Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia '2017 Beta 1

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 21873
Przeczytał: 38 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 9:49, 04 Maj 2017    Temat postu: Algebra Kubusia '2017 Beta 1

Algebra Kubusia
Biblia logiki matematycznej

Autor: Kubuś, stwórca naszego Wszechświata

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006(medium) przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72 i inni.

Wstęp:
Od 11 lat Kubuś każde pojęcie z zakresu logiki matematycznej ziemian wywraca do góry nogami, bowiem wtedy i tylko wtedy lądujemy w poprawnej logice matematycznej opisującej nasz Wszechświat żywy i martwy - Algebrze Kubusia.
Fiklit: „Wszystko czego Kubuś dotknie zamienia w absurd”
To zdanie najlepiej ilustruje skalę rewolucji w logice matematycznej jaka wkrótce nastąpi. Dzięki Fiklicie za 5 letnią dyskusję, bez Ciebie AK nigdy by nie powstała, znaczy jej zalążki umarłyby w mrokach historii, nie zauważone przez matematyków. Mleko się rozlało, nie jest możliwe aby ziemscy matematycy koniec końców nie załapali algebry Kubusia, logiki matematycznej 5-cio latków, logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy.


Spis treści
1.0 Najważniejsze prawa logiki matematycznej 2
1.1 Prawa Kubusia i prawa Tygryska 4
2.0 Algebra zbiorów 6
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 7
2.2 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 9
2.3 Prawa Prosiaczka 10
2.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia 11
2.5 Aksjomatyka zbioru dwuelementowego 12
2.6 Właściwości algebry zbiorów 14
2.7 Relacje zbiorów 17
2.8 Właściwości relacji zbiorów 19
3.0 Operatory jednoargumentowe 19
3.1 Operator transmisji 21
3.2 Operator negacji 24
3.3 Operator chaosu 28
3.4 Operator śmierci 29
3.5 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 30
3.6 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa 30
3.7 Prawo Rekina 31



1.0 Najważniejsze prawa logiki matematycznej

Najważniejsze prawa logiki matematycznej dotyczą operatorów implikacyjnych zapewniających matematyczną obsługę wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q”. Zdania warunkowe „Jeśli p to q” to fundament logiki matematycznej.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
2.
Warunek konieczny ~>:

p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)

Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.

Definicja podzbioru =>:
Jeśli każdy element zbioru p należy do zbioru q to mówimy iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zapisujemy
p=>q

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = definicja podzbioru =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Innymi słowy:
Jeśli wylosuję dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% będzie w zbiorze q
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   3

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..]
Wymuszam dowolnego psa ze zbioru wszystkich psów i ten pies na 100% jest w zbiorze 4L.

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q to mówimy iż zbiór p jest nadzbiorem zbioru q i zapisujemy
p~>q

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q
Matematycznie:
Warunek konieczny ~> = definicja nadzbioru ~>
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Kod:

Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0
   1  2   3

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń ..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem ~P=[słoń, koń, kura, wąż ..]

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>

Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~> podanych wyżej.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)


1.1 Prawa Kubusia i prawa Tygryska

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
Kod:

Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 1 i tabela 2 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Z tabel T1 i T2 odczytujemy:

Definicje spójników implikacyjnych => i ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

I prawo Kubusia
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q

II Prawo Kubusia
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja praw Kubusia:
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza fałszywość drugiej strony

Interpretacja praw Kubusia to tożsamość logiczna, mająca wszelkie cechy tożsamości klasycznej.
Prawa Kubusia to zdecydowanie najważniejsze prawa logiki matematycznej warunkujące jej istnienie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku obietnicy daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania nagrody
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Przykład zastosowania prawa Kubusia:
A.
Jeśli zdasz test dostaniesz cukierka
T=>C =1
Zdanie testu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania cukierka z powodu zdanego testu
Zdanie testu daje nam gwarancje matematyczną => dostania cukierka z powodu zdanego testu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania cukierka z dowolnego innego powodu.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% etc
B.
Jeśli zdasz test to możesz ~~> nie dostać cukierka
T~~>~C = T*~C =0
Tu ojciec jest kłamcą!
… a jeśli nie zdam testu?
Prawo Kubusia:
T=>C = ~T~>~C
stąd:
C.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~> nie dostać cukierka
~T~>~C =1
lub
D.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~~> dostać cukierka
~T~~>C = ~T*C =1
Akt miłości - prawo nadawcy do wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał testu)

Implikacja prosta T|=>C to wszystkie cztery zdania A,B,C i D a nie jakiekolwiek jedno, wyróżnione.
Wynika z tego że nie da się wypowiedzieć implikacji prostej T|=>C w formie zdania warunkowego „Jeśli p to q”. W formie zdania „Jeśli p to q” możemy wypowiedzieć jedynie warunek wystarczający T=>C wchodzący w skład implikacji prostej T|=>C.

I prawo Tygryska:
Warunek wystarczający w czasie przyszłym p=>q po zamianie p i q wymusza warunek konieczny q~>p w czasie przeszłym.
p=>q = q~>p

II prawo Tygryska:
Warunek konieczny ~> w czasie przyszłym p~>q po zamianie p i q wymusza warunek wystarczający => w czasie przeszłym
p~>q = q=>p

Przykład zastosowania prawa Tygryska:
A.
Jeśli zdasz test dostaniesz cukierka
T=>C =1

I prawo Tygryska:
p=>q = q~>p
stąd:
A1.
Jeśli dostałeś cukierka to mogłeś ~> zdać test
C~>T =1
lub
B1.
Jeśli dostałeś cukierka to mogłeś ~~> nie zdać testu
C~~>~T = C*~T =1
Prawa Tygryska mówią o związkach czasowych w operatorach implikacyjnych.


2.0 Algebra zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć mający swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka

Budowa zbioru:
C = [M, K]
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała rzez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy pod warunkiem że wybrany zbiór ma swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka.
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):

Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
~p - zaprzeczenie pojęcia p do dziedziny D

Przykład 1.
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
C - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć m i k tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru człowiek wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% będzie to kobieta (K=1)
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% będzie to mężczyzna (M=1)

Przykład 2
Zdefiniujmy zbiór p
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7..] - zbiór liczb naturalnych
Nie ma definicji pojęcia p w żadnym języku mówionym świata.
Jest natomiast to:
R=[LN+~LN] - zbiór liczb rzeczywistych
ZWZ=[pies+~pies] - zbiór wszystkich zwierząt
ZU=[miłość+~miłość] - zbiór uczuć
ZT=[krasnoludek+~krasnoludek] - zbiór trolli typu krasnoludki, gumisie, smerfy …

Wniosek:
Pojęcie p nie należy do Uniwersum człowieka mimo iż poszczególne elementy zbioru p są dla niego zrozumiałe.


2.2 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.3 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej. Dla zrozumienie tych praw nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
Zbiory p i ~p są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
p+~p = D =1
p*~p = [] =0

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Prawo rozpoznawalności pojęcia w przełożeniu na funkcje logiczne:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Gdzie:
Zbiory Y i ~Y są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y+~Y = D =1
Y*~Y = [] =0

Przykład 1.
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
stąd:
B.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Znaczenie symboli:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli po prostu skłamie.

Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y = K+T + ~K*~T = (K+T)+~(K+T) =1
Bo prawo De Morgana:
~K*~T=~(K+T)
oraz:
p=K+T
p+~p=1
Y*~Y = (K+T)*(~K*~T) = (K+T)*~(K+T] =[] =0
cnd
Doskonale tu widać że znając funkcję Y znamy funkcję ~Y i odwrotnie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo rozpoznawalności pojęcia w rachunku zero-jedynkowym (poznamy niebawem):
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1

Kod:

Prawo rozpoznawalności pojęcia p
   p  q ~p ~q  p=>~q ~p=>q p<=>~q=(p=>~q)*(~p=>q) ~(p<=>~q)
A: 1  1  0  0   =0    =1     =0                       =1
B: 1  0  0  1   =1    =1     =1                       =0
C: 0  1  1  0   =1    =1     =1                       =0
D: 0  0  1  1   =1    =0     =0                       =1
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
p<=>~q=(p=>~q)*(~p=>q)



2.5 Aksjomatyka zbioru dwuelementowego

Definicja zbioru dwuelementowego:
Zbiór dwuelementowy to dwa zbiory niepuste p i ~p uzupełniające się wzajemnie do dziedziny

Rozważmy zbiór dwuelementowy p i ~p



Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy pod warunkiem że wybrany zbiór ma swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.

Aksjomatyka zbioru dwuelementowego:

I.
Zbiór dwuelementowy p i ~p

1.
Zbiór p musi być niepusty
Uzasadnienie:
Nie możemy operować na zbiorze pustym, nie zawierającym ani jednego elementu
2.
Zbiór p musi posiadać swoje niepuste dopełnienie do dziedziny ~p (negację)
Uzasadnienie:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
3.
Zbiory mają wartości logiczne:
1 - prawda
0 - fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawiera zero elementów
4.
Zaprzeczenie zbioru to uzupełnienie zbioru do dziedziny
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p = ~(~p)
5.
Właściwości dziedziny:
Zbiory p i ~p są rozłączne, wzajemnie uzupełniające się do dziedziny
D = p+~p =1
Zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []:
~D = ~(p+~p) = [] =0 - tu jesteśmy poza dziedziną z definicji pustą
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~(p+~p)=p*~p =[] =0
Prawo symetryczne:
~(p*~p) = p+~p = D =1
6.
Dziedzina i zbiór pusty
D = p+~p = ~(p*~p) =1
[] = p*~p = ~(p+~p) =0
7.
Suma i iloczyn logiczny zbiorów tożsamych:
p+p =p
p*p =p
8.
Iloczyn i suma logiczna zbioru p z dziedziną D i zbiorem pustym []:
p*D = p*1 =p
p*[] = p*0 =0
p+D = p+1 =1
p+[] = p+0 =p
9.
Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego dziedziny D i zbioru pustego []:
D*D = 1*1 =1
D*[] = 1*0 =0
[]*D = 0*1 =0
[]*[] = 0*0 =0
10.
Zero-jedynkowa definicja sumy logicznej dziedziny D i zbioru pustego[]:
D+D = 1+1 =1
D+[] = 1+0 =1
[]+D = 0+1 =1
[]+[] = 0+0 =0


2.6 Właściwości algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny.

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Prawo powielania/redukcji dowolnego elementu w zbiorze

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów

5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+ p*q =q
Dowód:
p+ p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
bo:
D+ q=D
p*D=p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p* (p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.7 Relacje zbiorów

Zdanie warunkowe to zdanie ujęte w spójnik „Jeśli .. to...”:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w teorii zbiorów:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może opisywać trzy i tylko trzy relacje między zbiorami zdefiniowanymi w poprzedniku p i następniku q
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (= warunek wystarczający =>)
p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (= warunek konieczny ~>)
p~~>q=p*q =1 - zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (= kwantyfikator mały ~~>)

Definicja podzbioru =>:
Jeśli każdy element zbioru p należy do zbioru q to mówimy iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zapisujemy
p=>q

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = definicja podzbioru =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Innymi słowy:
Jeśli wylosuję dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% będzie w zbiorze q

Przykład 1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń..]
Wymuszam dowolnego psa i ten pies na 100% będzie w zbiorze zwierząt z czterema łapami

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q to mówimy iż zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i zapisujemy
p~>q

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q
Matematycznie:
Warunek konieczny ~> = definicja nadzbioru ~>
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q

Przykład 2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń..] jest nadzbiorem zbioru P=[pies].
Zabieram zbiór 4L=[pies, słoń, koń..] i znika mi zbiór P=[pies]

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.

Przykład 3.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń…] i ~P=[słoń, koń, kura, wąż ..] mają co najmniej jeden element wspólny.

Podstawowa definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q (i odwrotnie)
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Prawa strona to definicja równoważności, stąd:
Każda tożsamość zbiorów (pojęć) to równoważność
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Rozszerzona definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame jeśli istnieją przekształcenia czysto matematyczne zbiorów prowadzące do spełnienia definicji podstawowej tożsamości zbiorów.

Przykład 4.
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
LN-2 - zbiór LN pomniejszony o element 2
LN=[LN-2, 2]
Prawa strona:
[LN-2+2]=LN
cnd


2.8 Właściwości relacji zbiorów

I Prawo Smoka:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q =[p*q=p]
Wynika z tego że tożsamy zapis następnika q to:
q=[p+ reszta]
Podstawiając do warunku wystraczającego mamy:
p=>q
p=>(p+ reszta)
p=>[p, reszta]
Wynika z tego iż zbiór p jest zarówno podzbiorem => zbioru q jak i elementem zbioru q
q=[p+ reszta] = [p, reszta]

Wnioski z I prawa Smoka:
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>[p, reszta]
Jeśli [reszta] jest zbiorem pustym to zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Jeśli [reszta] jest zbiorem niepustym to zachodzi implikacja prosta p|=>q o definicji:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

II prawo Smoka:
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q = [p*q=q]
Wynika z tego że tożsamy zapis poprzednika p to:
p=[q+ reszta]
Podstawiając do warunku koniecznego ~> mamy:
p~>q
[q+ reszta]~>q
[q, reszta] ~> q
Wynika z tego ze zbiór q jest zarówno podzbiorem => zbioru p jak i elementem zbioru p
p=[q+ reszta] = [q, reszta]

Wnioski z II prawa Smoka:
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
[q, reszta] ~> q
Jeśli [reszta] jest zbiorem pustym to zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Jeśli [reszta] jest zbiorem niepustym to zachodzi implikacja odwrotna p|~>q o definicji:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]


3.0 Operatory jednoargumentowe

Definicja sygnału cyfrowego:
Sygnał cyfrowy to zmienna binarna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości:
1 - prawda
0 - fałsz

Definicja operatora logicznego w technice cyfrowej:
Operator logiczny to układ o n wejściach cyfrowych (p,q,r..) i tylko jednym wyjściu Y

Definicja operatora logicznego jednoargumentowy:
Operator logiczny jednoargumentowy to układ o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika że na wejściu operatora jednoargumentowego muszą być dwa sygnały cyfrowe p i ~p, zaś na wyjściu sygnały Y i ~Y.

Definicja dziedziny operatora logicznego jednoargumentowego w zbiorach:
Dziedzina operatora logicznego jednoargumentowego to dwa zbiory niepuste p i ~p uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
p+~p =D =1
p*~p =[] =0

Dziedzina operatora jednoargumentowego w zbiorach:


Definicja funkcji logicznej Y:
Przypisanie dowolnej części dziedziny do symbolu Y nazywamy funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y).
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Właściwości funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
[] = Y*~Y =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Definicja operatora logicznego w układzie równań logicznych:
Operator logiczny to układ równań logicznych opisujących funkcje logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

W zbiorach dwuelementowych p i ~p możemy utworzyć cztery różne operatory logiczne:
3.1
Operator transmisji
Y=p
~Y=~p
3.2
Operator negacji
Y=~p
~Y=p
3.3
Operator chaosu
Y=p+~p =1
~Y=~(p+~p) = p*~p =0
3.4
Operator śmierci
Y=p*~p =0
~Y=~(p*~p) = p+~p =1


3.1 Operator transmisji


Definicja operatora transmisji:
Transmisja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi p
Y=p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
Spełniona jest definicja dziedziny dla funkcji logicznej Y:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Stąd definicja operatora logicznego transmisji to układ równań logicznych:
A.
Y=p
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo zbiory Y i p istnieją i nie są puste.
B.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo zbiory ~Y i ~p istnieją i nie są puste
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja operatora transmisji Y=p
Definicja   |Co matematycznie oznacza
symboliczna |
A: Y= p     | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p     |~Y=1<=>~p=1
   a  b       c      d

Kod:

Tabela 2
Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y=p
Definicja   |Definicja          |Co matematycznie oznacza
symboliczna |zero-jedynkowa     |
            | p ~p  Y=p   ~Y=~p |
A: Y= p     | 1  0  =1     =0   | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p     | 0  1  =0     =1   |~Y=1<=>~p=1
   a  b       1  2   3      4     c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)

Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB1234 opisana układem równań logicznych:
A.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Legenda:
Y=p
Y - logika dodatnia (bo Y)
Y=p - symbolicznie: linia Aab, zero-jedynkowo: linia A123, znaczenie: linia Acd
Wniosek:
Nagłówek kolumny 3:
Y=p
Dotyczy wyłącznie jednej linii z definicji symbolicznej:
Aab: Y=p

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
B.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~p=1
Legenda:
~Y=~p
~Y - logika ujemna (bo ~Y)
~Y=~p - symbolicznie: linia Bab, zero-jedynkowo: linia B124, znaczenie: linia Bcd

Wniosek:
Nagłówek kolumny 4:
~Y=~p
Dotyczy wyłącznie jednej linii definicji symbolicznej:
Bab: ~Y=~p

Prawa De Morgana dla operatora transmisji:
A: Y=p
B: ~Y=~p
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y =~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y) dla jednej zmiennej p zwane prawem podwójnego przeczenia.
Y = p = ~(~p)
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y) dla jednej zmiennej p
~Y= p= ~(p)

Dowód praw De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 3
Prawa De Morgana dla jednej zmiennej p
Definicja |Definicja        |Prawa De Morgana           |Co matematycznie
symbol.   |zero-jedynkowa   |                           |oznacza
          | p ~p  Y=p ~Y=~p | Y=~(~Y)=~(~p) ~Y=~(Y)=~(p)|
A: Y= p   | 1  0  =1    =0  |  =1             =0        | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p   | 0  1  =0    =1  |  =0             =1        |~Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3     4      5              6          c       d

Z tożsamości kolumn 3=5 wynika I prawo De Morgana zwane prawem podwójnego przeczenia w logice dodatniej (bo Y):
Y = p = ~(~p)
Z tożsamości kolumn 4=6 wynika II prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p = ~(p)

Kluczowym w rachunku zero-jedynkowym jest poprawny opis nagłówków kolumn wynikowych w równaniach algebry Boole’a. Należy zwrócić uwagę na kluczowy matematycznie opis nagłówków w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Podsumowanie:
1.
Symboliczna definicja operatora transmisji to tabela symboliczna ABab o znaczeniu przedstawionym w obszarze ABcd.
Innymi słowy:
Symboliczna definicja operatora transmisji to układ równań logicznych:
Aab: Y=p
co matematycznie oznacza:
Acd: Y=1 <=> p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie stronami:
Bab: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
Bcd: ~Y=1 <=> ~p=1
2.
Zero-jedynkowe kodowanie definicji symbolicznej operatora transmisji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB1234, uwzględniająca sygnały wejściowe p i ~p, oraz sygnały wyjściowe Y i ~Y.

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?
Jaś:
Negujemy równanie B stronami:
Y=~(~K)
stąd:
A’.
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = ~(~K)


3.2 Operator negacji

0
Definicja operatora negacji:
Negacja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi ~p
Y=~p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=p
Spełniona jest definicja dziedziny dla funkcji logicznej Y:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Stąd definicja operatora logicznego negacji to układ równań logicznych:
A.
Y=~p
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo zbiory Y i ~p istnieją i nie są puste.
B.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo zbiory ~Y i p istnieją i nie są puste
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja operatora negacji Y=~p
Definicja   |Co matematycznie oznacza
symboliczna |
A: Y=~p     | Y=1<=>~p=1
B:~Y= p     |~Y=1<=> p=1
   a  b       c      d

Kod:

Tabela 2
Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y=p
Definicja   |Definicja         |Co matematycznie oznacza
symboliczna |zero-jedynkowa    |
            | p ~p ~Y=p   Y=~p |
B:~Y= p     | 1  0  =1     =0  |~Y=1<=> p=1
A: Y=~p     | 0  1  =0     =1  | Y=1<=>~p=1
   a  b       1  2   3      4    c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)

Jedyną różnicą w stosunku do operatora transmisji jest tu odwrotne przyporządkowanie funkcji Y i ~Y nad kolumnami 3 i 4, co pociąga za sobą zmianę polaryzacji sygnałów Y i ~Y w całej tabeli.
Także symboliczny opis linii A i B zamieniamy miejscami by linia A odpowiadała funkcji Y (z punktu widzenie logiki zamiana A i B jest nieistotna)

Zero-jedynkowa definicja operatora negacji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB1234 opisana układem równań logicznych:
A.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Legenda:
Y=~p
Y - logika dodatnia (bo Y)
Y=~p - symbolicznie: linia Aab, zero-jedynkowo: linia A124, znaczenie: linia Acd

Wniosek:
Nagłówek kolumny 4:
Y=~p
Dotyczy wyłącznie jednej linii z definicji symbolicznej:
Aab: Y=~p

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
B.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>p=1
Legenda:
~Y=p
~Y - logika ujemna (bo ~Y)
~Y=~p - symbolicznie: linia Bab, zero-jedynkowo: linia B123, znaczenie: linia Bcd

Wniosek:
Nagłówek kolumny 3:
~Y=p
Dotyczy wyłącznie jednej linii definicji symbolicznej:
Bab: ~Y=p

Prawa De Morgana dla operatora negacji:
A: Y=~p
B:~Y= p
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y =~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y) dla jednej zmiennej p zwane prawem podwójnego przeczenia.
Y = ~p = ~(p)
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y) dla jednej zmiennej p
~Y= ~p= ~(~p)

Dowód praw De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 3
Prawa De Morgana dla jednej zmiennej p
Definicja |Definicja        |Prawa De Morgana           |Co matematycznie
symbol.   |zero-jedynkowa   |                           |oznacza
          | p ~p ~Y=p  Y=~p |~Y=~(Y)=~(~p) Y=~(~Y)=~(p) |
B:~Y= p   | 1  0  =1    =0  |  =1             =0        |~Y=1<=> p=1
A: Y=~p   | 0  1  =0    =1  |  =0             =1        | Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3     4      5              6          c       d

Z tożsamości kolumn 3=5 wynika prawo De Morgana zwane prawem podwójnego przeczenia w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p = ~(~p)
Z tożsamości kolumn 4=6 wynika prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~p = ~(p)

Najważniejszym w rachunku zero-jedynkowym jest poprawny opis nagłówków kolumn wynikowych w równaniach algebry Boole’a. Należy zwrócić uwagę na kluczowy matematycznie opis nagłówków w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Podsumowanie:
1.
Symboliczna definicja operatora negacji to tabela symboliczna ABab o znaczeniu przedstawionym w obszarze ABcd.
Innymi słowy:
Symboliczna definicja operatora negacji to układ równań logicznych:
Aab: Y=~p
co matematycznie oznacza:
Acd: Y=1 <=> ~p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie stronami:
Bab: ~Y= p
co matematycznie oznacza:
Bcd: ~Y=1 <=> p=1
2.
Zero-jedynkowe kodowanie definicji symbolicznej operatora transmisji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB1234, uwzględniająca sygnały wejściowe p i ~p, oraz sygnały wyjściowe Y i ~Y.

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a czy może się zdarzyć że jutro pójdziemy do kina?
Jaś:
Negujemy równanie B stronami:
Y = ~(K)
stąd:
A’.
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y = ~(K)


3.3 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu:
Operator chaosu to przypisanie funkcji logicznej Y dziedzinie D co wymusza zbiór pusty [] dla funkcji ~Y
Y=p+~p =D =1
Obliczenie ~Y:
Przejście logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne („+” na „*”)
~Y = p*~p =[] =0
Kod:

Symboliczna definicja operatora chaosu Y=1
Definicja    | Co matematycznie oznacza
symboliczna  |
A: Y= p+~p   | Y=1
B:~Y= p*~p   |~Y=0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu Y=1
Definicja   |Definicja              |Co matematycznie oznacza
symboliczna |zero-jedynkowa         |
            | p ~p  Y=p+~p  ~Y=p*~p |
A: Y= p+~p  | 1  0  =1       =0     | Y=1
B:~Y= p*~p  | 0  1  =1       =0     |~Y=0
   a  b  c    1  2   3        4       d

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa.
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników
~Y=~K*K =[] =0
Zbiór pusty oznacza że nie ma tu żadnych szans na kłamstwo bo nie jest możliwe ustawienie:
~Y =1 - pani jutro skłamie (nie dotrzyma słowa ~Y)

Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe jest tożsame z operatorem chaosu, czyli z funkcją logiczną Y mającą w kolumnie wynikowej same jedynki.

UWAGA:
Ilość argumentów nie ma żadnego znaczenia dla definicji zdania zawsze prawdziwego.
W operatorze jednoargumentowym zdaniem zawsze prawdziwym jest funkcja logiczna Y=p+~p będąca nagłówkiem kolumny 3.
W operatorze n-argumentowym zdaniem zawsze prawdziwym jest funkcja logiczna zawierająca same jedynki w kolumnie wynikowej będące odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu układu.


3.4 Operator śmierci

Definicja operatora śmierci:
Operator śmierci to przypisanie funkcji logicznej Y zbiorowi pustemu [] co wymusza zbiór pełny (dziedzinę) w funkcji ~Y
Y=p*~p =[] =0
Obliczenie ~Y:
Przejście logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne („*” na „+”)
~Y = p+~p =D =1
Kod:

Symboliczna definicja operatora śmierci Y=0
Definicja    | Co matematycznie oznacza
symboliczna  |
             |
A: Y= p*~p   | Y=0
B:~Y= p+~p   |~Y=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci Y=0
Definicja   |Definicja              |Co matematycznie oznacza
symboliczna |zero-jedynkowa         |
            | p ~p ~Y=p+~p   Y=p*~p |
B:~Y= p+~p  | 1  0  =1       =0     |~Y=1
A: Y= p*~p  | 0  1  =1       =0     | Y=0
   a  b  c    1  2   3        4       d

Operator śmierci różni się od operatora chaosu odwrotnym przyporządkowaniem funkcji Y i ~Y nad kolumnami 3 i 6. Pociąga to za sobą zmianę polaryzacji sygnałów Y w całej tabeli, jak również zmianę opisu linii A i B (to ostatnie jest bez znaczenia dla logiki)

Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =0
Wypowiadając to zdanie pani jest kłamcą.
Nieistotne jest, co pani zrobi jutro


3.5 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych

Zero-jedynkowe definicje operatorów jednoargumentowych.
Kod:

        |Transmisja |Negator    |Chaos           |Śmierć
        | Y=p       | Y=~p      | Y=(p+~p)=1     | Y=(p*~p)=0
   p ~p | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p |~Y=p+~p Y=p*~p
A: 1  0 | =1   =0   | =0    =1  | =1      =0     | =1      =0
B: 0  1 | =0   =1   | =1    =0  | =1      =0     | =1      =0



3.6 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa

Definicja sygnału cyfrowego:
Sygnał cyfrowy to zmiany zmiennej binarnej w funkcji czasu

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna która może przyjmować w osi czasu wyłącznie dwa stany logiczne 1 i 0.
Zmienna binarna = zmienna dwustanowa (0 i 1)

W technice cyfrowej (TTL) są to stany:
H - wysoki poziom logiczny, napięcie 2,4 do 5,0V
L - niski poziom logiczny, napięcie 0,0 do 0,4V
W logice dodatniej przyporządkowanie tych stanów do logicznego zera i logicznej jedynki jest następujące:
H = 1
L = 0

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y.
Odpowiedź bramki logicznej Y na te same wymuszenia na wejściach (p,q,r,s..) jest zawsze identyczna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny Y to kompletna odpowiedź bramki logicznej na wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe na jej wejściach.
Y = f(p,q,r,s..)

Operator jednoargumentowy to bramka logiczna o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y

Po stronie wejścia operatora jednoargumentowego mamy sygnał p. Sygnał ten musi mieć swoje zaprzeczenie ~p na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p.
Zapiszmy wszystkie możliwe odpowiedzi operatora jednoargumentowego.
Kod:

Operatory jednoargumentowe
   p ~p
A: 1  0 | 1  0 | 1  0
B: 0  1 | 0  1 | 1  0
   1  2   3  4   5  6

Wszystkie możliwe odpowiedzi bramki logicznej jednoargumentowej pokazuje tabela AB3456.
Odpowiedzi te grupujemy w postaci par kolumn, gdzie jedna jest zaprzeczeniem drugiej.
Takie kolumny są ze sobą w związku matematycznym, jedna jest zaprzeczeniem drugiej.
Każdą parę takich kolumn możemy opisać sekwencją [Y, ~Y], albo odwrotnie [~Y, Y]

Na mocy powyższego wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe są następujące:
Kod:

        |Operator   |Operator   |Operator           |Operator
        |transmisji |negacji    |chaosu             |śmierci
        | Y= p      |~Y= p      | Y= p+~p=1         | Y= p*~p=0
        |~Y=~p      | Y=~p      |~Y=~p* p=0         |~Y=~p+ p=1
   p ~p | Y=p ~Y=~p | ~Y=p Y=~p | Y=p+~p=1 ~Y=p*~q=0|~Y=p+~p=1 Y=p*~p=0
A: 1  0 |  =1   =0  |   =1  =0  |  =1        =0     |  =1        =0
B: 0  1 |  =0   =1  |   =0  =1  |  =1        =0     |  =1        =0

Doskonale widać, że technika cyfrowa jest w 100% zgodna z teorią zbiorów wyłożoną wyżej.


3.7 Prawo Rekina

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

        |Operator   |Operator   |Operator           |Operator
        |transmisji |negacji    |chaosu             |śmierci
        | Y= p      |~Y= p      | Y= p+~p=1         | Y= p*~p=0
        |~Y=~p      | Y=~p      |~Y=~p* p=0         |~Y=~p+ p=1
   p ~p | Y=p ~Y=~p | ~Y=p Y=~p | Y=p+~p=1 ~Y=p*~q=0|~Y=p+~p=1 Y=p*~p=0
A: 1  0 |  =1   =0  |   =1  =0  |  =1        =0     |  =1        =0
B: 0  1 |  =0   =1  |   =0  =1  |  =1        =0     |  =1        =0

Jak wygląda powyższa tabela w zbiorach?


Doskonale tu widać, interpretację tabeli wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach.
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi p to mamy układ równań opisujący operator transmisji:
Y=p
~Y=~p
D = Y+~Y = p+~p
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi ~p to mamy układ równań opisujący operator negacji:
Y=~p
~Y=p
D=Y+~Y = p+~p
Jeśli funkcji logicznej Y przypiszemy dziedzinę (zbiór pełny) to mamy operator chaosu opisany układem równań:
Y=p+~p
~Y=p*~p
D = Y+~Y = p+~p + p*~p = p+~p+[] = p+~p
Jeśli funkcję logiczną Y przypiszemy zaprzeczeniu dziedziny (zbiór pusty) to mamy operator śmierci opisany równaniem:
Y=p*~p
~Y=p+~p
D = Y+~Y = p*~p + p+~p = [] +p+~p = p+~p

Zauważmy, że niezależnie od operatora jednoargumentowego dziedzina dla wszystkich operatorów logicznych jest stała i niezmienna opisana równaniem:
D = Y+~Y
D= p+~q =1

Przykład 1.
Zajmijmy się teraz najprostszą algebrą zbiorów:
Y1 = p + p*p
Minimalizujemy to równanie w sposób trochę nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*p
Y3 = p*(D + p)
Y4 = p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 2.
Zapiszmy teraz takie równanie:
Y1 = p + p*~p
To równanie minimalizujemy również w sposób nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*~p
Y3 = p*(D+~p)
Y4= p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia.

Podsumowanie:
Doskonale widać, że wspólną dziedziną dla wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych, stałą i niezmienną, jest funkcja logiczna opisująca operator chaosu mająca same jedynki w kolumnie wynikowej Y:
Y = D = p+~p
Nasz wniosek można uogólnić.

Prawo wspólnej dziedziny:
Wspólną dziedziną dla operatora n-argumentowego będzie funkcja logiczna opisująca n-argumentowy operator chaosu, czyli z samymi jedynkami w wyniku.

Dwuargumentowy operator chaosu |~~> w zbiorach:


Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p~~>q = p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

Dziedzina w operatorach dwuargumentowych to suma logiczna zbiorów rozłącznych A,B,C i D uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q

Zapiszmy wspólną dziedzinę dla absolutnie wszystkich operatorów dwuargumentowych:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja |Funkcje cząstkowe |Co matematycznie oznacza
operatora chaosu p|~~>q  |operatora chaosu  |
   p  q ~p ~q  Y=?       |                  |
A: 1  1  0  0   =1       | Ya= p* q         | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1   =1       | Yb= p*~q         | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0   =1       | Yc=~p* q         | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1   =1       | Yd=~p*~q         | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1

Stąd mamy dziedzinę identyczną dla wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych będącą na mocy definicji 2-argumentowym operatorem chaosu p|~~>q.
D = Y = Ya+Yb+Yc+~Yd
Po podstawieniu funkcji cząstkowych mamy:
D = Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*q

Dowód iż matematycznie jest tu wszystko w porządku:
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D = p+~q =1
cnd

Rozważmy teraz przykłady analogiczne do przykładów z operatora jednoargumentowego.

Przykład 3.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 4.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*~q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*~q
Y3 = p*(D+~q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Podsumowanie:
Weźmy jeszcze raz przykład 3 (dwuargumentowy).
Y1 = p + p*q
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)

STOP!
Doskonale widać, że w tym momencie nie ma znaczenia co podstawimy pod q.
Może być to dowolna funkcja logiczna, nawet nieskończona typu:
q = r*s+~s*t + u*w*~v … itd. do nieskończoności.

Prawo Rekina:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności algebry zbiorów (czyli logiki matematycznej) jest przynależność wszystkich zmiennych w dowolnym równaniu zbiorów (= równaniu logicznym) do tej samej dziedziny D.

Z prawa Rekina wynika, że nie może być tak, iż jakakolwiek zmienna w równaniu algebry zbiorów (=w równaniu logicznym) wychodzi poza dziedzinę obowiązującą dla tego równania.
Gdyby taki przypadek zaistniał to algebra zbiorów (=równanie logiczne) leży w gruzach - co oczywiście być nie może.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 21873
Przeczytał: 38 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 9:57, 04 Maj 2017    Temat postu:

Spis treści
4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe 1
4.1 Operator OR(|+) 5
4.1.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej operatora OR(|+) 7
4.1.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej operatora OR(|+) 11
4.1.3 Operator OR(|+) w zbiorach 14
4.2 Operator AND(|*) 17
4.2.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej operatora AND(|*) 19
4.2.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej operatora AND(|*) 23
4.1.3 Operator AND(|*) w zbiorach 26
4.3 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne 29
4.3.1 Równania alternatywno-koniunkcyjne, logika człowieka 31
4.3.1 Równania koniunkcyjno-alternatywna, logika kosmity 32



4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe

Zacznijmy tym razem od techniki cyfrowej.

Definicja sygnału cyfrowego:
Sygnał cyfrowy to zmiany zmiennej binarnej w funkcji czasu

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna która może przyjmować w osi czasu wyłącznie dwa stany logiczne 1 i 0.
Zmienna binarna = zmienna dwustanowa (0 i 1)

W technice cyfrowej (TTL) są to stany:
H - wysoki poziom logiczny, napięcie 2,4 do 5,0V
L - niski poziom logiczny, napięcie 0,0 do 0,4V
W logice dodatniej przyporządkowanie tych stanów do logicznego zera i logicznej jedynki jest następujące:
H = 1
L = 0

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y.
Odpowiedź bramki logicznej Y na te same wymuszenia na wejściach (p,q,r,s..) jest zawsze identyczna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny Y to kompletna odpowiedź bramki logicznej na wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe na jej wejściach.
Y = f(p,q,r,s..)
W operatorach dwuargumentowych mamy dwa wejście p i q oraz jedno wyjście Y.

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~P = (p=>~p)*(~p=>p)
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika że w zero-jedynkowych definicjach operatorów logicznych musimy uwzględniać sygnały zanegowane [~p,~q,~Y]

Postępujemy tu identycznie jak w przypadku bramki jednoargumentowej (punkt 3.6).
Na początku definiujemy wszystkie możliwe odpowiedzi operatora dwuargumentowego w postaci serii dwóch kolumn będących wzajemną negacją
Kod:

Tabela 1
Operatory dwuargumentowe
              |  1   | 2    | 3    | 4    |  5   | 6    | 7    | 8
   p  q ~p ~q
A: 1  1  0  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0
B: 1  0  0  1 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0
C: 0  1  1  0 | 0  1 | 1  0 | 1  1 | 0  1 | 0  1 | 0  1 | 1  0 | 1  0
D: 0  0  1  1 | 0  1 | 0  1 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 0  1 | 0  1 | 1  0

Sparowane kolumny wyjściowe możemy opisać tylko i wyłącznie przez [Y, ~Y] albo przez [~Y, Y]
Rozpatrzmy pierwszy przypadek [Y, ~Y]
Kod:

Tabela 2
Operatory dwuargumentowe w logice dodatniej,
rozpoznawalne w naturalnej logice matematycznej człowieka
              |  1   | 2    | 3    | 4    |  5   | 6    | 7    | 8
              | (|*) |(|+)  | |=>  | |~>  | <=>  | P    | Q    ||~~>
              | p|*q | p|+q |p|=>q |p|~>q |p<=>q | pPp  |pQq   |p|~~>q
   p  q ~p ~q | Y ~Y | Y ~Y | Y ~Y | Y ~Y | Y ~Y | Y ~Y | Y ~Y | Y ~Y
A: 1  1  0  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0
B: 1  0  0  1 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0
C: 0  1  1  0 | 0  1 | 1  0 | 1  1 | 0  1 | 0  1 | 0  1 | 1  0 | 1  0
D: 0  0  1  1 | 0  1 | 0  1 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 0  1 | 0  1 | 1  0
   1  2  3  4   a  b   c  d   e  f   g  h   i  j   k  l   m  n   o  p   

Z prawa rozpoznawalności pojęcia p wynika, że w dowolnej tabeli prawdy kolumny A i B są ze sobą w związku matematycznym wtedy i tylko wtedy gdy są tożsame A=B lub jedna jest zaprzeczeniem drugiej A=~B.
Zauważmy, że żadna z par kolumn [Y, ~Y] nie jest tożsama z dowolną inną parą, ani też nie jest jej zaprzeczeniem. Nie zachodzą więc żadne związki matematyczny między dwoma różnymi parami kolumn [Y, ~Y].
Takie kolumny są różne na mocy definicji ##, co oznacza że symbole p, q, Y w przykładowym operatorze AND(|*) nie mają nic wspólnego z symbolami p, q, Y występującymi w jakimkolwiek innym operatorze np. OR(|+).
Wszystkie operatory są różne na mocy definicji:
AND(|*) ## OR(|+) ## p|=>q ## p|~>q ## p<=>q ## pPq ## pQq ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Nie da się wyrugować z logiki matematycznej żadnego z wyżej wymienionych operatorów, to fizycznie niemożliwe.

Poniższe definicje operatorów logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) wybiegają trochę do przodu, szczegóły poznamy wkrótce.
Definicje operatorów logicznych w układzie równań logicznych, w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
1.
Operator AND(|*):
Y=p*q
~Y=~(p*q)
~Y=~p+~q - na mocy prawa De Morgana
2.
Operator OR(|+):
Y=p+q
~Y=~(p+q)
~Y=~p*~q - na mocy prawa De Morgana
3.
Operator implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y= (p=>q) =~p+q
~Y=~(p=>q) = p*~q
4.
Operator implikacji odwrotnej p~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y = (p~>q) = p+~q
~Y = ~(p~>q) = ~p*q
5.
Operator równoważności p<=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y=(p<=>q) = p*q+~p*~q
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
6.
Operator transmisji z wejścia P:
Y = p
~Y=~p
7.
Operator transmisji z wejścia Q:
Y=q
~Y=~q
8.
Operator chaosu |~~>:
Zdanie zawsze prawdziwe |~~> to matematyczny śmieć nie niosący żadnej informacji (wszystko może się zdarzyć).
Y = p|~~>q = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Zaprzeczeniem zdania zawsze prawdziwego jest zdanie zawsze fałszywe.
~Y = ~(p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q) = ~(1) =0

Kolejną serię operatorów logicznych definiuje przyporządkowanie parom wyjść w tabeli 1 sekwencji [~Y, Y]
Kod:

Tabela 3
Operatory dwuargumentowe w logice ujemnej,
czyli nie używane w naturalnej logice matematycznej człowieka
              |  1   | 2    | 3    | 4    |  5   | 6    | 7    | 8
              |n(|*) |n(|+) |n|=>  | n|~> |n<=>  | nP   | nQ   |n|~~>
              | NAND | NOR  |      |      | XOR  |      |      |
   p  q ~p ~q |~Y  Y |~Y  Y |~Y  Y |~Y  Y |~Y  Y |~Y  Y |~Y  Y |~Y  Y
A: 1  1  0  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 1  0
B: 1  0  0  1 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0 | 0  1 | 1  0
C: 0  1  1  0 | 0  1 | 1  0 | 1  1 | 0  1 | 0  1 | 0  1 | 1  0 | 1  0
D: 0  0  1  1 | 0  1 | 0  1 | 1  0 | 1  0 | 1  0 | 0  1 | 0  1 | 1  0
   1  2  3  4   a  b   c  d   e  f   g  h   i  j   k  l   m  n   o  p   

W technice znaczenie mają operatory produkowane w praktyce:
NAND, NOR i XOR
W naturalnej logice człowieka operatory te nie wstępują (z wyjątkiem XOR) bo to są po prostu zanegowane operatory z naturalnej logiki człowieka (tabela 2), są więc łatwo zastępowalne.
Doskonale widać że zero-jedynkowo kolumna „a” w tabeli 2 jest tożsama z zero-jedynkową kolumną „a” w tabeli 3, natomiast nagłówki tych kolumn są wzajemną negacją.
etc

Operator XOR jest używany w naturalnej logice matematycznej człowieka jako spójnik „albo”.
Wprowadźmy oznaczenie:
$ - spójnik „albo z naturalnej logiki człowieka
Definicja operatora XOR w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y = p$q = p*~q+~p*q
W logice matematycznej spójnik „albo”($) jest podzbiorem spójnika „lub”(+) odczytanego bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej operatora OR(|+).
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q = p*q + p$q
Dokładnie z tego powodu w praktyce spójnik „albo” nie jest zbyt często używany.
Dlaczego?
Porównajmy dwa zdania:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T = K*T + K*~T + ~K*T = K*T + K$T
czyli:
Pójdę w dowolne miejsce i już dotrzymam słowa. Spójnik „lub”(+) nie zabrania nam pójść w oba miejsca równocześnie.
B.
Jutro pójdę do kina albo do teatru
Y=K$T = K*~T + ~K*T
Doskonale widać, że w opisie przyszłości spójnik „lub”(+) jest bezpieczniejszy bo nie wyklucza pójścia w oba miejsca.

Dlaczego pozostałe spójniki w logice ujemnej nie są używane w naturalnej logice matematycznej człowieka?

Porównajmy zdania:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Pójdę w dowolne miejsce i już dotrzymam słowa
to zdanie rozumie każdy 5-cio latek.

Z tabeli operatorów dodatnich odczytujemy:
Y=K+T - zdanie w spójniku dodatnim „lub”(+)
Odpowiednik w operatorach ujemnych:
~Y=K NOR T - patrzymy na tożsamość kolumn zero-jedynkowych
stąd:
Y = ~(K NOR T) = ~K NAND ~T - prawo De Morgana

Zdanie tożsame do A w spójnikach ujemnych przyjmie brzmienie:
AU.
Jutro nie pójdę do kina NAND nie pójdę do teatru
Czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) NAND nie pójdę do teatru (~T=1)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q ~p ~q  Y=K+T ~K NAND ~T
A: 1  1  0  0   1       1
B: 1  0  0  1   1       1
C: 0  1  1  0   1       1
D: 0  0  1  1   0       0
   1  2  3  4   5       6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 5 i 6 jest dowodem poprawności równania:
Y = p+q = ~p NAND ~q
Nasz przykład:
Y = K+T = ~K NAND ~T
Doskonale widać, że w naturalnej logice matematycznej operatory w logice ujemnej NAND i NOR są matematycznie zbędne.
Oczywistym jest że zdania AU żaden normalny człowiek nie zrozumie.


4.1 Operator OR(|+)

Zacznijmy od praw Prosiaczka:
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych do ich definicji w równaniach logicznych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Rozważmy działanie praw Prosiaczka na przykładzie.

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Kod:

Definicja
zero-jedynkowa
spójnika „lub”(+)
   K  T  Y=K+T
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   5

Znaczenie kolumny wynikowej ABCD5:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y))
Y=0 - pani skłamie (fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y))

Z tabeli prawdy widzimy, że przypadek kiedy pani dotrzyma słowa opisuje wyłącznie obszar ABC125:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=1 <=> K=1 i T=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: Yb=1 <=> K=1 i T=0 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (T=0)
lub
C: Yc=1 <=> K=0 i T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (K=0) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Ten przypadek opisuje wyłącznie linia:
D125: Y=0 <=> K=0 i T=0
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (K=0) i nie pójdziemy do teatru (T=0)

Zauważmy, że na mocy praw Prosiaczka każdą z linii ABCD możemy opisać na cztery tożsame sposoby w odniesieniu do danych wejściowych p i q.
Zapiszmy wszystkie możliwe tożsamości dla linii D125 będącej odpowiedzią na pytanie:
Kiedy pani skłamie?
(Y=0) = (Yd=0) - bo jest tylko jedna linia w której Y=0

D0: Y=0 <=> K=0 i T=0
Fałszem będzie (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (K=0) i nie pójdziemy do teatru (T=0)
Innymi słowy na mocy prawa Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
~Y=1 <=> K=0 i T=0
Prawdą będzie (=1) że Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Symbolicznie w skrócie:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
D1: ~Y=1 <=> K=0 i T=0
Fałszem będzie (=0) że jutro pójdziemy do kina (K) i fałszem będzie (=0) że jutro pójdziemy do teatru (T)
D2: ~Y=1 <=> ~K=1 i T=0
prawdą będzie (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i fałszem będzie (=0) że jutro pójdziemy do teatru (T)
D3: ~Y=1 <=> K=0 i ~T=1
fałszem będzie (=0) że jutro pójdziemy do kina (K) i prawdą będzie (=1) że jutro nie pójdziemy do teatru (~T)
D4: ~Y1 <=> ~K=1 i ~T=1
Prawdą będzie (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i prawdą będzie (=1) że jutro nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Zauważmy, że matematycznie na mocy prawa Prosiaczka zachodzi tożsamość w linii D125:
D0: (Y=0 <=> K=0 i T=0) = D4: (~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1)
W zdaniu D4 wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)

W logice matematycznej jedynki (prawda) są domyślne, stąd wyłącznie w zdaniu:
D4: ~Y1 <=> ~K=1 i ~T=1
możemy pominąć wszystkie jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności.
Dostajemy w ten sposób równanie algebry Boole’a opisjące linię D125:
D: ~Y = ~K*~T
co matematycznie oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą będzie (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Analogicznie możemy postąpić z liniami ABC skąd otrzymujemy tabelę prawdy w postaci zero-jedynkowej i symbolicznej dla naszego zdania, gdzie wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.


4.1.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej operatora OR(|+)

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Podstawmy:
p=K
q=T
przechodząc na zmienne formalne p i q niezależne od konkretnego przykładu.
Kod:

Definicja
zero-jedynkowa
spójnika „lub”(+)
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   5

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do układu równań logicznych Y i ~Y opisujących tą tabelę jest następujący:
Krok 1.
Spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1
Krok 2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Krok 3.
Jedynki (prawda) są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy równanie algebry Boole’a w logice dodatniej (bo Y) opisujące obszar ABC125.
1: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Zauważmy, że równanie 1 opisuje wyłącznie obszar ABC125 w powyższej tabeli.

W identyczny sposób układamy równanie opisujące linię D125 w powyższej tabeli.
Krok 1.
Spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy:
Yd=0 <=> D: p=0 i q=0
Krok 2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Yd=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
W tabeli jest tylko jedna linia z wynikowym zerem (Yd=0), stąd:
~Y=~Yd
Krok 3.
Jedynki (prawda) są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy równanie logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) opisujące powyższą tabelę.
2: ~Y = D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
2: ~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1

Podsumowanie:
Dowolna tabelę zero-jedynkową opisuje układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y) które tworzymy bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej w sposób wyżej pokazany.

Wróćmy do zdania wypowiedzianego:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Podstawmy:
p=K
q=T
przechodząc na zmienne formalne p i q niezależne od konkretnego przykładu.
Kod:

Definicja                    |Definicja        |Co matematycznie
zero-jedynkowa               |symboliczna      |oznacza
spójnika „lub”(+)            |operatora OR(|+) |
   p  q ~p ~q Y=p+q ~Y=~p*~q |                 |
A: 1  1  0  0  =1     =0     | Ya= p* q        | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1  =1     =0     | Yb= p*~q        | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0  =1     =0     | Yc=~p* q        | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1  =0     =1     |~Yd=~p*~q        |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
   1  2  3  4   5      6       a   b  c          d       e      f

Z definicji symbolicznej operatora OR(|+) (ABCDabc) odczytujemy:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
1: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Minimalizujemy równanie 1:
1: Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników „i”(*) na „lub”(+) i odwrotnie.
~Y=~p*(p*+~q) = ~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej:
1: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
1: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
Stąd otrzymujemy:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABCabc=ABC125:
1: Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

stąd mamy:
Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y (ABCDabc) i ~Y (Dabc)
1.
Obszar ABCabc = ABC125:
Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy zmienne wymieniając spójniki na przeciwne
2.
Linia Dabc = D125:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna
Y= ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logika dodatnią (bo Y):
Logika ujemna o zaprzeczona logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Wniosek:
Definicja spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka to wyłącznie obszar:
ABCabc = ABC125
Pozostała część tabeli (linia Dabc=D125) jest uzupełnieniem do dziedziny dla spójnika „lub”(+) na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   5

Definicja spójnika „lub”(+) to obszar ABC125:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Pozostała część tabeli (linia D125) jest uzupełnieniem do dziedziny dla spójnika „lub”(+) na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   5

Definicja spójnika „i”(*) to wyłącznie linia A125:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Pozostała część tabeli (BCD125) jest uzupełnieniem do dziedziny dla spójnika „i”(*) na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.

Prawa De Morgana możemy też udowodnić w klasycznym rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Pełna definicje operatora OR(|+)
Pełna definicja zero-jedynkowa              |Definicja |Co matematycznie
                                            |mintermy  |oznacza
                             ~Y=~(Y) Y=~(~Y)|          |
   p  q ~p ~q Y=p+q ~Y=~p*~q ~(p+q) ~(~p*~q)|          |
A: 1  1  0  0  =1     =0       =0      =1   | Ya= p* q | Ya=1<=> p=1 i  q=1       
B: 1  0  1  0  =1     =0       =0      =1   | Yb= p*~q | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0  =1     =0       =0      =1   | Yc=~p* q | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1  =0     =1       =1      =0   |~Yd=~p*~q |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
   1  2  3  4   5      6        7       8     a   b  c   d       e      f

Tożsamość kolumn 5=8 jest dowodem formalnym prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn 6=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Symboliczna definicja operatora OR(|+) jest zatem następująca:
Kod:

Definicja symboliczna        |Co matematycznie oznacza:
operatora OR(|+)             |
A: Ya = p* q |Y=Ya+Yb+Yc     |
B: Yb = p*~q |Y=p*q+p*~q+~p*q|Y=1<=>p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
C: Yc =~p* q |Y=p+q          |Y=1<=>p=1 lub q=1
---------------------------------------------------------------------------
D:~Yd =~p*~q |~Y=~p*~q       |~Y=1<=>~p=1 i ~q=1



4.1.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej operatora OR(|+)

Rozważmy teraz przejście odwrotne, czyli od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej operatora OR(|+).

Podstawowa definicja symboliczna operatora OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Rozpiszmy równanie 1 w naturalnej logice człowieka:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którakolwiek zmienna p lub q zostanie ustawiona na 1 i już funkcja logiczna Y=1
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Na mocy prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
Y=1<=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy rozszerzoną definicję spójnika „lub”(+):
Y = (p+q) = (p*q + p*~q + ~p*q)
1.
Y=p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1<=> (p=1 lub q=1) lub (p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1)
Mamy też:
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Zapiszmy nasze równania 1 i 2 w tabeli prawdy:
Kod:

Definicja symboliczna |co matematycznie    |Kodowanie zero-jedynkowe
operatora OR(|+)      |oznacza             |definicji symbolicznej
                      |                    | p  q ~p ~q Y=p+q ~Y=~p*~q
A: Ya= p* q | Y= p+ q | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | 1  1  0  0  =1     =0
B: Yb= p*~q |         | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | 1  0  0  1  =1     =0
C: Yc=~p* q |         | Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | 0  1  1  0  =1     =0
-------------------------------------------------------------------
D:~Yd=~p*~q |~Y=~p*~q |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | 0  0  1  1  =0     =1
   a   b  c   d  e  f   g       h      i     1  2  3  4   5      6

Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
W definicji symbolicznej operatora OR(|+) (ABCDabcdefghi) nie ma wyróżnionego żadnego punktu odniesienia, wszystkie zmienne sprowadzone są tu do stanu neutralnego, czyli do logicznych jedynek.
Tabelę symboliczną ABCDabcdef możemy zakodować względem dowolnej linii A,B,C lub D.
Z tabeli symbolicznej ABCDdef widzimy, iż możliwe są tu dwa punkty odniesienia.

Pierwszy możliwy punkt odniesienia to obszar ABCdef:
ABC: Y=p+q
Prawo Prosiaczka dzięki któremu generujemy tabelę zero-jedynkową spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
(~p=1) = (p=0)
(~q=1) = (q=0)
(~Yx=1) = (Yx=0)
Tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) tu wygenerowana to tabela ABCD125.

Drugi i ostatni możliwy punkt odniesienia to linia Ddef:
Ddef: ~Y=~p*~q
Prawo Prosiaczka dzięki któremu generujemy tabelę zero-jedynkową spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
(p=1) = (~p=0)
(q=1) = (~q=0)
(Yx=1) = (~Yx=0)
Tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) tu wygenerowana to tabela ABCD346

Uwagi:
1.
Definicja symboliczna operatora OR(|+) to wszystkie cztery linie ABCDabcdef a nie jedna, dowolnie wybrana.
2.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCDabcdef możemy wykonać wyłącznie względem dowolnie wybranej linii A, B, C lub D
3.
Jest fizycznie niemożliwe zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDabcdef względem definicji operatora OR(|+) czyli względem wszystkich czterech linii ABCD.
4.
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   5

Wynika z tego, że w operatorze OR(|+) (obszar ABCD125) w nagłówku kolumny wynikowej:
Y=p+q
znaczek (+) to spójnik logiczny „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka opisujący wyłącznie obszar ABC125.
Innymi słowy:
Znaczek (+) nie opisuje kompletnej kolumny wynikowej: Y=p+q.
Linia D125 jest tu tylko uzupełnieniem definicji spójnika „lub”(+) do pełnej dziedziny na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.

Uproszczony algorytm przejście z definicji symbolicznej ABCDabcdefghi do definicji zero-jedynkowej ABCD123456:
1.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
(~q=1) = (q=0)
(~Yx=1) = (Yx=0)
Na mocy prawa Prosiaczka symboliczna kolumna ABCDa przechodzi w zero-jedynkową kolumnę Y (ABCD5).
Podobnie:
2.
Na mocy prawa Prosiaczka symboliczna kolumna ABCDb przechodzi w zero-jedynkową kolumnę p (ABCD1)
Podobnie:
3.
Na mocy prawa Prosiaczka symboliczna kolumna ABCDc przechodzi w zero-jedynkową kolumnę q (ABCD2)
4.
Kolumna zero-jedynkowa 3 to zaprzeczona kolumna 1
Kolumna zero-jedynkowa 4 to zaprzeczona kolumna 2
Kolumna zero-jedynkowa 6 to zaprzeczona kolumna 5

Nasz przykład:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie zmiennych symbolicznych:
Y - pani dotrzyma słowa Y=1
~Y - pani skłamie ~Y=1 (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)


4.1.3 Operator OR(|+) w zbiorach




Definicja ogólna operatora OR(|+) w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=(p*q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

Dziedzina w operatorach dwuargumentowych to suma logiczna zbiorów rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.
D = Ya+Yb+Yc+~Yd
D = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
Sprawdzenie:
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd

W operatorze OR(|+) sumie logicznej zbiorów p+q (obszar brązowo-zielono-niebieski) przypisujemy funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y).
Pozostała części dziedziny ~p*~q (obszar żółty) musi mieć przypisaną funkcję logiczną ~Y (logika ujemna bo ~Y), co wynika z prawa rozpoznawalności pojęcia Y.
Matematycznie zachodzi równanie dziedziny:
Y+~Y= D =1
Y*~Y =[] =0

Symboliczna definicja operatora OR(|+) w układzie równań logicznych:
1.
Y=p+q - obszar brązowo-zielono-niebieski (logika dodatnia bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 - bo zbiory p i q są niepuste
Gdzie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów p+q, odpowiednik spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
2.
~Y=~p*~q - obszar żółty (logika ujemna bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 - bo zbiory ~p i ~q są niepuste.
Gdzie:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów ~p*~q, odpowiednik spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka

Z diagramu wynika, że sumę logiczną zbiorów:
1: Y=p+q
możemy zapisać w postaci sum cząstkowych:
1: Y = Ya+Yb+Yc
Po podstawieniu zawartości funkcji cząstkowych mamy:
1: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
1: Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) =1 lub B: (p=1 i ~q=1) lub C: (~p=1 i q=1) =1
Wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1 bo wszystkie zbiory są niepuste z definicji.

Sprawdzenie matematycznej tożsamości:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę tożsamości:
Y = p*q+p*~q+~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
Y=p+q
cnd

Definicja symboliczna operatora OR(|+) w układzie równań logicznych:
1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Rozszerzona definicja spójnika „lub”(+):
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) =1 lub B: (p=1 i ~q=1) lub C: (~p=1 i q=1) =1

2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Zapiszmy nasze równania 1 i 2 w tabeli prawdy:
Kod:

Definicja symboliczna |co matematycznie    |Kodowanie zero-jedynkowe
operatora OR(|+)      |oznacza             |definicji symbolicznej
                      |                    | p  q ~p ~q Y=p+q ~Y=~p*~q
A: Ya= p* q | Y= p+ q | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | 1  1  0  0  =1     =0
B: Yb= p*~q |         | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | 1  0  0  1  =1     =0
C: Yc=~p* q |         | Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | 0  1  1  0  =1     =0
-------------------------------------------------------------------
D:~Yd=~p*~q |~Y=~p*~q |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | 0  0  1  1  =0     =1
   a   b  c   d  e  f   g       h      i     1  2  3  4   5      6

Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
W definicji symbolicznej operatora OR(|+) (ABCDabcdefghi) nie ma wyróżnionego żadnego punktu odniesienia, wszystkie zmienne sprowadzone są tu do stanu neutralnego, czyli do logicznych jedynek.
Tabelę symboliczną ABCDabcdef możemy zakodować względem dowolnej linii A,B,C lub D.
Z tabeli symbolicznej ABCDdef widzimy, iż możliwe są tu dwa punkty odniesienia.

Pierwszy możliwy punkt odniesienia to obszar ABCdef:
ABC: Y=p+q
Prawo Prosiaczka dzięki któremu generujemy tabelę zero-jedynkową spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
(~p=1) = (p=0)
(~q=1) = (q=0)
(~Yx=1) = (Yx=0)
Tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) tu wygenerowana to tabela ABCD125.

Drugi i ostatni możliwy punkt odniesienia to linia Ddef:
Ddef: ~Y=~p*~q
Prawo Prosiaczka dzięki któremu generujemy tabelę zero-jedynkową spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
(p=1) = (~p=0)
(q=1) = (~q=0)
(Yx=1) = (~Yx=0)
Tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) tu wygenerowana to tabela ABCD346

Uwagi:
1.
Definicja symboliczna operatora OR(|+) to wszystkie cztery linie ABCDabcdef a nie jedna, dowolnie wybrana.
2.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCDabcdef możemy wykonać wyłącznie względem dowolnie wybranej linii A, B, C lub D
3.
Jest fizycznie niemożliwe zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDabcdef względem definicji operatora OR(|+) czyli względem wszystkich czterech linii ABCD.
4.
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   5

Wynika z tego, że w operatorze OR(|+) (obszar ABCD125) w nagłówku kolumny wynikowej:
Y=p+q
znaczek (+) to spójnik logiczny „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka opisujący wyłącznie obszar ABC125.
Innymi słowy:
Znaczek (+) nie opisuje kompletnej kolumny wynikowej: Y=p+q.
Linia D125 jest tu tylko uzupełnieniem definicji spójnika „lub”(+) do pełnej dziedziny na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.


4.2 Operator AND(|*)

Zacznijmy od praw Prosiaczka:
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych do ich definicji w równaniach logicznych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Rozważmy działanie praw Prosiaczka na przykładzie.

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Kod:

Definicja
zero-jedynkowa
spójnika „i”(*)
   K  T  Y=K*T
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   5

Znaczenie kolumny wynikowej ABCD5:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y))
Y=0 - pani skłamie (fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y))

Z tabeli prawdy widzimy, że przypadek kiedy pani dotrzyma słowa opisuje wyłącznie linia A125:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=1 <=> K=1 i T=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Ten przypadek opisuje wyłącznie obszar BCD125:
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
B: Yb=0 <=> K=1 i T=0
pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (T=0)
lub
C: Yc=0 <=> K=0 i T=1
nie pójdziemy do kina (K=0) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: Yd=0 <=> K=0 i T=0
nie pójdziemy do kina (K=0) i nie pójdziemy do teatru (T=0)

Zauważmy, że na mocy praw Prosiaczka każdą z linii ABCD możemy opisać na cztery tożsame sposoby w odniesieniu do danych wejściowych p i q.
Zapiszmy wszystkie możliwe tożsamości dla linii A125 będącej odpowiedzią na pytanie:
Kiedy pani dotrzyma słowa?
(Y=1) = (Ya=1) - bo jest tylko jedna linia w której Y=1

Y=1
Prawdą będzie (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Symbolicznie w skrócie:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A1: Y=1 <=> K=1 i T=1
Prawdą będzie (=1) że jutro pójdziemy do kina (K) i prawdą będzie (=1) że jutro pójdziemy do teatru (T)
A2: Y=1 <=> K=1 i ~T=0
prawdą będzie (=1) że jutro pójdziemy do kina (K) i fałszem będzie (=0) że jutro nie pójdziemy do teatru (~T)
A3: Y=1 <=> ~K=0 i T=1
fałszem będzie (=0) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i prawdą będzie (=1) że jutro pójdziemy do teatru
A4: Y=1 <=> ~K=0 i ~T=0
fałszem będzie (=0) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i fałszem będzie (=0) ze jutro nie pójdziemy do teatru (~T)

Zauważmy, że matematycznie na mocy prawa Prosiaczka zachodzi tożsamość w linii:
A1=A2=A3=A4
Wyłącznie w zdaniu A1 wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)

W logice matematycznej jedynki (prawda) są domyślne, stąd wyłącznie w zdaniu:
A1: Y=1 <=> K=1 i T=1
możemy pominąć wszystkie jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności.
Dostajemy w ten sposób równanie algebry Boole’a opisjące linię D125:
A: Y = K*T
co matematycznie oznacza:
A: Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą będzie (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Analogicznie możemy postąpić z liniami BCD skąd otrzymujemy tabelę prawdy w postaci zero-jedynkowej i symbolicznej dla naszego zdania, gdzie wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.


4.2.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej operatora AND(|*)

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Podstawmy:
p=K
q=T
przechodząc na zmienne formalne p i q niezależne od konkretnego przykładu.
Kod:

Definicja
zero-jedynkowa
spójnika „i”(*)
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   5

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do układu równań logicznych Y i ~Y opisujących tą tabelę jest następujący:
Krok 1.
Spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
Krok 2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek (tu nic nie musimy robić):
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
Krok 3.
Jedynki (prawda) są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy równanie algebry Boole’a w logice dodatniej (bo Y) opisujące linię A125.
1: Y = A: p*q
co matematycznie oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1
Zauważmy, że równanie 1 opisuje wyłącznie linię A125 w powyższej tabeli.

W identyczny sposób układamy równanie opisujące obszar BCD125 w powyższej tabeli.
Krok 1.
Spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy:
Yb=0 <=> B: p=1 i q=0
lub
Yc=0<=> C: p=0 i q=1
lub
Yd=0<=> D: p=0 i q=0
Krok 2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Yb=1 <=> B: p=1 i ~q=1
lub
~Yc=1 <=> C: ~p=1 i q=1
lub
~Yd=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
Krok 3.
Jedynki (prawda) są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy równanie logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) opisujące powyższą tabelę:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
2: ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
2: ~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1

Podsumowanie:
Dowolna tabelę zero-jedynkową opisuje układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y) które tworzymy bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej w sposób wyżej pokazany.

Wróćmy do zdania wypowiedzianego:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Podstawmy:
p=K
q=T
przechodząc na zmienne formalne p i q niezależne od konkretnego przykładu.
Kod:

Definicja                    |Definicja        |Co matematycznie
zero-jedynkowa               |symboliczna      |oznacza
spójnika „i”(*)              |operatora AND(|*)|
   p  q ~p ~q Y=p*q ~Y=~p+~q |                 |
A: 1  1  0  0  =1     =0     | Ya= p* q        | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1  =0     =1     |~Yb= p*~q        |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0  =0     =1     |~Yc=~p* q        |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1  =0     =1     |~Yd=~p*~q        |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
   1  2  3  4   5      6       a   b  c          d       e      f

Z definicji symbolicznej operatora AND(|*) (ABCDabc) odczytujemy:
Y=Ya - bo jest tylko jedna linia z wynikową jedynką w kolumnie ABCD5
Po rozwinięciu mamy:
1: Y = A: p*q
co matematycznie oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1

Z definicji symbolicznej operatora AND(|*) (ABCDabc) odczytujemy również:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2: ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy równanie 2:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników „i”(*) na „lub”(+) i odwrotnie.
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2: ~Y=~p+~q

Matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
Stąd otrzymujemy:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to wyłącznie obszar BCDabc=BCD125:
2: ~Y=~p+~q = p*~q + ~p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q =1
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

stąd mamy:
Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) to układ równań logicznych Y (Aabc) i ~Y (BCDabc)
1.
Linia Aabc=A125:
Y=p*q - logika dodatnia (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy zmienne wymieniając spójniki na przeciwne
2.
Obszar BCDabc=BCD125:
~Y=~p+~q - logika ujemna (bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna
Y= ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logika dodatnią (bo Y):
Logika ujemna o zaprzeczona logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Wniosek:
Definicja spójnika „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka to wyłącznie linia:
Aabc=A125
Pozostała część tabeli (obszar BCDabc=BCDD125) jest uzupełnieniem do dziedziny dla spójnika „i”(*) na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   5

Definicja spójnika „i”(*) to linia A125:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Pozostała część tabeli (obszar BCD125) jest uzupełnieniem do dziedziny dla spójnika „i”(*) na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   5

Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC125:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Pozostała część tabeli (linia D125) jest uzupełnieniem do dziedziny dla spójnika „lub”(+) na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.

Prawa De Morgana możemy też udowodnić w klasycznym rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Pełna definicje operatora AND(|*)
Pełna definicja zero-jedynkowa              |Definicja |Co matematycznie
                                            |mintermy  |oznacza
                             ~Y=~(Y) Y=~(~Y)|          |
   p  q ~p ~q Y=p*q ~Y=~p+~q ~(p*q) ~(~p+~q)|          |
A: 1  1  0  0  =1     =0       =0      =1   | Ya= p* q | Ya=1<=> p=1 i  q=1       
B: 1  0  1  0  =0     =1       =1      =0   |~Yb= p*~q |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0  =0     =1       =1      =0   |~Yc=~p* q |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1  =0     =1       =1      =0   |~Yd=~p*~q |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
   1  2  3  4   5      6        7       8     a   b  c   d       e      f

Tożsamość kolumn 5=8 jest dowodem formalnym prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn 6=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Symboliczna definicja operatora AND(|*) jest zatem następująca:
Kod:

Definicja symboliczna          |Co matematycznie oznacza:
operatora OR(|+)               |
A: Ya= p* q |Y=p*q             |Y=1<=>p=1 i q=1
---------------------------------------------------------------------------
B:~Yb= p*~q |~Y=p*~q+~p*q+~p*~q|~Y=1<=>p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
C:~Yc=~p* q |~Y=~p+~q          |~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1
D:~Yd=~p*~q |                  |



4.2.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej operatora AND(|*)

Rozważmy teraz przejście odwrotne, czyli od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej operatora AND(|*).

Podstawowa definicja symboliczna operatora AND(|*) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Rozpiszmy równanie 2 w naturalnej logice człowieka:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którakolwiek zmienna ~p lub ~q zostanie ustawiona na 1 i już funkcja logiczna Y=1
~Y=1 <=> ~p=0 i ~q=1 lub ~p=1 i ~q=0 lub ~p=1 i ~q=1
Na mocy prawa Prosiaczka:
(~p=0) = (p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1<=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy rozszerzoną definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=p*~q + ~p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
2: ~Y=1<=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Mamy też:
2: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
2: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Zapiszmy nasze równania 1 i 2 w tabeli prawdy:
Kod:

Definicja symboliczna |co matematycznie    |Kodowanie zero-jedynkowe
operatora AND(|*)     |oznacza             |definicji symbolicznej
                      |                    | p  q ~p ~q Y=p*q ~Y=~p+~q
A: Ya= p* q | Y= p* q | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | 1  1  0  0  =1     =0
----------------------------------------------------------------------
B:~Yb= p*~q |         |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | 1  0  0  1  =0     =1
C:~Yc=~p* q |         |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | 0  1  1  0  =0     =1
D:~Yd=~p*~q |~Y=~p+~q |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | 0  0  1  1  =0     =1
   a   b  c   d  e  f   g       h      i     1  2  3  4   5      6

Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
W definicji symbolicznej operatora AND(|*) (ABCDabcdefghi) nie ma wyróżnionego żadnego punktu odniesienia, wszystkie zmienne sprowadzone są tu do stanu neutralnego, czyli do logicznych jedynek.
Tabelę symboliczną ABCDabcdef możemy zakodować względem dowolnej linii A,B,C lub D.
Z tabeli symbolicznej ABCDdef widzimy, iż możliwe są tu dwa punkty odniesienia.

Pierwszy możliwy punkt odniesienia to linia Adef:
A: Y=p*q
Prawo Prosiaczka dzięki któremu generujemy tabelę zero-jedynkową spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
(~p=1) = (p=0)
(~q=1) = (q=0)
(~Yx=1) = (Yx=0)
Tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) tu wygenerowana to tabela ABCD125.

Drugi i ostatni możliwy punkt odniesienia to obszar BCDdef:
BCDdef: ~Y=~p+~q
Prawo Prosiaczka dzięki któremu generujemy tabelę zero-jedynkową spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
(p=1) = (~p=0)
(q=1) = (~q=0)
(Yx=1) = (~Yx=0)
Tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) tu wygenerowana to tabela ABCD346

Uwagi:
1.
Definicja symboliczna operatora AND(|*) to wszystkie cztery linie ABCDabcdef a nie jedna, dowolnie wybrana.
2.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCDabcdef możemy wykonać wyłącznie względem dowolnie wybranej linii A, B, C lub D
3.
Jest fizycznie niemożliwe zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDabcdef względem definicji operatora AND(|*) czyli względem wszystkich czterech linii ABCD.
4.
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   5

Wynika z tego, że w operatorze AND(|*) (obszar ABCD125) w nagłówku kolumny wynikowej:
Y=p*q
znaczek (*) to spójnik logiczny „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka opisujący wyłącznie linię A125.
Innymi słowy:
Znaczek (*) nie opisuje kompletnej kolumny wynikowej: Y=p*q.
Obszar BCD125 jest tu tylko uzupełnieniem definicji spójnika „i”(*) do pełnej dziedziny na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.

Uproszczony algorytm przejście z definicji symbolicznej ABCDabcdefghi do definicji zero-jedynkowej ABCD123456:
1.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
(~q=1) = (q=0)
(~Yx=1) = (Yx=0)
Na mocy prawa Prosiaczka symboliczna kolumna ABCDa przechodzi w zero-jedynkową kolumnę Y (ABCD5).
Podobnie:
2.
Na mocy prawa Prosiaczka symboliczna kolumna ABCDb przechodzi w zero-jedynkową kolumnę p (ABCD1)
Podobnie:
3.
Na mocy prawa Prosiaczka symboliczna kolumna ABCDc przechodzi w zero-jedynkową kolumnę q (ABCD2)
4.
Kolumna zero-jedynkowa 3 to zaprzeczona kolumna 1
Kolumna zero-jedynkowa 4 to zaprzeczona kolumna 2
Kolumna zero-jedynkowa 6 to zaprzeczona kolumna 5

Nasz przykład:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie zmiennych symbolicznych:
Y - pani dotrzyma słowa Y=1
~Y - pani skłamie ~Y=1 (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)


4.1.3 Operator AND(|*) w zbiorach




Definicja ogólna operatora AND(|*) w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=(p*q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

Dziedzina w operatorach dwuargumentowych to suma logiczna zbiorów rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.
D = Ya+~Yb+~Yc+~Yd
D = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
Sprawdzenie:
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd

W operatorze AND(|*) iloczynowi logicznemu zbiorów p*q (obszar zielony) przypisujemy funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y).
Pozostała części dziedziny (obszar brązowo-niebiesko-żółty) musi mieć przypisaną funkcję logiczną ~Y (logika ujemna bo ~Y), co wynika z prawa rozpoznawalności pojęcia Y.
Matematycznie zachodzi równanie dziedziny:
Y+~Y= D =1
Y*~Y =[] =0

Symboliczna definicja operatora AND(|*) w układzie równań logicznych:
1.
Y=p*q - obszar zielony (logika dodatnia bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 - bo zbiory p i q są niepuste
Gdzie:
„*”(*) - iloczyn logiczny zbiorów p*q, odpowiednik spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka
2.
~Y=~p+~q - obszar brązowo-niebiesko-żółty (logika ujemna bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 - bo zbiory ~p i ~q są niepuste.
Gdzie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów ~p+~q, odpowiednik spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka

Z diagramu wynika, że sumę logiczną zbiorów:
2: ~Y=~p+~q
możemy zapisać w postaci sum cząstkowych:
2: ~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Po podstawieniu zawartości funkcji cząstkowych mamy:
2: ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
2: ~Y=1 <=> B: (p=1 i ~q=1) lub C: (~p=1 i q=1) =1 lub D: (~p=1 i ~q=1)
Wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1 bo wszystkie zbiory są niepuste z definicji.

Definicja symboliczna operatora AND(|*) w układzie równań logicznych:
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Rozszerzona definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: (p=1 i ~q=1) lub C: (~p=1 i q=1) =1 lub D: (~p=1 i ~q=1)

Zapiszmy nasze równania 1 i 2 w tabeli prawdy:
Kod:

Definicja symboliczna |co matematycznie    |Kodowanie zero-jedynkowe
operatora AND(|*)     |oznacza             |definicji symbolicznej
                      |                    | p  q ~p ~q Y=p*q ~Y=~p+~q
A: Ya= p* q | Y= p* q | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | 1  1  0  0  =1     =0
----------------------------------------------------------------------
B:~Yb= p*~q |         |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | 1  0  0  1  =0     =1
C:~Yc=~p* q |         |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | 0  1  1  0  =0     =1
D:~Yd=~p*~q |~Y=~p+~q |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | 0  0  1  1  =0     =1
   a   b  c   d  e  f   g       h      i     1  2  3  4   5      6

Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
W definicji symbolicznej operatora AND(|*) (ABCDabcdefghi) nie ma wyróżnionego żadnego punktu odniesienia, wszystkie zmienne sprowadzone są tu do stanu neutralnego, czyli do logicznych jedynek.
Tabelę symboliczną ABCDabcdef możemy zakodować względem dowolnej linii A,B,C lub D.
Z tabeli symbolicznej ABCDdef widzimy, iż możliwe są tu dwa punkty odniesienia.

Pierwszy możliwy punkt odniesienia to linia Adef:
A: Y=p*q
Prawo Prosiaczka dzięki któremu generujemy tabelę zero-jedynkową spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
(~p=1) = (p=0)
(~q=1) = (q=0)
(~Yx=1) = (Yx=0)
Tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) tu wygenerowana to tabela ABCD125.

Drugi i ostatni możliwy punkt odniesienia to obszar BCDdef:
BCDdef: ~Y=~p+~q
Prawo Prosiaczka dzięki któremu generujemy tabelę zero-jedynkową spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
(p=1) = (~p=0)
(q=1) = (~q=0)
(Yx=1) = (~Yx=0)
Tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) tu wygenerowana to tabela ABCD346

Uwagi:
1.
Definicja symboliczna operatora AND(|*) to wszystkie cztery linie ABCDabcdef a nie jedna, dowolnie wybrana.
2.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCDabcdef możemy wykonać wyłącznie względem dowolnie wybranej linii A, B, C lub D
3.
Jest fizycznie niemożliwe zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDabcdef względem definicji operatora AND(|*) czyli względem wszystkich czterech linii ABCD.
4.
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   5

Wynika z tego, że w operatorze AND(|*) (obszar ABCD125) w nagłówku kolumny wynikowej:
Y=p*q
znaczek (*) to spójnik logiczny „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka opisujący wyłącznie linię A125.
Innymi słowy:
Znaczek (*) nie opisuje kompletnej kolumny wynikowej: Y=p*q.
Obszar BCD125 jest tu tylko uzupełnieniem definicji spójnika „i”(*) do pełnej dziedziny na potrzeby rachunku zero-jedynkowego.


4.3 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne

Notacja:
„i”(*) = koniunkcja (*)
„lub”(+) = alternatywa (+)

Rozważmy zero-jedynkową definicję równoważności:
Kod:

   p  q Y=p<=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0

Tworzymy układ równań logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) znanym nam algorytmem.
1.
Tworzenie równania logicznego dla wynikowych jedynek:

Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Otrzymujemy w ten sposób równanie logiczne opisujące wyłącznie linie A i C.
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

1.
Tworzenie równania logicznego dla wynikowych zer:

Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli:
Y=0 <=> B: p=1 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Otrzymujemy w ten sposób równanie logiczne opisujące wyłącznie linie B i D.
~Y = B: p*~ + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Na mocy powyższego pełna definicja zero-jedynkowa i symboliczna równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wygląda następująco:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa operatora     |Definicja   |Co matematycznie
równoważności w „i”(*) i „lub”(+)      |symboliczna |oznacza
              Y=    Y=        ~Y=      |            |
   p  q ~p ~q p<=>q p*q+~p*~q p*~q+~p*q|            |
A: 1  1  0  0  =1     =1        =0     | Ya= p* q   | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1  =0     =0        =1     |~Yb= p*~q   |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  0  1  1  =1     =1        =0     | Yc=~p*~q   | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1
D: 0  1  1  0  =0     =0        =1     |~Yd=~p* q   |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1
   1  2  3  4   5      6         7       a   b  c     d       e      f

Z tabeli symbolicznej ABCDabc odczytujemy układ równań alternatywno-koniunkcyjnych opisujący równoważność:
1.
Y= p*q + ~p*~q
2.
~Y= p*~q + ~p*q
Równania alternatywno-koniunkcyjne 1 i 2 to po prostu alternatywa koniunkcji.

Jak utworzyć układ równań koniunkcyjno-alternatywnych opisujących definicję równoważności?
Bardzo prosto!
Mając układ równań alternatywno-koniunkcyjnych przechodzimy z każdym z nich do logiki przeciwnej.
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
3.
~Y=(~p+~q)*(p+q)

2.
~Y= (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
Y = (~p+q)*(p+~q)

Podsumujmy:
1: Y=p*q + ~p*~q
2:~Y=p*~q + ~p*q
3: ~Y=(p+q)*(~p+~q)
4: Y=(p+~q)*(~p+q)

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd:
Y = p*q+~p*~q = (p+~q)*(~p+q)
Dowód poprawności:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p+ p*q + ~q*~p+ ~q*q = p*q + ~p*~q
cnd

Matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd:
~Y = p*~q + ~p*q = (p+q)*(~p+~q)
Dowód poprawności:
(p+q)*(~p+~q) = p*~p+ p*~q + q*~p + q*~q = p*~q + ~p*q
cnd

Prawo Słonia:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna na swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.

Łatwo zauważyć że prawo Słonia działa wyłącznie dla tabel zero-jedynkowych gdzie w kolumnie wynikowej mamy więcej niż jedną jedynkę i więcej niż jedno zero. Definicja równoważności to minimalna funkcja logiczna spełniająca ten warunek.


4.3.1 Równania alternatywno-koniunkcyjne, logika człowieka

Weźmy równoważność Pitagorasa:
Y = (TP<=>SK)
wyrażoną równaniem alternatywno-koniunkcyjnym:
Y = TP*SK+ ~TP*~SK
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (TP=1 i SK=1) lub (~TP=1 i ~SK=1)
Ustalmy dziedzinę na której operujemy:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Odczytujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka:
Równoważność Pitagorasa będzie prawdziwa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1) w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1) lub trójkąt nieprostokątny (~TP=1) w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)

Kiedy równoważność Pitagorasa będzie fałszywa?
~Y=TP*~SK + ~TP*SK
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (TP=1 i ~SK=1) lub (~TP=1*SK=1)
Odczytujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka:
Prawdą jest (=1) że równoważność Pitagorasa będzie fałszywa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1) w którym nie będzie zachodziła suma kwadratów (~SK=1) lub trójkąt nieprostokątny (~TP=1) w którym będzie zachodziła suma kwadratów (SK=1)
Matematycznie zachodzi:
TP*~SK = [] =0 - bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
~TP*SK = [] =0 - bo zbiory ~TP i SK są rozłączne
stąd mamy:
~Y = TP*~SK + ~TP*SK = [] +[] =0
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> 0
Nie ma tu żadnych szans na ustawienie ~Y=1, zatem równoważność Pitagorasa jest zdaniem zawsze prawdziwym.


4.3.1 Równania koniunkcyjno-alternatywna, logika kosmity

Równania alternatywo-koniunkcyjne to naturalna logika matematyczna człowieka zrozumiała dla każdego 5-cio latka (na przykładach stosownych do jego wieku) , co pokazano w poprzednim punkcie.

Spójrzmy na tą samą równoważność Pitagorasa poprzez tożsame równanie koniunkcyjno-alternatywne.

Prawo Słonia:
Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q = (p+~q)*(~p+q)
Dowód poprawności:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p+ p*q + ~q*~p+ ~q*q = p*q + ~p*~q
cnd

Stąd dla równoważności Pitagorasa mamy:
TP<=>SK = (TP+~SK)*(~TP+SK)
Konia z rzędem temu, kto odczyta w języku mówionym prawą stronę i ją zrozumie.
Nie ma takiego człowieka od 5-cio latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Wnioski:
1.
Funkcje logiczne ciut bardziej złożone (jak choćby nasze twierdzenie Pitagorasa) wyrażone postacią koniunkcyjno-alternatywną są dla człowieka totalnie niezrozumiałe.
2.
Wynika z tego że jedynie postaci alternatywno-koniunkcyjne są bez problemu zrozumiałe dla każdego człowieka.
3.
Nie ma potrzeby posługiwać się równaniami koniunkcyjno-alternatywnymi, bowiem tożsamą matematycznie postać alternatywno-koniunkcyjną otrzymamy wymnażając wielomiany
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 21873
Przeczytał: 38 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 9:59, 04 Maj 2017    Temat postu:

Spis treści
5.0 Operatory implikacyjne 1
5.1 Definicje spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~> 2
5.2 Prawa Kubusia i prawa Tygryska 5
5.3 Implikacja prosta |=> 8
5.3.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej implikacji prostej p|=>q 9
5.3.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej implikacji prostej p|=>q 10
5.3.3 Operator implikacji prostej p|=>q w zbiorach 12
5.4 Implikacja odwrotna p|~>q 13
5.4.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej implikacji odwrotnej p|~>q 14
5.4.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej implikacji odwrotnej p|~>q 16
5.4.3 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 17
5.5 Równoważność p<=>q 19
5.5.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej równoważności <=> 21
5.5.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej równoważności <=> 23
5.5.3 Operator równoważności p<=>q w zbiorach 24
5.6 Operator chaosu |~~> 25
5.6.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej operatora chaosu |~~> 25
5.6.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej operatora chaosu |~~> 26
5.6.3 Operator chaosu |~~> w zbiorach 27



5.0 Operatory implikacyjne

Operatory implikacyjne zapewniają matematyczną obsługę wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q”. Zdania warunkowe „Jeśli p to q” to fundament logiki matematycznej.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
2.
Warunek konieczny ~>:

p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)

Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.


5.1 Definicje spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~>

Definicja podzbioru =>:
Jeśli każdy element zbioru p należy do zbioru q to mówimy iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zapisujemy
p=>q

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = definicja podzbioru =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Innymi słowy:
Jeśli wylosuję dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% będzie w zbiorze q

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   3

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..]
Wymuszam dowolnego psa ze zbioru wszystkich psów i ten pies na 100% jest w zbiorze 4L.

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q to mówimy iż zbiór p jest nadzbiorem zbioru q i zapisujemy
p~>q

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q
Matematycznie:
Warunek konieczny ~> = definicja nadzbioru ~>
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zabieram wszystkie p i znika mi q

Kod:

Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0
   1  2   3

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..] jest nadzbiorem zbioru P=[pies]

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń ..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem ~P=[słoń, koń, kura, wąż ..]

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>

Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~> podanych wyżej.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Tożsamość zbiorów:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest elementem zbioru q i na odwrót
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Prawa strona to definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Stąd:
(p=q) = (p<=>q)

Wyprowadzenie definicji warunku wystarczającego => w spójniach „lub”(+) i „i”(*):
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   3

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
Wyprowadzenie:
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej zapisujemy:
Y = (p=>q) =1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Krok 3
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące definicję warunku koniecznego ~>:
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Minimalizujemy równanie 3:
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=~p+q
cnd

Wyprowadzenie definicji warunku koniecznego ~> w spójniach „lub”(+) i „i”(*):
Kod:

Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0
   1  2   3

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q
Wyprowadzenie:
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej zapisujemy:
Y = (p~>q) =1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące definicję warunku koniecznego ~>:
Y= p*q + p*~q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Minimalizujemy równanie 3:
Y= p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q) + ~p*~q
Y = p+ (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q
~Y=~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+~q
cnd


5.2 Prawa Kubusia i prawa Tygryska

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
Kod:

Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 1 i tabela 2 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Z tabel T1 i T2 odczytujemy:

Definicje spójników implikacyjnych => i ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

I prawo Kubusia
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

II Prawo Kubusia
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

Dowód:
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
cnd

Interpretacja praw Kubusia:
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza fałszywość drugiej strony

Interpretacja praw Kubusia to tożsamość logiczna, mająca wszelkie cechy tożsamości klasycznej.
Prawa Kubusia to zdecydowanie najważniejsze prawa logiki matematycznej warunkujące jej istnienie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku obietnicy daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania nagrody
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Przykład zastosowania prawa Kubusia:
A.
Jeśli zdasz test dostaniesz cukierka
T=>C =1
Zdanie testu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania cukierka z powodu zdanego testu
Zdanie testu daje nam gwarancje matematyczną => dostania cukierka z powodu zdanego testu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania cukierka z dowolnego innego powodu.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% etc
B.
Jeśli zdasz test to możesz ~~> nie dostać cukierka
T~~>~C = T*~C =0
Tu ojciec jest kłamcą!
… a jeśli nie zdam testu?
Prawo Kubusia:
T=>C = ~T~>~C
stąd:
C.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~> nie dostać cukierka
~T~>~C =1
lub
D.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~~> dostać cukierka
~T~~>C = ~T*C =1
Akt miłości - prawo nadawcy do wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał testu)

Implikacja prosta T|=>C to wszystkie cztery zdania A,B,C i D a nie jakiekolwiek jedno, wyróżnione.
Wynika z tego że nie da się wypowiedzieć implikacji prostej T|=>C w formie zdania warunkowego „Jeśli p to q”. W formie zdania „Jeśli p to q” możemy wypowiedzieć jedynie warunek wystarczający T=>C wchodzący w skład implikacji prostej T|=>C.

I prawo Tygryska:
Warunek wystarczający w czasie przyszłym p=>q po zamianie p i q wymusza warunek konieczny q~>p w czasie przeszłym.
p=>q = q~>p
Dowód:
q~>p = q+~p = ~p+q = p=>q

II prawo Tygryska:
Warunek konieczny ~> w czasie przyszłym p~>q po zamianie p i q wymusza warunek wystarczający => w czasie przeszłym
p~>q = q=>p
Dowód:
q=>p = ~q+p = p+~q = p~>q
cnd

Przykład zastosowania prawa Tygryska:
A.
Jeśli zdasz test dostaniesz cukierka
T=>C =1

I prawo Tygryska:
p=>q = q~>p
stąd:
A1.
Jeśli dostałeś cukierka to mogłeś ~> zdać test
C~>T =1
lub
B1.
Jeśli dostałeś cukierka to mogłeś ~~> nie zdać testu
C~~>~T = C*~T =1
Prawa Tygryska mówiące o związkach czasowych w operatorach implikacyjnych poznamy w dalszej części.


5.3 Implikacja prosta |=>

Zacznijmy od zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>:
Kod:

Definicja warunku
wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   5

Definicja zero-jedynkowa i symboliczna implikacji prostej p|=>q:
Kod:

Zero-jedynkowa i symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
Definicja warunku  |Definicja symboliczna    |Co matematycznie
wystarczającego => |implikacji prostej p|=>q |oznacza
   p  q ~p ~q p=>q |                         |
A: 1  1  0  0  =1  | p=> q =1                |( p=1)=> ( q=1)=1
B: 1  0  0  1  =0  | p~~>~q=0                |( p=1)~~>(~q=1)=0
C: 0  0  1  1  =1  |~p~>~q =1                |(~p=1)~> (~q=1)=1
D: 0  1  1  0  =1  |~p~~>q =1                |(~p=1)~~>( q=1)=1
   1  2  3  4   5    a   b  c                   d        e    f

Dlaczego nagłówek kolumny ABCD5 nie jest symbolem implikacji prostej p|=>q?
Odpowiedź:
Wynika to z przejścia z tabeli symbolicznej operatora implikacji prostej p|=>q (obszar ABCDabc) do tabeli zero-jedynkowej ABCD12345.
Zakodować zero-jedynkowo tabelę symboliczną ABCDabc możemy wyłącznie względem konkretnej linii tej tabeli, przyjmując za punkt odniesienia dowolną z linii A,B,C lub D.
Fizycznie nie jesteśmy w stanie wygenerować jakiejkolwiek tabeli zero-jedynkowej przyjmując za punkt odniesienia kompletną tabelę ABCDabc, czyli definicję symboliczną operatora implikacji prostej p|=>q


5.3.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej implikacji prostej p|=>q

Zacznijmy od zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>:
Kod:

Definicja warunku
wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   5

Zapiszmy wszystkie możliwe równania cząstkowe dla zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>.
Kod:

Definicja          |Równania   |Równania           |Co matematycznie
zero-jedynkowa     |cząstkowe  |cząstkowe p|=>q    |oznacza
p|=>q              |p|=>q      |w ~~>              |
   p  q ~p ~q p=>q |           |                   |
A: 1  1  0  0  =1  | p* q =1   | p~~> q= p* q =1   |( p=1)~~>( q=1) =1
B: 1  0  0  1  =0  | p*~q =0   | p~~>~q= p*~q =0   |( p=1)~~>(~q=1) =0
C: 0  0  1  1  =1  |~p*~q =1   |~p~~>~q=~p*~q =1   |(~p=1)~~>(~q=1) =1
D: 0  1  1  0  =1  |~p* q =1   |~p~~> q=~p* q =1   |(~p=1)~~>( q=1) =1
   1  2  3  4   5    a  b  c     d    e  f  g  h      i        j     k

Zapiszmy wyłącznie symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

Definicja p|=>q
w kwantyfikatorze małym ~~>
A: p~~> q= p* q =1
B: p~~>~q= p*~q =0
C:~p~~>~q=~p*~q =1
D:~p~~> q=~p* q =1


Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość linii B:
B: p~~>~q= p*~q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C:~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego C:
C: ~p~>~q =1
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D: ~p~~>q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q =0
Fałszywość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =0 wymusza na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku koniecznego A: p~>q =0

Nanieśmy nasze rozważania na tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa i symboliczna implikacji prostej p|=>q
Definicja          |Definicja        |Co matematycznie  |Definicja
zero-jedynkowa     |symboliczna      |oznacza           |niezgodna
implikacji p|=>q   |implikacji p|=>q |                  |z definicją
                   |                 |                  |zero-jedynkową
   p  q ~p ~q  p=>q|                 |                  |
A: 1  1  0  0  =1  | p=> q =1        |( p=1)=> ( q=1)=1 |  p~> q =0
B: 1  0  0  1  =0  | p~~>~q=0        |( p=1)~~>(~q=1)=0 |  p~~>~q=0
C: 0  0  1  1  =1  |~p~>~q =1        |(~p=1)~> (~q=1)=1 | ~p=>~q =0
D: 0  1  1  0  =1  |~p~~>q =1        |(~p=1)~~>( q=1)=1 | ~p~~>q =1
   1  2  3  4   5    a   b  c           d        e    f    g   h  i

Na mocy powyższej tabeli zapisujemy.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1


5.3.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej implikacji prostej p|=>q

Rozważmy teraz problem odwrotny.
Niech będzie dana definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q:
Kod:

Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q
Definicja        |Co matematycznie
symboliczna      |oznacza
implikacji p|=>q |
A: p=> q =1      |( p=1)=> ( q=1)=1
B: p~~>~q=0      |( p=1)~~>(~q=1)=0
C:~p~>~q =1      |(~p=1)~> (~q=1)=1
D:~p~~>q =1      |(~p=1)~~>( q=1)=1
   a   b  c         d        e    f

Definicja implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie a nie jakakolwiek, dowolnie wybrana linia.
W definicji symbolicznej implikacji prostej p|=>q zmienne wejściowe p i q sprowadzone są do stanu neutralnego, czyli do logicznych jedynek.
W tabeli symbolicznej nie ma ustalonego żadnego punktu odniesienia dlatego nie możemy nad kolumnami wynikowymi c i f zapisać jakiegokolwiek, konkretnego znaku np. => czy ~>.
Definicję symboliczną ABCDabc możemy zakodować zero-jedynkowo względem dowolnej z linii A,B,C lub D.
Zakodujmy tą definicję względem linii A i C, oczywiście korzystając z praw Prosiaczka - bez nich niemożliwe jest jakiekolwiek kodowanie zero-jedynkowe.
Kod:

Definicja symboliczna i zero-jedynkowa implikacji prostej p|=>q
Definicja        |Co matematycznie  |
symboliczna      |oznacza           |
implikacji p|=>q |                  | p  q ~p ~q  p=>q ~p~>~q
A: p=> q =1      |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1  1  0  0   =1    =1
B: p~~>~q=0      |( p=1)~~>(~q=1)=0 | 1  0  0  1   =0    =0
C:~p~>~q =1      |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 0  0  1  1   =1    =1
D:~p~~>q =1      |(~p=1)~~>( q=1)=1 | 0  1  1  0   =1    =1
   a   b  c         d        e    f   1  2  3  4    5     6

1.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię Aabc:
A: p=>q =1
Obszar wejściowy ABCDab kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Efekt tego kodowania widać w obszarze zero-jedynkowym ABCD12.
Tabela zero-jedynkowa ABCD125 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q co zostało zapisane nad kolumną 5.
2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię Cabc:
C: ~p~>~q =1
Obszar wejściowy ABCDab kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Efekt tego kodowania widać w obszarze zero-jedynkowym ABCD34.
Tabela zero-jedynkowa ABCD346 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~p~>~q co zostało zapisane nad kolumną 6.

Tożsamość kolumn 5=6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q


5.3.3 Operator implikacji prostej p|=>q w zbiorach

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]


Kod:

Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p~>~q =[~p*~q=~q]=1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=1 - bo zbiór ~p ma część wspólną ze zbiorem q


Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczb będzie w zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
Obliczenia zaprzeczeń zbiorów:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] i nie jest tożsamy ze zbiorem P2
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2]
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B.
Sprawdzenie.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Definicja kwantyfikatora małego nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem ~P2=[1,3,5,7..]
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
lub
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]

Wniosek:
Zdania A,B,C i D wchodzą w skład definicji implikacji prostej p|=>q

Podsumowanie:
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2.
Jeśli natomiast ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”. Wylosowana liczba może być niepodzielna przez 2 (prawdziwe zdanie C i fałszywe D) lub wylosowana liczba może być podzielna przez 2 (prawdziwe zdanie D i fałszywe C).


5.4 Implikacja odwrotna p|~>q

Zacznijmy od zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>:
Kod:

Definicja warunku
koniecznego ~>:
   p  q  p~~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0
   1  2   5

Definicja zero-jedynkowa i symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

Zero-jedynkowa i symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Definicja warunku  |Definicja symboliczna      |Co matematycznie
koniecznego ~>     |implikacji odwrotnej p|~>q |oznacza
   p  q ~p ~q p~>q |                           |
A: 1  1  0  0  =1  | p~> q =1                  |( p=1)~> ( q=1)=1
B: 1  0  0  1  =1  | p~~>~q=1                  |( p=1)~~>(~q=1)=1
C: 0  0  1  1  =1  |~p=>~q =1                  |(~p=1)=> (~q=1)=1
D: 0  1  1  0  =0  |~p~~>q =0                  |(~p=1)~~>( q=1)=0
   1  2  3  4   5    a   b  c                     d        e    f

Dlaczego nagłówek kolumny ABCD5 nie jest symbolem implikacji odwrotnej p|~>q?
Odpowiedź:
Wynika to z przejścia z tabeli symbolicznej operatora implikacji odwrotnej p|~>q (obszar ABCDabc) do tabeli zero-jedynkowej ABCD12345.
Zakodować zero-jedynkowo tabelę symboliczną ABCDabc możemy wyłącznie względem konkretnej linii tej tabeli, przyjmując za punkt odniesienia dowolną z linii A,B,C lub D.
Fizycznie nie jesteśmy w stanie wygenerować jakiejkolwiek tabeli zero-jedynkowej przyjmując za punkt odniesienia kompletną tabelę ABCDabc, czyli definicję symboliczną operatora implikacji odwrotnej p|~>q


5.4.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej implikacji odwrotnej p|~>q

Zacznijmy od zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>:
Kod:

Definicja warunku
koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0
   1  2   5

Zapiszmy wszystkie możliwe równania cząstkowe dla zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>.
Kod:

Definicja          |Równania   |Równania           |Co matematycznie
zero-jedynkowa     |cząstkowe  |cząstkowe p|~>q    |oznacza
p|~>q              |p|~>q      |w ~~>              |
   p  q ~p ~q p~>q |           |                   |
A: 1  1  0  0  =1  | p* q =1   | p~~> q= p* q =1   |( p=1)~~>( q=1) =1
B: 1  0  0  1  =1  | p*~q =1   | p~~>~q= p*~q =1   |( p=1)~~>(~q=1) =1
C: 0  0  1  1  =1  |~p*~q =1   |~p~~>~q=~p*~q =1   |(~p=1)~~>(~q=1) =1
D: 0  1  1  0  =0  |~p* q =0   |~p~~> q=~p* q =0   |(~p=1)~~>( q=1) =0
   1  2  3  4   5    a  b  c     d    e  f  g  h      i        j     k

Zapiszmy wyłącznie symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q w kwantyfikatorze małym ~~>:
Definicja p|~>q
w kwantyfikatorze małym ~~>
A: p~~> q= p* q =1
B: p~~>~q= p*~q =1
C:~p~~>~q=~p*~q =1
D:~p~~> q=~p* q =0
[/code]

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość linii D:
D: ~p~~>q= ~p*q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => c:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego A:
A: p~>q =1
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q =0
Fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 wymusza na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku koniecznego C: ~p~>~q =0

Nanieśmy nasze rozważania na tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa i symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja          |Definicja        |Co matematycznie  |Definicja
zero-jedynkowa     |symboliczna      |oznacza           |niezgodna
implikacji p|~>q   |implikacji p|~>q |                  |z definicją
                   |                 |                  |zero-jedynkową
   p  q ~p ~q  p~>q|                 |                  |
A: 1  1  0  0  =1  | p~> q =1        |( p=1)~> ( q=1)=1 |  p=> q =0
B: 1  0  0  1  =1  | p~~>~q=1        |( p=1)~~>(~q=1)=1 |  p~~>~q=0
C: 0  0  1  1  =1  |~p=>~q =1        |(~p=1)=> (~q=1)=1 | ~p~>~q =0
D: 0  1  1  0  =0  |~p~~>q =0        |(~p=1)~~>( q=1)=0 | ~p~~>q =1
   1  2  3  4   5    a   b  c           d        e    f    g   h  i

Na mocy powyższej tabeli zapisujemy.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1


5.4.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej implikacji odwrotnej p|~>q

Rozważmy teraz problem odwrotny.
Niech będzie dana definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja        |Co matematycznie
symboliczna      |oznacza
implikacji p|~>q |
A: p~> q =1      |( p=1)~> ( q=1)=1
B: p~~>~q=1      |( p=1)~~>(~q=1)=1
C:~p=>~q =1      |(~p=1)=> (~q=1)=1
D:~p~~>q =0      |(~p=1)~~>( q=1)=0
   a   b  c         d        e    f

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie a nie jakakolwiek, dowolnie wybrana linia.
W definicji symbolicznej implikacji odwrotnej p|~>q zmienne wejściowe p i q sprowadzone są do stanu neutralnego, czyli do logicznych jedynek.
W tabeli symbolicznej nie ma ustalonego żadnego punktu odniesienia dlatego nie możemy nad kolumnami wynikowymi c i f zapisać jakiegokolwiek, konkretnego znaku np. => czy ~>.
Definicję symboliczną ABCDabc możemy zakodować zero-jedynkowo względem dowolnej z linii A,B,C lub D.
Zakodujmy tą definicję względem linii A i C, oczywiście korzystając z praw Prosiaczka - bez nich niemożliwe jest jakiekolwiek kodowanie zero-jedynkowe.
Kod:

Definicja symboliczna i zero-jedynkowa implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja        |Co matematycznie  |
symboliczna      |oznacza           |
implikacji p|~>q |                  | p  q ~p ~q  p~>q ~p=>~q
A: p~> q =1      |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1  1  0  0   =1    =1
B: p~~>~q=1      |( p=1)~~>(~q=1)=1 | 1  0  0  1   =1    =1
C:~p=>~q =1      |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 0  0  1  1   =1    =1
D:~p~~>q =0      |(~p=1)~~>( q=1)=0 | 0  1  1  0   =0    =0
   a   b  c         d        e    f   1  2  3  4    5     6

1.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię Aabc:
A: p~>q =1
Obszar wejściowy ABCDab kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Efekt tego kodowania widać w obszarze zero-jedynkowym ABCD12.
Tabela zero-jedynkowa ABCD125 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego p~>q co zostało zapisane nad kolumną 5.
2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię Cabc:
C: ~p=>~q =1
Obszar wejściowy ABCDab kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Efekt tego kodowania widać w obszarze zero-jedynkowym ABCD34.
Tabela zero-jedynkowa ABCD346 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego ~p=>~q co zostało zapisane nad kolumną 6.

Tożsamość kolumn 5=6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q


5.4.3 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]


Kod:

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q
A: p~> q =[ p* q= q]=1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=1 - bo zbiór p ma część wspólną ze zbiorem ~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~q]=1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q


Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2=[2,4,6,8..] i znika mi zbiór P8=[8,16,24..]
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla utworzenia zbioru P8.
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
Obliczenia zaprzeczeń zbiorów:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Zauważmy że:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..] i nie jest tożsamy ze zbiorem P8
Wniosek:
Warunek konieczny ~> A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8):
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8]
lub
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 2
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
A: P2~>P8 = C: ~P2=>~P8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,8..9..]
Zauważmy że:
Zbiór ~P2 jest podzbiorem => zbioru ~P8 i nie jest tożsamy ze zbiorem ~P8
Wniosek:
Warunek wystarczający => C wchodzi w skład definicji implikacji prostej ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8)
~P2|=>~P8 = (~P2=>~P8)*~[~P2=~P8]
Prawdziwość warunku wystarczającego => c wymusza fałszywość kontrprzykładu D
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]

Podsumowanie:
1.
Zdania A,B,C i D wchodzą w skład definicji implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8 w logice dodatniej bo P8
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8]
2.
Dokładnie te same zdania A,B,C i D z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka wchodzą w skład operatora implikacji prostej ~P2|=>~P8 w logice dodatniej (bo ~P8)
~P2|=>~P8 = (~P2=>~P8)*~[~P2=~P8]
3.
Wniosek:
Prawo Kubusia mówiące o związku warunku koniecznego ~> z warunkiem wystarczającym =>:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Także na poziomie operatora implikacji zachodzi:
P2|~>P8 = ~P2|=>~P8
4.
Doskonale widać, że zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”. Wylosowana liczba może być podzielna przez 8 (prawdziwe zdanie A i fałszywe B) lub wylosowana liczba może nie być podzielna przez 2 (prawdziwe zdanie B i fałszywe A).
Jeśli natomiast ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbą niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8.


5.5 Równoważność p<=>q

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
Kod:

Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 1 i tabela 2 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (p~>q)

Podstawiając zachodzące tożsamości w T1 i T2 mamy 16 tożsamych definicji równoważności w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
p<=>q = T1: (p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p) * T2: (p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p)

Najważniejsze definicji równoważności to:
1.
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony (święta krowa matematyków):
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (q=>p) = 1*1 =1
2.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (p~>q) = 1*1 =1
3.
Definicja aksjomatyczna, wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (~p=>~q)

Podstawmy pod 3 twierdzenie Pitagorasa:
TP<=>SK = T1: (TP=>SK)* T2: (~TP=>~SK) =1*1 =1

Wnioski:
I.
Zbiór wszystkich trójkątów prostokątnych przyporządkowany jest twierdzeniu prostemu Pitagorasa:
T1: TP=>SK =1
Zbiór wszystkich trójkątów nieprostokątnych przyporządkowany jest twierdzeniu odwrotnemu Pitagorasa:
T2: ~TP=>~SK =1
Tylko i wyłącznie dlatego mamy w równoważności Pitagorasa dwie wynikowe jedynki:
TP<=>SK = T1: (TP=>SK)* T2: (~TP=>~SK) =1*1 =1

II.
Z punktu I wynika, iż nie jest prawdą że twierdzenie proste Pitagorasa:
TP=>SK =1
jest prawdziwe dla wszystkich trójkątów, zarówno prostokątnych, jak i nieprostokątnych.
… a dokładnie tak sądzą ziemianie!
Podsumowując:
Logika ziemian leży i kwiczy.
cnd

III.
Prawdziwa dla wszystkich trójkątów jest równoważność Pitagorasa:
TP<=>SK = T1: (TP=>SK)* T2: (~TP=>~SK) =1*1 =1
ale to jest zupełnie co innego niż twierdzenie proste Pitagorasa:
T1: TP=>SK =1

IV.
Potwierdzenie punktu III mamy przechodząc do spójników „lub”(+) i „i”(*).
Definicja:
p=>q = ~p+q
stąd:
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (~p=>~q)
p<=>q = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + p*q + q*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q
TP<=>SK = T1: TP*SK + T2: ~TP*~SK
Losujemy TP:
TP*(T1: TP*SK + T2: ~TP*~SK)
T1: TP*TP*SK + T2: TP*~TP*~SK = T1: TP*SK
Twierdzenie proste Pitagorasa jest prawdziwe dla trójkątów prostokątnych T1: TP*SK i fałszywe dla trójkątów nieprostokątnych T2: TP*~TP*~SK =0
Losujemy ~TP:
~TP*(T1: TP*SK + T2: ~TP*~SK)
T1: ~TP*TP*SK + T2: ~TP*~TP*~SK = T2: ~TP*~SK
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa jest prawdziwe dla trójkątów nieprostokątnych T2: ~TP*~SK =1 i fałszywe dla trójkątów prostokątnych T1: ~TP*TP*SK =0


5.5.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej równoważności <=>

Podstawowa definicja zero-jedynkowa równoważności:
Kod:

   p  q  p<=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1

Zapiszmy wszystkie możliwe równania cząstkowe alternatywno-koniunkcyjne dla zero-jedynkowej definicji równoważności.
Kod:

Definicja           |Równania    |Równania           |Co matematycznie
zero-jedynkowa      |cząstkowe   |cząstkowe p<=>q    |oznacza
                    |p<=>q w „i" |w ~~>              |
   p  q ~p ~q p<=>q |            |                   |
A: 1  1  0  0  =1   | p* q =1    | p~~> q= p* q =1   |( p=1)~~>( q=1) =1
B: 1  0  0  1  =0   | p*~q =0    | p~~>~q= p*~q =0   |( p=1)~~>(~q=1) =0
C: 0  0  1  1  =1   |~p*~q =1    |~p~~>~q=~p*~q =1   |(~p=1)~~>(~q=1) =1
D: 0  1  1  0  =0   |~p* q =0    |~p~~> q=~p* q =0   |(~p=1)~~>( q=1) =0
   1  2  3  4   5     a  b  c      d    e  f  g  h      i        j     k

Zapiszmy wyłącznie symboliczną definicję równoważności w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

Definicja równoważności p<=>q
w kwantyfikatorze małym ~~>
A: p~~> q= p* q =1
B: p~~>~q= p*~q =0
C:~p~~>~q=~p*~q =1
D:~p~~> q=~p* q =0

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że:
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość linii B:
B: p~~>~q= p*~q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A:
A: p=>q =1
Podobnie:
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość linii D:
D: ~p~~> q = ~p*q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C:
C: ~p=>~q =1

I Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Z I prawa Kubusia wynika, że prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C

II Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Z II prawa Kubusia wynika, że prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A

Stąd mamy końcową, symboliczną definicję równoważności:
Kod:

Symboliczna definicja równoważności <=>
Definicja równoważności |Definicja równoważności  |Definicja równoważności
w kwantyfikatorze małym |warunki wystarczające => |warunki konieczne ~>
A: p~~> q= p* q =1      | p=> q =1                | p~> q =1   
B: p~~>~q= p*~q =0      | p~~>~q=0                | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=~p*~q =1      |~p=>~q =1                |~p~>~q =1
D:~p~~> q=~p* q =0      |~p~~> q=0                |~p~~>q =0

Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Podsumowując:
1.
Warunek wystarczający A: p=>q (w logice dodatniej bo q) to tylko i wyłącznie linia A w zero-jedynkowej definicji równoważności
2.
Warunek wystarczający C: ~p=>~q (w logice ujemnej bo ~q) to tylko i wyłącznie linia C w zero-jedynkowej definicji równoważności.


5.5.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej równoważności <=>

Rozważmy teraz problem odwrotny.
Niech będzie dana definicja symboliczna równoważności p<=>q:
Kod:

Symboliczna definicja równoważności <=>
Definicja równoważności p<=>q |Definicja równoważności
w kwantyfikatorze małym ~~>   |w warunkach wystarczających =>
A: p~~> q =1                  | p=> q  =1
B: p~~>~q =0                  | p~~>~q =0
C:~p~~>~q =1                  |~p=>~q  =1
D:~p~~> q =0                  |~p~~> q =0
   a    b  c                    d   e   f

Definicja równoważności p<=>q to wszystkie cztery linie a nie jakakolwiek, dowolnie wybrana linia.
W definicji symbolicznej równoważności p<=>q zmienne wejściowe p i q sprowadzone są do stanu neutralnego, czyli do logicznych jedynek.
W tabeli symbolicznej nie ma ustalonego żadnego punktu odniesienia dlatego nie możemy nad kolumnami wynikowymi c i f zapisać jakiegokolwiek, konkretnego znaku np. => czy ~>.
Definicję symboliczną ABCDabc możemy zakodować zero-jedynkowo względem dowolnej z linii A,B,C lub D.
Zakodujmy tą definicję względem linii A i C, oczywiście korzystając z praw Prosiaczka - bez nich niemożliwe jest jakiekolwiek kodowanie zero-jedynkowe.
Kod:

Definicja symboliczna i zero-jedynkowa równoważności p<=>q
Definicja           |Co matematycznie  |
symboliczna         |oznacza           |
równoważności p<=>q |                  | p  q ~p ~q  p<=>q ~p<=>~q
A: p=> q =1         |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1  1  0  0   =1     =1
B: p~~>~q=0         |( p=1)~~>(~q=1)=0 | 1  0  0  1   =0     =0
C:~p=>~q =1         |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 0  0  1  1   =1     =1
D:~p~~>q =0         |(~p=1)~~>( q=1)=0 | 0  1  1  0   =0     =0
   a   b  c            d        e    f   1  2  3  4    5      6

1.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię Aabc:
A: p=>q =1
Obszar wejściowy ABCDab kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Efekt tego kodowania widać w obszarze zero-jedynkowym ABCD12.
Tabela zero-jedynkowa ABCD125 to zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) co zostało zapisane nad kolumną 5.
2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię Cabc:
C: ~p=>~q =1
Obszar wejściowy ABCDab kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Efekt tego kodowania widać w obszarze zero-jedynkowym ABCD34.
Tabela zero-jedynkowa ABCD346 to zero-jedynkowa definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) co zostało zapisane nad kolumną 6.

Tożsamość kolumn 5=6 jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q


5.5.3 Operator równoważności p<=>q w zbiorach

Definicja operatora równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*[p=q]


Kod:

Definicja symboliczna równoważności p<=>q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~p]=1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q


Twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% zachodzi suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem SK.
Bycie trójkątem prostokątnym daje nam gwarancję matematyczną => iż w tym trójkącie zachodzi suma kwadratów.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =[] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż w tym trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne


5.6 Operator chaosu |~~>

Zacznijmy od zero-jedynkowej definicji kwantyfikatora małego ~~>:
Kod:

Definicja kwantyfikatora
małego ~~>:
   p  q  p~~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   5

Definicja zero-jedynkowa i symboliczna operatora chaosu p|~~>q:
Kod:

Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora chaosu |~~>
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna     |Co matematycznie
operatora chaosu p|~~>q  |operatora chaosu p|~~>q   |oznacza
   p  q ~p ~q p~~>q      |                          |
A: 1  1  0  0  =1        | p~~> q =1                |( p=1)~~>( q=1)=1
B: 1  0  0  1  =1        | p~~>~q =1                |( p=1)~~>(~q=1)=1
C: 0  0  1  1  =1        |~p~~>~q =1                |(~p=1)~~>(~q=1)=1
D: 0  1  1  0  =1        |~p~~> q =1                |(~p=1)~~>( q=1)=1
   1  2  3  4   5          a    b  c                   d        e    f

Dlaczego nagłówek kolumny ABCD5 nie jest symbolem operatora chaosu |~~>?
Odpowiedź:
Wynika to z przejścia z tabeli symbolicznej operatora chaosu (obszar ABCDabc) do tabeli zero-jedynkowej ABCD12345.
Zakodować zero-jedynkowo tabelę symboliczną ABCDabc możemy wyłącznie względem konkretnej linii tej tabeli, przyjmując za punkt odniesienia dowolną z linii A,B,C lub D.
Fizycznie nie jesteśmy w stanie wygenerować jakiejkolwiek tabeli zero-jedynkowej przyjmując za punkt odniesienia kompletną tabelę ABCDabc, czyli definicję symboliczną operatora chaosu p|~~>q


5.6.1 Od definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej operatora chaosu |~~>

Zacznijmy od zero-jedynkowej definicji kwantyfikatora małego ~~>:
Kod:

Definicja kwantyfikatora
małego ~~>:
   p  q  p~~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   5

Zapiszmy wszystkie możliwe równania cząstkowe dla zero-jedynkowej definicji kwantyfikatora małego ~~>
Kod:

Definicja          |Równania   |Równania           |Co matematycznie
zero-jedynkowa     |cząstkowe  |cząstkowe p|~~>q   |oznacza
p|~~>q             |p|~~>q     |w ~~>              |
   p  q ~p ~q p~~>q|           |                   |
A: 1  1  0  0  =1  | p* q =1   | p~~> q= p* q =1   |( p=1)~~>( q=1) =1
B: 1  0  0  1  =1  | p*~q =1   | p~~>~q= p*~q =1   |( p=1)~~>(~q=1) =1
C: 0  0  1  1  =1  |~p*~q =1   |~p~~>~q=~p*~q =1   |(~p=1)~~>(~q=1) =1
D: 0  1  1  0  =1  |~p* q =1   |~p~~> q=~p* q =1   |(~p=1)~~>( q=1) =1
   1  2  3  4   5    a  b  c     d    e  f  g  h      i        j     k

Zapiszmy wyłącznie symboliczną definicję operatora chaosu |~~> w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

Definicja operatora chaosu p|~~>q
w kwantyfikatorze małym ~~>
A: p~~> q= p* q =1
B: p~~>~q= p*~q =1
C:~p~~>~q=~p*~q =1
D:~p~~> q=~p* q =1



5.6.2 Od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej operatora chaosu |~~>

Rozważmy teraz problem odwrotny.
Niech będzie dana definicja symboliczna operatora chaosu |~~>
Kod:

Definicja symboliczna operatora chaosu p|~~>q
Definicja        |Co matematycznie
symboliczna      |oznacza
p|~~>q           |
A: p~~>q =1      |( p=1)~~>( q=1)=1
B: p~~>~q=1      |( p=1)~~>(~q=1)=1
C:~p~~>~q=1      |(~p=1)~~>(~q=1)=1
D:~p~~>q =1      |(~p=1)~~>( q=1)=1
   a   b  c         d        e    f

Definicja operatora chaosu |~~> to wszystkie cztery linie a nie jakakolwiek, dowolnie wybrana linia.
W definicji symbolicznej operatora chaosu |~~> zmienne wejściowe p i q sprowadzone są do stanu neutralnego, czyli do logicznych jedynek.
Definicję symboliczną ABCDabc możemy zakodować zero-jedynkowo względem dowolnej z linii A,B,C lub D.
Doskonale widać, że obojętnie którą linię przyjmiemy za punkt odniesienia to nie będzie to miało wpływu na tabelę zero-jedynkową operatora chaosu p|~~>q gdzie w wyniku mamy same jedynki.
Zakodujmy tą definicję względem linii A i C, oczywiście korzystając z praw Prosiaczka - bez nich niemożliwe jest jakiekolwiek kodowanie zero-jedynkowe.
Kod:

Definicja symboliczna i zero-jedynkowa operatora chaosu |~~>
Definicja        |Co matematycznie  |
symboliczna      |oznacza           |
p|~~>q           |                  | p  q ~p ~q  p~~>q ~p~~>~q
A: p~~>q =1      |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1  1  0  0   =1     =1
B: p~~>~q=1      |( p=1)~~>(~q=1)=1 | 1  0  0  1   =1     =1
C:~p~~>~q=1      |(~p=1)~~>(~q=1)=1 | 0  0  1  1   =1     =1
D:~p~~>q =1      |(~p=1)~~>( q=1)=1 | 0  1  1  0   =1     =1
   a   b  c         d        e    f   1  2  3  4    5      6

1.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię Aabc:
A: p~~>q =1
Obszar wejściowy ABCDab kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Efekt tego kodowania widać w obszarze zero-jedynkowym ABCD12.
Tabela zero-jedynkowa ABCD125 to zero-jedynkowa definicja kwantyfikatora małego ~~> co zostało zapisane nad kolumną 5.
2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię Cabc:
C: ~p~~>~q =1
Obszar wejściowy ABCDab kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Efekt tego kodowania widać w obszarze zero-jedynkowym ABCD34.
Tabela zero-jedynkowa ABCD346 to zero-jedynkowa definicja kwantyfikatora małego ~p~~>~q co zostało zapisane nad kolumną 6.

Tożsamość kolumn 5=6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
A: p~~>q = C: ~p~~>~q
Łatwo zauważyć że w operatorze chaosu p|~~>q zachodzi:
A: p~~>q = B: p~~>~q = C: ~p~~>~q = D: ~p~~>q


5.6.3 Operator chaosu |~~> w zbiorach



Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p~~>q = p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12,15..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Obliczenia przeczeń zbiorów:
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[1,2..4,5..7,8..]
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 21873
Przeczytał: 38 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 10:04, 04 Maj 2017    Temat postu:

Spis treści
6.0 Obietnice i groźby 1
6.1 Obietnica 1
6.1.1 Obietnica w równaniach logicznych 10
6.1.2 Obietnica w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 13
6.2 Groźba 18
6.2.1 Groźba w równaniach logicznych 24
6.2.2 Groźba w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 25



6.0 Obietnice i groźby

Definicja obietnicy:
Obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q na mocy definicji, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
p|=>q =(p=>q)*~(p~>q)
A.
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Warunek wystarczający => A wchodzi w skład definicji implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby:
Groźba to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q na mocy definicji, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
A.
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Warunek konieczny ~> A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej W|~>K


6.1 Obietnica

Zacznijmy od przypomnienia sobie teorii ogólnej.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
2.
Warunek konieczny ~>:

p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)

Uwaga:
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.
Kod:

Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego =>:
   p  q p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1

Kod:

Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego ~>:
   p  q p~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
Kod:

Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 1 i tabela 2 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Stąd mamy zdecydowanie najważniejsze prawa logiki matematycznej mówiące o matematycznym związku warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

I Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza fałszywość drugiej strony

II Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza fałszywość drugiej strony

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
Równanie ogólne warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 1 i tabela 2 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Definicja obietnicy:
Obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q na mocy definicji, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
p|=>q =(p=>q)*~(p~>q)
A.
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Warunek wystarczający => A wchodzi w skład definicji implikacji prostej W|=>N

Symboliczna definicja obietnicy:
Kod:

Symboliczna definicja
implikacji prostej p|=>q
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1

Implikacja prosta p|=> q to wszystkie cztery zdania A,B,C i D a nie jakiekolwiek jedno, dowolnie wybrane. Warunek wystarczający A: p=>q to tylko i wyłącznie pierwsza linia w symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q.
Dlaczego jest tak a nie inaczej?
Bo kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej możemy wykonać względem dowolnej linii definicji symbolicznej. Fizycznie niemożliwe jest zakodowanie symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q względem wszystkich czterech linii.
Zakodujmy powyższą definicję względem dwóch punktów odniesienia A i C:
A.
p=>q =1
Prawo Kubusia:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
C.
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Kod:

Kodowanie zero-jedynkowe symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q
Symboliczna definicja |Kodowanie zero-jedynkowe |Co matematycznie oznacza
implikacji prostej    |definicji symbolicznej   |
p|=>q                 | p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q |
A: p=> q =1           | 1  1   =1   0  0   =1   |( p=1)=> ( q=1) =1
B: p~~>~q=0           | 1  0   =0   0  1   =0   |( p=1)~~>(~q=1) =0
C:~p~>~q =1           | 0  0   =1   1  1   =1   |(~p=1)~> (~q=1) =1
D:~p~~>q =1           | 0  1   =1   1  0   =1   |(~p=1)~~>( q=1) =1
   a   b  c             1  2    3   4  5    6      d        e     f

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwagi:
1.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 to wyłącznie warunek wystarczający A: p=>q w tabeli symbolicznej implikacji prostej ABCDabc. Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 wskazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
2.
Nagłówek kolumny wynikowej 6 to wyłącznie warunek konieczny C: ~p~>~q w tabeli symbolicznej implikacji prostej ABCDabc. Nagłówek w kolumnie wynikowej 6 wskazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-25.html#69143
wykładowca logiki volrath napisał:
Przekształcając zdanie "jeśli zdam test to dostanę cukierka" na "jeśli nie dostanę cukierka to nie zdam testu" nie uwzględniamy charakteru przyczynowo-skutkowego.
Bliższe prawidłowemu przekształcenie to na "jeśli nie dostanę cukierka, to znaczy, że nie zdałem testu" (a dokładniej: już teraz mogę wywnioskować, że jeśli nie dostanę cukierka po teście, to będzie znaczyło, że go nie zdałem). Po prostu przekształcone zdania muszą zachowywać relację przyczynowo-skutkową, która w języku mówionym nie jest wyrażona dosłownie, ale zakamuflowana w słowie "jeśli" (podczas gdy logiczne "jeśli" i przekształcenia tego operatora tej relacji czasami nie uwzględniają).

Za to wytłuszczone zdanie brawo, witamy w algebrze Kubusia, logice matematycznej doskonale znanej wszystkim 5-cio latkom.
Jest oczywistym, że dowolna obietnica ma sens wyłącznie w czasie przyszłym.
Kod:

Symboliczna definicja
implikacji prostej p|=>q
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1

I.
Czas przyszły:

A.
Jeśli zdasz test to na 100% dostaniesz cukierka
T=>C =1
p=>q =1
Zdanie testu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania cukierka z powodu zdanego testu
Zdanie testu daje nam gwarancje matematyczną => dostania cukierka z powodu zdanego testu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania cukierka z dowolnego innego powodu. Dostanie cukierka z innego powodu nie będzie miało nic wspólnego z obietnicą A: T=>C, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A: T=>C.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% etc
A.
Jeśli zdasz test to możesz ~~> nie dostać cukierka
T~~>~C = T*~C =0
p~~>~q =0
Tu ojciec jest kłamcą!
… a jeśli nie zdam testu?
Prawo Kubusia:
A: T=>C = C: ~T~>~C
C.
Jeśli nie zdasz testu to na 100% nie dostaniesz cukierka
~T~>~C =1
~p~>~q =1
Nie zdanie testu jest warunkiem koniecznym ~> nie dostania cukierka.
Nie jest to jednocześnie warunek wystarczający => bo na mocy definicji implikacji prostej p|=>q zdanie D jest prawdziwe, czyli ojciec ma matematyczne prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: T=>C i kłamcą nie będzie.
Sposób wypowiedzenia zdania C nie ma tu znaczenia.
Zauważmy, że zdanie C to ewidentna groźba, zatem im ostrzej wypowiedziana tym teoretycznie skuteczniejsza będzie - stąd w zdaniu C mamy „na 100%”
Można wypowiedzieć groźbę „lichą”:
C1.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~> nie dostać cukierka
~T~>~C =1
W praktyce jednak nikt tu nie używa spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę.
lub
D.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~~> dostać cukierka
~T~~>C = ~T*C =1
~p~~>q =1
Zdanie D to akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: T=>C.
Zauważmy, ze akt miłości jest tożsamy z aktem łaski, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy groźbę C: ~T~>~C.
Ojciec może wręczyć nagrodę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym, czyli różnym od poprzednika.
Po nie zdanym teście może powiedzieć:
D1.
Synku, nie zdałeś testu, dostajesz cukierka bo cię kocham
lub
D2.
Synku, nie zdałeś testu, dostajesz cukierka bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha
etc
Ojciec będzie kłamcą jeśli powie słowo w słowo:
D3.
Synku, nie zdałeś testu dostajesz cukierka bo nie zdałeś testu
W zdaniu D3 mamy do czynienia z uzasadnieniem zależnym, gdzie uzasadnienie jest identyczne jak poprzednik (powód wręczenia nagrody). W tym przypadku ojciec jest mimo wszystko kłamcą, matematyczny dowód iż tak jest w kolejnym punkcie.

Zobaczmy jak zachowuje się symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q po zamianie argumentów na przykładzie naszej obietnicy.
Kod:

                    Teraźniejszość
                         ^
I.                       | II.
Nieznana przyszłość      | Nieznana przeszłość
Definicja symboliczna    | Definicja symboliczna
implikacji prostej       | implikacji odwrotnej
p|=>q czas przyszły      | q|~>p czas przeszły
A: p=> q       =1        | A: q~> p =1
A: T=> C       =1        | A: C~> T =1
B: p~~>~q= p*~q=0        | B:~q~~>p =~q* p=0
B: T~~>~C= T*~C=0        | B:~C~~>T =~C* T=0
.. a jak nie zdam testu? | .. a jak nie dostałem cukierka?
Prawo Kubusia:           | Prawo Kubusia:
T=>C = ~T~>~C            | q~>p = ~q=>~p
C:~p~>~q       =1        | C:~q=>~p       =1
C:~T~>~C       =1        | C:~C=>~T       =1
lub                      |
D:~p~~>q =~p* q=1        | D: q~~>~p= q*~p=1
D:~T~~>C =~T* C=1        | D: C~~>~T= C*~T=1
   a   b        c        |    d    e       f
----------------------------------------------------------> Czas

Implikacja prosta p|=>q to kompletna tabela ABCDabc, czyli seria zdań A,B,C i D.
Zdanie A: p=>q to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q.
Z powyższego wynika, że nie da się wypowiedzieć zdania warunkowego „Jeśli p to q” będącego implikacją prostą p|=>q, możemy co najwyżej wypowiedzieć zdanie warunkowe „Jeśli p to q” będące warunkiem wystarczającym p=>q wchodzącym w skład definicji implikacji prostej p|=>q.

Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami.
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Dokładnie ta sama seria zdań A,B,C i D w tabeli ABCDabc to również implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Zdanie C: ~p~>~q to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~p|~>~q
Z powyższego wynika, że nie da się wypowiedzieć zdania warunkowego „Jeśli p to q” będącego implikacją odwrotną ~p|~>~q , możemy co najwyżej wypowiedzieć zdanie warunkowe „Jeśli p to q” będące warunkiem koniecznym ~p~>~q wchodzącym w skład definicji implikacji odwrotnej ~p|~>~q.

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
~p|~>~q = (~p~>~q)*~(~p=>~q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q = ~p|~>~q
bo to jest dokładnie ta sama seria zdań z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Analiza symboliczna naszej obietnicy w czasie przeszłym wygląda zatem tak.
II.
Czas przeszły:

A.
Jeśli dostałeś cukierka to mogłeś ~> zdać test
C~>E =1
q~>p =1
lub
D.
Jeśli dostałeś cukierka to mogłeś ~~> nie zdać testu
C~~>~T = C*~T =1
q~~>~p =1
Tu ojciec zastosował akt miłości
C.
Jeśli nie dostałeś cukierka to na 100% nie zdałeś testu
~C=>~T =1
~q=>~p =1
B.
Jeśli nie dostałeś cukierka to mogłeś ~~> zdać test
~C~~>T = ~C*T =0
~q~~>p =0
Tu ojciec jest kłamcą!

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości

Różnica między nieznaną przyszłością a nieznaną przeszłością jest fundamentalna, co widać na powyższym przykładzie.
W opisie nieznanej przyszłości w zdaniach C i D (tabela ABCDabc) ojciec ma 100% wolnej woli, w przypadku nie zdania testu może dać dziecku cukierka lub nie dać i kłamcą nie będzie.
Załóżmy że po nie zdanym teście ojciec zastosował akt miłości i wręczył cukierka mówiąc:
D.
Nie zdałeś testu, dostajesz cukierka bo cię kocham
~T~~>C = ~T*C =1

W tym momencie klamka zapadła, co się stało to się nie odstanie - synek zjadł cukierka i wypluć go nie może.
Przeszłość, mimo że często nieznana, jest w 100% zdeterminowana. Ojciec nie może cofnąć czasu i nie dać dziecku cukierka bo ten nie zdał egzaminu. Podobnie morderca dopóki planuje morderstwo ma 100% wolnej woli, może swój zamysł wprowadzić w życie albo nie - jeśli jednak zamorduje to klamka zapadła, nie da się cofnąć czasu i ożywić nieboszczyka.

W naszym przykładzie tabela ABCDabc (nieznana przyszłośc) przeszła w tabelę ABCDdef (nieznana przeszłość)
Co wymusza matematyka ścisła?
Matematyka ścisła wymusza przejście z nieznanej przyszłości ABCDabc do nieznanej przeszłości ABCDdef.

Uwaga:
Matematyka ścisła nie wymusza równania ogólnego warunku koniecznego T2: p~>q w czasie przyszłym!

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
T1: p=>q - warunek wystarczający => w czasie przyszłym
T2: p~>q - warunek konieczny ~> w czasie przyszłym

Innymi słowy:
Matematyka wymusza prawdziwość lewej strony znaczka ## ale nie wymusza prawdziwości prawej strony znaczka ##.
Innymi słowy:
Nic nie zmusza 5-cio latka, a tym samym dowolnego człowieka do wypowiedzenia zdania Volratha w czasie przyszłym.

Zdanie Voltratha w czasie przyszłym:
A.
Jeśli nie dostaniesz cukierka to nie zdasz testu
~C=>~T =1
~q=>~p =1

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-25.html#69143
wykładowca logiki volrath napisał:
Przekształcając zdanie "jeśli zdam test to dostanę cukierka" na "jeśli nie dostanę cukierka to nie zdam testu" nie uwzględniamy charakteru przyczynowo-skutkowego.

To nie jest prawdą!
W czasie przeszłym uwzględniany jest charakter przyczynowo-skutkowy, czyli z zajścia q wynika p.
Z tabeli ABCDdef odczytujemy:
C.
Jeśli nie dostałeś cukierka to na 100% nie zdałeś testu
~C=>~T =1
~q=>~p =1
Innymi słowy:
Z faktu że nie dostałeś cukierka wnioskuję, iż nie zdałeś testu
cnd

Zauważmy, że zdania serii I nie zależą od czasu są identyczne dla przyszłości i przeszłości.
Stąd mamy tabelę prawdy dla warunku wystarczającego p=>q.
Kod:

                    Teraźniejszość
                         ^
I.                       | II.                     III.
Nieznana przyszłość      | Nieznana przeszłość   | Nieznana przeszłość
Definicja symboliczna    | Definicja symboliczna | Definicja symboliczna
implikacji prostej       | implikacji odwrotnej  | implikacji prostej
p|=>q czas przyszły      | q|~>p czas przeszły   | p|=>q czas przeszły
A: p=> q       =1        | A: q~> p =1           | A: p=> q       =1
A: T=> C       =1        | A: C~> T =1           | A: C~> T       =1
B: p~~>~q= p*~q=0        | B:~q~~>p =~q* p=0     | B: p~~>~q= p*~q=0
B: T~~>~C= T*~C=0        | B:~C~~>T =~C* T=0     | B:~C~~>T =~C* T=0
                         | .. a jak nie dostałem | .. a jak nie zdałem
.. a jak nie zdam testu? | cukierka?             | testu?
Prawo Kubusia:           | Prawo Kubusia:        | Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q      | q~>p = ~q=>~p         | A: p=>q = C: ~p~>~q
C:~p~>~q       =1        | C:~q=>~p       =1     | C:~p~>~q       =1
C:~T~>~C       =1        | C:~C=>~T       =1     | C:~T~>~C=      =1
lub                      |                       | lub
D:~p~~>q =~p* q=1        | D: q~~>~p= q*~p=1     | D:~p~~>q=~p* q =1
D:~T~~>C =~T* C=1        | D: C~~>~T= C*~T=1     | D:~T~~>C=~T* C =1
   a   b        c        |    d    e       f          g   h        i
---------------------------------------------------------------------> Czas

Matematycznie seria zdań III to seria zdań I wypowiedziana w czasie przeszłym.
III.
Nieznana przeszłość

A.
Jeśli zdałeś test to na 100% dostałeś cukierka
T=>C =1
p=>q =1
Zdanie testu dawało nam gwarancje matematyczną => dostania cukierka
A.
Jeśli zdałeś test to mogłeś ~~> nie dostać cukierka
T~~>~C = T*~C =0
p~~>~q =0
Tu ojciec jest kłamcą!
… a jeśli nie zdałeś testu?
Prawo Kubusia:
A: T=>C = C: ~T~>~C
C.
Jeśli nie zdałeś testu to mogłeś ~> nie dostać cukierka
~T~>~C =1
~p~>~q =1
lub
D.
Jeśli nie zdałeś testu to mogłeś ~~> dostać cukierka
~T~~>C = ~T*C =1
~p~~>q =1
Tu ojciec zastosował akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody

Na mocy powyższych rozważań możemy zapisać równanie ogólne warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Równanie ogólne warunków wystarczających => i koniecznych ~>
T1: Czas przyszły [=] Czas przeszły ## T2: Czas przyszły [=] Czas przeszły
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
T1: Czas przeszły [=] Czas przeszły ## T2: Czas przeszły [=] Czas przeszły
gdzie:
## - różne na mocy definicji



6.1.1 Obietnica w równaniach logicznych

Rozważmy jeszcze raz klasykę obietnicy.
I.
Czas przyszły:

A.
Jeśli zdasz test to na 100% dostaniesz cukierka
T=>C =1
p=>q =1
Zdanie testu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania cukierka z powodu zdanego testu
Zdanie testu daje nam gwarancje matematyczną => dostania cukierka z powodu zdanego testu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania cukierka z dowolnego innego powodu. Dostanie cukierka z innego powodu nie będzie miało nic wspólnego z obietnicą A: T=>C, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A: T=>C.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% etc
A.
Jeśli zdasz test to możesz ~~> nie dostać cukierka
T~~>~C = T*~C =0
p~~>~q =0
Tu ojciec jest kłamcą!
… a jeśli nie zdam testu?
Prawo Kubusia:
A: T=>C = C: ~T~>~C
C.
Jeśli nie zdasz testu to na 100% nie dostaniesz cukierka
~T~>~C =1
~p~>~q =1
Nie zdanie testu jest warunkiem koniecznym ~> nie dostania cukierka.
Nie jest to jednocześnie warunek wystarczający => bo na mocy definicji implikacji prostej p|=>q zdanie D jest prawdziwe, czyli ojciec ma matematyczne prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: T=>C i kłamcą nie będzie.
Sposób wypowiedzenia zdania C nie ma tu znaczenia.
Zauważmy, że zdanie C to ewidentna groźba, zatem im ostrzej wypowiedziana tym teoretycznie skuteczniejsza będzie - stąd w zdaniu C mamy „na 100%”
Można wypowiedzieć groźbę „lichą”:
C1.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~> nie dostać cukierka
~T~>~C =1
W praktyce jednak nikt tu nie używa spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę.
lub
D.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~~> dostać cukierka
~T~~>C = ~T*C =1
~p~~>q =1
Zdanie D to akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: T=>C.
Zauważmy, ze akt miłości jest tożsamy z aktem łaski, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy groźbę C: ~T~>~C.
Ojciec może wręczyć nagrodę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym, czyli różnym od poprzednika.
Po nie zdanym teście może powiedzieć:
D1.
Synku, nie zdałeś testu, dostajesz cukierka bo cię kocham
lub
D2.
Synku, nie zdałeś testu, dostajesz cukierka bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha
etc
Ojciec będzie kłamcą jeśli powie słowo w słowo:
D3.
Synku, nie zdałeś testu dostajesz cukierka bo nie zdałeś testu
W zdaniu D3 mamy do czynienia z uzasadnieniem zależnym, gdzie uzasadnienie jest identyczne jak poprzednik (powód wręczenia nagrody).

Czysto matematyczny dowód iż wypowiadając zdanie D3 ojciec będzie kłamcą:

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dostania nagrody

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
A.
Jeśli zdasz test dostaniesz cukierka
T=>C

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli test zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania cukierka.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli test nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam cukierka
U=0 - nie dam cukierka

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś testu (W=0), nie dostajesz cukierka ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam cukierka

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś testu (W=0), dostajesz cukierka ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem dać ci cukierka itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś testu (W=0), dostajesz cukierka ... bo nie zdałeś testu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania testu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


6.1.2 Obietnica w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja obietnicy:
Obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q na mocy definicji, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
p|=>q =(p=>q)*~(p~>q)
A.
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Warunek wystarczający => A wchodzi w skład definicji implikacji prostej W|=>N

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Matematycznie związki warunku wystarczającego => z warunkiem koniecznym ~>:
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q

Wyprowadzenie definicji warunku wystarczającego => w spójniach „lub”(+) i „i”(*):
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  Y=(p=>q)
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   3

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo Y) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 zapisujemy:
Y = (p=>q) =1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące definicję warunku wystarczającego =>
Y= A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y= (p=>q)=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~Y) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej zapisujemy:
Y = (p=>q) =0 <=> B: p=1 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
~Y=~(p=>q)=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Krok 3
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y= B: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=~(p=>q)=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Stąd mamy układ równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisujący zero-jedynkową definicję implikacji prostej p|=>q:
1.
Y= A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y= (p=>q)=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
2.
~Y= B: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=~(p=>q)=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Operator logiczny implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to kompletny układ równań 1 i 2 jak wyżej. Nie jest operatorem logicznym ani samo równanie 1, ani też samo równanie 2.

Na mocy powyższego zapisujemy symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Kod:

Tabela 3
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
                           |Definicje |Co matematycznie
                           |cząstkowe |oznacza
              Y=   ~Y=     |          |
   p  q ~p ~q p=>q ~(p=>q) |          |
A: 1  1  0  0  =1    =0    | Ya= p* q | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1  =0    =1    |~Yb= p*~q |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  0  1  1  =1    =0    | Yc=~p*~q | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1
D: 0  1  1  0  =1    =0    | Yd=~p* q | Yd=1<=>~p=1 i  q=1
   1  2  3  4   5     6      a   b  c   d       e      f

Z tabeli symbolicznej (ABCDabc) operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Rozwijając równania cząstkowe mamy:
1.
Y= A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y= (p=>q)=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Z tabeli symbolicznej (ABCDabc) operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) odczytujemy:
~Y = ~Yb
Rozwijając równanie cząstkowe mamy:
2.
~Y= B: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=~(p=>q)=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Definicja obietnicy:
Obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q na mocy definicji, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
p|=>q =(p=>q)*~(p~>q)
A.
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Warunek wystarczający => A wchodzi w skład definicji implikacji prostej W|=>N

Nasz przykład:
A.
Jeśli zdasz test to na 100% dostaniesz cukierka
T=>C =1
Zdanie testu jest warunkiem wystarczającym => dostania cukierka
Zdanie testu daje nam gwarancję matematyczną => dostania cukierka

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) możemy odpowiedzieć na pytanie kiedy w przyszłości ojciec dotrzyma słowa (Y=1), a kiedy skłamie (~Y=1)

Układ równań logicznych definiujących implikację prostą T|=>C w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) jest następujący.

1.
Przypadek w którym ojciec dotrzyma słowa (Y=1), czyli nie skłamie (~Y=0):

Y = (T=>C) = A: T*C + C: ~T*~C + D: ~T*C
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: T=1 i C=1 lub C: ~T=1 i ~C=1 lub D: ~T=1 i C=1
Odczytujemy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1), inaczej nie skłamie wtedy i tylko wtedy gdy:
A: T*C =1*1 =1 - syn zda test (T=1) i dostanie cukierka (C=1)
lub
C: ~T*~C =1*1 =1 - syn nie zda testu (~T=1) i nie dostanie cukierka (~C=1)
lub
D: ~T*C =1*1 =1 - syn nie zda testu (~T=1) i dostanie cukierka (C=1)
Akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody mimo że nadawca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał testu)

2.
Przypadek w który ojciec skłamie (~Y=1), czyli nie dotrzyma słowa (Y=0):

~Y= B: T*~C
co matematycznie oznacza:
~Y=1 = ~(T=>C) = B: T=1 i ~C=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że ojciec skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: T*~C =1*1 =1 - syn zda test (T=1) i nie dostanie cukierka (~C=1)

Znaczenie symboli:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec skłamie (nie dotrzyma słowa ~Y=1)

Wnioski:
1.
Interpretacja obietnicy A: T=>C w spójniach „lub”(+) i „i”(*) daje poprawną odpowiedź na pytania kiedy ojciec w przyszłości dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1)
2.
W tej interpretacji nie widać w sposób jawny gwarancji matematycznej => w wypowiedzianej obietnicy:
A.
Jeśli zdasz test to na 100% dostaniesz cukierka
T=>C =1
Zdanie testu jest warunkiem wystarczającym => dostania cukierka
Zdanie testu daje nam gwarancję matematyczną => dostania cukierka
3.
Zrozumienie obietnicy A: T=>C w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) wymaga znajomości zaawansowanej matematyki ścisłej wyłożonej w tym punkcie. Żaden normalny człowiek od 5-cio latka poczynając na prof. matematyki kończąc nie przechodzi ze zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” do spójników „lub”(+) i „i”(*).
4.
Załóżmy że test jest jutro.
Zdanie tożsame do warunku wystarczającego A w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) brzmi:
A1: T=>C = T*C + ~T*~C + ~T*C
Odczytujemy:
A1:
Jutro zdasz test i dostaniesz cukierka lub nie zdasz testu i nie dostaniesz cukierka lub nie zdasz testu i dostaniesz cukierka
A1: T=>C = T*C + ~T*~C + ~T*C
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: T=1 i C=1 lub C: ~T=1 i ~C=1 lub D: ~T=1 i C=1
Treść zdania A1 jest zrozumiała dla 5-cio latka, ale na 100% nie skojarzy on zdania A1 z wypowiedzianą obietnicą w formie warunku wystarczającego => A:
A.
Jeśli zdasz test to na 100% dostaniesz cukierka
T=>C =1
Zdanie testu jest warunkiem wystarczającym => dostania cukierka
Zdanie testu daje nam gwarancję matematyczną => dostania cukierka

Podsumowanie:
Wyrażenie zdania warunkowego „Jeśli p to q” przy pomocy spójników „lub”(+) i „i”(*) należy traktować jako matematyczną ciekawostkę w praktyce języka mówionego totalnie bezużyteczną!


6.2 Groźba


Definicja groźby:
Obietnica to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q na mocy definicji, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
p|~>q =(p~>q)*~(p=>q)
A.
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Warunek konieczny ~> A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej W|~>K

Symboliczna definicja groźby:
Kod:

Symboliczna definicja
implikacji odwrotnej p|=>q
A: p~> q =1
B: p~~>~q=1
C:~p=>~q =1
D:~p~~>q =0

Implikacja odwrotna p|~>q to wszystkie cztery zdania A,B,C i D a nie jakiekolwiek jedno, dowolnie wybrane. Warunek konieczny A: p~>q to tylko i wyłącznie pierwsza linia w symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q.
Dlaczego jest tak a nie inaczej?
Bo kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej możemy wykonać względem dowolnej linii definicji symbolicznej. Fizycznie niemożliwe jest zakodowanie symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q względem wszystkich czterech linii.
Zakodujmy powyższą definicję względem dwóch punktów odniesienia A i C:
A.
p~>q =1
Prawo Kubusia:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
C.
~p=>~q =1
Prawo Kubusia:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Kod:

Kodowanie zero-jedynkowe symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q
Symboliczna definicja |Kodowanie zero-jedynkowe |Co matematycznie oznacza
implikacji odwrotnej  |definicji symbolicznej   |
p|~>q                 | p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q |
A: p~> q =1           | 1  1   =1   0  0   =1   |( p=1)=> ( q=1) =1
B: p~~>~q=1           | 1  0   =1   0  1   =1   |( p=1)~~>(~q=1) =1
C:~p=>~q =1           | 0  0   =1   1  1   =1   |(~p=1)~> (~q=1) =1
D:~p~~>q =0           | 0  1   =0   1  0   =0   |(~p=1)~~>( q=1) =0
   a   b  c             1  2    3   4  5    6      d        e     f

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Uwagi:
1.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 to wyłącznie warunek konieczny A: p~>q w tabeli symbolicznej implikacji odwrotnej ABCDabc. Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 wskazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
2.
Nagłówek kolumny wynikowej 6 to wyłącznie warunek wystarczający C: ~p=>~q w tabeli symbolicznej implikacji odwrotnej ABCDabc. Nagłówek w kolumnie wynikowej 6 wskazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.

Klasyka groźby:
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźba to warunek konieczny B~>L wchodzący w skład implikacji odwrotnej B|~>L, tu nic a nic nie musimy udowadniać
Jest oczywistym, że dowolna groźba ma sens wyłącznie w czasie przyszłym.
Kod:

Symboliczna definicja
implikacji odwrotnej p|~>q
A: p~> q =1
B: p~~>~q=1
C:~p=>~q =1
D:~p~~>q =0

I.
Czas przyszły:

A.
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
B~>L =1
p~>q =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania
Nie jest to jednocześnie warunek wystarczający => bo na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q zdanie B jest prawdziwe, czyli ojciec ma matematyczne prawo do odstąpienia od karania mimo że syn spełnił warunek kary A: B~>L i kłamcą nie będzie.
Sposób wypowiedzenia zdania A nie ma tu znaczenia.
Zauważmy, że zdanie A to ewidentna groźba, zatem im ostrzej wypowiedziana tym teoretycznie skuteczniejsza będzie - stąd w zdaniu A mamy „na 100%”
Można wypowiedzieć groźbę „lichą”:
A1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
W praktyce jednak nikt tu nie używa spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę.
lub

B.
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B~~>~L =~B*L =1
~p~~>q =1
Zdanie B to akt łaski, czyli prawo do odstąpienia od wymierzenia kary mimo spełnienia warunku kary w zdaniu A: B~>L =1.
Ojciec może odstąpić od wykonania kary z dowolnym uzasadnieniem niezależnym, czyli różnym od poprzednika.
W przypadku brudnych spodni może powiedzieć:
B1.
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostaniesz lania bo cię kocham
lub
B2.
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostaniesz lania bo samochód cię ochlapał
etc
Ojciec będzie kłamcą jeśli powie słowo w słowo:
B3.
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania bo ubrudziłeś spodnie
W zdaniu B3 mamy do czynienia z uzasadnieniem zależnym, gdzie uzasadnienie jest identyczne jak poprzednik (powód karania). W tym przypadku ojciec jest mimo wszystko kłamcą, matematyczny dowód iż tak jest w kolejnym punkcie.

… a jak nie ubrudzę spodni?
Prawo Kubusia:
A: B~>L = C: ~B=>~L

C.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na 100% nie dostaniesz lania
~B=>~L =1
~p=>~q =1
Czyste spodnie (nie brudne: ~B=1) są warunkiem wystarczającym => by nie dostać lania z powodu czystych spodni (~B=1).
Czyste spodnia dają nam gwarancję matematyczną => braku lania z powodu czystych spodni.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza lania z innego powodu. Dostanie lania z innego powodu nie będzie miało nic wspólnego z groźbą A: B~>L, nie będzie dotyczyć tej konkretnej groźby A: B~>L
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% etc
Warunek wystarczający C wymusza fałszywość kontrprzykładu D
D.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie (z powodu czystych spodni)
~B~~>L = ~B*L =0
~p~~>q =0
Tu ojciec jest kłamcą.

Zobaczmy jak zachowuje się symboliczna definicja implikacji odwrotnej po zamianie argumentów na przykładzie naszej obietnicy.
Kod:

                    Teraźniejszość
                         ^
I.                       | II.
Nieznana przyszłość      | Nieznana przeszłość
Definicja symboliczna    | Definicja symboliczna
implikacji odwrotnej     | implikacji prostej
p|~>q czas przyszły      | q|=>p czas przeszły
A: p~> q       =1        | A: q=> p =1
A: B~> L       =1        | A: L=> B =1
B: p~~>~q= p*~q=1        | B:~q~~>p =~q* p=1
B: B~~>~L= B*~L=1        | B:~L~~>B =~L* B=1
.. a jak nie ubrudzę     | .. a jak nie dostałem
spodni?                  | lania?
Prawo Kubusia:           | Prawo Kubusia:
A: B~>L = C: ~B=>~L      | A: L=>B = C: ~L~>~B
A: p~>q = C: ~p=>~q      | A: q=>p = C: ~q~>~p
stąd:                    | Stąd:
C:~p=>~q       =1        | C:~q=>~p       =1
C:~B=>~L       =1        | C:~L=>~B       =1
D:~p~~>q =~p* q=0        | D: q~~>~p= q*~p=0
D:~B~~>L =~B* L=0        | D: L~~>~B= C*~T=0
   a   b        c        |    d    e       f
----------------------------------------------------------> Czas

Implikacja odwrotna p|~>q to kompletna tabela ABCDabc, czyli seria zdań A,B,C i D.
Zdanie A: p~>q to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Z powyższego wynika, że nie da się wypowiedzieć zdania warunkowego „Jeśli p to q” będącego implikacją odwrotną p|~>q, możemy co najwyżej wypowiedzieć zdanie warunkowe „Jeśli p to q” będące warunkiem koniecznym A: p~>q wchodzącym w skład definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Dokładnie ta sama seria zdań A,B,C i D w tabeli ABCDabc to również implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Zdanie C: ~p=>~q to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej ~p|=>~q
Z powyższego wynika, że nie da się wypowiedzieć zdania warunkowego „Jeśli p to q” będącego implikacją odwrotną ~p|~>~q , możemy co najwyżej wypowiedzieć zdanie warunkowe „Jeśli p to q” będące warunkiem wystarczającym ~p=>~q wchodzącym w skład definicji implikacji prostej ~p|=>~q.

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami.
~p|=>~q = (~p=>~q)*~(~p~>~q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|~>q = ~p|=>~q
bo to jest dokładnie ta sama seria zdań z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Analiza symboliczna naszej groźby w czasie przeszłym wygląda zatem tak.
II.
Czas przeszły:

A.
Jeśli dostałeś lanie to na 100% ubrudziłeś spodnie
L=>B =1
q=>L =1
D.
Jeśli dostałeś lanie to mogłeś nie ubrudzić spodni
L~~>~B = L*~B =0
q~~>~p =0
Tu ojciec jest kłamcą.
C.
Jeśli nie dostałeś lania to mogłeś ~> nie ubrudzić spodni
~L~>~B =1
~q~>~p =1
lub
B.
Jeśli nie dostałeś lania to mogłeś ubrudzić spodnie
~L~~>B = ~L*B =1
Tu ojciec zastosował akt łaski, czyli odstąpił od wymierzenia kary mimo brudnych spodni.

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości

Różnica między nieznaną przyszłością a nieznaną przeszłością jest fundamentalna, co widać na powyższym przykładzie.
W opisie nieznanej przyszłości w zdaniach A i B (tabela ABCDabc) ojciec ma 100% wolnej woli, w przypadku brudnych spodni może wykonać karę lub nie wykonać i kłamcą nie będzie.

Załóżmy że syn wrócił w brudnych spodniach i ojciec wykonał karę na mocy zdania A: B~>L =1
W tym momencie klamka zapadła, co się stało to się nie odstanie - synek dostał lanie.
Przeszłość, mimo że często nieznana, jest w 100% zdeterminowana. Ojciec nie może cofnąć czasu i zastosować akt łaski, czyli odstąpić od lania … bo lanie zostało już wykonane.

W naszym przykładzie tabela ABCDabc (nieznana przyszłość) przeszła w tabelę ABCDdef (nieznana przeszłość)
Co wymusza matematyka ścisła?
Matematyka ścisła wymusza przejście z nieznanej przyszłości ABCDabc do nieznanej przeszłości ABCDdef.

Uwaga:
Matematyka ścisła nie wymusza równania ogólnego warunku wystarczającego T1: p=>q w czasie przyszłym!

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
T2: p~>q - warunek konieczny ~> w czasie przyszłym
T1: p=>q - warunek wystarczający => w czasie przyszłym

Innymi słowy:
Matematyka wymusza prawdziwość prawej strony znaczka ## ale nie wymusza prawdziwości lewej strony znaczka ##.
Innymi słowy:
Nic nie zmusza ojca który wypowiedział groźbę w czasie przyszłym
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lania
T2: B~>L
Do wypowiedzenia zdania:
T1: L=>B = ~L~>~B
czyli do robienia z siebie idioty bo:
T1.
Jeśli dostaniesz lanie to na 100% ubrudzisz spodnie (z powodu że dostałeś lanie)
L=>B =1

Zauważmy, że zdania serii I nie zależą od czasu są identyczne dla przyszłości i przeszłości.
Stąd mamy tabelę prawdy dla warunku koniecznego ~>.
Kod:

                    Teraźniejszość
                         ^
I.                       | II.                   | III.
Nieznana przyszłość      | Nieznana przeszłość   | Nieznana przeszłość
Definicja symboliczna    | Definicja symboliczna | Definicja symboliczna
implikacji odwrotnej     | implikacji prostej    | implikacji odwrotnej
p|~>q czas przyszły      | q|=>p czas przeszły   | p|~>q czas przeszły
A: p~> q       =1        | A: q=> p =1           | A: p~> q       =1
A: B~> L       =1        | A: L=> B =1           | A: B~> L       =1
B: p~~>~q= p*~q=1        | B:~q~~>p =~q* p=1     | B: p~~>~q= p*~q=1
B: B~~>~L= B*~L=1        | B:~L~~>B =~L* B=1     | B: B~~>~L= B*~L=1
.. a jak nie ubrudzę     | .. a jak nie dostałem |.. a jak nie ubrudziłem
spodni?                  | lania?                | spodni?
Prawo Kubusia:           | Prawo Kubusia:        | Prawo Kubusia:
A: B~>L = C: ~B=>~L      | A: L=>B = C: ~L~>~B   | A: B~>L = C: ~B=>~L
A: p~>q = C: ~p=>~q      | A: q=>p = C: ~q~>~p   | A: p~>q = C: ~p=>~q
stąd:                    | Stąd:                 | Stąd:
C:~p=>~q       =1        | C:~q=>~p       =1     | C:~p=>~q       =1
C:~B=>~L       =1        | C:~L=>~B       =1     | C:~B=>~L       =1
D:~p~~>q =~p* q=0        | D: q~~>~p= q*~p=0     | D:~p~~>q =~p* q=0
D:~B~~>L =~B* L=0        | D: L~~>~B= C*~T=0     | D:~B~~>L =~B* L=0
   a   b        c        |    d    e       f          g   h        i
--------------------------------------------------------------------> Czas

Matematycznie seria zdań III to seria zdań I wypowiedziana w czasie przeszłym.
III.
Nieznana przeszłość

A.
Jeśli ubrudziłeś spodnie to mogłeś ~> dostać lanie (z powodu że ubrudziłeś spodnie)
B~>L =1
p~>q =1
lub
B.
Jeśli ubrudziłeś spodnie to mogłeś ~~> nie dostać lania
B~~>~L = B*~L =1
p~~>~q =1
Tu ojciec zastosował akt łaski
… a jeśli nie ubrudziłem spodni?
Prawo Kubusia:
A: B~>L = C: ~B=>~L
C.
Jeśli nie ubrudziłeś spodni to na 100% nie dostałeś lania (z powodu czystych spodni)
~B=>~L =1
~p=>~q =1
Jeśli nie zdałeś testu to mogłeś ~> nie dostać cukierka
~T~>~C =1
~p~>~q =1
D.
Jeśli nie ubrudziłeś spodni to mogłeś ~~> dostać lanie
~B~~>L = ~B*L =0
~p~~>q =0
Zakaz lania z powodu czystych spodni.

Na mocy powyższych rozważań możemy zapisać równanie ogólne warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Równanie ogólne warunków wystarczających => i koniecznych ~>
T1: Czas przyszły [=] Czas przeszły ## T2: Czas przyszły [=] Czas przeszły
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
T1: Czas przeszły [=] Czas przeszły ## T2: Czas przeszły [=] Czas przeszły
gdzie:
## - różne na mocy definicji



6.2.1 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


6.2.2 Groźba w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja groźby:
Groźba to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q na mocy definicji, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
p|~>q =(p~>q)*~(p=>q)
A.
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Warunek konieczny ~> A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej W|~>K

Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego => w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Wyprowadzenie definicji warunku koniecznego ~> w spójniach „lub”(+) i „i”(*):
Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>:
   p  q  Y=(p~>q)
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0
   1  2   3

Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo Y) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 zapisujemy:
Y = (p~>q) =1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące definicję warunku wystarczającego =>
Y= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y= (p~>q)=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~Y) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej zapisujemy:
Y = (p~>q) =0 <=> D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
~Y=~(p~>q)=1 <=> D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y= D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=~(p~>q)=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Stąd mamy układ równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisujący zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
1.
Y= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y= (p~>q)=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
2.
~Y= D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=~(p~>q)=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to kompletny układ równań 1 i 2 jak wyżej. Nie jest operatorem logicznym ani samo równanie 1, ani też samo równanie 2.

Na mocy powyższego zapisujemy symboliczną definicję odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Kod:

Tabela 3
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
                           |Definicje |Co matematycznie
                           |cząstkowe |oznacza
              Y=   ~Y=     |          |
   p  q ~p ~q p~>q ~(p~>q) |          |
A: 1  1  0  0  =1    =0    | Ya= p* q | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1  =1    =0    | Yb= p*~q | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  0  1  1  =1    =0    | Yc=~p*~q | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1
D: 0  1  1  0  =0    =1    |~Yd=~p* q |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1
   1  2  3  4   5     6      a   b  c   d       e      f

Z tabeli symbolicznej (ABCDabc) operatora implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Rozwijając równania cząstkowe mamy:
1.
Y= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y= (p~>q)=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Z tabeli symbolicznej (ABCDabc) operatora implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) odczytujemy:
~Y = ~Yd
Rozwijając równanie cząstkowe mamy:
2.
~Y= D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=~(p~>q)=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Definicja groźby:
Groźba to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q na mocy definicji, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
p|~>q =(p~>q)*~(p=>q)
A.
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Warunek konieczny ~> A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej W|~>K

Nasz przykład:
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> lania na mocy definicji groźby.

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) możemy odpowiedzieć na pytanie kiedy w przyszłości ojciec dotrzyma słowa (Y=1), a kiedy skłamie (~Y=1)

Układ równań logicznych definiujących implikację odwrotną p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) jest następujący.

1.
Przypadek w którym ojciec dotrzyma słowa (Y=1), czyli nie skłamie (~Y=0):

Y = (B~>L) = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Odczytujemy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1), inaczej nie skłamie wtedy i tylko wtedy gdy:
A: B*L =1*1 =1 - syn ubrudzi spodnie (B=1) i dostanie lanie (L=1)
lub
B: B*~L =1*1 =1 - syn ubrudzi spodnie (B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
lub
C: ~B*~L =1*1 =1 - syn nie ubrudzi spodni (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
Akt łaski, czyli prawo do odstąpienia wykonania kary (~L=1) mimo spełnienia warunku kary (B=1)

2.
Przypadek w który ojciec skłamie (~Y=1), czyli nie dotrzyma słowa (Y=0):

~Y= D: ~B*L
co matematycznie oznacza:
~Y=1 = ~(B~>L) = D: ~B=1 i L=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że ojciec skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~B*L = 1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1) … z powodu czystych spodni.
Lania z innego powodu nie dotyczą naszej groźby A: B~>L.

Znaczenie symboli:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec skłamie (nie dotrzyma słowa ~Y=1)

Wnioski:
1.
Interpretacja groźby A: B~>L w spójniach „lub”(+) i „i”(*) daje poprawną odpowiedź na pytania kiedy ojciec w przyszłości dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1)
2.
W tej interpretacji nie widać w sposób jawny gwarancji matematycznej => w wypowiedzianej groźbie:
C.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na 100% nie dostaniesz lania (z powodu czystych spodni ~B=1)
~B=>~L =1
Czyste spodnie są warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania .. z powodu czystych spodni!
3.
Zrozumienie groźby A: B~>L w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) wymaga znajomości zaawansowanej matematyki ścisłej wyłożonej w tym punkcie. Żaden normalny człowiek od 5-cio latka poczynając na prof. matematyki kończąc nie przechodzi ze zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” do spójników „lub”(+) i „i”(*).
4.
Załóżmy że test jest jutro.
Zdanie tożsame do warunku koniecznego ~> A w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) brzmi:
A1: B~>L = B*L + B*~L + ~B*~L
Odczytujemy:
A1:
Jutro ubrudzisz spodnie i dostaniesz lanie lub ubrudzisz spodnie i nie dostaniesz lania lub nie ubrudzisz spodni i nie dostaniesz lania
Y = (B~>L) = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Treść zdania A1 jest zrozumiała dla 5-cio latka, ale na 100% nie skojarzy on zdania A1 z wypowiedzianą groźbą w formie warunku koniecznego ~> A:
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym dostania lania (L=1) z powodu brudnych spodni.

Podsumowanie:
Wyrażenie zdania warunkowego „Jeśli p to q” przy pomocy spójników „lub”(+) i „i”(*) należy traktować jako matematyczną ciekawostkę w praktyce języka mówionego totalnie bezużyteczną!
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 21873
Przeczytał: 38 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 10:11, 04 Maj 2017    Temat postu:

Spis treści
6.3 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym 1
6.4 Rodzaje obietnic 3
6.5 Analiza złożonej obietnicy 4
6.6 Analiza złożonej groźby 5
7.0 Największa tajemnica operatorów implikacyjnych 7



6.3 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola:
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L

Po prawej stronie mamy 100% determinizm.
Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny:

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


6.4 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


6.5 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym dla dostania czekolady i obejrzenia dobranocki.
B.
p~~>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Zakaz karania z powodu spełnienia warunku nagrody.
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=0 - tu również jest kara (~D)
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody

… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
Mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~>.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
Jeśli warunek ukarania jest spełniony to mama może wybrać dowolny z poniższych przypadków:
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=1 - to jest 100% kary
B: ~C*D =1 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=1 - tu również jest kara (~D)
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


6.6 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać karę w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


7.0 Największa tajemnica operatorów implikacyjnych

Prawo Kameleona to jedno z kluczowych praw logiki matematycznej.

Prawo Kameleona:
Identyczność słowna dwóch zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie gwarantuje tożsamości matematycznej tych zdań.

Największą tajemnicę operatorów implikacyjnych najłatwiej zrozumieć analizując definicję równoważności.
Zacznijmy od przypomnienia sobie teorii ogólnej.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
2.
Warunek konieczny ~>:

p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)

Uwaga:
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = T1: (p=>q)* T2: ~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Kod:

Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = T2: (p~>q)* T1: ~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 1 i tabela 2 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Z tabel T1 i T2 odczytujemy:

Definicje spójników implikacyjnych => i ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

I prawo Kubusia
T1/5 = T1/6
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q

II Prawo Kubusia
T2/5 = T2/6
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja praw Kubusia:
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza fałszywość drugiej strony

Interpretacja praw Kubusia to tożsamość logiczna, mająca wszelkie cechy tożsamości klasycznej.
Prawa Kubusia to zdecydowanie najważniejsze prawa logiki matematycznej warunkujące jej istnienie.

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy definicję równoważności <=> w równaniu logicznym:
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (p~>q)
Podstawiając zachodzące tożsamości w T1 i T2 mamy 16 tożsamych definicji równoważności w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
p<=>q = T1: (p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p) * T2: (p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p)

Najważniejsze definicje równoważności to:
1.
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony (święta krowa matematyków):
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (q=>p) = 1*1 =1
2.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (p~>q) = 1*1 =1
3.
Definicja aksjomatyczna, wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = T1: (p=>q)* T2: (~p=>~q)

Najodpowiedniejszym przykładem dla zrozumienia największej tajemnicy operatorów implikacyjnych będzie doskonale nam znane twierdzenie Pitagorasa.

Zapiszmy równanie ogólne warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla twierdzenia Pitagorasa.
Równoważność w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
p<=>q = T1: (A: p=>q = B: ~p~>~q [=] C: q~>p = D: ~q=>~p) * T2: (E: p~>q = F: ~p=>~q [=] G: q=>p = H: ~q~>~p)

Podstawmy twierdzenie Pitagorasa:
TP<=>SK = T1: (A: TP=>SK = B: ~TP~>~SK [=] C: SK~>TP = D: ~SK=>~TP) * T2: (E: TP~>SK = F: ~TP=>~SK [=] G: SK=>TP = H: ~SK~>~TP)

Zauważmy że:
Tabele T1 i T2 są różne na mocy definicji.

Wypowiedzmy zdanie A:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
Wymuszam dowolny TP=1 i na 100% będzie w nim SK=1

Wypowiedzmy zdanie C:
C.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% ten trójkąt jest prostokątny
SK~>TP =1
W dowolnym trójkącie spełnienie sumy kwadratów (SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby trójkąt był prostokątny (TP=1)
Zabieram zbiór SK i znika mi zbiór TP
Zbiór SK jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru TP

Zauważmy że matematycznie zachodzi tożsamość:
T1: TP=>SK [=] SK~>TP

Zastanówmy się jak dowodzimy T1 w przypadku ogólnym, gdy nie znamy zawartości p i q:
T1: p=>q [=] q~>p
Istotę dowodu najprościej zrozumieć na przykładzie minimalnym, ograniczonym zaledwie do kilku różnych elementów p i q
Podstawmy:
p=[1,2]
q=[1,2,3]

I. Algorytm sprawdzania relacji podzbioru p=>q:
p=[1,2] => q=[1,2,3]
Bierzemy kolejne elementy zbioru p sprawdzając czy każdy element p jest również w zbiorze q.
Po pozytywnym sprawdzeniu wszystkich elementów zbioru p mamy:
p=[] - zbiór pusty
Co jest dowodem formalnym iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>q =1
Zawartość zbioru q po iteracji nas kompletnie nie interesuje.

II. Algorytm sprawdzania relacji nadzbioru q~>p:
q=[1,2,3] ~> p=[1,2]
Bierzemy kolejne elementy zbioru q.
Jeśli element qn jest w zbiorze p to usuwamy ten element ze zbioru p
Jeśli przeiterowaniu wszystkich elementów zbioru q stwierdzimy iż zbiór p jest pusty:
p=[]
to mamy pewność, że zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
Zawartość zbioru q nas kompletnie nie interesuje.

Zauważmy, że w sumie algorytmy I i II są tożsame!
W obu przypadkach dochodzimy do stwierdzenia iż zbiór p jest zbiorem pustym:
p=[]
nie wiedząc nic na temat rzeczywistej zawartości zbioru q, która to zawartość może być tożsama ze zbiorem q, ale nie musi być tożsama!

Wniosek:
Przy pomocy algorytmu I i II nie mamy żadnych szans na stwierdzenie tożsamości zbiorów:
p=q
W przełożeniu na twierdzenie Pitagorasa:
Przy pomocy algorytmu I i II nie mamy żadnych szans na udowodnienie, iż twierdzenie Pitagorasa jest częścią operatora równoważności TP<=>SK gdzie z definicji zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK

Przyjdźmy teraz do tabeli T2 wypowiadając zdanie E:
E.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
Zabieram kompletny zbiór TP i znika mi zbiór SK
Istnienie zbioru TP jest warunkiem koniecznym ~> dla zaistnienia zbioru SK

Rozważmy ogólny przypadek gdy nie znamy rzeczywistej relacji zachodzącej między p i q na naszym przykładzie wyżej.
p=[1,2]
q=[1,2,3]

III. Algorytm sprawdzania relacji nadzbioru p~>q:
p=[1,2] ~> q=[1,2,3]
Bierzemy kolejne elementy zbioru p.
Jeśli element pn jest w zbiorze q to usuwamy ten element ze zbioru q
Jeśli przeiterowaniu wszystkich elementów zbioru p stwierdzimy iż zbiór q jest pusty:
q=[]
to mamy pewność, że zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zawartość zbioru p nas kompletnie nie interesuje.
Oczywistym jest że dla naszego przypadku otrzymamy rozstrzygnięcie:
p=[1,2] ~> q=[1,2,3] =0
Warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.

Zauważmy, że w twierdzeniu Pitagorasa mamy tożsamość zbiorów:
TP=SK
Dlatego w twierdzeniu Pitagorasa oba zdania A i E będą prawdziwe.

Zapiszmy te zdania:

Tabela T1 kolumna 5
T1: 5/A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
Wymuszam dowolny TP=1 i na 100% będzie w nim SK=1

Tabela T2 kolumna 5
T2: 5/E.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
Zabieram kompletny zbiór TP i znika mi zbiór SK
Istnienie zbioru TP jest warunkiem koniecznym ~> dla zaistnienia zbioru SK

Matematycznie zachodzi:
T1: 5/E TP=>SK =1 ## T2: 5/E TP~>SK =1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że w zapisie słownym jeśli pominiemy kodowanie matematyczne, zdania A i E brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.

Podsumowując:
W poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia, identyczność słowna zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie gwarantuje ich tożsamości matematycznej!
Decydujące o zachodzącej tożsamości matematycznej identycznie wypowiedzianych zdań warunkowych „Jeśli p to q” jest kodowania matematyczne tych zdań

Zauważmy, że identyczny przypadek mamy niżej:
M.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
N.
Jeśli liczba jest podzielna przez t to może być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1 bo 8
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..]
Tu wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P2 i P8 co kończy dowód prawdziwości zdania N.

W zapisie słownym zdania M i N są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame matematycznie.
M: P2~>P8 =1 ## N: P2~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy powyższego zapisujemy jedno z kluczowych praw logiki matematycznej.

Prawo Kameleona:
Identyczność słowna dwóch zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie gwarantuje tożsamości matematycznej tych zdań.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin