Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Teoriomnogosciowa interpretacja logiki formalnej

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:17, 23 Gru 2005    Temat postu: Teoriomnogosciowa interpretacja logiki formalnej

Teoriomnogosciowa interpretacja logiki formalnej

Z formalnego punktu widzenia, logika to po prostu kolekcja zasad przeksztalcania (czyli zasad tzw. "rozumowania") ciagow symboli (czyli tzw. "zdan"). Logika tym rozni sie od innych teorii matematycznych, ze dotyczy zasad przeksztalcania, a nie tresci symboli. Innymi slowy, logika dostarcza narzedzi dla innych teorii matematycznych, ktore z kolei podstawiaja konkretna tresc pod konkretne symbole (zdania) i nastepnie przeksztalcaja te zdania wedlug ustalonych w tym narzedziu zasad rozumowania. Mowiac po ludzku, logika definiuje takie operacje jak NOT, OR, AND, EQUAL, i THEN, a matematyka definiuje takie symbole jak liczba naturalna, mnozenie, calka, dystrybucja czy zmienna losowa.

Kolekcji zasad przeksztalcania mozna wypisac wiele (celowo nie uzywam w tym momencie teriomnogosciowego pojecia "zbior"; chodzi mi bowiem po prostu o zasady zebrane w "kolekcje" tworzaca jakas konkretna logike, a nie o obiekt spelniajacy aksjomaty teorii mnogosci, sformulowanej przeciez za pomoca logiki klasycznej). Jesli patrzec na kazda z tych kolekcji jako na samodzielny obiekt, to kazda z nich jest tak samo "scisla", "porzadna", "wazna" i "prawidlowa". Jesto ona taka z definicji (dlatego uzylem cudzyslowow; praktyczne znaczenie tych slow okaze sie bowiem zalezne wlasnie od przyjetej kolekcji praw przeksztalcania ciagow symboli).

Czy jest wiec cos szczegolnego w logice klasycznej? Kiedy uzywac logiki klasycznej a kiedy innych zasad rozumowania? Na przyklad, logiki intuicjonistycznej (usuwajacej z aksjomatow logiki klasycznej aksjomat Tertium Non Datur, czyli prawo wylaczonego srodka: p v ~p)? Nawiasem mowiac, rozwazania te wziely sie wlasnie z dyskusji o logice intuicjonistycznej (patrz http://www.sfinia.fora.pl/viewtopic.php?p=2137#2137). I dlatego wlasnie obok logiki klasycznej bedziemy w nich rozpatrywali przede wszystkim przypadek logiki intuicjonisytcznej.

Aby odpowiedziec na postawione powyzej pytanie, sprobuje naszkicowac interpretacje logik klasycznej w ramach teorii mnogosci. Moze to zabrzmiec karkolomnie, bo przeciez teoria mnogosci jest sama sformulowana na bazie logiki klasycznej. Ale mysle, ze ta interpretacja pozwoli zorientowac sie, na czym polega w praktycznym zastosowaniu istota logiki klasycznej i czym waznym rozni sie w praktyce ta logika od logiki intuicjonistycznej.



Zauwazmy na poczatek, ze zasad logiki uzywamy do selekcji zdan. Mamy wiele roznych mozliwych zdan i sposrod nich wybieramy lub odrzucamy zdania. Analogia z teoria mnogosci narzuca sie sama. Przyjrzyjmy sie wiec temu dokladniej.

Postawmy problem w nastepujacy sposob: "wybrac ze zbioru Z jego podzbior P zawierajacy element zt o wlasnosci t".



Zalozmy na poczatek:

**A1: "w zbiorze Z istnieje jeden i tylko jeden element o wlasnosci t".

Zgodnie z terminologia wprowadzona w postawionym powyzej problemie, nazwijmy ten element zt.

Zdefiniujmy rozumowanie jako ciag przeksztalcen podzbioru, polegajacy na rozszerzaniu lub zawezaniu tego podzbioru w ramach zbioru Z. Pozostaje to w analogii do tego, czym rozumowanie jest w praktyce zycia codziennego. Zbiorem Z jest wtedy zbior wszystkich mozliwych zdan Z, a podzbiorem jest zbior zdan uwazanych przez nas w danym momencie za zawierajacy zdanie prawdziwe (element zt) lub za zbior tego zdania nie zawierajacy.

Zdefiniujmy teraz wartosci logiczne (prawde i falsz) i operacje logiczne:

**prawda (1): podzbior ma wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera zt.

**falsz (0): podzbior ma wartosc 0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera zt.

**negacja (NOT, ~): dopelnienie negowanego podzbioru do zbioru Z;

**suma (OR, v): suma podzbiorow;

**iloczyn (AND, ^): przeciecie podzbiorow;

**rownowaznosc (EQUAL, <=>): rownosc wartosci podzbiorow;

**wniosek (THEN, =>): zawezenie lub rozszerzenie podzbioru P, nie usuwajace elementu zt z P.

Tak zdefiniowane operacje spelniaja aksjomaty logiki klasycznej, co widac wprost z zerojedynkowej interpretacji operacji logiki klasycznej i z zalozenia A1. Moze warto sprawdzic jedyny nietrywialny przypadek, czyli THEN:

(1 => 1) = 1: podzbior zawierajacy zt zmienilismy o podzbior niezawierajacy zt;

(1 => 0) = 0: z podzbioru zawierajacego zt usunelismy podzbior zawierajacy zt;

(0 => 1) = 1: do podzbioru niezawierajacego zt dodalismy podzbior zawierajacy zt;

(0 => 0) = 1: podzbior niezawierajacy zt zmienilismy o podzbior niezawierajacy zt.



Teraz mozemy latwo przedyskutowac sens aksjomatu Tertium Non Datur. Przypomnijmy, ze aksjomat ten brzmi "p v ~p", czyli "albo zdanie jest prawdziwe albo jego zaprzeczenie jest prawdziwe, zas trzeciej mozliwosci nie ma".

Znaczenie tego aksjomatu widac bezposrednio z podanej powyzej definicji negacji. Oznacza on, ze element zt poszukiwany przez nas i znajdujacy sie (na mocy A1) w zbiorze Z musi znajdowac sie albo w podzbiorze P, albo w dopelnieniu podzbioru P do zbioru Z.

Innymi slowy, Tertium Non Datur stanowi po prostu definicje operacji negacji w logice klasycznej. Dlatego usuniecie tego aksjomatu zmienia definicje operacji negacji, zmieniajac w efekcie praktyczny sens przekszalcen na zdaniach.



Zwrocmy teraz uwage na podstawowa role, jaka w naszej dotychczasowej analizie odgrywal aksjomat A1. Zrobmy to w dwoch krokach. Najpierw oslabimy ten aksjomat, a potem calkowicie go usuniemy.



Oslabienie aksjomatu A1 do postaci:

**A1': "w zbiorze Z istnieje co najwyzej jeden element o wlasnosci t"

dopuszcza sposob sytuacje, w ktorej w zbiorze Z nie znajduje sie zaden element zt, czyli nie istnieje zaden podzbior o wartosci 1. Na mocy definicji negacji, wartosc 1 zostaje teraz nadana zbiorowi pustemu. Te konsekwencje przyjecia A1' mozna sformulowac w postaci twierdzenia: Zbior pusty ma wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zbior Z nie zawiera elementu zt". W efekcie oznacza to, ze zbior zdan prawdziwych wedlug kryterium t jest wtedy zbiorem pustym.

Przyjecie A1' ma wazne konsekwencje dla Tertium Non Datur. Jezeli bowiem Z nie zawiera zt, to dla kazdego podzbioru P roznego od Z mamy ~(p v ~p). A to dlatego, ze zarowno zbior P jak i jego dopelnienie nie zawieraja elementu zt. Po prostu, wartosc zbioru Z wynosi 0. I dokladnie tyle znaczy w tym przypadku zaprzeczenie prawu Tertium Non Datur. Nie, ze istnieje jakas "trzecia mozliwosc", lecz ze zdania o poszukiwanej wlasnosci po prostu nie da sie zbudowac. Innymi slowy, zbior zawierajacy takie zdanie jest zbiorem pustym - co juz stwierdzilismy w poprzednim akapicie. Czyli nadal "trzeciej mozliwosci nie ma", tyle, ze teraz nie ma nie tylko trzeciej, ale i drugiej mozliwosci. Istnieje tylko jedna, za to dotad pomijana z definicji: elementu zt znalezc sie nie da. W sumie, mamy wiec albo dwie mozliwosci (p v ~p) pod warunkiem, ze wartosc Z wynosi 1, albo jedna mozliwosc ~(p v ~p) pod warunkiem, ze wartosc Z wynosi 0.

Formalnie rzecz biorac, klasyczna logika powie nam, ze skoro ~(p v ~p), to p ^ ~p, czyli sprzecznosc. Bierze sie to, rzecz jasna, z faktu, ze prawo ~(p v q) <=> ~q ^ ~p jest poprawne wylacznie gdy element zt istnieje. W jezyku teoriomnogosciowym mowi ono bowiem, ze "element zt moze znajdowac sie albo w sumie podzbiorow P i Q, albo w przecieciu ich dopelnien, gdyz zbiory P i Q oraz przeciecie ich dopelnien dodaja sie do calego zbioru Z". Tu jednak element zt nie znajduje sie w Z i wartosc 1 nadalismy w takim przypadku aksjomatycznie zbiorowi pustemu. Naturalnie, tego niekonwencjonalnego ruchu prosto zapisane prawo ~(p v q) <=> ~q ^ ~p nie jest w stanie zaakomodowac. I stad jego zlamanie.



Jeszcze ciekawsze konsekwencje ma usuniecie aksjomatu A1. Usuwajac ten aksjomat dopuszczamy nie tylko nieobecnosc w Z elementu o wlasnosci t, ale takze i obecnosc w Z wiecej niz jednego elementu o wlasnosci t. Ma to krytyczny wplyw na wlasnosci negacji.

Przypomnijmy: negacje rozumiemy teoriomnogosciowo jako dopelnienie do zbioru Z. Zbior Z moze teraz zawierac wiecej niz jeden element o wlasnosci t; ogolnie, elementow tych moze byc n, i wypadnie nam je nazywac zti, gdzie i jest indeksem przebiegajacym wartosci od 1 do n. Niech zbior Z zawiera co najmniej dwa takie elementy; nazwijmy je zt1 i zt2. Moze sie zdarzyc, ze podzbior P zawiera tylko element zt1. I teraz wartosc 1 (czyli TRUE) ma zarowno podzbior P jak i jego negacja. Prawo Tertium Non Datur jest klasycznie zlamane w oczywisty sposob: p ^ ~p, czyli wedlug zasad logiki klasycznej ~(p v ~p). Ale wedlug zdefiniowanych w naszej logice konstrukcji nadal zachodzi p v ~p: zarowno zbior P jak i jego negacja maja wartosc 1. Tym razem nie mozemy sie jednak upierac, ze nie ma trzeciej mozliwosci. Mamy bowiem mozliwosci: albo prawdziwe jest tylko p, albo prawdziwe jest tylko ~p, albo prawdziwe jest zarowno p jak i ~p. A poniewaz usuniecie A1 oznacza rowniez dopuszczenie braku zt w Z, dochodzi tez czwarta mozliwosc, ta dyskutowana dla aksjomatu A1': zarowno p jak i ~p sa falszywe.

Powyzsze zjawisko "rozmnozenia sie mozliwosci" jest niczym innym jak przejawem takiego okreslenia elementow zbioru Z i takiego zdefiniowania wlasnosci t, ze inna ilosc elementow niz jeden spelnia kryterium posiadania tej wlasnosci. Rzecz jasna, zawsze mozna dokonac takiego uporzadkowania definicji, zeby zebrac wszystkie elementy zti w jednym podzbiorze i zdefiniowac ten podzbior jako element zt, przedefiniowywujac odpowiednio zbior Z tak, zeby zamiast n elementow zti znalazl sie w nim jeden element zt. Podobnie mozna przedefiniowac wlasnosc t i zbior Z tak, zeby element zt zawsze znajdowal sie w Z. Wystarczy w tym celu zdefiniowac "ratunkowy element" przyjmujacy wlasnosc t wtedy i tylko wtedy, gdy zaden inny element Z nie posiada tej wlasnosci. Te czysto formalne wybiegi ratuja formalizm logiki klasycznej.

Powtorzmy: wybieg z formalnym wprowadzeniem "ratunkowego elementu" pozwala na automatyczne stosowanie wygodnego prawa "odwracania symboli przy negacji", czyli prawa ~(p v q) <=> ~q ^ ~p . Natomiast formalny wybieg polegajacy na jednoznacznym definiowaniu poszukwanego elementu pozwala na zachowanie prawa Tertium Non Datur.



Podsumujmy to wszystko jednym zdaniem. Otoz logika klasyczna jest sformalizowanym zapisem regul wyabstrahowanych z praktycznych zasad przeszukiwania zbiorow dla zlokalizowania elementow o wymaganych wlasnosciach, zasada Tertium Non Datur jest scisle zwiazana z definicja negacji i z warunkiem istnienia jednego i tylko jednego takiego elementu (czyli z warunkiem precyzyjnosci w definiowaniu pojec uzywanych do wypelniania zdan trescia), zas logika intuicjonistyczna przez odrzucenie Tertium Non Datur dopuszcza nieprecyzyjne definicje pojec.

-------------
Poprawki oznaczylem kolorami:

24.12.2005 Brakujace slowo "wartosc" w definicji EQUAL.


Ostatnio zmieniony przez wujzboj dnia Sob 16:30, 24 Gru 2005, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Pią 20:12, 23 Gru 2005    Temat postu: Re: Teoriomnogosciowa interpretacja logiki formalnej

wujzboj napisał:
Teoriomnogosciowa interpretacja logiki formalnej

Z formalnego punktu widzenia, logika to po prostu


Logika w sensie konkretny system logiczny, czy w sensie dziedzina matematyki/filozofii/nauki? Chyba Ci sie skleilo i masz nieprawdziwe zdania ponizej.

Cytat:
kolekcja zasad przeksztalcania (czyli zasad tzw. "rozumowania") ciagow symboli (czyli tzw. "zdan"). Logika tym rozni sie od innych teorii matematycznych,


Scislej dziedzin matematyki, czy cos. Formalnie teoria matematyczne jest to jakas logika (np. klasyczna) plus troche aksjomatow (np. liczb rzeczywistych) oraz wszystkie zdania jakie mozna z nich wywiesc. Tak wiec formalny rdzen elementarnej analizy, topologii, etc. jest teoria, podobnie logika klasyczne jest teoria, jesli sie do niej doda mnostwo operacji i aksjomatow dotyczacych metajezyka --- podstawiania, teorii zbiorow do manipulowania zbiorami zmiennych, pojec zmiennej wolnej w formule i aksjomatow metalogiki sluzacej do rozumowania np. o dowodliwosci, etc. Ale chyba nie o to Ci chodzilo...

Cytat:
ze dotyczy zasad przeksztalcania, a nie tresci symboli.


Inna taka dziedzina jest np. algebra (i to nie tylko abstrakcyjna). A symbole logiczne maja tresci --- oznaczaja twierdzenia, dowody, etc. I w ogole podzial jest mocno nieostry i chyba nieistotny --- pewnie tak naprawde cos innego miales na mysli.

Cytat:
Innymi slowy, logika dostarcza narzedzi dla innych teorii matematycznych, ktore z kolei podstawiaja konkretna tresc pod konkretne symbole (zdania) i nastepnie przeksztalcaja te zdania wedlug ustalonych w tym narzedziu zasad rozumowania. Mowiac po ludzku, logika definiuje takie operacje jak NOT, OR, AND, EQUAL, i THEN, a matematyka definiuje takie symbole jak liczba naturalna, mnozenie, calka, dystrybucja czy zmienna losowa.

Kolekcji zasad przeksztalcania mozna wypisac wiele (celowo nie uzywam w tym momencie teriomnogosciowego pojecia "zbior"; chodzi mi bowiem po prostu o zasady zebrane w "kolekcje" tworzaca jakas konkretna logike, a nie o obiekt spelniajacy aksjomaty teorii mnogosci, sformulowanej przeciez za pomoca logiki klasycznej). Jesli patrzec na kazda z tych kolekcji jako na samodzielny obiekt, to kazda z nich jest tak samo "scisla", "porzadna", "wazna" i "prawidlowa". Jesto


Napisalo Ci sie "Jesto"

Cytat:
ona taka z definicji (dlatego uzylem cudzyslowow; praktyczne znaczenie tych slow okaze sie bowiem zalezne wlasnie od przyjetej kolekcji praw przeksztalcania ciagow symboli).

Czy jest wiec cos szczegolnego w logice klasycznej? Kiedy uzywac logiki klasycznej a kiedy innych zasad rozumowania? Na przyklad, logiki intuicjonistycznej (usuwajacej z aksjomatow logiki klasycznej aksjomat Tertium Non Datur, czyli prawo wylaczonego srodka: p v ~p)? Nawiasem mowiac, rozwazania te wziely sie wlasnie z dyskusji o logice intuicjonistycznej (patrz http://www.sfinia.fora.pl/viewtopic.php?p=2137#2137). I dlatego wlasnie obok logiki klasycznej bedziemy w nich rozpatrywali przede wszystkim przypadek logiki intuicjonisytcznej.


Fiu, ambitne. Mam nadzieje, ze znasz jakiegos eksperta od logiki intuicjonistycznej?

Cytat:
Aby odpowiedziec na postawione powyzej pytanie, sprobuje naszkicowac interpretacje logik klasycznej w ramach teorii mnogosci. Moze to zabrzmiec karkolomnie, bo przeciez teoria mnogosci jest sama sformulowana na bazie logiki klasycznej.


A logike klasyczna na bazie teorii mnogosci. :) To znaczy, ta pelna, scisla "teoria" logiki klasycznej. Stad, zadna to niezwykla karkolomnosc --- po prostu jeden meta-poziom. Uzywajac Twojej logiki naturalnej rozumujesz o modelu logiki klasycznej zbudowanym w teorii mnogosci. Zeby ograniczyc metapoziomy mozesz zalozyc, ze ta teoria mnogosci jest zdefiniowana w Twojej logice naturalnej, jakoz i sama logika klasyczna. Bez tego zalozenia potrzebowalbys jeszcze jednego poziomu.

Cytat:
Ale mysle, ze ta interpretacja pozwoli zorientowac sie, na czym polega w praktycznym zastosowaniu istota logiki klasycznej i czym waznym rozni sie w praktyce ta logika od logiki intuicjonistycznej.


Zauwazmy na poczatek, ze zasad logiki uzywamy do selekcji zdan. Mamy wiele roznych mozliwych zdan i sposrod nich wybieramy lub odrzucamy zdania. Analogia z teoria mnogosci narzuca sie sama. Przyjrzyjmy sie wiec temu dokladniej.

Postawmy problem w nastepujacy sposob: "wybrac ze zbioru Z jego podzbior P zawierajacy element zt o wlasnosci t".



Zalozmy na poczatek:

**A1: "w zbiorze Z istnieje jeden i tylko jeden element o wlasnosci t".

Zgodnie z terminologia wprowadzona w postawionym powyzej problemie, nazwijmy ten element zt.

Zdefiniujmy rozumowanie jako ciag przeksztalcen podzbioru, polegajacy na rozszerzaniu lub zawezaniu tego podzbioru w ramach zbioru Z. Pozostaje to w analogii do tego, czym rozumowanie jest w praktyce zycia codziennego. Zbiorem Z jest wtedy zbior wszystkich mozliwych zdan Z, a podzbiorem jest zbior zdan uwazanych przez nas w danym momencie za zawierajacy zdanie prawdziwe (element zt) lub za zbior tego zdania nie zawierajacy.

Zdefiniujmy teraz prawde, falsz i operacje logiczne:

**prawda (1): podzbior ma wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera zt.

**falsz (0): podzbior ma wartosc 0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera zt.

**negacja (NOT, ~): dopelnienie negowanego podzbioru do zbioru Z;

**suma (OR, v): suma podzbiorow;

**iloczyn (AND, ^): przeciecie podzbiorow;

**rownowaznosc (EQUAL, <=>): rownosc podzbiorow;

**wniosek (THEN, =>): zawezenie lub rozszerzenie podzbioru P, nie usuwajace elementu zt z P.


Nie docenilem Cie. Zamiast poddac sie tutaj, powiedziales cos quasi-sensownego. Wskazowka: p => q <=> ~p v q.

Cytat:
Tak zdefiniowane operacje spelniaja aksjomaty logiki klasycznej, co widac wprost z zerojedynkowej interpretacji operacji logiki klasycznej i z zalozenia A1. Moze warto sprawdzic jedyny nietrywialny przypadek, czyli THEN:

(1 => 1) = 1: podzbior zawierajacy zt zmienilismy o podzbior niezawierajacy zt;

(1 => 0) = 0: z podzbioru zawierajacego zt usunelismy podzbior zawierajacy zt;

(0 => 1) = 1: do podzbioru niezawierajacego zt dodalismy podzbior zawierajacy zt;

(0 => 0) = 1: podzbior niezawierajacy zt zmienilismy o podzbior niezawierajacy zt.


Kiedy scisle zdefiniujesz przypadek THEN, bedziesz tez w stanie zrozumiale go dowiesc...

Cytat:
Teraz mozemy latwo przedyskutowac sens aksjomatu Tertium Non Datur. Przypomnijmy, ze aksjomat ten brzmi "p v ~p", czyli "albo zdanie jest prawdziwe albo jego zaprzeczenie jest prawdziwe, zas trzeciej mozliwosci nie ma".

Znaczenie tego aksjomatu widac bezposrednio z podanej powyzej definicji negacji. Oznacza on, ze element zt poszukiwany przez nas i znajdujacy sie (na mocy A1) w zbiorze Z musi znajdowac sie albo w podzbiorze P, albo w dopelnieniu podzbioru P do zbioru Z.

Innymi slowy, Tertium Non Datur stanowi po prostu definicje operacji negacji w logice klasycznej. Dlatego usuniecie tego aksjomatu zmienia definicje operacji negacji, zmieniajac w efekcie praktyczny sens przekszalcen na zdaniach.


Jako zywo.

Cytat:
Zwrocmy teraz uwage na podstawowa role, jaka w naszej dotychczasowej analizie odgrywal aksjomat A1. Zrobmy to w dwoch krokach. Najpierw oslabimy ten aksjomat, a potem calkowicie go usuniemy.


Dalej sie zgubilem, co moze oznaczac, ze zaczynasz mowic cos nietrywialnego i niefalszywego (logicy sa dobrzy (tylko) w wylapywaniu tautologii i sprzecznosci).
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 13:58, 24 Gru 2005    Temat postu:

1. Czym rozni sie logika od algebry? Nazwa?

Podalem dosc precyzyjny opis jakosciowej roznicy. Czy moglbys polemizowac z tym opisem, a nie po prostu formulowac opinie? Bo na razie trudno mi sie ustosunkowac.

2. Nie dobudowywuje metapoziomow, lecz przedstawiam interpretacje. Czyli reprezentacje logiki w jezyku teorii mnogosci. Czynie to po to, aby lepiej bylo widac praktyczny sens pewnych aksjomatow.

3. Czy znalazles jakis blad w podanej przeze mnie reprezentacji? Czy jakies prawo obowiazujace w tej reprezentacji nie obowiazuje w oryginale, lub na odwrot? (Natomiast ja znalazlem przed chwila blad: w definicji EQUAL zabraklo jednego slowa. Poprawilem na czerwono, teraz wszystko powinno sie zgadzac.)

4. Nie wiem, czemu mam sie "poddawac" ani nie widze, na czym polega "quasi-sensownosc". Proponuje, zebys przedtem przyjrzal sie temu, co napisalem, nie zakladajac, ze masz do czynienia ze zwyklym laickim gadulstwem, a potem dopiero krytykowal. I prosze o bardzo konkretna, metrytorczna krytyke.

5. Przypadek THEN jest zdefiniowany scisle. Jesli widzisz w nim jakas niescislosc, napisz konkretnie, na czym ona polega. (Byc moze zmylil cie blad w definicji EQUAL; jesli tak, to wina moja. Ale teraz definicja jest scisla.)

6. Nie wiem, na czym sie zgubiles. Nawiasem mowiac, tekst ten byla w stanie zrozumiec nawet moja mama, ktora zadnej dziedziny matematki nie studiowala. Jesli wiec masz z nim formalne klopoty, to nie watpie, ze bedziesz w stanie bez trudu sformulowac je w precyzyjny sposob, bo z nieformalnym (intuicyjnym, hehe) zrozumieniem problemu byc nie powinno. (I znow: byc moze problemem byla definicja EQUAL.)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 14:15, 26 Gru 2005    Temat postu:

Dla porzadku sfinia wydzielila nowy temat "Czym jest logika?". Znalazly sie tam trzy kolejne wpisy: twoja odpowiedz na moj ostatni list, odpowiedz grayFalcona, i twoja odpowiedz grayFalconowi.

Tu proponuje skoncentrowac sie na teoriomnogosciowej interpretacji logiki, OK? Tak bedzie przejrzysciej.

mikon napisał:
nie zauwazylem bledu w EQUAL, natomiast nie zrozumialem THEN, bo jest niescisly, a moze nawet bledny

Najwidoczniej definicja jest zbyt lakonicznie podana. Omowie ja teraz dokladniej, a potem zajmiemy sie krytyka i innymi takimi, ok?

Definicja THEN brzmi:

wuj napisał:
**wniosek (THEN, =>): zawezenie lub rozszerzenie podzbioru P, nie usuwajace elementu zt z P.

Oznacza to, ze THEN jest operacja przeksztalcajaca zbior P w nowy zbior. Nazywijmy go Q.

Niech P c Z oraz Q c Z beda podzbiorami zbioru Z spelniajacego aksjomat A1. Definiujemy operacje THEN: Z -> Z jako przeksztalcenie zbioru P( "przeslanki") w zbior Q ("wniosek") dokonywane zgodnie z nastepujacymi zasadami:

a) zbior Q powstaje ze zbioru P poprzez usuniecie z P dowolnych elementow roznych od elementu zt;

b) zbior Q powstaje ze zbioru P poprzez dodanie do P dowolnych elementow.

W efekcie, tabelka zerojedynkowa tak zdefiniowanej operacji THEN pokrywa sie z tabelka zerojedynkowa operatora "=>" w logice klasycznej.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Pon 17:05, 26 Gru 2005    Temat postu:

wujzboj napisał:
Najwidoczniej definicja jest zbyt lakonicznie podana. Omowie ja teraz dokladniej, a potem zajmiemy sie krytyka i innymi takimi, ok?


OK

wujzboj napisał:
Oznacza to, ze THEN jest operacja przeksztalcajaca zbior P w nowy zbior. Nazywijmy go Q.


To dziwne. AND i OR byly operacjami dwuargumentowymi, a THEN jest jednoargumentowe...

wujzboj napisał:
Niech P c Z oraz Q c Z beda podzbiorami zbioru Z spelniajacego aksjomat A1. Definiujemy operacje THEN: Z -> Z


Miales na mysli THEN: P(Z) -> P(Z)?

wujzboj napisał:
jako przeksztalcenie zbioru P( "przeslanki") w zbior Q ("wniosek") dokonywane zgodnie z nastepujacymi zasadami:

a) zbior Q powstaje ze zbioru P poprzez usuniecie z P dowolnych elementow roznych od elementu zt


Co to znaczy dowolnych elementow? Wszystkich? Niektorych? Ktorych? Jest jeden THEN, czy rodzina roznych THEN, zaleznie od tego wyboru? Nie rozumiem...

Natomiast zrozumialem, jaki blad byl w EQUAL. Teraz bledu nie ma, ale z kolei nie rozumiem co tam jest. Tak naprawde tam powinno byc przeciecie roznic symetrycznych... Ale na to wpadniesz dopiero, gdy scisle zdefiniujesz THEN...

W ogole latwiej robiloby Ci sie to jawnie. Eliminujesz spojniki uzywajac rownowaznosci takich jak ~(zt in A) <=> zt in ~A, itd. Jak sobie te rownowaznosci wypiszesz, to zobaczysz jak 0 i 1 opisac, jak THEN i EQUAL opisac, i zadnych dowodow ani wyjasnien nie bedzie juz trzeba.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 20:45, 26 Gru 2005    Temat postu:

mikon napisał:
Miales na mysli THEN: P(Z) -> P(Z)?

P to podzbior Z. Jesli c oznacza operacje wziecia podzbioru, to THEN przeksztalca P = c(Z) w Q = c(Z) poprzez dodanie D = c(Z) do P lub odjecie D = c(P) od P. Zbior D razem z kierunkiem dzialania (dodanie lub odjecie) stanowi definicje konkretnej instancji THEN. Mozna wiec powiedziec:

Di(P) = Q, gdzie i = {rozszerzanie, zawezanie}, albo

THEN(c(Z),i): c(Z) -> c(Z), albo

THEN: (Di, P, Q) -> w, gdzie w moze przyjmowac wartosci 0 lub 1.

Wartosc logiczna THEN(Di, P, Q) jest otrzymana z wartosci logicznej D i wartosci logicznej Q. THEN jest pewnym analogiem rozniczkowania, bo wartosc logiczna tej operacji jest okreslona przez zmiane wartosci logicznej na skutek dzialania tej operacji: wnioskowanie jest falszywe (w=0) wtedy i tylko wtedy, jesli na jego skutek maleje wartosc logiczna (wartosc logiczna Q jest mniejsza od wartosci logicznej P).

Wartosc logiczna wnioskowania P => Q to, z konstrukcji THEN, wartosc logiczna zbioru Q v ~D. Co sprowadza sie, rzecz jasna, do wziecia wartosci Q v ~P (przynajmniej w logice klasycznej, czyli gdy spelniony jest aksjomat A1).

Definicja podana w artykule mowi, ze operacja THEN jest falszywa wtedy i tylko wtedy, gdy od zbioru P odejmowany jest zbior D o wartosci 1. Jest w tym pewien problem: jesli spelniony jest A1 lub A1´, to wszystko jest jasne, ale jesli A1 usunac, to definicja ta arbitralnie wybiera sposrod roznych mozliwosci. Traktuje ona bowiem rozumowanie jako falszywe zawsze, gdy zmniejsza ono ilosc elementow zt w P (a bez A1, elementow zt moze byc w P dowolnie duzo). Innymi slowy, definicja ta traktuje za falszywe kazde rozumowanie, ktore powoduje odrzucenie juz znalezionego prawdziwego elementu. Jest to arbitralne; gdy sie odrzuci A1, mozna wiec roznie dodefiniowac THEN i uzyskac rozne logiki. Nie ma to jednak wplywu na Tertium Non Datur; zreszta, definicja THEN jest na razie podana jedynie dla kompletnosci.

Ale jest to poniekad ciut zabawny obiekt, nieprawdaz? Rowniez ze wzgledu na analogie, jaka wprowadza miedzy wnioskowaniem a rozniczkowaniem :D

mikon napisał:
Co to znaczy dowolnych elementow? Wszystkich? Niektorych? Ktorych?

Elementow dowolnie wybranych ze zbioru ~P (jesli rozszerzasz P do Q) lub ze zbioru P (jesli zawezasz P do Q).

mikon napisał:
Jest jeden THEN, czy rodzina roznych THEN, zaleznie od tego wyboru?

THEN to - jak i w kazdym praktycznym rozumowaniu - THEN(), gdzie w nawiasach podany jest sposob rozumowania; w naszym przypadku jest on okreslony przez roznice pomiedzy P i Q. Dla okreslenia wartosci logicznej rozumowania THEN wystarczy znac wartosc logiczna roznicy miedzy P i Q oraz wartosc logiczna Q, co - jak latwo sprawdzic - sprowadza sie do znajomosci wartosci logicznych P i Q, przynajmniej w przypadku logiki klasycznej.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Pon 23:59, 26 Gru 2005    Temat postu:

wujzboj napisał:
mikon napisał:
Miales na mysli THEN: P(Z) -> P(Z)?

P to podzbior Z. Jesli c oznacza operacje wziecia podzbioru, to THEN przeksztalca P = c(Z) w Q = c(Z)


Masz, problem, Twoja rownosc jest nieprzechodnia. Bo skoro P = c(Z) i Q = c(Z), to P = Q, jesli = byloby przechodnie. Moze lepiej przyjmij standardowa notacje P(Z), ktora oznacza zbior wszyskich podzbiorow Z (oraz "in", ktore oznacza nalezenie do zbioru) i napisz: P in P(Z) w Q in P(Z)?

Przeczytalem reszte tego wpisu i znow widze tam slady czegos ciekawego, co pewnie w pelni da sie zrozumiec z calego artukulu ale, wybacz, to wszystko jest duzo prostsze jak sie do tego inaczej podejdzie, oraz jesli sie to w standardowy sposob zapisuje. Twoje intuicje nie stana sie ani troche mniej genialne, kiedy bedziesz je potrafil 10 razy prosciej opowiedziec, wierz mi. Jesli chcesz, moge Ci w tym pomoc, jesli nie, wycofuje sie z tego watku, az za piec lat sam dojdziesz do tego, do czego Cie namawiam. Szkoda mi czasu na przegryzanie sie przez strony radosnej tworczosci dla kilku (?) oryginalnych mysli.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 1:13, 27 Gru 2005    Temat postu:

mikon napisał:
Twoja rownosc jest nieprzechodnia

Ktora?

mikon napisał:
jesli sie to w standardowy sposob zapisuje

Konkretnie, co?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Wto 2:01, 27 Gru 2005    Temat postu:

wujzboj napisał:
mikon napisał:
Twoja rownosc jest nieprzechodnia

Ktora?


Ta w P = c(Z) i Q = c(Z).

wujzboj napisał:
mikon napisał:
jesli sie to w standardowy sposob zapisuje

Konkretnie, co?


Prawie wszystko. :) Ale po kolei...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 14:26, 27 Gru 2005    Temat postu:

mikon napisał:
P = c(Z) i Q = c(Z).

Jasne, c(Z) nie wybiera jednoznacznie podzbioru; znak "=" wystepuje tu wiec w takim sensie w jakim wystepuje np. w C czy w FORTRANIE, czyli jako przyjecie przez zmienna z lewej strony znaku wartosci uzyskanej przez zastosowanie operacji z prawej strony znaku. Porownaj x = rand(). Przepraszam. Nie ma to jednak zadnego wplywu na reszte.

Naturalnie, mozna wszystkie definicje przepisac do nowej postaci z uzyciem "in", "not in" i aksjomatow logiki klasycznej. Ale wtedy zmieni sie sens tych definicji. Zobacz (bede uzywal niebieskiego dla starych definicji i zielonego dla nowych):

Niech w odwzorowuje podzbior A zbioru Z w zbior {0, 1} Wartosc odwzorowania w bedziemy nazywali wartoscia logiczna zbioru A lub po prostu wartoscia A.

**prawda (1): podzbior ma wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera zt.
w(A) = 1 <=> zt in A

**falsz (0): podzbior ma wartosc 0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera zt.
w(A) = 0 <=> zt not in A

Jak dotad, wszystko idzie gladko. Stary zapis (niebieski) jest tym samym, co nowy zapis(zieolny). Ale juz przy negacji zaczynaja sie schody. Bowiem negacja ma byc zdefiniowana nie na poziomie odwzorowania (czyli na poziomie wartosci logicznych), lecz na poziomie argumentu (czyli na poziomie zbiorow). Przyjrzyj sie temu:

**negacja (NOT, ~): dopelnienie negowanego podzbioru do zbioru Z;
w(~A) = 1 <=> zt not in A
w(~A) = 0 <=> zt in A


Oba zapisy nie sa rownowazne. Z zielonego zapisu nie wynika, ze aby uzyskac zaprzeczenie podzbioru A, nalezy wziac jego dopelnienie. A wlasnie na tym wzieciu dopelnienia polega omawiana tu interpretacja operacji negacji!

Nalezaloby raczej napisac:

~A := Z - A,

co jest niczym innym jak niebieskim zapisem. Ale jest to definicja na poziomie zbiorow, nie na poziomie wartosci logicznych. Dokladnie tak samo mozna zapisac definicje OR i AND. Bedzie to po prostu zamienie w starej definicji slow na symbole, czyli powtorzenie niebieskiego zapisu za pomoca mniejszej ilosci liter. W przypadku definicji rownowaznosci jest to samo, tyle, ze mamy graficzny problem w notacji bioracy sie z dwukrotnego uzycia pojecia "rownowaznosc", i dla czytelnosci trzeba uzyc slowa EQUAL:

A EQUAL B <=> w(A) = w(B).

Mozna rowniez zdefiniowac EQUAL po zdefiniowaniu THEN, jako w(A => B) v w(B => A). EQUAL jest raczej bezproblemowe, bo definiowane jest tak czy owak na poziomie wartosci logicznych, a nie na poziomie zbiorow.

Natomiast w defincji THEN powtarza sie (z nasileniem) problem podobny do problemu z negacja. Chcialoby sie bowiem napisac:

**wniosek (THEN, =>): zawezenie lub rozszerzenie podzbioru P, nie usuwajace elementu zt z P.
A => B <=> ~A u B

Tym razem jednak zielony zapis odpowiada zupelnie innej operacji na zbiorach niz zapis niebieski, chociaz dla obu operacji (niebieskiej i zielonej) i przy spelnieniu aksjomatu A1 mamy:

w(A => B) = w(~A) v w(B).

Niebieska definicja zbioru A => B wyglada inaczej, niz ~A u B. Brzmi ona:

Niech D in P(Z) i B = A u D, lub D in P(A) i B = A - D. Wtedy A THEN(D) B <=> B u ~D

Niebieskie THEN jest wiec odwzorowaniem z iloczynu kartezjanskiego trzech zbiorow P(Z) w zbior P(Z), gdzie P(Z) jest zbiorem podzbiorow Z. Zielone THEN jest odwzorowaniem z iloczynu kartezjanskiego dwoch zbiorow P(Z) w zbior P(Z):

blueTHEN: P(Z) x P(Z) x P(Z) -> P(Z),
greenTHEN: P(Z) x P(Z) -> P(Z).

Wartosc logiczna wnioskowania A THEN(D) B jest okreslona przez zmiane wartosci logicznej na skutek dzialania zbiorem D na zbior A: wnioskowanie jest falszywe wtedy i tylko wtedy, jesli na jego skutek maleje wartosc logiczna (wartosc logiczna B jest mniejsza od wartosci logicznej A).
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Wto 15:32, 27 Gru 2005    Temat postu:

wujzboj napisał:
mikon napisał:
P = c(Z) i Q = c(Z).

Jasne, c(Z) nie wybiera jednoznacznie podzbioru; znak "=" wystepuje tu wiec w takim sensie w jakim wystepuje np. w C czy w FORTRANIE, czyli jako przyjecie przez zmienna z lewej strony znaku wartosci uzyskanej przez zastosowanie operacji z prawej strony znaku. Porownaj x = rand().


Programuje wylacznie funkcyjnie, wiec nieprzechodnie uzycie rownosci razi mnie rownie mocno w rozumowaniu jak i w programowaniu. :)

wujzboj napisał:
Przepraszam.


Nic sie nie stalo. :)

wujzboj napisał:
Nie ma to jednak zadnego wplywu na reszte.


Co po pierwotnym zaskoczeniu, dociekaniu paradoksalnego znaczenia, dluzszym drapaniu sie w brode i analizie tekstu, logik z pewnym rozczarowaniem stwierdza. :)

wujzboj napisał:
Naturalnie, mozna wszystkie definicje przepisac do nowej postaci z uzyciem "in", "not in" i aksjomatow logiki klasycznej. Ale wtedy zmieni sie sens tych definicji. Zobacz (bede uzywal niebieskiego dla starych definicji i zielonego dla nowych):


Z przyjemnoscia porownam. Jesli mam nosa, to albo jednak wyjdzie na to samo (jak sie to scisle i z dyscyplina zrobi), albo roznica bedzie interesujace rowniez dla Ciebie. Pozwole sobie na pomaranczowo notowac, jak ja bym to zapisal.

wujzboj napisał:

Niech w odwzorowuje podzbior A zbioru Z w zbior {0, 1} Wartosc odwzorowania w bedziemy nazywali wartoscia logiczna zbioru A lub po prostu wartoscia A.
zamiast tekstu powyzej (testow ponizej tez nie rozumiem/nie rozumiem ich potrzeby): zalozmy, ze zt in Z, wtedy

**prawda (1): podzbior ma wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera zt.
w(A) = 1 <=> zt in A
1 <=> zt in Z

**falsz (0): podzbior ma wartosc 0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera zt.
w(A) = 0 <=> zt not in A
0 <=> zt in emptyset

Jak dotad, wszystko idzie gladko. Stary zapis (niebieski) jest tym samym, co nowy zapis(zieolny). Ale juz przy negacji zaczynaja sie schody. Bowiem negacja ma byc zdefiniowana nie na poziomie odwzorowania (czyli na poziomie wartosci logicznych), lecz na poziomie argumentu (czyli na poziomie zbiorow). Przyjrzyj sie temu:

**negacja (NOT, ~): dopelnienie negowanego podzbioru do zbioru Z;
w(~A) = 1 <=> zt not in A
w(~A) = 0 <=> zt in A

~(zt in A) <=> zt in ~A, gdzie ~A := Z - A

Oba zapisy nie sa rownowazne. Z zielonego zapisu nie wynika, ze aby uzyskac zaprzeczenie podzbioru A, nalezy wziac jego dopelnienie. A wlasnie na tym wzieciu dopelnienia polega omawiana tu interpretacja operacji negacji!

Nalezaloby raczej napisac:

~A := Z - A,

co jest niczym innym jak niebieskim zapisem. Ale jest to definicja na poziomie zbiorow, nie na poziomie wartosci logicznych. Dokladnie tak samo mozna zapisac definicje OR i AND. Bedzie to po prostu zamienie w starej definicji slow na symbole, czyli powtorzenie niebieskiego zapisu za pomoca mniejszej ilosci liter. W przypadku definicji rownowaznosci jest to samo, tyle, ze mamy graficzny problem w notacji bioracy sie z dwukrotnego uzycia pojecia "rownowaznosc", i dla czytelnosci trzeba uzyc slowa EQUAL:

A EQUAL B <=> w(A) = w(B).


Mozna rowniez zdefiniowac EQUAL po zdefiniowaniu THEN, jako w(A => B) v w(B => A). EQUAL jest raczej bezproblemowe, bo definiowane jest tak czy owak na poziomie wartosci logicznych, a nie na poziomie zbiorow.

Natomiast w defincji THEN powtarza sie (z nasileniem) problem podobny do problemu z negacja. Chcialoby sie bowiem napisac:

**wniosek (THEN, =>): zawezenie lub rozszerzenie podzbioru P, nie usuwajace elementu zt z P.
A => B <=> ~A u B

BINGO!
(zt in A => zt in B) <=> zt in ~A u B
tym razem do bolu postaram sie zrozumiec co jest napisane ponizej

Tym razem jednak zielony zapis odpowiada zupelnie innej operacji na zbiorach niz zapis niebieski,
nie rozumiem zadnej, wiec nie widze roznicy
chociaz dla obu operacji (niebieskiej i zielonej) i przy spelnieniu aksjomatu A1 mamy:

w(A => B) = w(~A) v w(B).
nie widze tu zadnych symboli operacji zielonej lub niebieskiej, wiec nie rozumiem, dlaczego to oznacza to, co oznacza

Niebieska definicja zbioru A => B
zbioru A => B? Co to za zbior?
wyglada inaczej, niz ~A u B. Brzmi ona:
aha! tu jest definicja zbioru A => B? Super, moze wreszcie cos scislego...

Niech D in P(Z) i B = A u D, lub D in P(A) i B = A - D. Wtedy A THEN(D) B <=> B u ~D

... niestety nie. Ale juz blizej... W szczegolnosci, co to znaczy zbior <=> inny_zbior?

Niebieskie THEN jest wiec odwzorowaniem z iloczynu kartezjanskiego trzech zbiorow P(Z) w zbior P(Z), gdzie P(Z) jest zbiorem podzbiorow Z. Zielone THEN jest odwzorowaniem z iloczynu kartezjanskiego dwoch zbiorow P(Z) w zbior P(Z):

blueTHEN: P(Z) x P(Z) x P(Z) -> P(Z),
nie, blueTHEN ma jeszcze jeden ukryty parametr i byc moze nie jest funkcja (nie rozumiem, wiec nie mam pewnosci). Tak czy inaczej chyba wygodniej Ci bedzie zrobic sobie blueTHEN i blueTHEN' wedlug tego jakie jest D...

greenTHEN: P(Z) x P(Z) -> P(Z).
tak

Wartosc logiczna wnioskowania A THEN(D) B jest okreslona przez zmiane wartosci logicznej na skutek dzialania zbiorem D na zbior A: wnioskowanie jest falszywe wtedy i tylko wtedy, jesli na jego skutek maleje wartosc logiczna (wartosc logiczna B jest mniejsza od wartosci logicznej A).


:shock:
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 18:12, 27 Gru 2005    Temat postu:

Czy "in" to slowny zapis symbolu "zawiera sie w" lub "jest elementem"?

mikon napisał:
zalozmy, ze zt in Z, wtedy

To jest rownowazne aksjomatowi A1. Definicje powinny jednak dzialac rowniez, gdy A1 sie usunie.

mikon napisał:
1 <=> zt in Z

In Z? Z jest biorem wszystkich mozliwych elementow. Taka definicja nie mowi, ze zbiorowi A bedacemu podzbiorem zbioru Z przyporzadkowujemy wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, jesli zt jest elementem A. Choc powinna. Czyli raczej:

1 <=> zt in A.

mikon napisał:
0 <=> zt in emptyset

A to czemu? Taka definicja nie mowi, ze zbiorowi A bedacemu podzbiorem zbioru Z przyporzadkowujemy wartosc 0 wtedy i tylko wtedy, jesli zt nie jest elementem A. Choc powinna. Czyli raczej:

0 <=> zt not in A.

mikon napisał:
~(zt in A) <=> zt in ~A, gdzie ~A := Z - A

Po co w ogole pisac "~(zt in A) <=> zt in ~A"? Badane operatory (rowniez negacji) zdefiniowane sa na zbiorach; definicja ~A := Z - A w zupelnosci wystarczy. Wiadomo, jak policzyc wartosc logiczna zbioru Z - A, bo wiadomo, jakie elementy ma ten zbior i wiadomo, jak sie liczy wartosc logiczna zbioru o znanych elementach.

"~(zt in A) <=> zt in ~A" to w tym wypadku twierdzenie, a nie definicja.

mikon napisał:
(zt in A => zt in B) <=> zt in ~A u B

Ano wlasnie nie definiuje to operacji => na poziomie zbiorow, lecz na poziomie wartosci logicznych. Ten zapis jest tu twierdzeniem, a nie definicja.

wuj napisał:
Niech D in P(Z) i B = A u D, lub D in P(A) i B = A - D. Wtedy A THEN(D) B <=> B u ~D
mikon napisał:
co to znaczy zbior <=> inny_zbior?

Brakuje symbolu wartosci. Powinno byc:

w(A THEN(D) B) <=> w(B u ~D),

gdzie odwzorowanie w: P(Z) -> {0, 1} bylo zdefiniowane przez:

w(A) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zt in A (czyli gdy zt jest elementem A),
w(A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zt not in A (czyli gdy zt nie jest elementem A).

(Byc moze nalezaloby zapisac w: P(Z) x P(Z) -> {0, 1}, bo w(A) zalezy od parametru zt, a w ogolnosci od zbioru elementow zt. Ale w ogolnosci Z moze nie zawierac zadnego zt, czyli zt in emptyset; czy emptyset nalezy do P(Z)?)

Jak rozumiem, powyzsza definicja wartosci A THEN(D) B za pomoca odwzorowania w jest rownowazna zapisowi

zt in (A THEN(D) B) <=> zt in (B u ~D),

bo w(A) jest rownowazne zt in A.

mikon napisał:
chyba wygodniej Ci bedzie zrobic sobie blueTHEN i blueTHEN' wedlug tego jakie jest D

Bo ja wiem? W sumie co za roznica, czy umiescic obie mozliwosci w definicji D czy w definicji blueTHEN? A w efekcie koncowym i tak sprowadza sie to do jednej operacji, polegajacej na zmianie ilosci elementow w zbiorze.

wuj napisał:
blueTHEN: P(Z) x P(Z) x P(Z) -> P(Z),
mikon napisał:
nie, blueTHEN ma jeszcze jeden ukryty parametr

Masz na mysli parametr decydujacy, czy D dodajemy czy odejmujemy? Czyli:

blueTHEN: {-1, 1} x P(Z) x P(Z) x P(Z) -> P(Z).
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Wto 21:39, 27 Gru 2005    Temat postu:

wujzboj napisał:
Czy "in" to slowny zapis symbolu "zawiera sie w" lub "jest elementem"?


Tak. Z LaTeXa (amstexa?), tak jak emptyset.

wujzboj napisał:
mikon napisał:
zalozmy, ze zt in Z, wtedy

To jest rownowazne aksjomatowi A1.


Tak.

wujzboj napisał:
Definicje powinny jednak dzialac rowniez, gdy A1 sie usunie.


O! To moje oczywiscie nie dzialaja. A moze dzialaja, tylko dostaje inne znaczenie spojnikow (z 1 wlacznie)... To moze dodam, ze Z jest podzbiorem uniwersum U

wujzboj napisał:
mikon napisał:
1 <=> zt in Z

In Z? Z jest biorem wszystkich mozliwych elementow.


In Z. Przeciez A1.

wujzboj napisał:
Taka definicja nie mowi, ze zbiorowi A bedacemu podzbiorem zbioru Z przyporzadkowujemy wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, jesli zt jest elementem A. Choc powinna. Czyli raczej:

1 <=> zt in A.


Ciagle jeszcze nie zlapalem ze i po co przyporzadkowujesz zbiorom wartosci logiczne. I ciagle mam nadzieje, ze jednak tego nie robisz. :)

wujzboj napisał:
mikon napisał:
~(zt in A) <=> zt in ~A, gdzie ~A := Z - A

Po co w ogole pisac "~(zt in A) <=> zt in ~A"? Badane operatory (rowniez negacji) zdefiniowane sa na zbiorach; definicja ~A := Z - A w zupelnosci wystarczy. Wiadomo, jak policzyc wartosc logiczna zbioru Z - A, bo wiadomo, jakie elementy ma ten zbior i wiadomo, jak sie liczy wartosc logiczna zbioru o znanych elementach.


A jednak... Czyli masz funkcje semantyki S : P(U) -> {1, 0}, tak? Zdefniniowana, ze S(A) <=> zt in A, tak? To po co ta zabawa ze spojnikami, skoro to nam w pelni definiuje te funkcje? I po co ta funkcja?

wujzboj napisał:
"~(zt in A) <=> zt in ~A" to w tym wypadku twierdzenie, a nie definicja.


Mozna to potraktowac, jako definicje spojnika ~ (tego pierwszego), w teorii logicznej opartej na sygnaturze z relacja "zt in _" i operacjami dwuargumentowymi u, n, -. Czy cos w tym rodzaju... Jesli o to Ci chodzi...

wujzboj napisał:
wuj napisał:
Niech D in P(Z) i B = A u D, lub D in P(A) i B = A - D. Wtedy A THEN(D) B <=> B u ~D
mikon napisał:
co to znaczy zbior <=> inny_zbior?

Brakuje symbolu wartosci. Powinno byc:

w(A THEN(D) B) <=> w(B u ~D),

gdzie odwzorowanie w: P(Z) -> {0, 1} bylo zdefiniowane przez:

w(A) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zt in A (czyli gdy zt jest elementem A),
w(A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zt not in A (czyli gdy zt nie jest elementem A).


No to znowu jestem zgubiony, bo takie cos nie musi Ci definiowac blueTHEN. Gdybys napisal A THEN(D) B = B u ~D to juz co innego...

wujzboj napisał:
(Byc moze nalezaloby zapisac w: P(Z) x P(Z) -> {0, 1}, bo w(A) zalezy od parametru zt, a w ogolnosci od zbioru elementow zt. Ale w ogolnosci Z moze nie zawierac zadnego zt, czyli zt in emptyset; czy emptyset nalezy do P(Z)?)


Bedziemy sie martwic, jak zmienimy A1. Ale chyba lepiej w: P(Z) -> {0, 1}, a zt sobie ustalac gebowo.

wujzboj napisał:

Jak rozumiem, powyzsza definicja wartosci A THEN(D) B za pomoca odwzorowania w jest rownowazna zapisowi

zt in (A THEN(D) B) <=> zt in (B u ~D),

bo w(A) jest rownowazne zt in A.


Super. Czyli prawie mamy definicje blueTHEN. Jeszcze szczegol z dwoma wariantami D i mozna porownywac z greenTHEN.

wuj napisał:
mikon napisał:
chyba wygodniej Ci bedzie zrobic sobie blueTHEN i blueTHEN' wedlug tego jakie jest D

Bo ja wiem? W sumie co za roznica, czy umiescic obie mozliwosci w definicji D czy w definicji blueTHEN? A w efekcie koncowym i tak sprowadza sie to do jednej operacji, polegajacej na zmianie ilosci elementow w zbiorze.

wuj napisał:
blueTHEN: P(Z) x P(Z) x P(Z) -> P(Z),
mikon napisał:
nie, blueTHEN ma jeszcze jeden ukryty parametr

Masz na mysli parametr decydujacy, czy D dodajemy czy odejmujemy? Czyli:

blueTHEN: {-1, 1} x P(Z) x P(Z) x P(Z) -> P(Z).


OK. Czyli blueTHEN (-1, A, D, B) = ...
oraz blueTHEN (1, A, D, B) = ...

Ciekawe, jak to sie ma do greenTHEN. A po co blueTHEN, to nawet nie pytam, bo pewnie i tak bym jeszcze nie zrozumial, skoro nie rozumiem po co NOT:P(Z) -> P(Z), albo moze raczej raczej NOT:P(U) -> P(U)?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 14:23, 28 Gru 2005    Temat postu:

Operacje sa zdefiniowane na zbiorach, bo wlasnie w ten sposob uzyskuje sie ich interpretacje. Oczywiscie, mozna zdefiniowac je na obiektach o bogatszej strukturze, ale najprosciej zaczac od najprostszego. Napisalem te interpretacje zas po to, zeby moc latwiej dyskutowac kwestie znaczenia Tertium Non Datur i jego zwiazku z "precyzyjnoscia definicji".

Zauwaz, ze rozumowanie jest w gruncie rzeczy przegladaniem i porzadkowaniem zbiorow. Podane przeze mnie definicje nie wziely sie z powietrza; zbudowalem je tak, zeby odpowiadaly procesowi rozumowania jako dochodzenia do poszukiwanego elementu w zbiorze. Stad definicja wartosci logicznej zbioru, stad definicja negacji jako wszystkiego poza tym, co aktualnie uznaje sie za zawierajace poszukiwany element, i stad definicja THEN jako operacja zmieniajaca ilosc elementow zbioru aktualnie uznawanego za zawierajacy poszukiwany element.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Śro 15:27, 28 Gru 2005    Temat postu:

wujzboj napisał:
Operacje sa zdefiniowane na zbiorach, bo wlasnie w ten sposob uzyskuje sie ich interpretacje.


OK. Czyli, jesli T to zbior zdan logicznych, masz funkcje I : T -> P(Z) (albo P(U)?). Super. Tylko co tam robi z kolei funkcja w : P(Z) -> {0, 1}?

wujzboj napisał:
Oczywiscie, mozna zdefiniowac je na obiektach o bogatszej strukturze, ale najprosciej zaczac od najprostszego.


To nie jest naprostsze (dla logiki klasycznej). Najprosciej zrobic I : T -> {0, 1}. Albo, jesli masz formuly F ze zmiennymi wolnymi (niech zmienne beda ze zbioru X), to I : F -> ((X -> {0, 1}) -> {0, 1}). Zarowno {0, 1}, jak i ((X -> {0, 1}) -> {0, 1}) jak i P(U) to sa algebry Boola i oczywiscie {0, 1} jest najprostsza.

wujzboj napisał:
Zauwaz, ze rozumowanie jest w gruncie rzeczy przegladaniem i porzadkowaniem zbiorow. Podane przeze mnie definicje nie wziely sie z powietrza; zbudowalem je tak, zeby odpowiadaly procesowi rozumowania jako dochodzenia do poszukiwanego elementu w zbiorze. Stad definicja wartosci logicznej zbioru,


Ta funkcja w : P(Z) -> {0, 1}? I jaki to ma zwiazek z przeszukiwaniem? I po co?

wujzboj napisał:
stad definicja negacji jako wszystkiego poza tym, co aktualnie uznaje sie za zawierajace poszukiwany element,


Jaki to ma zwiazek z przeszukiwaniem? Mam zbior A i mam w nim znalezc element o wlasnosci ~t. A wiec szukam elementu o wlasnosci t w zbiorze NOT(A)? Czy tak? Gdzie tu potrzebne w : P(Z) -> {0, 1}?

wujzboj napisał:
i stad definicja THEN jako operacja zmieniajaca ilosc elementow zbioru aktualnie uznawanego za zawierajacy poszukiwany element.


A tu, po co szukac wsrod podzbiorow, gdzie nie ma szans znalezc, zamiast od razu poszukac w roznicy symetrycznej (w greenTHEN(A, B))? (Pewnie nie rozumiem.)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 18:58, 28 Gru 2005    Temat postu:

mikon napisał:
co tam robi z kolei funkcja w : P(Z) -> {0, 1}?

1. Mierzy wyniki operacji (patrz EQUIV i THEN).

2. Przez nia powstaje link do logiki.

mikon napisał:
To nie jest naprostsze (dla logiki klasycznej).

Przeciez chodzi o to, zeby nie ograniczac sie do logiki klasycznej.

mikon napisał:
Mam zbior A i mam w nim znalezc element o wlasnosci ~t. A wiec szukam elementu o wlasnosci t w zbiorze NOT(A)? Czy tak? Gdzie tu potrzebne w : P(Z) -> {0, 1}?

Zajmujemy sie PROCESEM wyodrebniania szukanego elelementu. Funkcja w mowi nam, czy element jest w danym podzbiorze, czy nie. Zadaniem jest odrzucenie wszystkich elementow poza tym szukanym.

mikon napisał:
po co szukac wsrod podzbiorow, gdzie nie ma szans znalezc, zamiast od razu poszukac w roznicy symetrycznej (w greenTHEN(A, B))?

blueTHEN to procedura krok po kroku podazajaca do rozwiazania (krokiem D). Zas greenTHEN to procedura dorzucajaca "na wszelki wypadek" cala mase elementow ~zt (przez ~P). Obie sa rownowazne na poziomie tabelki wartosci, ale blueTHEN jest zbudowana z mysla o wybieraniu elementu zt, zas greenTHEN to po prostu lopatologiczne (symbol po symbolu) przetlumaczenie definicji z logiki klasycznej w operacje na zbiorach.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Śro 21:44, 28 Gru 2005    Temat postu:

wujzboj napisał:
mikon napisał:
co tam robi z kolei funkcja w : P(Z) -> {0, 1}?

1. Mierzy wyniki operacji (patrz EQUIV i THEN).


Nie rozumiem. Byc moze dlatego, ze operacje EUQAL i blueTHEN ciagle nie sa zdefiniowane wzorem... A moze uwazasz, ze one sa scisle zdefiniowane przez wlasnosci wyniku funkcji w do nich zaaplikowanej? Obawiam sie, ze nie...

wujzboj napisał:
2. Przez nia powstaje link do logiki.


Chytre. Jak rozumiem, w(I(t)) = s(t), gdzie s jest zwykla semantyka zdan w {1, 0}? Czy to jest prawda rowniez z blueTHEN?

wujzboj napisał:
mikon napisał:
To nie jest naprostsze (dla logiki klasycznej).

Przeciez chodzi o to, zeby nie ograniczac sie do logiki klasycznej.


OK. Dobry pomysl.

wujzboj napisał:
mikon napisał:
Mam zbior A i mam w nim znalezc element o wlasnosci ~t. A wiec szukam elementu o wlasnosci t w zbiorze NOT(A)? Czy tak? Gdzie tu potrzebne w : P(Z) -> {0, 1}?

Zajmujemy sie PROCESEM wyodrebniania szukanego elelementu.


To moze ja czegos nie kojarze i dlatego nie rozumiem dalszej czesci wyjasnien. Jakie sa dane wejsciowe tego procesu, jaki jest wynik i jak wolno robic kroki? Czy proces jest deterministyczny?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 0:18, 29 Gru 2005    Temat postu:

EQUAL jest zdefiniowany wzorem na poziomie funkcji w, i na razie wiecej nie potrzeba.

Co do definicji blueTHEN, to robimy reset. Bo wlasnie zauwazylem, ze cale uscislanie poszlo w niewlasciwym kierunku i wyszedl z tego inny obiekt niz byl opisany na poczatku. Wobec tego sprobuje jeszcze raz. Pozwol jednak, ze zaczne od komentarza opisujacego blueTHEN slowami. Na koniec podam wzory.

BlueTHEN ma oceniac wartosc logiczna operacji przeprowadzajacej poprzednik (zbior A) w nastepnik (zbior B). Ma czynic to w taki sposob, by w logice klasycznej wartosc 0 byla przypisana tylko operacji zmniejszajacej wartosc logiczna (nastepnik ma mniejsza wartosc logiczna od poprzednika). Ocena ta powinna byc latwa do wykonania (czyli bez przegladania zbyt wielu elementow zbioru). Dlatego umawiamy sie, ze nastepnik rozni sie od poprzednika o pewien niewielki zbior D, przy czym ten zbior jest albo dodawany do A, albo odejmowany od A. (Konsekwencja: wartosc tak zdefiniowanego blueTHEN jest nieokreslona, jesli nie zachodzi ani A in B ani B in A. Pewno mozna blueTHEN dookreslic dla dowolnej pary A i B w sposob optymalny dla okreslania jego wartosci, ale my pojdziemy w tym dookreslaniu na skroty.)

Jesli A in B lub B in A, wystarcza nam zbadac wartosc logiczna roznicy zbiorow A i B, czyli zbioru D. Operacja jest falszywa wtedy i tylko wtedy, gdy D jest odejmowany i gdy jego wartosc logiczna jest prawdziwa (czyli gdy usuwamy szukany element). Czyli:

blueTHEN: (PZ) x P(Z) -> {0, 1}.
if A in B: ~blueTHEN(A, B) := w(B - A)
if B in A: blueTHEN(A, B) := 1
if A not in B and B not in A: blueTHEN(A, B) := w(~A u B)

Teraz z konstrukcji mamy blueTHEN(A, B) <=> (w(A) => w(B)). Natomiast istotna roznica pomiedzy tak zdefiniowana funkcja a funkcja zdefiniowana wprost jako w(~A u B) polega na tym, ze w przypadkach A in B i B in A mamy teraz trywialna regule na budowanie poprawnego "rozumowania na zbiorach", brzmiaca; "nie wyrzucaj tego, czego szukasz".
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
mikon




Dołączył: 15 Gru 2005
Posty: 359
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Czw 1:36, 29 Gru 2005    Temat postu:

wujzboj napisał:
EQUAL jest zdefiniowany wzorem na poziomie funkcji w, i na razie wiecej nie potrzeba.


Podejrzewam, ze nie jest zdefiniowany, tylko "opisany", czyli zdefiniowany po lebkach. Ale, jak napisales, mozna go zdefiniowac za pomoca THEN, wiec moze sobie lezec, tylko szkoda, bo mozna by sprawdzic, czy wyszlo to samo co z THEN.

wujzboj napisał:
Co do definicji blueTHEN, to robimy reset. Bo wlasnie zauwazylem, ze cale uscislanie poszlo w niewlasciwym kierunku i wyszedl z tego inny obiekt niz byl opisany na poczatku.


:wink:

wujzboj napisał:
blueTHEN: (PZ) x P(Z) -> {0, 1}.


A mialo byc ... -> P(Z). To jednak nie robisz semantyki logiki w P(Z)?

wujzboj napisał:
if A in B: ~blueTHEN(A, B) := w(B - A)


Tu nie zachodzi
blueTHEN(A, B) <=> (w(A) => w(B))
bo jesli A c B to (w(A) => w(B)) = 1, natomiast ~w(B - A) = 0 jesli w(B - A).

wujzboj napisał:
if B in A: blueTHEN(A, B) := 1


Tu tez jest blad.

Kiedy poprawisz te bledy, to pewnie wystarczy definicja taka jak w greenTHEN. :)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
wujzboj




Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 22041
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 10:44, 29 Gru 2005    Temat postu:

mikon napisał:
A mialo byc ... -> P(Z). To jednak nie robisz semantyki logiki w P(Z)?

W zasadzie chodzilo o podanie funkcji opisujacej wartosc logiczna wygodnej operacji przeksztalcania zbiorow. Dlatego ...->P(Z) nie jest w tym momencie potrzebne.

Poniewaz ~p v q <=> ~(p ^~q), a na zbiorach ~A u B = ~(A n ~B), to blueTHEN mozna wygodnie zdefiniowac przez:

~blueTHEN(A, B) = A n ~B,

gdzie "n" oznacza, rzecz jasna, przeciecie zbiorow.

Teraz jedyna roznica miedzy greenTHEN (zdefiniowane jako -> {0, 1}) i blueTHEN zachodzi na poziomie przepisu przegladania zbiorow. Green mowi, zeby przeszukac ~A oraz B, zas blue mowi, zeby przeszukac przeciecie A i ~B i wziac zaprzeczenie wyniku. Zauwaz, ze to przeciecie jest zbiorem pustym gdy A in B, i jest rowne A-B gdy B in A.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin