Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Ostatnia rewolucja w małym rozumku Kubusia

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 8:56, 24 Mar 2008    Temat postu: Ostatnia rewolucja w małym rozumku Kubusia

Nienawidzę rewolucji :grin:

... bo wszystko trzeba przemeblowywać i zmieniać.

Ten cytat rzucony przez Łukasza na matematyce.pl rzucił właściwe światło na całość implikacji. To wszystko mozna napisać jeszcze prościej - stąd "rewolucja"

Lukasz_C747 napisał:

Jeśli p to być może q" zapisujemy jako p=>(q v ~q), jest to tautologią i praktycznie o niczym nam nie mówi. Z q=>p mówi nam tylko, że p jest warunkiem koniecznym q, a to oznacza, że jest potrzebne, żeby q było prawdą, ale nie gwarantuje tego (czyli twoje "być może").


... i o to mi chodziło, dzięki. To co wytłuściłem ma fundamentalne znaczenie.

Poniżej zamieszczam całość przedostatniej wersji ... mam nadzieję. :think:


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:20, 24 Mar 2008, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:01, 24 Mar 2008    Temat postu:

Proste jest piękne

Stanisław Heller napisał:
Wyobraźcie sobie, że przeczytałem bez mała od dechy do dechy teorię implikacji i stwierdzam dwie rzeczy: jest autentycznie wielka .... Zachęcam wszystkich do przestudiowania teorii implikacji.
Bartek (BD) napisał:
Gratuluję ciekawej teorii implikacji odwrotnej. Wygląda mi ona na wiarygodną. Próbował Pan opublikować wyniki swoich badań w jakimś fachowym piśmie?
Dzięki, Kubuś.

Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej
Część III Dyskusje o implikacji
Część IV Teoria implikacji prostej i odwrotnej w pigułce


Część II elementarza zawiera teorię implikacji prostej i odwrotnej. Bez akceptacji matematycznych operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek logiczne myślenie, niemożliwe jest też życie bowiem wszelkie istoty żywe używają implikacji prostej do obsługi obietnic oraz implikacji odwrotnej do obsługi gróźb. Najwyższy więc czas przeprosić implikację odwrotną i umieścić ją obok jedynie słusznej implikacji prostej widniejącej we wszystkich podręcznikach i encyklopediach ... to jest cel całego elementarza.

Częsć I
Fundamenty algebry Boole’a


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

To jest elementarz przy pomocy którego chciałbym poznać algebrę Boole’a, gdybym miał znowu 16 lat.
Kubuś


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Cztery szkoły logiki klasycznej
1.2 Jedynka i zero, najważniejsze cyfry w naszym Wszechświecie

2.0 Fundament algebry Boole’a
2.1 Definicja iloczynu logicznego
2.2 Definicja sumy logicznej
2.3 Definicja negacji
2.4 Najważniejsze twierdzenia algebry Boole’a

3.0 Logika dodatnia i ujemna
3.1 Fizyczne sposoby przejścia z logiki dodatniej na ujemną

4.0 Przejście z kodu zero-jedynkowego do równań w algebrze Boole’a
4.1 Przejście z tabel zero-jedynkowych do równań algebry Boole’a

5.0 Logika dodatnia i ujemna w języku mówionym
5.1 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach twierdzących
5.2 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
5.3 Obietnica
5.4 Groźba
5.5 Wykresy czasowe w algebrze Boole'a

6.0 Matematyczne operatory logiczne
6.1 Lista operatorów logicznych
6.2 Związek algebry Boole’a z rzeczywistością
6.3 Jak działają operatory logiczne

7.0 Tablice logiki
7.1 Tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND
7.2 Tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-
7.3 Najważniejsze zależności między operatorami w logice dodatniej

OD AUTORA

Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum www.sfinia.fora.pl (metodologia) po dwóch latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Jest niesamowicie prosta, bo posługują się nią wszystkie dzieci w przedszkolu. Fundament logiki człowieka, to zaledwie sześć kluczowych zer i jedynek w matematycznej definicji implikacji. To jest coś tak absolutnie zaskakującego i prostego, że niektórzy pewnie w to nie uwierzą.

Logika człowieka to algebra Boole'a. Rozwiązanie problemu wszelkich obietnic i gróźb, czyli opisanie ich przy pomocy algebry Boole’a, ma fundamentalne znaczenie, bo wiąże swobodny język mówiony z tą algebrą.

Starałem się napisać „Teorię implikacji prostej i odwrotnej” od zupełnego zera, tzn. przy założeniu że czytelnik nie ma pojęcia o algebrze Boole’a. Moim marzeniem jest, aby tą teorię mogły zrozumieć 16-letnie dzieci z wiedzą matematyczną na poziomie I klasy LO. Nie wiem czy mi się to udało, mam nadzieję, że tak.

Życzę Wszystkim przyjemnej lektury, Kubuś


Wstęp.

Sens implikacji w obietnicach i groźbach w języku mówionym to po prostu prawo do wręczenia nagrody przy nie spełnionym warunku nagrody (implikacja prosta = akt miłości) oraz prawo do darowania dowolnej kary przy spełnionym warunku kary (implikacja odwrotna = akt łaski). Myślę, że o wiele łatwiej jest nauczyć pięknej algebry Boole’a młodego człowieka który nic o niej nie wie, niż przekonać zawodowego logika że w temacie implikacji jest w błędzie. Dlatego właśnie teoria implikacji prostej i odwrotnej zaczyna się od zupełnego zera, czyli od fundamentów algebry Boole’a. Myślę, że wiedza w elementarzu przedstawiona jest w inny sposób niż to czynią podręczniki szkolne, mam nadzieją że prostszy i ciekawszy. Jest tu wiele nowości np. logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole'a, odkrycie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych, tablice logiki ... Zachęcam do przeczytania elementarza zarówno początkujących jak i zawodowców.


1.0 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."

Logika dodatnia:
1 = PRAWDA
0 = FAŁSZ

Zmienne binarna – zmienna mogąca przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1


1.1 Cztery szkoły logiki klasycznej

Definicja:
Logika klasyczna, to logika zbudowana na fundamencie algebry Boole’a

Algebra Boole’a jest jedna. Tymczasem logik klasycznych jest wiele. Poniżej przedstawiam cztery które poznałem w Internecie, istniejące w naszej rzeczywistości. Oczywiście tylko jedna z nich może być prawdziwa.

Początkujący czytelnicy powinni potraktować ten punkt jako ciekawostkę, gdyż jego pełne zrozumienie możliwe jest po zapoznaniu się z „Teorią implikacji prostej i odwrotnej” część I i II.

Implikacji prostej do obsługi obietnic i implikacji odwrotnej do obsługi gróźb używają wszelkie żywe stworzenia na naszej planecie. Oczywiście nie znają matematyki, ale się nią doskonale posługują w praktyce.

Matematyczna rzeczywistość, czyli krystalicznie czysta algebra Boole’a !

Definicja obietnicy:

Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q = ~p + q – implikacja prosta

Definicja groźby:

Jeśli dowolny warunek to kara
p~>q = p + ~q – implikacja odwrotna

Cztery szkoły logiki klasycznej:

I.
Ta szkoła logiki klasycznej analizuje wszelkie obietnice w oparciu o implikację materialną (wszystkie podręczniki) unikając jak ognia analizy jakiejkolwiek groźby. Groźby w tej logice to temat tabu.

II.
Ta grupa logików analizuje w oparciu o implikację materialną zarówno obietnice jak i groźby nie przejmując się faktem, że uderza to w fundament logiki człowieka, algebrę Boole’a.

Jeśli analizujemy groźby i obietnice przez tą samą definicję implikacji materialnej to mamy:

Groźba = Obietnica

czyli:

Kara = Nagroda

Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły

Aksjomat:
Nagroda = NIE kara

Podstawiając to do wzoru wyżej otrzymujemy:

Kara = NIE Kara

czyli:
Y = ~Y

Powyższa równość, to rozwalenie fundamentu na którym zbudowana jest cała algebra Boole’a !!!

Aksjomat - fundament algebry Boole'a:

Y# ~Y – żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

III.
Tu spotkałem się zaledwie z dwoma przedstawicielami (Irbisol i Sinner) którzy zapisali taką matematyczną definicję groźby.

p<=>q = (p=>q)*(~p => ~q) – definicja groźby

Prawo Kubusia zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą:

p~>q = ~p => ~q – negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

Podstawiając to do powyższego równania mamy:

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(q=>p)

bo:
p~>q = q=>p

To co wyżej to definicja równoważności czyli pewne wynikanie w dwie strony, nic więcej (pkt. 3.8 w części II elementarza)

Oczywistym jest, że mnożąc logicznie implikację prostą (obietnicę) przez implikację odwrotną (groźbę) otrzymamy równoważność, bo matematycznie wycinamy wówczas jedynki implikacyjne.

Jeśli uznamy, że groźba to równoważność na podstawie powyższego wzoru, to automatycznie musimy uznać że obietnica = równoważność na podstawie tego samego wzoru.

I rzeczywiście, w tej szkole obowiązuje to równanie:

obietnica = groźba = równoważność

czyli:

Jeśli cokolwiek obiecuję to nie mogę wręczyć nagrody gdy odbiorca nie spełni warunku nagrody. Moja wolna wola leży w gruzach, bo chcę to zrobić (akt miłości) a nie mogę.

W groźbie jestem sadystą, bo jeśli odbiorca spełni warunek kary to muszę wykonać karę. Moja wolna wola leży w gruzach bo nie mogę darować kary (akt łaski).

Zauważmy, że w tej szkole również zachodzi:

obietnica = groźba

co jest walnięciem bezpośrednio w fundament algebry Boole’a Y#~Y (dowód w pkt. II)


IV
Czwarta szkoła logiki klasycznej to w dniu dzisiejszym noworodek, dopiero co się narodził.

To oczywiście:

Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Noworodek, a już ma czterech zwolenników – całkiem nieźle jak na początek.

Dwóch napisało recenzję plus WujZbój i Rafał3006.


1.2 Jedynka i zero, najważniejsze cyfry w naszym Wszechświecie

Wszyscy doskonale znamy algebrę dziesiętną. To że człowiek liczy w systemie dziesiętnym wynika z dziesięciu palców u obu rąk. Gdybyśmy mieli osiem palców z całą pewnością liczylibyśmy w systemie ósemkowym. Dawno temu co niektórzy liczyli w systemie dwunastkowym co wynikało z dziesięciu palców plus dwie nogi. Komputery liczą w systemie dwójkowym (binarnym) bo te cyfry najłatwiej zrealizować w praktyce np.

Sygnały TTL:
0 = 0-0,4V – logiczne zero odpowiada napięciu 0V do 0,4V
1 = 2,4-5V – logiczne jeden odpowiada napięciu 2,4V do 5V

Gdyby człowiek miał tyko jedną rękę z dwoma palcami to na pewno liczylibyśmy w systemie dwójkowym i mielibyśmy naturalny system liczenia identyczny jak w komputerach. Wszystkie systemy liczenia są absolutnie równoważne. Człowiek wpisuje z klawiatury np. mnożenie dwóch liczb dziesiętnych i otrzymuje wynik na ekranie w postaci liczby dziesiętnej. W rzeczywistości komputer zamienia wprowadzone liczby dziesiętne na odpowiadające im liczby binarne, wykonuje mnożenie którego wynikiem jest liczba binarna po czym zamienia wynik na liczbę dziesiętną. Laicy nie mają o tym zielonego pojęcia, ale tak to w rzeczywistości się dzieje.

Fundamentem naszego Wszechświata są dwie cyfry zero i jeden.

Zastosowanie 0 i 1 w algebrze dwójkowej jak wyżej to pryszcz w porównaniu z zastosowaniem zera i jedynki w logice. Tu cyfry zero i jeden nie mają konkurentów, są najważniejsze. Cały nasz Wszechświat jest binarny: dobro-zlo, prawda-fałsz, nagroda-kara, miłość-nienawiść, życie-śmierć ...

Logika to algebra Boole’a w której występują wyłącznie dwie cyfry.

1 = PRAWDA
0 = FAŁSZ

1 = dobro (stopniowanie dobra jest nieistotne, dobro zawsze pozostanie dobrem)
0 = zło (stopniowanie zła jest nieistotne, zło zawsze pozostanie złem)

Każdy musi podjąć decyzję czy coś jest dla niego dobrem czy złem jak wyżej (algebra Boole’a). Takiemu z definicji dobru czy złu można oczywiście przyporządkować wartość w postaci dowolnej liczby np. dodatniej dla dobra i ujemnej dla zła.

Aksjomat:
DOBRO = nie ZŁO (D=~Z)
ZŁO = nie DOBRO (Z=~D)

Nigdy nie może być:
DOBRO=ZŁO (D#Z)


2.0 Fundament algebry Boole’a

Fundamentem algebry Boole’a są definicje iloczynu i sumy logicznej oraz definicja negacji. DNA wszelkich komputerów to zaledwie suma logiczna albo iloczyn logiczny plus definicja negacji. Dysponując zaledwie dwuwejściową bramką OR (suma logiczna) oraz inwerterem realizującym negację można zbudować każdy komputer.


2.1 Definicja iloczynu logicznego

Iloczyn logiczny n zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa jeden.
Y = 1*1*1*1...*1 = 1

albo definicja równoważna.

Iloczyn logiczny n zmiennych binarnych równy jest zeru gdy którakolwiek ze zmiennych równa jest zero
Y = 1*0*1*1....*1 = 0

Używanie zer i jedynek w definicjach to średniowiecze, to pisanie programu komputerowego w kodzie maszynowym. Po wynalezieniu komputera człowiek błyskawicznie zorientował się, że pisanie programu w kodzie maszynowym to horror i natychmiast wynalazł język symboliczny. Fundamentalnym językiem symbolicznym każdego mikroprocesora jest język asemblera.

Zapis definicji iloczynu logicznego w postaci symbolicznej

Y = A1*A2*A3 ... *An

gdzie:
* - symbol iloczynu logicznego w algebrze Boole’a (spójnik „i” a języku mówionym ang. AND)

Y, A1, A2 ... – zmienne binarne tzn mogące przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1

A1,A2..An – zmienne binarne wejściowe

Y – binarna zmienna wyjściowa np. wartość zdania

Jak widać mnożenie logiczne niczym nie różni się od mnożenia algebraicznego.

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T – zapis matematyczny zdania

Tabela prawdy iloczynu logicznego dla dwóch zmiennych:

Kod:
K T Y=K*T
0 0 =0
0 1 =0
1 0 =0
1 1 =1


gdzie:
K= 1 – pójdę do kina.
K= 0 – nie pójdę do kina
T=1 – pójdę do teatru
T=0 – nie pójdę to teatru

* - iloczyn logiczny, w języku mówionym spójnik „i” (ang. AND)
Y – abstrakcyjna zmienna binarna wyjściowa, niedostępna w wypowiadanym zdaniu.

Y=1 - dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina i do teatru, co widać w tabeli prawdy.
Y=0 – w przeciwnym przypadku skłamię


2.2 Definicja sumy logicznej

Suma logiczna n zmiennych binarnych równa jest zeru wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych równa jest zero
Y = 0+0+0+0....+0 = 0

albo definicja równoważna

Suma logiczna n zmiennych binarnych równa jest jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.

Y = 0+1+0+0 ... +0 = 1 – wystarczy że jedna zmienna jest równa jeden
Y = 1+1+1+1 ....+1 = 1 – mogą być nawet wszystkie zmienne równe jeden

Zapis definicji sumy logicznej w postaci symbolicznej

Y = A1+A2+A3 ... +An

gdzie:
+ - symbol sumy logicznej w algebrze Boole’a (spójnik „lub” a języku mówionym ang. OR)

Y, A1, A2 ... – zmienne binarne tzn mogące przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1

A1,A2..An – zmienne binarne wejściowe

Y – binarna zmienna wyjściowa np. wartość zdania

Jak widać suma logiczna różni się od sumy algebraicznej. Wystarczy, że którakolwiek ze zmiennych wejściowych równa jest jeden i już całe wyrażenie przyjmuje wartość 1.

Przykład:
Jutro pójdę do lina lub do teatru
Y=K+T – zapis matematyczny zdania

Tabela prawdy sumy logicznej dla dwóch zmiennych:

Kod:
K T Y=K+T
0 0 =0
0 1 =1
1 0 =1
1 1 =1


gdzie:
K=1 – pójdę do kina.
K=0 – nie pójdę do kina
T=1 – pójdę do teatru
T=0 – nie pójdę to teatru

+ - suma logiczna, w języku mówionym spójnik „lub” (ang. OR)
Y – abstrakcyjna zmienna binarna wyjściowa, niedostępna w wypowiadanym zdaniu.

Y=1 - dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina lub do teatru, co widać w tabeli prawdy.
Y=0 – w przeciwnym przypadku skłamię


2.3 Definicja negacji

W algebrze Boole’a dostępne są wyłącznie cyfry 0 i 1, stąd łatwo wydedukować definicję negacji.

1=~0
0=~1

Definicja negacji w zapisie symbolicznym, to funkcja logiczna realizowana przez negator (ang. inverter)

Y=~A

~ - symbol negacji (odpowiednik przeczenia NIE w języku mówionym)
A – zmienna binarna wejściowa
Y – zmienna binarna wyjściowa

W technice cyfrowej fizyczna realizacja negatora jest niesłychanie prosta (układ scalony 7404). Negator to czarna skrzynka do której dochodzi sygnał wejściowy A, zaś wychodzi sygnał wyjściowy Y = ~A np. w standardzie TTL opisanym w pkt. 1.2.

Jeśli zmienna wejściowa A przyjmie wartość 1 to wyjście Y przyjmie wartość 0, jeśli zmienna wejściowa A przyjmie wartość 0 to Y=1.

Tabela prawdy przeczenia:

Kod:
A Y=~A
0 1
1 0


Prawo podwójnego przeczenia

A = ~~A

Dowód 1
Y=A
Negujemy równanie dwustronnie
~Y=~A – ten manewr wynika z zero-jedynkowej definicji negacji
Przenosimy ~ na prawą stronę
Y=~~A – też wynika z zero-jedynkowej definicji negacji jak wyżej.
cnd

Dowód 2
Twierdzenia w algebrze Boole’a dowodzi się niezwykle prosto budując tabele zero-jedynkowe dla wszystkich możliwych przypadków.
Kod:

A ~A ~(~A)
0  1   0
1  0   1

Identyczność kolumn A i ~~A dowodzi prawdziwości twierdzenia czyli:

A=~~A

Przykład:

Jestem uczciwy
Jestem NIEuczciwy
NIE jestem NIEuczciwy = jestem uczciwy
~~U=U

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:

Nagroda to brak kary
N=~K – zapis matematyczny
N (nagroda) = dostałem czekoladę

Kara to brak nagrody
K=~N
K=~N = nie dostałem czekolady

Oczywistym jest że zachodzi:
N = ~K = ~(~N) = N – na podstawie prawa podwójnego przeczenia

N (nagroda) = nieprawdą jest, że nie dostałem czekolady = dostałem czekoladę

Identyczne aksjomaty obowiązują dla prawda-fałsz, dobro-zło ... itd.


2.4 Najważniejsze twierdzenia algebry Boole’a

* - operator iloczynu logicznego (spójnik „i” ang. AND)
+ - operator sumy logicznej (spójnik „lub” ang. OR)

Twierdzenia wynikające bezpośrednio z definicji iloczynu i sumy logicznej
A*1 = A
A*0 = 0
A+1 = 1
A+0 = A
A*A = A
A+A = A

Fundamentalne prawa algebry Boole’a
A*~A=0
A+~A=1

Dowód:
Kod:

A ~A A*~A A+~A
0 1   0    1
1 0   0    1


Widać, że powyższe prawa obowiązują dla dowolnej wartości zmiennej binarnej A, która z definicji może przyjmować wartości wyłącznie 0 albo 1.

A(A+B) = A + A*B = A
Dowód:
A(A+B) = A*A +A*B = A+A*B = A

A+A*B=A
Jeśli A=0 to A+A*B=0 bo: A=0 i A*B=0
Jeśli A=1 to A+A*B=1 bo: A=1 przy A*B dowolnym (def. sumy logicznej)
... niezależnie od B CND.

Dowód powyższego równania przy pomocy tabel zero-jedynkowych:

Kod:

A B A+B A(A+B) A*B A+A*B
0 0  0    0     0    0
0 1  1    0     0    0
1 0  1    1     0    1
1 1  1    1     1    1

Równość kolumn A, A(A+B) oraz A+A*B dowodzi poprawności twierdzenia.

W technice cyfrowej powyższe połączenie sygnałów to bezsens czyli zero pożytku i sensu.


Prawa de'Morgana

A+B = ~(~A * ~B) - prawo zamiany sumy logicznej na iloczyn logiczny
A*B = ~(~A + ~B) - prawo zamiany iloczynu logicznego na sumą logiczną

Dowód prawa de'Morgana przy pomocy tabeli zero-jedynkowej.

A+B = ~(~A * ~B)
Kod:

A B A+B ~A ~B ~A*~B ~(~A*~B)
0 0  0   1  1   1       0
0 1  1   1  0   0       1
1 0  1   0  1   0       1
1 1  1   0  0   0       1


Jak widać w dowodzie tym sprawdzamy czy zachodzi równość dla wszystkich możliwych kombinacji zmiennych A i B.

Identyczność kolumn A+B oraz ~(~A*~B) dowodzi poprawności prawa.

Dowody twierdzeń w postaci tabel jak wyżej to klasyka w algebrze Boole’a, prosta i piękna … tyle że uciążliwa przy dużej ilości zmiennych.


3.0 Logika dodatnia i ujemna

Logika ujemna to lustrzane odbicie logiki dodatniej.

Fizycznie, dowolna funkcja logiczna Y:
Y=A+B(C*D) .....
Może przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.

Po przepuszczeniu jej przez prościutki negator otrzymamy funkcję ~Y będącą lustrzanym odbiciem funkcji Y.

Oczywiście zachodzi:
Y = ~(~Y)

O tym, że logika ujemna istnieje można się łatwo przekonać w technice cyfrowej obserwując wszystko na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Twardym dowodem istnienia logiki ujemnej jest także 16 matematycznych operatorów logicznych, ośmiu w logice dodatniej i ośmiu w logice ujemnej o czym będzie za chwilę. Logicy praktycy, ci od cyfrowych układów logicznych doskonale wiedzą, że istnieją sygnały cyfrowe w logice ujemnej i ten fakt zaznaczają kółkiem na schematach ideowych oraz sygnały cyfrowe w logice dodatniej (na schematach bez kółka).
Fizycznie łączyć można wyłącznie logiki zgodne, inaczej nic nie działa !

Spójrzmy na prawa de’Morgana od tej właśnie strony.

Definicja iloczynu logicznego.

Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

Definicja sumy logicznej.

Y=A1+A2 ….+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru

Jeśli:

Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

to:

~Y= ~A1+~A2…+~An = 0 - bo wszystkie składniki sumy logicznej są równe 0.

Oczywistym jest że:

Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli A1=1 to ~A1=0 itd.

Z ostatniego równania mamy:

Y= ~(~A1+~A2…+~An) = ~(0) = 1 czyli:

A1*A2 ….*An = ~(~A1+~A2…+~An) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla sumy logicznej.

Jeśli:

Y = A1+A2…+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równa zeru

to:

~Y = ~A1*~A2…*~An =1 - bo wszystkie składniki iloczynu logicznego są równe 1

W tym przypadku mamy;

Jeśli Y=0 to ~Y=1
Jeśli A1=0 to ~A1=1 itd.

Z ostatniego równania mamy:

Y = ~(~A1*~A2…*~An) = ~(1) = 0

czyli:

A1+A2…+An = ~(~A1*~A2…*~An) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Definicja.
Logika ujemna - jeśli wartość funkcji binarnej jest zanegowana to mamy do czynienia z logiką ujemną.

Prawa de’Morgana mówią o związkach między logiką dodatnią a ujemną na dowolnie długiej funkcji logicznej z dowolnie pomieszanymi operatorami.

Y=A+(B*C)

przejście do logiki ujemnej

~Y = ~A * (~B + ~C) - totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów na przeciwne tzn. OR(+) na AND(*) i odwrotnie.

Powrót do logiki dodatniej

Y=A+(B*C) - ponowna totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów


Twierdzenie 3.0
Przejście z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y) polega na zamianie wszystkich zmiennych na przeciwne oraz wszystkich operatorów na przeciwne czyli AND(*) na OR(+) i OR na AND. Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej zmieni się na: nawiasy, OR, AND.

Logika dodatnia:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
A.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Przejście do logiki ujemnej:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej: nawiasy, OR(+), AND(*)
B.
~Y=~A*~B+(~C*D)*~E+F – logika ujemna (~Y)

Przejścia powrotnego do logiki dodatniej dokonujemy w identyczny sposób.

Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
C.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Zmiana kolejności wykonywania działań w logice ujemnej jest oczywista bowiem przy przejściu z logiki dodatniej do ujemnej AND zamienia się w OR.

Dowód twierdzenia:
I.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – funkcja zapisana w logice dodatniej (Y)

Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory.
II.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)

negujemy wszystkie zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
III.
~Y=~A*(~B+(~C*D))*(~E+~F) – logika ujemna (~Y)

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy domyślną kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (~Y): nawiasy, OR, AND to zbędne stanie się dokładanie nawiasów.

Przejście powrotne do logiki dodatniej wykonujemy w identyczny sposób tj. zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.
IV.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)

Aby powrócić do funkcji pierwotnej I usuwamy dołożone nawiasy.

Y=A+B(C+~D)+E*~F – oryginał, logika dodatnia (Y)

Zauważmy, że w tej metodzie uzupełniamy nawiasy przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną oraz usuwamy je przy przejściu powrotnym by dojść do oryginału. W sumie niepotrzebna syzyfowa praca bowiem o fakcie zapisania funkcji w logice ujemnej informuje precyzyjnie przeczenie przy wartości funkcji (~Y).

Zauważmy, że prawo de’Morgana pozwala w prosty sposób zamienić operatory na przeciwne w dowolnym fragmencie nawet nieskończonej funkcji logicznej. Wystarczy dowolny fragment ciągu ująć w nawiasy, postawić przed nimi znak przeczenia ~, zaś w środku tych nawiasów zamienić wszystkie zmienne i operatory na przeciwne. W tym przypadku bezpieczniej będzie uzupełnić brakujące nawiasy domyślne, aby nie pogubić się w kolejności wykonywania działań.


3.1 Fizyczne sposoby przejścia z logiki dodatniej na ujemną

Wyobraźmy sobie, że dysponujemy fizyczną bramką OR (np. układ 7432) mającą dwa wejścia A i B oraz jedno wyjście Y.

Bramka ta realizuje funkcje logiczną:

Y = A + B

Najprostsze przejście do logiki ujemnej to zanegowanie wyjścia Y.

~Y = ~(A+B)

... czyli wystarczy dołożyć jeden prościutki negator na wyjściu Y i mamy dostępny sygnał ~Y.

Przejście równoważne na podstawie pkt. 3.0 to negacja wszystkich sygnałów i wymiana operatorów na przeciwne czyli:

~Y = ~A*~B

W tym przypadku musimy użyć trzech negatorów, dwóch na wejściu do negacji sygnałów A i B, oraz jednego na wyjściu do negacji sygnału wyjściowego Y. W miejsce bramki OR należy użyć bramkę AND (np. układ 7408)

Jest jeszcze jeden sposób uzyskania funkcji ~Y, bardzo nietypowy, ale możliwy do realizacji ... to coś w rodzaju my jeździmy prawą strona a Anglicy lewą.

W powyższych równaniach zakładaliśmy następujące poziomy sygnałów logicznych w standardzie TTL.
0 = 0-0,4V – zero odpowiada napięciu 0 do 0,4 Volta
1 = 2,4-5V – jeden odpowiada napięciu 2,4 do 5 Volt

To co wyżej to sprawa czysto umowna np. umawiamy się, że w Polsce jeździmy prawą stroną.

Równie dobrze moglibyśmy przyjąć:

0 = 2,4-5V – zero odpowiada napięciu 2,4 do 5 Volt
1 = 0-0,4V – jeden odpowiada napięciu 0 do 0,4 Volta

Będziemy wówczas Anglikami czyli umawiamy się, że jeździmy lewą stroną.

Zauważmy, że przy tej notacji sygnały na naszej bramce OR (układ 7432) mamy zanegowane z definicji czyli w tym przypadku ten fizyczny układ scalony realizuje funkcję.

~Y = ~A + ~B – z definicji mamy logikę ujemną (Anglik)

Przejdźmy do logiki dodatniej negując wszystkie sygnały i operatory.

Y = A*B – logika dodatnia, fizyczny układ 7432 (Anglik)

Jak widać, każdy „Anglik” będzie święcie przekonany że fizyczny układ 7432 realizuje iloczyn logiczny. Tymczasem Polak z uporem maniaka będzie twierdził, że Anglik to głupek bo układ 7432 realizuje sumę logiczną.

Y=A+B – logika dodatnia, ten sam fizyczny układ 7432 (Polak) !

Z powyższego mamy logikę ujemną:

~Y = ~A * ~B – logika ujemna (Polak)

Zauważmy, że ten sam układ fizyczny widziany z różnych punktów odniesienia wygląda zupełnie inaczej, zarówno po stronie logiki dodatniej Y jak i logiki ujemnej ~Y.

Jeśli Anglik i Polak nie ustalą wspólnego punktu odniesienia czyli wspólnego standardu sygnałów to mogą się pozabijać ...

Z powyższego powodu w katalogu spotkamy zapis:

7432
Y = A + B – logika dodatnia

Dopisek logika dodatnia informuje, że stosuje się notację Polaka (umownie dodatnią). Anglik ma prawo twierdzić, że to jego logika jest logiką dodatnią a nasza ujemną. Jak widać wszystko zależy od punktu odniesienia, zaś dyskusja bez ustalenia wspólnego punktu odniesienia nie ma sensu.

Encyklopedyczna definicja logiki ujemnej dotyczy właśnie interpretacji sygnałów ... i jest bez sensu gdyż jej użyteczność jest zerowa. Wszyscy producenci i wszyscy ludzie na ziemi stosują „logikę dodatnią” czyli polską. Nie ma obawy, że jeśli zamówimy gdziekolwiek bramkę OR to w rzeczywistości dostaniemy AND.

Logika ujemna w interpretacji punktu 3.0 jest natomiast bardzo użyteczna i tylko o takiej logice będziemy mówić.


4.0 Przejście z kodu zero-jedynkowego do równań w algebrze Boole’a

Wszyscy wiedzą jak udowodnić dowolne równanie w algebrze Boole’a np.

A+B = ~(~A*~B) – prawo de’Morgana

trzeba po prostu rozpisać wszystkie możliwe kombinacje zmiennych A i B. W kolumnach wynikowych widać czy zachodzi tożsamość.

Wielu logików praktyków (tych od scalaków) ma problemy z przejściem odwrotnym czyli z tabel zero-jedynkowych do równań w algebrze Boole’a. Świadczy o tym sporo błędów w katalogach układów cyfrowych np.

Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy A=1 i B=0 i C=0

W katalogu firmy Intel widnieje taka bzdura:

Y=A*B*C

National też popełnił błąd, zaś Texas zapisał poprawnie ale w logice ujemnej (na schemacie jest bramka AND a w zapisie funkcji występuje OR).

Poprawny zapis powyższego równania w logice dodatniej (wyjście Y bez negacji) wynika bezpośrednio z definicji iloczynu logicznego i wygląda tak:

Y=A*~B*~C

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny n zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy każda składowa iloczynu jest równa jeden.

Zatem jeśli w zapisie słownym był warunek:

B=0 to do równania należy wstawić ~B=1 itd.

Zapiszmy to samo w logice ujemnej czyli wyjście Y zanegowane (~Y).

Y=1 <=> A=1 i B=0 i C=0

Zapis powyższej równoważności w logice ujemnej wygląda tak:

~Y=~A+B+C

co wynika bezpośrednio z definicji sumy logicznej:

Suma logiczna n zmiennych binarnych równa jest zeru wtedy i tylko wtedy gdy każda składowa sumy jest równa zeru.

Jeśli zatem w opisie słownym mamy:

Y=1 to do równania wstawiamy ~Y=0
A=1 to do równania wstawiamy ~A=0

zmienne B i C mają z założenia wartość zero więc je tylko przepisujemy.

Tym rozumowaniem odkryliśmy znowu prawa de’Morgana.

Zauważmy bowiem że:

Y= A*~B*~C
Y= ~(~Y) = ~(~A+B+C)

czyli:
A*~B*~C = ~(~A+B+C) – prawo de’Morgana
cnd

Zauważmy, że równanie:

Y=A*~B*~C

Określa warunek w którym wyjście Y przyjmuje wartość jeden. Ten warunek to:

Y=1 <=> A=1 i ~B=1 i ~C=1

czyli:
Y=1 <=> A=1 i B=0 i C=0

bo jeśli ~B=1 to B=0 itd.

W pozostałych kombinacjach zmiennych wejściowych A,B,C wyjście Y=0 .... bo przecież to algebra Boole’a.

Budowanie tabeli zero-jedynkowej dla udowodnienia prawa de’Morgana pozbawione jest zatem sensu. Możemy oczywiście to zrobić udowadniając powyższe prawo de’Morgana dla trzech zmiennych ... tyle że udowodniliśmy to w zdecydowanie prostszy sposób korzystając z definicji sumy i iloczynu logicznego.


4.1 Przejście z tabel zero-jedynkowych do równań algebry Boole’a

Weźmy tabelę zero-jedynkową implikacji zdefiniowaną jak niżej.
Kod:

p q r
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Jak z takiej tabeli wyprowadzić równanie w algebrze Boole’a ?

Po prostu opisujemy słownie to co widzimy na obrazku.

Sposób I.

Najprościej opisać słowami linię trzecią dla kolumny r bo wtedy i tylko wtedy wyjście r=0.

r=0 <=> p=1 i q=0

Dalej postępujemy jak w punkcie 4.0 czyli sprowadzamy wszystko do jedynki bez zmiany operatorów albo do zera ze zmianą operatorów na przeciwne.

Sprowadzenie do jedynki:

~r = p * ~q

czyli:

r = ~(p* ~q) = ~p + q – prawo de’Morgana

To samo co wyżej można uzyskać bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej poprzez sprowadzenie wszystkich zmiennych do zera z zamianą AND na OR:

r = ~p + q


Sposób II.

Równoważne równanie uzyskamy opisując słownie kolumnę r dla wszystkich r=1 czyli:

r=1 <=> (p=0 i q=0) lub (p=0 i q=1) lub (p=1 i q=1)

Wygenerowanie z powyższego opisu słownego równania logicznego jest trywialne.

Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki zachowując operatory czyli:

r = (~p * ~q) + (~p * q) + (p*q)

Zbudujmy tabele zero-jedynkową dla przypadku II.
Kod:

p q ~p ~q ~p*~q ~p*q p*q  r= (~p * ~q) + (~p * q) + (p*q)
0 0  1  1   1     0   0   1
0 1  1  0   0     1   0   1
1 0  0  1   0     0   0   0
1 1  0  0   0     0   1   1


Doskonale widać, że kolumna r w powyższej tabeli jest identyczna jak w tabeli na wstępie rozdziału 4.1 co dowodzi tożsamości.


5.0 Logika dodatnia i ujemna w języku mówionym

Przy przejściu z języka mówionego do algebry Boole’a obowiązuje świętość doskonale znana wszystkim specjalistom od cyfrowych układów logicznych - „Jak mówimy tak zapisujemy”. Oczywiście trzeba przy tym myśleć, bowiem nasz mózg czasami stosuje algebrę Boole’a na poziomie ukrytych procedur, wtedy bezmyślne kodowanie prowadzi prosto do śmietnika. W poniższych przykładach nie będzie tego typu sztuczek.


5.1 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach twierdzących

Człowiek zawsze jako pierwsze wypowiada zdanie proste w logice dodatniej. Logika ujemna to zaprzeczenie zdaniu wypowiedzianemu w logice dodatniej.

Y = Jutro pójdę do kina – logika dodatnia bo Y
~Y = Jutro nie pójdę do kina – logika ujemna bo ~Y

W zdaniu twierdzącym wyjście Y występuje wyłącznie na poziomie abstrakcyjnym, nie jest dostępne w wypowiadanym zdaniu w przeciwieństwie do implikacji.

Oczywiście nigdy nie będzie:
Y = ~Y – bo algebra Boole’a leży w gruzach

Ze zdania w logice ujemnej można wrócić do logiki dodatniej na dwa sposoby.

I.
Wypowiadamy ponownie zdanie w logice dodatniej

Y=~(~Y)=Y
Jutro pójdę do kina

II.
Zaprzeczamy zdaniu w logice ujemnej
Y= ~(~Y)

Czyli:
Y = ~( Jutro nie pójdę do kina) – logika dodatnia bo Y.
Zaprzeczam, że jutro nie pójdę do kina
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina ...itp.

Matematycznie każde wypowiedziane zdanie twierdzące traktujemy jako prawdziwe i przypisujemy mu wartość PRAWDA czyli Y=1.

Y = Jutro nie pójdę do kina, logika dodatnia bo Y

Zdanie w logice przeciwnej.

~Y = Jutro pójdę do kina, logika ujemna bo ~Y

W zdaniu prostym nie mamy dostępnego wyjścia Y i w tym przypadku która logika jest ujemna a która dodatnia to rzecz umowna. Pewne jest, że istnieją dwie przeciwstawne logiki.

Zdanie proste w logice dodatniej (Y) nigdy nie będzie równe zdaniu prostemu w logice ujemnej (~Y)

Jutro pójdę do kina # Jutro nie pójdę do kina

... w przeciwieństwie do implikacji.

W implikacji wyjście Y jest dostępne w wypowiadanym zdaniu.

Kubuś do Zuzi:
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C – wierszyk to czekolada, logika dodatnia bo C (wyjście Y=czekolada)

Zuzia:
... a jak nie powiem wierszyka

Kubuś:
B.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~> ~C – Jeśli nie wierszyk to nie czekolada, logika ujemna bo ~C (z negacją).

Implikacje A i B są równoważne, mimo że wypowiedziane w przeciwnych logikach.

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej (=>) na implikację odwrotną (~>).

W=>C = ~W ~> ~C – negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

gdzie:
=> - operator implikacji prostej
~> - operator implikacji odwrotnej

Implikacje A i B są równoważne i skutkują identyczną przyszłością w której Zuzia nawet jak nie powie wierszyka to i tak może dostać czekoladę.

.... ale o tym w II części elementarza.


5.2 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

Poniższe przykłady to implikacje o których będzie mowa w II części elementarza. W tym rozdziale potraktujemy je jako najzwyklejsze równoważności, badając warunki spełnienia lub nie spełnienia złożonych obietnic i gróźb. Warunki te będą potrzebne przy analizie złożonej implikacji, różniącej się od równoważności tym, że nadawca może darować karę przy spełnionym warunku kary w groźbie (akt łaski) jak również może wręczyć nagrodę przy nie spełnionym warunku nagrody w obietnicy (akt łaski).

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q - Jeśli zajdzie p to musi zajść q (implikacja prosta)
Jeśli spełnię warunek nagrody to muszę dostać nagrodę, inaczej nadawca jest kłamcą. Nawet jeśli nie spełnię warunku nagrody to nadawca może wręczyć nagrodę i nie jest kłamcą (akt miłości)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
p~>q - Jeśli zajdzie p to może zajść q (implikacja odwrotna)
Jeśli spełnię warunek kary to nie muszę zostać ukarany, bo nadawca ma prawo darować dowolna karę i nie jest kłamcą (akt łaski)


5.3 Obietnica

We wszelkich obietnicach w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy dostaniemy nagrodę, zaś w logice ujemnej odpowiedź kiedy nie dostaniemy nagrody.

Obietnica wypowiedziana:

Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C)
P*~B=C

Przejdźmy z wypowiedzianym zdaniem do logiki ujemnej, aby rozstrzygnąć kiedy nie dostanę czekolady.

~(P*~B) = ~C (logika ujemna bo ~C)

Nie może się zdarzyć ~(...), że jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to nie dostaniesz czekolady (~C).

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne w obietnicy wypowiedzianej.

~P + B = ~C

Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to nie dostaniesz czekolady (~C).

Powyższym językiem mówionym posługują się wszyscy ludzie, to krystalicznie czysta algebra Boole’a. Rozważmy problem bardziej szczegółowo od strony matematycznej, zwracając szczególną uwagę na sens logiki dodatniej i ujemnej w obietnicach i groźbach.

C= P* ~B
Dostanę czekoladę, gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry

Zobaczmy w tabeli zero-jedynkowej kiedy dostaniemy czekoladę:
P=1 – sprzątanie pokoju
P=0 – nie posprzątanie pokoju
B=1 – bicie siostry
B=0 - nie bicie siostry
C=1 – czekolada, warunek nagrody spełniony

Kod:

   P B ~P ~B   C=P*~B   ~C= ~P+B
1. 0 0  1  1   0         1
2. 0 1  1  0   0         1
3. 1 0  0  1   1         0
4. 1 1  0  0   0         1


Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tworzenia równań w algebrze Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest znajomość definicji sumy i iloczynu logicznego plus logiczne myślenie. Nic więcej nie jest potrzebne.

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru.

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki iloczynu są równe jeden

Z powyższej tabeli widać, że dostanę czekoladę (C – logika dodatnia) tylko w przypadku gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry (~B). Jedynki w kolumnie ~C (logika ujemna) informują nas kiedy czekolady nie dostaniemy.

Najprostsze równanie dla powyższej tabeli można utworzyć korzystając z linii 3.

W kolumnie wynikowej logiki dodatniej (C) mamy samotną jedynkę więc równanie jest trywialne.

C=P*~B – wszystkie trzy sygnały sprowadzamy do jedynki

Można też wszystkie trzy sygnały sprowadzić do zera stosując definicję sumy logicznej.

~C= ~P+B

Przechodzimy do logiki dodatniej czyli negujemy sygnały i zmieniamy operator OR na AND.

C=P*~B – mamy to samo CND.

Jedynka w kolumnie C informuje nas kiedy czekoladę dostaniemy.

C=P*~B
Dostanę czekoladę gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry

Jedynki w kolumnie ~C informują nas kiedy czekolady nie dostaniemy. Zauważmy, że ~C to nazwa tej kolumny.

Dla tej kolumny najprostsze równanie uzyskamy także z linii 3, ale tym razem w kolumnie wynikowej mamy samotne zero.

Ułóżmy równanie sprowadzając wszystkie sygnały do jedynki i korzystając z definicji iloczynu logicznego.

A.
~(~C)= P* ~B
czyli:
~C = ~(P*~B) = ~P+B – prawo de’Morgana

i tu kluczowe dla zrozumienia istoty logiki dodatniej i ujemnej pytanie.

Dlaczego w równaniu A nie skorzystano z prawa podwójnego przeczenia i nie zapisano tego tak.

C=P*~B ?!

Niby równoważne. Zauważmy jednak, że wylądowaliśmy w logice dodatniej i to równanie opisuje nam kiedy czekoladę dostaniemy czyli kolumnę po lewej stronie. W logice ujemnej interesuje nas zupełnie co innego.

W logice ujemnej chodzi nam o przypadek kiedy czekolady nie dostaniemy czyli o funkcję ~C. To dwie zupełnie różne funkcje bo nigdy nie będzie:

C = ~C

.... gdyż wówczas algebra Boole’a leży w gruzach.


Zapis ~C nad kolumną z logiką ujemną to nazwa sygnału, której integralną częścią jest przeczenie NIE (~). Tego przeczenia nie wolno nam DOTYKAĆ bo wylądujemy w zupełnie innym punkcie odniesienia, w logice dodatniej ... a przecież nie o to nam chodzi.

Zapamiętajmy:

~C – to jest nazwa funkcji (logika ujemna bo ~C)

~(~C) – to jest nazwa jak wyżej zaprzeczona

~(~C)=C – a to jest błąd w zapisie, bo zmieniliśmy punkt odniesienia i wylądowaliśmy w logice dodatniej. Tego nie wolno robić, bo nazwa ~C to rzecz święta, jeśli analizujemy logikę ujemną.

Jak ktoś nie może się z tym pogodzić to niech po prostu zapisze nad kolumną z logiką ujemną

Y= ~P+B

gdzie oczywiście:

Y= ~C

Y – warunek kiedy czekolady nie dostaniemy (jedynki w tej kolumnie).

... i po bólu.

W katalogach układów cyfrowych jest cała masa nazw sygnałów z kreską nad nazwą (logika ujemna) i bez kreski nad nazwą (logika dodatnia). To jest bardzo ważna informacja, wspólny punkt odniesienia. Oczywistym jest, że przyjętych nazw nie wolno zmieniać w czasie przekształcania równań algebry Boole’a tzn. usuwać przeczeń będących integralną częścią nazwy sygnału bo wyjdzie z tego bełkot, dla nikogo nie zrozumiały. Poza tym regułą jest, że jeśli w nazwie sygnału jest kreska (logika ujemna) to sygnał bez kreski (logika dodatnia) jest fizycznie niedostępny.

Wróćmy do tematu czyli kolumny nie dostania czekolady (~C) w logice ujemnej.

~C = ~P+B
Czekolady nie dostanę, gdy nie posprzątam pokoju lub będę bił siostrę.

Jedynki w kolumnie ~C określają dokładnie wszystkie przypadki w których czekolady nie dostanę. Zapiszmy te linie w formie równań algebry Boole’a sprowadzając każdą linię do jedynek logicznych.

Nie dostanę czekolady gdy:
1.
~C= ~P*~B
nie posprzątam pokoju (~P) i nie będę bił siostry (~B)
2.
~C= ~P*B
nie posprzątam pokoju (~P) i będę bił siostrę (B)
4.
~C= P*B
posprzątam pokój (P) i będę bił siostrę (B)

gdzie:
~C - to integralna nazwa kolumny w logice ujemnej.

Oczywiście, czekolady nie dostanę gdy zajdzie którekolwiek zdarzenie czyli:

~C = ~P*~B + ~P*B + P*B

Jeśli zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń to czekolady nie dostanę (~C) bo suma logiczna będzie miała wówczas wartość jeden (def. sumy logicznej).


5.4 Groźba

We wszelkich groźbach w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy poniesiemy karę, zaś w logice ujemnej odpowiedź kiedy tej kary unikniemy.

Groźba wypowiedziana:

Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).
B+ ~P = L

Przejdźmy z wypowiedzianym zdaniem do logiki ujemnej, aby rozstrzygnąć kiedy nie dostanę lania.

~(B+ ~P) = ~L

Nie może się zdarzyć ~(...), że jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) to nie dostaniesz lania (~L).

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne w groźbie wypowiedzianej.

~B*P = ~L

Jeśli nie będziesz bił siostry (~B) i posprzątasz pokój (P) to nie dostaniesz lania (~L)

Powyższym językiem mówionym posługują się wszyscy ludzie, to krystalicznie czysta algebra Boole’a. Rozważmy problem bardziej szczegółowo od strony matematycznej, zwracając szczególną uwagę na sens logiki dodatniej i ujemnej.

Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).
B+ ~P = L

Zobaczmy w tabeli zero-jedynkowej kiedy dostaniemy lanie:
B=1 – bicie siostry
B=0 - nie bicie siostry
P=1 – sprzątanie pokoju
P=0 – nie posprzątanie pokoju
L=1 – lanie, warunek kary spełniony

Kod:

   B P ~B ~P   L=B+~P   ~L= ~B*P
1. 0 0  1  1   1         0
2. 0 1  1  0   0         1
3. 1 0  0  1   1         0
4. 1 1  0  0   1         0


Z tabeli tej widać, że nie dostanę lania (~L) tylko w przypadku gdy nie będę bił siostry (~B) i posprzątam pokój (P) - jedynka w kolumnie ~L. W przeciwnym przypadku dostanę lanie - jedynki w kolumnie L.

~L= ~B*P – tylko w tym przypadku lania nie dostanę (samotna jedynka w kolumnie ~L)

Negując logikę ujemną przechodzimy do logiki dodatniej:

~(~L)= ~(~B*P)
czyli:
L= ~(~B*P)
Nie może się zdarzyć ~(...), że jeśli nie będę bił siostry (~B) i posprzątam pokój (P) to dostanę lanie (L)

Zauważmy, że tym razem świadomie usunęliśmy przeczenie z nazwy sygnału ~L w logice ujemnej bo chodzi nam o przejście do logiki dodatniej czyli o odpowiedź na pytanie kiedy dostaniemy lanie (L).

L= ~(~B*P) = B+ ~P - prawo de’Morgana.
Dostanę lanie gdy będę bił siostrę lub nie posprzątam pokoju.

Równoważne do powyższego jest poniższe równanie wynikłe z jedynek w kolumnie L.

L= ~B*~P + B*~P + B*P – w tych przypadkach dostanę lanie (jedynki w kolumnie L=B+~P)

Jeśli zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń to dostanę lanie (def. sumy logicznej)

Dostanę lanie gdy:
1.
~B*~P – nie będę bił siostry (~B) i nie posprzątam pokoju (~P)
3.
B*~P – będę bił siostrę (B) i nie posprzątam pokoju (~P)
4.
B*P – będę bił siostrę (B) i posprzątam pokój (P)

Poniżej na wykresach czasowych mamy dowód, że logika ujemna istnieje i jest lustrzanym odbiciem logiki dodatniej.


5.5 Wykresy czasowe w algebrze Boole'a

Wykresy czasowe w algebrze Boole'a to graficzne przedstawienie tabel zero-jedynkowych. Punktem odniesienia (osią liczbową) są tutaj wszystkie możliwe kombinacje sygnałów na wejściu oraz odpowiadający im stan na wyjściu. Wykresy czasowe są bezkonkurencyjne w opisie układów cyfrowych średniej skali integracji.

[link widoczny dla zalogowanych]

Rys. 5.5 Wykresy czasowe iloczynu logicznego i sumy logicznej

Wygodne dla rysowania wykresów czasowych definicje sumy i iloczynu logicznego są następujące.

Definicja iloczynu logicznego.
Wyjście Y przyjmuje wartość jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne na wejściu maja wartość jeden. W przeciwnym przypadku Y=0 ... bo to algebra Boole’a.

Definicja sumy logicznej.
Wyjście Y przyjmuje wartość zero wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne na wejściu mają wartość zero. W przeciwnym przypadku Y=1 ... bo to algebra Boole’a.

Powyższy wykres czasowy w punktach 1 i 2 pokazuje wszystkie możliwe kombinacje zmiennych wejściowych A i B w funkcji czasu.

Wykres 3 to cytowana wyżej definicja iloczynu logicznego zaś wykres 5 to definicja sumy logicznej.

Wykres ~Y to negacja wyjścia iloczynu logicznego, zaś wykres ~Z to negacja wyjścia sumy logicznej. Zauważmy, że wykres ~Y jest lustrzanym odbiciem sygnału Y, zaś wykres ~Z jest lustrzanym odbiciem sygnału Z.

Sygnały ~Y i ~Z to logika ujemna na wyjściu układu cyfrowego. Jak widać, najprostszy sposób przejścia do logiki ujemnej na wyjściu to użycie prostego negatora negującego wyjście Y albo Z.

Zauważmy ciekawą rzecz w opisie sygnałów.

Y = A*B - logika dodatnia (Y)
~Y = ~(A*B) - logika ujemna (~Y) powstała poprzez użycie prościutkiego negatora

W opisie układów cyfrowych ten zapis jest powszechnie stosowany. Zapis ~Y oznacza tu nazwę oddzielnego wyjścia, na którym dostępny jest zanegowany sygnał cyfrowy Y. Oczywiście, mając w układzie cyfrowym dostępny tylko sygnał Y możemy go zanegować negatorem i otrzymamy sygnał ~Y.

Zauważmy, że w powyższym opisie wykresu czasowego nie możemy zastosować systemu:

Y = A*B - wyjście w logice dodatniej
Y = ~(A*B) - to samo wyjście na którym pojawia się logika ujemna.

... bo nawet początkujący matematyk to wyśmieje, gdyż z zapisu tego wynika bzdura:

A*B = ~(A*B)

Teoretycznie dopuszczalny jest taki zapis:

Y = A*B

X = ~(A*B)

tyle że to bez sensu bo wiadomo iż zachodzi:

X = ~Y - po cholerę wprowadzać dodatkowa zmienną ?


Punkt odniesienia.

Pani do Jasia w szkole.

Y=2

Napisz Jasiu czemu jest równe -Y

Jaś:

X=-2

Jasiu, nie pytałam cię czemu jest równe X, pytanie brzmiało czemu jest równe -Y

Jaś:

-Y=-2

Siadaj Jasiu, szóstka.


6.0 Matematyczne operatory logiczne

Efektem ubocznym walki z implikacją na www.sfinia.fora.pl (metodologia) jest odkrycie i nazwanie wszystkich operatorów matematycznych w algebrze Boole'a (jest ich 16 a nie jak niektórzy sądzą 8) oraz tablice logiki zdefiniowane dzięki odkryciu logiki ujemnej w algebrze Boole'a. W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.


6.1 Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ

Jak to możliwe iż wszystkich operatorów jest 16 a nie 8 ?

Połowa z tych operatorów działa w logice dodatniej a druga połowa w logice ujemnej.

Co to jest logika ujemna ? ... widać w powyższych tabelach.

Każdy operator dodatni ma swego oponenta w postaci operatora ujemnego. Negując operator dodatni otrzymamy operator ujemny i odwrotnie. Iloczyn logiczny tych operatorów jest zawsze równy zeru (operator NOP), zaś suma logiczna zawsze równa 1 (operator FILL).

Jest to zgodne z fundamentem algebry Boole’a:
A*~A=0
A+~A=1

Same jedynki (FILL) to czysta pamięć mikroprocesora przed wpisaniem programu. Rozkaz NOP jest w każdym mikroprocesorze i oznacza NIC NIE RÓB - odpoczywaj. Jakby kto nie wiedział to w mikroprocesorze pracuje najprawdziwszy krasnoludek ...

Operatory logiczne w równaniach matematycznych:

OR = ~(~p*~q) = p + q - prawo de’Morgana
NOR = ~OR = ~p*~q = ~(p+q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

AND = p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
NAND = ~AND = ~(p*q) = ~p+~q - prawo de'Morgana (logika ujemna)

<=> = (~p*~q)+(p*q)
XOR = ~(<=>) = ~p*q + p*~q (logika ujemna)

Operator implikacji prostej:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
p->q = ~(p=>q) = p*~q = ~(~p + q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

Operator implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
p<-q = ~(p~>q) = ~p*q = ~(p+~q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

FILL = ~p*~q + ~p*q + p*~q + p*q = 1
NOP = ~FILL = ~(1) = 0 (logika ujemna)

P = p
NP = ~P = ~p (logika ujemna)

Q = q
NQ = ~Q = ~q (logika ujemna)

Za operatory dodatnie przyjąłem te operatory których człowiek używa w języku mówionym.

Operatory człowieka w języku mówionym są konsekwencją przyjęcia następującego standardu.

Logika dodatnia:
Y=1 = PRAWDA
Y=0 = FAŁSZ
Związek logiki dodatniej z logika ujemną:
Y= ~Z
Powyższy standard determinuje wygląd tablicy operatorów wyżej w taki a nie inny sposób.

Równie dobry jest standard poniższy.

Logika ujemna:
Z=0 = PRAWDA
Z=1 = FAŁSZ
Związek logiki ujemnej z logika dodatnią:
Z=~Y

Na szczęście nikt standardu w logice ujemnej nie używa bo technika cyfrowa rozwinęła się bardzo szybko w przeciwieństwie do np. języków mówionych. Która logika jest ujemna a która dodania to też sprawa czysto umowna.

Oczywistym jest, że standardów tych nie wolno mieszać losowo bo wyjdzie zapis matematyczny typu groch z kapustą. Można sobie wyobrazić grupę matematyków która przyjęła standard logiki ujemnej, wtedy wszystko jest w porządku poza utrudnioną (ale nie niemożliwą) komunikacją z resztą świata. Na szczęście to kłopoty czysto teoretyczne bo nie ma takiej grupy matematyków.

Fizycznie, logika dodatnia i ujemna istnieje o czym świadczy 16 różnych operatorów logicznych w powyższej tabeli. Obie logiki można zaobserwować na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Najcenniejszym operatorem w powyższej tabeli jest operator w logice ujemnej NOR (albo NAND), dzięki któremu działają wszelkie komputery, dzięki któremu istnieje nasz Wszechświat.

Dowodów na to, że pewne grupy ludzkości używają przeciwnych logik jest wiele: Anglicy jeżdżą lewą stroną, Bułgarzy kiwają głową na TAK i NIE odwrotnie, Anglicy używają operatora NEVER zaś Polacy NIGDY_NIE (ang.NEVER_NOT), Niemcy strzałkują napięcie na źródle napięcia odwrotnie niż Polacy itp.

Jeśli turysta wjeżdża do Anglii to musi jeździć lewą stroną i wszystko jest w porządku. Brak logiki to losowe stosowanie operatorów matematycznych przez każdego człowieka z osobna – oczywiście wtedy wszyscy się pozabijają.


6.2 Związek algebry Boole’a z rzeczywistością

Aby związać matematykę z rzeczywistością musimy przyjąć kolejny standard, wiążący cyfry binarne 0 i 1 z fizyką. Najpopularniejszym takim standardem jest standard TTL.

Cyfrowy standard TTL:
Y = 1 = 2,4-5,0V – logicznej jedynce odpowiadają napięcia 2,4-5,0V
Y= 0 = 0 – 0,4V – logicznemu zeru odpowiadają napięcia 0-0,4V

Y - rzeczywista zmienna cyfrowa mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.

Taką zmienną można obejrzeć na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Jeśli zanegujemy tą zmienną prościutkim negatorem to otrzymamy lustrzane odbicie zmiennej Y w osi czasu czyli znajdziemy się w logice ujemnej ~Y.

W algebrze Boole’a obowiązuje wyłącznie logika binarna, nie ma innych cyfr poza 0 i 1.

Jak zatem działają komputery ?

Zapis matematyczny dowolnej liczby w algebrze dziesiętnej:

An .... A2 A1 A0 = An*10**n + A2*10**2 + A1*10**1 + A0*10**0

UWAGA !
Tylko i wyłącznie w tym punkcie znaki * i + oznaczają co innego niż w całej publikacji (pkt.1.0)
* - symbol mnożenia algebraicznego
** - symbol potęgi
+ - symbol sumy algebraicznej
10**2 – oznacza 10 do potęgi drugiej
10**0 = 1 bo dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa 1.

Gdzie cyfry dziesiętne mogą przyjmować jedną z wartości [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]

Przykład:
1985 = 1*10**3 + 9*10**2 + 8*10**1 + 5*10**0 = 1*1000 + 9*100 + 8*10 + 5*1 = 1985

Zapis matematyczny dowolnej liczby w algebrze Boole’a:

Bn...B2 B1 B0 = Bn*2**n ...+ B2*2**2 + B1*2**1 + B0*2**0

Gdzie cyfry binarne mogą przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.

Przykład:
1101 = 1*2**3 + 1*2**2 + 0*2**1 + 1*2**0 = 1*8+1*4+0*2+1*1= 8+4+0+1=13 (dziesiętnie)

Sposób zamiany liczby binarnej na liczbę dziesiętną jest trywialny, widać go wyżej.
Liczba binarna 1101 odpowiada liczbie dziesiętnej 13. Liczbę taką czytamy jako „jeden, jeden, zero, jeden” bo inne cyfry poza zero i jeden nie występują w algebrze Boole’a.
Każdą liczbę zapisana w systemie binarnym można zapisać w systemie dziesiętnym i odwrotnie. Komputery pracują wyłącznie w systemie binarnym bo fizycznie najłatwiej jest zrealizować cyfry 0 i 1. Jeśli zadamy komputerowi np. mnożenie dwóch liczb dziesiętnych to pracujący w nim krasnoludek zamienia liczbę dziesiętną na binarną, wykonuje mnożenie w systemie binarnym po czym zamienia wynik na liczbę dziesiętną i wyświetla go na ekranie.

Fizycznie liczbę binarną można sobie przedstawić jako uporządkowany zbiór przewodów na których mogą występować wyłącznie stany 0 albo 1 np. w standardzie TTL jak wyżej. W każdym mikroprocesorze występuje magistrala adresowa (liczba n-bitowa) do adresowania komórek pamięci oraz magistrala danych służąca do przesyłania danych między pamięcią a mikroprocesorem. Interpretacji różnych liczb binarnych jest bardzo dużo np. każdy znak wciśnięty na klawiaturze ma swój odpowiednik w liczbie binarnej, każdy punkt na ekranie monitora opisany jest przez zestaw liczb binarnych itd.


6.3 Jak działają operatory logiczne

To poważna sprawa, myślę iż potrzebna tu będzie pomoc moich przyjaciół ... krasnoludków.

Wyobraźmy sobie czarne pudełko z dwoma wyłącznikami lampek, jeden wyłącznik ma na imię p a drugi q. Przełączniki wyglądają jak te najzwyklejsze od lampek nocnych z napisem 1 = włącz i 0 = wyłącz.

Zapalane światełka widzi zarówno człowiek jak i pracujący w środku krasnoludek. Oczywiście nie widzimy ani krasnoludka ani jego przełącznika którym zapala swoją lampkę. Widzimy wyłącznie lampkę krasnoludka.

Zaobserwujmy pracę krasnoludka pracującego zgodnie z tabelą prawdy operatora NOR.

Kod:
p q NOR
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Ustawmy na przełącznikach p i q pierwszą linię powyższej tabeli prawdy. Jak widzimy lampka krasnoludka zgaszona. Podobną sytuację mamy w liniach 2 i 3.

Ustawiamy z niepokojem linię 4 i co widzimy ?
Jest - świeci się !
To jest dowód na istnienie krasnoludków w naszym Wszechświecie !


7.0 Tablice logiki

Wypełnimy tablice logiki tylko dla następujących operatorów:
OR, NOR, AND, NAND, <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-

Uzupełnienie tablicy dla pozostałych operatorów pozostawiam czytelnikowi.


7.1 Tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND

Kod:

Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y      Związek logik

OR                            NOR

Y=A+B                         ~Y = A NOR B            A+B = ~(A NOR B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A*~B                    Y = ~A NAND ~B         ~(~A*~B) = ~A NAND ~B

                                                  Związek krzyżowy OR-NOR

                                                      A+B = ~A NAND ~B
                                                      ~A*~B = A NOR B



AND                           NAND

Y=A*B                         ~Y = A NAND B           A*B = ~(A NAND B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A + ~B                   Y = ~A NOR ~B         ~(~A+~B) = ~A NOR ~B

                                                   Związek krzyżowy AND-NAND

                                                      A*B = ~A NOR ~B
                                                      ~A+~B = A NAND B                                                             

Powyższa tabela obowiązuje zarówno dla logiki dodatniej jak i ujemnej, bo nie ma w niej powiązań z kodem maszynowym czyli z zerami i jedynkami.

Logika dodatnia:
A=1=PRAWDA
A=0=FAŁSZ

Logika ujemna:
A=0=PRAWDA
A=1=FAŁSZ

Człowiek przyzwyczaił się do logiki dodatniej i niech tak zostanie. Logika ujemna jest jednak możliwą i równoprawną logiką. Gdybyśmy w niniejszym elementarzu zamienili zera z jedynkami w wynikach operatorów matematycznych to otrzymalibyśmy jego wersję dla logiki ujemnej. Pewne jest, że kosmici operujący logiką ujemną będą twierdzić że to ich logika jest dodatnia a nasza ujemna. Jest obojętne którą logikę uznamy za dodatnią, logika ujemna zawsze będzie istniała. Twardym dowodem jest tu fizyczne istnienie 16 różnych operatorów logicznych, ośmiu w logice dodatniej i ośmiu w logice ujemnej.


7.2 Tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-

Poniższe operatory omówione będą w części II elementarza.

Kod:
Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y        Związek logik

<=>                           XOR                     <=> = ~XOR
                                                      XOR = ~(<=>)
p<=>q=~p<=>~q                 p XOR q= ~p XOR ~q
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)         p XOR q=(p->q)+(p<-q)
p~>q = q=>p
p<=>q=(p=>q)*(q=>p)


=>                            ->

p=>q                          p->q                     p=>q = ~(p->q)
                                                       p->q = ~(p=>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p=>q = ~p ~> ~q               p->q = ~p <- ~q


~>                            <-

p~>q                          p<-q                     p~>q = ~(p<-q)
                                                       p<-q = ~(p~>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p~>q = ~p => ~q               p<-q = ~p -> ~q



7.3 Najważniejsze zależności między operatorami w logice dodatniej

p=>q – implikacja prosta
p~>q = q=>p – implikacja odwrotna

gdzie:
=> - symbol implikacji prostej znany w matematyce
~> - nowy symbol implikacji odwrotnej nieznany w matematyce

Uzasadnienie wprowadzenia nowego symbolu implikacji odwrotnej ~> w części II.

Prawa Kubusia:

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:04, 24 Mar 2008    Temat postu:

Proste jest piękne

Stanisław Heller napisał:
Wyobraźcie sobie, że przeczytałem bez mała od dechy do dechy teorię implikacji i stwierdzam dwie rzeczy: jest autentycznie wielka ... Zachęcam wszystkich do przestudiowania teorii implikacji.
Bartek (BD) napisał:
Gratuluję ciekawej teorii implikacji odwrotnej. Wygląda mi ona na wiarygodną. Próbował Pan opublikować wyniki swoich badań w jakimś fachowym piśmie?
Dzięki, Kubuś.

Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej
Część III Dyskusje o implikacji
Część IV Teoria implikacji prostej i odwrotnej w pigułce

Część pierwsza elementarza poza fundamentami algebry Boole’a zawiera wiele nowości np. logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole'a, odkrycie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych, tablice logiki ... Zachęcam do przeczytania I części zarówno początkujących jak i zawodowców.


Część II
Teoria implikacji prostej i odwrotnej



Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

To jest elementarz, przy pomocy którego chciałbym poznać algebrę Boole’a gdybym miał znowu 16 lat.
Kubuś


Spis treści.

1.0 Cel elementarza
1.1 Notacja

2.0 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach

3.0 Fundamenty implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Implikacja matematyczna
3.2 Najważniejsze prawo implikacji matematycznej
3.2.1 Schematy ideowe implikacji
3.3 Definicja implikacji prostej
3.4 Definicja implikacji odwrotnej
3.5 Prawa Kubusia

3.6 Przykłady analizy implikacji
3.6.1 Implikacja matematyczna
3.6.2 Implikacja ze świata zwierząt
3.6.3 Implikacja z przyrody
3.7 Szczegółowa analiza wybranej implikacji

3.8 Równoważność
3.8.1 Alternatywne wzory równoważności

3.9 Sens implikacji prostej i odwrotnej

4.0 Obietnice i groźby
4.1 Obietnica - przyszłość
4.2 Obietnica - przeszłość
4.3 Groźba-przyszłość
4.4 Groźba-przeszłość
4.5 Równoważność implikacyjna w obietnicy
4.6 Równoważność implikacyjna w groźbie
4.7 Zwolnienia w obietnicy i groźbie

5.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych
5.1 Obietnica w równaniach matematycznych
5.2 Groźba w równaniach matematycznych
5.3 Analiza obietnicy w równaniach matematycznych
5.4 Analiza groźby w równaniach matematycznych


Wstęp:

Każdy człowiek od przedszkolaka do starca doskonale posługuje się matematyczną definicją implikacji prostej i odwrotnej.

Wikipedia.
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w języku mówionym

Przyczyną powyższego zdania jest brak akceptacji implikacji odwrotnej w matematyce. We wszelkich podręcznikach podawana jest wyłącznie definicja implikacji prostej.

Tymczasem bez akceptacji matematycznych operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek logiczne myślenie, w szczególności matematyczne.

Prawda jest jeszcze brutalniejsza. Bez akceptacji tych operatorów na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek życie, bo implikacji prostej wszystko co żyje używa do obsługi obietnic (nagrody), zaś implikacji odwrotnej wszystko co żyje używa do obsługi gróźb (kary). Rozróżnianie kary od nagrody to fundament wszelkiego życia. Stworzenia które tego nie odróżniały dawno wyginęły.


1.0 Cel elementarza

Najbardziej zaskakujące wnioski w dwuletniej walce z implikacją wyniknęły po ułożeniu operatorów logicznych w tablicach logiki (Część I pkt.7.0). Z tablic tych wynika, że istnieją aż cztery operatory implikacji. Dwa w logice dodatniej (~> i =>) i dwa w logice ujemnej (<- i ->). Oczywiście operatorów w logice ujemnej nikt w języku mówionym nie używa podobnie jak operatorów NOR i NAND.

Implikacja prosta i implikacja odwrotna to jednak operatory po tej samej stronie księżyca co operatory AND ("i") i OR ("lub"). Są to zatem operatory stosowane w praktyce przez wszystkich bardzo często, także w matematyce.

Zdań podlegających pod implikację prostą jest dokładnie tyle samo co zdań podlegających pod implikację odwrotną.

Najwyższy więc czas przeprosić implikację odwrotną i umieścić ją obok jedynie słusznej implikacji prostej widniejącej we wszystkich podręcznikach i encyklopediach ... to jest cel tego elementarza.


1.1 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
=> - symbol implikacji prostej
~> - symbol implikacji odwrotnej
<=> - symbol równoważności

Logika dodatnia:
=1 – PRAWDA (brak kłamstwa)
=0 – FAŁSZ (kłamstwo)

Y- funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.


2.0 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach

Człowiek zawsze jako pierwsze wypowiada zdanie proste w logice dodatniej. Logika ujemna to zaprzeczenie zdaniu wypowiedzianemu w logice dodatniej.

Y = Jutro pójdę do kina – logika dodatnia bo Y

Negujemy powyższe równanie dwustronnie:

~Y = Jutro nie pójdę do kina – logika ujemna bo ~Y

W zdaniu twierdzącym wyjście Y występuje wyłącznie na poziomie abstrakcyjnym, nie jest dostępne w wypowiadanym zdaniu w przeciwieństwie do implikacji.

Y- funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.

Oczywiście nigdy nie będzie:
Y = ~Y – bo algebra Boole’a leży w gruzach

Ze zdania w logice ujemnej można wrócić do logiki dodatniej na dwa sposoby.

I.
Wypowiadamy ponownie zdanie w logice dodatniej

Y=~(~Y)=Y
Jutro pójdę do kina

II.
Zaprzeczamy zdaniu w logice ujemnej
Y= ~(~Y)

Czyli:
Y = ~( Jutro nie pójdę do kina) – logika dodatnia bo Y.
Zaprzeczam, że jutro nie pójdę do kina
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina ...itp.

Matematycznie każde wypowiedziane zdanie twierdzące traktujemy jako prawdziwe i przypisujemy mu wartość PRAWDA czyli Y=1.

Y = Jutro nie pójdę do kina, logika dodatnia bo Y

Zdanie w logice przeciwnej.

~Y = Jutro pójdę do kina, logika ujemna bo ~Y

W zdaniu prostym nie mamy dostępnego wyjścia Y i w tym przypadku która logika jest ujemna a która dodatnia to rzecz umowna. Pewne jest, że istnieją dwie przeciwstawne logiki.

Zdanie proste w logice dodatniej (Y) nigdy nie będzie równoważne zdaniu prostemu w logice ujemnej (~Y)

Jutro pójdę do kina # Jutro nie pójdę do kina

... w przeciwieństwie do implikacji.

W implikacji wyjście Y jest dostępne w wypowiadanym zdaniu.

Kubuś do Zuzi:
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C – wierszyk to czekolada, logika dodatnia bo C (wyjście Y=czekolada)

Zuzia:
... a jak nie powiem wierszyka

Kubuś:
B.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~> ~C – nie wierszyk to nie czekolada, logika ujemna bo ~C (z negacją).

Zdania A i B są równoważne, mimo że wypowiedziane w przeciwnych logikach.

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej (=>) na implikację odwrotną (~>).

W=>C = ~W ~> ~C – negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

gdzie:
=> - operator implikacji prostej
~> - operator implikacji odwrotnej

Zdania A i B skutkują identyczną przyszłością w której Zuzia nawet jak nie powie wierszyka to i tak może dostać czekoladę.

... ale o tym w dalszej części elementarza.


3.0 Fundamenty implikacji prostej i odwrotnej

Definicja implikacji prostej.

Jeśli zajdzie p to „musi zajść” q
p=>q = ~p + q

gdzie:
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2
p=P4 – rozpatrujemy wyłącznie liczby podzielne przez 4
P4=>P2
=1 (prawda) dla dowolnej liczby ze zbioru liczb podzielnych przez 4

Użyty w naturalnej logice człowieka spójnik „musi być” między p i q decyduje o tym, że jest to implikacja prosta.

Dla powyższej implikacji prostej mamy:
p=P4
q=P2

Jeśli zamienimy p i q w implikacji prostej to otrzymamy implikację odwrotną.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q

Po zamianie p i q otrzymujemy:

q=>p = ~q + p

czyli:

q=>p = p + ~q

Wprowadzamy symbol implikacji odwrotnej ~> po to, by spełniona została reguła iż po spójniku „Jeśli...” mamy zawsze poprzednik implikacji p, zaś całe zdanie czytamy zawsze od podstawy wektora do strzałki wektora, niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta czy odwrotna.

p~>q = q=>p

Stąd otrzymujemy definicję implikacji odwrotnej.

Definicja implikacji odwrotnej.

Jeśli zajdzie p to „może zajść” q
p~>q = p + ~q

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4.
p=P2 – rozpatrujemy wyłącznie liczby podzielne przez 2
P2~>P4

„może być” bo:
=1 (prawda) dla 4,8,12...
=0 (fałsz) dla 6,10,14...

Użyty w naturalnej logice człowieka spójnik „może być” między p i q decyduje o tym, że jest to implikacja odwrotna.

Dla powyższej implikacji mamy:
p=P2
q=P4

W powyższych definicjach punkt odniesienia ustawiony jest zawsze na poprzedniku p występującym tuż po spójniku “Jeśli...”

„Jeśli zajdzie p ....”

dalej może być ....

Implikacja prosta („musi zajść”):
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi zajść” q
=> - oznacza „musi zajść”

albo:

Implikacja odwrotna („może zajść”):
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może zajść” q
~> - oznacza „może zajść”

Oczywiście matematycznie:

p~>q # p=>q – implikacja odwrotna jest różna od implikacji prostej

Implikacja prosta i odwrotna to dwie różne matematycznie definicje.

Teoretycznie nowy symbol implikacji odwrotnej ~> jest „zbędny” (bo p~>q = q=>q) na tej samej zasadzie jak „zbędny” jest symbol AND (bo prawa de’Morgana). Idąc tym tropem dojdziemy do wniosku, że jedynym niezbędnym operatorem w logice jest operator NOR ... tyle że to będzie koszmar, czyli bezsens.


3.1 Implikacja matematyczna

Implikacja matematyczna to pewne wynikanie matematyczne w jedna stronę p=>q (z p „musi” wynikać q) i niepewne wynikanie matematyczne w drugą stronę q=>p (z q „może” wynikać p).

Implikacja prosta

p=>q
P4=>P2 – pewne wynikanie matematyczne w jedna stronę
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2

=> - symbol implikacji prostej oznaczający spójnik „musi” między p i q

Interpretacja implikacji prostej.
P4=>P2
W zbiorze p=P4 występuje wyłącznie PRAWDA. Nie ma tu ani jednej liczby niepodzielnej przez 2.

po zamianie p i q miejscami mamy:

Implikacja odwrotna

q=>p
P2=>P4 – niepewne wynikanie matematyczne w drugą stronę
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4

Symbol implikacji odwrotnej ~> wprowadzamy po to, by u podstawy strzałki mieć zawsze punkt odniesienia, poprzednik implikacji p.

q=>p = p~>q
P2=>P4 = P2~>P4 – niepewne wynikanie matematyczne
P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4

~> - symbol implikacji odwrotnej oznaczający spójnik „może” między p i q.

Interpretacja implikacji odwrotnej.
P2~>P4
W zbiorze p=P2 występują zarówno elementy mające wartość PRAWDA=4,8,12...., jak i elementy mające wartość FAŁSZ=6,10,14... Oczywiście, dla prawdziwości całego zbioru wystarczy jeden element mający wartość PRAWDA (def. sumy logicznej)


3.2 Najważniejsze prawo implikacji matematycznej

Jeśli w implikacji prostej => zamienimy miejscami p i q to musi zachodzić implikacja odwrotna ~>.

Jeśli w implikacji odwrotnej ~> zamienimy miejscami p i q to musi zachodzić implikacja prosta =>.

P4=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2
=> - symbol implikacji prostej oznacza spójnik „musi” między p i q

Po zamianie p i q miejscami mamy:

P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4
~> - symbol implikacji odwrotnej oznacza spójnik „może” między p i q

Zarówno w implikacji prostej => jak i odwrotnej ~> czytamy zdanie zawsze od podstawy wektora do strzałki wektora.

Zapisy:

p=>q = q<=p – implikacja prosta

P4=>P2 = P2<=P4

p~>q = q<~p – implikacja odwrotna

P2~>P4 = P4<~P2

są matematycznie równoważne.

Zauważmy, że powyższe prawo wymaga związku między p i q.


3.2.1 Schematy ideowe implikacji


Kod:
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
                        p=P4                  q=P2             p=>q = P4=>P2

P4=>P2
Dla powyższej implikacji prostej istnieje wyłącznie jedna tabela prawdy, pasująca do powyższego schematu ideowego.
p q p=>q
1 0 0 - OK

Rozpatrujemy wyłącznie kluczową linijkę implikacji 1 0 0.

Wszelkie inne kombinacje, choć poprawne matematycznie, nie mają łatwo widocznego związku z powyższym schematem.

p q q<=p – tu czytamy po Żydowsku, od strony prawej do lewej
1 0 0

q p p=>q
0 1 0 - ta sekwencja zer i jedynek to zwykle implikacja odwrotna

q p q<=p
0 1 0 - jak wyżej, plus czytanie po Żydowsku.

... itd. (jest jeszcze sporo możliwości, bo kolumny możemy ustawiać dowolnie)

Proste jest piękne, dlatego zawsze zapisujmy wzory matematyczne pasujące do konkretnego schematu ideowego.


3.3 Definicja implikacji prostej

Kod:
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
                        p=P4                  q=P2             p=>q = P4=>P2

Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p wynika q)
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana

=> - symbol implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q
1 1  1
1 0  0
0 0  1
0 1  1


Symboliczna definicja implikacji prostej przydatna w analizie zdań:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Zapisujemy stałe 0 i 1 w postaci nazw symbolicznych (język asemblera).

Oczywiście zakładamy logikę dodatnią gdzie:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0

W implikacji prostej wartość funkcji p=>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy następuje zmiana z p=1 na q=0.


3.4 Definicja implikacji odwrotnej

Kod:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
                        p=P2                  q=P4             p~>q = P2~>P4

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p może wynikać q)
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana

~> - symbol implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
Kod:
p q p~>q
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0


p~>q = q=>p (pkt. 3.0)

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej przydatna w analizie zdań:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Zapisujemy stałe 0 i 1 w postaci nazw symbolicznych (język asemblera).

Oczywiście zakładamy logikę dodatnią:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0

W implikacji odwrotnej wartość funkcji p~>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy następuje zmiana z p=0 na q=1.


3.5 Prawa Kubusia

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

W prawach Kubusia negujemy zmienne p i q oraz odwracamy operator implikacji na przeciwny.

Dowód praw Kubusia.

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1


Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.


3.6 Przykłady analizy implikacji

Analiza implikacji jest bajecznie prosta jeśli zastosujemy zasadę znaną wszystkim DOBRYM logikom praktykom w cyfrowych układach logicznych:

Jak mówimy tak piszemy

To jest gwarancja, że nigdy nie wypadniemy z algebry Boole’a do śmietnika, że dowolny układ logiczny zbudowany na bramkach logicznych będzie nam działał.

Wypowiedzianą implikację analizujemy w oparciu o implikację prostą albo w oparciu o implikacją odwrotną.

Jak rozstrzygnąć z czym mamy do czynienia ?

Zgodnie z zasadą „Jak mówimy tak piszemy”.

Definicja implikacji prostej:
Jeśli zajdzie p to „musi zajść” q (z p wynika q)
p=>q

gdzie:
=> = „musi zajść” = musi być = musi mieć = muszę dostać nagrodę (w obietnicy) itp


Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to „może zajść” q (z p może wynikać q)
p~>q

gdzie:
~> = „może zajść” = może być = może mieć = nie muszę zostać ukarany (w groźbie) itp.

Jak widać, o tym czy mamy do czynienia z implikacja prostą czy odwrotną decyduje użyty w naturalnym logicznym myśleniu spójnik między p i q.

Implikacja matematyczna może być wyłącznie prosta => albo odwrotna ~>. Nie ma innych możliwości.

Oznaczenia:
xA – wybrana implikacja w wersji oryginalnej
xB – implikacja równoważna do xA na mocy prawa Kubusia

xC – implikacja odwrotna do xA powstała poprzez zamianę p i q.
xD – implikacja równoważna do xC na mocy prawa Kubusia

gdzie: x=1,2,3


3.6.1 Implikacja matematyczna

1A.
Jeśli czworokąt ma kąty proste to jest kwadratem
K90~>KW – kąty proste to „może być” kwadrat albo prostokąt (implikacja odwrotna)
=1 – kwadrat
=0 - prostokąt

Zdanie równoważne na mocy prawa Kubusia:
K90~>KW = ~K90 => ~KW

1B.
Jeśli czworokąt nie ma kątów prostych to nie jest kwadratem
~K90 => ~KW – matematyczna oczywistość

Implikacja odwrotna do 1A powstała poprzez zamianę p z q.

1C.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to ma kąty proste
KW=>K90 – jeśli kwadrat to „musi mieć” kąty proste (implikacja prosta)

Zdanie równoważne do 1C na mocy prawa Kubusia.
KW=>K90 = ~KW ~> ~K90

1D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to nie ma kątów prostych
~KW ~> ~K90
Nie kwadrat, „może” mieć kąty proste (prostokąt) albo „może” nie mieć kątów prostych (rąb)
=1 bo rąb, równoległobok
=0 bo prostokąt


3.6.2 Implikacja ze świata zwierząt

2A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem.
4L~>P – cztery łapy to „może być” psem bo kot, lis.... (implikacja odwrotna)
=1 – pies
=0 – kot,lis...

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

2B.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
Jeśli nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem
~4L=>~P

Implikacja odwrotna do 2A powstała poprzez zamianę p i q.

2C.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L - implikacja prosta bo „musi mieć” cztery łapy

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~> ~4L

2D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to nie ma czterech łap
~P ~> ~4L
Nie jest psem, to „może” nie mieć 4 łap (wąż, ptak...) lub „może” mieć 4 łapy (kot, lis...)
=1 bo wąż, ptak...
=0 bo kot, lis ...


3.6.3 Implikacja z przyrody

3A
Jeśli będzie pochmurno to będzie padało
CH ~> P jeśli chmury to „może” padać (implikacja odwrotna)

Prawo Kubusia:
CH ~> P = ~CH => ~P

3B
Jeśli nie będzie pochmurno to nie będzie padało
~CH => ~P – jeśli nie będzie chmur to „na pewno” nie będzie padało (implikacja prosta)

Implikacja odwrotna do 3A powstała poprzez zamianę p i q.

3C
Jeśli padało to było pochmurno
P=>CH – jeśli padało to „musiało być” pochmurno (implikacja prosta)

Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P ~> ~CH

Jeśli nie padało to nie było pochmurno
~P ~> ~CH
Nie padało, to „mogło” nie być pochmurno lub „mogło” być pochmurno (implikacja odwrotna)
=1 – nie padało i nie było pochmurno
=0 – nie padało i było pochmurno


3.7 Szczegółowa analiza wybranej implikacji

4A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
Rozpatrujemy zbiór liczb podzielnych przez 4.
P4=>P2 – jeśli podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2 (implikacja prosta)

W analizie wszelkich implikacji bezkonkurencyjna jest analiza symboliczna w oparciu o symboliczną definicję implikacji (język asemblera). Pozwała ona odciąć się od kodu maszynowego implikacji czyli zer i jedynek.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Oczywiście logika dodatnia:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0

Dla zdania 4A mamy:
p=P4 q=P2

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej:

p q p=>q
(P4) (P2) = 1
(P4) ~(P2) = 0
~(P4) ~(P2) = 1
~(P4) (P2) = 1

Opuszczamy nawiasy.

Tabela 4A.
p q p=>q
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1

Analizujemy zdanie P4=>P2 według powyższej tabeli zgodnie z zasadą „jak czytamy tak piszemy”.

Znak „~” oznacza przeczenie NIE.

P4 P2 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 4
=1 PRAWDA bez żadnych wyjątków.

P4 ~P2 = 0
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 4
=0 FAŁSZ bez żadnych wyjątków.

~P4 ~P2 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 4
=1 bo 3,5,7 ....
=0 bo 6,10,14 ...

~P4 P2 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 4
= 1 bo 6,10,14 ....
= 0 bo 3,5,7 ....

Implikacja równoważna do 4A na mocy prawa Kubusia.
P4=>P2 = ~P4~>~P2

4B
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
~P4 ~> ~P2 - implikacja odwrotna

Jest obojętne która implikację wypowiemy, bo to dwie równoważne implikacje.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla implikacji 4B mamy:

p = ~P4 q = ~P2

Wstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:

p q p~>q
(~P4) (~P2) = 1
(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) (~P2) = 0

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)

p q p~>q
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0

Oczywiście nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy analizować poszczególne linie. Poprzestawiajmy je zatem „losowo”.

Tabela 4B.
p q p~>q
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1

Porównajmy otrzymaną tabelę 4B z tabela 4A wyżej. Widać że są identyczne, co jest dowodem poprawności praw Kubusia. Zdania 4A i 4B są równoważne.


Rozważmy teraz implikację odwrotną do 4A powstałą poprzez zamianę p i q.

4A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta

Oczywiście musi to być implikacja odwrotna, bo wyżej mamy do czynienia z implikacją prostą.

4C
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 - jeśli podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4 bo 6,10,14 ...

Spójnik „może być” decyduje o tym, iż jest to implikacja odwrotna.

Szczegółowa analiza.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższej implikacji mamy:
p=P2 q=P4

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji. Ze względu na prostotę darujemy tu sobie zabawę z nawiasami.

Tabela 4C
p q p~>q
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0

Analizujemy zdanie według powyższej tabeli metodą “Jak czytamy tak piszemy”.

P2 P4 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 2
„może być” bo:
=1 dla 4,8,12 ...
=0 dla 6,10,14 ...

P2 ~P4 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 2
„może być” bo:
=1 dla 6,10,14 ...
=0 dla 4,8,12 ...

~P2 ~P4 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 2
=1 PRAWDA bez żadnych wyjątków.

~P2 P4 = 0
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 2
=0 FAŁSZ bez żadnych wyjątków.

Implikacja równoważna do 4C na mocy prawa Kubusia.
P2~>P4 = ~P2=>~P4

4D
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
~P2=>~P4 - oczywista implikacja prosta

Jest obojętne która implikację wypowiemy 4C lub 4D, bo to dwie równoważne implikacje.

Szczegółowa analiza.

Dla powyższej implikacji mamy:
p= ~P2, q= ~P4

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Podstawiamy w miejsce p i q zmienne ~P2 i ~P4.

Tym razem lepiej nie opuszczać nawiasów aby uniknąć pomyłek.

p q p=>q
(~P2) (~P4) = 1
(~P2) ~(~P4) = 0
~(~P2) ~(~P4) = 1
~(~P2) (~P4) = 1

Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)

p q p=>q
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1

Analizować wypowiedziane zdanie 4D możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższe linie w sposób „przypadkowy”

Tabela 4D
p q p=>q
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0

Porównajmy tabelę 4D z tabelą 4C wyżej. Widać że są identyczne, zatem implikacje 4C i 4D są równoważne.


3.8 Równoważność

Implikacja matematyczna to pewne wynikanie w jedna stronę (implikacja prosta) i niepewne wynikanie w drugą stronę (implikacja odwrotna).

A.
Implikacja prosta jest zawsze wynikaniem pewnym:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q.

Jeśli w implikacji prostej zamienimy p i q to otrzymamy niepewną implikację odwrotną B.

B.
Implikacja odwrotna jest zawsze niepewnym wynikaniem, może zajść ale nie musi.
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajśc q.

Jeśli w dowolnej implikacji odwrotnej zamienimy p i q to otrzymamy pewną implikację prostą A.


Przykład implikacji:

Jeśli figura jest kwadratem to ma kąty proste
p=>q
KW=>K90 - implikacja prosta bo "musi mieć" kąty proste.

Po zamianie p i q musimy otrzymać implikację odwrotną:

Jeśli figura ma kąty proste to jest kwadratem
p~>q
K90~>KW - implikacja odwrotna bo "może być" kwadratem albo prostokątem.

Przykład równoważności:

Jeśli figura jest kwadratem to ma kąty proste i boki równe
p=>q
KW=>K90*BR - oczywista implikacja prosta, bo "musi mieć" K90*BR

Po zamianie p i q otrzymujemy implikację odwrotną:

Jeśli figura ma kąty proste i boki równe to jest kwadratem
K90*BR~>KW - jeśli K90*BR to „musi być” kwadrat

Zauważmy, że tym razem mamy do czynienia w pewnym wynikaniem w implikacji odwrotnej. W drugą stronę mamy zawsze pewne wynikanie w implikacji prostej.

Stąd definicja równoważności:

Równoważność to pewne wynikanie w implikacji prostej i pewne wynikanie w implikacji odwrotnej na tym samym zdaniu.

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*~q + p*q

Zauważmy, że wyżej otrzymaliśmy fajny wzór skróconego mnożenia.

(A+~B)*(~A+B) = A*~A+ A*B+~B*~A + ~B*~B = A*B + ~A*~B

bo:
A*~A=B*~B = 0 bo: (1*0=0)

Definicja zero-jedynkowa równoważności:
p q p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Przykładowa równoważność:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma wszystkie kąty równe.
p<=>q - q zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p

W powyższej równoważności w jedną stronę mamy do czynienia z implikacja prostą zaś w drugą stronę z implikację odwrotną. Nie da się tu rozstrzygnąć która implikacja jest prosta a która odwrotna bo to dwie pewne implikacje.

Możemy przyjąć dowolnie:

Implikacja prosta p=>q :
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma wszystkie kąty równe
R=>KR - jeśli równoboczny to "musi mieć" kąty równe
Pewne wynikanie w implikacji prostej.

Implikacja odwrotna powstała przez zamianę p i q.

Implikacja odwrotna p~>q :
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to jest równoboczny
KR~>R - jeśli kąty równe to "musi być" równoboczny
Pewne wynikanie w implikacji odwrotnej

Uwaga:
Tylko i wyłącznie w równoważności mamy do czynienia z pewnym wynikaniem w implikacji odwrotnej. W implikacji mamy zawsze do czynienia z niepewnym wynikaniem w implikacji odwrotnej, może zajść, ale nie musi.


3.8.1 Alternatywne wzory równoważności

W matematyce musi się wszystko zgadzać. W definicji implikacji odwrotnej wprowadziliśmy nowy symbol implikacji odwrotnej ~> z uzasadnieniem w pkt. 3.0.

Definicja równoważności:

Równoważność to pewne wynikanie w implikacji prostej i pewne wynikanie w implikacji odwrotnej na tym samym zdaniu.

p<=>q = (p=>q)*(p~>q)


I.
Definicja równoważności z użyciem wyłącznie symbolu =>.

Matematycznie zachodzi:
p~>q = q=>p – implikacja odwrotna

Podstawiając to do definicji równoważności mamy:

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(q=>p)

gdzie:
p=>q - implikacja prosta (zawsze pewne wynikanie)
q=>p - implikacja odwrotna (pewne wynikanie wyłącznie w równoważności)


II.
Definicja równoważności z użyciem wyłącznie symbolu ~>.

Matematycznie zachodzi:
p~>q = q=>p - implikacja odwrotna (pewne wynikanie wyłącznie w równoważności)
q~>p = p=>q - implikacja prosta (zawsze pewne wynikanie)

Podstawiając ostatnią zależność do definicji równoważności mamy:

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (q~>p)*(p~>q)


3.9 Sens implikacji prostej i odwrotnej

Równoważność to pewna implikacja prosta i odwrotna w dwie strony. Implikacja to niepewna implikacja odwrotna w jedną stronę p~>q oraz pewna implikacja prosta w drugą stronę p=>q. Może się zdarzyć, że w implikacji odwrotnej po stronie p zaistnieją wszystkie warunki konieczne do przejścia niepewnej implikacji odwrotnej (może być) w pewną implikację odwrotną (musi być). W druga stronę cały czas mamy implikację prostą (musi być), zatem cała implikacja stanie się pewnym wynikaniem w dwie strony (równoważność).

Zobaczmy to na przykładzie.

1.
Jeśli czworobok ma kąty proste to jest kwadratem
Jeśli czworobok ma kąty proste to „może być” kwadratem, bo kwadrat albo prostokąt.
K90~>KW – implikacja odwrotna bo „może być”

W druga stronę po zamianie p i q mamy implikację prostą bo:

Jeśli czworobok jest kwadratem to ma kąty proste
Jeśli czworobok jest kwadratem to „musi mieć” wszystkie kąty proste.
KW=>K90 – implikacja prosta bo „musi mieć”.

2.
Jeśli czworobok ma kąty równe i boki równe to jest kwadratem
K90*BR<=>KW
Po dodaniu warunku mówiącego o równych bokach niepewna implikacja odwrotna K90~>KW przeszła w pewną implikację odwrotną :
K90*BR~>KW - jeśli K90*BR to „musi być” kwadrat

W drugą stronę zawsze mamy implikację prostą co widać wyżej. Spełniony został warunek równoważności czyli pewnego wynikania w dwie strony.

Implikacja odwrotna służy zatem do przeglądania wszelkiej dostępnej wiedzy i wybieraniu z niej PRAWDY. Jeśli cała prawda zostanie skompletowana, to całość staje się równoważnością co widać w powyższym przykładzie.

Implikacja odwrotna służy do zbierania prawdy.
p q p~>q
0 1 0 – zakaz zbierania fałszu (zakaz zamiany fałszu w prawdę)

Implikacja prosta zapobiega gubieniu zebranej prawdy
p q p=>q
1 0 0 – zakaz gubienia prawdy (zakaz zamiany prawdy w fałsz)

W przypadku matematyki sprawa jest prosta. Jeśli zrozumiemy definicję kwadratu jak wyżej to nie da się jej obalić ... można co najwyżej zapomnieć. Co pewien czas naszym Wszechświatem wstrząsają rewolucje np. odkrycie Kopernika. Wtedy pewna dotychczasowa PRAWDA zamienia się w FAŁSZ.

O wiele gorzej jest z prawdą subiektywną. Może się zdarzyć, że dotychczasowa wiedza gromadzona jako PRAWDA uznana zostanie w pewnym momencie za FAŁSZ np. mąż mnie zdradził.

Sens implikacji opisują wzory matematyczne:

Implikacja odwrotna:
p~>q = ~(~p*q) – nie może się zdarzyć, aby z fałszu powstała prawda

Jeśli w zbiorze p nie ma prawdy to jej nie znajdziemy. Zbiór p ma wówczas wartość FAŁSZ.

Wyobraźmy sobie, że komputer wylosował 20 liczb naturalnych z zakresu 1 do 100. Naszym zadaniem jest poszukiwanie liczby podzielnej przez 5 w wylosowanym zbiorze. Jeśli wśród wylosowanych liczb nie ma liczby podzielnej przez 5 to wartość całego zbioru jest równa FAŁSZ. Nie mamy żadnych szans na znalezienie szukanej liczby, z fałszu nie może powstać prawda.

p=A1+A2+...A20 = 0

Wystarczy jednak jedna liczba podzielna przez 5 i już wartość całego zbioru jest równa PRAWDA – mamy szansę na znalezienie szukanej liczby.

Implikacja prosta:
p=>q = ~(p*~q) – nie może się zdarzyć, aby z prawdy powstał fałsz

Jeśli po stronie p mamy wyłącznie prawdę to nie ma szans na fałsz.

p = A1*A2*...*An = 1 – wszystkie elementy zbioru p mają wartość PRAWDA.


4.0 Obietnice i groźby

Groźba i obietnica w rozumieniu przeciętnego człowieka to równoważność z możliwością darowania kary w groźbie (akt łaski) oraz możliwością wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w obietnicy (akt miłości). Przeciętny człowiek ma rację, popartą od dnia dzisiejszego matematyką ścisłą.

Mój mózg jest moją twierdzą. Każdy człowiek ma indywidualny zestaw pojęć które są dla niego karą albo nagrodą, nazwijmy go zbiór A.

Dla tego zbioru prawdziwe są poniższe równania:

Aksjomat:
Kara = NIE nagroda
Nagroda = NIE kara

Definicja nagrody:
Cokolwiek co chcę by zaszło (coś dla mnie dobrego, pozytywnego)

Definicja kary:
Cokolwiek co nie chcę by zaszło (coś dla mnie złego, negatywnego)

Mamy tu jak na dłoni aksjomat:

Kara (kara = nie chcę by zaszło) = nie nagroda (nagroda = chcę by zaszło)
Nagroda (nagroda = chcę by zaszło) = nie kara (kara= nie chcę by zaszło)

Powyższy aksjomat to fundament życia. Zwierzęta które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

W świecie żywych nigdy nie może być:
Kara = Nagroda

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

W=>N
Implikacja prosta bo jeśli spełnię warunek nagrody to „muszę dostać” nagrodę. Dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
p=>q - jeśli zdam egzamin to „muszę mieć” komputer

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana obietnicy na równoważną groźbę

Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~p~>~q - implikacja odwrotna bo „mogę dostać” komputer mimo nie zdanego egzaminu (akt łaski)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

W~>K
Implikacja odwrotna bo nawet jak spełnię warunek kary to „nie muszę” zostać ukarany. Nadawca ma prawo darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
p~>q - implikacja odwrotna bo „nie muszę” dostać lania
Nadawca ma prawo darować karę - akt łaski.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana groźby na równoważną obietnicę

Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~p=>~q - jeśli czyste spodnie to gwarancja braku lania.
Obietnic należy dotrzymywać.


4.1 Obietnica - przyszłość

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N

Wszelkie obietnice analizujemy w oparciu o implikację prostą bo dobrowolnych obietnic „musimy” dotrzymywać.

Zdanie wypowiedziane:

4.1A
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - jeśli zdam egzamin to mam gwarancję dostania komputera

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Dla wypowiedzianego zdania mamy:
p=E, q=K

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej:

Tabela 4.1A
p q p=>q
E K = 1
E ~K = 0
~E ~K = 1
~E K = 1

Analizujemy implikację E=>K według powyższej tabeli zgodnie z zasadą „jak czytamy tak piszemy”.

E K = 1
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
PRAWDA bez żadnych wyjątków wymuszona przez linię niżej.

E ~K = 0
Zdałeś egzamin, nie dostaniesz komputera = KŁAMSTWO
Ojciec musi dać komputer w przypadku zdania egzaminu zgodnie z obietnicą wypowiedzianą wyżej, inaczej jest oczywistym kłamcą.

~E ~K = 1
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
W przypadku nie zdania egzaminu ojciec ma prawo nie dać nagrody i nie musi się z tego tłumaczyć - kłamcą nie zostaje. Może jednak wręczyć komputer z dowolnym uzasadnieniem niezależnym jak niżej (akt miłości)...

~E K = 1
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha (bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem ci ten komputer kupić itp.)

Rozważmy zdanie równoważne do 4.1A na mocy prawa Kubusia

E=>K = ~E~>~K – prawo zamiany obietnicy na równoważną groźbę

Zdanie równoważne:

4.1B.
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E~>~K – jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” nie dostać komputera (bo akt łaski)

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego zdania mamy:
p = ~E, q = ~K

Wstawiamy konkretne zmienne do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:

p q p~>q
(~E) (~K) = 1
(~E) ~(~K) = 1
~(~E) ~(~K) = 1
~(~E) (~K) = 0

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)

p q p~>q
~E ~K = 1
~E K = 1
E K = 1
E ~K = 0

Oczywiście nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy analizować poszczególne linie. Poprzestawiajmy je zatem „losowo”.

Tabela 4.1B.
p q p~>q
E K = 1
E ~K = 0
~E ~K = 1
~E K = 1

Porównajmy otrzymaną tabelę 4.1B z tabelą 4.1A wyżej. Widać że są identyczne, co jest dowodem poprawności prawa Kubusia. Implikacje 4.1A i 4.1B są równoważne.


4.2 Obietnica - przeszłość

Obietnica-przyszłość:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - obietnica, implikacja prosta

Matematyczna implikacja odwrotna uzyskana poprzez zamianę p i q.

Obietnica-przeszłość:

4.2C
Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin
K~>E – implikacja odwrotna
Jeśli masz komputer to „mogłeś” zdać egzamin, albo mógł zajść akt miłości czyli wręczenie komputera mimo nie zdanego egzaminu.

Czy to ma sens ?

Nikt przecież nie ma wątpliwości, że przeszłość nigdy nie będzie równa przyszłości. Pewne jest, że obietnica-przyszłość zaszła w oparciu o implikację prostą. Pewne jest również, że przeszłości nie da się zmienić - tu wszystko jest zdeterminowane.

Implikacja odwrotna ma jednak sens, bo abstrakcyjnie możemy wędrować w czasie. Poza tym niekoniecznie musimy znać rozstrzygnięcie implikacji.

Przenieśmy się zatem do przeszłości.

Kubuś-Junior, poznawszy teorię implikacji postanawia zaskoczyć Wuja.

Junior:
Wujek, tata obiecał mi komputer jak zdam egzamin. Dostałem komputer, zgadnij czy zdałem egzamin.

Wujek:
Nie znam Waszej teorii implikacji ale czekaj, niech pomyślę ?

Podkład matematyczny do rozważań Wuja dołożył po fakcie Kubuś-Junior.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin
K~>E

Mamy:
p=K, q=E

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji otrzymując:

Tabela 4.2C
p q p~>q
K E = 1
K ~E = 1
~K ~E = 1
~K E = 0

Rozważanie Wuja, który nigdy nie słyszał o teorii implikacji.

K E = 1
Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin. Zaraz, zaraz ...

K ~E = 1
Jeśli masz komputer to mogłeś nawet nie zdać egzaminu, ale w tym przypadku ojciec musiał zastosować akt miłości czyli dał ci komputer bo cię kocha, bo widział że się dużo uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Brawo Wujek, a teraz załóżmy, że nie mam komputera i zgadnij czy zdałem egzamin !

~K ~E = 1
Jeśli nie masz komputera to na pewno nie zdałeś egzaminu. Ojciec miał prawo nie kupić ci komputera bo nie zdałeś egzaminu i oczywiście nie jest kłamcą.

Dopisek Juniora:
~K E = 0
Nie mam komputera, zdałem egzamin - tata jest kłamcą. Zatem jeśli nie mam komputera to nie mogłem zdać egzaminu bo mój tata nigdy nie kłamie.

Wujek, skąd znasz matematyczną teorię implikacji ?

Wujek:
He,He… Jeśli to ma być ta Wasza matematyka, to znają ją nawet przedszkolaki. Gorzej, Adam i Ewa już to znali !


Prawo Kubusia zastosowane do implikacji 4.2C

K~>E = ~K => ~E – zamiana implikacji odwrotnej na prostą

4.2D
Jeśli nie masz komputera to nie zdałeś egzaminu
~K => ~E
Matematyczna oczywistość, bowiem ojciec może zastosować akt miłości, czyli dać komputer mimo nie zdanego egzaminu, ale nie musi tego robić. W tym przypadku syn nie ma komputera bo np. totalnie olał naukę i wkurzony ojciec nie zastosował aktu miłości.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Dla powyższego zdania mamy:
p= ~K, q= ~E

Podstawiamy to do definicji:
p q p=>q
(~K) (~E) = 1
(~K) ~(~E) = 0
~(~K) ~(~E) = 1
~(~K) (~E) = 1

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)

p q p=>q
~K ~E = 1
~K E = 0
K E = 1
K ~E = 1

Analizować zdania możemy w dowolnej kolejności, poprzestawiajmy je zatem „losowo“.

Tabela 4.2D
p q p=>q
K E = 1
K ~E = 1
~K ~E = 1
~K E = 0

Porównajmy tabele 4.2D i 4.2C. Widać, że są identyczne co dowodzi poprawności praw Kubusia.


4.3 Groźba-przyszłość

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K

Wszelkie groźby analizujemy w oparciu o definicję implikacji odwrotnej bo wypowiadający groźbę ma prawo („może”) darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Zdanie wypowiedziane:

4.3A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie

Szczegółowa analiza.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego mamy:
p=B q=L

Podstawiamy zmienne do symbolicznej definicji implikacji..

Tabela 4.3A.
p q p~>q
B L = 1
B ~L = 1
~B ~L = 1
~B L = 0

Analizujemy zdanie według powyższej tabeli metodą “jak czytamy tak piszemy”.

B L = 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Mogę dostać lanie, ale nie muszę bo ojciec może zastosować akt łaski jak niżej.

B ~L = 1
Ubrudziłeś spodnie, nie dostaniesz lania bo samochód cię ochlapał (bo mam dobry humor, bo cię kocham itp.). Ojciec może także po prostu „zapomnieć” o wypowiedzianej groźbie i nie jest kłamcą, nie musi się tłumaczyć.

~B ~L = 1
Nie ubrudziłeś spodni, nie dostaniesz lania.
=1 PRAWDA bez żadnych wyjątków gwarantowana przez następną linię.

~B L = 0
Nie ubrudziłeś spodni, dostajesz lanie = KŁAMSTWO
Aby nie być kłamcą, ojciec nie ma prawa uderzyć syna.

Rozważmy teraz zdanie równoważne do 4.3A na mocy prawa Kubusia.

4.3A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L – prawo zamiany groźby na obietnicę

4.3B
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B=>~L – obietnic należy dotrzymywać.

Aksjomat:
Nagroda = nie kara

Dla 4.3A mamy:
Kara = lanie

Dla 4.3B mamy:
Nagroda = NIE lanie

Szczegółowa analiza.

Dla powyższego mamy:
p= ~B, q= ~L

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Podstawiamy w miejsce p i q zmienne ~B i ~L.

p q p=>q
(~B) (~L) = 1
(~B) ~(~L) = 0
~(~B) ~(~L) = 1
~(~B) (~L) = 1

Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)

p q p=>q
~B ~L = 1
~B L = 0
B L = 1
B ~L = 1

Analizować wypowiedziane zdanie 4.3B możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższe linie w sposób „przypadkowy”

Tabela 4.3B.
p q p=>q
B L = 1
B ~L = 1
~B ~L = 1
~B L = 0

Porównajmy tabelę 4.3B z tabelą 4.3A wyżej. Widać że są identyczne, zatem implikacje 4.3A i 4.3B są równoważne.


4.4 Groźba-przeszłość

Groźba-przyszłość:
4.3A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie
Implikacja odwrotna bo nadawca może darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach

Matematyczna implikacja prosta powstała poprzez zamianę p i q.

Groźba-przeszłość:
4.4C
Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B - tu musi być implikacja prosta bo wyżej jest implikacja odwrotna !

Przenieśmy się do przeszłości na imprezę Kubusiowej rodziny (ta sama co w pkt.4.2).
Kubuś-Junior jest zaskoczony, że Wuj doskonale posługuje się implikacją matematyczną mimo że nie zna teorii implikacji. Więcej, Wuj twierdzi że znają to przedszkolaki więc postanawia sprawdzić. Biegnie do sąsiedniego pokoju gdzie bawi się jego 5-letnia kuzynka Zuzia.

Kubuś-Junior.
Zuzia, wczoraj mój tata powiedział, że jak wrócę w brudnych spodniach to dostanę lanie.
Wróciłem w brudnych spodniach i zgadnij, czy dostałem lanie ?

Podkład matematyczny do wypowiedzi Zuzi dołożył Junior po fakcie.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q = 1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Groźba-przeszłość:
4.4C
Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B - tu musi być implikacja prosta o ile jest to matematyczne wynikanie.

Mamy:
p=L, q=B

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej.

Tabela 4.4C
p q p=>q
L B = 1
L ~B = 0
~L ~B = 1
~L B = 1

Analiza implikacji odwrotnej przez 5-letnia Zuzię.

L B = 1
Jeśli dostałeś lanie to na pewno wróciłeś w brudnych spodniach

Dopisek Juniora.
L ~B = 0
Zakaz lania w przypadku czystych spodni - brawo Zuzia.

~L ~B = 1 (~B = nie brudne = czyste)
Jeśli nie dostałeś lania to wróciłeś w czystych spodniach …

~L B = 1
… ale mogłeś też nie dostać lania jeśli wróciłeś w brudnych spodniach bo twój tata mógł darować ci lanie jeśli spodnie były mało brudne.

Junior do Zuzi.
Zuzia czy wiesz, że znasz teorię implikacji ?

Zuzia:
A co to jest ?

Junior:
Jak dorośniesz to będą cię o tym uczyć w szkole.


Rozważmy teraz groźbę-przeszłość równoważną do 4.4C na mocy prawa Kubusia.

L=>B = ~L ~> ~B – zamiana implikacji prostej na implikację odwrotną

4.4D
Jeśli nie dostałeś lania to nie ubrudziłeś spodni
~L ~> ~B
Implikacja odwrotna bo jeśli nie dostałeś lania to nie ubrudziłeś spodni albo ubrudziłeś, ale ojciec zastosował akt łaski i darował lanie.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego mamy:
p= ~L, q= ~B

Podstawiamy do definicji:

p q p~>q
(~L) (~B) = 1
(~L) ~(~B) = 1
~(~L) ~(~B) = 1
~(~L) (~B) = 0

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)

p q p~>q
~L ~B = 1
~L B = 1
L B = 1
L ~B = 0

Ustawiamy linie „losowo”:

Tabela 4.4D
p q p~>q
L B = 1
L ~B = 0
~L ~B = 1
~L B = 1

Tabele 4.4D i 4.4C są identyczne co dowodzi poprawności praw Kubusia.


4.5 Równoważność implikacyjna w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Wszelkie obietnice obsługiwane są przez implikację prostą - dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać. Każda obietnica zawiera w sobie równoważność implikacyjną, może zajść ale nie musi.

Zobaczmy to na przykładzie:

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K – implikacja prosta

Analiza:
1. E K =1 – egzamin to komputer (gwarancja)
2. E ~K = 0 – egzamin to na 100% komputer
3. ~E ~K =1 – nie egzamin to nie komputer
4. ~E K =1 – nie egzamin to komputer (akt miłości)

Jeśli zdałem egzamin to mam komputer (1). To wymuszenie jest identyczne w implikacji i równoważności.

Jeśli nie zdałem egzaminu to mogę mieć komputer albo nie mieć. Jeśli ojciec zastosuje akt miłości to mam komputer dzięki linii 4, zaszła implikacja. Ojciec ma jednak prawo nie wręczyć komputera zgodnie z linią 3 i nie jest kłamcą. W tym przypadku zajdzie równoważność implikacyjna, bo w linii 4 będzie automatycznie 0. Zauważmy jednak, że równoważność implikacyjną możemy stwierdzić wyłącznie po fakcie egzaminu, czyli musztarda po obiedzie. W momencie wypowiadania obietnica jest zawsze implikacją bo nikt nie zna przyszłości.

W obietnicy prawdopodobieństwo zajścia implikacji jest duże, zaś równoważności implikacyjnej małe.


4.6 Równoważność implikacyjna w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Wszelkie groźby obsługiwane są przez implikację odwrotna gdyż nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach. Każda groźba zawiera w sobie równoważność implikacyjną, może zajść ale nie musi.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L – ubrudzone to lanie, implikacja odwrotna bo akt łaski.

Analiza:
1. B L =1 – brudne to lanie
2. B ~L =1 – brudne to nie lanie (akt łaski)
3. ~B ~L =1 – nie brudne to nie lanie (gwarancja)
4. ~B L =0 - nie brudne to zakaz lania

W linii 3 mamy gwarancję braku lania w przypadku czystych spodni, co zachodzi zarówno w implikacji jak i równoważności.

Jeśli ubrudziłem spodnie to albo dostanę lanie albo nie. Wszystko zależy od nadawcy, który może zrobić co mu się podoba. Jeśli wykona karę zgodnie z linią 1 to zajdzie równoważność implikacyjna, bo w linii 2 będzie wówczas automatycznie 0. Jeśli zrezygnuje z wykonania kary to zajdzie implikacja zgodnie z linią 2 (akt łaski). Podobnie jak w obietnicy możemy stwierdzić co zaszło dopiero po fakcie. W momencie wypowiadania groźba jest zawsze implikacją, bo nikt nie zna przyszłości.

W praktyce człowiek wypowiada dużo gróźb których nie wykonuje, w szczególności do dzieci. Zachodzi wówczas implikacja (akt łaski). Znaczna część gróźb jest jednak wykonywana przy spełnionym warunku kary (równoważność implikacyjna), inaczej groźby będą lekceważone przez odbiorcę.


4.7 Zwolnienia w obietnicy i groźbie

Idea zwolnień z obietnic i gróźb jest oczywista. Przykładowo, ojciec obiecał synowi samochód. W międzyczasie matka zachorowała i obaj ustalili, że samochód jest w tym przypadku nieistotny, wszystkie pieniądze przeznaczyli na leczenie matki. Nastąpiło naturalne zwolnienie ojca z danego synowi przyrzeczenia.

1.
Zwolnienia z obietnicy może dokonać osoba której coś obiecano

2.
Anulować groźbę może ten kto ją wypowiedział

3.
Z obietnicy lub groźby wypowiedzianej samemu sobie sam mogę się zwolnić np.
Jeśli dziewczyna mnie rzuci popełnię samobójstwo

Każdy człowiek ma marzenia, zarówno pozytywne (kupię sobie coś) jak i negatywne (dam sąsiadowi w mordę). Oczywistością jest naturalne zwolnienie z takich marzeń, których nikt nie słyszał. Po prostu o nich zapominamy i nikomu nie musimy się z tego tłumaczyć. Człowiek bez marzeń to martwy człowiek.


5.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych

Powyżej analizowaliśmy obietnice i groźby przy pomocy zero-jedynkowych definicji implikacji prostej (obietnice) i implikacji odwrotnej (groźby). W praktyce po stronie warunku p może być dowolne zdanie złożone, które analizujemy przy pomocy algebry Boole’a. Istotne jest, aby możliwe było określenie dla jakich parametrów wejściowych warunek p jest spełniony. Równoważną do powyższej analizy zero-jedynkowej jest analiza gróźb i obietnic przy pomocy równań matematycznych.


5.1 Obietnica w równaniach matematycznych

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Równanie obietnicy:

N=W+U

Gdzie:
N=1 – mam nagrodę
N=0 – nie mam nagrody

W=1 – warunek nagrody spełniony
W=0 – warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:

N = 1+U = 1 – muszę dostać nagrodę.

W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 – warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:

N=W+U=0+U=U

Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.

U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer

Akt miłości nie zaszedł:
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)

Równanie obietnicy:
N = W+U = 0+0 = 0 – nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 – mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:

N=W+U=0+0=0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


5.2 Groźba w równaniach matematycznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca nie anuluje kary aktem łaski.

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienną uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:

K=W*U

Gdzie:
K=1 – zostanę ukarany
K=0 – nie zostanę ukarany

W=1 – warunek kary spełniony
W=0 – warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:

U=1 – ukarać
U=0 – nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski). Prawo darowania dowolnej kary to fundament wolnej woli człowieka. Nie ma takiej kary, której nadawca nie miałby prawa darować, inaczej jego wolna wola leży w gruzach. W groźbach nadawca ma wolną wolę co oznacza, że może odstąpić od wykonania dowolnej kary i nawet nie musi się z tego tłumaczyć (np. przez „zapomnienie”), może także wykonać wszystkie kary przy spełnionym warunku kary i nie zostanie kłamcą (psychopata).
Akt łaski doskonale znają i stosują w praktyce wszystkie stworzenia na naszej planecie, w szczególności rodzice względem dzieci.

Analiza równania groźby.

K=W*U

A.
W=0 – warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:

K=W*U=0*U=0 – zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania (dotyczy psychopatów).

B.
W=1 – warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:

K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:

U=1 – karać
U=0 – nie karać

Przykład:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:

K=W*U=1*1=1 – kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


5.3 Analiza obietnicy w równaniach matematycznych

We wszelkich obietnicach w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy dostaniemy nagrodę, zaś w logice ujemnej odpowiedź kiedy nie dostaniemy nagrody.

Wypowiedziana obietnica:
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C)
P*~B => C

W=P*~B - warunek otrzymania czekolady:
N=C - nagrodą jest czekolada

Szczegółową analizę matematyczną powyższego warunku można znaleźć w I części elementarza pkt. 5.3.

Równanie obietnicy:
N=W+U

Zgodnie z teorią obietnicy nawet w przypadku gdy nie spełnię warunku nagrody (W=0) to i tak mogę dostać nagrodę.

N=W+U = 0+U =U – wszystko w rękach nadawcy

Zmienną uznaniową U nadawca ma prawo ustawić na dowolną wartość:
U=1 – dam czekoladę (akt miłości)
U=0 – nie dam czekolady

Zauważmy, że jeśli warunek nagrody zostanie spełniony (W=1) to mam gwarancję czekolady bo:

N=W+U=1+U=1 – muszę dostać nagrodę, niezależnie od zmiennej U.

Załóżmy teraz, że nadawca wypowiedział tą sama obietnicę w logice ujemnej czyli de facto groźbę.

Obietnica wypowiedziana:
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C)
P*~B => C

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~P+B ~> ~C

Ta sama obietnica w formie równoważnej groźby:
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) nie dostaniesz czekolady (~C).
~P+B ~> ~C

Oznaczmy:
K= ~C – karą jest nie dostanie czekolady

Warunek ukarania:
W= ~P+B

Matematyczne równanie groźby:

K=W*U

Jeśli warunek groźby nie zostanie spełniony W=0, to nadawca ma matematyczny zakaz karania bo:

K=W*U=0*U=0 – zakaz karania niezależnie od zmiennej uznaniowej U nadawcy.

Jeśli warunek groźby zostanie spełniony (W= ~P+B=1) to i tak mogę uniknąć kary dzięki dobremu sercu nadawcy.

K= W*U = 1*U = U – wszystko w rękach nadawcy

Zmienną uznaniową U nadawca ma prawo ustawić na dowolną wartość:

U=1 – karać
K= ~C=1
czyli:
C=0 – karą jest nie dostanie czekolady

U=0 – nie karać
K= ~C=0
czyli:
C=1 – mam czekoladę, bo nadawca darował mi karę (akt łaski)

Zauważmy, że jeśli nie spełnię warunku kary (W= ~P+B=0) to nadawca ma zakaz karania bo:

K=W*U=0*U=0 – zakaz karania niezależnie od zmiennej uznaniowej U
K= ~C=0
czyli:
C=1 – mam czekoladę niezależnie od zmiennej U.


5.4 Analiza groźby w równaniach matematycznych

We wszelkich groźbach w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy poniesiemy karę, zaś w logice ujemnej odpowiedź kiedy tej kary unikniemy.

Wypowiedziana groźba:
Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).
B+ ~P ~> L

Mamy:
K=L – kara to lanie
W= B+ ~P – warunek kary

Szczegółową analizę matematyczną powyższego warunku można znaleźć w I części elementarza pkt. 5.4.

Równanie matematyczne groźby:

K=W*U

Dla spełnionego warunku groźby (W=1) równanie przybierze postać:

K=W*U = 1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - ukarać (lanie)
U=0 – nie karać (akt łaski)

Zauważmy, że jeśli warunek groźby nie zostanie spełniony (W=0) to nadawca nie ma prawa karać bo:

K=W*U = 0*U = 0 – zakaz karania niezależnie od zmiennej uznaniowej U

Groźba w logice ujemnej przechodzi w równoważną obietnicę (prawo Kubusia).

B+ ~P ~>L = ~B*P => ~L – negujemy zmienne i odwracamy operatory

Załóżmy, że nadawca wypowiedział powyższą groźbę w formie obietnicy.

Jeśli nie będziesz bił siostry (~B) i posprzątasz pokój (P) nie dostaniesz lania (~L)
~B*P => ~L

Oznaczmy:

N= ~L - nagroda N to nie dostanie lania (~L)

W= ~B*P - warunek spełnienia obietnicy

Matematyczne równanie obietnicy:

N=W+U

Zgodnie z teorią obietnicy nawet jak nie spełnię warunku obietnicy (W=0) to i tak mogę otrzymać nagrodę.

N=0+U = U

Wszystko w rękach nadawcy:

U=1 - dam nagrodę
N= ~L=1
L=0 – nagrodą jest nie dostanie lania

U=0 – nie dam nagrody
N= ~L=0
L=1 – brak nagrody to dostanie lania

Jeśli warunek obietnicy zostanie spełniony (W=1) to mamy nagrodę niezależnie od zmiennej uznaniowej U.

N=W+U = 1+U=1 – nagroda gwarantowana

N=~L=1
L=0 – nagrodą jest nie dostanie lania
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:15, 24 Mar 2008    Temat postu:

Proste jest piękne

Stanisław Heller napisał:
Wyobraźcie sobie, że przeczytałem bez mała od dechy do dechy teorię implikacji i stwierdzam dwie rzeczy: jest autentycznie wielka .... Zachęcam wszystkich do przestudiowania teorii implikacji.
Bartek (BD) napisał:
Gratuluję ciekawej teorii implikacji odwrotnej. Wygląda mi ona na wiarygodną. Próbował Pan opublikować wyniki swoich badań w jakimś fachowym piśmie?
Dzięki, Kubuś.

Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej
Część III Dyskusje o implikacji
Część IV Teoria implikacji prostej i odwrotnej w pigułce


Część III
Dyskusje o implikacji



Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści:

1.0 Cztery szkoły logiki klasycznej
2.0 N-ta rewolucja w małym rozumku Kubusia
3.0 Analiza matematyczna aksjomatów
4.0 Istota implikacji prostej i odwrotnej
5.0 Obietnice w języku mówionym
5.1 Przypadek nie spełnienia warunku w obietnicy
6.0 Groźby w języku mówionym
7.0 Dialogi
8.0 Pytania i odpowiedzi
9.0 Pozorne sprzeczności języka mówionego z algebrą Boole’a
10.0 Historia powstania teorii
10.1 Najważniejsze rewolucje w małym rozumku Kubusia

Dodatek - implikacja w krótkich majteczkach


Wstęp.

Niedawno na PW u Kubusia pojawił się Gość NN, który swoim postem wywołał n-tą rewolucję w małym rozumku Kubusia. Są na świecie posty, o których filozofom się nie śniło, które wywołują rewolucję w logicznym myśleniu człowieka.

List Gościa NN


1.0 Cztery szkoły logiki klasycznej

Definicja:
Logika klasyczna, to logika zbudowana na fundamencie algebry Boole’a

Implikacji prostej do obsługi obietnic i implikacji odwrotnej do obsługi gróźb używają wszelkie żywe stworzenia na naszej planecie. Oczywiście nie znają matematyki, ale się nią doskonale posługują w praktyce.

Matematyczna rzeczywistość, czyli krystalicznie czysta algebra Boole’a !

Definicja obietnicy:

Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q = ~p + q – implikacja prosta

Definicja groźby:

Jeśli dowolny warunek to kara
p~>q = p + ~q – implikacja odwrotna

Cztery szkoły logiki klasycznej:

I.
Ta szkoła logiki klasycznej analizuje wszelkie obietnice w oparciu o implikację materialną (wszystkie podręczniki) unikając jak ognia analizy jakiejkolwiek groźby. Groźby w tej logice to temat tabu.

II.
Ta grupa logików analizuje w oparciu o implikację materialną zarówno obietnice jak i groźby nie przejmując się faktem, że uderza to w fundament logiki człowieka, algebrę Boole’a.

Jeśli analizujemy groźby i obietnice przez tą samą definicję implikacji materialnej to mamy:

Groźba = Obietnica

czyli:

Kara = Nagroda

Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły

Aksjomat:
Nagroda = NIE kara

Podstawiając to do wzoru wyżej otrzymujemy:

Kara = NIE Kara

czyli:
Y = ~Y

Powyższa równość, to rozwalenie fundamentu na którym zbudowana jest cała algebra Boole’a !!!

Aksjomat - fundament algebry Boole'a:

Y# ~Y – żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

Ciekawostką jest fakt, że sama definicja implikacji materialnej jest sprzeczna z algebrą Boole’a, bo rozwala dokładnie ten sam fundament.

III.
Tu spotkałem się zaledwie z dwoma przedstawicielami (Irbisol i Sinner) którzy zapisali taką matematyczną definicję groźby.

p<=>q = (p=>q)*(~p => ~q) – definicja groźby

Prawo Kubusia zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą:

p~>q = ~p => ~q – negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

Podstawiając to do powyższego równania mamy:

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(q=>p)

bo:
p~>q = q=>p

To co wyżej to definicja równoważności czyli pewne wynikanie w dwie strony, nic więcej (pkt. 3.8 w części II elementarza)

Oczywistym jest, że mnożąc logicznie implikację prostą (obietnicę) przez implikację odwrotną (groźbę) otrzymamy równoważność, bo matematycznie wycinamy wówczas jedynki implikacyjne.

Jeśli uznamy, że groźba to równoważność na podstawie powyższego wzoru, to automatycznie musimy uznać że obietnica = równoważność na podstawie tego samego wzoru.

I rzeczywiście, w tej szkole obowiązuje to równanie:

obietnica = groźba = równoważność

czyli:

Jeśli cokolwiek obiecuję to nie mogę wręczyć nagrody gdy odbiorca nie spełni warunku nagrody. Moja wolna wola leży w gruzach, bo chcę to zrobić (akt miłości) a nie mogę.

W groźbie jestem sadystą, bo jeśli odbiorca spełni warunek kary to muszę wykonać karę. Moja wolna wola leży w gruzach bo nie mogę darować kary (akt łaski).

Zauważmy, że w tej szkole również zachodzi:

obietnica = groźba

co jest walnięciem bezpośrednio w fundament algebry Boole’a Y#~Y (dowód w pkt. II)


IV
Czwarta szkoła logiki klasycznej to w dniu dzisiejszym noworodek, dopiero co się narodził.

To oczywiście:

Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Noworodek, a już ma czterech zwolenników – całkiem nieźle jak na początek.

Dwóch napisało recenzję plus WujZbój i Rafał3006.


2.0 N-ta rewolucja w małym rozumku Kubusia

List Gościa NN spowodował, że pewna Kubusiowa PRAWDA zamieniła się nagle w FAŁSZ. To jest zgodne z teorią implikacji prostej i odwrotnej (część II pkt. 3.9). A jednak się kręci ....

W przypadku ogólnym nie jest prawdą to, co Kubuś pisze od dawna:

Kara= nie nagroda
Nagroda = nie kara

Jak się jednak za chwilę okaże (pkt. 4.0) w przypadku szczególnym, gdy weźmiemy pod uwagę wyłącznie pojęcia będące dla nas karą albo nagrodą powyższe równanie jest słuszne i prawdziwe. Pojęcia obojętne względem kary i nagrody (np. „gruszki na wierzbie”) we wszelkich obietnicach i groźbach w sposób naturalny nas nie interesują.

Aksjomaty w oryginale, znane ludziom od tysiącleci:

Dobro to brak zła
Zło to brak dobra

Nagroda to brak kary
Kara to brak nagrody

Poprawny zapis matematyczny tego typu aksjomatów jest taki:

I.
Jeśli coś jest dla mnie nagrodą, to „nie może być” karą
Nagroda => nie kara
N=> ~K

Spójnik „nie może być” decyduje o tym, iż jest to implikacja prosta.

II.
Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na odwrotną:
N => ~K = ~N ~> K – negujemy zmienne i wymieniamy operatory

Jeśli coś nie jest dla mnie nagrodą to jest karą
~N ~> K
Nie nagroda ~> kara

Jeśli coś nie jest dla mnie nagrodą to „może być” karą
=1 np. lanie
=0 np. „gruszki na wierzbie” (dla Kubusia obojętne)

Użyty w naturalnej logice człowieka spójnik „może być” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna.

Z fundamentalnego prawa implikacji prostej i odwrotnej wiemy, że zamieniając p i q w dowolnej implikacji prostej również musimy wylądować w implikacji odwrotnej.

Wykorzystując to do zdania I mamy:

III.
Jeśli coś nie jest dla mnie karą, to jest nagrodą
Nie kara ~> nagroda
~K ~> N

Jeśli coś nie jest dla mnie karą, to „może być” nagrodą
=1 np. czekolada
=0 np. „gruszki na wierzbie” (dla Kubusia obojętne)

Uwaga:
Dla dziecka nagrodą może być cokolwiek np. kamyczek.

Użyty w naturalnej logice człowieka spójnik „może być” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna.

Korzystając dla III z prawa Kubusia otrzymujemy ostatnią możliwą implikację prostą.

~K~>N = K => ~N – negujemy zmienne i wymieniamy operatory

Czyli:

IV.
Jeśli coś jest dla mnie karą to nie jest nagrodą
K => ~N - oczywistość


3.0 Analiza matematyczna aksjomatów

Jeśli coś jest nagrodą to nie jest karą
N => ~K
Jeśli coś jest nagrodą to „nie może być” karą
Implikacja prosta bo „nie może być”

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na odwrotną
N=>~K = ~N ~> K – negujemy zmienne i wymieniamy operatory

Jeśli coś nie jest nagrodą to jest karą
~N ~> K
Jeśli coś nie jest nagrodą to „może być” karą
Implikacja odwrotna bo „może być”

Powyższe implikacje są w 100% równoważne na mocy prawa Kubusia.

Dodatkowy dowód poprzez analizę zero-jedynkową:

Jeśli coś jest nagrodą to nie jest karą
N => ~K

Symboliczna tabela implikacji prostej.

p q p=>q
p q = 1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Dla powyższej implikacji mamy:
p = N, q = ~K

Podstawiamy do definicji symbolicznej konkretne wartości:

p q p=>q
(N) (~K) = 1
(N) ~(~K) = 0
~(N) ~(~K) = 1
~(N) (~K) = 1

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)

Tabela 1.
p q p=>q
N ~K = 1
N K = 0
~N K = 1
~N ~K = 1

Analizujemy metodą, jak czytamy tak piszemy:

N ~K = 1
Jeśli coś jest nagrodą to nie jest karą
Jeśli coś jest dla mnie nagrodą to nie może być karą
=1 (prawda) – bez żadnych wyjątków

N K = 0
Jeśli coś jest nagrodą to jest karą
Oczywisty fałsz, stworzenia które nie odróżniały nagrody od kary dawno wyginęły.

~N K = 1
Jeśli coś nie jest nagrodą to jest karą
Rozpatrujemy zbiór pojęć które nie są dla mnie nagrodą.
=1 dla dowolnej kary w moim przekonaniu np. lanie
=0 dla dowolnego innego pojęcia które nie jest dla mnie karą (obojętnego) np.
=0 – „gruszki na wierzbie”

~N ~K = 1
Jeśli coś nie jest nagrodą to nie jest karą
Rozpatrujemy zbiór pojęć które nie są dla mnie nagrodą.
=0 dla dowolnej kary w moim przekonaniu np. lanie
=1 dla dowolnego innego pojęcia które nie jest dla mnie karą (obojętnego) np.
=1 – „gruszki na wierzbie”


Oczywiście nie musimy analizować implikacji odwrotnej wynikającej z prawa Kubusia bo to jest matematycznie pewne, zróbmy to jednak z ciekawości.

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na odwrotną zastosowane dla wyżej analizowanej implikacji:

N=>~K = ~N ~> K

Jeśli coś nie jest nagrodą to jest karą
~N ~> K
Jeśli coś nie jest nagrodą to „może być” karą
Implikacja odwrotna bo „może być”

Dla tej implikacji odwrotnej mamy:
p= ~N, q = K

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej:

p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Podstawiamy konkretne zmienne jak wyżej:

p q p~>q
(~N) (K) = 1
(~N) ~(K) = 1
~(~N) ~(K) = 1
~(~N) (K) = 0

Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)

p q p~>q
~N K = 1
~N ~K = 1
N ~K = 1
N K = 0

Oczywiście analizować zdania możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższą tabelę w sposób „losowy”.

Tabela 2
p q p~>q
N ~K = 1
N K = 0
~N K = 1
~N ~K = 1

Porównajmy tabelę 1 z tabelą 2. Widać, że są identyczne co dowodzi poprawności praw Kubusia.


4.0 Istota implikacji prostej i odwrotnej

Zauważmy, że w powyższych analizach implikacji często widnieje arcyważne słówko „dla mnie”.

Istota implikacji prostej i odwrotnej polega na zmianie punktu odniesienia z przedmiotu (implikacja materialna) na podmiot (człowiek).

Tylko i wyłącznie z podmiotem związane są takie pojęcia jak akt miłości w obietnicy i akt łaski w groźbie.

To jest fundamentalna zmiana.

1 1 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

W implikacji materialnej mamy:

0 1 1 - implikacja
Mam czyste spodnie, mogę dostać lanie z innego powodu np. za 20 lat pobiją mnie bandyci.

1 0 0
Wróciłeś w brudnych spodniach, nie mam prawa darować ci lania, muszę walić bez względu na okoliczności inaczej jestem kłamcą.

Jak widać, ustawienie punktu odniesienia na przedmiocie (laniu) czyni z normalnego człowieka idioto-sadystę, bo nie ma tu możliwości darowania kary (akt łaski).

W teorii implikacji prostej i odwrotnej mamy coś fundamentalnie innego.

Implikacja odwrotna.

0 1 0
Mam czyste spodnie, to nie mam prawa dostać lania !

1 0 1 – implikacja
Wróciłeś w brudnych spodniach, nie dostaniesz lania ... bo dziś mam dobry humor, bo mama cię broni, bo samochód cię ochlapał, bo pobili cię bandyci itd. (akt łaski)

Planując nagrodę myślimy wyłącznie o pojęciach które dla nas lub dla obdarowywanego są nagrodą. Wiedząc, że odbiorcą jest dziecko możemy planować jako nagrodę nawet kolorowy kamyczek. Z całą pewnością nie będziemy myśleć o wszystkich możliwych pojęciach neutralnych które dla nas nie są ani nagrodą, ani karą. Jeśli cokolwiek nam zagraża (groźba) to również nie będziemy myśleć o rzeczach neutralnych np. „gruszkach na wierzbie”.

Równanie które Kubuś używa od wieków

Nagroda = nie kara
Kara = nie nagroda

jest prawdziwe, jeśli ograniczymy zbiór pojęć wyłącznie do kar i nagród (zbiór A), takie ograniczenie jest jak najbardziej sensowne i prawidłowe. Równanie to jest fałszywe tylko w przypadku, jeśli do powyższego zbioru A dołączymy zbiór B z wszystkimi możliwymi pojęciami neutralnymi jakie człowiekowi mogą przyjść do głowy.

Zauważmy, że punktem odniesienia w teorii implikacji prostej i odwrotnej jest konkretny człowiek (podmiot) i to on decyduje co jest dla niego karą a co nagrodą. Świat zewnętrzny nie ma dostępu do jego mózgu. Mój mózg jest moją twierdzą. Oczywiście, może tu dochodzić i dochodzi do najróżniejszych kolizji bo pojęcie nagrody i kary jest względne, zależne od punktu odniesienia, czyli konkretnego człowieka.

Teoria implikacji prostej i odwrotnej działa zawsze, niezależnie od tego, czy mamy do czynienia z Żydem czy Katolikiem, komunistą czy kapitalistą, dzieckiem czy dorosłym itd. Zmieniał się będzie wyłącznie zbiór A obejmujący wszelkie kary i nagrody związane z konkretnym człowiekiem, punktem odniesienia w implikacji prostej i odwrotnej.

Zauważmy, że wszystkie powyższe analizy wykluczają poniższą tożsamość

kara = nagroda
czyli:
kara = nie kara (na podstawie powyższego aksjomatu)

bo to jest uderzenie w fundament algebry Boole’a.

Wszystko co żyje doskonale wie, że powyższe równanie jest fałszywe. Jeśli nie wie, to szybko zginie.

Aksjomat - fundament algebry Boole'a:

Y# ~Y – żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

Cała algebra Boole’a zbudowana jest na powyższym fundamencie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q = ~p + q

Zauważmy, że wektor obietnicy (implikacja prosta) skierowany jest od p do q czyli: ja tego chcę (biegnę do nagrody q).

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
p<=q = p+~q

Zauważmy, że wektor groźby (implikacja odwrotna) skierowany jest odwrotnie czyli: ja tego nie chcę (uciekam od kary q)

Oczywiście matematycznie zachodzi:
p<=q = p~>q = q=>p
gdzie:
~> - nowy symbol implikacji odwrotnej

Aksjomat.
Świat wygląda różnie z różnych punktów odniesienia

Wszelkie wojny i kłótnie wynikają z faktu, że patrzymy na świat z różnych punktów odniesienia.

Przykładowo, półroczna wojna z Wujem o zdanie

Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

wyniknęła z faktu, że dla Kubusia była to równoważność, zaś dla Wuja implikacja. Po ustaleniu wspólnego punktu odniesienia, że jednak to jest implikacja, nastąpił automatyczny koniec wojny.

Ustalenie wspólnego punktu odniesienia jest czasami praktycznie niemożliwe np. Żyd-Muzułmanin w zakresie wiary.


5.0 Obietnice w języku mówionym

Definicja obietnicy

Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q = ~p + q
Jeśli spełnię warunek nagrody to “muszę” dostać nagrodę

Symbol obietnicy => oznacza w języku mówionym spójnik „muszę” między p i q.

Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer

__p q p=>q
A 1 1 1
B 1 0 0
C 0 0 1
D 0 1 1 - implikacja

Zwiększenie prawdopodobieństwa wystąpienia implikacji.

Jeśli zdasz egzamin to musisz dostać komputer, na pewno dostaniesz komputer, na 100% dostaniesz komputer itp.

Powyższe implikacje są tylko wzmacniaczami naturalnego spójnika „muszę” w implikacji prostej. Mogą powodować wyłącznie zwiększenie prawdopodobieństwa zajścia implikacji bo oznaczają, że nadawca bardzo chce dać nagrodę. Obietnice to jednak przyszłość której nikt nie zna i może się zdarzyć, że mimo 100% zapewnień nagroda „ucieknie” np. wypadki losowe typu choroba, pożar itp.

Zmniejszenie prawdopodobieństwa wystąpienia implikacji.

Jeśli zdasz egzamin to może dostaniesz komputer

Zauważmy, że użyty tu spójnik „może” koliduje z naturalnym spójnikiem implikacji prostej:

=> = „musi”.

Skutkiem użycia tego spójnika będzie dodatkowa jedynka implikacyjna w linii B w powyższej tabeli co oznacza, że nadawca może zrobić absolutnie wszystko i nigdy nie będzie kłamcą.

Na pewno nie wolno nam w tym przypadku postawić zera w linijce D bo oznaczałoby to odebranie wolnej woli nadawcy. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca ma święte prawo wręczyć mimo wszystko nagrodę (akt miłości), inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Obietnice równoważne do powyższej:

Nie wykluczam, że jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Jest możliwe, może się zdarzyć itp. ... że jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer.


5.1 Przypadek nie spełnienia warunku w obietnicy

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Prawo Kubusia
E=>K = ~E ~> ~K

Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E ~> ~K

W groźbie nadawca ma prawo wręczyć komputer nawet gdy odbiorca spełni warunek kary czyli „nie zda egzaminu”. To tylko i wyłącznie jego wolna wola niczym nie ograniczona.

W implikacji, matematycznie równoważne groźby do powyższej będą brzmiały:

I.
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera, chyba że ja zdecyduję inaczej

To co wyżej to oczywistość wynikająca z definicji implikacji odwrotnej, dlatego nikt tak nie mówi bo nie ma takiej potrzeby. Wszyscy doskonale o tym wiedzą, od przedszkolaków poczynając.

II.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na X% nie dostaniesz komputera

X = 0%-100% - wszystko w rękach nadawcy, wyłacznie On decyduje ile procent.

IIA.
Wypowiadając groźbę:

Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera

mogę blefować, tzn. tak czy siak zamierzam kupić komputer (tu X=0%). Nie oznacza to jednak, że nie mogę zmienić decyzji tuż przed wykonaniem groźby np. syn olał naukę a na dodatek jest pyskaty zatem mówię:

Nie zdałeś egzaminu nie dostajesz komputera

.... i nie jestem kłamcą, mimo że w chwili wypowiadania groźby był to tylko mój blef.

IIB.
Wypowiadając groźbę:

Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% nie dostaniesz komputera

moim celem jest zmuszenie syna do ekstremalnego wysiłku umysłowego, gdyż wiem, że zwykle mało się uczy. Po nie zdanym egzaminie widząc, że syn naprawdę bardzo dużo się uczył mówię:

Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo widziałem że bardzo się starałeś ale miałeś pecha.

Mamy tu zatem sytuację odwrotną do przypadku IIA, w momencie wypowiadania groźby byłem na 100% zdecydowany nie dać komputera jeśli syn nie zda egzaminu ... a tuż po nie zdanym egzaminie zmieniłem zdanie i mimo wszystko dałem komputer. Gdybym nie mógł tego zrobić, to moja wolna wola leży w gruzach. Oczywiście, zgodnie z definicją implikacji odwrotnej kłamcą nie zostaję - nie mam na to najmniejszych szans !

Wszelkie obietnice i groźby to 100% implikacje, bo to jest przyszłość, której nikt nie zna. Człowiek może sobie mówić co mu się podoba np. „na 100%”, „wtedy i tylko wtedy” – to ma zerowe znaczenie.

Miejsce matematyki zależnej od chciejstwa człowieka jest w koszu na śmieci.


6.0 Groźby w języku mówionym

Definicja groźby

Jeśli dowolny warunek to kara
p~>q = p + ~q

Symbol groźby ~>, oznacza w języku mówionym spójnik „może” między p i q.

Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” zostać ukarany.

Mogę, bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski), inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

__p q p~>q
A 1 1 1
B 1 0 1 – implikacja
C 0 0 1
D 0 1 0

Zwiększenie prawdopodobieństwa wykonania groźby.

Jeśli ubrudzisz spodnie to na pewno dostaniesz lanie, na 100% dostaniesz lanie itp.

Tu nadawca może sobie mówić co mu się podoba, ale sygnalizuje wyłącznie zwiększenie prawdopodobieństwa wykonania kary przy spełnionym warunku kary, bo groźby to przyszłość której nikt nie zna. Groźba zawsze pozostanie implikacją, bez względu na chciejstwo człowieka. Zauważmy, że wyzerowanie jedynki implikacyjnej w linii B odbiera wolną wolę nadawcy (tego nie wolno robić !), odbiera mu prawo do darowania kary przy spełnionym warunku kary (akt łaski). Nie ma takiej kary, której nadawca nie miałby prawa darować, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Przypadek spełnienia warunku groźby omówiono szczegółowo w pkt. 5.1.

Zmniejszenie prawdopodobieństwa wykonania kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie, to chyba dostaniesz lanie itp.

To zdanie powoduje zwiększenie prawdopodobieństwa zajścia implikacji w groźbie, czyli darowania kary w przypadku brudnych spodni ... tyle że w praktyce mało kto tak mówi, bo w definicji implikacji odwrotnej mamy zagwarantowany spójnik „może”. W groźbie nadawca może darować karę z byle powodu a nawet przez „zapomnienie”.

Groźby równoważne do powyższej:

Nie wykluczam, że jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
Jest możliwe, może się zdarzyć itp. ... że jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie.

To jest tylko i wyłącznie deklaracja zmniejszenia prawdopodobieństwa wykonania kary przy spełnionym warunku kary.

Zauważmy, że gwarancja nie wykonania kary w przypadku nie spełnienia warunku kary (linia D) jest matematycznie nie do ruszenia !

Zmiana z zera na jeden w linii D jest możliwa tylko w takim przypadku:

Jeśli ubrudzisz spodnie, albo nie ubrudzisz spodni to dostaniesz lanie

Oczywiście nikt tak nie powie bo jest to logiczny bełkot, rozwalający fundament algebry Boole’a.

Miejsce logicznego bełkotu jest w koszu na śmieci.


7.0 Dialogi

Oznaczmy:
Y = A – dowolne zdanie od którego zaczynamy (logika dodatnia bo Y)

Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~Y = ~A – to samo zdanie w logice ujemnej (bo ~Y)

Negujemy ponownie wracając do logiki dodatniej:
~(~Y) = ~(~A) czyli:
Y = A – powrót do logiki dodatniej itd.

Gdzie Y jest abstrakcyjnym wyjściem cyfrowym niedostępnym w zdaniach twierdzących.

Y – funkcja logiczna która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.

Przykłady dialogów:

1.
A: Zawsze całuję kobiety w rączkę
B: Ja też zawsze je całuję - ta sama logika, zgodność

2.
A: Zawsze całuję kobiety w rączkę
B: A ja nigdy tego nie robię – logika przeciwna, niezgodność

3.
A: Nigdy nie całuję kobiet w rączkę
B: Ja też nigdy nie całuję – ta sama logika, zgodność

4.
A: Nigdy nie całuję kobiet w rączkę
B: Ja zawsze całuję kobiety w rączkę – przejście do logiki przeciwnej, niezgodność


8.0 Pytania i odpowiedzi

Jeśli o coś pytamy to nie znamy odpowiedzi na zadawane pytanie albo udajemy że nie znamy – na jedno wychodzi. Pytać możemy zatem zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej. Oczywiście odpowiadający odpowiada w tej samej logice co zadane pytanie jeśli potwierdza i w przeciwnej jeśli zaprzecza.

1.
A: Byłeś dzisiaj w szkole ?
B: Byłem w szkole – potwierdzenie w tej samej logice
B: Nie byłem w szkole – zaprzeczenie w logice przeciwnej

2.
A: Dlaczego nie byłeś dzisiaj w szkole ?
B: Nie byłem w szkole bo ... – potwierdzenie w tej samej logice
B: Nieprawda, byłem dzisiaj w szkole – zaprzeczenie w logice przeciwnej

Zauważmy, że w odpowiedzi 2B gdzieś musi być kłamstwo - albo syn kłamie, albo ktoś przekazał fałszywą informację matce. Możliwy jest też blef matki która nie wie czy syn był w szkole.


9.0 Pozorne sprzeczności języka mówionego z algebrą Boole’a

Matematyka ścisła zajmuje się wyłącznie zdaniami którym da się przypisać jednoznacznie prawdę albo fałsz. Wszelkie gdybania, podteksty, ukryte znaczenia, poezja itp. to matematyka na poziomie procedur języka wysokiego poziomu. Tu wszystko może być wieloznaczne. Co nadawca miał na myśli możemy wyłącznie przypuszczać, może uda nam się trafić w dziesiątkę, a może nie. W komputerach wszystkie procedury języków wysokiego poziomu zbudowane są na fundamencie algebry Boole’a. Nie ma żadnego logicznego powodu by przypuszczać, że w mózgu człowieka jest inaczej. Zauważmy, że grając w najnowsze gry komputerowe jesteśmy odseparowani od algebry Boole’a. Gramy i rozmawiamy z komputerem jak człowiek z wirtualnym „człowiekiem”. Wszelka wirtualna rzeczywistość w komputerze zbudowana jest na fundamencie algebry Boole’a. Bez algebry Boole’a, czyli języka asemblera, dowolny komputer będzie tylko kupą złomu.

Kluczem do matematycznego zrozumienia języka mówionego człowieka jest zaakceptowanie trywialnej logiki dodatniej i logiki ujemnej w algebrze Boole’a oraz zrozumienie operatorów dodatnich i operatorów ujemnych (część I elementarza).

Sprzeczności języka mówionego z algebrą Boole’a są pozorne bowiem nasz mózg często operuje na poziomie procedur, nie zaś na poziomie podstawowym.

Przedstawię tylko trzy przykładowe pozorne sprzeczności z algebrą Boole’a.

1.
Jutro o dziewiątej będę w kinie lub w teatrze
Jutro o dziewiątej będę w kinie albo w teatrze

Matematycznie poprawne jest drugie zdanie bowiem nie możemy być jednocześnie w dwóch miejscach. Zauważmy, że pierwsze zdanie zawiera w sobie drugie plus nie wyklucza jednoczesnego bycia w dwóch miejscach. Z tego powodu zdecydowana większość ludzi rzadko używa spójnika „albo” w języku mówionym.

2.
Jutro pójdę do kina i teatru
Jutro pójdę do kina lub teatru

Pierwsze zdanie powiemy gdy zależy nam na podkreśleniu że pójdziemy do kina i do teatru. Spójnik „lub” zawiera w sobie spójnik „i”, jest zatem bezpieczniejszy bo nawet gdy pójdę w jedno miejsce to matematycznym kłamcą nie zostanę ... a przyszłości nikt nie zna.

3.
Jan wszedł i padł martwy
Jan padł martwy i wszedł

Spójnik „i” teoretycznie umożliwia zamianę argumentów jak wyżej. Drugie zdanie to idiotyzm jeśli zastosujemy tu żywcem algebrę Boole’a. Jeśli jednak trochę pomyślimy to sprzeczność zniknie. W powyższym przypadku mamy do czynienia z następstwem czasowym i poprawnie matematycznie zdanie powinno brzmieć tak.

Jan wszedł po czym padł martwy

Nasz mózg doskonale o tym wie i używa prostszej formy korzystając ze spójnika „i” bo po pierwsze tak jest krócej a po drugie spójnik „i” jest używany bardzo często w przeciwieństwie do „po czym”.


10.0 Historia powstania teorii

Do powstania „Teorii implikacji prostej i odwrotnej” nigdy by nie doszło, gdyby nie sfinia. Chyba dwa i pół roku temu Kubuś po raz pierwszy starł się z Wujemzbójem.

Poszło o zdanie.

Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Dla Kubusia była to oczywista równoważność czyli zdanie równoważne:

Kto nie wierzy we mnie pójdzie do piekła.

Przez chyba pół roku Kubuś „udowadniał” Wujowi, że poza katolikami wszyscy muszą iść do piekła ....

Dokładnie tak samo uparty jest na dzień dzisiejszy Irbisol, głęboko przekonany że:

Obietnica = groźba = równoważność

Podobnie jak Wuj dawno temu, Kubuś usiłuje przekonać Irbisola, że prawidłowe równanie jest takie:

Obietnica = implikacja prosta
Groźba = implikacja odwrotna

Irbisol w swoim przekonaniu jest równie uparty jak Kubuś dwa lata temu ... i myśli dokładnie jak Kubuś dwa lata temu.

Niedawno Kubuś szczęśliwy z pojawienia się drugiej pozytywnej recenzji „Teorii implikacji prostej i odwrotnej” napisał do Wuja entuzjastyczny list.

Wuj jak zwykle odpisał rzeczowo i matematycznie.

wujzboj napisał:
Fajnie. Ale ostrożnie ze zbytnim entuzjazmem. Nie wiem, czy zdajesz sobie sprawę z tego, jak daleko posunięta jest logika matematyczna. Nie wiem, czy zdajesz sobie sprawę z tego, że istnieją programy komputerowe, służące do udowadniania twierdzeń metafizycznych! Jest cały dział informatyki pod nazwą "metafizyka obliczeniowa" ([link widoczny dla zalogowanych]). A dotyczy ona właśnie logik modalnych - takich, w których dyskutuje się na przykład możliwość i konieczność, albo wiedzę i wiarę.


Marzeniem Kubusia jest aby „Teoria implikacji prostej i odwrotnej” trafiła do LO. Wtedy nigdy nie będzie kolejnych Kubusiów czy Irbisolów „udowadniających” komukolwiek fałszywe równanie:

Obietnica = groźba = równoważność

To marzenie nie jest sprzeczne z jakąkolwiek zaawansowaną logiką. Logiki formalne nie muszą być zgodne z językiem mówionym człowieka, nie muszą być zgodne z algebrą Boole’a.

Język mówiony człowieka i jego logiczne myślenie są zgodne z algebrą Boole’a, dzięki czemu człowiek mógł stworzyć np. komputer „na obraz i podobieństwo swoje”.

Pozorne sprzeczności spowodowane są faktem, iż mózg człowieka czasami myśli na poziomie procedur języka „wyższego poziomu”. Te procedury są łatwe do rozszyfrowania dla programistów piszących programy komputerowe w języku asemblera. Język asemblera dowolnego mikroprocesora to 100% algebra Boole’a, to fundament wszelkich innych języków programowania.

Wyłącznie w języku asemblera mamy dostęp do wszelkich właściwości sprzętu i oprogramowania i tylko tu możemy rozwinąć maksymalną szybkość. Język asemblera to „samochód wyścigowy”, zaś języki wysokiego poziomu to „wygodna limuzyna” której konstruktorzy pozwalają robić programiście tylko to, co sami myślą, że powinien był robić.

Słynne wojny Kubusiowo-Zbójowe to już prehistoria. Od chyba roku toczymy sobie z Wujem na PW pasjonujące dyskusje o implikacji. Kubuś zawsze pisze emocjonalnie, tworząc najróżniejsze teorie, czasami błędne matematycznie.

Matematyczny i rzeczowy Wuj sprowadza to wszystko na ziemię pilnując, aby Kubuś w swoich fantazjach nie zszedł z matematyki w maliny, często dodając „nowy matematyczny impuls”.

Kubuś nigdy nie widział na oczy żadnego podręcznika logiki. Myślę, że gdyby przeczytał i zrozumiał jakikolwiek tego typu podręcznik to nie byłby w stanie „myśleć inaczej”. Wszystko co zostało tu napisane nie mogłoby powstać.


10.1 Najważniejsze rewolucje w małym rozumku Kubusia

1.
Wujzbój po chyba półrocznej walce przekonał Kubusia do implikacji

2.
Wynikiem pierwszej, naprawdę zaciętej i emocjonalnej dyskusji z Mikim było zapisanie po raz pierwszy praw Kubusia.

p=>q = ~p ~> ~q – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną.
p~>q = ~p => ~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą.

3.
Dyskusja z Irbisolem pozwoliła wykrystalizować się ostatecznej wersji implikacji prostej i odwrotnej.

4.
Gość NN spowodował rewolucję tu opisaną.

5.
Krótka wizyta na matematyce.pl była niewątpliwie najważniejszą rewolucją w całej historii wojny o implikację, bo ostatnią (mam nadzieję). Dzięki niej powstała IV część "Teorii implikacji prostej i odwrotnej w pigułce"

6.
Czy będą następne rewolucje ?
Mam nadzieję, że tak ... ale poza małym rozumkiem Kubusia.



Dodatek - implikacja w krótkich majteczkach

... czyli satyra na związek implikacji materialnej z językiem mówionym człowieka.


1.0 Implikacja materialna - król jest nagi
2.0 Logika klasyczna - król jest nagi

Wstęp

Kubuś to przybysz ze świata praktyków, czyli cyfrowych układów logicznych. W tym świecie definicja implikacji to idiotyzm, nie ma cyfrowego układu logicznego o nazwie implikacja. Pozostałe operatory matematyczne mają sens i są wykorzystywane w teorii cyfrowych układów logicznych.

Kubuś nigdy nie widział na oczy żadnego podręcznika logiki. Powodem odrzucenia jakichkolwiek podręczników logiki już na starcie była definicja implikacji materialnej, sprzeczna z algebrą Boole’a. Kubuś od początku był pewien jednego, definicja implikacji materialnej to pranie mózgów wszystkich studentów logiki już na pierwszym wykładzie, dlatego przez dwa lata drążył temat.


1.0 Implikacja materialna – król jest nagi

Aksjomat:
Żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

Dobro # NIE dobro (=zło)
Ciepło # NIE ciepło (=zimno)

Punktem odniesienia dla dobra jest zło, punktem odniesienia dla ciepła jest zimno itd. Jeśli usuniemy jedno z tych pojęć to drugie zniknie automatycznie, bo zniknie punkt odniesienia.

A = ~A - oznacza pojęcie niedostępne w naszym punkcie odniesienia (w naszym Wszechświecie).

Najlepiej zrozumieć to na przykładzie ciepła i zimna.

A#~A
Ciepło # NIE ciepło (=zimno)

czyli:
Ciepło # zimno

Wyobraźmy sobie, że żyjemy we Wszechświecie o stałej, idealnej temperaturze T=const. Dla nas takie pojęcia jak ciepło-zimno nie istnieją, to pojęcia nie z naszego świata.

Wyobraźmy sobie teraz, iż żyjemy w kolejnych Wszechświatach w których dostępne różnice temperatur są coraz mniejsze. W n-tym Wszechświecie różnica temperatur jest dowolnie mała, ale skończona. W takim Wszechświecie istnieją jeszcze pojęcia zimno-ciepło.

Pojęcia te znikną dopiero wtedy gdy T=const, czyli w nieskończenie małej różnicy temperatur. Zauważmy, że z punktu odniesienia nieskończoności różnice temperatur w naszym Wszechświecie są prawie nieskończenie małe, ale istnieją.

Ciepło # Zimno
Pomiędzy ciepłem a zimnem NIE MA NIC, te pojęcia będą sobie równe (styczne) w nieskończoności tzn. przy nieskończenie małej różnicy temperatur. Znikną wtedy z tego punktu odniesienia, w którym występują.

Gdyby możliwe było:

A = ~A

to algebra Boole'a leży w gruzach.

Aksjomat - fundament algebry Boole'a:

Y# ~Y – żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

Cała algebra Boole’a zbudowana jest na powyższym fundamencie.

Dla A i ~A wyłącznie jedno z tych pojęć może być prawdą, drugie musi być fałszem.
A * ~A = 0

Z drugiej strony mamy twierdzenie mówiące o tym, iż A i ~A wzajemnie się uzupełniają.
A + ~A = 1 - suma logiczna A i ~A musi być prawdą.

Wykażemy teraz sprzeczność definicji implikacji materialnej z algebrą Boole’a.

Definicja implikacji prostej:
p=>q - jeśli zajdzie p to zajdzie q (z p wynika q).

Oznaczenia w poniższych przykładach:
1 = PRAWDA (brak kłamstwa)
0 = FAŁSZ (kłamstwo)

Przykład:
E K 1
Jeśli zdasz egzamin (E) dostaniesz komputer (K).
E=>K

W matematycznej implikacji prostej prawdziwe jest takie zdanie wynikające z jej definicji:

~E K 1
Nie zdałeś egzaminu (~E), dostajesz komputer (K) ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer, bo cię kocham (dowolne uzasadnienie niezależne, czyli różne od ~E)

Implikacja materialna dopuszcza także uzasadnienie zależne, które w matematycznej implikacji prostej jest ewidentnym fałszem (część II pkt. 5.1)

~E K 1
Nie zdałeś egzaminu (~E), dostajesz komputer (K) bo nie zdałeś egzaminu (uzasadnienie zależne, czyli równe ~E)

W implikacji materialnej ojciec może wręczyć komputer także z powodu nie zdanego egzaminu (uzasadnienie zależne) i nie jest kłamcą !

Uzasadnienie wręczenia komputera może być wyłącznie niezależne albo zależne.

Oznaczmy:
~Z - uzasadnienie niezależne (różne od ~E)
Z - uzasadnienie zależne (identyczne z ~E)

K= ~Z=1 - mam komputer dzięki uzasadnieniu niezależnemu
K = Z=1- mam komputer dzięki uzasadnieniu zależnemu

czyli:

Z= ~Z – algebra Boole’a leży w gruzach !!!
Zależne = NIEzależne

To jest bezpośrednie uderzenie w fundament logiki człowieka, algebrę Boole'a.

Aksjomat - fundament algebry Boole'a:

Y# ~Y – żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

Cała algebra Boole’a zbudowana jest na powyższym fundamencie.

Zdecydowanie coś tu trzeba odrzucić, albo definicję implikacji materialnej, albo algebrę Boole’a. Wybór należy do czytelnika.

To jest twardy dowód, że język człowieka podlega pod algebrę Boole’a. Gdyby było inaczej, to uzasadnienie niezależne byłoby równie dobre jak zależne, ale tak nie jest !

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Inne powody odrzucenia definicji implikacji materialnej w wynikaniu:

II.
Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy

W implikacji materialnej powyższe zdanie jest prawdziwe bo z fałszu może wyniknąć cokolwiek, czyli w algebrze Boole’a prawda albo fałsz - nie ma innych możliwości ! Z fałszu nigdy nie wyniknie prawda (dowód część II pkt. 3.9). W powyższej implikacji poprzednik p jest bez związku z następnikiem q i nie może tu być mowy o jakimkolwiek wynikaniu zgodnym z definicją implikacji.

p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p wynika q)

Nie jest wynikaniem matematycznym fakt, że suczka zaszła w ciążę przy pełni księżyca i dlatego pieski mają cztery łapy.

III.
B L 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie

~B L 1
Wróciłem w czystych spodniach (~B=czyste), mogę dostać lanie (L) z innego powodu .... np. za 20 lat pobiją mnie bandyci.

W implikacji materialnej lanie które dostanę za 20 lat od bandziorów ustawia w zdaniu wyżej jedynkę (zdanie prawdziwe) ... tylko co to ma wspólnego ze zdaniem o brudnych spodniach wypowiedzianym 20 lat wcześniej ?

Implikacja matematyczna czyli teoria implikacji prostej i odwrotnej wywraca do góry nogami sens implikacji materialnej:

Implikacja odwrotna:

~B L 0
Wróciłem w czystych spodniach (~B=czyste), nie mam prawa dostać lania (~B L 0)

Lania z innych powodów, których może być nieskończenie wiele mnie nie interesują, nie mają związku z wypowiedzianym zdaniem.


2.0 Logika klasyczna – król jest nagi

Wojna o implikację zaczęła się od tego tematu prawie dwa lata temu (27 maj 2006r).

Definicja implikacji według Rafała3006 p. Wieczorka

Kubuś napisał:
Zdanie wypowiedziane:

Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer

Pytanie zasadnicze brzmi !!!!

Czy moja poprawka do interpretacji definicji p. Wieczorka jest słuszna czy nie !

Czy ojciec wypowiadając takie zdanie po zaistniałym fakcie egzaminu:

"Synu, jakże się cieszę że nie zdałeś egzaminu i proszę, oto obiecany komputer"

Będzie kłamcą czy nie ?


Wtedy jeszcze Kubuś nie miał pojęcia o uzasadnieniu zależnym i niezależnym.

Dzisiaj byłoby to tak:

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer

Uzasadnienie niezależne:

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer bo cię kocham (U=1)

Matematyczny warunek otrzymania komputera w obietnicy:

K=W+U = 0 + 1 = 1 - mam komputer dzięki dobremu sercu ojca (akt miłości)

Uzasadnienie zależne:

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer, bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0)

Matematyczny warunek otrzymania komputera:

K=W+U = 0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym

W algebrze Boole’a ojciec jest tu ewidentnym kłamcą, zaś według implikacji materialnej nie jest !

W implikacji materialnej mogę otrzymać komputer zarówno w uzasadnieniu zależnym (Z) jak i niezależnym (~Z) czyli:

K= Z = 1 - mam komputer dzięki uzasadnieniu zależnemu
K= ~Z = 1 - mam komputer dzięki uzasadnieniu niezależnemu

Z powyższego mamy:

Z= ~Z

Powyższa równość, to rozwalenie fundamentu na którym zbudowana jest cała algebra Boole’a !!!

Aksjomat - fundament algebry Boole'a:

Y# ~Y – żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

Angelus Novus napisał:

Kubuś napisał:
Pytanie zasadnicze brzmi !!!!
Czy moja poprawka do interpretacji definicji p. Wieczorka jest słuszna czy nie !

Jedyna możliwa odpowiedź brzmi:

NIE, KUBUSIU, TWOJA POPRAWKA JEST NIESŁUSZNA. NIE ROZUMIESZ, CZYM JEST IMPLIKACJA W RACHUNKU ZDAŃ.

Na pocieszenia dodam, że jest to częsty błąd u początkujących uczniów i zazwyczaj sporo minusów trzeba postawić na pierwszych kartkówkach z tego właśnie powodu.

To jest właśnie pranie mózgów na pierwszych wykładach z logiki, czyli walnięcie w fundament logiki człowieka, algebrę Boole'a ! :shock:

Definicja implikacji materialnej jest sprzeczna z algebrą Boole'a (dowód wyżej)

Angelus Novus napisał:

Przyczyną jest fakt, że uczniowie nagminnie mylą okres warunkowy w językach naturalnych (czyli w "zwykłym" języku polskim) z implikacją w sensie logicznym.

Okres warunkowy w języku naturalnym tylko "z wierzchu" podobny jest do implikacji, podczas gdy zazwyczaj używa się go do wyrażenia tożsamości. W pewnym uproszczeniu można zatem powiedzieć, że zwykły język jest pod tym względem "nielogiczny".
O tym, że chodzi tu o tożsamość, można się też przekonać wyławiając "poboczne" założenia, które czyni wypowiadający w języku naturalnym taką niby-implikację.

To jest totalna bzdura. Wszelkie obietnice i groźby to ZAWSZE 100% implikacje niezależnie od tego czy człowiek mówi "Jeśli...to..." czy też "wtedy i tylko wtedy". Dowód dalej.

Miejsce matematyki zależnej od chciejstwa człowieka jest w koszu na śmieci.

Angelus Novus napisał:

Jeżeli masz w dalszym ciągu trudności ze zrozumieniem tych podstaw, zwróć się do Pana Gąsienicy (najlepiej na PW, by nie zaśmiecać forum żenującymi przykładami nieuctwa). Ja nie jestem z powołania nauczycielem.


Taki jest stosunek dzisiejszych logików do Kubusia (na szczęście nie wszystkich). Nieuk i koryto a najlepiej szpital psychiatryczny ... to samo było później na ateista.pl :grin:

Problem w tym, że "Teoria implikacji prostej i odwrotnej" wywraca do góry nogami dzisiejsze rozumienie implikacji. Zmienia punkt odniesienia z przedmiotu (implikacja materialna) na podmiot (człowiek).

Świat wygląda różnie z różnych punktów odniesienia.

Kubuś napisał:
W istniejącej definicji implikacji jest absurd z punktu widzenia logiki ludzkiej o którym mowa w temacie wyżej ... i trzeba go jakoś rozwiązać choćby zastrzeżeniem, że uzasadnienie MUSI być niezależne a nie robić z uczniów IDIOTÓW.

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej (rzekomą boską pomijam, bo to sztuczny wytwór mózgu Kubusia, doskonały chłopiec do bicia dla sadystów w postaci tegoż Kubusia, idealny materiał do krytyki i idiotycznych żartów nieprzystojnych w temacie "metodologia")!!! PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!! :shock: :shock:

Boska implikacja, to jeden z bardzo wczesnych pomysłów Kubusia (sprzed 2 lat).

Zbanowany, jesteś pierwszym którego znam, który głosi "Nie ma logiki ludzkiej". Po prawie dwóch latach mogę Ci odpowiedzieć. Moim profesorem była i jest LOGIKA CZŁOWIEKA, czyli krystalicznie czysta algebra Boole'a.

W tej fazie dyskusji WujZbój i Kubuś byli zgodni „Uzasadnienie MUSI być niezależne”. Dążyłem do tego, abyś to obalił albo się do nas przyłączył. Wybrałeś ucieczkę od prościutkiego pytania, co jest twardym dowodem, że logika człowieka istnieje - to algebra Boole’a. Definicja implikacji materialnej to matematyczny śmieć, jest sprzeczna z krystalicznie czystą algebrą Boole’a (dowód wyżej).

Pan Gąsienica napisał:

Innymi słowy: czy dostrzegasz jakąś różnicę w treści zdania "Jeśli zdasz egzamin, to dostaniesz komputer" i zdania "Dostaniesz komputer wtedy i tylko wtedy, kiedy zdasz egzamin" - czy też Twoim zdaniem znaczą one dokładnie to samo?

Pan Gąsienica napisał:

Osobiście używam w życiu codziennym zwrotów "wtedy i tylko wtedy", czy podobnych "wtedy i wyłącznie wtedy, gdy..." więc nie rozumiem problemu, który często podnosiłeś w swoim poście (że nikt tak nie mówi).


Panie Gąsiennico, chyba z dwuletnim opóźnieniem mogę odpowiedzieć.

Groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie.

W obietnicach i groźbach człowiek niekiedy używa zwrotu „wtedy i tylko wtedy” ale jest to tylko i wyłącznie implikacja wyrażona w ostrej formie, informująca o bardzo małym prawdopodobieństwie jej zajścia lub wypowiedziana w celu zdopingowania odbiorcy do ekstremalnego wysiłku np. umysłowego.

Proszę zauważyć, że obietnica dotyczy przyszłości której nikt nie zna. Jest więc duże prawdopodobieństwo, że w momencie wykonania obietnicy zgwałci Pan matematykę (czyli idiotyczną w obietnicach równoważność) i da synowi komputer mimo iż nie zdał egzaminu.

Oba powyższe zdania to oczywiste implikacje.

Miejsce matematyki która zależy od chciejstwa człowieka jest w koszu na śmieci.

Irbisol napisał:

Kubuś napisał:
Twierdzenie Kubusia:
Równoważnością w języku potocznym posługują się idioci w obietnicach albo psychopaci w groźbach.

Jeśli masz wątpliwości i chcesz dowodu to mogę zaprezentować :grin:

Chcę dowodu.

Kubuś idiota:
Synku kochany kupię ci komputer ale wtedy i tylko wtedy gdy zdasz jutro ten egzamin.

Synek niestety oblał egzamin a Kubuś jest idiotą ... bo tego komputera do końca życia swemu dziecku nie może kupić !

Kubuś psychopata:
Wtedy i tylko wtedy dostaniesz lanie gdy przyjdziesz z dzisiejszej dyskoteki w brudnych spodniach.

Synek przyszedł w brudnych spodniach bo pobili go bandyci a Kubuś sadysta matematycznie ma taki wybór:

Czyste spodnie to nie ma lania
Brudne spodnie to walę !!!

Nie ma innych matematycznych możliwości ! :shock:

Zauważ poza tym, że przypadku groźby masz matematyczny zakaz jakiegokolwiek lania Kubusia-juniora do końca życia - szczęściarz z tego Juniora :grin:

W przypadku groźby jesteś zatem nie tylko psychopatą, ale również idiotą - takie dwa w jednym !!! :shock: :shock: :shock:

Dlaczego zatem niekiedy słyszymy obietnicę lub groźbę wypowiedzianą w formie równoważności ?

Człowiek może sobie mówić równoważność, ale to tylko i wyłącznie implikacja wypowiedziana w twardej formie !!! - nic więcej, bo spełnienia równoważności nie gwarantuje nawet Bóg, bo nie zna przyszłości :grin:


Irbisol napisał:

Wypowiedziana groźba:
Jeżeli ubrudzisz spodnie, to dostaniesz lanie

Tak wypowiedziana groźba niczym nie różni się w przypadkach (2=równoważność) i (3=implikacja), różnić MOŻE się jej wykonanie. Może, ale nie musi. Zanim jednak do tego wykonania dojdzie, stwierdzam że wypowiadający słowa "Jeżeli ubrudzisz spodnie, to dostaniesz lanie" w interpretacji Kubusia jest psychopatą.


:shock: :shock: :shock:
Jakim psychopatą ? .... gdzie ja coś takiego napisałem ? :shock:

Kompletnie nie rozumiesz definicji implikacji Irbisorze :shock:

Może na matematycznym przykładzie:

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to "musi być" podzielna przez 2
P4=>P2
p=>q = ~p+q

.... to co wyżej na pewno rozumiesz, a teraz implikacja odwrotna do powyższej powstała poprzez zamianę p i q.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może być" podzielna przez 4
P2~>P4
p~>q = p+~q
Implikacja odwrotna bo "może" zajść ale nie "musi"
=1 dla 4,8,12....
=0 dla 6,10,14....

Do zapamiętania:

Użyty w naturalnym logicznym myśleniu spójnik "musi" między p i q determinuje implikację prostą.
Użyty w naturalnym logicznym myśleniu spójnik "może" między p i q determinuje implikację odwrotną.

Logika człowieka to 100% algebra Boole'a !

Matematyczne operatory implikacji prostej

p=>q = ~p+q

i implikacji odwrotnej

p~>q = p+~q

to 100% algebra Boole'a.

W algebrze Boole'a nie ma mowy o jakichś tam, bzdurnych etapach wykonania groźby - to tylko Twoje chciejstwo, chciejstwo człowieka.

Matematykę która miałaby zależeć od chciejstwa człowieka do kosza na śmieci ! :grin:

Przyjmując za poprawną definicję groźby:

groźba = równoważność

musisz gwałcić matematykę na etapie twojego bzdurnego wykonania groźby :grin:


Analogiczne implikacje masz w obietnicach i groźbach:

Obietnica:

Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K
p=>q = ~p+q
implikacja prosta bo jak zdam egzamin to "muszę" dostać komputer

Implikacja odwrotna powstała poprzez zamianę p i q.

Jeśli masz komputer to "mogłeś" zdać egzamin
K~>E
p~>q = p+~q
mogłeś, bo ojciec ma prawo dać ci komputer mimo nie zdanego egzaminu .... inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Groźba:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
p~>q = p+~q
Implikacja odwrotna bo mogę wykonać karę, ale nie muszę. Gdybym musiał (równoważność), to moja wolna wola leży w gruzach.

Zamieniając p i q w powyższej groźbie otrzymujesz implikację prostą.

Jeśli dostałeś lanie to musiałeś ubrudzić spodnie
L=>B
p=>q = ~p+q

Sensowne jest badanie czy warunek groźby został spełniony, ale wyłącznie po to by sprawdzić czy wolno ci wykonać groźbę.

Jeśli warunek groźby nie został spełniony (czyste spodnie) to masz matematyczny zakaz karania - tu jesteśmy zgodni bo to jest wspólne zarówno dla implikacji jak i równoważności :grin:

Zgadzasz się z tym ?

Na 100% tak i wiesz o tym doskonale w momencie wypowiadania groźby !

Czyste spodnie to zakaz karania !

Dokładnie tak samo jasna musi być matematyka dla przypadku brudnych spodni, wszystko musi być jasne w momencie wypowiadania groźby, inaczej matematyka do kosza ... czyli twoja matematyka Irbisorze:

groźba = równoważność :shock: :shock: :shock:

Irbisol do Kajtka napisał:

Spójrz na to z nieco wyższego poziomu abstrakcji - psychopatą jest ten, kto wypowiadając zdanie "Jeżeli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie" interpretuje to zdanie tak jak Kubuś. Z matematycznego punktu widzenia zdanie to jest oczywiście takie, ale z potocznego już nie. A z rozróżnieniem języka potocznego od języka logiki bywają problemy.

Totalna bzdura !

Groźby i obietnice to krystalicznie czysta algebra Boole'a !

Obietnica = implikacja prosta
p=>q = ~p+q

Groźba = implikacja odwrotna
p~>q = p + ~q

Tu nie ma żadnych rozbieżności między językiem potocznym a matematyką !

Jak udowodnisz, że w:

groźbie=implikacja

ja, normalny Kubuś, mam szansę zostać psychopatą wbrew mej woli, to dostaniesz Nobla.

Mógłbyś po raz kolejny nie wciskać mi idiotyzmów których nie powiedziałem ? :shock:

Psychopatą jest ten dla którego prawdziwe jest to równanie:
groźba = równoważność

sam sobie pokaż palcem kto tak uważa :grin:

Kubuś jest normalny i dla niego:
groźba = implikacja

Irbisol do Kajtka napisał:

kajtek napisał:
Irbisol napisał:

Jak już pisałem, można tak określić warunki żeby były ogólne.

Można powiedzieć w równoważności z ogólnym warunkiem że "Jak ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie chyba że ja zdecyduję inaczej".

To trochę zbyt ogólne.

Da się normalnie - przykładem są chociażby wyroki sądowe gdzie jest klauzula "ze względu na stan zdrowia". Do tego można dodać winę umyślną i już mamy warunki ogólne. Jak widać, nie ma ŻADNEGO problemu w podaniu tych warunków.

Zamiast pisać "to trochę zbyt ogólne", napisz "to jest piękne i proste" i będziemy zgodni w 100% co oznacza koniec dyskusji :grin:

To wytłuszczone, to jest prawidłowa definicja groźby:
groźba = implikacja :grin:

Oczywiście nikt tak nie mówi bo to jest oczywistość wynikająca z matematycznej definicji implikacji odwrotnej którą doskonale posługują się nawet przedszkolaki. Jest jeszcze ciekawiej, wszystkie istoty żywe od najprostszych form życia doskonale znają w praktyce zarówno implikację prostą jak i odwrotną, bo to warunek przetrwania - matematyki nie znają, ale się nią doskonale posługują :grin:

Zauważ, że Kajtek ci to mówi w momencie wypowiadania groźby.

Cokolwiek by się w przyszłości nie stało, zawsze masz szansę być normalnym.

Irbisol do syna:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie chyba że będziesz chory, chyba że z umyślnej winy pobrudzisz spodnie .... i już mamy warunki ogólne :shock:

Znasz człowieka który w ten sposób wypowiada groźby ? :grin:
Kto ma tu rozstrzygać o winie ? Ty, syn czy sąd :grin:
Kto ma tu rozstrzygać o chorobie, Ty, syn czy lekarz :grin:

Zauważ, że jak się najzwyczajniej w świecie rozmyślisz to już twoje warunki ogólne są do bani ... bo tego nie przewidziałeś w wypowiadanej groźbie, czyli twoja wolna wola leży w gruzach, nie chcesz bić bo ci przeszło, a musisz walić bo tego nie przewidziałeś :grin:

Problem jest fundamentalny.

Bo jeśli dla Ciebie

groźba = równoważność

To wszystkie warunki które mogą zaistnieć w przyszłości musisz podać w momencie wypowiadania groźby, jeśli czegokolwiek nie przewidzisz to jesteś matematycznym kłamcą.


Mówmy o konkretach :grin:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie, chyba że .... ????

Skoro "nie ma ŻADNEGO problemu" to w czym problem ?

Problem jest jeden i to fundamentalny:

NIKT NIE ZNA PRZYSZŁOŚCI

Dlatego nie masz szans na zapisanie tych warunków w sposób inny niż to zrobił Kajtek.

Albo się do tego przyznaj, albo zapisz to inaczej .... a miało być takie proste

A najlepiej zrobisz jeśli od razu podpiszesz sie pod tym:

groźba = implikacja odwrotna

Tylko w implikacji nie masz szans na zostanie kłamcą w przyszłości, bez względu na okoliczności.

kajtek napisał:
Irbisorze przecież nie podałeś przykładu groźby dla pobrudzonych spodni. Ja też na niego czekam z ciekawością.

W reszcie też zgadzam się z Kubusiem więc nie będę się powtarzał.

PS.
Przyjmijmy za Tobą że równoważność i implikacja w chwili wypowiadania robi z nas takich samych psychopatów i co wtedy dalej Irbisorze? Może odpowiedź na to pytanie coś nam wyjaśni.



PurePurple napisał:

Kubuś napisał:
Cały problem logików z implikacją polega na braku ustalenia punktu odniesienia we właściwym miejscu, czyli na człowieku. Logicy nie mają o tym arcyważnym pojęciu zielonego pojęcia - stąd ich problemy z implikacją.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

Dla każdego normalnego jest oczywiste, że jeśli przyjdę w czystych spodniach to nie mam prawa dostać lania z powodu czystych spodni ... z wyjątkiem logików. Logicy sprowadzają powyższą implikację właśnie do absurdu stwierdzeniami że mogę dostać lanie z innego powodu ...


Otóż żaden taki problem nie istnieje. Oczywiście, że możesz dostać lanie z każdego innego powodu.

Problem istnieje i to fundamentalny.

PurePurple do syna:

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer

Na podstawie definicji implikacji materialnej twój syn ma 100% gwarancję otrzymania komputera w przypadku zdania egzaminu, inaczej jesteś kłamcą.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

Na podstawie definicji implikacji materialnej twój syn ma 100% gwarancję lania jeśli wróci w brudnych spodniach, inaczej jesteś kłamcą !

Sadystą jesteś ?

Ta definicja odbiera ci matematyczną wolną wolę, nie możesz darować lania musisz walić ... by nie zostać kłamcą.

Prawidłowa w tym przypadku definicja implikacji odwrotnej daje ci możliwość darowania lania z byle powodu - oczywiście jeśli jesteś sadystą to możesz walić - ta definicja ci tego nie zabrania !

Dowcipnym uczniom I klasy LO proponuję, aby zrobili nauczycielowi matematyki kawał prosząc go o analizę poniższej implikacji w oparciu o definicję implikacji materialnej (jedynie słusznej w dzisiejszej logice).

Irbisol napisał:

Kubuś napisał:

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady

Analiza w oparciu o definicję implikacji materialnej:
1 1 1
nie powiedziała wierszyka, nie dostała czekolady - OK
0 0 1
Powiedziała wierszyk, dostała czekolady - OK
0 1 1
Powiedziała wierszyk, nie dostała czekolady :shock: :shock: :shock:
1 0 0
Nie powiedziała wierszyka, dostała czekoladę = FAŁSZ zatem musisz postąpić jak w zdaniu wypowiedzianym !

To jest ewidentna 100% równoważność Irbisorze, jeśli za bezsens uznamy przypadek w którym dziewczynka powiedziała wierszyk i nie dostało czekolady (tak postąpi wyłącznie psychopata, a dyskutujemy o normalnych)

Powiedziała wierszyk to dostała czekoladę
Nie powiedziała wierszyka to nie dostała czekolady

Nie ma innych możliwości !

Wyobraź sobie teraz urodziny 5-letniej Zuzi która wstydzi się i nie chce powiedzieć wierszyka, ale płaczem domaga się czekolady. Matematycznie masz zakaz wręczenia czekolady dziecku. Oczywiście wybierasz gwałt na "matematyce" i dajesz dziecku czekoladę.

Lepiej zostać matematycznym kłamcą niż idiotą, zgoda ?

Wniosek:
Implikacja materialna w obsłudze wszelkich gróźb jest jednym wielkim nieporozumieniem.

Równoważność byłaby gdyby w 3. zdaniu było
0 1 0
Powiedziała wierszyk, nie dostała czekolady - fałsz. To co napisałeś to nie jest równoważność.

W logice klasycznej to jest równoważność niestety :shock:

Sam przecież napisałeś matematyczną definicję groźby w logice klasycznej niżej :grin:
p<=>q = (p => q)*(~p=>~q)

czyżby ten operator <=> nie był operatorem równoważności w logice klasycznej ? :shock: :shock: :shock:

Poprawiam zatem swoją tabelkę zgodnie z definicją groźby w logice klasycznej :grin:

1 1 1
nie powiedziała wierszyka, nie dostała czekolady - OK
0 0 1
Powiedziała wierszyk, dostała czekolady - OK
0 1 0
Powiedziała wierszyk, nie dostała czekolady :grin: :grin: :shock: :shock:
1 0 0
Nie powiedziała wierszyka, dostała czekoladę = FAŁSZ zatem musisz postąpić jak w zdaniu wypowiedzianym !

Czy teraz jest dobrze ? :brawo: :pidu:

W kolejnym poście Irbisol odpowiedział:

TAK

Jak widać, o tym czy powyższe zdanie jest implikacją czy równoważnością decyduje chciejstwo człowieka. Jak sobie postawię 0 to będzie równoważność, jak zapiszę 1 to będzie implikacja.

Pani w szkole:
Jasiu ile jest 2+2 ?

Jaś:
Jeśli napiszę 4 to będzie 4, jeśli napiszę 5 to będzie 5.

Tak wygląda matematyka, czyli algebra Boole’a w dzisiejszej logice.

Miejsce matematyki zależnej od chciejstwa człowieka jest w koszu na śmieci.


Irbisol napisał:

Kubuś napisał:
Pytanie zasadnicze i arcyważne Irbisorze !

Nigdy nie chodzę do kina = Zawsze chodzę do kina

Czy ta idiotyczna równość wyżej to ma być algebra Boole'a ???!!! :shock: :shock: :shock:


Nigdy nie = zawsze tak.
Ta oczywista równość to JEST algebra Boole'a.
Dowód:
T - wszystkie możliwe chwile czasowe
t - jedna z możliwych chwil czasowych.
E - kwantyfikator szczegółowy
A - kwantyfikator ogólny
Z(x) - zawsze x
N(x) - nigdy x

Z(x) = At : x
N(x) = ~(Et:x) = At: ~x
czyli
N(~x) = At: ~~x = At:x = Z(x)

Kubuś napisał:
To jakieś gówno a nie algebra Boole'a ! :shock:


Nazwałeś to idiotyzmem, głupotą i gównem. Masz teraz pole do popisu - obal dowód.

Cytat:
Ta oczywista równość to JEST algebra Boole'a. :shock: :shock: :shock:

Co tu do obalania, przecież nawet dziecko w przedszkolu widzi że to gówno a nie algebra Boole’a.

Zdanie wypowiedziane:

Y = Nigdy nie chodzę do kina (logika dodatnia bo Y)

Negujemy równanie dwustronnie:

~Y = Zawsze chodzę do kina (logika ujemna bo ~Y)

Gdzie Y jest abstrakcyjnym wyjściem cyfrowym niedostępnym w zdaniach twierdzących, w przeciwieństwie do implikacji.

Y = funkcja logiczna która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.

Swoim równaniem obaliłeś algebrę Boole’a bo zapisałeś:

Y = ~Y

… co było do obalenia.

Takie są skutki nie odróżniania w dzisiejszej algebrze Boole’a logiki dodatniej od logiki ujemnej, operatorów dodatnich od operatorów ujemnych (część I elementarza).

Przyczyna błędu Irbisola leży w operatorze NIGDY_NIE używanym w wielu językach świata będącego odpowiednikiem angielskiego NEVER.

Oczywistym jest że zachodzi to równanie:

pol. NIGDY_NIE = ang. NEVER

„NIGDY_NIE” w j. polskim znaczy to samo co „NEVER” w j. angielskim.

W języku polskim NIGDY zawsze występuje z NIE czyli właściwym operatorem jest NIGDY_NIE. Tego operatora nie wolno rozrywać, bo wylądujemy w śmietniku jak wyżej.

Nigdy nie byłem w kinie

Poprawny zapis matematyczny jest taki:
NIGDY_NIE byłem w kinie

NIGDY_NIE jest tu operatorem którego nie wolno rozrywać !
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:16, 24 Mar 2008    Temat postu:

Proste jest piękne

Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej
Część III Dyskusje o implikacji
Część IV Teoria implikacji prostej i odwrotnej w pigułce


Część IV
Teoria implikacji prostej i odwrotnej w pigułce



Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści:

1.0 Notacja
2.0 Teoria implikacji prostej i odwrotnej w pigułce
2.1 Groźba
2.2 Obietnica
3.0 Definicje implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Prawa Kubusia
4.0 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

5.0 Implikacja ze świata przyrody
5.1 Implikacja odwrotna ze świata przyrody
5.2 Implikacja prosta ze świata przyrody
6.0 Implikacja ze świata matematyki
6.1 Implikacja odwrotna ze świata matematyki
6.2 Implikacja prosta ze świata matematyki

7.0 Groźba
7.1 Groźba w czasie przyszłym
7.2 Groźba w czasie przeszłym
8.0 Obietnica
8.1 Obietnica w czasie przyszłym
8.2 Obietnica w czasie przeszłym

Wstęp:

W średniowieczu alchemicy szukali metody wytworzenia sztucznego złota, nie wiedzieli że to niemożliwe (a może możliwe) i nie udało się po dzień dzisiejszy.

W naszych czasach znaleziono metodę wytwarzania sztucznych diamentów czyli odnaleziono w morzu możliwych warunków koniecznych te właściwe, gwarantujące sukces, co nie oznacza że w przyszłości nie uda się znaleźć alternatywnej metody.

Piętnaście lat temu największe koncerny świata poszukiwały niezwykle intensywnie dobrej diody świecącej LED o barwie niebieskiej, kluczowej dla sygnału RGB. Niebieską LED znaleziono w grupie pierwiastków X, ale jej jasność i żywotność pozostawiały wiele do życzenia. Mimo zaangażowania potężnych funduszy i pracy nad tym problem najlepszych specjalistów w branży nie było sukcesów, coś tam ulepszano, ale w stopniu zdecydowanie niezadowalającym.

No i zjawił się Edison diod LED (jak go teraz nazywają), nikomu nie znany Japończyk Taka Mura, który w pojedynkę zaczął szukać tam gdzie nikt się nie spodziewał i znalazł LED o fenomenalnej jasności i żywotności. Wystarczy porównać jasność starych LED około 1 mCd z nową jasnością, obecnie około 10000 mCd. W obu przypadkach skompletowano wszystkie warunki konieczne, gwarantujące sukces.

Jak widać w przypadku niebieskiej LED istnieją co najmniej dwie drogi prowadzące do sukcesu, nie wykluczone że są inne.

To jest właśnie istota implikacji odwrotnej, czyli kompletowanie warunków koniecznych pozwalających zdefiniować (opisać, znaleźć) cokolwiek.

Zawodowcy, biegli w temacie implikacji materialnej, proszeni są o odłożenie na półkę tej definicji na czas czytania artykułu. Implikacja matematyczna w algebrze Boole’a to coś fundamentalnie innego.


1.0 Notacja

* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
=> - symbol implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - symbol implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


2.0 Teoria implikacji prostej i odwrotnej w pigułce

Inspiracją do napisania tego artykułu był post Łukasza na matematyce.pl.

Lukasz_C747 napisał:

Jeśli p to być może q" zapisujemy jako p=>(q v ~q), jest to tautologią i praktycznie o niczym nam nie mówi. Z q=>p mówi nam tylko, że p jest warunkiem koniecznym q, a to oznacza, że jest potrzebne, żeby q było prawdą, ale nie gwarantuje tego (czyli twoje "być może").


... i o to mi chodziło, dzięki. To co wytłuściłem ma fundamentalne znaczenie.

Jeśli zwierzę jest psem to „musi” (=>) mieć cztery łapy
P=>4L – implikacja prosta bo „musi”
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
p=P
q=4L

Implikacja odwrotna powstała poprzez zamianę p i q

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” (~>) być psem.
4L~>P – implikacja odwrotna bo „może”
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może’ między p i q
p=4L
q=P

Oczywiście w implikacji odwrotnej obowiązuje wzór Łukasza:
p=> q + ~q
Jeśli zajdzie warunek konieczny p to może zajść q lub ~q.

Implikacja odwrotna nie jest tautologią jeśli w tej implikacji p jest warunkiem koniecznym q.

W tym przypadku mamy:

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~(~4L*P) – gwarancja w implikacji odwrotnej

~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem.

Nie ma tu zatem mowy o tautologii bo istnieje gwarancja.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą.

4L~>P = ~4L => ~P
To jest dokładnie ta sama gwarancja.

~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” (=>) nie jest psem.
=> - implikacja prosta bo „na pewno”.

Jeśli w implikacji odwrotnej p nie jest warunkiem koniecznym q to taka implikacja jest po prostu śmieciem, identycznie jak odpowiednia implikacja prosta.

Przykład śmiecia (implikacja prosta):
Jeśli zwierzę jest psem to ma dwie łapy

Odpowiednia implikacja odwrotna (również śmieć):
Jeśli zwierzę ma dwie łapy to jest psem.

Poprawnie rozumiana implikacja prosta i odwrotna w sposób kapitalny opisuje naturalną logikę człowieka czyli tą, którą posługują się w praktyce wszystkie dzieci w przedszkolu. Dotyczy to przede wszystkim wszelkich obietnic obsługiwanych przez implikacje prostą oraz wszelkich gróźb obsługiwanych przez implikacje odwrotną. To jest ta dziedzina logiki którą dzieciaki mają wyssaną z mlekiem matki. Doskonale wiedzą co robić by zmniejszyć ryzyko lania pomimo spełnienia warunku kary (np. przepraszam, płacz, przerażenie itp.) oraz nie popuszczą jeśli rodzic obieca im jakikolwiek prezent.


2.1 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
p=B
q=L
Implikacja odwrotna bo „mogę” dostać lanie.

Gwarancja w implikacji odwrotnej:

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~(~B*L) - gwarancja w implikacji odwrotnej

~(~B*L)
Nie może się zdarzyć, że nie ubrudzę spodni i dostanę lanie

Oczywistym jest, że chodzi tu o lanie związane z czystymi spodniami, z powodu czystych spodni.

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L – implikacje równoważne

~B => ~L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
p= ~B
q= ~L

czyli matematycznie:

Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” (bo =>) nie dostaniesz lania.

Gwarancja w implikacji prostej:

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej

~(p*~q) = ~[(~B)*~(~L)] = ~(~B*L) - gwarancja w implikacji prostej

~(~B*L)
Nie może się zdarzyć, że nie ubrudzę spodni i dostanę lanie

Oczywistym jest, że chodzi tu o lanie związane z czystymi spodniami, z powodu czystych spodni.

Wbrew pozorom implikacja odwrotna do wypowiedzianej powstała poprzez zamianę p i q ma sens, bo niekoniecznie musimy znać wynik implikacji.

Jeśli dostałeś lanie to „na pewno” ubrudziłeś spodnie
L=>B
Oczywiście rozmawiamy tu o brudnych spodniach i laniu.
Szczegóły w podpisie.


2.2 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz samochodzik
W=>S
p=W
q=S

Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać. Dzieciak doskonale wie, że nawet jak nie powie wierszyka (bo się wstydzi) to np. płaczem może wymusić nagrodę, zaś jeśli powie wierszyk, to ojciec musi mu dać samochodzik.

Gwarancja w implikacji prostej:

p=>q = ~p+q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej

~(p*~q) = ~(W*~S) - gwarancja w implikacji prostej

~(W*~S)
Nie może się zdarzyć, że powiem wierszyk i nie dostanę samochodziku.

Prawo Kubusia:
W=>S = ~W ~> ~S – implikacje równoważne.
Jeśli nie powiesz wierszyka to nie dostaniesz samochodziku.
~W ~> ~S
p= ~W
q= ~S

czyli matematycznie:
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” (bo ~>) nie dostać samochodziku

Gwarancja w implikacji odwrotnej:

p~>q = p+ ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~[~(~W)*(~S)] = ~(W*~S) - gwarancja w implikacji odwrotnej

~(W*~S)
Nie może się zdarzyć, że powiem wierszyk i nie dostanę samochodziku

Tu także implikacja odwrotna powstała przez zamianę p i q ma sens bo nie musimy znać rozstrzygnięcia.

Jeśli dostałeś samochodzik to „mogłeś” powiedzieć wierszyk
S~>W
Oczywiście rozmawiamy o wierszyku i samochodziku.
Szczegóły w podpisie.


3.0 Definicje implikacji prostej i odwrotnej

Implikacja to zdanie złożone połączone spójnikiem „Jeśli...to...”. W całej logice istnieją tylko dwa rodzaje implikacji opisywane przez matematyczne operatory logiczne. Jeden z nich to operator implikacji prostej, zaś drugi to operator implikacji odwrotnej. Dowolną z powyższych implikacji można zapisać w logice dodatniej albo równoważnej logice ujemnej o czym będzie dalej.

Od strony matematycznej, definicja implikacji odwrotnej jest tak samo zbędna jak zbędna jest definicja sumy logicznej (bo prawa de’Morgana)

Zobaczmy to w tabeli:

Kod:

p q p*q p+q=~(~p*~q) p=>q p~>q=q=>p
1 1  1   1            1    1
1 0  0   1            0    1
0 0  0   0            1    1
0 1  0   1            1    0


Jak widać, matematycznie zbędne jest zarówno wprowadzanie nowego symbolu sumy logicznej jak i nowego symbolu implikacji odwrotnej ~>.

Zauważmy, że matematycznie nigdy nie będzie p=>q = p~>q bo to różny zestaw zer i jedynek, tak samo jak nigdy nie będzie OR(+)=AND(*).

Zarówno operator sumy logicznej (+) jak i operator implikacji odwrotnej (~>) są niezbędne w opisie matematycznym naturalnego języka mówionego człowieka.

W języku mówionym implikacji odwrotnej używa się równie często jak implikacji prostej.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem.
4L~>P
p=4L
q=P
~> - symbol implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q.

W poprawnej implikacji odwrotnej p musi być jednym z warunków koniecznych zajścia q co wyżej jest spełnione.

W tym przypadku implikacja odwrotna do powyższej, powstała poprzez zamianę p i q musi być implikacją prostą.

Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć cztery łapy.
P=>4L
p=P
q=4L
=> - symbol implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q.

Zauważmy, że zachodzi również odwrotnie czyli jeśli implikacja odwrotna (~>) przechodzi w implikacje prostą (=>) to implikacja prosta (=>) przechodzi w implikację odwrotną (~>).

Zauważmy na podstawie powyższego, że w każdej implikacji prostej po stronie q musimy mieć warunek konieczny zaistnienia p !

Zauważmy, że w implikacji prostej po stronie q występują WYŁĄCZNIE warunki konieczne dla zaistnienia p, niekoniecznie wszystkie np.

Jeśli zwierzę jest psem to musi mieć 4 łapy, ogon, zęby ....

W implikacji odwrotnej po stronie p występują WSZYSTKIE warunki konieczne dla zaistnienia q plus dowolne inne warunki nie związane z q np.

Implikacja odwrotna poprawna:
Jeśli zwierzę szczeka to może być psem

Implikacja odwrotna fałszywa:
Jeśli zwierzę ma trąbę to może być psem.

Aby stwierdzić poprawność implikacji prostej musimy zbadać czy q jest jednym z warunków koniecznych wystąpienia p.

Aby stwierdzić poprawność implikacji odwrotnej musimy stwierdzić czy p jest warunkiem koniecznym wystąpienia q.

... czyli DOKŁADNIE TO SAMO !

Definicja implikacji poprawnej:
Implikacja odwrotna jest poprawna matematycznie jeśli po stronie p występuje warunek konieczny zajścia q.
Implikacja prosta jest poprawna matematycznie jeśli po stronie q występuje warunek konieczny zajścia p.

Implikacja prosta:

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi” być podzielna przez 2
P8=>P2

Implikacja prosta poprawna bo podzielność liczby przez 2 jest jednym z warunków koniecznych podzielności liczby przez 8.

Implikacja odwrotna:

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
P2~>P8

Implikacja odwrotna poprawna bo podzielność liczby przez 2 jest jednym z warunków koniecznych podzielności liczby przez 8.

DOKŁADNIE TO SAMO !

Na podstawie powyższego poniższe implikacje to śmieci:

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 3
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to jest podzielna przez 8

Zbiór liczb podzielnych przez 3 jest rozłączny w stosunku do zbioru liczb podzielnych przez 8. Nie może tu być mowy o jakimkolwiek wynikaniu matematycznym czyli jakiejkolwiek implikacji.

Podobnie:
Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy

Mamy tu ewidentny brak związku między p i q, zatem nie jest to żadne wynikanie matematyczne, to po prostu matematyczny śmieć.


3.1 Definicja implikacji prostej

Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p musi wynikać q)
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)

=> - symbol implikacji prostej oznaczający spójnik „musi” między p i q

p – poprzednik implikacji
q – następnik implikacji

~(p*~q) – gwarancja w implikacji prostej

Nie może się zdarzyć ~(...), że zajdzie p (p) i (*) nie zajdzie q (~q).

W implikacji prostej warunek q musi być dowolnym warunkiem koniecznym zajścia p

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to musi mieć cztery łapy
P=>4L
p=P
q=4L

Gwarancja w implikacji prostej:
~(p*~q) = ~(P*~4L)

~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć ~(...), że zwierzę jest psem (P) i (*) nie ma czterech łap (~4L).


3.2 Definicja implikacji odwrotnej

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p może wynikać q)

p~>q = p + ~q = ~(~p*q)

~> symbol implikacji odwrotnej oznaczający spójnik „może” między p i q.

~(~p*q) – gwarancja w implikacji odwrotnej

Nie może się zdarzyć ~(...), że nie zajdzie p (~p) i (*) zajdzie q (q).

W implikacji odwrotnej warunek p musi być dowolnym warunkiem koniecznym zajścia q

Implikacje odwrotne poprawne:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Jeśli zwierzę szczeka to może być psem
SZ~>P

W przypadku psa podobnych warunków koniecznych można wyliczyć bardzo dużo od czterech łap zaczynając na kodzie DNA kończąc.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to może być podzielna przez 8
P4~>P8

Implikacje odwrotne niepoprawne (śmieci):

Jeśli zwierzę ma dwie łapy to może być psem

Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8

Jeśli implikacja odwrotna jest implikacją poprawną jak wyżej lub dowolną poprawną implikacją prostą, to zachodzą prawa Kubusia jak niżej.


3.3 Prawa Kubusia

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną

p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą


4.0 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

Implikacja jest wypowiedziana w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje przeczenie NIE (brak ~).

Implikacja jest wypowiedziana w logice ujemnej jeśli po stronie q występuje przeczenie NIE (jest ~)

Kod:
Logika dodatnia                               Logika ujemna
        q                                           -q

Implikacja prosta                      Implikacja odwrotna w logice ujemnej
p=>q =  ~p ~> ~q                         ~p ~> ~q = p=>q

Implikacja odwrotna                    Implikacja prosta w logice ujemnej
p~>q =  ~p => ~q                         ~p => ~q = p~>q

Tabela powiązań logiki dodatniej z logiką ujemną.

=> - operator implikacji prostej
~> - operator implikacji odwrotnej

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej
~(p*~q) – gwarancja w implikacji prostej

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) – gwarancja w implikacji odwrotnej

We wszystkich powyższych przypadkach mamy identyczną gwarancję matematyczną pod warunkiem, że są one matematycznie poprawne oraz że implikacja odwrotna (~>) powstała poprzez zamianę p i q z implikacji prostej (=>) lub odwrotnie. Gwarancje są identyczne ale zachodzą wyłącznie tożsamości jak w tabeli wyżej.

Nigdy nie będzie p=>q=p~>q mimo identycznych gwarancji co widać niżej.

Implikacja odwrotna p~>q:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
=1 (prawda) pies
=0 (fałsz) kot, lis, zając …

~(~p*q) = ~(~4L*P) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem.


Implikacja prosta powstała poprzez zamianę p i q z powyższej implikacji odwrotnej:

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L

~(p*~q) = ~(P*~4L) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L

Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” (~>) nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L
=1 (prawda) - kogut, waż...
=0 (fałsz) – kot, lis, zając …

Definicja implikacji poprawnej:
Implikacja odwrotna jest poprawna matematycznie jeśli po stronie p występuje warunek konieczny zajścia q.
Implikacja prosta jest poprawna matematycznie jeśli po stronie q występuje warunek konieczny zajścia p.

Prawa Kubusia obowiązują wyłącznie dla poprawnych implikacji.

p=>q = ~p ~> ~q – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

p~>q = ~p => ~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikaję prostej


5.0 Implikacja ze świata przyrody

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to MOŻE być psem
4L~>P
Gwarancja w implikacji odwrotnej:
~(~p*q) = ~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem.

Implikacja prosta powstała poprzez zamianę p i q:
Jeśli zwierzę jest psem to MUSI mieć cztery łapy
P=>4L
Gwarancja w implikacji prostej:
~(p*~q) = ~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Obie powyższe implikacje są prawidłowe z tym, że implikacji odwrotnej nikt na świecie nie potrafi poprawnie przeanalizować matematycznie bowiem podlega ona pod zakazaną definicję implikacji odwrotnej. Oczywiście nie są to implikacje równoważne, mimo że mają identyczną gwarancję matematyczną.


5.1 Implikacja odwrotna ze świata przyrody

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
p=4L
q=P
=1 (prawda) pies
=0 (fałsz) kot, lis, zając …

Stwierdzamy, że p jest jednym z warunków koniecznych zajścia q. Jest to zatem poprawna implikacja odwrotna.

Gwarancja w implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~(~4L*P) - gwarancja w implikacji odwrotnej

~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem.

Prawo Kubusia:

p~>q = ~p => ~q

4L~>P = ~4L => ~P – logika ujemna bo P zanegowane.

~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L) to „na pewno” (=>) nie jest psem (~P)
p= ~4L
q= ~P

Gwarancja w powyższej implikacji prostej:

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej

~(p*~q) = ~[(~4L)* ~(~P)] = ~(~4L*P) - gwarancja w implikacji prostej

~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem.

W implikacji odwrotnej nie widzimy psa czyli wkładamy rękę do worka i macamy zwierzę. W pierwszym worku stwierdzamy, że to coś nie ma czterech łap zatem pies jest wykluczony. W kolejnym worku zwierzę ma co prawda cztery łapy ale zamiast pyska ma trąbę. Tu też pies jest wykluczony, to może być słoń. W innym worku zwierzę ma cztery łapy, pysk, ogon, zęby - to może być pies. W kolejnym teście na psa gryziemy zwierzaka w ogon, zwierzę miauczy co oznacza, że pies jest wykluczony bo psy szczekają.

W poprawnej implikacji odwrotnej poprzednik p musi być dowolnym warunkiem koniecznym zajścia q.

Jeśli zajdzie dowolny warunek konieczny p to może zajść q lub ~q
p=> q + ~q

Z faktu, że w worku stwierdzimy cztery nogi u zwierzęcia wynika że to może być pies (q) ale równie dobrze może być nie pies (~q) np. wilk, zając, lis ....

Oczywiście wszyscy doskonale wiedzą jak wygląda pies więc nie ma tu problemu z implikacją odwrotną.

Jeśli jednak poszukujemy czegoś nie znanego np. szczepionki na HIV to nie znamy wszystkich warunków koniecznych potrzebnych do wynalezienia szczepionki.

Może się zdarzyć, że znajdziemy 99% potrzebnych warunków koniecznych ale zmęczeni i zniechęceni zaniechamy badań. Inna grupa uczonych korzystając z naszych prac odnajdzie brakujący 1% i to oni będą twórcami tej szczepionki.

Implikacja odwrotna służy do zbierania prawdy subiektywnej po stronie q. Oczywiście może się zdarzyć, że prawdę budujemy na fałszywym fundamencie co w przyszłości grozi katastrofą np. szukanie logiki człowieka w oparciu o definicję implikacji materialnej musiało skończyć się znanym wszystkim logikom sloganem „logika człowieka nie istnieje”.


5.2 Implikacja prosta ze świata przyrody

Zamieńmy implikację odwrotną jak wyżej na implikację prostą zamieniając p i q.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy.
P=>4L
p=P
q=4L

Zdanie równoważne matematycznie:
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” (=>) ma cztery łapy.

W implikacji prostej widzimy psa, tu wszystko jest jasne. Możemy opisywać to co widzimy w najróżniejszy sposób i na pewno nigdy nie stwierdzimy trąby słonia jak w teście wyżej. Na pewno też nie pomylimy psa z lisem, wilkiem czy kotem bo te zwierzaki też doskonale znamy.

Gwarancja w implikacji prostej:

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej

~(p*~q) = ~(P*~4L) - gwarancja w implikacji prostej

~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L

Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” (~>) nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L
p= ~P
q= ~4L

=1 (prawda) - kogut, waż...
=0 (fałsz) – kot, lis, zając …

Gwarancja w implikacji odwrotnej:

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~[~(~P)*(~4L)] = ~(P*~4L) - gwarancja w implikacji odwrotnej

~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap.


6.0 Implikacja ze świata matematyki

Implikacja odwrotna:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to MOŻE być podzielna przez 8
P2~>P8
Gwarancja w implikacji odwrotnej:
~(~p*q) = ~(~P2*P8)
Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8

Implikacja prosta powstała poprzez zamianę p i q:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to MUSI być podzielna przez 2
P8=>P2
Gwarancja w implikacji prostej:
~(p*~q) = ~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2.

Oczywiście są to różne implikacje mimo identycznych gwarancji.


6.1 Implikacja odwrotna ze świata matematyki

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to MOŻE być podzielna przez 8
P2~>P8
p=P2
q=P8

=1 (prawda) dla 8,16,24...
=0 (fałsz) dla 2,4,6...

Implikacja jest prawidłowa matematycznie bo P2 jest warunkiem koniecznym zajścia P8

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej

Gwarancja w implikacji odwrotnej:

~(~p*q) = ~(~P2*P8)

~(~P2*P8)
Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q

P2~>P8 = ~P2 => ~P8
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” nie jest podzielna przez 8
~P2 => ~P8
p= ~P2
q= ~P8

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej

Gwarancja w implikacji prostej:

~(p*~q) = ~[(~P2)*~(~P8)] = ~(~P2*P8)

~(~P2*P8)
Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8


6.2 Implikacja prosta ze świata matematyki

Implikacja prosta powstała poprzez zamianę p i q też musi być implikacją prawidłową.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to MUSI być podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2

p=>q = ~p +q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej

Gwarancja w implikacji prostej:
~(p*~q) = ~(P8*~P2)

~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q

P8=>P2 = ~P8 ~> ~P2

Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może być” niepodzielna przez 2
~P8 ~> ~P2
p= ~P8
q= ~P2

=1(prawda) dla 3,5,7…
=0 (fałsz) dla 2,4,6...


7.0 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” (~>) zostać ukarany.

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~(~W*K) – gwarancja w implikacji odwrotnej

~(~W*K) – GWARANCJA !
Nie może się zdarzyć, że nie spełnię warunku kary i zostanę ukarany

Wszelkie groźby podlegają pod implikację odwrotną, bo nadawca ma prawo odstąpić od wymierzenia dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach. Implikacja odwrotna jest gwarancją wolnej woli człowieka ! Tu nadawca przy spełnionym warunku kary ma 100% wolnej woli, może robić co mu się podoba z wyjątkiem gwarancji jak wyżej.

Obsługa gróźb w dzisiejszej logice klasycznej to obraz nędzy i rozpaczy. Część logików próbuje analizować groźby przy pomocy implikacji prostej (materialnej), inni podpinają je pod równoważność – jedno i drugie to katastrofa.


7.1 Groźba w czasie przyszłym

Jeśli ubrudzisz spodni dostaniesz lanie
B~>L

Brudne spodnie są jednym z warunków koniecznych lania.

To jest wystarczający warunek prawidłowej, matematycznej IMPLIKACJI ODWROTNEJ !!!

W groźbach prawie nikt nie używa „może” bo nadawca spójnik może (~>) ma zapewniony w definicji implikacji odwrotnej.

Groźba równoważna matematycznie:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” (~>) dostać lanie.
B~>L

Zauważmy, że nawet jak powiemy:

Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie

To w przypadku brudnych spodni nic się nie zmieni bo to jest powtórzenie „może” (~>) zawartego w definicji implikacji odwrotnej. Nawet sadysta też ma prawo użyć tu „może” i niczego to nie zmieni. Każdy może walić albo darować lanie bez żadnych ograniczeń mając 100% wolnej woli. Sadysta będzie co najwyżej większym sadystą bo dawał złudzenie odbiorcy, że istnieje szansa darowania kary. Kłamcą nie zostanie NIGDY, nie ma takiej możliwości matematycznej.

Jest jeszcze ciekawiej:

Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
Wtedy i tylko wtedy dostaniesz lanie jak przyjdziesz w brudnych spodniach (tak powie idiota ale niech będzie).

To też niczego nie zmieni w przypadku brudnych spodni bo w implikacji odwrotnej nadawca co by nie powiedział NIGDY nie zostanie kłamcą, to jest matematycznie NIEMOŻLIWE ! Zawsze ma szansę wyjść na człowieka i darować lanie bo np. syna pobili bandyci i dlatego przyszedł w brudnych spodniach. Równie dobrze może darować bez powodu nawet jak powie „na 100%”. Może też 30 sekund po wypowiedzeniu groźby na 100% powiedzieć. Wygłupiłem się z tym laniem, chodźmy synu do cukierni.

To się nazywa WOLNA WOLA CZŁOWIEKA gwarantowana matematycznie.

Wróćmy do tematu.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
p=B
q=L

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~(~B*L) – gwarancja w implikacji odwrotnej

~(~B*L)
Nie może się zdarzyć, że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie.

Prawo Kubusia:

B~>L = ~B => ~L – zamiana implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B => ~L
p= ~B
q= ~L

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej

~(p*~q) = ~[(~B)*~(~L)] = ~(~B*L) – gwarancja w implikacji prostej

~(~B*L)
Nie może się zdarzyć, że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie.


7.2 Groźba w czasie przeszłym

Groźba w czasie przeszłym ma sens bo nie musimy znać rozstrzygnięcia. Załóżmy, że nie znamy.

Groźba wypowiedziana wyżej w czasie przyszłym:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Po zamianie p i q w poprawnej implikacji odwrotnej jak wyżej musimy otrzymać poprawną implikację prostą w czasie przeszłym.

Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B
p=L
q=L

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej

~(p*~q) = ~(L*~B) – gwarancja w implikacji prostej

~(L*~B) = ~(~B*L)
Nie mogło się zdarzyć, że przyszedłeś w czystych spodniach (~B) i dostałeś lanie.

Prawo Kubusia:

L=>B = ~L ~> ~B

Jeśli nie dostałeś lania to „mogłeś” (~>) przyjść w czystych spodniach (~B)
~L ~> ~B
p= ~L
q= ~B

=1 (prawda) nie dostałeś lania bo przyszedłeś w czystych spodniach (to jest gwarantowane)
=1 (prawda) nie dostałeś lania mimo że przyszedłeś w brudnych spodniach bo ojciec darował lanie.

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~[~(~L)*(~B)] = ~(L*~B) – gwarancja w implikacji odwrotnej

~(L*~B) = ~(~B*L)
Nie mogło się zdarzyć, że przyszedłeś w czystych spodniach (~B) i dostałeś lanie.

8.0 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N

Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać. Nie ma tu mowy o ograniczeniu wolnej woli bo nikt nas nie zmuszał do DOBROWOLNEJ obietnicy. Szczęście człowieka polega na dzieleniu się szczęściem z bliźnim. Tu matematyczny zakaz dania prezentu w przypadku nie spełnienia warunku nagrody byłby ograniczeniem wolnej woli nadawcy. Implikacja prosta gwarantuje 100% wolną wolę nadawcy w tym przypadku. Nadawca może tu robić co mu się podoba, dać nagrodę albo nie dać i matematycznie nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

To się nazywa WOLNA WOLA CZŁOWIEKA gwarantowana matematycznie.


8.1 Obietnica w czasie przyszłym

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
p=E
q=K

Zdanie egzaminu jest jednym z warunków koniecznych dostania komputera. Jest to zatem poprawna matematycznie implikacja prosta.

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej

~(p*~q) = ~(E*~K) – gwarancja w implikacji prostej

~(E*~K)
Nie może się zdarzyć, że zdam egzamin i nie dostanę komputera.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q

E=>K = ~E ~> ~K

Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E ~> ~K
p= ~E
q= ~K

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~[~(~E)*(~K)] = ~(E*~K) – gwarancja w implikacji odwrotnej

~(E*~K)
Nie może się zdarzyć, że zdam egzamin i nie dostanę komputera.


8.2 Obietnica w czasie przeszłym

Obietnica w czasie przeszłym ma sens bo nie musimy znać rozstrzygnięcia. Załóżmy, że nie znamy.

Obietnica w czasie przyszłym:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Po zamianie p i q lądujemy oczywiście w czasie przeszłym i implikacji odwrotnej.

Jeśli dostałeś komputer to mogłeś zdać egzamin
K~>E
p=K
q=E

p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej

~(~p*q) = ~(~K*E) – gwarancja w implikacji odwrotnej

~(~K*E) = ~(E*~K)
Nie mogło się zdarzyć, że zdałeś egzamin i nie dostałeś komputera

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q

K~>E = ~K => ~E

Jeśli nie masz komputera to „na pewno“ (=>) nie zdałeś egzaminu
~K => ~E
p= ~K
q= ~E

p=>q = ~p + q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej

~(p*~q) = ~[(~K)*~(~E)] = ~(~K*E) – gwarancja w implikacji prostej

~(~K*E) = ~(E*~K)
Nie mogło się zdarzyć, że zdałeś egzamin i nie dostałeś komputera

To jest koniec i bomba, kto tego nie zrozumiał ten trąba !
Gomgrowicz

Kubuś, wirtualny Internetowy Miś '2008-03-23
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:18, 24 Mar 2008    Temat postu:

Niedawno na PW u Kubusia pojawił się Gość NN, który poniższym postem spowodował N-tą rewolucję w małym rozumku Kubusia.

N-ta rewolucja w małym rozumku Kubusia

N-ta rewolucja w małym rozumku Kubusia dotyczy zapisu aksjomatów w formie implikacji prostej i odwrotnej, a nie jak to zwykle robił w formie równoważności.



List Gościa NN

Na PW Kubuś toczy ciekawe dyskusje niedostępne dla czytelników forum. Fragment jednej z takich dyskusji zamieszczam bo myślę, że jest bardzo ciekawy.

Cytat:
1. Implikacja materialna to nie wynikanie. Jest ona używana do interpretacji potocznego pojęcia wynikania oraz do występujących w języku potocznym okresów warunkowych, i stąd biorą się omawiane problemy - odsyłam do tekstu Szymanika. Implikacja materialna to również nie implikacja ścisła, w której definicji pojawia się pojęcie wynikania. Ajdukiewicz, na przykład, wyeksplikował treść pojęcia wynikania logicznego za pomocą pojęcia okresu warunkowego, pojęcia implikacji materialnej i pojęcia prawdy logicznej. W myśl tej eksplikacji z poprzednika Z1 okresu warunkowego W wynika następnik Z2 wtedy i tylko wtedy, gdy schematem formalnym W jest tautologiczna formuła o schemacie implikacji (materialnej). Oczywiście, ta eksplikacja generuje paradoks implikacji materialnej, a dzieje się tak, bo implikacja materialna w odróżnieniu od potocznych okresów warunkowych jest ekstensjonalna. Jednakże w myśl ajdukiewiczowskiej eksplikacji pojęcia wynikania logicznego nie można trafnie powiedzieć, że w okresie warunkowym "Jeśli księżyc jest z sera, to Warszawa jest stolicą Polski" następnik wynika logicznie z poprzednika. A nie można, bo schematem formalnym tego okresu jest formuła p=>g, które nie jest tautologią. Zapytałem Pana, jak Pan eksplikuje pojęcie wynikania logicznego, jeśli uważa Pan, że pojęcie implikacji materialnej nie jest adekwatne do tego celu. Nadal czekam na odpowiedź.

2. Nie neguję dwuwartościowości naszego świata (chociaż wcale nie jest pewne, że właściwą logiką tego świata jest logika dwuwartościowa). Mówię jedynie o relacjach między pewnymi pojęciami.

Zimno = nie ciepło. Nie ciepło = zimno. Wychodzi na to, że zimno = zimno. Hm. Pojęcie nie-ciepła nie jest wystarczające do zdefiniowania zimna (a pojęcie nie-zimna nie jest wystarczające do zdefiniowania ciepła). Mówiąc, że zimno nie jest ciepłem nie mówimy jeszcze czym ono jest. Mówiąc, że dobro nie jest złem też nie mówimy nic o tym, czym jest dobro. Motocykl też nie jest ciepłem a przecież nikt rozsądny nie uzna, że motocykl jest zimnem.

Jeśli coś jest karą, to nie jest nagrodą i jeśli coś jest nagrodą, to nie jest karą. Jednak nie zachodzą implikacje odwrotne: "Jeśli coś nie jest nagrodą, to jest karą" i "Jeśli coś nie jest karą, to jest nagrodą". Moje honorarium nie jest moją nagrodą; niekiedy jednak dostaję premię pieniężną jako nagrodę za wybitne osiągnięcia w pracy - nie jest to jednak moje honorarium. Potrącenie pieniędzy z mojego honorarium za źle wykonywaną pracę to rzecz jasna kara. Z drugiej strony, potrącenie pieniędzy z mojego honorarium na składkę ZUS nie jest karą (chociaż libertarianin upierałby się, że jest). Jeśli szef nie wypłaci mi pieniędzy, bo uraziłem go (zamierzenie lub nie) wypowiedzianą o nim uwagą, to ten brak wypłaty będzie ukaraniem mnie za chlapnięcie ozorem. Jednak to, że szef nie wypłaca mi kasy na czas, bo na konto firmy nie wpłynęły pieniądze, nie oznacza, że mój szef mnie karze. Gdy dostaję przewidziane w umowie honorarium nie zostaję ani nagrodzony, ani ukarany.

Honorarium to standard, nagroda i kara to wyjątki od standardu: za rutynowe badana komórek rakowych dostaję pensję; za opracowanie lekarstwa na jedną z odmian raka - nagrodę. Można zostać nagrodzonym, ukaranym bądź ani nagrodzonym, ani ukaranym. Brak kary to nie nagroda a brak nagrody to nie kara. Na przykład: jeśli zrobisz X, to otrzymasz nagrodę w postaci Y; jeśli nie zrobisz X, to nie otrzymasz nagrody w postaci Y, ale nie zostaniesz też ukarany Z (albo: jeśli nie zrobisz X, to nie tylko nie otrzymasz nagrody w postaci Y, ale też zostaniesz ukarany Z).

Nie wykluczam, że różnica między Pańskim a moim rozumieniem pojęć kary i nagrody bierze się z dwuznaczności tych pojęć w języku potocznym. Jeśli tak, to między nami nie ma sporu, bo każdy z nas używa homonimicznych terminów "kara" i "nagroda" na oznaczenie różnych choć podobnych do siebie rzeczy.


3. Prawda = nie fałsz. Fałsz = nie prawda. W logice intuicjonistycznej tego typu równania są błędne. W tego typu logice nie obowiązuje zasada wyłączonego środka. Zdanie, które nie ma dowodu nie jest jest prawdziwe. Nie znaczy to jednak, że jest fałszywe. Takie zdanie nie jest też fałszywe. Co jednak nie znaczy, że jest prawdziwe.


Odpowiedzi:

Cytat:

Zapytałem Pana, jak Pan eksplikuje pojęcie wynikania logicznego, jeśli uważa Pan, że pojęcie implikacji materialnej nie jest adekwatne do tego celu. Nadal czekam na odpowiedź.


Wynikanie matematyczne (logiczne) to „Teoria implikacji prostej odwrotnej” czyli:

W jedną stronę musi zachodzić pewna implikacja prosta p=>q
W druga stronę musi zachodzić niepewna implikacja odwrotna p<=q.

Oczywiście to wymusza związek poprzednika p z następnikiem q.

Wyjaśnienie logicznego wynikania matematycznego jest bardzo proste jeśli zaakceptujemy i właściwie zinterpretujemy definicje implikacji prostej i odwrotnej. Wtedy mamy wszystko w sposób naturalny w języku mówionym człowieka. Świętością w algebrze Boole’a jest zasada, „jak logicznie myślimy tak zapisujemy”. Wiedzą o tym doskonale logicy praktycy, ci od cyfrowych układów logicznych. Budowa jakiegokolwiek komputera nie byłaby możliwa, gdyby logiczne myślenie nie było zgodne z algebrą Boole’a.

Implikacje prosta i odwrotna to 100% algebra Boole’a, zatem musi tu obowiązywać świętość przeniesiona żywcem z teorii układów logicznych … i tak jest !

Implikacja prosta:
Jeśli zajdzie p to MUSI zajść q (z p wynika q)
p=>q = ~p+q

O fakcie wystąpienia implikacji prostej informuje w sposób absolutnie naturalny użyty w logicznym myśleniu spójnik „musi’ między poprzednikiem p a następnikiem q.

musi = musi być = musi mieć = muszę dostać nagrodę (w obietnicy) ….

Przykłady:

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „musi mieć” cztery łapy

Obietnica:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to „muszę mieć” komputer

Implikacja odwrotna:
Jeśli zajdzie p to MOŻE zajść q (z p może wynikać q, ale nie musi !)
p~>q = p + ~q

O fakcie wystąpienia implikacji odwrotnej informuje w sposób absolutnie naturalny użyty w logicznym myśleniu spójnik „może’ między poprzednikiem p a następnikiem q.

Przykłady:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4 bo 6,10,14…

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem.
4L~>P
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może być” psem bo kot, lis …

Groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne to lanie
Jeśli ubrudzę spodnie to MOGĘ dostać lanie, bo nadawca ma prawo darować dowolną karę inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Fundamentalne prawo wynikania matematycznego: ... widoczne w powyższych przykładach.

1.
Jeśli w dowolnej implikacji prostej zamienimy p i q to musimy wylądować w implikacji odwrotnej
2.
Jeśli w dowolnej implikacji odwrotnej zamienimy p i q to musimy wylądować w implikacji prostej.

Cytat:
1. Implikacja materialna to nie wynikanie Jest ona używana do interpretacji potocznego pojęcia wynikania oraz do występujących w języku potocznym okresów warunkowych, i stąd biorą się omawiane problemy - odsyłam do tekstu Szymanika.
Implikacja materialna to również nie implikacja ścisła, w której definicji pojawia się pojęcie wynikania ….

Zgoda, dlatego implikacja materialna nie nadaje się do opisu jakiegokolwiek wynikania, w szczególności wszelkich obietnic i gróźb.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta - "musi zajść"

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna - "może zajść"

Wszelkie obietnice i groźby to 100%, piękne wynikanie matematyczne, opisane w II części „Teorii implikacji prostej i odwrotnej”

Proszę zauważyć, że zarówno Pan Szymaniak jak i wszelkie inne podręczniki analizują wyłącznie obietnice, nigdy groźby. Matematycznie każdą groźbą można zamienić na obietnicę i odwrotnie.

Jeśli nie uznamy definicji implikacji odwrotnej za legalną na równych prawach z implikacją prostą, to połowa zdań wypowiedzianych przez człowieka jest nieanalizowalna - wszystkie groźby.

Proszę przeanalizować w oparciu o implikację materialną:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

albo obietnicę wypowiedzianą w formie równoważnej groźby:

Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz cukierka

i zobaczyć jakie nonsensy tu wychodzą.

Przykład:
1 1 1
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz cukierka

1 0 0
Nie powiedziałaś wierszyka, dostajesz cukierek = kłamstwo
czyli:
zakaz dawania cukierka gdy dziewczynka wstydzi się i nie chce powiedzieć.

Wyobraźmy sobie tą sytuację na przyjęciu rodzinnym, dziecko płacze, wyciąga rączkę po cukierka … a my mamy zakaz wręczania tej nagrody !
Oczywiście wybieramy gwałt na „matematyce” czyli implikacji materialnej.

Cytat:

2. Nie neguję dwuwartościowości naszego świata (chociaż wcale nie jest pewne, że właściwą logiką tego świata jest logika dwuwartościowa). Mówię jedynie o relacjach między pewnymi pojęciami.
Zimno = nie ciepło. Nie ciepło = zimno. Wychodzi na to, że zimno = zimno. Hm. Pojęcie nie-ciepła nie jest wystarczające do zdefiniowania zimna (a pojęcie nie-zimna nie jest wystarczające do zdefiniowania ciepła). Mówiąc, że zimno nie jest ciepłem nie mówimy jeszcze czym ono jest. Motocykl też nie jest ciepłem a przecież nikt rozsądny nie uzna, że motocykl jest zimnem.


Dobrze Panu wychodzi:
zimno = zimno - to jest algebra Boole'a
zimno = NIE zimno - to jest jawny gwałt na algebrze Boole'a

W naszym Wszechświecie nie może być:
Y = ~Y - tu algebra Boole'a leży w gruzach.

Oczywiście że pojęcie zimna nie może istnieć bez pojęcia ciepła i odwrotnie. Do zdefiniowania jednego potrzebne jest drugie. Te pojęcia będą rozpoznawalne wyłącznie wtedy, gdy będzie istniała dowolnie mała ale skończona różnica temperatur.

Zbiór A czyli ciepło-zimno, to indywidualne odczucie każdego człowieka.

Motocykl jest pojęciem obojętnym względem zimno-ciepło i w „Teorii implikacji prostej i odwrotnej” nas nie interesuje – należy do zbioru B z pojęciami obojętnymi.

Aksjomat naszego Wszechświata, na którym zbudowana jest cała algebra Boole’a to:

Y # ~Y – żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia czyli:

zimno # NIE zimno

Jeśli ~Y jest pojęciem często używanym to człowiek nadaje temu pojęciu nazwę własną:

Prawda = NIE fałsz
Zaprzeczamy obustronnie i mamy:
NIE Prawda = Fałsz

Dobro = NIE zło
Zaprzeczamy dwustronnie i mamy:
NIE dobro = zło


Ciepło = NIE zimno
Zaprzeczamy dwustronnie i mamy:
NIE ciepło = zimno

Oczywiście z powyższych równań mamy np.
Ciepło = Ciepło
Zimno = Zimno
co jest w zgodzie z algebrą Boole’a

Kojarzenie pojęć NIE prawda, NIE dobro, NIE ciepło ... z dowolnym pojęciem jakie człowiekowi może przyjść do głowy (np. z samochodem) to coś w rodzaju „grzebania w śmietniku”.

Zdanie:

NIE jest ciepło

oznacza:

Jest zimno

Nie wiem komu „NIE ciepło” może kojarzyć się np. z samochodem albo Bogiem ???

Jeśli dla pojęcia „nie ciepło” dopuścimy wszelkie możliwe pojęcia to będziemy mieli „wariatkowo” czyli kojarzenie zdania:

NIE jest ciepło

ze zdaniami:

Jest samochód, jest Bóg, jest COKOLWIEK ???!!! – totalny śmietnik !

Dla pojęć wieloznacznych nie mamy nazwy własnej dla przeczenia:

NIE samochód = rower, hulajnoga, motocykl ... ale nie „gruszki na wierzbie” itp.
NIE pies = kot, wydra, zając ... ale nie ciepło, prawda, fałsz itp.

Gdyby oprócz samochodu jedynym środkiem lokomocji był rower to na pewno mielibyśmy:

samochód = NIE rower
NIE samochód = rower

Na pewno zachodzi:

Samochód # NIE Samochód itd.

i nigdy nie będzie:

Samochód = NIE samochód

Jest możliwe ujęcie w aksjomatach jak wyżej także pojęć obojętnych.

Wtedy poprawne zapisy matematyczne będą takie:

Jeśli coś jest dla mnie prawdą to nie może być fałszem
P => ~F – implikacja prosta bo „nie może być”

Jeśli coś nie jest dla mnie prawdą to może być fałszem.
~P ~> F – implikacja odwrotna bo „może być” fałszem

Bardzo ważne w powyższych zapisach jest wyrażenie „dla mnie” ustawiające punkt odniesienia na podmiocie (człowieku).

W tak zapisanych aksjomatach pojęcie „NIE PRAWDA” może być czymkolwiek ze zbioru B, czyli ze zbioru obojętnego względem pojęć prawda-fałsz (np. samochód, ziemia... itp.).

Szczegółowa analiza matematyczna aksjomatów w III części „Teorii implikacji prostej i odwrotnej”.


Cytat:

Jeśli coś jest karą, to nie jest nagrodą i jeśli coś jest nagrodą, to nie jest karą. Jednak nie zachodzą implikacje odwrotne: "Jeśli coś nie jest nagrodą, to jest karą" i "Jeśli coś nie jest karą, to jest nagrodą".


Ten króciutki fragment, stał się przyczyną n-tej rewolucji w małym rozumku Kubusia, czyli zapisem aksjomatów w formie implikacji jak wyżej a nie w formie równoważności.

N-ta rewolucja w małym rozumku Kubusia

Mój mózg jest moja twierdzą. Każdy człowiek ma indywidualny zestaw pojęć które są dla niego karą albo nagrodą, nazwijmy go zbiór A.

Dla tego zbioru prawdziwe są poniższe równania:

Kara = NIE nagroda
Nagroda = NIE kara

Jeśli do powyższego zbioru dołączymy zbiór B z wszystkimi możliwymi pojęciami obojętnymi względem kar i nagród np. „gruszki na wierzbie” to powyższe równania będą fałszywe. W teorii implikacji prostej i odwrotnej mamy punkt odniesienia ustawiony na konkretnym człowieku, dlatego z definicji nie interesują nas pojęcia obojętne względem kar i nagród. Myśląc o karach i nagrodach operujemy wyłącznie na zbiorze A z tymi pojęciami.

Cytat:

Moje honorarium nie jest moją nagrodą;

Jest nagrodą z definicji:

Wynagrodzenie to nagroda za wykonaną pracę.

Implikacja jest w momencie zawierania umowy o pracę.

Jeśli przyjmuje Pan przedstawione warunki będzie Pan otrzymywał pensję X.
W=>P - implikacja prosta, bo pensja=nagroda

... a to że rozciągnięta w czasie na cały okres zatrudnienia nie ma znaczenia.

Wynika to bezpośrednio z definicji nagrody i kary:

Definicja nagrody:
Cokolwiek co chcę by zaszło (coś dla mnie dobrego, pozytywnego)

Definicja kary:
Cokolwiek co nie chcę by zaszło (coś dla mnie złego, negatywnego)

Mamy tu jak na dłoni aksjomat:
Kara = nie nagroda
Nagroda = nie kara

Kara (kara = nie chcę by zaszło) = nie nagroda (nagroda = chcę by zaszło)
Nagroda (nagroda = chcę by zaszło) = nie kara (kara= nie chcę by zaszło)

To co wyżej to błąd Kubusia, czyli rzucenie kamieniem we własną teorię ....

W „Teorii implikacji prostej i odwrotnej” punkt odniesienia jest ustawiony na konkretnym człowieku. Każdy człowiek ma indywidualny zbiór pojęć A, związanych z karami i nagrodami. Jeśli Gość NN twierdzi, że wynagrodzenie nie jest dla niego nagrodą, tylko pojęciem obojętnym względem kary i nagrody (zbiór B), czyli tym co mu się po prostu należy, to ma do tego prawo. Nikt nie ma prawa narzucać mu odmiennego zdania siłą, przede wszystkim matematyka.

Cytat:

niekiedy jednak dostaję premię pieniężną jako nagrodę za wybitne osiągnięcia w pracy

Kto będzie dobrze pracował dostanie premię
p=>q - implikacja prosta, bo premia=nagroda

Jeśli wypowiadający uzna „osiągnięcia” to pewna nagroda

Cytat:

Potrącenie pieniędzy z mojego honorarium za źle wykonywaną pracę to rzecz jasna kara.

Kto będzie źle pracował otrzyma zmniejszoną pnsję
p~>q - implikacja odwrotna, bo zmniejszona pensja=kara

0 1 0
Dobrze pracuję, to zakaz zmniejszania pensji.

Cytat:

Z drugiej strony, potrącenie pieniędzy z mojego honorarium na składkę ZUS nie jest karą (chociaż libertarianin upierałby się, że jest).

To jest obligatoryjne wymagane przez prawo a prawo nie ma nic wspólnego ani z aktem łaski, ani z aktem miłości. Oczywiście to dobro, które docenimy w razie wypadku, choroby lub na emeryturze.

Dowodów na to, że prawo jest ślepe jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Głośna sprawa piekarza, który zwroty nie sprzedanego pieczywa dawał do domu pomocy społecznej. Urzędnik zażądał od niego zwrotu VAT w pełnej wysokości - piekarz zbankrutował, ludzie pracujący u niego stracili pracę. Gdyby zamiast rozdawać biednym wyrzucił do śmietnika sporządzając protokół zniszczenia to by nie zbankrutował …

Cytat:

Jeśli szef nie wypłaci mi pieniędzy, bo uraziłem go (zamierzenie lub nie) wypowiedzianą o nim uwagą, to ten brak wypłaty będzie ukaraniem mnie za chlapnięcie ozorem.

Kto podniesie głos na szefa zostanie ukarany
p~>q - implikacja odwrotna, bo q=kara
0 1 0
Nie podniosłem głosu, zakaz karanie

Cytat:

Jednak to, że szef nie wypłaca mi kasy na czas, bo na konto firmy nie wpłynęły pieniądze, nie oznacza, że mój szef mnie karze.

Jeśli dłużnicy mi zapłacą dostaniesz wynagrodzenia
p=>q - implikacja prosta bo jeśli zapłacą to "muszę mieć" wynagrodzenia
Cytat:

Gdy dostaję przewidziane w umowie honorarium nie zostaję ani nagrodzony, ani ukarany.

OK, ma Pan prawo uważać honorarium za pojęcie obojętne wzgledem kary i nagrody.

Cytat:

Honorarium to standard, nagroda i kara to wyjątki od standardu: za rutynowe badana komórek rakowych dostaję pensję; za opracowanie lekarstwa na jedną z odmian raka - nagrodę.

OK, jak wyżej.
Cytat:

Można zostać nagrodzonym, ukaranym bądź ani nagrodzonym, ani ukaranym.

Jeśli mówimy o karze i nagrodzie to musi zajść rozstrzygnięcie zgodnie z definicją obietnicy i groźby wyżej. Honorarium nie jest dla Pana ani nagroda ani karą, więc nie znajduje się w Pana mózgu w zbiorze A zawierającym wyłącznie nagrody i kary. Zbiór B z pojęciami obojętnymi, nie interesuje nas na mocy definicji obietnicy i definicji groźby jak wyżej.

Cytat:

Brak kary to nie nagroda

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Brak lania = nagroda !

Jeśli będzie Pan operował na zbiorze A, zawierającym wyłącznie pojęcia będące dla Pana karami albo nagrodami, to poniższe równanie jest prawdziwe:

Nie kara = nagroda

Cytat:

a brak nagrody to nie kara.

Jak wyżej ....

Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera

1 1 1
Nie zdałem egzaminu nie dostałem komputera
nie komputer = kara

Tu może zajść akt łaski, ale to tylko wolna wola nadawcy, nie musi tego robić !
1 0 1
Nie zdałeś egzaminu dostajesz komputer bo cię kocham.

Cytat:

Nie wykluczam, że różnica między Pańskim a moim rozumieniem pojęć kary i nagrody bierze się z dwuznaczności tych pojęć w języku potocznym. Jeśli tak, to między nami nie ma sporu, bo każdy z nas używa homonimicznych terminów "kara" i "nagroda" na oznaczenie różnych choć podobnych do siebie rzeczy.


W teorii implikacji prostej i odwrotnej każdy człowiek ma swój indywidualny zbiór A z wszelkimi dla niego karami i nagrodami. Nie wszystkie elementy tego zbioru musza się pokrywać u dowolnych dwóch osobników. Więcej, na pewno będą rozbieżności, większe lub mniejsze.

Cytat:

3. Prawda = nie fałsz. Fałsz = nie prawda. W logice intuicjonistycznej tego typu równania są błędne.W tego typu logice nie obowiązuje zasada wyłączonego środka. Zdanie, które nie ma dowodu nie jest prawdziwe. Nie znaczy to jednak, że jest fałszywe. Takie zdanie nie jest też fałszywe. Co jednak nie znaczy, że jest prawdziwe.

To jest problem analogiczny jak z równaniami:
Nagroda = nie kara
Kara = nie nagroda

W tej teorii implikacji prostej i odwrotnej mamy punkt odniesienia ustawiony na konkretnym człowieku. Każde zdanie dla konkretnego człowieka może być prawdziwe albo fałszywe (zbiór A), albo też obojętne, czyli nie jest w stanie przypisać temu zdaniu ani prawdy ani fałszu (zbiór B)

Chrystus jest Bogiem

Zbiór A.

Chrześcijanin:
PRAWDA = Chrystus jest Bogiem
FAŁSZ = Chrystus nie jest Bogiem

Żyd:
PRAWDA = Chrystus nie jest Bogiem
FAŁSZ = Chrystus jest Bogiem

Ateista No.1
PRAWDA = Chrystus nie jest Bogiem
FAŁSZ = Chrystus jest Bogiem


Zbiór B.

Dla ateisty No.2 – zdanie obojętne

... tu nic nie zachodzi, bo dla tego ateisty Chrystus jest obojętny.


Dla zbioru A równania:

PRAWDA = NIE FAŁSZ
FAŁSZ = NIE PRAWDA

są prawdziwe.

Oczywiście, mamy tu do czynienia z prawdą subiektywną, czyli indywidualną dla każdego człowieka. Punkt odniesienia w teorii implikacji prostej i odwrotnej ustawiony jest na podmiocie (konkretnym człowieku), zatem zbiór B nas nie interesuje.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin