ŚFiNiA

rafal3006

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina, Pana Baryckiego i Zbigniewamillera.

Historia powstania algebry Kubusia

Bezpośrednim przyczynkiem do powstania algebry Kubusia było starcie z Wujem Zbójem na forum [link widoczny dla zalogowanych]
Poszło o zdanie:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Wuj twierdził że na mocy tego zdania może być zbawiony każdy, nawet ateista.
Kubuś natomiast twierdził że na mocy tego zdania wszyscy niewierzący muszą do piekła.
… tak to się zaczęło.
Musiało minąć chyba z 6 miesięcy zaciętej dyskusji, aby Kubuś zmienił zdanie.
Kiedy pierwszy raz zapisał prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj od razu skomentował to tak: fajne wzorki, poprawne matematycznie.
Kubuś odpisał: to jest tak piękne, że musi być prawdziwe.
Notabene ten znaczek „~>” zaproponował Wuj jako znaczek groźby (jadowity wąż) - tak się to wtedy nazywało.
Wuj był wspaniałym nauczycielem małego Kubusia, na PW zaliczyliśmy niezliczoną ilość nocek dyskutując o algebrze Boole’a. Kubuś znał technikę bramek logicznych (operatory logiczne) perfekcyjnie z racji swego wykształcenia (elektronika na PW-wa), ale operator implikacji to było coś absolutnie nowego i mu nieznanego, coś co kompletnie nie występuje w technice bramek logicznych.
Dlaczego?
Operator implikacji to w jednej połówce 100% pewność (warunek wystarczający =>), natomiast w drugiej połówce operator implikacji to najzwyklejsze „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>).
Operatory implikacji prostej i odwrotnej to między innymi matematyczny opis „wolnej woli” wszystkich istot żywych. Z tego powodu w technice operatory te są totalnie bezużyteczne i nigdy nie znajdą zastosowania, trudno bowiem sobie wyobrazić aby urządzenie miało „wolną wolę”. Przykładowo kierowca hamuje, samochód prawie zawsze go słucha, ale czasami dodaje gazu zamiast hamować - to jest istota „wolnej woli” w świecie żywym.
Kiedy na matematyce.pl pierwszy raz powiązałem znaczki obietnicy => i groźby ~> z warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>, Wuj od razu skomentował: to jest dobre, idź w tym kierunku.
Wuj zawsze podpowiadał Kubusiowi co robi źle, czyli kiedy idzie w maliny, dzięki czemu AK mogła się rozwijać.
Ważnym okresem w historii powstawania algebry Kubusia była dwuletnia bijatyka na forum [link widoczny dla zalogowanych] (2800 postów), gdzie wszyscy starali się obalić powstającą, nową ideę. Tu algebra Kubusia rosła w siłę a Kubuś który nigdy nie widział nawet okładki podręcznika do logiki matematycznej poznał „logikę” Ziemian, głównie dzięki Fizykowi, Windziarzowi, Sogorsowi i Quebabowi.
Zacięta dyskusja i zdecydowana odmowa Kubusia do przejścia na jedynie słuszną wiarę, matematykę Ziemian, tak rozwścieczyła administratorów ateisty.pl że zamknęli wszystkie tematy jakie kiedykolwiek Kubuś tu założył, zakazując dyskusji na temat AK.
Chcąc nie chcąc Kubuś skorzystał z zaproszenia Sogorsa i pojawił się na forum Yrizona, będącego własnością Sogorsa (tu Daggera) i Słupka, starych znajomych z dyskusji na ateiście.pl.
Tu również zaczęło się od bijatyki, ale w pewnym momencie doszło do [link widoczny dla zalogowanych] który przyciągnął na Yrizonę tajemniczego przybysza z [link widoczny dla zalogowanych] [link widoczny dla zalogowanych] który podobnie jak Wuj w czasach małego Kubusia z wielką cierpliwością wskazywał słabe punkty algebry Kubusia, dzięki czemu ta stawała się coraz doskonalsza. Ponad roczna dyskusja z Fiklitem była decydująca, bez niej algebra Kubusia nie zostałaby zauważona.
Co jest warta idea, nawet najwspanialsza, której nikt poza jej autorem nie rozumie?

Dzięki wszystkim,
Kubuś

Spis treści:

Część I
Fundamenty matematyczne

1.0 Algebra Kubusia w pigułce
1.1 Operatory transmisji i negacji
1.2 Operatory OR i AND
1.3 Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów
1.4 Operator chaosu
1.5 Operatory implikacji prostej i odwrotnej
1.6 Operator równoważności
1.7 Operator implikacji prostej wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
1.8 Operator implikacji odwrotnej wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

2.0 Nowa teoria zbiorów
2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach
2.2 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów
2.3 Podstawowe operacje na zbiorach
2.4 Zbiory jednoelementowe
2.5 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

3.0 Operatory jednoargumentowe
3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
3.2 Prawa Prosiaczka
3.3 Wykresy czasowe w algebrze Kubusia
3.4 Operator transmisji
3.5 Operator negacji
3.6 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji

1.0 Algebra Kubusia w pigułce

Fundamentem algebry Kubusia jest Nowa Teoria Zbiorów.
Algebra Kubusia w pigułce to streszczenie całego podręcznika, jego kwintesencja.
Wiele praw tu użytych np. prawa Kubusia, prawa Prosiaczka i twierdzenie sfinii zostanie wyprowadzone i udowodnione w dalszej części podręcznika.

Znaczenie symboli 0 i 1 poza nową teoria zbiorów:
1 = prawda
0 = fałsz

Znaczenie symboli 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (istnieje)
0 - zbiór pusty (nie istnieje)
Nowa teoria zbiorów to najprostsza teoria implikacji i równoważności, zrozumiała dla każdego 5-cio latka i każdego humanisty.

~ - symbol negacji, przeczenie „nie” w naturalnej logice człowieka

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zmienna binarna:
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna:
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - operatory logiczne
Y, p=>q - funkcje logiczne

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

1.1 Operatory transmisji i negacji

Operatory transmisji i negacji to operatory jednoargumentowe.

Definicja operatora jednoargumentowego:
Operator jednoargumentowy to funkcja logiczna jednej zmiennej
Y = p

Logika dodatnia i ujemna w operatorach jednoargumentowych:
Y=p - logika dodatnia gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana
~Y =~p - logika ujemna gdy funkcja logiczna Y jest zanegowana

Operator transmisji:
Y = p
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Zbiór ~Y=~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y=p, stąd:
Y=p <=> ~Y=~p
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)

Przykład:
A1:
Jutro pójdę do kina
Y=K
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~K
A2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y= ~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)

Definicja dziedziny spełniona bo:
K+~K =1 - jutro mogę być w kinie lub nie być w kinie
K*~K =0 - jutro nie mogę być jednocześnie w kinie i nie w kinie

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A1 otrzymujemy definicję operatora transmisji w logice dodatniej (bo Y)
A1: Y=K
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A2 otrzymujemy definicję operatora transmisji w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: ~Y=~K
~Y=1, Y=0
~K=1, K=0

rafal3006

2.0 Nowa teoria zbiorów

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Nowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach. Każdy aksjomat powinien być intuicyjnie prawdziwy, im dla szerszego kręgu ludzkości, tym lepiej.

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach

Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach.

Logika dodatnia i ujemna w operatorach jednoargumentowych oraz OR i AND:
Y=p+q - logika dodatnia gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana
~Y =~p*~q - logika ujemna gdy funkcja logiczna Y jest zanegowana

Operatory jednoargumentowe

Dowolny zbiór jednoelementowy musi mieć swoje dopełnienie do dziedziny, inaczej nie jest rozpoznawalny (w naszym wszechświecie).
p=[1,2]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4]
Dopełnienie do dziedziny:
~p=[3,4]

Operator transmisji:
Y = p
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y=p <=> ~Y=~p
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Y=[1,2]
~(~Y)=~[3,4]= [1,2] =Y

Operator negacji:
Y=~p
~Y=p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y=~p <=> ~Y=p
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Y=[3,4]
~(~Y)=~[1,2]= [3,4] =Y

Operatory dwuargumentowe

Operatory OR i AND:

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q = ~(p+q)
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p+q <=> ~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Definicja operatora OR n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q = ~(p*q)
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p*q <=> ~Y=~p+~q = ~(p*q)
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Definicja operatora AND n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.

Operatory implikacji i równoważności:

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Operator chaosu
p~~>q
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Implikacja prosta:
p=>q =~p~>~q
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]

Implikacja odwrotna:
p~>q =~p=>~q
p~>q
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]

Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i być tożsamy ze zbiorem q
p=q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,3,4]

XOR
Y = p*~q + ~p*q
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
p=[1,2], q=[3,4]

2.2 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Uniwersum to najszersza dziedzina w której człowiek może się poruszać.

Definicja zbioru:
Zbiór to dowolnie wybrany zbiór, uniwersum lub podzbiór uniwersum.

Człowiek może tworzyć dowolne podzbiory uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Przy tej definicji uniwersum można uznać za zbiór wszystkich zbiorów. Oczywiście uniwersum jest dynamiczne, żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza uniwersum. W praktyce rzadko odwołujemy się do uniwersum ale to pojecie jest dla logiki bezcenne.

W logice można ustawić punkt odniesienia na dowolnym zbiorze.
Taki zbiór nosi nazwę dziedziny.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to zbiór główny w obrębie którego działamy, poza ramy którego nie wychodzimy

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

Definicja zdania złożonego warunkowego:
Jeśli p to q
p - poprzednik (założenie)
q - następnik (teza)

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Poprzednik precyzyjnie wyznacza tu dziedzinę:
D = zbiór wszystkich zwierząt

… a interesujące nas podzbiory to:
Poprzednik:
P - zbiór jednoelementowy pies [P] =1
~P - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa [ZWZ-P] =1
Następnik:
4L - zbiór zwierząt z czteroma łapami [4L]=1
~4L - zbiór zwierząt nie mających czterech łap [ZWZ-4L]=1

Oczywiście w obrębie zwierząt z czterema łapami można tworzyć kolejny podzbiór np.
- zwierzęta dzikie
- zwierzęta domowe
… albo zwierzęta szczekające, miauczące, beczące itp.

2.3 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] =0 - zbiór pusty

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być uniwersum

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Podsumowanie:
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Twierdzenie Pitagorasa w zbiorach:
TP=>SK = TP*SK = TP =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP zawiera się w zbiorze SK.
W poprzedniku mamy tu precyzyjnie zdefiniowaną dziedzinę:
Dziedzina = zbiór wszystkich trójkątów
… i nie ma tu najmniejszego sensu rozpatrywanie jakichkolwiek innych wielokątów, że o takich pojęciach z uniwersum jak pies czy galaktyka nie wspomnę.

Twierdzenie Pitagorasa w wersji najszerszej mogłoby brzmieć:
A.
Jeśli coś jest trójkątem prostokątnym to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
W tym przypadku możemy przyjąć:
Dziedzina = uniwersum
To bez żadnego znaczenia poza tym że napracujemy się jak bury osioł. Zauważmy bowiem iż jeśli to „coś” nie jest trójkątem (jest np. galaktyką), to w poprzedniku będziemy mieli zbiór pusty.
A1.
Jeśli galaktyka jest trójkątem prostokątnym to na pewno => zachodzi suma kwadratów
[galaktyka]*TP=>SK = ([galaktyka]*TP)*SK = 0*SK =0
Zbiory [galaktyka] i [zbiór trójkątów prostokątnych] to zbiory rozłączne, zatem ich koniunkcja jest zbiorem pustym.
Zdanie fałszywe bo galaktyka nie jest trójkątem prostokątnym (w poprzedniku mamy zbiór pusty).
Koniec końców i tak nam wyjdzie że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe wyłącznie dla trójkątów prostokątnych.

Na gruncie algebry Kubusia fałszywe są także takie zdania:
A2.
Jeśli trójkąt prostokątny nie jest trójkątem prostokątnym to zachodzi suma kwadratów
(TP*~TP) =>SK = 0*SK =0
Poprzednik jest tu zbiorem pustym co wymusza fałszywość całego zdania.
Prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0

2.4 Zbiory jednoelementowe

Zbiory jednoelementowe to zbiory mające unikalną definicję i nazwę w obszarze uniwersum, dzięki której są wyróżnione.
Jeśli wiemy co to jest zbiór p to automatycznie potrafimy zdefiniować zbiór ~p

Przykład:
P - zbiór psów
W najszerszej możliwej definicji nasz zbiór ~P to:
~P - wszelkie możliwe pojęcia (uniwersum) z wykluczeniem psa
~P = [uniwersum-P] =1 - zbiór niepusty
Dziedzina:
D = uniwersum

Taka definicja ~P, choć matematycznie poprawna, jest w praktyce mało sensowna.
W przypadku psa naturalną dziedziną jest:
D = ZWZ
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy:
~P to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~P = [ZWZ-P] =1 - zbiór niepusty

Zauważmy, że jest fizycznie niemożliwe, abyśmy znając dowolne pojęcie p wyróżnione w obszarze uniwersum nie potrafili określić zbioru ~p.

Przykład pojęcia niezdefiniowanego:
blabla - abstrakcyjne pojęcie niezdefiniowane.
Nie wiemy co to jest babla, tym samym nie znamy jego zaprzeczenia. To pojęcie jest śmieciem dopóty, dopóki go nie zdefiniujemy.

2.5 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego poznamy na przykładzie konkretnego zbioru.

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Dowód na naszym przykładzie:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]
L=P

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
1. p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
2. p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
1. p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
2. p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)

3. p+0 =1
4. p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
3. p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
0 -element neutralny dla sumy logicznej
4. p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

4. p*1=p
5. p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
5. p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
6. p*0 = [1,2]*[] = [] =0 (zbiór pusty)

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach.
Suma logiczna zbiorów:
7.
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
7.
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

Iloczyn logiczny zbiorów:
8.
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
8.
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)

9. 1=~0
10. 0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
9.
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
10.
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

11. p+p =p
12. p*p=p
Dowód na naszym przykładzie:
11. p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)
12. p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)

3.0 Operatory jednoargumentowe

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, ~r

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej

Możliwe są dwa użyteczne operatory jednoargumentowe:
Y=p - operator transmisji
Y=~p - operator negacji
Zwyczajowo w logice funkcję logiczną oznaczamy dużą literą Y.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana:
Y=p - logika dodatnia bo Y
~Y=~p - logika ujemna bo ~Y

3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę w której pracuje dwóch krasnoludków, Transmiterek i Negatorek.
Na przedniej ściance skrzynki zamontowany jest najzwyklejszy wyłącznik światła sterujący lampką człowieka typu zaświeć/zgaś. Po przeciwnej stronie skrzynki znajduje się lampka sterowana wyłącznie przez krasnoludka pracującego w środku skrzynki.

Po stronie człowieka dostępne są jeszcze dwa tajemnicze przyciski z opisem:
A - zezwalaj na pracę Transmiterka
A=1 - zezwalaj
A=0 - zabroń
B - zezwalaj na pracę Negatorka
B=1 - zezwalaj
B=0 - zabroń

Ustawmy na początek krasnoludkowe przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
1.
Jak widzimy lampką człowieka możemy sterować zaświecając ją i gasząc przełącznikiem, jednak lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona.
2.
Pozwólmy na pracę wyłącznie Transmiterka ustawiając przełączniki:
A=1 i B=0
Jak widzimy, jeśli zaświecimy lampkę człowieka to automatycznie zapali się lampka krasnoludka, jeśli ją zgasimy to lampka krasnoludka również zgaśnie.
3.
Ustawmy teraz przełączniki w pozycję:
A=0 i B=1
pozwalając pracować wyłącznie Negatorkowi
Tym razem każde zaświecenie lampki człowieka skutkuje wygaszeniem lampki krasnoludka i odwrotnie.
4.
Ostatnia możliwość to zezwolenie na jednoczesną pracę obu krasnoludków poprzez ustawienie przełączników w pozycję:
A=1 i B=1
Ajajaj!
Jak widzimy możemy bez problemów zapalać i gasić lampkę człowieka jednak żarówka krasnoludka ledwie się pali, na dodatek z pudła wydobywa się czarny dym co jest dowodem walki na śmierć i życie między Tansmiterkiem a Negatorkiem. Jeden za wszelką cenę chce zaświecić lampkę, a drugi za wszelką cenę ją zgasić.
Ustawmy szybko przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
Nie możemy przecież dopuścić do zagłady krasnoludków, bo co powiedzą nasze dzieci?

W naszym abstrakcyjnym modelu wejściową zmienną binarną p jest lampka człowieka.
Wyjściem w tym modelu jest lampka krasnoludka którą oznaczamy Y.

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja operatora transmisji:
Y=p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka też się świeci (Y=1)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to również lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)

Stąd mamy zero-jedynkową definicje operatora transmisji:
Y=p

rafal3006

3.0 Rachunek zero-jedynkowy

Definicje podstawowe.

Zmienna binarna:
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna:
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - operatory logiczne
Y, p=>q - funkcje logiczne

Funkcja logiczna w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y

Fundamentem rachunku zero-jedynkowego są maszynowe definicje dwuargumentowych operatorów logicznych (hardware). Nie interesuje nas tu znaczenie zer i jedynek wewnątrz jakiegokolwiek operatora logicznego. Symboliczne prawa algebry Boole’a (równania algebry Boole’a) zapisane są w nagłówkach porównywanych tabel zero-jedynkowych i wynikają z tożsamości odpowiednich kolumn wynikowych.

Możliwe są też symboliczne definicje operatorów logicznych (software), inne niż definicje maszynowe, gdzie znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatora logicznego ma kluczowe znaczenie. W rachunku zero-jedynkowym definicje symboliczne nie są używane, poznamy je przy okazji tworzenia równań algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

Kluczowym w algebrze Kubusia jest rozróżnianie maszynowych definicji operatorów logicznych (zero-jedynkowych) używanych wyłącznie w rachunku zero-jedynkowym, od definicji symbolicznych opisujących dowolne tabele zero-jedynkowe (w tym tabele operatorów) równaniami algebry Boole’a, używanych w naturalnej logice człowieka.

W symbolicznej algebrze Kubusia dowolną linię tabeli zero-jedynkowej opisuje unikalne i niepowtarzalne równanie algebry Boole’a. Wynika z tego, że każda linia tabeli zero-jedynkowej to niezależne zdanie zapisane równaniem algebry Boole’a.

3.1 Operatory dwuargumentowe

Maszynowa definicja operatora logicznego (hardware):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Abstrakcyjna definicja operatora dwuargumentowego:
Operator dwuargumentowy to czarna skrzynka o dwóch wejściach p i q oraz tylko jednym wyjściu Y.

Na wejściach p i q wymuszamy wszystkie możliwe stany 0 i 1 zapisując odpowiedzi na wyjściu Y.

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego: