Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - **** w trakcie pisania ****

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:00, 23 Mar 2008    Temat postu: Algebra Kubusia - **** w trakcie pisania ****

Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).


Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Części:
Część I Operatory AND i OR
Część II Implikacja
Dodatek A. Niebotyczne brednie albo niebotyczne odkrycie



Część II
Implikacja


Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde).
To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Podstawowe definicje i prawa algebry Boole’a
1.2 Definicje implikacji prostej i odwrotnej
1.3 Znaczenie spójników „musi” i „może” w algebrze Boole’a
1.3 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
1.4 Aktualny stan matematyki w zakresie implikacji
1.5 Istota najbardziej niezwykłego odkrycia w historii logiki

2.0 Implikacja
2.1 Definicja Implikacji prostej =>
2.2 Definicja implikacji odwrotnej ~>
2.3 Prawa Kubusia
2.4 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej =>
2.5 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej ~>
2.6 Twierdzenie Hipcia
2.7 Logika dodatnia i ujemna w operatorach => i ~>
2.8 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
2.9 Prawo kodowania zdań
2.10 Związek algebry Kubusia z kodem zero-jedynkowym
2.10.1 Kodowanie zero-jedynkowe implikacji prostej =>
2.10.2 Kodowanie zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>

3.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
3.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
3.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
3.3 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej
3.4 Kubuś na tropie implikacji prostej
3.5 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.6 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
3.7 Gwarancja w implikacji prostej
3.8 O niezbędności operatorów implikacji

4.0 Fundamenty algebry Boole’a
4.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
4.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
4.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
4.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
4.5 Prawo Kłapouchego
4.6 Kwadrat logiczny implikacji
4.7 Równoważność
4.8 Kwadrat logiczny równoważności

5.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
5.1 Prawo Tygryska

6.0 Kubusiowa tablica logiki
6.1 Równoważność
6.2 Implikacja prosta
6.3 Implikacja odwrotna
6.4 Operatorowa definicja implikacji prostej w praktyce
6.4.1 Gwarancja w implikacji prostej
6.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej w praktyce
6.5.1 Gwarancja w implikacji odwrotnej
6.6 Porównanie gwarancji w implikacji prostej i odwrotnej
6.7 Operatorowa definicja równoważności w praktyce

7.0 Obietnice i groźby
7.1 Obietnice
7.2 Groźby
7.3 Znaczenie operatora implikacji odwrotnej ~>
7.4 „Równoważność” w obietnicach i groźbach

8.0 Podsumowanie
8.1 Geneza zero-jedynkowych tabel operatorów logicznych

9.0 Geneza klęski dzisiejszej logiki w obszarze implikacji
9.1 Podsumowanie ponad trzyletniej dyskusji o implikacji na ŚFINII


Wstęp.

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, odpowiednik języka asemblera ze świata mikroprocesorów, gdzie praktycznie w 100% izolujemy się od kodu zero-jedynkowego, operując naturalną logiką człowieka. Celem tego podręcznika jest udowodnienie związku naturalnej logiki człowieka z zero-jedynkową algebrą Boole’a w obszarze operatorów implikacji prostej=> i odwrotnej ~>.

Implikacja to fundament logiki człowieka od narodzin do śmierci. Zero-jedynkowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> znane są człowiekowi od około 200 lat. Niestety, z powodu błędnej interpretacji kodu zero-jedynkowego matematykom wyszło, iż definicja implikacji odwrotnej ~> jest zbędna.

Kubuś to przybysz ze świata techniki gdzie implikacja nie ma i nie może mieć zastosowania, bowiem w jednej połówce definicji implikacji mamy zawsze przypadkowość czyli „rzucanie monetą”.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. Po trzech latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.

Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu

Symboliczna algebra Kubusia bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki.
Algebra Kubusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji poprawnymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Nowe, nieznane człowiekowi definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> (oczywiście chodzi tu o interpretacje tabel zero-jedynkowych) plus prawa Kubusia działają doskonale w matematyce, przyrodzie martwej i żywej, groźbach i obietnicach oraz opisują takie pojęcia jak „wolna wola” czy „dobro-zło”. Najśmieszniejszy w całej tej historii jest fakt, że człowiek nie musi się uczyć matematycznej wersji swojej logiki, po prostu ma ją wyssaną z mlekiem matki, wystarczy że będzie logicznie myślał i zapisywał swoje myśli w postaci równań algebry Kubusia w przełożeniu 1/1.

Matematyka języka mówionego zbudowana jest na bardzo prostym aksjomacie rodem z teorii cyfrowych układów logicznych.

Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).


1.0 Notacja

* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
# - różne
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)


1.1 Definicje implikacji prostej i odwrotnej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Wnioski z definicji:
Jeśli implikacja prostą p=>q jest prawdziwą (spełniony warunek wystarczający) to po zamianie p i q implikacja odwrotna p~>q też musi być prawdziwa (spełniony warunek konieczny)
Jeśli implikacja odwrotna p~>q jest prawdziwa (spełniony warunek konieczny) to po zamianie p i q implikacja prosta p=>q też musi być prawdziwa (spełniony warunek wystarczający)

Z powyższego wynika że zamiast badać czy zachodzi warunek konieczny w implikacji odwrotnej p~>q można badać czy po zamianie p i q zachodzi warunek wystarczający w implikacji prostej p=>q.


1.2 Znaczenie spójników „musi” i „może” w algebrze Boole’a

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

A: p=>q =1
B: p=>~q=0
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C: ~p~>~q=1
LUB
D: ~p~~>q=1

Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda), nie jest to implikacja odwrotna prawdziwa ~p~>q.

Definicja spójnika „musi” w algebrze Boole’a
Z dwóch pierwszych linii definicji operatorowej odczytujemy:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q, bo kolejna linia jest twardym fałszem
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Przy spełnionym warunku wystarczającym, spójnik „musi” gwarantuje prawdziwość zdania. Nie jest tu możliwe, aby implikacja prosta była fałszywa zaś samo zdanie prawdziwe.
Uwaga:
Stwierdzenie warunku wystarczającego między p=>q nie determinuje implikacji prostej, bowiem zdanie może być równoważnością, czyli czymś fundamentalnie innym niż implikacja.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji prawdziwe w równoważności:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

O implikacji prostej przesądza zachodzenie prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q


Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

A: p~> q =1
LUB
B: p~~>~q=1
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q= ~p=>~q
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0

Linia B: p~~>~q=1 jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda)

Definicja spójnika „może” w algebrze Boole’a
Z dwóch pierwszych linii definicji operatorowej odczytujemy:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q, bo kolejna linia również może być prawdziwa
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Przy spełnionym warunku koniecznym, spójnik „może” gwarantuje implikację odwrotną prawdziwą. Może tu zaistnieć przypadek, iż implikacja jest fałszywa, natomiast samo zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, implikacja P3~>P8 jest fałszywa, ale zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.

Znaczenie „może” w algebrze Boole’a różni się od znaczenia „może” w języku potocznym. W algebrze Boole’a „może” oznacza tylko i wyłącznie możliwość wyboru spośród dwóch możliwości q i ~q. W języku potocznym takich możliwości może być więcej niż dwie, oczywiście nie jest to wówczas dwuwartościowa algebra Boole’a.


1.3 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce

Podstawy algebry Boole’a omówiono szczegółowo w części I podręcznika „Algebra Kubusia - operatory AND i OR”

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1

Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0

Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji => i ~>:
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.

Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)

Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.
Kod:

p q  Y=p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Najprostsze równanie uzyskamy z linii drugiej bowiem w wyniku mamy tu samotne zero.

Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.

Sposób I
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=1
q=0 czyli ~q=1

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.

Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q

Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru

Na podstawie równania A mamy:
C.
Y=0
p=1 czyli ~p=0
q=0
Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q

Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.


1.4 Aktualny stan matematyki w zakresie implikacji

W dzisiejszej matematyce funkcjonuje taka definicja implikacji:
Jeśli p to q
p=>q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
Implikacja to zdanie złożone typu „Jeśli…to…” … nawet nie ma przymiotnika „warunkowe” !

Matematycznie istnieją dwie różne tabele zero-jedynkowe implikacji.
p=>q = ~p+q - implikacja prosta
p~>q = p+~q - implikacja odwrotna
Oczywiście dzisiejsza matematyka akceptuje fakt iż:
p=>q # p~>q
Jednak z powodu fałszywej interpretacji zer i jedynek w definicjach implikacji wychodzi jej że implikacja odwrotna ~> jest zbędna.

Ujmując rzecz całą ściśle matematycznie można udowodnić, że wszystkie operatory logiczne są zbędne za wyjątkiem jednego, NOR albo NAND … nie o to jednak chodzi.

Twierdzenie Kubusia:
W logice niezbędne są tylko i wyłącznie te operatory których człowiek używa w naturalnym języku mówionym czyli: AND(*), OR(+), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus negacja (~).

Powyższego zestawu operatorów nie należy ani skracać, ani też rozszerzać bo wyjdzie z tego logika-potworek nie mająca nic wspólnego z nieprawdopodobnie prostą i doskonałą, logiką człowieka.


1.5 Istota najbardziej niezwykłego odkrycia w historii logiki

Warunki wystarczający w implikacji prostej p=>q i konieczny w implikacji odwrotnej p~>q wynikają bezpośrednio z dziewiczych definicji zero-jedynkowych tych implikacji, co zobaczymy w pkt. 2.0. Mówią o nich wszelkie podręczniki matematyki do I klasy LO.

Stąd definicje …

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Prawa Kubusia zostały udowodnione trzema różnymi metodami przez:
Kubuś (wirtualny Internetowy Miś) - metoda zero-jedynkowa
Wuj (matematyk, dr. Fizyki) - metoda równań algebry Boole’a
Uczy (dr. Filozofii) - metoda nie wprost

Jak widać wyżej, dowód prawa Kubusia jest bezdyskusyjny bo dokonany przez niekwestionowanych ekspertów algebry Boole’a … zresztą, to jest dowód na poziomie 16-to latka więc nie podlega dyskusji.

Twierdzenie Kubusia 1:
Jeśli w dowolnej implikacji prawdziwej, prostej => lub odwrotnej ~>, negujemy argumenty to musimy zmienić operator na przeciwny.

Dowód, prawa Kubusia wyżej.

Twierdzenie Kubusia 2:
Każdy kto twierdzi, iż w implikacji prostej prawdziwej po zanegowaniu argumentów można użyć tego samego operatora logicznego twierdzi że 2+2=5

Dowód, prawa Kubusia wyżej.

Twierdzenie 1 może przybrać ostrzejszą formę …

Twierdzenie Kubusia 1A:
W dowolnej implikacji prostej => prawdziwej wymawiając p=>q automatycznie mówimy ~p~>~q bo to jedna i ta sama definicja zero-jedynkowa.
W dowolnej implikacji odwrotnej ~> prawdziwej wymawiając p~>q automatycznie mówimy ~p=>~q bo to jedna i ta sama definicja zero jedynkowa.

Człowiek ma tu zero do powiedzenia bo to jest matematyka pod która on podlega a nie którą on tworzy.

To jest ta pięta Achillesowa dzisiejszej matematyki

CND

Chrystus:
A.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z=1
1 1 =1
B.
Kto wierzy we mnie nie będzie zbawiony
W=>~Z=0
1 0 =0
… a jak kto nie wierzy Panie ?
Prawo Kubusia:
W=>Z = ~W~>~Z
czyli:
C.
Kto nie wierzy we mnie ten nie będzie zbawiony
~W~>~Z=1
0 0 =1
LUB
D.
Kto nie wierzy we mnie ten może być zbawiony
~W~~>Z =1
0 1 =1
~~> - zdanie prawdziwe na podstawie naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jeden taki przypadek), nie jest to implikacja odwrotna ~>.

Tabelę zero jedynkową uzyskano kodując:
W=1, ~W=0
Z=1, ~Z=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję implikacji prostej. Na mocy prawa Kubusia zdania A i C są absolutnie równoważne. Implikacja to taki stwór gdzie wymawiając A automatycznie wymawiamy C, albo odwrotnie.

To jedna i ta sama tabela zero-jedynkowa !

Co widać wyżej … stąd prawa Kubusia.

Uwaga:
W naturalnym języku mówionym spójnik implikacji prostej „musi” => jest domyślny i z reguły nie jest wymawiany (zdanie A). Spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> (zdanie C) nie jest domyślny i zawsze jest wymawiany. Wyjątkiem są tu groźby, gdzie spójnik ten jest pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności wobec definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia które nie mogą być zgwałcone. Jeśli zatem mamy poprawnie zakodowaną obietnicę jako W=>Z to negacja argumentów wymusza zmianę operatora ~W~>~Z czyli matematycznie mamy tu „może” ~>. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą on tworzy, zatem jakiegokolwiek spójnika by nie użył, to w groźbie nie zamieni „może” ~> na cokolwiek innego. Szczegóły w pkt. 7.3.


2.0 Implikacja

Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych. Fundamentem całego świata techniki są zaledwie dwie bramki logiczne AND(*) i OR(+) plus negator. W świecie techniki bramki implikacji prostej => i odwrotnej ~> nie są i nie mogą być używane ze względu na występującą w tych definicjach przypadkowość. Bramki logiczne to graficzna ilustracja algebry Boole’a pozwalająca na lepsze zrozumienie matematycznych przekształceń, z tego powodu najważniejsze przekształcenia matematyczne będą ilustrowane w technice bramek logicznych.

Oczywistość:
Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy spełnia pełną zero-jedynkową definicję implikacji.


2.1 Definicja Implikacji prostej =>

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

Tabela A
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

p=>q=0 wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
To dziewicza i najstarsza znana człowiekowi definicja implikacji prostej.

Definicję równoważną w równaniu algebry Boole’a łatwo otrzymujemy z drugiej linii sprowadzając wszystkie sygnały do zera i stosując definicję sumy logicznej. Zasady tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnie dużej tabeli zero-jedynkowej omówiono w części pierwszej.

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q

Na podstawie tej definicji łatwo konstruujemy bramkę implikacji prostej, którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią p. W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”.

Bramkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

  p   q
  |   |
 -------
 |O => |
 |  OR |
 -------
    |
   p=>q

Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q.


2.2 Definicja implikacji odwrotnej ~>

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Tabela B
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

p~>q=0 wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
To dziewicza i najstarsza znana człowiekowi definicja implikacji odwrotnej.

Definicję równoważną w równaniu algebry Boole’a łatwo otrzymujemy z ostatniej linii sprowadzając wszystkie sygnały do zera i stosując definicję sumy logicznej.

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q

Na podstawie tej definicji mamy bramkę implikacji odwrotnej którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią q.

Bramkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

  p   q
  |   |
 -------
 | ~> O|
 |  OR |
 -------
    |
   p=>q

Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q.


2.3 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Dowód autorstwa Wuja Zbója:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
B.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
Dla prawej strony korzystamy z definicji operatora implikacji odwrotnej ~> (B):
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
bo:
~(~q)=q - prawo podwójnego przeczenia
p=>q = ~p+q - definicja A
CND

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
Dla prawej strony korzystamy z definicji implikacji prostej => (A):
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
bo:
~(~p)=p - prawo podwójnego przeczenia
p~>q = p+~q - definicja B
CND

Oczywiście na mocy definicji:
p=>q # p~>q
czyli:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q - na mocy praw Kubusia i definicji implikacji

Dowód prawa Kubusia metoda zero-jedynkową.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>.

Dowód metodą zero-jedynkową:
Kod:

p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 1     0  0  1
1 0 0     0  1  0
0 0 1     1  1  1
0 1 1     1  0  1

Równość kolumn wynikowych trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Drugie z praw Kubusia dowodzi się analogicznie.


2.4 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej to po prostu rozpisane wszystkie przypadki jakie mogą w przyszłości wystąpić. Najłatwiej to zrozumieć przechodząc na symboliczną definicję implikacji prostej.

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd symboliczna definicja implikacji prostej;
Kod:

 p  q p=>q
 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1

Z pierwszych dwóch linii widać, że jeśli zajdzie p to „musi” zajść q bo druga linia jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić czyli:
Kod:

A: p=>q =1
B: p=>~q=0

Wynika z tego że p musi być wystarczające dla q, inaczej druga linia nie będzie twardym fałszem, stąd definicja implikacji prostej.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p musi być wystarczające dla q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => miedzy p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
Kod:
C: ~p~>~q=1
LUB
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
Kod:
D: ~p~~>q=1
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
Bycie psem jest wystarczające dla czterech łap, implikacja prosta prawdziwa
Druga linia przybierze tu postać:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
Oczywisty fałsz bo wszystkie psy mają cztery łapy. Psy kalekie z inną ilością łap służą do obalania logiki (w wariatkowie), dlatego musimy je z logiki usunąć, mając świadomość że takie istnieją.
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap, implikacja odwrotna prawdziwa.
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
To zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda), nie jest to implikacja odwrotna.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

A: p=>q =1
B: p=>~q=0
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C: ~p~>~q=1
LUB
D: ~p~~>q=1

Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda), nie jest to implikacja odwrotna prawdziwa ~p~>q.

Dowód nie wprost:
Załóżmy, że ~p~>q jest implikacja odwrotną prawdziwą.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
Kod:
D:~p~>q = B:p=>~q =0

Zdanie B jest oczywistym fałszem, zatem D nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
CND

Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy równania:
(~p~>q) + (~p~~>q) = 0 + 1 =1
Czyli implikacja odwrotna ~p~>q jest fałszywa, ale zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~p~~>q (wystarczy jedna prawda)

Sens implikacji prostej:
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko p=>~q=0, pozostałe będą pełne, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w definicji implikacji. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1.


2.5 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd symboliczna definicja implikacji odwrotnej;
Kod:

 p  q p~>q
 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0

Z pierwszych dwóch linii widać że:

Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Kod:
A:p~>q=1

LUB
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
Kod:
B:p~~>~q=1


Z powyższego wynika, że p musi być warunkiem koniecznym dla q inaczej pierwsza linia będzie twardym fałszem, implikacja odwrotna będzie fałszywa.

Przykład:
Jeśli zwierze ma skrzydła to może być psem
S~>P=0
Skrzydła nie są konieczne dla psa, implikacja oczywiście fałszywa

Stąd definicja implikacji odwrotnej.

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być konieczne dla q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym.

Zauważmy, że jeśli p jest konieczne dla q (pierwsza linia) to zajście ~p wymusza zajście ~q. Stąd w sposób naturalny otrzymaliśmy dowód prawa Kubusia.

… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Kolejne dwie linie tabeli to oczywiście operator implikacji prostej =>, spójnik „musi”.
Kod:

C:~p=>~q =1
D:~p=>q =0

Twarda prawda w linii C wymusza fałsz w linii D.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
Cztery łapy są konieczne dla psa, implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

A: p~> q =1
LUB
B: p~~>~q=1
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q= ~p=>~q
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0


Linia B: p~~>~q=1 jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda)

Zauważmy, że implikacja odwrotna w linii B jest wykluczona na mocy prawa Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest oczywistym fałszem, zatem implikacja B: p~>~q nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.

Zdanie B jest prawdziwe na mocy tego równania:
(p~>~q) + (p~~>~q) = 0 + 1 =1
Implikacja odwrotna p~>~q jest fałszywa, ale całe zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>, wystarczy jedna prawda.

Sens implikacji odwrotnej:
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko ~p=>q=0, pozostałe będą pełne, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w definicji implikacji. Najważniejsze w implikacji odwrotnej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna ~p=>~q=1.


2.6 Twierdzenie Hipcia

Twierdzenie Hipcia:
Prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji

Kluczowy jest tu dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji, wszystko inne jest oczywistością.

Punkt odniesienia p=>q

Implikacja prosta => i odwrotna ~>, wersja ze sztywnym punktem odniesienia ustawionym na implikacji prostej p=>q.

Założenie:
p=>q - implikacja prosta prawdziwa, czyli spełniony warunek wystarczający między p i q
q~>p - implikacja odwrotna prawdziwa powstała po zamianie p i q.
Zachodzenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q wymusza warunek konieczny w kierunku q~>p.

Przykład implikacji matematycznej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi” => być podzielna przez 2
P8=>P2
p=>q
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2

Po zamianie p i q przy sztywnym punkcie odniesienia ustalonym wyżej na p=>q mamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
q~>p
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8

Oczywiście na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
bo operator => to zupełnie co innego niż operator ~>

Dla prawej strony korzystamy z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
… i mamy dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p=>q:
p=>q # ~q => ~p
CND

Punkt odniesienia „Jeśli…to…”

Wyłącznie ta wersja jest zgodna z definicjami implikacji prostej p=>q i odwrotnej p~>q.

Implikacja prosta => i odwrotna ~>, wersja z punktem odniesienia ustawionym zawsze na zdaniu wypowiedzianym „Jeśli…to…” czyli po „Jeśli” zawsze mamy p zaś po „to” zawsze jest q.

Ten sam przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi” => być podzielna przez 2
P8=>P2
p=>q
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2

Po zamianie p i q mamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8

Zauważmy coś bardzo ważnego:
q~>p = P2~>P8 - zdanie B widziane z punktu odniesienia p=>q
p~>q = P2~>P8 - zdanie B widziane z punktu odniesienia „Jeśli…to…”
Prawe strony są identyczne zatem:
q~>p (punkt odniesienia p=>q) = p~>q (punkt odniesienia „Jeśli…to…”)

Oczywiście na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
czyli:
p=>q # p~>q
bo operator => to zupełnie co innego niż operator ~>

Wyłącznie ta wersja jest zgodna z definicjami:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

W tym miejscu matematycy klasyczni będą protestować.
Zauważmy bowiem, że po obu stronach nierówności mamy różne znaczenie parametrów formalnych p i q.
Lewa strona:
p=P8, q=P2
Prawa strona:
p=P2, q=P8

Odpowiedź Kubusia:
Panowie, algebra Boole’a to algebra bramek logicznych (tu Kubuś jest ekspertem) mająca zero wspólnego z matematyką klasyczną (całki, ekstrema itp). Prawa algebry Boole’a nie muszą pokrywać się z prawami matematyki klasycznej.

Od strony matematycznej jest tu wszystko w porządku.

Definicja implikacji prostej:
p=>q
p musi być wystarczające dla q
W przełożeniu na nasz przykład mamy.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
p=>q - definicja implikacji prostej
czyli:
p=P8, q=P2

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
Nasz przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
p~>q - definicja implikacji odwrotnej
czyli:
p=P2, q=P8

Jak widać, literki p i q na mocy odpowiednich definicji są dokładnie tam gdzie być powinny.

Zauważmy, że przy prawidłowym punkcie odniesienia ustawionym zawsze na zdaniu wypowiedzianym, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q prawo kontrapozycji nie zachodzi w zapisie ogólnym:
p=>q =~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q

Dla naszego przykładu mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8

Z ostatniego zapisu widać, że brak przemienności w operatorach implikacji przenosi się na brak przemienności w operatorach OR i AND wynikających z definicji implikacji co jest oczywiste bowiem:

A.
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2)
W ostatnim przekształceniu skorzystano z prawa de’Morgana
Gwarancja:
P8=>P2
Liczby 8,16,24 … na pewno są podzielna przez 8
LUB
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
Gwarantowane liczby:
8,16,24 …

B.
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8)
Gwarancja:
~P2=>~P8
Liczby 1,3,5,7 … na pewno nie są podzielne przez 8
LUB
~(~P2*P8)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
Gwarantowane liczby:
1,3,5,7 …

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Gwarancja A nie jest równoważna gwarancji B bowiem nie ma tu wzajemnego uzupełniania się zbiorów, jak to jest w równoważności.
Poza obiema gwarancjami jest trzeci zbiór liczb podzielnych przez 2 i niepodzielnych przez 8.
C.
Liczby 2,4,6 ….

Oczywiście gwarancje wynikające z praw Kubusia są identyczne bo tu zachodzi tożsamość matematyczna, co widać wyżej.

Przykład implikacji ze świata martwego:

Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur, zatem implikacja prosta prawdziwa
Gwarancja:
A.
Jeśli pada to na pewno chmury

Po zamianie p i q prawdziwa implikacja prosta musi przejść w prawdziwą implikację odwrotną

Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~>padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa.
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P
Gwarancja:
B.
Brak chmur to na pewno nie pada

Poza gwarancją jest tu przypadek kiedy:
C.
Jest pochmurno i nie pada

W implikacji gwarancje A i B są różne, tu na mocy odpowiednich definicji mamy:
P=>CH # CH~>P = ~CH=>~P
Gwarancje wynikające z praw Kubusia są oczywiście identyczne.


Przykład implikacji ze świata żywego:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
Gwarancja wynika tu z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Gwarancja:
A.
Zwierzęta nie mające czterech łap na pewno nie są psami np. kura, mrówka, waż …

Po zamianie p i q prawdziwa implikacja odwrotna przechodzi w prawdziwą implikację prostą.

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Gwarancja:
B.
Jeśli pies to na pewno cztery łapy

Poza gwarancją są zwierzęta które mają cztery łapy i nie są psami:
C.
słoń, koń, lis …

Oczywiście na mocy definicji mamy:
A # B
czyli:
4L~>P = ~4l=>~P # P=>4L = ~P~>~4L
Jak widać wyżej gwarancje po obu stronach nierówności są różne, natomiast gwarancje wynikające z praw Kubusia są oczywiście identyczne.

Równoważność byłaby tu wtedy i tylko wtedy gdyby nie było zbioru C czyli na ziemi istniałyby wyłącznie psy i nie było ani jednego innego zwierzaka z czterema łapami.


2.7 Logika dodatnia i ujemna w operatorach => i ~>

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.


2.8 Prawa Kubusia w bramkach logicznych

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być wystarczające dla q

Stąd bramka implikacji prostej to układ logiczny OR z zanegowanym w środku bramki wejściem p.
Kod:

Bramka „musi” =>
 p   q
 |   |
 |   |
-------
|O => |
|musi |
|OR   |
-------
   |
   |
  p=>q

Stojąc na przewodzie p (punkt odniesienia) widzimy niezanegowaną linię q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być konieczne dla q

Stąd bramka implikacji odwrotnej to układ logiczny OR z zanegowanym w środku bramki wejściem q.
Kod:

Bramka „może” ~>
 p   q
 |   |
 |   |
-------
| ~> O|
|może |
|OR   |
-------
   |
   |
  p~>q

Stojąc na przewodzie p (punkt odniesienia) widzimy zanegowaną linię q

Układ zastępczy bramki implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Kod:

 p   q       p   q       p   q
 |   |       |   |       |   |
 |   |       O   O       O   O
 |   |       |~p |~p     |~p |~q
 |   |       O   O       |   |
 |   |       |p  |q      |   |
-------     -------     -------
|O => |  =  |O => |  =  | ~> O|
|musi |     |musi |     |może |
|OR   |     |OR   |     |OR   |
-------     -------     -------
   |           |           |
   A           B           C
  p=>q        p=>q       ~p~>~q


Na schemacie B wprowadzamy w linie wejściowe po dwie negacje.
Oczywiście układ nie ulegnie zmianie zgodnie z prawem podwójnego przeczenia.
p=~(~p)

Na rysunku C wpychamy po jednej negacji do środka bramki OR.
Negacja z wejście p przemieści się na wejście q (bo ~(~p)=p), zaś bramka stanie się bramką implikacji odwrotnej zgodnie z jej definicją bramkową wyżej.

Bramka A jest równoważna bramce C czyli:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia

To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =0    0  1  =0
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =1    1  0  =1

Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji prostej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji odwrotnej.

Układ zastępczy bramki implikacji odwrotnej ~>

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Kod:

 p   q       p   q       p   q
 |   |       |   |       |   |
 |   |       O   O       O   O
 |   |       |~p |~p     |~p |~q
 |   |       O   O       |   |
 |   |       |p  |q      |   |
-------     -------     -------
| ~> O|  =  | ~> O|  =  |O => |
|może |     |może |     |musi |
|OR   |     |OR   |     |OR   |
-------     -------     -------
   |           |           |
   A           B           C
  p~>q        p~>q       ~p=>~q

Bramka A jest równoważna bramce C czyli:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia

To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =1    0  1  =1
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =0    1  0  =0

Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji odwrotnej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji prostej.

Zauważmy, że w przypadku praw Kubusia (w przeciwieństwie do praw de’Morgana) na wyjściu bramki nie musieliśmy wprowadzać dwu negatorów. Wstawiamy tu wyłącznie po dwie negacje w linie wejściowe co oczywiście również nie zmienia w żaden sposób układu cyfrowego.

Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
p=>q # p~>q
czyli:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q - na mocy praw Kubusia


2.9 Prawo kodowania zdań

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>

Dowód zero-jedynkowy:
Kod:

Tabela A  Tabela A1
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =0    0  1  =0
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =1    1  0  =1

Po lewej stronie mamy tu tabelę zero-jedynkowa implikacji prostej A, natomiast po prawej stronie tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej A1. Linie w tabeli implikacji możemy dowolnie przestawiać, przestawmy w tabeli A1 dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi.
Kod:

Tabela B  Tabela B1
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1    1  1  =1
1 0 =0    1  0  =1
0 0 =1    0  0  =1
0 1 =1    0  1  =0

Zauważmy teraz, że tabela implikacji prostej B zakodowana jest w logice dodatniej:
p=1, ~p=o
q=1, ~q=0
Natomiast tabela implikacji odwrotnej B1 zakodowana jest w logice ujemnej:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Zero-jedynkowo tabela implikacji prostej => jest czymś zupełnie innym niż zero-jedynkowa tabela implikacji odwrotnej.

Prawo kodowania zdań
Dowolne zdanie nowo wypowiedziane traktujemy jako prawdziwe nadając mu wstępnie 1 1 =1.

Oczywiście wcale nie musi być to zdanie prawdziwe, co możemy stwierdzić analizując zdanie.

Przykład z powyższej tabeli.
Zdanie wypowiedziane B:
p=>q =1
1 1 =1
Zdanie wypowiedziane B1:
~p~>~q=1
1 1 =1

Twierdzenie Kubusia:
Świat wygląda różnie z różnych punktów odniesienia, aby porównywać cokolwiek z czymkolwiek należy wpierw ustalić wspólny punkt odniesienia.

Wynika z tego, że aby porównywać w tabeli B/B1 zero-jedynkowe tabele p=>q i ~p~>~q musimy je sprowadzić do tego samego punktu odniesienia czyli p i q albo ~p i ~q. Oczywiście z punktu odniesienia p i q obie tabele będą tabelami zero-jedynkowymi implikacji prostej =>, natomiast z punktu odniesienia ~p i ~q tabele będą tabelami implikacji odwrotnej ~>.

Sprowadzenie tabeli B1 do punktu odniesienia p i q:
Kod:

Tabela C  Tabela C1
p q p=>q  p  q  p=>q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =0    0  1  =1
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =1    1  0  =0

W tabeli B1 usunęliśmy negacje z ~p i ~q co wymusiło zmianę zer i jedynek na wartości przeciwne, otrzymaliśmy tabelę C1. Oczywiście tabele C i C1 są identyczne bo linie możemy dowolnie przestawiać, to tabele implikacji prostej => co jest dowodem poprawności praw Kubusia.

Sprowadzenie tabeli B do punktu odniesienia ~p i ~q:
Kod:

Tabela D      Tabela D1
~p ~q ~p~>~q ~p ~q ~p~>~q
 0  0  =1     1  1  =1
 0  1  =0     1  0  =1
 1  1  =1     0  0  =1
 1  0  =1     0  1  =0

Tym razem w tabeli B zanegowaliśmy sygnały p i q co wymusiło zmianę zer i jedynek na przeciwne wartości, otrzymaliśmy tabelę D. Tabele zero-jedynkowe D i D1 są identyczne bo linie możemy dowolnie przestawiać, to tabele implikacji odwrotnej ~> co jest dowodem poprawności praw Kubusia.

To samo co wyżej zdecydowanie lepiej widać na przykładzie definicji operatorowych implikacji prostej => i odwrotnej ~> co zobaczymy w kolejnym punkcie.


2.10 Związek algebry Kubusia z kodem zero-jedynkowym

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, naturalna logika człowieka, w której w 100% izolujemy się od kodu zero-jedynkowego, identycznie jak to ma miejsce w języku asemblera dowolnego mikroprocesora.
Mikroprocesor zna wyłącznie zera i jedynki. W jaki zatem sposób wykonuje program napisany przez człowieka w symbolicznym języku asemblera ?
Odpowiedź jest tu prosta:
Każdy program napisany w dowolnym języku symbolicznym (nie tylko w asemblerze) musi zostać przetłumaczony na ciąg zer i jedynek zrozumiały dla mikroprocesora. Takie tłumaczenie można wykonać ręcznie na podstawie listy rozkazów mikroprocesora albo przy pomocy samego mikroprocesora. Oczywiście w praktyce wszyscy korzystają z drugiej możliwości, bowiem ręczne kodowanie długich programów to po prostu horror.

Fundamentem logiki człowieka od narodzin do śmierci jest implikacja, przypomnijmy sobie definicje.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Definicja operatorowa implikacji prostej =>:
Kod:

p=> q =1
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q =1
~p~~>q =1


Definicja operatorowa implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

p~> q  =1
p~~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q =1
~p=> q =0


Analiza dowolnego zdania „Jeśli…to…” przez odpowiednią definicję operatorową daje nam odpowiedź czy dane zdanie jest implikacja prostą=>, implikacją odwrotną ~> albo jest implikacją fałszywą, czyli nie uzyskujemy odpowiednich tabel zero-jedynkowych.


2.10.1 Kodowanie zero-jedynkowe implikacji prostej =>

Legenda:
LD - kodowanie w logice dodatniej
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
LU - kodowanie w logice ujemnej
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Wypowiedziane zdanie:
p=>q
Załóżmy, że zdanie p=>q jest implikacją prostą prawdziwą, czyli między p i q występuje warunek wystarczający.
Kod:

Tabela A_LD
p=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
~p~>~q =1
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1

Prawo kodowania zdań:
Dowolne zdanie nowo wypowiedziane traktujemy jako prawdziwe nadając mu wstępnie 1 1 =1 co widać w tabeli wyżej.

Oczywiście wcale nie musi być to zdanie prawdziwe, co możemy stwierdzić analizując zdanie. Przykładowo, jeśli ktoś wypowie drugą linię tabeli to fałsz stwierdzimy natychmiast i bez problemu.

Na podstawie pierwszej linii tabeli (zdanie wypowiedziane) mamy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Załóżmy teraz, że ktoś wypowiedział trzecia linię powyższej tabeli, oczywiście również implikację prawdziwą.

Zdanie wypowiedziane:
~p~>~q
Załóżmy, że jest to implikacja odwrotna prawdziwa, czyli między ~p i ~q występuje warunek konieczny.
Kod:

Tabela B_LU
~p~>~q =1
1 1 =1
~p~~>q =1
1 0 =1
p=> q =1
0 0 =1
p=>~q =0
0 1 =0

Doskonale widać wyżej tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla parametrów ~p i ~q.
Tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej uzyskaliśmy na podstawie pierwszej linii (zdanie wypowiedziane) kodując tabelę w logice ujemnej.
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Powyższa tabela jest oczywiście równoważna implikacji prostej p=>q na mocy prawa Kubusia:
~p~>~q = p=>q
co łatwo udowodnić przyjmując w kodowaniu tabeli B logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Tabela B_LD
~p~>~q =1
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1
p=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0

Oczywiście tabele A_LD i B_LD są identyczne bo linie możemy dowolnie przestawiać, tu przestawiono dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi.

Zauważmy coś niezwykle ciekawego.

Analiza symboliczna we wszystkich trzech tabelach A_LD, B_LU i B_LD jest identyczna, jednak na poziomie zero-jedynkowym tabela B_LU jest inna niż tabele A_LD i B_LD.

O co tu chodzi ?
Jak nie wiadomo o co chodzi to chodzi o pieniądze … albo o punkt odniesienia.
Poniższe twierdzenie nie jest dla Kubusia nowością, na poziomie zer i jedynek pisał o tym w podręczniku techniki cyfrowej już 25 lat temu.

Twierdzenie Kubusia:
Świat wygląda różnie z różnych punktów odniesienia, aby porównywać cokolwiek z czymkolwiek należy wpierw ustalić wspólny punkt odniesienia.

Wynika z tego, że aby porównywać powyższe tabele musimy je sprowadzić do tego samego punktu odniesienia czyli p i q albo ~p i ~q. Oczywiście z punktu odniesienia p i q tabele A, B będą tabelami zero-jedynkowymi implikacji prostej =>, natomiast z punktu odniesienia ~p i ~q tabele zero-jedynkowe A, B będą tabelami implikacji odwrotnej ~>.

Zobaczmy ten ostatni przypadek kodując tabelę A w logice ujemnej:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Tabela A_LU
p=> q =1
0 0 =1
p=>~q =0
0 1 =0
~p~>~q =1
1 1 =1
~p~~>q =1
1 0 =1

Tym razem tabele zero-jedynkowe B_LU i A_LU są identyczne bowiem linie możemy dowolnie przestawiać, tu przestawiono dwie pierwsze z dwoma ostatnimi. Doskonale tu widać, dlaczego od poziomu zer i jedynek niemożliwe było rozszyfrowania implikacji którą posługują się ludzie.

Twierdzenie Kubusia:
Poprawna logika nie powinna zależeć od zer i jedynek. Przejście z logiki symbolicznej (algebry Kubusia) do kodu zero-jedynkowego może zostać wykonane w dowolnej logice, dodatniej albo ujemnej.

Kodowanie w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
Kodowanie w logice ujemnej:
~p=1, p=0

Podobny do powyższego przykład ze świata fizyki …
Definicja napięcia:
Napięcie to różnica dwóch potencjałów elektrycznych mierzonych (liczonych) względem tego samego punktu odniesienia
Uab = Va-Vb
Czyli potencjały Va i Vb musza być mierzone (liczone) względem tego samego punktu X, Y, Z ... Nie wolno zmierzyć potencjału Va względem X, zaś Vb względem Y bo wyjdą kosmiczne głupoty a nie właściwe napięcie Uab.


2.10.2 Kodowanie zero-jedynkowe implikacji odwrotnej ~>

Postępujemy tu identycznie jak z implikacją prostą.

Zdanie wypowiedziane:
p~>q
Załóżmy, że jest to implikacja odwrotna prawdziwa czyli między p i q występuje warunek konieczny. Oczywiście dla dowolnego zdania nowo wypowiedzianego przyjmujemy ciąg 1 1=1 zakładając wstępnie, że jest ono prawdziwe.
Kod:

Tabela C_LD
p~> q  =1
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0

Na podstawie pierwszej linii mamy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej doskonale widoczna wyżej.

Załóżmy teraz, że ktoś wypowiedział trzecią linię powyższej tabeli czyli mamy zdanie wypowiedziane:
~p=>~q
Zakładamy, że jest to implikacja prosta prawdziwa czyli między ~p i ~q występuje warunek wystarczający.
Kod:

Tabela D_LU
~p=>~q =1
1 1 =1
~p=> q =0
1 0 =0
p~> q  =1
0 0 =1
p~~>~q =1
0 1 =1

Na podstawie pierwszej linii tabeli (zdanie wypowiedziane) mamy:
~p=1, q=0
~q=1, q=0
Wedle tego kodujemy pozostałe linie analizy symbolicznej i otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w odniesieniu do sygnałów ~p i ~q, co doskonale widać wyżej.

Oczywiście tabele zero-jedynkowe C_LD i D_LU są różne bowiem są widziane z różnych punktów odniesienia:
Tabela C_LD - punkt odniesienia p i q
Tabela D_LU - punkt odniesienia ~p i ~q

Sprowadźmy teraz tabelę D_LU do punku odniesienia w logice dodatniej czyli przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela D_LD
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0
p~> q  =1
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1

Przestawmy teraz dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi:
Kod:

Tabela D_LD
p~> q  =1
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0

Doskonale widać identyczność tabel zero-jedynkowych C_LD i D_LD. Tabele zero-jedynkowe to oczywiście definicja implikacji odwrotnej.

Przykład z życia wzięty …

Bush do Husajna:
Jeśli nie wycofasz się z Kuwejtu uderzymy na Irak
~W~>U =1
To jest groźba zatem podlega pod implikacje odwrotną.

Analiza matematyczna:
Jeśli nie wycofasz się z Kuwejtu mogę ~> uderzyć na Irak
~W~>U =1
LUB
Jeśli nie wycofasz się z Kuwejtu to mogę~ ~> nie uderzyć na Irak
~W~~>~U =1
Jak widać implikacja odwrotna gwarantuje Bushowi wolną wolę, cokolwiek by nie zrobił to nie zostanie kłamcą, ale …
Prawo Kubusia:
~W~>U = W=>~U
czyli:
Jeśli wycofasz się z Kuwejtu to na pewno => nie uderzymy na Irak
W=>~U =1 - gwarancja matematyczna
Jeśli wycofasz się z Kuwejtu to na pewno => uderzymy na Irak
W=>U =0

Aby złamać powyższą gwarancje Bush musi ogłosić całemu światu:
Husajn wycofał się z Kuwejtu, uderzam na Irak z powodu że Husajn wycofał się z Kuwejtu

… jak widać, jest to nieprawdopodobnie silna gwarancja, aby ją złamać trzeba być idiotą jak wyżej.

Przepiszmy tabelę operatorową powyższej analizy:
Kod:

~W~>  U =1
~W~~>~U =1
 W=> ~U =1
 W=>  U =0

Zdanie wypowiedziane (kodujemy 1 1 =1), implikacja odwrotna prawdziwa brzmi:
~W~>U=1
1 1 =1
stąd dla kodowania powyższej tabeli mamy:
~W=1, W=0
U=1, ~U=0
czyli:
Kod:

Tabela A_LD
~W~>  U =1
1 1 =1
~W~~>~U =1
1 0 =1
 W=> ~U =1
0 0 =1
 W=>  U =0
0 1 =0

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.
CND

Oczywiście z punktu odniesienia zanegowanych sygnałów wejściowych czyli po przyjęciu:
~W=0, W=1
U=0, ~U=1
Będziemy mieli do czynienia z tabelą zero-jedynkową implikacji prostej:
Kod:

Tabela A_LU
~W~>  U =1
0 0 =1
~W~~>~U =1
0 1 =1
 W=> ~U =1
1 1 =1
 W=>  U =0
1 0 =0

Husajn do Busha:
… a jeśli wycofam się z Kuwejtu ?
Prawo Kubusia:
~W~>U = W=>~U
Odpowiedź Busha:
Jeśli wycofasz się z Kuwejtu to nie uderzymy na Irak
W=>~U
… z powodu że wycofałeś się z Kuwejtu.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja odwrotna ~W~>U. Jeśli Husajn wycofa się z Kuwejtu to Bush będzie musiał szukać innego powodu ataku na Irak … jeśli bardzo chce uderzyć.

W tabeli A_LU przestawiamy dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi i mamy matematyczną obsługę ostatniego zdania wypowiedzianego przez Busha.
Kod:

Tabela A_LU
W=> ~U =1
1 1 =1
 W=>  U =0
1 0 =0
~W~>  U =1
0 0 =1
~W~~>~U =1
0 1 =1

Doskonale widać tu tabelę zero-jedynkową implikacji prostej W=>~U.
CND

Oczywiście tabela A_LD i A_LU są matematycznie równoważne, aby to udowodnić musimy spojrzeć na nie z tego samego punktu odniesienia.

Dowód:
Sprowadzamy tabele A_LU do logiki dodatniej przyjmując sygnały przeciwne do sygnałów w pierwszej linii powyższej tabeli czyli:
W=0, ~W=1
~U=0, U=1
Stąd otrzymujemy tabele A_LD_1 w logice dodatniej.
Kod:

Tabela A_LD_1
W=> ~U =1
0 0 =1
 W=>  U =0
0 1 =0
~W~>  U =1
1 1 =1
~W~~>~U =1
1 0 =1

Oczywiście linie w tabeli możemy dowolnie przestawiać. Przestawmy dwie pierwsze z dwoma ostatnimi.
Kod:

Tabela A_LD_1
~W~>  U =1
1 1 =1
~W~~>~U =1
1 0 =1
W=> ~U =1
0 0 =1
 W=>  U =0
0 1 =0


Doskonale widać, że tabela A_LD_1 jest identyczna jak tabela A_LD zatem prawo Kubusia działa doskonale.

Ciąg dalszy dalej …


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 14:47, 10 Paź 2009, w całości zmieniany 374 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin