Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Wstęp do algebry Kubusia

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 20:42, 26 Maj 2016    Temat postu: Wstęp do algebry Kubusia

Wstęp do algebry Kubusia

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72 i inni.
Kubuś

Wstęp:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych totalnie izolowana od jakichkolwiek zer i jedynek. Cała logika matematyczna zaszyta jest tu w symbolach niezaprzeczonych (p) i zaprzeczonych (~p). W algebrze Kubusia wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka, które zapewniają bezproblemowe przejście z logiki równań logicznych do klasycznego rachunku zero-jedynkowego (i odwrotnie). Z tego powodu algebra Kubusia jest algebrą, tak jak algebrą jest klasyczny rachunek zero-jedynkowy.
Pod algebrę Kubusia podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy. Najbardziej genialne są tu definicje implikacji prostej |=> i odwrotnej |~>, gdzie w jednej połówce mamy gwarancję matematyczną =>, natomiast w drugiej połówce zaszyta jest najzwyklejsza przypadkowość (~>, ~~>).
W świecie żywym operatory implikacji obsługują matematyczną „wolną wolę” wszystkich istot żywych. Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, i nie ma najmniejszych szans aby się spod niej uwolnić. To dzięki algebrze Kubusia człowiek może się sensownie komunikować z drugim człowiekiem i nie ma w tej komunikacji chaosu (bełkotu), jaki niechybnie byłby, gdyby nie algebra Kubusia.
Algebra Kubusia w matematyce to wszelkie twierdzenia matematyczne, zatem występuje w każdej dziedzinie matematyki, to również przepiękna obsługa zbiorów w naszym Wszechświecie, zewsząd nas otaczających.

Część I
Algebra Kubusia - podsumowanie


Część II
Nowa Teoria Zbiorów

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-trakcie-pisania,8727.html#281597
Spis treści
2.0 Definicje podstawowe 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Spójniki implikacyjne 2
2.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej 3
2.3.1 Tożsamość definiująca i wartościująca 3
2.3.2 Tożsamość logiczna „=” (inaczej zwana równoważnością <=>) 3
2.3.3 Tożsamość logiczna vs tożsamość klasyczna 4
3.0 Definicja definicji 5
3.1 Definicja minimalna 6
4.0 Podstawowe działania na zbiorach 7
4.1 Iloczyn logiczny zbiorów: 7
4.2 Suma logiczna zbiorów: 7
4.3 Różnica zbiorów p-q: 7
4.4 Zaprzeczenie zbioru: 8
5.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” 9
5.1 Budowa zdania warunkowego „Jeśli p to q” 10
5.2 Aksjomaty Kubusia 12
5.3 Kwantyfikator mały ~~> 14
5.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach 14
4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach 15
5.4 Warunek wystarczający => 16
5.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach 17
5.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów 18
5.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach 19
5.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń 20
5.5 Warunek konieczny ~> 21
5.5.1 Warunek konieczny ~> w zbiorach 22
5.5.2 Warunek konieczny ~> w zdarzeniach 22

Część III
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-trakcie-pisania,8727.html#281599

6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 1
6.1 Prawa De Morgana 3
6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 5

Część IV
Klasyczna algebra Boole’a - operatory jednoargumentowe

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-trakcie-pisania,8727.html#281601

7.0 Klasyczna algebra Boole’a 1
7.1 Operatory logiczne 1
7.2 Prawa Prosiaczka 2
7.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach 4
7.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka 5
7.2.3 Prawa Prosiaczka w przedszkolu 6
8.0 Operatory jednoargumentowe 8
8.1 Operator transmisji 9
8.2 Operator negacji 12


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 19:00, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 20:45, 26 Maj 2016    Temat postu:

Część II
Nowa Teoria Zbiorów

Spis treści
2.0 Definicje podstawowe 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Spójniki implikacyjne 2
2.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej 3
2.3.1 Tożsamość definiująca i wartościująca 3
2.3.2 Tożsamość logiczna „=” (inaczej zwana równoważnością <=>) 3
2.3.3 Tożsamość logiczna vs tożsamość klasyczna 4
3.0 Definicja definicji 5
3.1 Definicja minimalna 6
4.0 Podstawowe działania na zbiorach 7
4.1 Iloczyn logiczny zbiorów: 7
4.2 Suma logiczna zbiorów: 7
4.3 Różnica zbiorów p-q: 7
4.4 Zaprzeczenie zbioru: 8
5.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” 9
5.1 Budowa zdania warunkowego „Jeśli p to q” 10
5.2 Aksjomaty Kubusia 12
5.3 Kwantyfikator mały ~~> 14
5.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach 14
4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach 15
5.4 Warunek wystarczający => 16
5.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach 17
5.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów 18
5.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach 19
5.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń 20
5.5 Warunek konieczny ~> 21
5.5.1 Warunek konieczny ~> w zbiorach 22
5.5.2 Warunek konieczny ~> w zdarzeniach 22


2.0 Definicje podstawowe

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
p =[x] - zbiór niepusty
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
p =[] - zbiór pusty

Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka

Podstawowe operacje na zbiorach:

„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q

„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Wartościowanie podstawowych operacji na zbiorach:
1 (prawda) - zbiór wynikowy jest niepusty
0 (fałsz) - zbiór wynikowy jest pusty

2.2 Spójniki implikacyjne

Spójniki implikacyjne:
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p<=>q - równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Wartościowanie spójników implikacyjnych:
1 (prawda) - dany warunek jest spełniony
0 (fałsz) - dany warunek nie jest spełniony


2.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej

W logice matematycznej mamy do czynienia z trzema rodzajami tożsamości:
1. Tożsamość definiująca
2. Tożsamość wartościująca
3. Tożsamość logiczna (tożsama z równoważnością)

Pojęcie tożsamości w logice jest wystarczająco precyzyjne, bowiem rodzaj tożsamości wynika z konkretnego zapisu matematycznego.


2.3.1 Tożsamość definiująca i wartościująca

Zbiory:
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład:
p =[pies, kot] =1
p - nazwa zbioru
[pies, kot] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
=1 - wartość logiczna zbioru 1, bo zbiór niepusty


2.3.2 Tożsamość logiczna „=” (inaczej zwana równoważnością <=>)

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1).
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Na mocy prawa Kubusia mamy matematyczną pewność prawdziwości zdania C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1)

Doskonale tu widać poprawność prawa Kubusia:
Prawdziwość zdania A: CH~>P daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości zdania C: ~CH=>~P i odwrotnie.

Prawa Kubusia w zapisie ogólnym:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
p=>q = ~p~>~q
W logice matematycznej tożsamość logiczna „=” jest tożsama z równoważnością <=>:
„=” = „<=>”

Prawa Kubusia możemy więc zapisać w sposób matematycznie tożsamy:
p=>q <=> ~p~>~q
p~>q <=> ~p=>~q


2.3.3 Tożsamość logiczna vs tożsamość klasyczna

Prawo Słonia:
Każda tożsamość klasyczna jest tożsamością logiczną (i odwrotnie).

Dowód:
Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~p)
Dla p=q otrzymujemy:
p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p) =1*1 =1
gdzie:
p - dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum

Matematycznie zachodzi:
Tożsamość klasyczna p=p jest dokładnie tym samym co tożsamość logiczna p<=>p
Kod:

Tożsamość klasyczna   =  Tożsamość logiczna
p=p                   =  p<=>p


Przykład:
Rozważmy tożsamość klasyczną:
pies=pies
Przyjmijmy dziedzinę:
U = Uniwersum (dowolne pojęcie zrozumiałe dla człowieka)
Wyznaczenie zbioru „nie pies” (~P=1)
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć z obszaru Uniwersum z wykluczeniem „psa”

Warunek wystarczający prosty p=>p:
A.
Jeśli coś jest psem to na pewno => jest psem
P=>P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie

Warunek wystarczający odwrotny ~p=>~p:
C.
Jeśli coś nie jest psem to na pewno => nie jest psem
~P=>~P =1
Po podstawieniu zbioru ~P mamy:
[U-P] => [U-P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie

Stąd prawdziwa jest równoważność:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest psem
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P) =1*1 =1
Zauważmy, że dziedzina jest tu nieistotna, byleby zawierała w sobie zbiór wszystkich psów.

W naszym przykładzie przyjęliśmy najszerszą możliwą dziedzinę:
D=Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Równie dobrze moglibyśmy przyjąć dziedzinę:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Doskonale widać, że matematycznie to bez znaczenia.

Na mocy powyższego przykładu prawdziwe są zdania z logiki matematycznej, używane czasami przez człowieka dla podkreślenia „istoty rzeczy”:
pies to pies
koń to koń, jaki jest każdy widzi
dolar to dolar
Jeśli kocha to kocha, nie ucieknie
etc


3.0 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw


3.1 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC =1)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojęcie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc


4.0 Podstawowe działania na zbiorach

W logice matematycznej dostępne są zaledwie cztery podstawowe operacje na zbiorach.

4.1 Iloczyn logiczny zbiorów:

Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
p*q
Wartościowanie:
p*q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p*q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
r=[7,8]
p*q =q*p =[1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p*r =r*p =[1,2,3,4]*[7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy jest pusty
Wnioski:
1.
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym to zbiory p i q są rozłączne (i odwrotnie)
2.
Iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny: p*q = q*p


4.2 Suma logiczna zbiorów:

Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
p+q
Wartościowanie:
1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
Z IV aksjomatu Kubusia (punkt 4.2) wnioskujemy, iż wynikiem sumy logicznej zbiorów może być wyłącznie zbiór niepusty.

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

4.3 Różnica zbiorów p-q:

Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p-q
Wartościowanie:
p-q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p-q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
Zdefiniujmy zbiory:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - zbiór wejściowy niepusty
r=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
s=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
q-p =[3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p-r =[1,2,3,4]-[1,2] =[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
r-p =[1,2]-[1,2,3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
r-s =[1,2]-[1,2] =[] =0
Wnioski:
1.
Jeśli zbiory p i q są nie są tożsame ~[p=q] to różnica zbiorów nie jest przemienna, bo zbiór wynikowy p-q jest różny od q-p
Jeśli zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] to nie jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q
2.
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów p-q jest zbiorem pustym [] (i odwrotnie)
p-q = q-p =[]
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów jest przemienna, co oznacza iż wszystko jedno jest który zbiór nazwiemy p a który q.


4.4 Zaprzeczenie zbioru:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje

Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)

Przykład:
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru”
Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru” to „uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny”
W naszym przykładzie zbiór ~p=[5,6] jest uzupełnieniem do dziedziny D=[1,2,3,4,5,6] dla zbioru p=[1,2,3,4]


5.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne:
I. p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
II. p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
III. p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Wartościowanie zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Jeśli dany warunek jest spełniony (=1) to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest prawdziwe (=1), inaczej jest fałszywe (=0)

I.
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q

A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1*1 =1
Kwantyfikator mały ~~>spełniony bo możliwa jest (=1) sytuacja „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
CH~>~P = 1*1 =0
Warunek konieczny ~> w zdaniu A2 nie jest spełniony (=0) bo zabieram chmury (CH=1) nie wykluczając sytuacji „nie pada” (~P=1)

II.
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

A3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = 1*1 =1
Warunek wystarczający => spełniony (=1) bo zawsze gdy wymuszam deszcz (P=1), pojawiają się chmury (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

III
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

A4.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => braku opadów (~P=1)
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Przykłady:
A5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH = 1*1 =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo możliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „są chmury” (CH=1)
A6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Doskonale widać, że warunkiem koniecznym prawdziwości zdania A6: P=>CH jest prawdziwość tego samego zdania pod kwantyfikatorem małym A5: P~~>CH
A7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH = 1*1 =[] =0
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe (=0) bo niemożliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „nie ma chmur” (~CH=1)

Na mocy prawa Kobry, jeśli w zdaniu A7 wymienimy spójnik na warunek wystarczający => lub konieczny ~> to zdanie A7 na pewno będzie fałszywe:
A7’.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie być pochmurno
P=>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.
A7’’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> nie być pochmurno
P~>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.


5.1 Budowa zdania warunkowego „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

Twierdzenie Pitagorasa - pełne brzmienie:
A.
Jeśli wylosowany trójkąt x ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) jest prostokątny (TP) to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
x*ZWT*TP=>SK =1
Dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Bycie trójkątem prostokątnym daje nam gwarancję matematyczną => iż zachodzi w nim suma kwadratów.
Jeśli w zdaniu A pod x podstawimy TP to wszystko jest w porządku:
x=TP
stąd:
TP*ZWT*TP =>SK
Prawa teorii zbiorów:
TP*TP = TP - bo iloczyn logiczny zbiorów tożsamych jest dowolnym ze zbiorów
ZWT*TP = TP - bo ZWT jest nadzbiorem zbioru TP
Stąd zapis matematycznie tożsamy:
TP=>SK
Wniosek:
Doskonale widać, że zdanie A jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla trójkątów prostokątnych i fałszywe dla trójkątów nieprostokątnych (~TP).
Dowód:
Podstawiamy:
x=~TP - trójkąt nieprostokątny
Stąd:
~TP*ZWT*TP => SK
Prawa teorii zbiorów:
~TP*TP =[] - bo zbiory ~TP i TP są rozłączne
[]*ZWT=[] - iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
stąd otrzymujemy:
A: [] =>SK =0
Dla trójkątów nieprostokątnych twierdzenie Pitagorasa jest fałszywe bo prawo Kobry.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Dla trójkątów nieprostokątnych zdanie A pod kwantyfikatorem małym ~~> brzmi:
A: [] ~~>SK = []*SK =[] =0
Wniosek:
Dla trójkątów nieprostokątnych zdanie A jest fałszywe.

Stąd mamy jak na dłoni, szczegółową budowę zdania warunkowego „Jeśli p to q”.
Zapiszmy jeszcze raz nasze zdanie:
A.
Jeśli wylosowany trójkąt x ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) jest prostokątny (TP) to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
x*ZWT*TP=>SK

To samo w zapisie ogólnym:
AOG.
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny X jest [p=wybrany element] to [q=konkretna cecha tego elementu]
x*X*p=>q
Tłumaczymy AOG na nasz przykład A:
Jeśli dowolny element x = Jeśli wylosowany trójkąt x
z przyjętej dziedziny x = ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT)
jest [p=wybrany element] = jest prostokątny (TP)
to [q=konkretna cecha tego elementu] = to w trójkącie tym zachodzi suma kwadratów

Spróbujmy podstawić pod p zbiór pusty:
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny X jest […] to [q=konkretna cecha tego elementu]

W zbiorze pustym nie ma żadnego elementu, zatem nie jesteśmy w stanie opisywać konkretnej cechy elementu którego nie widzimy (nie znamy), co potwierdza poprawność prawa Kobry


5.2 Aksjomaty Kubusia

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Aksjomaty Kubusia
I.
Człowiek może operować wyłącznie na pojęciach dla niego zrozumiałych
II.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wartości logiczne p i q nie mogą być znane z góry
III.
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem
IV.
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” pod p i q możemy podstawiać wyłącznie zbiory (pojęcia) niepuste.
V.
Zbiór pusty w logice matematycznej może powstać wyłącznie w matematycznych operacjach na zbiorach niepustych
Aksjomat V to wniosek z aksjomatu IV

Ad. I
Człowiek może operować wyłącznie na pojęciach dla niego zrozumiałych
pies - pojęcie zrozumiałe
blebleku - pojęcie niezrozumiałe

Ad. II
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wartości logiczne p i q nie mogą być znane z góry
Dowód:
W całym obszarze języka mówionego, we wszelkich środkach masowego przekazu, nie istnieje ani jedno zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w którym wartości logiczne p i q znane byłyby z góry.

Wniosek:
Definicja logiki matematycznej:
Logika to matematyczny opis nieznanego, czyli przyszłości lub nieznanej przeszłości

Wbrew pozorom przeszłość nie musi być znana.
Przykład :
Poszukiwanie mordercy
Założenia:
1. Morderstwa dokonano w Warszawie
2. Podejrzany Kowalski
A.
Jeśli Kowalski był w Warszawie w dniu morderstwa to mógł ~> zamordować
W~>Z =1
Bycie Kowalskiego w Warszawie w dniu morderstwa było warunkiem koniecznym ~>, aby był on mordercą.

Jeśli znamy rozwiązanie np. Kowalski jest mordercą to zdanie A wyżej traci sens, wiemy wszystko i żadna logika matematyczna nie jest nam tu potrzebna.

Ad. III
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem

Przykład matematyczny:
Zdefiniujmy dziedzinę:
LR - zbiór liczb rzeczywistych
Utwórzmy zbiór p zbudowany z jednej liczby tego zbioru:
p=[2]
Zaprzeczenie zbioru p to:
~p=[LR-2] - zbiór liczb rzeczywistych z wykluczeniem liczby 2
Matematycznie zachodzi:
p+~p = [2]+[LR-2] = LR =1 (dziedzina)
Zbiór ~p=[LR-2] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p=[2]
oraz:
p*~p = [2]*[LR-2] = [] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Matematycznie zachodzi również:
p ## ~p
[2] ## [LR-2]
gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji

Przykład nie matematyczny
Zdefiniujmy zbiór zawierający jedno pojęcie z obszaru Uniwersum:
C = [kolor czerwony]
Przyjmijmy dziedzinę:
Uniwersum (U) - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Na mocy definicji zaprzeczenia zapisujemy:
~C = [U-C] - dowolne pojęcie z palety Uniwersum z wykluczeniem „koloru czerwonego”

Zaprzeczeniem „koloru czerwonego” jest dowolne pojęcie z Uniwersum różne od pojęcia „kolor czerwony”, w szczególności może to być dowolny inny kolor.
Wypiszmy kilka pojęć wchodzących do zbioru ~C.
~C =[kolor biały, krowa, krasnoludek, miłość, Wszechświat …]
Dowolne z tych pojęć jest zaprzeczeniem koloru czerwonego.

W tym ujęciu „kolor czerwony” to zbiór jednoelementowy:
C = [kolor czerwony]

Stąd mamy III aksjomat Kubusia:
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem
W szczególności będzie to zbiór jednoelementowy

Ad. IV
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” pod p i q możemy podstawiać wyłącznie zbiory (pojęcia) niepuste.
Aksjomat IV wynika bezpośrednio z prawa Kobry.
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>
Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Dla p lub q będącego zbiorem pustym otrzymujemy zdanie fałszywe:
[]~~>q = []*q =[] =0


5.3 Kwantyfikator mały ~~>

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q

5.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zbiory:
Dla udowodnienia zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q
Wartościowanie dla zbiorów:
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*q (Inaczej: p~~>q =0)
Przemienność argumentów:
Argumenty w kwantyfikatorze małym ~~> są przemienne bo argumenty w iloczynie logicznym zbiorów p*q są przemienne:
p*q = q*p
Zapis tożsamy kwantyfikatora małego ~~> dla zbiorów:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Przykłady w zbiorach:
Dziedzina: LN
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8 ..] np. 8
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne.
Kwantyfikator mały jest przemienny bo argumenty w iloczynie logicznym są przemienne:
P8*P2 = P2*P8
P8*~P2 = ~P2*P8


4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdarzenia:
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q
Wartościowanie dla zdarzeń:
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q (Inaczej: p~~>q =0)
Przemienność argumentów:
Argumenty w kwantyfikatorze małym ~~> są przemienne bo argumenty w iloczynie logicznym zbiorów p*q są przemienne:
p*q = q*p
Zapis tożsamy kwantyfikatora małego ~~> dla zdarzeń:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Możliwe jest (Vx) jednoczesne zajście zdarzeń p(x) i q(x)

Przykłady w zdarzeniach:
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona, bo możliwa jest (=1) sytuacja „pada” i „są chmury”
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =[] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0), bo niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
Wniosek:
Dla prawdziwości kwantyfikatora małego ~~> wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzenia p i q
Kwantyfikator mały ~~> jest przemienny bo iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń) jest przemienny:
P*CH = CH*P
P*~CH = ~CH*P


5.4 Warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego =>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Definicja warunku wystarczającego p=>q spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q

Przemienność argumentów w warunku wystarczającym =>:
Warunek wystarczający => nie jest przemienny, gdy zbiory (zdarzenia) p i q nie są tożsame ~[p=q]
LUB
Warunek wystarczający => jest przemienny gdy zbiory (zdarzenia) p i q są tożsame [p=q]

Przykład warunku wystarczającego => nieprzemiennego:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zdanie odwrotne brzmi:
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(p<=q)

Nasz przykład:
RA.
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P8<=P2) = 1*0 =0
Wniosek:
Warunek wystarczający A: P8=>P2 nie wchodzi w skład definicji równoważności.

Przykład warunku wystarczającego => przemiennego:
A.
Jeśli dowolna liczba jest liczbą naturalną to na pewno => ta sama dowolna liczba jest liczbą naturalną
LN=>LN =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo poprzednik jest tu identyczny z następnikiem, co gwarantuje prawdziwość warunku wystarczającego w dwie strony, co gwarantuje przemienność argumentów w zdaniu warunkowym „Jeśli p to p”
LN<=>LN = (LN=>LN)*(LN<=LN) = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek wystarczający A: LN=>LN wchodzi w skład definicji równoważności.


5.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego =>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Wnioski:
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => na to, by ta liczba należała do zbioru q
Wylosowane dowolnej liczby ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest z zbiorze q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Wartościowanie:
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem zbioru q (Inaczej: p=>q =0)

Definicja warunku wystarczającego => w kwantyfikatorze dużym
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x)

Definicja podzbioru właściwego =>:
Zbiór p jest podzbiorem właściwym |=> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Argumenty w podzbiorze właściwym p|=>q nie są przemienne.
Definicja podzbioru właściwego |=> to definicja implikacji prostej p|=>q w algebrze Kubusia.

Przykład 1.
Przyjmijmy zbiory p i q nie tożsame ~[p=q]
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, stąd
p=>q =1
Zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p, stąd:
q=>p =0
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku wystarczającym => nie są przemienne, zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (i odwrotnie)

Definicja podzbioru niewłaściwego p<=>q:
Zbiór p jest zbiorem niewłaściwym <=> dla zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Argumenty w podzbiorze niewłaściwym <=> są przemienne co oznacza, że wszystko jedno co nazwiemy p a co q.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów [p=q]
Definicja podzbioru niewłaściwego to definicja równoważności p<=>q w algebrze Kubusia.

Przykład 2.
Przyjmijmy zbiory p i q tożsame [p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =1 - zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku wystarczającym => są przemienne, to zbiory p i q są tożsame [p=q] (i odwrotnie)

Stąd mamy matematyczną definicję tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame [p=q], wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
[p=q] = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1


5.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
A.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam pewność => fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
B.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam pewność => prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

Przykład warunku wystarczającego => w zbiorach
Dziedzina: LN
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] jest warunkiem wystarczającym => na to aby ta liczba należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna

Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: P8=>P2 jest zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym B: P8~~>~P2
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości kontrprzykładu B: P8~~>~P2 =0
Sprawdzamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Definicja kwantyfikatora nie jest spełniona (=0), bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Fałszywość kwantyfikatora małego B: P8~~>~P2 =0 daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1

Przemienność argumentów:
Argumenty w warunku wystarczającym A: P8=>P2 nie są przemienne bo:
A: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
AO: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]


5.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zdarzenia:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p gdy zajście zdarzenia p wymusza => zdarzenie q

Wnioski:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => na to, by zaszło zdarzenie q
Zajście zdarzenie p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia zdarzenia q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Wartościowanie:
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q. (Inaczej: p=>q =0)

Definicja warunku wystarczającego => w kwantyfikatorze dużym
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego zdarzenia x, jeśli zajdzie p(x) to zajdzie q(x)


5.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
A.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam pewność => fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
B.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam pewność => prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

Przykład warunku wystarczającego => w zdarzeniach
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy „pada”, „są chmury”
Padanie deszczu daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego A: P=>CH =1 wynika fałszywość kontrprzykładu B: P~~> ~CH=0 (i odwrotnie).
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0), bo niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
Z fałszywości kontrprzykładu B: P~~>~CH=0 wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A: P=>CH =1 (i odwrotnie)

Przemienność argumentów:
Warunek wystarczający A: P=>CH nie jest przemienny bo zdanie odwrotne jest fałszywe:
AO.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
CH=>P =0
Warunek wystarczający AO: CH=>P nie jest spełniony (=0) bo prawdziwy jest kontrprzykład:
B: CH~~>~P= CH*~P =1 - może się zdarzyć, że są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)


5.5 Warunek konieczny ~>

Definicja warunku koniecznego ~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q

Zbiory:
Warunek konieczny ~> jest spełniony, jeśli zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Zdarzenia:
Warunek konieczny p~>q jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zabierając zdarzenie p wykluczamy zajście zdarzenia q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zabierając zdarzenie p wykluczamy zdarzenie q (Inaczej: p~>q =0)

Definicja nadzbioru właściwego |~>:
Zbiór p jest nadzbiorem właściwym |~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Argumenty w nadzbiorze właściwym p|~>q nie są przemienne.
Definicja nadzbioru właściwego to definicja implikacji odwrotnej p|~>q w algebrze Kubusia.

Przykład 1.
Przyjmijmy zbiory p i q nie tożsame ~[p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, stąd
p~>q =1
Zbiór q nie jest nadzbiorem ~> zbioru p, stąd:
q~>p =0
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku koniecznym ~> nie są przemienne, to zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (i odwrotnie)

Definicja nadzbioru niewłaściwego p<=>q:
Zbiór p jest nadzbiorem niewłaściwym <=> dla zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p~>q)*[p=q]
Argumenty w nadzbiorze niewłaściwym <=> są przemienne co oznacza, że wszystko jedno co nazwiemy p a co q.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów [p=q]

Przykład 2.
Przyjmijmy zbiory p i q tożsame [p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
q~>p =1 - zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku koniecznym ~> są przemienne, to zbiory p i q są tożsame [p=q] (i odwrotnie)

Stąd mamy matematyczną definicję tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame [p=q], wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i jednocześnie zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
[p=q] = (p~>q)*(q~>p) = 1*1 =1


5.5.1 Warunek konieczny ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Warunek konieczny ~> jest spełniony, jeśli zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem zbioru P8=[8,16,24..]
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8, bo jak liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Ostatnie zdanie to matematyczny związek warunku koniecznego P2~>P8 z warunkiem wystarczającym ~P2~>~P8
Prawdziwość dowolnej strony powyższej tożsamości wymusza prawdziwość drugiej strony.


5.5.2 Warunek konieczny ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Zabieram zdarzenie p wykluczając zajście zdarzenia q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie.
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> dla deszczu, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
CH~>P = ~CH=>~P
Ostatnie zdanie to matematyczny związek warunku koniecznego CH~>P z warunkiem wystarczającym ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony powyższej tożsamości wymusza prawdziwość drugiej strony.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 6:38, 27 Maj 2016, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 20:46, 26 Maj 2016    Temat postu:

Część III
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy


Spis treści
6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 1
6.1 Prawa De Morgana 3
6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 5


6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy

Definicje podstawowe.

Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - spójniki logiczne

Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p+q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =1
C: 0  1   =1
D: 0  0   =0
   1  2    3

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC123, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Linia D123 to tylko uzupełnienie definicji spójnika „lub”(+) do pełnego operatora logicznego OR(|+).

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Prawo Sowy poznamy niebawem, dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego znajomość tego prawa nie jest potrzebna.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p*q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =0
C: 0  1   =0
D: 0  0   =0
   1  2    3

Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „i”(*) to wyłącznie linia A123.
Obszar BCD123 to wyłącznie uzupełnienie definicji spójnika „i”(*) do pełnego operatora logicznego AND(|*)

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Prawo Sowy poznamy niebawem, dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego znajomość tego prawa nie jest potrzebna.

Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa

W klasycznym rachunku zero-jedynkowym nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego, czyli nie interesują nas cząstkowe równania logiczne opisujące poszczególne linie operatora, które niebawem poznamy.
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy to komputerowe (czyli bezmyślne) przemiatanie zer i jedynek na wszelkie możliwe sposoby, gdzie tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym zachodzącego prawa logicznego.

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Abstrakcyjnie maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.

Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.

W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V

Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.


6.1 Prawa De Morgana

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =1     =0       0  1   =0      =1
C: 0 1  =1     =0       1  0   =0      =1
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
A1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe 3 i 8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
A2.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe 4 i 7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Bezpośrednio z A1 i A2 wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

A1: Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
A2: ~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)


Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =0     =1       0  1   =1      =0
C: 0 1  =0     =1       1  0   =1      =0
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
B1.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
B2.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Bezpośrednio z powyższego wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B1: Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
B2: ~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Przykład rodem z przedszkola, pokazujący ze znaczki „+” i „*” to nic innego jak spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka.
Pani:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie zdanie A oznacza:
A.
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Y = K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, dalsze działania, czyli czy pójdziemy w drugie miejsce czy nie pójdziemy, są bez znaczenia.

… a kiedy Pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
stąd:
B.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Pani może skłamać tylko w jednym przypadku, gdy nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru.

Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa, logika dodatnia (bo Y)
~Y - pani skłamie, logika ujemna (bo ~Y)
W równaniach algebry Boole’a (nasze zdania A i B), logika matematyczna zaszyta jest w symbolach niezaprzeczonych (bo p) i zaprzeczonych (bo ~p) - wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki. Płynne przejście z tabel zero-jedynkowych do równań algebry Boole’a i z powrotem, zapewniają prawa Prosiaczka, które niebawem poznamy.


6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3


Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1  0 1 0  1   1   1
B: 0  1 1 0  1   0   1
   1  2 3 4  5   6   7


Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1  0 1 0  1   0   0
B: 0  1 1 0  0   0   0
   1  2 3 4  5   6   7

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd

Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.

Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.

Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.

Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:

Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
-----------------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 20:48, 26 Maj 2016    Temat postu:

Część IV
Klasyczna algebra Boole’a - operatory jednoargumentowe

Spis treści
7.0 Klasyczna algebra Boole’a 1
7.1 Operatory logiczne 1
7.2 Prawa Prosiaczka 3
7.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach 5
7.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka 5
7.2.3 Prawa Prosiaczka w przedszkolu 6
8.0 Operatory jednoargumentowe 8
8.1 Operator transmisji 9
8.1.1 Operator transmisji w zbiorach 13
8.2 Operator negacji 14
8.2.1 Operator negacji w zbiorach 18



7.0 Klasyczna algebra Boole’a

Klasyczna algebra Boole’a to opis wszelkich tabel zero-jedynkowych, w tym operatorów logicznych przy pomocy spójników logicznych:
„lub”(+) - spójnik „lub” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„~” - negacja, przedrostek NIE z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Klasyczna algebra Boole’a to zarówno tabele zero-jedynkowe, jak i równania algebry Boole’a opisujące te tabele. Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) to tylko „połówki” operatorów logicznych OR(|+) i AND(|*) a nie kompletne operatory logiczne, co za chwilę udowodnimy.


7.1 Operatory logiczne

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa

Definicja układu logicznego:
Układ logiczny to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y
Kod:

        ------------------
p0 -----|                |
        |                |
p1 -----| f(p1,p2..pn)=? |------> Y=f(p1,p2..pn)
.....   |                |
pn -----|                |
        ------------------


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Innymi słowy:
Operator to przypisanie jednoznacznej odpowiedzi (czyli stanu na wyjściu) każdemu możliwemu stanowi na wejściach (wejściu).
Innymi słowy:
Odpowiedź operatora, to pojawienie się konkretnego stanu na wyjściu w odpowiedzi na stan na wejściach. Odpowiedź na dany stan jest zawsze taka sama. Zestawienie wszystkich możliwych stanów na wejściach oraz przypisanych im odpowiedzi opisuje operator.

Na wejściach [p1,p2..pn] mogą pojawiać się tylko i wyłącznie sygnały 0 albo 1
Na wyjściu Y również mogą się pojawiać tylko i wyłącznie sygnały 0 albo 1

Zauważmy że:
Dla jednego wejścia p mamy dwa możliwe wymuszenia na wejściu p:
p=[0,1]
2^n = 2^1 =2
Dla dwóch wejść p i q możliwych wymuszeń na wejściach p i q jest cztery:
p, q =[11, 10, 01,00]
2^n = 2^2 =4
Dla 3 wejść p, q i r możliwych wymuszeń na wejściach p, q, r jest osiem
p,q,r =[111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000]
2^n = 2^3 =8
itd.

Ilość operatorów logicznych (IOL) w powiązaniu z ilością wejść to:
IOL=(2^n)^2
gdzie:
n - ilość wejść układu logicznego
Stąd mamy:
Ilość operatorów jednoargumentowych (logika jednowartościowa):
(2^1)^2 = 2^2=4
Ilość operatorów dwuargumentowych (logika dwuwartościowa):
(2^2)^2 = 4^2 =16
Ilość operatorów trzyargumentowych (logika trójwartościowa)
(2^3)^2 = 8*8 =64
Ilość operatorów czteroargumentowych (logika czterowartościowa)
(2^4)^2 = 16*16 = 256
itd.
Łatwo policzyć, że w logice ośmiowartościowej operatorów logicznych będzie 65536.

Na mocy definicji operatora logicznego możemy zapisać.
Ilość operatorów logicznych w logice n wartościowej opisana jest wzorem:
IOL=(2^n)^2
gdzie:
n - ilość wejść w układzie logicznym (logika n-wartościowa)

W naszym Wszechświecie dostępne są wyłącznie operatory jednoargumentowe i dwuargumentowe, co odpowiada logice jednowartościowej i dwuwartościowej.
Operatory 3-ardumentowe i większe to czysta abstrakcja, bez związku z dostępną nam rzeczywistością, warta mniej więcej tyle co teoria o nieskończonej ilości Wszechświatów (skala makro) lub teoria strun (skala mikro). Obie te teorie mają tylko jedną zaletę, żadnej z nich nie da się zweryfikować, czyli obalić - na zawsze pozostaną one w sferze bajek (wierzeń).


7.2 Prawa Prosiaczka

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa

Definicja negacji:
Negacją „~” zmiennej binarnej p nazywamy jej przeciwny stan zero-jedynkowy
Kod:

   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2
„~” - symbol negacji

Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka:
Opis linii A12:
A.
Jeśli p=1 to na pewno => ~p=0
(p=1)=>(~p=0)
Jeśli ~p=0 to na pewno => p=1
(~p=0)=>(P=1)
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
p=(p=1)
q=(~p=0)
Stąd mamy:
(p=1)<=>(~p=0) = [(p=1)=>(~p=0)]*[(~p=0)=>(p=1)] = 1*1 =1

Stąd mamy:
I prawo Prosiaczka:
(p=1) <=> (~p=0)
Równoważność oznacza tu matematyczną tożsamość logiczną:
(p=1) = (~p=0)

Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka:
Opis linii B12:
B.
Jeśli p=0 to na pewno => ~p=1
(p=0)=>(~p=1)
Jeśli ~p=1 to na pewno => p=0
(~p=1)=>(p=0)
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
p=(~p=1)
q=(p=0)
Stąd mamy:
(p=0)<=>(~p=1) = [(p=0)=>(~p=1)]*[(p=0)=>(~p=1)] = 1*1 =1

Stąd mamy:
II prawo Prosiaczka:
(p=0) <=> (~p=1)
Równoważność oznacza tu matematyczną tożsamość logiczną:
(p=0) = (~p=1)

Definicja tożsamości logicznej:
p<=>p
Zapis tożsamy:
p=p
Prawda po dowolnej stronie znaku tożsamości logicznej „=” wymusza prawdę po stronie przeciwnej
Fałsz po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałsz po stronie przeciwnej

Tożsamość logiczna ma wszelkie cechy tożsamości klasycznej, dlatego możemy tu użyć znaku tożsamości klasycznej.

Przykład:
2=2
Zapis matematycznie tożsamy:
2<=>2
dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
2<=>2 = (2=>2)*(~2=>~2) = 1*1 =1
Dziedzina jest tu bez znaczenia, może być:
Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolna zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej gdy nie jest zanegowana, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Stąd mamy końcową definicję praw Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)


7.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach

Kod:

-------------
|P          |
|     p=1   |
|    ~p=0   |
-------------

I prawo Prosiaczka dla zbiorów:
(p=1) = (~p=0)
Zdanie:
Prawdą jest (=1) że to jest zbiór p
(p=1)
jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (=0) że to jest zbiór ~p
(~p=0)
stąd:
(p=1) = (~p=0)

Kod:

-------------
|~P         |
|    ~p=1   |
|     p=0   |
-------------

II Prawo Prosiaczka dla zbiorów
(~p=1) = (p=0)
Zdanie:
Prawdą jest (=1) że to jest zbiór ~p
(~p=1)
jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (=0) że to jest zbiór p
p=0
Stąd:
(~p=1) = (p=0)


7.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

7.2.3 Prawa Prosiaczka w przedszkolu

Świat niezdeterminowany, matematyczny opis nieznanej przyszłości.
Pani:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy zdanie A stronami:
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
stąd:
B.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

To jest matematyczny opis przyszłości, pani mająca wolną wolę jutro może dotrzymać słowa (Y=1), ale równie dobrze może skłamać (~Y=1).


Świat zdeterminowany:
Załóżmy że jest pojutrze i wiemy, że wczoraj byliśmy w kinie.


Mamy zdeterminowaną i znaną przeszłość.

Zaszło zdarzenie:
K=1 - wczoraj byliśmy w kinie
Zdanie A jest tu prawdziwe:
AP1.
Prawdą jest (=1), że pani dotrzymała słowa (Y) bo wczoraj byliśmy w kinie (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

Zastosujmy prawo Prosiaczka:
(Y=1) =(~Y=0)
Zdanie tożsame do AP:
AP2.
Fałszem jest (=0), że pani skłamała (~Y) bo wczoraj byliśmy w kinie (K=1)
(~Y=0) <=> K=1)

Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
AP1 = AP2

W równaniach algebry Boole’a zmienne binarne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka (patrz AP1=AP2). W logice matematycznej jedynki są domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności, co widać w równaniu AP1. Równania AP2 nie da się zapisać w postaci równania algebry Boole’a izolowanego od wszelkich zer i jedynek, jak to zrobiono w równaniu AP1.

Zdanie B jest dla naszego zdeterminowanego przypadku (K=1) fałszywe.
Dowód:
Mamy przyszłość opisaną zdaniem B.
B.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Wczoraj zaszło:
(K=1)=(~K=0) - byliśmy w kinie (prawo Prosiaczka)

Do równania B z prawej strony możemy zatem podstawić:
K=1 albo ~K=0

Podstawiamy (K=1)
~Y=1 <=> K=1
Równoważność <=> to tożsamość logiczna „=”:
Prawa strona K=1 wymusi tu zatem:
Y=1 <=> K=1
czyli:
Pani dotrzymała słowa Y=1.

Podstawmy drugi możliwy wariant z prawej strony (~K=0), co wymusi (~Y=0)
Czyli:
(~Y=0) <=> (~K=0)
Lewą stronę czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani skłamała (~Y).

Podsumowując:
Doskonale widać, że prawa Prosiaczka działają fenomenalnie zarówno w świecie niezdeterminowanym, jak i zdeterminowanym. Możemy je zatem stosować wszędzie, do dowolnej zmiennej binarnej, bez żadnych ograniczeń.


8.0 Operatory jednoargumentowe

Układ jednoargumentowy:
Układ jednoargumentowy to obiekt o jednym wejściu binarnym p i jednym wyjściu binarnym Y
Kod:

       ----------
       |        |
 p ----| f(p)=? |----> Y=f(p)
       |        |
       ----------


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

Operatory jednoargumentowe
p   T    N    D   ~D
1  =1   =0   =1   =0
0  =0   =1   =1   =0

T - operator transmisji, na wyjściu T pojawiają się stany z wejścia p
N - operator negacji, na wyjściu N pojawiają się zanegowane stany z wejścia p
D - dziedzina (zbiór pełny)
~D - zaprzeczenie dziedziny (zbiór pusty)
Kod:

Operatory jednoargumentowe w tabeli szczegółowej
     |Operator   |Operator   |Dziedzina
     |transmisji |negacji    |
     |    T      |     N     |       D
   p |Y=p  ~Y=~p |Y=~p  ~Y=p |D=Y+~Y   ~D=~(Y+~Y)=Y*~Y
A: 1 | =1    =0  | =0    =1  | =1        =0
B: 0 | =0    =1  | =1    =0  | =1        =0
   1    a     b     c     d     e         f

Wszystkich możliwych stanów na wyjściu Y, ~Y, D i ~D jest cztery.


8.1 Operator transmisji

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Definicja operatora transmisji:
Operator transmisji to generowanie na wyjściu Y stanu zawsze zgodnego z wejściem p
Kod:

   p  Y=?
A: 1  1
B: 0  0
   1  2

Na mocy praw Prosiaczka tworzymy tabelę zero-jedynkową z zanegowanymi zmiennymi p i Y:
~Y=f(~p)
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (p=0) = (~p=1)

Pełna definicja operatora transmisji:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora transmisji     |operatora transmisji
   p  Y=?  ~p ~Y=?       |
A: 1  1     0  0         | Y=1<=> p=1   Y= p
B: 0  0     1  1         |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Na mocy prawa Prosiaczka w tabeli AB1234 dla każdej linii zachodzą tożsamości matematyczne.
Linia A12= Linia A34
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=1) = A4: (~Y=0)
Linia B12 = Linia B34
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=0) = B4: (~Y=1)
W definicji symbolicznej operatora transmisji AB56 opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki w pełnej definicji operatora negacji AB1234.
Jedynka (prawda) jest w logice matematycznej domyślna, stąd tabelę AB56 możemy zapisać w postaci tabeli AB78 nic nie tracąc na jednoznaczności.

Operator transmisji w równaniach algebry Boole’a to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator transmisji to układ równań logicznych:
1: A5678
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
2: B5678
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1

Dopiero w tym momencie w tabeli zero-jedynkowej AB1234 możemy podstawić wyznaczone funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora transmisji     |operatora transmisji
   p  Y=p  ~p ~Y=~p      |
A: 1  1     0  0         | Y=1<=> p=1   Y= p
B: 0  0     1  1         |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Doskonale widać, że:
Funkcja logiczna Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB12
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>p=1
Podobnie:
Funkcja logiczna ~Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB34
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~p=1
Stąd mamy jedno z najważniejszych praw logiki matematycznej.

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Wynikowe zera w dowolnej tabeli zero-jedynkowej to tylko kopie linii z jedynkami w wyniku z tabeli przeciwnej (prawo Prosiaczka) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Nasza tabela:
Linia A34 nie biorąca udziału w logice bo ~Y=0 to kopia linii A12 biorącej udział w logice bo Y=1 na mocy prawa Prosiaczka
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=1) = A4: (~Y=0)
Podobnie:
Linia B12 nie biorąca udziału w logice bo Y=0 to kopia linii B34 biorącej udział w logice bo ~Y=1 na mocy prawa Prosiaczka.
B3: (~p=1) = B1: (p=0)
B4: (~Y=1) = B2: (Y=0)

Prawo dziedziny
Dowolna tabela zero-jedynkowa operuje wyłącznie w obrębie dziedziny zdefiniowanej jako:
Y+~Y = D =1 (zbiór pełny)
Y*~Y =~D =[] =0 (zbiór pusty)

Zauważmy, że definicja dziedziny to legalne operatory logiczne jednoargumentowe D i ~D.
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |Definicja dziedziny
operatora transmisji     |operatora transmisji  |
   p  Y=p  ~p ~Y=~p      |                      | D=Y+~Y  ~D=~(Y+~Y)=~Y*Y
A: 1  =1    0  =0        | Y=1<=> p=1   Y= p    | =1       =0
B: 0  =0    1  =1        |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p    | =1       =0
   1   2    3   4          5      6     7  8       9        0


Podsumowanie:
Definicja operatora transmisji w układzie równań logicznych:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo podwójnego przeczenia w logice dodatniej (bo Y):
Y = p = ~(~p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y = ~p = ~(p) = ~p

Udajmy się do ekspertów algebry Kubusia, do przedszkola, celem zweryfikowania poznanej teorii.
Pani:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 - logika dodatnia bo Y

Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie?
Mózg Jasia, poza jego świadomością, neguje stronami równanie A
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Jaś:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 - logika ujemna bo ~Y

Znaczenie symboli Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie

Jak działa dziedzina dla naszego przykładu?

Definicja dziedziny:
D = Y+~Y =1
Y=K
~Y=~K
D = Y+~Y = K+~K =1
stąd:
Pani w przedszkolu:
C.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K =D =1
Cokolwiek jutro pani nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu szans na kłamstwo.
Stąd operator dziedziny D możemy również zdefiniować jako operator chaosu.

Matematyczna definicja operatora chaosu:
Chaos = wszystko może się zdarzyć
W praktyce języka mówionego:
chaos = bełkot
co widać na tym przykładzie.

Definicja zaprzeczenia dziedziny:
~D = Y+~Y = Y*~Y =1
Y=K
~Y=~K
~D = Y*~Y = K*~K =0

stąd:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
W momencie wypowiedzenia tego zdania pani popełniła seppuku, czyli skłamała (Y=0), i nie ma żadnych szans na dotrzymanie słowa w dniu jutrzejszym.

8.1.1 Operator transmisji w zbiorach

Definicja operatora transmisji:
Na wyjściu Y pojawiają się stany z wejścia p

Definicja operatora transmisji w układzie równań logicznych:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1

Matematycznie spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - bo zbiory Y i ~Y są rozłączne

Na tej podstawie rysujemy diagram operatora transmisji w zbiorach.


Podsumowanie:
Jeśli funkcję logiczną Y przypiszemy zbiorowi P to otrzymamy definicję operatora transmisji w układzie równań logicznych:
Y=p
~Y=~p
Operator transmisji DT to suma logiczna funkcji Y i ~Y:
DT=Y+~Y = p+~p =1
~DT=~(Y+~Y) = Y*~Y = p*~p =[] =0

Ogólnie, dla dowolnego operatora logicznego zachodzi:
Operator ## funkcja w logice dodatniej (bo Y) ## funkcja w logice ujemnej (bo ~Y)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zależność matematyczna jest tu taka:
Operator = Y+~Y
Oraz:
Y # ~Y
gdzie:
# - zbiory rozłączne

Analogia do logiki 5-cio latka:
Człowiek = człowiek będący kobietą + człowiek nie będący kobietą
C = K+~K
Matematycznie zachodzi:
C ## K ## ~K
gdzie:
## - różne na mocy definicji
oraz:
K # ~K
gdzie:
# - zbiory rozłączne

8.2 Operator negacji

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Definicja operatora negacji:
Operator negacji to generowanie na wyjściu Y stanu zawsze przeciwnego do wejścia p
Kod:

   p  Y=?
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

Na mocy praw Prosiaczka tworzymy tabelę zero-jedynkową z zanegowanymi zmiennymi p i Y:
~Y=f(~p)
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (p=0) = (~p=1)

Pełna definicja operatora negacji:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora negacji        |operatora negacji
   p  Y=?  ~p ~Y=?       |
A: 1  0     0  1         |~Y=1<=> p=1  ~Y= p
B: 0  1     1  0         | Y=1<=>~p=1   Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Na mocy prawa Prosiaczka w tabeli AB1234 dla każdej linii zachodzą tożsamości matematyczne.
Linia A12= Linia A34
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=0) = A4: (~Y=1)
Linia B12 = Linia B34
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=1) = B4: (~Y=0)
W definicji symbolicznej operatora negacji AB56 opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki w pełnej definicji operatora negacji AB1234.
Jedynka (prawda) jest w logice matematycznej domyślna, stąd tabelę AB56 możemy zapisać w postaci tożsamej tabeli AB78 nic nie tracąc na jednoznaczności.

Operator negacji w równaniach algebry Boole’a to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator negacji to układ równań logicznych:
1: B5678
Y = ~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2: A5678
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Dopiero w tym momencie w tabeli zero-jedynkowej AB1234 możemy podstawić wyznaczone funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora negacji        |operatora negacji
   p  Y=~p ~p ~Y=p       |
A: 1  0     0  1         |~Y=1<=> p=1  ~Y= p
B: 0  1     1  0         | Y=1<=>~p=1   Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Doskonale widać, że:
Funkcja logiczna Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB12
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~p=1
Podobnie:
Funkcja logiczna ~Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB34
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> p=1
Stąd mamy jedno z najważniejszych praw logiki matematycznej.

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Wynikowe zera w dowolnej tabeli zero-jedynkowej to tylko kopie linii z jedynkami w wyniku z tabeli przeciwnej (na mocy praw Prosiaczka) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Nasza tabela:
Linia A12 nie biorąca udziału w logice bo Y=0 to kopia linii A34 biorącej udział w logice bo ~Y=1 na mocy prawa Prosiaczka
A3: (~p=0) = A1: (p=1)
A4: (~Y=1) = A2: (Y=0)
Podobnie:
Linia B34 nie biorąca udziału w logice bo ~Y=0 to kopia linii B12 biorącej udział w logice bo Y=1 na mocy prawa Prosiaczka.
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=1) = B4: (~Y=0)

Prawo dziedziny
Dowolna tabela zero-jedynkowa operuje wyłącznie w obrębie dziedziny zdefiniowanej jako:
Y+~Y = D =1 (zbiór pełny)
Y*~Y =~D =0 (zbiór pusty)

Zauważmy, że definicja dziedziny to legalne operatory logiczne jednoargumentowe D i ~D.
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |Definicja dziedziny
operatora negacji        |operatora negacji     |
   p  Y=~p  ~p ~Y=p      |                      | D=Y+~Y  ~D=~(Y+~Y)=Y*~Y
A: 1  =0     0  =1       |~Y=1<=> p=1  ~Y= p    | =1       =0
B: 0  =1     1  =0       | Y=1<=>~p=1   Y=~p    | =1       =0
   1  =2     3   4         5      6     7  8       9        0


Podsumowanie:
Definicja operatora negacji w układzie równań logicznych:
1.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = ~p = ~(p) =~p

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo podwójnego przeczenia w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p = ~(~p)

Algebra Kubusia to logika matematyczna wszystkich 5-cio latków, udajmy się zatem do przedszkola aby ją zweryfikować.
Pani:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 - logika dodatnia bo Y

Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie?
Mózg Jasia, poza jego świadomością, neguje stronami równanie A
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Jaś:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 - logika ujemna bo ~Y

Znaczenie symboli Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie

Jak działa dziedzina dla naszego przykładu?

Definicja dziedziny:
D = Y+~Y
Y=~K
~Y=K
D = ~Y+Y = K+~K
stąd:
Pani w przedszkolu:
C.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y= K+~K =D =1
Cokolwiek jutro pani nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu szans na kłamstwo.
Stąd operator D możemy również zdefiniować jako operator chaosu.

Matematyczna definicja chaosu:
Chaos oznacza że wszystko może się zdarzyć, matematycznie niczego nie można przewidzieć.
W praktyce języka mówionego:
chaos = bełkot
co widać na tym przykładzie.

Definicja zaprzeczenia dziedziny:
~D = ~(~Y+Y) = Y*~Y
Y=~K
~Y=K
~D = ~Y*Y = K*~K =0
stąd:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
W momencie wypowiedzenia tego zdania pani popełniła seppuku, czyli skłamała (Y=0), i nie ma żadnych szans na dotrzymanie słowa w dniu jutrzejszym.


8.2.1 Operator negacji w zbiorach

Definicja operatora negacji:
Na wyjściu Y pojawiają się zanegowane stany z wejścia p

Definicja operatora negacji w układzie równań logicznych:
1.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Matematycznie spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - bo zbiory Y i ~Y są rozłączne

Na tej podstawie rysujemy diagram operatora negacji w zbiorach.


Podsumowanie:
Jeśli funkcję logiczną Y przypiszemy zbiorowi ~P to otrzymamy definicję operatora negacji w układzie równań logicznych:
Y=~p
~Y=p
Operator negacji DN to suma logiczna funkcji Y i ~Y:
DN=Y+~Y = p+~p =1
~DN=~(Y+~Y) = Y*~Y = p*~p =[] =0


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:34, 29 Maj 2016, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin