Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia NTZ dla Liceum (2014-11-01)
Idź do strony 1, 2  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 23:56, 01 Lis 2014    Temat postu: Algebra Kubusia NTZ dla Liceum (2014-11-01)

Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów dla Liceum


2014-11-01

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt ośmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania.

Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Volratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina, Pana Baryckiego, Zbigniewamillera, mar3x.
Specjalne podziękowania dla dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie od których Kubuś nauczył się logiki matematycznej. Zawsze, gdy nie był pewien czy dobrze rozumuje udawał się do przedszkola i otrzymywał odpowiedź, maluchy nigdy go nie zawiodły.

Algebrę Kobusia doskonale znają w praktyce wszelkie istoty żywe, bo wszelkie istoty żywe pod nią podlegają. Algebra Kubusia rządzi również światem martwym, czyli w sumie, wszystkim w naszym Wszechświecie.

Algebra Kubusia to matematyka naszego Wszechświata.


Spis treści
1.0 Notacja 5
2.0 Algebra Kubusia - definicje podstawowe 8
2.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów 8
2.2 Definicja definicji 9
2.3 Definicja minimalna 10
2.4 Podstawowe operacje na zbiorach 10
2.5 Pojęcie rozpoznawalne 12
2.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 13
2.7 Prawa Prosiaczka 16
3.0 Operatory jednoargumentowe w zbiorach 20
3.1 Definicja operatora logicznego 20
3.2 Operator transmisji 21
3.3 Operator negacji 23
3.4 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji 26
4.0 Operatory OR i AND 28
4.1 Operator AND 29
4.2 Operator OR 36
4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND 43
5.0 Implikacja i równoważność 45
5.1 Implikacja i równoważność w definicjach obliczeniowych 45
5.2 Operator chaosu 48
5.3 Implikacja prosta 51
5.4 Implikacja odwrotna 57
5.5 Równoważność 63
5.6 Implikacja - diagram ogólny 72
5.7 Równoważność - diagram ogólny 76


1.0 Notacja

Znaczenie ogólne 0 i 1:
=1 - prawda
=0 - fałsz

W algebrze Kubusia ograniczonej wyłącznie do spójników „lub”(+) i „i”(*) zbiory mają wartości logiczne:
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> zbiór na podstawie wektora ma ~~> co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q = p*q =1 - zbiór niepusty (istnieje, zawiera co najmniej jeden element)
p~~>q = p*q =0 - zbiór pusty (nie istnieje, nie zawiera żadnych elementów)

W algebrze Kubusia rozszerzonej o spójniki implikacyjne 0 i 1 oznacza:

Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
p=>q =1 - zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora
mamy inne znaczenie logicznego zera (=0) i logicznej jedynki (=1)
p~>q =1 zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q
Inaczej:
p~>q =0

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), spójniki implikacyjne (=>, ~>, ~~>)

Inne symbole używane w algebrze Kubusia:

~ - negacja
Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Spójniki przeciwne:
1.
Spójnik „i”(*) jest spójnikiem przeciwnym do spójnika „lub”(+)
2.
Warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”) jest spójnikiem przeciwnym do warunku koniecznego ~> (w implikacji spójnik „może”)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
gdzie:
Y = dotrzymam słowa
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y - skłamię

# - różne w znaczeniu:
p=>q # q=>p
Jeśli zdanie po jednej stronie znaku # jest prawdziwe to na pewno zdanie po drugiej stronie jest fałszywe i odwrotnie

## - różne na mocy definicji

Przykład:
Równanie ogólne operatorów OR i AND:
Operator OR ## Operator AND
Y=p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q

Zdanie po jednej stronie znaku ## nie ma żadnego związku ze zdaniem po drugiej stronie znaku ##

Znaczenia symbolu „=” w algebrze Kubusia.


Definicja warunku wystarczającego =>:
Diagram: A: p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się => w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja warunku koniecznego ~>:
Diagram: C: ~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać w sobie ~> zbiór wskazywany przez strzałkę wektora

Definicja naturalnego spójnika może ~~>:
Diagram: D: ~p~~>q
~~> zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p|=>q = (p=>q=~p~>~q)
Definicja tożsama:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja obliczeniowa implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q] =[p*q=p]*~[p=q] =1
gdzie:
Implikacja prosta:
p|=>q
to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę bo ~[p=q]=1
p=>q = [p*q=p] - definicja obliczeniowa warunku wystarczającego
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
[p*q=p]=[p=p]

Rodzaje tożsamości w algebrze Kubusia:
1.
Tożsamość logiczna:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Fałszywość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza fałszywość zdania po drugiej stronie
2.
Makrorozkaz tożsamości zbiorów:
[p=q]
gdzie:
= - oznacza tożsamość zbiorów
Jeśli zbiory p i q są tożsame to:
[p=q] =1
inaczej:
[p=q] =0
3.
Tożsamość wartościująca:
=1 - zdanie prawdziwe
=0 - zdanie fałszywe
4.
Tożsamość definicyjna:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Doskonale widać że w algebrze Kubusia znak tożsamości „=” występuje w czterech znaczeniach.
Nie ma sensu wprowadzania czterech różnych znaczków bo mózg człowieka to nie komputer.


2.0 Algebra Kubusia - definicje podstawowe

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>


2.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to Uniwersum lub dowolny podzbiór Uniwersum.

Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie zawężając Uniwersum do interesującego nas zbioru natomiast z Uniwersum, na mocy definicji nic nie możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy) ale dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.
Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (istnieje = zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty (nie istnieje = nie zawiera żadnych elementów)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1
Pierwsza tożsamość (p=[1,2,3,4]) to tożsamość definicyjna, natomiast druga tożsamość (=1) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi konkretną wartość logiczną (tu 1)

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty
Pierwsza tożsamość (p=[]) to tożsamość definicyjna, natomiast druga tożsamość (=0) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi konkretną wartość logiczną (tu 0)

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

A=[pies, kura]
B=[pies, kura]
stąd:
A=B
Trzecie, podstawowe znaczenie znaczka „=” to tożsamość zbiorów wyjaśniona wyżej (A=B).


2.2 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw

Ta definicja definicji obowiązuje także w matematycznych

2.3 Definicja minimalna

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym zmiennych binarnych.

Definicja definicji minimalnej w naszym Wszechświecie:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Przykład:
Zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka

Oczywiście nikt tu nie ma wątpliwości że chodzi o psa.

Można nawet przyjąć taką definicję minimalną:
Zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będący słoniem, nie będący drzewem, nie będący galaktyką … etc
P=>ZS*PC*~S*~D*~G …
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie słoń
Pies to nie drzewo
Pies to nie galaktyka
etc


2.4 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)

Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
I. ~0=1
II. ~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum.

W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.

Definicja:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego uniwersum ma wartość logiczną jeden.


2.5 Pojęcie rozpoznawalne

Notacja:
[x] - zbiór niepusty, mający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnych elementów

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
[x] =1
[] =0

W algebrze Kubusia zbiór pusty [] może zaistnieć wyłącznie jako wynik operacji na zbiorach, co wynika z definicji pojęcia rozpoznawalnego.

Definicja pojęcia rozpoznawalnego:
Pojęcie x jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~x)

Przykład:
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia pies jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=>S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie nie pies (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.

Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0

Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego uniwersum i od tej pory należy ono do naszego uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom … na przykład ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.


2.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)

Fundament algebry Kubusia.
p+~p=1
p*~p=0

Zero-jedynkowy fundament algebry Boole’a
1=~0
0=~1

Zero - element neutralny w alternatywie
p+0 =p
p+1 =1

Jeden - element neutralny w koniunkcji
p*1 =p
p*0 =0

Prawa pochłaniania w algebrze Boole’a:
p+p =p
p*p =p

W algebrze Boole’a nie chodzi o dodawanie czy mnożenie obiektów lecz o ich rozpoznawalność.
Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach

Alternatywa:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Koniunkcja:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Dowody:

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Dowód na naszym przykładzie:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
1. p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
2. p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.1. p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
Ad.2. p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)
stąd mamy fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
0=~1 - zbiór pusty to zaprzeczenie dziedziny
1= ~0 - zbiór pełny (dziedzina) to zaprzeczenia zbioru pustego
Wynika z tego że:
W dowolnym równaniu logicznym jedynka oznacza zbiór pełny (dziedzinę), natomiast zero oznacza zbiór pusty.

Dowód na przykładach mamy w kolejnych punktach:
3. p+0 =p
4. p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.3. p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
0 -element neutralny dla sumy logicznej
Ad.4. p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

4. p*1=p
5. p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.4. p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
Ad.5. p*0 = [1,2]*[] = [] =0 (zbiór pusty)

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach.
Suma logiczna zbiorów:
6.
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.6.
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

Iloczyn logiczny zbiorów:
7.
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.7.
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)

8. 1=~0
9. 0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.8.
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
Ad.9.
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

Prawa pochłaniania:
10. p+p =p
11. p*p=p
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.10. p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)
Ad.11. p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)


2.7 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka:
I.
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)

Zauważmy, że niezależnie czy jesteśmy w logice dodatniej (p), czy ujemnej (~p) znaczenie zera i jedynki jest identyczne:
1 = prawda
0 = fałsz
W algebrze Kubusia logika zaszyta jest w symbolach (p, ~p) a nie w zerach i jedynkach.

Dowód praw Prosiaczka:
Udajmy się w tym celu do przedszkola, to jest właściwe miejsce dla dowodu poprawności matematycznej praw Prosiaczka (początki nauki języka).

Oznaczmy symbolicznie:
P = [pies] =1
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy definicję pojęcia ~P, jako zbioru będącego uzupełnieniem pojęcia „pies” do dziedziny.
~P=[ZWZ-pies] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
W szczególności:
~P = [koza] =1

Scenka:
Tata w ZOO na spacerze ze swoim 3-letnim synkiem, Jasiem.

Jaś pokazuje paluszkiem psa i mówi:
A1.
To jest pies
P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)

Tata:
… a może to nie pies?
Jaś:
A2.
Fałszem jest że to nie jest pies!
~P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (~P)

Doskonale widać że zdania A1 i A2 są tożsame:
A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)

Następnie Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
Patrz tata i ucz się!
B1.
To nie jest pies
~P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (~P)

Tata:
… a może to jednak pies?

Jaś:
Tata, aleś ty głupi.
B2.
Fałszem jest że to jest pies!
P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)

Doskonale widać że zdania B1 i B2 są tożsame:
B1=B2

Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~P=1) = (P=0)

Matematycznie zachodzi:
A1=A2 # B1=B2
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo P) i ujemnej (bo ~P):
P = ~(~P)
Dowód:
Prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)
Stąd:
1 = ~(0) =1
cnd

Doskonale widać że prawo Prosiaczka działa w świecie zdeterminowanym, gdzie wszystko jest w 100% wiadome.
W świecie zdeterminowanym jeśli Jaś pokazuje psa to nie ma wyboru, musi ustawić symbol P na wartość logiczną 1.
P=1 - prawdą jest (=1) że widzę psa
Jaś nie może tu ustawić:
P=0 - fałszem jest (=0) że widzę psa
W logice symbol P jest stałą symboliczną, której wartości logicznej nie możemy zmienić.

Definicja:
Stała symboliczna to nazwa (np. pies) której wartość logiczna jest znana z góry i której to wartości logicznej nie jesteśmy w stanie zmienić.

Oczywistym jest, że jeśli nie jesteśmy w stanie zmienić wartości logicznej stałej symbolicznej to nie ma tu żadnej logiki matematycznej … ta po prostu leży i kwiczy.

Sprawdźmy czy prawa Prosiaczka działają także w świecie totalnie niezdeterminowanym gdzie nic nie jest z góry przesądzone, czyli nie znamy z góry wartości logicznych zmiennych binarnych. Oczywisty brak determinizmu to zdania w czasie przyszłym.

Oznaczmy symbolicznie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)

Rozważmy zdanie:
A1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
A2.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie matematycznie tożsame:
A3.
Fałszem będzie (=0) że skłamię (~Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=0 <=> K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
A1=A2=A3
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B1: ~Y=~K
stąd:
B1.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B2.
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B3.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1

Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
B1=B2=B3
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)

Matematycznie zachodzi:
A1=A2=A3 # B1=B2=B3
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i B1 mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y = K = ~(~K)

Mamy tu sytuację fundamentalnie różną niż w przypadku Jasia w ZOO, bo operujemy zmiennymi binarnymi a nie bezwzględnymi zerami i jedynkami.

W przyszłości może zajść:
A1.
Jutro pójdę do kina
(K=1)=(~K=0)
stąd:
(Y = 1) = (~Y=0)
Y=1 - dotrzymam słowa w logice dodatniej (bo Y)
~Y=0 - dotrzymam słowa w logice ujemnej (bo ~Y)
… ale równie dobrze może zajść:
Jutro nie pójdę do kina
(~K=1) = (K=0)
Stąd:
(~Y = 1) = ( Y=0)
~Y=1 - skłamię w logice ujemnej (bo ~Y
Y=0 - skłamię w logice dodatniej (bo Y)

W zdaniu A1 nic nie jest zdeterminowane, wszystko może się zdarzyć.

Doskonale widać że prawo Prosiaczka działa w świecie niezdeterminowanym, gdzie wszystko może się zdarzyć.
W świecie niezdeterminowanym, jeśli wypowiemy zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
To wartość logiczna zmiennych Y i K nie jest nam znana z góry.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna której wartości logicznej nie znamy z góry

Pojutrze może zajść cokolwiek:
Wczoraj byłem w kinie
(K=1) = (~K=0) - prawo Prosiaczka w świecie zdeterminowanym
lub
Wczoraj nie byłem w kinie
(~K=1) = (K=0) - prawo Prosiaczka w świecie zdeterminowanym




Podsumowując:
Prawa Prosiaczka działają genialnie zarówno w świecie zdeterminowanym, jak i niezdeterminowanym, możemy je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń, działają wszędzie.


3.0 Operatory jednoargumentowe w zbiorach

Prawo rozpoznawalności „pojęcia” w naszym wszechświecie:
Dowolne „pojęcie” p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy znamy jego zaprzeczenia ~p

Dowód na przykładzie abstrakcyjnym:
Wyobraźmy sobie ludzi żyjących i rozmnażających się w inkubatorze o idealnie stałej temperaturze:
T=const = 36,6 stopnia
W takim inkubatorze pojęcie ciepło-zimno nie istnieje bo nie sposób zmierzyć najmniejszej choćby różnicy temperatur.
Wniosek:
Nie jest możliwa znajomość pojęcia c (ciepło) bez znajomości pojęcia ~c (nie ciepło = zimno)


3.1 Definicja operatora logicznego

Prawo rozpoznawalności „pojęcia” w naszym Wszechświecie:
Dowolne „pojęcie” p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy znamy jego zaprzeczenie ~p

Na mocy powyższej definicji nie jest możliwe istnienie pojęć p i ~p, które byłoby zbiorem pustym (nierozpoznawalnym).

Przedstawmy zbiór jednoelementowy na diagramie:



Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia zbiory (pojęcia) p i ~p muszą istnieć, czyli ich wartość logiczna to 1.
p=1, ~p=1
Zbiory (pojęcia) p i ~p są rozłączne.

Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny to przyporządkowanie funkcji logicznej Y i ~Y zbiorom niepustym w taki sposób, aby pokryte zostały wszystkie rozłączne zbiory diagramu.

Dla powyższego diagramu możliwe są cztery przyporządkowania:

1.
Operator transmisji:
Y=p
~Y=~p
2.
Operator negacji:
Y=~p
~Y=p
3.
Operator chaosu:
Y =1
4.
Operator śmierci:
Y=0

Zauważmy, że definicyjne przyporządkowanie Y nie może dotyczyć wszystkich rozłącznych obszarów bo dostaniemy matematyczną sprzeczność.
Y=p
Y=~p
Y=Y
stąd mamy sprzeczność czysto matematyczną:
p=~p
cnd

Wynika z tego konieczność wprowadzenia do logiki kluczowych pojęć:
Y - logika dodania bo Y
~Y - logika ujemna bo ~Y


3.2 Operator transmisji

Definicja operatora transmisji w zbiorach:



Definicja operatora transmisji:
Operator transmisji to układ dwóch równań logicznych jednoznacznie opisujący wszystkie rozłączne zbiory na diagramie.
A: Y=p
B: ~Y=~p

Opis szczegółowy:
A.
Y= p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związki logiki dodatniej i ujemnej:

Logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y= p= ~(~p)

Logika ujemna (~Y) to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy:
~Y = ~p = ~(p) =~p

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora transmisji w logice dodatniej (bo Y):
A: Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
(p=1) = (~p=0)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem B otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora transmisji w logice ujemnej (bo ~Y):
B: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
(~p=1) = (p=0)
Kod:

Układ równań |Znaczenie   |Kodowanie zero-jedynkowe
logicznych   |            |dla Y=p |dla ~Y=~p |
             |            | p  Y=p |~p ~Y=~p  | p=~(~p)
A: Y= p      | Y=1<=> p=1 | 1   =1 | 0   =0   | =1
B:~Y=~p      |~Y=1<=>~p=1 | 0   =0 | 1   =1   | =0
   1  2        3      4     5    6   7    8      9


Tożsamość kolumn 5 i 9 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Na mocy prawa Prosiaczka obszary A56 i A78 są tożsame. Obszar A78 nie bierze udziału w logice, decyduje o tym znaczenie A34.
Podobnie:
Na mocy prawa Prosiaczka obszary B56 i B78 są tożsame. Obszar A56 nie bierze udziału w logice, decyduje o tym znaczenie B34.

Przykład:
Tata do Jasia (lat 5):
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Zdanie tożsame:
A1.
Prawdą będzie (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

Jaś:
.. tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~K
stąd:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B1.
Prawdą będzie (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:
Y= K =~(~K)
Tata:
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K = ~(~K)
Zauważmy, że punktem odniesienia jest tu zdanie wypowiedziane A:
A: Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Stąd w zdaniu C wartościujemy:
Y= K = ~[~(K)] = ~[~(1)] = ~[0] =1


3.3 Operator negacji

Definicja operatora negacji w zbiorach:



Definicja operatora negacji:
Operator negacji to układ dwóch równań logicznych jednoznacznie opisujący wszystkie rozłączne zbiory na diagramie.
A: Y=~p
B: ~Y=p

Opis szczegółowy:
A.
Y= ~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B.
~Y= p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Związki logiki dodatniej i ujemnej.

Logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:
Y= ~p= ~(p) =~p

Logika ujemna (~Y) to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy praw podwójnego przeczenia:
~Y = p = ~(~p)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora negacji w logice dodatniej (bo Y):
A: Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
(~p=1) = (p=0)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem B otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora negacji w logice ujemnej (bo ~Y):
B: ~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
(p=1) = (~p=0)
Kod:

Układ równań |Znaczenie   |Kodowanie zero-jedynkowe
logicznych   |            |dla Y=~p |dla ~Y=p |
             |            |~p  Y=~p | p ~Y=p  | p=~(~p)
A: Y=~p      | Y=1<=>~p=1 | 1   =1  | 0  =0   | =0
B:~Y= p      |~Y=1<=> p=1 | 0   =0  | 1  =1   | =1
   1  2        3      4     5    6    7   8      9


Tożsamość kolumn 7 i 9 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Na mocy prawa Prosiaczka obszary A56 i A78 są tożsame. Obszar A78 nie bierze udziału w logice, decyduje o tym znaczenie A34.
Podobnie:
Na mocy prawa Prosiaczka obszary B56 i B78 są tożsame. Obszar B56 nie bierze udziału w logice, decyduje o tym znaczenie B34.

Przykład:
Tata do Jasia (lat 5):
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>~K=1
Zdanie tożsame:
A1.
Prawdą będzie (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1

Jaś:
.. tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=K
stąd:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y= K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
B1.
Prawdą będzie (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:
Y= ~K =~(K)
Tata:
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro pójdziemy do kina (K)
Y = ~K = ~(K)
Zauważmy, że punktem odniesienia jest tu zdanie wypowiedziane A:
A: Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Stąd w zdaniu C musimy odtworzyć sygnał ~K korzystając z prawa podwójnego przeczenia:
Y=~K = ~[~(~K)]
Dopiero teraz wartościujemy:
Y = 1 = ~(~(1)] = ~[0] =1

3.4 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji

Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji:
Kod:

Operator transmisji                 ## Operator negacji

Definicja symboliczna               ## Definicja symboliczna
operatora transmisji Y=p            ## operatora negacji Y=~p
A1: Y=p                             ## B1: Y=~p
… kiedy skłamię?                    ## … a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) ## Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)
A2: ~Y=~p                           ## B2: ~Y=p


Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne (tu ich nie ma).

W operatorze transmisji zachodzą następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p = ~(~p)
Stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 mamy zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p = ~(p)

W operatorze negatora zachodzą następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy zdanie tożsame do B1:
B3: Y = ~p = ~(p)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 mamy zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = p = ~(~p)
stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zauważmy, że miedzy operatorem transmisji a operatorem negacji nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej między dowolnymi dwoma punktami.
Dowód:
W powyższej tabeli prawo przejścia do logiki przeciwnej może zachodzić wyłącznie po przekątnej A1-B2:
A1: Y=p
B2: ~Y=p
albo po przekątnej B1-A2:
B1: Y=~p
A2: ~Y=~p
Doskonale widać, że w obu przypadkach nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Wniosek:
Operator transmisji i operator negacji to dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Sygnały Y i p z operatora transmisji nie mają nic wspólnego z sygnałami Y i p z operatora negacji. Pod parametr p w obu operatorach możemy sobie podstawiać co nam dusza zagra, w szczególności parametr p może być identyczny w obu operatorach, to bez znaczenia.

Alternatywne równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji:
Kod:

Operator transmisji  ## Operator negacji
Y = p # ~Y=~p        ## Y=~p # ~Y=p

gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p)

Identyczne równania ogólne obowiązywać będą w pozostałych symetrycznych operatorach, co za chwilę zobaczymy.


4.0 Operatory OR i AND

Definicja operatorów AND, OR w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, co oznacza, że musi istnieć zbiór żółty na poniższym diagramie.



Legenda:
[x] =1 - wartość logiczna zbioru niepustego
[] =0 - wartość logiczna zbioru pustego (na mocy definicji nie ma takiego)

Zbiory:
p = B: [p*~q]+ A: [p*q] =1 - obszar zielony + brązowy
q = C: [~p*q] + A: [p*q] =1 - obszar niebieski + brązowy
D: [~p*~q] =1 - obszar żółty

Zbiory rozłączne to:
A: [p*q] =1
B: [p*~q] =1
C: [~p*q] =1
D: [~p*~q] =1
Dziedzina:
D = p*q+p*~q + ~p*q + ~p*~q
Sprawdźmy czy spełniona jest definicja dziedziny (D=1):
D = p*q+p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
;q+~q=1
;x*1 =x
D= p+~p =1
cnd


4.1 Operator AND

Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny to przyporządkowanie funkcji logicznej Y oraz ~Y zbiorom niepustym w taki sposób, aby pokryte zostały wszystkie rozłączne zbiory diagramu.



Najprostsze równanie ze spójnikiem „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Spójnik „i”(*) determinuje nam tu jeden, jedyny zbiór któremu musimy przypisać funkcję w logice dodatniej Y. Pozostałe obszary musimy opisać funkcją w logice ujemnej ~Y bo to jest dwuelementowa, symboliczna algebra Boole’a gdzie do dyspozycji mamy Y i ~Y - trzeciej możliwości nie ma.

Zauważmy, że funkcję logiczną Y możemy przyporządkować dowolnemu zbiorowi na powyższym diagramie.

Zacznijmy od klasyki:
I.
W:
A: Y = p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

To jest dwuelementowa algebra Boole’a, gdzie możliwa jest wyłącznie funkcja Y i ~Y - trzeciej możliwości nie ma.
Wynika z tego, że pozostałe obszary musimy oznaczyć funkcją w logice ujemnej (~Y).
~Y = ~Yb + ~Yc + ~Yd
~Yb=p*~q
~Yc=~p*q
~Yd=~p*~q
Stąd:
U: ~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
Jeśli nasze rozważania są poprawne to musi zachodzić tożsamość:
[U: ~Y=~p+~q] = [U: ~Y= p*~q + ~p*q + ~p*~q]
Dowód:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
;q+~q=1
;x*1 =x
~Y = (p*~q) +~p
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = (~p+q)*p
Y = ~p*p + q*p
;~p*p =0
;0+x =x
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q
Stąd mamy:
~Y = ~p+~q = p*~q + ~p*q + ~p*~q
cnd

Kompletny operator AND opisany jest równaniem logicznym:
A: Y=p*q - zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y)
U: ~Y=~p+~q - zdanie wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y)
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) i spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).
Uwaga!
Nie istnieje operator AND bez dwóch spójników „i”(*) i „lub”(+).
Operator AND nie jest monolitem, to nie tylko spójnik „i”(*) ale także spójnik „lub”(+).
Kojarzenie operatora AND wyłącznie ze spójnikiem „i”(*) jest błędem czysto matematycznym.

Definicja symboliczna operatora AND.
Kod:

W. Y=Ya=p*q
A: p* q = Ya
U. ~Y=~p+~q, ~Y=~Yb+~Yc+~Yd=~p*q+p*~q+~p*~q
B:~p* q =~Yb
C: p*~q =~Yc
D:~p*~q =~Yd


Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice dodatniej (bo Y):
W=A: Y=p*q
Prawa Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p+~q
Prawa Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Kod:

Definicja     |Kodowanie       |Kodowanie
symboliczna   |zero-jedynkowe  |zero-jedynkowe
w zbiorach    |dla Y=p*q       |dla ~Y=~p+~q
              | p  q Y=p*q     |~p ~q ~Y=~p+~q
W: Y=Ya=p*q
A: p* q = Ya  | 1* 1  =1       | 0+ 0   =0
U: ~Y=~p+~q, ~Y=~Yb+~Yc+~Yd=~p*q+p*~q+~p*~q
B:~p* q =~Yb  | 0* 1  =0       | 1+ 0   =1
C: p*~q =~Yc  | 1* 0  =0       | 0+ 1   =1
D:~p*~q =~Yd  | 0* 0  =0       | 1+ 1   =1
   1   2  3   | 4  5   6       | 7  8    9
              |Prawa Prosiaczka| Prawa Prosiaczka
              |(Y=1)=(~Y=0)    |(~Y=1)=(Y=0)
              |(p=1)=(~p=0)    |(~p=1)=(p=0)
              |(q=1)=(~q=0)    |(~q=1)=(q=0)
W - zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y)
U - zdanie wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y)


Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej i dodatniej:
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Jak tworzymy tabelę zero-jedynkową?
Pokażemy to na przykładzie tabeli ABCD678:
W nagłówku tabeli zapisujemy funkcję logiczną względem której będziemy kodować analizę symboliczną w zbiorach (ABCD123).
Sposób kodowania narzuca nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD789:
~Y=~p+~q
Szczegóły kodowania to prawa Prosiaczka u dołu tej tabeli.
Bierzemy linię A123:
Y=p*q
Z praw Prosiaczka pod tabelą ABCD789 odczytujemy:
Y=0, p=0, q=0
i dokładnie to zapisujemy w linii A789.
Bierzemy linię B123:
~Yb=~p*q
Z praw Prosiaczka pod tabelą ABCD789 odczytujemy:
~Y=1, ~p=1, q=0
i dokładnie to zapisujemy w linii B789.
etc.
Uwaga!
Tabelę zero-jedynkową kodujemy zawsze od góry do dołu spójnikiem użytym w nagłówku tabeli.

Zauważmy, że spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie linia A123 tabeli symbolicznej o kodowaniu zero-jedynkowym wyłącznie w linii A456 - to nie jest kompletna tabela zero-jedynkowa operatora AND (ABCD456).
Obszar BCD123 tabeli symbolicznej to spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) o kodowaniu zero-jedynkowym wyłącznie w obszarze BCD789 - to nie jest kompletna tabela zero-jedynkowa operatora OR (ABCD789).

Wniosek:
Ani spójnik „i”(*) ani też spójnik „lub”(+) nie są tu kompletnymi operatorami logicznymi bo nie opisują wszystkich możliwych obszarów w diagramie zbiorów.

Traktowanie spójnika „i”(*) jako kompletnego operatora ABCD456 jest błędem czysto matematycznym. Podobnie, traktowanie spójnika „lub”(+) jako kompletnego operatora ABCD789 jest błędem czysto matematycznym.

Przykład:
W.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
A: Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
…. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~K+~T
stąd:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Zauważmy, że w naszym przykładzie przypisaliśmy funkcję logiczną Y obszarowi A.
Oczywistym jest, że obszar A nie jest tu świętą krową!
Równie dobrze funkcję logiczną Y możemy przypisać dowolnemu z pozostałych obszarów:
Yb, Yc, Yd

Pozostałe możliwości jakie tu mamy są następujące:
II.
W:
B: Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~p+q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Z diagramu sumujemy logicznie wszystkie pozostałe obszary (z wyjątkiem B):
~Y = ~Ya+~Yc +~Yd
~Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Matematycznie musi zachodzić:
~Y = ~p+q = p*q + p*~q + ~p*~q
Dowód zrobiliśmy wyżej.

Przykład:
W:
Jutro pójdziemy do kina ale pójdziemy do teatru
B: Y=K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~K+T
stąd:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
U: ~Y=~K+T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

III.
W:
C: Y=~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Z diagramu sumujemy logicznie wszystkie pozostałe obszary (z wyjątkiem C):
~Y = ~Ya+~Yb + ~Yd
~Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Matematycznie musi zachodzić:
~Y = ~p+q = p*q + p*~q + ~p*~q
Dowód zrobiliśmy wyżej.

Przykład:
W.
Jutro nie pójdziemy do kina ale pójdziemy do teatru
A: Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
…. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=K+~T
stąd:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)

IV.
W:
D: Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=p+q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1
Z diagramu sumujemy logicznie wszystkie pozostałe obszary (z wyjątkiem D):
~Y = ~Ya+ ~Yb +~Yc
~Y = p*q +~p*q + p*~q
Matematycznie musi zachodzić:
~Y = p+q = p*q + ~p*q + p*~q
Dowód zrobiliśmy wyżej.

Przykład:
W.
Jutro nie pójdziemy ani do kina ani do teatru
Jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
A: Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
…. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=K+T
stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=K+T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice dodatniej (bo Y):
W=A: Y=~K*~T
Prawa Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
(~K=1)=(K=0)
(~T=1)=(T=0)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=K+T
Prawa Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
(K=1)=(~K=0)
(T=1)=(~T=0)
Kod:

Analiza       |Kodowanie        |Kodowanie
symboliczna   |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe
w zbiorach    |dla Y=~p*~q      |dla ~Y=p+q
              |~p ~q Y=~p*~q    | p  q ~Y=p+q
U:~Y=p+q, ~Y=~Ya+~Yb+~Yc=p*q+~p*q+p*~q
A: p* q =~Ya  | 0* 0  =0        | 1+ 1   =1
B:~p* q =~Yb  | 1* 0  =0        | 0+ 1   =1
C: p*~q =~Yc  | 0* 1  =0        | 1+ 0   =1
W: Y=Yd=~p*~q
D:~p*~q = Yd  | 1* 1  =1        | 0+ 0   =0
   1  2   3   | 4  5   6        | 7  8    9
              |Prawa Prosiaczka |Prawa Prosiaczka
              |( Y=1)=(~Y=0)    |(~Y=1)=( Y=0)
              |(~p=1)=( p=0)    |( p=1)=(~p=0)
              |(~q=1)=( q=0)    |( q=1)=(~q=0)
W - zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y)
U - zdanie wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y)


Tym razem spójnik „i”(*) to wyłącznie linia D123 tabeli symbolicznej o kodowaniu zero-jedynkowym wyłącznie w linii D456 - to nie jest kompletna tabela zero-jedynkowa operatora AND (ABCD456).

Obszar ABC123 tabeli symbolicznej to spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) o kodowaniu zero-jedynkowym wyłącznie w obszarze ABC789 - to nie jest kompletna tabela zero-jedynkowa OR (ABCD789)

Podsumowując:
Spójnik „i”(*) ## Operator AND
Spójnik „lub”(+) ## Operator OR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

W logice Ziemian w której zachodzą tożsamości:
Spójnik „i”(*) = Operator AND
Spójnik „lub”(+) = Operator OR
Mamy do czynienia z błędem czysto matematycznym.

Jakie są konsekwencje tego czysto matematycznego błędu?

Logika Ziemian nie widzi kompletnego operatora AND opisanego układem równań logicznych:
A: Y=p*q
U: ~Y=~p+~q
Widząc wyłącznie funkcję A nie potrafi odpowiedzieć kiedy w przyszłości skłamię (~Y) w równaniu logicznym. Logika człowieka to logika równań logicznych, brak opisu równaniem logicznym przypadku kiedy w przyszłości skłamię to oczywista tragedia logiki matematycznej Ziemian.

Ziemianie w ogóle nie potrafią zapisywać równań logicznych tzn. nie widzą funkcji logicznych Y i ~Y.
Goły zapis który używają:
p*q
Nie jest jednoznaczny bo temu zapisowi możemy przyporządkować funkcję Y albo ~Y:
Y=p*q
~Y=p*q
Dopiero zapis w postaci funkcji logicznej jest w 100% jednoznaczny, bo pokazuje kiedy dotrzymam słowa (Y) a kiedy skłamię (~Y) - a to jest fundamentalna różnica.


4.2 Operator OR

Definicja operatorów AND, OR w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, co oznacza, że musi istnieć zbiór żółty na poniższym diagramie.



Legenda:
[x] =1 - wartość logiczna zbioru niepustego
[] =0 - wartość logiczna zbioru pustego (na mocy definicji nie ma takiego)

Zbiory:
p = B: [p*~q]+ A: [p*q] =1 - obszar zielony + brązowy
q = C: [~p*q] + A: [p*q] =1 - obszar niebieski + brązowy
D: [~p*~q] =1 - obszar żółty

Zbiory rozłączne to:
A: [p*q] =1
B: [p*~q] =1
C: [~p*q] =1
D: [~p*~q] =1
Dziedzina:
D = p*q+p*~q + ~p*q + ~p*~q

Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny to przyporządkowanie funkcji logicznej Y oraz ~Y zbiorom niepustym w taki sposób, aby pokryte zostały wszystkie rozłączne zbiory diagramu.

Sytuacja jest tu analogiczna jak w operatorze AND szczegółowo opisanym wyżej.

Najprostsze równanie ze spójnikiem „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Spójnik „i”(*) determinuje nam tu jeden, jedyny zbiór któremu musimy przypisać funkcję w logice ujemnej ~Y. Pozostałe obszary musimy opisać funkcją Y bo to jest dwuelementowa, symboliczna algebra Boole’a gdzie do dyspozycji mamy Y i ~Y - trzeciej możliwości nie ma.

I.
U:
A: ~Y=p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
W: Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Y to suma logiczna wszystkich obszarów z wyjątkiem A.
Z diagramu odczytujemy:
Y = Yb+Yc+Yd
Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y = ~p+~q = p*~q + ~p*q + ~p*~q
Dowód:
Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y=p*~q + ~p*(q+~q)
;q+~q=1
;~p*1=~p
Y= (p*~q)+~p
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+q)*p
~Y =~p*p + p*q
;~p*p =0
;0+x=x
~Y= p*q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=~p+~q
Stąd:
Y = ~p+~q = p*~q + ~p*q + ~p*~q
cnd

Oczywiście nie ma znaczenia czy jako pierwsze wypowiemy zdanie W czy U, bo prawo przejścia do logiki przeciwnej działa w dwie strony.

Przykład:
W.
Jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru
Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
…. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=K*T
stąd:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
~Y=K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

II.
U:
B: ~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
W: Y=~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Y to suma logiczna wszystkich obszarów z wyjątkiem B.
Z diagramu odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y = ~p+q = p*q + ~p*q + ~p*~q
Dowód analogiczny do I.

Oczywiście nie ma znaczenia czy jako pierwsze wypowiemy zdanie W czy U, bo prawo przejścia do logiki przeciwnej działa w dwie strony.

Przykład:
W.
Jutro nie pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru
Y=~K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
…. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=K*~T
stąd:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

III.
U:
C: ~Y=~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
W: Y=p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Y to suma logiczna wszystkich obszarów z wyjątkiem C.
Z diagramu odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yd
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y = p+~q = p*q + p*~q + ~p*~q
Dowód analogiczny do I.

Oczywiście nie ma znaczenia czy jako pierwsze wypowiemy zdanie W czy U, bo prawo przejścia do logiki przeciwnej działa w dwie strony.

Przykład:
W.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru
Y=K+~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
…. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~K*T
stąd:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
~Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

IV
U.
D: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
W: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Y to suma logiczna wszystkich obszarów z wyjątkiem D.
Z diagramu odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Matematycznie zachodzi:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód analogiczny do I.

Oczywiście nie ma znaczenia czy jako pierwsze wypowiemy zdanie W czy U, bo prawo przejścia do logiki przeciwnej działa w dwie strony.

Przykład:
W.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
…. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~K*~T
stąd:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Kompletny operator OR opisany jest równaniem logicznym:
W: Y=p+q - zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y)
U: ~Y=~p*~q - zdanie wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y)
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) i spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).
Uwaga!
Nie istnieje operator OR bez dwóch spójników „lub”(+) i „i”(*).
Operator OR nie jest monolitem, to nie tylko spójnik „lub”(+) ale także spójnik „i”(*).
Kojarzenie operatora OR wyłącznie ze spójnikiem „lub”(+) jest błędem czysto matematycznym!

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

W: Y=p+q, Y=Ya+Yb+Yc=p*q+~p*q+p*~q
A: p* q = Ya
B:~p* q = Yb
C: p*~q = Yc
U: ~Y=~Yd=~p*~q
D:~p*~q =~Yd


Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice dodatniej (bo Y).
W: Y=p+q
Prawa Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y-0)
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y).
U=D: ~Y=~p*~q
Prawa Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y-0)
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Kod:

Definicja     |Kodowanie       |Kodowanie
symboliczna   |zero-jedynkowe  |zero-jedynkowe
w zbiorach    |dla Y=p+q       |dla ~Y=~p*~q
              | p  q Y=p+q     |~p ~q ~Y=~p*~q
W: Y=p+q, Y=Ya+Yb+Yc=p*q+~p*q+p*~q
A: p* q = Ya  | 1+ 1  =1       | 0* 0   =0
B:~p* q = Yb  | 0+ 1  =1       | 1* 0   =0
C: p*~q = Yc  | 1+ 0  =1       | 0* 1   =0
U:~Y=~Yd=~p*~q
D:~p*~q =~Yd  | 0+ 0  =0       | 1* 1   =1
   1  2   3   | 4  5   6       | 7  8    9
              |Prawa Prosiaczka| Prawa Prosiaczka
              |(Y=1)=(~Y=0)    |(~Y=1)=(Y=0)
              |(p=1)=(~p=0)    |(~p=1)=(p=0)
              |(q=1)=(~q=0)    |(~q=1)=(q=0)


Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej i dodatniej:
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Jak tworzymy tabelę zero-jedynkową?
Pokażemy to na przykładzie tabeli ABCD456:
W nagłówku tabeli zapisujemy funkcję logiczną względem której będziemy kodować analizę symboliczną w zbiorach (ABCD123).
Sposób kodowania narzuca nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
Y=p+q
Szczegóły kodowania to prawa Prosiaczka u dołu tej tabeli.
Bierzemy linię C123:
Yc=p*~q
Z praw Prosiaczka pod tabelą ABCD456 odczytujemy:
Y=1, p=1, ~q=0
i dokładnie to zapisujemy w linii C456.
Bierzemy linię D123:
~Yd=~p*~q
Z praw Prosiaczka pod tabelą ABCD456 odczytujemy:
~Y=0, ~p=0, ~q=0
i dokładnie to zapisujemy w linii D456.
etc.
Uwaga!
Tabelę zero-jedynkową kodujemy zawsze od góry do dołu spójnikiem użytym w nagłówku tabeli.

Obszar ABC123 tabeli symbolicznej to spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) o kodowaniu zero-jedynkowym wyłącznie w obszarze ABC456 - to nie jest kompletna tabela zero-jedynkowa operatora OR (ABCD456).
Spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to wyłącznie linia D123 tabeli symbolicznej o kodowaniu zero-jedynkowym wyłącznie w linii D789 - to nie jest kompletna tabela zero-jedynkowa operatora AND (ABCD789)

Wniosek:
Ani spójnik „lub”(+) ani też spójnik „i”(*) nie są tu kompletnymi operatorami logicznymi bo nie opisują wszystkich możliwych obszarów w diagramie zbiorów.

Traktowanie spójnika „lub”(+) jako kompletnego operatora ABCD456 jest błędem czysto matematycznym. Podobnie, traktowanie spójnika „i”(*) jako kompletnego operatora ABCD789 jest błędem czysto matematycznym.

Wniosek generalny:
W jedynej poprawnej logice matematycznej, symbolicznej algebrze Kubusia (równania algebry Boole’a) wszelkie tabele zero-jedynkowe nie są potrzebne, bowiem w równaniach logicznych mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki!
Dowód:
Patrz wszystkie przykłady wyżej.

Podsumowując:
Logika Ziemian widząca w operatorze OR wyłącznie spójnik „lub”(+), natomiast w operatorze AND wyłącznie spójnik „i”(*) jest matematycznie błędna.
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 22:33, 10 Gru 2014, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:30, 03 Lis 2014    Temat postu:

4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Kod:

Operator OR                         ## Operator AND

Definicja symboliczna operatora OR  ## Definicja symboliczna operatora AND
A1: Y=p+q                           ## B1: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) ## Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)
A2: ~Y=~p*~q                        ## B2: ~Y=~p+~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Operator OR:

Z symbolicznej definicji operatora OR wynikają następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p+q = ~(~p*~q)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Operator AND:

Z symbolicznej definicji operatora AND wynikają następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do B1:
B3: Y = p*q = ~(~p+~q)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Zauważmy, że miedzy operatorem OR a operatorem AND nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej między dowolnymi dwoma punktami.
Dowód:
W powyższej tabeli prawo przejścia do logiki przeciwnej może zachodzić wyłącznie po przekątnej A1-B2:
A1: Y=p+q
B2: ~Y=~p+~q
albo po przekątnej B1-A2:
B1: Y=p*q
A2: ~Y=~p*~q
Doskonale widać, że w obu przypadkach nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Wniosek:
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)
Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.

Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykład:
Y=p+q
Parametry formalne to:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Parametry aktualne to:
K = Kino
T=Teatr


5.0 Implikacja i równoważność

Notacja:
[p*q=p] - w nawiasach kwadratowych zamieszczono operacje na zbiorach

Definicje obliczeniowe operatorów implikacji i równoważności są nieczułe na rzeczywiste relacje zbiorów p i q tzn. dają poprawny wynik niezależnie od tego czy zbiory p o q są rozłączne, czy też jeden zawiera się w drugim częściowo lub całkowicie.


5.1 Implikacja i równoważność w definicjach obliczeniowych

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q
Na mocy definicji wystarczy że znajdziemy jeden wspólny element p i q i już wartość logiczna zdania jest równa 1.

Definicja obliczeniowa naturalnego spójnika „może”~~>:
p~~>q = [p*q]
co matematycznie oznacza:
(p~~>q)=1 <=> [p*q]=1
inaczej:
(p~~>q)=[p*q] =0

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q

Bezpośrednio z tej definicji wynika obliczeniowa definicja warunku wystarczającego.
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to koniunkcja tych zbiorów musi być zbiorem p.

Obliczeniowa definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = [p*q=p]
co matematycznie oznacza:
p=>q =1 <=> [p*q=p] =1
W wyniku mamy tu 1 bo zbiór p zawiera się => w zbiorze q (a nie że zbiór wynikowy p jest niepusty!)
inaczej:
p=>q = [p*q=p] =0

Definicja warunku wystarczającego to nic innego jak kwantyfikator duży.
/\x p(x)=>q(x)
Dla dowolnego elementu x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno x należy do zbioru q(x)

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram p i musi mi zniknąć q

Bezpośrednio z tej definicji wynika obliczeniowa definicja warunku koniecznego ~>.
Jeśli zbiór p zawiera w sobie zbiór q to koniunkcja tych zbiorów musi być zbiorem q.

Obliczeniowa definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = [p*q=q]
co matematycznie oznacza:
p~>q =1 <=> [p*q=q] =1
W wyniku mamy tu jedynkę bo zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q (a nie że zbiór wynikowy q jest niepusty)
inaczej:
p~>q = [p*q=q] =0

Zauważmy, że warunku koniecznego ~> nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.

IV
Definicja implikacji prostej |=>:
p|=> = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Podstawiając II mamy definicję obliczeniową implikacji prostej.

Definicja obliczeniowa implikacji prostej |=>:
p|=>q = [p*q=p]*~[p=q]
co matematycznie oznacza:
p|=>q =1 <=> [p*q=p]=1 i ~[p=q] =1
Inaczej, czyli jeśli zbiór p nie zawiera się w zbiorze q:
p|=>q =0
Implikacja prosta to warunek wystarczający zachodzący wyłącznie w jedną stronę.

V.
Definicja implikacji odwrotnej |~>:
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Podstawiając III mamy definicję obliczeniową implikacji odwrotnej.

Definicja obliczeniowa implikacji odwrotnej:
p|~>q = [p*q=q]*~[p=q]
co matematycznie oznacza:
p|~>q =1 <=> [p*q=q]=1 i ~[p=q] =1
Inaczej, czyli jeśli zbiór p nie zawiera w sobie zbioru q:
p|~>q =0
Implikacja odwrotna to warunek konieczny ~> zachodzący wyłącznie w jedną stronę.

VI.
Definicja równoważności
p<=>q = (p=>q)*(p=q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Korzystając z II mamy definicję obliczeniową równoważności.

Definicja obliczeniowa równoważności:
p<=>q = [p*q=p]*[q*p=q]
co matematycznie oznacza:
p<=>q =1 <=> [p*q=p] =1 i [q*p=q] =1
inaczej, czyli jeśli zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q:
p<=>q =0
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony.


5.2 Operator chaosu

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q
Na mocy definicji wystarczy że znajdziemy jeden wspólny element p i q i już wartość logiczna zdania jest równa 1.

Definicja obliczeniowa naturalnego spójnika „może”~~>:
p~~>q = [p*q]
co matematycznie oznacza:
(p~~>q)=1 <=> [p*q]=1
inaczej:
(p~~>q)=[p*q] =0

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)



Definicja operatorów chaosu w zbiorach:
p|~~>q
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, co oznacza, że musi istnieć zbiór żółty na poniższym diagramie.

Legenda:
[x] =1 - wartość logiczna zbioru niepustego
[] =0 - wartość logiczna zbioru pustego (na mocy definicji nie ma takiego)

Zbiory:
p = B: [p*~q]+ A: [p*q] =1 - obszar zielony + brązowy
q = C: [~p*q] + A: [p*q] =1 - obszar niebieski + brązowy
D: [~p*~q] =1 - obszar żółty

Zbiory rozłączne to:
A: [p*q] =1
B: [p*~q] =1
C: [~p*q] =1
D: [~p*~q] =1

Definicja operatora chaosu:
p|~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q

Definicja symboliczna operatora chaosu odczytana z powyższej tabeli:
A.
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i q
B.
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to „może” ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje element wspólny zbiorów ~p i ~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to „może” ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów ~p i q

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p~~>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Kod:

Definicja symboliczna       |Definicja zero-jedynkowa
w zbiorach                  |dla kodowania: p~~>q
                     p~~>q  | p   q p~~>q
A: p~~> q = [ p* q] =1      | 1~~>1  =1
B: p~~>~q = [ p*~q] =1      | 1~~>0  =1
C:~p~~>~q = [~p*~q] =1      | 0~~>0  =1
D:~p~~> q = [~p* q] =1      | 0~~>1  =1
   a    b     c  d   e        1   2   3
                            |Prawa Prosiaczka:
                            |(p=1)=(~p=0)
                            |(q=1)=(~q=0)

Zasady tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
Korzystając z praw Prosiaczka kodujemy definicję symboliczną w zbiorach ABCDab zero-jedynkowo zgodnie z punktem odniesienia ustalonym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
W kodzie maszynowym stosujemy spójnik ~~> widoczny w funkcji logicznej opisującej kolumnę wynikową ABCD3.

Definicja operatora chaosu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q =p*q+p*~q+~p*~q+~p*q
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q

Na mocy definicji zachodzi:
Naturalny spójnik „może” ~~> ## operator chaosu|~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

W operatorze chaosu argumenty są przemienne bo przemienna jest koniunkcja zbiorów p i q, zatem jeśli zdanie p~~>q spełnia definicję operatora chaosu to zdanie q~~>p również spełnia definicję operatora chaosu.

Dowód formalny przemienności argumentów w operatorze chaosu:
Kod:

   p   q p~~>q  q   p  q~~>p
A: 1~~>1  =1    1~~>1   =1
B: 1~~>0  =1    0~~>1   =1
C: 0~~>1  =1    1~~>0   =1
D: 0~~>0  =1    0~~>0   =1
   1   2   3    4   5    6


Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w operatorze chaosu.

Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
p~~>q =1

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
p~~>q=p*q =1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
p~~>~q =p*~q =1
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
~p~~>~q = ~p*~q =1
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
~p~~>q = ~p*q =1

Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć, bez żadnej gwarancji matematycznej.

Zapis:
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 8
oznacza że interesuje nas wyłącznie zdanie A.
Zapisem:
P8|~>P3 = P8*P3 =1 bo 8
sygnalizujemy iż wiemy że zdanie A jest częścią operatora chaosu, czyli matematycznego śmiecia.


5.3 Implikacja prosta



Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p|=>q = (p=>q = ~p~>~q)
Definicja tożsama:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja obliczeniowa implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q=~p~>~q) = (p=>q)*~[p=q] =[p*q=p]*~[p=q] =1
gdzie:
Implikacja prosta:
p|=>q
to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę bo ~[p=q]=1
p=>q = [p*q=p] - definicja obliczeniowa warunku wystarczającego

Uwaga:
Jeśli warunek wystarczający p=>q wchodzi w skład definicji implikacji prostej to można uznać iż jednocześnie jest on implikacją prostą p|=>q.
stąd:
Popularna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to wynikanie (warunek wystarczający =>) wyłącznie w jedną stronę.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Warunek wystarczający ## implikacja prosta
p=>q=[p*q=p]          ## p|=>q=(p=>q)*~[p=q]=[p*q=p]*~[p=q]

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przypomnienie notacji obowiązującej w algebrze Kubusia:
1.
Tożsamość logiczna:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Fałszywość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza fałszywość zdania po drugiej stronie
2.
Makrorozkaz tożsamości zbiorów:
[p=q]
gdzie:
= - oznacza tożsamość zbiorów
Jeśli zbiory p i q są tożsame to:
[p=q] =1
inaczej:
[p=q] =0
3.
Tożsamość wartościująca:
=1 - zdanie prawdziwe
=0 - zdanie fałszywe
4.
Tożsamość definicyjna:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Doskonale widać że w algebrze Kubusia znak tożsamości „=” występuje w czterech znaczeniach.
Nie ma sensu wprowadzania czterech różnych znaczków bo mózg człowieka to nie komputer.

Dziedzina (zbiory istniejące):
A: [p*q =p] =1 - zbiór brązowy
C: [~p*~q = ~q] =1 - zbiór żółty
D: [~p*q] =1 - zbiór niebieski
Zbiór pusty (nieistniejący):
B: [p*~q] =[] =0

Stąd mamy:
Definicja implikacji w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne w obrębie dziedziny

Dla porównania:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne w obrębie dziedziny
… poznamy za chwilę.

Bezpośrednio z powyższego diagramu odczytujemy pełną, symboliczną definicję implikacji prostej.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=> q = [p*q=p] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = [p*~q] =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
Zdanie B to definicja kontrprzykładu dla zdania A.
Z prawdziwości zdania A wynika fałszywość kontrprzykładu B i odwrotnie, z fałszywości kontrprzykładu B wynika prawdziwość zdania A.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = [~p*~q =~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = [~p*q] =1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i q (obszar niebieski)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo:
Prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = [p*~q] =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D wykluczony jest warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~> bowiem zbiór p*~q fizycznie istnieje (zbiór niebieski)

Definicja implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
p|=>q = (p=>q = ~p~>~q)
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zauważmy, że ze zdania A spełniającego definicję implikacji prostej wynikają wszystkie inne zdania: B, C i D

Definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
~p|~>~q = (~p~>~q = p=>q)
~p|~>~q = (~p~>~q)*~[~p=~q]
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
Zauważmy że ze zdania C spełniającego definicję implikacji odwrotnej wynikają wszystkie inne zdania: A, B i D

Symboliczna definicja implikacji prostej w wersji skróconej:
Kod:

A: p=> q = p* q = p =1 - zbiór p zawiera się w zbiorze q (gwarancja)
B: p~~>~q= p*~q     =0 - twardy fałsz, wynikły ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =~p*~q =~q =1 - zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
D:~p~~>q =~p* q     =1 - zbiory ~p i ~q są różne, stąd ~p*q=1


Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p mamy w liniach AB bowiem tylko tu widzimy niezanegowane p.
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p mamy w liniach CD bowiem tylko tu widzimy zanegowane p (~p).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=1)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p~>~q
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=1)
Kod:

Definicja symboliczna    |Definicja      |Definicja
w zbiorach               |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
                         |dla A:p=>q     |dla C:~p~>~q
                         | p   q   p=>q  | ~p   ~q ~p~>~q
A: p=> q =[ p* q = p] =1 | 1=> 1    =1   |  0~> 0    =1
B: p~~>~q=[ p*~q]     =0 | 1=> 0    =0   |  0~> 1    =0
C:~p~>~q =[~p*~q =~q] =1 | 0=> 0    =1   |  1~> 1    =1
D:~p~~>q =[~p* q]     =1 | 0=> 1    =1   |  1~> 0    =1
   1   2    a  b   c   3   4   5     6      7   8     9


Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to jednocześnie definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a.
Matematyczny związek występuje wyłącznie między zdaniami A i C, to definicja implikacji prostej.
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania D jest wymuszona przez definicję implikacji prostej w zbiorach.
Zdania C i D to w implikacji najzwyklejsze „rzucanie monetą”, jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q albo q.

Obszary CD456 i AB789 (czerwone) nie biorą udziału w logice.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy wyłącznie w obszarze AB456 bowiem tylko tu widzimy p=1.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy wyłącznie w obszarze CD789 bowiem tylko tu widzimy ~p=1.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami: p, ~p, q, ~q
Definicja symboliczna implikacji prostej to obszar ABCD123.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej (ABCD123) wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia. W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.

Z obszaru ABCDab3 odczytujemy definicję implikacji prostej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
p=>q =1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Na mocy definicji spójników „i”(*) (koniunkcja zbiorów) i „lub”(+) (alternatywa zbiorów) wystarczy że pokażemy jeden przypadek prawdziwy z prawej strony i już udowodnimy:
p=>q =1
… tylko czy aby na pewno?

Twierdzenie Hipcia:
Definicja implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisuje poprawnie wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą zajść w przyszłości wtedy i tylko wtedy gdy uprzednio udowodnimy iż zdanie p=>q wchodzi w skład definicji implikacji prostej.

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zdanie tożsame do A to zdanie zapisane kwantyfikatorem dużym:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => x należy do zbioru q(x)
Dodatkowo musimy udowodnić iż zbiory p(x) i q(x) są różne co wymusi implikację prostą o definicji:
p=>q = ~p~>~q

Dopiero w tym momencie mamy 100% pewność iż prawa strona poniższego równania:
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
opisuje poprawnie wszystkie możliwe przypadki jakie mogą zajść w przyszłości.

Oczywiście ten dowód prawdziwości zdania p=>q jest zupełnie czym innym niż pokazanie jednego przypadku prawdziwego w definicji zdania p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+).

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p|=>q = (p=>q = ~p~>~q)
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q



Definicja implikacji prostej:
P|=>4L = (P=>4L = ~P~>~4L)
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L] = [P*4L=P]*~[P=4L] = [P=P]*~[P=4L] = 1*~[0] = 1*1 =1
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
Nasz przykład spełnia definicję implikacji prostej.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Zdanie A w zbiorach:
A: P=>4L =[P*4L=P] =1
A: p=>q = [p*q =p] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P [pies] zawiera się => w zbiorze 4L [pies, słoń..] (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

Bezpośrednio ze zdania A wynika fałszywość zdania B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 0 - twardy fałsz, wynikły ze zdania A
Zdanie B w zbiorach:
B: P~~>~4L =[P*~4L ]=1*1 =0 (zbiór pusty)
B: p~~>~q =[p*~q] =1
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Zdanie B to kontrprzykład dla zdania A.

Z prawdziwości zdania A wynika fałszywość kontrprzykładu B i odwrotnie, z fałszywości kontrprzykładu B wynika prawdziwość zdania A.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla zdania A:
A: p=>q
jest zdanie B:
B: p~~>~q
powstałe ze zdania A w którym zanegowano następnik i użyto naturalnego spójnika „może” ~~>.

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Zdanie C w zbiorach:
C: ~P~>~4L = [~P*~4L =~4L] =1
C: ~p~>~q = [~p*~q =~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P [kura, wąż, słoń ..] zawiera w sobie ~> zbiór ~4L [kura, wąż..] (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L

Bezpośrednio ze zdania C wynika prawdziwość zdania D:
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
Zdanie D w zbiorach:
D: ~P~~>4L = [~P*4L =1] bo słoń, zbiór niepusty
D: ~p~~>q =[ ~p*q] =1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (np. słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L = [P*~4L=P] = [[]=P] =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P i 4L (np. słoń).


5.4 Implikacja odwrotna



Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p|~>q = (p~>q = ~p=>~q)
Definicja tożsama:
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja obliczeniowa implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p~>q = ~p=>~q) = (p~>q)*~[p=q] = [p*q=q]*~[p=q] =1
gdzie:
Implikacja odwrotna:
p|~>q
to warunek konieczny ~> zachodzący wyłącznie w jedną stronę bo ~[p=q]=1
p~>q = [p*q=q] - definicja obliczeniowa warunku koniecznego

Uwaga:
Jeśli warunek konieczny ~> wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej to można uznać iż jednocześnie jest on implikacją odwrotną p|~>q.
stąd:
Popularna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to warunek konieczny ~> zachodzący wyłącznie w jedną stronę.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Warunek konieczny ## implikacja odwrotna
p~>q=[p*q=q]      ## p|~>q=(p~>q)*~[p=q]=[p*q=q]*~[p=q]

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przypomnienie notacji obowiązującej w algebrze Kubusia:
1.
Tożsamość logiczna:
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Fałszywość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza fałszywość zdania po drugiej stronie
2.
Makrorozkaz tożsamości zbiorów:
[p=q]
gdzie:
= - oznacza tożsamość zbiorów
Jeśli zbiory p i q są tożsame to:
[p=q] =1
inaczej:
[p=q] =0
3.
Tożsamość wartościująca:
=1 - zdanie prawdziwe
=0 - zdanie fałszywe
4.
Tożsamość definicyjna:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Doskonale widać że w algebrze Kubusia znak tożsamości „=” występuje w czterech znaczeniach.
Nie ma sensu wprowadzania czterech różnych znaczków bo mózg człowieka to nie komputer.

Dziedzina (zbiory niepuste):
A: [p*q =p] =1 - zbiór brązowy
B: [~p*q] =1 - zbiór niebieski
C: [~p*~q = ~q] =1 - zbiór żółty
Zbiór pusty (nieistniejący):
D: [~p*q] =[] =0

Stąd mamy:
Definicja implikacji w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne w obrębie dziedziny

Dla porównania.
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste w obrębie dziedziny

Zauważmy, że w tej definicji nie rozróżnimy implikacji prostej od implikacji odwrotnej, są identyczne.
Bezpośrednio z powyższego diagramu odczytujemy pełną, symboliczną definicję implikacji odwrotnej.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = [p*q = q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję
implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = [p*~q] =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i ~q (obszar niebieski)
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo:
Prawo Kubusia:
p~>~q = ~p=>q = [~p*q] =0 - zbiory rozłączne
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu B wykluczony jest warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~> bowiem zbiór ~p*q fizycznie istnieje (zbiór niebieski)

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q = [~p*~q =~p] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne
Zdanie D to definicja kontrprzykładu dla zdania C.
Z prawdziwości zdania C wynika fałszywość kontrprzykładu D i odwrotnie, z fałszywości kontrprzykładu D wynika prawdziwość zdania C.
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
A: (p~>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zauważmy, że ze zdania A spełniającego definicję implikacji odwrotnej wynikają wszystkie inne zdania: B, C i D

Definicja implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
~p|=>~q = (~p=>~q = p~>q)
~p|=>~q = (~p=>~q)*~[p=q]
Zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
Zauważmy że ze zdania C spełniającego definicję implikacji prostej wynikają wszystkie inne zdania: A, B i D

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej w wersji skróconej:
Kod:

A: p~> q =[ p* q = q] =1 - zbiór p zawiera w sobie zbiór q
B: p~~>~q=[ p*~q]     =1 - zbiory p i q są różne (p#q), co wymusza p*~q=1
C:~p=>~q =[~p*~q =~p] =1 - zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q (gwarancja)
D:~p~~>q =[~p* q]     =0 - twardy fałsz wynikły z prawdziwości zdania C


Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p mamy w liniach AB bowiem tylko tu widzimy niezanegowane p.
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p mamy w liniach CD bowiem tylko tu widzimy zanegowane p (~p).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
A: p~>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=1)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)= (q=1)
Kod:

Definicja symboliczna    |Definicja      |Definicja
w zbiorach               |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
                         |dla A:p~>q     |dla C:~p=>~q
                         | p   q   p~>q  | ~p   ~q ~p=>~q
A: p~> q =[ p* q = q] =1 | 1~> 1    =1   |  0=> 0    =1
B: p~~>~q=[ p*~q]     =1 | 1~> 0    =1   |  0=> 1    =1
C:~p=>~q =[~p*~q =~p] =1 | 0~> 0    =1   |  1=> 1    =1
D:~p~~>q =[~p* q]     =0 | 0~> 1    =0   |  1=> 0    =0
   1   2    a  b   c   3   4   5     6      7   8     9


Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia to jednocześnie definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a.
Matematyczny związek występuje wyłącznie między zdaniami A i C, to definicja implikacji odwrotnej.
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość zdania B jest wymuszona przez definicję implikacji odwrotnej w zbiorach.
Zdania A i B to w implikacji najzwyklejsze „rzucanie monetą”, jeśli zajdzie p to może zajść cokolwiek q albo ~q.

Obszary CD456 i AB789 (czerwone) nie biorą udziału w logice.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się sanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy wyłącznie w obszarze AB456 bowiem tylko tu widzimy p=1.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się sanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy wyłącznie w obszarze CD789 bowiem tylko tu widzimy ~p=1.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami: p, ~p, q, ~q
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej to obszar ABCD123.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej (ABCD123) wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia. W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.

Wracając do naszej implikacji odwrotnej.
Z tabeli ABCDab3 odczytujemy symboliczną definicję implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p*q + p*~q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
(p~>q)=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*~q)=1
Ta definicja pokazuje wszystkie zdarzenia które mają szansę zajść w przyszłości. Wystarczy że zajdzie którekolwiek ze zdarzeń po prawej stronie i już zdanie p~>q jest prawdziwe.

Twierdzenie Hipcia:
Definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisuje poprawnie wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą zajść w przyszłości wtedy i tylko wtedy gdy uprzednio udowodnimy iż zdanie p~>q wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej.

Zauważmy że zdania:
A: p~>q
nie da się opisać ani kwantyfikatorem dużym, ani kwantyfikatorem małym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów, to jest symbol którego ewidentnie brakuje w obecnej logice matematycznej Ziemian.

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p|~>q = (p~>q = ~p=>~q)
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Oczywiście ten dowód prawdziwości zdania p~>q jest zupełnie czym innym niż pokazanie jednego przypadku prawdziwego w definicji zdania p~>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+).

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P



Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p|~>q = (p~>q = ~p=>~q)
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~P
4L|~>P = (4L~>P)*~[4L=P] = [4L*P=P]*~[4L=P] = [P=P]*~[4L=P] =1*~[0] = 1*1 =1
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór pies (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P).
Nasz przykład spełnia definicję implikacji odwrotnej.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór 4L [pies, słoń..] zawiera w sobie ~> zbiór P [pies] (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem, zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Zbiory:
A: 4L~>P = [4L*P =P] = [P=P] =1
Zbiór 4L (pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór P (pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P

Bezpośrednio ze zdania A wynika prawdziwość zdania B:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
B: 4L~~>~P = [4L*~P] = 1*1=1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
4L~>~P= ~4L=>P = [~4L*P=~4L] =[[]=~4L] =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.

.. a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~4L [kura, wąż..] zawiera się w zbiorze ~P [kura, wąż, słoń ..] (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
~4L=>~P = [~4L*~P=~4L] = [~4L=~4L] =1
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne co wymusza implikację prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji:
~4L=>~P = 4L~>P

Bezpośrednio ze zdania C wynika fałszywość zdania D:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
D: ~4L~~>P = [~4L*P] =[] =0
Zbiór pusty bo zbiory ~4L [kura, wąż..] i P [pies] są rozłączne
Zdanie D to kontrprzykład dla zdania C.

Z prawdziwości zdania C wynika fałszywość kontrprzykładu D i odwrotnie, z fałszywości kontrprzykładu D wynika prawdziwość zdania C.


5.5 Równoważność

Zacznijmy od definicji implikacji prostej.


Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p|=>q =(p=>q = ~p~>~q)
Definicja tożsama:
p|=>q =(p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Dziedzina (zbiory istniejące) w implikacji prostej:
A: p*q =p =1 - zbiór brązowy
C: ~p*~q = ~q =1 - zbiór żółty
D: ~p*q =1 - zbiór niebieski

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Z definicji równoważności wynika, że powyższy diagram będzie pasował do równoważności wtedy i tylko wtedy gdy zlikwidujemy obszar niebieski.

Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość zbiorów:
p=q
która wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q


Dziedzina (zbiory istniejące) w równoważności:
A: p=>q = [p*q =p=q] - zbiór brązowy
C: ~p=>~q = [~p*~q = ~p = ~q] - zbiór żółty

Stąd mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny

Doskonale widać, że przy tożsamości zbiorów p=q znika obszar niebieski. Niebieską obwódkę, ślad po zbiorze występującym w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.

Przykładowa, fizyczna realizacja zlikwidowania obszaru niebieskiego, jedna z wielu możliwych, jest następująca.

Obszar niebieski zlikwidujemy wtedy i tylko wtedy gdy:
p=>q - zbiór p będzie zawierał się => w zbiorze q
i jednocześnie:
~p=>~q - zbiór ~p będzie zawierał się => w zbiorze ~q

Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności dającą w wyniku tabelę zero-jedynkową równoważności w sposób bezpośredni.

Aksjomatyczna definicja równoważności w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Symetryczna definicja w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Doskonale widać, że w tej definicji obszar niebieski znika.
Niebieski szlaczek dookoła zbioru P (brązowego), pozostałość po niebieskim zbiorze istniejącym wyłącznie w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.

Zapiszmy symbolicznie definicję równoważności w zbiorach:
Kod:

RA:                 p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q = p* q = p =1 - zbiór p zawiera się => w zbiorze q
B: p~~>~q= p*~q     =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC:                ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q
D:~p~~>q =~p* q     =0 - zbiory ~p i q są rozłączne


Zdanie A w kwantyfikatorze dużym:
A.
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)

Zdanie C w kwantyfikatorze dużym:
C.
/\x ~p(x)=>~q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie ~p(x) to na pewno => zajdzie ~q(x)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=( ~q=1)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RC otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RC: ~p<=>~q
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=1)
Kod:

Definicja symboliczna   |Definicja      |Definicja
                        |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
                        |dla RA:p<=>q   |dla RC:~p<=>~q
RA:              p<=>q  | p    q  p<=>q | ~p   ~q ~p<=>~q
A: p=> q =[ p* q] =1    | 1<=> 1    =1  |  0<=> 0    =1
B: p~~>~q=[ p*~q] =0    | 1<=> 0    =0  |  0<=> 1    =0
RC:             ~p<=>~q |               |
C:~p=>~q =[~p*~q] =1    | 0<=> 0    =1  |  1<=> 1    =1
D:~p~~>q =[~p* q] =0    | 0<=> 1    =0  |  1<=> 0    =0
   1   2    a  b   3      4    5     6     7    8     9


Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalny prawa algebry Boole’a:
R1: p<=>q = ~p<=>~q

Obszary CD456 i AB789 (czerwone) nie biorą udziału w logice, są wyłącznie uzupełnieniem do pełnej dziedziny zgodnie z nagłówkiem tabeli zero-jedynkowej dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

W tabelach zero-jedynkowych wszystkie linie kodujemy znaczkiem widocznym w nagłówku tabeli, dotyczy to wszystkich operatorów.
Zauważmy, że w tabeli zero-jedynkowej równoważności nie możemy w nagłówku tabeli użyć p=>q bo wtedy musielibyśmy przelecieć znaczkiem => od góry do dołu tej tabeli, co oczywiście jest błędem czysto matematycznym.

Definicję symboliczną warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) widzimy w linii A123, natomiast jego zero-jedynkowe kodowanie w linii A456.
p=>q =1
co matematycznie oznacza:
Jeśli zajdzie (p=1) to na pewno => zajdzie (q=1)
(p=1)=>(q=1)
Kodowanie tego warunku wystarczającego widzimy w linii A456
Linia B wynika z linii A i możemy ją potraktować jako nieodłączną część warunku wystarczającego o definicji wyłącznie w A. Linie C i D są martwe i nie biorą udziału w obsłudze tego warunku.

Definicję symboliczną warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) widzimy w linii C123, natomiast jego zero-jedynkowe kodowanie w linii C789.
~p=>~q =1
co matematycznie oznacza:
Jeśli zajdzie (~p=1) to na pewno => zajdzie (~q=1)
(~p=1)=>(~q=1)
Kodowanie tego warunku wystarczającego widzimy w linii C789.
Linia D wynika z linii C i możemy ją potraktować jako nieodłączną część warunku wystarczającego o definicji wyłącznie w C. Linie A i B są martwe i nie biorą udziału w obsłudze tego warunku.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Równoważność          ## Warunek wystarczający ## warunek wystarczający:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) ## p=>q                  ## ~p=>~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Z tabeli ABCD123 odczytujemy symboliczną definicję równoważności w warunkach wystarczających:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Ta definicja to matematyczny opis nieznanego (np. nieznanej przyszłości).

Z tabeli ABCDab3 odczytujemy symboliczną definicję równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
p<=>q =1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna:
p<=>q =1
Oczywiście nie jest to dowód równoważności w sensie matematycznym.

Dowód równoważności w sensie matematycznym to dowód równoważności opisanej warunkami wystarczającymi:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Spójnik „i”(*) łączący zdania A i C jest tu gwarancją zniknięcia obszaru niebieskiego, zatem jest gwarancją równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Zbiór niebieski zniknie jeśli zajdzie tożsamość zbiorów p=q albo tożsamość zbiorów ~p=~q.
Oczywiście tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q i odwrotnie.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Doskonale widać że klasyczna definicja równoważności matematycznej to nic innego jak definicja tożsamości zbiorów p=q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=~q
Oczywiście wszystkie zbiory po stronie wejścia:
p, q ~p, ~q
muszą istnieć co wynika z prawa rozpoznawalności pojęcia.

Prawo rozpoznawalności pojęcia w naszym wszechświecie:
Pojęcie x jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy znamy jego zaprzeczenie ~x (nie x)

Definicja symetryczna to.

Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Zbiory ~p i ~q są tożsame jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Zapiszmy wszystkie równania:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Z R1 i R5 wynika R6:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z R2 i R6 wynika I prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
p=>q = ~q=>~p

Z R2 i R4 wynika II prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
q=>p = ~p=>~q

Kolejne definicje równoważności:
R7.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór p będzie zawierał się => w zbiorze q i jednocześnie zbiór p będzie zawierał w sobie ~> zbiór q
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Definicja symetryczna.
R8.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór ~p będzie zawierał się => w zbiorze ~q i jednocześnie zbiór ~p będzie zawierał w sobie ~> zbiór ~q
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)

Z R2 i R8 mamy I prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
p=>q = ~p~>~q

Z R2 i R7 mamy II prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p~>q = ~p=>~q

Definicja warunku wystarczającego =>:
=>
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~>
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Prawa Kubusia w równoważności:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
W równoważności ogólna definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona, ale wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q nie ma tu miejsca na „rzucanie monetą” charakterystyczne w implikacji.

Aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Podstawiając prawa Kubusia mamy:
p<=>q = (p=>q = ~p~>~q)* (~p=>~q = p~>q)

Doskonale widać, że korzystając z praw Kubusia i praw kontrapozycji poprawnych w równoważności można wygenerować wiele tożsamych definicji równoważności z który najważniejsze to:
1.
Definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q = [p*q =p] =1
Kontrprzykład:
B: p~~>~q = [p*~q] =0
i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q = [~p*~q = ~p] =1
Kontrprzykład:
D: ~p~~>q = [~p*q] =0

2.
Popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q

3.
Definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego p=>q i odwrotnego q=>p

Twierdzenie Pitagorasa.


Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.
RA.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) to wyłącznie linia A:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = [TP*SK = TP] =[TP=TP] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór TP zawiera się => w zbiorze SK (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
Zbiory:
TP~~>~SK = [TP*~SK] =[]=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

RC.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK) to wyłącznie linia C:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = [~TP*~SK = ~TP] =[~TP=~TP] =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK (a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!)
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = [~TP*SK] =[]=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i C.
To nie są operatory logiczne, to zaledwie „połówki” operatora równoważności.

Definicja kontrprzykładu w logice dodatniej (bo SK):
Kontrprzykładem dla zdania A:
A: TP=>SK = [TP*SK]
jest zdanie B z zanegowanym następnikiem i spójnikiem „może” ~~>:
B: TP~~>~SK = [TP*~SK]

Zauważmy że:
Z prawdziwości zdania A wynika fałszywość zdania B
i odwrotnie:
Z fałszywości zdania B wynika prawdziwość zdania A

Stąd mamy równoważność (wynikanie w dwie strony):
A: TP=>SK = [TP*SK] =1 <=> B: TP~~>~SK = [TP*~SK] =0

Z powyższego wynika że nie każda równoważność to tożsamość matematyczna.
Negując dowolną stronę powyższej równoważności otrzymamy matematyczną tożsamość.
W logice interesują nas zdania prawdziwe, zdań fałszywych nie analizujemy.
Negując B musimy zatem otrzymać zdanie tożsame do A.
Stąd:
A: TP=>SK = [TP*SK] =1 = B: ~(TP~~>~SK) = ~[TP*~SK] =1

Stąd mamy gwarancję matematyczną wyrażoną spójnikiem „i”(*) w zbiorach:
A.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt jest prostokątny i nie zachodzi w nim suma kwadratów
A: TP=>SK = ~[TP*~SK]

Podobnie:
Zauważmy, że fałszywość w linii D wynika wyłącznie z prawdziwości warunku wystarczającego zdefiniowanego w linii C.
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Zbiory:
~TP=>~SK = [~TP*~SK = ~TP] =1
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK, zajście ~TP jest wystarczające dla zajścia ~SK.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = [~TP*SK] = 1*1=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja kontrprzykładu w logice ujemnej (bo ~SK):
Kontrprzykładem dla zdania C:
C: ~TP=>~SK = [~TP*~SK]
jest zdanie D z zanegowanym następnikiem i spójnikiem „może” ~~>:
D: ~TP~~>SK = [~TP*SK]

Zauważmy że:
Z prawdziwości zdania C wynika fałszywość zdania D
i odwrotnie:
Z fałszywości zdania D wynika prawdziwość zdania C

Stąd mamy równoważność (wynikanie w dwie strony):
C: ~TP=>~SK = [~TP*~SK] =1 <=> D: ~TP~~>SK = [~TP*SK] =0

Z powyższego wynika że nie każda równoważność to tożsamość matematyczna.
Negując dowolną stronę powyższej równoważności otrzymamy matematyczną tożsamość.
W logice interesują nas zdania prawdziwe, zdań fałszywych nie analizujemy.

Negując D musimy zatem otrzymać zdanie tożsame do C.
Stąd:
C: ~TP=>~SK = [~TP*~SK] =1 = D: ~(~TP~~>SK) = ~[~TP*SK] =1

Stąd mamy gwarancję matematyczną wyrażoną spójnikiem „i”(*) w zbiorach:
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny ~TP i zachodzi w nim suma kwadratów SK
C: ~TP=>~SK = ~[~TP*SK]

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Z definicji równoważności wynika, że nie można jej dowieść w sposób bezpośredni. Dowieść prawdziwości równoważności możemy wyłącznie w sposób pośredni dowodząc prawdziwości niezależnych twierdzeń (warunków wystarczających) p=>q i ~p=>~q.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 0:38, 03 Lis 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:36, 03 Lis 2014    Temat postu:

5.6 Implikacja - diagram ogólny



Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego czyli nieznanej przyszłości lub nieznanej przeszłości.

Wbrew pozorom przeszłość nie musi być znana np. poszukiwanie mordercy.

Matematycznie tożsame logicznie są wszystkie linie w identycznych kolorach.

Naturalny spójnik „może” ~~> jest przemienny więc tu zdanie jest prawdziwe albo fałszywe zawsze, niezależnie od zamiany argumentów.

Zdania będące implikacjami to wyłącznie zdania z warunkiem wystarczającym => albo koniecznym ~>.

Matematyczna i potoczna definicja implikacji:
Implikacja to wynikanie (warunek wystarczający =>) zachodzący wyłącznie w jedną stronę.

Twierdzenie:
Argumenty zarówno w implikacji prostej jak i odwrotnej nie są przemienne wtedy i tylko wtedy gdy opisujemy wyłącznie przyszłość albo wyłącznie przeszłość.

Jeśli opisujemy przyszłość to matematycznie zachodzi:
A: p=>q = C: ~p~>~q (przyszłość - obszar żółty) ## I: p~>q = K: ~p=>~q (przyszłość - obszar zielony)
Jeśli opisujemy przeszłość to matematycznie zachodzi:
E: q~>p = G: ~q=>~p (przeszłość - obszar żółty) ## M: q=>p = O: ~q~>~p (przeszłość - obszar zielony)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Twierdzenie czasowe 1.
Dowolna implikacja prosta w czasie przyszłym po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną w czasie przeszłym.
A: p=>q = ~p~>~q (przyszłość - obszar żółty) = E: q~>p = ~q=>~p (przeszłość - obszar żółty)
Zdanie prawdziwe opisujące przyszłość po zamianie argumentów i wymianie spójnika logicznego na przeciwny wymusza (=) zdanie prawdziwe opisujące przeszłość.
Zdanie prawdziwe opisujące przeszłość po zamianie argumentów i wymianie spójnika logicznego na przeciwny wymusza (=) zdanie prawdziwe opisujące przyszłość.
Dokładnie to samo obowiązuje dla zdań fałszywych.

Twierdzenie czasowe 2.
Dowolna implikacja odwrotna w czasie przyszłym po zamianie argumentów przechodzi w implikację prostą w czasie przeszłym.
I: p~>q = ~p=>~q (przyszłość - obszar zielony) = M: q=>p = ~q~>~p (przeszłość - obszar zielony)
Zdanie prawdziwe opisujące przyszłość po zamianie argumentów i wymianie spójnika logicznego na przeciwny wymusza (=) zdanie prawdziwe opisujące przeszłość.
Zdanie prawdziwe opisujące przeszłość po zamianie argumentów i wymianie spójnika logicznego na przeciwny wymusza (=) zdanie prawdziwe opisujące przyszłość.
Dokładnie to samo obowiązuje dla zdań fałszywych.

Stąd mamy kolejne znaczenie znaku „=”:
= - znak tożsamości logicznej wymuszający prawdziwość/fałszywość zdania po obu stronach znaku „=”

Wyjaśnienie:
A: p=>q (przyszłość - obszar żółty) = E: q~>p (przeszłość - obszar żółty)
Jeśli zdanie A: p=>q (przyszłość) jest prawdziwe to na pewno => prawdziwe jest zdanie E: q~>p (przeszłość)
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli zdanie E: q~>p (przeszłość) jest prawdziwe to na pewno => prawdziwe jest zdanie A: p=>q (przyszłość)
stąd matematyczna tożsamość logiczna

Zauważmy, ze w diagramie ogólnym implikacji nie zachodzą tożsamości matematyczne po przekątnych:
A: p=>q = C: ~p~>~q (przyszłość - obszar żółty) # M: q=>p = O: ~q~>~p (przeszłość - obszar zielony)
I: p~>q = K: ~p=>~q (przyszłość - obszar zielony) # E: q~>p = G: ~q=>~p (przeszłość - obszar żółty)
# - różne w znaczeniu
Jeśli jedna strona znaku # jest prawdziwa to druga strona znaku # na pewno jest fałszywa i odwrotnie

Przykład:
A.
p=>q
Jeśli w przyszłości wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to na pewno => będzie ona podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2

Zamieniamy p i q oraz spójnik logiczny sprawdzając prawdziwość tego zdania w czasie przeszłym:
E.
q~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 2 to mogła ~> być ona podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2 zawiera w sobie ~> zbiór P8

Doskonale widać, że zdanie prawdziwe opisujące przyszłość przeszło w zdanie prawdziwe opisujące przeszłość.

Sprawdźmy to samo na zdaniu fałszywym opisującym przyszłość zamieniając w zdaniu A p i q bez zmiany spójnika logicznego. Zdanie AF traktujemy tu jako nowe zdanie A sygnowane p=>q. Na mocy definicji wolno nam bowiem wypowiedzieć zdanie A jako prawdziwe albo fałszywe. Zdanie fałszywe uzyskamy wyłącznie poprzez zamianę p i q bez wymiany spójnika.
AF.
p=>q
Jeśli w przyszłości wylosujemy liczbę podzielną przez 2 to na pewno => będzie ona podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest tu spełniona bo:
Zbiór P2 nie zawiera się => w zbiorze P8
stąd zdanie AF jest fałszywe

Zbadajmy czy zdanie fałszywe AF opisujące przyszłość przejdzie w zdanie fałszywe opisujące przeszłość zamieniając p i q oraz wymieniając spójnik logiczny.

EF.
q~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to mogła ~> być ona podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo:
Zbiór P8 nie zawiera w sobie ~> zbioru P2
stąd zdanie EF jest fałszywe

Ale!
Zdanie EF jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, gdzie wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów wskazywanych przez podstawę i strzałkę wektora ~~>.
EF1.
q~~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to mogła ~~> być ona podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Znaleźliśmy jeden element wspólny zbiorów P8 i P2, zdanie EF1 jest prawdziwe, koniec dowodu.

Doskonale tu widać fundamentalną różnicę między znaczkami ~> i ~~>

Zauważmy, ze w diagramie ogólnym implikacji nie zachodzą tożsamości matematyczne po przekątnych:
A: p=>q = C: ~p~>~q (przyszłość - obszar żółty) # M: q=>p = O: ~q~>~p (przeszłość - obszar zielony)
I: p~>q = K: ~p=>~q (przyszłość - obszar zielony) # E: q~>p = G: ~q=>~p (przeszłość - obszar żółty)
# - różne w znaczeniu
Jeśli lewa strona znaku # jest prawdziwa to druga strona znaku # na pewno jest fałszywa i odwrotnie

Nasz przykład:
A.
p=>q
Jeśli w przyszłości wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to na pewno => będzie ona podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8 zawiera się w => zbiorze P2
stąd zdanie prawdziwe.
Opisujemy przeszłość w stosunku do zdania A zamieniając p i q bez wymiany spójnika logicznego.
M.
q=>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 2 to na pewno => była ona podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo:
Zbiór P2 nie zawiera się => w zbiorze P8
stąd zdanie fałszywe
I.
p~>q
Jeśli w przyszłości wylosujemy liczbę podzielną przez 2 to może ~> być ona podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego spełniona bo:
Zbiór P2 zawiera w sobie ~> P8
stąd zdanie prawdziwe
Opisujemy przeszłość w stosunku do zdania I zamieniając p i q bez wymiany spójnika logicznego.
E.
q~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to może ~> być ona podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór P8 nie zawiera w sobie ~> zbioru P2
stąd zdanie fałszywe

Ale!
Zdanie E jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, gdzie wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów wskazywanych przez podstawę i strzałkę wektora ~~>.
E1.
q~~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to mogła ~~> być ona podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Znaleźliśmy jeden element wspólny zbiorów P8 i P2, zdanie E1 jest prawdziwe, koniec dowodu.

Doskonale tu widać fundamentalną różnicę między znaczkami ~> i ~~>


5.7 Równoważność - diagram ogólny

Zacznijmy od diagramu ogólnego implikacji prostej


Z diagramu ogólnego implikacji doskonale widać, że jeśli wymnożymy logicznie dowolny blok żółty z dowolnym blokiem zielonym to wyzerujemy wszelkie zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~>, bowiem mnożenie logiczne bloków odpowiada mnożeniu logicznemu odpowiednich linii.

Wtedy i tylko wtedy diagram ogólny implikacji przejdzie w diagram ogólny równoważności jak niżej.

Doskonale widać, że w implikacji rzeczywistej zawsze mamy do czynienia w jednej połówce z warunkiem wystarczającym => (100% pewnością zajścia), natomiast w drugiej połówce zawsze mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą”, warunkiem koniecznym ~> (brakiem 100% pewności zajścia).

Dla przykładu weźmy blok I.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dal zajścia q, nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą”
Prawdziwość zdania A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość zdania A zapisanego warunkiem wystarczającym =>.

„Rzucanie monetą” mamy w drugiej części definicji implikacji prostej:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
W implikacji zbiór p zawiera się => w zbiorze q (zdanie A) oraz zbiory p i q nie są tożsame p#q, co wymusza brak tożsamości zbiorów ~p#~q.
Powoduje to prawdziwość zdania D, decydującego o „rzucaniu monetą” w każdej implikacji rzeczywistej:
p=>q = ~p~>~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość zdania C zapisanego warunkiem wystarczającym:
C1: ~p=>~q =0



Doskonale widać, że w równoważności nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” znanym z implikacji o czym decydowały jedynki w zdaniach z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd wszystko jedno co tu nazwiemy p a co q.

Definicja implikacji prostej urojonej:
Implikacja prosta urojona to implikacja w której „rzucanie monetą” po stronie ~p jest wycinane przez definicję równoważności i nie jest dostępne w naszym Wszechświecie.
A: p=>q = C: ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej urojonej:
Implikacja odwrotna urojona to implikacja w której „rzucanie monetą” po stronie p jest wycinane przez definicję równoważności i nie jest dostępne w naszym Wszechświecie.
I: p~>q = K: ~p=>~q

Wszystkie możliwe definicje równoważności są tu następujące.

Blok I-III
p<=>q = (p=>q=~p~>~q)*(p~>q=~p=>~q)

Z powyższego równanie dostajemy cztery tożsame definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)

Blok I-IV
p<=>q = (p=>q=~p~>~q)*(q=>p=~q~>~p)

Z tego równania dostajemy kolejne cztery definicje równoważności
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q = (p=>q)*(~q~>~p)
p<=>q = (~p~>~q)*(q=>p)
p<=>q = (~p~>~q)*(~q~>~p)

Blok III-II
p<=>q = (p~>q=~p=>~q)*(q~>p=~q=>~p)

Stąd mamy kolejne cztery tożsame definicje równoważności:

p<=>q = (p~>q)*(q~>p)
p<=>q = (p~>q)*(~q=>~p)
p<=>q = (~p=>~q)*(q~>p)
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Blok IV-II
p<=>q = (q=>p=~q~>~p)*(q~>p=~q=>~p)

Stąd otrzymujemy ostatnie możliwe, cztery definicje równoważności

p<=>q = (q=>p)*(q~>p)
p<=>q = (q=>p)*(~q=>~p)
p<=>q = (q~>p)*(~q~>~p)
p<=>q = (~q=>~p)*(~q=>~p)

Zauważmy że bloki I-III i IV-II są tożsame.
Dowód:
Blok I-III
p<=>q = (p=>q=~p~>~q)*(p~>q=~p=>~q)
Blok IV-II
p<=>q = (q=>p=~q~>~p)*(q~>p=~q=>~p)

Argumenty w równoważności są przemienne.
Zamieniamy w równaniu IV-II wszystkie p i q
Blok IV-II_A
q<=>p = (p=>q=~p~>~q)*(p~>q=~p=>~q)
Doskonale widać tożsamość bloków I-III i IV-II
cnd

Twierdzenie:
W algebrze Kubusia możliwych jest 12 tożsamych i różnych definicji równoważności
Dowód wyżej.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:52, 03 Lis 2014    Temat postu:

...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 1:01, 03 Lis 2014    Temat postu:

..
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 18:45, 03 Lis 2014    Temat postu:

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Czy zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze?

Oczywiście NIE!
Jeden z dowodów niżej.
Podoba mi się wstęp do nowego podpisu zaledwie 3 strony i jest w nim wszystko co najważniejsze, algebra Kubusia w pigułce.
Wczoraj opublikowałem najnowsze odkrycie:
Diagramy ogólne implikacji i równoważności, moim zdaniem to rewelacja, choć widzę że muszę lepiej to dopracować aby Ziemianie bez trudu zrozumieli.
Najnowszą notację zamieszczam w tym poście a bezpośrednio po nią dowód iż zbiór pusty nie zawiera się w każdym zbiorze.

Zaczynamy:

1.0 Notacja

Znaczenie ogólne 0 i 1:
=1 - prawda
=0 - fałsz

W algebrze Kubusia ograniczonej wyłącznie do spójników „lub”(+) i „i”(*) zbiory mają wartości logiczne:
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> zbiór na podstawie wektora ma ~~> co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q = p*q =1 - zbiór niepusty (istnieje, zawiera co najmniej jeden element)
p~~>q = p*q =0 - zbiór pusty (nie istnieje, nie zawiera żadnych elementów)

W algebrze Kubusia rozszerzonej o spójniki implikacyjne => i ~> 0 i 1 oznacza:

Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
p=>q =1 - zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora
mamy inne znaczenie logicznego zera (=0) i logicznej jedynki (=1)
p~>q =1 zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q
Inaczej:
p~>q =0

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), spójniki implikacyjne (=>, ~>, ~~>)

Inne symbole używane w algebrze Kubusia:

~ - negacja
Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Spójniki przeciwne:
1.
Spójnik „i”(*) jest spójnikiem przeciwnym do spójnika „lub”(+)
2.
Warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”) jest spójnikiem przeciwnym do warunku koniecznego ~> (w implikacji spójnik „może”)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
gdzie:
Y = dotrzymam słowa
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y - skłamię

# - różne w znaczeniu:
p=>q # q=>p
Jeśli zdanie po jednej stronie znaku # jest prawdziwe to na pewno zdanie po drugiej stronie jest fałszywe i odwrotnie

## - różne na mocy definicji

Przykład:
Równanie ogólne operatorów OR i AND:
Operator OR ## Operator AND
Y=p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q

Zdanie po jednej stronie znaku ## nie ma żadnego związku ze zdaniem po drugiej stronie znaku ##

Znaczenia symbolu „=” w algebrze Kubusia.


Definicja warunku wystarczającego =>:
Diagram: A: p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się => w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja warunku koniecznego ~>:
Diagram: C: ~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać w sobie ~> zbiór wskazywany przez strzałkę wektora

Definicja naturalnego spójnika może ~~>:
Diagram: D: ~p~~>q
~~> zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p|=>q = (p=>q=~p~>~q)
Definicja tożsama:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja obliczeniowa implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q] =[p*q=p]*~[p=q] =1
gdzie:
Implikacja prosta:
p|=>q
to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę bo ~[p=q]=1
p=>q = [p*q=p] - definicja obliczeniowa warunku wystarczającego
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
[p*q=p]=[p=p]

Rodzaje tożsamości w algebrze Kubusia:
1.
Tożsamość logiczna:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Fałszywość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza fałszywość zdania po drugiej stronie
2.
Makrorozkaz tożsamości zbiorów:
[p=q]
gdzie:
= - oznacza tożsamość zbiorów
Jeśli zbiory p i q są tożsame to:
[p=q] =1
inaczej:
[p=q] =0
3.
Tożsamość wartościująca:
=1 - zdanie prawdziwe
=0 - zdanie fałszywe
4.
Tożsamość definicyjna:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Doskonale widać że w algebrze Kubusia znak tożsamości „=” występuje w czterech znaczeniach.
Nie ma sensu wprowadzania czterech różnych znaczków bo mózg człowieka to nie komputer.

Koniec wstępu.

Skupmy się na diagramie wyżej i na tym co jest pod nim zapisane.

Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli kura jest psem to na pewno => pies ma cztery łapy
K*P=>P*4L

Zdanie A w zbiorach:
K*P=>P4L = [(K*P)=(P*4L)] = [[] = P] =0
Wyjaśnienia:
Zbiory kura i pies są rozłączne, stad:
K*P = [] =0
Iloczyn logiczny zbiorów P*4L to oczywiście P (pies)

Stąd w makrorozkazie tożsamości zbiorów mamy:
[[]=P] =0
Zbiory po obu stronach znaku „=” są rożne, stąd fałszywość całego zdania.

Zauważmy, że nawet jakby z Ziemianami przyjąć iż zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze to sytuacja nie zostanie uratowana!

Dlaczego?
W dowolnym zbiorze elementy połączone są spójnikiem „lub”(+) np.
4L ~> [pies, słoń, hipcio]
Symbolicznie:
4L ~> [P,S,H]
co matematycznie oznacza:
4L~>P+S+H
Czytamy:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem lub słoniem lub hipciem
4L~> P+S+H
Posiadanie czterech łap jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem lub słoniem lub hipciem
Dodatkowo zbiory 4L i [P+S+H] nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~[ P+S+H]

Wracając do naszego przykładu obalającego tezę że każdy zbiór zawiera w sobie zbiór pusty.
Cytuję powyższe:
Stąd w makrorozkazie tożsamości zbiorów mamy:
[[]=P] =0
Zbiory po obu stronach znaku „=” są rożne, stąd fałszywość całego zdania.


Co nam da ze do zbioru P wciśniemy na siłę zbiór pusty?
[[] = P+[]+[]+[]] =0

Oczywiście nic to nie pomoże!
Możemy sobie takich zbiorów pustych do psa dołożyć nieskończenie wiele, to nic nie pomoże!

Zdanie wejściowe:
A.
Jeśli kura jest psem to na pewno => pies ma cztery łapy
K*P=>P*4L =0

Pozostanie fałszywe na wieki wieków,
Amen.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 18:56, 03 Lis 2014, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:09, 03 Lis 2014    Temat postu:

Zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze, bo z każdego niepustego zbioru mozemy wybrać 0 elementów i mieć zbiór pusty.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 20:37, 03 Lis 2014    Temat postu:

Andy72 napisał:
Zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze, bo z każdego niepustego zbioru mozemy wybrać 0 elementów i mieć zbiór pusty.

.. a gdzie cię Andy takich bzdur nauczyli?

Czy zgadzasz się z banałem że jeśli zbiór p zawiera się => w zbiorze q to musi być spełnione w zbiorach:
p=>q = [p*q=p]
TAK/NIE


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 20:38, 03 Lis 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 20:48, 03 Lis 2014    Temat postu:

Trochę notacja myli, ale chodzi o to że gdy zawiera się to iloczyn, część wspólna p i q równa się p? Przyznaję że wydaje mi się że tak jest.
I zgadza się do zbioru pustego bo część wspólna zbioru i zbioru pustego jest zbiorem pustym!
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 1:28, 04 Lis 2014    Temat postu:

Andy72 napisał:
Trochę notacja myli, ale chodzi o to że gdy zawiera się to iloczyn, część wspólna p i q równa się p? Przyznaję że wydaje mi się że tak jest.
I zgadza się do zbioru pustego bo część wspólna zbioru i zbioru pustego jest zbiorem pustym!

Zgadza się, zrobiłem błąd w podstawieniach :(
Oczywistość:
Jeśli zbiór p zawiera się => w zbiorze q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest zbiorem p
p=>q = [p*q=p]

A.
Jeśli kura jest psem to na pewno => pies ma cztery łapy
K*P=>P*4L

Zdanie A w zbiorach:
K*P=>P*4L = [(K*P)=(P*4L)] = [[] = P] =0


Powinno być:
K*P=>P*4L = [(K*P)*(P*4L) =(K*P)] = [[] = []] =1
bo zbiory po obu stronach znaku "=" są identyczne.

Tą drogą jest ok. ?
.. tylko dlaczego zdanie A, zdanie IDIOTY totalnego jest prawdziwe?
Dlaczego ten wzór działa w logice absolutnie genialnie gdy zastrzeżemy wyjątek iż obowiązuje:
[[]=[]] =0!
Czyli:
Zdanie „Jeśli p to q” jest fałszywe gdy p lub q jest zbiorem pustym.
Wtedy i tylko wtedy logika działa absolutnie genialne.
Czy to dziwne zastrzeżenie?
… a dlaczego ludziki zastrzegły że nie wolno dzielić przez 0?

Popatrzmy na to:

Algebra Kubusia:
Zbiór pusty nie zawiera się w każdym zbiorze niepustym.

Rozważmy zbiór:
P=[pies]

Przyjmijmy dziedzinę:
D=U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Zaprzeczenie zbioru [pies] to:

~P = [U-pies] = [krowa, kura …]

Wszystko jest genialnie proste i zrozumiałe.

Rozważmy teraz zbiór:
P+[] = [P+[]]
Zaprzeczenie tego zbioru to co to jest?

Lewa strona:
~[P+[]] = =~p*~[] = ~P*~(0) =~P*1 =~p
Oczywiście zbiór ~P jest zbiorem niepustym, dowód wyżej.
… tylko dlaczego Ziemianie nie zastrzegają iż zbiór pełny (1) zawiera się w każdym zbiorze niepustym?
Zauważmy że doszliśmy tu do sprzeczności czysto matematycznej!

Bo do zbioru P zbiór pusty dołączmy sumą logiczną
P+[] =P

Natomiast do zbioru ~P zbiór pełny dołączamy iloczynem logicznym:
~P*1 =~P

Czyli działamy raz TAK a raz SIAK.

Przy okazji wyszła nam kolejna głupota Ziemian:
Jeśli przyjmują (patrz Wiki) iż logiczne zero jest odpowiednikiem zbioru pustego (i słusznie) to muszą przyjąć iż zbiór pełny (dowolna dziedzina) odpowiada logicznej jedynce!
... dowód wyżej!

Przyjmijmy dziedzinę:
D=U
Wtedy zaprzeczenie prawej strony jest równe:
[P+[]] = [U+[] - (P+[])] = [U+[] - P-[]] = [U-P]
Z ostatniego równania wychodzi że zbiór pusty nie zawiera się w dowolnie przyjętej dziedzinie, może być nawet Uniwersum.

Skoro zbiór pusty nie zawiera się w dowolnej dziedzinie to nie zawiera się w dowolnym zbiorze np.
Przyjmijmy dziedzinę:
D = zbiór wszystkich zwierząt

Jeśli zbiór pusty nie zawiera się w dziedzinie to nie może zawierać się w dowolnym zbiorze.
cnd

Musimy tu zatem zrobić zastrzeżenie identycznie jak dla 0 w dzieleniu liczb:
Pamiętaj cholero nie dziel przez zero

Zresztą, to 0 nie tylko w dzieleniu Ziemskim matematykom przeszkadza - patrz Wiki.
[link widoczny dla zalogowanych](liczba)
Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.

Pierwszy raz symbol ten został użyty przez matematyków hinduskich jako oznaczenie braku czegoś. W większości kalendarzy nie ma roku zerowego. Rok przed 1 rokiem naszej ery nazywany jest 1 rokiem przed naszą erą.


Nasze zastrzeżenie przy którym logika matematyczna działa absolutnie kapitalnie to:

[[]=[]] =0!
Czyli:
Zdanie „Jeśli p to q” jest fałszywe gdy p lub q jest zbiorem pustym.


Dlaczego Wy, Ziemianie, tak strasznie się boicie przyjąć to banalne zastrzeżenie?

… bo się okaże iż z tym zastrzeżeniem człowiek podlega pod matematykę ścisłą?
tzn.
Da się opisać naturalną logikę wszystkich 5-cio latków matematyką!

Dlaczego dla Was to jest straszne a nie piękne?

Wasz przyjaciel,
Kubuś


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 8:49, 04 Lis 2014, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 2:23, 04 Lis 2014    Temat postu:

Dobijanie "logiki matematycznej" Ziemian, bo tylko śmierć jest dla niej wybawieniem.

Dowód ekstra iż logika matematyczna Ziemian jest do bani.

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora

Twierdzenie:
Jeśli zbiór p zawiera w sobie zbiór q to iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem q
p~>q = [p*q=q]

Załóżmy że poprzednik p jest zbiorem pustym, natomiast q jest zbiorem niepustym.

Mamy wówczas:
p~>q = [[]*q=q] = [[]=q] =[0=q] =0
bo zbiory po obu stronach makrorozkazu tożsamości zbiorów „=” nie są identyczne.

.. no i posypał się dogmat Ziemian jakoby z „fałszu mogło wynikać wszystko”.

Logika Ziemian ewidentnie leży tu i kwiczy :)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 2:25, 04 Lis 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 9:52, 04 Lis 2014    Temat postu:

Ale wszystko się zgadza. p jest podzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy część wspólna p i q to p. Gdy za p podstawiamy zbiór pusty otrzymujemy: część wspólna jakiegoś zbioru i pustego to zbiór pusty, zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 10:20, 04 Lis 2014    Temat postu:

Andy72 napisał:
Ale wszystko się zgadza. p jest podzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy część wspólna p i q to p. Gdy za p podstawiamy zbiór pusty otrzymujemy: część wspólna jakiegoś zbioru i pustego to zbiór pusty, zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru.

Oznaczmy:
=> - zbiór na podstawie wektora jest podzbiorem zbioru widniejącego na strzałce wektora
~> - zbiór na podstawie wektora jest nadzbiorem zbioru widniejącego na strzałce wektora
Andy72 napisał:
Ale wszystko się zgadza. p jest podzbiorem => q wtedy i tylko wtedy gdy część wspólna p i q to p.

Andy napisał:
Jeśli p to => q
p=>q <=> [p*q=p]

... ale czy zgadzasz się z faktem że:
p jest nadzbiorem ~> q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q (część wspólna p i q to q)
Jeśli p to ~> q
p~>q <=> [p*q=q]
TAK/NIE


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 11:09, 04 Lis 2014, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 12:20, 04 Lis 2014    Temat postu:

To to samo, skoro jeden jest nadzbiorem to drugi podzbiorem
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 18:12, 04 Lis 2014    Temat postu:

Andy72 napisał:
To to samo, skoro jeden jest nadzbiorem to drugi podzbiorem


Mamy dwa tożsame zbiory p i q.
Tożsame = zawierające identyczne elementy
Oznaczmy to jako:
p=q

Kod:

-------------------------
|                   p=q |
|  p=>q =1              |
|  p<~q =1              |
|                       |
-------------------------


Zdefiniujmy znaczki:

Znaczek podzbioru =>:
=> - zbiór na podstawie wektora jest podzbiorem zbioru widniejącego na strzałce wektora
Z tej definicji mamy równanie:
p=>q <=> [p*q=p]
Jeśli zbiór p zawiera się w q to prawdziwe jest równanie:
[p*q=p]

Znaczek nadzbioru ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora jest nadzbiorem zbioru widniejącego na strzałce wektora
Z tej definicji mamy równanie:
q~>p <=> [q*p=p]
Jeśli zbiór q zawiera w sobie zbiór p to prawdziwe jest równanie:
[q*p=p]

Pytanie:
Czy równania wyżej opisują poprawnie tożsamość zbiorów p i q?
tzn.
Czy zdanie niżej jest prawdziwe:
Zachodzi tożsamość zbiorów p i q (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy p jest podzbiorem => q i q jest nadzbiorem p.
p=q <=> (p=>q)*(q~>p)

TAK/NIE


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 18:23, 04 Lis 2014, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 18:33, 04 Lis 2014    Temat postu:

rafal3006 napisał:

Czy zdanie niżej jest prawdziwe:
Zachodzi tożsamość zbiorów p i q (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy p jest podzbiorem => q i q jest nadzbiorem p.
p=q <=> (p=>q)*(q~>p)

TAK/NIE

Rypnąłeś się. p jest podbziorem q oznacza to samo co q jest nadzbiorem p.
Jeśli p jest podzbiorem q i p jest nadzbiorem q to p = q
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 18:40, 04 Lis 2014    Temat postu:

To jeszcze jedno pytanie ...

Czy zdanie niżej jest prawdziwe:
Zachodzi tożsamość zbiorów p i q (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy p jest podzbiorem => q i q jest podzbiorem => p.
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Na mocy definicji znaczka => wyżej mamy:
p=>q = [p*q=p]
q=>p = [q*p=q]

TAK/NIE


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 18:44, 04 Lis 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 18:44, 04 Lis 2014    Temat postu:

To chyba to samo co mówiłem - jeśli jest jednocześnie podzbiorem i nadzbiorem to jest tym samym
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 18:47, 04 Lis 2014    Temat postu:

Przeczytaj jeszcze raz bo nie zrozumiałeś, i odpowiedz:
Czy definicja wyżej jest poprawną definicją tożsamości zbiorów p=q?

Podpowiedź:
Patrz twierdzenie Pitagorasa.

Czy zbiory: TP i SK są tożsame?
TP=SK
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 19:16, 04 Lis 2014    Temat postu:

To nie definicja ale twierdzenie. Co to za zbiory TP i SK ??
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 21:01, 04 Lis 2014    Temat postu:

...

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 21:02, 04 Lis 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 21:02, 04 Lis 2014    Temat postu:

Andy72 napisał:
To nie definicja ale twierdzenie. Co to za zbiory TP i SK ??

TP - zbiór trójkątów prostokątnych
SK - zbiór trójkątów w których zachodzi suma kwadratów
(czyli kwadrat najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych)

Czy zgadzasz się że te zbiory są tożsame?
TP=SK

TAK/NIE


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 21:06, 04 Lis 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 23:19, 04 Lis 2014    Temat postu:

Na pewno w trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, czy gdy nie jest prostokątny to może zachodzić? nie jestem 100% pewny ale przyjmijmy że tak. Do czego prowadzą te pytania?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 2:13, 05 Lis 2014    Temat postu:

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Naturalna logika człowieka

Wszystkie zdania niżej to naturalna logika człowieka.
W naturalnej logice człowieka zdanie AO wypowiedziane przez Jasia (lat 5) jest prawdziwe.

Twierdzenie:
Logika Ziemian stanie się zgodna z naturalną logiką człowieka wtedy i tylko wtedy gdy uzna matematyczną prawdziwość zdań „Jeśli p to q” ze spójnikiem „może”:
Jeśli zajdzie p to może zajść q

Jeśli tego nie zrobi to na wieki pozostanie wariatkowem dokładnie takim samym jak dzisiaj, czyli będzie w 100% sprzeczności z naturalną logiką człowieka bo …

Żaden normalny człowiek nigdy nie uzna prawdziwości zdania „Jeśli p to q” gdzie p i q to dwa niezależne zdania jak to jest w aktualnej, debilnej do potęgi nieskończonej logice Ziemskich „matematyków”.

Dowód:
Niech no który „matematyk” na maturze z języka polskiego napisze choć jedno zdanie w którym p i q to dwa niezależne zdania np.
Jeśli Mickiewiecz był Niemcem to pies ma cztery łapy
Zadnie prawdziwe zdaniem dzisiejszego „matematyka”
Pala gwarantowana - ma kto jakie wątpliwości?

Andy72 napisał:
Na pewno w trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, czy gdy nie jest prostokątny to może zachodzić? nie jestem 100% pewny ale przyjmijmy że tak. Do czego prowadzą te pytania?

1.
Przypadek:
Zbiory p i q są tożsame


Przykład 1.
p=q - zbiory tożsame
TP=SK - zbiory tożsame
TP - zbiór trójkątów prostokątnych
SK - zbiór trójkątów w których zachodzi suma kwadratów

Zdanie wypowiedziane p=>q:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP zawiera się w SK.
Zbiór TP jest podzbiorem => SK
Zdanie A w zapisie formalnym:
p=>q

Zdanie odwrotne q=>p:
AO.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na pewno => ten trójkąt jest prostokątny
SK=>TP =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór SK zawiera się w TP
Zbiór SK jest podzbiorem => TP
Zdanie AO w zapisie formalnym dla punktu odniesienia A:
q=>p
Tu wszystko się zgadza zarówno w logice 100-milowego lasu jak i w logice Ziemian.
Twierdzenie:
Jeśli zbiory p i q są tożsame to prawdziwe jest zdanie p=>q jak również zdanie odwrotne q=>p
Oczywiście matematycznie zachodzi:
p=>q ## q=>p
Różne na mocy definicji.
Dowód:
p=>q = [p*q=p]
q=>p = [q*p=q]
cnd


2.
Przypadek:
Zbiory p i q nie są tożsame


Przykład 2
p#q - zbiory p i q nie są tożsame
P - zbiór jednoelementowy pies
4L - zbiór zwierząt z czterema łapami

Zdanie wypowiedziane p=>q:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P zawiera się w 4L.
Wymuszam dowolne P i musi zajść 4L
Zbiór P jest podzbiorem => 4L
Zdanie A w zapisie formalnym:
p=>q

Zdanie odwrotne w logice Ziemian:
AO1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4P=>P =0
Definicja warunku wystarczającego nie jest tu spełniona bo zbiór 4L nie zawiera się w P
Zbiór 4L nie jest podzbiorem => P (psa)
Zdanie AO1 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A:
q=>p =0

Udajmy się do przedszkola w 100-milowym lesie.
Pani:
Dzieci czy zdanie AO1 jest fałszywe?
Jaś:
Jest FAŁSZYWE!
.. bo słoń ma cztery łapy i nie jest psem
Komentarz:
Jaś podał tu matematyczny kontrprzykład dla zdania AO1:
BO1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 - bo słoń
Istnieje zwierzę które należy zarówno do zbioru 4L jak i do zbioru ~P (np. słoń)
Prawdziwość kontrprzykładu BO1 wymusza fałszywość zdania AO1.

Pani:
Dzieci, a czy da się wypowiedzieć zdanie AO1 w taki sposób aby było ono prawdziwe?
Jaś:
Tak prose Pani!
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie ~> zbiór P(pies)
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Zbiór 4L jest nadzbiorem ~> dla zbioru P (pies)
Zdanie AO z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A:
q~>p =1

Czy zdanie AO jest matematycznie prawdziwe?

Wiadomo bowiem że zachodzi tożsamość:
A: p=>q = AO: q~>p

Dowód:
p=>q = [p*q=p]
q~>p = [q*p=p]
cnd

Ta tożsamość zachodzi zarówno w logice Ziemian jak i logice 100-milowego lasu.

Pytanie do ANDY72:

Skoro tożsamość:
p=>q = q~>p
jest bezdyskusyjna to jak wypowiedzieć zdanie q~>p w taki sposób aby było ono prawdziwe?
Jeśli się tego nie da to matematyka leży i kwiczy dokładnie z powodu tożsamości:
p=>q = q~>p
Bo jak się da wypowiedzieć prawdziwe zdanie p=>q (zdanie A) to musi się dać wypowiedzieć prawdziwe zdanie q~>p (zdanie AO u Jasia)

Podsumowując:
Czy mały Jaś (lat 5) wypowiedział zdanie matematycznie prawdziwe AO?
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1

Jeśli Jaś bredzi i twoim zdaniem zdanie AO nie może być matematycznie prawdziwe (z powodu spójnika „może”) to proszę o podanie twojej wersji zdania q~>p wypowiedzianego w naturalnej logice człowieka w taki sposób aby było ono prawdziwe.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 2:42, 05 Lis 2014, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 9:11, 05 Lis 2014    Temat postu:

Jako pierwszy na powyższy post "odpowiedział" Zefciu z wiara.pl

[link widoczny dla zalogowanych]
zefciu napisał:
I znowu ściana tekstu. A odpowiedzi na moje pytania i wątpliwości jak nie było, tak nie ma.

Więc najwidoczniej "jeśli psy, to grzechy główne" jest zdaniem z "naturalnej logiki człowieka". No cóż - widać naturalne dla Kubusia jest coś innego, niż dla większości ludzi.

Jeśli psy to grzechy główne
Zbiory p i q są rozłączne, zdanie fałszywe - proste jak cep.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/pytania-dla-kubusia-fiklit-civ,7143.html#208945
zefciu napisał:
Ponieważ Kubuś ucieka z forów, na których zadaje mu się niewygodne pytania, przybyłem tutaj, aby przypomnieć mu o tych, na które jeszcze nie odpowiedział:


  1. Jaka jest różnica między p => q a q ~>p? (podobno jakaś jest, ale z "definicji" żadna nie wynika)
  2. Mając dane dowolne zdanie w jaki sposób przekształcamy je na zbiory? (chodzi o uniwersalną metodę, a nie o przykład na wygodnym zdaniu)
  3. Jakie 16 funkcji logicznych występuje w NTI?
  4. Jakie rozumowanie w KRZ wykazuje jego wewnętrzną sprzeczność? (Kubuś próbował dać przykład, ale rąbnął się trzy razy; tym niemniej nie odwołał tezy, że takie rozumowanie istnieje)


To tak na początek.

Powyższy post to odpowiedź na najważniejsze Twoje pytanie:
p=>q = q~>p
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna zachodząca zarówno w logice Ziemian jak i algebrze Kubusia o definicji:
Zdanie prawdziwe po jednej stronie znaku „=” wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie znaku „=”.
Zdanie fałszywe po jednej stronie znaku „=” wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie znaku „=”

Przykład zdania fałszywego po obu stronach znaku „=”.
AF.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P =0
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest tu spełniona bo:
Zbiór 4L nie zawiera w sobie zbioru P
Zbiór 4L nie jest nadzbiorem P

Zdanie po drugiej stronie tożsamości:
p=>q = q~>p
BRZMI!

AFO.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~> mieć cztery łapy
P~>4L =0
q~>p =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo:
Zbiór P (pies) nie zawiera w sobie zbioru 4L (tylko i wyłącznie z tego powodu zdanie AFO jest fałszywe!)
Zbiór P nie jest nadzbiorem ~> dla zbioru 4L

Oczywiście zdanie AFO jest prawdziwe z naturalnym spójnikiem „może” ~~> gdzie wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów P i 4L kończący dowód.

AFOP.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
P~~>4L = P*4L =1 bo słoń
q~~>p =1
KONIEC dowodu prawdziwości tego zdania!

Wróćmy jednak do naszego głównego dania, zdania prawdziwego:

Wypowiadam zdanie prawdziwe po lewej stronie znaku „=”.
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P(pies) zawiera się w zbiorze 4l
Zbiór P jest podzbiorem => zbioru 4L

Nasza tożsamość:
p=>q = q~>p

Kwadratura koła dla Zefcia:
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to …. być psem
4L~>P =1
q~>p =1

Wstaw w naturalnej logice człowieka w miejsce wykropkowane cokolwiek aby zdanie q~>p było prawdziwe.

Podpowiedź:
Zobacz jakie to banalne udając się do przedszkola gdzie Jaś (lat 5) już odpowiedział na to pytanie - post wyżej.

Pytanie:
Czy zdanie AO wypowiedziane przez Jasia to bełkot?
Jeśli tak to wal zefciu swoim zdaniem prawdziwym AO!

Życzę powodzenia i owocnych poszukiwań,

Twój nauczyciel logiki matematycznej,
Kubuś


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 9:38, 05 Lis 2014, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Idź do strony 1, 2  Następny
Strona 1 z 2

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin