Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

AK3 Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów

 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24992
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 22:16, 10 Maj 2020    Temat postu: AK3 Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-05-10

Część III
Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów


Jak czytać algebrę Kubusia?
Każda z siedmiu części zakłada prawie zerowy stan wiedzy początkowej.
Można wystartować z czytaniem od dowolnej części znając minimalnie algebrę Boole’a.
Szczególnie polecam część IV i V

Części:
AK1 Algebra Boole’a
AK2 Elementarz algebry Kubusia
AK3 Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń
AK6 Obietnice i groźby
AK7 Teoria transformacji
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020




Algebra Kubusia w pdf

AK1 Algebra Boole’a.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK2 Elementarz algebry Kubusia.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK3 Wstęp do Kubusiowej Teorii zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK6 Obietnice i groźby.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK7 Prawo transformacji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]


Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w definicjach podstawowych 3
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 3
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 4
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 5
1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 5
1.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
1.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 9
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 10
2.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 11
3.0 Zbiór wszystkich zbiorów 12
3.1 Nazwa własna zbioru 12
4.0 Dziedzina 12
4.1 Zaprzeczenie zbioru 13
4.2 Dziedzina minimalna 13
4.3 Definicja znaczka różne # 14
5.0 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcie układu 14
5.1 Badanie dziedziny fizycznej w przykładach 15
5.1.1 Dziedzina fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q 15
5.1.2 Dziedzina fizyczna w implikacji prostej p|=>q 19
5.1.3 Dziedzina fizyczna w równoważności p<=>q 22
6.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 28



Wstęp:
Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów to podstawowe definicje z teorii zbiorów przydatne z punktu widzenia logiki matematycznej.
Logika matematyczna nie zajmuje się zbiorami w sensie matematyki klasycznej czyli przede wszystkim nie zajmuje się jakimkolwiek liczeniem elementów w zbiorze, ciągami, porządkowaniem etc bowiem z definicji nie da się tego zrobić przy pomocy spójnika „i”(*), czy też spójnika „lub”(+).


1.0 Algebra Kubusia w definicjach podstawowych

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego, które za chwilę poznamy.

1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy tu kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


1.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  0
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego linie definiujące znaczki =>, ~> i „lub”(+) można dowolnie przestawiać, matematycznie to bez znaczenia.

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Weźmy prawo Kubusia odczytane z tabeli B.
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony.

1.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji


2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2]+[2,3]=[1,2,3] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
r=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2]*[2,3]=[2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2]*[3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2]-[2] =[1] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[2]-[1,2]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty


2.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną pojęć lub zbiorów (+).

Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywnie:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór pusty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


3.0 Zbiór wszystkich zbiorów

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne


3.1 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]


4.0 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

4.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
p=[1] - definiujemy zbiór p
D=[1,2] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[2]

4.2 Dziedzina minimalna

Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji

Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla zbiorów A,B,C mających nazwy własne to zbiór A (ZWZ).

Przykład:
Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie mężczyzna byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd

4.3 Definicja znaczka różne #

Nawiązując do przykładu wyżej matematycznie zachodzi też:
M=~K # K=~M

Definicja znaczka różne #:
Dwa pojęcia (zbiory) są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy”
M =~(K) = ~(~M) =M
cnd


5.0 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcie układu

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Właściwości dziedziny matematycznej:
1
Zdarzenia ABCD są rozłączne:
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C =(p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
itd.
2.
W dziedzinie matematycznej wszystkie cztery zdarzenia są rozłączne i uzupełniają się do dziedziny.
Dowód:
D = p*q+p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

5.1 Badanie dziedziny fizycznej w przykładach

Rozważymy badanie dziedziny fizycznej w trzech przykładach:
- implikacji odwrotnej CH~>S
- implikacji prostej S|=>CH
- równoważności A<=>S

5.1.1 Dziedzina fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Przykład:
Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli są chmury to może ~~> padać śnieg
CH~~>S = CH*S =?
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „chmurką” i „śniegiem”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „chmurki” i „śniegu” korzystając z historii meteorologii na naszej planecie.

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Rozwiązanie:
1.
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „chmurki” i „śniegu”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „chmurką” i „śniegiem”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Kod:

T1.
Zdjęcie chmurki vs śnieg
A: CH~~> S = CH* S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> padać śnieg
B: CH~~>~S = CH*~S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> nie padać śnieg
C:~CH~~>~S =~CH*~S =1 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> nie padać śnieg
D:~CH~~> S =~CH* S =0 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> padać śnieg (fałsz)
                        Nigdy w historii nie zanotowano takiego przypadku

Dziedzina matematyczna dla pojęć „chmurka” i „śnieg” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: CH*S + B: CH*~S + C: ~CH*~S + D: ~CH*S = CH*(S+~S) + ~CH*(~S+S) = CH+~CH =1

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Stąd mamy odpowiedź odnośnie dziedziny fizycznej dla pojęć „chmurka” i „śnieg”
DF=A: CH*S + B: CH*~S + C: ~CH*~S

Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~CH~~>S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~CH=>~S=1
2.
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
C: ~CH=>~S = A: CH~>S =1
Zauważmy, że warunek wystarczający => C wymusza nam warunek konieczny ~> A i odwrotnie.

Stąd mamy końcową tabelę T2.
Kod:

T2.
A: CH~>  S =1 - Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg
                Chmury są konieczne ~> do tego by padał śnieg
LUB
B: CH~~>~S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> nie padać śnieg
… a jeśli nie ma chmur?
Prawo Kubusia:
A: CH~>S = C:~CH=>~A
stąd:
C:~CH=>~S  =1 - Jeśli nie ma chmur to na 100% => nie będzie padał śnieg
                Brak chmur jest wystarczający => by nie padało
D:~CH~~> S =0 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> padać śnieg (fałsz)

Analiza tożsama do tabeli T2 dokładniej rozpisana to seria czterech zdań ABCD z opisem matematycznym.

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>S:
Implikacja odwrotna CH|~>S to seria czterech zdań ABCD dających odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (zdania A i B)?
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno (zdania C i D)?

1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno?

A.
Jeśli będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać śnieg (S=1)
CH~>S =1
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> aby padał śnieg
lub
B.
Jeśli będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać śnieg (~S=1)
CH~~>~S=CH*~S =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada śnieg

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno?


… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => bez zamiany CH i S:
A: CH~>S = C: ~CH=>~S
C.
Jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padał śnieg (~S=1)
~CH=>~S =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie padał śnieg (~S=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~CH=>~S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu D:~CH~~>S=1 (i odwrotnie)
stąd:
D.
Jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać śnieg (S=1)
~CH~~>S = ~CH*S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: „nie ma chmur (~CH=1)” i „pada śnieg (S=1)”

Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej CH|~>S:
1.
Po stronie chmur mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg (zdanie A) albo może ~~> nie padać śnieg (zdanie B) - trzeciej możliwości nie ma.
Mamy tu ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
2.
Po stronie braku chmur mamy do czynienia z gwarancją matematyczną =>
Zdanie C daje nam gwarancje matematyczną =>, że jeśli nie ma chmur to na 100% => nie będzie padał śnieg.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>S w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: CH=>S =0
B1: CH~>S =1
Stąd mamy definicje implikacji odwrotnej CH|~>S w równaniu logicznym:
CH|~>S = ~(A1: CH=>S)*(B1: CH~>S) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawmy nasz przykład do powyższej tabeli:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: CH=>S = 2:~CH~>~S [=] 3: S~>CH = 4:~S=>~CH =0
##
B: 1: CH~>S = 2:~CH=>~S [=] 3: S=>CH = 4:~S~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Łatwo udowodnić, że seria zdań Bx jest prawdziwa, zaś seria zdań Ax jest fałszywa.

Dygresja:
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
C: ~CH=>~S = A: CH~>S =1

W dyskusji na sfinii mój wymarzony tester algebry Kubusia, który za wszelką cenę szukał wewnętrznej sprzeczności AK „obalił” prawo Kubusia przywołując Egipt w lipcu, gdzie wedle niego śnieg nie ma prawa padać zatem w Egipcie fałszywe musi być poniższe zdanie:
A.
Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg
CH~>S =0
Wedle testera tu musi być 0 (fałsz) bo przecież w Egipcie w lipcu śnieg nie ma prawa padać.

Oczywiście nie o to chodzi w poprawnej logice matematycznej!

W poprawnej logice matematycznej wystarczy jeśli w historycznych obserwacjach meteorologicznych zaobserwowano jedno pewne zdarzenie, że były chmury i padał śnieg i już w zdaniu A musimy postawić jeden (prawda). Miejsce gdzie takie zdarzenie na naszej planecie zaobserwowano nie ma znaczenia.


5.1.2 Dziedzina fizyczna w implikacji prostej p|=>q

Przykład:
Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli pada śnieg to może ~~> być pochmurno
S~~>CH = S*CH =1
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „śniegiem” i „chmurką”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „chmurki” i „śniegu” korzystając z historii meteorologii na naszej planecie.

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Rozwiązanie:
1.
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „śniegu” i „chmurki”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „śniegiem” i „chmurką”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Kod:

T1.
A: S~~> CH = S* CH =1 - Jeśli pada śnieg to może ~~> być pochmurno
B: S~~>~CH = S*~CH =0 - Jeśli pada śnieg to może ~~> nie być pochmurno
                        Nigdy w historii nie zanotowano takiego przypadku
C:~S~~>~CH =~S*~CH =1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> nie być pochurno
D:~S~~> CH =~S* CH =1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> być pochmurno

Dziedzina matematyczna dla pojęć „śnieg” i „chmurka” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: S*CH + B: S*~CH + C: ~S*~CH + D: ~S*CH = S*(CH+~CH) + ~S*(~CH+CH) = S+~S =1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Stąd mamy odpowiedź odnośnie dziedziny fizycznej dla pojęć „śnieg” i „chmurka”
DF=A: S*CH + C: ~S*~CH + D: ~S*CH

Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: S~~>~CH=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: S=>CH =1
2.
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
A: S=>CH = C: ~S~>~CH =1
Zauważmy, że warunek wystarczający => A wymusza nam warunek konieczny ~> C i odwrotnie.

Stąd mamy końcową tabelę T2.
Kod:

T2.
A: S=> CH = S* CH=1 - Jeśli pada śnieg to na 100% => jest pochmrno
                      Padanie śniegu wystarcza => by było pochmurno
B: S~~>~CH= S*~CH=0 - Jeśli pada śnieg to może ~~> nie być pochmurno
                      Kontrprzykład dla A musi być fałszem
.. a jeśli nie pada śnieg?
Prawo Kubusia:
A: S=>CH = C:~S~>~CH
C:~S~>~CH =~S*~CH=1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~> nie być pochmurno
                      Brak padania jest konieczny ~> by nie było pochmurno
lub
D:~S~~> CH=~S* CH=1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> być pochmurno
                      Możliwe jest zdarzenie: nie pada śnieg i są chmury


Analiza tożsama do tabeli T2 dokładniej rozpisana to seria czterech zdań ABCD z opisem matematycznym.

Definicja implikacji prostej S|=>CH:
Implikacja prosta S|=>CH to seria czterech zdań ABCD dających odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie padał śnieg (zdania A i B)?
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padał śnieg (zdania C i D)?

1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie padał śnieg?

A.
Jeśli będzie padał śnieg (S=1) to na 100% będzie pochmurno (CH=1)
S=>CH =1
Padanie śniegu jest warunkiem wystarczającym => do tego, by było pochmurno
Prawdziwość warunku wystarczającego A: S=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B: S~~>~CH=0 (i odwrotnie)
B.
Jeśli będzie padał śnieg (S=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
S~~>~CH =S*~CH =0
Nigdy w historii meteorologii nie zanotowano takiego przypadku

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padał śnieg?


.. a jeśli śnieg nie będzie padał?
Prawo Kubusia:
A: S=>CH = C: ~S~>~CH
C.
Jeśli nie będzie padał śnieg (~S=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~S~>~CH =1
Brak opadu śniegu jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak będzie padał śnieg to na 100% => będzie pochmurno
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~S~>~CH = A: S=>CH
lub
D.
Jeśli nie będzie padał śnieg (~S=1) to może ~> być pochmurno (CH=1)
~S~~>CH = ~S*CH =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada śnieg i jest pochmurno


Cechy charakterystyczne implikacji prostej S|=>CH:
1.
Po stronie padającego śniegu mamy do czynienia z gwarancją matematyczną =>
Zdanie A daje nam gwarancje matematyczną =>, że jeśli pada śnieg to na 100% => jest pochmurno
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
2.
Po stronie nie padającego śniegu mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli nie pada śnieg może ~> nie być pochmurno (zdanie C) albo może ~~> być pochmurno (zdanie D) - trzeciej możliwości nie ma.
Mamy tu ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Definicja implikacji prostej S|=>CH w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Implikacja prosta S|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: S=>CH =1
B1: S~>CH =0
Stąd mamy definicje implikacji prostej S|=>CH w równaniu logicznym:
S|=>CH = (A1: S=>CH)*~(B1: S~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawmy nasz przykład do powyższej tabeli:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: S=>CH = 2:~S~>~CH [=] 3: CH~>S = 4:~CH=>~S =1
##
B: 1: S~>CH = 2:~S=>~CH [=] 3: CH=>S = 4:~CH~>~S =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Łatwo widać, że seria zdań Ax jest prawdziwa, zaś seria zdań Bx jest fałszywa.

5.1.3 Dziedzina fizyczna w równoważności p<=>q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Przykład:
Dany jest najprostszy obwód elektryczny sterowania żarówką:
Kod:

S3 Schemat 3
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~~> się świecić
A~~>S = A*S =?
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „przycisk A” vs „żarówka S”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: schemat elektryczny S3
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „przycisk A” vs „żarówka S” na podstawie schematu S3.

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Rozwiązanie:
1.
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „przycisk A” i „żarówka S”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „przycisk A” vs „żarówka S”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: schemat elektryczny S3
Kod:

T1.
A: A~~> S= A* S=1 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> się świecić
B: A~~>~S= A*~S=0 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić
C:~A~~>~S=~A*~S=1 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić
D:~A~~> S=~A* S=0 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> świecić

Dziedzina matematyczna dla pojęć „przycisk A” i „żarówka S” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: A*S + B: A*~S + C:~A*~S+ D: ~A*S = A*(S+~S) + ~A*(~S+S) = A+~A =1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Stąd:
Dziedzina fizyczna to:
DF=A: A*S + C:~A*~S

Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: A~~>~S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: A=>S =1
2.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~A~~>S=0=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~A=>~S =1
W punktach A i C spełnione są tez odpowiednie warunki konieczne ~> na mocy prawa Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S =1
C: ~A=>~S = A: A~>S =1
Jednak w logice matematycznej człowieka domyślne są warunku wystarczające =>, dlatego tylko te bierzemy tu pod uwagę, bo przecież chcemy opisywać język potoczny.
Stąd mamy końcową tabelę T2.
Kod:

T2.
A: A=> S =1 - Jeśli wciśnięty A to żarówka na 100% => świeci
              Wciśniecie A jest wystarczające dla świecenia S
B: A~~>~S=0 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić
              Kontrprzykład B dla zdania A musi być fałszem
C:~A=>~S =1 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka na 100% => nie świeci
              Nie wciśniecie A jest wystarczające => dla nie świecenia S
D:~A~~>S =0 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> świecić
              Kontrprzykład D dla zdania C musi być fałszem


Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
      I         II           III       IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja operatora równoważności p|<=>q (dla I i II):
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania:
1
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
I. p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
II. ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~p=~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Kod:

Równoważność:                  |  Równoważność:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p*~q)
Tożsamość zdarzeń:             |  Tożsamość zdarzeń:
p=q                            #  ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej
| - komentarz

p # ~p
~(~p)=p
~(p)=~p
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie zdarzenie ~p = prawdą jest że zajdzie zdarzenie p
~(~p)=p
Prawo negacji p:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie p = prawdą jest że zajdzie ~p
~(p)=~p

Uwagi:
1.
Matematycznie zachodzi:
Operator równoważności p|<=>q ## Spójnik równoważności p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Spójnik równoważności <=> w formie skróconej nazywamy równoważnością <=>
3.
Zauważmy, że udowodnienie prawdziwości jednego zdania serii Ax i jednego zdania serii Bx jest potrzebne i wystarczające dla prawdziwości wszystkich możliwych spójników równoważności.
4.
Równoważność jest przemienna, zatem dokładnie to samo możemy zapisać dla kwarty III i IV.
5.
Zauważmy, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności <=> w logice dodatniej (bo q) p<=>q i w logice ujemnej (bo ~q) ~p<=>~q:
1.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q)

Kod:

S3 Schemat 3
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Dowód iż schemat S3 jest fizyczną realizacją równoważności.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się

Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę
cnd

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
A=S
Zdarzenie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

1.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~A=~S
Zdarzenie „klawisz A nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?

III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
S=A
Zdarzenie „żarówka S świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?

IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~S=~A
Zdarzenie „żarówka S nie świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A nie wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV


6.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna

Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej:
Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi.
Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada”

Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień.
Zauważmy, że:
W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera.
Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze.
Czyli:
A: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie A: CH*P =1 to zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0
i odwrotnie:
B: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie B: CH*~P=1 to zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0

Definicja twardej prawdy:
Twarda prawda to prawda niezależna od funkcji czasu obowiązująca od minus do plus nieskończoności.

Przykład:
Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B (miękkie jedynki)
.. a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda niezależna od funkcji czasu, to zdarzenie jest zawsze prawdziwe w naszym Wszechświecie od minus do plus nieskończoności.
Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero
Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności.

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Stąd mamy tabelę zdarzeń możliwych które mogą zajść jutro:
Kod:

A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zauważmy, że:
1.
Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie.
2.
Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie.
Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC:
A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0
A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0
B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0
3.
Z powyższego wynika, że jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych ABC (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym … i w tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu na gruncie logiki matematycznej.

Przykładowo:
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie:
CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało
W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym.

Dowód:
Z założenia wiemy że:
CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak:
Kod:

A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało
C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie.
Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie, bo w Szczecinie mogła być inna.
Tylko i wyłącznie dla mieszkańców Szczecina, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i sensowna.
Innymi słowy, jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika wznawia swoją działalność identyczną serią zdań jak wyżej, tylko zapisaną w czasie przeszłym.

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz.

Przykład:
Nasze zdarzenie w Warszawie:
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, w Warszawie było pochmurno i nie padało
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” nie da się zmienić.

Definicja fałszu absolutnego:
Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą
W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:19, 11 Cze 2020, w całości zmieniany 16 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24992
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:03, 10 Maj 2020    Temat postu:

....
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin