 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 11:07, 10 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
2021-10-10
Rozdział na razie porzucony, wymaga przemyśleń
Algebra Kubusia
10.0 Rozmyślania o spójnikach zdaniowych
(ciąg dalszy nastąpi)
Spis treści
10.0 Rozmyślania o spójnikach zdaniowych 1
10.1 Spójniki „albo”($) i „lub”(+) w praktyce 1
10.1.1 Spójnik „albo”($) p$q 1
10.1.2 Spójnik „albo”($) p$q vs spójnik „lub”(+) 6
10.2 Spójnik „albo”($) i spójnik równoważności <=> w praktyce 9
10.0 Rozmyślania o spójnikach zdaniowych
Spójniki „albo”($), <=> i „lub”(+) to najciekawsze ze spójników zdaniowych.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja klasyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do ~q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Podstawmy definicję spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, ~q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q=0 = [=] = 4: q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>~q=0 [=] 3: ~q~~>~p=0
Definicja spójnika „albo” p$q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Definicja spójnika „albo” ~p$~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
10.1 Spójniki „albo”($) i „lub”(+) w praktyce
Matematyczne definicje spójników „albo”($) i „lub”(+) są jednoznaczne i różne na mocy definicji ##
10.1.1 Spójnik „albo”($) p$q
Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) p$q to wybór jednego z dwóch rozłącznych pojęć uzupełniających się wzajemnie do dziedziny
Definicja dziedziny dla spójnika „albo”($):
p+q =D =1
p*q =[] =0
Przykład rodem z przedszkola:
A1B1:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Trzeciej możliwości brak
Dziedzina minimalna:
M+K = C =1
M*K =[] =0
Gdzie:
C (człowiek) - dwuelementowy zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
Stąd mamy:
~M = [C-M] = [M+K -M] = K
~K = [C-K] = [M+K -K] = M
Prawą stronę czytamy:
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Środek czytamy:
Do tego by być mężczyzną (M) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by nie być kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Ostatni zapis to klasyczna definicja równoważności M<=>~K znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
wyników: 7 800
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 118 000
Definicja tożsamości zbiorów/pojęć:
Dwa zbiory/pojęcia p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
Zastosujmy tą definicję do naszego przykładu:
Dwa zbiory M i ~K są matematycznie tożsame M=~K bo znajdują się w relacji równoważności M<=>~K
M=~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Oczywistym jest, że dla zbiorów tożsamych M=~K zachodzi:
A1: M=>~K =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Dowód matematycznie tożsamy:
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K = M~>M =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy:
Diagram spójnika „albo” p$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
| Kod: |
DA:
Diagram spójnika „albo” p$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Podstawmy nasz przykład: |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) | Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Dla p=M i q=K mamy: | Dla p=M i q=K mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tym momencie łatwo tworzymy definicję spójnika „albo”($), będącą szczególnym przypadkiem równoważności p<=>~q.
DA
Definicja klasyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do ~q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Dla B1 korzystamy z prawa Tygryska:
B1: p~>~q = B3: ~q=>p
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($) w warunkach wystarczających => (twierdzeniach matematycznych)
Definicja matematyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => w dwie strony między p i ~q.
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p), twierdzenie proste
B3:~q=>p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia p (bo ~q=p), twierdzenie odwrotne
Stąd:
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi warunek wystarczający => w dwie strony między p i ~q.
Twierdzenia Pszczółki:
1.
Między dwoma pojęciami p i q wolno nam użyć spójnika „albo”($) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo”($)
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
2.
Aby rozstrzygnąć czy badane zdanie warunkowe „Jeśli p to ~q” wchodzi w skład definicji spójnika „albo”($) tzn. czy wolno nam połączyć dwa pojęcia p i q spójnikiem „albo”($) musimy udowodnić prawdziwość obu zdań warunkowych A1 i B3 tworzących definicję spójnika „albo”($)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (matematyczne twierdzenie proste)
B3: ~q=>p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia p (matematyczne twierdzenie odwrotne)
Przykład pozytywny:
A1B3:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K =?
Definicja spójnika „albo”($):
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu przyjmujemy punkt odniesienia:
p = M (mężczyzna)
q = K (kobieta)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
A1B3: M$K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =?
Dziedzina minimalna dla naszego przykładu to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
M (Mężczyzna)
K (kobieta)
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => A1 (twierdzenie proste):
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
To samo w zapisach formalnych:
p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K) bo zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
M=>~K = M=>M =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
bo:
~K=M
cnd
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => B3 (twierdzenie odwrotne):
B3.
Jeśli dowolny człowiek nie jest kobietą (~K=1) to na 100% => jest mężczyzną (M=1)
~K=>M =1
to samo w zapisach formalnych:
~q=>p =1
Nie bycie kobietą (~K) jest warunkiem wystarczającym => by być mężczyzną (M) bo zbiór nie kobiet (~K) jest podzbiorem => zbioru mężczyzn (M)
Dowód:
~K=>M = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem siebie samego
bo:
~K=M
cnd
Podsumowując:
A1B3:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B3: M$K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =1*1 =1
Powyższe zdanie spełnia definicję spójnika „albo”($) zatem w tym przypadku użycie spójnika „albo”($) jest matematycznie poprawne.
cnd
Przykład negatywny:
A1B3:
Dowolne zwierzę jest psem (P=1) „albo”($) kotem (K=1)
P$K =?
Definicja spójnika „albo”($):
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu przyjmujemy punkt odniesienia:
p = P (pies)
q = K (kot)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
A1B3: P$K = (A1: P=>~K)*(B3: ~K=>P) =?
Dziedzina minimalna dla naszego przykładu to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
P (pies)
K (kot)
~P = [ZWZ-P] = [kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa (P)
~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem kota (K)
Już widzimy, że zdanie A1B3: P$K nie spełnia definicji spójnika „albo”($) bowiem co prawda pojęcia P (pies) i K (kot) są rozłączne, ale nie uzupełniają się wzajemnie do dziedziny ZWZ (zbiór wszystkich zwierząt)
P+K ## ZWZ
Gdzie:
Zbiory różne na mocy definicji ##
Dalsze badanie prawdziwości/fałszywości zdań A1 i B3 nie jest wobec powyższego konieczne, ale z ciekawości zróbmy to.
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => A1 (twierdzenie proste):
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K=1
To samo w zapisach formalnych:
p=>~q =1
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kotem (~K) bo zbiór P jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
P=>~K =1
P (pies) => ~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..]
cnd
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => B3 (twierdzenie odwrotne):
B3.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest kotem (~K=1) to na 100% => jest psem (P=1)
~K=>P =0
to samo w zapisach formalnych:
~q=>p =0
Nie bycie kotem (~K) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by być psem (P) bo zbiór nie kot (~K) nie jest podzbiorem => zbioru psów (P)
Dowód:
~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..] => P (pie) =0
cnd
Podsumowując:
A1B3:
Dowolne zwierzę jest psem (P=1) „albo”($) kotem (K=1)
A1B3: P$K = (A1: P=>~K)*(B3: ~K=>P) =1*0 =0
Powyższe zdanie nie spełnia definicji spójnika „albo”($) zatem w tym przypadku użycie spójnika „albo”($) jest matematycznie błędne.
cnd
10.1.2 Spójnik „albo”($) p$q vs spójnik „lub”(+)
Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
to samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery lapy (4L) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, kot, słoń..]
Wyjaśnienie:
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ =[pies, kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
p = P (pies) - jednoelementowy zbiór „pies”
q = 4L=[pies, kot, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
~p = ~P = [ZWZ-P] = [kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem „psa”
~q = ~4L = [ZWZ-4L] = [kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt mających cztery łapy.
Stąd mamy rozstrzygnięcie:
P=[pies) => 4L=[pies, kot, słoń ..] =1
Relacja podzbioru P=>4L jest tu spełniona
cnd
Rozważmy kolejne zdanie:
B.
Jeśli dowolne zwierzę jest kotem (K=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
K=>4L =1
to samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Bycie kotem (K) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery lapy (4L) bo zbiór jednoelementowy K=[kot] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, kot, słoń..]
Wyjaśnienie:
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ =[pies, kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
p = K (kot) - jednoelementowy zbiór „kot”
q = 4L=[pies, kot, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
~p = ~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem „kota”
~q = ~4L = [ZWZ-4L] = [kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt mających cztery łapy.
Stąd mamy rozstrzygnięcie:
K=[kot) => 4L=[pies, kot, słoń ..] =1
Relacja podzbioru K=>4L jest tu spełniona
cnd
Prawo Kruka:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru r i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r wtedy i tylko wtedy gdy suma logiczna zbiorów (p+q) jest podzbiorem => zbioru r
(p=>r)*(q=>r) = (p+q)=>r
Gdzie:
= - znak tożsamości logicznej tożsamy z równoważnością <=>
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Doskonale widać, że de facto jest to definicja równoważności <=>.
Stąd mamy tożsamość pojęć:
„=” = <=>
Każda równoważność prawdziwa p<=>q wymusza tożsamość pojęć p=q i odwrotnie.
Definicja tożsamości pojęć p=q:
Dwa pojęcia p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Dowód prawa Kruka:
(p=>r)*(q=>r) = (p+q)=>r
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Rozpisujemy lewą stronę:
Y = (p=>r)*(q=>r) = (~p+r)*(~q+r)
Y = ~p*~q + ~p*r + r*~q + r*r
Y = ~p*~q + ~p*r + r*~q + r*1
bo:
r*r =r
r*1 =r
Wyciągamy zmienną r przed nawias:
Y = ~p*~q + r*(~p+~q +1)
Y = (~p*~q) + r
bo:
x+1 =1 gdzie x jest dowolnym wyrażeniem algebry Boole’a
r*1 =r
Y = (~p*~q)+r
Prawo De Morgana:
~p*~q = ~(p+q)
Stąd mamy:
Y = ~(p+q)+r = (p+q)=>r
Na mocy definicji warunku wystarczającego =>
cnd
Zastosujmy prawo Kruka do naszych zdań A i B
Prawo Kruka:
Zbiór P (pies) jest podzbiorem => zbioru 4L i zbiór K (kot) jest podzbiorem => zbioru 4L wtedy i tylko wtedy gdy suma logiczna zbiorów (P+K) jest podzbiorem => zbioru 4L
(A: P=>4L)*(B: K=>4L) = (P+K)=>4L
Prawdziwość zdań A i B udowodniliśmy wyżej.
Wypowiedzmy teraz zdanie po prawej stronie:
A+B:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „lub”(+) kotem (K) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
(P+K)=>4L
Zauważmy, że spójnik „lub”(+) oznacza tu z definicji sumę logiczną zbiorów P+K.
Spójnika „lub”(+) w znaczeniu sumy logicznej zbiorów P+K nie wolno nam zastąpić spójnikiem „albo”($) bo popełnimy błąd czysto matematyczny.
Innymi słowy:
Fałszywe jest zdanie jak niżej:
A$B:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „albo”($) kotem (K) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
(P$K) => 4L =0
bowiem poprzednik jest tu twardym fałszem, co udowodniono wyżej.
Fałszywość zdania warunkowego A$B wynika z prawa Kobry.
Prawo Kobry dla zbiorów (punkt 2.1.5):
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Zakodujmy zdanie A$B elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A$B’:
(P$K) ~~>4L = (P$K)*4L = []*4L = [] =0
cnd
Rozważmy na zakończenie takie zdanie:
C.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) i kotem (K) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
(P*K) => 4L =0
Dowód:
Poprzednik jest tu twardym fałszem bo nie ma zwierzęcia które by było jednocześnie psem (P) i kotem (K)
P*K =0 - twardy fałsz
Fałszywość zdania C wynika z prawa Kobry jak wyżej:
C’:
(P*K)~~>4L = (P*K)*4L = []*4L =[] =0
cnd
10.2 Spójnik „albo”($) i spójnik równoważności <=> w praktyce
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja matematyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => w dwie strony między p i ~q.
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p), twierdzenie proste
B3:~q=>p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia p (bo ~q=p), twierdzenie odwrotne
Stąd:
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi warunek wystarczający => w dwie strony między p i ~q.
Twierdzenia Pszczółki:
1.
Między dwoma pojęciami p i q wolno nam użyć spójnika „albo”($) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo”($)
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
2.
Aby rozstrzygnąć czy badane zdanie warunkowe „Jeśli p to ~q” wchodzi w skład definicji spójnika „albo”($) tzn. czy wolno nam połączyć dwa pojęcia p i q spójnikiem „albo”($) musimy udowodnić prawdziwość obu zdań warunkowych A1 i B3 tworzących definicję spójnika „albo”($)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (matematyczne twierdzenie proste)
B3: ~q=>p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia p (matematyczne twierdzenie odwrotne)
Zauważmy, że pod spójnik „albo”($) podpadają wszelkie zdania typu:
p$~p - zajdzie p albo ~p
Dowód:
Mamy matematyczną definicję spójnika „albo”($):
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) = p<=>~q
Podstawmy:
q=~p
stąd mamy:
A1B3: p$~p = (A1: p=>p)*(B3: p=>p) = p<=>p
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 14:41, 23 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
2021-10-23
Stara wersja opisu prawa Kłapouchego (końcowka postu) zostaje wymieniona na nową wersję tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19875.html#619553
3.0 Definicje spójników implikacyjnych
Spis treści
3.0 Definicje spójników implikacyjnych 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 2
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 4
3.3 Równoważność p<=>q 5
3.4 Spójnik „albo”($) p$q 8
3.5 Spójnik chaosu p|~~>q 9
3.6 Prawo Puchacza 11
3.7 Prawo Kłapouchego 13
3.7.1 Prawo Kłapouchego determinujące implikację odwrotną CH|~>P 15
3.7.2 Prawo Kłapouchego determinujące implikację prostą P|=>CH 17
3.7.3 Matematyczny raj 5-cio latka 19
3.7.4 Prawo Kłapouchego a kot Schrödingera 21
3.0 Definicje spójników implikacyjnych
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p
W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych dających odpowiedź na pytanie o p.
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
3.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
4.
Spójnik „albo”($) p$q:
A1: p=>~q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
5.
Chaos p|~~>q:
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
3.1 Implikacja prosta p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
O co chodzi w prawie Kłapouchego poznamy w punkcie 3.7
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny zdania A1 (nasz punkt odniesienia) obowiązujący w dalszej analizie to:
A1: p=>q =1
p = P=[pada]
q = CH=[chmury]
Sprawdzamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać (~P), a chmury (CH) mogą istnieć.
Matematycznie w zapisach formalnych {p, q} mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Nasz przykład w zapisach aktualnych {P, CH}:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
##
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Przykład:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w zapis słowny zdań.
Prostszy jest dowód fałszywości zdania B1 metodą „nie wprost” z wykorzystaniem prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład w zapisie aktualnym {P, CH}
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Stąd mamy:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Stąd mamy:
B1: P~>CH = B3: CH=>P =0
Definicja tożsamości logicznej „=”:
B1: p~>q = B3: q=>p =0
Nasz przykład:
B1: P~>CH = B3: CH=>P =0
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Stąd mamy dowód, iż zdania A1 i B1 wchodzą w skład implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Stąd mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> dla padania, bowiem padać może wyłącznie z chmurki.
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P) bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
Na mocy prawa Kłapouchego zdanie B1 w zapisie formalnym to:
B1: p~>q
Gdzie:
p=CH=[chmury]
q=P=[pada]
Sprawdzamy prawdziwość/fałszywość zdania B1 kodowanego warunkiem wystarczającym =>
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Stąd mamy dowód, iż zdania A1 i B1 wchodzą w skład implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P)
Stąd:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1
cnd
3.3 Równoważność p<=>q
RA1B1:
Równoważność klasyczna p<=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Równoważność klasyczna p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy <=> gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Definicja równoważności klasycznej RA1B1 znana jest każdemu człowiekowi, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 16 000
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 120 000
Zachodzi tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>
Dla zdania B1 zastosujmy prawo Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd mamy tożsamą równoważność matematyczną RA1B3.
RA1B3:
Definicja równoważności matematycznej RA1B3: p<=>q w warunkach wystarczających =>:
Równoważność matematyczna RA1B3: p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
[link widoczny dla zalogowanych]
| Rogal moderator matematyki.pl napisał: |
KAŻDY matematyk funkcjonuje na zasadzie
1. Twierdzenie proste p=>q jest prawdziwe.
2. Czy da się odwrócić?
2a) Nie da się, dajemy kontrprzykład.
2b) Da się, dowodzimy twierdzenia odwrotnego q=>p
Tak było, jest i będzie. Nie potrzeba matematyce niczego ponadto, co jest.
|
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Na mocy powyższych tożsamości pojęć mamy definicję równoważności matematycznej RA1B3: p<=>q w relacjach podzbioru =>.
RA1B3:
Definicja równoważności matematycznej RA1B3: p<=>q w relacjach podzbioru =>:
Równoważność matematyczna RA1B3: p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Gdzie:
A1: p=>q - znane każdemu matematykowi twierdzenie proste
B3: q=>p - znane każdemu matematykowi twierdzenie odwrotne
Powyższa definicja tożsamości zbiorów p=q znana jest każdemu matematykowi.
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przykład:
RA1B1:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego to samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Gdzie:
p = TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q = SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Zauważmy, że aby udowodnić prawdziwość równoważności Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych musimy udowodnić prawdziwość zdań składowych A1 i B1.
Dowód bezpośredni prawdziwości równoważności TP<=>SK jest matematycznie wykluczony!
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Jak widzimy, zdanie A1 to twierdzenie proste A1: TP=>SK, zatem nie ma z tym kłopotu.
Matematyczną błahostką jest zamiana warunku koniecznego B1: TP~>SK na odwrotne twierdzenie matematyczne B3: SK=>TP.
Korzystamy tu z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
Stąd mamy:
RA1B3:
Równoważność matematyczna Pitagorasa A1B3: TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Gdzie:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK), czego dowodem jest prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa A: TP=>SK.
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem ze spełniona sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP), czego dowodem jest prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP
Co oznacza równoważność Pitagorasa?
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych oznacza tożsamość zbiorów TP=SK:
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
TP=SK
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK (twierdzenie proste Pitagorasa) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = RA1B3: TP<=>SK
3.4 Spójnik „albo”($) p$q
Spójnik „albo”($) p$q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Spójnik „albo”($) p$q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p albo ($) zajdzie q
Środek stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy <=> gdy zajdzie ~q
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
… o czym każdy 5-cio latek wie.
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p$q
gdzie:
p = M (mężczyzna)
q = K (kobieta)
Ustalmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) zbiór wszystkich ludzi
Matematycznie zachodzi definicja dziedziny:
M+K =C=1 - bo zbiór K(kobiet) jest uzupełnieniem do dziedziny C dla zbioru M(mężczyzn)
M*K =[] =0 - bo zbiór M (mężczyzn) jest rozłączny ze zbiorem K(kobiet)
Stąd obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny C:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy następujące zależności w zbiorach:
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
~M=K - zbiór ~M jest tożsamy ze zbiorem K
~K=M - zbiór ~K jest tożsamy ze zbiorem M
Dowodzimy prawdziwości zdań składowych A1 i B1.
Z dowodem prawdziwości warunku wystarczającego => A1 nie mamy kłopotów:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
Innymi słowy:
Bycie mężczyzną (M) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K)
… o czym każdy 5-cio latek wie,
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
W dowodzeniu prawdziwości warunku koniecznego ~> B1 wygodnie jest przejść na warunek wystarczający => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) przy pomocy prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: M~>~K = B3: ~K=>M
stąd mamy:
B3.
Jeśli dowolny człowiek nie jest kobietą (~K) to na 100% => jest mężczyzną (M)
~K=>M =1
Nie bycie kobietą (~K) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być mężczyzną (M)
innymi słowy:
Nie bycie kobietą (~K) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy mężczyzną (M)
Weźmy na zakończenie równanie ogólne spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) p$q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Nasz przykład:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
… o czym każdy 5-cio latek wie.
3.5 Spójnik chaosu p|~~>q
Spójnik chaosu p|~~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) ani konieczne ~> (B1) ani też wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Weźmy takie zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest spełniona, bo Istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9…24..] np. 24
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p~~>q = p*q =1
p=P8 (zbiór liczb podzielnych przez 8)
q=P3 (zbiór liczb podzielnych przez 3)
Sprawdzamy czy zdanie A należy do spójnika chaosu P8|~~>P3:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9 ..24..]
B1: P8~>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9 ..24..]
stąd mamy:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy rozstrzygniecie:
Zdania A1 i B1 wchodzą w skład operatora chaosu P8|~~>P3
cnd
Co to znaczy?
Dla zadnia A przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN = [1,2,3,4,5,6,7,8.9 …] - zbiór liczb naturalnych
Zdanie A definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9..24..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P8 i ~P3 definiowane jako uzupełnienia do dziedziny LN dla zbiorów P8 i P3
~P8 = [LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3 = [LN-P3] = [1,2 .. 4,5..7,8..]
Tożsama definicja chaosu p|~~>q w zbiorach:
Chaos p|~~>q to spełniona definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Sprawdzenie:
| Kod: |
A: P8~~> P3= P8* P3=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3 np. 24
B: P8~~>~P3= P8*~P3=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P3 np. 8
C:~P8~~>~P3=~P8*~P3=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P3 np. 1
D:~P8~~> P3=~P8* P3=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P3 np. 3
|
cnd
3.6 Prawo Puchacza
Zapiszmy jeszcze raz wszystkie możliwe definicje spójników implikacyjnych.
1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Stąd mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
3.
Równoważność klasyczna p<=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy <=> gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
4.
Spójnik „albo”($) p$q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Spójnik „albo”($) p$q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p albo ($) zajdzie q
Środek stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy <=> gdy zajdzie ~q
5.
Spójnik chaosu p|~~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) ani konieczne ~> (B1) ani też wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może należeć tylko i wyłącznie do jednego z pięciu spójników implikacyjnych.
Innymi słowy:
Wykluczone jest, aby dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należało równocześnie do jakichkolwiek dwóch spójników implikacyjnych.
Dowód prawa Puchacza dla implikacji prostej p|=>q:
Załóżmy, że zdanie warunkowe x należy do definicji implikacji prostej p|=>q.
Wtedy mamy spełnione:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
a)
Sprawdzamy czy zdanie x może należeć do implikacji odwrotnej p|~>q:
Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0 = 0*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do implikacji odwrotnej p|~>q
b)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do równoważności p<=>q:
Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
stąd:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)= 1*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do równoważności p<=>q
c)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do spójnika „albo”($):
Definicja spójnika „albo”($) p$q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
z czego wynika że:
A1: p=>~q =0
Dowód:
Dla q i ~q zachodzi definicja dziedziny:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Skoro z założenia dla x mamy:
A1: p=>q =1 - p jest podzbiorem => zbioru q
to musi być:
A1: p=>~q =0 - p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q bo zbiory q i ~q są rozłączne.
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= 0*x =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do spójnika „albo”($)
d)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do chaosu p|~~>q:
Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
stąd:
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(1)*~(0)=0*1=0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do chaosu p|~~>q
Zadanie dla czytelnika:
Powtórz powyższy dowód zakładając że zdanie warunkowe x „Jeśli p to q” należy do:
1. Implikacji odwrotnej p|~>q:
2. Równoważności p<=>q
3. Spójnika „albo”($)
4. Spójnika chaosu p|~~>q
3.7 Prawo Kłapouchego
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
O co chodzi w prawie Kłapouchego?
Poznajmy kluczowe tu definicje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Stąd mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
3.7.1 Prawo Kłapouchego determinujące implikację odwrotną CH|~>P
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Rozważmy zdanie startowe:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki
cnd
Na mocy praw Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
Stąd zdanie B1 w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie B1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość tego zdania kodowanego warunkiem wystarczającym =>
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padać (P)
A1: CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Stąd mamy dowód iż zdania A1 i B1 są częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p= CH(chmury)
q= P(pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym {CH, P}
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P =~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q
Kolumna A3B3:
Definicja implikacji prostej q|=>p:
q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) = ~(q+~p)*(~q+p) = (~q*p)*(~q+p) = ~q*p = p*~q
Stąd mamy:
p|~>q = q|=>p = p*~q
Nasz punkt odniesienia na w implikacji odwrotnej to:
p =CH (chmury)
q =P (pada)
stąd mamy:
| Kod: |
p|~>q = q|=>p = p*~q
CH|~>P = P|=>CH = CH*~P = ~P*CH
|
Podsumowanie:
| Kod: |
IO - Implikacja odwrotna p|~>q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p =CH(chmury)
q =P(pada)
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}:
p|~>q = q|=>p = p*~q
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym {CH, P}
CH|~>P = P|=>CH = ~P*CH
Seria zdań wchodząca w skład implikacji odwrotnej w zapisie aktualnym to:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P [=] B3: P=>CH = B4:~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
B1: p~>q = B2:~p~>~q [=] B3: q=>p = B4:~q~>~p
Seria zdań w zapisie aktualnym to matematyczny raj 5-cio latka bo:
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Prawo Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
Prawo Kubusia:
B3: P=>CH = B4: ~P~>~CH
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
B3: P=>CH = B2:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B1: CH~>P = B4:~P~>~CH
Wszystkie te prawa Jaś (lat 5) zna perfekcyjnie nie mając pojęcia
o prawie Kłapouchego, czyli nie mając pojęcie iż zdania te należą
do implikacji odwrotnej p|~>q różnej na mocy definicji ##
od implikacji prostej p|=>q
Y = p|~>q = q|=>p = p*~q ## Y = p|=>q = q|~>p = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej (patrz punkt 2.3.1)
|
3.7.2 Prawo Kłapouchego determinujące implikację prostą P|=>CH
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Rozważmy zdanie startowe:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Na mocy praw Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
##
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie A1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość tego zdania kodowanego warunkiem koniecznym ~>
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Przykład:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w zapis słowny zdań.
Stąd mamy dowód iż zdania A1 i B1 są częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p =P(pada)
q =CH(chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym {P, CH}:
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: p=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Kolumna A3B3:
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p:
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p = ~p*q
Stąd mamy:
p|=>q = q|~>p = ~p*q
Nasz punkt odniesienia na w implikacji prostej p|=>q to:
p =P(pada)
q =CH(chmury)
stąd mamy:
| Kod: |
p|=>q = q|~>p = ~p*q
P|=>CH = CH|~>P = ~P*CH
|
Podsumowanie:
| Kod: |
IP - Implikacja prosta p|=>q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p =P(pada)
q =CH(chmury)
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
p|=>q = q|~>p = ~p*q
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym {P, CH}
P|=>CH = CH|~>P = ~P*CH
Seria zdań wchodząca w skład implikacji prostej w zapisie aktualnym to:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH [=] A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q [=] A3: q~>p = A4: ~q=>~p
Seria zdań w zapisie aktualnym to matematyczny raj 5-cio latka bo:
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawo Tygryska:
A1: P=>CH = A3: CH~>P
Prawo Kubusia:
A3: CH~>P = A4:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: P=>CH = A4:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A3: CH~>P = A2:~P~>~CH
Wszystkie te prawa Jaś (lat 5) zna perfekcyjnie nie mając pojęcia
o prawie Kłapouchego, czyli nie mając pojęcie iż zdania te należą
do implikacji prostej p|=>q różnej na mocy definicji ##
od implikacji odwrotnej p|~>q
p|=>q = q|~>p = ~p*q ## p|~>q = q|=>p = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej (punkt 2.3.1)
|
3.7.3 Matematyczny raj 5-cio latka
Każdy 5-cio latek doskonale zna logikę matematyczną, algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlega, ale nie jest świadom zapisów formalnych zdań którymi posługuje się matematyka ścisła.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że omówione wyżej zapisy aktualne serii zdań warunkowych „Jeśli p to q” wchodzących w skład implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q są identyczne!
| Kod: |
Raj 5-cio latka, czyli zdania w zapisach aktualnych.
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
|
O tym czy będziemy mieli do czynienia z implikacją odwrotną CH|~>P czy też z różną na mocy definicji ## implikacją prostą P|=>CH decyduje punkt odniesienia wyznaczany przez prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Matematyka ścisła w zapisach formalnych {p, q} (np. prawo Kłapouchego) interesuje 5-cio latka tyle co zeszłoroczny śnieg. 5-cio latek ma do dyspozycji wyłącznie zdania 1,2,3,4 w zapisach aktualnych do których perfekcyjnie stosuje prawa Logiki matematycznej zapisane w tabeli T0 nie będąc tego świadomym.
Dowód:
| Kod: |
Matematyczny Raj 5-cio latka w implikacji prostej P|=>CH:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Prawa logiki matematycznej w Raju:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
|
Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi, mimo że nie jest tego świadom.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
3.7.4 Prawo Kłapouchego a kot Schrödingera
Zapiszmy wyprowadzone wyżej tabele prawdy implikacji prostej p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q jedna pod drugą, by lepiej się im przyjrzeć.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|=>q = A3B3: q|~>p =~p*q
Zapis aktualny:
A1B1: P|=>CH = A3B3: CH|~>P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|~>q = A3B3: q|=>p = p*~q
Zapis aktualny:
A1B1: CH|~>P = A3B3: P|=>CH = CH*~P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Zauważmy, że między tabelami prawdy spójników implikacyjnych IP i IO w zapisach formalnych {p, q} definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona, natomiast w zapisach aktualnych NIE!
Dowód:
| Kod: |
IP | IO
Implikacja prosta p|=>q: | Implikacja odwrotna p|~>q
1: Y = (p|=>q) = ~p*q ## 1: Y = (p|~>q) = p*~q
2: Y = (P|=>CH)= ~P*CH ## 2: Y = (CH|~>P)= CH*~P = ~P*CH
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P (pada) | p=CH (chmury)
q=CH (chmury) | q=P (pada)
# #
3: ~Y = ~(p|=>q) = p+~q ## 3: ~Y = ~(p|~>q) = ~p+q
4: ~Y = ~(P|=>CH)= P+~CH ## 4: ~Y = ~(CH~>P) = ~CH+P = P+~CH
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P (pada) | p=CH (chmury)
q=CH (chmury) | q=P (pada)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych IP: p|=>q oraz IO: p|~>q
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem # drugiej
Doskonale widać, że:
1.
Linie 1 i 3:
W zapisach formalnych {p, q} obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
2.
Linie 2 i 4:
W zapisach aktualnych {P, CH} spełniona jest definicja znaczka różne # ale definicja znaczka różne na mocy definicji ## nie jest spełniona, bowiem po obu stronach znaczka różne na mocy definicji ## mamy identyczną funkcję logiczną Y=f(x) albo ~Y=~(f(x))
| Kod: |
IP | IO
Implikacja prosta p|=>q: | Implikacja odwrotna p|~>q
2: Y = (P|=>CH)= ~P*CH ## 2: Y = (CH|~>P)= CH*~P = ~P*CH
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P (pada) | p=CH (chmury)
q=CH (chmury) | q=P (pada)
# #
4: ~Y = ~(P|=>CH)= P+~CH ## 4: ~Y = ~(CH~>P) = ~CH+P = P+~CH
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P (pada) | p=CH (chmury)
q=CH (chmury) | q=P (pada)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych IP: p|=>q oraz IO: p|~>q
|
Dlaczego definicja znaczka różne na mocy definicji ## w zapisach aktualnych nie jest spełniona?
Przyczyną tego faktu jest patrzenie na obiekt fizyczny z różnych punktów odniesienia.
Zauważmy, że w implikacji prostej IP: p|=>q punkt odniesienia to:
p|=>q = P|=>CH = ~p*q
p = P=[pada]
q = CH=[chmury]
P|=>CH = ~P*CH
Natomiast w implikacji odwrotnej IO: p|~>q punkt odniesienia to:
p|~>q = CH|~>P = p*~q
p = CH=[chmury]
q = P=[pada]
CH|~>P = CH*~P = ~P*CH
Mamy tu sytuację identyczną jak z kotem Schrödingera, dopóki nie otworzymy drzwiczek do pudełka w którym kot został umieszczony to nie wiemy, czy kot jest żywy czy martwy.
Analogicznie:
| Kod: |
Matematyczny Raj 5-cio latka:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
|
Dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego to nie wiemy:
Czy dane zdanie 1,2,3 albo 4 w zapisie aktualnym {P, CH} należy do implikacji prostej:
p|=>q = ~p*q
##
czy też do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych p|=>q i p|~>q
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy powyższe zdanie 1: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie 1: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q, bo to jest fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest opisane w punkcie 2.8 prawo Puchacza.
Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy - to jest matematyczny bezsens, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej. |
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 14:43, 23 Paź 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 20:32, 25 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
25-10-2021
Porzucona wersja prawa Kruka na rzecz zdecydowanie lepszej wersji:
Algebra Kubusia
9.0 Algorytm szczególny i ogólny Kruka
Spis treści
9.0 Algorytm szczególny i ogólny Kruka 1
9.1 Teoria niezbędna do zrozumienia algorytmów Kruka 2
9.1.1 Spójniki implikacyjne 3
9.2 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia: 6
9.3 Szczególny algorytm Kruka 6
9.3.1 Przykłady dla punktu 1 szczególnego algorytmu Kruka 8
9.3.2 Przykład dla punktu 2 szczególnego algorytmu Kruka 11
9.3.3 Przykład dla punktu 3 szczególnego algorytmu Kruka 14
9.3.4 Przykład dla punktu 4 szczególnego algorytmu Kruka 20
9.0 Algorytm szczególny i ogólny Kruka
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” ziemska logika matematyczna zadowala się rozstrzygnięciami typu zdanie prawdziwe/fałszywe, nie mając pojęcia że wiele zdań fałszywych też jest dla logiki bezcennych bo rozstrzygają one o kluczowych dla logiki matematycznej sprawach.
Przykład:
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH =P*~CH =0
Zdanie A1’ jest fałszywe (=0) bo nie jest możliwe zdarzenie: pada i nie ma chmur
Współczesny ziemski matematyk (rok 2021) potrafi udowodnić fałszywość powyższego zdania, ale nie potrafi wyciągnąć z tego jakichkolwiek wniosków, stwierdza tylko i wyłącznie iż zdanie A1’ jest fałszem i kropka.
Panowie matematycy, wasza logika matematyczna jest do bani, bo definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Doskonale widać, że fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy warunek wystarczający A1 (i odwrotnie).
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1) bo zawsze gdy pada, są chmury.
Podsumowując:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>CH =1 daje nam gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’: P~~>~CH =0 (i odwrotnie)
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Dowolne twierdzenie matematyczne ziemian dane zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>.
Logika matematyczna ziemskich matematyków widzi tylko i wyłącznie prawdziwe/fałszywe warunki wystarczające =>. Tragedia ziemskiej logiki matematycznej polega między innymi na tym, że nie widzi ona związku między prawdziwym warunkiem wystarczającym => A1 a fałszywym kontrprzykładem A1’.
9.1 Teoria niezbędna do zrozumienia algorytmów Kruka
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
9.1.1 Spójniki implikacyjne
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to seria zdań warunkowych „Jeśli p to q” związana z wybraną kolumną w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p
„Co się stanie jeśli zajdzie p?”
Rozróżniamy 5 spójników implikacyjnych p|?q różnych na mocy definicji ##:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Czytamy:
Implikacji prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> (B1) dla zajścia q
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|=>q =~p*q
##
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|~>q = p*~q
##
TR
Równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p<=>q = p*q+~p*~q
##
TA
Definicja spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego następnika q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Trzeciej możliwości brak.
Prawą stronę czytamy:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (A1)
To samo w skrócie:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Prawa strona to definicja równoważności p<=>~q:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p$q
Definicja spójnika „albo”($) p$q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p$q = p*~q+~p*q
##
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|~~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej Y zdefiniowanej jak wyżej.
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## funkcji logicznej Y znajdziemy w punktach 2.3.1
9.2 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zarówno poprzednik p jak i następnik q muszą mieć wspólną dziedzinę i być pojęciami niepustymi (różnymi od zera) we wszelkich możliwych przeczeniach {p, q, ~p, ~q}, co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
Jeśli w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” którekolwiek z pojęć {p, q, ~p, ~q} ma wartość logiczną równą zero (zbiór/pojęcie puste) to takie zdanie jest fałszywe na gruncie algebry Kubusia.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Komentarz:
Analiza matematyczna dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” polega na badaniu relacji w zdarzeniach/zbiorach przez wszystkie możliwe przeczenia p i q {p, q, ~p, ~q}.
Jeśli którekolwiek z pojęć {p, q, ~p, ~q} jest pojęciem pustym o wartość logicznej równej 0, to z definicji nie możemy na nim operować bo definicja zbioru pustego jako zbioru zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka to wyklucza.
Uwaga:
Zauważmy, że niniejsza definicja wywala w kosmos wszelkie zdania warunkowe „Jeśli p to q” w których poprzednik p lub następnik q mają twardą wartość logiczną (1 albo 0), czyli wywala na wieczne piekielne męki fundament Klasycznego Rachunku Zdań, „implikację materialną” - bez prawa powrotu na ziemię.
9.3 Szczególny algorytm Kruka
Szczególny algorytm Kruka rozstrzyga zarówno o prawdziwości/fałszywości zdań warunkowych „Jeśli p to q” jak również o tym czy badane zdanie fałszywe należy/nie należy do jednego z pięciu spójników implikacyjnych dla szczególnych przypadków 1,2,3,4.
Szczególny algorytm Kruka pozwala łatwiej zrozumieć o co chodzi w ogólnym algorytmie Kruka, o którym będzie ciut dalej.
Szczególny algorytm Kruka dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Punkt 1.
Jeśli badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) albo elementem wspólnym ~~> (dla zbiorów) jest fałszem:
X’: p~~>q =p*q =0
to na100% jest to kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego =>:
X: p=>~q =1
Punkt 2.
Badamy, czy zdanie „Jeśli p to q” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) albo elementem wspólnym ~~> (dla zbiorów) jest prawdą:
x”: p~~>q = p*q =1?
Jeśli nie (p*q=0) to idź do punktu 1
Jeśli badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane warunkiem wystarczającym => jest fałszem, to badamy czy spełniony jest warunek konieczny ~> między tymi samymi p i q i w tym samym kierunku.
Jeśli warunek konieczny ~> między badanymi p i q jest spełniony to mamy rozstrzygnięcie:
Badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest bezcennym fałszem należącym do implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Punkt 3.
Badamy, czy zdanie „Jeśli p to q” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) albo elementem wspólnym ~~> (dla zbiorów) jest prawdą:
x”: p~~>q = p*q =1?
Jeśli nie (p*q=0) to idź do punktu 1
Jeśli badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane warunkiem wystarczającym => jest prawdziwe,
A1: p=>q =1
to w celu rozstrzygnięcia do jakiego spójnika implikacyjnego należy musimy zbadać jego prawdziwość fałszywość przy kodowaniu warunkiem koniecznym ~> dla tych samych p i q i w tym samym kierunku.
B1: p~>q =?
Rozstrzygnięcia są tu takie:
4a)
Jeśli warunek konieczny ~> B1 jest prawdziwy to zdania A1 i B1 należą do równoważności p<=>q.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne spełnienie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
4b)
Jeśli warunek konieczny ~> B1 jest fałszem to zdania A1 i B1 należą do implikacji prostej p|=>q.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Punkt 4.
Badamy, czy zdanie „Jeśli p to q” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) albo elementem wspólnym ~~> (dla zbiorów) jest prawdą:
x”: p~~>q = p*q =1?
Jeśli nie (p*q=0) to idź do punktu 1
Rozstrzygnięcie czy badane zdanie prawdziwe kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) lub elementem wspólnym zbiorów ~~~> (dla zbiorów) należy do spójnika chaosu p|~~>q
W tym przypadku badamy prawdziwość zdań kodowanych znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
A: p~~>q = p*q =1
B: p~~>~q = p*~q=1
C: ~p~~>~q = ~p*~q =1
D: ~p~~>q = ~p*q =1
Jeśli wszystkie zdania A,B,C i D są prawdziwe to badane zdanie warunkowe kodowane znaczkiem ~~> należy do operatora chaosu p|~~>q, czyli z punktu widzenia logiki matematycznej jest bezwartościowe bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej => (= warunku wystarczającego =>) - wszystko może się zdarzyć.
Jak działa szczególny algorytm Kruka w praktyce?
9.3.1 Przykłady dla punktu 1 szczególnego algorytmu Kruka
Punkt 1.
Jeśli badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) albo elementem wspólnym ~~> (dla zbiorów) jest fałszem:
X’: p~~>q =p*q =0
to na100% jest to kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego =>:
X: p=>~q =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykład 1.
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH =P*~CH =0
Zdanie A1’ jest fałszywe (=0) bo nie jest możliwe zdarzenie: pada i nie ma chmur
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Na mocy definicji kontrprzykładu, fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy warunek wystarczający A1 (i odwrotnie).
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1) bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Prawo Kruka (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przyjmujemy zdanie A1 za punkt odniesienia, stąd zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q=1
Gdzie:
p= P=[pada]
q= CH=[chmury]
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie A1 badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> by było pochmurno (CH=1) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Dowód alternatywny to dowód nie wprost z wykorzystaniem prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
stąd:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => do tego by padało, bo nie zawsze gdy są chmury. pada.
Na mocy prawa Tygryska fałszywość warunku wystarczającego => B3: CH=>P wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>CH (i odwrotnie)
Zapiszmy jeszcze raz zdania A1 i B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
p=>q =1
Padanie (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1) bo zawsze gdy pada, są chmury.
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
p~>q =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> by było pochmurno (CH=1) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
#
~Y=~(p=>q) = p*~q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p~>q) =p+~q
#
~Y=~(p~>q) = ~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego => | Definicja warunku koniecznego ~>
Y = (p=>q)=~p+q ## Y = (p~>q)= p+~q
# #
~Y =~(p=>q)=p*~q ## ~Y =~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
W tabeli T1 widzimy, że definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Na mocy powyższego zapisujemy prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to nasze zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań
Rozstrzygnięcie:
Wszystkie zdania z którymi mieliśmy do czynienia tzn. zdanie fałszywe A1’ oraz zdania prawdziwe A1, i fałszywe B1 i B3 należą do definicji implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH).
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Nasz przykład:
A1: P=>CH =1 - padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1)
B1: P~>CH =0 - padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1)
stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0) =1*1 =1
cnd
9.3.2 Przykład dla punktu 2 szczególnego algorytmu Kruka
Punkt 2.
Badamy, czy zdanie „Jeśli p to q” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) albo elementem wspólnym ~~> (dla zbiorów) jest prawdą:
x”: p~~>q = p*q =1?
Jeśli nie (p*q=0) to idź do punktu 1
Jeśli badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane warunkiem wystarczającym => jest fałszem, to badamy czy spełniony jest warunek konieczny ~> między tymi samymi p i q i w tym samym kierunku.
Jeśli warunek konieczny ~> między badanymi p i q jest spełniony (=1) to mamy rozstrzygnięcie:
Badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest bezcennym fałszem należącym do implikacji odwrotnej p|~>q.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykład 2
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =?
Sprawdzamy czy istnieje element wspólny zbiorów P2 i P8:
P2~~>P8 = P2*P8 =1 bo 8
cnd
Badamy czy spełniony jest warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo kontrprzykład: 2
Prawo Kruka (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przyjmujemy zdanie A1 za punkt odniesienia, stąd zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q=0
Gdzie:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Badamy czy w zdaniu A1 spełniony jest warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24 ..]
Dowód tożsamy nie wprost to skorzystanie z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Na mocy prawa Tygryska wystarczy udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego => w zdaniu B3, aby mieć pewność absolutną prawdziwości warunku koniecznego ~> w zdaniu B1.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy ziemski matematyk.
Na mocy prawa Tygryska, prawdziwość warunku wystarczającego B3: P8=>P2 gwarantuje => nam prawdziwość warunku koniecznego ~> B1: P2~>P8 (i odwrotnie)
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż wszystkie badane wyżej zdania A1, B1, B3 wchodzą w skład definicji implikacji odwrotnej P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8).
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Nasz przykład:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo np. 2
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1 =1*1 =1
cnd
9.3.3 Przykład dla punktu 3 szczególnego algorytmu Kruka
Punkt 3.
Badamy, czy zdanie „Jeśli p to q” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) albo elementem wspólnym ~~> (dla zbiorów) jest prawdą:
x”: p~~>q = p*q =1?
Jeśli nie (p*q=0) to idź do punktu 1
Jeśli badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane warunkiem wystarczającym => jest prawdziwe,
A1: p=>q =1
to w celu rozstrzygnięcia do jakiego spójnika implikacyjnego należy musimy zbadać jego prawdziwość fałszywość przy kodowaniu warunkiem koniecznym ~> dla tych samych p i q i w tym samym kierunku.
B1: p~>q =?
Rozstrzygnięcia są tu takie:
4a)
Jeśli warunek konieczny ~> B1 jest prawdziwy to zdania A1 i B1 należą do równoważności p<=>q.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne spełnienie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
4b)
Jeśli warunek konieczny ~> B1 jest fałszem to zdania A1 i B1 należą do implikacji prostej p|=>q.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykład 3a
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (K=1)
A1: TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby spełniona w nim była suma kwadratów (SK=1)
Prawo Kruka (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Aby być w zgodzie z przyzwyczajeniem ziemskich matematyków przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia.
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym przyjmuje brzmienie:
A1: p=>q =1
gdzie:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Twierdzenie odwrotna Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, że zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)
Innymi słowy:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
Do zapamiętania:
Dowolne twierdzenie matematyczne ziemskich matematyków jest tożsame z warunkiem wystarczającym => w algebrze Kubusia.
Czyli:
Twierdzenie matematyczne = warunek wystarczający =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja matematyczna równoważności p<=>q:
Równoważności matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (p jest podzbiorem =>q)
B3: q=>p =1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p (q jest podzbiorem =>p)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Doskonale tu widać, że równoważność matematyczna w zbiorach definiuje znaną każdemu matematykowi tożsamość zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Oczywistym jest, że twierdzenie proste Pitagorasa:
A1: TP=>SK =1 - TP jest wystarczające => dla SK (TP jest podzbiorem => SK)
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1 - p jest wystarczające => dla q (p jest podzbiorem => q)
i twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3: SK=>TP =1 - SK jest wystarczające => dla TP (SK jest podzbiorem => TP)
To samo w zapisach formalnych:
B3: q=>p =1 - q jest wystarczające => dla p (q jest podzbiorem => p)
Definiuje nam tożsamość zbiorów TP=SK:
Zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1) i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
to samo w zapisie formalnym:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy tożsamą definicję zarówno tożsamości zbiorów p=q jak i równoważności.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Stąd mamy wyprowadzoną tożsamą definicję równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Nasz przykład:
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia SK
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
To samo w zapisie formalnym:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Stąd mamy wyprowadzoną tożsamą definicję równoważności TP<=>SK:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Stąd mamy wyprowadzoną tożsamą definicję równoważności zbiorów znaną wszystkim ludziom, nie tylko matematykom.
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Dowód iż ostatni zapis znają wszyscy ziemianie, nie tylko matematycy:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
wyników: 8 290
„koniecznym i wystarczającym”
wyników: 9 010
„potrzeba i wystarcza”
wyników: 141 000
Podsumowując:
Badane zdania prawdziwe:
A1: TP=>SK =1 - TP jest wystarczające => dla SK (TP jest podzbiorem => SK)
B1: TP~>SK =1 - TP jest konieczne ~> dla SK (TP jest nadzbiorem ~> SK)
tworzą definicje równoważności w logice dodatniej (bo SK):
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Warunek wystarczający B3: SK=>TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa) także wchodzi w skład równoważności TP<=>SK.
Przykład 3b
Weźmy następujące twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=>[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni powyższą relację podzbioru P8=>P2.
Prawo Kruka (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia, stąd zapis zdania A1 w zapisie formalnym to:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
W tym momencie warunek wystarczający => A1 może być tylko i wyłącznie częścią równoważności P8<=>P2 albo częścią implikacji prostej P8|=>P2.
Aby to rozstrzygnąć musimy zbadać warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Zapiszmy jeszcze raz dania A1 i B1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=>[2,4,6,8..]
##
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego =. i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
#
~Y=~(p=>q) = p*~q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p~>q) =p+~q
#
~Y=~(p~>q) = ~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego => | Definicja warunku koniecznego ~>
Y = (p=>q)=~p+q ## Y = (p~>q)= p+~q
# #
~Y =~(p=>q)=p*~q ## ~Y =~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
W tabeli T1 widzimy, że definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Na mocy powyższego zapisujemy prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to nasze zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań
Rozstrzygnięcie:
Zdania z którymi mieliśmy do czynienia, czyli:
A1: P8=>P2 =1 - prawdziwy (=1) warunek wystarczający =>
B1: P8~>P2 =0 - fałszywy (=0) warunek konieczny ~>
należą do definicji implikacji prostej P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2).
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Nasz przykład:
A1: P8=>P2 =1 - bo P8 jest (=1) wystarczające => dla P2 (zbiór P8 jest podzbiorem => P2)
B1: P8~>P2 =0 - bo P8 nie jest (=0) konieczne ~> dla P2 (P8 nie jest nadzbiorem ~> P2)
stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd
Podsumowując:
Zauważmy, że z punktu widzenia logiki matematycznej fałszywy warunek konieczny B1: P8~>P2 =0 jest bezcenny, bo pozwala rozstrzygnąć o przynależności zdań A1: P8=>P2=1 i B1: P8~>P2=0 do implikacji prostej P8|=>P2.
9.3.4 Przykład dla punktu 4 szczególnego algorytmu Kruka
Punkt 4.
Badamy, czy zdanie „Jeśli p to q” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) albo elementem wspólnym ~~> (dla zbiorów) jest prawdą:
x”: p~~>q = p*q =1?
Jeśli nie (p*q=0) to idź do punktu 1
Rozstrzygnięcie czy badane zdanie prawdziwe kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) lub elementem wspólnym zbiorów ~~~> (dla zbiorów) należy do spójnika chaosu p|~~>q
W tym przypadku badamy prawdziwość zdań kodowanych znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
| Kod: |
A: p~~> q = p* q =1
B: p~~>~q = p*~q =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1
D:~p~~> q =~p* q =1
|
Jeśli wszystkie zdania A,B,C i D są prawdziwe to badane zdanie warunkowe kodowane znaczkiem ~~> należy do spójnika chaosu p|~~>q, czyli z punktu widzenia logiki matematycznej jest bezwartościowe bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej => (= warunku wystarczającego =>) - wszystko może się zdarzyć.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykład
Zbadaj czy poniższe zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> należy do spójnika chaosu p|~~>q
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów spełniona bo 24.
Prawo Kruka (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przyjmijmy zdanie A za punkt odniesienia, stąd zapis zdania A w zapisie formalnym to:
A: p~~>q =1
Gdzie:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3 =[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Zauważmy że:
Poprzednik mówi tu o zbiorze P8, zaś następnik o zbiorze P3.
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3 =[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny.
~p = ~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~q = ~P3=[LN-P3] = [1,2..4,5..7,8..] - zbór liczb niepodzielnych przez 3
Zauważmy, że warunek konieczny prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest spełniony, bo zbiory {p=P8, q=P3, ~p=~p8, ~q=~P3) są niepuste i rozłączne oraz należą do wspólnej dziedziny LN.
Spełniona jest oczywiście definicja wspólnej dziedziny zarówno dla p jak i dla q.
Dla p=P8 mamy:
P8+~P8 =LN =1
P8*~P8=[] =0
Dla q=P3 mamy:
P3+~P3 =LN =1
P3*~P3=[] =0
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
| Kod: |
A: P8~~> P3 = P8* P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C:~P8~~>~P3 =~P8*~P3 =1 bo 2
D:~P8~~> P3 =~P8* P3 =1 bo 3
|
Rozstrzygnięcie:
Badanie zdanie prawdziwe P8~~>P3 należy do spójnika chaosu P8|~~>P3.
cnd
Kolejne rozstrzygnięcie iż zbiory niepuste A,B,C i D są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do wspólnej dziedziny LN jest trywialne.
Przejdźmy na zapis formalny podstawiając:
p = P8
q= P3
| Kod: |
A: p~~> q = p* q =1
B: p~~>~q = p*~q =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1
D:~p~~> q =~p* q =1
|
Badamy rozłączność zbiorów A,B,C i D przez wszystkie możliwe przypadki gdzie:
| Kod: |
A: p* q =1
B: p*~q =1
C:~p*~q =1
D:~p* q =1
|
Stąd mamy:
A*B = (p*q)*(p*~q) = [] =0 - bo prawo algebry Kubusia: q*~q =[] =0
A*C = (p*q)*(~p*~q) =[] =0 - bo prawo algebry Kubusia: p*~p =[] =0
A*D = (p*q)*(~p*q) =[] =0 - bo prawo algebry Kubusia: p*~p =[] =0
B*C = (p*~q)*(~p*~q) =[] =0 - bo prawo Algebry Kubusia p*~p =[] =0
B*D = (p*~q)*(~p*q) =[] =0 - bo prawo algebry Kubusia: p*~p =[] =0
C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0 - bo prawo algebry Kubusia ~q*q =[] =0
cnd
Dowód iż suma logiczna zbiorów A, B, C i D tworzy dziedzinę LN jest banałem:
A+B+C+D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
A+B+C+D = p*(q+~q) = ~p*(~q+q) = p+~p =1
bo:
p+~p =1 =LN - prawo algebry Kubusia
p*1 =p - prawo algebry Kubusia
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 20:33, 25 Paź 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 8:40, 12 Lis 2021 Temat postu: |
|
|
2021-11-12
W groźbie w poprzedniku i następniku musi być spójnik "lub"(+)?
9.5.3 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)|~>(L*~D)
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Operator implikacji odwrotnej p||~>q do układ równań A1B1: p|~>q i A2B2: ~p|=>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p, czyli gdy nie posprzątam pokoju (~P) lub będę bił siostrę (B)?
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
~P+B ~> L*~D =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju (~P) lub bicie siostry (B) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L) i nie obejrzenia dobranocki (~D)
Nasz punkt odniesienia to:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L*~D - dostaniesz lanie (L) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
Obliczamy przeczenia p i q:
~p=~(~P+B) = P*~B - na mocy prawa De Morgana
~q=~(L*~D) = ~L+D - na mocy prawa De Morgana
W następniku zdania B1 mamy tu ewidentną groźbę, zatem na mocy definicji groźby zdanie B1 to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary w zdaniu A1’ bez względu na ostrość wypowiedzianej groźby w zdaniu B1.
Zauważmy, że w kolumnie A1B1 warunek wystarczający => w zdaniu A1 jest fałszem:
A1: p=>q =0
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’.
LUB
W przełożeniu na nasz przykład zdanie A1’ brzmi:
A1’.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to możesz ~~> nie dostać lania (~L) lub obejrzeć dobranockę (D)
~P+B~~>~L+D =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q =1
Jest taka możliwość na mocy definicji groźby.
Rozpiszmy poprzednik w zdaniach B1 i A1’ na zdarzenia rozłączne.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
W przełożeniu na nasz przykład mamy:
~P+B = a: ~P*B + b: ~P*~B + c: P*B
Stąd mamy:
Warunek kary będzie spełniony (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = ~P*B=1 - nie posprzątam pokoju (~P) i będę bił siostrę (B)
lub
Yb = ~P*~B=1 - nie posprzątam pokoju (~P) i nie będę bił siostry (~B)
lub
Yc = P*B =1 - posprzątam pokój (P), ale będę bił siostrę (B)
matematycznie zachodzi:
Y = Ya+Yb+Yc
Wystarczy, że którakolwiek z cząstkowych funkcji rozłącznych (Ya, Yb, Yc) przyjmie wartość logiczną 1 i już warunek kary będzie spełniony.
Zauważmy że:
Warunek konieczny ~> B1 umożliwia mamie wykonanie maksymalnej kary w 100%, czyli jeśli synek spełni którąkolwiek z funkcji cząstkowych (Ya, Yb, Yc) to maksymalna kara widoczna w groźbie B1 może być wykonana.
Ta maksymalna kara w zdaniu B1 brzmi:
B1: L*~D =1 - dostaniesz lania (L=1) i nie obejrzysz dobranocki (~D=1)
Może być wykonana nie oznacza, że musi być wykonana bowiem na mocy zdania A1’ mama może darować karę częściowo lub nawet w 100%.
Rozpiszmy następnik w zdaniu A1’ na zdarzenia rozłączne.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
W przełożeniu na nasz przykład mamy:
~L+D = d: ~L*D + e: ~L*~D + f: L*D
Stąd mamy:
Mama ma prawo wykonać dowolną z kar cząstkowych Yd, Ye albo Yf:
Yd = ~L*D =1 - nie dostają lania (~L) i oglądam dobranockę (D) - tu jest 100% darowanie kary.
lub
Ye = ~L*~D =1 - nie dostaję lania (~L) i nie oglądam dobranocki (~D) - tu jest kara częściowa (~D)
lub
Yf = L*D =1 - dostaje lanie (L) i oglądam dobranockę (D) - tu jest kara częściowa (L)
Podsumowując:
W przypadku spełnienia któregokolwiek z częściowych warunków kary (Ya, Yb, Yc) mama ma 100% wolnej woli, czyli może wykonać karę maksymalną (L*~D=1) o której mówi zdanie B1 albo może wykonać dowolną z kar częściowych (Yd, Ye, Yf), gdzie Yd pozwala nawet na 100% darowanie kary zależnej od nadawcy.
W zdaniu A1’ zaszyty jest doskonale znany w świecie żywym „alt łaski” (Yd), czyli możliwość darowania w 100% dowolnej kary zależnej od nadawcy.
„Akt łaski” to fundament Biblii gdzie roi się od tego typu przykładów:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Wniosek:
Biblia to doskonale napisana Algebra Kubusia językiem zrozumiałym dla prostych ludzi, tych sprzed 2000 lat.
… co może się wydarzyć jeśli nie spełnię warunku kary w zdaniu B1?
Mamy groźbę B1:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
(~P+B) ~> (L*~D)
to samo w zapisach ogólnych:
p~>q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
a) „lub”(+) na „i”(*)
b) „i”(*) na „lub”(+)
c) warunek konieczny ~> na warunek wystarczający =>
Stąd mamy:
P*~B => ~L+D
to samo w zapisach ogólnych:
~p=>~q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli warunek kary w zdaniu B1 nie zostanie spełniony (~p=1) mamy w kolumnie A2B2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p, czyli gdy posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B)?
A2.
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L) lub obejrzysz dobranockę (D)
STOP!
W groźbie w następniku musi być spójnik „lub”(+)
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L) lub nie obejrzysz dobranocki (~D)
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 9:17, 13 Lis 2021 Temat postu: |
|
|
13-11-2021
Właśnie wpadłem na wzorce obietnicy i groźby rodem ze świata martwego - od nich trzeba zacząć
Algebra Kubusia
9.4 Obietnice złożone f(p)=>f(q)
Spis treści
9.4 Obietnice złożone f(p)=>f(q)) 1
9.4.1 Prawo transformacji 3
9.4.2 Implikacja prosta A1B1: (P*~B)|=>(C*D) 4
9.4.3 Analiza operatora implikacji prostej (P*~B)||=>(C*D) 5
9.4 Obietnice złożone f(p)=>f(q))
Złożone obietnice i groźby f(p)=>f(q) dość często występują w języku potocznym, dlatego z ich matematyczną obsługą teraz się zapoznamy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)
Obietnica złożona typu f(p)=>f(q) to obietnica klasyczna W=>N gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna f(p) w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a przypisane do tej funkcji
Przykłady:
f(p)=p*~q
f(p)=p*~q + ~p*q
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Przykład:
f(p)=p*~q
~f(p)=~(p*~q) = ~p+q - na mocy prawa De Morgana
Zgodnie z definicją obietnicy warunek otrzymania nagrody f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie nagrody.
Przykład:
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę
P*~B=>C =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = P*~B - posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry
q = C - dostaniesz czekoladę
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady.
Dostanie czekolady jest dla dziecka nagrodą, stąd obietnicę A1 musimy kodować warunkiem wystarczającym p=>q wchodzącym w skład implikacji prostej p|=>q
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Zapiszmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia.
9.4.1 Prawo transformacji
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy bez zastosowania prawa transformacji zdanie A4 jest kompletnie bez sensu, ale …
Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie otwarcia parasola.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1
W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się obietnicą w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przeszłość.
9.4.2 Implikacja prosta A1B1: (P*~B)|=>(C*D)
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Weźmy bardziej złożoną obietnicę f(p)=>f(q)
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
Gdzie:
p = P*~B - posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B)
q = C*D - dostaniesz czekoladę (C) i obejrzysz dobranockę (D)
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady i obejrzenia dobranocki.
Obliczamy przeczenia p i q:
~p=~(P*~B) = ~P+B - na mocy prawa De Morgana
~q=~(C*D) = ~C+~D - na mocy prawa De Morgana
Zauważmy, że w następniku obietnicy A1 mamy tu czystą nagrodę, bowiem zarówno dostanie czekolady, jak i obejrzenie dobranocki jest dla dziecka nagrodą.
Stąd na mocy definicji obietnicy mamy rozstrzygnięcie iż obietnica A1: (P*~B)=>(C*D) jest warunkiem wystarczającym => wchodzącym w skład implikacji prostej A1B1: (P*~B)|=>(C*D)
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Nasz przykład:
A1: (P*~B)=>(C*D) =1 - zajście P*~B jest (=1) wystarczające => dla zajścia C*D
B1: (P*~B)~>(C*D) =0 - zajście P*~D nie jest (=0) konieczne dla zajścia C*D
Stąd:
A1B1: (P*~B)|=>(C*D)=(A1: (P*~B)=>(C*D))*~(B1: (P*~B)~>(C*D))=1*~(0)=1*1=1
Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P*~B,C*D}:
A1B1:
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry
to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=P*~B - posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry
q=C*D - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
A1: P*~B=>C*D=1 - zajście P*~B jest (=1) wystarczające => dla zajścia C*D
B1: P*~B~>C*D=1 - zajście P*~B nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia C*D
A1B1: (P*~B)|=>(C*D)=(A1: (P*~B)=>(C*D))*~(B1: (P*~B)~>(C*D))=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p => q =1 = 2: ~p ~>~q =1
A: 1: P*~B=> C* D =1 = 2: ~P+ B~>~C+~D =1
A’: 1: p ~~>~q =0 =
A’: 1: P*~B~~>~C+~D=0 =
## ##
B: 1: p ~> q =0 = 2:~p =>~q =0
B: 1: P*~B~> C* D =0 = 2:~P+ B=>~C+~D =0
B’: = 2:~p ~~> q =1
B’: = 2:~P+ B~~>~C+~D=1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: p|=>q na mocy definicji obietnicy.
9.4.3 Analiza operatora implikacji prostej (P*~B)||=>(C*D)
Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p
Kolumna A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p, czyli gdy posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B)?
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na 100% => dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
P*~B=>C*D =1
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady i obejrzenia dobranocki
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’
A1’
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Zakaz karania z powodu spełnienia warunku nagrody (P*~B=1):
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~C+~D = A: ~C*~D + B: ~C*D + C: C*~D
Możliwe kary to:
a): ~C*~D=0 - tu jest 100% kary: nie dostanę czekolady (~C) i nie obejrzę dobranocki (~D)
b: ~C*D =0 - tu też jest element kary, nie dostanę czekolady (~C)
c: C*~D=0 - tu również jest kara, nie obejrzę dobranocki (~D)
Zatem suma logiczna:
a+b+c = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody (P*~B=1).
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawo Kubusia na skróty to:
Negujemy zmienne w równaniu A1 i zamieniamy wszystkie znaczki na przeciwne: (*) na (+) oraz (=>) na (~>)
Mamy zdanie A1:
A1: P*~B=>C*D
stąd:
A2: ~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~> bo w następniku mamy tu czystą karę:
~C - nie dostaniesz czekolady
~D - nie obejrzysz dobranocki
Stąd mamy:
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p, czyli jeśli nie posprzątam pokoju lub będę bił siostrę?
A2.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz ~> nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = D: ~P*B + E: ~P*~B + F: P*B
stąd mamy funkcje cząstkowe:
d: ~P*B=1 - warunek kary spełniony (=1): nie posprzątałem pokoju (~P) i biłem siostrę (B)
e: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony (=1): nie posprzątałem pokoju (~P) i nie biłem siostry (~B)
f: P*B =1 - warunek ukarania spełniony (=1): posprzątałem pokój (P), ale biłem siostrę (B)
Równanie kary:
d+e+f = x+x+x=x
Rozpiszmy następnik zdania A2 w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
~C+~D = g: ~C*~D + h: ~C*D + i: C*~D
Innymi słowy:
Jeśli warunek ukarania jest spełniony (~P+B=1) to mama może wybrać dowolną karę z niżej zapisanych
g): ~C*~D=1 - tu jest 100% kary: nie dostaniesz czekolady (~C) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
h): ~C*D =1 - tu też jest element kary: nie dostaniesz czekolady (~C)
i): C*~D=1 - tu również jest kara: nie obejrzysz dobranocki
Zauważmy że zdanie A2 pozwala na wykonanie kary w 100% (A2g) albo na częściowe wykonanie kary (A2h lub A2i).
LUB
B2’.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz ~~> dostać czekoladę i obejrzeć dobranockę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W zdaniu B2’ jest prawo do darowania kary w 100%, jest taka możliwość na mocy definicji obietnicy A1.
Podsumowanie:
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na 100% => dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q =1
P*~B=>C*D =1
Jeśli warunek obietnicy A1 zostanie spełniony to mama musi wręczyć nagrodę w 100%, inaczej jest kłamcą.
Mówi o tym zdanie A1
Jeśli warunek obietnicy A1 nie zostanie spełniony (~P+B=1) to mama ma 100% wolnej woli, może ~> wykonać karę w 100% lub ją częściowo darować na mocy zdania zdania A2 albo może ~~> darować karę w 100% o czym mówi zdanie B2’
A2.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz ~> nie dostać czekolady lub możesz ~~> nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q =1
~P+B~>~C+~D=1
B2’.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz ~~> dostać czekoladę i obejrzeć dobranockę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%, jest taka możliwość na mocy definicji obietnicy A1.
Praca domowa dla czytelnika:
Przeanalizuj matematycznie przez wszystkie przeczenia p i q poniższą obietnicę:
A1.
Jeśli posprzątasz pokój lub pójdziesz z pieskiem na spacer to dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę
P+S => C*D
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 9:21, 13 Lis 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:47, 16 Sty 2022 Temat postu: |
|
|
Powód porzucenia:
NIe ma sensu zajmować się gównami zwanymi mintermami i makstermami
Nowa algebra Boole’a
3.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a
Spis treści
3.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 1
3.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 2
3.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 3
3.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 4
3.3.1 Prawo Małpki 4
3.3.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 4
3.4 Dlaczego ziemscy matematycy dali ciała przy udowadnianiu prawa Małpki? 5
3.5 Dlaczego Wikipedia bredzi w temacie mintermów i makstermów? 8
3.5.1 Algebra Kubusia powiązana z definicjami mintermów i makstermów 9
3.5.2 Co zawiera Wikipedia w temacie mintermów i makstermów 12
3.6 Geneza błędu czysto matematycznego prof. Newelskiego 16
3.6.1 Geneza błędu czysto matematycznego prof. Newelskiego w oryginale 17
3.6.2 Poprawny matematycznie dowód prof. Newelskiego w oryginale 19
3.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a
Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}
Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
| Kod: |
T1
Y=
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
3.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek
SD - standard dodatni = logika jedynek.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, na najwybitniejszym ziemskim matematyku kończąc.
3.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
SU - standard ujemny = logika zer.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym.
Zastosujmy logikę zer do tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice zer |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub q=0 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub q=0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
3.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer
Zapiszmy otrzymane wyżej funkcje logiczne dla tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Y = p<=>q
Tabela T2
Logika jedynek = standard dodatni:
1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Tabela T3
Logika zer = standard ujemny:
3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
3.3.1 Prawo Małpki
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
| Kod: |
T4
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+ q)*(p+~q)
#
2: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
cnd
W języku potocznym każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równania koniunkcyjno-alternatywne, których nikt w języku potocznym nie rozumie należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.
3.3.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej.
Dowód tego prawa na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.
Zaczynamy od definicji równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Oczywistym jest, że zachodzą tożsamości logiczne <=> jak w tabeli T5
1: Y = p*q + ~p*~q <=> 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
3: ~Y = p*~q + ~p*q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
| Kod: |
T5
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 4: Y = (~p+ q)*(p+~q)
#
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki bez użycia tabel zero-jedynkowych.
3.4 Dlaczego ziemscy matematycy dali ciała przy udowadnianiu prawa Małpki?
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Prawo Małpki teoretycznie znane jest ziemskim matematykom.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wstęp do matematyki - Ludomir Newelski napisał: |
Formuły równoważne, równania i nierówności
Uwaga 2.7
(1) Każda formuła zdaniowa jest równoważna formule w postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
(2) Każda formuła zdaniowa jest równoważna formule w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Dowód.
Dowód przeprowadzimy na przykładzie.
(1) Załóżmy, że tabelka wartości logicznych formuły Y=f(p,q,r) wygląda następująco … |
Dlaczego ziemscy matematycy dali ciała przy udowadnianiu prawa Małpki?
1.
Z niezrozumiałych matematycznie względów prof. Newelski udowadnia prawo Małpki na przykładzie czterech zmiennych binarnych {p,q,r,Y} zamiast zrobić to prościej, na trzech zmiennych binarnych {p,q,Y} jak to zrobiliśmy wyżej.
2.
Błąd fatalny w dowodzie prof. Newelskiego wynika z faktu, iż nie zna on logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), czyli nie widzi kluczowego tu znaczka #!
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Nasz przykład związany z tabelą zero-jedynkową równoważności prowadzi do poprawnego matematycznie prawa Małpki.
Dowód wykonamy w dwóch częściach:
Część I.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Część II.
Zastosujmy logikę zer do tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice zer |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub q=0 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub q=0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Dla tabel T2 i T3 zapisujemy:
| Kod: |
T4.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+ q)*(p+~q)
#
2: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Na czym polega błąd fatalny ziemskich matematyków (np. u prof. Newelskiego)?
Tabelę T4 ziemscy matematycy zapisują w ten sposób:
| Kod: |
T6.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+ q)*(p+~q)
2: Z = p*~q + ~p* q <=> 4: Z = (~p+~q)*(p+ q)
|
Porównując tabelę T4 z tabelą T6 doskonale widzimy wykonane tu podstawienie:
Z=~Y
Niestety, ziemscy matematycy tego podstawienia nie widzą, bowiem nie mają pojęcia o logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Dokładnie na tym polega błąd fatalny w ziemskiej logice „matematycznej”!
Na przykład w dowodzie prawa Małpki u prof. Newelskiego (Uwaga 2.7)
[link widoczny dla zalogowanych]
Podsumowując:
Dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. Newelskiego jest matematycznie fałszywy.
Fałszywy dlatego, iż nie widzi elementarnego podstawienia:
Z=~Y
cnd
3.5 Dlaczego Wikipedia bredzi w temacie mintermów i makstermów?
Zobaczmy co pisze Wikipedia pod hasłem „minterm”?
[link widoczny dla zalogowanych]
Zobaczmy co pisze Wikipedia pod hasłem „maksterm”?
[link widoczny dla zalogowanych]
Podsumowanie tego, co pisze Wikipedia przy użyciu trzech zmiennych binarnych {p,q,Y}:
| Kod: |
T1
Indeks p q Minterm Maksterm
A. 1 1 p* q ~p+~q
B. 1 0 p*~q ~p+ q
C. 0 0 ~p*~q p+ q
D. 0 1 ~p* q p+~q
|
Kolejna tabela z Wikipedii jest identyczna dla mintermów i makstermów:
| Kod: |
T2
Indeks p q Y Minterm Maksterm
A. 1 1 1 p* q
B. 1 0 0 ~p+ q
C. 0 0 1 ~p*~q
D. 0 1 0 p+~q
|
Problem mintermów i makstermów omawiany jest w Wikipedii (także wszędzie indziej) na przykładzie czterech zmiennych binarnych {x1,x2,x3,Y}
Dlaczego ziemscy matematycy twierdzą, iż przy pomocy trzech zmiennych binarnych {p,q,Y} nie da się porozmawiać o mintrmach i makstermach to jest ich słodka tajemnica.
Używanie do wyjaśnienia problemu mintermów i makstermów czterech zmiennych binarnych {x1,x2,x3,Y} to mniej więcej tak, jakby uczyć w 5 klasie szkoły podstawowej mnożenia dwóch dowolnie dużych liczb dziesiętnych bez wstępnego nauczenia ucznia tabliczki mnożenia do 100.
UWAGA
Poprawne wyjaśnienie czysto matematyczna o co chodzi w Wikipediowych mintermach i makstermach znajdziemy w niniejszym punkcie.
Zacznijmy od powiązania algebry Kubusia z Wikipediowymi definicjami mintermów i makstermów.
3.5.1 Algebra Kubusia powiązana z definicjami mintermów i makstermów
Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}
Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
| Kod: |
T1
Y=
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni = logika jedynek = teoria mintermu z Wikipedii
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny = logika zer = teoria makstermu z Wikipedii
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Część I.
Tabela mintermów o definicji z Wikipedii
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Część II.
Tabela makstermów o definicji z Wikipedii
Zastosujmy logikę zer do tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice zer |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub q=0 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub q=0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Zapiszmy otrzymane wyżej funkcje logiczne dla tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Y = p<=>q
Tabela T2
Logika jedynek = standard dodatni = teoria mintermu z Wikipedii:
1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Tabela T3
Logika zer = standard ujemny = teoria makstermu z Wikipedii:
3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
| Kod: |
T4
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+ q)*(p+~q)
#
2: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
cnd
W języku potocznym każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równania koniunkcyjno-alternatywne, których nikt w języku potocznym nie rozumie należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.
3.5.2 Co zawiera Wikipedia w temacie mintermów i makstermów
Zawartość Wikipedii w temacie mintermów i makstermów przełożona na tabelę zero-jedynkową równoważności jest następująca.
| Kod: |
T1
Indeks p q Minterm Maksterm
A. 1 1 p* q ~p+~q
B. 1 0 p*~q ~p+ q
C. 0 0 ~p*~q p+ q
D. 0 1 ~p* q p+~q
|
Kolejna tabela z Wikipedii jest identyczna dla mintermów i makstermów:
| Kod: |
T2
Indeks p q Y Minterm Maksterm
A. 1 1 1 p* q
B. 1 0 0 ~p+ q
C. 0 0 1 ~p*~q
D. 0 1 0 p+~q
|
Jak widzimy, w logice ziemian wynikowe jedynki w funkcji logicznej Y opisywane są mintermami, zaś zera makstermami.
Zapiszmy tabelę T2 w sposób tożsamy zgodnie z algebrą Kubusia wzbogacając ją o funkcję logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y)
| Kod: |
T3
Mintermy i makstermy dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Mintermy Makstermy
Indeks p q ~p ~q Y ~Y Y=p*q+~p*~q Y=(~p+q)*(p+~q)
A. 1 1 0 0 1 0 p* q
B. 1 0 0 1 0 1 ~p+ q
C. 0 0 1 1 1 0 ~p*~q
D. 0 1 1 0 0 1 p+~q
|
Z tabeli T3 odczytujemy funkcję logiczną Y w mintermach:
Y = Ya+Yc
1: Y = p*q + ~p*~q
Gdzie:
Funkcja logiczna Y w mintermach to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya+Yc
Z tabeli T3 odczytujemy tożsamą funkcję logiczną Y w makstermach
Y = Yb*Yc
2: Y = (~p+q)*(p+~q)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y w makstermach to iloczyn logiczny funkcji cząstkowych Yc*Yd
Podsumowanie:
Opis tabeli zero-jedynkowej równoważności w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p*q+~p*~q [=] 2: Y = (~p+q)*(p+~q)
Łatwo sprawdzić, że zachodzi powyższa matematyczna tożsamość [=]:
Dowód:
2: Y = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
2: Y = p*q + ~p*~q
cnd
Gdzie absolutnie wszyscy ziemscy matematycy dali tu ciała i dlaczego?
Odpowiadam w punktach:
1.
Wyłącznie tabela T2 jest znana ziemskim matematykom.
Dowód w Wikipedii pod hasłami minterm i maksterm.
2.
Ziemscy matematycy wiedzą, że po stronie wejścia funkcji logicznej Y mamy do czynienia ze zmiennymi binarnymi niezanegowanymi (bo p, q) i zanegowanymi (bo ~p, ~q)
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy używają w praktyce definicji zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p, q) i w logice ujemnej (bo ~p, ~q) … tylko nie znają banalnej definicji logiki dodatniej i ujemnej.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolna zmienna binarna zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej zmienna binarna zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p).
3.
Katastrofalny błąd ziemskich matematyków polega na tym, że nie wiedzą iż funkcja logiczna Y również jest zmienną binarną, czyli może występować w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jak to pokazano w tabeli T3
Katastrofalny błąd ziemskich matematyków polega na tym, że nie akceptując funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) tabelę T3 zapisują w następujący sposób.
| Kod: |
T3’ Gówno-tabela prawdy
Mintermy i makstermy dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Mintermy Makstermy
Indeks p q ~p ~q Y Z Y=p*q+~p*~q Y=(~p+q)*(p+~q)
A. 1 1 0 0 1 0 p* q
B. 1 0 0 1 0 1 ~p+ q
C. 0 0 1 1 1 0 ~p*~q
D. 0 1 1 0 0 1 p+~q
|
Doskonale tu widać, iż ziemski matematyk podświadomie zrobił tu trywialne podstawienie o którym nie wie!
Z = ~Y
Dowód, iż tak właśnie funkcjonuje pseudo-logika ziemian znajdziemy choćby w dowodzie prawa Małpki prof. Newelskiego (punkt 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wstęp do matematyki - Ludomir Newelski napisał: |
Formuły równoważne, równania i nierówności
Uwaga 2.7
(1) Każda formuła zdaniowa jest równoważna formule w postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
(2) Każda formuła zdaniowa jest równoważna formule w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Dowód.
Dowód przeprowadzimy na przykładzie.
(1) Załóżmy, że tabelka wartości logicznych formuły Y=f(p,q,r) wygląda następująco … |
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
W dalszej części wykładu nie będziemy powielać katastrofalnego błędu ziemskich matematyków którzy banalnym podstawieniem:
Z=~Y
przykryli ewidentną logikę ujemną (bo ~Y) myśląc, ze tym sposobem da się zrezygnować z logiki ujemnej (bo ~Y) bez szkody dla całej logiki matematycznej.
Otóż tak nie jest panowie matematycy:
Wykonując śmierdzące podstawienie Z=~Y zabiliście totalnie całą logikę matematyczną tzn. możecie zapomnieć iż kiedykolwiek uda się wam opisać matematycznie otaczającą nas rzeczywistość np. język potoczny człowieka.
W dalszej części wykładu startujemy od poprawnej matematycznie tabeli T3 wykopując w kosmos gówno-tabelę T3’ gdzie dokonano śmierdzącego podstawienia Z=~Y.
| Kod: |
T4
Mintermy i makstermy dla funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Mintermy Makstermy
Indeks p q ~p ~q Y ~Y ~Y=p*~q+~p*q ~Y=(~p+~q)*(p+q)
A. 1 1 0 0 1 0 ~p+~q
B. 1 0 0 1 0 1 p*~q
C. 0 0 1 1 1 0 p+ q
D. 0 1 1 0 0 1 ~p* q
|
Jak widzimy, w logice ziemian wynikowe jedynki w funkcji logicznej ~Y opisywane są mintermami, zaś zera makstermami.
Z tabeli T4 odczytujemy funkcję logiczną ~Y w mintermach:
~Y = ~Yb+~Yd
3: ~Y = p*~q + ~p*q
Gdzie:
Funkcja logiczna ~Y w mintermach to suma logiczna funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd
Z tabeli T4 odczytujemy tożsamą funkcję logiczną ~Y w makstermach
~Y = ~Ya*~Yc
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Gdzie:
Funkcja logiczna ~Y w makstermach to iloczyn logiczny funkcji cząstkowych ~Ya*~Yc
Podsumowanie:
Opis tabeli zero-jedynkowej równoważności w logice ujemnej (bo ~Y):
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 4: ~Y=(~p+~q)*(p+q)
Łatwo sprawdzić, że zachodzi powyższa matematyczna tożsamość [=]:
Dowód:
4: (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
4: p*~q + ~p*q
cnd
Dla tabel T3 i T4 zapisujemy:
| Kod: |
T5.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 2: Y = (~p+ q)*(p+~q)
#
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Na czym polega błąd fatalny ziemskich matematyków (np. u prof. Newelskiego)?
Tabelę T5 ziemscy matematycy zapisują w ten sposób:
| Kod: |
T6.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+ q)*(p+~q)
2: Z = p*~q + ~p* q <=> 4: Z = (~p+~q)*(p+ q)
|
Porównując tabelę T5 z tabelą T6 doskonale widzimy wykonane tu podstawienie:
Z=~Y
Niestety, ziemscy matematycy tego podstawienia nie widzą, bowiem nie mają pojęcia o logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Dokładnie na tym polega błąd fatalny w ziemskiej logice „matematycznej”!
Na przykład w dowodzie prawa Małpki u prof. Newelskiego (Uwaga 2.7)
[link widoczny dla zalogowanych]
Podsumowując:
Dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. Newelskiego jest matematycznie fałszywy.
Fałszywy dlatego, iż nie widzi elementarnego podstawienia:
Z=~Y
cnd
3.6 Geneza błędu czysto matematycznego prof. Newelskiego
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. Newelskiego (Uwaga 2.7)
[link widoczny dla zalogowanych]
Cytuję dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. Newelskiego na prostszym przykładzie, co jest bez znaczenia:
1.
Załóżmy że zero-jedynkowa funkcji logicznej Y=f(p,q) wygląda następująco:
| Kod: |
p q Y
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 0
|
2.
Z tabeli odczytujemy, że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
3.
Zatem funkcja logiczna Y opisująca tą tabelę to:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
która jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
Uwagi Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Gdzie:
## różne na mocy definicji
b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno- koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzamy do jedynek.
Alternatywnie wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zer otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.
c.d. algorytmu prof. Newelskiego
4.
Przypuśćmy dla przykładu że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
Uwaga Rafała3006:
W przejściu z punktu 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny bo:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
4: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
Funkcja logiczna 4 nie jest negacją funkcji logicznej 3 bo w funkcji 4 brakuje negacji prawej strony.
5.
Wówczas funkcja Y jest równoważna funkcji:
Y = ~(p*q+~p*~q)
Na mocy prawa De Morgana mamy:
Y = ~(p*q)*~(~p*~q)
Kolejny raz stosujemy prawo De Morgana
5: Y = (~p+~q)*(p+q)
Ostatnia funkcja jest już postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Funkcja logiczna 5 u prof. Newelskiego jest błędna bo:
a)
Wejściowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna jest taka:
3: Y= (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
5’: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Tymczasem prof. Newelski zapisuje tu:
5: Y = (~p+~q)*(p+q)
Błąd czysto matematyczny widać tu jak na dłoni:
Funkcja logiczna 5’ nie jest negacją funkcji logicznej 5
cnd
Geneza błędu prof. Newelskiego:
Ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Dokładnie dlatego prof. Newelski nie jest w stanie zapisać tu poprawnej matematycznie funkcji logicznej 5 w logice ujemnej (bo ~Y)
3.6.1 Geneza błędu czysto matematycznego prof. Newelskiego w oryginale
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. Newelskiego (Uwaga 2.7)
[link widoczny dla zalogowanych]
Weźmy dowód prof. Newelskiego w oryginale:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z trzema zmiennymi wejściowymi {p,q,r} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q,r)
| Kod: |
p q r Y=?
A: 0 0 0 0
B: 0 0 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 1 0
E: 1 0 0 0
F: 1 0 1 1
G: 1 1 0 0
H: 1 1 1 0
|
2.
Z tabelki odczytujemy że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
Y=1 <=> B: p=0 i q=0 i r=1 lub C: p=0 i q=1 i r=0 lub F: p=1 i q=0 i r=1
3.
Zatem funkcja logiczna Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej to:
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 i r=1 lub C: ~p=1 i q=1 i ~r=1 lub F: p=1 i ~q=1 i r=1
Uwagi Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Gdzie:
## różne na mocy definicji
b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno- koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzamy do jedynek.
Alternatywnie wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zer otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.
c.d algorytmu prof. Newelskiego
4.
Przypuśćmy dla przykładu że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Uwaga Rafała3006:
W przejściu z punktu 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny bo:
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Funkcja logiczna 4 nie jest negacją funkcji logicznej 3 bo nie zanegowano dodatkowo prawej strony.
5.
Wówczas funkcja Y jest równoważna funkcji:
Y = ~(B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r)
Stosując serię praw De Morgana dla prawej strony otrzymujemy:
5: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Oczywistym jest, że w przejściu z 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny.
Dowód:
Wejściowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna jest taka:
3: Y = (~p*~q*r) + (~p*q*~r) + (p*~q*r)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
5’. ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Tymczasem prof. Nwewelski pisze tu:
5: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Błąd czysto matematyczny widać tu jak na dłoni bowiem w punkcie 5 prof. Newelski powinien zapisać funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y), czego nie robi.
cnd
Geneza błędu prof. Newelskiego:
Ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Dokładnie dlatego prof. Newelski nie jest w stanie zapisać tu poprawnej matematycznie funkcji logicznej 5 w logice ujemnej (bo ~Y)
3.6.2 Poprawny matematycznie dowód prof. Newelskiego w oryginale
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z trzema zmiennymi wejściowymi {p,q,r} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q,r)
| Kod: |
p q r Y=?
A: 0 0 0 0
B: 0 0 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 1 0
E: 1 0 0 0
F: 1 0 1 1
G: 1 1 0 0
H: 1 1 1 0
|
Przykładowy, poprawny dowód prof. Newelskiego jest następujący:
1.
Zapiszmy pełną tabelę zero-jedynkową dla czterech zmiennych binarnych {p,q,r,Y):
| Kod: |
| I. | II.
| Logika jedynek | Logika zer
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | |
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | ~Ya=~p*~q*~r | Ya= p+ q+ r
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | Yb=~p*~q* r | ~Yb= p+ q+~r
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | Yc=~p* q*~r | ~Yc= p+~q+ r
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | ~Yd=~p* q* r | Yd= p+~q+~r
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | ~Ye= p*~q*~r | Ye=~p+ q+ r
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | Yf= p*~q* r | ~Yf=~p+ q+~r
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | ~Yg= p* q*~r | Yg=~p+~q+ r
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | ~Yh= p* q* r | Yh=~p+~q+~r
1 2 3 4 5 6 7 8
|
I.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice jedynek:
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + Yf: p*~q*r
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y = 2: ~(~Y)
1: ~(Y) = 2: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
II.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice zer:
3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
Po rozwinięciu mamy:
Y = (p+q+r)*(p+~q+~r)*(~p+q+r)*(~p+~q+r)*(~p+~q+~r)
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
3: Y = 4: ~(~Y)
3: ~(Y) = 4: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
Zauważmy, że w logice jedynek najprostszą funkcją logiczną jest funkcja 1:
1.
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + p*~q*r
Natomiast w logice zer najprostszą funkcją logiczną jest funkcja 4:
4.
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Jeśli odpowiednie funkcje w logice jedynek i w logice zer są tożsame tzn.
Y (logika jedynek) = Y (logika zer)
~Y (logika jedynek) =~Y (logika zer)
to musi zachodzić:
1: Y = Yb+Yc+Yf (logika jedynek) # 4: ~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
stąd:
Matematycznie musi zachodzić tożsamość logiczna:
1: Y = Yb+Yc+Yf (logika jedynek) = 4’: Y = ~(~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer))
Zbadajmy w rachunku zero-jedynkowym czy powyższa tożsamość zachodzi:
I.
LJ = Logika jedynek:
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + Yf: p*~q*r
| Kod: |
T1
| I.
| Logika jedynek
| Yb= Yc= Yf Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | ~p*~q* r ~p* q*~r p*~q* r Yb+Yc+Yf
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 0 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 0 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 0 0 0 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 0 0 1 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 0 0 0 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
II.
LZ = Logika zer
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
| Kod: |
T2
| II.
| Logika zer
| ~Yb= ~Yc= ~Yf ~Y= Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | p+q+~r p+~q+r ~p+q+~r ~Yb*~Yc*~Yf ~(~Y)
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 1 1 1 1 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 0 1 1 0 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 1 0 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 1 1 1 1 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 1 1 1 1 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 1 1 0 0 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 1 1 1 1 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 1 1 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
|
Z powyższego rachunku zero-jedynkowego wynika że zachodzi tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
T1_12: Y =Yb+Yc+Yf (logika jedynek) # T2_12: ~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
T1_12: Y=Yb+Yc+Yf (logika jedynek) = T2_13: Y = ~(~Y=~Yb*~Yc*~Yf)
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 10:39, 04 Lut 2022 Temat postu: |
|
|
2022-02-04
Powód porzucenie tej ścieżki w logice matematycznej.
Diagramy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to fundamentalnie co innego niż diagram warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Nowa algebra Boole’a
5.0 Grupa spójników implikacyjnych obsługująca zdania „Jeśli p to q”
Spis treści
5.0 Grupa spójników implikacyjnych oraz równoważnościowych 1
5.1 Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” (p=>q i p~>q) 1
5.1.1 Obsługa obietnicy W=>N w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 2
5.1.2 Obsługa groźby W=>K w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 4
5.1.3 Operatory Y|=(p=>q)=~p+q oraz Y|=(p~>q)=p+~q w tabelach zero-jedynkowych 7
5.1.4 Operator Y|=p+~q w teorii zbiorów 9
5.2 Grupa spójników implikacyjnych zanegowanych Y=~(p=>q) i Y=~(p~>q) 12
5.2.1 Zdania typu Y=p*~q 12
5.2.2 Zdania typu Y=~p*q 13
5.0 Grupa spójników implikacyjnych oraz równoważnościowych
TF4-11
Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” (p=>q i p~>q)
oraz równoważnościowych p<=>q i p$q
w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q)=~(~p+ q)=p*~q
## ##
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q)=~( p+~q)=~p*q
## ##
A6: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B6: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
A7: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B7: ~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
## ##
A8: Y =~(p=>q) = p*~q # B8: ~Y= (p=>q)=~( p*~q)=~p+q
## ##
A9: Y =~(p~>q) =~p* q # B9: ~Y= (p~>q)=~(~p* q)=p+~q
## ##
A10: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B10:~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
A11: Y =~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0 # B11:~Y= (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
5.1 Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” (p=>q i p~>q)
| Kod: |
TF4-5
Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” (p=>q i p~>q)
w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q)=~(~p+ q)=p*~q
## ##
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q)=~( p+~q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli A4 do A5 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
5.1.1 Obsługa obietnicy W=>N w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Zacznijmy od linii A4 :
Linia A4 to warunek wystarczający => o definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A4:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Y = (p=>q) = ~p+q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Definicja obietnicy w algebrze Kubusia:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Spełnienie warunku nagrody (W=1) jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania nagrody (N=1)
Dowolna obietnica W=>N jest częścią implikacji prostej W|=>N.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Dopiero w tym momencie na mocy definicji obietnicy możemy zapisać jej definicję w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = (p=>q) = ~p+q
Dowolna obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład definicji implikacji prostej p|=>q.
W języku mówionym absolutnie żaden człowiek nie przechodzi z jakiegokolwiek zdania warunkowego „Jeśli p to q” do jego definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) bo to nie ma sensu (choć jest możliwe), bowiem zabijamy wówczas istotę logiki matematycznej, gwarancję matematyczną => o której z definicji nie może być mowy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Szczegóły poznamy w algebrze Kubusia, obsługującej zdania warunkowe „Jeśli p to q”.
O żadnej gwarancji matematycznej => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mowy być nie może, możemy tu jednak rozstrzygnąć kiedy warunek wystarczający => jest spełniony (Y=1), a kiedy nie jest spełniony (~Y=1).
A4:
Y = p=>q =~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
a kiedy warunek wystarczający => nie jest spełniony (~Y=1).
Negujemy dwustronnie równanie A4, stąd mamy:
B4:
~Y = ~(p=>q) = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Zobaczmy to na przykładzie konkretnej obietnicy.
Ojciec do syna:
A4.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Następnik to oczywista nagroda, stąd mamy tu do czynienia z definicją obietnicy.
Zdanie egzaminu (E=1) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera (K=1)
Zdanie egzaminu (E=1) daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputer (K=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Każdy 5-cio latek wie, że jak syn zda egzamin i nie dostanie komputera to ojciec będzie kłamcą.
Przejdźmy teraz z obietnicą ojca do spójników „i”(*) i „lub”(+):
A4’.
Y = (E=>K) = ~E+K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
A4’
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)
Y = (E=>K) = ~E+K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Zauważmy, że nie ma sensu samodzielne zdania A4’ bez powiązania go ze zdaniem A4, bowiem nikt w języku potocznym nie rozumie zdania A4’
Zdanie A4’ będzie zrozumiałe nawet dla 5-cio latka wtedy i tylko wtedy gdy skorzystamy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając nasz przykład mamy:
Y = ~E+K = ~E*K + ~E*~K + E*K
Suma logiczna jest przemienna, stąd zapis tożsamy:
Y = ~E+K = A: E*K + C: ~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E*K
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = E*K =1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
Yc = ~E*~K=1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
lub
Yd = ~E*K =1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Wszystkie przypadki w których ojciec dotrzyma słowa (Y=1) opisuje funkcja logiczna:
Y = Ya + Yc + Yd
Linia D to piękny akt miłości opisany matematyką ścisłą, czyli przypadek gdy syn nie spełni warunku nagrody (~E=1), a mimo wszystko nagrodę dostaje. Linię D trzeba tu wydedukować, natomiast w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” widać to bezpośrednio, co poznamy przy obsłudze obietnicy zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
Zauważmy poza tym, że w liniach C i D mamy najzwyklejsze, matematyczne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, którego również w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) nie widać bezpośrednio.
Innymi słowy:
Jeśli syn nie zda egzaminu to ojciec może sobie „rzucać monetą”, czyli może dać synowi komputer (zdanie D) albo nie dać (zdanie C) i nie ma szans na zostanie matematycznym kłamcą. Szczegóły poznamy przy okazji matematycznej obsługi obietnicy w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w niedalekiej przyszłości.
… a kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A4’ stronami:
B4:
~Y = ~(E=>K) = ~(~E+K) = B: E*~K
~Y = B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
Zauważmy, że to zdanie bez problemu rozumie już każdy 5-cio latek bo mamy spójnik „i”(*).
5.1.2 Obsługa groźby W=>K w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Weźmy linię A5 :
Linia A5 to warunek konieczny ~> o definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A5:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Y = (p~>q) = p+~q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Definicja groźby w algebrze Kubusia:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K.
Spełnienie warunku kary (W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla wykonania kary (K=1), ale nie jest warunkiem wystarczającym => (W=>K =0) bowiem nadawca na mocy definicji groźby ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Dopiero w tym momencie na mocy definicji groźby możemy zapisać jej definicję w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Y = (p~>q) = p+~q
Dowolna groźba to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Gwarancja matematyczna w groźbie (warunek wystarczający =>) wynika z prawa Kubusia wiążącego warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => bez zamiany p i q.
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
W języku mówionym absolutnie żaden człowiek nie przechodzi z jakiegokolwiek zdania warunkowego „Jeśli p to q” do jego definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) bo to nie ma sensu (choć jest możliwe), bowiem zabijamy wówczas istotę logiki matematycznej, gwarancję matematyczną => o której z definicji nie może być mowy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Szczegóły poznamy w algebrze Kubusia, obsługującej zdania warunkowe „Jeśli p to q”.
O żadnej gwarancji matematycznej => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mowy być nie może, możemy tu jednak rozstrzygnąć kiedy warunek konieczny ~> jest spełniony (Y=1), a kiedy nie jest spełniony (~Y=1).
A5:
Y = p~>q =p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
a kiedy warunek konieczny ~> nie jest spełniony (~Y=1).
Negujemy dwustronnie równanie A5, stąd mamy:
A5:
~Y = ~(p~>q) = ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Zobaczmy to na przykładzie konkretnej groźby.
Ojciec do syna:
A5.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Następnik to oczywista kara, stąd mamy tu do czynienia z definicją groźby.
Brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1), ale nie są warunkiem wystarczającym => bowiem nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Dowód tego faktu znajdziemy w Biblii:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);
Przejdźmy teraz z groźbą ojca do spójników „i”(*) i „lub”(+):
A5’.
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1+~L=1
Czytamy:
A5’
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn ubrudzi spodnie (B=1) lub dostanie lanie (L=1).
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1+~L=1
Zauważmy, że nie ma sensu samodzielne zdania A5’ bez powiązania go ze zdaniem A5, bowiem nikt w języku potocznym nie rozumie zdania A5’
Zdanie A5’ będzie zrozumiałe nawet dla 5-cio latka wtedy i tylko wtedy gdy skorzystamy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając nasz przykład mamy:
Y = B+~L = B*~L + B*L + ~B*~L
Suma logiczna jest przemienna, stąd zapis tożsamy:
Y = B+~L = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = B*L=1*1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
lub
Yb = B*~L=1*1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
lub
Yc = ~B*~L=1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
Wszystkie przypadki w których ojciec dotrzyma słowa (Y=1) opisuje funkcja logiczna:
Y = Ya + Yb + Yc
Linia B to piękny akt łaski opisany matematyką ścisłą, czyli przypadek gdy syn spełni warunek kary (B=1), a mimo wszystko nie dostanie lania (~L=1). Linię B trzeba tu wydedukować, natomiast w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” widać to bezpośrednio, co poznamy przy obsłudze groźby zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
Zauważmy poza tym, że w liniach A i B mamy najzwyklejsze, matematyczne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, którego również w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) nie widać bezpośrednio.
Innymi słowy:
Jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) to ojciec może sobie „rzucać monetą”, czyli może wykonać lanie (zdanie A) albo darować lanie (zdanie B) i nie ma szans na zostanie matematycznym kłamcą. Szczegóły poznamy przy okazji matematycznej obsługi groźby w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w niedalekiej przyszłości.
… a kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A5’ stronami:
B5:
~Y = ~(B~>L) = ~(B+~L) = ~B*L
~Y = D: ~B*L
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1, czyli skłamie) wtedy i tylko wtedy gdy syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1) z powodu czystych spodni.
Prawo Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
Warunek wystarczający B2 brzmi tu:
B2.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Czyste spodnie (~B=1) są warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu czystych spodni!
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje dowolne zdanie ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>, o czym dowiemy się w niedalekiej przyszłości. Poza tym wszystko może się zdarzyć, czyli możliwe jest lanie z innego powodu.
5.1.3 Operatory Y|=(p=>q)=~p+q oraz Y|=(p~>q)=p+~q w tabelach zero-jedynkowych
| Kod: |
TF4-5
Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” (p=>q i p~>q)
w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q)=~(~p+ q)=p*~q
## ##
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q)=~( p+~q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli A4 do A5 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Ustalmy po stronie wejścia p i q i wyjścia Y standardową matrycę zero-jedynkową jak w tabeli TF2 (punkt 3.0).
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny Y|=f(x) w spójniach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y = f(x)
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1:
2.
~Y = ~f(x)
W powyższej tabeli mamy zdefiniowane dwa operatory w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A4B4:
Operator Y|=~p+q to układ równań logicznych A4 i B4:
A4.
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A4 stronami:
B4.
~Y=~(~p+q) = p*~q - prawo De Morgana
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
##
A5B5
Operator Y|=p+~q to układ równań logicznych A5 i B5:
A5.
Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A5 stronami:
B5.
~Y=~(p+~q) = ~p*q - prawo De Morgana
~Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Gdzie:
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Zapiszmy tabelę prawdy TF4-5 w ciut inny sposób odsłaniając definicje zero-jedynkowe poszczególnych funkcji logicznych.
| Kod: |
TF4-5
Grupa funkcji Y=(p=>q)=~p+q i Y=(p~>q)=p+~q w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y) rozpisana na tabele zero-jedynkowe
A4: A5:
p q ~p ~q Y=~p+ q ## p q ~p ~q Y= p+~q
A: 1 1 0 0 1 ## 1 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 0 ## 1 0 0 1 1
C: 0 1 1 0 1 ## 0 1 1 0 0
D: 0 0 1 1 1 ## 0 0 1 1 1
# # # # # ## # # # # #
B4: ## B5:
~p ~q p q ~Y= p*~q ## ~p ~q p q ~Y=~p* q
E: 0 0 1 1 0 ## 0 0 1 1 0
F: 0 1 1 0 1 ## 0 1 1 0 0
G: 1 0 0 1 0 ## 1 0 0 1 1
H: 1 1 0 0 0 ## 1 1 0 0 0
1 2 3 4 5 5 6 7 8 9
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-5 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
5.1.4 Operator Y|=p+~q w teorii zbiorów
A4B4:
Operator Y|=~p+q to układ równań logicznych A4 i B4:
A4.
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A4 stronami:
B4.
~Y=~(~p+q) = p*~q - prawo De Morgana
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Stąd mamy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach opisany definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
| Kod: |
D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
| p B1: p~>q=0 | ~p |
|---------------------------|----------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |~p~~>q = ~p*q |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q |
---------------------------------------------------------------------|
| |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
----------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q |
----------------------------------------------------------------------
| ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!) |
----------------------------------------------------------------------
|
Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.
Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Definicja logiki matematycznej w zbiorach:
Logika matematyczna w zbiorach to matematyczny opis relacji dwóch zbiorów p i q we wszelkich możliwych wzajemnych położeniach, definiujący wszystkie możliwe operatory logiczne dwuargumentowe.
Fundamentalne prawo logiki matematycznej w zbiorach:
Dla dowolnej relacji dwóch zbiorów p i q dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q, inaczej układ jest matematycznie nierozpoznawalny.
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to dla danego układu zbiorów odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Gdzie:
Y = f(x) - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Dowolną funkcje logiczną mamy prawo dwustronnie zanegować, stąd
~Y=~f(x) - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Ostatni zapis jest dowodem dlaczego dla naszego rysunku D1’ dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p i q.
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = Y = p+q
Dla tej dziedziny nierozpoznawalna jest funkcja cząstkowa:
A2: Yc=~p*~q
gdyż będzie ona zbiorem pustym [].
cnd
Matematyczny opis rysunku R0.
Definicja operatora Y=p|*q w zbiorach:
Operator Y=p|*q w zbiorach to układ równań logicznych Y i ~Y
Na diagramie R0 widzimy tylko jedną funkcję cząstkową Ya w logice dodatniej (bo Y):
Y = Ya
Stąd:
1.
Y = A: p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Z diagramu R0 odczytujemy definicję spójnika „lub”(+) w zbiorach rozłącznych:
2’.
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1
Oczywistym jest, że musi zachodzić matematyczna tożsamość:
2: ~Y = 2’: ~Y
Sprawdzenie:
2’
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy funkcję logiczną ~Y:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p + (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p+p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q
Stąd mamy:
2: ~Y = ~p+~q [=] 2’: ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Dlaczego zbiór D: ~p*~q nie może być zbiorem pustym?
Zauważmy że, gdyby zbiór D: ~p*~q był zbiorem pustym co zajdzie przy definicji dziedziny:
D=p+q
to cała logika matematyczna leży w gruzach, bowiem wówczas zgwałcona byłaby formalna tożsamość wyżej.
2: ~Y = 2’: ~Y
Stąd zastrzeżenie w definicji operatora Y|=p*q że dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
5.2 Grupa spójników implikacyjnych zanegowanych Y=~(p=>q) i Y=~(p~>q)
| Kod: |
A8: Y =~(p=>q) = p*~q # B8: ~Y= (p=>q)=~( p*~q)=~p+q
## ##
A9: Y =~(p~>q) =~p* q # B9: ~Y= (p~>q)=~(~p* q)=p+~q
|
Grupa spójników implikacyjnych zanegowanych generuje zdania używane w języku potocznym różne od zdań warunkowych „Jeśli p to q”
5.2.1 Zdania typu Y=p*~q
Pani w przedszkolu:
A8.
Jutro pójdziemy do kina, ale nie pójdziemy do teatru
Y = K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy zdanie A8 stronami:
B8.
~Y = ~(K*~T) = ~K+T
~Y = ~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y = ~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie jedno z tych zdarzeń i już pani skłamie (~Y=1)
W celu uzyskania szczegółowej odpowiedzi zrozumiałej dla 5-cio latka skorzystajmy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych.
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając nasz przykład mamy:
~Y = ~K+T = B: ~K*T + C: ~K*~T + D: K*T
Funkcja logiczna Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Yb, Yc i Yd
~Y = Yb + Yc + Yd
Wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne w których pani skłamie to:
~Y = B: ~K*T + C: ~K*~T + D: K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: ~K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1 lub D: K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Yb = ~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
Yc = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdźmy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
Yd = K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
5.2.2 Zdania typu Y=~p*q
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 7:14, 11 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
2022-03-11
Szczególiki, w praktyce zbędne.
8.2.2 Diagram implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
| Kod: |
DIP
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla fałszywego B4 musi być prawdą:
B4’: ~q~~>p=~q*p=1
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zdarzenia p jest podzbiorem => zdarzenia q oraz nie jest tożsame ze zdarzeniem q
Zauważmy, że powyższy diagram w zbiorach idealnie pasuje do diagramu implikacji prostej w zdarzeniach P|=>CH gdy zrozumiemy iż zdarzenie P jest podzbiorem => zdarzenia CH oraz nie jest tożsame ze zdarzeniem CH
Oznaczmy:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Kluczowym jest tu zauważenie że:
1.
Padać może wyłącznie wtedy gdy są chmury:
p = P*CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P) i są chmury (CH)
z czego wynika, że wykluczone jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie ma chmur (~CH)
P*~CH=1*1 =0
2.
Chmury (CH) mogą istnieć zarówno wtedy gdy pada (P) jak również gdy nie pada (~P):
q = P*CH+~P*CH =1
Możliwe są (=1) oba zdarzenia pada (P) i są chmury (CH) oraz nie pada (~P) i są chmury (CH)
Stąd mamy dowód iż w zdarzeniach p jest podzbiorem => q:
p=P*CH => q= P*CH+~P*CH =1
cnd
W implikacji prostej p musi być podzbiorem => q oraz nie być tożsame ze zbiorem q
Oba te warunki w implikacji prostej P|=>CH są spełnione.
Zminimalizujmy następnik q:
q = P*CH+~P*CH = (P+~P)*CH = CH
Minimalizujemy poprzednik p:
p=P*CH
Zawsze gdy pada (P) są chmury (CH)
P=>CH =1
Padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur
Stąd mamy:
P*CH = P - bo na mocy definicji warunku wystarczającego => zdarzenie P (pada) jest podzbiorem => zdarzenia CH (chmury)
Stąd mamy:
p=P => q=CH
Czytamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P => CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zdarzenie p=P*CH jest podzbiorem => zdarzenia q=CH*P + CH*~P i nie jest tożsame ze zdarzeniem q
Dodatkowo dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zdarzeń p+q.
Nasz przykład:
D > p+q = (P*CH)+ (P*CH+~P*CH) = P*CH+~P*CH
bo prawo algebry Boole’a: p+p=p
Definicja dziedziny D dla implikacji prostej P|=>CH jest spełniona bowiem może zajść zdarzenie nieopisane powyższym równaniem:
~P*~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie ma chmur (~CH)
Stąd mamy diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach dla naszego przykładu P|=>CH:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach:
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
---------------------------------------------------------------------------
| p=P (pada) | ~p=~P (nie pada) |
|--------------------------|----------------------------------------------|
| q=CH (chmury) | ~q=~CH (nie chmury) |
|------------------------------------------------|------------------------|
| A1: P=>CH=1 (P*CH=1) |B2’: ~P~~>CH=~P*CH=1 |A2:~P~>~CH=1 (~P*~CH=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D= A1: P*CH+A2:~P*~CH+B2’:~P*CH =1 suma logiczna zdarzeń możliwych (=1) |
| A1’: P~~>~CH=P*~CH=[]=0 - zdarzenie niemożliwe (=0) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach |
---------------------------------------------------------------------------
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:15, 11 Mar 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 7:30, 13 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
13-03-2022
Poniższa aluzja jest dobra, ale niepotrzebna bo zrozumie ją bardzo wąska grupka specjalistów. Podręcznik fizyki do I klasy LO w tym temacie to jedna wielka tragedia, kompletne dno - widziałem na własne oczy - autor tego podręcznika nie ma pojęcia o co chodzi.
8.7.6 Prawo Kłapouchego w świecie fizyki
I prawo Kirchhoffa:
Suma prądów w węźle jest równa zeru
Oczywistość:
Jeśli prądy wpływające zapiszemy ze znakiem plus(+) to prądy z niego wypływające musimy zapisać ze znakiem minus (-). Można też odwrotnie, matematycznie to bez znaczenia.
II prawo Kirchhoffa:
Suma napięć w obwodzie zamkniętym jest równa zeru
Oczywistość:
Jeśli wektor napięcia x jest zgodny z kierunkiem sumowania to wartość tego napięcia zapisujemy ze znakiem plus(+), inaczej ze znakiem minus(-). Kierunek sumowania napięć jest nieistotny, można sumować zgodnie z ruchem zegara, albo w kierunku przeciwnym.
Definicja sieci elektrycznej prądu stałego:
Sieć elektryczna prądu stałego to sieć dowolnie połączonych ze sobą źródeł napięcia i rezystorów.
Prawo Kłapouchego definiujące wspólny punkt odniesienia w kwestii rozwiązywania sieci elektrycznych.
Aktualnie funkcjonują dwa standardy (punkty odniesienia) pojęć koniecznych do rozwiązywania sieci elektrycznych:
1.
Polska plus zdecydowana większość krajów:
1a.
Wektor napięcia wskazuje zawsze wyższy potencjał
1b.
Prąd elektryczny płynie zawsze od wyższego do niższego potencjału
2.
Niemcy plus Węgry:
1a.
Wektor napięcia wskazuje zawsze NIŻSZY potencjał
1b.
Prąd elektryczny płynie zawsze od wyższego do niższego potencjału
Z powyższego wynika że:
Jeśli weźmiemy do ręki polski podręcznik elektryki to wszelkie schematy elektryczne będą w standardzie 1
Jeśli weźmiemy do ręki węgierski podręcznik elektryki to wszelkie schematy elektryczne będą w standardzie 2
Zauważmy, że dla przypadków 1 i 2 możliwe są cztery różne standardy bo:
- matematycznie fakt w którą stronę płynie prąd elektryczny jest sprawą czysto umowną
- matematycznie fakt co wskazuje wektor napięcia również jest sprawą czysto umowną
Podsumowanie:
1.
Załóżmy, że Polak pyta Węgra co wskazuje wektor napięcia?
Węgier:
Wektor napięcia wskazuje niższy potencjał
2.
Załóżmy, że Węgier pyta Polaka co wskazuje wektor napięcia?
Polak:
Wektor napięcia wskazuje wyższy potencjał
Oczywiście te odpowiedzi są sprzeczne, wynikłe ze standardów strzałkowania napięcia w Polsce i na Węgrzech.
Wyobraźmy sobie teraz Jasia (lat 5) wskazującego turystę w Polsce pytającego tatę:
Tata, co wskazuje wektor napięcia w kraju z którego wskazany turysta pochodzi?
Tata musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
Dopóki nie otworzę drzwiczek z kotem Schrödingera, czyli dopóki nie dowiem się z jakiego kraju rzeczony turysta pochodzi.
Wybrany standard ma kluczowe znaczenie w interpretacji rozwiązania sieci elektrycznej tzn. przy ustalaniu rzeczywistych kierunków wektorów napięć oraz rzeczywistego rozpływu prądów w sieci.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 7:31, 13 Mar 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 8:24, 14 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
14-03-2022
Wywalam atak na ziemskich matematyków, mimo że słuszny
9.2 Dowodzenie równoważności p<=>q w matematyce klasycznej
Zastanówmy się nad efektywnymi sposobami równoważności p<=>q w matematyce klasycznej, gdzie operuje się wyłącznie na zbiorach nieskończonych.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Dowód tego powyższego można znaleźć w punkcie 5.2.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy wszystko jest jasne i trywialne!
W ziemskiej matematyce klasycznej, w celu udowodnienia prawdziwości równoważności p<=>q dowodzi się po prostu prawdziwości twierdzenie prostego A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
oraz prawdziwości twierdzenie odwrotnego B3:
B3: q=>p=1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czyli mamy podstawową definicję równoważności TP<=>SK doskonale znaną wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Wytłumaczymy to za chwilkę na przykładzie równoważności Pitagorasa.
Tymczasem. przeczytajmy to …
Tragedia ziemskiej matematyki:
Tragedia ziemskiej matematyki polega na tym, że ziemscy matematycy dowodzą poprawnie równoważności Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych w postaci dowodu twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK=1 i dowodu twierdzenie odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP=1, ale nie maja pojęcia co w trawie piszczy!
Formalnie w ziemskiej matematyce ziemscy matematycy bezwzględnie tępią pojęcie „Równoważność Pitagorasa” co można sprawdzić w Wikipedii.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„Równoważność Pitagorasa”
Wynik jest jeden, oczywiście z przekierowaniem na sfinię:
Szach-mat który przejdzie do historii matematyki! - ŚFiNiA
http://www.sfinia.fora.pl › forum-kubusia,12 › szach-m...
24 mar 2020 — Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) Równoważność TP<=>SK jest prawdziwa, bo twierdzenie ...
Co więcej!
Nawet jak zapiszemy równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych zgodnie z rzeczywistym dowodem ziemskich matematyków jako:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1=1
To i tak nie znajdziemy w Wikipedii poprawnego odczytu lewej strony w postaci:
„Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów”
TP<=>SK
Dowód:
Klikamy na googlach:
„Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy”
Wyników tyle co kot napłakał, w większości są to odsyłki do dyskusji ze mną na różnych forach np. na matematyce.pl
Przykład błędnego zapisu równoważności Pitagorasa mamy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy kwadrat długości najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków (twierdzenie Pitagorasa).
Musimy zatem sprawdzić czy jest spełniony ten warunek.
Błąd polega tu na tym że powinno być:
Równoważność Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy kwadrat długości najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.
Czyli bez tego błędu czysto matematycznego w nawiasie (twierdzenie Pitagorasa)
W innym linku znajdziemy już poprawny zapis równoważności Pitagorasa:
[link widoczny dla zalogowanych]
[i]Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat NAJDŁUZSZEGO boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.
Po prostu sprawdź, czy to zachodzi.
To jest zapis poprawny równoważności Pitagorasa:
TP<=>SK
ale z bardzo dużym prawdopodobieństwem można wątpić czy człowiek który to zapisał rozróżnia „Twierdzenie Pitagorasa” od „Równoważności Pitagorasa”
… a przecież różnica jest tu fundamentalna i tą różnicę powinien znać każdy 8-klasista szkoły podstawowej, bowiem jeśli wymaga się od niego znajomości dowodu twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK oraz dowodu twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP to psim obowiązkiem nauczyciela matematyki powinno być wytłumaczenie dziecku o co chodzi w równoważności Pitagorasa.
Definicja równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat NAJDŁUZSZEGO boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: SK=>TP) =1*1=1
Doskonale tu widać, że człowiek nie odróżniający równoważności Pitagorasa TP<=>SK od twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK jest matematycznym idiotą.
Podsumowując:
Nauczyciel matematyki który w 8 klasie szkoły podstawowej nie wytłumaczy dziecku trywialnej, ale fundamentalnej różnicy między „równoważnością Pitagorasa TP<=>SK” a „twierdzeniem prostym Pitagorasa A1: TP=>SK” jest matematycznym idiotą.
cnd
Który nauczyciel to robi?
Czy ktokolwiek zna podręcznik matematyki do 8 klasy szkoły podstawowej tłumaczący dziecku różnicę między „równoważnością Pitagorasa TP<=>SK” a „twierdzeniem prostym Pitagorasa A1: TP=>SK”?
Zauważmy, że używanie w zadaniach matematycznych równoważności Pitagorasa jest właściwsze, bowiem wypowiadając równoważność Pitagorasa sygnalizujemy światu zewnętrznemu, że znamy dowód twierdzenie prostego Pitagorasa A1: TP=>SK=1 oraz dowód twierdzenie odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP=1
Natomiast wypowiadając wyłącznie twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK=1 nie sygnalizujemy światu zewnętrznemu, czy twierdzenie odwrotne Pitagorasa jest prawdziwe/fałszywe:
B1: SK=>TP=?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 9:44, 21 Maj 2022 Temat postu: |
|
|
2022-05-21 Planowane zmiany w tekście
Algebra Kubusia
12.2 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ
Spis treści
12.2 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ 1
12.2.1 Prawo Słonia 2
12.2.2 Masakra Klasycznego Rachunku Zdań 3
12.3 Prawo Irbisa - kolejna tragedia ziemskich matematyków 5
12.3.1 Prawo Irbisa dla zbiorów 5
12.3.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń 9
12.2 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ
Przedstawiony niżej dowód wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań polegał będzie na wykazaniu sprzeczności między teorią zwaną Klasycznym Rachunkiem Zdań a praktyką absolutnie wszystkich ludzi, z matematykami włącznie.
Zacznijmy od cytatu rewolucjonisty Irbisola:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-950.html#629669
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | Irbsolu, po twoim zapisie iż w KRZ zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Implikacja w KRZ => = dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne "Jeśli p to q"
Nie mogę zwalczać KRZ bo automatycznie zwalczałbym algebrę Kubusia. |
Ale ja to zawsze twierdziłem, a ty mimo to KRZ zwalczałeś.
|
Irbisolu,
1.
Gdybym na matematyce.pl zapisał coś takiego:
Warunek wystarczający => = Implikacja rodem z KRZ
zostałbym zatupany, wygwizdany i natychmiast zbanowany.
2.
Gdyby zachodziła tożsamość:
Warunek wystarczający => = Implikacja w KRZ => = dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne "Jeśli p to q"
to wtedy lądujesz prawie („prawie” robi tu fundamentalną różnicę) w algebrze Kubusia gdzie prawdziwa jest następująca tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Niestety powyższa tożsamość jest niepełna, bowiem dalej nie wiadomo jak dowodzić dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q” operujące na zbiorach nieskończonych. Wszystkie ziemskie twierdzenia matematyczne „Jeśli p to q” operują na zbiorach nieskończonych gdzie iterowanie (kwantyfikator duży) jest idiotyzmem, co każdy matematyk doskonale rozumie - nie da się przeiterować zbioru nieskończonego element po elemencie.
Dopiero prawo Słonia z algebry Kubusia daje nam algorytm dowodzenia dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego operującego na zbiorach nieskończonych.
12.2.1 Prawo Słonia
Prawidłowe tożsamości w logice matematycznej, pozwalające na dowodzenie ziemskich twierdzeń matematycznych „Jeśli p to q” operujących na zbiorach nieskończonych opisane są tylko i wyłącznie prawem Słonia.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych twierdzeń matematycznych „Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Przykładowe zadanie matematyczne w I klasie LO.
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
Rozwiązanie:
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego "Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.
Zauważmy, że identycznie mamy w świecie fizyki.
Przykład:
Możemy podać definicję prądu, możemy podać oddzielną definicję napięcia, oddzielną definicję rezystora … i nic z tego wynika dopóki nie poznamy prawa Ohma wiążącego te pojęcia!
Prawo Ohma:
Prąd (I) płynący przez rezystor (R) wywołuje na nim spadek napięcia (U):
U=I*R
12.2.2 Masakra Klasycznego Rachunku Zdań
Definicja implikacji w ziemskiej logice matematycznej:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
| macjan - jeden z najlepszych logików z którymi dyskutowałem napisał: |
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "jeśli ... to ..." jest implikacją. |
Dowolny ziemski matematyk, który twierdzi że powyższa definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” nie jest pełną definicją implikacji rodem z KRZ powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska, bo nie rozumie istoty KRZ!
Powyższa definicja podaje nam algorytm dowodzenia prawdziwości dowolnej implikacji, czyli prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”.
Implikacja p=>q ziemskich matematyków rodem z KRZ opisana jest tabelą zero-jedynkową:
| Kod: |
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
Zauważmy, że poprawna definicja implikacji rodem z KRZ przedstawiona przez Macjana daje nam prosty algorytm określania prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Sęk w tym, że do określenie prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” konieczna jest znajomość z góry wartości logicznej zarówno poprzednika p jak i następnika q, dopiero wtedy mamy rozstrzygnięcie, iż dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest fałszywe wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik p jest prawdziwy, zaś następnik q jest fałszywy.
Ten fakt powoduje robienie szamba z mózgu człowieka, wymuszając prawdziwość poniższych zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
1.
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Podręcznik matematyki do I klasy LO napisał: | | Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi |
3.
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód na serio prawdziwości tego zdania znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oczywistym jest, że jeśli spytamy dowolnego matematyka gdzie w zdaniach warunkowych 1, 2 lub 3 spełniony jest warunek wystarczający => iż z p wynika q, jak to jest w poprawnej logice matematycznej algebrze Kubusia na mocy prawa Słonia, to musi odpowiedzieć, iż żaden warunek wystarczający => miedzy p i q na gruncie KRZ nie zachodzi!
W ten sposób dochodzimy do wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań.
Na czym ta wewnętrzna sprzeczność polega?
W praktyce absolutnie każdy matematyk w dowodzie prawdziwości twierdzenia matematycznego „Jeśli p to q” operującego na zbiorach nieskończonych dowodzi relacji podzbioru, zgodnie z prawem Słonia.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
Innymi słowy:
Weźmy takie twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
Każdy matematyk który zabiera się za dowód powyższego twierdzenia matematycznego „Jeśli p to q”, podświadomie w swoim rozumie mówi:
W dupie mam cały ten pieprzony KRZ, korzystam z prawa Słonia z algebry Kubusia!
Dowód prawdziwości twierdzenia A1 na mocy prawa Słonia mamy w poprzednim punkcie.
W ten oto sposób, udowodniliśmy wewnętrzną sprzeczność KRZ na gruncie dowodzenia absolutnie każdego twierdzenia matematycznego „Jeśli p to q” operującego na zbiorach nieskończonych.
cnd
Podsumowując:
1.
Brak prawa Słonia w ziemskiej logice matematycznej to największa tragedia ziemskich matematyków.
2.
Akceptacja prawa Słonia przez ziemskich matematyków, z którego muszą skorzystać przy dowodzeniu absolutnie każdego twierdzenia matematycznego „Jeśli p to q” operującego na zbiorach nieskończonych to Armagedon gówno-logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań
cnd
3.
Jeśli prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q i odwrotne B3: q=>p to mamy do czynienia z równoważnością p<=>q definiującą tożsamość zbiorów nieskończonych p=q o czy żaden ziemski matematyk nie ma najmniejszego pojęcia.
To jest druga największa tragedia ziemskich matematyków, o czym w następnym punkcie.
12.3 Prawo Irbisa - kolejna tragedia ziemskich matematyków
Brak prawa Słonia w ziemskiej logice matematycznej generuje brak prawa Irbisa w tej logice - to kolejna tragedia ziemskich matematyków.
Irbisol, jako pierwszy ziemian bez najmniejszego problemu, bez cienia wątpliwości, zaaprobował prawo Irbisa, nazwane tak na jego cześć.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q i odwrotnie
12.3.1 Prawo Irbisa dla zbiorów
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 80 300
Stąd mamy:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Jak dowodzi się prawdziwość równoważności w zbiorach p<=>q w matematyce klasycznej?
Na mocy prawa Sowy wszystko jest jasne i trywialne.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Matematyczna definicja równoważności p<=>q akceptowana przez matematyków:
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: p=>q=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: q=>p=1)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q=1 i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p=1
Na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności <=> w zbiorach:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
Innymi słowy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru => w dwie strony.
Zauważmy, że prawa strona to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Innymi słowy:
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p I q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Na mocy prawa Słonia mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
RA1B1:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Równoważność Pitagorasa udowadniamy w dwóch krokach.
Krok 1
Dowodzimy twierdzenia prostego Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Dowód ten oznacza, że zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Krok 2
Prawdziwość warunku koniecznego (B1: TP~>SK) w równoważności Pitagorasa dowodzimy metodą „nie wprost”
Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
Na mocy prawa Tygryska aby udowodnić prawdziwość warunku koniecznego B1: TP~>SK potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP
B3.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (TP)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, iż zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Stąd dla naszego przykładu mamy:
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (Twierdzenie proste A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (Twierdzenie odwrotna B3: SK=>TP=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Wniosek:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP<=>SK) definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
cnd
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
12.3.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń
Definicja tożsamości zdarzeń p=q:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Dowód na przykładzie:
| Kod: |
S1 Schemat ideowy sterowania żarówką
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby żarówka świeciła się S (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Zachodzi tu tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Innymi słowy:
Pojęcie „przycisk A wciśnięty” jest tożsame z pojęciem „żarówka S świeci się”
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 w zdarzeniach definiuje tożsamość zdarzeń p=q i odwrotnie
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 9:47, 21 Maj 2022 Temat postu: |
|
|
2022-05-21
Za chwilkę radykalne zmiany w tekście w związku z najnowszym odkryciem: zmienne wolne i związane w teorii zdarzeń i zbiorów
Algebra Kubusia
12.4 Diagram Venna - katastrofa ziemskiej logiki matematycznej
Spis treści
12.4 Diagram Venna - katastrofa ziemskiej logiki matematycznej 1
12.4.1 Katstrofa ziemskiej logiki matematycznej w opisie diagramu Venna 1
12.5 Poprawne spójniki implikacyjne na bazie diagramu Venna 6
12.5.1 Implikacja prosta p|=>q na bazie diagramu Venna 7
12.5.2 Implikacja odwrotna p|~>q na bazie diagramu Venna 13
12.5.3 Równoważność p<=>q na bazie diagramu Venna 15
12.5.4 Chaos p|~~>q na bazie diagramu Venna 17
12.5.5 Relacje miedzy spójnikami p|=>q, p|~>q i p<=>q 18
12.4 Diagram Venna - katastrofa ziemskiej logiki matematycznej
Moim bezcennym partnerem w dyskusji o logice matematycznej jest Irbisol, którego celem od 15 lat jest obalanie algebry Kubusia na każdym etapie jej rozszyfrowania, dzięki temu odkrywamy dziewicze tereny logiki matematycznej do których w pojedynkę nigdy bym nie trafił.
Irbisol, jak sam napisał nie jest matematykiem (na szczęście) ale poprawnie logicznie rozumuje algebrą Kubusia bo po prostu pod nią podlega, tylko o tym nie wie.
Jego obalanie AK zazwyczaj kończy się tym, że ja Rafał3006 nic nowego nie wymyśliłem, bo wszystko co piszę jest zgodne z jego Klasycznym Rachunkiem Zdań.
12.4.1 Katstrofa ziemskiej logiki matematycznej w opisie diagramu Venna
Całkiem niedawno Irbisol zaskoczył mnie tym postem:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1300.html#636141
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Pokaż mi teorię matematyczną, a nie przykłady pasujące do tej teorii. |
W angielskiej Wikipedii masz:
[link widoczny dla zalogowanych]
Being in the purple region is sufficient for being in A, but not necessary. Being in A is necessary for being in the purple region, but not sufficient. Being in A and being in B is necessary and sufficient for being in the purple region.
W tłumaczeniu na język polski mamy trzy zdania:
Bycie w obszarze fioletowym jest wystarczające do bycia w A, ale nie jest konieczne.
Bycie w A jest konieczne, aby znaleźć się w fioletowym regionie, ale nie wystarczy.
Bycie w A i bycie w B jest konieczne i wystarczające, aby znaleźć się w fioletowym obszarze.
|
Z punktu widzenia logiki matematycznej diagram Venna jest w całości matematycznie błędny.
Dlaczego?
W diagramie Venna punktem odniesienia są zbiory A i B.
Diagram Venna z punktem odniesienia ustawionym na zbiorach A i B nie spełnia definicji żadnego ze spójników implikacyjnych w zbiorach.
Dowody:
Przechodzę na zapisy formalne w logice matematycznej podstawiając:
p=A
q=B
Zbiory p i q muszą być niepuste, bo muszą być rozpoznawalne.
1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina D musi być niepusta i szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej zbiór ~q jest nierozpoznawalny co widać na diagramie DIP niżej.
D>p+q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Diagram Venna:
p=A
q=B
Oczywistym jest, że diagram Venna nie spełnia definicji implikacji prostej A|=>B:
A1: A=>B =0 - zbiór A nie jest (=0) podzbiorem => zbioru B - to jest sprzeczne z definicją A|=>B
B1: A~>B =0 - zbiór A nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru B - to jest ok.
Stąd mamy:
A|=>B = (A1: A=>B)*~(B1: A~>B) = 0*~(0) = 0*1 =0
cnd
Poprawny diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach (różny od diagramu Venna!):
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy do czynienia z najzwyklejszym
„rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B2’ i A2
|
2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór ~p będzie rozpoznawalny (niepusty), co widać na poniższym diagramie DIO
D>p+q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Diagram Venna:
p=A
q=B
Oczywistym jest, że diagram Venna nie spełnia definicji implikacji odwrotnej A|~>B:
A1: A=>B =0 - zbiór A nie jest (=0) podzbiorem => zbioru B - to jest ok.
B1: A~>B =0 - zbiór A nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru B - to jest sprzeczne z definicją A|~>B
Stąd mamy:
A|~>B = ~(A1: A=>B)*(B1: A~>B) = ~(0)*0 = 1*0 =0
cnd
Poprawny diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach (różny od diagramu Venna!):
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
|
3.
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiory ~p i ~q będą rozpoznawalne (nie będą puste), co widać na diagramie DR
D>p+q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Diagram Venna:
p=A
q=B
Oczywistym jest że diagram Venna nie spełnia definicji równoważności A<=>B:
A1: A=>B =0 - zbiór A nie jest (=0) podzbiorem => zbioru B
B1: A~>B =0 - zbiór B nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru B
Stąd mamy:
A<=>B = (A1: A=>B)*(B1: A~>B) =0*0 =0
cnd
Poprawny diagram równoważności p<=>q w zbiorach (różny od diagramu Venna!):
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dla B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicje równoważności:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
-----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|--------------------------------------------|
| q | ~q |
|------------------------|--------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|---------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|---------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q definiujący tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
-----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
4.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach to dwa zbiory niepuste p i q mające co najmniej jeden element wspólny z których żaden nie zawiera się w drugim, a dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
D>p+q
Stąd mamy diagram chaosu p|~~>q w zbiorach:
| Kod: |
DCH
Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc+Yd=1 - dziedzina, suma logiczna zbiorów rozłącznych |
| D=A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =p*(q+~q)+~~p*(~q+q)=p+~p=1 |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | D: Yd=~p*q | C: Yc=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
Podsumowując:
Chaos p|~~>q to cztery zbiory niepuste i rozłączne Ya, Yb, Yc i Yd
uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
|
Diagram Venna:
p=A
q=B
Doskonale widać, że diagram Venna nie spełnia definicji chaosu A|~~>B bo nie ma na mim zbioru C: Yc=~A*~B
Podsumowując:
Aktualna logika matematyczna ziemskich matematyków leży kwiczy i błaga o litość.
Jej miejsce jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach.
12.5 Poprawne spójniki implikacyjne na bazie diagramu Venna
| Wikipedia napisał: |
W angielskiej Wikipedii mamy:
[link widoczny dla zalogowanych]
Being in the purple region is sufficient for being in A, but not necessary. Being in A is necessary for being in the purple region, but not sufficient. Being in A and being in B is necessary and sufficient for being in the purple region.
W tłumaczeniu na język polski mamy trzy zdania::
1.
Bycie w obszarze fioletowym jest wystarczające do bycia w A, ale nie jest konieczne.
2.
Bycie w A jest konieczne, aby znaleźć się w fioletowym regionie, ale nie wystarczy.
3.
Bycie w A i bycie w B jest konieczne i wystarczające, aby znaleźć się w fioletowym obszarze.
|
Diagram Venna dzieli zbiór niepusty A+B na trzy zbiory niepuste i rozłączne jak niżej.
Diagram Venna w zbiorach rozłącznych to fragment operatora chaosu p|~~>q zdefiniowanego w poprzednim punkcie.
| Kod: |
Diagram Venna w zbiorach rozłącznych
------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc=1 - dziedzina |
| D=A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B =1 |
------------------------------------------------------
| A |
------------------------------------------------------
| B |
------------------------------------------------------
| B: Yb=A*~B | A: Ya=A*B | C: Yc=~A*B |
------------------------------------------------------
|
12.5.1 Implikacja prosta p|=>q na bazie diagramu Venna
| Kod: |
Diagram Venna w zbiorach rozłącznych
------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc=1 - dziedzina |
| D=A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B =1 |
------------------------------------------------------
| A |
------------------------------------------------------
| B |
------------------------------------------------------
| B: Yb=A*~B | A: Ya=A*B | C: Yc=~A*B |
------------------------------------------------------
|
1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina D musi być niepusta i szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
D>p+q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Łatwo widzieć, iż prawidłową definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach otrzymamy grupując zbiory diagramu Venna na przykład w następujący sposób:
p=Ya
p= A: A*B
q=Ya+Yb
q=A: A*B + B: A*~B = A*(B+~B)=A
Stąd mamy prawdziwe zdanie numer 1 z Wikipedii:
1.
Bycie w obszarze fioletowym jest wystarczające do bycia w A, ale nie jest konieczne.
Oczywiście dziedzina D=p+q jest tu szersza od sumy zbiorów p+q, zatem takie pogrupowanie zbiorów spełnia definicją implikacji prostej p|=>q
Dowód:
p+q = A*B+A = A - bo zbiór A*B jest podzbiorem => zbioru A
Oczywistym jest że dziedzina:
D=A+B
jest szersza od zbioru A
D=A+B > A
cnd
Stąd mamy poprawną definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
A1: p=>q =1 - bo zbiór A*B jest (=1) podzbiorem => zbioru A
B1: p~>q =0 - bo zbiór A*B nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru A
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1=1
cnd
Przykład w zbiorach minimalnych:
A=[1,2]
B=[2,3]
Stąd mamy:
p= A: A*B = [1,2]*[2,3] = [2]
q= A=[1,2]
Stąd mamy:
A1: p=>q = [2]=>[1,2] =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q = [2]~>[1,2] =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1=1
cnd
Przykład w zbiorach nieskończonych:
| Wikipedia napisał: |
W angielskiej Wikipedii mamy:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oznaczmy:
A=Am - zbiór liczb podzielnych przez m
B=Bn - zbiór liczb podzielnych przez n
Cx=Am*Bn - część wspólna zbiorów Am i Bn
|
Dla nieskończonych zbiorów Am i Bn diagram Venna opisuje poprawnie następujące przypadki.
1.
Implikacja prosta Cx|=>Am:
Cx=Am*Bn => Am=1 - zbiór Cx jest podzbiorem => Am i nie jest tożsamy ze zbiorem Am
2.
Implikacja prosta Cx|=>Bn:
Cx=Am*Bn => Bn=1 - zbiór Cx jest podzbiorem => Bn i nie jest tożsamy ze zbiorem Bn
Weźmy konkretny przykład:
Am=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Bn=P3=[3,6,9,12..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Cx=P2*P3=P6=[6,12,18..]
Uwaga:
Dla obliczenia Cx wykorzystano prawo teorii zbiorów:
Am*Bn=C(m*n)
Część I:
Implikacja prosta P6|=>P2 na bazie diagramu Venna.
1.
Warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 to na 100% => jest podzielna przez 2
P2*P3=>P2 =1
Zbiór P2*P3 = P6=[6,12,18..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6..]
co każdy matematyk łatwo udowodni.
Implikacja prosta P6|=>P2:
Zbiór liczb podzielnych przez 2 i przez 3 (P2*P3) jest podzbiorem => zbioru liczb podzielnych przez 2 (P2) i nie jest tożsamy ze zbiorem P2
Cx=Am*Bn= P2*P3 =P6 => Am=P2 =1
Zbiór P6=[6,12,18..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6..] i nie jest tożsamy z P2
co każdy matematyk łatwo widzi.
Prawo Słonia dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Innymi słowy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 i przez 3 (P2*P3) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2)
Innymi słowy:
Podzielność dowolnej liczby przez 6 (P6) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2)
Część II
Implikacja prosta symetryczna P6|=>P3 na bazie diagramu Venna
Warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 to na 100% => jest podzielna przez 3
P2*P3=>P3 =1
Zbiór P2*P3 = P6=[6,12,18..] jest podzbiorem => P3=[3,6,9,12..]
co każdy matematyk łatwo udowodni.
Implikacja prosta P6|=>P3:
Zbiór liczb podzielnych przez 2 i przez 3 (P2*P3) jest podzbiorem => zbioru liczb podzielnych przez 3 (P3) i nie jest tożsamy ze zbiorem P3
Cx=Am*Bn= P2*P3 =P6 => Bn=P3 =1
Zbiór P6=[6,12,18..] jest podzbiorem => P3=[3,6,9,12..] i nie jest tożsamy z P3
co każdy matematyk łatwo widzi.
Prawo Słonia dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Innymi słowy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 i przez 3 (P2*P3) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 3 (P3)
Innymi słowy:
Podzielność dowolnej liczby przez 6 (P6) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 3 (P3)
Analiza szczegółowa implikacji prostej Cx|=>Bn:
Oznaczmy na diagramie Venna:
A=Am - zbiór liczb podzielnych przez m
B=Bn - zbiór liczb podzielnych przez n
Cx=Am*Bn - część wspólna zbiorów Am i Bn
Cx=Am*Bn
Nasz przykład:
A=Am=P2=[2,4,6,8..]
B=Bn=P3=[3,6,9,12..]
Cx=Am*Bn = P2*P3 = P6=[6,12,18..]
Implikacja prosta P6|=>P3:
Zbiór liczb podzielnych przez 2 i przez 3 (P2*P3) jest podzbiorem => zbioru liczb podzielnych przez 3 (P3) i nie jest tożsamy ze zbiorem P3
Cx=Am*Bn= P2*P3 =P6 => Bn=P3 =1
Innymi słowy:
Zbiór liczb podzielnych przez 6 (P6) jest podzbiorem => zbioru liczb podzielnych przez 3 (P3) i nie jest tożsamy ze zbiorem P3
Stąd mamy:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 6 to na 100% => jest podzielna przez 3
P6=>P3 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 6 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P6=[6,12,18..] jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9,12..]
co każdy matematyk bez trudu udowodni
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Poprzednik definiuje nam zbiór:
P6=[6,12,18..] - zbiór liczb podzielnych przez 6
Następnik definiuje nam zbiór:
P3=[3,6,12..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Obliczenia przeczeń zbiorów definiowanych jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P6=[LN-P6]=[1,2,3,4,5..7,8,9,10,11..13..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..10,11..13..]
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 6 to na 100% ~> jest podzielna przez 3
P6~>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 6 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P6=[6,12,18..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9,12..] (kontrprzykład: 3)
co każdy matematyk bez trudu udowodni
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż badany warunek wystarczający A1: P6=>P3 jest częścią implikacji prostej P6|=>P3 w logice dodatniej (bo P3)
Podstawmy definicję implikacji prostej P6|=>P3 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q (punkt 8.2)
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej P6|=>P3
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P6|=>P3
A1: P6=>P3=1 - zbiór P6=[6,12,18..] jest (=1) podzbiorem => P3=[3,6,9,12..]
B1: P6~>P3=0 - zbiór P6=[6,12,18..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9.]
A1B1: P6|=>P3=(A1: P6=>P3)*~(B1: P6~>P3)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P6=> P3=1 2:~P6~>~P3=1 [=] 3: P3~> P6=1 4:~P3=>~P6=1 [=] 5:~P6+ P3=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0 [=] 5: p+ ~q =0
1: P6~> P3=0 2:~P6=>~P3=0 [=] 3: P3=> P6=0 4:~P3~>~P6=0 [=] 5: P6+~P3=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q w zapisie formalnym
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej P6||=>P3 w zapisie aktualnym
Operator implikacji prostej P6||=>P3 to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P6 i ~P6:
A1B1: P6|=>P3 = (A1: P6=>P3)*~(B1: P6~>P3) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P6?
A2B2: ~P6|~>~P3 = (A2:~P6~>~P3)*~(B2:~P6=>~P3) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P6?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P6:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 6 (P6)?
A1: P6=>P3=1 - zbiór P6=[6,12,18..] jest (=1) podzbiorem => P3=[3,6,9,12..]
B1: P6~>P3=0 - zbiór P6=[6,12,18..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9,12..]
A1B1: P6|=>P3 = (A1: P6=>P3)*~(B1: P6~>P3) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P6?
Czytamy:
Implikacja P6|=>P3 w logice dodatniej (bo P3) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P6=[6,12,18 ..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9,12..] (zdanie A1) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9,12..]
A1B1:
Z kolumny A1B1 odczytujemy co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 6 (P6)
w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 6 (P6) to na 100% => jest podzielna przez 3 (P3)
P6=>P3 =1
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 6 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 3 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P6=[6,12,18..] jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9,12..]
Udowodnić iż zbiór P6 jest podzbiorem => zbioru P3 potrafi każdy matematyk.
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 6 (P6) to ta liczba na 100% => liczba ta będzie podzielna przez 3 (P3)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 6 (P6) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (P3)
P6~~>~P3 = P6*~P3 =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P6=[6,12,18..] i ~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..10,11..13..] są rozłączne.
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 6 (~P6)?
Prawo Kubusia:
A1: P6=>P3 = A2: ~P6~>~P3
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P6:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 6 (~P6)?
A2: ~P6~>~P3 =1 - zbiór ~P6 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P3
B2: ~P6=>~P3 =0 - zbiór ~P6 nie jest podzbiorem => zbioru ~P3
A2B2: ~P6|~>~P3 = (A2:~P6~>~P3)*~(B2:~P6=>~P3) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P6?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P6|~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P6=[LN-P6]=[1,2,3,4,5..7,8,9,10,11..13..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..10,11..13..] (A2) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru ~P3 (B2)
A2B2:
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 6 (~P6) to może ~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
~P6~>~P3 =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P6=[LN-P6]=[1,2,3,4,5..7,8,9,10,11..13..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..10,11..13..]
Zauważmy, że dowód wprost jest tu dużo trudniejszy, jeśli w ogóle możliwy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 6 (~P6) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 3 (~P3) bo jeśli liczba jest podzielna przez 6 (P6) to na 100% => jest podzielna przez 3 (P3)
A2: ~P6~>~P3 = A1: P6=>P3
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P6=>~P3=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 6 (~P6) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
~P6~~>P3 = ~P6*P3 =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P6=[LN-P6]=[1,2,3,4,5..7,8,9,10,11..13..] i P3=[3,6,9,12..] np. 3
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P6||=>P3 to gwarancja matematyczna => po stronie liczb podzielnych przez 6 (P6) o czym mówi zdanie A1 i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb niepodzielnych przez 6 (~P6) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 6 (P6) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 3 (P3) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 6 (~P6) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 6 (~P6) to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 3 (~P3) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być podzielna przez 3 na mocy zdania B2’
Zauważmy, zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P6||=>P3, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
12.5.2 Implikacja odwrotna p|~>q na bazie diagramu Venna
| Kod: |
Diagram Venna w zbiorach rozłącznych
------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc=1 - dziedzina |
| D=A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B =1 |
------------------------------------------------------
| A |
------------------------------------------------------
| B |
------------------------------------------------------
| B: Yb=A*~B | A: Ya=A*B | C: Yc=~A*B |
------------------------------------------------------
|
2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q.
D>p+q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Łatwo widzieć, iż prawidłową definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach otrzymamy grupując zbiory diagramu Venna na przykład w następujący sposób:
p=Ya+Yb
p=A: A*B + B: A*~B = A*(B+~B)=A
q=Ya
q= A: A*B
Stąd mamy prawdziwe zdanie numer 2 z Wikipedii:
2.
Bycie w A jest konieczne, aby znaleźć się w fioletowym regionie, ale nie wystarczy.
Oczywiście dziedzina D=p+q jest tu szersza od sumy zbiorów p+q, zatem takie pogrupowanie zbiorów spełnia definicją implikacji odwrotnej p|~>q
Dowód:
p+q = A+A*B = A - bo zbiór A*B jest podzbiorem => zbioru A
Oczywistym jest że dziedzina:
D=A+B
jest szersza od zbioru A
D=A+B > A
cnd
Stąd mamy poprawną definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
A1: p=>q =0 - bo zbiór A nie jest (=0) podzbiorem => zbioru A*B
B1: p~>q =1 - bo zbiór A jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru A*B
Stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1=1
cnd
Przykład w zbiorach minimalnych:
A=[1,2]
B=[2,3]
Stąd mamy:
p= A=[1,2]
q= A: A*B = [1,2]*[2,3] = [2]
Stąd mamy:
A1: p=>q = [1,2]=>[2] =0 - bo zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q = [1,2]~>[2] =1 - bo zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1=1
cnd
Przykład w zbiorach nieskończonych:
| Wikipedia napisał: |
W angielskiej Wikipedii mamy:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oznaczmy:
A=Am - zbiór liczb podzielnych przez m
B=Bn - zbiór liczb podzielnych przez n
Cx=Am*Bn - część wspólna zbiorów Am i Bn
|
Dla nieskończonych zbiorów Am i Bn diagram Venna opisuje poprawnie następujące przypadki.
1.
Implikacja odwrotna Am|~>Cx:
Zbiór Am jest nadzbiorem ~> zbioru Cx=Am*Bn i nie jest tożsamy ze zbiorem Cx
2.
Implikacja odwrotna Bn|~>Cx:
Zbiór Bn jest nadzbiorem ~> zbioru Cx=Am*Bn i nie jest tożsamy ze zbiorem Cx
Weźmy konkretny przykład:
Am=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Bn=P3=[3,6,9,12..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Cx=P2*P3=P6=[6,12,18..]
Uwaga:
Dla obliczenia Cx wykorzystano prawo teorii zbiorów:
Am*Bn=C(m*n)
Szczegółową analizę implikacji odwrotnej Am|~>Cx pozostawiam czytelnikowi.
Podpowiedź:
Wzoruj się na implikacji prostej Cx|=>P2 wyżej omówionej
12.5.3 Równoważność p<=>q na bazie diagramu Venna
| Kod: |
Diagram Venna w zbiorach rozłącznych
------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc=1 - dziedzina |
| D=A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B =1 |
------------------------------------------------------
| A |
------------------------------------------------------
| B |
------------------------------------------------------
| B: Yb=A*~B | A: Ya=A*B | C: Yc=~A*B |
------------------------------------------------------
|
3.
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q.
D>p+q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Łatwo widzieć, iż prawidłową definicję implikacji równoważności p<=>q w zbiorach otrzymamy grupując zbiory diagramu Venna na przykład w następujący sposób:
p=Ya
p=A: A*B
q=Ya
q= A: A*B
Stąd mamy prawdziwe zdanie numer 3 z Wikipedii:
3.
Bycie w A i bycie w B jest konieczne i wystarczające, aby znaleźć się w fioletowym obszarze
Oczywiście dziedzina D=p+q jest tu szersza od sumy zbiorów p+q, zatem takie pogrupowanie zbiorów spełnia definicję równoważności p<=>q
Dowód:
p+q = A*B+A*B = A*B - bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q
Oczywistym jest że dziedzina:
D=A+B
jest szersza od zbioru A*B
D=A+B > A*B
cnd
Stąd mamy poprawną definicję równoważności p<=>q w zbiorach:
A1: p=>q =1 - bo zbiór A*B jest (=1) podzbiorem => zbioru A*B
B1: p~>q =1 - bo zbiór A*B jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru A*B
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1=1
cnd
Przykład w zbiorach minimalnych:
A=[1,2]
B=[2,3]
Stąd mamy:
p= A: A*B = [1,2]*[2,3] = [2]
q= A: A*B = [1,2]*[2,3] = [2]
Stąd mamy:
A1: p=>q = [2]=>[2] =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q = [2]~>[2] =1 - bo zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1=1
cnd
12.5.4 Chaos p|~~>q na bazie diagramu Venna
| Kod: |
Diagram Venna w zbiorach rozłącznych
------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc=1 - dziedzina |
| D=A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B =1 |
------------------------------------------------------
| A |
------------------------------------------------------
| B |
------------------------------------------------------
| B: Yb=A*~B | A: Ya=A*B | C: Yc=~A*B |
------------------------------------------------------
|
4.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach to dwa zbiory niepuste p i q mające co najmniej jeden element wspólny z których żaden nie zawiera się w drugim, a dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
D>p+q
Wniosek:
Nie da się zbudować spójnika chaosu p|~~>q na bazie diagramu Venna, bo nie jest spełniona definicji dziedziny w spójniku chaosu.
Dowód 1.
Dziedzina dla diagramu Venna to:
D=A+B
Tymczasem definicja dziedziny w chaosie p|~~>q musi być niepusta i szersza od sumy zbiorów A+B, czego diagram Venna nie spełnia.
cnd
Dowód 2.
Spójnik chaosu p|~~>q wymaga minimum czterech zbiorów niepustych i rozłącznych uzupełniających się do wspólnej dziedziny D.
Tymczasem w diagramie Venna mamy trzy zbiory niepuste i rozłączne:
D = Ya+Yb+Yc
Zatem nie da się zbudować spójnika chaosu p|~~>q na bazie diagramu Venna
cnd
12.5.5 Relacje miedzy spójnikami p|=>q, p|~>q i p<=>q
| Kod: |
Diagram Venna w zbiorach rozłącznych
------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc=1 - dziedzina |
| D=A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B =1 |
------------------------------------------------------
| A |
------------------------------------------------------
| B |
------------------------------------------------------
| B: Yb=A*~B | A: Ya=A*B | C: Yc=~A*B |
------------------------------------------------------
|
Wzajemne relacje miedzy spójnikami implikacyjnymi możliwymi do zbudowania na bazie diagramu Venna są następujące:
| Kod: |
T1
1.
Implikacja prosta p|=>q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q
Y = p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Implikacja odwrotna p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p|~>q = p*~q # ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
3.
Równoważność p<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli T1 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
Uwaga:
W szczegółowej analizie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w zapisie aktualnym (w przykładach) spotkamy się tu ze znaczkiem różne na mocy błędu podstawienia ### omówionym w punkcie 8.9
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 12:31, 31 Maj 2022 Temat postu: |
|
|
2022-05-31
Ten punkt zamierzam uprościć
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-17-04-2022,20453.html#655299
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.9 Równoważność p<=>q vs „albo”($) p$q
Spis treści
9.9 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q 1
9.10 Związek definicji spójnika „albo”($) p$q z równoważnością p<=>~q 3
9.10.1 Związek spójnika „albo”($) z równoważnością p<=>~q w językiu potocznym 7
9.11 Związek równoważności p<=>q z definicją spójnika „albo”($) p$~q 8
9.11.1 Związek równoważności p<=>q z „albo”($) p$~q w języku potocznym 13
9.12 Prawa Puchacza 16
9.12.1 I prawo Puchacza p<=>q ## p$q 17
9.12.1 II prawo Puchacza p$q ## p<=>q 18
9.9 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
| Kod: |
TF4-7
-------------------------------------------------------------------------
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
---------------------------------------
| TF6-7: |
| Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q |
---------------------------------------
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
Gdzie:
##
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
9.10 Związek definicji spójnika „albo”($) p$q z równoważnością p<=>~q
Przypomnijmy sobie podstawowe definicje spójka „albo”($) oraz równoważności podane w poprzednim punkcie.
| Kod: |
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF8-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q:
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory różne i niepuste p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Stąd mamy definicje dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q
Innymi słowy:
W spójniku „albo”($) dziedzina D na mocy definicji spójnika „albo”($) w zbiorach jest zbiorem dwuelementowym:
D = p+q - trzeciej możliwości brak
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) A1B1: p$q w zbiorach:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Diagram „albo”($) A2B2: ~p$~q w zbiorach:
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($):
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q
----------------------------------------------------------------------
| p | q |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| p=~q # ~p=q |
|--------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych p*~q i ~p*q: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram spójnika „albo”($) p$q definiujący tożsamości zbiorów: |
| p=~q # ~p=q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony|
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>~q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B1: p~>~q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Wniosek:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=~q
A2B2:
A2:~p~>q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
B2:~p=>q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
Wniosek:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=q
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz ogólny:
Zacznijmy od podstawowych definicji spójnika „albo”($):
1.
Definicja „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q = p*~q + ~p*q
2.
Definicja spójnika „albo”($) w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Stąd mamy matematyczny związek spójnika „albo”($) ze spójnikiem równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Zapiszmy definicję równoważności p<=>~q tożsamą ze spójnikiem „albo”($):
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności p<=>~q, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
A1: p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zaszło ~q
##
B1.
Jeśli zajdzie p to na 100% ~> zajdzie ~q
B1: p~>~q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zaszło ~q
Dowód:
Dziedzina D na mocy definicji spójnika „albo”($) w zbiorach jest zbiorem dwuelementowym:
D = p+q - trzeciej możliwości brak
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
cnd
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.10.1 Związek spójnika „albo”($) z równoważnością p<=>~q w językiu potocznym
Zobaczmy teraz jak genialnie wyłożona wyżej teoria spójnika „albo”($) pasuje do języka potocznego 5-cio latka i humanistów.
Dowód przełożenia 1:1 będzie polegał na zastąpieniu parametrów formalnych {p,q} parametrami aktualnymi {M,K}
Czyli:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Jedziemy!
Definicja spójnika „albo”($) w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) ‘albo”($) kobietą (K)
Dziedzina spójnika „albo”($) jest tu spełniona:
C (człowiek) = M+K - trzeciej możliwości brak
Prawą stronę czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) M$K jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy bycie mężczyzną M jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą ~K
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Stąd mamy matematyczny związek spójnika „albo”($) ze spójnikiem równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Zapiszmy definicję równoważności M<=>~K tożsamą ze spójnikiem „albo”($):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby nie być kobietą (~K)
(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności M<=>~K A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby nie być kobietą (~K)
##
B1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K)
B1: M~>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie być kobietą (~K)
Zauważmy że:
Zbiór C (człowiek) jest zbiorem dwuelementowym:
C = M+K - trzeciej możliwości brak
co spełnia definicję spójnika „albo”($) w zbiorach
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
cnd
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.11 Związek równoważności p<=>q z definicją spójnika „albo”($) p$~q
Przypomnijmy sobie podstawowe definicje spójka „albo”($) p$q oraz równoważności p<=>q podane w punkcie 9.9
| Kod: |
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF8-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
cnd
Tabela prawdy równoważności p<=>q uwzględniająca prawo Irbisa:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności p<=>q: | Spójnik równoważności q<=>p:
AB: 1: p<=>q = 2:~p<=>~q [=] 3: q<=>p = 4:~q<=>~p [=] 5: p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2: ~p~>~q=1) i jednocześnie zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2: ~p=>~q=1)
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Stąd mamy:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych p*q i ~p*~q: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=q
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=~q
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz:
Zacznijmy od podstawowej definicji równoważności p<=>q:
1.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
2.
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
Prawą stronę czytamy:
Definicja równoważności p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności p<=>q:
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Przytoczmy teraz wyprowadzoną wyżej definicję spójnika „albo”($) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q wymusza tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla naszej równoważności p<=>~q mamy zatem:
Spełniona równoważność p<=>~q jest dowodem tożsamości zbiorów p=~q, która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q
Doskonale widać że:
Zmienną q w definicji spójnika „albo”($) możemy zanegować przechodząc do różnej na mocy definicji równoważności p<=>q.
Zróbmy to:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q = A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q
##
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód iż między równoważnością p<=>q a spójnikiem p$q zachodzi relacja różne na mocy definicji znajdziemy w punkcie 9.9.
Zapiszmy definicję równoważności p<=>q tożsamą ze spójnikiem „albo”($) p$~q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Środek czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie ~q
p$~q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - trzeciej możliwości brak
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności p<=>q, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zaszło q
##
B1.
Jeśli zajdzie p to na 100% ~> zajdzie q
B1: p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zaszło q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
cnd
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.11.1 Związek równoważności p<=>q z „albo”($) p$~q w języku potocznym
Zobaczmy teraz jak genialnie wyłożona wyżej teoria równoważności p<=>q pasuje do języka potocznego ucznia 8 klasy szkoły podstawowej - bo tu jest twierdzenie Pitagorasa które posłuży nam za przykład.
Dowód przełożenia 1:1 będzie polegał na zastąpieniu parametrów formalnych {p,q} parametrami aktualnymi {M,K}
Czyli:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (trójkąt ze spełnioną sumą kwadratów)
Jedziemy!
Definicja równoważności TP<=>SK w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Definicja równoważności TP<=>SK jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności TP<=>SK:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Przed analizą zdań składowych A1 i B1 przypomnijmy sobie prawo Słonia dla zbiorów:
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Zdania składowe spójnika równoważności TP<=>SK, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa które ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Słonia dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną suma kwadratów (SK)
##
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Co na mocy prawa Słonia oznacza:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> aby zachodziła w nim suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Jak udowodnić zachodzący w B1 warunek konieczny ~>?
Prawo Tygryska:
B1: p=>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (SK)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: SK=>TP=1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3) ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Tygryska dowód ten oznacza prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B1:
B1: TP~>SK=1
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
cnd
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
Pozostaje nam ostatnie kwestia, czyli zapisanie równoważności Pitagorasa przy pomocy spójnika „albo”($) p$~q
Mamy wyprowadzoną wyżej tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q
Nasz przykład:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP$~SK
Prawą stronę czytamy:
1.
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) „albo”($) nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
TP$~SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Na mocy prawa Irbisa w równoważności TP<=>SK zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK, która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK.
Korzystając z powyższych tożsamości zbiorów zdanie 1 możemy zapisać jako:
TP$~TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1=1
Dowód prawdziwości zdań A1 i B1 jest tu trywialny:
Dowolny zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
Natomiast zdanie po lewej stronie odczytujemy jako:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) „albo”($) nie jest prostokątny (~TP)
TP$~TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1=1
Oczywistym jest że w przypadku twierdzenia Pitagorasa przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
W algebrze Kubusia wszelkie pojęcia poza przyjęta dziedziną są z definicji zbiorem pustym, czyli totalnie nas nie interesującym.
Dowód:
Żaden człowiek w dowodzeniu twierdzenia prostego Pitagorasa nie będzie szukał spełnienia sumy kwadratów (SK) w takich pojęciach jak: koło, pies, rower, miłość etc.
9.12 Prawa Puchacza
Podsumowanie związków równoważności <=> ze spójnikiem „albo”($)
| Kod: |
T1
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Relacja matematyczna między p<=>q a p$q jaka tu obowiązuje to relacja różne na mocy definicji ##:
| Kod: |
T1’
Definicja p<=>q ## Definicja p$q
Y = p<=>q = p* q + ~p*~q ## Y = p$q = p*~q + ~p* q
# ## #
~Y =~(p<=>q)= p*~q + ~p* q ## ~Y=~(p$q)= p* q + ~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli T1 i T1’ obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Interpretacja słowna:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy operatora równoważności p|<=>q to na 100% => nie należy do operatora „albo”($) p|$q (i odwrotnie)
Dowody szczegółowe to I i II prawo Puchacza niżej udowodnione.
9.12.1 I prawo Puchacza p<=>q ## p$q
I Prawo Puchacza p<=>q ## p$q:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do spójnika równoważności p<=>q to na 100% => nie należy do spójnika „albo”($) p$q
Dowód:
| Kod: |
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do równoważności p<=>q.
Równoważność p<=>q definiuje nam następujące tożsamości zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Korzystając z powyższej tożsamości zbiorów łatwo dowodzimy spełnionej definicji równoważności dwoma sposobami:
Sposób 1.
p<=>q = p*q+~p*~q
dla p=q i ~p=~q mamy:
p<=>q = p*p + ~p*~q = p+~p =1 - równoważność spełniona
cnd
Sposób 2.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
dla p=q i ~p=~q mamy:
p<=>q = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
bo:
Każdy zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => siebie samego jak i nadzbiorem ~> siebie samego
p=>p = ~p+p =1
p~>p = p+~p =1
cnd
Oczywiście dla tych samych tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q definicja spójnika „albo”($) musi być fałszem.
Sprawdzenie sposób 1.
p$q = p*~q + ~p*q
dla p=q i ~p=~q mamy:
p$q = p*~p + ~q*q = 0+0 =0 - definicja spójnika „albo”($) nie jest spełniona
cnd
Sprawdzenie sposób 2.
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
dla p=q i ~p=~q mamy:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) =0
bo:
p=>~p = ~p+~p=~p
p~>~p = p+p =p
Stąd:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd
9.12.1 II prawo Puchacza p$q ## p<=>q
II Prawo Puchacza p$q ## p<=>q:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do spójnika „albo”($) to na 100% => nie należy do spójnika równoważności p<=>q
Dowód:
| Kod: |
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to ~q” należy do spójnika „albo”($).
Definicja spójnika „albo”($):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje nam następujące tożsamości zbiorów:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Korzystając z powyższej tożsamości zbiorów łatwo dowodzimy spełnionej definicji spójnika „albo”($) dwoma sposobami:
Sposób 1.
p$q = p*~q+~p*q
dla p=~q i ~p=q mamy:
p$q = p*p + ~p*~p = p+~p =1 - definicja spójnika „albo”($) jest spełniona
cnd
Sposób 2.
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
dla p=~q i ~p=q mamy:
p$q = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
bo:
Każdy zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => siebie samego jak i nadzbiorem ~> siebie samego
p=>p = ~p+p =1
p~>p = p+~p =1
cnd
Oczywiście dla tych samych tożsamości zbiorów p=~q i ~p=q definicja spójnika równoważności p<=>q musi być fałszem.
Sprawdzenie sposób 1.
p<=>q = p*q + ~p*~q
dla p=~q i ~p=q mamy:
p<=>q = p*~p + ~p*p = 0+0 =0 - definicja równoważności p<=>q nie jest spełniona
cnd
Sprawdzenie sposób 2.
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
dla p=~q i ~p=q mamy:
p<=>q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) =0
bo:
p=>~p = ~p+~p=~p
p~>~p = p+p =p
Stąd:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 15:44, 04 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
2022-06-04
Powód porzucenia:
Przechodzę na teorię zdarzeń - będzie dużo prościej
Zastosowania algebry Kubusia
12.1 Spójnik „albo”($) vs spójnik „lub”(+)
Spis treści
12.0 Zastosowania algebry Kubusia 1
12.1 Operator „lub”(|+) Y|=p+q vs spójnik „lub”(+) Y=p+q 1
12.1.1 Przykład operatora „lub”(|+) Y|=P8+P3 w zbiorach 3
12.1.2 Przykład operatora „lub”(|+) Y|=p+q w zdarzeniach 6
12.0 Zastosowania algebry Kubusia
Algebra Kubusia to logika matematyczna, pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, w tym matematyka.
Najważniejszym zastosowaniem algebry Kubusia jest matematyczna obsługa języka potocznego, w szczególności chodzi tu kluczową dla świata żywego obsługę obietnic i gróźb, z którą zapoznaliśmy się w punkcie 11.0.
Konsekwencją nieznajomości algebry Kubusia przez ziemskich matematyków jest niezrozumienie pozornego paradoksu między spójnikiem „albo”($) a spójnikiem „lub”(+).
Na czym polega ten paradoks?
Wielu ludzi błędnie utożsamia spójnik „albo”($) ze spójnikiem „lub”(+) … bo nie zna algebry Kubusia.
W algebrze Kubusia spójnik „lub”(+) to fundamentalnie co innego niż spójnik „albo”($), co za chwilkę wyjaśnimy.
12.1 Operator „lub”(|+) Y|=p+q vs spójnik „lub”(+) Y=p+q
Definicja operatora „lub”(|+) Y|=p+q:
Definicja operatora „lub”(|+) Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q we wspólnej dziedzinie D będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Definicja operatora „lub”(|+) Y|=p+q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy tożsamą funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
1’
Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy funkcję 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd
Stąd mamy:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Diagram w zdarzeniach/zbiorach opisujący operator „lub”(|+) Y|=p+q jest następujący:
| Kod: |
D1
Definicja operatora „lub”(|+) Y|=p+q w zdarzeniach/zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina (D): |
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - suma logiczna zdarzeń/zbiorów rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń/zbiorów ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie/zbiór z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd
12.1.1 Przykład operatora „lub”(|+) Y|=P8+P3 w zbiorach
Z diagramu D1 wynika, że jedynym operatorem logicznym w zbiorach który podlega pod definicję operatora „lub”(|+) Y=p+q jest operator chaosu p|~~>q, gdzie niepuste są wszystkie kombinacje zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Podstawmy definicję chaosu p|~~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
| Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być spełnione:
A1’’: p~~>q =1
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym mowy być nie może.
cnd
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12..24.. ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów P8 i P3.
cnd
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P3
stąd zdanie A1’’ w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..6,7..]
Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P3 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd
Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd
Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do chaosu P8|~~>P3.
Cechą charakterystyczną operatora chaosu P8|~~>P3 w zbiorach są cztery zbiory niepuste przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Zbudujmy tabelę prawdy operatora chaosu P8|~~>P3:
| Kod: |
T0
Tabela prawdy operatora chaosu P8|~~>P3 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
A: Ya= P8~~> P3= P8* P3=1 bo element wspólny np. 24
B: Yb= P8~~>~P3= P8*~P3=1 bo element wspólny np. 8
C: Yc=~P8~~> P3=~P8* P3=1 bo element wspólny np. 3
D: Yd=~P8~~>~P3=~P8*~P3=1 bo element wspólny np. 2
|
Cząstkowe funkcje logiczne Ya, Yb, Yc i Yd są niepuste i rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9…] – zbiór liczb naturalnych
To jest warunek konieczny (sine qua non) byśmy w ogóle mogli mówić o operatorze „lub”(|+) Y|=p+q.
Funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y) możemy zbudować z dowolnych trzech funkcji cząstkowych z tabeli T0, matematycznie to bez znaczenia, bowiem zawsze otrzymamy niepustą funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y) oraz niepustą funkcję logiczną ~Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Przyjmijmy przykładową funkcję logiczną Y:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: P8*P3 + B: P8*~P3 + C: ~P8*P3
To samo w zapisie formalnym:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy, że ostatni zapis to definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd dla naszego przykładu mamy tożsamość w zbiorach:
Y = P8+P3 = A: P8*P3 + B: P8*~P3 + C: ~P8*P3
Definicja operatora „lub”(|+) Y|=P8+P3 to odpowiedź w zbiorach niepustych i rozłącznych na pytanie o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y = P8+P3
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> P8=1 lub P3=1
Czytamy:
Funkcja logiczna Y przyjmie wartość logiczną 1 (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy liczba naturalna będzie należała do zbioru P8=[8,16,24..] lub do zbioru P3=[3,6,9,12..]
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną Y stronami:
~Y=~(P8+P3) = ~P8*~P3 – prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~P8*~P3
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~P8=1 i ~P3=1
Czytamy:
Funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną 1 (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy liczba naturalna będzie należała jednocześnie do zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[3,6,9,12..]
Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „lub”(+) zbiorach:
Spójnik „lub”(+) w zbiorach to trzy zbiory niepuste i rozłączne {A,B,C}:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = P8+P3 = A: P8*P3 + B: P8*~P3 + C: ~P8*P3
Definicja operatora “lub”(|+) Y|=p+q:
Zdefiniowany wyżej spójnik „lub”(+) w zbiorach jest częścią operatora „lub”(|+) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zbiór niepusty ~Y będący zaprzeczeniem funkcji logicznej Y.
~Y = ~p*~q
Nasz przykład:
~Y = ~P8*~P3 =1 bo np. 2
cnd
12.1.2 Przykład operatora „lub”(|+) Y|=p+q w zdarzeniach
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 8:26, 22 Sie 2022 Temat postu: |
|
|
Tu mamy przykład jak rozwijał się przekaz algebry Kubusia.
Punkty 2.7 teoretycznie są poprawne, jednak nowa wersja punktu 2.7 jest niebotycznie lepsza
Nowa wersja punktu 2.7 jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-08-07,21473.html#669591
Stara wersja punktu 2.7 jest niżej:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.7 Równoważność w świecie martwym vs zdanie zawsze prawdziwe
Spis treści
2.7 Równoważność w świecie martwym vs zdanie zawsze prawdziwe 1
2.7.1 Najpopularniejsza w naszym świecie definicja równoważności p<=>q 3
2.7.2 Najprostszy układ równoważności A<=>S w świecie fizyki 4
2.7.3 Sterowanie żarówką opisane algebrą Boole'a 7
2.8 Gwałcenie praw logiki matematycznej przez istoty żywe 8
2.8.1 Definicja "wolnej woli" w świecie żywym 8
2.8.2 Gwałcenie równoważności p<=>q wyrażonej warunkami wystarczającymi => 8
2.8.3 Gwałcenie równoważności p<=>q wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+) 10
2.7 Równoważność w świecie martwym vs zdanie zawsze prawdziwe
Poznajmy na początek trzy najważniejsze definicje logiki matematycznej w obszarze zdarzeń realizowane zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
4.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Poznajmy teraz prawa Kubusia:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Kubusia to najważniejsze prawa logiki matematycznej mówiące o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q.
I prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę:
~p~>~q = ~p+q = p=>q
cnd
##
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę:
~p=>~q = p+~q = p~>q
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.7.1 Najpopularniejsza w naszym świecie definicja równoważności p<=>q
Definicja równoważności p<=>q znana każdemu człowiekowi:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Dowód iż ta definicja znana jest każdemu człowiekowi (w tym matematykowi).
Klikamy na googlach:
"konieczny i wystarczający"
Wyników: 3450
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 6400
"potrzeba i wystarczy"
Wyników: 4710
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd łatwo wyprowadzamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p<=>q = ( A1: p=>q)*( B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja operatora logicznego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y = (p<=>q) = (A: p*q) + (C: ~p*~q)
Stąd mamy:
Y = p<=>q = A: p*q+ C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1 do logiki przeciwnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie, stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej, zrozumiałej dla każdego 5-cio latka.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p +~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
2.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Zauważmy, że idąc od strony definicji równoważności znanej każdemu człowiekowi doszliśmy do identycznych równań końcowych 1 i 2 jak idąc od tabeli zero-jedynkowej do w/w równań (pkt. 2.5.1)
Innymi słowy:
Wszystkie drogi prowadzą do Raju, czyli do algebry Kubusia
2.7.2 Najprostszy układ równoważności A<=>S w świecie fizyki
Najprostszy układ równoważności w świecie fizyki wygląda następująco:
| Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Każdy uczeń I klasy LO doskonale widzi, że spełniona jest tu definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla świecenia się żarówki S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Gdzie:
p=A (przycisk A)
q=S ( żarówka S)
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zastosujmy II prawo Kubusia do naszego schematu S1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności w warunkach wystarczających =>:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Sprawdzamy prawdziwość zdań A1 i B2.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
co w logice jedynek oznacza:
A1: (A=1)=>(S=1) =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenie się żarówki S (S=1)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S (S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu, spełniony warunek wystarczający A1: A=>S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': A~~>~S =0 (i odwrotnie)
Sprawdzenie:
A1'.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
A1': A~~>~S=A*~S=0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Co w logice jedynek oznacza:
(A=1)~~>(~S=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka S nie świeci się (~S=1)
cnd
Uwaga:
Standardem w algebrze Kubusia jest oznaczanie kontrprzykładu dla warunku wystarczającego A1 symbolem A1'
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Na to pytanie odpowiada zdanie B2.
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~A=1)=>(~S=1) =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu, spełniony warunek wystarczający B2: ~A=>~S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~A~~>S =0 (i odwrotnie)
Sprawdzenie:
B2'.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może się świecić (S=1)
B2': ~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Co w logice jedynek oznacza:
(~p=1)~~>( q=1)=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
cnd
Zapiszmy naszą analizę układu S1 w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Tabela prawdy równoważności p<=>q
w warunkach wystarczających =>
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Y=p<=>q
A1: A=> S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A i nie świeci S (~S)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A) jest (=1) wystarczające => dla ~S
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S
|
Podsumowanie:
1.
Równoważność opisująca schemat S1 miała by szansę być równoważnością zawsze prawdziwą wtedy i tylko wtedy gdyby w liniach A1' i B2' istniała fizyczna możliwość ustawienia jedynek.
Oczywistym jest, że nie istnieje prawo fizyki, na mocy którego wolno by nam było postawić wynikową jedynkę w linii A1' lub w linii B2'
2.
W świecie martwym (w tym w fizyce) nie istnieje możliwość ustawienia w liniach A1' i A2' logicznych jedynek, bo wówczas pogwałcilibyśmy elementarne prawo fizyki, prawo Ohma.
Zauważmy, że gdybyśmy na lekcji fizyki powiedzieli przykładowo, że żarówka na schemacie S1 może się świecić (S=1), mimo iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to natychmiast pan od fizyki postawiłby nam pałę z trzema wykrzyknikami.
3.
Ustawienie jedynek w liniach A1' i B2' jest możliwe tylko i wyłącznie w świcie żywym posiadającym "wolną wolę".
2.7.3 Sterowanie żarówką opisane algebrą Boole'a
| Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zauważmy, że algebra Boole'a, a o niej w niniejszym rozdziale mówimy, zna zaledwie pięć znaczków:
1=prawa
0=fałsz
(~) - negacja
(*) - spójnik "i"(*)
(+) - spójnik "lub"(+)
Wniosek:
Zdefiniowane wyżej znaczki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są w algebrze Boole'a nielegalne.
Co więcej:
Choćbyśmy zjedli 1000 koletów to nie mamy szans na zapisanie definicji warunku wystarczającego => lub koniecznego ~> przy pomocy spójników "i"(*) i "lub"(+).
Przy pomocy spójników "i"(*) i "lub"(+) mamy do dyspozycji wyłącznie definicję zdarzenia możliwego ~~>.
Nasza tabela prawdy dla schematu S1 opisana zdarzeniami możliwymi ~~> wygląda następująco:
| Kod: |
T2
Tabela prawdy równoważności p<=>q
w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A<=>S = A*S + ~A*~S
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Y=A<=>S - zapis aktualny (przykład)
Y=p<=>q - zapis formalny
A1: A~~> S=1 - możliwe jest (=1): wciśnięty A (A) i świeci S (S)
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
B2: ~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)
|
W przypadku A1 wystarczy jednokrotne zaobserwowanie iż żarówka świeci się (S).
Podobnie w przypadku B2 wystarczy jednokrotne zaobserwowania iż żarówka świeci się (S)
Nie interesuje nas tu czy w A1 i B2 warunek wystarczający => jest spełniony, czy nie jest spełniony.
W przypadkach A1' i B2' mamy sytuację fundamentalnie inną, bowiem tu musimy stwierdzić, że żarówka S nigdy nie będzie się świecić, zatem musimy wykonać nieskończoną ilość iterowań aby ten fakt potwierdzić, lub prościej … trzeba po prostu znać elementarne prawa fizyki.
2.8 Gwałcenie praw logiki matematycznej przez istoty żywe
Udajmy się do przedszkola, gdzie zobaczymy jak człowiek, mający "wolną wolę" możne bez problemu gwałcić prawa logiki matematycznej wyznaczane przez świat martwy, w naszym przykładzie (schemat S1) przez fizykę.
2.8.1 Definicja "wolnej woli" w świecie żywym
Definicja "wolnej woli" w świecie żywym:
Wolna wola w świeci żywym to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy, w tym przez matematykę i fizykę.
2.8.2 Gwałcenie równoważności p<=>q wyrażonej warunkami wystarczającymi =>
Pani w przedszkolu wypowiada zdanie:
RA1B2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
K<=>T = (A1: K=>T)*(B2: ~K=>~T)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Gdzie:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Zdania A1 i B2 to analiza matematyczna wypowiedzianej równoważności przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w warunkach wystarczających =>.
Zauważmy, że w równoważności ze świata człowieka RA1B2 nic a nic nie musimy udowadniać, korzystamy tu po prostu z definicji równoważności p<=>q wyznaczonej przez świat martwy - w naszym przypadku przez schemat S1.
Analiza matematyczna warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to na 100% => pójdziemy do teatru (T=1)
A1: K=>T =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Pójście do kina (K=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, abyśmy poszli do teatru (T=1)
Pójście do kina (K=1) daje nam gwarancję matematyczną => pójścia do teatru (T=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy definicji kontrprzykładu, prawdziwość warunku wystarczającego => A1: K=>T=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': K~~>~T=0 (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to możemy ~~> nie pójść do teatru (~T=1)
A1': K~~>~T=K*~T =0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Zdarzenie A1' jest fizycznie niemożliwe (=0) w świecie martwym czego dowód w pkt. 2.7.2.
Natomiast w świecie żywym pani przedszkolanka mająca "wolną wolę" może spowodować, że jutro zajdzie zdarzenie A1":
A1".
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
A1": K~~>~T=K*~T=1
To samo w zapisie formalnym:
A1": p~~>~q = p*~q=1
Oczywiście pani przedszkolanka zgwałci tu definicję równoważności p<=>q wyznaczaną przez świat martwy, czyli zostanie kłamczuchą nie dotrzymując warunku wystarczającego => A1, a wiemy o tym tylko i wyłącznie dlatego, że znamy definicję równoważności obowiązującą w świecie martwym (u nas w fizyce).
Zauważmy, że coś co jest absolutnie niemożliwe w świecie martwym (pkt. 2.7.2) w świecie żywym jak najbardziej może się zdarzyć (zdanie A1").
… a jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)?
O tym przypadku opowiada nam zdanie B2.
B2.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to na 100% => nie pójdziemy do teatru (~T=1)
B2: ~K=>~T=1
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Nie pójście do kina (~K=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, abyśmy nie poszli do teatru (~T=1)
Nie pójście do kina (~K=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie pójścia do teatru (~T=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy definicji kontrprzykładu, prawdziwość warunku wystarczającego => B2: ~K=>~T=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~K~~>T=0 (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> pójść do teatru (T=1)
B2': ~K~~>T=~K*T =0
To samo w zapisie formalnym:
B2': ~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Zdarzenie B2' jest fizycznie niemożliwe (=0) w świecie martwym czego dowód w pkt. 2.7.2.
Natomiast w świecie żywym pani przedszkolanka mająca "wolną wolę" może spowodować, że jutro zajdzie zdarzenie B2":
B2".
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
B2": ~K~~>T=~K*T=1
To samo w zapisie formalnym:
B2": ~p~~>q = ~p*q =1
Oczywiście pani przedszkolanka zgwałci tu definicję równoważności p<=>q wyznaczaną przez świat martwy, czyli zostanie kłamczuchą nie dotrzymując warunku wystarczającego => B2, a wiemy o tym tylko i wyłącznie dlatego, że znamy definicję równoważności obowiązującą w świecie martwym (u nas w fizyce - pkt. 2.7.2).
Zauważmy, że coś co jest absolutnie niemożliwe w świecie martwym (u nas w fizyce) w świecie żywym jak najbardziej może się zdarzyć (zdanie B2").
2.8.3 Gwałcenie równoważności p<=>q wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Pani w przedszkolu wypowiada zdanie:
RA1B2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
K<=>T = (A1: K=>T)*(B2: ~K=>~T)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Gdzie:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Definicja operatora logicznego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y = (p<=>q) = (A: p*q) + (C: ~p*~q)
Stąd mamy:
Y = p<=>q = A: p*q+ C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1 do logiki przeciwnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie, stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej, zrozumiałej dla każdego 5-cio latka.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p +~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
2.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Równoważność RA1B2 wyrażoną spójnikami "i"(*) i "lub"(+) szczegółowo omówiliśmy w punkcie 2.3.
1.
Y = p<=>q = A: p*q+ C: ~p*~q
2.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Zauważmy, że w tym przypadku pani bez problemu może wypowiedzieć zdanie zawsze prawdziwe:
D = Y+~Y =1 - zdanie zawsze prawdziwe (dziedzina)
Stąd zdanie zawsze prawdziwe możliwe do wypowiedzenia przez panią przedszkolankę brzmi:
D = Y+~Y = A: p*q + C: ~p*~q + B: p*~q + D: ~p*q
Stąd:
D = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Stąd:
D = Y+~Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd
Nasz przykład:
D = Y+~Y = A: K*T + + B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T
Zdanie zawsze prawdziwe które pani przedszkolanka ma prawo Wypowiedzieć brzmi:
Drogie dzieci:
A: Ya= K*T = 1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: Yb= K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: Yc=~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: Yd=~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans na zostanie matematyczną kłamczuchą
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 19:35, 27 Sie 2022 Temat postu: |
|
|
2022-08-27 decyzja o pisaniu na nowo punktu 4.0.
Link do najnowszej wersji:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473.html#669595
Stara wersja punktu 4.0 jest niżej:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Spis treści
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-3 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 3
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 4
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach 4
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach 6
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 10
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach 11
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 14
4.2.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach 16
4.4 Operator A2: Y|=~p+~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 18
4.4.1 Przykład operatora A2: Y|=~K+~T w zdarzeniach 20
4.5 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3 23
4.5.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 24
4.6 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 25
4.6.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 26
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach 28
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 30
4.7.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego A4: p=>q 30
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-3 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
| Kod: |
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Jak widzimy, w tabeli TF0-3 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Poznajmy teraz trzy definicje które będziemy używać w niniejszym punkcie:
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja matematyczna operatora A1: Y|=p+q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora A1: Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora Y|=p+q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=p+q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy tożsamą funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
1’
Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy funkcję 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd
Stąd mamy:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Wyprowadziliśmy wyżej tożsamość logiczną:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych ABC którą warto zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=p+q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Matematyczna definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych odczytana z diagramu D1 to:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
Czyli:
1’
Y = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
W definicji fizycznej operatora Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi o to by na mocy teorii zdarzeń/zbiorów nie dało się wyrugować dowolnego z członów ABC powyższej definicji
Przykładowo dla:
A: p*q=[]=0 - gdy zdarzenia/zbiory p i q są rozłączne
mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q ## B: p*~q + C: ~p*q = p$q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##
$ - spójnik „albo”($) z języka potocznego człowieka
Przykład:
1.
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K
co w logice jedynek oznacza:
C=1 <=> M=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (1), że dowolny człowiek (C) może być mężczyzną (M=1) lub kobietą (K=1), trzeciej możliwości brak.
Przyjmijmy dziedzinę fizyczną:
C (człowiek) = M+K
Rozpiszmy użyty tu spójnik „lub”(+) na zbiory rozłączne i niepuste na mocy definicji matematycznej spójnika „lub”(+):
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
1’.
M+K = A: M*K + B: M*~K + C:~M*K
Zbiór mężczyzn (M) i zbiór kobiet (K) to zbiory rozłączne, czyli:
A: M*K =[ ]=0
Stąd mamy:
M+K = A: M*K + B: M*~K + C:~M*K ## B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Matematycznie precyzyjna treść zdania 1’ powinna brzmieć:
1’
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
C = M$K = B: M*~K+ C: ~M*K
Prawa strona to oczywiste zdania prawdziwe:
B: M*~K=1*1=1 - dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) i nie być kobietą (~K=1)
C: ~M*K=1*1=1 - dowolny człowiek może nie być mężczyzną (~M=1) i być kobietą (K=1)
Trzeciej możliwości brak.
Zdecydowana większość ludzi używa w zdaniu 1 spójnika „lub”(+) bo:
a)
Mózg człowieka na poziomie procedur w zbiorach doskonale wie że:
A: M*K =[] =0 - zbiór mężczyzn (M) i zbiór kobiet (K) to zbiory rozłączne.
Stąd dopuszczalne jest tu użycie spójnika „lub”(+) w miejsce spójnika „albo”($).
Odwrotnie nie zachodzi.
Dowód.
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Zdanie tożsame w zdarzeniach rozłącznych to:
1’
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Zauważmy, że jutro możemy pójść do kina i do teatru bo chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień, zatem:
A: K*T=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Wniosek:
Nie wolno w obietnicy pani przedszkolanki zastępować spójnika „lub”(+) spójnikiem „albo”($), bo będzie to zdanie różne na mocy definicji ## od zdania ze spójnikiem „albo”($), którego nasz mózg nie skoryguje na mocy teorii zdarzeń bo doskonale wie, że jutro możemy pójść do kina i do teatru.
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora Y|=p+q):
Operator Y|=p+q to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
~Y=~(p+q)=~p*~q
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (ABC) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Y=Ya+Yb+Yc
A:
Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
B:
Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yb=1
C:
Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yc=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
D:
~Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Pani skłamie:
~Yd=1
Czytamy:
P1: Prawdą jest (=1), że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka:
P1: (~Yd=1) = P2: (Yd=0)
Prawą stronę czytamy:
P2: Fałszem jest (=0), jutro że pani dotrzyma słowa (Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Tożsamość zdań P1=P2 jest oczywista, co jest potwierdzeniem prawa Prosiaczka.
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja matematyczna operatora A0: Y|=p*q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=p*q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora A0: Y|=p*q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=p*q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=p*q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=p*q to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D0
Definicja operatora A1: Y|=p*q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
~Y=~p+~q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (~q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to tez udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
stąd mamy:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora Y|=p*q:
Operator Y|=p*q to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
~Y=~(p*q)=~p+~q
stąd mamy:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
bo w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań niepustych i rozłącznych które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
A:
Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
B:
~Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
~Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Yb):
~Yb=1
C:
~Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
D:
~Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: duża
Definicja matematyczna operatora A3: Y|=~p*~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora A3: Y|=~p*~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=~p*~q to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=~p*~q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D3
Definicja operatora A3: Y|=~p*~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A:~Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(~p*~q) = p+q - prawo De Morgana
~Y=p+q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną 1 (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = p+q [=] ~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Doskonale to widać z diagramu D3.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*(q+~q) + ~p*q
~Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q
Y = ~p*~q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p+q
stąd mamy:
~Y = p+q [=] ~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.2.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina (~K=1) ani do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
… a kiedy pani skłamie (S=(~Y=1))?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
ABC:
~Y=~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
ABC:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc=~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
Gdzie:
~Ya, ~Yb, ~Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
| Kod: |
D3
Definicja operatora A3: Y|=~K*~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna funkcji Yx)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
D:
Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yd=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
A:
~Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani skłamie (=nie dotrzyma słowa ~Ya).
~Ya=1
Czytamy:
~Ya=1
1: Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Ya)
Prawo Prosiaczka:
(~Ya=1)=(~Ya=0)
Prawą stronę czytamy:
~Ya=0
2: Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Ya)
Doskonale widać tożsamość zdań 1=2 co jest dowodem poprawności prawa Prosiaczka.
B:
~Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
~Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie:
~Yb=1
C:
~Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
4.4 Operator A2: Y|=~p+~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo mała
Definicja matematyczna operatora A2: Y|=~p+~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=~p+~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora A2: Y|=~p+~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=~p+~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=~p+~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=~p+~q to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(~p+~q) = p*q - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Zauważmy, ze w naszym diagramie operatora Y|=~p+~q wyrażonym spójnikami spójników „i”(*) i „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tylko zdarzenie ~Ya=p*q. Pozostałe zdarzenia rozłączne i niepuste muszą być w logice dodatniej (bo Y).
Stąd nasz diagram operatora Y|=~p+~q wygląda następująco.
| Kod: |
D2
Definicja operatora A2: Y|=~p+~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A:~Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Omówienie diagramu Y|=~p+~q.
1.
Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Matematyczna definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych odczytana z diagramu D2 to:
Y=Yb+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
1’
Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
1: Y=~p+~q [=] 1’: Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Co widać na diagramie D2.
Można to tez udowodnić czysto matematycznie.
Minimalizujemy prawą stronę tożsamości logicznej [=].
Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Y = p*~q + ~p*(q+~q)
Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+q)
~Y = p*~p + p*q
~Y = p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+~q
stąd mamy:
1: Y=~p+~q [=] 1’: Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
4.4.1 Przykład operatora A2: Y|=~K+~T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo mała
Dlaczego częstotliwość użycia jest tu bardzo mała?
Bo zdanie tożsame brzmi:
A1.
Jeśli jutro pójdziemy do kina to na 100% => nie pójdziemy do teatru
K=>~T =1
Pójście do kina jest warunkiem wystarczającym => byśmy nie poszli do teatru
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd zdanie tożsame do A1 wyrażone spójnikami "i'(*) i "lub"(+) brzmi:
Y = (K=>~T) = ~K+~T
Zdanie A1 wypowiadamy już często.
cnd
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
BCD:
Jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru
Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Innymi słowy:
Matematycznie oznacza to że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
BCD:
Y = B: K*~T + C: ~K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: Yd=~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 (BCD) dwustronnie:
~Y=~(~K+~T) = K*T - prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
A: ~Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
A: ~Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
A: ~Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
A: ~Y=1 <=> K=1 i T=1
~Y=~Ya – bo jest tylko jedno takie zdarzenie w obrębie dziedziny, czyli zbioru wszystkich możliwych zdarzeń.
| Kod: |
D2
Definicja operatora A2: Y|=~K+~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D: Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
A:
~Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Ya=1
Czytamy:
P1: Prawdą jest (=1), że jutro pani skłamie (~Ya)
Prawo Prosiaczka:
(~Ya=1) = (Ya=0)
Prawą stronę czytamy:
P2: Fałszem jest (=0), jutro że pani dotrzyma słowa (Ya)
Tożsamość zdań P1=P2 jest oczywista, co jest potwierdzeniem prawa Prosiaczka.
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = Yb+Yc+Yd
B:
Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yb=1
C:
Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yc=1
D:
Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yd=1
4.5 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3
Definicja matematyczna operatora Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Jedynym spójnikiem w teorii zbiorów gdzie wszystkie możliwe przeczenia zbiorów p i q są niepuste jest spójnik chaosu p|~~>q.
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste p i q mające co najmniej jeden element wspólny z których żaden nie zawiera się w drugim, a dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
D>p+q
Stąd mamy definicję chaosu p|~~>q w zbiorach:
| Kod: |
D1
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Doskonale widać, dlaczego dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
Dla dziedziny D=p+q zbiór D: Yd=~p*~q byłby zbiorem pustym, zatem matematyczna definicja operatora Y|=f(x) nie mogłaby być spełniona.
cnd
4.5.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Przykład:
Zbadajmy w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
Ya = P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest spełniona (=1) bo liczba 24 jest podzielna przez 8 i podzielna przez 3
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna prze 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
Yb=P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest spełniona (=1) bo liczba 8 jest podzielna przez 8 i niepodzielna przez 3
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
Yc=~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest spełniona (=1) bo liczba 3 nie jest podzielna przez 8 i jest podzielna przez 3
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
Yd=~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest spełniona (=1) bo liczba 2 nie jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 3
cnd
Diagram w zbiorach dla naszego operatora chaosu P8||~~>P3 jest zatem następujący:
| Kod: |
CH
Definicja operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D= A: P8*P3+B: P8*~P3+C:~P8*P3+D:~P8*~P3=1 - dziedzina |
--------------------------------------------------------------------------
| p=P8 |
------------------------------------------------------
| q=P3 |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=P8*~P3=1 | A: Ya=P8*P3=1 | C: Yc=~P8*P3=1 | D:Yd=~P8*~P3=1 |
--------------------------------------------------------------------------
|
Matematycznie operator chaosu p||~~>q w zbiorach jest matematycznym śmieciem, bowiem nie ma tu żadnego warunku wystarczającego => (gwarancji matematycznej =>), czyli w praktyce wszystko może się zdarzyć.
Innymi słowy dla zbioru liczb naturalnych LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] mamy:
Jeśli wylosujemy liczbę x ze zbioru LN to nie mamy żadnej gwarancji matematycznej => iż liczba ta będzie należała do zbioru A albo B albo C albo D.
O co chodzi z tą gwarancją matematyczną =>?
Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
W tym przypadku, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest podzielna przez 2.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
O podobnej gwarancji matematycznej => w operatorze chaosu p||~~>q nie mamy co marzyć co widać w diagramie operatora chaosu P8||~~>P3 wyżej.
Dokładnie dlatego operator chaosu p||~~>q jest matematycznym śmieciem.
cnd
4.6 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
| Kod: |
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Jak widzimy, w tabeli TF6-7 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
4.6.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: średnia
Definicja matematyczna operatora A8: Y|=p*~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora A7: Y|=p*~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=p*~q to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*~q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D0
Definicja operatora A7: Y|=p*~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A:~Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*~q) = ~p+q - prawo De Morgana
~Y=~p+q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+q [=] ~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+~q)
Y = p*~p + p*~q
Y = p*~q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+q
stąd mamy:
~Y = ~p+q [=] ~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: średnia
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) ale nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
ACD:
~Y=~(K*~T) = ~K+T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
ACD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Rozwinięcie matematyczne na mocy definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + ~p*q + p*~q
Nasz przykład:
p=~K
q=T
~K+T = ~K*T + K*T + ~K*~T
Stąd mamy:
~Y = A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Ya+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Ya, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
| Kod: |
D8
Definicja operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=~K
q=T
Innymi słowy:
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
1.
B:
Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa (Yb=1):
Yb=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y1)?
~Y=~Ya+~Yc+~Yd
A:
~Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani nie dotrzyma słowa (~Ya):
~Ya=1
Czytamy:
PP1: Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Ya)
~Ya=1
Prawo Prosiaczka:
(~Ya=1)=(Ya=0)
Prawą stronę czytamy:
~Ya=0
PP2: Fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Ya)
Doskonale widać tożsamość zdań PP1 i PP2 co jest dowodem poprawności prawa Prosiaczka.
C:
~Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
D:
~Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Listę tych operatorów znajdziemy w punkcie 3.0
Dla zrozumienia operatorów z grupy TF4-TF11 wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) konieczne jest zrozumienie „Kubusiowej teorii zbiorów” o czym będzie w następnym rozdziale, oraz kluczowych pojęć logiki matematycznej:
A4: Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
A5: Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
A8: Y = p<=>q = p*q+~p*~q - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
A9: Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Zdarzenia:
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
tu wystarczy udowodnić, że możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
lub
Zbiory:
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym
tu wystarczy udowodnić iż istnieje wspólny element zbiorów p i q
4.7.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego A4: p=>q
W logice ziemskich matematyków znane jest prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian prawo eliminacji implikacji =>):
Y = p=>q =~p+q
Oczywiście w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) o żadnym warunku wystarczającym => nie może być mowy.
Stąd:
Częstotliwość użycia prawa eliminacji warunku wystarczającego => jest bliskie zeru bo w praktyce języka potocznego nikt tego nie robi
Pani w przedszkolu:
1.
A4:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
Y = (K=>T) = ~K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K lub T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T=1)
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
~Y=~(~K+T)=K*~T – prawo De Morgana
stąd:
2.
~Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T =1*1=1 – jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do tearu
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q+p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
p=~K
q=T
Y = ~K+T = ~K*T + ~K*~T + K*T
Zobaczmy to na diagramie:
| Kod: |
D4
Definicja operatora Y|=~K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D: Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Stąd mamy:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Podsumowując:
1.
Doskonale widać, że prawo eliminacji warunku wystarczającego:
A4: Y=(K=>T)=~K+T
rzeczywiście zabija warunek wystarczający =>, bowiem w diagramie D4 o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
2.
Sęk w tym, że w języku potocznym żaden człowiek nie korzysta z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>, bo spełnienie warunku wystarczającego => w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" jest fundamentem logiki matematycznej.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 19:11, 01 Wrz 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 18:11, 12 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Powód kasacji:
Istotne zmiany od punktu 3.1
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
Spis treści
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne 1
3.1 Dowody wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian 8
3.1.1 Grupa spójników „lub”(+) i „i’”(*) 8
3.1.2 Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” i równoważnościowych p<=>q 10
3.1.3 Grupa spójników jednoargumentowych 12
3.2 Negator w bramkach logicznych 13
3.2.1 Funkcja logiczna Y=~p negatora 14
3.2.2 Operator negatora Y|=~p 14
3.3 Dwuargumentowy spójnik logiczny vs dwuargumentowy operator logiczny 16
3.3.1 Spójnik "lub"(+) vs operator "lub"(|+) w bramkach logicznych 18
3.3.2 Spójnik "i"(*) vs operator "i"(|*) w bramkach logicznych 22
3.3.3 Matematyczne związki między operatorami "lub"(|+) i "i'(|*) 26
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Dlaczego niniejszy podręcznik nosi nazwę nowej algebry Boole’a (pkt. 1.0)?
Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y, co udowodnimy za chwilkę na poziomie operatorów logicznych dwuargumentowych.
Definicja algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
oraz dwa spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
| Kod: |
Definicja negacji:
p ~p
A: 1 0
B: 0 1
|
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p q Y=p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
|
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
|
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej p
Y = f(p) =p
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
<=> - wtedy i tylko wtedy
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:
| Kod: |
T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
p q Y=f(p,q)
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
|
Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Każda ze zmiennych binarnych {p, q, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
T2
Wymuszenia binarne w logice dodatniej {p, q, Y}
wymuszają logikę ujemną {~p, ~q, ~Y) i odwrotnie.
p q Y=f(p,q) # ~p ~q ~Y=~f(p,q)
A: 1 1 x 0 0 ~(x)
B: 1 0 x 0 1 ~(x)
C: 0 1 x 1 0 ~(x)
D: 0 0 x 1 1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
Y=f(p,q) # ~Y=~f(p,q)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
{p,q,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,q,Y} inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
| Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, ~(|~~>q) | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> ~(|~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Zastosujmy prawo negacji funkcji logicznej do tabeli TF2
| Kod: |
TF0-15
-------------------------------------------------------------------
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B9:~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B7: ~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
## ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11: Y =0 # B11:~Y =1
##
--------------------------------------------------------------------
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B12:~Y=~p
## ##
A13: Y = q # B13:~Y=~q
## ##
A14: Y =~p # B14:~Y= p
## ##
A15: Y =~q # B15:~Y= q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) w ilości 16 sztuk (A0-A15) to funkcje różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Innymi słowy:
W tabeli TF0-15 nie istnieje funkcja logiczna w linii x która by była tożsama z jakąkolwiek funkcją spoza tej linii.
Innymi słowy:
W tabeli TF0-15 nie istnieje prawo logiki matematycznej wiążące funkcję logiczną z linii x z jakąkolwiek funkcją spoza tej linii.
3.1 Dowody wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Dowody wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian podzielimy na trzy grupy o których mówi tabela TF0-15.
3.1.1 Grupa spójników „lub”(+) i „i’”(*)
Weźmy grupę spójników TF0-3
| Kod: |
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-3 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF0-3.
| Kod: |
TF0-3’
Bublowa tabela funkcji logicznych, bo nie ma tu ani jednej funkcji logicznej Y i ~Y
A0: p*q # B0: ~p+~q
## ##
A1: p+q # B1: ~p*~q
## ##
A2: ~p+~q # B2: p* q
## ##
A3: ~p*~q # B3: p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że w tabeli TF0-3’ najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A0: p* q = B2: p* q
A1: p+ q = B3: p+ q
A2: ~p+~q = B0: ~p+~q
A3: ~p*~q = B1: ~p*~q
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
3.1.2 Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” i równoważnościowych p<=>q
Weźmy grupę spójników TF4-11
| Kod: |
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B9: ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B7: ~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
## ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11: Y =0 # B11:~Y =1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-11 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF4-11.
| Kod: |
TF4-11’
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: ~p+q # B4: p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: p+~q # B5: ~p* q
## ##
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: ~p* q # B6: p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: p*~q # B7: ~p+ q
## ##
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: p*q+~p*~q # B8: p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: p*~q+~p*q # B9: p*q+~p*~q
## ##
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 # B10:~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
## ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11: =0 # B11: =1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że w tabeli TF4-11’ najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A4: ~p+ q = B7: ~p+ q
A5: p+~q = B6: p+~q
A6: ~p* q = B5: ~p* q
A7: p*~q = B4: p*~q
A8: p* q+~p*~q = B9: p* q+~p*~q
A9: p*~q+~p* q = B8: p*~q+~p* q
A10: 1 = B11: 1
A11: 0 = B10: 0
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
3.1.3 Grupa spójników jednoargumentowych
| Kod: |
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B12:~Y=~p
## ##
A13: Y = q # B13:~Y=~q
## ##
A14: Y =~p # B14:~Y= p
## ##
A15: Y =~q # B15:~Y= q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF12-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y (albo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF12-15.
| Kod: |
TF12-15’
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A12: p # B12: ~p
## ##
A13: q # B13: ~q
## ##
A14: ~p # B14: p
## ##
A15: ~q # B15: q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Doskonale widać, że w tabeli TF12-15’ najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A12: p = B14: p
A13: q = B15: q
A14: ~p = B12: ~p
A15: ~q = B13: ~q
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
3.2 Negator w bramkach logicznych
| Kod: |
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Znaczek różne # definiuje definicja negacji.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora "o".
| Kod: |
Definicja znaczka # w bramkach logicznych
-----
p --x-------------| ~ |o--x----> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
--<----------o| ~ |---x----- ~p
-----
Gdzie:
o - symbol negacji (wyjście bramki negatora)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06.
|
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
cnd
3.2.1 Funkcja logiczna Y=~p negatora
Definicja funkcji logicznej negatora:
Y=~p
| Kod: |
T1
Tabela prawdy negatora Y=~p:
p ~p Y=~p
1 0 0
0 1 1
|
W technice cyfrowej TTL funkcję negatora realizuje bramka logiczna SN74LS04:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: |
T1'
SN74LS04
Funkcja logiczna Y negatora w bramkach logicznych
-----
p -----| ~ |o-----> Y=~p
-----
Y=~p
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Gdzie:
o - symbol negacji (wyjście bramki negatora)
|
3.2.2 Operator negatora Y|=~p
Operator negatora Y|=~p to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Funkcja logiczna negacji realizowana bramką SN74LS04:
Y=~p
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
To samo w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
T2
Tabela prawdy operatora negacji Y|=~p:
p ~p Y=~p ~Y=~(~p)=p
A: 1 0 0 1
B: 0 1 1 0
1 2 3 4
Doskonale tu widać że:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=~p
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
patrz tabela zero-jedynkowa: AB23
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1
patrz tabela zero-jedynkowa: AB14
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Realizacja operatora negacji Y|=~p w bramkach logicznych:
| Kod: |
T2'
Fizyczna realizacja operatora negacji Y|=~p w bramkach logicznych
-----
p ------------x--| ~ |o---x--> Y=~p
| ----- |
| |
| ----- |
~Y=~(~p)=p <--x--o| ~ |---x--- ~p
-----
Gdzie:
o - symbol negacji (wyjście bramki negatora)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06.
|
Doskonale tu widać, że negator Y=~p jest podzbiorem operatora negacji Y|=~p, oraz że:
Y=~p # ~Y=p
Gdzie:
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Przykład rodem z przedszkola wykorzystania definicji operatora negacji Y|=~p.
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek (naturalna logika 5-cio latka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=K
co w logice jedynek (naturalna logika 5-cio latka) oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y
To samo szczegółowo:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) = pani skłamie (S)
~Y = S
Uwaga:
Czasami (raczej rzadko) człowiek nadaje nazwy specjalne zanegowanym symbolom, jak wyżej
Inny przykład:
Człowiek nie będący mężczyzną (~M) jest kobietą (K), i odwrotnie.
~M=K
Przykład gdzie tego nie ma:
Ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP)
Tu nie ma nazwy specjalnej dla określenie trójkąta nieprostokątnego (~TP)
3.3 Dwuargumentowy spójnik logiczny vs dwuargumentowy operator logiczny
Różnicę między spójnikiem logicznym a operatorem logicznym poznamy na przykładzie produkowanych obecnie bramek logicznych serii TTL.
Standard TTL (logika dodania):
Jedynka logiczna "1" to napięcie z przedziału 2,4-5,0V (High Level)
1 = 2,4-5,0V
Zero logiczne "0" to napięcie z przedziału 0,0-0,4V (Low Level)
0 = 0,0-0,4V
Zauważmy, że istnieje tu nielegalny przedział napięć w zakresie 0,4V do 2,4V.
Jeśli w układzie wystąpi napięcie z nielegalnego przedziału to układ cyfrowy jest uszkodzony (należy wymienić), albo projekt sterowania jest błędny.
1.
(+) - spójnik "lub"(+) z języka potocznego człowieka
Definicja zero-jedynkowa:
Y=p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
W technice cyfrowej TTL spójnik "lub"(+) realizuje bramka logiczna SN74LS32:
[link widoczny dla zalogowanych]
2.
(*) - spójnik "i"(*) z języka potocznego człowieka
Definicja zero-jedynkowa:
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
W technice cyfrowej TTL spójnik "i"(*) realizuje bramka logiczna SN74LS08:
[link widoczny dla zalogowanych]
I.
Definicja operatora "lub"(|+):
(|+) - operator "lub"(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
1.
Y = p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Stąd:
2.
~Y = ~p*~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż spełniona jest definicja spójnika "lub"(+) to automatycznie udowodnimy spełnienie operatora "lub"(|+)
Innymi słowy:
Jeśli znamy definicję spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y) to automatycznie znamy definicję spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
II.
Definicja operatora "i"(|*):
(|*) - operator "i"(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
1.
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Stąd:
2.
~Y = ~p+~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka Y jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż spełniona jest definicja spójnika "i"(*) to automatycznie udowodnimy spełnienie operatora "i"(|*)
Innymi słowy:
Jeśli znamy definicję spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y) to automatycznie znamy definicję spójnika "lub"(+) w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
Każdy widzi (mam nadzieję), że definicje znaczków (*) i (+) są fundamentalnie inne niż w jakimkolwiek ziemskim podręczniku logiki matematycznej.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Powyższej, banalnej tożsamości, znana matematykom algebra Boole'a nie widzi.
3.3.1 Spójnik "lub"(+) vs operator "lub"(|+) w bramkach logicznych
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
| Kod: |
T1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
W technice cyfrowej TTL spójnik "lub"(+) realizuje bramka logiczna SN74LS32:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: |
T1
Bramka logiczna "lub"(+)
-------------
p--------------->| Bramka: |
| "lub"(+) |--------------> Y=p+q
q--------------->| SN74LS32 |
-------------
Definicja spójnika "lub"(+):
Y=p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
|
Definicja operatora "lub"(|+):
(|+) - operator "lub"(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y = p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Stąd:
A2.
~Y = ~p*~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
| Kod: |
T2
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1: Y=p+q
Negujemy A1 dwustronnie:
A2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
A1: A2:
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 1 0
C: 0 1 1 0 1 0 0
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja operatora "lub"(|+) w bramkach logicznych:
| Kod: |
T3
Definicja operatora "lub"(|+) w bramkach logicznych:
SN74LS06 - bramka negatora (~) z otwartym kolektorem (OC)
SN74LS32 - bramka spójnika "lub"(+)
SN74LS08 - bramka spójnika "i"(*)
-------------
p------x-------->| |
| | "lub”(+) |---x-----x----> A1: Y=p+q
q--x------------>| 74LS32 | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~p ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~q | „i”(*) |---x-----x----> A2: ~Y=~p*~q
|------o----->| 74LS08 |
-------------
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06
|
W tabelach T2 i T3 doskonale widać, że spójnik "lub"(+) jest częścią operatora "lub"(|+).
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż mamy do czynienia ze spójnikiem "lub"(+) to automatycznie udowodnimy iż ten spójnik wchodzi w skład definicji operatora "lub"(|+).
Innymi słowy:
Prawdziwość funkcji logicznej Y (w logice dodatniej bo Y)
Y=p+q
wymusza prawdziwość funkcji logicznej ~Y (w logice ujemnej bo ~Y)
~Y=~p*~q
(i odwrotnie)
Przykład zastosowania operatora "lub"(|+) w języku potocznym znajdziemy w punkcie 4.2.3
Przykład ze świata techniki:
Rozważmy sterowanie żarówki przez dwa przyciski A i B połączone równolegle:
| Kod: |
S1
Układ realizujący operator "lub"(|+)
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na dwa pytania o S i ~S
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
1.
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A lub przycisk B
S = A+B
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1) lub wciśnięty jest przycisk B (B=1)
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków A lub B jest wciśnięty i już żarówka świeci się.
#
… a kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~S = ~(A+B) = ~A*~B - prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~S = ~A*~B
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci się (~S) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy oba przyciski (A i B) nie będą wciśnięte.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
3.3.2 Spójnik "i"(*) vs operator "i"(|*) w bramkach logicznych
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
| Kod: |
T1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
W technice cyfrowej TTL spójnik "i"(*) realizuje bramka logiczna SN74LS08:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: |
T1
Bramka logiczna "i"(*)
-------------
p--------------->| Bramka: |
| "i"(*) |--------------> Y=p*q
q--------------->| SN74LS08 |
-------------
Definicja spójnika "i"(*):
Y=p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
|
Definicja operatora "i"(|*):
(|*) - operator "i"(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Stąd:
B2.
~Y = ~p+~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
| Kod: |
T2
Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
B1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
B2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja operatora "i"(|*) w bramkach logicznych:
| Kod: |
T3
Definicja operatora "i"(|*) w bramkach logicznych:
SN74LS06 - bramka negatora (~) z otwartym kolektorem (OC)
SN74LS08 - bramka spójnika "i"(*)
SN74LS32 - bramka spójnika "lub"(+)
-------------
p------x-------->| |
| | "i”(*) |---x-----x----> B1: Y=p*q
q--x------------>| 74LS08 | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~p ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~q | „lub”(+) |---x-----x----> A2: ~Y=~p+~q
|------o----->| 74LS32 |
-------------
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06
|
W tabelach T2 i T3 doskonale widać, że spójnik "i"(*) jest częścią operatora "i"(|*).
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż mamy do czynienia ze spójnikiem "i"(*) to automatycznie udowodnimy iż ten spójnik wchodzi w skład definicji operatora "i"(|*).
Innymi słowy:
Prawdziwość funkcji logicznej Y (w logice dodatniej bo Y)
Y=p*q
wymusza prawdziwość funkcji logicznej ~Y (w logice ujemnej bo ~Y)
~Y=~p+~q
(i odwrotnie)
Przykłady zastosowania operatora "i"(|*) w języku potocznym znajdziemy w punktach 2.4.1 oraz 4.3.1.
Przykład ze świata techniki:
Rozważmy sterowanie żarówki przez dwa przyciski A i B połączone szeregowo:
| Kod: |
S2
Układ realizujący operator "i"(|*):
S A B
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o--
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------
|
Operator "i"(|*) to odpowiedź na dwa pytania o S i ~S
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
1.
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A i przycisk B
S = A*B
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
Innymi słowy:
Oba przyciski A i B muszą być wciśnięte, by żarówka świeciła się
#
… a kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~S = ~(A*B) = ~A+~B - prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~S = ~A+~B
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci się (~S) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek z przycisków A lub B nie jest wciśnięty.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
3.3.3 Matematyczne związki między operatorami "lub"(|+) i "i'(|*)
Matematyczny związek między operatorami "lub"(|+) i "i"(|*) to związek różne na mocy definicji ##
Dowód:
| Kod: |
T2
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1: Y=p+q
Negujemy A1 dwustronnie:
A2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
A1: A2:
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 1 0
C: 0 1 1 0 1 0 0
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 dwustronnie:
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
| Kod: |
T2
Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
B1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
B2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 dwustronnie:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Nasz przykład:
| Kod: |
T3
Definicja operatora "lub"(|+):
A1: Y=p+q # A2: ~Y=~p*~q
## ##
Definicja operatora "i"(|*):
B1: Y=p*q # B2: ~Y=~p+~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
{p, q, Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p, q, Y},
inaczej błąd podstawienia.
|
Doskonale widać, że w tabeli T3 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
Dowód na przykładach wyżej omówionych:
I
Punkt 3.3.1
| Kod: |
S1
Układ realizujący operator "lub"(|+)
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytania o S i ~S
1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
S=A+B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1)
lub wciśnięty jest przycisk B (B=1)
#
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~S=~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy nie jest wciśnięty przyciska A (~A=1)
i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
II
Punkt 3.3.2
| Kod: |
S2
Układ realizujący operator "i"(|*):
S A B
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o--
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytania o S i ~S
1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
S=A*B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1)
i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
#
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~S=~A+~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy nie jest wciśnięty przyciska A (~A=1)
lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - układy różne na mocy definicji
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 11:54, 14 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
W dniu 14-10-2022 odkryłem błąd czysto matematyczny we fragmencie niżej.
Poprawione punkty 3.5 i 3.6 są w końcowej wersji AK tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473.html#669593
Istota błędu:
Prawo Puchacza obowiązuje tylko dla kompletnych funkcji logicznych Y i ~Y a nie jak zapisałem niżej, także dla funkcji cząstkowych
3.5 Armagedon starej algebry Boole'a i KRZ
Opiszmy nasze schematy S1 i S2 szczegółowo w zdarzeniach rozłącznych A: B: C: i D:
I
Operator "lub"(+) w świecie techniki
| Kod: |
S1
Układ realizujący operator "lub"(|+)
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytania o S i ~S
Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
Odpowiedź w wersji minimalnej to:
1.
S = A+B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1
Czytamy:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
wciśnięty jest klawisz A (A=1) lub wciśnięty jest klawisz B (B=1)
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek klawisz jest wciśnięty i już żarówka świeci się
Stąd dokładnie tą samą odpowiedź możemy zapisać w postaci zdarzeń rozłącznych A: B: i C:
Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
A: Sa= A* B - świeci (Sa=1) gdy wciśnięty A (A=1) i wciśnięty B (B=1)
lub
B: Sb= A*~B - świeci (Sb=1) gdy wciśnięty A (A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
lub
C: Sc=~A* B - świeci (Sc=1) gdy nie wciśnięty A (~A=1) i wciśnięty B (B=1)
Wszystkie możliwe przypadki rozłączne w których żarówka świeci się (S) opisuje suma logiczna funkcji cząstkowych:
S=Sa+Sb+Sc
Po rozwinięciu mamy:
RS1: S= A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B = A+B
#
Kiedy żarówka S nie świeci się (~S)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~S=~A*~B
Jest tylko jeden taki przypadek, stąd:
~S= ~Sd= ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~Sd=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Sd=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D:~Sd=~A*~B - nie wciśnięty A (~A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
~Sd - funkcja cząstkowa opisująca przypadek nie świecącej się żarówki
P.S.
Dowód formalny tożsamości RS1:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę:
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych
i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p+~p*~q
~Y=~p+~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q
c.n.d.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
II
Operator "i"(*) w świecie fizyki
| Kod: |
S2
Układ realizujący operator "i"(|*):
S A B
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o--
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytania o S i ~S
Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
Odpowiedź w wersji minimalnej to:
1.
S = A*B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
wciśnięty jest klawisz A (A=1) i wciśnięty jest klawisz B (B=1)
Jest tylko jedno zdarzenie gdzie żarówka świeci się.
Stąd możemy zapisać:
A: S = Sa = A*B
Gdzie:
Sa - funkcja cząstkowa opisująca przypadek świecącej się żarówki
#
Kiedy żarówka S nie świeci się (~S)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~S=~A+~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
nie jest wciśnięty A (~A=1) lub nie jest wciśnięty B (~B=1)
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek klawisz nie jest wciśnięty
i już żarówka nie świeci się
Stąd dokładnie tą samą odpowiedź możemy zapisać w postaci zdarzeń rozłącznych B: C: i D:
Kiedy żarówka S nie świeci się (~S=1)?
Żarówka nie świeci (~S=1) się gdy:
B:~Sb=~A*~B - nie wciśnięty A (~A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
lub
C:~Sc=~A* B - nie wciśnięty A (~A=1) i wciśnięty B (B=1)
lub
D:~Sd= A*~B - wciśnięty A (A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
Wszystkie możliwe przypadki rozłączne w których żarówka nie świeci się (~S)
to suma logiczna równań cząstkowych:
~S=~Sb+~Sc+~Sd
Po rozwinięciu mamy:
RS2: ~S= B: ~A*~B + C: ~A*B + D: A*~B = ~A+~B
P.S.
Dowód formalny tożsamości RS2:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y=~p*(~q+q)+p*~q
~Y=~p+ (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych
i wymianę spójników:
Y=p*(~p+q)
Y=p*~p+p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q
c.n.d.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - układy różne na mocy definicji
Zauważmy że:
Nie istnieje cząstkowa funkcja logiczna w opisie schematu S1 która by występowała w opisie schematu S2 (i odwrotnie).
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza dla funkcji cząstkowych opisujących schematy S1 i S2.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna (także cząstkowa) może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego dwuargumentowego.
Tu do S1 albo do S2.
Dygresja:
Pojęcie funkcji logicznej Y jest doskonale znane ziemskim matematykom.
Dowód w linku niżej:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://home.agh.edu.pl/~brzoza/Technika_Cyfrowa/KP_f_log.pdf
Matematyk który będzie twierdził, że funkcje logiczne algebry Boole'a to nie jest algebra Boole'a powinien natychmiast skreślić słówko "matematyk" sprzed swego nazwiska.
Zauważmy, że ziemski matematyk nie może się bronić twierdząc, iż w Klasycznym Rachunku Zdań nie ma pojęcia funkcji logicznej, bowiem formalnie KRZ jest nadzbiorem algebry Boole'a, gdzie pojęcie funkcji logicznej algebry Boole'a jest doskonale znane, czego dowód w linku wyżej.
Zauważmy, że z opisu układów S1 i S2 podanego wyłącznie w funkcjach cząstkowych bez problemu odtworzymy schematy ideowe S1 i S2 które te funkcje opisują.
Niestety, stara algebra Boole'a we wszelkich dowodach zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole'a nie widząc funkcji logicznych algebry Boole'a w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Stąd w starej algebrze Boole'a opisy układów S1 i S2 przy pominięciu wszelkich, cząstkowych funkcji logicznych będą identyczne.
Dowód:
| Kod: |
SS1
Schemat S1 opisany starą algebrą Boole'a:
A: A* B
B: A*~B
C:~A* B
D:~A*~B
|
[=]
| Kod: |
SS2
Schemat S2 opisany starą algebrą Boole'a:
A: A* B
B:~A*~B
C:~A* B
D: A*~B
|
Gdzie:
[=] - znak tożsamości tabel SS1 i SS2
W tabelach SS1 i SS2 kolejność linii można dowołanie zamieniać, stąd znak tożsamości [=] między tymi tabelami.
Stąd mamy:
Armagedon starej algebry Boole'a:
W starej algebrze Boole'a układy S1 (połączenie równoległe A i B) i S2 (połączenie szeregowe A i B) są tożsame, co jest twardym dowodem wewnętrznej sprzeczności starej algebry Boole'a.
c.n.d.
3.6 Kwadratura koła dla ziemskich matematyków
Zadanie z podstaw logiki matematycznej w 100-milowym lesie.
Pani w przedszkolu wypowiada zdanie:
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Polecenie:
Zapisz w funkcjach logicznych, kiedy jutro pani dotrzyma słowa, a kiedy nie dotrzyma słowa.
Powyższego zadanka żaden współczesny matematyk nie rozwiąże, bowiem jego rozwiązanie wymaga akceptacji w logice matematycznej logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 11:58, 14 Paź 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 22:21, 30 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Kwintesencja algebry Kubusia
Nowa algebra Boole'a z dnia 20-10-2022 porzucona, bo końcowa wersja jest znacznie lepsza:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kwintesencja-algebry-kubusia-dla-pan-przedszkolanek,21937.html#680043
5.0 Nowa algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych.
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
W logice matematycznej wszelkie właściwości zmiennych binarnych zapisujemy w tabelach prawdy.
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych właściwości zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
Przykład:
| Kod: |
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Znaczek różne # definiuje definicja negacji.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora "o".
| Kod: |
Definicja znaczka # w bramkach logicznych
-----
p --x---------| ~ |o-x--> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |--x--- ~p
-----
Gdzie:
o - symbol negacji (wyjście bramki negatora)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06
|
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
cnd
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0 |
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
5.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej p
Y = f(x) =x
Zapis tożsamy:
Y=x
5.2 Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszych praw logiki matematycznej.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
5.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
| Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.
5.2 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka.
Przykład konsekwentnego stosowania standardu dodatniego w języku potocznym mamy w następnym punkcie.
5.3 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego:
Definicja operatora logicznego jednoargumentowej Y|=f(x) to układ równań logicznych Y=f(x) i ~Y=~f(x) dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y
Definicja ogólna operatora jednoargumentowego Y|=f(x):
A1.
Y=f(x)
.. a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie jednoargumentową funkcję logiczną A1.
A2.
~Y = ~f(x)
Sens tego operatora zaprezentujemy na przykładzie zadanka Kubusia niżej.
5.3.1 Zadanko Kubusia dla funkcji jednoargumentowych
Dowód wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej ziemian na gruncie operatora jednoargumentowego poznamy na przykładzie zadanka Kubusia, który pojawił się na moim biurku w dyskusji z Zefciem i je zapisał.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1775.html#677021
Zadanko Kubusia:
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A i B.
Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią?
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa?
Negujemy równanie A1 stronami:
A2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej Y w standardzie dodatnim:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 dwustronnie.
~Y=~(~K)
~Y=K - na mocy prawa podwójnego przeczenie
Stąd mamy:
B2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej Y w standardzie dodatnim:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
5.3.2 Prawo Grzechotnika
Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A i B w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Pani w przedszkolu A:
A1: Y= K # A2: ~Y=~K
## ##
Pani w przedszkolu B:
B1: Y=~K # B2: ~Y= K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
|
Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli T1.
| Kod: |
T1'
Pani w przedszkolu A:
A1: K # A2: ~K
## ##
Pani w przedszkolu B:
B1: ~K # B2: K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
|
Doskonale widać, że w tabeli T1' najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A1: K = B2: K
B1: ~K = A2: ~K
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
5.4 Aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym praktycznie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.
Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
p* q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=prawda
0=fałsz
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p - łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x
p+1=1 - to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p+0=p - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=x
p*0=0 - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0
4.
Definicja dziedziny D w zbiorach:
A: p+~p=D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D) dla zbioru p
B: p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
Definicja dziedziny D w zdarzeniach:
C: p+~p=D =1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D) dla zdarzenia p
D: p*~p=[] =0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Przykłady:
4A
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
D=LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych, wspólna dziedzina dla P2 i ~P2
P2+~P2=D =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest uzupełnieniem do dziedziny D dla P2=[2,4,6,8..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb naturalnych LN pomniejszony o zbiór liczb parzystych P2
4B.
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
4C.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zdarzenia K
D=[K,~K] – zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w dniu jutrzejszym, dziedzina
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień
4D.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =[] =0 - zdarzenie ~K jest rozłączne ze zdarzeniem K
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych binarnych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy algebraicznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu algebraicznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Niech będzie dana funkcja logiczna Y:
Y = (p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasza funkcja logiczna Y po minimalizacji przybiera postać:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd
Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.
Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna (twarda jedynka niezależna od czasu)
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p i q=1 mamy:
p+ q=1 Y=p+1
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 1 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd
Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p i q=~p mamy:
p+~p Y=p+~p
A: 1+ 0 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd
Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
| Kod: |
p+ q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1 =1 =0 0* 0 =0 =1
B: 1+ 0 =1 =0 0* 1 =0 =1
C: 0+ 1 =1 =0 1* 0 =0 =1
D: 0+ 0 =0 =1 1* 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
Gdzie:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=8 (Y=Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
Y = 3: p+q = 8: ~(~p*~q)
#
Tożsamość kolumn wynikowych 4=7 (~Y=~Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
~Y = 4: ~(p+q) = 7:~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
cnd
Zadanie dla czytelnika:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)
5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Rozważmy projektowanie sterowania windą.
Przyjmijmy wejście układu windy:
Na poziomie 5-cio latka zakładamy że winda ma dwa przyciski wejściowe układu (zmienne binarne):
Opis przycisku D=[drzwi]:
D=1 - drzwi zamknięte (D)
~D=1 - drzwi nie zamknięte (~D)
Opis przycisku P=[piętro]:
P=1 - przycisk piętro wciśnięty (P)
~P=1 - przycisk piętro nie wciśnięty (~P)
Przyjmijmy wyjście układu windy:
Wyjście układu opisane jest przez zmienną binarną J=[jedzie]:
J=1 - winda jedzie (J).
~J=1 - winda nie jedzie (~J)
I.
Pani przedszkolanka do Jasia (lat 5):
Powiedz nam Jasiu kiedy winda jedzie (J=1)?
Jaś:
A1.
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=D*P
co w logice jedynek oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Wniosek:
Jaś zaprojektował sterownie windą w logice dodatniej (bo J)
II.
Pani przedszkolanka do Zuzi (lat 5):
Powiedz nam Zuziu kiedy winda nie jedzie (~J=1)?
Zuzia:
A2.
Winda nie jedzie (~J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi nie są zamknięte (~D=1) "lub"(+) nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P=1)
A2: ~J = ~D + ~P
co w logice jedynek oznacza:
~J=1 = ~D=1 lub ~P=1
Wniosek:
Zuzia zaprojektowała sterowanie windą w logice ujemnej (bo ~J)
Wnioski końcowe:
Rozwiązanie Jasia i Zuzi są matematycznie tożsame bo oczywisty związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J) jest następujący:
Jaś:
Moja logika dodatnia (bo J) to zanegowana logika ujemna (bo ~J), stąd mamy:
J = ~(~J)
Po podstawieniu:
A2: ~J = ~D + ~P
Mamy:
J = ~(~D+~P)
czyli:
J = ~(~D+~P) = D*P - prawo De Morgana
cnd
Zuzia:
Moja logika ujemna (bo ~J) to zanegowana logika dodatnia (bo J), stąd mamy:
~J = ~(J)
Po podstawieniu:
A1: J=D*P
Mamy:
~J = ~(D*P)
czyli:
~J = ~(D*P) = ~D+~P - prawo De Morgana
cnd
Doskonale tu widać, zarówno Jaś jak i Zuzia (oboje po 5 wiosenek) perfekcyjnie znają algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlegają.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = znana inżynierom bramka AND
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = znana inżynierom bramka OR
Znaczek przeczenia (~) też ma swój odpowiednik w bramkach logicznych w postaci układu negatora:
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Bramka negatora "o" w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy (p) na jego negację na wyjściu negatora (~p).
Stąd:
Przełożenie powyższych zdań na bramki logiczne jest trywialne:
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „i”(*) walimy bramę AND.
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „lub”(+) walimy bramkę OR
Stąd:
Zdania Jasia i Zuzi w przełożeniu na teorię bramek logicznych wyglądają następująco:
| Kod: |
T1
Zdania Jasia i Zuzi przełożone na język bramek logicznych „i”(*) i „lub”(+)
-------------
D------x-------->| |
| | „i”(*) |---x-----x----> A1: J=D*P (Jaś)
P--x------------>| | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~D ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~P | „lub”(+) |---x-----x----> A2: ~J=~D+~P (Zuzia)
|------o----->| |
-------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład SN74LS06
|
Opis działania układu:
Jaś:
A1:
Winda jedzie (J) gdy drzwi są zamknięte (D) i wciśnięty przycisk piętro (P)
J=D*P
… a kiedy winda nie jedzie (~J)?
#
Dowolną funkcję logiczną (np. J=D*P) mamy prawo dwustronnie zanegować (#)
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
A2:
~J=~(D*P)=~D+~P - prawo De Morgana
Stąd:
A2.
Zuzia:
Winda nie jedzie (~J) gdy drzwi nie są zamknięte (~D)
lub nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P)
~J=~D+~P
To jest cała filozofia przełożenia logiki matematycznej Jasia i Zuzi na teorię bramek logicznych.
Uwaga:
W użytecznym sterowaniu trzeba wprowadzić dodatkową zmienną binarną sygnalizującą dojechanie windy na żądane piętro, gdzie winda automatycznie staje i przycisk P (piętro) wyskakuje. Przy zamkniętych drzwiach warunkiem koniecznym i wystarczającym kolejnej jazdy jest wciśnięcie piętra różnego od tego, na którym winda aktualnie stoi. Takie sterownie to temat na ćwiczenie laboratoryjne na I roku studiów elektronicznych.
Podsumowanie:
Matematyczna trudność projektowania złożonych sterowań w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej absolutnie nie wykracza poza opisany wyżej poziom matematyczny 5-cio letnich, genialnych inżynierów Jasia i Zuzi. Oczywiście w trudniejszych problemach zmiennych binarnych jest więcej, ale układ sterowania projektuje się identycznie jak to zrobili Jaś i Zuzia, czyli mając w głębokim poważaniu jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe.
Weźmy jeszcze raz naszego Jasia:
A1.
Jeśli winda jedzie (J=1) to na 100% => drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=> D*P
Jazda windą jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
W drugą stronę warunek wystarczający => też jest prawdziwy:
B3.
Jeśli drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1) to na 100% => winda jedzie (J=1)
B3: D*P=>J =1
Zamknięte drzwi (D=1) i wciśnięty przycisk piętro (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że winda jedzie.
Uwaga:
Zakładamy tu, że wciskamy przycisk piętro (P) różny od piętra na którym aktualnie winda stoi.
Stąd mamy dowód iż zachodzi równoważność o definicji:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Nasz przykład:
RA1B3:
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
RA1B3: J<=>D*P = (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) =1*1 =1
cnd
Prawo Irbisa (poznamy niebawem):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Dla naszego przykładu możemy zapisać:
Zdarzenie „winda jedzie” (J) jest tożsame „=” ze zdarzeniem „zamknięte drzwi i wciśnięty przycisk piętro” (D*P=1)
(J=D*P) <=> (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) = J<=>D*P
5.6 Operator Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład A1:
Definicja operatora Y|=p+q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Potoczna definicja spójnika "lub"(+):
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie którekolwiek ze zdarzeń p albo q i już funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1
Stąd mamy:
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach niepustych i rozłącznych:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy prawą stronę:
Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy funkcję 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd
Stąd mamy:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
5.6.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Wyprowadziliśmy wyżej tożsamość logiczną:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych ABC którą obowiązkowo trzeba zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
5.6.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=p+q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd
5.6.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą obowiązkowo trzeba zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
… a kiedy pani skłamie = nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (ABC) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (z przykładu) mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Y=Ya+Yb+Yc
A:
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
lub
B:
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yb=1
lub
C:
Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yc=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Pani skłamie:
~Yd=1
Czytamy:
P1: Prawdą jest (=1), że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
P1: (~Yd=1) = P2: (Yd=0)
Prawą stronę czytamy:
P2: Fałszem jest (=0), że jutro pani dotrzyma słowa (Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Tożsamość zdań P1=P2 jest oczywista, co jest potwierdzeniem prawa Prosiaczka.
5.7 Operator Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład:
Definicja operatora Y|=p*q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D0
Definicja operatora A1: Y|=p*q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Nasz przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
~Y=~p+~q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (~q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
stąd mamy:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
5.7.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
bo w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań niepustych i rozłącznych które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (z przykładu) mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
A:
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
B:
~Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Yb):
~Yb=1
lub
C:
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
lub
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 22:23, 30 Paź 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
lucek
Dołączył: 18 Lut 2011
Posty: 8320
Przeczytał: 0 tematów
|
| Wysłany: Wto 12:08, 01 Lis 2022 Temat postu: |
|
|
| Cytat: | | Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka. |
język potoczny zawiera tylko "=" (to samo) i "#" (różne)
czyli
język potoczny = [(=)#(#)]
PS
"to samo" = [=] =" „lub”(+) "
"albo" = "rózne" = [#] =" „i”(*) "
PPS 
w języku potocznym jeszcze jest „kropka”(.) i „znak zapytania”(?) Kubusiu 
Ostatnio zmieniony przez lucek dnia Wto 12:48, 01 Lis 2022, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 8:46, 04 Lis 2022 Temat postu: |
|
|
Powód usunięcia:
Atak na Klasyczny Rachunek Zdań
Kwintesencja algebry Kubusia
Matematyka języka potocznego 5-cio latków
Link do "Kwintesencji algebry Kubusia" w pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/2j3z8clrzd7uu26/Kwintesencja%20AK%20dla%20pa%C5%84%20przedszkolanek%20w%20pdf.pdf?dl=0
Link do pełnej wersji "Algebry Kubusia - matematyka języka potocznego":
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473.html#669585
*http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473.html#669585
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Motto Rafała3006:
Napisać algebrę Kubusia w taki sposób, by ziemski matematyk był w stanie ją zrozumieć i zaakceptować, mimo iż na starcie nie zna ani jednej definicji obowiązującej w AK.
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka, Zefciu i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - absolwent elektroniki na Politechnice Warszawskiej, Instytut Automatyki, rok 1980.
Pierwszy przyzwoity mikroprocesor i8080 to rok 1974.
Moja praca magisterska to zrobiony w praktyce i działający system dwuprocesorowy ze wspólną pamięcią i wspólnymi układami wejścia/wyjścia na mikroprocesorze i8080.
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
Rafał3006 to przybysz ze świata techniki gdzie implikacja nie ma prawa bytu, bowiem opisuje „wolną wolę” istot żywych.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).
3.
Fiklit - zdecydowanie najlepszy specjalista logiki matematycznej, który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań. Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
4.
Irbisol - znakomity tester algebry Kubusia od 15 lat, za wszelką cenę usiłujący ją obalić na każdym etapie jej rozszyfrowywania. Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera, lepszego partnera w dyskusji?
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której uściślona została teoria zbiorów na poziomie fundamentalnym (prawo Owieczki).
6.
Zefciu - współautor pogromu zarówno starej algebry Boole'a, jak i Klasycznego Rachunku Zdań.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1775.html#677021
Spis treści:
1.0 Nowa algebra Boole'a
2.0 Kwintesencja algebry Kubusia
3.0 Implikacja prosta p|=>q
4.0 Implikacja odwrotna p|~>q
5.0 Definicje znaczków ## i ###
Historyczna chwila w rozszyfrowywaniu algebry Kubusia!
03-11-2022 Data publikacji końcowej wersji "Kwintesencji algebry Kubusia"
Dlaczego to jest historyczna chwila?
Wykluczone jest, aby ziemski matematyk przy zdrowych zmysłach nie zrozumiał całości "Kwintesencji algebry Kubusia" i nie przyjął jej, jako jedynej poprawnej logiki matematycznej obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Oczywiście na 100% znajdą się fanatycy Klasycznego Rachunku Zdań, skłonni oddać życie za to potwornie śmierdzące gówno.
Cóż, na nich nie ma mocnych, pozwólmy im umrzeć w spokoju.
Wniosek:
Algebra Kubusia to logika matematyczna przyszłych pokoleń matematyków, gdy umrze ostatni fanatyk "Klasycznego Rachunkiem Zdań".
Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein
Niniejszy podręcznik to prezentacja kwintesencji algebry Kubusia, czyli zaprezentowania jej kręgosłupa w sposób najkrótszy i najprostszy.
O co tu chodzi?
"Kwintesencja algebry Kubusia" to implikacja prosta p|=>q i implikacja odwrotna p|~>q.
Dlaczego?
Równoważność p<=>q, to kropla w morzu implikacji, natomiast zdanie zawsze prawdziwe to śmieć którego nikt w praktyce nie używa.
"Dowolny trójkąt jest prostokątny lub nie jest prostokątny" - zdanie zawsze prawdziwe
TP+~TP=1
Śmieciem jest także zdanie zawsze fałszywe:
"Dowolny trójkąt jest prostokątny i nie jest prostokątny" - zdanie zawsze fałszywe
TP*~TP=0
Poza tym w kwintesencji ograniczymy się wyłącznie do zdarzeń otrzymując logikę matematyczną którą w praktyce doskonale rozumie każdy 5-cio latek.
Dla zrozumienia teorii zdań warunkowych "Jeśli p to q" wyrażonej warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> nie jest potrzebna znajomość algebry Boole'a, mówiąca wyłącznie o spójnikach "i"(*) i "lub"(+) z języka potocznego.
Dlaczego?
Przy pomocy algebry Boole'a nie da się matematycznie opisać ani warunku wystarczającego =>, ani też warunku koniecznego ~>, to matematycznie i fizycznie niemożliwe.
Podsumowanie:
Jeśli ludzkość zrozumie algebrę Kubusia, logikę matematyczną której naturalnymi ekspertami są 5-cio latki, to będzie to bezdyskusyjnie największe wydarzenie w dziejach ludzkości.
Wstęp:
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Algebra Kubusia to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Celem podręcznika "Kwintesencja algebry Kubusia" jest przedstawienie najkrócej jak to tylko możliwe wszystkich definicji i praw algebry Kubusia dotyczących zdań warunkowych "Jeśli p to q".
Świadomie ograniczamy się wyłącznie do zdarzeń, bowiem teoria zdarzeń tu prezentowana jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
Algebra Kubusia dla zbiorów jest analogiczna do teorii zdarzeń ale znacznie trudniejsza, bo matematyka operuje na zbiorach nieskończonych.
Kapitalne znaczenie będzie miało wytłumaczenie 5-cio latkom o co chodzi w obietnicach (pkt.3.4) i groźbach (pkt. 4.4).
Matematyczna obsługa obietnic i gróźb to nowość w logice matematycznej, póki co nieznana ziemskim matematykom.
Kluczowe definicje i prawa algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" to zaledwie 14 stron w punkcie 2.0.
Pewne jest, że żaden matematyk nie poda kontrprzykładu z języka potocznego który by kwestionował definicje i prawa AK w tym punkcie zapisane.
W punktach 1.6.1 i 2.5.1 zawarto dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych (prawo Grzechotnika).
Skorowidz znaczków używanych w "Kwintesencji algebry Kubusia dla pań przedszkolanek":
Uwaga:
Definicje znaczków używanych w algebrze Kubusia podano na najprostszych przykładach, łatwych do zrozumienia.
1.
Znaczki elementarne (1.1):
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Definicja logiki dodatniej (bo p) i logiki ujemnej (bo ~p) (1.1.1)
2.
Spójniki logiczne "lub"(+) i "i"(*) zgodne z językiem potocznym:
(+) - spójnik „lub” w języku potocznym (1.11)
(|+)- operator "lub" w języku potocznym (1.11.1)
(*) - spójnik „i” w języku potocznym (1.12)
(|*) - operator "i" w języku potocznym (1.12.1)
3.
Spójniki zdań warunkowych "Jeśli p to q":
~~> - zdarzenie możliwe (2.1.1)
=> - warunek wystarczający (2.1.2)
~> - warunek konieczny (2.1.3)
4.
Spójniki implikacyjne:
|=> - implikacja prosta (3.0)
||=> - operator implikacji prostej (3.1)
|~> - implikacja odwrotna (4.0)
||~> - operator implikacji odwrotnej (4.1)
5.
Spójniki implikacyjne omówione w pełnej wersji algebry Kubusia:
<=> - równoważność
|<=> - operator równoważności
$ - spójnik "albo"
|$ - operator "albo"
|~~> - chaos
||~~> - operator chaosu
6.
Pozostałe:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (2.3.1)
## - różne na mocy definicji (2.3.1)
### - różne na mocy błędu podstawienia (5.0)
Uwaga:
To są wszystkie znaczki używane w algebrze Kubusia tzn. nie są potrzebne w AK jakiekolwiek inne znaczki.
W szczególności w algebrze Kubusia nie ma rachunku kwantyfikatorów i związanych z nim znaczków:
/\ - kwantyfikator duży
\/ - kwantyfikator mały
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 21:37, 20 Lis 2022 Temat postu: |
|
|
20-11-2022
Usunąłem ze wstępu do algebry Kubusia poniższe wejście, gdyż doszedłem do wniosku, że złym pomysłem jest atakowanie początkującego czytelnika całą masą znaczków, których definicji jeszcze nie zna.
Spis treści
0.0 Skorowidz znaczków używanych w "Algebrze Kubusia": 1
0.1 Największe tragedie ziemskiej logiki matematycznej 2
0.1.1 Brak zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 2
0.1.2 Dowód prawa Grzechotnika na przykładzie z przedszkola 3
0.1.3 O beznadziejności aktualnej, ziemskiej algebry Boole'a 6
0.0 Skorowidz znaczków używanych w "Algebrze Kubusia":
Uwaga:
Definicje znaczków używanych w algebrze Kubusia poparto prostymi przykładami.
W teorii zdarzeń będą to przykłady zrozumiałe dla każdego 5-cio latka, natomiast w analogicznej teorii zbiorów będą to przykłady na poziomie I klasy LO.
1.
Znaczki elementarne (1.1):
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p)
2.
Spójniki logiczne "lub"(+) i "i"(*) zgodne z językiem potocznym:
(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym (4.2.3)
(|+)- operator "lub"(|+) w języku potocznym (4.2.3)
(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym (4.3.1)
(|*) - operator "i"(|*) w języku potocznym (4.3.1)
3.
Spójniki zdań warunkowych "Jeśli p to q":
Teoria zbiorów:
~~> - definicja elementu wspólnego zbiorów (6.1.1)
=> - definicja warunku wystarczającego w zbiorach (6.1.2)
~> - definicja warunku koniecznego w zbiorach (6.1.3)
Teoria zdarzeń:
~~> - definicja zdarzenia możliwego (6.2.1)
=> - definicja warunku wystarczającego w zdarzeniach (6.2.2)
~> - definicja warunku koniecznego w zdarzeniach (6.2.3)
4.
Spójniki implikacyjne:
|=> - implikacja prosta (6.18)
||=> - operator implikacji prostej (6.18.1)
|~> - implikacja odwrotna (6.19)
||~> - operator implikacji odwrotnej (6.19.1)
<=> - równoważność (9.4)
|<=> - operator równoważności (9.4.1)
$ - spójnik "albo"($) (7.7)
|$ - operator "albo"(|$) (7.7.1)
|~~> - chaos (10.3)
||~~> - operator chaosu (10.3.1)
5.
Pozostałe:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (6.3.1)
## - różne na mocy definicji (6.3.1, 6.20)
### - różne na mocy błędu podstawienia (6.20)
Uwaga:
To są wszystkie znaczki używane w algebrze Kubusia tzn. nie są potrzebne w AK jakiekolwiek inne znaczki.
W szczególności w algebrze Kubusia nie ma rachunku kwantyfikatorów i związanych z nim znaczków:
/\ - kwantyfikator duży
\/ - kwantyfikator mały
0.1 Największe tragedie ziemskiej logiki matematycznej
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Zrozumienie poniższych tragedii wymaga znajomości algebry Boole'a na poziomie elementarnym opisanej w punktach 1.0 i 2.0
Wypunktujmy największe tragedie ziemskiej logiki matematycznej.
0.1.1 Brak zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zdecydowanie największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest brak zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
To jest błąd fatalny, dyskwalifikujący ziemską logikę matematyczną w obsłudze języka potocznego.
A4.
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q=~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
Interpretacja słowna w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Jeśli p to q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
A5.
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
p q p~>q=p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Interpretacja słowna w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Jeśli p to q
p~>q = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
Między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> zachodzi związek różne na moc definicji ##
Tabela warunków wystarczających => i koniecznych ~> wyrażonych spójnikami "lub"(+) i "i"(*):
| Kod: |
T1.
Warunek wystarczający =>
A4: Y=(p=>q)=~p+q # B4: ~Y=~(p=>q)=p*~q
## ##
Warunek konieczny ~>
A5: Y=(p~>q)=p+~q # B5: ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - funkcje logiczne Y różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, ze w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
0.1.2 Dowód prawa Grzechotnika na przykładzie z przedszkola
Największą tragedią ziemskiego rachunku zero-jedynkowego jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi on zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y).
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Warunkiem koniecznym zrozumienia poniższego dowodu na przykładzie z przedszkola jest przeczytanie punktów 1.1 do 1.3 z niniejszego podręcznika.
Dowód prawa Grzechotnika na przykładzie z przedszkola
Pani w przedszkolu A mówi:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy równanie A1 stronami:
A2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Pani w przedszkolu B mówi:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy równanie B1 stronami:
B2.
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Znaczenie funkcji logicznej w przedszkolu A i B jest identyczne:
Y - pani dotrzyma słowa (bo Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (bo ~Y)
Porównanie zdań z przedszkola A i B
Zapiszmy zdania z przedszkola A i B w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Przedszkole A:
A1: Y=K # A2: ~Y=~K
##
Przedszkole B:
B1: Y=~K # B2: ~Y=K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
## - funkcje różne na mocy definicji
|
Definicje wprowadzonych znaczków.
Definicja znaczka rożne #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że dialogi w przedszkolu A oraz w przedszkolu B są różne na mocy definicji ##
Innymi słowy:
W dialogach z przedszkola A i B obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Jeśli w dialogach A i B nie uwzględnimy funkcji logicznych Y i ~Y to kluczowy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## zostanie zgwałcony.
Dowód:
Przepiszmy tabelę prawdy T1 usuwając z niej funkcje logiczne Y i ~Y, bo dokładnie to robi ziemski rachunek zero-jedynkowy!
| Kod: |
T1"
Przedszkole A:
A1: K # A2: ~K
##
Przedszkole B:
B1: ~K # B2: K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
## - funkcje różne na mocy definicji
|
Doskonale widać zachodzące w tabeli T1" tożsamości logiczne;
| Kod: |
A1: K = B2: K
oraz:
B1: ~K = A2: ~K
|
Jak widzimy, najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony.
Wniosek:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy, który we wszelkich dowodach zero-jedynkowych operuje wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole'a, czyli wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych
c.n.d.
Oczywistym jest, że wyżej zaprezentowany pogrom zarówno starej algebry Boole'a jak i Klasycznego Rachunku Zdań dotyczy dowolnie skomplikowanych funkcji logicznych n-argumentowych, byle były skończone.
Przykład dla funkcji logicznej dwuargumentowej (pdf w pkt 17.4):
Zefciu - współautor pogromu zarówno starej algebry Boole'a, jak i Klasycznego Rachunku Zdań.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1775.html#677021
0.1.3 O beznadziejności aktualnej, ziemskiej algebry Boole'a
Dla zrozumienia niniejszego punktu konieczne jest zapoznanie się z podstawami algebry Boole'a (pkt 2.0)
Kwadratura koła której nie da się rozwiązać na gruncie aktualnie obowiązującej algebry Boole'a nie akceptującej pojęcia funkcji logicznej Y w logice ujemnej (bo ~Y) jest następująca.
Zadanie z fizyki na poziomie I klasy LO:
Dany jest układ sterowania żarówką S przez dwa przyciski p i q połączone równolegle.
| Kod: |
S1 Schemat 1
p
______
-----o o-----
S | q |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Polecenie:
Zapisz przy pomocy funkcji logicznych algebry Boole'a kiedy żarówka świeci się (S) a kiedy nie świeci się (~S).
Opisz przy pomocy funkcji logicznej algebry Boole'a wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne w których żarówka świeci się (S)
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Kluczowe są tu prawa Prosiaczka, dzięki którym możliwe jest kodowanie wszelkich zdań z języka potocznego w standardzie dodatnim.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej z czego wynika, że w logice matematycznej na mocy II prawa Prosiaczka wszystkie zmienne binarne możemy sprowadzić do logicznych jedynek zapewniając spełnienie standardu dodatniego w języku potocznym.
c.n.d.
Definicja naturalnej logiki człowieka:
Naturalna logika człowieka jest w 100% zgodna ze standardem dodatnim w języku potocznym.
Rozwiązanie Jasia (ucznia I klasy LO):
1.
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1)
S = p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków p lub q jest wciśnięty i już żarówka świeci się (S=1).
Stąd mamy rozpiskę wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych w których żarówka świeci się.
1"
S = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
S=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: p*q=1*1=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
lub
B: p*~q=1*1=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
lub
C: ~p*q =1*1=1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Oczywistym jest, że w dowolnej chwili czasowej wyłącznie jedno ze zdarzeń rozłącznych A, B albo C może być prawdą, zaś pozostałe zdarzenia będą fałszem.
Dlaczego "może być"?
Jest możliwy przypadek opisujący czwarte zdarzenie rozłączne, kiedy to żarówka nie świeci się opisany dalej w punkcie 2. Jeśli zajdzie przypadek z punktu 2 to dla tego przypadku wszystkie zdarzenia A, B i C będą fałszem.
Matematycznie musi zachodzić tożsamość logiczna [=]:
1: S=p+q [=] 1": S = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
[=], "=", <=>
<=> - wtedy i tylko wtedy
Dowód:
Minimalizujemy prawą stronę:
S = p*q + p*~q + ~p*q
S = p*(q+~q) + ~p*q
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias
S = p+(~p*q)
bo: q+~q=1 oraz x*1=x - prawa algebry Boole'a
Przejście do logiki ujemnej (bo ~S) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~S = ~p*(p+~q)
~S = ~p*p + ~p*~q - wymnożenie wielomianu logicznego
~S = ~p*~q
bo: p*~p=0 oraz 0+x=x - prawa algebry Boole'a
~S = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
S = p+q
Stąd mamy udowodnioną tożsamość logiczną
1: S=p+q [=] 1": S = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
… a kiedy żarówka nie świeci się (~S)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
~S=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~S=~p*~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~S=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci się (~S) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
Znaczenie funkcji logicznej S:
S - żarówka świeci się (S=1)
~S - żarówka nie świeci się (~S=1)
Podsumowując:
W aktualnej ziemskiej algebrze Boole'a to banalne zadanko jest nierozwiązywalne, bowiem aktualna algebra Boole'a nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~S) oraz nie zna definicji spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (1").
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 18:37, 31 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algorytmów ogólnych umożliwiających przyporządkowania zdania "Jesli p to q" do jednego z 5 operatorów logicznych można wymyśleć dużo - jeden z nich to algorytm Maleństwa niżej opisany.
Korzsyatjąc z niego szybko doszedłem do wniosku, że jest zbyt skomplikowany dla ucznia LO - dlatego wysłyłam ten rozdział do lamusa, czyli tu.
Oczywistym jest że w tym momencie przyszedł mi do głowy algorytm chyba najprostszy z możliwych "Zdjęcie Puchacza" ... o którym napiszę.
10.0 Rozwiązywania zadań z algebry Kubusia
Spis treści
10.0 Rozwiązywania zadań z algebry Kubusia 1
10.1 Typowe zadanie z logiki matematycznej w AK 3
10.1.1 Algorytm Maleństwa rozwiązywania zadań typu "Jeśli p to q" 4
10.2 Implikacja prosta p|=>q (pkt. 3.1) 6
10.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q 6
10.3 Analiza zdań tworzących operator implikacji prostej P||=>CH 7
10.3.1 Analiza zdania ~P~~>CH z operatora implikacji prostej P||=>CH 7
10.1.3 Analiza zdania ~P~~>~CH z operatora implikacji prostej P||=>CH 9
10.1.4 Analiza zdania P~~>~CH z operatora implikacji prostej P||=>CH 10
10.1.5 Analiza zdania P~~>CH z operatora implikacji prostej P||=>CH 11
10.0 Rozwiązywania zadań z algebry Kubusia
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
T1
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu obowiązującego w =>
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi.
Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:
1.
p|=>q - implikacja prosta
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
##
2.
p|~>q - implikacja odwrotna
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
##
3.
p<=>q - równoważność
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
##
4.
Chaos p|~~>q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1=1
##
5
p$q - spójnik "albo"($) będący szczególnym przypadkiem równoważności
Równanie spójnika "albo"(S):
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q = ~p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Puchacza jest dowodem poprawności użytego tu znaczka różne na mocy definicji ##.
Prawo Puchacza (pkt. 2.7):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.
10.1 Typowe zadanie z logiki matematycznej w AK
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Typowe zadanie z logiki matematycznej w AK brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Sztandarowy przykład operatora implikacji prostej p||=>q to analiza prawdziwego warunku wystarczającego A1: p=>q=1 wchodzącego w skład definicji implikacji prostej p|=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
10.1.1 Algorytm Maleństwa rozwiązywania zadań typu "Jeśli p to q"
Typowe zadanie z algebry Kubusia brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane typu "Jeśli p to q"
Prezentowany niżej algorytm Maleństwa wydaje się najprostszy do rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne zdanie wypowiedziane "Jeśli p to q". Nie wykluczam, że ktoś znajdzie lepszy i szybszy.
Dodatkową zaletą algorytmu Maleństwa jest fakt, że koryguje błąd nadawcy.
Przykład:
Załóżmy, że nadawca wypowie zdanie ewidentnie fałszywe:
X.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => do tego by padało (P), b nie zawsze gdy jest pochmurno, pada.
W tym przypadku algorytm Maleństwa zwróci fałsz (=0) co oznacza że zdanie X jest fałszywe, ale dodatkowo podpowie nadawcy co trzeba w tym zdaniu zmienić by było prawdziwe.
W tym przypadku wzorcowa podpowiedź będzie brzmiała:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmurki
cnd
Algorytm Maleństwa rozwiązywania zadań typu "Jeśli p to q"
1.
Na mocy prawa Kłapouchego ustalamy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p = poprzednik ze zdania wypowiedzianego (z pominięciem przeczeń)
q = następnik ze zdania wypowiedzianego (z pominięciem przeczeń)
2.
Zdanie wypowiedziane "Jeśli p to q" sprowadzamy do zdarzenia możliwego ~~> "Jeśli p to q" w następujący sposób:
2a.
Jeśli poprzednik p w oryginalnym zdaniu jest niezaprzeczony, wtedy zapisujemy:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
2b.
Jeśli poprzednik p w oryginalnym zdaniu jest zaprzeczony:
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
X: ~p~~>~q
wtedy zaprzeczamy zarówno poprzednik jak i następnik - sprowadzenie do logii dodatniej (bo p):
X: ~p~~>~q # X1: p~~>q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
po czym zapisujemy:
2b"
Jeśli zajdzie p to może zajść q
X1: p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
X1: p~~>q = p*q =0
Na mocy powyższego w zdaniu 2b" mamy poprzednik sprowadzony do logii dodatniej (bo p), czyli do kolumny odniesienia A1B1 która odpowiada na pytanie o p.
3.
Analizujemy zdanie ze zdarzeniem możliwym ~~> wszelkimi legalnymi środkami:
2: p~~>q =?
Legalne środki to:
Definicja warunku wystarczającego =>, definicja warunku koniecznego ~>, definicja kontrprzykładu, oraz prawa algebry Kubusia (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji)
10.2 Implikacja prosta p|=>q (pkt. 3.1)
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Implikacja prosta p|=>q zdefiniowana jest w kolumnie A1B1.
1.
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
10.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
1.
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Przykład zadań dotyczący operatora implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Zauważmy że.
Na podstawie pojedyńczego zdania prawdziwego/fałszywego nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane (do analizy) dlatego dla wszelkich zdań do momentu ostatecznego rozstrzygnięcia używamy zmiennych z matematyki klasycznej X i Y.
10.3 Analiza zdań tworzących operator implikacji prostej P||=>CH
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Na mocy prawa Kłapouchego możemy spotkać zdania warunkowe "Jeśli p to q" zarówno z niezaprzeczonym poprzednikiem p (kolumna A1B1), jak i zaprzeczonym poprzednikiem p (kolumna A2B2), stad mówimy o operatorze implikacji prostej P||=>CH
10.3.1 Analiza zdania ~P~~>CH z operatora implikacji prostej P||=>CH
Zadanie 10.3.1
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
X.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
X.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=~P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
Przechodzimy do kolumny A1B1 negując dwustronni znaczek zdarzenia możliwego ~~>:
X: ~P~~>CH=? # X1: P~~>~CH =?
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
X1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: Pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu mamy prawdziwy warunek wystarczający => :
X2.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Tego faktu nie musimy dowodzić (bo fałszywy kontrprzykład), ale możemy dowodzić
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, jest pochmurno.
Stąd mamy rozwiązanie że:
X2=A1 - w tabeli T0R matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Wejście 1:
Aby zbadać w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie A1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p bo warunek wystarczający bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Korzystamy z prawa Tygryska by w zapisie formalnym mieć niezanegowane p w poprzedniku.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q =0
Nasz przykład:
B3: CH=>P = B1: P~>CH =0
Stąd mamy:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Po samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Fałszywości B1 nie musimy dowodzić (bo udowodniliśmy fałszywość B3: CH=>P=0) ale możemy dowodzić.
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż badane zdanie X jest częścią operatora implikacji prostej p||=>q.
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Dla zdania B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: P~>CH = B2: ~P=>~CH =0
Stąd:
Wzorcowe zdanie wypowiedziane X to zdanie B2', będące prawdziwym kontrprzykładem dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0
X=B2'
B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Analizę szczegółową tej implikacji A1B1: P|=CH przez wszystkie możliwe przeczenia p i q znajdziemy w punkcie 3.2.
10.1.3 Analiza zdania ~P~~>~CH z operatora implikacji prostej P||=>CH
Zadanie 10.1.3
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
X.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH=~P*~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
Przechodzimy do kolumny A1B1 negując dwustronni znaczek zdarzenia możliwego ~~>:
X: ~P~~>~CH=? # X1: P~~>CH =?
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
X1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> być pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: Pada (P) i jest pochmurno (CH)
Dal udowodnienia prawdziwości zdania X1 wystarczy pokazać jeden taki przypadek, nie analizujemy tu czy padanie jest wystarczające => czy też konieczne ~> dla istnienia chmur.
W zdaniu X1 spełniony warunek wystarczający widzi każdy 5-cio latek, więc zapisujemy:
X1: P~~>CH => X2: P=>CH
Gdzie:
Pojedyńcze zdarzenie X1 jest podzbiorem => zbioru zdarzeń X2: P=>CH
Stąd mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Tego faktu nie musimy dowodzić (bo fałszywy kontrprzykład), ale możemy dowodzić
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, jest pochmurno.
Ciąg dalszy analizy to wejście 1 w analizie zadania 10.1.2
X.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH=~P*~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =1
Wzorcowa forma zdania wypowiedzianego X to skorzystanie z prawa Kubusia dla zdania A1.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
X=A2 - forma wzorcowa
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem konicznym ~> dla braku chmur (CH), bo jak pada (P) to zawsze są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
10.1.4 Analiza zdania P~~>~CH z operatora implikacji prostej P||=>CH
Zadanie 10.1.4
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
X.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
X.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH=P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
cnd
Ten dowód fałszywości zdania X jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka.
Zdanie X to fałszywy kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego A1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1'
Czyli: X=A1'
Wzorcowe zdanie wypowiedziane X brzmi zatem.
X=A1'.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH=P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Ciąg dalszy analizy to wejście 1 w analizie zdania 10.1.2
Komentarz:
W ogólnym przypadku możemy nie mieć pewności absolutnej co do fałszywości zdania X, wtedy przyjmujemy założenie iż zdanie X jest fałszywe i dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego A1.
Jeśli warunek wystarczający => A1 będzie prawdziwy to kontrprzykład A1'=X będzie fałszywy.
Jeśli warunek wystarczający => A1 okaże się fałszem, to zdanie A1'=X będzie prawdziwe.
10.1.5 Analiza zdania P~~>CH z operatora implikacji prostej P||=>CH
Zadanie 10.1.5
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
X.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
X.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH=P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P) i jest pochmurno (CH)
Tu słusznie podejrzewamy, że zdanie X to pojedyncze iterowanie dla warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
cnd
Tu zdanie wzorcowe jest inne niż X, bo przmi:
X1=A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
cnd
Ciąg dalszy analizy to wejście 1 w analizie zdania 10.1.2
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 8:59, 03 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
2023-02-03
Kolejna porzucona wersja dowodu iż dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" wchodzi w skład jednego i tylko jednego operatora logicznego.
Powód:
Za dużo tu matematyki, dobrej ale ... to można napisać prościej
10.0 Rozwiązywania zadań z algebry Kubusia
Spis treści
10.0 Rozwiązywania zadań z algebry Kubusia 1
10.1 Najważniejsze definicje i prawa algebry Kubusia 1
10.1.1 Definicje podstawowych spójników implikacyjnych p?q 2
10.1.2 Prawo Puchacza 4
10.1.3 Spójnik implikacyjny p?q vs operator implikacyjny p|?q 6
10.1.4 Prawo Orła 7
10.2 Algorytm Puchacza 9
10.2.1 Zdjęcie układu 9
10.0 Rozwiązywania zadań z algebry Kubusia
Typowe zadanie z logiki matematycznej w algebrze Kubusia brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Zanim weźmiemy się za rozwiązywanie zadań przypomnijmy sobie kluczowe definicje i prawa algebry Kubusia
10.1 Najważniejsze definicje i prawa algebry Kubusia
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
10.1.1 Definicje podstawowych spójników implikacyjnych p?q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego p?q:
Podstawowy spójnik implikacyjny p?q to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - Czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - Czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
Stąd mamy:
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi w zależności od wartości logicznych A1 i B1
Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:
1.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
##
2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
##
3.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1=1
##
4.
Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to brak spełnienia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samym punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W języku potocznym występuje jeszcze piąty spójnik "albo"($) różny na mocy definicji ## od w/w spójników będący szczególnym przypadkiem równoważności.
5.
Równanie spójnika "albo"($):
1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji
10.1.2 Prawo Puchacza
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.
Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu iż pozostałe spójniki będą dla tego przypadku fałszem.
Dowód prawa Puchacza:
I.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*0=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(0)=0*1=0
c.n.d.
II.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(1)=1*0=0
c.n.d.
III.
Założenie p<=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(1)=0*0=0
c.n.d.
IV
Założenie p|~~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =0
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0
ok
c.n.d.
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki I, II, III i IV pozytywnie, co kończy dowód prawa Puchacza.
10.1.3 Spójnik implikacyjny p?q vs operator implikacyjny p|?q
Typowe zadanie z logiki matematycznej w AK brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego p?q:
Podstawowy spójnik implikacyjny p?q to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - Czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q?. TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - Czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q?. TAK=1/NIE=0
Stąd mamy:
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi w zależności od wartości logicznych A1 i B1
10.1.4 Prawo Orła
Definicja operatora implikacyjnego p|?q:
Operator implikacyjny p|?q to układ dwóch równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2):
Kolumna A1B1:
Podstawowy spójnik implikacyjny p?q w logice dodatniej (bo q):
Podstawowy spójnik implikacyjny p?q w logice dodatniej (bo q) to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - Czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - Czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
Stąd mamy:
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi w zależności od wartości logicznych A1 i B1
Kolumna A2B2:
Spójnik implikacyjny ~p?~q w logice ujemnej (bo ~q):
Spójnik implikacyjny ~p?~q w logice ujemnej (bo ~q) to spójnik definiowany kolumną A2B2 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =? - Czy zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q? TAK=1/NIE=0
B2: ~p=>~q =? - Czy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q? TAK=1/NIE=0
Stąd mamy:
A2B2: ~p??~q = (~)(A2: ~p~>~q)*(~)(B2: ~p=>~q)
Gdzie:
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi w zależności od wartości logicznych A1 i B1
?? - symbol przeciwnego spójnika implikacyjnego do ?
Definicje zero-jedynkowe warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1: p=>q = ~p+q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = p+~q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Kubusia:
I.
A1: p=>q = A2: ~p~>~q - warunek wystarczający => wymieniamy na warunek konieczny ~>
##
II.
B1: p~>q = B2: ~p=>~q - warunek konieczny ~> wymieniamy na warunek wystarczający =>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód I prawa Kubusia:
Rozwijamy prawą stronę definicja warunku koniecznego ~>:
A2: ~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = A1: p=>q
##
Dowód II prawa Kubusia:
Rozwijamy prawą stronę definicją warunku wystarczającego =>:
B2: ~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = B1: p~>q
Definicje zero-jedynkowe implikacji prostej |=> i odwrotnej |~>:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q - zero-jedynkowa definicja implikacji prostej |=>
##
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q - zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej |~>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa rachunku zero-jedynkowego dla implikacji prostej p|=>q i odwrotnej ~p|~>~q:
I.
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q - implikację prostą |=> wymieniamy na implikację odwrotną |~>
##
II
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q - implikację odwrotną |~> wymieniamy na implikację prostą |=>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód I.
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji odwrotnej |~>:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
Dowód II.
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji prostej |=>:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
Prawo Rachunku zero-jedynkowego dla równoważności p<=>q:
p<=>q = ~p<=>~q - tu spójnik "wtedy i tylko wtedy" nie ulega wymianie na inny
Bezpośrednio z praw prawa Puchacza, praw Sowy i praw Kubusia wynika prawo Orła.
Prawo Orła:
Przynależność dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" do spójnika implikacyjnego p?q wymusza jego przynależność do operatora implikacyjnego p|?q (i odwrotnie)
Przykłady poprawnego działania prawa Orła poznamy w algorytmie Puchacza.
10.2 Algorytm Puchacza
Prawo Puchacza (pkt. 2.7 i 10.1.2):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.
Typowe zadanie z algebry Kubusia brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane typu "Jeśli p to q"
Prezentowany niżej algorytm "Algorytm Puchacza" wydaje się najprostszy dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne zdanie wypowiedziane "Jeśli p to q".
Podobnych algorytmów można wyprowadzić sporo, nie wykluczam, że ktoś znajdzie lepszy.
Dodatkową zaletą algorytmu Puchacza jest fakt, że koryguje błąd nadawcy.
Przykład:
Załóżmy, że nadawca wypowie zdanie ewidentnie fałszywe:
X.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => do tego by padało (P), b nie zawsze gdy jest pochmurno, pada.
W tym przypadku algorytm Puchacza zwróci fałsz (=0) co oznacza że zdanie X jest fałszywe, ale dodatkowo podpowie nadawcy co trzeba w tym zdaniu zmienić by było prawdziwe.
W tym przypadku wzorcowa podpowiedź będzie brzmiała:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmurki
cnd
10.2.1 Zdjęcie układu
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~>.
| Kod: |
Tabela prawdy zdjęcia układu odpowiada na cztery pytania TAK=1/NIE=0:
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
W języku potocznym praktycznie zawsze dowody prawdziwości/fałszywości zdań ze zdjęcia układu są trywialne a to wystarczy, aby błyskawicznie rozstrzygnąć w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane, co zobaczymy na przykładach.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32600
Przeczytał: 40 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 21:02, 23 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
23-02-2023
Ten fragment AK uznałem za zbędny
5.3 Błąd fatalny w ziemskiej logice matematycznej
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podsumowanie znaczenia znaczków ## i ###:
| Kod: |
IPIO:
Znaczek różne na mocy definicji ##
vs
Znaczek różne na mocy błędu podstawienia ###
Zapisy formalne i aktualne:
IP ## IO
Implikacja prosta p|=>q ## Implikacja odwrotna p|~>q
A1: Y=(p|=>q) =~p*q ## B1: Y=(p|~>q)= p*~q
Punkt odniesienia: ## Punkt odniesienia:
p=P (pada) ## p=CH (chmury)
q=CH (chmury) ## q=P (pada)
A2: Y=(P|=>CH)=~P*CH ### B2: Y=(CH|~>P) = CH*~P
;
Warunek wystarczający p=>q ## Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny i aktualny: ## Zapis formalny i aktualny
A3: Y=(p=>q) =~p+ q ## B3: Y=(p~>q) = p+ ~q
A4: Y=(P=>CH) =~P+ CH ### B4: Y=(CH~>P) = CH+~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uwaga:
Zarówno iloczyn logiczny p*q jak i suma logiczna p+q są przemienne z czego
wynika, że po usunięciu linii w których występują zmienne formalne p i q oznaczonych znakiem różne na mocy definicji ## w liniach separowanych znakiem ### "musimy zapisać tożsamość logiczną [=]".
Błąd fatalny ziemskich matematyków to wykopanie w kosmos wszelkich zapisów formalnych z tabeli IPIO, czyli linii ze znaczkiem ##.
Stąd mamy:
| Kod: |
IPIO":
A2: Y=(P|=>CH)=~P* CH [=] B2: Y=(CH|~>P)= CH*~P
A4: Y=(P=>CH) =~P+ CH [=] B4: Y=(CH~>P) = CH+~P
;
Suma logiczna "lub"(+) i iloczyn logiczny "i"(*) są przemienne,
stąd w powyższych liniach "musimy postawić znak tożsamości logicznej [=]"
|
Tabela IPIO" doskonale odzwierciedla aktualny stan logiki matematycznej ziemian.
W tabeli IPIO" widać że:
1.
Ziemscy matematycy uznali za zbędną definicję implikacji odwrotnej p|~>q na mocy tożsamości:
A2: P|=>CH = ~P*CH [=] B2: CH|~>P = CH*~P - bo iloczyn logiczny jest przemienny
2.
Ziemscy matematycy uznali za zbędną definicję warunku koniecznego p~>q na mocy tożsamości:
A4: P=>CH = ~P+CH [=] B4: CH~>P=CH+~P - bo suma logiczna jest przemienna
Ziemscy matematycy, dysponując wyłącznie warunkiem wystarczającym => (błędnie nazywanym implikacją) poprawnie matematycznie potrafią zapisać wyłącznie równoważność.
Ziemska definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Problem w tym, że żaden ziemski matematyk nie zapisze poniższej, fałszywej w KRZ tożsamości:
Warunek wystarczający => = implikacja => rodem z KRZ
Wniosek:
Matematyka sobie (czyli poprawnie dowodzi wszelkie twierdzenia matematyczne będące relacją podzbioru p=>q), a KRZ sobie (z definicji wyklucza relację podzbioru p=>q)
Innymi słowy:
Matematycy sami nie wiedzą co dowodzą pisząc iż równoważność jest prawdziwa.
Przykładowo:
Na gruncie KRZ prawdziwa jest równoważność:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi twierdzenie Pitagorasa
Oczywistym jest, ze w tej równoważności prawdziwej na gruncie KRZ, o żadnym warunku wystarczającym => w którąkolwiek stronę mowy być nie może.
W tabeli IPIO doskonale widać znaczenie znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###.
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna.
Zrozumienie podanych wyżej definicji znaczków ## i ### jest w praktyce wystarczające.
5.3.1 Świat urojony ziemskich matematyków i fizyków
Definicja świata urojonego:
Świat urojony to świat mieszkańców pudelka z kotem Schrödingera w którym na chwilę obecną żyje cała społeczność ziemskich matematyków i fizyków.
Skutki niezrozumienia opisanej w punkcie 5.2.2 istoty kota Schrödingera są opłakane, bo prowadzą do świata urojonego, czyli do fałszywego opisu otaczającej nas rzeczywistości, czego dowodem są poniższe cytaty:
1.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kopalnia Wiedzy napisał: |
Tajemnica kota Schrödingera bliższa rozwiązania
Kot Schrödingera to symbol jednego z nierozwiązanych dotychczas dylematów w fizyce kwantowej. Zespół z University of Queensland dokonał ważnego kroku na drodze ku odpowiedzi na pytanie, czy kot jest żywy czy martwy.
Uczeni, wykorzystując czterowymiarowe stany fotonów i poddając je bardzo precyzyjnym pomiarom, wykluczyli, by trudność w opisaniu kota jako żywego bądź martwego wynikała z naszej niewiedzy o jego rzeczywistym stanie.
Doktor Alessandro Fedrizzi i jego koledzy zauważają, że, podobnie jak wszystkie obiekty w fizyce kwantowej, kot jest opisany za pomocą kwantowej funkcji falowej. Mimo, że jest to jedno z głównych pojęć służących do opisu fizycznych obiektów w mechanice kwantowej, nie jest jasne, czym jest funkcja falowa.
Czy ona opisuje naszą ograniczoną wiedzę dotyczącą rzeczywistego stanu systemu czy też jest dokładnym opisem rzeczywistości? I czy w ogóle istnieje obiektywna rzeczywistość? - zastanawia się Fedrizzi.
Proponujemy przeprowadzenie testu, który miały sprawdzić, czy konkurujące ze sobą teorie funkcji falowej mogą wyjaśnić, dlaczego nie jesteśmy w stanie z całą pewnością opisać stanów kwantowych. Wyniki naszych badań sugerują, że jeśli istnieje obiektywna rzeczywistość, to funkcja falowa ją opisuje - mówi główny autor badań, Martin Ringbauer.
Jeśli australijscy naukowcy mają rację, to kot Schrödingera rzeczywiście jest równocześnie żywy i martwy.
W przyszłości, w miarę udoskonalania technik pomiarowych powinniśmy dowiedzieć się zatem jednej z dwóch rzeczy: albo funkcja falowa oddaje stan rzeczywisty, albo obiektywna rzeczywistość nie istnieje.
|
Australijscy naukowcy nie mają racji czego dowód znajdziemy w punkcie 5.2.2
2.
Fragment dyskusji na temat algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2075.html#700177
| fedor napisał: |
| Irbisol napisał: |
Kolaps funkcji falowej natomiast jest faktem. |
A to bardzo ciekawe stwierdzenie w kontekście tego co twierdzą sami fizycy. Sprawdźmy co oni na ten temat twierdzą:
"Kolaps funkcji falowej jest tylko postulowanym założeniem i nie da się go zaobserwować"
(Jim Baggott, Pożegnanie z rzeczywistością. Jak współczesna fizyka odchodzi od poszukiwania naukowej prawdy, Warszawa 2015, s. 269) |
Dzięki odkryciu istoty kota Schrödingera (pkt. 5.2.2) mechanika kwantowa nie jest sprzeczna z otaczającą nas rzeczywistością, zatem nie może być mowy o pożegnaniu z rzeczywistością.
2.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Prawdopodobnie największym osiągnięciem nauki, daleko istotniejszym w swoich praktycznych konsekwencjach niż teoria względności jest teoria kwantowa. Jednak świat kwantów jest tak dziwny, że nawet Albert Einstein nie zaakcepto¬wał niektórych postulatów tej teorii, a Niels Bohr twierdził, że nikt, kogo ta teoria nie szokuje, nie zrozumiał jej.
Mechanika kwantowa mówi, że nic nie jest rzeczywiste i nie zdołamy powiedzieć, co cząstka robi, jeśli na nią nie patrzymy. Co więcej, ma na to matematyczne dowody.
By uzmysłowić różnicę między naszym wyobrażeniem o świecie a światem kwantów, Erwin Schrödinger stworzył słynny myślowy eksperyment z kotem. O ile jeszcze teoretyczne dywagacje mogą być przez nas przyjęte ze spokojem, o tyle ich filozoficzne konsekwencje wywracają nasz świat i inne świa¬ty (a postaram się pokazać, że również literackie) do góry nogami.
|
Te "matematyczne dowody" obowiązują wyłącznie w świecie urojonym, którym jest świat mieszkańców pudełka z kotem Schrödingera w którym na chwilę obecną żyje cała społeczność ziemskich matematyków i fizyków.
W świecie urojonym mechanika kwantowa widzi wyłącznie omówiony wyżej raj 5-cio latka:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
A: 1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Aktualna mechanika kwantowa nie jest w stanie wyodrębnić z tego raju implikacji prostej p|=>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q:
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotne p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
To jest fizycznie niemożliwe z powodu barku w ziemskiej logice matematycznej formalnych definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q, jak wyżej.
5.4 Wzajemne relacje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zerojedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zerojedynkowego:
p~>q = p+~q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|=>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) =~p*~p*q+q*~p*q = ~p*q+~p*q=~p*q
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
Negacja (~), nawiasy, "i"(*), "lub"(+)
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
1. ~(p+~q) = ~p*q - prawo De Morgana
2. mnożenie wielomianu
3. x*x=x - prawo algebry Boole'a
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|=>q) = ~p*q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|~>q)=~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|~>q)=p*~q
Sprawdźmy czy wyprowadzone wyżej funkcje logiczne Y zarówno elementarne (=>, ~>), jak i podstawowe (|=>, |~>) definiowane spójnikami "i"(*) i "lub"(+) są różne na mocy definicji ##.
| Kod: |
IPIO
Warunek wystarczający p=>q:
A1: Y=(p=>q) =~p+ q # A2: ~Y=~(p=>q)= p*~q
## ##
Warunek konieczny p~>q:
B1: Y=(p~>q) = p+~q # B2: ~Y=~(p~>q)=~p* q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
C1: Y=(p|=>q)=~p* q # C2: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
D1: Y=(p|~>q)= p*~q # D2: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli IPIO obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Dowód iż tabela IPIO spełnia definicję znaczka różne na mocy definicji ##
| Kod: |
IPIO
Rozpatrujemy wszystkie kluczowe przypadki:
A1: Y=(p=>q) =~p+ q ## D2: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
B1: Y=(p~>q) = p+~q ## C2: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
C1: Y=(p|=>q)=~p* q ## B2: ~Y=~(p~>q) =~p* q
D1: Y=(p|~>q)= p*~q ## A2: ~Y=~(p=>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że w tabeli IPIO definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona.
Przykład czytania.
Dowodzimy poprawność znaczka różne na mocy definicji ## dla pierwszej linii.
Funkcja logiczna:
A1: Y=(p=>q) =~p+ q
jest różna na mocy definicji ## od funkcji logicznej:
D2: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Dowód:
Prawe strony funkcji logicznych A1 i D2 są tożsame, ale nie jest tożsama lewa strona.
Aby porównywać funkcje logiczne A1 i D2 musimy je sprowadzić do tej samej logiki, dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y)
Zanegujmy dwustronnie funkcję D2 przechodząc do logiki dodatniej (bo Y):
D2": Y = p|~>q = p*~q
Doskonale widać, że prawe strony funkcji logicznych A1 i D2" nie są tożsame, co jest dowodem różności na mocy definicji ## funkcji logicznych A1 i D2.
5.4.1 Prawo Grzechotnika
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Dowód prawa Grzechotnika:
Zapiszmy tabelę prawdy IPIO z poprzedniego punktu z pominięciem funkcji logicznych Y i ~Y bo tych ziemski rachunek zero-jedynkowy nie widzi.
| Kod: |
IPIO"
Warunek wystarczający p=>q:
A1: ~p+ q # A2: p*~q
## ##
Warunek konieczny p~>q:
B1: p+~q # B2: ~p* q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
C1: ~p* q # C2: p+~q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
D1: p*~q # D2: ~p+ q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Doskonale widać, że w tabeli IPIO" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A1: ~p+ q = D2: ~p+ q
B1: p+~q = C2: p+~q
C1: ~p* q = B2: ~p* q
D1: p*~q = A2: p*~q
cnd
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
