rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32546
Przeczytał: 41 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pią 13:30, 21 Sty 2011 Temat postu: Najważniejszy fragment z algebry Kubusia |
|
|
Link do oryginału:
Algebra Kubusia – podręcznik dla liceum
… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12
[link widoczny dla zalogowanych]
Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję
Algebra Kubusia dla matematyków:
Nowa Teoria Implikacji (algebra Kubusia)
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Krowa (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia oraz Sogorsowi za postawienie kropki nad „i”.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Implikacja i równoważność w kilku zdaniach
2.0 Twierdzenie ŚFINII
2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej
2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej
2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności
3.0 Operatory logiczne
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Prawa Kubusia, logika dodatnia i ujemna w implikacji
3.4 Równanie ogólne implikacji
3.5 Równoważność
4.0 Algebra Kubusia - OR i AND
4.1 Spójnik OR(+) i operator OR (+)
4.2 Spójnik AND(*) i operator AND(*)
4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND
5.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
5.1 Obietnica
5.2 Groźba
6.0 Dowody formalne
6.1 Podstawowe prawa algebry Boole’a
6.2 Dowody formalne praw de’Morgana
6.3 Dowody formalne praw Kubusia
6.4 Prawo braku przemienności argumentów w implikacji
6.5 Metody dowodzenia twierdzeń matematycznych
7.0 Algebra Kubusia w pigułce
Wstęp.
Algebra Kubusia jest jednocześnie trywialna, bo posługują się nią w praktyce wszyscy od 5-cio latka po starca i trudno zrozumiała jeśli patrzy się na nią poprzez pryzmat zer i jedynek.
W algebrze Kubusia występują zaledwie dwie cyferki o znaczeniu jak niżej:
1 = prawda
0 = fałsz
nie mające nic wspólnego z liczbami całkowitymi 0 i 1 które wszyscy doskonale znamy.
Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, a nie ja tworzy. Gdyby mózg człowieka nie podlegał pod algebrę Kubusia, nie byłoby komputerów ... nie byłoby nas, nie byłoby naszego Wszechświata.
Wbrew powszechnemu wśród matematyków przekonaniu, to naturalna logika człowieka generuje tabele zero-jedynkowe odpowiednich operatorów logicznych. Z tego powodu podejdziemy do logiki z zupełnie innej strony, pokażemy jak naturalny język człowieka generuje tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych, zapisując je na końcu w postaci tabel zero-jedynkowych.
Wykład algebry Kubusia zaczynamy od implikacji i równoważności. Dla ułatwienia pominiemy tu operatory AND(*) i OR(+) jako zbędne, mogące jedynie zaciemnić obraz trywialnej logiki 5-cio latka. W praktyce języka mówionego człowiek miesza wszystkie operatory, jednak w 95% w implikacji i równoważności nikt nie używa operatorów AND(*) i OR(+).
W drugiej części podręcznika zajmiemy się operatorami OR(+) i AND(*) (pkt.4.0) oraz zastosowaniem algebry Kubusia w obsłudze gróźb i obietnic (pkt.5.0).
Końcowa część podręcznika to dowody formalne w algebrze Kubusia (pkt.6.0), oraz cała algebra Kubusia w pigułce, czyli wszystkie najważniejsze definicje i prawa (pkt.7.0).
W algebrze Kubusia, po raz pierwszy w historii ludzkości zostały poprawnie zinterpretowane wszystkie możliwe definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
... a to oznacza, że algebra Kubusia jest kompletna, zupełna i niesprzeczna.
Algebra Kubusia to matematyka naszego Wszechświata, zarówno żywego jak i martwego.
W podręczniku będziemy używać zamiennie:
Algebra Kubusia = Nowa teoria implikacji
1.0 Notacja
1 = prawda
0 = fałsz
~ - symbol przeczenia NIE(~)
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>
=> - spójnik „musi” między p i q, warunek wystarczający
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy jedna prawda
# - różne w znaczeniu jak niżej
Fundament logiki:
1 = prawda
0 = fałsz
1# 0
prawda # fałsz
0 # 1
fałsz # prawda
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U
1.1 Implikacja i równoważność w kilku zdaniach
Algebra Kubusia w pigułce – pkt.7.0
Symboliczna definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p=>q =1
p=>~q =0
~p~>~q=1
~p~~>q=1
|
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to definicja implikacji prostej p=>q w równaniu algebry Kubusia.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p~>q =1
p~~>~q=1
~p=>~q=1
~p=>q =0
|
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia to definicja implikacji odwrotnej p~>q w równaniu algebry Kubusia.
Symboliczna definicja równoważności:
| Kod: |
p=>q =1
p=>~q =0
~p=>~q=1
~p=>q =0
|
Dziewicza definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawa Kubusia zachodzą zarówno na poziomie spójników, jak i na poziomie operatorów logicznych.
Prawa Kubusia na poziomie spójników:
Prawo zamiany warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany spójnika „musi” => na spójnik „może” ~>
Prawo zamiany warunku koniecznego ~> na warunek wystarczający =>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany spójnika „może” ~> na spójnik „musi” =>
Prawa Kubusia na poziomie operatorów logicznych:
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na równoważną implikację prostą =>
Definicja ogólna spójnika „Jeśli … to …”
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
O tym czym jest wypowiedziane zdanie ujęte w spójnik „Jeśli…to…” decyduje zarówno użyty spójnik, jak i treść zawarta w spójniku.
Warunek wystarczający =>:
Warunek wystarczający między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego p zachodzi q
Definicja warunku wystarczającego to zaledwie dwie linie tabeli symbolicznej:
Definicja słowna:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” między p i q
Jeśli dla każdego p zachodzi q
to zajście p i zajście ~q jest niemożliwe, co widać w powyższej tabeli.
Warunek wystarczający w logice dodatniej występuje wyłącznie w implikacji prostej i równoważności.
Twierdzenie ŚFINII
W zdaniu:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
Gdzie:
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
Twierdzenie ŚFINII wynika z prawa Kubusia:
A.
P~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia mówi, że warunek konieczny w logice dodatniej p~>q (bo q niezanegowane) jest równoważny warunkowi wystarczającemu ~p=>~q w logice ujemnej (bo q zanegowane)
Warunek wystarczający w logice ujemnej to tylko i wyłącznie dwie linie tabeli symbolicznej:
Warunek ten występuje wyłącznie w implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=>.
Z powyższego wynika, że zamiast badać warunek konieczny w logice dodatniej p~>q (bo q niezanegowane) możemy badać warunek wystarczający w logice ujemnej ~p=>~q (bo q zanegowane), co jest nieporównywalnie prostsze.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający w logice ujemnej ~p=>~q to automatycznie udowodnimy warunek konieczny w logice dodatniej p~>q.
Negujemy teraz wszystkie zmienne w równaniu A
B.
~p~>~q = p=>q
Z czego wynika, że warunek konieczny w logice ujemnej ~p~>~q (bo q zanegowane) jest równoważny warunkowi wystarczającemu w logice dodatniej p=>q (bo q niezanegowane)
czyli:
Zamiast badać warunek konieczny w logice ujemnej ~p~>~q możemy badać warunek wystarczający w logice dodatniej p=>q co jest nieporównywalnie prostsze.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający w logice dodatniej p=>q to automatycznie udowodnimy warunek konieczny w logice ujemnej ~p~>~q.
Oczywiście równanie A nie jest równoważne z B, bowiem wprowadziliśmy do zmiennych wyłącznie jedną negację.
p~>q = ~p=>~q ## ~p~>~q = p=>q
Gdzie:
## – różne na mocy definicji
Jeśli ponownie zanegujemy zmienne w równaniu B to musimy otrzymać A na mocy prawa podwójnego przeczenia:
A = ~(~A)
Negujemy zmienne w B i mamy:
C.
p~>q = ~p=>~q
czyli:
A=C
CND
Dziewicza definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
… i poniższe definicje implikacji i równoważności, zgodne z intuicją człowieka.
Alternatywne definicje implikacji i równoważności w NTI
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi
Na mocy powyższych definicji mamy:
p=>q=1 ## p~>q=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.
2.0 Twierdzenie ŚFINII
Twierdzenie ŚFINII to najważniejsze twierdzenie w logice, fundament NTI.
ŚFINIA, forum dyskusyjne Wuja Zbója, Ojczyzna Kubusia, to Hlefik w którym się urodził i gdzie od 5-ciu lat dokumentuje historię powstawania NTI krok po kroku.
Gdyby nie ŚFINIA algebra Kubusia nigdy by nie powstała, stąd najważniejsze twierdzenie nosi nazwę twierdzenia ŚFINII.
Pani do dzieci w przedszkolu:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
p~>q=1
Czy chmury są konieczne aby jutro padało ?
Jas (lat 5):
Tak proszę Pani.
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać.
CH~>P = ~CH=>~P
W sposób naturalny odkryliśmy tu jedno z najważniejszych praw logiki, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym, czyli spełnionym prawem Kubusia !
=> - spójnik „na pewno” => miedzy p i q
Stąd definicja warunku koniecznego każdego 5-cio latka:
Zabieramy p i musi zniknąć q, wtedy i tylko wtedy zachodzi warunek konieczny między p i q
Matematycznie oznacza to …
Twierdzenie ŚFINII:
W zdaniu:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
Czyli:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Dowód twierdzenia ŚFINII w punkcie 7.0
Działanie twierdzenia ŚFINII pokażemy na przykładach:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa
Warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Oczywista prawda, zatem w zdani A zachodzi warunek konieczny.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać
~CH=>P=0
Oczywisty fałsz, stąd w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
CH~>~P=0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik, wtedy i tylko wtedy w zdaniu C zachodzi warunek konieczny, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5,7…
Oczywista prawda, zatem w zdaniu C zachodzi warunek konieczny
D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6…
Warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 bo 3
Wniosek:
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny między p i q:
P2~>~P8=0
Zdanie to jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda
E.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 bo 8
Wniosek:
W zdaniu E nie zachodzi warunek konieczny
~P8~>P2=0
F.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5,7…
Warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24…
Wniosek:
W zdaniu F zachodzi warunek konieczny miedzy p i q
G.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2=0 bo 2
Wniosek:
W zdaniu G nie zachodzi warunek konieczny
P8~>P2=0
Zdanie G jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnik „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.
H.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 3 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P3=>~P8=0 bo 8
Wniosek:
W zdaniu H nie zachodzi warunek konieczny:
P3~>P8=0
Zdanie G jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnik „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.
Jak widzimy, twierdzenie ŚFINII, fundament NTI, działa doskonale.
2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
A1.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1
Dla dowolnej liczby, jej niepodzielność przez 2 wystarcza dla niepodzielności przez 8
~P2 wystarcza dla ~P8
Zatem w zdaniu A warunek konieczny zachodzi.
Sprawdzamy teraz zachodzenie warunku p=>q dla zdania A:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej bo:
P2~>P8=1
P2=>P8=0
CND
2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej
Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Dla dowolnej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
Zatem P8 wystarcza dla P2
CND
Sprawdzamy czy zachodzi warunek konieczny w kierunku P8~>P2:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~>P2
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
A2.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2 =0 bo 2
zatem w zdaniu A1 nie zachodzi warunek konieczny:
P8~>P2=0
Zdanie A1 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda
P8~~>P2=1 bo 8
Dla zdania A mamy zatem:
P8=>P2=1
P8~>P2=0
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicje implikacji prostej.
2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności
Definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe
TR=>KR=1
Oczywiście dla dowolnego trójkąta równobocznego na pewno zachodzą równe kąty
Zatem TR wystarcza dla KR
CND
Sprawdzamy teraz czy zachodzi warunek konieczny w kierunku TR~>KR:
A1
Jeśli trójkąt jest równoboczny to może mieć kąty równe
TR~>KR
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
Twarda prawda zatem warunek konieczny w kierunku TR~>KR zachodzi
Zatem dla zdania A mamy:
TR=>KR=1
TR~>KR=1
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję równoważności
Oczywiście zdanie A możemy tez wypowiedzieć w następujący sposób:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR) = 1*1=1
gdzie:
TR=>KR=1 – spełniony warunek wystarczający w kierunku p=>q
TR~>KR=1 – spełniony warunek konieczny w kierunku p~>q
Link do oryginału:
Algebra Kubusia – podręcznik dla liceum
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 23:04, 22 Sty 2011, w całości zmieniany 6 razy
|
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
