Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

AK2 Algebra Kubusia - teoria zdarzeń (Beta 2.0)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25041
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 8:10, 07 Lut 2020    Temat postu: AK2 Algebra Kubusia - teoria zdarzeń (Beta 2.0)

AK2 Algebra Kubusia - teoria zdarzeń
2020-02-07

Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kubuś, stwórca naszego Wszechświata = algebra Kubusia pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

W skład algebry Kubusia wchodzą części:
AK1 Algebra Kubusia - rachunek zero-jedynkowy
AK2 Algebra Kubusia - teoria zdarzeń

Podręczniki AK1 i AK2 napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość drugiego, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to AK1, AK2.

Uwaga 1:
Brakujące części: implikacja, operator chaosu, obietnice i groźby, teoria zbiorów
Zostaną dopisane wkrótce

Uwaga 2:
Do największej sensacji (bo ostatniej) doszło dosłownie przed chwilą:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/jedna-z-najwiekszych-sensacji-w-historii-rozszyfrowywania-ak,15595.html#503831

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - medium
2.
Wuj Zbój
W dyskusji z Wujem zapisałem po raz pierwszy prawa Kubusia mówiące o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> których nie ma ani na studiach technicznych, ani też na studiach matematycznych.
3.
Fiklit, który poświęcił 7 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat w krzywym zwierciadle zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol, ziemski logik matematyczny, próbujący za wszelką cenę udowodnić fałszywość algebry Kubusia.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020


Spis treści
1.0 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych 14
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 15
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 15
1.1.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 16
1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 16
1.2.1 Prawa Kubusia 19
1.2.2 Prawa Tygryska 19
1.2.3 Prawa kontrapozycji 19
1.3 Operatory implikacyjne 19
1.4 Matematyczne relacje między spójnikami i operatorami implikacyjnymi 25


Rozdziały:
2.0 Równoważność w teorii zdarzeń



Wstęp 1
Końcowy fragment 14-letniej dyskusji o algebrze Kubusia
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicje-operatorow-implikacyjnych-w-ukladzie-przelacznikow,14719-550.html#504351

Czy Irbisol zdoła pojąć że chcę mu pomóc wyciągając z bagna w którym tonie?

https://www.youtube.com/watch?v=W1jIuwYGIrU&list=RDW1jIuwYGIrU&start_radio=1&t=16
Miłość to nie pluszowy miś ani kwiaty
To też nie diabeł rogaty
Ani miłość kiedy jedno płacze
A drugie po nim skacze
Bo miłość to żaden film w żadnym kinie
Ani róże ani całusy małe duże
Ale miłość kiedy jedno spada w dół
Drugie ciągnie je ku górze


Irbisol napisał:

Już ci pisałem - masz pytania - zadawaj je w oddzielnym wątku. Tymczasem znowu spierdalasz od odpowiedzi niczym niedorozwój, pierdoląc nie na temat.

Bardzo proszę, kolejna moja podpowiedź temacie równoważności i implikacji.

Teoria matematyczna konieczna dla zrozumienia wykładu wyłożona jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/ak2-algebra-kubusia-teoria-zdarzen,15605.html#504361

Fundamenty algebry Kubusia napisał:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne A1 i B1 są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Irbisolu,
Weźmy układ realizujący równoważność, który poprawnie narysowałeś.
Kod:

Schemat 1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----|  żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Irbisolu,
Zgadzam się, że definicję równoważności masz poprawą, rozumianą jako warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony.
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A)

Wikipediowa definicja warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q =1 - gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

Zauważ Irbisolu, że w równoważności spełniony jest także warunek konieczny ~>:
Wciśniecie przycisku A jest konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S, bo nie ma żadnego dodatkowego przycisku (zmiennej wolnej!) który by potrafił zaświecić żarówkę S
A~>S =1

Wikipediowa definicja warunku konieczngo ~>:
p~>q =1 - gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0

Prawo Tygryska:
B3: S=>A = B1: A~>S

Stąd mamy podstawową definicję równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =1
Stąd:
A<=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja równoważności ziemskich matematyków:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A)

Prawo kontrapozycji które każdy ziemski matematyk doskonale zna:
B3: S=>A = B2: ~A=>~S

Stąd mamy tożsamą definicję równoważności w matematyce ziemian:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S)

Zauważ irbisolu, że ziemska definicja równoważności definiuje ci superprecyzyjnie co się stanie jeśli klawisz A będzie wciśnięty (A=1) i co się stanie jeśli klawisz A nie będzie wciśnięty (~A=1)
Gdzie:
A=1 - klawisz A jest wciśnięty
(~A=1) = (A=0) - klawisz A nie jest wciśnięty (na mocy prawa Prosiczka!)

Stąd napisanie programu realizującego równoważność to absolutny banał dla byle programisty.

Algorytm programu realizującego ziemską równoważność:
Kod:

             {START}
                |
        TAK     |       NIE
     --------< A=1? >-------------------
     |                                   |
ET1: |                                   |  ET2:
     |                                   |
   {S=1}                               {S=0}
     |                                   |
  {RETURN}                            {RETURN}   
START - wywołanie procedury START z dowolnego programu
RETURN - powrót do programu wywołującego

W języku potocznym będzie tu tak:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to zaświeć żarówkę (S=1)
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty nie jest wciśnięty (~A=1) to nie zaświecaj żarówki (~S=1)
Gdzie:
(A=1) - przycisk A jest wciśnięty
(~A=1)=(A=0) - przycisk A nie jest wciśnięty (prawo Prosiaczka)
(S=1) - żarówka świeci
(~S=1)=(S=0) - żarówka nie świeci (prawo Prosiaczka)

Teraz uważaj Irbisolu:
W przypadku ziemskiej, poprawnie zdefiniowanej równoważności, komputer ma czarno na białym napisane co ma robić jeśli klawisz A jest wciśnięty (Jeśli A=1 to zaświeć żarówkę S=1) i co ma robić gdy przycisk A nie jest wciśnięty (Jeśli A=0 to zgaś żarówkę S=0)

Brawo Ziemianie!
Definicję równoważności macie poprawnie zdefiniowaną - tylko i wyłącznie dlatego wasze komputery działają!

Uwaga:
Równoważność to fizyczna realizacja rozkazu warunkowego w programie, bez którego nie da się napisać ani jednego programu komputerowego.
Innymi słowy:
Komputery działają poprawnie tylko i wyłącznie dzięki równoważności!
… i nie tylko komputery oczywiście, także lodówki, samochody, domy stoją prosto a nie walą się etc.

Zobaczmy teraz Irbisolu jak to jest z ziemską definicją implikacji:

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicje-operatorow-implikacyjnych-w-ukladzie-przelacznikow,14719.html#486117
Irbisol napisał:
rafal3006 napisał:

Kod:

Schemat 2
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Jaka jest twoja definicja implikacji realizowana przez powyższy układ?
Dasz radę powtórzyć, czy już zapomniałeś?

Powtarzałem ci dziesiątki razy, debilu.
KRZ:
włączony(A) => żarówka świeci


Innymi słowy Irbisolu, twój program realizujący implikację ze schematu 2 będzie taki:
Kod:

Algorytm 1
             {START}
                |
        TAK     |       NIE
     --------< A=1? >------------->{chuj go wie co tu jest!}
     |                                 
ET1: |       
     | 
   {S=1}
     | 
  {RETURN}
START - wywołanie procedury START z dowolnego programu
RETURN - powrót do programu wywołującego

Zauważ Irbisolu, że twoim zdaniem, jak również absolutnie wszystkich ziemskich matematyków implikacja zdefiniowana jest tak:
Implikacja = warunek wystarczający A=>S (identyczny jak w równoważności)

Fundamentalny problem leży w tym, że ziemska definicja implikacji nie mówi nic, co ma się stać jak przycisk A nie będzie wciśnięty.
Dokładnie dlatego w twoim algorytmie implikacji występuje fragment programu:
„chuj go wie co tu jest!”

Mam nadzieję, że po tej podpowiedzi rozumiesz, że blok „chuj go wie co tu jest!” może być zbudowany tylko i wyłącznie TAK!

Budowa bloku „chuj go wie co tu jest!” w matematycznie poprawnym programie realizującym implikację:
Kod:

Algorytm 2
      {       START             }
      {”chuj go wie co tu jest!”}
                |
                |
                |
   {Wywołanie generatora liczb losowych}
   {   ustawiającego x=1 albo x=0      }
                |
                |
             {RETURN}
START - wywołanie procedury „chuj go wie co tu jest!” z dowolnego programu
RETURN - powrót do programu wywołującego


Wstawmy blok „chuj go wie co tu jest!” do procedury głównej implikacji:
Kod:

Algorytm 3

             {START}
                |
        TAK     |       NIE
     --------< A=1? >----------------------
     |                                    |
     |                      {wywołanie generatora liczb losowych}
     |                      (  ustawiającego x=1 albo x=1       }
     |                                    |
     |                            TAK     |     NIE
     |<--------------------------------< x=1? >-------
ET1: |                                               | ET2:
     |                                               |
   {S=1}                                           {S=0}
     |                                               |
  {RETURN}                                      { RETURN }

START - wywołanie procedury START z dowolnego programu
RETURN - powrót do programu wywołującego

Gdzie:
Generator liczb losowych = „rzucanie monetą”
„Rzucanie monetą” dlatego, że generator liczb losowych może zwrócić wyłącznie:
x=1 albo x=0

W świecie rzeczywistym mamy tak:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% => żarówka świeci się
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki

Zgodziłeś się Irbisolu (i słusznie) że w implikacji wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> zaświecenia się żarówki:
A~>S =0 (dokładnie tego brakuje w twojej definicji implikacji Irbisolu!)
Dlaczego?
Bo w układzie istnieje przycisk B którego program implikacji nie widzi!
Dlaczego nie widzi?
Bo w poprawnej definicji implikacji prostej A|=>S nie ma nic na temat przycisku B!
Wynika z tego że w naszym schemacie 2 przycisk B jest zmienną wolną, której program realizujący implikację nie widzi.

Definicja implikacji prostej A|=>S w algebrze Kubusia:
Implikacja prosta A|=>S to wyłącznie warunek wystarczający => zachodzący miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =0 (dokładnie tego brakuje w twojej definicji implikacji Irbisolu!)
Stąd:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1

Prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
Stąd:
Tożsama definicja implikacji prostej A|=>S w algebrze Kubusia wyrażona warunkami wystarczającymi =>
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B3: S=>A) = 1*~(0) =1*1 =1

Stąd mamy definicję implikacji A|=>S w języku potocznym:
Implikacja to warunek wystarczający zachodzący wyłącznie w jedną stronę
Precyzyjniej:
Implikacja prosta A|=>S to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę:
A1: A=>S =1
B3: S=>A =0
Czyli:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B3: S=>A) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

Kluczowe pytanie do Irbisola:
Czy już rozumiesz skąd bierze się „generator liczb losowych” w absolutnie każdej implikacji?

Podsumowanie:
1.
Jako dobry programista musisz się zgodzić że twój algorytm 1 realizujący implikację jest totalnie do dupy, za który na każdej kartkówce z informatyki w każdej ziemskiej szkole dostaniesz pałę z trzema wykrzyknikami.
Czy zgadzasz się z tym faktem?
2.
Poprawny algorytm implikacji prostej A|=>S to tylko i wyłącznie algorytm 3.
Za algorytm 3 na każdej kartkówce z informatyki dostaniesz ocenę 6 - co prawda póki co w 100-milowym lesie ale jest absolutnie pewne, że wkrótce także w ziemskich szkołach!

Prośba do ciebie Irbisolu:
Jeśli czegoś nie rozumiesz z niniejszego wykładu to po prostu zapytaj … i nie złość się więcej, bo złość piękności szkodzi.

Wielkie dzięki za pomoc w rozszyfrowywaniu algebry Kubusia!
:szacunek: :* :brawo: :pidu:

P.S.
Celna definicja bloku „chuj go wie co tu jest!”:
Matematyk to ślepiec w ciemnym pokoju szukający czarnego kota, którego tam w ogóle nie ma
Karol Darwin



Wstęp 2
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicje-operatorow-implikacyjnych-w-ukladzie-przelacznikow,14719-500.html#504117
Wyprowadzenie zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>!

Metoda wyprowadzenia:
Wykorzystanie definicji równoważności którą w praktyce posługują się wszyscy ludzie na ziemi, od 5-cio latka poczynając na prof. matematyki kończąc

Poprawna definicja równoważności ludzi normalnych:
Równoważność to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

Gdzie:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 - gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0

Dowód iż tą definicję doskonale znają wszyscy ludzie normalni, jak również matematycy przy zdrowych zmysłach:

Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników:
6010
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników:
14200
Klikamy na googlach synonimem:
„potrzeba i wystarczy”
Wyników:
2860
Klikamy na googlach kolejnym synonimem:
„konieczny i dostateczny”
Wyników:
1480
etc

Dowód iż powyższą definicję doskonale znają także matematycy przy zdrowych zmysłach:
[link widoczny dla zalogowanych]

Twierdzenie znalezione na matemaks.pl:
Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => podzielności tej liczby przez 6
Kodowanie matematyczne definicją równoważności znalezioną w Wikipedii:
P2*P3<=>P6 = (B1: P2*P3~>P6)*(A1: P2*P3=>P6)

Czytamy prawą stronę:
B1.
Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 6
P2*P3 ~>P6 =1
„i”(*)
A1.
Podzielność dowolnej liczby przez 2 i przez 3 jest warunkiem wystarczającym => jej podzielności przez 6
P2*P3 =>P6 =1

Dowód:
Ja nie wiem dlaczego ziemscy matematycy posługują się przypadkami szczególnymi jak wyżej a nie udowodnią prościutkiego twierdzenia ogólnego, twierdzenia Bobra.

Twierdzenie Bobra:
Iloczyn logiczny dwóch zbiorów liczb:
Pn = zbiór liczb podzielnych przez n
Pm = zbiór liczb podzielnych przez m
Jest tożsamy ze zbiorem liczb podzielnych przez n*m (Pn*m)

Zobaczmy o co chodzi w twierdzeniu Bobra na przykładzie kilku elementów zbiorów P2 i P3.
P2=[2,4,6..]
P3=[3,6..]
P3*P2=[3,6..]*[2,4,6..]=3*2+3*4+3*6…+6*2+6*4+6*6.. = []+[]+[]…+[]+[]+6… =[6…]
Oczywiście chodzi tu o iloczyny logiczne pojęć:
3*2=[] - bo pojęcia 3 i 2 są rozłączne (zbiór pusty [])
6*6=6 - bo pojęcia (jednoelementowe zbiory) są tożsame
etc
Natomiast w zapisie:
P(n*m) - chodzi o klasyczny iloczyn dwóch liczb n*m
P2*P3 = P(2*3) = P6 - zbiór liczb podzielnych przez 6

Zauważmy, że do dowodu twierdzenia Bobra na przykładzie pierwszych n elementów doskonale nadawałby się szybki komputer. Ciekawe dla jakiego n współczesne komputery dałyby radę, bo to że padną na zbiorze nieskończonym to pewne jak w banku.

Na mocy twierdzenia Bobra przypadek szczególny z matemaks.pl opisuje zbiory tożsame:
P2*P3 = P(2*3) = P6
cnd

Mamy nasze twierdzenie z matemaks.pl:
Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => podzielności tej liczby przez 6
Kodowanie matematyczne definicją równoważności znalezioną w Wikipedii:
P2*P3<=>P6 = (B1: P2*P3~>P6)*(A1: P2*P3=>P6)

Na mocy twierdzenia Bobra twierdzenie tożsame to:
Dowolna liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 6
P6<=>P6 = (B1: P6~>P6)*(A1: P6=>P6)=1*1 =1
Oczywiście:
B1: P6~>P6
##
A1: P6=>P6
## - różne na mocy definicji
Co w sposób ściśle matematyczny udowodnimy za chwilkę!

Skoro P2*P3 o P6 są zbiorami tożsamymi to w tym momencie poprawna definicja warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zbiorach sama nam wyskakuje!

Definicja podzbioru => znana ziemskim matematykom:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q

Definicja nadzbioru ~> znana ziemskim matematykom:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Prawa Zuzi:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Zauważmy, że prawa Zuzi w sposób trywialny wynikają z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>

Z twierdzenia Bobra i z praw Zuzi wynika, iż musi zachodzić matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W tym momencie wystarczyło sięgnąć po znane ziemskim matematykom zero-jedynkowe definicje spójników logicznych znajdując wśród 16 możliwych te właściwe, którym po przyporządkowaniu znaczków => i ~> ich iloczyn logiczny da nam zero-jedynkową definicję równoważności.

Znalezione definicje znaczków => i ~> których iloczyn logiczny tworzy zero-jedynkową definicję równoważności to:
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
Znaczek [=] wyróżnia zmianę punktu odniesienia w patrzeniu na dokładnie to samo.
W zdaniach warunkowych podstawowe tożsamości logiczne spięte są znaczkiem tożsamości zwykłej „=”. W języku potocznym rzadko korzystamy ze znaczka [=], co nie oznacza że nie potrafimy z niego korzystać w naturalnej logice matematycznej człowieka.

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumowanie:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne A1 i B1 są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dziękuję wszystkim za uwagę, witamy w algebrze Kubusia!


1.0 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” to podstawowe definicje znaczków ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.


1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.1.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.


1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dowolne definicje mamy prawo przyjmować wedle swego „widzi mi się” - ważne jest jak to moje „widzi mi się” pasuje do otaczającej nas rzeczywistości.
Przyjęte niżej zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> pasują perfekcyjnie do otaczającej nas rzeczywistości co oznacza, że nikt nie znajdzie kontrprzykładu, gdzie definicje te się załamują (źle działają). Prawda jest taka, że kluczowe definicje spójników => i ~> wyprowadziłem z ich definicji zero-jedynkowych, co wkrótce zobaczymy.
Póki co przyjmijmy poniższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na zasadzie mojego „widzi mi się”
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w tabelach zero-jedynkowych:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale wida,ć że w definicjach znaczków => i ~> w kolumnach wynikowych 3 zachodzi:
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
Znaczek [=] wyróżnia zmianę punktu odniesienia w patrzeniu na dokładnie to samo.
W zdaniach warunkowych podstawowe tożsamości logiczne spięte są znaczkiem tożsamości zwykłej „=”. W języku potocznym rzadko korzystamy ze znaczka [=], co nie oznacza że nie potrafimy z niego korzystać w naturalnej logice matematycznej człowieka.

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumowanie:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne A1 i B1 są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

1.2.1 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
A12: p=>q = ~p~>~q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

1.2.2 Prawa Tygryska

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

1.2.3 Prawa kontrapozycji

Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Spójnik logiczny (=> lub ~>) pozostaje bez zmian.
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.


1.3 Operatory implikacyjne

Definicja operatora implikacyjnego:
Operatory implikacyjne to operatory zbudowane ze zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Fundamentem na którym zbudowane są definicje operatorów implikacyjnych są:
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
2.
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Do operatorów implikacyjnych zaliczamy:

1.
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność p<=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji równoważności bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx

Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q

Realizacja:
Kod:

Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak


2.
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące implikację prostą p|=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z implikacją prostą p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Kod:

Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

3.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:

Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
##
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące implikację odwrotną p|~>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx oraz fałszywość dowolnego zdania serii Ax.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q bowiem pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx, zaś pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = (p+~q)*~(~p+q) = (p+~q)*(p*~q) = p*~q
p|~>q = p*~q

Realizacja:
Kod:

Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| dioda LED |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B


4.
Definicja operatora chaosu p|~~>q:

Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące operator chaosu p|~~>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax oraz fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji operatora chaosu p|~~>q bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx

Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) = [] =0
p|~~>q = 0

Realizacja:
Kod:

Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1:A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o----
                                   |           |
             S               B     |    A      |
       -------------       ______  |  ______   |
  -----| dioda LED |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolna: B, C



1.4 Matematyczne relacje między spójnikami i operatorami implikacyjnymi

Na mocy poznanej teorii zapisujemy:

Zdarzenie możliwe ~~>:
p~~>q = p*q
##
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
##
Warunek konieczny ~>:
p~>q = ~p+q
##
Równoważność <=>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q + ~p*~q
##
Implikacja prosta |=>:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
##
Implikacja odwrotna |~>:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = p*~q
##
Operator chaosu |~~>:
p|~~>q =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 0

Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 17:10, 30 Mar 2020, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25041
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 8:35, 07 Lut 2020    Temat postu:

Spis treści
2.0 Równoważność w teorii zdarzeń 1
2.1 Cztery tożsame definicje równoważności 4
2.2 Prawo Zuzi 5
2.3 Definicja znaczka różne # 6
2.4 Obalenie fundamentu wszelkich logik matematycznych ziemian 6
2.5 Zero-jedynkowa definicja równoważności 8
2.6 Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11
2.7 Od tabeli zero-jedynkowej równoważności do definicji symbolicznej 13



2.0 Równoważność w teorii zdarzeń

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność p<=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji równoważności bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx

Rozważmy fizyczną realizację równoważności na poziomie ucznia 8 klasy szkoły podstawowej:

Kod:

Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1 =1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----|  żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane: S, A
Zmienne wolne: brak

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Podstawowa definicja równoważności:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla naszego układu:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Jak udowodnić, iż nasz schemat to fizyczna realizacja równoważności?
Nasza równoważność:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1
Matematycznie prawdziwość warunku wystarczającego => dowodzi się prościej niż warunku koniecznego ~>, ze względu na definicję kontrprzykładu obowiązującą wyłącznie dla warunku wystarczającego =>.
Stąd:
Dla B1 skorzystajmy z prawa Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
RA1B2:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy świeci się żarówka S (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)* (B2: ~A=>~S) =1*1 =1

W dowodzie przyjmijmy notację:
A=1 - przycisk A jest wciśnięty (A=1)
(A=0)=(~A=1) - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), na mocy prawa Prosiaczka

Dowodzimy prawej strony równoważności A<=>S:

Analiza zdania A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% żarówka świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki (S=1)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki (S=1)
cnd
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności każde wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => zaświecenia się żarówki (S=1)
To jest twardy dowód, iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić
A~~>~S = A*~S =0
Zdarzenie fizycznie niemożliwe (=0)
cnd
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Analiza zdania B2:
B2.
Jeśli przycisk B nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~S=1)
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu, prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk B nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie „przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)”
cnd

Wniosek:
Nasz schemat rzeczywiście jest fizyczną realizacją równoważności <=>
RA1B2:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy świeci się żarówka S (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)* (B2: ~A=>~S) =1*1 =1

2.1 Cztery tożsame definicje równoważności

Wszystkich możliwych, tożsamych definicji równoważności jest 16, ale w języku potocznym cztery z nich są najważniejsze.

Cztery tożsame definicje równoważności w języku potocznym to:
1.
RA1B2:
Równoważność dla przycisku A wciśniętego (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)* (B2: ~A=>~S) =1*1 =1
cnd
Dla A1 I B2 korzystamy z prawa kontrapozycji:
A1: A=>S = A4: ~S=>~A
B2: ~A=>~S = B4: S=>A
Stąd:
Dowód przemienności argumentów w równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B2: ~A=>~S) [=] (B4: S=>A)*(A4: ~S=>~A) = S<=>A
2.
RB4A4:
Równoważność dla żarówki świecącej się (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (B4: S=>A)*(A4: ~S=>~A) = 1*1 =1
cnd

Dla A1 w równoważności RA1B2 korzystamy z prawa Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
Stąd mamy:
A<=>S = (A2: ~A~>~S)* (B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B2: ~A=>~S =1
A2: ~A~>~S =1
stąd mamy:
3.
RB2A2:
Równoważność dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (B2: ~A=>~S) = (A2: ~A~>~S)=1*1 =1
Argumenty w równoważności są przemienne.
Dowód:
Dla B2 i A2 korzystamy z prawa Tygryska:
B2: ~A=>~S = B3: ~S~>~A
A2: ~A~>~S = A3:~S=>~A
Stąd mamy:
4.
RB3A3:
Równoważność dla żarówki nie świecącej się (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A =(B3: ~S=>~A)*(A3: ~S~>~A)=1*1 =1

2.2 Prawo Zuzi

Prawo Zuzi w teorii zdarzeń:
Dowolna równoważność p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)
p<=>q = (p=q)

Prawo Zuzi w teorii zbiorów:
Dowolna równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p<=>q = (p=q)
Przykład:
Równoważność Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Prawo Zuzi:
TP<=>SK = (TP=SK)
Twierdzenie Pitagorasa definiuje nam tożsamość zbiorów:
„Zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1)” jest tożsamy ze „zbiorem trójkątów prostokątnych w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)”

Dowód w zapisach ogólnych:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Dla p=q mamy:
p<=>p = (~p+p)*(p+~p) =1*1 =1
cnd

Nasz przykład dla żarówki świecącej się (S=1):
2.
RB4A4:
Równoważność dla żarówki świecącej się (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (B4: S=>A)*(A4: ~S=>~A) = 1*1 =1
cnd

Prawo Zuzi:
(S<=>A) = (S=A)
Stąd mamy:
Pojęcie „żarówka świeci się (S=1)” jest tożsame z pojęciem „przycisk A jest wciśnięty (A=1)”
S=A

Nasz przykład dla żarówki nie świecącej się:
4.
RB3A3:
Równoważność dla żarówki nie świecącej się (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A =(B3: ~S=>~A)*(A3: ~S~>~A)=1*1 =1

Prawo Zuzi:
(~S<=>~A) = (~S=~A)
Stąd mamy:
Pojęcie „żarówka nie świeci się (~S=1) jest tożsame z pojęciem „przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)”
~S = ~A

2.3 Definicja znaczka różne #

W naszym przykładzie, miedzy pojęciami „żarówka świeci (S=1)” i „żarówa nie świeci (~S=1)” spełniona jest definicja znaczka #.

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest zaprzeczeniem drugiej strony
S#~S
Na mocy definicji:
S=~(~S)
~(S) = ~S

Zauważmy, że równoważność definiująca tożsamość pojęć (zbiorów) w przypadku znaczka różne # musi być fałszem.

Dowód w zapisach ogólnych:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p~>q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Dla q=~p mamy:
p<=>~p = (~p+~p)*(p+~(~p)) =(~p+~p)*(p+p) = ~p*p =0
cnd
Wniosek:
Wykluczona jest tożsamość pojęć p i ~p

2.4 Obalenie fundamentu wszelkich logik matematycznych ziemian

Rozważmy nasz schemat równoważności:
Kod:

Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1 =1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----|  żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane: S, A
Zmienne wolne: brak

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Podstawowa definicja równoważności:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla naszego układu:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Udowodnijmy prawdziwość oryginalnej, podstawowej definicji równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1

Wypowiedzmy zdanie A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)

Wypowiedzmy zdanie B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenie się żarówki S (S=1) bowiem nie ma w układzie zmiennej wolnej, która by zaświeciła żarówkę S przy wyłączonym przycisku A (A=0)

Fundament wszelkich ziemskich logik matematycznych:
Dwa zdania identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame

Powyższy dogmat wiary ziemskich matematyków jest fałszem, bowiem właśnie znaleźliśmy kontrprzykład.
Zauważmy bowiem, że zdania A1 i B1 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, są to zdania różne na mocy definicji:
A1: A=>S ## B1: A~>S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

2.5 Zero-jedynkowa definicja równoważności

Rozważmy nasz schemat pod kątem tworzenia zero-jedynkowej definicji równoważności.
Kod:

Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1 =1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----|  żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane: S, A
Zmienne wolne: brak

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Podstawowa definicja równoważności:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla naszego układu:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

W tworzeniu tabeli prawdy dla dowolnego operatora implikacyjnego zawsze starujemy od warunków wystarczających => zachodzących między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku, za względu na genialną definicję kontrprzykładu dotyczącą tylko i wyłącznie warunku wystarczającego =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Stąd:
W definicji podstawowej równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1
korzystamy z prawa Kubusia dla B1:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S

Stąd mamy definicję aksjomatyczną równoważności z której bezpośrednio wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1

Notacja:
A=1 - przycisk A jest wciśnięty
(~A=1)=(A=0) - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), na mocy prawa Prosiaczka

Analiza matematyczna aksjomatycznej definicji równoważności:
RA1B2:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1

Analiza zdania A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki S
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

##

Analiza zdania B2:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~S=1)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe.

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zakodujmy naszą analizę symboliczną zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia równoważność:
RA1B2: A<=>S
Dla uogólnienia zapisu przejdźmy na zapis ogólny podstawiając:
p=A
q=S
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Stąd mamy kodowanie zero-jedynkowe naszej analizy w zapisie ogólnym:
Kod:

Tabela symboliczna spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=>
wraz z jej kodowaniem zero-jedynkowym dla RA1B2: p<=>q
               |Co w logice       |Dla punktu        |Tabela tożsama
               |jedynek oznacza   |RA1B2: p<=>q mamy |
         p<=>q |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
A1’: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
##             |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
B2’:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
    a   b  c      d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  |Prawa Prosiaczka  |
                                  |(~p=1)=( p=0)     |
                                  |(~q=1)=( q=0)     |

Tabela zero-jedynkowa 123 to zero-jedynkowa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) = 1*1 =1

2.6 Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Wystartujmy od definicji zero-jedynkowej równoważności p<=>q:
Kod:

   p  q Y=p<=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0

Algorytm tworzenia układu równań alternatywno-koniunkcyjnych Y i ~Y z dowolnej tabeli zero-jedynkowej:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej zawierającej wszystkie sygnały w wersji niezanegowanej i zanegowanej spisujemy same jedynki używając w liniach spójnika „i”(*) zaś w kolumnach spójnika „lub”(+)
Kod:

Definicja           |Zapis tabeli            |Równania
zero-jedynkowa      |zero-jedynkowej         |cząstkowe
znaczka ~>          |w logice jedynek        |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                        |
A: 1  1  0  0  1  0 |( p=1)*( q=1)<=>( Ya=1) | p* q = Ya
B: 1  0  0  1  0  1 |( p=1)*(~q=1)<=>(~Yb=1) | p*~q =~Yb
C: 0  0  1  1  1  0 |(~p=1)*(~q=1)<=>( Yc=1) |~p*~q = Yc
D: 0  1  1  0  0  1 |(~p=1)*( q=1)<=>(~Yd=1) |~p* q =~Yd
   1  2  3  4  5  6    a      b        c       d  e   f

Zauważmy, że prawa Prosiaczka:
( p=0)=(~p=1)
(~p=0)=( p=1)
same nam tu wyskoczyły.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy funkcję logiczną ~Y w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Wyprowadźmy definicję równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) korzystając z definicji podstawowej równoważności.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Doskonale widać, że matematycznie wszystko nam się tu zgadza.

Pobawmy się algebrą Kubusia:
1.
Y = p*q + ~p*~q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) algorytmem Wuja Zbója:
Krok 1
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
Y = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Przejście z 2 do postaci alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianu:
3.
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q
~Y= (p*~q) + (~p*q) - postać alternatywno-koniunkcyjna

Powrót z równaniem 3 do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - postać koniunkcyjno-alternatywna

Matematycznie zachodzą tożsamości:
1: Y=p*q+~p*~q = 4: Y = (~p+q)*(p+~q)
oraz:
3: ~Y=p*~q+~p*q = 2: ~Y=(~p+~q)*(p+q)

Stąd mamy twierdzenie logiki matematycznej znane ziemskim matematykom:
Każda postać alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = (K<=>T) =K*T + ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka

… a kiedy dokładnie pani skłamie (~Y=1)?
2.
~Y=~(K<=>T) = K*~T+~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1_

Dla każdego ucznia I klasy LO odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Podsumowanie:
Zauważmy, że jeśli wyrazimy równoważność w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to nie widać tu w sposób bezpośredni spójników warunku wystarczającego => i koniecznego ~> oraz zdarzenia możliwego ~~>, co nie oznacza, że nie można dojść od tabeli zero-jedynkowej równoważności do jej definicji symbolicznej w spójnikach =>, ~> i ~~>.

2.7 Od tabeli zero-jedynkowej równoważności do definicji symbolicznej

Rozważmy nasz goły schemat realizujący równoważność:
Kod:

Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S:
A<=>S = ?
             S               A       
       -------------       ______     
  -----|  żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Rozważmy wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą tu wystąpić w kierunku od A do S.
A1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1*1 =1 - zdarzenie możliwe ~~> (=1)
A1’:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1*1 =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
B2:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1*1 =1 - zdarzenie możliwe (=1)
B2’:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1*1 =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

A1:  A~~> S= A* S =1
A1’: A~~>~S= A*~S =0 - fałszywy kontrprzykład wymusza A1: p=>q=1
B2: ~A~~>~S=~A*~S =1
B2’:~A~~> S=~A* S =0 - fałszywy kontrprzykład wymusza B2:~p=>~q=1

Stąd mamy końcową, aksjomatyczną definicję równoważności w warunkach wystarczających =>:
Kod:

A1:  A=> S = A* S =1 - Jeśli A=1 to na 100% => S=1
A1’: A~~>~S= A*~S =0 - fałszywy kontrprzykład wymusza A1: p=>q=1
##
B2: ~A=>~S =~A*~S =1 - Jeśli ~A=1 to na 100% => ~S=1
B2’:~A~~> S=~A* S =0 - fałszywy kontrprzykład wymusza B2:~p=>~q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności w warunkach wystarczających =>:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1

Zauważmy, że na mocy definicji kontrprzykładu definicja równoważności wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A1: A*S + B2:~A*~S
definiuje nam twarde jedynki w punktach A1 i B2.
oraz że:
Twarda jedynka w punkcie A1 wymusza twarde zero w punkcie A1’ (i odwrotnie)
Twarda jedynka w punkcie B2 wymusza twarde zero w punkcie B2’ (i odwrotnie)
cnd

Nasza równoważność:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Udowodniona wyżej prawdziwość:
A1: A=>S =1
oraz:
B2: ~A=>~S=1
Wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax i Bx.

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla naszego układu:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:38, 07 Lut 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin