ŚFiNiA

Sdx

Liczby(naturalne, calkowite) jest to pewien model matematyczny, ktory moze posluzyc do opisu rzeczywistosci, ale sam w sobie o rzeczywistosci nic nie mowi. Tylko od nas zalezy jaki model przyjmiemy za poprawnie opisujacy rzeczywistosc, z modelu to w zaden sposob nie wynika. Zadanie "udowodnic ze 2+2=4" ma sens, tylko w wypadku gdy przyjmiemy jakis model. W tym wypadku jest to zbior liczb calkowitych, z odpowiednio zdefiniowanymi elementami neutralnymi dodawania i mnozenia, i "a+0=a" wynika bezposrednio z tych definicji.

Inieto

idiota

Sdx

Jak pisalem w jednym z poprzednich postow - warunki jakie musi spelniac dany zbior z dzialaniami sa nazywane aksjomatami, ale nie sa to aksjomaty w klasycznym znaczeniu tego slowa, ale to sa zwykle warunki. Nie jest tak, ze kazdy zbior razem z dwoma dzialaniami jest pierscieniem, ale tylko te ktore spelniaja te warunki. Mozna bez problemu skonstruowac zbior z dwoma dzialaniami, ktory nie jest pierscieniem wlasnie ze wzgledu na brak elementu neutralnego.

idiota

to jak ty rozumiesz "ścisłe" pojęcie aksjomatu, bowiem dla mnie aksjomaty to właśnie te warunki jakie trzeba spełniać by być tam a tym...
bo tego nie powiedziałeś a ja bym się chętnie dowiedział.

wujzboj

Ja bym po prostu powiedział, że definicja to definicja, a aksjomat to aksjomat...

Definicja określa znaczenie użytych pojęć. Aksjomat określa te relacje zachodzące pomiędzy tymi pojęciami, które nie są konsekwencjami definicji.

Sdx

idiota

ależ pierwszy zapis można przeformułować na drugi
" kazdy niepusty i ograniczony z gory(z dolu) podzbior R ma kres gorny(dolny)"
jeśli X jest niepustym podzbiorem R ograniczonym z dołu to X nazywamy podzbiorem posiadającym kres dolny.

nie w syntaksie tu tkwi chyba problem.

wujzboj

Definicja "jeśli X jest niepustym podzbiorem R ograniczonym z dołu to X nazywamy podzbiorem posiadającym kres dolny" nie jest aksjomatem, bowiem nie zawiera kwantyfikatora (przynajmniej egzystencjalnego). Aby zrobić tutaj aksjomat, trzeba by dopowiedzieć: istnieją podzbiory posiadające kres dolny.

Sdx

idiota

wujzboj

Powinno być: "przynajmniej jednego egzystencjalnego".

konrado5

wujzboj

"Obiekt, który spełnia aksjomaty X, Y i Z, nazywamy Q" - to aksjomatyczne zdefiniowanie Q.

Prawdziwość aksjomatu oznacza, że jest on częścią formalnie poprawnej teorii.

Sdx

idiota

void!

już wszystko rozumiem poza jednym:
jak zatem definiuje się element neutralny?

Sdx

Element a nalezacy do zbioru A nazywamy elementem neutralnym dzialania +, jezeli dla kazdego a' nalezacego do A (a+a'=a'+a=a').

idiota

ale to się różni od zapisu tego z wiki tylko tym że zamiast '0' oznaczamy tutaj ten element literką "a"...
i czy ta definicja nie jest aksjomatem?

Sdx

Nie korzystalem z wiki i nie bardzo wiem co to ma do rzeczy. Jezeli juz pytasz o bibliografie, to polecam ksiazke Boleslawa Gleichgewichta "Algebra". I nie, wg mnie ta definicja nie jest aksjomatem. Jezeli przyjac moje kryterium(no tu zawsze sie mozna spierac czy ono jest poprawne i sensowne...), to jak ulal pasuje do drugiego sformulowania:

Jezeli X spelnia wlasnosc Y, to X nazywamy Z.

Jezeli a(czyli X) nalezacy do zbioru A spelnia wlasnosc taka ze dla kazdego a' nalezacego A a+a'=a'+a=a'(wlasnosc Y) to a nazywamy elementem neutralnym dzialania +(nazwa Z).

idiota

ależ korzystasz...
jak klikasz w linki które wlepiam to tak.
jak nie to jakoś się dziwnie z tym czuję.
a odnośnie kryterium bo jakoś tak nie wiem jak do tego podejść: czy korzystając WYŁĄCZNIE z takich zdań jakie ty uważasz za aksjomaty da się wyprowadzić CAŁĄ teorię?
pytam, bo ja nie umiem myśleć jak matematyk i tego (jak to wy, paskudy, mówicie) nie widzę...

Sdx

Z tym linkiem to faktycznie, po prostu zapomnialem ze na poprzedniej stronie podales link do wiki, sorry.

Korzystajac tylko i wylacznie z takich zdan nie da sie wyprowadzic calej teorii, bo jeszcze trzeba zdefiniowac obiekty ktorych uzywamy w danej teorii. Jezeli pominac definicje(zalozmy ze sa juz dane), to szczerze mowiac nie wiem czy sie da. Wydaje mi sie ze tak, ale calkowitej pewnosci nie mam. Nie przychodzi mi do glowy zaden powod, dla ktorego tak by mialo nie byc ;P (chociaz wiem, ze argument to bardzo slaby...).

idiota

dziś od profesora Wolniewicza usłyszałem że definicje to postulaty, więc aksjomaty (to ostatnie od siebie dodaję, ale to chyba bezsporne). bo jak piszesz że definicje są dane, to ja wiem że gadam do matematyka. matematycy wszystko maja dane albo "udowodnili to w zeszłym semestrze". ja to chciałbym tak po bożemu:
jak mamy nic a chcemy mieć teorię (choćby fizyczną) to jako aksjomaty bierzemy jakąś logikę (bez niej ani rusz) matematykę w interesujących nas zakresach, pojęcia tejże fizyki i jakieś reguły wiążące te ostatnie z pierwszymi i drugimi. dopiero mając taką baterie... no właśnie aksjomatów (czyli najmniejszy taki zbiór z którego da się i.t.d.) możemy wydedukować teorię.

wujzboj

Jak rozumiem, mówimy teraz o definicjach podstawowych. Są one w pewnym sensie postulatami, ale nie w tym sensie, w jakim aksjomat jest postulatem.

Definicje te ustalają (postulują), jakimi podstawowymi pojęciami operuje teoria. Można powiedzieć, tworzą one nomenklaturę teorii: mówią, jak nazywają się są podstawowe byty istniejące w "świecie" tej teorii i jak nazywają się relacje, które można pomiędzy tymi bytami utworzyć. Natomiast zbiór aksjomatów to najmniejszy zbiór twierdzeń ustalających (postulujących) prawdziwość (oraz ewentualnie fałszywość) tych relacji.

Na przykład, za pomocą definicji ustalamy, że teoria zajmuje się trzema obiektami nazywanymi elementami i dwuargumentową relacją (.)$(.)=(.) zwaną działaniem i przypisującą parze elementów stojących po obu stronach symbolu "$" - element stojący po prawej stronie symbolu "=". Mówimy następnie, że równość ta jest prawdziwa, jeśli po jej prawej stronie stoi element wybrany zgodnie z poniższą tabelką:

rafal3006

macjan