 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32483
Przeczytał: 41 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Wto 22:31, 08 Lip 2008 Temat postu: Matematyczne fundamenty logiki człowieka v.BETA 7.0 |
|
|
Istota implikacji:
Jest gwarancja - jest implikacja
Nie ma żadnej gwarancji - nie ma implikacji
Gwarancja = warunek wystarczający w implikacji
Implikacja, to problem na poziomie Licealisty
Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej
Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej 1
Część III Teoria implikacji prostej i odwrotnej 2
Część IV Wojna o implikację
Część V Matematyczne fundamenty logiki człowieka
Część VI Tajemnice implikacji
Część V
Matematyczne fundamenty logiki człowieka
Autor: Kubuś
Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)
Wielkie dzięki !
Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.
Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.
Spis treści:
1.0 Notacja
2.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a
2.1 Logika dodatnia i ujemna
2.2 Matematyczne operatory logiczne
2.3 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach
2.4 Katastrofalne skutki nie odróżniania logiki dodatniej od logiki ujemnej
2.5 Katastrofalne skutki mieszania logiki dodatniej i ujemnej
3.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
3.1 Zdania poprawne i niepoprawne, prawdziwe i fałszywe
3.2 Definicja implikacji, definicja implikacji właściwej
3.3 Definicja implikacji prostej
3.4 Definicja implikacji odwrotnej
3.5 Rodzaje implikacji
3.6 Prawa Kubusia
3.7 Lekcja logiki w przedszkolu
3.8 Największa tajemnica implikacji
3.9 Tajemnica zer i jedynek w implikacji prostej
3.9.1 Algorytm analizy implikacji prostej
3.10 Tajemnica zer i jedynek w implikacji odwrotnej
3.10.1 Algorytm analizy implikacji odwrotnej
4.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji
4.1 Prawa Kubusia w obsłudze równoważności
5.0 Obietnice i groźby w algebrze Boole’a
5.1 Gwarancje w obietnicach i groźbach
6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
6.1 Implikacja prosta
6.2 Implikacja odwrotna
7.0 Nie ma implikacji bez implikacji odwrotnej p~>q … koniec wariatkowa !
Wstęp
Istotą publikacji jest odkrycie dwóch nowych, matematycznych operatorów w naturalnym języku mówionym "musi" => (implikacja prosta) i "może" ~> (implikacja odwrotna). Operatorami tymi, podobnie jak AND(i) i OR(lub) człowiek posługuje się doskonale od czasów Adama i Ewy. Operatory te działają fenomenalnie w całej algebrze Boole'a, w szczególności obsługują obietnice (implikacja prosta) i groźby (implikacja odwrotna). Są to zatem operatory znane wszystkim żywym istotom na naszej planecie bowiem fundamentem wszelkiego życia jest odróżnianie nagrody (obietnica) od kary (groźba). Zwierzątka które nie odróżniały nagrody od kary dawno wyginęły.
W matematycznych fundamentach logiki człowieka, poruszane są zagadnienia czysto matematyczne, niezbędne do zrozumienia implikacji takie jak: logika dodatnia i ujemna, rozszyfrowanie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych (człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu) i przede wszystkim szczegółowe omówienie implikacji prostej (operator "musi" =>) i implikacji odwrotnej (operator "może" ~>) od strony matematycznej.
Najśmieszniejszy w tym wszystkim jest fakt, że po trzech latach walki z implikacją okazało się, iż cały problem jest na poziomie Licealisty, dosłownie !
1.0 Notacja
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
<=> - symbol równoważności
=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.
2.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a
Nieznane fundamenty algebry Boole’a to logika dodatnia i ujemna. Bez wprowadzenia tych pojęć nie da się zrozumieć implikacji. Najbardziej zaskakujące wnioski w trzyletniej walce z implikacją wyniknęły po rozszyfrowaniu i nazwaniu wszystkich 16 operatorów matematycznych w algebrze Boole’a, matematycy znają poprawne znaczenie zaledwie sześciu …
2.1 Logika dodatnia i ujemna
W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.
Dowolne wyrażenie w algebrze Boole’a może przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
A+B(C*D) .....
gdzie:
A,B,C,D… - zmienne binarne przyjmujące w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
Wyrażeniu jak wyżej możemy przypisać abstrakcyjną funkcję logiczną Y (wyjście cyfrowe) która w osi czasu zmienia się w zależności od zmian zmiennych wejściowych (A,B,C,D…).
Fizycznie, dowolna funkcja logiczna Y:
Y=A+B(C*D) .....
Może przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.
Po przepuszczeniu jej przez prościutki negator otrzymamy funkcję ~Y będącą lustrzanym odbiciem funkcji Y.
Logika ujemna (~Y) to lustrzane odbicie logiki dodatniej.
Oczywiście zachodzi:
Y = ~(~Y)
O tym, że logika ujemna istnieje można się łatwo przekonać w technice cyfrowej obserwując wszystko na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Twardym dowodem istnienia logiki ujemnej jest także 16 matematycznych operatorów logicznych, ośmiu w logice dodatniej i ośmiu w logice ujemnej o czym będzie za chwilę. Logicy praktycy, ci od cyfrowych układów logicznych doskonale wiedzą, że istnieją sygnały cyfrowe w logice ujemnej i ten fakt zaznaczają kółkiem na schematach ideowych oraz sygnały cyfrowe w logice dodatniej (na schematach bez kółka). Fizycznie łączyć można wyłącznie logiki zgodne, inaczej nic nie działa !
Spójrzmy na prawa de’Morgana od tej właśnie strony.
Definicja iloczynu logicznego.
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden
Definicja sumy logicznej.
Y=A1+A2 ….+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru
Jeśli:
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden
to:
~Y= ~A1+~A2…+~An = 0 - bo wszystkie składniki sumy logicznej są równe 0.
Oczywistym jest że:
Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli A1=1 to ~A1=0 itd.
Z ostatniego równania mamy:
Y= ~(~A1+~A2…+~An) = ~(0) = 1 czyli:
A1*A2 ….*An = ~(~A1+~A2…+~An) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla sumy logicznej.
Jeśli:
Y = A1+A2…+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równa zeru
to:
~Y = ~A1*~A2…*~An =1 - bo wszystkie składniki iloczynu logicznego są równe 1
W tym przypadku mamy;
Jeśli Y=0 to ~Y=1
Jeśli A1=0 to ~A1=1 itd.
Z ostatniego równania mamy:
Y = ~(~Y) = ~(~A1*~A2…*~An) = ~(1) = 0
czyli:
A1+A2…+An = ~(~A1*~A2…*~An) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
Definicja.
Dowolnemu wyrażeniu w algebrze Boole’a możemy przypisać abstrakcyjną funkcję logiczną Y przyjmującą w osi czasu wartości binarne w zależności od zmiennych wejściowych.
Logika dodatnia - funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) jest niezanegowana (Y)
Logika ujemna - funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) jest zanegowana (~Y)
Prawa de’Morgana mówią o związkach między logiką dodatnią a ujemną na dowolnie długiej funkcji logicznej z dowolnie pomieszanymi operatorami.
Y=A+(B*C)
przejście do logiki ujemnej
~Y = ~A * (~B + ~C) - totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów na przeciwne tzn. OR(+) na AND(*) i odwrotnie.
Powrót do logiki dodatniej
Y=A+(B*C) - ponowna totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów
Twierdzenie 2.1
Przejście z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y) polega na zamianie wszystkich zmiennych na przeciwne oraz wszystkich operatorów na przeciwne czyli AND(*) na OR(+) i OR na AND. Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej zmieni się na: nawiasy, OR, AND.
Logika dodatnia:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
A.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)
Przejście do logiki ujemnej:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej: nawiasy, OR(+), AND(*)
B.
~Y=~A*~B+(~C*D)*~E+F – logika ujemna (~Y)
Przejścia powrotnego do logiki dodatniej dokonujemy w identyczny sposób.
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
C.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)
Zmiana kolejności wykonywania działań w logice ujemnej jest oczywista bowiem przy przejściu z logiki dodatniej do ujemnej AND zamienia się w OR.
Dowód twierdzenia:
I.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – funkcja zapisana w logice dodatniej (Y)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory.
II.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)
negujemy wszystkie zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
III.
~Y=~A*(~B+(~C*D))*(~E+~F) – logika ujemna (~Y)
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy domyślną kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (~Y): nawiasy, OR, AND to zbędne stanie się dokładanie nawiasów. Przejście powrotne do logiki dodatniej wykonujemy w identyczny sposób tj. zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.
IV.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)
Aby powrócić do funkcji pierwotnej I usuwamy dołożone nawiasy.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – oryginał, logika dodatnia (Y)
Zauważmy, że w tej metodzie uzupełniamy nawiasy przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną oraz usuwamy je przy przejściu powrotnym by dojść do oryginału. W sumie niepotrzebna syzyfowa praca bowiem o fakcie zapisania funkcji w logice ujemnej informuje precyzyjnie przeczenie przy jej nazwie (~Y).
Zauważmy, że prawo de’Morgana pozwala w prosty sposób zamienić operatory na przeciwne w dowolnym fragmencie nawet nieskończonej funkcji logicznej. Wystarczy dowolny fragment ciągu ująć w nawiasy, postawić przed nimi znak przeczenia ~, zaś w środku tych nawiasów zamienić wszystkie zmienne i operatory na przeciwne. W tym przypadku bezpieczniej będzie uzupełnić brakujące nawiasy domyślne, aby nie pogubić się w kolejności wykonywania działań.
2.2 Matematyczne operatory logiczne
Efektem ubocznym walki z implikacją jest odkrycie i nazwanie wszystkich 16 operatorów matematycznych w algebrze Boole'a.
| Kod: | p q OR NOR AND NAND <=> XOR => -> ~> <- FILL NOP P NP Q NQ
0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
|
| Kod: | Logika dodatnia Logika ujemna
OR NOR
AND NAND
<=> XOR
=>(musi) -> ~(musi)
~>(może) <- ~(może)
FILL NOP
P NP
Q NQ
|
Jak widać, połowa z 16 operatorów działa w logice dodatniej, zaś druga połowa w logice ujemnej. Za operatory dodatnie przyjęto te które człowiek używa w języku mówionym. Najważniejsze w porozumiewaniu się człowieka z człowiekiem są cztery operatory dodatnie o fundamentalnym znaczeniu: OR(+), AND(*), implikacja prosta (operator „musi” =>) i implikacja odwrotna (operator „może” ~>)
Co to jest logika ujemna ? ... widać w powyższych tabelach.
Każdy operator dodatni ma swego oponenta w postaci operatora ujemnego. Negując operator dodatni otrzymamy operator ujemny i odwrotnie. Iloczyn logiczny tych operatorów jest zawsze równy zeru (operator NOP), zaś suma logiczna zawsze równa 1 (operator FILL).
Jest to zgodne z fundamentem algebry Boole’a:
A*~A=0
A+~A=1
Same jedynki (FILL) to czysta pamięć mikroprocesora przed wpisaniem programu. Rozkaz NOP jest w każdym mikroprocesorze i oznacza NIC NIE RÓB.
Operatory logiczne w równaniach matematycznych:
OR = ~(~p*~q) = p + q - prawo de’Morgana
NOR = ~OR = ~p*~q = ~(p+q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)
AND = p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
NAND = ~AND = ~(p*q) = ~p+~q - prawo de'Morgana (logika ujemna)
<=> = (~p*~q)+(p*q)
XOR = ~(<=>) = ~p*q + p*~q (logika ujemna)
Operator implikacji prostej (spójnik "musi" => między p i q):
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
p->q = ~(p=>q) = p*~q = ~(~p + q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)
Operator implikacji odwrotnej (spójnik "może" ~> między p i q):
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
p<-q = ~(p~>q) = ~p*q = ~(p+~q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)
FILL = ~p*~q + ~p*q + p*~q + p*q = 1
NOP = ~FILL = ~(1) = 0 (logika ujemna)
P = p
NP = ~P = ~p (logika ujemna)
Q = q
NQ = ~Q = ~q (logika ujemna)
2.3 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach
W zdaniach twierdzących człowiek zawsze jako pierwsze wypowiada zdanie proste w logice dodatniej, bo za taką logikę przyjmujemy pierwsze wypowiedziane zdanie. Logika ujemna to zaprzeczenie zdaniu wypowiedzianemu w logice dodatniej.
Y = Jutro pójdę do kina – logika dodatnia bo Y
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~Y = Jutro nie pójdę do kina – logika ujemna bo ~Y
W zdaniu twierdzącym wyjście Y występuje wyłącznie na poziomie abstrakcyjnym, nie jest dostępne w wypowiadanym zdaniu w przeciwieństwie do implikacji.
Y- funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.
Oczywiście nigdy nie będzie:
Y = ~Y – bo algebra Boole’a leży w gruzach
Ze zdania w logice ujemnej można wrócić do logiki dodatniej na dwa sposoby.
I.
Wypowiadamy ponownie zdanie w logice dodatniej
Y=~(~Y)=Y
Jutro pójdę do kina
II.
Zaprzeczamy zdaniu w logice ujemnej
Y= ~(~Y)
Czyli:
Y = ~( Jutro nie pójdę do kina) – logika dodatnia bo Y.
Zaprzeczam, że jutro nie pójdę do kina
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina ...itp.
Matematycznie każde wypowiedziane zdanie twierdzące traktujemy jako prawdziwe i przypisujemy mu wartość PRAWDA czyli Y=1.
Y = Jutro nie pójdę do kina, logika dodatnia bo Y
Zdanie w logice przeciwnej:
~Y = Jutro pójdę do kina, logika ujemna bo ~Y
W zdaniu prostym nie mamy dostępnego wyjścia Y i w tym przypadku która logika jest ujemna a która dodatnia to rzecz umowna. Pewne jest, że istnieją dwie przeciwstawne logiki. Zdanie proste w logice dodatniej (Y) nigdy nie będzie równoważne zdaniu prostemu w logice ujemnej (~Y)
Jutro pójdę do kina # Jutro nie pójdę do kina
2.4 Katastrofalne skutki nie odróżniania logiki dodatniej od logiki ujemnej
Skutki nie odróżniania w dzisiejszej algebrze Boole’a logiki dodatniej od logiki ujemnej oraz operatorów dodatnich od operatorów ujemnych są katastrofalne.
To jest poprawne rozumowanie w algebrze Boole’a.
Y = jutro nie pójdę do kina
Negujemy równanie dwustronnie.
~Y = jutro pójdę do kina
Gdzie Y jest abstrakcyjną funkcją logiczną, niedostępną w wypowiedzianym zdaniu, dlatego nie ma znaczenie czy w pierwszym zdaniu zapiszemy ~Y czy Y.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Wielu logików twierdzi, że poprawne jest poniższe równanie w algebrze Boole’a.
Zawsze tak = Nigdy nie
czyli:
Nigdy nie chodzę do kina = zawsze chodzę do kina
To oczywisty matematyczny idiotyzm, czyli czysto matematyczny błąd.
W algebrze Boole’a jest tak:
Y = Nigdy nie chodzę do kina (logika dodatnia bo Y)
negujemy równanie dwustronnie:
~Y = Zawsze chodzę do kina (logika ujemna bo ~Y)
Gdzie:
Y - to funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) niedostępna w wypowiadanym zdaniu.
Zapis:
Nigdy nie = Zawsze tak
jest zatem równoważny zapisowi:
Y = ~Y
Powyższe równanie jest bezpośrednim uderzeniem w fundament algebry Boole’a.
Aksjomat, na którym zbudowana jest cała algebra Boole’a jest taki:
Y # ~Y - żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia.
Powyższe nieporozumienie to skutek uznania języka angielskiego za „świętą krowę” czyli uznanie poniższego fałszu za prawdę:
ang. NEVER = pol. NIGDY - to jest fałsz w algebrze Boole’a !
Prawidłowe w algebrze Boole'a równania są takie:
ang. NEVER # ang. NEVER_NOT - Anglicy używają wyłącznie NEVER
pol. NIGDY # pol. NIGDY_NIE - Polacy używają wyłącznie NIGDY_NIE
Matematyczny związek języka polskiego z angielskim jest taki:
ang. NEVER = pol. NIGDY_NIE
czyli:
Jeśli mówimy po angielsku to używamy operatora NEVER, zaś jeśli po polsku to używamy operatora NIGDY_NIE - oba znaczą to samo, to nierozdzielna NAZWA tego samego operatora !
Podobnie mamy w kiwaniu głową na TAK i NIE.
Jak nazywa się operator kiwania głową z góry na dół ?
TAK - po Polsku
NIE - po Bułgarsku
Zapis matematyczny:
Polskie TAK = Bułgarskie NIE
I już mamy wszystko, wiemy co robić po wjeździe do Bułgarii, tak samo jak Bułgarzy wiedzą co robić po wjeździe do Polski.
.... i bardzo dużo innych podobnych przykładów.
2.5 Katastrofalne skutki mieszania logiki dodatniej i ujemnej
Zderzenie dwóch logik:
W dzisiejszej logice jedynym legalnym operatorem jest operator implikacji prostej =>, operator implikacji odwrotnej ~> nie jest używany.
Jeśli jeździmy samochodem po Polsce to musimy jeździć prawą stroną (operator =>), zaś jeśli po Anglii to musimy jeździć lewą stroną (operator ~>). Brak operatora implikacji odwrotnej ~> oznacza, że Polacy jeżdżą po Anglii prawą stroną, masakra gwarantowana.
=> - samochód Polski z kierownicą po lewej stronie
~> - samochód Angielski z kierownicą po prawej stronie
Mózg człowieka obietnice obsługuje operatorem implikacji prostej =>, zaś groźby operatorem implikacji odwrotnej ~>, zatem "przesiada się" z jednego operatora na drugi niezwykle często. Matematyka bez operatora implikacji odwrotnej ~>, to jeżdżenie po Anglii jedynie słuszną, prawą stroną.
Mieszanie dwóch logik:
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Zapis matematyczny naturalny, zgodny z wypowiedzianym zdaniem:
K*~T – kino i nie teatr
Logika dodatnia:
K = kino
~K = nie kino
T = teatr
~T = nie teatr
Logika ujemna:
K = nie kino
~K = kino
T = nie teatr
~T = teatr
Zapis powyższego zdania w logice ujemnej:
~K*T = ~(nie kino)*(nie teatr) = kino i nie teatr
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Jak widać po podstawieniu konkretnych parametrów w logice ujemnej otrzymaliśmy zdanie zgodne z wypowiedzianym. Ogólnie, zdanie o dowolnej ilości zmiennych kodować możemy w logice dodatniej (jazda prawą stroną - Polak) zgodnej z naturalnym językiem, albo logice ujemnej (jazda lewą stroną - Anglik) będącej w totalnej niezgodności z językiem mówionym. Załóżmy, że wypowiedzieliśmy zdanie z 16-toma zmiennymi. Jeśli do matematycznego wzoru opisującego zdanie dodamy dopisek „logika dodatnia” albo „logika ujemna” to z łatwością odtworzymy wypowiedziane zdanie.
Załóżmy teraz, że poszczególne zmienne zapisujemy w logice dodatniej albo ujemnej rzucając monetą. Wszystkich możliwości zakodowania takiego zdania jest 2 do potęgi 15 czyli 65536. Konia z rzędem temu kto tak zapisane zdanie odczyta. Teoretycznie do każdej zmiennej możemy załączyć dopisek o zastosowanej logice i wtedy będzie to zapis matematycznie poprawny, groch z kapustą i głupota jednak pozostanie.
Prawo Kubusia:
Wypowiedziane zdania zawsze kodujemy w logice dodatniej, zgodnej z naturalnym językiem mówionym. W uzasadnionych przypadkach dopuszczalne są odstępstwa.
3.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
Algebra Boole’a to matematyka ścisła. Implikacja to jeden z fundamentalnych operatorów w tej algebrze. Problem w tym, że ludzie znają wyłącznie jedynie słuszną implikację prostą (obsługującą obietnice), zaś nie mają pojęcia czym w rzeczywistości jest równie ważna implikacja odwrotna (obsługująca groźby). Definicje implikacji prostej i odwrotnej działają fenomenalnie w całej algebrze Boole’a. Groźby i obietnice to tylko maleńki fragment, ale kluczowy z punktu widzenia logiki człowieka bo dzięki niemu pewne jest że:
Logika człowieka = algebra Boole’a
Powyższe równanie to herezja dla dzisiejszych logików, którym wychodzi że „logika człowieka nie istnieje”. Wychodzi im prawidłowo, bo bez akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą tak właśnie musi wyjść.
Implikacja to zdanie złożone połączone spójnikiem „Jeśli...to...”. W całej logice istnieją tylko dwa rodzaje implikacji opisywane przez matematyczne operatory logiczne. Jeden z nich to operator implikacji prostej „musi” =>, zaś drugi to operator implikacji odwrotnej „może” ~>.
Od strony matematycznej, definicja implikacji odwrotnej jest tak samo zbędna jak zbędna jest definicja sumy logicznej (bo prawa de’Morgana)
Zobaczmy to w tabeli:
| Kod: |
p q p*q p+q=~(~p*~q) p=>q p~>q=q=>p
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 |
Jak widać, matematycznie zbędne jest zarówno wprowadzanie nowego symbolu sumy logicznej jak i nowego symbolu implikacji odwrotnej ~>. Zauważmy, że matematycznie nigdy nie będzie p=>q = p~>q bo to różny zestaw zer i jedynek, tak samo jak nigdy nie będzie OR(+)=AND(*). Zarówno operator sumy logicznej (+) jak i operator implikacji odwrotnej (~>) są niezbędne w opisie matematycznym naturalnego języka mówionego człowieka. W języku mówionym implikacji odwrotnej używa się równie często jak implikacji prostej.
3.1 Zdania poprawne i niepoprawne, prawdziwe i fałszywe
Definicja:
Zdanie jest zdaniem poprawnym jeśli da się określić jego prawdziwość lub fałszywość.
Jeśli zdanie jest prawdziwe to przypisujemy mu wartość 1 = „prawda”, zaś jeśłi fałszywe to przypisujemy mu wartość 0 = ”fałsz”.
Zdania poprawne:
Pies ma cztery łapy - prawda, zdanie poprawne
Pies ma trąbę - fałsz, zdanie poprawne
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to „na pewno” jest podzielna przez 8 - implikacja fałszywa.
P3=>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to „może” być podzielna przez 8 - implikacja prawdziwa bo 24.
P3~>P8
Zdanie niepoprawne:
Jeśli księżyc świeci to pies ma cztery łapy
S ??? 4L - księżyc świeci to 4 łapy
Zdanie niepoprawne bo brak związku między p i q. Oczywiście, jeśli ktoś kiedyś udowodni że świecenie księżyca ma związek z czterema łapami u psa to wtedy implikacja może być poprawna.
3.2 Definicja implikacji, definicja implikacji właściwej
Definicja implikacji:
Implikacją jest dowolne zdanie ujęte w spójnik „Jeśli… to…”
Mówiąc o implikacji, będziemy mieli na myśli implikację w najszerszym tego słowa znaczeniu jak w definicji wyżej. Jeśli w czasie analizy implikacji okaże się, że implikacja spełnia definicję implikacji prostej lub odwrotnej, to taką implikację nazwiemy implikacją właściwą.
Definicja implikacji właściwej:
Implikacja właściwa to implikacja spełniająca definicję implikacji prostej lub definicję implikacji odwrotnej. W przeciwnym przypadku implikacja jest niewłaściwa.
Nie każde zdanie ujęte w spójnik „jeśli…to…” jest implikacją właściwą. W matematyce spójnik „Jeśli…to…” używany jest często także do wyrażenia równoważności. W implikacji prostej prawdziwej zawsze obowiązuje definicja implikacji prostej, to jest gwarantowane. W implikacji odwrotnej implikacja może być prawdziwa a mimo to może nie spełniać definicji implikacji odwrotnej (implikacja niewłaściwa).
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 5
P2~>P5
Implikacja prawdziwa bo 10 ..., ale nie podlegająca pod definicję implikacji odwrotnej, gdyż zajście P2 nie jest konieczne dla zajścia P5.
Implikacja może też być fałszywa, czyli nie spełniająca definicji implikacji. Każda implikacja fałszywa jest oczywiście implikacją niewłaściwą.
3.3 Definicja implikacji prostej
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q)
p=>q
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q (z p „musi” wynikać q”)
Zajście p gwarantuje zajście q
W implikacji prostej właściwej zajście p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia q
Warunek wystarczający = gwarancja
gdzie:
p=>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q w naturalnej logice człowieka
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
| Kod: | p q p=>q
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 1 |
Przykład 3.3
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
p=>q = P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy. Bycie psem gwarantuje 4 łapy
Jeśli p jest warunkiem wystarczającym zajścia q to q musi być warunkiem koniecznym zajścia p. W implikacji przeciwnej q=>p zajście q może spowodować zajście p ale nie gwarantuje tego.
Wyprowadzenie wzoru implikacji przeciwnej jest łatwe.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
Zamieniamy wszędzie p i q otrzymując wzór implikacji przeciwnej:
q=>p = ~q + p - matematyczny wzór implikacji przeciwnej
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
q=>p = 4L ??? P
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (q) to „może” zajść p (pies) lub „może” zajść ~p (nie pies = lis, zając, słoń…). Nie ma innych możliwości. Zauważmy, że w miejsce ??? nie możemy wstawić operatora implikacji prostej, spójnika "musi" => między p i q, bo 4 łapy u zwierzęcia nie są warunkiem wystarczającym bycia psem.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L<=P - to jedyna poprawna możliwość zapisania implikacji odwrotnej przy pomocy symbolu <=
<= - symbol operatora implikacji przeciwnej, spójnik „może” między p i q, czytamy przeciwnie do strzałki
Porównajmy to co wyżej z implikacja prostą.
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
P=>4L
=> - symbol operatora implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q, czytamy zgodnie ze strzałką
Zauważmy, że w implikacji prostej zdanie czytamy zgodnie ze strzałką (P=>4L) zaś w implikacji przeciwnej przeciwnie do strzałki (4L<=P). Nie ulega wątpliwości że „musi” i „może” to dwa fundamentalnie różne spójniki i powinny mieć różne symbole identycznie jak AND(+) i OR (+).
Dowolny z powyższych powodów wystarcza, by wprowadzić nowy operator implikacji odwrotnej.
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka
Oczywiście matematycznie zachodzi:
4L<=P = 4L~>P
czyli:
p<=q = p~>q
Zauważmy:
p=>q - implikacja prosta, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
p~>q - implikacja odwrotna, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
Jak widać w obu przypadkach zdanie czytamy zgodnie ze strzałką. To jest kapitalne uproszczenie problemu implikacji jeśli weźmiemy pod uwagę poniższe matematyczne tożsamości.
p=>q = q<=p
p~>q = q<~p
Oraz prawa Kubusia o których w dalszej części.
3.4 Definicja implikacji odwrotnej
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym zajścia q. W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym zajścia q, to dwie różne definicje.
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q = ~(~p*q)
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może ” zajść q (z p „może” wynikać q)
W implikacji odwrotnej właściwej p musi być warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
p~>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”)
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka
Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
| Kod: | p q p~>q = p<=q
1 1 1
1 0 1
0 0 1
0 1 0 |
W implikacji odwrotnej właściwej między p i q musi zachodzić warunek konieczności. Zajście p jest warunkiem koniecznym aby zaszło q, ale nie gwarantuje tego.
Jeśli zajdzie p to może zajść q (p~>q)
lub
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q (p~> ~q)
Nie ma innych możliwości bo to algebra Boole’a.
Zapiszmy matematycznie to co wyżej:
(p~>q)+(p~> ~q) = (p+~q)+[p+~(~q)] = p+ ~q + p + q = p+p + ~q + q = p + 1 = 1
bo:
p+p=p, ~q+q=1, p+1=1
Powyższe równanie to tautologia (zdanie zawsze prawdziwe) czyli "jeśli zajdzie p to wszystko może się zdarzyć".
Przykład 3.4
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna właściwa, bo cztery łapy są warunkiem koniecznym, aby zwierzę było psem.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem lub „może” nie być psem (lis, zając, słoń…)
Gwarancja w implikacji odwrotnej występuje po stronie ~p.
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważna implikację prostą
~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem (gwarancja)
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym by nie być psem
Oczywiście mamy tu na myśli psa zdrowego, bez ułomności.
3.5 Rodzaje implikacji
Definicje:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
Ze względu na rodzaj implikacje możemy podzielić na implikacje proste, odwrotne i przeciwne.
p=>q - implikacja prosta
q=>p = p<=q = p~>q - implikacja przeciwna do implikacji prostej przechodzi w implikację odwrotną
p~>q - implikacja odwrotna
q~>p = p<~q = p=>q - implikacja przeciwna do implikacji odwrotnej przechodzi w implikację prostą
Twierdzenie 3.5
Implikacja prosta po zamianie p i q przechodzi w implikację odwrotną. Implikacja odwrotna po zamianie p i q przechodzi w implikację prostą.
Dowód wyżej.
3.6 Prawa Kubusia
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny, identycznie jak w prawach de’Morgana.
Dowód 3.6.1
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
| Kod: | p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 |
Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q
Dowód 3.6.2
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
| Kod: | p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 |
Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q
3.7 Lekcja logiki w przedszkolu
Kubusiowe zagadki dla 5-letnich dzieci.
Zgadnijcie czy mówię prawdę czy kłamię.
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Prawda czy kłamstwo ?
Dzieci: Prawda
B.
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
Prawda czy kłamstwo ?
Dzieci: Kłamstwo
C.
Jakie to zwierzę, nie jest psem i nie ma czterech łap
Dzieci: Kura nie jest psem i nie ma czterech łap ! … i bocian … i stonoga …
D.
Jakie to zwierzę, nie jest psem i ma cztery łapy
Dzieci: Słoń nie jest psem i ma cztery łapy ! … i kot … i zając …
Powyższa lekcja logiki w przedszkolu to dowód, że 5-cio letnie dzieciaki doskonale posługują się w praktyce matematyką ścisłą, algebrą Boole’a. Odpowiednie równania matematyczne dopiszą jak trochę podrosną.
3.8 Największa tajemnica implikacji
W stumilowym lesie, w I klasie LO dla leśnych zwierzątek, wykładowca logiki Kubuś po zaledwie kilku wykładach zadał taki test.
Przeanalizować matematycznie zdania:
TEST 1
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
TEST 2
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Proszę o zaznaczenie zdań prawdziwych i zdań fałszywych wraz z odpowiednimi wzorami matematycznymi
Rozwiązanie Kłapouchego.
Definicje:
Implikacja właściwa - implikacja spełniająca definicję implikacji prostej lub definicję implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Implikacja prosta jest właściwa jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Implikacja odwrotna jest właściwa jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Zdanie analizowane:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Implikacja prosta właściwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć 4 łapy
TEST 1 - rozwiązanie
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 1
1 0 0
A.
p q p=>q
1 1 1
Jeśli zwierze jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1
Prawda, bo wszystkie psy mają cztery łapy
B.
1 0 0
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => nie ma czterech łap
P=>~4L = ~P + ~4L = 0
Fałsz, bo wszystkie psy mają cztery łapy
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Odpowiedź na pytanie co może się zdarzyć gdy zwierzę nie jest psem otrzymujemy w równoważnej implikacji odwrotnej. Implikacja prosta i odwrotna to dwie różne definicje których nie wolno mieszać. Zdanie ~P ~> ~4L traktujemy zatem jako zupełnie nowe zdanie (1 1 1) analizowane przy pomocy implikacji odwrotnej.
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
p q p~>q
1 1 1
1 0 1
C.
p q p~>q
1 1 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L = ~P + 4L = 1
Prawda bo kura, wąż …
lub
D.
1 0 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> mieć cztery łapy
~P ~> 4L = ~P + ~4L = 1
Prawda bo słoń, zając …
Jak widać, w analizie wypowiedzianego zdania mamy w wyniku trzy jedynki i jedno zero czyli piękną implikację właściwą podlegającą pod implikację prostą.
TEST 2 - rozwiązanie
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna właściwa bo cztery łapy są warunkiem koniecznym bycia psem
Analiza:
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
p q p~>q
1 1 1
1 0 1
A.
p q p~>q
1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P = 4L + ~P = 1
Prawda
lub
B.
1 0 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L ~> ~P = 4L + P = 1
Prawda bo słoń, zając …
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Prawo Kubusia daje odpowiedź, co będzie jeśli zwierzę nie ma czterech łap. Jak widać w tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą, spójnik „musi” =>. Oczywiście implikację ~4L => ~P traktujemy jako zupełnie nowe zdanie (1 1 1) podlegające pod definicję implikacji prostej, bo nie wolno mieszać ze sobą implikacji odwrotnej i prostej.
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 1
1 0 0
C.
p q p=>q
1 1 1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = 1
Prawda bez żadnych wyjątków
D.
1 0 0
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => jest psem
~4L => P = 4L + P = 0
Fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy
To co wyżej to piękna matematyka ścisła, prosta do bólu i nie do obalenia.
3.9 Tajemnica zer i jedynek w implikacji prostej
Rozwiązując testy Kłapouchy zdradził ludziom największą tajemnicę implikacji. Kubusiowi pozostaje rozszyfrować tajemnicę zer i jedynek w definicjach implikacji prostej i odwrotnej.
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
Definicja implikacji prostej w postaci symbolicznej.
p q p=>q
p q =1
p ~q =0
~p ~q =1
~p q =1
Oczywiście logika dodatnia:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Wstawiamy teraz do dwóch pierwszych linii symbol implikacji prostej =>, zaś do dwóch ostatnich symbol implikacji odwrotnej ~>.
Definicja implikacji prostej rozpisana na operatory logiczne:
p=>q =1
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
~p ~> ~q =1
~p ~> q =1
To jest cała trywialna tajemnica zero-jedynkowej definicji implikacji prostej. Zauważmy, że jedynka w definicji zero-jedynkowej implikacji zakazuje przeczenia p lub q w zdaniu wypowiedzianym p=>q, zaś zero wymusza przeczenie. Jest to fundamentalnie różna interpretacja zer i jedynek niż w komunistycznej implikacji materialnej.
3.9.1 Algorytm analizy implikacji prostej
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” (musi) między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Metoda Kłapouchego:
A.
1 1 =1
p=>q =1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
B.
1 0 =0
p=>~q =0 - po zanegowaniu q musimy otrzymać zdanie fałszywe
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
Implikacji prostej i odwrotnej nie wolno ze sobą mieszać, zatem traktujemy zdanie ~p ~> ~q jako nowo wypowiedziane przypisując mu wartość startową 1 1 1.
C.
1 1 =1
~p ~> ~q = 1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
D.
1 0 =1
~p ~> q = 1 - po zanegowaniu q w implikacji odwrotnej musimy otrzymać zdanie prawdziwe
Jeśli w którymkolwiek punkcie A,B,C,D otrzymamy niezgodność z powyższym wzorem, to zdanie wypowiedziane nie jest implikacją prostą.
3.10 Tajemnica zer i jedynek w implikacji odwrotnej
Identycznie postępujemy z implikacją odwrotną.
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
Definicja implikacji odwrotnej w postaci symbolicznej:
p q p~>q
p q =1
p ~q =1
~p ~q =1
~p q =0
Oczywiście logika dodatnia:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Do dwóch pierwszych linijek wstawiamy symbol implikacji odwrotnej ~>, zaś do dwóch ostatnich symbol implikacji prostej =>
Definicja implikacji odwrotnej rozpisana na operatory logiczne:
p~>q =1
p ~> ~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q =1
~p=>q =0
3.10.1 Algorytm analizy implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” (musi) między p i q
Metoda Kłapouchego:
A.
1 1 =1
p~>q =1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
B.
1 0 =1
p~>~q =0 - po zanegowaniu q w implikacji odwrotnej także musimy otrzymać zdanie prawdziwe
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
Implikacji odwrotnej i prostej nie wolno ze sobą mieszać. Traktujemy zatem zdanie ~p => ~q jako nowo wypowiedziane przypisując mu wartość startową 1 1 1.
C.
1 1 =1
~p => ~q = 1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
D.
1 0 =0
~p => q = 0 - po zanegowaniu q w implikacji prostej musimy otrzymać zdanie fałszywe
Jeśli w którymkolwiek punkcie A,B,C,D otrzymamy niezgodność z powyższym wzorem, to zdanie wypowiedziane nie jest implikacją odwrotną.
4.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji
Ogólnie implikacją można nazwać cokolwiek ujęte w spójnik „Jeśli…to…”. Implikacja jest implikacją właściwą jeśli podlega pod definicję implikacji prostej lub odwrotnej. W matematyce bardzo często przy pomocy „Jeśli…to…” wyrażana jest równoważność. Spójnik „Jeśli…to…” jest więc najbardziej uniwersalnym spójnikiem w logice. Zdanie ujęte w ten spójnik może być implikacją prostą, implikacją odwrotną, równoważnością lub matematycznym śmieciem (będącym czymkolwiek innym).
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny, identycznie jak w prawach de’Morgana.
W powyższych równaniach q jest funkcją logiczną (wyjściem cyfrowym) która może być zapisana w logice dodatniej q (q bez negacji) lub logice ujemnej ~q (q z negacją). Prawa Kubusia, identycznie jak prawa de'Morgana, mówią o związku logiki dodatniej z logiką ujemną. Prawa te umożliwiają przejście z logiki dodatniej na równoważną logikę ujemną lub odwrotnie.
Fundament poniższego logicznego myślenia:
=> - "musi", "na pewno" - operator implikacji prostej
~> - "może", operator implikacji odwrotnej
q – logika dodatnie (wyjście q bez negacji)
~q – logika ujemna (wyjście q z negacją)
Twierdzenie 4.1
Jeśli wypowiedziana implikacja jest prawdziwa zarówno w logice dodatniej (q) jak i ujemnej (~q) to jest to implikacja właściwa albo równoważność.
Przykłady zdań spełniających definicję implikacji.
Implikacja prosta:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno”=> jest podzielna przez 2
P8=>P2 = 1 - prawda bez wyjątków
P8=>~P2 = 0 - fałsz bez wyjątków bo wyżej jest twarda prawda
Przechodzimy do logiki ujemnej za pomocą prawa Kubusia:
P8=>P2 = ~P8 ~> ~P2
~P8 ~> ~P2
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” ~> być niepodzielna przez 2
~P8 ~> ~P2 = 1 - prawda bo 3,5…
lub
~P8 ~> P2 = 1 – prawda bo 2,4..
Mamy wyżej trzy jedynki i jedno zero co oznacza, że implikacja jest implikacją właściwą, spełnia definicję implikacji prostej.
Powyższa analiza to równoważny dowód, że między p i q zachodzą warunki wystarczalności i konieczności. Zajście P8 wystarcza aby zaszło P2 i oczywiście odwrotnie P2 jest warunkiem koniecznym dla zajścia P8.
Implikacja odwrotna:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2 ~> P8 = 1 – prawda bo 8,16..
lub
P2 ~> ~P8 = 1 – prawda bo 2,4..
Przechodzimy ze zdaniem wypowiedzianym do logiki ujemnej:
P2 ~> P8 = ~P2 => ~P8 – prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~P2 => ~P8
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” nie jest podzielna przez 8
~P2 => ~P8 = 1 – twarda prawda (gwarancja w implikacji odwrotnej)
~P2 => P8 = 0 – twardy fałsz
Implikacja jest właściwa bo mamy trzy jedynki i jeden fałsz, co jest zgodne z definicją implikacji.
Powyższa analiza to równoważny dowód, że między p i q zachodzą warunki wystarczalności (implikacja prosta) i konieczności (implikacja odwrotna), P8 jest warunkiem wystarczającym dla P2 i oczywiście P2 jest warunkiem koniecznym dla P8.
Twierdzenie równoważne do twierdzenia 4.1
Jeśli implikacja jest fałszywa w dowolnej z logik, to nie jest implikacją właściwą, czyli nie spełnia definicji implikacji. Nie może też być równoważnością.
Powyższy sposób stwierdzenia implikacji właściwej jest równoważny do ustalenia warunku wystarczającego (koniecznego) w wypowiedzianej implikacji. Zauważmy, że na mocy powyższego twierdzenia wszelkie wypowiedziane implikacje fałszywe są niewłaściwe, czyli nie spełniają definicji implikacji, ani prostej, ani odwrotnej.
Przykłady:
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to może być podzielna przez 2
P5~>P2 = 1 - zdanie prawdziwe bo 10,20…
P5 ~> ~P2 = 1 - prawdziwe bo 5,15 …
Prawo Kubusia:
P5~>P2 = ~P5 => ~P2
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 5 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
~P5 => ~P2 = 0 - zdanie fałszywe bo 2,4…
~P5 => P2 = 0 - zdanie fałszywe bo 3,7..
Jak widać, nie otrzymaliśmy wyżej definicji implikacji bo nie ma trzech jedynek i zera, nie jest to też równoważność. Oczywiście P5 nie jest warunkiem wystarczającym dla P2, zatem nie może to być implikacja właściwa co pokazano wyżej.
Porada praktyczna:
Jeśli implikacja wypowiedziana jest w logice ujemnej (~q) to można ją sprowadzić do równoważnej logiki dodatniej (q) za pomocą prawa Kubusia. Przeciętny człowiek zdecydowanie woli myśleć w logice dodatniej.
Przykład:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” ~> nie być podzielna przez 2
~P8 ~> ~P2 - zdanie prawdziwe bo 3,5,7…
Prawo Kubusia:
~P8 ~> ~P2 = P8=>P2 - zdania równoważne matematycznie
P8=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” => jest podzielna przez 2
Twarda prawda - zdanie prawdziwe.
Prawdziwość zdań w logice dodatniej i ujemnej gwarantuje implikację właściwą co w tym przypadku jest oczywiste. Zajście P8 jest wystarczające dla P2.
4.1 Prawa Kubusia w obsłudze równoważności
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to jest równoboczny
K60=>R = 1 - jeśli kąty równe to „na pewno” => równoboczny
K60=>~R = 0 – fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R – prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
~K60 ~> ~R
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” nie być równoboczny
~K60 ~> ~R = 1 – prawda
lub
Jeśli nie ma wszystkich kątów równych to „może” być równoboczny
~K60 ~> R = 0 – oczywisty fałsz
Jak widać w analizie pionowej implikacji (prawa Kubusia) wykazaliśmy zachodzącą równoważność. To jest alternatywny sposób do analizy poziomej.
K60=>R i R=>K60
(Jeśli kąty równe to na pewno trójkąt jest równoboczny) i (Jeśli równoboczny to na pewno kąty równe)
5.0 Obietnice i groźby w algebrze Boole’a
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary i nie ma prawa zostać matematycznym kłamcą np. Chrystus i zbrodniarz na Krzyżu, JPII i Ali Agca …
Nigdy nie może być:
Obietnica(nagroda) = Groźba (kara)
Zwierzątka które nie odróżniały nagrody od kary dawno wyginęły.
Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ), dział logiki opartej na algebrze Boole’a, popełnia tu fundamentalny błąd czysto matematyczny co łatwo udowodnić.
KRZ:
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
Powiedzenie wierszyka jest warunkiem wystarczającym otrzymania czekolady
Oczywista dla wszystkich (KRZ+Kubuś) implikacja prosta właściwa, spełniająca definicję implikacji prostej.
B.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W => ~C ?! - błędny zapis w KRZ, dowód dalej.
Kubuś:
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
Prawo Kubusia:
W=>C = ~W ~> ~C
Stąd:
B.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W ~> ~C
To samo co wyżej z odkrytym operatorem „może” ~>:
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~W ~> ~C
lub
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” dostać czekoladę
~W ~> C
W groźbach spójnik implikacji odwrotnej „możesz” ~> prawie nigdy nie jest wypowiadany bo po pierwsze osłabiałby groźbę a po drugie jest gwarantowany z definicji i nie ma sensu go powtarzać.
Wniosek:
Wszelkie obietnice wypowiadane przez człowieka obsługiwane są przez implikację prostą =>, zaś wszelkie groźby obsługiwane są przez implikacje odwrotną ~>.
W zdaniach A KRZ i Kubuś są zgodni:
W=>C (KRZ) = W=>C (Kubuś)
W zdaniach B wypowiedziane zdania są identyczne, ale mają różne zapisy matematyczne. Zapisu ~W ~> ~C jesteśmy matematycznie pewni. Musi być zatem błąd w KRZ ~W=>~C.
Prawa matematyczne są identyczne w całej algebrze Boole'a.
Analogicznie do powyższego:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - KRZ i Kubuś
~P8 ~> ~P2 - Kubuś 
~P8 => ~P2 - KRZ 
Jeśli zwierzę jest psem to ma 4 łapy
P=>4L - KRZ i Kubuś
~p~>~4L - Kubuś
~P=>~4L - KRZ
5.1 Gwarancje w obietnicach i groźbach
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
Spełnienie warunku nagrody W gwarantuje nagrodę N z powodu spełnienia warunku W. Poza tym wszystko może cie zdarzyć.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to muszę dostać komputer z powodu zdanego egzaminu
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary.
Gwarancja w implikacji odwrotnej.
W~>K = ~W => ~K – prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Wszystko inne może się zdarzyć.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdę w czystych spodniach, to nie mam prawa dostać lania z powodu czystych spodni.
Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć. Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć.
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.
Analogie spoza gróźb.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2 => ~P8
Zajście ~P2 gwarantuje ~P8 wyłącznie dla liczb niepodzielnych przez 2. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L => ~P
Zajście "zwierzę nie ma czterech łap" (~4L) gwarantuje zajście "nie pies" (~P) wyłącznie dla zwierząt nie mających czterech łap (~4L). Poza tym wszystko może się zdarzyć
6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
W języku mówionym każdy człowiek posługuje się biegle zarówno implikacją prostą jak i odwrotną, w szczególności w obietnicach (implikacja prosta) oraz w groźbach (implikacja odwrotna). Uznanie implikacji odwrotnej za legalną i na równych prawach z implikacją prostą z całą pewnością wygeneruje cały szereg sensownych praw matematycznych, nieznanych człowiekowi. Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.
6.1 Implikacja prosta
Prawo sylogizmu, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)
y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q
Przykład 6.1
[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość
P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi być" podzielna przez 4
i (*)
P4=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to "musi być" podzielna przez 2
to na pewno (=>)
P8=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 "musi być" podzielna przez 2
Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !
6.2 Implikacja odwrotna
Prawo sylogizmu, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)
[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q
Dowód zero-jedynkowy
| Kod: |
a b c (a~>b) (b~>c) (a~>b)*(b~>c) (a~>c) y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
|
W ostatniej kolumnie y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.
Przykład 6.2
[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość
P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
Zauważmy coś bardzo ważnego:
[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t
Spójnik "na pewno" ("musi") użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !
To kolejny dowód że:
Logika człowieka = algebra Boole'a
7.0 Nie ma implikacji bez implikacji odwrotnej i praw Kubusia … koniec wariatkowa !
Dyskusje z Wujem na PW zawsze powodują ciekawe przemyślenia Kubusia. Tak jest od wieków, tak było i tym razem. Nie wiem jaka jest tego przyczyna, może telepatyczna ?
Kubuś to przybysz ze świata cyfrowych układów logicznych, gdzie definicja implikacji jest po prostu idiotyzmem. Kubuś od początku był pewien jednego, definicja implikacji materialnej jest sprzeczna z fundamentem logiki człowieka, algebrą Boole’a. Studenci logiki już na pierwszym wykładzie przechodzą pranie mózgów, bo tylko w ten sposób można zmusić człowieka do zaakceptowania tego badziewia. Mam nadzieję, że ten artykuł będzie początkiem końca definicji implikacji materialnej w obsłudze logiki człowieka. Jeśli nie, to zabierzemy to wszystko wspólnie z Wujem do grobu. Cóż, to też czasami się zdarza…
W dzisiejszej logice operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q nie jest używany. Spróbujmy wrócić do przeszłości i zobaczyć jak wyglądała logika człowieka bez operatora implikacji odwrotnej i praw Kubusia.
Definicje:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Zdanie analizowane:
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L
Tabela 7.1:
Analiza naturalna w 100% zgodna z logiką człowieka, algebrą Boole’a.
A.
1 1 1
Jeśli zwierze jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1
Prawda dla psa
B
1 0 0
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => nie ma czterech łap
P=> ~4L = ~P + ~4L = 0
Fałsz dla psa
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Implikacji odwrotnej nie wolno mieszać z implikacją prostą, dlatego traktujemy poniższe zdanie jako nowo wypowiedziane przypisując mu wartość startową 1 1 1
C.
1 1 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L = ~P + 4L = 1
Prawda dla kury, węża ...
lub
D.
1 0 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> mieć cztery łapy
~P ~> 4L = ~P + ~4L = 1
Prawda dla kota, słonia ...
Zauważmy, że mamy 100% zgodność analizy matematycznej z językiem mówionym !
To jest piękna matematyczna implikacja, gdyż w wyniku mamy trzy jedynki i jedno zero.
Matematycznie zachodzi:
p~>p = p<=q – operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q.
Przepiszmy tabelę 7.1 korzystając z tej równości.
Tabela 7.2
Analiza naturalna w 100% zgodna z logiką człowieka, pozornie bez użycia symbolu implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~> między p i q.
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1
Prawda dla psa
B
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=> ~4L = ~P + ~4L = 0
Fałsz dla psa
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P <= ~4L = ~P + 4L = 1
Prawda dla kury, węża ...
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P <= 4L = ~P + ~4L = 1
Prawda dla kota, słonia ...
Zauważmy, że totalnie nic nie zmieniliśmy w stosunku to tabeli 7.1. W liniach A i B obowiązuje definicja implikacji prostej zaś w liniach C i D obowiązuje definicja implikacji odwrotnej. Zdania A i B czytamy zgodnie ze strzałką (implikacja prosta) zaś zdania C i D czytamy przeciwnie do strzałki (implikacja odwrotna) ! Jeśli chcemy wyeliminować implikacje odwrotną z powyższej analizy to musimy odwrócić zdania C i D jak niżej.
Tabela 7.3
Analiza zdania A przy totalnym wyeliminowaniu implikacji odwrotnej !
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1 (prawda)
B
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=> ~4L = ~P + ~4L = 0 (fałsz)
C
Przedpotopowa postać prawa Kubusia, związek ze zdaniem A:
p=>q = ~q=>~p - jedynie słuszna, komunistyczna implikacja prosta
P=>4L = ~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = ~P + 4L = 1 (prawda)
D
Przedpotopowa postać prawa Kubusia, związek ze zdaniem B:
P=>~4L = 4L=>~P
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno nie jest psem
4L => ~P = ~4L + ~P = ~P + ~4L = 0 (fałsz)
Oczywiście powyższa tabela to algebra Boole’a, również w 100% zgodna z naturalną logiką człowieka.
To co wyżej, to efekt maksymalnych wypocin dzisiejszej logiki, która nie uznaje definicji implikacji odwrotnej (operator „może” ~>) na równych prawach z implikacją prostą (operator „musi”=>).
Koniec tego wariatkowa, to trzeba natychmiast zmienić !
Tabela 7.3 nie jest definicją implikacji gdyż mamy tu w wyniku dwie jedynki i dwa zera !
Nie jest to też równoważność !
Zdania A i B to poprawny początek analizy implikacji A.
Zdanie C to totalnie inna implikacja, której pełną poprawną analizę przytaczam poniżej.
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L => ~P
Tabela 7.4
Analiza powyższego zdania w 100% zgodna z naturalną logiką człowieka, algebrą Boole’a.
A
1 1 1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = 1
B.
1 0 0
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => jest psem
~4L => P = 4L + P = 0
Prawo Kubusia:
~4L => ~P = 4L ~> P – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Oczywiście implikację odwrotną traktujemy jako nowo wypowiedziane zdanie 1 1 1, bo nie wolno jej mieszać z implikacją prostą.
C.
1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P = 4L + ~P = 1
Prawda dla psa
lub
D.
1 0 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L ~> ~P = 4L + P = 1
Prawda dla słonia, kota, lisa …
Jak widać mamy piękną implikację czego dowodem są trzy jedynki i jedno zero w wyniku. Oczywiście wszystko jest w pełnej zgodności z naturalną logiką człowieka, algebrą Boole’a. Myślę, że to koniec pewnej epoki w logice. Koniec komunizmu z jedynie słuszną definicją implikacji materialnej.
Logika człowieka nie istnieje - Klasyczny Rachunek Zdań, wniosek z definicji implikacji materialnej
Logika człowieka = algebra Boole’a - proste jest piękne, nowa era w logice klasycznej
Implikację materialną trzeba wyrzucić do kosza, wtedy świat będzie normalny !
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 22:03, 15 Lip 2008, w całości zmieniany 26 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
