Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - podręcznik dla liceum

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:49, 08 Mar 2015    Temat postu: Algebra Kubusia - podręcznik dla liceum

Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum

Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Wstęp.

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziewięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl.
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla Rafała3006 (śfinia), Wuja Zbója (śfinia) i Fiklita (matematyka.pl, yrizona, śfinia), bez których algebra Kubusia nigdy by nie powstała. Specjalne podziękowania dla dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie od których Kubuś nauczył się logiki matematycznej. Zawsze, gdy nie był pewien czy dobrze rozumuje udawał się do przedszkola i otrzymywał odpowiedź, maluchy nigdy go nie zawiodły.

Podręcznik podzielony jest na cztery niezależne części, w zasadzie do zrozumienia każdej z tych części nie jest potrzebna jakakolwiek wiedza wstępna. Oczywiście przy pierwszym czytaniu zaleca się przeczytać ze zrozumieniem po kolei wszystkie części podręcznika.

Część I Mała teoria zbiorów (MTZ)
Część II Operatory logiczne w małej zbiorów (MTZ)
Część III Duża teoria zbiorów (DTZ)
Część IV Armagedon logiki matematycznej Ziemian


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 17:22, 09 Kwi 2015, w całości zmieniany 42 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:54, 08 Mar 2015    Temat postu:

Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum

Część I
Mała teoria zbiorów


Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu 1
2.1 Program komputerowy 2
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków 4
3.0 Mała teoria zbiorów 5
3.1 Podstawowe definicje małej teorii zbiorów 7
3.2 Definicja definicji 9
3.3 Definicja minimalna 9
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach 10
3.5 Pojęcie rozpoznawalne 12
3.6 Prawa Prosiaczka 13
3.7 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 18


1.0 Notacja

W tym podręczniku nie będzie klasycznej notacji, ponieważ z założenia jest to publikacja dla gimnazjalistów, którzy z pojęciem „Logika matematyczna” spotykają się po raz pierwszy w życiu. Pisząc „Algebrę Kubusia” starałem się, aby każde nowe pojęcie było poprawnie zdefiniowane, aby czytelnik nigdzie nie napotkał betonowej ściany nie do przeskoczenia.

Jak czytać algebrę Kubusia?
Oczywiście krok po kroku starając się wszystko zrozumieć. Jeśli w trakcie czytania napotkamy na pojęcie niezrozumiałe, to zajrzymy do skorowidzu na końcu podręcznika, gdzie znajdziemy odsyłacz do odpowiedniego wyjaśnienia.


2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu

Naturalna logika człowieka musi podlegać pod matematykę ścisłą. Nie jest bowiem możliwe wzajemne porozumienie się dowolnych istot żywych (w tym człowieka) na bazie chaosu, bez jakiejkolwiek matematyki. Także w naszym Wszechświatem musi rządzić matematyka ścisła, inaczej by się po prostu zawalił.
Poczynania wszelkich istot żywych (człowiek nie jest tu wyjątkiem) muszą podlegać pod matematykę ścisłą, z czego wniosek iż najbardziej odpowiednim miejscem do jej poznawania będzie przedszkole. Pewne jest bowiem, że 5-cio latki muszą być naturalnymi ekspertami logiki matematycznej, nazwijmy ją algebrą Kubusia.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to naturalna logika matematyczna wszystkich 5-cio latków i humanistów.

Wszyscy jesteśmy naturalnymi ekspertami algebry Kubusia.


2.1 Program komputerowy

Program komputerowy, to napisany przez człowieka ciąg rozkazów dla komputera.
Komputer wykonuje te rozkazy (rozkaz po rozkazie) realizując ściśle określony algorytm działania wymyślony przez człowieka.

Zobaczmy na przykładzie czym jest algorytm działania.
Załóżmy, że nagle zapragnęliśmy pójść do kina na film pt. „Seksmisja”. Z gazety codziennej dowiadujemy się, że film wyświetlany jest tylko w dwóch kinach „Relax” i „Skarpa”.
Masz ogólny algorytm działania może być następujący.


Rys. 2.1 Algorytm działania człowieka

Blok funkcjonalny to blok w którym żadnych istotnych decyzji nie podejmujemy, to „program tła”, czyli zwyczajne czynności prowadzące nas do celu jakim jest obejrzenie filmu.
Wykonując powyższy algorytm stajemy się podobni do komputera. Różnica jest zasadnicza. Człowiek może modyfikować powyższy algorytm w trakcie jego wykonywania (np. w przypadku braku biletów pójść do teatru), komputer natomiast wykonuje program ściśle wg algorytmu który wymyślił człowiek. Przeciętny człowiek obserwując dzisiejsze komputery jest zafascynowany ich możliwościami. Widzi że potrafią one pisać, malować, rysować … sterować fabryką bez ludzi itp.

Nie wie natomiast że …



Rys. 2.2 Podstawowe prawo komputerowe

Co to są liczby binarne?

Gdyby nasi przodkowie nie wymyślali cyfr [2,3,4,5,6,7,8,9] a znali tylko cyfry [0,1] to z pewnością znakomicie posługiwalibyśmy się liczbami binarnymi i mielibyśmy naturalny, wspólny z komputerami język. Zapis ogólny liczby binarnej przedstawiono na rysunku.
Przejście z binarnego systemu liczenia na dziesiętny jest banalne.
Z zapisu ogólnego wynika, że istotna jest tu kolejność [b2,b1,b0] cyfr binarnych [0,1] oraz wagi (W) tych cyfr na poszczególnych pozycjach.
b2*W2=b2*4
b1*W1=b1*2
b0*W0=b0*1
Dla b2=1 mamy: b2*4 = 1*4 =4
Dla b2=0 mamy: b2*4 = 0*4 =0
Dla b1=1 mamy: b1*2 = 1*2 =2
Dla b1=0 mamy: b1*2 = 0*2 =0
Dla b0=1 mamy: b0*1 = 1*1 =1
Dla b0=0 mamy: b0*1 = 0*1 =0
Przeliczmy pierwsze osiem liczb binarnych [000-111] na system dziesiętny.
Kod:

000 = 0+0+0 =0
001 = 0+0+1 =1
010 = 0+2+0 =2
011 = 0+2+1 =3
100 = 4+0+0 =4
101 = 4+0+1 =5
110 = 4+2+0 =6
111 = 4+2+1 =7
itd

Prawda że proste?

W logice matematycznej ani liczby binarne, ani też liczby dziesiętne kompletnie nas nie interesują.
Co nas interesuje w logice?
TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …


2.2 Logika matematyczna przedszkolaków

Spójrzmy na nasz pierwszy w życiu, samodzielnie napisany program komputerowy „Pójście na film Seksmisja”. Logika matematyczna w tym algorytmie to wyłącznie bloki warunkowe w których rozstrzygamy na TAK albo NIE i w zależności od wyniku podejmujemy dalsze działania.

Przykłady logiki matematycznej z przedszkola:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
TAK
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
TAK
C.
Czy kura ma cztery łapy?
NIE
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
TAK
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
NIE
KONIEC!
Dokładnie tym jest logika matematyczna, nie ma w niej nic ponad: TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
Prawda, że ładna melodia?
https://www.youtube.com/watch?v=Czujclci6uA

W matematyce zachodzi tożsamość:
TAK = prawda (=1)
NIE = fałsz (=0)
Cyferki 1 i 0 znaczą w logice matematycznej:
1 - prawda
0 - fałsz
Uwaga:
Znaczków 0 i 1 nie należy mylić ani z cyframi binarnymi, ani też z cyframi dziesiętnymi, to zupełnie co innego, to prawda (=1) i fałsz (=0).

Wprowadźmy dwa nowe symbole matematyczne:
„~” - symbol przeczenia, słówko NIE w naturalnej logice 5-cio latka
„i”(*) - spójnik „i” w naturalnej logice 5-cio latka

Zakodujmy matematycznie zadania wyżej przy pomocy tych symboli:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
K*M =1
Prawdą jest (=1), że Kubuś jest misiem
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
P*S =1
Prawdą jest (=1), że Prosiaczek jest świnką
C.
Czy kura ma cztery łapy?
K*4L =0
Fałszem jest (=0), że kura ma cztery łapy
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
CH*~P =1
Prawdą jest (=1), że może się zdarzyć iż są chmury i nie pada
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
~CH*P =0
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie nie ma chmur i pada

W ten oto sposób zaliczyliśmy pierwsze w życiu poprawne kodowanie matematycznie zdań z naturalnego języka mówionego.


3.0 Mała teoria zbiorów

Mała teoria zbiorów to dwuelementowa algebra Boole’a gdzie znane są zaledwie trzy znaczki:
„~” - symbol przeczenia, przedrostek NIE w naturalnym języku mówionym
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnego języka mówionego
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego

Matematyczny fundament małej teorii zbiorów (zdarzeń) w zdaniach typu „Jeśli p to q” to zaledwie jedna definicja naturalnego spójnika „może”~~>.

Prawo złotej rybki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie operacje na zbiorach albo na zdarzeniach.

Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy

Wszystkie możliwe zdarzenia dla dwóch argumentów p i q to:
Kod:

A: p* q
B: p*~q
C:~p*~q
D:~p* q

Dla rozstrzygnięcia które z czterech możliwych kombinacji są prawdziwe/fałszywe wystarczy nam kwantyfikator mały, czyli rozstrzygamy tylko i wyłącznie czy sytuacja X jest możliwa/niemożliwa.

Mała teoria zbiorów (MTZ) to tylko i wyłącznie zdania z naturalnym spójnikiem „może”~~>, czyli zdania pod kwantyfikatorem małym.

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego)


Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zbiorach:
W.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Istnieje element zbioru x, który należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Przykład:
W.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~~>nie być psem (~P)
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
4L=[pies, słoń ..]
~P=[słoń, kura, wąż..]
4L~`>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P
Prawdą jest (=1), że istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L) i nie jest psem (~P), np. słoń.
W przypadku naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy że znajdziemy jeden element wspólny zbiorów 4L i ~P i już zdanie W jest prawdziwe, nic więcej nie musimy dowodzić.

Zdanie tożsame do W zapisane kwantyfikatorem małym:
W1.
\/x 4L(x) i ~P(x)
Istnieje takie zwierzę x, które należy jednocześnie do zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] i do zbioru zwierząt nie będących psami ~P=[słoń, kura, wąż ..]
4L~~>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zdarzeniach:
W.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q = p*q

Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Możliwe jest (\/x) równoczesne zajście zdarzeń p(x) i q(x)

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie (\/x), „są chmury” (CH=1) i „nie pada (~P=1)
Wystarczy że pokażemy jeden taki przypadek, co kończy dowód prawdziwości zdania W


3.1 Podstawowe definicje małej teorii zbiorów

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to Uniwersum lub dowolny podzbiór Uniwersum.

Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie zawężając Uniwersum do interesującego nas zbioru natomiast z Uniwersum, na mocy definicji nic nie możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy) ale dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

Mała teoria zbiorów odpowiada na pytania:
Czy zbiór X jest niepusty?
lub
Czy zdarzenie X jest możliwe?

Teoria zbiorów:
Czy zbiór X jest niepusty?
Jeśli TAK, to w wyniku stawiamy 1 (zbiór niepusty)
Jeśli NIE, to w wyniku stawiamy 0 (zbiór pusty)

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> być psem
4L~~>P = [4L*P] =1 bo pies

Teoria zdarzeń:
Czy zdarzenie X jest możliwe?
Jeśli TAK, to w wyniku stawiamy 1 (zdarzenie możliwe)
Jeśli NIE, to w wyniku stawiamy 0 (zdarzenie niemożliwe)

Przykład:
Jeśli nie będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = [~CH*P] =[] =0
NIE, takie zdarzenie nie jest możliwe.

Doskonale widać, że nie wychodzimy tu poza dwuelementową algebrę Boole’a, nasze:
TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …

Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy

W małej teorii zbiorów (MTZ) zbiory mają wartość logiczną.
1 - zbiór niepusty (istnieje = zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty (nie istnieje = nie zawiera ani jednego elementu)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L = nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L

Wartość logiczną zbioru (=1) zapisujemy bez nawiasów:
4L=[pies, słoń, koń ..] =1

Znaczenie tożsamości „=” w MTZ:
Pierwsza tożsamość (4L=[pies, słoń, koń ..]) to tożsamość definicyjna, natomiast druga tożsamość (=1) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi konkretną wartość logiczną (tu 1)

Definicja zdania prawdziwego w MTZ:
Zdanie „Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q” jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór wynikowy jest niepusty.
p~~>q = [p*q] =1

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to może ~~> mieć cztery łapy (4L)
P~~>4L = [P*4L] =1 bo pies
Zdanie prawdziwe (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]

Definicja zdania fałszywego w MTZ:
Zdanie „Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q” jest fałszywe (=0) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór wynikowy jest pusty.
p~~>q = [p*q]= []= 0

Przykład:
B.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
P~~>~4L = [P*~4L] = [] =0
Zdanie fałszywe (=0) bo zbiór wynikowy P*~4L jest zbiorem pustym.
P=[pies] i ~4L=[kura, wąż ..]
Oczywiście wspólnego elementu tu nie ma, stąd:
P~~>~4L= [P*~4L]= [] =0

Uwaga:
W logice matematycznej musimy pominąć psy kalekie z trzema łapami.
Dlaczego?
Zuzia (lat 5) do Jasia (lat 5).
Jasiu, czy masz pieska?
Jaś:
Tak
Zuzia:
Z faktu że masz pieska wnioskuję, iż twój piesek ma cztery łapy.
Jaś:
NIE!
Nie ma czterech łap bo wilk mu odgryzł jedną łapkę

W tym momencie wnioskowanie Zuzi szlag trafił. Oczywiście wiemy że pies kaleki to też pies, ale z logiki musimy go usunąć z przyczyn podanych w dialogu.

Definicja wnioskowania:
Wnioskowanie to wyciągnięcie wniosków ze znanych faktów.


3.2 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając.
Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw


3.3 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest kurą?
NIE (K =0)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej w naszym Wszechświecie:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1
etc


3.4 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W małej teorii zbiorów (MTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p+~p=1
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory te są rozłączne na mocy definicji
p*~p=0

Dowód na naszym przykładzie:
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)

Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Boole’a i Kubusia:
I. ~0=1
II. ~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum. W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.

Twierdzenie o wartości logicznej „pojęcia”:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego Uniwersum ma wartość logiczną jeden.

Przykłady:
[pies] =1
[rower]=1
[miłość] =1
Te pojęcia są jednoznaczne i zrozumiałe w zbiorze Uniwersum każdego człowieka.


3.5 Pojęcie rozpoznawalne

Notacja:
[x] - zbiór niepusty, mający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnych elementów

W małej teorii zbiorów MTZ zbiór pusty [] może zaistnieć wyłącznie jako wynik operacji na zbiorach, co wynika z definicji pojęcia rozpoznawalnego.

Definicja pojęcia rozpoznawalnego:
Pojęcie x jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~x)

Przykład:
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia pies jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w Uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie nie pies (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.

Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0

Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym Uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego Uniwersum i od tej pory należy ono do naszego Uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom. Przykładowo ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.


3.6 Prawa Prosiaczka

Notacja:
p - logika dodatnia bo brak przeczenia „~”
~p - logika ujemna bo jest przeczenie „~”

Prawa Prosiaczka:
I.
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)

Zauważmy, że niezależnie czy jesteśmy w logice dodatniej (p), czy ujemnej (~p) znaczenie zera i jedynki jest identyczne:
1 = prawda
0 = fałsz
W algebrze Kubusia logika zaszyta jest w symbolach (p, ~p) a nie w zerach i jedynkach.

Dowód praw Prosiaczka:
Udajmy się w tym celu do przedszkola, to jest właściwe miejsce dla dowodu poprawności matematycznej praw Prosiaczka (początki nauki języka).

Oznaczmy symbolicznie:
P = [pies] =1
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy definicję pojęcia ~P, jako zbioru będącego uzupełnieniem pojęcia „pies” do dziedziny.
~P=[ZWZ-pies] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
W szczególności:
~P = [koza] =1

Scenka:
Tata w ZOO na spacerze ze swoim 3-letnim synkiem, Jasiem.

Jaś pokazuje paluszkiem psa i mówi:
A1.
To jest pies
P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)

Tata:
… a może to nie pies?
Jaś:
A2.
Fałszem jest że to nie jest pies.
~P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (~P)

Doskonale widać że zdania A1 i A2 są tożsame:
A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)

Następnie Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
Patrz tata!
B1.
To nie jest pies
~P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (~P)

Tata:
… a może to jednak pies?

B2.
Tata!
Fałszem jest że to jest pies!
P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)

Doskonale widać że zdania B1 i B2 są tożsame:
B1=B2

Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~P=1) = (P=0)

Matematycznie zachodzi:
A1=A2 # B1=B2
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo P) i ujemnej (bo ~P):
P = ~(~P)
Dowód:
Prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)
Stąd:
1 = ~(0) =1
cnd

Doskonale widać, że prawo Prosiaczka działa w świecie zdeterminowanym, gdzie wszystko jest w 100% wiadome. W świecie zdeterminowanym jeśli Jaś pokazuje psa to nie ma wyboru, musi ustawić symbol P na wartość logiczną 1.
P=1 - prawdą jest (=1) że widzę psa
Jaś nie może tu ustawić:
P=0 - fałszem jest (=0) że widzę psa
W logice symbol P jest stałą symboliczną, której wartości logicznej nie możemy zmienić.

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa (np. pies) której wartość logiczna jest znana z góry i której to wartości logicznej nie jesteśmy w stanie zmienić.

Sprawdźmy czy prawa Prosiaczka działają także w świecie niezdeterminowanym gdzie nic nie jest z góry przesądzone, czyli nie znamy z góry wartości logicznych zmiennych binarnych. Oczywisty brak determinizmu to zdania w czasie przyszłym.

Oznaczmy symbolicznie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)

Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
A1.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie matematycznie tożsame:
A2.
Fałszem będzie (=0) że skłamię (~Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=0 <=> K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
A=A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B: ~Y=~K
stąd mamy:
B.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B1.
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B2.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1

Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
B=B1=B2
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)

Matematycznie zachodzi:
A=A1=A2 # B=B1=B2
A: Y=K
B: ~Y=~K
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y = K = ~(~K)

Mamy tu sytuację fundamentalnie różną niż w przypadku Jasia w ZOO, bo operujemy zmiennymi binarnymi a nie bezwzględnymi zerami i jedynkami.

Doskonale widać że prawa Prosiaczka działają w świecie niezdeterminowanym, gdzie wszystko może się zdarzyć.
I.
W świecie niezdeterminowanym, jeśli wypowiemy zdanie:
W1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
To wartość logiczna zmiennych Y i K nie jest nam znana z góry.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to nazwa (np. Y) której wartości logicznej nie znamy z góry

Pojutrze może zajść cokolwiek scenariusz A albo scenariusz B.

Scenariusz A:
A.
Wczoraj byłem w kinie
Y=K
co matematycznie oznacza:
A1.
Prawdą jest (=1) że dotrzymałem słowa bo wczoraj byłem w kinie (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie tożsame:
A2.
Fałszem jest (=0) że skłamałem, bo wczoraj byłem w kinie:
Y=0 <=> K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
A=A1=A2
Stąd mamy prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)

albo
Pojutrze możemy stwierdzić coś fundamentalnie innego.

Scenariusz B:
B.
Skłamałem (~Y=1) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
B1.
Prawdą jest (=1) że skłamałem (~Y) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B2.
Fałszem jest (=0) że dotrzymałem słowa (Y) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
B=B1=B2
Stąd mamy prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)

II.
W świecie niezdeterminowanym równie dobrze możemy wypowiedzieć zdanie:
W2.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)

Zadanie domowe:
Wzorując się na zdaniu W1 rozpisać wszystkie możliwe scenariusze przyszłości, scenariusz A albo scenariusz B.

Podsumowując:
Prawa Prosiaczka działają genialnie zarówno w świecie zdeterminowanym, jak i niezdeterminowanym, możemy je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń, działają wszędzie.


3.7 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Przykład:
Rozważmy zbiór jednoelementowy p:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4] =1 (zbiór pełny)
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

I.
Prawo redukcji elementów zbioru

Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.

II.
Zero jedynkowy fundament algebry Kubusia (i Boole’a)

~D=[] - zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []
~[]=D - zaprzeczeniem zbioru pustego [] jest dziedzina D
D=1 - dziedzina
[] =0 - zbiór pusty
stąd mamy:
1=~0
0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

III.
Prawo podwójnego przeczenia

p=~(~p)
Dowód:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
stąd:
p=~(~p)
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]

II.
Fundament algebry Kubusia (i Boole’a):

p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)

III.
Zero to element neutralny w alternatywie (sumie logicznej)

p+0 =p
p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p
Stąd: 0 - element neutralny dla sumy logicznej
p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

IV.
Jeden to element neutralny w koniunkcji (iloczynie logicznym)

p*1=p
p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p
Stąd: 1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
p*0 = [1,2]*[] =0

V.
Prawa pochłaniania w algebrze Kubusia (i Boole’a):

p+p =p
p*p =p
Dowód na naszym przykładzie:
p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p
p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p

Prawa maszynowe (zero-jedynkowe) w zbiorach.

VI
Suma logiczna (alternatywa) zbiorów:

1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

VII
Iloczyn logiczny (koniunkcja) zbiorów:

1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 8:36, 17 Mar 2015, w całości zmieniany 21 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:57, 08 Mar 2015    Temat postu:

Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum

Część II
Operatory logiczne w małej teorii zbiorów (MTZ)


Spis treści
4.0 Operatory logiczne typu „Jeśli p to q” w małej teorii zbiorów (MTZ) 1
4.1 Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora logicznego 2
4.2 Operator chaosu |~~> 5
4.3 Tworzenie równań logicznych dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej 9
4.4 Operator implikacji prostej |=> 10
4.5 Operator implikacji odwrotnej |~> 12
4.6 Operator równoważności <=> 14


4.0 Operatory logiczne typu „Jeśli p to q” w małej teorii zbiorów (MTZ)

Matematyczny fundament małej teorii zbiorów (zdarzeń) w zdaniach typu „Jeśli p to q” to zaledwie jedna definicja naturalnego spójnika „może”~~>.

Prawo złotej rybki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie operacje na zbiorach albo na zdarzeniach.

Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy

Wszystkie możliwe zdarzenia dla dwóch argumentów p i q to:
Kod:

A: p* q
B: p*~q
C:~p*~q
D:~p* q

Dla rozstrzygnięcia które z czterech możliwych kombinacji są prawdziwe/fałszywe wystarczy nam kwantyfikator mały, czyli rozstrzygamy tylko i wyłącznie czy sytuacja X jest możliwa/niemożliwa.
Duża teoria zbiorów (DTZ) akceptuje małą teorię zbiorów (MTZ) wzbogacając ją o definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> - będzie o tym w kolejnym rozdziale.

Mała teoria zbiorów (MTZ) to tylko i wyłącznie zdania z naturalnym spójnikiem „może”~~>, czyli zdania pod kwantyfikatorem małym.

Matematyczny fundament małej teorii zbiorów (MTZ)

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego)


Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zbiorach:
W.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Istnieje element zbioru x, który należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Przykład:
W.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~~>nie być psem (~P)
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
4L=[pies, słoń ..]
~P=[słoń, kura, wąż..]
4L~`>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P
Prawdą jest (=1), że istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L) i nie jest psem (~P), np. słoń.
W przypadku naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy że znajdziemy jeden element wspólny zbiorów 4L i ~P i już zdanie W jest prawdziwe, nic więcej nie musimy dowodzić.

Zdanie tożsame do W zapisane kwantyfikatorem małym:
W1.
\/x 4L(x) i ~P(x)
Istnieje takie zwierzę x, które należy jednocześnie do zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] i do zbioru zwierząt nie będących psami ~P=[słoń, kura, wąż ..]
4L~~>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zdarzeniach:
W.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q = p*q

Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Możliwe jest (\/x) równoczesne zajście zdarzeń p(x) i q(x)

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie (\/x), „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)
Wystarczy że pokażemy jeden taki przypadek, co kończy dowód prawdziwości zdania W


4.1 Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora logicznego

Co to jest fizycznie operator zero-jedynkowy?

Robimy mały wypad do laboratorium techniki cyfrowej na studiach elektronicznych.

Definicja operatora zero-jedynkowego:
Operator zero-jedynkowy to układ logiczny o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y dający jednoznaczne odpowiedzi na wyjściu Y na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach p i q.


Rys. 4.1 Budowa operatora zero-jedynkowego i symbolicznego w małej teorii zbiorów (zdarzeń)

W bloku operatora może być milion dowolnych układów scalonych , to bez znaczenia, nas to kompletnie nie interesuje. Tabelę prawdy operatora zdejmujemy wymuszając na wejściach p i q wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe, w ilości czterech sztuk, zapisując odpowiedź na wyjściu Y dla każdego wymuszenia.

W technice cyfrowej zwanej TTL cyferki 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo możemy ustawiać na wejściach p i q, stan na wyjściu Y to także łatwo mierzalne napięcie (woltomierzem).
Standard TTL:
0 = 0-0,4V
1 = 2,4-5,0V

Algorytm zdejmowania tabeli prawdy możemy opisać w następujący sposób:
Kod:

Tabela 1
    p  q  Y=(pXq)
A1: 1  1  =?
B1: 1  0  =?
C1: 0  0  =?
D1: 0  1  =?
    1  2   3

W technice cyfrowej wszystkich możliwych kombinacji zero-jedynkowych na wyjściu Y jest 16 (2^4=16). Możliwych jest zatem tylko i wyłącznie szesnaście różnych na mocy definicji operatorów logicznych X. Operator logiczny X to kompletna kolumna wynikowa 3, nigdy jakieś tam wybrane linie.

Zapiszmy powyższą tabelę w tożsamy sposób pokazujący dokładnie co musimy ustawiać na wejściach p i q krok po kroku, aby zdjąć tabelę prawdy nieznanego operatora.
Kod:

Tabela 2
                     Y=(pXq)
A2: ( p=1) i ( q=1) =?
B2: ( p=1) i ( q=0) =?
C2: ( p=0) i ( q=0) =?
D2: ( p=0) i ( q=1) =?
    1          2     3

A2.
W linii A2 musimy ustawić:
(p=1) i (q=0)
po czym odczytujemy wartość logiczną na wyjściu Y=? (Gdzie: ?= [0,1])
B2.
W linii B2 musimy ustawić:
(p=1) i (q=0)
po czym odczytujemy wartość logiczną na wyjściu Y=? (Gdzie: ?= [0,1])
C2.
W linii C2 musimy ustawić:
(p=0) i (q=0)
po czym odczytujemy wartość logiczną na wyjściu Y=? (Gdzie: ?= [0,1])
D2.
W linii D2 musimy ustawić:
(p=0) i (q=1)
po czym odczytujemy wartość logiczną na wyjściu Y=? (Gdzie: ?= [0,1])

Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(q=0) = (~q=1)
Tworzymy kolejną wersję tożsamą naszej tabeli:
Kod:

Tabela 3
                     Y=(pXq)
A3: ( p=1) i ( q=1) =?
B3: ( p=1) i (~q=1) =?
C3: (~p=1) i (~q=1) =?
D3: (~p=1) i ( q=1) =?
     1         2     3

Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je więc usunąć nic nie tracąc na jednoznaczności. Stąd otrzymujemy na wejściach p i q konkretne zdarzenia (zbiory) i możemy badać ich wzajemną korelację na poziomie zdarzeń (zbiorów). Zauważmy, że w tabeli 3 po stronie wejścia p i q mamy same jedynki, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki. Cała logika została przeniesiona na poziom zdarzeń (zbiorów) p i q.

Stąd mamy:
Symboliczna definicja dowolnego operatora logicznego w spójnikach „i”(*):
Kod:

Tabela 4
           Y=(pXq)
A4: p* q  =?
B4: p*~q  =?
C4:~p*~q  =?
D4:~p* q  =?
   1   2   3
„*” - spójnik logiczny „i” z naturalnej logiki człowieka

Twierdzenie Bobra:
W małej teorii zbiorów, w dowolnej linii A4-D4 tabeli symbolicznej wyjście Y przyjmie wartość jeden (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest zdanie z naturalnym spójnikiem „może~~> (kwantyfikatorem małym ~~>) dla tej linii.

Stąd otrzymujemy końcową tabelę symboliczną dowolnego operatora w małej teorii zbiorów (MTZ).
Kod:

Tabela 5
                   Y=(pXq)
A5: p~~> q= p* q  =?
B5: p~~>~q= p*~q  =?
C5:~p~~>~q=~p*~q  =?
D5:~p~~> q=~p* q  =?
   1     2  3  4   5
~~> - naturalny spójnik „może” (kwantyfikator mały ~~>)
„*” - spójnik logiczny „i” z naturalnej logiki człowieka

W naturalnej logice człowieka tabela 5 odpowiada na pytania:
A5.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =?
Zdarzenia: Czy możliwe jest jednoczesne zdarzenie p i q?
Zbiory: Czy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny?
B5.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =?
Zdarzenia: Czy możliwe jest jednoczesne zdarzenie p i ~q?
Zbiory: Czy zbiory p i ~q mają co najmniej jeden element wspólny?
C5.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =?
Zdarzenia: Czy możliwe jest jednoczesne zdarzenie ~p i ~q?
Zbiory: Czy zbiory ~p i ~q mają co najmniej jeden element wspólny?
D5.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =?
Zdarzenia: Czy możliwe jest jednoczesne zdarzenie ~p i q?
Zbiory: Czy zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny?

Zobaczmy jak działa mała teoria zbiorów (zdarzeń) na kluczowych przykładach.


4.2 Operator chaosu |~~>

Definicja operatora chaosu w zbiorach.




Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q

Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się => w drugim
Definicja tożsama:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie jest podzbiorem => drugiego.
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
gdzie:
p~~>q =1 - prawdą jest (=1), że istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
p=>q=0 - fałszem jest (=0), że zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Prawo Prosiaczka:
~(p=>q)=1
~(p=>q) =1 - prawdą jest (=1), że zbiór p nie jest podzbiorem zbioru q
~(q=>p) =1 - prawdą jest (=1), że zbiór q nie jest podzbiorem zbioru p

Klasyka operatora chaosu:
W.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24

Analiza powyższego zdania na mocy małej teorii zbiorów (zdarzeń) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Na mocy definicji naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego), wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9…24..] i już zdanie A jest prawdziwe.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Definicja parametrów formalnych:
Parametry formalne to nazwy symboliczne którymi operujemy w logice matematycznej nie związane z konkretnym przykładem
W logice zwyczajowo są to literki p, q i Y

Definicja parametrów aktualnych:
Parametry aktualne to nazwy symboliczne związane z analizowanym zdaniem, podstawiamy je w miejsce parametrów formalnych.

Przejdźmy z naszym przykładem na parametry formalne podstawiając:
p=P8
q=P3

Zbudujmy w zapisie formalnym tabelę symboliczną i zero-jedynkową dla naszej analizy symbolicznej:
Kod:

Operator chaosu |~~> w małej teorii zbiorów
-------------------------------------------------------
Analiza symboliczna          |Kodowanie zero-jedynkowe
W.                Y=(p|~~>q) |  p   q   Y=(p|~~>q)
A: p~~> q = p* q =1          |  1   1  =1
B: p~~>~q = p*~q =1          |  1   0  =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1          |  0   0  =1
D:~p~~> q =~p* q =1          |  0   1  =1
   1    2   3  4  5             6   7   8
                             |Prawa Prosiaczka:
                             |(p=1)=(~p=0)
                             |(q=1)=(~q=0)

Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p|~~>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka w odniesieniu do powyższego punktu odniesienia to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zapisu symbolicznego do tabeli zero-jedynkowej.

Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład:
Pozycja D6:
~p(D1) # p(W6)
stąd na pozycji D6 wpisujemy 0
Pozycja D7:
q(D2)=q(W7)
Stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
itd.

Tabela ABCD678 to zero-jedynkowa definicja operatora chaosu. Symboliczna definicja operatora chaosu w małej teorii zbiorów (MTZ) to obszar ABCD12345.
Zauważmy, że zdanie A to tylko pierwsze zdanie w zero-jedynkowej definicji operatora chaosu.
Operator chaosu |~~> to jedyne w logice zdanie zawsze prawdziwe p~~>q, czyli prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q kodowanych naturalnym spójnikiem „może”~~> (kwantyfikatorem małym), w naszym przykładzie p=P8 i q=P3.

Definicja zdania zawsze prawdziwego
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym) prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q

Prawo przejścia z operatora chaosu |~~> do spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Dowód:
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli ABCD345:
Y=1 <=> A: p*q=1 lub B: p*~q=1 lub C: ~p*~q=1 lub D: ~p*q=1
Prawda (=1) jest w logice matematycznej domyślna, możemy więc pominąć jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki w tabeli ABCD345:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q

Zaprzeczeniem operatora chaosu jest operator śmierci, legalny operator algebry Boole’a.
Kod:

Operator śmierci ~(|~~>) w małej teorii zbiorów
-------------------------------------------------------
Analiza symboliczna           |Kodowanie zero-jedynkowe
W.               ~Y=~(p|~~>q) |  p   q   ~Y=~(p|~~>q)
A: p~~> q = p* q =0           |  1   1  =0
B: p~~>~q = p*~q =0           |  1   0  =0
C:~p~~>~q =~p*~q =0           |  0   0  =0
D:~p~~> q =~p* q =0           |  0   1  =0
   1    2   3  4  5              6   7   8
                              |Prawa Prosiaczka:
                              |(p=1)=(~p=0)
                              |(q=1)=(~q=0)

Operator śmierci to zbiór pusty (lub zdarzenie niemożliwe) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym).
Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem, gdzie nie ma ani czasu, ani materii, nie ma niczego charakterystycznego dla naszego Wszechświata.
Operator śmierci to także stan mózgu człowieka (także innej istoty żywej) po jego śmierci, który już nic nie postrzega, nic nie analizuje, nie podejmuje żadnych decyzji związanych z naszym Wszechświatem.

4.3 Tworzenie równań logicznych dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej

Rozważmy tabelę zero-jedynkową opisującą operator chaosu.
Kod:

Operator chaosu |~~> w małej teorii zbiorów
-------------------------------------------------------
Analiza symboliczna          |Kodowanie zero-jedynkowe
W.                Y=(p|~~>q) |  p   q   Y=(p|~~>q)
A: p~~> q = p* q =1          |  1   1  =1
B: p~~>~q = p*~q =1          |  1   0  =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1          |  0   0  =1
D:~p~~> q =~p* q =1          |  0   1  =1
   1    2   3  4  5             6   7   8
                             |Prawa Prosiaczka:
                             |(p=1)=(~p=0)
                             |(q=1)=(~q=0)

Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p|~~>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje tylko i wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Algorytm tworzenia równania algebry Boole’a opisującego operator chaosu:
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli zero-jedynkowej ABCD678:
K1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
K2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Prawda (=1) jest w logice matematycznej domyślna, możemy więc pominąć jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki w tabeli ABCD345:
K3: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
K2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Wniosek z prawa śfinii:
W dowolnym równaniu algebry Boole’a (K3 wyżej) utworzonym na podstawie konkretnej tabeli zero-jedynkowej wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do stanu neutralnego, do logicznych jedynek, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna której wartości logicznej nie znamy

Przykład:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
co matematycznie oznacza:
(P8=1) ~~>(~P3=1) <=> (P8=1) i (~P3=1)
Symbole P8 i ~P3 to w równaniu B zmienne binarne których wartości logicznych nie znamy.
Rzeczywiste wartości logiczne zmiennych P8 i ~P3 poznamy dopiero po wylosowaniu konkretnej liczby naturalnej.
Przykład:
P8=[8,16,24 ..]
~P3 = [1,2..4,5,6,7,8..10,11..22,23..25..]

Wylosowana liczba: 8
P8(8) =1 - liczba 8 jest w zbiorze P8
~P3(8) =1 - liczba 8 jest w zbiorze ~P3
Stąd zdanie B dla liczby 8 jest prawdziwe:
P8(8)~~>~P3(8) = P8(8)*~P3(8) =1*1 =1 bo 8
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że liczba 8 należy jednocześnie do zbiorów P8 i ~P3

Wylosowana liczba: 24
P8(24) =1 - liczba 24 jest w zbiorze P8
~P3(24)=0 - nie ma liczby 24 w zbiorze ~P3
Stąd zdanie B dla liczby 24 jest fałszywe:
P8(24)~~>~P3(24) = P8(24)*~P3(24) =1*0 =0
czytamy:
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego) nie jest tu spełniona bo:
Fałszem jest (=0) że liczba 24 należy jednocześnie do zbiorów P8 i ~P3

Zadanie domowe:
Dane jest zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =P8*P3 =1 bo 24
Analiza skrócona przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
Kod:

A: P8~~> P3 = P8* P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C:~P8~~>~P3 =~P8*~P3 =1 bo 5
D:~P8~~> P3 =~P8* P3 =1 bo 3

Udowodnij, że dla liczby 8 prawdziwe jest wyłącznie zdanie B, natomiast wszystkie pozostałe zdania (A, C i D) są fałszywe.


4.4 Operator implikacji prostej |=>

Klasyka implikacji prostej:
W.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => na to, aby było pochmurno.
Padanie deszczu gwarantuje => istnienie chmur.

Mała teoria zbiorów jest ślepa, nie widzi w zdaniu W warunku wystarczającego =>.
Można jednak przy jej pomocy udowodnić iż nasze zdanie W wchodzi w skład zero-jedynkowej definicji operatora implikacji prostej |=>.

Jedyne co możemy zrobić w małej teorii zdarzeń (zbiorów) to przeanalizować nasze zdanie przez wszystkie możliwe przeczenia z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego).
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - zdarzenie możliwe
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =1 - zdarzenie możliwe
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - zdarzenie możliwe

Przejdźmy z naszym przykładem na parametry formalne podstawiając:
p=P (pada)
q=CH (chmury)

Zbudujmy w zapisie formalnym tabelę symboliczną i zero-jedynkową dla naszej analizy symbolicznej:
Kod:

Operator implikacji prostej |=> w małej teorii zbiorów
------------------------------------------------------
Analiza symboliczna          |Kodowanie zero-jedynkowe
W:                Y=(p|=>q)  |  p   q   Y=(p|=>q)
A: p~~> q = p* q =1          |  1   1  =1
B: p~~>~q = p*~q =0          |  1   0  =0
C:~p~~>~q =~p*~q =1          |  0   0  =1
D:~p~~> q =~p* q =1          |  0   1  =1
   1    2   3  4  5             6   7   8
                             |Prawa Prosiaczka:
                             |(p=1)=(~p=0)
                             |(q=1)=(~q=0)

Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p|=>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka w odniesieniu do powyższego punktu odniesienia to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zapisu symbolicznego do tabeli zero-jedynkowej.

Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład:
Pozycja D6:
~p(D1) # p(W6)
stąd na pozycji D6 wpisujemy 0
Pozycja D7:
q(D2)=q(W7)
Stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
itd.

W logice matematycznej tabela ABCD678 to zero-jedynkowa definicja implikacji prostej |=>.
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej |=> w malej teorii zbiorów (MTZ) to obszar ABCD12345.
Nasze zdanie wypowiedziane:
W: p=>q
to tylko i wyłącznie pierwsza linia tabeli zero-jedynkowej.
Zobaczymy to w dużej teorii zbiorów (DTZ) za chwilę, bowiem mała teoria zbiorów jest ślepa i tego oczywistego faktu nie widzi.

Zauważmy, że operator implikacji prostej |=> w małej teorii zbiorów pokazuje poprawnie które zdarzenia w przyszłości mają szansę wystąpić:
Y=(p|=>q) =1
Zapisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli symbolicznej:
Y=(p|=>q) =1 <=> A: p*q=1 lub C:~p*~q =1 lub D: ~p*q =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Y = (p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q

Stąd mamy formalne prawo przejścia z operatora implikacji prostej |=> do tej samej implikacji wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|=>q) = p*q + ~p*~q + ~p*q

Nasz przykład:
(P|=>CH) = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie w przyszłości mają prawo wystąpić opisuje prawa strona tożsamości.
Jedyne zdarzenie które nie ma prawa w przyszłości wystąpić to oczywiście zdarzenie:
B: P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe (pada i nie ma chmur)

Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym) prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q

W myśl tej definicji zdanie wypowiedziane W: P=>CH nie jest zdaniem zawsze prawdziwym, bo fałszywe jest zdanie B, będące częścią operatora implikacji prostej |=>.


4.5 Operator implikacji odwrotnej |~>

Klasyka implikacji odwrotnej:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla zaistnienia opadów, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padało
Stąd mamy matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i warunkiem wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P

Mała teoria zbiorów (MTZ) jest ślepa, nie widzi w zdaniu W warunku koniecznego ~>.
Można jednak przy jej pomocy udowodnić iż nasze zdanie A wchodzi w skład zero-jedynkowej definicji operatora implikacji odwrotnej |~>.

Jedyne co możemy zrobić w małej teorii zdarzeń (zbiorów) to przeanalizować nasze zdanie przez wszystkie możliwe przeczenia z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~>.
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1 - zdarzenie możliwe
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - zdarzenie możliwe
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> nie padać
~CH~~>~P = ~CH*~P =1 - zdarzenie możliwe
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - zdarzenie niemożliwe

Przejdźmy z naszym przykładem na parametry formalne podstawiając:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Zbudujmy w zapisie formalnym tabelę symboliczną i zero-jedynkową dla naszej analizy symbolicznej:
Kod:

Operator implikacji odwrotnej |~> w małej teorii zbiorów
------------------------------------------------------
Analiza symboliczna          |Kodowanie zero-jedynkowe
W:                Y=(p|~>q)  |  p   q   Y=(p|~>q)
A: p~~> q = p* q =1          |  1   1  =1
B: p~~>~q = p*~q =1          |  1   0  =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1          |  0   0  =1
D:~p~~> q =~p* q =0          |  0   1  =0
   1    2   3  4  5             6   7   8
                             |Prawa Prosiaczka:
                             |(p=1)=(~p=0)
                             |(q=1)=(~q=0)

Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p|~>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka w odniesieniu do powyższego punktu odniesienia to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zapisu symbolicznego do tabeli zero-jedynkowej.

Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład:
Pozycja D6:
~p(D1) # p(W6)
stąd na pozycji D6 wpisujemy 0
Pozycja D7:
q(D2)=q(W7)
Stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
itd.

W logice matematycznej tabela ABCD678 to zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej |~>.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej |~> w malej teorii zbiorów to obszar ABCD12345.
Nasze zdanie wypowiedziane:
W: p~>q
to tylko i wyłącznie pierwsza linia tabeli zero-jedynkowej.
Zobaczymy to w dużej teorii zbiorów za chwilę, bowiem mała teoria zbiorów jest ślepa i tego oczywistego faktu nie widzi.

Zauważmy, że operator implikacji odwrotnej |~> w małej teorii zbiorów pokazuje poprawnie które zdarzenia w przyszłości mają szansę wystąpić:
Y=(p|~>q) =1
Zapisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli symbolicznej:
Y=(p|~>q) =1 <=> A: p*q=1 lub B:p*~q =1 lub C: ~p*~q =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Y = (p|~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q

Stąd mamy formalne prawo przejścia z operatora implikacji odwrotnej |~> do tej samej implikacji wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|~>q) = p*q + p*~q + ~p*~q

Nasz przykład:
(CH|~>P) = A: CH*P + B: CH*~P + C: ~CH*~P
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie w przyszłości mają prawo wystąpić opisuje prawa strona tożsamości.
Jedyne zdarzenie które nie ma prawa w przyszłości wystąpić to oczywiście zdarzenie:
D: ~CH*P =0 - zdarzenie niemożliwe (nie ma chmur i pada)

Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym) prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q.

W myśl tej definicji zdanie wypowiedziane W: CH~>P nie jest zdaniem zawsze prawdziwym, bo fałszywe jest zdanie D, będące częścią operatora implikacji odwrotnej |~>.


4.6 Operator równoważności <=>

Klasyka równoważności <=>:
W.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Równoważność to dwa warunki wystarczające => prawdziwe:
(TP=>SK=1) i (~TP=>~SK =1)

A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => na to, aby zachodziła suma w nim kwadratów.
Trójkąt prostokątny gwarantuje => zachodzenie sumy kwadratów

C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nie prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => na to, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów.
Trójkąt nie prostokątny gwarantuje => brak sumy kwadratów

Mała teoria zbiorów (MTZ) jest ślepa, nie widzi w zdaniu W ani warunku wystarczającego TP=>SK, ani też warunku wystarczającego => ~TP=>~SK.
Można jednak przy jej pomocy udowodnić iż oba te warunki wystarczające => wchodzą w skład operatora równoważności.

Jedyne co możemy zrobić w małej teorii zbiorów (zdarzeń) to przeanalizować nasz warunek wystarczający TP=>SK przez wszystkie możliwe przeczenia z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~>.
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK =1
Wystarczy że pokażemy jeden trójkąt prostokątny w którym zachodzi suma kwadratów i już zdanie A z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (pod kwantyfikatorem małym) jest prawdziwe.
Oczywistym jest że w tym przypadku zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK = TP*~SK =0 - bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest tu fałszywe.
\/x TP(x)*~SK(x) =0
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Wystarczy że pokażemy jeden trójkąt nie prostokątny w którym nie zachodzi suma kwadratów i już zdanie C z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (pod kwantyfikatorem małym) jest prawdziwe.
Oczywistym jest że w tym przypadku zachodzi tożsamość zbiorów ~TP=~SK
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK = ~TP*SK =0 - bo zbiory ~TP i SK są rozłączne
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest tu fałszywe.
\/x ~TP(x)*SK(x) =0

Przejdźmy z naszym przykładem na parametry formalne podstawiając:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (suma kwadratów)

Zbudujmy w zapisie formalnym tabelę symboliczną i zero-jedynkową dla naszej analizy symbolicznej:
Kod:

Operator równoważności <=> w małej teorii zbiorów
------------------------------------------------------
Analiza symboliczna          |Kodowanie zero-jedynkowe
W:                Y=(p<=>q)  |  p   q   Y=(p<=>q)
A: p~~> q = p* q =1          |  1   1  =1
B: p~~>~q = p*~q =0          |  1   0  =0
C:~p~~>~q =~p*~q =1          |  0   0  =1
D:~p~~> q =~p* q =0          |  0   1  =0
   1    2   3  4  5             6   7   8
                             |Prawa Prosiaczka:
                             |(p=1)=(~p=0)
                             |(q=1)=(~q=0)

Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p<=>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka w odniesieniu do powyższego punktu odniesienia to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zapisu symbolicznego do tabeli zero-jedynkowej.

Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład:
Pozycja D6:
~p(D1) # p(W6)
stąd na pozycji D6 wpisujemy 0
Pozycja D7:
q(D2)=q(W7)
Stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
itd.

W logice matematycznej tabela ABCD678 to zero-jedynkowa definicja równoważności <=>.
Symboliczna definicja równoważności w malej teorii zbiorów (MTZ) to obszar ABCD12345.
Nasz warunek wystarczający A:
A: TP=>SK
to tylko i wyłącznie pierwsza linia tabeli zero-jedynkowej równoważności.
Natomiast warunek wystarczający C:
C: ~TP=>~SK
to tylko i wyłącznie trzecia linia tabeli zero-jedynkowej równoważności.
Zobaczymy to w dużej teorii zbiorów (DTZ) za chwilę, bowiem mała teoria zbiorów (MTZ) jest ślepa i tego oczywistego faktu nie widzi.

Zauważmy, że operator równoważności <=> w małej teorii zbiorów pokazuje poprawnie które zdarzenia w przyszłości mają szansę wystąpić:
Y=(p<=>q) =1
Zapisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli symbolicznej:
Y=(p<=>q) =1 <=> A: p*q=1 lub C: ~p*~q =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Y = (p<=>q) = A: p*q + C: ~p*~q

Stąd mamy formalne prawo przejścia z operatora równoważności <=> do równoważności wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q

Nasz przykład:
(TP<=>SK) = A: TP*SK + C: ~TP*~SK
co matematycznie oznacza:
(TP<=>SK)=1 <=> A: TP*SK=1 lub C: ~TP*~SK =1
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie w przyszłości mają prawo wystąpić opisuje prawa strona tożsamości.
Zdarzenia które nie mają prawa w przyszłości wystąpić to oczywiście zdarzenia:
B: TP*~SK =0
i
D: ~TP*SK =0

Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym) prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q

W myśl tej definicji zdanie wypowiedziane W: TP<=>SK nie jest zdaniem zawsze prawdziwym, bo fałszywe są zdania B i D, będące częścią operatora równoważności.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 8:37, 17 Mar 2015, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:58, 08 Mar 2015    Temat postu:

Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum

Część III
Duża teoria zbiorów


Spis treści
5.0 Duża teoria zbiorów (zdarzeń) 1
5.1 Operator chaosu |~~> 6
5.2 Implikacja prosta |=> 6
5.3 Prawo Mrówki dla implikacji prostej 12
5.4 Implikacja odwrotna |~> 14
5.5 Prawo Mrówki dla implikacji odwrotnej 19
5.6 Równoważność <=> 21
5.7 Prawo Mrówki dla równoważności 29


5.0 Duża teoria zbiorów (zdarzeń)

Matematyczny fundament dużej teorii zbiorów (zdarzeń) w zdaniach typu „Jeśli p to q” to zaledwie trzy definicje I, II i III:

Prawo złotej rybki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie operacje na zbiorach albo na zdarzeniach.

Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy

Wszystkie możliwe zdarzenia dla dwóch argumentów p i q to:
Kod:

A: p* q
B: p*~q
C:~p*~q
D:~p* q

Dla rozstrzygnięcia które z czterech możliwych kombinacji są prawdziwe/fałszywe wystarczy nam kwantyfikator mały, czyli rozstrzygamy tylko i wyłącznie czy sytuacja X jest możliwa/niemożliwa.
Duża teoria zbiorów (DTZ) akceptuje małą teorię zbiorów (MTZ) wzbogacając ją o definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Mała teoria zbiorów (MTZ) to tylko i wyłącznie zdania z naturalnym spójnikiem „może”~~>, czyli zdania pod kwantyfikatorem małym.

Mała teoria zbiorów

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego)


Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zbiorach:
W.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Istnieje element zbioru x, który należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Przykład:
W.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~~>nie być psem (~P)
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
4L=[pies, słoń ..]
~P=[słoń, kura, wąż..]
4L~`>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P
Prawdą jest (=1), że istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie jest psem (~P=1), np. słoń.
W przypadku naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy że znajdziemy jeden element wspólny zbiorów 4L i ~P i już zdanie W jest prawdziwe, nic więcej nie musimy dowodzić.

Zdanie tożsame do W zapisane kwantyfikatorem małym:
W1.
\/x 4L(x) i ~P(x)
Istnieje takie zwierzę x, które należy jednocześnie do zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] i do zbioru zwierząt nie będących psami ~P=[słoń, kura, wąż ..]
4L~~>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zdarzeniach:
W.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q = p*q

Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Możliwe jest (\/x) jednoczesne zdarzenie p(x) i q(x)

Przykład:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwa jest ~~> sytuacja „są chmury” i „nie pada”.
Wystarczy że pokażemy jeden taki przypadek, co kończy dowód prawdziwości zdania W


Duża teoria zbiorów (DTZ)

Duża teoria zbiorów (DTZ) to dodatkowo definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna)


Definicja warunku wystarczającego w zbiorach:
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Zdanie tożsame:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi być podzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora =>
Definicja tożsama to kwantyfikator duży:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => x należy do zbioru q(x)



Rys. 5.1

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q

Twierdzenie
Jeśli zbiór p zawiera się => w zbiorze q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q = [p*q=p]

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem (P) to na pewno => ma cztery łapy (4L)
P=>4L = 1
Prawdą jest (=1), że zbiór jednoelementowy P=[pies] zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]:
P=>4L = P*4L = [pies]*[pies, słoń ..] =[pies] =1
Zdanie tożsame:
Prawdą jest (=1), że zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń..]
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => na to, aby należeć do zbioru zwierząt z czterema łapami (4L).
Jeśli spośród wszystkich zwierząt wylosujemy psa, to mamy gwarancję matematyczną => iż to zwierzę (pies) będzie miało cztery łapy.

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:

p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Zdanie tożsame:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi być nadzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora ~>
Warunku koniecznego nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym ~~>, ani też kwantyfikatorem dużym =>, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.



Rys. 5.2

Definicja nadzbioru:
Zbiór P jest nadzbiorem ~> zbioru Q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru Q należą do zbioru P

Twierdzenie
Jeśli zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q = [p*q=q]

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~> być psem (P)
4L~>P =1
Prawdą jest (=1), że zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] zawiera w sobie ~> jednoelementowy zbiór P=[pies]
4L~>P= 4L*P =[pies, słoń ..]*[pies]= [pies] =1
Zdanie tożsame:
Prawdą jest (=1), że zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru P=[pies]
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń..] jest nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru P=[pies]
Przynależność do zbioru zwierząt z czterema łapami jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem, bo zabieram zbiór 4L=[pies, słoń ..] i znika mi zbiór P=[pies].
Stąd mamy matematyczną zależność miedzy warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Wszystkie możliwe operatory logiczne dotyczące zdań „Jeśli p to q” to:
Kod:

Operatory proste dla zdań typu „Jeśli p to q”| Definicja symboliczna
Definicje zero-jedynkowe                     | w spójniku „może” ~~>
   p  q   p|~~>q    p|=>q    p|~>q    p<=>q  |         
A: 1  1     =1        =1       =1       =1   | p~~> q = p* q =?
B: 1  0     =1        =0       =1       =0   | p~~>~q = p*~q =?
C: 0  0     =1        =1       =1       =1   |~p~~> q =~p*~q =?
D: 0  1     =1        =1       =0       =0   |~p~~> q =~p* q =?
   a  b      c         d        e        f     1    2   3  4  5

Kod:

Operatory zanegowane zdań typu „Jeśli p to q”| Definicja symboliczna
Definicje zanegowane                         | w spójniku „może” ~~>
   p  q ~(p|~~>q) ~(p|=>q) ~(p|~>q) ~(p<=>q) |         
E: 1  1     =0        =0       =0       =0   | p~~> q = p* q =?
F: 1  0     =0        =1       =0       =1   | p~~>~q = p*~q =?
G: 0  0     =0        =0       =0       =0   |~p~~> q =~p*~q =?
H: 0  1     =0        =0       =1       =1   |~p~~> q =~p* q =?
   a  b      c         d        e        f     1    2   3  4  5


Matematycznie między wszystkimi operatorami zachodzi.
p|~~>q ## p|=>q ## p|~>q ## p<=>q ## ~(p|~~>q) ## ~(p|=>q) ## ~(p|~>q) ## ~(p<=>q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji.
Dowód:
Dla identycznych wymuszeń zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q kolumny wynikowe poszczególnych operatorów są różne.

Definicja operatora zero-jedynkowego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach p i q.
Tabela ABCDabcdef i tabela EFGHabcdef

Definicja operatora symbolicznego w małej teorii zbiorów (MTZ):
Operator logiczny w zdaniach „Jeśli p to q” to seria czterech zdań z naturalnym spójnikiem „może” ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

W przypadku małej teorii zbiorów (MTZ) interesuje nas tylko i wyłącznie czy zdanie:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
jest prawdziwe przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja operatora symbolicznego w dużej teorii zbiorów (DTZ):
Operator logiczny w zdaniach „Jeśli p to q” to seria czterech zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z uwzględnieniem wszystkich spójników implikacyjnych:
~~> - naturalny spójnik „może”
=> - warunek wystarczający (gwarancja matematyczna)
~> - warunek konieczny

W dużej teorii zbiorów (DTZ) rozstrzygamy dodatkowo w stosunku do małej teorii zbiorów (MTZ), czy między dowolnie zaprzeczonymi p i q zachodzi:
=> - warunek wystarczający (gwarancja matematyczna)
~> - warunek konieczny
Zauważmy, że w małej teorii zbiorów (MTZ) ta kwestia nas kompletnie nie interesuje.
Wniosek:
Mała teoria zbiorów (MTZ) jest ślepa, nie widzi tego co najważniejsze w zdaniach typu „Jeśli p to q”, nie widzi warunku wystarczającego => (gwarancji matematycznej).


5.1 Operator chaosu |~~>

Budowa operatora chaosu |~~> w dużej teorii zbiorów (DTZ) jest identyczna jak w małej teorii zbiorów (MTZ). Poznaliśmy ją w rozdziale 4.1.


5.2 Implikacja prosta |=>

Definicja implikacji prostej w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to na pewno => zajdzie zdarzenie q
p=>q =1
Zajście p musi być warunkiem wystarczającym => dla zajścia q.
Jeśli dodatkowo pojęcia p i q nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[p=q] to warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Przykład:
W.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => na to, aby jutro było pochmurno
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze kiedy są chmury, pada.
Nasze zdanie spełnia więc definicję implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH]

Definicja implikacji prostej w zbiorach:


Rys. 5.3

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
Definicja tożsama:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] zawiera się => w zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[P8=P2]
Stąd spełniona jest definicja implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo P2):
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2]

Symboliczną definicję implikacji prostej |=> odczytujemy bezpośrednio z diagramu:
Kod:

A: p=> q =[ p* q= p] =1   
B: p~~>~q=[ p*~q   ] =0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C:~p~>~q =[~p*~q=~q] =1
D:~p~~>q =[~p* q   ] =1


Szczegółowa, symboliczna definicja implikacji prostej:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Dowolny element zbioru p zawiera się => w zbiorze q
Dowolny element zbioru p należy => do zbioru q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór p zawiera się => w zbiorze q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy p
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
A: p=>q = [p*q=p] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p zawiera się => w zbiorze q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!

Bezpośrednio z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =[] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zbiór pusty o wartości logicznej 0.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => A:
A: p=>q
Nazywamy zdanie B z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
B: p~~>~q
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> dla zbioru ~q
Zabieram zbiór ~p i znika mi zbiór ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~p):
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q i nie jest tożsamy ze zbirem ~q
~p|~>~q = (~p~>~q)*~[~p=~q]
Twierdzenie:
p~>q
Jeśli zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy q
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q = [p*q=q] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
W przełożeniu na nasze zdanie C mamy:
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
co doskonale widać na diagramie implikacji prostej wyżej.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny dla zbiorów ~p i q, wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia sytuacji ~p i q.

Z naszej analizy wynika, że:
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A to musimy otrzymać zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q).
A: p=>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to musimy otrzymać zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p~>~q
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Kod:

Definicja symboliczna  |Kodowanie       |Kodowanie
implikacji prostej     |zero-jedynkowe  |zero-jedynkowe
                       |dla A: p|=>q    |dla C: ~p|~>~q
A:p|=>q=(p=>q)*~[p=q]  |                |C:~p|~>~q=(~p~>~q)*~[~p=~q]
W: p   q  Y=p|=>q      | p   q  Y=p|=>q |~p  ~q  Y=~p|~>~q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 | 1=> 1  =1      | 0~> 0  =1
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=0 | 1=> 0  =0      | 0~> 1  =0
C:~p~>~q =[~p*~q=~q]=1 | 0=> 0  =1      | 1~> 1  =1
D:~p~~>q =[~p* q   ]=1 | 0=> 1  =1      | 1~> 0  =1
   1   2             3   4   5   6        7   8   9

Zauważmy że kolumny 7 i 8 to zanegowane kolumny 4 i 5 stąd symbole opisujące kolumny 7 i 8 muszą być zanegowane. Funkcja wyjściowa Y w tabeli ABCD789 nie może być zanegowana bowiem kolumny 6 i 9 są identyczne.
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze wynikowy nagłówek tej tabeli (funkcja Y).
Tabela zero-jedynkowa ABCD456 nosi nazwę operatora implikacji prostej |=>, wszystkie linie tej tabeli znaczymy warunkiem wystarczającym => widocznym w nagłówku, mimo że warunek wystarczający => to tylko i wyłącznie linia A456 co widać w tabeli symbolicznej ABCD123.
Tabela zero-jedynkowa ABCD789 nosi nazwę operatora implikacji odwrotnej |~>, wszystkie linie w tej tabeli znaczymy warunkiem koniecznym ~> widocznym w nagłówku, mimo że warunek konieczny ~> to tylko i wyłącznie linia C789 co widać w tabeli symbolicznej ABCD123.

Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Tabela zero-jedynkowa ABCD456:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład dla definicji implikacji prostej => (ABCD456):
Pozycja D4:
~p(D1) # p(W4)
stąd na pozycji D4 wpisujemy 0
Pozycja D5:
q(D2)=q(W5)
Stąd na pozycji D5 wpisujemy 1
itd.
Tabela zero-jedynkowa ABCD789:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład dla definicji implikacji odwrotnej |~> (ABCD789):
Pozycja D7:
~p(D1) = ~p(W7)
stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
Pozycja D8:
q(D2) # ~q(W8)
Stąd na pozycji D8 wpisujemy 0
itd

Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia.
Prawo tożsamości implikacji:
p|=>q = ~p|~>~q
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q).

Prawo Kubusia zachodzi na poziomie zbiorów, czyli na poziomie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q).

Prawo Kubusia na poziomie zbiorów zachodzi niezależnie od faktu czy zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (implikacja), czy też są tożsame [p=q] (równoważność).

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Implikacja prosta p|=>q     ## Warunek wystarczający =>
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]       ##  p=>q
Implikacja odwrotna ~p|~>~q ## Warunek konieczny ~>
~p|~>~q =(~p~>~q)*~[~p=~q]  ## ~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji


Warunek wystarczający p=>q (spójnik implikacyjny na pewno =>) nie jest tożsamy z operatorem implikacji prostej p|=>q. Zdanie spełniające definicję warunku wystarczającego p=>q to wyłącznie linia A123 w symbolicznej definicji implikacji prostej ABCD123.
Podobnie:
Warunek konieczny ~p~>~q (spójnik implikacyjny „może” ~>) nie jest tożsamy z operatorem implikacji odwrotnej ~p|~>~q. Zdanie spełniające definicję warunku koniecznego ~p~>~q to wyłącznie linia C123 w symbolicznej definicji implikacji prostej ABCD123.

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L


Rys. 5.4

Definicja implikacji prostej:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Nasz przykład spełnia definicję implikacji prostej:
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L]

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = [P*4L = P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P=[pies] zawiera się => w zbiorze 4L=[pies, słoń..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
Zbiór P zawiera się => w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L]

Bezpośrednio z warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 0
Zdanie B w zbiorach:
B: P~~>~4L = P*~4L =[] =0
bo zbiory P i ~4L są rozłączne

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = [~P*~4L=~4L] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P=[kura, wąż, słoń ..] zawiera w sobie ~> zbiór ~4L=[kura, wąż..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
Zbiór ~P zawiera w sobie ~> zbiór ~4L i nie jest tożsamy ze zbiorem ~4L
~P|~>~4L = (~P~>~4L)*~[~P=~4L]
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (np. słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo zbiór ~P=[kura, wąż, słoń..] nie zawiera w sobie zbioru 4L=[pies, słoń ..] (w zbiorze ~P brakuje „psa”, natomiast w zbiorze 4L jest „pies”)
Najprostszy dowód tożsamy to skorzystanie z prawa Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P i 4L (np. słoń).


5.3 Prawo Mrówki dla implikacji prostej

Definicja implikacji prostej w zbiorach:


Rys. 5.5
Definicja implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]

Prawo Termita dla implikacji:
Operator implikacji dzieli dziedzinę na trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne.

Wszystkie możliwe zbiory dla operatora dwuargumentowego to:
Kod:

A: p* q
B: p*~q
C:~p*~q
D:~p* q

Z prawa Termita wynika, że jeden z czterech zbiorów musi być zbiorem pustym.

Prawo Mrówki dla implikacji prostej:
Y = (p|=>q) = Ya+Yc+Yd = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=> wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory A, C i D wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) w powyższym równaniu są niepuste i rozłączne, zaś ich suma logiczna jest dziedziną na której operuje zdanie p=>q.

Prawo Mrówkojada dla implikacji prostej:
Y = (p|=>q) = Ya+Yc+Yd = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=> wtedy i tylko wtedy gdy pokażemy po jednym elemencie zbiorów A, C i D oraz udowodnimy iż zbiór B: p*~q jest zbiorem pustym.

Prawo Mrówki i prawo Mrówkojada można wykorzystać do rozstrzygania czy zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej.
Prawo Mrówkojada jest prostszym sposobem udowodnienia iż zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=>.
Prawa Mrówki i Mrówkojada wynikają z definicji operatora implikacji |=> w zbiorach.

Przykład:
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Nasz przykład:
Y = A: P*4L + C: ~P*~4L + D: ~P*4L
Jak udowodnić iż warunek wystarczający P=>4L wchodzi w skład definicji implikacji prostej |=>?
Na mocy prawa Mrówki Iterujemy po wszystkich zwierzątkach na naszej Ziemi, od pchły po słonia.
A: P*4L=1*1=1 - zwierzęta które są psami (P=1) i mają cztery łapy (4L=1)
A=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
C: ~P*~4L=1*1=1 - zwierzęta które nie są psami (~P=1) i nie mają czterech łap (~4L=1)
C=[kura, wąż ..]
D: ~P*4L=1*1=1 - zwierzęta które nie są psami (~P=1) i mają cztery łapy (4L=1)
D=[słoń, koń ..]
Trzeba teraz udowodnić iż suma logiczna wszystkich tych zbiorów to dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Prostszym sposobem udowodnienia tego samego co wyżej jest skorzystanie z prawa Mrówkojada.

Nasz przykład:
Y = A: P*4L + C: ~P*~4L + D: ~P*4L
Jak udowodnić iż warunek wystarczający P=>4L wchodzi w skład definicji implikacji prostej |=>?
W tym przypadku na mocy prawa Mrówkojada wystarczy pokazać po jednym zwierzątku wchodzącym w skład każdego ze zbiorów A, C i D oraz udowodnić fałszywość zdania B: P*~4L

Dowodzimy:
A.
P*4L =1*1=1 bo pies
Istnieje zwierzę które jest psem (P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
C.
~P*~4L=1*1=1 bo kura
Istnieje zwierzę które nie jest psem (~P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
D.
~P*4L=1*1=1 bo słoń
Istnieje zwierzę które nie jest psem (~P=1) i nie ma czterech łap (4L=1)

Dodatkowo musimy wykazać iż zbiór B jest zbiorem pustym.
B: P*~4L=[] =0
Tu oczywistość bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura, wąż ..] to zbiory rozłączne.
Oba zbiory istnieją (P=1) i (~4L=1), ale są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty, o wartości logicznej zero (=0).

Jak widzimy, dowodzenie iż zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=> przy pomocy prawa Mrówkojada jest nieporównywalnie prostsze niż dowodzenie tego samego przy pomocy prawa Mrówki.


5.4 Implikacja odwrotna |~>

Definicja implikacji odwrotnej |~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~> zajść zdarzenie q
p~>q =1
Zajście p musi być warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q.
Jeśli dodatkowo pojęcia p i q nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[p=q] to warunek konieczny A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej |~>:
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]

Przykład:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> na to aby padało, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada.
Stąd mamy matematyczną zależność między warunkiem koniecznym ~> a warunkiem wystarczającym => wyprowadzona w naturalnej logice człowieka.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze kiedy są chmury, pada.
Nasze zdanie spełnia więc definicję implikacji odwrotnej |~>:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P]

Definicja implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:


Rys. 5.6

Definicja implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
Definicja tożsama:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] zawiera w sobie ~> zbiór P8=[8,16,24..]
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2=[2,4,6,8..] i znika mi zbiór P8=[8,16,24..]
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[P2=P8]
Stąd spełniona jest definicja implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo P8):
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8]

Symboliczną definicję implikacji odwrotnej |~> odczytujemy bezpośrednio z diagramu:
Kod:

A: p~> q =[ p* q= q] =1   
B: p~~>~q=[ p*~q   ] =1
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~p] =1
D:~p~~>q =[~p* q   ] =0


Szczegółowa, symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> dla zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo p):
Zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Twierdzenie:
p~>q
Jeśli zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy q
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q = [p*q=q] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
W przełożeniu na nasze zdanie A mamy:
p~>q = [p*q=q] =1
co doskonale widać na diagramie implikacji odwrotnej wyżej.
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem bo zbiór ~p nie zawiera się ~> w zbiorze q, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny dla zbiorów p i ~q, wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia sytuacji p i ~q.

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowolny element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q
Dowolny element zbioru ~p należy => do zbioru ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=> w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p zawiera się ~> w zbiorze ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co matematycznie zapisujemy ~[~p=~q]
~p|=>~q = (~p=>~q)*~[~p=~q]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q to iloczyn logiczny zbiorów ~p*~q jest równy ~p
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
A: ~p=>~q = [~p*~q=~p] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Bezpośrednio z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =[] =0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zbiór pusty o wartości logicznej 0.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q
Nazywamy zdanie D z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
D: ~p~~>q
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego C (i odwrotnie)
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C (i odwrotnie)

Z naszej analizy wynika, że:
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A to musimy otrzymać zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo q).
A: p~>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to musimy otrzymać zero-jedynkową definicję implikacji prostej |=> w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Kod:

Definicja symboliczna  |Kodowanie       |Kodowanie
implikacji odwrotnej   |zero-jedynkowe  |zero-jedynkowe
                       |dla A: p|~>q    |dla C: ~p|=>~q
A:p|~>q=(p~>q)*~[p=q]  |                |C:~p|=>~q=(~p=>~q)*~[~p=~q]
W: p   q  Y=p|~>q      | p   q  Y=p|~>q |~p  ~q  Y=~p|=>~q
A: p~> q =[ p* q= q]=1 | 1~> 1  =1      | 0=> 0  =1
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=1 | 1~> 0  =1      | 0=> 1  =1
C:~p=>~q =[~p*~q=~p]=1 | 0~> 0  =1      | 1=> 1  =1
D:~p~~>q =[~p* q   ]=0 | 0~> 1  =0      | 1=> 0  =0
   1   2             3   4   5   6        7   8   9

Zauważmy że kolumny 7 i 8 to zanegowane kolumny 4 i 5 stąd symbole opisujące kolumny 7 i 8 muszą być zanegowane. Funkcja wyjściowa Y w tabeli ABCD789 nie może być zanegowana bowiem kolumny 6 i 9 są identyczne.
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze wynikowy nagłówek tej tabeli (funkcja Y).
Tabela zero-jedynkowa ABCD456 nosi nazwę operatora implikacji odwrotnej |~>, wszystkie linie tej tabeli znaczymy warunkiem koniecznym ~> widocznym w nagłówku, mimo że warunek konieczny ~> to tylko i wyłącznie linia A456 co widać w tabeli symbolicznej ABCD123.
Tabela zero-jedynkowa ABCD789 nosi nazwę operatora implikacji prostej |=>, wszystkie linie w tej tabeli znaczymy warunkiem wystarczającym => widocznym w nagłówku, mimo że warunek wystarczający => to tylko i wyłącznie linia C789 co widać w tabeli symbolicznej ABCD123.

Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej.
Tabela zero-jedynkowa ABCD456:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład dla definicji implikacji prostej => (ABCD456):
Pozycja D4:
~p(D1) # p(W4)
stąd na pozycji D4 wpisujemy 0
Pozycja D5:
q(D2)=q(W5)
Stąd na pozycji D5 wpisujemy 1
itd.
Tabela zero-jedynkowa ABCD789:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład dla definicji implikacji odwrotnej |~> (ABCD789):
Pozycja D7:
~p(D1) = ~p(W7)
stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
Pozycja D8:
q(D2) # ~q(W8)
Stąd na pozycji D8 wpisujemy 0
itd

Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia.
Prawo tożsamości implikacji:
p|~>q = ~p|=>~q
Implikacja odwrotna |~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą |=> w logice ujemnej (bo ~q).

Prawo Kubusia zachodzi na poziomie zbiorów, czyli na poziomie warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q).

Prawo Kubusia na poziomie zbiorów zachodzi niezależnie od faktu czy zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (implikacja), czy też są tożsame [p=q] (równoważność).

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Implikacja odwrotna p|~>q   ## Warunek konieczny ~>
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]       ##  p~>q
Implikacja prosta ~p|=>~q   ## Warunek wystarczający =>
~p|=>~q =(~p=>~q)*~[~p=~q]  ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji


Warunek konieczny p~>q (spójnik implikacyjny może ~>) nie jest tożsamy z operatorem implikacji odwrotnej p|~>q. Zdanie spełniające definicję warunku koniecznego p~>q to wyłącznie linia A123 w symbolicznej definicji implikacji odwrotnej ABCD123
Podobnie:
Warunek wystarczający ~p=>~q (spójnik implikacyjny „na pewno” =>) nie jest tożsamy z operatorem implikacji prostej ~p|=>~q. Zdanie spełniające definicję warunku wystarczającego ~p=>~q to wyłącznie linia C123 w symbolicznej definicji implikacji odwrotnej ABCD123.

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P


Rys. 5.6

Definicja implikacji odwrotnej |~>:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Nasz przykład spełnia definicję implikacji odwrotnej:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P i nie jest tożsamy ze zbiorem P
4L|~>P = (4L~>P)*~[4L=P]

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1
Zdanie A w zbiorach:
4L~>P = [4L*P=P] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór 4L=[pies, słoń..] zawiera w sobie ~> zbiór P=[pies], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P):
Zbiór 4L zawiera w sobie ~> zbiór P i nie jest tożsamy ze zbiorem P, co matematycznie zapisujemy ~[4L=P]
4L|~>P = (4L~>P)*~[4L=P]
lub
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P =1 bo słoń
Zdanie B w zbiorach:
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (4L=[pies, słoń..] i ~P=[kura, wąż, słoń..] i mają część wspólną (np. słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo zbiór 4L=[pies, słoń..] nie zawiera w sobie zbioru ~P=[kura, wąż, słoń..]
Najprostszy dowód tożsamy to skorzystanie z prawa Kubusia:
B: 4L~>~P = D: ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów 4L i ~P (np. słoń).

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Zdanie C w zbiorach:
~4L=>~P = [~4L*~P = ~4L] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~4L=[kura, wąż..] zawiera się => w zbiorze ~P=[słoń, kura, wąż..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P):
Zbiór ~4L zawiera się => w zbiorze ~P i nie jest tożsamy ze zbiorem ~P
~4L|=>~P = (~4L=>~P)*~[~4L=~P]

Bezpośrednio z warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P = 0
Zdanie D w zbiorach:
D: ~4L~~>P =~4L*P =[] =0
bo zbiory ~4L i P są rozłączne


5.5 Prawo Mrówki dla implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:


Rys. 5.7
Definicja implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]

Prawo Termita dla implikacji:
Operator implikacji dzieli dziedzinę na trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne.

Wszystkie możliwe zbiory dla operatora dwuargumentowego to:
Kod:

A: p* q
B: p*~q
C:~p*~q
D:~p* q

Z prawa Termita wynika, że jeden z czterech zbiorów musi być zbiorem pustym.

Prawo Mrówki dla implikacji odwrotnej:
Y = (p|~>q) = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
Zdanie A: p~>q wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej |~> wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory A, B i C wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) w powyższym równaniu są niepuste i rozłączne, zaś ich suma logiczna jest dziedziną na której operuje zdanie p~>q.

Prawo Mrówkojada dla implikacji odwrotnej:
Y = (p|~>q) = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
Zdanie p~>q wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej |~> wtedy i tylko wtedy gdy pokażemy po jednym elemencie zbiorów A, B i C oraz udowodnimy iż zbiór D: ~p*q jest zbiorem pustym.

Prawo Mrówki i prawo Mrówkojada można wykorzystać do rozstrzygania czy zdanie p~>q wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej.
Prawo Mrówkojada jest prostszym sposobem udowodnienia iż zdanie p~>q wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej |~>.
Prawa Mrówki i Mrówkojada wynikają z definicji operatora implikacji |~> w zbiorach.

Przykład:
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Nasz przykład:
Y = (4L|~>P) = A: 4L*P + B:4L*~P + C: ~4L*~P
Jak udowodnić iż zdanie A: 4L~>P wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej |~>?
Na mocy prawa Mrówki iterujemy po wszystkich zwierzątkach na naszej Ziemi, od pchły po słonia.
A: 4L*P =1*1=1 - zwierzęta które mają cztery łapy (4L=1) i są psami (P=1)
A=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
B: 4L*~P =1*1=1 - zwierzęta które mają czterech łap (4L=1) i nie są psami
B=[słoń, koń..]
C: ~4L*~P =1*1=1 - zwierzęta które nie mają czterech łap (~4L=1) i nie są psami (~P=1)
C=[kura, wąż ..]
Trzeba teraz udowodnić iż suma logiczna wszystkich tych zbiorów to dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Prostszym sposobem udowodnienia tego samego co wyżej jest skorzystanie z prawa Mrówkojada.

Nasz przykład:
Y = (4L|~>P) = A: 4L*P + B:4L*~P + C: ~4L*~P
Jak udowodnić iż zdanie A: 4L~>P wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej |~>?
W tym przypadku na mocy prawa Mrówkojada wystarczy pokazać po jednym zwierzątku wchodzącym w skład każdego ze zbiorów A, B i C oraz udowodnić fałszywość zdania D: ~4L*P

Dowodzimy:
A.
4L*P =1*1=1 bo pies
Istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i jest psem (P=1)
B.
4L*~P =1*1=1 bo słoń
Istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie jest psem (~P=1)
C.
~4L*~P =1*1=1 bo kura
Istnieje zwierzę które nie ma czterech łap (4L=1) i nie jest psem (~P=1)

Dodatkowo musimy wykazać iż zbiór D jest zbiorem pustym.
D: ~4L*P =[] =0
Tu oczywistość bo zbiory ~4L=[kura, wąż ..] i P=[pies] to zbiory rozłączne.
Oba zbiory istnieją (~4L=1) i (P=1), ale są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty, o wartości logicznej zero (=0).

Jak widzimy, dowodzenie iż zdanie p~>q wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej |~> przy pomocy prawa Mrówkojada jest nieporównywalnie prostsze niż dowodzenie tego samego przy pomocy prawa Mrówki.


5.6 Równoważność <=>

Zacznijmy od definicji implikacji prostej |=> w zbiorach.


Rys. 5.8

Definicja implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i każdy element zbioru q należy => do zbioru p.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Uwaga!
Kluczowy wniosek:

Tożsamość zbiorów opisuje w logice matematycznej definicja równoważności.

Stąd mamy.
Tożsama definicja równoważności:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]

Z wyprowadzonej definicji równoważności wynika, że powyższy diagram implikacji prostej |=> będzie pasował do równoważności wtedy i tylko wtedy gdy zlikwidujemy obszar niebieski.


Rys. 5.8
Definicja równoważności w zbiorach:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]

Doskonale widać, że przy tożsamości zbiorów p=q znika obszar niebieski. Niebieską obwódkę, ślad po zbiorze występującym w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.

Alternatywna definicja tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem zbioru q i zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Symetryczna definicja równoważności:
Zbiory ~p i ~q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q i zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności dającą w wyniku tabelę zero-jedynkową równoważności w sposób bezpośredni.

Zapiszmy symbolicznie definicję równoważności w zbiorach wynikającą z diagramu:
Kod:

RA:                 p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q =[ p* q = p] =1 - zbiór p zawiera się => w zbiorze q
B: p~~>~q=[ p*~q    ] =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC:                ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =[~p*~q =~p] =1 - zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q
D:~p~~>q =[~p* q    ] =0 - zbiory ~p i q są rozłączne


Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = [p*q=p]
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Dodatkowo zbiory p i q są tożsame [p=q] co wymusza definicję równoważności <=> w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Zdanie A w kwantyfikatorze dużym:
A.
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =[] =0
Definicja naturalnego spójnika „może”~~> (kwantyfikatora małego) nie jest tu spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne.

… a jeśli zajdzie ~p?
Odczytujemy z diagramu.
RC: ~p<=>~q= (~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q).
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q = [~p*~q =~p]
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zdanie C w kwantyfikatorze dużym:
C.
/\x ~p(x)=>~q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie ~p(x) to na pewno => zajdzie ~q(x)
Dodatkowo zbiory ~p i ~q są tożsame [~p=~q] co wymusza definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =[] =0
Definicja naturalnego spójnika „może”~~> (kwantyfikatora małego) nie jest tu spełniona bo zbiory ~p i q są rozłączne.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=( ~q=1)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RC otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
RC: ~p<=>~q
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=1)

Kod:

Definicja symboliczna       |Definicja      |Definicja
                            |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
                            |dla RA:p<=>q   |dla RC:~p<=>~q
RA:                  p<=>q  | p    q  p<=>q | ~p   ~q ~p<=>~q
A: p=> q =[ p* q= p]=1      | 1<=> 1    =1  |  0<=> 0    =1
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=0      | 1<=> 0    =0  |  0<=> 1    =0
RC:                 ~p<=>~q |               |
C:~p=>~q =[~p*~q=~p]=1      | 0<=> 0    =1  |  1<=> 1    =1
D:~p~~>q =[~p* q   ]=0      | 0<=> 1    =0  |  1<=> 0    =0
   1   2    a  b     3        4    5     6     7    8     9

Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalny prawa algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q

Odpowiedź na pytanie co się stanie gdy zajdzie p mamy wyłącznie w obszarze AB123 bowiem tylko tu widzimy p (kodowanie zero-jedynkowe AB456).
Odpowiedź na pytanie co się stanie gdy zajdzie ~p mamy wyłącznie w obszarze CD123 bowiem tylko tu widzimy ~p (kodowanie zero-jedynkowe CD789).

Definicję symboliczną warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) widzimy w linii A123, natomiast jego zero-jedynkowe kodowanie w linii A456.
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A to linia B.

Definicję symboliczną warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) widzimy w linii C123, natomiast jego zero-jedynkowe kodowanie w linii C789.
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => C to linia D.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Równoważność          ## Warunek wystarczający ## warunek wystarczający:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) ## p=>q                  ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji


Zapiszmy najważniejsze warunki zniknięcia obszaru niebieskiego.
I.
Zbiory p i q są tożsame [p=q] wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q i każdy element zbioru q należy do zbioru p
Popularna interpretacja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
R1: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Tożsamość zbiorów [p=q] wymusza tożsamość zbiorów [~p=~q].
Definicja symetryczna:
R2: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

II.
Zbiory p i q są tożsame [p=q] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Aksjomatyczna definicja równoważności:
R3: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Definicja symetryczna:
R4: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

III.
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy kolejną, popularną definicję równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami p i q.
R5: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Definicja symetryczna:
R6: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q)

IV.
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
R7. p<=>q = (p~>q)*(q~>p)
Definicja symetryczna:
R8. ~p<=>~q = (~p~>~q)*(p~>q)

V.
Zbiory p i q są tożsame [p=q] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i równocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem zbioru ~q
R7. p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
Definicja symetryczna:
R8. ~p<=>~q = (~p~>~q)*(p~>q)

Przykładowe prawa logiczne jakie możemy wyprowadzić z powyższych definicji to:
A.
Z R1 i R3 mamy:
R1: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R3: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Stąd mamy II prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
q=>p = ~p=>~q
B.
Z R2 i R4 mamy:
R2: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
R4: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Stąd mamy I prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
C.
Z R1 i R5 mamy:
R1: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R5: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Stąd mamy I prawo świstaka:
p~>q = q=>p
D.
Z R2 i R6 mamy:
R2: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
R6: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
Stąd mamy II prawo świstaka:
~p~>~q = ~q=>~p
E.
Z R3 i R5 mamy:
R3: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R5: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Stąd mamy II prawo Kubusia poprawne w równoważności:
p~>q = ~p=>~q
F.
Z R4 i R6 mamy:
R4: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
R6: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
Stąd mamy I prawo Kubusia poprawne w równoważności:
p=>q = ~p~>~q

Zapiszmy aksjomatyczną definicję równoważności, z której bezpośrednio wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście z praw matematycznych wyprowadzonych wyżej możemy korzystać do woli.

Korzystając z praw Kubusia możemy zapisać:
p<=>q = (p=>q = ~p~>~q)*(~p=>~q = p~>q)
Stąd mamy I serię poprawnych definicji równoważności:
1. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
2. p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
3. p<=>q = (~p~>~q)*(~p=>~q)
4. p<=>q = (~p~>~q)*(p~>q)

Korzystając z praw kontrapozycji możemy zapisać:
p<=>q = (p=>q = ~q=>~p)*(~p=>~q = q=>p)
Stąd mamy II serię poprawnych definicji równoważności:
5. p<=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
6. p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
7. p<=>q = (~q=>~p)*(~p=>~q)
8. p<=>q = (~q=>~p)*(q=>p)
itd.

W naturalnej logice człowieka i matematyce powszechnie stosowane są dwie definicje.
Popularna definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
gdzie:
p=>q - twierdzenie proste = warunek wystarczający w stronę p=>q
q=>p - twierdzenie odwrotne = warunek wystarczający w stronę q=>p

Język potoczny i matematyka:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło q

Twierdzenie Pitagorasa:
Do tego aby trójkąt był prostokątny potrzeba ~> i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów
SK<=>TP = (SK~>TP)*(SK=>TP)

Rozważmy na zakończenie klasykę równoważności.

Twierdzenie Pitagorasa.


Rys. 5.9
Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
RA.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) to wyłącznie linia A:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = [TP*SK = TP] =[TP=TP] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór TP zawiera się => w zbiorze SK, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK.
Z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie).
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
Zbiory:
TP~~>~SK = [TP*~SK] =[]=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

RC.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK) to wyłącznie linia C:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = [~TP*~SK = ~TP] =[~TP=~TP] =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
Z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie).
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = [~TP*SK] =[]=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i C.
To nie są operatory logiczne, to zaledwie „połówki” operatora równoważności.


5.7 Prawo Mrówki dla równoważności

Definicja równoważności w zbiorach:


Rys. 5.10
Definicja równoważności w zbiorach:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]

Tożsama definicja równoważności:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q [p=q] wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q i każdy element zbioru ~p należy do zbioru ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Prawo Termita dla równoważności <=>:
Operator równoważności dzieli dziedzinę na dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne.

Wszystkie możliwe zbiory dla operatora dwuargumentowego to:
Kod:

A: p* q
B: p*~q
C:~p*~q
D:~p* q

Z prawa Termita wynika, że dwa z czterech zbiorów muszą być zbiorami pustymi.

Prawo Mrówki dla równoważności:
Y = (p<=>q) = Ya+Yc = A: p*q + C: ~p*~q
Zdania A: p=>q i C: ~p=>~q wchodzą w skład operatora równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory A, C wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) w powyższym równaniu są niepuste i rozłączne, zaś ich suma logiczna jest dziedziną na której operuje zdanie p<=>q.

Prawo Mrówkojada dla równoważności:
Y = (p<=>q) = Ya+Yc = A: p*q + C: ~p*~q
Zdania A: p=>q i C: ~p=>~q wchodzą w skład operatora równoważności <=> wtedy i tylko wtedy gdy pokażemy po jednym elemencie zbiorów A, C oraz udowodnimy iż zbiory B: p*~q i D: ~p*q są zbiorami pustymi.

Prawo Mrówki i prawo Mrówkojada można wykorzystać do rozstrzygania czy zdania A: p=>q i C: ~p=>~q wchodzą w skład operatora równoważności.
Prawo Mrówkojada jest prostszym sposobem udowodnienia.

Przykład:
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Nasz przykład:
Y = A: TP*SK + C: ~TP*~SK
Jak udowodnić iż warunki wystarczające A: P=>4L i C: ~TP=>~SK wchodzą w skład definicji operatora równoważności <=>?

Na mocy prawa Mrówki Iterujemy po wszystkich możliwych trójkątach.
A: TP*SK = 1*1=1 - trójkąty prostokątne w których zachodzi suma kwadratów
C: ~TP*~SK = 1*1 =1 - trójkąty nie prostokątne w których nie zachodzi suma kwadratów
Trzeba teraz udowodnić iż suma logiczna wszystkich tych zbiorów to dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Prostszym sposobem udowodnienia tego samego co wyżej jest skorzystanie z prawa Mrówkojada.

Nasz przykład:
Y = A: TP*SK + C: ~TP*~SK
Jak udowodnić iż warunki wystarczające A: P=>4L i C: ~TP=>~SK wchodzą w skład definicji operatora równoważności <=>?
W tym przypadku na mocy prawa Mrówkojada wystarczy pokazać po jednym trójkącie należącym do zbiorów A: TP*SK i C: ~TP*~SK oraz udowodnić pustość zbiorów B: TP*~SK i D: ~TP*SK.

Dowodzimy:
A.
TP*SK = 1*1 =1
Istnieje trójkąt prostokątny (TP=1) w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1).
Wystarczy pokazać jeden taki trójkąt, co kończy dowód.
C.
~TP*~SK
Istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP=1) w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1).
Wystarczy pokazać jeden taki trójkąt, co kończy dowód.

Dodatkowo musimy wykazać iż zbiory B i D są zbiorami pustymi.
B: TP*~SK = [] =0
Tu oczywistość bo zbiory TP i ~SK to zbiory rozłączne.
Oba zbiory istnieją (TP=1) i (~SK=1), ale są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty, o wartości logicznej zero (=0).
D: ~TP*SK = [] =0
Tu oczywistość bo zbiory ~TP i SK to zbiory rozłączne.
Oba zbiory istnieją (~TP=1) i (SK=1), ale są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty, o wartości logicznej zero (=0).

Jak widzimy, dowodzenie iż zdania A:p=>q i C:~p=>~q wchodzą w skład operatora równoważności <=> przy pomocy prawa Mrówkojada jest nieporównywalnie prostsze niż dowodzenie tego samego przy pomocy prawa Mrówki.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 1:07, 17 Mar 2015, w całości zmieniany 15 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:15, 09 Mar 2015    Temat postu:

Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum

Część IV
Armagedon logiki matematycznej Ziemian


Spis treści
6.0 Trzęsienie Ziemi w logice matematycznej 1
6.1 Armagedon logiki matematycznej Ziemian po raz pierwszy 5
6.1 Armagedon logiki matematycznej Ziemian po raz drugi 8


6.0 Trzęsienie Ziemi w logice matematycznej

Przeanalizujmy klasykę implikacji prostej |=> i odwrotnej |~> w zdarzeniach przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w dużej teorii zbiorów.

Klasyka implikacji prostej |=>:
W.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Padanie deszczu wystarcza => aby jutro było pochmurno
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze kiedy są chmury, pada.
Nasze zdanie spełnia więc definicję implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH]
Analiza matematyczna z automatu:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => na to aby było pochmurno
Warunek wystarczający => (zdanie A) prawdziwy wymusza fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
… a jak nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak deszczu jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno, bo jak pada to na pewno => są chmury.
~P~>~CH = P=>CH
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej P|=>CH (ABCDabc):
A: P=>CH
Prawa Prosiaczka:
(P=1)=(~P=0)
(CH=1)=(~CH=0)
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej ~P|~>~CH (ABCDdef):
C: ~P~>~CH
Prawa Prosiaczka:
(~P=1)=(P=0)
(~CH=1)=(CH=0)
Kod:

Tabela 1
                          |Definicja   |Kodowanie     |Kodowanie
                          |symboliczna |dla punktu    |dla punktu
Zdarzenia możliwe ~~>     |operatora   |odniesienia   |odniesienia
                          |P|=>CH      |P|=>CH        |~P~>~CH
         P|=>CH ~(P|=>CH) |            | P  CH P|=>CH | ~P ~CH ~P~>~CH
A: P* CH  =1       =0     | P=>  CH =1 | 1=> 1  =1    |  0~> 0  =1
B: P*~CH  =0       =1     | P~~>~CH =0 | 1=> 0  =0    |  0~> 1  =0
C:~P*~CH  =1       =0     |~P~> ~CH =1 | 0=> 0  =1    |  1~> 1  =1
D:~P* CH  =1       =0     |~P~~> CH =1 | 0=> 1  =1    |  1~> 0  =1
   1   2   3        4       5     6  7   a   b   c       d   e   f

Tożsamość kolumn c i f jest dowodem poprawności prawa Kubusia w odniesieniu do kompletnego operatora:
P|=>CH = ~P|~>CH

Klasyka implikacji odwrotnej |~>:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zabieram chmury i wykluczam możliwość padania
Chmury są warunkiem koniecznym ~> na to aby nie padało, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada.
CH~>P = ~CH=>~P
Dodatkowo pojęcia „chmury” i „pada” nie są tożsame bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wymusza to definicję implikacji odwrotnej |~>:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P]
Analiza matematyczna zdania W przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z uwzględnieniem spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~>:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zabieram chmury i wykluczam możliwość padania
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P =CH*~P =1 - sytuacja możliwa
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli juro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => aby nie padało
Prawdziwość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - sytuacja niemożliwa

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej CH|~>P (ABCDabc):
A: CH|~>P
Prawa Prosiaczka:
(CH=1)=(~CH=0)
(P=1)=(~P=0)
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej ~CH|=>~P (ABCDdef):
C: ~CH=>~P
Prawa Prosiaczka:
(~CH=1)=(CH=0)
(~P=1)=(P=0)
Kod:

Tabela 2
Zdarzenia możliwe ~~>     |Definicja   |Kodowanie     |Kodowanie
                          |symboliczna |dla punktu    |dla punktu
                          |operatora   |odniesienia   |odniesienia
                          |CH|~>P      |CH|~>P        |~CH|=>~P
                   CH|~>P |            | CH  P CH|~>P |~CH ~P ~CH|=>~P
A: CH~~> P = CH* P  =1    | CH~>  P =1 |  1~>1  =1    |  0=>0  =1
B: CH~~>~P = CH*~P  =1    | CH~~>~P =1 |  1~>0  =1    |  0=>1  =1
C:~CH~~>~P =~CH*~P  =1    |~CH=> ~P =1 |  0~>0  =1    |  1=>1  =1
D:~CH~~> P =~CH* P  =0    |~CH~~> P =0 |  0~>1  =0    |  1=>0  =0
    1    2    3  4   5       6    7  8    a  b   c       d  e   f

Tożsamość kolumn c i f jest dowodem poprawności prawa Kubusia w odniesieniu do kompletnego operatora.
CH|~>P = ~CH|=>~P

Doskonale widać, że dla identycznych wymuszeń zero-jedynkowych w tabeli 1 i w tabeli 2:
Tabela 1: ABCDabc
Tabela 2: ABCDabc
kolumny wynikowe są różne:
Tabela 1 (c) ## Tabela 2 (c)
Matematycznie, w równaniu algebry Boole’a mamy tu zatem:
P|=>CH = ~P|~>~CH ## CH|~>P = ~CH=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na czym polega trzęsienie ziemi w logice matematycznej?

Prawo Hipopotama:
Znane matematykom prawo kontrapozycji w implikacji jest fałszywe.
P|=>CH ## ~CH=>~P
Dowód: wyżej
W przełożeniu na zapisy formalne:
p|=>q ## ~q=>~p
## - różne na mocy definicji
Prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności.

Dokładnie to samo co wyżej można udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej.

Temat ćwiczenia:
Zdejmowanie tabeli prawdy z nieznanego układu cyfrowego o dwóch wejściach p i q oraz jednym wyjściu Y.




Rys. 6.1 Zdejmowanie tabeli prawdy z nieznanego układu logicznego

Z założenia obserwator zewnętrzny widzi wyłącznie czarną skrzynkę z dwoma drucikami wejściowymi p i q oraz jednym drucikiem wyjściowym Y. Oczywiście dostępny jest też wspólny punkt odniesienia zwany w elektronice „masą” względem którego mierzymy woltomierzem napięcia na wejściach p i q oraz na wyjściu Y.
W technice TTL zera i jedynki to napięcia mierzone względem „masy”, zwanej także „ziemią” (GND):
1 = 2,4-5,0V - wysoki poziom napięcia (H = HIGH voltage level)
0 = 0,0-0,4V - niski poziom napięcia ( L = LOW voltage level)
Kod:

Tabela A                ## Tabela B
Implikacja prosta p|=>q ## Implikacja odwrotna p|~>q
p|=>q = ~p|~>~q         ## p|~>q = ~p|=>~q
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że zewnętrzny obserwator bez problemu odróżni implikację prostą p|=>q (tabela A) od implikacji odwrotnej p|~>q (tabela B).
Nie ma natomiast żadnych fizycznych możliwości, aby stwierdzić co jest w środku czarnej skrzynki.
Z punktu widzenia zewnętrznego obserwatora układy logiczne wchodzące w skład bloku A są nierozpoznawalne:
A: p|=>q = ~p|~>~q
Podobnie:
Z punktu widzenia zewnętrznego obserwatora układy logiczne wchodzące w skład bloku B są nierozpoznawalne:
B: p|~>q = ~p|=>~q
Dokładnie dlatego zachodzi tożsamość układów logicznych wewnątrz bloku A i wewnątrz bloku B.


6.1 Armagedon logiki matematycznej Ziemian po raz pierwszy

Zacznijmy od definicji implikacji prostej |=> w zbiorach:


Rys. 6.2

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q

Definicja implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja implikacji prostej składa się z dwóch części które musimy udowodnić oddzielnie dwoma niezależnymi dowodami.
A.
Dowodzimy warunek wystarczający =>:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdanie tożsame pod kwantyfikatorem dużym:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli element x należy do zbioru p(x) to na pewno => element x należy do zbioru q(x).
Iterujemy tu wyłącznie po zbiorze p(x), wtedy i tylko wtedy mamy do czynienia z istotą implikacji, gwarancją matematyczną. Przynależność elementu x do zbioru p(x) daje nam gwarancję matematyczną => iż element x należy również do zbioru q(x).
B.
Dowodzimy brak tożsamości zborów p i q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q].

Dopiero po udowodnieniu A i B mamy pewność, że warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej |=>.

Kluczowe definicje.

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q i każdy element zbioru q należy do zbioru p.

Tożsamość zbiorów opisuje w logice matematycznej definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Stąd mamy.
Tożsama definicja równoważności:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiory te są tożsame, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]

Na mocy definicji podzbioru nie interesuje nas czy zbiory p i q są tożsame [p=q] (równoważność), czy też nie są tożsame ~[p=q] (implikacja).

Prawo Wilka:
Dowolne dwa zbiory p i q mogą być albo tożsame [p=q], albo nietożsame ~[p=q].

Z prawa Wilka wynika, że równoważność <=> nigdy nie może być implikacją |=>.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Fałszywa jest logika matematyczna w której tożsamość zbiorów [p=q], czy też brak tożsamości zbiorów ~[p=q] zależy od punktu spojrzenia na te zbiory, czyli od tego jakiego zdania użyje człowiek przy opisie tych zbiorów.

Przykład implikacji prostej |=>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] zawiera się => w zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Zdanie tożsame:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame, co wymusza definicję implikacji prostej |=>:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2] = 1*1 =1
Dowód w zbiorach:
(P8=>P2) =1
Czy zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2?
Tak, stąd (P8=>P2) =1 (prawda)
~[P8=P2]
Czy zbiór P8 jest różny od zbioru P2, co zapisujemy ~[P8=P2]?
Tak, stąd ~[P8=P2]=1 (prawda)
Czy prawdą (=1) jest że zachodzi równoczesność zdarzeń:
(P8=>P2)*~[P8=P2] = 1*1 =1 (prawda)
Tak, stąd końcowa jedynka wynikowa (Prawda=1)
cnd

Zauważmy, że równoważność jest w tym przypadku fałszywa!
P8<=>P2 = (P8=>P2)*[P8=P2] = 1*0 =0
Dowód w zbiorach:
(P8=>P2)
Czy zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2?
Tak, stąd (P8=>P2) =1 (prawda)
[P8=P2]
Czy zbiór P8 jest tożsamy ze zbiorem P2, co matematycznie zapisujemy [P8=P2]?
Nie, stąd [P8=P2]=0 (fałsz)
Czy prawdą (=1) jest że zachodzi równoczesność zdarzeń:
(P8=>P2)*[P8=P2] = 1*0 =0 (fałsz)
Nie, stąd końcowe wynikowe zero (fałsz=0)
cnd

Twierdzenie Pitagorasa (przykład równoważności):
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP) = 1*1=1
Dowód w zbiorach:
TP=>SK
Czy prawdą jest ze zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK?
Tak, stąd (TP=>SK) =1 (prawda)
Czy prawdą jest że zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP?
Tak, stąd (SK=>TP) =1 (prawda)
Czy możliwa jest równoczesność zdarzeń?
(TP=>SK)*(SK=>TP) = 1*1=1 (prawda)
Tak, stąd końcowa wynikowa jedynka (prawda=1)
cnd

Zachodząca równoważność jest dowodem tożsamości zbiorów TP=SK
Stąd:
Tożsama definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*[TP=SK] = 1*1=1
Dowód w zbiorach:
TP=>SK
Czy prawdą jest ze zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK?
Tak, stąd (TP=>SK) =1 (prawda)
[TP=SK]
Czy prawdą jest (=1) iż zbiory TP i SK są tożsame, co matematycznie zapisujemy [TP=SK]?
Tak, stąd [TP=SK] =1 (prawda)
Czy możliwa jest równoczesność zdarzeń?
(TP=>SK)*[TP=SK] = 1*1=1 (prawda)
Tak, stąd końcowa wynikowa jedynka (prawda =1)
cnd

Uwaga!
Zauważmy, że jak do twierdzenia Pitagorasa zastosujemy definicję implikacji prostej |=> to twierdzenie Pitagorasa będzie fałszywe.
TP=>SK = (TP=>SK)*~[TP=SK] = 1*0 =0
Dowód w zbiorach:
TP=>SK
Czy prawdą jest ze zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK?
Tak, stąd (TP=>SK) =1 (prawda)
~[TP=SK]
Czy prawdą jest (=1) iż zbiory TP i SK nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[TP=SK]?
Nie, stąd ~[TP=SK] =0 (fałsz)
Czy możliwa jest równoczesność zdarzeń?
(TP=>SK)*~[TP=SK] = 1*0=0 (fałsz)
Nie, stąd końcowe wynikowe zero (falsz=0)
cnd

Podsumowując:
Fałszywa jest logika matematyczna Ziemian twierdząca, że równoważność <=> prawdziwa:
TP<=>SK = (TP=>SK)*[TP=SK] =1*1 =1
Wymusza implikację prawdziwą |=>:
TP|=>SK = (TP=>SK)*~[TP=SK] = 1*0 =0
co dowiedziono wyżej.

6.1 Armagedon logiki matematycznej Ziemian po raz drugi

Prawo Kobry
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” prawdziwe pod kwantyfikatorem dużym (spójnik „na pewno”=>) musi być prawdziwe pod kwantyfikatorem małym (spójnik „może”~~>)

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

Zdanie A pod kwantyfikatorem dużym:
/\ P8(x)=>P2(x)
Dla dowolnej liczby x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 to na pewno => liczba x jest podzielna przez 2

UWAGA!
Warunek wystarczający w zdaniu A jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy kwantyfikujemy wyłącznie po zbiorze P8=[8,16,4..].
Nie wolno nam iterować po całej dziedzinie liczb naturalnych.

Dlaczego?
Prawo Kobry
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” prawdziwe pod kwantyfikatorem dużym (spójnik „na pewno”=>) musi być prawdziwe pod kwantyfikatorem małym (spójnik „może”~~>)

Dla zbioru P8=[8,16,24..] prawo Kobry jest spełnione dla dowolnej liczby z tego zbioru.
Przykład:
\/x P8(x)*P2(x)
Dla x=8 mamy:
P8(8)*P2(8) = 1*1 =1
Element 8 jest wspólny dla zbiorów P8(x) i P2(x).
Oczywistym jest że jak będziemy iterować wyłącznie po zbiorze P8=[8,16,24..] to prawo Kobry będzie spełnione zawsze, bez żadnego wyjątku.

Dla zbioru spoza zbioru P8, czyli zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9,10…] prawo Kobry leży i kwiczy.
\/x P8(x)*P2(x) - definicja kwantyfikatora małego dla zbiorów P8 i P2
Spróbujmy dla x=7:
P8(7)*P2(7) = 0*0 =0
Liczba 7 nie należy ani do zbioru P8, ani też do zbioru P2
Dla liczby 7 zdanie A pod kwantyfikatorem małym jest fałszywe:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2
Oczywistym jest że zdanie A1 jest prawdziwe dla zbioru P8=[8,16,24..] i fałszywe dla wszystkich liczb spoza tego zbioru.

Fałszywość zdania A1 pod kwantyfikatorem małym (~~>) wymusza fałszywość zdania A zapisanego kwantyfikatorem dużym (=>) na mocy prawa Kobry.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =0
Fałsz dla liczby 7 na mocy prawa Kobry.

Podsumowując:
Logika matematyczna Ziemian która iteruje zdania typu „Jeśli p to na pewno =>q” po całej dziedzinie jest matematycznie błędna.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 17:14, 18 Mar 2015, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:18, 09 Mar 2015    Temat postu:

....
..
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:22, 09 Mar 2015    Temat postu:

.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:38, 09 Mar 2015    Temat postu:

x
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:57, 09 Mar 2015    Temat postu:

..........

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 21:53, 10 Mar 2015, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin