Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - logika matematyczna człowieka (c.d.n.)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:46, 24 Gru 2015    Temat postu: Algebra Kubusia - logika matematyczna człowieka (c.d.n.)

Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Część I

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl.
Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem.
Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia. Życie Kubusia na innych forach było krótkie, zawsze kończyło się banem na zawsze z komentarzem moderatora „algebra Kubusia jest sprzeczna z Wikipedią, zamykam temat”.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie i inni.
Kubuś

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu 1
2.1 Program komputerowy 2
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków 4
2.3 Czym rożni się algebra klasyczna od logiki matematycznej? 5
3.0 Nowa teoria zbiorów 6
3.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów 6
3.2 Definicja definicji 8
3.3 Definicja minimalna 8
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach 9
3.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia 11
3.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 13

1.0 Notacja


2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu

Naturalna logika człowieka musi podlegać pod matematykę ścisłą. Nie jest bowiem możliwe wzajemne porozumienie się dowolnych istot żywych (w tym człowieka) na bazie chaosu, bez jakiejkolwiek matematyki. Także w naszym Wszechświatem musi rządzić matematyka ścisła, inaczej by się po prostu zawalił. Poczynania wszelkich istot żywych (człowiek nie jest tu wyjątkiem) muszą podlegać pod matematykę ścisłą, z czego wniosek iż najbardziej odpowiednim miejscem do jej poznawania będzie przedszkole. Pewne jest bowiem, że 5-cio latki muszą być naturalnymi ekspertami logiki matematycznej, nazwijmy ją, algebrą Kubusia.


2.1 Program komputerowy

Program komputerowy, to napisany przez człowieka ciąg rozkazów dla komputera.
Komputer wykonuje te rozkazy (rozkaz po rozkazie) realizując ściśle określony algorytm działania wymyślony przez człowieka.

Zobaczmy na przykładzie czym jest algorytm działania.
Załóżmy, że nagle zapragnęliśmy pójść do kina na film pt. „Seksmisja”. Z gazety codziennej dowiadujemy się, że film wyświetlany jest tylko w dwóch kinach „Relax” i „Skarpa”.
Masz ogólny algorytm działania może być następujący.




Rys. 2.1 Algorytm działania człowieka

Blok funkcjonalny to blok w którym żadnych istotnych decyzji nie podejmujemy, to „program tła”, czyli zwyczajne czynności prowadzące nas do celu jakim jest obejrzenie filmu.
Wykonując powyższy algorytm stajemy się podobni do komputera. Różnica jest zasadnicza. Człowiek może modyfikować powyższy algorytm w trakcie jego wykonywania (np. w przypadku braku biletów pójść do teatru), komputer natomiast wykonuje program ściśle wg algorytmu który wymyślił człowiek. Przeciętny człowiek obserwując dzisiejsze komputery jest zafascynowany ich możliwościami. Widzi że potrafią one pisać, malować, rysować … sterować fabryką bez ludzi itp.

Nie wie natomiast że …



Rys. 2.2 Podstawowe prawo komputerowe

Co to są liczby binarne?

Gdyby nasi przodkowie nie wymyślali cyfr [2,3,4,5,6,7,8,9] a znali tylko cyfry [0,1] to z pewnością znakomicie posługiwalibyśmy się liczbami binarnymi i mielibyśmy naturalny, wspólny z komputerami język. Zapis ogólny liczby binarnej przedstawiono na rysunku.
Przejście z binarnego systemu liczenia na dziesiętny jest banalne.
Z zapisu ogólnego wynika, że istotna jest tu kolejność [b2,b1,b0] cyfr binarnych [0,1] oraz wagi (W) tych cyfr na poszczególnych pozycjach.
b2*W2=b2*4
b1*W1=b1*2
b0*W0=b0*1
Dla b2=1 mamy: b2*4 = 1*4 =4
Dla b2=0 mamy: b2*4 = 0*4 =0
Dla b1=1 mamy: b1*2 = 1*2 =2
Dla b1=0 mamy: b1*2 = 0*2 =0
Dla b0=1 mamy: b0*1 = 1*1 =1
Dla b0=0 mamy: b0*1 = 0*1 =0
Przeliczmy pierwsze osiem liczb binarnych [000-111] na system dziesiętny.
Kod:

000 = 0+0+0 =0
001 = 0+0+1 =1
010 = 0+2+0 =2
011 = 0+2+1 =3
100 = 4+0+0 =4
101 = 4+0+1 =5
110 = 4+2+0 =6
111 = 4+2+1 =7
itd

Prawda że proste?

W logice matematycznej ani liczby binarne, ani też liczby dziesiętne kompletnie nas nie interesują.
Co nas interesuje w logice?
TAK = prawda
NIE = fałsz
TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …


2.2 Logika matematyczna przedszkolaków

Spójrzmy na nasz pierwszy w życiu, samodzielnie napisany program komputerowy „Pójście na film Seksmisja”. Logika matematyczna w tym algorytmie to wyłącznie bloki warunkowe w których rozstrzygamy na TAK albo NIE i w zależności od wyniku podejmujemy dalsze działania.
TAK = prawda
NIE = fałsz

Przykłady logiki matematycznej z przedszkola:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
TAK
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
TAK
C.
Czy kura ma cztery łapy?
NIE
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
TAK
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
NIE
KONIEC!
Dokładnie tym jest logika matematyczna, nie ma w niej nic ponad: TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
Prawda, że ładna melodia?
https://www.youtube.com/watch?v=Czujclci6uA

W matematyce zachodzi tożsamość:
TAK = prawda (=1)
NIE = fałsz (=0)
Cyferki 1 i 0 znaczą w logice matematycznej:
1 - prawda
0 - fałsz
Uwaga:
Znaczków 0 i 1 nie należy mylić ani z cyframi binarnymi, ani też z cyframi dziesiętnymi, to zupełnie co innego, to prawda (=1) i fałsz (=0).

Wprowadźmy dwa nowe symbole matematyczne:
„~” - symbol przeczenia, słówko NIE w naturalnej logice 5-cio latka
„i”(*) - spójnik „i” w naturalnej logice 5-cio latka

Zakodujmy matematycznie zadania wyżej przy pomocy tych symboli:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
K*M =1
Prawdą jest (=1), że Kubuś jest misiem
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
P*S =1
Prawdą jest (=1), że Prosiaczek jest świnką
C.
Czy kura ma cztery łapy?
K*4L =0
Fałszem jest (=0), że kura ma cztery łapy
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
CH*~P =1
Prawdą jest (=1), że może się zdarzyć iż są chmury i nie pada
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
~CH*P =0
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie nie ma chmur i pada

W ten oto sposób zaliczyliśmy pierwsze w życiu poprawne kodowanie matematycznie zdań z naturalnego języka mówionego.


2.3 Czym rożni się algebra klasyczna od logiki matematycznej?

Najprostsza odpowiedź: wszystkim!

Algebra klasyczna zajmuje się liczeniem np.
2+2+2 =6
„+” - suma algebraiczna

Logika matematyczna zajmuje się rozpoznawaniem pojęć:
[2]+[2]+[2] =[2]
Bo pojęcia [2] po lewej stronie są tożsame
„+” - suma logiczna (alternatywa), spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka

Algebra klasyczna zajmuje się mnożeniem:
1*2*3 = 6
„*” - iloczyn algebraiczny

Logika klasyczna zajmuje się definiowaniem pojęć np.
Pies jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1) i nie jest kotem (~K=1)
P=>PC*S*~K = 1*1*1 =1
To samo zdanie tożsame ujęte w spójnik „Jeśli p to q”:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1) i nie jest kotem (~K=1)
P=>PC*S*~K = 1*1*1 =1
Co matematycznie oznacza:
(P=1) => (PC=1) i (S=1) i (~K=1)
„*” - iloczyn logiczny (koniunkcja), spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Wystarczy że do iloczynu logicznego definiującego psa dodamy jeden fałsz i już pracowicie budowana definicja psa jest fałszem np.
Pies jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1), nie jest kotem (~K=1) i ma skrzydła (SK=0)
P=>PC*S*~K *SK= 1*1*1*0 =0

Ewidentna kolizja znaczków „+” i „*” w algebrze klasycznej i logice matematycznej niczemu nie przeszkadza bo to są dwa, totalnie izolowane działy matematyki, jeden z drugim nie ma nic wspólnego. Nie wolno tych działów porównywać i wyciągać z tych porównań jakichkolwiek wniosków, co jest często spotykanym błędem matematyków.

Znaczki używane w algebrze Kubusia są legalnym systemem znaczków, stosowanym powszechnie w technice cyfrowej.
„+” - suma logiczna (alternatywa), spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
„i*” - iloczyn logiczny (koniunkcja), spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka


3.0 Nowa Teoria Zbiorów

Nowa teoria zbiorów to wszystkie możliwe wzajemne położenia dwóch zbiorów p i q opisane zero-jedynkową tabelą operatorów logicznych oraz prawa logiczne z tego faktu wynikające.

3.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych przez człowieka

Przykład zbioru:
p =[LN (zbiór liczb naturalnych), krasnoludek, egzamin, komputer, miłość, galaktyka, marzenia …]

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L = nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L

W logice matematycznej chodzi o rozpoznawalność pojęć, a nie o algebraiczne liczenie pojęć.

Redukcja zbioru:
Pojęcia powtarzające się w obrębie zbioru można zredukować do jednego pojęcia.
Oczywiście nie musimy tego robić.

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

LN - zbiór liczb naturalnych
LN=[1,2,3,4,5,6..]

p=[krowa, krowa, krowa, 2, 5, 5, LN]
q=[krowa, 2, 5, LN]
r=[krowa, LN]
Zachodzi matematyczna tożsamość zbiorów:
p=q=r

Wciągnięcie liczb 2 i 5 do zbioru LN jest dozwolone na mocy definicji liczby naturalnej.

Zbiór może być uporządkowany lub nie uporządkowany, to bez znaczenia.
p=[1,2,3,4,5]
q=[4,3,2,5,1]
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q

Dowolny element zbioru to także samodzielny zbiór jednoelementowy lub wieloelementowy.
W algebrze Kubusia istnieje nie tylko definicja zbioru jak wyżej ale również definicja zbioru wszystkich zbiorów, to Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Na mocy definicji żaden człowiek nie ma szans wyskoczyć poza Uniwersum, które jest dynamiczne, zmienia się w czasie.

Definicja dziedziny
Dziedzina to dowolny podzbiór Uniwersum na którym operujemy

Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie zawężając Uniwersum do interesującego nas zbioru natomiast z Uniwersum, na mocy definicji nic nie możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy, dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.
1 - zbiór niepusty (istnieje = zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty (nie istnieje = nie zawiera ani jednego elementu)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L - nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L

Wartość logiczną zbioru (=1) zapisujemy bez nawiasów:
4L=[pies, słoń, koń ..] =1

Znaczenie tożsamości „=” w Nowej Teorii Zbiorów:
4L=[pies, słoń, koń ..] =1
Pierwsza tożsamość to tożsamość definicyjna (4L=), natomiast druga tożsamość (4L=1) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi 4L konkretną wartość logiczną (tu 1)

Znaczenie tożsamości "=" wynika tu z kontekstu, nie ma potrzeby wprowadzania dwóch różnych znaczków.


3.2 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw


3.3 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC=1)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc


3.4 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p+~p=1
Oraz:
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory te są rozłączne na mocy definicji
p*~p=0

Dowód na naszym przykładzie:
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)

Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia (i Boole’a):
I. ~0=1
II. ~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum. W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.

Twierdzenie o wartości logicznej „pojęcia”:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego Uniwersum ma wartość logiczną jeden.

Przykłady:
[pies] =1
[rower]=1
[miłość] =1
Te pojęcia są jednoznaczne i zrozumiałe w zbiorze Uniwersum każdego człowieka.


3.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Wyobraźmy sobie, że urodziliśmy się i żyjemy w inkubatorze trzymającym idealną temperaturę:
t = const = 36,6 stopnia
Jest oczywistym, że dla nas pojecie ciepło/zimno nie istnieje bo nie jesteśmy w stanie zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur, co więcej, nawet na poziomie abstrakcyjnym nie jesteśmy w stanie zrozumieć (zdefiniować) pojęć ciepło/zimno - to są pojęcia nie z naszego Wszechświata (inkubatora).
Tak więc aby zrozumieć pojęcie „ciepło” musimy rozumieć co to jest „zimno = nie ciepło”.
Dokładnie o tym jest prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p w naszym Wszechświecie.

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~p)
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Twierdzenie proste:
A.
Jeśli rozpoznawalne jest pojęcie p to na pewno => rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p=>~p =1
Rozpoznawalność pojęcia p jest warunkiem wystarczającym => dla rozpoznawalności pojęcia ~p

Twierdzenie odwrotne:
C.
Jeśli rozpoznawalne jest pojęcie ~p to na pewno => rozpoznawalne jest pojęcie p
~p=>p =1
Rozpoznawalność pojęcia ~p jest warunkiem wystarczającym => dla rozpoznawalności pojęcia p

Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Podstawiając nasze zdania A i C mamy prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy <=> gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Przykład:
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia „pies” jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w Uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie „nie pies” (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies (~P) to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.

Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0

Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym Uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego Uniwersum i od tej pory należy ono do naszego Uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom. Przykładowo ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.

Definicja wnioskowania:
Wnioskowanie to wyciągnięcie wniosków ze znanych faktów.

Zuzia (lat 5) do Jasia (lat 5).
Jasiu, czy masz pieska?
Jaś:
Tak
Zuzia:
Z faktu że masz pieska wnioskuję, iż twój piesek ma cztery łapy.
Jaś:
Nie ma czterech łap bo wilk mu odgryzł jedną łapkę

W tym momencie matematyczne wnioskowanie Zuzi szlag trafił. Oczywiście wiemy, że pies kaleki to też pies, ale z logiki musimy go usunąć z przyczyn podanych w dialogu.
Z tego samego powodu w logice zakładamy iż wszyscy ludzie mówią prawdę. Oczywiście wiemy że człowiek może kłamać do woli, logika jest po to by wykryć wszelkie kłamstwa.


3.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Rozważmy zbiór jednoelementowy p:
p=[1,2]

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~p)

Na mocy tego prawa dziedzina musi być zbiorem szerszym od zbioru p.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4] =1 (zbiór pełny)
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

I.
Prawo redukcji elementów zbioru

Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.

II.
Zero jedynkowy fundament algebry Kubusia:

~D=[] - zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []
~[]=D - zaprzeczeniem zbioru pustego [] jest dziedzina D
D=1 - dziedzina
[] =0 - zbiór pusty
stąd mamy:
1=~0
0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] = [1,2,3,4] =1 - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

III.
Prawo podwójnego przeczenia

p=~(~p)
Dowód:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
stąd:
p=~(~p)
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]

II.
Fundament algebry Kubusia:

p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)

III.
Zero to element neutralny w alternatywie (sumie logicznej)

p+0 =p
p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p
Stąd: 0 - element neutralny dla sumy logicznej
p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

IV.
Jeden to element neutralny w koniunkcji (iloczynie logicznym)

p*1=p
p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p
Stąd: 1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
p*0 = [1,2]*[] =0

V.
Prawa pochłaniania:

p+p =p
p*p =p
Dowód na naszym przykładzie:
p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p
p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p

Prawa maszynowe (zero-jedynkowe) w zbiorach.

VI
Suma logiczna (alternatywa) zbiorów:

1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

VII
Iloczyn logiczny (koniunkcja) zbiorów:

1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 12:59, 28 Mar 2016, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:48, 24 Gru 2015    Temat postu:

Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Część II

Spis treści
4.0 Operatory jednoargumentowe 1
4.1 Prawo tożsamości wiedzy - definicja zero-jedynkowa 2
4.2 Prawa Prosiaczka - definicja zero-jedynkowa 3
4.3 Definicja operatora transmisji: 4
4.2 Definicja operatora negacji 7
4.5 Definicja operatora chaosu 8
4.6 Definicja operatora śmierci 11
4.7 Rachunek zero-jedynkowy dla operatorów jednoargumentowych 13


4.0 Operatory jednoargumentowe

W logice matematycznej mamy do czynienia wyłącznie z „prawdą” i „fałszem”.
Te dwa pojęcia oznaczamy zwyczajowo cyferkami:
1 - prawda
0 - fałsz
W technice cyfrowej często używa się literek:
1 = H - prawda
0 = L - fałsz
To bez znaczenia.

Wniosek:
Znaczki 0 i 1 to nie są cyfry znane każdemu człowiekowi!

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to nazwa symboliczna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y) na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q układu.

W operatorach jednoargumentowych mamy jedno wejście oznaczane zwykle literką „p” oraz jedno wyjście, zwyczajowo oznaczane dużą literą „Y”.

Możliwe są cztery jednoargumentowe operatory logiczne.
Kod:

         |Operator   |Operator   |Operator  |Operator
         |transmisji |negacji    |chaosu    |śmierci
         |W: Y= p    |W: Y=~p    |W: Y=1    |W: Y=0
         |U:~Y=~p    |U:~Y= p    |U:~Y=0    |U:~Y=1
   p ~p  | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=1 ~Y=0 | Y=0 ~Y=1
A: 1  0  | =1   =0   | =0    =1  | =1   =0  | =0   =1
B: 0  1  | =0   =1   | =1    =0  | =1   =0  | =0   =1
   1  2     3    4      5     6     7    8     9    0

Zauważmy, że jeśli znamy definicję operatora w logice dodatniej (Y) to automatycznie znamy definicję operatora w logice ujemnej (bo ~Y), to prostu zanegowane kolumny Y.

Stąd mamy:
Definicje operatorów w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a):
Dowolny operator logiczny to złożenie funkcji logicznej W:Y=.. w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną U:~Y=.. w logice ujemnej (bo ~Y) - i odwrotnie.
Stąd:
Dowolny operator logiczny to układ równań logicznych:
W: Y = …
U: ~Y = …

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Jeśli znane nam jest pojęcie p w logice dodatniej (bo p) to na pewno znane mam jest pojęcie ~p w logice ujemnej (bo ~p) - i odwrotnie.

Przykład:
Jeśli znam pojęcie „pies” to automatycznie znam pojęcie „nie pies”
p=[pies] - zbiór jednoelementowy pies (logika dodatnia bo p)
Przyjmijmy sensowną tu dziedzinę:
ZWZ = [pies, słoń, kura, wąż ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy:
~p = [ZWZ-p] = [słoń, kura, wąż ..] - logika ujemna bo ~p
„Nie pies” to dowolne zwierzę z wykluczeniem psa

Definicja zbioru niepustego i pustego:
[x] - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element (istnieje)
[] - zbiór pusty, nie zawiera żadnego elementu (nie istnieje)

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
[x] =1
[] =0


4.1 Prawo tożsamości wiedzy - definicja zero-jedynkowa

Przyjrzyjmy się operatorom transmisji i negacji:
Kod:

         |Operator   |Operator
         |transmisji |negacji
         |W: Y= p    |W: Y=~p
         |U:~Y=~p    |U:~Y= p
   p ~p  | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p
A: 1  0  | =1   =0   | =0    =1
B: 0  1  | =0   =1   | =1    =0
   1  2     3    4      5     6

Zauważmy, że jeśli z powyższego opisu usuniemy pojęcie funkcji logicznej Y i ~Y (błąd czysto matematyczny popełniany przez ziemian), operując wyłącznie na zmiennych wejściowych p i ~p to dostaniemy same matematyczne bzdury jakoby kolumna 3 była tożsama z kolumną 6 etc.
Symbole p, ~p, Y, ~Y z operatora transmisji mają zero wspólnego z symbolami p, ~p, Y, ~Y operatora negacji etc.

Matematycznie zachodzi tożsamość wiedzy będąca równoważnością <=> wewnątrz dowolnego operatora logicznego:
A.
Jeśli znam funkcję logiczną Y to na pewno => znam funkcje logiczną ~Y
Y=>~Y =1
Znajomość funkcji logicznej Y jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości funkcji logicznej ~Y
Jeśli znam kolumnę Y to wystarczy ją zanegować by otrzymać kolumnę ~Y

Zachodzi też twierdzenie odwrotne:
C.
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y to na pewno => znam funkcję logiczną Y
~Y => Y=1
Znajomość funkcji logicznej ~Y jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości funkcji logicznej Y
Jeśli znam kolumnę ~Y to wystarczy ją zanegować by otrzymać kolumnę Y

Definicja równoważności:
Równoważność to warunki wystarczające => zachodzące w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Podstawiając nasze zdania A i C mamy prawo tożsamości wiedzy:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)


4.2 Prawa Prosiaczka - definicja zero-jedynkowa

Jednoargumentowe operatory chaosu i śmierci to powszechnie znane wśród 3-latków prawa Prosiaczka.
Kod:

         |Operator  |Operator
         |chaosu    |śmierci
         |W: Y=1    |W: Y=0
         |U:~Y=0    |U:~Y=1
   p ~p  | Y=1 ~Y=0 | Y=0 ~Y=1
A: 1  0  | =1   =0  | =0   =1
B: 0  1  | =1   =0  | =0   =1

Stąd mamy prawo tożsamości wiedzy, w tym przypadku prawa Prosiaczka.

Prawa Prosiaczka:
I. W: (Y=1) <=> U: (~Y=0)
II. W: (Y=0) <=> U: (~Y=1)
W logice matematycznej funkcjonuje pojęcie tożsamości logicznej „=” będącej de facto równoważnością <=>. Równoważność zachowuje się identycznie jak tożsamość klasyczna „=”.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


4.3 Definicja operatora transmisji:

Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji:
Kod:

         |Operator
         |transmisji
         |W: Y= p
         |U:~Y=~p
   p ~p  | Y=p ~Y=~p
A: 1  0  | =1   =0
B: 0  1  | =0   =1
   1  2     3    4

Definicja operatora transmisji w równaniach logicznych W i U:
W.
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
U.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej operatora transmisji.

Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Alternatywne wyprowadzenie równań definiujących operator transmisji możliwe jest w oparciu o prawo śfinii.

Tworzenie równania logicznego opisującego tabelę AB123:
Krok 1
W tabeli zero-jedynkowej AB123 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne:
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1

Tworzenie równania logicznego opisującego tabelę AB124:
Krok 1
W tabeli zero-jedynkowej AB124 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
~Y=1 <=> ~p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne:
~Y = ~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Zauważmy, że kolumna Y to zanegowana kolumna ~Y.
Stąd mamy:
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y).
Y = p = ~(~p)
To jest powszechnie znane w logice prawo podwójnego przeczenia.
W.
Jutro pójdę do kina
K=1
Nie może się zdarzyć (~) że jutro nie pójdę do kina
~(~K) = K
cnd

Zauważmy, że kolumna ~Y to zanegowana kolumna Y
Stąd mamy:
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p = ~(p)

Operator transmisji jest powszechnie znany każdemu 5-cio latkowi.

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię?
Negujemy równanie W stronami:
U.
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Znaczenie symboli:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)


4.2 Definicja operatora negacji

Zero-jedynkowa definicja operatora negacji:
Kod:

         |Operator
         |negacji
         |W: Y=~p
         |U:~Y= p
   p ~p  | Y=~p ~Y=p
A: 1  0  | =0    =1
B: 0  1  | =1    =0
   1  2     3     4

Definicja operatora negacji w równaniach logicznych W i U
W.
Y =~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
U.
~Y= p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej operatora negacji.

Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Alternatywne wyprowadzenie równań definiujących operator negacji możliwe jest w oparciu o prawo śfinii.

Tworzenie równania logicznego opisującego tabelę AB123:
Krok 1
W tabeli zero-jedynkowej AB123 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> ~p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne:
Y = ~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1

Tworzenie równania logicznego opisującego tabelę AB124:
Krok 1
W tabeli zero-jedynkowej AB124 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
~Y=1 <=> p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne:
~Y = p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Zauważmy, że kolumna Y to zanegowana kolumna ~Y
Stąd mamy:
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y).
Y = ~p = ~(p)

Zauważmy, że kolumna ~Y to zanegowana kolumna Y
Stąd mamy:
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p = ~(~p)

Operator negacji jest powszechnie znany każdemu 5-cio latkowi.

Przykład:
W.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy skłamię?
Negujemy równanie W stronami:
U.
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1

Znaczenie symboli:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)


4.5 Definicja operatora chaosu

Oznaczmy:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, znany każdemu 5-cio latkowi
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, znany każdemu 5-cio latkowi

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu:
Kod:

         |Operator
         |chaosu
         |W: Y=p+~p=1
         |U:~Y=~p*p=0
   p ~p  | Y=1 ~Y=0
A: 1  0  | =1   =0
B: 0  1  | =1   =0
   1  2     3    4

Z definicji operatora chaosu widzimy, że funkcja logiczna Y zawsze przyjmuje wartość logiczną 1 (zdanie zawsze prawdziwe), natomiast funkcja logiczna ~Y zawsze przyjmuje wartość logiczną 0 (zdanie zawsze fałszywe).
Jak opisać równaniami logicznymi operator chaosu?

Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Wyprowadzenie równań definiujących operator chaosu możliwe jest w oparciu o prawo śfinii.
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej AB123 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> A: p=1 lub B: ~p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne opisujące tabelę AB123:
Y = p+~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1

Zauważmy, że dla tabeli AB124 nie możemy skorzystać z prawa śfinii, bowiem w kolumnie wynikowej ~Y nie mamy ani jednej jedynki.

Jak sobie z tym poradzić?
Równanie opisujące tabelę AB123 jest następujące:
W: Y = p+~p =1
Mamy tu twardą prawdę (zdanie zawsze prawdziwe) bowiem w kolumnie wynikowej mamy same jedynki.

Związek logiki ujemnej i dodatniej:
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodania (bo Y)
U: ~Y = ~(Y)
W tabeli doskonale widać, że kolumna ~Y to zanegowana kolumna Y

Podstawiając żywcem równanie W otrzymujemy równanie logiczne opisujące funkcję logiczną ~Y, czyli tabelę zero-jedynkową AB124.
~Y = ~(Y=p+~p=1)
~Y = ~Y = ~(p+~p) =0
Prawo De Morgana (poznamy w przyszłości):
~(p+q) = ~p*~q
stąd:
~Y = ~(p+~p) = ~p*p = p*~p =0
Stąd mamy końcowe równanie opisujące tabelę AB124:
U: ~Y = p*~p =0
Zauważmy, że zdanie U jest zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y).

Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
W: (Y=1) = U: (~Y=0)

Wyprowadziliśmy w ten sposób dwa bardzo ważne prawa algebry Kubusia (i Boole’a):
W: p+~p=1
U: p*~p =0

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina (K=1) lub nie pójdę do kona (~K=1)
Y = K+~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub nie pójdę do kina (~K=1).
Y=K+~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
To jest zdanie zawsze prawdziwe, twarda prawda.
Nie ma tu żadnych szans abym w przyszłości skłamał.
Dowód:
.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y= K*~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~K=1
U.
Prawdą jest (=1), że skłamię (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do kina (~K=1)
~Y= K*~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~K=1

Gdzie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)

Doskonale widać, że nie ma tu żadnych szans abym jutro skłamał (~Y=1), bo prawo algebry Kubusia (i Boole’a):
K*~K =0
To zdanie jest wewnętrznie sprzeczne, zatem jest fałszywe.
W logice ujemnej (bo ~Y) mamy zatem twardy fałsz:
~Y = K*~K=0
Oznacza to, że nie jesteśmy w stanie kiedykolwiek skłamać (~Y), czyli ustawić w powyższym równaniu jedynkę, taka sytuacja jest niemożliwa.


4.6 Definicja operatora śmierci

Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci:
Kod:

         |Operator
         |śmierci
         |W: Y=0
         |U:~Y=1
   p ~p  | Y=0 ~Y=1
A: 1  0  | =0   =1
B: 0  1  | =0   =1
   1  2     3    4

Z definicji operatora śmierci widzimy, że funkcja logiczna Y zawsze przyjmuje wartość logiczną 0, natomiast funkcja logiczna ~Y zawsze przyjmuje wartość logiczną 1.
Jak opisać równaniem logicznym operator chaosu?

Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Doskonale widać, że w stosunku do tabeli AB123 nie możemy skorzystać z prawa świni w sposób bezpośredni bowiem w kolumnie Y nie ma ani jednej jedynki.
Do równania logicznego opisującego funkcję logiczną Y bez problemu możemy dojść w sposób pośredni opisując równaniem logicznym kolumnę ~Y.
Uzasadnienie:
Kolumna Y to zanegowana kolumna ~Y
Y = ~(~Y)

Wyprowadzenie równań definiujących operator śmierci możliwe jest w oparciu o prawo śfinii.
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej AB124 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
~Y=1 <=> A: p=1 lub B: ~p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne opisujące tabelę AB124:
U: ~Y = p+~p
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> p=1 lub ~p=1

Równanie opisujące tabelę AB124 jest następujące:
U: ~Y = p+~p =1
Mamy tu twardą prawdę (zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej) bowiem w kolumnie wynikowej ~Y mamy same jedynki.

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
W tabeli doskonale widać, że kolumna Y to zanegowana kolumna ~Y

Podstawiając żywcem równanie U otrzymujemy równanie logiczne opisujące funkcję logiczną Y, czyli tabelę zero-jedynkową AB123.
Y = ~(~Y=p+~p=1)
Y = Y = ~(p+~p) =0
Prawo De Morgana (poznamy w przyszłości):
~(p+q) = ~p*~q
stąd:
W: Y = ~(p+~p) = ~p*p = p*~p =0
Stąd mamy końcowe równanie opisujące tabelę AB123:
W: Y = p*~p =0
Zauważmy, że zdanie W jest zawsze fałszywe w logice dodatniej (bo Y).

Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
W: (Y=0) = U: (~Y=1)

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
Y=K*~K =0
bo prawo algebry Kubusia:
p*~p=0
Zdanie W jest zdaniem zawsze fałszywym.

Odpowiednikiem zdania zawsze fałszywego (=0) w logice dodatniej jest zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)

… a kiedy skłamię?
Negujemy zdanie W stronami:
~Y = ~(K*~K) =0
Prawo De Morgana:
~(p*~q) =~p+q
Stąd mamy:
U: ~Y = K+~K =1
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Pojęcia K i ~K są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny.
Gdzie:
Dziedzina: wszystkie możliwe sytuacja jakie jutro mogą się zdarzyć.
Doskonale widać, że cokolwiek jutro nie zrobię to na 100% ustawię:
~Y=1
Jak zatem brzmi zdanie zawsze prawdziwe?
Odczytujemy:
U.
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub nie pójdę do kina (~K=1)
~Y = K+~K =1
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)

Doskonale widać, że nie ma tu żadnych szans abym jutro dotrzymał słowa (Y=1), bo prawo algebry Kubusia (i Boole’a):
K*~K =0
To zdanie jest wewnętrznie sprzeczne, zatem jest fałszywe.
W logice dodatniej (bo Y) mamy tu twardy fałsz:
Y = K*~K=0
Oznacza to, że nie jesteśmy w stanie kiedykolwiek dotrzymać słowa (Y=1), taka sytuacja jest niemożliwa.


4.7 Rachunek zero-jedynkowy dla operatorów jednoargumentowych

Możliwe są cztery jednoargumentowe operatory logiczne.
Kod:

         |Operator   |Operator   |Operator  |Operator
         |transmisji |negacji    |chaosu    |śmierci
         |W: Y= p    |W: Y=~p    |W: Y=1    |W: Y=0
         |U:~Y=~p    |U:~Y= p    |U:~Y=0    |U:~Y=1
   p ~p  | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=1 ~Y=0 | Y=0 ~Y=1
A: 1  0  | =1   =0   | =0    =1  | =1   =0  | =0   =1
B: 0  1  | =0   =1   | =1    =0  | =1   =0  | =0   =1
   1  2     3    4      5     6     7    8     9    0

Matematycznie te cztery operatory są rozłączne, żaden z nich nie ma nic wspólnego z drugim, czyli symboli p, ~p, Y, ~Y z jednego operatora nie wolno mieszać z symbolami p, ~p, Y, ~Y jakiegokolwiek drugiego operatora.

Zajmijmy się wyłącznie operatorem transmisji:
Kod:

         |Operator
         |transmisji
         |W: Y= p
         |U:~Y=~p
   p ~p  | Y=p ~Y=~p |~(~Y)=~(~p)
A: 1  0  | =1   =0   |  =1
B: 0  1  | =0   =1   |  =0
   1  2     3    4       5

Tożsamość kolumn 3 i 5 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
p=~(~p)
Tylko i wyłącznie w tym przypadku, gdy operujemy wewnątrz operatora, symbole p, ~p, Y i ~Y są dokładnie tymi samymi symbolami.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 10:12, 27 Gru 2015    Temat postu:

Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Część III


Spis treści
5.0 Operatory OR i AND 1
5.1 Definicje spójników „lub”(+) i „i”(*) 3
5.2 Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*): 4
5.3 Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 10
5.4 Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*) 14
5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 15


5.0 Operatory OR i AND

W logice matematycznej mamy do czynienia wyłącznie z „prawdą” i „fałszem”.
Te dwa pojęcia oznaczamy zwyczajowo cyferkami:
1 - prawda
0 - fałsz
W technice cyfrowej często używa się literek:
1 = H - prawda
0 = L - fałsz
To bez znaczenia.

Wniosek:
Znaczki 0 i 1 to nie są cyfry znane każdemu człowiekowi!

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to nazwa symboliczna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y) na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q układu.

W operatorach dwuargumentowych mamy dwa wejście oznaczane zwykle literkami „p” i „q” oraz jedno wyjście, zwyczajowo oznaczane dużą literą „Y”.

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16.

Podstawowe definicje operatorów logicznych:
Kod:

               OR             AND           p|=>q          p|~>q
               N0      N1     N2      N4    N4      N5     N6      N7
               Y=     ~Y=     Y=     ~Y=    Y=     ~Y=     Y=     ~Y=
   p  q ~p ~q (p|+q) ~(p|+q) (p|*q) ~(p|*q) p|=>q ~(p|=>q) p|~>q ~(p|~>q)
A: 1  1  0  0  =1      =0     =1      =0    =1      =0     =1      =0
B: 1  0  0  1  =1      =0     =0      =1    =0      =1     =1      =0
C: 0  0  1  1  =0      =1     =0      =1    =1      =0     =1      =0
D: 0  1  1  0  =1      =0     =0      =1    =1      =0     =0      =1

Kod:

               p<=>q            p|~~>q            pPq        pQq
               N8       N9      N10       N11     N12   N13  N14   N15
               Y=      ~Y=      Y=       ~Y=      Y=   ~Y=   Y=   ~Y=
   p  q ~p ~q (p<=>q) ~(p<=>q) (p|~~>q) ~(p|~~>q) pPq ~(pPq) pQq ~(pQq)
A: 1  1  0  0  =1       =0      =1        =0      =1    =0   =1    =0
B: 1  0  0  1  =0       =1      =1        =0      =1    =0   =0    =1
C: 0  0  1  1  =1       =0      =1        =0      =0    =1   =0    =1
D: 0  1  1  0  =0       =1      =1        =0      =0    =1   =1    =0

Klasyczna definicja operatora logicznego to kompletna kolumna wynikowa Y albo ~Y w odniesieniu do sygnałów p i q. Zauważmy, że operatory nieparzyste ~Y to zanegowane operator parzyste ~(Y).

Prawo tożsamości wiedzy:
Jeśli znam funkcję logiczną Y to na pewno => znam funkcje logiczną ~Y
Y=>~Y
Dowód:
~Y = ~(Y) - wystarczy zanegować funkcję Y
Zachodzi również twierdzenie odwrotne:
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y to na pewno => znam funkcję logiczną Y
~Y=>Y
Dowód:
Y=~(~Y) - wystarczy zanegować funkcję ~Y
To jest automatyczny dowód prawa podwójnego przeczenia.

Wniosek:
Prawo tożsamości wiedzy to ewidentna równoważność:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
po podstawieniu:
p=Y
q=~Y
mamy definicję równoważności, czyli pewne wynikanie => w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Z prawa tożsamości wiedzy wynika, ze zarówno w logice matematycznej człowieka, jak i w matematyce operatory nieparzyste ~Y są zbędne, bo można je łatwo zbudować mając do dyspozycji operatory parzyste Y plus negator.

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)

Bardzo ważne:
Matematyczne związki zachodzą wyłącznie między funkcjami parzystymi Y i nieparzystymi ~Y wyłącznie w obrębie konkretnego operatora logicznego Y.

Wynika z tego, że dowolny operator Y jest unikalny i nie do zastąpienia przez jakikolwiek inny operator Y.

Matematycznie na mocy definicji zachodzi:
N0: Y=p|+q ## N2: Y=p|*q ## N4: Y=p|=>q ## N6: Y=p|~>q ## N8: Y=p<=>q ## N10: Y=p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
W odpowiedzi na identyczne wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach p i q kolumny wynikowe Y są różne.
Oczywiście wynika z tego że przykładowe Y z funkcji logicznej:
Y=p|=>q
nie ma nic wspólnego z jakimkolwiek innym Y.

W rachunku zero-jedynkowym przy opisie dowolnego operatora Y możemy używać dowolnych innych operatorów, ale unikalność operatora Y musi zostać zachowana, inaczej gwałcimy matematykę ścisłą, czyli ten znak:
## - różne na mocy definicji
Z ideą rachunku zero-jedynkowego zapoznamy się za chwilę.


5.1 Definicje spójników „lub”(+) i „i”(*)

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
-----------
D: 0  0  =0
   1  2   3

Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC123, co doskonale widać w tabeli:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Linia D123 nie bierze udziału w logice matematycznej człowieka, uzupełniamy ją wynikowym zerem do pełnej definicji operatora OR(|+) wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Definicja operatora OR(|+):
Kod:

   p  q  Y=p|+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3


Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
-----------
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   3

Definicja spójnika „i”(*) to wyłącznie linia A123, co doskonale widać w tabeli:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Pozostałe linie BCD123 nie biorą udziału w logice matematycznej człowieka, uzupełniamy je wynikowymi zerami do pełnej definicji operatora AND(|*) wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Definicja operatora AND(|*):
Kod:

   p  q  Y=p|*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   3



5.2 Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):

Definicja zero-jedynkowa operatora OR(|+):
Kod:

Matryca       |Rachunek zero-jedynkowy
Zero-jedynkowa|
   p  q ~p ~q |Y=p+q ~Y=~p*~q ~Y=~(p+q) Y=~(~p*~q)
A: 1  1  0  0 | =1     =0       =0       =1
B: 1  0  0  1 | =1     =0       =0       =1
C: 0  1  1  0 | =1     =0       =0       =1
-------------------------------------------
D: 0  0  1  1 | =0     =1       =1       =0
   1  2  3  4    5      6        7        8

Wynikowe jedynki i zera w tabeli ABCD125 generuje nam definicja operatora OR(|+).
Wynikowe jedynki i zera w tabeli ABCD346 generuje nam definicja operatora AND(|*).
Kolumna 7 to zanegowana kolumna 5, natomiast kolumna 8 to zanegowana kolumna 6.

Tożsamość kolumn wynikowych 5 i 7 to dowód prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 7 to dowód prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Definicja zero-jedynkowa i symboliczna operatora OR(|+):
Kod:

Matryca       |              |Operator OR(|+)|Co matematycznie
zero-jedynkowa|              |w równaniach   |oznacza
na wejściu    |              |cząstkowych    |
   p  q ~p ~q |Y=p+q ~Y=~p*~q|               |
A: 1  1  0  0 | =1     =0    | p* q = Ya     | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1 | =1     =0    | p*~q = Yb     | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0 | =1     =0    |~p* q = Yc     | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
-----------------------------------------------------------------
D: 0  0  1  1 | =0     =1    |~p*~q =~Yd     |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
   1  2  3  4    5      6      7  8   9

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Prawo Sowy jest tu spełnione bo:
Nagłówek Y=p+q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD125
Nagłówek ~Y=~p*~q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD346

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Rozróżniamy dwa podstawowe algorytmy tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice matematycznej człowieka.

I Sposób:
1.
W wejściowej matrycy zero-jedynkowej muszą być uwidocznione wszystkie zmienne w postaci niezanegowanej (p, q) i zanegowanej (~p, ~q)
2.
W poszczególnych liniach opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki z wejściowej matrycy zero-jedynkowej (p, ~p, q, ~q) łącząc je spójnikiem „i”(*).
3.
Cząstkową kolumnę wynikową zapisujemy w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy jedynka należy do funkcji logicznej Y.
Cząstkową kolumnę wynikową zapisujemy w logice ujemnej (bo ~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jedynka należy do funkcji logicznej ~Y.
4.
Definicję operatora OR(|+) opisuje układ równań W i U:
W1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y):
Y=Ya+Yb+Yc
Po podstawieniu otrzymujemy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
U1.
Równanie w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~Yd
Po podstawieniu otrzymujemy:
~Y=~p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Powyższy algorytm działa zawsze, niezależnie od wielkości i rodzaju tabeli zero-jedynkowej.

II sposób:
Posługujemy się wyłącznie podstawową tabelą zero-jedynkową, gdzie uwidocznione są sygnały bezpośrednio widoczne na wejściu oraz znana jest funkcja wyjściowa Y.
Kod:

Definicja        |Operator OR(|+)|Co matematycznie
zero-jedynkowa   |w równaniach   |oznacza
operatora OR(|+) |cząstkowych    |
   p  q  Y=p+q   |               |
A: 1  1   =1     | p* q = Ya     | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0   =1     | p*~q = Yb     | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1   =1     |~p* q = Yc     | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0   =0     |~p*~q =~Yd     |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
   1  2    5       7  8   9

Algorytm tworzenia równań logicznych opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową gdzie znana jest funkcja wyjściowa Y.
1.
W tabeli ABCD125 spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych jedynek (Y=1):
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki w naszej tabeli ABCD125.
W1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

W identyczny sposób tworzymy równanie algebry Boole’a opisujący wynikowe zera w tabeli ABCD125:
1.
W tabeli ABCD125 spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych zer (Y=0):
Y=0 <=> D: p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe zera w naszej tabeli ABCD125.
U1.
~Y = D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
Powyższy algorytm działa zawsze, niezależnie od wielkości i rodzaju tabeli zero-jedynkowej.

Równania W1 i U1 to jedno z najważniejszych praw w logice matematycznej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.

Mamy:
W1: Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1: ~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)


Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y= ~(~Y)
Podstawiając W1 i U1 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemne to zanegowana logika dodatnia
~Y= ~(Y)
Podstawiając U1 i W1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej ABCD125 możemy odczytać najprostszą funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) opisującą wynikowe jedynki w tej tabeli.
1.
Y=1 <=> p=1 lub q=1
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie minimalne opisujące naszą tabelę:
W2.
Y= p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Matematycznie zachodzi:
W1=W2
Stąd mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Szczegółową definicję spójnika „lub”(+), wynikłą bezpośrednio z definicji operatora OR należy zapamiętać gdyż jest ona często wykorzystywana w naturalnej logice matematycznej człowieka, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc.

Dowód na przykładzie:
W1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę to kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymam słowa.

… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1.
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Symboliczne znaczenie zmiennych:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)

Szczegółowa definicja spójnika „lub”(+):
W1=W2
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Podstawiając nasz przykład otrzymujemy szczegółową rozpiskę wszystkich zdarzeń w dniu jutrzejszym w których dotrzymam słowa.
W1=W2.
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
stąd mamy:
W2.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T = 1*1 =1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)

Zapiszmy tabelę operatora OR(|+) trochę inaczej:
Kod:

ABC123:         |D456:          |Operator OR(|+)|Co matematycznie
Spójnik „lub”(+)|Spójnik „i”(*) |w równaniach   |oznacza
W: Y=p+q        |U:~Y=~p*~q     |cząstkowych    |
   p  q  Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q |               |
A: 1  1   =1    | 0  0   =0     | p* q = Ya     | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0   =1    | 0  1   =0     | p*~q = Yb     | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1   =1    | 1  0   =0     |~p* q = Yc     | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
--------------------------------------------------------------------
D: 0  0   =0    | 1  1   =1     |~p*~q =~Yd     |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
   1  2    3      4  5    6       7  8   9

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Tabela ABCD123:
Na mocy prawa Sowy definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie obszar ABC123:
W: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> p=1 lub q=1
W ostatniej linii D123 mamy w wyniku zero na mocy definicji operatora OR(|+), czyli kolumny wynikowej Y.

Tabela ABCD456:
Na mocy prawa Sowy definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to wyłącznie linia D456.
U: ~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
W pozostałych liniach ABC456 mamy w wyniku zero na mocy definicji funkcji logicznej ~Y którą otrzymujemy poprzez zanegowanie funkcji Y.

Definicja operatora logicznego OR(|+):
Operator logiczny OR(|+) to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q

Wniosek:
Operator OR(|+) to wszystkie cztery linie ABCD123, natomiast spójnik „lub”(+) to na mocy prawa Sowy tylko i wyłącznie obszar ABC123.

Zauważmy, że zależność między tabelami ABCD123 i ABCD456 ma charakter równoważnościowy.

Definicja równoważności:
Równoważność <=> to pewne wynikanie => w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Znam dowolną funkcję logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)

Dowód:
Twierdzenie proste:
W.
Jeśli znam funkcję logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisującą dowolną tabelę zero-jedynkową to na pewno => znam funkcję logiczną ~Y
Y=>~Y
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Założenie: Y=p+q
Teza: ~Y=~p*~q

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne:
U.
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y w spójniach „lub”(+) i „i”(*) to na pewno znam funkcję logiczną Y
~Y=>Y
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Założenie: ~Y=~p*~q
Teza: Y=p+q
Prawdziwość W i U wymusza równoważność.

Podsumowując:
Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia poprawny jest opis wszelkich tabel zero-jedynkowych wyłącznie spójnikami „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki człowieka, bo jest matematycznie jednoznaczny.


5.3 Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja zero-jedynkowa operatora AND(|*):
Kod:

Matryca       |Rachunek zero-jedynkowy
Zero-jedynkowa|
   p  q ~p ~q |Y=p*q ~Y=~p+~q ~Y=~(p*q) Y=~(~p+~q)
A: 1  1  0  0 | =1     =0       =0       =1
-------------------------------------------
B: 0  0  1  1 | =0     =1       =1       =0
C: 0  1  1  0 | =0     =1       =1       =0
D: 1  0  0  1 | =0     =1       =1       =0
   1  2  3  4    5      6        7        8

Wynikowe jedynki i zera w tabeli ABCD125 generuje nam definicja operatora AND(|*).
Wynikowe jedynki i zera w tabeli ABCD346 generuje nam definicja operatora OR(|+).
Kolumna 7 to zanegowana kolumna 5, natomiast kolumna 8 to zanegowana kolumna 6.

Tożsamość kolumn wynikowych 5 i 7 to dowód prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 7 to dowód prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora AND(|*):
Kod:

Definicja zero-jedynkowa        |Definicja        |Co matematycznie
operatora AND(|*)               |w spójnikach     |oznacza
                                |”lub”(+) i „i”(*)|
   p  q ~p ~q  Y=p*q  ~Y=~p+~q  |                 |
A: 1  1  0  0  =1      =0       | p* q= Ya        | Ya=1<=> p=1 i  q=1
----------------------------------------------------------------------
B: 0  0  1  1  =0      =1       |~p*~q=~Yb        |~Yb=1<=>~p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0  =0      =1       |~p* q=~Yc        |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 1  0  0  1  =0      =1       | p*~q=~Yd        |~Yd=1<=> p=1 i ~q=1
   1  2  3  4   5       6         7  8  9           a       b      c

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Prawo Sowy jest tu spełnione bo:
Nagłówek Y=p*q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD125
Nagłówek ~Y=~p+~q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD346

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~Y=~p*+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Rozróżniamy dwa podstawowe algorytmy tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice matematycznej człowieka.

I Sposób:
1.
W wejściowej matrycy zero-jedynkowej muszą być uwidocznione wszystkie zmienne w postaci niezanegowanej (p, q) i zanegowanej (~p, ~q)
2.
W poszczególnych liniach opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki z wejściowej matrycy zero-jedynkowej (p, ~p, q, ~q) łącząc je spójnikiem „i”(*).
3.
Cząstkową kolumnę wynikową zapisujemy w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy jedynka należy do funkcji logicznej Y.
Cząstkową kolumnę wynikową zapisujemy w logice ujemnej (bo ~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jedynka należy do funkcji logicznej ~Y.
4.
Definicję operatora AND(|*) opisuje układ równań W i U:
W1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y):
Y=Ya
Po podstawieniu otrzymujemy:
Y = A: p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
U1.
Równanie w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po podstawieniu otrzymujemy:
~Y=B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Powyższy algorytm działa zawsze, niezależnie od wielkości i rodzaju tabeli zero-jedynkowej.

II sposób:
Posługujemy się wyłącznie podstawową tabelą zero-jedynkową, gdzie uwidocznione są sygnały bezpośrednio widoczne na wejściu oraz znana jest funkcja wyjściowa Y.
Kod:

Definicja        |Definicja        |Co matematycznie
zero-jedynkowa   |w spójnikach     |oznacza
operatora AND(|*)|”lub”(+) i „i”(*)|
   p  q  Y=p*q   |                 |
A: 1  1   =1     | p* q= Ya        | Ya=1<=> p=1 i  q=1
-------------------------------------------------------
B: 0  0   =0     |~p*~q=~Yb        |~Yb=1<=>~p=1 i ~q=1
C: 0  1   =0     |~p* q=~Yc        |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 1  0   =0     | p*~q=~Yd        |~Yd=1<=> p=1 i ~q=1
   1  2    5       7  8  9           a       b      c

Algorytm tworzenia równań logicznych opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową gdzie znana jest funkcja wyjściowa Y.
1.
W tabeli ABCD125 spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych jedynek (Y=1):
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
W tym przypadku nic nie robimy, bowiem wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek.
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki w naszej tabeli ABCD125.
W1.
Y = A: p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1

W identyczny sposób tworzymy równanie algebry Boole’a opisujący wynikowe zera w tabeli ABCD125:
1.
W tabeli ABCD125 spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych zer (Y=0):
Y=0 <=> B: p=0 i q=0 lub C: p=0 i q=1 lub D: p=1 i q=0
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe zera w naszej tabeli ABCD125.
U2.
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*~q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1

Zastosujmy do równania W1 prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.

Mamy:
W1: Y=p*q – logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1: ~Y=~p+~q - logika ujemna (bo ~Y)

Matematycznie zachodzi:
U1=U2
stąd otrzymujemy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q

Alternatywny sposób dotarcia do równania wyżej to skorzystanie ze szczegółowej definicji spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q - logika dodatnia (bo Y)
Podstawiając U2 mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p+~q = (~p)*(~q) + (~p)*~(~q) + ~(~p)*(~q)
Po skorzystaniu z prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
mamy:
~Y= ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
cnd

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y= ~(~Y)
Podstawiając W1 i U1 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemne to zanegowana logika dodatnia
~Y= ~(Y)
Podstawiając U1 i W1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Przykład:
Właściwym miejscem do poznawania logiki matematycznej w praktyce jest przedszkole.
Pani:
W.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)

Zuzia do Jasia (lat 5):
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Jaś:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1).


5.4 Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*)

Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*):
Kod:

Operator OR(|+)                      ## Operator AND(|*)
Definicja symboliczna operatora OR   ## Definicja symboliczna operatora AND
W1: Y=p+q                            ## W2: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)  ## Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)
U1: ~Y=~p*~q                         ## U2: ~Y=~p+~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)
Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.

Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykład:
Y=p+q
Parametry formalne to:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Parametry aktualne to:
K = Kino
T=Teatr


5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków

Poprawna logika matematyczna to naturalna logika każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając. Wynika z tego że dowolne logiczne myślenie człowieka musi mieć przełożenie 1:1 na matematykę, co można łatwo udowodnić udając się do przedszkola gdzie 5-cio latki bez problemu zaprojektują nam najprawdziwsze sterowanie windą dwoma równoważnymi metodami, posługując się logiką dodatnią i ujemną.

Zacznijmy zatem od wizyty w przedszkolu, w 100-milowym lesie:
Pani:
Powiedzcie mi dzieci co trzeba zrobić aby, jechać windą?
Jaś:
A.
Aby jechać windą (J=1) trzeba wejść do windy, zamknąć drzwi (D=1) i nacisnąć przycisk piętro (P=1)
J = D * P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Pani:
Brawo Jasiu!
Zatem winda pojedzie (J=1) tylko wtedy, gdy zamkniemy drzwi (D=1) i wciśniemy przycisk piętro (P=1)

Powiedzcie mi teraz dzieci kiedy winda na pewno nie pojedzie?
Zuzia:
B.
Winda na pewno nie pojedzie (~J=1) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1

Zauważmy, że między rozumowaniem Jasia i Zuzi zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
Jaś:
J=D*P
Zuzia:
~J=~D+~P

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
J = ~(~J)
Podstawiając A i B mamy tożsamość matematyczną, prawo de Morgana:
J = D*P = ~(~D+~P)
Fizyczna realizacja sterowania Jasia to banalna bramka AND(*) o definicji:
Y = p*q
Tożsama, fizyczna realizacja sterowania Zuzi to trzy negatory „~” plus bramka OR(+):
Y = ~(~p+~q)

Jak widzimy, Jaś zaprojektował sterowanie windą w logice dodatniej (bo J), natomiast Zuzia zaprojektowała sterowania windą w logice ujemnej (bo ~J).

Dokładnie w tak banalny sposób elektronicy praktycy projektują wszelkie sterowania w naturalnej logice człowieka, w logice bramek logicznych:
1.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „i”(*) używamy bramki AND(*)
2.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „lub”(+) używamy bramki OR(+)

To jest cała filozofia projektowania układów logicznych w naturalnej logice człowieka.
Zauważmy, że Jasia kompletnie nie interesuje sytuacja ~J, natomiast Zuzi nie interesuje sytuacja J.

Zobaczmy to wszystko w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

   D  P J=D*P  ~D ~P ~J=~D+~P
A: 1  1  =1     0  0   =0
B: 1  0  =0     0  1   =1
C: 0  1  =0     1  0   =1
D: 0  0  =0     1  1   =1
   1  2   3     4  5    6

Jaś:
Aby jechać windą (J=1) trzeba wejść do windy, zamknąć drzwi (D=1) i nacisnąć przycisk piętro (P=1)
J = D * P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Zuzia:
Winda na pewno nie pojedzie (~J=1) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1

Doskonale widać, że:
1.
Jasia interesuje tylko i wyłącznie spójnik „i”(*) w tabeli zero-jedynkowej ABCD123, czyli wynikowa jedynka w tabeli operatora AND (linia A123).
2.
Zuzię interesuje tylko i wyłącznie spójnik „lub”(+) w tabeli zero-jedynkowej ABCD456, czyli wynikowe jedynki w tabeli operatora OR (obszar BCD456).

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Jak widzimy prawem Sowy perfekcyjnie posługuje się każdy 5-cio latek:
Symboliczna definicja spójnika „i”(*) to zaledwie jedna linia w tabeli zero-jedynkowej operatora AND (A123):
J=D*P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> J=1 i P=1

Symboliczna definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie trzy linie w tabeli zero-jedynkowej operatora OR (BCD456):
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej Jasia i Zuzi.

Definicje symboliczne spójników „i”(*) i „lub”(+) są tu kluczowe.
Definicje maszynowe tych spójników to kompletne tabele zero-jedynkowe jak w tabelach wyżej (operatory logiczne). Linie z zerami w wyniku są martwe i nie biorą udziału w logice, potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 10:59, 27 Gru 2015    Temat postu:

Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Część IV

Spis treści
6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 1
6.1 Prawa De Morgana 2
6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 4
6.3 Prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym 7
6.4 Tworzenie równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej 9
6.5 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych 11
6.6 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 17
6.7 Zastosowanie definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) w praktyce 19


6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy

Definicje podstawowe.

Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - spójniki logiczne

Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Kod:

Definicja operatora OR dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p+q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =1
C: 0  1   =1
D: 0  0   =0
   1  2    3

Kod:

Definicja operatora AND dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p*q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =0
C: 0  1   =0
D: 0  0   =0
   1  2    3

Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa

W klasycznym rachunku zero-jedynkowym nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego, czyli nie interesują nas cząstkowe równania logiczne opisujące poszczególne linie operatora, które do tej pory poznaliśmy.
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy to komputerowe (czyli bezmyślne) przemiatanie zer i jedynek na wszelkie możliwe sposoby, gdzie tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym zachodzącego prawa logicznego. To przemiatanie jest poprawne i ma sens wtedy i tylko wtedy gdy poprawnie matematycznie opisujemy wynikające z tego równania matematyczne, czego ziemscy matematycy niestety nie potrafią, bowiem nie znają absolutnie kluczowych pojęć w logice matematycznej, logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y).

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Abstrakcyjnie maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.

Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.

W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V

Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.


6.1 Prawa De Morgana

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =1     =0       0  1   =0      =1
C: 0 1  =1     =0       1  0   =0      =1
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
A1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe 3 i 8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
A2.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe 4 i 7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Bezpośrednio z A1 i A2 wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

A1: Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
A2: ~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =0     =1       0  1   =1      =0
C: 0 1  =0     =1       1  0   =1      =0
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
B1.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
B2.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Bezpośrednio z powyższego wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B1: Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
B2: ~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)


6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3


Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1  0 1 0  1   1   1
B: 0  1 1 0  1   0   1
   1  2 3 4  5   6   7


Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1  0 1 0  1   0   0
B: 0  1 1 0  0   0   0
   1  2 3 4  5   6   7

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd

Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.

Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.

Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.

Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:

Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.


6.3 Prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji prostej |=>:
Kod:

   p q p|=>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =1


Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji odwrotnej |~>:
Kod:

   p q p|~>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0


I prawo Kubusia:
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q)
p|=>q = ~p|~>~q

Dowód formalny I prawa Kubusia:
Kod:

   p q p|=>q  ~p ~q ~p|~>~q
A: 1 1  =1     0  0   =1
B: 1 0  =0     0  1   =0
C: 0 0  =1     1  1   =1
D: 0 1  =1     1  0   =1
   1 2   3     4  5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p|=>q = ~p|~>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 to definicja implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo q):
Na wyjściu p|=>q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0, inaczej p|=>q=1
Tabela zero-jedynkowa ABCD456 to definicja implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~q):
Na wyjściu ~p|~>~q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy ~p=0 i ~q=1, inaczej ~p|~>~q=1

II prawo Kubusia:
Implikacja odwrotna |~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą |=> w logice ujemnej (bo ~q)
p|~>q = ~p|=>~q

Dowód formalny II prawa Kubusia:
Kod:

   p q p|~>q  ~p ~q ~p|=>~q
A: 1 1  =1     0  0   =1
B: 1 0  =1     0  1   =1
C: 0 0  =1     1  1   =1
D: 0 1  =0     1  0   =0
   1 2   3     4  5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p|~>q = ~p|=>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 to definicja implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo q):
Na wyjściu p|~>q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1, inaczej p|~>q=1
Tabela zero-jedynkowa ABCD456 to definicja implikacji prostej |=> w logice ujemnej (bo ~q):
Na wyjściu ~p|=>~q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy ~p=1 i ~q=0, inaczej ~p=>~q=1

Matematycznie zachodzi równanie ogólne implikacji:
L: p|=>q = ~p|~>~q ## P: p|~>q = ~p|=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tu sprawa jest bezdyskusyjna bowiem w definicjach implikacji prostej |=> i odwrotnej |~> na wejściach p i q mamy identyczną matrycę zero-jedynkowych wymuszeń i inne kolumny wynikowe, zatem znaku tożsamości matematycznej [=] absolutnie tu nie możemy postawić.

W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów.
Dowód formalny:
Kod:

   p q p|=>q   q p  q|=>p
A: 1 1  =1     1 1   =1
B: 1 0  =0     0 1   =1
C: 0 0  =1     0 0   =1
D: 0 1  =1     1 0   =0
   1 2   3     4 5    6

Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
p|=>q # q|=>p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p|=>q jest prawdziwe to zdanie q|=>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).

Praca domowa:
Udowodnij, że nie zachodzi przemienność argumentów w implikacji odwrotnej p|~>q.


6.4 Tworzenie równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej

Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możliwe jest utworzenie dwóch równań logicznych:
Y=? - równanie w logice dodatniej (bo Y) opisujące wynikowe jedynki
~Y=? - równanie w logice ujemnej (bo ~Y) opisujące wynikowe zera

Zobaczmy to na przykładzie operatora równoważności:
Kod:

Definicja      |Sprowadzenie
zero-jedynkowa |zmiennych do
               |jedynek
   p  q   Y    |
A: 1  1  =1    | p* q = Ya
B: 1  0  =0    | p*~q =~Yb
C: 0  0  =1    |~p*~q = Yc
D: 0  1  =0    |~p* q =~Yd
   1  2   3      4  5   6

I.
Równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Wspólnym punktem odniesienia dla wszystkich równań logicznych jest jedynka, stąd pomijamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a.
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

II.
Równanie opisujące wynikowe zera w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 również tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=0 <=> B: p=1 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Wspólnym punktem odniesienia dla wszystkich równań logicznych jest jedynka, stąd pomijamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Wniosek:
Tabelę zero-jedynkową równoważności opisuje układ równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
I. Y = p*q + ~p*~q
II. ~Y = p*~q + ~p*q

Przechodzimy z równaniem II do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
II. ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Negacja zmiennych i wymiana spójników:
III. Y = (~p+q)*(p+~q)

Przechodzimy z równaniem I do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
I. Y = (p*q) + (~p*~q)
Negacja zmiennych i wymiana spójników:
IV. ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Matematycznie zachodzi:
I. Y = III. Y
stąd:
I. Y = p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzi również:
II. ~Y = IV. ~Y
stąd:
II. ~Y = p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)

Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna typu I nosi nazwę funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
I. Y = p*q + ~p*~q - alternatywa koniunkcji

Definicja funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
Funkcja logiczna typu III nosi nazwę funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
III. Y = (~p+q)*(p+~q) - koniunkcja alternatyw

Stąd mamy znane w matematyce twierdzenie:
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy więcej niż jedną wynikową jedynkę i więcej niż jedno wynikowe zero to dla tej tabeli możemy zapisać dwie funkcje alternatywno-koniunkcyjne (I i II) oraz tożsame z nimi dwie funkcje koniunkcyjno-alternatywna (I=III i II=IV).

Dowód tożsamości I=III:
I. Y = p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)

Mnożymy wielomian z prawej strony:
Y = (~p*q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
;p*~p=0
;p+x=0
stąd:
Y = ~p*q + q*p
Y = p*q + ~p*~q
cnd
Dowód tożsamości II=IV pozostawiam czytelnikowi.


6.5 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

W dowolnej tabeli zero-jedynkowej zmienne z nagłówka tabeli możemy sprowadzać do jedynek otrzymując równania alternatywno-koniunkcyjne, albo do zera otrzymując równania koniunkcyjno-alternatywne.

Zobaczmy to na przykładzie tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Kod:

Definicja      |Sprowadzenie |Sprowadzenie |Sprawdzenie poprzez
zero-jedynkowa |zmiennych do |zmiennych do |przejście z tabelą ABCD456
równoważności  |jedynek      |zera         |do logiki przeciwnej: Negujemy
               |             |             |zmienne i wymieniamy spójniki
   p  q   Y    |             |             |
A: 1  1  =1    | p* q = Ya   |~p+~q =~Ya   | p* q = Ya
B: 1  0  =0    | p*~q =~Yb   |~p+ q = Yb   | p*~q =~Yb
C: 0  0  =1    |~p*~q = Yc   | p+ q =~Yc   |~p*~q = Yc
D: 0  1  =0    |~p* q =~Yd   | p+~q = Yd   |~p* q =~Yd
   a  b   c      1  2   3      4  5   6      7  8   9

Twierdzenie o tworzeniu równań algebry Boole’a z dowolnych tabel zero-jedynkowych:
1.
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzać wszystkie zmienne do jedynek stosując spójnik „i”(*) w wierszach i spójnik „lub”(+) w kolumnach, co pokazano w tabeli ABCD123:
I.
Y=Ya+Yc
Y= A: p*q + C: ~p*~q
II.
~Y= ~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Alternatywnie:
2.
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzać wszystkie zmienne do zera stosując spójnik „lub”(+) w wierszach i spójnik „i”(+) w kolumnach, co pokazano w tabeli ABCD456
III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
IV.
~Y=~Ya*~Yc
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)

Przy tworzeniu równań cząstkowych dla każdej linii korzystamy z praw Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)

Przykład dla ABCD123 (sprowadzanie zmiennych do jedynek):
W tabeli ABCDabc mamy:
Ba: p=1
stąd w tabeli ABCD123 tylko przepisujemy zmienną p:
B1: p=1
W tabeli ABCDabc mamy:
Bb: q=0
stąd w tabeli ABCD123 korzystamy z prawa Prosiaczka:
B2: ~q=1

Przykład dla ABCD456 (sprowadzanie zmiennych do zera):
W tabeli ABCDabc mamy:
Ba: p=1
stąd w tabeli ABCD456 korzystamy z prawa Prosiaczka:
B4: ~p=0
W tabeli ABCDabc mamy:
Bb: q=0
stąd w tabeli ABCD456 tylko przepisujemy zmienną q:
B5: q=0

Tożsamość tabel ABCD123 i ABCD789 jest dowodem, iż nie ma znaczenia czy zmienne będziemy sprowadzać do jedynek (tabela ABCD123) czy też do zera (tabela ABCD456).

Tabelę ABCD123 opisuje układ równań logicznych:
I.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
II.
~Y=~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q

Tabelę ABCD456 opisuje układ równań logicznych:
III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
IV.
~Y=~Ya*~Yc
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
Matematycznie zachodzi:
I. Y = III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)
Matematycznie zachodzi:
II. ~Y = IV. ~Y
~Y= II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)

Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym tożsamości:
I. Y =III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)

Ad I.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
Y= A: p*q+ C: ~p*~q
Kod:

   p  q  ~p ~q  A:Ya=p*q C:Yc=~p*~q  Y=Ya+Yc | p  q  Y=Ya+Yc
A: 1  1   0  0    =1       =0        =1      | 1  1  =1
B: 1  0   0  1    =0       =0        =0      | 1  0  =0
C: 0  0   1  1    =0       =1        =1      | 0  0  =1
D: 0  1   1  0    =0       =0        =0      | 0  1  =0
   1  2   3  4     5        6         7      | 1  2   7

Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Ad III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
Kod:

   p  q  ~p ~q  B:Ya=~p+q D:Yc= p+~q  Y=Yb*Yd | p  q  Y=Yb*Yd
A: 1  1   0  0    =1        =1        =1      | 1  1  =1
B: 1  0   0  1    =0        =1        =0      | 1  0  =0
C: 0  0   1  1    =1        =1        =1      | 0  0  =1
D: 0  1   1  0    =1        =0        =0      | 0  1  =0
   1  2   3  4     5         6         7        1  2   7

Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
Y = (~p+q)*(p+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~p=1 lub q=1) i (p=1 lub ~q=1)
Tożsamość kolumn wynikowych 7 w funkcjach logicznych I i III jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości:
I. Y = III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)

Przejdźmy z funkcją III na postać alternatywno-koniunkcyjną poprzez wymnożenie wielomianów.
Y = (~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + p*q + q*~q
Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale widać, że funkcja III jest identyczna jak funkcja I wyżej.
cnd

Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym tożsamości:
II. ~Y = IV. ~Y
~Y=II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)

Ad II.
Sprawdzenie rachunkiem zero-jedynkowym:
~Y = ~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Kod:

   p  q  ~p ~q  B:~Yb=p*~q  D:~Yd=~p*q  ~Y=~Yb+~Yd | p  q ~Y=~Yb+~Yd
A: 1  1   0  0     =0          =0        =0        | 1  1  =0
B: 1  0   0  1     =1          =0        =1        | 1  0  =1
C: 0  0   1  1     =0          =0        =0        | 0  0  =0
D: 0  1   1  0     =0          =1        =1        | 0  1  =1
   1  2   3  4      5           6         7          1  2   7

Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Ad IV.
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
Kod:

   p  q  ~p ~q  A:~Ya=~p+~q  C:~Yc=p+q  ~Y=~Ya*~Yc | p  q ~Y=~Ya*~Yc
A: 1  1   0  0     =0           =1       =0        | 1  1  =0
B: 1  0   0  1     =1           =1       =1        | 1  0  =1
C: 0  0   1  1     =1           =0       =0        | 0  0  =0
D: 0  1   1  0     =1           =1       =1        | 0  1  =1
   1  2   3  4      5            6        7          1  2   7

Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
~Y = (~p+~q)*(p+q)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) i (p=1 lub q=1)
Tożsamość kolumn wynikowych 7 w funkcjach logicznych II i IV jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości:
II. ~Y = IV. ~Y
stąd:
~Y=II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)

Przejdźmy z funkcją logiczną IV do postaci alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q
Doskonale widać, że funkcja IV jest identyczna jak funkcja II.
cnd

Tożsamości matematyczne I=III oraz II=IV oznaczają, że w logice istotna jest jedna tabela zero-jedynkowa i dwie funkcje postaci alternatywno-koniunkcyjne.
Kod:

Definicja      |Sprowadzenie
zero-jedynkowa |zmiennych do
równoważności  |jedynek
   p  q   Y    |
A: 1  1  =1    | p* q = Ya
B: 1  0  =0    | p*~q =~Yb
C: 0  0  =1    |~p*~q = Yc
D: 0  1  =0    |~p* q =~Yd
   a  b   c      1  2   3

Tabelę zero-jedynkową ABCD123 opisuje układ równań logicznych:
W.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
U.
~Y=~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Zapiszmy funkcję logiczną W w tabeli zero-jedynkowej:
W: Y = A: p*q + C: ~p*~q
Kod:

   p q ~p ~q A:Ya=p*q C:Yc=~p*~q Y=Ya+Yc | ~Y=~(Y)=~(p*q+~p*~q)
A: 1 1  0  0   =1       =0       =1      |  =0 
B: 1 0  0  1   =0       =0       =0      |  =1
C: 0 0  1  1   =0       =1       =1      |  =0
D: 0 1  1  0   =0       =0       =0      |  =1
   1 2  3  4    5        6        7      |   8

Doskonale widać, że w równaniu W mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
W. Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
W. Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y).
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
U: ~Y = ~(Y)
Podstawiając W mamy:
W. ~Y = ~(Y) = ~(p*q+~p*~q)
Z równania widać, że zmienne w nawiasie sprowadzone są do jedynek względem Y a nie względem ~Y.
Czyli najpierw budujemy funkcję logiczną:
Y=p*q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
.. a dopiero na końcu negujemy funkcję Y co pokazano w kolumnie 8

Zauważmy, że w funkcji logicznej opisanej kolumną 8 nie mamy wszystkich zmiennych sprowadzonych do jedynek:
~Y = ~(p*q+~p*~q)

Jak poradzić sobie z tym problemem?

Sposób 1.
Najprościej przekształcić prawą stronę korzystając z prawa De Morgana:
IV. ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co matematycznie oznacza:
IV. ~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) i (p=1 lub q=1)
Dowód:
Tabela zero-jedynkowa IV wyżej.

Sposób 2.
Mnożymy wielomian IV otrzymując postać alternatywno-koniunkcyjną II:
~Y= (p+q)*(~p+~q)
~Y=p*~p+p*~q + q*~p + q*~q
;p*~p=0
;0+x=x
II. ~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
II. ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Dowód:
Tabela zero-jedynkowa II wyżej.


6.6 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Naturalną logiką człowieka są postaci: alternatywna, koniunkcyjna, alternatywno-koniunkcyjna

Postać alternatywna:
Y = A1+A2+ … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1

Postać koniunkcyjna:
Y = A1*A2* … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 i A2=1 i … An=1

Postać alternatywno-koniunkcyjna to suma logiczna iloczynów cząstkowych:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Aksjomat:
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)

Definicja logiki sprzecznej z naturalną logiką człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Logiką sprzeczną z naturalną logiką człowieka jest postać koniunkcyjno-alternatywna.

Postać koniunkcyjno-alternatywna to iloczyny logiczne sum cząstkowych:
Y = (p+q)*(r+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p+q)=1 i (r+~q)=1

Twierdzenie:
Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej (logiki człowieka) to po prostu wymnożenie wielomianów.

Przykład:
Y = (p+q)*(r+~q)
Y = p*r + p*~q + q*r + q*~q
;q*~q=0
;0+x=x
Y = p*r + p*~q + q*r

Dowód sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka poprzez znalezienie kontrprzykładu.

Rozważmy zdanie:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymując postać koniunkcyjno-alternatywną:
U1.
~Y = ~K*(~B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Ostatnie równanie to postać alternatywno-koniunkcyjna, naturalna logika człowieka.
Stąd:
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basem lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku
~Y = ~K*~B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już skłamałem (~Y=1), drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
~Y = ~K*~B = 1*1 =1 - nie byłem w kinie (~K=1) i nie byłem na basenie (~B=1)
czyli:
Skłamałem (~Y=1), drugiego członu alternatywy nie muszę sprawdzać

Natomiast postać koniunkcyjno-alternatywna, mimo że prosta, dla normalnego człowieka będzie niezrozumiała.
U1.
~Y=~K*(~B+~P)

Dowód:
U2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)

W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Każdy normalny człowiek słysząc zdanie U2 zrozumie i zapisze je jako:
~Y=~K*~B + ~P
Dostaliśmy zapis kompletnie inny niż w równaniu U1, co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka.
cnd

Nawet jak wstawimy tu nawiasy kwadratowe:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i [nie pójdę na basen lub nie pójdę do parku (~B+~P)=1]
~Y = ~K*[~B+~P]
… to i tak żaden normalny człowiek tego nie zrozumie, mimo że funkcja jest banalnie prosta.

Jeśli zdanie U2 przekształcimy do postaci U poprzez wymnożenie zmiennej przez wielomian to zrozumie je każdy 5-cio latek.


6.7 Zastosowanie definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) w praktyce

Przykład 6.7.1

Rozważmy zdanie wypowiedziane:
W.
Jutro pójdę do Asi lub Basi lub Czesi
Y=A+B+C
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub B=1 lub C=1

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U.
~Y=~A*~B*~C
Stąd mamy odpowiedź:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę ani do Asi (~A=1), ani do Basi (~B=1), ani też do Czesi (~C=1)
~Y=~A*~B*~C
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i ~B=1 i ~C=1
Ze zdania U wynika, że skłamię w jednym jedynym przypadku, gdy jutro nie pójdę do żadnej z dziewczyn. W przeciwnym razie dotrzymam słowa.
Dla trzech zmiennych binarnych możliwych jest osiem różnych przypadków (2^3=8), wynika z tego że dotrzymać słowa mogę aż na 7 możliwych sposobów, natomiast skłamać wyłącznie na jeden sposób. W ogólnym przypadku dotrzymanie słowa (Y=1) i skłamanie (~Y=1) możliwe jest na wiele różnych sposobów, matematycznie to bez znaczenia, logika matematyczna superprecyzyjnie i w 100% pewnie odpowiada na pytanie w jakich przypadkach jutro dotrzymam słowa, a w jakich skłamię.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol którego wartość logiczna nie jest znana

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest znana

W dniu dzisiejszym nasze symbole A, B i C na pewno nie są stałymi binarnymi, bowiem nie znamy ich wartości logicznej (nikt nie zna przyszłości). Skoro nie są stałymi binarnymi to muszą być zmiennymi binarnymi, innej możliwości matematycznej nie ma. Oczywiście możemy się abstrakcyjnie przenieść do pojutrze i symulować różne warianty, co nie zmienia faktu że w dniu dzisiejszym mamy do czynienia ze zmiennymi binarnymi A, B i C o nieznanej wartości logicznej.

Zauważmy, że istotna jest tu informacja kiedy jutro skłamię natychmiast po wypowiedzeniu zdania:
A.
Jutro pójdę do Asi lub Basi lub Czesi
… by tego kłamstwa uniknąć!

Informacja „kiedy skłamałem”, czyli pojutrze, jest musztardą po obiedzie.
Wynika z tego że istotna jest logika operująca na zmiennych binarnych, których wartości logicznej nie znamy.

Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego

Załóżmy że jest jutro i w naszym przykładzie przed południem byliśmy już u Asi, ale nie byliśmy jeszcze u Basi i Czesi.

Nasze równanie przyjmuje postać:
Y = A+B+C = 1+B+C =1
Oczywiście w tym momencie dotrzymaliśmy słowa, dalsze nasze działania są kompletnie bez znaczenia. Nieistotne są nasze nocne wycieczki do Basi, czy też Czesi.
Tuz po wizycie u Asi rozkład zmiennych i stałych w naszym równaniu jest następujący:
A=1 - byliśmy u Asi, to jest stała symboliczna o wartości logicznej jeden
B=x, C=x - to są zmienne binarne o jeszcze nie znanej wartości logicznej.
Załóżmy że nigdzie więcej nie poszliśmy.
Zauważmy że równo z północą zmienne binarne A i C automatycznie przyjmują wartość logiczną zero.
B=0 - wczoraj nie byliśmy u Basi
C=0 - wczoraj nie byliśmy u Czesi
Po jutrze wszystko jest zdeterminowane, wiemy wszystko:
Y = A+B+C = 1+0+0 =1 - dotrzymaliśmy słowa
W powyższym przykładzie logika matematyczna operuje wyłącznie na nieznanych zmiennych binarnych.

Rozważmy kolejny ciekawy przykład.

Przykład 6.7.2

Poszukujemy mordercę, morderstwa dokonano w Warszawie, mamy 5 podejrzanych, w śledztwie ustalamy że tylko A i B byli w dniu morderstwa w Warszawie.
W tym momencie mamy następujący rozkład zmiennych i stałych binarnych.
A=1, B=1, C=0, D=0, E=0
Oczywiście zmienne A i B dalej są zmiennymi binarnym, bo zarówno A jak i B może być mordercą.
Natomiast C, D i E są stałymi binarnymi na które nie mamy wpływu, czasu nie da się cofnąć i zmusić C do bycia w Warszawie w dniu morderstwa.
W tym momencie wykopujemy stałe binarne C=0, D=0 i E=0 w kosmos. Kontynuujemy śledztwo w trakcie którego ustalamy iż to A jest mordercą, pod ciężarem dowodów A przyznaje się do morderstwa i tłumaczy na wizji lokalnej jak to zrobił.

KONIEC śledztwa!
Wszystkie zmienne binarne przeszły nam w stałe binarne:
A=1, B=0, C=0, D=0, E=0

Fundamentalne pytanie:
Po co komu tu dalsza logika?
Czy jest sens zastanawiać się że wszyscy początkowi podejrzani A, B, C, D i E mogli być mordercami, zatem dlaczego zabił A?

Wniosek:
W tym przypadku logika operująca na stałych binarnych jest kompletnie bez sensu

… ale uwaga!
Algebra Kubusia operuje na stałych, o ile te stałe służą do rozwiązania problemu.


Przykład 6.7.3

Weźmy katastrofę samolotu rządowego RP w Smoleńsku.

Najważniejsze przyczyny tej katastrofy to:
Czy była mgła?
Tak, M=1
Dopiero po „tak” zmienna binarna M=x przechodzi w stałą binarną M=1
Czy samolot leciał zbyt nisko?
Tak, N=1
Dopiero po „tak” zmienna binarna N=x przechodzi w stalą binarną N=1
To są stałe binarne które nie znikną po zakończeniu śledztwa, będą w związku z katastrofą na zawsze.

Oczywistym jest że wyłącznie idiota będzie tu rozważał przypadki co by było gdyby:
Gdyby nie było mgły?
M=0
Gdyby samolot nie leciał zbyt nisko?
N=0
etc
To po prostu nie ma sensu, podobnie jak nie mają sensu rozważania co by było gdyby Hitler zginął w zamachu w 1933r, czy też pisanie historii naszego świata przy założeniu iż nie było Aleksandra Wielkiego, Kopernika, Newtona etc.

Definicja logiki w algebrze Kubusia.
Logika to matematyczny opis nieznanego

Wnioski:
Z logiki usuwamy wszelkie zmienne które w trakcie rozwiązywania nieznanego przeszły w stałe binarne o wartości logicznej fałsz (=0) np. szukanie mordercy wyżej.
AK zajmuje się stałymi binarnymi o wartości logicznej prawda (=1) o ile mają one związek z rozwiązywaniem nieznanego np. katastrofa Smoleńska


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 20:47, 05 Sty 2016, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 20:47, 06 Sty 2016    Temat postu:

Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Część V

Spis treści
7.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~> 1
7.1 Teoria spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~> 3
7.1.1 Definicje spójników implikacyjnych w zdarzeniach 3
7.1.3 Definicje spójników implikacyjnych w zbiorach 4
7.2 Definicja operatora chaosu |~~> 5
7.3 Definicja operatora implikacji prostej |=> 8
7.3.1 Prawo Komandora 10
7.3.2 Matematyczne wnioskowanie z prawa Komandora 13
7.4 Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> 15
7.4.1 Prawo Komandora 18
7.4.2 Matematyczne wnioskowanie z prawa Komandora 20
7.5 Równanie ogólne implikacji 22
7.6 Definicja równoważności <=> 24
7.6.1 Prawo Komandora 25
7.6.2 Alternatywne definicje równoważności 28
7.6.3 Prawa kontrapozycji w równoważności 29


7.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~>

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y) na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q układu.

Operatory implikacyjne to operatory związane ze zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”:
|=> - operator implikacji prostej (kwantyfikator duży)
|~> - operator implikacji odwrotnej
<=> - operator równoważności
|~~> - kwantyfikator mały

Zero-jedynkowe definicje operatorów implikacyjnych:
Kod:

          p|=>q          p|~>q           p<=>q            p|~~>q
          N4      N5     N6      N7      N8       N9      N10       N11
          Y=     ~Y=     Y=     ~Y=      Y=      ~Y=      Y=       ~Y=
p q ~p ~q p|=>q ~(p|=>q) p|~>q ~(p|~>q) (p<=>q) ~(p<=>q) (p|~~>q) ~(p|~~>q)
1 1  0  0  =1      =0     =1      =0      =1       =0      =1        =0
1 0  0  1  =0      =1     =1      =0      =0       =1      =1        =0
0 0  1  1  =1      =0     =1      =0      =1       =0      =1        =0
0 1  1  0  =1      =0     =0      =1      =0       =1      =1        =0
            4       5      6       7       8        9      10        11

Klasyczna definicja operatora logicznego w logice dodatniej (bo Y) to kompletna kolumna wynikowa Y w odniesieniu do sygnałów p i q.
Operatory ujemne (bo ~Y) to zanegowane operatory dodatnie (bo Y).

Klasyczna algebra Boole’a ogranicza się do zaledwie dwóch operatorów dodatnich OR(|+) i AND(|*) oraz definicji negatora - to jest cała, beznadziejnie prymitywna, aktualna logika matematyczna ziemian, która z logiką matematyczną używaną przez każdego 5-cio latka ma ZERO wspólnego.

W technice cyfrowej zanegowane operatory dodatnie AND i OR mają swoje indywidualne nazwy jako NAND i NOR których w praktyce języka mówionego absolutnie nikt nie używa.

Matematycznie dla spójników „lub”(+) i „i”(*) zachodzi:
W.
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Przykład z języka 5-cio latka.

Pani w przedszkolu:
W.
Dzieci, jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Jasiu, czy wiesz kiedy Pani jutro zostanie kłamczuchą?
Jaś:
Oczywiście że wiem!
U.
Pani zostanie kłamczuchą (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y = ~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Zdanie tożsame do U wypowiedziane z użyciem odpowiednich spójników ujemnych NOR i NAND miałoby brzmienie.
U.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) NOR do teatru (T=1)
~Y = ~K*~T = ~(K+T) = K NOR T

Oczywistym jest że zdaniami z użyciem operatorów ujemnych głowy nie będziemy sobie zawracać - wywalamy do śmietnika zapominając o tym badziewiu.

Żaden człowiek nie zna nawet nazw ujemnych operatorów implikacyjnych typu ~(|=>), ~(|~>) i ~(<=>) bo w logice matematycznej człowieka to jest psu na budę potrzebne!

Na mocy definicji zachodzi:
Y=(p|=>q) ## Y=(p|~>q) ## Y=(p<=>q) ## Y=(p|~~>q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
Kolumny wynikowe operatorów dodatnich 4, 6, 8 i 10 są różne, mimo identycznych wymuszeń na wejściach p i q.

Wynika z tego że żadnego z operatorów dodatnich nie da się zastąpić jakimkolwiek innym operatorem, ani dodatnim, ani ujemnym, to jest fizycznie niemożliwe.


7.1 Teoria spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~>

Definicja zdania warunkowego Jeśli p to q” wszystkich ludzi jest niesłychanie trywialna:
A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

W logice matematycznej między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne.
I
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q
II
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
III
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q


7.1.1 Definicje spójników implikacyjnych w zdarzeniach

I
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q

A1.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Warunek wystarczający => spełniony bo wymuszam deszcz i pojawiają się chmury

II
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Warunek konieczny ~> spełniony bo zabieram chmury i znika mi możliwość padania

III
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q

B2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Kwantyfikator mały ~~>spełniony bo możliwa jest sytuacja „są chmury” i „nie pada”
B2’.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> nie padać
CH~>~P =0
Warunek konieczny ~> w zdaniu B2’ nie jest spełniony bo zabieram chmury nie wykluczając sytuacji „nie pada”.

Prawo Czarnej Mamby (roznoszące w puch totalnie całą logikę „matematyczną” ziemian):
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Przykłady:
A1’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo możliwa jest sytuacja „pada” i „są chmury”
A2’.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo możliwa jest sytuacja „są chmury” i „pada”


7.1.3 Definicje spójników implikacyjnych w zbiorach

1.
=> - warunek wystarczający (kwantyfikator duży)

Zbiór na podstawie wektora => jest podzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora =>
A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to na pewno => zajdzie skutek q
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q z czego wynika że:
Zajście p wystarcza => dla zajścia q
Zajście p gwarantuje => zajście q
To samo zdanie zapisane kwantyfikatorem dużym:
Dla każdego elementu x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => x należy do zbioru q(x)
/\x p(x)=>q(x)
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
Jeśli zajdzie przyczyna, wylosuję liczbę podzielną przez 8, to na pewno => zajdzie skutek, liczba ta będzie podzielna przez 2
P8=>P2
Przyjmujemy sensowną dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przynależność liczby do zbioru P8 daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba należy także do zbioru P2.

2.
~> - warunek konieczny

Zbiór na podstawie wektora ~> jest nadzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie przyczyna p to może ~> zajść skutek q
p~>q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> zajścia q
Zabieram p i znika mi możliwość zajścia q
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
Jeśli zajdzie przyczyna, wylosuję liczbę podzielną przez 2, to może ~> zajść skutek, liczba ta będzie podzielna 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8

3.
~~> - naturalny spójnik „może” ~~> (kwantyfikator mały)

Zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Tu wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q co kończy dowód prawdziwości tego zdania.
To samo zdanie zapisane kwantyfikatorem małym:
\/x p(x)*q(x)
Istnieje element x należący jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może~~> być podzielna przez 2
Jeśli zajdzie przyczyna, wylosuję liczbę podzielną przez 2, to może ~~> zajść skutek, liczba ta będzie podzielna 8
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Pokazuję jeden wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] co kończy dowód prawdziwości zdania zapisanego kwantyfikatorem małym ~~>.


7.2 Definicja operatora chaosu |~~>

Definicja operatora chaosu |~~>:[/b]
Zbiór p ma cześć wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie jest podzbiorem drugiego
p|~~>q
Zapis matematyczny:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)



Symboliczna definicja operatora chaosu w spójniku ~~> oraz w spójnikach „i”(*):
Kod:

Tabela 1
Matryca        |Symboliczna definicja |Co matematycznie oznacza
zero-jedynkowa |operatora chaosu |~~> |
               |w spójnikach „i”(*)   |
   p  q ~p ~q  |               p|~~>q |
A: 1  1  0  0  | p~~> q = p* q =1     |( p=1)~~>( q=1) = ( p=1)*( q=1)
B: 1  0  0  1  | p~~>~q = p*~q =1     |( p=1)~~>(~q=1) = ( p=1)*(~q=1)
C: 0  0  1  1  |~p~~>~q =~p*~q =1     |(~p=1)~~>(~q=1) = (~p=1)*(~q=1)
D: 0  1  1  0  |~p~~> q =~p* q =1     |(~p=1)~~>( q=1) = (~p=1)*( q=1)
   1  2  3  4    5    6   7  8  9        a        b        c      d

Definicję symboliczną operatora chaosu |~~> w kwantyfikatorze małym ~~> tworzymy z tabeli zero-jedynkowej ABCD1234 zapisując w kolejnych liniach zmienne z nagłówka tej tabeli o wartości logicznej równej jeden. Kolumnę wynikową determinuje nam definicja operatora chaosu w zbiorach.
Możemy zatem powiedzieć, że w symbolicznej definicji operatora chaosu mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek. Pokazuje to tabela symboliczna ABCDabcd.

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
1 - zbiór niepusty [x] (istnieje, zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty [] (nie istnieje, nie zawiera żadnego elementu)

Zauważmy, że w definicji symbolicznej mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.

Wnioski:
1.
W algebrze Kubusia, w tabeli symbolicznej opisanej kwantyfikatorami małymi ~~> żaden ze zbiorów p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym, wszystkie muszą istnieć.
2.
W algebrze Kubusia, w tabeli symbolicznej opisanej kwantyfikatorami małymi ~~> zbiory puste mogą występować wyłącznie jako wynik iloczynu logicznego zbiorów rozłącznych

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu |~~> to tabela ABCD129.
Kod:

   p  q  p|~~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   9

W świecie rzeczywistym mając dowolne zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> nie wiemy w skład jakiego operatora to zdanie wchodzi, musimy to dopiero udowodnić badając serię czterech zdań A, B, C, D pod kwantyfikatorem małym ~~> we wszystkich możliwych przeczeniach p i q.

Prawo Komandora:
W świecie rzeczywistym to definicja symboliczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kwantyfikatorze małym ~~> (ABCD5678) wymusza tabelę zero-jedynkową operatora logicznego, nigdy odwrotnie!

Przykład:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3
Przyjmując za dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych

Rozwiązanie:
Wyznaczenie wszystkich możliwych zbiorów:
Dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P8=[8,16,24..] =1 - zbiór niepusty
P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..] =1 - zbiór niepusty
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór niepusty
~P3=[LN-P3] = [1,2..4,5..7,8..] - zbiór niepusty

Analiza przez wszystkie możliwe przeczenia:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Odpowiedź:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora chaosu:
P8|~~>P3


7.3 Definicja operatora implikacji prostej |=>

Definicja operatora implikacji prostej |=>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:


Definicja podzbioru:
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Pełną definicję symboliczną implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) odczytujemy bezpośrednio z diagramu.

Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

Tabela 1IP
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q w kwantyfikatorze małym ~~>:
                 p|=>q
A: p~~> q = p* q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q = p*~q =0 - nie istnieje wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q =~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q =~p* q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q

Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach implikacyjnych =>,~>,~~>:
Kod:

Tabela 2IP
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>,~>,~~>:
         p|=>q=~p|~>~q
A: p=> q =1 - bo p jest podzbiorem => q, wymuszam dowolne p i pojawia się q
B: p~~>~q= p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
C:~p~>~q =1 - bo ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q, zabieram ~p i znika mi ~q
D:~p~~>q =~p* q=1 - istnieje ~~> wspólny element należący do zbiorów ~p i q

Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q wraz z kodowaniem zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 3IP
Matryca        |Symboliczna definicja |Symboliczna definicja
zero-jedynkowa |implikacji prostej |=>|implikacji prostej |=>
               |w ~~> oraz „i”(*)     |w =>, ~>, ~~>
   p  q ~p ~q  |               p|=>q  |
A: 1  1  0  0  | p~~> q = p* q =1     | p=> q =1
B: 1  0  0  1  | p~~>~q = p*~q =0     | p~~>~q=0
C: 0  0  1  1  |~p~~>~q =~p*~q =1     |~p~>~q =1
D: 0  1  1  0  |~p~~> q =~p* q =1     |~p~~>q =1
   1  2  3  4    5    6   7  8  9       a   b  c

Doskonale widać, iż w definicjach symbolicznych wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek.
Zero-jedynkowa definicja operatora implikacji prostej |=> to tabela ABCD129.
Kod:

Tabela 4IP
   p  q  p|=>q |~p ~q ~p|~>~q
A: 1  1  =1    | 0  0  =1
B: 1  0  =0    | 0  1  =0
C: 0  0  =1    | 1  1  =1
D: 0  1  =1    | 1  0  =1
   1  2   9      3  4   0

Tożsamość kolumn wynikowych 9 i 0 jest dowodem formalnym prawa Kubusia dla operatorów:
p|=>q = ~p|~>~q
Prawo Kubusia obowiązuje też na poziomie spójników implikacyjnych:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości „=” w algebrze Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie znaku „=” wymusza prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość zdania po dowolnej stronie znaku „=” wymusza fałszywość po drugiej stronie

Analiza matematyczna symbolicznej definicji implikacji prostej |=>:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Dowolny element zbioru p należy => do zbioru q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy p
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
A: p=>q = [p*q=p] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!

Bezpośrednio z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =[] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zbiór pusty o wartości logicznej 0.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => A:
A: p=>q
Nazywamy zdanie B z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
B: p~~>~q = p*~q
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)

Zauważmy, że udowodnienie iż żaden element zbioru p nie należy do zbioru ~q determinuje przynależność wszystkich elementów p do zbioru q, widać to doskonale na powyższym diagramie.
Jest to zatem dowód tożsamy do dowodu prawdziwości warunku wystarczającego A wprost, gdzie dowodzimy iż każdy element zbioru p należy do zbioru q.
Zauważmy także, że wystarczy znaleźć jeden element x ze zbioru p który należy do zbioru ~q i już kontrprzykład B jest prawdziwy, co wymusza fałszywość warunku wystarczającego A.

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> dla zbioru ~q
Zabieram zbiór ~p i znika mi zbiór ~q, co doskonale widać na powyższym diagramie.
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~p):
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
~p|~>~q = (~p~>~q)*~[~p=~q]
Twierdzenie:
p~>q
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy q
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q = [p*q=q] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
W przełożeniu na nasze zdanie C mamy:
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
co doskonale widać na diagramie implikacji prostej wyżej.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem (patrz zdanie B), zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny dla zbiorów ~p i q, wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia sytuacji ~p i q.


7.3.1 Prawo Komandora

W świecie rzeczywistym badając dowolne zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> nie wiemy w skład jakiego operatora to zdanie wchodzi, musimy to dopiero udowodnić badając zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> we wszystkich możliwych przeczeniach p i q.

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wspólna cześć zbiorów p i q
Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
P~~>4L = P*4L =1 - bo istnieje wspólna cześć zbiorów P i 4L, to pies

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest prawdziwe, gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - bo możliwe jest zdarzenie „pada” i „są chmury”

W obu definicjach badamy rzeczywiste relacje między p i q.
Wniosek:
W obu definicjach zmienne p i q mogą być w dowolnych przeczeniach, to bez znaczenia.

Prawo Czarnej Mamby:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Przykłady:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo możliwa jest sytuacja „pada” i „są chmury”
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo możliwa jest sytuacja „są chmury” i „pada”

Prawo Komandora:
W świecie rzeczywistym to definicja symboliczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kwantyfikatorze małym ~~> (ABCD5678) wymusza tabelę zero-jedynkową operatora logicznego, nigdy odwrotnie!

Korzystając z prawa Czarnej Mamby i prawa Komandora dowolne zdanie „Jeśli p to q” możemy zapisać w kwantyfikatorze małym po czym skorzystać z algorytmu Komandora.

Algorytm Komandora:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przekształcamy do zdania pod kwantyfikatorem małym ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q
2.
Tworzymy serię zdań A, B, C i D uwzględniającą wszystkie możliwe przeczenia p i q
Wszystkich możliwych przypadków może być tylko i wyłącznie cztery.
Kod:

Tabela 5
   p  q  ~p  ~q
A: 1  1   0   0    p~~> q = p* q =?
B: 1  0   0   1    p~~>~q = p*~q =?
C: 0  0   1   1   ~p~~>~q =~p*~q =?
D: 0  1   1   0   ~p~~> q =~p* q =?

3.
Otrzymana kolumna wynikowa decyduje o tym, z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia.

Zauważmy, że kolejność linii nie ma tu najmniejszego znaczenia jednak by od razu, bez porządkowania linii otrzymać założoną, definicyjną tabelę zero-jedynkową (Tabela 3IP), musimy się trzymać kolejności przeczeń przedstawionej w Tabeli 5 (zgodność z tabelą 3IP).

Przykład działania algorytmu Komandora:

Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A.
A.
Jeśli jutro będzie padło to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Definicja kwantyfikatora małego spełniona bowiem możliwa jest sytuacja „pada” i „są chmury”

Korzystając z algorytmu Komandora możemy precyzyjnie ustalić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.

Rozwiązanie:
A.
Jeśli jutro będzie padło to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Możliwa jest sytuacja „pada” i „są chmury”
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =1
Możliwa jest sytuacja „nie pada” i „nie ma chmur”
D.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwa jest sytuacja „nie pada” i „są chmury”

Nanosimy powyższą analizę na tabelę zero-jedynkową.
Kod:

Tabela 5IP
   P CH  ~P ~CH                    P|=>CH
A: 1  1   0   0    P~~> CH = P* CH =1 - możliwy jest stan P*CH=1
B: 1  0   0   1    P~~>~CH = P*~CH =0 - niemożliwy jest stan P*~CH=1
C: 0  0   1   1   ~P~~>~CH =~P*~CH =1 - możliwy jest stan ~P*~CH=1
D: 0  1   1   0   ~P~~> CH =~P* CH =1 - możliwy jest stan ~P*CH=1
   1  2   3   4    5     6   7   8  9

Doskonale widać, iż nasze zdanie A wchodzi w skład operatora implikacji prostej P|=>CH o definicji zero-jedynkowej w tabeli ABCD129.


7.3.2 Matematyczne wnioskowanie z prawa Komandora

Ogólne definicje spójników implikacyjnych:
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q (kwantyfikator duży)
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q

Definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia i logice matematycznej ziemian!
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A nazywamy zdanie B z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Kontrprzykład dla zdania A to zdanie B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q
W kwantyfikatorze małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i ~q czyniący to zdanie prawdziwym.

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego A

Mamy tu do czynienia z równoważnością:
A: p=>q =1 <=> B: p~~>~q =0
B: p~~>~q =1 <=> A: p=>q =0

Zauważmy, iż powyższą definicję kontrprzykładu na 100% stosują w praktyce wszyscy ziemscy matematycy (mimo że jej nie znają!) z czego wynika, iż jedyna poprawna definicja kwantyfikatora małego ~~> to ta związana z definicją kontrprzykładu jak wyżej.

Prawo Czarnej Mamby:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>.

Prawo Kobry:
Kwantyfikator mały ~~> jest konieczny i wystarczający do wszelkich rozstrzygnięć w logice matematycznej.

Dowód:
Zapiszmy symboliczną analizę naszego przykładu:
Kod:

Tabela 5IP
   P CH  ~P ~CH                    P|=>CH
A: 1  1   0   0    P~~> CH = P* CH =1 - możliwy jest stan P*CH=1
B: 1  0   0   1    P~~>~CH = P*~CH =0 - niemożliwy jest stan P*~CH=1
C: 0  0   1   1   ~P~~>~CH =~P*~CH =1 - możliwy jest stan ~P*~CH=1
D: 0  1   1   0   ~P~~> CH =~P* CH =1 - możliwy jest stan ~P*CH=1
   1  2   3   4    5     6   7   8  9

Zauważmy, że sytuację „pada” (P) opisują wyłącznie linie AB56789.

Wnioskowanie z linii AB56789:
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość zdania B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A.
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Potwierdzenie tego faktu:
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.

Podobnie sytuację „nie pada” (~P) opisują wyłącznie linie CD56789.
Wnioskowanie z kompletnej tabeli symbolicznej ABCD56789.

Wiemy że w linii A spełniony jest warunek wystarczający =>:
A: P=>CH =1
Z tego faktu oraz z istnienia jedynki w punkcie D9 wyciągamy wniosek iż pojęcia „pada” i „chmury” nie mogą być tożsame.

Determinuje to definicję implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH]

Warunek wystarczający => w linii A zawsze determinuje warunek konieczny ~> w linii C niezależnie od tego czy w punkcie D9 mamy jedynkę (implikacja prosta |=>), czy też zero (równoważność).
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno, bo jak pada to na pewno => są chmury.
Zdanie wyżej to nic innego jak prawo Kubusia dla spójników implikacyjnych:
A: P=>CH = C: ~P~>~CH

Na mocy powyższego wnioskowania matematycznego możemy zapisać kompletną definicję operatora implikacji prostej |=> w spójnikach implikacyjnych.
Kod:

Tabela 3IP
Matryca        |Symboliczna definicja |Symboliczna definicja
zero-jedynkowa |implikacji prostej |=>|implikacji prostej |=>
               |w ~~> oraz „i”(*)     |w =>, ~>, ~~>
   P CH ~P ~CH |               P|=>CH |
A: 1  1  0  0  | P~~> CH = P* CH =1   | P=> CH =1
B: 1  0  0  1  | P~~>~CH = P*~CH =0   | P~~>~CH=0
C: 0  0  1  1  |~P~~>~CH =~P*~CH =1   |~P~>~CH =1
D: 0  1  1  0  |~P~~> CH =~P* CH =1   |~P~~>CH =1
   1  2  3  4    5     6   7   8  9     a    b  c



7.4 Definicja operatora implikacji odwrotnej |~>

Definicja operatora implikacji odwrotnej |~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]

Diagram implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:


Definicja nadzbioru ~>:
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru q należy do zbioru p

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

Tabela 1IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w kwantyfikatorze małym ~~>:
                 p|~>q
A: p~~> q = p* q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q =~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q =~p* q =1 - nie istnieje wspólny element zbiorów ~p i q

Symboliczna definicja implikacja odwrotnej |~> w spójnikach implikacyjnych ~>, =>, ~~>
Kod:

Tabela 2IO
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
         p|~>q=~p|=>~q
A: p~> q =1 - p jest nadzbiorem ~> q, zabieram wszystkie p i znika q
B: p~~>~q= p*~q=1 - istnieje ~~> wspólny element należący do zbiorów p i ~q
C:~p=>~q =1 -~p jest podzbiorem => ~q, wymuszam dowolne ~p i pojawia się ~q
D:~p~~>q =~p* q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q wraz z kodowaniem zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 3IO
Matryca        |Symboliczna definicja   |Symboliczna definicja
zero-jedynkowa |implikacji odwrotnej |=>|implikacji prostej |=>
               |w ~~> oraz „i”(*)       |w =>, ~>, ~~>
   p  q ~p ~q  |               p|~>q    |       p|~>q
A: 1  1  0  0  | p~~> q = p* q =1       | p~> q =1
B: 1  0  0  1  | p~~>~q = p*~q =1       | p~~>~q=1
C: 0  0  1  1  |~p~~>~q =~p*~q =1       |~p=>~q =1
D: 0  1  1  0  |~p~~> q =~p* q =0       |~p~~>q =0
   1  2  3  4    5    6   7  8  9         a   b  c

Doskonale widać, iż w definicjach symbolicznych wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek.
Zero-jedynkowa definicja operatora implikacji odwrotnej |~> to tabela ABCD129.
Kod:

Tabela 4IO
   p  q  p|~>q |~p ~q ~p|=>~q
A: 1  1  =1    | 0  0  =1
B: 1  0  =1    | 0  1  =1
C: 0  0  =1    | 1  1  =1
D: 0  1  =0    | 1  0  =0
   1  2   9      3  4   0

Tożsamość kolumn wynikowych 9 i 0 jest dowodem formalnym prawa Kubusia dla operatorów:
p|~>q = ~p|=>~q
Prawo Kubusia obowiązuje też na poziomie spójników implikacyjnych:
p~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości „=” w algebrze Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie znaku „=” wymusza prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość zdania po dowolnej stronie znaku „=” wymusza fałszywość po drugiej stronie

Szczegółowa, symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> dla zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo p):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbiory q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Twierdzenie:
p~>q
Jeśli zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy q
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q = [p*q=q] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
W przełożeniu na nasze zdanie A mamy:
p~>q = [p*q=q] =1
co doskonale widać na diagramie implikacji odwrotnej wyżej.
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem bo zbiór ~p nie jest podzbiorem => zbioru q, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny dla zbiorów p i ~q, wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia sytuacji p i ~q.

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowolny element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q
Dowolny element zbioru ~p należy => do zbioru ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=> w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co matematycznie zapisujemy ~[~p=~q]
~p|=>~q = (~p=>~q)*~[~p=~q]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q to iloczyn logiczny zbiorów ~p*~q jest równy ~p
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
A: ~p=>~q = [~p*~q=~p] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Bezpośrednio z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =[] =0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zbiór pusty o wartości logicznej 0.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q
Nazywamy zdanie D z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
D: ~p~~>q
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego C (i odwrotnie)
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C (i odwrotnie)

Zauważmy, że udowodnienie iż żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru q determinuje przynależność wszystkich elementów ~p do zbioru ~q, widać to doskonale na powyższym diagramie.
Jest to zatem dowód tożsamy do dowodu prawdziwości warunku wystarczającego C wprost, gdzie dowodzimy iż każdy element zbioru ~p należy do zbioru ~q.
Zauważmy także, że wystarczy znaleźć jeden element x ze zbioru ~p który należy do zbioru q i już kontrprzykład B jest prawdziwy, co wymusza fałszywość warunku wystarczającego C.


7.4.1 Prawo Komandora

W świecie rzeczywistym badając dowolne zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> nie wiemy w skład jakiego operatora to zdanie wchodzi, musimy to dopiero udowodnić badając zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> we wszystkich możliwych przeczeniach p i q.

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wspólna cześć zbiorów p i q
Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
P~~>4L = P*4L =1 - bo istnieje wspólna cześć zbiorów P i 4L, to pies

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest prawdziwe, gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - bo możliwe jest zdarzenie „pada” i „są chmury”

W obu definicjach badamy rzeczywiste relacje między p i q.
Wniosek:
W obu definicjach zmienne p i q mogą być w dowolnych przeczeniach, to bez znaczenia.

Prawo Czarnej Mamby:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Przykłady:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo możliwa jest sytuacja „pada” i „są chmury”
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo możliwa jest sytuacja „są chmury” i „pada”

Prawo Komandora:
W świecie rzeczywistym to definicja symboliczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kwantyfikatorze małym ~~> (ABCD5678) wymusza tabelę zero-jedynkową operatora logicznego, nigdy odwrotnie!

Korzystając z prawa Kobry i prawa Komandora dowolne zdanie „Jeśli p to q” możemy zapisać w kwantyfikatorze małym po czym skorzystać z algorytmu Komandora.

Algorytm Komandora:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przekształcamy do zdania pod kwantyfikatorem małym ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q
2.
Tworzymy serię zdań A, B, C i D uwzględniającą wszystkie możliwe przeczenia p i q
Wszystkich możliwych przypadków może być tylko i wyłącznie cztery.
Kod:

Tabela 5
   p  q  ~p  ~q
A: 1  1   0   0    p~~> q = p* q =?
B: 1  0   0   1    p~~>~q = p*~q =?
C: 0  0   1   1   ~p~~>~q =~p*~q =?
D: 0  1   1   0   ~p~~> q =~p* q =?

3.
Otrzymana kolumna wynikowa decyduje o tym, z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia.

Zauważmy, że kolejność linii nie ma tu najmniejszego znaczenia jednak by od razu, bez porządkowania linii otrzymać założoną, definicyjną tabelę zero-jedynkową (Tabela 3IP), musimy się trzymać kolejności przeczeń przedstawionej w Tabeli 5 (zgodność z tabelą 3IP).

Przykład działania algorytmu Komandora:

Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A.
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Definicja kwantyfikatora małego spełniona bowiem możliwa jest sytuacja „są chmury” i „pada”

Korzystając z algorytmu Komandora możemy precyzyjnie ustalić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.

Rozwiązanie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Możliwa jest sytuacja „są chmury” i „pada”
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwa jest sytuacja „są chmury” i „pada”
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> nie padać
~CH~~>~P = ~CH*~P =1
Możliwa jest sytuacja „nie ma chmur” i „nie pada”
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwa jest sytuacja „nie ma chmur” i „pada”

Nanosimy powyższą analizę na tabelę zero-jedynkową.
Kod:

Tabela 5IO
  CH  P ~CH  ~P                    CH|~>P
A: 1  1   0   0    CH~~> P = CH* P =1 - możliwy jest stan CH*P=1
B: 1  0   0   1    CH~~>~P = CH*~P =1 - możliwy jest stan CH*~P=1
C: 0  0   1   1   ~CH~~>~P =~CH*~P =1 - możliwy jest stan ~CH*~P=1
D: 0  1   1   0   ~CH~~> P =~CH* P =0 - niemożliwy jest stan ~CH*P=0
   1  2   3   4    5     6    7  8  9

Doskonale widać, iż nasze zdanie A wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej |~> o definicji zero-jedynkowej w tabeli ABCD129.


7.4.2 Matematyczne wnioskowanie z prawa Komandora

Ogólne definicje spójników implikacyjnych:
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q (kwantyfikator duży)
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q

Definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia i logice matematycznej ziemian!
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A nazywamy zdanie B z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Kontrprzykład dla zdania A to zdanie B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q
W kwantyfikatorze małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i ~q czyniący to zdanie prawdziwym.

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego A

Mamy tu do czynienia z równoważnością:
A: p=>q =1 <=> B: p~~>~q =0
B: p~~>~q =1 <=> A: p=>q =0

Zauważmy, iż powyższą definicję kontrprzykładu na 100% stosują w praktyce wszyscy ziemscy matematycy (mimo że jej nie znają!) z czego wynika, iż jedyna poprawna definicja kwantyfikatora małego ~~> to ta związana z definicją kontrprzykładu jak wyżej.

Prawo Czarnej Mamby:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>.

Prawo Kobry:
Kwantyfikator mały ~~> jest konieczny i wystarczający do wszelkich rozstrzygnięć w logice matematycznej.

Dowód:
Zapiszmy symboliczną analizę naszego przykładu:
Kod:

Tabela 5IO
  CH  P ~CH  ~P                    CH|~>P
A: 1  1   0   0    CH~~> P = CH* P =1 - możliwy jest stan CH*P=1
B: 1  0   0   1    CH~~>~P = CH*~P =1 - możliwy jest stan CH*~P=1
C: 0  0   1   1   ~CH~~>~P =~CH*~P =1 - możliwy jest stan ~CH*~P=1
D: 0  1   1   0   ~CH~~> P =~CH* P =0 - niemożliwy jest stan ~CH*P=0
   1  2   3   4    5     6    7  8  9

Zauważmy, że sytuację „nie ma chmur” opisują wyłącznie linie CD56789.

Wnioskowanie z linii CD56789:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość zdania D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P =1
Potwierdzenie tego faktu:
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada.

Podobnie sytuację „są chmury” opisują wyłącznie linie AB567689.
Wnioskowanie z kompletnej tabeli symbolicznej ABCD56789.

Wiemy że w linii C spełniony jest warunek wystarczający =>:
C: ~CH=>~~P =1
Z tego faktu oraz z istnienia jedynki w punkcie A2 wyciągamy wniosek iż pojęcia „chmury” i „pada” nie mogą być tożsame.

Warunek wystarczający => w linii C zawsze determinuje warunek konieczny ~> w linii A niezależnie od tego czy w punkcie A2 mamy jedynkę (implikacja odwrotna CH|~>P), czy też zero (równoważność <=>).
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla opadów, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
Zdanie wyżej to nic innego jak prawo Kubusia dla spójników implikacyjnych:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
Spełniony warunek konieczny ~> A plus brak tożsamości pojęć „chmury” i „pada” (bo nie zawsze gdy są „chmury”, „pada”) wymusza implikację odwrotną CH|~>P w logice dodatniej (bo P).

Na mocy powyższego wnioskowania matematycznego możemy zapisać kompletną definicję operatora implikacji odwrotnej w spójnikach implikacyjnych.
Kod:

Tabela 3IO
Matryca        |Symboliczna definicja   |Symboliczna definicja
zero-jedynkowa |implikacji odwrotnej |~>|implikacji prostej |=>
               |w ~~> oraz „i”(*)       |w =>, ~>, ~~>
  CH  P ~CH ~P |               CH|~>P   |
A: 1  1   0  0 | CH~~> P = CH* P =1     | P=> CH =1
B: 1  0   0  1 | CH~~>~P = CH*~P =1     | P~~>~CH=1
C: 0  0   1  1 |~CH~~>~P =~CH*~P =1     |~P~>~CH =1
D: 0  1   1  0 |~CH~~> P =~CH* P =0     |~P~~>CH =0
   1  2   3  4    5    6    7  8  9       a    b  c



7.5 Równanie ogólne implikacji

Definicja operatora implikacji prostej |=>:
Kod:

Tabela 1
   p  q  p|=>q  ~p ~q ~p|~>~q
A: 1  1  =1      0  0  =1
B: 1  0  =0      0  1  =0
C: 0  0  =1      1  1  =1
D: 0  1  =1      1  0  =1
   1  2   3      4  5   6

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p|=>q = ~p|~>~q
Bo kolumny 3 i 6 są tożsame.

Definicja operatora implikacji odwrotnej |~>:
Kod:

Tabela 2
   p  q  p|~>q  ~p ~q ~p|=>~q
A: 1  1  =1      0  0  =1
B: 1  0  =1      0  1  =1
C: 0  0  =1      1  1  =1
D: 0  1  =0      1  0  =0
   1  2   3      4  5   6

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p|~>q = ~p|=>~q
Bo kolumny 3 i 6 są tożsame.

Równanie ogólne implikacji:
p|=>q = ~p|~>~q ## p|~>q = ~p|=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
Kolumny wynikowe 3 i 6 w tabelach 1 i 2 są różne.

W celu obejrzenia szczegółów skorzystajmy z naszego przykładu.

Implikacja prosta P|=>CH:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, są chmury.
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame, bo nie zawsze gdy pada, są chmury.

Te dwa fakty razem wymuszają definicję implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH):
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH]

Nasza tabela prawdy dla tego zdania wynikła z analizy:
Kod:

Tabela 3IP
Matryca        |Symboliczna definicja |Symboliczna definicja
zero-jedynkowa |implikacji prostej |=>|implikacji prostej |=>
               |w ~~> oraz „i”(*)     |w =>, ~>, ~~>
   P CH ~P ~CH |               P|=>CH |        P|=>CH=~P|~>~CH
A: 1  1  0  0  | P~~> CH = P* CH =1   | P=> CH =1
B: 1  0  0  1  | P~~>~CH = P*~CH =0   | P~~>~CH=0
C: 0  0  1  1  |~P~~>~CH =~P*~CH =1   |~P~>~CH =1
D: 0  1  1  0  |~P~~> CH =~P* CH =1   |~P~~>CH =1
   1  2  3  4    5     6   7   8  9     a    b  c


Implikacja odwrotna CH|~>P:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla opadów bo zabieram chmury wykluczając padanie
Dodatkowo pojęcia „chmury” i „pada” nie są tożsame, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Te dwa warunki razem wymuszają definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P]

Nasza tabela prawdy dla tego zdania wynikła z analizy:
Kod:

Tabela 3IO
Matryca        |Symboliczna definicja   |Symboliczna definicja
zero-jedynkowa |implikacji odwrotnej |~>|implikacji prostej |=>
               |w ~~> oraz „i”(*)       |w =>, ~>, ~~>
  CH  P ~CH ~P |               CH|~>P   |        CH|~>P=~CH=>~P
A: 1  1   0  0 | CH~~> P = CH* P =1     | P=> CH =1
B: 1  0   0  1 | CH~~>~P = CH*~P =1     | P~~>~CH=1
C: 0  0   1  1 |~CH~~>~P =~CH*~P =1     |~P~>~CH =1
D: 0  1   1  0 |~CH~~> P =~CH* P =0     |~P~~>CH =0
   1  2   3  4    5    6    7  8  9       a    b  c


Porównując tabele 3IP i 3IO zapisujemy:
P|=>CH = ~P|~>~CH ## CH|~>P = ~CH|=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowodem jest tu brak tożsamości kolumn wynikowych 9 i c w tabelach 3IP i 3IO, w odpowiedzi na identyczną matrycę zero-jedynkową ABCD1234.

Wniosek:
Znane ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji jest fałszywe:
P|=>CH ## ~CH=>~P

Zapis dokładnie tego samego w zapisie formalnym:
p|=>q = ~p|~>~q ## p|~>q = ~p|=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że w miejsce znaku ## nie możemy podstawić znaku tożsamości [=] bo wówczas mamy szkolny błąd podstawienia rodem z I klasy szkoły podstawowej.

Dowód:
Zapis formalny:
p|=>q [=] p|~>q
Nasz przykład:
P|=>CH [=] CH|~>P
Po lewej stronie znaku [=] mamy:
p=P
q=CH
Natomiast po prawej stronie znaku [=] mamy:
p=CH
q=p
Gdyby tu była tożsamość to mamy szkolny błąd podstawienia, bowiem tożsamość [=] wymusza identyczne p i q po obu stronach znaku [=], co w tym przypadku jest gwałcone.
Poprawny matematycznie znak:
## - różne na mocy definicji
oczywiście niczemu nie szkodzi, matematycznie jest jak najbardziej poprawny.
cnd

7.6 Definicja równoważności <=>

Definicja równoważności:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Diagram równoważności <=> w zbiorach:



Symboliczna definicja implikacji równoważności w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

Tabela 1R
                 p<=>q
A: p~~> q = p* q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q = p*~q =0 - nie istnieje wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q =~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q =~p* q =0 - nie istnieje wspólny element zbiorów ~p i q

Symboliczna definicja równoważności <=> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 3R
Matryca        |Symboliczna definicja
zero-jedynkowa |równoważności <=>
               |w ~~> oraz „i”(*)
   p  q ~p ~q  |               p<=>q
A: 1  1  0  0  | p~~> q = p* q =1
B: 1  0  0  1  | p~~>~q = p*~q =0
C: 0  0  1  1  |~p~~>~q =~p*~q =1
D: 0  1  1  0  |~p~~> q =~p* q =0
   1  2  3  4    5    6   7  8  9

Doskonale widać, iż w definicjach symbolicznych wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek.
Zero-jedynkowa definicja operatora równoważności <=> to tabela ABCD129.


7.6.1 Prawo Komandora

W świecie rzeczywistym badając dowolne zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> nie wiemy w skład jakiego operatora to zdanie wchodzi, musimy to dopiero udowodnić badając zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> we wszystkich możliwych przeczeniach p i q.

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wspólna cześć zbiorów p i q

Prawo Czarnej Mamby:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>

Prawo Komandora:
W świecie rzeczywistym to definicja symboliczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kwantyfikatorze małym ~~> (ABCD5678) wymusza tabelę zero-jedynkową operatora logicznego, nigdy odwrotnie!

Korzystając z prawa Kobry i prawa Komandora dowolne zdanie „Jeśli p to q” możemy zapisać w kwantyfikatorze małym po czym skorzystać z algorytmu Komandora.

Algorytm Komandora:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przekształcamy do zdania pod kwantyfikatorem małym ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q
2.
Tworzymy serię zdań A, B, C i D uwzględniającą wszystkie możliwe przeczenia p i q
Wszystkich możliwych przypadków może być tylko i wyłącznie cztery.
Kod:

Tabela 5
   p  q  ~p  ~q
A: 1  1   0   0    p~~> q = p* q =?
B: 1  0   0   1    p~~>~q = p*~q =?
C: 0  0   1   1   ~p~~>~q =~p*~q =?
D: 0  1   1   0   ~p~~> q =~p* q =?

3.
Otrzymana kolumna wynikowa decyduje o tym, z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia.

Zauważmy, że kolejność linii nie ma tu najmniejszego znaczenia jednak by od razu, bez porządkowania linii otrzymać założoną, definicyjną tabelę zero-jedynkową (Tabela 3R), musimy się trzymać kolejności przeczeń przedstawionej w Tabeli 5 (zgodność z tabelą 3R).

Przykład działania algorytmu Komandora:

Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A.
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK

Zgodnie z algorytmem Komandora zamieniamy to zdanie na zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK =1
Wystarczy pokazać jeden trójkąt prostokątny w którym zachodzi suma kwadratów co kończy dowód
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Wystarczy pokazać jeden trójkąt prostokątny w którym zachodzi suma kwadratów co kończy dowód
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne

Nanosimy powyższą analizę na tabelę zero-jedynkową.
Kod:

Tabela 5R
  TP SK ~TP ~SK                      TP<=>SK
A: 1  1   0   0    TP~~> SK = TP* SK =1 -istnieje wspólny element TP*SK=1
B: 1  0   0   1    TP~~>~SK = TP*~SK =0 -zbiory TP i ~SK rozłączne
C: 0  0   1   1   ~TP~~>~SK =~TP*~SK =1 -istnieje wspólny element ~TP*~SK=1
D: 0  1   1   0   ~TP~~> SK =~TP* SK =0 -zbiory ~TP i SK rozłączne
   1  2   3   4     5     6    7   8  9

Doskonale widać, iż nasze zdanie A pod kwantyfikatorem małym wchodzi w skład operatora równoważności o definicji zero-jedynkowej w tabeli ABCD129.

Zauważmy, że trójkąty prostokątne (TP) opisują wyłącznie linie AB56789.

Wnioskowanie z linii AB56789:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość zdania B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A.
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Potwierdzenie tego faktu:
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów
Zbiór trójkątów prostokątnych jest podzbiorem => trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów.
Oczywistość, z powodu tożsamości zbiorów TP=SK

Trójkąty nie prostokątne (~TP) opisują wyłącznie linie CD56789.
Wnioskowanie z linii CD5678:
Fałszywość zdania D:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
Na mocy definicji kontrprzykładu wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C.
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => aby nie zachodziła w nim suma kwadratów
Zbiór trójkątów nie prostokątnych jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów ~TP=~SK, którą to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK.

Na mocy powyższego wnioskowania matematycznego możemy zapisać kompletną definicję operatora równoważności <=> w spójnikach implikacyjnych.
Kod:

Tabela 3R
Matryca         |Definicja równoważności    |Definicja równoważności
zero-jedynkowa  |w ~~> oraz „i”(*)          |w => i ~~>
  TP SK ~TP ~SK |                   TP<=>SK |         TP<=>SK
A: 1  1   0   0 | TP~~> SK = TP* SK =1      | TP=> SK =1
B: 1  0   0   1 | TP~~>~SK = TP*~SK =0      | TP~~>~SK=0
C: 0  0   1   1 |~TP~~>~SK =~TP*~SK =1      |~TP=>~SK =1
D: 0  1   1   0 |~TP~~> SK =~TP* SK =0      |~TP~~>SK =0
   1  2   3   4    5     6    7   8  9

Stąd mamy definicję równoważności w warunkach wystarczających:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Ta sama definicja w zapisach formalnych:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)


7.6.2 Alternatywne definicje równoważności

Zacznijmy od operatora implikacji prostej |=>.

Definicja operatora implikacji prostej |=>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:


Definicja podzbioru:
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Doskonale widać, że aby z implikacji prostej |=> przejść do równoważności musimy zlikwidować zbiór niebieski.

Możemy to uczynić na wiele sposobów.
1.
Aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność p<=>q zachodzi gdy:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór ~p jest podzbiorem zbioru ~q
2.
Najpopularniejsza definicja równoważności, uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność p<=>q zachodzi gdy:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
3.
Równie popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między dowolnymi dwoma punktami.
4.
Zbiór niebieski zlikwidujemy też w taki sposób:
p<=>q = (q=>p)*(~q=>~p)

Negując p i q w równaniu 1 otrzymujemy definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q)
5.
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Prawe strony są tożsame, stąd mamy:
p<=>q = ~p<=>~q
Kolejną serię definicji równoważności można zapisać dla logiki ujemnej (bo ~q), oczywiście w praktyce jest to sztuka dla sztuki, nikomu nie potrzebna.

Prawa Kubusia obowiązują także w równoważności:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Podstawiając prawa Kubusia do definicji 1, 2, 3, 4 i 5 możemy otrzymać kolejne tożsame definicje równoważności, mało użyteczne w praktyce.

Podsumowanie:
Kluczowe dla matematyki są trzy podstawowe definicje 1, 2 i 3 które należy zapamiętać.


7.6.3 Prawa kontrapozycji w równoważności

Z równań 2 i 4 otrzymujemy I prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Z równań 1 i 2 otrzymujemy II prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:52, 06 Sty 2016, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin