Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Nowa Teoria Implikacji v. Beta B

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 19:29, 13 Mar 2010    Temat postu: Nowa Teoria Implikacji v. Beta B

Tu jest najnowsza wersja:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/nowa-teoria-implikacji,4368.html#94138

Credo NTI
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).


Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Części:
Część I NTI - Operatory AND i OR
Część II Nowa teoria implikacji
Część III NTI Fantastyczna dyskusja z ateisty.pl


Zalecenia dla czytelnika:
Przed czytaniem tej części NTI zaleca się przeczytanie:
Część I NTI - Operatory AND i OR
Zawodowców proszę o przeczytanie przynajmniej pkt. 1.1, jest tam trochę nowości nieznanych człowiekowi np. logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a.



Część II
Nowa teoria implikacji


Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi za inspirację do napisania końcowej wersji NTI oraz Windziarzowi za postawienie kropki nad „i”.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde).
To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Aktualny stan nauki w zakresie implikacji

2.0 Nowa era w logice
2.1 Równanie ogólne implikacji
2.2 Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji
2.3 Równanie ogólne implikacji w praktyce
2.4 Błędne pojmowanie równoważności w KRZ
2.5 Najsłynniejsze bublowe tabele logiki
2.5.1 Mit o zbędności operatora implikacji odwrotnej
2.5.2 Mit o zbędności operatora implikacji prostej
2.5.3 Najsłynniejsze bublowe tabele logiki

3.0 Nowa teoria implikacji
3.1 Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji
3.2 Warunki wystarczające i konieczne
3.3 Definicja implikacji prostej =>
3.4 Definicja implikacji odwrotnej ~>
3.5 Język asemblera vs kod maszynowy w implikacji
3.6 Dowody praw Kubusia
3.7 Równanie ogólne implikacji
3.8 Gwarancja matematyczna w implikacji
3.9 Definicja równoważności <=>
3.10 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
3.11 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

4.0 Implikacja w równaniach algebry Boole’a
4.1 Implikacja prosta w równaniach
4.2 Implikacja odwrotna w równaniach

5.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy
5.1 Implikacja prosta - algorytm działania
5.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania

6.0 Nowa teoria implikacji w bramkach logicznych
6.1 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
6.2 Implikacja prosta w bramkach logicznych
6.3 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych
6.4 Punkt odniesienia w implikacji

7.0 Obietnice i groźby
7.1 Obietnica
7.2 Rodzaje obietnic
7.3 Groźba
7.4 Złożone formy gróźb i obietnic
7.5 Wolna wola

8.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych
8.1 Obietnica w równaniach matematycznych
8.2 Groźba w równaniach matematycznych

9.0 Nowa teoria implikacji w przedszkolu
9.1 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
9.2 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
9.3 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
9.4 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej
9.5 Kubuś na tropie implikacji prostej
9.6 Operatorowa definicja implikacji prostej
9.7 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
9.8 Gwarancja w implikacji prostej
9.9 O niezbędności operatorów implikacji

10.0 Nowa teoria implikacji w praktyce
10.1 Następstwo czasowe w implikacji
10.2 Rodzaje implikacji
10.3 Formalny dowód nie kochania żony
10.4 Krótka historia powstania NTI


Wstęp:

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie (Emde).

To już historia bo:
Nowa Teoria Implikacji = naturalna logika człowieka, czyli znana jest już matematyczna wersja implikacji której człowiek używa w języku mówionym.

Algebra Boole’a to fizyka a nie matematyka, w świecie techniki to fundament działania wszelkich komputerów i urządzeń, w świecie żywym to fundament działania wszelkich istot żywych, to także fundament naturalnego języka mówionego który też jest obiektem fizycznym.

Warunkiem koniecznym dla zrozumienia Nowej Teorii Implikacji jest odłożenie na półkę całej dzisiejszej wiedzy w zakresie implikacji i przyjęcie nowych definicji implikacji tu podanych, oczywiście chodzi tu o nową interpretację tabel zero-jedynkowych. Tabele zero-jedynkowe implikacji prostej => i odwrotnej ~> w Nowej Teorii Implikacji i Klasycznym Rachunku Zdań są identyczne. Prawa Kubusia też są znane w obu tych systemach i zero-jedynkowo są identyczne. KRZ boi się praw Kubusia jak diabeł święconej wody, bo mówią one o prawie zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>. Uznanie implikacji odwrotnej ~> za legalną i na równych prawach z implikacją prostą wymuszone przez prawa Kubusia to koniec współczesnego świata logiki w temacie implikacji. Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami aby świat był normalny. W podręczniku obalono co najmniej 10 implikacyjnych mitów rodem z KRZ oznaczonych prawda 1 do prawda 10.

Przy prawidłowo rozumianej algebrze Boole'a logika jest fantastycznie prosta, w 100% zgodna z logiką człowieka.

Poprawna matematycznie algebra Boole'a to naturalna logika 5-cio letniego dziecka, absolutnie nic więcej !

0.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>


1.1 Aktualny stan nauki w zakresie implikacji

Aktualne, znane człowiekowi definicje implikacji mają zero wspólnego z implikacją występującą w naturalnym języku mówionym człowieka.
A.
Implikacja materialna:
[link widoczny dla zalogowanych]
Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q". Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: „z P wynika Q” jest prawdziwe, jeśli Q jest prawdziwe lub P jest fałszywe. Jest to interpretacja wygodna ale całkowicie niezgodna z intuicyjnym rozumieniem "wynikania". W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest twierdzenie logiki klasycznej, które orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek".
B.
Implikacja ścisła:
[link widoczny dla zalogowanych]
Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco …

Implikacja występująca w naturalnym języku mówionym to absolutny banał po przyjęciu prawidłowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia

Przyjęcie nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to pogrom starej logiki w zakresie implikacji (Klasycznego Rachunku Zdań). Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.

W szczególności, implikacyjne mity z powyższego cytatu to:
1.
Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji (Prawda 5)
2.
Nie jest prawdą jakoby operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> można było łatwo zastąpić operatorami AND(*) i OR(+) bowiem nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND(*) i OR(+), dodatkowo nie mamy wówczas dostępu do fenomenalnych praw Kubusia ! (Prawda 4)
3.
W nowej teorii implikacji niemożliwe jest aby „z fałszu powstała prawda” jak również niemożliwe jest aby „z prawdy powstał fałsz” (Prawda 9 i 10)

2.0 Nowa era w logice

W tym punkcie udowodnimy fałszywość Klasycznego Rachunku Zdań w zakresie implikacji, w oparciu o prawa logiczne (sic !) obowiązujące w KRZ oraz podamy nowy, poprawny fundament logiki w tym zakresie tj. prawa Kubusia (Sic ! - poprawne w KRZ) plus równanie ogólne implikacji (Sic ! - poprawne w KRZ)


2.1 Równanie ogólne implikacji

NTI - Nowa Teoria Implikacji
KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań

W tym punkcie pokażemy do jakiego momentu NTI jest zgodna z KRZ.

Dowód praw Kubusia metodą zero-jedynkową.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q  Y = p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

To samo w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  Y = p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

To samo w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q = ~(~p*q)

Prawo Kubusia dla operatora implikacji prostej =>:
Kod:

p q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1     0  0 =1
1 0 =0     0  1 =0
0 0 =1     1  1 =1
0 1 =1     1  0 =1

To samo w równaniu:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) - prawo Kubusia plus prawo de’Morgana
Prawo Kubusia poprawne w NTI i KRZ:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>

Prawo Kubusia dla operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1     0  0 =1
1 0 =1     0  1 =1
0 0 =1     1  1 =1
0 1 =0     1  0 =0

To samo w równaniu:
p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) - prawo Kubusia plus prawo de’Morgana
Prawo Kubusia poprawne w NTI i KRZ:
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>

Na podstawie definicji mamy:
Kod:

p q  p=>q   p~>q
1 1    1     1
1 0    0     1
0 0    1     1
0 1    1     0

Stąd prawo NTI i KRZ:
p=>q # p~>q

Na podstawie powyższego zapisujemy równanie ogólne implikacji prawdziwe na gruncie NTI i KRZ:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)

Stąd uproszczone równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q

Zauważmy, że prawa Kubusia i wyprowadzone równanie ogólne implikacji nie wymagały jakichkolwiek dodatkowych założeń typu warunek wystarczający/konieczny. Równanie ogólne implikacji jest wiec prawdziwe w całym obszarze algebry Boole’a.

Równanie ogólne implikacji to świętość w algebrze Boole’a, która nigdy nie może być zgwałcona, podobnie jak prawo Ohma czy prawa Kirchhoffa z obszaru fizyki.

Pozostaje tylko drobiazg, rozszyfrowanie tego równania. Zacznijmy od fundamentów.


2.2 Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Zacznijmy od takiego zdania:
C.
p~>q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
P2 jest konieczne dla P8, zatem w NTI jest to implikacja odwrotna prawdziwa
czyli jeśli zajdzie P2 to może zajść ~P8 (np. 2) lub P8 (np.8)
Jak widać spójnik „może” ~> należy tu rozumieć jako możliwość zajścia q lub ~q, czyli jednej z dwóch możliwości. Nic poza tym nie może się wydarzyć bowiem q+~q=1.
Zauważmy, że nawet nie znając NTI łatwo stwierdzamy zachodzący tu warunek konieczny.
Stąd wynika poniższe rozumowanie:
Jeśli P2 jest konieczne dla P8 to zajście ~P2 gwarantuje zajście ~P8, czyli w sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
D.
~p=>~q
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 - gwarancja w implikacji odwrotnej p~>q
~P2 jest wystarczające dla ~P8, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa.
Zdania C i D są matematycznie równoważne. Oczywiście jeśli zachodzi warunek konieczny w stronę P2~>P8 (zgodne z definicją implikacji odwrotnej w NTI), to musi zachodzić warunek wystarczający w implikacji prostej ~P2=>~P8 (zgodne z definicją implikacji prostej w NTI).

Stąd mamy wyprowadzone definicje implikacji zgodne z NTI, ale …

Zauważmy, że zdanie w którym spełniony jest warunek wystarczający w stronę p=>q (typowe twierdzenie matematyczne), może być implikacją albo równoważnością bo:
1.
p=>q = ~p~>~q
Zachodzenie prawa Kubusia jest gwarancją implikacji prostej p=>q
2.
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający w kierunku p=>q, to zdanie może równoważnością na mocy definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności poprawne jest prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q*(q=>p)
W równoważności pi q możemy przywiązać p i q do zdania p=>q, ale w implikacji NIE, o czym dalej.
Oczywiście w równoważności po prawej stronie mamy do czynienia z warunkami wystarczającym między p=>q, ~p=>~q i q=>p, to nie są implikacje (dowód pkt. 3.9.)

Wynika z tego, że zachodzenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q (typowe twierdzenie matematyczne), niczego nie gwarantuje bo to może być zarówno implikacja prosta =>, jak i równoważność, bowiem warunek wystarczający p=>q jest IDENTYCZNY w obu tych definicjach. Potrzebne są dodatkowe działania wynikające z powyższych definicji, aby to rozstrzygnąć.

Oczywiście jeśli zamienimy p i q w zdaniu P2~>P8 to wylądujemy w implikacji prostej P8=>P2 czyli …
A.
p=>q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 - gwarancja w implikacji prostej p=>q
P8 jest wystarczające dla P2 zatem jest to implikacja prosta prawdziwa

Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Oczywiście jeśli zdanie jest implikacją (tu jest) to po prawej stronie musi być spełniony warunek konieczny.
stąd:
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2
czyli jeśli zajdzie ~P8 to może zajść ~P2 (np.3) lub P2 (np.2)
~P8 jest warunkiem koniecznym dla ~P2, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa.


2.3 Równanie ogólne implikacji w praktyce

Na mocy powyższych analiz mamy do dyspozycji cztery implikacje prawdziwe:
A.
p=>q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 8,16,24 … - gwarancja matematyczna, twarda prawda.
B.
~p~>~q
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1 bo 3,5,7..
Oczywiste prawo Kubusia dla A-B:
p=>q = ~p~>~q

C.
p~>q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 bo 8,16,24 …
D.
~p=>~q
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1 bo 3,5,7 … - gwarancja matematyczna, twarda prawda
Oczywiste prawo Kubusia dla C-D:
p~>q = ~p=>~q

Pełne równanie ogólne implikacji poprawne zarówno w NTI jak i KRZ:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)

Jak widać wyżej, istnieje tylko jedno poprawne odwzorowanie naszego przykładu do równania ogólnego implikacji.
A-B # C-D
czyli:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8 )

Gwarancja matematyczna w implikacji

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia.
Na podstawie równania ogólnego implikacji, dla naszego konkretnego przykładu możemy zapisać.

Prawda 4
W definicjach implikacji wyrażonych w AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów.
Z równania ogólnego implikacji mamy:
P8=>P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8 )

Po pierwsze:
Zauważmy, że gdyby w implikacyjnych AND i OR zachodziła przemienność argumentów to powyższe równanie leży w gruzach, bowiem wtedy musimy zamiast znaku „#” postawić „=”.

Po drugie:
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia.

Lewa strona nierówności:
P8=>P2 = ~(P8*~P2)
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Gwarantowane liczby: 8,16,24 …
Ta sama gwarancja w operatorach AND i OR:
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
~(P8*~P2)
Gwarantowane liczby: 8,16,24 …
Jak widać, gwarancja wyrażona w operatorze implikacji prostej => oraz przy pomocy operatora AND jest identyczna.

Prawa strona nierówności:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8 )
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
Gwarantowane liczby: 3,5,7 …
Ta sama gwarancja w operatorach AND i OR:
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
~(~P2*P8 )
Gwarantowane liczby: 3,5,7 …

Jak widać, gwarancje po obu stronach nierówności są fundamentalnie inne, zgodne z definicjami implikacji. Wynika z tego że argumenty w implikacyjnych AND i OR nie są przemienne. W praktyce języka mówionego jest to bez znaczenia bowiem w implikacji człowiek korzysta wyłącznie z nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia i praktycznie nigdy nie przechodzi do równoważnych definicji w operatorach AND i OR.

Po trzecie:
W równaniu ogólnym implikacji nie wolno zastąpić znaku „#” znakiem „=” bowiem poza powyższymi gwarancjami jest trzeci zbiór liczb podzielnych przez 2 i niepodzielnych przez 8 (2,4,6…), tak więc gwarancja lewej strony nierówności nie jest uzupełnieniem prawej strony nierówności … dlatego to jest implikacja a nie równoważność.

Po czwarte:
Nieuznawanie równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> czyli jedynie słuszna, komunistyczna definicja implikacji materialnej, odcina nas od fenomenalnych praw Kubusia używanych przez każdego człowieka milion razy na dobę, od 5-cio latka po profesora. Ty też czytelniku korzystasz z praw Kubusia milion razy na dobę.

Kolejny ciekawy wniosek z równania ogólnego implikacji.

Prawda 5
Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności
Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności

Z powyższego równania mamy:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
jeśli na stałe przywiążemy p i q do lewej strony to otrzymamy:
p=>q # ~q=>~p
czyli:
Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji.

Ten sam dowód w równaniu algebry Boole’a.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Dla prawej strony stosujemy definicję implikacji prostej:
~q=>~p = ~(~q)+~p = q+~p # ~p+q = p=>q
Implikacja jest wektorem kierunkowym gdzie nie zachodzi przemienność argumentów.
Prawa poprawne w NTI i KRZ:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
Z powyższego powodu a także z równania ogólnego implikacji wynika, że nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND i OR, dlatego prawo kontrapozycji jest w implikacji fałszywe.
CND

Termin „prawo Kubusia jest w równoważności fałszywe” oznacza że nie istnieje równoważność dla której mogłoby być spełnione prawo Kubusia.
Termin „prawo Kubusia jest w implikacji prawdziwe” oznacza, że istnieje zdanie „Jeśli…to…” które może być implikacją prawdziwą. Oczywiście zdanie „Jeśli…to…” może być także implikacją fałszywą, czyli nie spełniającą warunku wystarczającego => lub koniecznego ~>.

Przykład:
Implikacja prawdziwa:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa

Implikacje fałszywe:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy jedna prawda.
P3 nie jest konieczne dla P8 zatem jest to implikacja odwrotna fałszywa.
Dowód nie wprost.
Zakładamy, że P3~>P8 jest implikacją odwrotną prawdziwą i korzystamy z prawa Kubusia:
P3~>P8 = ~P3=>~P8
Oczywiście:
~P3=>~P8 =0 bo 8
zatem implikacja odwrotna P3~>P8 jest fałszywa.
CND
2.
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
PR=>KS
Implikacja fałszywa bo różowy pies nie jest ani warunkiem koniecznym, ani też wystarczającym dla tego, aby krowa śpiewała w operze.
Wniosek:
W NTI wszelkie zdania „Jeśli…to…” w których p jest bez związku z q są fałszywe.


2.4 Błędne pojmowanie równoważności w KRZ

Definicja:
Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy spełnia pełną, operatorową definicję implikacji (zero-jedynkową).

Implikacja jest wektorem kierunkowym, gdzie nie wolno zamieniać p i q.
Prawa algebry Boole’a poprawne w NTI i KRZ:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
czyli:
Jeśli implikacja p=>q jest prawdziwa to implikacja q=>p musi być fałszywa, albo odwrotnie.
Jeśli implikacja p~>q jest prawdziwa to implikacja q~>p musi być fałszywa, albo odwrotnie.

Mamy tu najprostszy dowód fałszywości definicji rozumianej jako iloczyn logiczny dwóch implikacji p=>q i q=>p.
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0
Oczywiście z prawej strony chodzi wyłącznie o warunki wystarczające w stronę p=>q i q=>p, to nie są implikacje !

Na podstawie powyższego błędny jest znany z podręczników matematyki do I klasy LO kwadrat logiczny implikacji.
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

Kwadrat logiczny równoważności
p=>q      q=>p


~p=>~q   ~q=>~p

Oczywiście powyższy kwadrat nie ma nic wspólnego z implikacją co dowiedziono wyżej. To jest bezdyskusyjny kwadrat równoważności gdzie wszędzie chodzi wyłącznie o warunki wystarczające między p=>q, ~p=>~q, q=>p, ~q=>~p.

Dziewicza definicja równoważności wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej jest taka:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności bo tu można zamieniać miejscami p i q.
Prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Niestety, matematycy kompletnie zapominają o dziewiczej definicji równoważności przy pomocy której równoważność dowodzi się nieporównywalnie prościej, np. twierdzenie Pitagorasa jest bezdyskusyjną równoważnością a nie jak to jest w dzisiejszej matematyce „implikacją”.

W poprzednim punkcie udowodniliśmy fałszywość prawa kontrapozycji w implikacji. Twierdzenia matematyczne to implikacje bezczasowe albo równoważności, nie ma innych możliwości matematycznych. W implikacjach bezczasowych sensowne będzie „prawo” kontrapozycji.
p=>q # ~q=>~p - prawo kontrapozycji w implikacji
p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji w równoważności
Zdania ~q=>~p będą identyczne w równoważności i implikacji, tak więc prawo kontrapozycji jest totalnie bezużyteczne bowiem nie da się nim rozstrzygnąć czym jest twierdzenie matematyczne, implikacją czy też równoważnością.

Prawo kontrapozycji jest pożyteczne o tyle, że zamiast dowodzić warunku wystarczającego w kierunku p=>q możemy dowodzić warunek wystarczający w kierunku ~q=>~p. W sumie jest to kompletnie bez znaczenia, bowiem równoważność udowodnimy wtedy i tylko wtedy gdy wykażemy zachodzące warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności. Jeśli udowodnimy warunek wystarczający w dowolnym jednym punkcie kwadratu logicznego to zdanie może być implikacją albo równoważnością, nic więcej z tego nie wyciśniemy i „prawo” kontrapozycji nic tu nie pomoże.


2.5 Najsłynniejsze bublowe tabele logiki

NTI - Nowa Teoria Implikacji
KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań

Prawa Kubusia prawdziwe zarówno w NTI jak i KRZ:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikacje odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>

Równanie ogólne implikacji prawdziwe zarówno w NTI jak i KRZ:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)


2.5.1 Mit o zbędności operatora implikacji odwrotnej

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej prawdziwa w NTI i KRZ:
Kod:

p q  p=>q   q~>p = p<~q
1 1  1       1
1 0  0       0
0 0  1       1
0 1  1       1

NTI:
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

W implikacji nie wolno zamieniać argumentów zatem p musi być zawsze z lewej strony:
p=>q = p<~q
Z powyższego wynika że:
=> = <~ - wtedy i tylko wtedy gdy operator <~ będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym

KRZ:
Na mocy powyższej tabeli współczesny logik stwierdza, że operator implikacji odwrotnej jest zbędny bo:
p=>q = q~>p
czyli jeśli w implikacji prostej p=>q zamienimy p i q miejscami to otrzymamy „równoważną” implikacje odwrotną q~>p.

Dowód błędności takiego rozumowania.
Definicje implikacji prostej i odwrotnej:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
bo nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND i OR co wynika ze świętości algebry Boole’a, równania ogólnego implikacji prawdziwego w NTI i KRZ.
CND

Rozważmy dwa zdanie prawdziwe w NTI i KRZ:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa

Zauważmy, że jeśli P2 jest konieczne dla P8 to zajście ~P2 gwarantuje zajście ~P8 (rozumowanie poprawne zarówno w NTI jak i KRZ).
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
~P2 jest wystarczające dla ~P8, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa

Kwadratura koła dla współczesnych matematyków:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2 ??? P8

Jeśli twierdzicie, że operator implikacji odwrotnej ~> jest zbędny to poproszę o wstawienie jedynie słusznego, komunistycznego operatora implikacji prostej => w miejsce ??? w taki sposób, aby to miało ręce i nogi.


2.5.2 Mit o zbędności operatora implikacji prostej

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  p~>q q=>p = p<=q
1 1   1    1
1 0   1    1
0 0   1    1
0 1   0    0

NTI:
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

W implikacji nie wolno zamieniać argumentów zatem p musi być zawsze z lewej strony:
p~>q = p<=q
Z powyższego wynika że:
~> = <= - wtedy i tylko wtedy gdy operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym.

KRZ:
Na mocy powyższej tabeli współczesny logik stwierdza, że operator implikacji prostej jest zbędny bo:
p~>q = q=>p
czyli jeśli w implikacji odwrotnej p~>q zamienimy p i q miejscami to otrzymamy „równoważną” implikację prostą q=>p.

Dowód błędności takiego rozumowania.
Definicje implikacji prostej i odwrotnej:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p
bo nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND i OR co wynika ze świętości algebry Boole’a, równania ogólnego implikacji prawdziwego w NTI i KRZ.
CND


2.5.3 Najsłynniejsze bublowe tabele logiki

Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>:
Kod:

p q  p=>q   p~>q
1 1    1     1
1 0    0     1
0 0    1     1
0 1    1     0


Z równania ogólnego implikacji, absolutnej świętości w algebrze Boole’a prawdziwej w NTI i KRZ wynika:
p=>q # q~>p
p~>q # q=>p
co dowiedziono wyżej.

Jeśli zgwałcimy równanie ogólne implikacji to otrzymamy najsłynniejsze bublowe tabele współczesnej logiki.
Kod:

p q   p=>q  ~p~>~q  q~>p  ~q=>~p
1 1    1      1      1      1
1 0    0      0      0      0
0 0    1      1      1      1
0 1    1      1      1      1

Kod:

p q   p~>q  ~p=>~q  q=>p  ~q~>~p
1 1    1      1      1      1
1 0    1      1      1      1
0 0    1      1      1      1
0 1    0      0      0      0


Zastosujmy powyższe tabele do naszego koronnego przykładu wyżej:
A.
P8=>P2 = ~P8~>~P2
B.
P2~>P8 = ~P2=>~P8

Tabela dla równania A.
Kod:

Tabela A
P8 P2  P8=>P2  ~P8~>~P2  P2~>P8  ~P2=>~P8
p  q   p=>q     ~p~>~q   q~>p     ~q=>~p
1  1    1        1        1        1
1  0    0        0        0        0
0  0    1        1        1        1
0  1    1        1        1        1

Mamy wyżej:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = P2~>P8 = ~P2=>~P8
Równanie ogólne implikacji:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8
Pytanie do matematyków.
Po co Wam ta druga tabelka niżej skoro stawiając znak równości „=” w miejsce „#” zrównaliście walcem wszystkie cztery równania.
To co niżej jest zbędne, zgadza się ?

Tabela dla równania B
Kod:

Tabela B.
P2 P8  P2~>P8  ~P2=>~P8  P8=>P2  ~P8~>~P2
p  q   p~>q    ~p=>~q    q=>p     ~q~>~p
1  1    1        1        1        1
1  0    1        1        1        1
0  0    1        1        1        1
0  1    0        0        0        0

Na podstawie powyższego mamay:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = P2~>P8 = ~P2=>~P8
Równanie ogólne implikacji:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8

Porównajmy tabele A i B wyżej.
Jak widzimy matematycznie zachodzi:
Kod:

Tabela A    Tabela B
P8=>P2   #   P8=>P2
~P8~>~P2 #  ~P8~>~P2
P2~>P8   #   P2~>P8
~P2=>~P8 #  ~P2=>~p8

Czyli wszędzie:
A # A
co matematycznie jest delikatnie mówiąc do bani.

Zauważmy, że równanie ogólne implikacji jest tu świętością, obowiązuje w całej algebrze Boole’a bo wyprowadzone zostało bez żadnych dodatkowych warunków typu warunek wystarczający/konieczny itp.

Co jest źle w bublowych tabelach współczesnej logiki ?

Rozwiązanie zagadki dla równania A.
Kod:

Tabela A
1  2   3        4        5        6
P8 P2  P8=>P2  ~P8~>~P2  P2~>P8  ~P2=>~P8
p  q   p=>q     ~p~>~q   q~>p     ~q=>~p
1  1    1        1        1        1
1  0    0        0        0        0
0  0    1        1        1        1
0  1    1        1        1        1
Przekształcenia matematycznie bez znaczenia:
P8 P2  p=>q     ~p~>~q   p<~q    ~p<= ~q
p  q   P8=>P2  ~P8~>~P2  P8<~P2 ~P8<= ~P2
Rozwiązanie zagadki:
                         P8=>P2 ~P8~> ~P2
                          p=>q   ~p~> ~q

Pod najsłynniejszą bublową tabelą logiki podano rozwiązanie zagadki. W kolumnach 5 i 6 zamieniono p i q wraz ze zmiana kierunku operatora. Matematycznie to bez znaczenia bo implikację czytamy zawsze zgodnie z kierunkiem wektora. W ten sposób uzyskaliśmy zgodność położenia p i q z kolumną 3 czyli z definicją implikacji prostej. W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów i p musi być zawsze z lewej strony.

Kolumna 5:
P2~>P8
odczyt zgodnie z kierunkiem wektora ~>:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 = P8<~ P2
Zapis jak wyżej jest matematycznie bez znaczenia, bo czytamy zawsze zgodnie ze strzałką.
… ale odczyt tego zdania w kierunku od P8 do P2 czyli w kierunku jak w zdaniu wypowiedzianym (kolumna 3) będzie fundamentalnie inny.
Rozwiązanie zagadki:
Zdanie 3 = Zdanie 5
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = P8<~ P2 !
czyli:
=> = <~ - wtedy i tylko wtedy gdy operator <~ będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym.

Kolumna 6:
~P2=>~P8
odczyt zgodnie z kierunkiem wektora =>:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 = ~P8<= ~P2
Zapis jak wyżej jest matematycznie bez znaczenia, bo czytamy zawsze zgodnie ze strzałką.
… ale odczyt tego zdania w kierunku od P8 do P2 czyli w kierunku jak w zdaniu 4 będzie fundamentalnie inny.
Rozwiązanie zagadki:
Zdanie 4 = Zdanie 6
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 = ~P8<= ~P2 !
czyli:
~> = <= - wtedy i tylko wtedy gdy operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Jak widać wyżej, przy ustawieniu wszędzie p z lewej strony i rozumowaniu jak wyżej kolumny 3 i 4 są identyczne jak 5 i 6. Bierzemy zatem do ręki siekierę i odcinamy ostatnie dwie kolumny najsłynniejszej bublowej tabeli logiki. Identyczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla tabeli B wyżej.

Rozwiązanie zagadki dla równania B
Kod:

Tabela B.
1  2    3        4        5        6
P2 P8  P2~>P8  ~P2=>~P8  P8=>P2  ~P8~>~P2
p  q   p~>q    ~p=>~q    q=>p     ~q~>~p
1  1    1        1        1        1
1  0    1        1        1        1
0  0    1        1        1        1
0  1    0        0        0        0
Przekształcenia matematycznie bez znaczenia:
P2 P8  P2~>P8  ~P2=>~P8  P2<=P8  ~P2<~ ~P8
p  q   p~>q    ~p=>~q    p<=q     ~p<~ ~q
Rozwiązanie zagadki:
                         P2~>P8  ~P2=> ~P8
                          p~>q    ~p=> ~q

Jak widać w rozwiązaniu zagadki kolumny 3-4 są identyczne jak 5-6, zatem odcinamy kolumny 5-6 jako zbędne.
Po krwawych i drastycznych scenach z siekierą otrzymamy poprawne tabele zgodne z NTI.

Analogiczne tabele A i B w Nowej Teorii Implikacji wyglądają tak:
A.
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Kod:

P8 P2  P8=>P2  ~P8~>~P2
p  q    p=>q    ~p~>~q
1  1    1        1
1  0    0        0
0  0    1        1
0  1    1        1


B.
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Kod:

P2 P8  P2~>P8  ~P2=>~P8
p  q    p~>q    ~p=>~q
1  1    1        1
1  0    1        1
0  0    1        1
0  1    0        0


W Nowej teorii implikacji świętość algebry Boole’a, równanie ogólne implikacji jest spełnione w 100%.
P8=>P2 = ~P8~>~P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8

Całą dzisiejszą logikę w zakresie implikacji trzeba zburzyć i na gruzach zbudować Nową Teorię Implikacji, co właśnie się stało.


3.0 Nowa teoria implikacji

Warunkiem koniecznym dla zrozumienia NTI jest odłożenie na półkę całej dzisiejszej wiedzy w zakresie implikacji i przyjęcie nowych definicji tu podanych. Nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> wynikają bezpośrednio z odpowiednich definicji zero-jedynkowych, znanych człowiekowi od ponad 100 lat. Pewne jest jedno, jeśli będziemy dyskutować o implikacji gdzie jeden z rozmówców używa definicji implikacji materialnej a drugi nowych definicji z NTI to taka dyskusja nie ma sensu.

3.1 Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia).

Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.


3.2 Warunki wystarczające i konieczne

Warunki wystarczający w implikacji prostej => i konieczny w implikacji odwrotnej ~> to kluczowe pojęcia w Nowej Teorii Implikacji wynikające bezpośrednio z odpowiednich definicji zero-jedynkowych.

Warunki wystarczający i konieczny należy rozumieć w sposób naturalny, tak jak to rozumieją 5-cio letnie dzieci.
1.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy, zatem warunek wystarczający spełniony
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć 4 łap (mrówka)
~P~>~4L
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Posiadanie czterech łap jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem, zatem warunek konieczny spełniony
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym aby nie być psem, zatem implikacja prosta prawdziwa

Warunki wystarczający => i konieczny ~> to kluczowe pojęcia w Nowej Teorii Implikacji.

Dlaczego ?
=> - spójnik „musi” między p i q, warunek wystarczający
~> - spójnik „może” między p i q, warunek konieczny

1.
Definicja implikacji prostej jest złożeniem warunku wystarczającego w kierunku p=>q i koniecznego w kierunku ~p~>~q
Definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi warunek wystarczający i spełnione jest prawo Kubusia:
p=>p = ~p~>~q
Przykład: P=>4L = ~P~>~4L (wyżej)
2.
Definicja implikacji odwrotnej jest złożeniem warunku koniecznego w kierunku p~>q i wystarczającego w kierunku ~p=>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśłi…to…” jest implikacją odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi warunek konieczny i spełnione jest prawo Kubusia:
p~>q =~p=>~q
Przykład: 4L~>P = ~4L=>~P (wyżej)
3.
Definicja równoważności to złożenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q i ponownie warunku wystarczającego w kierunku ~p=>~q.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Przykład: Twierdzenie Pitagorasa
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
4.
Ostatni możliwy przypadek czyli złożenie warunku koniecznego po stronie p~>q i ponownie warunku koniecznego po stronie ~p~>~q jest niemożliwy do zaistnienia bo:
Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q, wykluczony jest tu zatem przypadek ~p~>~q.
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na operator =>

Koniec, to jest cała filozofia NTI w obszarze implikacji i równoważności.

UWAGA !
Zauważmy, że powyższe prawo Kubusia jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy między p~>q zachodzi warunek konieczny czyli:
p~>q = ~p=>~q =1
Jeśli między p~>q zachodzi warunek konieczny to na pewno między ~p=>~q zachodzi warunek wystarczający, gwarantuje to prawo Kubusia.
inaczej:
p~>q = ~p=>~q = 0 !
- brak warunków konieczny/wystarczający, obie implikacje są fałszywe.


3.3 Definicja implikacji prostej =>

Definicja:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy spełnia pełną, operatorową definicję implikacji prostej.

Implikacja to matematyczny opis przyszłości. Definicja zero-jedynkowa implikacji to rozpiska wszystkich możliwych przypadków jakie w przyszłości mogą zaistnieć.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

Tabela A
p q  Y=p=>p
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Definicja w równaniu algebry Boole’a.
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji wyrażona w operatorach AND i OR w praktyce języka mówionego praktycznie nie używana . Wszyscy ludzie od 5-cio latka po profesora korzystają wyłącznie z definicji operatorowych.

Definicja symboliczna implikacji prostej w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Kod:

Tabela B
 p   q  Y=p=>q
 p*  q =1
 p* ~q =0
~p* ~q =1
~p*  q =1

Powyższa tabela to zera i jedynki z definicji zero-jedynkowej zapisane w postaci symbolicznej, zmienne binarne. Zauważmy, że wszystkie zmienne sprowadzone zostały od jedynki (prawdy), dlatego logika dodatnia wymusza operator AND(*) w poziomie i OR(+) w pionie.

Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji prostej =>:
Kod:

Tabela C
 p    q  Y=p=>q
 p => q =1
1 1 =1
stąd:
 p =>~q =0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p ~>~q =1
0 0 =1
LUB
~p~~> q =1
0 1 =1

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawda 1
Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem definicja implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.

Nie ma implikacji prostej => bez implikacji odwrotnej ~> !

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej w NTI:
1.
Zauważmy, że warunek wystarczający wynika z pierwszych dwóch linii tabeli B lub C. Druga linia jest twardym fałszem, zatem w pierwszej linii musi być twarda prawda bo po stronie p nie ma więcej możliwości matematycznych.
p=>q =1 - twarda prawda zachodząca zawsze
p q =1
1 1 =1
Jeśli zajdzie p to musi zajść q czyli p musi być wystarczające dla q.
stąd druga linia:
p=>~q =0 - twardy fałsz
p ~q =0
1 0 =0
Stąd:
Definicja implikacji prostej:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
2.
Kolejne dwie linie to warunek konieczny ~>, widać że jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q lub q czyli:
~p~>~q =1
~p ~q =1
0 0 =1
LUB
~p~~>q =1
~p q =1
0 1 =1
Mamy tu typowe „rzucanie monetą”. Dla wylosowanego elementu zgodnego z ~p jedna z dwóch ostatnich linii będzie prawdziwa, druga fałszywa. Dla nieskończonej ilości losowań na pewno zajdzie przynajmniej jedna prawda w obu ostatnich liniach, stąd dwie jedynki w definicji.
Uwaga:
Po stronie ~p może wystąpić także warunek wystarczający (~p=>~q=1), wtedy to będzie równoważność a nie implikacja prosta na mocy definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Zauważmy, że w definicji symbolicznej i operatorowej wszystkie zmienne zostały sprowadzone do prawdy (do jedynek). Zera i jedynki w definicji operatorowej nas kompletnie nie interesują

Pierwsza linia:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
p=>q =1
1 1 =1
czyli:
Jeśli zajdzie p (prawda) to na pewno zajdzie q (prawda)
Druga linia:
p=>~q =0
Jeśli zajdzie p (prawda) to na pewno zajdzie ~q (prawda)
p=>~q =0
1 0 =0
Oczywisty fałsz na mocy definicji implikacji prostej.
Trzecia linia:
~p~>~q =1
Jeśli zajdzie ~p (prawda) to może zajść ~q (prawda)
~p~>~q=1
0 0 =1
LUB
Czwarta linia:
~p~~>q =1
Jeśli zajdzie ~p (prawda) to może zajść q (prawda)
~p~~>q =1
0 1 =1
Jak widać w całej operatorowej definicji implikacji prostej => mamy sytuację iż jeśli zajdzie poprzednik (prawda) to zajdzie(=>)/może zajść (~>) następnik (prawda).

Prawda 9
W definicji zero-jedynkowej implikacji prostej sekwencja 0 1 =1 nie oznacza że z fałszu może powstać prawda (to nonsens), ale że z prawdy ~p (wylosowany element zgodny z ~p) może powstać p (prawda), gdy wylosowany element ma cechę zgodną z q.

Przykład:
Jeśli zwierze nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
0 1 =1
Wylosowaliśmy zwierzaka ~P (prawda=słoń) który ma cztery łapy (4L).

Przykład 3.3.1
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 - gwarancja matematyczna
1 1 =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L =0
1 0 =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
0 0 =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0

Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi.

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie D jest implikacja odwrotną i zastosujmy prawo Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L =0
Zdanie B jest oczywistym fałszem zatem zdanie D jest implikacją odwrotną fałszywą.

Prawdziwość zdania D można opisać wzorem:
(~P~>4L) + (~P~~>4L) = 0 +1 =1
Implikacja odwrotna ~> jest tu fałszywa, ale zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.

Wniosek:
Zamiast badać czy między p~>q zachodzi warunek konieczny możemy skorzystać z prawa Kubusia i badać czy między ~p=>~q zachodzi warunek wystarczający, co z reguły jest prostsze.

Implikacja to matematyczny opis przyszłości. Definicja implikacji to matematyczny zapis wszystkich możliwych przypadków jakie w przyszłości mogą zaistnieć (tu A,B,C,D). Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna (zdanie A), wszystko inne jest bez znaczenia. Po nieskończonej ilości losowań w pudełku A będziemy mieć wszystkie ziemskie psy (twarda prawda = gwarancja matematyczna), pudełko B pozostanie puste (twardy fałsz - wynikły z powyższej twardej prawdy).
Dla konkretnego losowania w którym wylosowane zwierzę nie jest psem (~P) może zajść prawda miękka C albo D. Jeśli prawdą będzie C to automatycznie fałszem będzie D i odwrotnie, tak wiec w zdaniach C i D mamy „rzucanie monetą” bo nigdy nie wiadomo jakie zwierzę spełniające warunek „nie pies (~P)” zostanie wylosowane.
Oczywiście po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B … tyle tylko że nie ono jest w implikacji ważne. W implikacji istotna jest gwarancja matematyczna czyli pudełko A, którego nie należy mieszać z matematycznie bezwartościowymi pudełkami C i D.

Prawda 2
Stąd definicja implikacji materialnej definiowana jako:
„Zdanie B jest fałszywe, zaś A,C,D są prawdziwe”
jest bez sensu bo nie wolno zrównywać twardej prawdy A (zachodzi zawsze) z bezwartościowymi prawdami miękkimi C i D (mogą zajść ale nie muszą = rzucanie monetą) !

W powyższej analizie zdania A i C są tożsame na mocy prawa Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Przeanalizowaliśmy wyżej lewą stronę tożsamości poprzez operator implikacji prostej =>. Na mocy prawa Kubusia musimy uzyskać dokładnie to samo analizując prawą stronę tożsamości poprzez definicję implikacji odwrotnej ~>. Sprawdźmy czy tak jest w istocie.

Przykład 3.3.2
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap

Analiza matematyczna:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
1 1 =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
1 0 =1
… a jeśli zwierzę jest psem ?
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L
stąd:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 - gwarancja matematyczna
0 0 =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L =0
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
Zauważmy, że zdania A,B,C i D są identyczne w obu powyższych przykładach z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co jest dowodem poprawności praw Kubusia.


3.4 Definicja implikacji odwrotnej ~>

Definicja:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy spełnia pełną, operatorową definicję implikacji odwrotnej.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

Tabela A
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Definicja w równaniu algebry Boole’a
p~>q = p+~q = ~(~p*q)
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Kod:

Tabela B
 p  q p~>q
 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0

stąd:
Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

Tabela C
 p    q  Y=p~>q
 p ~> q =1
1 1 =1
LUB
 p~~>~q =1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p =>~q =1
0 0 =1
Stąd:
~p => q =0
0 1 =0

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawda 3
Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem operator implikacji odwrotnej ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej => i odwrotnie.

Nie ma implikacji odwrotnej ~> bez implikacji prostej => !

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej w NTI:
W tabeli B i C widać jak na dłoni, że jeśli spełniony zostanie warunek p to może zajść q lub ~q. W pierwszej części tabeli mamy więc bezwartościowe „rzucanie monetą” ale ….
Zauważmy że p musi tu być konieczne dla q !
Dlaczego ?
1.
bo wtedy i tylko wtedy w pierwszej linii będziemy mieć w wyniku jedynkę.
Przykład:
Jeśli zwierze ma skrzydła to może być psem
S~>P =0 - twardy fałsz !
1 1 =0
p q =0
Skrzydła nie są konieczne dla psa, implikacja odwrotna fałszywa
Już pierwsza linia tabeli leży w gruzach zatem zdanie jest implikacją odwrotną fałszywą. Implikacja prosta => również jest tu fałszywa bo skrzydła nie są warunkiem wystarczającym dla psa.
Przykład:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1 bo pies
p q =1
1 1 =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P =1 bo słoń
p ~q =1
1 0 =1
Stąd:
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być konieczne dla q

2.
Jeśli p jest konieczne dla q (co wynikło nam wyżej) to zajście ~p gwarantuje zajście ~q, czyli w sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawa strona wyżej to dolna część tabeli zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej;
~p=>~q =1 - twarda prawda zachodząca zawsze !
~p ~q =1
0 0 =1
stąd ostatnia linia tabeli:
~p=>q =0
~p q =0
0 1 =0
CND

Przykład 3.4.1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
1 1 =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P =1 bo słoń
1 0 =1
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~~>P = ~4L=>~P
czyli:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - gwarancja matematyczna
0 0 =1
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym aby nie być psem, zatem implikacja prosta prawdziwa.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P =0 - oczywisty fałsz
0 1 =0
Doskonale widać zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Na mocy prawa Kubusia zdania A i C są matematycznie tożsame, zatem zdania C nie musimy analizować … ale jako ciekawscy sprawdźmy czy to prawda.

Przykład 3.4.2
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem

Analiza matematyczna:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - gwarancja matematyczna
1 1 =1
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym aby nie być psem, zatem implikacja prosta prawdziwa.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P =0 - oczywisty fałsz
1 0 =0
… a jeśli zwierzę ma cztery łapy ?
Prawo Kubusia:
~4L=>~P = 4L~>P
czyli:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
0 0 =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P =1 bo słoń
0 1 =1
Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0
Zauważmy, że zdania A,B,C i D są identyczne w obu powyższych przykładach z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co jest dowodem poprawności praw Kubusia.

Ciąg dalszy na następnej stronie …


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 21:53, 13 Mar 2010, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 19:31, 13 Mar 2010    Temat postu:

3.5 Język asemblera vs kod maszynowy w implikacji

Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji:

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Język asemblera w implikacji to kodowanie zdań w naturalnej logice człowieka w izolacji od kodu maszynowego czyli wszelkich zer i jedynek. Zauważmy, że w powyższych analizach tabele zero-jedynkowe które pieczołowicie pokazywaliśmy są „psu na budę potrzebne”, czyli możemy je spokojnie wytrzeć gumką otrzymując analizę zdań w języku asemblera.

Język asemblera jest nam zatem znany. Zobaczmy jak będzie wyglądała analiza implikacji przy pomocy definicji zero-jedynkowej, definicji symbolicznej i definicji operatorowej.

Analizowane zdanie:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy, zatem jest to implikacja proste prawdziwa.

Jak widać, skorzystaliśmy tu z już poznanej wiedzy, bowiem analiza zdania „Jeśli…to…” gdzie nie jest spełniony warunek wystarczający nie ma sensu. Taka implikacja jest fałszywa na mocy nowej definicji implikacji prostej => z NTI.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

Tabela A
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Tabela zero-jedynkowa implikacji prostej to nic innego jak rozpisane wszystkie przypadki które mogą w przyszłości wystąpić.

Tabelę symboliczną implikacji prostej otrzymujemy przyjmując logikę dodatnią:
p=1. ~p=0
q=1 ~q=0
Kod:

Tabela B
 p  q p=>q
 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1

Tabela operatorowa implikacji prostej:
Kod:

Tabela C
 p   q  p=>q
 p=> q =1
 p=>~q =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q =1
~p~~>q =1

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L

Tabela zero-jedynkowa dla naszego zdania:
Kod:

Tabela A1
P 4L  Y=P=>4L
1  1 =1
1  0 =0
0  0 =1
0  1 =1

Znaczenie zer i jedynek:
P=1 - wylosowane zwierzę jest psem
P=0 - wylosowane zwierzę nie jest psem
4L=1 - wylosowane zwierze ma cztery łapy
4L=0 - wylosowane zwierzę nie ma czterech łap
Druga linia:
Zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
P=1 i 4L=0 |=0 - oczywisty fałsz
Totalny brak zgodności zapisu matematycznego z wypowiedzianym zdaniem
P=1 - zwierzę jest psem
4L=0 - nie ma czterech łap (w zdaniu jest ~4L)

Tabela symboliczna dla naszego przykładu.
Przyjmujemy:
p=P, q=4L
Kod:

Tabela B1
 P   4L  Y=P=>4L
 P*  4L =1
 P* ~4L =0
~P* ~4L =1
~P*  4L =1

Znaczenie symboli:
P - wylosowane zwierzę jest psem
~P - wylosowane zwierzę nie jest psem
4L - wylosowane zwierzę ma cztery łapy
~4L - wylosowane zwierzę nie ma czterech łap
* - spójnik „i”
Zauważmy, że tabela symboliczna to nic innego jak tabela zero-jedynkowa w której zera i jedynki zastąpiono nazwami symbolicznymi w zgodnymi z naturalną logiką człowieka.

Druga linia:
Zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
P*~4L =0 - oczywisty fałsz
P - zwierzę jest psem
~4L - nie ma czterech łap
Na poziomie stałych symbolicznych mamy tu zgodność z powyższym zdaniem … ale zdanie wypowiedziane w oryginale było zupełnie inne !
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L

Tabela operatorowa implikacji prostej dla naszego przykładu:
Kod:

Tabela C1
 P   4L  Y=P=>4L
 P=> 4L =1
 P=>~4L =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
~P~>~4L =1
~P~~>4L =1

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Druga linia:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - oczywisty fałsz
Fenomenalna zgodność zapisu matematycznego ze zdaniem wypowiedzianym !

Przeanalizujmy zdanie wypowiedziane w całości. W poniższej analizie w pierwszym wierszu zapiszemy zdanie operatorowo, w drugim przy pomocy tabeli symbolicznej wyżej, a w trzecim przy pomocy definicji zero-jedynkowej.

Analiza matematyczna
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to na pewno będzie miało cztery łapy
P=>4L =1 bo pies - definicja operatorowa
P* 4L =1 - definicja symboliczna
(P=1)* (4L=1) |=1 - definicja zero-jedynkowa
Stąd:
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to na pewno nie będzie miało czterech łap
P=>~4L =0
P*~4L =0 - pies i nie ma czterech łap
(P=1)*(4L=0) |=0 - pies i nie ma czterech łap
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę nie będzie psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo mrówka
~P*~4L =1 - nie pies i nie ma czterech łap
(P=0) * (4L=0) |=1 - nie pies i nie ma czterech łap
LUB
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę nie będzie psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
~P*4L =1 - nie pies i ma cztery łapy
(P=0) * (4L=1) - nie pies i ma cztery łapy

Jak widać wyżej wyłącznie definicja operatorowa zapewnia 100% zgodność analizy matematycznej zdania z naturalną logiką człowieka. Dwie pozostałe definicje są do bani i nie dorastają definicji operatorowej do pięt.


3.6 Dowody praw Kubusia

Prawa Kubusia zostały udowodnione przez:
Wuj Zbój - metoda równań algebry Boole’a
Uczy - metoda nie wprost
Kubuś - metoda definicji operatorowych
Metoda zero-jedynkowa to dla każdego matematyka oczywistość

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikacje odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>

Metoda równań algebry Boole’a:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
B.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
Dla prawej strony korzystamy z definicji operatora implikacji odwrotnej ~> (B):
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
bo:
~(~q)=q - prawo podwójnego przeczenia
p=>q = ~p+q - definicja A
CND

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
Dla prawej strony korzystamy z definicji implikacji prostej => (A):
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
bo:
~(~p)=p - prawo podwójnego przeczenia
p~>q = p+~q - definicja B
CND

Metoda definicji operatorowych

Definicja operatorowa implikacji prostej:
Kod:

Tabela A
         p=>q
 p=>  q =1
 p=> ~q =0
~p~> ~q =1
~p~~> q =1

Definicja operatorowa implikacji odwrotnej:
Kod:

Tabela B
         p~>q
 p~>  q =1
 p~~>~q =1
~p=> ~q =1
~p~=> q =0

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Z prawa Kubusia wynika, że do definicji operatorowej implikacji odwrotnej ~> musimy wstawić parametry ~p i ~q. Jeśli uzyskamy operatorową definicję implikacji prostej => to będzie to dowód poprawności prawa Kubusia.
Kod:

Tabela B1
             (~p)~>(~q)
 (~p)~>  (~q) =1
 (~p)~~>~(~q) =1
~(~p)=> ~(~q) =1
~(~p)~=> (~q) =0

Opuszczamy nawiasy korzystając z prawa podwójnego przeczenia:
Kod:

Tabela B2
        ~p~>~q
~p~> ~q =1
~p~~> q =1
 p=>  q =1
 p=> ~q =0

Jak widać tabela B2 jest identyczna z tabelą A, bo linie możemy dowolnie przestawiać, co oznacza poprawność prawa Kubusia w implikacji. Identycznie dowodzimy drugie prawo Kubusia w operatorach implikacji. Metoda zero-jedynkowa jest w następnym punkcie


3.7 Równanie ogólne implikacji

NTI - Nowa Teoria Implikacji
KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań

W tym punkcie pokażemy do jakiego momentu NTI jest zgodna z KRZ.

Dowód praw Kubusia metodą zero-jedynkową.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q  Y = p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

To samo w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  Y = p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

To samo w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q = ~(~p*q)

Prawo Kubusia dla operatora implikacji prostej =>:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
Kod:

p q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1     0  0 =1
1 0 =0     0  1 =0
0 0 =1     1  1 =1
0 1 =1     1  0 =1

Identyczność kolumn 3 i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
To samo w równaniu:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) - prawo Kubusia plus prawo de’Morgana
Prawo Kubusia poprawne w NTI i KRZ:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>

Prawo Kubusia dla operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Kod:

p q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1     0  0 =1
1 0 =1     0  1 =1
0 0 =1     1  1 =1
0 1 =0     1  0 =0

Identyczność kolumn 3 i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
To samo w równaniu:
p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) - prawo Kubusia plus prawo de’Morgana
Prawo Kubusia poprawne w NTI i KRZ:
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>

Na podstawie definicji mamy:
Kod:

p q  p=>q   p~>q
1 1    1     1
1 0    0     1
0 0    1     1
0 1    1     0

Stąd prawo NTI i KRZ:
p=>q # p~>q

Na podstawie powyższego zapisujemy równanie ogólne implikacji prawdziwe na gruncie NTI i KRZ:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)

Stąd uproszczone równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q

Zauważmy, że prawa Kubusia i wyprowadzone równanie ogólne implikacji nie wymagały jakichkolwiek dodatkowych założeń typu warunek wystarczający/konieczny. Równanie ogólne implikacji jest wiec prawdziwe w całym obszarze algebry Boole’a.

Równanie ogólne implikacji to świętość w algebrze Boole’a, która nigdy nie może być zgwałcona, podobnie jak prawo Ohma czy prawa Kirchhoffa z obszaru fizyki.

Pozostaje tylko drobiazg, rozszyfrowanie tego równania.


3.8 Gwarancja matematyczna w implikacji

Na początek rozważmy dwie implikacje ze świata matematyki.

Implikacja prosta

Przykład 3.6.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 8,16,24 … - gwarancja matematyczna, twarda prawda.
1 1 =1
P8 jest wystarczające dla P2 zatem implikacja prosta prawdziwa
Stąd:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 - twardy fałsz
1 0 =0
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
czyli:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1 bo 3,5,7..
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 =1 bo 2,4,6…
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Wnioski:
1.
Zdanie jest implikacja prostą prawdziwą wtedy i tylko wtedy gdy spełnione jest prawo Kubusia. W ogólnym przypadku stwierdzenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q niczego nie rozstrzyga, bowiem może to być implikacja prosta jeśli po stronie ~p zachodzi warunek konieczny ~p~>~q, albo równoważność jeśli po stronie ~p również występuje warunek wystarczający ~p=>~q.
Z powyższego wynika, że aby stwierdzić iż powyższe zdanie jest implikacją wystarczy wykluczyć warunek wystarczający w kierunku ~p=>~q czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2 =0 bo 2
stąd:
Zdanie wypowiedziane P8=>P2 jest na pewno implikacją a nie równoważnością.

Zdanie A jest implikacją prostą prawdziwą co udowodniono wyżej (spełniony warunek wystarczający), zatem na mocy prawa Kubusia zdanie C musi być implikacją odwrotną prawdziwą (spełniony warunek konieczny). Nie musimy badać warunku koniecznego w zdaniu C, bowiem prawo Kubusia to świętość algebry Boole’a która nigdy nie może być zgwałcona.
2.
Zdanie D nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Dowód nie wprost.
Załóżmy że zdanie D jest implikacją odwrotną prawdziwą i zastosujmy prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2 =0
Zdanie B jest oczywistym fałszem, zatem D nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
CND
Prawdziwość zdania D możemy opisać wzorem:
(~P8~~>P2) + (~P8~>P2) = 1 + 0 =1
Zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Implikacja odwrotna jest tu fałszywa, czyli na pewno nie zachodzi warunek konieczny między ~P8~>P2.

Implikacja odwrotna

Przykład 3.6.2
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 bo 8,16,24 …
1 1 =1
P2 jest konieczne dla P8, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 =1 bo 2,4,6 …
1 0 =1
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Zauważmy, że jeśli P2 jest konieczne dla P8, to zajście ~P2 gwarantuje zajście ~P8, czyli w sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia jak wyżej.
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1 bo 3,5,7 … - gwarancja matematyczna, twarda prawda
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8 =0 - twardy fałsz
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0

Wnioski:
1.
Stwierdzenie warunku koniecznego w zdaniu A rozstrzyga o prawdziwości implikacji odwrotnej. Wynika z tego, że w zdaniu C nie musimy badać warunku wystarczającego bowiem na mocy prawa Kubusia musi zachodzić.
2.
Zdanie B nie jest implikacją odwrotną bo nie zachodzi tu warunek konieczny.
Dowód nie wprost.
Załóżmy że B jest implikacją odwrotną i skorzystajmy z prawa Kubusia:
B: P8~>~P2 = D: ~P2=>P8 =0
Zdanie D jest oczywistym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją prostą prawdziwą, zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny.
Prawdziwość zdania B opisuje równanie:
(P8~~>~P2)+(P8~>~P2) = 1 + 0 =1
Zdanie b jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.

Na mocy powyższych analiz mamy do dyspozycji cztery implikacje prawdziwe:
A.
p=>q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 8,16,24 … - gwarancja matematyczna, twarda prawda.
B.
~p~>~q
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1 bo 3,5,7..
Oczywiste prawo Kubusia dla A-B:
p=>q = ~p~>~q

C.
p~>q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 bo 8,16,24 …
D.
~p=>~q
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1 bo 3,5,7 … - gwarancja matematyczna, twarda prawda
Oczywiste prawo Kubusia dla C-D:
p~>q = ~p=>~q

Pełne równanie ogólne implikacji poprawne zarówno w NTI jak i KRZ:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)

Jak widać wyżej, istnieje tylko jedno poprawne odwzorowanie naszego przykładu do równania ogólnego implikacji.
A-B # C-D
czyli:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8 )

Gwarancja matematyczna w implikacji

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia.
Na podstawie równania ogólnego implikacji, dla naszego konkretnego przykładu możemy zapisać.

Prawda 4
W definicjach implikacji wyrażonych w AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów.
Z równania ogólnego implikacji mamy:
P8=>P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8 )

Po pierwsze:
Zauważmy, że gdyby w implikacyjnych AND i OR zachodziła przemienność argumentów to powyższe równanie leży w gruzach, bowiem wtedy musimy zamiast znaku „#” postawić „=”.

Po drugie:
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia.

Lewa strona nierówności:
P8=>P2 = ~(P8*~P2)
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Gwarantowane liczby: 8,16,24 …
Ta sama gwarancja w operatorach AND i OR:
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
~(P8*~P2)
Gwarantowane liczby: 8,16,24 …
Jak widać, gwarancja wyrażona w operatorze implikacji prostej => oraz przy pomocy operatora AND jest identyczna.

Prawa strona nierówności:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8 )
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
Gwarantowane liczby: 3,5,7 …
Ta sama gwarancja w operatorach AND i OR:
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
~(~P2*P8 )
Gwarantowane liczby: 3,5,7 …

Jak widać, gwarancje po obu stronach nierówności są fundamentalnie inne, zgodne z definicjami implikacji. Wynika z tego że argumenty w implikacyjnych AND i OR nie są przemienne. W praktyce języka mówionego jest to bez znaczenia bowiem w implikacji człowiek korzysta wyłącznie z nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia i praktycznie nigdy nie przechodzi do równoważnych definicji w operatorach AND i OR.

Po trzecie:
W równaniu ogólnym implikacji nie wolno zastąpić znaku „#” znakiem „=” bowiem poza powyższymi gwarancjami jest trzeci zbiór liczb podzielnych przez 2 i niepodzielnych przez 8 (2,4,6…), tak więc gwarancja lewej strony nierówności nie jest uzupełnieniem prawej strony nierówności … dlatego to jest implikacja a nie równoważność.

Po czwarte:
Nieuznawanie równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> czyli jedynie słuszna, komunistyczna definicja implikacji materialnej, odcina nas od fenomenalnych praw Kubusia używanych przez każdego człowieka milion razy na dobę, od 5-cio latka po profesora. Ty też czytelniku korzystasz z praw Kubusia milion razy na dobę.

Kolejny ciekawy wniosek z równania ogólnego implikacji.

Prawda 5
Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności
Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności

Z powyższego równania mamy:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
jeśli na stałe przywiążemy p i q do lewej strony to otrzymamy:
p=>q # ~q=>~p
czyli:
Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji.

Ten sam dowód w równaniu algebry Boole’a.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Dla prawej strony stosujemy definicję implikacji prostej:
~q=>~p = ~(~q)+~p = q+~p # ~p+q = p=>q
Implikacja jest wektorem kierunkowym gdzie nie zachodzi przemienność argumentów.
Prawa poprawne w NTI i KRZ:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
Z powyższego powodu a także z równania ogólnego implikacji wynika, że nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND i OR, dlatego prawo kontrapozycji jest w implikacji fałszywe.
CND

Termin „prawo Kubusia jest w równoważności fałszywe” oznacza że nie istnieje równoważność dla której mogłoby być spełnione prawo Kubusia.
Termin „prawo Kubusia jest w implikacji prawdziwe” oznacza, że istnieje zdanie „Jeśli…to…” które może być implikacją prawdziwą. Oczywiście zdanie „Jeśli…to…” może być także implikacją fałszywą, czyli nie spełniającą warunku wystarczającego => lub koniecznego ~>.

Przykład:
Implikacja prawdziwa:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa

Implikacje fałszywe:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy jedna prawda.
P3 nie jest konieczne dla P8 zatem jest to implikacja odwrotna fałszywa.
Dowód nie wprost.
Zakładamy że P3~>P8 jest implikacją odwrotną prawdziwą i korzystamy z prawa Kubusia:
P3~>P8 = ~P3=>~P8
Oczywiście:
~P3=>~P8 =0 bo 8
zatem implikacja odwrotna P3~>P8 jest fałszywa.
CND
2.
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
PR=>KS =0
Implikacja fałszywa bo różowy pies nie jest ani warunkiem koniecznym, ani też wystarczającym dla tego, aby krowa śpiewała w operze.
Wniosek:
W NTI wszelkie zdania „Jeśli…to…” w których p jest bez związku z q są fałszywe.


3.9 Definicja równoważności <=>

Definicja:
Zdanie jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy spełnia pełną, operatorową definicję równoważności <=>.

Definicja zero-jedynkowa równoważności <=>:
Kod:

Tabela A
p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0

Zacznijmy od operatorowej definicji implikacji prostej …

Operatorowej i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

Tabela B
 p   q  p=>q
 P=> q =1
1 1 =1
 p=>~q =0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
czyli:
~p~>~q =1
0 0 =1
LUB
~p~~>q =1
0 1 =1

W definicji operatorowej doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jak widać wyżej prawo Kubusia obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.

W równoważności mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi, nie ma tu śladu operatora implikacji odwrotnej ~> jak w definicji implikacji prostej wyżej.

Operatorowa i zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Tabela C
 p   q  p<=>q
 P=> q =1
1 1 =1
 p=>~q =0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0

Doskonale widać tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd dziewicza, operatorowa definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Jak widać, w definicji równoważności po prawej stronie chodzi wyłącznie o warunki wystarczające => między p=>q oraz między ~p=>~q. Nie ma tu śladu implikacji odwrotnej ~> i prawa Kubusia widocznych w definicji implikacji prostej => wyżej (tabela B).
Wyrażenia p=>q i ~p=>~q nie są implikacjami bo w tabeli równoważności nie ma szans na zaistnienie prawa Kubusia co doskonale widać porównując powyższe definicje implikacji prostej (tabela B) i równoważności (tabela C).

Twierdzenie:
Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie. Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne miedzy którymi nie zachodzą żadne prawa matematyczne.
Dowód:
Definicje implikacji i równoważności wyżej

Twierdzenie:
Równoważność to iloczyn logiczny warunków wystarczających między p=>q oraz między ~p=>~q (nigdy implikacji) co widać w definicji równoważności wyżej.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Z powyższego wynika, że dla operatora równoważności formy „Jeśli…to…”, czyli p=>q oraz ~p=>~q są jak najbardziej poprawne, inaczej nie mielibyśmy szansy udowodnienia równoważności na podstawie jej definicji wyżej.

Dowód równoważności na przykładzie.
Twierdzenie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
R=>BR
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym, aby mieć boki równe
Oczywistość, zatem:
R=>BR =1

W tym momencie nie da się rozstrzygnąć czy powyższe twierdzenie jest równoważnością czy też implikacją bo identyczny warunek wystarczający p=>q występuje zarówno w definicji równoważności <=> jak i definicji implikacji prostej =>.

Aby udowodnić iż powyższe jest równoważnością dowodzimy kolejnego warunku wystarczającego:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
~R=>~BR
Nie bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym aby nie mieć boków równych
Oczywistość, zatem:
~R=>~BR =1

Dopiero w tym momencie mamy pewność na mocy definicji równoważności iż jest to równoważność.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma boki równe.
R<=>BR = (R=>BR)*(~R=>~BR) = 1*1 =1

Prawda 6
Twierdzenia matematyczne mające formę „Jeśli …to…” to oczywiste warunki wystarczające w stronę p=>q. Nie są to ani implikacje, ani równoważności. Udowodnienie iż twierdzenie jest implikacją czy też równoważnością wymaga dodatkowych działań jak to pokazano wyżej.

Oczywiście w praktyce wypowiadając twierdzenie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma boki równe
R=>BR
stwierdzamy zachodzący warunek wystarczający.

Prawda 7
Nie wolno dziecku zabronić wypowiadania tego typu twierdzeń na mocy definicji równoważności która na to pozwala !
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
CND

Prawda 8
Dzisiejsza definicja równoważności jest fałszywa.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
jeśli prawą stronę będziemy rozumieli jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych p=>q i q=>p.

Niezwykły dowód:
Dla implikacji w algebrze Boole’a mamy:
p=>q # q=>p
zatem jeśli p=>q = 1 to q=>p =0 albo odwrotnie, stąd:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0
Niemożliwa jest implikacja prosta w dwie strony, zatem błędna jest interpretacja prawej strony równoważności jakoby chodziło tu o dwie implikacje proste p=>q i q=>p.

Dziewicza definicja równoważności na podstawie tabeli operatorowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście po prawej stronie chodzi o warunki wystarczające, to nie są implikacje !

W równoważności argumenty są przemienne i tu prawdziwe jest prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Oczywiście po prawej stronie chodzi o iloczyn logiczny warunków wystarczających p=>q i q=>p, to nie są implikacje !


3.10 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”:

Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające dla q

Stwierdzenie warunku wystarczającego w stronę p=>q determinuje zdanie prawdziwe które może być:
1.
Implikacją prostą p=>q jeśli po stronie ~p stwierdzimy warunek konieczny czyli:
~p~>~q
Czasami prościej jest wykluczyć warunek wystarczający w stronę ~p=>~q, to wystarczy aby udowodnić że zdanie p=>q jest implikacją prostą.
2.
Równoważnością p<=>q, gdy po stronie ~p również stwierdzimy warunek wystarczający czyli
~p=>~q.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)=1*1=1
3.
Równoważnością p<=>q, jeśli w stronę q=>p również stwierdzimy warunek wystarczający bo:
Definicja równoważna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1

Implikacja odwrotna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q

Stwierdzenie warunku koniecznego w p~>q determinuje implikację odwrotną:
p~>q
ale ….
Zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) i nie musi być implikacją odwrotną np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, nie jest to zatem implikacja odwrotna.

Koniec, to jest cała filozofia kodowania zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

Zauważmy coś bardzo ciekawego.
A.
Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => jest równoboczny
BR=>R =1
B.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno => nie jest równoboczny
~BR=>~R =1
Stąd na podstawie definicji równoważności możemy zapisać:
C.
Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>R = (BR=>R)*(~BR=>~R) = 1*1=1 - ewidentna równoważność

Aby stwierdzić równoważność musimy zapisać i zbadać czy zachodzą warunki wystarczające jak wyżej w A i B. Wszystkie trzy zdania są matematycznie poprawne bowiem w definicji równoważności chodzi tylko i wyłącznie o warunki wystarczające, nigdy o implikacje. Zauważmy, że gdybyśmy nie mieli prawa zapisać zdań A i B jako prawdziwych to niemożliwe byłoby stwierdzenie równoważności !

Twierdzenie Pitagorasa.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
TP=>SK =1 - pewny warunek wystarczający (nie implikacja !)
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie jest spełniona suma kwadratów.
~TP=>~SK=1 - również pewny warunek wystarczający (nie implikacja !)

Twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością bo:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) = 1*1 =1

Aby stwierdzić czy zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością musimy stwierdzić warunki wystarczające jak wyżej. Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.

Wynika z tego, że ten sam symbol => może oznaczać implikację prostą albo tylko warunek wystarczający =>.

Tu nasuwa się pytanie … a może by tak wprowadzić nowy symbol na przykład |=> dla precyzyjnego zapisu warunku wystarczającego ?

Odpowiedź może być tylko negatywna, dlaczego ?

Definicja warunku wystarczającego:
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
… bo linia p=>~q jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.

Definicja warunku wystarczającego nie mówi nic co będzie po stronie ~p.
Po stronie ~p może być oczywiście:
~p=>~q - warunek wystarczający
czyli:
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0
wtedy całe zdanie jest równoważnością !

ALBO !

~p~>~q - warunek konieczny
czyli:
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=1
0 1 =1
tu całe zdanie p=>q jest implikacją !

Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.

Nie ma sensu wprowadzanie nowego symbolu warunku wystarczającego |=> bowiem tego symbolu nie da się opisać w równaniu algebry Boole’a.
Możliwe są dwie próby opisania warunku wystarczającego w postaci równania algebry Boole’a.
p|=>q = ~p+q - implikacja
albo:
p|=>q =p*q+~p*~q - równoważność
… ale jak widać lądujemy albo w implikacji prostej =>, albo w równoważności czyli to jest bez sensu.

Prawo Misia:
Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności

3.11 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

Z przymrużeniem oka,
… czyli jak w prosty sposób zapamiętać najważniejsze definicje w logice klasycznej, zarówno w wersji operatorowej, jak i zero-jedynkowej.

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Na początku było:
1=1
i stał się cud:
(p+~p)=(q+~q)
p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
p=>(q+~q)
~p=>(~q+q)

Równoważność:

Definicja operatorowa:
Kod:

 p   q p<=>q
 p=> q =1
 p=>~q =0
~p=>~q =1
~p=> q =0

Stąd definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0

Definicje podstawowe równoważności w równaniach algebry Boole’a:
p<=>q = p*q + ~p*~q - na podstawie kodu zero-jedynkowego
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
p<=>q - (p=>q)*(q=>p)

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja, zatem ostatnie dwie linie ulegają rozczepieniu:

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

 p   q p=>q
 p=> q =1
 p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~~>q =1

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q

lub pierwsze dwie linie z definicji równoważności ulegają rozczepieniu:

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

 p    q p~>q
 p~>  q =1
 p~~>~q =1
~p=> ~q =1
~p=>  q =0

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q


4.0 Implikacja w równaniach algebry Boole’a

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek od 5-cio latka po profesora korzysta praktycznie wyłącznie z nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia których używa milion razy na dobę. Z równoważnych definicji implikacji wyrażonych w operatorach AND I OR korzysta w specyficznych przypadkach odpowiadając na pytanie kiedy wystąpi fałsz/kłamstwo.

Implikacja prosta:
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy.
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa
… a kiedy wystąpi fałsz ?
Na podstawie definicji w równaniu algebry Boole’a mamy:
Y = p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
czyli dla naszego przykładu:
Y = P=>4L = ~P+4L = ~(P*~4L) - prawda (Y)
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(P=>4L) = P*~4L - fałsz (~Y)
Wystąpi fałsz (~Y), jeśli zwierzę będzie psem i nie będzie miało czterech łap
~Y = P*~4L - fałsz (~Y)

Implikacja odwrotna:
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
… a kiedy wystąpi fałsz ?
Na podstawie definicji w równaniu algebry Boole’a mamy:
Y = p~>q = p+~q = ~(~p*q)
czyli dla naszego przykładu:
Y = 4L~>P = 4L+~P = ~(~4L*P) - prawda (Y)
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(4L~>P) = ~4L*P - fałsz (~Y)
Wystąpi fałsz (~Y), jeśli zwierzę nie będzie miało czterech łap i będzie psem

Poza tym co wyżej, definicje implikacji w równaniach algebry Boole’a nie są do niczego potrzebne, tak wiec kolejne dwa punkty można pominąć.


4.1 Implikacja prosta w równaniach

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

Tabela A
p q  Y=p=>q ~Y=~(p=>q)
1 1 =1       0
1 0 =0       1
0 0 =1       0
0 1 =1       0

To samo w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)

Skąd się wzięło to równanie?
Przechodzimy do definicji symbolicznej implikacji prostej w logice dodatniej przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela B
 p  q   Y=p=>q ~Y=~(p=>q)
 p  q   1       0
 p ~q   0       1
~p ~q   1       0
~p  q   1       0

Utwórzmy wszystkie możliwe definicje implikacji prostej wyrażone w operatorach AND i OR.
Na początek przypomnijmy sobie podstawowe definicje z operatorów AND i OR (część I).

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

Najprostsze równania uzyskujemy z drugiej linii bowiem mamy tu samotną jedynkę w logice ujemnej.
A1.
~Y = p*~q
Wystąpi fałsz (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd:
A2.
Y=~(p*~q)
Wystąpi prawda (Y), jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie p i ~q

Z równaniem A1 przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.
A3.
Y = ~p+q
Wystąpi prawda (Y), jeśli zajdzie ~p lub q
… a kiedy wystąpi fałsz (~Y) ?
A4.
~Y=~(Y) - logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
stąd:
~Y = ~(~p+q)
Oczywiście zachodzi:
Y=Y (A3=A2)
stąd:
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
oraz:
~Y=~Y (A1=A4)
stąd:
p*~q = ~(~p+q) - prawo de’Morgana

Dla człowieka intuicyjny odczyt to równania A1 i A2, to naturalna logika człowieka. Równania A3 i A4 będą ciężko zrozumiałe ponieważ nie jest to naturalna logika człowieka. Zauważmy, że nie musimy się wysilać aby zrozumieć A3 i A4 na podstawie prawa de’Morgana wyżej.

Równania równoważne do powyższych uzyskujemy opisując jedynki w logice dodatniej (Y).
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, *, +
Y=p*q+~p*~q+~p*q
Powyższe równanie łatwo można uprościć:
Y = p*q+~p*~q+~p*q = p*q +[~p*(~q+q)] = p*q +~p
bo:
A*B+A*C = A*(B+C) - prawo algebry Boole’a
~q+q=1 i ~p*1=~p - prawa algebry Boole’a
Stąd końcowa postać:
B1.
Y=p*q+~p - prawda
… a kiedy wystąpi fałsz ?
B2.
~Y=~(Y)
stąd:
~Y = ~(p*q+~p)
Przechodzimy teraz w równaniem B1 do logiki ujemnej metoda przedszkolaka czyli negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
Zauważmy, że przed przekształceniem musimy uzupełnić nawiasy w równaniu wyjściowym:
B1.
Y=(p*q)+~p
Przejście do logiki ujemnej:
B3.
~Y = (~p+~q)*p - fałsz
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
stąd ostatnie równanie:
Y=~[(~p+~q)*p]

Oczywiście wszystkie powyższe równania są równoważne, ale nie wszystkie będą zrozumiałe dla człowieka.

Z powyższych równań najważniejsze dla nas to:
A1.
~Y = p*~q - twardy fałsz
Wystąpi fałsz (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~q
A2.
Y=~(p*~q) - twarda prawda
Wystąpi prawda (Y), jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie p i ~q
B1.
Y=p*q+~p

Na podstawie A1 mamy:
p*~q =~Y
stąd:
p*q =Y
bo nie ma innych możliwości po stronie p

Z równania B1 odczytujemy, że jeśli zajdzie ~p=1 to:
Y=p*q+1 =1
bo: A+1 =1 - prawo algebry Boole’a
bez względu na stan q, stąd mamy:
~p*~q = Y
~p*q =Y
Stąd mamy tabelę symboliczną implikacji prostej:
Kod:

 p* q = Y
 p*~q =~Y
~p*~q = Y
~p* q = Y

Dla logiki dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~y=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

czyli zrobiliśmy wielkie koło i wróciliśmy do punktu wyjścia, czyli definicji zero-jedynkowej implikacji prostej.


4.2 Implikacja odwrotna w równaniach

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

Tabela A
p q  Y = p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

To samo w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q = ~(~p*q)

Skąd się wzięło to równanie?
Przechodzimy do definicji symbolicznej implikacji odwrotnej w logice dodatniej przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela B
 p  q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
 p  q   1       0
 p ~q   1       0
~p ~q   1       0
~p  q   0       1

Utwórzmy wszystkie możliwe definicje implikacji odwrotnej wyrażone w operatorach AND i OR.

Najprostsze równania uzyskujemy z ostatniej linii bowiem mamy tu samotną jedynkę w logice ujemnej.
A1.
~Y = ~p*q
Wystąpi fałsz (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd:
A2.
Y=~(~p*q)
Wystąpi prawda (Y), jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i q

Z równaniem A przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.
A3.
Y = p+~q
Wystąpi prawda (Y), jeśli zajdzie p lub ~p
Negujemy dwustronnie i mamy ostatnie możliwe równanie:
A4.
~Y = ~(p+~q)
Oczywiście zachodzi:
Y=Y (A3=A2)
stąd:
p+~q = ~(~p*q) - prawo de’Morgana
oraz:
~Y=~Y (A1=A4)
stąd:
~p*q = ~(p+~q) - prawo de’Morgana

Dla człowieka intuicyjny odczyt to równania A1 i A2, to naturalna logika człowieka. Równania A3 i A4 będą ciężko zrozumiałe ponieważ nie jest to naturalna logika człowieka. Zauważmy, że nie musimy się wysilać aby zrozumieć A3 i A4 na podstawie prawa de’Morgana wyżej.

Równania równoważne do powyższych uzyskujemy opisując jedynki w logice dodatniej (Y).
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, *, +
Y=p*q+ p*~q + ~p*~q

Powyższe równanie łatwo można uprościć:
Y= p*q+ p*~q + ~p*~q = p*(q+~q) + ~p*~q = p+~p*~q
bo:
A*B+A*C = A*(B+C) - prawo algebry Boole’a
q+~q=1 i p*1=p - prawa algebry Boole’a
Stąd końcowa postać:
B1.
Y=p + ~p*~q - prawda
Oczywiście:
~Y=~(Y)
stąd:
B2.
~Y = ~(p+~p*~q) - fałsz
Przechodzimy z równaniem B1 do logiki ujemnej metoda przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne. Oczywiście pamiętamy o uprzednim uzupełnieniu nawiasów.
B1.
Y=p + (~p*~q)
stąd:
B3.
~Y = ~p*(p+q)
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd:
B4.
Y = ~[p+(~p*~q)]

Z powyższych równań najważniejsze dla nas to:
A1.
~Y = ~p*q
Wystąpi fałsz (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i q
A2.
Y=~(~p*q)
Wystąpi prawda (Y), jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i q
B1.
Y=p + (~p*~q)

Z równania B1 mamy:
Jeśli p=1 to Y=1 czyli q może być dowolne q lub ~q
stąd:
p*q = Y
p*~q= Y
Z równania A1 mamy:
~p*q =~Y - twardy fałsz
stąd:
~p*~q = Y - twarda prawda

Stąd otrzymujemy tabelę symboliczną implikacji odwrotnej:
Kod:

 p* q = Y
 p*~q = Y
~p*~q = Y
~p* q =~Y

Dla logiki dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
mamy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.
Kod:

p q  p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Czyli znów zrobiliśmy wielkie koło i wróciliśmy do punktu wyjścia, czyli do definicji zero-jedynkowej implikacji odwrotnej.


5.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy

Działanie mózgu w obsłudze operatorów implikacji jest identyczne jak działanie każdego komputera z fundamentalnym wyjątkiem. W definicjach implikacji mamy w każdej połówce przypadkowość, co jest absurdem w technice.

5.1 Implikacja prosta - algorytm działania

Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.

Algorytm działania implikacji prostej =>:
Kod:

Zdanie wypowiedziane:
p=>q
                        musi
         Jeśli         |-----  q --- p=>q=1
        |-----  p -----|musi         1 1 =1
        |              |----- ~q --- p=>~q=0
        |                            1 0 =0
        |
X => ---|
        |
        |               może
        |Jeśli         |----- ~q --- ~p~>~q=1
        |----- ~p -----|może          0 0 =1
                       |-----  q --- ~p~~>q=1
                                      0 1 =1

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Jak widać, w pierwszym takcie podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.

Sens implikacji prostej:
Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka p=>~q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji prostej. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa

Analiza:
Jeśli zajdzie p
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy. Gwarancja w implikacji prostej !
1 1 =1
Z prawdy (P=zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (4L=zwierzę ma cztery łapy) =1 - pies
stąd:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - pudełko puste
1 0 =0
Z prawdy (P=zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (~4L=zwierzę nie ma czterech łap) =0 - oczywisty fałsz
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
Jeśli zajdzie ~p
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka …
0 0 =1
Z prawdy (~P=zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (~4L=zwierzę nie ma czterech łap) =1 bo kura …
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam …
0 1 =1
Z prawdy (~P=zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (4L=zwierzę ma cztery łapy) =1 bo słoń…
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0

Prawda 9
~p~~>q =1
0 1 =1
Jak widać linia 0 1 =1 nie oznacza że „z fałszu może wyniknąć prawda” ale że:
Z prawdy (nie zajdzie p) może wyniknąć prawda (zajdzie q) =1

Żegnaj kolejny implikacyjny micie rodem z definicji implikacji materialnej.


5.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania

Algorytm działania implikacji odwrotnej:
Kod:

Zdanie wypowiedziane:
p~>q
                        może
         Jeśli         |-----  q --- p~>q=1
        |-----  p -----|może         1 1 =1
        |              |----- ~q --- p~~>~q=1
        |                            1 0 =1
        |
Y ~> ---|
        |
        |               musi
        |Jeśli         |----- ~q --- ~p=>~q=1
        |----- ~p -----|musi          0 0 =1
                       |-----  q --- ~p=>q=0
                                      0 1 =0
 

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tu także implikacja obsługiwana jest w dwóch taktach. W pierwszym następuje decyzja czy iść linią p czy też ~p w zależności od wylosowanego elementu Y. W drugim takcie mamy do wyboru zawsze dwie możliwości czyli cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.

Sens implikacji odwrotnej:
Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka ~p=>q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji odwrotnej. Najważniejsze w implikacji odwrotnej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna ~p=>~q=1.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa.

Analiza:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy
1 1 =1
Z prawdy (4L=zwierzę ma cztery łapy) może wyniknąć prawda (P=zwierzę jest psem) =1 bo pies
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam …
1 0 =1
Z prawdy (4L=zwierzę ma cztery łapy) może wyniknąć prawda (~P=zwierzę nie jest psem) =1 bo słoń
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka … Gwarancja w implikacji odwrotnej !
0 0 =1
Z prawdy (~4L=zwierzę nie ma czterech łap) na pewno wyniknie prawda (~P=zwierzę nie jest psem) =1 bo kura
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P =0 - pudełko puste
0 1 =0
Z prawdy (~4L=zwierzę nie ma czterech łap) na pewno wyniknie prawda (P=zwierzę jest psem) =0 - fałsz (nie jest to możliwe)
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0

Prawda 10
p~~>~q =1
1 0 =1
Jak widać linia 1 0 =1 nie oznacza że „z prawdy może wyniknąć fałsz” ale że:
Z prawdy (zajdzie p) może wyniknąć prawda (nie zajdzie q) =1

Podsumowanie:
1.
Gdyby na świecie cztery łapy posiadały wyłącznie psy to zdanie B byłoby fałszem, zaś zdanie wypowiedziane A byłoby równoważnością. Jednak cztery łapy mają nie tylko psy ale cała masa innych zwierząt. Zdanie A dotyczy wyłącznie psów, pozostałe zwierzaki muszą być zatem w linii B bo w logice nic nie może zginąć. Zdania C i D dotyczą zwierzaków które nie maja czterech łap, zatem tu nie można upchnąć ani jednego zwierzaka który ma cztery łapy.
2.
Wyobraźmy sobie teraz powyższe algorytmy implikacji jako czarne pudełko z jednym wejściem i czterema wyjściami. Jeśli zdanie jest implikacją to elementy wrzucane do tego pudełka segregowane są na cztery zbiory z których jeden jest zawsze pusty. Oznacza to, że implikacja jest wirtualną logiką czterowartościową i rzeczywistą dwuwartościową co wynika z powyższych algorytmów.

Zauważmy, że w przykładach wyżej mamy.

Implikacja prosta:
1.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Na podstawie definicji implikacji prostej mamy:
P=>4L = ~(P*~4L)
gdzie:
P=>4L = ~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap.
~(P*~4L)
Gwarancja A: Pies

Implikacja odwrotna:
2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Na mocy definicji implikacji mamy:
4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P = ~(~4L*P)
czyli:
~4L=>~P = ~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
~(~4L*P)
Gwarancja B: wąż, kura, mrówka …

Równanie ogólne implikacji dla tego przykładu:
P=>4L = ~P~>~4L = ~P+4L = ~(P*~4L) # 4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P = ~(~4L*P)
z powyższego równania wynika że:
~(P*~4L) # ~(~4L*P)
W implikacyjnych AND i OR wynikłych z definicji implikacji nie zachodzi przemienność argumentów. Gwarancja ~(P*~4L) to zupełnie co innego niż gwarancja ~(~4L*P), co widać na przykładzie wyżej.

Wnioski
1.
W implikacyjnych AND i OR wynikłych z definicji implikacji nie zachodzi przemienność argumentów, inaczej świętość algebry Boole’a, równanie ogólne implikacji leży w gruzach.
2.
Gwarancja ~(P*~4L) to zupełnie co innego niż gwarancja ~(~4L*P), co widać na przykładzie wyżej. Poza obiema gwarancjami są zwierzaki które mają cztery łapy i nie są psami. Wynika z tego że gwarancja A nie jest dopełnieniem gwarancji B … dlatego to jest implikacja a nie równoważność.
3.
W przekształceniach na równoważnych definicjach implikacji wyrażonych w operatorach AND i OR w czasie przekształceń można sobie robić sieczkę, ale aby prawidłowo odczytać sens implikacji wyrażonej w AND i OR musimy przed odczytem uporządkować parametry zgodnie z zapisem operatorowym implikacji !

Przykład:
Zastana rzeczywistość:
4L~>P # ~(P*~4L)
obowiązkowe porządkowanie zapisu zgodne z wektorem 4L~>P !
4L~>P = ~(~4L*P)
dopiero teraz mamy dokładnie to samo po obu stronach tożsamości !

Wniosek
Z powodów jak wyżej operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> są w logice niezbędne, czyli nie jest tak jak to twierdzi dzisiejsza logika, że można je łatwo zastąpić operatorami AND i OR.


6.0 Nowa teoria implikacji w bramkach logicznych

Algebry Boole’a i algebra dziesiętna, to dwa fundamentalnie różne światy, dlatego nie ma tu konfliktu między symbolami technicznymi OR(+) i AND(*) a algebrą dziesiętną. Wśród matematyków (także na matematyce.pl) nagminnym grzechem jest przytaczanie analogii ze świata algebry dziesiętnej i wyciąganie z tego jakichś „wniosków”. Aby zrozumieć algebrę Boole’a trzeba posługiwać się techniką bramek logicznych, bo to jest jedyny poprawny punkt odniesienia, oczywiście z algebrą dziesiętną mający ZERO wspólnego. Szczytowy rozwój bramek logicznych to lata 1974-80 (akurat wtedy Kubuś studiował elektronikę), cały rozwój technicznej algebry Boole’a zabiły mikroprocesory (pierwszy przyzwoity to i8080 z 1974r).

Warunki konieczny i wystarczający wynikają bezpośrednio z definicji zero-jedynkowych implikacji odwrotnej ~> i prostej =>.


6.1 Prawa Kubusia w bramkach logicznych

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Prawo Kubusia w teorii bramek logicznych:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany bramki „musi” => na bramkę „może” ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany bramki „może” ~> na bramkę „musi” =>

Bramki logiczne „musi” => i „może” ~> nie są znane człowiekowi, najwyższy czas podać ich definicje …

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p musi być wystarczające dla q

Na podstawie tej definicji łatwo konstruujemy bramkę implikacji prostej, którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią p. W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”.

Bramkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

  p   q
  |   |
 -------
 |O => |
 | musi|
 |  OR |
 -------
    |
   p=>q

Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q.

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p musi być konieczne dla q

Na podstawie tej definicji mamy bramkę implikacji odwrotnej którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią q.

Bramkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

  p   q
  |   |
 -------
 | ~> O|
 | może|
 |  OR |
 -------
    |
   p~>q

Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q.

Układ zastępczy bramki implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Kod:

 p   q       p   q       p   q
 |   |       |   |       |   |
 |   |       O   O       O   O
 |   |       |~p |~p     |~p |~q
 |   |       O   O       |   |
 |   |       |p  |q      |   |
-------     -------     -------
|O => |  =  |O => |  =  | ~> O|
|musi |     |musi |     |może |
|OR   |     |OR   |     |OR   |
-------     -------     -------
   |           |           |
   A           B           C
  p=>q        p=>q       ~p~>~q


Na schemacie B wprowadzamy w linie wejściowe po dwie negacje.
Oczywiście układ nie ulegnie zmianie zgodnie z prawem podwójnego przeczenia.
p=~(~p)

Na rysunku C wpychamy po jednej negacji do środka bramki OR.
Negacja z wejście p przemieści się na wejście q [bo ~(~p)=p], zaś bramka stanie się bramką implikacji odwrotnej zgodnie z jej definicją bramkową wyżej.

Bramka A jest równoważna bramce C czyli:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia

To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =0    0  1  =0
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =1    1  0  =1

Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramką implikacji prostej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji odwrotnej.

Układ zastępczy bramki implikacji odwrotnej ~>

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Kod:

 p   q       p   q       p   q
 |   |       |   |       |   |
 |   |       O   O       O   O
 |   |       |~p |~p     |~p |~q
 |   |       O   O       |   |
 |   |       |p  |q      |   |
-------     -------     -------
| ~> O|  =  | ~> O|  =  |O => |
|może |     |może |     |musi |
|OR   |     |OR   |     |OR   |
-------     -------     -------
   |           |           |
   A           B           C
  p~>q        p~>q       ~p=>~q

Bramka A jest równoważna bramce C czyli:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia

To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =1    0  1  =1
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =0    1  0  =0

Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji odwrotnej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji prostej.

Zauważmy, że w przypadku praw Kubusia (w przeciwieństwie do praw de’Morgana) na wyjściu bramki nie musieliśmy wprowadzać dwu negatorów. Wstawiamy tu wyłącznie po dwie negacje w linie wejściowe co oczywiście również nie zmienia w żaden sposób układu cyfrowego.

Oczywiście na mocy definicji i praw de’Morgana zachodzi:
p=>q # p~>q
czyli:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)

Ciąg dalszy na kolejnej stronie …
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 19:32, 13 Mar 2010    Temat postu:

6.2 Implikacja prosta w bramkach logicznych

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
p=>q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego:
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
stąd:
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
czyli:
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Fizyczna realizacja w bramkach logicznych:
Kod:

  p     q
  |     |
  |     x-------------------x
  |     |                   |
  x-----|-------------x     |
  |     |             |     |
  |     |             O     O
  |     |             |~p   |~q
 ---------           ---------
 |O =>   |p=>q=1     | ~>   O|~p~>~q=1
 |musi   |1 1 =1     |może   |0 0 =1
 |A      |p=>~q=0    |B      |~p~~>q=1
 |OR     |1 0 =0     |OR     |0 1 =1
 ---------           ---------
     |                   |
     |                   |
     x---------x---------x
               |
               |
               Y= p=>q = ~p~>~q

Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Tabela prawdy dla implikacji prostej p=>q.
Kod:

Bramka A
 p   q           Y= p=>q
 1   1           1
 1   0           0
        Bramka B
 p   q  ~p  ~q   Y= ~p~>~q
 0   0   1   1   1
 0   1   1   0   1

Bramki po lewej i prawej stronie są absolutnie równoważne.
Na pytanie co będzie jak zajdzie p odpowiadamy patrząc przez bramkę A, natomiast na pytanie co będzie jak zajdzie ~p odpowiadamy patrząc przez bramkę B.

W technice cyfrowej bramki logiczne opisuje się przy pomocy tabeli prawdy, pokazującej wszystkie możliwe stany logiczne na wejściu bramki oraz odpowiedź zero-jedynkowa na jej wyjściu.

Tabela prawdy dla powyższego układu z punktu odniesienia p=>q:
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Uwaga !
Tabela zero-jedynkowa wypełniona jest ze stałego punktu odniesienia p=>q, czyli dla p=0 na wejściu bramki A, będziemy mieli ~p=1 na wejściu bramki B. Identycznie dla q=0 na wejściu bramki A, będzie ~q=1 na wejściu bramki B co widać w powyższej tabeli prawdy.

Ćwiczenie 6.2.1
Zbudować fizycznie powyższy układ logiczny i sprawdzić iż działa zgodnie z powyższą tabela prawdy.

Na podstawie prawa Kubusia dla powyższego układu zachodzi:
p=>q = ~p~>~q

Mamy wyżej matematyczną tożsamość, czyli wszystko jedno które zdanie wypowiemy. Zobaczmy jak będzie wyglądał układ logiczny dla zdania po prawej stronie.

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
~p~>~q
~p musi być konieczne dla ~q

Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego:
Kod:

~p~>~q=1
1 1 =1
~p~~>q =1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
~p~>~q=p=>q
czyli:
p=>q=1
0 0 =1
stąd:
p=>~q=0
0 1 =0

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Fizyczna realizacja w bramkach logicznych:
Kod:

 ~p    ~q
  |     |
  |     x-------------------x
  |     |                   |
  x-----|-------------x     |
  |     |             |     |
  |     |             O     O
  |     |             |p    |q
 ---------           ---------
 |  ~>  O|~p~>~q=1   |O =>   |p=>q=1
 |może   |1 1 =1     |musi   |0 0 =1
 |A      |~p~~>q=1   |B      |p=>~q=0
 |OR     |1 0 =1     |OR     |0 1 =0
 ---------           ---------
     |                   |
     |                   |
     x---------x---------x
               |
               |
               Y= ~p~>~q = p=>q

Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Tabela prawdy dla implikacji odwrotnej ~p~>~q:
Kod:

Bramka A
~p  ~q           Y=~p~>~q
 1   1           1
 1   0           1
        Bramka B
~p  ~q   p   q   Y=p=>q
 0   0   1   1   1
 0   1   1   0   0

Bramki po lewej i prawej stronie są absolutnie równoważne.
Na pytanie co będzie jak zajdzie ~p odpowiadamy patrząc przez bramkę A, natomiast na pytanie co będzie jak zajdzie p odpowiadamy patrząc przez bramkę B.

Tabela prawdy dla powyższego układu z punktu odniesienia ~p~>~q:
Kod:

~p ~q ~p~>~q
 1  1 =1
 1  0 =1
 0  0 =1
 0  1 =0

Uwaga !
Tabela zero-jedynkowa wypełniona jest ze stałego punktu odniesienia ~p~>~q, czyli dla ~p=0 na wejściu bramki A, będziemy mieli p=1 na wejściu bramki B. Identycznie dla ~q=0 na wejściu bramki A, będzie ~q=1 na wejściu bramki B co widać wyżej w tabeli prawdy.

Ćwiczenie 6.2.2
Zbudować fizycznie powyższy układ logiczny i sprawdzić iż działa zgodnie z powyższą tabela prawdy.


6.3 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>

Zdanie wypowiedziane:
p~>q

Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego:
Kod:

p~>q=1
1 1 =1
stąd:
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p~>q=~p=>~q
czyli:
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q =0
0 1 =0

Spójniki zdaniowe
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Fizyczna realizacja w bramkach logicznych:
Kod:

  p     q
  |     |
  |     x-------------------x
  |     |                   |
  x-----|-------------x     |
  |     |             |     |
  |     |             O     O
  |     |             |~p   |~q
 ---------           ---------
 |  ~>  O|p~>q=1     |O =>   |~p=>~q=1
 |może   |1 1 =1     |musi   |0 0 =1
 |A      |p~~>~q=1   |B      |~p=>q=0
 |OR     |1 0 =1     |OR     |0 1 =0
 ---------           ---------
     |                   |
     |                   |
     x---------x---------x
               |
               |
               Y= p~>q = ~p=>~q

Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Tabela prawdy dla implikacji odwrotnej p~>q:
Kod:

Bramka A
 p   q           Y=p~>q
 1   1           1
 1   0           1
        Bramka B
 p   q  ~p  ~q   Y=~p=>~q
 0   0   1   1   1
 0   1   1   0   0

Bramki po lewej i prawej stronie są absolutnie równoważne.
Na pytanie co będzie jak zajdzie p odpowiadamy patrząc przez bramkę A, natomiast na pytanie co będzie jak zajdzie ~p odpowiadamy patrząc przez bramkę B.

W technice cyfrowej bramki logiczne opisuje się przy pomocy tabeli prawdy, pokazującej wszystkie możliwe stany logiczne na wejściu bramki oraz odpowiedź zero-jedynkowa na jej wyjściu.

Tabela prawdy dla powyższego układu:
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Uwaga !
Tabela zero-jedynkowa wypełniona jest ze stałego punktu odniesienia p~>q, czyli dla p=0 na wejściu bramki A, będziemy mieli ~p=1 na wejściu bramki B. Identycznie dla q=0 na wejściu bramki A, będzie ~q=1 na wejściu bramki B co widać wyżej w tabeli prawdy.

Ćwiczenie 6.3.1
Zbudować fizycznie powyższy układ logiczny i sprawdzić iż działa zgodnie z powyższą tabela prawdy.

Na podstawie prawa Kubusia dla powyższego układu zachodzi:
p~>q = ~p=>~q

Mamy wyżej matematyczną tożsamość, czyli wszystko jedno które zdanie wypowiemy. Zobaczmy jak będzie wyglądał układ logiczny dla zdania po prawej stronie.

Zdanie wypowiedziane:
~p=>~q

Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego:
Kod:

~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q =0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
~p=>~q=p~>q
czyli:
p~>q=1
0 0 =1
p~~>~q=1
0 1 =1

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Fizyczna realizacja w bramkach logicznych:
Kod:

 ~p    ~q
  |     |
  |     x-------------------x
  |     |                   |
  x-----|-------------x     |
  |     |             |     |
  |     |             O     O
  |     |             |p    |q
 ---------           ---------
 |O =>   |~p=>~q=1   |  ~>  O|p~>q=1
 |musi   |1 1 =1     |może   |0 0 =1
 |A      |~p=>q=0    |B      |p~~>~q=1
 |OR     |1 0 =0     |OR     |0 1 =1
 ---------           ---------
     |                   |
     |                   |
     x---------x---------x
               |
               |
               Y= ~p=>~q = p~>q

Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Tabela prawdy dla implikacji prostej ~p=>~q.
Kod:

Bramka A
~p  ~q           Y=~p=>~q
 1   1           1
 1   0           0
        Bramka B
~p  ~q   p   q   Y=p~>q
 0   0   1   1   1
 0   1   1   0   1

Bramki po lewej i prawej stronie są absolutnie równoważne.
Na pytanie co będzie jak zajdzie ~p odpowiadamy patrząc przez bramkę A, natomiast na pytanie co będzie jak zajdzie p odpowiadamy patrząc przez bramkę B.

Tabela prawdy dla powyższego układu:
Kod:

~p ~q ~p=>~q
 1  1 =1
 1  0 =0
 0  0 =1
 0  1 =1

Uwaga !
Tabela zero-jedynkowa wypełniona jest ze stałego punktu odniesienia ~p=>~q, czyli dla ~p=0 na wejściu bramki A, będziemy mieli p=1 na wejściu bramki B. Identycznie dla ~q=0 na wejściu bramki A, będzie q=1 na wejściu bramki B co widać w powyższej tabeli prawdy.

Ćwiczenie 6.3.2
Zbudować fizycznie powyższy układ logiczny i sprawdzić iż działa zgodnie z powyższą tabela prawdy.


6.4 Punkt odniesienia w implikacji

Argumenty w operatorach AND(*) i OR(+) są przemienne i tu punkt odniesienia jest nieistotny.
p*q = q*p
p+q = q+p

W operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~> argumenty nie są przemienne.
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p

Oczywiście matematycznie zachodzi:
p=>q = q<=p
p~>q = q<~p
bo zdania czytamy zawsze zgodnie z kierunkiem wektora, od podstawy do strzałki.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = P2<=P8
P8 jest wystarczające dola P2 zatem implikacja prosta prawdziwa

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = P8<~P2
P2 jest konieczne dla P8 zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa.

Zobaczmy ostatnie tożsamości w bramkach logicznych.

Kod:

            => An <=
  x------------x------------x
  |                         |
  |         <~ Bn ~>        |
  |     x------x------x     |
  |     |             |     |
  |A:p  |A:q          |A:q  |A:p
  |B:q  |B:p          |B:p  |B:q
 ---------           ---------
 |O      |           |      O|
 |  A:=> |           |  A:<= |
 |  B:<~ |           |  B:~> |
 |OR     |           |OR     |
 ---------           ---------
     |                   |
     |                   |
     x---------x---------x
               |
               |
           A: p=>q = A: q<=p
           B: q<~p = B: p~>q

Powyższy schemat to jedna i ta sama bramka, narysowana w lustrzanym odbiciu.
O tym czy będzie to bramka implikacji prostej => czy też fundamentalnie inna bramka implikacji odwrotnej ~> decyduje punkt odniesienia.

Punkt odniesienia An
Jeśli staniemy w punkcie An to będziemy mieli do czynienia z bramka implikacji prostej =>:
A:
p=>q = q<=p

Tabela zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q = q<=p
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Punkt odniesienia Bn
Jeśli staniemy w punkcie Bn to będziemy mieli do czynienia z implikacją odwrotną ~>:
B.
q<~p = p~>q
czyli:
p~>q = q<~p

Tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

p q p~>q = q<~p
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Powyższy schemat to jedna i ta sama bramka implikacji prostej p=>q (punkt odniesienia A) albo odwrotnej p~>q (punkt odniesienia B) w lustrzanym odbiciu.
Matematycznie to dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.
p=>q # p~>q

Zależności matematyczne między operatorami implikacji prostej => i odwrotnej ~> opisują prawa Kubusia.

Ze schematu ideowego widać, że teoretycznie jeden z operatorów => lub ~> jest zbędny.

Zobaczmy to na przykładzie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = P2<=P8
P8 jest wystarczające dola P2 zatem implikacja prosta prawdziwa
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = P8<~P2
P2 jest konieczne dla P8 zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa.

Ostatnie zdanie możemy też zapisać tak:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może <= być podzielna przez 8
P2<=P8 = P8=>P2

Ze zdań B i C wynika że:
~> = <= - jeśli operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym.
Zapiszmy symbolicznie zdania A i B jedno pod drugim:
A: P8=>P2 = P2<=P8
B: P2~>P8 = P8<~P2
Mamy wyżej absolutną matematyczną jednoznaczność, zdanie A to implikacja prosta => natomiast zdanie B to implikacja odwrotna ~>.

Zapiszmy teraz symbolicznie zdanie A i C jedno od drugim:
A: P8=>P2 = P2<=P8
C: P2<=P8 = P8=>P2

W zdaniu C mamy tożsamość, zamieńmy ją zatem stronami:
A: P8=>P2 = P2<=P8
C: P8=>P2 = P2<=P8

Usuńmy teraz oznaczenia A i C z powyższego:
P8=>P2 = P2<=P8
P8=>P2 = P2<=P8

Z takiego zapisu nie sposób odtworzyć które z powyższych zdań jest implikacją prostą => (czytamy zgodnie ze strzałką) a które implikacja odwrotną <= (czytamy przeciwnie do strzałki). Jak dołożymy do tego prawa Kubusia to kociokwik będzie pełny … które wektory => czytać zgodnie ze strzałką (implikacja prosta), a które wektory => czytać przeciwnie do strzałki (implikacja odwrotna) ?

Argumenty za niezależnym symbolem implikacji odwrotnej ~> w logice:
1.
Z opisanego wyżej powodu niezależny operator implikacji odwrotnej ~> jest w logice niezbędny.
2.
Na mocy definicji implikacja prosta => to fundamentalnie co innego niż implikacja odwrotna ~>, analogicznie jak AND(*) i OR(+), zatem operator ~> jest niezbędny.

Formalnie rzecz biorąc, całą logikę można zredukować do jednego operatora NOR albo NAND … tylko co to będzie miało wspólnego z logiką człowieka ?

Twierdzenie:
Niezbędne operatory w logice to te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym:
AND(*), OR(+), =>, ~>, <=>, XOR


7.0 Obietnice i groźby

Jednym z przykładów zastosowania implikacji prostej => i odwrotnej ~> jest matematyczna obsługa obietnic i gróźb.

Fundament algebry Kubusia

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>

Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta => - to jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO

To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić kryształowo czystą matematyką że:
Groźba = implikacji odwrotna ~>
Dowód na przykładzie …

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
Podręcznik do I klasy LO napisał:

„Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę”
Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę (1 1 =1), mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady (0 0 =1), mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady (1 0 =0), oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę (0 1 =1), mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny.

Zauważmy, że analiza tego zdania jest zgodna z nową teoria implikacji. Błędne jest tylko „matematyczne” uzasadnienie przypadku w którym niegrzeczne dziecko dostaje czekoladę.

Poprawne uzasadnienie wynika oczywiście z prawa Kubusia które nie może być zgwałcone:
G=>C = ~G~>~C - prawo zamiany operatora => na ~>
czyli:
Jeśli syn będzie niegrzeczny to może dostać czekoladę lub nie. W tym przypadku mama ma 100% wolnej woli i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą … to jest matematyka ścisła, symboliczna algebra Boole’a. Nie ma tu żadnego znaczenia czego mama nie powiedziała.

Poprawna analiza matematyczna tego zdania jest taka:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1
1 1 =1 - zdanie wypowiedziane
Obietnica, zatem implikacja prosta, tu wszyscy się zgadzamy z podręcznikiem matematyki do I klasy LO
Skoro to implikacja prosta to:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0
1 0 =0
… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1
0 1 =1 - akt miłości
gdzie:
~~> - naturalne "może", wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej ~>, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi.

Doskonale tu widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
G=1, ~G=0
C=1, ~C=0

Wniosek:
Podręcznikowe uzasadnienie przypadku w którym mama może wręczyć czekoladę niegrzecznemu dziecku jest matematycznie błędne, bowiem nie ma znaczenia czego mama nie powiedziała. Brak kłamstwa wynika tu z matematyki ścisłej, prawa Kubusia, które nie może być zgwałcone.

Oczywiście z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

Z powyższego mamy definicję obietnicy i groźby …

Definicja obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta =>
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać - stąd implikacja prosta
czyli:
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody, (W) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W), poza tym wszystko może się zdarzyć !
… tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>.

Analiza matematyczna obietnicy:
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę
W=>N =1 - gwarancja nagrody
1 1 =1
stąd na podstawie definicji operatora implikacji prostej => mamy:
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => nie dostaniesz nagrody
W=>~N =0
1 0 =0
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
czyli:
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody
~W~>~N =1
0 0 =1
LUB
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~~> dostać nagrodę
~W~~>N =1 - akt miłości
0 1 =1
Możliwość wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (akt miłości)
Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
W=1, ~W=0
N=1, ~N=0

Definicja groźby:
Groźba = implikacji odwrotna ~>
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna, bo spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym do ukarania, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W=>~K
czyli:
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W) to na pewno nie zostaniesz ukarany (~K), z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W), poza tym wszystko może się zdarzyć !
… tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>.

Porównajmy gwarancję w obietnicy z gwarancją w groźbie, doskonale widać 100% analogię wynikającą z definicji operatora implikacji prostej =>, jednak groźba ~> to fundamentalnie co innego niż obietnica => bowiem matematycznie:
p=>q # p~>q

Analiza matematyczna groźby:
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany
W~>K =1
1 1 =1
LUB na podstawie definicji operatora implikacji odwrotnej~>:
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~~> nie zostać ukarany
W~~>~K =1 - akt łaski
1 0 =1
Mamy tu prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy (akt łaski)
… a jeśli nie spełnię warunku kary ?
Prawo Kubusia:
W~>K= ~W=>~K
czyli:
Gwarancja w groźbie:
Jeśli nie spełnisz warunku kary, to na pewno => nie zostaniesz ukarany
~W=>~K =1
0 0 =1
… z powodu że nie spełniłeś warunku kary, wszystko inne może się zdarzyć
stąd na podstawie =>:
Jeśli nie spełnisz warunku kary, to na pewno => zostaniesz ukarany
~W=>K =0
0 1 =0
z powodu że nie spełniłeś warunku kary, poza tym wszystko może się zdarzyć.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej W~>K.
Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
W=1, ~W=0
K=1, ~K=0

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Jak wiemy:
~> = <= - pod warunkiem że operator <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym.

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


7.1 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancja w implikacji jest zawsze operator implikacji prostej:
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Weźmy zdanie od którego zaczęła się przygoda Kubusia z implikacją.

Przykład 7.1.1
Chrystus:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Przez kilka miesięcy Kubuś, przybysz ze świata techniki, który nigdy nie słyszał słówka „implikacja” udowadniał Wujowi że powyższe zdanie to równoważność … teraz Kubuś już wie że to implikacja i Wuj jak zwykle miał rację.

Analiza matematyczna:
A.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - gwarancja zbawienia dla wszystkich wierzących.
1 1 =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym dla zbawienia, zatem implikacja prosta prawdziwa. To ewidentna obietnica zatem na mocy definicji kodujemy implikacja prostą =>.
stąd:
B.
Kto wierzy we mnie nie będzie zbawiony
W=>~Z =0 - oczywisty twardy fałsz
1 0 =0
… a jak kto nie wierzy Panie ?
Prawo Kubusia:
W=>Z = ~W~>~Z
czyli:
C.
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1
0 0 =1
Brak wiary w Chrystusa jest warunkiem koniecznym dla „nie zbawienia”, zatem implikacja odwrotna prawdziwa. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje Chrystus wedle swojej wolnej woli.
Powyższe zdanie to ewidentna groźba, zatem na mocy definicji groźby musi być kodowana operatorem implikacji odwrotnej ~>. W języku mówionym spójnik „może” ~> jest tu praktycznie zawsze pomijany, bowiem groźba ma być groźbą, im ostrzej wypowiedziana tym większe prawdopodobieństwo że odbiorca nie spełni warunku groźby, a o to przecież chodzi we wszelkich groźbach. Prawo do darowania dowolnej kary gwarantuje tu operator implikacji odwrotnej ~> wynikający z prawa Kubusia, absolutnej świętości w algebrze Boole’a. Jeśli zdanie jest implikacją to musi spełniać prawo Kubusia !
LUB
D.
Kto nie wierzy we mnie ten może być zbawiony
~W~~>Z =1 - akt łaski w groźbie ~W~>~Z = akt miłości w obietnicy W=>Z.
0 1 =1
Doskonale widać definicję zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
W=1, ~W=0
Z=1, ~Z=0

Na podstawie prawa Kubusia mamy:
W=>Z = ~W~>~Z
Przeanalizujmy zatem prawą stronę równania przez definicję implikacji odwrotnej ~> aby sprawdzić czy rzeczywiście powyższa tożsamość zachodzi.

Przykład 7.1.2
Chrystus:
Kto nie wierzy we mnie ten nie będzie zbawiony

Poprawne kodowanie tej groźby jest oczywiście takie:
C.
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1
1 1 =1
Brak wiary w Chrystusa jest warunkiem koniecznym dla „nie zbawienia”, zatem implikacja odwrotna prawdziwa. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje Chrystus wedle swojej wolnej woli.
Powyższe zdanie to ewidentna groźba, zatem na mocy definicji groźby musi być kodowana operatorem implikacji odwrotnej ~>. W języku mówionym spójnik „może” ~> jest tu praktycznie zawsze pomijany, bowiem groźba ma być groźbą, im ostrzej wypowiedziana tym większe prawdopodobieństwo że odbiorca nie spełni warunku groźby, a o to przecież chodzi we wszelkich groźbach. Prawo do darowania dowolnej kary gwarantuje tu operator implikacji odwrotnej ~> wynikający z prawa Kubusia, absolutnej świętości w algebrze Boole’a. Jeśli zdanie jest implikacją to musi spełniać prawo Kubusia !
LUB
D.
Kto nie wierzy we mnie ten może być zbawiony
~W~~>Z =1 - akt łaski w groźbie ~W~>~Z = akt miłości w obietnicy W=>Z.
1 0 =1
… a jak kto wierzy Panie ?
Prawo Kubusia:
~W~>~Z = W=>Z
czyli:
A.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - gwarancja zbawienia dla wszystkich wierzących.
0 0 =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym dla zbawienia, zatem implikacja prosta prawdziwa. To ewidentna obietnica zatem na mocy definicji kodujemy implikacja prostą =>.
stąd:
B.
Kto wierzy we mnie nie będzie zbawiony
W=>~Z =0 - oczywisty twardy fałsz
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~W=1, W=0
~Z=1, Z=0

Zauważmy, że analiza matematyczna przykładów 7.1.1 i 7.1.2 jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem poprawności praw Kubusia i całej NTI.

Jak widzimy, przy popranym kodowaniu zdań:
W=>Z = ~W~>~Z
wszyscy wierzący w Chrystusa ludzie mają gwarancję zbawienia, natomiast z niewierzącymi Chrystus może zrobić co mu się podoba wedle swojej wolnej woli i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Skrajne przypadki to wszyscy niewierzący do piekła albo wszyscy niewierzący do nieba (piękna idea powszechnego zbawienia). Oczywiście Hitlerowi należą się męki piekielne, ale nie wieczne, bo to byłaby porażka Boga.

Wniosek:
Nowa Teoria Implikacji = logika człowieka = logika Boga

Kodowanie gróźb implikacja prostą robi idiotę nie tylko z człowieka ale nawet z Boga.
Chrystus:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W=>~Z
oczywiście z błędnego kodowania tej groźby operatorem implikacji prostej => wynika, że Chrystus część w niego wierzących może posłać do piekła. Kolejnym bezsensem w kodowaniu tej groźby implikacją prostą jest fakt, iż Chrystus nie ma prawa choćby jednego niewierzącego posłać do nieba, czyli jego wolna wola, prawo do darowania dowolnej kary, leży w gruzach.

Popatrzmy na kompletną analizę matematyczną powyższej groźby, błędnie zakodowaną operatorem implikacji prostej =>:

Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W=>~Z =1 - gwarancja piekła dla wszystkich niewierzących w Chrystusa
1 1 =1
stąd:
Kto nie wierzy we mnie na pewno => będzie zbawiony
~W=>Z =0
1 0 =0
Mamy tu zakaz umieszczenia choćby jednego niewierzącego w niebie czyli Chrystus pozbawiony jest wolnej woli (prawa do darowania kary)
... a jak kto wierzy Panie ?
Prawo Kubusia:
~W=>~Z = W~>Z
czyli:
Kto wierzy we mnie ten może ~> być zbawiony
W~>Z =1
0 0 =1
LUB
Kto wierzy we mnie ten może ~~> nie być zbawiony
W~~>~Z =1 - czyli wierzący w Chrystusa mogą trafić do piekła (idiotyzm)
0 1 =1
Zauważmy, że o tym kto jest wierzący a kto nie rozstrzyga Chrystus. Nonsensem jest rozstrzygnięcie „ten człowiek wierzy we mnie”, zatem posyłam go do piekła.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~W=1, W=0
~Z=1, Z=0


7.2 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


7.3 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni, zatem implikacja odwrotna prawdziwa. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
1 1 =1
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
1 0 =1
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski)

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
0 0 =1
Na mocy definicji operatora implikacji prostej => mamy:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
B=1, ~B=0
L=1, ~L=0

Dlaczego zdanie B nie może być implikacja odwrotną ?
Dowód nie wprost:
Załóżmy że zdanie B: B~>~L jest implikacja odwrotną.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
B: B~>~L = D: ~B=>L
Zdanie D: jest oczywistym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawdziwość zdania B: określa wzór:
(B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1
gdzie:
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej zatem warunek koniczny tu nie zachodzi.

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?

Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię

Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.


7.4 Złożone formy gróźb i obietnic

Powyżej analizowaliśmy obietnice i groźby przy pomocy zero-jedynkowych definicji implikacji prostej (obietnice) i implikacji odwrotnej (groźby). W praktyce po stronie warunku p (także q) może być dowolne zdanie złożone, które analizujemy przy pomocy algebry Boole’a. Istotne jest, aby możliwe było określenie dla jakich parametrów wejściowych warunek p jest spełniony.

Przykład:
Jeśli będziesz bił siostrę lub nie posprzątasz pokoju dostaniesz lanie
B+~P~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
(B+~P)~>L = ~(B+~P)=>~L
na podstawie prawa de’Morgana mamy:
~(B+L) = ~B*P=>~L
czyli:
Jeśli nie będziesz bił siostry i posprzątasz pokój to na pewno nie dostaniesz lania
~B*P=>~L


7.5 Wolna wola

Wolna wola człowieka może występować w relacjach:
1.
Człowiek - świat martwy
Przykład:
Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę
P=>O
Oczywiście nie może tu być mowy o takich pojęciach jak „akt miłości” czy „akt łaski”.
2.
Człowiek - człowiek
Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Najciekawsza jest relacja człowiek-człowiek, w szczególności matematyczna obsługa wszelkich gróźb i obietnic. Tylko i wyłącznie w tym przypadku możemy mówić o matematycznym „akcie miłości” w obietnicy i matematycznym „akcie łaski” w groźbie.

Sztandarowym przykładem implikacji prostej => we wszelkich podręcznikach matematyki do I klasy LO jest dowolna obietnica. Groźby nigdzie nie znajdziemy, bo dzisiejsza matematyka nie potrafi ich poprawnie obsługiwać z powodu braku akceptacji implikacji odwrotnej ~> i praw Kubusia.

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej => w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
1 0 =0
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
0 1 =1
Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
E=1, ~E=0
K=1 , ~K=0

Zdanie C to ewidentna groźba. Intencją wypowiadającego jest, aby groźba była groźbą, dlatego praktycznie zawsze pomijany jest spójnik „może”.

Zdanie C przybierze postać.
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym nie dostania komputera, zatem implikacja odwrotna. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Oczywiście na mocy definicji groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
zatem powyższą groźbę musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej ~>:
~E~>~K

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to operator implikacji odwrotnej ~>

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 8.1.

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Boole’a (algebrę Kubusia)

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej ~>.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym i można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej => jak i odwrotnej ~> mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


8.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych.


8.1 Obietnica w równaniach matematycznych

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 – mam nagrodę
N=0 – nie mam nagrody
W=1 – warunek nagrody spełniony
W=0 – warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 – muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 – warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 – mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


8.2 Groźba w równaniach matematycznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 – zostanę ukarany
K=0 – nie zostanę ukarany
W=1 – warunek kary spełniony
W=0 – warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 – ukarać
U=0 – nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 – warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 – zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 – warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 – karać
U=0 – nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 – kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


9.0 Nowa teoria implikacji w przedszkolu

Nadszedł czas weryfikacji algebry Kubusia, której podstawy przed chwilą poznaliśmy. Dotychczas poznaliśmy algebrę Kubusia poczynając od tabel zero-jedynkowych, poprzez definicje symboliczne dochodząc do definicji operatorowych. W tym punkcie zrobimy dokładnie odwrotnie, czyli poczynając od naturalnego języka przedszkolaka czyli definicji operatorowych zejdziemy w dół aż do definicji zero-jedynkowych. Ten sposób podejścia był kluczem do rozwiązania problemu implikacji którą posługują się ludzie.


9.1 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej

Udajmy się zatem do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami.

Kubuś:
A1:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości.
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
A2:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci

Kubuś:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Dzieciaki:
A3:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe
Kubuś:
A4:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci

Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci ani razu nie popełniły błędu !

Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia.
A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P

Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją.
Dlaczego ?
Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności).

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
A4: ~4L=>P =0
Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny.
Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór:
(4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1
Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń).


9.2 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>)
Kod:

 4L    P   Y=4L~>P ~Y=~(4L~>P)
 4L ~> P = 1        0
 4L~~>~P = 1        0
~4L=> ~P = 1        0
~4L => P = 0        1

gdzie:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe

W matematyce nie operujemy na konkretnych przykładach, lecz na zapisach formalnych. Powszechnie przyjętym standardem są w implikacji literki p i q.
Jeśli p to q
p - poprzednik
q - następnik
Przepiszmy zatem powyższą tabelę podstawiając:
4L=p, P=q

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

 p    q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
 p ~> q = 1       0
 p~~>~q = 1       0
~p=> ~q = 1       0
~p => q = 0       1

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być konieczne dla q, inaczej pierwsza linia definicji operatorowej jest twardym fałszem, zdanie na pewno nie jest implikacją odwrotną.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P=0
Oczywisty twardy fałsz bo skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa.

Po opuszczeniu operatorów w powyższej definicji otrzymujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej .

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

 p  q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
 p  q = 1       0
 p ~q = 1       0
~p ~q = 1       0
~p  q = 0       1

Najprostszą definicję implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a otrzymujemy z ostatniej linii tabeli.

Wystąpi fałsz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i zajdzie q.
~Y= ~p*q
Kiedy wystąpi prawda ?
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+).
Y=p+~q
stąd …

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
Y= p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana

Wystąpi prawda (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i zajdzie q.


9.3 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej

Zero jedynkowa definicja implikacji odwrotnej to w dniu dzisiejszym zabytek klasy zerowej. Wszyscy ludzie na ziemi od przedszkolaka po profesora posługują się biegle operatorową definicją implikacji odwrotnej. Nie ma potrzeby przechodzenia do zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej.

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

 p    q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
 p ~> q = 1       0
 p~~>~q = 1       0
~p=> ~q = 1       0
~p => q = 0       1

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie samej definicji implikacji, zatem implikacja odwrotna to w pierwszej części rzucanie monetą p~>q, zaś w drugiej części pewne wynikanie ~p=>~q.

Zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej otrzymujemy opuszczając operatory oraz przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
1 1  1       0
1 0  1       0
0 0  1       0
0 1  0       1

Najprostsze równanie algebry Boole’a zapiszemy dla ostatniej linii bo tu w wyniku mamy samotne zero (Y=0).
Y=0 <=> p=0 i q=1
Przejście z takiego zapisu do równania algebry Boole’a możemy uzyskać na dwa sposoby.

Sposób 1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.

Mamy:
Y=0 <=> p=0 i q=1
czyli:
Y=0, ~Y=1
p=0, ~p=1
q=1
Sprowadzamy wszystkie sygnały do jedynki i stosujemy definicję iloczynu logicznego.
~Y=~p*q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
Y = p+~q

Sposób 2
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.

Mamy:
Y=0 <=> p=0 i q=1
czyli:
Y=0
p=0
q=1,~q=0
Sprowadzamy wszystkie sygnały do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Y=p+~q
Jak widać, w tym przypadku końcowe równanie implikacji odwrotnej mamy natychmiast.

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
Y = p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana

Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla ostatniej linii tabeli gdzie w wyniku było samotne zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej przybierze zatem postać końcową.

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  Y=p~>q=p+~q=~(~p*q) ~Y=~(p~>q)=~[~(~p*q)]=~p*q
1 1  1                    0
1 0  1                    0
0 0  1                    0
0 1  0                    1

Wystąpi prawda (Y=1) jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i q
Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie ~p i q

Ciąg dalszy na kolejnej stronie …
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 19:33, 13 Mar 2010    Temat postu:

9.4 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Poza gwarancją wszystko może się zdarzyć czyli mamy rzucanie monetą.

Gwarancją w implikacji odwrotnej jest wynikająca z prawa Kubusia implikacja prosta:
Y=p~>q = ~p=>~q

Gwarancja:
Jeśli nie zajdzie p to na pewno nie zajdzie q
~p=>~q

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Y=4L~>P
Gwarancja:
Y=4L~>P = ~4L=>~P - prawo Kubusia
G1:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
Y=~4L=>~P
Gwarantowane zwierzaki to kura, mrówka, stonoga, wąż …

Gwarancja dotyczy zwierząt które nie mają czterech łap, te na pewno nie są psami, poza tą gwarancją wszystko może się zdarzyć czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem (tu pies), lub nie być psem (np. słoń) czyli mamy tu rzucanie monetą.

Gwarancję równoważną otrzymujemy z definicji implikacji odwrotnej zapisanej w równaniu algebry Boole’a.
Definicja implikacji odwrotnej:
Y=p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana
stąd:
Y=4L~>P = ~(~4L*P)
czyli:
G2:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
Y=~(~4L*P)
Oczywiście gwarantowane zwierzaki to kura, mrówka, stonoga, wąż … - te na pewno nie są psami.

… a kiedy wystąpi fałsz ?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~Y=~4L*P
Wystąpi fałsz (~Y) jeśli zwierzę nie będzie miało czterech łap i będzie psem.

Zauważmy coś bardzo ważnego. Człowiek mając do wybory dwie równoważne gwarancje G1 i G2 praktycznie na 100% zawsze wybierze G1 bo ta jest zdecydowanie bardziej klarowna.

Wniosek:
W naturalnym języku mówionym człowiek posługuje się przede wszystkim operatorową definicją implikacji odwrotnej.
Z definicji równoważnej, zapisanej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)
w praktyce nikt nie korzysta, co nie oznacza że przedszkolak miałby tu jakiekolwiek kłopoty.

Jaś:
G1:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
Y=~4L=>~P
Kubuś:
… a czy może się zdarzyć że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem ?
p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa Kubusia i definicji implikacji odwrotnej
stąd:
~4L=>~P = ~(~4L*P)
Jaś:
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
~(~4L*P)

Zauważmy, że przeanalizowaliśmy implikację odwrotną:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
na wszelkie możliwe sposoby wyłącznie w symbolicznej algebrze Kubusia nie mając bezpośredniej styczności z kodem maszynowym czyli zerami i jedynkami po stronie p i q.


9.5 Kubuś na tropie implikacji prostej

Dzieci w przedszkolu są doskonałym testerem dowolnej logiki roszczącej sobie miano matematycznego opisu języka mówionego. Nowa, nieznana człowiekowi definicja implikacji odwrotnej ~> przeszła taki test bez najmniejszego problemu. Kubuś postanowił sprawdzić czy również nowa definicja implikacji prostej => przejdzie „test przedszkolaka”.

Druga wizyta Kubusia w przedszkolu.

Drogie dzieci, będę wypowiadał różne zdania o piesku i jego czterech łapach. Waszym zadaniem będzie rozstrzygnięcie czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe. Proszę Was, abyście uwzględniali wyłącznie pieski zdrowe które mają cztery łapy.

B1:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1
Zdanie prawdziwe, zgodnym chórem krzyknęły dzieci, bo każdy pies ma cztery łapy.
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest wystarczające, aby mieć cztery łapy.
B2:
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L=0
Fałsz, kłamstwo, bo każdy pies ma cztery łapy, żaden przedszkolak nie miał tu wątpliwości

Jaś:
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Kubuś:
B3:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1
Prawda czy fałsz ?
Dzieci:
Prawda bo mrówka, stonoga, kura, wąż ….
lub
B4:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L=1
Prawda bo koń, słoń, wilk, hipopotam … przekrzykiwały się dzieci

Na wszelki wypadek by upewnić się czy nowa teoria matematyczna jest prawdziwa Kubuś zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci nie pomyliły się ani razu !

Nie ma zatem wątpliwości, symboliczna algebra Kubusia przeszła „test przedszkolaka” pomyślnie.

Zauważmy, że zdanie B4 nie może być implikacją odwrotną.
Dlaczego ?

Najprostszą wyrocznią jest tu oczywiście prawo Kubusia.
Dowód nie wprost.
Załóżmy że B4 jest implikacją odwrotną, wtedy musi być spełnione prawo Kubusia:
B4: ~P~>4L = B2: P=>~4L
Prawa strona tożsamości:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
.. to oczywisty fałsz, zatem fałszywa musi być tez implikacja po lewej stronie czyli:
B4: ~P~>4L=0
Prawdziwość zdania B4 określa wzór:
(~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0+1 =1
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda (tu np. koń), na pewno nie jest to implikacja odwrotna.


9.6 Operatorowa definicja implikacji prostej

Przepiszmy powyższy przykład wyłącznie w postaci operatorowej.
Kod:

    P   4L   Y=(P=>4L) ~Y=~(P=>4L)
B1: P=> 4L = 1          0
B2: P=>~4L = 0          1
B3:~P~>~4L = 1          0
B4:~p~~>4L = 1          0

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Oczywiście w matematyce nie operujemy na konkretnym przykładzie lecz na parametrach formalnych którymi w implikacji są literki p i q.
Podstawiamy zatem:
P=p i 4L=q
i otrzymujemy operatorową definicję implikacji prostej.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

 p   q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
 p=> q = 1         0
 p=>~q = 0         1
~p~>~q = 1         0
~p~~>q = 1         0

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Po opuszczeniu operatorów w powyższej definicji otrzymujemy symboliczną definicję implikacji prostej.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

 p  q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
 p  q = 1         0
 p ~q = 0         1
~p ~q = 1         0
~p  q = 1         0

Stąd dla drugiej linii zapisujemy najprostsze równanie algebry Boole’a.
Wystąpi fałsz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~q
czyli:
~Y=p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+):
Y=~p+q
stąd:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a
Y = p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana


9.7 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

 p   q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
 p=> q = 1         0
 p=>~q = 0         1
~p~>~q = 1         0
~p~~>q = 1         0

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie samej definicji implikacji, zatem implikacja prosta to w pierwszej części pewne wynikanie p=>q, natomiast w drugiej części to najzwyklejsze rzucanie monetą ~p~>~q.

Po opuszczeniu operatorów w operatorowej definicji implikacji prostej i przyjęciu:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
otrzymujemy …

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  Y=(p=>q)=~p+q=~(p*~q) ~Y=~(p=>q)=~[~(p*~q)]=p*~q
1 1  1                      0
1 0  0                      1
0 0  1                      0
0 1  1                      0

Wystąpi prawda (Y=1) jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie p i ~q
Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie p i ~q


9.8 Gwarancja w implikacji prostej

Na mocy definicji gwarancją jest sama definicja implikacji prostej ….

G1:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Gwarantowany zwierzak to pies, który na pewno ma cztery łapy … poza tym wszystko może się zdarzyć czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap (np. mrówka) lub jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy (np. słoń).

Równoważną gwarancję, lecz w praktyce nigdy nie używaną mamy z równań algebry Boole’a.

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a.
Y = p=>q = ~p~>~q =~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana
stąd:
P=>4L = ~P~>~4L = ~(P*~4L)
czyli:
G2:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
~(P*~4L)
Gwarantowany zwierzak to pies, poza tym wszystko może się zdarzyć.

Oczywiście nie oznacza to że przedszkolak będzie miał jakiekolwiek problemy z wypowiedzeniem gwarancji G2 … jeśli się go do tego zmusi.

Jaś:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Kubuś:
… a czy może się zdarzyć że zwierze jest psem i nie ma czterech łap ?
P=>4L = ~(P*~4L) - na mocy definicji implikacji prostej
Jaś:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap.
~(P*~4L)

9.9 O niezbędności operatorów implikacji

Jak widzimy wyżej, człowiek poruszając się po implikacji praktycznie nigdy nie przechodząc do definicji równoważnych w operatorach AND i OR.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana

Definicje implikacji w operatorach AND i OR:
~(p*~q) - implikacja prosta
~(~p*q) - implikacja odwrotna

Poprawnie opisują gwarancję matematyczną w tych implikacjach i absolutnie nic więcej.

Argumenty przeciw definicji implikacji z użyciem operatorów AND i OR:
1.
W definicjach implikacji wyrażonych w AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów co jest sprzeczne z definicjami AND i OR.
2.
Nie może tu być mowy o warunku wystarczającym w implikacji prostej => i koniecznym w implikacji odwrotnej ~>, czyli czymś absolutnie kluczowym w pojęciu implikacji
3.
Niemożliwa jest analiza implikacji w naturalnym języku mówionym
4.
Niemożliwe jest dojście do praw Kubusia

Argumenty za definicją implikacji z użyciem operatorów AND i OR:
BRAK !


10.0 Nowa teoria implikacji w praktyce

Polecam wszystkim bardzo ciekawą dyskusję na ateiście.pl która zainspirowała Kubusia do napisania tej wersji NTI.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nti-dyskusja-z-ateisty-pl,4867.html#104471


10.1 Następstwo czasowe w implikacji

Implikacja to matematyczny opis przyszłości:
p=>q
Jeśli w przyszłości zajdzie przyczyna p to nastąpi skutek q

Przykład:
Jeśli będzie padać to otworzę parasol
P=>O =1
1 1 =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla otworzenia parasola, implikacja prosta prawdziwa
czyli:
Jeśli będzie padać (przyczyna) to otworzę parasol (skutek)
stąd:
Jeśli będzie padać to nie otworzę parasola
P=>~O=0
1 0 =0

… a jeśli nie będzie padać ?
Prawo Kubusia:
P=>O = ~P~>~O
czyli:
Jeśli nie będzie padać to mogę nie otworzyć parasola
~P~>~O =1
0 0 =1
LUB
Jeśli nie będzie padać to mogę otworzyć parasol
~P~~>O =1 np. z powodu upału
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=1
O=1, ~O=0

Oczywiście po zamianie p i q w implikacji i użyciu tego samego operatora implikacja musi być fałszywa na mocy równania:
p=>q # q=>p
Zatem jeśli implikacja p=>q jest prawdziwa to implikacja q=>p musi być fałszywa, czyli:

Jeśli otworzę parasol to na pewno => będzie padać
O=>P =0 - zdanie fałszywe !
Otwarcie parasola nie jest warunkiem wystarczającym dla deszczu, zatem implikacja prosta fałszywa.

W algebrze Kubusia po stwierdzeniu fałszu zdanie ląduje w koszu na śmieci z napisem fałsz, bowiem nie ma tu mowy aby z fałszu mogła powstać prawda.

Spójrzmy na nasz przykład z innej strony:
Jeśli będzie padać to otworzę parasol
P=>O
Padanie jest warunkiem wystarczającym, abym otworzył parasol, zatem implikacja prosta prawdziwa
czyli:
Jeśli zajdzie przyczyna „będzie padać” to nastąpi skutek „otwarcie parasola”.

Oczywiście bezsensowna jest tu zamiana przyczyny ze skutkiem w czasie przyszłym czyli:
Jeśli otworzę parasol to może padać
O~>P =0
Otwarcie parasola nie jest warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem implikacja odwrotna fałszywa

W poprawnej matematyce musi też być fałszywa implikacja wynikająca z prawa Kubusia:
O~>P = ~O=>~P
czyli:
Jeśli nie otworzę parasola to na pewno => nie będzie padać
~O=>~P =0
„Nie otwarcie parasola” nie jest warunkiem wystarczającym dla „nie padania”, zatem implikacja prosta fałszywa. Poprawne prawo matematyczne (prawo Kubusia) z fałszu może wyprodukować wyłącznie fałsz, nic innego nie może !

Implikacja to matematyczny opis przyszłości. Powyższa implikacja będzie sensowna w czasie przeszłym, gdy zachowana zostanie kolejność „najpierw przyczyna” następnie skutek. W czasie przeszłym wszystko jest zdeterminowane, wszelkie decyzje już zapadły, wszystko się stało i się nie odstanie.

A.
Jeśli otworzyłem parasol to dlatego że wcześniej mogło padać
O~>P =1
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli otworzyłem parasol to dlatego że wcześniej mogło nie padać (np. z powodu upału)
O~~>~P =1
1 0 =1
… a jeśli w przeszłości nie otworzyłem parasola ?
Prawo Kubusia:
O~>P = ~O=>~P
czyli:
C.
Jeśli w przeszłości nie otworzyłem parasola to na pewno nie padało
~O=>~P =1
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli w przeszłości nie otworzyłem parasola to na pewno padało
~O=>P =0
0 1 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
O=1, ~O=0
P=1, ~P=0

Zauważmy, że wypowiedzenie zdania C w czasie przyszłym, gdzie po stronie p mamy skutek (nie otworzę parasola), zaś po stronie q mamy przyczynę (nie będzie padało) jest bez sensu bowiem:

C.
Jeśli nie otworzę parasola to na pewno nie będzie padać
~O=>~P =?
Mamy wyżej „gwarancję” że jak nie otworzymy parasola to na pewno nie będzie padać.

Przy okazji mamy tu dowód na przykładzie fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji.
Prawo Kontrapozycji:
P=>O # ~O=>~P

Lewa strona to prawdziwa implikacja prosta prawdziwa:
Jeśli będzie padało to otworzę parasol
P=>O =1

Natomiast prawa strona w prawie kontrapozycji jest ewidentnym bezsensem:
Jeśli nie otworzę parasola to na pewno => nie będzie padać
~O=>~P =0 !
Nie otwarcie parasola nie jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania, zatem implikacja prosta fałszywa
Prawo Kubusia:
~O=>~P = O~>P =0
Oczywiście poprawny aparat matematyczny z fałszu wygeneruje fałsz, nic innego nie może !

Jeśli otworzę parasol to może padać
O~>P =0
Otwarcie parasola nie jest warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem implikacja odwrotna fałszywa


10.2 Rodzaje implikacji

Równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q
Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy implikacyjne. Zdanie sensowne z lewej strony nie wymusza sensowności z prawej strony.

Jeśli implikacja prosta p=>q jest prawdziwa to po zamianie p i q możemy otrzymać implikację odwrotną p~>q prawdziwą (A, B), ale nie musimy (C, D).

Jeśli implikacja odwrotna p~>q jest prawdziwa, to po zamianie p i q możemy otrzymać implikację prostą => prawdziwą (A, B), ale nie musimy (E).

A.
Matematyka (p) - matematyka (q)
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Po zamianie p i q mamy:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8 zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa

B.
Świat martwy (p) - świat martwy (q)
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są konieczne dla deszczu, zatem implikacja odwrotna
Po zamianie p i q matematycznie musimy otrzymać implikację prostą:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa

C.
Świat martwy (p) - człowiek (q)
Jeśli jutro będzie pogoda to pójdziemy na basen
P=>B =1
Pogoda jest warunkiem wystarczającym pójścia na basen, implikacja prosta prawdziwa
Po zamianie p i q matematycznie lądujemy w implikacji odwrotnej:
Jeśli jutro pójdziemy na basen to może będzie ładna pogoda
B~>P =0
Pójście na basen nie jest warunkiem koniecznym dla ładnej pogody, zatem jest to implikacja odwrotna fałszywa
Zastosujmy do ostatniego zdania prawo Kubusia:
B~>P = ~B=>~P
czyli:
D.
Jeśli jutro nie pójdziemy na basen to na pewno nie będzie ładnej pogody
~B=>~P =0
Oczywisty nonsens !
„Nie pójście na basen” nie jest warunkiem wystarczającym dla „nie ładnej pogody”, implikacja prosta fałszywa.
Mamy tu jak na dłoni fałszywość prawa kontrapozycji dla zdania C:
P=>B = ~B=>~P
Po lewej stronie tożsamości mamy zdanie prawdziwe, natomiast po prawej oczywisty fałsz (zdanie D).

Świat żywy - świat żywy
D
Obietnica:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera, zatem implikacja prosta prawdziwa
Po zamianie p i q mamy:
Jeśli dostaniesz komputer to może zdasz egzamin
K~>E =0
Dostanie komputera nie jest warunkiem koniecznym zdania egzaminu.

E.
Groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca, implikacja odwrotna prawdziwa
Po zamianie p i q mamy:
Jeśli dostaniesz lanie to ubrudzisz spodnie
L=>B =0
Dostanie lania nie jest warunkiem wystarczającym dla brudnych spodni.


10.3 Formalny dowód nie kochania żony

Cytat z:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nti-dyskusja-z-ateisty-pl,4867-75.html#106733
kaboom napisał:

Formalny dowód nie kochania żony

Kobiety często mówią, że jeśli się je kocha, to jest się zazdrosnym. Nie wiem jak powszechne jest to stwierdzenie, więc ograniczam się wyłącznie do żony (swojej, żeby nie nadinterpretować ;-) ). Nie ma to większego znaczenia, bo badam formalny dowód mojej miłości do własnej żony, a nie wszystkich mężów do ich żon.

Przesłanka brzmi:
Jeżeli kocham swoją żonę, to jestem zazdrosny

Badamy, czy wynika z tego dedukcyjnie następujący wniosek:
Jeżeli nie jestem zazdrosny, to nie kocham swojej żony

Mamy więc zdania w postaci:
Jeżeli p, to q (przesłanka)
Jeżeli nie-q, to nie-p (wniosek)

Rysujemy tabelę i badamy wszystkie możliwe kombinacje zdań p i q.

Kod:

p  q   p=>q   ~p ~q  ~q=>~p
0  0   1       1  1   1
0  1   1       1  0   1
1  0   0       0  1   0
1  1   1       0  0   1


Tam gdzie przesłanka jest prawdziwa (1 w trzeciej kolumnie), to również wniosek jest prawdziwy (1 w ostatniej kolumnie), co jest wnioskowaniem dedukcyjnym, a więc zawsze prawdziwym.

Czyli prawdą jest, że jeśli nie jestem zazdrosny, to nie kocham swojej żony. A ja nie jestem zazdrosny :)

Jak ktoś używa badziewia zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań to wychodzą mu pierdoły jak wyżej :)

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli kocham swoja żonę to jestem zazdrosny
K~>Z
Kochanie żony jest warunkiem koniecznym abym był zazdrosny, zatem implikacja odwrotna prawdziwa.

Analiza matematyczna:
Jeśli kocham swoją żonę to mogę być zazdrosny
K~>Z =1
1 1 =1
LUB
Jeśli kocham swoją żonę to mogę nie być zazdrosny
K~~>~Z =1
1 0 =1
… a jeśli nie kocham swoje żony ?
Prawo Kubusia:
K~>Z = ~K=>~Z
czyli:
Jeśli nie kocham swojej żony to na pewno nie jestem zazdrosny
~K=>~Z =1
0 0 =1
stąd:
Jeśli nie kocham swojej żony to na pewno jestem zazdrosny
~K=>Z =0
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
K=1, ~K=0
Z=1, ~Z=0

Jak widać, jeśli kocham swoją żonę to mam 100% wolnej woli, mogę być zazdrosny albo nie i nie mam najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Tak więc wnioski w poprawnej logice są fundamentalnie inne niż w dowodzie KRZ :)

Rexerex napisał:
Dziwnie to wyłożyłeś. Od razu założyłeś, że K~>Z, a nie K=>Z. Powinieneś raczej w pierwszej linijce napisać K=>Z i wtedy wykazywać, że jest to błąd, a nie na dzień dobry K~>Z i wykazywać, że ta wersja jest prawdziwa.


rafal3006 napisał:

Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>


Nie ma sprawy zrobię jak chcesz po twojemu …

Jeśli kocham swoją żonę to na pewno jestem zazdrosny
K=>Z =1 - gwarancja matematyczna
1 1 =1
Kochanie żony jest warunkiem wystarczającym abym był zazdrosny

Zauważ, że warunek wystarczający robi tu z normalnego człowieka PSYCHOLA czyli każdy kto kocha na 100% musi być zazdrosny. Warunek wystarczający pozbawia tu człowieka wolnej woli, "kochasz to musisz być zazdrosny" ... ale kontynuujmy.

stąd:
Jeśli kocham swoją żonę to na pewno nie jestem zazdrosny
K=>~Z =0
1 0 =0
... a jeśli nie kocham żony ?
Prawo Kubusia:
K=>Z = ~K~>~Z
czyli:
Jeśli nie kocham to mogę nie być zazdrosny
~K~>~Z =1
0 0 =1
LUB
Jeśli nie kocham to mogę być zazdrosny
~K~~>Z =1
0 1 =1
Doskonale widać implikację prostą dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
K=1, ~K=0
Z=1, ~Z=0

Ostatnie zdanie jest bez sensu. Owszem nawet gdy nie kocham żony to mogę być zazdrosny no bo to jest mój przedmiot, moja własność, brzydka nie kochana ale moja.

Decydujący jest tu warunek wystarczający w zdaniu wypowiedzianym.
K=>Z
robiący z normalnych ludzi idioto-psycholi.
kaboom napisał:

anonim1 napisał:

No no, to ja bym się zapytał jak szanowny kolega stwierdził ten fakt? Może małżonka nie wystawiła Kolegi na taką próbę?
Tak wiec śmiem twierdzić, że ten zaprezentowany dowód wobec niniejszej wątpliwości może sie okazać do bani.

Cały ten dowód opiera się na subiektywnych uczuciach i odczuciach, co do których mam wewnętrzne przeświadczenie, że w przypadku mojej osoby tak właśnie jest. Więc fakt braku zazdrości stwierdzam po prostu bazując na swoim odczuciu. Natomiast co do próby ze strony małżonki, to hmm... dobre pytanie :)

Jeżeli po takiej próbie odczuwałbym zazdrość, to pierwotna przesłanka byłaby prawdziwa, a jak wyprowadzał Kubuś, byłby to warunek konieczny, z czego wynika równoważność zdań: jeżeli kocham <=> jestem zazdrosny co byłoby zgodne z empirią. Więc jest to dowód że kocham żonę.

Jeżeli po próbie nie odczuwałbym zazdrości to pytanie, czy próba była wystarczająca?

Trochę zamotałem, może później poprawię :)

Źle rozumiesz warunek konieczny, przeczytaj jeszcze raz mój dowód.

Jeśli kocham swoją żonę to jestem zazdrosny
K~>Z
Kochanie jest warunkiem koniecznym dla zazdrości. Oczywiście normalni małżonkowie maja do siebie zaufanie i nie są o siebie zazdrośni. Tak więc jesteś normalnym mężem, ale gdybyś dowiedział się gorzkiej rzeczywistości że twoja żona cie zdradza to nie byłbyś zazdrosny ? … albo jeszcze gorzej, przybity do krzyża ?
Warunek konieczny oznacza tu że masz 100% wolnej woli czyli możesz być chorobliwie zazdrosny albo wcale, albo dowolny stan pomiędzy.

Jeśli stwierdzisz warunek konieczny między p i q to na 100% masz implikacje odwrotną. Nie ma tu możliwości wystąpienia równoważności.

Na równoważność miałbyś szansę, gdybyś w stronę p=>q stwierdził warunek wystarczający, i de facto tak właśnie jest jeśli zakodujesz swoje zdanie K=>Z.

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
K~>Z = ~K=>~Z
czyli:
Jeśli nie kocham swojej żony to na pewno nie jestem zazdrosny z powodu że nie kocham swojej żony … tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja implikacji odwrotnej

Wszystko inne może się zdarzyć, czyli możesz być zazdrosny z dowolnego innego powodu np. żona to mój przedmiot i wara komukolwiek od jego dotykania itp.

Mushi napisał:
A co ze zdaniem "Jeżeli kocham swoją żonę, to muszę być o nią zazdrosny"?

Weźmy na początek taką implikację odwrotną:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to [może] padać
CH~>P =1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo chmury są warunkiem koniecznym dla padania
W naturalnym języku mówionym operator implikacji odwrotnej „może” ~> nie jest domyślny i musi zostać wypowiedziany jak wyżej inaczej zdanie jest fałszywe np.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to [będzie] padać
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym dla deszczu, zatem implikacja prosta fałszywa

W naturalnym języku mówionym operator implikacji prostej „musi” => jest domyślny i nie musi być wypowiedziany (zdanie B). Oczywiście w miejsce [będzie] (zdanie B) można wstawić „musi” „na pewno”, „ na 100%” itp. Zdanie B będzie fałszywe z powodu jak wyżej.

W NTI kluczem do rozstrzygnięcia czy implikacja jest prawdziwa/fałszywa jest warunek wystarczający/ konieczny

Zauważmy, że powyższe zdanie dotyczy świata martwego , gdzie nie może być mowy o … wolnej woli człowieka.

Zupełnie inne są relacje człowiek-człowiek.
C.
Jeśli kocham swoją żonę to [jestem] zazdrosny
K~>Z
Kochanie jest warunkiem koniecznym aby być zazdrosnym.

W miejsce [jestem] można wstawić „muszę”, „na pewno”, „na 100%” itp, to bez znaczenia bowiem warunek wystarczający „muszę” => pozbawia tu człowieka wolnej woli, czyli jak kocham to na 100% muszę być zazdrosny, co jest oczywistym idiotyzmem.

Zauważmy, że raczej nikt tu nie wypowie jedynie słusznej matematycznie implikacji odwrotnej:
Jeśli kocham swoją żonę to mogę być zazdrosny
K~>Z
Kochanie jest warunkiem koniecznym aby być zazdrosnym.
… bo to głupio brzmi, żona mogłaby dojść do wniosku że jej nie kocham.

Dlaczego takie kodowanie zdania C relacji człowiek-człowiek jest poprawne ?

Analiza matematyczna:
Jeśli kocham swoją żonę to muszę być zazdrosny
K~>Z =1
1 1 =1
Kochanie żony jest warunkiem koniecznym dla zazdrości z przyczyn opisanych wyżej, tak więc to zdanie kodujemy jako implikację odwrotną
LUB
Jeśli kocham swoją żonę to mogę nie być zazdrosny
K~~>~Z
… a jeśli nie kocham ?
Prawo Kubusia:
K~>Z = ~K=>~Z
czyli:
Jeśli nie kocham swojej żony to na pewno nie jestem zazdrosny
~K=>~Z =1 - gwarancja matematyczna
… z powodu że nie kocham swojej żony, tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej ~>.

Zauważmy że po stronie operatora K~>Z mamy 100% wolnej woli czyli możemy być zazdrośni albo nie i nie mamy szans na zostanie kłamcą. W szczególności jeśli ktoś jest psychopatą to może być chorobliwie zazdrosny do śmierci. Wtedy „po śmierci” możemy stwierdzić że to była równoważność, ale dopóki człowiek żyje to może przestać być zazdrosny, ma tu wolną wolę której nikt nie jest w stanie mu odebrać, dlatego to zdanie kodujemy operatorem implikacji odwrotnej.

W szczególności ktoś może powiedzieć tak:

Jestem chorobliwie zazdrosny o swoja żonę, jeśli mnie zdradzi to na 100% ją zabiję
ZDR~>ZAB
Zdrada jest warunkiem koniecznym zabicia żony, zatem implikacja odwrotna

Po pierwsze:
Gdybyśmy użyli tu operatora implikacji prostej to musimy zabić w przypadku zdrady.
Po drugie:
Po poprawnym zakodowaniu tej groźby operatorem implikacji odwrotnej ~> możemy zabić albo darować i nie mamy najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja matematyczna wynika tu z prawa Kubusia:
ZDR~>ZAB = ~ZDR=>~ZAB
czyli:
Jeśli żona mnie nie zdradzi to na pewno => jej nie zabiję
~ZDR=>~ZAB =1
z powodu że mnie nie zdradziła, tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej ~>, czyli … mogę zabić żonę z dowolnego innego powodu i nie mamy szans na zostanie kłamcą np. krzywo na mnie spojrzała i ją zabiłem.


10.4 Krótka historia powstania NTI

Kubuś to przybysz ze świata techniki, specjalista w cyfrowych układach logicznych (bramki logiczne) i języku asemblera, przyzwyczajony do faktu, że techniczna algebra Boole’a to naturalna logika człowieka. Techniczna algebra Boole’a to operatory AND, OR, <=>, XOR plus negacja, cała technika tylko i wyłącznie na tych operatorach logicznych stoi.
W świecie techniki implikacja to absolutny idiotyzm i nigdy nie znajdzie tu zastosowania ze względu na „rzucanie monetą” w każdej połówce implikacji zarówno prostej => jak i odwrotnej ~>.
Wcale nie tak dawno, bo zaledwie 30 lat temu, można było skończyć szkołę średnią i studia techniczne nie słysząc o takich badziewiach jak implikacja czy kwantyfikatory czego Kubuś, absolwent wydziału elektroniki na Politechnice Warszawskiej, jest żywym przykładem.
Całkiem przypadkiem cztery lata temu na forum ŚFINIA u Wuja Zbója Kubuś dowiedział się że istnieje operator algebry Boole’a zwany implikacją, który robi z człowieka idiotę każąc mu uznawać za prawdziwe zdania typu…
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
Zdanie prawdziwe w KRZ.
itp.
Kubuś się zawziął i postanowił dociec kto tu robi z człowieka idiotę. Zacięta walka z implikacją trwała cztery lata. W małym rozumku Kubusia doszło w tym czasie do niezliczonej ilości przełomów. To było rozpracowywanie implikacji od zupełnego zera. Pierwszym nauczycielem Kubusia, który nauczył go patrzeć prawidłowo na implikację od strony matematycznej był Wuj Zbój, później była decydująca o wszystkim dyskusja z Volrathem a na końcu włączył się Fizyk, który zainspirował Kubusia do napisania tej wersji NTI.

Problem implikacji to problem 5-cio letniego dziecka, naturalnego eksperta w tym temacie, matematycznie na poziomie I klasy LO, absolutnie nic więcej.

2010-03-06 Koniec
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin