ŚFiNiA

TS7 · Wysłany: Pon 18:43, 28 Mar 2022 Temat postu: Dlaczego 2+2=4 ?

Skoro już tyle o tym mowa.
Przykładowy model matematyczny:

Pojęcia pierwotne (BEZ DEFINICJI):
R (zbiór liczb rzeczywistych)
0 i 1 (dwa jego różne elementy)
+ i * (dwa działania)
< (nierówność)

14 pewników (aksjomatów):
Przykładowe 2:
a+b = b+a
(a+b)+c = a+(b+c)

Dodatkowe DEFINICJE:
2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
4 = 3 + 1
5 = 4 + 1
...
etc.

====
Dowód mniej więcej:

2 + 2 = (1 + 1) + 2 = (1 + 1) + (1 + 1) = 1 + 1 + (1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4

2 + 2 = 4

====

Jakby ktoś spytał:
Dlaczego "3=2+1"?
W tym modelu odpowiedź brzmiałaby:
Bo tak zdefiniowaliśmy 3.

MaluśnaOwieczka · Wysłany: Pon 20:18, 28 Mar 2022 Temat postu:

Z aksjomatów Peano.

1. 0 jest liczbą naturalną
2. Każda liczba naturalna ma swój następnik będący liczbą naturalną

Niech N(x) oznacza następnik liczby naturalnej x.
Kolejne liczby naturalne można oznaczyć następująco:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... itd., gdzie N(0) to 1, N(1) to 2, N(2) to 3, N(3) to 4, itd.

Dodawaniem dwóch liczb naturalnych nazywamy działanie (oznaczone znakiem "+") takie, że:

x + 0 = x
i
x + N(y) = N(x) + y

Przykład dla 2+2

TS7 · Wysłany: Pon 20:47, 28 Mar 2022 Temat postu:

Model modulo 3 (reszty z dzielenia przez 3):

0,1,2

0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 0

====

2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 0 + 1 = 1

Czyli:
2 + 2 = 1

=================

Model modulo 4 (reszty z dzielenia przez 4):

0,1,2,3

0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 0

====

2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 0

Czyli:
2 + 2 = 0

Michał Dyszyński · Wysłany: Pon 21:48, 28 Mar 2022 Temat postu:

Pokazuje to fajnie, jak się wywodzi coś ZAŁOŻEŃ. Także ten model alternatywny, z modulo, pokazuje iż zmieniając założenia, można uzyskać inny efekt dodawania 2+2.
Nie ma żadnego uzasadnionego twierdzenia, które nie posiadałoby gdzieś w swoim uzasadnieniu odwołania do założeń. Przy czym jedni to umieją dostrzec, a inni nie.
Założeniem jest (dość szczególną formą) jest teoria, aksjomatyka. Przyjmujemy ją dlatego, że...
tak nam pasuje, tak się dogadaliśmy, tak uznajemy, że jest ok.
No i gdzieś w tym wszystkim jest KOMUNIKACJA. To komunikacja będzie nas informowała, czy stosujemy model z modulo, czy standardowy bez modulo, bądź np. układ trójkowy, w którym 2+2 = 11 (przy czym tutaj "11" jest dalej cztery, a nie jedenaście, bo to tylko konwencja zapisu się zmieniła, a nie wartość liczby).

lucek · Wysłany: Pon 22:28, 28 Mar 2022 Temat postu:

Michał Dyszyński · Wysłany: Wto 10:46, 29 Mar 2022 Temat postu:

lucek · Wysłany: Wto 11:24, 29 Mar 2022 Temat postu:

Irbisol · Wysłany: Wto 12:52, 29 Mar 2022 Temat postu:

TS7 · Wysłany: Wto 13:13, 29 Mar 2022 Temat postu:

Lucek,

To nie jest wtedy model modulo.
Model modulo to nie to samo co zmiana systemu zapisu liczb na 3-kowy czy 4-kowy.
Jest to zagadnienie "niezależne".

[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]

Można połączyć jedno z drugim.

W tym przykładzie co podałeś:

Model "standardowy" w systemie 3-kowym:

0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,...

0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 10 <-- tu pomyłka była u Ciebie

Czyli:
2 + 2 = 11

Model "standardowy" w systemie 4-kowym:

0,1,2,3,10,11,12,13,20,21,22,23,30,31,32,33,100,101,...

0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 10 <-- tu pomyłka była u Ciebie

Czyli:
2 + 2 = 10

====

Michał,

I można budować dalej.

Można się pytać np. co oznacza znak "=" (równość)
Niby takie podstawowe?

Wchodzimy wtedy w RELACJE
[link widoczny dla zalogowanych](matematyka)

A r B (A w relacji z B, kolejność istotna)

= jest relacją typu "relacja równoważności"
[link widoczny dla zalogowanych]

Prosto, równość się rozkłada na czynniki pierwsze za pomocą określenia jakiego typu to jest relacja.
Tak jak są liczby i niektóre są parzyste albo pierwsze bo spełniają pewne warunki.
Tak samo są relacje, które jak spełniają pewne warunki to mogą być równością =, porządkiem (np. mniejszy, większy < ), funkcją.

Działania są w tym ujęciu funkcjami
Funkcje są relacjami.

Równoważność (równość) jest relacją o cechach:
1) zwrotna (a=a)
2) symetryczna (a=b => b=a)
3) przechodnia (a=b i b=c => a=c)

====

Mamy też teoriomnogościowy model liczb.
[link widoczny dla zalogowanych]

[link widoczny dla zalogowanych]

====

Ale w pewnym momencie docieramy do np. pojęć pierwotnych.
I niech ktoś wyjaśni np. co to jest zbiór, element zbioru czy punkt.
Co to jest relacja?
Co to jest liczba?

Można tworzyć "modele cykliczne".
A jest B.
B jest A.
Ale gdzieś zaczynają się rzeczy tak potencjalnie podatne do intuicji (np. w analogii do rzeczywistości), że dalsza próba odnoszenia ich do czegoś innego może bardziej zaciemniać zrozumienie niż upraszczać.

Wtedy może warto dogadać się na "jedność intuicji" dopóki nie będzie potrzeby tego poprawiać. Ale jest to zgoda że wzgledu na "zbieżność intuicji". Stwierdzenie, że coś jest jakieś bo takie jest obiektywnie to może być już "przekraczanie ludzkich kompetencji".

Stąd nauka tych modeli może przenosić się przez analogię na inne rejony myślenia w "bardziej klarowny sposób".
Także na teorię mowy czy dowodów.

To jest np. przydatne:
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]

lucek · Wysłany: Wto 13:26, 29 Mar 2022 Temat postu:

TS7 · Wysłany: Wto 13:37, 29 Mar 2022 Temat postu:

Lucek,

Połączyłeś
Model modulo 3 z napisem 2 + 2 = 11
Nie ma w tym modelu czegoś takiego jak liczba 11
Nawet w "minimalnym systemie pozycyjnym" (dwójkowym)
b11 to dz3 (jakbyś chciał mieszać systemy)
A 2 + 2 = 1 w modulo 3.
11 nie istnieje.

Analogicznie modulo 4.

Michał Dyszyński · Wysłany: Wto 13:48, 29 Mar 2022 Temat postu:

lucek · Wysłany: Wto 13:59, 29 Mar 2022 Temat postu:

TS7 · Wysłany: Wto 14:31, 29 Mar 2022 Temat postu:

Michał,

Model modulo 3
0 -> 1 -> 2 -> 0 (dookoła krąży)

Model modulo 4
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 0 (dookoła krąży)

Model Standardowy zapisany w systemie 3-kowym
0 -> 1 -> 2 -> 10 (realnie to jest 3) -> 11 (realnie to jest 4) -> 12 (realnie to jest 5) -> (bez końca)

System pozycyjny mówi o tym jak ZAPISUJEMY (graficznie) liczbę "tą samą".
Gdy porównujemy model modulo z modelem "standardowym" chodzi o "STRUKTURĘ".

Mogę zrobić model modulo 3 tak:
Krowa -> Sfinia -> Koza -> Krowa
Struktura ta sama. Inaczej zapisuję "liczby".

Sfinia + Sfinia = Koza
Koza + Sfinia = Krowa

Przydatne pojęcie:
[link widoczny dla zalogowanych]

Zauważ, że mamy też systemy pozycyjne "mieszane".
Rok - Miesiąc - Dzień - Godzina - Minuta - Sekunda
+oo - 12 - "30" - 24 - 60 - 60 (notacja przeskakiwania na następna cyfrę)

Tak jak dziesiętny by wyglądał tak:
... - 10 - 10 - 10 - 10 - 10

Trójkowy
... - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3

System n-tkowy ma liczby od 0 do n-1.

====

Lucek,

Nie chce mi się z Tobą przekomarzać.

lucek · Wysłany: Wto 14:38, 29 Mar 2022 Temat postu:

lucek · Wysłany: Wto 14:46, 29 Mar 2022 Temat postu:

TS7 · Wysłany: Wto 14:52, 29 Mar 2022 Temat postu:

Lucek,

Dałem linka już do poczytania:
[link widoczny dla zalogowanych]

Liczby 3 i 4 były przykładowe.

Jakimś przykładem może jest grupa generowana przez obrót figury o 120 stopni (2Pi/3)

Mamy wtedy
0st -> 120st -> 240st -> 0st

Tutaj modulo 6?

TS7 · Wysłany: Wto 14:54, 29 Mar 2022 Temat postu:

Lucek,

Jak nie zaprzestaniesz się przekomarzać mogę także zacząć ignorować Twoje wpisy merytoryczne.

lucek · Wysłany: Wto 15:06, 29 Mar 2022 Temat postu:

Michał Dyszyński · Wysłany: Wto 17:04, 29 Mar 2022 Temat postu:

MaluśnaOwieczka · Wysłany: Wto 20:28, 29 Mar 2022 Temat postu:

TS7 nie wyjaśnił najważniejszej rzeczy, a mianowicie różnicy w zastosowaniu.

Ten "system modulo" w zasadzie nie służy do wyznaczania ilości, ale do określania porządku.

W tych "systemach modulo" nie policzy się więcej elementów niż wynosi podstawa systemu.
W "systemie modulo 3" nie policzy się więcej niż trzech jabłek.

Taka metoda liczenia ma szerokie zastosowanie w buforach cyklicznych, w szczególności w kolejce cyklicznej.

Zestawianie tego obok "systemu standardowego" jest moim zdaniem mylące. To nie jest tylko inna forma zapisu tej samej koncepcji liczb, ale w ogóle zupełnie inna koncepcja. To do czego innego służy.

Wyobraźmy sobie kolejkę złożoną z trzech kubłów ponumerowanych od 0 do 2 (kubeł 0, kubeł 1, kubeł 2).
Ktoś wkłada do kubłów przedmioty, które ktoś inny wyjmuje i "obrabia" według kolejności włożenia.
Jeśli ktoś do pustej kolejki włoży trzy przedmioty, to wkłada kolejno:
- do kubła 0
- do kubła 1
- do kubła 2
W tym momencie kolejka jest pełna i nie można dalej wkładać.
Inna osoba wyciąga po kolei, w kolejności nadejścia, przedmioty z kolejki. A więc najpierw wyjmie z kubła 0 i obsłuży. Potem wyjmie z kubła 1 i też obsłuży.
W tym momencie dwa kubły (kubeł 0 i kubeł 1) będą już puste, a kubeł 2 nadal będzie pełny.

Teraz jeśli osoba wkładająca ma coś do włożenia, a miejsce w kolejce się zwolniło, to wkłada do kolejnego kubła następującego po tym kuble, do którego włożyła ostatnio (aby zachować kolejność w kolejce). Wiadomo, że ostatnio włożyła coś do kubła 2. Który kubeł jest następnym kubłem po kuble 2? Jest to kubeł 0. Ten kubeł przed chwilą został opróżniony, więc można już do niego włożyć.
Co prawda kubeł 1 też był już pusty, ale nie był następnym kubłem następującym po kuble 2. Osoba wkładająca nie mogła więc nic włożyć do kubła 1, jeśli ostatnio włożyła do kubła 2, bo naruszyłoby to "chronologię" kolejki.

A więc tu "system modulo 3" służy do tego, aby osoba wkładająca przedmioty do kubłów mogła ustalić, do którego kubła ma włożyć.

Bynajmniej nie służy do zliczania ilości elementów, których może być więcej niż 2 czy 3.

Może więc być system dziesiętny, system binarny, trójkowy, szesnastkowy, jedenastkowy, możę być też system rzymski (nie będący systemem pozycyjnym), i są to tylko inne metody zapisu tej samej koncepcji.
Zaś ten "system modulo" to już jest zupełnie inna śpiewka. I nie można tego zestawiać obok siebie.

rafal3006 · Wysłany: Wto 20:50, 29 Mar 2022 Temat postu:

Kto pobije rekord?
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/2-2-4,3832.html#76453

lucek · Wysłany: Wto 21:00, 29 Mar 2022 Temat postu:

MaluśnaOwieczka · Wysłany: Wto 21:22, 29 Mar 2022 Temat postu:

Jeszcze inaczej.

"System modulo" a "system standardowy" to nie tyle różne systemy zapisu liczb, ale różne systemy liczenia.

Na przykład "system modulo 12" wyglądałby tak:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,...

Widać tu wartości dwucyfrowe "10" i "11". A więc to nie o sposób zapisu liczb chodzi (tutaj nadal jest on dziesiętny), tylko o sposób zliczania.
Zaś same liczby mogą być zapisane systemem dziesiętnym (jak tutaj), albo dowolnym innym (dwójkowym, dwunastkowym, szesnastkowym, czy nawet rzymskim).

TS7 · Wysłany: Wto 21:26, 29 Mar 2022 Temat postu:

Michał,

Może się mu kiedyś to znudzi.
Jak nie zależy mu na uzyskaniu odpowiedzi...
Na to są różne cytaty, ale daruję sobie.

====

Owieczka,

Nie zajmowałem się zastosowaniami praktycznymi w tym wątku, więc dla mnie to nie było tu w ogóle istotne.
"Porządek" jest Strukturą.
Relacje tworzą strukturę.
I tak napisałem, że jest inna Struktura. (nie izomorficzna?)
[link widoczny dla zalogowanych]
Liczby naturalne też mają strukturę... liniową.

Nie pisałem chyba też, że chodzi o liczenie przedmiotów.

Możesz też używać tego do np. Kryptografii.
[link widoczny dla zalogowanych](kryptografia)

Ale jak piszę, nie to było celem wątku.

Celem było m.in. wskazanie na to, że na wiele rzeczy, które ludzie uznają za "oczywiste" może być głębokie "drugie dno".
Zgłębianie go, może zmieniać opinie.
A na tym dnie znajdują się definicje, pojęcia nie definiowane opierające się o "jedność intuicji", oraz aksjomaty, tak samo.

Czasem jak ktoś odmawia "kopać głębiej" to rozmowa wchodzi w pat. I dalej zostają np. ad personam.

Można tu dyskutować nad użytymi słowami i bronić jakichś podziałów mniej lub bardziej "funkcjonalnie sztucznych", ale możnaby zgrupować w jedno słowo:
1) definicje
2) aksjomaty
3) pojęcia pierwotne

Jako "intuicjaty", rzeczy które bazują na "intuicjach", a nie uzasadnieniach. Jak powstaje "jedność uznawania intuicjatów" w jakimś środowisku to tworzy się tzw. "ogólnie uznawana teoria". (przynajmniej na ten czas w gronie tych którzy uważają, że tylko ich opinia się liczy) Niektórzy dopisują do tego słowa jak "oczywiste" czy "trywialne" co w rzeczywistości oznacza tyle co "wierzę (ja i koledzy?), że tak jest dobrze".

Ale ponieważ w pewnych środowiskach słowo "wiara" jest niestrawne, to "ziemniaka nazywa się kartoflem" i bez dowodu mówi, że to istotnie co innego.

Jednak gdy przychodzi do danej realnej decyzji życiowej podejmowanej w danej konkretnej sekundzie, to ktoś bazuje w niej na pewnym zestawie "intuicjatów" (choćby i miał zmieniać zdanie co 5 sekund)?

To, że coś może się zmienić na przestrzeni czasu, nie znaczy, że jest w "superpozycji myślowej" przy jednej konkretnej decyzji.

Można powiedzieć może po części w pewnym sensie, że "Twoje decyzje definiują to w co wierzysz". (w danej chwili)