy, bo nie ma różowych psów

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty, to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

Zbiór psów różowych jest zbiorem pustym, dlatego zdanie A jest fałszywe.

Weźmy teraz inne zdanie:
B.
Pies nie jest różowy

Zdanie oczywiście prawdziwe.
… czy to zdanie może być kiedykolwiek fałszywe?
Nigdy, bo zbiór psów które nie są różowe nie jest pusty.

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty, to zbiór który zawiera przynajmniej jeden element.

Zdania A i B są zdeterminowane, bowiem możemy określić z góry ich prawdziwość/fałszywość.

Zdaniu które jest prawdziwe (zbiór niepusty) przypisujemy cyferkę 1, natomiast zdaniu które jest fałszywe (zbiór pusty) przypisujemy cyferkę 0.

Weźmy kolejne zdanie:
C.
To jest pies

To zdanie może być albo prawdziwe (gdy będę pokazywał psa), albo fałszywe (gdy będę pokazywał zwierzę inne niż pies).

Nie jesteśmy w stanie powiedzieć z góry czy to zdanie jest prawdziwe/fałszywe. Takie zdania nazywamy zdaniami niezdeterminowanymi.

Podsumowanie:
1.
Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
2.
Zdania zdeterminowane i niezdeterminowane
Zdanie jest zdeterminowane wtedy i tylko wtedy gdy znamy z góry jego wartość logiczną.
Zdanie jest niezdeterminowane gdy nie znamy z góry jego wartości logicznej.


2.1 Zdania proste

Zacznijmy od zdania prostego, bez spójnika logicznego.
A.
Jutro pójdę do kina
Y = K
To zdanie nie jest zdeterminowane bo jutro wszystko może się zdarzyć:
K=1 - jutro pójdę do kina
~K=1 - jutro nie pójdę do kina
Oczywiście skłamię jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Oba te zdarzenia (zbiory) mogą wystąpić, zatem ich wartość logiczna może być równa 1 (zbiór niepusty).

Zdanie A matematycznie oznacza:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y = K
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez dwustronną negację równania A:
B.
~Y =~K
Co matematycznie oznacza:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1).

Podsumowanie:
Y=1 - dotrzymam słowa
~Y=1 - skłamię
K=1 - jutro pójdę do kina
~K=1 - jutro nie pójdę do kina

Wszystkie te zdarzenia mają szansę jutro wystąpić, dzisiaj nie wiemy co się stanie jutro, jednak już dzisiaj możemy odpowiedzieć na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) a kiedy skłamię (~Y=1).


3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Algebra Kubusia respektuje wszystkie prawa Klasycznego Rachunku Zdań. Prawa te dotyczą jednak wyłącznie sprzętu (hardware) nie nadając żadnego znaczenia przemiatanym zerom i jedynkom. Prawa te mówią między innymi jak sprzętowo zbudować dowolny operator logiczny przy pomocy innego operatora.
Przykład:
p=>q = ~p+q
Operator implikacji prostej => to operator OR z zanegowanym wejściem p.
Tabele zero-jedynkowe po obu stronach tożsamości są identyczne.
Co oznaczają te zera i jedynki?
To już zupełnie inna bajka, czyli software.

Interpretacja zer i jedynek w operatorach logicznych to programowanie (software), coś fundamentalnie innego niż sprzęt (hardware). Sprzęt bez oprogramowania to tylko nikomu nie potrzebna, kupa złomu.

Znaczenie zerom i jedynkom w operatorach logicznych nadaje Klasyczny Rachunek Zdań i Predykatów:
1 - prawda
0 - fałsz
oraz konkurencyjna algebra Kubusia.

Znaczenie 0 i 1 w Kubusiowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

Kod:

p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1

gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)

Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe

Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie.

Maszynowa definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

Maszynowa definicja operatora logicznego to epoka kamienna, to zatrzymanie czasu na momencie wynalezienia bramek logicznych z zakazem dalszego rozwoju techniki cyfrowej. Oczywiście żaden inżynier nie projektuje czegokolwiek w zerach i jedynkach, żaden programista nie pisze programu komputerowego bezpośrednio w zerach i jedynkach.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to matematyczny opis otaczającej nas rzeczywistości, w tym nieznanej przyszłości.

Definicja logiki w algebrze Kubusia:
Logika musi zapewnić naturalną komunikację człowieka z człowiekiem, w tym matematyczną.
Logika matematyczna musi być zgodna z naturalną logiką człowieka.
Niedopuszczalne są jakiekolwiek logiki formalne, niezgodne z naturalną logiką człowieka.

Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q

Implikacja prosta:
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p=>q = ~p=>~q

Implikacja odwrotna:
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p~>q = ~p=>~q

Równoważność:
Zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q

Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego. Dla potrzeb tej algebry wystarczą nam definicje prostych operacji na zbiorach.


3.1 Operacje na zbiorach

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty


3.2 Właściwości zbiorów

Definicja zbioru niepustego
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe

Definicja zbioru pustego
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany z logicznym zerem, zdanie fałszywe

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element

Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności

p+~p = 1*1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny zbioru liczb naturalnych

p*~p = 1*1 = 0
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0

Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt

P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)

P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt, stąd w wyniku 1

P*~P=0
Iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne

Właściwości zbioru pustego
1.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Suma logiczna zbioru pustego z czymkolwiek jest tym czymkolwiek
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
[] - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p*[] = p*0 = 0
p+[] = p+0 = p
W algebrze Kubusia zbiór pusty [] to po prostu logiczne zero.
2.
Zbiór pusty to także brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe

Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach


4.0 Operatory OR i AND w zbiorach

Operatory OR i AND opisują właściwości dwóch zbiorów p i q które mają część wspólną i nie zawierają się jeden w drugim.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, r

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y


4.1 Operatory OR i AND w pigułce

Definicja ogólna operatorów OR i AND w zbiorach:
W operatorach OR i AND zbiory p i q mają część wspólną, lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

Fundament algebry Kubusia:
Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Fundamentem operatorów OR i AND są definicje spójników logicznych „i”(*) oraz „lub”(+):

[b]Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.

Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):

Y=p*q =1
Y=1 <=> p=1 i q=1
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
* - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):

Y=p+q
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p+q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
+ - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Prawo algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Stąd mamy tabelę symboliczną spójnika „lub”(+):
Kod:

 p  q Y=p+q
 p* q  =Y
 p*~q  =Y
~p* q  =Y

W powyższej tabeli wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) wyżej, mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y = p*q + p*~q + ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Wszystkie zbiory istnieją i mają części wspólne opisane powyższym równaniem.
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1, i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1.

Definicja operatora OR
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p+q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

gdzie:
„+” - spójnik logiczny „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) o definicji wyłącznie w obszarze ABC123
„*” - spójnik logiczny „i” w logice ujemnej (bo ~Y) o definicji wyłącznie w linii D123

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie oznacza to:
W.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y =1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


Definicja operatora AND
Operator AND to złożenie spójnika „i”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Definicja operatora AND w zbiorach:

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C: ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y
    1  2  3

gdzie:
„*” - spójnik logiczny „i” w logice dodatniej (bo Y) o definicji wyłącznie w linii A123
„+” - spójnik logiczny „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) o definicji wyłącznie w obszarze BCD123

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie oznacza to:
W.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
~Y=~K+~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
~Y =1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)


4.2 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
„*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):

Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim

Przykład:
p=[1,2,3,4] =1, wartość logiczna zbioru: p=1 - zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1, wartość logiczna zbioru: q=1 - zbiór niepusty
Y=p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1
Y = 1*1=1
Wartość logiczna zbioru wynikowego:
Y=1 - zbiór niepusty

Musimy tu odróżnić pojęcie zbioru od wartości logicznej zbioru.
Notacja jak wyżej jest jednoznaczna:
Elementy zbioru umieszczamy w nawiasie kwadratowym […]

Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów kwadratowych:
p=1 - zbiór niepusty
p=0 - zbiór pusty

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
Kod:

p ~p p*~p p+~p
1  0  =0   =1
0  1  =0   =1

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
„+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Prawo algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Stąd mamy tabelę symboliczną spójnika „lub”(+):
Kod:

 p  q Y=p+q
 p* q  =Y
 p*~q  =Y
~p* q  =Y

W powyższej tabeli wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) wyżej, mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):

Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p+q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Legenda:
Y=p*~q=1
Y=1*1=1
Zapis ten oznacza, że zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku Y=1.

W diagramie widzimy tożsamość obszarów:
W: Y = p+q
W: Y=1 <=> p=1 lub q=1
i
W1: Y = p*q + p*~q +~p*q
W1: Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
co jest dowodem tożsamości powyższych definicji spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

W przykładach będziemy operować na dwóch zbiorach:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Dopełnienia powyższych zbiorów do dziedziny:
~p=[5->oo] - pięć do nieskończoności
~q=[1,2]+[7->oo]

Operacje rzeczywiste na zbiorach:
W.
Y = p+q = [1,2,3,4] + [3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Sprawdzenie równoważnej definicji spójnika „lub”(+):
W1.
Y = p*q + p*~q +~p*q
Operacje na wartościach rzeczywistych zbiorów:
A: Y=p*q = [1,2,3,4] * [3,4,5,6] = [3,4]
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub(+)
B: Y = p*~q = [1,2,3,4] * ([1,2] + [7->oo]) = [1,2]
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub(+)
C: Y = ~p*q = [5->oo]* [3,4,5,6] = [5,6]
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1
stąd:
W1.
Y = p*q + p*~q +~p*q = [3,4] + [1,2] + [5,6] = [1,2,3,4,5,6]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
Y = p*q + p*~q +~p*q
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmuje wartość 1 (Y=1).

Jak widzimy, zbiory wynikowe W i W1 są tożsame co jest dowodem tożsamości definicji spójnika „lub”(+)
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q


4.3 Operator OR w zbiorach

Wyprowadzenie definicji operatora OR w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja     |Definicja
zero-jedynkowa|Symboliczna
p q Y=p+q     | p  q Y=p+q
1 1  =1       | p* q  = Y
1 0  =1       | p*~q  = Y
0 1  =1       |~p*~q  = Y
0 0  =0       |~p*~q  =~Y

Definicja symboliczna powstała na podstawie prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Widać z niej, że wszystkie zbiory muszą istnieć bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek, a to jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p+q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Legenda:
~Y=~p*~q=1
~Y=1*1=1
Zapis ten oznacza, że zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku ~Y=1.

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p+q
W: Y = p*q + p*~q +~p*q
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy Y, zatem są to definicje tożsame:
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q

Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych.

Kompletny operator OR opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q

Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar ~Y to otrzymamy obszar Y i odwrotnie.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: Y=p+q(r+~s)
B: Y = p+[q*(r+~s)]
C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
Algorytm Wuja Zbója:
B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie.

Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
będące najważniejszym prawem w logice, z którego będziemy korzystać non-stop.

Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora AND.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p+~q = ~[~(~p)*~(~q)] = ~(p*q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p+~q) = p*q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*).
Przy okazji doskonale widać, że operator AND jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (albo odwrotnie)
Y = p+q = ~(~p*~q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator OR.
Definicja operatora OR w układzie równań Kubusia:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Na mocy prawa de’Morgana negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator AND:
C: ~y=~p+~q
D: y=p*q
To jest poprawna definicja operatora AND w układzie równań logicznych.
Zauważmy, że znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory    |Bramki logiczne |Bramkilogiczne
Zbiory!              |Logika    |Technika        |Technika
W: Y=p+q             |czlowieka |                |
W: Y= p*q+p*~q+~p*q  |          |p q Y=p+q       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y           |1*1=1     |1 1 =1 /Y= p* q | 0  0   =0
B: p*~q= Y           |1*1=1     |1 0 =1 /Y= p*~q | 0  1   =0
C:~p* q= Y           |1*1=1     |0 1 =1 /Y=~p* q | 1  0   =0
U: ~Y=~p*~q          |
D:~p*~q=~Y           |1*1=1     |0 0 =0          | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
   1  2  3            a b c     |4 5  6          | 7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
                                |p=1, ~p=0       |~p=1, p=0
                                |q=1, ~q=0       |~q=1, q=0
                                |Y=1, ~Y=0       |~Y=1, Y=0

Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli.
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli

Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+):
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*):
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabele zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789).

Równanie logiczne:
Y=p+q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Nasz przykład:
W.
Y = p+q = [1,2,3,4] + [3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
W.
Y = p*q + p*~q +~p*q = [3,4] + [1,2] + [5,6] = [1,2,3,4,5,6]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
Y = p*q + p*~q +~p*q
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmuje wartość 1 (Y=1).

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q
Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
~p=[5->oo]
q=[3,4,5,6]
~q = [1,2] + [7->oo]
~Y = ~p*~q = [5->oo]*([1,2]+[7->oo]) = [7->oo]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Wszystkie zbiory istnieją, zatem wszystkie muszą mieć wartość logiczną 1.

Jak widzimy, funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy wylosowana liczba będzie mniejsza od 7.

Wylosowana liczba mniejsza od 7 może należeć do jednego z trzech zbiorów:
W: Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
A: Y = p*q = [3,4] = 1*1 =1 - zbiór niepusty
lub
B: Y = p*~q = [1,2] =1*1=1 - zbiór niepusty
lub
C: Y = ~p*q = [5,6] =1*1=1 - zbiór niepusty

Funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy wylosowana liczba będzie większa lub równa 7.
U=D: ~Y = ~p*~q = [7->oo] = 1*1 =1

Zdania wyżej generują tabelę zero-jedynkowe operatora OR albo AND w zależności od przyjętego punktu odniesienia.

Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie W:
W.
Liczba x należy do zbioru: [1,2,3,4,5,6]
Y=p+q =[1,2,3,4,5,6]
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice dodatniej (bo Y).
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie U:
U=D.
Liczba x należy do zbioru: [7->oo]
~Y=~p*~q =[7->oo]
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że tabela zero-jedynkowa operatora OR zbudowana jest dla świata totalnie niezdeterminowanego gdzie nie wiemy jaka liczba zostanie wylosowana.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Bezpośrednio z definicji operatora logicznego wynika prawo Sowy.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

W naszym przykładzie mamy do czynienia z czterema zbiorami:
p=[1,2,3,4]
~p=[5->oo]
q=[3,4,5,6]
~q = [1,2] + [7->oo]

Widać, że dla konkretnej wylosowanej liczby może być prawdziwy wyłącznie jeden zbiór po stronie p i jeden zbiór po stronie q.

Załóżmy, że wylosowaliśmy liczbę: 6

Obliczamy wartości funkcji logicznych Y i ~Y dla wylosowanej liczby:
A: Y = (p*q)*[6] = [3,4]*[6] = [] = 1*1 =0 - zbiór pusty
B: Y = (p*~q)*[6] = [1,2]*[6]=[] = 1*1 =0 - zbiór pusty
C: Y = (~p*q)*[6] = [5,6]*[6] = [6] =1*1 =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=(~p*~q)*[6] = [7->oo]*[6]=[] =1*1 =0 - zbiór pusty
Przykładowa interpretacja:
D: Oba zbiory istnieją ([7->oo]=1 i [6]=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla wylosowanej liczby 6 jedyne prawdziwe zdanie brzmi:
Liczba 6 należy do zbioru ~p i należy do zbioru q
C: Y = (~p*q)*[6] = [5,6]*[6] = [6] =1*1 =1 - zbiór niepusty

Nie może być tu mowy o jakimkolwiek spójniku „lub”(+).
Prawo Sowy działa więc doskonale.

Dla liczby 6 mamy zdeterminowane wartości logiczne zbiorów:
p=[1,2,3,4] =0 - w tym zbiorze nie ma liczby 6
~p=[5->oo] =1 - w tym zbiorze jest liczba 6
q=[3,4,5,6] =1 - w tym zbiorze jest liczba 6
~q = [1,2] + [7->oo] =0 - w tym zbiorze nie ma liczby 6

Dla wylosowanej liczby 6 mamy zatem:
~p=1, p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Kod:

                 Y=~p*q
A: Y= p* q = 0*1 =0
B: Y= p*~q = 0*0 =0
C: Y=~p* q = 1*1 =1
D:~Y=~p*~q = 1*0 =0

Doskonale widać definicje operatora AND co jest zgodne z prawem Sowy.

Jeśli przeiterujemy po wszystkich liczbach naturalnych to wszystkie pudełka A,B,C,D będą niepuste.

Dla dowolnego losowania liczby x mamy tylko dwie możliwości:
Liczba x wpadnie do pudełek A, B lub C wtedy i tylko wtedy gdy będzie mniejsza od 7
P_ABC <=> x<7
Liczba x wpadnie do pudełka D wtedy i tylko wtedy gdy będzie większa lub równa 7
P_D <=> x>=7
Jak widzimy, mamy tu logikę binarną (dwuwartościową).
Oczywiście w tym przypadku nie ma sensu mówić o dotrzymaniu słowa (Y=1) czy kłamstwie (~Y=1).

Nasz Wszechświat jest binarny.
W języku asemblera, który jest 100% odpowiednikiem algebry Kubusia (i Boole’a) możemy podejmować decyzje wyłącznie na TAK, albo NIE (1 albo 0), nie ma więcej możliwości!

Jeśli krupier krzyknie:
Wylosowano liczbę: 9
To dla naszego przykładu jesteśmy pewni że wpadnie ona do pudelka D.
Tylko i wyłącznie w linii D dla tej liczby zostanie ustawiona jedynka.
Dla liczby 9 pozostałe pudełka A, B i C będą puste, przyjmą wartość logiczną 0.

Jeśli krupier krzyknie:
Wylosowano liczbę: 6
To dla naszego przykładu jesteśmy pewni, że wpadnie ona do jednego z pudełek: A, B lub C
Jedno z tych pudełek przyjmie wartość 1 (prawda), pozostałe przyjmą wartość 0.
Oczywiście bez dodatkowej analizy nie mamy pojęcia które z pudełek A, B, lub C przyjmie wartość 1.
Pewnym zerem będzie wyłącznie pudełko D.

Tak działa logika świata binarnego, naszego świata, tak działają wszystkie komputery, nie ma tu żadnych wyjątków.

Wszelkie decyzje człowieka również są decyzjami wyłącznie na TAK albo NIE. Człowiek może się wahać czy iść na operację raka czy nie iść, jak nie pójdzie to podejmuje decyzję na NIE, jak koniec końców pójdzie to podejmuje decyzję na TAK.

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q
W informatyce takie zmienne nazywane są stałymi zapisanymi symbolicznie.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli dotrzymałem słowa (Y=1):
Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

            Y=~K*T
A: K* T= 0*1 =0
B: K*~T= 0*0 =0
C:~K* T= 1*1 =1
D:~K*~T= 1*0 =0

Dotrzymałem słowa (Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
Y=1 <=> ~K=1 i T=1

Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Y=~K*T=1*1=1
Y=1 - dotrzymałem słowa
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
C.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
D.
Jeśli wczoraj nie byłem w kinie to byłem w teatrze
~K=>T =0
E.
Nie byłem w kinie wtedy i tylko wtedy gdy byłem w teatrze
~K<=>T =0
etc

Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B, C, D lub E

Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:48, 07 Paź 2012    Temat postu:

4.4 Operator AND w zbiorach

Wyprowadzenie definicji operatora AND w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja     |Definicja
zero-jedynkowa|Symboliczna
p q Y=p*q     | p  q Y=p*q
1 1  =1       | p* q  = Y
1 0  =0       | p*~q  =~Y
0 1  =0       |~p*~q  =~Y
0 0  =0       |~p*~q  =~Y

Definicja symboliczna powstała na podstawie prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Widać z niej, że wszystkie zbiory muszą istnieć bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek, a to jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Definicja operatora AND w zbiorach:

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Legenda:
~Y=~p*~q=1
~Y=1*1=1
Zapis ten oznacza, że zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku ~Y=1.

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y = ~p+~q
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q +p*~q
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy ~Y, zatem są to definicje tożsame:
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q +p*~q

Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych.

Kompletny operator AND opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p*q
U: ~Y=~p+~q

Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar ~Y to otrzymamy obszar Y i odwrotnie.
Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora OR.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p*~q = ~[~(~p)+~(~q)] = ~(p+q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p*~q) = p+q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+).
Przy okazji doskonale widać, że operator OR jest logiką ujemną w stosunku do operatora AND (albo odwrotnie)
Y = p*q = ~(~p+~q) ## ~y = ~(~p*~q) = p+q
Operator AND ## Operator OR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator AND.
Definicja operatora AND:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator OR:
C: ~y=~p*~q
D: y=p+q
To jest poprawna definicja operatora OR w układzie równań logicznych.

Równanie logiczne:
A: Y=p*q
nie może być kompletnym opisem operatora OR bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C: ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory    |Bramki logiczne |Bramki logiczne
Zbiory!              |Logika    |Technika        |Technika
                     |czlowieka |                |
W: Y= p*q            |          |p q Y=p*q       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y           |1*1=1     |1 1 =1 /Y= p* q | 0  0   =0
U:~Y=~p+~q           |
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q |
B:~p*~q=~Y           |1*1=1     |0 0 =0          | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
C:~p* q=~Y           |1*1=1     |0 1 =0          | 1  0   =1 /~Y=~p* q
D: p*~q=~Y           |1*1=1     |1 0 =0          | 0  1   =1 /~Y= p*~q
   1  2  3           |a b c     |4 5  6          | 7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
                                |p=1, ~p=0       |~p=1, p=0
                                |q=1, ~q=0       |~q=1, q=0
                                |Y=1, ~Y=0       |~Y=1, Y=0

Gdzie:
„*” - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię A456 w powyższej tabeli
„+” - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar BCD789 w powyższej tabeli.

Operator AND odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w linii A123, zaś zero-jedynkową w linii A456, bowiem tylko tu widzimy zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze BCD123, zaś zero-jedynkową w obszarze BCD789, bowiem tylko tu widzimy zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+):
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD789).

Równanie logiczne:
Y=p*q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwszą linię. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q
W: Y=1 <=> p=1 i q=1
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p+~q
U:~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
U: ~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q=1)
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.
W funkcji ~Y wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1.

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
~p=[5->oo]
~q = [1,2] + [7->oo]

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4]
To samo w wartościach logicznych zbioru:
W: Y = p*q =1*1 =1

Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y = ~p + ~q = [5->oo] + ([1,2]+[7->oo]) = [1,2]+[5->oo]
To samo w wartościach logicznych zbioru:
U: ~Y=~p+~q
U: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
stąd mamy:
B: ~Y = ~p*~q = [5->oo]*([1,2]+[7->oo]) = [7->oo]
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub(+)
C:~Y = ~p*q = [5->oo]*[3,4,5,6] = [5,6]
C:~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub(+)
D:~Y=p*~q = [1,2,3,4]*([1,2]*[7->oo] = [1,2]
D:~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Stąd:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q = [7->oo] + [5,6] + [1,2] = [1,2]+[5->oo]

Wszystkie zbiory istnieją, dlatego wartość logiczna wszystkich zbiorów jest równa 1.

Podsumujmy:
W.
Y=p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4]
Y=1 <=> p=1 i q=1
U.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y = ~p+~q = [5->oo] + ([1,2]+[7->oo]) = [1,2]+[5->oo]
Wszystkie zbiory istnieją, zatem ich wartość logiczna jest równa 1
~Y=1 <=> ~p=1 + ~q=1

Definicja równoważna:
U: ~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q = [7->oo]+[5,6]+[1,2] = [1,2]+[5->oo]
Wszystkie zbiory istnieją, zatem ich wartość logiczna jest równa 1
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q)=1

Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1

Ułóżmy nasze zdania w tabeli:
W: Y=p*q
A: Y=p*q = [3,4] = 1*1 =1
Poza tym przedziałem obowiązuje funkcja logiczna ~Y.
U: ~Y= ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
czyli:
B: ~Y=~p*~q = [7->oo] =1*1 =1
lub(+)
C:~Y=~p*q = [5,6] =1*1 =1
lub(+)
D:~Y=p*~q = [1,2] =1*1 =1
Komentarz dla D:
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku ~Y=1.

Zdania wyżej generują tabele zero-jedynkowe operatora AND albo OR w zależności od przyjętego punktu odniesienia.

Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie W:
W=A.
Liczba x należy do zbioru: [3,4]
Y=p*q =[3,4]
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice dodatniej (bo Y).
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie U:
U.
Liczba x należy do zbioru: [1,2]+[5->oo]
~Y=~p+~q =[1,2]+[5->oo]
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że tabela zero-jedynkowa operatora AND zbudowana jest dla świata totalnie niezdeterminowanego gdzie nie wiemy jaka liczba zostanie wylosowana.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Bezpośrednio z definicji operatora logicznego wynika prawo Sowy.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

W naszym przykładzie mamy do czynienia z czterema zbiorami:
p=[1,2,3,4]
~p=[5->oo]
q=[3,4,5,6]
~q = [1,2] + [7->oo]

Widać, że dla konkretnej wylosowanej liczby może być prawdziwy wyłącznie jeden zbiór po stronie p i jeden zbiór po stronie q.

Załóżmy, że wylosowaliśmy liczbę: 6

Obliczamy wartości funkcji logicznych Y i ~Y dla wylosowanej liczby:
A: Y = (p*q)*[6] = [3,4]*[6] = [] = 1*1 =0 - zbiór pusty
B: ~Y = (~p*~q)*[6] = [7->oo]*[6]=[] = 1*1 =0 - zbiór pusty
C: ~Y = (~p*q)*[6] = [5,6]*[6] = [6] =1*1 =1 - zbiór niepusty
D: ~Y= (p*~q)*[6] = [1,2]*[6]=[] =1*1 =0 - zbiór pusty
Przykładowa interpretacja:
D: Oba zbiory istnieją ([1,2]=1 i [6]=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla wylosowanej liczby 6 jedyne prawdziwe zdanie brzmi:
Liczba 6 należy do zbioru ~p i należy do zbioru q
C: ~Y = (~p*q)*[6] = [5,6]*[6] = [6] =1*1 =1 - zbiór niepusty

Nie może być tu mowy o jakimkolwiek spójniku „lub”(+).
Prawo Sowy działa więc doskonale.

Dla liczby 6 mamy zdeterminowane wartości logiczne zbiorów:
p=[1,2,3,4] =0 - w tym zbiorze nie ma liczby 6
~p=[5->oo] =1 - w tym zbiorze jest liczba 6
q=[3,4,5,6] =1 - w tym zbiorze jest liczba 6
~q = [1,2] + [7->oo] =0 - w tym zbiorze nie ma liczby 6

Dla wylosowanej liczby 6 mamy zatem:
~p=1, p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Kod:

                 ~Y=~p*q
A: Y= p* q = 0*1 =0
B:~Y= p*~q = 0*0 =0
C:~Y=~p* q = 1*1 =1
D:~Y=~p*~q = 1*0 =0

Doskonale widać definicję operatora AND co jest zgodne z prawem Sowy.

Jeśli przeiterujemy po wszystkich liczbach naturalnych to wszystkie pudełka A,B,C,D będą niepuste.

Dla dowolnego losowania liczby x mamy tylko dwie możliwości:
Liczba x wpadnie do pudełka A wtedy i tylko wtedy gdy należy do przedziału: [3,4]
P_A <=> x = [3,4]
Liczba x wpadnie do pudełka B, C lub D wtedy i tylko wtedy gdy należy do przedziału: [1,2]+[5->oo]
P_BCD <=> x = [1,2]+[5->oo]
Jak widzimy, mamy tu logikę binarną (dwuwartościową).
Oczywiście w tym przypadku nie ma sensu mówić o dotrzymaniu słowa (Y=1) czy kłamstwie (~Y=1).

Jeśli krupier krzyknie:
Wylosowano liczbę: 3 lub 4
To dla naszego przykładu jesteśmy pewni że wpadnie ona do pudelka A.
Tylko i wyłącznie w linii A dla tej liczby zostanie ustawiona jedynka.
Dla liczby 3 lub 4 pozostałe pudełka B, C i D będą puste, przyjmą wartość logiczną 0.

Jeśli krupier krzyknie:
Wylosowano liczbę: różną od 3 i 4
To dla naszego przykładu jesteśmy pewni, że wpadnie ona do jednego z pudełek: B, C lub D
Jedno z tych pudełek przyjmie wartość 1 (prawda), pozostałe przyjmą wartość 0.
Oczywiście bez dodatkowej analizy nie mamy pojęcia które z pudełek B, C lub D przyjmie wartość 1.
Pewnym zerem będzie wyłącznie pudełko A.

Tak działa logika świata binarnego, naszego świata, tak działają wszystkie komputery. W świecie rzeczywistym podejmujemy wyłącznie decyzje na TAK lub NIE, nie ma tu żadnych wyjątków.

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Negujemy wszystkie zmienne otrzymując definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Załóżmy, że jest już pojutrze i zaszło:
Nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1), czyli skłamałem (~Y=1):
~Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

             ~Y=~K*T
A: K* T= 0*1 =0
B: K*~T= 0*0 =0
C:~K* T= 1*1 =1
D:~K*~T= 1*0 =0

Skłamałem (~Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1

Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
~Y=~K*T=1*1=1
Oczywiście skłamałem (~Y=1).
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
C.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
D.
Jeśli nie byłem w kinie to byłem w teatrze
~K=>T =0
E.
Nie byłem w kinie wtedy i tylko wtedy gdy byłem w teatrze
~K<=>T =0
etc

Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B, C, D lub E

Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.


5.0 Implikacja i równoważność w zbiorach

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

Fundament algebry Kubusia:
Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.


5.1 Implikacja i równoważność w pigułce

Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli zbiór p zwiera się w zbiorze q to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym.
p-q=0
[1,2]-[1,2,3,4,5,6]=0
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
q-p =0
[1,2]-[1,2,3,4,5,6]=0
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.
W równoważności <=> warunek konieczny ~> istnieje na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” z powodu tożsamości zbiorów p i q.

Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q

Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1


Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia.

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między p i q
p=>q =1
p~>q = ~p=>~q =0


Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
A: p~> q =1
B: p~~>~q=1
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1
D:~p~~>q =0

Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0


Definicja równoważności:

Diagram równoważności:

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q =0

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Wymuszam p i musi pojawić się q

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q =0
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q
Wymuszam ~p i musi pojawić się ~q

W równoważności, i tylko tu, obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Z powodu tożsamości zbiorów spełniona jest definicja warunku koniecznego [~>]:
[p~>q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q bo zbiory p i q są tożsame.
Zabieram p i musi zniknąć q

W równoważności spełnione są ogólne definicje warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

stąd:
Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Gdzie:
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy

Alternatywna definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego koniecznego [~>] między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p=>q =1
[p~>q] = ~p=>~q =1


5.2 Implikacja prosta w zbiorach

Definicja implikacji prostej w zbiorach
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja        |Definicja   |Definicja
zero-jedynkowa   |Symboliczna |Operatorowa
   p q p=>q      |
A: 1 1  =1       | p* q =1    | p=> q =1
B: 1 0  =0       | p*~q =0    | p~~>~q=0
C: 0 0  =1       |~p*~q =1    |~p~>~q =1
D: 0 1  =1       |~p* q =1    |~p~~>q =1
   1 2   3         4  5  6      7   8  9

=> - spójnik „na pewno” między p i q
~>, ~~> - spójnik „może” miedzy p i q

Z definicji zero-jedynkowej widać, że nie może to być ani operator OR bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach B123 i C123, ani też operator AND bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach C123 i D123.

W tabeli symbolicznej zakodowano zatem symbolicznie tylko wejścia p i q operatora implikacji prostej korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Doskonale widać, że jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q bo druga linia jest fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Relacja w zbiorach:
B: p*~q=0
Wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zbiory p i ~q będą rozłączne, co wymusi w wyniku 0. Jeśli zajdzie ~p to może się zdarzyć cokolwiek („rzucanie monetą”), może zajść ~q lub q co oznacza, że zbiór p nie może być tożsamy ze zbiorem q.

Przykład zbiorów spełniających definicję implikacji prostej:
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q).

Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji prostej w oparciu o powyższy diagram:
A.
p=>q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p GWARANTUJE zajście q.
Wymuszam p i musi pojawić się q
Zbiory:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6]=[1,2] =1
p*q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w zbiorze q, co wymusza w wyniku 1
Oczywiście:
p*q=p
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym
Nasz przykład:
p-q = [1,2] - [1,2,3,4,5,6] = [] =0

Notacja:
Zapis:
p=>q = p*q =p
Oznacza że zdanie p=>q jest prawdziwe wyłącznie dla elementów zbioru:
p=>q = p*q =p
Zapis:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6]=[1,2] =1
Oznacza, że zdanie p=>q jest prawdziwe wyłącznie dla elementów zbioru p*q.
Elementy zbioru podajemy w nawiasach kwadratowych:
[1,2]*[1,2,3,4,5,6]=[1,2]
Kompletny zapis:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6]=[1,2] =1
informuje dodatkowo że zbiór wynikowy jest zbiorem niepustym [1,2], zatem jego wartość logiczna jest równa 1.
Zapis:
[] - oznacza zbiór pusty, zawierający zero elementów
Jeden lub zero bez żadnych nawiasów oznacza wartość logiczną zbioru:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe

Wracamy do dalszej analizy:

B.
p~~>~q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2]*[7->oo] =0
p*~q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Zbiór p nie jest konieczny dla ~q, bo zabieramy p i nie znika nam ~q
~q-p = [7->oo] - [1,2] = [7->oo]

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p~>~q = ~p*~q = [3->oo]*[7->oo] = [7->oo]
~p*~q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q co wymusza w wyniku 1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo zabieramy ~p i znika nam ~q, co doskonale widać na diagramie.
~q - ~p = [7->oo] - [3->oo] = [] - zbiór pusty
Warunek konieczny ~> zachodzi.

lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [3->oo]*[1,2,3,4,5,6] = [3,4,5,6]
~p*q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zajście ~p nie jest warunkiem koniecznym dla zajścia q, bo zabieramy ~p i nie znika nam q
q - ~p = [1,2,3,4,5,6] - [3->oo] = [1,2]
Warunek konieczny ~> nie zachodzi.
Z diagramu doskonale widać że:
q-~p =p

stąd:
Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1

Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji prostej:
Kod:

Definicja symboliczna   |Zbiory  |Kodowanie         |Kodowanie
Warunek wystarczający =>|        |zero-jedynkowe    |zero-jedynkowe
w logice dodatniej (q)  |        |p q p=>q          |~p ~q ~p~>~q
A: p=> q=1              | p* q=1 |1 1 =1 / p=> q =1 | 0  0   =1
B: p~~>~q=0             | p*~q=0 |1 0 =0 / p~~>~q=0 | 0  1   =0
..a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p~>~q=1             |~p*~q=1 |0 0 =1            | 1  1   =1 /~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1             |~p* q=1 |0 1 =1            | 1  0   =1 /~p~~>q=1
    1   2 3               a  b c  4 5  6              7  8    9
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej:
                                 |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
                                 |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD789.

Na podstawie powyższej analizy mamy definicje.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q =1
B: p~~>~q =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q =1
Sprawdzamy, czy dla każdego p zachodzi q
Nasz przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4,5,6]
Jak widać, każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q, zatem:
A: p=>q =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu, czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2]*[7->oo] = [] =0
Brak kontrprzykładu zatem:
A: p=>q=1

W zdaniu C warunek konieczny zachodzi na mocy prawa Kubusia:
C: ~p~>~q = A: p=>q
Warunek wystarczający => w zdaniu A wymusza warunek konieczny ~> w zdaniu C.

Z diagramu implikacji prostej widzimy, że nie zachodzi warunek konieczny miedzy p i q:
p~>q = ~p=>~q
bowiem na mocy definicji znaczka ~>, zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q, natomiast w diagramie jest dokładnie odwrotnie zatem:
p~>q = ~p=>~q =0
Stąd mamy definicję niezwykle użyteczną w praktyce.

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego miedzy p i q:
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q=0
Powyższą definicję powinniśmy zapamiętać.

Nasz przykład:
A.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiory:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4,5,6]
Oczywiście każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q, zatem:
p=>q=1
cnd
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym
p-q = [1,2] - [1,2,3,4,5,6] =[] =0
cnd

Sprawdzamy warunek konieczny między p i q:
B.
p~>q = ~p=>~q
~p=[3->oo]
~q=[7->oo]
stąd:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q =0
W znaczku => zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Różnica zbiorów ~p-~q musi być więc zbiorem pustym:
~p-~q = [3->oo] - [7->oo] = [3,4,5,6] =1
Różnica zbiorów nie jest zbiorem pustym.
Wniosek:
~p=>~q =0
cnd

Dowód równoważny.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q =1
~p~~>q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu mamy:
~p~~>q=1
Zbiory:
~p*q = [3->oo]*[1,2,3,4,5,6] = [3,4,5,6] =1
Zbiór wynikowy to wszystkie możliwe kontrprzykłady.
Zatem:
p~>q = ~p=>~q =0 bo kontrprzykład np. 6
Prawa strona tożsamości jest fałszem zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd

Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej:
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q =0
w skrócie, jest implikacją prostą.

Oczywiście samo zdanie A jest również samodzielnym warunkiem wystarczającym => który może istnieć samodzielnie. Nie musimy dowodzić czy całość jest implikacją prostą, czy też czymś fundamentalnie innym, równoważnością, jeśli nas to nie interesuje. W równoważności po stronie ~p spełniony jest kolejny warunek wystarczający:
~p=>~q=1
… ale o tym będzie za chwilę.

Na zakończenie udowodnimy matematycznie brak warunku koniecznego ~> w linii D.
Dowód nie wprost:
Zakładamy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~> i stosujemy prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Oczywiście jeśli:
B: p~~>~q=0
to tym bardziej:
B: p=>~q=0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.


Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies
Twarda prawda, gwarancja matematyczna
Bycie psem wystarcza => aby mieć cztery łapy
Zbiór psów zawiera się w całości z zbiorze zwierząt z czterema łapami
Zbiory:
P=>4L = P*4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1), zbiór P zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami 4L, co wymusza w wyniku 1

Definicja:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q=0
Sprawdzamy czy zdanie A spełnia warunek konieczny:
P~>4L=~P=>~4L=0 bo słoń
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie, jest implikacją prostą.
cnd

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Kontynuujmy zetem pełną analizę zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L=0
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Wykluczamy równoważność, czyli wykluczamy warunek wystarczający po stronie ~P:
~P=>~4L = 0 bo słoń
Teraz mamy pewność, że to implikacja i stosujemy prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Zauważmy, że dokładnie to samo zrobiliśmy wyżej na mocy definicji implikacji prostej.

C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura, mrówka …
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zbiory:
~P~>~4L = ~P*~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1), zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co wymusza w wyniku 1
~P jest warunkiem koniecznym ~> dla ~4L, bo zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L
~4L-~P =[]=0 - zbiór pusty

LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń, koń, hipopotam …
Zbiory:
~P~~>4L = ~P*4L=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zbiór ~P nie jest warunkiem koniecznym dla 4L, bo zabieramy zbiór ~P a zbiór 4L nam zostaje … w postaci psa (P=>4L).
Na diagramie widać doskonale że:
4L- ~P =P - zostaje nam zbiór Pies.

Zdanie D nie spełnia warunku koniecznego ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0 bo pies
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie zero-jedynkowe
                  | P 4L P=>4L
A: P=> 4L =1      | 1  1  =1
B: P~~>~4L=0      | 1  0  =0
C:~P~>~4L =1      | 0  0  =1
D:~P~~>4L =1      | 0  1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                  | P=1, ~P=0
                  |4L=1, ~4L=0


Zastanówmy się teraz jaka będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.

Załóżmy, że wylosowaliśmy: kurę
Dla kury mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kurę to na pewno => kura nie jest psem i nie ma czterech łap
K=>~P*~4L = 1*1=1
Dla kury nasz świat jest zdeterminowany:
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

                  K=>~P*~4L
A: K=> P* 4L = 0*0 =0
B: K=> P*~4L = 0*1 =0
C: K=>~P*~4L = 1*1 =1
D: K=>~P* 4L = 1*0 =0

Jak widzimy, dla kury wyłącznie zdanie C jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej.

Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej.


5.3 Kwantyfikatory

Operujemy cały czas na definicji implikacji prostej i przykładzie wyżej.

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
KONIEC

Definicja kwantyfikatora dużego
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

Zauważmy, że kwantyfikator duży to dublowanie informacji którą zawiera znaczek =>, informujący precyzyjnie o tym że zbiór zdefiniowany przez podstawę wektora => musi zawierać się w całości w zbiorze zdefiniowanym przez strzałkę wektora.

W naszym przykładzie bierzemy po kolej każdy element zbioru:
P=[1,2]
i sprawdzamy czy zawiera się w zbiorze:
Q=[1,2,3,4,5,6]
Tu oczywiście tak zatem warunek wystarczający => jest spełniony:
A: p=>q =1
B: /\x p(x)=>q(x) =1
cnd
Powyższe zapisy matematyczne A i B są totalnie równoważne. Z tego powodu w naturalnym języku mówionym kwantyfikatory nie są używane. Co więcej, 35 lat temu można było skończyć szkołę średnią i studia techniczne nie słysząc słowa kwantyfikator. Wynika z tego, że w matematyce pojęcie kwantyfikatora jest zbędne, bo to jest po prostu naturalne rozumienie znaczka =>.

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q =1
Zbiory:
p*q=1*1=1
Wystarczy pokazać jedną część wspólną zbiorów p i q.
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia

Dokładnie to samo opisuje kwantyfikator mały:
\/x p(x) ~~> q(x)
Istnieje takie x że jeśli zajdzie p(x) może ~~> zajść q(x)

Jak widzimy, definicja kwantyfikatora małego również jest zbędna, bowiem to nic innego jak spójnik „może” ~~> między p i q (wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy).

Co więcej!
W implikacji warunek konieczny ~> to również spójnik „może” między p i q.
Definicja znaczka: ~>
~> - warunek konieczny
p~>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
Zapis kwantyfikatorowy warunku koniecznego ~> musi zatem wyglądać tak:
\/x p(x)~>q(x)
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) może ~> zajść q(x).
Tu już mamy sprzeczność czysto matematyczną, bo nie wystarczy znaleźć jeden przypadek, trzeba sprawdzić całą serię przypadków, trzeba sprawdzić czy zbiór p zawiera w sobie zbiór q.

Nasz przykład:
~p~>~q=1
Sprawdzamy czy zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
~p=[3,4,5,6]+[7->oo]
~q=[7->oo]
czyli:
Zabieramy zbiór ~p i musi zniknąć zbiór ~q
~q-~p = [7->oo] - ([3,4,5,6]+[7->oo]) = [] - zbiór pusty
cnd
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q, czyli warunek konieczny ~> jest spełniony.
… ale nie da się tego zapisać przy pomocy kwantyfikatora małego, w dzisiejszym jego znaczeniu.


5.4 Implikacja odwrotna w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja        |Definicja   |Definicja
zero-jedynkowa   |Symboliczna |Operatorowa
   p q p~>q      |
A: 1 1  =1       | p* q =1    | p~> q =1
B: 1 0  =1       | p*~q =1    | p~~>~q=1
C: 0 0  =1       |~p*~q =1    |~p=>~q =1
D: 0 1  =0       |~p* q =0    |~p~~>q =0
   1 2   3         4  5  6      7   8  9

~>, ~~> - spójnik „może” miedzy p i q
=> - spójnik „na pewno” między p i q

Z definicji zero-jedynkowej widać, że nie może to być ani operator OR bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach C123 i D123, ani też operator AND bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach B123 i C123.

W tabeli symbolicznej zakodowano zatem symbolicznie tylko wejścia p i q operatora implikacji odwrotnej korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Doskonale tu widać, że jeśli zajdzie p to może ~> zajść q lub ~q, bo linia B też może wystąpić.
Zauważmy, że zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q.
Wtedy i tylko wtedy zajdzie relacja w zbiorach:
D456: ~p*q=0
Ta relacja wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q:
C789: ~p=>~q=1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zbiory ~p i q są rozłączne stąd:
D789: ~p~~>q= ~p*q =0
Nie istnieje choćby jeden wspólny element zbiorów ~p i q.

Przykład zbiorów spełniających definicję implikacji odwrotnej:
p=[1,2,3,4,5,6]
~p=[7->oo]
q=[1,2]
~q=[3->oo]

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym w logice ujemnej (bo ~q).

Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji odwrotnej w oparciu o powyższy diagram:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
p~>q = p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2]=[1,2] =1
p*q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera w sobie zbiór q, co wymusza w wyniku 1
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbioru q, bo zabieramy zbiór p i znika nam zbiór q
q - p = [1,2] - [1,2,3,4,5,6] = [] - zbiór pusty
Warunek konieczny ~> zachodzi.

LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[3->oo] = [3,4,5,6] =1
p*~q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zbiór p nie jest konieczny dla zbioru ~q bo zabieramy zbiór p i nie znika nam zbiór ~q
~q - p = [3->oo] - [1,2,3,4,5,6] = [7->oo] - zbiór niepusty
Warunek konieczny ~> nie zachodzi.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, zatem zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
Wymuszamy ~p i musi pojawić się ~q
Zajście ~p GWARANTUJE => zajście ~q.
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = [7->oo]*[3->oo]=[7->oo] =1
~p*~q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
Jeśli zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q to różnica zbiorów ~p-~q musi być zbiorem pustym.
~p - ~q = [7->oo] - [3->oo] = [] - zbiór pusty
Warunek wystarczający zachodzi.

D.
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [7->oo]*[1,2] =0
~p*q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

stąd:
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
A: p~> q =1
B: p~~>~q=1
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1
D:~p~~>q =0

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1

Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji odwrotnej:
Kod:

Definicja symboliczna |        |Kodowanie        |Kodowanie
Warunek konieczny ~>  |Zbiory  |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe
w logice dodatniej (q)|        |p q p~>q         |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1             | p* q=1 |1 1 =1 / p~> q=1 | 0  0   =1
B: p~~>~q=1           | p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=1 | 0  1   =1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający =>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p=>~q=1           |~p*~q=1 |0 0 =1           | 1  1   =1 /~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0           |~p* q=0 |0 1 =0           | 1  0   =0 /~p~~>q=0
    1   2 3             a  b c  4 5  6             7  8    9
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
                               |p=1, ~p=0        | ~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0        | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD789.

Na podstawie powyższej analizy mamy definicje.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0

Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
Z diagramu doskonale widać, że zbiór p zawiera w sobie zbiór q
p=[1,2,3,4,5,6]
q=[1,2]
Definicja znaczka ~> jest więc spełniona

Użyteczna w praktyce definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q

To jest tożsamość matematyczna, zatem jeśli udowodnimy warunek wystarczający:
~p=>~q
to automatycznie udowodnimy warunek konieczny:
p~>q
Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej np. poprzez kontrprzykład.

Nasz przykład:
p~>q = ~p=>~q
Aby udowodnić warunek konieczny p~>q wystarczy udowodnić warunek wystarczający ~p=>~q

Dwa dowody:
A.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q
Zbiory:
~p=[7->oo]
~q=[3->oo]
~p=>~q = ~p*~q = [7->oo]*[3->oo]=[7->oo] =1
~p*~q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
Jeśli zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q to różnica zbiorów ~p-~q musi być zbiorem pustym:
~p-~q = [7->oo] - [3->oo] = [] =0
stąd:
~p=>~q=1
cnd

B.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0
Dowód poprzez kontrprzykład:
~p~~>q =1
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [7->oo]*[1,2] =[] =0
Kontrprzykład nie istnieje, zatem:
~p=>~q=1
cnd

Udowodniliśmy wyżej zachodzenie warunku koniecznego w implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q =1

Sprawdźmy czy między p i q zachodzi warunek wystarczający:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka => wymaga, aby zbiór p zawierał się w zbiorze q.
W diagramie implikacji odwrotnej widzimy, że jest dokładnie odwrotnie, zbiór p zawiera w sobie zbiór q, zatem:
p=>q=0

Nasz przykład:
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym:
p-q =[1,2,3,4,5,6] - [1,2] = [3,4,5,6] =1
Różnica zbiorów nie jest zbiorem pustym, zatem w implikacji odwrotnej:
p=>q =0

Stąd mamy niezwykle użyteczną definicję implikacji odwrotnej, bo nie musimy badać prawdziwości warunku koniecznego ~>.

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q:
p~>q = ~p=>~q =1
p=>q=0
Powyższą definicję powinniśmy zapamiętać.

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4,5,6]
~p=[7->oo]
q=[1,2]
~q=[3->oo]
Zdanie analizowane:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1
Dowód:
Sprawdzenie warunku koniecznego ~> między p i q:
Oczywiście wszystkie elementy zbioru ~p zawierają się w zbiorze ~q, stąd:
p~>q = ~p=>~q=1

Sprawdzenie warunku wystarczającego między p i q:
p=>q=0 bo 6 (kontrprzykład)
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w skrócie, jest implikacją odwrotną.

Na zakończenie udowodnimy matematycznie brak warunku koniecznego ~> w linii B.
Dowód nie wprost:
Zakładamy że w zdaniu B zachodzi warunek konieczny ~> i stosujemy prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q =0
Oczywiście jeśli:
D: ~p~~>q=0
to tym bardziej:
D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Analizy implikacji prostej i odwrotnej które poznaliśmy potwierdzają poprawność ogólnych definicji znaczków =>, ~> i ~~> w logice.

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym
p-q=0

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
q-p =0

Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q


Przykład przedszkolaka:

A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Twarda prawda, gwarancja matematyczna
Posiadanie czterech łap jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie zbiór psów
Zbiory:
4L~>P = 4L*P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1), zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P, co wymusza w wyniku 1
Zbiór 4L jest konieczny dla P bo zabieramy 4L i znika nam P.

B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń, hipopotam …
Zbiory:
4L~~>~P = 4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
4L nie jest warunkiem koniecznym dla ~P bo zabieramy zbiór 4L i nie znika nam ~P, zostają zwierzaki które nie mają czterech łap np. kura
Z diagramu doskonale widać że:
~P-4L = ~4L

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, mrówka …
Twarda prawda, gwarancja matematyczna.
Brak czterech łap wystarcza aby nie być psem.
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap zawiera się w całości z zbiorze nie pies.
Zbiory:
~4L=>~P = ~4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1), zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L=1) zawiera się w zbiorze nie pies (~P=1), co wymusza w wyniku 1

D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0
Twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej.
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie zero-jedynkowe
                  | 4L P 4L=>P
A: 4L~> P =1      |  1 1  =1
B: 4L~~>~P=1      |  1 0  =1
C:~4L=> ~P=1      |  0 0  =1
D:~4L~~> P=0      |  0 1  =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                  |4L=1, ~4L=0
                  | P=1, ~P=0

cnd

Zastanówmy się teraz jak będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.

Załóżmy że wylosowaliśmy: kota
Dla kota mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kota to na pewno => kot ma cztery łapy i nie jest psem
K=>4L*~P = 1*1=1
Dla kota nasz świat jest zdeterminowany:
4L=1, ~4L=0
~P=1, P=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

                   K=>4L*~P
A: K=> 4L* P = 1*0 =0
B: K=> 4L*~P = 1*1 =1
C: K=>~4L*~P = 0*1 =0
D: K=>~4L* P = 0*0 =0

Jak widzimy, dla kota wyłącznie zdanie B jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej.

Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:49, 07 Paź 2012    Temat postu:

5.5 Równoważność

Definicja równoważności w zbiorach
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Wyprowadzenie definicji równoważności w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja        |Definicja   |Definicja
zero-jedynkowa   |Symboliczna |Operatorowa
   p q p<=>q     |
A: 1 1  =1       | p* q =1    | p=> q =1
B: 1 0  =0       | p*~q =0    | p~~>~q=0
C: 0 0  =1       |~p*~q =1    |~p=>~q =1
D: 0 1  =0       |~p* q =0    |~p~~>q =0
   1 2   3         4  5  6      7   8  9

=> - spójnik „na pewno” między p i q

Z definicji zero-jedynkowej widać, że nie może to być ani operator OR bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach B123 i D123, ani też operator AND bo gwałcona jest definicja tego operatora w linii C123.

W tabeli symbolicznej zakodowano zatem symbolicznie tylko wejścia p i q operatora równoważności korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Doskonale widać, że jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q bo druga linia jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Relacja w zbiorach:
B: p*~q=0
Wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zbiory p i ~q będą rozłączne co wymusi w wyniku 0.
Po stronie ~p mamy:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q bo linia D jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Relacja w zbiorach:
D: ~p*q=0
Wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q, bowiem wtedy i tylko wtedy zbiory ~p i q będą rozłączne, co wymusi w wyniku 0.

Te dwie relacje razem wymuszają tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q

Definicja równoważności:
Równoważność to iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Diagram równoważności:


Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie <=>

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p=>q = p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, zachodzi zatem warunek wystarczający:
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zauważmy, że zachodzi również wirtualny warunek konieczny [~>]:
[p~>q]
bo zabieramy p i znika q.
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” znany z implikacji
Nasz przykład:
p=>q = p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
p=>q = 1*1=1

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
Nasz przykład:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7->oo] =0
p~~>~q =1*1=0

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie <=>

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, zachodzi zatem warunek wystarczający =>:
~p=>~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zauważmy, że zachodzi również wirtualny warunek konieczny [~>]:
[~p~>~q]
bo zabieramy ~p i znika ~q.
Nasz przykład:
~p=>~q = ~p*~q = [7->oo]*[7->oo] = [7->oo]
~p=>~q = 1*1=1

D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
Nasz przykład:
~p~~>q = ~p*q = [7->oo]*[1,2,3,4,5,6]=0
~p~~>q = 1*1 =0

Spełnienie warunku A i C wymusza tożsamość zbiorów:
p = q
~p = ~q

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q =0

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1

W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p<=>q czy też ~p<=>~q
ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności.

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Definicja        |Zbiory       |Definicja     |Definicja
symboliczna      |             |zero-jedynkowa|zero-jedynkowa
-------------------------------------------------------------
   p   q  p<=>q  | p  q  p<=>q | p  q  p<=>q  | ~p ~q ~p<=>~q
-------------------------------------------------------------
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q   =1    | p* q   =1   | 1  1   =1    |  0  0   =1
B: p~~>~q  =0    | p*~q   =0   | 1  0   =0    |  0  1   =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p=>~q   =1    |~p*~q   =1   | 0  0   =1    |  1  1   =1
D:~p~~> q  =0    |~p* q   =0   | 0  1   =0    |  1  0   =0
   1   2    3      a  b    c     4  5    6    |  7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                               |p=1, ~p=0     |~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0     |~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód równoważny:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony są tożsame zatem zachodzi prawo algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd

Operator równoważności odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Zastanówmy się jakie jeszcze równania opisują tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q

Definicja podstawowa:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd:
Definicja symetryczna:
B.
p<=>q = q<=>p = (q=>p)*(~q=>~p)

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p.
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p.

Stąd dwie równoważne definicje równoważności:
C.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
D.
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Wyżej mamy udowodnioną tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
E.
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z A i C mamy pierwsze prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
C: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
To jest tożsamość, zatem musi zachodzić:
q=>p = ~p=>~q
Z A i E mamy drugie prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
E: p<=>q = (~q=>~p)* (~p=>~q)
stąd:
p=>q = ~q=>~p

Wszystkie możliwe definicje równoważności wynikłe z powyższych rozważań można ładnie ująć w kwadracie logicznym równoważności.

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

A1: p=> q =1         A2: q=> p =1
B1: p~~>~q=0         B2: q~~>~p=0



C1:~p=>~q =1         C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =0         D2:~q~~>p =0

Definicje równoważności w pionach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q= (q=>p)*(~q=>~p)
Definicje równoważności w poziomach:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q= (~p=>~q)*(~q=>~p)

Możliwe są dwa algorytmy dowodzenia warunku wystarczającego => w dowolnym rogu kwadratu:
1.
Dowód przez iterowanie po wszystkich możliwych elementach zbioru p:
A1: p =>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru zdefiniowany przez podstawę wektora => zawiera się w zbiorze zdefiniowanym przez strzałkę wektora
2.
Obalenie warunku wystarczającego => przez podanie kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu:
B1: p~~>~q =1
Wystarczy znaleźć jeden element należący do zbioru p który należy do zbioru ~q

Porównajmy to z kwadratem logicznym implikacji.
Kwadrat logiczny implikacji ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
Kod:

A1: p=> q =1      ##   A2: q~> p =1
B1: p~~>~q=0      ##   B2: q~~>~p=1


Prawo Kubusia:    ##   Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q       ##   q~>p = ~q=>~p


C1:~p~>~q =1      ##   C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =1      ##   D2:~q~~>p =0

W implikacji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
Różne na mocy definicji.

Warunki wystarczające => w punktach A1 i C2 są identyczne w implikacji i równoważności.
W implikacji zbiory p i q nie są tożsame, natomiast w równoważności zbiory p i q są tożsame.
Oczywiście nie wykryjemy tożsamości zbiorów udowadniając dowolny w warunków wystarczających:
A1: p=> q =1
B1: p~~>~q=0
czy też:
C2: ~q=>~p =1
D3: ~q~~>p=0
bo te warunki są identyczne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów, i w implikacji gdzie tożsamość zbiorów nie zachodzi.

Dodatkowo musimy udowodnić C1 albo A2:
C1: ~p~>~q =1
D1: ~p~~>q =1
Oczywiście w tym przypadku wystarczy znaleźć jeden przypadek spełniający C1 i jeden przypadek spełniający D1.

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że zdanie:
A1: p=>q
spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą prawdziwą.

Spójrzmy na definicję implikacji i równoważności w równaniach Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że warunki wystarczające => w implikacji i równoważności są identyczne.
Zatem jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający np.
p=>q=1
to wiem ze nic nie wiem, bo nie wiem czy to jest warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji, czy też to jest warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.

Przykład równoważności:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Udowadniamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => aby zachodziła suma kwadratów

… aby stwierdzić równoważność musimy udowodnić C1 lub A2.
C1.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => aby nie zachodziła suma kwadratów

Wniosek:
Zdanie A1 to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności, nie jest to implikacja prosta bo zdanie A nie spełnia definicji implikacji prostej.

Przykład implikacji:
Pada wtedy i tylko wtedy gdy są chmury
P<=>CH = (P=>CH)*(~P=>~CH)

Pozornie to zdanie jest sensowne.
Sprawdzamy warunek wystarczający w punkcie:
A1.
Jeśli pada to na pewno => są chmury
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur

Sprawdzamy warunek wystarczający w punkcie:
C1.
Jeśli nie pada to na pewno => nie ma chmur
~P=>~CH=0
bo kontrprzykład:
~P~~>CH=1
Jeśli nie pada to mogą ~~> być chmury - sytuacja możliwa.

Dopiero w tym momencie udowodniliśmy, że zdanie A1 to warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji implikacji prostej.
P=>CH = ~P~>~CH

Zauważmy, że w równoważności spełnione są ogólne definicje znaczków warunku wystarczającego => i warunku koniecznego [~>].

p=>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora (p) zawiera się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora (q).
Wobec tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q w równoważności definicja znaczka => jest spełniona

[~p~>~q]
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora (~p) musi zawierać w sobie cały zbiór wskazywany przez strzałkę wektora (~q).
Wobec tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q w równoważności definicja znaczka [~>] jest spełniona.

Oczywiście nie jest to znany z implikacji spójnik „może”!
Z tego powodu warunek konieczny w równoważności ujęto w nawias kwadratowy [~>].
Nazwijmy go wirtualnym warunkiem koniecznym, czyli istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q. W równoważności nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q

W implikacji na mocy definicji zbiory p i q nie mogą być tożsame, natomiast w równoważności na mocy definicji zbiory p i q muszą być tożsame.

Zauważmy, że w równoważności warunki wystarczający rzeczywisty => i konieczny wirtualny [~>] zachodzą w dowolnym punkcie kwadratu równoważności, właśnie z powodu tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q!

Stąd mamy kolejną definicję równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego wirtualnego [~>] między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Dla zajścia q potrzeba [~>] i wystarcza => aby zaszło p
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, nie jest to spójnik „może” znany z implikacji.

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] =1*1=1
Do tego aby w trójkącie kąty były równe potrzeba [~>] i wystarcza => aby był on równoboczny.
Dowód na mocy definicji znaczków [~>] i =>:
TR=>KR=1
Wymuszam dowolny TR i pojawia mi się KR
[TR~>KR]=1
Zabieram (wszystkie) TR i znika mi zbiór KR

Dla porównania implikacja:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P8~>P2) =1*0 =0
P8=>P2 =1
Wymuszam dowolne P8 i pojawia się P2
P8~>P2 =0 bo 2
Zabieram (wszystkie) P8 i nie znika mi P2

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Ogólna definicja warunku koniecznego [~>]:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q

Stąd mam pełną definicję równoważności w warunkach wystarczających rzeczywistych => i koniecznych wirtualnych [~>].
p<=>q = {p=>q = [~p~>~q]}*{[p~>q]=~p=>~q}
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny

Z powyższego wynika że prawdziwa jest nawet taka definicja równoważności:
p<=>q = [~p~>~q]*[p~>q]

Oczywiście w równoważności zachodzi także prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego wirtualnego, czyli dla znaczka [~>]
[~p~>~q] = [q~>p]
[p~>q] = [~q~>~p]

Stąd kolejna definicja równoważności:
p<=>q = [p~>q]*[q~>p]

Dowód równoważności w tej definicji:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = [TR~>KR]*[KR~>TR] = 1*1 =1

[TR~>KR]=1
Zabieram TR i znika mi KR
Definicja znaczka [~>] spełniona

[KR~>TR]=1
Zabieram KR i znika mi TR
Definicja znaczka [~>] spełniona
cnd

Dlaczego naturalny spójnik „może” ~> nie jest dostępny w równoważności?

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]

Tabela prawdy dla tej definicji:
Kod:

Tabela 1
Implikacja       |Implikacja      |Równoważność
prosta           |odwrotna        |rzeczywista
wirtualna        |wirtualna       |
           p=>q            [p~>q]          p<=>q=(p=>q)*[p~>q]
A:   p=> q  =1   *  [p~> q] =1    =  p=> q  =1
B:   p~~>~q =0   *  [p~~>~q]=1    =  p~~>~q =0
C: [~p~> ~q]=1   *  ~p=> ~q =1    = ~p=> ~q =1
D: [~p~~>q ]=1   *  ~p~~>q  =0    = ~p~~>q  =0
     1   2   3       4   5   6       7   8   9

To samo co wyżej zero-jedynkowo dla punktu odniesienia:
p=>q, p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela 2
Implikacja       |Implikacja      |Równoważność
prosta p=>q      |odwrotna p~>q   |rzeczywista
wirtualna        |wirtualna       |
     p   q p=>q      p   q  p~>q     p   q  p<=>q=(p=>q)*[p~>q]
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)     |Definicja symboliczna
A:   1   1  =1   *  [1   1  =1]   =  1   1   =1     | p=> q =1
B:   1   0  =0   *  [1   0  =1]   =  1   0   =0     | p~~>~q=0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:  [0   0  =1]  *   0   0  =1    =  0   0   =1     |~p=>~q =1
D:  [0   1  =1]  *   0   1  =0    =  0   1   =0     |~p~~>q =0
     1   2   3       4   5   6       7   8    9     | a   b  c
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd mamy definicję równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego między p i q:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]

Na mocy definicji zachodzi:
p=>q ## p~>q
W technice cyfrowej realizacja bramek logicznych p=>q i p~>q to banał. Gdybyśmy wyjścia takich bramek połączyli bezpośrednio to w punktach:
B3 # B6
D3 # D6
byłoby dużo dymu i smrodu z powodu niezgodności sygnałów logicznych.

Na mocy definicji równoważności wyjścia bramek p=>q i p~>q wpuszczane są na bramkę AND realizującą definicję spójnika „i”(*).
Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=>p=1 i q=1

Oczywiście bramka AND działa wyłącznie na kolumny ABCD3 i ABCD6 zerując wyniki w punktach B9 i D9. Na wyjściu bramki AND obszary AB456 i CD123 są maskowane i niedostępne w świecie rzeczywistym. W świecie rzeczywistym dostępne są wyłącznie warunki wystarczające AB123 i CD456, gdzie nie ma śladu spójnika „może”, czyli „rzucania monetą”.

Zauważmy, że w tabeli 2 mamy pozorną sprzeczność w definicji symbolicznej.
W nagłówku definicji symbolicznej widzimy:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]

Natomiast z samej tabeli symbolicznej odczytujemy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Matematycznie wszystko jest w porządku na mocy definicji warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest dostępny w świecie rzeczywistym jako spójnik „może” ~>, z powodu tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q.

Zmieńmy punkt odniesienia w tabeli 2 korzystając z definicji warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
Kod:

Tabela 3
Implikacja       |Implikacja      |Równoważność
prosta p=>q      |prosta ~p=>~q   |rzeczywista
wirtualna        |wirtualna       |
     p   q p=>q     ~p  ~q ~p=>~q    p   q  p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)     |Definicja symboliczna
A:   1   1  =1   *  [0   0  =1]   =  1   1   =1     | p=> q =1
B:   1   0  =0   *  [0   1  =1]   =  1   0   =0     | p~~>~q=0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:  [0   0  =1]  *   1   1  =1    =  0   0   =1     |~p=>~q =1
D:  [0   1  =1]  *   1   0  =0    =  0   1   =0     |~p~~>q =0
     1   2   3       4   5   6       7   8    9     | a   b  c
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
     p=1, ~p=0   |  ~p=1, p=0     |  p=1, ~p=0
     q=1, ~q=0   |  ~q=1, q=0     |  q=1, ~q=0

Definicja równoważności na podstawie powyższej tabeli:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q). Dopiero w tej tabeli widzimy w definicji symbolicznej zgodność nagłówka tabeli symbolicznej z zawartością tabeli symbolicznej.

Równoważność odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?:
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze ABabc, natomiast zero-jedynkową w obszarze AB123 bowiem tylko tu widzimy p=1
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?:
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CDabc, natomiast zero-jedynkową w obszarze CD456 bowiem tylko tu widzimy ~p=1

Podsumowanie:
Wszystkie możliwe definicje równoważności:
1.
Definicja aksjomatyczna wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
2.
W równoważności prawdziwe są prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
~p=>~q = q=>p
Stąd pierwsza seria definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (~q=>~p)*(q=>p) = (p=>q)*(q=>p) = (~q=>~p)*(q=>p)
3.
Wirtualne definicje warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
Stąd druga seria definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = [~p~>~q]*[p~>q] = (p=>q)*[p~>q] = [~p~>~q]*(~p=>~q)
4.
W równoważności prawdziwe są prawa kontrapozycji dla wirtualnego warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = [~q~>~p]
[~p~>~q] = [q~>p]
Stąd cała masa równoważnych definicji równoważności mało przydatna w praktyce.

Najważniejsze są dwie definicje równoważności.

Aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd definicja uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)


Przykład przedszkolaka:
W.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dowód poprzez analizę wszystkich możliwych przeczeń TR i KR.
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
TR=>KR - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to może ~~> nie mieć kątów równych
TR~~>~KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A

… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
~TR=>~KR - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to może ~~> mieć kąty równe
~TR~~>KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W mamy zero-jedynkową definicje równoważności.
Kod:

Definicja
symboliczna
               | TR KR TR<=>KR=(TR=>KR)*(~TR=>~KR)
A: TR => KR =1 |  1  1   =1
B: TR~~>~KR =0 |  1  0   =0
C:~TR=> ~KR =1 |  0  0   =1
D:~TR~~> KR =0 |  0  1   =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
               | TR=1, ~TR=0
               | KR=1, ~KR=0

cnd


5.6 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych

Twierdzenie:
Definicja dowolnego operatora jest definicją aksjomatyczną, wtedy i tylko wtedy gdy równaniami logicznymi opisane są wszystkie zbiory w diagramie.

Definicja aksjomatyczna to definicja wynikająca bezpośrednio z zero-jedynkowej definicji operatora.

Definicje operatorów logicznych w zbiorach:
OR, AND - cztery i tylko cztery rozłączne zbiory niepuste
Implikacja prosta i odwrotna - trzy i tylko trzy rozłączne zbiory niepuste
Równoważność - dwa i tylko dwa rozłączne zbiory niepuste

Budowa operatora OR w zbiorach.

Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Ta definicja generuje cztery zbiory niepuste:
Y=p*q=1
Y=p*~q=1
Y=~p*q=1
~Y=~p*~q =1
Zauważmy że równanie:
Y=p+q
To tylko definicja spójnika „lub”(+), tylko trzy obszary:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*~q

Prawo de’Morgana:
Y=p+q = ~(~p*~q)
to także tylko i wyłącznie definicja spójnika „lub”(+) nie opisująca obszaru ~Y=1.
Prawo de’Morgana nie jest więc definicją aksjomatyczną.
Zróbmy proste sztuczki:
Y=p+q
Y=~(~p*~q)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
~Y=~(Y)
stąd mamy definicję operatora OR w równaniach logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Dopiero ten układ równań opisuje wszystkie obszary w powyższym diagramie, jest wiec definicją aksjomatyczną.

Budowa operatora równoważności w zbiorach:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających:
A: p=>q =p*q =1 - zbiory tożsame
B: p~~>~q =p*~q =0 - bo zbiory p i ~q rozłączne
i
C: ~p=>~q =~p*~q =1 - zbiory tożsame
D: ~p~~>q = ~p*q =0 - bo zbiory ~p i q rozłączne
W równoważności zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p i q wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q i odwrotnie:
p=q
~p=~q
Diagram równoważności:


Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Ta definicja opisuje wyłącznie obszar po lewej stronie, nie jest więc definicją aksjomatyczną.

Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
q=>p = ~p=>~q
stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawa strona opisuje w równaniach logicznych oba kolorowe obszary, jest więc definicją aksjomatyczną.

Budowa operatora implikacji prostej w zbiorach
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Ta definicja wymusza trzy zbiory niepuste.

Definicja implikacji prostej:
W: p=>q = ~p~>~q

Lewa strona tożsamości W:
p=>q
to tylko i wyłącznie definicja warunku wystarczającego => o pełnej definicji:
A: p=>q = p*q =1 - zbiór p zawiera się w zbiorze q
B: p~~>~q =p*~q =0 - bo zbiory p i ~q rozłączne

Prawa strona tożsamości W to warunek konieczny ~>:
C: ~p~>~q = ~p*~q =1 - zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
D: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i q.
Gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji:
~p~>~q = p=>q
Zbiory niepuste to zbiory A,C,D.
Opisują one wszystkie kolorowe obszary, zatem równanie logiczne W to aksjomatyczna definicja implikacji prostej.

Budowa operatora implikacji odwrotnej w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej:
W: p~>q = ~p=>~q

Lewa strona tożsamości W:
p~>q
to definicja warunku koniecznego ~>:
A: p~>q = p*q =1 - zbiór p zawiera w sobie zbiór q
B: p~~>~q= p*~q =1 - istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i ~q

Prawa strona tożsamości W to warunek wystarczający =>:
C: ~p=>~q = ~p*~q =1 - zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
D: ~p~~>q= ~p*q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne.

Zbiory niepuste to zbiory A,B,C.
Opisują one wszystkie kolorowe obszary, zatem równanie logiczne W to aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej.

Wnioski:
1.
Jeśli cokolwiek jest implikacją (trzy zbiory niepuste) to nie ma takiej siły aby zrobić z tego równoważność (dwa zbiory niepuste)
Przykład:
A.
Jeśli pada to na pewno => są chmury
P=>CH
Zbiory:
A: P=>CH = P*CH =1 - pada i chmury
B: P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa, zbiór pusty
C: ~P~>~CH = ~P*~CH=1 - nie pada i nie ma chmur
D: ~P~~>CH = ~P*CH=1 - nie pada i są chmury
mamy trzy zbiory niepuste, zatem zdanie A spełnia definicję implikacji prostej =>.
Aby zrobić z tego równoważność (dwa zbiory) musielibyśmy usunąć zbiór D co jest fizycznie niemożliwe.

2.
Jeśli cokolwiek jest równoważnością (dwa zbiory niepuste) to nie ma takiej siły aby zrobić z tego implikację (trzy zbiory niepuste)
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR
Zbiory:
A: TR=>KR = TR*KR =1 - trójkąt równoboczny i kąty równe
B: TR~~>~KR = TR*~KR=0 - zbiór pusty
C: ~TR=>~KR = ~TR*~KR=1 - trójkąt nierównoboczny i kąty nierówne
D: ~TR~~>KR = ~TR*KR =0 - zbiór pusty
Mamy tu dwa zbiory niepuste, zatem wykluczone jest aby zdanie A było implikacją prostą prawdziwą.
Aby zrobić ze zdania A implikację (trzy zbiory) musielibyśmy wymusić niepuste zbiory B albo D, co jest fizycznie niemożliwe.
Zdanie A to tylko i wyłącznie warunek wystarczający o definicji w A i B.
Zdanie A wchodzi w skład definicji równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1
W matematycznym żargonie możemy powiedzieć że zdanie A to równoważność, ponieważ zdanie to wchodzi w skład definicji równoważności.


5.7 Prawo kontrapozycji

Ten rozdział jest jednym z najważniejszych w podręczniku.
Obalimy tu pięcioma sposobami „świętość” Ziemskich matematyków, prawo kontrapozycji w implikacji.
p=>q = ~q=>~p
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności co dowiedziono w pkt. 5.5 i fałszywe w implikacji.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe

Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli zbiór p zwiera się w zbiorze q to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym.
p-q=0
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
q-p =0
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.

Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q

Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q


Dowód I
Obalenie prawa kontrapozycji


Aksjomatyczna zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q  |Definicja symboliczna
1 1  =1   | p=> q =1
1 0  =0   | p~~>~q=0
0 0  =1   |~p~>~q =1
0 1  =1   |~p~~>q =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Aksjomatyczna zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q  |Definicja symboliczna
1 1  =1   | p~> q =1
1 0  =1   | p~~>~q=1
0 0  =1   |~p=>~q =1
0 1  =0   |~p~~>q =0

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Na mocy definicji zachodzi równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Aksjomatyczna zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

p q p<=>q |Definicja symboliczna
1 1  =1   | p=> q =1
1 0  =0   | p~~>~q=0
0 0  =1   |~p=>~q =1
0 1  =0   |~p~~>q =0

Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Przemienność argumentów w implikacji i równoważności:
Kod:

       |Punkt            |Punkt            |Punkt
       |Odniesienia p=>q |odniesienia p~>q |odniesienia p<=>q
   p q | p=>q q=>p       | p~>q q~>p       | p<=>q  q<=>p
A: 1 1 |  =1   =1        |  =1   =1        |  =1      =1
B: 1 0 |  =0   =1        |  =1   =0        |  =0      =0
C: 0 0 |  =1   =1        |  =1   =1        |  =1      =1
D: 0 1 |  =1   =0        |  =0   =1        |  =0      =0
   1 2     3    4            5    6            7       8       

1.
Brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD3 i ABCD4 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
2.
Brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
3.
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD7 i ABCD8 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w równoważności.

Zauważmy, że w implikacji:
1.
Na mocy definicji znaczka => zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
2.
Z powyższego wynika, że zbiór q zawiera w sobie zbiór p i nie jest tożsamy ze zbiorem p.
Spełniona jest zatem definicja znaczka ~>.

Diagram 1.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest z tożsamy ze zbiorem q

~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q

Definicja symboliczna implikacji prostej:
Kod:

Def. symboliczna     |Zbiory
A: p=> q =1          | p* q =1
B: p~~>~q=0          | p*~q =0 - zbiory rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1          |~p*~q =1
D:~p~~>q =1          |~p* q =1


Diagram 2.
Definicja implikacji odwrotnej ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu p=>q

Definicja implikacji odwrotnej:
q~>p = ~q=>~p

q~>p
Jeśli zajdzie q to może ~> zajść p
Zbiór q zawiera w sobie zbiór p i nie jest tożsamy ze zbiorem p

~q=>~p
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zbiór ~q zawiera się w zbiorze ~p i nie jest tożsamy ze zbiorem ~p

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej dla sztywnego punktu odniesienia p=>q:
Kod:

Def. symboliczna     |Zbiory
A: q~> p =1          | q* p =1
B: q~~>~p=1          | q*~p =1
… a jeśli zajdzie ~q?
Prawo Kubusia:
q~>p = ~q=>~p
C:~q=>~p =1          |~q*~p =1
D:~q~~>p =0          |~q* p =0 - zbiory rozłączne


Zauważmy, że w diagramach 1 i 2 złamane zostało prawo braku przemienności argumentów w implikacji. Na podstawach i strzałkach wektorów => i ~> muszą być te same znaczki, przeczenia są nieistotne.

Diagram 2 to po prostu definicja implikacji odwrotnej ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu p=>q.
Definicja implikacji odwrotnej:
q~>p = ~q=>~p

Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
Bo złamane jest prawo braku przemienności argumentów w implikacji.

Diagram 1 i 2 to dwa totalnie niezależne od siebie układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Ustalenie sztywnego punktu odniesienia na zdaniu p=>q nie jest konieczne.

Ważne jest jedno:
Definicje ogólne znaczków warunku wystarczającego => i warunku koniecznego ~> nigdy nie mogą być gwałcone!

Definicja implikacji odwrotnej bez sztywnego punktu odniesienia:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej:
Kod:

Def. symboliczna     |Zbiory
A: p~> q =1          | p* q =1
B: p~~>~q=1          | p*~q =1
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=>~q =1          |~p*~q =1
D:~p~~>q =0          |~p* q =0 - zbiory rozłączne


Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy że jeśli po obu stronach znaku ## podstawimy te same parametry aktualne p i q to zgwałcimy ogólną definicję znaczka => albo ~>.

Przykład:
Implikacja prosta:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =~P8~>~P2 =1
P8=>P2
Zbiór P8 zawiera się w całości w zbiorze P2.
Definicja ogólna znaczka => spełniona.

Implikacja odwrotna:
Jedyna prawdziwa implikacja odwrotna z parametrami aktualnymi P8 i P2:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
P2~>P8
Zbiór P2 zawiera w sobie zbiór P8.
Definicja ogólna znaczka ~> spełniona.

Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
P8=>P2 = ~P8=>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji, bo złamane jest prawo braku przemienności argumentów w implikacji!

Twierdzenie:
W dowolnym prawie logicznym dotyczącym implikacji gdzie nie zachodzi przemienność argumentów na podstawach i strzałkach wektorów warunku wystarczającego => i warunku koniecznego ~> muszą być te same znaczki p i q, przeczenia są nieistotne.

Formalny dowód braku przemienności argumentów w implikacji wyżej.

Na mocy tego twierdzenia poprawne są prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

i błędne jest przykładowo prawo kontrapozycji w implikacji:
p=>q = ~q=>~p
z powodu braku przemienności argumentów w implikacji.

Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności bo tu zachodzi przemienność argumentów.

Wszystkie możliwe prawa logiczne błędne w implikacji pokazuje poniższa tabela.
W tabeli ustalono sztywny punkt odniesienia na zdaniu:
p=>q
gdyż wówczas doskonale widać które prawa nie zachodzą.

Równanie ogólne implikacji dla sztywnego punktu odniesienia ustalonego na zdaniu p=>q:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wszystkie prawa logiczne które nie zachodzą z powodu braku przemienności argumentów w implikacji pokazuje komentarz do poniższej tabeli.
Kod:

Implikacja prosta:
p=>q = ~p~>~q
A: p=>q=1    p~~>~q=0  ~p~~>q=1   ~p~>~q=1

Implikacja odwrotna:
q~>p = ~q=>~p
B: q~>p=1   ~q~~>p=0    q~~>~p=1  ~q=>~p=1

Na mocy definicji nie zachodzą prawa logiczne w pionach:
p=>q ## q~>p
~p~>~q ## ~q=>~p
Nie zachodzą też prawa po przekątnych:
p=>q ## ~q=>~p
q~>p ## ~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji z powodu złamania prawa braku przemienności argumentów w implikacji.

Przykład:
Implikacja prosta:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2
Ogólna definicja znaczka => spełniona

Implikacja odwrotna:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Zbiór P2 zawiera w sobie zbiór P8
Ogólna definicja znaczka ~> spełniona

Równanie ogólne implikacji:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wszystkie prawa logiczne które nie zachodzą z powodu braku przemienności argumentów w implikacji pokazuje komentarz do poniższej tabeli.
Kod:

Implikacja prosta:
p=>q = ~p~>~q
P8=>P2 = ~P8~>~P2
A: P8=>P2=1    P8~~>~P2=0  ~P8~~>P2=1   ~P8~>~P2=1

Implikacja odwrotna:
q~>p = ~q=>~p
P2~>P8 = ~P2=>~P8
B: P2~>P8=1   ~P2~~>P8=0    P2~~>~P8=1  ~P2=>~P8=1

Na mocy definicji nie zachodzą prawa logiczne w pionach:
P8=>P2 ## P2~>P8
~P8~>~P2 ## ~P2=>~P8
Nie zachodzą też prawa po przekątnych:
P8=>P2 ## ~P2=>~P8
P2~>P8 ## ~P8~>~P2
gdzie:
## - różne na mocy definicji z powodu złamania prawa braku przemienności argumentów w implikacji.

Zauważmy, że sztywny punkt odniesienia możemy równie dobrze ustalić na implikacji odwrotnej p~>q.

Równanie ogólne implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p~>q:
p~>q = ~p=>~q ## q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Nasza tabela prawdy dla punktu odniesienia p~>q przybierze postać:
Kod:

Implikacja odwrotna:
p~>q = ~p=>~q
B: p~>q=1   ~p~~>q=0    p~~>~q=1  ~p=>~q=1

Implikacja prosta:
q=>p = ~q~>~p
A: q=>p=1    q~~>~p=0  ~q~~>p=1   ~q~>~p=1

Na mocy definicji nie zachodzą prawa logiczne w pionach:
p~>q ## q=>p
~p=>~q ## ~q~>~p
Nie zachodzą też prawa po przekątnych:
p~>q ## ~q~>~p
q=>p ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji z powodu złamania prawa braku przemienności argumentów w implikacji.


Dowód II
Obalenie prawa kontrapozycji


Równoważny dowód błędności prawa kontrapozycji w implikacji.

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Równanie ogólne implikacji oczywiste dla każdego matematyka:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Nasz przykład:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Tylko i wyłącznie w ten sposób spełnione są ogólne definicje znaczków => i ~>:
Definicja znaczka =>:
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Definicja znaczka ~>:
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.

W naszym przykładzie definicje znaczków => i ~> są spełnione.
Zauważmy że nie ma tu szkolnego błędu podstawienia z powodu znaku ##. Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z totalnie niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
Dowód iż są to dwa niezależne układy logiczne w laboratorium techniki cyfrowej jest banalny.
Jeśli połączymy wyjścia układów p=>q i p~>q to zobaczymy dużo dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.

Matematycznie wszystko jest więc w porządku.
Nie da się wyeliminować z logiki operatora implikacji odwrotnej p~>q = ~p=>~q jak to czynią Ziemscy matematycy. Fakt że ustalimy sztywny punkt odniesienia na zdaniu p=>q nie może mieć wpływu na równanie ogólne implikacji wyżej.

Dla sztywnego punktu odniesienia p=>q równanie ogólne implikacji przybierze postać:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
Natomiast dla sztywnego punktu odniesienia p~>q równanie ogólne implikacji przybierze postać:
p~>q = ~p=>~q ## q=>p = ~q~>~p
cnd


Dowód III
Obalenie prawa kontrapozycji


Ośmieszenie prawa kontrapozycji.
A.
Jeśli będzie padło to na pewno => otworzę parasolkę
P=>OP
Prawo Kontrapozycji:
P=>OP = ~OP=>~P
Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padało
~OP=>~P

Prawo Kubusia dla zdania A działa doskonale.
Prawo Kubusia:
P=>OP = ~P~>~OP
C.
Jeśli nie będzie padało to mogę ~> nie otworzyć parasolki
~P~>~OP
lub
D.
Jeśli nie będzie padało to mogę ~~> otworzyć parasolkę
~P~~>OP
Na przykład w celu ochrony przed słońcem.
Czyli jak nie będzie padło to mogę parasolkę otwierać i zamykać milion razy i nie mam najmniejszych szans na zostanie kłamcą

Prawo Kłapouchego!
Implikacja prosta w czasie przyszłym przechodzi w implikację odwrotną w czasie przeszłym
Implikacja odwrotna w czasie przyszłym przechodzi w implikację prostą w czasie przeszłym

Czas przyszły:
A.
Jeśli będzie padło to na pewno => otworzę parasolkę
P=>OP

Oczywiście implikacja w czasie przeszłym ma sens gdy nie znamy rozwiązania, jak znamy to obowiązuje prawo Sowy - zdanie redukuje się do operatora AND.

Na mocy prawa Kłapouchego prawdziwe są zdania w czasie przeszłym:
A.
Jeśli otworzyłem parasolkę to mogło ~> padać
OP~>P
lub
B.
Jeśli otworzyłem parasolkę to mogło ~~> nie padać
OP~~>~P
… a jeśli nie otworzyłem parasolki?
Prawo Kubusia:
OP~>P = ~OP=>~P
C.
Jeśli nie otworzyłem parasolki to na pewno => nie padało
~OP=>~P=1
stąd:
D.
Jeśli nie otworzyłem parasolki to mogło ~~> padać
~OP~~>P=0

Zdania C i D to definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej.

Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności. W równoważności nie ma mowy o następstwie czasowym.

Prawo kontrapozycji w implikacji wygląda tak:
P=>OP =~P~>~OP ## OP~>P = ~OP=>~P
Przyszłość ## Przeszłość
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czy ktokolwiek zdrowy na umyśle ma wątpliwości że przyszłość (0% determinizmu) to fundamentalnie co innego niż przeszłość (100% determinizmu, co się stało to się nie odstanie)

Nie wiem jak trzeba mieć porąbane aby zapisać:
(P=>OP =~P~>~OP) = (OP~>P = ~OP=>~P)
Przyszłość = Przeszłość

Typowa obrona przed parasolką prezentowana przez wielu wielbicieli KRZiP jest taka.
Dagger napisał:

Błędnie rozumiesz przykład z parasolką.
Jeśli będzie padało o godzinie x, to w czasie x+dx otworzę parasolkę.
Skoro w czasie x+dx nie otworzyłem parasolki, to znaczy że o godzinie x nie padało.

Czy ty naprawdę nie widzisz że to dx nic tu nie daje?
To wytłuszczone to czas przeszły, patrzysz na problem z pozycji DOKONANEJ!

To jest to samo co:
Jeśli nie otworzyłem parasolki to na pewno => nie padło
~OP=>~P
To jest przeszłość!

Natomiast zdanie wyjściowe to przyszłość!
Jeśli będzie padło to na pewno => otworzę parasolkę
P=>OP

Prawo kontrapozycji to:
P=>OP = ~OP=>~P
Przyszłość = Przeszłość!
Trzeba być idiotą by coś takiego zapisać, tu na 100% się zgadzamy.


Dowód IV
Obalenie prawa kontrapozycji


Prawo kontrapozycji Ziemskich matematyków:
p=>q = ~q=>~p

W implikacji argumenty nie są przemienne co dowiedziono na początku rozdziału:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
Z powodu zachodzącej tożsamości w prawie kontrapozycji oraz braku przemienności argumentów w implikacji, złamana została przedszkolna reguła podstawiania. Znaczki na podstawach wektora => muszą być identyczne, przeczenia są tu nieistotne.

W równoważności prawo kontrapozycji jest poprawne, bo tu zachodzi przemienność argumentów i jest wszystko jedno co nazwiemy p a co nazwiemy q.

W implikacji poprawne są prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
bowiem tu na podstawach i strzałkach wektorów => i ~> mamy identyczne znaczki, reguła podstawiania w tożsamości jest spełniona.


Dowód V
Prawo kontrapozycji w implikacji to ni pies, ni wydra, ani to implikacja, ani równoważność


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) (100% determinizm), z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q) („rzucaniem monetą”)

Diagram 1.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

W diagramie wyżej doskonale widać wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B.
=> - warunek wystarczający, 100% determinizm
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiory: p*q =p
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest z tożsamy ze zbiorem q
=> - warunek wystarczający
Definicja znaczka => spełniona.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory: p*~q =0 - zbiory rozłączne

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q).
~> - rzucanie monetą!
Jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek: C lub D
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zbiory: ~p*~q =~q
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q
~> - warunek konieczny
Definicja znaczka ~> spełniona
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =1
Zbiory: ~p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i q

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Jeśli:
B: p~~>q =0
To tym bardziej:
B: p=>~q=0

Kodowanie zero-jedynkowe implikacji prostej:
Kod:

Def. symboliczna     |Zbiory    |Kodowanie zero-jedynkowe
                     |          | p  q p=>q | ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1          | p* q =1  | 1  1  =1  |  0  0  =1
B: p~~>~q=0          | p*~q =0  | 1  0  =0  |  0  1  =0
… a jeśli zajdzie ~p?|
Prawo Kubusia:       |
p=>q = ~p~>~q        |
C:~p~>~q =1          |~p*~q =1  | 0  0  =1  |  1  1  =1
D:~p~~>q =1          |~p* q =1  | 0  1  =1  |  1  0  =1
   1   2  3                       4  5   6     7  8   9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
                                |p=1, ~p=0  |~p=1, p=0
                                |q=1. ~q=0  |~q=1, q=0

Implikacja prosta daje nam odpowiedź na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś zero-jedynkową w obszarze AB456, bowiem tylko tu widzimy p=1.
AB123 to warunek wystarczający =>, 100% determinizm, o definicji wyłącznie w liniach A i B.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś zero-jedynkową w obszarze CD789, bowiem tylko tu widzimy ~p=1.
CD123 to warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą”, o definicji w liniach C i D.

Wnioski:
1.
Nie ma definicji implikacji prostej bez najzwyklejszego „rzucania monetą”, warunku koniecznego ~>, zdefiniowanego w liniach C i D.
2.
Nie wolno wyrywać z tej definicji wyłącznie warunku wystarczającego => zdefiniowanego w liniach A i B i mówić że resztę, czyli „rzucanie monetą”, mamy gdzieś.
3.
Definicja to definicja, albo akceptujemy całą, albo wara nam od niej.

Definicja implikacji odwrotnej
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~>, rzucania monetą, z warunkiem wystarczającym =>, 100% determinizm.

Diagram 2.
Definicja implikacji odwrotnej ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu p=>q

Definicja implikacji odwrotnej:
q~>p = ~q=>~p

W diagramie wyżej doskonale widać wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo p) o definicji w liniach A i B.
~> - warunek konieczny, „rzucanie monetą”
Jeśli zajdzie q to może zajść cokolwiek: A lub B

Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo p).
A.
Jeśli zajdzie q to może ~> zajść p
q~>p =1
Zbiory: q*p =p
Zbiór q zawiera w sobie ~> zbiór p
~> - warunek konieczny
Definicja znaczka ~> spełniona
lub
B.
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p =1
Zbiory: q*~p =1 - istnieje część wspólna zbiorów q i ~p

… a jeśli zajdzie ~q?
Prawo Kubusia:
q~>p = ~q=>~p

Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~p) o definicji wyłącznie w liniach C i D.
=> - warunek wystarczający, 100% determinizm
Jeśli zajdzie ~q to na pewno => zajdzie ~p

C.
Jeśli zajdzie ~q to na pewno => zajdzie ~p
~q=>~p =1
Zbiory: ~q*~p =~q
Zbiór ~q zawiera się => w zbiorze ~p i nie jest z tożsamy ze zbiorem ~p
=> - warunek wystarczający
Definicja znaczka => spełniona.
D.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p
~q~~>p =0
Zbiory: ~q*p =0 - zbiory rozłączne

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: q~>~p = D: ~q=>p =0
Jeśli:
D: ~q~~>p =0
To tym bardziej:
D: ~q=>q=0

Kodowanie zero-jedynkowe implikacji odwrotnej:
Kod:

Def. symboliczna     |Zbiory    |Kodowanie zero-jedynkowe
                     |          | q  p q~>p | ~q ~p ~q=>~p
A: q~> p =1          | q* p =1  | 1  1  =1  |  0  0  =1
B: q~~>~p=1          | q*~p =1  | 1  0  =1  |  0  1  =1
… a jeśli zajdzie ~p?|
Prawo Kubusia:       |
q~>p = ~q=>~p        |
C:~q=>~p =1          |~q*~p =1  | 0  0  =1  |  1  1  =1
D:~q~~>p =0          |~q* p =0  | 0  1  =0  |  1  0  =0
   1   2  3                       4  5   6     7  8   9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
                                |q=1, ~q=0  |~q=1, q=0
                                |p=1. ~p=0  |~p=1, p=0

Implikacja odwrotna daje nam odpowiedź na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie q (q=1)?
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś zero-jedynkową w obszarze AB456, bowiem tylko tu widzimy q=1.
AB123 to warunek konieczny ~>, rzucanie monetą, o definicji w liniach C i D.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~q (~q=1)?
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś zero-jedynkową w obszarze CD789, bowiem tylko tu widzimy ~q=1.
CD123 to warunek wystarczający =>, 100% determinizm, o definicji wyłącznie w liniach C i D.

Wnioski:
1.
Nie ma definicji implikacji odwrotnej bez najzwyklejszego „rzucania monetą”, warunku koniecznego ~>, zdefiniowanego w liniach A i B.
2.
Nie wolno wyrywać z tej definicji wyłącznie warunku wystarczającego => zdefiniowanego w liniach C i D i mówić że resztę, czyli „rzucanie monetą”, mamy w gdzieś.
3.
Definicja to definicja, albo akceptujemy całą, albo wara nam od niej.

Co robi KRZiP w prawie kontrapozycji?

KRZiP bierze z definicji implikacji prostej wyłącznie jedną połówkę, warunek wystarczający => zdefiniowany w liniach A i B, olewając występujący w liniach C i D warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą”!

To jest typowe dziecięce zachowanie:
Jak zamknę oczy to warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą” w definicji implikacji zniknie.

To jest połowa definicji implikacji prostej!

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B.
=> - 100% determinizm
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiory: p*q =p
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest z tożsamy ze zbiorem q
=> - warunek wystarczający
Definicja znaczka => spełniona.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory: p*~q =0 - zbiory rozłączne

KRZiP bierze teraz z definicji implikacji odwrotnej wyłącznie jej połówkę, warunek wystarczający => zdefiniowany w liniach C i D, olewając występujący w liniach A i B warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą!
KRZiP myśli jak dwulatek, jak zamknę oczy to warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą”, zniknie z definicji implikacji odwrotnej.

To jest połowa definicji implikacji odwrotnej!

Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~p) o definicji wyłącznie w liniach C i D.
=> - warunek wystarczający, 100% determinizm
Jeśli zajdzie ~q to na pewno => zajdzie ~p

C.
Jeśli zajdzie ~q to na pewno => zajdzie ~p
~q=>~p =1
Zbiory: ~q*~p =~q
Zbiór ~q zawiera się => w zbiorze ~p i nie jest z tożsamy ze zbiorem ~p
=> - warunek wystarczający
Definicja znaczka => spełniona.
D.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p
~q~~>p =0
Zbiory: ~q*p =0 - zbiory rozłączne

Zero-jedynkowe kodowanie prawa kontrapozycji:
Kod:

Diagram 1     |            |Diagram 2                    |p<=>q =
              |  p q p=>q  |              | ~q ~p ~q=>~p |(p=>q)*(~q=>~p)
A:  p=> q =1  |  1 1  =1   |A: [q~> p =1] | [0  0   =1]  |  =1
B:  p~~>~q=0  |  1 0  =0   |B: [q~~>~p=1] | [0  1   =1]  |  =0
C:[~p~>~q =1] | [0 0  =1]  |C: ~q=>~p =1  |  1  1   =1   |  =1
D:[~p~~>q =1] | [0 1  =1]  |D: ~q~~>p =0  |  1  0   =0   |  =0
    a   b  c     1 2   3        d   e  f     4  5    6       7

Doskonale widać, że matematycznie zachodzi:
p=>q ## ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że w diagramie 1 (Aabc) i diagramie 2 (Adef) mamy zamienione znaczki na podstawach i strzałkach wektorów.
Wszystko jest tu w porządku, bowiem ustaliliśmy na powyższych diagramach sztywny punkt odniesienia ustalony na zdaniu p=>q.

Przykład:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
P8=>P2 - zbiór P8 zawiera się => w zbiorze P2
P2~>P8 - zbiór P2 zawiera ~> w sobie zbiór P8

Gdybyśmy nie zamienili p i q po prawej stronie znaku ##, doszło by do gwałtu na znaczkach => i ~>, co doskonale widać na diagramach 1 i 2 i w przykładzie wyżej.

Gdybyśmy zbudowali w bramkach logicznych układy:
p=>q i ~q=>~p
to po połączeniu wyjść wszystko wyleciałoby w powietrze z powodu kolizji w punktach:
B3#B6
D3#D6

Dla powyższej tabeli możliwa jest pseudo-równoważność, jeśli wyjścia bramek logicznych p=>q i ~q=>~p podamy na bramkę AND realizującą spójnik „i”(*).

Widać to w kolumnie ABCD7.
Zapiszmy tą pseudo-równoważność w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(~q=>~p)
Jeśli to jest równoważność to obowiązuje prawo kontrapozycji:
~q=>~p = p=>q
Stąd nasza pseudo-równoważność ulega redukcji do:
p<=>q = (p=>q)*(p=>q) = p=>q
bo prawo algebry Kubusia:
p*p=p
Równanie:
p<=>q = p=>q
to oczywiste brednie.
Doskonale widać, iż nie da się udowodnić równoważności korzystając z prawa kontrapozycji. To samo dotyczy implikacji, nie da się dowieźć implikacji poprzez kontrapozycję.

Prawo kontrapozycji jest więc psu na budę potrzebne bo nie można nim rozstrzygnąć kluczowej kwestii, równoważność to czy implikacja.
Wszelkie twierdzenia matematyczne w formie „Jeśli p to q” to tylko warunki wystarczające o definicji:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Jeśli założymy że twierdzenie jest równoważnością, wolno nam, to możemy zacząć od p i q dowolnie zaprzeczonych, a możliwości mamy raptem cztery:
p=>q
~p=>~q
p=>~q
~p=>q
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, więc wszystko jedno co nazwiemy p a co q … prawo kontrapozycji jest zbędne!
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:52, 07 Paź 2012    Temat postu:

5.8 Prawo eliminacji implikacji

Znane ziemskim matematykom prawo eliminacji implikacji.
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
Jest doskonałe ale wyłącznie jeśli chodzi o hardware.
Pokazuje ono jak fizycznie zbudować operator implikacji prostej przy pomocy bramki OR.
Bierzemy bramkę OR:
Y=p+q
Negujemy wejście p i otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej bez żadnej interpretacji zer i jedynek.
p=>q = ~p+q

Zupełnie czym innym jest sprzętowa budowa operatora (hardware), a poprawna interpretacja otrzymanej tabeli zero-jedynkowej (software).
W operatorach implikacji nie zachodzi przemienność argumentów, natomiast w operatorach OR i AND zachodzi przemienność argumentów.
Prawo eliminacji implikacji przy pomocy operatora OR można więc miedzy bajki włożyć, tu chodzi wyłącznie o wygenerowanie tabeli zero-jedynkowej implikacji prostej przy pomocy bramki OR i negatora.
Teoretycznie z punktu odniesienia sprzętu wszystkie operatory logiczne są zbędne z wyjątkiem bramki NAND (albo NOR, =>, ~>), tylko że kompletnie nie o to chodzi w logice matematycznej.

Dla przykładu zrealizujmy operatory logiczne OR i AND z wykorzystaniem operatora implikacji prostej.
Mamy budowę operatora implikacji prostej przy pomocy bramki OR:
p=>q = ~p+q
Negujemy dwustronnie p i mamy bramkę OR (operator OR) zbudowaną przy pomocy operatora implikacji prostej:
p+q = ~p=>q
Prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Stąd bramka AND (operator AND):
p*q = ~(p=>~q)
itd.


5.9 Gwarancje matematyczne w implikacji i równoważności

Zacznijmy od równoważności.

Diagram równoważności:

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i jest tożsamy ze zbiorem q

Kod:

Definicja   |Warunek      |Warunek       |
symboliczna |wystarczający|wystarczający |Zbiory
            |=> = AB456   |=> = CD789    |
            | p  q p<=>q  |~p ~q ~p<=>~q |
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1 | 1  1  =1    | 0  0   =1    | p* q=1 /Twarda prawda, gwarancja
B: p~~>~q=1 | 1  0  =0    | 0  1   =0    | p*~q=0 /Twardy fałsz wynikły z A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p=>~q =1 | 0  0  =1    | 1  1   =1    |~p*~q=1 /Twarda prawda, gwarancja
D:~p~~>q =0 | 0  1  =0    | 1  0   =0    |~p* q=0 /Twardy fałsz wynikły z C
   1   2  3   4  5   6      7  8    9

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Operator równoważności odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W równoważności mamy do czynienia z dwoma warunkami wystarczającymi, dwoma gwarancjami.

Gwarancja GW1 po stronie p:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q, co jest oczywistością z powodu tożsamości zbiorów:
p=q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Twardy fałsz w linii B456 (symbolicznie B123) opisuje równanie:
~(p=>q) = p*~q
Wystąpi fałsz [~(p=>q)=1] wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
Wszystkie zmienne sprowadzono do jedynek na mocy prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd gwarancja GW1 wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie p i nie zajdzie q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno”, to nie jest operator logiczny implikacji prostej.
„*” - spójnik „i”, to nie jest operator logiczny, to tylko połówka operatora AND.
Obie strony tożsamości dotyczą wyłącznie twardej prawdy w linii A, bowiem tylko i wyłącznie z tej linii wynika twardy fałsz w linii B.
Tylko i wyłącznie ta tożsamość mówi nam po obu stronach co się stanie jeśli zajdzie p.
Tożsamość wynikła z prawa de’Morgana:
p=>q = ~p+q
Nas nie interesuje bo mamy niezgodność logiczną zmiennej p po obu stronach tożsamości.
W ogólnym przypadku dowodząc warunku wystarczającego p=>q zdefiniowanego wyłącznie w liniach A i B wyżej nie wiemy co zastaniemy po stronie ~p. Po stronie ~p może być kolejny warunek wystarczający =>, wtedy całość to równoważność (jak wyżej), albo po stronie ~p może być warunek konieczny ~>, wtedy całość to implikacja prosta.

Gwarancja GW2 po stronie ~p:
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co jest oczywistością z powodu tożsamości zbiorów:
~p=~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające => dla ~q

Twardy fałsz w linii D789 (symbolicznie D123) opisuje równanie:
~(~p=>~q) = ~p*q
Wystąpi fałsz [~(~p=>~q)=1] wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)

stąd gwarancja GW2 wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie ~p i zajdzie q
~(~p*q)
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno”, to nie jest operator logiczny implikacji prostej.
„*” - spójnik „i”, to nie jest operator logiczny, to tylko połówka operatora AND.
Obie strony tożsamości dotyczą wyłącznie twardej prawdy w linii C, bowiem tylko i wyłącznie z tej linii wynika twardy fałsz w linii D. Tylko i wyłącznie ta tożsamość mówi nam po obu stronach co się stanie jeśli zajdzie ~p.
Tożsamość wynikła z prawa de’Morgana:
~p=>~q = p+~q
Nas nie interesuje bo mamy niezgodność logiczną zmiennej ~p po obu stronach tożsamości.

W ogólnym przypadku możemy zacząć od dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanego wyłącznie w liniach C i D. W tym momencie nie wiemy co jest po stronie p.
Dzięki prawom Kubusia, całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających:
p~>q = ~p=>~q
Udowodnienie warunku wystarczającego => z prawej strony jest automatycznie dowodem zachodzenia warunku koniecznego ~> z lewej strony.
W ogólnym przypadku dowodząc warunku wystarczającego ~p=>~q zdefiniowanego wyłącznie w liniach C i D wyżej nie wiemy co zastaniemy po stronie p. Po stronie p może być kolejny warunek wystarczający =>, wtedy całość to równoważność (jak wyżej), albo po stronie p może być warunek konieczny ~>, wtedy całość to implikacja odwrotna.

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

GW1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK = ~(TP*~SK)
Zdanie równoważne:
GW1:
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt jest prostokątny i nie zachodzi suma kwadratów
~(TP*~SK)

GW2:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)
Zdanie równoważne:
GW2.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów
~(~TP*SK)

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Kod:

Definicja    |Warunek      |Warunek     |
symboliczna  |wystarczający|konieczny   |Zbiory
             |=> = AB456   |~> = CD789  |
             | p  q p=>q   |~p ~q ~p~>~q| p  q
A: p=> q =1  | 1  1  =1    | 0  0   =1  | p* q =1 /Twarda prawda
B: p~~>~q=0  | 1  0  =0    | 0  1   =0  | p*~q =0 /Twardy fałsz wynikły z A
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1  | 0  0  =1    | 1  1   =1  |~p*~q =1 /Miękka prawda
D:~p~~>q =1  | 0  1  =1    | 1  0   =1  |~p* q =1 /Miękka prawda
   1   2  3    4  5   6      7  8    9    a  b c

Gwarancja matematyczna:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające => dla q

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W implikacji prostej jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q lub może zajść q („rzucanie monetą”), nie mamy pojęcia co się stanie, zero gwarancji matematycznej.

Zauważmy, że w implikacji twardy fałsz wynika tylko i wyłącznie z linii A i nie ma nic wspólnego z prawdami miękkimi po stronie ~p.

Twardy fałsz w linii B456 (symbolicznie B123) opisuje równanie:
~(p=>q) = p*~q
Wystąpi fałsz [~(p=>q)=1] wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie ~q (~q=1)

stąd gwarancja GW1 wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie p i zajdzie ~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno”, to nie jest operator logiczny implikacji prostej.
„*” - spójnik „i”, to nie jest operator logiczny, to tylko połówka operatora AND.
Obie strony tożsamości dotyczą wyłącznie twardej prawdy w linii A, bowiem tylko i wyłącznie z tej linii wynika twardy fałsz w linii B. Tylko i wyłącznie ta tożsamość mówi nam po obu stronach co się stanie jeśli zajdzie p.
Tożsamość wynikła z prawa de’Morgana:
p=>q = ~p+q
Nas nie interesuje bo mamy niezgodność logiczną zmiennej p po obu stronach tożsamości.

W ogólnym przypadku dowodząc warunku wystarczającego p=>q zdefiniowanego wyłącznie w liniach A i B wyżej nie wiemy co zastaniemy po stronie ~p. Po stronie ~p może być kolejny warunek wystarczający =>, wtedy całość to równoważność, albo po stronie ~p może być warunek konieczny ~>, wtedy całość to implikacja prosta (jak wyżej).

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH) - gwarancja matematyczna
Zdanie równoważne:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno
~(P*~CH)

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Kod:

Definicja    |Warunek      |Warunek       |
symboliczna  |konieczny  |wystarczający |Zbiory
             |~> = AB456 |=> = CD789    |
             | p  q p~>q |~p ~q ~p=>~q  |
A: p~> q =1  | 1  1  =1  | 0  0   =1    | p* q=1 /Miękka prawda
B: p~~>~q=1  | 1  0  =1  | 0  1   =1    | p*~q=1 /Miękka prawda
p~>q = ~p=>~q
C:~p=>~q =1  | 0  0  =1  | 1  1   =1    |~p*~q=1 /Twarda prawda
D:~p~~>q =0  | 0  1  =0  | 1  0   =0    |~p* q=0 /Twardy fałsz wynikły z C
   1   2  3    4  5   6    7  8    9

Gwarancja matematyczna:
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i nie jest z nim tożsamy
Z czego wynika że ~p jest wystarczające => dla ~q

Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W implikacji prostej jeśli zajdzie p to może zajść q lub może zajść ~q (rzucanie monetą), nie mamy pojęcia co się stanie, zero gwarancji matematycznej.

Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający => zdefiniowany w obszarze CD123 (symbolicznie) i CD789 (zero-jedynkowo).

W linii D789 (symbolicznie D123) mamy opisany twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie z linii C789 (symbolicznie C123):
~(~p=>~q) = ~p*q
Wystąpi fałsz [~(~p=>~q)=1) gdy zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)

stąd gwarancja GW2 wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
Nie może się zdarzyć, że zajdzie ~p i zajdzie q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno”, to nie jest operator logiczny implikacji prostej.
„*” - spójnik „i”, to nie jest operator logiczny, to tylko połówka operatora AND.
Obie strony tożsamości dotyczą wyłącznie twardej prawdy w linii C, bowiem tylko i wyłącznie z tej linii wynika twardy fałsz w linii D. Tylko i wyłącznie ta tożsamość mówi nam po obu stronach co się stanie jeśli zajdzie ~p.
Tożsamość wynikła z prawa de’Morgana:
~p=>~q = p+~q
Nas nie interesuje bo mamy niezgodność logiczną zmiennej ~p po obu stronach tożsamości.

Dzięki prawom Kubusia, całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających:
p~>q = ~p=>~q
Udowodnienie warunku wystarczającego => z prawej strony jest automatycznie dowodem zachodzenia warunku koniecznego ~> z lewej strony.
W ogólnym przypadku dowodząc warunku wystarczającego ~p=>~q zdefiniowanego wyłącznie w liniach C i D wyżej nie wiemy co zastaniemy po stronie p. Po stronie p może być kolejny warunek wystarczający =>, wtedy całość to równoważność, albo po stronie p może być warunek konieczny ~>, wtedy całość to implikacja odwrotna (jak wyżej).

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Zbiór „chmury” zawiera w sobie zbiór „pada”.
Chmury są konieczne ~> dla deszczu.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => aby jutro nie padało

Ta sama gwarancja wyrażona spójnikiem „i”(*):
~CH=>~P = ~(~CH*P)
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~CH=>~P = ~(~CH*P)

Na mocy powyższego mamy kolejne definicje implikacji i równoważności.

Definicja implikacji:
Implikacja to jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna.

Definicja równoważności:
Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne


5.10 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu:
Kod:

Definicja   |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna | p q p~~>q
 p~~> q=1   | 1 1  =1
 p~~>~q=1   | 1 0  =1
~p~~>~q=1   | 0 0  =1
~p~~> q=1   | 0 1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
            |p=1, ~p=0
            |q=1, ~q=0

gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Przykład zdania spełniającego definicję operatora chaosu.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Kod:

 P3~~> P8=1 bo 24
 P3~~>~P8=1 bo 3
~P3~~>~P8=1 bo 5
~P3~~> P8=1 bo 8

Zauważmy że legalny operator chaosu to jednocześnie oficjalna definicja znaczka ~~>.


5.11 Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.

Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =0    /zbiór pusty
B: p~~>~q =0    /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty
D:~p~~> q =0    /zbiór pusty


Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0



5.12 Operatory logiczne w świecie zdeterminowanym

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Rozważmy zdanie:
W.
Mickiewicz był Polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y = MP+PT =0!

Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie znamy wartości logiczne wszystkich zmiennych:
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0

Zgodnie z definicją operatora logicznego badamy odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q:
Kod:

               Y=MP*PT
A: MP* PT =1*1=1
B: MP*~PT =1*0=0
C:~MP*~PT =0*0=0
D:~MP* PT= 0*1=0

Jak widzimy, jedynym zdaniem prawdziwym w świecie zdeterminowanym jest zdanie:
A.
Mickiewicz był Polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT
Z tego powodu ekspert algebry Kubusia, ten straszny Polonista, za zdanie:
Mickiewicz był Polakiem lub napisał Pana Tadeusza
… walnie pałę i nie ma przeproś.

W świecie zdeterminowanym wszelkie inne formy zdaniowe o Mickiewiczu i Panu Tadeuszu będą fałszywe.
W.
Mickiewicz był Polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y = MP+PT =0!
Jest zdaniem fałszywym, bo nie mamy żadnych szans, aby wymusić wynikowe jedynki w liniach B i D. Spójnik „lub”(+) jest tu zatem nieosiągalny.

Rozważmy zdanie:
Jeśli Mickiewicz był Polakiem to napisał Pana Tadeusza
MP=>PT=0!
bo:
Mamy tu świat zdeterminowany gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
W informatyce to są stałe symboliczne, wartości logiczne tych stałych nie mogą ulec zmianie.
Badamy odpowiedź układu w świecie zdeterminowanym.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Definicja
symboliczna |Zbiory |kodowanie
                           Y=MP*PT
A: MP=> PT = MP* PT = 1*1 =1
B: MP~~>~PT= MP*~PT = 1*0 =0
C:~MP~>~PT =~MP*~PT = 0*0 =0
D:~MP~~>PT =~MP* PT = 0*1 =0

Jak widzimy to zdanie również uległo redukcji na mocy prawa Sowy.
Jedynym poprawnym zdaniem jest tu:
A.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT

Implikacja to matematyczny opis nieznanego.
Implikacja ma sens również w przypadku nieznanej przeszłości np.

Dokonano morderstwa w Warszawie.
Podejrzany: Kowalski
A.
Jeśli Kowalski był w Warszawie to mógł ~> zamordować
W~>Z
… a jeśli Kowalskiego nie było w Warszawie?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
C.
Jeśli Kowalskiego nie było w Warszawie to na pewno => nie zamordował
~W=>~Z
Wniosek:
Sprawdzamy alibi Kowalskiego.

Jeśli sprawa jest już rozwiązana i okazało się że Kowalski jest mordercą, to wtedy jedynym zdaniem prawdziwym będzie zdanie:
Kowalski był w Warszawie i zamordował
Y=W*Z

Informacja o Warszawie jest tu informacją nadmiarową, bo istotą jest morderstwo.
Stąd końcowe zdanie:
Kowalski jest mordercą
Y=KM

Zauważmy, że wymówienie w tym przypadku zdania:
Jeśli Kowalski był w Warszawie to mógł ~> zamordować
W~>Z
jest robieniem z siebie idioty.

Prawo Sowy działa wiec doskonale.


6.0 Nietypowe problemy logiki

Mało ciekawscy mogą spokojnie darować sobie nietypowe problemy logiki.

6.1 Nietypowa równoważność

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu logicznym:
p=>q = ~p~>~q

Definicja symboliczna implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Absolutny fundament algebry Kubusia w implikacji i równoważności to definicje ogólne znaczków => i ~>.
1.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Ogólnie:
=> - warunek wystarczający
Zbiór zdefiniowany w podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.

2.
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Ogólnie:
~> - warunek konieczny
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q
Zbiór p jest warunkiem koniecznym ~> dla q

Na podstawie powyższego diagramu prawdziwe jest zdanie:
~p=>~p+~q
Spełniona jest tu ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~p+~q.

Zauważmy, że spełniona jest także definicja ogólna znaczka [~>]:
[~p~>~p+~q]
Zabieramy zbiór ~p i znika nam zbiór ~p+~q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia ~p+~q

Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i warunku koniecznego wirtualnego [~>]
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
[~>] - warunek konieczny wirtualny występujący wyłącznie w równoważności, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q.

Czyżby więc powyższy diagram pasował do równoważności?
Oczywiście że nie!
Nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością!

Zauważmy że zbiór ~p zawiera w całości zbiór ~q
Zachodzi zatem:
~p+~q = ~p

Nasz przykład:
~p=[3->oo]
~q=[7->oo]
~p+ ~q=[3->oo] + [7->oo] = [3->oo]

Jak widzimy zbiór ~q dla tego punktu odniesienia „wyparował”, na powyższym rysunku mamy wyłącznie dwa zbiory p i ~p, a to na mocy definicji równoważności w zbiorach jest bezdyskusyjna równoważność, ale bardzo ciekawa.

p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p)

Nasz przykład:
p=[1,2]
~p=[3->oo]

Analiza matematyczna:
p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p)
p=>p
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo p)
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie p
p=>p =1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze p
Warunek wystarczający spełniony
Zbiory:
p*p=[1,2]*[1,2] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
Zbiór p istnieje (p=1), co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~p
p~~>~p =0
Zbiory:
p*~p = [1,2]*[3->oo] = [] =0 - zbiór pusty
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~p = (~p=>~p)*(p=>p)
~p=>~p
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~p)
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~p
~p=>~p=1
Zbiory:
~p*~p = [3->oo]*[3->oo] = [3->oo] =1 - zbiór niepusty
Zbiór ~p istnieje (~p=1) co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść p
~p~~>p=0
Zbiory:
~p*p = [3->oo]*[1,2] = [] =0 - zbiór pusty
Zbiory ~p i p istnieją (~p=1 i p=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem A albo C otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności.
Kod:

Tabela      |Kodowanie zero-jedynkowe
symboliczna | p p p<=>p| ~p ~p ~p<=>~p
A: p=> p =1 | 1 1  =1  |  0  0   =1
B: p~~>~p=0 | 1 0  =0  |  0  1   =0
C:~p=> ~p=1 | 0 0  =1  |  1  1   =1
D:~p~~>p =0 | 0 1  =0  |  1  0   =0
   1   2  3   4 5   6     7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
            |p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia:
p<=>p = ~p<=>~p
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy symbolicznie w obszarze AB123 i zero-jedynkowo w obszarze AB456, bowiem tylko tu widzimy p=1.
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy symbolicznie w obszarze CD123 i zero-jedynkowo w obszarze CD789, bowiem tylko tu widzimy ~p=1.

Zdania sporadycznie wypowiadane:
Dolar to dolar
D=>D

Jeśli kocha to kocha
K=>K
Jeśli nie kocha to nie kocha
~K=>~K
Miłość to miłość, jest ślepa
M=>M


6.2 Wynikanie równoważnościowe |-

|- - symbol wynikania równoważnościowego

p |- q
Definicja znaczka |-:
|- - prawda po lewej stronie wymusza prawdziwość całego zdania
|- - fałsz po lewej stronie wymusza fałszywość całego zdania

W wynikaniu równoważnościowym |- mnożymy wartości logiczne zdań po obu stronach znaku |-.
1 |- 1 = 1*1 =1
0 |- 1 = 0*1 =0
0 |- 0 = 0*0 =0
1 |- 0 = 1*0 =0

W wynikaniu równoważnościowym prawdziwość/fałszywość zdań p i q musimy znać z góry.
Mamy zatem do czynienia ze światem totalnie zdeterminowanym, gdzie obowiązuje prawo Sowy, stąd tabela zero-jedynkowa wyżej.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W wynikaniu równoważnościowym |- musimy znać z góry prawdziwość zdań p i q aby określić prawdziwość całego zdania. Dokładnie ta informacja wymusza operator AND między p i q.

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p wystarcza dla zajścia q

Prawo przechodniości implikacji prostej:
(p=>q)*(q=>r) |- (p=>r)
(1*1) |- 1 = (1)*1 =1
W wynikaniu równoważnościowym |- mnożymy wartości logiczne zdań po obu stronach znaku |-.
Z faktu że:
zbiór p zawiera się w zbiorze q
„i”(*)
zbiór q zawiera się w zbiorze r
Wynika: |-
że zbiór p zawiera się w zbiorze r

Przykład:
(p=>q)*(q=>r) |- (p=>r)

p=>q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 4
P8=>P4
Definicja znaczka =>:
Zbiór P8 zawiera się w zbiorze P4

Prawo przechodniości implikacji prostej:
(P8=>P4)*(P4=>P2) |- (P8=>P2)
(1*1) |- 1 = (1)*1 =1
Z faktu że:
zbiór P8 zawiera się w całości w zbiorze P4
„i”(*)
zbiór P4 zawiera się w całości w zbiorze P2
wynika |-
że zbiór P8 zawiera się w całości w zbiorze P2

Ten sam przykład w działaniach na zbiorach:
(P8=>P4)*(P4=>P2) |- P8=>P2
Zbiory:
P8=>P4 = P8*P4 = [8,16,24…]
P4=>P2 = P4*P2 = [4,8,12,16…]
(P8=>P4)*(P4=>P2) = [8,16,24…]*[4,8,12,16,20,24..] = [8,16,24 …]

Oczywiście to jest to samo co z prawej strony!
P8=>P2 = P8*P2 = [8,16,24…]
Dlatego ten symbol |- nazywa się wynikaniem równoważnościowym.

Definicja znaczka warunku koniecznego ~>:
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zajście p jest konieczne dla zajścia q, bo zabieram p i znika q

Prawo przechodniości implikacji odwrotnej:
(p~>q)*(q~>r) |- (p~>r)
(1*1) |-1 = (1)*1 =1
Z faktu że:
zbiór p zawiera w sobie zbiór q
„i”(*)
zbiór q zawiera w sobie zbiór r
Wynika: |-
że zbiór p zawiera w sobie zbiór r

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Dowód zachodzenia warunku koniecznego.
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
cnd

Prawo przechodniości implikacji odwrotnej:
(P2~>P4)*(P4~>P8) |- P2~>P8
(1*1) |-1 =(1)*1 =1
Z faktu że:
zbiór P2 zawiera w całości zbiór P4
i
zbiór P4 zawiera w całości zbiór P8
wynika: |-
że zbiór P2 zawiera w całości zbiór P8

Przykład fałszywego wynikania równoważnościowego:
(P8=>P3)*(P3=>P2) |- (P8=>P2)
Oczywiście:
P8=>P3 =0 bo 8
P3=>P2 =0 bo 3
P8=>P2 =1
stąd:
0*0 |- 1 =0*1 =0
Fałsz po lewej stronie wymusza fałszywość całego zdania.
cnd


6.3 Samodzielny warunek wystarczający

Diagram implikacji prostej:


Prawo Kubusia, jak wszystkie prawa logiczne działa wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym.
Jak zdeterminujemy cokolwiek, p albo q, to prawo Kubusia nie działa.
Jedyną poprawną formą analizy matematycznej jest wówczas analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Z diagramu wyżej widzimy że:
(p=>q) |- [~p=>(~q+q)]
czyli:
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający p=>q to z tego faktu wynika |- prawdziwość zdania:
~p=>(~q+q).
Oczywiście zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q+q, bowiem zbiór ~q+q to kompletna dziedzina zarówno dla poprzednika jak i następnika.
~q+q =1

Przykład:
W.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy
Zbiór psów zawiera się w zbiorze zwierząt mających cztery łapy

Z tego faktu wynika:
(P=>4L) |- [~P=>(~4L+4L)]
1 |- 1 = 1*1 =1

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
A.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap lub ma cztery łapy
~P=>(~4L+4L) =1
p=>q
Dziedzina:
~4L+4L - zbiór wszystkich zwierząt
Zwierzęta nie będące psami zawierają się w zbiorze ~4L+4L
Warunek wystarczający spełniony.
Zbiory:
~P*(~4L+4L) = ~P*1 = ~P - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
bo:
~4L+4L=1 - prawo algebry Kubusia
~P*1 =~P - prawo algebry Kubusia
Obliczenie ~q dla potrzeb zdania B:
~(~4L+4L) = 4L*~4L - prawo de’Morgana
stąd:
B.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy i nie mieć czterech łap
~P~~>4L*~4L =0
p=>~q
Zbiory:
~P*(4L*~4L) = ~P*0 =0 - zdanie fałszywe
bo:
4L*~4L =0 - prawo algebry Kubusia
~P*0 =0 - prawo algebry Kubusia

W zdaniu A mamy zdeterminowany następnik:
~4L+4L =1
Sprawdzamy czy zdanie A jest równoważnością, czyli badamy warunek wystarczający w logice przeciwnej:
A: ~P=>(~4L+4L)
Negujemy zmienne stronami:
C: P=>~(~4L+4L) = 4L*~4L - prawo de’Morgana
Stąd:
C.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy i nie ma czterech łap
P=>4L*~4L = 0
~p=>~q =0
Zbiory:
P*(4L*~4L) = P*0 =0 - zdanie fałszywe bo następnik jest zbiorem pustym
bo:
4L*~4L =0 - prawo algebry Kubusia
P*0 =0 - prawo algebry Kubusia

STOP!
Dalej nie musimy analizować bo w zdaniu C otrzymaliśmy w wyniku fałsz!

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

               p q p=>q
A: p=> q =1  | 1 1  =1
B: p~~>~q=0  | 1 0  =0
C:~p=> ~q=0  | 0 0  =0
D: -------   | x x  =x
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             |p=1, ~p=0
             |q=1, ~q=0

W linii C mamy sekwencję 0 0 =0 której nie ma ani w implikacji, ani też w równoważności!

Wniosek:
Zdanie A nie wchodzi w skład definicji ani implikacji, ani równoważności.
Zdanie A jest samodzielnym warunkiem wystarczającym który może istnieć samodzielnie o definicji wyłącznie w liniach A i B.
W przypadku implikacji prostej eliminacja warunku koniecznego ~> w pytaniu o nie psa jest sensowna i zrozumiała.

Zobaczmy jak to będzie wyglądać w przypadku implikacji odwrotnej.

Diagram implikacji odwrotnej:

p~>q = ~p=>~q

W tym przypadku warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą”, mamy po stronie p.
Wyeliminować warunek konieczny ~> możemy tylko w jeden sposób.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
A: 4L=>P+~P
Zbiory:
4L*(P+~P) = 4L*1 =1
B.
4L~~>~(P+~P) = (~P*P) =0
Zbiory:
4L*0 = 0
Warunek wystarczający w zdaniu A spełniony

Zdanie A to masło maślane, którego w praktyce nikt normalny nie wypowie, ale matematycznie poprawne.

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => w kierunku p=>q
p=>q =1
p~>q = ~p=>~q =0

Warunek wystarczający p=>q mamy udowodniony wyżej.

Dowodzimy warunku wystarczającego => w logice ujemnej:
~p=>~q

Nasz przykład:
A: 4L=>P+~P
A: p=>q
stąd:
C: ~4L=>~(P+~P) = ~P*P =0
C: ~p=>~q
Zbiory:
~4L*(~P*P) = ~4L*0 =0
Stąd:
~p=>~q=0

Zatem na mocy definicji implikacji prostej zdanie:
A: 4L=>P+~P
jest implikacją prostą?

NIE!

W zdaniu A mamy zdeterminowany następnik:
P+~P=1
W świecie zdeterminowanym żadne prawa logiczne nie obowiązują!

Jedyną poprawną matematycznie metodą rozstrzygnięcia z czym mamy do czynienia jest skorzystanie z definicji operatora logicznego.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Mamy:
A: p=>q =1
A: 4L=>P+~P =1 bo zbiory: 4L*(P+~P) = 4L*1 =1
B: p~~>~q =1
B: 4L~~>~P*P = 0 bo zbiory: 4L*(~P*P) = 4L*0=0
C: ~p=>~q =0
C: ~4L=>~P*P =0 bo zbiory: ~4L*(~P*P)=~4L*0 =0
STOP!
Dalej nie musimy analizować!
Tabela prawdy:
Kod:

             | p q  p=>q
A: p=> q =1  | 1 1  =1
B: p~~>~q=0  | 1 0  =0
C:~p=>~q =0  | 0 0  =0
D: ------      x x   x
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             | p=1, ~p=0
             | q=1, ~q=0

Nie ma sekwencji 0 0 =0 ani w implikacji, ani w równoważności.
Zdanie A nie wchodzi więc do definicji żadnego operatora logicznego.

Zdanie A:
4L=>P+~P
to samodzielny warunek wystarczający mogący istnieć samodzielnie
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:53, 07 Paź 2012    Temat postu:



7.0 Równania algebry Kubusia

Równania algebry Kubusia to naturalna logika człowieka.


7.1 Tworzenie równań algebry Kubusia

Poznamy teraz banalną technikę tworzenia równań algebry Kubusia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej, na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

Tabela 1
   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
B: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej uzyskujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością w wyniku.

Najprostsze równanie algebry Kubusia uzyskamy dla linii D123, bo mamy tu samotne zero w wyniku.

Algorytm:
1.
Spis z natury:
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Stąd dla 2 mamy najprostsze równanie algebry Kubusia opisujące tabelę 1.
3.
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Oczywiście to równanie opisuje wyłącznie linię D123!

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.
Mamy:
~Y=~p*~q
stąd:
Y=p+q

4.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Oczywiście to równanie opisuje teraz wyłącznie obszar ABC123 w tabeli 1!

Wnioski:
1.
Nagłówek w tabeli 1 to tylko matematyczny opis spójnika „lub”(+) zdefiniowanego w obszarze ABC123.
Y=p+q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
2.
Kompletny operator OR, czyli wszystkie cztery linie opisuje układ równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
~Y=~p+~q
Y=p*q
To jest oczywiście operator AND w układzie równań logicznych.
cnd

Z twierdzenia Prosiaczka wynika, ze równoważny opis tabeli 1 uzyskamy opisując obszar ABC123, czyli linie z jedynkami w wyniku.

Algorytm:
Spis z natury:
1.
A: Y=1 <=> p=1 I q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
2.
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Stąd mamy równanie algebry Kubusia opisujące obszar ABC123, definicję spójnika „lub”(+):

Definicja spójnika lub w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y = p+q = p*q+p*~q+~p*q
bo oba te równania opisują identyczny obszar tabeli 1 (ABC123)

Stąd kompletna definicja operatora OR w wersji maksymalnej tu układ równań:
Y = p+q = p*q+p*~q+~p*q - obszar ABC123
~Y=~p*~q - linia D123

Z prawa de’Morgana wynika że negując wszystkie zmienne musimy otrzymać operator AND:
~y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
y=p*q
To jest oczywiście pełna i maksymalna definicja operatora AND
cnd

Zauważmy że wyłącznie zanegowaliśmy zmienne zatem matematycznie zachodzi:
Kod:

Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND
Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q    ##  ~y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=~p*~q               ##   y=p*q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
Funkcja logiczna Y (duże) to zupełnie co innego niż funkcja logiczna y (małe).

Przykład:
Kod:

A.                                ## B.
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T=1                           ## y=K*T=1

## - różne na mocy definicji
Wynika z tego że jeśli powiem zdanie A to nie mogę go zastąpić zdaniem B i odwrotnie.

Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
co matematycznie oznacza:
~y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
~y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)

Oraz definicje spójnika „i”(*) w logice dodatniej
y=p*q
y=1 <=> p=1 i q=1
cnd

Doskonale widać zgodność czystej matematyki z nową teoria zbiorów i naturalną logika człowieka!


7.2 Minimalizacja funkcji logicznych

Geniuszem w minimalizacji funkcji logicznych jest nasz mózg, który w praktyce zawsze operuje funkcjami minimalnymi. Minimalizacja jest przydatna przy projektowaniu złożonych automatów cyfrowych w bramkach logicznych, tyle że w dobie mikroprocesorów to epoka kamienna. Można zatem ten rozdział traktować jako ciekawostkę, lub pominąć.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.

Metody minimalizacji funkcji logicznej

Nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.

Absorpcja:
p*(p+q)=p

1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p=p*1
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd

2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
Kod:

p q p+q p*(p+q)
1 1 =1   =1
1 0 =1   =1
0 1 =1   =0
0 0 =0   =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p

3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd


7.3 Osiem równań opisujących operator OR

Kolejne trzy punkty można traktować jako matematyczną ciekawostkę. Osobom nie zainteresowanym na serio matematyką doradzam pominiecie tych punktów.

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
D:~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=p*q

Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam slowa: Y=1          |Sklamię: ~Y=1
1: Y=p+q                      |2: ~Y=~p*~q
4: Y=~(~p*~q)                 |3: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)      |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |7: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja    |                |
Symboliczna  |                |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q     |Y=p*q+p*~q+~p*q |                       |
             |p q Y=p+q       | ~p ~q ~Y=~p*~q        |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 /p*q =Y |  0  0   =0            | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 /p*~q=Y |  0  1   =0            | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p*q=Y |  1  0   =0            | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0         |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3            4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |Y=p+q           |~Y=~p*~q
             |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0       | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.


7.4 Osiem równań opisujących operator AND

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Definicja operatora AND w równaniach algebry Boole’a:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1            |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q                        |2: ~Y=~p+~q
4: Y=~(~p+~q)                   |3: ~Y=~(p*q)
6: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q)        |5: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]   |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
-------------------------------------------------------------
Definicja    |
Symboliczna  |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
             |
Dotrzymam    |
slowa: Y=1   |p q Y=p*q         | ~p ~q 2:~Y=~p+~q      | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0            | =1
Sklamie: ~Y=1|                  |  ~Y=~p+~q             |
U: ~Y=~p+~q  |                  |  ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q   |
B: ~p*~q=~Y  |0 0  =0           |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
C: ~p* q=~Y  |0 1  =0           |  1  0   =1 /~p* q=~Y  | =0
D:  p*~q=~Y  |1 0  =0           |  0  1   =1 / p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.


7.5 Logika zero

Logika zero jest logiką totalnie przeciwną do naturalnej logiki człowieka.
Logika zero i logika człowieka to logiki tożsame.

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q  Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
   1 2  3

Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Obszar działania: ABC123

Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Obszar działania: D123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logika człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „lub”(+), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „i”.

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q  Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
   1 2  3


Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1
Obszar działania: A123

Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 0.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=>p=0 lub q=0
Obszar działania: BCD123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logiką człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „i”(*), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „lub”.

Ułożymy wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla zero-jedynkowej definicji operatora OR.
Kod:

                |Logika człowieka  |Logika zero
   p q  Y=p+q   |Y=p*q+p*~q+~p*q   |~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
A: 1 1 =1       | Y= p* q          |~Y=~p+~q
B: 1 0 =1       | Y= p*~q          |~Y=~p+ q
C: 0 1 =1       | Y=~p* q          |~Y= p+~q
D: 0 0 =0       |~Y=~p*~q          | Y= p+ q
   1 2  3

W logice człowieka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionach.
LC: Y = p*q + p*~q + ~p*q

W logice zero wszystkie zmienne sprowadzamy do zera korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=1 to ~p=0
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „lub”(+) w poziomach i spójnika „i”(*) w pionach:
LZ: ~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Dowód tożsamości tych logik.
Przechodzimy z równaniem LZ do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
LZ: Y= (p*q) + (p*~q) + (~p*q)

Doskonale widać:
LC=LZ
cnd

Oczywiście logikę zero wywalamy w kosmos, bowiem naturalną logiką dla każdego człowieka jest logika człowieka.


8.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1


Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


8.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego

Zajmijmy się operatorami dotychczas nie omówionymi.

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę z dwoma przełącznikami p i q na których można ustawiać logiczne 0 albo 1. Wyjściem w tej skrzynce jest lampka Y sterowana przez najprawdziwszego krasnoludka imieniem OPERATOR w następujący sposób.
Y=1 - lampka zaświecona
Y=0 - lampka zgaszona
Panel sterowania naszej czarnej skrzynki umożliwia wybór jednego z 16 możliwych operatorów logicznych.
W laboratorium techniki cyfrowej można sprawdzić doświadczalnie działanie wszystkich 16 operatorów logicznych. Pewne jest że teoria matematyczna musi być w 100% zgodna z rzeczywistością co jest dowodem że … krasnoludki są na świecie.


8.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)

Definicje ~~> i N(~~>)
Kod:

p q Y=p~~>q Y=~(p~~>q)
1 1  =1       =0
1 0  =1       =0
0 1  =1       =0
0 0  =1       =0

Jak widzimy po wybraniu operatora ~~> krasnoludek OPERATOR zapala lampkę na wyjściu Y=1, siada na stołeczku i odpoczywa kompletnie nie interesując się co też ten człowieczek na wejściach p i q sobie ustawia. Analogicznie jeśli wybierzemy operator N(~~>) to lampka na wyjściu Y będzie cały czas zgaszona (Y=0).

Zdanie zawsze prawdziwe to operator chaosu ~~>, gdzie prawdziwe są wszelkie możliwe przeczenia p i q
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

W operatorze ~~> możemy sobie długo i namiętnie zaprzeczać p i q, wartość funkcji będzie niewzruszona Y=1.
Kod:

p q Y=p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Dokładnie to samo w równaniu algebry Boole’a opisującym powyższą tabelę
Y = p~~>q = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
p+~p=1
p*1=1

Oczywiście operator:
Y=1 ma zero argumentów
cnd

Gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Znaczek ~~> jest jednocześnie spójnikiem i operatorem, bo równanie algebry Kubusia opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3

Weźmy na zakończenie operator śmierci N(~~>q) w równaniach algebry Boole’a.
Operator śmierci to stan naszego wszechświata przed jego stworzeniem, żadne pojęcie nie jest zdefiniowane, stąd wartość logiczna dowolnych przeczeń p i q jest równa zeru.
Kod:

p q Y=N(p~~>q)
1 1  =0
1 0  =0
0 0  =0
0 1  =0

Operator śmierci w tabeli symbolicznej:
Kod:

 p  q  Y=N(p~~>q)
 p  q  =0
 p ~q  =0
~p*~q  =0
~p* q  =0

Stąd równanie w algebrze Kubusia (w naturalnej logice człowieka):
~Y = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
mamy:
~Y=1
Negujemy stronami:
Y=0
Cokolwiek byśmy nie ustawili na wejściach p i q to wyjście będzie niewzruszone Y=0
cnd


8.3 Operatory transmisji P i Q

Definicje operatorów transmisji P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0


Definicja operatora transmisji Y=pPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pPq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =0
0 0  =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.

Definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=pP=p
1  =1
0  =0


Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q = p*(q+~q) = p*1 = p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q

Operator transmisji w zbiorach:

Y=p

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1


8.4 operatory negacji NP i NQ

Definicje operatorów negacji NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1


Definicja operatora negacji Y=pNPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pNPq
1 1  =0
1 0  =0
0 1  =1
0 0  =1

Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q

Jedno z kluczowych praw algebry Kubusia (Boole’a)
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

Dowód formalny:
Kod:

~Y=p  Y=~p  ~Y=~(~p)
  1    =0     =1
  0    =1     =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.

Operator negacji w zbiorach:

Y=~p

Przykład:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1


9.0 Algebra zbiorów rozłącznych

W tym rozdziale omówimy mało ważne i rzadkie zastosowanie algebry Kubusia.
Są to zdania prawdziwe typu:
Pies to nie kot
Pies to nie samochód
itd.

9.1 Operator XOR

Operator XOR opisuje zbiory rozłączne.

Definicja:
Kod:

p q pXORq
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0
1 1  =0

p XOR q = p*~q + ~p*q



Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
C.
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
D.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
pXORq = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji na mocy teorii zbiorów

Tabela XOR dla dwóch zbiorów:
Kod:

           |Definicja symboliczna |Definicja symboliczna
p q pXORq  |Teoria zbiorów        |Warunki wystarczające
1 0  =1    | p*~q =1              | p=>~q =1
1 1  =0    | p* q =0              | p~~>q =0
0 1  =1    |~p* q =1              |~p=> q =1
0 0  =0    |~p*~q =0              |~p~~>~q=0

Definicję symboliczną utworzono z tabeli zero-jedynkowej korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Warunki wystarczające opisane są prawidłowo wyłącznie dla przypadku gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q jest zbiorem pustym.
~p*~q=0
Zachodzi wówczas równoważność jak niżej.

Nietypowa równoważność dla zbiorów rozłącznych:
p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)=1*1=1

Przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)=1*1=1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej
Dziedzina: człowiek
Możliwe zbiory: mężczyzna, kobieta
Stąd poprawność powyższej równoważności

Nietypowa implikacja prosta dla zbiorów rozłącznych:

Definicja warunku wystarczającego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

p=>~q=1
Zbiory:
p*~q=1*1=1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku jeden
p~~>q=0
Zbiory:
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne,
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

p=>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
Zajście p wystarcza dla zajścia ~q


Definicja warunku koniecznego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

~p~> q=1
Zbiory:
~p*q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną,
co wymusza w wyniku jeden
~p~~>~q=1
Zbiory:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną,
co wymusza w wyniku jeden

~p~>q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p jest warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
~> - warunek koniczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
~p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1 bo pies
Bycie psem wystarcza aby nie być kotem
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> jest kotem
P~~>K=0 - zbiory rozłączne
... a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być kotem
~P~>K=1 bo kot
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> nie być kotem
~P~~>~K=1 bo koń, mrówka, wąż..

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Kod:

               |P ~K P=>~K
A: P=>~K=1     |1  1  =1
B: P~~>K=0     |1  0  =0
C:~P~> K=1     |0  0  =1
D:~P~~>~K=1    |0  1  =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
               |P=1, ~P=0
               |~K=1, K=0

Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej, w skrócie „jest implikacją prostą”

Ciekawy jest wyjątek gdzie q jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek:
Kod:

                   |P ~ML P=>~ML
A: P=>~ML=1        |1  1   =1
B: P~~>ML=0        |1  0   =0
C:~P~> ML=0        |0  0   =0
D: bez znaczenia
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
                   |P=1, ~P=0
                   |~ML=1, ML=0

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.

Identyczną analizę otrzymamy gdy zbiór q należy do innej dziedziny niż zbiór p

A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
Bycie psem wystarcza aby nie być samochodem
Dziedzina po stronie p: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q: zbiór wszystkich maszyn jeżdżących
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być samochodem
P~~>S=0
Zbiory:
P*S=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym (S=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

.. a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~S = ~P~>S
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może być samochodem
~P~>S=0
Zbiory:
~P*S = 1*0=0
Zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym, stąd w wyniku zero.
W linii C będziemy mieli sekwencję (0 0 =0) co wyklucza zarówno implikację, jak i równoważność.
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym o definicji w liniach A i B.

9.2 Nietypowe warunki wystarczające

Rozważmy typową implikację odwrotną:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Zbiór „chmury” zawiera w sobie zbiór „pada” bo zabieramy „chmury” i znika nam zbiór „pada”
Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.

Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P=1
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1

Definicja warunku wystarczającego w algebrze Kubusia:
Kod:

A.
p=>q=1
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w q, stąd w wyniku 1
B.
p~~>~q=0
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne, stad w wyniku 0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w q

Zdanie podobne do A to:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać lub nie będzie padać
CH=>(P+~P)=1
p+~p=1 - prawo algebry Kubusia
To jest warunek wystarczający =>, 100% pewność.
czyli:
Jak będzie pochmurno to nie mamy pojęcia czy będzie padać czy nie.

To zdanie jest warunkiem wystarczającym bo:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać lub nie będzie padać
CH=>P+~P =1
p=>q=1
1 1 =1
Zbiory:
CH*(P+~P) = 1*1=1
P+~P=1 - prawo algebry Boole’a
Obliczenie ~q:
P+~P = ~P*P - prawo de’Morgana
stąd:

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> będzie padać i nie będzie padać
CH~~>~(P+~P)=~P*P=0
p=>~q=0
1 0 =0
~P*P=0 - prawo de’Morgana
Zbiory:
CH*(~P*P) = 1*0 =0
Oczywiście zbiór: P*~P jest zbiorem pustym o wartości logicznej równej 0.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym.
Definicja warunku wystarczającego spełniona (A1 plus B1).

Zdanie A1 nie jest jednak ani implikacją, ani równoważnością, bo nie spełnia definicji zero-jedynkowej ani jednego, ani drugiego.



10.0 Definicje operatorów w bramkach logicznych

Definicja operatora OR:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p*~q
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =1    0  1   =0
C: 0 1  =1    1  0   =0
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to tabela prawdy ABC123 (bramka OR)
Spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to linia D456 (bramka AND)

Próbnik stanów logicznych to probówka z dwoma diodami świecącymi:
Zielona - logiczne „0”
Czerwona - logiczne „1”

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p+q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze ABC123, cały czas dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po dojściu do linii D zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w linii D456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p*~q
Musi być:
~p=1
~q=1
~Y=~p*~q=1


Definicja operatora AND:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q


Kod:

   p q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =0    0  1   =1
C: 0 1  =0    1  0   =1
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to linia A123 (bramka AND)
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to tabela prawdy BCD456 (bramka OR)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p*q
Na wejściach p i q wymuszamy stan logiczny pokazany w linii A123, dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po przejściu do linii B zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w obszarze BCD456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p+~q
Musi być dokładnie to co w tabeli.
Przykładowo dla linii B musi być:
~p=0
~q=1
~Y=~p+~q=1


Definicja bramki „musi”=>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi”=> to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Definicja bramki „może” ~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może”~> to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Definicja operatora implikacji prostej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „musi”=>:
p=>q =1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „może”~>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0   0  1   =0
C:~p~> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =1   1  0   =1
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji prostej to obszar ABCD123:
p=>q = ~p~>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii B456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p=>q) = p*~q
stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q
Fizyczna budowa operatora implikacji prostej to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=>)
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „może”~>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p=>q = ~p~>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B musi zaświecić się dioda zielona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek konieczny ~>).
Przykładowo dla linii D789 musi być:
~p=1
~q=0
~p~>~q =1


Definicja operatora implikacji odwrotnej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „może” ~>:
p~>q =1
p~~>~q=1
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „musi”=>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =1   0  1   =1
C:~p=> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =0   1  0   =0
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej to obszar ABCD123:
p~>q = ~p=>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii D456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p~>q) = ~p*q
stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q
Fizyczna budowa operatora implikacji odwrotnej to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „może”~>)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p~>q = ~p=>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek konieczny ~>). Oczywiście cały czas musi zaświecić się dioda czerwona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0


Definicja równoważności:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) mamy w bramce „musi”=> po lewej stronie:
p=>q=1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) mamy w bramce „musi”=> po prawej stronie:
~p=>~q=1
~p~~>q=0
Kod:

             p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1  1 1  =1    0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0    0  1   =0
C:~p=> ~q=1  0 0  =1    1  1   =1
D:~p~~> q=0  0 1  =0    1  0   =0
   1    2 3  4 5   6    7  8    9

Symboliczna definicja operatora równoważności to obszar ABCD123:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=> po lewej stronie)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=> po prawej stronie)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p<=>q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B dioda musi zaświecić się na zielono.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0

Bardzo ważne doświadczenie:
Sprawdzić w laboratorium układów logicznych rzeczywiste działanie wszystkich operatorów logicznych.


10.1 Algebra Kubusia - czyż nie jest piękna?

Największą tragedią współczesnej matematyki jest nieznajomość pojęć z zakresu FUNDAMENTÓW matematyki naszego Wszechświata.

Te fundamentalne pojęcia w zdaniach „Jeśli p to q” to:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Definicja podstawowa:
Kod:

A: p=> q =1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q

2.
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji o definicji
p~>q = ~p=>~q

3.
~~> naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Znajomość tych trzech fundamentów generuje nową, kompletnie nieznaną człowiekowi, PRAWDZIWĄ matematykę naszego Wszechświata, z zupełnie nowymi zadaniami matematycznymi.

Zobaczmy to na przykładzie.

Zadanie:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
1. Udowodnij, czym jest to zdanie w sensie matematycznym.
2. Definicję jakiego operatora logicznego to zdanie spełnia.

Rozwiązanie:
Zakładamy że zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
~P8~>~P4+~P2

Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q
Nasz przykład:
A.
~P8~>~P4+~P2
=
C.
P8=>~(~P4+~P2) = P4*P2 - prawo de’Morgana
czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 4 i jest podzielna przez 2

Aby udowodnić zachodzenie warunku koniecznego w zdaniu A wystarczy udowodnić warunek wystarczający => w zdaniu C, co jest oczywistością.
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>!
cnd

Definicję jakiego operatora logicznego zdanie A spełnia?
Dowiedliśmy iż zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zatem analizujemy:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
~P8~>~P4+~P2 =1 bo 3
p~>q =1
LUB
B.
Obliczamy ~q
~(~P4+~P2) = P4*P2
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 4 i przez 2
~P8~~>P4*P2 =1 bo 4
p~~>~q=1
… a jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Nasze zdanie A:
~P8~>~P4+~P2
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje argumentów i wymianę spójników:
P8=>P4*P2
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
stąd:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 4 i przez 2
P8=>P4*P2 =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
~p=>~q =1
Obliczenie q:
~q = P4*P2
q=~(~q) = ~(P4*P2) = ~P4+~P2 - prawo de’Morgana
stąd:
D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
P8~~>~P4+~P2 =0 - oczywiście przypadek niemożliwy
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C!

Jaką definicje spełnia zdanie A?
Zdanie wypowiedziane:
p~>q
Ustalamy punkt odniesienia na zdaniu wypowiedzianym czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tworzymy tabelę prawdy dla tego zdania:
Kod:

Zdanie symbolicznie |Kodowanie zero-jedynkowe
                    | p q p~>q
A: p~> q =1         | 1 1  =1
B: p~~>~q=1         | 1 0  =1
C:~p=>~q =1         | 0 0  =1
D:~p=> q =0         | 0 1  =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                    | p=1, ~p=0
                    | q=1, ~q=0

Odpowiedź:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) dla punktu odniesienia:
p=~P8
q=~P4+~P2

Oczywiście inny uczeń może to zadanie rozwiązać w logice przeciwnej do ucznia wyżej!

Rozwiązanie alternatywne:
A: ~P8~>~P4+~P2 =1 bo 3
A: ~p~>~q =1
Obliczenie q:
q=~(~q) = ~(~P4+~P2) = P4*P2 - prawo de’Morgana
stąd:
lub
B:~P8~~>P4*P2=1 bo 4
B:~p~~>q=1
… a jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Mamy A:
~P8~>~P4+~P2
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
P8=>P4*P2
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty.
stąd:
C: P8=>P4*P2 =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
C: p=>q=1
Obliczenie ~q:
~(P4*P2) = ~P4+~P2 - prawo de’Morgana
stąd:
D: P8~~>~P4+~P2 =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C!
D: p~~>~q=0

Budujemy tabelę prawdy dla zdania A!

Zdanie wypowiedziane A:
~p~>~q =1
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A mamy:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Zdanie A symbolicznie |Kodowanie zero-jedynkowe
                      | ~p ~q ~p~>~q
A: ~p~>~q=1           |  1  1   =1
B: ~p~~>q=1           |  1  0   =1
C:  p=> q=1           |  0  0   =1
D:  p=>~q=0           |  0  1   =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                      |~p=1, q=0
                      |~q=1, q=0

Odpowiedź:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q) dla punktu odniesienia:
~p = ~P8
~q= ~P4+~P2
cnd

Oczywiście oba rozwiązanie są genialne i poprawne matematycznie!

Zauważmy, że oba te rozwiązania są identyczne jeśli chodzi o rozwiązania rzeczywiste dla parametrów aktualnych:
~P8
~P4+~P2
Te rozwiązania nie różnią się nawet przecinkiem.

Reszta zależy od przyjętych punktów odniesienia!
Zauważmy, że choćby przyszło tysiąc atletów, zjadło tysiąc kotletów, to nie mają najmniejszych szans aby ze zdania A zrobić implikację prostą! … taki to ciężar!

Wniosek:
Nie da się wyeliminować z logiki implikacji odwrotnej. Dogmat Ziemskich matematyków o zbędności implikacji odwrotnej jest błędem czysto matematycznym, bo nie istnieje ani implikacji prosta, ani też implikacja odwrotna bez warunku koniecznego ~>, czyli bez najzwyklejszego „rzucania monetą”.


Mamy tu sytuację podobną jak w rozwiązywaniu sieci elektrycznych o prądu stałego o n-gałeziach. W dowolnej z gałęzi może być źródło napięcia i rezystor, albo sam rezystor.

Sieci elektryczne rozwiązujemy układając układ równań liniowych na mocy dwóch praw Kirchhoffa.

I prawo Kirchhoffa:
Suma prądów w węźle jest równa zeru

II prawo Kirchhoffa:
Suma napięć w obwodzie zamkniętym jest równa zeru

Zasady:
1
Dla obwodu elektrycznego o n-punktach węzłowych można ułożyć n-1 równań na mocy I prawa Kirchhoffa
2.
Dla obwodu elektrycznego o n gałęziach niezależnych można ułożyć n równań na podstawie II prawa Kirchhoffa.
Oczko jest oczkiem niezależnym jeśli przynajmniej jedna jego gałąź nie wchodzi w skład pozostałych oczek, dla których ułożono równania Kirchhoffa.

Weźmy gałąź ze źródłem napięcia i rezystorem!
W którą stronę płynie prąd elektryczny?
Co wskazują wektory napięć na źródle i rezystorze?

Wszystkich możliwych punktów odniesienia mamy cztery!

Kod:

1. Polacy i Anglosasi:
             Ue                   Ur
          -------->           <--------
               |+              --------
A-------------||------->-------|      |--------B
               |       I       --------
                  ---------->
2. Węgrzy i Niemcy:
             Ue                   Ur
          <--------            -------->
               |+              --------
A-------------||------->-------|      |--------B
               |       I       --------
                  ---------->
3. Kosmita 1
             Ue                   Ur
          -------->           <--------
               |+              --------
A-------------||-------<-------|      |--------B
               |       I       --------
                  <----------
4. Kosmita 2
             Ue                   Ur
          <--------            -------->
               |+              --------
A-------------||-------<-------|      |--------B
               |       I       --------
                  <----------


Dla prawidłowego rozwiązania sieci jest totalnie nieistotne który z powyższych układów odniesienia przyjmiemy.

Możemy przyjąć dowolny, to kompletnie bez znaczenia!

Przyjecie konkretnego punktu odniesienia rzutuje na strzałkowanie całej sieci elektrycznej. Kierunek prądu w gałęzi w której nie ma źródła napięcia jest TOTALNIE nieistotny, możemy sobie rzucać monetą, ale jakiś kierunek musimy arbitralnie ustalić.
Oczywiście po rozwiązaniu takiego układu w gałęziach będą nam wychodzić prądy ze znakiem PLUS albo MINUS i kluczowa jest tu interpretacja tego faktu w odniesieniu do przyjętego punktu odniesienia.

Z powyższego wynikają niezwykłe wnioski:
1.
Jest totalnie nieważne co przyjmiemy za prąd elektryczny w sensie fizycznym i w którą stronę prąd w rzeczywistości płynie, w moim podręczniku do nauki elektroniki funkcjonuje taka oto, niezwykła definicja prądu elektrycznego.

Z punktu widzenia elektronika (nie technologa) doskonała jest taka definicja prądu elektrycznego.

Punkt odniesienia:
Polacy i Anglosasi:
Prąd elektryczny (poza źródłem napięcia) to pchły biegnące od wyższego do niższego potencjału. Rezystor stanowi dla nich przewężnie, które starają się zlikwidować uderzając młotkiem w jego ścianki.

Skądinąd wiemy że jak się coś czymś uderza to zwykle wydziela się ciepło.
stąd:
Pojecie mocy traconej w elemencie elektronicznym:
P=U*I
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:56, 07 Paź 2012    Temat postu:



11.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).
Zdania A i B to świat totalnie zdeterminowany bo znamy z góry wartości logiczne p i q.
Dla psa mamy:
4L=1, ~4L=0
S=1, ~S=0

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1
Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego. Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Prawo Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”.

Zdanie:
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
… a jeśli Jan nie był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


11.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
11. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


11.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to może ~~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
P+K ~~> ~4L+C =0
p~~>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty:
Mamy:
p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
~p~>~q = ~P*~K ~> ~4L+C
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
Kod:

Definicja
Symboliczna    |p q p=>q
A: p=> q=1     |1 1  =1
B: p=>~q=0     |1 0  =0
C:~p~>~q=1     |0 0  =1
D:~p~~>q=1     |0 1  =1
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja następnika.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w następniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

P+K=> 4L*~C=1*1=1
P+K=> 4L* C=1*0=0
P+K=>~4L*~C=0*1=0
P+K=>~4L* C=0*0=0

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy następnika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


11.3 Złożona implikacja odwrotna

Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu, możemy to robić wyłącznie w implikacjach bezczasowych. Oba zdania będą prawdziwe, ale nie równoważne matematycznie (pkt. 6.1).
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K
Po stronie poprzednika mamy tu prawdę powstałą z negacji fałszu (~C=1) którą możemy sunąć ale nie musimy tego robić.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
p~>q=1
Posiadanie czterech łap i brak umiejętności ćwierkania jest warunkiem koniecznym aby być psem lub kotem.
Zbiory:
(4L*~C)*(P+K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (P+K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
Obliczanie ~q:
q=P+K
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~q = ~P*~K
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~~> nie być psem i nie być kotem
4L*~C ~~> ~P*~K =1 bo słoń, koń, hipopotam ...
p~~>~q=1
Zbiór zwierząt mających cztery łapy i nie ćwierkających ma część wspólną ze zbiorem zwierząt nie będących psami i nie będących kotami (słoń, koń, hipopotam...).
Zbiory:
(4L*~C)*(~P*~K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (~P*~K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

... a jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
4L*~C ~> P+K
stąd:
~4L+C => ~P*~K
To jest prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Dowód:
p~>q = ~p=>~q
mamy:
p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
Stąd:
~p=>~q
~4L+C => ~P*~K
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => nie jest psem i nie jest kotem
~4L+C => ~P*~K =1 bo wąż, mrówka, wróbelek ...
~p=>~q=1
Brak czterech łap lub ćwierkanie jest warunkiem wystarczającym => aby nie być psem i nie być kotem.
Zbiory:
(~4L+C)*(~P*~K)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (~P*~K)=1)]i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to może ~~> być psem lub kotem
~4L+C ~~> P+K =0
~p~~>q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap lub ćwierkających jest rozłączny ze zbiorem psów lub kotów, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(~4L+C)*(P+K)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (P+K)=1)] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
B: (4L*~C) ~> (~P*~K) = D: (~4L+C) => (P+K) =0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
Kod:

Definicja       |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna     |p q p~>q
A: p~> q =1     |1 1  =1
B: p~~>~q=1     |1 0  =1
C:~p=>~q =1     |0 0  =1
D:~p~~>q =0     |0 1  =0
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w skrócie jest implikacją odwrotną

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja poprzednika.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w poprzedniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

 4L*~C=1*1=1 ~~>P+K
 4L* C=1*0=0 ~~>P+K
~4L*~C=0*1=0 ~~>P+K
~4L* C=0*0=0 ~~>P+K

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy poprzednika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


11.4 Zdania złożone typu p+(q*r)

Przykład zdania złożonego typu p+(q*r):
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) oraz nie pójdę na basen (~B) lub nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K*(~B+~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Jak zobaczymy w niedalekiej przyszłości w zdaniu typu p*(q+r) człowiek zastępuje spójnik „i”(*) spójnikiem „oraz” (lub podobnym).
1.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Jak widzimy nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że tu nie wolno wstawić spójnika „i”(*), trzeba poszukać jakiegoś zamiennika.
Możliwości mamy tu duże:
Jutro pójdę do kina „jak również” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „a także” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „po czym” na basen lub do parku
itp.

Zauważmy, że wstawienie spójnika „i”(*) zmienia totalnie sens zdania:
2.
Jutro pójdę do kina i na basen lub do parku
Y=(K*B)+P
Oczywiście zdania 1 i 2 są totalnie różne!
Wracamy do tematu ...

Zobaczmy nasze równania:
Y = K+(B*P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Y = ~[~K*(~B+~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  0   1         0  0  1   1     0            1
1 0 1  0   1         0  1  0   1     0            1
1 0 0  0   1         0  1  1   1     0            1
0 1 1  1   1         1  0  0   0     0            1
0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=K+(B*P)
Y=1 <=> K=1 lub (B=1 i P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K * (~B+~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K * (~B+~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K*(~B+~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K*(~B+~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K+(B*P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K* ~B*~P + ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
lub
K*~B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i nie do parku (~P=1)
lub
~K*B*P=1*1*1=1 - nie do kina (~K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
A: 0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
B: 0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
C: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABC678 i kolumny wynikowej ABC10
~Y = ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


11.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

Przykład zdania złożonego typu p*(q+r):
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K+(~B*~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę na basen (~B) i nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K+(~B*~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).

Zobaczmy nasze równania:
Y = K*(B+P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Y = ~[~K+(~B*~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  1   1         0  0  1   0     0            1
1 0 1  1   1         0  1  0   0     0            1
1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) oraz na basen (B=1) lub do parku (P=1)
Y=K*(B+P)
Y=1 <=> K=1 i (B=1 lub P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K + (~B*~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K + (~B*~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K+(~B*~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K+(~B*~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)]

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K*(B+P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
A: 1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
B: 0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
C: 0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
D: 0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
E: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABCDE678 i kolumny wynikowej ABCDE10
~Y = K*~B*~P + ~K*B*P + ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


12.0 Obietnice i groźby

We wszystkich podręcznikach mamy prawidłową definicję obietnicy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Na mocy definicji spójnikiem domyślnym w obietnicy jest spójnik „na pewno” =>:
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę

To jest poprawna definicja obietnicy!

Zauważmy teraz że NIE nagroda jest karą!

Prawa Kubusia to 100% MATEMATYKA !:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Dokładnie stąd mamy definicję groźby.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Na mocy definicji spójnikiem domyślnym w groźbie jest spójnik „może” ~>:
Jeśli spełnisz warunek kary to mogę ~> cie ukarać, ale nie muszę, gwarantuje mi to matematyka ścisła, algebra Kubusia. W praktyce spójnik „może” prawie nigdy nie jest wypowiadany bowiem intencja nadawcy jest, aby odbiorca nie spełnił warunku kary.

Nadawca może tu sobie mówić co mu się podoba np.
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L
Na mocy definicji groźby to zdanie musimy kodować implikacją odwrotną. Zauważmy że w groźbie nadawca ma możliwość blefowania i nie jest kłamcą!

Zauważmy że w groźbie NIE kara jest nagrodą

To co wyżej to matematyczne banały, znane każdemu 5-cio latkowi … z wyjątkiem największych nawet, ziemskich matematyków.

Jeśli chcemy matematycznie opisać logikę człowieka (i nie tylko) to musimy rozróżniać obietnice od gróźb inaczej zginiemy, i to błyskawicznie!

Przykładowo, nie będziemy wiedzieli co to jest skok z wieżowca na główkę, i jak niemowlaki będziemy chcieli to wypróbować. Niemowlaki uczą się odróżniać nagrodę od kary (mleko od kupki) tuż po urodzeniu - zmusza je do tego fizjologia.


12.1 Obietnica

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania czekolady.
Obietnica, zatem implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q), tu wszyscy się zgadzamy
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy p i q w całym obszarze logiki
Skoro to warunek wystarczający => to na mocy definicji:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Kubusia (i Boole’a!) leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości!
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary, oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować!
gdzie:
~> - warunek konieczny
~~> - naturalny spójnik "może", jest taka możliwość.

Z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną!

Jedyne możliwe definicje obietnicy i groźby są zatem takie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>.
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


12.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji!
Nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to nie dostaniesz lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania (z powodu że nie ubrudziłeś spodni!)
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Z punktu odniesienia zdania C mamy do czynienia z implikacją prostą.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


12.3 Obietnica w równaniach logicznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych.

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


12.4 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


12.5 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
B.
p~~>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary
C: C*~D=0 - tu również jest kara
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą i definicją groźby.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranocki
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


12.6 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W~>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać kare w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


12.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 12.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


12.8 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

Raj, 2012-08-15
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin