Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja v.Beta X.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 12:24, 23 Sie 2008    Temat postu: Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja v.Beta X.0

Prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q => ~p
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji opisują doskonale równoważność, nigdy implikację. Nie ma tu bowiem spójnika implikacji odwrotnej "może" ~>, wszędzie występuje spójnik implikacji prostej "musi" =>.
Trzeba zrobić hokus-pokus aby prawa kontrapozycji dotyczyły implikacji, co za chwilę będzie zrobione.
W implikacji mamy do czynienia z dwoma odrębnymi układami implikacyjnymi, opisanymi w podręczniku matematyki dla LO - podpowiedź z Internetu.
Autorowi podręcznika Kubuś wręcza złoty medal za podpowiedź, dzięki :brawo:
Rewolucję i Implikację 1 trzeba lekko skorygować ... :serce:


Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 1
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 2


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2 Operatorowa definicje implikacji prostej
3.3 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

4.0 Kwadrat logiczny implikacji
5.0 Kwadrat logiczny równoważności


Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Zbanowany Uczy napisał:
Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu)

Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum www.sfinia.fora.pl (metodologia) po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Logika człowieka = algebra Boole’a !

Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Znane człowiekowi prawa kontrapozycji to zupełnie co innego niż prawa Kubusia.

Ta część publikacji zawiera streszczenie dwóch kolejnych części Implikacji 1 i Implikacji 2.


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


2.0 Rewolucja w logice klasycznej

Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Znane człowiekowi prawa kontrapozycji to zupełnie co innego niż prawa Kubusia.

Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.

2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana

Definicja operatora AND
Kod:
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0


Definicja operatora OR
Kod:
p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)

Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
Kod:

p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   1    0  1    0        1
0 0   0    1  1    1        0
0 1   1    1  0    0        1

Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej

Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Kod:

p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   0    0  1    1        0
0 0   0    1  1    1        0
0 1   0    1  0    1        0

Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.

Zauważmy, że abstrahujemy tu od szczegółów i nie pytamy na razie czym jest suma logiczna a czym iloczyn logiczny w języku mówionym człowieka, w tym momencie to nas zupełnie nie interesuje. Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne. Równie dobrze moglibyśmy je nazwać Babla a drugi Bleble … byleby nazwy i symbole operatorów były różne.

Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !


2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q

Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały. To są fundamentalne prawa algebry Boole’a analogiczne do praw de’Morgana i nigdy nie mogą być gwałcone w całym zakresie tej algebry.

Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)

Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+).

Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>.

Zajrzyjmy w tym celu do podręcznika matematyki dla I klasy LO, aby podejrzeć słowną definicję implikacji prostej.


2.2.1 Definicja implikacji prostej
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Zajście p gwarantuje zajście q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
czyli:
p jest warunkiem wystarczającym dla q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” => mieć cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy

Mamy zatem rozszyfrowany symbol implikacji prostej =>.
=> - matematyczny operator implikacji odwrotnej, spójnik „musi”, „na pewno” między p i q

Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q, to w drugą stronę q jest warunkiem koniecznym dla p czyli:

Jeśli zajdzie q to „może” zajść p
q~>p
LUB
Jeśli zajdzie q to „może” zajść ~p
q~>~p
Nie ma innych możliwości matematycznych.
Zauważmy, że nie wolno tu użyć operatora implikacji prostej „musi” =>, bo operator implikacji odwrotnej „może” ~> to coś fundamentalnie innego.

Powyższy zapis musi być tautologią czyli zdaniem zawsze prawdziwym, sprawdźmy to.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej

Na podstawie powyższego mamy:
(q~>p) + (q~>~p) = (q+~p) + [q+ ~(~p)] = q+~p + q +p =q+~p+p =1
bo:
q+q =q
p+~p =1
q+1 =1
CND

Zauważmy, że tym sposobem rozszyfrowaliśmy symbol implikacji odwrotnej, jako spójnik „może” między q i p. Stąd łatwo możemy opisać słownie definicję implikacji odwrotnej.


2.2.2 Definicja implikacji odwrotnej

p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Przykład:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L ~> P
Cztery łapy u zwierzęcia jest warunkiem koniecznym, aby być psem


3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej

Jakkolwiek byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli, to między nimi muszą zachodzić prawa Kubusia.

p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Przykład 2.0
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
A: P8=>P2 =1 - twarda prawda
Zajście P8 jest wystarczające dla zajścia P2
Oczywiście powyższa twarda prawda generuje poniższy twardy fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
B: P8=> ~P2 - twardy fałsz

… a co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?

P8=>P2 = ~P8~>~P2 - prawo Kubusia
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” => być niepodzielna przez 2
C: ~P8~>~P2 =1 - zdanie prawdziwe bo 3
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
D: ~P8~>P2 =1 zdanie prawdziwe bo 2

Jak widać w implikacji odwrotnej „może” ~> wystarczy podać jeden element dla którego implikacja jest prawdziwa. W implikacji prostej „musi” =>, zdanie musi być prawdziwe dla każdego elementu spełniającego warunek p.

Oczywiście nie jest tak jak to tłumaczą podręczniki szkolne, że wypowiadając zdanie A nadawca nie powiedział co będzie gdy warunek p nie jest spełniony i dlatego może zajść C lub D - to idiotyzm.
Zdania C i D wynikają z praw Kubusia a nie z chciejstwa człowieka. Prawa Kubusia to matematyka ścisła, algebra Boole’a, niezależna od tego czego człowiek nie powiedział.

Zobaczmy przykład tego typu radosnej, podręcznikowej twórczości.

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

Matematyka dla liceum napisał:

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie G=>C będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p.

Przeanalizujmy to zdanie przy pomocy praw Kubusia.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a. To czego człowiek nie powiedział jest matematycznie bez znaczenia.

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1

W przypadku gdy warunek nagrody nie zostanie spełniony, ojciec może zrobić co mu się podoba, czyli dać albo nie dać czekoladę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.


3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej

Rozważmy zdanie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ??? ~C
Co wstawić w miejsce ???, operator => czy ~> ?

Przypomnijmy sobie zdanie analizowane w poprzednim punkcie:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

oraz drugi wniosek z praw Kubusia:

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Odpowiedź jest jasna, kodowanie może być tylko i wyłącznie takie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C =1
Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” dostać czekoladę
~G ~> C

Bo prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C
nie może być gwałcone !

Powyższe zdanie to ewidentna groźba, skąd wniosek iż wszelkie groźby musimy kodować przy pomocy implikacji odwrotnej.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Oczywistym jest, że zamiast analizować groźbę:
~G~> ~C
Możemy analizować równoważną obietnicę:
G=>C
na podstawie prawa Kubusia:
~G~>~C = G=>C - prawo zamiany groźby na równoważną obietnicę

Stąd mamy dowód, iż gwarancja w implikacji odwrotnej jest identyczna jak w implikacji prostej:
G=>C
Jeśli będę grzeczny to „na pewno” dostanę czekoladę

Tą samą gwarancję możemy otrzymać z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja
czyli:
~G~> ~C = ~[~(~G)*(~C)] = ~(G*~C) =1 (prawda)
~(G*~C)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady
Negujemy powyższe równanie dwustronnie, by zobaczyć kiedy nadawca będzie kłamcą
~(~G~>~C) = G*~C =0 (fałsz)
Nadawca będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy będę grzeczny i nie dostanę czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ponieważ zdanie:
G=>C równoważne zdaniu ~G ~> ~C
analizowaliśmy wyżej, zatem nie musimy nic robić !

Przeanalizujmy typową groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem obowiązuje implikacja odwrotna
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy warunek ten będzie konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~> ~L =1
W przypadku brudnych spodni nadawca może robić co mu się podoba, walić albo darować (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą, co widać wyżej.

… a co będzie jeśli nie ubrudzę spodni ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli nie ubrudzisz to „na pewno” => nie dostaniesz lania
~B=> ~L =1 - twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej B~>L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” dostaniesz lania z powodu czystych spodni
~B=>L =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Powyższa gwarancja wynika także bezpośrednio z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Dla powyższej groźby:
B~>L = ~(~B*L) =1 (prawda)
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni
Negujemy powyższe równanie, by zobaczyć kiedy nadawca zostanie kłamcą
~(B~>L) = ~B*L =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.

Ta gwarancja jest typowa dla implikacji prostej, porównajmy:

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.


3.2 Operatorowa definicje implikacji prostej

Operatorowa definicja implikacji prostej:

p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji.

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q = ~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Symboliczna definicja implikacji prostej:
A: p q =1
B: p ~q =0
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1

Gdzie:
p=0, ~p=1
q=1, ~q=0

W pierwszych dwóch liniach operatory są oczywiste:
A: p=>q =1
B: p=>~q =0
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p=>q = ~p~>~q - dla linii A
p=>~q = ~p~>q - dla linii B
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji prostej
C: ~p~> ~q =1
LUB
D: ~p~> q =1

Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=0 i D=1.

Zdanie wypowiedziane:
p=>q = ~p+q
Traktujemy jako nowo wypowiedziane i przypisujemy mu wartość 1 1 =1.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - nowe zdanie, implikacja prosta
A: p=>q = ~p+q =1
B: 1 0 =0
B: p=>~q = ~p+~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
p=>~q = ~p~> q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Zauważmy, że przechodzimy tu z definicji implikacji prostej => do definicji implikacji odwrotnej ~>. To dwie zupełnie różne definicje, zatem zdanie ~p~>~q musimy traktować jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane, implikacja odwrotna
C: ~p~> ~q = ~p+q =1
LUB
D: 1 0 =1
D: ~p~> q = ~p+~q =1

Zauważmy, że w równaniach matematycznych mamy tożsamości A=C i B=D, natomiast różnica w wyniku B=0 i D=1 wynika z potratowania zdania ~p~>~q jako zupełnie nowego zdania podlegającego pod definicję implikacji odwrotnej.


3.3 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej.

p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =1 - twardy fałsz

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji odwrotnej.

Zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q = p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Operatory w dwóch pierwszych liniach to implikacja odwrotna.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane, implikacja odwrotna
A: p~>q = p+~q =1
LUB
B: 1 0 =1
B: p~> ~q = p+q =1
Prawa Kubusia dla powyższych linii:
p~>q = ~p => ~q
p~>~q = ~p=>q
Jak widać wkraczamy w obszar implikacji prostej, zatem traktujemy zdanie jako nowo wypowiedziane
1 1 =1.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - nowe zdanie, implikacja prosta
C: ~p=> ~q = p+~q =1 - twarda prawda
D: 1 0 =0
D: ~p=> q = p+q =0 - twardy fałsz

Zauważmy, że zachodzą równoważności A=C i B=D bo identyczne prawe strony równań. Różnica w wynikowych zerach i jedynkach w B=1 i D=0 wynika z różnych definicji implikacji.


4.0 Kwadrat logiczny implikacji

W dzisiejszej logice znany jest kwadrat logiczny pozwalający rozstrzygnąć czy i kiedy zachodzi równoważność. Kwadrat ten poprawny w zapisie wyłącznie dla równoważności.

Znany człowiekowi kwadrat logiczny:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~q

Powyższy kwadrat pozwala stwierdzić czy zachodzi równoważność. Jeśli zachodzą pewne (=>) wynikania wzdłuż dowolnego boku to mamy do czynienia z równoważnością.

Jak widać, kwadrat dotyczy tego samego zdania.
p=>q
gdzie p i q jest ustalone sztywno.

Jeśli kwadrat miałby dotyczyć implikacji to błędne są dwa zapisy.
Oczywiste błędy:
1.
Jest:
q=>p - jeśli zajdzie q to „na pewno” => zajdzie p, implikacja prosta
Powinno być:
q~>p - jeśli zajdzie q to „może” ~> zajść p, implikacja odwrotna
2.
Lewa strona w pionie to oczywisty gwałt na prawie Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q

Zatem poprawny i pełny kwadrat logiczny dla implikacji wygląda tak:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  q~>p = q+~p
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  q~>~p = q+p
C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~q=>~p = q+~p
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~q=>p = q+p


Prawe strony równań wynikają bezpośrednio z definicji.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

W podręczniku matematyki można wyczytać, iż w pionie mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami implikacyjnymi. To oczywista prawda, gdyż w implikacji nie wolno zamieniać p i q.

Zupełnie czym innym jest zdanie podlegające pod definicje implikacji prostej.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 jest wystarczające dla P2
Ustalmy na sztywno zgodnie z powyższą tabelą:
p=P8
q=P2
p=>q = P8=>P2
Gwarancja w implikacji prostej:
Jeśli zajdzie P8 to „na pewno” zajdzie P2

a zupełnie czym innym jest zdanie po zamianie p i q podlegające pod definicję implikacji odwrotnej

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne dla zajścia P8
q=P2
p=P8 - ustalone sztywno wyżej
q~>p = P2~>P8
Gwarancja w implikacji odwrotnej:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 - prawo Kubusia
~P2=>~P8 =1 - twarda prawda
Jeśli nie zajdzie P2 to „na pewno” => nie zajdzie P8

Jak widać, w pionie po obu stronach kwadratu zachodzą prawa Kubusia, gdzie odpowiednie prawe strony równań są identyczne.

Lewa strona kwadratu:
A1=C1
p=>q = ~p~>~q = ~p+q - pierwsza połówka operatora =>
B1=D1
p=>~q = ~p~>q = ~p+~q - druga połówka operatora =>
Prawa strona kwadratu:
A2=C2
q~>p = ~q=>~p = q+~p - pierwsza połówka operatora ~>
B2=D2
q~>~p = ~q =>p = q+p - druga połówka operatora ~>

Aby tożsamość była pełna równoważności muszą zachodzić na kompletnych operatorach czyli:
(A1=C1)*(B1=D1) = 1*1 = 1 - prawo Kubusia po lewej stronie w pionie działa znakomicie
(A2=C2)*(B2=D2) = 1*1 = 1 - prawo Kubusia po prawej stronie w pionie również działa

Zbadajmy teraz matematyczne związki dla kompletnych operatorów po przekątnych.
Pierwsza przekątna:
A1=C2
B1#D2
(A1=C2)*(B1#D2) = 1*0 =0 - pełna tożsamość nie zachodzi
Druga przekątna:
A2=C1
B2#D1
(A2=C1)*(B2#D1) = 1*0 = 0 - pełna tożsamość nie zachodzi

Znane ludziom prawo kontrapozycji jest dla implikacji fałszywe.

To jest oczywistość z dwóch powodów:
1.
W implikacji nie można zamieniać p i q, co czyni prawo kontrapozycji
2.
Gdyby zachodziło A1=C2 i B1=D2 to wobec praw Kubusia zachodzących w pionie otrzymalibyśmy nonsens A1=A2 i B1=B2 co widać w równaniu niżej:
(A1=C2)(B1#D2) = 1*0 =0 - przekątna
(A2=C2)(B2=D2) = 1*1=1 - prawo Kubusia

Zbadajmy sens częściowych tożsamości zachodzących po przekątnych.

p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla implikacji prostej
q~>p = ~p~> ~q - prawo kontrapozycji dla implikacji odwrotnej

Sens tych praw jest następujący. W implikacji można zamieniać p i q ale wyłącznie dla przeszłości, gdy implikacja już zaszła i wszystko jest zdeterminowane. Oczywiście nie musimy znać rozstrzygnięcia implikacji.

p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla implikacji prostej

Jeśli byłeś grzeczny to „na pewno” => dostałeś czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Prawo kontrapozycji dla implikacji prostej:
G=>C = ~C => ~G
Jeśli nie dostałeś czekolady to „na pewno” nie byłeś grzeczny
~C => ~G =1 - twarda prawda
Jeśli nie dostałem czekolady to „na pewno” byłem niegrzeczny. W tym przypadku ojciec nie dał czekolady bo warunek nagrody (grzeczny) nie zostanie spełniony, ma do tego prawo.

q~>p = ~p~> ~q - prawo kontrapozycji dla implikacji odwrotnej

Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~>~L =1
Ustalamy na sztywno:
q=B
p=L
Stąd na podstawie prawa kontrapozycji.
B~>L = ~L ~> ~B
LUB
B~>~L = L~> ~B
czyli:
Jeśli nie dostałeś lania to być „może” nie ubrudziłeś spodni
~L ~> ~B
LUB
Jeśli nie dostałeś lania to być „może” ubrudziłeś spodnie
~L ~> B
W tym przypadku ojciec darował lanie do czego ma święte prawo (akt łaski).


5.0 Kwadrat logiczny równoważności

Wróćmy do znanego ludziom kwadratu logiki
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~q


Kwadrat jest poprawny, ale wyłącznie dla równoważności bo tylko wtedy poprawne są zapisy A2 i C1. Oczywiście dla równoważności prawa kontrapozycji są poprawne w 100%. Równoważność zachodzi gdy zachodzi wynikanie wzdłuż dowolnych boków kwadratu. Najczęściej podawane są dwie równoważne definicje równoważności.

A: p=>q i q=>p =1- zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q =1 - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Sprawdźmy czy to jest równoważność korzystając z równania B.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość, twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Wniosek:
Znany ludziom kwadrat logiki opisuje równoważność, nigdy implikację.
Dowodem są tu zapisy poprawne wyłącznie dla równoważności:
C1: ~p=>~q - jeśli zajdzie ~q to „na pewno”=> zajdzie ~p
i
A2: q=>p - jeśli zajdzie q to „na pewno” => zajdzie p

Oczywiście dla równoważności zachodzi:
p=>q # ~p=>~q

Z powyższej analizy słownej łatwo można wyprowadzić definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
A*~A = 0 - prawo algebry Boole’a
czyli:
~p*p=q*~q=0

Z powyższego mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:51, 31 Sie 2008, w całości zmieniany 13 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 12:26, 23 Sie 2008    Temat postu:

Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Implikacja 1

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 1
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 2




Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
1.2 Fundament logiki człowieka

2.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
2.1 Definicje podstawowe
2.2 Definicja implikacji prostej
2.3 Definicja implikacji odwrotnej
2.4 Rodzaje implikacji
2.5 Prawa Kubusia
2.6 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

3.0 Operatorowa definicja równoważności
3.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.2 Obietnice i groźby
3.3 Katastrofalne skutki pomylenia operatorów w logice
3.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

4.0 Warunki wystarczające i konieczne
4.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
4.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej
4.3 Gwarancje w obietnicach i groźbach

5.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a

6.0 Fałszywe prawa kontrapozycji w logice klasycznej
6.1 Równania równoważnościowe
6.2 Równania implikacyjne
6.3 Porównanie praw Kubusia z prawami kontrapozycji



Wstęp

Istotą publikacji jest odkrycie dwóch nowych, matematycznych operatorów w naturalnym języku mówionym "musi" => (implikacja prosta) i "może" ~> (implikacja odwrotna) oraz praw Kubusia. Operatorami „musi” => i „może” ~>, podobnie jak AND(i) i OR(lub), człowiek posługuje się doskonale od czasów Adama i Ewy. Operatory te działają fenomenalnie w całej algebrze Boole'a, w szczególności obsługują obietnice (implikacja prosta) i groźby (implikacja odwrotna).

Prawa de’Morgana mówiące o związkach definicji OR(+) i AND(*) oraz prawa Kubusia mówiące o związkach definicji implikacji prostej (=>) z definicją implikacji odwrotnej (~>) to dwa najważniejsze prawa w całej logice klasycznej. Znane w matematyce prawa kontrapozycji są fałszywe bowiem w implikacji nie wolno zamieniać p i q (dowód w pkt. 6.0).


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


1.2 Fundament logiki człowieka

Fundamentem działania wszelkich komputerów jest algebra Boole’a i zaledwie dwa operatory matematyczne AND(*) i OR(+) plus definicja negacji NOT(~).
Fundamentem logiki człowieka jest algebra Boole’a i zaledwie cztery operatory matematyczne AND(*), OR(+), „musi”=> i „może”~>. plus definicja negacji NOT(~). Implikacja pozwala człowiekowi i wszystkiemu co żyje przewidywać przyszłość.

Naturalna logika człowieka jest zgodna z algebrą Boole’a, tak więc jej matematyczny opis sprowadza się do zasady:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy

Przykład 1.2
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Jeśli ubrudzę spodnie to „mogę” ~> dostać lanie, gdyż nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B=>~L - gwarancja bezpośrednia, wynikająca z definicji implikacji prostej
Jeśli nie ubrudzisz spodni to "na pewno" => nie dostaniesz lania

p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana
~p+q = ~[~(~p)*~q] = ~(p*~q) - prawo de’Morgana dla ~p i q w definicji implikacji
stąd:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej

Dla zdania wyżej mamy:
p=~B
q=~L
Podstawiamy to do gwarancji:
~B=>~L = ~[(~B)*~(~L)] = ~(~B*L) =1
Odczytujemy gwarancję matematyczną:
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach (~B) i dostanę lanie (z powodu czystych spodni). Wszystko inne może się zdarzyć.

Kiedy nadawca zostanie kłamcą ?
~B=>~L = ~(~B*L) =1
Negujemy dwustronnie:
~(~B=>~L) = ~B*L =0
Kłamstwo (0=fałsz) wystąpi wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach (~B) i dostanę lanie (z powodu czystych spodni). W każdym innym przypadku kłamstwo nie wystąpi.


2.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka

Algebra Boole’a to matematyka ścisła. Implikacja to jeden z fundamentalnych operatorów w tej algebrze. Implikacja to zdanie złożone połączone spójnikiem „Jeśli...to...”. W całej logice istnieją tylko dwa rodzaje implikacji opisywane przez matematyczne operatory logiczne. Jeden z nich to operator implikacji prostej „musi” =>, zaś drugi to operator implikacji odwrotnej „może” ~>.

Od strony matematycznej, definicja implikacji odwrotnej jest tak samo zbędna jak zbędna jest definicja sumy logicznej (bo prawa de’Morgana)

Zobaczmy to w tabeli:

Kod:

p q p*q p+q=~(~p*~q) p=>q p~>q=p<=q
1 1  1   1            1    1
1 0  0   1            0    1
0 0  0   0            1    1
0 1  0   1            1    0


Jak widać, matematycznie zbędne jest zarówno wprowadzanie nowego symbolu sumy logicznej jak i nowego symbolu implikacji odwrotnej ~>. Zauważmy, że matematycznie nigdy nie będzie p=>q = p~>q bo to różny zestaw zer i jedynek, tak samo jak nigdy nie będzie OR(+)=AND(*). Zarówno operator sumy logicznej (+) jak i operator implikacji odwrotnej (~>) są niezbędne w opisie matematycznym naturalnego języka mówionego człowieka. W języku mówionym implikacji odwrotnej używa się równie często jak implikacji prostej.


2.1Definicje podstawowe

Definicja:
Zdanie jest zdaniem poprawnym jeśli da się określić jego prawdziwość lub fałszywość.

Jeśli zdanie jest prawdziwe to przypisujemy mu wartość 1 = „prawda”, zaś jeśli fałszywe to przypisujemy mu wartość 0 = ”fałsz”.

Zdania poprawne:
Pies ma cztery łapy - prawda
Pies ma trąbę - fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „na pewno” jest podzielna przez 5
P2=>P5 - zdanie fałszywe bo 2
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 5
P2~>P5 - - zdanie prawdziwe bo 10

Zdanie niepoprawne:
Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy - brak związku między księżycem a czterema łapami u psa

Definicja implikacji:
Implikacją jest dowolne zdanie ujęte w spójnik „Jeśli… to…”

Mówiąc o implikacji, będziemy mieli na myśli implikację w najszerszym tego słowa znaczeniu jak w definicji wyżej. Zdanie ujęte w spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną, równoważnością (częsta w matematyce) albo śmieciem (będącym czymkolwiek innym). „Jeśli.. to...” to najbardziej uniwersalny spójnik w logice !


2.2 Definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q)

p=>q
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q (z p „musi” wynikać q”)
Zajście p gwarantuje zajście q
W implikacji prostej zajście p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia q
Warunek wystarczający = gwarancja
gdzie:
p=>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q
1 1  1
1 0  0
0 0  1
0 1  1


Przykład 2.2
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
p=>q = P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy. Bycie psem gwarantuje 4 łapy

Jeśli p jest warunkiem wystarczającym zajścia q to q musi być warunkiem koniecznym zajścia p. W implikacji przeciwnej q=>p zajście q może spowodować zajście p ale nie gwarantuje tego.

Wyprowadzenie wzoru implikacji przeciwnej:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej

Zamieniamy wszędzie p i q otrzymując wzór implikacji przeciwnej:
q=>p = ~q + p - matematyczny wzór implikacji przeciwnej

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
q=>p = 4L ??? P

Jeśli zwierzę ma cztery łapy (q) to „może” zajść p (pies) lub „może” zajść ~p (nie pies = lis, zając, słoń…). Nie ma innych możliwości. Zauważmy, że w miejsce ??? nie możemy wstawić operatora implikacji prostej, spójnika "musi" => między p i q, bo 4 łapy u zwierzęcia nie są warunkiem wystarczającym bycia psem.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L<=P - to jedyna poprawna możliwość zapisania implikacji odwrotnej przy pomocy symbolu <=
<= - symbol operatora implikacji przeciwnej, spójnik „może” między p i q, czytamy przeciwnie do strzałki

Porównajmy to co wyżej z implikacja prostą.
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
P=>4L
=> - symbol operatora implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q, czytamy zgodnie ze strzałką

Zauważmy, że w implikacji prostej zdanie czytamy zgodnie ze strzałką (P=>4L) zaś w implikacji przeciwnej przeciwnie do strzałki (4L<=P). Nie ulega wątpliwości że „musi” i „może” to dwa fundamentalnie różne spójniki i powinny mieć różne symbole identycznie jak AND(*) i OR (+).

Dowolny z powyższych powodów wystarcza, aby wprowadzić do logiki nowy operator implikacji odwrotnej:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka

Oczywiście matematycznie zachodzi:
4L<=P = 4L~>P
czyli:
p<=q = p~>q
Zauważmy:
p=>q - implikacja prosta, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
p~>q - implikacja odwrotna, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
Jak widać w obu przypadkach zdanie czytamy zgodnie ze strzałką. To jest kapitalne uproszczenie problemu implikacji jeśli weźmiemy pod uwagę poniższe matematyczne tożsamości.
p=>q = q<=p
p~>q = q<~p
Oraz prawa Kubusia o których w dalszej części.


2.3 Definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q = ~(~p*q)

p~>q
Jeśli zajdzie p to „może ” zajść q (z p „może” wynikać q)
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
p~>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”)
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
Kod:
p q p~>q = p<=q
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0

W implikacji odwrotnej między p i q musi zachodzić warunek konieczności. Zajście p jest warunkiem koniecznym aby zaszło q, ale nie gwarantuje tego.

Jeśli zajdzie p to może zajść q (p~>q)
lub
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q (p~> ~q)
Nie ma innych możliwości bo to algebra Boole’a.

Zapiszmy matematycznie to co wyżej:
(p~>q)+(p~> ~q) = (p+~q)+[p+~(~q)] = p+ ~q + p + q = p+p + ~q + q = p + 1 = 1
bo:
p+p=p, ~q+q=1, p+1=1
Powyższe równanie to tautologia (zdanie zawsze prawdziwe) czyli "jeśli zajdzie p to wszystko może się zdarzyć".

Przykład 2.3
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna, bo cztery łapy są warunkiem koniecznym, aby zwierzę było psem.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem lub „może” nie być psem (lis, zając, słoń…)

Gwarancja w implikacji odwrotnej występuje po stronie ~p.
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważna implikację prostą
~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem (gwarancja)
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym by nie być psem
Oczywiście mamy tu na myśli psa zdrowego, bez ułomności.


2.4 Rodzaje implikacji

Definicje:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej

Ze względu na rodzaj implikacje możemy podzielić na implikacje proste, odwrotne i przeciwne.

p=>q - implikacja prosta
q=>p = p<=q = p~>q - implikacja przeciwna do implikacji prostej przechodzi w implikację odwrotną
p~>q - implikacja odwrotna
q~>p = p<~q = p=>q - implikacja przeciwna do implikacji odwrotnej przechodzi w implikację prostą

Twierdzenie 2.4
Implikacja prosta po zamianie p i q przechodzi w implikację odwrotną. Implikacja odwrotna po zamianie p i q przechodzi w implikację prostą.

Dowód wyżej.


2.5 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w algebrze Boole’a. Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

Prawa Kubusia.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+).

Prawo de'Morgana:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory:
~Y=~A*~B
oczywiście:
Y=~(~Y)
zatem:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de'Morgana dla sumy logicznej

Złamanie prawa Kubusia w implikacji to złamanie prawa de'Morgana w taki sposób:
A+B = ~(~A+~B) - negujemy zmienne, ale nie zamieniamy operatora na przeciwny.

To jest oczywiste rozwalenie całej algebry Boole'a w zakresie AND i OR. Analogicznie, pogwałcenie prawa Kubusia w implikacji, będzie rozwaleniem algebry Boole'a w zakresie implikacji. Niestety, w dzisiejszej logice klasycznej prawa Kubusia są zupełnie nieznane i z tego powodu non-stop gwałcone.

Przykład 2.5
A: Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - obietnica
To jest poprawne i wspólne dla wszystkich, tu nikt nie ma wątpliwości

Prawo Kubusia:
W=>C = ~W ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Nowe zdanie wypowiedziane:
B: Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W ~> ~C - kodowanie na podstawie prawa Kubusia (równoważna groźba)
~W => ~C - kodowanie przez dzisiejszą logikę klasyczną (KRZ = Klasyczny Rachunek Zdań)
czyli mamy:
A: W=>C = B: ~W ~> ~C - prawo Kubusia
A: W=>C # B: ~W => ~C - dzisiejsza logika klasyczna (KRZ)
czyli:
A: = B: - Kubuś
A: # B: - KRZ
A, B - zdania wypowiedziane

Zauważmy, że Kubuś zakodował zdanie B zgodnie z prawem Kubusia czyli zanegował zmienne i wymienił operator => na ~>, natomiast KRZ wyłącznie zanegował zmienne bez wymiany operatora. Słownie zdania A i B są identyczne u Kubusia i w KRZ, mamy zatem dwa równania matematycznie ze sobą sprzeczne, nie może być dwóch algebr Boole’a !
Prawa Kubusia jesteśmy pewni, zatem miejsce „matematycznego” zapisu rodem z KRZ jest w koszu na śmieci. KRZ na pewno nie jest tu wyjątkiem, bowiem w całej dzisiejszej logice implikacja odwrotna jest nielegalna, czyli nie da się zapisać poprawnie zdania jak wyżej, gdzie implikacja odwrotna jest niezbędnie konieczna (prawo Kubusia).

Prawa de’Morgana mówiące o matematycznym związku między operatorami AND(*) i OR(+) oraz prawa Kubusia mówiące o matematycznym związku operatorów „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna) to dwa najważniejsze prawa w całej logice klasycznej. Oczywiście prawa te nie mogą być gwałcone, bo wylądujemy w śmietniku matematyki.

Dowód 2.5.1
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej

Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

Dowód 2.5.2
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej

Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q


2.6 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

Prawa Kubusia.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Definicja:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q mamy brak przeczenia.
Implikacja wypowiedziana jest w logice ujemnej jeśli po stronie q występuje przeczenie NIE(~)

p=>q = ~p ~> ~q
Z powyższego wynika, że implikacja prosta => jest odpowiedzią na pytanie co się stanie gdy zajdzie p, zaś implikacja odwrotna ~> jest odpowiedzią na pytanie co będzie gdy nie zajdzie p.

p~>q = ~p=>~q
Jak widać, że implikacja odwrotna ~> jest odpowiedzią na pytanie co się stanie gdy zajdzie p, zaś implikacja prosta => w jest odpowiedzią na pytanie co będzie gdy nie zajdzie p.

Przykład 2.6
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - obietnica, logika dodatnia bo K
Jeśli zdasz egzamin to masz gwarantowany komputer. Wszystko inne może się zdarzyć.

… a jak nie zdam egzaminu ?

Prawo Kubusia:
E=>K = ~E ~>~K - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną

Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E ~> ~K - groźba, logika ujemna bo ~K

czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” nie dostać komputera
~E ~> ~K
LUB
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” dostać komputer
~E ~> K

To bardzo często spotykany dialog w języku mówionym. Oczywiście na mocy prawa Kubusia zdania te są równoważne. Z powyższego przykładu widać, że obietnica w logice dodatniej przechodzi w groźbę w logice ujemnej.

Zachodzi też odwrotnie, groźba w logice dodatniej przechodzi w obietnicę w logice ujemnej.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, jeśli brudne to „możesz” ~> dostać lanie, logika dodatnia bo L

B~>L = ~B=>~L - prawo Kubusia

Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B => ~L - obietnica, jeśli czyste spodnie to „na pewno” => nie dostaniesz lania, logika ujemna bo ~L


3.0 Operatorowa definicja równoważności

Zacznijmy od zero-jedynkowej definicji implikacji prostej.

p q p=>q = ~p+q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Operowanie w kodzie maszynowym czyli zerach i jedynkach to średniowiecze. Po wynalezieniu mikroprocesora człowiek zrozumiał to błyskawicznie i wynalazł język symboliczny zwany asemblerem. Asembler to po prostu krystalicznie czysta algebra Boole’a zapisana w języku symbolicznym, to fundament wszelkich innych języków programowania. W dowolnym mikroprocesorze asembler jest tylko jeden, zaś języków wysokiego poziomu zbudowanych na fundamencie asemblera może być nieskończenie wiele.

Twierdzenie3.0
Każdy program napisany w dowolnym języku wysokiego poziomu można napisać bezpośrednio w języku asemblera. Odwrotnie nie zachodzi.

Przejdźmy zatem jak najszybciej na symboliczną definicji implikacji.

Przyjmijmy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd symboliczna definicja implikacji:

p q p=>q
p q =1
p ~q=0
~p ~q =1
~p q =1

Definicja implikacji to po prostu pierwsza linia tabeli symbolicznej.

p=>q =1
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Twarda prawda dla każdego p

Druga linia w zapisie symbolicznym jest oczywistością.
p=>~q =0
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q
Twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Na razie wszystko jest piękne.
Idźmy za ciosem i zapiszmy trzecią linię w postaci implikacji prostej.
~p=>~q =1
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q
Twarda prawda dla każdego ~p wymuszona operatorem implikacji prostej „na pewno” =>

Ostatnia linia w zapisie symbolicznym musi wyglądać tak:
~p=>q = 0 !
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie q
Tu musi być twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy.

Zauważmy, że znaleźliśmy się w definicji równoważności.

Tabela symboliczna definicji równoważności:
p q p<=>q
p q =1
p ~q =0
~p ~q =1
~p q =0
stąd dla wszystkich przyzwyczajonych do zer i jedynek.

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0
gdzie:
<=> - matematyczny operator równoważności

Oczywiście o zachodzącej równoważności decyduje zawartość p i q a nie znaczek <=>.

Przykład 3.0
1 1 =1 - zdanie wypowiedziane
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
1 0 =0
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R = 0 - twardy fałsz
0 0 =1
Jeśli trójkąt nie ma wszystkich kątów równych to „na pewno”=> nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - twarda prawda
0 1 =0
Jeśli trójkąt nie ma wszystkich kątów równych to „na pewno”=> jest równoboczny
~K60=>R =0 - twardy fałsz

Stąd operatorowa definicja równoważności w równaniach matematycznych:

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej

Tabela A1.
A1: p=>q = ~p+q =1
B1: p=>~q = ~p+~q =0
C1: ~p=>~q = p+~q =1
D1: ~p=>q = p+q =0

Z tabeli symbolicznej równoważności widać, że p i q możemy zamieniać miejscami, czyli zachodzi także:

Tabela A2.
A2: q=>p = ~q+p =1
B2: q=>~p = ~q+~p =0
C2: ~q=>~p = q+~p =1
D2: ~q=>p = q+p =0

Z powyższego mamy dwie równoważne definicje równoważności.

Definicja 1
Równoważność to wynikanie w dwie strony
czyli:
zachodzi jednocześnie twarda prawda w p=>q i q=>p.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
Definicja równoważności w równaniu matematycznym:
(p=>q)*(q=>p) = (~p+q)*(~q+p) = ~p*~q+~p*p+q*~q+q*p = p*q+~p*~q
bo fundamentalne prawo algebry Boole’a:
A*~A=0
czyli:
~p*p=0 i q*~q=0

Definicja 2
Równoważność to wynikanie p=>q i ~p=>~q
czyli:
zachodzi jednocześnie twarda prawda w p=>q i ~p=>~q

Ta definicja wynika bezpośrednio z tabeli A1.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)(~p=>~q) = (~p+q)(p+~q) = (~p+q)(~q+p) = p*q+~p*~q
mamy dokładnie to samo co w definicji 1

Definicja równoważności 2 nie jest znana człowiekowi, ale jak widać w przykładzie wyżej, działa doskonale bo musi działać.


3.1 Operatorowa definicja implikacji prostej

Próba zdefiniowania operatorowej definicji implikacji prostej (wyżej) przy pomocy jedynie słusznego operatora => zakończyła się fiaskiem, wylądowaliśmy w definicji równoważności.

Co zatem robić ?
Skorzystać z praw Kubusia !

Pierwsze dwie linie operatorowej definicji implikacji prostej mamy pewne.

Definicja implikacji prostej:
p=>q =~p+q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q

Operatorowa definicja implikacji prostej w równaniach matematycznych:

A: 1 1 =1
A: p=>q = ~p+q =1
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Twarda prawda wynikająca z definicji implikacji
B: 1 0 =0
B: p=>~q = ~p+~q =0
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q
Twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Prawa Kubusia zastosowane do równań A i B
A: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację prostą
B: p=>~q = ~p~>q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację prostą

Jak widać, w tym miejscu przechodzimy z implikacji prostej na implikację odwrotną. Implikacja w logice dodatniej p=>q mówi nam co się stanie jeśli zajdzie warunek p, natomiast implikacja w logice ujemnej ~p~>~q (ujemna bo ~q) mówi nam co się stanie gdy zajdzie ~p. Zdanie ~p~>~q, będące zdaniem równoważnym do wypowiedzianego p=>q traktujemy jako zdanie nowo wypowiedziane (1 1 =1) podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q

C: 1 1 =1 - nowo wypowiedziane zdanie, implikacja odwrotna
C: ~p~>~q = ~p+q =1
Jeśli zajdzie ~p to „może” ~> zajść ~q
LUB
D: 1 0 =1 - na podstawie zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej
D: ~p~>q = ~p+~q =1
Jeśli zajdzie ~p to „może” zajść q

Jak widać, mamy wreszcie w wyniku trzy jedynki i jedno zero czyli piękną definicję implikacji prostej. Zauważmy, że w zachodzi B=D w równaniach matematycznych, ale nie zachodzi tożsamość w zerach i jedynkach wynikowych B=0 i D=1. Przyczyną są tu dwie różne definicje, implikacji prostej => w liniach A,B oraz implikacji odwrotnej ~> w liniach C,D których nie wolno mieszać.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
A: p=>q =1 - twarda prawda
B: p=>~q =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
czyli:
C: ~p~>~q =1
LUB
D: ~p~>q =1

Zauważmy, że po opuszczeniu operatorów jesteśmy z powrotem w definicji symbolicznej implikacji prostej.

A: p q =1
B: p ~q =0
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1

Stąd łatwo powrócić z naszych wojaży do zero-jedynkowej definicji implikacji prostej.

Przyjmujemy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1 i ~q=0

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Mamy z powrotem to, co niektórzy kochają najbardziej, idiotyczne zera i jedynki, czyli kod maszynowy „mikroprocesora” w naszym mózgu.

Przykład 3.1
Chrystus:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z = 1 - twarda prawda

Analiza:
Kto wierzy ten „na pewno” => będzie zbawiony
W=>Z =1
Kto wierzy, ten ma 100% gwarancję zbawienia

Kto wierzy ten „na pewno” => nie będzie zbawiony
W=>~Z =0
Twardy fałsz wymuszony przez powyższą twardą prawdę

Prawo Kubusia:
W=>Z = ~W ~>~Z - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

… a co będzie z człowiekiem który nie wierzy ?

Kto nie wierzy ten „może” ~> nie być zbawiony
~W ~> ~Z =1
LUB
Kto nie wierzy ten „może” być zbawiony
~W ~> Z =1

Z powyższego wynika, że Chrystus ma prawo do darowania dowolnego grzechu i nie zostanie kłamcą. Nie ma takiej kary, którego Chrystus czy człowiek nie mieliby prawa darować, inaczej ich wolna wola leży w gruzach.

Przykłady:
Chrystus i zbrodniarz na Krzyżu
JPII i Ali Agca

Bóg stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje czyli:

Logika Boga = logika człowieka = algebra Boole’a

… co wynika z powyższej analizy matematycznej, identycznej zarówno dla Boga jak i człowieka.


3.2 Obietnice i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę, poza tym wszystko może się zdarzyć.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” ~> zostać ukarany ale nie muszę, bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary.

Prawo Kubusia:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Stąd gwarancja w dowolnej groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary, poza tym wszystko może się zdarzyć.

Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej, zaś wszelkie groźby podlegają pod definicję implikacji odwrotnej.

Zauważmy, że zdanie:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z - groźba
Jest groźbą podlegającą pod definicję implikacji odwrotnej, operator „może” ~>.

Możemy zatem albo analizować tą groźbę w oparciu o definicję implikacji odwrotnej (o której dalej), albo zamienić ją na równoważną implikację prostą korzystając z prawa Kubusia.

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
czyli:
~W~>~Z = W=>Z - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
W=>Z - obietnica
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Z całą pewnością analiza implikacji w logice dodatniej W=>Z (dodatnia bo Z) będzie prostsza.
To co wyżej jest zgodne z dwoma wnioskami z praw Kubusia.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi, że matematycznie 2+2=5 !

Przykład obietnicy:
A: Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
A: W=>Z - obietnica w logice dodatniej bo Z (bez negacji ~)

Ta sama obietnica w logice ujemnej przechodzi w groźbę:
B: Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
B: ~W ~> ~Z - groźba w logice ujemnej bo ~Z (jest negacja~)

Zauważmy, że nie ma znaczenia czy Chrystus powie zdanie A czy B bo matematycznie to dwa absolutnie równoważne zdania.

Groźba w logice dodatniej:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba w logice dodatniej bo L (nie zanegowane)
Jeśli ubrudzę spodnie to „mogę” ~> dostać lanie, ale nie muszę bo ojciec ma prawo do darowania kary. Wiedzą o tym wszystkie dzieci w przedszkolu.


3.3 Katastrofalne skutki pomylenia operatorów w logice

Pomylenie operatorów, czyli zastosowanie operatora implikacji prostej do ewidentnej groźby to błąd fatalny, którego nawet dziecko w przedszkolu nie popełni (dowód wyżej).

Robią to niestety dzisiejsi logicy z Klasycznego Rachunku Zdań, dla których jedynie słuszną definicją implikacji w logice jest definicja implikacji prostej, czyli groźbę kodują i analizują tak.

Zdanie wypowiedziane:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W => ~Z

Analiza matematyczna w wykonaniu logików z KRZ:
Kto nie wierzy ten „na pewno” => nie będzie zbawiony
~W => ~Z =1 - twarda prawda
Czyli wszyscy nie wierzący na 100% do piekła np. Żydzi, Buddyści …
Tu Chrystus jest psychopatą.

Kto nie wierzy we ten „na pewno” => będzie zbawiony
~W=>Z =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Czyli zakaz wpuszczania do nieba jakiegokolwiek innowiercy.
Zauważmy, że Chrystus pozbawiony jest wolnej woli, nie może darować nikomu kto w niego nie wierzy.

Prawo Kubusia:
~W=>~Z = W~>Z - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Kto wierzy ten „może” ~> być zbawiony
W~>Z =1
Tu jest obietnica zbawienia dla wierzących ale nie 100% bo może się zdarzyć, że …
LUB
Kto wierzy ten „może” ~> nie być zbawiony
W~>~Z =1
… Chrystus wierzącego w niego człowieka pośle do piekła.

Jak widać, ta analiza jest kompletnie bez sensu. Chrystus nie jest tu wyjątkiem. Zastosowanie implikacji prostej do obsługi dowolnej groźby wypowiedzianej przez człowieka, robi z niego psychopatę i idiotę.

Czy można się dziwić współczesnym logikom twierdzącym że:
„Logika człowieka nie istnieje”

Bez akceptacji implikacji odwrotnej ~> na równych prawach z implikacja prostą =>, tak właśnie musiało wyjść. W dniu dzisiejszym definicji implikacji odwrotnej nie ma w żadnym podręczniku szkolnym, nie ma w żadnej encyklopedii … najwyższy czas to zmienić !


3.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
N: p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1
D: ~p q =0

gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej w równaniach matematycznych.

p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q

Do obsługi tej części definicji stosujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej
A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane
A: p~>q = p+~q =1
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
LUB
B: 1 0 =1
B: p~> ~q = p+q =1
Jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q

Prawa Kubusia dają odpowiedź na pytanie co będzie gdy p nie zajdzie (~p).
A: p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą (gwarancja)
B: p~> ~q = ~p =>q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

W tym miejscu przeskakujemy z definicji implikacji odwrotnej na definicję implikacji prostej, zgodnie z prawami Kubusia. Zdanie ~p=>~q traktujemy zatem jako nowo wypowiedziane (1 1 =1) podlegające pod definicję zero-jedynkową implikacji prostej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q

C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane
C: ~p=>~q = p+~q = 1
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q
Twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej p~>q
D: 1 0 =0
D: ~p=>q = p+q =0
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” => zajdzie q
Twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Jak widać, mamy wyżej trzy jedynki i jedno zero czyli piękną implikację odwrotną. Oczywiście zero-jedynkowo dwie pierwsze linie podlegają pod implikację odwrotną ~> zaś dwie ostatnie pod implikację prostą =>, dlatego mamy niezgodność w zerach i jedynkach wynikowych w liniach B=1 i D=0.
W równaniach matematycznych wszystko jest w porządku czyli:
A=C i B=D - prawa Kubusia

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
A: p~>q =1
LUB
B: p~> ~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda
D: ~p=>q =0 - twardy fałsz

Wracamy z dalekiej podróży z powrotem do definicji zero-jedynkowej implikacji odwrotnej.

Opuszczamy operatory wracając do definicji symbolicznej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1
D: ~p q =0

Oczywiście przyjmujemy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Definicja zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
Mamy dokładnie to co fanatycy zer i jedynek lubią najbardziej, tyle że to średniowiecze.

Przykład 3.4
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Implikacja odwrotna bo to jest groźba.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~>~L = 1
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary

Prawo Kubusia jest odpowiedzią na pytanie co może się stać gdy wrócę w czystych spodniach.
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

~B => ~L =1 - twarda prawda bo implikacja prosta
Jeśli przyjdziesz w czystych (~B) spodniach to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć.
Zauważmy, że to jest niezwykle silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć tak:
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.

Zauważmy, że powyższa gwarancja jest identyczna jak w typowej obietnicy, podlegającej pod implikację prostą.

Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=Z
Jeśli wierzysz to „na pewno” => będziesz zbawiony bo wierzyłeś we mnie. Wszystko inne może się zdarzyć.

~B =>L =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli przyjdziesz w czystych (~B) spodniach to „na pewno” => dostaniesz lanie
Fałsz, czyli zakaz lania z powodu czystych spodni.

Wykonajmy teraz dowód poprawności prawa Kubusia w praktyce.

Obietnica przeanalizowana w przykładzie 3.1
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z

Prawo Kubusia:
W=>Z = ~W ~> ~Z - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
czyli w tym przypadku:
Prawo zamiany obietnicy na równoważną groźbę

Przykład 3.5
Zdanie wypowiedziane:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W ~> ~Z - ewidentna groźba podlegająca pod implikację odwrotną

Analiza:
Kto nie wierzy ten „może” ~> nie być zbawiony
~W ~> ~Z =1
LUB
Kto nie wierzy ten „może” ~> być zbawiony
~W ~>Z =1
Nie ma takiej kary której Bóg lub człowiek nie mieliby prawa darować, inaczej ich wolna wola leży w gruzach

Prawo Kubusia:
~W ~> ~Z = W=>Z - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą

Kto wierzy ten „na pewno” => zbawiony
W=>Z =1 - twarda prawda, gwarancja zbawienia
Kto wierzy ten „na pewno” => nie zbawiony
W=> ~Z =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Jeśli porównamy przykłady 3.1 i 3.5 to łatwo zobaczymy, że są identyczne co świadczy o poprawności praw Kubusia.


4.0 Warunki wystarczające i konieczne

Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q występuje w implikacji odwrotnej.

4.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
Zajście p gwarantuje zajście q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Metody badania warunku wystarczającego w implikacji prostej:
A.
Dla każdego przypadku spełniającego warunek p musi zachodzić warunek q
B.
Wystarczy znaleźć jeden przypadek dla którego zachodzi warunek p i nie zachodzi warunek q, aby wykazać, że warunek wystarczalności nie zachodzi.
C.
Można skorzystać z definicji implikacji prostej.
p=>q = p + ~q = ~(p*~q) - definicje implikacji prostej
~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie warunek p i nie zajdzie q
czyli:
p=>q = ~(p*~q) =1
Negujemy dwustronnie:
~(p=>q) = p*~q = 0
Brak warunku wystarczającego (0=fałsz) wystąpi wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego p, zajdzie warunek p i nie zajdzie q

Przykład 4.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
A - prawda
Dla każdej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
C - prawda
~(p*~q) = ~(P8*~P2) - gwarancja spełniona
Nie istnieje liczba podzielna przez 8 i niepodzielna przez 2

Przykład 4.1A
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 2
P5=>P2
B - implikacja fałszywa bo 5 jest podzielne przez 5 i nie jest podzielne przez 2
C - implikacja fałszywa
~(p*~q) = ~(P5*~P2) - gwarancja
Nie istnieje liczba podzielna przez 5 i niepodzielna przez 2
Gwarancja złamana bo 5 jest podzielne przez 5 i niepodzielne przez 2


4.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

Twierdzenie 4.2
Badanie warunku koniecznego w implikacji odwrotnej p~>q jest równoważne z badaniem warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej q=>p.

Zamiast szukać warunku koniecznego w implikacji P2~>P8 możemy szukać warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej P8=>P2. Ta metoda jest często najprostsza i najszybsza. Do dyspozycji mamy tu wszystkie metody badań opisane w punkcie wyżej.

W implikacji odwrotnej mamy dodatkową możliwość wynikającą z prawa Kubusia.
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
CH~>P = ~CH => ~P - prawo Kubusia
~CH => ~P
Nie ma chmur to "na pewno" => nie będzie padać
Brak chmur jest oczywistym warunkiem wystarczającym braku deszczu, czyli w implikacji odwrotnej CH~>P zachodzi warunek konieczności.

Zauważmy , że w powyższym zdaniu warunek konieczności jest oczywistością:
Nie ma chmur, nie ma deszczu
zatem chmury są warunkiem koniecznym deszczu.

Twierdzenie 4.2A
Matematyczne gwarancje dla wszystkich czterech możliwych przypadków implikacji, wynikające z definicji implikacji, są identyczne.

Możliwe cztery przypadki implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
Gwarancja dla powyższej implikacji wynikająca z definicji.
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) = ~(~CH*P) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.

Implikacja odwrotna do powyższej:
Jeśli będzie padać to „na pewno” => będą chmury
P=>CH
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
~(p*~q) = ~(P*~CH) = ~(~CH*P) - gwarancja identyczna jak wyżej
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur.

4.3 Gwarancje w obietnicach i groźbach

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać

Gwarancja w implikacji prostej:
Spełnienie warunku nagrody W gwarantuje nagrodę N z powodu spełnienia warunku W. Poza tym wszystko może cie zdarzyć.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to muszę dostać komputer z powodu zdanego egzaminu

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary.

Gwarancja w implikacji odwrotnej.

W~>K = ~W => ~K – prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Wszystko inne może się zdarzyć.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdę w czystych spodniach, to nie mam prawa dostać lania z powodu czystych spodni.

Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć. Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć.

Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.


5.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a

Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.

Prawo sylogizmu w implikacji prostej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)

y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Przykład 5.1
[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość
gdzie:
P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 4
itd.

Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !

Prawo sylogizmu w implikacji odwrotnej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)

[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
Zauważmy, że w implikacji prostej musi zachodzić warunek wystarczający między p i q, zaś w implikacji odwrotnej musi zachodzić warunek konieczny między p i q, inaczej oba te prawa nie działają. Ustalenie warunku koniecznego jest równie trywialne jak warunku wystarczającego (pkt.4.2).

Oczywiście prawa Kubusia działają zawsze:
p~>q = ~p=>~q
Stąd zapis równoważny powyższego prawa:
[(~a=>~b)*(~b=>~c)] => ~a=>~b

Dowód zero-jedynkowy
Kod:

a b c (a~>b)  (b~>c)    (a~>b)*(b~>c)   (a~>c)  Y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0   1       1             1           1     1
0 0 1   1       0             0           0     1
0 1 0   0       1             0           1     1
0 1 1   0       1             0           0     1
1 0 0   1       1             1           1     1
1 0 1   1       0             0           1     1
1 1 0   1       1             1           1     1
1 1 1   1       1             1           1     1

W ostatniej kolumnie Y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.

Przykład 5.2

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość

P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8

Zauważmy coś bardzo ważnego:

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t

Spójnik "na pewno" użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !


6.0 Fałszywe prawa kontrapozycji w logice klasycznej

Prawa kontrapozycji w logice klasycznej:
p=>q = ~q => ~p
q=>p = ~p => ~q
są poprawne wyłącznie dla równoważności.

W implikacji prawa kontrapozycji są błędne matematycznie. Mimo pozornego podobieństwa do praw Kubusia to zupełnie inna bajka, fałszywa bajka.


6.1 Równania równoważnościowe

Zbudujmy tabelę prawdy dla równoważności p<=>q I q<=>p. Oczywiście w równoważności zamiana argumentów nie powinna mieć żadnego znaczenia. We wszystkich przypadkach mamy tu do czynienia z identycznym operatorem równoważności <=>.

Kod:
A1: p<=>q = p*q+~p*~q           A2: q<=>p = q*p + ~q*~p
B1: p<=>~q = p*~q+ ~p*q =0      B2: q<=>~p = q*~p + ~q*p =0
C1: ~p<=>~q = ~p*~q + p*q       C2: ~q<=>~p = ~q*~p + q*p
D1: ~p<=>q = ~p*q + p*~q =0     D2: ~q<=>p = ~q*p + q*~p =0


W równoważności mamy na mocy definicji:
p*q=1 i ~p*~q=1
gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
W pozostałych kombinacjach p i q wynik jest równy zeru czyli:
p*~q =0
~q*p=0

Z tego wynika, iż wartość logiczna równań B1,B2,D1,D2 jest równa zeru. W równoważności te linie można pominąć. Nie robimy tego ze względu na analogię do implikacji o której za chwilę.

W równoważności spełnione są tożsamości we wszelkich możliwych kombinacjach: w pionie, w poziomie i po przekątnych.

Równoważności w pionie:
(A1=C1)*(B1=D1) = 1*1=1
(A2=C2)*(B2=D2) = 1*1=1

Równoważności w poziomie:
(A1=A2)*(B1=B2) = 1*1=1
(C1=C2)*(D1=D2) = 1*1=1

Równoważności po przekątnych:
(A1=C2)*(B1=D2) = 1*1=1
(A2=C1)*(B2=D2)=1*1=1


6.2 Równania implikacyjne

W implikacji nie można zamieniać poprzednika z następnikiem jak wyżej w równoważności bo p=>q i q~>p to dwa zupełnie różne zdania.

Wszelkie błędy w logice klasycznej wynikają z nie uznawania za legalną definicji implikacji odwrotnej i związanego z nią operatora „może” ~>. W języku mówionym człowiek używa implikacji odwrotnej równie często jak implikacji prostej. Tak więc aby opisać matematycznie język mówiony niezbędne są obie definicje. Istotę błędu najlepiej widać na przykładzie podręcznika matematyki dla pierwszej klasy LO.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym zajścia q.
Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q to q jest warunkiem koniecznym dla p

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zajście p jest warunkiem koniecznym dla q
Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q to q jest warunkiem wystarczającym dla p

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Wniosek z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami.

Każdy kto dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q koduje tym samym operatorem np. => twierdzi, że matematycznie 2+2=5 !
Dowód w pkt. 2.5

Zajrzyjmy do podręcznika matematyki dla I klasy LO. Widzimy definicję implikacji prostej identyczną jak wyżej, identyczny jest też opis warunku wystarczającego i koniecznego. O definicji implikacji odwrotnej oczywiście ani śladu bo ta jest nielegalna w dzisiejszej matematyce.

Dalej mamy tabelkę:
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~q

Pod którą autor stwierdza, że zachodzą tożsamości po przekątnych:
(A1=C1) p=>q = ~q => ~p
(A2=C1) q=>p = ~p => ~q

Oba powyższe prawa są błędne matematycznie, ponieważ w implikacji nie wolno zamieniać p I q (przeczenia są tu nieistotne). Poza tym tabela nie zawiera kompletnych operatorów implikacyjnych o czym będzie dalej. Tabela i wzory są poprawne ale wyłącznie dla równoważności, nigdy implikacji.

Jak widać, w dzisiejszej logice punktem odniesienia jest jedynie słuszne zdanie w implikacji prostej, gdzie p i q są ustalone sztywno.

p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
Gdzie p jest musi być warunkiem wystarczającym dla q

Implikacja odwrotna będzie w tym przypadku miała zapis:
q~>p
Jeśli zajdzie q to „może” ~> zajść p
Gdzie q musi być warunkiem koniecznym dla p

Z powyższego widać pierwszy błąd w tabelce podręcznika logiki. Zapis A2 (q=>p) jest błędny. Nie możemy tu użyć operatora implikacji prostej „musi” =>, bowiem po zamianie p i q mamy do czynienia z operatorem implikacji odwrotnej „może” ~>.

Dowód równoważny.
Powyższa tabelka w pionie jest matematycznie błędna, bowiem zgwałcone zostały prawa Kubusia. Implikacje różniące się między sobą wyłącznie zanegowanymi p i q musimy zapisywać przeciwnymi operatorami.

Jeśli poprawimy ten oczywisty błąd w tabelce to otrzymamy z prawej strony prawa Kubusia. Z lewej strony tabelki też muszą obowiązywać prawa Kubusia.

Poprawna i kompletna tabela wygląda tak.
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  q~>p = q+~p
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  q~>~p = q+p
C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~q=>~p = q+~p
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~q=>p = q+p


Prawe strony równań wynikają bezpośrednio z definicji.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Z powyższej tabeli widać, że w implikacji musimy badać czy zachodzą tożsamości dla kompletnych operatorów.

W tabeli mamy cztery kompletne operatory:
[A1,B1], [C1,D1], [A2,B2], [C2,D2]

W implikacji nie można badać tożsamości na fragmencie kompletnego operatora np.
A1=C2
czyli:
p=>q = ~q=>~p - fałszywe prawo kontrapozycji w implikacji
To jest czysto matematyczny błąd, mimo że zachodzą tożsamości w zerach i jedynkach.

W poprawionej tabelce zachodzą bezdyskusyjne tożsamości w pionie (prawa Kubusia):
(A1=C1)*(B1=D1) = 1*1=1
(A2=C2)*(B2=D2) = 1*1=1
bo prawe strony równań są równe.
Jak widać, tożsamości muszą zachodzić dla kompletu operatorów => i ~>.

Oczywiście nie zachodzą tożsamości w poziomie:
(A1=A2)*(B1=B2) = 0*0=0
(C1=C2)*(D1=D2) = 0*0=0

Nie zachodzą też tożsamości po przekątnych:
(A1=C2)*(B1=D2) = 1*0 =0
(A2=C1)*(B2=D1) = 1*0=0

Zauważmy, że jeśli potraktujemy implikację jako równoważność, w której zamiana p i q jest dopuszczalna, to będą zachodzić tożsamości po przekątnych !

(A1=C2) =1
(A2=C1) =1

Ponieważ w równoważności mamy:
B1=D2=B2=D1 =0 !

W implikacji nie zachodzą tożsamości ani po przekątnych, ani w poziomie bowiem w implikacji nie wolno zamieniać poprzednika z następnikiem.

Alternatywny dowód matematyczny, iż prawo kontrapozycji jest błędne w przypadku implikacji.

Prawo kontrapozycji:
A1=C2
p=>q = ~q=>~p

Prawo Kubusia:
A2=C2
q~>p = ~q=>~p

Z powyższego otrzymujemy matematyczny nonsens:
p=>q = q~>p - bo prawe strony równań są identyczne

W implikacji prawo kontrapozycji trzeba wyrzucić do kosza, ponieważ w implikacji nie wolno zamieniać p i q. Tabela prezentowana w podręczniku matematyki dla pierwszej klasy LO jest zatem błędna.


6.3 Porównanie praw Kubusia z prawami kontrapozycji

Prawa Kubusia to fundamentalnie co innego niż prawa kontrapozycji, co pokazano wyżej.

Fundamentalne różnice między tymi prawami najlepiej widać na przykładzie.

Implikacja prosta

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

… a jeśli nie zdam egzaminu ?

E=>K = ~E ~> ~K - prawo Kubusia
~E ~> ~K
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera - naturalny język człowieka

E=>K = ~K=>~E - prawo kontrapozycji
~K=>~E
Jeśli nie dostaniesz komputera to nie zdasz egzaminu - zamieniona przyczyna ze skutkiem, bez sensu

Implikacja odwrotna

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

… a jak nie ubrudzę ?

B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
~B => ~L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania - naturalny język człowieka

B=>L = ~L => ~B - prawo kontrapozycji
~L => ~B
Jeśli nie dostaniesz lania to nie ubrudzisz spodni - zamieniona przyczyna ze skutkiem, bez sensu
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:12, 25 Sie 2008    Temat postu:

Wersja Beta 2.0

Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.2.1 Definicja implikacji prostej
2.2.2 Definicja implikacji odwrotnej

3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1.1 Obietnica
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2.1 Groźba
3.3 Operatorowa definicje implikacji prostej
3.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

4.0 Kwadrat logiczny równoważności
4.1 Kwadrat logiczny implikacji
4.2 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

5.0 Warunki wystarczające i konieczne
5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej
5.3 Gwarancje w obietnicach i groźbach

6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
7.0 Podsumowanie


Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Zbanowany Uczy napisał:
Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu)

Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum SFINIA po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Logika człowieka = algebra Boole’a !

Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


2.0 Rewolucja w logice klasycznej

Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.

2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana

Definicja operatora AND
Kod:
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0


Definicja operatora OR
Kod:
p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)

Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
Kod:

p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   1    0  1    0        1
0 0   0    1  1    1        0
0 1   1    1  0    0        1

Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej

Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Kod:

p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   0    0  1    1        0
0 0   0    1  1    1        0
0 1   0    1  0    1        0

Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.

Zauważmy, że abstrahujemy tu od szczegółów i nie pytamy na razie czym jest suma logiczna a czym iloczyn logiczny w języku mówionym człowieka, w tym momencie to nas zupełnie nie interesuje. Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne. Równie dobrze moglibyśmy je nazwać Babla a drugi Bleble … byleby nazwy i symbole operatorów były różne.

Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !


2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q

Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały. To są fundamentalne prawa algebry Boole’a analogiczne do praw de’Morgana i nigdy nie mogą być gwałcone w całym zakresie tej algebry.

Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)

Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+). Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>. Zajrzyjmy w tym celu do podręcznika matematyki dla I klasy LO, aby podejrzeć słowną definicję implikacji prostej.


2.2.1 Definicja implikacji prostej

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Zajście p gwarantuje zajście q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
czyli:
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Implikacja prosta:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy
Czyli:
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
p=>q =1
Z powyższego wynika że:
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - twardy fałsz
p=>~q
Mamy zatem rozszyfrowany symbol implikacji prostej =>.
=> - matematyczny operator implikacji prostej, spójnik „musi”, „na pewno” między p i q

Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q, to w drugą stronę q jest warunkiem koniecznym dla p. Wypowiedzmy teraz zdanie odwrotne do powyższego.

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa
czyli:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
p~>q =1 - zapis ogólny
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L~> ~P =1 bo słoń, lis, zając …
p~> ~q =1 - zapis ogólny
Zauważmy, że spójnik „może” ~> to naturalna logika człowieka, algebra Boole’a.

W implikacji odwrotnej może zajść wyłącznie:
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p~>q
LUB
Jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q
p~>~q
Ponieważ p jest warunkiem koniecznym dla q to jedno z tych równań musi zajść, nie wiadomo które. Oczywistym jest, że suma logiczna tych zdań musi być tautologią, zdaniem zawsze prawdziwym czyli:
(p~>q)+(p~>~q) = 1
Sprawdźmy czy zachodzi powyższa tautologia.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
Korzystając z definicji mamy:
(p~>q)+(p~>~q) = (p+~q)+[p+~(~q)]=(p+~q)+(p+q) = p+~q+p+q = p+~q+q = p+1=1
bo prawa algebry Boole’a:
~(~q)=q
p+p=p
~q+q=1
p+1=1
CND

Zauważmy, że tym sposobem rozszyfrowaliśmy symbol implikacji odwrotnej, jako spójnik „może” między p i q. Stąd łatwo możemy opisać słownie definicję implikacji odwrotnej.


2.2.2 Definicja implikacji odwrotnej

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy u zwierzęcia jest warunkiem koniecznym, aby być psem

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q


3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej

Jakkolwiek byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli, to między nimi muszą zachodzić prawa Kubusia.

p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Przykład 3.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
A: P8=>P2 =1 - twarda prawda
Zajście P8 jest wystarczające dla zajścia P2
Oczywiście powyższa twarda prawda generuje poniższy twardy fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
B: P8=> ~P2 =0 - twardy fałsz

… a co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?

P8=>P2 = ~P8~>~P2 - prawo Kubusia
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” => być niepodzielna przez 2
C: ~P8~>~P2 =1 - zdanie prawdziwe bo 3
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
D: ~P8~>P2 =1 zdanie prawdziwe bo 2

Jak widać w implikacji odwrotnej „może” ~> wystarczy podać jeden element spełniający warunek p dla którego implikacja jest prawdziwa. W implikacji prostej „musi” =>, zdanie musi być prawdziwe dla każdego elementu spełniającego warunek p.

Oczywiście nie jest tak jak to tłumaczą podręczniki szkolne, że wypowiadając zdanie A nadawca nie powiedział co będzie gdy warunek p nie jest spełniony i dlatego może zajść C lub D - to idiotyzm. Zdania C i D wynikają z praw Kubusia a nie z chciejstwa człowieka. Prawa Kubusia to matematyka ścisła, algebra Boole’a, niezależna od tego czego człowiek nie powiedział. Zobaczmy przykład tego typu radosnej, podręcznikowej twórczości.


3.1.1 Obietnica

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

Matematyka dla liceum napisał:

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie G=>C będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p.

Przeanalizujmy to zdanie przy pomocy praw Kubusia.

Definicja obietnicy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Z powyższego wynika że:
Jeśli dowolny warunek to nie nagroda
W=>~N =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a. To czego człowiek nie powiedział jest matematycznie bez znaczenia.

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1

W przypadku gdy warunek nagrody nie zostanie spełniony, ojciec może zrobić co mu się podoba, czyli dać albo nie dać czekoladę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Zwróćmy uwagę na gwarancję w implikacji prostej.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny, wszystko inne może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie matematycznej.

Dokładnie to samo uzyskujemy z równania matematycznego, opisującego implikację prostą.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Czyli:
G=>C = ~(G*~C) =1 (prawda)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady.
Negując powyższe równanie dwustronnie możemy się dowiedzieć kiedy ojciec będzie kłamcą
~(G=>C) = G*~C =0 (kłamstwo)
Ojciec będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy syn będzie grzeczny i nie dostanie czekolady z powodu że był grzeczny. Poza tym wszystko może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie.


3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej

Rozważmy zdanie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ??? ~C
Co wstawić w miejsce ???, operator => czy ~> ?

Przypomnijmy sobie zdanie analizowane w poprzednim punkcie:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
oraz drugi wniosek z praw Kubusia:

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Odpowiedź jest jasna, kodowanie może być tylko i wyłącznie takie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C =1
Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” dostać czekoladę
~G ~> C

Bo prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C
nie może być gwałcone !

Zdanie ~G~> ~C to ewidentna groźba, skąd wniosek iż wszelkie groźby musimy kodować przy pomocy implikacji odwrotnej.

Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej zaś wszelkie groźby pod definicję implikacji odwrotnej

Dowód wyżej.

3.2.1 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Oczywistym jest, że zamiast analizować groźbę:
~G~> ~C
Możemy analizować równoważną obietnicę:
G=>C
na podstawie prawa Kubusia:
~G~>~C = G=>C - prawo zamiany groźby na równoważną obietnicę

Stąd mamy dowód, iż gwarancja w implikacji odwrotnej jest identyczna jak w implikacji prostej:
G=>C
Jeśli będę grzeczny to „na pewno” dostanę czekoladę

Tą samą gwarancję możemy otrzymać z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja
czyli:
~G~> ~C = ~[~(~G)*(~C)] = ~(G*~C) =1 (prawda)
~(G*~C)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady
Negujemy powyższe równanie dwustronnie, by zobaczyć kiedy nadawca będzie kłamcą
~(~G~>~C) = G*~C =0 (fałsz)
Nadawca będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy będę grzeczny i nie dostanę czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ponieważ zdanie:
G=>C równoważne zdaniu ~G ~> ~C
analizowaliśmy wyżej, zatem nie musimy nic robić !

Przeanalizujmy typową groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem obowiązuje implikacja odwrotna
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy warunek ten będzie konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~> ~L =1
W przypadku brudnych spodni nadawca może robić co mu się podoba, walić albo darować (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą, co widać wyżej.

… a co będzie jeśli nie ubrudzę spodni ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli nie ubrudzisz to „na pewno” => nie dostaniesz lania
~B=> ~L =1 - twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej B~>L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Powyższa twarda prawda wymusza poniższy twardy fałsz:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lanie
~B=>L =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Powyższa gwarancja wynika także bezpośrednio z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Dla powyższej groźby:
B~>L = ~(~B*L) =1 (prawda)
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni
Negujemy powyższe równanie, by zobaczyć kiedy nadawca zostanie kłamcą
~(B~>L) = ~B*L =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.

Ta gwarancja jest typowa dla implikacji prostej, porównajmy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.


3.3 Operatorowa definicje implikacji prostej

Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji prostej:
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji.

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q = ~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Symboliczna definicja implikacji prostej:
A: p q =1
B: p ~q =0
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1

Gdzie:
p=0, ~p=1
q=1, ~q=0

W pierwszych dwóch liniach operatory są oczywiste:
A: p=>q =1
B: p=>~q =0
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p=>q = ~p~>~q - dla linii A
p=>~q = ~p~>q - dla linii B
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji prostej
C: ~p~> ~q =1
LUB
D: ~p~> q =1

Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=0 i D=1.

p=>q
Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji prostej
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - nowe zdanie (dlatego 1 1 =1), implikacja prosta
A: p=>q = ~p+q =1
B: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
B: p=>~q = ~p+~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
p=>~q = ~p~> q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Zauważmy, że przechodzimy tu z definicji implikacji prostej => do definicji implikacji odwrotnej ~>. To dwie zupełnie różne definicje, zatem zdanie ~p~>~q musimy traktować jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane (dlatego 1 1 =1), implikacja odwrotna
C: ~p~> ~q = ~p+q =1
LUB
D: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
D: ~p~> q = ~p+~q =1

Zauważmy, że w równaniach matematycznych mamy tożsamości A=C i B=D, natomiast różnica w wyniku B=0 i D=1 wynika z potratowania zdania ~p~>~q jako zupełnie nowego zdania podlegającego pod definicję implikacji odwrotnej.


3.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji odwrotnej:
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zwierz ę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji odwrotnej.

Zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q = p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1
D: ~p q =0

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

p~>q
Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji odwrotnej
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Operatory w dwóch pierwszych liniach to implikacja odwrotna.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane, implikacja odwrotna
A: p~>q = p+~q =1
LUB
B: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
B: p~> ~q = p+q =1
Prawa Kubusia dla powyższych linii:
p~>q = ~p => ~q
p~>~q = ~p=>q
Jak widać wkraczamy w obszar implikacji prostej, zatem traktujemy zdanie jako nowo wypowiedziane
(1 1 =1).
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - nowe zdanie, implikacja prosta
C: ~p=> ~q = p+~q =1 - twarda prawda
D: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
D: ~p=> q = p+q =0 - twardy fałsz

Zauważmy, że zachodzą równoważności A=C i B=D bo identyczne prawe strony równań. Różnica w wynikowych zerach i jedynkach w B=1 i D=0 wynika z różnych definicji implikacji.


4.0 Kwadrat logiczny równoważności

Znany człowiekowi kwadrat logiczny dotyczy równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


www.math.edu.pl/kwadrat-logiczny napisał:

Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to jego poprzednik p nazywamy założeniem, następnik q - tezą założenia.
Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.
Dla danej implikacji p=>q, którą nazywamy prostą, implikację q=>p nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej. Dla każdej implikacji prostej p=>q implikację ~q=> ~p nazywamy przeciwstawną, a implikację ~p=>~q - przeciwną. Implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne oraz implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne. Zależności te można przedstawić na kwadracie, który nazywa się kwadratem logicznym.

Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej samej przekątnej umieszczone są implikacje równoważne. Każda z par implikacji: prosta i przeciwna oraz odwrotna i przeciwstawna stanowi tzw. zamknięty układ implikacji
Dla dowodu twierdzenia postaci p<=>q, wystarczy udowodnić implikację prostą p=>q i odwrotną q=>p. Z kwadratu logicznego wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Autorowi Kubuś wręcza złoty medal za pomoc, dzięki. W kilku zdaniach mamy tu aktualny stan logiki klasycznej, beznadziejny stan logiki klasycznej. Ostatnie zdanie jest dowodem, że kwadrat dotyczy równoważności, pokazuje kiedy zachodzi równoważność.

Wyłącznie dla tego kwadratu poprawne są prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Użyta terminologia w kwadracie logiki:
p=>q - implikacja prosta
~p=>~q - implikacja przeciwna
q=>p - implikacja odwrotna
~q=>~p - implikacja przeciwstawna

Oczywiście cały kwadrat dotyczy p i q ustalonych na sztywno zdaniem bazowym:
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Po zamianie p i q mamy:
q=>p
Jeśli zajdzie q to „na pewno” => zajdzie p

Owszem, na pewno zajdzie ale wyłącznie w równoważności, nigdy w implikacji, dlatego cały ten kwadrat dotyczy równoważności. Równoważność zachodzi, gdy zachodzi wynikanie wzdłuż dowolnych boków kwadratu. Najfajniejsze są dwie równoważne definicje równoważności.

A: p=>q i q=>p - zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Sprawdźmy czy to jest równoważność korzystając z równania B.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość, twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Z powyższej analizy słownej łatwo można wyprowadzić definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
A*~A = 0 - prawo algebry Boole’a
stąd:
~p*p=q*~q=0

Z powyższego mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


4.1 Kwadrat logiczny implikacji

Kwadrat logiczny implikacji to po prostu operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej które doskonale znamy.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>p = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q
C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q


Wyprowadzenie kwadratu logicznego implikacji:

Zacznijmy od podręcznikowego kwadratu logicznego równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Znany ludziom kwadrat logiki jak wyżej dotyczy równoważności z bardzo prostego powodu. Nie ma w nim ani jednego operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, wszędzie występuje jedynie słuszny, komunistyczny operator „musi” =>.

Zróbmy trochę przekształceń typu hokus-pokus i przekształćmy go w kwadrat logiczny implikacji.

W implikacji „Jeśli…to…” zarówno prostej jak i odwrotnej po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p, zaś po „to” zawsze jest następnik q
p=>q - implikacja prosta
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p~>q - implikacja odwrotna
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q

Przerysujmy powyższy kwadrat tak, aby wszędzie po lewej stronie mieć poprzednik p korzystając z matematycznych tożsamości:
q=>p = p<=q
~q=>~p = ~p<=~q

Kod:

A1: p=>q     A2: p<=q

C1: ~p=>~q   C2: ~p<=~q


Zapiszmy teraz czarodziejskie zaklęcie hokus-pokus:
p~>q = p<=q

Dowód;
Kod:

p q p~>p p<=q
1 1  1    1
1 0  1    1
0 0  1    1
0 1  0    0

Równość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem, że tożsamość zachodzi.
Gdzie:
p~>q - znana nam doskonale definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
p<=q = p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zauważmy, że symbol p<=q może być czytany tylko i wyłącznie przeciwnie do strzałki jako spójnik „może”.
Matematycznie zachodzi:
p<=q = q=>p
… i tu jest wielki problem bo symbol => w tą stronę to zwykle operator implikacji prostej „musi” =>

Zobaczmy na przykładzie cały problem:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - to oczywistość
Matematycznie zachodzi:
A.
P8=>P2 = P2<=P8 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 - również oczywistość i pełna jednoznaczność
Matematycznie zachodzi:
P2~>P8 = P8<~P2 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Załóżmy teraz, że nie wprowadzamy nowego symbolu „może” ~> co matematycznie jest dopuszczalne. Ostatnie zdanie musimy zapisać tak:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2=>P8 - to jest idiotyzm, bo symbol => to operator „musi”.
Jedyna poprawna możliwość zapisu jest taka:
P2<=P8 - poprawny operator implikacji odwrotnej „może” <=, czytany przeciwnie do strzałki
Matematycznie zachodzi:
B.
P2<=P8 = P8=>P2 - prawa strona koliduje tu z lewą stroną równania A

Mamy:
P8=>P2 - prawa strona równania A, czytana zgodnie ze strzałką
P8=>P2 - lewa strona równania B, czytana przeciwnie do strzałki
Jeśli teraz zabierzemy opisy słowne to otrzymamy:
P8=>P2
P8=>P2
… no i niech się znajdzie mądry, który widząc powyższe zapisy odpowie na pytanie, który wzór opisuje implikację prostą, a który odwrotną, tzn. które równanie należy czytać zgodnie ze strzałką P8=>P2 (implikacja prosta) a które przeciwnie do strzałki P8=>P2 (implikacja odwrotna).

Jeśli do tego dołożymy prawo Kubusia które zawsze odwraca wektor => to idiotyzm będzie pełny.
Prawo Kubusia
P8=>P2 = ~P8<=~P2 - negujemy zmienne i odwracamy operator
Oczywiście matematycznie zachodzi:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
P2=>P8 = ~P8<=~P2
P2<=P8 = ~P2=>~P8
Matematycznie wszystkie powyższe równania są tożsame.
Jak widać, bez wprowadzenia operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, mamy wariatkowo.

Przerysujmy kwadrat logiki wprowadzając do niego spójnik implikacji odwrotnej „może” ~>.
p<=q = p~>q
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p=>~q   C2: ~p~>~q


Oczywiście prawa matematyczne po przekątnych dalej zachodzą, to prawa Kubusia. Zauważmy, że wszędzie z lewej strony mamy poprzednik p, niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta czy odwrotna, co jest zgodne z definicjami tych implikacji. Zamieńmy teraz dolny bok kwadratu miejscami, aby prawa Kubusia zachodziły w pionie, a nie po idiotycznych przekątnych.
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p~>~q   C2: ~p=>~q

Zauważmy, że teraz po przekątnych nie zachodzą żadne tożsamości. Dopiero teraz mamy w pionie dwa niezależne układy implikacyjne o których wspomina podręcznik matematyki do LO.

Oczywiście w pionach zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=> ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Lewą stronę kwadratu możemy łatwo uzupełnić o brakujące równania.

Zauważmy że jeśli zachodzi:
p=>q =1 - twarda prawda
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
to:
p=>~q =0 - twardy fałsz
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q

Z ostatniego równania na podstawie prawa Kubusia mamy:
p=>~q = ~p~> q

Lewą stronę kwadratu mamy zatem kompletną, to znana nam doskonale operatorowa definicja implikacji prostej. Rozumując identycznie z prawej strony kwadratu otrzymamy operatorową definicję implikacji odwrotnej. Możemy teraz łatwo narysować kompletny „kwadrat” implikacji, uzupełniony o tożsamości wynikłe z definicji implikacji prostej i odwrotnej.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>p = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q
C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Co było do wyprowadzenia ...

Doskonale widać zachodzące tożsamości.
Lewa strona:
A1=C1
B1=D1
Prawa strona:
A2=C2
B2=D2
bo prawe strony równań są identyczne.


4.2 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a. To czego człowiek nie powiedział jest matematycznie bez znaczenia.

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1


Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo kontrapozycji:
G=>C = ~C=>~G - prawo kontrapozycji
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” => nie będziesz grzeczny
~C => ~G =1 - twarda prawda
Z powyższej twardej prawdy wynika poniższy twardy fałsz:
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” będziesz grzeczny
~C => G =0 - twardy fałsz

Jak widać, na pytanie „co będzie jeśli nie będę grzeczny” prawo Kubusia odpowiada sensownie i na temat, tak odpowie każdy człowiek ! Natomiast odpowiedź prawa kontrapozycji na to samo pytanie jest zupełnie nie na temat czyli „rozmawia wariat z wariatem”. Prawa kontrapozycji są poprawne wyłącznie tam, gdzie wolno zamieniać poprzednik z następnikiem czyli w równoważności.


5.0 Warunki wystarczające i konieczne

Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q występuje w implikacji odwrotnej.

5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
Zajście p gwarantuje zajście q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Metody badania warunku wystarczającego w implikacji prostej:
A.
p=>q
Dla każdego przypadku spełniającego warunek p musi zachodzić warunek q
B.
Można skorzystać z definicji implikacji prostej.
p=>q = p + ~q = ~(p*~q) - definicje implikacji prostej
p=>q = ~(p*~q) =1 (prawda) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie warunek p i nie zajdzie q
C.
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~(p=>q) = p*~q = 0 (fałsz)
Wystarczy znaleźć jeden przypadek dla którego zachodzi warunek p i nie zachodzi warunek q, aby wykazać, że warunek wystarczalności nie zachodzi.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
A.
P8=>P2
Dla każdej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
B.
~(p*~q) = ~(P8*~P2) - gwarancja spełniona
Nie może się zdarzyć ~(…) że liczba jest podzielna przez 8 i niepodzielna przez 2

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 2
P5=>P2
B.
~(p*~q) = ~(P5*~P2)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 5 i nie jest podzielna przez 2
Zdarza się bo 5, warunek wystarczający nie zachodzi
C.
p*~q = P5*~P2 - wystarczy jeden element by warunek wystarczający nie zachodził
Warunek wystarczalności nie zachodzi bo 5 jest podzielne przez 5 i nie jest podzielne przez 2



5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

Twierdzenie 5.2
Badanie warunku koniecznego w implikacji odwrotnej p~>q jest równoważne z badaniem warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej q=>p.

Zamiast szukać warunku koniecznego w implikacji P2~>P8 możemy szukać warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej P8=>P2. Ta metoda jest często najprostsza i najszybsza. Do dyspozycji mamy tu wszystkie metody badań opisane w punkcie wyżej.

W implikacji odwrotnej mamy dodatkową możliwość wynikającą z prawa Kubusia.
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
CH~>P = ~CH => ~P - prawo Kubusia
~CH => ~P
Nie ma chmur to "na pewno" => nie będzie padać
Brak chmur jest oczywistym warunkiem wystarczającym braku deszczu, czyli w implikacji odwrotnej CH~>P zachodzi warunek konieczności.

Zauważmy , że w powyższym zdaniu warunek konieczności jest oczywistością:
Nie ma chmur, nie ma deszczu
zatem chmury są warunkiem koniecznym deszczu.

Twierdzenie 5.2A
Matematyczne gwarancje dla wszystkich czterech możliwych przypadków implikacji, wynikające z definicji implikacji, są identyczne.

Możliwe cztery przypadki implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
Gwarancja dla powyższej implikacji wynikająca z definicji.
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) = ~(~CH*P) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.

Implikacja odwrotna do powyższej:
Jeśli będzie padać to „na pewno” => będą chmury
P=>CH
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
~(p*~q) = ~(P*~CH) = ~(~CH*P) - gwarancja identyczna jak wyżej
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur.


5.3 Gwarancje w obietnicach i groźbach

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać

Gwarancja w implikacji prostej:
Spełnienie warunku nagrody W gwarantuje nagrodę N z powodu spełnienia warunku W. Poza tym wszystko może cie zdarzyć.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to muszę dostać komputer z powodu zdanego egzaminu

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary.

Gwarancja w implikacji odwrotnej:
W~>K = ~W => ~K – prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Wszystko inne może się zdarzyć.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdę w czystych spodniach, to „na pewno” => nie dostanę lania z powodu czystych spodni.

Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć. Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć:
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.

Zauważmy, że mamy tu pełną analogię do obietnicy wyżej.


6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a

Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.

Prawo sylogizmu w implikacji prostej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)

y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Przykład 6.1
[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość
gdzie:
P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 4
itd.

Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !

Prawo sylogizmu w implikacji odwrotnej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)

[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
Zauważmy, że w implikacji prostej musi zachodzić warunek wystarczający między p i q, zaś w implikacji odwrotnej musi zachodzić warunek konieczny między p i q, inaczej oba te prawa nie działają. Ustalenie warunku koniecznego jest równie trywialne jak warunku wystarczającego (pkt.5.2).

Oczywiście prawa Kubusia działają zawsze:
p~>q = ~p=>~q
Stąd zapis równoważny powyższego prawa:
[(~a=>~b)*(~b=>~c)] => ~a=>~b

Dowód zero-jedynkowy
Kod:

a b c (a~>b)  (b~>c)    (a~>b)*(b~>c)   (a~>c)  Y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0   1       1             1           1     1
0 0 1   1       0             0           0     1
0 1 0   0       1             0           1     1
0 1 1   0       1             0           0     1
1 0 0   1       1             1           1     1
1 0 1   1       0             0           1     1
1 1 0   1       1             1           1     1
1 1 1   1       1             1           1     1

W ostatniej kolumnie Y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.

Przykład 6.2

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość

P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8

Zauważmy coś bardzo ważnego:

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t

Spójnik "na pewno" użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !


7.0 Podsumowanie

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Definicja implikacji prostej:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
p~>q = p+~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =1 - twardy fałsz

Definicja obietnicy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Z powyższego wynika że:
Jeśli dowolny warunek to nie nagroda
W=>~N =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Definicja groźby:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy na koniec coś bardzo ważnego.
W języku mówionym domyślnym spójnikiem w implikacji prostej jest spójnik „na pewno” => dlatego prawie nigdy nie jest wypowiadany, choć można go powtórzyć.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - jeśli P8 to „na pewno” => P2
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L - jeśli pies to „na pewno” => cztery łapy
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C - grzeczny to „na pewno” => czekolada

W implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka zawsze wymawiamy spójnik „może” ~> ponieważ matematyka musi być jednoznaczna.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 - prawda bo 8
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~>~P8 =1 - prawda bo 2

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Absolutnym wyjątkiem są tu groźby podlegające pod definicję implikacji odwrotnej. Zauważmy jednak, że mamy bardzo proste i precyzyjne definicje obietnicy i groźby (wyżej), dzięki czemu prawie zawsze z łatwością rozpoznamy kiedy nadawca wypowiedział groźbę a kiedy obietnicę. To „prawie zawsze” dotyczy podstępu nadawcy.

Przykład:
Pewien żółw ma na języku wyrostek imitujący żywego robaka. Niektóre rybki myślą tak.
Jeśli robak to jedzenie
R=>J - oczywista obietnica, nagroda = jedzenie
Głupia rybka sama wchodzi do paszczy żółwia, który błyskawicznie zamyka szczękę …

W świecie żywym nigdy nie może być:
kara=nagroda
Czyli:
Obietnica musi być kodowana innym operatorem matematycznym niż groźba
Oczywiście:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna

Zwierzątka które nie odróżniają kary od nagrody dawno wyginęły, jak ta rybka wyżej. Nie wszystkie rybki dają się nabrać na sztuczkę żółwia. Poza tym żółw jak się naje to śpi. Jeśli będzie za dużo żółwi a za mało rybek to większość żółwi zdechnie z głodu. jeśli mało żółwi to rybki szybko się rozmnożą. Duża ilość pożywienia to ponowny wzrost liczebności żółwi … to prawo przyrody doskonale wszystkim znane.

2008-08-24 Koniec
Po prawie trzech latach walki z implikacją … czas na wakacje.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:14, 25 Sie 2008, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:08, 31 Sie 2008    Temat postu:

Beta 3.0 z powodu pkt.4.3

Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej
2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1.1 Obietnica
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2.1 Groźba

4.0 Kwadrat logiczny równoważności
4.1 Kwadrat logiczny implikacji
4.2 Kwadrat logiczny implikacji II
4.3 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

5.0 Warunki wystarczające i konieczne
5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej

6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
7.0 Podsumowanie


Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Zbanowany Uczy napisał:
Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu)

Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum SFINIA po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Logika człowieka = algebra Boole’a !

Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


2.0 Rewolucja w logice klasycznej

Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.


2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana

Definicja operatora AND
Kod:
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0


Definicja operatora OR
Kod:
p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)

Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
Kod:

p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   1    0  1    0        1
0 0   0    1  1    1        0
0 1   1    1  0    0        1

Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej

Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Kod:

p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   0    0  1    1        0
0 0   0    1  1    1        0
0 1   0    1  0    1        0

Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.

Zauważmy, że abstrahujemy tu od szczegółów i nie pytamy na razie czym jest suma logiczna a czym iloczyn logiczny w języku mówionym człowieka, w tym momencie to nas zupełnie nie interesuje. Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne.

Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !


2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q

Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały. To są fundamentalne prawa algebry Boole’a analogiczne do praw de’Morgana i nigdy nie mogą być gwałcone w całym zakresie tej algebry.

Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)

Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+). Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>.

Prawa Kubusia obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być nigdy gwałcone !


2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji prostej.

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q = ~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Symboliczna definicja implikacji prostej:
A: p q =1 - twarda prawda
B: p ~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1

Gdzie:
p=0, ~p=1
q=1, ~q=0

Z definicji symbolicznej widać, że „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie q”, gdyż przypadek „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie ~q” jest fałszem (nie ma prawa wystąpić). Natomiast „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść ~q”, LUB „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść q”

Oznaczmy:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Zakodujmy powyższą definicję przy pomocy naturalnej logiki człowieka jak wyżej z użyciem symboli => i ~>.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
~p ~> ~q =1
LUB
~p ~> q =1

Zauważmy, że w implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia definicji jest natychmiastowym fałszem, zdanie nie jest implikacja prostą. Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q (implikacja prosta p=>q) to w drugą stronę q musi być warunkiem koniecznym dla p (implikacja odwrotna q~>p).

Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
Bycie psem wystarcza, aby mieć cztery łapy

Przypomnijmy sobie prawo Kubusia działające w całym obszarze algebry Boole’a.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Pachnie tu wielką sensacją. Czyżby logika człowieka była zgodna z algebrą Boole’a ?

W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p=>q =1 - twarda prawda
B: p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p=>q = ~p~>~q - dla linii A=C
p=>~q = ~p~>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji prostej
C: ~p~> ~q =1
LUB
D: ~p~> q =1

Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka. Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=0 i D=1.

Zdanie wypowiedziane, podlegające pod definicję implikacji prostej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - nowe zdanie (dlatego 1 1 =1), implikacja prosta
A: p=>q = ~p+q =1 - twarda prawda
B: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
B: p=>~q = ~p+~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q -dla linii A=C
p=>~q = ~p~> q - dla linii B=D

Przechodzimy tu z definicji implikacji prostej => do definicji implikacji odwrotnej ~>. To dwie zupełnie różne definicje, zatem zdanie ~p~>~q musimy traktować jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane (dlatego 1 1 =1), implikacja odwrotna
C: ~p~> ~q = ~p+q =1
LUB
D: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
D: ~p~> q = ~p+~q =1

Zauważmy, że w równaniach matematycznych mamy tożsamości A=C i B=D, natomiast różnica w wyniku B=0 i D=1 wynika z potraktowania zdania ~p~>~q jako zupełnie nowego zdania podlegającego pod definicję implikacji odwrotnej.


2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji odwrotnej.

Zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q = p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1 - twarda prawda
D: ~p q =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Z pierwszych dwóch linii widać, że „jeśli zajdzie p to „może” zajść q” LUB „jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q”. W linii C mamy gwarancję, że „jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q”. W linii C jest twarda prawda bo w linii D jest twardy fałsz. Zakodujmy symboliczną definicję implikacji odwrotnej przy pomocy znanych nam już operatorów.

~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=>q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia definicji leży w gruzach. Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q (implikacja odwrotna p~>q) to w drugą stronę, q musi być warunkiem wystarczającym dla p (implikacja prosta q=>p). Wynika z tego, że zamiast badać warunek konieczny w implikacji odwrotnej p~>q, możemy badać warunek wystarczający w implikacji prostej q=>p, to bez znaczenia.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń
Cztery łapy są konieczne aby być psem, to jest implikacja odwrotna

Jeśli zwierzę ma skrzydła to „może” być psem
S~>P =0 - oczywisty fałsz, to nie jest implikacja odwrotna
Skrzydła nie są konieczne, aby być psem

W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p~>q =1
LUB
B: p~>~q =1
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p~>q = ~p=>~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji odwrotnej
C: ~p=> ~q =1 - twarda prawda
D: ~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka.

Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=1 i D=0.

p~>q
Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji odwrotnej
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Operatory w dwóch pierwszych liniach to implikacja odwrotna.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane, implikacja odwrotna
A: p~>q = p+~q =1
LUB
B: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
B: p~> ~q = p+q =1
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Jak widać wkraczamy w obszar implikacji prostej, zatem traktujemy zdanie jako nowo wypowiedziane
(1 1 =1).
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - nowe zdanie, implikacja prosta
C: ~p=> ~q = p+~q =1 - twarda prawda
D: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
D: ~p=> q = p+q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Zauważmy, że zachodzą równoważności A=C i B=D bo identyczne prawe strony równań. Różnica w wynikowych zerach i jedynkach w B=1 i D=0 wynika z różnych definicji implikacji.


3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej

Jakkolwiek byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli, to między nimi muszą zachodzić prawa Kubusia.

p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Przykład 3.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
A: P8=>P2 =1 - twarda prawda
Zajście P8 jest wystarczające dla zajścia P2
Oczywiście powyższa twarda prawda generuje poniższy twardy fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
B: P8=> ~P2 =0 - twardy fałsz

… a co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?

P8=>P2 = ~P8~>~P2 - prawo Kubusia
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” => być niepodzielna przez 2
C: ~P8~>~P2 =1 - zdanie prawdziwe bo 3
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
D: ~P8~>P2 =1 zdanie prawdziwe bo 2

Jak widać w implikacji odwrotnej „może” ~> wystarczy podać jeden element spełniający warunek p dla którego implikacja jest prawdziwa. W implikacji prostej „musi” =>, zdanie musi być prawdziwe dla każdego elementu spełniającego warunek p.

Oczywiście nie jest tak jak to tłumaczą podręczniki szkolne, że wypowiadając zdanie A nadawca nie powiedział co będzie gdy warunek p nie jest spełniony i dlatego może zajść C lub D. Zdania C i D wynikają z praw Kubusia a nie z chciejstwa człowieka. Prawa Kubusia to matematyka ścisła, algebra Boole’a, niezależna od tego czego człowiek nie powiedział. Zobaczmy przykład tego typu radosnej, podręcznikowej twórczości.


3.1.1 Obietnica

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

Matematyka dla liceum napisał:

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie G=>C będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p.

Przeanalizujmy to zdanie przy pomocy praw Kubusia.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a. To czego człowiek nie powiedział jest matematycznie bez znaczenia.

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1

W przypadku gdy warunek nagrody nie zostanie spełniony, ojciec może zrobić co mu się podoba, czyli dać albo nie dać czekoladę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Zwróćmy uwagę na gwarancję w implikacji prostej.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny, wszystko inne może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie matematycznej.

Dokładnie to samo uzyskujemy z równania matematycznego, opisującego implikację prostą.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Czyli:
G=>C = ~(G*~C) =1 (prawda)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady.
Negując powyższe równanie dwustronnie możemy się dowiedzieć kiedy ojciec będzie kłamcą
~(G=>C) = G*~C =0 (kłamstwo)
Ojciec będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy syn będzie grzeczny i nie dostanie czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie.


3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej

Rozważmy zdanie:
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ??? ~C
Co wstawić w miejsce ???, operator => czy ~> ?

Przypomnijmy sobie zdanie analizowane w poprzednim punkcie:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
oraz drugi wniosek z praw Kubusia:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Odpowiedź jest jasna, kodowanie może być tylko i wyłącznie takie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C =1
Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” dostać czekoladę
~G ~> C

Bo prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C
nie może być gwałcone !

Zdanie ~G~> ~C to ewidentna groźba, skąd wniosek iż wszelkie groźby musimy kodować przy pomocy implikacji odwrotnej.

Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej zaś wszelkie groźby pod definicję implikacji odwrotnej

Dowód wyżej.

3.2.1 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna, bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

Groźba w logice dodatniej (q nie zanegowane):
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Groźba w logice ujemnej (q zanegowane):
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C

Oczywistym jest, że zamiast analizować groźbę:
~G~> ~C
Możemy analizować równoważną obietnicę:
G=>C
na podstawie prawa Kubusia:
~G~>~C = G=>C - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Stąd gwarancja w implikacji odwrotnej ~G~>~C :
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę

Tą samą gwarancję możemy otrzymać z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja
czyli:
~G~> ~C = ~[~(~G)*(~C)] = ~(G*~C) =1 (prawda)
~(G*~C)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady
Negujemy powyższe równanie dwustronnie, by zobaczyć kiedy nadawca będzie kłamcą
~(~G~>~C) = G*~C =0 (fałsz)
Nadawca będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy będę grzeczny i nie dostanę czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ponieważ zdanie G=>C równoważne zdaniu ~G ~> ~C analizowaliśmy wyżej, zatem nie musimy nic robić !

Przeanalizujmy typową groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem obowiązuje implikacja odwrotna
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy warunek ten będzie konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~> ~L =1
W przypadku brudnych spodni nadawca może robić co mu się podoba, walić albo darować (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą, co widać wyżej.

… a co będzie jeśli nie ubrudzę spodni ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli nie ubrudzisz to „na pewno” => nie dostaniesz lania
~B=> ~L =1 - twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej B~>L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lanie
~B=>L =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Powyższa gwarancja wynika także bezpośrednio z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Dla powyższej groźby:
B~>L = ~(~B*L) =1 (prawda)
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni
Negujemy powyższe równanie, by zobaczyć kiedy nadawca zostanie kłamcą
~(B~>L) = ~B*L =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni.
Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą. Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć:

Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.

Ta gwarancja jest typowa dla implikacji prostej, porównajmy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.


4.0 Kwadrat logiczny równoważności

Znany człowiekowi kwadrat logiczny dotyczy równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


www.math.edu.pl/kwadrat-logiczny napisał:

Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to jego poprzednik p nazywamy założeniem, następnik q - tezą założenia.
Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.
Dla danej implikacji p=>q, którą nazywamy prostą, implikację q=>p nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej. Dla każdej implikacji prostej p=>q implikację ~q=> ~p nazywamy przeciwstawną, a implikację ~p=>~q - przeciwną. Implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne oraz implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne. Zależności te można przedstawić na kwadracie, który nazywa się kwadratem logicznym.

Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej samej przekątnej umieszczone są implikacje równoważne. Każda z par implikacji: prosta i przeciwna oraz odwrotna i przeciwstawna stanowi tzw. zamknięty układ implikacji
Dla dowodu twierdzenia postaci p<=>q, wystarczy udowodnić implikację prostą p=>q i odwrotną q=>p. Z kwadratu logicznego wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Użyta terminologia:
p=>q - implikacja prosta
~p=>~q - implikacja przeciwna
q=>p - implikacja odwrotna
~q=>~p - implikacja przeciwstawna

Autorowi Kubuś wręcza złoty medal za pomoc, dzięki. W kilku zdaniach mamy tu aktualny stan logiki klasycznej, beznadziejny stan logiki klasycznej. Ostatnie zdanie jest dowodem, że kwadrat dotyczy równoważności, pokazuje kiedy zachodzi równoważność.

Oczywiście cały kwadrat dotyczy p i q ustalonych na sztywno zdaniem bazowym:
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Po zamianie p i q mamy:
q=>p
Jeśli zajdzie q to „na pewno” => zajdzie p

Owszem, na pewno zajdzie ale wyłącznie w równoważności, nigdy w implikacji, dlatego cały ten kwadrat dotyczy równoważności.

Dowód równoważny, iż kwadrat nie dotyczy implikacji:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !
Zauważmy, że lewa i prawa strona kwadratu łamie powyższe prawo.

W prezentowanym kwadracie logicznym równoważność zachodzi, gdy zachodzi pewne wynikanie (=>) wzdłuż dowolnego boku kwadratu. Najfajniejsze są dwie równoważne definicje równoważności.

A: p=>q i q=>p - zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Sprawdźmy czy to jest równoważność korzystając z równania B.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość, twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Z powyższej analizy słownej łatwo można wyprowadzić definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
A*~A = 0 - prawo algebry Boole’a
stąd:
~p*p=q*~q=0

Stąd mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


4.1 Kwadrat logiczny implikacji

Kwadrat logiczny implikacji to po prostu operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej które doskonale znamy.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>p = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q


Wyprowadzenie kwadratu logicznego implikacji:

Zacznijmy od podręcznikowego kwadratu logicznego równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Znany ludziom kwadrat logiki jak wyżej dotyczy równoważności z bardzo prostego powodu. Nie ma w nim ani jednego operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, wszędzie występuje jedynie słuszny, komunistyczny operator „musi” =>.

Zróbmy trochę przekształceń typu hokus-pokus i przekształćmy go w kwadrat logiczny implikacji.

W implikacji „Jeśli…to…” zarówno prostej jak i odwrotnej po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p, zaś po „to” zawsze jest następnik q

p=>q - implikacja prosta
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p~>q - implikacja odwrotna
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q

Przerysujmy powyższy kwadrat tak, aby wszędzie po lewej stronie mieć poprzednik p korzystając z matematycznych tożsamości:
q=>p = p<=q
~q=>~p = ~p<=~q

Kod:

A1: p=>q     A2: p<=q

C1: ~p=>~q   C2: ~p<=~q


Zapiszmy teraz czarodziejskie zaklęcie hokus-pokus:
p~>q = p<=q

Dowód;
Kod:

p q p~>p p<=q
1 1  1    1
1 0  1    1
0 0  1    1
0 1  0    0

Równość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem, że tożsamość zachodzi.
Gdzie:
p~>q - znana nam doskonale definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
p<=q = p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zauważmy, że symbol p<=q może być czytany tylko i wyłącznie przeciwnie do strzałki jako spójnik „może”.
Matematycznie zachodzi:
p<=q = q=>p
… i tu jest wielki problem bo symbol => w tą stronę to zwykle operator implikacji prostej „musi” =>

Zobaczmy na przykładzie cały problem:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - to oczywistość
Matematycznie zachodzi:
A.
P8=>P2 = P2<=P8 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 - również oczywistość i pełna jednoznaczność
Matematycznie zachodzi:
P2~>P8 = P8<~P2 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Załóżmy teraz, że nie wprowadzamy nowego symbolu „może” ~> co matematycznie jest dopuszczalne. Ostatnie zdanie musimy zapisać tak:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2=>P8 - to jest idiotyzm, bo symbol => to operator „musi”.
Jedyna poprawna możliwość zapisu jest taka:
P2<=P8 - poprawny operator implikacji odwrotnej „może” <=, czytany przeciwnie do strzałki
Matematycznie zachodzi:
B.
P2<=P8 = P8=>P2 - prawa strona koliduje tu z lewą stroną równania A

Mamy:
P8=>P2 - lewa strona równania A, czytana zgodnie ze strzałką
P8=>P2 - prawa strona równania B, czytana przeciwnie do strzałki
Jeśli teraz zabierzemy opisy słowne to otrzymamy:
P8=>P2
P8=>P2
… no i niech się znajdzie mądry, który widząc powyższe zapisy odpowie na pytanie, który wzór opisuje implikację prostą, a który odwrotną, tzn. które równanie należy czytać zgodnie ze strzałką P8=>P2 (implikacja prosta) a które przeciwnie do strzałki P8=>P2 (implikacja odwrotna).

Jeśli do tego dołożymy prawo Kubusia które zawsze odwraca wektor => to idiotyzm będzie pełny.
Prawo Kubusia
P8=>P2 = ~P8<=~P2 - negujemy zmienne i odwracamy operator
Oczywiście matematycznie zachodzi:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
P2<=P8 = ~P8<=~P2
P2<=P8 = ~P2=>~P8
Matematycznie wszystkie powyższe równania są tożsame.
Jak widać, bez wprowadzenia operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, mamy wariatkowo.

Przerysujmy kwadrat logiki wprowadzając do niego spójnik implikacji odwrotnej „może” ~>.
p<=q = p~>q
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p=>~q   C2: ~p~>~q


Oczywiście prawa matematyczne po przekątnych dalej zachodzą, to prawa Kubusia. Zauważmy, że wszędzie z lewej strony mamy poprzednik p, niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta czy odwrotna, co jest zgodne z definicjami tych implikacji. Zamieńmy teraz dolny bok kwadratu miejscami, aby prawa Kubusia zachodziły w pionie, a nie po przekątnych.
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p~>~q   C2: ~p=>~q

Zauważmy, że teraz po przekątnych nie zachodzą żadne tożsamości. Dopiero teraz mamy w pionie dwa niezależne układy implikacyjne o których wspomina podręcznik matematyki do LO.

Oczywiście w pionach zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=> ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Lewą stronę kwadratu możemy łatwo uzupełnić o brakujące równania.

Zauważmy że jeśli zachodzi:
p=>q =1 - twarda prawda
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
to:
p=>~q =0 - twardy fałsz, wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q

Z ostatniego równania na podstawie prawa Kubusia mamy:
p=>~q = ~p~> q

Lewą stronę kwadratu mamy zatem kompletną, to znana nam doskonale operatorowa definicja implikacji prostej. Rozumując identycznie z prawej strony kwadratu otrzymamy operatorową definicję implikacji odwrotnej. Możemy teraz łatwo narysować kompletny kwadrat implikacji, uzupełniony o tożsamości wynikłe z definicji implikacji prostej i odwrotnej.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>p = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Co było do wyprowadzenia ...

Doskonale widać zachodzące tożsamości.
Lewa strona:
A1=C1
B1=D1
Prawa strona:
A2=C2
B2=D2
bo prawe strony równań są identyczne.


4.2 Kwadrat logiczny implikacji II

Znany człowiekowi kwadrat logiczny dotyczy równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


Po przekątnych zachodzą prawa kontrapozycji dla równoważności:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q

W dzisiejszej matematyce jedynie słuszną jest implikacja prosta p=>q, implikacja odwrotna jest nielegalna. Z tego powodu ludzie nie znają poprawnego kwadratu logiki dla implikacji co widać wyżej. Zbudujmy poprawny kwadrat logiczny dla implikacji, gdzie p i q jest ustalone na sztywno zdaniem bazowym p=>q.
Kod:

A1: p=>q     A2: q~>p

C1: ~p~>~q   C2: ~q=>~p

=> - operator implikacji prostej, spójnik “musi” między p I q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Teraz wszystko jest poprawne, nie są łamane żadne prawa logiki.

W implikacji nie wolno zamieniać ze sobą p i q, dlatego w pionie mamy tu do czynienia z dwoma niezależnymi układami implikacyjnymi o których wspomina podręcznik matematyki do LO. Oczywiście w układach tych obowiązują prawa Kubusia.
p=>q = ~p~>~q - lewa strona
q~>p = ~q=> ~p - prawa strona

Matematycznie zachodzą prawa kontrapozycji po przekątnych, ale w implikacji są one błędem, bo w implikacji nie wolno zamieniać p i q.

Prawa kontrapozycji dla powyższego kwadratu:
p=>q = ~q=>~p
q~>q = ~p~>~q

Zauważmy, że gdyby prawa kontrapozycji uznać w implikacji za poprawne, to wobec zachodzących praw Kubusia otrzymamy idiotyzm:
p=>q = q~>p !
bo:
p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji
q~>p = ~q=>~p - prawo Kubusia


4.3 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza wspólna:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1


… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

G=>C = ~C=>~G - prawo kontrapozycji
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” => nie będziesz grzeczny
~C => ~G =1 - twarda prawda
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” będziesz grzeczny
~C => G =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Jak widać, na pytanie „co będzie jeśli nie będę grzeczny” prawo Kubusia odpowiada sensownie i na temat, tak odpowie każdy człowiek. Natomiast odpowiedź prawa kontrapozycji na to samo pytanie jest zupełnie nie na temat.


5.0 Warunki wystarczające i konieczne

Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q występuje w implikacji odwrotnej.

5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Metody badania warunku wystarczającego w implikacji prostej:
A.
p=>q
Dla każdego przypadku spełniającego warunek p musi zachodzić warunek q
B.
Można skorzystać z definicji implikacji prostej.
p=>q = p + ~q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
p=>q = ~(p*~q) =1 (prawda) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie warunek p i nie zajdzie q
C.
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~(p=>q) = p*~q = 0 (fałsz)
Wystarczy znaleźć jeden przypadek dla którego zachodzi warunek p i nie zachodzi warunek q, aby wykazać, że warunek wystarczalności nie zachodzi.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
A.
P8=>P2
Dla każdej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
B.
~(p*~q) = ~(P8*~P2) - gwarancja spełniona
Nie może się zdarzyć ~(…) że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 2
P5=>P2
B.
~(p*~q) = ~(P5*~P2)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 5 i nie jest podzielna przez 2
Zdarza się bo 5, warunek wystarczający nie zachodzi
C.
p*~q = P5*~P2 - wystarczy jeden element
Warunek wystarczalności nie zachodzi bo 5 jest podzielne przez 5 i nie jest podzielne przez 2


5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

Twierdzenie 5.2
Badanie warunku koniecznego w implikacji odwrotnej p~>q jest równoważne z badaniem warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej q=>p.

Zamiast szukać warunku koniecznego w implikacji P2~>P8 możemy szukać warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej P8=>P2. Ta metoda jest często najprostsza i najszybsza. Do dyspozycji mamy tu wszystkie metody badań opisane w punkcie wyżej.

W implikacji odwrotnej mamy dodatkową możliwość wynikającą z prawa Kubusia.
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
CH~>P = ~CH => ~P - prawo Kubusia
~CH => ~P
Nie ma chmur to "na pewno" => nie będzie padać
Brak chmur jest oczywistym warunkiem wystarczającym braku deszczu, czyli w implikacji odwrotnej CH~>P zachodzi warunek konieczności.

Zauważmy , że w powyższym zdaniu warunek konieczności jest oczywistością:
Nie ma chmur, nie ma deszczu
zatem chmury są warunkiem koniecznym deszczu.

Twierdzenie 5.2A
Matematyczne gwarancje dla wszystkich czterech możliwych przypadków implikacji, wynikające z definicji implikacji, są identyczne.

Możliwe cztery przypadki implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
Gwarancja dla powyższej implikacji wynikająca z definicji.
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) = ~(~CH*P) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.

Implikacja odwrotna do powyższej:
Jeśli będzie padać to „na pewno” => będą chmury
P=>CH
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
~(p*~q) = ~(P*~CH) = ~(~CH*P) - gwarancja identyczna jak wyżej
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur.


6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a

Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.

Prawo sylogizmu w implikacji prostej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)

y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Przykład 6.1
[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość
gdzie:
P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 4
itd.

Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !

Prawo sylogizmu w implikacji odwrotnej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)

[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
Zauważmy, że w implikacji prostej musi zachodzić warunek wystarczający między p i q, zaś w implikacji odwrotnej musi zachodzić warunek konieczny między p i q, inaczej oba te prawa nie działają.

Oczywiście prawa Kubusia działają zawsze:
p~>q = ~p=>~q
Stąd zapis równoważny powyższego prawa:
[(~a=>~b)*(~b=>~c)] => ~a=>~b

Dowód zero-jedynkowy
Kod:

a b c (a~>b)  (b~>c)    (a~>b)*(b~>c)   (a~>c)  Y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0   1       1             1           1     1
0 0 1   1       0             0           0     1
0 1 0   0       1             0           1     1
0 1 1   0       1             0           0     1
1 0 0   1       1             1           1     1
1 0 1   1       0             0           1     1
1 1 0   1       1             1           1     1
1 1 1   1       1             1           1     1

W ostatniej kolumnie Y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.

Przykład 6.2

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość

P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8

Zauważmy coś bardzo ważnego:

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t

Spójnik "na pewno" użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !


7.0 Podsumowanie

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q


Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.


Zauważmy na koniec coś bardzo ważnego:
W języku mówionym domyślnym spójnikiem w implikacji prostej jest spójnik „na pewno” => dlatego prawie nigdy nie jest wypowiadany, choć można go powtórzyć.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - jeśli P8 to „na pewno” => P2
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L - jeśli pies to „na pewno” => cztery łapy
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C - grzeczny to „na pewno” => czekolada

W implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka zawsze wymawiamy spójnik „może” ~> ponieważ matematyka musi być jednoznaczna.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 - prawda bo 8
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~>~P8 =1 - prawda bo 2

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Wyjątkiem od reguły są groźby podlegające pod definicję implikacji odwrotnej. Zauważmy, że jawne użycie spójnika "może" zawsze osłabia groźbę.

Miękka groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie
B~>L

Twarda groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B=>~L =1

Gwarancję w implikacji odwrotnej zapewnia prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć.

Spójnik "może" jest gwarantowany w definicji implikacji odwrotnej ~> i z reguły nie jest powtarzany. Zauważmy, że wypowiadając twardą groźbę (bez "może") nadawca ma dokładnie takie same prawa jak przy użyciu groźby miękkiej. W obu przypadkach gdy warunek groźby zostanie spełniony, nadawca może robić co mu sie podoba, walić albo darować lanie, i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy na koniec, że mamy bardzo proste i precyzyjne definicje obietnicy i groźby (wyżej), dzięki czemu prawie zawsze z łatwością rozpoznamy kiedy nadawca wypowiedział groźbę a kiedy obietnicę. Groźba czy obietnica musi być jednoznaczna, leży to w interesie zarówno nadawcy jak i odbiorcy. Zastrzeżenie „prawie zawsze” dotyczy podstępu nadawcy.

W świecie żywym musi być:
kara # nagroda
Czyli:
Obietnica musi być kodowana innym operatorem matematycznym niż groźba

Oczywiście:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna


Odróżnianie kary od nagrody to warunek przetrwania. Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

2008-08-30 Koniec
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 17:51, 05 Wrz 2008    Temat postu:

Beta 4.0 Wymiana pkt 5.0

Proste jest piękne

Kubuś:
Matematyka nie opisuje działań człowieka, to człowiek działa według reguł matematycznych, które może łamać.

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej
2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1.1 Obietnica
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2.1 Groźba

4.0 Kwadrat logiczny równoważności
4.1 Kwadrat logiczny implikacji
4.2 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

5.0 Warunki wystarczające i konieczne
5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej

6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
7.0 Podsumowanie


Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Zbanowany Uczy napisał:
Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu)

Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum SFINIA po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Logika człowieka = algebra Boole’a !

Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p => ~q


2.0 Rewolucja w logice klasycznej

Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.


2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana

Definicja operatora AND
Kod:
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0


Definicja operatora OR
Kod:
p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)

Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
Kod:

p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   1    0  1    0        1
0 0   0    1  1    1        0
0 1   1    1  0    0        1

Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej

Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Kod:

p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   0    0  1    1        0
0 0   0    1  1    1        0
0 1   0    1  0    1        0

Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.

Zauważmy, że abstrahujemy tu od szczegółów i nie pytamy na razie czym jest suma logiczna a czym iloczyn logiczny w języku mówionym człowieka, w tym momencie to nas zupełnie nie interesuje. Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne.

Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !


2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q

Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały. To są fundamentalne prawa algebry Boole’a analogiczne do praw de’Morgana i nigdy nie mogą być gwałcone w całym zakresie tej algebry.

Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)

Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+). Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>.

Prawa Kubusia obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być nigdy gwałcone !


2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji prostej.

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q = ~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Symboliczna definicja implikacji prostej:
A: p q =1 - twarda prawda
B: p ~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Z definicji symbolicznej widać, że „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie q”, gdyż przypadek „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie ~q” jest fałszem (nie ma prawa wystąpić). Natomiast „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść ~q”, LUB „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść q”

Oznaczmy:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Zakodujmy powyższą definicję przy pomocy naturalnej logiki człowieka jak wyżej z użyciem symboli => i ~>.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
~p ~> ~q =1
LUB
~p ~> q =1

Zauważmy, że w implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia definicji jest natychmiastowym fałszem, zdanie nie jest implikacja prostą. Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q (implikacja prosta p=>q) to w drugą stronę q musi być warunkiem koniecznym dla p (implikacja odwrotna q~>p).

Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
Bycie psem wystarcza, aby mieć cztery łapy

Przypomnijmy sobie prawo Kubusia działające w całym obszarze algebry Boole’a.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Pachnie tu wielką sensacją. Czyżby logika człowieka była zgodna z algebrą Boole’a ?

W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p=>q =1 - twarda prawda
B: p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p=>q = ~p~>~q - dla linii A=C
p=>~q = ~p~>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji prostej
C: ~p~> ~q =1
LUB
D: ~p~> q =1

Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka. Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=0 i D=1.

Zdanie wypowiedziane, podlegające pod definicję implikacji prostej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - nowe zdanie (dlatego 1 1 =1), implikacja prosta
A: p=>q = ~p+q =1 - twarda prawda
B: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
B: p=>~q = ~p+~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q -dla linii A=C
p=>~q = ~p~> q - dla linii B=D

Przechodzimy tu z definicji implikacji prostej => do definicji implikacji odwrotnej ~>. To dwie zupełnie różne definicje, zatem zdanie ~p~>~q musimy traktować jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane (dlatego 1 1 =1), implikacja odwrotna
C: ~p~> ~q = ~p+q =1
LUB
D: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
D: ~p~> q = ~p+~q =1

Zauważmy, że w równaniach matematycznych mamy tożsamości A=C i B=D, natomiast różnica w wyniku B=0 i D=1 wynika z potraktowania zdania ~p~>~q jako zupełnie nowego zdania podlegającego pod definicję implikacji odwrotnej.


2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji odwrotnej.

Zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q = p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1 - twarda prawda
D: ~p q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Z pierwszych dwóch linii widać, że „jeśli zajdzie p to „może” zajść q” LUB „jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q”. W linii C mamy gwarancję, że „jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q”. W linii C jest twarda prawda bo w linii D jest twardy fałsz. Zakodujmy symboliczną definicję implikacji odwrotnej przy pomocy znanych nam już operatorów.

~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=>q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia definicji leży w gruzach. Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q (implikacja odwrotna p~>q) to w drugą stronę, q musi być warunkiem wystarczającym dla p (implikacja prosta q=>p). Wynika z tego, że zamiast badać warunek konieczny w implikacji odwrotnej p~>q, możemy badać warunek wystarczający w implikacji prostej q=>p, to bez znaczenia.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń
Cztery łapy są konieczne aby być psem, to jest implikacja odwrotna

Jeśli zwierzę ma skrzydła to „może” być psem
S~>P =0 - oczywisty fałsz, to nie jest implikacja odwrotna
Skrzydła nie są konieczne, aby być psem

W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p~>q =1
LUB
B: p~>~q =1
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p~>q = ~p=>~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji odwrotnej
C: ~p=> ~q =1 - twarda prawda
D: ~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka.

Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=1 i D=0.

p~>q
Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji odwrotnej
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Operatory w dwóch pierwszych liniach to implikacja odwrotna.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane, implikacja odwrotna
A: p~>q = p+~q =1
LUB
B: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
B: p~> ~q = p+q =1
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Jak widać wkraczamy w obszar implikacji prostej, zatem traktujemy zdanie jako nowo wypowiedziane
(1 1 =1).
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - nowe zdanie, implikacja prosta
C: ~p=> ~q = p+~q =1 - twarda prawda
D: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
D: ~p=> q = p+q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Zauważmy, że zachodzą równoważności A=C i B=D bo identyczne prawe strony równań. Różnica w wynikowych zerach i jedynkach w B=1 i D=0 wynika z różnych definicji implikacji.


3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej

Jakkolwiek byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli, to między nimi muszą zachodzić prawa Kubusia.

p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Przykład 3.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
A: P8=>P2 =1 - twarda prawda
Zajście P8 jest wystarczające dla zajścia P2
Oczywiście powyższa twarda prawda generuje poniższy twardy fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
B: P8=> ~P2 =0 - twardy fałsz

… a co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?

P8=>P2 = ~P8~>~P2 - prawo Kubusia
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” => być niepodzielna przez 2
C: ~P8~>~P2 =1 - zdanie prawdziwe bo 3
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
D: ~P8~>P2 =1 zdanie prawdziwe bo 2

Jak widać w implikacji odwrotnej „może” ~> wystarczy podać jeden element spełniający warunek p dla którego implikacja jest prawdziwa. W implikacji prostej „musi” =>, zdanie musi być prawdziwe dla każdego elementu spełniającego warunek p.

Oczywiście nie jest tak jak to tłumaczą podręczniki szkolne, że wypowiadając zdanie A nadawca nie powiedział co będzie gdy warunek p nie jest spełniony i dlatego może zajść C lub D. Zdania C i D wynikają z praw Kubusia a nie z chciejstwa człowieka. Prawa Kubusia to matematyka ścisła, algebra Boole’a, niezależna od tego czego człowiek nie powiedział. Zobaczmy przykład tego typu radosnej, podręcznikowej twórczości.


3.1.1 Obietnica

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

Matematyka dla liceum napisał:

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie G=>C będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p.

Przeanalizujmy to zdanie przy pomocy praw Kubusia.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a. To czego człowiek nie powiedział jest matematycznie bez znaczenia.

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1

W przypadku gdy warunek nagrody nie zostanie spełniony, ojciec może zrobić co mu się podoba, czyli dać albo nie dać czekoladę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Zwróćmy uwagę na gwarancję w implikacji prostej.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny, wszystko inne może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie matematycznej.

Dokładnie to samo uzyskujemy z równania matematycznego, opisującego implikację prostą.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Czyli:
G=>C = ~(G*~C) =1 (prawda)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady.
Negując powyższe równanie dwustronnie możemy się dowiedzieć kiedy ojciec będzie kłamcą
~(G=>C) = G*~C =0 (kłamstwo)
Ojciec będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy syn będzie grzeczny i nie dostanie czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie.


3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej

Rozważmy zdanie:
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ??? ~C
Co wstawić w miejsce ???, operator => czy ~> ?

Przypomnijmy sobie zdanie analizowane w poprzednim punkcie:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
oraz drugi wniosek z praw Kubusia:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Odpowiedź jest jasna, kodowanie może być tylko i wyłącznie takie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C =1
Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” dostać czekoladę
~G ~> C

Bo prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C
nie może być gwałcone !

Zdanie ~G~> ~C to ewidentna groźba, skąd wniosek iż wszelkie groźby musimy kodować przy pomocy implikacji odwrotnej.

Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej zaś wszelkie groźby pod definicję implikacji odwrotnej

Dowód wyżej.

3.2.1 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna, bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

Groźba w logice dodatniej (q nie zanegowane):
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Groźba w logice ujemnej (q zanegowane):
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C

Oczywistym jest, że zamiast analizować groźbę:
~G~> ~C
Możemy analizować równoważną obietnicę:
G=>C
na podstawie prawa Kubusia:
~G~>~C = G=>C - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Stąd gwarancja w implikacji odwrotnej ~G~>~C :
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę

Tą samą gwarancję możemy otrzymać z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja
czyli:
~G~> ~C = ~[~(~G)*(~C)] = ~(G*~C) =1 (prawda)
~(G*~C)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady
Negujemy powyższe równanie dwustronnie, by zobaczyć kiedy nadawca będzie kłamcą
~(~G~>~C) = G*~C =0 (fałsz)
Nadawca będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy będę grzeczny i nie dostanę czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ponieważ zdanie G=>C równoważne zdaniu ~G ~> ~C analizowaliśmy wyżej, zatem nie musimy nic robić !

Przeanalizujmy typową groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem obowiązuje implikacja odwrotna
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy warunek ten będzie konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~> ~L =1
W przypadku brudnych spodni nadawca może robić co mu się podoba, walić albo darować (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą, co widać wyżej.

… a co będzie jeśli nie ubrudzę spodni ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli nie ubrudzisz to „na pewno” => nie dostaniesz lania
~B=> ~L =1 - twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej B~>L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lanie
~B=>L =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Powyższa gwarancja wynika także bezpośrednio z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Dla powyższej groźby:
B~>L = ~(~B*L) =1 (prawda)
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni
Negujemy powyższe równanie, by zobaczyć kiedy nadawca zostanie kłamcą
~(B~>L) = ~B*L =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni.
Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć:
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.

Ta gwarancja jest typowa dla implikacji prostej, porównajmy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.


4.0 Kwadrat logiczny równoważności

Znany człowiekowi kwadrat logiczny dotyczy równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


[link widoczny dla zalogowanych] napisał:
Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to jego poprzednik p nazywamy założeniem, następnik q - tezą założenia. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.
Dla danej implikacji p=>q, którą nazywamy prostą, implikację q=>p nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej. Dla każdej implikacji prostej p=>q implikację ~q=> ~p nazywamy przeciwstawną, a implikację ~p=>~q - przeciwną. Implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne oraz implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne. Zależności te można przedstawić na kwadracie, który nazywa się kwadratem logicznym.

Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej samej przekątnej umieszczone są implikacje równoważne. Każda z par implikacji: prosta i przeciwna oraz odwrotna i przeciwstawna stanowi tzw. zamknięty układ implikacji
Dla dowodu twierdzenia postaci p<=>q, wystarczy udowodnić implikację prostą p=>q i odwrotną q=>p. Z kwadratu logicznego wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Użyta terminologia:
p=>q - implikacja prosta
~p=>~q - implikacja przeciwna
q=>p - implikacja odwrotna
~q=>~p - implikacja przeciwstawna

Po przekątnych zachodzą prawa kontrapozycji poprawne dla równoważności:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q

Autorowi Kubuś wręcza złoty medal za pomoc, dzięki. W kilku zdaniach mamy tu aktualny stan logiki klasycznej, beznadziejny stan logiki klasycznej. Ostatnie zdanie jest dowodem, że kwadrat dotyczy równoważności, pokazuje kiedy zachodzi równoważność.

Oczywiście cały kwadrat dotyczy p i q ustalonych na sztywno zdaniem bazowym:
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Po zamianie p i q mamy:
q=>p
Jeśli zajdzie q to „na pewno” => zajdzie p

Owszem, na pewno zajdzie ale wyłącznie w równoważności, nigdy w implikacji, dlatego cały ten kwadrat dotyczy równoważności.

Dowód równoważny, iż kwadrat nie dotyczy implikacji:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !
Zauważmy, że lewa i prawa strona kwadratu łamie powyższe prawo.

Wydawać by się mogło, że najprostszym sposobem przejścia do kwadratu opisującego implikację będzie wymiana operatorów tak, aby powyższe prawa logiki nie były gwałcone.

Błędny kwadrat implikacji:
Kod:

A1: p=>q     A2: q~>p

C1: ~p~>~q   C2: ~q=>~p

=> - „musi”
~> - „może”

Pozornie wszystko jest w porządku, w pionach zachodzą prawa Kubusia, A1 po zamianie p i q przechodzi w A2 ale:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Zastosujmy definicję implikacji odwrotnej do A2:
q~>p = q+~p = ~p+q
jak widać otrzymaliśmy nonsens:
p=>q = q~>p - bo prawe strony równań są równe

To samo inaczej:
p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji
q~>p = ~q=>~p - prawo Kubusia
czyli:
p=>q = q~>p - także matematyczny nonsens

Wniosek:
W implikacji nie wolno na sztywno przywiązywać p i q ani do implikacji prostej p=>q, ani też do implikacji odwrotnej p~>q. To wolno wyłącznie w równoważności.

W następnym punkcie zostanie pokazane jak poprawnie wyprowadzić kwadrat logiczny implikacji. Wróćmy do tematu.

Z kwadratu logicznego równoważności wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Najpopularniejsze definicje równoważności.
A: p=>q i q=>p - zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Sprawdźmy czy to jest równoważność korzystając z równania B.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość

Z powyższej analizy wyprowadzamy definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
A*~A = 0 - prawo algebry Boole’a
stąd:
~p*p=q*~q=0

Stąd mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


4.1 Kwadrat logiczny implikacji

Kwadrat logiczny implikacji to po prostu operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej które doskonale znamy.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q


Wyprowadzenie kwadratu logicznego implikacji:

Zacznijmy od podręcznikowego kwadratu logicznego równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Znany ludziom kwadrat logiki jak wyżej dotyczy równoważności z bardzo prostego powodu. Nie ma w nim ani jednego operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, wszędzie występuje jedynie słuszny, komunistyczny operator „musi” =>.

Zróbmy trochę przekształceń typu hokus-pokus i przekształćmy go w kwadrat logiczny implikacji.

W implikacji „Jeśli…to…” zarówno prostej jak i odwrotnej po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p, zaś po „to” zawsze jest następnik q

p=>q - implikacja prosta
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p~>q - implikacja odwrotna
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q

Przerysujmy powyższy kwadrat tak, aby wszędzie po lewej stronie mieć poprzednik p korzystając z matematycznych tożsamości:
q=>p = p<=q
~q=>~p = ~p<=~q

Kod:

A1: p=>q     A2: p<=q

C1: ~p=>~q   C2: ~p<=~q


Zapiszmy teraz czarodziejskie zaklęcie hokus-pokus:
p~>q = p<=q

Dowód;
Kod:

p q p~>p p<=q
1 1  1    1
1 0  1    1
0 0  1    1
0 1  0    0

Równość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem, że tożsamość zachodzi.
Gdzie:
p~>q - znana nam doskonale definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
p<=q = p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zauważmy, że symbol p<=q może być czytany tylko i wyłącznie przeciwnie do strzałki jako spójnik „może”.
Matematycznie zachodzi:
p<=q = q=>p
… i tu jest wielki problem bo symbol => w tą stronę to zwykle operator implikacji prostej „musi” =>

Zobaczmy na przykładzie cały problem:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - to oczywistość
Matematycznie zachodzi:
A.
P8=>P2 = P2<=P8 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 - również oczywistość i pełna jednoznaczność
Matematycznie zachodzi:
P2~>P8 = P8<~P2 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Załóżmy teraz, że nie wprowadzamy nowego symbolu „może” ~> co matematycznie jest dopuszczalne. Ostatnie zdanie musimy zapisać tak:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2=>P8 - to jest idiotyzm, bo symbol => to operator „musi”.
Jedyna poprawna możliwość zapisu jest taka:
P2<=P8 - poprawny operator implikacji odwrotnej „może” <=, czytany przeciwnie do strzałki
Matematycznie zachodzi:
B.
P2<=P8 = P8=>P2 - prawa strona koliduje tu z lewą stroną równania A

Mamy:
P8=>P2 - lewa strona równania A, czytana zgodnie ze strzałką
P8=>P2 - prawa strona równania B, czytana przeciwnie do strzałki
Jeśli teraz zabierzemy opisy słowne to otrzymamy:
P8=>P2
P8=>P2
… no i niech się znajdzie mądry, który widząc powyższe zapisy odpowie na pytanie, który wzór opisuje implikację prostą, a który odwrotną, tzn. które równanie należy czytać zgodnie ze strzałką P8=>P2 (implikacja prosta) a które przeciwnie do strzałki P8=>P2 (implikacja odwrotna).

Jeśli do tego dołożymy prawo Kubusia które zawsze odwraca wektor => to idiotyzm będzie pełny.
Prawo Kubusia
P8=>P2 = ~P8<=~P2 - negujemy zmienne i odwracamy operator
Lewą stronę czytamy zgodnie ze strzałką, operator „musi” =>, zaś prawą przeciwnie do strzałki, operator „może” <=.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
P2<=P8 = ~P8<=~P2
P2<=P8 = ~P2=>~P8
Matematycznie wszystkie powyższe równania są tożsame.
Jak widać, bez wprowadzenia operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, mamy wariatkowo.

Przerysujmy kwadrat logiki wprowadzając do niego spójnik implikacji odwrotnej „może” ~>.
p<=q = p~>q
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p=>~q   C2: ~p~>~q


Oczywiście prawa matematyczne po przekątnych dalej zachodzą, to prawa Kubusia. Zauważmy, że wszędzie z lewej strony mamy poprzednik p, niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta czy odwrotna, co jest zgodne z definicjami tych implikacji. Zamieńmy teraz dolny bok kwadratu miejscami, aby prawa Kubusia zachodziły w pionie, a nie po przekątnych.
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p~>~q   C2: ~p=>~q

Zauważmy, że teraz po przekątnych nie zachodzą żadne tożsamości. Dopiero teraz mamy w pionie dwa niezależne układy implikacyjne o których wspomina podręcznik matematyki do LO.

Oczywiście w pionach zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=> ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Lewą stronę kwadratu możemy łatwo uzupełnić o brakujące równania.

Zauważmy że jeśli zachodzi:
p=>q =1 - twarda prawda
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
to:
p=>~q =0 - twardy fałsz, wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q

Z ostatniego równania na podstawie prawa Kubusia mamy:
p=>~q = ~p~> q

Lewą stronę kwadratu mamy zatem kompletną, to znana nam doskonale operatorowa definicja implikacji prostej. Rozumując identycznie z prawej strony kwadratu otrzymamy operatorową definicję implikacji odwrotnej. Możemy teraz łatwo narysować kompletny kwadrat implikacji, uzupełniony o tożsamości wynikłe z definicji implikacji prostej i odwrotnej.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Co było do wyprowadzenia ...

Doskonale widać zachodzące tożsamości.
Lewa strona:
A1=C1
B1=D1
Prawa strona:
A2=C2
B2=D2
bo prawe strony równań są identyczne.


4.2 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

Prawa Kubusia dotyczą implikacji zaś prawo kontrapozycji dotyczy równoważności co zostało pokazane wyżej. Zobaczmy w praktyce jak zachowują się oba prawa w analizie implikacji.

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1
Zauważmy, że w wyniku mamy trzy jedynki i jedno zero, zatem jest to piękna implikacja.


Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo kontrapozycji:
G=>C = ~C=>~G
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” => nie będziesz grzeczny
~C => ~G =1 - twarda prawda
Jeśli nie dostaniesz czekolady to na pewno będziesz grzeczny
~C => G =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
W wyniku mamy dwie jedynki i dwa zera, zatem jest to „równoważność”. Gdyby to była równoważność wszystko byłoby piękne, tyle że nie jest …

Podsumowanie:
Jak widać, na pytanie „co będzie jeśli nie będę grzeczny” prawo Kubusia odpowiada sensownie i na temat, tak odpowie każdy człowiek. Natomiast odpowiedź prawa kontrapozycji na to samo pytanie jest zupełnie nie na temat.


5.0 Warunki wystarczające i konieczne

Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q występuje w implikacji odwrotnej.

5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Metody badania warunku wystarczającego w implikacji prostej:
A.
p=>q
Dla każdego przypadku spełniającego warunek p musi zachodzić warunek q
B.
Można skorzystać z definicji implikacji prostej.
p=>q = p + ~q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
p=>q = ~(p*~q) =1 (prawda) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie warunek p i nie zajdzie q
C.
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~(p=>q) = p*~q = 0 (fałsz)
Wystarczy znaleźć jeden przypadek dla którego zachodzi warunek p i nie zachodzi warunek q, aby wykazać, że warunek wystarczalności nie zachodzi.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
A.
P8=>P2
Dla każdej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
B.
~(p*~q) = ~(P8*~P2) - gwarancja spełniona
Nie może się zdarzyć ~(…) że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 2
P5=>P2
B.
~(p*~q) = ~(P5*~P2) =1
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 5 i nie jest podzielna przez 2
Zdarza się bo 5, warunek wystarczający nie zachodzi
C.
p*~q = P5*~P2 =0 (fałsz) - wystarczy jeden element
Warunek wystarczalności nie zachodzi bo 5 jest podzielne przez 5 i nie jest podzielne przez 2


5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

Twierdzenie 5.2
Badanie warunku koniecznego w implikacji odwrotnej p~>q jest równoważne z badaniem warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej q=>p.

Zamiast szukać warunku koniecznego w implikacji P2~>P8 możemy szukać warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej P8=>P2. Ta metoda jest często najprostsza i najszybsza. Do dyspozycji mamy tu wszystkie metody badań opisane w punkcie wyżej.

W implikacji odwrotnej mamy dodatkową możliwość wynikającą z prawa Kubusia.
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
CH~>P = ~CH => ~P - prawo Kubusia
~CH => ~P
Nie ma chmur to "na pewno" => nie będzie padać
Brak chmur jest oczywistym warunkiem wystarczającym braku deszczu, czyli w implikacji odwrotnej CH~>P zachodzi warunek konieczności.

Zauważmy , że w powyższym zdaniu warunek konieczności jest oczywistością:
Nie ma chmur, nie ma deszczu
zatem chmury są warunkiem koniecznym deszczu.

Twierdzenie 5.2A
Matematyczne gwarancje dla wszystkich czterech możliwych przypadków implikacji, wynikające z definicji implikacji, są identyczne.

Możliwe cztery przypadki implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
Gwarancja dla powyższej implikacji wynikająca z definicji.
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) = ~(~CH*P) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.

Implikacja odwrotna do powyższej:
Jeśli będzie padać to „na pewno” => będą chmury
P=>CH
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
~(p*~q) = ~(P*~CH) = ~(~CH*P) - gwarancja identyczna jak wyżej
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur.


6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a

Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.

Prawo sylogizmu w implikacji prostej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)

y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Przykład 6.1
[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość
gdzie:
P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 4
itd.

Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !

Prawo sylogizmu w implikacji odwrotnej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)

[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
Zauważmy, że w implikacji prostej musi zachodzić warunek wystarczający między p i q, zaś w implikacji odwrotnej musi zachodzić warunek konieczny między p i q, inaczej oba te prawa nie działają.

Oczywiście prawa Kubusia działają zawsze:
p~>q = ~p=>~q
Stąd zapis równoważny powyższego prawa:
[(~a=>~b)*(~b=>~c)] => ~a=>~b

Dowód zero-jedynkowy
Kod:

a b c (a~>b)  (b~>c)    (a~>b)*(b~>c)   (a~>c)  Y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0   1       1             1           1     1
0 0 1   1       0             0           0     1
0 1 0   0       1             0           1     1
0 1 1   0       1             0           0     1
1 0 0   1       1             1           1     1
1 0 1   1       0             0           1     1
1 1 0   1       1             1           1     1
1 1 1   1       1             1           1     1

W ostatniej kolumnie Y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.

Przykład 6.2

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość

P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8

Zauważmy coś bardzo ważnego:

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t

Spójnik "na pewno" użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !


7.0 Podsumowanie

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q


Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.


Zauważmy na koniec coś bardzo ważnego:
W języku mówionym domyślnym spójnikiem w implikacji prostej jest spójnik „na pewno” => dlatego prawie nigdy nie jest wypowiadany, choć można go powtórzyć.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C

W implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka zawsze wymawiamy spójnik „może” ~> ponieważ matematyka musi być jednoznaczna.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Wyjątkiem od reguły są groźby, podlegające pod definicję implikacji odwrotnej. Zauważmy, że jawne użycie spójnika "może" zawsze osłabia groźbę.

Miękka groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie
B~>L

Twarda groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B=>~L =1

Gwarancję w implikacji odwrotnej zapewnia prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć.

Spójnik "może" jest gwarantowany w definicji implikacji odwrotnej ~> i z reguły nie jest powtarzany. Zauważmy, że wypowiadając twardą groźbę (bez "może") nadawca ma dokładnie takie same prawa jak przy użyciu groźby miękkiej. W obu przypadkach gdy warunek groźby zostanie spełniony, nadawca może robić co mu sie podoba, walić albo darować lanie, i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy na koniec, że mamy bardzo proste i precyzyjne definicje obietnicy i groźby (wyżej), dzięki czemu prawie zawsze z łatwością rozpoznamy kiedy nadawca wypowiedział groźbę a kiedy obietnicę. Groźba czy obietnica musi być jednoznaczna, leży to w interesie zarówno nadawcy jak i odbiorcy. Zastrzeżenie „prawie zawsze” dotyczy podstępu nadawcy.

W świecie żywym musi być:
kara # nagroda
Czyli:
Obietnica musi być kodowana innym operatorem matematycznym niż groźba

Oczywiście:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna


Odróżnianie kary od nagrody to warunek przetrwania. Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

2008-08-31 Koniec
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 21:28, 09 Wrz 2008    Temat postu:

Beta 2.0 2008-09-09

Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Implikacja

Części:

Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja



Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
1.2 Definicje implikacji prostej i odwrotnej
1.3 Prawa Kubusia
1.4 Operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej

2.0 Rodzaje implikacji
2.1 Implikacje bezczasowe
2.2 Implikacje-przyszłość (czasowe)
2.3 Implikacje-przyszłość w świecie martwym
2.4 Implikacje-przyszłość w świecie żywym
2.5 Implikacje-przyszłość w których wszystko zależy od człowieka

3.0 Obietnice
3.1 Gwarancja w obietnicy
3.2 Rodzaje obietnic
3.3 Równoważność implikacyjna w obietnicy
3.4 Analiza obietnicy

4.0 Groźby
4.1 Gwarancja w groźbie
4.2 Równoważność implikacyjna w groźbie
4.3 Analiza groźby

5.0 Tajemnice implikacji
5.1 Zwolnienia w obietnicy i groźbie

5.2 Obietnice w języku mówionym
5.2.1 Zwiększenie prawdopodobieństwa dostania nagrody
5.2.2 Zmniejszenie prawdopodobieństwa dostania nagrody
5.2.3 Przypadek nie spełnienia warunku w obietnicy

5.3 Groźby w języku mówionym
5.3.1 Zwiększenie prawdopodobieństwa wykonania groźby
5.3.2 Zmniejszenie prawdopodobieństwa wykonania kary

6.0 Matematyczny warunek nagrody w obietnicy
7.0 Matematyczny warunek kary w groźbie
8.0 Człowiek jest z natury dobry



Wstęp.

Implikacja to logika ludzi normalnych, przyjaciół.

Aksjomat człowieka normalnego:
Kto nie jest moim wrogiem jest moim (potencjalnym) przyjacielem.

Jeśli pytamy lub prosimy o cokolwiek nieznajomego człowieka to prawie na pewno spotkamy się z pozytywną odpowiedzią. Jeśli obiecujemy cokolwiek z własnej woli swojemu przyjacielowi (czy nawet obcemu) to dotrzymujemy słowa. Jeśli grozimy komukolwiek to na pewno nie wykonamy kary jeśli nie spełni warunku kary oraz mamy prawo do darowania dowolnej kary w przypadku spełnienia warunku kary. W stosunku do własnego dziecka często nie wykonujemy kary nawet gdy spełni ono warunek kary (akt łaski).

Dla wrogów mamy taką logikę "wszelkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga", tu oczywiście żadna matematyka nie obowiązuje. W tym przypadku często świadomie łamiemy prawa matematyczne byleby zniszczyć wroga … nasz wróg robi dokładnie to samo.

Teoria implikacji prostej i odwrotnej obowiązuje wszędzie, nawet w świecie bandziorów, bo bandzior też ma przyjaciół, innych bandziorów. Jeśli bandyta porywa dla okupu to doskonale wie że nie warto zabijać jeśli dostanie okup, bo gdyby wszystkie bandy na świecie tak robiły to ... koniec interesu.


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego


1.2 Definicje implikacji prostej i odwrotnej

Definicja implikacji prostej
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


1.3 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


1.4 Operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej

Operatorowa definicja implikacji prostej :
A: p=>q =1 - twarda prawda
B: p=>~q =0 - twardy fałsz
p=>q = ~p ~> ~q - prawo Kubusia dla A
Stąd na podstawia prawa Kubusia:
C: ~p ~> ~q =1
LUB
D: ~p ~> q =1

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
A: p~>q =1
LUB
B: p~>~q =1
p~>q = ~p => ~q - prawo Kubusia dla A
Stąd na podstawia prawa Kubusia:
C: ~p => ~q =1 - twarda prawda
D: ~p => q =0 - twardy fałsz


2.0 Rodzaje implikacji

Implikacje możemy podzielić pod względem ich zajścia w czasie na:

I.
Implikacje bezczasowe - w których nie występuje związek z czasem
II.
Implikacje przyszłość (czasowe) - mające związek z przyszłością


2.1 Implikacje bezczasowe

Implikacje bezczasowe możemy podzielić na:
A.
Matematyczne
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
B.
Przyroda martwa
Jeśli drzewo ma igły to „może” być sosną
IG~>S
C.
Przyroda żywa
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P

Przykład 2.1
Analiza:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L ~> ~P =1 bo słoń, lis..
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem
~4L => ~P =1 - twarda prawda
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => jest psem
~4L => P =0 - twardy fałsz


2.2 Implikacje przyszłość (czasowe)

Z teorii wiemy, że w implikacjach bezczasowych możemy zamienić p i q i otrzymamy sensowną implikację odwrotną, oczywiście nie równoważną.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
P8=>P2 - implikacja prosta
P8 jest warunkiem wystarczającym P2

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
P2~>P8 - implikacja odwrotna
P2 jest warunkiem koniecznym dla P8

Inaczej jest w implikacjach czasowych. Tu parametr czasu generuje z dowolnej implikacji prostej lub odwrotnej aż cztery możliwości, dwie dotyczące przyszłości i dwie dotyczące przeszłości.

Najciekawsze i wzbudzające najwięcej emocji są implikacje przyszłość (czasowe).

W tej grupie implikacji możemy wyróżnić:

A.
Implikacje przyszłość w świecie martwym

Jeśli będzie świecić słońce to nie będzie padać
S=>~P - jeśli będzie słońce to „na pewno” nie będzie padać
Jeśli będzie pochmurno to może padać
CH~>P - implikacja odwrotna bo „może” padać, ale nie musi


B.
Implikacje przyszłość w świecie żywym

Jeśli będziesz drażnił psa to cię ugryzie
D~>U - może ugryźć ale nie musi

W tego typu implikacjach wszystko zależy od psa. Analiza będzie poprawna powiedzmy dla 99% przypadków gdzie pies nie drażniony nie ugryzie. Teoria z tak wysokim prawdopodobieństwem jest znakomita.

C.
Implikacje przyszłość w których wszystko zależy od człowieka (groźby i obietnice)

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic „musimy” dotrzymywać
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo nadawca „ma prawo” do darowania dowolnej kary przy spełnionym warunku kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.


2.3 Implikacje-przyszłość w świecie martwym

Parametr czasu generuje z dowolnej implikacji prostej lub odwrotnej aż cztery możliwości, dwie dotyczące przyszłości i dwie dotyczące przeszłości.

Implikacja prosta
p=>q
Jeśli zajdzie przyczyna p to „na pewno” zajdzie skutek q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Czasy przyszły:
Jeśli będzie świecić słońce to nie będzie padać
S=>~P
Świecenie słońca jest warunkiem wystarczającym dla nie padania
Jeśli nie będzie padać to „może” świecić słońca
~P ~> S

Czas przeszły:
Jeśli świeciło słońce to „na pewno” nie padało
S=>~P
Jeśli nie padało to „mogło” świecić słońce
~P ~> S

Implikacja odwrotna
p~>q
Jeśli zajdzie przyczyna p to „może” zajść skutek q
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Czas przyszły:
Jeśli będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu
Jeśli będzie padać to „na pewno” będzie pochmurno
P=>CH

Czas przeszły:
Jeśli było pochmurno to „mogło” padać
CH~>P
Jeśli padało to „na pewno” było pochmurno
P=>CH

Implikacje przyszłość w przyrodzie martwej jak wyżej są mało ciekawe w porównaniu z przyrodą żywą, dlatego przeanalizujemy tylko po dwa zdania w czasie przyszłym wypowiedziane wyżej. Analogiczne analizy dla czasu przeszłego są „identyczne”, pozostawiam je czytelnikowi.

Analiza implikacji prostej:
Jeśli będzie świecić słońce to „na pewno” nie będzie padać
S=>~P =1 - twarda prawda
Świecenie słońca jest warunkiem wystarczającym dla nie padania
Jeśli będzie świecić słońce to „na pewno” będzie padać
S=>P =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
S=>~P = ~S ~> P - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli nie będzie słońca to „może” padać
~S ~> P =1 - dzień pochmurny i pada
LUB
Jeśli nie będzie słońca to „może” nie padać
~S ~> ~P =1 - dzień pochmurny i nie pada

Analiza implikacji odwrotnej powstałej przez zamianę p i q wyżej. Oczywiście zdania te nie są równoważne.
Jeśli nie będzie padać to „może” świecić słońca
~P ~> S =1 - nie pada i świeci słońce
LUB
Jeśli nie będzie padać to „może” nie być słońca
~P ~> ~S =1 - nie pada i pochmurno
Prawo Kubusia:
~P ~> S = P=> ~S - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą
Jeśli będzie padać to „na pewno” nie będzie słońca
P=> ~S =1 - twarda prawda
Jeśli będzie padać to „na pewno” będzie słońce
P=>S =0 - twardy fałsz


Analiza implikacji odwrotnej:
Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH~>P =1
LUB
Jeśli będzie pochmurno to „może” nie padać
CH~> ~P =1
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Jeśli nie będzie pochmurno to „na pewno” nie będzie padać
~CH => ~P =1 - twarda prawda
Jeśli nie będzie pochmurno to „na pewno” będzie padać
~CH => P =0 - twardy fałsz

Analiza implikacji prostej powstałej przez zamianę p i q wyżej. Oczywiście zdania te nie są równoważne.
Jeśli będzie padać to „na pewno” będzie pochmurno
P=>CH =1 - twarda prawda
Jeśli będzie padać to „na pewno” nie będzie pochmurno
P=> ~CH =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P ~> ~CH - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli nie będzie padać to „może” nie być pochmurno
~P ~> ~CH =1 - nie pada i świeci słońce
Jeśli nie będzie padać to „może” być pochmurno
~P ~> CH =1 - nie pada i jest pochmurno

Zauważmy, że mogliśmy zamienić p i q mimo iż implikacja dotyczy przyszłości, co jest niedopuszczalne w świecie żywym.


2.4 Implikacje przyszłość w świecie żywym

Czas przyszły:
Jeśli będziesz drażnił psa to cię ugryzie
D~>U
Jeśli wystąpi przyczyna „drażnienie psa” to może zajść skutek „ugryzienie”
Jeśli pies cię ugryzie to będziesz go drażnił
U=>D
Jeśli pies cię ugryzie to będziesz go drażnił
Jeśli pies mnie ugryzie to jego drażnienie po tym fakcie jest bez sensu, trzeba do lekarza.

Czas przeszły, zakładamy że nie znamy rozstrzygnięcia implikacji:
Jeśli drażniłeś psa to mógł cię ugryźć
D~>U
Jeśli pies cię ugryzł to na pewno go drażniłeś
U=>D

Analiza będzie poprawna powiedzmy dla 99% przypadków gdzie pies nie drażniony nie ugryzie. Teoria z tak wysokim prawdopodobieństwem jest znakomita.

Zauważmy, że w czasie przyszłym nie można zamienić p i q, natomiast w czasie przeszłym gdzie wszystko jest zdeterminowane można zamienić p i q.

Przeanalizujmy pierwsze i ostatnie zdanie.

Czas przyszły:
Jeśli będziesz drażnił psa to „może” cię ugryzie
D~>U =1 - może ugryźć ale nie musi
LUB
Jeśli będziesz drażnił psa to „może” cię nie ugryźć
D~>~U =1
Pies może uciec, drażniony wcale nie musi ugryźć np. gdy dziecko drażni własnego pupila
Prawo Kubusia:
D~>U = ~D => ~U - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą
Jeśli nie będziesz drażnił psa to „na pewno” cię nie ugryzie
~D => ~U =1 - prawdopodobieństwo że pies nie drażniony ugryzie jest bardzo małe
Jeśli nie będziesz drażnił psa to „na pewno” cię ugryzie
~D => U =0 - jak wyżej

Czas przeszły:
Jeśli pies cię ugryzł to „na pewno” go drażniłeś
U=>D =1 - prawdopodobieństwo 99% że jeśli pies ugryzł to był drażniony
Jeśli pies cię ugryzł to „na pewno” go nie drażniłeś
U=> ~D =0 - jak wyżej
Prawo Kubusia:
U=>D = ~U ~> ~D - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli nie zostałeś ugryziony to „mogłeś” nie drażnić psa
~U ~> ~D =1
LUB
Jeśli nie zostałeś ugryziony to „mogłeś” drażnić psa
~U ~> D =1 - drażniony pies może ugryźć ale nie musi


2.5 Implikacje-przyszłość w których wszystko zależy od człowieka

Implikacje-przyszłość w których wszystko zależy od człowieka to oczywiście obietnice i groźby.


3.0 Obietnice

Wszelkie obietnice to klasyczny przykład implikacji-przyszłość prostej w 100% zależnej od człowieka.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N - implikacja prosta bo obietnica

Analiza:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Jeśli spełnię warunek nagrody to „muszę” => dostać nagrodę, implikacja prosta bo „muszę”.
Obietnice podlegają pod implikację prostą bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać.

Oczywiście:
Jeśłi spełnię warunek nagrody to „na pewno” => nie dostanę nagrody
W=>~N =0 - twardy fałsz (kłamstwo)

Skorzystajmy z prawa Kubusia, aby dowiedzieć się co będzie jeśli nie spełnimy warunku nagrody.
W=>N = ~W ~> ~N - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
~W ~> ~N =1
Jeśli nie spełnię warunku nagrody to „może” ~> się zdarzyć, że nie dostanę nagrody.
LUB
~W ~> N =1
Jeśli nie spełnię warunku nagrody to „może” ~> się zdarzyć, że dostanę nagrodę

Jak widać, nadawca nie zostaje kłamcą nawet jeśli wręczy nagrodę mimo nie spełnienia warunku nagrody (akt miłości). Zauważmy, że nagrody obiecujemy zwykle swoim przyjaciołom, że bardzo często dajemy nagrodę nawet jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody. Gdybyśmy nie mogli tego zrobić, to nasza wolna wola leży w gruzach.

Po stronie nadawcy implikacja prosta to nadzieja, marzenie, że odbiorca spełni warunek nagrody np. zda egzamin, będzie grzeczny itp.
Po stronie odbiorcy implikacja prosta to nadzieja, że nawet jeśli nie spełnię warunku nagrody to i tak mogę otrzymać nagrodę. Oczywiście nadzieja będzie tym większa, im więcej włożymy wysiłku w spełnienie warunku nagrody. Może się zdarzyć, że mimo starań nie spełnimy warunku np. nie zdamy egzaminu. Nadawca to Wielki Brat który patrzy, jeśli doceni nasze starania to nagroda murowana. Nadawca ma w tym przypadku 100% wolnej woli, może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem i nie musi się z tego tłumaczyć. Może też nie wręczyć nagrody z uzasadnieniem że nie spełniliśmy warunku nagrody i kropka, też nie musi się tłumaczyć.


3.1 Gwarancja w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N - implikacja prosta bo obietnica

Spełnienie warunku nagrody W gwarantuje nagrodę N z powodu spełnienia warunku W. Poza tym wszystko może cie zdarzyć.

Dokładnie to samo wynika z równań matematycznych.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana
czyli:
W=>N = ~(W*~N)=1
~(W*~N)
Nie może się zdarzyć ~(…), że spełnię warunek nagrody i nie dostanę nagrody

Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~(W=>N) = W*~N=0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy odbiorca spełni warunek nagrody i nie dostanie nagrody. Wszystko inne może się zdarzyć.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to muszę dostać komputer z powodu zdanego egzaminu

Dokładnie to samo wynika z definicji:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
~(p*~q) - gwarancja
czyli:
E=>K = ~(E*~K)=1
~(E*~K)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zdam egzamin i nie dostanę komputera

Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~(E=>K) = E*~K=0 (kłamstwo)
Ojciec zostanie kłamcą zostanę wtedy i tylko wtedy, gdy syn zda egzamin i nie dostanie komputera


3.2 Rodzaje obietnic

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N

Możemy wyróżnić trzy rodzaje obietnic.

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to muszę dostać komputer, jeśli nie zdam to mogę dostać z dowolnym uzasadnieniem niezależnym np. bo cię kocham.

2.
Obietnica z wykonalnością odroczoną w czasie

Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
P=>G
Implikacja jest ważna do chwili egzaminu który może być za dowolny okres czasu. Oczywiście jeśli ktoś przyjdzie w jakimkolwiek innym dniu byle przed egzaminem to też może dostać gotowca, to tylko i wyłącznie wolna wola nadawcy. Po egzaminie powyższa implikacja traci swoją ważność i sens.

3.
Obietnica z wykonalnością nieograniczoną w czasie

Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
M=>S
Ta implikacja działa do chwili wygrania miliona w TOTKA, wtedy musimy kupić samochód. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest jednak minimalne. Oczywiście w dowolnym momencie możemy podarować samochód pod byle pretekstem, zajdzie wtedy implikacja.


3.3 Równoważność implikacyjna w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N

Wszelkie obietnice obsługiwane są przez implikację prostą, bo dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać. Każda obietnica zawiera w sobie równoważność implikacyjną, może zajść ale nie musi.

W=>N =1 - twarda prawda
Jeśli warunek nagrody zostanie spełniony to nadawca musi dać nagrodę, inaczej będzie kłamcą.

W=>N = ~W ~>~N - prawo Kubusia

~W ~> ~N =1
Jeśli warunek nagrody nie zostanie spełniony to nadawca „może” ~> nie dać nagrody
LUB
~W ~> N =1
Jeśli warunek nagrody nie zostanie spełniony to nadawca „może” ~> dać nagrodę

Oczywiście wybór dowolnej z powyższych możliwości to tylko i wyłącznie wolna wola nadawcy niczym nie ograniczona. Nadawca ma prawo nie dać nagrody, jeśli warunek nagrody nie zostanie spełniony, zajdzie wówczas równoważność implikacyjna. Zauważmy jednak, że równoważność tą możemy stwierdzić wyłącznie po fakcie, czyli musztarda po obiedzie. W momencie wypowiadania obietnica jest zawsze implikacją prostą bo nikt nie zna przyszłości. W obietnicy prawdopodobieństwo zajścia implikacji jest duże, zaś równoważności implikacyjnej małe.


3.4 Analiza obietnicy

Zobaczmy wszystkie matematyczne możliwości wypowiedzenia przykładowej obietnicy, zarówno w czasie przyszłym jak i przeszłym.

I - Przyszłość
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
B.
Jeśli dostaniesz komputer to „możesz” zdać egzamin
K~>E
Zamian przyczyny ze skutkiem jest w obietnicy bez sensu

II - Przeszłość
Oczywiście nie musimy znać wyniku implikacji.
C.
Jeśli zdałeś egzamin to „na pewno” dostałeś komputer
E=>K
D.
Jeśli dostałeś komputer to „mogłeś” zdać egzamin
K~>E

Zauważmy, że w czasie przeszłym gdzie wszystko jest zdeterminowane obie implikacje mają sens. Przeanalizujmy szczegółowo pierwszą i ostatnia implikację.

Analiza przyszłości
A.
Jeśli zdasz egzamin to „na pewno” => dostaniesz komputer
E=>K =1 - twarda prawda
Jeśli zdasz egzamin to „na pewno” => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - twardy fałsz (kłamstwo)

E=>K = ~E ~> ~K - prawo Kubusia
czyli:
~E ~> ~K =1
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” ~> nie dostać komputera
LUB
~E ~> K =1
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” ~> dostać komputer

Analiza przeszłości:
D.
Jeśli dostałeś komputer to „mogłeś” zdać egzamin
K~>E
LUB
Jeśli dostałeś komputer to „mogłeś” nie zdać egzaminu.
Nadawca ma prawo dać nagrodę mimo nie spełnienia warunku nagrody (akt miłości).


4.0 Groźby

Wszelkie groźby to klasyczny przykład implikacji-przyszłość odwrotnej w 100% zależnej od człowieka.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K - implikacja odwrotna bo groźba

Analiza:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” ~> zostać ukarany
LUB
W~> ~K =1
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” ~> nie zostać ukarany

Implikacja odwrotna bo „mogę” w naturalnej logice człowieka. Wszelkie groźby podlegają pod implikacje odwrotną, gdyż nadawca „ma prawo” darować dowolna karę. Gdyby nie mógł tego zrobić to jego wolna wola leży w gruzach. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca ma 100% wolnej woli, może walić, albo darować karę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Sadysta może zawsze wykonywać karę, człowiek dobrotliwy może wszystkie kary darować, obaj nie są kłamcami.

Skorzystajmy z prawa Kubusia aby dowiedzieć się, co będzie w przypadku nie spełnienia warunku kary.

W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

~W => ~K =1 - twarda prawda (gwarancja)
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany

Oczywiście:
~W=> K =0 - twardy fałsz
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => zostanę ukarany

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.


4.1 Gwarancja w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K - implikacja odwrotna bo groźba

Gwarancja wynikająca z definicji implikacji odwrotnej
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana
~(~p*q) - gwarancja w groźbie
czyli:
W~>K = ~(~W*K) =1
~(~W*K)
Nie może się zdarzyć, że spełnię warunek kary i zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Negujemy powyższe równanie stronami:
~(W~>K) =~W*K =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy odbiorca nie spełni warunku kary i zostanie ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Wszystko inne może się zdarzyć.

Dokładnie to samo wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K – prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą

~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Wszystko inne może się zdarzyć.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana

~(~p*q) - gwarancja w groźbie
czyli:
B~>L = ~(~B*L) = 1
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach (~B) i dostanę lanie

Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~(B~>L) = ~B*L = 0 (kłamstwo)
Ojciec zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy syn wróci w czystych spodniach i dostanie lanie z powodu czystych spodni

Dokładnie to samo otrzymamy korzystając z prawa Kubusia:
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdę w czystych spodniach, to nie mam prawa dostać lania z powodu czystych spodni.

Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć. Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć.

Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.

Mamy tu pełną analogię do gwarancji w obietnicy:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Gwarancja:
Jeśli zdasz egzamin to „na pewno” => dostaniesz komputer z powodu zdania egzaminu. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja prosta.


4.2 Równoważność implikacyjna w groźbie

Wszelkie groźby obsługiwane są przez implikację odwrotną, gdyż nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach. Każda groźba zawiera w sobie równoważność implikacyjną, może zajść ale nie musi.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K

W~>K =1
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” ~> zostać ukarany
LUB
W~> ~K =1
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” ~> nie zostać ukarany

W~>K = ~W => ~K - prawo Kubusia

~W => ~K =1 - twarda prawda (gwarancja)
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany

Jak widać, jeśli odbiorca nie spełni warunku kary to nadawca nie ma prawa karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba. Jeśli wykona karę to zajdzie równoważność implikacyjna. Podobnie jak w obietnicy możemy stwierdzić co zaszło dopiero po fakcie. W momencie wypowiadania groźba jest zawsze implikacją, bo nikt nie zna przyszłości.

W praktyce człowiek wypowiada dużo gróźb których nie wykonuje, w szczególności do dzieci. Zachodzi wówczas implikacja (akt łaski). Znaczna część gróźb jest jednak wykonywana przy spełnionym warunku kary (równoważność implikacyjna), inaczej groźby będą lekceważone przez odbiorcę.


4.3 Analiza groźby

Rozważmy wszystkie matematyczne możliwości dla przykładowej groźby, zarówno w czasie przyszłym jak i przeszłym.

I - Przyszłość

A.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Implikacja odwrotna bo groźba.
B.
Jeśli dostaniesz lanie to „na pewno” => ubrudzisz spodnie
L=>B
Zamiana przyczyny ze skutkiem dotycząca przyszłości jest oczywiście bez sensu

II Przeszłość
Oczywiście zakładamy, że nie znamy rozstrzygnięcia implikacji.
C.
Jeśli ubrudziłeś spodnie to „mogłeś” dostać lanie
B~>L
D.
Jeśli dostałeś lanie to „na pewno” => ubrudziłeś spodnie

Podobnie jak w obietnicy obie implikacje dotyczące przeszłości maja sens. Przeanalizujmy A i D.

Analiza przyszłości:
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~>~L =1

B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
Oczywiście:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz

Analiza przeszłości:
Oczywiście rozpatrujemy groźbę o brudnych spodniach i laniu.
D:
Jeśli dostałeś lanie to „na pewno” => ubrudziłeś spodnie
L=>B =1 - stało się, kara została wykonana
Jeśli dostałeś lanie to „na pewno” => nie ubrudziłeś spodni
L=>~B =0 - zakaz lania, jeśli czyste spodnie

L=>B = ~L ~> ~B - prawo Kubusia

Jeśli nie dostałeś lania to „mogłeś” ~> nie ubrudzić spodni
~L ~> ~B
LUB
Jeśli nie dostałeś lania to „mogłeś” ~> ubrudzić spodnie
~L ~>B
W tym przypadku nadawca darował karę (akt łaski)


5.0 Tajemnice implikacji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo jeśli spełnię warunek nagrody to „muszę” dostać nagrodę. Dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo człowiek ma prawdo do darowania dowolnej kary (akt łaski), inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Prawo Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą

~W => ~K
Nie spełnienie warunku kary jest warunkiem wystarczającym, aby nie karać
Jeśli zajdzie ~W to "na pewno" (=>) zajdzie ~K.
Jeśli nie spełnię warunku kary to nie mam prawa być ukarany (gwarancja)

Każdy człowiek ma indywidualny zestaw pojęć które są dla niego karą albo nagrodą, nazwijmy go zbiór A. Zbór ten jest w ogromnej części wspólny dla wszystkich ludzi i zależy od kultury w której człowiek się wychowuje.

Dla zbioru A prawdziwe są poniższe równania.
Aksjomat:
Kara = NIE nagroda
Nagroda = NIE kara

Definicja nagrody:
Cokolwiek co chcę by zaszło (coś dla mnie dobrego, pozytywnego)

Definicja kary:
Cokolwiek co nie chcę by zaszło (coś dla mnie złego, negatywnego)

Mamy tu jak na dłoni aksjomat:
Kara (kara = nie chcę by zaszło) = nie nagroda (nagroda = chcę by zaszło)
Nagroda (nagroda = chcę by zaszło) = nie kara (kara= nie chcę by zaszło)

Powyższy aksjomat to fundament życia. Zwierzęta które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

W świecie żywych musi być:
Kara # Nagroda


5.1 Zwolnienia w obietnicy i groźbie

Idea zwolnień z obietnic i gróźb jest oczywista. Przykładowo, ojciec obiecał synowi samochód. W międzyczasie matka zachorowała i obaj ustalili, że samochód jest w tym przypadku nieistotny, wszystkie pieniądze przeznaczyli na leczenie matki. Nastąpiło naturalne zwolnienie ojca z danego synowi przyrzeczenia.

1.
Zwolnienia z obietnicy może dokonać osoba której coś obiecano
2.
Anulować groźbę może ten kto ją wypowiedział
3.
Z obietnicy lub groźby wypowiedzianej samemu sobie sam mogę się zwolnić np.
Jeśli dziewczyna mnie rzuci popełnię samobójstwo

Każdy człowiek ma marzenia, zarówno pozytywne (kupię sobie coś) jak i negatywne (dam sąsiadowi w mordę). Oczywistością jest naturalne zwolnienie z takich marzeń, których nikt nie słyszał. Po prostu o nich zapominamy i nikomu nie musimy się z tego tłumaczyć. Człowiek bez marzeń to martwy człowiek.


5.2 Obietnice w języku mówionym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to “muszę” dostać nagrodę. Implikacja prosta bo „muszę”.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
A: E=>K =1
Jeśli zdasz egzamin to „na pewno” nie dostaniesz komputera
B: E=> ~K =0
E=>K = ~E ~> ~K - prawo Kubusia
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” nie dostać komputera
C: ~E ~> ~K =1
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” dostać komputer
D: ~E ~> K =1 (implikacja)


5.2.1 Zwiększenie prawdopodobieństwa dostania nagrody

Jeśli zdasz egzamin to musisz dostać komputer
Jeśli zdasz egzamin to na pewno dostaniesz komputer
Jeśli zdasz egzamin to na 100% dostaniesz komputer
itp.

Powyższe implikacje są tylko wzmacniaczami naturalnego spójnika „muszę” w implikacji prostej. Mogą powodować wyłącznie zwiększenie prawdopodobieństwa zajścia implikacji bo oznaczają, że nadawca bardzo chce dać nagrodę. Obietnice to jednak przyszłość której nikt nie zna i może się zdarzyć, że mimo 100% zapewnień nagroda „ucieknie” np. wypadki losowe typu choroba, pożar itp.


5.2.2 Zmniejszenie prawdopodobieństwa dostania nagrody

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin to może dostaniesz komputer

Zauważmy, że użyty tu spójnik „może” koliduje z naturalnym spójnikiem implikacji prostej:

=> = „musi”.

Skutkiem użycia tego spójnika będzie dodatkowa jedynka implikacyjna w linii B w powyższej tabeli co oznacza, że nadawca może zrobić absolutnie wszystko i nigdy nie będzie kłamcą.

Na pewno nie wolno nam w tym przypadku postawić zera w linijce D bo oznaczałoby to odebranie wolnej woli nadawcy. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca ma święte prawo wręczyć mimo wszystko nagrodę (akt miłości), inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Obietnice równoważne do powyższej:
Nie wykluczam, że jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Jest możliwe, może się zdarzyć itp. ... że jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer.


5.2.3 Przypadek nie spełnienia warunku w obietnicy

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - implikacja prosta bo obietnica

Prawo Kubusia
E=>K = ~E ~> ~K - zamiana obietnicy na równoważna groźbę
Czyli:
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~E ~> ~K
Musi tu być implikacja odwrotna bo wyżej jest implikacja prosta, inaczej algebra Boole’a (prawo Kubusia) leży w gruzach.

Analiza:
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” ~> nie dostać komputera
~E ~> ~K =1
LUB
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” dostać komputer
~E ~>K =1

W groźbie nadawca ma prawo wręczyć komputer nawet gdy odbiorca spełni warunek kary czyli „nie zda egzaminu”. To tylko i wyłącznie jego wolna wola niczym nie ograniczona.

W implikacji, matematycznie równoważne groźby do powyższej będą brzmiały:

I.
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera, chyba że ja zdecyduję inaczej

To co wyżej to oczywistość wynikająca z definicji implikacji odwrotnej, dlatego nikt tak nie mówi bo nie ma takiej potrzeby.

II.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na X% nie dostaniesz komputera
X = 0%-100% - wszystko w rękach nadawcy, wyłącznie On decyduje ile procent.

IIA.
Wypowiadając groźbę:
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera

mogę blefować, tzn. tak czy siak zamierzam kupić komputer (tu X=0%). Nie oznacza to jednak, że nie mogę zmienić decyzji tuż przed wykonaniem groźby np. syn olał naukę a na dodatek jest pyskaty zatem mówię:

Nie zdałeś egzaminu nie dostajesz komputera
.... i nie jestem kłamcą, mimo że w chwili wypowiadania groźby był to tylko mój blef.

IIB.
Wypowiadając groźbę:
Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% nie dostaniesz komputera

moim celem jest zmuszenie syna do ekstremalnego wysiłku umysłowego, gdyż wiem, że zwykle mało się uczy.

Po nie zdanym egzaminie widząc, że syn naprawdę bardzo dużo się uczył mówię:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo widziałem że bardzo się starałeś ale miałeś pecha.

Mamy tu zatem sytuację odwrotną do przypadku IIA, w momencie wypowiadania groźby byłem na 100% zdecydowany nie dać komputera jeśli syn nie zda egzaminu ... a tuż po nie zdanym egzaminie zmieniłem zdanie i mimo wszystko dałem komputer. Gdybym nie mógł tego zrobić, to moja wolna wola leży w gruzach. Oczywiście, zgodnie z definicją implikacji odwrotnej kłamcą nie zostaję, nie mam na to najmniejszych szans !

Wszelkie obietnice i groźby to 100% implikacje, bo to jest przyszłość, której nikt nie zna. Człowiek może sobie mówić co mu się podoba np. „na 100%”, „wtedy i tylko wtedy” – to ma zerowe znaczenie. Miejsce matematyki zależnej od chciejstwa człowieka jest w koszu na śmieci.


5.3 Groźby w języku mówionym

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K - implikacja odwrotna bo groźba
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” zostać ukarany.

Groźba wypowiedziana:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
A: B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B: B ~> ~L =1 (implikacja)

B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania
C: ~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lania
D: ~B => L =0 - twardy fałsz


5.3.1 Zwiększenie prawdopodobieństwa wykonania groźby

Jeśli ubrudzisz spodnie to na pewno dostaniesz lanie, na 100% dostaniesz lanie itp.

Tu nadawca może sobie mówić co mu się podoba, ale sygnalizuje wyłącznie zwiększenie prawdopodobieństwa wykonania kary przy spełnionym warunku kary, bo groźby to przyszłość której nikt nie zna. Groźba zawsze pozostanie implikacją, bez względu na chciejstwo człowieka. Zauważmy, że wyzerowanie jedynki implikacyjnej w linii B odbiera wolną wolę nadawcy (tego nie wolno robić !), odbiera mu prawo do darowania kary przy spełnionym warunku kary (akt łaski). Nie ma takiej kary, której nadawca nie miałby prawa darować, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.


5.3.2 Zmniejszenie prawdopodobieństwa wykonania kary

Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie, to chyba dostaniesz lanie itp.

To zdanie powoduje zwiększenie prawdopodobieństwa zajścia implikacji w groźbie, czyli darowania kary w przypadku brudnych spodni ... tyle że w praktyce mało kto tak mówi, bo w definicji implikacji odwrotnej mamy zagwarantowany spójnik „może”. W groźbie nadawca może darować karę z byle powodu a nawet przez „zapomnienie”.

Groźby równoważne do powyższej:
Nie wykluczam, że jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
Jest możliwe, może się zdarzyć itp. ... że jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie.

To jest tylko i wyłącznie deklaracja zmniejszenia prawdopodobieństwa wykonania kary przy spełnionym warunku kary. Zauważmy, że gwarancja nie wykonania kary w przypadku nie spełnienia warunku kary (linia D) jest matematycznie nie do ruszenia, bo odbiera człowiekowi wolną wolę !

Zmiana z zera na jeden w linii D jest możliwa tylko w takim przypadku:
Jeśli ubrudzisz spodnie, albo nie ubrudzisz spodni to dostaniesz lanie
Oczywiście nikt tak nie powie bo jest to logiczny bełkot, rozwalający fundament algebry Boole’a. Miejsce logicznego bełkotu jest w koszu na śmieci.


6.0 Matematyczny warunek nagrody w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać.

Istota implikacji prostej.
W przypadku spełnienia warunku nagrody (W=1) muszę dostać nagrodę (N=1).

W przypadku nie spełnienia warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba zgodnie ze swoim „widzi mi się” czyli wolną wolą. Wprowadzamy zmienną uznaniową U którą nadawca może ustawić na dowolną wartość 0 albo 1. Stąd mamy proste równanie otrzymania nagrody w obietnicy.

N=W+U

gdzie:
N - funkcja logiczna (wyjście cyfrowe), mogąca przyjmować wartości 0 albo 1 w zależności od danych wejściowych W i U.
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
U=1 - dam nagrodę mimo nie spełnienia warunku nagrody (akt miłości)
U=0 - nie dam nagrody

Zauważmy, że jeśli warunek otrzymania nagrody zostanie spełniony (W=1) to zmienna uznaniowa nadawcy jest bez znaczenia.

N=W+U = 1+U = 1 - musze dostać nagrodę bez względu na U

Jeśli warunek nagrody nie zostanie spełniony (W=0) to wszystko w rękach nadawcy.
N=W+U=0+U=U

Nadawca może podjąć dowolna decyzję:
U=1 - dam nagrodę (akt miłości)
U=0 - nie dam nagrody

Powyższe równanie w języku potocznym przybierze postać:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0), dostajesz nagrodę (N), bo cię kocham (U=1 - dowolne uzasadnienie niezależne)
N=W+U=0+1=1 - mam nagrodę (akt miłości)

W przypadku nie spełnienia warunku nagrody nadawca może zrobić cokolwiek z małym wyjątkiem.

Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę (N), bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

N=W+U=0+0=0
Zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, identycznym jak warunek nagrody.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Nie zdałeś egzaminu (W=0) dostajesz komputer (K), bo cię kocham (U=1 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K = W+U = 0+1 = 1 - mam komputer dzięki dobremu sercu ojca (akt miłości)

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer, bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0)
K = W+U = 0+0 = 0 - zakaz wręczania komputera z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


7.0 Matematyczny warunek kary w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K

Implikacja odwrotna bo w przypadku spełnienia warunku kary nadawca może zrobić co mu się podoba, karać albo darować karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Suma logiczna w implikacji prostej (obietnica) przechodzi w iloczyn logiczny w implikacji odwrotnej (groźba).

1. a+b=>c
2. ~(a+b)~>~c logika ujemna bo wyjście c zanegowane (prawo Kubusia)
3. ~a*~b~>~c - prawo de'Morgana

Jak widać, implikacja prosta w logice dodatniej (c) jest równoważna implikacji odwrotnej w logice ujemnej (~c).

Możemy teraz zmienić punkt odniesienia i uznać logikę ujemną za dodatnią poprzez zamianę wszystkich zmiennych na przeciwne czyli otrzymujemy:
d*e~>f - implikacja odwrotna w logice dodatniej
Szersze wyjaśnienie tego faktu można znaleźć w „Fundamenty algebry Boole’a - Elementarz”.

Stąd w warunku kary w groźbie mamy iloczyn logiczny.
K = W*U

gdzie:
K - funkcja logiczna (wyjście cyfrowe), przyjmująca wartości 0 albo 1 w zależności od danych wejściowych W i U.
K=1 - karę wykonać
K=0 - zakaz karania
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony
U - zmienna uznaniowa nadawcy
U=1 - karę wykonać
U=0 - zakaz karania (akt łaski)

Jeśli warunek kary nie zostanie spełniony (W=0) to zmienna uznaniowa nadawcy jest bez znaczenia.
K = W*U = 0*U=0 - zakaz karania w przypadku nie spełnienia warunku kary

Jeśli warunek kary zostanie spełniony (W=1) to wszystko w rękach nadawcy.
K=W*U = 1*U = U

Spełniłeś warunek kary (W=1), nie zostaniesz ukarany (K), bo cię kocham (U=0 - zakaz karania)
K = W*U = 1*0 = 0 - zakaz karania (akt łaski)

Zauważmy, że nadawca ma zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym, identycznym jak warunek kary.

Spełniłeś warunek kary (W=1), nie zostaniesz ukarany (K), bo spełniłeś warunek kary (U=W=1)

K = W*U = 1*1=1 - karę wykonać, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (B=1), nie dostaniesz lania (L), bo cię kocham (U=0 - zakaz karania)
L = B*U = 1*0 = 0 - zakaz karania, akt łaski

Ubrudziłeś spodnie (B=1), nie dostaniesz lania (L), bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1)
L = B*U = 1*1 = 1 - karę wykonać, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym.

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


8.0 Człowiek jest z natury dobry

Definicja:
Człowiek jest z natury dobry oznacza, że w matematyce ścisłej (implikacji) sterującej zachowaniem wszelkich istot żywych na poziomie obietnic i gróźb przeważa dobro.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N

p q p=>q
1 1 1 - spełniony warunek, nagroda (dobro = gwarancja)
1 0 0 - spełniony warunek, brak nagrody (kłamstwo - nie ma prawa wystąpić)
0 0 1 - nie spełniony warunek, brak nagrody (zło)
0 1 1 - nie spełniony warunek, jest nagroda (dobro = akt miłości)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K

p q p~>q
1 1 1 - spełniony warunek, kara wykonana (zło)
1 0 1 - spełniony warunek, brak kary (dobro = akt łaski)
0 0 1 - nie spełniony warunek kary, brak kary (dobro = gwarancja)
0 1 0 - nie spełniony warunek kary, kara wykonana (kłamstwo - nie ma prawa wystąpić)

Pomijając linie które nie mają prawa wystąpić mamy:

4:2 dla dobra !

Linijki zła zdefiniowane są prawidłowo z punktu odniesienia odbiorcy. Natomiast jeśli nadawca postąpi zgodnie z dowolną linijką "dobra" to będzie to dobro dla obu stron. Stąd 4:2 dla dobra.

Ludzie są z natury dobrzy - to jest matematycznie gwarantowane jak wyżej.

To nie jest gwarancja psychologiczna, to jest gwarancja MATEMATYCZNA.

Co więcej, zauważmy że jeśli człowiek obiecuje cokolwiek drugiemu człowiekowi z własnej woli to z reguły da nagrodę niezależnie od tego czy odbiorca spełnił warunek nagrody (dobro = akt miłości). Groźby są w znacznym stopniu wykonywane gdyż inaczej odbiorca będzie je lekceważył ale myślę, że nie przekracza to 20% wszystkich gróźb. Większość gróźb anulowana jest przez nadawcę po prostu przez „zapomnienie” (dobro = akt łaski).

Matematyka rządzi zachowaniem wszelkich istot żywych.

Przykład:
Dziecko wybiega mi bez przerwy na jezdnię
Mówię mu:
Jeśli będziesz tak robił dostaniesz lanie
Groźba nie skutkuje ...

Dziecko dostaje lanie (groźba spełniona) i już wie co mu grozi gdy następnym razem nie zastosuje się do mojej prośby.

Zgodnie z definicją implikacji odwrotnej w przypadku spełnienia warunku groźby odbiorca nigdy nie wie czy nadawca wykona karę. W przypadku spełnienia warunku groźby nadawca może robić co mu się podoba, może walić albo darować.

Odbiorca i nadawca oraz osoby trzecie doskonale wiedzą o matematycznej gwarancji w implikacji odwrotnej.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K

~(~W*K)
Nie może się zdarzyć, że nie spełnię warunku kary i zostanę ukarany (z powodu nie spełnienia warunku kary)

Bush do Husajna:
Jeśli nie wycofasz się z Kuwejtu uderzymy na Irak
~W~>U - nie wycofasz to uderzymy.

Wszelkie groźby podlegają pod definicję implikacji odwrotnej.
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja
~(~p*q) = ~[~(~W)*U] = ~(W*U) - gwarancja w implikacji odwrotnej.

Husajn:
~(W*U)
Nie może się zdarzyć, że wycofam się z Kuwejtu i Bush uderzy na Irak z powodu że wycofałem się z Kuwejtu

Wszystko inne może się zdarzyć !

To jest krystalicznie czysta matematyka. Żaden człowiek nie ma szans się z niej wyłamać ... oczywiście idiota może, bo ma wolną wolę.

Bush idiota po groźbie jak wyżej ogłasza całemu światu:
Uderzam na Irak bo Husajn wycofał się z Kuwejtu

Matematyka rządzi zachowaniem wszelkich istot żywych.
Człowiek jest z natury dobry (matematycznie dobry).
.... co było do udowodnienia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 13:00, 20 Wrz 2008    Temat postu:

Beta 3.0 Z powodu rozbudowy 4.0

Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Logika człowieka


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej
2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1.1 Obietnica
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2.1 Groźba

4.0 Kwadrat logiczny równoważności
4.1 Kwadrat logiczny implikacji
4.2 Prawa kontrapozycji w implikacji
4.2.1 Punkt odniesienia - język mówiony
4.2.2 Punkt odniesienia - implikacja prosta
4.2.3 Punkt odniesienia - implikacja odwrotna
4.3 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

5.0 Warunki wystarczające i konieczne
5.1 Warunki wystarczające i konieczne w implikacjach bezczasowych
5.2 Dialogi w implikacjach bezczasowych
5.3 Implikacja prosta czasowa
5.4 Implikacja odwrotna czasowa

6.0 Podsumowanie


Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Zbanowany Uczy napisał:
Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu)

Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum SFINIA po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Logika człowieka = algebra Boole’a !

Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Mała rewolucja:
W logice klasycznej przy dwóch argumentach, możliwych jest 16 operatorów matematycznych z czego ludzie znają poprawne znaczenie i nazwy zaledwie sześciu. Nazwy i znaczenie wszystkich można znaleźć wyłącznie w podpisie w części "Elementarz".


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p => ~q


2.0 Rewolucja w logice klasycznej

Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.


2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana

Definicja operatora AND
Kod:
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0


Definicja operatora OR
Kod:
p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)

Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
Kod:

p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   1    0  1    0        1
0 0   0    1  1    1        0
0 1   1    1  0    0        1

Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej

Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Kod:

p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   0    0  1    1        0
0 0   0    1  1    1        0
0 1   0    1  0    1        0

Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.

Zauważmy, że abstrahujemy tu od szczegółów i nie pytamy na razie czym jest suma logiczna a czym iloczyn logiczny w języku mówionym człowieka, w tym momencie to nas zupełnie nie interesuje. Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne.

Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !


2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q

Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały. To są fundamentalne prawa algebry Boole’a analogiczne do praw de’Morgana i nigdy nie mogą być gwałcone w całym zakresie tej algebry.

Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)

Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+). Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>.

Prawa Kubusia obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być nigdy gwałcone !


2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji prostej.

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q = ~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Symboliczna definicja implikacji prostej:
A: p q =1 - twarda prawda
B: p ~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Z definicji symbolicznej widać, że „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie q”, gdyż przypadek „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie ~q” jest fałszem (nie ma prawa wystąpić). Natomiast „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść ~q”, LUB „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść q”

Oznaczmy:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Zakodujmy powyższą definicję przy pomocy naturalnej logiki człowieka jak wyżej z użyciem symboli => i ~>.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
~p ~> ~q =1
LUB
~p ~> q =1

Zauważmy, że w implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia definicji jest natychmiastowym fałszem, zdanie nie jest implikacja prostą. Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q (implikacja prosta p=>q) to w drugą stronę q musi być warunkiem koniecznym dla p (implikacja odwrotna q~>p).

Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
Bycie psem wystarcza, aby mieć cztery łapy

Przypomnijmy sobie prawo Kubusia działające w całym obszarze algebry Boole’a.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Pachnie tu wielką sensacją. Czyżby logika człowieka była zgodna z algebrą Boole’a ?

W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p=>q =1 - twarda prawda
B: p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p=>q = ~p~>~q - dla linii A=C
p=>~q = ~p~>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji prostej
C: ~p~> ~q =1
LUB
D: ~p~> q =1

Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka. Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=0 i D=1.

Zdanie wypowiedziane, podlegające pod definicję implikacji prostej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - nowe zdanie (dlatego 1 1 =1), implikacja prosta
A: p=>q = ~p+q =1 - twarda prawda
B: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
B: p=>~q = ~p+~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q -dla linii A=C
p=>~q = ~p~> q - dla linii B=D

Przechodzimy tu z definicji implikacji prostej => do definicji implikacji odwrotnej ~>. To dwie zupełnie różne definicje, zatem zdanie ~p~>~q musimy traktować jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane (dlatego 1 1 =1), implikacja odwrotna
C: ~p~> ~q = ~p+q =1
LUB
D: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
D: ~p~> q = ~p+~q =1

Zauważmy, że w równaniach matematycznych mamy tożsamości A=C i B=D, natomiast różnica w wyniku B=0 i D=1 wynika z potraktowania zdania ~p~>~q jako zupełnie nowego zdania podlegającego pod definicję implikacji odwrotnej.


2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji odwrotnej.

Zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q = p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1 - twarda prawda
D: ~p q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Z pierwszych dwóch linii widać, że „jeśli zajdzie p to „może” zajść q” LUB „jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q”. W linii C mamy gwarancję, że „jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q”. W linii C jest twarda prawda bo w linii D jest twardy fałsz. Zakodujmy symboliczną definicję implikacji odwrotnej przy pomocy znanych nam już operatorów.

~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=>q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia definicji leży w gruzach. Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q (implikacja odwrotna p~>q) to w drugą stronę, q musi być warunkiem wystarczającym dla p (implikacja prosta q=>p). Wynika z tego, że zamiast badać warunek konieczny w implikacji odwrotnej p~>q, możemy badać warunek wystarczający w implikacji prostej q=>p, to bez znaczenia.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń
Cztery łapy są konieczne aby być psem, to jest implikacja odwrotna

Jeśli zwierzę ma skrzydła to „może” być psem
S~>P =0 - oczywisty fałsz, to nie jest implikacja odwrotna
Skrzydła nie są konieczne, aby być psem

W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p~>q =1
LUB
B: p~>~q =1
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p~>q = ~p=>~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji odwrotnej
C: ~p=> ~q =1 - twarda prawda
D: ~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka.

Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=1 i D=0.

p~>q
Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji odwrotnej
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Operatory w dwóch pierwszych liniach to implikacja odwrotna.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane, implikacja odwrotna
A: p~>q = p+~q =1
LUB
B: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
B: p~> ~q = p+q =1
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Jak widać wkraczamy w obszar implikacji prostej, zatem traktujemy zdanie jako nowo wypowiedziane
(1 1 =1).
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - nowe zdanie, implikacja prosta
C: ~p=> ~q = p+~q =1 - twarda prawda
D: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
D: ~p=> q = p+q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Zauważmy, że zachodzą równoważności A=C i B=D bo identyczne prawe strony równań. Różnica w wynikowych zerach i jedynkach w B=1 i D=0 wynika z różnych definicji implikacji.


3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej

Jakkolwiek byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli, to między nimi muszą zachodzić prawa Kubusia.

p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Przykład 3.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
A: P8=>P2 =1 - twarda prawda
Zajście P8 jest wystarczające dla zajścia P2
Oczywiście powyższa twarda prawda generuje poniższy twardy fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
B: P8=> ~P2 =0 - twardy fałsz

… a co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?

P8=>P2 = ~P8~>~P2 - prawo Kubusia
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” => być niepodzielna przez 2
C: ~P8~>~P2 =1 - zdanie prawdziwe bo 3
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
D: ~P8~>P2 =1 zdanie prawdziwe bo 2

Jak widać w implikacji odwrotnej „może” ~> wystarczy podać jeden element spełniający warunek p dla którego implikacja jest prawdziwa. W implikacji prostej „musi” =>, zdanie musi być prawdziwe dla każdego elementu spełniającego warunek p.

Oczywiście nie jest tak jak to tłumaczą podręczniki szkolne, że wypowiadając zdanie A nadawca nie powiedział co będzie gdy warunek p nie jest spełniony i dlatego może zajść C lub D. Zdania C i D wynikają z praw Kubusia a nie z chciejstwa człowieka. Prawa Kubusia to matematyka ścisła, algebra Boole’a, niezależna od tego czego człowiek nie powiedział.
Przykład tego typu radosnej, podręcznikowej twórczości jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]


3.1.1 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a. To czego człowiek nie powiedział jest matematycznie bez znaczenia.

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1

W przypadku gdy warunek nagrody nie zostanie spełniony, ojciec może zrobić co mu się podoba, czyli dać albo nie dać czekoladę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Zwróćmy uwagę na gwarancję w implikacji prostej.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny, wszystko inne może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie matematycznej.

Dokładnie to samo uzyskujemy z równania matematycznego, opisującego implikację prostą.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Czyli:
G=>C = ~(G*~C) =1 (prawda)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady.
Negując powyższe równanie dwustronnie możemy się dowiedzieć kiedy ojciec będzie kłamcą
~(G=>C) = G*~C =0 (kłamstwo)
Ojciec będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy syn będzie grzeczny i nie dostanie czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie.


3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej

Rozważmy zdanie:
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ??? ~C
Co wstawić w miejsce ???, operator => czy ~> ?

Przypomnijmy sobie zdanie analizowane w poprzednim punkcie:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
oraz drugi wniosek z praw Kubusia:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Odpowiedź jest jasna, kodowanie może być tylko i wyłącznie takie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C =1
Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” dostać czekoladę
~G ~> C

Bo prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C
nie może być gwałcone !

Zdanie ~G~> ~C to ewidentna groźba, skąd wniosek iż wszelkie groźby musimy kodować przy pomocy implikacji odwrotnej.

Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej zaś wszelkie groźby pod definicję implikacji odwrotnej

Dowód wyżej.

3.2.1 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna, bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

Groźba w logice dodatniej (q nie zanegowane):
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Groźba w logice ujemnej (q zanegowane):
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C

Oczywistym jest, że zamiast analizować groźbę:
~G~> ~C
Możemy analizować równoważną obietnicę:
G=>C
na podstawie prawa Kubusia:
~G~>~C = G=>C - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Stąd gwarancja w implikacji odwrotnej ~G~>~C :
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę

Tą samą gwarancję możemy otrzymać z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja
czyli:
~G~> ~C = ~[~(~G)*(~C)] = ~(G*~C) =1 (prawda)
~(G*~C)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady
Negujemy powyższe równanie dwustronnie, by zobaczyć kiedy nadawca będzie kłamcą
~(~G~>~C) = G*~C =0 (fałsz)
Nadawca będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy będę grzeczny i nie dostanę czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ponieważ zdanie G=>C równoważne zdaniu ~G ~> ~C analizowaliśmy wyżej, zatem nie musimy nic robić !

Przeanalizujmy typową groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem obowiązuje implikacja odwrotna
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy warunek ten będzie konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~> ~L =1
W przypadku brudnych spodni nadawca może robić co mu się podoba, walić albo darować (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą, co widać wyżej.

… a co będzie jeśli nie ubrudzę spodni ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli nie ubrudzisz to „na pewno” => nie dostaniesz lania
~B=> ~L =1 - twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej B~>L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lanie
~B=>L =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Powyższa gwarancja wynika także bezpośrednio z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Dla powyższej groźby:
B~>L = ~(~B*L) =1 (prawda)
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni
Negujemy powyższe równanie, by zobaczyć kiedy nadawca zostanie kłamcą
~(B~>L) = ~B*L =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni.
Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć:
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.

Ta gwarancja jest typowa dla implikacji prostej, porównajmy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.


4.0 Kwadrat logiczny równoważności

Znany człowiekowi kwadrat logiczny dotyczy równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


[link widoczny dla zalogowanych] napisał:
Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to jego poprzednik p nazywamy założeniem, następnik q - tezą założenia. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.
Dla danej implikacji p=>q, którą nazywamy prostą, implikację q=>p nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej. Dla każdej implikacji prostej p=>q implikację ~q=> ~p nazywamy przeciwstawną, a implikację ~p=>~q - przeciwną. Implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne oraz implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne. Zależności te można przedstawić na kwadracie, który nazywa się kwadratem logicznym.

Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej samej przekątnej umieszczone są implikacje równoważne. Każda z par implikacji: prosta i przeciwna oraz odwrotna i przeciwstawna stanowi tzw. zamknięty układ implikacji
Dla dowodu twierdzenia postaci p<=>q, wystarczy udowodnić implikację prostą p=>q i odwrotną q=>p. Z kwadratu logicznego wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Użyta terminologia:
p=>q - implikacja prosta
~p=>~q - implikacja przeciwna
q=>p - implikacja odwrotna
~q=>~p - implikacja przeciwstawna
Po przekątnych mamy prawa kontrapozycji dla równoważności. Poprawne wyprowadzenie praw kontrapozycji dla implikacji pokazane zostanie w pkt. 4.2.

Autorowi Kubuś wręcza złoty medal za pomoc, dzięki. W kilku zdaniach mamy tu aktualny stan logiki klasycznej, beznadziejny stan logiki klasycznej. Ostatnie zdanie jest dowodem, że kwadrat dotyczy równoważności, pokazuje kiedy zachodzi równoważność z bardzo prostego powodu, nie ma w nim ani jednego operatora implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~> między p i q. Tylko w równoważności poprawne są zapisy p=>q oraz q=>p, dla implikacji p=>q poprawny jest zapis q~>p.

Z kwadratu logicznego równoważności wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Najpopularniejsze definicje równoważności.
A: p=>q i q=>p - zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Sprawdźmy czy to jest równoważność korzystając z równania B.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość

Z powyższej analizy wyprowadzamy definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
A*~A = 0 - prawo algebry Boole’a
stąd:
~p*p=q*~q=0

Stąd mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


4.1 Kwadrat logiczny implikacji

Kwadrat logiczny implikacji to po prostu operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej które doskonale znamy.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q


Wyprowadzenie kwadratu logicznego implikacji:

Zacznijmy od podręcznikowego kwadratu logicznego równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Zróbmy trochę przekształceń typu hokus-pokus i przekształćmy go w kwadrat logiczny implikacji.

W implikacji „Jeśli…to…” zarówno prostej jak i odwrotnej po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p, zaś po „to” zawsze jest następnik q

p=>q - implikacja prosta
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p~>q - implikacja odwrotna
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q

Przerysujmy powyższy kwadrat tak, aby wszędzie po lewej stronie mieć poprzednik p korzystając z matematycznych tożsamości:
q=>p = p<=q
~q=>~p = ~p<=~q

Kod:

A1: p=>q     A2: p<=q

C1: ~p=>~q   C2: ~p<=~q


Zapiszmy teraz czarodziejskie zaklęcie hokus-pokus:
p~>q = p<=q

Dowód;
Kod:

p q p~>p p<=q
1 1  1    1
1 0  1    1
0 0  1    1
0 1  0    0

Równość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem, że tożsamość zachodzi.
Gdzie:
p~>q - znana nam doskonale definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
p<=q = p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zauważmy, że symbol p<=q może być czytany tylko i wyłącznie przeciwnie do strzałki jako spójnik „może”.
Matematycznie zachodzi:
p<=q = q=>p
… i tu jest wielki problem bo symbol => w tą stronę to zwykle operator implikacji prostej „musi” =>

Zobaczmy na przykładzie cały problem:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - to oczywistość
Matematycznie zachodzi:
A.
P8=>P2 = P2<=P8 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 - również oczywistość i pełna jednoznaczność
Matematycznie zachodzi:
P2~>P8 = P8<~P2 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Załóżmy teraz, że nie wprowadzamy nowego symbolu „może” ~> co matematycznie jest dopuszczalne. Ostatnie zdanie musimy zapisać tak:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2=>P8 - to jest idiotyzm, bo symbol => to operator „musi”.
Jedyna poprawna możliwość zapisu jest taka:
P2<=P8 - poprawny operator implikacji odwrotnej „może” <=, czytany przeciwnie do strzałki
Matematycznie zachodzi:
B.
P2<=P8 = P8=>P2 - prawa strona koliduje tu z lewą stroną równania A

Mamy:
P8=>P2 - lewa strona równania A, czytana zgodnie ze strzałką
P8=>P2 - prawa strona równania B, czytana przeciwnie do strzałki
Jeśli teraz zabierzemy opisy słowne to otrzymamy:
P8=>P2
P8=>P2
… no i niech się znajdzie mądry, który widząc powyższe zapisy odpowie na pytanie, który wzór opisuje implikację prostą, a który odwrotną, tzn. które równanie należy czytać zgodnie ze strzałką P8=>P2 (implikacja prosta) a które przeciwnie do strzałki P8=>P2 (implikacja odwrotna).

Jeśli do tego dołożymy prawo Kubusia które zawsze odwraca wektor => to idiotyzm będzie pełny.
Prawo Kubusia
P8=>P2 = ~P8<=~P2 - negujemy zmienne i odwracamy operator
Lewą stronę czytamy zgodnie ze strzałką, operator „musi” =>, zaś prawą przeciwnie do strzałki, operator „może” <=.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
P2<=P8 = ~P8<=~P2
P2<=P8 = ~P2=>~P8
Matematycznie wszystkie powyższe równania są tożsame.
Jak widać, bez wprowadzenia operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, mamy wariatkowo.

Przerysujmy kwadrat logiki wprowadzając do niego spójnik implikacji odwrotnej „może” ~>.
p<=q = p~>q
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p=>~q   C2: ~p~>~q


Oczywiście prawa matematyczne po przekątnych dalej zachodzą, to prawa Kubusia. Zauważmy, że wszędzie z lewej strony mamy poprzednik p, niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta czy odwrotna, co jest zgodne z definicjami tych implikacji. Zamieńmy teraz dolny bok kwadratu miejscami, aby prawa Kubusia zachodziły w pionie, a nie po przekątnych.
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p~>~q   C2: ~p=>~q

Zauważmy, że teraz po przekątnych nie zachodzą żadne tożsamości. Dopiero teraz mamy w pionie dwa niezależne układy implikacyjne o których wspomina podręcznik matematyki do LO.

Oczywiście w pionach zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=> ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Lewą stronę kwadratu możemy łatwo uzupełnić o brakujące równania.

Zauważmy że jeśli zachodzi:
p=>q =1 - twarda prawda
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
to:
p=>~q =0 - twardy fałsz, wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q

Z ostatniego równania na podstawie prawa Kubusia mamy:
p=>~q = ~p~> q

Lewą stronę kwadratu mamy zatem kompletną, to znana nam doskonale operatorowa definicja implikacji prostej. Rozumując identycznie z prawej strony kwadratu otrzymamy operatorową definicję implikacji odwrotnej. Możemy teraz łatwo narysować kompletny kwadrat implikacji, uzupełniony o tożsamości wynikłe z definicji implikacji prostej i odwrotnej.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Co było do wyprowadzenia ...

Doskonale widać zachodzące tożsamości.
Lewa strona:
A1=C1
B1=D1
Prawa strona:
A2=C2
B2=D2
bo prawe strony równań są identyczne.


4.2 Prawa kontrapozycji w implikacji

Kwadrat logiczny implikacji może być widziany z trzech różnych punktów odniesienia. Oczywiście wszystkie są poprawne.

4.2.1 Punkt odniesienia - język mówiony

Przyjmujemy punkt odniesienia zgodny z naturalnym językiem mówionym gdzie po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to” zawsze jest następnik implikacji q.

Kwadrat logiczny implikacji, punkt odniesienia - język mówiony:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

W pionach doskonale widać prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Między pionami nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, w naturalnym języku mówionym to dwa izolowane układy implikacyjne.


4.2.2 Punkt odniesienia - implikacja prosta

Zakładamy, że wypowiedziana została implikacja prosta p=>q, przywiązujemy na stałe p i q do tej właśnie implikacji i przerysowujemy kwadrat. Oczywiście w tym przypadku prawy górny róg kwadratu będzie implikacją odwrotną q~>p.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Dla poniższej tabeli mamy stały punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Definicje potrzebne do tworzenia prawych stron równości w kwadracie:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

Kwadrat logiczny implikacji, punkt odniesienia p=>q:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  q~>p = ~p+q
B1:  p=>~q = ~p+~q=0        B2:  q~>~p = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~q=>~p =~p+q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~q=>p = p+q =0

Dzięki temu, że w liniach B1 i D2 mamy twardy fałsz wynikły z twardych jedynek w A1 i C2, zachodzi prawo kontrapozycji poprawne dla implikacji.

p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji poprawne dla punktu odniesienia p=>q


4.2.3 Punkt odniesienia - implikacja odwrotna

Zakładamy, że wypowiedziana została implikacja odwrotna p~>q do której przywiązujemy na stałe p i q. Implikacja odwrotna do wypowiedzianej będzie oczywiście implikacją prostą q=>p. W tym przypadku lewy górny róg kwadratu logiki przyjmie postać q=>p.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
Dla poniższej tabeli przyjmujemy stały punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Definicje potrzebne do tworzenia prawych stron równości w kwadracie:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

Kwadrat logiczny, punkt odniesienia p~>q
Kod:

A1:  q=>p = p+~q =1        A2:  p~>q = p+~q
B1:  q=>~p =~p+~q =0       B2:  p~>~q = p+q

C1: ~q~>~p = p+~q          C2: ~p=>~q = p+~q =1
D1: ~q~>p =~p+~q           D2: ~p=>q = p+q =0

Dzięki temu że w liniach B1 i D2 mamy twardy fałsz wynikły z twardych jedynek w liniach A1 i C2 zachodzi prawo kontrapozycji poprawne dla implikacji.

~p=>~q = q=>p - prawo kontrapozycji poprawne dla punktu odniesienia p~>q


4.3 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1
Zauważmy, że w wyniku mamy trzy jedynki i jedno zero, zatem jest to piękna implikacja.

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo kontrapozycji:
G=>C = ~C=>~G
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” => nie będziesz grzeczny
~C => ~G =1 - twarda prawda
Jeśli nie dostaniesz czekolady to na pewno będziesz grzeczny
~C => G =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Podsumowanie:
Jak widać, na pytanie „Co będzie jeśli nie będę grzeczny” prawo Kubusia odpowiada sensownie i na temat, tak odpowie każdy człowiek. Natomiast odpowiedź prawa kontrapozycji na to samo pytanie jest zupełnie nie na temat.


5.0 Warunki wystarczające i konieczne

Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q w implikacji odwrotnej.

5.1 Warunki wystarczające i konieczne w implikacjach bezczasowych

W implikacjach nie związanych z czasem, w tym matematycznych, każda z możliwych implikacji jest sensowna, nieczuła na zamiany p i q.

Uproszczony kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
 


Oczywiście w pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne. Nie oznacza to jednak, że człowiek wypowiadając implikację prostą p=>q nie ma prawa używać w dialogach implikacji z prawego układu implikacyjnego. Oczywiście może używać i robi to często.

p=>q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej (gwarancja)
p~>q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej (gwarancja)

A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy
~(P*~4L) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
C1.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap ?
~[~(~P)*(~4L)]=~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Zamieniając p i q w A1 otrzymujemy implikację odwrotną A2.
A2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym, aby być psem
~(~4L*P) = ~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
C2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym, aby nie być psem.
~[(~4L)*~(~P)] = ~(~4L*P) = ~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Oczywiście zamieniając p i q w A2 otrzymujemy implikację prostą A1.

Twierdzenie 5.1
We wszystkich implikacjach wynikających z kwadratu logicznego implikacji powstałych poprzez zamianę p i q mamy identyczne gwarancje matematyczne.

Twierdzenie 5.2
Jeśli w kwadracie logicznym implikacji powstałym poprzez zamianę p i q zachodzi dowolny warunek wystarczający w implikacjach prostych (A1, C2) lub konieczny w implikacjach odwrotnych (A2, C1) to prawdziwość dla pozostałych trzech przypadków jest pewna.

W powyższym przykładzie mieliśmy problemy jedynie z określeniem warunku koniecznego dla C1, pozostałe przypadki są oczywiste.


5.2 Dialogi w implikacjach bezczasowych

Kubuś w rozmowie z 5-letnią Zuzią.

Start do implikacji prostej:
K.
Zuzia, jeśli zwierzę jest psem to ile ma łap ?
Z.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
K.
… a jeśli zwierzę nie jest psem, to czy może nie mieć czterech łap ?
Z.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo stonoga
K.
Czy jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy ?
Z.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~>4L = 1 bo słoń

Start do implikacji odwrotnej:
K.
Zuzia, jeśli zwierzę ma cztery łapy to czy może być psem ?
Z.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
K.
… a jeśli zwierzę ma cztery łapy to czy może nie być psem ?
Z.
Tak, jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń
K.
Zuzia, jeśli zwierzę nie ma czterech łap, to czy może być psem ?
Z.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=> ~P - twarda prawda

Zauważmy, że w powyższym dialogu nie jest możliwe, aby 5-letnie dziecko pomyliło spójnik „na pewno” => (implikacja prosta) ze spójnikiem „może” ~> (implikacja odwrotna). Oczywiście w przypadku 5-letniego dziecka pytania muszą być naprowadzające.


5.3 Implikacja prosta czasowa

Typowym przedstawicielem są tu wszelkie obietnice.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
 


Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C

Oczywiście w obietnicach zamiana p i q (przyczyny ze skutkiem) nie ma sensu.

Nikt nie wypowie takiej „obietnicy”:
Jeśli dostaniesz czekoladę to powiesz wierszyk
C~>W

Wniosek:
Prawa strona kwadratu logicznego implikacji jest wykluczona w przypadku obietnic. Nie wolno zamieniać przyczyny ze skutkiem. Wszelkie obietnice obsługuje wyłącznie lewa strona kwadratu implikacji.

Kubuś do 5-cioletniej Zuzi:
K.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
Z.
… a jeśli nie powiem wierszyka ?
K.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~>~C
LUB
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” ~> dostać czekoladę
~W~>C

Zuzia, choć mała dziewczynka doskonale wie, że nawet jak nie powie wierszyka to ma duże szanse na czekoladę … i duże możliwości wymuszenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody np. prośby, płacz.

Zauważmy, że jeśli implikacja zajdzie to wszystkie zdania w kwadracie logiki staną się sensowne, bo to jest przeszłość gdzie wszystko jest zdeterminowane. Niekoniecznie musimy znać rozstrzygnięcie implikacji.

A1.
Jeśli powiedziałaś wierszyk to na pewno dostałaś czekoladę
W=>C
C1.
Jeśli nie powiedziałaś wierszyka to mogłaś nie dostać czekolady
~W~>~C
LUB
Jeśli nie powiedziałaś wierszyka to mogłaś dostać czekoladę
~W~>C (akt miłości)

A2.
Jeśli dostałaś czekoladę to mogłaś powiedzieć wierszyk
C~>W
LUB
Jeśli dostałaś czekoladę to mogłaś nie powiedzieć wierszyka
C~>W (akt miłości)
C2.
Jeśli nie dostałaś czekolady to na pewno nie powiedziałaś wierszyka
~C => ~W - twarda prawda


5.4 Implikacja odwrotna czasowa

Typowym przedstawicielem są tu wszelkie groźby.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
 


Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Zauważmy, że tym razem lewa strona kwadratu logiki jest nieczynna bowiem nie można zamieniać przyczyny ze skutkiem.

Jeśli dostaniesz lanie to na pewno ubrudzisz spodnie
L=>B
Oczywiście, powyższe to bełkot, nie mający nic wspólnego z groźbą.

Kubuś do 5-cioletniej Zuzi:
K.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Z.
… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
K.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
~B=>~L

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia.
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Oczywiście w przypadku groźby, identycznie jak w obietnicy, dla przeszłości cały kwadrat logiczny będzie miał sens, bo tu wszystko jest zdeterminowane.


6.0 Podsumowanie

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q


Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.


Zauważmy na koniec coś bardzo ważnego:
W języku mówionym domyślnym spójnikiem w implikacji prostej jest spójnik „na pewno” => dlatego prawie nigdy nie jest wypowiadany, choć można go powtórzyć.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C

W implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka zawsze wymawiamy spójnik „może” ~> ponieważ matematyka musi być jednoznaczna.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Wyjątkiem od reguły są groźby, podlegające pod definicję implikacji odwrotnej. Zauważmy, że jawne użycie spójnika "może" zawsze osłabia groźbę.

Miękka groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie
B~>L

Twarda groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B=>~L =1

Gwarancję w implikacji odwrotnej zapewnia prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć.

Spójnik "może" jest gwarantowany w definicji implikacji odwrotnej ~> i z reguły nie jest powtarzany. Zauważmy, że wypowiadając twardą groźbę (bez "może") nadawca ma dokładnie takie same prawa jak przy użyciu groźby miękkiej. W obu przypadkach gdy warunek groźby zostanie spełniony, nadawca może robić co mu sie podoba, walić albo darować lanie, i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy na koniec, że mamy bardzo proste i precyzyjne definicje obietnicy i groźby (wyżej), dzięki czemu prawie zawsze z łatwością rozpoznamy kiedy nadawca wypowiedział groźbę a kiedy obietnicę. Groźba czy obietnica musi być jednoznaczna, leży to w interesie zarówno nadawcy jak i odbiorcy. Zastrzeżenie „prawie zawsze” dotyczy podstępu nadawcy.

W świecie żywym musi być:
kara # nagroda
Czyli:
Obietnica musi być kodowana innym operatorem matematycznym niż groźba

Oczywiście:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna


Odróżnianie kary od nagrody to warunek przetrwania. Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

2008
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 21:38, 25 Wrz 2008    Temat postu:

Beta 4.0 bo kontrapozycja
Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Logika człowieka


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej
2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1.1 Obietnica
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2.1 Groźba

4.0 Kwadrat logiczny równoważności
4.1 Kwadrat logiczny implikacji
4.2 Gwarancje, prawa Kubusia i prawa kontrapozycji w implikacji
4.2.1 Punkt odniesienia - język mówiony
4.2.2 Punkt odniesienia - implikacja prosta
4.2.3 Punkt odniesienia - implikacja odwrotna
4.2.4 Punkt odniesienia - równoważność
4.3 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

5.0 Warunki wystarczające i konieczne
5.1 Warunki wystarczające i konieczne w implikacjach bezczasowych
5.2 Dialogi w implikacjach bezczasowych
5.3 Implikacja prosta czasowa
5.4 Implikacja odwrotna czasowa

6.0 Język potoczny


Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Zbanowany Uczy napisał:
Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu)

Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum SFINIA po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Logika człowieka = algebra Boole’a !

Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Mała rewolucja:
W logice klasycznej przy dwóch argumentach, możliwych jest 16 operatorów matematycznych z czego ludzie znają poprawne znaczenie i nazwy zaledwie sześciu. Nazwy i znaczenie wszystkich można znaleźć wyłącznie w podpisie w części "Elementarz".


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p => ~q


2.0 Rewolucja w logice klasycznej

Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.


2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana

Definicja operatora AND
Kod:
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0


Definicja operatora OR
Kod:
p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)

Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
Kod:

p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   1    0  1    0        1
0 0   0    1  1    1        0
0 1   1    1  0    0        1

Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej

Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Kod:

p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   0    0  1    1        0
0 0   0    1  1    1        0
0 1   0    1  0    1        0

Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.

Zauważmy, że abstrahujemy tu od szczegółów i nie pytamy na razie czym jest suma logiczna a czym iloczyn logiczny w języku mówionym człowieka, w tym momencie to nas zupełnie nie interesuje. Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne.

Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !


2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q

Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały. To są fundamentalne prawa algebry Boole’a analogiczne do praw de’Morgana i nigdy nie mogą być gwałcone w całym zakresie tej algebry.

Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)

Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+). Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>.

Prawa Kubusia obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być nigdy gwałcone !


2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji prostej.

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q = ~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Symboliczna definicja implikacji prostej:
A: p q =1 - twarda prawda
B: p ~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Z definicji symbolicznej widać, że „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie q”, gdyż przypadek „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie ~q” jest fałszem (nie ma prawa wystąpić). Natomiast „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść ~q”, LUB „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść q”

Oznaczmy:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Zakodujmy powyższą definicję przy pomocy naturalnej logiki człowieka jak wyżej z użyciem symboli => i ~>.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
~p ~> ~q =1
LUB
~p ~> q =1

Zauważmy, że w implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia definicji jest natychmiastowym fałszem, zdanie nie jest implikacja prostą. Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q (implikacja prosta p=>q) to w drugą stronę q musi być warunkiem koniecznym dla p (implikacja odwrotna q~>p).

Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
Bycie psem wystarcza, aby mieć cztery łapy

Przypomnijmy sobie prawo Kubusia działające w całym obszarze algebry Boole’a.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Pachnie tu wielką sensacją. Czyżby logika człowieka była zgodna z algebrą Boole’a ?

W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p=>q =1 - twarda prawda
B: p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p=>q = ~p~>~q - dla linii A=C
p=>~q = ~p~>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji prostej
C: ~p~> ~q =1
LUB
D: ~p~> q =1

Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka. Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=0 i D=1.

Zdanie wypowiedziane, podlegające pod definicję implikacji prostej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - nowe zdanie (dlatego 1 1 =1), implikacja prosta
A: p=>q = ~p+q =1 - twarda prawda
B: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
B: p=>~q = ~p+~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q -dla linii A=C
p=>~q = ~p~> q - dla linii B=D

Przechodzimy tu z definicji implikacji prostej => do definicji implikacji odwrotnej ~>. To dwie zupełnie różne definicje, zatem zdanie ~p~>~q musimy traktować jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane (dlatego 1 1 =1), implikacja odwrotna
C: ~p~> ~q = ~p+q =1
LUB
D: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
D: ~p~> q = ~p+~q =1

Zauważmy, że w równaniach matematycznych mamy tożsamości A=C i B=D, natomiast różnica w wyniku B=0 i D=1 wynika z potraktowania zdania ~p~>~q jako zupełnie nowego zdania podlegającego pod definicję implikacji odwrotnej.


2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji odwrotnej.

Zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q = p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1 - twarda prawda
D: ~p q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Z pierwszych dwóch linii widać, że „jeśli zajdzie p to „może” zajść q” LUB „jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q”. W linii C mamy gwarancję, że „jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q”. W linii C jest twarda prawda bo w linii D jest twardy fałsz. Zakodujmy symboliczną definicję implikacji odwrotnej przy pomocy znanych nam już operatorów.

~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=>q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia definicji leży w gruzach. Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q (~p=>~q =1). Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q (p~>q) to w drugą stronę, q musi być warunkiem wystarczającym dla p (q=>p). Wynika z tego, że zamiast badać warunek konieczny w implikacji odwrotnej p~>q, możemy badać warunek wystarczający w implikacji prostej q=>p, to bez znaczenia.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń
Cztery łapy są konieczne aby być psem, to jest implikacja odwrotna

Jeśli zwierzę ma skrzydła to „może” być psem
S~>P =0 - oczywisty fałsz, to nie jest implikacja odwrotna
Skrzydła nie są konieczne, aby być psem

W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p~>q =1
LUB
B: p~>~q =1
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p~>q = ~p=>~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji odwrotnej
C: ~p=> ~q =1 - twarda prawda
D: ~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka.

Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=1 i D=0.

p~>q
Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji odwrotnej
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Operatory w dwóch pierwszych liniach to implikacja odwrotna.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej

A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane, implikacja odwrotna
A: p~>q = p+~q =1
LUB
B: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
B: p~> ~q = p+q =1
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Jak widać wkraczamy w obszar implikacji prostej, zatem traktujemy zdanie jako nowo wypowiedziane
(1 1 =1).
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej

C: 1 1 =1 - nowe zdanie, implikacja prosta
C: ~p=> ~q = p+~q =1 - twarda prawda
D: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
D: ~p=> q = p+q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Zauważmy, że zachodzą równoważności A=C i B=D bo identyczne prawe strony równań. Różnica w wynikowych zerach i jedynkach w B=1 i D=0 wynika z różnych definicji implikacji.


3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej

Jakkolwiek byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli, to między nimi muszą zachodzić prawa Kubusia.

p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Przykład 3.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
A: P8=>P2 =1 - twarda prawda
Zajście P8 jest wystarczające dla zajścia P2
Oczywiście powyższa twarda prawda generuje poniższy twardy fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
B: P8=> ~P2 =0 - twardy fałsz

… a co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?

P8=>P2 = ~P8~>~P2 - prawo Kubusia
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” => być niepodzielna przez 2
C: ~P8~>~P2 =1 - zdanie prawdziwe bo 3
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
D: ~P8~>P2 =1 zdanie prawdziwe bo 2

Jak widać w implikacji odwrotnej „może” ~> wystarczy podać jeden element spełniający warunek p dla którego implikacja jest prawdziwa. W implikacji prostej „musi” =>, zdanie musi być prawdziwe dla każdego elementu spełniającego warunek p.

Oczywiście nie jest tak jak to tłumaczą podręczniki szkolne, że wypowiadając zdanie A nadawca nie powiedział co będzie gdy warunek p nie jest spełniony i dlatego może zajść C lub D. Zdania C i D wynikają z praw Kubusia a nie z chciejstwa człowieka. Prawa Kubusia to matematyka ścisła, algebra Boole’a, niezależna od tego czego człowiek nie powiedział.
Przykład tego typu radosnej, podręcznikowej twórczości jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]


3.1.1 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a. To czego człowiek nie powiedział jest matematycznie bez znaczenia.

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1

W przypadku gdy warunek nagrody nie zostanie spełniony, ojciec może zrobić co mu się podoba, czyli dać albo nie dać czekoladę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Zwróćmy uwagę na gwarancję w implikacji prostej.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny, wszystko inne może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie matematycznej.

Dokładnie to samo uzyskujemy z równania matematycznego, opisującego implikację prostą.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Czyli:
G=>C = ~(G*~C) =1 (prawda)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady.
Negując powyższe równanie dwustronnie możemy się dowiedzieć kiedy ojciec będzie kłamcą
~(G=>C) = G*~C =0 (kłamstwo)
Ojciec będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy syn będzie grzeczny i nie dostanie czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie.


3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej

Rozważmy zdanie:
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ??? ~C
Co wstawić w miejsce ???, operator => czy ~> ?

Przypomnijmy sobie zdanie analizowane w poprzednim punkcie:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
oraz drugi wniosek z praw Kubusia:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Odpowiedź jest jasna, kodowanie może być tylko i wyłącznie takie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C =1
Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” dostać czekoladę
~G ~> C

Bo prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C
nie może być gwałcone !

Zdanie ~G~> ~C to ewidentna groźba, skąd wniosek iż wszelkie groźby musimy kodować przy pomocy implikacji odwrotnej.

Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej zaś wszelkie groźby pod definicję implikacji odwrotnej

Dowód wyżej.

3.2.1 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna, bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

Groźba w logice dodatniej (q nie zanegowane):
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Groźba w logice ujemnej (q zanegowane):
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C

Oczywistym jest, że zamiast analizować groźbę:
~G~> ~C
Możemy analizować równoważną obietnicę:
G=>C
na podstawie prawa Kubusia:
~G~>~C = G=>C - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Stąd gwarancja w implikacji odwrotnej ~G~>~C :
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę

Tą samą gwarancję możemy otrzymać z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja
czyli:
~G~> ~C = ~[~(~G)*(~C)] = ~(G*~C) =1 (prawda)
~(G*~C)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady
Negujemy powyższe równanie dwustronnie, by zobaczyć kiedy nadawca będzie kłamcą
~(~G~>~C) = G*~C =0 (fałsz)
Nadawca będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy będę grzeczny i nie dostanę czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ponieważ zdanie G=>C równoważne zdaniu ~G ~> ~C analizowaliśmy wyżej, zatem nie musimy nic robić !

Przeanalizujmy typową groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem obowiązuje implikacja odwrotna
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy warunek ten będzie konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~> ~L =1
W przypadku brudnych spodni nadawca może robić co mu się podoba, walić albo darować (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą, co widać wyżej.

… a co będzie jeśli nie ubrudzę spodni ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli nie ubrudzisz to „na pewno” => nie dostaniesz lania
~B=> ~L =1 - twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej B~>L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lanie
~B=>L =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Powyższa gwarancja wynika także bezpośrednio z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Dla powyższej groźby:
B~>L = ~(~B*L) =1 (prawda)
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni
Negujemy powyższe równanie, by zobaczyć kiedy nadawca zostanie kłamcą
~(B~>L) = ~B*L =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni.
Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć:
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.

Ta gwarancja jest typowa dla implikacji prostej, porównajmy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.


4.0 Kwadrat logiczny równoważności

Znany człowiekowi kwadrat logiczny dotyczy równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


[link widoczny dla zalogowanych] napisał:
Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to jego poprzednik p nazywamy założeniem, następnik q - tezą założenia. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.
Dla danej implikacji p=>q, którą nazywamy prostą, implikację q=>p nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej. Dla każdej implikacji prostej p=>q implikację ~q=> ~p nazywamy przeciwstawną, a implikację ~p=>~q - przeciwną. Implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne oraz implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne. Zależności te można przedstawić na kwadracie, który nazywa się kwadratem logicznym.

Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej samej przekątnej umieszczone są implikacje równoważne. Każda z par implikacji: prosta i przeciwna oraz odwrotna i przeciwstawna stanowi tzw. zamknięty układ implikacji
Dla dowodu twierdzenia postaci p<=>q, wystarczy udowodnić implikację prostą p=>q i odwrotną q=>p. Z kwadratu logicznego wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Użyta terminologia:
p=>q - implikacja prosta
~p=>~q - implikacja przeciwna
q=>p - implikacja odwrotna
~q=>~p - implikacja przeciwstawna
Po przekątnych mamy prawa kontrapozycji dla równoważności. Poprawne wyprowadzenie praw kontrapozycji dla implikacji pokazane zostanie w pkt. 4.2.

Autorowi Kubuś wręcza złoty medal za pomoc, dzięki. W kilku zdaniach mamy tu aktualny stan logiki klasycznej, beznadziejny stan logiki klasycznej. Ostatnie zdanie jest dowodem, że kwadrat dotyczy równoważności, pokazuje kiedy zachodzi równoważność z bardzo prostego powodu, nie ma w nim ani jednego operatora implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~> między p i q. Tylko w równoważności poprawne są zapisy p=>q oraz q=>p, dla implikacji p=>q poprawny jest zapis q~>p.

Z kwadratu logicznego równoważności wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Najpopularniejsze definicje równoważności.
A: p=>q i q=>p - zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Sprawdźmy czy to jest równoważność korzystając z równania B.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość

Z powyższej analizy wyprowadzamy definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
A*~A = 0 - prawo algebry Boole’a
stąd:
~p*p=q*~q=0

Stąd mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


4.1 Kwadrat logiczny implikacji

Kwadrat logiczny implikacji to po prostu operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej które doskonale znamy.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q


Wyprowadzenie kwadratu logicznego implikacji:

Zacznijmy od podręcznikowego kwadratu logicznego równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Zróbmy trochę przekształceń typu hokus-pokus i przekształćmy go w kwadrat logiczny implikacji.

W implikacji „Jeśli…to…” zarówno prostej jak i odwrotnej po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p, zaś po „to” zawsze jest następnik q

p=>q - implikacja prosta
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p~>q - implikacja odwrotna
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q

Przerysujmy powyższy kwadrat tak, aby wszędzie po lewej stronie mieć poprzednik p korzystając z matematycznych tożsamości:
q=>p = p<=q
~q=>~p = ~p<=~q

Kod:

A1: p=>q     A2: p<=q

C1: ~p=>~q   C2: ~p<=~q


Zapiszmy teraz czarodziejskie zaklęcie hokus-pokus:
p~>q = p<=q

Dowód;
Kod:

p q p~>p p<=q
1 1  1    1
1 0  1    1
0 0  1    1
0 1  0    0

Równość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem, że tożsamość zachodzi.
Gdzie:
p~>q - znana nam doskonale definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
p<=q = p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zauważmy, że symbol p<=q może być czytany tylko i wyłącznie przeciwnie do strzałki jako spójnik „może”.
Matematycznie zachodzi:
p<=q = q=>p
… i tu jest wielki problem bo symbol => w tą stronę to zwykle operator implikacji prostej „musi” =>

Zobaczmy na przykładzie cały problem:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - to oczywistość
Matematycznie zachodzi:
A.
P8=>P2 = P2<=P8 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 - również oczywistość i pełna jednoznaczność
Matematycznie zachodzi:
P2~>P8 = P8<~P2 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Załóżmy teraz, że nie wprowadzamy nowego symbolu „może” ~> co matematycznie jest dopuszczalne. Ostatnie zdanie musimy zapisać tak:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2=>P8 - to jest idiotyzm, bo symbol => to operator „musi”.
Jedyna poprawna możliwość zapisu jest taka:
P2<=P8 - poprawny operator implikacji odwrotnej „może” <=, czytany przeciwnie do strzałki
Matematycznie zachodzi:
B.
P2<=P8 = P8=>P2 - prawa strona koliduje tu z lewą stroną równania A

Mamy:
P8=>P2 - lewa strona równania A, czytana zgodnie ze strzałką
P8=>P2 - prawa strona równania B, czytana przeciwnie do strzałki
Jeśli teraz zabierzemy opisy słowne to otrzymamy:
P8=>P2
P8=>P2
… no i niech się znajdzie mądry, który widząc powyższe zapisy odpowie na pytanie, który wzór opisuje implikację prostą, a który odwrotną, tzn. które równanie należy czytać zgodnie ze strzałką P8=>P2 (implikacja prosta) a które przeciwnie do strzałki P8=>P2 (implikacja odwrotna).

Jeśli do tego dołożymy prawo Kubusia które zawsze odwraca wektor => to idiotyzm będzie pełny.
Prawo Kubusia
P8=>P2 = ~P8<=~P2 - negujemy zmienne i odwracamy operator
Lewą stronę czytamy zgodnie ze strzałką, operator „musi” =>, zaś prawą przeciwnie do strzałki, operator „może” <=.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
P2<=P8 = ~P8<=~P2
P2<=P8 = ~P2=>~P8
Matematycznie wszystkie powyższe równania są tożsame.
Jak widać, bez wprowadzenia operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, mamy wariatkowo.

Przerysujmy kwadrat logiki wprowadzając do niego spójnik implikacji odwrotnej „może” ~>.
p<=q = p~>q
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p=>~q   C2: ~p~>~q


Oczywiście prawa matematyczne po przekątnych dalej zachodzą, to prawa Kubusia. Zauważmy, że wszędzie z lewej strony mamy poprzednik p, niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta czy odwrotna, co jest zgodne z definicjami tych implikacji. Zamieńmy teraz dolny bok kwadratu miejscami, aby prawa Kubusia zachodziły w pionie, a nie po przekątnych.
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p~>~q   C2: ~p=>~q

Zauważmy, że teraz po przekątnych nie zachodzą żadne tożsamości. Dopiero teraz mamy w pionie dwa niezależne układy implikacyjne o których wspomina podręcznik matematyki do LO.

Oczywiście w pionach zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=> ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Lewą stronę kwadratu możemy łatwo uzupełnić o brakujące równania.

Zauważmy że jeśli zachodzi:
p=>q =1 - twarda prawda
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
to:
p=>~q =0 - twardy fałsz, wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q

Z ostatniego równania na podstawie prawa Kubusia mamy:
p=>~q = ~p~> q

Lewą stronę kwadratu mamy zatem kompletną, to znana nam doskonale operatorowa definicja implikacji prostej. Rozumując identycznie z prawej strony kwadratu otrzymamy operatorową definicję implikacji odwrotnej. Możemy teraz łatwo narysować kompletny kwadrat implikacji, uzupełniony o tożsamości wynikłe z definicji implikacji prostej i odwrotnej.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Co było do wyprowadzenia ...

Doskonale widać zachodzące tożsamości.
Lewa strona:
A1=C1
B1=D1
Prawa strona:
A2=C2
B2=D2
bo prawe strony równań są identyczne.


4.2 Gwarancje, prawa Kubusia i prawa kontrapozycji w implikacji

Kwadrat logiczny implikacji może być widziany z trzech różnych punktów odniesienia. Oczywiście wszystkie są poprawne. Zauważmy, że obojętnie z jakiego punktu odniesienia będziemy na niego patrzeć to zawsze w rogach kwadratu będziemy mieć identyczne gwarancje matematyczne wynikłe z definicji.

Mamy tu pełną analogię do sieci elektrycznych o n-punktach węzłowych. Dowolny z tych punktów możemy uznać za punkt odniesienia i przyjąć, że ma on potencjał równy zeru. Potencjały pozostałych punktów możemy policzyć lub zmierzyć. Napięcie między dwoma dowolnymi punktami to różnica potencjałów mających wspólny punkt odniesienia.

Matematycznie, spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną albo równoważnością. Zależy to od treści zawartej w tym spójniku i musi być rozpoznawalne inaczej algebra Boole’a leży w gruzach. Zera i jedynki w implikacji prostej i odwrotnej oraz równoważności wynikają z treści zawartej w spójniku „Jeśli…to…”.

Uwaga:
Prawa kontrapozycji zachodzą wyłącznie dla stałych punktów odniesienia p=>q lub p~>q które są sensowne wyłącznie w implikacjach bezczasowych np. matematycznych. W dowolnej implikacji prawa Kubusia działają zawsze, bez względu na punkt odniesienia.


4.2.1 Punkt odniesienia - język mówiony

Przyjmujemy punkt odniesienia zgodny z naturalnym językiem mówionym gdzie po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to” zawsze jest następnik implikacji q.

Kwadrat logiczny implikacji, punkt odniesienia - język mówiony:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q =0       B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q =0

Twarda prawda w liniach A1 I C2 wymusza twardy fałsz w liniach B1 i D2.

W pionach doskonale widać prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
bo prawe strony równań są identyczne.

Między pionami nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, w naturalnym języku mówionym to dwa izolowane układy implikacyjne.

Gwarancje wynikające z definicji:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
A1:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
A1: P8=>P2 = ~(P8*~P2)
C1: ~P8~> ~P2 = ~[~(~P8)*(~P2)] = ~(P8*~P2)

Po zamianie p i q lądujemy w A2.
A2:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
p=P2
q=P8
A2: P2~>P8 = ~(~P2*P8) = ~(P8*~P2)
C2: ~P2=>~P8 = ~[(~P2)*~(~P8)]=~(P2*~P8) = ~(P8*~P2)

Jak widać gwarancje we wszystkich rogach kwadratu są identyczne:
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć. że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2


4.2.2 Punkt odniesienia - implikacja prosta

Zakładamy, że wypowiedziana została implikacja prosta p=>q, przywiązujemy na stałe p i q do tej właśnie implikacji i przerysowujemy kwadrat. Oczywiście w tym przypadku prawy górny róg kwadratu będzie implikacją odwrotną q~>p.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Dla poniższej tabeli mamy stały punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Definicje potrzebne do tworzenia prawych stron równości w kwadracie:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

Kwadrat logiczny implikacji, punkt odniesienia p=>q:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  q~>p = ~p+q
B1:  p=>~q = ~p+~q=0        B2:  q~>~p = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~q=>~p =~p+q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~q=>p = p+q =0

Dzięki temu, że w liniach B1 i D2 mamy twardy fałsz wynikły z twardych jedynek w A1 i C2, zachodzi prawo kontrapozycji poprawne dla implikacji.

p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji poprawne dla punktu odniesienia p=>q

Jak widzimy w pionach zachodzą tu prawa Kubusia, oraz dodatkowo prawo kontrapozycji jak wyżej. Prawa logiczne obowiązują dla kompletnych operatorów pokazanych w rogach kwadratu. Z tego powodu nie zachodzi prawo kontrapozycji dla operatora „może” ~> po drugiej przekątnej oraz nie zachodzą tożsamości w poziomie.

Zauważmy, że w tym przypadku w sposób jawny we wszystkich rogach kwadratu mamy identyczne gwarancje:
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
A1=C1=A2=D2 = ~(P8*~P2)
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2


4.2.3 Punkt odniesienia - implikacja odwrotna

Zakładamy, że wypowiedziana została implikacja odwrotna p~>q do której przywiązujemy na stałe p i q. Implikacja odwrotna do wypowiedzianej będzie oczywiście implikacją prostą q=>p. W tym przypadku lewy górny róg kwadratu logiki przyjmie postać q=>p.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
Dla poniższej tabeli przyjmujemy stały punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Definicje potrzebne do tworzenia prawych stron równości w kwadracie:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

Kwadrat logiczny, punkt odniesienia p~>q
Kod:

A1:  q=>p = p+~q =1        A2:  p~>q = p+~q
B1:  q=>~p =~p+~q =0       B2:  p~>~q = p+q

C1: ~q~>~p = p+~q          C2: ~p=>~q = p+~q =1
D1: ~q~>p =~p+~q           D2: ~p=>q = p+q =0

Dzięki temu że w liniach B1 i D2 mamy twardy fałsz wynikły z twardych jedynek w liniach A1 i C2 zachodzi prawo kontrapozycji poprawne dla implikacji.

~p=>~q = q=>p - prawo kontrapozycji poprawne dla punktu odniesienia p~>q

W pionach obowiązują prawa Kubusia oraz dodatkowo prawo kontrapozycji jak wyżej. Prawa logiczne obowiązują dla kompletnych operatorów pokazanych w rogach kwadratu.

Tu również w rogach kwadratu mamy jawne, identyczne gwarancje:
p+~q = ~(~p*q) - prawo de’Morgana
A1=C1=A2=D2 = ~(~P2*P8) = ~(P8*~P2)


4.2.4 Punkt odniesienia - równoważność

Przerysujmy kwadrat logiczny implikacji widziany z punktu odniesienia p=>q:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  q=>p = ~p+q =1
B1:  p=>~q = ~p+~q=0        B2:  q~>~p = p+q =0

C1: ~p=>~q = ~p+q =1        C2: ~q=>~p =~p+q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q =0        D2: ~q=>p = p+q =0

Spójnik „Jeśli…to…” jest równoważnością jeśli w punktach A1, A2, C1, C2 zachodzi pewne wynikanie, implikacja prosta =>. Twarde jedynki w/w punktach wymuszają twarde zera w pozostałych punktach. Dzięki temu w równoważności zachodzą tożsamości we wszystkich możliwych kierunkach: w pionie, w poziomie, i po przekątnych


4.3 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1
Zauważmy, że w wyniku mamy trzy jedynki i jedno zero, zatem jest to piękna implikacja.

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo kontrapozycji:
G=>C = ~C=>~G
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” => nie będziesz grzeczny
~C => ~G =1 - twarda prawda
Jeśli nie dostaniesz czekolady to na pewno będziesz grzeczny
~C => G =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Podsumowanie:
Jak widać, na pytanie „Co będzie jeśli nie będę grzeczny” prawo Kubusia odpowiada sensownie i na temat, tak odpowie każdy człowiek. Natomiast odpowiedź prawa kontrapozycji na to samo pytanie jest zupełnie nie na temat.


5.0 Warunki wystarczające i konieczne

Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q w implikacji odwrotnej.

5.1 Warunki wystarczające i konieczne w implikacjach bezczasowych

W implikacjach nie związanych z czasem, w tym matematycznych, każda z możliwych implikacji jest sensowna, nieczuła na zamiany p i q.

Uproszczony kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
 


Oczywiście w pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne. Nie oznacza to jednak, że człowiek wypowiadając implikację prostą p=>q nie ma prawa używać w dialogach implikacji z prawego układu implikacyjnego. Oczywiście może używać i robi to często.

p=>q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej (gwarancja)
p~>q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej (gwarancja)

A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy
~(P*~4L) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
C1.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap ?
~[~(~P)*(~4L)]=~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Zamieniając p i q w A1 otrzymujemy implikację odwrotną A2.
A2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym, aby być psem
~(~4L*P) = ~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
C2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym, aby nie być psem.
~[(~4L)*~(~P)] = ~(~4L*P) = ~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Oczywiście zamieniając p i q w A2 otrzymujemy implikację prostą A1.

Twierdzenie 5.1
We wszystkich implikacjach wynikających z kwadratu logicznego implikacji powstałych poprzez zamianę p i q mamy identyczne gwarancje matematyczne.

Twierdzenie 5.2
Jeśli w kwadracie logicznym implikacji powstałym poprzez zamianę p i q zachodzi dowolny warunek wystarczający w implikacjach prostych (A1, C2) lub konieczny w implikacjach odwrotnych (A2, C1) to prawdziwość dla pozostałych trzech przypadków jest pewna.

W powyższym przykładzie mieliśmy problemy jedynie z określeniem warunku koniecznego dla C1, pozostałe przypadki są oczywiste.


5.2 Dialogi w implikacjach bezczasowych

Kubuś w rozmowie z 5-letnią Zuzią.

Start do implikacji prostej:
K.
Zuzia, jeśli zwierzę jest psem to ile ma łap ?
Z.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
K.
… a jeśli zwierzę nie jest psem, to czy może nie mieć czterech łap ?
Z.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo stonoga
K.
Czy jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy ?
Z.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~>4L = 1 bo słoń

Start do implikacji odwrotnej:
K.
Zuzia, jeśli zwierzę ma cztery łapy to czy może być psem ?
Z.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
K.
… a jeśli zwierzę ma cztery łapy to czy może nie być psem ?
Z.
Tak, jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń
K.
Zuzia, jeśli zwierzę nie ma czterech łap, to czy może być psem ?
Z.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=> ~P - twarda prawda

Zauważmy, że w powyższym dialogu nie jest możliwe, aby 5-letnie dziecko pomyliło spójnik „na pewno” => (implikacja prosta) ze spójnikiem „może” ~> (implikacja odwrotna). Oczywiście w przypadku 5-letniego dziecka pytania muszą być naprowadzające.


5.3 Implikacja prosta czasowa

Typowym przedstawicielem są tu wszelkie obietnice.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
 


Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C

Oczywiście w obietnicach zamiana p i q (przyczyny ze skutkiem) nie ma sensu.

Nikt nie wypowie takiej „obietnicy”:
Jeśli dostaniesz czekoladę to powiesz wierszyk
C~>W

Wniosek:
Prawa strona kwadratu logicznego implikacji jest wykluczona w przypadku obietnic. Nie wolno zamieniać przyczyny ze skutkiem. Wszelkie obietnice obsługuje wyłącznie lewa strona kwadratu implikacji.

Kubuś do 5-cioletniej Zuzi:
K.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
Z.
… a jeśli nie powiem wierszyka ?
K.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~>~C
LUB
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” ~> dostać czekoladę
~W~>C

Zuzia, choć mała dziewczynka doskonale wie, że nawet jak nie powie wierszyka to ma duże szanse na czekoladę … i duże możliwości wymuszenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody np. prośby, płacz.

Zauważmy, że jeśli implikacja zajdzie to wszystkie zdania w kwadracie logiki staną się sensowne, bo to jest przeszłość gdzie wszystko jest zdeterminowane. Niekoniecznie musimy znać rozstrzygnięcie implikacji.

A1.
Jeśli powiedziałaś wierszyk to na pewno dostałaś czekoladę
W=>C
C1.
Jeśli nie powiedziałaś wierszyka to mogłaś nie dostać czekolady
~W~>~C
LUB
Jeśli nie powiedziałaś wierszyka to mogłaś dostać czekoladę
~W~>C (akt miłości)

A2.
Jeśli dostałaś czekoladę to mogłaś powiedzieć wierszyk
C~>W
LUB
Jeśli dostałaś czekoladę to mogłaś nie powiedzieć wierszyka
C~>W (akt miłości)
C2.
Jeśli nie dostałaś czekolady to na pewno nie powiedziałaś wierszyka
~C => ~W - twarda prawda


5.4 Implikacja odwrotna czasowa

Typowym przedstawicielem są tu wszelkie groźby.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
 


Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Zauważmy, że tym razem lewa strona kwadratu logiki jest nieczynna bowiem nie można zamieniać przyczyny ze skutkiem.

Jeśli dostaniesz lanie to na pewno ubrudzisz spodnie
L=>B
Oczywiście, powyższe to bełkot, nie mający nic wspólnego z groźbą.

Kubuś do 5-cioletniej Zuzi:
K.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Z.
… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
K.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
~B=>~L

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia.
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Oczywiście w przypadku groźby, identycznie jak w obietnicy, dla przeszłości cały kwadrat logiczny będzie miał sens, bo tu wszystko jest zdeterminowane.


6.0 Język potoczny

W języku mówionym domyślnym spójnikiem w implikacji prostej jest spójnik „na pewno” => dlatego prawie nigdy nie jest wypowiadany, choć można go powtórzyć.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L

W implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka zawsze wymawiamy spójnik „może” ~> ponieważ matematyka musi być jednoznaczna.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Wyjątkiem od reguły są groźby, podlegające pod definicję implikacji odwrotnej. Zauważmy, że jawne użycie spójnika "może" zawsze osłabia groźbę.

Miękka groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie
B~>L

Twarda groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B=>~L =1

Gwarancję w implikacji odwrotnej zapewnia prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć.

Spójnik "może" jest gwarantowany w definicji implikacji odwrotnej ~> i z reguły nie jest powtarzany. Zauważmy, że wypowiadając twardą groźbę (bez "może") nadawca ma dokładnie takie same prawa jak przy użyciu groźby miękkiej. W obu przypadkach gdy warunek groźby zostanie spełniony, nadawca może robić co mu sie podoba, walić albo darować lanie, i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy na koniec, że mamy bardzo proste i precyzyjne definicje obietnicy i groźby (wyżej), dzięki czemu prawie zawsze z łatwością rozpoznamy kiedy nadawca wypowiedział groźbę a kiedy obietnicę. Groźba czy obietnica musi być jednoznaczna, leży to w interesie zarówno nadawcy jak i odbiorcy. Zastrzeżenie „prawie zawsze” dotyczy podstępu nadawcy.

W świecie żywym musi być:
kara # nagroda
Czyli:
Obietnica musi być kodowana innym operatorem matematycznym niż groźba

Oczywiście:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna

Odróżnianie kary od nagrody to warunek przetrwania. Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

2008-09-21 Koniec
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 17:26, 25 Paź 2008    Temat postu:

Beta 5.0 wymiana pkt.4.0
Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Logika człowieka


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.3 Definicja implikacji prostej, warunek wystarczający
2.4 Definicja implikacji odwrotnej, warunek konieczny
2.5 Operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej

3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1.1 Obietnica
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2.1 Groźba
3.3 Implikacja prosta i odwrotna w języku mówionym

4.0 Kwadrat logiczny
4.1 Kwadrat logiczny równoważności
4.2 Gwarancje, prawa Kubusia i prawa kontrapozycji
4.2.1 Punkt odniesienia - język mówiony
4.2.2 Punkt odniesienia - implikacja prosta
4.2.3 Punkt odniesienia - implikacja odwrotna
4.2.4 Prawa kontrapozycji widziane z różnych punktów odniesienia
4.2.5 Punkt odniesienia - równoważność
4.3 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji
4.4 Wyprowadzenie kwadratu logicznego

5.0 Warunki wystarczające i konieczne
5.1 Implikacja bezczasowa
5.2 Implikacja prosta czasowa
5.3 Implikacja odwrotna czasowa

6.0 Puenta


Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Zbanowany Uczy napisał:
Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu)

Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum SFINIA po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Logika człowieka = algebra Boole’a !

Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Małe rewolucje:
1.
Rozszyfrowanie i nazwanie wszystkich 16 operatorów matematycznych
2.
Odblokowanie prawa kontrapozycji B:
~p=>~q = q=>p
To prawo nie jest używane w dzisiejszej logice bo z punktu odniesienia implikacji prostej jest zawsze fałszywe.



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p => ~q


2.0 Rewolucja w logice klasycznej

Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.


2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana

Definicja operatora AND
Kod:
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0


Definicja operatora OR
Kod:
p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)

Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
Kod:

p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   1    0  1    0        1
0 0   0    1  1    1        0
0 1   1    1  0    0        1

Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej

Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Kod:

p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   0    0  1    1        0
0 0   0    1  1    1        0
0 1   0    1  0    1        0

Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.

Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne OR(+) i AND(*).

Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !


2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q

Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały. To są fundamentalne prawa algebry Boole’a analogiczne do praw de’Morgana i nigdy nie mogą być gwałcone w całym zakresie tej algebry.

Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)

Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+). Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>.

Prawa Kubusia obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być nigdy gwałcone !


2.3 Definicja implikacji prostej, warunek wystarczający

Implikacja prosta, definicja symboliczna = zero-jedynkowa:
p q p=>q = ~p+q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q =1
~p q =1
gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Słowną definicję implikacji tworzymy dla p i dowolnego q, czyli w oparciu o dwie pierwsze linijki definicji symbolicznej. Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q, bo druga linia definicji jest twardym fałszem i nigdy nie ma prawa wystąpić. Wynika z tego, że p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia definicji będzie fałszem co oznacza, że zdanie nie jest implikacją prostą, implikacja jest fałszywa.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym dla czterech łap
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Jeśli zwierzę jest psem to ma skrzydła
P=>S =0
Bycie psem nie jest warunkiem wystarczającym dla skrzydeł, nie jest to implikacja prosta, zdanie jest fałszywe.

Z powyższego wynika, że o tym czy zdanie jest implikacją prostą decyduje treść zawarta w spójniku „Jeśli..to..”

Zauważmy, że dla przypadku ~p może wystąpić:
Jeśli zajdzie ~p to „może” zajść ~q
~p~>~q =1
LUB
Jeśli zajdzie ~p to „może” zajść q
~p~>q =1
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Przykład:
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo stonoga
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap.
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> mieć cztery łapy
~P~>4L =1 bo słoń


2.4 Definicja implikacji odwrotnej, warunek konieczny

Implikacja odwrotna, definicja symboliczna = zero-jedynkowa:
p q p~>q = p+~q
p q =1
p ~q =1
~p ~q =1
~p q = 0
gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Definicję słowną implikacji tworzymy zawsze dla p i dowolnego q czyli w tym przypadku mamy.
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p~>q =1
LUB
Jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q
p~>~q =1
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Oczywiście druga linia wynika z pierwszej, jest więc zbędna w definicji słownej.

Dla dowolnego p po stronie następnika może zajść q lub ~q (q+~q=1), wynika z tego że p musi być konieczne dla q inaczej zaistnieje przypadek twardego fałszu w linii p~>q. Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q - to jest ta gwarancja o której dzisiejsza logika nie ma zielonego pojęcia !

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P =1 bo pies
Cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P
~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem

Jeśli zwierzę ma trąbę to „może” być psem
T~>P = 0 (twardy fałsz)
Trąba nie jest konieczna dla psa
Nie jest to implikacja odwrotna, zdanie fałszywe.

Jak widać, treść zawarta w spójniku „Jeśli…to…” decyduje o tym czy jest implikacja odwrotna. Między p i q musi zachodzić warunek konieczny, inaczej zdanie jest fałszywe jak wyżej.

Dla przypadku ~p mamy:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym, aby nie być psem.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” jest psem.
~4L=>P =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q.


2.5 Operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej

Definicje używane do tworzenia równań:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Operatorowa definicja implikacji prostej:
a: 1 1 =1 - nowe zdanie
A: p=>q = ~p+q =1
b: 1 0 =0 - definicja implikacji prostej
B: p=>~q = ~p+~q =0
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>~q = ~p~>q
c: 1 1 =1 - nowe zdanie
C: ~p~>~q = ~p+q =1
d: 1 0 =1 - definicja implikacji odwrotnej
D: ~p~>q = ~p+~q =1

Identyczność prawych stron równań wynikła z definicji jest dowodem identyczności odpowiednich tabel zero-jedynkowych. Ten sposób dowodzenia jest bardziej elegancki, prostszy i czytelniejszy. Jak widać w równaniach matematycznych mamy B=D lecz w wyniku B=0 zaś D=1. To paradoks wynikły z przejścia na zupełnie inny operator, z => na ~>. Jeśli potraktujemy zdania A i C jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), w możliwym dialogu takie właśnie są, to bezwzględne zera i jedynki będą się zgadzać.

a: 1 1 =1
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
… a jak nie powiem ?
c: 1 1 =1
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~>~C

Prawo Kubusia:
W=>C = ~W ~> ~C

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
a: 1 1 =1 - nowe zdanie
A: p~>q = p+~q =1
b: 1 0 =1 - implikacja odwrotna
B: p~>~q = p+q =1
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>~q = ~p=>q
c: 1 1 =1 - nowe zdanie
C: ~p=>~q = p+~q =1
d: 1 0 =0 - implikacja prosta
D: ~p=>q = p+q =0

Tu również w równaniach matematycznych zachodzi równość B=D lecz w wyniku B=1 zaś D=0. To paradoks wynikły z przejścia na zupełnie inny operator, z ~> na =>. W naturalnym dialogu A i C to dwa zdania nowo wypowiedziane (1 1 =1).

a: 1 1 =1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
… a jak nie ubrudzę ?
c: 1 1 =1
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B=>~L

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=> ~L

Ogólnie zdanie ujęte w spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną lub równoważnością (częste w matematyce), co zależy od treści zdania. To musi być rozróżniane, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach.


3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji

Logika człowieka to algebra Boole’a. Jeśli będziemy myśleć logicznie i zapisywać dokładnie to co myślimy, to nie mamy najmniejszych szans na wypadnięcie z algebry Boole’a do śmietnika.

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Jakkolwiek byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli, to między nimi muszą zachodzić prawa Kubusia.

p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Przykład 3.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
A: P8=>P2 =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo zajście P8 jest wystarczające dla zajścia P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
B: P8=> ~P2 =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?

P8=>P2 = ~P8~>~P2 - prawo Kubusia
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” => być niepodzielna przez 2
C: ~P8~>~P2 =1 - zdanie prawdziwe bo 3
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
D: ~P8~>P2 =1 zdanie prawdziwe bo 2

Jak widać w implikacji odwrotnej ~> wystarczy podać jeden element spełniający warunek p dla którego implikacja jest prawdziwa. W implikacji prostej =>, zdanie musi być prawdziwe dla każdego elementu spełniającego warunek p.

Oczywiście nie jest tak jak to tłumaczą podręczniki szkolne, że wypowiadając zdanie A nadawca nie powiedział co będzie gdy warunek p nie jest spełniony i dlatego może zajść C lub D. Zdania C i D wynikają z praw Kubusia a nie z chciejstwa człowieka. Prawa Kubusia to matematyka ścisła, algebra Boole’a, niezależna od tego czego człowiek nie powiedział.
Przykład tego typu radosnej, podręcznikowej twórczości jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]


3.1.1 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a.

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1

W przypadku gdy warunek nagrody nie zostanie spełniony, ojciec może zrobić co mu się podoba, czyli dać albo nie dać czekoladę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Zwróćmy uwagę na gwarancję w implikacji prostej.

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny, wszystko inne może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie.

Dokładnie to samo uzyskujemy z równania matematycznego, opisującego implikację prostą.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Czyli:
G=>C = ~(G*~C) =1 (prawda)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady.
Negując powyższe równanie dwustronnie możemy się dowiedzieć kiedy ojciec będzie kłamcą
~(G=>C) = G*~C =0 (kłamstwo)
Ojciec będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy syn będzie grzeczny i nie dostanie czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.


3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej

Rozważmy zdanie:
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ??? ~C
Co wstawić w miejsce ???, operator => czy ~> ?

Przypomnijmy sobie zdanie analizowane w poprzednim punkcie:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

oraz drugi wniosek z praw Kubusia:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !

Odpowiedź jest jasna, kodowanie może być tylko i wyłącznie takie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C =1

Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” dostać czekoladę
~G ~> C

Bo prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C
nie może być gwałcone !

Zdanie ~G~> ~C to ewidentna groźba, skąd wniosek iż wszelkie groźby musimy kodować przy pomocy implikacji odwrotnej.

Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej zaś wszelkie groźby pod definicję implikacji odwrotnej

Dowód wyżej.

3.2.1 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna, bo nadawca może ukarać, ale nie musi. Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

Groźba w logice dodatniej (q nie zanegowane):
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Groźba w logice ujemnej (q zanegowane):
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C

Oczywistym jest, że zamiast analizować groźbę:
~G~> ~C
Możemy analizować równoważną obietnicę:
G=>C
na podstawie prawa Kubusia:
~G~>~C = G=>C - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Stąd gwarancja w implikacji odwrotnej ~G~>~C :
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę

Tą samą gwarancję możemy otrzymać z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja
czyli:
~G~> ~C = ~[~(~G)*(~C)] = ~(G*~C) =1 (prawda)
~(G*~C)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady
Negujemy powyższe równanie dwustronnie, by zobaczyć kiedy nadawca będzie kłamcą
~(~G~>~C) = G*~C =0 (fałsz)
Nadawca będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy będę grzeczny i nie dostanę czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ponieważ zdanie G=>C równoważne zdaniu ~G ~> ~C analizowaliśmy wyżej, zatem nie musimy nic robić !

Przeanalizujmy typową groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem obowiązuje implikacja odwrotna
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy warunek ten będzie konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” nie dostać lania
B~> ~L =1
W przypadku brudnych spodni nadawca może robić co mu się podoba, walić albo darować (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą, co widać wyżej.

… a co będzie jeśli nie ubrudzę spodni ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
~B=> ~L =1 - twarda prawda, gwarancja w implikacji odwrotnej B~>L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lanie
~B=>L =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Powyższa gwarancja wynika także bezpośrednio z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Dla powyższej groźby:
B~>L = ~(~B*L) =1 (prawda)
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni
Negujemy powyższe równanie, by zobaczyć kiedy nadawca zostanie kłamcą
~(B~>L) = ~B*L =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni.
Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć:
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.

Ta gwarancja jest typowa dla implikacji prostej, porównajmy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny. Wszystko inne może się zdarzyć.


3.3 Implikacja prosta i odwrotna w języku mówionym

W języku mówionym domyślnym spójnikiem w implikacji prostej jest spójnik „na pewno” => dlatego prawie nigdy nie jest wypowiadany, choć można go powtórzyć.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L

W implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka zawsze wymawiamy spójnik „może” ~> ponieważ matematyka musi być jednoznaczna.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Wyjątkiem od reguły są groźby, podlegające pod definicję implikacji odwrotnej. Zauważmy, że jawne użycie spójnika "może" zawsze osłabia groźbę.

Miękka groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie
B~>L

Twarda groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” nie dostać lania
B=>~L =1

Gwarancję w implikacji odwrotnej zapewnia prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć.

Spójnik "może" jest gwarantowany w definicji implikacji odwrotnej ~> i z reguły nie jest powtarzany. Zauważmy, że wypowiadając twardą groźbę (bez "może") nadawca ma dokładnie takie same prawa jak przy użyciu groźby miękkiej. W obu przypadkach gdy warunek groźby zostanie spełniony, nadawca może robić co mu sie podoba, walić albo darować lanie, i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Zauważmy na koniec, że mamy bardzo proste i precyzyjne definicje obietnicy i groźby (wyżej), dzięki czemu prawie zawsze z łatwością rozpoznamy kiedy nadawca wypowiedział groźbę a kiedy obietnicę. Zastrzeżenie „prawie zawsze” dotyczy podstępu nadawcy. Groźba czy obietnica musi być jednoznaczna, leży to w interesie zarówno nadawcy jak i odbiorcy.

W świecie żywym musi być:
kara # nagroda
Czyli:
Obietnica musi być kodowana innym operatorem matematycznym niż groźba

Oczywiście:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna

Odróżnianie kary od nagrody to warunek przetrwania. Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.


4.0 Kwadrat logiczny

W naturalnym języku mówionym po „Jeśli …” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy na następnik q niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta, implikacja odwrotna czy też równoważność (częsta w matematyce).

Kwadrat logiczny to po prostu operatorowa definicja implikacji prostej p=>q z lewej strony, oraz operatorowa definicja implikacji odwrotnej p~>q z prawej strony. Prawe strony równań uzyskano korzystając z definicji implikacji prostej i odwrotnej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Lewa strona to pełna operatorowa definicja implikacji prostej, zaś prawa strona to pełna operatorowa definicja implikacji odwrotnej. W pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.

Doskonale widać prawa Kubusia zachodzące w pionach.
Lewa strona:
A1=C1: p=>q = ~p~>~q = ~p+q
B1=D1: p=>~q = ~p~>q = ~p+~q
Prawa strona:
A2=C2: p~>q = ~p=>~q = p+~q
B2=D2: p~>~q = ~p=>q = p+q
bo prawe strony równań są identyczne.
Identyczność prawych stron jest równoznaczna z identycznością odpowiednich tabel zero-jedynkowych. Zamiast pracowicie rysować tabele zero-jedynkowe znacznie prościej i wygodniej porównywać identyczność funkcji logicznych które wynikają z definicji.

O tym czy mamy do czynienia z implikacją prostą p=>q, implikacją odwrotną p~>q, czy też równoważnością p<=>q decyduje zawartość spójnika „Jeśli…to…”

Implikacja jest prosta jeśli zawartość spójnika wymusza:
A1=1, B1=0
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - implikacja prosta bo obietnica
Powiedzenia wierszyka jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania czekolady

Implikacja jest odwrotna jeśli zawartość spójnika wymusza:
C2=1, D2=0
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1 - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L - gwarancja w implikacji odwrotnej
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni
~B=>~L =1 - zawartość spójnika „Jeśli …to…” wymusza twardą jedynkę w C2


4.1 Kwadrat logiczny równoważności

W kwadracie logicznym zachodzi równoważność, jeśli zawartość spójnika „Jeśli…to…” wymusza:
A1=A2=C1=C2=1 - twarda prawda =>
z czego wynika:
B1=B2=D1=D2=0

Jeśli trójkąt ma kąty proste to jest równoboczny
K60<=>R
p=K60
q=R
Łatwo zauważyć, że w przypadku równoważności zachodzi pewne wynikanie w dwie strony p=>q i q=>p. W tym przypadku w kwadracie logicznym możemy przyjąć stały punkt odniesienia p=K60 i q=R i uprościć kwadrat logiczny do postaci.
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p
.
Z kwadratu logicznego równoważności wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Najpopularniejsze definicje równoważności.
A: p=>q i q=>p - zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Sprawdźmy czy to jest równoważność korzystając z równania B.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość

Z powyższej analizy wyprowadzamy definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
~p*p=q*~q=0 - prawo algebry Boole’a

Stąd mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


4.2 Gwarancje, prawa Kubusia i prawa kontrapozycji

Kwadrat logiczny implikacji może być widziany z trzech różnych punktów odniesienia. Oczywiście wszystkie są poprawne. Zauważmy, że obojętnie z jakiego punktu odniesienia będziemy na niego patrzeć to zawsze w rogach kwadratu będziemy mieć identyczne gwarancje matematyczne wynikłe z definicji.

Mamy tu analogię do sieci elektrycznych o n-punktach węzłowych. Dowolny z tych punktów możemy uznać za punkt odniesienia i przyjąć, że ma on potencjał równy zeru. Potencjały pozostałych punktów możemy policzyć lub zmierzyć. Napięcie między dwoma dowolnymi punktami to różnica potencjałów mających wspólny punkt odniesienia.

Matematycznie, spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną albo równoważnością. Zależy to od treści zawartej w tym spójniku i musi być rozpoznawalne inaczej algebra Boole’a leży w gruzach. Zera i jedynki w implikacji prostej i odwrotnej oraz równoważności wynikają z treści zawartej w spójniku „Jeśli…to…”.

Uwaga:
Prawa kontrapozycji zachodzą wyłącznie dla stałych punktów odniesienia p=>q lub p~>q które są sensowne wyłącznie w implikacjach bezczasowych np. matematycznych. W dowolnej implikacji prawa Kubusia działają zawsze, bez względu na punkt odniesienia.


4.2.1 Punkt odniesienia - język mówiony

Przyjmujemy punkt odniesienia zgodny z naturalnym językiem mówionym gdzie po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to” zawsze jest następnik implikacji q.

Kwadrat logiczny implikacji, punkt odniesienia - język mówiony:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q =0       B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q =0

Twarda prawda w liniach A1 I C2 wymusza twardy fałsz w liniach B1 i D2.

W pionach doskonale widać prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
bo prawe strony równań są identyczne.

Między pionami nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, w naturalnym języku mówionym to dwa izolowane układy implikacyjne.

Gwarancje wynikające z definicji:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
A1:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
A1: P8=>P2 = ~(P8*~P2)
C1: ~P8~> ~P2 = ~[~(~P8)*(~P2)] = ~(P8*~P2)

Po zamianie p i q lądujemy w A2.
A2:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
p=P2
q=P8
A2: P2~>P8 = ~(~P2*P8) = ~(P8*~P2)
C2: ~P2=>~P8 = ~[(~P2)*~(~P8)]=~(P2*~P8) = ~(P8*~P2)

Jak widać gwarancje we wszystkich rogach kwadratu są identyczne:
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć. że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2


4.2.2 Punkt odniesienia - implikacja prosta

Zakładamy, że wypowiedziana została implikacja prosta p=>q, przywiązujemy na stałe p i q do tej właśnie implikacji i przerysowujemy kwadrat. Oczywiście w tym przypadku prawy górny róg kwadratu będzie implikacją odwrotną q~>p.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Dla poniższej tabeli mamy stały punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Definicje potrzebne do tworzenia prawych stron równości w kwadracie:
p=>q = ~p+q - implikacja prosta
p~>q = p+~q - implikacja odwrotna

Kwadrat logiczny implikacji, punkt odniesienia p=>q:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  q~>p = ~p+q
B1:  p=>~q = ~p+~q=0        B2:  q~>~p = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~q=>~p =~p+q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~q=>p = p+q =0

Dzięki temu, że w liniach B1 i D2 mamy twardy fałsz wynikły z twardych jedynek w A1 i C2, zachodzi prawo kontrapozycji.

p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji poprawne dla punktu odniesienia p=>q

Jak widzimy w pionach zachodzą tu prawa Kubusia, oraz dodatkowo prawo kontrapozycji jak wyżej. Prawa logiczne obowiązują dla kompletnych operatorów pokazanych w rogach kwadratu. Z tego powodu nie zachodzi prawo kontrapozycji dla operatora „może” ~> po drugiej przekątnej oraz nie zachodzą tożsamości w poziomie.

Zauważmy, że w tym przypadku w sposób jawny we wszystkich rogach kwadratu mamy identyczne gwarancje:
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
A1=C1=A2=D2 = ~(P8*~P2)
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2


4.2.3 Punkt odniesienia - implikacja odwrotna

Zakładamy, że wypowiedziana została implikacja odwrotna p~>q do której przywiązujemy na stałe p i q. Implikacja odwrotna do wypowiedzianej będzie oczywiście implikacją prostą q=>p. W tym przypadku lewy górny róg kwadratu logiki przyjmie postać q=>p.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
Dla poniższej tabeli przyjmujemy stały punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Definicje potrzebne do tworzenia prawych stron równości w kwadracie:
p=>q = ~p+q - implikacja prosta
p~>q = p+~q - implikacja odwrotna

Kwadrat logiczny, punkt odniesienia p~>q:
Kod:

A1:  q=>p = p+~q =1        A2:  p~>q = p+~q
B1:  q=>~p =~p+~q =0       B2:  p~>~q = p+q

C1: ~q~>~p = p+~q          C2: ~p=>~q = p+~q =1
D1: ~q~>p =~p+~q           D2: ~p=>q = p+q =0

Dzięki temu że w liniach B1 i D2 mamy twardy fałsz wynikły z twardych jedynek w liniach A1 i C2 zachodzi prawo kontrapozycji.

~p=>~q = q=>p - prawo kontrapozycji poprawne dla punktu odniesienia p~>q

W pionach obowiązują prawa Kubusia oraz dodatkowo prawo kontrapozycji jak wyżej. Prawa logiczne obowiązują dla kompletnych operatorów pokazanych w rogach kwadratu.

Tu również w rogach kwadratu mamy jawne, identyczne gwarancje:
p+~q = ~(~p*q) - prawo de’Morgana
A1=C1=A2=D2 = ~(~P2*P8) = ~(P8*~P2)
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2


4.2.4 Prawa kontrapozycji widziane z różnych punktów odniesienia

Prawo kontrapozycji A:
p=>q = ~q => ~p - poprawne z punktu odniesienia implikacja prostej
Prawo kontrapozycji B:
~p=>~q = q=>p - poprawne z punktu odniesienia implikacja odwrotnej

I.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Prawo kontrapozycji A:
p=>q = ~q=>~p
P8=>P2 = ~P2=>~P8 - to jest OK.
Prawo kontrapozycji B:
~p=>~q = q=>p
~P8=>~P2 = P2=>P8 - oczywisty fałsz

II.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
p=~P2
q=~P8
Prawo kontrapozycji A:
p=>q = ~q=>~p
~P2=>~P8 = ~(~P8)=>~(~P2) = P8=>P2 - to jest OK.
Prawo kontrapozycji B:
~p=>~q = q=>p
~(~P2)=>~(~P8) = ~P8=>~P2
czyli:
P2=>P8 = ~P8=>~P2 - oczywisty fałsz

Jak widać, dla implikacji prostej prawo kontrapozycji B jest zawsze fałszywe. To jest przyczyna, iż prawo kontrapozycji B nie jest oficjalnym prawem żadnej logiki mimo iż wszyscy doskonale je znają. Prawo kontrapozycji B działa doskonale z punktu odniesienia implikacji odwrotnej. Oczywiście nikt nie ma o tym zielonego pojęcia bo w dniu dzisiejszym w logice obowiązuje jedynie słuszna, komunistyczna implikacja prosta.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
p=P2 !
q=P8 !

Implikacja odwrotna bo P2 jest konieczne dla P8, działają zatem prawa Kubusia.
P2~>P8 = ~P2=>~P8 - gwarancja w implikacji odwrotnej

Prawo kontrapozycji B dotyczy gwarancji w implikacji odwrotnej p~>q:
~p=>~q = q=>p
~P2=>~P8 = P8=>P2


4.2.5 Punkt odniesienia - równoważność

Przerysujmy kwadrat logiczny implikacji widziany z punktu odniesienia p=>q:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  q=>p = ~p+q =1
B1:  p=>~q = ~p+~q=0        B2:  q~>~p = p+q =0

C1: ~p=>~q = ~p+q =1        C2: ~q=>~p =~p+q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q =0        D2: ~q=>p = p+q =0

Spójnik „Jeśli…to…” jest równoważnością jeśli w punktach A1, A2, C1, C2 zachodzi pewne wynikanie, implikacja prosta =>. Twarde jedynki w/w punktach wymuszają twarde zera w pozostałych punktach. Dzięki temu w równoważności zachodzą tożsamości we wszystkich możliwych kierunkach: w pionie, w poziomie, i po przekątnych


4.3 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1
Zauważmy, że w wyniku mamy trzy jedynki i jedno zero, zatem jest to piękna implikacja.

… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?

Prawo kontrapozycji:
G=>C = ~C=>~G
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” => nie będziesz grzeczny
~C => ~G =1 - twarda prawda
Jeśli nie dostaniesz czekolady to na pewno będziesz grzeczny
~C => G =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda

Podsumowanie:
Jak widać, na pytanie „Co będzie jeśli nie będę grzeczny” prawo Kubusia odpowiada sensownie i na temat, tak odpowie każdy człowiek. Natomiast odpowiedź prawa kontrapozycji na to samo pytanie jest zupełnie nie na temat.


4.4 Wyprowadzenie kwadratu logicznego

Znany człowiekowi kwadrat logiczny dotyczy równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


[link widoczny dla zalogowanych] napisał:
Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to jego poprzednik p nazywamy założeniem, następnik q - tezą założenia. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.
Dla danej implikacji p=>q, którą nazywamy prostą, implikację q=>p nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej. Dla każdej implikacji prostej p=>q implikację ~q=> ~p nazywamy przeciwstawną, a implikację ~p=>~q - przeciwną. Implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne oraz implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne. Zależności te można przedstawić na kwadracie, który nazywa się kwadratem logicznym.

Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej samej przekątnej umieszczone są implikacje równoważne. Każda z par implikacji: prosta i przeciwna oraz odwrotna i przeciwstawna stanowi tzw. zamknięty układ implikacji
Dla dowodu twierdzenia postaci p<=>q, wystarczy udowodnić implikację prostą p=>q i odwrotną q=>p. Z kwadratu logicznego wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Użyta terminologia:
p=>q - implikacja prosta
~p=>~q - implikacja przeciwna
q=>p - implikacja odwrotna
~q=>~p - implikacja przeciwstawna
Po przekątnych mamy prawa kontrapozycji dla równoważności.

Autorowi Kubuś wręcza złoty medal za pomoc, dzięki. W kilku zdaniach mamy tu aktualny stan logiki klasycznej, beznadziejny stan logiki klasycznej. Ostatnie zdanie jest dowodem, że kwadrat dotyczy równoważności, pokazuje kiedy zachodzi równoważność z bardzo prostego powodu, nie ma w nim ani jednego operatora implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~> między p i q. Tylko w równoważności poprawne są zapisy p=>q oraz q=>p, dla implikacji poprawne są zapisy p=>q oraz q~>p.

Zacznijmy od podręcznikowego kwadratu logicznego równoważności:
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Zróbmy trochę przekształceń typu hokus-pokus i przekształćmy go w kwadrat logiczny implikacji.

W implikacji „Jeśli…to…” zarówno prostej jak i odwrotnej po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p, zaś po „to” zawsze jest następnik q

p=>q - implikacja prosta
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p~>q - implikacja odwrotna
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q

Przerysujmy powyższy kwadrat tak, aby wszędzie po lewej stronie mieć poprzednik p korzystając z matematycznych tożsamości:
q=>p = p<=q
~q=>~p = ~p<=~q

Kod:

A1: p=>q     A2: p<=q

C1: ~p=>~q   C2: ~p<=~q


Zapiszmy teraz czarodziejskie zaklęcie hokus-pokus:
p~>q = p<=q

Dowód:
Kod:

p q p~>p p<=q
1 1  1    1
1 0  1    1
0 0  1    1
0 1  0    0

Równość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem, że tożsamość zachodzi.
Gdzie:
p~>q - znana nam doskonale definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
p<=q = p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zauważmy, że symbol p<=q może być czytany tylko i wyłącznie przeciwnie do strzałki jako spójnik „może”.
Matematycznie zachodzi:
p<=q = q=>p
… i tu jest wielki problem bo symbol => w tą stronę to zwykle operator implikacji prostej „musi” =>

Zobaczmy na przykładzie cały problem:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - to oczywistość
Matematycznie zachodzi:
A.
P8=>P2 = P2<=P8 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 - również oczywistość i pełna jednoznaczność
Matematycznie zachodzi:
P2~>P8 = P8<~P2 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką

Załóżmy teraz, że nie wprowadzamy nowego symbolu „może” ~> co matematycznie jest dopuszczalne. Ostatnie zdanie musimy zapisać tak:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2=>P8 - to jest idiotyzm, bo symbol => to operator „musi”.
Jedyna poprawna możliwość zapisu jest taka:
P2<=P8 - poprawny operator implikacji odwrotnej „może” <=, czytany przeciwnie do strzałki
Matematycznie zachodzi:
B.
P2<=P8 = P8=>P2 - prawa strona koliduje tu z lewą stroną równania A

Mamy:
P8=>P2 - lewa strona równania A, czytana zgodnie ze strzałką
P8=>P2 - prawa strona równania B, czytana przeciwnie do strzałki
Jeśli teraz zabierzemy opisy słowne to otrzymamy:
P8=>P2
P8=>P2
… no i niech się znajdzie mądry, który widząc powyższe zapisy odpowie na pytanie, który wzór opisuje implikację prostą, a który odwrotną, tzn. które równanie należy czytać zgodnie ze strzałką P8=>P2 (implikacja prosta) a które przeciwnie do strzałki P8=>P2 (implikacja odwrotna).

Jeśli do tego dołożymy prawo Kubusia które zawsze odwraca wektor => to idiotyzm będzie pełny.
Prawo Kubusia
P8=>P2 = ~P8<=~P2 - negujemy zmienne i odwracamy operator
Lewą stronę czytamy zgodnie ze strzałką, operator „musi” =>, zaś prawą przeciwnie do strzałki, operator „może” <=.
Jak widać, bez wprowadzenia operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, mamy wariatkowo.

Przerysujmy kwadrat logiki wprowadzając do niego spójnik implikacji odwrotnej „może” ~>.
p<=q = p~>q
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p=>~q   C2: ~p~>~q


Oczywiście prawa matematyczne po przekątnych dalej zachodzą, to prawa Kubusia. Zauważmy, że wszędzie z lewej strony mamy poprzednik p, niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta czy odwrotna, co jest zgodne z definicjami tych implikacji. Zamieńmy teraz dolny bok kwadratu miejscami, aby prawa Kubusia zachodziły w pionie, a nie po przekątnych.
Kod:

A1: p=>q     A2: p~>q

C1: ~p~>~q   C2: ~p=>~q

Zauważmy, że teraz po przekątnych nie zachodzą żadne tożsamości. Dopiero teraz mamy w pionie dwa niezależne układy implikacyjne o których wspomina podręcznik matematyki do LO.

Oczywiście w pionach zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=> ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Lewą stronę kwadratu możemy łatwo uzupełnić o brakujące równania.

Zauważmy że jeśli zachodzi:
p=>q =1 - twarda prawda
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
to:
p=>~q =0 - twardy fałsz, wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q

Z ostatniego równania na podstawie prawa Kubusia mamy:
p=>~q = ~p~> q

Lewą stronę kwadratu mamy zatem kompletną, to znana nam doskonale operatorowa definicja implikacji prostej. Rozumując identycznie z prawej strony kwadratu otrzymamy operatorową definicję implikacji odwrotnej. Możemy teraz łatwo narysować kompletny kwadrat implikacji, uzupełniony o tożsamości wynikłe z definicji implikacji prostej i odwrotnej.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Co było do wyprowadzenia ...


5.0 Warunki wystarczające i konieczne

Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q w implikacji odwrotnej.

5.1 Implikacja bezczasowa

W implikacjach nie związanych z czasem, w tym matematycznych, każda z możliwych implikacji jest sensowna, nieczuła na zamiany p i q.

Uproszczony kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
W. Wystarczający            W. Konieczny

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
W. Konieczny                W. Wystarczający
 

Oczywiście w pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne. Nie oznacza to jednak, że człowiek wypowiadając implikację prostą p=>q nie ma prawa używać w dialogach implikacji z prawego układu implikacyjnego. Oczywiście może używać i robi to często.

Stwierdzenie warunku koniecznego w punktach A2 lub C1 gwarantuje zajście odpowiednich implikacji. Stwierdzenie warunku wystarczalności w punktach A1 lub C2 gwarantuje zajście odpowiedniej implikacji lub równoważności (gdy w A2 lub C1 zachodzi warunek wystarczalności).

p=>q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej (gwarancja)
p~>q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej (gwarancja)

A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy
~(P*~4L) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
C1.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap ?
~[~(~P)*(~4L)]=~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Zamieniając p i q w A1 otrzymujemy implikację odwrotną A2.
A2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym, aby być psem
~(~4L*P) = ~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
C2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym, aby nie być psem.
~[(~4L)*~(~P)] = ~(~4L*P) = ~(P*~4L) - gwarancja
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Oczywiście zamieniając p i q w A2 otrzymujemy implikację prostą A1.

Twierdzenie 5.1
We wszystkich implikacjach wynikających z kwadratu logicznego implikacji powstałych poprzez zamianę p i q mamy identyczne gwarancje matematyczne.


5.2 Implikacja prosta czasowa

Typowym przedstawicielem są tu wszelkie obietnice.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
 


Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C

Oczywiście w obietnicach zamiana p i q (przyczyny ze skutkiem) nie ma sensu.

Nikt nie wypowie takiej „obietnicy”:
Jeśli dostaniesz czekoladę to powiesz wierszyk
C~>W

Wniosek:
Prawa strona kwadratu logicznego implikacji jest wykluczona w przypadku obietnic. Nie wolno zamieniać przyczyny ze skutkiem. Wszelkie obietnice obsługuje wyłącznie lewa strona kwadratu implikacji.

Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
… a jeśli nie powiem wierszyka ?
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~>~C
LUB
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” ~> dostać czekoladę
~W~>C

Zauważmy, że jeśli implikacja zajdzie to wszystkie zdania w kwadracie logiki staną się sensowne, bo to jest przeszłość gdzie wszystko jest zdeterminowane. Niekoniecznie musimy znać rozstrzygnięcie implikacji.

A1.
Jeśli powiedziałaś wierszyk to na pewno dostałaś czekoladę
W=>C
C1.
Jeśli nie powiedziałaś wierszyka to mogłaś nie dostać czekolady
~W~>~C
LUB
Jeśli nie powiedziałaś wierszyka to mogłaś dostać czekoladę
~W~>C (akt miłości)

A2.
Jeśli dostałaś czekoladę to mogłaś powiedzieć wierszyk
C~>W
LUB
Jeśli dostałaś czekoladę to mogłaś nie powiedzieć wierszyka
C~>W (akt miłości)
C2.
Jeśli nie dostałaś czekolady to na pewno nie powiedziałaś wierszyka
~C => ~W - twarda prawda


5.3 Implikacja odwrotna czasowa

Typowym przedstawicielem są tu wszelkie groźby.

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
 


Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Zauważmy, że tym razem lewa strona kwadratu logiki jest nieczynna bowiem nie można zamieniać przyczyny ze skutkiem.

Jeśli dostaniesz lanie to na pewno ubrudzisz spodnie
L=>B
Oczywiście, powyższe to bełkot nie mający nic wspólnego z groźbą.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
~B=>~L

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia.
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Oczywiście w przypadku groźby, identycznie jak w obietnicy, dla przeszłości cały kwadrat logiczny będzie miał sens, bo tu wszystko jest zdeterminowane.


6.0 Puenta

Nie może być podziału na logikę matematyczną czyli twierdzenia matematyczne „Jeśli…to…” i jakąś inną np. ludzką, KRZ itp. … bo operatory matematyczne przydatne w logice są wspólne i absolutnie jednoznaczne.

AND(*), OR(+), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~>

Logika człowieka = algebra Boole’a !

2008-09-26 Koniec
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 17:30, 25 Paź 2008    Temat postu:

Wielki problem z prawem kontrapozycji

Pewne jest, że po przeczytaniu powyższego tytułu, dowolny dzisiejszy logik nie będzie dalej czytał ... co tu robić ? :think:

W równoważności prawa kontrapozycji oczywiście są poprawne ... bo tu można zamieniać p i q do woli.

Jest problem i to duży w implikacji. We wszystkich rogach kwadratu niżej mamy identyczne gwarancje np.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Gwarancja wynikająca z definicji:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
P8=>P2 = ~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2.

To że gwarancje są identyczne nie oznacza oczywiście że:
p=>q = p~>q
Lewy pion poniższego kwadratu jest bez związku z prawym pionem, to dwa izolowane układy implikacyjne, o których wspomina podręcznik do I klasy LO.

Fragment z podpisu:

4.2.1 Punkt odniesienia - język mówiony

Przyjmujemy punkt odniesienia zgodny z naturalnym językiem mówionym gdzie po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to” zawsze jest następnik implikacji q.

Kwadrat logiczny implikacji, punkt odniesienia - język mówiony:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q =0       B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q =0

Twarda prawda w liniach A1 I C2 wymusza twardy fałsz w liniach B1 i D2.

W pionach doskonale widać prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
bo prawe strony równań są identyczne.

Między pionami nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, w naturalnym języku mówionym to dwa izolowane układy implikacyjne.

Gwarancje wynikające z definicji:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
A1:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
A1: P8=>P2 = ~(P8*~P2)
C1: ~P8~> ~P2 = ~[~(~P8)*(~P2)] = ~(P8*~P2)

Po zamianie p i q lądujemy w A2.
A2:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
p=P2
q=P8
A2: P2~>P8 = ~(~P2*P8) = ~(P8*~P2)
C2: ~P2=>~P8 = ~[(~P2)*~(~P8)]=~(P2*~P8) = ~(P8*~P2)

Jak widać gwarancje we wszystkich rogach kwadratu są identyczne:
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć. że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2


Problem z prawem kontrapozycji:

Prawa Kubusia są genialne i działają zawsze. W powyższym kwadracie nie zachodzą prawa kontrapozycji.

W aktualnej wersji podpisu stoi, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy jedynie słuszną implikację prostą to teoretycznie prawa kontrapozycji powinny działać.

p=>q = ~q=>~p

Pytanie czy wolno tak robić ?

Zauważmy, że prawa kontrapozycji zamieniają poprzednik z następnikiem (przeczenia są nieistotne) czego w implikacji robić nie wolno !!!

W podpisie jest precedens dopuszczający zamianę p i q w implikacjach bezczasowych i zabraniający tego robić w implikacjach czasowych.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Prawo kontrapozycji:
P=>4L = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Powyższe jest sensowne i uznane za legalne w podpisie.

Prawa kontrapozycji są bezsensem w implikacjach czasowych.
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
Prawo kontrapozycji:
W=>C = ~C=>~W
B.
Jeśli nie dostaniesz czekolady to nie powiesz wierszyka
~C=>~W

Oczywiście tu tylko idiota uzna powyższą tożsamość za poprawną, bo nie wolno zamieniać przyczyny ze skutkiem ! Logika która w pewnych przypadkach dopuszcza zamianę p i q zaś w innych nie jest bez sensu !

Myślę że jest to błąd w podpisie !

Prawa kontrapozycji są do dupy. To że logikom działają w praktyce wynika z identycznej gwarancji we wszystkich rogach kwadratu. Równie dobrze zamiast wykazywać że zachodzi warunek wystarczający w P8=>P2 można wykazać że zachodzi warunek konieczny w P2~>P8, jeśli wykażemy warunek konieczny w P2~>P8 to automatycznie udowodnimy że zachodzi P8=>P2 !!!

Zobaczmy na konkretnym przykładzie, że prawa kontrapozycji są do bani.

Lewa strona kwadratu logiki

Zdanie wypowiedziane:
A1:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Gwarancja matematyczna na mocy definicji:
P8=>P2 = ~(P8*P2)

Tabela A1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8 => P2 =1 8,16,24 - twarda prawda
P8 wystarcza dla P2
P8 =>~P2 =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8 ~> ~P2
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> być niepodzielna przez 2
~P8 ~>~P2 =1 bo 1,3,5…
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
~P8 ~> P2 =1 bo 2,4,6 …

Zdanie wypowiedziane:
C1:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> być niepodzielna przez 2
~P8 ~>~P2 =1 bo 1,3,5 …
Wyżej wykazaliśmy warunek wystarczający, to wystarczy, implikacja jest poprawna.
Gwarancja na mocy definicji:
p~>q = p+~q = ~(~p*q)
~P8~>~P2 = ~[~(~P8)*(~P2)] = ~(P8*~P2)

Tabela C1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> być niepodzielna przez 2
~P8 ~>~P2 =1 bo 1,3,5…
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
~P8 ~> P2 =1 bo 2,4,6 …
Prawo Kubusia:
~P8~>~P2 = P8=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8 => P2 =1 8,16,24 - twarda prawda
P8 wystarcza dla P2
P8 =>~P2 =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Jak widać prawa Kubusia pracują genialnie. Tabela A1 i C1 są identyczne, nastąpiła jedynie zamiana dwóch pierwszych linii z dwoma ostatnimi.

Prawa strona kwadratu logiki

Zdanie wypowiedziane
A2:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 bo 8,16,24 …
Gwarancja z definicji:
p~>q = p+~q = ~(~p*q)
P2~>P8 = ~(~P2*P8) = ~(P8*~P2)

Tabela A2
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
A: P2~>P8 =1 bo 8,16,24 …
P2 jest konieczne dla P8
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być niepodzielna przez 8
B: P2~>~P8 =1 bo 2,4,6…
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” => nie jest podzielna przez 8
C: ~P2=>~P8 =1 - 1,3,5 … twarda prawda
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” jest podzielna przez 8
D: ~P2=>P8 =0 - twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy

Zdanie wypowiedziane:
C2:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
implikacja prosta bo ~P2 wystarcza dla ~P8
Gwarancja z definicji:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
~P2=>~P8 = ~[~P2*~(~P8)] = ~(P8*~P2)

Tabela C2
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8
A: ~P2=>~P8 =1 bo 1,3,5 twarda prawda.
B: ~P2=>P8 =0 - oczywisty fałsz wobec powyższej twardej prawdy.
Prawo Kubusia:
~P2=>~P8 = P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
C: P2~>P8 =1 bo 8,16,24…
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być niepodzielna przez 8
D: P2 ~>~P8 =1 bo 2,4,6…

Jak widać prawa Kubusia pracują genialnie. Tabela A2 i C2 są identyczne, nastąpiła jedynie zamiana dwóch pierwszych linii z dwoma ostatnimi.


Zobaczmy teraz co z prawem kontrapozycji:

p=>q = ~q=>~p
czyli:
P8=>P2 = ~P2=>~P8

Przepiszmy używane w prawie kontrapozycji tabele A1 i C2

Tabela A1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
A1: P8 => P2 =1 bo 8,16,24 - twarda prawda
P8 wystarcza dla P2
B1: P8 =>~P2 =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8 ~> ~P2
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> być niepodzielna przez 2
C1: ~P8 ~>~P2 =1 bo 1,3,5…
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
D1: ~P8 ~> P2 =1 bo 2,4,6 …

Tabela C2
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8
A2: ~P2=>~P8 =1 bo 1,3,5 twarda prawda.
B2: ~P2=>P8 =0 - oczywisty fałsz wobec powyższej twardej prawdy.
Prawo Kubusia:
~P2=>~P8 = P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
C2: P2~>P8 =1 bo 8,16,24…
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być niepodzielna przez 8
D2: P2 ~>~P8 =1 bo 2,4,6…

Z powyższych tabel widać że:
A1#A2
C1#C2

Prawa kontrapozycji są zatem fałszywe.
p=>q # ~q=>~p

Tożsamość nie zachodzi, jednak gwarancje matematyczne wynikłe z definicji implikacji mamy po obu stronach identyczne. Wystarczy zatem wykazać warunek wystarczający dla jednej ze stron równania, by mieć pewność identycznego warunku wystarczającego dla drugiej strony równania.

Na koniec kolejny cytat z podpisu:

4.2.2 Punkt odniesienia - implikacja prosta

Zakładamy, że wypowiedziana została implikacja prosta p=>q, przywiązujemy na stałe p i q do tej właśnie implikacji i przerysowujemy kwadrat. Oczywiście w tym przypadku prawy górny róg kwadratu będzie implikacją odwrotną q~>p.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Dla poniższej tabeli mamy stały punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Definicje potrzebne do tworzenia prawych stron równości w kwadracie:
p=>q = ~p+q - implikacja prosta
p~>q = p+~q - implikacja odwrotna

Kwadrat logiczny implikacji, punkt odniesienia p=>q:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q =1         A2:  q~>p = ~p+q
B1:  p=>~q = ~p+~q=0        B2:  q~>~p = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~q=>~p =~p+q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~q=>p = p+q =0

Dzięki temu, że w liniach B1 i D2 mamy twardy fałsz wynikły z twardych jedynek w A1 i C2, zachodzi prawo kontrapozycji.

p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji poprawne dla punktu odniesienia p=>q

Jak widzimy w pionach zachodzą tu prawa Kubusia, oraz dodatkowo prawo kontrapozycji jak wyżej. Prawa logiczne obowiązują dla kompletnych operatorów pokazanych w rogach kwadratu. Z tego powodu nie zachodzi prawo kontrapozycji dla operatora „może” ~> po drugiej przekątnej oraz nie zachodzą tożsamości w poziomie.

Zauważmy, że w tym przypadku w sposób jawny we wszystkich rogach kwadratu mamy identyczne gwarancje:
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
A1=C1=A2=D2 = ~(P8*~P2)
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2

UWAGA:
To prawo kontrapozycji jest do bani, bowiem:
p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji
q~>p = ~q=>~p - prawo Kubusia obowiązujące zawsze i wszędzie

Z powyższego mamy idiotyzm:
p=>q = q~>p - bo prawe strony równań wyżej są identyczne
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 20:29, 02 Lis 2008    Temat postu:

Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Logika człowieka


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Nowa definicja algebry Boole'a
1.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.3 Definicja implikacji prostej, warunek wystarczający
2.4 Definicja implikacji odwrotnej, warunek konieczny
2.5 Wyjaśnienie paradoksu w operatorowych definicjach implikacji

3.0 Kwadrat logiczny implikacji
3.1 Kwadrat logiczny równoważności
3.2 Prawa kontrapozycji
3.3 Związek zapisu wektorowego w implikacji z równaniami algebry Boole’a
3.4 Geneza równań algebry Boole’a w implikacji

4.0 Analiza implikacji

5.0 Obietnice i groźby
5.1 Analiza obietnicy
5.2 Analiza groźby

Dodatek A
Najważniejszy dowód w całej historii Kubusia na SFINII


Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Zbanowany Uczy napisał:
Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu)

Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum SFINIA po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Logika człowieka = algebra Boole’a !

Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Człowiek często bawi się językiem i niemożliwy jest zapis matematyczny takiej zabawy pt. „co on miał na myśli”. Jednak naturalne logiczne myślenie podlega pod algebrę Boole’a. Wspaniałym przykładem jest tu obsługa wszelkich obietnic (implikacja prosta) i gróźb (implikacją odwrotna). Tu nie może być żadnych dwuznaczności, groźby i obietnice musza być jasne i precyzyjne zarówno dla nadawcy jak i odbiorcy.


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.

1.1 Nowa definicja algebry Boole'a

Definicja:
Algebra Boole’a to algebra legalnych operatorów matematycznych

Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ


Najważniejsze operatory logiczne to:
OR(+), AND(*), Implikacja prosta =>, Implikacja odwrotna ~>

Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu. Matematyczny opis wszystkich operatorów można znaleźć w podpisie w części "Elementarz".


1.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p => ~q


2.0 Rewolucja w logice klasycznej

Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.


2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana

Definicja operatora AND
Kod:
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0


Definicja operatora OR
Kod:
p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)

Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
Kod:

p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   1    0  1    0        1
0 0   0    1  1    1        0
0 1   1    1  0    0        1

Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej

Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Kod:

p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1   1    0  0    0        1
1 0   0    0  1    1        0
0 0   0    1  1    1        0
0 1   0    1  0    1        0

Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.

Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne OR(+) i AND(*).

Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !


2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q

Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały.

Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)

Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5.

Prawa Kubusia, podobnie jak prawa de’Morana są bezinterpretacyjne, obowiązują zatem w całej algebrze Boole’a obojętnie jak byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli. Interpretacyjne są same definicje implikacji prostej (warunek wystarczający) i implikacji odwrotnej (warunek konieczny).

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+). Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>.

Prawa Kubusia obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być nigdy gwałcone !


2.3 Definicja implikacji prostej, warunek wystarczający

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q=~p+q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd otrzymujemy symboliczną definicję implikacji prostej.

Symboliczna definicja implikacji prostej (= zero-jedynkowa):
p q p=>q = ~p+q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q =1
~p q =1

Słowną definicję implikacji tworzymy dla p i dowolnego q, czyli w oparciu o dwie pierwsze linijki definicji symbolicznej. Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q, bo druga linia definicji jest twardym fałszem i nigdy nie ma prawa wystąpić. Wynika z tego, że p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia definicji będzie fałszem co oznacza, że zdanie nie jest implikacją prostą, implikacja jest fałszywa.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym dla czterech łap
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Jeśli zwierzę jest psem to ma skrzydła
P=>S =0
Bycie psem nie jest warunkiem wystarczającym dla skrzydeł, nie jest to implikacja prosta, zdanie jest fałszywe.

Z powyższego wynika, że o tym czy zdanie jest implikacją prostą decyduje treść zawarta w spójniku „Jeśli..to..”

Definicja implikacji prostej opisuje dwie pierwsze linie w tabeli symbolicznej. Dwie kolejne linie wynikają z praw Kubusia które obowiązują zawsze i wszędzie.

Operatorowa definicja implikacji prostej
Dwie pierwsze linie operatorowej definicji implikacji prostej wynikają z jej definicji symbolicznej.
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
A: p=>q =1 - twarda prawda
Jeśli zajdzie p to musi zajść ~q
B: p=>~q =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Pozostałe dwie linie wynikają z praw Kubusia:
p=>q = ~p~>~q =1 - dla linii A
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q =1 - dla linii B
czyli:
Jeśli zajdzie ~p to „może” ~> zajść ~q
~p~>~q =1
LUB
Jeśli zajdzie ~p to „może” ~> zajść q
~p~>q =1
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Przykład:
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo stonoga
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap.
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> mieć cztery łapy
~P~>4L =1 bo słoń


2.4 Definicja implikacji odwrotnej, warunek konieczny

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q = p+~q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd otrzymujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej (= zero-jedynkowa):
p q p~>q = p+~q
p q =1
p ~q =1
~p ~q =1
~p q = 0

Definicję słowną implikacji tworzymy zawsze dla p i dowolnego q czyli w tym przypadku mamy.
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p~>q =1
LUB
Jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q
p~>~q =1
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Oczywiście druga linia wynika z pierwszej, jest więc zbędna w definicji słownej.

Dla dowolnego p po stronie następnika może zajść q lub ~q (q+~q=1). Wynika z tego że p musi być konieczne dla q inaczej zaistnieje przypadek twardego fałszu w linii p~>q. Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q - to jest ta gwarancja o której dzisiejsza logika nie ma zielonego pojęcia !

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli nie zajdzie p to „na pewno” nie zajdzie q
~p=>~q

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P =1 bo pies
Cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P
~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem

Jeśli zwierzę ma trąbę to „może” być psem
T~>P = 0 (twardy fałsz)
Trąba nie jest konieczna dla psa
Nie jest to implikacja odwrotna, zdanie fałszywe.

Jak widać, treść zawarta w spójniku „Jeśli…to…” decyduje o tym czy jest implikacja odwrotna. Między p i q musi zachodzić warunek konieczny, inaczej zdanie jest fałszywe jak wyżej.

Definicja implikacji odwrotnej opisuje dwie pierwsze linie w tabeli symbolicznej. Dwie kolejne linie wynikają z praw Kubusia które obowiązują zawsze i wszędzie.

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
Dwie pierwsze linie operatorowej definicji implikacji odwrotnej wynikają z jej definicji symbolicznej.
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
A: p~>q =1
LUB
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść ~q
B: p~>~q =1
Pozostałe dwie linie wynikają z praw Kubusia:
p~>q = ~p=>~q =1 - dla linii A
p~>~q = ~p=>~(~q) = ~p=>q =0 - dla linii B
czyli:
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q
~p=>~q =1 - twarda prawda
LUB
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie q
~p=>q =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => między p i q

Dla przypadku ~p mamy:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym, aby nie być psem.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” jest psem.
~4L=>P =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q.


2.5 Wyjaśnienie paradoksu w operatorowych definicjach implikacji

Definicje używane do tworzenia równań:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Operatorowa definicja implikacji prostej:
a: 1 1 =1 - nowe zdanie
A: p=>q = ~p+q =1
b: 1 0 =0 - definicja implikacji prostej
B: p=>~q = ~p+~q =0
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - dla linii A
p=>~q = ~p~>q - dla linii B
c: 1 1 =1 - nowe zdanie
C: ~p~>~q = ~p+q =1
d: 1 0 =1 - definicja implikacji odwrotnej
D: ~p~>q = ~p+~q =1

Identyczność prawych stron równań wynikła z definicji jest dowodem identyczności odpowiednich tabel zero-jedynkowych. Ten sposób dowodzenia jest bardziej elegancki, prostszy i czytelniejszy. Jak widać w równaniach matematycznych mamy B=D lecz w wyniku B=0 zaś D=1. To paradoks wynikły z przejścia na zupełnie inny operator, z => na ~>. Jeśli potraktujemy zdania A i C jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), w możliwym dialogu takie właśnie są, to bezwzględne zera i jedynki będą się zgadzać.

a: 1 1 =1
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - obietnica, zatem implikacja prosta

… a jak nie powiem ?
Prawo Kubusia:
W=>C = ~W ~> ~C

c: 1 1 =1
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~>~C
Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” nie dostać czekolady
~W~>~C
LUB
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” dostać czekoladę
~W~>C

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
a: 1 1 =1 - nowe zdanie
A: p~>q = p+~q =1
b: 1 0 =1 - implikacja odwrotna
B: p~>~q = p+q =1
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - dla linii A
p~>~q = ~p=>q - dla linii B
c: 1 1 =1 - nowe zdanie
C: ~p=>~q = p+~q =1
d: 1 0 =0 - implikacja prosta
D: ~p=>q = p+q =0

Tu również w równaniach matematycznych zachodzi równość B=D lecz w wyniku B=1 zaś D=0. To paradoks wynikły z przejścia na zupełnie inny operator, z ~> na =>. W naturalnym dialogu A i C to dwa zdania nowo wypowiedziane (1 1 =1).

a: 1 1 =1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - wszelkie groźby podlegają pod implikację odwrotną
Na podstawie definicji implikacji odwrotnej mamy:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” nie dostać lania
B~>~L

… a jak nie ubrudzę ?
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=> ~L

c: 1 1 =1
Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
~B=>~L

Ogólnie zdanie ujęte w spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną lub równoważnością (częste w matematyce), co zależy od treści zdania. To musi być rozróżniane, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach.


3.0 Kwadrat logiczny implikacji

W naturalnym języku mówionym po „Jeśli …” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy na następnik q niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta, implikacja odwrotna czy też równoważność (częsta w matematyce).

Kwadrat logiczny to po prostu operatorowa definicja implikacji prostej p=>q z lewej strony, oraz operatorowa definicja implikacji odwrotnej p~>q z prawej strony. Prawe strony równań uzyskano korzystając z definicji implikacji prostej i odwrotnej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
W.Wystarczający             W.Konieczny
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
W.Konieczny                 W.Wystarczający
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Lewa strona to pełna operatorowa definicja implikacji prostej, zaś prawa strona to pełna operatorowa definicja implikacji odwrotnej. W pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.

Doskonale widać prawa Kubusia zachodzące w pionach.
Lewa strona:
A1=C1: p=>q = ~p~>~q = ~p+q
B1=D1: p=>~q = ~p~>q = ~p+~q
Prawa strona:
A2=C2: p~>q = ~p=>~q = p+~q
B2=D2: p~>~q = ~p=>q = p+q
bo prawe strony równań są identyczne.

Identyczność prawych stron jest równoznaczna z identycznością odpowiednich tabel zero-jedynkowych. Zamiast pracowicie rysować tabele zero-jedynkowe znacznie prościej i wygodniej porównywać identyczność funkcji logicznych które wynikają z definicji.

O tym czy mamy do czynienia z implikacją prostą p=>q, implikacją odwrotną p~>q, czy też równoważnością p<=>q decyduje zawartość spójnika „Jeśli…to…”

Implikacja jest implikacją prostą jeśli mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym w A1 i koniecznym w C1.
Przykład:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy
C1.
P=>4L = ~P~>~4L - prawo Kubusia
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym by nie mieć czterech łap

Zauważmy, że w przypadku równoważności będziemy mieli do czynienia z pewnym wynikaniem prostym w liniach A1 i C1.
Przykład:
A1.
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda, oczywista implikacja prosta
C1.
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - twarda prawda, zatem implikacja prosta

Implikacja jest implikacją odwrotną jeśli w linii A2 zachodzi warunek konieczności.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa.

Ogólnie, jeśli wykluczymy równoważność to w przedstawionym kwadracie logiki wystarczy udowodnić że zachodzi dowolny z warunków wystarczających (A1,C2) lub koniecznych (A2,C1) aby mieć pewność poprawności wszystkich implikacji w kwadracie logicznym.


3.1 Kwadrat logiczny równoważności

Kwadrat logiczny implikacji:
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

W kwadracie logicznym implikacji zachodzi równoważność, jeśli zawartość spójnika „Jeśli…to…” wymusza:
A1=A2=C1=C2=1 - twarda prawda
z czego wynika:
B1=B2=D1=D2=0 - twardy fałsz

Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R
p=K60
q=R

Łatwo zauważyć, że w przypadku równoważności zachodzi pewne wynikanie w dwie strony p=>q i q=>p. W tym przypadku w kwadracie logicznym możemy przyjąć stały punkt odniesienia p=>q (np. p=K60 i q=R) i uprościć kwadrat logiczny do postaci.

Kwadrat logiczny równoważności.
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Z kwadratu logicznego równoważności wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Najpopularniejsze definicje równoważności.
A: p=>q i q=>p - zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Załóżmy, że powyższe zdanie jest implikacją i spróbujmy przeanalizować je w oparciu o definicję implikacji.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość

Z powyższej analizy wyprowadzamy definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
~p*p=q*~q=0 - prawo algebry Boole’a

Stąd mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


3.2 Prawa kontrapozycji

Kwadrat logiczny równoważności.
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


Znane człowiekowi prawa kontrapozycji są poprawne w przypadku twierdzeń matematycznych bo tu mamy do czynienia z równoważnością. W równoważności dla powyższej tabeli zachodzą bezdyskusyjne tożsamości we wszelkich możliwych połączeniach: w pionach, w poziomach i po przekątnych (prawa kontrapozycji).

Prawa kontrapozycji poprawne dla równoważności:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q

Prawa kontrapozycji to fundamentalnie co innego niż prawa Kubusia. Prawa kontrapozycji dotyczą równoważności, zaś prawa Kubusia dotyczą implikacji. Jeśli cokolwiek jest implikacją to nie może być równoważnością i odwrotnie, tak wiec prawa kontrapozycji i prawa Kubusia działają w kompletnie różnych układach logicznych.

Dowód, że prawa kontrapozycji nie zachodzą w implikacji jest prosty. Przyjmijmy stały punkt odniesienia p=>q oraz załóżmy, że zdanie jest implikacją.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza dla P2

W poniższym kwadracie logicznym przyjmujemy na sztywno p i q jak niżej:
p=P8
q=P2

Definicje implikacji używane do tworzenia równań:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q =p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Narysujmy kwadrat logiczny implikacji dla powyższego przypadku:
Kod:

A1: p=>q=~p+q     A2: q~>p=q+~p=~p+q

C1: ~p~>~q= ~p+q  C2: ~q=>~p=q+~p=~p+q

Zauważmy, że korzystając z przemienności sumy logicznej (alternatywy) otrzymaliśmy absolutny idiotyzm, czyli identyczne tabele zero-jedynkowe dla wszystkich rogów kwadratu.

W szczególności mamy:
p=>q = q~>p
czyli:
P8=>P2 = P2~>P8 !?

Gdzie tkwi błąd ?


3.3 Związek zapisu wektorowego w implikacji z równaniami algebry Boole’a

Kluczowym odkryciem w całej wojnie o implikację stało się powiązanie wektorowego opisu implikacji prostej i odwrotnej które doskonale działało od dawna z równaniami algebry Boole’a.

p=>q = q<=p = ~p+q=q+~p - definicja implikacji prostej

Obojętnie które z powyższych zapiszemy np.
q<=p = q+~p
To w odczycie musi być zachowana zgodność ze strzałką czyli zawsze najpierw poprzednik p (podstawa wektora) a następnie następnik q (strzałka wektora)
Dotyczy to obu stron równoważności !

To ma absolutnie fundamentalne znaczenie bo:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej zapisana naturalnie (obie strony czytamy z lewa do prawa)
Powyższe czytamy:
~p+q - jeśli zajdzie ~p to może zajść q LUB ~q
~p+q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie p i nie zajdzie q
Powyższe jest zgodne z definicją operatorową implikacji prostej:
p=>q =1
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q =1
~p~>q =1

Po zamianie p i q mamy oczywiście implikację odwrotną !
B.
q~>p = q +~p = ~p+q - definicja implikacji odwrotnej przy p i q ustalonym sztywno zdaniem A (nie ma tego w języku mówionym).

Porównując prawe strony A i B dochodzimy do absolutnego IDIOTYZMU że:
p=>q = q~>p
bo prawe strony są równe.

Tymczasem wektor implikacji odwrotnej w B pokazuje w jakiej kolejności należy czytać prawą stronę, jedyny poprawny odczyt to:
C:
q~>p = q +~p
Oczywiście A#C bo w implikacji nie wolno zamieniać p i q. Po zamianie p i q mamy do czynienia z fundamentalnie różną definicją.
Powyższe czytamy:
q+~p - jeśli zajdzie q to może zajść ~p LUB p
q+~p = ~(~q*p) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie ~q i zajdzie p
Powyższe jest zgodne z definicją operatorową implikacji odwrotnej:
q~>p =1
q~>~p=1
Prawo Kubusia:
q~>p = ~q=>~p
~q=>~p =1
~q=>p =0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) =1 bo 8,16,24 ….
Po zamianie p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8) =1 bo 1,3,5…

Doskonale widać że:
P8=>P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8!
Prawo kontrapozycji w implikacji jest fałszywe !

Dokładnie to samo co wyżej udowodnione w tabelach zero-jedynkowych jest w Dodatku A na końcu publikacji.


3.4 Geneza równań algebry Boole’a w implikacji

Symboliczna tabela implikacji prostej (= zero-jedynkowa):
p=1 ~p=0
q=1 ~q=0
Kod:

p   q  p=>p ~(p=>q)
p   q   =1     =0
p  ~q   =0     =1
~p ~q   =1     =0
~p  q   =1     =0

Najprostsze równanie dla implikacji prostej tworzymy z linii drugiej dla logiki ujemnej:
~(p=>q) = p*~q - logika ujemna bo p=>q zanegowane
Negujemy dwustronnie plus prawo de’Morgana:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q
Równanie równoważne tworzymy bezpośrednio dla logiki dodatniej p=>q:
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q - opisujemy wszystkie jedynki w kolumnie

Cały problem został szczegółowo opisany w „Elementarzu” (podpis).


4.0 Analiza implikacji

Pomijając groźby które są wyjątkiem, gdzie spójnik „może” jest ukryty wszędzie indziej człowiek w swym naturalnym logicznym myśleniu używa jawnie spójnika „może” i „musi” (ten może być domyślny).

Przypadek A.
A1.
Jeśli będzie pochmurno to może padać
CH~>P - implikacja odwrotna
Chmury są warunkiem konicznym deszczu
LUB
A2.
Jeśli będzie pochmurno to może nie padać
CH~>~P
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
A3.
Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P - gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej CH~>P
To co wyżej to logika dziecka z przedszkola, czyli algebra Boole’a wyssana z mlekiem matki.

Po zamianie p i q w poprawnej implikacji odwrotnej A musimy wylądować w poprawnej implikacji prostej.

Przypadek B
B1.
Jeśli będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH - gwarancja matematyczna !
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym dla chmur
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
Jeśli nie będzie padać to może nie być pochmurno
~P~>~CH
LUB
Jeśli nie będzie padać to może być pochmurno
~P~>CH

Pozostałe możliwe matematyczne przypadki to implikacje fałszywe !

Przypadek C.
Błędne użycie implikacji prostej do ewidentnej implikacji odwrotnej A

C1.
Jeśli będzie pochmurno to na pewno będzie padać
CH=>P =0 !
Prawo Kubusia:
CH=>P = ~CH ~> ~P
C2.
Jeśli nie będzie pochmurno to może nie padać
~CH ~> ~P
LUB
C3
Jeśli nie będzie pochmurno to może padać
~CH ~> P
W powyższej analizie przypadki C1 i C3 pozwalają stwierdzić nieprawidłowość użycia implikacji prostej w zdaniu C1


Przypadek D
Błędne użycie implikacji odwrotnej do obsługi ewidentnej implikacji prostej B.

D1.
Jeśli będzie padać to może być pochmurno
P~>CH
LUB
D2.
Jeśli będzie padać to może nie być pochmurno
P~>~CH =0 !
Prawo Kubusia:
P~>CH = ~P => ~CH
D3.
Jeśli nie będzie padać to na pewno nie będzie pochmurno
~P => ~CH
W tej analizie przypadki D2 i D3 pozwalają stwierdzić nieprawidłowość użycia implikacji odwrotnej w zdaniu wypowiedzianym D1.

Zauważmy, że matematyka jest niezależna od chciejstwa człowieka np.
Będzie padało wtedy i tylko wtedy gdy będzie pochmurno

Użycie „wtedy i tylko wtedy” jest tu sensowne bo zawsze gdy pada muszą być chmury, jednak odwrotnie nie zachodzi.
Matematycznie jest to zatem implikacja prosta:
Jeśli będzie padało to będą chmury
P=>CH
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur

Generalny wniosek z powyższej analizy:
Treść zawarta w spójniku „Jeśli…to…” decyduje o tym czy implikacja jest implikacją prostą (A), odwrotną (B) lub fałszywą czyli zdanie nie spełnia definicji implikacji (C i D). W dzisiejszej logice jest dokładnie odwrotnie.

Przeanalizowaliśmy wyżej wszelkie możliwe matematycznie przypadki. Wszystkie powyższe analizy są na poziomie licealisty. Zauważmy, że dzisiejsza logika jest do kitu bo nie ma pojęcia o absolutnym fundamencie, czyli matematycznej gwarancji w implikacji odwrotnej A1, nie ma też pojęcia o innym fundamencie logiki człowieka:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna


5.0 Obietnice i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać.
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym otrzymania nagrody z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
Gwarancja równoważna w implikacji prostej:
~(p*~q)
Nie może się zdarzyć, że zajdzie p i nie zajdzie q
W=>N = ~(W*~N)
Nie może się zdarzyć, że spełnię warunek nagrody i nie dostanę nagrody.

Przykład:
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
… a jak nie powiem wierszyka ?
O tym co może zajść w przypadku nie powiedzenia wierszyka mówi prawo Kubusia a nie jak to jest bzdurnie tłumaczone w dzisiejszej logice wynika z faktu że ojciec czegoś tam nie powiedział.
Prawo Kubusia:
W=>C = ~W~>~C
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” nie dostać czekolady
~W~>~C
LUB
Jeśli nie powiesz wierszyka to „możesz” dostać czekoladę
~W~>C


Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bowiem odbiorca ma prawo do darowania dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach. Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca wedle swego „widzi mi się” czyli wolnej woli.

Na podstawie definicji implikacji odwrotnej mamy:
Jeśli spełnisz warunek kary to „możesz” zostać ukarany
W~>K
LUB
Jeśli spełnisz warunek kary to „możesz” nie zostać ukarany
W~>~K

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary to „na pewno” => nie zostaniesz ukarany z powodu że nie spełniłeś warunku kary. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ta sama gwarancja wynikająca z definicji implikacji odwrotnej:
p~>q =p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
Nie może się zdarzyć, że nie zajdzie p i zajdzie q
W~>K = ~(~W*K)
Nie może się zdarzyć, że nie spełnię warunku kary i zostanę ukarany.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem implikacja odwrotna
Na mocy definicji implikacji odwrotnej mamy:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” nie dostać lania
B~>~L
… a co będzie jak nie ubrudzą spodni ?
Oczywiście mówi o tym prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
Jeśli przyjdę w czystych spodniach to na pewno nie dostanę lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.


5.1 Analiza obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N - implikacja prosta, bo obietnica

Przykład:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz nagrodę
G=>N - implikacja prosta bo obietnica

Przypadek A.
A1.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz nagrodę
G=>N
Gwarancja:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz nagrodę
Ta sama gwarancja wynikająca z definicji:
G=>N = ~G+N = ~(G*~N)
Nie może się zdarzyć, że będę grzeczny i nie dostane nagrody.

… a jak nie będę grzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>N = ~G~>~N
A2.
Jeśli nie będziesz grzeczny to „możesz” nie dostać nagrody
~G~>~N
LUB
A3.
Jeśli nie będziesz to „możesz” dostać nagrodę
~G~>N

Przypadek B.
Po zamianie p i q w implikacji prostej zachodzi implikacja odwrotna
B1.
Jeśli dostaniesz nagrodę to wcześniej mogłeś być grzeczny
N~>G
LUB
B2.
Jeśli dostaniesz nagrodę to wcześniej mogłeś być niegrzeczny
N~>~G

… a co mogło zajść jeśli nie dostanę nagrody ?
Prawo Kubusia:
N~>G = ~N=>~G
B3.
Jeśli nie dostaniesz nagrody to na pewno wcześniej nie byłeś grzeczny
~N=>~G

Oczywiście gwarancja A1 jest różna od gwarancji B3. Przypadek B jest sensowny wyłącznie z punktu widzenia matematyki ścisłej. W praktyce nikt nie wypowie groźby w której zamienione są przyczyna ze skutkiem.

Definicja obietnicy jest niezwykle prosta i precyzyjna:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N

Nie ma znaczenia w jakiej formie nadawca wypowie obietnicę:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
Jeśli będziesz grzeczny to na 100% dostaniesz czekoladę
Dostaniesz czekoladę tylko wtedy gdy będziesz grzeczny
G=>C

W obietnicy wypowiedzianej w formie implikacji prostej lub równoważności nadawca ma prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody. Obietnica jest z definicji implikacja prostą, obojętnie co by nadawca nie mówił to nie zamieni jej w równoważność. Oczywiście można wypowiedzieć obietnicę w postaci równoważności w celu zdopingowania odbiorcy do spełnienia warunku nagrody, to jedyny sens użycia spójnika „wtedy i tylko wtedy” w obietnicy. W praktyce mało kto wypowiada obietnicę w formie równoważności.

Nadawca może osłabić obietnicę spójnikiem „może”:
Jeśli będziesz grzeczny to być może dostaniesz czekoladę
G=>C

Definicja:
Obietnica = implikacja prosta
Nadawca może sobie mówić co mu się podoba, lecz tej definicji na pewno nie zmieni. Gdyby mógł to zrobić to mielibyśmy do czynienia z nonsensem, czyli matematyką zależną od chciejstwa człowieka.
Spójnik „może” wypowiedziany tu jawnie anuluje domyślny spójnik „musi” istniejący w każdej implikacji prostej. W tym przypadku nadawca może zrobić co mu się podoba i nie ma szans na zostanie kłamcą. Oczywiście nadawca nie może odebrać samemu sobie wolnej woli i pozbawić się możliwości wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody, do tego ma zawsze prawo, obojętnie co by nie mówił.


5.2 Analiza groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K - implikacja odwrotna, bo groźba.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Groźba jest absolutnym wyjątkiem w implikacji gdzie spójnik "może" w implikacji odwrotnej jest ukryty, bo osłabiałby groźbę co często nie leży w interesie nadawcy. Jednak groźbę od obietnicy z łatwością rozróżniają wszystkie istoty żywe bo to jest fundament życia, człowiek nie jest tu wyjątkiem. Wszystko co żyje obsługuje groźby przy pomocy implikacji odwrotnej zaś obietnice przy pomocy implikacji prostej. Tylko i wyłącznie w „groźba=implikacja odwrotna” mamy prawo do blefowania, nie ma tego ani w równoważności ani w implikacji prostej. Blefowaniem doskonale posługują się wszystkie zwierzęta co widać doskonale w filmach przyrodniczych. W definicji „groźba = implikacja odwrotna” nie ma żadnych przeszkód, aby przy spełnionym warunku kary każda kara została bezwzględnie wykonana. Tylko w implikacji odwrotnej istnieje możliwość darowania dowolnej kary w przypadku spełnienia warunku kary co gwarantuje nadawcy matematyczną wolną wolę.

Przykład:
Jeśli jesteś winny zostaniesz ukarany
W~>U - implikacja odwrotna bo groźba

Na podstawie definicji implikacji odwrotnej mamy:
Jeśli jesteś winny to "możesz" ~> zostać ukarany
LUB
Jeśli jesteś winny to „możesz” ~> nie zostać ukarany
W~>~U - akt łaski

Prawo Kubusia:
W~>U = ~W=>~U
Gwarancja w groźbie:
Jeśli jesteś niewinny to „na pewno” => nie zostaniesz ukarany
~W=>~U - zakaz karania niewinnego
O powyższej gwarancji dzisiejsza logika nie ma bladego pojęcia.

Zobaczmy jak to samo wygląda w jedynie słusznej, komunistycznej implikacji prostej.

Jeśli jesteś winny zostaniesz ukarany
W=>U
Jeśli jesteś winny to na 100% zostaniesz ukarany. Kompletny brak możliwości darowania kary przy spełnionym warunku kary. To jest bardzo dobre ale wyłącznie dla sadystów.

Prawo Kubusia:
W=>U = ~W~>~U
Jeśli jesteś niewinny to możesz nie zostać ukarany
~W~>~U
LUB
Jeśli jesteś niewinny to możesz zostać ukarany
~W~>U !?
Definicja implikacji prostej użyta do dowolnej groźby pozwala na karanie niewinnego !?

Cokolwiek by człowiek nie mówił, to na pewno nie zmieni definicji groźby:
groźba = implikacja odwrotna

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
Dostaniesz lanie tylko wtedy gdy ubrudzisz spodnie
B~>L

Dowolną z powyższych gróźb kodujemy jako implikację odwrotną. Drugie zdanie osłabia groźbę, trzecie ją wzmacnia zaś ostatnie to idiotyzm czyli groźba wypowiedziana w formie równoważności. We wszystkich przypadkach jeśli odbiorca nie spełni warunku kary to nie ma prawa zostać ukarany z powodu że nie spełnił warunku kary. W przypadku spełnienia warunku kary nadawca może robić co mu się podoba czyli walić lub darować karę, zależy to tylko i wyłącznie od „widzi mi się” nadawcy czyli jego wolnej woli.


Dodatek A
Najważniejszy dowód w całej historii Kubusia na SFINII

Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji, prawa kontrapozycji są poprawne wyłącznie w równoważności.
Dowód jest nieprawdopodobnie prosty pod warunkiem, że znamy technikę bramek logicznych na poziomie minimalnym.

Kubuś jest pewien, że to koniec ery starej logiki.
W zakresie implikacji całą dzisiejszą logikę trzeba wywrócić do góry nogami, wtedy świat będzie normalny.
W zakresie równoważności czyli stosowania praw kontrapozycji w matematyce nic się nie zmieni, bo te prawa są poprawne w równoważności.

Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q


Część I
Dowód

Implikacja odwrotna

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:
Kod:

       ------
p ----|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
q ---O|     |
       ------

Oczywiście na wejściu bramki dla p i q można ustawiać dowolne kombinacje zer i jedynek. Na wyjściu bramki p~>q otrzymujemy funkcję logiczną zgodną z definicją implikacji odwrotnej.

Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Def.1
p q p~>q
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0

Z powyższej tabeli wynika równanie w algebrze Boole’a:
p~>q = p+~q

Z pierwszych dwóch linii widać słowną definicję implikacji odwrotnej.
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~>~q
Linia B wynika z pierwszej zatem jest zbędna.
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej linia A jest twardym fałszem czyli definicja leży w gruzach !

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1
Cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P =0
Skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa
Oczywisty fałsz bo psy nie mają skrzydeł


Implikacja prosta

Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

       ------
q ----|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
p ---O|     |
       ------

Jak widać układ logiczny się nie zmienił, jednak nastąpiła zamiana sygnałów na wejściu. Realizacja układu logicznego który jednym sygnałem np. obietnica=1/groźba=0 zamienia sygnały wejściowe p i q to totalny prymityw … a może by tak zbudować sztucznego człowieka ? To oczywiście żart.
Na wejściu bramki dla p i q można ustawiać dowolne kombinacje zer i jedynek. Na wyjściu p=>q otrzymujemy funkcję logiczną zgodną z definicją implikacji prostej.


Definicja implikacji prostej:
Kod:

Def.2
p q p=>q
1 1  1
1 0  0
0 0  1
0 1  1

Z powyższej tabeli wynika równanie w algebrze Boole’a:
p=>q = ~p+q

Zauważmy, że w powyższej definicji zachowano zgodność sygnałów wejściowych z Def.1. Ma to kluczowe znaczenie dla łatwości dowodzenia wszelkich twierdzeń implikacyjnych.

Z pierwszych dwóch linii widać słowną definicję implikacji prostej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
bo druga linia p=>~q jest fałszem.
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to musi mieć cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym by mieć cztery łapy

Oczywistym jest że jeśli w implikacji prostej p jest warunkiem wystarczającym dla q to w drugą stronę q jest warunkiem koniecznym dla p.
czyli:
Jeśli w implikacji prostej p=>q zamienimy p i q miejscami to musimy mieć poprawną implikację odwrotną q~>p bo w tą stronę zachodzi warunek konieczny.

Zróbmy tabelę zero-jedynkową dla tego przypadku.
Kod:

Def.3
q p q~>p
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0

Oczywiście w Def.3 mamy układ z Def.1 bo w Def.3 laik w technice cyfrowej zamienił w implikacji poprzednik p z następnikiem q, ale nie zmienił nazw sygnałów zgodnie z definicją implikacji prostej Def.1. Zarówno w implikacji prostej jak i odwrotnej po „Jeśli…” zawsze mamy poprzednik p zaś po „to…” zawsze jest następnik q.

Tabela odpowiedniości sygnałów między Def.1 i Def.3

Kod:
Def.1 Def.3
p      q
q      p


Z tabel Def.2 i Def.3 widać że zachodzi:
p=>q # q~>p
Bo kolumny wynikowe są różne.

Dowód iż prawo kontrapozycji jest błędne w implikacji.

Prawo Kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Kod:
Tabela 5
p q p=>q q p q~>p ~q ~p ~q=>~p
1 1  1   1 1  1    0  0   1
1 0  0   1 0  1    0  1   1
0 0  1   0 0  1    1  1   1
0 1  1   0 1  0    1  0   0


Jak widać, kolumny p=>q i ~q=>~p są różne zatem prawo kontrapozycji w implikacji jest błędne.
W tabeli wyżej doskonale widać jedno z praw Kubusia:
q~>p = ~q=>~p

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to musi być podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
q=P2
p=P8

Tu nie wolno użyć spójnika „musi” bo wtedy mamy nonsens:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to musi być podzielna przez 8
P2=>P8 - oczywisty fałsz dla „musi”
czyli:
q=>p - oczywisty fałsz dla "musi"


Część II
Dowód, iż w implikacji nie wolno zamieniać p i q

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna czyli:
Jest gwarancja to jest implikacja
Nie ma gwarancji to nie ma implikacji

Twierdzenie o równoważności implikacji:
Implikacje są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczne gwarancje.

Dowód że nie wolno zamieniać p i q na przykładzie:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>~4L
Gwarancja jest w implikacji prostej jawna.
Każdy pies ma cztery łapy

Zamieniamy p i q:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
W implikacji prostej gwarancja jest jawna czyli:
~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem.
Gwarancja:
mrówka, kura, wąż … nie są psami

Zauważmy, że istnieje jeszcze trzecia grupa zwierząt których nie obejmuje ani gwarancja w implikacji prostej, ani też odwrotnej. To zwierzęta o czterech łapach nie będące psem.
Koń, słoń ….

Jak widać gwarancje w implikacji prostej i odwrotnej są różne zatem w implikacji nie wolno zamieniać p i q.


Część III
Geneza błędu w prawie kontrapozycji

Definicja implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

to co wyżej jest równoważne naturalnemu czytaniu poszczególnych linii:
=> - musi
~> - może
p=>q =1
p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~>q =1

Kierunkowość zapisu doskonale widać jeśli skorzystamy z zależności:
p~>q = p<=q - jeśli zajdzie p to może zajść q

<= - ten wektor czytamy przeciwnie do strzałki, wtedy to jest spójnik „może”
=> - ten wektor czytamy zgodnie ze strzałką, wtedy to jest spójnik „musi”

Przepiszmy powyższą tabelę z wektorem <= może:
p=>q =1
p=>~q =0
~p<=~q =1
~p<=q =1

=> - musi
<= - może

Widać tu doskonale na czym polega błąd w prawie kontrapozycji.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p<=~q
Logicy prawą stronę tego równania błędnie interpretują jako spójnik „musi” i zapisują tak:
p=>q = ~q=>~p - no i mamy „prawo” kontrapozycji
bo formalnie matematycznie zachodzi:
~p<=~q = ~q=>~p
Tyle że to równanie jest poprawne wtedy i tylko wtedy jeśli czytamy je przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” !

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N - implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K - implikacja odwrotna bo groźba
W groźbach spójnik „może” jest ukryty bo osłabiałby groźbę

Przykład:
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - obietnica

Prawo Kubusia w wersji ze spójnikiem „może” <=:
W=>C = ~W<=~C
=> - spójnik „musi” czytany zgodnie ze strzałką
<= - spójnik „może” czytany przeciwnie do strzałki

Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W<=~C - groźba
Oczywiście:
C = czekolada = nagroda
~C = nie czekolada = kara
czyli:
W=>C - biegnę do nagrody, ja tego chcę
~W<=~C - uciekam od kary, ja tego nie chcę
Na tym właśnie polega kierunkowość w implikacji.

Z praw Kubusia wynika, że obietnica w logice dodatniej (C), jest równoważna groźbie w logice ujemnej (~C)

… ale groźba może być też wypowiedziana w logice dodatniej.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B<=L - groźba, <= spójnik „może” czytany przeciwnie do strzałki
Prawo Kubusia:
B<=L = ~B=>~L
<= - „może”
=> - „musi”
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno nie dostaniesz lania
~B=>~L - obietnica

czyli:
Groźba w logice dodatniej (L) jest równoważna obietnicy w logice ujemnej (~L)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:48, 11 Sty 2009, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 6:46, 31 Gru 2008    Temat postu:

Kazimierz Adjukiewicz „Język i poznanie” t.II str.135 napisał:

Jeżeli jaka logika formalna jest potrzebna uczniom zaznajamiającym się z logiką jako z przedmiotem usługowym, to chyba logika zdań zbudowanych z wyrazów naturalnego języka, którym się uczeń w życiu i naukach posługuje, a nie logika formalna języka sztucznego. Uczeń, któremu podaje się twierdzenia logiczne operujące tymi sztucznymi terminami, odczuwa je - jak sadzę - jako twierdzenia dla których w praktyce swego myślenia i rozumowania nie znajdzie nigdy zastosowania.


Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Implikacja


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści:
1.0 Notacja

2.0 Algebra Boole’a w pigułce
2.1 Stara definicja algebry Boole’a
2.2 Nowa definicja algebry Boole'a
2.3 Fundamenty algebry Boole’a
2.4 Logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a
2.5 Prawa de’Morgana
2.6 Logika dodatnia i ujemna człowieka
2.7 Kwadrat logiczny AND i OR

3.0 Implikacja
3.1 Implikacja prosta
3.2 Implikacja odwrotna
3.3 Prawa Kubusia
3.4 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
3.6 Definicje spójników „musi” => i „może” ~>
3.7 Najciekawszy problem w całej algebrze Boole'a
3.8 Kwadrat logiczny implikacji
3.9 Równoważność
3.10 Prawa kontrapozycji

4.0 Implikacja w bramkach logicznych
4.1 Wykresy czasowe implikacji prostej i odwrotnej
4.2 Wykres czasowy równoważności

5.0 Obietnice
5.1 Rodzaje obietnic
6.0 Groźby
6.1 Twarda forma gróźb i obietnic

7.0 Logika bez operatora może ~> i praw Kubusia


Wstęp.

Nie da sie opisać matematycznie naturalnej logiki człowieka bez zrównania praw implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~>. Sens implikacji w obietnicach i groźbach w języku mówionym to po prostu prawo do wręczenia nagrody przy nie spełnionym warunku nagrody (implikacja prosta = akt miłości) oraz prawo do darowania dowolnej kary przy spełnionym warunku kary (implikacja odwrotna = akt łaski). Brak poszanowania równych praw implikacji prostej i odwrotnej w dzisiejszej logice to największa jej tragedia, przyczyna fałszywego sloganu logików „Logika człowieka nie istnieje”. Mam nadzieję, że ta publikacja odmieni zafałszowaną rzeczywistość we współczesnej logice.


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna.


2.0 Algebra Boole’a w pigułce

W tym punkcie zawarto absolutne fundamenty algebry Boole’a. Tylko tyle i aż tyle należy się nauczyć i przede wszystkim zrozumieć. Należy zwrócić uwagę na ideę udowadniania dowolnych zależności w logice przy pomocy równań logicznych. Wszelkie tabele zero-jedynkowe zakopujemy w głębokim dole, zasypujemy i stawiamy krzyżyk z napisem „Koniec epoki dinozaurów w logice” … co nie wyklucza ich chwilowego odkopania.


2.1 Stara definicja algebry Boole’a

Stara definicja algebry Boole’a jest ślepa bo nie uwzględnia dwóch najważniejszych operatorów logiki wszelkich istot żywych: implikacji prostej => oraz implikacji odwrotnej ~>.

Stara definicja:
Algebra Boole'a jest to struktura matematyczna złożona z trzech działań binarnych:
+ - (lub, or, alternatywa)
* - (i, and, koniunkcja)
~ - (nie, not, przeczenie logiczne)
oraz wyróżnionych elementów 0 (fałsz), 1 (prawda).


2.2 Nowa definicja algebry Boole'a

Definicja:
Algebra Boole’a to algebra legalnych operatorów matematycznych oraz wyróżnionych elementów 1 (prawda), 0 (fałsz).

Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ


Najważniejsze operatory logiczne to:
OR(+), AND(*), Implikacja prosta =>, Implikacja odwrotna ~>

Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu: AND, NAND, OR, NOR, <=>, XOR.


2.3 Fundamenty algebry Boole’a

1 = ~0
0 = ~1
Przyjmujemy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy
A=~(~A)
czyli:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest że jestem nieuczciwy

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A =1
A*~A =0


Najważniejsze prawa wynikające z definicji algebry Boole’a

A+~A=1 - tu jest gwarancja że A i ~A nie mogą być równocześnie równe 0 (fałsz)
bo byłoby:
0+0=1
Czyli:
0=1 - algebra Boole’a leży w gruzach

A*~A=0 - tu jest gwarancja że A i ~A nie mogą być równocześnie równe 1 (prawda)
bo byłoby:
1*1=0
Czyli:
1=0 - algebra Boole’a leży w gruzach

Porada praktyczna.
Najważniejsze prawa łatwo zapamiętać jeśli wyobrazimy sobie zmienne jako zera i jedynki w logice dodatniej czyli:
A=1
~A=0
Wtedy w wyobraźni zapisujemy sobie uproszczenie:
A+~A = 1+0 =1
A*~A = 1*0 =0
Zauważmy że dla dowolnej ilości zmiennych mnożenie logiczne niczym nie różni się od mnożenia algebraicznego:
Y = 1*1*1*1*0*0*1 =0 - wystarczy jedno zero aby wynik był równy 0
W algebrze dziesiętnej dla powyższego mamy identycznie Y=0

Zupełnie inaczej jest w sumie logicznej:
Y=1+1+0+1+0+1 = 1 - wystarczy jedna jedynka aby wynik był równy 1
W algebrze dziesiętnej byłoby tu Y=4, zupełnie co innego !


2.4 Logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a

A+B - wyrażenie w algebrze Boole’a
Y=A+B
Y = abstrakcyjna funkcja logiczna przypisana dowolnemu wyrażeniu w algebrze Boole’a

Definicja:
Logika dodatnia - funkcja logiczna zmiennych binarnych niezanegowana (Y)
Logika ujemna - funkcja logiczna zmiennych binarnych zanegowana (~Y)

W zdaniach twierdzących operatory AND(*) i OR(+) występują wyłącznie w logice dodatniej. W tym przypadku możemy mówić o abstrakcyjnej funkcji logicznej, niedostępnej w wypowiadanym zdaniu.

Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T

Przykład:
A.
Y = A+C(D*E) - funkcja logiczna w logice dodatniej
Domyślna kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR

Ta sama funkcja może być zapisana w logice ujemnej na dwa sposoby.
B.
Negujemy dwustronnie powyższe równanie:
~Y = ~[A+C(D*E)] - logika ujemna bo ~Y
C.
Przechodzimy do logiki ujemnej negując w równaniu A wszystkie zmienne i wymieniając operatory AND(*) na OR(+) i odwrotnie:
~Y = ~A*~C+(~D+~E) - logika ujemna bo ~Y
Domyślna kolejność wykonywania działań: nawiasy, OR, AND

Ponowny powrót do logiki dodatniej uzyskujemy na dwa sposoby.
D.
Negujemy dwustronnie równanie B otrzymując równanie A
Y=A+C(D*E) - logika dodatnia bo Y
E.
Negujemy dwustronnie równanie C
Y=~(~Y)
Y=~[~A*~C+(~D+~E)] - logika dodatnia bo Y

Równoważne przekształcenia pozwalające uniezależnić się od pamiętania o kolejności wykonywania działań w logice dodatniej i ujemnej.
A.
Y = A+C(D*E) - funkcja logiczna w logice dodatniej
Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory:
Y=A+[C*(D*E)] - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y = ~A*[~C+(~D+~E)] - logika ujemna bo ~Y

W operatorach implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> funkcja logiczna Y zawsze występuje jawnie w wypowiadanych zdaniach.


2.5 Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
A+B - wyrażenie w algebrze Boole’a
Y=A+B
Y = abstrakcyjna funkcja logiczna przypisana dowolnemu wyrażeniu w algebrze Boole’a

Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny, przejście do logiki ujemnej ~Y
~Y = ~A*~B
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej, bo Y (niezanegowane)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej, bo ~Y

Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej

W identyczny sposób dowodzi się drugie prawo de’Morgana


2.6 Logika dodatnia i ujemna człowieka

W katalogach układów cyfrowych roi się od błędów przy przechodzeniu z kodu zero-jedynkowego do równań w algebrze Boole’a.

Przykład:
A.
Y=1 <=> A=1 i B=0 i C=0

Funkcja logiczna Y (wyjście układu cyfrowego) ma być równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy A=1 i B=0 i C=0.

Przykład błędnego kodowania spotykanego w katalogach:
Y=A*B*C … no bo wszędzie występuje spójnik „i”

W naturalnej logice dodatniej człowieka (algebrze Boole’a) wszystkie sygnały sprowadzamy do logicznych jedynek i dopiero wówczas zapisujemy równanie w naturalny sposób czyli:

B.
Y=A*~B*~C - poprawne przejście do równania w algebrze Boole’a w logice dodatniej
bo:
B=0 czyli ~B=1
C=0 czyli ~C=1
Zmienne Y i A są naturalnymi jedynkami zatem tylko je przepisujemy.

Równanie A można także zakodować w równoważnej logice ujemnej człowieka, gdzie wszystkie sygnały sprowadzamy do 0 i wszędzie zapisujemy przeciwne operatory do występujących w równaniu zero-jedynkowym czyli:
A.
Y=1 <=> A=1 i B=0 i C=0
Kodujemy jako:
C.
~Y=~A+B+C
bo:
Y=1 czyli ~Y=0
A=1 czyli ~A=0
Zmienne B i C są naturalnymi zerami zatem tylko je przepisujemy

Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
stąd na podstawie równań B i C mamy:
A*~B*~C = ~(~A+B+C)

W ten sposób znów odkryliśmy genialne prawo de’Morgana.


2.7 Kwadrat logiczny AND i OR

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
Dla n=2 mamy:
r=1 <=> p=1 i q=1
W logice dodatniej człowieka mamy:
r=p*q - sprowadzenie do jedynek
To samo w logice ujemnej człowieka:
~r=~p+~q - sprowadzenie do zer i odwrócenie operatorów

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0
dla n=2 mamy:
r=0 <=> p=0 i q=0
W logice ujemnej człowieka mamy:
r=p+q - sprowadzenie zmiennych do zera i odwrócenie operatorów
W logice dodatniej człowieka mamy:
~r=~p*~q - sprowadzenie zmiennych do jedynek z zachowaniem operatorów

Z powyższego widać, że z punktu odniesienia człowieka suma logiczna OR(+) jest logiką ujemną w stosunku do iloczynu logicznego AND(*).

Matematycznie oba zapisy:
r=p*q
r=p+q
są zapisami w logice dodatniej bo funkcja logiczna r jest niezanegowana.

Kwadrat logiczny AND(*) i OR(*)

Kod:

A1:r=p*q     A2:r=p+q

C1:~r=~p+~q  C2:~r=~p*~q


W pionach mamy tu do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne, ani w poziomach, ani po przekątnych.

Doskonale widać prawa de’Morgana zachodzące w pionach:
A1-C1:
p*q = ~(~p+~q)
A2-C2:
p+q = ~(~p*~q)

Z analogicznym kwadratem logicznym będziemy mieli do czynienia w implikacji. Tragedią dzisiejszej logiki jest fakt, że w implikacji nie uznaje ona równań A2 i C1.


3.0 Implikacja

Implikacja, czyli spójnik zdaniowy „Jeśli…to…”, jest najbardziej kontrowersyjnym spójnikiem w logice człowieka. Przyczyną wszelkich kłopotów jest fundamentalnie błędne rozumienie implikacji w dzisiejszej logice.

Spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacja odwrotną albo równoważnością co zależy od treści w nim zawartej. To trzy fundamentalnie różne funkcje logiczne które muszą być matematycznie rozpoznawalne inaczej otrzymamy znany wszystkim logikom fałszywy slogan „Logika człowieka nie istnieje”.

Ogólnie implikację zapisujemy symbolicznie jako:
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
gdzie:
p - poprzednik implikacji, zawsze po „Jeśli…”
q - następnik implikacji, zawsze po „to…”


3.1 Implikacja prosta

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej.
Kod:

p q  r
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Operowanie zerami i jedynkami to średniowiecze. Przejdźmy jak najszybciej na zapis symboliczny, zgodny z logiką dodatnią człowieka (pkt.2.6). Ten historyczny krok pozwoli operować w logice językiem symbolicznym (asemblerem) zamiast kodem maszynowym (zerami i jedynkami).

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Symboliczna definicja implikacji prostej
Kod:

 p  q  r=p=>q=~p+q
 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1

Równanie opisujące implikację prostą najłatwiej uzyskać z drugiej linii tabeli::
~r = p*~q
czyli:
r = ~(p*~q) = ~p+q - prawo de’Morgana

Słowną definicję implikacji tworzymy zawsze dla p i dowolnego q. Z pierwszych dwóch linii tabeli symbolicznej widać że jeśli zajdzie p to musi zajść q, bo druga linia jest twardym fałszem.

Definicja słowna implikacji prostej:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia jest twardym fałszem, implikacja prosta leży w gruzach.
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Z ostatnich dwóch linijek definicji widać, że jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q lub q
~p=>(~q+q) - jeśli zajdzie ~p to musi => zajść q lub ~q, nie ma innych możliwości matematycznych.

Przykład implikacji prawdziwej:
Jeśli zwierzę jest psem to musi => mieć cztery łapy
P=>4L =1
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym by mieć cztery łapy

Przykład implikacji fałszywej:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma skrzydła
P=>S =0
Oczywisty fałsz, bo psy nie mają skrzydeł.

Uwaga:
Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q i zdanie nie jest równoważnością to q jest warunkiem koniecznym dla p. Wykluczenie równoważności jest tu konieczne, bowiem równoważność to z definicji pewne wynikanie w dwie strony czyli warunek wystarczający zachodzący w dwie strony. Równoważność to fundamentalnie inna funkcja logiczna o której dalej. Nic nie może być jednocześnie implikacją i równoważnością, to fizycznie niemożliwe.

Przykład równoważności:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R
K60 jest wystarczające dla R i R jest wystarczające dla K60
czyli:
K60<=>R = (K60=>R)*(R=>K60) = 1*1 = 1 - definicja równoważności


3.2 Implikacja odwrotna

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
Kod:

p q  r
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej.
Kod:

 p  q  r=p~>q=p+~q
 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0

Równanie implikacji odwrotnej otrzymujemy z ostatniej linii tabeli:
~r = ~p*q
czyli:
r = ~(~p*q) = p+~q - prawo de’Morgana

Słowną definicję implikacji odwrotnej tworzymy dla p i dowolnego q.

Z pierwszych dwóch linii tabeli widać że:

Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
LUB
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść ~q
p~>~q =1

Pierwsze dwie linie można też zapisać jako:
p=>(q+~q) - jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q lub ~q, nie ma innych możliwości matematycznych

Z powyższego wynika, że dla poprawnej definicji implikacji odwrotnej wystarczy pierwsza linia tabeli.

Słowna definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia tabeli jest twardym fałszem, definicja leży w gruzach.
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q

Jeśli p jest konieczne dla q (implikacja prosta) to w drugą stronę q jest wystarczające dla p (implikacja prosta). Nie ma innych możliwości matematycznych.

Zauważmy, że jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusza zajście ~q, trzecia linia tabeli:
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q
~p=>~q =1 - twarda prawda zachodząca zawsze
Powyższe wymusza ostatnią linię tabeli:
~p=>q =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Przykład implikacji odwrotnej prawdziwej:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Implikacja odwrotna poprawna bo cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

… a co będzie jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, trzecia linia definicji implikacji odwrotnej
LUB
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy, czwarta linia definicji

Przykład implikacji fałszywej:
Jeśli zwierzę ma skrzydła to może ~> być psem
S~>P =0
Implikacja fałszywa bo skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa


3.3 Prawa Kubusia

Definicja operatora implikacji prostej =>.
Kod:

p q p=>q = ~p+q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
Kod:

p q p~>q = p+~q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q

Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.

Wniosek z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.

Prawa Kubusia, podobnie jak prawa de’Morgana są bezinterpretacyjne, obowiązują zatem w całej algebrze Boole’a obojętnie jak byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli. Interpretacyjne są same definicje implikacji prostej (warunek wystarczający) i implikacji odwrotnej (warunek konieczny). Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+).


3.4 Operatorowa definicja implikacji prostej

Operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej pozwalają analizować zdania w naturalnej logice człowieka, algebrze Boole’a … to logika człowieka wyssana z mlekiem matki, którą doskonale posługują się wszystkie dzieci w przedszkolu.

Symboliczna definicja implikacji prostej
Kod:

 p  q  r=p=>q=~p+q
 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1


Pierwsze dwie linie tabeli symbolicznej to definicja implikacji prostej:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
A: p=>q =1 - twarda prawda zachodząca zawsze bez wyjątków
LUB
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
B: p=>~q =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Ostatnie dwie linie operatorowej definicji implikacji prostej wynikają z prawa Kubusia, obowiązującego zawsze i wszędzie, bez żadnych wyjątków
C: p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia dla linii A
D: p=>~q = ~p~>q - prawo Kubusia dla linii B
czyli:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
C: ~p~>~q =1
LUB
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
D: ~p~>q =1

Pozorna kolizja w bezwzględnych zerach i jedynkach w liniach B i D wynika z przejścia na zupełnie inny operator implikacji odwrotnej ~> i będzie wyjaśniona w dalszej części.

Jak widzimy, definicja implikacji prostej (A i B) związana jest żelaznym uściskiem z definicją implikacji odwrotnej (C i D) na mocy prawa Kubusia. Nie ma definicji implikacji prostej bez definicji implikacji odwrotnej i odwrotnie.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
A: P=>4L =1 bo pies - twarda prawda
Implikacja prawdziwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy
LUB
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
B: P=>~4L =0 - twardy fałsz, wobec powyższej twardej prawdy

… a jeśli zwierzę nie jest psem ?

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~>~4L - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
czyli:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
C: ~P~>~4L =1 bo kura, mrówka …
LUB
D: Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć cztery łapy
~P~>4L =1 bo koń, słoń …

Jak widać, implikacja prosta w liniach A i B przechodzi na mocy praw Kubusia w implikację odwrotną w liniach C i D.


3.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej.
Kod:

 p  q  r=p~>q=p+~q
 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0


Dwie pierwsze linie tabeli to definicja implikacji odwrotnej.

Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
A: p~>q =1
Oczywiście p musi być warunkiem koniecznym dla q
LUB
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść ~q
B: p~>~q =1

Kolejna dwie linie w definicji implikacji odwrotnej wynikają z prawa Kubusia.
C: p~>q = ~p=>~q - dla linii A
D: p~>~q = ~p=>q - dla linii B
czyli:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda
LUB
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
D: ~p=>q =0 - twardy fałsz wobec twardej prawdy wyżej

Jak widać, tu również mamy pozorną niezgodność wynikowych zer i jedynek w liniach B i D wynikłą z przejścia na zupełnie inny operator co zostanie wyjaśnione za chwilę.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
A: 4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
B: 4L~>~P =1 bo koń, słoń …

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
C: ~4L=>~P =1 - twarda prawda
LUB
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
D: ~4L=>P =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda

Jak widać implikacja odwrotna w liniach A i B tabeli przechodzi na mocy prawa Kubusia w implikację prostą w liniach C i D.


3.6 Definicje spójników „musi” => i „może” ~>

Zauważmy fenomenalną analogię spójników „musi” do AND i „może” do OR.

AND
Iloczyn logiczny jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki iloczynu są równe 1, fałszywy gdy istnieje przynajmniej jeden element o wartości 0.

Definicja spójnika „musi” =>:
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli dla każdego elementu spełniającego warunek p zajdzie warunek q
Zdanie jest fałszywe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i nie spełniający warunku q.

OR
Suma logiczna jest prawdziwa gdy istnieje przynajmniej jeden element prawdziwy, fałszywa gdy wszystkie składniki sumy maja wartość 0.

Definicja spójnika „może” ~>:
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i warunek q
Zdanie jest fałszywe gdy nie istnieje element spełniający warunek p i warunek q

Jak widać „może” i „musi” są w 100% zgodne z naturalną logiką człowieka.

Możliwe są trzy znaczenia symbolu =>

1.
Zdanie fałszywe
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 3
P5=>P3 =0 - fałsz
2.
Zdanie prawdziwe, implikacja fałszywa
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R =1
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „musi” =>
Implikacja fałszywa, bo to jest ewidentna równoważność
3.
Zdanie prawdziwe, implikacja prawdziwa
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
P8 jest wystarczające dla P2

Możliwe są trzy znaczenia symbolu ~>

1.
Zdanie fałszywe
Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P =0 - fałsz
2.
Zdanie prawdziwe, implikacja fałszywa
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 bo 15
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „może” ~>
Implikacja fałszywa bo P3 nie jest konieczne dla P5 (P5 nie jest wystarczające dla P3).
3.
Zdanie prawdziwe, implikacja prawdziwa
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
Cztery łapy są konieczne aby być psem


Zapis matematyczny musi być jednoznaczny.

Rozstrzygnięcie zdanie prawdziwe/fałszywe to oczywiście algebra Boole’a.
Dodatkowe rozstrzygnięcie implikacja prawdziwa/fałszywa pozornie wykracza poza tą algebrę.

Rozwiązanie problemu jest proste.

Implikacja prosta

Tu zdanie prawdziwe może być wyłącznie implikacją prostą albo równoważnością. Nie ma innych możliwości matematycznych. Musimy zatem obowiązkowo rozstrzygnąć czy badane zdanie jest równoważnością. Jeśli jest to kodujemy zdanie przy pomocy symbolu równoważności i po bólu - dalej jesteśmy w algebrze Boole’a.

Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

W pierwszym przybliżeniu możemy zapisać jak wyżej, lecz nie możemy takiego zapisu zostawić bo matematyka nie będzie jednoznaczna.

Jedyne poprawne matematycznie kodowanie powyższego zdania to:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R

Oczywiście, użyty spójnik „Jeśli…to…” można uznać za poprawny bo nie powoduje on iż ewidentna równoważność stanie się nagle implikacją, to fizycznie niemożliwe.


Implikacja odwrotna

W implikacji odwrotnej jeśli zdanie jest prawdziwe to implikacja może być prawdziwa. Implikacja jest prawdziwa jeśli między p i q zachodzi warunek konieczny.

Przykłady implikacji odwrotnych fałszywych

Przykład 1
Jeśli zwierzę jest psem to może mieć cztery łapy
P~>4L
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „może”. Implikacja odwrotna fałszywa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy (implikacja prosta).
Dodatkowo można się tu wspomóc prawem Kubusia:
P~>4L = ~P=>~4L
Prawa strona to oczywisty fałsz, zatem wypowiedziana implikacja odwrotna jest fałszywa.

Przykład 2
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 bo 15
Zdanie prawdziwe, ale implikacja odwrotna jest fałszywa bo P3 nie jest konieczne dla P5


Podsumowanie:

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Badanie prawdziwości/fałszywości zdania jest dobre w równoważności (twierdzeniach matematycznych). Spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną lub równoważnością, co zależy od treści zawartej w spójniku.

Jeśli w zdaniu „Jeśli…to..” spełniony jest warunek wystarczający to zdanie może być implikacją prostą albo równoważnością (warunek wystarczający w dwie strony). Nie ma innych możliwości matematycznych.

Jeśli w zdaniu „Jeśli…to…” spełniony jest warunek konieczny między p i q to zdanie jest na pewno implikację odwrotną. Nie ma innych możliwości matematycznych. W implikacji odwrotnej zdanie może być prawdziwe zaś implikacja odwrotna fałszywa.

W implikacji interesują nas gwarancje matematyczne. Prawdziwość/fałszywość zdania jest tu nieistotna. Oczywiście jeśli implikacja jest prawdziwa to zdanie „Jeśli…to…” również jest prawdziwe.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

... a jak nie ubrudzę ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L

Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
~B=>~L - matematyczna gwarancja w implikacji odwrotnej ~>

To jest naturalna logika człowieka, algebra Boole'a.


3.7 Najciekawszy problem w całej algebrze Boole'a

Definicje:
Twardy fałsz - zachodzi zawsze bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - zachodzi zawsze bez żadnych wyjątków
Miękka prawda - może być prawda, ale nie musi
Miękki fałsz - może być fałsz, ale nie musi

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies, miękka prawda
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń, miękka prawda
Prawo Kubusia dla zdania A.
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda
Z powyższej twardej prawdy wynika poniższy twardy fałsz:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P =0 - twardy fałsz

… a gdzie jest miękki fałsz ?
Algebra Boole’a jest symetryczna i musi gdzieś być !

… i teraz najciekawszy problem w całej algebrze Boole’a.

Prawo Kubusia dla zdania B:
4L~>~P = ~4L=>P
Zauważmy, że prawa strona jest twardym fałszem - zdanie D.

Lewa strona równania jest miękką prawdą (zdanie B) czyli:
4L~>~P =1 miękka prawda dla konia, słonia, kota, jeża ….
ale !
4L~>~P =0 dla psa ! - miękki fałsz

Tak wiec dla psa mamy spełnione równanie Kubusia:
4L~>~P=~4L=>P =0 !


Zauważmy, że w podstawowym prawie Kubusia dla zdania A:
4L~>P = ~4L=>~P =1
również mamy z lewej strony miękką prawdę (czyli nie zachodzi zawsze), zaś z prawej strony twardą prawdę (zachodzi zawsze). Tu zajdzie kolizja dla dowolnego czworonoga nie będącego psem bo:

Miękka prawda i miękki fałsz dla zdania A wygląda tak:
4L~>P =1 bo pies, miękka prawda
ale !
4L~>P =0 miękki fałsz dla konia, słonia, kota, jeża …

To co wyżej to logika czterowartościowa, zamknięta w 100% algebrze Boole’a (logice dwuwartościowej). Jest to możliwe wyłącznie dzięki krzyżowemu połączeniu definicji implikacji prostej i odwrotnej (jedna bez drugiej nie istnieje). Identycznie jest w mikroprocesorach. Sam procesor to 100% algebra Boole’a zarówno w sprzęcie jak i oprogramowaniu, nic więcej. Z punktu odniesienia człowieka mamy logikę n-wartościową np. języki wysokiego poziomu. Bez algebry Boole’a totalnie nic by nie działało, nasz Wszechświat nie mógłby istnieć.

Logika czterowartościowa istniejąca w nowej definicji algebry Boole’a opisana jest implikacją.

1 - twarda prawda
2 - twardy fałsz
3 - miękka prawda
4 - miękki fałsz

volrath napisał:
Moim zdaniem "miękki fałsz" jest równoważny "miękkiej prawdzie" - bo ich znaczenie jest takie samo.
Miękki fałsz - może być nieprawda, ale nie musi
Miękka prawda - może być prawda, ale nie musi

A więc i miękki fałsz i miękka prawda mówią to samo - może być cokolwiek (prawda lub fałsz).

Myślę że w ślepej algebrze Boole’a (stara definicja) to masz rację bo:

p=>(q+~q) - pewne wynikanie w implikacji odwrotnej
czyli:
p=>[~q+~(~q)]=(~q+q)

ale w nowej algebrze Boole’a operującej na operatorach implikacji już nie:
p=>(q+~q)
czyli:
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~>~q

Zdanie A jest implikacją odwrotną (warunek konieczny spełniony) ale zdanie B już NIE !

Zrobienie tego samego manewru co w ślepej algebrze Boole’a spowoduje zamianę zdań A i B, a to jest nie to samo.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
4L są warunkiem koniecznym, aby być psem
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń, kot, koń ...
4L nie sa warunkiem koniecznym dla ~P bo pies
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P
czyli implikacja odwrotna fałszywa

Zdanie A jest implikacja odwrotną zaś zdanie B nie jest. To są dwa różne zdania i nie można ich zamieniać.

Zauważmy:
4L~>~P =1 - zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „może” (bo słoń)
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P
… ale implikacja fałszywa.

To samo co wyżej w inny sposób:
4L~>~P =1 bo słoń … - zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika „może”
Jeśli implikacja odwrotna jest prawdziwa to po zamianie p i q musi przejść w prawdziwą implikację prostą czyli:
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno ma cztery łapy
~P=>4L =0 bo kura
czyli:
4L~>~P - implikacja odwrotna fałszywa

Wnioski:
1.
Jeśli zdanie jest prawdziwe na mocy spójnika „może” to prawo Kubusia może być narzędziem pomocniczym do rozstrzygnięcia czy implikacja odwrotna jest prawdziwa/fałszywa.
2.
Jeśli zdanie jest prawdziwe na mocy spójnika „może” i jest implikacją odwrotną to po zamianie p i q musi przejść w implikację prostą.

Inny przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 bo 15 - zdanie prawdziwe
Prawo Kubusia:
P3~>P5 = ~P3=>~P5
Czyli:
1.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 3 to na pewno nie jest podzielna przez 5
~P3=>~P5
Implikacja odwrotna fałszywa bo 5 !
2.
Zdanie wypowiedziane po zamianie p i q
P5=>P3 =0 bo 5
Fałszywa zarówno implikacja P5=>P3 jak i P3~>P5


3.8 Kwadrat logiczny implikacji

W naturalnym języku mówionym po „Jeśli …” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy na następnik q niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta, implikacja odwrotna czy też równoważność (częsta w matematyce).

Kwadrat logiczny to po prostu operatorowa definicja implikacji prostej p=>q z lewej strony, oraz operatorowa definicja implikacji odwrotnej p~>q z prawej strony. Prawe strony równań uzyskano korzystając z definicji implikacji prostej i odwrotnej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
W.Wystarczający             W.Konieczny
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
W.Konieczny                 W.Wystarczający
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

W pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. Doskonale widać prawa Kubusia zachodzące w pionach. Identyczność prawych stron jest równoznaczna z identycznością odpowiednich tabel zero-jedynkowych.

O tym czy mamy do czynienia z implikacją prostą p=>q, implikacją odwrotną p~>q, czy też równoważnością p<=>q decyduje zawartość spójnika „Jeśli…to…”

Zauważmy, że w przypadku równoważności będziemy mieli do czynienia z pewnym wynikaniem prostym w liniach A1 i C1 czyli:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1 =1 - na podstawie definicji równoważności
Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R = (K60=>R)*(~K60=>~R) = 1*1 =1 - twarda prawda w obu przypadkach = równoważność

Implikacja jest implikacją odwrotną jeśli w linii A2 zachodzi warunek konieczności.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa.

Ogólnie, jeśli wykluczymy równoważność to w przedstawionym kwadracie logiki wystarczy udowodnić że zachodzi dowolny z warunków wystarczających (A1,C2) lub koniecznych (A2,C1) aby mieć pewność poprawności wszystkich implikacji w kwadracie logicznym.


3.9 Równoważność

W przypadku równoważności implikacja odwrotna ~> nie ma prawa wystąpić. Zawsze mamy do czynienia wyłącznie z implikacją prostą =>.

Kwadrat logiczny równoważności.
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p

Z kwadratu logicznego równoważności wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.

Najpopularniejsze definicje równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R

K60<=>R = (K60=>R)*(R=>K60) =1*1=1
K60<=>R = (K60=>R)*(~K60=>~R)=1*1=1

Wyprowadźmy zero-jedynkową definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
~p*p=q*~q=0 - prawo algebry Boole’a

Stąd mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

p q  p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


3.10 Prawa kontrapozycji

Kwadrat logiczny równoważności.
Kod:

A1: p=>q     A2: q=>p

C1: ~p=>~q   C2: ~q=>~p


Znane człowiekowi prawa kontrapozycji są poprawne w przypadku twierdzeń matematycznych bo tu mamy do czynienia z równoważnością. W równoważności dla powyższej tabeli zachodzą bezdyskusyjne tożsamości we wszelkich możliwych połączeniach: w pionach, w poziomach i po przekątnych (prawa kontrapozycji).

Prawa kontrapozycji poprawne dla równoważności:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q

Prawa kontrapozycji to fundamentalnie co innego niż prawa Kubusia. Prawa kontrapozycji dotyczą równoważności, zaś prawa Kubusia dotyczą implikacji. Jeśli cokolwiek jest implikacją to nie może być równoważnością i odwrotnie, tak wiec prawa kontrapozycji i prawa Kubusia działają w kompletnie różnych układach logicznych.


4.0 Implikacja w bramkach logicznych

Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych, implikacja nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Pierwotna bramka implikacji wynikająca z definicji wygląda jak niżej:
Kod:

       ------
p ---O|     |
      | OR  |------- r
q ----|     |
       ------


Do wejścia dochodzą dwa sygnały p i q zaś wyjście to r. Negacji wbudowanej w układ implikacji (kółka) oczywiście nie widzimy.

Jak stwierdzić co zawiera badany układ scalony ?

Ustalamy sygnały jak wyżej i wpuszczamy wszystkie możliwe kombinacje zer i jedynek na wejściach p i q.

Kod:
p q  r
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Oczywiście realizowana funkcja logiczna jest taka:
r = ~p+q

Oczywiście to z tabeli zero-jedynkowej wynika że:
r = p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Czyli p musi być warunkiem wystarczającym dla q
… bo druga linia jest twardym fałszem.

Wniosek:
W implikacji prostej podstawa wektora => wskazuje kółko na wejściu bramki zaś strzałka wskazuje linię wejściową bez kółka.

Zamieniamy teraz p i q na wejściu układu i postępujemy identycznie. Pamiętajmy, że dalej nie widzimy negacji (kółka) wbudowanej w układ scalony.
Kod:

       ------
q ---O|     |
      | OR  |------- s
p ----|     |
       ------


Tabela prawdy dla układu wyżej:
Kod:
p q  s
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Oczywiście:
s = p+~q

Odczytujemy tabelę.

s = p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
LUB
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q

Wynika to z pierwszych dwóch linijek tabeli, druga linia wynika z pierwszej i jest zbędna czyli:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q inaczej pierwsza linia tabeli jest twardym fałszem.

Trzecia linia tabeli wynika z pierwszej, bo jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q. Stąd mamy prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Ostatnia linia musi być twardym fałszem bo linia wyżej jest twardą prawdą

Z powyższego wynika że:
p=>q = ~p+q # p~>q = p+~q


4.1 Wykresy czasowe implikacji prostej i odwrotnej

Na implikację należy patrzeć ze stałego punktu odniesienia, poprzednika implikacji. Oznacza to, że nie wolno zamieniać poprzednika z następnikiem. Zamiana poprzednika z następnikiem w implikacji jest czysto matematycznym błędem co można udowodnić na 1000 sposobów.


Definicje:

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q = ~p+q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Słowna definicja implikacji prostej wynika z pierwszych dwóch linijek tabeli.
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
bo druga linia tabeli jest twardym fałszem
Wynika z tego, że p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej druga linia nie będzie twardym fałszem, definicja leży w gruzach.
Gdzie:
=> - matematyczny operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć cztery łapy
P=>4L =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym dla czterech łap

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:
p q p~>q = p+~q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Słowna definicja implikacji prostej wynika z pierwszych dwóch linijek tabeli.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
LUB
p~>~q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q

Druga linia wynika z pierwszej, zatem jest zbędna w słownej definicji.
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia jest twardym fałszem, definicja leży w gruzach.
Gdzie:
~> - matematyczny operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1
Cztery łapy są warunkiem koniecznym aby być psem

Przykład:
Jeśli zwierzę ma skrzydła to „może” ~> być psem
S~>P =0
Twardy fałsz, bo skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa, definicja leży w gruzach. To nie jest implikacja odwrotna.


Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

       ------
p ---O|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
q ----|     |
       ------

p=>q
Jeśli p to na pewno zajdzie q

W implikacji prostej podstawa wektora przywiązana jest do kółka, zaś strzałka wskazuje linię niezanegowaną.

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:
Kod:

       ------
p ----|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
q ---O|     |
       ------

p~>q
Jeśli p to może zajść q

W implikacji odwrotnej podstawa wektora przywiązana jest do linii niezanegowanej, zaś strzałka wskazuje kółko.

Na mocy powyższego oczywistym jest że:
p=>q # p~>q

Definicje:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany bramki implikacji prostej na bramkę implikacji odwrotnej
Dowód:
p=>q = ~p+q
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q
Prawe strony są równe zatem prawo Kubusia zachodzi.
p=>q = ~(~p)=>~(~q) = ~p~>~q - przekształcenie wykorzystane w poniższych wykresach czasowych

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany bramki implikacji odwrotnej na bramkę implikacji prostej
Dowód:
p~>q = p+~q
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q
Prawe strony są równe zatem prawo Kubusia zachodzi.
p~>q = ~(~p)~>~(~q) = ~p=>~q - przekształcenie wykorzystane w poniższych wykresach czasowych


Pierwszy z powyższych dowodów pokazany na bramkach logicznych.

p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikacje odwrotną

Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

       ------
p ---O|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
q ----|     |
       ------

Po wprowadzeniu dwóch negacji w linie wejściowe układ nie ulegnie zmianie.
Kod:

        ------
~p --OO|     |
       | OR  |-------
~q ---O|     |
        ------

Na powyższym rysunku jedną negacje wprowadzono do nazwy sygnału, zaś drugą narysowano w postaci kółka. Po redukcji kółek mamy.
A=~(~A)
Kod:

       ------
~p ---|     |
      | OR  |------- ~p~>~q = ~p+q
~q --O|     |
       ------

Ostatnia bramka przeszła w bramkę implikacji odwrotnej zgodnie z definicją tej bramki. Poprzednik wskazuje linię niezanegowaną, zaś następnik wskazuje kółko.


Drugi z powyższych dowodów pokazany na bramkach logicznych.

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:
Kod:

       ------
p ----|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
q ---O|     |
       ------

Po wprowadzeniu dwóch negacji w linie wejściowe układ nie ulegnie zmianie.
Kod:

        ------
~p ---O|     |
       | OR  |-------
~q --OO|     |
        ------

Na powyższym rysunku jedną negacje wprowadzono do nazwy sygnału, zaś drugą narysowano w postaci kółka. Po redukcji kółek mamy.
A=~(~A)
Kod:

       ------
~p --O|     |
      | OR  |------- ~p=>~q = p+~q
~q ---|     |
       ------

Ostatnia bramka przeszła w bramkę implikacji prostej zgodnie z definicją tej bramki. Poprzednik wskazuje kółko, zaś następnik wskazuje linię nie zanegowaną.


Wykresy czasowe implikacji

W technice cyfrowej w opisywaniu układów średniej skali integracji bezkonkurencyjne są wykresy czasowe pokazujące wizualnie działanie układu.

Implikacja to nie jest prymitywna bramka, dlatego sięgniemy tu po wykresy czasowe opisujące tabele prawdy operatorowych definicji implikacji prostej i odwrotnej.

W poniższych definicjach:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Operatorowa definicja implikacji prostej:
1 1 =1 - implikacja prosta, nowe zdanie
p=>q =1
1 0 =0 - na podstawie definicji implikacji prostej
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1 1 =1 - implikacja odwrotna, nowe zdanie
~p~>~q =1
1 0 =1 - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
~p~>q =1

Niezgodność bezwzględnych zer i jedynek w liniach 2 i 4 wynika z przejścia na zupełnie inny operator. To co wyżej to najprostsze wyjaśnienie niezgodności w 2 i 4, matematycznie na bramkach logicznych i wykresie czasowym jest niżej.

Wykres czasowy implikacji prostej:
Kod:

      1          1          1          1
p ==========|==========|~p========|==========|

   ---


      1          0          1          0
q ==========|          |~q========|          |==
            |          |          |          |
   ---      |==========|          |==========|


p=>q  1          0          1          1
  ==========|          |==========|==========|
            |          |
            |==========|
  p=>q=1      p=>~q=0    ~p~>~q=1   ~p~>q=1
 gwarancja


Bramki logiczne dla powyższego wykresu czasowego

A.
Część wykresu podlegająca pod definicję bramki implikacji prostej.

Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

       ------
p ---O|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
q ----|     |
       ------

Tabela prawdy:
Kod:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0

Czyli:
p=>q =1
p=>~q=0

B.
Część wykresu podlegająca pod definicję bramki odwrotnej.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Bramka implikacji odwrotnej dla operatora implikacji odwrotnej, wynikającego z prawa Kubusia.
Kod:

       ------
~p ---|     |
      | OR  |------- ~p~>~q = ~p+q
~q --O|     |
       ------

Tabela prawdy:
Kod:
~p ~q ~p~>~q
 1  1  =1
 1  0  =1

Czyli:
~p~>~q =1
~p~>q =1


Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
1 1 =1 - implikacja odwrotna, nowe zdanie
p~>q =1
1 0 =1 - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
1 1 =1 - implikacja prosta, nowe zdanie
~p=>~q =1
1 0 =0 - na podstawie definicji implikacji prostej
~p=>q =0

Niezgodność bezwzględnych zer i jedynek w liniach 2 i 4 wynika z przejścia na zupełnie inny operator. To co wyżej to najprostsze wyjaśnienie niezgodności w 2 i 4, matematycznie na bramkach logicznych i wykresie czasowym jest niżej.

Wykres czasowy implikacji odwrotnej:
Kod:

      1          1          1          1
p ==========|==========|~p========|==========|

   ---


      1          0          1          0
q ==========|          |~q========|          |==
            |          |          |          |
   ---      |==========|          |==========|


p~>q  1          1          1          0
  ==========|==========|==========|          |===
            |          |          |          |
                                  |==========|
   p~>q=1     p~>~q=1    ~p=>~q=1   ~p=>q=0
                         gwarancja



Bramki logiczne dla powyższego wykresu czasowego

A.
Część wykresu podlegająca pod definicję bramki implikacji odwrotnej.

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:
Kod:

       ------
p ----|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
q ---O|     |
       ------

Tabela prawdy:
Kod:
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1

czyli:
p~>q =1
p~>~q =1

B.
Część wykresu podlegająca pod definicję bramki prostej.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Bramka implikacji prostej wynikająca z prawa Kubusia.
Kod:

       ------
~p --O|     |
      | OR  |------- ~p=>~q = p+~q
~q ---|     |
       ------

Tabela prawdy:
Kod:
~p ~q ~p=>~q
 1  1  =1
 1  0  =0

Czyli:
~p=>~q =1
~p=>q =0

Na wykresach czasowych obu implikacji doskonale widać że:
p=>q # p~>q


4.2 Wykres czasowy równoważności

Definicja zero-jedynkowa równoważności:
Kod:

p q  p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0


Symboliczna definicja równoważności.
Kod:

 p  q  p<=>q=p*q+~p*~q
 1  1 =1
 p  q =1
 1  0 =0
 p ~q =0

p*q=~p*~q
 1  1 =1
~p ~q =1
 1  0 =0
~p  q =0


W równoważności zachodzi:
p*q = ~p*~q

Bramka logiczna równoważności:
Kod:

       -------
 p ---|      |
      | AND  |-------|
 q ---|      |       |        |-------
       -------       |--------|      |
                              |  OR  |----- p<=>q=p*q+~p*~q
       -------       |--------|      |
~p ---|      |       |        |-------
      | AND  |-------|
~q ---|      |
       -------


Wykres czasowy równoważności:
Kod:

      1          1          1          1
p ==========|==========|~p========|==========|

   ---


      1          0          1          0
q ==========|          |~q========|          |==
            |          |          |          |
   ---      |==========|          |==========|


p<=>q 1          0          1          0
  ==========|          |==========|          |==
            |          |          |          |
            |==========|          |==========|
   p*q=1       p*~q=0    ~p*~q=1    ~p*q=0

Tabela prawdy dla p*q:
Kod:

p q p<=>q
1 1  =1
1 0  =0

czyli:
p*q=1
p*~q=0

Tabela prawdy dla ~p*~q:
Kod:

~p ~q p<=>q
 1  1  =1
 1  0  =0

czyli:
~p*~q=1
~p*~(~q)=~p*q=0


5.0 Obietnice

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Przykład:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz

… a jeśli nie będę grzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~>~C
Jeśli nie będziesz grzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
LUB
Jeśli nie będziesz grzeczny to możesz ~> dostać czekoladę
~G~>C

Uwaga:
W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” jest pomijany gdyż osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności gdyż wszystko co żyje musi odróżniać nagrodę od kary, to warunek przetrwania.


5.1 Rodzaje obietnic

Możemy wyróżnić trzy rodzaje obietnic.

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to muszę dostać komputer, jeśli nie zdam to mogę dostać z dowolnym uzasadnieniem niezależnym np. bo cię kocham.

2.
Obietnica z wykonalnością odroczoną w czasie

Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
P=>G
Implikacja jest ważna do chwili egzaminu który może być za dowolny okres czasu. Oczywiście jeśli ktoś przyjdzie w jakimkolwiek innym dniu byle przed egzaminem to też może dostać gotowca, to tylko i wyłącznie wolna wola nadawcy. Po egzaminie powyższa implikacja traci swoją ważność i sens.

3.
Obietnica z wykonalnością nieograniczoną w czasie

Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
M=>S
Ta implikacja działa do chwili wygrania miliona w TOTKA, wtedy musimy kupić samochód. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest jednak minimalne. Oczywiście w dowolnym momencie możemy podarować samochód pod byle pretekstem, zajdzie wtedy implikacja.


6.0 Groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.


Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> nie dostać lania
B ~> ~L =1 (implikacja)

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
C: ~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
LUB
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lania
D: ~B => L =0 - twardy fałsz


6.1 Twarda forma gróźb i obietnic

Człowiek wypowiada czasami obietnicę lub groźbę w postaci równoważności:

Dostaniesz komputer tylko wtedy gdy zdasz jutro ten egzamin
E=>K - poprawne kodowanie
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K - gwarancja wynikająca z definicji implikacji prostej

Jeśli nie posprzątasz pokoju to na 100% dostaniesz lanie
~P~>L - poprawne kodowanie
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
~P~>L = P=>~L
Jeśli posprzątasz pokój to na pewno => nie dostaniesz lania
P=>~L

To co wyżej to obietnica i groźba wypowiedziana w ostrej formie, dająca do zrozumienia że istnieje bardzo małe prawdopodobieństwo zajścia implikacji, nic więcej. Oczywiście wszelkie obietnice kodujemy w postaci implikacji prostej, zaś groźby w postaci implikacji odwrotnej inaczej wolna wola nadawcy leży w gruzach. Zauważmy, że w implikacji nadawca może potraktować wypowiadaną obietnicę lub groźbę jako równoważność i może swój zamiar podtrzymać bezwzględnie egzekwując równoważność. Ma jednak prawo do zmiany swojego stanowiska w ostatniej chwili na korzyść odbiorcy (akt łaski w groźbie i akt miłości w obietnicy) … dlatego obietnice i groźby to implikacje, nigdy równoważności.


7.0 Logika bez operatora może ~> i praw Kubusia

Implikacja prosta i operator musi => znany jest w dzisiejszej logice. Kompletnie nieznany jest operator może ~> i prawa Kubusia.

A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

Dowolna dzisiejsza logika koduje powyższe zdanie (jeśli w ogóle koduje) jako:
B.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P

Teoretycznie dobrze bo prawo Kubusia jest takie:
4L~>P = ~4L=>~P
… tylko dlaczego nie zapisywać zdania A operatorem „może” ~> zgodnym z językiem mówionym ?
Zdanie B to gwarancja dla zdania A - kto o tym wie ?
Na mocy praw Kubusia implikacji odwrotnych jest dokładnie tyle samo co implikacji prostych z czego wynika, że dokładnie połowa prawdziwych implikacji w języku mówionym jest nierozpoznawalna przez dzisiejszą matematykę.

Prawdziwa tragedia dzisiejszej logiki to obsługa dowolnej groźby, z definicji będącej implikacją odwrotną. Kto zna poprawną gwarancję matematyczną w groźbie ? Dzieci w przedszkolu doskonale o niej wiedzą … natomiast matematycy nie mają o niej zielonego pojęcia.

Polecana literatura uzupełniająca:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Logika człowieka

2008-12-27 Koniec
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 16:20, 01 Lut 2009    Temat postu:

2009-02-01 zmiana kompletna pkt.3.0

Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).


Nieznane fundamenty algebry Boole’a

Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


Ciąg dalszy:
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Stara definicja algebry Boole’a
1.2 Nowa definicja algebry Boole'a

2.0 Fundamenty algebry Boole’a
2.1 Definicja iloczynu logicznego
2.2 Definicja sumy logicznej
2.3 Definicja negacji
2.4 Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji AND i OR
2.5 Logika dodatnia i ujemna
2.6 Prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
2.7 Prawo de'Morgana dla sumy logicznej

3.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a
3.1 Odwzorowanie kartezjańskie
3.2 Bramka iloczynu logicznego
3.3 Bramka sumy logicznej
3.4 Bramka implikacji prostej
3.5 Bramka implikacji odwrotnej
3.6 Symboliczna definicja implikacji prostej
3.7 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej

4.0 Prawa Kubusia, logika dodatnia i ujemna w implikacji
4.1 Tabela Kubusia dla implikacji prostej
4.2 Tabela Kubusia dla implikacji odwrotnej

5.0 Kwadrat logiczny implikacji
5.1 Istota implikacji

6.0 Aktualny stan logiki
6.1 Fałszywość praw kontrapozycji w implikacji



Wstęp

Algebra Boole’a jest nieprawdopodobnie prosta po zaakceptowaniu poprawnie rozumianej logiki dodatniej i ujemnej. W zdaniach twierdzących w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy mówimy prawdę zaś w logice ujemnej kiedy skłamiemy.

Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia bo Y niezanegowane
Dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina i do teatru

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i odwrócenie operatorów
~Y = ~K+~T - logika ujemna bo Y zanegowane
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru

W implikacji w logice dodatniej mamy odpowiedź na pytanie co będzie jeśli warunek p zostanie spełniony, zaś w logice ujemnej co się stanie jeśli warunek p nie zostanie spełniony.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna ~> bo groźba, logika dodatnia bo wyjście L niezanegowane

… a jak nie ubrudzę spodni ?

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
~B=>~L - implikacja prosta => bo obietnica, logika ujemna bo wyjście L zanegowane

To wszystko. Problem algebry Boole’a w naturalnym języku mówionym sprowadzony został do poziomu przedszkolaka. Algebra Boole’a to logika człowieka wyssana z mlekiem matki.

Najważniejsze prawa algebry Boole’a:

Prawa De’Morgana - operatory AND i OR:
A*B = ~(~A+~B) - zamiana AND na OR
A+B = ~(~A*~B) - zamiana OR na AND

Prawa Kubusia - operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~>:
p=>q = ~p~>~q - zamiana implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - zamiana implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Prawa kontrapozycji - równoważność <=>:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q
W równoważności powyższe prawa są równoważne bo tu jest obojętne co nazwiemy p a co q.



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna.


1.1 Stara definicja algebry Boole’a

Stara definicja algebry Boole’a jest ślepa bo nie uwzględnia dwóch najważniejszych operatorów logiki wszelkich istot żywych: implikacji prostej => oraz implikacji odwrotnej ~>.

Stara definicja:
Algebra Boole'a jest to struktura matematyczna złożona z trzech działań binarnych:
+ - (lub, or, alternatywa)
* - (i, and, koniunkcja)
~ - (nie, not, przeczenie logiczne)
oraz wyróżnionych elementów 0 (fałsz), 1 (prawda).


1.2 Nowa definicja algebry Boole'a

Definicja:
Algebra Boole’a to algebra legalnych operatorów matematycznych oraz wyróżnionych elementów 1 (prawda), 0 (fałsz).

Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ


Najważniejsze operatory logiczne to:
OR(+), AND(*), Implikacja prosta =>, Implikacja odwrotna ~>

Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu: AND, NAND, OR, NOR, <=>, XOR.


2.0 Fundamenty algebry Boole’a

Fundamentem algebry Boole’a są definicje iloczynu i sumy logicznej oraz definicja negacji plus definicje implikacji. DNA wszelkich komputerów to zaledwie suma logiczna albo iloczyn logiczny plus definicja negacji. Dysponując zaledwie dwuwejściową bramką OR (suma logiczna) oraz negatorem realizującym negację można zbudować każdy komputer.


2.1 Definicja iloczynu logicznego

Iloczyn logiczny n zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa jeden.
Y = 1*1*1*1...*1 = 1

albo definicja równoważna.

Iloczyn logiczny n zmiennych binarnych równy jest zeru gdy którakolwiek ze zmiennych równa jest zero
Y = 1*0*1*1....*1 = 0

Używanie zer i jedynek w definicjach to średniowiecze, to pisanie programu komputerowego w kodzie maszynowym. Po wynalezieniu komputera człowiek błyskawicznie zorientował się, że pisanie programu w kodzie maszynowym to horror i natychmiast wynalazł język symboliczny. Fundamentalnym językiem symbolicznym każdego mikroprocesora jest język asemblera.

Zapis definicji iloczynu logicznego w postaci symbolicznej
Y = A1*A2*A3 ... *An
gdzie:
* - symbol iloczynu logicznego w algebrze Boole’a (spójnik „i” w języku mówionym ang. AND)
A1,A2..An - zmienne binarne wejściowe, mogące przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
Y - funkcja logiczna np. wartość zdania

Jak widać mnożenie logiczne niczym nie różni się od mnożenia algebraicznego.


2.2 Definicja sumy logicznej

Suma logiczna n zmiennych binarnych równa jest zeru wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych równa jest zero
Y = 0+0+0+0....+0 = 0

albo definicja równoważna

Suma logiczna n zmiennych binarnych równa jest jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.

Y = 0+1+0+0 ... +0 = 1 - wystarczy że jedna zmienna jest równa jeden
Y = 1+1+1+1 ....+1 = 1 - mogą być nawet wszystkie zmienne równe jeden

Zapis definicji sumy logicznej w postaci symbolicznej
Y = A1+A2+A3 ... +An
gdzie:
+ - symbol sumy logicznej w algebrze Boole’a (spójnik „lub” a języku mówionym ang. OR)
A1,A2..An - zmienne binarne wejściowe, mogące przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
Y - binarna zmienna wyjściowa np. wartość zdania

Jak widać suma logiczna różni się od sumy algebraicznej. Wystarczy, że którakolwiek ze zmiennych wejściowych równa jest jeden i już całe wyrażenie przyjmuje wartość 1.


2.3 Definicja negacji

W algebrze Boole’a dostępne są wyłącznie cyfry 0 i 1, stąd łatwo wydedukować definicję negacji.
1=~0
0=~1

Definicja negacji w zapisie symbolicznym, to funkcja logiczna realizowana przez negator (ang. inverter)

Y=~A
~ - symbol negacji (odpowiednik przeczenia NIE w języku mówionym)
A - zmienna binarna wejściowa
Y - zmienna binarna wyjściowa

W technice cyfrowej fizyczna realizacja negatora jest niesłychanie prosta. Negator to czarna skrzynka do której dochodzi sygnał wejściowy A, zaś wychodzi sygnał wyjściowy Y = ~A np. w standardzie TTL.

Jeśli zmienna wejściowa A=1 to wyjście Y=0, jeśli zmienna wejściowa A=0 to Y=1.

Tabela prawdy negatora:
Kod:
A Y=~A
0 1
1 0


Prawo podwójnego przeczenia
A = ~(~A)

Dowód:
Twierdzenia w algebrze Boole’a dowodzi się niezwykle prosto budując tabele zero-jedynkowe dla wszystkich możliwych przypadków.
Kod:

A ~A ~(~A)
0  1   0
1  0   1

Identyczność kolumn A i ~(~A) dowodzi prawdziwości twierdzenia czyli:
A=~(~A)

Przykład:
Jestem uczciwy
Jestem NIEuczciwy
NIE jestem NIEuczciwy = jestem uczciwy
~(~U)=U


2.4 Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji AND i OR

* - operator iloczynu logicznego (spójnik „i” ang. AND)
+ - operator sumy logicznej (spójnik „lub” ang. OR)

Prawa wynikające bezpośrednio z definicji iloczynu i sumy logicznej
A*1 = A
A*0 = 0
A+1 = 1
A+0 = A
A*A = A
A+A = A
A+~A=1
A*~A=0

Najważniejsze prawa wynikające z definicji algebry Boole’a
A+~A =1
A*~A =0


A+~A=1 - tu jest gwarancja że A i ~A nie mogą być równocześnie równe 0 (fałsz)
bo byłoby:
0+0=1
Czyli:
0=1 - algebra Boole’a leży w gruzach

A*~A=0 - tu jest gwarancja że A i ~A nie mogą być równocześnie równe 1 (prawda)
bo byłoby:
1*1=0
Czyli:
1=0 - algebra Boole’a leży w gruzach

Porada praktyczna.
Najważniejsze prawa łatwo zapamiętać jeśli wyobrazimy sobie zmienne jako zera i jedynki w logice dodatniej czyli:
A=1
~A=0
Wtedy w wyobraźni zapisujemy sobie uproszczenie:
A+~A = 1+0 =1
A*~A = 1*0 =0
Zauważmy że dla dowolnej ilości zmiennych mnożenie logiczne niczym nie różni się od mnożenia algebraicznego:
Y = 1*1*1*1*0*0*1 =0 - wystarczy jedno zero aby wynik był równy 0
W algebrze dziesiętnej dla powyższego mamy identycznie Y=0

Zupełnie inaczej jest w sumie logicznej:
Y=1+1+0+1+0+1 = 1 - wystarczy jedna jedynka aby wynik był równy 1
W algebrze dziesiętnej byłoby tu Y=4, zupełnie co innego !


2.5 Logika dodatnia i ujemna

W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu, zapomnijmy o tym.

Dowolne wyrażenie w algebrze Boole’a może przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
A+B(C*D) .....
gdzie:
A,B,C,D… - zmienne binarne przyjmujące w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1

Wyrażeniu jak wyżej możemy przypisać abstrakcyjną funkcję logiczną Y (wyjście cyfrowe).

Fizycznie, dowolna funkcja logiczna Y:
Y=A+B(C*D) .....
Może przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.

Po przepuszczeniu jej przez prościutki negator otrzymamy funkcję ~Y będącą lustrzanym odbiciem funkcji Y. Logika ujemna (~Y) to lustrzane odbicie logiki dodatniej.

Oczywiście zachodzi:
Y = ~(~Y)
O tym, że logika ujemna istnieje można się łatwo przekonać w technice cyfrowej obserwując wszystko na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem.

Definicja iloczynu logicznego.
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

Definicja sumy logicznej.
Y=A1+A2 ….+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru

Jeśli:
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden
to:
~Y= ~A1+~A2…+~An = 0 - bo wszystkie składniki sumy logicznej są równe 0.

Oczywistym jest że:
Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli A1=1 to ~A1=0 itd.

Z ostatniego równania mamy:
Y= ~(~Y) = ~(~A1+~A2…+~An) = ~(0) = 1 czyli:
A1*A2 ….*An = ~(~A1+~A2…+~An) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla sumy logicznej.
Jeśli:
Y = A1+A2…+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równa zeru
to:
~Y = ~A1*~A2…*~An =1 - bo wszystkie składniki iloczynu logicznego są równe 1

W tym przypadku mamy;
Jeśli Y=0 to ~Y=1
Jeśli A1=0 to ~A1=1 itd.

Z ostatniego równania mamy:
Y = ~(~Y) = ~(~A1*~A2…*~An) = ~(1) = 0
czyli:
A1+A2…+An = ~(~A1*~A2…*~An) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej

Definicja
Dowolnemu wyrażeniu w algebrze Boole’a możemy przypisać abstrakcyjną funkcję logiczną Y przyjmującą w osi czasu wartości binarne w zależności od zmiennych wejściowych.
Logika dodatnia - funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) jest niezanegowana (Y)
Logika ujemna - funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) jest zanegowana (~Y)

Prawa de’Morgana mówią o związkach między logiką dodatnią a ujemną na dowolnie długiej funkcji logicznej z dowolnie pomieszanymi operatorami.

Y=A+(B*C)
przejście do logiki ujemnej
~Y = ~A * (~B + ~C) - totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów na przeciwne tzn. OR(+) na AND(*) i odwrotnie.

Powrót do logiki dodatniej możemy wykonać na dwa sposoby:
I.
Y=A+(B*C) - ponowna totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów
II.
Y = ~(~Y) = ~[~A * (~B + ~C)] - zanegowanie logiki ujemnej

Twierdzenie 2.5
Przejście z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y) polega na zamianie wszystkich zmiennych na przeciwne oraz wszystkich operatorów na przeciwne czyli AND(*) na OR(+) i OR na AND. Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej zmieni się na: nawiasy, OR, AND.

Logika dodatnia:
A.
Y=A+B(C+~D)+E*~F - logika dodatnia (Y)
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).

Przejście do logiki ujemnej:
B.
~Y=~A*~B+(~C*D)*~E+F - logika ujemna (~Y)
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej: nawiasy, OR(+), AND(*)

Przejścia powrotnego do logiki dodatniej dokonujemy w identyczny sposób.

C.
Y=A+B(C+~D)+E*~F - logika dodatnia (Y)
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).

Zmiana kolejności wykonywania działań w logice ujemnej jest oczywista bowiem przy przejściu z logiki dodatniej do ujemnej AND zamienia się w OR.

Dowód twierdzenia:
I.
Y=A+B(C+~D)+E*~F - funkcja zapisana w logice dodatniej (Y)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory.
II.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) - logika dodatnia (Y)
negujemy wszystkie zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
III.
~Y=~A*(~B+(~C*D))*(~E+~F) - logika ujemna (~Y)
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy domyślną kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (~Y): nawiasy, OR, AND to zbędne stanie się dokładanie nawiasów. Przejście powrotne do logiki dodatniej wykonujemy w identyczny sposób tj. zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.
IV.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) - logika dodatnia (Y)
Aby powrócić do funkcji pierwotnej I usuwamy dołożone nawiasy.

Y=A+B(C+~D)+E*~F - oryginał, logika dodatnia (Y)
Zauważmy, że w tej metodzie uzupełniamy nawiasy przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną oraz usuwamy je przy przejściu powrotnym by dojść do oryginału. W sumie niepotrzebna syzyfowa praca bowiem o fakcie zapisania funkcji w logice ujemnej informuje precyzyjnie przeczenie przy jej nazwie (~Y).

Zauważmy, że prawo de’Morgana pozwala w prosty sposób zamienić operatory na przeciwne w dowolnym fragmencie nawet nieskończonej funkcji logicznej. Wystarczy dowolny fragment ciągu ująć w nawiasy, postawić przed nimi znak przeczenia ~, zaś w środku tych nawiasów zamienić wszystkie zmienne i operatory na przeciwne. W tym przypadku bezpieczniej będzie uzupełnić brakujące nawiasy domyślne, aby nie pogubić się w kolejności wykonywania działań.


2.6 Prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Prawa de’Morgana mówią o związkach sumy logicznej z iloczynem logicznym, poznaliśmy je wyżej dla przypadku ogólnego.
Wyprowadzenie praw de’Morgana dla dwóch zmiennych.

Iloczyn logiczny:
Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i odwrócenie operatorów.
~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo podwójnego przeczenia:
Y=~(~Y)
Stąd mamy:
p*q = ~(~p + ~q) - prawo zamiany iloczynu logicznego na sumę logiczną

Zero-jedynkowa wersja prawa de’Morgana
Kod:

 p  q  Y=p*q ~p ~q  ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q)
 0  0 =0      1  1  =1      =0
 0  1 =0      1  0  =1      =0
 1  0 =0      0  1  =1      =0
 1  1 =1      0  0  =0      =1

Równość kolumn Y=p*q i Y=~(~p+~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana

Symboliczna wersja prawa de’Morgana
Kod:

 p  q  Y=p*q ~p ~q  ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q)
 0  0 =0     ~p ~q  =1      =0
 0  1 =0     ~p  q  =1      =0
 1  0 =0      p ~q  =1      =0
 p  q =1      0  0  =0      =1

Jak widać, w symbolicznej wersji prawa de’Morgana zapisujemy stałe w postaci symbolicznej w tych liniach w których wynik jest równy 1. Reszta bezwzględnych zer i jedynek zupełnie nas nie interesuje.

Symboliczne wartości stałych przyjmujemy zgodnie z zapisanym nagłówkiem czyli:
1 - oznacza zgodność z nagłówkiem, przepisujemy nagłówek
0 - oznacza brak zgodności z nagłówkiem, przepisujemy zanegowany nagłówek

Z powyższego wynika że:
W tabeli dla logiki dodatniej (Y) przyjmujemy:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q
W tabeli dla logiki ujemnej (~Y) przyjmujemy:
1=~p, 0=p
1=~q, 0=q

Z symbolicznej wersji prawa de’Morgana widać jak na dłoni że:

Dotrzymam słowa (Y=1):
Y=p*q
wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p*q

Skłamię (~Y=1):
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p*~q LUB ~p*q LUB p*~q

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
p=K
q=T

Podstawiamy do wzorów ogólnych wyżej i otrzymujemy:

Dotrzymam słowa (Y):
Y=K*T
wtedy i tylko wtedy nie pójdę do kina i pójdę do teatru.

Skłamię (~Y):
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
wtedy i tylko wtedy gdy nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru LUB nie pójdę do kina i pójdę do teatru LUB pójdę do kina i nie pójdę do teatru

W praktyce powyższą tabelę można zdecydowanie uprościć

Tabela zero-jedynkowa iloczynu logicznego:
Kod:

 p  q  Y=p*q
 0  0 =0
 0  1 =0
 1  0 =0
 1  1 =1


Tabela symboliczna iloczynu logicznego:
Kod:

 p  q   Y=p*q
~p ~q =~Y
~p  q =~Y
 p ~q =~Y
 p  q = Y

Wszystkie sygnały sprowadzamy do 1 w logice dodatniej czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

…. i mamy to samo co w rozbudowanej, symbolicznej tabeli de’Morgana

Dotrzymam słowa (Y):
Y=p*q
wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p*q

Skłamię (~Y):
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p*~q LUB ~p*q LUB p*~q


2.7 Prawo de'Morgana dla sumy logicznej

Suma logiczna:
Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i odwrócenie operatorów.
~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo podwójnego przeczenia:
Y=~(~Y)
Stąd mamy:
p+q = ~(~p * ~q) - prawo zamiany sumy logicznej na iloczyn logiczny

Zero-jedynkowa wersja prawa de’Morgana
Kod:

 p  q  Y=p+q ~p ~q  ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
 0  0 =0      1  1  =1      =0
 0  1 =1      1  0  =0      =1
 1  0 =1      0  1  =0      =1
 1  1 =1      0  0  =0      =1

Równość kolumn Y=p+q i Y=~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana

Symboliczna wersja prawa de’Morgana
Kod:

 p  q  Y=p+q ~p ~q  ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
 0  0 =0     ~p ~q  =1      =0
~p  q =1      1  0  =0      =1
 p ~q =1      0  1  =0      =1
 p  q =1      0  0  =0      =1

Jak widać, w symbolicznej wersji prawa de’Morgana zapisujemy stałe w postaci symbolicznej w tych liniach w których wynik jest równy 1. Reszta bezwzględnych zer i jedynek zupełnie nas nie interesuje.

Symboliczne wartości stałych przyjmujemy zgodnie z zapisanym nagłówkiem czyli:
1 - oznacza zgodność z nagłówkiem, przepisujemy nagłówek
0 - oznacza brak zgodności z nagłówkiem, przepisujemy zanegowany nagłówek

Z powyższego wynika że:
W tabeli dla logiki dodatniej (Y) przyjmujemy:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q
W tabeli dla logiki ujemnej (~Y) przyjmujemy:
1=~p, 0=p
1=~q, 0=q

Z symbolicznej wersji prawa de’Morgana widać jak na dłoni że:

Dotrzymam słowa (Y=1):
Y=~p*q+p*~q+~p*~q
wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p*q lub p*~q lub p*q

Skłamię (~Y=1):
~Y=~p*~q
wtedy i tylko wtedy gdy ~p*~q

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
p=K
q=T

Podstawiamy do wzorów ogólnych wyżej i otrzymujemy:

Dotrzymam słowa (Y):
Y=~K*T+K*~T+K*T
wtedy i tylko wtedy nie pójdę do kina i pójdę do teatru LUB pójdę do kina i nie pójdę do teatru LUB pójdę do kina i pójdę do teatru

Skłamię (~Y):
~Y =~K*~T
wtedy i tylko wtedy gdy nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru

W praktyce powyższą tabelę można zdecydowanie uprościć

Tabela zero-jedynkowa dla sumy logicznej:
Kod:

 p  q  Y=p+q
 0  0 =0
 0  1 =1
 1  0 =1
 1  1 =1


Tabela symboliczna sumy logicznej:
Kod:

 p  q   Y=p+q
~p ~q =~Y
~p  q = Y
 p ~q = Y
 p  q = Y

Wszystkie sygnały sprowadzamy do 1 w logice dodatniej czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

…. i mamy to samo co w rozbudowanej, symbolicznej tabeli de’Morgana

Dotrzymam słowa (Y):
Y=~K*T+K*~T+K*T
wtedy i tylko wtedy nie pójdę do kina i pójdę do teatru LUB pójdę do kina i nie pójdę do teatru LUB pójdę do kina i pójdę do teatru

Skłamię (~Y):
~Y =~K*~T
wtedy i tylko wtedy gdy nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru


3.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a

Dzisiejsza logika klasyczna to przede wszystkim tabele zero-jedynkowe czyli kod maszynowy mikroprocesora. Tabele zero-jedynkowe skutecznie uniemożliwiały człowiekowi rozpracowanie algebry Boole’a w zakresie implikacji przez ostatnie 200 lat. Po wynalezieniu mikroprocesora człowiek programował bezpośrednio w zerach i jedynkach zaledwie chwilę. Mądrzy ludzie natychmiast wymyślili język symboliczny zwany asemblerem, pozwalający myśleć w naturalnej logice człowieka, mający bezpośrednie przełożenie na kod maszynowy mikroprocesora. Dla dowolnego mikroprocesora język asemblera jest jeden, natomiast języków wysokiego poziomu zbudowanych na jego bazie może być nieskończenie wiele.

Język asemblera to 100% algebra Boole’a.


3.1 Odwzorowanie kartezjańskie

W drugiej klasie szkoły podstawowej Pani na kartkówce zadała uczniom napisanie tabliczki mnożenia do 100. Wszystkie dzieci zrobiły to w sposób uporządkowany, łatwy do sprawdzenia. Jedynie dowcipny Jaś oddał kartkę pozornie bez sensu, bo poszczególne działania poustawiane były w sposób losowy, taki groch z kapustą.

Jak sprawdzić czy Jaś wykonał poprawnie zadanie ?

Oczywiście należy wykreślać po kolei jedno działanie z kartki uporządkowanej, odszukać identyczne w Jasiowym bałaganie i też je skreślić. Jeśli na końcu okaże się że Jaś zapisał wszystkie działania poprawnie i żadnego nie brakuje ani żadne nie jest w nadmiarze to Jaś wykonał zadanie poprawnie, powinien dostać 6 za fajny dowcip.

Ogólnie na obu kartkach z tabliczką mnożenia może być dowolny bałagan byleby zawierały wszystkie mnożenia do 100. Takie jednoznaczne odwzorowanie nosi nazwę odwzorowania kartezjańskiego.


3.2 Bramka iloczynu logicznego

Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych. Wszystkie definicje algebry Boole’a mają swój odpowiednik w bramkach logicznych. Podstawowa bramka logiczna to układ cyfrowy z dwoma wejściami oznaczanymi w tej publikacji p i q oraz jednym wyjściem r (lub s). Na wejściach można ustawiać dowolne kombinacje zer i jedynek. Wyjście może przyjmować wartości wyłącznie 0 albo 1 zgodnie z realizowaną funkcją logiczną. Odwzorowanie musi być kartezjańskie co oznacza, że tym samym sygnałom na wejściach p i q odpowiada zawsze ten sam sygnał na wyjściu r.

Bramka logiczna iloczynu logicznego AND(*):
Kod:

 p * q
 |   |
 |   |
-------
| AND |
|     |
-------
   |
   |
   r=p*q

Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego:
Kod:

Tabela A
p q  r=p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0

Sprawdzenie czy w bramce AND można zamieniać sygnały na wejściu. W tabeli zero jedynkowej zamieniamy miejscami p i q po czym stosujemy operator AND(*).

Kod:

Tabela B
q p  s=q*p
1 1 =1
0 1 =0
0 0 =0
1 0 =0


Jak widać kolumna wynikowa w tabelach A i B jest identyczna co oznacza, że sygnały p i q na wejściu bramki AND są symetryczne i wolno je zamieniać. Taki manewr nie niesie żadnej innej informacji, w szczególności nie rozstrzyga czy tabele A i B są równoważne.
Decydujące dla zapisu r=s jest identyczne odwzorowanie kartezjańskie tabel A i B. W tabeli B wiersze można sobie dowolnie pozamieniać na przykład tak.

Kod:

Tabela C
q p  s=q*p
0 0 =0
0 1 =0
1 0 =0
1 1 =1


We wszystkich tabelach A, B i C wyjście jest równe 1 wtedy i tylko wtedy gdy na wejścia bramki AND podamy dwie jedynki, w pozostałych przypadkach wyjście jest równe zeru. Decydujący o równości wszystkich tabel jest operator AND(*), przyjęte nazwy takie czy owakie nie mają znaczenia.


3.3 Bramka sumy logicznej

Kod:

 p + q
 |   |
 |   |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p+q

Tabela prawdy bramki logicznej OR(+):
Kod:

Tabela A
p q  r=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1

Oczywiście właściwości bramki OR są identyczne jak bramki AND. Wolno zamieniać sygnały p iq na wejściu.


3.4 Bramka implikacji prostej

Kod:

 p=> q
 |   |
 O   |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p=>q=~p+q

Kółko w linii p oznacza negator wbudowany w układ scalony, niedostępny dla świata zewnętrznego.

Tabela zero-jedynkowa implikacji prostej.
Kod:

Tabela A
p q  p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Równanie opisujące powyższą tabelę najłatwiej uzyskać z drugiej linii sprowadzając sygnały do jedynki.
p*~q = ~(p=>q)
stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q

W celu sprawdzenia czy w implikacji można zamieniać p i q, zamieniamy kolumny p i q miejscami.
Kod:

Tabela B
q p  q=>p
1 1 =1
0 1 =1
0 0 =1
1 0 =0

Różne kolumny wynikowe w tabelach A i B są dowodem, że w implikacji nie wolno zamieniać p i q miejscami. To jedyna informacja jaką uzyskaliśmy po przeprowadzeniu tego manewru.

Matematycznie tabele A i B są równoważne ponieważ odwzorowanie kartezjańskie jest identyczne. W obu tabelach otrzymujemy na wyjściu zero wtedy i tylko wtedy gdy na podstawę wektora => podamy 1 zaś na strzałkę 0. Nazwy p i q są nieistotne, istotny jest sam operator implikacji prostej => oraz to co podajemy na jego podstawę a co na strzałkę.


3.5 Bramka implikacji odwrotnej

Kod:

 p~> q
 |   |
 |   O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p~>q=p+~q

Kółko w linii q oznacza negator wbudowany w układ scalony.

Tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
Kod:

Tabela A
p q  p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Równanie opisujące powyższą tabelę najłatwiej uzyskać z ostatniej linii sprowadzając sygnały do jedynki.
~p*q = ~(p~>q)
stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q

W celu sprawdzenia czy w implikacji można zamieniać p i q, zamieniamy kolumny p i q miejscami.
Kod:

Tabela B
q p  q~>p
1 1 =1
0 1 =0
0 0 =1
1 0 =1

Różne kolumny wynikowe w tabelach A i B są dowodem, że w implikacji nie wolno zamieniać p i q miejscami. To jedyna informacja jaką uzyskaliśmy po przeprowadzeniu tego manewru.

Matematycznie tabele A i B są równoważne ponieważ odwzorowanie kartezjańskie jest identyczne. W obu tabelach otrzymujemy na wyjściu zero wtedy i tylko wtedy gdy na podstawę wektora ~> podamy 0 zaś na strzałkę 1. Nazwy p i q są nieistotne, istotny jest sam operator implikacji odwrotnej ~> oraz to co podajemy na jego podstawę a co na strzałkę.

Z ostatnich dwóch punktów wynika że:
p=>q # p~>q
bo to dwie fundamentalnie różne definicje zero-jedynkowe.

To samo wynika z równań algebry Boole’a.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
stąd:
p=>q # p~>q
bo prawe strony równań są różne.


3.6 Symboliczna definicja implikacji prostej

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej.
Kod:

Tabela A
p q  p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

p=>q = ~p+q

Symboliczna definicja implikacji prostej.
Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela B
 p  q  p=>q
 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1

Definicją słowną implikacji zawsze budujemy dla p i dowolnego q, czyli wynika ona z pierwszych dwóch linii tabeli.

Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q, bo druga linia jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić
p=>q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia jest fałszem, definicja leży w gruzach.
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
p - poprzednik implikacji, zawsze po „Jeśli…”
q - następnik implikacji, zawsze po „to…”

W implikacji po stwierdzeniu warunku wystarczającego w stronę p=>q należy wykluczyć równoważność czyli najprościej stwierdzić czy nie zachodzi warunek wystarczający w drugą stronę q=>p. Jeśli w stronę q=>p zachodzi warunek wystarczający to mamy do czynienia z równoważnością, funkcją fundamentalnie różną od implikacji prostej.

Z ostatnich dwóch linii tabeli widać że:
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
~p~>~q
LUB
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~>q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q

Jedynki w implikacji prostej oznaczają, że dla nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka ustawione przy liniach będą pełne z wyjątkiem linii 2.

Zauważmy, że linie w definicji implikacji prostej można dowolnie pomieszać na przykład tak.
Kod:

Tabela C
 p  q  p=>q
~p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
 p  q =1
 

Nie ma to żadnego wpływu na analizę słowną implikacji prostej jak wyżej.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2


3.7 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej

Tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
Kod:

Tabela A
p q  p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

p~>q = p+~q

Tabela symboliczna implikacji odwrotnej.
Kod:

Tabela B
p  q  p=>q
 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0

Definicję słowna implikacji tworzymy dla p i dowolnego q, czyli dla pierwszych dwóch linii tabeli.

Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1
LUB
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~>~q
Druga linia wynika z pierwszej i jest zbędna

Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1
p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia jest twardym fałszem, nie jest to implikacja odwrotna.
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
p - poprzednik implikacji, zawsze po „Jeśli…”
q - następnik implikacji, zawsze po „to…”

Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q, to zajście ~p wymusi zajście ~q, mówią o tym dwie ostatnie linie tabeli symbolicznej.
~p=>~q=1 - twarda jedynka
stąd:
~p=>q=0

Zauważmy, że jeśli stwierdzimy warunek konieczny w implikacji p~>q to na pewno jest to implikacja odwrotna. W drugą stronę q=>p na pewno zachodzi wówczas warunek wystarczający. Inna sytuacja jest fizycznie niemożliwa do zaistnienia.

Implikację prostą od odwrotnej rozpoznajemy po użytym spójniku między p i q.

Implikacja prosta:
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L - implikacja prosta bo operator „na pewno” =>
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym dla czterech łap
Operator „na pewno” => jest w języku mówionym domyślny, dlatego często pomijany

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P - implikacja odwrotna bo operator „może” ~>
Cztery łapy są konieczne aby być psem
Operator „może” jest zawsze jawny, wyjątkiem są tu groźby. Ukryty w groźbach operator „może” nie prowadzi do niejednoznaczności gdyż groźbę od obietnicy musi rozróżniać wszystko co żyje, to warunek przetrwania.


4.0 Prawa Kubusia, logika dodatnia i ujemna w implikacji

Prawa Kubusia mówią o matematycznych związkach implikacji prostej z implikacją odwrotną.

p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Definicja.
Implikacja jest zapisana w logice dodatniej jeśli wyjście q jest niezanegowane.
Implikacja jest zapisana w logice ujemnej jeśli wyjście q jest zanegowane.

Człowiek praktycznie zawsze jako pierwszą wypowiada implikację w logice dodatniej. Implikacja w logice ujemnej jest odpowiedzią na pytanie co będzie jeśli nie zajdzie p.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba w logice dodatniej, logika dodatnia bo L

… a jak nie ubrudzę ?
B~>L = ~B=>~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Jeśli nie ubrudzisz spodni to nie dostaniesz lania
~B=>~L - równoważna obietnica w logice ujemnej bo ~L

Trudno sobie wyobrazić zdrowego na umyśle człowieka, który jako pierwszą wypowie implikację w logice ujemnej.


4.1 Tabela Kubusia dla implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną

Zero-jedynkowa tabela Kubusia, dowód prawa Kubusia.
Kod:

Tabela A
p q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1     0  0 =1
1 0 =0     0  1 =0
0 0 =1     1  1 =1
0 1 =1     1  0 =1

Doskonale widać że:
p=>q = ~p~>~q
bo linie wynikowe sa identyczne.

Symboliczna tabela Kubusia.
Kod:

Tabela B
 p  q  p=>q  ~p ~q ~p~>~q
 p  q =1      0  0 =1
 p ~q =0      0  1 =0
 0  0 =1     ~p ~q =1
 0  1 =1     ~p  q =1

p=>q = ~p~>~q

Symboliczne wartości stałych przyjmujemy zgodnie z zapisanym nagłówkiem czyli:
1 - oznacza zgodność z nagłówkiem, przepisujemy nagłówek
0 - oznacza brak zgodności z nagłówkiem, przepisujemy zanegowany nagłówek

Z powyższego wynika że:
W tabeli dla logiki dodatniej (p=>q) przyjmujemy:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q
W tabeli dla logiki ujemnej (~p~>~q) przyjmujemy:
1=~p, 0=p
1=~q, 0=q

O logice dodatniej (q) czy ujemnej (~q) decydują implikacje czyli w powyższej tabeli zdania 1 (implikacja prosta) oraz 3 (implikacja odwrotna). Zdania 2 i 4 wynikają ze zdań implikacyjnych i same jako takie nie są implikacjami bo warunek wystarczający/konieczny nie jest tu spełniony.

W tabeli B widać, że jeśli spełniony jest warunek p to implikację obsługuje bramka implikacji prostej =>, zaś jeśli warunek p nie jest spełniony to implikacja jest obsługiwana przez bramkę implikacji odwrotnej ~>.

Z powyższej tabeli wynika operatorowa definicja implikacji prostej.
Kod:

Tabela C
p=> q =1
p=>~q =0

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q =1
LUB
~p~> q =1


Operatorowa definicja implikacji prostej jest bezkonkurencyjna w analizie wszelkich implikacji prostych ponieważ umożliwia analizę zdań w naturalnym języku mówionym.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 - twarda prawda dla 8,16,24…
P8 jest wystarczające dla P2, implikacja prosta poprawna
P8=>~P2 =0 - twardy fałsz, pudełko zawsze puste
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> być niepodzielna przez 2
~P8~>~P2 =1 - dla 1,3,5…, miękka prawda
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
~P8~>P2 =1 - dla 2,4,6…, miękka prawda

Jak widać, jeśli zajdzie ~P8 to może zajść cokolwiek ~P2 lub P2
Miękka prawda - może zajść ale nie musi
czyli:
~P8=>~P2+P2 =1 - tautologia


Istota implikacji jest gwarancja matematyczna którą z definicji jest sama definicja implikacji prostej.


4.2 Tabela Kubusia dla implikacji odwrotnej

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Zero-jedynkowa tabela Kubusia, dowód prawa Kubusia.
Kod:

Tabela A
p q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1     0  0 =1
1 0 =1     0  1 =1
0 0 =1     1  1 =1
0 1 =0     1  0 =0

Doskonale widać że:
p~>q = ~p=>~q
bo linie wynikowe sa identyczne.

Symboliczna tabela Kubusia.
Kod:

Tabela B
 p  q  p~>q  ~p ~q ~p=>~q
 p  q =1      0  0 =1
 p ~q =1      0  1 =1
 0  0 =1     ~p ~q =1
 0  1 =0     ~p  q =0

p~>q = ~p=>~q

Symboliczne wartości stałych przyjmujemy zgodnie z zapisanym nagłówkiem czyli:
1 - oznacza zgodność z nagłówkiem, przepisujemy nagłówek
0 - oznacza brak zgodności z nagłówkiem, przepisujemy zanegowany nagłówek

Z powyższego wynika że:
W tabeli dla logiki dodatniej (p~>q) przyjmujemy:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q
W tabeli dla logiki ujemnej (~p=>~q) przyjmujemy:
1=~p, 0=p
1=~q, 0=q

O logice dodatniej (q) czy ujemnej (~q) decydują implikacje czyli w powyższej tabeli zdania 1 (implikacja odwrotna) oraz 3 (implikacja prosta). Zdania 2 i 4 wynikają ze zdań implikacyjnych i same jako takie nie są implikacjami bo warunek wystarczający/konieczny nie jest tu spełniony.

W tabeli B widać, że jeśli spełniony jest warunek p to implikację obsługuje bramka implikacji odwrotnej ~>, zaś jeśli warunek p nie jest spełniony to implikacja jest obsługiwana przez bramkę implikacji prostej =>.

Z powyższej tabeli wynika operatorowa definicja implikacji odwrotnej.
Kod:

Tabela C
p~> q =1
LUB
p~>~q =1

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q =1
~p=> q =0


Operatorowa definicja implikacji odwrotnej jest bezkonkurencyjna w analizie wszelkich implikacji odwrotnych ponieważ umożliwia analizę zdań w naturalnym języku mówionym.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 - dla 8,16,24…, miękka prawda
P2 jest konieczne dla P8, implikacja odwrotna poprawna
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być niepodzielna przez 8
P2~>~P8 =1 - dla 2,4,6…, miękka prawda
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1 - twarda prawda dla 1,3,5…
~P2=>P8 =0 - twardy fałsz, to pudełko będzie zawsze puste

Istota implikacji jest gwarancja matematyczna którą z definicji jest sama definicja implikacji prostej. Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia.


5.0 Kwadrat logiczny implikacji

W naturalnym języku mówionym po „Jeśli …” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy na następnik q niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta, implikacja odwrotna czy też równoważność (częsta w matematyce).

Kwadrat logiczny to operatorowa definicja implikacji prostej p=>q z lewej strony, oraz operatorowa definicja implikacji odwrotnej p~>q z prawej strony. Prawe strony równań uzyskano korzystając z definicji implikacji prostej i odwrotnej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
W.Wystarczający             W.Konieczny
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
W.Konieczny                 W.Wystarczający
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

W pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. Doskonale widać prawa Kubusia zachodzące w pionach. Identyczność prawych stron jest równoznaczna z identycznością odpowiednich tabel zero-jedynkowych.

O tym czy mamy do czynienia z implikacją prostą p=>q, implikacją odwrotną p~>q, czy też równoważnością p<=>q decyduje zawartość spójnika „Jeśli…to…”

Zauważmy, że w przypadku równoważności będziemy mieli do czynienia z pewnym wynikaniem prostym w liniach A1 i C1 czyli:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1 =1 - na podstawie definicji równoważności
Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R = (K60=>R)*(~K60=>~R) = 1*1 =1 - twarda prawda w obu przypadkach = równoważność

Implikacja jest implikacją odwrotną jeśli w linii A2 zachodzi warunek konieczności.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa.

Ogólnie, jeśli wykluczymy równoważność to w przedstawionym kwadracie logiki wystarczy udowodnić że zachodzi dowolny z warunków wystarczających (A1,C2) lub koniecznych (A2,C1) aby mieć pewność poprawności wszystkich implikacji w kwadracie logicznym.


5.1 Istota implikacji

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna która z definicji jest operator implikacji prostej =>

Implikacja prosta:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Gwarancja:
A.
Liczby 8,16,24… na pewno są podzielne przez 2

Po zamianie p i q wyżej otrzymujemy poprawna implikacje odwrotną.

Implikacja odwrotna:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia.
P2~>P8 = ~P2=>~P8

Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
Gwarancja:
B.
Liczby 1,3,5… na pewno nie są podzielne ani przez 2, ani też przez 8

Powyższe gwarancje nie są równoważne, ponieważ negując ciąg A nie otrzymamy ciągu B i odwrotnie.

Zbudujmy kwadrat logiczny dla tego konkretnego przykładu.

Kod:

A1:  P8=>P2 = ~(P8*~P2)     A2:  P2~>P8 = ~(~P2*P8)
W.Wystarczający             W.Konieczny

C1: ~P8~>~P2 = ~(P8*~P2)    C2: ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8)
W.Konieczny                 W.Wystarczający

Teoretycznie wszystkie gwarancje są równoważne bowiem iloczyn logiczny dopuszcza przemienność, jednak w implikacji zachodzi:
~(P8*~P2) # ~(~P2*P8)

W implikacji przemienność jest zabroniona bowiem gwarancja z lewej strony kwadratu logicznego nie jest równa gwarancji z prawej strony.

Gwarancja dla lewej strony kwadratu logicznego:
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
Czyli:
P8=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
Gwarancja:
Liczby 8,16,24… na pewno sa podzielne przez 2

Gwarancja dla prawej strony kwadratu logicznego:
~(~P2*P8)
Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
Czyli:
~P2=>~P8
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
Gwarancja:
Liczby 1,3,5… na pewno nie sa podzielne ani przez 2, ani tez przez 8


6.0 Aktualny stan logiki

Dzisiejsza logika nie zna fundamentalnych praw matematycznych dotyczących implikacji. Znane logikom prawa kontrapozycji to fundamentalnie co innego.

Prawa Kubusia obowiązujące wyłącznie w implikacji:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Powyższe prawa obowiązują w całej algebrze Boole’a bez żadnych wyjątków. Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w operatorach AND i OR. Szczególnym przypadkiem zastosowania tych praw jest matematyczna obsługa gróźb i obietnic (szczegóły w podpisie). Człowiek to obiekt fizyczny, matematyka pełni tu rolę służebną.

Matematycznie:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Matematyczne definicje groźby i obietnicy są odpowiednikiem prądu i napięcia w fizyce, zaś prawa Kubusia są odpowiednikiem prawa Ohma. Obliczanie sieci elektrycznych prądu stałego sprowadza się do rozwiązywania równań Kirchhoffa czyli do rozwiązywania prymitywnych równań liniowych. Sieć elektryczna to też obiekt fizyczny, gdzie matematyka pełni rolę służebną. Aby równania Kirchhoffa miały sens musimy zdefiniować prąd i napięcie oraz odkryć prawo Ohma. Co więcej, musimy przyjąć jakąś sensowną logikę.

Logika dodatnia (np. Polacy, Anglicy):
Napięcie na źródle zasilania jest liczba dodatnią jeśli strzałka wektora napięcia wskazuje wyższy potencjał

Logika ujemna (np. Niemcy, Węgrzy)
Napięcie na źródle zasilania jest liczba dodatnią jeśli strzałka wektora napięcia wskazuje niższy potencjał

Obie logiki są równoważne. Która jest dodatnia a która ujemną to rzecz gustu. Logik tych nie wolno mieszać bo wyjdzie groch z kapustą.


6.1 Fałszywość praw kontrapozycji w implikacji

Dzisiejsza logika opisuje IMPLIKACJĘ wyłącznie przy pomocy operatora „musi” =>, co jest fundamentalnym błędem bowiem jeśli w jedną stronę zachodzi warunek wystarczający (=>) p=>q, to w druga stronę musi zachodzić warunek konieczny (~>) q~>p.

Prawa kontrapozycji:
1.
p=>q = ~q=>~p
2.
q=>p = ~p=>~q

Jeśli prawa kontrapozycji mają dotyczyć implikacji to wobec jedynie słusznego operatora =>, musimy przyjąć jakiś punkt odniesienia, inaczej matematyka nie będzie jednoznaczna. W powyższym przypadku punktem odniesienia jest równanie 1, precyzyjnie definiujące co jest poprzednikiem implikacji p a co jest następnikiem q.

Punkt odniesienia:
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p=>q

Prawo 2 dotyczy ustalonego wyżej punktu odniesienia i jest błędne już na starcie.

Po zamianie p i q i próbie zastosowania prawa 2 już w pierwszym kroku mamy twardy fałsz.
q=>p - w implikacji to zdanie jest zawsze fałszywe

Całe prawo 2 jest zatem w implikacji bezsensem bo nie buduje się praw matematycznych dla fałszu.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Ustalamy sztywno:
p=P8
q=P2
… i stosujemy drugie prawo kontrapozycji.
q=>p
czyli:
P2=>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 - twardy fałsz bo 2

Prawa kontrapozycji są poprawne jedynie w równoważności. W matematyce działają poprawnie bo praktycznie wszystkie twierdzenia matematyczne to równoważności. Równoważność w świecie żywych praktycznie nie występuje, dlatego poza matematyką mamy chaos i fałszywy slogan logików „Logika człowieka nie istnieje”.

O beznadziejności dzisiejszej logiki w naturalnym języku mówionym można poczytać tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

Koniec 2009-01-28
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 13:16, 14 Lut 2009    Temat postu:

Macjanowi dedykuję
macjan napisał:
Wszystko co pisze Kubuś to brednie. Matematyka, to nie filozofia, żeby dyskutować i wymieniać argumenty.... Tak więc uprzejmie informuję, że się kompromitujesz i każdy matematyk ci to powie, gdy mu pokażesz swój "dowód" "obalający" prawo kontrapozycji.

Nie obalam prawa kontrapozycji. Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji. Konsekwencją „stosowania” prawa kontrapozycji w implikacji jest niejednoznaczność matematyki.
Kubuś


Zalążki nowej definicji implikacji


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Prawa matematyczne implikacji
1.2 Prawa matematyczne równoważności

2.0 Nowa definicja implikacji
2.1 Definicje operatorów
2.2 Definicje spójników zdaniowych
2.3 Matematyczne kodowanie zdań
2.4 Pełny kwadrat logiczny implikacji
2.5 Równoważne definicje implikacji prostej
2.6 Równoważne definicje implikacji odwrotnej
2.7 Implikacja w praktyce
2.8 Uproszczony kwadrat logiczny implikacji
3.0 Stara definicja implikacji
3.1 Fragmenty dyskusji ze SFINII

4.0 Implikacja w bramkach logicznych
4.1 Bramka implikacji prostej
4.2 Bramka implikacji odwrotnej
4.3 Dowód prawdziwości praw Kubusia w implikacji
4.4 Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji
4.5 Dowód prawdziwości prawa kontrapozycji w równoważności



Wstęp.

Implikacja to między innymi matematyczny opis wolnej woli wszelkich istot żywych. Jeśli nadawca grozi odbiorcy to ten w przypadku spełnienia warunku kary nigdy nie wie, czy kara zostanie wykonana. Wykonanie kary zależy tu od „widzi mi się” nadawcy czyli jego wolnej woli. Wszystko co człowiek dotychczas stworzył było tworzone w logikach równoważnościowych w których nie ma miejsca na przypadek, czyli „wolną wolę”. W szczególności, żaden programista nie życzy sobie by pisany przez niego program miał jakiekolwiek oznaki „wolnej woli” czyli działał wbrew temu co on sobie życzy … niestety, programy pisane przez słabych programistów bardzo często mają jednak „wolną wolę”.

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice
Gdyby implikacja była opisana poprawnie matematycznie to takie stwierdzenia nie miałyby miejsca.

Dowód, że dzisiejsza logika porusza się wyłącznie w układach równoważnościowych zajmuje jedną linijkę …

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej

W logikach równoważnościowych, znających tylko i wyłącznie jedynie słuszny, komunistyczny operator implikacji prostej => mamy:

Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q „i” jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q, czyli …

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q] = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = ~p*~q+q*p = p*q+~p*~q
bo prawo podwójnego przeczenia A*~A=0 czyli:
~p*p = q*~q =0
CND


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna albo zdanie prawdziwe i implikacja odwrotna fałszywa.


1.1 Prawa matematyczne implikacji

Jeśli zdanie p=>q jest implikacją prostą to zdanie q=>p jest zawsze fałszywe czyli:
(p=>q)(q=>p) = 1*0 =0
(p=>q)(~p=>~q)=1*0=0
(p~>q)(q~>p) =1*0=0 - dwustronny warunek konieczny jest fizycznie niemożliwy do zaistnienia

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>


1.2 Prawa matematyczne równoważności

Definicje:
p<=>q = (p=>q)(q=>p)=1*1=1
p<=>q = (p=>q)(~p=>~q)=1*1=1

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p


2.0 Nowa definicja implikacji

Narodziny nowej definicji implikacji na SFINII trwały 3 lata. Przepraszam wszystkich których obraziłem wściekle atakując dzisiejszą logikę. Agrsja rodzi agresję, czyli przeciwna strona wyciąga najcięższe działa by skompromitować to co wypisuje Kubuś … może dzięki temu udało się to wszystko rozpracować ?


2.1 Definicje operatorów

Definicja implikacji prostej:
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
p=>q = ~p+q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - warunek wystarczający między p i q, spójnik „musi” w języku mówionym

Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p+~q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - warunek konieczny między p i q


2.2 Definicje spójników zdaniowych

MUSI =>
p=>q=1
Dla każdego elementu spełniającego warunek p musi zajść q
MUSI = warunek wystarczający =>

MOŻE ~~>
Warunek konieczny niespełniony
p~~>q=1
Istnieje element spełniający warunek p i q ale zadnie nie spełnia warunku koniecznego, implikacja odwrotna jest fałszywa

MOŻE ~>
Warunek konieczny spełniony
p~>q=1
Istnieje element spełniający warunek p i q i zdanie spełnia warunek konieczny, implikacja odwrotna jest prawdziwa

Kryterium prawdziwości zdania dla spójnika może:
ZP = ~~> + ~>
Zdanie jest prawdziwe jeśli zajdzie MOŻE ~~> lub MOŻE ~>


Wniosek:
Nie każde zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~> jest implikacją odwrotną, czyli spełnia warunek konieczny ~>

Przykład:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń...
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika MOŻE ~~>, implikacja odwrotna fałszywa bo 4 łapy nie są konieczne by nie być psem bo pies
4L~>~P=0 - implikacja odwrotna fałszywa.

Możemy użyć prawa Kubusia by uprościć rozstrzygnięcie o warunku koniecznym/wystarczającym. Dobre prawo matematyczne zawsze zamieni prawdę w prawdę albo fałsz w fałsz - nie ma innej możliwości.
Prawo Kubusia:
4L~>~P (warunek konieczny) = ~4L => P (warunek wystarczający)

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
Oczywisty fałsz, zatem warunek wystarczający nie zachodzi, co oznacza także brak warunku koniecznego w zdaniu 4L~>~P.


2.3 Matematyczne kodowanie zdań

1. Sprawdzamy czy z zdaniu występuje warunek wystarczający, jeśli tak to idziemy do pkt. A
2. Sprawdzamy czy w zdaniu występuje spójnik może ~~>, jeśli tak to idziemy do pkt. B
3. Jeśli żaden z powyższych warunków nie zachodzi to zdanie jest fałszywe lub niepoprawne

Zdanie niepoprawne - zdanie któremu nie da się przypisać ani prawdy, ani fałszu np. wszelkie zdania pytające.

A. Implikacja prosta:
Do prawidłowej obsługi warunku wystarczającego => konieczne są dwa symbole:
=> - warunek wystarczający, spójnik MUSI
<=> - równoważność
Po stwierdzeniu p=>q musimy wykluczyć q=>p aby mieć pewność, że p=>q to implikacja prosta

B. Implikacja odwrotna:
Do prawidłowej obsługi warunku koniecznego ~> również potrzebujemy dwóch symboli:
~> - warunek konieczny, jeśli zachodzi to implikacja jest prawdziwa, zdanie oczywiście prawdziwe
~~> zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika MOŻE ~~>, ale nie zachodzi warunek konieczny ~>, implikacja odwrotna jest fałszywa
Po stwierdzeniu prawdziwości zdania na mocy spójnika MOŻE ~~> musimy dodatkowo stwierdzić warunek koniczny by mieć pewność że zdanie jest implikacją odwrotną prawdziwą.

UWAGA !
Dowolne zdanie „Jeśli…to…” kodujemy matematycznie w następujący sposób:
p - poprzednik implikacji, zawsze po spójniku „Jeśli…”
q - następnik implikacji, zawsze po spójniku „to…”

Spójniki p i q łączymy ze sobą jednym z czterech możliwych operatorów =>, <=>, ~>, ~~>. Jednoznaczne rozstrzygnięcie z jakim zdaniem mamy do czynienia umożliwia algorytm przedstawiony wyżej.


2.4 Pełny kwadrat logiczny implikacji

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

Implikacja prosta           Implikacja odwrotna

A1:p=>q=~p+q=1              A2:p~>q=p+~q=1
   p*q=1                       p*q=1
   1 1=1                       1 1=1
W.Wystarczający             W.Konieczny

B1:p=>~q=~p+~q=0            B2:p~~>~q=1
                               p~>~q=p+~q=0
   p*~q=0                      p*~q=1
   1 0=0                       1 0=1



Prawa Kubusia:              Prawa Kubusia:
p=>q=~p~>~q                 p~>q=~p=>~q
p=>~q=~p~>q                 p~>~q=~p=>q


                             
C1:~p~>~q=~p+q=1            C2:~p=>~q=p+~q=1
  ~p*~q=1                     ~p*~q=1
   0 0=1                       0 0=1
W.Konieczny                 W.Wystarczający

D1:~p~~>q=~p+~q=1           D2:~p=>q=p+q=0
   ~p~>q=~p+~q=0
  ~p*q=1                      ~p*q=0
   0 1=1                       0 1=0

Prawdziwość zdania dla linii D1:
(~p~~>q)+(~p~>q) = 1+0 =1
Prawdziwość zdania dla linii B2:
(p~~>~q)+(p~>~q) = 1+0 =1

Kwadrat logiczny implikacji, to dwa izolowane układy logiczne, implikacja prosta z lewej strony i implikacja odwrotna z prawej strony, pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne, w szczególności prawa kontrapozycji. Prawy pion jest logika ujemną w stosunku do lewego pionu albo odwrotnie, to bez znaczenia. Logiką dodatnią i ujemną doskonale posługują się wszelkie żywe istoty np.

Obietnica=implikacja prosta (logika dodatnia)
Ja tego chcę, biegnę do nagrody

Groźba=implikacja odwrotna (logika ujemna)
Ja tego nie chcę, uciekam od kary

Pełny kwadrat logiczny implikacji zawiera w sobie trzy równoważne definicje implikacji:
A.
Definicja zero-jedynkowa - kod maszynowy implikacji
B.
Definicja symboliczna implikacji
C.
Definicja operatorowa implikacji - zgodna z naturalnym językiem mówionym

Równoważność tych definicji udowodnimy w dwóch następnych punktach


2.5 Równoważne definicje implikacji prostej

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:

Kod:
p q  p=>q

1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Definicja symboliczna implikacji prostej:

Kod:
 p  q  p=>q

 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1


Gdzie:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q

Jak widać w definicji symbolicznej wszystkie sygnały sprowadzamy do jedynki. Implikacja to przyszłość której nie znamy. Definicja symboliczna to nic innego jak rozpisane wszystkie przypadki jakie w przyszłości mogą się wydarzyć. Na jej podstawie najprościej można ułożyć równania algebry Boole’a opisujące implikację.

Najłatwiej to zrobić dla linii drugiej bo w wyniku mamy samotne zero:
p*~q = ~(p=>q) - wynik też musimy sprowadzić do jedynki
Stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q - na podstawie prawa de’Morgana

Równoważne równanie otrzymujemy dla linii będących w wyniku jedynkami:
p=>q = p*q+~p*~q+~p*q

Definicja operatorowa implikacji odwrotnej, czyli naturalna logika człowieka wyssana z mlekiem matki:

Definicja operatorowa wynika z naturalnego opisu tabeli symbolicznej metodą, piszemy to co widzimy.

1.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q, bo druga linia jest twardym fałszem
p=>q=1
2.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q, to jest twardy fałsz wobec powyższego
p=>~q=0
3.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q, bo kolejna linia też jest prawdą
~p~>~q=1
LUB
4.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q, bo linia wyżej też jest prawdą
~p~>q=1


2.6 Równoważne definicje implikacji odwrotnej

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:

Kod:
p q  p~>q

1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Definicja symboliczna implikacji odwrotnej:

Kod:
 p  q  p~>q

 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0

Gdzie:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q

Tu również wszystkie sygnały sprowadzamy do jedynki.

Najprostsze równanie implikacji odwrotnej uzyskamy z ostatniej linii bo w wyniku mamy tu samotne zero:
~p*q = ~(p~>q) - wynik też musimy sprowadzić do jedynki
Stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q - na podstawie prawa de’Morgana

Równoważne równanie otrzymujemy dla linii będących w wyniku jedynkami:
p~>q = p*q+p*~q+~p*~q

Definicja operatorowa wynika z naturalnego opisu tabeli symbolicznej w logice człowieka.

1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q, bo druga linia też jest prawdą
p~>q=1
LUB
2.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść ~q, bo linia wyżej też może być prawdą
p~>~q=1
3.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q, bo ostatnia linia jest fałszem
~p=>~q=1
4.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q, fałsz bo wyżej twarda prawda
~p=>q=0


2.7 Implikacja w praktyce

Analiza zdania:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda, GWARANCJA !
Po nieskończonej ilości losowań w tym pudełku mamy wszystkie psy

Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda
To pudełko będzie puste niezależnie od ilości losowań

… a jak nie jest psem ?

Prawo Kubusia:
P=>4L=~P~>~4L

Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 - miękka prawda bo kura, wąż, mrówka ..
Po nieskończonej ilości losowań tu będą zwierzaki które nie są psami i nie mają czterech łap
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może to może mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 - miękka prawda bo słoń, koń, kot….
~P~>4L=0 - implikacja fałszywa bo brak warunku koniecznego
Prawdziwość tego zdania:
(~P~~>4L)+(~P~>4L) = 1+0 = 1
~~> - zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~>, implikacja odwrotna ~> fałszywa

W tym pudełku będą zwierzęta nie będące psami, mające cztery łapy

Dla kompletu przeanalizujmy implikację odwrotną do powyższej.

Analiza zdania:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są warunkiem koniecznym dla bycia psem

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 - miękka prawda bo pies
Po nieskończonej ilości losowań w tym pudełku będą wyłącznie psy

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P =1 - miękka prawda bo koń, słoń, kot …
4L~>~P=0 - implikacja odwrotna fałszywa bo warunek konieczny nie jest tu spełniony
Tu będą zwierzaki które mają cztery łapy i nie są psami
Prawdziwość tego zdania:
(4L~~>~P)+(4L~>~P) = 1+0 = 1
~~> - zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~>, implikacja odwrotna ~> fałszywa

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - oczywista twarda prawda, GWARANCJA !
Po nieskończonej ilości losowań to będą wszystkie zwierzaki które nie mają czterech łap czyli: mrówka, kura, waż, stonoga ….

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P =0 - oczywisty twardy fałsz
To pudełko będzie puste nawet po nieskończonej ilości losowań

Dla dowolnego przypadku tylko i wyłącznie jedno ze zdań implikacyjnych może być prawdziwe, pozostałe będą fałszywe. Jedynki w definicji implikacji oznaczają tylko tyle, że po nieskończonej ilości losowań pudełka które zaznaczono jedynkami będą pełne. Pudełko z z wynikiem zero będzie puste po dowolnej ilości losowań, gwarancja fałszu.

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczne. Jest gwarancja, jest matematyka, nie ma żadnej gwarancji, nie ma matematyki.

Implikacja prosta => jest w logice gwarancją na mocy jej definicji.


2.8 Uproszczony kwadrat logiczny implikacji

W praktyce posługiwania się implikacją z reguły wystarczy uproszczony kwadrat logiczny implikacji w którym wszystkie zdania są implikacjami.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

Implikacja prosta           Implikacja odwrotna

A1:p=>q=~p+q=1              A2:p~>q=p+~q=1
W.Wystarczający             W.Konieczny


Prawa Kubusia:              Prawa Kubusia:
p=>q=~p~>~q                 p~>q=~p=>~q

                       
C1:~p~>~q=~p+q=1            C2:~p=>~q=p+~q=1
W.Konieczny                 W.Wystarczający
 

Powyższy kwadrat to naturalna logika człowieka, wyssana z mlekiem matki. W poprawnym kwadracie logiki jak wyżej logika człowieka jest matematycznie jednoznaczna. Nie ma tu mowy aby matematycznie na zadane pytanie możliwa była więcej niż jedna odpowiedź.

Implikacja prosta:

Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jeśli ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1
LUB
Jeśli ~p to może ~> zajść q
~p~>q=1

Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, GWARANCJA
… a jak nie jest psem ?

Prawo Kubusia:
P=>4L= ~P~>~4L

Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura …

… a czy są zwierzątka które nie są psami i mają cztery łapy ?

Tak !
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń … - to nie jest implikacja

Implikacja odwrotna:

Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1
LUB
Jeśli zajdzie p to może~> zajść ~q
p~>~q=1
… a jeśli nie zajdzie p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli nie zajdzie p to na pewno nie zajdzie q
~p=>~q=1

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1 bo pies…
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń… - to nie jest implikacja

… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P=1, GWARANCJA

Implikacja prosta jest w logice gwarancją na mocy jej definicji.


3.0 Stara definicja implikacji

Stara definicja implikacji po pierwsze nie zna operatora implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~> między p i q, a po drugie ustala sztywno punkt odniesienia na implikacji prostej p=>q lub ~p=>~q. To drugie jest katastrofalne w skutkach, bo czyni matematykę niejednoznaczną. Poza tym jest to czysto matematyczny błąd, ponieważ z przyjęcia za punkt jedynie słusznej, komunistycznej implikacji prostej => wynikają sprzeczne ze sobą, poniższe równania matematyczne.

p=>q # p~>q
p=>q = q~>p

Powyższe równania są wzajemnie sprzeczne. Pomińmy na razie ten fakt i zbudujmy logikę matematyczną, od strony matematycznej pozornie poprawną, w oparciu o drugie równanie. Poprawne równanie pierwsze wyrzucamy na razie do kosza.

Kwadrat logiczny implikacji dla stałego punktu odniesienia, świętej krowy, implikacji prostej =>.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

Implikacja prosta           Implikacja odwrotna

A1:p=>q=~p+q=1              A2:q~>p=q+~p=~p+q=1
W.Wystarczający             W.Konieczny


Prawa Kubusia:              Prawa Kubusia:
p=>q=~p~>~q                 q~>p=~q=>~p

                       
C1:~p~>~q=~p+q=1            C2:~q=>~p=q+~p=~p+q=1
W.Konieczny                 W.Wystarczający
 

W powyższym kwadracie p i q ustalone są sztywno przez implikację prostą:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q

Jak widać, w tym kwadracie „logiki” zachodzą doskonale znane wszystkim logikom prawa kontrapozycji w implikacji:
p=>q = ~q=>~p
… a w ogóle to zachodzi wszystko co się komu podoba, bo prawe strony wszystkich równań są identyczne.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Dla całego kwadratu mamy sztywno ustalone p i q przez powyższe zdanie bazowe.
p=P (pies)
q=4L (cztery łapy)

Opłakane, matematyczne skutki bałwochwalstwa (święta krowa =>) widać doskonale.

Wszystkie zdania w kwadracie logik są matematycznie równoważne, czyli mamy matematyczną niejednoznaczność.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P

5-cio letnia Zuzia do dzisiejszego logika:
… a jak nie ma czterech łap ?

Logik na takie pytania jest doskonale przygotowany, wyjmuje z kieszeni generator liczb losowych od 1 do 4, wyklucza zdanie wypowiedziane A2, naciska guzik i wyskakuje mu komunikat C1.

To jest matematycznie bardzo proste Zuziu:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L

Zuzia do logika:
Wujek, ale ja cię pytałam co może być jeśli zwierzę nie ma czterech łap …

Logik drapie się w głowę i mówi:
Widzisz Zuzia, taka jest dzisiejsza logika, może kiedyś będzie lepsza …


3.1 Fragmenty dyskusji ze SFINII

volrath napisał:
Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to samo co prosta.
Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)

Czyli:
p=>q = q~>p
To samo co wyżej potwierdził Irbisol:
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:
Jeśli prawo kontrapozycji uznasz za legalne w implikacji:
p=>q = ~q=>~p
to natychmiast masz bzdurę:
p=>q = q~>p

p q p=>q q~>p
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 1 1 1
To nie jest bzdura. Rozpiskę masz wyżej.

To co zapisał Irbisol znaczy tylko tyle, że dozwolona jest zamiana argumentów wraz ze zmianą operatora z „musi” => na „może” ~>, nic więcej. Oczywiście operator „musi” => to fundamentalnie co innego niż „może” ~>.

Zarówno Volrath jak i Irbisol maja rację, dzisiejsza logika jest pozornie poprawna czyli wszystkie zdania w kwadracie logicznym implikacji są matematycznie równoważne jak wyżej. Gdzie tkwi błąd ? … to zadanie domowe dla logików, wspomniałem o nim wyżej.

Kubuś do Irbisola napisał:

A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=~P+4L =1
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest wystarczające dla czterech łap
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=4L+~P =1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

Czy według ciebie te zdania są równoważne ?

Czyli:
p=>q = q~>p ?

Irbisol napisał:
Kubuś napisał:
Czy według ciebie te zdania są równoważne ?
Czyli:
p=>q = q~>p ?

Zadałeś 2 różne pytania - nie odróżniasz sensu zdania od jego wartości logicznej. Prawo mówi tylko tyle że wartości logiczne p=>q oraz q~>p będą zawsze takie same przy takich samych p i q.
Taki przykład całkowicie dla przedszkolaków:
Mam 2 jabłka i dostałem jeszcze 2, ile mam jabłek?
Mam 2 gruszki i dostałem jeszcze 2, ile mam gruszek?
Czy wg ciebie te zdania są równoważne
czyli:
2+2=4 ?

Zaprawdę ciekawa jest ta dzisiejsza logika ...
Jak tu odróżnić sens zdania od jego wartości logicznej ?
Irbisorze, przykład 5-ciolatki Zuzi to masz wyżej, dzisiejsza logika w zakresie implikacji to generator liczb losowych od 1 do 4.


4.0 Implikacja w bramkach logicznych

Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych.

4.1 Bramka implikacji prostej

Tabela zero-jedynkowa implikacji prostej.
Kod:

Tabela A
p q  p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Równanie opisujące powyższą tabelę najłatwiej uzyskać z drugiej linii sprowadzając sygnały do jedynki.
p*~q = ~(p=>q)
stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q

Stąd bramka implikacji prostej.
Kod:

 p=> q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q=~p+q

Kółko w linii p oznacza negator wbudowany w układ scalony, niewidoczny dla świata zewnętrznego.
W implikacji prostej strzałka wektora wskazuje linię niezanegowaną.


4.2 Bramka implikacji odwrotnej

Tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
Kod:

Tabela A
p q  p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Równanie opisujące powyższą tabelę najłatwiej uzyskać z ostatniej linii sprowadzając sygnały do jedynki.
~p*q = ~(p~>q)
stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q

Stąd bramka implikacji odwrotnej.
Kod:

 p~> q
 |   |
 |~> O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p~>q=p+~q

Kółko w linii q oznacza negator wbudowany w układ scalony niewidoczny dla człowieka.
W implikacji odwrotnej strzałka wektora wskazuje linię zanegowaną.


4.3 Dowód prawdziwości praw Kubusia w implikacji

Dowód prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q


Bramka implikacji prostej
Kod:

Bramka A Definicja
 p=> q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p=>q=~p+q

Oczywiście kółka negacji wbudowanej w układ nie widzimy.

W dowolną linię układu cyfrowego możemy wstawić dwa negatory i układ nie ulegnie zmianie na mocy prawa podwójnego przeczenia A=~(~A).
Wstawiamy po dwie negacje w linie wejściowe bramki implikacji prostej.
Kod:

Bramka B
 p=> q
 |   |
 O   O
 O   O
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p=>q=~p+q


Co ciekawego możemy uzyskać tym manewrem ?
Oczywiście jeśli te dwie negacje wepchniemy do bramki lub do nazw to totalnie NIC !

Ciekawe rzeczy będą się działy gdy jedną negację wprowadzimy do bramki zaś drugą do nazwy własnej sygnału.

Otrzymamy wówczas układ:

Kod:

Bramka C
~p~>~q
 |   |
 |~> O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=~p~>~q

Jak widać negator w bramce „powędrował” na drugą linię co oznacza, iż bramka zmieniła się z => na ~>.

Układy A i C są równoważne bo:
p=>q=~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q=p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Bramka A
p=>q = ~p+q
Bramka C
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q
Prawe strony równań są identyczne zatem zachodzi prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q


4.4 Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Kod:

Bramka A
 p=> q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q=~p+q


W prawie kontrapozycji wstawiamy tylko po jednym negatorze w linie wejściowe bramki. Możemy je wprowadzić albo do układu scalonego, albo do nazw własnych sygnałów.

Kod:

Bramka B
 p=> q
 |   |
 O   O
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q=~p+q


Prawa Kubusia dotyczące implikacji to zamiana bramki => na ~> i odwrotnie. Wprowadźmy zatem te dwie negacje do układu scalonego by uzyskać zmianę bramki.
Kod:

Bramka C
 p~> q
 |   |
 |~> O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p~>q=p+~q

Jak widać kółko z linii p powędrowało do linii q. Strzałka implikacyjna wskazuje teraz kółko czyli mamy do czynienia z bramką implikacji odwrotnej.

Oczywiście zachodzi:
p=>q # p~>q
bo w linie wejściowe wstawiliśmy tylko po jednej negacji. Aby spełnić prawo kontrapozycji musimy teraz zamienić sygnały p i q na wejściu bramki czyli:

Kod:

Bramka D
 q~> p
 |   |
 |~> O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=q~>p=q+~p


Dla bramek C i D mamy.

Bramka C:
p~>q=p+~q

Bramka D:
q~>p=q+~p

Różne prawe strony równań oznaczają, że nie wolno zamieniać sygnałów na wejściu bramki p~>q (lub p=>q) i stosować ten sam operator logiczny. Prawo kontrapozycji w implikacji jest zatem błędne. Nie uda się przy jego pomocy przejść z układu => na układ ~> i z powrotem. Powyższy dowód jest nie do obalenia w jakiejkolwiek algebrze Boole’a, bo to jest fizyczna rzeczywistość. Każda „algebra Boole’a” która kwestionuje powyższy dowód jest fałszywa.

UWAGA !
Prawa kontrapozycji są poprawne wyłącznie w równoważności. W matematyce świetnie działają bo wszystkie twierdzenia matematyczne to równoważności


4.5 Dowód prawdziwości prawa kontrapozycji w równoważności

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Kod:

Bramka A
 p=> q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q=~p+q


W prawie kontrapozycji wstawiamy tylko po jednym negatorze w linie wejściowe bramki.

Kod:

Bramka B
 p=> q
 |   |
 O   O
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q= ???

Wykorzystajmy ostatnią możliwość i wprowadźmy te dwie negacje do nazw własnych p i q.
Kod:

Bramka C
~p=>~q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   ~p=>~q=~(~p)+~q = p+~q

Jak widać układy A i C nie są jeszcze równoważne. łatwo widać, że doprowadzimy do równoważności układów A i C zamieniając sygnały na wejściu.
Kod:

Bramka D
~q=>~p
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   ~q=>~p=~(~q)+~p = q+~p = ~p+q

Tym razem prawe strony równań w bramkach A i D są identyczne zatem prawo kontrapozycji zachodzi.
p=>q = ~q=>~p
Prawo to jest poprawne w logikach równoważnościowych, gdzie operator implikacji odwrotnej ~> nie jest używany.

W operatorze => jeśli zajdzie p to musi zajść q, zaś jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q czyli:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
… a to jest nic innego jak definicja równoważności

Prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności.

W dzisiejszej logice prawo kontrapozycji jest stosowane zarówno w równoważności jak i implikacji co prowadzi do niejednoznaczności matematyki, bowiem to samo prawo nie może być stosowane w dwóch fundamentalnie różnych układach odniesienia.

Koniec 2009-02-10


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 13:22, 14 Lut 2009, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25621
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 13:17, 14 Lut 2009    Temat postu:

Proste jest piękne


Nowa definicja implikacji


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Prawa matematyczne implikacji
1.2 Prawa matematyczne równoważności
1.3 Matematyczny zapis zdań
1.4 Symboliczne definicje operatorów

2.0 Nowa definicja implikacji
2.1 Definicje operatorów
2.2 Definicje spójników zdaniowych
2.3 Matematyczne kodowanie zdań
2.4 Pełny kwadrat logiczny implikacji
2.5 Równoważne definicje implikacji prostej
2.6 Równoważne definicje implikacji odwrotnej
2.7 Implikacja w praktyce
2.8 Algorytm działania implikacji prostej
2.9 Algorytm działania implikacji odwrotnej
2.10 Uproszczony kwadrat logiczny implikacji

3.0 Właściwości implikacji
3.1 Sprowadzenie fundamentu dzisiejszej implikacji do absurdu
3.2 Kwadrat logiczny implikacji dla stałego punktu odniesienia
3.3 Kwadrat logiczny równoważności
3.4 Inne prawa algebry Boole’a dotyczące implikacji

4.0 Implikacja w bramkach logicznych
4.1 Bramka implikacji prostej
4.2 Bramka implikacji odwrotnej
4.3 Dowód prawdziwości praw Kubusia w implikacji
4.4 Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji
4.5 Dowód prawdziwości prawa kontrapozycji w równoważności



Wstęp.

W artykule zaproponowano zmianę definicji implikacji. Nie ma tu podziału na implikację materialną i implikację logiczną. Jest jedna spójna i jednoznaczna definicja implikacji, dzięki której naturalny język mówiony człowieka to po prostu 100% algebra Boole’a.

Celem artykułu jest udowodnienie że:
Logika człowieka = algebra Boole’a

Jeśli powyższe równanie jest prawdziwe, to logika człowieka jest niezależna od jakiegokolwiek języka mówionego, zaś człowiek posługuje się nią doskonale od czasów Adama i Ewy, będzie to rozwiązanie problemu nad którym ludzkość głowi się od 2500 lat.



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to imp