Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Idź do strony 1, 2  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 18:09, 28 Mar 2020    Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-04-01

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej, której nie ma na studiach technicznych (elektronika na PW-wa).
Prawa Kubusia to efekt dyskusji w Wujem Zbójem:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj jako pierwszy ziemianin potwierdził matematyczną poprawność tych praw
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?


Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020





Wstęp
Najtrudniejsze są początki, czyli najtrudniejsza do zrozumienia jest zero-jedynkowa algebra Boole’a. Chodzi tu przed wszystkim o minimalizację złożonych funkcji logicznych, gdzie włącznie mnożenie wielomianów i przemienność argumentów w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są identyczne jak matematyce klasycznej. Jednak wymnożyć wielomian logiczny to jedno, a zminimalizować go to drugie.
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a, ale chodzi w niej przede wszystkim o spójniki „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego. W języku potocznym człowiek w naturalny sposób minimalizuje wszelkie funkcje logiczne do postaci minimalnych, zatem w obsłudze języka potocznego minimalizacja funkcji logicznych nie będzie nam potrzebna.
Algebra Kubusia to logika symboliczna, gdzie wszystkie zmienne binarne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzane są logicznych jedynek.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Przykład:
CH=0 - fałszem jest (=0) że są chmury (CH)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH), wyłącznie ta postać jest zgodna z językiem potocznym.
W skrócie (domyślnie):
~CH = nie ma (~) chmur (CH)
Stąd mamy prawo Prosiaczka dla naszego mini-przykładu:
(CH=0)=(~CH=1)

W algebrze Kubusia zera wstępują tylko i włącznie jako wynik logicznego rozumowania człowieka.
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie (~) być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Co w logice jedynek, czyli w naturalnej logice matematycznej człowieka oznacza:
(P=1)~~>(~CH=1) = (P=1)*(~CH=1) =0
~CH=1 - prawdą jest (=1), że nie ma chmur
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie pada (P=1) „i”(*) nie ma chmur (~CH=1)

W algebrze Kubusia wszelkie zdania którym da się przypisać wartość logiczną 1 albo 0 są przekładalne są na symboliczną logikę matematyczną (algebrę Kubusia) w przełożeniu 1:1, czyli jak mówimy tak matematycznie zapisujemy.
Co zmieni algebra Kubusia w myśleniu człowieka?
Nic nie zmieni, bo to jest tylko matematyczny opis języka potocznego człowieka - tylko tyle i aż tyle.
Logika matematyczna to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q”, zdecydowanie ciekawsza i łatwiejsza niż klasyczna algebra Boole’a.
Wynika z tego, że jak pominiemy rozdział 1.0 (algebrę Boole’a) to nic strasznego się nie stanie, można zrozumieć matematyczną obsługę zdań warunkowych znając tylko elementarz algebry Boole’a, zawarty w punkcie 2.0

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock


Niemożliwe stało się możliwe.
Ziemskim matematykom polecam zacząć czytanie algebry Kubusia od rozdziału 9.0 gdzie opisałem w jaki sposób udało mi się nawiązać kontakt z ziemskimi matematykami mając w zakresie logiki matematycznej praktycznie 100% definicji sprzecznych. Piętą Achillesową KRZ była wspólna definicja podzbioru i nadzbioru … i to wykorzystałem.


2.0 Elementarz algebry Boole’a
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów
4.0 Rachunek zbiorów i zdarzeń
5.0 Operator równoważności |<=>
6.0 Operator implikacji prostej |=>
7.0 Operator implikacji odwrotnej |~>
8.0 Operator chaosu |~~>
9.0 Dowód poprawności Kubusiowej teorii zbiorów na gruncie KRZ



Spis treści
1.0 Algebra Boole’a 3
1.1 Prawa Prosiaczka 4
1.1.1 Dowody praw Prosiaczka 4
1.2 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 6
1.3 Algorytm Wuja Zbója 8
1.3.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 10
1.4 Definicja operatora AND(|*) 11
1.4.1 Właściwości operatora AND(|*) 15
1.5 Definicja operatora OR(|+) 16
1.5.1 Właściwości operatora OR(|+) 20



1.0 Algebra Boole’a

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle [1,0]) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
(~) - negacja, słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Znaczenie tych spójników w języku potocznym poznamy za chwilę na przykładach z fizyki, analizując prosty obwód elektryczny z żarówką i przyciskami sterującymi ową żarówkę.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Zwyczajowymi zmiennymi w algebrze Boole’a są symbole:
p, q, r, Y

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej
Dowolna zmienna binarna zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
p = pies
Dowolna zmienna binarna zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~p=nie pies


1.1 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)

II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

1.1.1 Dowody praw Prosiaczka

Dowód 1
Rozważmy sterowanie żarówką (diodą LED) jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej.

Dowód 2

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


1.2 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a.

Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.

Znaczenie 1 i 0 w algebrze Boole’a:
1 = prawda
0 = fałsz
Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka

Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to zero
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd


1.3 Algorytm Wuja Zbója

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to funkcja zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Pojęcia alternatywa i koniunkcja odnoszą się do funkcji logicznych:
Y = p*q*s - to jest koniunkcja wielu zmiennych binarnych
Y= p+q+s - to jest alternatywa wielu zmiennych binarnych
Y = (p+q)*(r+s) - to jest funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Y = p*q+r*s - to jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Zachodzi też tożsamość:
Alternatywa = suma logiczna zmiennych binarnych
Koniunkcja = iloczyn logiczny zmiennych binarnych

Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Co w logice matematycznej oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice matematycznej oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Dla każdego ucznia I klasy LO odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Prawo algebry Boole’a:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej

Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.

Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy że, żadna z funkcji koniunkcyjno-alternatywnych nie jest zrozumiała dla człowieka.
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)

Jak widzimy stało się coś strasznego!
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.

1.3.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej

Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.

Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, “i”(*), “lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd


1.4 Definicja operatora AND(|*)

Rozważmy schemat elektryczny żarówki sterowanej dwoma przyciskami połączonymi szeregowo.

Kod:

Schemat 1
Fizyczna realizacja spójnika “i”(*)
             Y               p          q       
       -------------       ______     ______
  -----| dioda LED |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------


Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty

Doskonale widać że:
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p będzie wciśnięty (p=1) i przycisk q będzie wciśnięty (q=1)
Y<=>p*q
<=> - symbol równoważności
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p*q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) i wciśnięty przyciska q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
A: Ya = p*q
co matematycznie oznacza:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y<=>(~p+~q)
<=> - symbol równoważności
Tu mamy identycznie:
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~Y = ~p+~q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka nie świeci” (~Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „nie wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie wciśnięty przycisk q (~q=1)”
Innymi słowy:
Z faktu nie świecenia się żarówki (~Y=1) wnioskujemy iż nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
~Y = ~p + ~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Zdanie matematycznie tożsame do 2 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka nie świeci się (~Y=1):
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = ~p*~q=1*1=1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: ~Yc = ~p* q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
D: ~Yd = p*~q=1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)

Funkcje ~Yb, ~Yc i ~Yd nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan nie świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
~Y = ~Yb + ~Yc + ~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2a.
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1

Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 2 i 2a.
Minimalizujemy funkcje 2a:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*(~q+q)+p*~q
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
cnd

stąd mamy matematyczną tożsamość:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q

Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

Tabela 1
Tabela      |Co matematycznie     |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |A: Y=p*q mamy        |tożsama
            |                     |                     | p  q  Y=p*q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1* 1   1
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|( p=0)*( q=0)=( Yb=0)| 0* 0   0
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=0)| 0* 1   0
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=1)*( q=0)=( Yd=0)| 1* 0   0
   a  b  c     d      e      f    |  g      h      I    | 1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | (~p =1)=( p =0)     |
                                  | (~q =1)=( q =0)     |
                                  | (~Yx=1)=( Yx=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A:
A: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 (Y) pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której kodowana jest tabela zero-jedynkowa, czyli tu wskazuje wyłącznie linię A.
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii A.
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
Y=1<=>p=1 i q=1

Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1.
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q

Możliwe jest zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDdef w logice zer (trzeba totalnie wszystko zanegować i wymienić spójniki na przeciwne), ale takie kodowanie prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, kompletnie niezrozumiałych dla człowieka, zatem nie będziemy się tym zajmować.

Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
która opisuje obszar BCDabc tabeli symbolicznej.
Kod:

Tabela 2
Tabela      |Co matematycznie     |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |BCD:~Y=~p+~q mamy    |tożsama
            |                     |                     |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0+ 0   0
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)| 1+ 1   1
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)| 1+ 0   1
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yd=1)| 0+ 1   1
   a  b  c     d      e      f    |  g      h      I    | 1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | ( p =1)=(~p =0)     |
                                  | ( q =1)=(~q =0)     |
                                  | ( Ya=1)=(~Ya=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na obszarze BCDabc tabeli symbolicznej definiującej spójnik „lub”(+)
BCD: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
BCD: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 (~Y) odnosi się do obszaru BCDabc w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
BCD: ~Y=~p+~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru BCD123.
Widać to doskonale w samej tabeli ABCD123:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1

Z tabeli symbolicznej ABCDabcd odczytujemy:
BCDabc: ~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
BCDabc: ~Y=~p+~q = B: ~p*~q+ C: ~p*q+ D: p*~q

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora AND(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1


1.4.1 Właściwości operatora AND(|*)

Podsumujmy nasze rozważania w niniejszym rozdziale:
I.
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:
Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Definicja do zapamiętania:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej


II.
Operator AND(|*) tu układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

III.
Pełna definicja spójnika „lub”(+) opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla ~p i ~q mamy:
~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q


1.5 Definicja operatora OR(|+)

Rozważmy schemat elektryczny żarówki sterowanej dwoma przyciskami połączonymi równolegle.

Kod:

Schemat 2
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             Y        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~q=1)=(q=0) - przycisk q nie wciśnięty

Ze schematu ideowego łatwo odczytujemy kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1):
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p będzie wciśnięty (p=1) lub przycisk q będzie wciśnięty (q=1)
Y<=>p+q
<=> - symbol równoważności
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p+q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) lub wciśnięty przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Zdanie matematycznie tożsame do 1 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka świeci się (Y=1):
Innymi słowy:
1a.
Żarówka świeci (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = p*q=1*1=1 - jest wciśnięty p (p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
B: Yb = p*~q =1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: Yc = ~p*q=1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)

Funkcje Ya, Yb, i Yc nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
1a.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 1 i 1a.
Minimalizujemy funkcję logiczną 1a:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=p+q
cnd

stąd mamy matematyczną tożsamość:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Stąd mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w postaci sumy logicznej trzech rozłącznych zdarzeń:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższą definicję warto zapamiętać, bowiem w logice matematycznej dość często się przydaje przy rozpisce co może się wydarzyć w obszarze dwóch zmiennych p i q połączonych spójnikiem „lub”(+)

… a kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?
Odczytujemy ze schematu ideowego:
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y<=>~p*~q
<=> - symbol równoważności
Tu mamy identycznie:
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~Y = ~p*~q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka nie świeci” (~Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „nie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie wciśnięty przycisk q (~q=1)”
Innymi słowy:
Z faktu nie świecenia się żarówki (~Y=1) wnioskujemy iż nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
D: ~Yd = ~p* ~q
co matematycznie oznacza:
D: ~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

Tabela 1
Tabela      |Co matematycznie     |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |ABC: Y=p+q mamy      |tożsama
            |                     |                     | p  q  Y=p+q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1+ 1   1
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|( p=1)*( q=0)=( Yb=1)| 1+ 0   1
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=1)| 0+ 1   1
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=0)*( q=0)=( Yd=0)| 0+ 0   0
   a  b  c     d      e      f       g      h      I      1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | (~p =1)=( p =0)     |
                                  | (~q =1)=( q =0)     |
                                  | (~Yx=1)=( Yx=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu zdefiniowanym obszarem ABCabc w tabeli symbolicznej.
ABC: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
ABC: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 (Y) pokazuje obszar ABCabc tabeli symbolicznej względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa.
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru ABC123, co doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1.
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Możliwe jest zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDdef w logice zer (trzeba totalnie wszystko zanegować i wymienić spójniki na przeciwne), ale takie kodowanie prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, kompletnie niezrozumiałych dla człowieka, zatem nie będziemy się tym zajmować.

Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
D: ~Y=~p*~q
która opisuje linię D w tabeli symbolicznej.
Kod:

Tabela 2
Tabela      |Co matematycznie     |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |D:~Y=~p*~q mamy      |tożsama
            |                     |                     |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0* 0   0
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)| 0* 1   0
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)| 1* 0   0
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)| 1* 1   1
   a  b  c     d      e      f       g      h      I      1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | ( p =1)=(~p =0)     |
                                  | ( q =1)=(~q =0)     |
                                  | ( Yx=1)=(~Yx=0)     |


Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na linii Dabc.
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna linia ~Yd w tabeli ABCDabc
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 (~Y) odnosi się do linii D w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
D: ~Y=~p*~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii D123 - widać to doskonale w samej tabeli ABCD123.

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

1.5.1 Właściwości operatora OR(|+)

Podsumujmy nasze rozważania w niniejszym rozdziale:
I.
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:
Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Definicja do zapamiętania:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej


II.
Operator OR(|+) tu układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

III.
Pełna definicja spójnika „lub”(+) opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 22:10, 10 Maj 2020, w całości zmieniany 33 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 18:12, 28 Mar 2020    Temat postu:

Spis treści
2.0 Elementarz algebry Boole’a 1
2.1 Zmienna binarna i stała binarna 1
2.2 Fundamenty algebry Boole’a 2
2.3 Prawa Prosiaczka 4
2.3.1 Dowody praw Prosiaczka w przykładach 4



2.0 Elementarz algebry Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a

Algebra Boole’a to algebra zmiennych binarnych, akceptująca zaledwie pięć znaczków, które w języku potocznym oznaczają co następuje:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - symbol negacji, słówko NIE w języku potocznym
„i”(*) - spójnika „i” z języka potocznego
„lub” - spójnik „lub” z języka potocznego

2.1 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny jest program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY:
Program dodawania:
Wykonaj operację dodawania:
1: A:=A+B
2: JP C,ET2
Co oznacz rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład:
Zdefiniujmy na początku programy symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
Oczywistym jest. że w tym momencie nasz „program dodawanie” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.

Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych
Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.

Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy tu pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak

Doskonale, tu widać że logika matematyczna działa także w stosunku do zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?

Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
ma identyczny sens jak stwierdzenie:
Kopernik była kobietą.

2.2 Fundamenty algebry Boole’a

Definicja przeczenia nie (~) dla zer i jedynek
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Gdzie:
p - zmienna binarna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne [0,1]

Przykład:
Jestem uczciwy = nie jestem nie uczciwy
U = ~(~U)

Prawo podwójnego przeczenia dla zer i jedynek:
~(~1) =~(0) =1
~(~0)=~(1) =0

Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p*q =1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p*q =1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0


Definicja spójnika „lub”(+) dla zer i jedynek:
p+q =1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p+q =1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, ~, „i”(*), „lub”(+)

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości 1 albo 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej:
Zmienna binarna jest zmienną binarną w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana (bo p) inaczej jest zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)


2.3 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.3.1 Dowody praw Prosiaczka w przykładach

Dowód 1
Rozważmy sterowanie żarówką (diodą LED) jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej.

Dowód 2

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:05, 01 Kwi 2020, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 18:13, 28 Mar 2020    Temat postu:

Spis treści
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
3.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
3.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 2
3.3 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru 3
3.3.1 Definicja znaczka # 4
3.4 Zbiór wszystkich zbiorów 5
3.5 Zbiory właściwe i niewłaściwe 5
3.6 Relacje między zbiorami 6
3.6.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 7
3.6.2 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych 7
3.7 Definicja tożsamości matematycznej 7
3.7.1 Rodzaje tożsamości matematycznych 8
3.7.1 Wyprowadzenie definicji tożsamości matematycznej 9
3.8 Definicja poprawności matematycznej definicji 13



3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane dosłownie każdemu człowiekowi na ziemi.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.


3.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty


3.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów (+).

Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


3.3 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Przykład 1
p=[1] - definiujemy zbiór p
D=[1,2] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[2]

Przykład 2
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie mężczyzna byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd

3.3.1 Definicja znaczka #

Nawiązując do przykładu wyżej matematycznie zachodzi też:
M=~K # K=~M

Definicja znaczka różne #:
Dwa pojęcia (zbiory) są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy”
M =~(K) = = ~(~M) =M
cnd


3.4 Zbiór wszystkich zbiorów

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne


3.5 Zbiory właściwe i niewłaściwe

Definicja zbioru właściwego:
Zbiór właściwy to zbiór mający nazwę własną należącą do Uniwersum, zrozumiałą dla człowieka.

Przykład:
C = [M, K] - zbiór C jest zbiorem 2-elementowym
C - zbiór człowiek (zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
C=M+K
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała przez każdego człowieka, dlatego ten zbiór spełnia definicję zbioru własciwego

Definicja zbioru niewłaściwego:
Zbiór niewłaściwy to zbiór którego nazwa własna nie należy do Uniwersum.

Przykłady zbiorów niewłaściwych p i q (typu mydło i powidło):
p=[pies, samochód, LN] - zbiór 3-elemetowy
q = [pies, samochód, LN, miłość] - zbiór 4-elementowy
Gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych

W Kubusiowej Teorii Zbiorów zbiór p to zbiór niewłaściwy 3-elementowy, zaś zbiór q to zbiór niewłaściwy 4-elementowy. Matematycznie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q jednak oba te zbiory nie mają nazw własnych zrozumiałych dla człowieka, zatem oba te zbiory to zbiory niewłaściwe.
Żadne rozumowanie człowieka nie opiera się na zbiorach niewłaściwych (typu mydło i powidło) co nie oznacza, że zbiory te nie mogą być użyteczne w tłumaczeniu logiki matematycznej na poziomie matematycznego przedszkola.
Dowód:
p=>q =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
;
q~>p =1 - bo zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Gdzie:
p ## q
## - różne na mocy definicji
To są oczywiście cenne wyjaśnienia, zrozumiałe dla każdego 5-cio latka


3.6 Relacje między zbiorami

1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Zbiór p ma element wspólny ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów nie jest zbiorem pustym
p~~>q = p*q =1 - gdy relacja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy relacja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona
W iloczynie logicznym zbiorów p*q nie chodzi tu o wyznaczenie pełnego zbioru wynikowego, lecz tylko i wyłącznie o znalezienie jednego elementu wspólnego.
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> = spełniona relacja elementu wspólnego ~~> zbiorów.

2.
Definicja podzbioru =>:

Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest spełniona
inaczej:
p=>q =0 - gdy relacja podzbioru => nie jest spełniona (zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q)
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = spełniona relacja podzbioru =>

Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q

3.
Definicja nadzbioru ~>

Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru jest spełniona (=1)
Zajście p jest konieczne ~> do tego aby zaszło q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0 - gdy relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona (zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q)
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = spełniona relacja nadzbioru ~>

Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q

3.6.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla relacji podzbioru p=>q jest relacja elementu wspólnego zbiorów p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość relacji podzbioru p=>q =1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość relacji podzbioru p=>q =0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =1 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w języku potocznym wszystkie używane pojęcia (zbiory) muszą być niepuste.
Jeśli zatem zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, to na 100% => zbiory p i ~q są rozłączne (i odwrotnie)
p=>q=1 => p~~>~q=p*~q=0

Szerzej na temat rachunku zbiorów i zdarzeń na gruncie rachunku zero-jedynkowego będzie w rozdziale 4.0


3.6.2 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych

Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>

3.7 Definicja tożsamości matematycznej

Definicja równoważności <=>:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego

Definicja 100% => pewności matematycznej:
p=>q =1 - gdy z p wynika 100% => pewność q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.

3.7.1 Rodzaje tożsamości matematycznych

Rozróżniamy dwa rodzaje tożsamości matematycznych:
1.
Tożsamość absolutna


Tożsamość absolutna obowiązująca w naszym Wszechświecie od minus nieskończoności do plus nieskończoności
Przykład 1
2+2=4
Przykład 2.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem ta równoważność jest prawdziwa
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów w sensie absolutnym:
Zbiór trójkątów prostokątnych TP jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów
TP=SK

2.
Tożsamość lokalna

W świecie rzeczywistym może zachodzić tożsamość lokalna, związana z konkretnym obiektem, nie będąca tożsamością w sensie absolutnym.

Przykład:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
S<=>A=(A1: S=>A)*(B3: A=>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Zauważmy że prawdziwa jest tu równoważność:
Żarówka świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
S<=>A
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów).
W tym przypadku mamy tożsamość lokalną związana z działaniem tego konkretnego obiektu
S=A
Pojęcie żarówka świeci się jest tożsame z pojęciem przycisk A jest wciśnięty

3.7.1 Wyprowadzenie definicji tożsamości matematycznej

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.

Nie mogę zrozumieć i nigdy tego nie zrozumiem jak matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poniższych banałów.

Definicja relacji podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej
p=>q =0

Definicja relacji nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0

Weźmy dwa zbiory:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Opiszmy słownie relacje w kierunku P8=>P2:
A1.
Jeśli liczba należy do zbioru P8 to na 100% => należy co zbioru P2
P8=>P2 =1 - relacja podzbioru spełniona
Relacja podzbioru => spełniona bo każda liczba należąca do P8 należy także do P2
cnd

Opiszmy relację w kierunku P2~>P8:
A3.
Jeśli liczba należy do zbioru P2 to może ~> należeć do zbioru P8
P2~>P8 =1
Relacja nadzbioru ~> jest tu spełniona i nie musimy tego udowadniać bo wynika ona z prawdziwości A1

Weźmy relację podzbioru =>:
p=>q =1
P8=>P2 =1
Jeśli relacja podzbioru => jest spełniona to zachodzi:
P8+P2 = P2
Ogólnie:
p+q =q
Dla dziedziny LN istnieją elementy poza zbiorem P2, to wszystkie elementy należące do zbioru:
~P2=[1,3,5,7,9…]
Ogólnie:
Zbiór ~q nie ma prawa być zbiorem pustym.

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => q i zbiory te nie są tożsame.
Zastrzeżenie:
Musi istnieć co najmniej jeden element należący do zbioru ~q
Innymi słowy:
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q

Po co nam ta definicja i po co to zastrzeżenie?
Po to, byśmy mieli 100% przełożenie wzajemnych relacji zbiorów nieskończonych P8 i P2 na zbiór minimalny w którym zachodzą identyczne relacje.
Wniosek:
Minimalna dziedzina na której możemy zasymulować to co się dzieje w zbiorach nieskończonych P8 i P2 to zaledwie trzy elementy!

Przyjmijmy zatem dziedzinę minimalną będącą zbiorem 3 elementowym:
D = [1,2,3]
Symulacja podzbioru p=>q, odpowiednika P8=>P2 jest tu następująca:
p=[1]
q=[1,2]
D=[1,2,3]
Stąd mamy:
~p=[D-p]=[2,3]
~q=[D-q]=[3]
Wszystkie możliwe relacja w kierunku od p do q są następujące:
A: p=[1]=>q=[1,2] =1
B: p=[1]~~>~q=[3] =0
C: ~p=[2,3]~>~q=[3] =1
D: ~p=[2,3]~~>q=[1,2] =1

Zauważmy, że aby opisać matematycznie zachodzące tu relacje wszystkie trzy znaczki są nam koniecznie potrzebne (=>, ~> i ~~>), brak któregokolwiek z tych znaczków uniemożliwia opis jak wyżej.

Zauważmy że linie ABCD opisują tu co następuje:
1.
Po stronie zbioru p mamy:
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
2.
Po stronie zbioru ~p mamy tu „rzucanie monetą”:
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p=[2,3] to może ~> on należeć do zbioru ~q=[3] lub może ~~> należeć do zbioru q=[1,2]
KONIEC!

… ale to nie koniec!

Ograniczmy naszą dziedzinę do dwóch elementów:
D=[1,2]
I zastosujmy tu identyczną zasadę przenoszenia właściwości zbioru nieskończonego na zbiór minimalny.

Zasada ta brzmi:
Przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q

Od razu widać, że nie możemy tu przyjąć zbioru:
p=[1,2]
bo w dziedzinie D nie istniej zbiór niepusty ~p.

Jedyna możliwość jaką mamy to takie definicje zbiorów p i q:
p=[1]
q=[1]
Teraz jest wszystko w porządku bo istnieje co najmniej jeden element poza sumą logiczna zbiorów:
p+q=[1]+[1] =1
Obliczamy ~p i ~q
D=[1.2]
stąd:
~p=[D-p] =[1,2]-[1] = 2
~q=[D-q] = [1,2]-[1] =2

Zauważmy, że do zbiorów p i q możemy sobie dodawać dowolne elementy (nawet nieskończenie wiele), ale pod ściśle określonym rygorem!

Wymagany rygor:
Jeśli do zbioru p=q dodamy liczby [3,4,5] to te liczby musimy też dodać do dziedziny D.
Sprawdźmy to:
p=q = [1,3,4,5]
D =[1,2,3,4,5]
~p=[D-p]=[2]
~q=[D-q]=[2]

Innymi słowy:
Doskonale tu widać że tożsamość zbiorów:
p=q
wmusza tożsamość zbiorów:
~p=~q

Wróćmy do dziedziny minimalnej:
p=[1]
q=[1]
Obliczamy ~p i ~q
D=[1.2]
stąd:
~p=[D-p] =[1,2]-[1] = 2
~q=[D-q] = [1,2]-[1] =2

Zbadajmy wszystkie możliwe relacje w zbiorach w kierunku od p do q:
A: p=[1]=>q=[1] =1
B: p=[1]~~>~q=[2] =0
C: ~p=[2]=>~q=[2] =1
D: ~p=[2]~~>q=[1] =0

1.
Odczytajmy co może się wydarzyć gdy ze zbioru p wylosujemy dowolny element?
Odpowiedź:
Jeśli ze zboru p=[1] wylosujemy dowolny element to mamy 100% => pewność, że będzie on należał do q=[1]
p=>q =1
Dowód:
p=q
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie
cnd
2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?
Jeśli ze zboru ~p=[2] wylosujemy dowolny element to mamy 100% => pewność. że będzie on należał do ~q=[2]
~p=>~q =1

Doskonale widać, iż zachodzi tu równoważność:
Element należy do zbioru p wtedy i tylko gdy wtedy gdy należy do zbioru q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Dla tych którzy tego nie widzą wyciągam z kapelusza prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Stąd równoważność tożsama z Wikipedii:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Sprawdźmy zdanie B3:
q=[1] =>p=[1] =1
cnd

Oczywistym jest że równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
p=[1]=q=[1] <=>(A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Historyczny wniosek:
Prawdziwa jest definicja tożsamości matematycznej z algebry Kubusia.


3.8 Definicja poprawności matematycznej definicji

Definicja poprawności matematycznej definicji:
Definicja jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ją relacja równoważności

Definicja równoważności <=>:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego

Definicja 100% => pewności matematycznej:
p=>q =1 - gdy z p wynika 100% => pewność q
Inaczej:
p=>q =0

Przykład:
Pies to na 100% => zwierzę domowe
P=>D =1 - pies na 100% => jest zwierzęciem domowym
Jednak w drugą stronę z faktu, że jakieś zwierzę jest zwierzęciem domowym nie wynika => iż to musi być pies
D=>P =0
Stąd równoważność jest tu fałszywa:
P<=>D = (P=>D)*(D=>P) =1*0 =0

Poprawna definicja minimalna psa jest na przykład taka:
Pies to na 100% => zwierzę domowe, szczekające
P=>D*S =1
Relacja pewności matematycznej => w drugą stronę też tu zachodzi.
Zwierzę domowe, szczekające to na 100% => pies
D*S => P =1

Stąd mamy spełnioną relację równoważności:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest zwierzęciem domowym i szczeka
P<=>D*S = (P=>D*S)*(D*S=>P) =1*1 =1

Ponieważ każda równoważność to z definicji tożsamość matematyczna możemy zapisać:
P=D*S


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 4:43, 03 Kwi 2020, w całości zmieniany 12 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 22:51, 28 Mar 2020    Temat postu:

Spis treści
4.0 Rachunek zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 2
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 3
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 3
4.3 Rachunek zero-jedynkowy w teorii zbiorów i zdarzeń 4
4.1.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
4.1.2 Definicja implikacyjnego operatora logicznego 5



4.0 Rachunek zbiorów i zdarzeń

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Przykład:
P = [pies] - jednoelementowy zbiór wszystkich zwierząt będących psami
4L=[pies, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1 - prawda (w logice psy kalekie pomijamy)

Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zmienna binarna.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym działania logiki matematycznej w zdarzeniach jest wzajemny związek zdarzeń.
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1 - prawda
Zauważmy że:
Jutro może padać lub nie padać - zmienna binarna
Juto może być pochmurno lub nie być pochmurno - zmienna binarna

Uwaga:
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego, które za chwilę poznamy.


4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.


4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane darzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


4.3 Rachunek zero-jedynkowy w teorii zbiorów i zdarzeń

Rachunek zero-jedynkowy mówi o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Te matematyczne związki wymuszają istnienie elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenia możliwego ~~>) oraz definiują cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p|<=>q- operator równoważności
p|=>q - operator implikacji prostej
p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p|~~>q - operator chaosu

4.1.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
A1: ~p+q <=>B1: p+~q =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

4.1.2 Definicja implikacyjnego operatora logicznego

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Definicja implikacyjnego operatora logiczny:
Implikacyjny operator logiczny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, dająca odpowiedź na następujący zestaw pytań:

Dla zdania „Jeśli p to q” zadajemy dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
1. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (A1-B1)?
2. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (A2-B2)?

W zdaniu „Jeśli p to q” zamieniamy p i q.
Dla zdania „Jeśli q to p” zadajemy kolejne dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
3. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q (A3-B3)?
4. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q (A4-B4)?

Komentarz:
Wystarczająca jest odpowiedź na pytania 1 i 2 bowiem z prawdziwości 1 i 2 wynika prawdziwość 3 i 4 (i odwrotnie).


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:18, 03 Kwi 2020, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 16:57, 31 Mar 2020    Temat postu:

Spis treści
5.0 Operator równoważności |<=> 1
5.1 Operator równoważności p|<=>q dla p 2
5.1.1 Szablon operatora równoważności p|<=>q dla p 4
5.1.2 Analiza symboliczna operatora równoważności p|<=>q dla p 5
5.2 Operator równoważności q|<=>p dla q 7
5.2.1 Szablon równoważności q|<=>p dla q 7
5.2.2 Symboliczna analiza równoważności q|<=>p dla q 8
5.3 Przykład równoważności w zdarzeniach A|<=>S 10
5.3.1 Równoważność A|<=>S dla przycisku A 12
5.3.2 Równoważność S|<=>A dla żarówki S 13
5.4 Alternatywne wprowadzenie szablonów równoważności 15
5.4.1 Szablony równoważności do codziennego stosowania 17
5.5 Świat widziany z różnych punktów odniesienia 18



5.0 Operator równoważności |<=>

Uwaga:
Przedstawione teoria równoważności jest matematycznie ważna.
W praktyce w zupełności wystarczające są wyprowadzone z prezentowanej tu teorii szablony równoważności do codziennego stosowania zapisane w punkcie 5.4.1.
Analogia:
Czy do codziennego stosowania twierdzenia Pitagorasa potrzebna jest komukolwiek znajomość dowodu matematycznego tego twierdzenia?
Sam przyznaję, że nigdy nie zapoznałem się z jakimkolwiek dowodem twierdzenia Pitagorasa i nie zamierzam się zapoznawać bo nie jest mi to potrzebne, by biegle posługiwać się tym twierdzeniem.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności <=>:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla twierdzenia Pitagorasa
Kod:

A: 1: TP=>SK = 2:~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4:~SK=>~TP =1
##
B: 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4:~SK~>~TP =1
        I          II             III         IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Aby udowodnić prawdziwość równoważności Pitagorasa potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Zadanie to możemy wykonać najprościej wybierając zdania z warunkami wystarczającymi => gdzie zmienne nie są zanegowane.
Stąd w matematyce funkcjonuje jedynie słuszna definicje równoważności:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenia proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, zatem równoważność Pitagorasa jest prawdziwa.

5.1 Operator równoważności p|<=>q dla p
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicję operatora równoważności p|<=>q dla p mamy w sektorach I i II.

Operator równoważności p|<=>q musi dawać odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p oraz co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p.

Definicja operatora równoważności p|<=>q przed zamianą p i q:
1.
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Równoważność 1 definiuje tożsamość pojęć:
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Równoważność 2 definiuje tożsamość pojęć:
~p=~q

Zauważmy, że matematycznie zachodzą tu relacje:
Kod:

Operator równoważności p|<=>q ## p<=>q = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q ##  p=q  #  ~p=~q

Równoważność Pitagorasa:
Kod:

Operator równoważności p|<=>q ## TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Operator równoważności p|<=>q ##  TP=SK  #  ~TP=~SK


Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wmusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wmusza fałszywość drugiej strony

Wyjaśnienia na przykładzie twierdzenia Pitagorasa:
1.
Operator równoważności TP|<=>SK to układ równań dwóch spójników logicznych:
Równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
oraz
Równoważności ~TP<=>~SK, w logice ujemnej (bo ~SK)
Wnika z tego, że operator równoważności p|<=>q nie może być tożsamy z którymkolwiek ze spójników równoważności p<=>q czy też ~p<=>~q używanych w języku potocznym.
2.
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Powyższa tożsamość logiczna oznacza tylko i wyłącznie tyle, że jeśli mamy udowodnioną równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK to mamy gwarancję matematyczną prawdziwości równoważności Pitagorasa ~TP<=>~SK dla trójkątów nieprostokątnych.
3.
Definicja znaczka #:
Dwa pojęcia są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedno z nich jest zaprzeczeniem drugiego.

Weźmy twierdzenie Pitagorasa gdzie zachodzi:
TP=SK # ~TP=~SK
Definicja znaczka # jest tu spełniona:
TP=~(~TP)
~TP = ~(TP)
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny:
TP+~TP =ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne


5.1.1 Szablon operatora równoważności p|<=>q dla p

Definicja definicji symbolicznej:
Definicja symboliczna operatora implikacyjnego to seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.

Zasady tworzenia definicji symbolicznej:
1.
Zdanie warunkowe fałszywe zapisujemy wtedy i tylko wtedy gdy nie da się danego miejsca uzupełnić zdaniem prawdziwym.
2.
Jeśli na danej pozycji mamy do wyboru jednocześnie spełniony warunek wystarczający => i konieczny ~> co może się zdarzyć wyłącznie w równoważności definiującej tożsamość zbiorów p=q, to zawsze wybieramy warunek wystarczający =>.
Uzasadnienie:
Warunek wystarczający => daje nam gwarancję matematyczną =>, iż jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q w całym obszarze logiki matematycznej, natomiast warunek konieczny ~> daje identyczną gwarancję wyłącznie dla zbiorów tożsamych p=q.
Dokładnie z tego powodu spójnik warunku wystarczającego => jest w logice matematycznej spójnikiem domyślnym.

Kod:

Szablon operatora równoważności p|<=>q dla p
1.
Kiedy zajdzie p?
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem

Zauważmy, że po stronie zdarzenia p mamy 100% => pewność, że zajdzie zdarzenie q - mówi o tym warunek wystarczający => A1
Także po stronie zdarzenia ~p mamy 100% => pewność, że zajdzie zdarzenie ~q - mówi o tym warunek wystarczający B2
Wniosek:
W równoważności nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą”, które jest jednym z filarów dowolnej implikacji co za chwilę zobaczmy.

Wyjaśnienia na przykładzie równoważności Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK

Wyłącznie w równoważności prawdziwy jest jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: TP=>SK =1
B1: TP~>SK =1
W równoważności zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
Zauważmy, że jeśli wypowiemy zdanie warunkowe:
1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
To takie zdanie możemy zakodować na dwa różne sposoby:
TP=>SK =1 - TP jest wystarczające =>dla SK, bo we wszystkich TP zachodzi SK
##
TP~>SK =1 - TP jest konieczne ~> dla SK, bo nie ma ~TP gdzie zachodziłaby SK
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Jak widzimy mamy tu niejednoznaczność matematyczną.
Dokładnie z tego powodu w języku potocznym domyślnym spójnikiem logicznym jest spójnik warunku wystarczającego => dający gwarancję matematyczną => iż jeśli zajdzie TP to na 100% => zajdzie SK
Zauważmy, że spójnik warunku wystarczającego => daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q w całym obszarze logiki matematycznej, oraz że zbiory tożsame p=q to kropla w morzu zbiorów nietożsamych p##q.
Oczywiście opowiedzieć co wiemy w danym temacie, a wiemy to co wyżej, zawsze możemy.

5.1.2 Analiza symboliczna operatora równoważności p|<=>q dla p

Kod:

Szablon operatora równoważności p|<=>q dla p
1.
Kiedy zajdzie p?
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem

Analizę równoważności przeprowadzimy na przykładzie.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Prawo tygryska dla B3:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
Stąd najprostsza definicja tożsama wyrażona warunkami wystarczającymi:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenia proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP zostały udowodnione wieki temu zatem równoważność Pitagorasa jest prawdziwa.

Analiza symboliczna operatora równoważności TP|<=>SK przez wszystkie możliwe przeczenie TP i SK:

1.
Kiedy trójkąt jest prostokątny?
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK

Analiza TP:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego, ab zachodziła w nim suma kwadratów
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest tu spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Dowód:
Równoważność Pitagorasa definiuje:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
TP*~SK = TP*~TP =[] =0

2.
Kiedy trójkąt nie jest prostokątny?
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
Analiza ~TP:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów ~TP=~SK
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest tu spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Dowód:
Równoważność Pitagorasa definiuje:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
~TP*SK = ~SK*SK =[] =0

Podsumowanie:
Zarówno po stronie trójkątów prostokątnych (zdanie A1), jak i po stronie trójkątów nieprostokątnych (zdanie B2) mamy 100% => pewność matematyczną.
Nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” charakterystyczne dla dowolnej implikacji, co za chwilę zobaczymy.

5.2 Operator równoważności q|<=>p dla q
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicję operatora równoważności q|<=>p dla q mamy w sektorach III i IV

Operator równoważności q|<=>p musi dawać odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie q oraz co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q.

Definicja operatora równoważności q|<=>p:
1.
Kiedy zajdzie q?
q zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Równoważność 1 definiuje tożsamość pojęć:
q=p
2.
Kiedy zajdzie ~q?
~q zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
Równoważność 2 definiuje tożsamość pojęć:
~q=~p

5.2.1 Szablon równoważności q|<=>p dla q

Kod:

Szablon operatora równoważności q|<=>p dla q
1.
Kiedy zajdzie q?
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
B3:  q=> p =1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
B3’: q~~>~p=0 - kontrprzykład dla B3 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~q?
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
A4: ~q=>~p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia ~p
A4’:~q~~>p =0 - kontrprzykład dla A4 musi być fałszem

Wyjaśnienia na przykładzie równoważności Pitagorasa dla trójkątów w których zachodzi suma kwadratów:
W trójkącie zachodzi suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten jest prostokątny
SK<=>TP = (B3: SK=>TP)*(A3: SK~>TP)
Ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK

Wyłącznie w równoważności prawdziwy jest jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B3: SK=>TP =1
A3: SK~>TP =1
W równoważności zachodzi tożsamość zbiorów:
SK=TP
Zauważmy, że jeśli wypowiemy zdanie warunkowe:
1.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% ten trójkąt jest prostokątny
To takie zdanie możemy zakodować na dwa różne sposoby:
SK=>TP =1 - SK jest wystarczające =>dla TP, bo we wszystkich SK zachodzi TP
##
SK~>TP =1 - SK jest konieczne ~> dla TP, bo wśród ~SK nie ma takiego który byłby TP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Jak widzimy mamy tu niejednoznaczność matematyczną.
Dokładnie z tego powodu w języku potocznym domyślnym spójnikiem logicznym jest spójnik warunku wystarczającego => dający gwarancję matematyczną => iż jeśli zajdzie SK to na 100% => zajdzie TP.
Zauważmy, że spójnik warunku wystarczającego => daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q w całym obszarze logiki matematycznej, oraz że zbiory tożsame p=q to kropla w morzu zbiorów nietożsamych p##q.
Oczywiście opowiedzieć co wiemy w danym temacie, a wiemy to co wyżej, zawsze możemy.

5.2.2 Symboliczna analiza równoważności q|<=>p dla q

Kod:

Szablon operatora równoważności q|<=>p dla q
1.
Kiedy zajdzie q?
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
B3:  q=> p =1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
B3’: q~~>~p=0 - kontrprzykład dla B3 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~q?
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
A4: ~q=>~p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia ~p
A4’:~q~~>p =0 - kontrprzykład dla A4 musi być fałszem

Analizę równoważności przeprowadzimy na przykładzie.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów:
W trójkącie zachodzi suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten jest prostokątny
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP)
Prawo Tygryska dla A3:
A3: SK~>TP = A1: TP=>SK
Stąd najprostsza definicja tożsama wyrażona warunkami wystarczającymi =>:
W trójkącie zachodzi suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten jest prostokątny
SK<=>TP = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenia proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP zostały udowodnione wieki temu zatem równoważność Pitagorasa jest prawdziwa.

Analiza symboliczna operatora równoważności SK|<=>TP przez wszystkie możliwe przeczenie SK i TP:
1.
Kiedy w trójkącie zachodzi suma kwadratów?

W trójkącie zachodzi suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten jest prostokątny
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP)
Ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
SK=TP

Analiza SK:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny
SK=>TP =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów jest warunkiem wystarczającym => do tego, by ten trójkąt był prostokątny.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów SK=TP
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego B3 musi być fałszem.
B3’
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to ten trójkąt może ~~> nie być prostokątny
SK~~>~TP = SK*~TP =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest tu spełniona bo zbiory SK i ~TP są rozłączne.
Dowód:
Równoważność Pitagorasa definiuje:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
SK*~TP = SK*~SK =[] =0

2.
Kiedy w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów?
W trójkącie nie zachodzi suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten nie jest prostokątny
~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP)
Ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~SK=~TP
Analiza ~SK:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to na 100% => ten trójkąt nie jest prostokątny
~SK=>~TP =1
Nie spełnienie sumy kwadratów w dowolnym trójkącie jest warunkiem wystarczającym => do tego b ten trójkąt nie był prostokątny
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów ~SK=~TP
Kontrprzykład A4’ dla warunku wystarczającego A4 musi być fałszem.
A4’.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to ten trójkąt może ~~> być prostokątny
~SK~~>TP = ~SK*TP =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest tu spełniona bo zbiory ~SK i TP są rozłączne.
Dowód:
Równoważność Pitagorasa definiuje:
TP=SK # ~TP=~SK
Stąd:
~SK*TP = ~SK*SK =[] =0

Podsumowanie:
Zarówno po stronie trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (zdanie B3), jak i po stronie trójkątów w których suma kwadratów nie jest spełniona (zdanie A4) mamy 100% => pewność matematyczną>
Nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” charakterystyczne dla dowolnej implikacji, co za chwilę zobaczymy.


5.3 Przykład równoważności w zdarzeniach A|<=>S

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo!

Rozważmy poniższy schemat sterowania żarówką:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż schemat S1 jest fizyczną realizacją równoważności.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę
cnd

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Lokalna tożsamość matematyczna, obowiązująca wyłącznie dla układu S1:
A=S
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Lokalna tożsamość matematyczna, obowiązująca wyłącznie dla układu S1:
~A=~S
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):

Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Lokalna tożsamość matematyczna, obowiązująca wyłącznie dla układu S1:
S=A
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):

Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Lokalna tożsamość matematyczna, obowiązująca wyłącznie dla układu S1:
~S=~A
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV

5.3.1 Równoważność A|<=>S dla przycisku A

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Kod:

Szablon operatora równoważności p|<=>q dla p
1.
Kiedy zajdzie p?
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Analiza symboliczna w operatora równoważności A|<=>S w oparciu o szablon równoważności
1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Podsumowanie:
Zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (zdanie A1), jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (zdanie B2) mamy 100% pewności - nigdzie nie ma tu śladu „rzucania monetą”, charakterystycznego dla implikacji.

5.3.2 Równoważność S|<=>A dla żarówki S

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Kod:

Szablon operatora równoważności q|<=>p dla q
1.
Kiedy zajdzie q?
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
B3:  q=> p =1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
B3’: q~~>~p=0 - kontrprzykład dla B3 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~q?
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
A4: ~q=>~p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia ~p
A4’:~q~~>p =0 - kontrprzykład dla A4 musi być fałszem

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Analiza symboliczna w operatora równoważności S|<=>A w oparciu o szablon równoważności

1.
Kiedy żarówka świeci się?
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to przycisk A na 100% => jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
Świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym => do tego by mieć 100% pewność że przycisk A jest wciśnięty
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego => B3 musi być fałszem
B3’
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to przycisk A może ~~> nie być wciśnięty (A=1)
S~~>~A = S*~A =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy żarówka nie świeci się?
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)
A4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A na 100% => nie jest wciśnięty (~A=1)
~S=>~A =1
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) jest 100% dowodem => na to, że klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1)
Kontrprzykład A4’ dla warunku wystarczającego => A4 musi być fałszem
A4’.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~~> być wciśnięty (A=1)
~S~~>A = ~S*A =0 - zdarzenie niemożliwe

Podsumowanie:
Zarówno po stronie świecącej się żarówki S (zdanie B3), jak i po stronie nie świecącej się żarówki S (zdanie A4) mamy 100% pewności - nigdzie nie ma tu śladu „rzucania monetą”, charakterystycznego dla implikacji.


5.4 Alternatywne wprowadzenie szablonów równoważności

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności <=>:
Kod:

T1.
----------   ---------                ---------   --------
|   p=q  | # |~p=~q  |        [=]     |  q=p  | # |~q=~p |
----------   ---------                ---------   --------
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q         [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q         [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II                  III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zbiory p i q muszą być wszędzie tymi samymi zbiorami inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q bowiem w definicji podstawowej równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax a pod B1 dowolne zdanie serii Bx
cnd

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Doskonale widać że dla zbiorów tożsamych gdzie relacja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Wmusza tożsamość zbiorów:
p=q
zaś relacja równoważności:
~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
wmusza tożsamość zbiorów:
~p=~q
uzupełnienie tabeli T1 o powiązane z warunkami wystarczającymi => kontrprzykłady ~~> jest trywialne, robimy to na podstawie zbiorów rozłącznych p=q i ~p=~q uzupełniających się wzajemnie do dziedziny:
p+~p =1 (dziedzina)
p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

W poniższej tabeli wartościowanie relacji elementu wspólnego zbiorów ~~> (same 0) zapisano tylko i włącznie na podstawie diagramu zbiorów p=q i ~p=~q widniejącego w nagłówku tabeli.
Kod:

T1
----------   ---------                ---------   --------
|   p=q  | # |~p=~q  |        [=]     |  q=p  | # |~q=~p |
----------   ---------                ---------   --------
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~ q=1 [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0                   
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
        I             II              III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej

Szablony równoważności dla powyższej tabeli są następujące:
Kod:

T1
----------   ---------                   ---------   --------
|   p=q  | # |~p=~q  |           [=]     |  q=p  | # |~q=~p |
----------   ---------                   ---------   --------
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~ q=1    [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0                   
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
-------------------------------------------------------------
Szablon równoważności dla p i ~p [=] Szablon równoważności dla q i ~q
1.                               [=] 1.
Kiedy zajdzie p?                 [=] Kiedy zajdzie q?
p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)     [=] q<=>p=(B3: q=>p)*(A4:~q=>~p)
A1:  p=>q  =1                    [=] B3:  q=>p  =1
A1’: p~~>~q=0                    [=] B3’: q~~>~p=0
2.                               [=] 2.
Kiedy zajdzie ~p?                [=] Kiedy zajdzie ~q?
~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)   [=]~q<=>~p=(A4:~q=>~p)*(B3: q=>p)
B2: ~p=>~q =1                    [=] A4: ~q=>~p =1
B2’ ~p~~>q =0                    [=] A4’:~q~~>P =0


5.4.1 Szablony równoważności do codziennego stosowania

W codziennym stosowaniu istotna jest zawartość szablonów równoważności a nie trudne do zapamiętania indeksy przy poszczególnych zdaniach.
Co więcej, kolejność wypowiadanych zdań wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q nie ma żadnego znaczenia, bowiem każdemu z tych zdań da się przypisać indywidualną wartość logiczną prawda/fałsz niezależną od jakichkolwiek innych zdań.

Podsumowując:
Zdecydowanie łatwiejsze do zapamiętania i codziennego użytku będą poniższe szablony.
Kod:

Szablony równoważności do codziennego stosowania

Szablon równoważności dla p i ~p [=] Szablon równoważności dla q i ~q
1.                               [=] 1.
Kiedy zajdzie p?                 [=] Kiedy zajdzie q?
p<=>q=(A: p=>q)*(C:~p=>~q)       [=] q<=>p=(A: q=>p)*(C:~q=>~p)
A:  p=>q  =1                     [=] A:  q=>p  =1
B:  p~~>~q=0                     [=] B:  q~~>~p=0
2.                               [=] 2.
Kiedy zajdzie ~p?                [=] Kiedy zajdzie ~q?
~p<=>~q=(C:~p=>~q)*(A: p=>q)     [=]~q<=>~p=(C:~q=>~p)*(A: q=>p)
C: ~p=>~q =1                     [=] C: ~q=>~p =1
D: ~p~~>q =0                     [=] D: ~q~~>P =0



5.5 Świat widziany z różnych punktów odniesienia

Rozważmy naszą fizyczną realizację równoważności w zdarzeniach:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla schematu S2:
Kod:

P0 Notacja polska [ A, S] logiczny punkt odniesienia [A, S]
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że zarówno definicja jak i matematyczne związki między warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> zapisane są w matematycznej logice dodatniej obowiązującej w Polsce.

Logika dodatnia obowiązująca w Polsce to:
Prawa Prosiaczka:
Notacja 1
(A=1)=(~A=0) - przycisk A wciśnięty
(A=0)=(~A=1) - przycisk A nie wciśnięty (~A=1)
(S=1)=(~S=0) - żarówka świeci
(S=0)=(~S=1) - żarówka nie świeci (~S=1)
Zauważmy, ze na mocy praw Prosiaczka możemy tu wywalić w kosmos wszelkie zera zapisując co następuje:
Notacja 2
A=1 - żarówka świeci
~A=1 - żarówka nie (~) świeci
S=1 - żarówka świeci
~S=1 - żarówka nie (~) świeci
W tym momencie formułujemy prawo Borsuka obowiązujące w języku potocznym.

Prawo Borsuka:
W języku potocznym wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, bowiem wtedy i tylko wtedy mamy zgodność wszystkich przeczeń z językiem potocznym.

Zauważmy, że prawo Borsuka pozwala nam na rezygnacje z wartościowania symboli w języku potocznym bo i tak mamy wszędzie jedynki. Oczywiście pod warunkiem, że domyślnie przyjmiemy prawo Borsuka za obowiązujące w logice matematycznej, jak to jest w algebrze Kubusia.

Na mocy prawa Borsuka zapisujemy zatem:
Notacja 3
A - żarówka świeci
~A - żarówka nie (~) świeci
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie (~) świeci

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Notacja Polska = Notacja 1 = Notacja 2 = Notacja 3
Zastanówmy się teraz jakie mamy możliwości poprawnego kodowania matematycznego opisu schematu S1.

Abstrakcyjnie można sobie wyobrazić kraje z innym odwzorowaniem rzeczywistości na zapis matematyczny, bowiem możliwe są tu cztery różne punkty odniesienia.

Weźmy przykładowo Anglika:
Anglicy jak to Anglicy, czasami mają odwrotnie niż Polacy.
Dowód:
Anglicy to jeżdżą lewą stroną, zamiast jedynie słuszną z naszego punktu odniesienia prawą stroną (czyli NIE lewą stroną)

Załóżmy zatem, że u anglików obowiązuje notacja angielska będąca zanegowaną notacją polską.
Mamy zatem:
P0 Notacja polska - punkt odniesienia P0:
Notacja 3
A - żarówka świeci
~A - żarówka nie (~) świeci
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie (~) świeci
Notacja angielska widziana z jedynie słusznego, polskiego punktu odniesienia
P1 Notacja angielska - to zanegowana notacja polska P0
~A - żarówka świeci
A - żarówka nie świeci
~S - żarówka świeci
S - żarówka nie świeci
Jak widać, my Polacy, w opisie matematycznym schematu S1 widzianego okiem anglika musimy zanegować wszystkie zmienne binarne.
Kod:

P1 Notacja angielska [~A,~S] z punktu odniesienia P0 [A,S]
A: 1:~A=>~S = 2: A~>S [=] 3: ~S~>~A = 4:S=>A =1
##
B: 1:~A~>~S = 2: A=>S [=] 3: ~S=>~A = 4:S~>A =1
       I          II          III       IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja równoważności w angielskim punkcie odniesienia:
P0 - polski punkt odniesienia
A<=>S = A*S+~A*~S
P1 - angielski punkt odniesienia
(~A)<=>(~S) = (~A)*(~S)+~(~A)*~(~S)
~A<=>~S = ~A*~S+A*S

Porównajmy to z jednie słuszną w naszym kraju notacją Polską
Kod:

P0 Notacja polska [ A, S] logiczny punkt odniesienia [A, S]
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja równoważności w polskim punkcie odniesienia:
A<=>S = A*S+~A*~S

Jak widzimy, w angielskim punkcie odniesienia P1 zostały tu zamienione ćwiartki [I,II] z [III,IV] co matematycznie jest bez znaczenia.
Matematycznie tabele P0 i P1 są identyczne, jednak opisują fundamentalnie inne rzeczywistości fizyczne, bowiem rzeczywistość anglika w temacie żarówka-przycisk to odwrócona rzeczywistość Polaka.

Dowód:
1.
Udajmy się do szkoły polskiej.
Pan od fizyki mówi do Jasia:
Czy możesz zaświecić żarówkę?
Jaś:
Zrobione - żarówka świecie się wedle notacji polskiej
2.
Udajmy się do szkoły angielskiej.
Pan od fizyki mówi do Johna:
Czy możesz zaświecić żarówkę?
Jaś:
Zrobione - żarówka świeci się wedle notacji angielskiej, co oznacza że jest zgaszona wedle notacji Polskiej.

Jak widzimy angielska rzeczywistość w temacie żarówki to odwrócona do góry nogami rzeczywistość polska. Oczywiście każdy anglik będzie nam wmawiał że to nasza rzeczywistość jest odwrócona do góry nogami.

Oczywiście można patrzeć na świat z dwóch pozostałych możliwych punktów odniesienia:
P2 Bergamuty [A, ~S]
P3 Buszmenia [~A, S]
… ale nie będziemy się tym zajmowali, bo to nie jest nasz świat.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 8:26, 04 Kwi 2020, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 18:17, 31 Mar 2020    Temat postu:

Spis treści
6.0 Operator implikacji prostej |=> 1
6.1 Szablon operatora implikacji prostej p|=>q 1
6.1.1 Relacje w implikacji prostej p|=>q 3
6.1.2 Analiza implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 3
6.2 Przykład implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach 5
6.3 Alternatywne wprowadzenie szablonu implikacji prostej p|=>q 8



6.0 Operator implikacji prostej |=>

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej |=>:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q

6.1 Szablon operatora implikacji prostej p|=>q
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicję operatora implikacji prostej p|=>q dla p i ~p mamy w sektorach I i II.

Operator implikacji prostej p|=>q musi dawać odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p oraz co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p.

Definicja definicji symbolicznej:
Definicja symboliczna operatora implikacyjnego to seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.

Zasady tworzenia definicji symbolicznej:
1.
Zdanie warunkowe fałszywe zapisujemy wtedy i tylko wtedy gdy nie da się danego miejsca uzupełnić zdaniem prawdziwym.
2.
Jeśli na danej pozycji mamy do wyboru jednocześnie spełniony warunek wystarczający => i konieczny ~> co może się zdarzyć wyłącznie w równoważności definiującej tożsamość zbiorów p=q, to zawsze wybieramy warunek wystarczający =>.
Uzasadnienie:
Warunek wystarczający => daje nam gwarancję matematyczną =>, iż jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q w całym obszarze logiki matematycznej, natomiast warunek konieczny ~> daje identyczną gwarancję wyłącznie dla zbiorów tożsamych p=q.
Dokładnie z tego powodu spójnik warunku wystarczającego => jest w logice matematycznej spójnikiem domyślnym.
3.
W przypadku implikacji prostej p|=>q wszelka informacja na temat tego co może się wydarzyć gdy zajdzie p oraz co może się wydarzyć gdy zajdzie ~p dostępna jest w sektorach I i II
Kod:

p|=> q = (A1: p=>q )*~(B1: p~> q)
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)

Na podstawie tej informacji tworzymy szablon implikacji prostej p|=>q
Kod:

Szablon operatora implikacji prostej p|=>q
p|=> q = (A1: p=>q )*~(B1: p~> q)
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p=> q  =1 - p jest wystarczające => dla q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q
Kontrprzykład B1’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0
musi być prawdą
B2’:~p~~>q =1 - prawdziwy kontrprzykład dla B2


Wnioski:
W implikacji prostej p|=>q po stronie zdarzenia p mamy 100% => pewność zajścia zdarzenia q - mówi o tym zdanie A1.
Jednak po stronie zdarzenia ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie A2) lub jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q (zdanie B2’).
„Rzucanie monetą” jest tu ewidentne.

6.1.1 Relacje w implikacji prostej p|=>q
Definicje:
1.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
2.
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
##
3.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(A2: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*~(~p*q) = ~p*q
[=]
4.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo q):
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*~(~p*q) = ~p*q

Matematyczne relacje jakie tu zachodzą to:
1: p=>q=~p+q ## 2: p~>q = p+~q ## 3: p|=>q=~p*q [=] ~p|~>~q=~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


6.1.2 Analiza implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach

Definicja implikacji prostej |=>:
p|=> q = (A1: p=>q )*~(B1: p~> q) = 1*~(0) =1*1 =1
stąd:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0

Rozważmy zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zbadajmy prawdziwość/fałszywość zdania B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Stąd mamy definicję podstawową implikacji prostej P8|=>P2 w równaniu logicznym:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Stąd mamy zdeterminowaną naszą tabelę warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

A: 1: P8=>P2 = 2:~P8~>~P2 [=] 3: P2~>P8 = 4:~P2=>~P8 =1
##
B: 1: P8~>P2 = 2:~P8=>~P2 [=] 3: P2=>P8 = 4:~P2~>~P8 =0
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W matematyce zawsze najprościej udowadnia się warunki wystarczające => ze względu na definicję kontrprzykładu przy pomocy której, z reguły łatwo możem wyłapać warunek wystarczający fałszywy.
Dowód:
B1: P2~>P8 = B3: P2=>P8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład 2
cnd
Stąd szczególnie użyteczna w matematyce definicja implikacji prostej |=> brzmi:
Implikacja prosta p|=>q to warunek wystarczający p=>q zachodzący wyłącznie w jedną stronę
p|=>q = (A1: p=>q)*~( B3: q=>p) = 1*~(0) =1*1 =1
Kod:

Szablon operatora implikacji prostej p|=>q
p|=> q = (A1: p=>q )*~(B1: p~> q)
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p=> q  =1 - p jest wystarczające => dla q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q
Kontrprzykład B1’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0
musi być prawdą
B2’:~p~~>q =1 - prawdziwy kontrprzykład dla B2


Przypomnijmy nasz zdanie główne, nasz punkt odniesienia:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1

Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9…]
Mamy zbiory:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8…]
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7…]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9…]
Ponieważ mamy udowodnioną prawdziwość implikacji P8|=>P2 to mamy gwarancję matematyczną => że wszelkie relacja zbiorów wynikające z szablonu mamy spełnione. Niemniej jednak będziemy je rozpisywać by potwierdzić poprawność algebry Kubusia.

Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytania 1 i 2 w poniższej analizie.
1.
Co może się wydarzyć dla liczb podzielnych przez 8?
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2=P8*~P2 =0
Zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne

2.
Co może się wydarzyć dla liczb niepodzielnych przez 8?
... a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2>~P8~>~P2
stąd:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9…]
LUB
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów jest spełniona (=1) bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają co najmniej jeden element wspólny (np. 2)

W zdaniu B2’ warunek konieczny ~> nie zachodzi co łatwo udowodnić metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu B2’ warunek konieczny zachodzi i zastosujmy prawo Kubusia:
B2’: ~P8~>P2 = P8=>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
cnd

Wnioski:
W implikacji prostej P8|=>P2 po stronie zbioru P8=[8,16,24..] mamy 100% => iż jest on podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…] - mówi o tym zdanie A1.
Jednak po stronie zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli wylosujemy dowolną liczbę ze zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] to może ~> ona należeć do zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..] (zdanie A2) lub może należeć do zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie B2’)
„Rzucanie monetą” jest tu ewidentne.


6.2 Przykład implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo!
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji prostej |=>:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)
Dla B1 zastosujmy prawo Tygryska:
B1: A~>S = S=>A
Stąd mam łatwą w dowodzeniu definicję w warunkach wystarczających =>:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B3: S=>A)
Dowód iż schemat S2 realizuje operator implikacji prostej A|=>S.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia (B=x)
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk a jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Świecenie się żarówki S nie jest warunkiem wystarczającym => do wyciągnięcia wniosku iż przycisk A jest wciśnięty, bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B (B=1)

Jak widać udowodniliśmy iż schemat S2 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

Szablon operatora implikacji prostej p|=>q
p|=> q = (A1: p=>q )*~(B1: p~> q)
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p=> q  =1 - p jest wystarczające => dla q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q
Kontrprzykład B1’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0
musi być prawdą
B2’:~p~~>q =1 - prawdziwy kontrprzykład dla B2

Implikacja prosta A|=>S musi odpowiedzieć na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty?
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> nie świecenia się żarówki S, bo jak przycisk A jest wciśnięty to żarówka na 100% => się świeci
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
LUB
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Zdarzenie możliwe ~~> bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B (B=1).

Wnioski:
W implikacji prostej A|=>S mamy po stronie wciśniętego klawisza A mamy 100% pewność zaświecenia się żarówki o czym mówi zdanie A1.
Natomiast po stronie nie wciśniętego klawisza A mamy najzwyklejsze „rzucani monetą”:
Jeśli klawisz A nie jest wciśnięty to żarówka może ~> się nie świecić (zdanie A2) lub może ~~> się świecić (danie B2’)


6.3 Alternatywne wprowadzenie szablonu implikacji prostej p|=>q

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Na mocy definicji implikacji prostej w zbiorach zapisujemy:
A1: p=>q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
stąd:
Tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla implikacji prostej |=>:
Kod:

T2.
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =0
       I              II             III            IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na początek uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu.
Kod:

T2
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0                   
##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Algorytm wypełniania tabeli:
1.
Dla spełnionych warunków wystarczających p=>q=1 zapisujemy fałszywe kontrprzykłady p~~>~q=0:
Kod:

A1:  p=>q  =1
A1’: p~~>~q=0 ulega skopiowaniu do B1’: p~~>~q=0 (bo p i q są identyczne)
A4:  ~q=>~p=1
A4’: ~q~~>p=0 ulega skopiowaniu do B4’:~q~~>p =0 (bo p i q są identyczne)

2.
Dla nie spełnionych warunków wystarczających p=>q=0 zapisujemy prawdziwe kontrprzykłady p~~>~q=1
Kod:

B2: ~p=>~q =0
B2’:~p~~>q =1 ulega skopiowaniu do A2’:~p~~>q =1 (bo p i q są identyczne)
B3:  q=>p  =0
B3’: q~~>~p=1 ulega skopiowaniu do A3’: q~~>~q=1 (bo p i q są identyczne)

Z ostatniej tabeli otrzymujemy szablony implikacji prostej |=>:
Kod:

A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0                   
##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0
----------------------------------------------------------
Szablon implikacji dla p i ~p    [=] Szablon implikacji dla q i ~q
 p|=>q =(A1: p=>q )*~(B1:p~>q)   [=] q|~>p =(A3: q~>p )*~(B3: q=>p)         
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) [=]~q|=>~p=(A4:~q=>~p)*~(A4:~q~>~p)
1.                               [=]1.
Co się stanie gdy zajdzie p?     [=] Co się stanie gdy zajdzie q?
A1:  p=>q  =1                    [=] A3:  q~>p  =1
A1’: p~~>~q=0                    [=] B3’: q~~>~p=1
2.                               [=]2.
.. a jeśli zajdzie ~p            [=]… a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia:                   [=] Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q             [=] A3:  q~>p = A4:~q=>~p
A2: ~p~>~q  =1                   [=] A4: ~q=>~p =1
B2’:~p~~>q  =1                   [=] A4’:~q~~>p =0


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 14:04, 03 Kwi 2020, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 5:48, 01 Kwi 2020    Temat postu:

Spis treści
7.0 Operator implikacji odwrotnej |~> 1
7.1 Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q 1
7.1.1 Relacje w implikacji odwrotnej p|~>q 3
7.1.2 Analiza implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 3
7.2 Przykład implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach 5
7.3 Alternatywne wprowadzenie szablonu implikacji odwrotnej p|~>q 10



7.0 Operator implikacji odwrotnej |~>

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej |=>:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q

7.1 Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicję operatora implikacji odwrotnej p|~>q dla p i ~p mamy w sektorach I i II.

Operator implikacji odwrotnej p|~>q musi dawać odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p oraz co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p.

Definicja definicji symbolicznej:
Definicja symboliczna operatora implikacyjnego to seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.

Zasady tworzenia definicji symbolicznej:
1.
Zdanie warunkowe fałszywe zapisujemy wtedy i tylko wtedy gdy nie da się danego miejsca uzupełnić zdaniem prawdziwym.
2.
Jeśli na danej pozycji mamy do wyboru jednocześnie spełniony warunek wystarczający => i konieczny ~> co może się zdarzyć wyłącznie w równoważności definiującej tożsamość zbiorów p=q, to zawsze wybieramy warunek wystarczający =>.
Uzasadnienie:
Warunek wystarczający => daje nam gwarancję matematyczną =>, iż jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q w całym obszarze logiki matematycznej, natomiast warunek konieczny ~> daje identyczną gwarancję wyłącznie dla zbiorów tożsamych p=q.
Dokładnie z tego powodu spójnik warunku wystarczającego => jest w logice matematycznej spójnikiem domyślnym.
3.
W przypadku implikacji odwrotnej p|~>q wszelka informacja na temat tego co może się wydarzyć gdy zajdzie p oraz co może się wydarzyć gdy zajdzie ~p dostępna jest w sektorach I i II
Kod:

p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)

Na podstawie tej informacji tworzymy szablon implikacji odwrotnej p|~>q
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q  =1 - p jest konieczne ~> dla q
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: p=>q=0
musi być prawdą
A1’: p~~>~q =1 - prawdziwy kontrprzykład dla A1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest wystarczające => dla ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem

Wnioski:
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie zdarzenia p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (zdanie B1) lub jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q (zdanie A1’).
„Rzucanie monetą” jest tu ewidentne.
ALE!
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie zdarzenia ~p mamy 100% => pewność zajścia zdarzenia ~q - mówi o tym zdanie B2.


7.1.1 Relacje w implikacji odwrotnej p|~>q
Definicje:
1.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
2.
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
##
3.
Definicja implikacji prostej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) =(p*~q)*(p+~q) = p*~q
[=]
4.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo q):
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q) = p*~q

Matematyczne relacje jakie tu zachodzą to:
1: p=>q=~p+q ## 2: p~>q = p+~q ## 3: p|~>q=p*~q [=] ~p|=>~q=p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


7.1.2 Analiza implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej |~>:
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)=~(0)*1 =1*1 =1
Stąd:
B1: p~>q =1
A1: p=>q =0

Rozważmy zdanie B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
W takim przypadku należy obowiązkowo skorzystać z prawa Tygryska bowiem warunek wystarczający dowodzi się dużo prościej.
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 =1
Bo zbiór P8=[8.16.24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Sprawdźmy fałszywość zdania A1
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]


Stąd mamy definicję podstawową implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8 w równaniu logicznym:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8 )*(B1: P2~> P8)=~(0)*1 =1*1 =1

Stąd mamy zdeterminowaną naszą tabelę warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

A: 1: P2=>P8 = 2:~P2~>~P8 [=] 3: P8~>P2 = 4:~P8=>~P2 =0
##
B: 1: P2~>P8 = 2:~P2=>~P8 [=] 3: P8=>P2 = 4:~P8~>~P2 =1
        I          II             III          IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na podstawie tej informacji tworzymy szablon implikacji odwrotnej p|~>q
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q  =1 - p jest konieczne ~> dla q
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: p=>q=0
musi być prawdą
A1’: p~~>~q =1 - prawdziwy kontrprzykład dla A1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest wystarczające => dla ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem


Przypomnijmy nasz zdanie główne, nasz punkt odniesienia:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1

Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9…]
Mamy zbiory:
P2=[2,4,6,8…]
P8=[8,16,24..]
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9…]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7…]

Ponieważ mamy udowodnioną prawdziwość implikacji odwrotnej P2|~>P8 to mamy gwarancję matematyczną => że wszelkie relacja zbiorów wynikające z szablonu mamy spełnione. Niemniej jednak będziemy je rozpisywać by potwierdzić poprawność algebry Kubusia.

Operator logiczny implikacji odwrotnej P2|~>P8 to odpowiedź na pytania 1 i 2 w poniższej analizie.
1.
Co może się wydarzyć dla liczb podzielnych przez 2?
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów jest spełniona (=1) bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i mają co najmniej jeden element wspólny (np. 2)

2.
Co może się wydarzyć dla liczb niepodzielnych przez 2?
... a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8
stąd:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9…]
LUB
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
~P2~~>P8 =~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]

Komentarz:
W zdaniu A1’ warunek konieczny ~> nie zachodzi co łatwo udowodnić metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu A1’ warunek konieczny zachodzi i zastosujmy prawo Kubusia:
A1’: P2~>~P8 = P8=>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
cnd

Wnioski:
W implikacji odwrotnej P2|~>P8 po stronie zbioru P2=[2,4,6,8..] mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli ze zbioru P2=[2,4,6,8..] wylosujemy dowolną liczbę to może ~> to może ona należeć do zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie B1) lub może ~~> należeć do zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (zdanie A1’).
„Rzucanie monetą” jest tu ewidentne.
ALE!
W implikacji odwrotnej P2|~>P8 jeśli ze zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] wylosujemy dowolną liczbę to mamy 100% => pewność iż ta liczba będzie należała do zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - mówi o tym zdanie B2.

7.2 Przykład implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo!

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q  =1 - p jest konieczne ~> dla q
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: p=>q=0
musi być prawdą
A1’: p~~>~q =1 - prawdziwy kontrprzykład dla A1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest wystarczające => dla ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem


Rozważmy fizyczną realizację operatora implikacji odwrotnej A|~>S jak niżej:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Na początek musimy udowodnić iż schemat S2 rzeczywiście jest fizyczną realizacją operatora implikacji odwrotnej A|~>S o definicji:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1
Dowodzimy fałszywości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki S bo wiem zmienna wolna B może być ustawiona na B=0, wtedy żarówka nie świeci się mimo włączonego przycisku A (A=1).
Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S.
Koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1.
Zauważmy, że wciśnięcie przycisku A nie jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się co udowodniono ciut wyżej.

Podsumowując:
Układ S2 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
W tym monecie wszelkie dalsze analizy matematyczne układu S2 możemy zlecić głupiemu komputerowi w oparciu ogólny szablon obsługi operatora implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej |~> dla naszego układu:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q  =1 - p jest konieczne ~> dla q
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: p=>q=0
musi być prawdą
A1’: p~~>~q =1 - prawdziwy kontrprzykład dla A1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest wystarczające => dla ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem

Podstawmy do tego szablonu nasz przykład podstawiając:
p=A
q=S
stąd otrzymujemy szablon dokładnie dla naszego przypadku:
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej A|~>q
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)
~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie A?
B1:  A~> S  =1 - A jest konieczne ~> dla S
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: A=>S=0
musi być prawdą
A1’: A~~>~S =1 - prawdziwy kontrprzykład dla A1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~A?
B2: ~A=>~S =1 - ~A jest wystarczające => dla ~S
B2’:~A~~>S =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Przełóżmy otrzymany szablon na serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” (przez wszystkie możliwe przeczenia p i q) tworzących operator implikacji odwrotnej A|~>S.
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej A|~>q
1: A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)
2: ~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S)

stąd dla 1 mamy:
B1: A~>S =1
A1: A=>S =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą:
A1’: A~~>~S =1
Szablon daje nam gwarancję matematyczną => zachodzenia wszystkich relacji, niemniej jednak wszystko będziemy dowodzić by udowodnić poprawność algebry Kubusia.

Operator implikacji odwrotnej A|~>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2 jak niżej:

1.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenie się żarówki S - dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1.
LUB
A1’ (patrz wyprowadzenie tego zdania wyżej)
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Jest taka możliwość (=1) gdy zmienna wolna B będzie ustawiona na B=0

2.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A nie będzie wciśnięty (A=0)?
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Dowód:
Przycisk A jest połączony szeregowo z żarówką - stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x.
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zdarzenie niemożliwe (=0) bo przyciska A jest podłączony do żarówki szeregowo.

Podsumowanie:
Z naszej analizy widać, że jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty to żarówka może ~> się świecić (zdanie B1) lub może ~~> się nie świecić ( zdanie A1’)
Ewidentne „rzucanie monetą” widać tu jak na dłoni.
Ale!
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić.


7.3 Alternatywne wprowadzenie szablonu implikacji odwrotnej p|~>q

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Na mocy definicji implikacji odwrotnej w zbiorach zapisujemy:
A1: p=>q =0 - bo zbiór p jest nie podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
stąd:
Tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla implikacji odwrotnej |~>:
Kod:

T3
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =0
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na początek uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu.
Kod:

T3
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1                   
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Algorytm wypełniania tabeli:
1.
Dla spełnionych warunków wystarczających p=>q=1 zapisujemy fałszywe kontrprzykłady p~~>~q=0:
Kod:

B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0 ulega skopiowaniu do A2’:~p~~>q =0 (bo p i q są identyczne)
B3:  q=>p  =1
B3’: q~~>~p=0 ulega skopiowaniu do A3’: q~~>~q=0 (bo p i q są identyczne)

2.
Dla nie spełnionych warunków wystarczających p=>q=0 zapisujemy prawdziwe kontrprzykłady p~~>~q=1
Kod:

A1:  p=>q  =0
A1’: p~~>~q=1 ulega skopiowaniu do B1’: p~~>~q=1 (bo p i q są identyczne)
A4:  ~q=>~p=0
A4’: ~q~~>p=1 ulega skopiowaniu do B4’:~q~~>p =1 (bo p i q są identyczne)

Z ostatniej tabeli otrzymujemy szablony implikacji odwrotnej |~>:
Kod:

T3
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1                   
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1
----------------------------------------------------------
Szablon implikacji dla p i ~p    [=] Szablon implikacji dla q i ~q
 p|~>q =~(A1: p=>q )*(B1:p~>q)   [=] q|=>p =~(A3: q~>p )*(B3: q=>p)         
~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) [=]~q|~>~p=~(A4:~q=>~p)*(A4:~q~>~p)
1.                               [=]1.
Co się stanie gdy zajdzie p?     [=] Co się stanie gdy zajdzie q?
B1:  p~>q  =1                    [=] B3:  q=>p  =1
A1’: p~~>~q=1                    [=] B3’: q~~>~p=0
2.                               [=]
.. a jeśli zajdzie ~p            [=]… a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia:                   [=] Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q             [=] B3:  q=>p = B4:~q~>~p
B2: ~p=>~q  =1                   [=] B4: ~q~>~p =1
B2’:~p~~>q  =0                   [=] A4’:~q~~>p =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 14:03, 03 Kwi 2020, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 7:06, 01 Kwi 2020    Temat postu:

Spis treści
8.0 Operator chaosu |~~> 1



8.0 Operator chaosu |~~>

Definicja operatora chaosu p|~~>q:[/b]
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w operatorze chaosu |~~>:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję operatora chaosu potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji operatora chaosu p|~~>q

Uwaga:
W praktyce należ tu zauważyć, że ponieważ wszystkie możliwe warunki wystarczające => w powyższych związkach są fałszem to w tabeli symbolicznej przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, nie może być ani jednego zera, bowiem byłby to dowód na istnienie warunku wystarczającego =. prawdziwego na moc definicji kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

... ale jak znaleźć zdanie spełniające definicję operatora chaosu p|~~>q w zbiorach?

Mamy definicję podstawową operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Prawo Tgryska dla B1:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd mam najprostszą definicję operatora chaosu p|~~>q wyrażoną warunkami wystarczającymi =>, łatwą w dowodzeniu i szukaniu czegokolwiek np. potrzebnych nam zbiorów.
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B3: q=>p) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
stąd:
A1: p=>q =0
B3: q=>p =0
Spróbujmy podstawienia:
p=P8
q=P3
Mamy:
P8=>P3 =0 - bo kontrprzykład: 8
P3=>P8 =0 - bo kontrprzykład 3
Jak widać, gładko poszło, mamy dwa zbiory wchodzące w skład operatora chaosu P8|~~>P3

Wypowiedzmy zdanie podstawowe:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =P8*P3 =1 bo 24
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Wyznaczmy po kilka elementów zbiorów we wszystkich przeczeniach, byśmy nie musieli abstrakcyjnie główkować.
P8=[8,16,24 ..]
P3=[3,6,9..24..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[1,2..4,5..7,8..]
Dowód w analizie symbolicznej przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, iż mamy tu do czynienia z operatorem chaosu P8|~~>P3
Kod:

A: P8~~> P3= P8* P3=1 - bo 24
B: P8~~>~P3= P8*~P3=1 - bo 8
C:~P8~~>~P3=~P8*~P3=1 - bo 2
D:~P8~~> P3=~P8* P3=1 - bo 3

cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:19, 01 Kwi 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:39, 03 Kwi 2020    Temat postu:

Spis treści
9.0 Dowód poprawności Kubusiowej teorii zbiorów na gruncie KRZ 1
9.1 Alternatywne wprowadzenie szablonów operatorów logicznych 7
9.1.1 Alternatywne wprowadzenie szablonu równoważności p<=>q 8
9.1.2 Alternatywne wprowadzenie szablonu implikacji prostej p|=>q 11
9.1.3 Alternatywne wprowadzenie szablonu implikacji odwrotnej p|~>q 12



9.0 Dowód poprawności Kubusiowej teorii zbiorów na gruncie KRZ

Przez 14 lat matematycznej wojny wszech czasów:
Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań
algebra Kubusia była wściekle atakowana przez wszystkich za to, że jest praktycznie w 100% sprzeczna z klasycznym rachunkiem zdań.

Odwieczne pytanie Rafała3006 brzmiało:
Jak dotrzeć do serc ziemskich matematyków mając świadomość, że kluczowe w algebrze Kubusia definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy sprzeczne?

W AK zachodzą tożsamości matematyczne:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Rozwiązanie problemu podsunęła mi zacięta dyskusja z Irbisolem typu „gadał dziad do obrazu”, który za wszelką cenę starał się obalić AK - dzięki mu za to.
Całkiem niedawno, patrząc na powyższą tożsamość matematyczną znalazłem rozwiązanie.
Tożsamość w matematyce to rzecz święta, zatem na mocy brzytwy Ockhama mogę w imię znalezienia wspólnego języka z ziemianami usunąć tymczasowo z AK pojęcia warunek wystarczający => i konieczny ~>.
Na szczęście definicje podzbioru => i nadzbioru ~> w AK i KRZ są identyczne i dokładnie w tym kierunku skierowałem dyskusję.

Oto jej efekty:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-1100.html#514499
fiklit napisał:
Zmieniam pytanie bo się zacznie cyrk nazewniczy jak jest z implikacją i warunkami.
Co?
Irbisol sprawdził, że P8 jest podzbiorem P2, potem sprawdził, P8 nie jest nadzbiorem P2.
uznał, że wobec tego zbiory te nie są równe. A ty uważasz, że 14 przypadków przegapił?
Podaj choć jeden przegapiony.

Dzięki, teraz się rozumiemy - mamy wspólny język.
Irbisol podał dokładnie trzy tożsame algorytmy rozstrzygające czy zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, czy nie jest tożsamy.
Oczywistym wnioskiem z faktu, że dwa zbiory p i q nie są tożsame, jest wniosek że zbiory p i q są różne na mocy definicji ##

Sam to napisał, popatrz:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-1025.html#513403
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:

Jeśli masz dwa zbiory tożsame p=q
to czy zachodzi jednoczesna relacja podzbioru => i nadzbioru ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku?
Czyli czy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1

Tak, popierdoleńcu - zachodzą obie te relacje jednocześnie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-1100.html#514417
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:

Kwadratura koła dla Irbisola:
Czy twój dowód jest wystarczający dla kluczowego tu rozstrzygnięcia tzn.
Czy po wykonaniu twojego dowodu jesteś w stanie rozstrzygnąć czy zbiory P8 i P2 są tożsame:
P8=P2
czy też może między nimi zachodzi relacja różne na mocy definicji ##:
P8##P2

Podpowiedź:
Jaki jeszcze matematyczny dowód musisz wykonać by być pewnym że zbiory P8 i P2 są różne na mocy definicji ##?

"Kwadratura koła" - tylko dla popierdoleńców.
Wystarczy sprawdzić, czy zachodzi ta sama relacja w drugą stronę - czy to podzbioru =>, czy nadzbioru ~>. Jeżeli zachodzi, zbiory są tożsame. Tu nie zachodzi, więc nie są.

Czysto matematyczny dowód iż wszystko co napisał Irbisol wynika praw logiki matematycznej zwanej KRZ!

Dowód:

[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

podzbiór
część danego zbioru


[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

nadzbiór
w matematyce, dla danego zbioru: każdy zbiór zawierający wszystkie jego elementy


Stąd mamy wyprowadzenie definicji relacji nadzbioru ~> i podzbioru =>
Relacja podzbioru =>:
p=>q =1 <=> p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
##
Relacja nadzbioru ~>:
p~>q =1 <=> p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

… i teraz robimy absolutnie kluczowe założenie!

Zakładamy, następujące definicje relacji podzbioru => i nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Relacja podzbioru =>:
p=>q =1 <=> p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja relacji podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Relacja nadzbioru ~>:
p~>q =1 <=> p jest nadzbiorem ~>q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja relacji nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy że Irbisol stwierdził wyżej co następuje:
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:

Jeśli masz dwa zbiory tożsame p=q
to czy zachodzi jednoczesna relacja podzbioru => i nadzbioru ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku?
Czyli czy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1

Tak, popierdoleńcu - zachodzą obie te relacje jednocześnie.

W tym momencie mamy czysto matematyczny dowód iż z naszym założeniem trafiliśmy w 10!

Wedle Irbisola matematyczny dowodem tożsamości zbiorów p=q jest jednoczesne spełnienie relacji podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku, czyli:
1: p=q <=>(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Do prawej strony podstawiamy teraz nasze założenie iż:
Definicja relacji podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja relacji nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Podstawiamy to do relacji 1, którą zapisał Irbisol!
(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) =~p*p+~p*~q+q*p + q*~q = p*q +~p*~q
Czyli:
(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q +~p*~q
Zauważmy, że prawa strona to nic innego, jak doskonale znana ziemianom definicja równoważności wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Ziemska definicja równoważności brzmi bowiem
p<=>q = p*q +~p*~q

Stąd mamy wyprowadzoną w zapisach ogólnych definicję tożsamości matematycznej rodem z algebry Kubusia.

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Wróćmy do tego co zapisał Irbisol:
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:

Jeśli masz dwa zbiory tożsame p=q
to czy zachodzi jednoczesna relacja podzbioru => i nadzbioru ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku?
Czyli czy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1

Tak, popierdoleńcu - zachodzą obie te relacje jednocześnie.

Doskonale tu widać, że jeśli przyjęlibyśmy tożsamość matematyczną warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1: p=>q =~p+q [=] B1: p~>q = p+~q
to po pierwsze:
Sami gwałcimy wyprowadzoną ciut wyżej definicję tożsamości matematycznej
.. a po drugie:
KRZ-owa definicja równoważności leży nam w gruzach, bo wówczas mielibyśmy:
p<=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1: p=>q

Wniosek:
Kubusiowa teoria zbiorów jest perfekcyjnie poprawna, nie ma tu wewnętrznej sprzeczności na gruncie rachunku zero-jedynkowego, a zatem nie ma tu wewnętrznej sprzeczności na gruncie praw logiki matematycznej obowiązujących w KRZ!

Jedziemy dalej!
W tym momencie, będąc już pewnym iż nasze założenie co do zero-jedynkowych definicji podzbioru => i nadzbioru ~> było słuszne, wyprowadzamy wszystkie możliwe związki miedzy relacjami podzbioru i nadzbioru ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego.

Definicje:

Relacja podzbioru =>:
p=>q =1 <=> p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja relacji podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Relacja nadzbioru ~>:
p~>q =1 <=> p jest nadzbiorem ~>q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja relacji nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno relacji podzbioru => jak i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - relacja podzbioru => spełniona (=1)
##
B1: p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> spełniona (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki relacji podzbioru => i nadzbioru ~> wyprowadzone na gruncie rachunku zero-jedynkowego dla równoważności <=> są następujące:
Kod:

T1.
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zbiory p i q muszą być wszędzie tymi samymi zbiorami inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnej relacji serii Ax i prawdziwość dowolnej relacji serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q bowiem w definicji podstawowej równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
pod A1 możemy podstawić dowolną relację serii Ax a pod B1 dowolną relację serii Bx
cnd

Jak najprościej sprawdzić poprawność tabeli T1?
Jeszcze raz zacytujmy Irbisola:
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:

Jeśli masz dwa zbiory tożsame p=q
to czy zachodzi jednoczesna relacja podzbioru => i nadzbioru ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku?
Czyli czy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1

Tak, popierdoleńcu - zachodzą obie te relacje jednocześnie.

Załóżmy najprostsze możliwe dwa zbiory matematycznie tożsame:
p=[1]
q=[1]
Zapyta ktoś:
Jak zdefiniować zaprzeczenia zbiorów ~p I ~q potrzebne nam w relacjach które opisuje tabela T1?

Odpowiedź znajdziemy w punkcie 3.3
Innymi słowy:
Dziedzina minimalna jaką musimy tu przyjąć musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
Dla naszego przykładu mamy:
p+q=[1]
Sprawdzenie poprawności relacji opisanych tabelą T1 to:
D=[1,2]
Stąd mamy przeczenia zbiorów:
~p=[D-p] =2
~q=[D-q] =2
Podstawmy nasz przykład minimalny do tabeli T1:
Kod:

T1’
A: 1: p=>q    = 2:~p~>~q    [=] 3: q~>p    = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q    = 2:~p=>~q    [=] 3: q=>p    = 4:~q~>~p =1
       I           II              III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

Po podstawieniu: p=[1] i q=[1] oraz ~p=[2] i ~q=[2] mamy:
A: 1: [1]=>[1] = 2:[2]~>[2] [=] 3: [1]~>[1] = 4:[2]=>[2] =1
##
B: 1: [1]~>[1] = 2:[2]=>[2] [=] 3: [1]=>[1] = 4:[2]~>[2] =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Doskonale widać, że minimalna relacja równoważności p<=>q działa fenomenalnie bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wnika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>

Zauważmy, że Irbisol zapisał poprawnie zaledwie trzy tożsame algorytmy rozstrzygające o tym iż zachodzi tożsamość zbiorów p=q, tymczasem wszystkich tożsamych algorytmów jest 16.

Algorytmy zapisanie przez Irbisola to:
Tożsamość zbiorów p=q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy:
1.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
2.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
3.
p=q <=> (B1: p~>q)*(A3: q~>p = 1*1 =1

… a gdzie pozostałe 13 tożsamych algorytmów dowodzenia iż zbiory p i q są tożsame?

Irbisolowa definicja podstawowa równoważności w zbiorach to:
1.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Pod A1 możemy tu podstawić dowolną relację serii Ax, zaś pod B1 dowolną relację serii Bx
Na mocy powyższego mamy 16 i tylko 16 tożsamych algorytmów dowodzenia tożsamości zbiorów p=q

KONIEC!
Dowodzenia poprawności algebry Kubusia na gruncie praw logiki matematycznej obowiązujących w KRZ!


9.1 Alternatywne wprowadzenie szablonów operatorów logicznych

Potrzebne nam definicje:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego napisał:

Relacje między zbiorami

1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Zbiór p ma element wspólny ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów nie jest zbiorem pustym
p~~>q = p*q =1 - gdy relacja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy relacja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona
W iloczynie logicznym zbiorów p*q nie chodzi tu o wyznaczenie pełnego zbioru wynikowego, lecz tylko i wyłącznie o znalezienie jednego elementu wspólnego.
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> = spełniona relacja elementu wspólnego ~~> zbiorów.

2.
Definicja podzbioru =>:

Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest spełniona
inaczej:
p=>q =0 - gdy relacja podzbioru => nie jest spełniona (zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q)
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = spełniona relacja podzbioru =>

Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q

3.
Definicja nadzbioru ~>

Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru jest spełniona (=1)
Zajście p jest konieczne ~> do tego aby zaszło q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0 - gdy relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona (zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q)
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = spełniona relacja nadzbioru ~>

Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla relacji podzbioru p=>q jest relacja elementu wspólnego zbiorów p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość relacji podzbioru p=>q =1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość relacji podzbioru p=>q =0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =1 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w języku potocznym wszystkie używane pojęcia (zbiory) muszą być niepuste.
Jeśli zatem zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, to na 100% => zbiory p i ~q są rozłączne (i odwrotnie)
p=>q=1 => p~~>~q=p*~q=0


9.1.1 Alternatywne wprowadzenie szablonu równoważności p|<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno relacji podzbioru => jak i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - relacja podzbioru => spełniona (=1)
##
B1: p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> spełniona (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki relacji podzbioru => i nadzbioru ~> dla równoważności <=>:
Kod:

T1.
----------   ---------                ---------   --------
|   p=q  | # |~p=~q  |        [=]     |  q=p  | # |~q=~p |
----------   ---------                ---------   --------
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q         [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q         [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
       I         II                  III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zbiory p i q muszą być wszędzie tymi samymi zbiorami inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnej relacji serii Ax i prawdziwość dowolnej relacji serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q bowiem w definicji podstawowej równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
pod A1 możemy podstawić dowolną relację serii Ax a pod B1 dowolną relację serii Bx
cnd

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-1025.html#513403
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:

Jeśli masz dwa zbiory tożsame p=q
to czy zachodzi jednoczesna relacja podzbioru => i nadzbioru ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku?
Czyli czy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1

Tak, popierdoleńcu - zachodzą obie te relacje jednocześnie.


Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Doskonale widać że dla zbiorów tożsamych gdzie relacja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Wmusza tożsamość zbiorów:
p=q
zaś relacja równoważności:
~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
wmusza tożsamość zbiorów:
~p=~q
uzupełnienie tabeli T1 o powiązane z relacjami podzbioru => i nadzbioru ~> relacje elementu wspólnego zbiorów ~~> jest trywialne, robimy to na podstawie zbiorów rozłącznych p=q i ~p=~q uzupełniających się wzajemnie do dziedziny:
p+~p =1 (dziedzina)
p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

W poniższej tabeli wartościowanie relacji elementu wspólnego zbiorów ~~> (same 0) zapisano tylko i włącznie na podstawie diagramu zbiorów p=q i ~p=~q widniejącego w nagłówku tabeli.
Kod:

T1
----------   ---------                ---------   --------
|   p=q  | # |~p=~q  |        [=]     |  q=p  | # |~q=~p |
----------   ---------                ---------   --------
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~ q=1 [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0                   
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
        I             II              III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej

Wszystkie możliwe szablony równoważności jakie możemy uzyskać z powyższej tabeli są następujące:
Kod:

T1
----------   ---------                   ---------   --------
|   p=q  | # |~p=~q  |           [=]     |  q=p  | # |~q=~p |
----------   ---------                   ---------   --------
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~ q=1    [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0                   
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
-------------------------------------------------------------
Szablon równoważności dla p i ~p [=] Szablon równoważności dla q i ~q
1.                               [=] 1.
Kiedy zajdzie p?                 [=] Kiedy zajdzie q?
p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)     [=] q<=>p=(B3: q=>p)*(A4:~q=>~p)
A1:  p=>q  =1                    [=] B3:  q=>p  =1
A1’: p~~>~q=0                    [=] B3’: q~~>~p=0
2.                               [=] 2.
Kiedy zajdzie ~p?                [=] Kiedy zajdzie ~q?
~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)   [=]~q<=>~p=(A4:~q=>~p)*(B3: q=>p)
B2: ~p=>~q =1                    [=] A4: ~q=>~p =1
B2’ ~p~~>q =0                    [=] A4’:~q~~>P =0



9.1.2 Alternatywne wprowadzenie szablonu implikacji prostej p|=>q

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla relacji podzbioru p=>q jest relacja elementu wspólnego zbiorów p~~>~q =p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość relacji podzbioru p=>q =1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość relacji podzbioru p=>q =0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =1 (i odwrotnie)

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Na mocy definicji implikacji prostej w zbiorach zapisujemy:
A1: p=>q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
stąd:
Tabela matematycznych związków relacji podzbioru => I nadzbioru ~> dla implikacji prostej |=>:
Kod:

T2.
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =0
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na początek uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu.
Kod:

T2
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0                   
##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Algorytm wypełniania tabeli:
1.
Dla spełnionych relacji podzbioru p=>q=1 zapisujemy fałszywe kontrprzykłady p~~>~q=0:
Kod:

A1:  p=>q  =1
A1’: p~~>~q=0 ulega skopiowaniu do B1’: p~~>~q=0 (bo p i q są identyczne)
A4:  ~q=>~p=1
A4’: ~q~~>p=0 ulega skopiowaniu do B4’:~q~~>p =0 (bo p i q są identyczne)

2.
Dla nie spełnionych relacji podzbioru p=>q=0 zapisujemy prawdziwe kontrprzykłady p~~>~q=1
Kod:

B2: ~p=>~q =0
B2’:~p~~>q =1 ulega skopiowaniu do A2’:~p~~>q =1 (bo p i q są identyczne)
B3:  q=>p  =0
B3’: q~~>~p=1 ulega skopiowaniu do A3’: q~~>~q=1 (bo p i q są identyczne)

Z ostatniej tabeli otrzymujemy szablony implikacji prostej |=>:
Kod:

A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0                   
##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0
----------------------------------------------------------
Szablon implikacji dla p i ~p    [=] Szablon implikacji dla q i ~q
 p|=>q =(A1: p=>q )*~(B1:p~>q)   [=] q|~>p =(A3: q~>p )*~(B3: q=>p)         
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) [=]~q|=>~p=(A4:~q=>~p)*~(A4:~q~>~p)
1.                               [=]1.
Co się stanie gdy zajdzie p?     [=] Co się stanie gdy zajdzie q?
A1:  p=>q  =1                    [=] A3:  q~>p  =1
A1’: p~~>~q=0                    [=] B3’: q~~>~p=1
2.                               [=]2.
.. a jeśli zajdzie ~p            [=]… a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia:                   [=] Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q             [=] A3:  q~>p = A4:~q=>~p
A2: ~p~>~q  =1                   [=] A4: ~q=>~p =1
B2’:~p~~>q  =1                   [=] A4’:~q~~>p =0



9.1.3 Alternatywne wprowadzenie szablonu implikacji odwrotnej p|~>q

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla relacji podzbioru p=>q jest relacja elementu wspólnego zbiorów p~~>~q =p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość relacji podzbioru p=>q =1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość relacji podzbioru p=>q =0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =1 (i odwrotnie)

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Na mocy definicji implikacji odwrotnej w zbiorach zapisujemy:
A1: p=>q =0 - bo zbiór p jest nie podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
stąd:
Tabela matematycznych związków relacji podzbioru => I nadzbioru ~> dla implikacji odwrotnej |~>:
Kod:

T3
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =0
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
       I         II          III        IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na początek uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu.
Kod:

T3
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1                   
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Algorytm wypełniania tabeli:
1.
Dla spełnionych relacji podzbioru p=>q=1 zapisujemy fałszywe kontrprzykłady p~~>~q=0:
Kod:

B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0 ulega skopiowaniu do A2’:~p~~>q =0 (bo p i q są identyczne)
B3:  q=>p  =1
B3’: q~~>~p=0 ulega skopiowaniu do A3’: q~~>~q=0 (bo p i q są identyczne)

2.
Dla nie spełnionych relacji podzbioru p=>q=0 zapisujemy prawdziwe kontrprzykłady p~~>~q=1
Kod:

A1:  p=>q  =0
A1’: p~~>~q=1 ulega skopiowaniu do B1’: p~~>~q=1 (bo p i q są identyczne)
A4:  ~q=>~p=0
A4’: ~q~~>p=1 ulega skopiowaniu do B4’:~q~~>p =1 (bo p i q są identyczne)

Z ostatniej tabeli otrzymujemy szablony implikacji odwrotnej |~>:
Kod:

T3
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1                   
##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1
----------------------------------------------------------
Szablon implikacji dla p i ~p    [=] Szablon implikacji dla q i ~q
 p|~>q =~(A1: p=>q )*(B1:p~>q)   [=] q|=>p =~(A3: q~>p )*(B3: q=>p)         
~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) [=]~q|~>~p=~(A4:~q=>~p)*(A4:~q~>~p)
1.                               [=]1.
Co się stanie gdy zajdzie p?     [=] Co się stanie gdy zajdzie q?
B1:  p~>q  =1                    [=] B3:  q=>p  =1
A1’: p~~>~q=1                    [=] B3’: q~~>~p=0
2.                               [=]
.. a jeśli zajdzie ~p            [=]… a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia:                   [=] Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q             [=] B3:  q=>p = B4:~q~>~p
B2: ~p=>~q  =1                   [=] B4: ~q~>~p =1
B2’:~p~~>q  =0                   [=] A4’:~q~~>p =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 16:13, 03 Kwi 2020, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4195
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 20:58, 14 Kwi 2020    Temat postu:

Cytat:
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnej relacji serii Ax i prawdziwość dowolnej relacji serii Bx

Ale nie możesz tego sprawdzić, bo bez wiedzy czy p=q nie wiesz co znaczy p~>q.
Chyba że jednak p~>q ma jakieś znaczenie niezależne od tego czy p=q czy p##q. Ale to nie pasuje do tego, że w pierwszym przypadku ~> oznacza na pewno, a w drugim oznacza może.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 23:10, 14 Kwi 2020    Temat postu:

fiklit napisał:
Cytat:
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnej relacji serii Ax i prawdziwość dowolnej relacji serii Bx

Ale nie możesz tego sprawdzić, bo bez wiedzy czy p=q nie wiesz co znaczy p~>q.
Chyba że jednak p~>q ma jakieś znaczenie niezależne od tego czy p=q czy p##q. Ale to nie pasuje do tego, że w pierwszym przypadku ~> oznacza na pewno, a w drugim oznacza może.

.. a od kiedy to cokolwiek w logice matematycznej dowodzisz przez iterowanie po zbiorze nieskończonym?
NIGDY!
Bo to jest fizycznie niewykonalne.
Równowazność:
Dowodzisz TP=>SK=1 oraz SK=>TP =1 (patrz Wikipedia) i już wszystkie Ax i Bx przyjmują wartośc logiczną 1.

Implikacja prosta P8|=>P2:
Dowodzisz P8=>P2 =1 oraz P2=>P8 =0
i juz wszystkie Ax przyjmują wartośc logiczną 1 zaś wszystkie Bx wartość logiczną 0

P.S.
Restartuję AK.
Powód - końcówka postu niżej:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-1500.html#518501
rafal3006 napisał:
fiklit napisał:

To jest bardzo proste. Wiedząc że p~>q oraz że p, nie mamy gwarancji że może q.

To weźmy równoważność Pitagorasa:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK
Oczywiście zachodzi:
TP~>SK =1 - bycie TP jest konieczne ~> do tego, aby w tym trójkącie była spełniona suma kwadratów SK
Na serio twierdzisz że wylosowanie dowolnego trójkąta TP nie daje ci gwarancji matematycznej ~> iż w tym trójkącie jest SK?
… ot, i całą logikę ziemian szlag trafił.
Zgadza się?

fiklit napisał:

inny przykład masz liczy typu 8n+2 dla n naturalnych. Oczywiście każda z nich jest parzysta.
Oczwiście P2~>P8. ale jak wylosujesz taką liczbę to może być P8?

Masz zbiór:
p=8n+2 = rozumiem że zbiór liczb podzielnych przez 8 plus jedna liczba 2

Problem w tym że nie możesz w tym przypadku zapisać tak:
P2~>P8
Możesz zapisać tylko i wyłącznie tak:
p=[8n+2] ~>P8 =1 - oczywiście relacja nadzbioru zachodzi

Dziękuję, i masz „rzucanie monetą” czyli „na dwoje babka wróżyła” bo zbiór p=[P8+2] jest nadzbiorem P8 i zbiory te nie sa tożsame.

Stąd mamy:
B1.
Jeśli wylosuję dowolną liczbę ze zbioru p=[P8+2] to ta liczba może być podzielna przez 8
p=[P8+2] ~> P8 =1 - bo RELACJA nadzbioru ~> jest spełniona
LUB.
Oczywistym jest, że relacja podzbioru => między tymi samymi punktami jest tu fałszem:
A1.
p=[P8+2] => P8 =0 - bo p=[P8+2] nie jest (=0) podzbiorem => P8

Uwaga:
Teraz jest kluczowy moment o którym ziemianie nie maja bladego pojęci, a nie mają pojęcia o definicji kontrprzykładu w zbiorach rodem z AK.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Na mocy tej definicji prawdziwy jest kontrprzykład A1’
A1’
Jeśli wylosuje dowolną liczbę ze zbioru p=[P8+2] to ta liczba może ~~> nie być podzielna przez 8
p=[P8+2]~~>~P8 =?
Ustalam sensowną dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd mamy:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9.]
Stąd mamy:
p=[P8+2]~~>~P8 = [P8+2]*[1,2,3,4,5,6,7..9..] =1 bo 2 (liczb podzielnych przez 8 nie ma w ~P8!)

Jak byk stoi tu coś, czego ziemscy matematycy TOTALNIE nie widzą, czyli „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła”

Dowód, czyli podsumowanie:
B1.
Jeśli wylosuję dowolną liczbę ze zbioru p=[P8+2] to ta liczba może być podzielna przez 8
p=[P8+2] ~> P8 =1 - bo RELACJA nadzbioru ~> jest spełniona
LUB
A1’
Jeśli wylosuje dowolną liczbę ze zbioru p=[P8+2] to ta liczba może ~~> nie być podzielna przez 8
p=[P8+2]~~>~P8 = [P8+2]*[1,2,3,4,5,6,7..9..] =1 bo 2 (liczb podzielnych przez 8 nie ma w ~P8!)

Ewidentne na dwoje babka wróżyła widzi tu każdy uczeń szkoły podstawowej:
Jeśli ze zbioru p=[P8+2] wylosuję dowolną liczbę to ta liczba może być podzielna przez 8 (dla tego losowania prawdziwe B1 - fałszywe A1’) LUB może nie być podzielna przez 8 (dla tego losowania prawdziwe A1’ - fałszywe B1)

Czy widzisz fiklicie „na dwoje babka wróżyła” tzn. wylosowana liczba może trafić do pudełka B1 lub do pudełka A1’ - trzeciej możliwości NIE MA!

P.S.
fiklit napisał:

padanie śniegu w lipcu w egipcie przy pochmurnym niebie pokazuje, że nie ma tej grawancji

To są głupoty a nie gwarancja czy też brak gwarancji dla warunku koniecznego ~> - nie wolno mówić o tego typu gwarancjach czy braku gwarancji w logice matematycznej bo tego nie da się opisać matematycznie tzn. błędem czysto matematycznym jest przywiązywanie logiki matematycznej do jakiegokolwiek kraju np. Egiptu!

Wracając do sedna:
Mamy dwa zdanie prawdziwe realizujące najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada.
Prawo KRZ wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => bez zamiany p i q samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P =1
To jest jedyna gwarancja dla warunku koniecznego ~>.
Mówi ona tylko tyle, że jak nie będzie chmur to na 100% => nie będzie deszczu, poza tym wszystko może się zdarzyć!
To poza tym wszystko może się zdarzyć, przy braku równoważności:
P<=>CH = (A1: P=>CH)*(B3: CH=>P)=0
W zdaniu B1 wymieniamy spójnik na warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
A1: CH=>P =0
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’
A1’
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Teraz możemy sobie doświadczalnie tylko potwierdzić prawdziwość zdania A1’ bowiem jego prawdziwość GWARANTUJE nam definicja kontrprzykładu!

Jak sprawdzamy prawdziwość zdania A1’?
Ponieważ to jest kontrprzykład dla A1’ to sprawdzamy czy w całej historii ludzkości zaszło kiedykolwiek zdarzenie:
Są chmury i nie pada
Oczywiście każdy 5-cio latek wie że zaszło i nie potrzebuje tu podróżować do Egiptu, Brazylii jak to proponuje nasz Irbisol.

Uwaga:
Super ciekawe jest porównanie dwóch wytłuszczonych wzorków:
P<=>CH = (A1: P=>CH)*(B3: CH=>P)=0
vs
A1: CH=>P =0

W równoważności założyłem że B3: CH=>P wchodzi w skład definicji równoważności która nie zależy od czasu.
Okazało się że równoważność P<=>CH jest fałszem.
W B1 zamieniłem tylko znaczki z ~> na => czyli w moim standardowym diagramie wylądowałem w A1 a nie w B3!

Zobaczmy standardowy diagram dla implikacji odwrotnej CH|~>P:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawmy p=CH, q=P
Kod:

Czas przyszły           [=] Czas przeszły
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P =0
##
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


… no i stało się, po raz n-ty resetuję AK i zaczynam od nowa.
Wracam do prehistorycznych czasów kiedy rozróżniałem czas przyszły i przeszły w logice matematycznej, dokładnie jak wyżej - z tym że teraz wiem niebotycznie więcej niż wiedziałem wtedy.

Oczywiście równoważność nie zależy od czasu bo NIGDY niema utraty gwarancji matematycznej, ani w warunku wystarczającym => ani tez w warunku koniecznym ~> (tego w czasach prehistorycznych nie wiedziałem)

Natomiast przy zbiorach (pojęciach) nietożsamych MUSIMY odróżniać czas przyszły i czas przyszły.
Dlaczego?
Koronny przykład z prehistorycznych czasów:
Jeśli jutro będzie padło to otworzę parasolkę
P=>OP =1
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP =>~P
Stąd mamy potworną głupotę w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasolki to na 100% => nie będzie padało
~OP=>~P =1

Oczywiście jak uwzględnimy transformację do czasu przeszłego (tylko w implikacji!) to wszystko będzie cacy!
Poprawnie przy uwzględnieniu transformacji mamy:
A4’
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasolki to na 100% => nie padało
~OP=>~P=1
Oczywiście możemy tu robić abstrakcyjne wygibasy w stylu ziemskich matematyków:
Jeśli jutro nie otworze parasolki to znaczy że chwilkę wcześniej nie padało
… tylko to są matematyczne wygibasy a nie naturalny język potoczny

Tak wiec opublikowałem AK w postaci Beta 2.0 i zaczynam od nowa, co by ludzie znali moją drogę prowadzącą do rozszyfrowania AK w 100%.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:11, 14 Kwi 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4195
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 6:16, 15 Kwi 2020    Temat postu:

Cytat:
Są chmury i nie pada
Oczywiście każdy 5-cio latek wie że zaszło i nie potrzebuje tu podróżować do Egiptu, Brazylii jak to proponuje nasz Irbisol.

Może jeszcze inaczej.
Masz pudełko z liczbami.
Masz pewność, że każda liczba w tym pudełku jest parzysta.
czy możesz tu zastosować p2~>p8 i powiedzieć, że jak wylosujesz liczbę to może być ona P8?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 8:05, 15 Kwi 2020    Temat postu:

fiklit napisał:
Cytat:
Są chmury i nie pada
Oczywiście każdy 5-cio latek wie że zaszło i nie potrzebuje tu podróżować do Egiptu, Brazylii jak to proponuje nasz Irbisol.

Może jeszcze inaczej.
Masz pudełko z liczbami.
Masz pewność, że każda liczba w tym pudełku jest parzysta.
czy możesz tu zastosować p2~>p8 i powiedzieć, że jak wylosujesz liczbę to może być ona P8?

Oczywiście TAK!
Po pierwsze:
Aby udowodnić iż zachodzi relacja nadzbioru P2~>P8 mogę udowodnić iż zachodzi relacja podzbioru P8=>P2.
Umożliwia mi to prawo KRZ:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Po drugie:
Po udowodnieniu B3 moja wiedza jest już taka:
Zbiór P2 jest nadzbiorem ~> P8 i nie jest tożsamy ze zbiorem P8 (P2##P8).

W tym momencie na gruncie AK udowodniłem iż zdanie B1: P2~>P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 o definicji:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1 = 1*1 =1

W tym momencie kompletna analizę implikacji odwrotnej może wykonać najgłupszy komputer który sięga po gotowy szablon implikacji odwrotnej p|~>q który wygląda tak:

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,15935.html#514177
Kod:

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q do codziennego stosowania

Implikacja p|~>q dla p i ~p      [=] Implikacja q|~>p dla q i ~q
1.                               [=] 1.
Co będzie jeśli zajdzie p?       [=] Co będzie jeśli zajdzie q?
A: p~>q  =1                      [=] A: q=>p  =1
B: p~~>~q=1                      [=] B: q~~>~p=0
2.                               [=] 2.
.. a jeśli zajdzie ~p            [=] .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia:                   [=] Prawo Kubusia:
A: p~>q = C:~p=>~q               [=] A: q=>p = C:~q~>~p
C:~p=>~q  =1                     [=] C:~q~>~p =1
D:~p~~>q  =0                     [=] D:~q~~>p =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla lewej strony komputer podstawi sobie:
p=P2
q=P8
stąd komputer drukuje na drukarce:
Kod:

1.
Co się stanie jeśli ze zbioru P2 wylosujemy dowolna liczbę?
A: P2~> P8 =1 - bo P2 jest nadzbiorem ~> P8
B: P2~~>~P8=1 - bo istnieje wspólny element
C: ~P2=>~P8=1 - bo ~P2 jest nadzbiorem ~> P8
D: ~P2~~>P8=0 - bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne

Zauważ, że komputer absolutnie niczego nie udowadnia, działa jak mapa podstawiając w gotowym szablonie implikacji odwrotnej p|~>q co następuje:
p=P2
q=P8
Oczywiście komputer może wykonać wszystkie dowody ABCD samodzielnie pod warunkiem że ograniczymy mu sztucznie zbiory do sensownej ilości elementów - na zbiorach nieskończonych typu P2 i P8 żaden komputer nie ma prawa działać przez iterowanie bo nigdy nie ukończy iterowania.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 8:16, 15 Kwi 2020, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4195
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 8:21, 15 Kwi 2020    Temat postu:

rafal3006 napisał:
fiklit napisał:
Cytat:
Są chmury i nie pada
Oczywiście każdy 5-cio latek wie że zaszło i nie potrzebuje tu podróżować do Egiptu, Brazylii jak to proponuje nasz Irbisol.

Może jeszcze inaczej.
Masz pudełko z liczbami.
Masz pewność, że każda liczba w tym pudełku jest parzysta.
czy możesz tu zastosować p2~>p8 i powiedzieć, że jak wylosujesz liczbę to może być ona P8?

Oczywiście TAK!

Ale w tym pudełku nie ma ani jednej liczby podzielnej przez 8. Jak to więc możliwe, że uważasz, że możesz wylosować liczbę podzielną przez 8, skoro tam nie ma żadnej takiej?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 8:32, 15 Kwi 2020    Temat postu:

fiklit napisał:
rafal3006 napisał:
fiklit napisał:
Cytat:
Są chmury i nie pada
Oczywiście każdy 5-cio latek wie że zaszło i nie potrzebuje tu podróżować do Egiptu, Brazylii jak to proponuje nasz Irbisol.

Może jeszcze inaczej.
Masz pudełko z liczbami.
Masz pewność, że każda liczba w tym pudełku jest parzysta.
czy możesz tu zastosować p2~>p8 i powiedzieć, że jak wylosujesz liczbę to może być ona P8?

Oczywiście TAK!

Ale w tym pudełku nie ma ani jednej liczby podzielnej przez 8. Jak to więc możliwe, że uważasz, że możesz wylosować liczbę podzielną przez 8, skoro tam nie ma żadnej takiej?

To wytłuszczone oznacza że w pudełku sa liczby parzyste:
P2=[2,4,6,8...]
Zatem to pudełko zawiera także wszystkie liczby podzielne przez 8
Zgadza się?

Natomiast zapis:
P2~>P8
oznacza:
Zbadaj czy zbiór P2 jest nadzbiorem ~> P8
Odpowiedź:
TAK

P.S.
Tu widac jak fundamentalnie różne sa systemy AK i KRZ - czasami cie nie rozumiem jak w tym przypadku, odwrotnie zapewne jest to samo.
Przykład:
Z irbisolem mam rozjazd totalny czyli on o pipkach a ja o rybkach (albo odwrotnie).
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4195
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 8:46, 15 Kwi 2020    Temat postu:

Każdy w moim domu jest polakiem. Ile mniej więcej ludzi mam w domu? kilka, czy kilkadziesiąt milionów?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4195
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 8:49, 15 Kwi 2020    Temat postu:

Podałem ci prawdziwe informacje, a ty wyciągnąłeś z nich przy pomocy AK fałszywy wniosek. System, dla mnie to śmieć. nie logika.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 9:17, 15 Kwi 2020    Temat postu:

fiklit napisał:
Każdy w moim domu jest polakiem. Ile mniej więcej ludzi mam w domu? kilka, czy kilkadziesiąt milionów?

Ilość ludzi nie ma tu nic do rzeczy bo logika matematyczna to spójniki "lub"(+) i "i"(*) przy pomocy których nie da się liczyć algebraicznie czegokolwiek.
Odpowiadam:
Wszyscy w twoim domu sa Polakami a ilu jest mieszkańców w twoim domu logiki matematycznej TOTALNIE nie interesuje i mówi o tym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*p*...p =p
Czyli Polak*Polak* .. Polak = Polak
Sam widzisz że niemożliwe jest liczenie mieszkańców w twoim domu przy pomocy logiki matematycznej - logika sie tym nie zajmuje z definicji.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 9:26, 15 Kwi 2020    Temat postu:

fiklit napisał:
Podałem ci prawdziwe informacje, a ty wyciągnąłeś z nich przy pomocy AK fałszywy wniosek. System, dla mnie to śmieć. nie logika.

Czy możemy zatem zlokalizować w którym momencie robię błąd w rozumowaniu?

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,15935.html#518541
fiklit napisał:
Cytat:
Są chmury i nie pada
Oczywiście każdy 5-cio latek wie że zaszło i nie potrzebuje tu podróżować do Egiptu, Brazylii jak to proponuje nasz Irbisol.

Może jeszcze inaczej.
Masz pudełko z liczbami.
Masz pewność, że każda liczba w tym pudełku jest parzysta.
czy możesz tu zastosować p2~>p8 i powiedzieć, że jak wylosujesz liczbę to może być ona P8?

Na mocy wytłuszczone informacji mam 100% pewność że w pudełku znajduje się nieskończony zbiór liczb parzystych:
P2=[2,4,6,8..]
Czy wyciągnąłem poprawny wniosek?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4195
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 9:27, 15 Kwi 2020    Temat postu:

jej, a ty masz maturę?
"Każdy w moim domu jest polakiem" oznacza że "Każdy w moim domu jest polakiem" czy też, że "wszyscy Polacy są w moim domu"?
"każda liczba w tym pudełku jest parzysta" oznacz że "każda liczba w tym pudełku jest parzysta" czy też, że "w pudełku są wszystkie liczy parzyste"?


Ostatnio zmieniony przez fiklit dnia Śro 9:28, 15 Kwi 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 9:54, 15 Kwi 2020    Temat postu:

fiklit napisał:

jej, a ty masz maturę?
"Każdy w moim domu jest polakiem" oznacza że "Każdy w moim domu jest polakiem" czy też, że "wszyscy Polacy są w moim domu"?

Tu nie ma problemów, rozumiemy się.
fiklit napisał:

"1: każda liczba w tym pudełku jest parzysta" oznacz że "każda liczba w tym pudełku jest parzysta" czy też, że "w pudełku są wszystkie liczy parzyste"?

Tu domyślne jest myślenie na poziomie abstrakcyjnym, czyli ze w pudełku masz wszystkie liczby parzyste - po prostu, żadne twierdzenie matemtyczne nie działa na skrawku informacji czyli na zbiorze nieskończonym np. P2 z którego sztucznie usuniemy choćby jedną liczbę.

Jeśli chciałeś wyrazić coś innego to powinieneś napisać tak:
2: W pudełku mam skończoną ilość liczb parzystych
.. i to wystarczy.

W tym przypadku wytłuszczona informacja mówi nam że minimalna zawartość twojego pudełka to jedna liczba 2 a ile innych liczb tam umieściłeś ty tylko ty wiesz.

Oczywistym jest że dla skończonej zawartości liczb parzystych twojego pudełka mamy tak:
PF ~>P8 =0
Bo w pudełku fiklita nie ma kompletnego zbioru P2.
cnd

Tylko jaki sens ma takie rozumowanie poza rozumowaniem dydaktycznym?
tzn.
Czy wyniknie z takiego rozumowania twierdzenie ogólno matematyczne typu:
P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest nadzbiorem ~> P8?
Oczywiście: NIE
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4195
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 10:26, 15 Kwi 2020    Temat postu:

Możesz jakoś ogólnie opisać zasadę która się kierujesz w decyzji czy wyrażeniu typu "każde x w A jest B" przypisać znaczenie "wszystkie B są w A" czy nie?
Bo dla A - mój dom, B - Polak uznales że nie możesz
A dla A - pudełko, B - liczba parzysta uznales że możesz.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 13:37, 15 Kwi 2020    Temat postu:

fiklit napisał:
Możesz jakoś ogólnie opisać zasadę która się kierujesz w decyzji czy wyrażeniu typu "każde x w A jest B" przypisać znaczenie "wszystkie B są w A" czy nie?
Bo dla A - mój dom, B - Polak uznales że nie możesz
A dla A - pudełko, B - liczba parzysta uznales że możesz.

Zasada jest jedna: logiczne myślenie w naturalnej logice matematycznej człowieka - oczywiście w AK.

fiklit napisał:
jej, a ty masz maturę?
"Każdy w moim domu jest polakiem" oznacza że "Każdy w moim domu jest polakiem" czy też, że "wszyscy Polacy są w moim domu"?
"każda liczba w tym pudełku jest parzysta" oznacz że "każda liczba w tym pudełku jest parzysta" czy też, że "w pudełku są wszystkie liczy parzyste"?

Fakt 1.
Każdy w moim domu jest Polakiem
Tu stwierdzasz że w twojej rodzinie nie innych narodowości (moja dwójka dzieci jest akurat Węgrami).
Sorry, ale wyłącznie jakiś debil mógłby wypowiedzieć cos takiego:
„wszyscy Polacy są w moim domu”
To jest po prostu z definicji zdanie fałszywe, chyba że za swój dom uważasz całą Polskę - ale to też nie będzie prawda bo miliony żyje poza polską.

Fakt 2.
Wyobraź sobie takie zadanie na maturze:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,15935.html#518541
fiklit napisał:

Masz pudełko z liczbami.
Masz pewność, że każda liczba w tym pudełku jest parzysta.
czy możesz tu zastosować p2~>p8 i powiedzieć, że jak wylosujesz liczbę to może być ona P8?

Rozumowanie zdrowego na umyśle człowieka jest tu takie:
Skro jest mowa że wszystkie liczby w pudełku są parzyste to matematycznie zawsze i wszędzie chodzi o kompletny zbiór liczb parzystych P2 - to jest jedyne sensowne rozumowania matematyczne.
Szczególnie że w drugiej części zadania mam udowodnić czy zbiór P2 jest nadzbiorem P8.
P2~>P8 =?
W nawiązaniu do faktu 2 polecam ten artykuł Macjana:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/paradoks-warunku-wystarczajacego,3164.html#56053

P.S.
fiklit napisał:

Możesz jakoś ogólnie opisać zasadę która się kierujesz w decyzji czy wyrażeniu typu "każde x w A jest B" przypisać znaczenie "wszystkie B są w A" czy nie?
Bo dla A - mój dom, B - Polak uznales że nie możesz
A dla A - pudełko, B - liczba parzysta uznales że możesz.

Tego wytłuszczonego ja TOTALNIE nie rozumiem - to jakieś sztuczna definicja wyprowadzona zapewne z KRZ, której działanie ośmieszyłem wyżej w faktach 1 i 2.
Czy jesteś w stanie wytłumaczyć prosto o co tu chodzi?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4195
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 14:07, 15 Kwi 2020    Temat postu:

Cytat:
Sorry, ale wyłącznie jakiś debil mógłby wypowiedzieć cos takiego:
„wszyscy Polacy są w moim domu”
To jest po prostu z definicji zdanie fałszywe, chyba że za swój dom uważasz całą Polskę - ale to też nie będzie prawda bo miliony żyje poza polską.

a wiesz ile jest liczb naturalnych? Srorry ale tylko debil może pomyśleć, że zmieszczą się one wszystkie w jednym pudełku.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 14:22, 15 Kwi 2020    Temat postu:

fiklit napisał:
Cytat:
Sorry, ale wyłącznie jakiś debil mógłby wypowiedzieć cos takiego:
„wszyscy Polacy są w moim domu”
To jest po prostu z definicji zdanie fałszywe, chyba że za swój dom uważasz całą Polskę - ale to też nie będzie prawda bo miliony żyje poza polską.

a wiesz ile jest liczb naturalnych? Srorry ale tylko debil może pomyśleć, że zmieszczą się one wszystkie w jednym pudełku.

Abstrakcyjnie jak najbardziej możesz zmieścić wszystkie liczby naturalne w jednym małym pudełku.
Sam takich pudełek używam od 14 lat w tłumaczeniu "rzucania monetą" i braku "rzucania monetą" w logice matematycznej.
Abstrakcyjne myślenie zawsze pomaga zrozumieć otaczający nas świat, atom to na wszystkich rysunkach kulka z elektronami, w moich podręcznikach do nauki programowania w asemblerze w mikroprocesorze pracuje najprawdziwszy krasnoludek wyposażony w tablicę na których zapisuje liczby binarne, kredę i ścierkę komunikując się z innymi krasnoludkami pracującymi w pamięci oraz urządzeniach we/wy ... a myśli oczywiście jak najprawdziwszy człowiek.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 14:23, 15 Kwi 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony 1, 2  Następny
Strona 1 z 2

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin