Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka przedszkolaków beta 2.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24920
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 15:43, 22 Maj 2011    Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka przedszkolaków beta 2.0

Historia poprawek:
21-05-2011 – pkt. 1.0 - dualizm symboli *, +, =>, ~> w algebrze Kubusia

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia
Matematyka przedszkolaków

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia – matematyka przedszkolaków
Zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad podręcznikiem bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barah (sfinia), Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Jeremiasz Szary (sfinia), Krowa (śfinia), Krystkon )śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Marcin Kotasiński (śfinia), Michał Dyszyński (śfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Paloma (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Volrathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi, Windziarzowi i Sogorsowi za fantastyczną dyskusję na ateiście.pl oraz Palomie za jedno zdanie, dzięki któremu Kubuś postawił kropkę nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.

Spis treści:

1.0 Kompendium algebry Kubusia
1.1 Notacja
1.2 Spójniki zdaniowe i operatory logiczne
1.3 Dualne znaczenie symboli *, +, =>, ~> w algebrze Kubusia
1.4 Budowa operatorów OR i AND
1.5 Bodowa operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
1.6 ŚFIŃSKIE definicje implikacji
1.7 ŚFIŃSKIE definicje równoważności
1.8 Klasyczne definicje implikacji w algebrze Kubusia
1.9 Klasyczna definicja równoważności w algebrze Kubusia

2.0 Operatory OR i AND
2.1 Spójniki i operatory w OR i AND
2.2 Operator OR w przedszkolu
2.3 Operator AND w przedszkolu
2.4 Gród krasnoludka Orandka
2.5 Operator OR w tabelach zero-jedynkowych
2.6 Gród krasnoludka Andorka
2.7 Operator AND w tabelach zero-jedynkowych
2.8 Twierdzenie Prosiaczka

3.0 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych
3.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
3.2 Operatory logiczne FILL i NOP
3.3 Operatory P i Q
3.4 operatory negacji NP i NQ
3.5 Prawa wynikające z definicji AND
3.6 Prawa wynikające z definicji OR
3.7 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.8 Operatory OR i AND w świecie zdeterminowanym

4.0 Przedszkole implikacji i równoważności
4.1 Implikacja odwrotna
4.2 Implikacja prosta
4.3 Trzy znaczenia prawa Kubusia
4.4 Spójniki i operatory logiczne w implikacji i równoważności
4.5 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
4.6 Równoważność
4.7 Definicje kwantyfikatorów w algebrze Kubusia

5.0 Implikacja w tabelach zero-jedynkowych
5.1 Zero-jedynkowe i bramkowe definicje implikacji
5.2 Spójnik „musi” => między p i q, warunek wystarczający
5.3 Spójniki „może” ~> i „może”~~>
5.4 Prawa Kubusia na poziomie spójników logicznych
5.5 Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
5.6 Pałac księżniczki implikacji odwrotnej
5.7 Definicja operatora implikacji prostej =>
5.8 Pałac księżniczki implikacji prostej
5.9 Prawo braku przemienności argumentów w implikacji
5.10 Związek operatorów OR i AND z operatorami implikacji

6.0 Definicja równoważności <=>
6.1 Zamek księcia równoważności
6.3 Metody dowodzenia twierdzeń matematycznych
6.4 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

7.0 Algebra Kubusia w zbiorach
7.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w algebrze Kubusia
7.2 Implikacja prosta w zbiorach
7.3 implikacja odwrotna w zbiorach
7.4 Równoważność w zbiorach
7.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach

8.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
8.1 Obietnica
8.2 Groźba



Wstęp.

Algebra Kubusia to matematyczny opis naturalnego języka mówionego, niezależny od języka czyli działa zarówno w Chińskim jak i Polskim. W technice implikacja nigdy nie była i nigdy nie będzie wykorzystywana ze względu na 100% przypadkowość w każdej połówce definicji implikacji, czyli np. "wolną wolę” człowieka - z tego też względu nie da sie matematycznie przewidzieć zachowań jakiejkolwiek istoty żywej.

Algebra Kubusia gwarantuje "wolną wolę" w naszym punkcie odniesienia, z punktu odniesienia Boga nasz Wszechświat może być częściowo lub totalnie zdeterminowany, ale o tym nigdy się nie dowiemy, chyba że po śmierci. Algebra Kubusia nie jest żadnym dowodem na istnienie lub nie istnienie Boga, czy też na istnienie lub nie istnienie wolnej woli w sensie absolutnym.

Algebrę Kubusia można porównać do koncepcji Wielkiego Wybuchu, przy czym jej sprawdzalność jest banalna, po pierwsze działa, a po drugie jej poprawność można łatwo udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej. Algebra Kubusia to matematyka naszego Wszechświata, działa zarówno w świecie martwym jak i żywym.

Algebra Kubusia to wywrócenie aktualnej logiki matematycznej do góry nogami i to będzie jej największe osiągnięcie, na pewno zmieni się też postrzeganie naszego Wszechświata w sensie filozoficznym.

[link widoczny dla zalogowanych]
Paloma napisał:
Uff, przeczytałam. :)
Czy w czwartej lub piątej ramce od dołu nie ma błędu?

Jak wytłumaczyć kobiecie że wszystko jest w porządku ?

To jedno jedyne zdanie wywołało burzę w małym rozumku Kubusia, dzięki niemu powstał ten podręcznik. Myślę, że nikt z czytelników nie ma ochoty na oglądanie schematu połączeń między 100 mld neuronów w naszym mózgu. Nieporównywalnie ciekawszy jest fundament matematyczny wszelkich jego poczynań.

Mało kto wie, że w naszym mózgu pracują najprawdziwsze krasnoludki: Orandek i Andorek, księżniczka Implikacji Prostej, księżniczka Implikacji Odwrotnej oraz książę Równoważności.
… dowód za chwilę.

Stosowana notacja w podręczniku jest zgodną z techniczną algebrą Boole’a, jednak znaczenie symboli jest tu fundamentalnie inne niż w Klasycznym Rachunku Zdań. Z tego powodu kompletne znaczenie symboli zawarto w punkcie 1.0 Kompendium wiedzy o algebrze Kubusia.

Właściwy podręcznik od zera zaczyna się od punktu 2.0 i jest tak pomyślany, że czytając nie powinniśmy spotkać nowego pojęcia, które wcześniej nie byłoby omówione.

Największy udział w powstaniu algebry Kubusia miały dwa fora dyskusyjne, ŚFINIA Wuja Zbója i [link widoczny dla zalogowanych]. ŚFINIA to Ojczyzna Kubusia, to Hlefik w którym się urodził i gdzie od 5-ciu lat dokumentuje historię powstawania algebry Kubusia krok po kroku.


1.0 Kompendium algebry Kubusia

Algebra Kubusia to matematyka ścisła, którą doskonale znają i posługują się w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od przedszkolaka po profesora. Kompendium to istota tej algebry, to streszczenie całości do minimum.


1.1 Notacja

Skróty:
AK = Algebra Kubusia
KRZ= Klasyczny Rachunek Zdań

1 = prawda
0 = fałsz
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
Jedno z kluczowych praw algebry Boole’a:
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

# - różne w znaczeniu jak niżej
Fundament logiki:
1 = prawda
0 = fałsz
1# 0
prawda # fałsz
0 # 1
fałsz # prawda
A – zmienna binarna mogąca przyjmować w osi czasu wartości wyłącznie 0 albo 1
A#~A
Jeśli A=1 to ~A=0
Jeśli ~A=1 to A=0

Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym lub koniecznym albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek, Absolutnie nikt, począwszy od 5-cio latka po profesora nie wymawia zdań „Jeśli…to…” w których p i q są ze sobą bez związku lub mają z góry znane wartości logiczne.

Przykłady zdań prawdziwych:

Implikacja prosta:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
Cztery łapy są konieczne aby być psem
Definicja warunku koniecznego:
Zabieramy poprzednik i musi zniknąć następnik
Zabieramy wszystkie zwierzęta z czterema łapami , wśród pozostałych zwierząt nie ma prawa być psa

Naturalny spójnik „może” ~~>:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo kura, wąż, mrówka …
Warunek konieczny tu nie zachodzi bo:
Zabieramy poprzednik i nie znika nam następnik
Zabieramy zwierzęta z czteroma łapami a następnik „nie pies” może wystąpić np. kura, wąż

Przykłady zdań fałszywych:
1.
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
PR=>KS=0 bo brak związku między p i q
W algebrze Kubusia wszelkie zdania bezsensowne jak wyżej są fałszywe, w szczególności fałszywe są wszystkie zdania w których poprzednik jest bez związku z następnikiem.
2.
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma osiem łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
8L=>KK=1 – zdanie prawdziwe w dzisiejszej logice KRZ
W algebrze Kubusia powyższe zdanie jest fałszywe z dwóch powodów:
A. bezsensowne bo brak związku poprzednika z następnikiem
B. wartości logiczne p i q są z góry znane

1.2 Spójniki zdaniowe i operatory logiczne

W języku mówionym zawsze mamy do czynienia wyłącznie z czteroma, precyzyjnie zdefiniowanymi spójnikami:
1.
+ - spójnik logiczny „lub”
2.
* - spójnik logiczny „i”

Zdania warunkowe:
Jeśli p to q
3.
=> - warunek wystarczający, spójnik logiczny „musi” między p i q, w mowie potocznej domyślny i nie musi być wypowiadany
Zdania równoważne:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
CH=>P=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
4.
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny miedzy p i q nas tu kompletnie nie interesują
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8

Spójniki te mogą mieć dodatkowe matematyczne znaczenie, co wymaga analizy matematycznej.

1.3 Dualne znaczenie symboli +, *, =>, ~> w algebrze Kubusia

1. OR
1. „lub”(+) – spójnik logiczny (+), w mowie potocznej znaczenie podstawowe
1A: OR(*) – operator logiczny (+)

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p+q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)
gdzie:
+ - spójnik “lub” w logice dodatniej (bo Y)
* - spójnik “I” w logice ujemnej (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)

2. AND
2. „i” (*) – spójnik logiczny (*), w mowie potocznej znaczenie podstawowe
2A: AND(*) – operator logiczny (*)

Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)

Y=p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)
gdzie:
* - spójnik „i” w logice dodatniej (bo Y)
+ - spójnik „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)

3. Implikacja odwrotna ~>
3. Warunek konieczny ~>, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q
3A: implikacja odwrotna (~>), operator logiczny

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>:
Operator implikacji odwrotnej ~> to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym w logice ujemnej (bo ~q)
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q

4. Implikacja prosta =>
4. => - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
4A: implikacja prosta (=>), operator logiczny

Definicja operatora implikacji prostej =>:
Operator implikacji prostej => to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatnie (bo q) z warunkiem koniecznym w logice ujemnej (bo ~q)
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q

5. Równoważność
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
5. => - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
5A. równoważność (<=>), operator logiczny

Definicja operatora równoważności <=>:
Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i ponownie warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
=> - warunek wystarczający =>, spójnik „musi” między p i q

W naturalnym języku mówionym, tym spotykanym na co dzień, analiza matematyczna implikacji jest z reguły trywialna, na poziomie 5-cio letniego dziecka.
W matematyce tak nie musi być, udowodnienie iż dane twierdzenie jest implikacją prostą albo czymś fundamentalnie innym, równoważnością, wcale nie musi być proste.

Jak widzimy, znaczenie symboli w algebrze Kubusia jest dualne. W naturalnym języku mówionym zawsze mamy do czynienia ze spójnikami, nie z operatorami.

## - różne funkcje logiczne !

Operatory OR i AND

Równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
p+q = ~(~p*~q)=1 ## p*q = ~(~p+~q) =1 – prawa de’Morgana

Implikacja prosta => i odwrotna ~>

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q=1 ## p~>q = ~p=>~q=1 – prawa Kubusia

Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.

Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !

Po stronie p i q nie są to prawdy i fałsze bezwzględne, jak to jest w Klasycznym Rachunku Zdań.
Różnica między algebrą Kubusia i KRZ jest wiec fundamentalna i dotyczy absolutnie każdego pojęcia i każdej definicji – totalnie NIC nie jest tu wspólne, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.


1.4 Budowa operatorów OR i AND

Operatory implikacji i równoważności są z definicji operatorami dwuargumentowymi.
W operatorach OR i AND nie ma żadnych ograniczeń.
Przykładowa funkcja logiczna z operatorami AND i OR:
Y=A+B(C+~D)…
gdzie:
Y – funkcja logiczna
A,B,C,~D – zmienne binarne mogące w osi czasu przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1
W naszych rozważaniach ograniczymy się do dwuargumentowych AND i OR, gdyż rozpatrywanie większej liczby argumentów nie wnosi absolutnie nic nowego do istoty zagadnienia.

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
p+q = ~(~p*~q)=1 ## p*q = ~(~p+~q) =1 – prawa de’Morgana

Prawo de Morgana zapisane w postaci funkcji logicznej Y.
Lewa strona znaku ##:
Y=p+q = ~(~p*~q)
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Prawa strona znaku ##:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p*q
~Y=~p+~q
stąd budowa operatorów OR i AND:
Kod:

Y=p+q       ##   Y=p*q
~Y=~p*~q    ##  ~Y=~p+~q

Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y).

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Logika dodatnia to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1)
Y=p+q
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 lub q=1
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Logika ujemna to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y=1)
~Y=~p*~q
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 i ~q=1

Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
Y=p+q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)
stąd:
Budowa operatorów OR i AND
Kod:

    Operator OR(+)              Operator AND(*)
---------------------       --------------------
|       Y=p+q         |     |       Y=p*q         |
|+ - spójnik <lub>    |     |* - spójnik <i>      |
|Y - logika dodatnia  |     |Y - logika dodatnia  |
|Y - dotrzymam slowa  |     |Y - dotrzymam slowa  |
----------------------   ##  --------------------
|      ~Y=~p*~q       |     |      ~Y=~p+~q       |
|* - spójnik <i>      |     |+ - spójnik <lub>    |
|~Y - logika ujemna   |     |~Y - logika ujemna   |
|~Y - sklamię         |     |~Y - sklamię         |
----------------------       ---------------------

Związek logik:               Związek logik:
Y=~(~Y)                      Y=~(~Y)
Stąd prawo de’Morgana        Stąd prawo de’Morgana
p+q = ~(~p*~q)           ##  p*q = ~(~p+~q)

Prawo de’Morgana na poziomie operatorów logicznych:
+ - operator OR
* - operator AND
p+q=~(~p*~q) – prawo zamiany operatora OR na AND (bramki logicznej OR na bramkę AND)
p*q = ~(~p+~q) – prawo zamiany operatora AND na OR (bramki logicznej AND na bramkę OR)
Zauważmy, że prawa de’Morgana zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji OR albo AND - lewa i prawa strona na powyższym schemacie blokowym. Ta forma praw de’Morgana jest przydatna w technice cyfrowej, w języku mówionym jest praktycznie nie używana.

Definicja spójnika „lub” niezależna od logiki:
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1

Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q – logika dodatnia (bo Y)
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Równoważnie:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q – logika ujemna bo (~Y)
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Równoważnie:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)

Definicja spójnika „i” niezależna od logiki:
Iloczyn logiczny (spójnik ‘i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1

Y=p*q – logika dodatnia (bo Y)
Y=1 <=> p=1 i q=1

~Y=~p*~q – logika ujemna (bo ~Y)
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Prawa de’Morgana na poziomie spójników logicznych
+ - spójnik „lub”
* - spójnik „i”
Prawo de’Morgana w obrębie operatora OR:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y = ~p*~q – skłamię bo (~Y)

Prawo de’Morgana w obrębie operatora AND:
Y=p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q – logika ujemna (bo ~Y)

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Równoważnie:
Y=1 <=> (K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1)
gdzie:
X – zmienna w logice dodatniej
~X – zmienna w logice ujemnej (bo negacja sygnału)
Znaczenie zmiennych:
Y=1 – dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y=1 – skłamię, logika ujemna bo ~Y
K=1 – jutro pójdę do kina, logika dodatnia bo K
~K=1 – jutro nie pójdę do kina, logika ujemna bo ~K
T=1 – jutro pójdę do teatru, logika dodatnia (bo T)
~T=1 – jutro nie pójdę do teatru, logika ujemne (bo ~T)

Oczywiście jutro wyłącznie jeden z członów połączonych spójnikiem „lub” ma szansę być prawdą, pozostałe będą fałszem.

… a kiedy skłamię ?
Prawo przedszkolaka:
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~K*~T
czyli:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~Y=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Jak widzimy, wyłącznie z użyciem logiki dodatnie i ujemnej, oraz porzuceniem zer i jedynek na rzecz logiki w 100% symbolicznej mamy pełną zgodność matematyki z naturalnym językiem mówionym.

Popatrzmy teraz na coś ciekawego.
Budowa operatorów OR i AND w równaniach logicznych:
Kod:

Tabela A
Y=p+q       ##   Y=p*q
~Y=~p*~q    ##  ~Y=~p+~q

Negujemy wszystkie zmienne z lewej strony:
Kod:

Tabela B
~Y=~p+~q       ##   Y=p*q
Y=p*q          ##  ~Y=~p+~q

… i otrzymaliśmy prawą stronę, bo wiersze w algebrze Kubusia można dowolnie zamieniać.
Oczywiście oznacza to że w tabeli A lewa strona znaku ## to fundamentalnie co innego niż prawa strona znaku ##, bowiem w układzie tylko zanegowaliśmy zmienne, takie układy logiczne nigdy nie będą równoważne.

Budowa operatorów OR i AND:
Kod:

Tabela A
Y=p+q       ##   Y=p*q
~Y=~p*~q    ##  ~Y=~p+~q


Weźmy prosty przykład :
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T ## Y=K*T
Oczywiście to Y z lewej strony nie ma nic wspólnego z Y z prawej strony
Gdy będziemy wiązać ze sobą lewa i prawą stronę znaku ## to otrzymamy taki kwiatek …
Jeśli zdanie:
Y=K+T
jest prawdziwe, to zdanie
Y=K*T
jest fałszywe
Jeśli Y=K+T=1 to Y=K*T=0

Co trzeba zrobić aby oba zdania były prawdziwe ?
Oczywiście uznać zdanie Y=K*T jako zdanie nowo wypowiedziane, totalnie niezależne od Y=K+T, czyli lewa strona znaku ## jest totalnie niezależna od prawej strony.

Na mocy definicji mamy wówczas:
Y=K+T=1 ## Y=K*T=1

Matematycznym błędem jest tu jakiekolwiek mieszanie lewej i prawej strony znaku ##.

Poprawnie dla lewej strony mamy tak:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów.
~Y=~K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Absolutnie nie wolno tu brać Y (dotrzymam słowa) z lewej strony znaku ## i ~Y (skłamię) z prawej strony znaku ##, czyli nie wolno robić tak.
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Biorę sobie ~Y z prawej strony znaku ##:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Bo to jest mieszanie dwóch różnych definicji operatorów logicznych, błąd czysto matematyczny.

Analogicznie jest z operatorami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.


1.5 Bodowa operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>

Implikacja to zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie deszczu wystarcza dla istnienia chmur
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q
Chmury są konieczne aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno nie będzie padać
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Najważniejsza interpretacja prawa Kubusia:
Spełniony warunek wystarczający=> z prawej strony równania Kubusia wymusza spełniony warunek konieczny ~> z lewej strony prawa Kubusia.

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q =1 ## p~>q = ~p=>~q =1 – prawa Kubusia
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Budowa operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
Kod:

   Operator                       Operator
   implikacji prostej =>          implikacji odwrotnej ~>
--------------------- -----      ---------------------------
|       p=>q               |     |       p~>q               |
|=> - spójnik <musi>       |     |~> - spójnik <może>       |
|=> - warunek wystarczający|     |~> - warunek konieczny    |
|w logice dodatniej bo q   |     |w logice dodatniej bo q   |
---------------------------   ##  --------------------------
|      ~p~>~q              |     |      ~p=>~q              |
|~> - spójnik <może>       |     |=> - spójnik <musi>       |
|~> - warunek konieczny    |     |=> - warunek wystarczający|
|w logice ujemnej bo ~q    |     |w logice ujemnej bo ~q    |
---------------------------       --------------------------

Prawo Kubusia:                     Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q                 ##   p~>q = ~p=>~q


Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie w implikacji:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi”
~> - warunek konieczny, spójnik „może”

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji
Zdanie jest wypowiedziane w logice ujemnej gdy następnik jest zaprzeczony (~q), inaczej zdanie jest w logice dodatniej (bo q).
p=>q – logika dodatnia bo q
~p~>~q – logika ujemna bo ~q

Prawo przejście do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
W operatorach implikacji przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne (identycznie jak w OR i AND !)
p=>q =1
… a jeśli nie zajdzie p ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatora na przeciwny:
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia

Prawo przedszkolaka działa w całym obszarze algebry Kubusia.
Dana jest funkcja logiczna:
A*(~B+C) => D+~E
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~A+(B*~C) ~> ~D*E
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR, =>, ~>

Dualizm symboli => i ~> w algebrze Kubusia:

1.
Prawa Kubusia na poziomie operatorów logicznych:
=> - operator implikacji prostej
~> - operatora implikacji odwrotnej
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>

2.
Prawa Kubusia na poziomie warunków wystarczających => i koniecznych ~>
=> - warunek wystarczający między p i q, spójnik „musi” w naturalnym języku mówionym
~> - warunek konieczny między p i q, spójnik „może” w naturalnym języku mówionym
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
Implikacja prosta => to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany warunku koniecznego ~> na warunek wystarczający =>
Implikacja odwrotna ~> to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)

Interpretacja warunków koniecznych
~> - warunek konieczny między p i q
=> - warunek wystarczający między p i q

1.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Zabieram poprzednik (~p) i musi zniknąć następnik(~ q)

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
Prawo Kubusia:
CH~>P=~CH=>~P
Zabieramy chmury (~CH) i musi zniknąć możliwość padania (~P)
~CH=>~P=1
Tu oczywistość, zatem warunek konieczny w zdaniu A spełniony:
CH~>P=1

2.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q = p=>q
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (p) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (q)

Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (P) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (CH)
Wymuszamy padanie deszczu (P) z czego muszą wynikać chmury (CH)
Oczywista prawda:
P=>CH=1
Zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny:
~P~>~CH=1
ale …
B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~>CH=0
bo:
Prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (P) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (~CH)
Wymuszamy padanie deszczu (P) z czego musi wynikać brak chmur (~CH)
Oczywisty fałsz:
P=>~CH=0
Zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
~P~>CH=0
ale …
Zdanie B jest bezdyskusyjnie prawdziwe !

Stąd konieczność wprowadzenia do logiki nowego symbolu:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Kod:

p~~>q =1
1 1 =1

p~~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny miedzy p i q nas tu kompletnie nie interesują

stąd poprawne matematycznie kodowanie zdania B:
B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH=1 – istnieje taka możliwość

Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia

Dowód:
Wynika to bezpośrednio z praw Kubusia.
Jeśli prawa strona jest prawdą (zachodzi warunek wystarczający =>), to lewa strona także musi być prawdą (zachodzi warunek konieczny ~>), inaczej algebra Kubusia leży w gruzach.

W implikacji i tylko tu warunek konieczny to spójnik „może” (nie w równoważności !):
~> - warunek konieczny, spójnik ”może” między p i q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
czyli:
Może zajść ale nie musi, miękka prawda, „rzucanie monetą”

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – miękka prawda, może padać ale nie musi, „rzucanie monetą”

Z twierdzenia ŚFINII wynika, że całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w analizie warunków wystarczających.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Powyższe zdanie traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

~p=>~q =1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Powyższe zdanie traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Definicja warunku wystarczającego to zaledwie dwie linie tabeli zero-jedynkowej, nie jest to zatem operator logiczny, bo ten musi być definiowany wszystkimi czteroma liniami.


1.6 ŚFIŃSKIE definicje implikacji

ŚFIŃSKIE definicje operatorów logicznych to majstersztyk algebry Kubusia. Umożliwiają one rozstrzyganie czym jest wypowiedziane zdanie bez koniczności analizy tego zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający
p=>q =1
p~>q=0
Wynika to bezpośrednio z prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
Jeśli p=>q=1 to nie może być p~>q=1
Bo wówczas zachodziłoby:
p~>q = ~p~>~q
co w implikacji jest fałszem

ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacja odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny
p~>q =1
p=>q=0
Wynika to bezpośrednio z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Jeśli p~>q=1 to nie może być p=>q=1
Bo wówczas zachodziłoby:
p=>q = ~p=>~q
co w implikacji jest fałszem

W równoważności zachodzi:
p=>q = ~p=>~q
Stąd
ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi jednocześnie warunek wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
gdzie:
~> - symbol warunku koniecznego między p i q, w równoważności nie jest po spójnik „może”, bowiem w równoważności nie ma mowy o „rzucaniu monetą” (~>=”może”) charakterystycznym dla implikacji.

Darujmy sobie na razie równoważność bo to zupełnie inna bajka matematyczna i weźmy pod uwagę wyłącznie implikacje.

Przykład implikacji prostej => prawdziwej
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
Badamy warunek konieczny:
P~>CH = ?
A1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH=?
Prawo Kubusia:
P~>CH = ~P=>~CH=0
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0 – bo może nie padać i może być pochmurno
Prawa strona równania Kubusia jest fałszem zatem z lewej stronie wykluczony jest warunek konieczny ~>:
P~>CH=0
Interpretacja potoczna braku warunku koniecznego w A1:
Zabieramy możliwość padania a sytuacja „są chmury” jest możliwa, zatem w A1 warunek konieczny nie zachodzi.

Zdanie A1 jest oczywiście prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”
A1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH=1 – sytuacja możliwa, poprawne kodowanie matematyczne zdania A1
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunek konieczny nas tu nie interesuje.

Wnioski:
Dla zdania wypowiedzianego A mamy:
P=>CH=1 – warunek wystarczający spełniony
P~>CH=0 – warunek konieczny niespełniony
Zdanie A spełnia zatem ŚFIŃSKĄ definicję implikacji prostej, możemy w skrócie powiedzieć że zdanie A jest implikacją prostą.

Przykład implikacji odwrotnej prawdziwej
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P = ?
Interpretacja potoczna warunku koniecznego:
Zabieramy chmury i musi zniknąć możliwość padania, co jest oczywistością, zatem w zdaniu B zachodzi warunek konieczny
To samo matematycznie.
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Sprawdzamy czy zachodzi warunek konieczny:
CH~>P = ~CH=>~P – prawo Kubusia
B1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem po lewej stronie musi zachodzić warunek konieczny ~>.
CH~>P=1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P = 1 – warunek konieczny spełniony

Sprawdzamy czy w zdaniu B zachodzi warunek wystarczający:
B2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
CH=>P=0 – oczywisty fałsz

Zatem dla zdania B mamy:
CH~>P=1 – warunek konieczny spełniony
CH=>P=0 – warunek wystarczający nie zachodzi

Wniosek:
Zdanie B spełnia ŚFIŃSKĄ definicje implikacji odwrotnej, czyli zdanie B jest implikacją odwrotną prawdziwą.

Nasz przykład naniesiony na schemat blokowy budowy operatorów implikacji z poprzedniego punktu:
Kod:

   Operator                       Operator
   implikacji prostej =>          implikacji odwrotnej ~>
--------------------- -----      ---------------------------
|       P=>CH=1            |     |       CH~>P=1            |
|=> - spójnik <musi>       |     |~> - spójnik <może>       |
|=> - warunek wystarczający|     |~> - warunek konieczny    |
|w logice dodatniej bo q   |     |w logice dodatniej bo q   |
---------------------------   ##  --------------------------
|      ~P~>~CH=1           |     |      ~CH=>~P=1           |
|~> - spójnik <może>       |     |=> - spójnik <musi>       |
|~> - warunek konieczny    |     |=> - warunek wystarczający|
|w logice ujemnej bo ~q    |     |w logice ujemnej bo ~q    |
---------------------------       --------------------------

Prawo Kubusia:                     Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH               ##   CH~>P = ~CH=>~P

Podobnie jak w operatorach OR i AND po obu stronach znaku ## mamy w implikacji dwie fundamentalnie inne funkcje logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne.
Oczywiście z prawej strony musieliśmy zamienić p i q (w stosunku do lewej strony) bowiem wtedy i tylko wtedy zdanie CH~>P jest prawdziwe. Zdanie CH~>P traktujemy jako zdanie nowo wypowiedziane, nie mające nic wspólnego ze zdaniem P=>CH, to zupełnie nowa definicja !

Równanie ogólne implikacji dla naszego przykładu:
P=>CH = ~P~>~CH ## CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
P=>CH ## ~CH=>~P
Po ustawieniu sztywnego punktu odniesienia na zdaniu P=>CH:
p=P
q=CH
mamy poprawne prawo kontrapozycji w implikacji w takiej formie:
p=>q ## ~q=>~p

Znane matematykom prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q = ~q=>~p
jest poprawne, i owszem, ale tylko i wyłącznie w równoważności.

Zauważmy, że argumenty w implikacji nie są przemienne:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
co oznacza:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0 – odwrotnie nie zachodzi !
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0 – odwrotnie nie zachodzi !

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno będzie padać
CH=>P=0
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
Jeśli jutro będzie padać to może być pochmurno
P~>CH=0
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0

… ale odwrotnie nie zachodzi !
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać
~CH=>P=0
Jeśli p=>q=0 to q=>p=0
B.
Jeśli jutro będzie padać to może nie być pochmurno
P~>~CH=0
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
~CH~>P=0
Jeśli p~>q=0 to q~>p=0

Identyczna ciekawostka jak w operatorach OR i AND.
Kod:

Definicja =>      Definicja ~>
p=>q          ##  p~>q
~p~>~q        ##  ~p=>~q

Oczywiście negując zmienne po lewej stronie otrzymamy prawą stronę. Takie układy logiczne nigdy nie będą równoważne, stąd znak ##.


1.7 ŚFIŃSKIE definicje równoważności

Równoważność to opis tego samego przy pomocy innych parametrów.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi, to nie są implikacje proste
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1
W implikacji prostej w zdan Definicja warunku koniecznego iu B musiałby być spójnik „może” (rzucanie monetą), w równoważności nie ma o tym mowy.

Sprawdzić czy dowolny trójkąt jest równoboczny możemy na dwa równoważne sposoby:
1.
Równość boków wystarcza dla stwierdzenia że ten trójkąt był równoboczny
BR=>TR
2.
Równość kątów wystarcza dla stwierdzenie iż ten trójkąt jest równoboczny
KR=>TR
=> warunek wystarczający

Twierdzenie ŚFINII (definicja warunku wystarczającego):
Warunek konieczny w zdaniu „Jeśli p to q” zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
~> - warunek konieczny, w równoważności nie jest to spójnik „może” !

Równoważność to opis tego samego przy pomocy innych parametrów, dlatego warunek konieczny jest tu zawsze spełniony.

Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
=> - warunek wystarczający spełniony, spójnik „musi” między p i q
Badamy warunek konieczny:
TR~>KR = ~TR=>~KR =1
Prawa strona jest prawdą zatem lewa strona również musi być prawdą, warunek konieczny spełniony
Potocznie:
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem koniecznym aby kąty były równe, bowiem jeśli zabierzemy trójkąty równoboczne, to znikną nam trójkąty o równych kątach

ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli… to” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzą jednocześnie warunki wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
gdzie:
p=>q – warunek wystarczający miedzy p i q
p~>q – warunek konieczny miedzy p i q, w równoważności nie jest to spójnik „może” („rzucanie monetą”) znany z implikacji !

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
Bycie trójkątem równobocznym wystarcza, aby kąty były równe

Sprawdzamy warunek konieczny.
TR~>KR = ~TR=>~KR
czyli:
A1.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający
Wniosek:
TR~>KR=1
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem koniecznym aby kąty były równe
Interpretacja potoczna:
TR~>KR = ~TR=>~KR
Zabierając wszystkie trójkąty równoboczne wykluczamy znalezienie trójkąta o równych kątach

Dla zdania A mamy zatem:
TR=>KR=1 – warunek wystarczający spełniony
TR~>KR=1 – warunek konieczny spełniony (nie jest to spójnik „może” !)

Wniosek:
Zdanie A spełnia ŚFIŃSKĄ definicję równoważności, w skrócie możemy powiedzieć że zdanie A jest równoważnością.

Oczywiście zdanie A możemy wypowiedzieć w równoważnej formie:
A2.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR

Na podstawie powyższego mamy taką definicję równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR)
czyli w zapisie ogólnym:
p<=>q =(p=>q)*(p~>q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q

Związek warunku koniecznego z warunkiem wystarczającym:
p~>q = ~p=>~q
stąd kolejna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q, to nie są implikacja proste.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0

KONIEC !
To jest absolutnie wystarczająca i jedyna poprawna definicja warunku wystarczającego.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Zdanie p=>q traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Zdanie ~p=>~q traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Zauważmy, że na gruncie definicji warunku koniecznego w równoważności poprawna jest również taka definicja równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
bowiem z powyższego na mocy twierdzenia ŚFINII otrzymujemy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
czyli równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~ q

Dla naszego przykładu mamy:
TR<=>KR = (TR~>KR)*(~TR~>~KR) = 1*1=1

Interpretacja potoczna warunków koniecznych.
1.
Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q)
p~>q = ~p=>~q
Zabieram poprzednik (~p) i musi zniknąć następnik(~ q)

Dla naszego przykładu:
TR~>KR = ~TR=>~KR
Zabieram trójkąty równoboczne (~TR) i musi zniknąć możliwość znalezienia trójkąta który ma kąty równe - oczywistość, zatem warunek konieczny TR~>KR spełniony

2.
Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q = p=>q
Wymuszam zaprzeczony poprzednik (p) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (q)

Dla naszego przykładu:
~TR~>~KR = TR=>KR
Wymuszam zaprzeczony poprzednik (TR) z którego musi wynikać zaprzeczony następnik (KR)
czyli biorę pod uwagę wyłącznie trójkąty równoboczne i każdy taki trójkąt musi mieć kąty równe.
Oczywistość, zatem w zdaniu ~TR~>~KR zachodzi warunek konieczny.

W równoważności zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q = q=>p
bowiem w równoważności zachodzi przemienność argumentów.

Stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność to równoczesne zachodzenie warunków wystarczających w dwie strony.

Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p

Zauważmy, że w równoważności zawsze będą spełnione jednocześnie warunki wystarczając i konieczne między p i q w dowolnym z powyższych zdań, zatem wszystkie powyższe zdania połączone znakiem tożsamości „=” to równoważności, bo spełniają ŚFIŃSKĄ definicje równoważności.

Oczywiście o zdaniu p=>q możemy też powiedzieć, że to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Budowa operatora równoważności.

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

   Operator                       Operator
   równoważności p<=>q            równoważności q<=>p
--------------------- -----      ---------------------------
|       p=>q               |     |       q=>p               |
|=> - spójnik <musi>       |     |=> - spójnik <musi>       |
|=> - warunek wystarczający|     |=> - warunek wystarczający|
|w logice dodatniej bo q   |     |w logice dodatniej bo q   |
---------------------------   =   --------------------------
|      ~p=>~q              |     |      ~q=>~p              |
|=> - spójnik <musi>       |     |=> - spójnik <musi>       |
|=> - warunek wystarczający|     |=> - warunek wystarczający|
|w logice ujemnej bo ~q    |     |w logice ujemnej bo ~q    |
---------------------------       --------------------------

p=>q = ~p=>~q                 =   q=>p = ~q=>~p

W równoważności jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q, bowiem argumenty w równoważności są przemienne:
p=>q = q=>p

Zauważmy, że tożsamości po przekątnych to prawo kontrapozycji w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prawo kontrapozycji nie jest dowodem równoważności, bowiem identyczne warunki wystarczające występują po przekątnych w implikacji.

Prawo Kontrapozycji w implikacji:
p=>q=1 ## ~q=>~p=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji implikacji

Przykład:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH = ~p~>~CH=1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=~CH=>~P=1
Równanie ogólne implikacji:
P=>CH = ~P~>~CH =1 ## CH~>P = ~CH=>~P =1
stąd:
P=>CH=1 ## ~CH=>~P=1
dla sztywnego punktu odniesienia:
p=P
q=CH
mamy poprawne prawo kontrapozycji w implikacji:
p=>q=1 ## ~q=>~p=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowodem zachodzącej równoważności są zachodzące warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności.


1.8 Klasyczne definicje implikacji w algebrze Kubusia

Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.

Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny - względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !

Definicja implikacji prostej w równaniu logicznym to po prostu prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q

Przykład implikacji prostej

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH

Klasyczna analiza matematyczna w algebrze Kubusia, przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – Gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi bez wyjątków
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz wynikły z powyższego
1 0 =0
… a jeśli jutro nie będzie padało ?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH =1
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – przypadek możliwy, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH=1 – przypadek możliwy, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=0
Zdanie D nie może być implikacja odwrotna bo prawo Kubusia:
D: ~P~>CH = B: P=>~CH=0
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny nas tu nie interesuje.

Matematyczne znaczenie zer i jedynek mamy w przykładzie wyżej.
W algebrze Kubusia zera i jedynki w tabeli zero-jedynkowej to prawdy względne i fałsze względne, względem zdania wypowiedzianego 1 1 =1 !

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

stąd:
Ogólna definicja operatora implikacji prostej =>
Kod:

Definicja operatora implikacji prostej =>
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
…. a jeśli zajdzie ~p ?
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=1
0 1 =1

Kodowanie zer i jedynek zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym p=>q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu logicznym to po prostu prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q

Przykład implikacji odwrotnej

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P

Klasyczna analiza matematyczna w algebrze Kubusia, przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze, bez wyjątków
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
CH=1, ~CH=1
P=1, ~P=0

Zdanie B nie może być implikacją odwrotną bo prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D:~CH=>P=0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny nas tu nie interesuje.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Stąd definicja implikacji odwrotnej w zapisie ogólnym:
Kod:

p~>q=1
1 1 =1
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

Kodowanie zer i jedynek zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym p~>q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1


1.9 Klasyczna definicja równoważności w algebrze Kubusia

Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech zdań z tego wynikająca.

Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !

Przykład równoważności

Zdanie wypowiedziane:
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR

Klasyczna analiza równoważności w algebrze Kubusia przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>KR)

Analiza matematyczna I

TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR<=>KR = ~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
0 0 =1
stąd:
D,
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0

Definicja zero-jedynkowa równoważności:
Kod:

p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0

Stąd:
Klasyczna definicja równoważności w algebrze Kubusia:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
p<=>q = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

Kodowanie zero-jedynkowe zgodne ze zdaniem wypowiedzianym:
p<=>q = p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=1
1 0 =1

Kodowanie zer i jedynek dla punktu odniesienia ustawionym dla zdaniu wypowiedzianym p=>q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0

Kodowanie zer i jedynek dla punktu odniesienia ustawionym dla zdaniu wypowiedzianym ~p=>~q:
~p=1, q=0
~q=1, q=0

Dla naszego przykładu w logice ujemnej będziemy mieli:

Zdanie wypowiedziane:
C.
Trójkąt nie jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma kątów równych
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)

Analiza matematyczna II

~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
1 1 =1
stąd:
D,
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
… a jeśli trójkąt jest równoboczny ?
~TR<=>~KR = TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
0 0 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~TR=1, TR=0
~KR=1, KR=0

Porównajmy analizy matematyczne I i II wyżej. Widać, że zdania wynikłe z analizy wszystkich możliwych przeczeń w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem zachodzenia tego prawa:
p<=>q = ~p<=>~q
na poziomie operatorowym.
W obu przypadkach mamy identyczne definicje zero-jedynkowe równoważności.

Doskonale widać, że w równoważności nie ma najmniejszych szans na spójnik „może” (rzucanie monetą) znany z definicji implikacji.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1

O zdaniach p=>q i ~p=>~q możemy precyzyjnie powiedzieć że są to tylko warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co widać wyżej.

Możemy tez powiedzieć, że zdania p=>q i ~p=>~q to równoważności bowiem analiza tych zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q daje nam definicję zero-jedynkową równoważności.

O zdaniach p=>q i ~p=>~q absolutnie nie możemy powiedzieć iż są to implikacje proste, bowiem z analizy tych zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nigdy nie uzyskamy tabeli zero-jedynkowej implikacji prostej.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24920
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 15:53, 22 Maj 2011    Temat postu:

2.0 Operatory OR i AND

Matematycznym fundamentem dwuelementowej algebry Kubusia (także Boole’a) jest definicja iloczynu kartezjańskiego i pojęcie funkcji.

W algebrze Kubusia znane są wyłącznie cyfry 0 i 1. Mamy tu dwa zbiory p=(0,1) i q=(0,1) bo inne cyfry są nielegalne. Iloczyn kartezjański tych zbiorów to zbiór [p,q]=[(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)].

Definicja funkcji logicznej:
Funkcja logiczna w algebrze Kubusia to jednoznaczne odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego [p,q]=[(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)] w zbiór Y zwany funkcją logiczną.

W technice cyfrowej p i q zwane są sygnałami wejściowymi bramki logicznej, natomiast funkcja logiczna Y to wyjście cyfrowe.

Funkcja logiczna OR
Kod:

Schemat ideowy bramki OR
   p   q
   |   |
 ---------
 |       |
 |   OR  |
 ---------
     |
     V
     Y=p+q

W technice cyfrowej bramka OR realizuje funkcję sumy logicznej.
+ - symbol sumy logicznej

Funkcje logiczne w algebrze Kubusia definiowane są tabelami zero-jedynkowymi, zwanymi tabelami prawdy.

Funkcja logiczna OR
Kod:

p q  Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0

Y=1 <=> p=1 lub q=1

Synonimy dla określenia funkcji logicznej:
Funkcja logiczna = Operator logiczny (logika) = Bramka logiczna (technika) = Tabela prawdy (technika)
Pojęcia te można używać zamiennie.

Przykład:
Funkcja logiczna OR = Operator logiczny OR = Bramka logiczna OR = Tabela prawdy OR

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to kompletna funkcja Y, będąca jednoznacznym odwzorowaniem wszystkich możliwych stanów na wejściach p i q co widać w powyższej tabeli.

Funkcja logiczna AND
Kod:

Schemat ideowy bramki AND
   p   q
   |   |
 ---------
 |       |
 |  AND  |
 ---------
     |
     V
     Y=p*q

W technice cyfrowej bramka AND realizuje funkcję iloczynu logicznego.
* - symbol iloczynu logicznego

Funkcja logiczna AND
Kod:

p q  Y=p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =0
0 0 =0

Y=1 <=> p=1 i q=1

Zmienna binarna
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

W algebrze Kubusia zmienne binarne oznaczane są dowolnymi literami alfabetu lub ciągami znaków z wyłączeniem Y, zwyczajowo zarezerwowanej do oznaczenia funkcji logicznej
Przykłady z powyższej tabeli: p, q

Funkcja logiczna
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami OR(+) lub AND(*)
Y=p+q
Y=p*q
Y=A+B(C+D) = A+[B*(C+D)]
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+)
Oczywiście w dowolnej chwili czasu funkcja logiczna Y może przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych wejściowych.


2.1 Spójniki i operatory w OR i AND

Operator logiczny OR
Kod:

p q  Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0

Y=1 <=> p=1 lub q=1

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Mamy tu do czynienia z definicją spójnika „lub”, trzy pierwsze linie w tabeli zero-jedynkowej operatora OR.

Jeśli dołożymy do tego zdanie:
W przeciwnym przypadku jest równa zero, to otrzymamy pełną definicję operatora OR
Y=0 <=> p=0 i q=0

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Tu:
+ - spójnik logiczny „lub”

Operator logiczny AND
Kod:

p q  Y=p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =0
0 0 =0

Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Mamy tu do czynienia z definicją spójnika „i”, pierwsza linie w tabeli zero-jedynkowej operatora AND.

Jeśli dołożymy do tego zdanie:
W przeciwnym przypadku jest równy zero, to otrzymamy pełną definicję operatora OR
Y=0 <=> p=0 lub q=0

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
Y=1 <=> K=1 i T=1
Tu:
* - spójnik logiczny „i”


2.2 Operator OR w przedszkolu

Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.

Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !

Algebra Kubusia, to naturalna logika przedszkolaka. Udajmy się do przedszkola, aby podejrzeć jak dzieciaki się nią posługują.

Pani:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub jutro pójdziemy do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Pani:
Dzieci, czy można to samo powiedzieć inaczej ?
Jaś:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) gdy:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
K*T=Y
1 1 =1
LUB
B.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
K*~T=Y
1 0 =1
LUB
C.
Jutro nie pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
~K*T=Y
0 1 =1
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu wypowiedzianym A:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=K+T = K*T + K*~T + ~K*T
co oznacza:
Y=1<=> (K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1)
Gdzie:
+ - spójnik logiczny „lub”
* - spójnik logiczny „i”
Oczywiście jutro wyłącznie jeden ze składników sumy logicznej może być prawdziwy pozostałe będą fałszywe.
Załóżmy że zaszło:
Byliśmy w kinie i nie byliśmy w teatrze
Y=K*~T
Czyli:
Y= K*T=0 – fałsz
Y=K*~T=1 – prawda
Y=~K*T=0 - fałsz

Stąd definicja spójnika „lub” w zapisie symbolicznym wraz z kodowaniem zero-jedynkowym:
Kod:

Definicja spójnik „lub” w logice dodatniej bo Y
Dotrzymam słowa (Y) gdy:
Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q
 K* T= Y
1 1 =1
 K*~T= Y
1 0 =1
~K* T= Y
0 1 =1

Zauważmy, że spójnik logiczny „lub” to fundamentalnie co innego niż operator logiczny OR. Definicja operatora logicznego musi opisywać wszystkie możliwe przypadki, czyli cztery a nie trzy jak w powyższej tabeli.

Oczywiście dzieciaki nie mają pojęcia o kodowaniu zero-jedynkowym spójnika „lub”, jednak doskonale posługują się symboliczną definicją spójnika „lub” co widać w powyższym przykładzie.

To samo w zapisie ogólnym z użyciem parametrów formalnych p i q.
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y)
Dotrzyma słowa (bo Y) gdy:
Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q
 p* q= Y
 p*~q= Y
~p* q= Y

Parametry formalne i aktualne:
Wszelkie definicje i twierdzenia matematyczne zapisywane są przy użyciu parametrów formalnych.
W definicji wyżej parametry formalne to p i q.
Dla konkretnego przykładu pod parametry formalne podstawiane są wartości aktualne.
Dla przykładu wyżej:
p=K, q=T
Zapisy formalne praw logicznych to schemat postępowania z dowolnym zdaniem.

Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie ?
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y = ~K*~T – logika ujemna bo ~Y
Jaś:
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Na mocy definicja spójnika „i” mamy:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Stąd definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

Skłamię, logika ujemna (bo ~Y) gdy:
~Y=~K*~T
Definicja spójnika „i” wraz z kodowaniem zero-jedynkowym.
~K*~T=~Y
1 1 =1

Symboliczna definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

Tabela 2
Skłamię, logika ujemna (bo ~Y) gdy:
~Y=~p*~q
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y)
~p*~q=~Y


Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Y – logika dodatnia bo funkcja logiczna niezanegowana
Logika dodatnia w operatorach OR i AND to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa, wystąpi prawda.
~Y – logika ujemna bo funkcja logiczna zanegowana
Logika ujemne to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię, wystąpi fałsz.

Prawo przejście do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
W dowolnym równaniu algebry Kubusia przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Przykład:
A.
Funkcja w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q
B.
Przejście do logiki ujemnej (~Y)
~Y=~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając i B mamy
Prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)

Dla naszego przykładu wyżej mamy:
K+T = ~(~K*~T)
czyli:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Znaczy dokładnie to samo co:
B.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y = ~(~K*~T)

Oczywiście mając do wyboru dwa równoważne zdania A i B prawie zawsze wybierzemy A bo jest nieporównywalnie prostsze. Z tego powodu prawa de’Morgana w naturalnym języku mówionym są prawie nie używane.

Definicja operatora logicznego OR:
Operator logiczny OR to złożenie spójnik a „lub” w logice dodatniej ze spójnikiem „i” w logice ujemnej.

Tabela symboliczna operatora OR, czyli złożenie tabeli 1 z tabelą 2.
Kod:

Symboliczna definicja spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y)
Dotrzymam słowa (bo Y) gdy:
Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q
 p* q= Y
 p*~q= Y
~p* q= Y
… a kiedy skłamię ?
Skłamię, logika ujemna (bo ~Y) gdy:
~Y=~p*~q
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y)
~p*~q=~Y

Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie wypowiedziane:
Y=p+q
czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
To otrzymamy tabele zero-jedynkowa operatora OR
Kod:

Definicja operatora OR
p q Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q
1 1 =1   /Y=p*q
1 0 =1   /Y=p*~q
0 1 =1   /Y=~p*q
0 0 =0   /~Y=~p*~q

Jeśli natomiast za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie
~Y=~p*~q
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
To otrzymamy tabele zero-jedynkowa operatora AND
Kod:

~p ~q ~Y=~p*~q
            /Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q
 0  0  =0   /Y=p*q
 0  1  =0   /Y=p*~q
 1  0  =0   /Y=p*~q
            /~Y=~p*~q
 1  1  =1   /~Y=~p*~q

Zauważmy, że obie tabele są zgodne z użytym operatorem w wypowiedzianym zdaniu.


2.3 Operator AND w przedszkolu

Operator OR i AND to operatory symetryczne. Wszelkie fundamentalne pojęcia i definicje zostały wyjaśnione wyżej.

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy, gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T – logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> K=1 i T=1
stąd symboliczna definicja spójnika „i”.
Kod:

Tabela 1
Definicja spójnika „i” w logice dodatniej.
Y=p*q
Dotrzyma słowa (Y) gdy:
p*q =Y

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu wypowiedzianym:
Y=p*q
czyli:
Y=1 <=>p=1 i q=1
Otrzymujemy definicję zero-jedynkową spójnika „i”
Kod:

Definicja spójnika „i” w logice dodatniej.
Y=p*q
Dotrzyma słowa (Y) gdy:
p*q=Y
1 1 =1

Oczywiście spójnik „i” to fundamentalnie co innego niż operator AND.
Definicja spójnika „i” to jedna linia tabeli zero-jedynkowej, natomiast operator AND to wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

… a kiedy Pani skłamie ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~K+~T – logika ujemne (bo ~Y)
czyli:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
To samo innymi słowy:
Skłamię (~Y=1) gdy:
Jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
~Y=~K*~T
LUB
Jutro nie pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
~Y=~K*T
LUB
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
~Y=K*~T

Stąd definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~K+~T = ~K*~T + ~K*T + K*~T

Stąd symboliczna definicja spójnika „lub” w logice ujemnej.
Kod:

Tabela 2
Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Skłamię (~Y) gdy:
~Y=~p+~q =~p*~q+~p*q+p*~q
~p*~q =~Y
~p* q =~Y
 p*~q =~Y

Podkład zero-jedynkowy w definicji spójnika „lub” uzyskujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Stąd definicja spójnika „lub” w logice ujemnej z podkładem zero-jedynkowym.
Kod:

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Skłamię (~Y) gdy:
~Y=~p+~q =~p*~q+~p*q+p*~q
~p*~q =~Y
 1  1 =1
~p* q =~Y
 1  0 =1
 p*~q =~Y
 0  1 =1


Definicja operatora AND:
Operator logiczny AND to złożenie spójnika „I” w logice dodatniej (tabela 1), ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (tabela 2).
Kod:

Definicja spójnika „i” w logice dodatniej.
Y=p*q
Dotrzyma słowa (Y) gdy:
 p* q = Y
Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Skłamię (~Y) gdy:
~Y=~p+~q =~p*~q+~p*q+p*~q
~p*~q =~Y
~p* q =~Y
 p*~q =~Y

Dla powyższej tabeli mamy:
A.
Dotrzymam słowa (Y) gdy:
Y=p*q
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p+~q
B.
Skłamię (~Y) gdy:
~Y=~p+~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B otrzymujemy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p*q = ~(~p+~q)

Definicję zero-jedynkową operatora AND otrzymujemy dla kodowania całej tabeli zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym:
Y=p*q
czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa operatora AND
p q Y=p*q
1 1  =1    /Y=p*q
           /~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
0 0  =0    /~Y=~p*~q
0 1  =0    /~Y=~p*q
1 0  =0    /~Y=p*~q

Oczywiście, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie wypowiedziane:
~Y=~p+~q
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
To musimy otrzymać definicje zero-jedynkową operatora OR:
Kod:

~p ~q ~Y=~p+~q
 0  0  =0  /Y=p*q
           /~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
 1  1  =1  /~Y=~p*~q
 1  0  =1  /~Y=~p*q
 0  1  =1  /~Y=p*~q



2.4 Gród krasnoludka Orandka

Prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
p+q = ~(~p*~q)

W technice cyfrowej definicję operatora OR realizuje bramka OR:
Kod:

Bramka logiczna OR i jej układ zastępczy wynikający z prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q)
O – symbol negatora (~)
  p   q
  |   |
  |   x-----------x
  |   |           |
  x-----------x   |
  |   |       |   |
  |   |       O   O
 -------     -------
 |     |  =  |     |
 | OR  |     | AND |
 -------     -------
    |           O
    |           |
    x-----------x
    |
    Y=p+q=~(~p*~q)

Tabela prawdy bramki OR:
Kod:

p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0

Tabela prawdy bramki OR to wymuszenie na wejściach p i q wszystkich możliwych stanów logicznych którym przypisujemy stan pojawiający się na wyjściu Y. Oczywiście, musi tu być 100% jednoznaczność zgodnie z definicją operatora OR.
W świecie zewnętrznym układ zastępczy bramki OR jest niemożliwy do rozpoznania. Jeśli mamy czarną skrzynkę z kabelkami wejściowymi p i q oraz kabelkiem wyjściowym Y, to niemożliwe jest stwierdzenie jak układ bramki OR jest realizowany w rzeczywistości.

Zapewne wielu czytelników, na widok poniższego schematu ideowego przeżyje szok.
W naszym mózgu pracują najprawdziwsze krasnoludki !
Dlaczego krasnoludek ?
Mózg człowieka zbudowany jest z około 100mld neuronów połączonych …
Dla zrozumienia matematycznego fundamentu działania mózgu nie jest nam potrzebna szczegółowa analiza jego budowy.
Poznajmy pierwszego z nich, krasnoludka Orandka, obsługującego operator logiczny OR.
Jak widzimy na schemacie, z naszego abstrakcyjnego mózgu wystają dwa kabelki wejściowe p i q oraz jeden wyjściowy Y. Z zewnętrznego punktu odniesienia nie sposób rozszyfrować jak nasz mózg obsługuje w rzeczywistości operator logiczny OR. W świecie zewnętrznym jedyne co możemy stwierdzić to tabela prawdy operatora OR, nic więcej.

Tabela prawdy operatora OR (bramki OR):
Kod:

p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0

Zajrzyjmy do środka naszego mózgu i przyjrzyjmy się jak pracuje krasnoludek Orandek.
Kod:

Rysunek A.
  K   T
  |   |
  x--------------------------x
  |   |                      |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ---------------           ----------------
| K   T  Y=K+T |           | K   T   Y=K+T |
| 1   1   =1   |           | 0   0    =0   | CZŁOWIEK
| 1   0   =1   |           |               |
| 0   1   =1   |           |               |
 --------------             ---------------
  |   |                      |   |
  |   |                      O   O NEGATORY
  K   T                     ~K  ~T
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
|                 |       |                 |
| K   T  Y=K+T    |       | ~K  ~T ~Y=~K*~T |
| 1   1   =1      |       |  1   1   =1     |
| 1   0   =1          O                     | KRASNOLUDEK
| 0   1   =1         /|\                    | ORANDEK
|                     A                     |
|            Y=K+T         ~Y=~K*~T         |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| PRAWDY          |       | FAŁSZU          |
|       OR        |       |       AND       |
-------------------       ------------------
         |Y=K+T                    |~Y=~K*~T
         |                         O
         |                         | Y=~(~K*~T)
         x-------------------------x
         |Y
         V
       Y=K+T=~(~K*~T)
 --------------             ---------------
|  K  T  Y=K+T |           |  K  T  Y=K+T  |KOMNATA
|  1  1   =1   |           |  1  1   =1    |PRAWDY
|  1  0   =1   |           |  1  0   =1    |
|  0  1   =1   |           |  0  1   =1    |
|              |           | ~K ~T ~Y=~K*~T|KOMNATA
|  0  0   =0   |           |  1  1   =1    |FAŁSZU
 --------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KRASNOLUDEK
                              ORANDEK

GRÓD KRASNOLUDKA ORANDKA
Punkt odniesienia:
Y=K+T

Wynikowe zera i jedynki (Y, ~Y) nie są przynoszone w teczce, są generowane przez odpowiednie operatory logiczne na podstawie aktualnych sygnałów wejściowych p i q.

Z prawej strony na wyjściu bramki AND widzimy funkcję logiczną w logice ujemnej:
~Y=~K*~T
Funkcja w logice ujemnej jest tu wymuszona przez prawo de’Morgana, które nie może być zgwałcone. To jest bezpośredni dowód poprawności przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka.
Mamy:
Y=K+T – zdanie wypowiedziane, dotrzymam słowa bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K*~T – skłamię bo ~Y

Jak pracuje krasnoludek Orandek ?

Wewnątrz naszego mózgu znajdują się luksusowo urządzone dwie komnaty, prawdy i fałszu, pomiędzy którymi Orandek przenosi się z szybkością światła znajdując odpowiedzi na kluczowe pytania:
Kiedy dotrzymam słowa ?
Kiedy skłamię ?
Orandek rozpoznaje komnatę prawdy po braku przeczenia przy funkcji Y, natomiast w komnacie fałszu funkcja jest zaprzeczona ~Y - ten wężyk (~) to nic innego jak wąż-kusiciel z biblijnego drzewa poznania.

W świecie zewnętrznym, na wejściach K i T podajemy tabelę zero-jedynkową operatora OR. Zauważmy, że w komnacie fałszu, po negatorach, mamy zanegowane zarówno nazwy sygnałów wejściowych jak tez zanegowane wejściowe zera i jedynki. W laboratorium techniki cyfrowej łatwo sprawdzić, że tak właśnie jest.

Zadajemy krasnoludkowi pytanie.
Kiedy dotrzymam słowa ?

Orandek biegnie do komnaty prawdy którą rozpoznaje po braku przeczenia przy funkcji Y.

Natychmiastowa odpowiedź:
Kod:

K T Y=K+T=K*T+K*~T+~K+T
1 1 =1  /Y=K*T
1 0 =1  /Y=K*~T
0 1 =1  /Y=~K*T

Dotrzymasz słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziesz do kina (K=1) lub pójdziesz do teatru (T=1)
Y=1 <=>K=1 lub T=1

… a kiedy Orandku skłamię ?
Pracowity krasnoludek biegnie do komnaty fałszu i błyskawicznie odpowiada.
Kod:

~K ~T  ~Y=~K*~T
 1  1    =1

Skłamiesz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie pójdziesz do kina (~K=1) i nie pójdziesz do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa operatora OR z punktu odniesienia krasnoludka wygląda fundamentalnie inaczej niż z punktu odniesienia człowieka (świat zewnętrzny). Porównajmy dwie tabele pod schematem ideowym. Rzeczywista praca Orandka jest dowodem, że mózg człowieka traktuje zdania:
Y=K+T
oraz:
~Y=~K*~T
jako zdania nowo wypowiedziane 1 1 =1.

Przeanalizujmy szczegółowo zdanie:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
widziane ze wszystkich możliwych punktów odniesienia.

Analiza I
Punkt odniesienia, krasnoludek Orandek
Y=K+T
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
K+T=Y
1 1 =1
Zdanie AX matematycznie równoważne:
Y=K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
jutro pójdę do kina i pójdę do teatru
K*T=Y
1 1 =1
lub
B.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=Y
1 0 =1
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=Y
0 1 =1
Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
Zdanie wypowiedziane:
K+T=Y
stąd:
~K*~T=~Y
D.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~K*~T=~Y
1 1 =1

Stąd tabela zero-jedynkowa widziana oczami Orandka:
Kod:

Analiza I
Dotrzymam słowa (Y)
Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T
   K T  Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T
A: 1 1 =1  /Y=K*T
B: 1 0 =1  /Y=K*~T
C: 0 1 =1  /Y=~K*T
Skłamię (~Y)
  ~K~T ~Y=~K*~T
D: 1 1 =1  /~Y=~K*~T

Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K+T
~Y=~K*~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię

Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K*~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
Y=K+T=~(~K*~T)

Zauważmy 100% zgodność tej analizy z powyższym schematem ideowym, tak wygląda świat zewnętrzny widziany oczami naszego mózgu (krasnoludka).

Zobaczmy teraz to samo, obserwowane przez zewnętrznego obserwatora.

Analiza II
Punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane), obserwator zewnętrzny:
Y=K+T
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
K+T=Y
1 1 =1
Zdanie AX matematycznie równoważne:
Y=K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
jutro pójdę do kina i pójdę do teatru
K*T=Y
1 1 =1
lub
B.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=Y
1 0 =1
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=Y
0 1 =1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
Zdanie wypowiedziane:
K+T=Y
stąd:
~K*~T=~Y
D.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~K*~T=~Y
0 0 =0
Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym
Y=p+q
czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0

Stąd tabela zero-jedynkowa widziana oczami obserwatora zewnętrznego:
Kod:

Analiza II
Dotrzymam słowa (Y)
Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T
   K T  Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T
A: 1 1 =1  /Y=K*T
B: 1 0 =1  /Y=K*~T
C: 0 1 =1  /Y=~K*T
Skłamię (~Y)
  ~K~T ~Y=~K*~T
D: 0 0 =0  /~Y=~K*~T

Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K+T
~Y=~K*~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię

Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K*~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
Y=K+T=~(~K*~T)

Przyjmijmy teraz za punkt odniesienia zdanie D z powyższej analizy, to zdanie wypowiadamy jako pierwsze.

Analiza III
Punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane):
~Y=~K*~T
D.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~K*~T=~Y
1 1 =1
Punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane D, wymusza kodowanie zer i jedynek w analizie matematycznej w następujący sposób:
~K=1, K=0
~T=1, T=0
~Y=1, Y=0

… a kiedy dotrzymam słowa ?
Przejście ze zdaniem D do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Mamy:
~K*~T=~Y
stąd:
K+T=Y
czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Szczegółowe rozwinięcie:
Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T
stąd:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
K+T=Y
0 0 =0
Zdanie AX matematycznie równoważne:
Y=K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
jutro pójdę do kina i pójdę do teatru
K*T=Y
0 0 =0
lub
B.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=Y
0 1 =0
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=Y
1 0 =0
Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym D
~Y=~K*~T
czyli:
~K=1, K=0
~T=1, T=0
~Y=1, Y=0

Stąd tabela zero-jedynkowa widziana oczami obserwatora zewnętrznego:
Kod:

Analiza III
Skłamię (~Y)
  ~K~T ~Y=~K*~T
D: 1 1 =1  /~Y=~K*~T
Dotrzymam słowa (Y)
Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T
   K T  Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T
A: 0 0 =0  /Y=K*T
B: 0 1 =0  /Y=K*~T
C: 1 0 =0  /Y=~K*T

Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K+T
~Y=~K*~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię

Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K*~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
Y=K+T=~(~K*~T)

Wnioski:
1
W zerach i jedynkach, punkt odniesienia Orandka jest stały i niezmienny, niezależny od punktu odniesienia w świecie zewnętrznym.
2.
Orandek operuje wyłącznie spójnikami logicznymi „lub” i „i” o stałych definicjach zero-jedynkowych.
Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) z punktu odniesienia krasnoludka:
Kod:

Dotrzymam słowa (Y) gdy:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
p q Y=p+q
1 1 =1   / p* q =Y
1 0 =1   / p*~q =Y
0 1 =1   /~p* q =Y

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p*~q
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika ‘i” w logice ujemnej (bo ~Y) z punktu odniesienia krasnoludka:
Kod:

~p ~q ~Y=~p*~q
 1  1  =1

3.
Zauważmy, że układ równań logicznych opisujących wszystkie trzy analizy jest identyczny i niezależny od punktu odniesienia, czyli bez znaczenia jest czy wybierzemy punkt odniesienia I, II czy tez III.
4.
Logika symboliczna w równaniach algebry Kubusia nie zależy od idiotycznych zer i jedynek.
5.
Zera i jedynki generowane na mocy równań algebry Kubusia zależą od przyjętego punktu odniesienia, ale nie mają wpływu na treść zdań, bo wypływają z treści zdań.
6.
We wszystkich trzech analizach I, II, i III zdania składowe są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. Wynika z tego, że analizy I, II, i III są matematycznie równoważne.
7.
Symboliczna definicja operatora OR niezależna od zer i jedynek:
Kod:

Dotrzymam słowa (Y) gdy:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
p*q = Y
p*~q=Y
~p*q=Y
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p*~q
Skłamię (~Y) gdy:
~p*~q = ~Y


Na zakończenie schemat ideowy naszego mózgu dla punktu odniesienia:
~Y=~K*~T
Kod:

Rysunek B.
                            ~K  ~T
                             |   |
  x--------------------------x   |
  |                          |   |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ----------------          -----------------
|~K  ~T ~Y=~K*~T |         |~K  ~T ~Y=~K*~T |
| 0   0   =0     |         | 1   1    =1    | CZŁOWIEK
| 0   1   =0     |         |                |
| 1   0   =0     |         |                |
 --------------             ----------------
  |   |                      |   |
  O   O NEGATORY             |   |
  K   T                      |   |
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
|                 |       |                 |
| K   T   Y=K+T   |       | ~K  ~T ~Y=~K*~T |
| 1   1   =1      |       |  1   1   =1     |
| 1   0   =1          O                     | KRASNOLUDEK
| 0   1   =1         /|\                    | ORANDEK
|                     A                     |
|            Y=K+T         ~Y=~K*~T         |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| PRAWDY          |       | FAŁSZU          |
|       OR        |       |       AND       |
-------------------       ------------------
         |Y=K+T                    |~Y=~K*~T
         O                         |
         |~Y=~(K+T)=~K*~T          |
         x-------------------------x
         |~Y
         V
       ~Y=~(K+T)=~K*~T
 ----------------           ---------------
| ~K ~T ~Y=~K*~T |         | ~K ~T ~Y=~K*~T|KOMNATA
|  1  1   =1     |         |  1  1   =1    |FAŁSZU
|                |         |  K  T  Y=K+T  |KOMNATA
|  0  0   =0     |         |  1  1   =1    |PRAWDY
|  0  1   =0     |         |  1  0   =1    |
|  1  0   =0     |         |  0  1   =1    |
 ----------------           ---------------
    CZŁOWIEK                  KRASNOLUDEK
                              ORANDEK

GRÓD KRASNOLUDKA ORANDKA
Punkt odniesienia:
~Y=~K*~T

Wynikowe zera i jedynki (Y, ~Y) nie są przynoszone w teczce, są generowane przez odpowiednie bramki logiczne na podstawie aktualnych sygnałów wejściowych p i q.
Schematy z rysunku A i B są tożsame, bowiem w punkcie odniesienia zarówno człowieka, jak i krasnoludka Orandka (naszego mózgu) zdania opisywane przez operator OR są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. Zauważmy, że w punkcie odniesienia krasnoludka tabele zero-jedynkowe na obu rysunkach też są identyczne, występuje wyłącznie przestawienie linii co w algebrze Kubusia jest bez znaczenia

W zerach i jedynkach świat krasnoludka Orandka wygląda inaczej niż świat człowieka, ale w symbolicznych równaniach algebry Kubusia jest identyczny. Doskonale to widać porównując zdania składowe z analiz I (krasnoludek) oraz II i III (Człowiek) w analizach wyżej.

Ćwiczenie w laboratorium techniki cyfrowej:
Zbudować powyższe układy z rysunku A i B.
Sprawdzić wszystkie tabele zero-jedynkowe.

Pewne jest, że teoria musi się zgadzać w 100% z rzeczywistością, co jest dowodem istnienia krasnoludka Orandka w naszym mózgu.


2.5 Operator OR w tabelach zero-jedynkowych

W praktyce języka mówionego nikt nie posługuje się tabelami zero-jedynkowymi algebry Kubusia (algebry Boole’a). W swojej naturalnej logice człowiek operuje równoważnymi równaniami algebry Kubusia, co tej pory przerabialiśmy. Tabele zero-jedynkowe umożliwiają jednak bardzo proste dowody wszelkich praw logicznych, stad konieczność zapoznania się z techniką dowodzenia dowolnego prawa algebry Kubusia przy pomocy tabel zero-jedynkowych.

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0


Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =0
0 0 =0


Oczywiście na mocy definicji:
p+q ## p*q
bo to dwie fundamentalnie inne definicje.

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+Y ## Y=K*T

## - różne funkcje logiczne !

Prawo de’Morgana dla operatora OR:
Kod:

Tabela A
p q Y=p+q ~Y=~(p+q)  ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
1 1  =1     =0        0  0   =0       =1
1 0  =1     =0        0  1   =0       =1
0 1  =1     =0        1  0   =0       =1
0 0  =0     =1        1  1   =1       =0

Tożsamość kolumn wynikowych oznacza zachodzące prawo logiczne.

Prawo de’Morgana dla logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q = ~(~p*~q) – trzecia i ostatnia kolumna
Prawo de’Morgana dla logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~(p+q) = ~p*~q – czwarta i siódma kolumna
Oczywiście zachodzi:
Y # ~Y

W przedostatniej kolumnie musi być funkcja logiczna w logice ujemnej (~Y) inaczej prawo de’Morgana leży w gruzach.
To jest automatycznie dowód poprawności przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka.
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory logiczne na przeciwne:
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p*~q

Logika dodania i ujemna w operatorach OR i AND:
Y – funkcja w logice dodatnie bo brak przeczenia
Funkcja logiczna w logice dodatniej to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y – funkcja w logice ujemnej bo jest przeczenie
Funkcja logiczna w logice ujemnej to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi fałsz)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Przejście z funkcja logiczna do logiki przeciwnej uzyskujemy negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.

Dana jest funkcja logiczna:
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p+~q - logika ujemna bo ~Y
Związek logik:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
stąd:
p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
CND

Oczywiście można to uogólnić na dowolnie długą funkcję logiczną.
Dana jest funkcja logiczna:
Y=A+~B(C+~D)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, *, +

Metoda Wuja Zbója.
Krok 1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące operatory
Y=A+[~B*(C+~D)] - logika dodatnia bo Y
Krok 2
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne (* na + i odwrotnie):
~Y=~A*[B+(~C*D)] - logika ujemna bo ~Y
Doskonale widać dlaczego musieliśmy uzupełnić nawiasy.
Kolejność działań w logice ujemnej: nawiasy, +, *
Związek logik:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
stąd:
A+[~B*(C+~D)]=~{~A*[B+(~C*D)]} - prawo de'Morgana

Definicje spójników logicznych

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej bo Y:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden wtedy i tylko wtedy gdy dowolna zmienna jest równa jeden
Y=p+q
Matematycznie oznacza to:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Szczegółowa rozpiska:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
… a kiedy wystąpi fałsz ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p*~q
stąd:
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej bo ~Y:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa jeden.
~Y=~p*~q
Matematycznie oznacza to:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Z powyższego wynika, że nasz mózg traktuje zdania w logice dodatniej i ujemnej jako zdania nowo wypowiedziane 1 1 =1.
Kod:

Kolumny 1,2,3
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
            p q Y=p+q
 p* q=Y    /1 1 =1
 p*~q=Y    /1 0 =1
~p *q=Y    /0 1 =1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~p*~q
Kod:

Kolumny 5,6,7
~Y=~p*~q
~Y – skłamię (wystąpi fałsz)
           /~p ~q ~Y=~p*~q
~p*~q=~Y   / 1  1   =1

Z punktu odniesienia świata zewnętrznego możemy za punkt odniesienia przyjąć zdanie:
Y=p+q
czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Wtedy otrzymamy tabele zero-jedynkowa operatora OR
ALBO
Za punkt odniesienia możemy przyjąć zdanie:
~Y=~p*~q
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Wtedy otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND

Wszystkie możliwe przypadki ilustruje poniższa tabela.
Kod:

Tabela B
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
            |           Punkty odniesienia:             |
Definicja   |               |   Świat zewnętrzny        |
symboliczna |   MÓZG        |   Y=p+q    |  ~Y=~p*~q    |
=========== | p  q  Y=p+q   |p q Y=p+q   |              |
 p* q= Y    | 1  1   =1     |1 1  =1     | 0  0   =0    |
 p*~q= Y    | 1  0   =1     |1 0  =1     | 0  1   =0    |
~p *q= Y    | 0  1   =1     |0 1  =1     | 1  0   =0    |
  a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p*~q
~Y – skłamię (wystąpi fałsz)
            |~p ~q ~Y=~p*~q |            |~p ~q ~Y=~p*~q|
~p*~q=~Y    | 1  1   =1     |0 0  =0     | 1  1   =1    |
                            |            |              |
                            |Kodowanie   |Kodowanie     |
                            |definicji   |definicji     |
                            |symbolicznej|symbolicznej  |
                            |p=1, ~p=0   | ~p=1, p=0    |
                            |q=1, ~q=0   | ~q=1, q=0    |
                            |Y=1, ~Y=0   | ~Y=1, Y=0    |

W świecie zewnętrznym w stosunku do naszego mózgu widzimy definicję zero-jedynkową operatora OR jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie wypowiedziane Y=p+q lub definicje zero-jedynkową operatora AND jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~Y=~p*~q.
Zauważmy, że z punktu odniesienia naszego mózgu świat widziany w zerach i jedynkach jest stały i niezależny od punktu odniesienia przyjętego w świecie zewnętrznym. Poprawność tabel zero-jedynkowych dla wszystkich trzech możliwych punktów odniesienia można łatwo sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej.

W ostatnich dwóch kolumnach (świat zewnętrzny) doskonale widać znaczenie zer i jedynek w definicji dowolnego operatora, także w definicji implikacji i równoważności.

Zdanie wypowiedziane traktujemy jako punkt odniesienia przypisując mu wartości logiczne 1 1 =1. Odpowiedni operator logiczny generowany jest przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego jak w definicji symbolicznej.

Z powyższej tabeli mamy:
Y=p+q – dotrzymam słowa (Y), wystąpi prawda
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p*~q – skłamię (~Y), wystąpi fałsz
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
stąd:
p+q = ~(~p*~q) – prawo de’Morgana

Zauważmy, że zdania w zapisie symbolicznym (pierwsza kolumna) są niezależne od przyjętego punktu odniesienia, są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
Jest to dowodem zarówno prawa de’Morgana (operatory logiczne) jak i prawa przejścia do logiki przeciwnej (spójniki logiczne)

Definicja operatora logicznego OR:
Operator logiczny OR to złożenie spójnika „lub” (OR) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” (AND) w logice ujemnej (bo ~Y)

W naturalnej logice człowieka operujemy wyłącznie zapisami symbolicznymi - lewa kolumna w powyższej tabeli.

Przykład który wałkujemy:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T

Pełna analiza w tabeli prawdy:
Kod:

Tabela C
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
            |           Punkty odniesienia:             |
Definicja   |               |   Świat zewnętrzny        |
symboliczna |   MÓZG        |   Y=K+T    |  ~Y=~K*~T    |
=========== | K  T  Y=K+T   |K T Y=K+T   |              |
 K* T= Y    | 1  1   =1     |1 1  =1     | 0  0   =0    |
 K*~T= Y    | 1  0   =1     |1 0  =1     | 0  1   =0    |
~K *T= Y    | 0  1   =1     |0 1  =1     | 1  0   =0    |
  a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~K*~T
~Y – skłamię (wystąpi fałsz)
            |~K ~T ~Y=~K*~T |            |~K ~T ~Y=~K*~T|
~K*~T=~Y    | 1  1   =1     |0 0  =0     | 1  1   =1    |
                            |            |              |
                            |Kodowanie   |Kodowanie     |
                            |definicji   |definicji     |
                            |symbolicznej|symbolicznej  |
                            |K=1, ~K=0   | ~K=1, K=0    |
                            |T=1, ~T=0   | ~T=1, T=0    |
                            |Y=1, ~Y=0   | ~Y=1, Y=0    |

Doskonale widać wszystkie możliwe punkty odniesienie. Z punktu odniesienia świata zewnętrznego zdanie spełnia definicję sumy logicznej jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie Y=K+T albo iloczynu logicznego jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~Y=~K*~T co jest zgodne z użytym operatorem logicznym OR(+) albo AND(*).
Z punktu widzenia naszego mózgu zdania Y=K+T oraz ~Y=~K*~T traktowane są jako dwa odrębne zdania nowo wypowiedziane 1 1 =1.

Analiza symboliczna zdania z punktu odniesienia naszego mózgu.

ZW – zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Y=1<=>K=1 lub T=1

Co w szczegółowej rozpisce matematycznej oznacza:
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
K*T =Y
1 1 =1
LUB
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T= Y
1 0 =1
LUB
C.
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T= Y
0 1 =1
Dla zdania wypowiedzianego Y=K+T mamy:
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Stąd powyższe kodowanie zero-jedynkowe
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem ZW do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K*~T
Zdanie nowo wypowiedziane ~Y=~K*~T kodujemy matematycznie:
~y=1, Y=0
~K=1, K=0
~T=1, T=0
D.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~K*~T=~Y
1 1 =1
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Zgodność z drugą kolumną tabeli C jest tu 100%.


2.6 Gród krasnoludka Andorka

Analogia do krasnoludka Orandka jest tu 100%.

Prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p*q = ~(~p+~q)

W technice cyfrowej definicję operatora AND realizuje bramka AND:
Kod:

Bramka logiczna AND i jej układ zastępczy wynikający z prawa de’Morgana
p*q = ~(~p+~q)
O – symbol negatora (~)
  p   q
  |   |
  |   x-----------x
  |   |           |
  x-----------x   |
  |   |       |   |
  |   |       O   O
 -------     -------
 |     |  =  |     |
 | AND |     |  OR |
 -------     -------
    |           O
    |           |
    x-----------x
    |
    Y=p*q=~(~p+~q)

Tabela prawdy bramki AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1 =1
0 0 =0
0 1 =0
1 0 =0

W świecie zewnętrznym układ zastępczy bramki AND jest niemożliwy do rozpoznania. Jeśli mamy czarną skrzynkę z kabelkami wejściowymi p i q oraz kabelkiem wyjściowym Y, to niemożliwe jest stwierdzenie jak układ bramki AND jest realizowany w rzeczywistości.

Jak pracuje krasnoludek Andorek ?
Kod:

Rysunek A.
  K   T
  |   |
  x--------------------------x
  |   |                      |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ---------------           ----------------
| K   T  Y=K*T |           | K   T   Y=K*T |
| 1   1   =1   |           | 0   0    =0   | CZŁOWIEK
|              |           | 0   1    =0   |
|              |           | 1   0    =0   |
 --------------             ---------------
  |   |                      |   |
  |   |                      O   O NEGATORY
  K   T                     ~K  ~T
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
|                 |       |                 |
| K   T  Y=K*T    |       | ~K  ~T ~Y=~K+~T |
| 1   1   =1      |       |  1   1   =1     |
|                     O      1   0   =1     | KRASNOLUDEK
|                    /|\     0   1   =1     | ANDOREK
|                     A                     |
|            Y=K*T         ~Y=~K+~T         |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| PRAWDY          |       | FAŁSZU          |
|       AND       |       |        OR       |
-------------------       ------------------
         |Y=K*T                    |~Y=~K+~T
         |                         O
         |                         | Y=~(~K+~T)
         x-------------------------x
         |Y
         V
       Y=K*T=~(~K+~T)
 --------------             ---------------
|  K  T  Y=K*T |           |  K  T  Y=K*T  |KOMNATA
|  1  1   =1   |           |  1  1   =1    |PRAWDY
|              |           | ~K ~T ~Y=~K+~T|
|  0  0   =0   |           |  1  1   =1    |
|  0  1   =0   |           |  1  0   =1    |KOMNATA
|  1  0   =0   |           |  0  1   =1    |FAŁSZU
 --------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KRASNOLUDEK
                              ANDOREK

GRÓD KRASNOLUDKA ANDORKA
Punkt odniesienia:
Y=K*T

Z prawej strony na wyjściu bramki OR widzimy funkcję logiczną w logice ujemnej:
~Y=~K+~T
Funkcja w logice ujemnej jest tu wymuszona przez prawo de’Morgana, które nie może być zgwałcone. To jest bezpośredni dowód poprawności przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka.
Mamy:
Y=K*T – zdanie wypowiedziane, dotrzymam słowa bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K+~T – skłamię bo ~Y

W świecie zewnętrznym na wejścia K i T podajemy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
W komnacie prawdy (lewa strona), funkcja Y jest niezanegowana, na wejściu widzimy bezpośrednio sygnały K i T.
Z prawej strony, po minięciu negatorów mamy dostęp wyłącznie do zanegowanych sygnałów wejściowych K i T, bezwzględne zera i jedynki tez będą tu odwrócone, to jest rzeczywistość którą widzimy z poziomu komnaty fałszu. Komnatę fałszu krasnoludek Andorek rozpoznaje po zanegowanej funkcji logicznej (~Y).
W zerach i jedynkach, Andorek widzi otaczającą go rzeczywistość inaczej niż to widzi człowiek stojący na zewnątrz naszego mózgu, jednak w obu przypadkach zdania wynikłe z definicji operatora AND są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka (analizy I i II niżej).

Analiza I
Punkt odniesienia, krasnoludek Andorek
Y=K*T
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
K*T=Y
1 1 =1
… a kiedy skłamię ?
BX.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~K+~T=~Y
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
~K+~T=~Y
1 1 =1
Zdanie BX Andorek traktuje jako nowo wypowiedziane (nowy punkt odniesienia) czyli:
~K=1, K=0
~T=1, T=1
~Y=1, Y=0
Zdanie BX matematycznie równoważne:
~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) jeśli:
B.
nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T=~Y
1 1 =1
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=~Y
1 0 =1
lub
D.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=~Y
0 1 =1
Tabela zero-jedynkowa widziana oczami Andorka:
Kod:

Analiza I
Dotrzymam słowa (Y)
   K T Y=K*T
A: 1 1 =1  /Y=K*T
Skłamię (~Y)
~Y=~K+~T=~K*~T+~K*T+K*~T
  ~K~T ~Y=~K*~T
B: 1 1 =1  /~Y=~K*~T
C: 1 0 =1  /~Y=~K*T
D: 0 1 =1  /~Y=K*~T

Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K*T
~Y=~K+~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię

Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K+~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Y=K*T=~(~K+~T)

Zauważmy 100% zgodność tej analizy z powyższym schematem ideowym, tak wygląda świat zewnętrzny widziany oczami naszego mózgu.

Zobaczmy teraz to samo, obserwowane przez zewnętrznego obserwatora.

Analiza II
Punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane):
Y=K*T
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
K*T=Y
1 1 =1
… a kiedy skłamię ?
BX.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~K+~T=~Y
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
~K+~T=~Y
W świecie zewnętrznym za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie wypowiedziane A czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0

Zdanie BX matematycznie równoważne:
~Y=~K+~T=~K*~T+~K*T+K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) jeśli:
B.
nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T=~Y
0 0 =0
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=~Y
0 1 =0
lub
D.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=~Y
1 0 =0
Dla kodowania z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu wypowiedzianym A mamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Kod:

Analiza II
Dotrzymam słowa (Y)
   K T Y=K*T
A: 1 1 =1  /Y=K*T
Skłamię (~Y)
~Y=~K+~T=~K*~T+~K*T+K*~T
B: 0 0 =0  /~Y=~K*~T
C: 0 1 =0  /~Y=~K*T
D: 1 0 =0  /~Y=K*~T

Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K*T
~Y=~K+~T
Oczywiście:
Y - dotrzymam słowa # ~Y - skłamię

Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K+~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Y=K*T=~(~K+~T)

Przyjmijmy teraz za punkt odniesienia zdanie BX z powyższej analizy, to zdanie wypowiadamy jako pierwsze.

Analiza III
Punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane):
~Y=~K+~T
BX.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
~K+~T=~Y
1 1 =1
W świecie zewnętrznym za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie wypowiedziane BX czyli:
~K=1, K=0
~T=1, T=0
~Y=1, Y=0

Zdanie BX matematycznie równoważne:
~Y=~K+~T=~K*~T+~K*T+K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) jeśli:
B.
nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T=~Y
1 1 =1
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=~Y
1 0 =1
lub
D.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=~Y
0 1 =1
… a kiedy dotrzymam słowa ?
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Zdanie wypowiedziane:
~Y=~K+~T
stąd:
Y=K*T
czyli:
A.
Dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro pójdę do kina i do teatru
K*T=Y
0 0 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkowa operatora OR dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym BX:
~Y=~K+~T
Kod:

Analiza III
Skłamię (~Y)
~Y=~K+~T=~K*~T+~K*T+K*~T
  ~K~T ~Y=~K+~T
B: 1 1 =1  /~Y=~K*~T
C: 1 0 =1  /~Y=~K*T
D: 0 1 =1  /~Y=K*~T
Dotrzymam słowa (Y)
   K T Y=K*T
A: 0 0 =0  /Y=K*T

Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K*T
~Y=~K+~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię

Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K+~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Y=K*T=~(~K+~T)

Wnioski:
1
W zerach i jedynkach, punkt odniesienia Andorka jest stały i niezmienny, niezależny od punktu odniesienia w świecie zewnętrznym.
2.
Andorek operuje wyłącznie spójnikami logicznymi „i” i „lub” o stałych zero-jedynkowych definicjach, niezależnych od świata zewnętrznego.
Definicja spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika ‘i” w logice dodatniej (bo Y) z punktu odniesienia krasnoludka:
Kod:

p q Y=p*q
1 1 =1

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y=1 <=>~p=1 lub ~q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y) z punktu odniesienia krasnoludka.
Kod:

~p ~q ~Y=~p+~q
 1  1 =1  /~p*~q=~Y
 1  0 =1  /~p* q=~Y
 0  1 =1  / p*~q=~Y

3.
Zauważmy, że układ równań logicznych opisujących wszystkie trzy analizy jest identyczny i niezależny od punktu odniesienia, czyli bez znaczenia jest czy wybierzemy punkt odniesienia I, II czy tez III.
4.
Logika symboliczna w równaniach algebry Kubusia nie zależy od idiotycznych zer i jedynek.
5.
Zera i jedynki generowane na mocy równań algebry Kubusia zależą od przyjętego punktu odniesienia, ale nie mają wpływu na treść zdań, bo wypływają z treści zdań.
6.
We wszystkich trzech analizach I, II, i III zdania składowe są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. Wynika z tego, że analizy I, II, i III są matematycznie równoważne.
7.
Stąd mamy symboliczną definicję operatora AND niezależną od idiotycznych zer i jedynek:
Kod:

Dotrzymam słowa (Y) gdy:
Y=p*q
p*q =Y
.. a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p+~q
Skłamię (~Y) gdy:
~Y=~p+~q =  ~p*~q + ~p*q + p*~q
~p*~q =~Y
~p* q =~Y
 p*~q =~Y


Na zakończenie schemat ideowy naszego mózgu dla punktu odniesienia:
~Y=~K+~T
Kod:

Rysunek A.
                            ~K  ~T
                             |   |
  x--------------------------x   |
  |                          |   |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ----------------           ----------------
|~K  ~T ~Y=~K+~T |        | ~K  ~T ~Y=~K+~T |
| 0   0   =0     |        |  1   1   =1     | CZŁOWIEK
|                |        |  1   0   =1     |
|                |        |  0   1   =1     |
 ----------------          -----------------
  |   |                      |   |
  O   O NEGATORY             |   |
  K   T                     ~K  ~T
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
|                 |       |                 |
| K   T  Y=K*T    |       | ~K  ~T ~Y=~K+~T |
| 1   1   =1      |       |  1   1   =1     |
|                     O      1   0   =1     | KRASNOLUDEK
|                    /|\     0   1   =1     | ANDOREK
|                     A                     |
|            Y=K*T         ~Y=~K+~T         |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| PRAWDY          |       | FAŁSZU          |
|       AND       |       |        OR       |
-------------------       ------------------
         |Y=K*T                    |~Y=~K+~T
         O                         |
         | ~Y=~(K*T)               |
         x-------------------------x
         |
         V
       ~Y=~K+~T=~(K*T)
 ---------------            ---------------
| ~K ~T ~Y=~K+~T|          | ~K ~T ~Y=~K+~T|KOMNATA
|  1  1   =1    |          |  1  1   =1    |FAŁSZU
|  1  0   =1    |          |  1  0   =1    |
|  0  1   =1    |          |  0  1   =1    |
|               |          |  K  T  Y=K*T  |KOMNATA
|  0  0   =0    |          |  1  1   =1    |PRAWDY
 ---------------            ---------------
    CZŁOWIEK                  KRASNOLUDEK
                              ANDOREK

GRÓD KRASNOLUDKA ANDORKA
Punkt odniesienia:
~Y=~T+~K

Doskonale widać że świat zer i jedynek w świecie zewnętrznym jest niezmienny, na wejściu oraz wyjściu mamy identyczne tabele zero-jedynkowe, to operator OR.
W zerach i jedynkach świat krasnoludka Andorka wygląda inaczej niż świat człowieka, ale w symbolicznych równaniach algebry Kubusia jest identyczny. Doskonale to widać porównując zdania składowe z analiz I (krasnoludek) i III (Człowiek) w analizach wyżej.

Ćwiczenie w laboratorium techniki cyfrowej:
Zbudować powyższe układy z rysunku A i B.
Sprawdzić wszystkie tabele zero-jedynkowe.

Pewne jest, że teoria musi się zgadzać w 100% z rzeczywistością, co jest dowodem istnienia krasnoludka Andorka w naszym mózgu.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24920
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 15:54, 22 Maj 2011    Temat postu:

2.7 Operator AND w tabelach zero-jedynkowych

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =0
0 0 =0

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0

Oczywiście na mocy definicji:
p*q ## p+q
bo to dwie fundamentalnie inne definicje.

## - różne funkcje logiczne !

Prawo de’Morgana dla operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q ~Y=~(p*q)  ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
1 1  =1     =0        0  0   =0       =1
1 0  =0     =1        0  1   =1       =0
0 1  =0     =1        1  0   =1       =0
0 0  =0     =1        1  1   =1       =0

Tożsamość kolumn wynikowych oznacza zachodzące prawo logiczne.
Prawo de’Morgana dla logiki dodatniej (bo Y niezaprzeczone):
Y=p*q = ~(~p+~q) – trzecia i ostatnia kolumna
Prawo de’Morgana dla logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~(p*q) = ~p+~q
Oczywiście zachodzi:
Y # ~Y
W przedostatniej kolumnie musi być funkcja logiczna w logice ujemnej (~Y) inaczej prawo de’Morgana leży w gruzach. To jest automatycznie dowód poprawności przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka.
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory logiczne na przeciwne:
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p+~q

Definicje spójników logicznych

Definicja spójnika „i” w logice dodatniej bo Y:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa jeden.
Y=p*q
Matematycznie oznacza to:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej bo ~Y:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden wtedy i tylko wtedy gdy dowolna zmienna jest równa jeden
~Y=~p+~q
Matematycznie oznacza to:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Szczegółowa rozpiska:
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q

Z powyższego wynika, że nasz mózg traktuje zdania w logice dodatniej i ujemnej jako zdania nowo wypowiedziane 1 1 =1.
Kod:

Kolumny 1,2,3
Y=p*q
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
           / p  q Y=p*q
 p* q= Y   / 1  1  =1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~p+~q
Kod:

Kolumny 5,6,7
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
~Y – skłamię (wystąpi fałsz)
           ~p ~q ~Y=~p+~q
~p*~q=~Y   /1  1 =1
~p* q=~Y   /1  0 =1
 p*~q=~Y   /0  1 =1

Z punktu odniesienia świata zewnętrznego możemy za punkt odniesienia przyjąć zdanie:
Y=p*q
czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Wtedy otrzymamy tabele zero-jedynkowa operatora AND
ALBO
Za punkt odniesienia możemy przyjąć zdanie:
~Y=~p+~q
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Wtedy otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR

Wszystkie możliwe przypadki ilustruje poniższa tabela.
Kod:

Tabela B
Y=p*q
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
            |           Punkty odniesienia:             |
Definicja   |               |   Świat zewnętrzny        |
symboliczna |   MÓZG        |   Y=p*q    |  ~Y=~p+~q    |
=========== | p  q  Y=p*q   |p q Y=p*q   |              |
 p* q= Y    | 1  1   =1     |1 1  =1     | 0  0   =0    |
  a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
~Y – skłamię (wystąpi fałsz)
            |~p ~q ~Y=~p+~q |            |~p ~q ~Y=~p+~q          |
~p*~q=~Y    | 1  1   =1     |0 0  =0     | 1  1   =1    |
~p* q=~Y    | 1  0   =1     |0 1  =0     | 1  0   =1    |
 p*~q=~Y    | 0  1   =1     |1 0  =0     | 0  1   =1    |
                            |            |              |
                            |Kodowanie   |Kodowanie     |
                            |definicji   |definicji     |
                            |symbolicznej|symbolicznej  |
                            |p=1, ~p=0   | ~p=1, p=0    |
                            |q=1, ~q=0   | ~q=1, q=0    |
                            |Y=1, ~Y=0   | ~Y=1, Y=0    |

W świecie zewnętrznym w stosunku do naszego mózgu widzimy definicję zero-jedynkową operatora AND(*) jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie wypowiedziane Y=p*q lub definicje zero-jedynkową operatora OR(+) jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~Y=~p+~q.
Zauważmy, że z punktu odniesienia naszego mózgu świat widziany w zerach i jedynkach jest stały i niezależny od punktu odniesienia przyjętego w świecie zewnętrznym. Poprawność tabel zero-jedynkowych dla wszystkich trzech możliwych punktów odniesienia można łatwo sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej, co zobaczymy za chwilę, w świecie krasnoludków.

W ostatnich dwóch kolumnach doskonale widać znaczenie zer i jedynek w definicji dowolnego operatora, także w definicji implikacji i równoważności.

Zdanie wypowiedziane traktujemy jako punkt odniesienia przypisując mu wartości logiczne 1 1 =1. Odpowiedni operator logiczny generowany jest przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego jak w definicji symbolicznej.

Z powyższej tabeli mamy:
Y=p*q – dotrzymam słowa (Y), wystąpi prawda
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p+~q – skłamię (~Y), wystąpi fałsz
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
stąd:
p*q = ~(~p+~q) – prawo de’Morgana

Zauważmy, że zdania w zapisie symbolicznym (pierwsza kolumna) są niezależne od przyjętego punktu odniesienia, są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
Jest to dowodem zarówno prawa de’Morgana (operatory logiczne) jak i prawa przejścia do logiki przeciwnej (spójniki logiczne)

Definicja operatora logicznego OR:
Operator logiczny OR to złożenie spójnika „i” (AND) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub” (OR) w logice ujemnej (bo ~Y)

W naturalnej logice człowieka operujemy wyłącznie zapisami symbolicznymi - lewa kolumna w powyższej tabeli.

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T

Pełna analiza w tabeli prawdy:
Kod:

Tabela C
Y=K*T
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
            |           Punkty odniesienia:             |
Definicja   |               |   Świat zewnętrzny        |
symboliczna |   MÓZG        |   Y=K*T    |  ~Y=~K+~T    |
=========== | K  T  Y=K*T   |K T Y=K*T   |              |
 K* T= Y    | 1  1   =1     |1 1  =1     | 0  0   =0    |
  a kiedy skłamię ?   
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
~Y – skłamię (wystąpi fałsz)
            |~K ~T ~Y=~K+~T |            |~K ~T ~Y=~K+~T          |
~K*~T=~Y    | 1  1   =1     |0 0  =0     | 1  1   =1    |
~K* T=~Y    | 1  0   =1     |0 1  =0     | 1  0   =1    |
 K*~T=~Y    | 0  1   =1     |1 0  =0     | 0  1   =1    |
                            |            |              |
                            |Kodowanie   |Kodowanie     |
                            |definicji   |definicji     |
                            |symbolicznej|symbolicznej  |
                            |K=1, ~K=0   | ~K=1, K=0    |
                            |T=1, ~T=0   | ~T=1, T=0    |
                            |Y=1, ~Y=0   | ~Y=1, Y=0    |

Doskonale widać wszystkie możliwe punkty odniesienie. Z punktu odniesienia świata zewnętrznego zdanie spełnia definicję iloczynu logiczznego jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie Y=K*T albo sumy logicznej jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~Y=~K+~T co jest zgodne z użytym operatorem logicznym OR(+) albo AND(*).
Z punktu widzenia naszego mózgu zdanie Y=K*T oraz ~Y=~K+~T traktowane są jako dwa odrębne zdania nowo wypowiedziane 1 1 =1.

Analiza symboliczna zdania z punktu odniesienia naszego mózgu.

ZW – zdanie wypowiedziane:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
1 1 =1
Y=1<=>K=1 i T=1
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
Jutro pójdę do kina i do teatru

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K*~T
Co w szczegółowej rozpisce matematycznej oznacza:
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
To zdanie nasz mózg traktuje jako nowo wypowiedziane 1 1 =1.
Skłamię (~Y) jeśli:
B.
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T =~Y
1 1 =1
LUB
C.
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=~ Y
1 0 =1
LUB
D.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=~ Y
0 1 =1
Dla zdania wypowiedzianego ~Y=~K+~T mamy:
~Y=1, Y=0
~K=1, K=0
~T=1, T=0
Stąd powyższe kodowanie zero-jedynkowe
Zgodność z drugą kolumną tabeli C jest tu 100%.


2.8 Równanie ogólne dla operatorów AND i OR

p+q = ~(~p*~q)=1 ## p*q = ~(~p+~q) =1 – prawa de’Morgana
gdzie:
## - fundamentalnie różne definicje zero-jedynkowe
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T =1 ## Y=K*T =1

Na poziomie operatorów:
+ - operator OR
* - operator AND
Prawa de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q) – prawo zamiany operatora OR na operator AND
p*q = ~(~p+~q) – prawo zamiany operatora OR na operator AND

Równanie ogólne operatorów OR i AND w układzie równań logicznych:
Y=p+q=~(~p*~q)
stąd:
Y=p+q
Y=~(~p*~q)
Negując stronami otrzymujemy:
~Y=~p*~q
Stąd równanie ogólne w układzie równań logicznych:
Kod:

 Y=p+q   ##  Y=p*q
~Y=~p*~q ## ~Y=~p+~q

Gdzie:
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda), logika dodatnia bo funkcja logiczna niezanegowana Y
~Y – skłamię (wystąpi fałsz), logika ujemna bo funkcja logiczna zanegowana ~Y

Związek logiki dodatniej (Y )i ujemnej (~Y)
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
Stąd prawa de’Morgana:
p+q ~(~p*~q) – dla lewej strony ##
p*q = ~(~p+~q) – dla prawej strony ##

Wniosek:
Prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji operatora OR albo AND.

Na poziomie spójników zdaniowych:
+ - spójnik „lub”
* - spójnik „i”
Prawo zamiany spójnika „lub” na spójnik „i”:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Prawo zamiany spójnika „i” na spójnik „lub”
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja operatorowa operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa (Y)
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
p*q=Y
1 1 =1
p*~q=Y
1 0 =1
~p*q=Y
0 1 =1
A kiedy skłamię (~Y)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych
i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p*~q
~p*~q=~Y
0 0 =0

Tabele zero-jedynkowa operatora OR otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym Y=p+q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Przykład:
Zdanie wypowiedziane:
ZW – zdanie wypowiedziane.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Rozwinięcie sumy logicznej:
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
stąd:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
K*T=Y
1 1 =1
lub
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=Y
1 0 =1
lub
C.
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=Y
0 1 =1
…. a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymiane operatorów na przeciwne
Zdanie wypowiedziane:
Y=K+T – dotrzymam słowa (Y)
stąd:
~Y=~K*~T – skłamię (~Y)
D.
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T=~Y
0 0 =0
Tabele zero-jedynkową operatora OR otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym ZW.
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0

Definicja operatorowa AND
Kod:

Dotrzymam słowa (Y)
Y=p*q
stąd:
p*q=1
1 1 =1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych
 i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p+~q – skłamię (~Y)
Rozwinięcie na mocy definicji spójnika OR:
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
stad:
~p*~q=~Y
0 0 =0
lub
~p*q=~Y
0 1 =0
lub
p*~q=~Y
1 0 =0

Tabele zero-jedynkowa operatora OR otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym Y=p*q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Przykład.
Zdanie wypowiedziane:
ZW – zdanie wypowiedziane
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T

Analiza matematyczna:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
K*T=Y – dotrzymam słowa (Y)
1 1 =1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych
i wymianę operatorów na przeciwne
Y=K*T
stąd:
~Y=~K+~T – skłamię (~Y)
Rozwinięcie na mocy definicji spójnika lub
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
stąd:
Skłamie jeśli:
B.
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T=~Y
0 0 =0
lub
C.
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=~Y
0 1 =0
lub
D.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=~Y
1 0 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkowa operatora AND dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym ZW:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0

2.8 Twierdzenie Prosiaczka

Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy opisać jednoznacznie równaniem algebry Boole’a i odwrotnie, czyli na podstawie dowolnego równania algebry Boole’a możemy wygenerować jednoznaczną tabelę zero- jedynkową.

W tym przypadku:
Równania algebry Boole’a = Równania algebry Kubusia

Twierdzenie Prosiaczka mówi o sposobie przejścia z tabeli zero-jedynkowej n-elementowej do równania algebry Boole’a opisującego tą tabelę.

Definicja zero-jedynkowa sumy logicznej:
Kod:

p q  Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0


Kubuś, nauczyciel logiki w I klasie LO w stumilowym lesie:
Kto potrafi z powyższej tabeli zero-jedynkowej wygenerować równanie algebry Boole’a ?

Wszystkie ręce w górze, do tablicy podchodzi Jaś:
W ostatniej linii w wyniku mamy samotne zero, zatem dla tej linii możemy zapisać najprostsze równanie.

Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.

Sposób I.
Sprowadzam wszystkie zmienne do jedynki dzieli czemu w równaniu algebry Boole’a możemy się pozbyć bezwzględnych zer i jedynek:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=0 czyli ~p=1
q=0 czyli ~q=1

Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia):
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = ~p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując wszystkie zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+):
Y = p+q

Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.

Definicja sumy logicznej (logika ujemna):
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność zapisu z naturalną logiką człowieka.
W równaniu algebry Boole’a mamy OR(+) - spójnik „lub”:
Y=p+q
natomiast w szczegółowej rozpisce mamy AND(*) - spójnik „i”:
Y=0 <=>p=0 i q=0
dlatego to jest logika ujemna.

W równaniu A wszystkie zmienne są równe zeru, zatem tu nic nie musimy robić, od razu mamy równanie algebry Boole’a dla powyższej tabeli zero-jedynkowej.
Y=p+q

Kubuś:
Jasiu, zapisałeś równanie algebry Boole’a wyłącznie dla ostatniej linii, skąd wiesz jakie będą wartości logiczne w pozostałych liniach, nie opisanych tym równaniem ?

Twierdzenie Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniem linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych. Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możliwe jest wygenerowanie ośmiu równań algebry Boole’a.

Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla ostatniej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.

Kubuś:
Z tego co mówisz wynika, że dla powyższej tabeli można ułożyć równoważne równania dla linii z jedynkami w wyniku, czy potrafisz je zapisać ?

Jaś:
Postępujemy identycznie jak wyżej !
Korzystnie jest tu przejść do tabeli symbolicznej w logice dodatniej przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Stąd mamy definicję sumy logicznej w wersji symbolicznej:
Kod:

Dotrzymam słowa (Logika dodatnia bo Y) gdy:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
 p* q = Y   /1 1 =1
 p*~q = Y   /1 0 =1
~p* q = Y   /0 1 =1
Skłamię (logika ujemna bo ~Y) gdy:
~p*~q =~Y   /0 0 =0

Stąd równoważne równanie algebry Boole’a dla samych jedynek (Y) przybierze postać:
C.
Y=p+q = (p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Z powyższym równaniem możemy przejść do logiki ujemnej negując sygnały i wymieniając operatory na przeciwne.
D.
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Negujemy stronami przechodząc do logiki dodatniej:
Y = ~[~p*~q] = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Z powyższego wynika że to samo zdanie:
Y=p+q
możemy wypowiedzieć na wiele różnych sposobów.

W naturalnym języku mówionym najczęściej używamy formy najprostszej jak wyżej. Część z możliwych zdań równoważnych będzie dla człowieka trudno zrozumiała.

Przykład:
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów.
A2.
Skłamię (~Y=1) gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd:
Y = K+T = ~(~K*~T)
A3.
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y = K+T = ~(~K*~T)
A4.
Wyłącznie negujemy równanie A1:
~Y = ~(K+T)
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)

Analogiczną serie zdań otrzymamy dla równań równoważnych ułożonych dla jedynek w definicji zero-jedynkowej sumy logicznej.
B1.
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa, jeśli wystąpi którekolwiek zdarzenie:
K*T – byłem w kinie i w teatrze
K*~T – byłem w kinie i nie byłem w teatrze
~K*T – nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Oczywiście wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń ma szansę wystąpić w rzeczywistości.

… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem B1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B2.
~Y = (~K+~T)*(~K+T)*(K+~T)
Negujemy dwustronnie i mamy kolejne możliwe zdanie:
B3.
Y = ~[(~K+~Y)*(~K+T)*(K+~T)]
Ostatnie możliwe zdanie otrzymujemy negując dwustronnie B1:
B4.
~Y= ~[(K*T)+(K*~T)+(~K*T)]

Mamy wyżej fantastyczną możliwość powiedzenia tego samego na wiele różnych sposobów. Wszystkie zdania z wyjątkiem B2 i B3 są dla przeciętnego człowieka intuicyjnie zrozumiałe !
Zdania B2 i B3 to rozbudowane zdania ze zmiennymi w logice ujemnej w stosunku do zdania wypowiedzianego A1.


3.0 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych

Podstawowe definicje dwuelementowej algebry Kubusia to po prostu pełna lista operatorów logicznych.

Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  FILL NOP  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0   1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0   1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0   0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0   0 1   0 1

Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
pNOPq       =     ~(pFILLq)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.

Dowolny operator logiczny jest jednoznacznie zdefiniowany tabelą zero-jedynkową i nie ma tu miejsca na jego niejednoznaczną interpretację. Argumenty w dowolnym operatorze logicznym mogą być albo przemienne (AND, OR, <=>), albo nieprzemienne (implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>).


3.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę z dwoma przełącznikami p i q na których można ustawiać logiczne 0 albo 1. Wyjściem w tej skrzynce jest lampka Y sterowana przez najprawdziwszego krasnoludka imieniem OPERATOR w następujący sposób.
Y=1 – lampka zaświecona
Y=0 – lampka zgaszona
Panel sterowania naszej czarnej skrzynki umożliwia wybór jednego z 16 możliwych operatorów logicznych.
Fizyczna realizacja takiej czarnej skrzynki w technice TTL jest banalna. W laboratorium techniki cyfrowej można sprawdzić doświadczalnie działanie wszystkich 16 operatorów logicznych. Pewne jest że teoria matematyczna musi być w 100% zgodna z rzeczywistością co jest dowodem … że krasnoludki są na świecie.


3.2 Operatory logiczne FILL i NOP

Definicje FILL i NOP
Kod:

p q Y=pFILLq Y=pNOPq
1 1  =1       =0
1 0  =1       =0
0 1  =1       =0
0 0  =1       =0

Jak widzimy po wybraniu operatora FILL krasnoludek OPERATOR zapala lampkę na wyjściu Y=1, siada na stołeczku i odpoczywa kompletnie nie interesując się co też człowiek na wejściach p i q sobie ustawia. Analogicznie jeśli wybierzemy operator NOP to lampka na wyjściu Y będzie cały czas zgaszona (Y=0).


3.3 Operatory P i Q

Definicje operatorów P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.
Kod:

p Y=pP
1  =1
0  =0

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q:
pQq=q
Fizycznie operator pQq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia q z wyjściem Y, wejście p jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć, czyli w rzeczywistości mamy do czynienia z operatorem jednoargumentowym o następującej definicji.
Kod:

q Y=Qq
1  =1
0  =0



3.4 operatory negacji NP i NQ

Definicje operatorów NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1

Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=pNPq=pNP=~p
Y=qNPp=qNP=~p
Y=aNPb=aNP=~a
itd.
Czyli istotny jest wyłącznie sygnał z lewej strony operatora NP.

Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q
Tu z kolei istotny jest wyłącznie sygnał po prawej stronie operatora NQq.
Matematycznie zachodzi:
Y=pNQq=NQq=~q
Y=qNQp=NQp=~p
Y=aNQb=NQb=~b
itd.
Czyli istotny jest wyłącznie sygnał po prawej stronie operatora NQ.

Ciekawostka:
Z lewej strony może być dowolnie długa funkcja logiczna, to kompletnie bez znaczenia np.
Y=(a+b+~d*a+..)NQb = ~b

Tabela prawdy tego negatora:
Kod:

q Y=NQq=~q
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Schemat ideowy negatora w technice bramek logicznych:
Kod:

       -----
p -----| ~ |O-----> Y=~p
       -----

Schemat równoważny:

p ----------O----->Y=~p

W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko.

Jedno z kluczowych praw algebry Kubusia:
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

Dowód formalny:
Kod:

p   ~p   ~(~p)
1   =0    =1
0   =1    =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.


3.5 Prawa wynikające z definicji AND

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1
1 0  =0
0 1  =0
0 0  =0


Definicja iloczynu logicznego w logice dodatniej:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A*B
Y=1 <=> A=1 i B=1

Definicja równoważna w logice ujemnej:
Iloczyn logiczny jest równy zeru gdy którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=A*B
Y=0 <=> A=0 lub B=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność z naturalną logiką człowieka. W zapisie matematycznym mamy spójnik „i”(*) a w rozwinięciu szczegółowym używamy spójnika „lub” – dlatego to jest logika ujemna.

Prawa wynikające bezpośrednio z definicji:
1*0=0
1*1=1
A*0=0
A*1=A
A*A=A
A*~A=0
Odpowiedniki z języka mówionego:
Pies szczeka i miauczy
P=S*M = S*0=1*0=0
Pies szczeka i szczeka
P=S*S = S*1 = 1*1=1 = S
Pies szczeka i nie szczeka
P=S*~S = 1*0=0

Przykłady z języka mówionego:
A.
jutro pójdę do kina i pójdę do kina = jutro pójdę do kina
K*K=K
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
K*~K=0 – sprzeczność w jednym zdaniu, sytuacja niemożliwa, dlatego wartość logiczna zdania to fałsz (0).

W naturalnym języku mówionym zdania A i B to bełkot, dlatego nikt tak nie mówi.


3.6 Prawa wynikające z definicji OR

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0


Definicja sumy logicznej w logice dodatniej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=A+B
Y=1 <=> A=1 lub B=1

Definicja równoważna w logice ujemnej:
Suma logiczna n-zminnych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.
Y=A+B
Y=0 <=> A=0 i B=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność z naturalną logiką człowieka. W zapisie matematycznym mamy spójnik „lub”(+) a w rozwinięciu szczegółowym używamy spójnika „i” – dlatego to jest logika ujemna.

Prawa wynikające bezpośrednio z definicji:
1+0=1
0+0=0
A+1=1
A+0=A
A+A=A
A+~A=1
Odpowiedniki z języka mówionego, wątpliwej jakości
Pies szczeka lub miauczy
P=S+M = S+0 = 1+0 =1 =S
Pies miauczy lub miauczy
P=M+M = 0+0=0
Pies szczeka lub szczeka
P=S+S = S+1= 1+1=1 = S
Pies szczeka lub nie szczeka
P=S+~S=1+0=1

Przykłady z języka mówionego:
C.
Jutro pójdę do kina lub pójdę do kina = jutro pójdę do kina
K+K = K
D.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
K+~K=1
Twarda prawda, bowiem jutro musi wystąpić K lub ~K, nie ma innej możliwości matematycznej.
Nikt tak nie mówi, bowiem mamy tu zero sensu, czyli nic nie zależy od decyzji człowieka, cokolwiek zrobi, nie skłamie. W technice cyfrowej takie połączenie sygnałów to również bezsens – zero logiki.

Czasami mówimy:
Jutro pójdę do kina albo nie pójdę do kina
Y=K+~K
Wyrażając tym samym swoje niezdecydowanie, dając do zrozumienia odbiorcy, że rozważmy pójście do kina ale nie jesteśmy tego pewni.
Zdania równoważne:
Zastanawiam się czy jutro pójść do kina
Możliwe że jutro pójdę do kina
itp


3.7 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

W języku mówionym prawa łączności i przemienności to oczywistość, natomiast absorpcja, rozdzielność i pochłanianie są przydatne jedynie w technice cyfrowej.

Łączność:
A+(B+C) = (A+B)+C
A*(B*C)=(A*B)*C

Przemienność:
A+B=B+C
A*B=B*C

Absorbcja:
A+(A*B)=A
Dowód:
Jeśli A=1 to A+(A*B)=1+(A*B)=1
Jeśli A=0 to A+(A*B)=0+(0*B)=0+0=0
niezależnie od wartości B
CND

A*(A+B)=A
Dowód:
Jeśli A=1 to A*(A+B)= 1*(1+B)=1*1=1
Jeśli A=0 to A*(A+B)=0*(A+B)=0
niezależnie od wartości B.
CND

Rozdzielność:
A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
A*(B+C)=(A*B)+(B*C)

Pochłanianie:
A*~A=0
A+~A=1


3.8 Operatory OR i AND w świecie zdeterminowanym

Definicja świata niezdeterminowanego:
Świat jest niezdeterminowany, gdy wartości logiczne zdań wchodzących w skład operatora logicznego nie są zdeterminowane ani częściowo, ani całkowicie.

Przykład:
ZW – zdanie wypowiedziane.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
To samo zdanie w rozwinięciu szczegółowym:
Y= K+T = K*T+K*~T+~K*T
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
LUB
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=K*~T
LUB
C.
Jutro nie pójdę do Kina i pójdę do teatru
Y+~K*T
… a kiedy skłamie ?
Przejście ze zdaniem ZW do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Oczywiście po jutrze wyłącznie jedno zdanie ze zdań A,B,C,D może być prawdziwe, pozostałe będą fałszywe, nie ma innej możliwości matematycznej. Ten świat jest totalnie niezdeterminowany, bowiem jutro dowolne z powyższych zdań może być prawdziwe.

Definicja świata zdeterminowanego:
Świat jest zdeterminowany, gdy wartości logiczne zdań wchodzących w skład operatora logicznego są częściowo lub całkowicie zdeterminowane

Przykład świata częściowo zdeterminowanego:
A.
Każdy człowiek jest mężczyzną lub kobietą
Y=M+K
co matematycznie oznacza:
Zdanie jest prawdziwe (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy powiemy:
Każdy człowiek jest mężczyzną (M=1) lub kobietą (K=1)
Y=1 <=> M=1 lub K=1
Definicja sumy logicznej w rozpisce szczegółowej:
Y=M+K = M*K+M*~K+~M*K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (M*K=0) + (M*~K=1) +(~M*K=1)
Zdanie:
Człowiek jest mężczyzną i kobietą
Y=M*K=0
Jest oczywiście fałszywe, zatem nasz mózg minimalizuje funkcję logiczną do postaci:
Y=M*~K+~M*K
Każdy człowiek jest mężczyzną i nie jest kobietą (M*~K=1) lub nie jest mężczyzną i jest kobietą (~M*K=1)
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
~Y=~M*~K
Zdanie będzie fałszywe (~Y) jeśli powiemy:
Każdy człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)

Przykład świata totalnie zdeterminowanego:

W poniższym przykładzie świadomie ograniczamy cechy definiujące psa wyłącznie do dwóch:
Pies ma cztery łapy i szczeka
Oczywiście w ogólnym przypadku takich cech może być „nieskończenie wiele”.

ZW – zdanie wypowiedziane
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=4L+S
P=1 <=> 4L=1 lub S=1
Powyższe zdanie jest błędne matematycznie bowiem losujemy zwierzaka, stwierdzamy że ma cztery łapy i wychodzi nam na mocy definicji sumy logicznej że np. słoń jest psem.

W definicji szczegółowej mamy tu:
P=4L+S = 4L*S+4L*~S+~4L*S
stad:
Zdanie jest prawdziwe (P=1) gdy powiemy:
A.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=4L*S =1*1=1
LUB
B.
Pies ma cztery łapy i nie szczeka
P=4L*~S =1*0=0
LUB
C.
Pies nie ma czterech łap i szczeka
P=~4L*S =0*1=0

Jak widzimy, wyłącznie zdanie A jest tu prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Stąd jedyne poprawne lingwistycznie i matematycznie zdanie:
ZW1:
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=4L*S
P<=>4L=1 i S=1

Z tego powodu każda nauczycielka w przedszkolu będzie wymagała od dzieci wersji ZW1.
Tylko w przypadku ZW1 mamy piękne i precyzyjne przejście do logiki ujemnej.
… a kiedy zwierzę nie jest psem ?
Przejście ze zdaniem ZW1 do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~P=~4L+~S
Zwierze nie jest psem (~P=1) jeśli nie ma czterech łap (~4L=1) lub nie szczeka (~S=1)
~p=~4L+~S
~P=1 <=> ~4L=1 lub ~S=1
Losujemy zwierzaka i stwierdzamy:
Nie ma czterech łap
~4L=1
Wniosek:
To zwierzę na pewno nie jest psem, drugiej cechy „czy szczeka” nie musimy już sprawdzać

Zauważmy, że dla zdania ZW definicja „nie psa” byłaby taka:
ZW:
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=4L+S
… a nie pies ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~P=~4L*~S
Nie pies nie ma czterech łap i nie szczeka
~P=~4L*~S
~P=1 <=> ~4L=1 i ~S=1
W tym przypadku musimy stwierdzić dwie cechy aby zdecydować „to nie jest pies”.
To oczywiście praca nadmiarowa, nikomu nie potrzebna, w stosunku do popranego lingwistycznie zdania ZW1.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24920
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 15:56, 22 Maj 2011    Temat postu:

4.0 Przedszkole implikacji i równoważności

Celem tego rozdziału jest pokazanie, że naturalny język człowieka podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia. Nasz mózg w swoim logicznym rozumowaniu generuje tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych, nigdy odwrotnie, czyli nie jest tak jak w dzisiejszej logice, jakoby nasz mózg dopasowywał tabele zero-jedynkowe do wszelkich możliwych śmieci z otaczającego go świata.

Algebra Kubusia to naturalny język mówiony przedszkolaków, udajmy się zatem do przedszkola aby poznać najważniejsze pojęcia w i definicje związane ze zdaniem warunkowym „Jeśli…to…”.

Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym lub koniecznym albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek, Absolutnie nikt, począwszy od 5-cio latka po profesora nie wymawia zdań „Jeśli…to…” w których p i q są ze sobą bez związku lub mają z góry znane wartości logiczne.

Przykłady zdań prawdziwych:

Implikacja prosta:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
Cztery łapy są konieczne aby być psem
Definicja warunku koniecznego:
Zabieramy poprzednik i musi zniknąć następnik
Zabieramy wszystkie zwierzęta z czterema łapami , wśród pozostałych zwierząt nie ma prawa być psa

Naturalny spójnik „może” ~~>:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo kura, wąż, mrówka …
Warunek konieczny tu nie zachodzi bo:
Zabieramy poprzednik i nie znika nam następnik
Zabieramy zwierzęta z czteroma łapami a następnik „nie pies” może wystąpić np. kura, wąż

Przykłady zdań fałszywych:
1.
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
PR=>KS=0 bo brak związku między p i q
W algebrze Kubusia wszelkie zdania bezsensowne jak wyżej są fałszywe, w szczególności fałszywe są wszystkie zdania w których poprzednik jest bez związku z następnikiem.
2.
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma osiem łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
8L=>KK=1 – zdanie prawdziwe w dzisiejszej logice KRZ
W algebrze Kubusia powyższe zdanie jest fałszywe z dwóch powodów:
A. bezsensowne bo brak związku poprzednika z następnikiem
B. wartości logiczne p i q są z góry znane

Spójniki zdaniowe i operatory logiczne

W języku mówionym zawsze mamy do czynienia wyłącznie z czteroma, precyzyjnie zdefiniowanymi spójnikami:
1.
+ - spójnik logiczny „lub”
2.
* - spójnik logiczny „i”

Zdania warunkowe:
Jeśli p to q
3.
=> - warunek wystarczający, spójnik logiczny „musi” między p i q, w mowie potocznej domyślny i nie musi być wypowiadany
Zdania równoważne:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
CH=>P=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
4.
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny miedzy p i q nas tu kompletnie nie interesują
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8

Spójniki te mogą mieć dodatkowe matematyczne znaczenie, co wymaga analizy matematycznej.

Dodatkowe znaczenie tych samych symboli:
1. „lub”(+) – spójnik logiczny (+), w mowie potocznej znaczenie podstawowe
1A: OR(*) – operator logiczny (+)

2. „i” (*) – spójnik logiczny (*), w mowie potocznej znaczenie podstawowe
2A: AND(*) – operator logiczny (*)

3. => - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q, w mowie potocznej znaczenie podstawowe
3A: implikacja prosta (=>), operator logiczny
3B: równoważność (=>), operator logiczny

4. Warunek konieczny ~>
Definicja warunku koniecznego (twierdzenie ŚFINII):
W zdaniu „Jeśli p to q” warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH = ???
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
czyli:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będą chmury
P=>CH=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
Padanie wystarcza aby były chmury.
W równaniu Kubusia mamy warunek wystarczający spełniony, zatem musi być spełniony warunek konieczny w zdaniu A, inaczej algebra Kubusia leży w gruzach.
~P~>~CH=1

Dodatkowe znaczenia symbolu ~>:
4A: implikacja odwrotna (~>), operator logiczny
4B: warunek konieczny (~>) w implikacji, spójnik „może” między p i q (przykład wyżej)
4C: warunek konieczny (~>) w równoważności (nie jest to spójnik „może”!)

Jak widzimy, szczególnie pozycje 3 i 4 są w języku mówionym wieloznaczne, dopiero analiza matematyczna zdania pozwala rozstrzygnąć czym precyzyjnie jest wypowiedziane zdanie w ujęciu matematycznym.

W naturalnym języku mówionym, tym spotykanym na co dzień, analiza matematyczna implikacji jest z reguły trywialna, na poziomie 5-cio letniego dziecka.
W matematyce tak nie musi być, udowodnienie iż dane twierdzenie jest implikacją prostą albo czymś fundamentalnie innym, równoważnością, wcale nie musi być proste.

Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.

Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !


4.1 Implikacja odwrotna

Pani w Przedszkolu:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Drogie dzieci, czy chmury są konieczne aby jutro padało ?
Jaś (lat 5):
Tak proszę Pani,
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padało
W sposób naturalny odkryliśmy jedno z najważniejszych praw logiki.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
~> - warunek konieczny
=> warunek wystarczający

Jeszcze raz od początku i trochę inaczej.

Pani w Przedszkolu:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1 – istnieje taka możliwość
~> - warunek konieczny spełniony
Intuicyjnie:
Zabieramy chmury i musi zniknąć możliwość padania

… a jeśli jutro nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Jas (lat 5):
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda
Intuicyjnie:
Brak chmur wystarcza, aby jutro nie padało

Z prawa Kubusia wynika genialna definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, w implikacji i równoważności spójnik „musi” między p i q

Prawo Kubusia można interpretować na trzy różne sposoby, o czym dalej, ale powyższa interpretacja jest kluczowa i najważniejsza. Wynika z niej, że całą logikę można sprowadzić do łatwego matematycznie badania warunku wystarczającego =>.

Przykład braku warunku koniecznego:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~>~P = ???
Intuicyjnie:
Zabieram chmury a stan „nie pada” dalej może wystąpić (świeci słońce) – warunek konieczny nie zachodzi.
Sprawdzenie czy zachodzi warunek konieczny prawem Kubusia:
CH~>~P=~CH=>P=0
Prawa strona znaczy:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – oczywisty fałsz
Zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
CH~>~P=0 – FAŁSZ

… ale zdanie B jest bezdyskusyjnie prawdziwe, co zmusza nas do wprowadzenie kolejnego symbolu matematycznego:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny nas tu nie interesuje

Definicja naturalnego spójnika ”może” ~~>
Kod:

p~~>q=1

p~~>q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
Wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunek konieczny nas tu nie interesuje

Zatem poprawne kodowanie matematyczne jest takie:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P = 1 – sytuacja możliwa
Miedzy p i q nie zachodzi warunek konieczny, co dowiedziono wyżej.

W tym krótkim dialogu z przedszkola zawarta jest istota całej logiki człowieka.

Uporządkujmy powyższe analizy.

Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1

Analiza I
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 1 =1
Warunek konieczny spełniony bo zabieramy chmury i znika nam możliwość padania
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
Warunek konieczny niespełniony, bo zabieramy chmury a stan „nie pada” dalej może wystąpić
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – Gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze
0 0 =1
Warunek wystarczający spełniony bo brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej, twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać definicję zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
CH=1, ~CH=0
P=1, ~P=0
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D: ~CH=>P=0
Zdanie D jest fałszem, zatem w zdaniu B warunek konieczny nie zachodzi.
Zdanie B jest prawdziwe na nocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

Na podstawie powyższego mamy definicję zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa implikacji  odwrotnej
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Wniosek generalny.
Tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych generowane są przez naturalną, symboliczną logikę człowieka, nigdy odwrotnie.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
to po prostu definicja implikacji odwrotnej p~>q zapisana w równaniu logicznym.

Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q
Wtedy i tylko wtedy zdanie p~>q spełnia definicję implikacji odwrotnej

Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Jeśli prawa strona jest prawdą (warunek wystarczający => ) to lewa strona również musi być prawdą (warunek konieczny ~> ), inaczej algebra Kubusia leży w gruzach.
Twierdzenie sfinii obowiązuje w całym obszarze algebry Kubusia, a wynika bezpośrednio z prawa Kubusia.

Nasz przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
Prawo Kubusia:
CH~>P=~CH=>~P=1
Prawa strona tożsamości:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1 – twarda prawda
Brak chmur wystarcza, aby jutro nie padało – warunek wystarczający spełniony
Prawa strona tożsamości Kubusia jest prawdą, zatem lewa strona też musi być prawdą, czyli warunek konieczny w zdaniu CH~>P zachodzi.
CND

Na zakończenie popatrzmy jeszcze raz na prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie wypowiedziane:
CH~>P
to otrzymamy definicje operatora implikacji odwrotnej, co dowiedziono wyżej

Z prawa Kubusia wynika, że jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie:
~CH=>~P
To musimy otrzymać zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej

Sprawdźmy to !

Zdanie wypowiedziane C:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P

Analiza II
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – Gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze
1 1 =1
Warunek wystarczający spełniony bo brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
… a jeśli będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P
czyli:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
Warunek konieczny spełniony bo zabieram chmury i znika możliwość padania
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym C:
~CH=1, CH=1
~P=1, P=0
Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

~CH ~P ~CH=>~P
  1  1  =1
  1  0  =0
  0  0  =1
  0  1  =1

Zauważmy, że zdania wypowiedziane w analizach I i II są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, zmienił się tylko punkt odniesienia w patrzeniu na identyczną serię zdań A,B,C,D.

To jest dowód prawa Kubusia zachodzącego na poziomie definicji operatorowych:
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>


4.2 Implikacja prosta

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Wtedy i tylko wtedy zdanie jest implikacją prostą

Weźmy teraz do analizy takie zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH

Analiza III
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – Gwarancja matematyczna, twarda prawda
1 1 =1
Warunek wystarczający spełniony bo padanie deszczu wystarcza dla istnienia chmur
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz wynikający z powyższego
1 0 =0
… a jeśli jutro nie będzie padało ?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 - sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik:
C: ~P~>ĆH = A: P=>CH=1
W zdaniu A warunek wystarczający zachodzi zatem w zdaniu C musi zachodzić warunek konieczny
LUB
D.
Jeśli juro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
Doskonale widać definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=0
Zdanie D nie może być implikacją odwrotną bo nie zachodzi prawo Kubusia:
D:~P~>CH = B: P=>~CH=0
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy jeden przypadek prawdziwy

Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Z prawa Kubusia wynika, że jeśli przyjmiemy za zdanie wypowiedziane zdanie C to musimy otrzymać definicje operatora implikacji odwrotnej ~>.
P=>CH = ~P~>~CH


Analiza IV
Zdanie wypowiedziane C:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 - sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 1 =1
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik:
C: ~P~>ĆH = A: P=>CH=1
W zdaniu A warunek wystarczający zachodzi zatem w zdaniu C musi zachodzić warunek konieczny
LUB
D.
Jeśli juro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
… a jeśli jutro będzie padało ?
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
czyli:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – Gwarancja matematyczna, twarda prawda
0 0 =1
Warunek wystarczający spełniony bo padanie deszczu wystarcza dla istnienia chmur
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz wynikający z powyższego
0 1 =0
Doskonale widać definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~> dla kodowania zgodnego ze zdaniem C:
~P=1, P=0
~CH=1, CH=0

Zauważmy że analizy III i IV są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia na poziomie operatorów logicznych.

Zauważmy tu coś arcyważnego:
Seria A.
Analiza I = Analiza II – poprzedni punkt
CH~>P = ~CH=>~P – zachodzi tożsamość operatorowa
Seria B.
Analiza III = analiza IV – ten punkt
P=>CH = ~P~>~CH – zachodzi tożsamość operatorowa

Oczywiście analizy serii A nie są tożsame z serią B, bowiem zdania wynikłe z tych analiz nie są identyczne.

Stąd mamy równanie ogólne implikacji dla naszego przykładu:
CH~>P = ~CH=>~P =1 ## P=>CH = ~P~>~CH=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Z powyższego wynika iż:
P=>CH ## ~CH=>~P
Jeśli na sztywno przypiszemy tu parametry formalne:
p=P
q=CH
to otrzymamy:
Prawo kontrapozycji poprawne w implikacji:
p=>q ## ~q=>~p

Wynika z tego że prawo kontrapozycji w formie znanej matematykom:
p=>q = ~q=>~p
Jest w implikacji fałszywe !

Oczywiście w równoważności zachodzi prawo kontrapozycji w takiej postaci:
p=>q = ~q=>~p
ale równoważność i implikacja to dwa różne światy matematyczne.

Równanie ogólne implikacji w zapisie ogólnym:
p~>q = ~p=>~q ## p=>q = ~p~>~q


4.3 Trzy znaczenia prawa Kubusia

1.
Prawa Kubusia zachodzące na poziomie operatorów:
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
~> - operator implikacji odwrotnej
=> - operator implikacji prostej
Dowodem są tu analizy III i IV (pkt.4.2). Seria czterech zdań A,B,C,D jest identyczna w obu analizach z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem poprawności prawa Kubusia na poziomie operatorów:
p=>q = ~p~>~q
Symetryczne analizy to I i II (pkt.4.1). Tu również seria czterech zdań A,B,C,D jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia na poziomie operatorów logicznych:
p~>q = ~p=>~q

2.
Prawa Kubusia na poziomie spójników zadaniowych w implikacji (nie równoważności !):
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany spójnika „może” ~> na spójnik „musi” =>
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany spójnika „musi” => na spójnik „może” =>
~> - spójnik „może”, „rzucanie monetą”, 0% determinizmu
=> - spójnik „musi”, gwarancja matematyczna, 100% determinizmu

3.
Prawo Kubusia to także relacje między warunkiem koniecznym i wystarczającym
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
~> - warunek konieczny
=> - warunek wystarczający
… i to jest najważniejsze znaczenie prawa Kubusia.
Wynika z niego, że całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w analizie matematycznej warunków wystarczających =>

Interpretacja potoczna warunków koniecznych
~> - warunek konieczny między p i q
=> - warunek wystarczający między p i q

1.
Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Zabieram poprzednik (~p) i musi zniknąć następnik(~ q)

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
Prawo Kubusia:
CH~>P=~CH=>~P
Zabieramy chmury (~CH) i musi zniknąć możliwość padania (~P)
~CH=>~P=1
Tu oczywistość, zatem warunek konieczny w zdaniu A spełniony:
CH~>P=1

2.
Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q = p=>q
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (p) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (q)

Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (P) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (CH)
Wymuszamy padanie deszczu (P) z czego muszą wynikać chmury (CH)
Oczywista prawda:
P=>CH=1
Zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny:
~P~>~CH=0
ale …
B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~>CH=0
bo:
Prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (P) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (~CH)
Wymuszamy padanie deszczu (P) z czego musi wynikać brak chmur (~CH)
Oczywisty fałsz:
P=>~CH=0
Zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
~P~>CH=0
ale …
Zdanie B jest bezdyskusyjnie prawdziwe !
Stąd konieczność wprowadzenia do logiki nowego symbolu:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Kod:

p~~>q =1
1 1 =1

p~~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny miedzy p i q nas tu kompletnie nie interesują

stąd poprawne matematycznie kodowanie zdania B:
B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~>CH=1 – istnieje taka możliwość

Logika dodatnia i ujemna w implikacji
Implikacja jest wyrażona w logice ujemnej jeśli q jest zanegowane

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Implikacja prosta w logice dodatniej => (bo q) jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q
Implikacja odwrotna w logice dodatniej ~> (bo q) jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej (bo ~q)


4.4 Spójniki i operatory logiczne w implikacji i równoważności

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda:
Kod:

p~~>q =q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „może” ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Znaleźliśmy jeden przypadek prawdziwy. Kompletnie nas tu nie interesują warunki wystarczalności i konieczności między p i q.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” =>

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur

Na mocy definicji mamy:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy (nigdy odwrotnie)

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
Kod:

~p=>~q=1
~p=>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” =>

Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało

Na mocy definicji warunku wystarczającego w logice ujemnej mamy:
A.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1 – twarda prawda
B.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy

Definicja warunku wystarczającego to zaledwie dwie linie tabeli zero-jedynkowej.

Definicja warunku wystarczającego z kodowaniem zero-jedynkowym:
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” =>
Warunek wystarczający nie jest operatorem logicznym bo ten musi być definiowany wszystkimi czteroma liniami tabeli zero-jedynkowej.

Na podstawie powyższego mamy definicję kontrprzykładu:
Kod:

p~~>q=1
p~~>~q=1
1 0 =1

p~~>q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
ystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
p~~>~q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Kontrprzykład to znalezienie jednego przypadku obalającego warunek wystarczający – druga linia w definicji warunku wystarczającego.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P – istnieje taka możliwość
Kontrprzykład:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – istnieje taka możliwość

Znalezienie po jednym przykładzie prawdziwym dla A i B wyklucza zachodzenie warunku wystarczającego w zdaniu A.

Spójnik logiczny ## operator logiczny
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Spójnik logiczny to zawsze tylko cześć operatora logicznego, tak jest w operatorach OR i AND, oraz w operatorach implikacji prostej =>, implikacji odwrotnej ~> i równoważności.

Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q)
i jednoczenie !
Definicja operatorowa implikacji odwrotnej
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q=1
p~~>~q=1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
~p=>q=0

p~>q
jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
bowiem druga linia też może wystąpić
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik ‘musi”
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może”

Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Wynika z tego, że warunek konieczny nie może istnieć samodzielnie co jest oczywistością z powodu istnienia naturalnego „może” ~~> gdzie warunek konieczny nie musi zachodzić.

Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>P=0
Prawa strona jest fałszem, zatem lewa strona nie może być implikacja odwrotną

Wniosek:
Udowodnienie warunku koniecznego jest równoznaczne z udowodnieniem iż zdanie analizowane spełnia definicję implikacji odwrotnej, w skrócie zdanie jest implikacja odwrotną.

Bezpiecznie jest dowolne zdanie ze spójnikiem „może” zakodować przy pomocy naturalnego „może”~~>. Rozstrzygnięcia czy w zdaniu ze spójnikiem „może” zachodzi warunek konieczny dokonujemy analizując matematycznie zdanie.

A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~~>P=1 – sytuacja możliwa

Korzystamy teraz z prawa Kubusia aby rozstrzygnąć zachodzenie warunku koniecznego:
CH~>P = ~CH=>~P=1
czyli:
A1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda
stąd:
Zdanie A jest implikacją odwrotną prawdziwą bo spełnione jest prawo Kubusia.

Precyzyjne matematyczne kodowanie jest zatem takie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa, warunek konieczny spełniony
Intuicyjnie to oczywistość bo:
Zabieramy chmury i znika możliwość padania

Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q):
jak również !
Definicja implikacji prostej p=>q w logice dodatniej (bo q).
Kod:

Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q=1
~p~~>q=1
… a jeśli zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q =1
p=>~q=0

~p~>~q
jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
bo druga linia w tabeli tez może wystąpić
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
bowiem wtedy i tylko wtedy między p i q występuje warunek konieczny.
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik ‘musi”
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może”

Ciekawa jest interpretacja warunku koniecznego w logice ujemnej.
A.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH

Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

Interpretacja tego prawa dla logiki ujemnej jest taka:
A.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH
Wymuszamy deszcz i muszą z tego wyniknąć chmury
czyli:
Negujemy poprzednik i musi z tego wyniknąć zanegowany następnik
~P~>~CH = P=>CH=1
Oczywistość, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny.

Ostatnia definicja to oczywiście także definicja implikacji prostej.
Wystarczy bowiem zamienić dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi co w algebrze Kubusia (także algebrze Boole’a) jest bez znaczenia.

Definicja symboliczna implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q =1
p=>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q=1
~p~~>q=1

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Wynika z tego że druga linia tabeli musi być fałszem
Dodatkowo musi zachodzić prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik ‘musi”
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może”

Dlaczego dodatkowo musi zachodzić prawo Kubusia ?
Bo warunek wystarczający w implikacji jest identyczny jak warunek wystarczający w równoważności, bez analizy matematycznej to jest nie do odróżnienia.

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
p=>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
~p=>q=0

stąd…
Definicja równoważności:
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego w logice dodatniej i warunku wystarczającego w logice ujemnej.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1=1
gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q, to nie jest operator logiczny !

Weźmy typową równoważność matematyczną:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR

Na mocy definicji równoważności mamy:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Analiza matematyczna:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR):
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – twarda prawda
1 1 =1
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 – nie ma takiego trójkąta
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR):
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – twarda prawda
0 0 =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0 – nie ma takiego trójkąta
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0

Stąd definicja zero-jedynkowa równoważności:
Kod:

p q p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


4.5 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności

Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia

W naturalnym języku mówionym mamy do czynienia wyłącznie ze spójnikami „może” ~~> i „musi” =>, nie ma tu zatem niejednoznaczności. O zdaniu prawdziwym z użyciem spójnika „może” ~~> lub „musi” => możemy dodatkowo powiedzieć iż jest to implikacja prosta => lub implikacja odwrotna ~>, dopiero po udowodnieniu tego faktu, na przykład poprzez analizę przez wszystkie możliwe przeczenia p i q jak to pokazano w analizach I i II (pkt.4.1) oraz w analizach III i IV (pkt.4.2).

Zdecydowanie prościej jest tu skorzystać ze śfińskiej definicji implikacji .

1.
ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny
p~>q =1
p=>q=0
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q

2.
ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacja prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający
p=>q =1
p~>q=0
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q

3.
ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi jednocześnie warunek wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - symbol warunku koniecznego między p i q, w równoważności nie jest po spójnik „może” !
Równoważność to zupełnie inna bajka matematyczna niż implikacja, o czym za chwilę.

ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny
p~>q =1
p=>q=0
Wynika to bezpośrednio z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Jeśli p~>q=1 to nie może być p=>q=1
Bo wówczas zachodziłoby:
p=>q = ~p=>~q
co w implikacji jest fałszem

W matematyce, aby obalić twierdzenie „Jeśli…to…” ze spójnikiem „na pewno” => wystarczy pokazać jeden kontrprzykład dla którego to twierdzenie jest fałszywe.
Twierdzenie:
p=>q = ~p=>~q
Dowód fałszywości powyższego równania kontrprzykładem:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda
p=>q=1
B.
Jeśli jutro nie będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0
~p=>~q=0
Kontrprzykład: nie pada i są chmury – sytuacja możliwa
czyli:
Jeśli p=>q=1 to ~p=>~q=0
Zatem nie może być:
p=>q = ~p=>~q
CND

Przykład działania śfińskiej definicji implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
Intuicyjnie:
Warunek konieczny spełniony bo zabieram chmury i znika możliwość padania
Matematycznie w równaniu Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
A1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, bez wyjątków
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem lewa strona tez musi być prawdą
Wniosek:
W zdaniu A zachodzi warunek konieczny
CH~>P=1
Sprawdzamy czy w zdaniu A między p i q zachodzi warunek wystarczający.
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
bo kontrprzykład:
są chmury i nie pada – sytuacja możliwa
Wniosek:
Dla zdania wypowiedzianego A mamy zatem:
CH~>P=1
CH=>P=0
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane A spełnia śfińską definicję implikacji odwrotnej, w skrócie możemy powiedzieć że zdanie A jest implikują odwrotną.

Oczywiście symetrycznie mamy …

ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacja prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający
p=>q =1
p~>q=0
Wynika to bezpośrednio z prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
jeśli p=>q=1
to nie może być:
p~>q=1
bowiem wówczas zachodziłoby:
p~>q = ~p~>~q – tożsamość fałszywa w algebrze Kubusia
Dowód:
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
Czyli dla równania wyżej mamy:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
stąd:
~p=>~q = p=>q
Ta tożsamość jest w implikacji fałszywa co udowodniono w ŚFIŃSKIEJ definicji implikacji odwrotnej wyżej.

Przykład:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – Gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze
Warunek wystarczający oczywiście spełniony

Sprawdzamy czy zachodzi warunek konieczny:
C1
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie padać
~CH~>~P = ???
Prawo Kubusia:
~CH~>~P = CH=>P=0
Prawa strona jest oczywistym fałszem bo:
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Zatem lewa strona prawa Kubusia również musi być fałszywa.
~CH~>~P=0
Dla zdania wypowiedzianego C mamy zatem:
~CH=>~P=1 – warunek wystarczający spełniony
~CH~>~P=0 – warunek konieczny niespełniony
Wniosek:
Zdanie C spełnia śfińską definicję implikacji prostej, w skrócie możemy powiedzieć że zdanie C jest implikacja prostą.

Oczywiście zdanie C1 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy
C1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> nie padać
~CH~~>~P =1 – możliwy przypadek: słońce i nie pada
ale nie jest to implikacja odwrotna bo nie spełnia prawa Kubusia

ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi jednocześnie warunek wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
gdzie:
~> - symbol warunku koniecznego między p i q, w równoważności nie jest po spójnik „może” !
Równoważność to zupełnie inna bajka matematyczna niż implikacja, o czym za chwilę.

Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
Twierdzenie śfinii działa także w równoważności gdzie:
~> - w równoważności to tylko warunek konieczny, nie jest to spójnik „może” (rzucanie monetą)!

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno=> ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający zachodzi
Sprawdzamy warunek konieczny miedzy p i q:
Prawo Kubusia:
TR~>KR = ~TR=>~KR=1
A1.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma katów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający spełniony
Na mocy prawa Kubusia zachodzi warunek konieczny w zdaniu A.

Dla zdania A mamy zatem:
TR=>KR=1 – warunek wystarczający spełniony
Intuicyjnie:
Bycie trójkątem równobocznym wystarcza aby kąty były równe
TR~>KR=1 – warunek konieczny spełniony
Intuicyjnie:
Zabieramy trójkąty równoboczne, pozostałe na pewno => nie będą miały katów równych
TR~>KR = ~TR=>~KR

Wniosek:
Zdanie A spełnia ŚFIŃSKĄ definicję równoważności, w skrócie – jest równoważnością.
TR=>KR=1 – warunek wystarczający spełniony
TR~>KR=1 – warunek konieczny spełniony

Podsumowanie:
Zauważmy że ŚFIŃSKIE definicje operatorów logicznych umożliwiają wszelkie matematyczne rozstrzygnięcia wyłącznie przy pomocy banalnej definicji warunku wystarczającego, łatwego w analizie matematycznej.

Wszelkie zdania z warunkiem wystarczającym traktujemy jako nowo wypowiedziane 1 1=1.


4.6 Równoważność

Definicja równoważności:
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q)

Definicja równoważności to złożenie dwóch warunków wystarczających, w logice dodatniej i w logice ujemnej.

Twierdzenie:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
W definicji równoważności podstawiamy ~p i ~q:
~p<=>~q = (~p=>~q)*[~(~p)=>~(~q)] = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawa strona jest identyczna jak definicja zatem zachodzi:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd

Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
p=>~q=1
… a jeśli zajdzie ~p ?
p<=>q = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
~p=>q=0


Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:

TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
TR=>~KR=0 – twardy fałsz wymuszony przez A
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR<=>KR = ~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0 – twardy fałsz wynikły z C
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym.
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0

Definicja zero-jedynkowa równoważności:
Kod:

p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0

Jak widzimy definicja zero-jedynkowa równoważności to fundamentalnie co innego niż definicje implikacji.

Weźmy nasz przykład:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Precyzyjnie o zdaniach z prawej strony możemy powiedzieć, że są to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej

Zauważmy, że analiza zdania:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda
Przez wszystkie możliwe przeczenia p i q również da nam zero-jedynkową definicję równoważności.

Dla równoważności udowodnionej możemy zatem zapisać:
TR<=>KR = TR=>KR

O zdaniu A możemy zatem powiedzieć precyzyjnie, że to jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności, albo że jest to równoważność.

Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q
Na mocy prawa kontrapozycji :
~p=>~q=q=>p
mamy definicje równoważności uwielbiane przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Zauważmy że matematycznie zachodzi również:
p~>q = ~p=>~q

Stąd kolejna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Oczywiście nie może tu być mowy o interpretacji symbolu ~> jako „rzucanie monetą” jak to miało miejsce w implikacji bowiem w równoważności nie ma mowy o jakiejkolwiek przypadkowości co doskonale widać w analizie zdania TR<=>KR wyżej.

Jak to zinterpretować ?

W równoważności:
~> - wyłącznie warunek koniczny o na mocy twierdzenia śfinii, nie jest to spójnik „może” !

Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q - I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia

Zauważmy, że dla naszego przykładu mamy:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Wypowiadam teraz takie zdanie:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – twarda prawda, warunek wystarczający spełniony

Badamy czy między p i q zachodzi warunek konieczny:
TR~>KR= ???
Na mocy twierdzenie sfinii zapisujemy:
Prawo Kubusia:
TR~>KR = ~TR=>~KR=1 – twarda prawda
A1.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – twarda prawda

Prawa strona tożsamości Kubusia jest prawdą zatem lewa tez musi być prawdą czyli:
TR~>KR=1 – spełniony warunek konieczny
Intuicyjnie jest to oczywistość bowiem jeśli zabierzemy wszystkie trójkąty równoboczne to w pozostałych nie znajdziemy ani jednego trójkąta o równych kątach.

Na podstawie powyższego mamy śfińską definicję równoważności:
Zdanie „Jeśli… to” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzą jednocześnie warunki konieczny i wystarczający
p=>q=1
p~>q=1


4.7 Definicje kwantyfikatorów w algebrze Kubusia

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika ze druga linia jest twardym fałszem

W algebrze Kubusia definicja warunku wystarczającego to definicja kwantyfikatora dużego:
Dla każdego x, jeśli p(x) to q(x)
/\x p(x)=>(q(x)

W algebrze Kubusia ograniczmy dziedzinę w zdaniu p=>q wyłącznie do dziedziny zdefiniowanej przez poprzednik, czyli nie obchodzi nas co będzie po stronie ~p.

W Klasycznym Rachunku Zdań bezsensownie rozszerza się całą dziedziną na p+~p, z czego wynikają matematyczne niejednoznaczności i idiotyczne tautologie, czyli zero logiki.
KRZ nie odróżnia implikacji prostej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Definicja równoważności:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(~P8=>~P2) = 1*0=0
Wniosek:
Równoważność to nie jest iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych !

od ewidentnej równoważności:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
Definicja równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = 1*1 =1 – ewidentna równoważność
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo KR) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~KR). To nie są implikacje proste !

W KRZ oba zdania A i B to implikacje proste prawdziwe czyli najzwyklejszy IDIOTYZM, rozwalający w puch cala logikę matematyczną, bo wynika z tego że istnieją dwa rodzaje implikacji prostej !
A: P8=>P2=1 – ta implikacja nie spełnia definicji równoważności
B: TR=>KR=1 – ta „implikacja” spełnia definicję równoważności

Oczywiście trzeba i należy dziedzinę w KRZ zawęzić do postaci jak w algebrze Kubusia, wtedy świat będzie piękny i prosty.

Zauważmy, że w przypadku implikacji prostej P8=>P2 analiza przypadków ~p to bezsensowne bicie piany nic nie wnoszące do logiki – identyczne wyniki końcowe uzyskamy tu przy pomocy warunku wystarczającego o definicji jak w algebrze Kubusia.

Natomiast w przypadku równoważności TR=>KR uznanie że po stronie ~p mamy do czynienia z implikacją to błąd czysto matematyczny.

Definicja kwantyfikatora małego w algebrze Kubusia to po prostu naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda
Kod:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~?
p~~>q=1
1 1 =1

Istnieje takie x, że jeśli p(x) to może zajść q(x)
\/x p(x)~~>q(x)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24920
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 15:57, 22 Maj 2011    Temat postu:

5.0 Implikacja w tabelach zero-jedynkowych

W mowie potocznej każdy człowiek używa wyłącznie spójników „musi” i „może” w znaczeniu jak wyżej. Oczywiście nikt nie odróżnia dwóch rodzajów „może” (~> i ~~>), to zadanie dla matematyków, banalne zresztą. Spójnik „może” to w algebrze Boole’a najzwyklejsze „rzucanie monetą”. Z tego powodu w projektowaniu automatów cyfrowych (np. komputery) człowiek używa wyłącznie spójnika „musi” =>, posługując się naturalną logiką człowieka, algebrą Kubusia.


5.1 Zero-jedynkowe i bramkowe definicje implikacji

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej =>:
Kod:

p q  Y=p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Definicja implikacji prostej w operatorach AND i OR:
Y= p=>q = ~p+q = ~(~p*q)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej (co innego niż spójnik logiczny „musi” !)

Dowód:

Twierdzenie Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniem linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych. Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możliwe jest wygenerowanie ośmiu równań algebry Boole’a.

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równy jest 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden
Y=A*~B*C …
czyli:
Y=1 <=> A=1 i ~B=1 i C=1 …

Najprostsze równanie algebry Boole’a dla powyższej tabeli otrzymamy dla drugiej linii gdyż w wyniku mamy tu samotne zero.
Mamy:
Y=0 <=> p=1 i q=0
W algebrze Boole’a zachodzi:
Jeśli Y=0 to ~Y=1
Jeśli q=0 to ~q=1

Stąd na podstawie definicji iloczynu logicznego mamy:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Opuszczamy jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a
~Y = p*~q
Negując stronami i korzystając z prawa de’Morgana mamy:
Y = ~(p*~q) = ~p+q

Stąd otrzymujemy definicje implikacji odwrotnej w bramce logicznej:
Kod:

   p   q
   |   |
  -------
  |O => |
  |     |
  | OR  |
  -------
     |
     Y=~p+q

Gdzie:
O – symbol negatora (~)
Bramkowa definicja implikacji prostej to najzwyklejsza bramka OR z zanegowana w środku linią wejściowa p. Tabela prawdy dla powyższej bramki to po prostu zero-jedynkowa definicja implikacji prostej

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

p q  Y=p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Definicja operatora implikacji odwrotnej w operatorach AND i OR
Y=p~>q = p+~q = ~(~p*q)
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej (co innego niż spójnik logiczny „może” !)

Stąd otrzymujemy definicje implikacji odwrotnej w bramce logicznej:
Kod:

   p   q
   |   |
  -------
  |~>  O|
  |     |
  | OR  |
  -------
     |
     Y=p+~q

Gdzie:
O – symbol negatora (~)
Bramkowa definicja implikacji odwrotnej to najzwyklejsza bramka OR z zanegowana w środku linią wejściowa q. Tabela prawdy dla powyższej bramki to po prostu zero-jedynkowa definicja implikacji prostej

Oczywiście na mocy definicji zero-jedynkowych mamy:
p=>q ## p~>q
gdzie:
## - fundamentalnie różne funkcje logiczne (na mocy definicji)

Dowód praw Kubusia w tabelach zero-jedynkowych:
Kod:

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1  =1   0  0   =1
1 0  =0   0  1   =0
0 0  =1   1  1   =1
0 1  =1   1  0   =1

Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Kod:

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1  =1   0  0   =1
1 0  =1   0  1   =1
0 0  =1   1  1   =1
0 1  =0   1  0   =0

Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Dowód praw Kubusia w bramkach logicznych:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Kod:

Dowód prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

   p   q
   |   |
   |   x---------------x
   |   |               |
   x---------------x   |
   |   |           |   |
   |   |           O   O
  -------         -------
 | O =>  |       |  ~> O |
 |       |       |       |
 |  OR  A|       |  OR  B|
  -------         -------
     |Y=p=>q         | Y=~p~>~q
     x---------------x
     |
     V
     Y=p=>q = ~p~>~q

Doskonale widać, że jak zewnętrzne negacje w układzie B wepchniemy do środka bramki, to pojawi się negacja na wejściu p i zniknie na wejściu q na mocy prawa podwójnego przeczenia:
q=~(~q)=q
Będziemy mieli wówczas dwie identyczne bramki A, co jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Kod:

Dowód prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

   p   q
   |   |
   |   x---------------x
   |   |               |
   x---------------x   |
   |   |           |   |
   |   |           O   O
  -------         -------
 |  ~> O |       | O =>  |
 |       |       |       |
 |  OR  A|       |  OR  B|
  -------         -------
     |Y=p~>q         | Y=~p=>~q
     x---------------x
     |
     V
     Y=p~>q = ~p=>~q

Doskonale widać, że jak zewnętrzne negacje w układzie B wepchniemy do środka bramki, to pojawi się negacja na wejściu q i zniknie na wejściu p na mocy prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)=p
Będziemy mieli wówczas dwie identyczne bramki A, co jest dowodem poprawności prawa Kubusia.


5.2 Spójnik „musi” => między p i q, warunek wystarczający

Definicja operatorowa spójnika „musi” => w logice dodatniej (bo q niezanegowane):
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0

Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia p=>q czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Dokładnie jak wyżej widzi zera i jedynki mózg człowieka, dowód za chwilę.
Gdzie:
=> - spójnik „musi” miedzy p i q, warunek wystarczający

Definicja słowna:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Wynika z tego że:
Zajście p i ~q jest niemożliwe, druga linia definicji
Wynika z tego że:
p jest warunkiem wystarczającym dla q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 – oczywistość
1 1 =1
stąd:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0
1 0 =0

Definicja operatorowa spójnika „musi” => w logice ujemnej (bo q zanegowane):
Kod:

~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0

Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia ~p=>~q czyli:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Dokładnie jak wyżej widzi zera i jedynki mózg człowieka, dowód za chwilę.
Gdzie:
=> - spójnik „musi” miedzy p i q, warunek wystarczający

Definicja słowna:
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Wynika z tego że:
Zajście ~p i q jest niemożliwe, druga linia definicji
Wynika z tego że:
~p jest warunkiem wystarczającym dla ~q

Przykład:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 – twarda prawda, zachodząca zawsze dla zbioru zdefiniowanego w poprzedniku
1 1 =1
stąd:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0
1 0 =0


5.3 Spójniki „może” ~> i „może”~~>

Definicja operatorowa spójnika „może” ~> w logice dodatniej (bo q niezanegowane):
Kod:

p~>q=1
1 1 =1
p~~>~q=1
1 0 =1

Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia p~>q czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Dokładnie jak wyżej widzi zera i jedynki mózg człowieka, dowód za chwilę.
Gdzie:
~> - spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym, czyli spełnionym prawem Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalne ‘może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunek konieczny tu nie zachodzi

Definicja słowna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Wtedy i tylko wtedy p jest warunkiem koniecznym dla q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1=1 bo 8,16,24…
1 1 =1
lub
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6…
1 0 =1
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1 - oczywistość

~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi
Definicja operatorowa:
Kod:

p~~>q=1
1 1 =1

p~~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to „może” ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
1 1 =1
Warunek konieczny tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
P3~>P8 = ~P3=>~P8=0 bo 8
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 3 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P3=>~P8=0 bo 8
Warunek wystarczający ~P3=>~P8=0, zatem na mocy prawa Kubusia wykluczony jest warunek konieczny w P3~>P8=0

Definicja operatorowa spójnika „może” ~> w logice ujemnej (bo q zanegowane):
Kod:

~p~>~q=1
1 1 =1
~p~~>q=1
1 0 =1

Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia ~p~>~q czyli:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Dokładnie jak wyżej widzi zera i jedynki mózg człowieka, dowód za chwilę.

Definicja słowna:
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to „może” zajść ~q
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Wtedy i tylko wtedy ~p jest warunkiem koniecznym dla ~q

Przykład:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5,7…
1 1 =1
lub
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,,4,6…
1 0 =1
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
~P8~>~P2 = P8=>P2 =1 - oczywistość


5.4 Prawa Kubusia na poziomie spójników logicznych

p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany spójnika „musi” => na spójnik „może” ~>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany spójnika „może” ~> na spójnik „musi” =>
gdzie:
=> - warunek wystarczający miedzy p i q, spójnik „musi”
~> - warunek konieczny między p i q, spójnik „może”

Interpretacja matematyczna.

Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
Twierdzenie ŚFINII to najważniejsze twierdzenie w algebrze Kubusia, a wynika bezpośrednio z praw Kubusia.

Przykłady zastosowań:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa
Warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
CH~>P = ~CH=>~P=1
Oczywista prawda, zatem w zdani A zachodzi warunek konieczny.

B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać
CH~>~P = ~CH=>P=0
Oczywisty fałsz, stąd w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
CH~>~P=0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda


5.5 Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>

Operator implikacji odwrotnej to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (spójnik „może” ~>) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (spójnik „musi” =>)

Kod:

p~>q=1
1 1 =1
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0

W zerach i jedynkach jak wyżej widzi otaczający go świat nasz mózg, tak widzi świat zewnętrzny księżniczka Implikacji odwrotnej rezydująca w naszym mózgu.

Z punktu odniesienia świata zewnętrznego sytuacja wygląda inaczej.

W świecie zewnętrznym możemy ustawić punkt odniesienia na zdaniu:
p~>q czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Wtedy otrzymujemy definicję operatorową implikacji odwrotnej:
Kod:

Tabela A
p~>q=1
1 1 =1
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0


Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

Tabela 1
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Albo na punkcie odniesienia ~p=>~q, wtedy otrzymujemy definicje implikacji prostej:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Tabela B
~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
p~>q=1
0 0 =1
p~~>~q=1
0 1 =1

W algebrze Kubusia (w algebrze Boole’a także) linie w tabeli operatorowej możemy dowolnie przestawiać.
Zauważmy, że mimo powyższych przekształceń seria czterech zdań wynikająca ze zdania wypowiedzianego p~>q albo ~p=>~q jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia na poziomie spójników.
CND

Wnioski:
1.
Prawo Kubusia dla spójnika implikacji odwrotnej to po prostu definicja operatora implikacji odwrotnej !
2.
Zauważmy, że spójnik definiowany jest dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, natomiast operator logiczny wszystkimi czteroma.
3.
Zdanie jest implikacja odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy spełnia definicję operatorową implikacji odwrotnej, czyli wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi prawo Kubusia dla spójnika „może” ~>.

To samo co wyżej możemy ładnie przedstawić w jednej tabeli zbiorczej.

Definicja symboliczna operatora implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

p~>q =1
p~~>~q=1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q=1
LUB
~p=>q =0

Analogicznie jak w operatorach AND i OR zero-jedynkowo powyższą definicje można zakodować z trzech różnych punktów odniesienia co ilustruje poniższy schemat.
Kod:

Tabela A
Definicja      | Kodowanie zero-jedynkowe z punktów odniesienia
Symboliczna    |             |   Świat zewnętrzny         |
===========    |   MÓZG      |   p~>q      |  ~p=>~q      |
               | p  q  p~> q | p  q  p~> q |              |
p~>q =1        | 1  1   =1   | 1  1   =1   | 0  0   =1    |
p~>~q=1        | 1  0   =1   | 1  0   =1   | 0  1   =1    |
… a jeśli ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q  |~p ~q ~p=>~q |             |~p ~q ~p=>~q  |
~p=>~q=1       | 1  1   =1   | 0  0   =1   | 1  1   =1    |
~p=> q=0       | 1  0   =0   | 0  1   =0   | 1  0   =0    |
                             |Kodowanie    |Kodowanie     |
                             |definicji    |definicji     |
                             |symbolicznej |symbolicznej  |
                             |p=1, ~p=0    | ~p=1, p=0    |
                             |q=1, ~q=0    | ~q=1, q=0    |

Doskonale widać, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie p~>q to otrzymamy definicje zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~>.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Z prawa Kubusia wynika że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~p=>~q to musimy otrzymać definicje zero jedynkową operatora implikacji prostej =>.
Doskonale to widać w dwóch ostatnich kolumnach powyższej tabeli. Przestawione linie w algebrze Kubusia (także w algebrze Boole’a) nie mają żadnego znaczenia.

Zauważmy, że z punktu odniesienia naszego mózgu świat widziany w zerach i jedynkach jest stały i niezależny od świata zewnętrznego. Zdania p~>q i ~p=>~q traktowane są tu jako zdania nowo wypowiedziane (1 1 =1). Mechanizm jest tu identyczny jak w operatorach OR, AND i równoważności. Poprawność tej tabeli można łatwo udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej co zobaczymy za chwilę, w świecie krasnoludków.

Przykład:
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Po pierwsze korzystając z twierdzenie SFINII rozstrzygamy czy to jest implikacja odwrotna
Definicja:
Zdanie jest implikacją odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
4L~>P = ~4L=>~P=1 – prawo Kubusia
czyli:
A1.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
4L~>P = ~4L=>~P=1
Prawa strona jest twardym fałszem, zatem zdanie wypowiedziane spełnia warunek konieczny
Sprawdzamy teraz warunek wystarczający między p i q.
A2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P=0 bo słoń
Dla zdania wypowiedzianego mamy:
4L~>P=1 – zdanie spełnia warunek wystarczający
4L=>P=0 – warunek wystarczający nie zachodzi
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane A to piękna implikacja odwrotna

To rozstrzygnięcie determinuje jednoznaczna tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.

Analiza matematyczna I:
A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies. Miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń … Miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo wąż, kura … Twarda prawda, zachodzi zawsze. Gwarancja matematyczna
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0 – twardy fałsz wynikły z powyższego
0 1 =0
Doskonale widać definicje implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Zdanie B nie może być spójnikiem „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym bo nie zachodzi prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P=0
Prawa strona jest fałszem zatem lewa strona nie może być warunkiem koniecznym:
4L~>~P=0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

Dla dowolnego losowania wyłącznie jedno z powyższych zdań będzie prawdziwe, pozostałe będą fałszywe. Dla nieskończonej ilości losowań, wszystkie pudełka będą pełne z wyjątkiem pudelka D, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych jedynek.

Z prawa Kubusia wynika, że zdaniem tożsamym w stosunku do zdania 4L~>P jest zdanie ~4L=>~P.
Zamieniamy dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi i kodujemy całość zgodnie z nowym zdaniem wypowiedzianym ~4L=>~P.

Zdanie wypowiedziane:
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Warunek wystarczający oczywiście zachodzi
Definicja:
Zdanie jest implikacja prosta wtedy i tylko wtedy gdy między pi q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający.
Korzystając z twierdzenie ŚFINII sprawdzamy czy między p i q zachodzi warunek konieczny.
~4L~>~P = 4L=>P=0 bo słoń
C1.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P=0 bo słoń
Prawa strona jest fałszem zatem lewa strona musi być fałszem

Dla zdania wypowiedzianego mamy zatem:
~4L=>~P=1 – spełniony warunek wystarczający
~4L~>~P=0 – warunek konieczny nie zachodzi
Wniosek:
Na mocy definicji zdanie wypowiedziane jest implikacja prostą

To rozstrzygniecie determinuje tabelę zero-jedynkowa implikacji prostej.

Analiza matematyczna II:
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo wąż, kura … Twarda prawda, zachodzi zawsze. Gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
D.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0 – twardy fałsz wynikły z powyższego
1 0 =0
… a jeśli zwierzę ma cztery łapy ?
Prawo Kubusia:
~4L=>~P = 4L~>P
czyli:
A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies. Miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń … Miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
Doskonale widać tabelę implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym ~4L=>~P czyli:
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0
Zauważmy, że w obu analizach I i II zdania składowe są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia na poziomie spójników implikacyjnych i operatorów logicznych.

5.6 Pałac księżniczki implikacji odwrotnej

Mało kto wie że w naszym mózgu żyją i pracują krasnoludki, kolejnym z nich jest księżniczka implikacji odwrotnej, urzędująca w dwóch bramkach logicznych „musi” => i „może” ~> przemienionych na komnaty „musi” i „może”, połączone korytarzem.

Księżniczka implikacja odwrotna

Kod:

Analiza I
  4L  P
  |   |
  x--------------------------x
  |   |                      |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ---------------           ----------------
| 4L  P  4L~>P |           | 4L  P   4L~>P |
| 1   1   =1   |           | 0   0    =1   | CZŁOWIEK
| 1   0   =1   |           | 0   1    =0   |
 --------------             ---------------
  |   |                      |   |
  |   |                      O   O NEGATORY
  4L  P                     ~4L ~P
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
|     O        ~> |       |  O          =>  |
|                 |       |                 |
| 4L  P  4L~>P    |       | ~4L ~P  ~4L=>~P |
|  1  1   =1          O       1  1    =1    | KSIĘŻNICZKA
|  1  0   =1         /|\      1  0    =0    | IMPLIKACJA
|                     A                     | ODWROTNA
|              4L~>P = ~4L=>~P              |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| MOŻE            |       | MUSI            |
|       OR        |       |       OR        |
-------------------       ------------------
         |4L~>P                    |~4L=>~P
         |                         |
         x-------------------------x
         |
         V
       4L~>P
 --------------             ---------------
| 4L  P  4L~>P |           | 4L  P  4L~>P  |KOMNATA
|  1  1   =1   |           |  1  1   =1    |MOŻE
|  1  0   =1   |           |  1  0   =1    |
|              |           |~4L ~P ~4L=>~P |KOMNATA
|  0  0   =1   |           |  1  1   =1    |MUSI
|  0  1   =0   |           |  1  0   =0    |
 --------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KSIĘŻNICZKA
                              IMPLIKACJA ODWROTNA

PAŁAC KSIĘŻNICZKI IMPLIKACJI ODWROTNEJ
Punkt odniesienia:
4L~>P

Z komnaty „może” księżniczka ma bezpośredni dostęp do wypowiedzianego zdania, bowiem nie ma tu wejściowych negatorów. Z komnaty „może” księżniczka widzi bezpośrednio wypowiedziane zdanie 4L~>P.
W komnacie „musi” księżniczka implikacji odwrotnej ma dostęp wyłącznie do zanegowanych p i q ze zdania wypowiedzianego 4L~>P. Po negatorach na wejściu bramki „musi” zera i jedynki też są odwrócone w stosunku do zer i jedynek w świecie zewnętrznym.

Jak pracuje księżniczka ?

W komnacie „może” obsługiwane jest zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
1 1 =1
lub
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń
1 0 =1
Jak widzimy zera i jedynki zgadzają się tu idealnie zarówno w świecie księżniczki jak i świecie człowieka.

Jeśli teraz 5-cio latek zapyta:
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
To księżniczka z szybkością światła udaje się do komnaty „musi” bowiem tylko tu widzi zanegowany poprzednik ~4L. Piękna księżniczka nie ma teraz żadnych problemów z odpowiedzią na pytanie.
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, mrówka …
1 1 =1
stąd:
D.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0 - fałsz
1 0 =0
Powyższy schemat to dowód, że nasz mózg traktuje zdania A i C jako dwa niezależne zdania nowo wypowiedziane. Z punktu widzenia świata zewnętrznego jedyne co możemy zaobserwować, to tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.

Jak udowodnić, że tak właśnie pracuje nasz mózg ?
Oczywiście w laboratorium układów cyfrowych.

Ćwiczenie:
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić tabele zero-jedynkowe z punktu odniesienia człowieka oraz z punktu odniesienia księżniczki implikacji odwrotnej.

Pewne jest, że rzeczywistość musi być w 100% zgodna z algebrą Kubusia.

Przerysujmy teraz powyższy schemat ideowy w taki sposób, by poprawnie obsługiwał zdanie wypowiedziane:
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, mrówka …
Kod:

Analiza II
                            ~4L ~P
                             |   |
  x--------------------------x   |
  |                          |   |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ---------------           ----------------
|~4L ~P ~4L=>~P|           |~4L ~P  ~4L=>~P|
| 0   0   =1   |           | 1   1    =1   | CZŁOWIEK
| 0   1   =1   |           | 1   0    =0   |
 --------------             ---------------
  |   |                      |   |
  O   O                      |   |
  4L  P                     ~4L ~P
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
|     O        ~> |       |  O          =>  |
|                 |       |                 |
| 4L  P  4L~>P    |       | ~4L ~P  ~4L=>~P |
|  1  1   =1          O       1  1    =1    | KSIĘŻNICZKA
|  1  0   =1         /|\      1  0    =0    | IMPLIKACJA
|                     A                     | ODWROTNA
|              4L~>P = ~4L=>~P              |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| MOŻE            |       | MUSI            |
|       OR        |       |       OR        |
-------------------       ------------------
         |4L~>P                    |~4L=>~P
         |                         |
         x-------------------------x
         |
         V
       4L~>P
 --------------             ---------------
|~4L ~P ~4L=>P |           |~4L ~P ~4L=>~P |KOMNATA
|  1  1   =1   |           |  1  1   =1    |MUSI
|  1  0   =0   |           |  1  0   =0    |
|              |           | 4L  P  4L~>P  |KOMNATA
|  0  0   =1   |           |  1  1   =1    |MOŻE
|  0  1   =1   |           |  1  0   =1    |
--------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KSIĘŻNICZKA
                              IMPLIKACJA ODWROTNA

PAŁAC KSIĘŻNICZKI IMPLIKACJI ODWROTNEJ
Punkt odniesienia:
~4L=>~P

Jak widzimy, księżniczka tym razem widzi bezpośrednio sygnały ~4L i ~P w komnacie „musi”.
Z komnaty „może” widoczne są zanegowane sygnały czyli 4L i P. Zera i jedynki w komnacie „może” tez są odwrócone w stosunku do zer i jedynek wejściowych, bo negatory.

Tym razem zdanie wypowiedziane obsługiwane jest w komnacie „musi”.
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, mrówka …
1 1 =1
stąd:
D.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0 - fałsz
1 0 =0
Jak widzimy zera i jedynki zgadzają się tu idealnie zarówno w świecie księżniczki jak i świecie człowieka.

… a jeśli zwierze ma cztery łapy ?
Prawo Kubusia:
~4L=>~P = 4L~>P
Oczywiście odpowiedź na to pytanie znajduje się w komnacie „może” i tu udaje się nasza księżniczka.
A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1 bo pies
1 1 =1
lub
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń …
1 0 =1
W komnacie „może” księżniczka widzi odwrócone wejściowe zera i jedynki w stosunku do człowieka. Tym razem w świecie człowieka generowana jest tabela zero-jedynkowa operatora implikacji prostej.

Z analiz I i II doskonale widać, że świat księżniczki implikacji odwrotnej jest niezmienny, czyli w obu przypadkach w zerach i jedynkach oraz sygnałach widziany identycznie. W świecie człowieka w analizie I widzimy tabelę zero-jedynkowa implikacji odwrotnej, natomiast w analizie II tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.

Zdania rzeczywiste wynikłe z analiz I i II są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem poprawności prawa Kubusia oraz Istnienia krasnoludków w naszym mózgu


5.7 Definicja operatora implikacji prostej

Operator implikacji prostej to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (spójnik „musi”=>) i warunku koniecznego w logice ujemnej (spójnik „może ~>)

Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q=1
1 1 =1
~p~~>q=1
1 0 =1

W zerach i jedynkach jak wyżej widzi otaczający go świat nasz mózg, tak widzi świat zewnętrzny księżniczka Implikacji prostej rezydująca w naszym mózgu.

Z punktu odniesienia świata zewnętrznego sytuacja wygląda inaczej.

W świecie zewnętrznym możemy ustawić punkt odniesienia na zdaniu:
p=>q
czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Wtedy otrzymujemy definicję operatorową implikacji prostej:
Kod:

Tabela A
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~~>~q
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=1
0 1 =1


Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

Tabela 1
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Albo na punkcie odniesienia ~p~>~q, wtedy otrzymujemy definicje implikacji odwrotnej:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Tabela B
~p~>~q=1
1 1 =1
~p~~>q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
p=>q=1
0 0 =1
p=>~q=0
0 1 =0

W algebrze Kubusia (w algebrze Boole’a także) linie w tabeli operatorowej możemy dowolnie przestawiać.

Stąd tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla punktu odniesienia ~p~>~q:
Kod:

Tabela 2
~p ~q ~p~>~q
 1  1  =1
 1  0  =1
 0  0  =1
 0  1  =0

Zauważmy, że mimo powyższych przekształceń seria czterech zdań wynikająca ze zdania wypowiedzianego p~>q albo ~p=>~q jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia na poziomie spójników i operatorów.
CND

Wnioski:
1.
Prawo Kubusia dla spójnika implikacji prostej to po prostu definicja operatora implikacji prostej !
2.
Zauważmy, że spójnik definiowany jest dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, natomiast operator logiczny wszystkimi czteroma.
3.
Zdanie jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy spełnia definicję operatorową implikacji prostej, czyli wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi prawo Kubusia dla spójnika „musi”=>.

To samo co wyżej można przedstawić w tabeli zbiorczej.

Definicja symboliczna operatora implikacji prostej:
Kod:

p=>q =1
p=>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q=1
LUB
~p~~>q=1

Analogicznie jak w operatorach AND i OR zero-jedynkowo powyższą definicje można zakodować z trzech różnych punktów odniesienia co ilustruje poniższy schemat.
Kod:

Tabela A
Definicja      | Kodowanie zero-jedynkowe z punktów odniesienia
Symboliczna    |             |   Świat zewnętrzny         |
===========    |   MÓZG      |   p=>q      |  ~p~>~q      |
               | p  q  p=> q | p  q  p=> q |              |
p=>q =1        | 1  1   =1   | 1  1   =1   | 0  0   =1    |
p=>~q=0        | 1  0   =0   | 1  0   =0   | 0  1   =0    |
… a jeśli ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q  |~p ~q ~p~>~q |             |~p ~q ~p~>~q  |
~p~>~q=1       | 1  1   =1   | 0  0   =1   | 1  1   =1    |
~p~~>q=1       | 1  0   =1   | 0  1   =1   | 1  0   =1    |
                             |Kodowanie    |Kodowanie     |
                             |definicji    |definicji     |
                             |symbolicznej |symbolicznej  |
                             |p=1, ~p=0    | ~p=1, p=0    |
                             |q=1, ~q=0    | ~q=1, q=0    |

Doskonale widać, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie p=>q to otrzymamy definicje zero-jedynkową implikacji prostej =>.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Z prawa Kubusia wynika że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~p~>~q to musimy otrzymać definicje zero jedynkową operatora implikacji odwrotnej ~>.
Doskonale to widać w dwóch ostatnich kolumnach powyższej tabeli. Przestawione linie w algebrze Kubusia (także w algebrze Boole’a) nie mają żadnego znaczenia.

Zauważmy, że z punktu odniesienia naszego mózgu świat widziany w zerach i jedynkach jest stały i niezależny od świata zewnętrznego. Zdania p=>q i ~p~>~q traktowane są tu jako zdania nowo wypowiedziane (1 1 =1). Mechanizm jest tu identyczny jak w operatorach OR, AND i równoważności. Poprawność tej tabeli można łatwo udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej co zobaczymy za chwilę, w świecie krasnoludków.

Przykład:
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy
Korzystając z twierdzenie SFINII rozstrzygamy czy to jest implikacja prosta
Definicja:
Zdanie jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
P~>4L = ~P=>~4L=0 bo słoń – prawo Kubusia
czyli:
A1.
Jeśli zwierze nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
~P=>~4L=0 bo słoń
Prawa strona jest twardym fałszem, zatem zdanie wypowiedziane nie spełnia warunku koniecznego.
Dla zdania wypowiedzianego mamy zatem:
P=>4L=1 – warunek wystarczający spełniony
P~>4L=0 – warunek konieczny nie spełniony
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane A to piękna implikacja prosta

To rozstrzygnięcie determinuje jednoznaczna tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.

Analiza matematyczna I:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 – gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
1 0 =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
0 0 =1
lub
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
0 1 =1
Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Zdanie D nie może być spójnikiem „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym bo nie zachodzi prawo Kubusia:
~P~>4L=P=>~4L=0
Prawa strona jest fałszem zatem lewa strona nie może być warunkiem koniecznym:
~P~>4L=0
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

Dla dowolnego losowania wyłącznie jedno z powyższych zdań będzie prawdziwe, pozostałe będą fałszywe. Dla nieskończonej ilości losowań, wszystkie pudełka będą pełne z wyjątkiem pudelka B, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych jedynek.

Z prawa Kubusia wynika, że zdaniem tożsamym w stosunku do zdania P=>4L jest zdanie ~P~>~4L.
Zamieniamy dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi i kodujemy całość zgodnie z nowym zdaniem wypowiedzianym ~P~>~4L.

Zdanie wypowiedziane:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1
Sprawdzamy czy to zdanie jest implikacja odwrotną.
Definicja:
Zdanie jest implikacja odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między pi q zachodzi wyłącznie warunek konieczny.
Korzystając z twierdzenie ŚFINII sprawdzamy czy między p i q zachodzi warunek konieczny.
~P~>~4L = P=>4L=1
C1.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
Prawa strona jest prawdą zatem w zdaniu ~P~>~4L zachodzi warunek konieczny

Sprawdzamy czy w zdaniu C między p i q zachodzi warunek wystarczający
C2.
Jeśli zwierze nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
~P=>~4L=0 bo słoń

Dla zdania wypowiedzianego mamy zatem:
~P~>~4L=1 – warunek konieczny spełniony
~P=>~4L=0 – warunek wystarczający nie spełniony
Wniosek:
Na mocy definicji zdanie wypowiedziane C jest implikacja odwrotną

To rozstrzygniecie determinuje tabelę zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.

Analiza matematyczna II:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
1 1 =1
lub
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
1 0 =1
… a jeśli zwierze jest psem ?
Prawo Kubusia:
~P~>~4L=P=>4L
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 – gwarancja matematyczna
0 0 =1
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
0 1 =0
Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0
Zauważmy, że w obu analizach I i II zdania składowe są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia na poziomie spójników implikacyjnych i operatorów logicznych.


5.8 Pałac księżniczki implikacji prostej

Mało kto wie że w naszym mózgu żyją i pracują krasnoludki, kolejnym z nich jest księżniczka implikacji prostej, urzędująca w dwóch bramkach logicznych „musi” => i „może” ~> przemienionych na komnaty „musi” i „może”, połączone korytarzem.

Księżniczka implikacja prosta
Kod:

Analiza I
  P  4L
  |   |
  x--------------------------x
  |   |                      |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ---------------           ----------------
| P  4L  P=>4L |           | P  4L   P=>4L |
| 1   1   =1   |           | 0   0    =1   | CZŁOWIEK
| 1   0   =0   |           | 0   1    =1   |
 --------------             ---------------
  |   |                      |   |
  |   |                      O   O NEGATORY
  P  4L                     ~P ~4L
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
| O            => |       |      O      ~>  |
|                 |       |                 |
|  P 4L  P=>4L    |       |  ~P ~4L ~P~>~4L |
|  1  1   =1          O       1  1    =1    | KSIĘŻNICZKA
|  1  0   =0         /|\      1  0    =1    | IMPLIKACJA
|                     A                     | PROSTA
|              4L=>P = ~4L~>~P              |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| MUSI            |       | MOŻE            |
|       OR        |       |       OR        |
-------------------       ------------------
         |P=>4L                    |~P~>~4L
         |                         |
         x-------------------------x
         |
         V
       P=>4L=~P~>~4L
 --------------             ---------------
|  P 4L  P=>4L |           |  P  4L  P=>4L |KOMNATA
|  1  1   =1   |           |  1  1   =1    |MUSI
|  1  0   =0   |           |  1  0   =0    |
|              |           | ~P ~4L ~P~>~4L|KOMNATA
|  0  0   =1   |           |  1  1   =1    |MOŻE
|  0  1   =1   |           |  1  0   =1    |
 --------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KSIĘŻNICZKA
                              IMPLIKACJA PROSTA

PAŁAC KSIĘŻNICZKI IMPLIKACJI PROSTEJ
Punkt odniesienia:
P=>4L

Z komnaty „musi” księżniczka ma bezpośredni dostęp do wypowiedzianego zdania, bowiem nie ma tu wejściowych negatorów. Z tej komnaty księżniczka widzi bezpośrednio wypowiedziane zdanie P=>4L.
W komnacie „może” księżniczka implikacji prostej ma dostęp wyłącznie do zanegowanych ~P i ~4L ze zdania wypowiedzianego P=>4L. Po negatorach na wejściu bramki „może” zera i jedynki też są odwrócone w stosunku do zer i jedynek w świecie zewnętrznym.

Jak pracuje księżniczka ?

W komnacie „musi” obsługiwane jest zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 – gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
1 0 =0
Jak widzimy zera i jedynki zgadzają się tu idealnie zarówno w świecie księżniczki jak i świecie człowieka.

Jeśli teraz 5-cio latek zapyta:
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
To księżniczka z szybkością światła udaje się do komnaty „może” bowiem tylko tu widzi zanegowany poprzednik ~P. Piękna księżniczka nie ma teraz żadnych problemów z odpowiedzią na pytanie.
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura, mrówka …
1 1 =1
lub
D.
jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
1 0 =1
Powyższy schemat to dowód, że nasz mózg traktuje zdania A i C jako dwa niezależne zdania nowo wypowiedziane. Z punktu widzenia świata zewnętrznego jedyne co możemy zaobserwować, to tabela zero-jedynkowa implikacji prostej.

Jak udowodnić, że tak właśnie pracuje nasz mózg ?
Oczywiście w laboratorium układów cyfrowych.

Ćwiczenie:
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić tabele zero-jedynkowe z punktu odniesienia człowieka oraz z punktu odniesienia księżniczki implikacji prostej.

Pewne jest, że rzeczywistość musi być w 100% zgodna z algebrą Kubusia.

Przerysujmy teraz powyższy schemat ideowy w taki sposób, by poprawnie obsługiwał zdanie wypowiedziane:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
Kod:

Analiza II
                            ~P  ~4L
                             |   |
  x--------------------------x   |
  |                          |   |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ---------------           ----------------
|~P ~4L ~P~>~4L|           |~P ~4L  ~P~>~4L|
| 0   0   =1   |           | 1   1    =1   | CZŁOWIEK
| 0   1   =0   |           | 1   0    =1   |
 --------------             ---------------
  |   |                      |   |
  O   O NEGATORY             |   |
  P  4L                     ~P ~4L
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
| O            => |       |      O      ~>  |
|                 |       |                 |
|  P 4L  P=>4L    |       |  ~P ~4L ~P~>~4L |
|  1  1   =1          O       1  1    =1    | KSIĘŻNICZKA
|  1  0   =0         /|\      1  0    =1    | IMPLIKACJA
|                     A                     | PROSTA
|              4L=>P = ~4L~>~P              |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| MUSI            |       | MOŻE            |
|       OR        |       |       OR        |
 -----------------         -----------------
         |P=>4L                    |~P~>~4L
         |                         |
         x-------------------------x
         |
         V
     ~P~>~4L=P=>4L
 --------------              ---------------
| ~P ~4L ~P~>~4L|           | ~P ~4L ~P~>~4L|KOMNATA
|  1  1    =1   |           |  1  1   =1    |MOŻE
|  1  0    =1   |           |  1  0   =1    |
|               |           |  P  4L  P=>4L |KOMNATA
|  0  0    =1   |           |  1  1   =1    |MUSI
|  0  1    =0   |           |  1  0   =0    |
 --------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KSIĘŻNICZKA
                              IMPLIKACJA PROSTA

PAŁAC KSIĘŻNICZKI IMPLIKACJI PROSTEJ
Punkt odniesienia:
~P~>~4L

Jak widzimy, księżniczka tym razem widzi bezpośrednio sygnały ~P i ~4L w komnacie „m0że”.
Z komnaty „musi” widoczne są zanegowane sygnały czyli P i 4L. Zera i jedynki w komnacie „musi” tez są odwrócone w stosunku do zer i jedynek wejściowych, bo negatory.

Tym razem zdanie wypowiedziane obsługiwane jest w komnacie „może”.
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura, mrówka …
1 1 =1
lub
D.
jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń, koń …
1 0 =1
Jak widzimy w komnacie „może” zera i jedynki zgadzają się idealnie zarówno w świecie księżniczki jak i świecie człowieka.

… a jeśli zwierzę jest psem ?
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L
Oczywiście odpowiedź na to pytanie znajduje się w komnacie „musi” i tu udaje się nasza księżniczka.
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 – gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0 – twardy fałsz
1 0 =0
W komnacie „musi” księżniczka widzi odwrócone wejściowe zera i jedynki w stosunku do człowieka, bo negatory.

Tym razem w świecie człowieka generowana jest tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.

Z analiz I i II doskonale widać, że świat księżniczki implikacji prostej jest niezmienny, czyli w obu przypadkach w zerach i jedynkach oraz sygnałach widziany identycznie. W świecie człowieka w analizie I widzimy tabelę zero-jedynkowa implikacji prostej, natomiast w analizie II tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.

Zdania rzeczywiste wynikłe z analiz I i II są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem poprawności prawa Kubusia oraz Istnienia krasnoludków w naszym mózgu


5.9 Prawo braku przemienności argumentów w implikacji

Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
Kod:

    | Punkt              | Punkt
    | odniesienia        | odniesienia
    | p=>q               | p~>q
    |                    |
p q |  p=>q     q=>p     |  p~>q     q~>p
1 1 |   =1       =1      |   =1       =1
1 0 |   =0       =1      |   =1       =0
0 0 |   =1       =1      |   =1       =1
0 1 |   =1       =0      |   =0       =1
       P8=>P2=1 P2=>P8=0 |  P2~>P8=1 P8~>P2=0
        p=>q=1   q=>p=0  |   p~>q=1

Argumenty w operatorach implikacji nie są przemienne czyli:
p=>q # q=>p
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
P8=>P2=1 # P2=>P8=0 bo 2

p~>q # q~>p
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
P2~>P8=1 # P8~>P2=0

Dowód iż P8~>P2=0 jest banalny.
Wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
P8~>P2 = ~P8=>~P2=0 bo 2
Prawa strona jest fałszem, zatem lewa strona nie może być implikacja odwrotną prawdziwą.

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
A.
p=>q ## p~>q
P8=>P2 ## P2~>P8

Wszelkie prawa logiczne formułowane są dla prawdy, czyli mamy:
B.
p=>q=1 ## p~>q=1
P8=>P2=1 ## P2~>P8=1
gdzie:
## - różne funkcje logiczne

Jeśli w B zachodzi:
p=>q=1
P8=>P2=1
to na pewno zachodzi
C.
q=>p=0
P2=>P8=0
Na mocy braku przemienności argumentów w implikacji.

Na mocy równania B mamy:
D.
Definicja implikacji odwrotnej.
p~>q=1
P2~>P8=1

Jak widzimy równość kolumn wynikowych:
q=>p = p~>q
jest pozorna, bowiem w rzeczywistości zachodzi:
q=>p=0 # p~>q=1
P2=>P8=0 # P2~>P8=1

Ten banalny błąd, popełniany przez współczesną logikę, jest przyczyną jej klęski w matematycznym opisie otaczającego nas świata rzeczywistego, z językiem mówionym na czele.


5.10 Związek operatorów OR i AND z operatorami implikacji

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q Y=p=>q
1 1 =1     /p=>q=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 0 =0     /p=>~q=0
0 0 =1     /~p~>~q=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1     /~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi

Na mocy prawa Prosiaczka najprostsze równanie algebry Kubusia ułożymy dla drugiej linii, w wyniku mamy samotne zer.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzając wszystkie zmienne do jedynek otrzymujemy:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Opuszczamy jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia:
~Y = p*~q
stąd:
Y = ~(p*~q)
czyli:
p=>q = ~(p*~q)

Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
Y = P=>4L=~(P*~4L)
Zdanie matematycznie równoważne:
B.
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierze jest psem (P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
Y = ~(P*~4L) = P=>4L
Poza tym wszystko może się zdarzyć.
W praktyce języka mówionego zdanie B wypowiadamy niezwykle rzadko np. jako odpowiedź na pytanie:
Czy może się zdarzyć, że zwierze jest psem i nie ma czterech łap ?
Bez takiego pytania zdanie B jest mało sensowne, dlatego w praktyce nikt nie zastępuje implikacyjnego spójnika na pewno => spójnikiem „i”.

Zauważmy, że na mocy prawa de’Morgana mamy:
Y= P=>4L = ~(P*~4L) = ~P+4L
Tu to już mamy prawdziwą katastrofę bowiem zdanie równoważne do A brzmi:
C.
Zwierze nie jest psem (~P=1) lub ma cztery łapy (4L=1)
Y= P=>4L = ~(P*~4L) = ~P+4L
Zauważmy, że zdanie B zrozumie każdy przedszkolak, natomiast zdanie C to czarna magia dla człowieka. Nie wszystkie zdania wynikłe z algebry Kubusia są dla człowieka intuicyjnie zrozumiałe.

Największą tragedią przy opisie implikacji operatorem AND (bo OR odpada) jest brak możliwości rozróżnienia twardej prawdy (spójnik „musi” =>) od prawdy miękkiej (spójnik „może” ~>). Traktowanie wszystkich trzech jedynek w definicji implikacji jako równorzędnych prawd twardych (Klasyczny Rachunek Zdań) rozkłada całkowicie zarówno dwuelementową algebrę Boole’a jak i dwuelementowa algebrę Kubusia.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

p q Y=p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Na mocy prawa Prosiaczka najprostsze równanie algebry Kubusia ułożymy dla ostatniej linii, gdzie w wyniku mamy samotne zer.
Y=0 <=> p=0 i q=1
Sprowadzając wszystkie zmienne do jedynek otrzymujemy:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Opuszczamy jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia:
~Y = ~p*q
stąd:
Y = ~(~p*q)
czyli:
p~>q = ~(~p*q)

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Y = 4L~>P = ~(~4L*P)
Zdanie matematycznie równoważne:
B.
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierze nie ma czterech łap (~4L=1) i jest psem (P=1)
Y = ~(~4L*P) = 4L~>P
Poza tym wszystko może się zdarzyć.
W praktyce języka mówionego zdanie B wypowiadamy niezwykle rzadko np. jako odpowiedź na pytanie:
Czy może się zdarzyć, że zwierze nie ma czterech łap i jest psem ?
Bez takiego pytania zdanie B jest mało sensowne, dlatego w praktyce nikt nie zastępuje implikacyjnego spójnika na może ~> spójnikiem „i”.

Zauważmy, że że na mocy prawa de’Morgana mamy:
Y= 4L~>P = ~(~4L*P) = 4L+~P
I znów mamy prawdziwą katastrofę bowiem zdanie równoważne do A brzmi:
C.
Zwierze ma cztery łapy lub nie jest psem
Y= 4L~>P = ~(~4L*P) = 4L+~P
Zauważmy, że zdanie B zrozumie każdy przedszkolak, natomiast zdanie C to czarna magia dla człowieka to katastrofa czyli „nikt nic nie wie”

Podsumowując:
1.
Zastępowanie operatorów implikacji operatorami OR i AND jest bez sensu, w praktyce naturalnego języka mówionego nikt tego nie robi !
2.
Operator implikacji prostej => i odwrotnej ~> są w logice absolutnie niezbędna.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24920
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 15:58, 22 Maj 2011    Temat postu:

6.0 Definicja równoważności <=>

Równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja na mocy definicji zero-jedynkowej.

Definicja zero-jedynkowa równoważności:
Kod:

p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (q niezanegowane) i ponownie warunku wystarczającego w logice ujemnej (q zanegowane)

Definicja operatorowa równoważności:
P<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Analiza operatorowa:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
stąd:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0

Tak jak wyżej, w zerach i jedynkach widzi świat zewnętrzny nasz mózg, czyli kolejny krasnoludek, książę Równoważności.
Z punktu odniesienia świata zewnętrznego punkt odniesienia możemy ustawić na zdaniu p<=>q lub na zdaniu ~p<=>~q, to bez znaczenia, zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkowa równoważności.

Świat zewnętrzny – punkt odniesienia p<=>q
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
stąd:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

Doskonale widać tabele zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym p<=>q czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Świat zewnętrzny – punkt odniesienia ~p<=>~q
Kod:

~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
stąd:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
0 0 =1
p=>~q=0
0 1 =0

Doskonale widać identyczną tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym ~p<=>~q czyli:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Przestawione wiersze nie maja żadnego znaczenia w algebrze Kubusia (w algebrze Boole’a także).

To samo co wyżej można przedstawić w tabeli zbiorczej.

Definicja symboliczna operatora równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
p=>~q=0
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
stąd:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
~p=>q=0

Analogicznie jak w operatorach AND i OR zero-jedynkowo powyższą definicje można zakodować z trzech różnych punktów odniesienia co ilustruje poniższy schemat.
Kod:

Tabela A
Definicja      | Kodowanie zero-jedynkowe z punktów odniesienia
Symboliczna    |             |   Świat zewnętrzny         |
===========    |   MÓZG      |   p=>q      |  ~p=>~q      |
               | p  q  p=> q | p  q  p=> q |              |
p=>q =1        | 1  1   =1   | 1  1   =1   | 0  0   =1    |
p=>~q=0        | 1  0   =0   | 1  0   =0   | 0  1   =0    |
… a jeśli ~p ?
p=>q = ~p=>~q  |~p ~q ~p=>~q |             |~p ~q ~p=>~q  |
~p=>~q=1       | 1  1   =1   | 0  0   =1   | 1  1   =1    |
~p=>q =1       | 1  0   =0   | 0  1   =0   | 1  0   =0    |
                             |Kodowanie    |Kodowanie     |
                             |definicji    |definicji     |
                             |symbolicznej |symbolicznej  |
                             |p=1, ~p=0    | ~p=1, p=0    |
                             |q=1, ~q=0    | ~q=1, q=0    |

Doskonale widać, że bez znaczenia jest czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p=>q=1
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
czy też:
~p=>~q=1
~p=1, p=0
~q=1, q=0
W obu przypadkach otrzymujemy definicję zero-jedynkowa równoważności.

Przykład:
Twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej
TP=>SK

Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe.
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q itd.

Dowód:
Analiza zero-jedynkowa dowolnego z tych zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q daje identyczna tabelę zero-jedynkową – tabelę równoważności.

Dla sztywnego punktu odniesienia ustawionego na zdaniu p=>q dalsza część twierdzenie Rexerexa jest taka:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej
TP=>SK
Ustalamy sztywno:
p=TP
q=SK
Stąd po zamianie poprzednika z następnikiem otrzymujemy twierdzenie odwrotne:
B.
Jeśli suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej to trójkąt jest prostokątny
SK=>TP
q=>p
Zauważmy że w poprzedniku jest mowa o trójkącie prostokątnym z którego wynika trójkąt prostokątny.
To „masło maślane” można zlikwidować w ten sposób:
C.
Jeśli w dowolnym trójkącie suma kwadratów boków krótszych jest równa kwadratowi boku najdłuższego to trójkąt jest prostokątny
SK=>TP
q=>p
Ta równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
jest uwielbiana przez matematyków.
Oczywiście, udowadniając dowolne twierdzenie matematyczne p=>q i q=>p dowodzimy wyłącznie warunku wystarczającego o znanej nam definicji:
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=1
1 0 =0

Dowodem iż dane twierdzenie jest równoważnością jest dowód prawdziwości twierdzenie prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Kwadrat logiczny równoważności na przykładzie zdania:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
Ustalamy sztywno:
p=TR
q=KR

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

Warunek wystarczający      Warunek wystarczający
A1.                        B1.
p=>q=1                     q=>p=1
TR=>KR=1                   KR=>TR=1
A2.                        B2.
p=>~q=0                    q=>~p=0
TR=>~KR=0                  KR=>~TR=0




Warunek wystarczający      Warunek wystarczający
A3.                        B3.
~p=>~q=1                   ~q=>~p=1
~TR=>~KR=1                 ~KR=>~TR=1
A4.                        B4.
~p=>q=0                    ~q=>p=0
~TR=>KR=0                  ~KR=>TR=0

Kąty powyższego kwadratu logicznego równoważności to po prostu definicje warunków wystarczających.

Twierdzenie o równoważności:
Równoważność zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zachodzą warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu.
Stąd:
Wszystkie możliwe definicje równoważności dla sztywnego punktu odniesienia p=>q:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = (~p=>~q)*(~q=>~p) = (q=>p)*(~q=>~P)

Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa i jego analizy operatorowej.
Twierdzenie Pitagorasa jest bezdyskusyjna równoważnością udowodniona ze 2000 lat temu.

Na mocy twierdzenia Rexerexa możemy wypowiedzieć twierdzenie Pitagorasa w formie równoważności:
TP=>SK = TP<=>SK

Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
gdzie:
TP=>SK (~TP=>~SK) to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności o definicji.
Kod:

TP=>SK=1
1 1 =1
TP=>~SK=0
1 0 =0

Oczywiście sam warunek wystarczający nie jest operatorem logicznym, bo ten musi być definiowany wszystkimi czteroma liniami.

O zdaniu TP=>SK możemy zatem powiedzieć precyzyjnie że jest to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.
Na mocy twierdzenia Rexerexa o zdaniu TP=>SK możemy także powiedzieć, że jest to równoważność, dając wszystkim do zrozumienia iż jesteśmy pewni iż zdanie to spełnia definicję równoważności.

O zdaniu TP=>SK w żadnym wypadku nie możemy powiedzieć iż jest to implikacja bowiem to zdanie nie spełnia zero-jedynkowej definicji implikacji prostej – to jest błąd czysto matematyczny.

Jeśli udowodniliśmy tylko warunek wystarczający w kierunku p=>q to nie możemy powiedzieć nic ponad to iż jest to warunek wystarczający.
Dopiero analiza matematyczna zdania rozstrzyga jednoznacznie czym jest wypowiedziane zdanie, może być czymkolwiek, implikacja prostą, albo równoważnością.

W naszym Wszechświecie króluje implikacja, zatem jeśli udowodnimy warunek wystarczający w kierunku p=>q to z dużym prawdopodobieństwem będzie to implikacja.

Kubuś jest przeciwny hiper precyzji.

Jeśli zatem uczeń powie, że twierdzenie Pitagorasa jest implikacją to może być pod warunkiem, że zapytamy o uściślenie odpowie dokładnie to co wyżej, inaczej nie zna twierdzenia Pitagorasa.

O zachodzącej równoważności bądź implikacji możemy rozstrzygnąć analizując zdanie przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Prostszym sposobem jest skorzystanie z równoważnych definicji implikacji i prostej i równoważności.

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego w kierunku p=>q

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 – gwarancja matematyczna
Oczywiście P8 wystarcza dla P2
Sprawdzamy teraz czy w wypowiedziany zdaniu zachodzi warunek konieczny.
Prawo Kubusia:
P8~>P2 = ~P8=>~P2=0
czyli:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi
A2.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8~>P2 = ~P8=>~P2=0
Prawa strona jest fałszem ~P8=>~P2=0 zatem zdanie wypowiedziane P8~>P2 nie spełnia warunku koniecznego.
Zdanie wypowiedziane jest implikacja prosta bo:
P8=>P2=1 – warunek wystarczający między P8 i P2 spełniony
P8~>P2=0 – warunek konieczny miedzy P8 i P2 nie spełniony

Równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)* (~p=>~q)=1*1=1
Pierwsza część wzoru:
(p=>q)*(p~>q)=1*1=1
Oznacza, że w równoważności musi być spełniony jednocześnie warunek wystarczający p=>q i konieczny p~>q.
W implikacji warunek konieczny to po prostu spójnik „może”. W równoważności o spójniku „może” nie ma mowy, tu wszystko musi być w 100% zdeterminowane, czyli jedyny poprawny spójnik to „musi” => i ta definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q

Podsumowując:
W równoważności symbol ~> oznacza wyłącznie warunek konieczny, nie jest to spójnik „może” !

Definicja warunku koniecznego ~>:
Zabieramy p i musi zniknąć q czyli:
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia

Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej
TP=>SK
Sprawdzamy czy między p i q zachodzi warunek konieczny:
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
TP~>SK = ~TP=>~SK – prawo Kubusia
czyli:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1 - oczywistość
Wniosek:
Trójkąt prostokątny jest konieczny aby zachodziła suma kwadratów
TP~>SK=1
gdzie:
~> - symbol warunku koniecznego na mocy twierdzenie ŚFINII, to nie jest spójnik „może” !
CND

Stąd:
Definicja równoważna równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi

A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe
TR=>KR=1
Oczywiście dla dowolnego trójkąta równobocznego na pewno zachodzą równe kąty
Zatem TR wystarcza dla KR
CND
Sprawdzamy teraz czy zachodzi warunek konieczny w kierunku TR~>KR:
Na mocy twierdzenia ŚFINII warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
TR~>KR = ~TR=>~KR
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
Twarda prawda zatem warunek konieczny w kierunku TR~>KR zachodzi

Zatem dla zdania A mamy:
TR=>KR=1
TR~>KR=~TR=>~KR=1
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję równoważności

Oczywiście zdanie A możemy tez wypowiedzieć w następujący sposób:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR) = 1*1=1
gdzie:
TR=>KR=1 – spełniony warunek wystarczający w kierunku p=>q
TR~>KR= ~TR=>~KR=1 – spełniony warunek konieczny w kierunku p~>q, nie jest to spójnik „może” !

Analizy zero-jedynkowe równoważności na przykładzie twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa – punkt odniesienia TP<=>SK
Zdanie wypowiedziane:
Trójkat jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK=(TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Analiza matematyczna:
TP<=>SK=(TP=>SK)*(~TP=>~SK)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0
1 0 =0
… a jeśli nie jest prostokątny ?
TP<=>SK = ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1
0 0 =1
Stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0
0 1 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A czyli:
TP=1, ~TP=0
SK=1, ~SK=0

Twierdzenie Pitagorasa – punkt odniesienia ~TP<=>~SK

W tym przypadku przestawiamy po prostu w powyższej analizie zdania A-B ze zdaniami C-D.

Zdanie wypowiedziane:
Trójkat nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi suma kwadratów
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)

Analiza matematyczna:
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1
1 1 =1
Stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0
1 0 =0
… a jeśli trójkąt jest prostokątny ?
~TP<=>~SK = TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>SK)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
0 0 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0
0 1 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A czyli:
~TP=1, TP=0
~SK=1, SK=0


6.1 Zamek księcia równoważności

Poznajmy ostatniego krasnoludka pracującego w naszym mózgu, księcia Równoważności

Kod:

Analiza I
 TP  SK
  |   |
  x--------------------------x
  |   |                      |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ---------------           ----------------
|TP  SK TP=>SK |           |TP  SK  TP=>SK |
| 1   1   =1   |           | 0   0    =1   | CZŁOWIEK
| 1   0   =0   |           | 0   1    =0   |
 --------------             ---------------
  |   |                      |   |
  |   |                      O   O NEGATORY
 TP  SK                    ~TP ~SK
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
| O            => |       |  O          =>  |
|                 |       |                 |
| TP SK TP=>SK    |       | ~TP ~SK ~TP=>~SK|
|  1  1   =1          O       1  1    =1    | KSIĄŻĘ
|  1  0   =0         /|\      1  0    =0    | RÓWNOWAŻNOŚCI
|                     A                     |
|          TP=>SK |       |~TP=>~SK         |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| MUSI A          |       | MUSI B          |
|       OR        |       |       OR        |
-------------------       ------------------
         |TP=>SK                   |~TP=>~SK
         |                         |
         x----------     ----------x
                   |    |
                  --------
                  |       |
                  |  AND  |
                  --------
                      |
                      V
                   TP<=>SK = ~TP<=>~SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

      TP=>SK
 --------------             ---------------
| TP SK TP=>SK |           | TP  SK TP=>SK |KOMNATA
|  1  1   =1   |           |  1  1   =1    |MUSI A
|  1  0   =0   |           |  1  0   =0    |
|              |           |~TP ~SK~TP~>~SK|KOMNATA
|  0  0   =1   |           |  1  1   =1    |MUSI B
|  0  1   =0   |           |  1  0   =0    |
 --------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KSIĄŻĘ RÓWNOWAZNOŚCI
                             
ZAMEK KSIECIA RÓWNOWAZNOŚCI
Punkt odniesienia
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Książę równoważności widzi zdanie wypowiedziane TP=>SK wyłącznie z komnaty „MUSI-A”.
W komnacie „MUSI-B” książę widzi zanegowane nazwy ze zdania wypowiedzianego czyli ~TP i ~SK. Zera i jedynki w komnacie „MUSI-B” tez są odwrócone w stosunku do świata zewnętrznego, bo negatory na wejściu.

Analiza I
TP<=>SK
Punkt odniesienia, książę równoważności, czyli nasz mózg.

TP<=>SK=(TP=>SK)*(~TP=>~SK)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0
1 0 =0
… a jeśli nie jest prostokątny ?
To krasnoludek błyskawicznie przenosi się do komnaty „MUSI-B” bowiem tylko tu ma dostęp do sygnału ~TP.

TP<=>SK = ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1
1 1 =1
Stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0
1 0 =0
Praca księcia równoważności jest dowodem, że nasz mózg widzi zdania A i C jak dwa niezależne zdania, warunki wystarczające o niezmiennej definicji zero-jedynkowej.

Narysujmy na zakończenie schemat ideowy układu logicznego obsługującego twierdzenie Pitagorasa z punktu odniesienia ~TP=>~SK.
Kod:

Analiza II
                           ~TP ~SK
                             |   |
  x--------------------------x   |
  |                          |   |
  |   x--------------------------x
  |   |                      |   |
 ---------------           ----------------
|~TP~SK~TP=>~SK|           |~TP~SK ~TP=>~SK|
| 0   0   =1   |           | 1   1    =1   | CZŁOWIEK
| 0   1   =0   |           | 1   0    =0   |
 --------------             ---------------
  |   |                      |   |
  O   O NEGATORY             |   |
 TP  SK                    ~TP ~SK
  |   |                      |   |
------------------        ------------------
| O            => |       |  O          =>  |
|                 |       |                 |
| TP SK TP=>SK    |       | ~TP ~SK ~TP=>~SK|
|  1  1   =1          O       1  1    =1    | KSIĄŻĘ
|  1  0   =0         /|\      1  0    =0    | RÓWNOWAŻNOŚCI
|                     A                     |
|          TP=>SK |       |~TP=>~SK         |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| MUSI A          |       | MUSI B          |
|       OR        |       |       OR        |
-------------------       ------------------
         |TP=>SK                   |~TP=>~SK
         |                         |
         x----------     ----------x
                   |    |
                  --------
                  |       |
                  |  AND  |
                  --------
                      |
                      V
                   ~TP<=>~SK = TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

      TP=>SK
 --------------             ---------------
|~TP~SK ~TP=~SK|           |~TP ~SK~TP~>~SK|KOMNATA
|  1  1   =1   |           |  1  1   =1    |MUSI B
|  1  0   =0   |           |  1  0   =0    |
|              |           | TP  SK TP=>SK |KOMNATA
|  0  0   =1   |           |  1  1   =1    |MUSI A
|  0  1   =0   |           |  1  0   =0    |
--------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KSIĄŻĘ RÓWNOWAZNOŚCI
                             
ZAMEK KSIECIA RÓWNOWAZNOŚCI
Punkt odniesienia
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)


Analiza II
~TP<=>~SK
Punkt odniesienia = książę równoważności, czyli nasz mózg.

~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1
1 1 =1
Stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0
1 0 =0
… a jeśli trójkąt jest prostokątny ?
To krasnoludek błyskawicznie przenosi się do komnaty „MUSI-A” bowiem tylko tu ma dostęp do sygnału TP.
TP<=>SK=(TP=>SK)*(~TP=>~SK)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0
1 0 =0
Praca księcia równoważności jest dowodem, że nasz mózg widzi zdania A i C jak dwa niezależne zdania, warunki wystarczające o niezmiennej definicji zero-jedynkowej.

Jak widzimy, w obu analizach I i II świat księcia równoważności w zerach i jedynkach oraz sygnałach wejściowych jest stały i niezmienny, to definicje zero-jedynkowe warunków wystarczających
Kod:

Niezmienna definicja warunku wystarczającego
z punktu odniesienia naszego mózgu
p q p=>q
1 1 =1   /p=>q=1
1 0 =0   /p=>~q=0

Oczywiście z punktu odniesienia świata zewnętrznego widzimy wyłącznie tabele zero-jedynkową równoważności.

Jak udowodnić zgodność algebry Kubusia ze światem rzeczywistym ?

Po pierwsze algebra Kubusia po prostu fenomenalnie działa, a po drugie wszystkiego możemy dotknąć w laboratorium układów cyfrowych.

Ćwiczenie:
Zbudować powyższe układy logiczne (I i II) i sprawdzić tabele zero-jedynkowe z punktu widzenia człowieka oraz z punktu widzenia księcia równoważności.

Pewne jest, że teoria będzie się zgadzać w 100% z rzeczywistością bramek logicznych co jest bezdyskusyjnym dowodem iż w naszym mózgu pracują najprawdziwsze krasnoludki.


6.3 Metody dowodzenia twierdzeń matematycznych

Rozważmy wzorcową implikacje prostą:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Ustalamy sztywno:
p=P8
q=P2

Implikacja odwrotna do powyższej przyjmie zatem postać:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
q~>p=1 – dla sztywnego punktu odniesienia ustawionego wyżej

Równanie ogólne implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p=>q przybierze postać:

p=>q = ~p~>~q =1 ## q~>p = ~q=>~p =1
Dla naszego przykładu:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 =1 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8=1
gdzie:
## - różne funkcje logiczne

Zapiszmy szczegółowe analizy lewej i prawej strony równania ogólnego implikacji w postaci kwadratu logicznego.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

Warunek wystarczający      Warunek konieczny
A1.                        B1
p=>q =1 – gwarancja        q~>p=1
P8=>P2=1 bo 8,16..         P2~>P8=1 bo 8
stąd:                      LUB
A2.                        B2.
p=>~q=0 - fałsz            q~~>~p=1
P8=>~P2=0 – nie ma         P2~~>~P8=1 bo 2


Prawo Kubusia              Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q              q~>p = ~q=>~p



Warunek konieczny          Warunek wystarczający
A3.                        B3.
~p~>~q=1                   ~q=>~p=1 - gwarancja
~P8~>~P2=1 bo 3            ~P2=>~P8=1 bo 3,5 ..
LUB                        stąd:
A4.                        B4.
~p~~>q=1                   ~q=>p=0 - fałsz
~P8~~>P2=1 bo 2            ~P2=>P8=0 – nie ma


Weźmy teraz wzorcową równoważność:
A10.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR
Również ustalamy sztywno:
p=TR
q=KR

Zdanie odwrotne q=>p przybierze postać:
B10.
Jeśli trójkąt ma kąty równe to na pewno => jest równoboczny
KR=>TR
q=>p

Równanie ogólne dla równoważności:
(p=>q = ~p=>~q =1) = (q=>p = ~q=>~p=1)
(TR=>KR = ~TR=>~KR=1) = (KR=>TR = ~KR=>~TR=1)

Zauważmy, że w przeciwieństwie do implikacji stawiamy tu znak tożsamości „=” zamiast „##”.
We wszystkich zapisach wyżej mamy do czynienia z warunkami wystarczającymi prawdziwymi, to nie są implikacje proste.

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

Warunek wystarczający      Warunek wystarczający
A10.                       B10.
p=>q=1                     q=>p=1
TR=>KR=1                   KR=>TR=1
A20.                       B20.
p=>~q=0                    q=>~p=0
TR=>~KR=0                  KR=>~TR=0




Warunek wystarczający      Warunek wystarczający
A30.                       B30.
~p=>~q=1                   ~q=>~p=1
~TR=>~KR=1                 ~KR=>~TR=1
A40.                       B40.
~p=>q=0                    ~q=>p=0
~TR=>KR=0                  ~KR=>TR=0

Kąty powyższego kwadratu logicznego równoważności to po prostu definicje warunków wystarczających.

Dowód dowolnego twierdzenia matematycznego rozpoczynamy od udowodnienia warunku wystarczającego w dowolnym rogu kwadratu.
Załóżmy, że udowodniliśmy warunek wystarczający w kierunku p=>q czyli:
A10: TR=>KR=1 – dla równoważności
A1: P8=>P2=1 – dla implikacji

Znane matematykom prawo kontrapozycji totalnie nic nie daje bo:
A10: TR=>KR=1 = B30: ~KR=~TR=1 – dla równoważności
A1: P8=>P2=1 ## B3: ~P2=>~P8=1 – dla implikacji

Zauważmy, że równie dobrze możemy wystartować od udowodnienia warunku wystarczającego w rogach B3 lub B30 na mocy faktu, że możemy badać warunki wystarczające w dowolnych rogach kwadratu logicznego równoważności, zatem prawo kontrapozycji jest matematycznie bezużyteczne.

Kluczową sprawą jest tu zauważenie, że nawet udowodnienie dwóch niezależnych warunków wystarczających po przekątnych kwadratu logicznego nic nam nie daje, bo tymi dowodami nie rozstrzygniemy rzeczy kluczowej:
Równoważność to czy implikacja

Oczywiście jednoznaczne rozstrzygnięcie, że dowodzone twierdzenie jest równoważnością uzyskamy wtedy i tylko wtedy gdy uzyskamy dowody warunków wystarczających wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności.

Dowolny warunek wystarczający możemy udowodnić dwoma sposobami.

Sposób I
Zakładamy, że mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym.
Definicja warunku wystarczającego:
Kod:

A10.
p=>q=1
A11.
p=>~q=0

Definicja słowna:
A10.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
czyli:
Dowodzimy że dla każdego p zachodzi q

z czego wynika że zajście:
A20.
p=>~q=0
Jest niemożliwe o czym mówi druga linia definicji.

Sposób II
A10.
Szukamy jednego przypadku spełniającego A10:
p~~>q=1
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jeden przypadek prawdziwy
A20.
Szukamy jednego przypadku spełniającego A20:
p~~>~q=1
czyli szukamy kontrprzykładu dla A20.
Znalezienie takiego kontrprzykładu wyklucza istnienie warunku wystarczającego w rogu A10: p=>q.

Badane twierdzenie może być co najwyżej implikacją prostą, na równoważność nie mamy już szans.


Metody dowodzenia twierdzeń matematycznych

Założenie 1
Udowodniliśmy warunek wystarczający w rogach A10 lub B30 – to bez znaczenia !

Dowodzimy 1
Dowodzimy warunku wystarczającego w rogach B10 lub A30 – to bez znaczenia
Wnioski:
A.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający w rogu B10 lub A30 to całe twierdzenie jest równoważnością
B.
Jeśli stwierdzimy brak warunku wystarczającego w rogach B10 lub A30, na przykład poprzez znalezienie kontrprzykładu, to całe twierdzenie jest implikacją.

Założenie 2
W rogach A10 lub B30 znaleźliśmy kontrprzykład, czyli wykluczyliśmy warunek wystarczający

Dowodzimy 2
Dowodzimy warunku wystarczającego w rogach B10 lub A30 – to bez znaczenia
Wnioski:
A.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający w rogach B10 lub A30 to całe twierdzenie jest implikacją
B.
Jeśli stwierdzimy brak warunku wystarczającego w rogach B10 lub A30, na przykład poprzez znalezienie kontrprzykładu, to całe twierdzenie jest śmieciem, ani to implikacja, ani równoważność.

Wniosek końcowy:
Prawo kontrapozycji znane matematykom:
p=>q ## ~q=>~p – zapis poprawny w algebrze Kubusia
jest bezużyteczne, bo kompletnie nic nie daje, nie da się przy jego pomocy rozstrzygnąć rzeczy kluczowej:
Równoważność to czy implikacja


6.4 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

Zdanie „Jeśli …to…” może mieć w logice tylko i wyłącznie pięć różnych znaczeń:

1.
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia = definicja implikacji prostej
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = ~P8~>~P2=1
Skrócona analiza przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
P8=>P2=1 bo 8,16,24… - twarda prawda, gwarancja matematyczna
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
~P8~>~P2=1 bo 3,,5,7… - miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6… - miękka prawda, może zajść ale nie musi

2.
Implikacja odwrotna:
p~>q
jeśli zajdzie p to może zajść q
Plus musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
z czego wynika że p musi być warunkiem koniecznym dla q
Definicja warunku koniecznego wynikła z prostego rozumowania logicznego:
Jeśli p jest konieczne ~> dla q to zajście ~p wymusza => zajście ~q
stąd:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Prawo Kubusia = definicja implikacji odwrotnej
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
Skrócona analiza przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
P2~>P8=1 bo 8,16,24… – miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6… - miękka prawda, może zajść ale nie musi
~P2=>~P8=1 bo 3,5,7… twarda prawda, gwarancja matematyczna
~P2=>P8=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej, twardej prawdy

3.
Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
Zdanie prawdziwe, bo znaleźliśmy jeden przypadek czyniący to zdanie prawdziwym.
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna P3~>P8 jest tu fałszywa
Dowód:
Na mocy twierdzenie śfinii warunek konieczny miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
P3~>P8 = ~P3=>~P8=0 bo 8
stad:
P3~>P8=0 – warunek konieczny tu nie zachodzi.

4.
Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania.
Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>.
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

5.
Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków.


7.0 Algebra Kubusia w zbiorach

Działanie operatorów implikacji i równoważności można bardzo ładnie zilustrować przy pomocy zbiorów.


7.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w algebrze Kubusia

Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu.

Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie

Oznacza to, że dla dowolnego zbioru A musi istnieć zbiór ~A będący dopełnieniem zbioru A do określonej dziedziny.

Przykład 1
P – zbiór wszystkich psów
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
Dopełnienie ~P:
~P = wszystkie inne zwierzęta za wyjątkiem psów

Oczywiście matematycznie zachodzi:
ZWZ=P+~P
oraz:
P+~P=1
P*~P=0

Przykład 2
P2 – zbiór liczb podzielnych przez 2
Dziedzina:
LN = zbiór liczb naturalnych
Dopełnienie ~P2:
~P2 – zbiór liczb naturalnych niepodzielnych przez 2

Oczywiście matematycznie zachodzi:
LN=P2+~P2
P2+~P2=1
P2*~P2=0

W implikacji prostej => w AK p musi być podzbiorem q np.
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Zbiór psów jest tu tylko podzbiorem zwierząt mających cztery łapy.

W algebrze Kubusia interesuje nas pojęcie zbioru i operacje na zbiorach w odniesieniu do implikacji i równoważności.

Podstawowe definicje:

Dziedzina:

Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q
Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q

Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność
W algebrze Kubusia musi być spełnione:
p+~p=1 – dziedzina po stronie p
q+~q=1 – dziedzina po stronie q

Zbiór bieżący (aktualny):
Zbiór bieżący (aktualny) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”


Operacje na zbiorach dla potrzeb algebry Kubusia:

1.
Zbiory tożsame = identyczne
TR = zbiór trójkątów równobocznych
KR = zbiór trójkątów o równych kątach
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
Zbiór TR = Zbiór KR

2.
Iloczyn zbiorów = wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń (operacja AND)
Y=A*B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A*B=[1,2]

3.
Suma logiczna zbiorów = wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń (operacja OR)
Y=A+B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A+B = [1,2,3,4]

4.
Różnica zbiorów A-B = elementy zbioru A pomniejszone o cześć wspólna zbiorów A i B
Y=A-B
A=[1,2,3,4], B=[1,2]
Y=A-B = [3,4]
Y=B-A = 0 – zbiór pusty !

5.
Zbiór pusty = brak wspólnej części zbiorów w operacji AND, albo różnica zbiorów pusta jak wyżej
Y=A*B=0
A=[1,2], B=[3,4]
Y=A*B =0 – brak części wspólnej, zbiór pusty !

Twierdzenie – jedno z najważniejszych w algebrze Kubusia:
Przy określaniu prawdziwości konkretnego zdania zawsze iterujemy po zbiorze bieżącym, zdefiniowanym w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”.

Iterowanie po całej dziedzinie jest bez sensu bowiem nie ma to nic wspólnego z prawdziwością analizowanego zdania. Co więcej, dla zdań spoza zbioru bieżącego analizowane zdanie jest po prostu FAŁSZYWE !

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Dziedzina = zbiór wszystkich liczb naturalnych
P3 = zbiór bieżący (aktualny) zdefiniowany w poprzedniku
P3 = [3,6,9…] - zbiór liczb podzielnych przez 3

Uwaga:
Powyższe zdanie dla zbioru ~P3 po stronie p jest fałszywe - sprzeczność z założeniem „Jeśli liczba jest podzielna przez 3…”

Przykład implikacji prostej:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to (na pewno) jest podzielna przez 2
P8=>P2
Spójnik "na pewno" jest w logice domyślny
Dziedzina = zbiór liczb naturalnych
Zbiór bieżący na którym pracujemy w tym zdaniu definiuje poprzednik implikacji:
P8 = [8,16,24…] – zbiór liczb podzielnych przez 8
Powyższe zdanie jest fałszywe dla zbioru liczb ~P8 po stronie p - sprzeczność z założeniem „Jeśli liczba jest podzielna przez 8…”


7.2 Implikacja prosta w zbiorach




Z rysunku widzimy, że warunkiem zaistnienia implikacji prostej => jest aby zbiór p był podzbiorem zbioru q bowiem wtedy i tylko wtedy zdanie będzie implikacja prostą.

Dziedzina w której operuje powyższy schemat:
Dziedzina = p+~p = q+~q
co doskonale widać na rysunku.

Wynika z tego, że zbiory p i q musza należeć do tej samej dziedziny.

Definicja operatorowa implikacji prostej:
Kod:

A:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i q (zielony obszar)
1 1 =1
stąd wynika:
B:
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=0
p*~q=0 – zbiór pusty, bo zbiory p i ~q są rozłączne !
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Stąd:
C:
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
~p~>~q=1
~p*~q=1 – iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q (czerwony obszar)
0 0 =1
LUB
D:
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q=1
~p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów ~p i q (żółty obszar)
0 1 =1

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Przykłady:
A.
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Implikacja prosta: p musi być podzbiorem q
Pies jest podzbiorem zwierząt mających 4 łapy, z czego wynika że istnieje żółty zbiór q-p, zdanie jest implikacja prostą.
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
Implikacja prosta: p musi być podzbiorem q
Deszcz jest podzbiorem stanu „pochmurne niebo”, co oznacza że może nie padać a chmury mogą być. Wynika z tego istnienie stanu q-p, czyli mamy sytuację „brak deszczu i jest pochmurno”, zatem zdanie jest implikacją prostą.
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Implikacja prosta: p musi być podzbiorem q
Zbiór P8 jest podzbiorem zbioru P2, z czego wynika że istnieje zbiór q-p, zdanie jest implikacja prostą.

… i teraz uwaga !
D.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
Zbiór trójkątów równobocznych jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór trójkątów o równych kątach. Wynika z tego że żółty zbiór q-p jest zbiorem pustym, co oznacza że całe zdanie jest tylko warunkiem wystarczającym wchodzącym w skład równoważności o następującej definicji.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)

Przykład analizy implikacji prostej w algebrze Kubusia
Kod:

A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy
plus spełnione jest tu prawo Kubusia co oznacza że zdanie spełnia definicję zero-jedynkową implikacji prostej.
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0 bo wszystkie psy maja cztery łapy
1 0 =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L= ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo wąż, kura
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń, koń
0 1 =1

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Zdanie d nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Dlaczego ?
Dowód nie wprost:
Załóżmy że D jest implikacją odwrotną i zastosujmy wyrocznię implikacji, prawo Kubusia:
D: ~P~~>4L = B: P=>~4L=0
Prawa strona jest twardym fałszem, zatem lewa nie może być implikacja odwrotna prawdziwą, co oznacza, że w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny.
Prawdziwość zdania D określa wzór:
(~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0 + 1 =1
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy.


7.3 implikacja odwrotna w zbiorach



Doskonale widać, że w tym przypadku zbiór q musi być podzbiorem zbioru p. Wtedy i tylko wtedy zdanie będzie spełniało definicję implikacji odwrotnej.

Dziedzina w której operuje powyższy schemat:
Dziedzina = p+~p = q+~q
co doskonale widać na rysunku.

Wynika z tego, że zbiory p i q musza należeć do tej samej dziedziny.

Definicja operatorowa implikacji odwrotnej:
Kod:

A:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q =1
p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i q (zielony obszar)
1 1 =1
LUB
B:
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~~>~q=1
p*~q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i ~q (żółty obszar)
1 0 =1
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Stąd:
C:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
~p=>~q=1
~p*~q=1 – iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q (czerwony obszar)
0 0 =1
Stąd:
D:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie q
~p=>q=0
~p*q=0 – zbiór pusty, bo zbiory ~p i q są rozłączne !
0 1 =0

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Przykłady:
A.
jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna: q musi być podzbiorem p
Pies jest podzbiorem zwierząt mających 4 łapy, z czego wynika że istnieje żółty zbiór p-q, zdanie jest implikacja prostą.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Implikacja odwrotna: q musi być podzbiorem p
Deszcz jest podzbiorem stanu „pochmurne niebo”, co oznacza że może nie padać a chmury mogą być. Wynika z tego istnienie stanu p-q, czyli mamy sytuację „brak deszczu i jest pochmurno”, zatem zdanie jest implikacją prostą.
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
Implikacja odwrotna: q musi być podzbiorem p
Zbiór P8 jest podzbiorem zbioru P2, z czego wynika że istnieje zbiór p-q, zdanie jest implikacja prostą.

… i teraz uwaga !
D.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
Zbiór trójkątów równobocznych jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór trójkątów o równych kątach. Wynika z tego że żółty zbiór p-q jest zbiorem pustym, co oznacza że całe zdanie jest tylko warunkiem wystarczającym wchodzącym w skład równoważności o następującej definicji.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)

Przykład analizy implikacji odwrotnej w algebrze Kubusia
Kod:

A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
1 1 =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, co wymusza implikację odwrotną prawdziwą
LUB
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń
1 0 =1
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
0 1 =0

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Dowód.
Zakładamy że B jest implikacją odwrotną prawdziwa i korzystamy z prawa Kubusia:
B: 4L~>~P = D: ~4L=>P=0
Prawa strona jest twardym fałszem zatem B nie może być implikacją odwrotną.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden przypadek czyniący to zdanie prawdziwym.


7.4 Równoważność w zbiorach



W równoważności zbiór p jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór q, inaczej wypowiedzianym.
Wynika z tego że wykluczona jest tu implikacja bowiem p nie jest podzbiorem zbioru q, czyli różnica zbiorów:
p-q=0 – zbiór pusty
q-p=0 – zbiór pusty

Oczywiście dziedzina w której tu operujemy jest następująca:
Dziedzina = p+~p = q+~q

Przykład z naszego rysunku:
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR

Dziedzina to zbiór wszystkich trójkątów:
Dziedzina = TR+~TR = KR+~KR

W przypadku równoważności możliwe są dwie równoważne definicje operatorowe.

I.
Definicja wynikła bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej równoważności.
Kod:

Definicja równoważności
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A:
p=>q =1
p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i q, to są identyczne zbiory ! (zielony kolor)
1 1 =1
B:
p=>~q=0
p*~q=0 – zbiór pusty, bo zbiory p i ~q są rozłączne, co widać na rysunku
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
C:
~p=>~q=1
~p*~q=1 – iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q, to są identyczne zbiory ! (kolor czerwony)
0 0 =1
D:
~p=>q=0
~p*q=0 – zbiór pusty, bo zbiory ~p i q są rozłączne, co widać na rysunku
0 1 =0

Gdzie:
p=>q i ~p=>~q
to tylko warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, to nie są implikacje proste !

II.
Definicja równoważna wynikająca bezpośrednio z diagramu równoważności wyżej.

Identyczność zbiorów p i q jest dowodem równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
bowiem wykluczona jest tu implikacja gdzie wymagane jest aby zbiór p-q lub q-p nie był zbiorem pustym.
W przypadku identycznych zbiorów p i q zachodzi:
p-q=0 – zbiór pusty
q-p=0 – zbiór pusty

stąd:
Definicja równoważna równoważności uwielbiana przez matematyków.
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
A:
p=>q=1
p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i q, to są identyczne zbiory ! (kolor zielony)
1 1 =1
B:
p=>~q=0
p*~q=0 – zbiór pusty, bo zbiory p i ~q są rozłączne, co widać na rysunku
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd:
q<=>p = (q=>p)*(p=>q)
A1:
q=>p=1
q*p=1 – iloczyn logiczny zbiorów q i q, to są identyczne zbiory (kolor zielony)
1 1 =1
B1:
q=>~p=0
q*~p=0 - zbiór pusty, bo zbiory q i ~p są rozłączne, co widać na rysunku
1 0 =0

Doskonale tu widać, że równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających:
p=>q – warunek wystarczający definiowany liniami A i B w powyższej tabeli
q=>p - warunek wystarczający definiowany liniami A1 i B1 w powyższej tabeli
To nie sa implikacje proste, bowiem w równoważności nie może być mowy o „rzucaniu moneta”, czyli o warunku koniecznym p~>q.

Przykład analizy równoważności w algebrze Kubusia
Kod:

TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – twarda prawda
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR<=>KR = ~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0
0 1 =0

Doskonale widać tabele zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0


7.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach

Posłużymy się tu konkretnym przykładem.

1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 3
P8=>P3

W języku mówionym spójnik „na pewno” => jest domyślny i nie musi być wypowiadany.
Wynika z tego zdanie równoważne do 1.

2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 3
P8=>P3=0 bo 8

Sprawdźmy czy możliwa jest tu implikacja odwrotna:
3.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~> być podzielna przez 8
P3~>P8=0
Dowód:
Załóżmy, że zdanie 3 jest implikacją odwrotna i zastosujmy wyrocznię implikacji, prawo Kubusia:
P3~>P8 = ~P3=>~P8 =0 bo 8
Prawa strona tożsamości jest fałszem, zatem lewa nie może być implikacja odwrotną, warunek konieczny między p i q tu nie zachodzi.

Zdanie 1 jest prawdziwe z naturalnym spójnikiem ‘może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza zero-jedynkowa tego zdania przez wszystkie możliwe przypadki jest następująca:
Kod:

A:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
B:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3=1 bo 8
C:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3=1 bo 5
D:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3=1 bo 3


ilustracja graficzna powyższej analizy jest następująca:




8.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta => - to jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO

To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że:
Groźba = implikacji odwrotna ~>

Wynika to po prostu z prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Oczywiście jeśli:
q = nagroda
to
~q = kara
Na podstawie aksjomatu znanego ludziom od tysiącleci:
nagroda to brak kary
kara to brak nagrody
CND

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N=1

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostane nagrodę
W=>N=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => nie dostane nagrody
W=>~N=0 – kłamstwo nadawcy, nie dotrzymał danej dobrowolnie obietnicy wyżej
1 0 =0
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
czyli:
C.
Jeśli nie spełnię warunku nagrody to mogę nie dostać nagrody
~W~>~N=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli nie spełnię warunku nagrody to mogę dostać nagrodę
~W~~>N=1 – miękka prawda.
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody (akt miłości)
0 1 =1
Doskonale widać definicje zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
W=1, ~W=0
N=1, ~N=0

Ze zdania C wynika, że wszelkie groźby musimy kodować implikacją odwrotną, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach z powodu gwałcenia prawa Kubusia poprawnego zarówno w algebrze Boole’a jak i w algebrze Kubusia.


8.1 Obietnica

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1
1 1 =1 - zdanie wypowiedziane
Obietnica, zatem implikacja prosta, tu wszyscy się zgadzamy.
Skoro to implikacja prosta to:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0
1 0 =0
… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1
0 1 =1 - akt miłości
gdzie:
~~> - naturalne "może", wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej ~>, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi.

Doskonale tu widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
G=1, ~G=0
C=1, ~C=0

Oczywiście z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

Z powyższego mamy definicję obietnicy i groźby …

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancja w implikacji jest zawsze operator implikacji prostej:
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


8.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni, zatem implikacja odwrotna prawdziwa. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
1 1 =1
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
1 0 =1
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski)

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
0 0 =1
Na mocy definicji operatora implikacji prostej => mamy:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
B=1, ~B=0
L=1, ~L=0

Dlaczego zdanie B nie może być implikacja odwrotną ?
Dowód nie wprost:
Załóżmy że zdanie B: B~>~L jest implikacja odwrotną.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
B: B~>~L = D: ~B=>L
Zdanie D: jest oczywistym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawdziwość zdania B: określa wzór:
(B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1
gdzie:
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej zatem warunek koniczny tu nie zachodzi.

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?

Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię

Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba
Prawo Kubusia:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


Koniec 2011-05-08
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin