Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Nieznane definicje implikacji i równowazności

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24613
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 2:00, 20 Gru 2010    Temat postu: Nieznane definicje implikacji i równowazności

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Kubusiowa szkoła logiki

Temat:
Nieznane definicje implikacji i równoważności, wynikające z NTI

Na trop nowych definicji naprowadził Kubusia ten post:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/nti-fantastyczna-dyskusja-z-ateisty-pl,4825-375.html#127511

Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Definicje algebry Kubusia = pełna lista legalnych operatorów logicznych

2.0 Algebra Kubusia (Nowa Teoria Implikacji) w pigułce
2.1 Operatory OR i AND
2.2 Operatory równoważności i implikacji
2.3 Nieznane definicje implikacji i równoważności, wynikające z NTI


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

# - różne
p=>q=1 # q=>p=0
Jeśli lewa strona jest prawdą to prawa musi być fałszem.
W tym przypadku po obu stronach nierówności musimy mieć te same parametry aktualne p i q
Przykład:
P8=>P2=1 # P2=>P8=0
bo w implikacji nie zachodzi przemienność argumentów

## - różne na mocy definicji
A.
Na mocy definicji zero-jedynkowych implikacji prostej => i odwrotnej ~> mamy:
p=>q=1 ## p~>q=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.
B.
Na mocy definicji zero-jedynkowych operatorów OR(+) i AND(*) mamy:
p+q=1 ## p*q=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.

W tym przypadku parametry formalne p i q po lewej stronie nie wymuszają parametrów aktualnych po drugiej stronie.
W implikacji mamy zatem taki przypadek:
P8=>P2=1 ## P2~>P8=1

1.1 Definicje algebry Kubusia = pełna lista legalnych operatorów logicznych

Zero-jedynkowo wszystkie operatory logiczne znane są człowiekowi od około 200 lat, jednak nie wszystkie zostały poprawnie zinterpretowane.

Pełna lista dwuargumentowych operatorów logicznych.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0   1 0   1 0


Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu: AND, NAND, OR, NOR, <=>, XOR. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym. Wyjątkiem jest tu operator XOR, w języku mówionym spójnik „albo”.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
pNOPq       =     ~(pFILLq)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


2.0 Algebra Kubusia (Nowa Teoria Implikacji) w pigułce

2.1 Operatory OR i AND

Istota NTI:
1.
Analiza zero-jedynkowa zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q decyduje o tym czym jest wypowiedziane zdanie.
2.
Determinizm, czyli z góry znane wartości logiczne p i q zabija wszystko, zarówno definicję OR i AND, jak i definicje implikacji i równoważności.

Definicja operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q
Dotrzymam słowa (Y):
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
1 1 =1   /Y=p*q
1 0 =1   /Y=p*~q
0 1 =1   /Y=~p*q
Skłamię (~Y):
~Y=~p*~q
0 0 =0   /~Y=~p*~q

Przykład:
Jutro pójdę do kina Lub do teatru
Y=K+T
czyli matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) gdy pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
Y=K+T – logika dodatnia bo Y
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y=~K*~T – logika ujemna bo ~Y
B.
Skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
K+T = ~(~K*~T)

Wnioski:
1.
Definicja operatora OR to złożenie spójników „lub” w logice dodatniej ze spójnikiem „i” w logice ujemnej
2.
Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny
3.
Prawo de’Morgana zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, stąd:
Prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
to definicja operatora OR zapisana w równaniu algebry Boole’a !

Definicja operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
Dotrzymam słowa (Y):
Y=p*q
1 1 =1   /Y=p*q
Skłamię (~Y):
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
0 0 =0   /~Y=~p*~q
0 1 =0   /~Y=~p*q
1 0 =0   /~Y=p*~q

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
czyli matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) gdy pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y=~K+~T
B.
Skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
K*T = ~(~K+~T)

Wnioski:
1.
Definicja operatora AND to złożenie spójników „i” w logice dodatniej ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej
2.
Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny
3.
Prawo de’Morgana zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, stąd:
Prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
to definicja operatora AND zapisana w równaniu algebry Boole’a !


2.2 Operatory implikacji i równoważności

Implikacja odwrotna

Definicja warunku koniecznego autorstwa wykładowcy logiki Volratha:
Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Stąd w sposób naturalny mamy prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
… i definicję implikacji odwrotnej !

Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p~>q=1
1 1 =1
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Plus musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym (prawem Kubusia)
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi

Z powyższego wynika że:
1.
Warunek konieczny (spójnik „może” ~>) = definicja implikacji odwrotnej
2.
Definicja zero-jedynkowa naturalnego „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.
Kod:

p~~>q=1
1 1 =1

3.
Operator implikacji odwrotnej to złożenie spójnika „może” ~> w logice dodatniej (bo q) ze spójnikiem „musi” => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia

Przykład implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6…
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
stąd:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 1,3,5,7… Gwarancja matematyczna, istota implikacji
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0
0 1 =0
Doskonale widać definicję implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
Doskonale widać że definicja implikacji odwrotnej to trzy rozłączne zbiory a nie dwa jak twierdzi „teoria mnogości”.

Zdanie B nie może być implikacja odwrotną
Dowód nie wprost.
Załóżmy że B jest implikacja odwrotną i zastosujmy wyrocznie implikacji, prawo Kubusia:
B: P2~>~P8 = D: ~P2=>P8=0
Prawa strona jest fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacja prosta prawdziwą, warunek konieczny tu nie zachodzi

Implikacja prosta

Analogiczna definicja implikacji prostej:
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=1
0 1 =1

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Plus dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Wnioski:
1.
Operator implikacji prostej to złożenie spójnika „musi” => w logice dodatniej (bo q) ze spójnikiem „może” ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia
2.
Operator implikacji prostej => to fundamentalnie co innego niże spójniki „musi” => i „może” ~>

Przykład implikacji prostej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24… Gwarancja matematyczna, istota implikacji
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0
1 0 =0
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
czyli:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 1,3,5,7…
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
0 1 =1
Wnioski:
1.
Doskonale widać definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
2.
Doskonale widać że definicja implikacji prostej to trzy rozłączne zbiory a nie dwa jak twierdzi „teoria mnogości”.
3.
Doskonale widać, że spełnienie warunku wystarczającego po stronie p=>q niczego nie gwarantuje bo to może być równoważność, jeśli po stronie ~p zachodzi kolejny warunek wystarczający:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
albo implikacja prosta jeśli po stronie ~p zachodzi warunek konieczny:
p=>q = ~p~>~q
To wytłuszczone to identyczne warunki wystarczające, w naturalnej logice człowieka nie do rozpoznania bez odpowiedniej analizy matematycznej zdania p=>q.


Równoważność

Jedynie słuszna definicja równoważności w dzisiejszej matematyce to pewne wynikanie w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*1=1
Na bazie tej definicji plus definicji „implikacji materialnej” matematycy zbudowali teorię mnogości, błędnie głoszącą iż:
Równoważność = jeden zbiór
Implikacja = dwa zbiory

Okrutna rzeczywistość jest fundamentalnie inna (NTI):
równoważność = dwa zbiory
implikacja = trzy zbiory
Na mocy odpowiednich definicji zero-jedynkowych

Aksjomatyczne definicja zero-jedynkowa równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
1 0 =0

Dziewicza definicja równoważności na podstawie powyższej tabeli:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1=1
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy q

Wniosek:
Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo Y) i kolejnego warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~Y)

W równoważności (i tylko tu) prawdziwe jest prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q =q=>p
stąd mamy odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Gdzie po prawej stronie mamy definicje warunków wystarczających o definicji zero-jedynkowej:
Kod:

p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0

Warunek wystarczający definiowany jest zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że kolejna linia nie ma prawa wystąpić czyli:
p=>~q=0
z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe:
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p itd.

Gdzie zapisy typu:
p=>q, q=>p, ~p=>~q
to tylko i wyłącznie warunki wystarczające o definicji jak wyżej, to nie są implikacje proste !

Definicja dziedziny:
Dziedziną w równoważności i implikacji jest zawsze zbiór p+~p

Definicja zbioru aktualnego:
Zbiorem aktualnym w równoważności albo implikacji jest zbiór na którym operujemy.
Możliwości mamy tylko dwie:
p – zbiór p z dziedziny p+~p
~p – zbiór ~p z dziedziny p+~p
Zbiór aktualny zawsze definiowany jest w poprzedniku p.

Oczywiście widać tu jak na dłoni metody badania czy warunek wystarczający między p i q występuje,

Sposób I
Badamy czy dla każdego p zachodzi q

Sposób II
Szukamy jednego zdania spełniającego:
p~~>q =1
po czym szukamy kontrprzykładu czyli zdania:
p~~>~q=1
Brak kontrprzykładu dowodzi iż warunek wystarczający p=>q jest spełniony.
Gdzie:
p~~>q – naturalne „może”, wystarczy jeden przypadek prawdziwy

Przykład równoważności:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
TR=>BR=1
1 1 =1
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
TR=>~BR=0
1 0 =0
… a jeśli nie ma boków równych ?
Na mocy twierdzenia Rexerexa:
TR=>BR = ~TR=>~BR
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno =. nie ma boków równych
~TR=>~BR=1
0 0 =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
~TR=>BR=0
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
BR=1, ~BR=0
Doskonale widać, że równoważność to dwa rozłączne zbiory TR i ~TR a nie jak twierdzi „teoria mnogości” jeden zbiór.


2.3 Nieznane definicje implikacji i równoważności, wynikające z NTI

Przy pomocy tych definicji można skutecznie i łatwo rozstrzygać czy zdanie jest implikacją prostą =>, implikacja odwrotną ~> czy tez równoważnością. Definicje te wynikają bezpośrednio z tabel zero-jedynkowych odpowiednich operatorów logicznych w interpretacji NTI.

Definicja warunku koniecznego autorstwa wykładowcy logiki Volratha:

Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia

Definicja warunku koniecznego ukierunkowana na zajście warunku ~p=>~q
Kod:

Tabela 1
p~>q=1
1 1 =1
p~~>q=x
1 0 =x
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

W tej definicji kompletnie nas nie interesuje wartość logiczna linii drugiej:
x={0,1}
Tu może być cokolwiek:
0 – równoważność
1 – implikacja odwrotna

Interesują nas tu relacje między zbiorami po stronie p i q

Jeśli p to q
Warunek konieczny zachodzi gdy:
Jeśli zabierzemy zbiór p to musi => zniknąć zbiór q !

Przykłady:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo:
Zabieramy zbiór P2, oczywiście znika nam zbiór P8
Wniosek:
P2 jest konieczne dla P8
2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~>P2=0 bo:
zabieramy zbiór P8, oczywiście zbiór P2 nie znika, zostają liczby:
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
Wniosek:
P8 nie jest konieczne dla P2
Zdanie 2 jest prawdziwe na mocy naturalnego może ~~>, wystarczy jedna prawda:
P8~~>P2=1 bo 8
ale to nie jest implikacja odwrotna !

3.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~>P8=0 bo:
Zabieramy zbiór liczb podzielnych przez 3:
P3=3,6,9….
a po stronie q zostaje nam jedna liczba:
P8=8
To wystarczy !
P3 nie jest konieczne dla P8
Zdanie 3 jest prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>
P3~~>P8=1 bo 24
ale to nie jest implikacja odwrotna !

Definicja warunku wystarczającego ukierunkowana na zajście warunku wystarczającego p=>q:
Kod:

Tabela 2
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=x
0 1 =x

W tym przypadku nie interesuje nas stan logiczny ostatniej linii bowiem o zachodzeniu warunku wystarczającego decydują dwie pierwsze linie i relacje między zbiorami po stronie p i q.

W ostatniej linii może być cokolwiek:
0 – równoważność
1 – implikacja prosta

Przykłady:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24 …
Oczywiście P8 wystarcza dla P2
2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P2=>P8=0 bo 2

Zauważmy, że iloczyn logiczny tabel 1 i 2 to definicja równoważności bowiem w odpowiednich liniach
x*0=0

Definicja równoważności ukierunkowana na relacje między zbiorami p i q:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) =1*1=1
gdzie:
p~>q
Warunek konieczny w interpretacji na zbiorach:
Zabieramy zbiór p i musi zniknąć zbiór q
p=>q
Warunek wystarczający między p i q

Nieznane definicje implikacji i równoważności:
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego w działaniach na zbiorach co widać w tabelach 1 i 2.
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego w zbiorach.
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego w zbiorach.

Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.

Przykład równoważności:
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny
BR=>TR

Oczywiście trzy odcinki o równych długościach są wystarczające dla zbudowania trójkąta równobocznego
Wniosek:
Warunek wystarczający spełniony

Jeśli zamienimy jeden z trzech odcinków na odcinek o innej długości to zbudowania trójkąta równobocznego nie będzie możliwe.
Wniosek:
Trzy równe odcinki są warunkiem koniecznym dla trójkąta równobocznego

Między zbiorami BR i TR zachodzi jednocześnie warunek wystarczający BR=>TR i konieczny BR~>TR
co jest dowodem równoważności:
BR<=>TR = (BR=>TR)* (BR~>TR)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin