ŚFiNiA

Bruce Willis · Dołączył: 21 Mar 2007 Posty: 301 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna

Powiedzmy, że mamy następujące wyrażenie:

[(3^a*b-1)/(2^a*b-1)]*[(3^c*d-1)/(2^c*d-1)]*[(3^e*f-1)/(2^e*f-1)]*...*[(3^m*n-1)/(2^m*n-1)] = 2^x

Wszystkie zmienne są liczbami naturalnymi. Natomiast ilość czynników w tym wyrażeniu należy do przedziału <1, \infty), tzn. może być dowolna.

PYTANIE: dla jakich wartości zmiennych i przy jakiej ilości czynników owe równanie jest spełnione? A dokładniej chodzi mi o to czy istnieją inne przypadki, że owe równanie jest spełnione, oprócz jednego przypadku mi znanego:

(3^1*1-1)/(2^1*1-1)=2^1

... :think:

wujzboj

A czy potrafisz pokazać, że (nie) istnieją takie całkowite m, n i k różne od 1 i spełniające równanie:

(3^m*n-1)/(2^m*n-1) = 2^k?

Wykazując, że takich liczb nie ma, wykazałoby się przy okazji, że nie ma liczb spełniających twoje równanie. Bo każdy z czynników w twoim równaniu musi być równy 2^k, aby równanie było spełnione.

macjan

wujzboj

Moment. Jeśli którykolwiek z czynników jest liczbą całkowitą nie mającą postaci 2^k, wtedy cały iloczyn nie może mieć postaci 2^k. Widać to gołym okiem, bo 2^k jest po prostu iloczynem k dwójek, a dwójka jest liczbą pierwszą (wobec tego dowolne pogrupowanie jakichkolwiek czynników tworzących liczbę będącą tym iloczynem musi być iloczynem samych tylko dwójek, czyli być liczbą postaci 2^k).

Chociaż... Faktycznie, składniki tworzące ułamek Ai/Bi i ułamek Aj/Bj mogą się przecież wzajemnie upraszczać.

Wobec tego, aby to twierdzenie było prawdziwe, musi zachodzić:

(3^m*n-1)/(2^m*n-1) = a/b * (2^k),

gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Innymi słowy, (3^m*n-1)/(2^m*n-1) musi być podzielne przez dwa. Innymi słowy, (3^m*n-1) musi być podzielne przez dwa. Co jest prawdziwe dla nieparzystych n.

Bruce Willis · Dołączył: 21 Mar 2007 Posty: 301 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna

wujzboj

Znaczy, chodzi o układ składający się równań typu:

3^a*b-1=2^x*(2^a*b-1)

(tj. z nawiasem)?

Jeśli jednak o to chodzi, to rzecz przypadkiem sprowadza się faktycznie do warunku, który wypisałem na początku. Nie był on prawdziwy dla przekształconego wyrażenia, ale dla problemu, który ma być rozwiązany, prawdziwy już był. Tak więc skracanie pomiędzy sąsiednimi ułamkami należy wykluczyć, bo rozwiązanie dopuszczające takie skracanie nie jest rozwiązaniem podstawowego zadania. To chyba znacznie upraszcza problem (chociaż ten ze skracaniem jest też ciekawy).

macjan

wujzboj

W tej sytuacji można chyba pokazać, że nie ma rozwiązań dla x > 1.

Piszemy tak:

macjan

wujzboj

Przeoczyłeś, że jedynka została odjęta. Rozwinięcie dotyczy 3^a - 1, a nie 3^a.

Znaczy, moja wina, bo nie dopisałem tego -1 po lewej stronie. Ale to tylko literówka. Właśnie poprawiam.

macjan

Rzeczywiście. Napisałeś 3^a = ... = 2p, powinno być oczywiście 3^a - 1 = ... = 2p i wtedy gra.

Natomiast nie zgodzę się, że p jest parzyste dla a>1. Moim zdaniem p jest parzyste dla a parzystego, bowiem:

Bruce Willis · Dołączył: 21 Mar 2007 Posty: 301 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna

wujzboj

Fakt. Wzięło mi się to stąd, że wstukałem (a k) 2^(a-1) zamiast (a k) 2^(k-1).

Pozostaje więc do rozpatrzenia przypadek nieparzystego a.

Bruce Willis · Dołączył: 21 Mar 2007 Posty: 301 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna

Zła wiadomość... Pokiełbasiłem kolejność w układach równań

Mój poprzedni post poprawiłem, a tu prawdziwa kolejność:

1.

(3^a*b-1)=2^x*(2^a*b-1)

2.

(3^a*b-1)=2^x*(2^c*d-1)
(3^c*d-1)=2^y*(2^a*b-1)

3.

(3^a*b-1)=2^x*(2^c*d-1)
(3^c*d-1)=2^y*(2^a*b-1)
(3^e*f-1)=2^z*(2^a*b-1)

4. itd.

Wtedy wracamy do punktu wyjścia, bo rzecz nie sprowadza się tylko do rozwiązania jednego takiego równania. No, ale zawsze na pocieszenie pozostaje fakt, że przynajmniej rozwiążemy pierwszy element szeregu :wink:

Tylko zastanawiam się, czy funkcja:

[(3^a*b-1)/(2^a*b-1)]*[(3^c*d-1)/(2^c*d-1)]*[(3^e*f-1)/(2^e*f-1)]*...*[(3^m*n-1)/(2^m*n-1)]

to nie to samo co:

(3^x*y-1)/(2^x*y-1)

tyle, że parametry x oraz y nie są liczbami całkowitymi? Myślę, że tak tylko wtedy zmienne należą do liczb rzeczywistych.

wujzboj

Hmmm. A dlaczego miałaby to być ta sama funkcja?

Bruce Willis · Dołączył: 21 Mar 2007 Posty: 301 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna

Właściwie wyraziłem się nie precyzyjnie. Dla:

[(3^a*b-1)/(2^a*b-1)]*[(3^c*d-1)/(2^c*d-1)]*[(3^e*f-1)/(2^e*f-1)]*...*[(3^m*n-1)/(2^m*n-1)] = (3^w*r-1)/(2^q*v-1) = k

"k" może być dowolnie duże, ale nie dowolne.

Natomiast w wyrażeniu:

(3^x*y-1)/(2^x*y-1) = l

"l" może być również dowolnie duże, a dla liczb rzeczywistych po prostu dowolne. Stąd "l" może być również równe "k".

wujzboj

Jak się wymnoży, to rzeczywiście i licznik i mianownik mają taką formę. Ale przecież pierwsze wyrażenie jest funkcją wielu zmiennych, a drugie - tylko dwóch.

Bruce Willis · Dołączył: 21 Mar 2007 Posty: 301 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna

Funkcja:

(3^a*b-1)/(2^a*b-1)

dla wartości całkowitych a oraz b znajduje się w granicach:

( 1,5^a , (3^a-1)/(2^a-1) >

Gdyby to stablicować to zauważymy, że jeśli 1,5^a = x,123... to górna granica zawsze jest mniejsza niż x+1, przy czym x to jakaś liczba całkowita.

1 1,50 - 2,00
2 2,25 - 2,67
3 3,38 - 3,71
4 5,06 - 5,33
5 7,59 - 7,81
6 11,39 - 11,56
7 17,09 - 17,21
8 25,63 - 25,73
9 38,44 - 38,52
10 57,67 - 57,72
11 86,50 - 86,54
12 129,75 - 129,78
13 194,62 - 194,64
14 291,93 - 291,95
15 437,89 - 437,91
16 656,84 - 656,85
17 985,26 - 985,27
18 1477,89 - 1477,90
19 2216,84 - 2216,84
20 3325,26 - 3325,26
21 4987,89 - 4987,89
22 7481,83 - 7481,83
23 11222,74 - 11222,74
24 16834,11 - 16834,11
25 25251,17 - 25251,17
26 37876,75 - 37876,75
27 56815,13 - 56815,13
28 85222,69 - 85222,69
29 127834,04 - 127834,04
30 191751,06 - 191751,06

Stąd wyrażenie:

(3^a*b-1)/(2^a*b-1)

Nie przyjmuje wartości całkowitych, w tym 2^k.

wujzboj

Nie ma jak matematyka eksperymentalna

A nieeksperymentalnie to byłoby pewno tak:

f_a(b) = (3^a*b-1)/(2^a*b-1);

f_a(b) jest monotonicznie malejąca (łatwo widać, że sgn(df_a/db) = sgn(1 -3^a - 2^a) = -1) w granicach od (3^a-1)/(2^a-1) dla b= 1 do (3/2)^a dla b = oo;

Różnica D_a = f_a(oo) - f_a(1) wynosi (1.5^a-1)/(2^a-1), czyli jest monotonicznie majejącą funkcją a w granicach od 0.5 dla a=1 do 0 dla a = oo.

Z tego wynika, że f_a(b) nie jest liczbą całkowitą poza przypadkiem a=b=1.

macjan

wujzboj

Ano malejąca, trzeba uważać na znaki (a tak w ogóle to dobrze jest czasami pisać coś na kartce :oops:

). Poprawiłem.

Natomiast jeśli o dowód chodzi, D_a=0.5 dla a = 1, co oznacza, że w całym zakresie zmienności b, funkcja f_1(b) zmienia się maksymalnie o 0.5 od wartości całkowitej przy b=1, czyli dla a=1 zmienia się ona zbyt słabo, by zapewnić istnienie drugiego całkowitego rozwiązania. Dla wyższych wartości a, mamy f_a(1) posiadającej pewną część ułamkową; pytanie brzmi, czy ta część ułamkowa może być przekraczać 1-D_a. Mnie się założyło niechcący, że f_a(1) jest liczbą całkowitą, co jest, rzecz jasna, prawdziwe tylko dla a=1...

Jeśli wykreślić w funkcji a całkowitą część f_a(1) oraz -D_a z dodaną całkowitą częścią f_a(1), to widać, że zachowuje się to nieregularnie, chociaż D_a maleje bardzo szybko. (Rozwiązanie może istnieć dla takiego a, dla którego czerwony punkt znajdzie się poniżej zera; rozwiązaniem jest też czarny punkt na wysokości zera):

[link widoczny dla zalogowanych] W każdym razie nie jest specjalnie oczywiste ani, że f_a(1) nie wstrzeli się w wartość całkowitą dla jakiegoś a, ani, że nie podejdzie tak bliziuteńko do wartości całkowitej, żeby D_a było w stanie przerzucić f_a(oo) na drugą stronę.

Nie jest też specjalnie oczywiste, jak szacować część ułamkową f_a(1). Rysunek nie sugeruje przy tym, żeby jakieś przyzwoite oszacowanie istniało; część ułamkowa nie wydaje się dążyć do jakiejś granicy, po prostu rzuca nią na w górę i w dół. Nie wygląda to może ZUPEŁNIE jak biały szum, ale zbyt optymistycznie też nie.

macjan

wujzboj

Mam "prawie rozwiązanie" dla trzech równań. Prawie, bo ani nie spełnia warunku, że wszystkie liczby muszą być różne, ani nie zamyka się w kółeczko

. Ale przynajmniej jest zabawne. Wygląda to tak:

(3^2*569 - 1) = 2^10*(2^1*3 - 1)
(3^1*3 - 1) = 2^3*(2^1*1 - 1)
3^1 - 1 = 2^1*(2^1 - 1)

Warto zauważyć, że ponieważ 2^a*b-1 jest nieparzyste, to 3^a*b-1 musi się dzielić przez 2^x, czyli musi zachodzić:

3^a*b-1 = r*2^x,

Wobec tego b = (r*2^x + 1)/3^a, czyli r*2^x + 1 musi być podzielne przez 3^a. Można zdaje się znaleźć wiele liczb spełniających ten warunek, ale nie wszystkie z nich są zaraz rozwiązaniem problemu. Przykład powyżej, uzyskany dla a=2.

Proponuję w ogóle rozpatrywać to zadanie raczej w postaci:

(3^a*b-1)/2^x = 2^a*b-1

To oznacza bowiem, że reszta z dzielenia 3^a*b przez 2^x ma być -1, a część całkowita ma być 2^a*b-1. Taki warunek wygląda chyba przyzwoiciej i da się łatwiej przeanalizować.

macjan

Ja z kolei sprowadziłem to równanie do takiej postaci:

b(2^(k+a)-3^a) = 2^k - 1

I próbowałem tutaj coś kombinować z kongruencjami, ale na razie rezultatów to nie dało.

Bruce Willis · Dołączył: 21 Mar 2007 Posty: 301 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna

A ja doszedłem do takich wniosków:

(3^a*b-1)/(2^a*b-1) = (1,5^a*(2^a*b-1)+1,5^a-1)/(2^a*b) = 1,5^a + (1,5^a-1)/(2^a*b-1)

Liczba 1,5^a ma "końcówki":

1. 5/10^1
2. 5^2/10^2
3. 5^3/10^3
4. 5^n/10^n

Abstrahuję tu od tego co poprzedza te liczby... aby uzyskać liczbę całkowitą należałoby tu dodać co najmniej takie same koncówki, żeby suma się "wyzerowała". Natomiast liczba (1,5-1)/(2^a*b-1) ma końcówki postaci:

1. 5/10^1/x
2. 5^2/10^2/x
3. 5^3/10^3/x
4. 5^n/10^n/x

x=(2^a*b-1)

Z tego wniosek, iż zachodzi taka możliwość aby suma się zerowała wtedy i tylko wtedy gdy x=10^m lub x=5^m. Oczywiście pierwszą liczbę wykluczamy, ponieważ jest parzysta, natomiast jeśli chodzi o 5^m, to wyrażenie (2^a*b-1) przyjmuje takie wartości tylko dla a=1 i b=3, 13, 63, 313... Wystarczy sprawdzić tylko czy całe wyrażenie dla b=3 nie zeruje się (a nie zeruje się), ponieważ dla reszty wartości ewentualne 5^n/10^n/x będzie mniejsze o rząd wielkości od 5^n/10^n. Czyli wyrażenie (3^a*b-1)/(2^a*b-1) nie przyjmuje wartości całkowitych. Oczywiście pominąłem tu przypadek m=0, czyli 1=2^1*1-1.

Jednak cały szereg nadal pozostaje nierozwiązany.

Rzecz zgadza się również dla wzoru:

(3^a*b+1)/(2^a*b+1) = (1,5^a*(2^a*b+1)-1,5^a+1)/(2^a*b) = 1,5^a - (1,5^a-1)/(2^a*b-1)

2,25 - (2,25-1)/5 = 2

Ale nie sprawdziłem jeszcze dla tego wzoru reszty przypadków...

Jeśli macie pomysł na zgrabniejszy dowód byłbym wdzięczny.