 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32583
Przeczytał: 41 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 9:37, 18 Maj 2015 Temat postu: Algebra Kubusia - kluczowy fragment (dyskusja) |
|
|
Kluczowa i najważniejsza część algebry Kubusia!
Maksyma I Kubusia:
Każdą teorię, szczególnie absolutnie pionierską w dziejach ludzkości, algebrę Kubusia, można dopracowywać w nieskończoność
Im dłużej się myśli tym teoria jest doskonalsza
Myślenie w nieskończoność nie ma sensu
Kubuś
Maksyma II Kubusia:
Nie da się dostosować człowieka do jakiejkolwiek logiki formalnej, niezgodnej z jego naturalną logiką matematyczną - to paranoja.
Wniosek:
Należy szukać takiej logiki matematycznej, która poprawnie opisuje logikę matematyczną każdego człowieka, od 5-cio latka po prof. matematyki.
Oczywistym jest, że logika matematyczna pod którą człowiek podlega jest autorstwa Stwórcy naszego Wszechświata, człowiek może co najwyżej ją odkrywać, zmienić ani przecinka w niej nie może.
Kubuś
Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Algebrę Kubusia doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po prof. matematyki.
Temat:
Kluczowe części algebry Kubusia
Część III
Implikacja prosta |=>
Prośba do Fiklita, Idioty i Fizyka o uwagi na temat tego postu.
Spis treści
7.0 Implikacja i równoważność 1
7.1 Warunek wystarczający => i konieczny ~> 5
7.2 Implikacja prosta |=> 9
7.2.1 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych 16
7.2.2 Prawa logiczne implikacji prostej |=> w spójnikach implikacyjnych 20
7.2.3 Prawa logiczne implikacji prostej |=> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 23
7.2.4 Porównanie implikacji prostej w spójnikach implikacyjnych oraz w „lub”(+) i „i”(*) 26
7.0 Implikacja i równoważność
Operatory implikacji i równoważności to najważniejsze operatory logiczne naszego Wszechświata.
Królową jest implikacja, równoważność to wyjątki w morzu implikacji.
Twierdzenie o domyślnym spójniku „na pewno”=>:
W zdaniu „Jeśli p to q” spójnik implikacyjny „na pewno” => jest domyślny i zawsze można go wstawić do zdania o ile jawnie nie użyto spójnika implikacyjnego „może” (~> lub ~~>)
Definicja ogólna dania typu „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Zdanie tożsame:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Terminologia:
p - poprzednik zdania „Jeśli p to q”
q - następnik zdania „Jeśli p to q”
Najpierw musi zajść zdarzenie p, z czego wynika zdarzenie q.
Zdania tożsame:
Jeśli będzie padało to będzie pochmurno
Jeśli będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Fundament algebry Kubusia dla zdań typu „Jeśli p to q” to definicje zaledwie trzech znaczków =>, ~> i ~~> oraz cztery precyzyjne definicje operatorów logicznych: |~~>, |=>, |~> i <=>.
Ogólne definicje spójników implikacyjnych:
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
Definicja spójników implikacyjnych w zbiorach:
1.
=> - warunek wystarczający (kwantyfikator duży)
Zbiór na podstawie wektora => jest podzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q z czego wynika że:
Zajście p wystarcza => dla zajścia q
To samo zdanie zapisane kwantyfikatorem dużym:
Dla każdego elementu x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => x należy do zbioru q(x)
/\x p(x)=>q(x)
Przykład:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przynależność liczby do zbioru P8 daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba należy także do zbioru P2
2.
~> - warunek konieczny
Zbiór na podstawie wektora ~> jest nadzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> zajścia q
Zabieram p i znika mi możliwość zajścia q
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
3.
~~> - naturalny spójnik „może” ~~> (kwantyfikator mały)
Zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~~>q = p*q
Tu wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q co kończy dowód prawdziwości tego zdania.
To samo zdanie zapisane kwantyfikatorem małym:
\/x p(x)*q(x)
Istnieje element x należący jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Pokazuję jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 co kończy dowód zdania zapisanego kwantyfikatorem małym ~~>.
Definicje operatorów logicznych w zbiorach
I.
Definicja operatora implikacji prostej |=>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
II.
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
III.
Definicja równoważności <=>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
IV.
Definicja operatora chaosu |~~>:
Zbiór p ma cześć wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie jest podzbiorem drugiego
p|~~>q
Zapis matematyczny:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Prawo złotej rybki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie operacje na zbiorach albo na zdarzeniach.
Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy
Wszystkie możliwe zdarzenia dla dwóch argumentów p i q to:
| Kod: |
A: p* q =?
B: p*~q =?
C:~p*~q =?
D:~p* q =?
|
Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Dowolne pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
Przykład wynikania => w zdarzeniach (zbiorach jednoelementowych):
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno=> będzie pochmurno
P=>CH
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno
Wymuszam padanie i pojawiają się chmury
Dziedzina:
Wszystkie możliwe sytuacje muszą być niepuste na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia
P=1 - pada, sytuacja możliwa (=1)
~P=1 - nie pada sytuacja możliwa (=1)
CH=1 - chmury, sytuacja możliwa (=1)
~CH=1 - nie chmury, sytuacja możliwa (=1)
Przykład wynikania => w zbiorach:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8 jest warunkiem wystarczającym => na to, aby ta liczba należała do zbioru P2
Dziedzina:
LN - zbiór liczb naturalnych
Wszystkie możliwe zbiory muszą być niepuste na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia
P8=[8,12,24..] =1 - zbiór istnieje (=1)
~P8=[LN-P8] =1 - zbiór istnieje (=1)
P2=[2,4,6,8..] =1 - zbiór istnieje (=1)
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7..] =1 - zbiór istnieje (=1)
Przyjęcie dziedziny szerszej zarówno od poprzednika p jak i następnika q jest naturalne zarówno w logice człowieka jak i w matematyce. W matematyce dziedzinę możemy ustalać dowolnie, możliwe są tu zatem mało istotne (bo w praktyce nie występujące) przypadki szczególne w których poprzednik lub następnik jest tożsamy z dziedziną. Przypadkami tymi zajmiemy się na końcu podręcznika po zapoznaniu się z definicjami operatorów implikacji i równoważności.
Poznajmy dwa twierdzenia dotyczące wspomnianych przypadków szczególnych:
Twierdzenie o warunku koniecznym istnienia implikacji:
Warunkiem koniecznym aby zdanie „Jeśli p to q” wchodziło w skład operatora implikacji jest założenie dziedziny szerszej zarówno od p jak i od q.
Twierdzenie o równoważności
Jeśli w zdaniu „Jeśli p to q” zbiory lub pojęcia p i q są tożsame to mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym wchodzącym w skład operatora równoważności, niezależnie od przyjętej dziedziny.
7.1 Warunek wystarczający => i konieczny ~>
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikpedia napisał: | Warunek wystarczający:
Warunek wystarczający (inaczej warunek dostateczny) - każdy warunek, z którego dany fakt wynika. Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.
Na przykład, jeżeli liczba jest podzielna przez 8, to jest podzielna przez 2. Fakt podzielności przez 8 jest warunkiem wystarczającym dla podzielności przez 2, natomiast fakt podzielności przez 2 jest warunkiem koniecznym dla podzielności przez 8. |
Zdania matematycznie tożsame to:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
C.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
A = B = C
Matematyczne kodowanie zdań A, B i C jest identyczne:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8,10..]
P8=>P2
Zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Dowód:
Rozważmy zdanie:
D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 3
P8=>P3
Sprawdzamy losowo wybrane liczby:
24, 32, 40, 48 …
Dla wszystkich tych liczb (zbiór nieskończony!) wychodzi nam że podzielność liczby przez 8 wystarcza dla jej podzielności przez 3
Tylko czy aby na pewno prawdziwe jest zdanie, cytuję za Wikipedią:
Fakt podzielności przez 8 jest warunkiem wystarczającym dla podzielności przez 3
Wniosek:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
W zdaniu z Wikipedii dla określenia czy poprzednik jest wystarczający dla następnika, nie wystarczy sprawdzić czy dla jakichś tam konkretnych liczb ze zbioru P8 spełniony jest warunek wystarczający.
Musimy sprawdzić absolutnie wszystkie liczby ze zbioru P8, co wymusza tożsamość zdań A, B i C.
Zapiszmy zdanie A kwantyfikatorem dużym:
A.
/\x P8(x)=>P2(x)
Dla każdej liczby x, jeżeli liczba x należy do zbioru P8(x) to na pewno => należy do zbioru P2(x)
Warunkiem wystarczającym w zdaniu A jest kompletny zbiór P8(x).
Przynależność liczby x do zbioru P8(x) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby liczba x należała do zbioru P2(x).
Przynależność liczby x do zbioru P8(x) daje nam gwarancję matematyczną => iż liczba x należy do zbioru P2(x).
Wniosek:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że w zdaniu A rozpatrujemy wyłącznie liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] bowiem dla liczb spoza tego zbioru nie może być mowy ani o warunku wystarczającym =>, ani też o gwarancji matematycznej =>. Dla liczb spoza zbioru P8 zdanie A jest fałszywe.
Dowód:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Kontrprzykład dla zdania A to prawdziwe zdanie B kodowane kwantyfikatorem małym ~~> z zanegowanym następnikiem.
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne.
Zauważmy, że jeśli w kontrprzykładzie B do zbioru P8 dołączmy choćby jedną liczbę ze zbioru ~P2=[1,3,5,7..] to kontrprzykład B będzie prawdziwy, co pociągnie za sobą fałszywość zdania A.
cnd
1.
Warunek wystarczający =>
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zbiór P8 jest podzbiorem P2, zatem w zbiorach zachodzi:
P8=>P2 = [P8*P2=P8]
Przynależność dowolnej liczby do zbioru P8 jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ta liczba należała do zbioru P2.
Warunkiem wystarczającym => jest tu kompletny zbiór P8.
Oczywistym jest, że w zbiorze P2 może być dowolnie więcej elementów niż w zbiorze P8, to bez znaczenia.
Wymuszam dowolny element ze zbioru P8 i mam gwarancję matematyczną => iż ten element należy do zbioru P2
Zauważmy, że zdanie urwane w połowie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8
P8=>
Jest kompletnie bez sensu, w tym zdaniu nie wolno nam mówić o jakimkolwiek warunku wystarczającym bo nie znamy następnika.
Dopiero całe zdanie poprawnie definiuje warunek wystarczający =>.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Najważniejszą częścią tego zdania jest bezdyskusyjnie ten znaczek => informujący o fakcie iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
Uwaga!
Dokładnie z tego powodu warunek wystarczający można i należy utożsamiać ze znaczkiem =>, bo on jest tu kluczowy i najważniejszy.
2.
Warunek konieczny ~>
W powyższej definicji zbiór P8 był podzbiorem P2.
Oczywistym jest, że po zamianie p i q w zdaniu „Jeśli p to q” zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8.
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
Stąd otrzymujemy definicję warunku koniecznego ~>.
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2.4.6.8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Zbiór P2 jest nadzbiorem zbioru P8, stąd w zbiorach zachodzi:
P2~>P8 = [P2*P8=P8]
Warunkiem koniecznym ~> jest tu kompletny zbiór P2
Minimalny zbiór P2 przy którym zachodzi warunek konieczny ~> to zbiór P8.
Oczywistym jest, że w zbiorze P2 może być dowolnie więcej elementów, to bez znaczenia.
Zauważmy, że zdanie urwane w połowie:
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2
P2~>
Jest kompletnie bez sensu, w tym zdaniu nie wolno nam mówić o jakimkolwiek warunku koniecznym bo nie znamy następnika.
Dopiero całe zdanie poprawnie definiuje warunek konieczny.
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2.4.6.8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Najważniejszą częścią tego zdania jest bezdyskusyjnie ten znaczek ~> informujący o fakcie iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8.
Uwaga!
Dokładnie z tego powodu warunek konieczny można i należy utożsamiać ze znaczkiem ~>, bo on jest tu kluczowy i najważniejszy.
Prawo Kukułki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” może być prawdzie wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest zdanie w tymi samymi p i q zakodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Zbiory P8 i P2 mają część wspólną, wystarczy pokazać jeden element co kończy dowód prawdziwości zdania A
Zauważmy, że prawdziwe jest również zdanie B, czyli zdanie A zakodowane warunkiem wystarczającym =>.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zdanie B jest prawdziwe tylko i wyłącznie dlatego że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2, a nie dlatego że zbiór wynikowy [P8*P2=P8] jest zbiorem niepustym.
Między zdaniem A i B różnica jest fundamentalna, jednak warunkiem koniecznym prawdziwości zdania B jest prawdziwość zdania A.
Fałszywe jest zdanie C, czyli zdanie A zakodowane warunkiem koniecznym ~>
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> dla zbioru P2=[2,4,6,8..]
D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
P8 = [8,16,24..]
~P2 = [LN-P2] = [1,3,5,7,9..]
Wykluczone jest aby w zdaniu D zachodził warunek wystarczający => lub konieczny ~> bowiem niemożliwe jest zdarzenie opisane naturalnym spójnikiem „może” ~~>, zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Prawo Kukułki dla zdarzeń:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” operujące na zdarzeniach (zbiorach jednoelementowych) może być prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest zdanie w tymi samymi p i q zakodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - zdarzenie możliwe
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
zawsze gdy pada, są chmury
C.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo:
Zabieram opady deszczu nie wykluczając jednak możliwości iż jutro będzie pochmurno
D.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe
Wykluczone jest aby w zdaniu D zachodził warunek wystarczający => lub konieczny ~> bowiem niemożliwe jest zdarzenie opisane naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
Wniosek z prawa Kukułki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy nie jest znana z góry wartość logiczna ani poprzednika p, ani też następnika q.
Prawo Kukułki eliminuje z logiki matematycznej wszelkie brednie w stylu:
A.
Jeśli kwadrat jest kołem to trójkąt ma trzy boki
B.
Przykład z podręcznika „matematyki” do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi
C.
Przykład autora logiki „matematycznej” Ziemian, Bertrandta Russella
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli 2+2=5 to jestem Papieżem
Na mocy prawa Kukułki tego typu zdania „Jeśli p to q” są fałszywe bo poprzednik p jest bez związku z następnikiem q.
7.2 Implikacja prosta |=>
Definicja implikacji prostej w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to na pewno => zajdzie zdarzenie q
p=>q
Zajście p musi być warunkiem wystarczającym => dla zajścia q.
Jeśli dodatkowo pojęcia p i q nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[p=q] to warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
W.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => na to, aby jutro było pochmurno
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze kiedy są chmury, pada.
Nasze zdanie spełnia więc definicję implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH]
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Rys. 7.2.1 Implikacja prosta |=> w zbiorach
Definicja implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
Definicja tożsama:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Pojęcia tożsame:
zawiera się => = jest podzbiorem =>
W tym podręczniku dość konsekwentnie będziemy używać pojęcia podzbiór, mimo że to bez znaczenia.
Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[P8=P2]
Stąd spełniona jest definicja implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo P2):
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2]
Symboliczną definicję implikacji prostej |=> odczytujemy bezpośrednio z diagramu:
| Kod: |
p|=>q
A: p=> q =[ p* q= p] =1
B: p~~>~q=[ p*~q ] =0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C:~p~>~q =[~p*~q=~q] =1
D:~p~~>q =[~p* q ] =1
|
Prawo algebry Kubusia:
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q)
p|=>q = ~p|~>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna (nie mylić z klasyczną tożsamością matematyczną)
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Matematycznie tożsamość wiedzy „=” to de facto równoważność.
Dowód formalny:
| Kod: |
Definicja |Definicja zero-jedynkowa |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna |implikacji prostej |=> |implikacji odwrotnej |~>
implikacji |w logice dodatniej (bo q) |w logice ujemnej (bo ~q)
prostej p|=>q |W: p|=>q |U: ~p|~>~q
W: p q p|=>q | p q p|=>q |~p ~q ~p|~>~q
A: p=> q =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: p~~>~q=0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
C:~p~>~q =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~p~~>q =1 | 0 1 =1 | 1 0 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Prawo Bociana:
W dowolnej tabeli symbolicznej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek
Prawo Bociana wynika bezpośrednio z prawa rozpoznawalności pojęcia (pkt. 7.0):
Pojecie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy jest rozpoznawalne pojęcie ~p
Tabele zero-jedynkowe otrzymujemy z definicji symbolicznej dzięki prawom Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (~p=1) = (p=0)
Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A w tabeli symbolicznej otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q).
A: p=>q
Sygnałami odniesienia w tabeli zero jedynkowej implikacji prostej p|=>q są sygnały p i q.
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji prostej p|=>q
( p=1) = |( p=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~p=1) = |( p=0) - prawo Prosiaczka
( q=1) = |( q=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~q=1) = |( q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej niezanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej zanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji prostej |=>.
Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym C w tabeli symbolicznej otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
C: ~p~>~q
Sygnałami odniesienia w tabeli zero jedynkowej implikacji odwrotnej ~p|~>~q są sygnały ~p i ~q.
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji odwrotnej ~p|~>~q
(~p=1) = |(~p=1) - przekształcenie bezpośrednie
( p=1) = |(~p=0) - prawo Prosiaczka
(~q=1) = |(~q=1) - przekształcenie bezpośrednie
( q=1) = |(~q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej zanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej niezanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji odwrotnej |~>.
Łatwo zauważyć prostszy algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ~p|~>~q:
Przepisujemy zanegowane, kompletne kolumny p i q z tabeli p|=>q do tabeli ~p~>~q.
Kolumnę wynikową ~p~>~q tworzymy korzystając z zero-jedynkowej definicji operatora implikacji odwrotnej |~>.
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje tylko i wyłącznie linie z jedynkami w wyniku połączonymi spójnikiem „lub”(+)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia:
p|=>q = ~p|~>~q
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q).
Na mocy prawa Sowy mamy definicje operatorów logicznych w spójniku „lub”(+):
p|=>q = A: (p=>q) + C: (~p~>~q) + D: (~p~~>q)
~p|~>~q = A: (p=>q) + C: (~p~>~q) + D: (~p~~>q)
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji:
Implikacja wyrażona jest w logice dodatniej gdy następnik q nie jest zanegowany (q).
Implikacja wyrażona jest w logice ujemnej gdy następnik q jest zanegowany (~q).
Doskonale widać że:
Zdaniami prostymi „Jeśli p to q” są wyłącznie zdania A, B, C i D wchodzące w skład definicji operatora implikacji prostej |=>.
Operator implikacji prostej |=> to złożenie czterech zdań A, B, C i D wchodzących w skład definicji symbolicznej z których wyłącznie zdanie B jest fałszywe.
Stąd mamy:
Definicja operatora implikacji prostej |=> w spójniku „lub”(+):
Operator implikacji prostej |=> to suma logiczna zdań A, C i D
p|=>q = A: (p=>q) + C: (~p~>~q) + D: (~p~~>q)
co matematycznie na mocy definicji spójnika „lub”(+) oznacza:
(p|=>q)=1 <=> A: (p=>q)=1 lub C: (~p~>~q)=1 lub D: (~p~~>q) =1
bo zdanie B jest fałszywe.
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) implikacja p|=>q jest prawdziwa, gdy prawdziwe jest którekolwiek zdanie ujęte w spójniku „lub”(+). Z punktu widzenia dowodów matematycznych tego typu definicje są bezużyteczne, bowiem aby z tego korzystać musimy mieć uprzednio udowodnioną prawdziwość wszystkich zdań składowych A, C i D.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to tożsamość wiedzy o definicji:
Jeśli wiemy, iż prawdziwe jest zdanie po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” to automatycznie wiemy iż prawdziwe jest zdanie po drugiej stronie.
Jeśli wiemy, iż fałszywe jest zdanie po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” to automatycznie wiemy iż fałszywe jest zdanie po drugiej stronie.
Matematycznie tożsamość wiedzy „=” to de facto równoważność.
Analiza matematyczna symbolicznej definicji implikacji prostej |=>:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Dowolny element zbioru p należy => do zbioru q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy p
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
A: p=>q = [p*q=p] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Bezpośrednio z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =[] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zbiór pusty o wartości logicznej 0.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => A:
A: p=>q
Nazywamy zdanie B z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
B: p~~>~q = p*~q
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)
Zauważmy, że udowodnienie iż żaden element zbioru p nie należy do zbioru ~q determinuje przynależność wszystkich elementów p do zbioru q, widać to doskonale na powyższym diagramie.
Jest to zatem dowód tożsamy do dowodu prawdziwości warunku wystarczającego A wprost, gdzie dowodzimy iż każdy element zbioru p należy do zbioru q.
Zauważmy także, że wystarczy znaleźć jeden element x ze zbioru p który należy do zbioru ~q i już kontrprzykład B jest prawdziwy, co wymusza fałszywość warunku wystarczającego A.
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> dla zbioru ~q
Zabieram zbiór ~p i znika mi zbiór ~q, co doskonale widać na powyższym diagramie.
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~p):
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
~p|~>~q = (~p~>~q)*~[~p=~q]
Twierdzenie:
p~>q
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy q
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q = [p*q=q] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
W przełożeniu na nasze zdanie C mamy:
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
co doskonale widać na diagramie implikacji prostej wyżej.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem (patrz zdanie B), zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny dla zbiorów ~p i q, wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia sytuacji ~p i q.
Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Rys. 7.2.2 Implikacja prosta |=> w zbiorach
Definicja implikacji prostej:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Nasz przykład spełnia definicję implikacji prostej:
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L]
Definicja logiki w algebrze Kubusia
Logika to matematyczny opis nieznanego.
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to na pewno => będzie miało cztery łapy
P=>4L =1
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = [P*4L = P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P=[pies] zawiera się => w zbiorze 4L=[pies, słoń..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
Zbiór P zawiera się => w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L]
Bezpośrednio z warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 0
Zdanie B w zbiorach:
B: P~~>~4L = P*~4L =[] =0
bo zbiory P i ~4L są rozłączne
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę nie będzie psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = [~P*~4L=~4L] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P=[kura, wąż, słoń ..] zawiera w sobie ~> zbiór ~4L=[kura, wąż..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
Zbiór ~P zawiera w sobie ~> zbiór ~4L i nie jest tożsamy ze zbiorem ~4L
~P|~>~4L = (~P~>~4L)*~[~P=~4L]
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę nie będzie psem to może ~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (np. słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo zbiór ~P=[kura, wąż, słoń..] nie zawiera w sobie zbioru 4L=[pies, słoń ..] (w zbiorze ~P brakuje „psa”, natomiast w zbiorze 4L jest „pies”)
Najprostszy dowód tożsamy to skorzystanie z prawa Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P i 4L (np. słoń).
7.2.1 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych
W implikacji i równoważności mamy do czynienia z trzema podstawowymi spójnikami implikacyjnymi =>, ~> i ~~>
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
Wymuszam dowolne p i pojawia się q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Wymuszam padanie i mam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> aby zaszło q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Zabieram chmury i znika mi możliwość padania
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zbiór p ma co najmniej jeden element ze zbiorem q
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - sytuacja możliwa
B.
Jeśli jutro będzie padać to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
Naturalny spójnik „może” ~~> zwany jest w logice matematycznej kwantyfikatorem małym.
Rys. 7.2.3 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Najważniejsze są tu definicje symboliczne, bo to jest naturalna logika matematyczna każdego człowieka. W definicji symbolicznej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek z czego wynika, iż nie ma tu żadnych tabel zero-jedynkowych. Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznych pokazuje 100% zgodność z teorią i praktyką bramek logicznych, czyli z zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Każdą definicję symboliczną kodujemy zero-jedynkowo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.
Przejście z definicji symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej umożliwiają prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Rysunek R10
Punkt odniesienia ustala tu nagłówek kolumny wynikowej tabeli zero-jedynkowej:
W: p|=>q
Punktem odniesienia są sygnały: p, q
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli symbolicznej umożliwia prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji prostej p|=>q
( p=1) = |( p=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~p=1) = |( p=0) - prawo Prosiaczka
( q=1) = |( q=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~q=1) = |( q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej niezanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej zanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji prostej |=>.
Rysunek R11
Punkt odniesienia ustala tu nagłówek kolumny wynikowej tabeli zero-jedynkowej:
U: ~p|~>~q
Punktem odniesienia są sygnały: ~p, ~q
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli symbolicznej umożliwia prawo Prosiaczka:
(p=1) =(~p=0)
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji odwrotnej ~p|~>~q
(~p=1) = |(~p=1) - przekształcenie bezpośrednie
( p=1) = |(~p=0) - prawo Prosiaczka
(~q=1) = |(~q=1) - przekształcenie bezpośrednie
( q=1) = |(~q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej zanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej niezanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji odwrotnej |~>.
Dokładnie to samo robimy dla rysunków R12 i R13.
1.
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) o definicji w R10AB:
A.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to na pewno => zajdzie zdarzenie q
p=>q =1
Zajście zdarzenia p wystarcza => dla zajścia zdarzenia q
B.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdanie B to kontrprzykład dla warunku wystarczającego A.
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B i odwrotnie.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A.
2.
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej o definicji w R11CD:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Zajście zdarzenia ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo zabieram ~p i znika mi ~q
W implikacji, gdzie zbiory ~p i ~q nie są tożsame warunek konieczny C wymusza prawdziwość zdania D
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1 - zdarzenie możliwe.
Nasz przykład:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno, bo gdy pada to na pewno => są chmury.
Stąd mamy prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
Zauważmy, że operator logiczny dwuargumentowy to zawsze cztery linie zawierające zdania ze wszystkimi możliwymi przeczeniami p i q, natomiast spójniki implikacyjne (warunek wystarczający => i konieczny ~>) to zaledwie dwie linie operatora logicznego (pola zielone).
Definicja żywego spójnika logicznego:
Spójnik żywy to spójnik istniejący w wypowiedzianym zdaniu.
Kolor zielony w powyższym diagramie.
Definicja martwego spójnika logicznego:
Spójnik martwy to spójnik nie biorący udziału w logice, to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego do pełnego operatora logicznego.
Kolor brązowy w powyższym diagramie.
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanego
Jest oczywistym, ze jak znamy wartości logiczne wszystkich zmiennych binarnych, to nie ma żadnej logiki, logika na stałych binarnych jest bez sensu.
Przykładowo, każdy wie co zrobił Hitler, czy ma sens logika zakładająca że Hitler zginął w zamachu w 1933 roku?
Oczywiście gdybać każdy może, możliwych jest w tym przypadku nieskończenie wiele scenariuszy naszej współczesnej historii, tyle że nie powstała ani jedna pozycja literatury tak gdybająca, bo to bezsens. Roi się natomiast od powieści opartych na faktach historycznych: Trylogia Sienkiewicza, Przeminęło w Wiatrem, Wojna i Pokój etc.
7.2.2 Prawa logiczne implikacji prostej |=> w spójnikach implikacyjnych
Rys. 7.2.4 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Tożsamość kolumn wynikowych na wszystkich rysunkach R10, R11, R12 i R13 jest dowodem prawa algebry Boole’a:
[Przyszłość: (R10: p|=>q = R11:~p|~>~q)] <=> [Przeszłość: (R12: q|~>p) = R13: ~q|=>~p)]
Prawa logiczne typu: (przyszłość) <=> (przyszłość)
R10 (przyszłość) p|=>q <=> R11 (przyszłość) ~p|~>~q
Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q) w czasie przyszłym R10: p|=>q przechodzi w implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R11: ~p|~>~q (i odwrotnie)
Prawo Kubusia:
R10A (przyszłość) p=>q <=> R11C (przyszłość) ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) w czasie przyszłym R10A: p=>q przechodzi w warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R11C: ~p~>~q (i odwrotnie)
Przykład:
R10A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
R11C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo gdy pada to na pewno => są chmury.
Jak Kubuś doszedł do symbolicznej definicji implikacji prostej |=> w czasie przeszłym?
Pomogły mu w tym dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie.
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego
Zauważmy, że przeszłość nie musi być nam znana, w tym przypadku logika matematyczna doskonale funkcjonuje. Jeśli nie zamienimy poprzednika z następnikiem to zdania R10A i R11C obowiązują również w czasie przeszłym.
Przeszłość bez zamiany p i q
R10A.
Jeśli wczoraj padało to na pewno => było pochmurno
P=>CH =1
R11C.
Jeśli wczoraj nie padało to mogło ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Powyższy fakt sygnalizuje niebieski nagłówek (przeszłość) w tabelach R10 i R11.
Warunek wystarczający => po zamianie p i q
Rozważmy warunek wystarczający => R10A w czasie przyszłym:
R10A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zamieniamy p i q w zdaniu R10A i wypowiadamy zdanie prawdziwe w czasie przeszłym:
R12C.
Jeśli wczoraj było pochmurno to mogło ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla opadów bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
R12D.
Jeśli wczoraj było pochmurno to mogło ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - sytuacja możliwa
Stąd mamy.
I prawo przemijania:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) w czasie przyszłym R10A: p=>q po zamianie p i q przechodzi w warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo p) w czasie przeszłym R12C: q~>p i odwrotnie.
R10A: p=>q (przyszłość) = R12C: q~>p (przeszłość)
To jest to czego Ziemianie kompletnie nie rozumieją wnioskując z tego o zbędności operatora implikacji odwrotnej |~>.
Zauważmy, że warunku koniecznego ~> w czasie przeszłym R12C: CH~>P nie mogliśmy umieścić w polu R12A: CH=>P bo tu mamy warunek wystarczający => a nie konieczny ~>, stąd pole R12AB zaznaczone jest na brązowo, jako pole martwe, nie biorące udziału w logice matematycznej.
Obszar R12AB to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego R12CD do pełnego operatora zero-jedynkowego, w logice wszystko musi być zgodne także z techniką bramek cyfrowych.
Warunek konieczny ~> po zamianie p i q
Rozważmy warunek konieczny ~> R11C w czasie przyszłym:
R11C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~CH~>~P =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo gdy pada to na pewno => są chmury.
Zamieńmy p i q w zdaniu R11C wypowiadając zdanie prawdziwe w czasie przeszłym:
R13A.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na pewno => nie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => aby nie padało
R13B.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to mogło ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - sytuacja niemożliwa
Stąd mamy:
II prawo przemijania
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R11C: ~p~>~q, po zamianie p i q przechodzi w warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~p) w czasie przeszłym R13A: ~q=>~p
R11C: ~p~>~q (przyszłość) = R13A: ~q=>~p (przeszłość)
Zauważmy, że warunku wystarczającego => w czasie przeszłym R13A: ~CH=>~P nie mogliśmy umieścić w polu R13C: CH~>P bo tu mamy warunek konieczny ~> a nie wystarczający =>, stąd pole R13CD zaznaczone jest na brązowo, jako pole martwe, nie biorące udziału w logice matematycznej.
Obszar R13CD to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego R13AB do pełnego operatora zero-jedynkowego, w logice wszystko musi być zgodne także z techniką bramek cyfrowych.
7.2.3 Prawa logiczne implikacji prostej |=> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Implikacja prosta |=> wyrażona spójnikami „lub”(*) i „i”(*) poprawnie odpowiada na pytanie o wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą zajść w przyszłości pod warunkiem, że wcześniej udowodnimy iż mamy do czynienia z implikacją prostą |=>.
W implikacji wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nie ma mowy o jakichkolwiek zależnościach czasowych (następstwach czasowych) które są oczywiste w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>, nie może być tu też mowy o istocie każdej implikacji i równoważności, gwarancji matematycznej =>.
Z tego powodu w praktyce komunikacji człowieka z człowiekiem ta wersja implikacji nie jest używana z wyjątkiem specyficznych przykładów.
Zobaczmy jak wygląda tabela prawdy dla implikacji wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*).
Rys. 7.2.5 Implikacja prosta |=> w spójnikach w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Weźmy klasyka implikacji prostej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego spełniona => bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=>
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2]
Dopiero w tym momencie wolno nam skorzystać z prawa eliminacji implikacji prostej |=> wynikającego z tabeli zero-jedynkowej tego operatora.
p|=>q = Ya+Yc+Yd
p|=>q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Analiza matematyczna implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
Ya = (P8|=>P2)a = P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P8 i P2 co kończy dowód prawdziwości zdania A
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
~Yb = ~(P8|=>P2)b = P8~~>~P2 = P8*~P2 =0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
Yc=(P8|=>P2)c = ~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1 bo 5
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P8 i ~P2 co kończy dowód prawdziwości zdania C
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
Yd=(P8|=>P2)d = ~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P8 i P2 co kończy dowód prawdziwości zdania D
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to najprostszy algorytm rozstrzygający czy rzeczywiście mamy do czynienia z implikacją prostą |=>. Wystarczy bowiem pokazać po jednym elemencie wspólnym zbiorów A, C i D oraz wykluczyć przypadek B, co kończy dowód iż mamy do czynienia z implikacją prostą P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2).
Podsumowując:
Doskonale widać, dlaczego w dzisiejszej logice matematycznej nie jest znane pojęcie gwarancji matematycznej => (warunku wystarczającego =>) w implikacji.
W spójnikach „lub”(+) i „i”(*) nie ma mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym => (gwarancji matematycznej =>) w implikacji.
Jedyne prawo matematyczne, jakie zachodzi w implikacji prostej |=> wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) to prawo tożsamości wiedzy które dotyczy dowolnej tabeli zero-jedynkowej, w szczególności naszej implikacji prostej |=> wyżej.
Prawo tożsamości wiedzy:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej, o dowolnej ilości zmiennych binarnych, jeśli znane jest równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki to automatycznie znane jest równanie logiczne opisujące wynikowe zera (i odwrotnie).
Sprawdźmy to dla zero-jedynkowej tabeli implikacji prostej |=>.
Z tabeli R14 odczytujemy równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki. Zauważmy, że w tej tabeli wynikowe jedynki opisują obszar aktywny (kolor zielony), biorący udział w logice matematycznej.
Obszar aktywny (zielony) to szczegółowa odpowiedź na pytanie kiedy funkcja logiczna:
Y = p|=>q
przyjmie w wyniku wartość logiczną 1 (prawda)
Y = (p|=>q) = Ya+Yc+Yd
Y = (p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
(p|=>q)=1 <=> A: (p*q)=1 lub C: (~p*~q)=1 lub D: (~p*q)=1
stąd mamy:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = p*q + ~p
Y = ~p + (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = ~p+q
Obszar aktywny w tabeli R14 (zielony) opisuje zatem funkcja logiczna po minimalizacji:
Y = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
W tabeli zero-jedynkowej R14 w nagłówku mamy Y, zatem ta tabela jest aktywna dla wszystkich jedynek (Y=1) w kolumnie wynikowej. Zera w tabeli R14 są martwe i nie biorą udziału w logice.
Mówi o tym prawo Sowy:
Nagłówek w dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli
Zauważmy, że po zanegowaniu kolumny wynikowej co zrobiono w tabeli R15, obszar martwy w tabeli R14 (brązowy) automatycznie staje się obszarem aktywnym (zielonym) w tabeli R15.
Aktywną odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie ~Y (~Y=1) mamy więc w tabeli R15, dokładnie w linii R15B.
~Y = ~Yb = p*~q
~Y = p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Matematycznie wszystko musi się zgadzać także w równaniach logicznych.
Tabela R14
W: Y = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Na moc definicji spójnika „lub”(+) wystarczy że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już ustawi funkcję logiczną Y na wartość 1, niczego więcej nie musimy dowodzić.
Oczywistym jest że nie jest to żaden dowód iż mamy do czynienia z implikacją prostą |=>:
Y = (p|=>q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Tabela R15
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U: ~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
7.2.4 Porównanie implikacji prostej w spójnikach implikacyjnych oraz w „lub”(+) i „i”(*)
Rys. 7.2.6 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Rys. 7.2.7 Implikacja prosta |=> w spójnikach w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Porównajmy diagram implikacji prostej |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~> (Rys. 7.2.6) z diagramem implikacji prostej |=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) (Rys.7.2.7).
Doskonale widać, że obszary biorące udział w logice matematycznej (kolor zielony) różnią się fundamentalnie.
W implikacji prostej wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakichkolwiek zależnościach czasowych (następstwach czasowych) doskonale widocznych w implikacji prostej wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~> i ~~>.
I.
Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych
Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~> (Rys. 7.2.6) daje odpowiedź na pytania:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie zdarzenie p?
R10A:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zajście p wystarcza => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
R11C:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Zabieram ~p i musi zniknąć ~q
II.
Implikacja prosta |=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Implikacja prosta |=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) (Rys.7.2.7) daje odpowiedź na fundamentalnie inne pytania.
1.
Kiedy zajdzie Y=(p|=>q)=1 (Rys. R14ACD)?
Y = (p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
2.
Kiedy zajdzie ~Y=~(p|=>q)=1 (Rys. R15B)?
~Y = p*~q
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki
Stąd mamy odpowiedź kiedy implikacja prosta w spójnikach implikacyjnych =>, ~>,~~> będzie prawdziwa.
Odczytujemy z tabeli R10.
p|=>q = Ya: p=>q + Yc: ~p~>~q + Yd: ~p~~>q
co matematycznie oznacza:
(p|=>q)=1 <=> Ya: (p=>q)=1 lub Yc: (~p~>~q)=1 lub Yd: (~p~~>q)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej przyjmie wartość 1 i już implikacja jest prawdziwa:
(p|=>q) =1
Identyczną odpowiedź dostajemy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Odczytujemy z tabeli R14:
p|=>q = Ya: p*q + Yc: ~p*~q + Yd: ~p*q
co matematycznie oznacza:
(p|=>q)=1 <=> Ya: (p*q)=1 lub Yc: (~p*~q)=1 lub Yd: (~p*q) =1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej przyjmie wartość 1 i już implikacja jest prawdziwa:
(p|=>q) =1
Zauważmy, że definicję symboliczną implikacji w spójnikach implikacyjnych widać w tabeli symbolicznej na rys. R14.
Rys. 7.2.8 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>
| Kod: |
R14A: p* q =1
R14B: p*~q =0
R14C:~p*~q =1
R14D:~p* q =1
|
Z linii R14B odczytujemy, iż iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym:
R14B: p~~>~q = p*~q =0
Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się => w zbiorze q, mówi o tym linia R14A.
R14A: p=> q =1
Po stronie ~p wszystko może się zdarzyć, czyli istnieją elementy należące do zbioru ~p i zbioru ~q:
R14C: ~p~>~q =1
Jak również istnieją elementy należące ~p i zbioru q
R14D: ~p~~>q = ~p*q =1
Ostatnie dwie linie to dowód iż zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] co wymusza brak tożsamości zbiorów ~[~p=~q].
Całość to oczywiście definicja implikacji prostej =>:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy zez borem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q].
Łatwo zauważyć najprostszy algorytm udowodnienia czy warunek wystarczający p=>q w logice dodatniej (bo q) wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q.
1.
Zbiory:
Wykazujemy po jednym elemencie wspólnym zbiorów p i q w liniach:
A: p*q =1
C: ~p*~q =1
D: ~p*q =1
Zdarzenia = zbiory jednoelementowe:
Wykazujemy możliwość zdarzeń opisanych liniami A, C i D
2.
Zbiory:
Wykazujemy iż zbiory opisane linią B są rozłączne:
B: p*~q = [] =0
Zdarzenia = zbiory jednoelementowe:
Wykazujemy brak możliwości zajścia zdarzenia opisanego linią B.
Udowodnienie 1 i 2 kończy dowód.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - przypadek niemożliwy
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno, bo jak pada to zawsze są chmury
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
Uwaga!
Załóżmy że jest pojutrze i wczoraj nie padało (~P=1) i było pochmurno (CH=1)
W tym przypadku prawdziwe jest wyłącznie zdanie D, pozostałe zdania A, B i C są fałszywe.
Ale!
Czy implikacja P|=>CH jest prawdziwa?
Tak, bo prawdziwe okazało się jedno ze zdań wchodzące w skład definicji implikacji.
p|=>q = Ya: p=>q + Yc: ~p~>~q + Yd: ~p~~>q
co matematycznie oznacza:
(p|=>q)=1 <=> Ya: (p=>q)=1 lub Yc: (~p~>~q)=1 lub Yd: (~p~~>q)=1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 12:10, 11 Sie 2015, w całości zmieniany 31 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32583
Przeczytał: 41 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 9:43, 18 Maj 2015 Temat postu: |
|
|
|
...
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
