Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra kubusia - Nowa Teoria Implikacji v1.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24920
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 3:00, 20 Gru 2010    Temat postu: Algebra kubusia - Nowa Teoria Implikacji v1.0

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Algebra Kubusia
Nowa Teoria Implikacji


Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję oraz Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.

Literatura uzupełniająca:
Część I NTI - Operatory AND i OR
Część II Nowa teoria implikacji


Wstęp:

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek, od 5-cio latka po starca, biegle posługuje się matematyką ścisłą, algebrą Kubusia. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą tworzy. Dzięki niej język człowieka nie jest chaotyczny, człowiek z człowiekiem może się porozumieć. Algebra Kubusia jest nieprawdopodobnie prosta, jej naturalnymi ekspertami są wszystkie dzieci w przedszkolu. Cała filozofia prostoty to akceptacja przez matematyków banalnej logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a.

Algebra Kubusia jest odpowiednikiem języka asemblera ze świata mikroprocesorów, operuje na równaniach algebry Boole’a, zmiennych binarnych i stałych w zapisie symbolicznym a nie na zerach i jedynkach, jak to jest w dzisiejszej logice.



Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
2.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
2.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
2.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

3.0 Algebra Kubusia
3.1 Algebra Kubusia w przedszkolu
3.2 Prawo Prosiaczka

4.0 Fantastycznie prosta algebra Kubusia
4.1 Rzeczywista budowa operatorów OR i AND
4.2 Definicje zero-jedynkowe spójników w implikacji
4.3 Rzeczywista budowa operatorów implikacji i równoważności

5.0 Algebra Kubusia w zbiorach
5.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI
5.2 Implikacja prosta w zbiorach
5.3 implikacja odwrotna w zbiorach
5.4 Równoważność w zbiorach
5.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

# - różne
p=>q=1 # q=>p=0
Jeśli lewa strona jest prawdą to prawa musi być fałszem albo odwrotnie.
W tym przypadku po obu stronach nierówności musimy mieć te same parametry aktualne p i q
Przykład:
P8=>P2=1 # P2=>P8=0
bo w implikacji nie zachodzi przemienność argumentów

## - różne, bo w przeciwnych logikach
A.
Na mocy definicji zero-jedynkowych implikacji prostej => i odwrotnej ~> mamy:
p=>q=1 ## p~>q=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.
B.
Na mocy definicji zero-jedynkowych operatorów OR(+) i AND(*) mamy:
p+q=1 ## p*q=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.

W tym przypadku parametry formalne p i q po lewej stronie nie wymuszają parametrów aktualnych po drugiej stronie.
W implikacji mamy zatem taki przypadek:
P8=>P2=1 ## P2~>P8=1
To samo w operatorach OR(+) i AND(*):
2+3=5 ## 3*2=6

Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w NTI:
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0   1 0   1 0

Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
pNOPq       =     ~(pFILLq)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


2.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a

Klasyczna, zero-jedynkowa algebra Boole’a to w dniu dzisiejszym zabytek klasy zerowej. Algebra ta jest co prawda fundamentem działania wszelkich komputerów (i całego naszego Wszechświata) ale człowiek myślał w zerach i jedynkach zaledwie przez mgnienie oka. Natychmiast wynalazł język symboliczny zwany asemblerem izolując się od kodu maszynowego … czyli skopiował działanie własnego mózgu.

W technice bramek logicznych znane jest pojęcie logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a, jednak problem jest tu sprowadzony do banału „zgodności sygnałów logicznych”.
Jeśli sygnały cyfrowe w dowolnym układzie logicznym są przeciwnych logikach to używamy banalnego negatora aby doprowadzić do zgodności sygnałów.

W naszym Wszechświecie oraz naturalnym języku mówionym człowieka króluje logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a uzyskiwana w inny, równoważny sposób.

Dana jest funkcja logiczna
A.
Y=A*(B+~C)
Logika dodatnia bo Y (bez negacji)
B.
Przejście do logiki ujemnej w świecie techniki.
Negujemy dwustronnie powyższe równanie:
~Y=~[A*(B+~C)]
W tym przypadku wystarczy prosty negator bez ingerencji w budowę układu logicznego
C.
Równoważne przejście do logiki ujemnej, powszechne w naszym Wszechświecie.
W równaniu A negujemy sygnały i wymieniamy operatory na przeciwne:
~Y=~A+(~B*C)
W świecie techniki ten sposób przejścia do logiki ujemnej jest bezsensem bo wymaga totalnej przebudowy całego układu logicznego.


2.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego

Definicja iloczynu logicznego w logice dodatniej:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A*B
Y=1 <=> A=1 i B=1

Definicja równoważna w logice ujemnej:
Iloczyn logiczny jest równy zeru gdy którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=A*B
Y=0 <=> A=0 lub B=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność z naturalną logiką człowieka. W zapisie matematycznym mamy spójnik „i”(*) a w rozwinięciu szczegółowym używamy spójnika „lub” – dlatego to jest logika ujemna.

Prawa wynikające bezpośrednio z definicji:
1*0=0
1*1=1
A*0=0
A*1=A
A*A=A
A*~A=0
W języku mówionym powyższe prawa nie są używane, przydają się jedynie w technice cyfrowej.


2.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej

Definicja sumy logicznej w logice dodatniej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=A+B
Y=1 <=> A=1 lub B=1

Definicja równoważna w logice ujemnej:
Suma logiczna n-zminnych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.
Y=A+B
Y=0 <=> A=0 i B=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność z naturalną logiką człowieka. W zapisie matematycznym mamy spójnik „lub”(+) a w rozwinięciu szczegółowym używamy spójnika „i” – dlatego to jest logika ujemna.

Prawa wynikające bezpośrednio z definicji:
1+0=1
0+0=0
A+1=1
A+0=A
A+A=A
A+~A=1
W języku mówionym powyższe prawa nie są używane, przydają się jedynie w technice cyfrowej.


2.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

W języku mówionym prawa łączności i przemienności to oczywistość, natomiast absorpcja, rozdzielność i pochłanianie są przydatne jedynie w technice cyfrowej.

Łączność:
A+(B+C) = (A+B)+C
A*(B*C)=(A*B)*C

Przemienność:
A+B=B+C
A*B=B*C

Absorbcja:
A+(A*B)=A
Dowód:
Jeśli A=1 to A+(A*B)=1+(A*B)=1
Jeśli A=0 to A+(A*B)=0+(0*B)=0+0=0
niezależnie od wartości B
CND

A*(A+B)=A
Dowód:
Jeśli A=1 to A*(A+B)= 1*(1+B)=1*1=1
Jeśli A=0 to A*(A+B)=0*(A+B)=0
niezależnie od wartości B.
CND

Rozdzielność:
A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
A*(B+C)=(A*B)+(B*C)

Pochłanianie:
A*~A=0
A+~A=1


3.0 Algebra Kubusia

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, czyli operujemy równaniami algebry Boole’a (język asemblera) a nie bezwzględnymi zerami i jedynkami.

Definicja algebry Kubusia:
Dwuelementowa algebra Kubusia (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra legalnych operatorów logicznych z których najważniejsze to OR(+), AND(*), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus definicja negacji (~) oraz pojęcie zmiennej binarnej i funkcji logicznej.

Definicja negacji:
1=~0
0=~1

Zmienna binarna
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Nazwa zmiennej binarnej to dowolny symbol (litera alfabetu lub słowo) z wyjątkiem litery Y zwyczajowo zarezerwowanej dla funkcji logicznej.

Funkcja logiczna
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C)

Symboliczna definicja negacji:
Y=~A
gdzie:
A - zmienna binarna
Y - funkcja logiczna

Tabela prawdy:
Kod:

A  Y=~A
1  0
0  1


Prawo podwójnego przeczenia
A=~(~A)
Prawo podwójnego przeczenia to jedno z najważniejszych praw w logice.

Dowód przy pomocy tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

A ~A ~(~A)
1  0    1
0  1    0

Kolumny pierwsza i trzecia są identyczne co jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.
Przykład:
Jestem uczciwy = Nieprawda jest, że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

Przykładowa funkcja logiczna:
A.
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
B.
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
C.
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)

Logika dodatnia i ujemna w praktyce

Zdanie wypowiedziane:
A.
Możliwe, że jutro pójdę do kina

Matematycznie oznacza to:
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=K+~K
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Prawo algebry Boole’a:
K+~K=1
Czyli:
Cokolwiek bym jutro nie zrobił to nie mam szans na zostanie kłamcą

Zauważmy, że możliwe rozwiązania po fakcie są tu takie:
B.
Wczoraj byłem w kinie
Y=K
Y=1 <=> K=1 – prawdą jest że wczoraj byłem w kinie
K=1 – byłem w kinie
K=0 – nie byłem w kinie
C.
Wczoraj nie byłem w kinie
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1 – prawdą jest że wczoraj nie byłem w kinie
~K=1 – nie byłem w kinie
~K=0 – byłem w kinie

Oczywiście matematycznie zachodzi:
K=1 ## ~K=1

W równaniach algebry Boole’a wszelkie parametry sprowadzone są do jedynek, dzięki czemu możemy je usunąć otrzymując logikę symboliczną niezależną od bezwzględnych zer i jedynek.

K ## ~K

Świętość algebry Kubusia:
1 = prawda
0=fałsz
zawsze i wszędzie !

Zauważmy, że bez logiki dodatniej i ujemnej powyższa świętość w zdaniach B i C leży w gruzach bowiem:
B.
Wczoraj byłem w kinie
Y=K =1
Prawdą jest (Y=1), że wczoraj byłem w kinie
C.
Wczoraj nie byłem w kinie
Y=~K = 0 ?! – bo jedynkę zużyliśmy wyżej na opis zupełnie czegoś innego !
Prawdą jest (Y=0 ?!), że wczoraj nie byłem w kinie

Jak widzimy, mielibyśmy sytuację, że prawda raz jest jedynką a raz zerem, co jest bezsensem.

To samo na innym przykładzie:
A.
Wczoraj padał deszcz
Y=P=1
Prawdą jest (Y=1), że wczoraj padał deszcz
B.
Wczoraj nie padał deszcz
Y=~P=1
Prawdą jest (Y=1) że wczoraj nie padał deszcz

Oczywiście:
P=1 ## ~P=1

Z powyższego powodu logika która operuje wyłącznie zerami i jedynkami nie ma żadnych szans na prawidłowy opis matematyczny naszego Wszechświata, gdzie logika ujemna i dodatnia jest powszechnym zjawiskiem.


3.1 Algebra Kubusia w przedszkolu

Przyjrzyjmy się bliżej matematyce, którą posługuje się każdy przedszkolak.

Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina lub do teatru.
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Dotrzymam słowa (Y) gdy którakolwiek zmienna (K lub T) zostanie ustawiona na 1
… a kiedy skłamię ?
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~Y = ~K*~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Skłamię (~Y) gdy obie zmienne (~K i ~T) zostaną ustawione na 1

Koniec !
To jest cała matematyka, którą każdy człowiek od przedszkolaka po profesora używa milion razy na dobę. Jak widać mózg przedszkolaka na pytanie „Kiedy skłamię ?” odpowiada w logice ujemnej.

Definicja logiki ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logika ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Nietrudno zauważyć, jak mózg dziecka przechodzi z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y), po prostu neguje wszystkie zmienne i wymienia operator na przeciwny. Nietrudno też się domyśleć, że to jest poprawny sposób przejścia do logiki ujemnej dla dowolnie długiej funkcji logicznej.

Metoda przedszkolaka:
Przejście z logiki dodatniej (Y) do ujemnej (~Y) lub odwrotnie uzyskujemy negując wszystkie zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.

Przykład:
A: Y=A+(~B*C)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B: ~Y = ~A*(B+~C)

Oczywiście zachodzi:
C: Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana.
A+(~B*C) = ~[~A*(B+~C)]

Łatwo zauważyć, że z prawa de’Morgana mózg dziecka praktycznie nigdy nie korzysta … chyba że w fazie poznawania języka, kiedy to dwulatek zadaje wszelkie możliwe pytania.

Popatrzmy na to jeszcze raz, delektując się genialną matematyką która posługuje się każde dziecko.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina lub do teatru.
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~Y = ~K*~T

Już dziecko pięcioletnie nie będzie zadawało więcej pytań bo wszystko jest jasne, trzylatek może jednak kontynuować.

… a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru ?
Ostatnie zdanie w dialogu:
~Y=~K*~T
Negujemy dwustronnie i mamy odpowiedź na temat, czyli zgodną z zadanym pytaniem.
Y=~(~K*~T)
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru

Na powyższe pytanie można odpowiedzieć inaczej:
Jutro na pewno pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Jednak nie będzie to ścisła odpowiedź na zadane pytanie, dlatego mało kto tak odpowie.


3.2 Prawo Prosiaczka

Prawo Prosiaczka mówi o sposobie przejścia z tabeli zero-jedynkowej n-elementowej do równania algebry Boole’a opisującego tą tabelę.

Definicja zero-jedynkowa sumy logicznej:
Kod:

p q  Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0


Kubuś, nauczyciel logiki w I klasie LO w stumilowym lesie:
Kto potrafi z powyższej tabeli zero-jedynkowej wygenerować równanie algebry Boole’a ?

Wszystkie ręce w górze, do tablicy podchodzi Jaś:
W ostatniej linii w wyniku mamy samotne zero, zatem dla tej linii możemy zapisać najprostsze równanie.

Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.

Sposób I.
Sprowadzam wszystkie zmienne do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=0 czyli ~p=1
q=0 czyli ~q=1

Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia):
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.

Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = ~p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując wszystkie zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+):
Y = p+q

Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.

Definicja sumy logicznej (logika ujemna):
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru

W równaniu A wszystkie zmienne są równe zeru, zatem tu nic nie musimy robić, od razu mamy równanie algebry Boole’a dla powyższej tabeli zero-jedynkowej.
Y=p+q

Kubuś:
Jasiu, zapisałeś równanie algebry Boole’a wyłącznie dla ostatniej linii, skąd wiesz jakie będą wartości logiczne w pozostałych liniach, nie opisanych tym równaniem ?

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla ostatniej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.

Kubuś:
Z tego co mówisz wynika, że dla powyższej tabeli można ułożyć równoważne równania dla linii z jedynkami w wyniku, czy potrafisz je zapisać ?

Jaś:
Postępujemy identycznie jak wyżej !
Korzystnie jest tu przejść do tabeli symbolicznej w logice dodatniej przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Stąd mamy definicję sumy logicznej w wersji symbolicznej:
Kod:

Dotrzymam słowa (Y) gdy:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
 p* q = Y
 p*~q = Y
~p* q = Y
Skłamię (~Y) gdy:
~p*~q =~Y

Stąd równoważne równanie algebry Boole’a dla samych jedynek (Y) przybierze postać:
C.
Y=p+q = (p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Z powyższym równaniem możemy przejść do logiki ujemnej negując sygnały i wymieniając operatory na przeciwne.
D.
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Negujemy stronami przechodząc do logiki dodatniej:
Y = ~[~p*~q] = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Z powyższego wynika że to samo zdanie:
Y=p+q
możemy wypowiedzieć na wiele różnych sposobów.
W naturalnym języku mówionym najczęściej używamy formy najprostszej jak wyżej. Część z możliwych zdań równoważnych będzie dla człowieka trudno zrozumiała.

Przykład:
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów.
A2.
Skłamię (~Y=1) gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~Y=~K*~T
związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd:
Y = K+T = ~(~K*~T)
A3.
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y = K+T = ~(~K*~T)
A4.
Wyłącznie negujemy równanie A1:
~Y = ~(K+T)
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdę do kina lub do teatru

Analogiczną serie zdań otrzymamy dla równań równoważnych ułożonych dla jedynek w definicji zero-jedynkowej sumy logicznej.
A1.
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa, jeśli wystąpi którekolwiek zdarzenie:
K*T – byłem w kinie i w teatrze
K*~T – byłem w kinie i nie byłem w teatrze
~K*T – nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Oczywiście wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń ma szansę wystąpić w rzeczywistości,

… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem B1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B2.
~Y = (~K+~Y)*(~K+T)*(K+~T)
Negujemy dwustronnie i mamy kolejne możliwe zdanie:
B3.
Y = ~[(~K+~Y)*(~K+T)*(K+~T)]
Ostatnie możliwe zdanie otrzymujemy negując dwustronnie B1:
B4.
~Y= ~[(K*T)+(K*~T)+(~K*T)]

Mamy wyżej fantastyczną możliwość powiedzenia tego samego na wiele różnych sposobów. wszystkie zdania z wyjątkiem B2 i B3 są dla przeciętnego człowieka zrozumiałe !
B2 i B3 to rozbudowane zdania ze zmiennymi w logice ujemnej w stosunku do zdania wypowiedzianego A1.


4.0 Fantastycznie prosta algebra Kubusia

W poprzednich rozdziałach poznaliśmy fundamenty algebry Boole’a i algebry Kubusia widzianych od strony tabel zero-jedynkowych. W naturalnym języku mówionym żaden człowiek nie myśli tabelami zero-jedynkowymi.
Przeciętny człowiek od 5-cio latka po starca biegle posługuje się równaniami algebry Boole’a, czyli symboliczną algebrą Boole’a.


4.1 Rzeczywista budowa operatorów OR i AND

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej
Kod:

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej bo Y
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
 Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
 p* q= Y
 p*~q= Y
~p* q= Y

Definicje spójnika „lub” w logice ujemnej otrzymujemy poprzez totalna negacje wszystkich sygnałów bez zmiany operatorów.

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej
Kod:

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej bo ~Y
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
~p*~q=~Y
~p* q=~Y
 p*~q=~Y


Definicja spójnika „i” w logice dodatniej
Kod:

Definicja spójnika „i” w logice dodatniej bo Y
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
Y=p*q
 p* q= Y


Definicję spójnika „i” w logice ujemnej otrzymujemy poprzez totalna negacje sygnałów bez wymiany operatorów.

Definicja spójnika „i” w logice ujemnej
Kod:

Definicja spójnika „i” w logice ujemnej bo ~Y
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~Y=~p*~q
~p*~q=~Y


Definicje operatorów OR i AND
Definicję operatorów w logice dodatniej otrzymamy przyjmując dodatni punkt odniesienia czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Operator OR(+)
Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej ze spójnikiem „i” w logice ujemnej.

Definicja operatora OR(+)
Kod:

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej bo Y
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
 Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
 p* q= Y
1 1 =1
 p*~q= Y
1 0 =1
~p* q= Y
0 1 =1
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej bo ~Y
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~Y=~p*~q
~p*~q=~Y
0 0 =0

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając z powyższej definicji mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
p+q = ~(~p*~q)

Zaskoczenie dla wszystkich ziemskich matematyków jest z pewnością totalne !
1.
Prawo de’Morgana obowiązuje w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej
2.
Wynika z tego że operator OR(+) nie może istnieć bez operatora AND(*) !

Oczywiście spójnik „lub(+)” to zupełnie co innego niż operator OR(+) mimo że oznaczane identycznie:
OR = „+” w tej publikacji.
Wprowadzanie odrębnych symboli jest tu jednak zbyteczne bowiem wypowiadając dowolne zdanie mamy do czynienie wyłącznie ze spójnikami „lub” albo „i”.

Z definicji operatora AND(*) albo OR(+) korzystamy wyłącznie w celu uzyskania odpowiedzi na pytanie „Kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y=1), jeśli jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

…. a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K*~T
B.
Skłamię (~Y=1), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Korzystając z prawa de’Morgana mamy zdanie równoważne do A:
Y=K+T = ~(~k*~T)
czyli:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=~(~K*~T)
czyli:
Y=1 <=> ~[(~K=1) * (~T=1)]

Zdanie równoważne do zdania A uzyskamy tez bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej spójnika „lub”:
Y=K+T = K*T + k*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) gdy zdarzy się którykolwiek z powyższych przypadków:
K*T – pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
K*~T – pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~K*T – nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Oczywiście w przyszłości może zajść wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń, nic innego nie jest możliwe.

Zupełnie inaczej jest w świecie zdeterminowanym gdzie wartości logiczne wszystkich parametrów są z góry znane. W tym przypadku już w momencie wypowiedzenia zdania znamy końcowe rozwiązanie.

Przykład:
A.
Każdy kraj leży w Europie lub Azji lub Afryce lub Ameryce Pd. lub Ameryce Pn. lub Australii lub Antarktydzie
Y=E+Az+Af+APd+APn+Au+An
… kiedy zdanie będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych I wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~E*~Az*~Af*~APd*~APn*~Au*~An
czyli zdanie fałszywe w języku polskim:
B.
Dowolny kraj nie leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce i nie leży Ameryce Pd. i nie leży w Australii i nie leży w Antarktydzie.
~Y=~E*~Az*~Af*~APd*~APn*~Au*~An

Nauczyciel geografii:
Na jakim kontynencie leży Rosja

Na mocy definicji spójnika „lub” rozwijamy zdanie A w postaci sumy logicznej wszystkich możliwych kombinacji kontynentów. Dla siedmiu krajów takich członów będzie 128, ale tylko jeden z nich będzie prawdziwy.

R= E*Az*Af*APd*APn*Au*An + … + E*Az*~Af*~APd*~APn*~Au*~An + ….

Oczywiście wszystkie człony sumy logicznej będą fałszem z wyjątkiem wytłuszczonego, czyli mamy końcowe rozwiązanie:

R= E*Az*~Af*~APd*~APn*~Au*~An
co matematycznie oznacza:
R=1 <=> E=1 i Az=1 i ~Af=1 i ~APd i ~APn=1 i ~Au=1 i ~An=1

Prawdy powstałe z zaprzeczenia fałszu typu:
~Af=1 - Rosja nie leży w Afryce
usuwamy z końcowego rozwiązania bo są nadmiarowe i zbędne.

Stąd mamy końcowe rozwiązanie:
R=E*A`
czyli:
Rosja leży w Europie i Azji


Operator AND(*)
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej i spójnika „lub” w logice ujemnej.

Kod:

Definicja spójnika „i” w logice dodatniej bo Y
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
Y=p*q
 p* q= Y
1 1 =1
Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej bo ~Y
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
~p*~q=~Y
0 0 =0
~p* q=~Y
0 1 =0
 p*~q=~Y
1 0 =0

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y= ~(~Y)
Podstawiając z powyższej definicji mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p*q = ~(~p+~q)

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y=1), jeśli jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1

…. a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

KONIEC, to jest cała, banalna algebra Kubusia w operatorach AND(*) i OR(+), naturalna logika 5-cio latka


4.2 Definicje zero-jedynkowe spójników w implikacji

Definicje spójników „musi”=>, „może”~> i „może”~~>

Definicja spójnika „musi” =>
Kod:

p q p=>q
1 1 =1    /p=>q=1
1 0 =0    /p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
bo druga linia jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić

To samo w kwantyfikatorze:
Dla każdego p jeśli zajdzie p to musi zajść q
/\x p(x)=>q(x)
Oczywiście z tego wynika że druga linia musi być twardym fałszem

Definicja naturalnego „może” ~~>
Kod:

p q p~~>q
1 1 =1   /p~~>q=1

p~~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
Wystarczy znaleźć jeden przypadek dla którego zdania jest prawdziwe
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Wystarczy jedna prawda.

Definicja spójnika „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały „istnieje” w NTI.
Vx p(x0=>q(x)
oczywiście tu symbol => oznacza słówko „to”, nic więcej

Definicje kwantyfikatorów w NTI:
=> - kwantyfikator duży „dla każdego”
~~> - kwantyfikator mały „istnieje”
W NTI kwantyfikatory działają wyłącznie na zbiorze aktualnym zdefiniowanym poprzednikiem p a nie na całej dziedzinie implikacji, czyli to są fundamentalnie inne definicje niż w KRZ.

Definicja warunki koniecznego „może” ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1    /p~>q=1
1 0 =1    /p~~>~q=1
Proste rozumowanie:
Jeśli p jest konieczne dla q
to zajście ~p wymusza zajście ~q
stąd dalsza część definicji spójnika „może”~>
Stąd prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
0 0 =1    /~p=>~q=1
0 1 =0    /~p=>q=0

p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
bo druga linia w tabeli p~~>~q też może być prawdą
plus dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Z powyższego wynika że spójnik „może” ~> ze spełnionym warunkiem koniecznym to po prostu definicja implikacji odwrotnej !

Zauważmy, że kwantyfikator mały „istnieje”, leży i kwiczy w obsłudze spójnika „może” bo spójnik „może” występuje w logice w dwóch, fundamentalnie innych znaczeniach jak wyżej.


4.3 Rzeczywista budowa operatorów implikacji i równoważności

Operatory implikacji prostej =>, implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> to złożenie odpowiednich warunków wystarczających i koniecznych, zawsze jednego w logice dodatniej, drugiego w logice ujemnej.

Definicje wszystkich możliwych warunków wystarczających i koniecznych

A.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej bo q
Kod:

Tabela A
p=>q =1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
bo druga linia zajdzie p i nie zajdzie q nie ma prawa wystąpić, a po stronie p wykorzystane zostały wszystkie możliwe przypadki.

B.
Ten sam warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q:
Kod:

Tabela B
~p=>~q=1
~p=>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
bo przypadek zajdzie ~p i zajdzie q nie ma prawa wystąpić

C.
Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej bo q:
Kod:

Tabela C
p~>q =1
p~~>~q=1

p~>q
jeśli zajdzie p to może zajść q
Bowiem przypadek zajdzie p i zajdzie ~q też może wystąpić, oczywiście po stronie p wykorzystaliśmy wszelkie możliwości matematyczne.

Plus musi być spełnione prawo Kubusia czyli:
p~>q = ~p=>~q

D.
Ten sam warunek konieczny w logice ujemnej bo ~q:
Kod:

Tabela D
~p~>~q=1
~p~~>q=1

~p~>~q
jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
Bowiem przypadek zajdzie ~p i zajdzie q też może wystąpić

Plus musi byc spełnione prawo Kubusia czyli:
~p~>~q = p=>q


Definicja ogólna operatorów w NTI

Operator logiczny to zawsze złożenie warunku w logice dodatniej z warunkiem w logice ujemnej bowiem wtedy tylko wtedy na wejściu (układu cyfrowego) otrzymamy wszystkie możliwe kombinacje zer i jedynek.

Dla powyższych tabel A, B, C i D mamy cztery możliwości matematyczne:
1.
A-D
Implikacja prosta
2.
C-B
Implikacja odwrotna
3.
A-B
Równoważność
4.
C-D
Równoważność fałszywa

Oczywiście NTI to logika symboliczna gdzie podkład zero-jedynkowy jest zbędny, żaden człowiek nie myśli w zerach i jedynkach. Podkład zero-jedynkowy doskonale pokazuje że wyczerpaliśmy wszystkie możliwości w których na wejściu mamy wszystkie możliwe kombinacje zer i jedynek.

Definicje operatorowe operatorów logicznych z podkładem zero-jedynkowym.
Wszystkie zera i jedynki zapisujemy w logice dodatniej (q bez negacji) gdzie mamy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

1.
A-D
Implikacja prosta


Definicja:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Plus dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
co wyklucza ewentualną równoważność, gdzie występuje identyczny warunek wystarczający p=>q.
Kod:

Definicja implikacji prostej
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q=1
0 0 =1
LUB
~p~~>q=1
0 1 =1


2.
C-B
implikacja odwrotna


Definicja:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
Plus dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
co wymusza warunek konieczny między p i q.
Kod:

Definicja implikacji odwrotnej
p~>q=1
1 1 =1
LUB
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0


3.
A-B
Równoważność


Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to warunki wystarczające zachodzące w stronę p=>q i ~p=>~q, to nie są implikacje proste !
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
Stąd mamy równoważną definicję równoważności uwielbianą przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Kod:

Definicja równoważności
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

Gdzie:
p=>q i ~p=>~q
to tylko warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, to nie są implikacje proste !

4.
C-D
Równoważność fałszywa


Definicja:
p<~>q = (p~>q)*(~p~>~q)
Kod:

p<~>q = (p~>q)*(~p~>~q)
p~>q =1
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1
…. a jeśli zajdzie ~p ?
~p<~>~q = (~p~>~q)*(p~>q)
~p~>~q =1
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1

Doskonale widać definicję operatora FILL, same jedynki w wyniku, co nie ma nic wspólnego z równoważnością p<=>q.


5.0 Algebra Kubusia w zbiorach

Działanie operatorów implikacji i równoważności można bardzo ładnie zilustrować przy pomocy zbiorów.


5.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI

Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu.

Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie

Oznacza to, że dla dowolnego zbioru A musi istnieć zbiór ~A będący dopełnieniem zbioru A do określonej dziedziny.

Przykład 1
P – zbiór wszystkich psów
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
Dopełnienie ~P:
~P = wszystkie inne zwierzęta za wyjątkiem psów

Oczywiście matematycznie zachodzi:
ZWZ=P+~P
oraz:
P+~P=1
P*~P=0

Przykład 2
P2 – zbiór liczb podzielnych przez 2
Dziedzina:
LN = zbiór liczb naturalnych
Dopełnienie ~P2:
~P2 – zbiór liczb naturalnych niepodzielnych przez 2

Oczywiście matematycznie zachodzi:
LN=P2+~P2
P2+~P2=1
P2*~P2=0

W implikacji prostej => w NTI p musi być podzbiorem q np.
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Zbiór psów jest tu tylko podzbiorem zwierząt mających cztery łapy.

Z punktu odniesienia NTI fałszywe są idiotyzmy rodem z KRZ w stylu:
Jeśli pies ma cztery łapy to księżyc krąży wokół ziemi
4L=>KK
Implikacja prawdziwa w wariatkowie … czyli KRZ

Oczywiście brak związku miedzy p i q ucina jakiekolwiek dywagacje na temat wzajemnego zawierania się zbiorów.

W NTI interesuje nas pojęcie zbioru i operacje na zbiorach w odniesieniu do implikacji i równoważności.

Podstawowe pojęcia:

Dziedzina = kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność lub po prostu zdanie ‘Jeśli…to…”
Zbiór bieżący (aktualny) – zbiór zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”

Uwaga:
Zbiór bieżący to w NTI kluczowe pojęcie.

Operacje na zbiorach dla potrzeb NTI:

1.
Zbiory tożsame = identyczne
TR = zbiór trójkątów równobocznych
KR = zbiór trójkątów o równych kątach
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
Zbiór TR = Zbiór KR

2.
Iloczyn zbiorów = wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń (operacja AND)
Y=A*B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A*B=[1,2]

3.
Suma logiczna zbiorów = wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń (operacja OR)
Y=A+B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A+B = [1,2,3,4]

4.
Różnica zbiorów A-B = elementy zbioru A pomniejszone o cześć wspólna zbiorów A i B
Y=A-B
A=[1,2,3,4], B=[1,2]
Y=A-B = [3,4]
Y=B-A = 0 – zbiór pusty !

5.
Zbiór pusty = brak wspólnej części zbiorów w operacji AND, albo różnica zbiorów pusta jak wyżej
Y=A*B=0
A=[1,2], B=[3,4]
Y=A*B =0 – brak części wspólnej, zbiór pusty !

Twierdzenie – jedno z najważniejszych w NTI:
Przy określaniu prawdziwości konkretnego zdania wystarczy iterować po zbiorze bieżącym, zdefiniowanym w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”.

Iterowanie po całej dziedzinie jest bez sensu bowiem nie ma to nic wspólnego z prawdziwością analizowanego zdania. Co więcej, dla zdań spoza zbioru bieżącego analizowane zdanie jest po prostu FAŁSZYWE !

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Dziedzina = zbiór wszystkich liczb naturalnych
P3 = zbiór liczb podzielnych przez 3
P3 = [3,6,9…]
P3 = zbiór bieżący (aktualny) zdefiniowany w poprzedniku

Uwaga:
Dla wszelkich liczb niepodzielnych przez 3 to zdanie jest fałszywe !


Przykład implikacji prostej:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to (na pewno) jest podzielna przez 2
P8=>P2
Spójnik "na pewno" jest w logice domyślny
Dziedzina = zbiór liczb naturalnych
Zbiór bieżący na którym pracujemy w tym zdaniu definiuje poprzednik implikacji:
P8 – zbiór liczb podzielnych przez 8


5.2 Implikacja prosta w zbiorach




Z rysunku widzimy, że warunkiem zaistnienia implikacji prostej => jest aby zbiór p był podzbiorem zbioru q bowiem wtedy i tylko wtedy zdanie będzie implikacja prostą.

Dziedzina w której operuje powyższy schemat:
Dziedzina = p+~p = q+~q
co doskonale widać na rysunku.

Wynika z tego, że zbiory p i q musza należeć do tej samej dziedziny.

Definicja operatorowa implikacji prostej:
Kod:

A:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i q (zielony obszar)
1 1 =1
stąd wynika:
B:
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=0
p*~q=0 – zbiór pusty, bo zbiory p i ~q są rozłączne !
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Stąd:
C:
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
~p~>~q=1
~p*~q=1 – iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q (czerwony obszar)
0 0 =1
LUB
D:
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q=1
~p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów ~p i q (żółty obszar)
0 1 =1

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Przykłady:
A.
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Implikacja prosta: p musi być podzbiorem q
Pies jest podzbiorem zwierząt mających 4 łapy, z czego wynika że istnieje żółty zbiór q-p, zdanie jest implikacja prostą.
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
Implikacja prosta: p musi być podzbiorem q
Deszcz jest podzbiorem stanu „pochmurne niebo”, co oznacza że może nie padać a chmury mogą być. Wynika z tego istnienie stanu q-p, czyli mamy sytuację „brak deszczu i jest pochmurno”, zatem zdanie jest implikacją prostą.
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Implikacja prosta: p musi być podzbiorem q
Zbiór P8 jest podzbiorem zbioru P2, z czego wynika że istnieje zbiór q-p, zdanie jest implikacja prostą.

… i teraz uwaga !
D.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
Zbiór trójkątów równobocznych jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór trójkątów o równych kątach. Wynika z tego że żółty zbiór q-p jest zbiorem pustym, co oznacza że całe zdanie jest tylko warunkiem wystarczającym wchodzącym w skład równoważności o następującej definicji.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)

Przykład analizy implikacji prostej w NTI
Kod:

A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy
plus spełnione jest tu prawo Kubusia co oznacza że zdanie spełnia definicję zero-jedynkową implikacji prostej.
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0 bo wszystkie psy maja cztery łapy
1 0 =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L= ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo wąż, kura
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń, koń
0 1 =1

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Zdanie d nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Dlaczego ?
Dowód nie wprost:
Załóżmy że d jest implikacją odwrotna i zastosujmy wyrocznie implikacji, prawo Kubusia:
D: ~P~~>4L = B: P=>~4L=0
Prawa strona jest twardym fałszem, zatem lewa nie może być implikacja odwrotna prawdziwą, co oznacza, że w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny.
Prawdziwość zdania D określa wzór:
(~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0 + 1 =1
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy.


5.3 implikacja odwrotna w zbiorach



Doskonale widać, że w tym przypadku zbiór q musi być podzbiorem zbioru p. Wtedy i tylko wtedy zdanie będzie spełniało definicję implikacji odwrotnej.

Dziedzina w której operuje powyższy schemat:
Dziedzina = p+~p = q+~q
co doskonale widać na rysunku.

Wynika z tego, że zbiory p i q musza należeć do tej samej dziedziny.

Definicja operatorowa implikacji odwrotnej:
Kod:

A:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q =1
p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i q (zielony obszar)
1 1 =1
LUB
B:
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~~>~q=1
p*~q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i ~q (żółty obszar)
1 0 =1
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Stąd:
C:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
~p=>~q=1
~p*~q=1 – iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q (czerwony obszar)
0 0 =1
Stąd:
D:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie q
~p=>q=0
~p*q=0 – zbiór pusty, bo zbiory ~p i q są rozłączne !
0 1 =0

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Przykłady:
A.
jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna: q musi być podzbiorem p
Pies jest podzbiorem zwierząt mających 4 łapy, z czego wynika że istnieje żółty zbiór p-q, zdanie jest implikacja prostą.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Implikacja odwrotna: q musi być podzbiorem p
Deszcz jest podzbiorem stanu „pochmurne niebo”, co oznacza że może nie padać a chmury mogą być. Wynika z tego istnienie stanu p-q, czyli mamy sytuację „brak deszczu i jest pochmurno”, zatem zdanie jest implikacją prostą.
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
Implikacja odwrotna: q musi być podzbiorem p
Zbiór P8 jest podzbiorem zbioru P2, z czego wynika że istnieje zbiór p-q, zdanie jest implikacja prostą.

… i teraz uwaga !
D.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
Zbiór trójkątów równobocznych jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór trójkątów o równych kątach. Wynika z tego że żółty zbiór p-q jest zbiorem pustym, co oznacza że całe zdanie jest tylko warunkiem wystarczającym wchodzącym w skład równoważności o następującej definicji.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)

Przykład analizy implikacji odwrotnej w NTI
Kod:

A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
1 1 =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, co wymusza implikację odwrotną prawdziwą
LUB
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń
1 0 =1
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
0 1 =0

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Dowód.
Zakładamy że B jest implikacją odwrotną prawdziwa i korzystamy z prawa Kubusia:
B: 4L~>~P = D: ~4L=>P=0
Prawa strona jest twardym fałszem zatem B nie może być implikacją odwrotną.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden przypadek czyniący to zdanie prawdziwym.


5.4 Równoważność w zbiorach



W równoważności zbiór p jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór q, inaczej wypowiedzianym.
Wynika z tego że wykluczona jest tu implikacja bowiem p nie jest podzbiorem zbioru q, czyli różnica zbiorów:
p-q=0 – zbiór pusty
q-p=0 – zbiór pusty

Oczywiście dziedzina w której tu operujemy jest następująca:
Dziedzina = p+~p = q+~q

Przykład z naszego rysunku:
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR

Dziedzina to zbiór wszystkich trójkątów:
Dziedzina = TR+~TR = KR+~KR

W przypadku równoważności możliwe są dwie równoważne definicje operatorowe.

I.
Definicja wynikła bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej równoważności.
Kod:

Definicja równoważności
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A:
p=>q =1
p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i q, to są identyczne zbiory ! (zielony kolor)
1 1 =1
B:
p=>~q=0
p*~q=0 – zbiór pusty, bo zbiory p i ~q są rozłączne, co widać na rysunku
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
C:
~p=>~q=1
~p*~q=1 – iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q, to są identyczne zbiory ! (kolor czerwony)
0 0 =1
D:
~p=>q=0
~p*q=0 – zbiór pusty, bo zbiory ~p i q są rozłączne, co widać na rysunku
0 1 =0

Gdzie:
p=>q i ~p=>~q
to tylko warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, to nie są implikacje proste !

II.
Definicja równoważna wynikająca bezpośrednio z diagramu równoważności wyżej.

Identyczność zbiorów p i q jest dowodem równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
bowiem wykluczona jest tu implikacja gdzie wymagane jest aby zbiór p-q lub q-p nie był zbiorem pustym.
W przypadku identycznych zbiorów p i q zachodzi:
p-q=0 – zbiór pusty
q-p=0 – zbiór pusty

stąd:
Definicja równoważna równoważności uwielbiana przez matematyków.
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
A:
p=>q=1
p*q=1 – iloczyn logiczny zbiorów p i q, to są identyczne zbiory ! (kolor zielony)
1 1 =1
B:
p=>~q=0
p*~q=0 – zbiór pusty, bo zbiory p i ~q są rozłączne, co widać na rysunku
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd:
q<=>p = (q=>p)*(p=>q)
A1:
q=>p=1
q*p=1 – iloczyn logiczny zbiorów q i q, to są identyczne zbiory (kolor zielony)
1 1 =1
B1:
q=>~p=0
q*~p=0 - zbiór pusty, bo zbiory q i ~p są rozłączne, co widać na rysunku
1 0 =0

Doskonale tu widać, że równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających:
p=>q – warunek wystarczający definiowany liniami A i B w powyższej tabeli
q=>p - warunek wystarczający definiowany liniami A1 i B1 w powyższej tabeli
To nie sa implikacje proste, bowiem w równoważności nie może być mowy o „rzucaniu moneta”, czyli o warunku koniecznym p~>q.

Przykład analizy równoważności w NTI
Kod:

TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – twarda prawda
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR<=>KR = ~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0
0 1 =0

Doskonale widać tabele zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24920
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 3:01, 20 Gru 2010    Temat postu:

5.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach

Posłużymy się tu konkretnym przykładem.

1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 3
P8=>P3

W języku mówionym spójnik „na pewno” => jest domyślny i nie musi być wypowiadany.
Wynika z tego zdanie równoważne do 1.

2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 3
P8=>P3=0 bo 8

Sprawdźmy czy możliwa jest tu implikacja odwrotna:
3.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~> być podzielna przez 8
P3~>P8=0
Dowód:
Załóżmy, że zdanie 3 jest implikacją odwrotna i zastosujmy wyrocznię implikacji, prawo Kubusia:
P3~>P8 = ~P3=>~P8 =0 bo 8
Prawa strona tożsamości jest fałszem, zatem lewa nie może być implikacja odwrotną, warunek konieczny między p i q tu nie zachodzi.

Zdanie 1 jest prawdziwe z naturalnym spójnikiem ‘może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza zero-jedynkowa tego zdania przez wszystkie możliwe przypadki jest następująca:
Kod:

A:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
B:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3=1 bo 8
C:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3=1 bo 5
D:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3=1 bo 3


ilustracja graficzna powyższej analizy jest następująca:

Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin