Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja (2009-01-01)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 0:34, 22 Sie 2008    Temat postu: Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja (2009-01-01)

Kazimierz Adjukiewicz „Język i poznanie” t.II str.135 napisał:

Jeżeli jaka logika formalna jest potrzebna uczniom zaznajamiającym się z logiką jako z przedmiotem usługowym, to chyba logika zdań zbudowanych z wyrazów naturalnego języka, którym się uczeń w życiu i naukach posługuje, a nie logika formalna języka sztucznego. Uczeń, któremu podaje się twierdzenia logiczne operujące tymi sztucznymi terminami, odczuwa je - jak sadzę - jako twierdzenia dla których w praktyce swego myślenia i rozumowania nie znajdzie nigdy zastosowania.


Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja

Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


Polecana literature uzupełniająca:
Nieznane fundamenty algebry Boole’a

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści:
1.0 Notacja

2.0 Algebra Boole’a w pigułce
2.1 Stara definicja algebry Boole’a
2.2 Nowa definicja algebry Boole'a
2.3 Fundamenty algebry Boole’a
2.4 Logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a
2.5 Prawa de’Morgana
2.6 Logika dodatnia i ujemna człowieka
2.7 Kwadrat logiczny AND i OR

3.0 Implikacja
3.1 Implikacja prosta
3.2 Implikacja odwrotna
3.3 Prawa Kubusia
3.4 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
3.6 Definicje spójników „musi” => i „może” ~>
3.7 Najciekawszy problem w całej algebrze Boole'a
3.8 Równania ogólne implikacji
3.9 Algorytm działania implikacji prostej
3.10 Algorytm działania implikacji odwrotnej
3.11 Kwadrat logiczny implikacji
3.12 Równoważność
3.13 Prawa kontrapozycji

4.0 Implikacja w bramkach logicznych
4.1 Wykresy czasowe implikacji prostej i odwrotnej

5.0 Obietnice
6.0 Groźby
6.1 Twarda forma gróźb i obietnic
7.0 Logika bez operatora może ~> i praw Kubusia


Wstęp.

Nie da sie opisać matematycznie naturalnej logiki człowieka bez zrównania praw implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~>. Sens implikacji w obietnicach i groźbach w języku mówionym to po prostu prawo do wręczenia nagrody przy nie spełnionym warunku nagrody (implikacja prosta = akt miłości) oraz prawo do darowania dowolnej kary przy spełnionym warunku kary (implikacja odwrotna = akt łaski). Brak poszanowania równych praw implikacji prostej i odwrotnej w dzisiejszej logice to największa jej tragedia, przyczyna fałszywego sloganu logików „Logika człowieka nie istnieje”. Mam nadzieję, że ta publikacja odmieni zafałszowaną rzeczywistość we współczesnej logice.


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna.


2.0 Algebra Boole’a w pigułce

W tym punkcie zawarto absolutne fundamenty algebry Boole’a. Tylko tyle i aż tyle należy się nauczyć i przede wszystkim zrozumieć. Należy zwrócić uwagę na ideę udowadniania dowolnych zależności w logice przy pomocy równań logicznych. Wszelkie tabele zero-jedynkowe zakopujemy w głębokim dole, zasypujemy i stawiamy krzyżyk z napisem „Koniec epoki dinozaurów w logice” … co nie wyklucza ich chwilowego odkopania.


2.1 Stara definicja algebry Boole’a

Stara definicja algebry Boole’a jest ślepa bo nie uwzględnia dwóch najważniejszych operatorów logiki wszelkich istot żywych: implikacji prostej => oraz implikacji odwrotnej ~>.

Stara definicja:
Algebra Boole'a jest to struktura matematyczna złożona z trzech działań binarnych:
+ - (lub, or, alternatywa)
* - (i, and, koniunkcja)
~ - (nie, not, przeczenie logiczne)
oraz wyróżnionych elementów 0 (fałsz), 1 (prawda).


2.2 Nowa definicja algebry Boole'a

Definicja:
Algebra Boole’a to algebra legalnych operatorów matematycznych oraz wyróżnionych elementów 1 (prawda), 0 (fałsz).

Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ


Najważniejsze operatory logiczne to:
OR(+), AND(*), Implikacja prosta =>, Implikacja odwrotna ~>

Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu: AND, NAND, OR, NOR, <=>, XOR.


2.3 Fundamenty algebry Boole’a

1 = ~0
0 = ~1
Przyjmujemy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy
A=~(~A)
czyli:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest że jestem nieuczciwy

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A =1
A*~A =0


Najważniejsze prawa wynikające z definicji algebry Boole’a

A+~A=1 - tu jest gwarancja że A i ~A nie mogą być równocześnie równe 0 (fałsz)
bo byłoby:
0+0=1
Czyli:
0=1 - algebra Boole’a leży w gruzach

A*~A=0 - tu jest gwarancja że A i ~A nie mogą być równocześnie równe 1 (prawda)
bo byłoby:
1*1=0
Czyli:
1=0 - algebra Boole’a leży w gruzach

Porada praktyczna.
Najważniejsze prawa łatwo zapamiętać jeśli wyobrazimy sobie zmienne jako zera i jedynki w logice dodatniej czyli:
A=1
~A=0
Wtedy w wyobraźni zapisujemy sobie uproszczenie:
A+~A = 1+0 =1
A*~A = 1*0 =0
Zauważmy że dla dowolnej ilości zmiennych mnożenie logiczne niczym nie różni się od mnożenia algebraicznego:
Y = 1*1*1*1*0*0*1 =0 - wystarczy jedno zero aby wynik był równy 0
W algebrze dziesiętnej dla powyższego mamy identycznie Y=0

Zupełnie inaczej jest w sumie logicznej:
Y=1+1+0+1+0+1 = 1 - wystarczy jedna jedynka aby wynik był równy 1
W algebrze dziesiętnej byłoby tu Y=4, zupełnie co innego !


2.4 Logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a

A+B - wyrażenie w algebrze Boole’a
Y=A+B
Y = abstrakcyjna funkcja logiczna przypisana dowolnemu wyrażeniu w algebrze Boole’a

Definicja:
Logika dodatnia - funkcja logiczna zmiennych binarnych niezanegowana (Y)
Logika ujemna - funkcja logiczna zmiennych binarnych zanegowana (~Y)

W zdaniach twierdzących operatory AND(*) i OR(+) występują wyłącznie w logice dodatniej. W tym przypadku możemy mówić o abstrakcyjnej funkcji logicznej, niedostępnej w wypowiadanym zdaniu.

Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T

Przykład:
A.
Y = A+C(D*E) - funkcja logiczna w logice dodatniej
Domyślna kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR

Ta sama funkcja może być zapisana w logice ujemnej na dwa sposoby.
B.
Negujemy dwustronnie powyższe równanie:
~Y = ~[A+C(D*E)] - logika ujemna bo ~Y
C.
Przechodzimy do logiki ujemnej negując w równaniu A wszystkie zmienne i wymieniając operatory AND(*) na OR(+) i odwrotnie:
~Y = ~A*~C+(~D+~E) - logika ujemna bo ~Y
Domyślna kolejność wykonywania działań: nawiasy, OR, AND

Ponowny powrót do logiki dodatniej uzyskujemy na dwa sposoby.
D.
Negujemy dwustronnie równanie B otrzymując równanie A
Y=A+C(D*E) - logika dodatnia bo Y
E.
Negujemy dwustronnie równanie C
Y=~(~Y)
Y=~[~A*~C+(~D+~E)] - logika dodatnia bo Y

Równoważne przekształcenia pozwalające uniezależnić się od pamiętania o kolejności wykonywania działań w logice dodatniej i ujemnej.
A.
Y = A+C(D*E) - funkcja logiczna w logice dodatniej
Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory:
Y=A+[C*(D*E)] - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y = ~A*[~C+(~D+~E)] - logika ujemna bo ~Y

W operatorach implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> funkcja logiczna Y zawsze występuje jawnie w wypowiadanych zdaniach.


2.5 Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
A+B - wyrażenie w algebrze Boole’a
Y=A+B
Y = abstrakcyjna funkcja logiczna przypisana dowolnemu wyrażeniu w algebrze Boole’a

Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny, przejście do logiki ujemnej ~Y
~Y = ~A*~B
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej, bo Y (niezanegowane)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej, bo ~Y

Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej

W identyczny sposób dowodzi się drugie prawo de’Morgana


2.6 Logika dodatnia i ujemna człowieka

W katalogach układów cyfrowych roi się od błędów przy przechodzeniu z kodu zero-jedynkowego do równań w algebrze Boole’a.

Przykład:
A.
Y=1 <=> A=1 i B=0 i C=0

Funkcja logiczna Y (wyjście układu cyfrowego) ma być równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy A=1 i B=0 i C=0.

Przykład błędnego kodowania spotykanego w katalogach:
Y=A*B*C … no bo wszędzie występuje spójnik „i”

W naturalnej logice dodatniej człowieka (algebrze Boole’a) wszystkie sygnały sprowadzamy do logicznych jedynek i dopiero wówczas zapisujemy równanie w naturalny sposób czyli:

B.
Y=A*~B*~C - poprawne przejście do równania w algebrze Boole’a w logice dodatniej
bo:
B=0 czyli ~B=1
C=0 czyli ~C=1
Zmienne Y i A są naturalnymi jedynkami zatem tylko je przepisujemy.

Równanie A można także zakodować w równoważnej logice ujemnej człowieka, gdzie wszystkie sygnały sprowadzamy do 0 i wszędzie zapisujemy przeciwne operatory do występujących w równaniu zero-jedynkowym czyli:
A.
Y=1 <=> A=1 i B=0 i C=0
Kodujemy jako:
C.
~Y=~A+B+C
bo:
Y=1 czyli ~Y=0
A=1 czyli ~A=0
Zmienne B i C są naturalnymi zerami zatem tylko je przepisujemy

Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
stąd na podstawie równań B i C mamy:
A*~B*~C = ~(~A+B+C)

W ten sposób znów odkryliśmy genialne prawo de’Morgana.


2.7 Kwadrat logiczny AND i OR

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
Dla n=2 mamy:
r=1 <=> p=1 i q=1
W logice dodatniej człowieka mamy:
r=p*q - sprowadzenie do jedynek
To samo w logice ujemnej człowieka:
~r=~p+~q - sprowadzenie do zer i odwrócenie operatorów

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0
dla n=2 mamy:
r=0 <=> p=0 i q=0
W logice ujemnej człowieka mamy:
r=p+q - sprowadzenie zmiennych do zera i odwrócenie operatorów
W logice dodatniej człowieka mamy:
~r=~p*~q - sprowadzenie zmiennych do jedynek z zachowaniem operatorów

Z powyższego widać, że z punktu odniesienia człowieka suma logiczna OR(+) jest logiką ujemną w stosunku do iloczynu logicznego AND(*).

Matematycznie oba zapisy:
r=p*q
r=p+q
są zapisami w logice dodatniej bo funkcja logiczna r jest niezanegowana.

Kwadrat logiczny AND(*) i OR(*)

Kod:

A1:r=p*q     A2:r=p+q

C1:~r=~p+~q  C2:~r=~p*~q


W pionach mamy tu do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne, ani w poziomach, ani po przekątnych.

Doskonale widać prawa de’Morgana zachodzące w pionach:
A1-C1:
p*q = ~(~p+~q)
A2-C2:
p+q = ~(~p*~q)


3.0 Implikacja

Implikacja, czyli spójnik zdaniowy „Jeśli…to…”, jest najbardziej kontrowersyjnym spójnikiem w logice człowieka. Przyczyną wszelkich kłopotów jest fundamentalnie błędne rozumienie implikacji w dzisiejszej logice.

Spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacja odwrotną albo równoważnością co zależy od treści w nim zawartej. To trzy fundamentalnie różne funkcje logiczne które muszą być matematycznie rozpoznawalne inaczej otrzymamy znany wszystkim logikom fałszywy slogan „Logika człowieka nie istnieje”.

Ogólnie implikację zapisujemy symbolicznie jako:
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
gdzie:
p - poprzednik implikacji, zawsze po „Jeśli…”
q - następnik implikacji, zawsze po „to…”


3.1 Implikacja prosta

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej.
Kod:

p q  r
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Operowanie zerami i jedynkami to średniowiecze. Przejdźmy jak najszybciej na zapis symboliczny, zgodny z logiką dodatnią człowieka (pkt.2.6). Ten historyczny krok pozwoli operować w logice językiem symbolicznym (asemblerem) zamiast kodem maszynowym (zerami i jedynkami).

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Symboliczna definicja implikacji prostej
Kod:

 p  q  r=p=>q=~p+q
 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1

Równanie opisujące implikację prostą najłatwiej uzyskać z drugiej linii tabeli::
~r = p*~q
czyli:
r = ~(p*~q) = ~p+q - prawo de’Morgana

Słowną definicję implikacji tworzymy zawsze dla p i dowolnego q. Z pierwszych dwóch linii tabeli symbolicznej widać że jeśli zajdzie p to musi zajść q, bo druga linia jest twardym fałszem.

Definicja słowna implikacji prostej:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia jest twardym fałszem, implikacja prosta leży w gruzach.
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Z ostatnich dwóch linijek definicji widać, że jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q lub q
~p=>(~q+q) - jeśli zajdzie ~p to musi => zajść q lub ~q, nie ma innych możliwości matematycznych.

Przykład implikacji prawdziwej:
Jeśli zwierzę jest psem to musi => mieć cztery łapy
P=>4L =1
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym by mieć cztery łapy

Przykład implikacji fałszywej:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma skrzydła
P=>S =0
Oczywisty fałsz, bo psy nie mają skrzydeł.

Uwaga:
Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q i zdanie nie jest równoważnością to q jest warunkiem koniecznym dla p. Wykluczenie równoważności jest tu konieczne, bowiem równoważność to z definicji pewne wynikanie w dwie strony czyli warunek wystarczający zachodzący w dwie strony. Równoważność to fundamentalnie inna funkcja logiczna o której dalej. Nic nie może być jednocześnie implikacją i równoważnością, to fizycznie niemożliwe.

Przykład równoważności:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R
K60 jest wystarczające dla R i R jest wystarczające dla K60
czyli:
K60<=>R = (K60=>R)*(R=>K60) = 1*1 = 1 - definicja równoważności


3.2 Implikacja odwrotna

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
Kod:

p q  r
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej.
Kod:

 p  q  r=p~>q=p+~q
 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0

Równanie implikacji odwrotnej otrzymujemy z ostatniej linii tabeli:
~r = ~p*q
czyli:
r = ~(~p*q) = p+~q - prawo de’Morgana

Słowną definicję implikacji odwrotnej tworzymy dla p i dowolnego q.

Z pierwszych dwóch linii tabeli widać że:

Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
LUB
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść ~q
p~>~q =1

Pierwsze dwie linie można też zapisać jako:
p=>(q+~q) - jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q lub ~q, nie ma innych możliwości matematycznych

Z powyższego wynika, że dla poprawnej definicji implikacji odwrotnej wystarczy pierwsza linia tabeli.

Słowna definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia tabeli jest twardym fałszem, definicja leży w gruzach.
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q

Jeśli p jest konieczne dla q (implikacja odwrotna) to w drugą stronę q jest wystarczające dla p (implikacja prosta). Nie ma innych możliwości matematycznych.

Zauważmy, że jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusza zajście ~q, trzecia linia tabeli:
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q
~p=>~q =1 - gwarancja w implikacji odwrotnej p~>q
Powyższe wymusza ostatnią linię tabeli:
~p=>q =0

W ten sposób z wyprzedzeniem odkryliśmy jedno z praw Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Przykład implikacji odwrotnej prawdziwej:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Implikacja odwrotna poprawna bo cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
4L~>P = ~4L=>~p
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P

Przykład implikacji fałszywej:
Jeśli zwierzę ma skrzydła to może ~> być psem
S~>P =0
Implikacja fałszywa bo skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa


3.3 Prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q = ~p+q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q = p+~q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Gdzie:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q - gwarancja w implikacji odwrotnej p~>q

Dowód:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

Dowód:
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji.

Wniosek z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Prawa Kubusia, podobnie jak prawa de’Morgana są bezinterpretacyjne, obowiązują zatem w całej algebrze Boole’a obojętnie jak byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli. Interpretacyjne są same definicje implikacji prostej (warunek wystarczający) i implikacji odwrotnej (warunek konieczny). Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+).


3.4 Operatorowa definicja implikacji prostej

Operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej pozwalają analizować zdania w naturalnej logice człowieka, algebrze Boole’a … to logika człowieka wyssana z mlekiem matki, którą doskonale posługują się wszystkie dzieci w przedszkolu.

Symboliczna definicja implikacji prostej
Kod:

 p  q  r=p=>q=~p+q
 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1


Pierwsze dwie linie tabeli symbolicznej to definicja implikacji prostej:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
A: p=>q =1 - twarda prawda zachodząca zawsze bez wyjątków
LUB
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
B: p=>~q =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Ostatnie dwie linie operatorowej definicji implikacji prostej wynikają z prawa Kubusia, obowiązującego zawsze i wszędzie, bez żadnych wyjątków
C: p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia dla linii A
D: p=>~q = ~p~>q - prawo Kubusia dla linii B
czyli:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
C: ~p~>~q =1
LUB
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
D: ~p~>q =1

Pozorna kolizja w bezwzględnych zerach i jedynkach w liniach B i D wynika z przejścia na zupełnie inny operator implikacji odwrotnej ~> i będzie wyjaśniona w dalszej części.

Jak widzimy, definicja implikacji prostej (A i B) związana jest żelaznym uściskiem z definicją implikacji odwrotnej (C i D) na mocy prawa Kubusia. Nie ma definicji implikacji prostej bez definicji implikacji odwrotnej i odwrotnie.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
A: P=>4L =1 bo pies - twarda prawda
Implikacja prawdziwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy
LUB
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
B: P=>~4L =0 - twardy fałsz, wobec powyższej twardej prawdy

… a jeśli zwierzę nie jest psem ?

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~>~4L - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
czyli:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
C: ~P~>~4L =1 bo kura, mrówka …
LUB
D: Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć cztery łapy
~P~>4L =1 bo koń, słoń …

Jak widać, implikacja prosta w liniach A i B przechodzi na mocy praw Kubusia w implikację odwrotną w liniach C i D.


3.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej.
Kod:

 p  q  r=p~>q=p+~q
 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0


Dwie pierwsze linie tabeli to definicja implikacji odwrotnej.

Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
A: p~>q =1
Oczywiście p musi być warunkiem koniecznym dla q
LUB
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść ~q
B: p~>~q =1

Kolejna dwie linie w definicji implikacji odwrotnej wynikają z prawa Kubusia.
C: p~>q = ~p=>~q - dla linii A
D: p~>~q = ~p=>q - dla linii B
czyli:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja w implikacji odwrotnej p~>q
LUB
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
D: ~p=>q =0 - twardy fałsz wobec twardej prawdy wyżej

Jak widać, tu również mamy pozorną niezgodność wynikowych zer i jedynek w liniach B i D wynikłą z przejścia na zupełnie inny operator co zostanie wyjaśnione za chwilę.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
A: 4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
B: 4L~>~P =1 bo koń, słoń …

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
C: ~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja dla zdania A
LUB
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
D: ~4L=>P =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Jak widać implikacja odwrotna w liniach A i B tabeli przechodzi na mocy prawa Kubusia w implikację prostą w liniach C i D.


3.6 Definicje spójników „musi” => i „może” ~>

Zauważmy fenomenalną analogię spójników „musi” do AND i „może” do OR.

AND
Iloczyn logiczny jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki iloczynu są równe 1, fałszywy gdy istnieje przynajmniej jeden element o wartości 0.

Definicja spójnika „musi” =>:
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli dla każdego elementu spełniającego warunek p zajdzie warunek q
Zdanie jest fałszywe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i nie spełniający warunku q.

OR
Suma logiczna jest prawdziwa gdy istnieje przynajmniej jeden element prawdziwy, fałszywa gdy wszystkie składniki sumy maja wartość 0.

Definicja spójnika „może” ~>:
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i warunek q
Zdanie jest fałszywe gdy nie istnieje element spełniający warunek p i warunek q

Jak widać „może” i „musi” są w 100% zgodne z naturalną logiką człowieka.

Możliwe są trzy znaczenia symbolu =>:
1.
Zdanie fałszywe
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 3
P5=>P3 =0 - fałsz
2.
Zdanie prawdziwe, implikacja fałszywa
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R =1
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „musi” =>
Implikacja fałszywa, bo to jest ewidentna równoważność
3.
Zdanie prawdziwe, implikacja prawdziwa
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
P8 jest wystarczające dla P2

Możliwe są trzy znaczenia symbolu ~>:
1.
Zdanie fałszywe
Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P =0 - fałsz
2.
Zdanie prawdziwe, implikacja fałszywa
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 bo 15
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „może” ~>
Implikacja fałszywa bo P3 nie jest konieczne dla P5 (P5 nie jest wystarczające dla P3).
3.
Zdanie prawdziwe, implikacja prawdziwa
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
Cztery łapy są konieczne aby być psem


Zapis matematyczny musi być jednoznaczny. Rozstrzygnięcie zdanie prawdziwe/fałszywe to oczywiście algebra Boole’a. Dodatkowe rozstrzygnięcie implikacja prawdziwa/fałszywa pozornie wykracza poza tą algebrę.

Rozwiązanie problemu jest proste.

Implikacja prosta

Tu zdanie prawdziwe może być wyłącznie implikacją prostą albo równoważnością. Nie ma innych możliwości matematycznych. Musimy zatem obowiązkowo rozstrzygnąć czy badane zdanie jest równoważnością. Jeśli jest to kodujemy zdanie przy pomocy symbolu równoważności i po bólu - dalej jesteśmy w algebrze Boole’a.

Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

W pierwszym przybliżeniu możemy zapisać jak wyżej, lecz nie możemy takiego zapisu zostawić bo matematyka nie będzie jednoznaczna.

Jedyne poprawne matematycznie kodowanie powyższego zdania to:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R

Oczywiście, użyty spójnik „Jeśli…to…” można uznać za poprawny bo nie powoduje on iż ewidentna równoważność stanie się nagle implikacją, to fizycznie niemożliwe.


Implikacja odwrotna

W implikacji odwrotnej jeśli zdanie jest prawdziwe to implikacja może być prawdziwa lub fałszywa. Implikacja jest prawdziwa jeśli między p i q zachodzi warunek konieczny. Jeśli zatem w zdaniu prawdziwym wykluczymy warunek konieczny między p i q to pozostanie zdanie prawdziwe ale implikacja odwrotna fałszywa, czyli dalej będziemy w algebrze Boole’a (zdanie prawdziwe/fałszywe).

Przykłady implikacji odwrotnych fałszywych

Przykład 1
Jeśli zwierzę jest psem to może mieć cztery łapy
P~>4L
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „może”. Implikacja odwrotna fałszywa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy (implikacja prosta).
Dodatkowo można się tu wspomóc prawem Kubusia:
P~>4L = ~P=>~4L
Prawa strona to oczywisty fałsz (bo słoń), zatem wypowiedziana implikacja odwrotna jest fałszywa.

Przykład 2
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 bo 15
Zdanie prawdziwe, ale implikacja odwrotna jest fałszywa bo P3 nie jest konieczne dla P5


Podsumowanie:

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna którą z definicji jest implikacja prosta. Badanie wyłącznie prawdziwości/fałszywości zdania jest dobre tylko w równoważności.

Jeśli w zdaniu „Jeśli…to..” spełniony jest warunek wystarczający to zdanie może być implikacją prostą albo równoważnością (warunek wystarczający w dwie strony). Nie ma innych możliwości matematycznych. Jeśli zdanie jest równoważnością to oczywiście implikacja prosta jest fałszywa.

Jeśli w zdaniu „Jeśli…to…” spełniony jest warunek konieczny między p i q to zdanie jest na pewno implikację odwrotną. Nie ma innych możliwości matematycznych. W implikacji odwrotnej zdanie może być prawdziwe zaś implikacja odwrotna fałszywa.


3.7 Najciekawszy problem w całej algebrze Boole'a

Definicje:
Twardy fałsz - zachodzi zawsze bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - zachodzi zawsze bez żadnych wyjątków
Miękka prawda - może być prawda, ale nie musi
Miękki fałsz - może być fałsz, ale nie musi

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies, miękka prawda
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń, miękka prawda
Prawo Kubusia dla zdania A.
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda
Z powyższej twardej prawdy wynika poniższy twardy fałsz:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P =0 - twardy fałsz

… a gdzie jest miękki fałsz ?
Algebra Boole’a jest symetryczna i musi gdzieś być !

… i teraz najciekawszy problem w całej algebrze Boole’a.

Prawo Kubusia dla zdania B:
4L~>~P = ~4L=>P
Zauważmy, że prawa strona jest twardym fałszem - zdanie D.

Lewa strona równania jest miękką prawdą (zdanie B) czyli:
4L~>~P =1 miękka prawda dla konia, słonia, kota, jeża ….
ale !
4L~>~P =0 dla psa ! - miękki fałsz

Tak wiec dla psa mamy spełnione równanie Kubusia:
4L~>~P=~4L=>P =0 !


Zauważmy, że w podstawowym prawie Kubusia dla zdania A:
4L~>P = ~4L=>~P =1
również mamy z lewej strony miękką prawdę (czyli nie zachodzi zawsze), zaś z prawej strony twardą prawdę (zachodzi zawsze). Tu zajdzie kolizja dla dowolnego czworonoga nie będącego psem bo:

Miękka prawda i miękki fałsz dla zdania A wygląda tak:
4L~>P =1 bo pies, miękka prawda
ale !
4L~>P =0 miękki fałsz dla konia, słonia, kota, jeża …


3.8 Równania ogólne implikacji

Cały problem implikacji i równoważności można zamknąć w dwóch ogólnych równaniach matematycznych.

Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q+~q
p=>(q+~q)
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q+q
~p=>(~q+q)
Nie ma innych możliwości matematycznych

Matematyczne możliwości są takie.
A.
Równoważność = dwustronna implikacja prosta, dwustronny warunek wystarczający
p=>q =1 - twarda prawda
p musi być wystarczające dla q
p=>~q=0 - twardy fałsz
i
~p=>~q =1 - twarda prawda
~p musi być wystarczające dla ~q
~p=>q=0 - twardy fałsz
B.
Implikacja prosta
p=>q=1 - twarda prawda
p musi być wystarczające dla q
p=>~q=0 - twardy fałsz
i
~p~>~q=1 - miękka prawda
~p~>q=1 - miękka prawda
C.
Implikacja odwrotna
p~>q=1 - miękka prawda
p musi być konieczne dla q
p~>~q=1 - miękka prawda
i
~p=>~q=1 - twarda prawda
~p=>q=0 - twardy fałsz
D.
Implikacja dwustronnie odwrotna, dwustronny warunek konieczny
p~>q=1 - miękka prawda
p~>~q=1 - miękka prawda
i
~p~>~q=1 - miękka prawda
~p~>q=1- miękka prawda

Oczywiście przypadek D to żadna logika bo nie ma tu jakiejkolwiek gwarancji matematycznej. Poza tym dwustronny warunek konieczny jest fizycznie niemożliwy do zaistnienia.

Zauważmy, że matematycznie dopuszczalne są negacje po stronie następnika q w równaniach ogólnych implikacji:
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q+~q
p=>(q+~q) = [~q+~(~q)] = (~q+q)
Jeśli zajdzie ~q to na pewno zajdzie ~q+q
~p=>(~q+q)= [~(~q)+~q]=(q+~q)

To co dobre matematycznie nie jest dobre od strony fizycznej. W implikacji ma znaczenie które zdanie analizujemy. W analizowanej implikacji dokładnie dwa zdania są implikacjami, pozostałe nimi nie są. Prawa Kubusia mówią które zdania są implikacjami.

Implikacja prosta:
p=>q = ~p~>~q - oba zdania to implikacje
Implikacja odwrotna:
p~>q = ~p=>~q - oba zdania to implikacje

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
4L są warunkiem koniecznym, aby być psem
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń, kot, koń ...
4L nie są warunkiem koniecznym dla ~P bo pies

Zdanie A jest implikacja odwrotną zaś zdanie B nie jest. To są dwa różne zdania i nie można ich zamieniać.

Zauważmy:
4L~>~P =1 - zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „może” (bo słoń)
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P
… ale implikacja fałszywa.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P=0 - twardy fałsz

To samo co wyżej w inny sposób:
4L~>~P =1 bo słoń … - zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „może”
Jeśli implikacja odwrotna jest prawdziwa to po zamianie p i q musi przejść w prawdziwą implikację prostą czyli:
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno ma cztery łapy
~P=>4L =0 bo kura
czyli:
4L~>~P - implikacja odwrotna fałszywa

Wnioski:
1.
Jeśli zdanie jest prawdziwe na mocy spójnika „może” to prawo Kubusia może być narzędziem pomocniczym do rozstrzygnięcia czy implikacja odwrotna jest prawdziwa/fałszywa.
2.
Jeśli zdanie jest prawdziwe na mocy spójnika „może” i jest implikacją odwrotną to po zamianie p i q musi przejść w implikację prostą.

Inny przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 bo 15 - zdanie prawdziwe
Prawo Kubusia:
P3~>P5 = ~P3=>~P5
Czyli:
1.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 3 to na pewno nie jest podzielna przez 5
~P3=>~P5
Implikacja odwrotna fałszywa bo 5 !
2.
Zdanie wypowiedziane po zamianie p i q
P5=>P3 =0 bo 5
Fałszywa zarówno implikacja P5=>P3 jak i P3~>P5


3.9 Algorytm działania implikacji prostej

Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.
Kod:

                        musi
         Jeśli         |-----  q --- p=>q=1
        |-----  p -----|musi
        |              |----- ~q --- p=>~q=0
        |
        |
X => ---|
        |
        |               może
        |Jeśli         |----- ~q --- ~p~>~q=1
        |----- ~p -----|może
                       |-----  q --- ~p~>q=1
 

Jak widać implikacja obsługiwana jest w dwóch taktach. W pierwszym podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.

Definicja implikacji prostej
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej p=>q=0 czyli implikacja prosta jest fałszywa
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi”=> między p i q

Uwaga:
Jeśli p jest wystarczające dla q to należy udowodnić że q nie jest wystarczające dla p czyli obowiązkowo wykluczyć równoważność. Wtedy i tylko wtedy zdanie jest implikacją prostą.

Dowolny wylosowany element X może trafić do jednego z pudełek o wartości logicznej =1. Tylko i wyłącznie to pudełko będzie prawdą dla tego konkretnego losowania, pozostałe będą fałszem. Nie ma fizycznej możliwości, aby konkretny element X znalazł się jednocześnie w dwóch pudełkach na wyjściu.

Po nieskończonej ilości losowań dowolnych elementów X puste będzie jedynie pudełko z napisem:
p=>~q =0
Pozostałe trzy będą na 100% pełne, nie ma innych możliwości ani fizycznych, ani matematycznych. Z tego powodu w definicji implikacji prostej mamy taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, czyli zawartość pudełka:
p=>q =1 - twarda prawda
To pudełko jest najważniejsze w całym algorytmie, reszta jest zdecydowanie mniej istotna.

Bardzo ciekawe z punktu widzenia odbiorcy we wszelkich obietnicach jest pudełko implikacyjne.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek p to nagroda q
p=>q - implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać

Implikacja:
~p~>q=1
Nawet jeśli nie spełnię warunku nagrody (~p) to mogę mieć nadzieję, że nadawca mimo wszystko da mi nagrodę q (akt miłości).


3.10 Algorytm działania implikacji odwrotnej

Kod:

                        może
         Jeśli         |-----  q --- p~>q=1
        |-----  p -----|może
        |              |----- ~q --- p~>~q=1
        |
        |
Y ~> ---|
        |
        |               musi
        |Jeśli         |----- ~q --- ~p=>~q=1
        |----- ~p -----|musi
                       |-----  q --- ~p=>q=0
 

Tu także implikacja obsługiwana jest w dwóch taktach. W pierwszym następuje decyzja czy iść linią p czy też ~p w zależności od wylosowanego elementu Y. W drugim takcie mamy do wyboru zawsze dwie możliwości czyli cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q =1
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q inaczej p~>q=0 czyli implikacja odwrotna jest fałszywa
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

W implikacji odwrotnej po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko z napisem:
~p=>q=0. Pozostałe będą pełne, nie ma innych możliwości ani fizycznych, ani matematycznych.

Oczywiście tu także najważniejsza jest istota implikacji, gwarancja matematyczna którą z definicji jest implikacja prosta. Gwarancja w implikacji odwrotnej ma fundamentalne znaczenie we wszelkich groźbach.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek p to kara q
p~>q - implikacja odwrotna, bo nadawca może wykonać karę ale nie musi, inaczej jego wolna wola leży w gruzach

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikacje prostą

Gwarancja:
~p=>~q
Jeśli nie spełnię warunku kary (~p) to na pewno nie zostanę ukarany (~q) z powodu że nie spełniłem warunku kary, poza tym wszystko może się zdarzyć.

Z punktu widzenia odbiorcy bardzo interesująca jest tu implikacja.
p~>~q=1
Jeśli spełnię warunek kary (p) to mogę mieć nadzieję, że nadawca zastosuje akt łaski i nie wykona kary (~q).


3.11 Kwadrat logiczny implikacji

W naturalnym języku mówionym po „Jeśli …” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy na następnik q niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta, implikacja odwrotna czy też równoważność (częsta w matematyce).

Kwadrat logiczny to operatorowa definicja implikacji prostej p=>q z lewej strony, oraz operatorowa definicja implikacji odwrotnej p~>q z prawej strony. Prawe strony równań uzyskano korzystając z definicji implikacji prostej i odwrotnej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
W.Wystarczający             W.Konieczny
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
W.Konieczny                 W.Wystarczający
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

W pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. Doskonale widać prawa Kubusia zachodzące w pionach. Identyczność prawych stron jest równoznaczna z identycznością odpowiednich tabel zero-jedynkowych.

O tym czy mamy do czynienia z implikacją prostą p=>q, implikacją odwrotną p~>q, czy też równoważnością p<=>q decyduje zawartość spójnika „Jeśli…to…”

Zauważmy, że w przypadku równoważności będziemy mieli do czynienia z pewnym wynikaniem prostym w liniach A1 i C1 czyli:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1 =1 - na podstawie definicji równoważności
Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R = (K60=>R)*(~K60=>~R) = 1*1 =1 - twarda prawda w obu przypadkach = równoważność

Implikacja jest implikacją odwrotną jeśli w linii A2 zachodzi warunek konieczności.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa.

Ogólnie, jeśli wykluczymy równoważność to w przedstawionym kwadracie logiki wystarczy udowodnić że zachodzi dowolny z warunków wystarczających (A1,C2) lub koniecznych (A2,C1) aby mieć pewność poprawności wszystkich implikacji w kwadracie logicznym.


3.12 Równoważność

W przypadku równoważności implikacja odwrotna ~> nie ma prawa wystąpić. Zawsze mamy do czynienia wyłącznie z implikacją prostą =>.

Kwadrat logiczny równoważności.
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Z kwadratu logicznego równoważności wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Najpopularniejsze definicje równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R

K60<=>R = (K60=>R)*(R=>K60) =1*1=1
K60<=>R = (K60=>R)*(~K60=>~R)=1*1=1

Wyprowadźmy zero-jedynkową definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
~p*p=q*~q=0 - prawo algebry Boole’a

Stąd mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

p q  p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


3.13 Prawa kontrapozycji

Kwadrat logiczny równoważności.
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


Znane człowiekowi prawa kontrapozycji są poprawne w przypadku twierdzeń matematycznych bo tu mamy do czynienia z równoważnością. W równoważności dla powyższej tabeli zachodzą bezdyskusyjne tożsamości we wszelkich możliwych połączeniach: w pionach, w poziomach i po przekątnych (prawa kontrapozycji).

Prawa kontrapozycji poprawne dla równoważności:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q

Prawa kontrapozycji to fundamentalnie co innego niż prawa Kubusia. Prawa kontrapozycji dotyczą równoważności, zaś prawa Kubusia dotyczą implikacji. Jeśli cokolwiek jest implikacją to nie może być równoważnością i odwrotnie, tak wiec prawa kontrapozycji i prawa Kubusia działają w kompletnie różnych układach odniesienia.


4.0 Implikacja w bramkach logicznych

Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych, implikacja nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Pierwotna bramka implikacji wynikająca z definicji wygląda jak niżej:
Kod:

       ------
p ---O|     |
      | OR  |------- r
q ----|     |
       ------


Do wejścia dochodzą dwa sygnały p i q zaś wyjście to r. Negacji wbudowanej w układ implikacji (kółka) oczywiście nie widzimy.

Jak stwierdzić co zawiera badany układ scalony ?

Ustalamy sygnały jak wyżej i wpuszczamy wszystkie możliwe kombinacje zer i jedynek na wejściach p i q.

Definicja implikacji prostej:
Kod:
p q  r
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Oczywiście realizowana funkcja logiczna jest taka:
r = ~p+q

Oczywiście to z tabeli zero-jedynkowej wynika że:
r = p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Czyli p musi być warunkiem wystarczającym dla q
… bo druga linia jest twardym fałszem.

Wniosek:
W implikacji prostej podstawa wektora => wskazuje kółko na wejściu bramki zaś strzałka wskazuje linię wejściową bez kółka.

Zamieniamy teraz p i q na wejściu układu i postępujemy identycznie. Pamiętajmy, że dalej nie widzimy negacji (kółka) wbudowanej w układ scalony.
Kod:

       ------
q ---O|     |
      | OR  |------- s
p ----|     |
       ------


Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:
p q  s
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Oczywiście:
s = p+~q

Odczytujemy tabelę.
s = p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
LUB
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q

Wynika to z pierwszych dwóch linijek tabeli, druga linia wynika z pierwszej i jest zbędna czyli:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q inaczej pierwsza linia tabeli jest twardym fałszem.

Wniosek:
W implikacji odwrotnej podstawa wektora => wskazuje linię bez kółka na wejściu bramki zaś strzałka wskazuje linię wejściową z kółkiem.

Z powyższego wynika że:
p=>q = ~p+q # p~>q = p+~q


4.1 Wykresy czasowe implikacji prostej i odwrotnej

Na implikację należy patrzeć ze stałego punktu odniesienia, poprzednika implikacji. Oznacza to, że nie wolno zamieniać poprzednika z następnikiem.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q = ~p+q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:
p q p~>q = p+~q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

       ------
p ---O|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
q ----|     |
       ------

p=>q
Jeśli p to na pewno zajdzie q

W implikacji prostej podstawa wektora przywiązana jest do kółka, zaś strzałka wskazuje linię niezanegowaną.

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:
Kod:

       ------
p ----|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
q ---O|     |
       ------

p~>q
Jeśli p to może zajść q

W implikacji odwrotnej podstawa wektora przywiązana jest do linii niezanegowanej, zaś strzałka wskazuje kółko.

Na mocy powyższego oczywistym jest że:
p=>q # p~>q

Definicje:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany bramki implikacji prostej na bramkę implikacji odwrotnej
Dowód:
p=>q = ~p+q
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q
Prawe strony są równe zatem prawo Kubusia zachodzi.
p=>q = ~(~p)=>~(~q) = ~p~>~q - przekształcenie wykorzystane w poniższych wykresach czasowych

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany bramki implikacji odwrotnej na bramkę implikacji prostej
Dowód:
p~>q = p+~q
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q
Prawe strony są równe zatem prawo Kubusia zachodzi.
p~>q = ~(~p)~>~(~q) = ~p=>~q - przekształcenie wykorzystane w poniższych wykresach czasowych


Pierwszy z powyższych dowodów pokazany na bramkach logicznych.

p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikacje odwrotną

Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

       ------
p ---O|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
q ----|     |
       ------

Po wprowadzeniu dwóch negacji w linie wejściowe układ nie ulegnie zmianie.
Kod:

        ------
~p --OO|     |
       | OR  |-------
~q ---O|     |
        ------

Na powyższym rysunku jedną negacje wprowadzono do nazwy sygnału, zaś drugą narysowano w postaci kółka. Po redukcji kółek mamy.
A=~(~A)
Kod:

       ------
~p ---|     |
      | OR  |------- ~p~>~q = ~p+q
~q --O|     |
       ------

Ostatnia bramka przeszła w bramkę implikacji odwrotnej zgodnie z definicją tej bramki. Poprzednik wskazuje linię niezanegowaną, zaś następnik wskazuje kółko.


Drugi z powyższych dowodów pokazany na bramkach logicznych.

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:
Kod:

       ------
p ----|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
q ---O|     |
       ------

Po wprowadzeniu dwóch negacji w linie wejściowe układ nie ulegnie zmianie.
Kod:

        ------
~p ---O|     |
       | OR  |-------
~q --OO|     |
        ------

Na powyższym rysunku jedną negacje wprowadzono do nazwy sygnału, zaś drugą narysowano w postaci kółka. Po redukcji kółek mamy.
A=~(~A)
Kod:

       ------
~p --O|     |
      | OR  |------- ~p=>~q = p+~q
~q ---|     |
       ------

Ostatnia bramka przeszła w bramkę implikacji prostej zgodnie z definicją tej bramki. Poprzednik wskazuje kółko, zaś następnik wskazuje linię nie zanegowaną.


Wykresy czasowe implikacji

W technice cyfrowej w opisywaniu układów średniej skali integracji bezkonkurencyjne są wykresy czasowe pokazujące wizualnie działanie układu.

Implikacja to nie jest prymitywna bramka, dlatego sięgniemy tu po wykresy czasowe opisujące tabele prawdy operatorowych definicji implikacji prostej i odwrotnej.

W poniższych definicjach:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Operatorowa definicja implikacji prostej:
1 1 =1 - implikacja prosta, nowe zdanie
p=>q =1
1 0 =0 - na podstawie definicji implikacji prostej
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1 1 =1 - implikacja odwrotna, nowe zdanie
~p~>~q =1
1 0 =1 - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
~p~>q =1

Niezgodność bezwzględnych zer i jedynek w liniach 2 i 4 wynika z przejścia na zupełnie inny operator. To co wyżej to najprostsze wyjaśnienie niezgodności w 2 i 4, matematycznie na bramkach logicznych i wykresie czasowym jest niżej.

Wykres czasowy implikacji prostej:
Kod:

      1          1          1          1
p ==========|==========|~p========|==========|

   ---


      1          0          1          0
q ==========|          |~q========|          |==
            |          |          |          |
   ---      |==========|          |==========|


p=>q  1          0          1          1
  ==========|          |==========|==========|
            |          |
            |==========|
  p=>q=1      p=>~q=0    ~p~>~q=1   ~p~>q=1
 gwarancja


Bramki logiczne dla powyższego wykresu czasowego

A.
Część wykresu podlegająca pod definicję bramki implikacji prostej.

Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

       ------
p ---O|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
q ----|     |
       ------

Tabela prawdy:
Kod:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0

Czyli:
p=>q =1
p=>~q=0

B.
Część wykresu podlegająca pod definicję bramki odwrotnej.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Bramka implikacji odwrotnej dla operatora implikacji odwrotnej, wynikającego z prawa Kubusia.
Kod:

       ------
~p ---|     |
      | OR  |------- ~p~>~q = ~p+q
~q --O|     |
       ------

Tabela prawdy:
Kod:
~p ~q ~p~>~q
 1  1  =1
 1  0  =1

Czyli:
~p~>~q =1
~p~>q =1


Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
1 1 =1 - implikacja odwrotna, nowe zdanie
p~>q =1
1 0 =1 - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
1 1 =1 - implikacja prosta, nowe zdanie
~p=>~q =1
1 0 =0 - na podstawie definicji implikacji prostej
~p=>q =0

Niezgodność bezwzględnych zer i jedynek w liniach 2 i 4 wynika z przejścia na zupełnie inny operator. To co wyżej to najprostsze wyjaśnienie niezgodności w 2 i 4, matematycznie na bramkach logicznych i wykresie czasowym jest niżej.

Wykres czasowy implikacji odwrotnej:
Kod:

      1          1          1          1
p ==========|==========|~p========|==========|

   ---


      1          0          1          0
q ==========|          |~q========|          |==
            |          |          |          |
   ---      |==========|          |==========|


p~>q  1          1          1          0
  ==========|==========|==========|          |===
            |          |          |          |
                                  |==========|
   p~>q=1     p~>~q=1    ~p=>~q=1   ~p=>q=0
                         gwarancja



Bramki logiczne dla powyższego wykresu czasowego

A.
Część wykresu podlegająca pod definicję bramki implikacji odwrotnej.

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:
Kod:

       ------
p ----|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
q ---O|     |
       ------

Tabela prawdy:
Kod:
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1

czyli:
p~>q =1
p~>~q =1

B.
Część wykresu podlegająca pod definicję bramki prostej.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Bramka implikacji prostej wynikająca z prawa Kubusia.
Kod:

       ------
~p --O|     |
      | OR  |------- ~p=>~q = p+~q
~q ---|     |
       ------

Tabela prawdy:
Kod:
~p ~q ~p=>~q
 1  1  =1
 1  0  =0

Czyli:
~p=>~q =1
~p=>q =0

Na wykresach czasowych obu implikacji doskonale widać że:
p=>q # p~>q


5.0 Obietnice

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Przykład:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz

… a jeśli nie będę grzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~>~C
Jeśli nie będziesz grzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
LUB
Jeśli nie będziesz grzeczny to możesz ~> dostać czekoladę
~G~>C

Uwaga:
W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” jest pomijany gdyż osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności gdyż wszystko co żyje musi odróżniać nagrodę od kary, to warunek przetrwania.


6.0 Groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> nie dostać lania
B ~> ~L =1 (implikacja)

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
C: ~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
LUB
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lania
D: ~B => L =0 - twardy fałsz


6.1 Twarda forma gróźb i obietnic

Człowiek wypowiada czasami obietnicę lub groźbę w postaci równoważności:

Dostaniesz komputer tylko wtedy gdy zdasz jutro ten egzamin
E=>K - poprawne kodowanie
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K - gwarancja wynikająca z definicji implikacji prostej

Jeśli nie posprzątasz pokoju to na 100% dostaniesz lanie
~P~>L - poprawne kodowanie
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
~P~>L = P=>~L
Jeśli posprzątasz pokój to na pewno => nie dostaniesz lania
P=>~L

To co wyżej to obietnica i groźba wypowiedziana w ostrej formie, dająca do zrozumienia że istnieje bardzo małe prawdopodobieństwo zajścia implikacji, nic więcej. Oczywiście wszelkie obietnice kodujemy w postaci implikacji prostej, zaś groźby w postaci implikacji odwrotnej inaczej wolna wola nadawcy leży w gruzach. Zauważmy, że w implikacji nadawca może potraktować wypowiadaną obietnicę lub groźbę jako równoważność i może swój zamiar podtrzymać bezwzględnie egzekwując równoważność. Ma jednak prawo do zmiany swojego stanowiska w ostatniej chwili na korzyść odbiorcy (akt łaski w groźbie i akt miłości w obietnicy) … dlatego obietnice i groźby to implikacje, nigdy równoważności.


7.0 Logika bez operatora może ~> i praw Kubusia

Implikacja prosta i operator musi => znany jest w dzisiejszej logice. Kompletnie nieznany jest operator może ~> i prawa Kubusia.

A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

Dowolna dzisiejsza logika koduje powyższe zdanie (jeśli w ogóle koduje) jako:
B.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P

Teoretycznie dobrze bo prawo Kubusia jest takie:
4L~>P = ~4L=>~P
… tylko dlaczego nie zapisywać zdania A operatorem „może” ~> zgodnym z językiem mówionym ?
Zdanie B to gwarancja dla zdania A - kto o tym wie ?
Na mocy praw Kubusia implikacji odwrotnych jest dokładnie tyle samo co implikacji prostych z czego wynika, że dokładnie połowa prawdziwych implikacji w języku mówionym jest nierozpoznawalna przez dzisiejszą matematykę.

Prawdziwa tragedia dzisiejszej logiki to obsługa dowolnej groźby, z definicji będącej implikacją odwrotną. Kto zna poprawną gwarancję matematyczną w groźbie ? Dzieci w przedszkolu doskonale o niej wiedzą … natomiast matematycy nie mają o niej zielonego pojęcia.

Koniec 2009-01-01


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:33, 27 Sty 2009, w całości zmieniany 238 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 16:26, 01 Lut 2009    Temat postu:

Koniec 2009-01-01
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin