Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

AK1 Algebra Boole'a

 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24992
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 22:11, 10 Maj 2020    Temat postu: AK1 Algebra Boole'a

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-05-10

Część I
Algebra Boole’a


Jak czytać algebrę Kubusia?
Każda z siedmiu części zakłada prawie zerowy stan wiedzy początkowej.
Można wystartować z czytaniem od dowolnej części znając minimalnie algebrę Boole’a.
Szczególnie polecam część IV i V

Części:
AK1 Algebra Boole’a
AK2 Elementarz algebry Kubusia
AK3 Kubusiowa teoria zbiorów
AK4 Teoria zbiorów
AK5 Teoria zdarzeń
AK6 Obietnice i groźby
AK7 Teoria transformacji
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?


Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020





Algebra Kubusia w pdf

AK1 Algebra Boole’a.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK2 Elementarz algebry Kubusia.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK3 Wstęp do Kubusiowej Teorii zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK6 Obietnice i groźby.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK7 Prawo transformacji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]



Spis treści
1.0 Algebra Boole’a 3
1.1 Zmienna binarna i stała binarna 4
1.2 Fundamenty algebry Boole’a 6
1.2.1 Wyrażenie logiczne i funkcja logiczna 7
1.2.2 Rodzaje funkcji logicznych 7
2.0 Prawa Prosiaczka 8
2.1 Dowody praw Prosiaczka w przykładach 8
2.1.1 Sterowanie żarówką 8
2.1.2 3-latek w ZOO 9
3.0 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 10
4.0 Algorytm Wuja Zbója 12
4.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 14
5.0 Operatory OR(|+) i AND(*) w obietnicach 15
5.1 Definicja operatora OR(|+) 16
5.1.1 Definicja operatora OR(|+) w obietnicy 17
5.1.1 Właściwości operatora OR(|+) w obietnicy 18
5.2 Definicja operatora AND(|*) 19
5.2.1 Definicja operatora AND(|*) w obietnicy 20
5.2.2 Właściwości operatora AND(|*) w obietnicy 21





Wstęp
Algebrę Boole’a starałem się przekazać w najprostszy możliwy sposób na licznych przykładach z języka potocznego. Minimalna znajomość algebry Boole’a jest konieczna dla zrozumienia algebry Kubusia.


1.0 Algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

1.1 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:
Kod:

1: A:=A+B    ;Wykonaj operację dodawania.
2: JP C,ET2  ;Jeśli CY=1 skocz do ET2, inaczej wykonaj rozkazy niżej
- - - - - - -

Co oznacz rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład:
Zdefiniujmy na początku programu symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
Oczywistym jest, że w tym momencie nasz „program dodawania” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.

Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych

Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, bo po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.

Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz, że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak

Doskonale tu widać, że logika matematyczna działa także w stosunku do zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?

Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
ma mniej więcej taki sens jak stwierdzenie:
Kopernik była kobietą.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję logiki matematycznej.

Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy na podstawie znanych faktów w nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie mordercy)

1.
Opis nieznanej przyszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Przewidywanie nieznanego: wiemy kiedy jutro pani dotrzyma słowa a kiedy skłamie
2.
Opis nieznanej przeszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Opis nieznanego: Jaś nie wie czy dzieci były wczoraj w kinie, dlatego wszczyna prywatne śledztwo by ustalić zaistniały fakt.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolny symbol binarny zapisany jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowany (bo p) inaczej jest symbolem binarnym w logice ujemnej (bo ~p)

W logice dodatniej i ujemnej mogą być zapisane zarówno zmienne binarne jak i stałe binarne.

Przykład:
Stała binarna „pies” zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
p = pies
Stała binarna „pies” zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~p=nie pies

1.2 Fundamenty algebry Boole’a

Definicja przeczenia NIE (~) dla zer i jedynek
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Gdzie:
p - zmienna binarna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne [0,1]

Przykład:
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Prawo podwójnego przeczenia dla zer i jedynek:
~(~1) =~(0) =1
~(~0)=~(1) =0

Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p*q =1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p*q =1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0


Definicja spójnika „lub”(+) dla zer i jedynek:
p+q =1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+) dla zer i jedynek:
p+q =1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, ~, „i”(*), „lub”(+)

1.2.1 Wyrażenie logiczne i funkcja logiczna

Definicja wyrażenia logicznego w algebrze Boole’a:
Wyrażenie logiczne to dowolna ilość zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Przykład:
p+q*(r+s)
Kolejność wykonywania działań w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Pojęcia podstawowe:
Alternatywa = suma logiczna zmiennych binarnych
Koniunkcja = iloczyn logiczny zmiennych binarnych

Przykład:
p+q+r - alternatywa (suma logiczna)
p*q*s - koniunkcja (iloczyn logiczny)

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to funkcja logiczna zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Przykład:
Y = p*q+~p*~q - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych [p, q]

Zwyczajowo dla funkcji logicznej zarezerwowana jest w logice matematycznej duża litera Y.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne binarne mają nazwy p, q, r
Powyższy standard obowiązuje w teorii logiki matematycznej, w praktyce zarówno funkcja logiczna jak i zmienne binarne mogą mieć dowolnie długie nazwy.

1.2.2 Rodzaje funkcji logicznych

Rozróżniamy cztery rodzaje funkcji logicznych:
1.
Y = p*q*s - koniunkcja wielu zmiennych binarnych
2.
Y= p+q+s - alternatywa wielu zmiennych binarnych
3.
Y = (p+q)*(r+s) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
4.
Y = p*q+r*s - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)


2.0 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.1 Dowody praw Prosiaczka w przykładach

2.1.1 Sterowanie żarówką

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

2.1.2 3-latek w ZOO

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


3.0 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym prawie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.

Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.

Znaczenie 1 i 0 w algebrze Boole’a:
1 = prawda
0 = fałsz
Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka

Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd


4.0 Algorytm Wuja Zbója

Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Co w logice jedynek, będącej naturalną logiką matematyczną człowieka oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Prawo Kameleona:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej

Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Kameleona.

Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.

Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Żadna z funkcji koniunkcyjno-alternatywnych nie jest zrozumiała dla człowieka.
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)

Jak widzimy stało się coś strasznego.
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.

4.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej

Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.

Trudne (tzn. do pominięcia w czytaniu):
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, “i”(*), “lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd

5.0 Operatory OR(|+) i AND(*) w obietnicach

Operatory OR(|+) i AND(|*) odpowiadają na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)?
Y=f(x)
2.
Kiedy zajdzie funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)?
Negujemy dwustronnie 1:
~Y=~f(x)
Gdzie:
f(x) - funkcja logiczna w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Przykłady:
1
f(x)=p+q
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
~f(x)=~p*~q
2.
f(x)=p*q
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
~f(x)=~p+~q
3.
f(x)=(p*q)+(~p*~q)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
~f(x)=(~p+~q)*(p+q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

W języku potocznym samodzielne funkcje logiczne w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) praktycznie nie występują.
W języku potocznym wyrażenia logiczne w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) praktycznie zawsze występują w powiązaniu ze zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
(P+K) =>4L =1
Zdanie prawdziwe bo zbiór (P+K) jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, kot, słoń..]

5.1 Definicja operatora OR(|+)

Operator OR(|+) odpowiada na pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~Y?
Przejście z 1 do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Zauważmy że matematycznie zachodzi:
Operator OR(|+) ## Y=p+q # ~Y=~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (stąd do logiki matematycznej musimy wprowadzić znaczek „|+”)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Spójnik „i”(*) zawsze opisuje jedno, jedyne zdarzenie które może zajść:
~Y=~p*~q

Natomiast w spójniku „lub”(+):
1: Y=p+q
wszystkie możliwe rozłączne zdarzenia cząstkowe jakie mogą zajść to (wszystkie z wyjątkiem ~p*~q):
1’: Y = A: p*q+ B: p*~q+ C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Stąd mamy serię zdarzeń cząstkowych Yx wchodzących w skład spójnika „lub”(+):
Ya=p*q
lub
Yb=p*~q
lub
Yc=~p*q

Pozostaje nam udowodnić czy zachodzi tożsamość funkcji logicznych 1=1’:
1’
Y=p*q+p*~q+~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd

Stąd mamy rozszerzoną definicję spójnika „lub”(+) definiującą trzy zdarzenia rozłączne A,B,C:
p+q = A: p*q+ B: p*~q+ C: ~p*q
Dowód iż zdarzenia A, B i C są rozłączne:
Iloczyn logiczny każdego zdarzenia z każdym jest równy 0.
A*B = (p*q)*(p*~q) =0
A*C= (p*q)*(~p*q) =0
B*C = (p*~q)*(~p*q) =0
cnd

Uwaga:
Warto zapamiętać rozszerzoną definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych bowiem w praktyce jest ona często wykorzystywana:
p+q = A: p*q+ B: p*~q+ C: ~p*q

5.1.1 Definicja operatora OR(|+) w obietnicy

Przykład z przedszkola.
Pani:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Przyjmujemy standard zgodny z językiem potocznym człowieka:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - pani NIE(~) dotrzyma słowa (=pani skłamie)

Operator OR(|+) odpowiada na dwa pytania:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa?

1.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Uwaga:
Jeśli chcemy znać szczegółowo trzy zdarzenia rozłączne jakie jutro mogą wystąpić to korzystamy z rozszerzonej definicji spójnika „lub”(+)
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
Y= A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1

Stąd mamy rozszerzoną odpowiedź kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1):
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
Yc=~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?


Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y=~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

5.1.1 Właściwości operatora OR(|+) w obietnicy

I.
Operator OR(|+) odpowiada na dwa pytania:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa?

1.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?

Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
2.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y=~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Jaś (lat 5):
Czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru?
Pani:
Prawo De Morgana:
Y = ~(~K*~T)
stąd:
1’
Nie może się zdarzyć (~) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = ~(~K*~T)
Jak widzimy, w języku potocznym prawo De Morgana stosowane jest rzadko i w specyficznych okolicznościach jak pytanie Jasia wyżej.
Dlaczego w praktyce języka potocznego prawo De Morgana stosowane jest niezwykle rzadko?
Porównajmy:
1: Y=K+T [=] 1’: Y=~(~K*~T)
Oczywistym jest, że każdy człowiek wypowie tu prościutką obietnicę 1 i praktycznie nigdy nie wypowie obietnicy matematycznie tożsamej 1’ z powodu jej skomplikowana z punktu widzenia naszego mózgu.

II.
Prawa De Morgana:

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = K+T = ~(~K*~T)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logika dodatnią (bo Y):
~Y=~(Y) - logika ujemna (~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~K*~T = ~(K+T)

5.2 Definicja operatora AND(|*)

Operator AND(|*) odpowiada na pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~Y?
Przejście z 1 do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Zauważmy że matematycznie zachodzi:
Operator AND(|*) ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (stąd do logiki matematycznej musimy wprowadzić znaczek „|*”)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Spójnik „i”(*) zawsze opisuje jedno, jedyne zdarzenie które może zajść:
Y=p*q

Natomiast w spójniku „lub”(+) w swojej rozszerzonej wersji opisuje trzy rozłączne zdarzenia:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Obliczenie zdarzeń rozłącznych dla ~p i ~q polega na negacji wszystkich zmiennych w definicji wyżej:
~p+~q = A: ~p*~q + B: ~p*q + C: p*~q
cnd

Stąd mamy serię zdarzeń cząstkowych ~Yx wchodzących w skład spójnika „lub”(+):
~Ya=~p*~q
lub
~Yb=~p*q
lub
~Yc=p*~q

5.2.1 Definicja operatora AND(|*) w obietnicy

Przykład z przedszkola.
Pani:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Przyjmujemy standard zgodny z językiem potocznym człowieka:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - pani NIE(~) dotrzyma słowa (=pani skłamie)

Operator AND(|*) odpowiada na dwa pytania:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa?

1.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?


Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Uwaga:
Jeśli chcemy znać szczegółowo trzy zdarzenia rozłączne jakie jutro mogą wystąpić to korzystamy z rozszerzonej definicji spójnika „lub”(+)
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład dla ~K i ~T (w powyższej definicji negujemy wszędzie zmienne p i q):
Y= A: ~K*~T + B: ~K*T + C: K*~T
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: ~K=1 i ~T=1 lub B: ~K=1 i T=1 lub C: K=1 i ~T=1

Stąd mamy rozszerzoną odpowiedź kiedy jutro pani NIE dotrzyma słowa (~Y=1) (skłamie):
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Ya = ~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~Yb=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
~Yc=K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)


5.2.2 Właściwości operatora AND(|*) w obietnicy

I.
Operator OR(|+) odpowiada na dwa pytania:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa?

1.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?

Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
2.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y=~K+~T=1+1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Jaś (lat 5):
Czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru?
Pani:
Prawo De Morgana:
Y = ~(~K+~T)
stąd:
1’
Nie może się zdarzyć (~) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = ~(~K+~T)
Jak widzimy, w języku potocznym prawo De Morgana stosowane jest rzadko i w specyficznych okolicznościach jak pytanie Jasia wyżej.
Dlaczego w praktyce języka potocznego prawo De Morgana stosowane jest niezwykle rzadko?
Porównajmy:
1: Y=K*T [=] 1’: Y=~(~K+~T)
Oczywistym jest, że każdy człowiek wypowie tu prościutką obietnicę 1 i praktycznie nigdy nie wypowie obietnicy matematycznie tożsamej 1’ z powodu jej skomplikowana z punktu widzenia naszego mózgu.

II.
Prawa De Morgana:

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = K*T = ~(~K+~T)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logika dodatnią (bo Y):
~Y=~(Y) - logika ujemna (~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~K+~T = ~(K*T)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 22:40, 24 Cze 2020, w całości zmieniany 29 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24992
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:05, 10 Maj 2020    Temat postu:

Spis treści
6.0 Operator OR(|+) w świecie fizyki 1
6.1 Definicja spójnika „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym 4
6.2 Właściwości operatora OR(|+) w świecie fizyki 7
7.0 Operator AND(|*) w świecie fizyki 8
7.1 Definicja spójnika „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym 12
7.2 Właściwości operatora AND(|*) 14
8.0 Definicja spójnika „albo”($) 15
9.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami logicznymi 18
9.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 19
9.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
10.0 Język potoczny w rachunku zero-jedynkowym 20
11.0 Algebra Boole’a w służbie techniki 24



6.0 Operator OR(|+) w świecie fizyki

Fizyczna realizacja operatora OR(|+) w świecie fizyki to żarówka sterowana dwoma przyciskami p i q połączonymi równolegle.

Kod:

Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora OR(|+):
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             Y        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - żarówka nie świeci
;
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0) - przycisk p nie wciśnięty
;
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~q=1)=(q=0) - przycisk q nie wciśnięty

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniają relację równoważności <=>
p=q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1 - pojęcia p i q są tożsame
inaczej:
p=q = p<=>q =0 - pojęcia p i q nie są tożsame

Operator OR(|+) w świecie fizyki to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1)?


Ze schematu ideowego łatwo odczytujemy kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1):
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p lub wciśnięty jest przycisk q
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy”

Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p+q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) lub wciśnięty przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Jaś (lat 10) może tu zapytać:
Czy może się zdarzyć, że żarówka świeci się (Y=1) gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (q=1)?
Prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Stąd mamy odpowiedź:
1dm
Nie może się zdarzyć (~) że żarówka świeci się (Y=1) gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
Y = ~(~p*~q)

Jak widzimy, w języku potocznym (w tym w matematyce) z prawa De Morgana korzystamy bardzo rzadko, w specyficznych okolicznościach jak pytanie Jasia.
Powód:
1: Y = p+q [=] 1dm: Y=~(~p*~q)
Każdy człowiek mając do wyboru dwa tożsame zdania 1 i 1dm wybierze prościutkie zdanie 1 zamiast skomplikowanego z punktu widzenia naszego mózgu zdania 1dm wynikającego z prawa De Morgana.

Prawa De Morgana:
Prawa De Morgana opisują wzajemny związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~(~Y) - logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy
Y = p+q = ~(~p*~q)

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~(Y) - logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=~p*~q + ~(p+q)

Zdanie matematycznie tożsame do 1 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka świeci się (Y=1):
Innymi słowy:
1’.
Żarówka świeci (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = p*q=1*1=1 - jest wciśnięty p (p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
B: Yb = p*~q =1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: Yc = ~p*q=1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)

Funkcje Ya, Yb, i Yc nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
1’.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 1 i 1’.
Minimalizujemy funkcję logiczną 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=p+q
cnd

stąd mamy matematyczną tożsamość:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Stąd mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w postaci sumy logicznej trzech rozłącznych zdarzeń:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Uwaga:
Powyższą definicję warto zapamiętać, bowiem w logice matematycznej dość często się przydaje przy rozpisce co może się wydarzyć w obszarze dwóch zmiennych p i q połączonych spójnikiem „lub”(+)


2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?


Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
2.
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1

Również ze schematu ideowego odczytujemy że:
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y<=>~p*~q
<=> - symbol równoważności
Tu mamy identycznie:
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~Y = ~p*~q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka nie świeci” (~Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „nie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie wciśnięty przycisk q (~q=1)”
Innymi słowy:
Z faktu nie świecenia się żarówki (~Y=1) wnioskujemy iż nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
D: ~Yd = ~p* ~q
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1

6.1 Definicja spójnika „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym

Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

T1          |T11                  |
Tabela      |Co w logice jedynek  |
symboliczna |oznacza              |
            |                     |
            |                     |
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|
   a  b  c     d      e      f

Jak widzimy, w języku potocznym wygenerowaliśmy tabelę symboliczną T1.
Przejście z tabeli symbolicznej języka potocznego T1 do definicji zero-jedynkowej spójnika „lub”(+) możliwe jest tylko i wyłącznie na mocy praw Prosiaczka które mamy prawo stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Spójnik „lub”(+) w powyższej tabeli symbolicznej opisany jest w trzech pierwszych liniach:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Y=p+q
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Jak łatwo się domyśleć, aby uzyskać zero-jedynkową definicje spójnika „lub”(+) musimy, korzystając z prawa Prosiaczka, sprowadzić wszystkie zmienne do logiki dodatniej (bez przeczeń).
Zróbmy to:
Kod:

T1          |T11                  |T12                  |T13
Tabela      |Co w logice jedynek  |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |ABC: Y=p+q mamy      |tożsama
            |                     |                     | p  q  Y=p+q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1+ 1   1
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|( p=1)*( q=0)=( Yb=1)| 1+ 0   1
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=1)| 0+ 1   1
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=0)*( q=0)=( Yd=0)| 0+ 0   0
   a  b  c     d      e      f       g      h      I      1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | (~p =1)=( p =0)     |
                                  | (~q =1)=( q =0)     |
                                  | (~Yx=1)=( Yx=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu zdefiniowanym obszarem ABCabc w tabeli symbolicznej.
ABC: Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
ABC: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 w tabeli T13 (Y=p+q) pokazuje obszar ABCabc tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa.
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru ABC123, co doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1 (tabela T11).
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego zrozumiałego dla człowieka:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
D: ~Y=~p*~q
która opisuje linię D w tabeli symbolicznej.
Z przyjętego punktu odniesienia wynika, że tym razem wszystkie zmienne będziemy musieli sprowadzić do logiki ujemnej (z przeczeniami).
Zatem prawa Prosiaczka jakie będą nam tu potrzebne to:
(Yx=1)=(~Yx=0)
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Kod:

T2          |T21                  |T22                  |T23
Tabela      |Co matematycznie     |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |D:~Y=~p*~q mamy      |tożsama
            |                     |                     |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0* 0   0
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)| 0* 1   0
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)| 1* 0   0
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)| 1* 1   1
   a  b  c     d      e      f       g      h      I      1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | ( p =1)=(~p =0)     |
                                  | ( q =1)=(~q =0)     |
                                  | ( Yx=1)=(~Yx=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na linii Dabc.
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna linia ~Yd w tabeli ABCDabc
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.

Nagłówek kolumny wynikowej 3 tabeli T23 (~Y=~p*~q) odnosi się do linii D w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
D: ~Y=~p*~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii D123 - widać to doskonale w samej tabeli ABCD123.

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Obszar ABCabc w tabeli symbolicznej T1
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
Linia D w tabeli symbolicznej T2
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

6.2 Właściwości operatora OR(|+) w świecie fizyki

Kod:

Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora OR(|+):
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             Y        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Podsumujmy nasze rozważania:
I.
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:

Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Definicja do zapamiętania:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej


II.
Operator OR(|+) to układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):

1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A lub przycisk B
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
Żarówka nie świeci się wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A i nie jest wciśnięty przycisk B
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Jaś (lat 10):
Czy może się zdarzyć, że nie jest wciśnięty przycisk A i nie jest wciśnięty przycisk B i żarówka świeci się?
Odpowiedź:
Prawo De Morgana:
Y = ~(~p*~q)
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (~) że nie jest wciśnięty przycisk A i nie jest wciśnięty przycisk B i żarówka świeci się (Y)
Jak widzimy, w języku potocznym prawo De Morgana używane jest rzadko jako odpowiedź na nietypowe pytanie jak wyżej.

III
Prawa De Morgana

1.
Matematyczny związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana dla logiki dodatniej (bo Y)
Y = p+q = ~(~p*~q)
2.
Matematyczny związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

IV.
Pełna definicja spójnika „lub”(+)
opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q


7.0 Operator AND(|*) w świecie fizyki

Fizyczna realizacja operatora AND(|*) w świecie fizyki to żarówka sterowana dwoma przyciskami p i q połączonymi szeregowo.

Kod:

Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora AND(|*)
             Y               p          q       
       -------------       ______     ______
  -----| dioda LED |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------

Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - żarówka nie świeci
;
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0) - przycisk p nie wciśnięty
;
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~q=1)=(q=0) - przycisk q nie wciśnięty

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniają relację równoważności <=>
p=q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1 - pojęcia p i q są tożsame
inaczej:
p=q = p<=>q =0 - pojęcia p i q nie są tożsame

Operator AND(|*) w świecie fizyki to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1)?


Ze schematu ideowego łatwo odczytujemy kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1):
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p i wciśnięty jest przycisk q
A: Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy”

Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p*q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) i wciśnięty przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Stąd mamy tożsamość:
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Jaś (lat 10) może tu zapytać:
Czy może się zdarzyć, że żarówka świeci się (Y=1) gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (q=1)?
Prawo De Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Stąd mamy odpowiedź:
1dm
Nie może się zdarzyć (~) że żarówka świeci się (Y=1) gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
Y = ~(~p+~q)

Jak widzimy, w języku potocznym (w tym w matematyce) z prawa De Morgana korzystamy bardzo rzadko, w specyficznych okolicznościach jak pytanie Jasia.
Powód:
1: Y = p*q [=] 1dm: Y=~(~p+~q)
Każdy człowiek mając do wyboru dwa tożsame zdania 1 i 1dm wybierze prościutkie zdanie 1 zamiast skomplikowanego z punktu widzenia naszego mózgu zdania 1dm wynikającego z prawa De Morgana.

Prawa De Morgana:
Prawa De Morgana opisują wzajemny związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~(~Y) - logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy
Y = p*q = ~(~p+~q)

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~(Y) - logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=~p+~q + ~(p*q)

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?


Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 lub ~q=1
Czytamy:
2.
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y=~p+~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 lub ~q=1
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków nie jest wciśnięty (~x=1) i już żarówka nie świeci się.

Zdanie matematycznie tożsame do 2 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka nie świeci się (~Y=1).
Będą to wszystkie możliwe przypadki z wykluczeniem przypadku A kiedy to żarówka świeci się:
A.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p i wciśnięty jest przycisk q
Y = p*q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Innymi słowy:
Wszystkie pozostałe przypadki w których żarówka nie świeci się to:
2’.
Żarówka nie świeci (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb = ~p*~q=1*1=1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: Yc = ~p*q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
D: Yd = p*~q=1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)

Funkcje Yb, Yc, i Yd nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan nie świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2’.
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1

Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 2 i 2’
Minimalizujemy funkcję 2’:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*(~q+q)+p*~q
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
cnd

stąd mamy matematyczną tożsamość:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q

7.1 Definicja spójnika „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym

Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

Tabela 1    |T11                  |
Tabela      |Co w logice jedynek  |
symboliczna |oznacza              |
            |                     |
            |                     |
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|
   a  b  c     d      e      f

Powyższą tabelę symboliczną, wynikłą z języka potocznego człowieka kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka.
Punkt odniesienia ustawiamy na spójniku „i”(*) zdefiniowanym w linii A.
A: Y=p*q
W tabeli T11 wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki dodatniej (bez przeczeń), stąd potrzebne nam będą prawa Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Kodujemy:
Kod:

Tabela 1    |T11                  |T12                  |T13
Tabela      |Co w logice jedynek  |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |A: Y=p*q mamy        |tożsama
            |                     |                     | p  q  Y=p*q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1* 1   1
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|( p=0)*( q=0)=( Yb=0)| 0* 0   0
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=0)| 0* 1   0
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=1)*( q=0)=( Yd=0)| 1* 0   0
   a  b  c     d      e      f    |  g      h      I    | 1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | (~p =1)=( p =0)     |
                                  | (~q =1)=( q =0)     |
                                  | (~Yx=1)=( Yx=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A:
A: Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 (Y=p*q) pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której kodowana jest tabela zero-jedynkowa, czyli tu wskazuje wyłącznie linię A.
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123 - jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii A.
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
Y=1<=>p=1 i q=1

Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1.
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego zrozumiałego dla człowieka:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q

Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
która opisuje obszar BCDabc tabeli symbolicznej.
Z powyższego punktu odniesienia wynika, że tym razem wszystkie zmienne będziemy musieli sprowadzić do logiki ujemnej (z przeczeniami).
Zatem prawa Prosiaczka jakie będą nam tu potrzebne to:
(Yx=1)=(~Yx=0)
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Kod:

Tabela 2    |T21                  |T22                  |T23
Tabela      |Co w logice jedynek  |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |BCD:~Y=~p+~q mamy    |tożsama
            |                     |                     |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0+ 0   0
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)| 1+ 1   1
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)| 1+ 0   1
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yd=1)| 0+ 1   1
   a  b  c     d      e      f    |  g      h      I    | 1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | ( p =1)=(~p =0)     |
                                  | ( q =1)=(~q =0)     |
                                  | ( Ya=1)=(~Ya=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na obszarze BCDabc tabeli symbolicznej definiującej spójnik „lub”(+)
BCD: ~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
BCD: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 (~Y) odnosi się do obszaru BCDabc w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
BCD: ~Y=~p+~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru BCD123.
Widać to doskonale w samej tabeli ABCD123:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1

Z tabeli symbolicznej ABCDabcd odczytujemy:
BCDabc: ~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
BCDabc: ~Y=~p+~q = B: ~p*~q+ C: ~p*q+ D: p*~q

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora AND(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

7.2 Właściwości operatora AND(|*)

Podsumujmy nasze rozważania w niniejszym rozdziale:
I.
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:

Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Definicja do zapamiętania:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej


II.
Operator AND(|*) tu układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):

1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

III
Prawo De Morgana

Matematyczny związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana dla logiki dodatniej (bo Y)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Matematyczny związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y = ~p+~q = ~(p*q

IV.
Pełna definicja spójnika „lub”(+)
opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla ~p i ~q negujemy wszystkie zmienne w definicji wyżej:
~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

8.0 Definicja spójnika „albo”($)

Kod:

Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora OR(|+):
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             Y        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Operator OR(|+) odpowiada na pytania 1 i 2:
2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?


Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p lub wciśnięty jest przycisk q
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy”

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?


Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1

Między pojęciami Y i ~Y zachodzi definicja spójnika „albo”($)[/b]
3.
Żarówka może się świecić (Y=1) albo($) może się nie świecić (~Y=1)
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak.
Sprawdźmy czy zdanie 1 jest zawsze prawdziwe.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y$~Y = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y =1
cnd
Na tym przykładzie doskonale widać, dlaczego i kiedy w języku potocznym zamiast precyzyjnego spójnika „albo”($) możemy użyć spójnika „lub”(+).

Wypowiedzmy zdanie 4:
4.
Żarówka może się świecić (Y=1) lub(+) może się nie świecić (~Y=1)
Y+~Y
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Zauważmy, że jeśli zdarzenia p i q są rozłączne (p*q=0) to możemy zapisać:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q := p*~q + ~p*q := p$q
bo:
p*q =0 - z założenia zdarzenia (lub zbiory) rozłączne
Gdzie:
:= - redukcja wyrażenia dla zdarzeń (zbiorów) rozłącznych p i q

Podsumowanie:
Nasz mózg to nie komputer, zatem:
Jeśli w świecie rzeczywistym zdarzenia p i q są rozłączne to spójniki „albo”($) i „lub”(+) można używać zamiennie.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p$q = ~(p<=>q)
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej [bo ~(p<=>q)] poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p+~q + ~p*q = p$q
cnd

Z powyższego wynika że równoważność dla Y i ~Y musi tu być fałszem:
p<=>q =0
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Sprawdźmy dla naszego przykładu podstawiając:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y<=>~Y = Y*~Y + ~Y*Y =0+0 =0
cnd

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa pojęcie (zbiory) są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi między nimi relacja równoważności
p=q <=> (p=>q)*(~p=>~q) = p<=>q =1
inaczej:
p<=>q =0
Nasz przykład:
Y<=>~Y =0 - pojęcia Y i ~Y nie są matematycznie tożsame
Między pojęciami Y i ~Y spełniona jest definicja wspólnej dziedziny
D - wszystkie możliwe stany jakie może przyjąć żarówka (dziedzina)
Y+~Y =D =1 - żarówka może świecić (Y=1) lub może nie świecić (~Y=1)
Y*~Y =[] =0 - żarówka nie może jednocześnie świecić (Y=1) i nie świecić (~Y=1)

Ciekawostka:
Weźmy obietnicę pani przedszkolanki
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy, że chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień z czego wynika, że możliwe jest zdarzenie:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Wniosek:
Matematycznie, w tym przypadku pani nie ma prawa użycia spójnika „albo”($) w miejsce spójnika „lub”(+).

Zauważmy jednak, że gdyby pani miała na myśli iż jutro pójdziemy do kina i do teatru to w swojej obietnicy użyłaby spójnika „i”(*).
1’
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

Możliwy wniosek:
Skoro pani w swojej obietnicy nie użyła spójnika „i”(*) to można w przybliżeniu domniemywać że w oryginalnej obietnicy:
1: Y=K+T
chodziło jej o pójście w dniu jutrzejszym do kina albo ($) to teatru.

Podkreślmy jednak, że to jest nasze domniemanie a nie matematyczna precyzja.
Pani wypowiadając precyzyjnie swoja obietnicę:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
ma prawo iść z dziećmi w dniu jutrzejszym także do kina i do teatru i matematycznym kłamcą nie będzie.

Podsumowując:
1.
Jeśli pani nie jest pewna co jutro zrobi w temacie kina i teatru to najbezpieczniejszym dla niej spójnikiem logicznym będzie spójnik „lub”(+) dający najmniejszą szansę na zostanie w dniu jutrzejszym matematycznym kłamcą.
2.
Dokładnie z powodów tu opisanych spójnik „lub”(+) w języku potocznym najczęściej kojarzony jest ze spójnikiem „albo”($) co nie zawsze odpowiada matematycznej tożsamości zdarzeń (zbiorów) - patrz obietnica pani przedszkolanki wyżej.


9.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami logicznymi

Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności A<=>S:
Kod:

T1
   p  q   Y=p<=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

9.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania  |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe |w zdarzeniach
                    |                    |          |możliwych ~~>
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |          |               Y
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2.
~Y=B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

9.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer

W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice zer       |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza               |cząstkowe
                    |                      |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                      |
A: 1  1  0  0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   a       b        c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy dla Y:
Y = Yb*Yd
Po rozwinięciu mamy równanie koniunkcyjno-alternatywne:
1’.
Y = B: (~p+q) * D: (p+~q)
Przejście do równania alternatywno-koniunkcyjnego poprzez wymnożenie wielomianu:
Y = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q +q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
1.
Y = p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy dla ~Y:
~Y=~Ya*~Yc
Po rozwinięciu mamy równanie koniunkcyjno-alternatywne:
2’.
~Y= A: (~p+~q)* C: (p+q)
Przejście do równania alternatywno-koniunkcyjnego poprzez wymnożenie wielomianu:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
2.
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Jak widać efekt końcowy po przejściu do równań alternatywno-koniunkcyjnych jest identyczny jak w logice jedynek.

Biorąc jednak pod uwagę że równań koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie jest w stanie zrozumieć, natomiast równania alternatywno-koniunkcyjne rozumiemy wszyscy od 5-cio latka poczynając, przedstawioną tu logikę zer należy traktować jako ciekawostkę.
W praktyce logika zer może się przydać gdy w dużej tabeli zero-jedynkowej w kolumnie wynikowej jest dużo jedynek i mało zer - wtedy równanie końcowe w logice zer będzie prostsze.


10.0 Język potoczny w rachunku zero-jedynkowym

Prawie wszystko co poznaliśmy w niniejszym podręczniku algebry Boole’a ma swoje potwierdzenie w rachunku zero-jedynkowym.
Jedyny często spotykany wyjątek jest tu taki.

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Zauważmy, że jeśli zdarzenie p i q są rozłączne (p*q=0) to możemy zapisać:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q := p*~q + ~p*q := p$q
bo:
p*q =0 - z założenia zdarzenia (lub zbiory) rozłączne
Gdzie:
:= - redukcja wyrażenia dla zdarzeń (zbiorów) rozłącznych p i q
Powyższej właściwości nie da się udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.

Z powyższego wynika, ze algebra Kubusia jest nadzbiorem w stosunku do algebry Boole’a tzn. nie wszystkie prawa obowiązujące w algebrze Kubusia muszą obowiązywać w algebrze Boole’a.
Dowód:
Patrz wyjątek wyżej.

Wracając do tematu mamy tak:
I.
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:

Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
p+q
co w logice jedynek oznacza::
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej
Definicja tożsama w logice zer:
p+q
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q =1
W rachunku zero-jedynkowym jest bez znaczenia
czy używać będziemy logikę jedynek czy logikę zer
W przypadku spójnika „lub”(+) logika zer jest znacząco szybsza.

##
II.
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:

Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
p*q
co w logice jedynek oznacza:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: Y= p*q) <=> (B1: Y=p+q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: Y = p*q) ## (B1: Y = p+q)

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między spójnikami „lub”(+) oraz „i”(*):
I.
Matematyczne związki w rachunku zero-jedynkowym dla spójnika „lub”(+):

Kod:

T2
Pełna definicja     |
zero-jedynkowa Y    |
                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y | Y=p+q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q) ~Y=~(Y)=~(p+q)
A: 1  1  0  0 =1 =0 |  =1     =0      =1                =0
B: 1  0  0  1 =1 =0 |  =1     =0      =1                =0
C: 0  1  1  0 =1 =0 |  =1     =0      =1                =0
D: 0  0  1  1 =0 =1 |  =0     =1      =0                =1
   1  2  3  4  5  6     a      b       c                 d

Tożsamość kolumn wynikowych wskazuje na zachodzące prawo algebry Boole’a.
Jak widzimy mamy tu wszystko co do tej pory poznaliśmy na bazie języka potocznego.

Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Widać to doskonale w tabeli zero-jedynkowej ABCD12a

… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Widać to doskonale w tabeli zero-jedynkowej ABCD34b

Kolumna ABCDc to prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Kolumna ABCDd to prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

##

I.
Matematyczne związki w rachunku zero-jedynkowym dla spójnika „i”(*):

Kod:

T2
Pełna definicja     |
zero-jedynkowa Y    |
                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y | Y=p*q ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q) ~Y=~(Y)=~(p*q)
A: 1  1  0  0 =1 =0 |  =1     =0      =1                =0
B: 1  0  0  1 =0 =1 |  =0     =1      =0                =1
C: 0  1  1  0 =0 =1 |  =0     =1      =0                =1
D: 0  0  1  1 =0 =1 |  =0     =1      =0                =1
   1  2  3  4  5  6     a      b       c                 d

Tożsamość kolumn wynikowych wskazuje na zachodzące prawo algebry Boole’a.
Jak widzimy mamy tu wszystko co do tej pory poznaliśmy na bazie języka potocznego.

Definicja operatora AND(|*) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Widać to doskonale w tabeli zero-jedynkowej ABCD12a

… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Widać to doskonale w tabeli zero-jedynkowej ABCD34b

Kolumna ABCDc to prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Kolumna ABCDd to prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

11.0 Algebra Boole’a w służbie techniki

Jako przybysz ze świata techniki udowodnię teraz jak piękna jest symboliczna algebra Boole’a totalnie izolowana od tabel zero-jedynkowych w której nie ma ani jednego zera, bowiem myślimy tu symbolicznie w naturalnej logice człowieka gdzie wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek.

Weźmy typowe zdanie w laboratorium techniki cyfrowej.
Kod:

S4 Schemat 4
                                          C
                                    ---o__|__o----
                                    |            |
             S                      |     A      |
       -------------          B     |  _______   |
  -----| Żarówka   |-------o__|__o-----o     o----
  |    -------------                             |
  |                                              |
______                                           |
 ___    U (źródło napięcia)                      |
  |                                              |
  |                                              |
  ------------------------------------------------

A - przycisk normalnie rozwarty
B, C - przyciski normalnie zwarte
S - żarówka
Polecenie:
Odpowiedz na dwa fundamentalne pytania:
1.
Kiedy żarówka S się świeci (S=1)?
2.
Kiedy żarówka S się nie świeci (~S=1)?

Rozwiązanie na gruncie algebry Kubusia:
1.
Przyjmujemy standard zgodny z naturalną logiką człowieka (przeciwny matematycznie tez byłby dobry, ale trudniejszy):
A=1 - prawdą jest (=1) że przycisk A jest wciśnięty (A)
~B=1 - prawdą jest (=1) że przycisk B nie jest wciśnięty (~B)
~C=1 - prawdą jest (=1) że przycisk C nie jest wciśnięty (~C)
Doskonale tu widać, ze w logice jedynek wszystkie przyciski ustawiamy na „zwarcie”

Rozwiązanie:
1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
S=~B*(A+~C)
Logika jedynek obowiązuje dla równań alternatywno-koniunkcyjnych, stąd wymnażamy:
S=~B*A + ~B*~C
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> ~B=1 i A=1 lub ~B=1 i ~C=1
Czytamy:
S=1 <=> nie wciśnięty B i wciśnięty A lub nie wciśnięty B i nie wciśnięty C
2.
Kiedy żarówka się nie świeci (~S=1)?
Przechodzimy z 1 do logiki ujemnej (bo ~S) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~S = B + ~A*C
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> B=1 lub ~A=1 i C=1
Czytamy:
~S=1 <=> wciśnięty B lub nie wciśnięty A i wciśnięty C

Na tym przykładzie doskonale widać, że rozwiązanie tego prościutkiego zadania w technice zero-jedynkowej byłoby prawdziwym horrorem.
Jak kto nie wierzy, to może spróbować.

Zauważmy, że w algebrze Kubusia będziemy tu mieli trywialne zadanie bez względu na ilość zmiennych oraz bez względu jakie przyciski będziemy tu używać „normalnie włączone” czy też „normalnie wyłączone” - w rozwiązaniu praktycznym przyciski tu użyte mogą na przykład sterować ruchomymi elementami windy itp.
W dniu dzisiejszym sterowanie układu przy pomocy bramek logicznych nie ma już sensu bowiem potężne jednoukładowe mikrokontrolery kosztują dosłownie grosze.
Przykład to moduły Arduino.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 22:41, 24 Cze 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin