Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Śmieci

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 19:51, 31 Paź 2020    Temat postu: Śmieci

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Nowa algebra Boole'a

Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 2
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 2
1.1.1 Definicja negacji 3
1.2 Prawa Prosiaczka 5
1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 5
1.3 Definicja wyrażenia algebry Boole'a 6
1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 7
1.3.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y 8
1.4 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 8
1.4.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 9
1.4.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 9
1.5 Prawo Grzechotnika 10
1.5.1 Definicja funkcji transmisji Y=p w logice dodatniej (bo Y) 10
1.5.2 Definicja funkcji negacji Y=~p w logice dodatniej (bo Y) 10
1.5.3 Relacja matematyczna między funkcjami Y=p oraz Y=~p 11
1.5.4 Definicja operatora transmisji Y|=p 11
1.5.5 Definicja operatora negacji Y|=~p 12
1.5.6 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 12
1.5.7 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 15
1.5.8 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych 15
1.5.9 Prawo Sokoła 17
1.6 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 17
1.7 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 18
1.7.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 20
1.7.2 Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y 20
1.8 Aksjomatyka algebry Boole’a 21
1.8.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole'a 23
1.9 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 26
1.10 Równoważność K<=>T w świecie żywym 30
1.11 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 32
1.11.1 Prawo Małpki 32
1.11.2 Prawo Mrówki 33


1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.5.7 i 1.5.8)

1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a

1 = prawda
0 = fałsz

Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

1.1.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.
Kod:

DN
Definicja negacji:
   p # ~p
A: 1 #  0
B: 0 #  1
   1    2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)

Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.

W logice matematycznej odpowiednikiem układu Kartezjańskiego są wykresy czasowe.
Dowód na przykładzie (strona 5):
Kod:
https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn54ls193-sp.pdf


W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora (~).
Kod:

Definicja znaczka różne # w bramkach logicznych
              -----
p --x-------->| ~ |o-x--> ~p
    |         -----  |
    |                |
    | p=~(~p) -----  |
    -<-------o| ~ |<-x--- ~p
              -----
Gdzie:
"o"(~) - symbole negacji
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.

W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z definicją DN.

Matematyczne związki między p i ~p:
a)
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p#~p
b)
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
c)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Matematyczne związki w definicji negacji:
   p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1  0    1    0
B: 0  1    0    1
   1  2    3    4

Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa negacji logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p)

1.2 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że negując dwustronnie I prawo Prosiaczka dalej będziemy w I prawie Prosiaczka bez możliwości przejścia do II prawa Prosiaczka, stąd znak różne na mocy definicji ##

Dowód:
I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Negujemy dwustronnie:
(~p=0)=(p=1) - dalej jesteśmy w I prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do II prawa Prosiaczka

##

Identycznie będziemy mieli w II prawie Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Negujemy dwustronnie:
(~p=1)=(p=0) - dalej jesteśmy w II prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do I prawa Prosiaczka

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Znaczek różne na mocy definicji ## to brak matematycznych powiązań między prawą i lewą stroną znaczka ##

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.

1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy żarówkę istniejącą w naszym pokoju

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z językiem potocznym człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
A.
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

##

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
B.
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Innymi słowy:
Pojęcie "żarówka świeci" (S=1) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia "żarówka nie świeci" (~S=1)

1.3 Definicja wyrażenia algebry Boole'a
Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a

Przykład:
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.

W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Zapis funkcji logicznej Y w technice cyfrowej:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
Y - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych {p, q}

W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną, gdy w kolumnie opisującej symbol Y są same jedynki albo same zera.

Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D oraz zbiory p i ~p są rozłączne.
Czyli:
Y = p+~p =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Y = p*~p =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
W algebrze Kubusia zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) oraz zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to bezużyteczne śmieci zarówno w matematyce, jak i w języku potocznym
Dowód na przykładzie.

Rozważmy dwa zbiory:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych (TP)
~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~TP jest uzupełnieniem zbioru TP do wspólnej dziedziny ZWT oraz zbiory TP i ~TP są rozłączne w dziedzinie ZWT.

Czyli:
Twierdzenie T1:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) lub nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP+~TP =ZWT =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)

Twierdzenie T2:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) i nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP*~TP =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)

Wartość matematyczna twierdzeń T1 i T2 jest zerowa (śmieci).

Analogia do programowania:
Nie da się napisać najprostszego nawet programu dysponując wyłącznie stałymi binarnymi, o z góry wiadomej wartości logicznej.

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r,s..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramki logicznej
Y - wyjście bramki logicznej

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

1.3.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y

Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)

Prawo negacji funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną Y=f(x) wolno nam dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej ~Y=~f(x).

1.4 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x

W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x
Y = f(x) =x
Zapis tożsamy:
Y=x
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}

Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x
Funkcja logiczna jednoargumentowa Y=x to odpowiedź na pytanie o Y.

Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> x=1
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}

Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe to:
Y=p - transmisja, na wyjściu Y mamy zawsze niezanegowany sygnał p
Y=~p - negacja, na wyjściu Y mamy zawsze zanegowany sygnał p (~p)
Y=1 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 1
Y=0 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 0

Zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) i zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to matematyczne śmieci co udowodniono w pkt. 1.3.1, dlatego te przypadki mało nas interesują.

1.4.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x:
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=x to układ równań logicznych Y=x i ~Y=~x dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y

Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie jednoargumentową funkcję logiczną A1.
B1.
~Y = ~x
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

1.4.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych

Zapiszmy wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy
Kod:

TWJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1:  Y= p         #  B1: ~Y=~p
    ##                   ##
Operator negacji Y=|~p
A2:  Y=~p         #  B2: ~Y= p
    ##                   ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3:  Y=1          #  B3: ~Y=0
    ##                   ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4:  Y=0          #  B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Doskonale widać, że w tabeli TWJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

1.5 Prawo Grzechotnika

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

W kolejnych podpunktach zajmiemy się dowodem formalnym (ogólnym) prawa Grzechotnika.

1.5.1 Definicja funkcji transmisji Y=p w logice dodatniej (bo Y)

Definicja transmitera:
Transmiter to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)

Realizacja rzeczywista:
SN7407 (strona 1)
Kod:
https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7407.pdf


Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna transmitera Y=p w logice dodatniej (bo Y) to funkcja definiowana tabelą prawdy:
Kod:

FT
     A1:
p ~p Y=p
1  0  1
0  1  0

Na wyjściu Y mamy tu zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)

1.5.2 Definicja funkcji negacji Y=~p w logice dodatniej (bo Y)

Definicja negatora:
Negator to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p)

Realizacja rzeczywista:
SN7406 (strona 2)
Kod:
https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7406.pdf


Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna negatora Y=~p to funkcja definiowana tabelą prawdy:
Kod:

FN
     A2:
p ~p Y=~p
1  0  0
0  1  1

Na wyjściu Y mamy tu zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p)

1.5.3 Relacja matematyczna między funkcjami Y=p oraz Y=~p

Matematycznie zachodzi:
A1: Y=p ## A2: Y=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowód:
Kod:

FTFN:
     A1:    A2:
p ~p Y=p ## Y=~p
1  0  1  ##  0
0  1  0  ##  1

Definicja znaczka rożne na mocy definicji ## dla funkcji jednoargumentowej:
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściu p w logice dodatniej (bo p) mają różne kolumny wynikowe Y.

1.5.4 Definicja operatora transmisji Y|=p

Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych Y=p i ~Y=~p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

OT
      A1:   B1:
p ~p  Y=p # ~Y=~p
1  0   1  #  0
0  1   0  #  1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Doskonale tu widać że:
A1:
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A1.
B1:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

1.5.5 Definicja operatora negacji Y|=~p

Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych Y=~p i ~Y=p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

ON
Definicja operatora negacji Y|=~p:
      A2:    B2:
p ~p  Y=~p # ~Y=p
1  0   0   #   1
0  1   1   #   0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Doskonale tu widać że:
A2:
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A2.
B2:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

1.5.6 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p

Kod:

OT
Definicja operatora transmisji Y|=p:
     A1:   B1:
p ~p Y=p # ~Y=~p
1  0  1  #   0
0  1  0  #   1

##
Kod:

ON
Definicja operatora negacji Y|=~p:
     A2:     B2:
p ~p Y=~p # ~Y=p
1  0  0   #   1
0  1  1   #   0

Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że jeśli pominiemy nagłówki albo uwzględnimy wyłącznie prawe strony funkcji logicznych Y i ~Y to kolumna A1 będzie tożsama z kolumną B2.

Jeśli uwzględnimy nagłówki to relacja kolumn A1 i B2 nie będzie tożsamościowa mimo że zero-jedynkowo kolumny te są identyczne.
A1: Y=p ## B2: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Uwaga:
Czy ktokolwiek widział w ziemskim rachunku zero-jedynkowym przypadek jak wyżej w tabelach OT i ON gdzie kolumny zero-jedynkowe A1 i B2 są tożsame a funkcje logiczne opisujące te kolumny nie są tożsame?

Zapiszmy tabele OT i ON w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
    ##         ##
A2: Y=~p # B2: ~Y= p

Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli OTON widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Doskonale też widać, że wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##

Komentarz do znaczków # i ##

1.
Kod:

OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p

Dowolną funkcję logiczną, w naszym przypadku jednoargumentową, wolno nam dwustronnie zanegować
Stąd mamy:
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

2.
Kod:

OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
    ##         ##
A2: Y=~p # B2: ~Y= p

W tabeli OTON między liniami A1B1 oraz A2B2 obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Sprawdzenie:
A1B1:
Weźmy dowolną funkcję logiczną z linii A1B1 np.:
A1: Y=p
##
A2B2:
Weźmy dowolną funkcję logiczną z linii A2B2 np.:
B2: ~Y=p

Zadajmy sobie teraz dwa banalne pytania:
a)
Czy funkcja logiczna A1: Y=p jest tożsama z funkcją logiczną B2: ~Y=p?
Nie jest.
Dowód:
Aby porównywać dwie funkcje logiczne musimy je sprowadzić do tej samej logiki dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y)
Zanegujmy funkcję logiczną A1: Y=p sprowadzając ją do logiki ujemnej (bo ~Y):
A1”: ~Y=~p ## B2: ~Y=p
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## widać tu jak na dłoni.
b)
Czy funkcja logiczna A1: Y=p jest negacją funkcji logicznej B2: ~Y=p?
Nie jest.
Dowód:
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną B2 sprowadzając ją do tej samej logiki dodatniej (bo Y):
A1: Y=p ## B2”: Y=~p
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## widać tu jak na dłoni.

Stąd:
Poprawność definicji znaczka ## została sprawdzona

1.5.7 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.


Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli OTON
Kod:

OTON":
A1:  p # B1: ~p
A2: ~p # B2:  p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tabeli OTON" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli OTON” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.

1.5.8 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

Dowód dla funkcji n-argumentowych:
Cechą charakterystyczną prawidłowo rozumianej algebry Boole’a jest fakt, że pod dowolną zmienną binarną x możemy podstawić dowolnie długie wyrażenie algebry Boole’a f(x) i wszelkie prawa logiki matematycznej dalej będą działały poprawnie, w tym prawo Grzechotnika.

Wyżej udowodniliśmy prawo Grzechotnika dla jednoargumentowej funkcji transmisji FT oraz jednoargumentowej funkcji negacji FN między którymi zachodzi relacja różne na mocy definicji ##.

FT - funkcja logiczna transmisji
A1: Y=p
##
FN - funkcja logiczna negacji
A2: Y=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zgodnie z prawidłowo rozumianą algebrą Boole’a pod p możemy podstawić dowolnie długie wyrażenie algebry Boole’a f(x) i prawo Grzechotnika dalej musi działać.
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
Przykład:
f(x)=p*~q + r*~s

Stąd mamy:
Niech będą dane dwie funkcje logiczne Y n-argumentowe o następującej budowie:
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - rożne na mocy definicji

Weźmy funkcję A1:
A1: Y=f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A1:
B1: ~Y=~f(x)

##

Weźmy funkcję A2:
A2: Y=~f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A2:
B2: ~Y=f(x)

Umieśćmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Funkcja A1:
A1: Y= f(x)   #  B1: ~Y=~f(x)
    ##               ##
Funkcja A2:
A2: Y=~f(x)   #  B2: ~Y= f(x)

Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~f(x)=~(f(x))
Stąd mamy:
Wyrażenie f(x) musi być wszędzie tym samym f(x), inaczej błąd podstawienia
Podobnie funkcja Y musi być wszędzie tą samą funkcją Y, inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli T1 widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy zatem z tabeli T1 wszelkie funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod:

T1"
Funkcja A1:
A1: f(x)   #  B1:~f(x)
Funkcja A2:
A2:~f(x)   #  B2: f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli T1” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.

1.5.9 Prawo Sokoła

Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.

Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

1.6 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Przykład konsekwentnego stosowania standardu dodatniego w języku potocznym mamy w następnym punkcie.

1.7 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

W niniejszym punkcie zajmiemy się dowodem prawa Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych Y=p i Y=~p na konkretnym przykładzie, doskonale rozumianym przez każdego 5-cio latka.

Zadanko Kubusia:
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A1 i A2.

Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina

Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina

Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią?

Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.

Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

##

Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A2 dwustronnie.
~Y=K
Stąd mamy:
B2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Gdzie:
Zmienne Y i K muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi, inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Znaczenie zmiennych Y i K w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p):
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
K - jutro pójdziemy do kina (K=1)
~K - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A1 i A2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Pani w przedszkolu A1:
A1: Y= K   #  B1: ~Y=~K
    ##            ##
Pani w przedszkolu A2:
A2: Y=~K   #  B2: ~Y= K

Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~K=~(K)
Stąd mamy:
K, Y muszą być wszędzie tymi samymi K, Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Jak widzimy wyżej, wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##

1.7.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli T1.
Kod:

T1"
Pani w przedszkolu A1:
A1:  K   #  B1: ~K
Pani w przedszkolu A2:
A2: ~K   #  B2:  K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli T1” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy pani dotrzyma słowa (Y), a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y).
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.

1.7.2 Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y

Zapiszmy jeszcze raz początek dialogu z przedszkola A1.

Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Sprawdźmy, czy poprawny jest następujący zapis funkcji logicznej A1:
A1”: Y=1 <=> K
Sprawdźmy, czy możliwe jest przejście z zapisem A1" do logiki ujemnej (bo ~Y=1).
1.
Negujemy dwustronnie zapis A1":
B1": ~Y=0 <=> ~K
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(~Y=0) = (Y=1)
Stąd mamy:
B1”: Y=1 <=> ~K
Wniosek:
Niemożliwe jest przejście z równaniem A1” do logiki ujemnej (bo ~Y=1)
cnd

Stąd mamy:
Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y:
Funkcja logiczna Y jest poprawnie zbudowana wtedy i tylko wtedy gdy operuje na zmiennych binarnych, czyli nie zawiera choćby jednego wartościowania jakiejkolwiek zmiennej binarnej.

Przykład:
Y=K - to jest poprawnie zbudowana funkcja logiczna Y
Y=1 <=> K - to jest fałszywa funkcja logiczna Y

Identycznie będziemy mieli dla dowolnej funkcji n-argumentowej.

To jest poprawnie zapisana funkcja logiczna dwuargumentowa:
Y=p*q+~p*~q

To jest błędnie zapisana funkcja logiczna dwuargumentowa:
Y=1 <=> p*q + ~p*~q
bo zawiera jedno wartościowanie zmiennej binarnej (tu Y) co wystarczy, aby uznać ją za fałszywą funkcję logiczną Y.

1.8 Aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.

Należy zaznaczyć, że nasz mózg prezentuje w tym zakresie mistrzostwo świata tzn. z reguły operuje minimalnymi równaniami algebry Boole'a których nie da się minimalizować.

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód w pkt. 1.9

Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):

I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka

Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1

Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.

II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka

Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1

Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.

1.8.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole'a

Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.

1.
1=prawda
##
0=fałsz
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Matematyczne związki:
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

2.
Prawo podwójnego przeczenia:
p =~(~p) - logika dodatnia (bo p) jest tożsama z zanegowaną (~) logiką ujemną (bo ~p)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) jest tożsama z zanegowaną (~) logiką dodatnią (bo p)

3.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p - łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x
p+1=1 - to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu

4.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p+0=p - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=x
p*0=0 - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0

5.
Definicja dziedziny D w zbiorach:
A: p+~p=D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny (D)
B: p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Definicja dziedziny D w zdarzeniach:
C: p+~p=D =1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem zdarzenia p do wspólnej dziedziny (D)
D: p*~p=[] =0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0

Przykłady:
5A
Zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
D=LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych, wspólna dziedzina dla P2 i ~P2
P2+~P2=D =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest uzupełnieniem zbioru P2=[2,4,6,8..] do dziedziny LN
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb naturalnych LN pomniejszony o zbiór liczb parzystych P2
5B.
Zdanie zawsze fałszywe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to 0
Uwaga:
W matematyce zdanie zawsze prawdziwe (5A) i zdanie zawsze fałszywe (5B) to bezużyteczne śmieci tzn. nie ma ani jednego twierdzenia matematycznego typu 5A albo 5B.

5C.
Zdanie zawsze prawdziwe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem zdarzenia K do wspólnej dziedziny D
D={K,~K} - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w dniu jutrzejszym, wspólna dziedzina D
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień.
5D.
Zdanie zawsze fałszywe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =[] =0 - zdarzenie ~K jest rozłączne ze zdarzeniem K
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień

6.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p

7.
Prawo redukcji/powielania zmiennych binarnych:
p*p=p
p+p=p

8.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)

9.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy algebraicznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu algebraicznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
przeczenie (~), nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Niech będzie dana funkcja logiczna Y:
Y = (p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
Y = (p+~q)*(~p+q)
Y = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q - mnożenie logiczne każdego z każdym (jak w matematyce klasycznej)
Y = 0 + p*q + ~q*~p + 0 - prawo algebry Boole'a: x*~x=0
Y = p*q + ~q*~p - prawo algebry Boole'a: x+0=x
Y = p*q + ~p*~q - przemienność x*y=y*x
Stąd:
Nasza funkcja logiczna Y po minimalizacji przybiera postać:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
p*(1+q)
1+q =1
p*1=p
cnd

Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p - zmienna binarna, mogąca przyjmować w osi czasu wartości logiczne 1 albo 0.
q=1 - stała binarna, twarda jedynka niezależna od czasu.
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+):
Kod:

Dla p i q=1 mamy:
   p+ q=1  Y=p+1
A: 1+ 1    =1
B: 1+ 1    =1
C: 0+ 1    =1
D: 0+ 1    =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd

Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+):
Kod:

Dla p i q=~p mamy:
   p+~p  Y=p+~p
A: 1+ 0  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 1  =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd

Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
Kod:

   p+ q  Y=p+q  ~Y=~(p+q) ~p ~q  ~Y=~p*~q  Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1  =1      =0        0* 0   =0        =1
B: 1+ 0  =1      =0        0* 1   =0        =1
C: 0+ 1  =1      =0        1* 0   =0        =1
D: 0+ 0  =0      =1        1* 1   =1        =0
   1  2   3       4        5  6    7         8
Gdzie:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Tożsamość kolumn wynikowych 3=8 (Y=Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
Y = 3: p+q = 8: ~(~p*~q)
#
Tożsamość kolumn wynikowych 4=7 (~Y=~Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
~Y = 4: ~(p+q) = 7:~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
cnd

Zadanie dla czytelnika:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)

1.9 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków

Rozważmy projektowanie sterowania windą.

Przyjmijmy wejście układu windy:
Na poziomie 5-cio latka zakładamy że winda ma dwa przyciski wejściowe układu (zmienne binarne):
Opis przycisku D=drzwi:
Z=1 - drzwi zamknięte (Z)
~Z=1 - drzwi nie zamknięte (~Z)
Opis przycisku P=piętro:
P=1 - przycisk piętro wciśnięty (P)
~P=1 - przycisk piętro nie wciśnięty (~P)

Przyjmijmy wyjście układu windy:
Wyjście układu opisane jest przez zmienną binarną J=jedzie:
J=1 - winda jedzie (J).
~J=1 - winda nie jedzie (~J)

I.
Pani przedszkolanka do Jasia (lat 5):


Powiedz nam Jasiu kiedy winda jedzie (J=1)?
Jaś:
A1.
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (Z=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=Z*P
co w logice jedynek oznacza:
J=1 <=> Z=1 i P=1
Wniosek:
Jaś zaprojektował sterownie windą w logice dodatniej (bo J)

II.
Pani przedszkolanka do Zuzi (lat 5):


Powiedz nam Zuziu kiedy winda nie jedzie (~J=1)?
Zuzia:
B1.
Winda nie jedzie (~J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi nie są zamknięte (~Z=1) "lub"(+) nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P=1)
B1: ~J = ~Z + ~P
co w logice jedynek oznacza:
~J=1 = ~Z=1 lub ~P=1
Wniosek:
Zuzia zaprojektowała sterowanie windą w logice ujemnej (bo ~J)

Wnioski końcowe:
Rozwiązania Jasia i Zuzi są matematycznie równoważne bo oczywisty związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J) jest następujący:

Jaś:
A1: J=Z*P
Moja logika dodatnia (bo J) to zanegowana logika ujemna (bo ~J), stąd mamy:
J = ~(~J)
Po podstawieniu:
B1: ~J = ~Z + ~P
Mamy:
J = ~(~Z+~P)
czyli:
A1: J = ~(~Z+~P) = Z*P - prawo De Morgana
cnd

Zuzia:
B1: ~J=~Z+~P
Moja logika ujemna (bo ~J) to zanegowana logika dodatnia (bo J), stąd mamy:
~J = ~(J)
Po podstawieniu:
A1: J=Z*P
Mamy:
~J = ~(Z*P)
czyli:
B1: ~J = ~(Z*P) = ~Z+~P - prawo De Morgana
cnd

Doskonale tu widać, że zarówno Jaś jak i Zuzia (oboje po 5 wiosenek) perfekcyjnie znają algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlegają.

Zachodzi matematyczna tożsamość:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = znana inżynierom bramka AND
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = znana inżynierom bramka OR
Znaczek przeczenia (~) ma swój odpowiednik w bramkach logicznych w postaci układu negatora:
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Bramka negatora "o"(~) w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wyjściowy (J) na jego negację na wyjściu negatora (~J) i odwrotnie.

Przełożenie powyższych zdań na bramki logiczne jest trywialne:
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „i”(*) wstawiamy bramę AND.
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „lub”(+) wstawiamy bramkę OR
Kod:

T1
Zdania Jasia i Zuzi przełożone na język bramek logicznych „i”(*) i „lub”(+)
                  -------------
 Z------x-------->|           |
        |         |  „i”(*)   |---x-----x---->  A1: J=Z*P (Jaś)
 P--x------------>|           |   |     |
    |   |         -------------   \/    |
    |   |                         o     o      # (negator w obu kierunkach)
    |   |    ~Z   -------------   |     /\
    |   |--o----->|           |   |     |
    |        ~P   | „lub”(+)  |---x-----x---->  A2: ~J=~Z+~P (Zuzia)
    |------o----->|           |
                  -------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.

Opis działania układu:
Jaś:
A1:
Winda jedzie (J) gdy drzwi są zamknięte (Z) i wciśnięty przycisk piętro (P)
J=Z*P
… a kiedy winda nie jedzie (~J)?
#
Dowolną funkcję logiczną (np. J=Z*P) mamy prawo dwustronnie zanegować (#)
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
B1:
~J=~(Z*P)=~Z+~P - prawo De Morgana
Stąd:
B1.
Zuzia:
Winda nie jedzie (~J) gdy drzwi nie są zamknięte (~Z) lub nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P)
~J=~Z+~P

To jest cała filozofia przełożenia logiki matematycznej Jasia i Zuzi na teorię bramek logicznych.

Uwaga:
W użytecznym sterowaniu trzeba wprowadzić dodatkową zmienną binarną sygnalizującą dojechanie windy na żądane piętro, gdzie winda automatycznie staje i przycisk P (piętro) wyskakuje. Przy zamkniętych drzwiach warunkiem koniecznym kolejnej jazdy jest wciśnięcie piętra różnego od tego, na którym winda aktualnie stoi.

Weźmy jeszcze raz naszego Jasia:
A1.
Jeśli winda jedzie (J=1) to na 100% => drzwi są zamknięte (Z=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=> Z*P
Jazda windą jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że drzwi są zamknięte (Z=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
W drugą stronę warunek wystarczający => też jest prawdziwy:
B3.
Jeśli drzwi są zamknięte (Z=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1) to na 100% => winda jedzie (J=1)
B3: Z*P=>J =1
Zamknięte drzwi (Z=1) i wciśnięty przycisk piętro (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że winda jedzie.
Uwaga:
Zakładamy tu, że wciskamy przycisk piętro (P) różny od piętra na którym aktualnie winda stoi.

Stąd mamy dowód iż zachodzi równoważność o definicji:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Nasz przykład:
p=J
q=Z*P
RA1B3:
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (Z=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
RA1B3: J<=>Z*P = (A1: J=>Z*P)*(B3: Z*P=>J) =1*1 =1
cnd

Prawo Irbisa (poznamy niebawem):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Dla naszego przykładu możemy zapisać:
Zdarzenie „winda jedzie” (J) jest tożsame „=” ze zdarzeniem „zamknięte drzwi i wciśnięty przycisk piętro” (Z*P)
J=Z*P <=> (A1: J=>Z*P)*(B3: Z*P=>J) = J<=>Z*P

1.10 Równoważność K<=>T w świecie żywym

Definicja równoważności p<=>q w świecie żywym:
Z równoważnością w świecie żywym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy każde z czterech możliwych zdarzeń {A: p*q, B: p*~q, C: ~p*~q, D: ~p*q} ma szansę przyjąć wartość logiczną jeden

Definicja spójnika „<=> - wtedy i tylko wtedy” wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Innymi słowy:
Jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T)
K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T

Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie (S=~Y)

Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Co w logice jedynek obowiązującej wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc

Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy dwustronnie zanegować funkcję logiczną 1.
2: ~Y = ~(K*T+~K*~T)
Prawą stronę minimalizujemy prawami De Morgana:
Krok 1
2: ~Y = ~(K*T)*~(~K*~T) - prawo De Morgana: ~(p+q) = ~p*~q
Krok 2
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T) - prawo De Morgana: ~(p*q) = ~p+~q

Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)

Przetłumaczmy opisaną wyżej postać koniunkcyjno-alternatywną na język potoczny:
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T) - koniunkcja alternatyw
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(~K+~T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(K+T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)

Doskonale widać, że otrzymaliśmy masakrę, czyli odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y), której w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie (z matematykiem włącznie).

Co zatem mamy robić?
Po pierwsze bez paniki wymnażamy wielomian 2 (dla wygody przechodzimy na zapis ogólny):
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Nasz przykład:
3.
~Y = K*~T + ~K*T - postać alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek obowiązującej wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yd - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd

Doskonale widać, że tą odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) rozumie każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając.
Wniosek z naszego przykładu to prawo Pandy.

Prawo Pandy:
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla każdego człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna

Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y jest w postaci koniunkcyjno-alternatywnej lub mieszanej.

Wniosek:
Wszelkie człony koniunkcyjno-alternatywne w funkcji logicznej Y musimy logicznie wymnożyć przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej, bo tylko taka postać jest zrozumiała dla człowieka.

Podsumowanie:
Jak widzimy korzystając dwukrotnie z praw De Morgana przeszliśmy od funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y = K*~T + ~K*T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Akurat w tym przypadku przejście było proste, bo na wejściu mieliśmy do czynienia z prostą funkcją logiczną Y:
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

W ogólnym przypadku funkcja alternatywno-koniunkcyjna może być dowolnie skomplikowana i wtedy korzystanie z praw De Morgana, choć matematycznie poprawne, będzie skomplikowanym masochizmem.
Na szczęście istnieje skrócony algorytm przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie, po raz pierwszy zapisany przez Wuja Zbója.

1.11 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Y = pq+~p~q - zapis dopuszczalny w technice z pominięciem spójnika „i”(*)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1: Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)

1.11.1 Prawo Małpki

Zastosowanie algorytmu Wuja Zbója poznamy na przykładzie.

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dowód tego prawa na naszym przykładzie równoważności jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Zaczynamy od definicji równoważności Y=p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1: Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej (bo Y):
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Stąd mamy:
Kod:

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1:  Y = p* q + ~p*~q <=> 4:  Y = (~p+ q)*(p+~q)
#                            #
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej

Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia

W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki bez użycia tabel zero-jedynkowych.

1.11.2 Prawo Mrówki

Prawo Mrówki:
W dowolnym prawie logiki matematycznej w miejsce każdej ze zmiennej binarnej można wstawić dowolne wyrażenie n-argumentowe algebry Boole'a i prawo to dalej będzie działało.

Przykład:
Prawo algebry Boole’a:
p+p*q = p

Pod zmienną binarną p podstawiamy przykładowe wyrażenie algebry Boole'a:
f(x) = p*~q+r*~s
Pod zmienną binarną q podstawiamy przykładowe wyrażenie algebry Boole'a:
f(y) = p*q+~r*s

Powyższe prawo w zapisie ogólnym to:
f(x)+f(x)*f(y) = f(x)
Po rozwinięciu mamy:
(p*~q+r*~s) + (p*~q+r*~s)*(p*q+~r*s) = (p*~q+r*~s)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 17:12, 12 Lut 2024, w całości zmieniany 2059 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 19:53, 31 Paź 2020    Temat postu:

...

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:59, 01 Lis 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 23:49, 31 Paź 2020    Temat postu:

....

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:00, 01 Lis 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 12:35, 22 Maj 2021    Temat postu: Re: Śmieci

...

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 13:06, 29 Cze 2022, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin