ŚFiNiA

Michał Dyszyński

Czy istnieje pierwiastek kwadratowy z minus 1.
Odpowiedź nie jest jednoznaczna. Przyjmuje się, że w liczbach rzeczywistych tego pierwiastka nie da się wskazać, ale w liczbach zespolonych już tak.
Ale wg mnie to nie jest tak do końca prawda.
Nie ma pierwiastka z liczby -1, tylko z liczby -1 + 0i !
-1 nie jest tym samym bytem, co -1 + 0i !
Co prawda DA SIĘ UTOŻSAMIĆ (redukując pewne właściwości, ale tylko w jedną stronę) -1 z -1 + 0i , jednak w ten sposób dokonujemy pewnej konwersji, jakby tłumaczenia.
Tłumaczenie z języka na język jest tu też o tyle dobrym porównaniem, że w języku mówionym też mamy różne zakresy znaczeń, tłumacze mają często problem z oddaniem jakichś niuansów znaczeniowych, jeśli występuje treści gra słów, analogie, aluzje itp.

Ciekawe jest tutaj, że tak uzyskaliśmy dwa rozwiązania problemu - liczby zespolone: "i" a do tego "-i".

Michał Dyszyński

Michał Dyszyński

Michał Dyszyński

Rozwiązywanie problemów "nierozwiązywalnych" - uwagi praktyczne
Wyobraźmy sobie, że napotkaliśmy na nierozwiązywalny problem - problem, który wręcz ma dowód, iż nie da się go rozwiązać przy danych założeniach. Czy to jest jednak aby na pewno koniec sprawy?
Przykład z pierwiastkiem kwadratowym z minus 1 pokazuje, że (przynajmniej w części przypadków) jednak sprawa nie musi się na tym kończyć. Jak należałoby podejść do sprawy, aby - w oparciu o analogię wyżej opisaną - rozwiązać "problem nierozwiązywalny"?
1. Przedefiniować problem w szerszym kontekście/systemie interpretacji (przedefiniowany problem zapewne będzie nieco inny, ale powinien obsługiwać te aspekty starego modelu, które są kluczowe dla sprawy).
2. Spróbować znaleźć rozwiązanie w tym nowym kontekście
jeśli się nie uda...
3. Powtórzyć to samo z nowym kontekstem
i tak do skutku.

Przykładowo, kiedyś ktoś obserwując latające balony, ale jeszcze przed wynalezieniem samolotów uznał za pewni, że aparaty cięższe od powietrza nigdy nie będą latały.
Jednak ktoś zdefiniował problem na nowo - rozszerzył aspekt latania o użycie nowej siły - nie tylko siły wyporu powietrza, ale siły nośnej, pojawiającej się dla obiektów w ruchu. I problem z lotem obiektów cięższych od powietrza został rozwiązany.

Zasada jest jasna - SZERZEJ SPOJRZEĆ NA PROBLEM.

Michał Dyszyński

Jeszcze jedna ciekawa nauka płynie wg mnie z idei pierwiastka z minus 1 - to, że nie tylko dobrze wyobrażone rzeczy, idee działają.
Od lat próbuję sobie jakoś w wyobraźni ułożyć te liczby zespolone. Ileż to pomysłów przetestowałem. Nawet przy okazji stworzyłem, chyba całkiem interesującą, ideę odpowiednika liczb zespolonych w liczbach naturalnych, czy nowy sposób zapisu (nowy formalizm) przestrzeni funkcyjnych (może kiedyś to opublikuję, ale nie wiem czy warto, bo może już ktoś to wymyślił...). Mimo to dalej jakoś w głowie nie układa mi się wyobrażenie czym taka liczba zespolona jest. Jednak TO DZIAŁA.
Czasami ludzie używają argumentu w stylu: nie mogę sobie tego wyobrazić, a więc tego nie ma. Przykład z pierwiastkiem z minus 1 jawnie pokazuje, jak mylne to jest myślenie. Wiele rzeczy istnieje - w znaczeniu "funkcjonuje, działa, da się spójnie używać tego w rozumowaniach" - mimo, ze mamy problem z wyobrażeniem sobie tej rzeczy.

Michał Dyszyński

Dzisiaj sobie uświadomiłem, że właściwie pierwiastek z -1 jest podwójny, bo równanie x^2=1 spełnia zarówno x=i jak i x=-j.
Skoro tak, to który z tych dwóch jest i (dodatnie), a który -i ujemne?
Biorąc konkretne i w równaniach, będziemy mieli to samo, co -i.

Poprawna, pozbawiona sprzeczności, definicja jednostki urojonej i nie może zatem wyglądać "jest to pierwiastek kwadratowy z -1", lecz byłaby jakąś bardziej złożoną konstrukcją myślową. Byłaby czymś w rodzaju:
Stosując znane reguły mnożenia i potęgowania, zakłada się istnienie dwóch różnych liczb spełniających równanie x^2=1. Jedno z tych rozwiązań oznaczamy jako i, a drugie -i.

Michał Dyszyński