Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia (Beta z dn. 2013-07-15)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 16:33, 01 Cze 2013    Temat postu: Algebra Kubusia (Beta z dn. 2013-07-15)

2013-09-16
Algebra Kubusia pisana na żywo i od początku jest w tym linku:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-start-od-nowa-2013-11-04,6924.html#201652

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Kopernik - zatrzymał słońce, ruszył Ziemię
Kubuś - zatrzymał cyfry, ruszył symbole

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina i Pana Baryckiego.


Wstęp.

Algebra Kubusia to matematyka pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, człowiek nie jest tu wyjątkiem. Fundamentem algebry Kubusia jest nowa teoria zbiorów. Z punktu widzenia dwuargumentowych operatorów logicznych teoria zbiorów to zaledwie dwa zbiory p i q we wszystkich możliwych wzajemnych położeniach z których wynikają zero-jedynkowe definicje znanych człowiekowi operatorów logicznych.

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

W świecie techniki inżynierowie przyjmują za aksjomat zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa logiczne.
Takie podejście jest poprawne jeśli interesuje nas fizyczne zbudowanie komputera (hardware), jednak sprzęt bez oprogramowania (software) to tylko bezużyteczna kupa złomu. Software (naturalna logika człowieka) to zupełnie co innego niż hardware, mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama, symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia).

Jest oczywistym, że jeśli istnieje matematyka pod którą podlega człowiek, to musi być ona absolutnie banalna, na poziomie 5-cio latka. Ta maksyma przyświecała Kubusiowi od samego początku walki o rozszyfrowanie matematycznych podstaw naturalnej logiki człowieka.

W nowej teorii zbiorów znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych jest inne niż w aktualnej logice matematycznej Ziemian zwanej Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ). Żadne pojęcie i żadna definicja z KRZ nie pasuje do algebry Kubusia, wszystko mamy totalnie inne. Z tego powodu praktycznie niemożliwa jest dyskusja na rzeczowe argumenty. Warunkiem koniecznym zrozumienia nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia jest odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach i zaczęcie wszystkiego od zera.


Spis treści:

Część I
Fundamenty matematyczne

1.0 Notacja
1.1 Trzęsienie ziemi w logice

2.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
2.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a
2.2 Rachunek zero-jedynkowy
2.3 Prawa De Morgana

3.0 Najważniejsze prawa rachunku zero-jedynkowego
3.1 Prawa Prosiaczka
3.2 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
3.3 Tworzenie równań logicznych w logice zero
3.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) w logice zero

4.0 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
4.1 O Kubusiu który zatrzymał cyfry i ruszył symbole
4.2 Twierdzenie Kłapouchego
4.3 Twierdzenie Śfini

5.0 Pozostałe operatory logiczne wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
5.1 Operator równoważności wyrażony spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
5.2 Operator XOR wyrażony spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
5.3 Operator implikacji prostej wyrażony spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
5.4 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
5.5 Operatory jednoargumentowe w tabeli operatorów dwuargumentowych


Część II
Nowa teoria zbiorów

6.0 Nowa teoria zbiorów
6.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów
6.2 Podstawowe operacje na zbiorach
6.3 Prawo podwójnego przeczenia
6.4 Zdanie w algebrze Kubusia
6.5 Czym różni się zdanie twierdzące od zdania warunkowego?
6.6 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

7.0 Operatory jednoargumentowe
7.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
7.2 Operator transmisji w zbiorach
7.3 Operator negacji w zbiorach
7.4 Prawa Prosiaczka w zbiorach
7.5 Czym różni się tożsamość od równoważności?

8.0 Operatory OR i AND w zbiorach
8.1 Równania logiczne opisujące operator OR
8.2 Równania logiczne opisujące operator AND
8.3 Prawa przejścia do logiki przeciwnej
8.4 Operatory OR i AND w praktyce
8.5 Definicja operatora OR w zbiorach
8.6 Operator AND w zbiorach
8.7 Funkcja logiczna n-argumentowa w zbiorach

9.0 Operatory implikacji i równoważności w zbiorach
9.1 Operator chaosu w zbiorach
9.2 Implikacja prosta w zbiorach
9.3 Implikacja odwrotna w zbiorach
9.4 Równoważność w zbiorach
9.5 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
9.6 Budowa tabeli prawdy w algebrze Kubusia
9.7 Implikacja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
9.8 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ
9.9 Obalenie prawa eliminacji implikacji w logice Ziemian
9.10 Zdanie zawsze prawdziwe w algebrze Kubusia, właściwości zbioru pustego
9.11 Równania Fiklita
9.12 Obietnice i groźby
9.13 Prawa przejścia z implikacji prostej do implikacji odwrotnej (i odwrotnie)
9.14 Prawo Sowy
9.15 Matematyczna historia powstania Wszechświata

10.0 Pozostałe operatory logiczne w zbiorach
10.1 Operator XOR w zbiorach
10.2 Nietypowa równoważność
10.3 Nietypowa implikacja prosta
10.4 Samodzielny warunek wystarczający
10.5 Pseudo-operator Słonia
10.6 Definicje operatorów w bramkach logicznych


Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

11.0 Obietnice i groźby
11.1 Definicje obietnicy i groźby
11.2 Obietnica
11.3 Groźba
11.4 Obietnica w równaniach logicznych
11.5 Groźba w równaniach logicznych
11.6 Analiza złożonej obietnicy
11.7 Analiza złożonej groźby
11.8 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
11.9 Rodzaje obietnic

12.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
12.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
12.2 Złożona implikacja prosta
12.3 Złożona implikacja odwrotna


1.0 Notacja

Znaczenie 0 i 1 w matematycznych fundamentach algebry Kubusia:
1 - prawda
0 - fałsz

Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

~ - symbol negacji

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

= - tożsamość
Zbiory:
p=q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
Prawami tożsamościowymi w logice matematycznej są prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zbiory p+q i ~(~p*~q) to zbiory tożsame.
Zbiory p*q i ~(~p+q) to również zbiory tożsame.

Każda tożsamość to automatycznie równoważność.
Prawa De Morgana możemy zatem zapisać w formie równoważności:
p+q <=> ~(~p*~q)
p*q <=> ~(~p+~q)

# - różne
Zbiory:
p#q - zbiór p jest różny od zbioru q (zbiory rozłączne)

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

## - różne na mocy definicji
Operator OR ## Operator AND
Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y = p+q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Zastosowanie:
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=1) to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiem kiedy skłamię (~Y=1) i odwrotnie.
Mamy tu wynikanie w dwie strony, zatem zachodzi równoważność:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Spełniona jest tu definicja dziedziny:
Y+~Y =1 - zdarzenie (zbiór) ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zdarzenia Y
Y*~Y=0 - zdarzenia Y i ~Y są rozłączne
Tej równoważności nie możemy zapisać w postaci tożsamości.
Tożsamość wynika tu z prawa podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Y = Y
Oczywiście każda tożsamość to automatycznie równoważność:
Y<=>Y

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja znaczka => (warunek wystarczający, gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Na mocy definicji zachodzi:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
W równoważności musi zachodzić definicja dziedziny:
p+~p =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Uwaga:
Zbiory p i ~p musza być niepuste
Dowód:
Jest fizycznie niemożliwe abyśmy znając definicję p nie wiedzieli co to jest ~p
Przykład:
p = pies
~p = ~[pies] = [słoń, kura, wąż ..]

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)


1.1 Trzęsienie ziemi w logice

Każda rewolucja powinna zaczynać się od trzęsienia ziemi, czyli zniszczenia starego porządku, by na gruzach budować nowe.

Dowód wewnętrznej sprzeczności systemu logicznego zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q:
p=>q
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Stąd:
W przełożeniu na teorię zbiorów mamy:
p=>q = p*q =p
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q jest prawdziwe.
Doskonale widać że zbiór ~p nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q.

Dowód:
Zdanie p=>q wyrażone kwantyfikatorem dużym przybiera postać:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli należy on do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x).

Aby obalić to twierdzenie musimy znaleźć kontrprzykład.
Kontrprzykład to znalezienie jednego elementu należącego do zbioru p(x) i nie należącego do zbioru q(x).
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
p~~>~q =p*~q =1
gdzie:
~~> - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i ~q
Oczywiście to jest sprzeczne z definicją zdania p=>q wyrażonego kwantyfikatorem dużym, zatem nie mamy żadnych szans na znalezienie kontrprzykładu.
cnd

Powyższy dowód jest poprawny zarówno w KRZ jak i AK, bowiem zachodzi tożsamość matematyczna kwantyfikatorów dużych w obu tych systemach co za chwilę udowodnimy.

Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ:
Załóżmy, że zbiór p jest zbiorem pustym:
p=[]
Na podstawie twierdzenia o prawdziwości zdania p=>q mamy:
p=>q = p*q = []*q = []
Zauważmy, że w tym przypadku następnik jest kompletnie bez znaczenia. Takie zdanie jest fałszywe bo wynik iloczynu logicznego poprzednika i następnika w zbiorach jest zbiorem pustym, czyli całe zdanie jest fałszywe.

Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q jest dowodem wewnętrznej sprzeczności całego KRZ. Zauważmy bowiem, że jeśli w poprzedniku mamy zbiór pusty (p=[]) to zdanie p=>q jest fałszywe bez względu na zawartość następnika co jest w jawnej sprzeczności z tym, co twierdzi KRZ: „z fałszu wynika cokolwiek”
cnd

Dlaczego KRZ działa?
KRZ działa bo zachodzi tożsamość matematyczna kwantyfikatorów dużego i małego w AK i KRZ. Definicje kwantyfikatorów małych w obu systemach są identyczne, istotna różnica jest w kwantyfikatorze dużym.

Definicja kwantyfikatora dużego w AK i KRZ:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli należy on do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x).
KRZ iteruje tu po wszystkich obiektach p(x) i ~p(x), natomiast w algebrze Kubusia iterujemy wyłącznie po obiektach p(x).

Twierdzenie o tożsamości kwantyfikatorów:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK

Dowód:
Matematycznie kwantyfikator duży z AK jest tożsamy z kwantyfikatorem dużym z KRZ bowiem oba te kwantyfikatory wypluwają identyczne rozstrzygnięcia o prawdziwości/fałszywości zdania p=>q.
Zauważmy, że w KRZ, w dowodzie prawdziwości zdania p=>q możemy zignorować wszelkie zdania w których poprzednik jest fałszem (p=0), bowiem dla p=0 forma zdaniowa zwróci nam prawdę niezależnie od wartości logicznej następnika. Takie zdania możemy natychmiast wyrzucać do kosza bo nie mają one żadnego wpływu na prawdziwość/fałszywość zdania p=>q.

Jeśli z góry wiemy iż dla p=0 zawsze dostaniemy prawdę bez wzglądu na wartość logiczną następnika q, to bez sensu jest „pytać” formę zdaniową o prawdziwość/fałszywość takiego zdania.

Wniosek:
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK
cnd

Twierdzenie o matematycznym żółtodziobie:
Matematyk, który rozumie jak działa kwantyfikator duży w KRZ i mimo wszystko iteruje po obiektach ~p(x) w celu udowodnienia prawdziwości zdania p=>q jest matematycznym żółtodziobem.
Dowód wyżej.

Przykład:
Weźmy klasyczną implikację prostą prawdziwą.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno=> jest podzielna przez 2
P8=>P2

Zdanie tożsame zapisane kwantyfikatorowo:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x)

Nasz przykład:
/\x P8(x) =>P2(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru P8 to na pewno => należy do zbioru P2

Aby obalić to twierdzenie z reguły szukamy kontrprzykładu, bo to najprostsze.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
P8~~>~P2 =P8*~P2 =0
Szukamy jednej liczby należącej do zbioru P8 i nie należącej do zbioru P2
Oczywiście tu kontrprzykładu nie znajdziemy co oznacza, że zbiór P8 zawiera się w P2.

W ten sposób wyskoczyła nam poprawna definicja znaczka => w zbiorach:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Stąd mamy równanie prawdziwości zdania P8=>P2:
P8=>P2 = P8*P2 = P8
Zauważmy że liczby niepodzielne przez 8 (~P8 ) nie maja NIC do prawdziwości zdania P8=>P2.
W definicji znaczka => istotne jest aby zbiór P8 zawierał się w zbiorze P2, wszystko inne jest bez znaczenia.

Stąd mamy kluczową definicję o prawdziwości zdania p=>q.

Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi poniższe równanie w zbiorach:
p=>q = p*q =p
Zbiór ~p nas kompletnie nie interesuje bo nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q


2.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego. Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
A: Jestem uczciwy
A: U
B: Jestem nieuczciwy
B: ~U
C: Nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy
C: ~(~U) = A: U
Zdania A i C znaczą dokładnie to samo
cnd

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y


2.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0

Abstrakcyjnie operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest kompletnie nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.

Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.

W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V

Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.

Aksjomatyka technicznej algebry Boole’a to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1

Operator logiczny to kompletna wynikowa kolumna będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Operatory logiczne możemy podzielić na operatory w logice dodatniej i operatory w logice ujemnej:
Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

Komentarz:
Kolumna pNORq to zanegowana kolumna OR:
Y=p+q
Stąd:
~Y = ~(p+q)
pNORq = ~(p+q)
itd
W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


2.2 Rachunek zero-jedynkowy

Banalne zasady rachunku zero-jedynkowego w algebrze Boole’a najlepiej poznać na przykładach.

Definicja operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

Dowód przemienności argumentów w spójniku „lub”(+):
Kod:

   p q Y=p+q  q p Y=q+p
A: 1 1  1     1 1  1
B: 1 0  1     0 1  1
C. 0 1  1     1 0  1
D: 0 0  0     0 0  0
   1 2  3     4 5  6

Definicją jest tu obszar ABCD123:
Każdej, uporządkowanej parze cyfr (0,1) odpowiada jednoznaczna i zawsze ta sama wartość funkcji Y.
Tożsamość kompletnych kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR.
Przykład:
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
2.
Jutro pójdę do teatru lub do kina
Y=T+K
Zdania 1 i 2 są matematycznie tożsame, zachodzi przemienność argumentów.
K+T = T+K

Definicja operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1
1 0  =0
0 1  =0
0 0  =0

Dowód przemienności argumentów w spójniku „i”(*):
Kod:

   p q Y=p*q q p Y=q*p
A: 1 1  1    1 1  1
B: 1 0  0    0 1  0
C. 0 1  0    1 0  0
D: 0 0  0    0 0  0
   1 2  3    4 5  6

Definicją jest tu obszar ABCD123:
Każdej, uporządkowanej parze cyfr (0,1) odpowiada jednoznaczna i zawsze ta sama wartość funkcji Y.
Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR
Przykład:
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
2.
Jutro pójdę do teatru i do kina
Y=T*K
Zdania 1 i 2 są tożsame, zachodzi przemienność argumentów
K*T = T*K


2.3 Prawa De Morgana

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =1     =0       0  1   =0      =1
C: 0 1  =1     =0       1  0   =0      =1
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=Y
A.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Y
B.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia:
~[~(~p*~q)] = ~p*~q
Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Y = p+q = ~(~p*~q) # ~Y = ~(p+q) = ~p*~q
gdzie:
# - różne (kolumny wynikowe są różne)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Podstawiając A i B mamy:
Y = p+q=~(~p*~q) = ~[~Y = ~(p+q) = ~p*~q]
Y = p+q=~(~p*~q) = ~[~Y] =~[~(p+q)] =~( ~p*~q)
Prawo podwójnego przeczenia:
~(~x)=x
stąd:
Y = p+q=~(~p*~q) = Y = (p+q) =~( ~p*~q)
cnd

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =0     =1       0  1   =1      =0
C: 0 1  =0     =1       1  0   =1      =0
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=Y
A.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Y
B.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia:
~[~(~p+~q)] = ~p+~q
Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Y = p*q = ~(~p+~q) # ~Y = ~(p*q) = ~p+~q
gdzie:
# - różne (kolumny wynikowe są różne)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Podstawiając A i B mamy:
Y = p*q=~(~p+~q) = ~[~Y = ~(p*q) = ~p+~q]
Y = p*q=~(~p+~q) = ~[~Y] =~[~(p*q)] =~( ~p+~q)
Prawo podwójnego przeczenia:
~(~x)=x
stąd:
Y = p*q=~(~p+~q) = Y = (p*q) =~( ~p+~q)
cnd

Tożsamość w operatorach OR i AND:

= - tożsamość
Zbiory:
p=q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
Prawami tożsamościowymi w logice matematycznej są prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zbiory p+q i ~(~p*~q) to zbiory tożsame.
Zbiory p*q i ~(~p+q) to również zbiory tożsame.

Każda tożsamość to automatycznie równoważność, wynikanie w dwie strony.
Prawa De Morgana możemy zatem zapisać w formie równoważności:
p+q <=> ~(~p*~q)
p*q <=> ~(~p+~q)

Nie każda równoważność to tożsamość, o czym niżej.

Równoważność w operatorach OR i AND:

# - różne
Zbiory:
p#q - zbiór p jest różny od zbioru q (zbiory rozłączne)
Definicja operatora OR:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Stąd prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Zbiory p+q i ~(~p*~q) to zbiory tożsame.
Między Y i ~Y zachodzi równoważność:
Y=p*q <=> ~Y=~p+~q
Zbiór ~Y=~p+~q jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y=p*q
Tej równoważności nie wolno zapisać w postaci tożsamości, to jest błąd czysto matematyczny.

Różność na mocy definicji w operatorach OR i AND:

## - różne na mocy definicji
Operator OR ## Operator AND
Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)

Między prawami De Morgana dla spójnika „lub”(+) oraz „i”(*) zachodzi:
Y = p+q = ~(~p*~q) # ~Y = ~(p+q) = ~p*~q ## Y = p*q = ~(~p+~q) # ~Y = ~(p*q) = ~p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne. Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.

Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykłady z powyższego równania:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykłady niżej:
K, T

Przykład:
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
A2.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y = ~(~K*~T)
Matematycznie zachodzi:
A1=A2
Y = K+T = ~(~K*~T)
… a kiedy skłamię?
Negujemy powyższe równanie
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
A3.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Stąd mamy prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
A1: Y=K+T
A3: ~Y=~K*~T

Matematycznie zachodzi:
Y = p+q = ~(~p*~q) # ~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Y = K+T = ~(~K*~T) # ~Y = ~(K+T) = ~K*~T
gdzie:
# - różne (kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne)
Po obu stronach znaku # muszą być identyczne parametry aktualne:
p=K
q=T

B1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 i T=1

B2.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
Y = ~(~K+~T)
Matematycznie zachodzi:
Y = K*T = ~(~K+~T)
… a kiedy skłamię?
Negujemy powyższe równanie
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
B3.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Stąd mamy prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
B1: Y=K*T
B3: ~Y=~K+~T

Matematycznie zachodzi:
Y = p*q = ~(~p+~q) # ~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Y = K*T = ~(~K+~T) # ~Y = ~(K*T) = ~K+~T
gdzie:
# - różne (kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne)
Po obu stronach znaku # muszą być identyczne parametry aktualne:
p=K
q=T

Serie zdań A i B nie mają ze sobą nic wspólnego, to dwa izolowane układy logiczne, różne na mocy definicji.
A: Y = p+q = ~(~p*~q) # ~Y = ~(p+q) = ~p*~q ## B: Y = p*q = ~(~p+~q) # ~Y = ~(p*q) = ~p+~q
A: Y = K+T = ~(~K*~T) # ~Y = ~(K+T) = ~K*~T ## B: Y = K*T = ~(~K+~T) # ~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać, że układ równań B otrzymujemy wyłącznie poprzez wymianę spójników. Układy te nie mogą być zatem tożsame, to dwa izolowane układy logiczne, lewa strona znaku ## nie ma nic wspólnego z prawą stroną znaku ##. Pod parametry formalne po obu stronach znaku ## możemy podstawiać cokolwiek, nie ma tu wymagania identycznego podstawienia.
W szczególności po lewej stronie znaku ## możemy podstawić:
p=K
q=T
Natomiast po prawej stronie znaku ## możemy podstawić cokolwiek.
p=K
q=T
albo:
p=T
q=K
itp
Nie ma to żadnego znaczenia, bo to dwa izolowane układy logiczne.


3.0 Najważniejsze prawa rachunku zero-jedynkowego

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
1  0 1 0  1   1   1
0  1 1 0  1   0   1

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość odpowiednich kolumn wynikowych

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
1  0 1 0  1   0   0
0  1 1 0  0   0   0

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość odpowiednich kolumn wynikowych

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i (~q=1 lub ~r=1 i s=1)

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
„i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.

Na zakończenie poznajmy twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.

Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.

Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:

Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r)
Y = ~p*q*~r + ~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q)
Y = ~p*(z)
z=(q*~r) + ~q
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q
~z = r*q
~z = q*r
z = ~q + ~r
Y = ~p*(z)
D: Y = ~p*(~q + ~r)
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
C: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.

Przydatne sztuczki matematyczne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
2.
To samo inaczej:
Y = p*q
Prawo De Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
stąd:
Y = ~(~p+~q)
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~p+~q
Dowolny fragment funkcji logicznej możemy ująć w nawias poprzedzony negacją, zaś w środku nawiasu zanegować wszystkie zmienne i wymienić spójniki na przeciwne(prawo De Morgana)
3.
Prawo De Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Prawo De Morgana dla dowolnie długiej funkcji logicznej:
Y = p+q*(r+~s)
Y = ~(~p*~q+~r*s)
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~p*~q + ~r*s
4.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej dla funkcji złożonej:
Y = p+~p*q*r
Y = p+~p*(q*r)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
Mnożenie zmiennej przez wielomian:
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
bo:
~p*p=0
0+x=x
Przejście do logiki przeciwnej:
Y = p+q*r - funkcja minimalna
Uwagi:
W miejscu (q*r) mogłaby być dowolnie złożona funkcja logiczna z dowolną ilością zmiennych, nawet nieskończona, to bez znaczenia.


3.1 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0) - prawda (=1) w logice dodatniej (p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (~p)
(p=0) = (~p=1) - fałsz (=0) w logice dodatniej (p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (~p)

Prawa Prosiaczka wyjaśnimy na przykładzie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1

.. a kiedy skłamię?
Negujemy równanie A dwustronnie:
~Y=~K - funkcja zapisana w logice ujemnej (bo ~Y)
stąd:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Tabela prawdy dla naszego zdania:
Kod:

Zapis symboliczny      |Kodowanie
Równanie |Znaczenie    |zero-jedynkowe
logiczne |równania     | K Y=K  ~K ~Y=~K
A: Y= K  | Y=1<=> K=1  | 1  1    0   0
B:~Y=~K  |~Y=1<=>~K=1  | 0  0    1   1
   1  2     3      4   | 5  6    7   8

Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
bo kolumny wynikowe AB6 i AB8 są różne

Znaczenie zer i jedynek w logice dodatniej (Y) w kolumnie AB6:
A6: Y=1<=> K=1 - dotrzymam słowa
B6: Y=0 <=> K=0 - skłamię
Szczegółowo czytamy:
A6: Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y)
B6: Y=0 - fałszem jest (=0), że dotrzymam słowa (Y)

Znaczenie zer i jedynek w logice ujemnej (~Y) w kolumnie AB8:
B8: ~Y=1 <=> ~K=1 - skłamię
A8: ~Y=0 <=> ~K=0 - dotrzymam słowa
Szczegółowo czytamy:
B8: ~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
A8: ~Y=0 - fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)

Stąd zdanie:
A6: Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y)
Jest tożsame ze zdaniem:
A8: ~Y=0 - fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)

Podobnie zdanie:
B8: ~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
Jest tożsame ze zdaniem:
B6: Y=0 - fałszem jest (=0), że dotrzymam słowa (Y)

Prawa Prosiaczka w postaci tożsamości:
I prawo Prosiaczka
A6: (Y=1) = A8: (~Y=0)
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
II prawo Prosiaczka
B8: (~Y=1) = B6: (Y=0)
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)

W dowolnej tożsamości zachodzi wynikanie w dwie strony.
Stąd prawa Prosiaczka to również równoważność:
A6: (Y=1) <=> A8: (~Y=0)
B8: (~Y=1) <=> B6: (Y=0)

Prawa Prosiaczka mówią o matematycznych tożsamościach zachodzących między logiką dodatnią (Y) i ujemną (~Y) i nie mają nic wspólnego z definicją operatora negacji.

Definicja naturalnej logiki człowieka:
Naturalna logika człowieka to funkcja logiczna gdzie wszystkie zmienne wejściowe sprowadzone są do jedynek.

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a, albo odwrotnie.

W linii A za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie:
A: Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>K=1
Obsługiwane zero-jedynkowo w linii A56.

W linii B za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie:
B: ~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1
Obsługiwane zero-jedynkowo w linii B78.

Dlaczego w zdaniu B musimy zmienić punkt odniesienia?
Problem w tym, że jeśli w zdaniu B nie zmienimy punktu odniesienia, uznając zdanie A za świętą krowę do której wszystko musi się odnosić to zlikwidujemy logikę ujemną w algebrze Boole’a i stracimy możliwość opisania zdania B równaniem logicznym.

W tym przypadku tabela prawdy dla zdania A będzie wyglądała tak:
Kod:

Zapis symboliczny      |Kodowanie
Równanie |Znaczenie    |zero-jedynkowe
logiczne |równania     | K Y=K
A: Y= K  | Y=1<=> K=1  | 1  1
B: Y= K?!| Y=0<=> K=0  | 0  0
   1  2     3      4   | 5  6

Matematycznie zachodzi:
Y=1 # Y=0
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) # Fałszem jest (=0) że dotrzymam słowa (Y)

Zdanie A przyjmie tu brzmienie identyczne jak poprzednio:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

Natomiast leżymy i kwiczymy na banalnym pytaniu 5-cio latka:
… tata, a kiedy skłamię?

Spróbujmy odpowiedzieć na to pytanie zgodnie z aktualną tabelą:
B:
Skłamię (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (K=0)
Y=0 <=> K=0
Szczegółowo czytamy:
Fałszem jest (=0) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy fałszem będzie (=0) że jutro pójdę do kina (K).

Zauważmy że zdanie A bez problemu opisaliśmy równaniem algebry Boole’a (Y=K), natomiast nie mamy szans na opisanie równaniem zdania B bez skorzystania z prawa Prosiaczka, czyli bez przejścia do logiki ujemnej.

Opis linii B wyżej w postaci równania:
B: Y= K?!
to błąd czysto matematyczny, bowiem zdanie B to zupełnie co innego niż zdanie A i nie może być opisane tym samym równaniem logicznym.

Twierdzenie:
Logika to równania algebry Boole’a, nigdy tabele zero-jedynkowe.
Dowód:
Wszelkie prawa logiczne zapisane są w równaniach algebry Boole’a, nigdy w tabelach zero-jedynkowych.


3.2 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równoważnymi równaniami algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) oraz „i”(*).

Fundamentem algorytmu są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego (naturalnej logiki człowieka) oraz prawa Prosiaczka.

Definicja spójnika „i” (koniunkcji) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy, że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Prawa dla zmiennej binarnej p:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
„*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej

Definicja spójnika „lub”(alternatywy) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Prawa dla zmiennej binarnej p:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
Kod:

p ~p p*~p p+~p
1  0  =0   =1
0  1  =0   =1

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
„+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Algorytm tworzenia równania algebry Boole’a poznamy na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1   /Ya
B: 1 0  =1   /Yb
C: 0 1  =1   /Yc
D: 0 0  =0
   1 2   3

W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki
1.
Spis z natury (opisujemy dokładnie to co widzimy):
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Yb=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Yc=1 <=> p=0 i q=1
2.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(p=0) = (~p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
ABC123:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.

Dokładnie ten sam obszar opisuje nagłówek tabeli:
ABC123:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).

Stąd mamy tożsamość matematyczną:
ABC123:
Y = p+q
ABC123:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.

Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123.

Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
ABC123:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
D123:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
Y # ~Y
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0   /~Y=~p*~q
   1 2   3

Postępujemy identycznie jak wyżej.
1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1

Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.

Przejście z równaniem D123 do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy D123:
~Y=~p*~q
stąd w logice przeciwnej mamy:
ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Ya= p* q
B: 1 0  =1    / Yb= p*~q
C: 0 1  =1    / Yc=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y =~p*~q
   1 2   3

Y=Ya+Yb+Yc
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
1.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
2.
Zmienne wejściowe p i q łączymy spójnikiem „i”(*), przyporządkowując im funkcję Yx=1 (jeśli w wierszu widzimy Y=1) albo ~Yx=1 (jeśli w wierszu widzimy Y=0).

Wnioski:
Kompletną tabelę zero-jedynkową operatora OR (wszystkie cztery linie) opisuje układ równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dopiero to równanie opisuje kompletny operator OR, wszystkie cztery linie.
Y = p+q = ~(~p*~q)

Twierdzenie:
Jeśli w operatorze OR zanegujemy wszystkie zmienne to na podstawie prawa De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND.

Definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND:
C: ~Y=~p+~q
D: Y=p*q
Równania C i D to definicja operatora AND w równaniach algebry Boole’a.
cnd

Definicja operatora OR w równaniu De Morgana:
1.
Y = p+q = ~(~p*~q)

Sprawdźmy czy po zanegowaniu wszystkich zmiennych otrzymamy definicję operatora AND.
2.
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y = ~p +~q = ~(p*q)
3.
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q

Równanie 3 to oczywiście pełna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy że operator AND (3) jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (1).

Zauważmy że równanie:
A: Y=p+q
nie jest kompletnym opisem operatora OR (opisującym wszystkie cztery linie) bo negujemy zmienne i nie otrzymujemy definicji operatora AND.
C: ~Y=~p+~q
Brakuje równań B i D.

Sensacyjny wniosek.

W równaniu logicznym:
Y=p+q
Znaczek „+” nie jest operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.
Znaczek „+” to tylko połówka operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator (ABCD123) jak to jest we współczesnej logice matematycznej Ziemian.
cnd

Oczywiście matematycznie zachodzi w prawach De Morgana:
Kod:

Operator OR    ## Operator AND
Y=p+q=~(~p*~q) ## Y=p*q=~(~p+~q)

gdzie:
## - różne na mocy definicji
bo w przejściu z operatora OR do operatora AND wyłącznie negowaliśmy zmienne bez zmiany spójników

To samo w równaniach algebry Boole’a:
Kod:

Operator OR ## Operator AND
 Y= p* q    ##  Y= p* q
~Y=~p*~q    ## ~Y=~p+~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne. Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba.

Przykład:
Kod:

Operator OR:                           ## Operator AND:
W.                                     ## W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru      ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T                                  ## Y=K*T
… a kiedy skłamię?                     ## … a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez    ## Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników  ## negację zmiennych i wymianę spójników
U.                                     ## U.
~Y=~K*~T                               ## ~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy ## Skłamię (~Y=1)wtedy i tylko wtedy gdy
jutro nie pójdę do kina (~K=1)         ## jutro nie pójdę do kina (~K=1)
i nie pójdę do teatru (~T=1)           ## lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Doskonale widać, że nie ma żadnego matematycznego związku między zdaniami po obu stronach znaku ##, to dwie kompletnie niezależne analizy, dwa kompletnie różne operatory logiczne OR i AND.

Równanie logiczne:
Y=p+q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.


3.3 Tworzenie równań logicznych w logice zero

Przepiszmy definicję operatora OR z naniesionymi równaniami cząstkowymi opisującymi poszczególne linie tej definicji.

Definicja operatora OR w naturalnej logice człowieka:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Ya= p* q
B: 1 0  =1    / Yb= p*~q
C: 0 1  =1    / Yc=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y =~p*~q
   1 2   3

Definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q
Doskonale widać ogólny algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej w logice człowieka.
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Skorzystajmy z prawa przejścia do logiki przeciwnej w definicji operatora OR zapisanej w naturalnej logice człowieka.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki

Definicja operatora OR w naturalnej logice człowieka:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q

Definicja operatora OR w logice ZERO:
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Y = p+q

Stąd mamy.
Definicja operatora OR w logice ZERO:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / ~Ya=~p+~q
B: 1 0  =1    / ~Yb=~p+ q
C: 0 1  =1    / ~Yc= p+~q
D: 0 0  =0    /  Y = p+ q
   1 2   3

Definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a w logice ZERO:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Y = p+q

Doskonale widać ogólny algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej w logice ZERO.
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=1 to ~p=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „lub”(+), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „i”(*).

Podsumowując:
Dokładnie tą samą tabelę zero-jedynkową możemy opisać w logice człowieka lub w logice ZERO.

Logika człowieka:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q

Logika ZERO:
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Y = p+q

Związek logiki człowieka z logiką ZERO:
Y=Y
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y=~Y
~Y=~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Rozważmy na przykładzie funkcję Y=Y:
Y = Y
Stąd:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Zauważmy, że obie strony powyższej tożsamości są doskonale rozumiane przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając.
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że zajdzie dowolny człon po prawej stronie i już dotrzymałem słowa, drugiego członu nie muszę sprawdzać.

Dokładnie to samo zdanie wynikające z tożsamości Y=Y:

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)

Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Wystarczy że zajdzie jeden z członów po prawej stronie i już dotrzymałem słowa (Y=1), pozostałych członów nie muszę sprawdzać.

Szczegółowo:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)

Doskonale widać tożsamość w naturalnej logice każdego 5-cio latka:
Y= K+T = K*T + K*~T + ~K*T

Pójdźmy z analizą naszego zdania W o krok dalej niż wynika to z funkcji Y=Y.
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Rozważmy na tym samym przykładzie funkcję ~Y=~Y:
~Y=~Y
stąd:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

W ostatnim równaniu mamy tą samą funkcję logiczną (~Y) zapisaną w dwóch postaciach.

Postać koniunkcyjna (naturalna logika człowieka):
~Y=~p*~q
Którą doskonale rozumie każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając.

Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Dokładnie to samo zdanie wyrażone postacią koniunkcyjno-alternatywną przyjmie brzmienie.
~Y = (~K+~T)*(~K+T)*(K+~T)
Jest oczywistym, że żaden człowiek nie zrozumie równania postaci koniunkcyjno-alternatywnej.


3.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) w logice zero

W poprzednim rozdziale doszliśmy do poprawnych równań logicznych w logice zero opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową na drodze logicznego rozumowania, korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej. Formalizmowi musi jednak stać się zadość. Podstawą matematyczną są tu definicje spójników „lub”(+) oraz „i”(*) w logice zero.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.
Y=p+q
co w logice zero oznacza (spis z natury):
Y=0 <=> p=0 i q=0
Jak widzimy w definicji mamy spójnik „lub”(+) natomiast w spisie z natury mamy spójnik „i”(*).

Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 0 0  =0
B: 0 1  =0
C: 1 0  =0
D: 1 1  =1
   1 2   3

Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa zeru
Y=p*q
co w logice zero oznacza (spis z natury):
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Jak widzimy w definicji mamy spójnik „i”(*) natomiast w spisie z natury mamy spójnik „lub”(+).


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:58, 02 Lut 2014, w całości zmieniany 100 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 16:37, 01 Cze 2013    Temat postu:

4.0 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Naturalną logiką człowieka są postaci: alternatywna, koniunkcyjna, alternatywno-koniunkcyjna

Postać alternatywna:
Y = A1+A2+ … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1

Postać koniunkcyjna:
Y = A1*A2* … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 i A2=1 i … An=1

Postać alternatywno-koniunkcyjna to suma logiczna iloczynów cząstkowych:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Aksjomat:
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)

Definicja logiki sprzecznej z naturalną logiką człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Logiką sprzeczną z naturalną logiką człowieka jest postać koniunkcyjno-alternatywna.

Postać koniunkcyjno-alternatywna to iloczyny logiczne sum cząstkowych:
Y = (p+q)*(r+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p+q)=1 i (r+~q)=1

Twierdzenie:
Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej to po prostu wymnożenie wielomianów.

Przykład:
Y = (p+q)*(r+~q)
Y = p*r + p*~q + q*r + q*~q
Y = p*r + p*~q + q*r
Prawa algebry Boole’a:
q*~q=0
x+0 =x

Dowód sprzeczności poprzez znalezienie kontrprzykładu.

Rozważmy zdanie:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U.
~Y = ~K*(~B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Ostatnie równanie to postać alternatywno-koniunkcyjną, naturalna logika człowieka.
Stąd:
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basem lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku
~Y = ~K*~B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
~Y = ~K*~B = 1*1 =1 - nie byłem w kinie (~K=1) i nie byłem na basenie (~B=1)
czyli:
Skłamałem (~Y=1), drugiego członu alternatywy nie muszę sprawdzać

Natomiast postać koniunkcyjno-alternatywna, mimo że prosta, dla normalnego człowieka będzie niezrozumiała.
U1.
~Y=~K*(~B+~P)

Dowód:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)

W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Każdy normalny człowiek słysząc zdanie U2 zrozumie i zapisze je jako:
~Y=~K*~B + ~P
Dostaliśmy zapis kompletnie inny niż w równaniu U1, co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka.
cnd

Nawet jak wstawimy tu nawiasy kwadratowe:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i [nie pójdę na basen lub nie pójdę do parku (~B+~P)=1]
~Y = ~K*[~B+~P]
… to i tak żaden normalny człowiek tego nie zrozumie, mimo że funkcja jest banalnie prosta.

Jeśli zdanie U2 przekształcimy do postaci U poprzez wymnożenie zmiennej przez wielomian to zrozumie je każdy 5-cio latek.

Rozważmy problem postaci alternatywno-koniunkcyjnej i koniunkcyjno-alternatywnej na przykładzie ogólnym, gdzie w tabeli zero-jedynkowej występuje więcej niż jedna linia z jedynkami w wyniku i więcej niż jedna linia z zerami w wyniku.

Zbadajmy funkcję logiczną:
A: Y=p+q*r

Jeśli w powyższym równaniu wymienimy wyłącznie spójniki to te równania nie będą tożsame.
Y=p*q+r

Matematycznie zachodzi:
Y=p+q*r## Y=p*q+r
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Po obu stronach znaku ## możemy stosować dowolne prawa algebry Boole’a, jednak nigdy nie zajdzie przypadek tożsamości matematycznej wiążącej obie strony znaku ##.

Zadanie:
Znaleźć wszystkie możliwe postaci funkcji logicznej:
A: Y=p+q*r

Krok 1
Wszystkie możliwe funkcje minimalne:
A: Y=p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice dodatniej (bo Y)
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
D: ~Y=~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice ujemnej (bo ~Y)
Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymujemy:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice ujemnej (bo ~Y)

Wyłącznie postaci alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiana przez każdego człowieka.

Z równaniem C przechodzimy z powrotem do logiki dodatniej otrzymując minimalną postać koniunkcyjno- alternatywną, oczywiście sprzeczną z logiką człowieka.
B: Y = (p+q)*(p+r)

Matematycznie zachodzą tożsamości w postaciach minimalnych:
Y = Y
A: Y = p+q*r = B: Y = (p+q)*(p+r)
~Y = ~Y
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r = D: ~Y = ~p*(~q+~r)

A i C to postaci alternatywno-koniunkcyjne.
B i D to postaci koniunkcyjno-alternatywne

Dowód sprzeczności równania B z naturalną logiką człowieka:
A.
Jutro pójdę do kina lub pójdę na basen i do parku
Y = K+B*P
To rozumie każdy 5-cio latek.
Zdanie matematycznie tożsame:
B.
Y = (K+B)*(K+P)
Wypowiedzmy zdanie B w naturalnej logice człowieka:
B1.
Jutro pójdę do kina lub pójdę na basen i pójdę do kina lub pójdę do parku

Kolejność spójników w naturalnej logice człowieka to:
„i”(*), „lub”(+)
Stąd każdy normalny człowiek zrozumie i zapisze zdanie jako:
B1: Y = K + B*K + P
Oczywiście funkcja logiczna B1 to zupełnie co innego niż funkcja B co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjnej z naturalną logiką człowieka
cnd

Podsumowując, postaci minimalne dla naszej funkcji logicznej A to:
A: Y = p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna (naturalna logika człowieka)
B: Y = (p+q)*(p+r) - postać koniunkcyjno- alternatywna (funkcja sprzeczna z naturalną logiką człowieka)

Postaci minimalne dla naszej funkcji A w logice ujemnej (bo ~Y):
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno koniunkcyjna (naturalna logika człowieka)
D: ~Y = ~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno- alternatywna (funkcja sprzeczna z naturalną logiką człowieka)

Naturalna logika człowieka

Zbudujmy tabelę zero-jedynkową dla naszej funkcji logicznej w naturalnej logice człowieka:
A: Y = p+q*r
Kod:

   p q r q*r Y=p+q*r
A: 1 1 1  1  1  / Ya= p* q* r
B: 1 1 0  0  1  / Yb= p* q*~r
C: 1 0 1  0  1  / Yc= p*~q* r
D: 1 0 0  0  1  / Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1  1  1  / Ye=~p* q* r
F: 0 1 0  0  0  /~Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1  0  0  /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0  0  0  /~Yh=~p*~q*~r
   1 2 3  4  5

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
ABCDE123:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
FGH123
~Y = ~Yf + ~Yg+~Yh
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCDE123.
A: Y=p+q*r
Dowód:
ABCDE123:
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
Y=p*q*(r+~r) + p*~q(r+~r) + ~p*q*r
Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Y = p*(q+~q) + ~p*q*r
Y = p+~p*q*r
~Y = ~p*(p+~q+~r)
~Y = ~p*p+~p*~q + ~p*~r
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
D: ~Y = ~p*(~q+~r)
Przejście z równaniem D do logiki przeciwnej:
A: Y = p+q*r
Przejście z równaniem C do logiki przeciwnej:
B: Y = (p+q)*(p+r)
cnd
Jak widzimy, wszystko nam się bombowo zgadza, równania A i B wyprowadziliśmy wcześniej nie potrzebując tabeli zero-jedynkowej.

Natomiast równania w logice ujemnej opisują wyłącznie obszar FGH123 w naszej tabeli zero-jedynkowej.
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
D: ~Y=~p*(~q+~r)
Dowód:
FGH123:
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r)
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q
~Y = ~p(q*~r+~q)
~Y = ~p*(z)
z=(q*~r) + ~q
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q
~z = r*q
~z = q*r
z = ~q + ~r
~Y = ~p*(z)
D: ~Y = ~p*(~q + ~r)
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
cnd
Tu również wszystko genialnie się zgadza, równania C i D wyprowadziliśmy wcześniej bez pomocy tabeli zero-jedynkowej.

Logika ZERO

Tabela prawdy dla naszego równania wyjściowego w logice ZERO:
Y=p+q*r
Kod:

   p q r q*r Y=p+q*r
A: 1 1 1  1  1  /~Ya=~p+~q+~r
B: 1 1 0  0  1  /~Yb=~p+~q+ r
C: 1 0 1  0  1  /~Yc=~p+ q+~r
D: 1 0 0  0  1  /~Yd=~p+ q+ r
E: 0 1 1  1  1  /~Ye= p+~q+~r
F: 0 1 0  0  0  / Yf= p+~q+ r
G: 0 0 1  0  0  / Yg= p+ q+~r
H: 0 0 0  0  0  / Yh= p+ q+ r
   1 2 3  4  5

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w logice ZERO:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=1 to ~p=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „lub”(+), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „i”(*).

Naszą tabelę w logice ZERO opisuje układ równań logicznych:
ABCDE123:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc*~Yd*~Ye
H: ~Y = (~p+~q+~r)*(~p+~q+r)*(~p+q+~r)*(~p+q+ r)*(p+~q+~r)
RGH123:
Y = Yf*Yg*Yh
F: Y = (p+~q+r)*(p+q+~r)*(p+q+r)

Przypomnijmy równania logiczne dla powyższej tabeli w naturalnej logice człowieka:
ABCDE123:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye
E: Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
FGH123
~Y = ~Yf + ~Yg+~Yh
G: ~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Postaci tożsame wynikające bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej dla obszaru ABCDE123:
E: Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
F: Y = (p+~q+r)*(p+q+~r)*(p+q+r)

Postaci tożsame wynikające bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej dla obszaru FGH123:
G: ~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
H: ~Y = (~p+~q+~r)*(~p+~q+r)*(~p+q+~r)*(~p+q+ r)*(p+~q+~r)

Oczywiście postaci alternatywno-koniunkcyjne (E i G) będą doskonale rozumiane przez każdego człowieka, natomiast postaci koniunkcyjno-alternatywne (F i H) żaden człowiek nie zrozumie (są sprzeczne z naturalną logiką człowieka).

Podsumowanie.
Z naszej prostej, wejściowej funkcji logicznej wygenerowaliśmy następujące tożsamości.
1.
Równania tożsame w logice dodatniej (bo Y):
Równania minimalne:
A: Y = p+q*r
B: Y = (p+q)*(p+r)
Równania wynikające z tabeli zero-jedynkowej:
E: Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
F: Y = (p+~q+r)*(p+q+~r)*(p+q+r)
2.
Równania tożsame w logice ujemnej (bo ~Y):
Równania minimalne:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
D: ~Y = ~p*(~q + ~r)
Równania wynikające z tabeli zero-jedynkowej:
G: ~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
H: ~Y = (~p+~q+~r)*(~p+~q+r)*(~p+q+~r)*(~p+q+ r)*(p+~q+~r)

Jak widzimy wyżej, w najbardziej ogólnym przypadku, gdy w tabeli zero-jedynkowej mamy więcej niż jedną jedynkę i więcej niż jedno zero istnieją tożsame postaci alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne w tożsamościach:
Y = Y
~Y = ~Y
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Stąd podstawiając przykładowe A i C mamy prawo De Morgana dla funkcji minimalnej w logice dodatniej:
Y = (p+q*r) = ~(~p*~q + ~p*~r)

Zauważmy, że tabela symboliczna w logice ZERO nie jest nam potrzebna, bowiem równanie H możemy wygenerować z równania E, natomiast równanie F możemy wygenerować z równania G prawem przejścia do logiki przeciwnej.

Algorytm poszukiwania wszystkich możliwych funkcji alternatywno-koniunkcyjnych i koniunkcyjno-alternatywnych w wersji minimalnej (bez tabel zero-jedynkowych) jest następujący.
1.
Szukamy minimalnej postaci alternatywno-koniunkcyjnej
To jest oczywistość bo:
Y = p*q*(p*q+x) = p*q
Prawo algebry Boole’a:
Y = p*(p+x) =p
gdzie:
x - funkcja logiczna dowolnie długa z dowolną ilością zmiennych
Szukanie wszystkich postaci rozbudowanej funkcji logicznej bez minimalizacji też jest dobre, ale wynikną z tego potwornie złożone funkcje logiczne, dlatego powinniśmy najpierw poszukać postaci minimalnej, dla której znajdujemy wszystkie możliwe postaci alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne.
2.
Załóżmy, że zredukowaliśmy funkcję X do postaci minimalnej:
A: Y = p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice dodatniej (bo Y)
2.
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
D: ~Y=~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice ujemnej (bo ~Y)
3.
Mnożymy wielomiany:
~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice ujemnej (bo ~Y)
4.
Przechodzimy z powrotem do logiki dodatniej (bo Y)
Y = (p+q)*(p+r)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y = Y
p+q*r = (p+q)*(p+r)
oraz:
~Y = ~Y
~p*~q + ~p*~r = ~p*(~q+~r)
Koniec
Żadne tabele zero-jedynkowe nie są nam potrzebne.

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już dotrzymałem słowa, drugiego członu nie muszę sprawdzać.

Opiszmy nasz przykład w tabeli zero-jedynkowej w naturalnej logice człowieka i logice zero:
Y=K+B*P
Kod:

                     |Logika człowieka |Logika zero
   K B P B*P Y=K+B*P |                 |
A: 1 1 1  1  1       | Ya= K* B* P     |~Ya=~K+~B+~P
B: 1 1 0  0  1       | Yb= K* B*~P     |~Yb=~K+~B+ P
C: 1 0 1  0  1       | Yc= K*~B* P     |~Yc=~K+ B+~P
D: 1 0 0  0  1       | Yd= K*~B*~P     |~Yd=~K+ B+ P
E: 0 1 1  1  1       | Ye=~K* B* P     |~Ye= K+~B+~P
F: 0 1 0  0  0       |~Yf=~K* B*~P     | Yf= K+~B+ P
G: 0 0 1  0  0       |~Yg=~K*~B* P     | Yg= K+ B+~P
H: 0 0 0  0  0       |~Yh=~K*~B*~P     | Yh= K+ B+ P
   1 2 3  4  5

Zdanie wypowiedziane:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+B*P

Zauważmy, że w zdaniu tym mamy totalny brak determinizmu, nie mamy pojęcia jakie wartości logiczne przyjmą w tym zdaniu zmienne K, B i P w dniu jutrzejszym, dlatego są to zmienne logiczne a nie stałe symboliczne.

Definicje:
1.
Zmienna logiczna (binarna):
Zmienna logiczna to zmienna która w funkcji czasu może przyjmować dowolne wartości 0 albo 1
Przykłady: K, B, P
2.
Stała symboliczna:
Stała symboliczna to symboliczna nazwa konkretnej wartości logicznej znanej z góry która nigdy nie może być zmieniona.

Przykład:
Załóżmy, że jest pojutrze i znamy już wartości logiczne wszystkich zmiennych np.
K=0 - wczoraj nie byłem w kinie
B=0 - wczoraj nie byłem na basenie
P=1 - wczoraj byłem w parku
Czasu nie można cofnąć, zmienne K, B, i P z przedwczoraj przeszły w stałe symboliczne dzisiaj.
Niemożliwa jest jakakolwiek zmiana stałej symbolicznej.

Najprostsze rozstrzygnięcie czy wczoraj dotrzymałem słowa/skłamałem otrzymamy bezpośrednio ze zdania wypowiedzianego (nagłówek tabeli):
Y = K + B*P = 0 + 0*1 = 0+0 =0
Y=0 - skłamałem w logice dodatniej (bo Y)

Zauważmy że w świecie zdeterminowanym (pojutrze) zachodzi:
K=0, ~K=1
K=0 - fałszem jest (=0), że wczoraj byłem w kinie (K)
~K=1 - prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)
Doskonale widać, że powyższe zdania są tożsame (prawo Prosiaczka)
(K=0) = (~K=1)
etc
Zapis:
K=0, ~K=1
To skrócony zapis prawa Prosiaczka, który będzie standardem w tym podręczniku.

Zapis symboliczny naszej tabeli zero-jedynkowej (logika człowieka) to matematyczny opis przyszłości.

Pozwala nam odpowiedzieć na pytania:
W.
Kiedy dotrzymam słowa (Y)?
Obszar ABCDE123
U.
Kiedy skłamię (~Y)?
Obszar FGH123

Już dzisiaj!

Rozważmy dwa przypadki:
1.
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło:
X = K*~B*~P
co matematycznie oznacza:
X=1 <=> K=1 i ~B=1 i ~P=1
Czy dotrzymałem słowa/ skłamałem?
Zaglądamy do tabeli (logiki człowieka!) wyżej i widzimy że:
X = Yd=K*~B*~P
czyli:
Dotrzymałem słowa (bo Yd)
2.
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło:
X = ~K*~B*P
co matematycznie oznacza:
X=1 <=> ~K=1 i ~B=1 i P=1
Czy dotrzymałem słowa/ skłamałem?
Zaglądamy do tabeli (logiki człowieka!) wyżej i widzimy że:
X = ~Yg=~K*~B*P
czyli:
Skłamałem (bo ~Yg)

Zauważmy, że odpowiedzi na pytania 1 i 2 nie znajdziemy w logice ZERO, dla normalnych ludzi to jakieś kompletnie niezrozumiałe bohomazy, na pewno nie naturalna logika człowieka.

Definicja logiki w algebrze Kubusia = definicja algebry Kubusia:
Logika to przewidywanie przyszłości lub rozwiązywanie nieznanego np. nieznanej przeszłości.
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy

Matematyka:
Logika to formułowanie i udowadnianie twierdzeń matematycznych

Maszynowa definicja operatora logicznego (algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

Symboliczna definicja operatora logicznego (algebra Kubusia):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Patrz logika człowieka w powyższej tabeli zero-jedynkowej.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani q. Wynika to bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora i prawa Sowy.

Sprawdźmy działanie powyższych definicji w praktyce na naszym przykładzie.

Zdanie wypowiedziane:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+B*P

Kod:

                     |Logika człowieka |Logika ZERO
   K B P B*P Y=K+B*P |                 |
A: 1 1 1  1  1       | Ya= K* B* P     |~Ya=~K+~B+~P
B: 1 1 0  0  1       | Yb= K* B*~P     |~Yb=~K+~B+ P
C: 1 0 1  0  1       | Yc= K*~B* P     |~Yc=~K+ B+~P
D: 1 0 0  0  1       | Yd= K*~B*~P     |~Yd=~K+ B+ P
E: 0 1 1  1  1       | Ye=~K* B* P     |~Ye= K+~B+~P
F: 0 1 0  0  0       |~Yf=~K* B*~P     | Yf= K+~B+ P
G: 0 0 1  0  0       |~Yg=~K*~B* P     | Yg= K+ B+~P
H: 0 0 0  0  0       |~Yh=~K*~B*~P     | Yh= K+ B+ P
   1 2 3  4  5

Powyższa tabela pokazuje świat totalnie niezdeterminowany, gdzie nie znamy wartości logicznej ani jednej zmiennej.

Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło:
X = ~K*~B*P
co matematycznie oznacza:
X=1 <=> ~K=1 i ~B=1 i P=1
Czy dotrzymałem słowa/ skłamałem?
zaglądamy do tabeli (logiki człowieka!) wyżej i widzimy że:
X = ~Yg=~K*~B*P
czyli:
Skłamałem (bo ~Yg)

W tym przypadku nasze zmienne przyjęły konkretne wartości logiczne jak wyżej i tego faktu nie jesteśmy już w stanie zmienić, czasu nie można cofnąć.

Rozważmy ostatnie zdanie, pojutrze stwierdzamy iż zaszło:
~Yg = ~K*~B*P
co matematycznie oznacza:
~Yg=1 <=> ~K=1 i ~B=1 i P=1
W tym momencie mamy do czynienia ze stałymi symbolicznymi ~K, ~B i P a nie ze zmiennymi symbolicznymi, jak to było przedwczoraj. Czasu nie można cofnąć, nie da się zmienić wartości logicznej stałej symbolicznej ~K, ~B, P.

Mamy tu 100% determinizm:
~K=1, K=0
~B=1, B=0
P=1, ~P=0
Powyższe to skrótowy zapis praw Prosiaczka, standard w tym podręczniku.
Prawa Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
(~B=1) = (B=0)
(P=1) = (~P=0)
Dowód:
~K=1 - prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)
K=0 - fałszem jest (=0), że wczoraj byłem w kinie (K)
Powyższe zdania są tożsame (prawo Prosiaczka):
(~K=1) = (K=0)
cnd

Nasza tabela zero-jedynkowa dla świata zdeterminowanego przyjmuje postać:
Kod:

                     |Logika człowieka |Logika ZERO
   K B P ~Y=~K*~B*P  |                 |
A: 0 0 1  0          | Ya= K* B* P =0  |~Ya=~K+~B+~P
B: 0 0 0  0          | Yb= K* B*~P =0  |~Yb=~K+~B+ P
C: 0 1 1  0          | Yc= K*~B* P =0  |~Yc=~K+ B+~P
D: 0 1 0  0          | Yd= K*~B*~P =0  |~Yd=~K+ B+ P
E: 1 0 1  0          | Ye=~K* B* P =0  |~Ye= K+~B+~P
F: 1 0 0  0          |~Yf=~K* B*~P =0  | Yf= K+~B+ P
G: 1 1 1  1          |~Yg=~K*~B* P =1  | Yg= K+ B+~P
H: 1 1 0  0          |~Yh=~K*~B*~P =0  | Yh= K+ B+ P
   1 2 3  4

Doskonale widać działanie prawa Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Na podstawie naszego przykładu prawo Sowy można uogólnić na dowolną funkcję logiczną:
W świecie totalnie zdeterminowanym dowolna funkcja logiczna (byleby była skończona) ulega redukcji do operatora AND.

Nasz przykład:
~Yg = ~K*~B*P
co matematycznie oznacza:
~Yg=1 <=> ~K=1 i ~B=1 i P=1

Zadanie dla czytelników:
Korzystając z szablonu pokazanego wyżej przeanalizować zdanie:
Y=p*q+r

Zauważmy że:
Wyżej analizowaliśmy funkcję logiczną:
Y=p+q*r

Oczywistym jest, że jeśli w powyższym równaniu wymienimy wyłącznie spójniki to te równania nie będą tożsame.
Y=p*q+r

Matematycznie zachodzi:
Y=p+q*r ## Y=p*q+r
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Po obu stronach znaku ## możemy stosować dowolne prawa logiczne, nigdy jednak nie dojdzie do jakichkolwiek związków matematycznych wiążących obie strony znaku ##. To dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.


4.1 O Kubusiu który zatrzymał cyfry i ruszył symbole

Weźmy na tapetę jeszcze raz nasz przykład.

Zdanie wypowiedziane:
W0.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+B*P

Opiszmy nasz przykład w tabeli zero-jedynkowej w naturalnej logice człowieka i logice ZERO
Kod:

                     |Logika człowieka |Logika ZERO
   K B P B*P Y=K+B*P |                 |
A: 1 1 1  1  1       | Ya= K* B* P     |~Ya=~K+~B+~P
B: 1 1 0  0  1       | Yb= K* B*~P     |~Yb=~K+~B+ P
C: 1 0 1  0  1       | Yc= K*~B* P     |~Yc=~K+ B+~P
D: 1 0 0  0  1       | Yd= K*~B*~P     |~Yd=~K+ B+ P
E: 0 1 1  1  1       | Ye=~K* B* P     |~Ye= K+~B+~P
F: 0 1 0  0  0       |~Yf=~K* B*~P     | Yf= K+~B+ P
G: 0 0 1  0  0       |~Yg=~K*~B* P     | Yg= K+ B+~P
H: 0 0 0  0  0       |~Yh=~K*~B*~P     | Yh= K+ B+ P
   1 2 3  4  5

Powyższa tabela pokazuje świat totalnie niezdeterminowany, gdzie nie znamy wartości logicznej ani jednej zmiennej.

Pamiętamy, że w logice człowieka (równania alternatywno-koniunkcyjne) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.

Podobnie, w logice ZERO (równania koniunkcyjno-alternatywne) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do zera, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.

Dla normalnego człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne są niezrozumiałe.

Jak to przed chwilą pokazaliśmy, tabela zero-jedynkowa była nam potrzebna wyłącznie dla stworzenia szablonu zdania typu:
Y=K+B*P

Wyobraźmy sobie teraz że wypowiadam zdanie:
W1.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę na basen i pójdę do parku
Y=K+~B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (~B*P)=1
Wystarczy, że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już dotrzymałem słowa, pozostałych członów sumy logicznej nie musimy sprawdzać.

Sygnałami odniesienia dla tego zdania są zmienne:
K, ~B, P
których wartości logicznych póki co nie znamy, poznamy je dopiero pojutrze.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1.
~Y =~K*(B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*B + ~K*~P
stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i pójdę na basen (~K*B)=1 lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku (~K*~P)=1
~Y = ~K*B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy, że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już skłamałem, pozostałych członów sumy logicznej nie musimy sprawdzać.

Wypowiedzmy jeszcze jedno zdanie:
W2.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę na basen i nie pójdę do parku
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę na basen oraz nie pójdę do parku
Y = K + ~B*~P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (~B*~P)=1
Wystarczy, że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już dotrzymałem słowa, pozostałych członów sumy logicznej nie musimy sprawdzać.
Oczywiście powyższe zdania są tożsame.

Sygnałami odniesienia dla tego zdania są zmienne:
K, ~B, ~P
których wartości logicznych póki co nie znamy, poznamy je dopiero pojutrze.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W2 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U2.
~Y =~K*(B+P)
~Y = ~K*B + ~K*P
stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i pójdę na basen (~K*B)=1 lub nie pójdę do kina i pójdę do parku (~K*P)=1
~Y = ~K*B + ~K*P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*B)=1 lub (~K*P)=1
Wystarczy, że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już skłamałem, pozostałych członów sumy logicznej nie musimy sprawdzać.

Twierdzenie:
Minimalna tabela zero-jedynkowa musi zawierać wszystkie sygnały odniesienia występujące w równaniu logicznym.

Zauważmy, że ogólny schemat zdań W0, W1 i W2 niczym się nie różni, z wyjątkiem użytych przeczeń w sygnałach odniesienia. Tabela zero-jedynkowa dla zdań W0, W1 i W2 będzie tu IDENTYCZNA mimo iż matematycznie są to różne zdania.

Kompletna tabela zero-jedynkowa dla zdań W0, W1 i W2.
Kod:

W2 - sygnały odniesienia   |                               |Logika człow.
   K ~B ~P       Y=K+~B*~P |                               |W2:  K ~B ~P
W1 - sygnały odniesienia   |                |Logika człow. |
   K ~B  P       Y=K+~B* P |                |W1:  K ~B  P  |
W0 - sygnały odniesienia   |Logika człowieka|              |
   K  B  P  B* P Y=K+ B* P |W0:  K  B  P    |              |
                           |     K  B  P    |     K ~B  P  |     K ~B ~P
A: 1  1  1   1    =1       | Ya= K* B* P    | Ya= K*~B* P  | Ya= K*~B*~P
B: 1  1  0   0    =1       | Yb= K* B*~P    | Yb= K*~B*~P  | Yb= K*~B* P
C: 1  0  1   0    =1       | Yc= K*~B* P    | Yc= K* B* P  | Yc= K*~B*~P
D: 1  0  0   0    =1       | Yd= K*~B*~P    | Yd= K* B*~P  | Yd= K*~B* P
E: 0  1  1   1    =1       | Ye=~K* B* P    | Ye=~K*~B* P  | Ye=~K*~B*~P
F: 0  1  0   0    =0       |~Yf=~K* B*~P    |~Yf=~K*~B*~P  |~Yf=~K*~B* P
G: 0  0  1   0    =0       |~Yg=~K*~B* P    |~Yg=~K* B* P  |~Yg=~K* B*~P
H: 0  0  0   0    =0       |~Yh=~K*~B*~P    |~Yh=~K* B*~P  |~Yh=~K* B* P
   1  2  3   4     5         a   b  c  d      e   f  g  h    i   j  k  l

Powyższa tabela pokazuje świat totalnie niezdeterminowany, gdzie nie znamy wartości logicznej ani jednej zmiennej.

Zauważmy, że nasza tabela zero-jedynkowa ani drgnęła, jest IDENTYCZNA dla wszystkich zdań W0, W1 i W2.

Tabela W0 (ABCDEFGHabcd):
Tabela ABCDEFGHabcd to symboliczny szablon podstawowy gdzie zmienne wejściowe K, B i P nie są zanegowane.

Tabela W1 (ABCDEFGHefgh):
Zauważmy, że tabela symboliczna dla zdania W1 (obszar ABCDEFGHefgh) różni się od tabeli symbolicznej W0 wyłącznie tym, że zmienne w kolumnie ABCDEFGHg są zanegowane.

Tabela W2 (ABCDEFGHijkl):
Tabela symboliczna dla zdania W2 (obszar ABCDEFGHijkl) różni się od tabeli W1 wyłącznie tym, że zmienne w kolumnie ABCDEFGHl są zanegowane.

Łatwo widzieć, że ta sama tabela zero-jedynkowa opisuje aż 16 różnych zdań w naturalnej logice człowieka.

Mamy bowiem trzy zmienne wejściowe:
K, B, P
zatem wszystkich możliwych zdań po stronie funkcji (Y=1 - dotrzymam słowa) jest osiem.
W0: Y=K+B*P
W1: Y=K+B*~P
W2: Y=K+~B*P
W3: Y=K+~B*~P
W4: Y=~K+B*P
W5: Y=~K+B*~P
W6: Y=~K+~B*P
W7: Y=~K+~B*~P
Wszystkie te zdania opisane są identyczną tabelą zero-jedynkową w obszarze ABCDE12345.

… a kiedy skłamię?
W każdym z powyższych zdań przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.

Stąd mamy kolejne osiem zdań opisanych IDENTYCZNĄ tabelą zero-jedynkową w obszarze FGH12345.

Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
U0: ~Y = ~K*(~B+~P) = ~K*~B + ~K*~B
U1: ~Y = ~K*(~B+P) = ~K*~B + ~K*P
U2: ~Y = ~K*(B+~P) = ~K*B + ~K*~P
U3: ~Y = ~K*(B+P) = ~K*B + ~K*P
U4: ~Y = K*( ~B+~P) = K*~B + K*~P
U5: ~Y = K*(~B+P) = K*~B + K*P
U6: ~Y = K*(B+~P) = K*B + K*~P
U7: ~Y = K*(B+P) = K*B + K*P

Oczywiście normalny człowiek (w tym 5-cio latek) bez problemu zrozumie wyłącznie zdania zapisane w naturalnej logice człowieka (postać alternatywno-koniunkcyjna), czyli ostatnie człony w równaniach opisujących ~Y.

Zdanie W0 z pozycji czasu przeszłego już rozpatrywaliśmy.
Rozważmy dwa losowe przypadki dla zdania W1.
W1: Y= K+~B*P
Tabela symboliczna dla zdania W1 to:
ABCDEFGHefgh
1.
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło:
X = K*~B*~P
co matematycznie oznacza:
X=1 <=> K=1 i ~B=1 i ~P=1
Czy dotrzymałem słowa/ skłamałem?
zaglądamy do tabeli ABCDEFGHefgh i widzimy że:
X = Yb = K*~B*~P
czyli:
Dotrzymałem słowa (bo Yb).
Dokładnie to samo można odczytać bezpośrednio ze zdania wypowiedzianego:
W1: Y=K+~B*P
Pojutrze zaszło:
K=1
To wystarczy, dotrzymałem słowa.
W sumie logicznej funkcja logiczna przyjmuje wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek ze składników sumy jest równy 1, stan pozostałych składników jest nieistotny.
Można też super szczegółowo:
K=1, ~K=0
~B=1, B=0
~P=1, P=0
Podstawiając do W1 mamy:
W1: Y = 1 + 1*0 =1
Y=1 - dotrzymałem słowa w logice dodatniej (bo Y)

2.
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło:
X = ~K*~B*~P
co matematycznie oznacza:
X=1 <=> ~K=1 i ~B=1 i ~P=1
Czy dotrzymałem słowa/ skłamałem?
zaglądamy do tabeli (logiki człowieka!) wyżej i widzimy że:
X = ~Yf = ~K*~B*~P
czyli:
Skłamałem (bo ~Yf).
Dokładnie to samo można odczytać bezpośrednio ze zdania wypowiedzianego:
W1: Y=K+~B*P
Pojutrze zaszło:
~K=1, K=0
~B=1, B=0
~P=1, P=0
Podstawiając do W1 otrzymujemy:
W1: Y=K+~B*P= 0+1*0=0+0 =0 - skłamałem w logice dodatniej (bo Y)
Jak widzimy, w tym przypadku wszystkie składniki sumy logicznej są równe 0, co w logice dodatniej (bo Y) oznacza iż skłamałem.

Rozważmy na koniec dwa losowe przypadki dla zdania W2.
W2: Y= K+~B*~P
Tabela symboliczna dla zdania W2 to ABCDEFGHijkl.
1.
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło:
X = K*~B*~P
co matematycznie oznacza:
X=1 <=> K=1 i ~B=1 i ~P=1
Czy dotrzymałem słowa/ skłamałem?
zaglądamy do tabeli ABCDEFGHijkl i widzimy że:
X = Yc = K*~B*~P
czyli:
Dotrzymałem słowa (bo Yc).
To samo odczytane bezpośrednio ze zdania wypowiedzianego W2:
W2: Y=K+~B*~P
Pojutrze zaszło:
K=1, ~K=0
~B=1, B=0
~P=1, P=0
Podstawiając do W2 otrzymujemy:
W2: Y = 1 + 1*1 =1 - dotrzymałem słowa w logice dodatniej (bo Y)

2.
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło:
X = ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
X=1 <=> ~K=1 i B=1 i P=1
Czy dotrzymałem słowa/ skłamałem?
zaglądamy do tabeli (logiki człowieka!) wyżej i widzimy że:
X = ~Yh = ~K*B*P
czyli:
Skłamałem (bo ~Yh).
Dokładnie to samo odczytane bezpośrednio ze zdania wypowiedzianego W2.
W2: Y=K+~B*~P
Pojutrze zaszło:
~K=1, K=0
B=1, ~B=0
P=1, ~P=0
Podstawiając do W2 otrzymujemy:
W2: Y =0 + 0*0 =0 - skłamałem w logice dodatniej (bo Y)

Podsumowanie:
Dla trzech zmiennych wejściowych ta sama tabela zero-jedynkowa (ABCDEFGH12345) opisuje:
2^(3+1)=16
różnych zdań z naturalnej logiki człowieka.

Ogólnie dla n-zmiennych wejściowych ta sama tabela zero-jedynkowa opisuje:
2^(n+1)
różnych zdań z naturalnej logiki człowieka.

Przykładowo, dla 8 zmiennych wejściowych:
Y = p*q + r*s*t + u*v*w
Bazowe zmienne wejściowe w powyższym równaniu to:
p, q, r, s, t, u, v, w

Ta sama tabela zero-jedynkowa opisuje:
2^(8+1) = 2^9 = 512
różnych zdań z naturalnej logiki człowieka.

Oczywiście w praktyce żaden człowiek nie operuje aż taką ilością zmiennych, najczęstsze zdania człowieka to dwie lub trzy zmienne.


4.2 Twierdzenie Kłapouchego

Twierdzenie Kłapouchego:
Jeśli tabela zero-jedynkowa dowolnej funkcji logicznej ma więcej niż jedną linię z jedynkami w wyniku i więcej niż jedną linię z zerami w wyniku to istnieją dwie postaci koniunkcyjno-alternatywne, jedna w tożsamości Y=Y i druga w tożsamości ~Y=~Y, inaczej istnieje tylko jedna postać koniunkcyjno-alternatywna.

Pierwszą część twierdzenia udowodniliśmy wyżej.
Nasz koronny przykład:
Y = p+q*r
1.
Równania tożsame w logice dodatniej (bo Y):
Równania minimalne:
Y=Y
A: Y = p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice dodatniej (bo Y)
B: Y = (p+q)*(p+r) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice dodatniej (bo Y)
p+q*r = (p+q)*(p+r)
2.
Równania tożsame w logice ujemnej (bo ~Y):
Równania minimalne:
~Y = ~Y
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice ujemnej (bo ~Y)
D: ~Y = ~p*(~q + ~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice ujemnej (bo ~Y)
~p*~q + ~p*~r = ~p*(~q+~r)
cnd

Najprostsza tabela z wyłącznie jedną linią z jedynkami w wyniku to definicja operatora AND.
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1    | Ya= p* q
B: 0 0  =0    |~Yb=~p*~q
C: 0 1  =0    |~Yc=~p* q
D: 1 0  =0    |~Yd= p*~q
   1 2   3       4  5  6

Równanie opisujące wyłącznie linię A123:
A: Y = Yd = p*q
Przechodząc do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymamy równanie opisujące obszar BCD123:
C: ~Y = ~p+~q

Równanie opisujące obszar BCD123 odczytane z tabeli zero-jedynkowej.
~Y = ~Yb+~Yc + ~Yd
D: ~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymując równanie opisujące linię A123
B: Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

Podsumowując.
Układy równań opisujące operator AND są następujące:
Y = Y
A: Y=p*q - postać koniunkcyjna w logice dodatniej (bo Y)
B: Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice dodatniej (bo Y)
p*q = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

~Y=~Y
C: ~Y = ~p+~q - postać alternatywna w logice ujemnej (bo ~Y)
D: ~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice ujemnej (bo ~Y)
~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla Y:
Y = p*q = ~(~p+~q)

Twierdzenie:
Jeśli w dowolnej tabeli zero-jedynkowej istnieje wyłącznie jedna linia z jedynką w wyniku to istnieje tylko jedna postać koniunkcyjno-alternatywna w tożsamości Y=Y, wynikająca z tabeli zero-jedynkowej. To jest połówka drugiej części twierdzenia Kłapouchego.

Twierdzenie:
Nie każda funkcja logiczna posiada tożsamą postać koniunkcyjno-alternatywną, czego dowodem jest funkcja ~Y=~Y w naszym przykładzie.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Postać koniunkcyjno-alternatywna:
Y = K*T = (K+T)*(K+~T)*(~K+T)
Ostatni człon z prawej strony to horror dla każdego człowieka

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Wystarczy że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już skłamałem, drugiego członu nie muszę sprawdzać.

Matematycznie zachodzi:
B1.
~Y = ~K+~T = ~K*~T + ~K*T + K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y =1 <=> (~K*~T)=1 lub (~K*T)=1 lub (K*~T)=1
Wystarczy że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już skłamałem, pozostałych członów nie muszę sprawdzać.

Oczywiście człowiek doskonale rozumie zarówno zdanie B jak i B1 bowiem w B mamy postać alternatywną natomiast w B1 postać alternatywno-koniunkcyjną.
Wniosek:
Nie istnieje postać koniunkcyjno-alternatywna dla funkcji:
~Y=~p+~q

Najprostsza tabela z wyłącznie jedną linią z zerami w wyniku to definicja operatora OR.
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    | Ya= p* q
B: 1 0  =1    | Yb= p*~q
C: 0 1  =1    | Yc=~p* q
D: 0 0  =0    |~Yd=~p*~q
   1 2   3       4  5  6

Równanie opisujące wyłącznie linię D123:
C: ~Y = ~Yd = ~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymamy równanie opisujące obszar ABC123:
A: Y = p+q

Równanie opisujące obszar ABC123 odczytane z tabeli zero-jedynkowej.
Y = Ya+Yb + Yc
B: Y= p*q + p*~q + ~p*q
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymując równanie opisujące linię D123
D: ~Y = (~p*~q)*(~p+q)*(p+~q)

Podsumowując.
Układy równań opisujące operator OR są następujące:
Y = Y
A: Y = p+q - postać alternatywna w logice dodatniej (bo Y)
B: Y = p*q + p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice dodatniej (bo Y)
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

~Y=~Y
C: ~Y=~p*~q - postać koniunkcyjna w logice ujemnej (bo ~Y)
D: ~Y = (~p*~q)*(~p+q)*(p+~q) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice ujemnej (bo ~Y)
~p*~q = (~p*~q)*(~p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla Y:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Twierdzenie:
Jeśli w dowolnej tabeli zero-jedynkowej istnieje wyłącznie jedna linia z zerem w wyniku to istnieje tylko jedna postać koniunkcyjno-alternatywna w tożsamości ~Y=~Y, wynikająca z tabeli zero-jedynkowej. To jest ostatnia części twierdzenia Kłapouchego.

Twierdzenie:
Nie każda funkcja logiczna posiada tożsamą postać koniunkcyjno-alternatywną, czego dowodem jest funkcja Y=Y w naszym przykładzie.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już dotrzymałem słowa, drugiego członu nie muszę sprawdzać.

Matematycznie zachodzi:
A1.
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y =1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Wystarczy że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już skłamałem, pozostałych członów nie muszę sprawdzać.

Oczywiście człowiek doskonale rozumie zarówno zdanie A jak i A1 bowiem w A mamy postać alternatywną natomiast w A1 postać alternatywno-koniunkcyjną.
Wniosek:
Nie istnieje postać koniunkcyjno-alternatywna dla funkcji:
Y=p+q

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Najprostsze funkcje logiczne mające w tabeli zero-jedynkowej więcej niż jedną jedynkę w wyniku i więcej niż jedno zero w wyniku to równoważność (<=>) i XOR($).


4.3 Twierdzenie Śfini

Śfinia to forum Wujazboja dzięki któremu algebra Kubusia w ogóle mogła powstać.

Twierdzenie Śfini:
Dla dowolnej funkcji logicznej, równanie logiczne z nagłówka tabeli zero-jedynkowej jest tożsame z układem równań poziomych opisujących wynikowe jedynki.

Rozważmy nasz sztandarowy przykład:
A1: Y = p+q*r

Zbudujmy tabelę zero-jedynkową dla naszej funkcji logicznej w naturalnej logice człowieka:
A1: Y = p+q*r
Kod:

Tabela 1
   p q r q*r Y=p+q*r
A: 1 1 1  1  1  / Ya= p* q* r
B: 1 1 0  0  1  / Yb= p* q*~r
C: 1 0 1  0  1  / Yc= p*~q* r
D: 1 0 0  0  1  / Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1  1  1  / Ye=~p* q* r
F: 0 1 0  0  0  /~Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1  0  0  /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0  0  0  /~Yh=~p*~q*~r
   1 2 3  4  5

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
ABCDE123:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
FGH123:
~Y = ~Yf+~Yg+~Yh
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCDE123.
A1: Y=p+q*r
Na mocy twierdzenia Śfini równanie tożsame to:
ABCDE123:
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
Dowód:
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
Y=p*q*(r+~r) + p*~q(r+~r) + ~p*q*r
Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Y = p*(q+~q) + ~p*q*r
Y = p+~p*q*r
~Y = ~p*(p+~q+~r)
~Y = ~p*p+~p*~q + ~p*~r
~Y = ~p*~q + ~p*~r
~Y = ~p*(~q+~r)
Przejście do logiki przeciwnej:
A11: Y = p+q*r
Doskonale widać że zachodzi:
A1: Y=p+q*r = A11: Y=p+q*r
Co jest dowodem poprawności twierdzenia Śfini.

Mamy nasze równanie:
Y = p+q*r
W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) argumenty są przemienne.
Na wejściach p, q i r zera i jedynki możemy generować losowo, byleby wszystkie kombinacje zostały uwzględnione, w sumie przy trzech zmiennych wejściowych musimy mieć osiem linii.

W naszym równaniu zamiana kolumn zero-jedynkowych q i r jest bez znaczenia, bowiem w spójniku „i”(*) argumenty są przemienne.
Zamieńmy kolumny zero-jedynkowe najpierw p i q, a następnie p i r sprawdzając czy twierdzenie Śfini działa.

Sprawdzenie twierdzenia Śfini dla zamienionych kolumn zero-jedynkowych p i q.

Zamieńmy zero-jedynkowe kolumny p i q (w obszarze ABCDEFGH12) pozostawiając wszystkie symbole bez żadnych zmian, przecież zera i jedynki na wejściach p, q, r (obszar ABCDEFGH123) możemy sobie generować losowo byleby wszystkie osiem kombinacji zer i jedynek zostało uwzględnione.

Nasza tabela przybierze teraz postać.
A: Y = p+q*r
Kod:

Tabela 2
   p q r q*r Y=p+q*r
A: 1 1 1  1  1  / Ya= p* q* r
B: 1 1 0  0  1  / Yb= p* q*~r
C: 0 1 1  1  1  / Yc=~p* q* r
D: 0 1 0  0  0  /~Yd=~p* q*~r
E: 1 0 1  0  1  / Ye= p*~q* r
F: 1 0 0  0  1  / Yf= p*~q*~r
G: 0 0 1  0  0  /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0  0  0  /~Yh=~p*~q*~r
   1 2 3  4  5

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
ABCEF123:
Y=Ya+Yb+Yc+Ye+Yf
A21: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r
DGH123:
~Y = ~Yd+~Yg+~Yh
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCEF123.
A2: Y=p+q*r
Na mocy twierdzenia Śfini równanie to jest tożsame z A21
Dowód:
ABCEF123:
A21: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r
Y = p*q*(r+~r) + p*~q(r+~r) + ~p*q*r
Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Y = p*(q+~q) + ~p*q*r
Y = p+~p*(q*r)
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
A21: Y = p+q*r
Doskonale widać że zachodzi:
A2: Y=p+q*r = A21: Y=p+q*r
Co jest dowodem poprawności twierdzenia Śfini.

Nasze równanie bazowe:
Y = p+q*r
Zamieńmy teraz w tabeli 1 kolumny zero-jedynkowe p i r pozostawiając wszystkie symbole bez zmian.
Kod:

Tabela 3
   p q r q*r Y=p+q*r
A: 1 1 1  1  1  / Ya= p* q* r
B: 0 1 1  1  1  / Yb=~p* q* r
C: 1 0 1  0  1  / Yc= p*~q* r
D: 0 0 1  0  0  /~Yd=~p*~q* r
E: 1 1 0  0  1  / Ye= p* q*~r
F: 0 1 0  0  0  /~Yf=~p* q*~r
G: 1 0 0  0  1  / Yg= p*~q*~r
H: 0 0 0  0  0  /~Yh=~p*~q*~r
   1 2 3  4  5

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
ABCEG123:
Y=Ya+Yb+Yc+Ye+Yg
A31: Y = p*q*r + ~p*q*r + p*~q*r + p*q*~r + p*~q*~r
DFH123:
~Y = ~Yd+~Yf+~Yh
~Y = ~p*~q*r + ~p*q*~r + ~p*~q*~r

Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCEG123.
A3: Y=p+q*r
Na mocy twierdzenia Śfini równanie to jest tożsame z A31
Dowód:
A31: Y = p*q*r + ~p*q*r + p*~q*r + p*q*~r + p*~q*~r
Y = p*q*(r+~r) + p*~q*(r+~r) + ~p*q*r
A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Y = p*(q+~q) + ~p*q*r
Y = p+~p*(q*r)
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
A31: Y = p+q*r
Doskonale widać że zachodzi:
A3: Y=p+q*r = A31: Y=p+q*r
Co jest dowodem poprawności twierdzenia Śfini.

Nasze równanie wyjściowe minimalne było takie:
A1: Y = p+q*r
Potwierdziły się nasze rozważania wyżej iż wszystko jedno czy zamienimy miejscami kolumny zero-jedynkowe p i q czy też p i r, bowiem wyrażenie q*r jest przemienne. Twierdzenie Śfini możemy uznać za udowodnione.

Oczywiście w równaniu A1 nie wolno zamieniać symboli p i q:
A12: Y=q+p*r
W tym przypadku zachodzi:
A1: Y=p+q*r ## A12: Y=q+p*r
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład:
A1:
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
A12:
Jutro pójdę na basen lub do kina i do parku
Y = B+K*P
Doskonale widać że:
A1: Y = K+B*P ## A12: Y=B+K*P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

W powyższych przykładach udowadnialiśmy twierdzenie Śfini poprzez minimalizację do funkcji minimalnej. W ogólnym przypadku funkcji logicznej w ogóle nie musimy minimalizować. Możemy zapisać tabelę zero-jedynkową dla oryginalnej funkcji wejściowej i na mocy twierdzenia Śfini zapisać odpowiednią tożsamość.

Przykład:
Załóżmy że naszą funkcją wejściową jest funkcja A4 z powyższego przykładu.

Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla funkcji A4:
A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Kod:

Tabela 4
   p q r ~p ~q p*q+ p*~q+ ~p*q*r Y=p*q+p*~q+~p*q*r
A: 1 1 1  0  0  1    0      0     1             / Ya= p* q* r
B: 1 1 0  0  0  1    0      0     1             / Yb= p* q*~r
C: 0 1 1  1  0  0    0      1     1             / Yc=~p* q* r
D: 0 1 0  1  0  0    0      0     0             /~Yd=~p* q*~r
E: 1 0 1  0  1  0    1      0     1             / Ye= p*~q* r
F: 1 0 0  0  1  0    1      0     1             / Yf= p*~q*~r
G: 0 0 1  1  1  0    0      0     0             /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0  1  1  0    0      0     0             /~Yh=~p*~q*~r
   1 2 3  4  5  6    7      8     9

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
ABCEF123:
Y=Ya+Yb+Yc+Ye+Yf
A41: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r
DGH123:
~Y = ~Yd+~Yg+~Yh
~Y= ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Na mocy twierdzenia Śfini zapisujemy:
A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r = A41: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r
Nie musimy minimalizować funkcji wejściowej.

Podsumowując wszystkie nasze przykłady możemy zapisać tożsamość:
A11 = A21 = A31 = A41 = A4
ponieważ wszystkie te funkcje są tożsame z funkcją minimalną:
Y = p+q*r

Na deser wypowiedzmy takie zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do parku lub pójdę na basen i do parku ale nie pójdę do kina
Y = K*~P + B*P*~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>(K*~P)=1 lub (B*P*~K)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej strony zostanie ustawiony na 1 i już dotrzymałem słowa, drugiego członu nie muszę sprawdzać.

W przełożeniu na język formalny mamy:
p = kino
q = basen
r = park
A.
Y = p*~r + q*r*~p
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>(p*~r)=1 lub (q*r*~p)=1

Tworzymy tabelę zero-jedynkową dla równania:
A5: Y = p*~r + q*r*~p
Kod:

Tabela 5
   p q r ~p ~r p*~r q*r*~p Y=p*~r+q*r*~p
A: 1 1 1  0  0  0    0      0          /~Ya= p* q* r
B: 1 1 0  0  1  1    0      1          / Yb= p* q*~r
C: 1 0 1  0  0  0    0      0          /~Yc= p*~q* r
D: 1 0 0  0  1  1    0      1          / Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1  1  0  0    1      1          / Ye=~p* q* r
F: 0 1 0  1  1  0    0      0          /~Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1  1  0  0    0      0          /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0  1  1  0    0      0          /~Yh=~p*~q*~r
   1 2 3  4  5  6    7      8

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
BDE123:
Y=Yb+Yd+Ye
A51: Y = p*q*~r + p*~q*~r + ~p*q*r
ACFGH123:
~Y = ~Ya+~Yc+~Yf+~Yg+~Yh
~Y = p*q*r + p*~q*r + ~p*q*r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Nasze równanie bazowe opisuje obszar z jedynkami w wyniku (BDE123):
A5: Y = p*~r + q*r*~p
Dokładnie ten sam obszar opisuje równanie wynikłe z tabeli zero-jedynkowej ABCDEFGH123:
A51: Y = p*q*~r + p*~q*~r + ~p*q*r
Minimalizujemy:
Y = p*~r*(q+~q) +~p*q*r
A51: Y = p*~r + q*r*~p

Doskonale widać zachodzącą tożsamość:
Y = A5: p*~r + q*r*~p = A51: p*~r + q*r*~p

Twierdzenie Śfini działa więc doskonale.


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:54, 15 Lip 2013, w całości zmieniany 42 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 16:39, 01 Cze 2013    Temat postu:

5.0 Pozostałe operatory logiczne wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*)

W tym rozdziale omówimy następujące operatory logiczne wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
Kod:

p q <=> XOR  =>  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0   1    1    0      1 0   1 0
1 0  0   1   0    1    0      1 0   0 1
0 1  0   1   1    1    0      0 1   1 0
0 0  1   0   1    1    0      0 1   0 1



5.1 Operator równoważności opisany spójnikami „lub”(+) i „i”(*)

Dwuargumentowy operator równoważności.
Kod:

Zero-jedynkowo |Logika człowieka |Logika zero
   p q Y=p<=>q | p  q  Y         | p  q  Y
A: 1 1  =1     | p* q= Ya        |~p+~q=~Ya
B: 1 0  =0     | p*~q=~Yb        |~p+ q= Yb
C: 0 1  =0     |~p* q=~Yc        | p+~q= Yc
D: 0 0  =1     |~p*~q= Yd        | p+ q=~Yd

Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(p=0) = (~p=1)
1.
W logice człowieka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
W wierszach używamy spójnika „i”(*), w pionie używamy spójnika „lub”(+).
2.
W logice zero wszystkie zmienne sprowadzamy do zera korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=1 to ~p=0
W wierszach używamy spójnika „lub”(+), w pionie używamy spójnika „i”(*).

Logika człowieka:
Y=Ya+Yd
Y = p*q + ~p*~q
~Y = ~Yb+~Yc
~Y = p*~q + ~p*q

Logika zero:
Y = Yb*Yc
Y= (~p+q)*(p+~q)
~Y=~Ya*~Yd
~Y = (~p+~q)*(p+q)

Matematycznie zachodzi:
Y = Y
Y = p*q + ~p*~q = (~p+q)*(p+~q)
Dowód:
Y=(~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
Y = p*q + ~p*~q
bo: p*~p=0
cnd

~Y=~Y
~Y = p*~q + ~p*q = (~p+~q)*(p+q)
Dowód:
Y=(~p+~q)*(p+q)
Y = ~p*p+~p*q + ~q*p + ~q*q
Y=~p*q + p*~q
bo: p*~p=0
cnd

W tabeli zero-jedynkowej mamy więcej niż jedną linię z jedynkami w wyniku i więcej niż jedną linię z zerami w wyniku stąd mamy do czynienia z dwoma postaciami koniunkcyjno-alternatywnymi, jedną w tożsamości Y=Y i jedną w tożsamości ~Y=~Y, co jest zgodne z twierdzeniem Kłapouchego.

Przykład:
Pójdę do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdę do teatru
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T

czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T =1 - pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
~K*~T=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

W sumie logicznej wystarczy że którykolwiek składnik zostanie ustawiony na 1 i już dotrzymałem słowa, drugiego członu nie musimy sprawdzać.

… a kiedy skłamię?
Przejście z funkcją Y do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy:
Y = K*T + ~K*~T
stąd:
~Y = (~K+~T)*(K+T)
Oczywiście postać koniunkcyjno- alternatywna jest dla człowieka kompletnie niezrozumiała.

Przechodzimy do postaci alternatywno-koniunkcyjnej mnożąc wielomiany:
~Y = (~K+~T)*(K+T)
~Y = ~K*K + ~K*T + ~T*K + ~T*T = 0 + ~K*T + ~T*K +0
Prawa algebry Boole’a
~p*p=0
0+p =p
stąd:
~Y = ~K*T + K*~T
Postać alternatywno-koniunkcyjna jest już zrozumiała dla każdego człowieka.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*T =1 - nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
K*~T=1 - pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja równoważności wyrażona w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest w matematyce do bani.

Przykład:
A.
Dowolny trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
Y = TP<=>SK = TP*SK + ~TP*~SK
Y = (TP*SK) + (~TP*~SK)

Aby udowodnić prawdziwość twierdzenia Pitagorasa wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) musimy pokazać, że dowolny trójkąt spełnia powyższe równanie, czyli że nie ma ani jednego trójkąta który spełnia powyższe zdanie w logice ujemnej.

Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = (~TP+~SK)*(TP+SK)
Mamy postać koniunkcyjno-alternatywną kompletnie niezrozumiałą dla człowieka. Przechodzimy do postaci alternatywno-koniunkcyjnej (logiki człowieka) mnożąc wielomiany.
~Y = ~TP*TP + ~TP*SK + ~SK*TP+~SK*SK
~Y = 0 + ~TP*SK + ~SK*TP + 0
~Y = TP*~SK + ~TP*SK
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
0+x =x

Musimy udowodnić że nie istnieje trójkąt spełniający następujące równanie:
~Y = TP*~SK + ~TP*SK
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (TP*~SK)=1 lub (~TP*SK)=1
czyli że nie ma ani jednego trójkąta ustawiającego ~Y=1, czyli musimy wykazać iż:
TP*~SK =0
~TP*SK =0
Żadnego z członu po prawej stronie nie jesteśmy w stanie ustawić na wartość logiczną 1.
Twierdzenie Pitagorasa jest zatem prawdziwe dla dowolnego trójkąta.

Zauważmy że twierdzenie Pitagorasa w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) w logice dodatniej brzmi tak:
Y = TP*SK + ~TP*~SK
A1.
Dowolny trójkąt jest prostokątny i zachodzi w nim suma kwadratów lub nie jest prostokątny i nie zachodzi w nim suma kwadratów.
Y = TP*SK + ~TP*~SK
Oczywiście twierdzenie prawdziwe, tyle że to masło maślane.

W równoważności wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie widać istoty równoważności, gwarancji matematycznej =>.

Definicja równoważności w gwarancjach matematycznych jest następująca:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Dla naszego zdania:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Wyprzedzając czas …

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Twierdzenie Pitagorasa:
W.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Analiza twierdzenia Pitagorasa na gruncie nowej teorii zbiorów:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Analizujemy warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK):
TP=>SK
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
TP=>SK = TP*SK = 1*1 =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór TP zawiera się w zbiorze SK (zbiory TP i SK są tożsame).
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK =0
Zbiory:
TP~~>~SK = TP*~SK = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (TP=1 i ~SK=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli trójkąt nie jest prostokątny?
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Analizujemy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~SK):
~TP=>~SK
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~TP=>~SK = ~TP*~SK = 1*1 =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK (zbiory ~TP i ~SK są tożsame).
stąd:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK =0
Zbiory:
~TP~~>SK = ~TP*SK = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~TP=1 i SK=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności.
W: TP<=>SK
stąd:
TP=1, ~TP=0
SK=1, ~SK=0
Kod:

Zapis symboliczny |Tabela zero-jedynkowa
                  | TP SK TP<=>SK
A: TP=> SK =1     |  1  1  =1
B: TP~~>~SK=0     |  1  0  =0
C:~TP=>~SK =1     |  0  0  =1
D:~TP~~>SK =0     |  0  1  =0

cnd
W równoważności mamy do czynienia z dwoma gwarancjami matematycznymi w zdaniach A i C.
Zdania A i C to dwa niezależne zdania.
W spójnikach „lub”(+) i „i”(*) po stronie wynikowych jedynek wszystkie prawdy są równoważne na mocy definicji, nie da się tu wyróżnić twardej prawdy.

Stąd znane matematykom prawo eliminacji równoważności:
p<=>q = p*q + ~p*~q
można między bajki włożyć, bowiem w równoważności nie chodzi o prostą prawdziwość/fałszywość zdań, ale o gwarancje matematyczne.

W matematyce twierdzenie Pitagorasa wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to po prostu bełkot, czyli nikt nie wypowiada twierdzenia Pitagorasa w tej formie.

Z poprawnym podejściem do równoważności i implikacji zapoznamy się w nowej teorii zbiorów, fundamencie algebry Kubusia, namiastkę banałów które na nas czekają dostaliśmy wyżej.


5.2 Operator XOR opisany spójnikami „lub”(+) oraz „i”(*)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny człowiek może być mężczyzną lub kobietą
Y = M+K
… a kiedy zdanie będzie fałszywe?

Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~M*~K

B.
Fałszem będzie (~Y=1), gdy powiemy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~Y=~M*~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~M*~K)=1
Z prawej strony mamy tu jednak do czynienia ze światem totalnie zdeterminowanym, nie istnieje bowiem człowiek który nie byłby mężczyzną i nie byłby kobietą
Nie istnieje obiekt ustawiający prawą stronę powyższej tożsamości na wartość 1, z czego wynika że zdanie A jest prawdziwe dla dowolnego człowieka.
B1.
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
Y = ~M*~K =0
Także w logice dodatniej (bo Y) nie istnieje obiekt ustawiający Y=1.

Rozpiszmy teraz zdanie A pełną definicją spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Stąd dla zdania A mamy:
Y = M*K + M*~K + ~M*K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (M*K)=1 lub (M*~K)=1 lub (~M*K)=1

Oczywiście tu również mamy twardy fałsz w pierwszym członie:
M*K =0

Tabela zero-jedynkowa dla naszego zdania przybierze zatem postać:
Kod:

   M K Y=M$K
A: 1 1  =0
B: 1 0  =1   /Yb=M*~K
C: 0 1  =1   /Yc=~M*K
D: 0 0  =0

Otrzymaliśmy definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „lub”(+) oraz „i”(*):
Y = Yb+Yc
Y = M*~K + ~M*K

Nasze zdanie A, superprecyzyjnie przybiera zatem postać:
A1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną i nie być kobietą lub nie być mężczyzną i być kobietą
Y = M*~K + ~M*K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (M*~K)=1 lub (~M*K) =1

Oczywiście oba człony po prawej stronie mogą być prawdziwe, w zależności jakiego człowieka wylosujemy.

Zdanie A1 możemy też wypowiedzieć krócej korzystając z definicji spójnika „albo”($):
A2.
Dowolny człowiek może być mężczyzną albo kobietą
Y = M$K = M*~K + ~M*K
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo” z naturalnej logiki człowieka

W naturalnej logice taka precyzja nie jest potrzebna, jeśli cokolwiek jest fałszem bezwzględnym (np. M*K=0) to nie da się od tego uciec, czyli zamienić go w prawdę.

Jest zatem wszystko jedno czy powiemy zdanie A, A1 czy też A2.

Podobny problem:
A.
Jan wszedł i padł martwy
Y = W*P
Oczywiście spójnik „i”(*) jest przemienny zatem zdanie tożsame:
B.
Jan padł martwy i wszedł
Y = P*W

Zdanie B jest bez sensu.
Czy zatem logika człowieka nie podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia?

Spokojnie, nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że zdanie B to idiotyzm, dokładnie z tego powodu używa tu krótkiego i popularnego spójnika „i”(*) w zastępstwie spójnika „po czym” obsługującego precyzyjnie następstwo czasowe.

Super precyzyjnie (matematycznie) zdania A i B powinny brzmieć:
A1.
Jan wszedł po czym padł martwy
Y = W (po czym) P =1
Następstwo czasowe „po czym” nie jest przemienne i zdanie B1 jest tu fałszywe:
B1.
Jan padł martwy po czym wszedł
Y = P (po czym) W =0


5.3 Operator implikacji prostej wyrażony spójnikami „lub”(+) i „i”(*)

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej opisana w logice człowieka i logice zero.
Kod:

Zero-jedynkowo |Logika człowieka |Logika zero
   p q Y=p=>q  | p  q  Y         | p  q  Y
A: 1 1  =1     | p* q= Ya        |~p+~q=~Ya
B: 1 0  =0     | p*~q=~Y         |~p+ q= Y
C: 0 0  =1     |~p*~q= Yc        | p+ q=~Yc
D: 0 1  =1     |~p* q= Yd        | p+~q=~Yd

Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(p=0) = (~p=1)
1.
W logice człowieka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
W wierszach używamy spójnika „i”(*), w pionie używamy spójnika „lub”(+).
2.
W logice zero wszystkie zmienne sprowadzamy do zera korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=1 to ~p=0
W wierszach używamy spójnika „lub”(+), w pionie używamy spójnika „i”(*).

Logika człowieka:
Y=Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*~q+~p*q
~Y = p*~q

Logika zero:
Y = ~p+q
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
~Y = (~p+~q)*(p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzi:
Y = Y
Y = ~p+q = p*q + ~p*~q + ~p*q
Dowód:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p(~q+q)
Y = ~p + p*q
~Y = p(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Y = ~p+q
cnd

~Y=~Y
~Y= p*~q = (~p+~q)*(p+q)*(p+~q)
Dowód:
~Y = (~p+~q)*(p+q)*(p+~q)
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Dalszy dowód jak wyżej.
~Y=p*~q
cnd

Doskonale widać, ze mamy tu wyłącznie jedną postać koniunkcyjno-alternatywną w tożsamości ~Y=~Y, co jest zgodne z twierdzeniem Kłapouchego.

Przykład:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2

Nasze twierdzenie wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) przybiera postać:
B.
Dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 lub jest podzielna przez 2
Y = ~P8 + P2
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~P8=1 lub P2=1

Na mocy definicji spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Zdanie tożsame do zdania B przyjmie postać:
B1.
Y = ~P8+P2 = ~P8*P2 + ~P8*~P2 + P8*P2

Aby udowodnić prawdziwość dowolnego zdania (twierdzenia) wyrażonego spójnikiem „lub”(+) wystarczy udowodnić prawdziwość zdania dla dowolnego z członu sumy logicznej.
Oczywiście wszystkie składniki sumy są zbiorami niepustymi:
~P8*P2 =1 bo 2,4,6 …
~P8*~P2 =1 bo 1,3,5 …
P8*P2 =1 bo 8,16,24 …

W naszym zdaniu A mowa jest jednak o dowolnej liczbie naturalnej, musimy zatem udowodnić że zdanie w logice ujemnej jest twardym fałszem.

Mamy:
B1: Y = ~P8+P2
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
C1: ~Y = P8*~P2
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (P8*~P2)=1
Prawa strona C1 jest twardym fałszem:
P8*~P2 =0
Nie istnieje liczba podzielna przez 8 i niepodzielna przez 2
Oznacza to że nie istnieje liczba ze zbioru P8*~P2 ustawiająca ~Y=1
Co jest dowodem iż zdanie B jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej.

Problem w tym, że w implikacji nie chodzi o proste rozstrzygnięcia typu zdanie prawdziwe/fałszywe, ale o gwarancję matematyczną występującą w zdaniu A. Szczegóły poznamy w nowej teorii zbiorów.

Wyprzedzając fakty …

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza naszego zdania na gruncie nowej teorii zbiorów:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 8, 16,24 … - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
P8=>P2 = P8*P2 =1 bo 8,16,24 …
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) jest spełniona bo zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2
stąd:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 =0
Zbiory:
P8~~>~P2 = P8*~P2 = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (P8=1 i ~P2=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1 bo 1,3,5 … - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~P8~>~P2 = ~P8*~P2 =1 bo 1,3,5 …
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo zbiór ~P8 zawiera w sobie zbiór ~P2
lub
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 =1 bo 2,4,6 … - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2,4,6 ..

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.
A: P8=>P2
stąd:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Kod:

Zapis symboliczny |Tabela zero-jedynkowa
                  | P8 P2 P8=>P2
A: P8=> P2 =1     |  1  1  =1
B: P8~~>~P2=0     |  1  0  =0
C:~P8~>~P2 =1     |  0  0  =1
D:~P8~~>P2 =1     |  0  1  =1

cnd

W implikacji mamy do czynienia z jedną jedynką twardą (zdanie A - gwarancja matematyczna) i dwoma jedynkami miękkimi (zdania C i D - najzwyklejsze rzucanie monetą).
W spójnikach „lub”(+) i „i”(*) po stronie wynikowych jedynek wszystkie prawdy są równoważne na mocy definicji, nie da się tu wyróżnić twardej prawdy i dwóch prawd miękkich.

Znane Ziemianom prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p + q
można więc między bajki włożyć, bowiem nie o proste rozstrzygnięcie zadnie prawdziwe/fałszywe w implikacji chodzi.


5.4 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)

Definicje operatora chaosu (~~>) i operatora śmierci N(~~>)
Kod:

p q Y=p~~>q Y=N(~~>)=~(p~~>q)
1 1  =1       =0
1 0  =1       =0
0 1  =1       =0
0 0  =1       =0

Operator chaosu ~~>, zdanie zawsze prawdziwe.
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

W operatorze chaosu prawdziwe są wszelkie możliwe przeczenia p i q, możemy sobie długo i namiętnie zaprzeczać p i q, wartość funkcji będzie stała i niewzruszona Y=1.
Kod:

Definicja      |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna
p q Y=p~~>q    |
1 1  =1        |Ya= p~~> q = p* q
1 0  =1        |Yb= p~~>~q = p*~q
0 0  =1        |Yc=~p~~>~q =~p*~q
0 1  =1        |Yd=~p~~> q =~p* q

Dokładnie to samo w równaniu algebry Boole’a opisującym powyższą tabelę zero-jedynkową w spójnikach „lub”(+) oraz „i”(*):
Y = Ya + Yb + Yc + Yd
Y = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
Y = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
Wyciągnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=1

Jak widzimy w każdym przypadku mamy:
Y=1
Cokolwiek byśmy nie ustawili na wejściach p i q to wyjście będzie niewzruszone Y=1
cnd

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”):
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Czyli:
p~~>q = p*q =1
Iloczyn logiczny zbiorów p i q musi mieć co najmniej jeden element wspólny. Wystarczy znaleźć jeden element wspólny i już zdanie p~~>q jest prawdziwe, niczego więcej nie musimy dowodzić.

Definicja operatora chaosu w zbiorach:
p~~>q
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Oczywiście wymusza to prawdziwość iloczynów logicznych wszelkich zbiorów cząstkowych Ya, Yb, Yc, Yd.

Jak widzimy naturalny spójnik „może” ~~> do co innego niż operator chaosu. W definicji spójnika „może” ~~> nie ma jakiegokolwiek wymagania co do wzajemnego położenia zbiorów p i q.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24

Analiza skrócona:
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Weźmy teraz operator śmierci N(p~~>q) w równaniach algebry Boole’a.
Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem, żadne pojęcie nie jest zdefiniowane, stąd wartość logiczna dowolnych przeczeń p i q jest równa zeru.

Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci:
Kod:

p q Y=N(p~~>q)
1 1  =0
1 0  =0
0 0  =0
0 1  =0


Operator śmierci w tabeli symbolicznej:
Kod:

Definicja      |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna
p q Y=p~~>q    |
1 1  =0        |~Ya= p~~> q = p* q
1 0  =0        |~Yb= p~~>~q = p*~q
0 0  =0        |~Yc=~p~~>~q =~p*~q
0 1  =0        |~Yd=~p~~> q =~p* q

Stąd równanie w algebrze Kubusia (w naturalnej logice człowieka):
~Y = ~Ya + ~Yb + ~Yc + ~Yd
~Y = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q
~Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
~Y = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
mamy:
~Y=1
Negujemy stronami:
Y=0
Cokolwiek byśmy nie ustawili na wejściach p i q to wyjście będzie niewzruszone Y=0
cnd


5.5 Operatory jednoargumentowe w tabeli operatorów dwuargumentowych

Wśród legalnych operatorów dwuargumentowych występują cztery operatory jednoargumentowe, oczywiście tak musi być!

Operatory transmisji P i Q

Definicje operatorów transmisji P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0


Definicja operatora transmisji Y=pPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pPq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =0
0 0  =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.

Definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=pP=p
1  =1
0  =0


Redukcja operatora w równaniu algebry Boole’a.
Tabelę A opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q
Y = p*(q+~q)
Y = p*1 = p
Y=p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q

Operatory negacji NP i NQ

Definicje operatorów negacji NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1


Definicja operatora negacji Y=pNPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pNPq
1 1  =0
1 0  =0
0 1  =1
0 0  =1

Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu bez znaczenia i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Redukcja operatora w równaniu algebry Boole’a.
Tabelę A opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q
Y = ~p*(q+~q)
Y = ~p*1
Y= ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:55, 15 Lip 2013, w całości zmieniany 14 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 16:42, 01 Cze 2013    Temat postu:

6.0 Nowa teoria zbiorów

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego. Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a (nowa teoria zbiorów).

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
A: Jestem uczciwy
A: U
B: Jestem nieuczciwy
B: ~U
C: Nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy
C: ~(~U) = A: U
Zdania A i C znaczą dokładnie to samo
cnd

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Y - zmienna wyjściowa (funkcja logiczna)
p, q, ~p, ~q - zmienne wejściowe

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=0 to p=1

II prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli ~p=1 to p=0
Jeśli p=0 to ~p=1

Prawa Prosiaczka umożliwiają:
A.
Utworzenie równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej
B.
Utworzenie tabeli zero-jedynkowej z dowolnego równania algebry Boole’a

Definicja:
W dowolnym równaniu algebry Boole’a (funkcji logicznej) wszelkie zmienne wejściowe sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów po stronie wejścia p i q.

Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

W tabelach zero-jedynkowych operatorów logicznych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do nowej teorii zbiorów.
Kod:

   p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
A: 1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
B: 1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
C: 0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
D: 0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1
   1 2  3  4

gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)

Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów niepustych, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe

Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCD34 nie ma żadnego punktu odniesienia w postaci nagłówka tabeli, to są cztery niezależne funkcje logiczne (zdania).

Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów wejściowych

Przykład zdania:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
P=1 - zbiór psów
~4L=1 - zbiór zwierząt nie mających 4 łap (kura, wąż …)
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe.

Maszynowa definicja operatora logicznego (algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

Symboliczna definicja operatora logicznego (algebra Kubusia):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani q. Wynika to bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora i prawa Sowy.

Definicja logiki w algebrze Kubusia = definicja algebry Kubusia:
Logika to przewidywanie przyszłości lub rozwiązywanie nieznanego np. nieznanej przeszłości.
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy

Matematyka:
Logika to formułowanie i udowadnianie twierdzeń matematycznych


6.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Uniwersum to najszersza dziedzina w której człowiek może się poruszać.

Definicja zbioru:
Zbiór to dowolnie wybrany zbiór, uniwersum lub podzbiór uniwersum.

Człowiek może tworzyć dowolne podzbiory uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Przy tej definicji uniwersum można uznać za zbiór wszystkich zbiorów. Oczywiście uniwersum jest dynamiczne, żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza uniwersum. W praktyce rzadko odwołujemy się do uniwersum ale to pojecie jest dla logiki bezcenne.

W logice można ustawić punkt odniesienia na dowolnym zbiorze.
Taki zbiór nosi nazwę dziedziny.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to zbiór główny w obrębie którego działamy, poza ramy którego nie wychodzimy

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

Definicja zdania złożonego warunkowego:
Jeśli p to q
p - poprzednik (założenie)
q - następnik (teza)

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Poprzednik precyzyjnie wyznacza tu dziedzinę:
D = zbiór wszystkich zwierząt

… a interesujące nas podzbiory to:
Poprzednik:
P - zbiór jednoelementowy pies [P] =1
~P - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa [ZWZ-P] =1
Następnik:
4L - zbiór zwierząt z czteroma łapami [4L]=1
~4L - zbiór zwierząt nie mających czterech łap [ZWZ-4L]=1

Oczywiście w obrębie zwierząt z czteroma łapami można tworzyć kolejny podzbiór np.
- zwierzęta dzikie
- zwierzęta domowe
… albo zwierzęta szczekające, miauczące, beczące itp.


6.2 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] =0 - zbiór pusty

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być uniwersum

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Podsumowanie:
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
W poprzedniku mamy tu precyzyjnie zdefiniowaną dziedzinę:
Dziedzina = zbiór wszystkich trójkątów
… i nie ma tu najmniejszego sensu rozpatrywanie jakichkolwiek innych wielokątów, że o takich pojęciach z uniwersum jak pies czy galaktyka nie wspomnę.

Twierdzenie Pitagorasa w wersji najszerszej mogłoby brzmieć:
A.
Jeśli coś jest trójkątem prostokątnym to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
W tym przypadku możemy przyjąć:
Dziedzina = uniwersum
To bez żadnego znaczenia poza tym że napracujemy się jak bury osioł. Zauważmy bowiem iż jeśli to „coś” nie jest trójkątem (jest np. galaktyką), to w poprzedniku będziemy mieli zbiór pusty.
A1.
Jeśli galaktyka jest trójkątem prostokątnym to na pewno => zachodzi suma kwadratów
[galaktyka]*TP=>SK = ([galaktyka]*TP)*SK = 0*SK =0
Zbiory [galaktyka] i [zbiór trójkątów prostokątnych] to zbiory rozłączne, zatem ich koniunkcja jest zbiorem pustym.
Zdanie fałszywe bo galaktyka nie jest trójkątem prostokątnym (w poprzedniku mamy zbiór pusty).
Koniec końców i tak nam wyjdzie że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe wyłącznie dla trójkątów prostokątnych.

Na gruncie algebry Kubusia fałszywe są także takie zdania:
A2.
Jeśli trójkąt prostokątny nie jest trójkątem prostokątnym to zachodzi suma kwadratów
(TP*~TP) =>SK = 0*SK =0
Poprzednik jest tu zbiorem pustym co wymusza fałszywość całego zdania.
Prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0


6.3 Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia to najważniejsze prawo nowej teorii zbiorów (i algebry Boole’a):
p=~(~p)

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy:
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) = ~[3,4] = [1,2] = p

W naszej ustalonej dziedzinie:
D=[1,2,3,4]
Zbiór przeciwny (negacja „~”) do zbioru ~p to oczywiście zbiór p (dopełnienie do dziedziny)


6.4 Zdanie w algebrze Kubusia

Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów wejściowych

Na mocy powyższego w algebrze Kubusia mamy naturalne znaczenie wartości logicznej zdania:
1 - zbiór wynikowy niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór wynikowy pusty, zdanie fałszywe

Najmniejszym możliwym zdaniem w naturalnej logice człowieka jest zdanie twierdzące.

Budowa zdanie twierdzącego:
Podmiot => orzeczenie = Y (wartość logiczna zdania)

Zapis ogólny zdania twierdzącego:
Y = p=>q
gdzie:
Y = wartość logiczna zdania
p - podmiot (poprzednik)
=> - spójnik „na pewno”
q - orzeczenie (następnik)
Podmiot i orzeczenie to zbiory wejściowe.
Sam podmiot lub samo orzeczenie na mocy definicji nie jest zdaniem.

Definicja spójnika „na pewno” => (warunek wystarczający):
=> - zbiór zdefiniowany na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze zdefiniowanym przez strzałkę wektora =>
W logice spójnik „na pewno” jest spójnikiem domyślnym i nie musi być wypowiadany.

Przykład zdania twierdzącego prawdziwego:
A1: Pies ma cztery łapy
A2: Pies na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = P*4L = 1*1 =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „zwierząt z czteroma łapami”
stąd:
P=>4L = P*4L = P =1 - zdanie prawdziwe bo definicja znaczka => spełniona (zbiór niepusty ma tu drugorzędne znaczenie)
A1 = A2 - zdania tożsame

Przykład zdania twierdzącego fałszywego:
B1: Pies nie ma czterech łap
B2: Pies na pewno => nie ma czterech łap
B3: Pies może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L = 1*1 =0
P - zbiór jednoelementowy „pies”
~4L - zbiór zwierząt „nie mających czterech łap” (kura, wąż ..)
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
gdzie:
Ogólna definicja znaczka ~~>:
p~~>q
~~> naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów p i q

B1 = B2 - zdania tożsame
Oczywiście jeśli zdanie B3 jest fałszem to tym bardziej zdanie B1=B2 jest fałszem.
Doskonale widać, że zdanie fałszywe uzyskujemy poprzez zaprzeczenie orzeczenia (następnika).

Pełna definicja zdania twierdzącego prawdziwego:
A: p=>q = p*q =p =1 - zbiór p zawiera się w zbiorze q
B: p~~>~q =p*~q =1*1 =0 - zbiory p i ~q są rozłączne, co wynika ze zdania A
Dowolne zdanie twierdzące jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest pełna definicja prawdziwości tego zdania jak wyżej.

Przykład zdania fałszywego:
A1: Pies miauczy
A2: Pies na pewno => miauczy
A1 = A2 - zdania tożsame
A3: Pies może ~~> miauczeć
P~~>M = P*M = 1*1 =0
P - zbiór „pies”
M - zbiór „zwierząt miauczących”
Oba zbiory istnieją (P=1 i M=1) lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Oczywiście jeśli zdanie A3 jest fałszywe, to tym bardziej fałszywe jest zdanie A1 = A2.

Dowolne pojęcie znane człowiekowi ma wartość logiczną 1 bo istnieje, także zaprzeczenie tego pojęcia ma wartość logiczną 1, bo też istnieje i jest zrozumiałe.

Przykład:
p=[pies] =1 - zbiór niepusty

~P = ~[pies] = ???
Pojecie ~[ pies] ( nie-pies) może być czymkolwiek, w skrajnym przypadku dowolnym pojęciem zrozumiałym dla człowieka jakie przyjdzie mu do głowy, czyli zbiorem uniwersum pomniejszonym o zbiór „pies”.
~P=~[pies] = [uniwersum-pies]
gdzie:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia znane człowiekowi

Oczywiście najczęściej pod pojęciem „nie pies” rozumiemy dowolne zwierzę z wyłączeniem „psa”, zawężając dziedzinę do zbioru zwierząt, ale w ogólnym przypadku nie musimy tego robić.

~p = ~[pies] = [krowa, drzewo, samochód, galaktyka …] =1
Jeśli coś „nie jest psem” to może być czymkolwiek

Świadczy o tym prawdziwość zdań typu:
A.
Pies to nie galaktyka
Pies na pewno => nie jest galaktyką
P => ~G = P*~G = P =1
Bycie psem wystarcza => aby nie być galaktyką
Przyjmujemy dziedzinę:
Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia znane człowiekowi
Oba zbiory istnieją:
P = [pies]=1
G = [galaktyka] =1
~G = [uniwersum - galaktyka]
~G - wszelkie możliwe pojęcia (uniwersum) z wykluczeniem „galaktyki”
Oczywiście zbiór „pies” mieści się w zbiorze ~G, dlatego:
P=>~G = P*~G = P =1 - definicja znaczka => spełniona (zbiór niepusty).

Prawo nowej teorii zbiorów dla zbiorów rozłącznych p i q:
p*~q =p =1 - zbiór p zawiera się w zbiorze ~q (zbiór wynikowy niepusty =1)

B.
Pies jest galaktyką
Pies na pewno => jest galaktyką
P=>G = P*G =1*1 =0
Pies może ~~> być galaktyką
P~~>G = P*G = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i G=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Oczywiście jeśli:
P~~>G =0
to tym bardziej:
P=>G =0

Zdania A i B razem, to definicja warunku wystarczającego dla zbiorów rozłącznych p i q:
A: p=>~ q = p*~q = p =1 - zbiór niepusty
B: p~~>q = p*q =1*1 =0 - bo zbiory p i q są rozłączne

Ogólne definicje znaczków => i ~~>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałką wektora =>
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Jak widzimy, zaprzeczenie zdania A w warunku wystarczającym to zaprzeczenie orzeczenia (q).
Zauważmy, że minimalną jednostką komunikacji człowieka z człowiekiem jest zdanie a nie goły zbiór.

Nikt nie wymawia gołych słów (zbiorów) typu:
krowa, cztery nogi, samochód, mgła, galaktyka …
Oczywiście to nie są zdania, zdanie minimalne musi zawierać podmiot i orzeczenie.


6.5 Czym różni się zdanie twierdzące od zdania warunkowego?

Budowa zdania warunkowego:
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
gdzie:
p - poprzednik (założenie)
q - następnik (teza)

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Wypowiadając zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w poprzedniku p ustalamy precyzyjnie dziedzinę:
Dziedzina = zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory:
P=>4L = P*4L = P =1
W naszym przypadku definicja znaczka => jest spełniona bo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami (4L).
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 1*1 =0
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Naturalnym pytaniem 5-cio latka będzie tu:
Tata, a jeśli zwierzę nie jest psem?
Tata:
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L = 1 bo kura, wąż ..
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny, w implikacji spójnik „może”):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Zbiory:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieram zbiór „nie psów” i znika mi zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L)
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo koń, słoń …
Zbiory:
~P~~>4L = ~P*4L = 1*1 =1 bo słoń
Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

W analogicznym zdaniu twierdzącym mamy dokładnie to samo:
A.
Pies ma cztery łapy
Pies na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
W zdaniu twierdzącym dajemy do zrozumienia, iż (póki co) chodzi nam wyłącznie o zbiór „psów”, że nie interesują nas inne zwierzęta.
Zbiory:
P=>4L = P*4L = P =1
Definicja znaczka => jest spełniona bo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami (4L).
B.
Pies może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0.

Nie oznacza to oczywiście iż w zdaniu twierdzącym 5-cio latkowi nie wolno zadać pytania:

… tata, a nie pies?
Tata:
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
stąd:
C.
Nie pies może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż ..
Zbiory:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieram zbiór „nie psów” i znika mi zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L)
lub
D.
Nie pies może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń, koń
Zbiory:
~P~~>4L = ~P*4L = 1*1 =1 bo słoń
Definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Zauważmy, że zdania twierdzącego A nie wolno nam kodować ani tak:
A.
Pies ma cztery łapy
P = 4L
Tu zbiór „pies” jest tożsamy ze zbiorem zwierząt mających cztery łapy (4L), co jest oczywistym fałszem.

ani też tak:
A.
Pies ma cztery łapy
p =1 - zdanie prawdziwe

Bowiem w obu przypadkach leżymy i kwiczymy w banalnym pytaniu każdego 5-cio latka.
… tata, a nie pies?


6.6 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

Nowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Y = p+q <=> ~Y = ~p*~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Definicja operatora OR n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Y = p*q <=> ~Y=~p+~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Definicja operatora AND n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.

Implikacja prosta:
p=>q =~p~>~q
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]

Implikacja odwrotna:
p~>q =~p=>~q
p~>q
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]

Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i być tożsamy ze zbiorem q
p=q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,3,4]

XOR
Y = p*~q + ~p*q
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
p=[1,2], q=[3,4]


7.0 Operatory jednoargumentowe

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Możliwe są dwa użyteczne operatory jednoargumentowe:
Y=p - operator transmisji
Y=~p - operator negacji


7.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę w której pracuje dwóch krasnoludków, Transmiterek i Negatorek.
Na przedniej ściance skrzynki zamontowany jest najzwyklejszy wyłącznik światła sterujący lampką człowieka typu zaświeć/zgaś. Po przeciwnej stronie skrzynki znajduje się lampka sterowana wyłącznie przez krasnoludka pracującego w środku skrzynki.

Po stronie człowieka dostępne są jeszcze dwa tajemnicze przyciski z opisem:
A - zezwalaj na pracę Transmiterka
A=1 - zezwalaj
A=0 - zabroń
B - zezwalaj na pracę Negatorka
B=1 - zezwalaj
B=0 - zabroń

Ustawmy na początek krasnoludkowe przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
1.
Jak widzimy lampką człowieka możemy sterować zaświecając ją i gasząc przełącznikiem, jednak lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona.
2.
Pozwólmy na pracę wyłącznie Transmiterka ustawiając przełączniki:
A=1 i B=0
Jak widzimy, jeśli zaświecimy lampkę człowieka to automatycznie zapali się lampka krasnoludka, jeśli ją zgasimy to lampka krasnoludka również zgaśnie.
3.
Ustawmy teraz przełączniki w pozycję:
A=0 i B=1
pozwalając pracować wyłącznie Negatorkowi
Tym razem każde zaświecenie lampki człowieka skutkuje wygaszeniem lampki krasnoludka i odwrotnie.
4.
Ostatnia możliwość to zezwolenie na jednoczesną pracę obu krasnoludków poprzez ustawienie przełączników w pozycję:
A=1 i B=1
Ajajaj!
Jak widzimy możemy bez problemów zapalać i gasić lampkę człowieka jednak żarówka krasnoludka ledwie się pali, na dodatek z pudła wydobywa się czarny dym co jest dowodem walki na śmierć i życie między Tansmiterkiem a Negatorkiem. Jeden za wszelką cenę chce zaświecić lampkę, a drugi za wszelką cenę ją zgasić.
Ustawmy szybko przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
Nie możemy przecież dopuścić do zagłady krasnoludków, bo co powiedzą nasze dzieci?

W naszym abstrakcyjnym modelu wejściową zmienną binarną p jest lampka człowieka.
Wyjściem w tym modelu jest lampka krasnoludka którą oznaczamy Y.

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja operatora transmisji:
Y=p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka też się świeci (Y=1)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to również lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)

Stąd mamy zero-jedynkową definicje operatora transmisji:
Y=p
Kod:

p  Y=p
1 =1
0 =0

Definicja operatora negacji:
Y=~p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to lampka krasnoludka się świeci (Y=1)

Stąd mamy zero-jedynkową definicję operatora negacji:
Y=~p
Kod:

p  Y=~p
1 =0
0 =1

… a jeśli nie wiemy który krasnoludek aktualnie pracuje, to czy możemy rozszyfrować który?
Oczywiście że tak.
Na wejściu p wymuszamy wszystkie możliwe stany. Odpowiedź na wyjściu Y jednoznacznie definiuje nam operator. Najważniejsze operatory jednoargumentowe właśnie poznaliśmy.

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.

Nie jest prawdą, że możemy zdefiniować wyłącznie dwa operatory jednoargumentowe jak wyżej.

Dwa kolejne operatory jednoargumentowe to:
1.
Jednoargumentowy operator chaosu o definicji:
Kod:

p   Y=1
1  =1
0  =1

Jak widzimy, tu lampka krasnoludka pali się cały czas, bez względu na stan wejściowej lampki człowieka p.
2.
Jednoargumentowy operator śmierci:
Kod:

p   Y=0
1  =0
0  =0

Tu lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona, bez wzglądu na to co też ten człowiek na wejściu p sobie wyprawia.

W logice wyróżniamy:
1.
Operatory jednoargumentowe o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
2.
Operatory dwuargumentowe o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y.
Przy dwóch wejściach p i q możliwe są cztery różne wymuszenia na wejściach p i q.
3.
Operator n-argumentowy o n wejściach i tylko jednym wyjściu Y

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:
Kod:

p q  Y=?
1 1  =x
1 0  =x
0 1  =x
0 0  =x

Jak widzimy przy dwóch wejściach p i q możemy zdefiniować 16 (2^4) różnych stanów na wyjściu Y, czyli 16 różnych na mocy definicji operatorów logicznych.

Najważniejsze operatory dwuargumentowe to:
Kod:

p q   OR AND => ~> <=> XOR ~~>
1 1   1  1   1  1   1  0   1
1 0   1  0   0  1   0  1   1
0 1   1  0   1  0   0  1   1
0 0   0  0   1  1   1  0   1



7.2 Operator transmisji w zbiorach

Operator transmisji to funkcja niezanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=p

Operator transmisji w zbiorach:

Pełna definicja operatora transmisji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=p
~Y=~p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.

Utwórzmy tabelę zero-jedynkową operatora transmisji.

Tabela prawdy operatora transmisji:
Kod:

Zapis symboliczny      |Kodowanie
Równanie |Znaczenie    |zero-jedynkowe
logiczne |równania     | p Y=p  ~p ~Y=~p Y=~(~Y)=~(~p)
A: Y= p  | Y=1<=> p=1  | 1  1    0   0   1
B:~Y=~p  |~Y=1<=>~p=1  | 0  0    1   1   0
   1  2     3      4   | 5  6    7   8   9

Tożsamość kolumn wynikowych AB6 i AB9 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Symboliczna definicja operatora transmisji to układ równań logicznych A i B:
A.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Definicja symboliczna w linii A12, zero-jedynkowa w linii A56
W obsłudze zdania:
Y=p
bierze udział wyłącznie linia A (A1234 + A56), linia B jest martwa.

B.
~Y=~p
co matematycznie oznacza
~Y=1 <=> ~p=1
Definicja symboliczna w linii B12, zero-jedynkowa w linii B78
W obsłudze zdania:
~Y=~p
bierze udział wyłącznie linia B (B1234 + B78), linia A jest martwa

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Zauważmy, że zbiór Y oraz ~(~Y) jest tym samym zbiorem, stąd tożsamość matematyczna.

Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Zauważmy, że zbiór p oraz ~(~p) jest tym samym zbiorem, stąd tożsamość matematyczna.

Przykład:
Dany jest zbiór
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd przeczenie (uzupełnienie do dziedziny):
~p=[3,4]

Y =p = [1,2]
~Y = ~p = [3,4]
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y=~(~Y)
[1,2] = ~[3,4] = [1,2]
Negacja zbioru [3,4] do dziedziny to zbiór [1,2]

Przykład przedszkolaka:
A12.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
B12.
~Y=~K
Stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla funkcji logicznej Y:
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y

Oczywiście matematyczne zachodzi:
Y # ~Y - bo kolumny wynikowe są różne
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna ~(~Y)
Y=~(~Y)
Podstawiając A12 i B12 mamy:
Y=K = ~(~K)
Stąd zdanie równoważne do A12:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdę do kina
Y=~(~K)


7.3 Operator negacji w zbiorach

Operator negacji to funkcja zanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=~p

Operator negacji w zbiorach:

Pełna definicja operatora negacji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=~p
~Y=p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.

Tabela prawdy operatora negacji:
Kod:

Zapis symboliczny      |Kodowanie
Równanie |Znaczenie    |zero-jedynkowe
logiczne |równania     |~p Y=~p  p ~Y=p Y=~p ~Y=~(~p)
A: Y=~p  | Y=1<=>~p=1  | 1  1    0   0   1     0
B:~Y= p  |~Y=1<=> p=1  | 0  0    1   1   0     1
   1  2     3      4   | 5  6    7   8   9     0

Tożsamość kolumn wynikowych AB8 i AB0 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Symboliczna definicja operatora negacji to układ równań logicznych A i B:
A.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Definicja symboliczna w linii A12, zero-jedynkowa w linii A56
W obsłudze zdania:
Y=~p
bierze udział wyłącznie linia A (A1234 + A56), linia B jest martwa.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
B.
~Y= p
co matematycznie oznacza
~Y=1 <=> p=1
Definicja symboliczna w linii B12, zero-jedynkowa w linii B78
W obsłudze zdania:
~Y= p
bierze udział wyłącznie linia B (B1234 + B78), linia A jest martwa

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna ~(~Y)
Y = ~(~Y)
Zauważmy, że zbiór Y oraz ~(~Y) jest tym samym zbiorem, stąd tożsamość matematyczna.

Podstawiając A i B mamy:
~p = ~(p)
Zauważmy, że zbiór ~p oraz ~(p) jest tym samym zbiorem, stąd tożsamość matematyczna.

Prawo podwójnego przeczenia otrzymujemy ze związku:
Logika ujemna ~Y to zanegowana logika dodatnia ~(Y)
~Y = ~(Y)
Zauważmy, że zbiór ~Y oraz ~(Y) jest tym samym zbiorem, stąd tożsamość matematyczna.
p = ~(~p)
Zauważmy, że zbiór p oraz ~(~p) jest tym samym zbiorem, stąd tożsamość matematyczna.

Przykład:
Y=~p = [3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4]
~Y=~(~p) = p = [1,2]
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
[3,4] = ~[1,2] = [3,4]
Uzupełnieniem zbioru ~[1,2] do dziedziny jest zbiór [3,4]

Przykład przedszkolaka:
A1.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=1 <=> ~K=1
B3.
… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
~Y=K
Stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla funkcji logicznej Y:
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y

Oczywiście matematyczne zachodzi:
Y # ~Y - bo kolumny wynikowe są różne
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając B3 mamy:
Y= ~(K)
Stąd zdanie równoważne do A1:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdę do kina (K=1)
Y=~(K)


7.4 Prawa Prosiaczka w zbiorach

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=0 to p=1

II prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli ~p=1 to p=0
Jeśli p=0 to ~p=1

Prawa Prosiaczka umożliwiają:
A.
Utworzenie równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej
B.
Utworzenie tabeli zero-jedynkowej z dowolnego równania algebry Boole’a

Definicja:
W dowolnym równaniu algebry Boole’a (funkcji logicznej) wszelkie zmienne wejściowe sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka

Operator transmisji w zbiorach:

Pełna definicja operatora transmisji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=p
~Y=~p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.
p=[1,2] =1
~p =[3,4] =1
Dziedzina dziedziny spełniona bo::
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =D =1
p*~p=[1,2]*[3,4] =0

Tabela prawdy operatora transmisji z punktem odniesienia ustawionym na p i Y:
Kod:

Tabela 1
Zapis symboliczny |Kodowanie
symboliczny       |zero-jedynkowe
   p  Y           |  p    Y=p
A: p= Y           |  1     1
B:~p=~Y           |  0     0
   1  2           |  5     6
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                  |p=1, ~p=0
                  |Y=1, ~Y=0

Punkt odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej to zawsze nagłówek tabeli.
Punktem odniesienia w tabelach AB12 i AB56 są zbiory p i Y:
p=[1,2] =1
Y=[1,2] =1
Kodowanie dowolnej kolumny w tabeli zero-jedynkowej to badanie korelacji punktu x w kolumnie z nagłówkiem kolumny. Badamy iloczyn logiczny tych zbiorów ustalający wartość logiczną punktu x.

Kolumna AB1:
Punkt A1:
A1: p*p =[1,2]*[1,2] =[1,2] =p =1
Zgodność zbiorów w punkcie x=A1 i nagłówka tabeli.
Prawo algebry Boole’a: p*p =p
Zbiór wynikowy niepusty, stąd wartość logiczna punktu A5 jest równa 1
Bardzo ważne:
Zauważmy, że jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy w punkcie x wartość logiczną 1 to oznacza to, iż w punkcie x w rzeczywistości występuje zbiór z nagłówka tabeli.

Algorytm odzyskiwania rzeczywistego zbioru występującego w punkcie x=1:
Mamy:
A5=1
stąd w rzeczywistości w punkcie A5 występuje zbiór z nagłówka tabeli:
A5: p=[1,2]=1

Punkt B1:
B1: ~p*p =[3,4]*[1,2] = [] =0
W punkcie x=B1 mamy zbiór ~p=[3,4]=1, w nagłówku tej kolumny mamy zbiór p=[1,2]=1
Zbiory p i ~p są rozłączne, stąd wartość logiczna punktu B5 jest równa 0.
Bardzo ważne:
Jeśli w punkcie x mamy wartość logiczną 0 to oznacza to, iż w rzeczywistości w punkcie x mamy zanegowany zbiór z nagłówka tabeli.

Algorytm odzyskiwania rzeczywistego zbioru w punkcie w punkcie x=0:
W punkcie B5 mamy wartość logiczną 0.
Oznacza to, że w rzeczywistości w punkcie B5 mamy zanegowany zbiór z nagłówka tabeli:
p=[1,2]=0
Negujemy wszystko stronami:
~p=~[1,2] =1
stąd w punkcie B5 mamy w rzeczywistości zbiór:
~p=[3,4]=1
Jak widzimy, w banalny sposób odtworzyliśmy rzeczywisty zbiór występujący w punkcie x=B5.

Identycznie postępujemy z kolumną AB2.
Punkt A2:
A2: Y*Y = [1,2]*[1,2] = [1,2] =Y =1
Zgodność zbiorów w punkcie x=A2 i nagłówka tabeli.
Prawo algebry Boole’a: p*p =p
Zbiór niepusty, stąd wartość logiczna punktu A6 jest równa 1.
Punkt B2:
B2: ~Y*Y =[3,4]*[1,2] =[] =0
W punkcie x=B2 mamy zbiór ~Y=[3,4]=1, w nagłówku tej kolumny mamy zbiór Y=[1,2]=1
Zbiory Y i ~Y są rozłączne, stąd wartość logiczna punktu B6 jest równa 0.

Użyteczny algorytm przejścia z tabeli symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej:
1.
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli symbolicznej występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to w tabeli zero-jedynkowej zapisujemy 1
2.
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli symbolicznej występuje brak zgodności sygnału z nagłówkiem to w tabeli zero-jedynkowej zapisujemy 0

Użyteczny algorytm odwrotny, tworzenie z tabeli zero-jedynkowej definicji symbolicznej:
1.
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli zero-jedynkowej występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli zero-jedynkowej występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Tabela prawdy operatora transmisji z punktem odniesienia ustawionym na ~p i ~Y:
Kod:

Tabela 2
Zapis        |Kodowanie
symboliczny  |zero-jedynkowe
  ~p ~Y      | ~p    ~Y=~p
A: p= Y      |  0     0
B:~p=~Y      |  1     1
   1  2      |  7     8
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
             |~p=1, p=0
             |~Y=1, Y=0

Punkt odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej to zawsze nagłówek tabeli.
Punktem odniesienia w tabeli AB12 są zbiory ~p i ~Y:
~p=[3,4] =1
~Y=[3,4] =1
Kodowanie dowolnej kolumny w tabeli zero-jedynkowej to badanie korelacji punktu x w kolumnie z nagłówkiem kolumny. Badamy iloczyn logiczny tych zbiorów ustalający wartość logiczną punktu x.

Kolumna AB1:
Punkt A1:
A1: p*~p =[1,2]*[3,4] =[] =0
W punkcie x=A1 mamy zbiór p=[1,2], w nagłówku tej kolumny mamy zbiór ~p=[3,4]
Zbiory p i ~p są rozłączne, stąd wartość logiczna punktu A7 jest równa 0.
Bardzo ważne:
Jeśli w punkcie x mamy wartość logiczną 0 to oznacza to, iż w rzeczywistości w punkcie x mamy zanegowany zbiór z nagłówka tabeli.

Algorytm odzyskiwania rzeczywistego zbioru w punkcie w punkcie x=0:
W punkcie A7 mamy wartość logiczną 0.
Oznacza to, że w rzeczywistości w punkcie A7 mamy zanegowany zbiór z nagłówka tabeli:
~p=[3,4]=0
Negujemy wszystko stronami:
p=~[3,4] =1
stąd w punkcie A7 mamy w rzeczywistości zbiór:
p=[1,2]=1
Jak widzimy, w banalny sposób odtworzyliśmy rzeczywisty zbiór występujący w punkcie x=A7.

Punkt B1:
B1: ~p*~p =[3,4]*[3,4] = [3,4] =~p =1
Zgodność zbiorów w punkcie x=B1 i nagłówka tabeli.
Prawo algebry Boole’a: p*p =p
Zbiór niepusty, stąd wartość logiczna punktu B7 jest równa 1.
Bardzo ważne:
Zauważmy, że jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy w punkcie x wartość logiczną 1 to oznacza to, iż w punkcie x w rzeczywistości występuje zbiór z nagłówka tabeli.
Mamy:
B7=1
stąd w rzeczywistości w punkcie x występuje zbiór z nagłówka tabeli:
B7: ~p=[3,4]=1

Identycznie postępujemy z kolumną AB2.
Punkt A2:
A2: Y*~Y = [1,2]*[3,4] = [] =0
W punkcie x=A2 mamy zbiór Y=[1,2], w nagłówku tej kolumny mamy zbiór ~Y=[3,4]
Zbiory Y i ~Y są rozłączne, stąd wartość logiczna punktu A8 jest równa 0.
Punkt B2:
B2: ~Y*~Y =[3,4]*[3,4] =[3,4] =~Y =1
Zgodność zbiorów w punkcie x=B2 i nagłówka tabeli.
Prawo algebry Boole’a: p*p =p
Zbiór wynikowy niepusty, stąd wartość logiczna punktu B8 jest równa 1

Użyteczne algorytmy przejścia z tabeli symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej i odwrotnie są tu identyczne jak dla punktu odniesienia Y=p.

Zapiszmy tabele 1 i 2 razem:
Kod:

Tabela 3
Zapis symboliczny      |Kodowanie
Równanie |Znaczenie    |zero-jedynkowe
logiczne |równania     | p Y=p  ~p ~Y=~p
A: Y= p  | Y=1<=> p=1  | 1  1    0   0
B:~Y=~p  |~Y=1<=>~p=1  | 0  0    1   1
   1  2     3      4   | 5  6    7   8

Równanie logiczne Y=p (A12) obsługiwane jest zero-jedynkowo wyłącznie przez A34 + A56.
Równanie logiczne ~Y=~p (B12) obsługiwane jest zero-jedynkowo wyłącznie przez B34 + B78.

Znając algorytm tworzenia zer i jedynek w tabeli zero-jedynkowej opisany wyżej możemy zapisać.

W punkcie A5 mamy zbiór:
Prawdą jest (=1), że w punkcie A5 mamy zbiór:
A5: p=[1,2] =1
W punkcie A7 mamy zbiór:
A7: ~p=[3,4]=0
co czytamy:
Fałszem jest (=0), że w punkcie A7 mamy zbiór:
A7: ~p=[3,4] =0
co znaczy to samo co:
Prawdą jest (=1), że w punkcie A7 mamy zbiór:
A7: p=[1,2] =1
Wynika to z mechanizmu tworzenia tabel zero-jedynkowych z zapisu symbolicznego przedstawionego wyżej.
Pojęcia p i ~p są rozpoznawalne i spełniona jest definicja dziedziny:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 =D - zbiór pełny
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 - zbiór pusty
Fizycznie niemożliwe jest iż znając pojęcie p nie wiemy co to jest ~p i odwrotnie.

Stąd mamy:
I prawo Prosiaczka w zbiorach:
(A5: p=[1,2]=1) = (A7: ~p=[3,4]=0)

Dowód:
A7: ~p=[3,4]=0
Pamiętając jak powstawała wartość logiczna w punkcie A7 w celu odtworzenia rzeczywistego zbioru istniejącego w punkcie A7 powyższe równanie musimy zanegować stronami:
A7: p=~[3,4] =1
A7: p=[1,2]=1
W punkcie A7 mamy zbiór:
A7: p=[1,2]=1
Zbiory w punktach A5 i A7 są identyczne co oznacza że prawo Prosiaczka jest tożsamością.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=0 to p=1

Podobnie:
W punkcie B7 mamy zbiór:
B7: ~p=[3,4] =1
co czytamy:
Prawdą jest (=1), że w punkcie B7 mamy zbiór:
B7: ~p=[3,4]=1
W punkcie B5 mamy zbiór:
B5: p=[1,2]=0
co czytamy:
Fałszem jest (=0), że w punkcie B5 mamy zbiór:
B5: p=[1,2]=0
co znaczy to samo co:
Prawdą jest (=1), że w punkcie B5 mamy zbiór:
B5: ~p=[3,4] =1
Wynika to z mechanizmu tworzenia tabel zero-jedynkowych z zapisu symbolicznego przedstawionego wyżej.
Pojęcia p i ~p są rozpoznawalne i spełniona jest definicja dziedziny:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 =D - zbiór pełny
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 - zbiór pusty
Fizycznie niemożliwe jest iż znając pojęcie p nie wiemy co to jest ~p i odwrotnie.

Stąd mamy:
II prawo Prosiaczka w zbiorach:
(B7: ~p=[3,4] =1) = (B5: p=[1,2] =0)

Dowód:
B5: p=[1,2]=0
Pamiętając jak powstawała wartość logiczna w punkcie B5 w celu odtworzenia rzeczywistego zbioru istniejącego w punkcie B5 powyższe równanie musimy zanegować stronami:
B5: ~p=~[1,2] =1
B5: ~p=[3,4] =1
W punkcie B5 mamy zbiór:
B5: ~p=[3,4] =1
Zbiory w punktach B7 i B5 są identyczne co oznacza że prawo Prosiaczka jest tożsamością.

II prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli ~p=1 to p=0
Jeśli p=0 to ~p=1


7.5 Czym różni się tożsamość od równoważności?

Przypomnijmy sobie operator transmisji w zbiorach.

Definicja:
Operator transmisji to funkcja niezanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=p

Operator transmisji w zbiorach:

Pełna definicja operatora transmisji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=p
~Y=~p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.

Definicja tożsamości dwóch funkcji logicznych w zbiorach:
Funkcja logiczna A jest tożsama z funkcją logiczną B wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ten sam obszar w zbiorach.

Przykładowa tożsamość w powyższym diagramie:
A: Y=p
B: Y=~(~p)
Y=Y
Zbiór Y=[1,2] jest tożsamy ze zbiorem Y=[1,2]
stąd:
p=~(~p)
Zbiór p=[1,2] jest tożsamy ze zbiorem ~(~p)=[1,2]

W przełożeniu na naturalną logikę człowieka:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
B.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K)
Y=~(~K)

Przypomnijmy sobie tabelę prawdy operatora transmisji:
Kod:

Zapis       |Kodowanie
symboliczny |zero-jedynkowe
            |    Q             R 
            | p Y=p  ~p ~Y=~p Y=~(~Y)=~(~p)
A: Y= p     | 1  1    0   0    1
B:~Y=~p     | 0  0    1   1    0
   1  2       4  5    6   7    8

Definicja tożsamości funkcji logicznych Q i R w tabelach zero-jedynkowych:
Dwie funkcje logiczne Q i R są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczne kolumny wynikowe Y

Tożsamość kolumn wynikowych Y=Y (AB4 i AB8) jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład z naturalnej logiki człowieka:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
… a kiedy skłamię?
Negujemy równanie A dwustronnie:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y = ~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Tabela prawdy dla naszego zdania:
Kod:

Zapis symboliczny      |Kodowanie
Równanie |Znaczenie    |zero-jedynkowe
logiczne |równania     | K Y=K  ~K ~Y=~K
A: Y= K  | Y=1<=> K=1  | 1  1    0   0
B:~Y=~K  |~Y=1<=>~K=1  | 0  0    1   1
   1  2     3      4   | 5  6    7   8

Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
… bo kolumny wynikowe AB6 i AB8 są różne

Znaczenie zer i jedynek w logice dodatniej (Y) w kolumnie AB6:
A6: Y=1<=> K=1 - dotrzymam słowa
B6: Y=0 <=> K=0 - skłamię
Szczegółowo czytamy:
A6: Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y)
B6: Y=0 - fałszem jest (=0), że dotrzymam słowa (Y)

Znaczenie zer i jedynek w logice ujemnej (~Y) w kolumnie AB8:
B8: ~Y=1 <=> ~K=1 - skłamię
A8: ~Y=0 <=> ~K=0 - dotrzymam słowa
Szczegółowo czytamy:
B8: ~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
A8: ~Y=0 - fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)

Stąd zdanie:
A6: Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y)
Jest tożsame ze zdaniem:
A8: ~Y=0 - fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)

Podobnie zdanie:
B8: ~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
Jest tożsame ze zdaniem:
B6: Y=0 - fałszem jest (=0), że dotrzymam słowa (Y)

Prawa Prosiaczka w postaci tożsamości:
I prawo Prosiaczka
A6: (Y=1) = A8: (~Y=0)
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
II prawo Prosiaczka
B8: (~Y=1) = B6: (Y=0)
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)

W dowolnej tożsamości zachodzi wynikanie w dwie strony.
Stąd prawa Prosiaczka to również równoważność:
A6: (Y=1) <=> A8: (~Y=0)
B8: (~Y=1) <=> B6: (Y=0)

Zauważmy, że znaczenie bezwzględnych zer i jedynek (0,1), jak również zapisów symbolicznych (Y, ~Y) jest stałe, identyczne zarówno w logice dodatniej (Y) jak i ujemnej (~Y).

Do tej pory rozpatrywaliśmy tożsamości, które z definicji są także równoważnością.

W powyższej tabeli zachodzi też równoważność, czyli wynikanie w dwie strony w pionie:
A.
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=A13) to na pewno => wiem kiedy skłamię (~Y=B13)
Y =>~Y
co matematycznie oznacza:
Y=1 =>~Y=1
C.
Jeśli wiem kiedy skłamię (~Y=B13) to na pewno => wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=A13)
~Y=>Y
co matematycznie oznacza:
~Y=1 => Y=1

Równoważność to wynikanie w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Dla naszego przykładu mamy:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście definicja równoważności to zupełnie co innego niż definicja transmitera Y=p.

Zauważmy, że kolumny wynikowe Y=AB6 i ~Y=AB8 są różne (Y#~Y) a mimo to równoważność zachodzi.

Nasz przykład:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
gdzie:
Y # ~Y
Y=1 # ~Y=1
Korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli ~Y=1 to Y=0
możemy zapisać:
Y # ~Y
Y=1 # Y=0

Twierdzenie:
Dowolna tożsamość to jednocześnie matematyczna równoważność, natomiast nie każda równoważność jest tożsamością

Twierdzenie o rozpoznawalności obiektów:
Jeśli znamy definicję obiektu X to automatycznie wiemy co to jest ~X i odwrotnie.

Przykład z obszaru figur płaskich w matematyce:
A.
Jeśli wiem co to jest trapez (T=1) to automatycznie wiem co to jest nie trapez (~T=1)
T=>~T
C.
Jeśli wiem co to jest nie trapez (~T=1) to automatycznie wiem co to jest trapez (T=1)
~T=>T
Równoważność to wynikanie w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Dla naszego przykładu mamy:
T<=>~T = (T=>~T)*(~T=>T)

Człowiek może pokazywać dowolne figury płaskie (a nawet dowolne pojęcia z obszaru uniwersum) i pytać:
Czy to jest trapez?
Jednoznaczność matematyczna (rozpoznawalność obiektów) to bezbłędne rozpoznanie trapezu o jednoznacznej definicji matematycznej.

Definicja trapezu w algebrze Kubusia:
Trapez to czworokąt mający jedną parę boków równoległych, ale nie równych.

Definicja trapezu w dzisiejszej matematyce:
Trapez to czworokąt mający jedną parę boków równoległych

Oczywiście definicja trapezu podawana dzieciom w szkole podstawowej jest błędna matematycznie bo nie jest jednoznaczna. W dzisiejszej matematyce trapez może być kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem albo trapezem … z czego wynika iż uczeń może bawić się z panią matematyczką w ciuciubabkę.

Udajmy się do przedszkola:
Pani:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K

Czy pani musi mówić 5-cio latkom kiedy skłamie?
Oczywiście NIE, bo wszyscy podlegamy pod banalną matematykę ścisłą, teorię zbiorów z algebry Kubusia. Chyba nikt nie ma wątpliwości że człowiek wypowiadający za każdym razem kiedy w przyszłości dotrzyma słowa i kiedy skłamie to idiota, nie znający matematyki pod którą sam podlega.

Pani przedszkolanka nie znająca matematyki pod którą sama podlega:
A.
Drogie dzieci, jutro pójdziemy do kina
Y=K
… co oznacza że:
B.
Skłamię jeśli jutro nie pójdziemy do kina.
~Y=~K

Doskonale widać, że samo zdanie A nie jest kompletnym operatorem transmisji.
Kompletny operator transmisji to zdanie A wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y) plus zdanie B wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y),

Twierdzenie:
Żadne zdanie z naturalnego języka mówionego nie jest odpowiednikiem kompletnego operatora logicznego.

Wypowiadając zdanie A nie jesteśmy w stanie wymówić równocześnie zdania B.
Zdania A i B to dwa różne zdania bo:
Y # ~Y
Wypowiadając dowolne ze zdań A albo B automatycznie DOMYŚLNIE wymawiamy drugie.

Dotyczy to wszystkich operatorów:
Spójnik logiczny ## operator logiczny
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wyjątkiem jest tu równoważność której jednak nie można dowieść w sposób bezpośredni.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Aby dowieźć prawdziwości równoważności musimy dowieźć prawdziwości dwóch niezależnych zdań wchodzących w skład równoważności: p=>q i q=>p.

Błędem jest mówienie, że spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego (z naturalnej logiki człowieka) to kompletny operator OR.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y = ~K*~T
stąd:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Operator logiczny OR to zdanie A plus zdanie B a nie tylko samo zdanie A (czy też samo zdanie B).
Definicja operatora OR:
Y=K+T
~Y=~K*~T


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:55, 15 Lip 2013, w całości zmieniany 12 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 16:44, 01 Cze 2013    Temat postu:

8.0 Operatory OR i AND w zbiorach

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Y - zmienna wyjściowa (funkcja logiczna)
p, q, ~p, ~q - zmienne wejściowe

Fundamentem operatorów OR i AND są definicje dwóch spójników „lub”(+) oraz „i”(*) z naturalnej logiki człowieka.

Twierdzenie:
W dowolnym równaniu algebry Boole’a mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek na mocy praw Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=0 to p=1

II prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli ~p=1 to p=0
Jeśli p=0 to ~p=1


8.1 Równania logiczne opisujące operator OR

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q  Y
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
   1 2  3

Opisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w powyższej tabeli.

Obszar ABC123:
W.
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Powyższe równanie to definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.

Wystarczy, że dowolna zmienna po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1 (Y=1), stan pozostałych zmiennych jest nieistotny.

Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące obszar ABC123:
W.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 lub q=1

Linia D123:
U.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Na mocy prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek otrzymując:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Powyższe równanie to definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa 1.

Stąd mamy równanie przeciwne do W opisujące wyłącznie linię D123:
U.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Kompletny opis zero-jedynkowej definicji operatora OR w równiach algebry Boole’a to komplet równań logicznych W+U a nie tylko samo W lub samo U.

Obszar ABC123:
W.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 lub q=1
gdzie:
Y=1 - zdanie prawdziwe (dotrzymam słowa), logika dodatnia bo Y

… a kiedy zajdzie ~Y?
Przechodzimy z równaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

Linia D123:
U.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
gdzie:
~Y=1 - zdanie fałszywe (skłamię), logika ujemna bo ~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)

Nasze rozważania możemy uogólnić na n-zmiennych binarnych.

Definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
W.
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1 (Y=1), stan pozostałych zmiennych jest nieistotny.

W przeciwnym wypadku Y=0 czyli:
U.
Y=0 <=> A1=0 i A2=0 i … An=0
Na mocy prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1
Funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną 1 (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne po prawej stronie przyjmą wartość 1.

Oczywiście to jest nic innego jak definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa 1.

Stąd mamy równanie przeciwne do W:
U.
~Y = ~A1*~A2* … ~An
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Pełna definicja n-argumentowego operatora logicznego OR to komplet równań W+U a nie tylko samo W albo samo U.
W:
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U:
~Y = ~A1*~A2* … ~An
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) -prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
A1+A2 + … An = ~(~A1*~A2* … ~An)

W równaniach W i U doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.


8.2 Równania logiczne opisujące operator AND

Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
Kod:

   p q  Y
A: 1 1 =1
B: 0 0 =0
C: 0 1 =0
D: 1 0 =0
   1 2  3

Opisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w powyższej tabeli.

Linia A123:
W.
Y=1 <=> p=1 i q=1
Oczywiście to jest nic innego jak definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa 1.

Stąd mamy równanie logiczne:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Obszar BCD123:
Spisujemy dokładnie to co widzimy w tabeli w naturalnej logice człowieka.
U.
Y=0 <=>p=0 lub q=0
Na mocy prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Oczywiście to jest nic innego jak definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa 1 (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.

Wystarczy że którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1 i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1 (~Y=1), stan pozostałych zmiennych jest nieistotny.

Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące obszar BCD123:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 lub ~q=1

Kompletny opis zero-jedynkowej definicji operatora AND w równiach algebry Boole’a to komplet równań logicznych W+U a nie tylko samo W lub samo U.

Linia A123:
W.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1
gdzie:
Y=1 - zdanie prawdziwe (dotrzymam słowa), logika dodatnia bo Y

Obszar BCD123:
U.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
gdzie:
~Y=1 - zdanie fałszywe (skłamię), logika ujemna bo ~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)

Nasze rozważania możemy uogólnić na n-zmiennych binarnych.

Definicja spójnika „i” (*) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
W.
Y=A1*A2*…An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

W przeciwnym wypadku Y=0 czyli:
U.
Y=0 <=> A1=0 lub A2=0 lub … An=0
Na mocy prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~A1=1 lub ~A2=1 lub … ~An=1
Funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna po prawej stronie przyjmie wartość 1.

Ostatni zapis to definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1

Stąd mamy równanie przeciwne do W:
U.
~Y = ~A1+~A2 + … ~An
co matematycznie oznacza:
~Y = (~A1+~A2+...~An)=1 <=> ~A1=1 lub ~A2=1 lub ... ~An=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1 i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1 (~Y=1), stan pozostałych zmiennych jest nieistotny.

Pełna definicja n-argumentowego operatora logicznego AND to komplet równań W+U a nie tylko samo W albo samo U.
W:
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U:
~Y = ~A1*~A2* … ~An
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) -prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
A1+A2 + … An = ~(~A1*~A2* … ~An)

W równaniach W i U doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.


8.3 Prawa przejścia do logiki przeciwnej

Podane w poprzednim punkcie prawa przejścia do logiki przeciwnej możemy uogólnić na wszystkie spójniki logiczne.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej dla funkcji logicznej z dowolną ilością zmiennych połączonych spójnikami „lub”(+) oraz „i”(*).

Definicje logiki dodatniej i ujemnej w równaniach algebry Boole’a wyrażonych spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+).
Y=1 - funkcja w logice dodatniej (bo Y)
~Y=1 - funkcja w logice ujemnej (bo ~Y)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i (~q=1 lub ~r=1 i s=1)

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
„i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Prawo przejścia do logiki przeciwnej w implikacji prostej:
1.
Definicja implikacji prostej (prawo Kubusia) w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Na mocy definicji mamy:
Implikacja prosta w logice dodatniej bo q:
p=>q = ~p~>~q
co matematycznie oznacza:
(p=1 => q=1) = (~p=1 ~> ~q=1)
Jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
co matematycznie oznacza:
(~p=1 ~>~q=1) = (p=1 => q=1)

2.
Złożona implikacja prosta:
A: (p+q) => (r*s)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników („*” na „+” oraz => na ~>)
B: (~p*~q)~>(~r+~s)
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
A i B to nic innego jak prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej w implikacji odwrotnej:
1.
Definicja implikacji odwrotnej (prawo Kubusia) w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Na mocy definicji mamy:
Implikacja odwrotna w logice dodatniej bo q:
p~>q = ~p=>~q
co matematycznie oznacza:
(p=1 ~>q=1) = (~p=1 => ~q=1)
Jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
co matematycznie oznacza:
(~p=1 => ~q=1) = (p=1 ~> q=1)

2.
Złożona implikacja odwrotna:
A: (p+q) ~> (r*s)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników („*” na „+” oraz ~> na =>):
B: (~p*~q)=>(~r+~s)
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
A i B to nic innego jak prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.


8.4 Operatory OR i AND w praktyce

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q  Y
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
   1 2  3

Definicja operatora OR w równaniach logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q

Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
Kod:

   p q  Y
A: 1 1 =1
B: 0 0 =0
C: 0 1 =0
D: 1 0 =0
   1 2  3

Definicja operatora AND w równaniach logicznych:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Operator OR ## Operator AND
 Y= p* q    ##  Y= p* q
~Y=~p*~q    ## ~Y=~p+~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne. Pod parametry formalne Y, p, q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba.

Przykład:
Kod:

Operator OR:                           ## Operator AND:
W.                                     ## W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru      ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T                                  ## Y=K*T
… a kiedy skłamię?                     ## … a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez    ## Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników  ## negację zmiennych i wymianę spójników
U.                                     ## U.
~Y=~K*~T                               ## ~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy ## Skłamię (~Y=1)wtedy i tylko wtedy gdy
jutro nie pójdę do kina (~K=1)         ## jutro nie pójdę do kina (~K=1)
i nie pójdę do teatru (~T=1)           ## lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Doskonale widać, że nie ma żadnego matematycznego związku między zdaniami po obu stronach znaku ##, to dwie kompletnie niezależne analizy, dwa kompletnie różne operatory logiczne OR i AND.


8.5 Definicja operatora OR w zbiorach

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y = ~(p+q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora OR:
A: Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1
B: ~Y=~(p+q) = ~[1,2,3,4,5,6] = [7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Dziedzina:
Y+~Y = [1,2,3,4,5,6]+[7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1

Równoważny diagram operatora OR:

Y=p*q+p*~q+~p*q
~Y=~p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y = Ya+Yb+Yc
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy że zbiór Y=p+q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p*~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p+q) <=>~(~p*~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q =[1,2,3,4,5,6] =1
to automatycznie wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y = ~p*~q = [7,8] =1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny.
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie.
Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Zatem nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja.

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Ya = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: Yb = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
C: Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora OR:
Y = Ya+Yb+Yc
Y=p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6]=[1,2,3,4,5,6]=1
~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8]=[7,8]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora OR w korelacji z naszym diagramem.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Ya
B:  p*~q= Yb
C: ~p* q= Yc
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR.
W: Y=p+q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Tabela 1
Definicja          |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna OR (Y) |
   p  q   Y=p+q    | p  q   Y=p+q
--------------------------------     
A: p* q = Ya       | 1  1  =1
B: p*~q = Yb       | 1  0  =1
C:~p* q = Yc       | 0  1  =1
D:~p*~q =~Y        | 0  0  =0
   1  2   3          4  5   6

Użyteczny algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne wejściowe łączymy spójnikiem „i”(*)

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora OR.

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Definicja ta dla dwóch zmiennych spełniona jest wyłącznie w obszarze ABC456, co w tabeli symbolicznej odpowiada zdaniom A, B i C (obszar ABC123):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Ten sam obszar ABC456 (symbolicznie ABC123) opisuje równanie tożsame:
Y=p*q+p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna Y=1.

Szczegóły matematyczne poznamy na naszym przykładzie.
W definicji symbolicznej ABCD123 mamy do czynienia ze zbiorami:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8] - dziedzina w której operujemy
p=[1,2,3,4] =1
q=[3,4,5,6] =1
~p=[5,6,7,8] =1
~q=[1,2,7,8] =1
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6] =1
~Y=~(p+q) = [7,8] =1
Wszystkie zbiory istnieją, zatem ich wartość logiczna jest równana 1.
Fakt że w tabeli zero-jedynkowej za punkt odniesienia przyjęliśmy zbiory:
p, q, Y
oznacza, że badamy całą tabelę zero-jedynkową w odniesieniu do tych zbiorów.
Zbiory odniesienia to:
p=[1,2,3,4] =1
q=[3,4,5,6] =1
Y=[1,2,3,4,5,6] =1

Zacznijmy od funkcji logicznej Y:
Y= p+q = Ya+Yb+Yc = p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6]=[1,2,3,4,5,6]=1
Ya = [3,4]=1
Yb = [1,2]=1
Yc = [5,6]=1
Badamy korelację zbioru Yx w stosunku do nagłówka tabeli, zboru Y=p+q:
A6: Ya*Y = [3,4]*[1,2,3,4,5,6] =[3,4] =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd w punkcie A6 mamy jedynkę w wyniku.
B6: Yb*Y =[1,2]*[1,2,3,4,5,6]=[1,2] =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd w punkcie B6 mamy jedynkę w wyniku.
C6: Yc*Y =[5,6]*[1,2,3,4,5,6]=[5,6] =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd w punkcie C6 mamy jedynkę w wyniku.
Badamy punkt D6, sprawdzamy czy zbiór opisujący ten punkt:
D6: ~Y=[7,8] =1
Ma cokolwiek wspólnego ze zbiorem odniesienia Y badając iloczyn logiczny tych zbiorów:
Y*~Y = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] =[] =0
Zbiór pusty, stąd w punkcie D6 mamy logiczne zero.

Identycznie postępujemy z pozostałymi kolumnami.
Weźmy kolumnę ABCD1.
W nagłówku tej kolumny widnieje zbiór odniesienia:
p=[1,2,3,4] =1
Do którego odnosimy pozostałe punkty w tej kolumnie, badając iloczyn logiczny punktu odniesienia ze zbiorem występującym na pozycji x.
W punktach AB1 mamy zbiór p, stąd:
AB1: p*p=[1,2,3,4]*[1,2,3,4] =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd jedynki w tabeli zero-jedynkowej na pozycjach AB4
W punktach CD1 mamy zbiór:
~p=[5,6,7,8] =1
Badamy korelację tych punktów do punktu odniesienia p:
CD1: ~p*p = [5,6,7,8]*[1,2,3,4] =[] =0
Zbiór pusty, stąd w punktach CD4 mamy w wyniku 0.
Zadanie dla czytelników:
Wyznaczyć wartości logiczne zbiorów w kolumnie ABCD2.

Weźmy problem odwrotny.
Znamy tabelę zero-jedynkową ABCD456 i mamy odtworzyć zbiór w dowolnym punkcie x.
Przykłady:
1.
Niech x=A4
Mamy:
A4=1
Nagłówek kolumny ABCD4:
p=[1,2,3,4]=1
Dla dowolnego punktu x z wartością logiczną 1 przepisujemy nagłówek kolumny
Stąd w punkcie A4 mamy zbiór:
A4: p=[1,2,3,4]=1
2.
Niech x=D4
Mamy:
D4=0
Dla dowolnego punktu x z wartością logiczną 0 przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
Nagłówek kolumny ABCD4:
p=[1,2,3,4]=1
W punkcie x mamy równanie:
p=[1,2,3,4]=0
Negujemy wszystko stronami:
~p = ~[1,2,3,4] =1
Dziedzina:
D = [1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p = [5,6,7,8]=1
W punkcie D4 mamy zbiór:
D4: ~p=[5,6,7,8]=1
itd

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND.
U: ~Y=~p*~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0
Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

Tabela 2
Definicja          |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna OR (~Y)|
  ~p ~q  ~Y=~(p+q) |~p ~q  ~Y=~p*~q
--------------------------------     
A: p* q = Ya       | 0  0  =0
B: p*~q = Yb       | 0  1  =0
C:~p* q = Yc       | 1  0  =0
D:~p*~q =~Y        | 1  1  =1
   1  2   3          4  5   6

Użyteczny algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne wejściowe łączymy spójnikiem „i”(*)

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora AND.

W definicji symbolicznej ABCD123 mamy do czynienia ze zbiorami:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8] - dziedzina w której operujemy
p=[1,2,3,4] =1
q=[3,4,5,6] =1
~p=[5,6,7,8] =1
~q=[1,2,7,8] =1
Y= p+q = [1,2,3,4,5,6] =1
~Y=~(p+q) = ~p*~q = [7,8] =1
Wszystkie zbiory istnieją, zatem ich wartość logiczna jest równana 1.

W tym przypadku za punkty odniesienia przyjęliśmy zbiory:
~p, ~q, ~Y
co widać w nagłówku tabeli symbolicznej.
Zbiory odniesienia:
~p=[5,6,7,8] =1
~q=[1,2,7,8] =1
~Y=[7,8] =1
Z definicji symbolicznej odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc = [1,2,3,4,5,6] =1
Punkt D3 opisuje zbiór:
~Y=[7,8] =1
Badamy korelację punktu D3 względem nagłówka tabeli (punkt odniesienia, także zbiór ~Y):
D3: ~Y*~Y =[7,8]*[7,8] = [7,8] = ~Y =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd w punkcie D6 mamy 1.
Badamy teraz korelację zbioru:
ABC3: Y =[1,2,3,4,5,6] =1
względem punktu odniesienia ~Y:
ABC3: Y*~Y = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] =[] =0
Zbiór wynikowy pusty, zatem w kolumnie ABC6 muszą być w wyniku 0.

Weźmy teraz kolumnę ABCD1.
W nagłówku kolumny widnieje aktualny punkt odniesienia:
~p=[5,6,7,8] =1
Badamy korelację poszczególnych punktów kolumny ABCD1 w stosunku do punktu odniesienia ~p.
Punkty AB1.
AB1: p*~p = [1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0
Zbiór wynikowy pusty, stąd w kolumnie AB4 mamy zera.
Punkty CD1.
CD1: ~p*~p = [5,6,7,8]*[5,6,7,8] =[5,6,7,8] =~p =1
Zbiór wynikowy niepusty stąd w kolumnie CD4 mamy w wyniku jedynkę.
Zadanie dla czytelników:
Wyznaczyć wartości logiczne zbiorów w kolumnie ABCD2.

Weźmy problem odwrotny.
Znamy tabelę zero-jedynkową ABCD456 i mamy odtworzyć zbiór w dowolnym punkcie x.
Przykłady:
1.
Niech x=D4
Mamy:
D4=1
Nagłówek kolumny ABCD4:
~p=[5,6,7,8]=1
Dla dowolnego punktu x z wartością logiczną 1 przepisujemy nagłówek kolumny
Stąd w punkcie D4 mamy zbiór:
D4: ~p=[5,6,7,8]=1
2.
Niech x=A4
Mamy:
A4=0
Dla dowolnego punktu x z wartością logiczną 0 przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
Nagłówek kolumny ABCD4:
~p=[5,6,7,8]=1
W punkcie x mamy równanie:
~p=[5,6,7,8]=0
Negujemy wszystko stronami:
p = ~[5,6,7,8] =1
Dziedzina:
D = [1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
p = [1,2,3,4]=1
W punkcie A4 mamy zbiór:
A4: p=[1,2,3,4]=1
itd

Zauważmy, że użyteczne algorytmy tworzenia tabeli zero-jedynkowej z definicji symbolicznej i odwrotnie nie zależą od punktu odniesienia. Jest bez znaczenia czy za punkt odniesienia przyjmiemy zbiory p, q, Y czy też zbiory ~p, ~q, ~Y, algorytm jest identyczny z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Zauważmy, że treść zdań A, B, C i D w definicji symbolicznej w tabelach 1 i 2 jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. W tabelach 1 i 2 zmienił się tylko punkt odniesienia w patrzeniu na zdania w zapisie symbolicznym.

Jak widzimy dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
W: Y=p+q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456 - tabela 1)
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456 - tabela 2)

Matematycznie zachodzi:
Y=p+q (obszar ABC123) # ~Y=~p*~q (linia ABC123)
bo kolumny wynikowe 6 w tabelach 1 i 2 są różne
gdzie:
# - różne

To jest dowód, iż spójnik logiczny „lub”(+) to tylko połówka operatora OR.
Spójnik „lub”(+) ## Operator OR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y - obszar ABC456, tabela 1) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y - linia D456, tabela 2).

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora OR:
Kod:

Tabela 1           |Y=p+q          |~Y=~p*~q
Definicja          |Definicja      |Definicja
symboliczna OR (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
   p  q   Y=p+q    | p  q   Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q
--------------------------------------------------
W: Y=p*q+p*~q+~p*q | 
A: p* q = Ya       | 1  1  =1      | 0  0   =0
B: p*~q = Yb       | 1  0  =1      | 0  1   =0
C:~p* q = Yc       | 0  1  =1      | 1  0   =0
U: ~Y=~p*~q
D:~p*~q =~Y        | 0  0  =0      | 1  1   =1
   1  2   3          4  5   6        7  8    9

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “lub”(+) bierze udział wyłącznie obszar ABC456, bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “lub”(+) w obsłudze zdania wypowiedzianego W.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Linia D nie bierze w ogóle udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), jest „martwa”.

Linia D jest aktywna wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p*~q
Zauważmy że w linii D poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii D789 i tylko ta część całej powyższej tabeli zero-jedynkowej jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) widzimy wyłącznie w linii D789:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


8.6 Operator AND w zbiorach

Definicja operatora AND w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja operatora AND w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y = ~(p*q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora AND:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora AND:
A: Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1
B: ~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1
C: ~Y=~(p*q) = ~[3,4] = [1,2,5,6,7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
bo to dwa rozłączne obszary
Dziedzina:
Y+~Y = [3,4]+[1,2,5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1

Równoważny diagram operatora AND:

Y=p*q
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
stąd:
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora AND:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Zauważmy że zbiór Y=p*q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p+~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p*q) <=>~(~p+~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y=p*q =[3,4] =1
to automatycznie wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie.
Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Zatem nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja.

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: ~Yb =~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty
C: ~Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Yd = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora AND:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]=[1,2,5,6,7,8]]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora AND.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Yb
C: ~p* q=~Yc
D:  p*~q=~Yd

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie linie B, C, D

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND.
W: Y=p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Zero-jedynkowa definicja operatora AND w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Tabela 1
Definicja           |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna AND (Y) |
   p  q   Y=p*q     | p  q   Y=p*q
--------------------------------     
A: p* q = Y         | 1  1  =1
B:~p*~q =~Yb        | 0  0  =0
C:~p* q =~Yc        | 0  1  =0
D: p*~q =~Yd        | 1  0  =0
   1  2   3           4  5   6

Użyteczny algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne wejściowe łączymy spójnikiem „i”(*)

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora AND.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Definicja ta dla dwóch zmiennych spełniona jest wyłącznie w linii A456, co w tabeli symbolicznej odpowiada zdaniu A (linia A123):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 * q=1

Szczegóły matematyczne na naszym przykładzie.
W definicji symbolicznej ABCD123 mamy do czynienia ze zbiorami:
p=[1,2,3,4] =1
q=[3,4,5,6] =1
~p=[5,6,7,8] =1
~q=[1,2,7,8] =1
Y=p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
Wszystkie zbiory istnieją, zatem ich wartość logiczna jest równana 1.

Fakt że w tabeli zero-jedynkowej za punkt odniesienia przyjęliśmy zbiory:
p, q, Y
oznacza, że badamy całą tabelę zero-jedynkową w odniesieniu do tych zbiorów.
Zbiory odniesienia to:
p=[1,2,3,4] =1
q=[3,4,5,6] =1
Y=[3,4] =1

Zacznijmy od funkcji logicznej Y widocznej w punkcie A3:
Y=p*q =[3,4] =1
Badamy korelację zbioru A3: Y w stosunku do nagłówka tabeli, punktu odniesienia, także Y:
A3: Y*Y = [3,4]*[3,4] =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd w kolumnie A6 mamy jedynkę w wyniku.

Badamy punkty BCD3, sprawdzamy czy zbiór opisujący te punkty:
BCD3: ~Y = ~Yb+~Yc+~Yd = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
Ma cokolwiek wspólnego ze zbiorem odniesienia Y badając iloczyn logiczny tych zbiorów:
~Y*Y = [1,2,5,6,7,8]*[3,4] =[] =0
Zbiór wynikowy pusty, stąd w punktach BCD6 mamy logiczne zera.

Ściślej mówiąc powinniśmy tu badać indywidualne punkty ~Yb, ~Yc, ~Yd. Wszystkie te zbiory istnieją, zaś ich suma logiczna to zbiór ~Y, z czego wynika że w punktach ~Yb, ~Yc i ~Yd musimy mieć wynikowe zera (zbiory puste), bowiem zbiór ~Y jest rozłączny ze zbiorem Y.

Identycznie postępujemy z pozostałymi kolumnami.
Weźmy kolumnę ABCD1.
W nagłówku tej kolumny widnieje zbiór odniesienia:
p=[1,2,3,4] =1
Do którego odnosimy pozostałe punkty w tej kolumnie, badając iloczyn logiczny punktu odniesienia ze zbiorem występującym na pozycji x.
W punktach AD1 mamy zbiór p, stąd:
AD1: p*p=[1,2,3,4]*[1,2,3,4] =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd jedynki w tabeli zero-jedynkowej na pozycjach AD4
W punktach BC1 mamy zbiór:
~p=[5,6,7,8] =1
Badamy korelację tych punktów do punktu odniesienia p:
BC1: ~p*p = [5,6,7,8]*[1,2,3,4] =[] =0
Zbiór pusty, stąd w punktach BC4 mamy w wyniku 0.
Zadanie dla czytelników:
Wyznaczyć wartości logiczne zbiorów w kolumnie ABCD2.

Weźmy problem odwrotny.
Znamy tabelę zero-jedynkową ABCD456 i mamy odtworzyć zbiór w dowolnym punkcie x.
Przykłady:
1.
Niech x=A4
Mamy:
A4=1
Nagłówek kolumny ABCD4:
p=[1,2,3,4]=1
Dla dowolnego punktu x z wartością logiczną 1 przepisujemy nagłówek kolumny
Stąd w punkcie A4 mamy zbiór:
A4: p=[1,2,3,4]=1
2.
Niech x=B4
Mamy:
B4=0
Dla dowolnego punktu x z wartością logiczną 0 przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
Nagłówek kolumny ABCD4:
p=[1,2,3,4]=1
W punkcie x=B4 mamy równanie:
p=[1,2,3,4]=0
Negujemy wszystko stronami:
~p = ~[1,2,3,4] =1
Dziedzina:
D = [1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p = [5,6,7,8]=1
W punkcie B4 mamy zbiór:
B4: ~p=[5,6,7,8]=1
itd

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora OR.
U: ~Y=~p+~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0
Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

Tabela 2
Definicja           |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna AND (~Y)|
  ~p ~q  ~Y=~(p*q)  |~p ~q  ~Y=~p+~q
------------------------------------     
A: p* q = Y         | 0  0  =0
B:~p*~q =~Yb        | 1  1  =1
C:~p* q =~Yc        | 1  0  =1
D: p*~q =~Yd        | 0  1  =1
   1  2   3           4  5   6

Użyteczny algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne wejściowe łączymy spójnikiem „i”(*)

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora OR

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) widzimy w obszarze BCD456:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Ten sam obszar BCD456 (symbolicznie BCD123) opisuje równanie tożsame:
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna ~Y=1.

Szczegóły matematyczne na naszym przykładzie.
W definicji symbolicznej ABCD123 mamy do czynienia ze zbiorami:
p=[1,2,3,4] =1
q=[3,4,5,6] =1
~p=[5,6,7,8] =1
~q=[1,2,7,8] =1
Y=p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
Wszystkie zbiory istnieją, zatem ich wartość logiczna jest równana 1.

Fakt że w tabeli zero-jedynkowej za punkt odniesienia przyjęliśmy zbiory:
~p, ~q, ~Y
oznacza, że badamy całą tabelę zero-jedynkową w odniesieniu do tych zbiorów.
Zbiory odniesienia to:
~p=[5,6,7,8] =1
~q=[1,2,7,8] =1
~Y =[1,2,5,6,7,8] =1

Zacznijmy od funkcji logicznej Y widocznej w punkcie A3:
Y=p*q =[3,4] =1
Badamy korelację zbioru A3: Y w stosunku do nagłówka tabeli (punktu odniesienia, ~Y):
A3: Y*~Y = [3,4]*[1,2,5,6,7,8] =0
Zbiór wynikowy pusty, stąd w punkcie A6 mamy zero w wyniku.

Badamy punkty BCD3, sprawdzamy czy zbiór opisujący te punkty:
BCD3: ~Y = ~Yb+~Yc+~Yd = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
Ma cokolwiek wspólnego ze zbiorem odniesienia ~Y badając iloczyn logiczny tych zbiorów:
~Y*~Y = [1,2,5,6,7,8]*[1,2,5,6,7,8] =[1,2,5,6,7,8] =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd w punktach BCD6 mamy logiczne jedynki.

Ściślej mówiąc powinniśmy tu badać indywidualne punkty ~Yb, ~Yc, ~Yd. Wszystkie te zbiory istnieją, zaś ich suma logiczna to zbiór ~Y, z czego wynika że w punktach ~Yb, ~Yc i ~Yd musimy mieć wynikowe jedynki (zbiory niepuste).

Identycznie postępujemy z pozostałymi kolumnami.
Weźmy kolumnę ABCD1.
W nagłówku tej kolumny widnieje zbiór odniesienia:
~p=[5,6,7,8] =1
Do którego odnosimy pozostałe punkty w tej kolumnie, badając iloczyn logiczny punktu odniesienia ze zbiorem występującym na pozycji x.
W punktach AD1 mamy zbiór p, stąd:
AD1: p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0
Zbiór wynikowy pusty, stąd zera w tabeli zero-jedynkowej na pozycjach AD4
W punktach BC1 mamy zbiór:
~p=[5,6,7,8] =1
Badamy korelację tych punktów do punktu odniesienia ~p:
BC1: ~p*~p = [5,6,7,8]*[5,6,7,8] =1
Zbiór wynikowy niepusty, stąd w punktach BC4 mamy w wyniku 1.
Zadanie dla czytelników:
Wyznaczyć wartości logiczne zbiorów w kolumnie ABCD2.

Weźmy problem odwrotny.
Znamy tabelę zero-jedynkową ABCD456 i mamy odtworzyć zbiór w dowolnym punkcie x.
Przykłady:
1.
Niech x=B4
Mamy:
B4=1
Nagłówek kolumny ABCD4:
~p=[5,6,7,8]=1
Dla dowolnego punktu x z wartością logiczną 1 przepisujemy nagłówek kolumny
Stąd w punkcie B4 mamy zbiór:
B4: ~p=[5,6,7,8]=1
2.
Niech x=A4
Mamy:
A4=0
Dla dowolnego punktu x z wartością logiczną 0 przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
Nagłówek kolumny ABCD4:
~p=[5,6,7,8]=1
W punkcie x=A4 mamy równanie:
~p=[5,6,7,8]=0
Negujemy wszystko stronami:
p = ~[5,6,7,8] =1
Dziedzina:
D = [1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
p = [1,2,3,4]=1
W punkcie A4 mamy zbiór:
A4: p=[1,2,3,4]=1
itd

Zauważmy, że treść zdań A, B, C i D w definicji symbolicznej w tabelach 1 i 2 jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. W tabelach 1 i 2 zmienił się tylko punkt odniesienia w patrzeniu na zdania w zapisie symbolicznym.

Jak widzimy dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
W: Y=p*q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456 - tabela 1)
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
U: ~Y=~p+~q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456 - tabela 2)

Oczywiście zdania z nagłówka tabel zero-jedynkowych 1 i 2 nie są tożsame czego dowodem formalnym jest brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD6
Y=p*q # ~Y=~p+~q
Y# ~Y
gdzie:
# - różne w znaczeniu
Jeśli Y=1 to ~Y=0 - dotrzymam słowa
Jeśli Y=0 to ~Y=1 - kłamstwo

To jest dowód, iż spójnik logiczny „i”(*) to tylko połówka operatora AND.
Spójnik „i”(*) ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y - linia A456, tabela 1) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y - obszar BCD456, tabela 2).

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora AND:
Kod:

Tabela 1            |Y=p*q          |~Y=~p+~q
Definicja           |Definicja      |Definicja
symboliczna AND (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
   p  q   Y=p*q     | p  q   Y=p*q  |~p ~q ~Y=~p+~q
--------------------------------------------------
W: Y=p*q            | 
A: p* q = Y         | 1  1  =1      | 0  0   =0
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q|
B:~p*~q =~Yb        | 0  0  =0      | 1  1   =1
C:~p* q =~Yc        | 0  1  =0      | 1  0   =1
D: p*~q =~Yd        | 1  0  =0      | 0  1   =1
   1  2   3           4  5   6        7  8    9

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “i”(*) w logice dodatniej (bo Y) bierze udział wyłącznie linia A456 bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “i”(*).
W obsłudze zdania wypowiedzianego W:
W: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Linie B, C i D nie biorą w ogóle udziału, są „martwe”.

Linie B, C i D są aktywne wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zauważmy, że poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze BCD789 i tylko ta część całej powyższej tabeli jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


8.7 Funkcja logiczna n-argumentowa w zbiorach

Ogólna definicja operatorów OR i AND w zbiorach:
Wszystkie rozważane zbiory mają części wspólne i żaden zbiór nie zawiera się w drugim.

Udowodnijmy następujące prawa Nowej Teorii Zbiorów:
Z1: p*q+p*~q = p
Z2: p+~p*q*r = p+q*r

Dowód praw Z1 i Z2 w zbiorach ilustruje poniższy diagram.


Prawa Nowej Teorii zbiorów:
I.
Z1: p*q + p*~q =p
A: Zbiór p*q to kolor żółty plus szary.
B: Zbiór p*~q to kolor zielony
Suma logiczna A i B to cały zbiór p
cnd
II.
Z2: p+~p*q*r = p+q*r
Lewa strona tożsamości:
Z2L: p+~p*q*r
A: Zbiór p to kolory zielony plus żółty plus szary
B: Zbiór ~p*q*r to kolor niebieski
Zbiór Z2L to cały zbiór p plus zbiór niebieski
Prawa strona tożsamości:
Z2P: p+q*r
C: Zbiór p to kolory zielony plus żółty plus szary
D: Zbiór q*r to kolory szary plus niebieski
Zbiór Z2P to cały zbiór p plus zbiór niebieski
stąd:
Z2L = Z2P
cnd

Dowód praw Z1 i Z2 w równaniach algebry Boole’a:
Z1:
Y = p*q+ p*~q
Y = p*(q+~q)
Y = p
cnd
Z2:
Y = p+~p*(q*r)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y = p+q*r
cnd

Jak widzimy, prawa algebry Boole’a możemy dowodzić za pomocą:
A: Zbiorów
B: Równań algebry Boole’a
C: Tabel zero-jedynkowych

Zadanie:
Udowodnić prawa Z1 i Z2 przy pomocy tabel zero-jedynkowych


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:04, 04 Sie 2013, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 16:51, 01 Cze 2013    Temat postu:

9.0 Operatory implikacji i równoważności w zbiorach

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, gdzie nie ma ani jednej tabeli zero-jedynkowej. Cała logika zakodowana jest w równaniach algebry Boole’a (zbiorach) izolowanych od tabel zero-jedynkowych.

Tajemnica implikacji i równoważności to zaledwie trzy znaczki =>, ~> i ~~>.

1.
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = P*4L =P =1 bo pies
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L

2.
Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 4L*P =P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czteroma łapami zawiera w sobie zbiór „pies”
4L jest konieczne ~> dla P
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P

3.
Ogólna definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”):
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Przykład:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń, koń …
Wystarczy znaleźć jeden element należący do zbiorów 4L i ~P
Warunek konieczny ~> tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
stąd:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P =0 - bo kontrprzykład: kura
Prawa strona prawa Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>:
4L~>~P =0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbioru 4L*~P (słoń).

To co wyżej to praktycznie kompletna teoria implikacji w algebrze Kubusia, czyli cały czas będziemy się kręcić wokół powyższego.

Związek operatorów implikacji prostej i odwrotnej w technicznej algebrze Boole’a.

Techniczna definicja implikacji prostej:
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =1

Dokładnie ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a (algebrze Kubusia):
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q). Po obu stronach tożsamości muszą być te same parametry p i q.

Techniczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0

Dokładnie ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a (algebrze Kubusia):
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q). Po obu stronach tożsamości muszą być te same parametry p i q.

Matematycznie zachodzi:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
W tym przypadku po obu stronach znaku ## mogą być dowolne parametry p i q, nie muszą być te same.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej w równaniach algebry Boole’a to jednocześnie prawa Kubusia.

I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - implikacja prosta w logice dodatniej (bo q)
Oczywiście powyższe prawo możemy zapisać tak:
~p~>~q = p=>q - implikacja odwrotna w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.

Dowód formalny I prawa Kubusia:
Kod:

   p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A: 1 1  =1   0  0   =1
B: 1 0  =0   0  1   =0
C: 0 0  =1   1  1   =1
D: 0 1  =1   1  0   =1
   1 2   3   4  5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.

II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q)
Oczywiście powyższe prawo możemy zapisać tak:
~p=>~q = p~>q - implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.

Dowód formalny II prawa Kubusia:
Kod:

   p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
A: 1 1  =1   0  0   =1
B: 1 0  =1   0  1   =1
C: 0 0  =1   1  1   =1
D: 0 1  =0   1  0   =0
   1 2   3   4  5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.

W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów.

Przemienność argumentów w implikacji prostej:
Kod:

   p q p=>q  q p  q=>p
A: 1 1  =1   1 1   =1
B: 1 0  =0   0 1   =1
C: 0 0  =1   0 0   =1
D: 0 1  =1   1 0   =0
   1 2   3   4 5    6

Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
p=>q = ~p~>~q # q=>p = ~q~>~p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p=>q jest prawdziwe to zdanie q=>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „zwierząt z czteroma łapami”
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P =0 bo kontrprzykład: słoń
A: P=>4L # AO: 4L=>P
W tym przypadku ze zdania fałszywego AO, po zamianie argumentów wynika zdanie prawdziwe A.

… ale nie zawsze tak musi być (odwrotnie nie zachodzi):
B.
Jeśli pies ma cztery łapy to na pewno => kura ma skrzydła
P4L=>KS =0
P4L - zbiór psów z czterema łapami
KS - zbiór kur ze skrzydłami
Zbiory:
P4L=>KS = P4L*KS = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P4L=1 i KS=1), ale są rozłączne, stąd w wyniku 0.
Definicja znaczka => nie jest tu spełniona bowiem zbiór P4L nie zawiera się w zbiorze KS.
Oczywiście po zamianie argumentów to zdanie również pozostanie fałszywe.

Przemienność argumentów w implikacji odwrotnej:
Kod:

   p q p~>q  q p  q~>p
A: 1 1  =1   1 1   =1
B: 1 0  =1   0 1   =0
C: 0 0  =1   0 0   =1
D: 0 1  =0   1 0   =1
   1 2   3   4 5    6

Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
p~>q = ~p=>~q # q~>p = ~q=>~p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p~>q jest prawdziwe to zdanie q~>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 4L*P =P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czteroma łapami zawiera w sobie zbiór „pies”
4L jest konieczne ~> dla P
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
AO:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~> mieć cztery łapy
P~>4L =0
bo:
Prawo Kubusia:
P~>4L = ~P=>~4L =0
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: słoń
W tym przypadku ze zdania fałszywego AO, po zamianie argumentów wynika zdanie prawdziwe A.

… ale nie zawsze tak musi być (odwrotnie nie zachodzi):
B.
Jeśli pies ma cztery łapy to kura może ~> mieć ma skrzydła
P4L~>KS =0
P4L - zbiór psów z czterema łapami
KS - zbiór kur ze skrzydłami
Zbiory:
P4L~>KS = P4L*KS = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P4L=1 i KS=1), ale są rozłączne, stąd w wyniku 0.
Definicja znaczka ~> nie jest tu spełniona bowiem zbiór P4L nie zawiera w sobie zbioru KS.
Oczywiście po zamianie argumentów to zdanie również pozostanie fałszywe.

… zacznijmy jednak od operatora chaosu.


9.1 Operator chaosu w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu ~~>:
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1

Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p~~>q =1

Definicja operatora chaosu w zbiorach:

Definicja operatora chaosu:
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść q
p~~>q =1
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Ogólne znaczenie znaczka ~~> (naturalnego spójnika „może”):
p~~>q
~~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma przynajmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Operator chaosu ## naturalny spójnik „może” ~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element należący do zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość zajścia.
Nie ma tu wymagania, aby zbiory p i q były ze sobą w takiej czy nie innej korelacji.

Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
dokładniej z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu to teorii zbiorów.

Symboliczna definicja operatora chaosu:
Kod:

Definicja      |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna
   p q p~~>q   |                  p~~>q
A: 1 1  =1     | p~~> q= p* q=1*1=1
B: 1 0  =1     | p~~>~q= p*~q=1*1=1
C: 0 0  =1     |~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
D: 0 1  =1     |~p~~> q=~p* q=1*1=1
   1 2   3       4    5  6  7 8 9 0

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD67 z definicji zero-jedynkowej ABCD12 na mocy prawa Prosiaczka:
1.
Jeśli na wybranek pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny
2.
Jeśli na wybranej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
3.
Wiersze w obszarze ABCD67 łączymy spójnikiem „i”(*):
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja zbiorów).

W operatorze chaosu wszystkie wyjścia (kolumna 3) muszą mieć wartość logiczną 1
Stąd:
p~~>q
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość zaistnienia

Prosty przykład operatora chaosu w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Na mocy definicji musi to być operator chaosu.

Na gruncie nowej teorii zbiorów można łatwo udowodnić iż nasz przykład spełnia definicję operatora chaosu, nawet nie znając definicji symbolicznej operatora chaosu.

Symboliczna definicja operatora logicznego w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q:
A: p~~>q = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
B: p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
C: ~p~~>~q = ~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] =[7,8] =1 - zbiór niepusty
D: ~p~~>q = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 zbiór niepusty
stąd:
Symboliczna definicja operatora:
Kod:

A: p~~> q = p* q =1
B: p~~>~q = p*~q =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1
D:~p~~> q =~p* q =1


Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p~~>q = p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd otrzymujemy:
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji operatora    |zero-jedynkowe
chaosu                  |definicji symbolicznej
p~~>q                   |
            p  q p~~>q  |  p  q  p~~>q
---------------------------------------------
A: p~~> q = p* q =1     |  1  1   =1
B: p~~>~q = p*~q =1     |  1  0   =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1     |  0  0   =1
D:~p~~> q =~p* q =1     |  0  1   =1
   1    2   3  4  5        6  7    8

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD678 z definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne p i q łączymy w wierszach spójnikiem „i”(*)

Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja operatora chaosu.

Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A, B, C i D nie są puste.

Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.

To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka. Akurat w przypadku operatora chaosu wewnątrz definicji zero-jedynkowej nie zachodzą żadne prawa logiczne, w przeciwieństwie do innych operatorów: OR, AND, =>, ~>, <=>, co za chwilę zobaczymy.

Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć.
Komu potrzebne są twierdzenia tego typu w matematyce?

Twierdzenie:
W operatorze chaosu argumenty są przemienne, zatem jeśli zdanie p~~>q spełnia definicję operatora chaosu to zdanie q~~>p również spełnia definicję operatora chaosu.

Nasze zdanie A po zamianie p i q przyjmuje postać:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24

Dowód formalny przemienności argumentów w operatorze chaosu:
Kod:

p q p~~>q q~~>p
1 1  =1    =1
1 0  =1    =1
0 1  =1    =1
0 0  =1    =1

Tożsamość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem formalnym przemienności argumentów w operatorze chaosu.


9.2 Implikacja prosta w zbiorach

Zapiszmy definicję implikacji prostej w zbiorach, korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1
Kod:

Wejścia p i q  |Wejścia p i q
zero-jedynkowo |Symbolicznie
   p q  p=>q   | p  q
A: 1 1  =1     | p* q =1*1=1
B: 1 0  =0     | p*~q =1*1=0
C: 0 0  =1     |~p*~q =1*1=1
D: 0 1  =1     |~p* q =1*1=1
   1 2   3       4  5      6

Algorytm tworzenia symbolicznych wejść p i q:
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny (do ABCD45)
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny (do ABCD45)

Jak widzimy wszystkie zmienne wejściowe p i q w tabeli ABCD456 zostały sprowadzone do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Z obszaru AB456 doskonale widać, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie w zbiorach:
p*~q =0
Z obszaru CD456 widzimy, że zbiory p i q nie mogą być tożsame, bowiem jak zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q (C456)albo q (D456).
Stąd mamy definicję implikacji prostej w zbiorach.

Definicja implikacji prostej w zbiorach:

Definicja implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q

Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja tożsama to definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
~p~>~q
Zbiór ~p musi zawierać w sobie zbiór ~q i nie być tożsamy ze zbiorem ~q

Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~p~>~q
Zabieram ~p i musi zniknąć ~q
Zajście ~p jest konieczne dla zajścia ~q

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w A i B.
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.

~p~>~q = p=>q
Z powyższej tożsamości wynika, że aby dowieść zachodzący warunek konieczny między ~p~>~q wystarczy dowieść warunek wystarczający p=>q zdefiniowany wyłącznie w liniach A i B w powyższej definicji.
… ale uwaga!
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego p=>q w liniach A i B o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji prostej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić.
Równoważność, gdzie „rzucanie monetą” nie występuje, to zupełnie inna bajka niż implikacja, gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji prostej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
p=>q ## p=>q=~p~>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Ogólna definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”):
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy go prawo użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
Podobnie, definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - bo zbiory p i ~q istnieją, ale są rozłączne
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i q.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Definicja symboliczna   |Definicja zero-jedynkowa
war. wystarczającego => |war. wystarczającego =>
   p   q   p  q         | p  q  p=>q
A: p=> q = p* q =1      | 1  1   =1
B: p~~>~q= p*~q =0      | 1  0   =0
   1   2   3  4  5        6  7    8

Algorytm tworzenia zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => na podstawie definicji symbolicznej AB125 (AB345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
=> - zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame (p#q) to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są różne (p#q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p=>q wchodzi w skład definicji implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w linii A determinuje warunek konieczny ~> w linii C.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C mamy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
war. koniecznego ~>   |war. koniecznego ~>
  ~p  ~q  ~p ~q       |~p ~q ~p~>~q
C:~p~>~q =~p*~q =1    | 1  1   =1
D:~p~~>q =~p* q =1    | 1  0   =1
   1   2   3  4  5      6  7    8

Algorytm tworzenia definicji zero-jedynkowej CD678 z tabeli symbolicznej CD125 (CD345) jest identyczny jak wyżej:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q
~> - zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
Jeśli dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame (~p#~q) to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek konieczny w zbiorach plus pokazać że zbiory ~p i ~q są różne (~p#~q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie ~p~>~q wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
Warunek konieczny ~> w linii C determinuje warunek wystarczający => w linii A.

Zauważmy że warunki wystarczający => i konieczny ~> nie są operatorami logicznymi, to tylko połówki odpowiednich operatorów logicznych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Zbiory:
p=>q = p*q = p =1

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
1.
A: p=>q =1
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q= p*q = p =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbioru p i zbioru ~q:
B: p~~>~q= p*~q =1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Wróćmy do naszego przykładu.

Posiłkując się diagramem implikacji prostej wyżej przeanalizujmy nasz przykład.

Zdanie p=>q w przełożeniu na naturalną logikę człowieka ma postać:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
co oznacza, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Jeśli weźmiemy dowolny element zbioru p to na pewno => będzie on należał do zbioru q.
czyli:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Przeanalizujmy nasz przykład według schematu przedstawionego na diagramie.
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4] =[1,2] =p
p=>q = p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
[1,2]=>[1,2,3,4] =1
Zbiór p zawiera się w zbiorze q

Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
p=>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
p=>q
Zajście p jest wystarczające dla zajścia q bo na mocy definicji znaczka => zbiór p zawiera się w zbiorze q.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją prostą - nasz przykład.

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2]*[5,6]= [] =0
p~~>~q = p*~q=1*1=0
[1,2]~~>[5,6] = [1,2]*[5,6] = [] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Zauważmy, że zapis:
p=>~q=0
[1,2]=>[5,6]
Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>:
p~~>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - będące jednocześnie definicją implikacji prostej w równaniu logicznym
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zbiory:
~p~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] =[5,6]= 1
~p~>~q = ~p*~q= ~q =1
~p~>~q = ~p*~q= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.

Doskonale widać że w zdaniu C warunek konieczny ~> jest spełniony, czyli:
~p~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] = [5,6] = ~q =1
[3,4,5,6]~>[5,6]
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia ~q.
Zabieramy zbiór ~p i znika nam zbiór ~q, czyli ~p jest konieczne ~> dla ~q
Dodatkowo widzimy iż zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co na mocy definicji wymusza nam implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~q), jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C.

Ostatnia możliwość przeczeń p i q to:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =1
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] = [3,4] =1
~p~~>q = ~p*q = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Sprawdźmy czy spełniony jest tu warunek konieczny:
~p~>q
[3,4,5,6]~>[1,2,3,4]
Doskonale widać, że zbiór ~p nie zawiera w sobie zbioru q (brak [1,2]) zatem warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość takiego zajścia.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w logice dodatniej (bo q).
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja    |Kodowanie
implikacji prostej       |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q  |definicji symbolicznej
p=>q=~p~>~q              |
   p   q   p  q      p=>q|  p  q   p=>q
---------------------------------------------
A: p=> q = p* q =1*1 =1  |  1  1   =1
B: p~~>~q= p*~q =1*1 =0  |  1  0   =0
C:~p~>~q =~p*~q =1*1 =1  |  0  0   =1
D:~p~~>q =~p* q =1*1 =1  |  0  1   =1
   1   2   3  4       5     6  7    8

Użyteczny algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD678 z definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345) na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD678:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego występuje wyłącznie w obszarze AB678, zatem wyłącznie linie A i B obsługują warunek wystarczający w definicji implikacji prostej. Linie C i D w obsłudze warunku wystarczającego są „martwe”.

Sprawdźmy, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to otrzymamy definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Tabela 2
Symboliczna definicja       |Kodowanie
implikacji odwrotnej        |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~q      |definicji symbolicznej
~p~>~q=p=>q                 |
  ~p  ~q  ~p ~q      ~p~>~q | ~p ~q  ~p~>~q
---------------------------------------------
A: p=> q = p* q =1*1 =1     |  0  0   =1
B: p~~>~q= p*~q =1*1 =0     |  0  1   =0
C:~p~>~q =~p*~q =1*1 =1     |  1  1   =1
D:~p~~>q =~p* q =1*1 =1     |  1  0   =1
   1   2   3  4       5        6  7    8

Użyteczny algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD678 z definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345) na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD678:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> występuje wyłącznie w obszarze CD678, zatem wyłącznie linie C i D obsługują warunek konieczny w definicji implikacji prostej. Linie A i B w obsłudze warunku koniecznego są „martwe”.

Wniosek:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero- jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
Wszelkie zmienne w definicji symbolicznej to zmienne sprowadzone do jedynek.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C, zgodnie z oczekiwaniem dostaliśmy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.

Zauważmy, że treść wszystkich czterech zdań A, B, C i D nie zmieniła się, to są identyczne zdania jak w implikacji prostej p=>q=~p~>~q (tabela 1) z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q - tabela 1)
p=>q = ~p~>~q
Jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)
~p~>~q = p=>q

Dowód formalny prawa Kubusia to tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 w tabelach 1 i 2.

Prawo Kubusia mówi, że implikacja prosta w logice dodatniej (bo q - tabela 1), jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)

Przykład przedszkolaka:

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Nasz przykład spełnia tą definicję.

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” (P) zawiera się w zbiorze „zwierząt z czterema łapami” (4L)
Jeśli wymusimy P to na pewno pojawi się 4L
Zajście P jest warunkiem wystarczającym dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami i nie jest z nim tożsamy
P#4L
co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P
P=>4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =0
P~~>~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
Zauważmy, że zapis:
P=>~4L=0
Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>:
P~~>~4L
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie.
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L
~P~>~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń, słoń, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L
~P~~>4L= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

Zauważmy, że słownie użyliśmy tu „identycznego” spójnika „może” jak w zdaniu C.
W zdaniu D definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór ~P nie zawiera w sobie całego zbioru 4L, poza tym zbiorem jest zbiór P, czyli pies z czterema łapami. Stąd w zdaniu D nie wolno nam użyć znaczka ~>.

Oczywistym antidotum jest tu znaczek ~~> o definicji:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>:
Prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L =0 bo kontrprzykład: pies
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd

Kodowanie zero-jedynkowe:
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej.
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
Kod:

                    |P=>4L          |~P~>~4L
Zapis      |        |Kodowanie      |Kodowanie
symboliczny| Zbiory |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
           |        | P  4L  P=>4L  |~P ~4L ~P~>~4L
A: P=> 4L = P* 4L=1 | 1   1  =1     | 0   0   =1
B: P~~>~4L= P*~4L=0 | 1   0  =0     | 0   1   =0
C:~P~>~4L =~P*~4L=1 | 0   0  =1     | 1   1   =1
D:~P~~>4L =~P* 4L=1 | 0   1  =1     | 1   0   =1
   1    2         3   4   5   6       7   8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                    | P=1, ~P=0     |~P=1, P=0
                    |4L=1, ~4L=0    |~4L=1, 4L=0

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo 4L):
Symboliczną definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo 4L) widzimy wyłącznie w obszarze AB123, natomiast zero-jedynkową w obszarze AB456. Linie C i D nie biorą udziału w obsłudze warunku wystarczającego, są martwe.

Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~4L):
Symboliczną definicję warunku koniecznego w logice ujemnej (bo~ 4L) widzimy wyłącznie w obszarze CD123, natomiast zero-jedynkową w obszarze CD789. Linie A i B nie biorą udziału w obsłudze warunku koniecznego, są martwe.


9.3 Implikacja odwrotna w zbiorach

Zapiszmy definicję implikacji odwrotnej w zbiorach, korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1
Kod:

Wejścia p i q  |Wejścia p i q
zero-jedynkowo |Symbolicznie
   p q  p~>q   | p  q
A: 1 1  =1     | p* q =1*1=1
B: 1 0  =1     | p*~q =1*1=1
C: 0 0  =1     |~p*~q =1*1=1
D: 0 1  =0     |~p* q =1*1=0
   1 2   3       4  5      6

Algorytm tworzenia symbolicznych wejść p i q:
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny (do ABCD45)
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny (do ABCD45)

Jak widzimy wszystkie zmienne wejściowe p i q w tabeli ABCD456 zostały sprowadzone do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Z obszaru CD456 doskonale widać, że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie w zbiorach:
~p*q =0
Z obszaru AB456 widzimy, że zbiory p i q nie mogą być tożsame, bowiem jak zajdzie p to może zajść cokolwiek q (A456) albo ~q (B456).
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej w zbiorach.

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
p~>q
~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywanym przez strzałkę wektora ~>.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q (nasz diagram) to mamy do czynienia z definicją implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q

Tożsama definicja implikacji odwrotnej to implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
Jeśli dodatkowo zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q (nasz diagram) to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q).

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w C i D.
Ogólna definicja znaczka =>:
~p=>~q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~>:
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q = ~p=>~q
Z powyższej tożsamości wynika, że aby dowieść zachodzący warunek konieczny między p~>q wystarczy dowieść warunek wystarczający ~p=>~q zdefiniowany wyłącznie w liniach C i D w powyższej definicji.
… ale uwaga!
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego ~p=>~q w liniach C i D o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji odwrotnej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić. Równoważność ( gdzie „rzucanie monetą” nie występuje) to zupełnie inna bajka niż implikacja (gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje).
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
~p=>~q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
~p=>~q ## p~>q=~p=>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
A: p~>q = p*q = p =1
Podobnie, definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i ~q.
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =0 - oba zbiory istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A: p~>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A mamy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q):
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Definicja symboliczna   |Definicja zero-jedynkowa
war. koniecznego ~>     |war. koniecznego ~>
   p   q   p  q         | p  q  p~>q
A: p~> q = p* q =1      | 1  1   =1
B: p~~>~q= p*~q =1      | 1  0   =1
   1   2   3  4  5        6  7    8

Algorytm tworzenia zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => na podstawie definicji symbolicznej AB125 (AB345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
~> - zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Jeśli dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame (p#q) to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek konieczny w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są różne (p#q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p~>q wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w linii A determinuje warunek wystarczający => w linii C.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Definicja symboliczna   |Definicja zero-jedynkowa
war. wystarczającego => |war. wystarczającego =>
  ~p  ~q  ~p ~q         |~p ~q ~p=>~q
C:~p=>~q =~p*~q =1      | 1  1   =1
D:~p~~>q =~p* q =0      | 1  0   =0
   1   2   3  4  5        6  7    8

Algorytm tworzenia definicji zero-jedynkowej CD678 z tabeli symbolicznej CD125 (CD345) jest identyczny jak wyżej:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
=> - zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame (~p#~q) to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory ~p i ~q są różne (~p#~q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie ~p=>~q wchodzi w skład definicji implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
Warunek wystarczający => w linii C determinuje warunek konieczny ~> w linii A.

Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są stałe, niezależne od tego czy występują w operatorze implikacji prostej czy też w implikacji odwrotnej.
Oczywiście warunki wystarczający => i konieczny ~> nie są operatorami logicznymi, to tylko połówki odpowiednich operatorów logicznych.

Definicja warunku koniecznego ~> w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Zamiast dowodzić trudny w dowodzeniu warunek konieczny p~>q możemy udowodnić łatwy w dowodzeniu warunek wystarczający ~p=>~q. Prawdziwość prawej strony tożsamości gwarantuje prawdziwość lewej strony tożsamości. Warunek wystarczający => dowodzi się dużo prościej ze względu na kontrprzykład.

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q= ~p*~q = ~p =1 - zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~q)
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =0 - zbiory ~p i q istnieją, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q= ~p*~q = ~p =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów ~p i q:
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Prosty przykład implikacji odwrotnej w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]]
q=[1,2]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6]
~q=[3,4,5,6]

Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Na mocy definicji musi to być implikacja odwrotna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza naszego przykładu:
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
Zbiory:
p~>q = p*q = [1,2,3,4]*[1,2] =[1,2] =p
p~>q = p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
[1,2,3,4]~>[1,2] =1
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q.

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego) jest następująca:
p~>q
~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywanym przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
[1,2,3,4]~>[1,2]
Doskonale widać, iż definicja warunku koniecznego w zdaniu A jest spełniona.
Zajście p jest konieczne dla zajścia q
Zabieram p i musi zniknąć q
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją odwrotną - nasz przykład.

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =1
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6]= [3,4] =1
p~~>~q = p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
p~~>~q
[1,2,3,4]~~>[3,4,5,6]
Doskonale widać, ze zbiór p nie zawiera w sobie zbioru q, zatem nie zachodzi warunek konieczny ~> w zdaniu B
p~>~q =0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i ~q.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - będące jednocześnie definicją implikacji odwrotnej
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = [5,6]*[3,4,5,6] = [5,6]= 1
~p=>~q = ~p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.

W zdaniu C warunek wystarczający jest spełniony:
~p=>~q
[5,6]=>[3,4,5,6]
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia ~q.
Dodatkowo widzimy iż zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co na mocy definicji wymusza nam implikację prostą w logice ujemnej (bo ~q), jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C.
C: ~p=>~q = p~>q

Ostatnia możliwość przeczeń p i q to:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [5,6]*[1,2] = [] =0
~p~~>q = ~p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q).
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji odwrotnej    |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p~>q=~p=>~q             |
   p   q                |  p  q  p~>q
---------------------------------------------
A: p~> q = p* q =1*1=1  |  1  1   =1
B: p~~>~q= p*~q =1*1=1  |  1  0   =1
C:~p=>~q =~p*~q =1*1=1  |  0  0   =1
D:~p~~>q =~p* q =1*1=0  |  0  1   =0
   1   2   3  4      5     6  7    8

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD678 z definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345) na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD678:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> występuje wyłącznie w obszarze AB678, zatem wyłącznie linie A i B obsługują warunek konieczny w definicji implikacji prostej. Linie C i D w obsłudze warunku koniecznego są „martwe”.

Sprawdźmy na koniec, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to otrzymamy definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q).
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Tabela 2
Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji prostej      |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~q  |definicji symbolicznej
~p=>~q=p~>q             |
  ~p  ~q                | ~p ~q  ~p=>~q
---------------------------------------------
A: p~> q = p* q =1*1=1  |  0  0   =1
B: p~~>~q= p*~q =1*1=1  |  0  1   =1
C:~p=>~q =~p*~q =1*1=1  |  1  1   =1
D:~p~~>q =~p* q =1*1=0  |  1  0   =0
   1   2   3  4      5     6  7    8

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej z definicji symbolicznej i odwrotnie jest identyczny jak w tabeli 1.
Wniosek:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero- jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
Wszelkie zmienne w definicji symbolicznej to zmienne sprowadzone do jedynek.

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q) występuje wyłącznie w obszarze CD678, zatem wyłącznie linie C i D obsługują warunek wystarczający w definicji implikacji prostej. Linie A i B w obsłudze warunku wystarczającego są „martwe”.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C, zgodnie z oczekiwaniem dostaliśmy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.

Zauważmy, że treść wszystkich czterech zdań A, B, C i D nie zmieniła się, to są identyczne zdania jak w implikacji odwrotnej p~>q=~p=>~q (tabela 1) z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Prawa Kubusia:
Implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q - tabela 1)
p~>q = ~p=>~q
jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)
~p=>~q = p~>q

Dowód formalny prawa Kubusia to tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 w tabelach 1 i 2

Prawo Kubusia mówi, że implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q - tabela 1), jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie zbiór pies
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną



Analiza zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Zbiory:
4L~>P = 4L*P=P
4L~>P = 4L*P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
4L~~>~P = 4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 bo kura, wąż .. , twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Zbiory:
~4L=>~P = ~4L*~P = ~4L
~4L=>~P = ~4L*~P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 bo każdy pies ma cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
~4L~~>P = ~4L*P = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia

Dwa dowody nie wprost iż w zdaniu B nie jest spełniony warunek konieczny ~>:
1.
Załóżmy że w zdaniu B zachodzi warunek konieczny:
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>
2.
Dokładnie to samo wynika z definicji znaczka ~>:
4L~>~P
Definicja znaczka ~>:
Zbiór 4L musi zawierać w sobie zbiór ~P
Z diagramu widać, że zbiór ~P to także zbiór ~4L.
Definicja znaczka ~> nie jest wiec spełniona, warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Kodowanie zero-jedynkowe:
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową tabelę implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q).
A: 4L~>P
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q).
C: ~4L=>~P
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0
Kod:

Zapis       |             |Kodowanie      |Kodowanie
Symboliczny | Zbiory      |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
            |             | 4L P 4L~>P    |~4L ~P ~4L=>~P
A: 4L~> P =  4L* P=1*1 =1 | 1  1  =1      | 0   0   =1
B: 4L~~>~P=  4L*~P=1*1 =1 | 1  0  =1      | 0   1   =1
C:~4L=>~P = ~4L*~P=1*1 =1 | 0  0  =1      | 1   1   =1
D:~4L~~>P = ~4L* P=1*1 =0 | 0  1  =0      | 1   0   =0
    1   2               3   4  5   6        7   8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                          |4L=1, ~4L=0    |~4L=1, 4L=0
                          |P=1, ~P=0      |~P=1, P=0

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo P):
Symboliczną definicję warunku koniecznego w logice dodatniej (bo P) widzimy wyłącznie w obszarze AB123, natomiast zero-jedynkową w obszarze AB456. Linie C i D nie biorą udziału w obsłudze warunku koniecznego, są martwe.

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P):
Symboliczną definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~P) widzimy wyłącznie w obszarze CD123, natomiast zero-jedynkową w obszarze CD789. Linie A i B nie biorą udziału w obsłudze warunku wystarczającego, są martwe.


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:56, 15 Lip 2013, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 6:54, 13 Cze 2013    Temat postu:

9.4 Równoważność w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja równoważności sprowadzona do teorii zbiorów na mocy prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1
Kod:

Definicja     |Definicja symboliczna
zero-jedynkowa|Zbiory po stronie p i q
   p q p<=>q  |
A: 1 1  =1    | p* q =1*1=1
B: 1 0  =0    | p*~q =1*1=0
C: 0 0  =1    |~p*~q =1*1=1
D: 0 1  =0    |~p* q =1*1=0
   1 2   3      4  5      6

Algorytm tworzenie definicji symbolicznej ABCD456 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
1.
Jeśli na wybranej pozycji jest jeden to przepisujemy nagłówek kolumny
2.
Jeśli na wybranej pozycji jest zero to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

A.
Z obszaru AB456 wynika że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie:
p*~q =0 - zbiory p i ~q rozłączne
Zajście p wystarcza => do tego aby zaszło q
B.
Analogicznie, z obszaru CD456 wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie:
~p*q =0 - zbiory ~p i q rozłączne
Zajście ~p wystarcza => do tego aby zaszło ~q

Jednoczesne zajście A i B wymusza tożsamość zbiorów p i q (p=q) co pociąga za sobą tożsamość zbiorów ~p i ~q (~p=~q)

Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia wynikająca bezpośrednio z powyższej definicji zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

RA:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
~p=>~q
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka => spełniona jest w liniach A i C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
C: ~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - oba zbiory istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =0 - oba zbiory istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0

W linii A mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Definicja symboliczna   |Definicja zero-jedynkowa
war. wystarczającego => |war. wystarczającego =>
   p   q   p  q         | p  q  p=>q
A: p=> q = p* q =1      | 1  1   =1
B: p~~>~q= p*~q =0      | 1  0   =0
   1   2   3  4  5        6  7    8

Algorytm tworzenia zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => na podstawie definicji symbolicznej AB125 (AB345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
=> - zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame (p=q) to mamy do czynienia z równoważnością w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q) *(~p=>~q)
p=>q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są tożsame (p=q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p=>q wchodzi w skład definicji równoważności w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q) *(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w linii A plus tożsamość zbiorów p=q determinuje warunek wystarczający => w linii C.

W linii C mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Definicja symboliczna   |Definicja zero-jedynkowa
war. wystarczającego => |war. wystarczającego =>
  ~p  ~q  ~p ~q         |~p ~q ~p=>~q
C:~p=>~q =~p*~q =1      | 1  1   =1
D:~p~~>q =~p* q =0      | 1  0   =0
   1   2   3  4  5        6  7    8

Algorytm tworzenia definicji zero-jedynkowej CD678 z tabeli symbolicznej CD125 (CD345) jest identyczny jak wyżej:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
=> - zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli dodatkowo zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) to mamy do czynienia z równoważnością.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie ~p=>~q wchodzi w skład definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w linii C plus tożsamość zbiorów ~p=~q determinuje warunek wystarczający => w linii A.

Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => są stałe, niezależne od tego czy występują w operatorze implikacji prostej, implikacji odwrotnej, czy też w równoważności.
W równoważności nie występuje rzeczywisty warunek konieczny ~> bo nie jest dostępna jego zero-jedynkowa definicja. W równoważności występuje wirtualny warunek konieczny [~>], nie jest to „rzucanie monetą” znane z implikacji.

Zauważmy, że warunki wystarczające => w logice dodatniej i ujemnej nie są operatorami logicznymi, to tylko połówki odpowiednich operatorów logicznych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q= p*q = p =1 - zbiór niepusty
B: p~~>~q=p*~q =1*1 =0 - zbiory p i ~q istnieją, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
W równoważności, wobec tożsamości zbiorów p=q warunek wystarczający => jest spełniony

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
p=>q = p*q = p =1
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów p i ~q:
B: p~~>~q= p*~q =1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q= ~p*~q = ~p =1 - zbiór niepusty
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =0 - oba zbiory istnieją ~p=1 i q=1, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
~p=>~q
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
W równoważności, wobec tożsamości zbiorów ~p=~q warunek wystarczający => jest spełniony

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
~p=>~q= ~p*~q = ~p =1
Jeśli tak to:
~p=>~q =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów ~p i q:
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Równoważność ## warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji w A i B ## warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w C i D
p<=>q ## p=>q ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Aksjomatyczna definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja tożsamości zbiorów:
Jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p to zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q (p=q)
Jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p to zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q (~p=~q)

Stąd dwie równoważne definicje równoważności:
B.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
C.
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Twierdzenie o tożsamości zbiorów:
Jeśli zbiory p i q są tożsame (p=q) to tożsame są zbiory ~p i ~q (~p=~q)

Odwrotnie też zachodzi zatem jest to równoważność:
p=q <=> ~p=~q
Oczywiście tej równoważności nie możemy zastąpić tożsamością.

Prawo algebry Boole'a:
D.
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony są tożsame, co kończy dowód.

Wyżej mamy udowodnione:
D: p<=>q = ~p<=>~q
C: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Stąd otrzymujemy tożsamość:
E.
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z A i B mamy pierwsze prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
B: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
A i B to tożsamość, zatem musi zachodzić:
q=>p = ~p=>~q

Z A i E mamy drugie prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
E: p<=>q = (~q=>~p)* (~p=>~q)
A i E to tożsamość, zatem musi zachodzić:
p=>q = ~q=>~p

Definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Prawa kontrapozycji poprawne w równoważności:
p=>q= ~q=>~p
~p=>~q =q=>p
Pełna definicja równoważności z uwzględnieniem praw kontrapozycji.
p<=>q = {(p=>q)=(~q=>~p)}*{(~p=>~q)=(q=>p)}
Stąd możliwe równoważne definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q = (q=>p)*(~q=>~p)
etc

W równoważności wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q zachodzą wirtualne prawa Kubusia:
p=>q = [~p~>q]
[p~>q] = ~p=>~q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności
Wirtualny warunek konieczny [~>] istnieje, ale nie jest to znane nam z implikacji „rzucanie monetą” ~> bowiem wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q jest to fizycznie niemożliwe, stąd konieczność innej nazwy i innego symbolu warunku koniecznego w równoważności.

Pełna definicja równoważności z uwzględnieniem praw Kubusia:
p<=>q = {(p=>q)=[~p~>~q]}*{(~p=>~q)=[p~>q]}
stąd:
Przykładowe definicje równoważne:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p<=>q = [p~>q]*[~p~>~q]
etc

Oczywiście prawa kontrapozycji i wirtualne prawa Kubusia można dowolnie mieszać skąd otrzymujemy kilkadziesiąt tożsamych definicji równoważności. Na gruncie nowej teorii zbiorów wszystkie te definicje są oczywistością i z każdej można korzystać (definicje znaczków => i [~>]). Najpopularniejsze są trzy definicje:
I. p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
II. p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
III. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] =1*1=1
Do tego aby w trójkącie kąty były równe potrzeba [~>] i wystarcza => aby był on równoboczny.
Dowód na mocy definicji znaczków [~>] i =>:
Wymuszam dowolny TR i pojawia mi się KR
TR=>KR=1
Zabieram (wszystkie) TR i znika mi zbiór KR
[TR~>KR]=1

Dla porównania implikacja:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Sprawdzamy czy zachodzi równoważność:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*[P8~>P2] =1*0 =0
Wymuszam dowolne P8 i pojawia się P2
P8=>P2 =1 ok.
Zabieram (wszystkie) P8 i nie znika mi P2
P8~>P2 =0 bo 2

Spójrzmy na definicję implikacji i równoważności w równaniach Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że warunki wystarczające => w implikacji i równoważności są identyczne.
Zatem jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający np.
p=>q=1
to wiem ze nic nie wiem, bo nie wiem czy to jest warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji, czy też to jest warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna ## Równoważność
p=>q = ~p~>~q     ## p~>q = ~p=>~q       ## p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)


Przykład równoważności .

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4,5,6]
q=[1,2,3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd:
~p=[7,8]
~q=[7,8]

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
RA:
Definicja równoważności w logice dodatniej (bo q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiory:
p=>q = p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]=1
p=>q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
[1,2,3,4,5,6]=>[1,2,3,4,5,6]
Doskonale widać, że definicja warunku wystarczającego między p i q jest spełniona

Ogólna definicja znaczka [~>] (warunku koniecznego):
[p~>q]
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora [~>] musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
[p~>q]
[1,2,3,4,5,6]~>[1,2,3,4,5,6]
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p i q.
Z powodu tożsamości zbiorów w równoważności p=q i ~p=~q wykluczone jest „rzucanie monetą” znane z definicji implikacji, dlatego warunek konieczny ma w równoważności specjalną nazwę i symbol.

[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, gdzie wobec tożsamości zbiorów wykluczone jest jakiekolwiek „rzucanie monetą” (spójnik „może”).

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] =[] =0
p~~>~q = p*~q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D.

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = [7,8]*[7,8] = [7,8] =1
~p=>~q = ~p*~q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
=> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
~p=>~q
[7,8]=>[7,8]
Doskonale widać, że definicja warunku wystarczającego między ~p i ~q jest spełniona

Ogólna definicja znaczka [~>] (warunku koniecznego):
[p~>q]
~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora [~>] musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
[~p~>~q]
[7,8]~>[7,8]
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~p i ~q.
Gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, gdzie wobec tożsamości zbiorów wykluczone jest jakiekolwiek „rzucanie monetą” (spójnik „może”).

Ostatnia możliwa kombinacja przeczeń p i q:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [7,8]*[1,2,3,4,5,6] =[] =0
~p~~>q = ~p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu RA otrzymujemy zero-jedynkowa definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p<=>q   (zbiory)        |
   p    q               |  p  q  p<=>q
---------------------------------------------
A: p=>  q = p* q =1*1=1 |  1  1   =1
B: p~~>~q = p*~q =1*1=0 |  1  0   =0
C:~p=> ~q =~p*~q =1*1=1 |  0  0   =1
D:~p~~> q =~p* q =1*1=0 |  0  1   =0
   1    2   3  4      5    6  7    8

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD678 z definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.
Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345) na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD678:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) występuje wyłącznie w obszarze AB678, zatem wyłącznie linie A i B obsługują ten warunek wystarczający w definicji równoważności. Linie C i D w obsłudze warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) są „martwe”.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu RC otrzymujemy identyczną, zero-jedynkowa definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
RC: ~p<=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Tabela 2
Symboliczna definicja   |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~q  |definicji symbolicznej
~p<=>~q   (zbiory)      |
  ~p   ~q               | ~p ~q  ~p<=>~q
---------------------------------------------
A: p=>  q = p* q =1*1=1 |  0  0   =1
B: p~~>~q = p*~q =1*1=0 |  0  1   =0
C:~p=> ~q =~p*~q =1*1=1 |  1  1   =1
D:~p~~> q =~p* q =1*1=0 |  1  0   =0
   1    2   3  4      5    6  7    8

Algorytmy tworzenia tabeli zero-jedynkowej na podstawie tabeli symbolicznej i odwrotnie są identyczne jak wyżej.

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) występuje wyłącznie w obszarze CD678, zatem wyłącznie linie C i D obsługują ten warunek wystarczający w definicji równoważności. Linie A i B w obsłudze warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q) są „martwe”.

Zdania A ,B, C i D zapisane w tabelach 1 i 2 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód formalny tego prawa to tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 w tabelach 1 i 2.

Rozważmy na koniec twierdzenie Pitagorasa.


Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.

TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = TP*SK = TP =1
Zbiory TP i SK są tożsame
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0
Zbiory:
TP~~>~SK = TP*~SK = 1*1=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w A i B spełniony

~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK)
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = ~TP*~SK = ~TP =1
Zbiory ~TP i ~SK są tożsame.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0
Zbiory:
~TP~~>SK = ~TP*SK = 1*1=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w C i D spełniony

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i B oraz w C i D. To nie są operatory logiczne.

Kodowanie zero-jedynkowe:
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie        |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe
                        |dla TP<=>SK      |dla ~TP<=>~SK
                        | TP  SK  TP<=>SK | ~TP ~SK ~TP<=>~SK
-------------------------------------------------------------
A: TP=>  SK = TP* SK =1 |  1   1   =1     |   0   0   =1
B: TP~~>~SK = TP*~SK =0 |  1   0   =0     |   0   1   =0
C:~TP=> ~SK =~TP*~SK =1 |  0   0   =1     |   1   1   =1
D:~TP~~> SK =~TP* SK =0 |  0   1   =0     |   1   0   =0
    1    2            3    4   5    6         7   8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                        |TP=1, ~TP=0      |~TP=1, TP=0
                        |SK=1, ~SK=0      |~SK=1, SK=0

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK):
Definicję symboliczną warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo SK) widzimy w obszarze AB123, natomiast zero-jedynkową w obszarze AB456. Linie C i D są martwe i nie biorą udziału w obsłudze tego warunku.

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~SK):
Definicję symboliczną warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~SK) widzimy w obszarze CD123, natomiast zero-jedynkową w obszarze CD789. Linie A i B są martwe i nie biorą udziału w obsłudze tego warunku.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Równoważność: TP<=>SK  ## warunek wystarczający: TP=>SK  ## warunek wystarczający: ~TP=>~SK
TP<=>SK                ## TP=>SK                         ## ~TP=>~SK

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Z definicji równoważności wynika, że nie można jej dowieść w sposób bezpośredni. Dowieść prawdziwości równoważności możemy wyłącznie w sposób pośredni dowodząc prawdziwości niezależnych twierdzeń (warunków wystarczających) p=>q i ~p=>~q.

Błędne są zatem wszystkie zadania matematyczne zaczynające się od frazy:
„Wiemy że równoważność p<=>q jest prawdziwa …”
Jeśli wiemy że jest prawdziwa to uprzednio musieliśmy dowieść dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q czyli wiemy wszystko i matematycznie nie mamy szans na cokolwiek więcej.

Podobnie bez sensu jest twierdzenie iż z prawdziwości równoważności wynika prawdziwość zdań p=>q i ~p=>~q, bowiem aby udowodnić prawdziwość równoważności musimy uprzednio udowodnić właśnie te warunki wystarczające p=>q i ~p=>~q.

Sensowne jest więc wyłącznie twierdzenie, iż z prawdziwości warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q wynika prawdziwość równoważności. Odwrotnie to bezsens, bowiem nie da się udowodnić równoważności w sposób bezpośredni.


9.5 Alternatywne definicje implikacji i równoważności

Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego miedzy p i q:
A: p=>q=1
B: p~>q = ~p=>~q=0

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
A: p=>q=1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
Warunek wystarczający => spełniony

Na mocy tej definicji badamy warunek konieczny ~> między P i 4L
B: p~>q = ~p=>~q=0
Jeśli zwierze jest psem to może~> mieć cztery łapy
P~>4L = ~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: koń
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A możemy nazwać implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to tylko i wyłącznie warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji implikacji prostej:
P=>4L = ~P~>~4L
Definicja warunku wystarczającego:
A: P=>4L=1
B: P~~>~4L=0
cnd


Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q:
A: p~>q = ~p=>~q =1
B: p=>q=0

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Sprawdzamy warunek konieczny ~>:
4L~>P= ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Prawa strona jest prawdą, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Sprawdzamy warunek wystarczający:
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń
Warunek wystarczający nie zachodzi.
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w żargonie możemy powiedzieć że zdanie A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to wyłącznie zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.


Alternatywna definicja równoważności
Równoważność to jednoczesna zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego warunku koniecznego [~>]
A: p=>q=1
B: [p~>q] = ~p=>~q =1

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
A: p=>q=1
Warunek wystarczający A zachodzi.

Sprawdzamy zachodzenie wirtualnego warunku koniecznego:
B: [p~>q] = ~p=>~q =1
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to „może” [~>] zachodzić suma kwadratów
[TP~>SK] =?
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Wniosek:
Zdanie A i zdanie B to warunki wystarczające wchodzące w skład równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1


9.6 Budowa tabeli prawdy w algebrze Kubusia

Tabela prawdy to szczegółowy opis matematyczny wypowiedzianego zdania.
Zobaczmy to na przykładach.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L

Po stronie poprzednika mamy dwa zbiory niepuste:
P = zbiór jednoelementowy „pies” (pies)
~P - zbiór „nie psów” (wszystkie inne zwierzaki)
Dziedzina:
Zbiór wszystkich zwierząt

Po stronie następnika mamy dwa zbiory niepuste:
4L - zbiór zwierząt z czteroma łapami (słoń, koń ..)
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap (kura, mrówka ..)
Dziedzina:
Zbiór wszystkich zwierząt

Logika w algebrze Kubusia to relacje między zbiorami

Wyznaczenie wszystkich możliwych relacji między zbiorami wyżej:
A: P=>4L = P*4L = P =1 bo pies
B: P~~>~4L = P*~4L = 0 - zbiory rozłączne
C: ~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1 bo kura
D: ~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń

Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów

Na wejściu funkcji logicznej mamy konkretne zbiory niepuste, ich wzajemne relacje wyznaczają wartość logiczną zdań A, B, C i D.

Dla naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów p i q:
1 - zbiory p i q mają część wspólną, zdanie prawdziwe
0 - zbiory p i q są rozłączne, zdanie fałszywe

Oczywiście w spójnikach => (warunek wystarczający) i ~> (warunek konieczny) nie wystarczy znaleźć jednego elementu wspólnego.

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

KONIEC!
Te trzy definicje to fundament nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia.

Weźmy teraz nasze zdanie w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

   P 4L P=>4L                    P 4L  Yx
A: 1  1  =1    | P=> 4L = P* 4L =1* 1 =1
B: 1  0  =0    | P~~>~4L= P*~4L =1* 1 =0
C: 0  0  =1    |~P~>~4L =~P*~4L =1* 1 =1
D: 0  1  =1    |~P~~>4L =~P* 4L =1* 1 =1
   1  2   3      4    5   6   7  8  9  x         

Oczywistym jest że w linii C zbiory ~P i ~4L są niepuste.
Więc co tu robią zera (C12) po stronie wejścia p i q?
Czy coś jest nie tak?

Oczywiście wszystko jest w porządku, bo jak operujemy na zbiorach to po stronie wejścia mamy same jedynki a wynika to z faktu, iż wszystkie zmienne (zbiory) sprowadzamy do jedynek.

Tabela „zero-jedynkowa” dla zbiorów po stronie wejścia p i q to obszar ABCD89 a nie obszar ABCD12.
Dlaczego ostatnią kolumnę opisano Yx?
Bo wartości logiczne w kolumnie Yx wyznaczają funkcje cząstkowe w poszczególnych liniach.
Gdybyśmy zapisali:
Yx = P=>4L
To byłby to poprawny opis wyłącznie pierwszej linii bo wyłącznie w tej linii mamy spełniony warunek wystarczający w zbiorach =>.

STOP!
Wszystko co wyżej jest prawdą, jednak kolumna Yx musi być opisana zdaniem:
Yx = P=>4L
Co oznacza opis:
P=>4L
w nagłówku kolumny Yx
Zapis:
P=>4L
wyznacza punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane przez człowieka i nic więcej.

Podsumowując:
Wartość logiczna zdania w linii B:
B: P~~>~4L = P*~4L =0
To nie jest wartość logiczna zdania: A: P=>4L (linia A)
… ale kompletnie innego zdania!
Tego zdania:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Wartość logiczna zdania jest równa 0 bo zbiory P i ~4L są rozłączne.

Natomiast zdanie A brzmi w ten sposób:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Zbiory:
P=>4L = P*4L =P =1

Uwaga!
Dokładnie to samo mamy we wszystkich operatorach logicznych:
OR, AND, =>, ~>, <=>, <=>

Weźmy przykładowe zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T

Po stronie wejścia mamy dwa możliwe stany w parametrze K.
K=1 - jutro pójdę do kina
~K=1 - jutro nie pójdę do kina

Oraz dwa możliwe stany w parametrze T.
T=1 - juro pójdę do teatru
~T=1 - jutro nie pójdę do teatru

Wspólna dziedzina:
Wszystkie możliwe sytuacje na symbolicznych stanach wyżej

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

   K  T Y=K+T               K  T  Y=K+T | ~K ~T ~Y=~K*~T |
A: 1  1  =1    | Ya = K* T =1* 1 =1     |  0  0   =0     |
B: 1  0  =1    | Yb = K*~T =1* 1 =1     |  0  1   =0     |
C: 0  1  =1    | Yc =~K* T =1* 1 =1     |  1  0   =0     |
D: 0  0  =0    |                        |  1  1   =1     |~Yd=~K*~T
   1  2   3      4    5  6  7  8  9        a  b    c

Symboliczna tabela „zero-jedynkowa” w zbiorach (stanach) to obszar ABC78 i Dab a nie obszar ABCD12.
Oczywiście wszystkie stany na wejściach p i q mogą zaistnieć, stąd same jedynki w obszarze ABC78 i Dab.

Układ równań opisujący powyższą tabelę
Y = Ya+Yb+Yc = K*T + K*~T + ~K*T = K+T
~Y = ~Yd = ~K*~T

Przykładowe zdanie Yc brzmi:
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru (dotrzymam słowa Yc=1)
Yc =~K* T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~K=1 i T=1
Oczywiście to jest inne zdanie niż w dowolnej linii różnej od Yc.

Zdanie w linii D brzmi:
Skłamię (~Yd) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~Yd=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Podsumowując:
Matematycznie żadne ze zdań cząstkowych wchodzących w skład operatora X nie jest tożsame ze zdaniem z nagłówka tabeli.


9.7 Implikacja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Zapiszmy definicję implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Kod:

Implikacja prosta   |Implikacja prosta   |Kodowanie     |
w warunkach         |w spójnikach        |zero-jedynkowe|
wystarczających =>  |„i”(*) i „lub”(+)   |              |
i koniecznych ~>    |Zbiory              |              |
   p   q            | p  q               | p q p=>q     |~(p=>q)
A: p=> q =1         | p* q =1*1=1        | 1 1  =1      |  =0
B: p~~>~q=0         | p*~q =1*1=0        | 1 0  =0      |  =1
C:~p~>~q =1         |~p*~q =1*1=1        | 0 0  =1      |  =0
D:~p~~>q =1         |~p* q =1*1=1        | 0 1  =1      |  =0
   1   2  3           4  5  a b 6          7 8   9          0

Kompletna definicja implikacji prostej wyrażona w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie prawdziwe:
W.
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
(p=>q)=1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już zdanie W jest prawdziwe.
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zdanie (p=>q) będzie prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy:
(p*q)=1 lub (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Zdanie fałszywe:
U.
~(p=>q) = p*~q
co matematycznie oznacza:
~(p=>q)=1 <=> p=1 i ~q=1
czytamy:
Prawdą jest (=1), że zdanie będzie fałszywe ~(p=>q) wtedy i tylko wtedy gdy wystąpi p=1 i ~q=1

Oczywiście matematycznie zachodzi:
p=>q # ~(p=>q)
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne), co widać w powyższej tabeli.

Zminimalizujmy zdanie W:
W.
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
W1.
p=>q = p*q + ~p*(~q+q)
p=>q = (p*q) +~p
~(p=>q) = (~p+~q)*p
~(p=>q) = ~p*p+~q*p
~(p=>q) = p*~q
p=>q = ~p+q
Zdanie minimalne to funkcja alternatywna:
W1.
p=>q = ~p+q
co matematycznie oznacza:
(p=>q)=1 <=> ~p=1 lub q=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już zdanie W1 jest prawdziwe.
Doskonale to widać w tabeli ABCD789 gdzie na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(p=0) = (~p=1)
czyli ~p=1 to dolna połówka kolumny ABCD7, dokładnie CD7.

Ustalmy teraz sztywny punkt odniesienia na zdaniu wyżej:
p=>q
i zapiszmy definicję odwrotną do powyższej:
q~>p
W obu powyższych zapisach parametry p i q są dokładnie tymi samymi parametrami.

Na mocy definicji implikacji odwrotnej mamy:
Kod:

Implikacja odwrotna |Implikacja odwrotna |Kodowanie     |
w warunkach         |w spójnikach        |zero-jedynkowe|~(q~>p)
wystarczających =>  |„i”(*) i „lub”(+)   |              |
i koniecznych ~>    |Zbiory              |              |
   q   p            | q  p               | q p q~>p     |~(q~>p)
A: q~> p =1         | q* p =1*1=1        | 1 1  =1      |  =0
B: q~~>~p=1         | q*~p =1*1=1        | 1 0  =1      |  =0
C:~q=>~p =1         |~q*~p =1*1=1        | 0 0  =1      |  =0
D:~q~~>p =0         |~q* p =1*1=0        | 0 1  =0      |  =1
   1   2  3           4  5  a b 6          7 8   9          0

Kompletna definicja implikacji odwrotnej wyrażona w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie prawdziwe:
WO.
q~>p = q*p + q*~p + ~q*~p
Oczywiście spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne, bo koniunkcja i alternatywa zbiorów jest przemienna.
Równanie równoważne:
q~>p = p*q + ~p*q + ~p*~q

Porównajmy to ze zdaniem W:
W.
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q

Doskonale widać że matematycznie zdania WO i W są tożsame, bo prawe strony są identyczne:
WO = W

Zobaczmy na koniec jak to jest dla zdania fałszywego ~(q~>p).
Zdanie fałszywe:
UO:
~(q~>p) = ~q*p
Spójnik „i”(*) jest przemienny, zatem zdanie tożsame:
~(q~>p) = p*~q

Porównajmy to ze zdaniem U:
U.
~(p=>q) = p*~q

Tu również doskonale widać matematyczną tożsamość:
UO = U
bo prawe strony równań są identyczne.

Potwierdzenie powyższych rozważań uzyskamy też dowodem formalnym w rachunku zero-jedynkowym.

Definicja implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1


Definicja implikacji odwrotnej ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu p=>q:
Kod:

q p q~>p
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0


Formalny dowód tożsamości:
p=>q = q~>p
Kod:

p q p=>q q p q~>p
1 1  =1  1 1  =1
1 0  =0  0 1  =0
0 0  =1  0 0  =1
0 1  =1  1 0  =1
1 2   3  4 5   6

Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem formalnym tożsamości:
p=>q = q~>p
dla sztywnego punktu odniesienia ustalonego na zdaniu p=>q.

Czyżby zatem definicja implikacji odwrotnej była matematycznie zbędna?

Odpowiedź:

TAK!
Jeśli interesuje nas wyłącznie prawdziwość/fałszywość zdań składowych wyrażonych spójnikiem „i”(*) w definicji implikacji prostej i odwrotnej.

NIE!
Jeśli interesują nas warunki wystarczające => i konieczne ~> w definicjach implikacji prostej i odwrotnej

Oczywiście istota implikacji i równoważności to warunki wystarczające => i konieczne ~> a nie proste rozstrzygnięcie że zdanie składowe x w definicji implikacji wyrażone spójnikiem „i”(*) jest prawdziwe/fałszywe.

Weźmy klasykę powielaną w milionach podręcznikowych przykładów, definicję obietnicy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Analiza tej obietnicy na gruncie algebry Kubusia:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zdarzenia (zbiory):
E=>K = E*K =1*1=1
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to możesz ~~> nie dostać komputera
E~~>~K =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
Zdarzenia (zbiory):
E~~>~K =E*~K = 1*1 =0
… a jeśli nie zdam egzaminu?
Prawo Kubusia:
K=>K = ~E~>~K
stąd:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Zdarzenia (zbiory):
~E~>~K = ~E*~K = 1*1 =1
Zdanie C to na mocy definicji obietnicy (implikacji prostej) warunek konieczny, bez znaczenia jest iż tata nie użył tu spójnika „może” (warunku koniecznego ~>). Zdanie C to groźba, która na mocy definicji musimy kodować implikacją odwrotną, co udowodnimy w kolejnym punkcie.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1
Zdarzenia (zbiory):
~E~~>K = ~E*K = 1*1 =1
Akt miłości = akt łaski, ojciec ma prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody na przykład z takim uzasadnieniem niezależnym.
Ojciec:
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się dużo uczyłeś ale miałeś pecha.
~E~~>K =1

Zapiszmy całą tą analizę w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Implikacja prosta   |Implikacja prosta   |Kodowanie     |
w warunkach         |w spójnikach        |zero-jedynkowe|
wystarczających =>  |„i”(*) i „lub”(+)   |              |
i koniecznych ~>    |Zbiory              |              |
   E   K            | E  K               | E K E=>K     |~(E=>K)
A: E=> K =1         | E* K =1*1=1        | 1 1  =1      |  =0
B: E~~>~K=0         | E*~K =1*1=0        | 1 0  =0      |  =1
C:~E~>~K =1         |~E*~K =1*1=1        | 0 0  =1      |  =0
D:~E~~>K =1         |~E* K =1*1=1        | 0 1  =1      |  =0
   1   2  3           4  5  a b 6          7 8   9          0

Kompletna definicja implikacji prostej wyrażona w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Ojciec dotrzyma słowa:
W.
E=>K = E*K + ~E*~K + ~E*K
co matematycznie oznacza:
(E=>K)=1 <=> (E*K)=1 lub (~E*~K)=1 lub (~E*K)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już zdanie W jest prawdziwe.
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec dotrzyma słowa (E=>K) wtedy i tylko wtedy gdy:
(E*K)=1 lub (~E*~K)=1 lub (~E*K)=1

Ojciec skłamie:
U.
~(E=>K) = E*~K
co matematycznie oznacza:
~(E=>K)=1 <=> E=1 i ~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec skłamie ~(E=>K) wtedy i tylko wtedy gdy wystąpi E=1 i ~K=1

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Dotrzymam słowa # skłamię
E=>K # ~(E=>K)
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne), co widać w powyższej tabeli.

Zauważmy, że w implikacji prostej wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) te trzy wynikowe jedynki sa równoprawne, nie mamy tu żadnej gwarancji komputera!

Wiemy tylko i wyłącznie tyle, że ojciec dotrzyma słowa gdy zajdzie zdarzenie opisane którakolwiek jedynką, w przeciwnym przypadku skłamie.
Oznaczmy:
Y= p=>q

W.
Y = E*K + ~E*~K + ~E*K
co matematycznie oznacza:
Y =1 <=> (E*K)=1 lub (~E*~K)=1 lub (~E*K)=1

Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: E*K =1*1=1 - zdam egzamin (E=1) i dostanę komputer (K=1)
C: ~E*~K = 1*1=1 - nie zdam egzaminu (~E=1) i nie dostanę komputer (~K=1)
D: ~E*K = 1*1 =1 - nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)

Jak widzimy nie ma tu odróżnienia twardej prawdy (gwarancji matematycznej) występującej w warunku wystarczającym =>:
A: E=>K = E*K =1*1 =1
od bezwartościowych jedynek miękkich (rzucanie monetą) występujących w warunku koniecznym ~>:
C: ~E~>~K = ~E*~K =1*1 =1
D: ~E~~>K = ~E*K =1*1 =1

Oczywistym jest że w implikacji i równoważności chodzi o warunki wystarczające => i konieczne ~> a nie o prymitywne rozstrzyganie iż zdanie składowe x wyrażone spójnikiem „i”(*) jest prawdziwe/fałszywe.


9.8 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia:

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

Dokładnie ta sama definicja w pełnym równaniu logicznym:
A: p=>q = ~p~>~q
Oczywiście po obu stronach tożsamości musimy mieć to samo p i q

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0

Dokładnie ta sama definicja w pełnym równaniu logicznym:
B: p~>q = ~p=>~q
Oczywiście po obu stronach tożsamości musimy mieć to samo p i q

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Równanie ogólne implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Ustalmy sztywny punkt odniesienia na zdaniu A zakładając jego prawdziwość:
A: p=>q = ~p~>~q =1
czyli:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Jeśli zdanie A: p=>q jest prawdziwe to zdanie B jest oczywistym fałszem:
B: p~>q = ~p=>~q =0
p~>q
bowiem zbiór p z założenia zawiera się w zbiorze q (A: p=>q), natomiast zdanie B wymaga czegoś dokładnie odwrotnego, aby zbiór p zawierał w sobie zbiór q.

Nasze równanie implikacji dla sztywnego punktu odniesienia A: p=>q przyjmuje więc postać:
A: p=>q = ~p~>~q =1 ## B: p~>q = ~p=>~q =0
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywistym jest że aby uczynić zdanie B prawdziwym musimy zamienić parametry p i q w zdaniu B:
B: q~>p = ~q=>~p =1
q~>p
Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiór q zawiera w sobie zbiór p i nie jest tożsamy ze zbiorem p.
Punkt odniesienia: A: p=>q =1 (to bardzo ważne)

Podstawiamy to do naszego równania ogólnego implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q =1 ## B: q~>p = ~q=>~p =1
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywistym jest, że jeśli cokolwiek jest różne na mocy definicji to pod parametry p i q po obu stronach znaku ## możemy sobie podstawiać co nam dusza zagra, w szczególności możemy zamienić p i q, co właśnie zrobiliśmy. Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi, pomiędzy którymi nie występują żadne tożsamości matematyczne.

Na mocy nowej teorii zbiorów fałszywe są następujące „prawa” rachunku zero-jedynkowego.

1.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
A: p=>q =1
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: q~>p = ~q=>~p
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

A: p=> q ##  q~> p
B: p=> q ## ~q=>~p
C:~p~>~q ##  q~> p
D:~p~>~q ## ~q=>~p

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje błędny w implikacji znak tożsamości.

2.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
B: p~>q =1
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: q=>p = ~q~>~p ## B: p~>q = ~p=>~q
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

E: q=> p ##  p~> q
F: q=> p ## ~p=>~q
G:~q~>~p ##  p~> q
H:~q~>~p ## ~p=>~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje błędny w implikacji znak tożsamości.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji wygląda zatem tak:
p=>q ## ~q=>~p
q=>p ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład:
Wzorcowa implikacja prosta:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą o definicji.
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L

Wzorcowa implikacja odwrotna:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P

Jeśli przyjmiemy za poprawne definicje znaczków => i ~> w zbiorach (oczywistość), to konsekwencją tego faktu jest takie a nie inne równanie ogólne implikacji.

A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dlaczego?
Bo tylko i wyłącznie w tym przypadku spełnione są definicje znaczków => i ~> po obu stronach znaku ##.

Prawa kontrapozycji w formie tożsamości są fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności.

Dlaczego nawet w implikacji możemy stosować prawo kontrapozycji?

Definicja równoważności wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Jeśli udowodnimy warunek wystarczający p=>q o definicji:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0

To mamy prawo założyć, że to jest warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności.
Na podstawie takiego założenia możemy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => wynikłego z prawa kontrapozycji:
~q=>~p

Problem w tym, że w implikacji zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q ## ~q=>~p
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu p=>q zajście p=>q wymusza zajście ~q=>~p, ale w implikacji nie możemy tu postawić znaku tożsamości z powodu trzeciego zbioru, który jest poza wszelką logiką:
~p~~>q = q~~>~p

Natomiast w równoważności zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q =~q=>~p
bo tu mamy wyłącznie dwa zbiory, nie ma tego trzeciego, paskudnego, poza wszelką logiką.

Zauważmy, że prawem kontrapozycji niczego sensownego nie udowodnimy.

Jeśli mamy udowodniony warunek wystarczający p=>q to bez sensu jest dowodzenie prawdziwości warunku wystarczającego ~q=>~p, bo ten warunek wystarczający zachodzi zarówno w implikacji jak i równoważności (i odwrotnie).

W matematyce szukamy warunków wystarczających wchodzących w skład definicji równoważności między dowolnymi przeczeniami p i q.

Równoważność udowodnimy wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu równoważności.

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

A1: p=> q =1         A2: q=> p =1
B1: p~~>~q=0         B2: q~~>~p=0



C1:~p=>~q =1         C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =0         D2:~q~~>p =0

Definicje równoważności w pionach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q= (q=>p)*(~q=>~p)
Definicje równoważności w poziomach:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q= (~p=>~q)*(~q=>~p)

Porównanie kwadratów logicznych równoważności i implikacji.

Kwadrat logiczny implikacji ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
Kod:

A1: p=> q =1      ##   A2: q~> p =1
B1: p~~>~q=0      ##   B2: q~~>~p=1


Prawo Kubusia:    ##   Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q       ##   q~>p = ~q=>~p


C1:~p~>~q =1      ##   C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =1      ##   D2:~q~~>p =0

W implikacji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji.

Warunki wystarczające => w punktach A1 i C2 są identyczne w implikacji i równoważności.
W implikacji zbiory p i q nie są tożsame, natomiast w równoważności zbiory p i q są tożsame.

Oczywiście nie wykryjemy równoważności udowadniając dowolny w warunków wystarczających po przekątnych.
A1: p=> q =1
B1: p~~>~q=0
czy też:
C2: ~q=>~p =1
D3: ~q~~>p=0
bo te warunki są identyczne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów, i w implikacji gdzie tożsamość zbiorów nie zachodzi.

Aby dowieść iż zdanie A1: p=>q jest implikacją prostą musimy dodatkowo udowodnić C1:D1 albo A2:B2
C1: ~p~>~q =1
D1: ~p~~>q =1
Oczywiście w tym przypadku wystarczy znaleźć jeden przypadek spełniający C1 i jeden przypadek spełniający D1.

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że zdanie:
A1: p=>q
spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą prawdziwą.


9.9 Obalenie prawa eliminacji implikacji w logice Ziemian

Prawo eliminacji implikacji w logice Ziemian:
p=>q = ~p+q
Oczywiście prawo to możemy zapisać jako:
Y = p=>q = ~p+q
stąd:
Y= p=>q
Y = ~p+q

Zbadajmy funkcję Y = p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Kod:

   p q ~p Y=p=>q=~p+q ?!
A: 1 1  0  =1    /Ya=p*q
B: 1 0  0  =0
C: 0 0  1  =1    /Yc=~p*~q
D: 0 1  1  =1    /Yd=~p*q

Ogólny algorytm tworzenia równań logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli ~p=0 to p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera.

Równanie logiczne dla wynikowych jedynek:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = p*q + ~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*p
~Y = ~p*p + ~q*p
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = ~p+q
Nasza funkcja logiczna po minimalizacji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Wnioski:
1.
Jeśli w równaniu logicznym:
Y = p=>q = ~p+q
za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały p i q to nie zachodzi przemienność argumentów w funkcji logicznej:
Y = ~p+q
W tym przypadku negacja przy sygnale p znajduje się wewnątrz operatora logicznego i nie mamy do niej dostępu.
Zamiana argumentów będzie tu wyglądała tak:
Y = ~q+p
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~p+q # ~q+p
Przepiszmy naszą tabelę uwzględniając ten punkt odniesienia:
Kod:

   p q Y=p=>q=~p+q ?!
A: 1 1  =1    /Ya=p*q
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1    /Yc=~p*~q
D: 0 1  =1    /Yd=~p*q

Brak przemienności argumentów p i q:
~p+q # ~q+p

Zauważmy, że w tym przypadku nie mamy prawa użyć symbolu spójnika „lub”(+) bo argumenty nie są przemienne co z definicji wyklucza ten znaczek „+”.
Dla punktu odniesienia p i q mamy zatem:
p=>q ## ~p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Operator implikacji prostej na mocy definicji jest czymś zupełnie innym niż operator OR.

2.
Jeśli w równaniu logicznym:
p=>q= ~p+q
za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały ~p i q to zachodzi przemienność argumentów w funkcji logicznej:
Y = ~p+q
Zamiana argumentów będzie tu wyglądała tak:
Y = q+~p
W tym przypadku negacja przy sygnale p to po prostu sygnał ~p, ta negacja jest tu „uwiązana” do sygnału i nie możemy jej wydzielić jako niezależnej negacji.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~p+q = q+~p
Przepiszmy naszą tabelę uwzględniając ten punkt odniesienia:
Kod:

   q ~p Y=p=>q=~p+q ?!
A: 1  0  =1    /Ya=p*q
B: 0  0  =0
C: 0  1  =1    /Yc=~p*~q
D: 1  1  =1    /Yd=~p*q

Jest przemienność argumentów ~p i q:
~p+q = q+~p

Z kolei w tym przypadku nie mamy prawa użyć znaczka implikacji prostej „=>” bo w powyższej tabeli zachodzi przemienność argumentów co jest sprzeczne z definicją znaczka „=>”.
Dla punktu odniesienia ~p i q mamy zatem:
p=>q ## ~p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Operator implikacji prostej na mocy definicji jest czymś zupełnie innym niż operator OR.

Wniosek końcowy:
Zauważmy, że równania logiczne spójnikach „i”(*) i „lub”(+) w obu przypadkach mamy identyczne.
Y = Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
po minimalizacji:
Y = ~p+q

W równaniu:
p=>q = ~p+q
w zależności od punktu odniesienia z jakiego patrzymy na otaczającą nas rzeczywistość argumenty raz są przemienne (+), a innym razem nie są przemienne (=>). Nie możemy patrzeć na rzeczywistość raz tak a raz siak, bo matematyka nie będzie jednoznaczna.

Prawo Krokodyla:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia, z czarnego zawsze można zrobić białe i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.

Jest oczywistym że:
Implikacja prosta i odwrotna - nie zachodzi przemienność argumentów
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) - zachodzi przemienność argumentów

Prawo eliminacji implikacji w logice Ziemian jest zatem błędne, bo nie da się zastąpić operatora logicznego w którym przemienność argumentów nie występuje (implikacja prosta i odwrotna) operatorem logicznym w którym przemienność argumentów występuje (OR i AND).

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy
(P+K)=>4L
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór „pies+kot” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
To samo zdanie w zbiorach:
p=>q = p*q = p =1
Nasz przykład w zbiorach:
(P+K)=>4L = (P+K)*4L = P*4L + K*4L = P+K =1
Nasze zdanie A jest prawdziwe wyłącznie dla zwierząt będących psami lub kotami i fałszywe dla wszelkich innych zwierząt.

Błędny jest zapis zdania A wynikły ze wzoru:
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy
(P+K)=>4L = ~(P+K)+4L = ~P*~K+4L
Zauważmy, że w spójniku „i”(*) i „lub”(+) mamy tu zbiór wszystkich zwierząt jeśli ograniczymy się do dziedziny:
D = zbiór wszystkich zwierząt
a nawet całe Uniwersum jeśli takiego ograniczenia nie przyjmiemy.
Wynika z tego błędny wniosek iż nasze zdanie A jest prawdziwe dla wszystkich możliwych zwierząt.
Nasze rozważania to dowód błędności pojęcia „zdania zawsze prawdziwego” w logice Ziemian.

Podsumowując:
Jeśli mamy do czynienia ze zdaniem złożonym typu:
Jeśli p to q
p=>q
to nie wolno rozpatrywać tego zdania w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) korzystając ze wzoru:
Y = ~p+q
gdzie zachodzi przemienność argumentów, to jest błąd czysto matematyczny.

Implikacja to operator logiczny w którym w jednej połówce zaszyty jest 100% determinizm (warunek wystarczający =>), natomiast w drugiej połówce implikacja to najzwyklejsze „rzucanie monetą”, warunek konieczny ~> (wolna wola).
Z tego powodu operatory implikacji są kompletnie bezużyteczne w świecie techniki, bo czy ktokolwiek wyobraża sobie urządzenie techniczne z wbudowaną „wolną wolą”?
Przykładowo skręcamy kierownicą w prawo a samochód skręca prawie zawsze w prawo ale czasami w lewo w zależności od swego „widzi mi się”. Namiastki „wolnej woli” istnieją w dużych programach komputerowych, zdarza się bowiem że program idzie w maliny i nie wiadomo co tam robi - pomaga reset.

Implikacja w komputerach działała by tak:
Jeśli p to skocz do q
p=>q
… a jeśli ~p?
Jeśli ~p to skocz do losowo wybranego obszaru pamięci traktując ten obszar jako dalszy ciąg kodu programu.
Oczywiście każdy program wyłoży się już na pierwszym rozkazie implikacji przy zajściu ~p.

Od strony technicznej równanie:
p=>q = ~p+q
jest poprawną realizacją fizyczną operatora implikacji prostej => przy pomocy operatora OR.
Należy jednak pamiętać że ta negacja przy sygnale p jest wciśnięta do wnętrza operatora OR i nie mamy do niej dostępu.
Oczywiście to działa także w drugą stronę.
Załóżmy że mamy bramkę implikacji prostej:
p=>q
Jak z niej zrobić bramkę OR?
W równaniu wyżej negujemy sygnał p otrzymując:
p+q = ~p=>q
czyli:
Na wejściu bramki => negujemy sygnał p i mamy bramkę (operator) OR.
Tu również należy pamiętać że ta negacja przy sygnale p jest wciśnięta do wnętrza operatora => i nie mamy do niej dostępu, całość to oczywiście bramka OR z przemiennością argumentów p i q.
To są bardzo proste sztuczki sprzętowe umożliwiające fizyczną realizację (hardware) dowolnego operatora przy pomocy innego.
Można łatwo udowodnić i pokazać w laboratorium techniki cyfrowej, że dysponując fizycznie wyłącznie jednym operatorem:
NOR, NAND, => albo ~>
bez problemu zbudujemy fizycznie (hardware) dowolny inny operator.

Trzeba jednak pamiętać że sprzęt (hardware) to zupełnie co innego niż program (software), mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama algebra Boole’a. W dzisiejszym mikroprocesorze łatwo zlokalizujemy około 1miliarda tranzystorów i wszystkie połączenia między nimi, ale programu (software) na pewno w ten sposób nie znajdziemy. Podobnie w naszym mózgu możemy rozrysować 100 mld neuronów i wszystkie połączenia między nimi ale programu (logiki człowieka) w ten sposób nie znajdziemy.

Jeśli chcemy rozpracować matematyczne fundamenty logiki człowieka to musimy się zdecydowanie odciąć od sprzętu (hardware). Interpretacja operatorów logicznych dla potrzeb software (logiki człowieka) jest zupełnie inna niż dla potrzeb hardware - to algebra Kubusia.


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 17:45, 20 Lip 2013, w całości zmieniany 22 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:01, 13 Cze 2013    Temat postu:

9.10 Zdanie zawsze prawdziwe w algebrze Kubusia, właściwości zbioru pustego

W poprzednim punkcie padło pojęcie „zdania zawsze prawdziwego”, zdefiniujmy zatem to pojęcie na gruncie algebry Kubusia.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Definicja zdania zawsze prawdziwego w algebrze Kubusia:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q

Wniosek:
Nie może być mowy o zdaniu zawsze prawdziwym w operatorach logicznych które nie mają samych jedynek w wyniku. Jedynym operatorem logicznym mającym same jedynki w wyniku jest operator chaosu.

Przykład zdania zawsze prawdziwego, spełniającego definicję operatora chaosu:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Analiza skrócona:
A: P8~~>P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 =1 bo 8
C: ~P8~~>~P3 =1 bo 2
D:~P8~~>P3 =1 bo 3

Przykład najprostszego zdania zawsze prawdziwego:
A.
Możliwe że jutro pójdę do kina
co matematycznie oznacza:
A.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=K+~K =1
Oczywiście tu negacja zmiennej K nie ma żadnego znaczenia bo spójnik „lub”(+) jest przemienny:
Y = ~(K)+ ~(~K) = ~K+K = K+~K

Przykłady zdań nie będących zdaniami zawsze prawdziwymi w świetle definicji wyżej.

Przykład 1.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
4L=>(P+~P)
Zdanie A w zbiorach:
4L=>(P+~P) = 4L*(P+~P) = 4L*1 = 4L
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór 4L zawiera się w zbiorze wszystkich zwierząt.
Dziedzina:
D = P+~P =1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zdanie prawdziwe dla wszystkich zwierząt z czterema łapami, o żadnych innych zwierzętach to zdanie nie mówi, zatem jest fałszywe dla wszelkich innych zwierząt.
Dowód:
Dla słonia nasze zdanie przybiera postać:
AS:
Jeśli słoń ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
S*4L=>P+~P
Adanie AS w zbiorach:
S*4L=>(P+~P) = (S*4L)*(P+~P) = S*4L*1 = S*4L = S
Dla kury nasze zdanie przybiera postać:
AK:
Jeśli kura ma cztery łapy to na pewno jest psem lub nie jest psem
K*4L=>(P+~P)
Zdanie K w zbiorach:
K*4L=>(P+~P) = (K*4L)*(P+~P) = K*4L =0*4L =0
bo:
Kura ma cztery łapy = fałsz
stąd:
K*4L = 0*4L = 0
Fałszywość poprzednika wymusza fałszywość zdania A w zbiorach, niezależnie od zawartości następnika.

Przekształcenie zanegowanego następnika do postaci koniunkcyjnej, zrozumiałej przez człowieka (brak konieczności użycia nawiasów):
~(P+~P) = ~P*P - prawo De Morgana
stąd:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem i być psem
4L~~>~P*P
Zdanie B w zbiorach:
4L~~>~P*P = 4L*(~P*P) = 4L*0 =0
Definicja warunku wystarczającego => o definicji w A i B spełniona.

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L=>(P+~P) = ~4L~>~(P+~P)
~4L~>~(P+~P) = ~P*P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~> nie być psem i być psem
~4L~>~P*P
Zdanie C w zbiorach:
~4L~>~P*P = ~4L*(~P*P) = ~4L*0 =0
Fałszywość tego zdania wyklucza zarówno implikację prostą, jak i równoważność.
Definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo zdanie C jest fałszywe, zatem zbiór ~4L nie może zawierać w sobie zbioru ~P*P=0.

To jest dowód fałszywości kolejnego dogmatu Ziemian, jakoby zbiór pusty zawierał się w każdym zbiorze!

Zdanie C jest fałszem, zatem zdanie A jest tylko samodzielnym warunkiem wystarczającym o definicji w A i B. Zdanie A nie wchodzi ani w skład definicji implikacji prostej, ani w skład definicji równoważności z powodu fałszywości zdania C. Zdanie A nie jest zdaniem zawsze prawdziwym w sensie logiki, wyklucza to już zdanie B.

Dlaczego zdanie C jest fałszem?
C.
~4L ~> ~(P+~P) = ~4L*(~P*P) = ~4L*0 =0
Zauważmy że:
P+~P=1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do P+~P bowiem:
P+~P = 1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(P+~P) = ~(1)=0 - nie ma takiego zbioru, ten zbiór jest pusty.

Zauważmy, że w myśl naszej definicji nie jest zdaniem zawsze prawdziwym nawet takie zdanie.
Przykład 2.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest psem to na pewno => ma cztery łapy lub nie ma czterech łap
(P+~P) => (4L+~4L)
Prawo algebry Boole’a:
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór (P+~P) zawiera się w zbiorze (4L+~4L).
Zdanie A w zbiorach:
(P+~P) => (4L+~4L) = (P+~P)*(4L+~4L) =1*1 =1
Dodatkowo zbiory p i q są tożsame:
(P+~P) = (4L+~4L) - dziedzina t zbiór wszystkich zwierząt
co wymusza „równoważność”.
Obliczenie ~(4L+~4L) dla potrzeb zdania B.
~(4L+~4L) = ~4L*4L - prawo De Morgana
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap i mieć cztery łapy
(P+~P) ~~>~4L*4L
Zdanie B w zbiorach:
(P+~P) ~~>~4L*4L = (P+~P)*(~4L*4L) = 1*0 =0

Obliczenie ~(P+~P) dla potrzeb zdania C.
~(P+~P) = ~P*P - prawo De Morgana
Ponieważ to jest „równoważność”, zatem po stronie ~p musi być kolejny warunek wystarczający.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i jest psem to na pewno => nie ma czterech łap i ma cztery łapy
~P*P => ~4L*4L
Zdanie w zbiorach:
~P*P => ~4L*4L = (~P*P)*(~4L*4L) = 0*0=0
Definicja znaczka => nie jest spełniona, bo mamy w wyniku fałsz.

Wynika z tego że zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze pustym!

D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i jest psem to może ~~> mieć cztery łapy lub nie mieć czterech łap
P*~P ~~>(4L+~4L)
Zdanie D w zbiorach:
P*~P ~~>(4L+~4L) = (P*~P)*(4L+~4L) = 0*1 =0

Zdanie C jest fałszem, zatem zdanie A jest tylko samodzielnym warunkiem wystarczającym. Zdanie A nie wchodzi ani w skład definicji implikacji prostej, ani w skład definicji równoważności z powodu fałszywości zdania C. Zdanie A nie jest zdaniem zawsze prawdziwym w sensie logiki, wyklucza to już zdanie B.

Dlaczego zdanie C jest fałszem?
C.
~(P+~P)=~P*P => ~(4L+~4L) =~4L*4L
Zauważmy że:
P+~P=1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do (P+~P) bowiem:
P+~P = 1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(P+~P) =~(1) =0 - nie ma takiego zbioru w obrębie wszystkich zwierząt, ten zbiór jest pusty.

Identycznie mamy w następniku:
4L+~4L =1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do (4L+~4L) bowiem:
(4L+~4L) =1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(4L+~4L) = ~(1) =0 - nie ma takiego zbioru w obrębie wszystkich zwierząt, ten zbiór jest pusty.

Jak widzimy zdanie C jest tu „podwójnie” fałszywe, raz z powodu zbioru pustego w poprzedniku P*~P i drugi raz z powodu pustego zbioru w następniku ~4L*4L.

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór nie zawierający ani jednego elementu

Na mocy powyższych analiz możemy zdefiniować właściwości zbioru pustego:
1.
Zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze niepustym
2.
Zbiór pusty nie zawiera w sobie zbioru niepustego
3.
Zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze pustym
4.
Zbiór pusty nie zawiera w sobie zbioru pustego

Zauważmy na koniec, że równoważnością prawdziwą jest takie zdanie.

Przykład 3.
W.
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P)
W tym przypadku istnieją zbiory niepuste zarówno w poprzedniku jak i następniku:
P=1 - pies
~P=1 - kura, słoń, wąż
Równoważność jest tu zatem bezdyskusyjna.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W naszym przykładzie zbiory p i q są tożsame p=q zatem zdanie W to oczywista równoważność.
p=P
q=P
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

Analiza matematyczna.
Warunek wystarczający:
P=>P
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest psem
P=>P =1 =1 bo pies
Zbiory:
P=>P = P*P = P =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „nie pies”.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie być psem
P~~>~P =0
Zbiory:
P~~>~P = P*~P =0
Nasze zdanie to równoważność zatem badamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P):
~P=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie jest psem
~P=>~P =1 bo nie pies
Zbiory:
~P=>~P = ~P*~P = ~P =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~P zawiera się w zbiorze ~P, oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~P=~P.
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> być psem
~P~~>P =0
Zbiory:
~P~~>P = ~P*P =0

Oczywistym jest że nie uzyskamy tabeli zero-jedynkowej równoważności posługując się jednym symbolem P.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
dla naszego przykładu mamy:
p=P
q=P
Stąd dla kodowania zgodnego ze zdaniem W mamy zero-jedynkową definicje równoważności.
Kod:

Zdania symbolicznie |Kodowanie zero-jedynkowe
   p   q  p<=>q     | p  q  p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q =1         | 1  1   =1
B: p~~>~q=0         | 1  0   =0
C:~p=>~q =1         | 0  0   =1
D:~p~~>q =0         | 0  1   =0
   1   2  3           4  5    6

Algorytm kodowania:
Jeśli na pozycji x w kolumnie ABCD1 występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1 na tej samej pozycji x w kolumnie ABCD4.
Jeśli na pozycji x w kolumnie ABCD1 występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0 na tej samej pozycji x w kolumnie ABCD4
To samo powtarzamy dla kolumny ABCD2 i ABCD5.

Doskonale widać zero-jedynkową definicję równoważności.
Oczywiście zdanie A to tylko warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji w A i B.
Podobnie zdanie C to tylko warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w C i D.


9.11 Równania Fiklita

Równania Fiklita to operatory logiczne zapisane w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+).

Operator chaosu

Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora chaosu ~~>:
Kod:

Definicja      |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna
   p q p~~>q   |                  p~~>q
A: 1 1  =1     | p~~> q= p* q=1*1=1
B: 1 0  =1     | p~~>~q= p*~q=1*1=1
C: 0 0  =1     |~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
D: 0 1  =1     |~p~~> q=~p* q=1*1=1
   1 2   3       4    5  6  7     8

Prawo Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Na wejściach p i q (ABCD45 i ABCD67) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, czyli do nowej teorii zbiorów.

Definicja operatora chaosu w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p~~>q =1
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element należący do zbiorów p i q.
Nie ma tu wymagania, aby zbiory p i q były ze sobą w takiej czy nie innej korelacji.

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Operator chaosu ## naturalny spójnik „może” ~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Równanie logiczne opisujące powyższą tabelę otrzymujemy łącząc wynikowe jedynki w kolumnie ABCD8 spójnikiem „lub”(*).

p~~>q = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q

Zdanie p~~>q wchodzi w skład operatora chaosu wtedy i tylko wtedy gdy w równaniu wystąpią wszystkie wyżej wymienione człony.

Stąd otrzymujemy równanie Fiklita:
p~~>q = (p*q)*(p*~q)*(~p*~q)*(~p*q)

Zdanie wchodzi w skład operatora chaosu wtedy i tylko wtedy gdy spełnia definicję operatora chaosu w równaniu Fiklita.

Przykład operatora chaosu:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:
A: P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C: ~P8~~>~P3 =~P8*~P3 =1 bo 5
D: ~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Oczywiście zdanie A wchodzi w skład operatora chaosu:
P8~~>P3 = (P8*P3)*(P8*~P3)*(~P8*~P3)*(~P8*P3) = 1*1*1*1 =1

Operator implikacji prostej

Definicja implikacji prostej w równaniach Kubusia:
Kod:

Symboliczna definicja   |Kodowanie
implikacji prostej      |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p=>q=~p~>~q  (zbiory)   |
   p   q                |  p  q   p=>q
---------------------------------------------
A: p=> q = p* q =1*1=1  |  1  1   =1
B: p~~>~q= p*~q =1*1=0  |  1  0   =0
C:~p~>~q =~p*~q =1*1=1  |  0  0   =1
D:~p~~>q =~p* q =1*1=1  |  0  1   =1
   1   2   3  4      5     6  7    8

Prawo Prosiaczka:
Jeśli ~p=1 to p=0

Tym razem postąpiliśmy odwrotnie, wygenerowaliśmy zero-jedynkową definicje implikacji prostej z równań Kubusia. Oczywiście bez znaczenia jest jaki kierunek wybierzemy, czyli co z czego wynika, ale naturalna logika człowieka równania Kubusia (symboliczna algebra Boole’a)

Definicja implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Kod:

Definicja symboliczna   |Definicja zero-jedynkowa
war. wystarczającego => |war. wystarczającego =>
   p   q   p  q         | p  q  p=>q
A: p=> q = p* q =1      | 1  1   =1
B: p~~>~q= p*~q =0      | 1  0   =0
   1   2   3  4  5        6  7    8

Zauważmy, że twardy fałsz w linii B wynika tu wyłącznie z linii A, jest kompletnie bez znaczenia co się dzieje w liniach C i D.
W linii A mamy twardą jedynkę (gwarancję matematyczną) z której wynika iż zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, czyli linia B musi być twardym fałszem. Wynika z tego że jeśli zanegujemy twardy fałsz w linii B to musimy otrzymać twardą prawdę w linii A.

Mamy linię B:
B: p~~>~q = p*~q =0
Po zanegowaniu tej linii musimy otrzymać linię A czyli gwarancję matematyczną:
A: p=>q = ~(p*~q) =1

Kompletny operator implikacji prostej w równaniu Fiklita przybiera postać:
p=>q = A: (p*q)*A:~(p*~q)*C: (~p*~q)*D: (~p*q)
Jedynka w równaniu A to bezcenna, to twarda jedynka, gwarancja matematyczna.
Jedynki w równaniach C i D to jedynki miękkie, rzucanie monetą.
Operator OR ze swej natury nie odróżnia jedynki twardej (A) od jedynek miękkich (C i D).
Zauważmy, że twarda jedynka w równaniu A to …
A: p=>q = ~(p*~q) =1
Nie ma sensu dublowanie informacji, zatem możemy usunąć zdanie A z równania Fiklita, dzięki temu zostawiamy wyłącznie dwie miękkie jedynki ze zdań C i D..

Stąd:
Równanie Fiklita po minimalizacji opisujące operator implikacji prostej:
p=>q =~p~>~q = ~(p*~q)*(~p*~q)*(~p*q)

To równanie działa genialnie, popatrzmy:

Implikacja prosta:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 16 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P8 zawiera się => w zbiorze P2
Dodatkowo mamy P8#P2 co wymusza implikację prostą

Analiza skrócona:
A: P8=>P2 = P8*P2 = P8 =1 - zbiór P8 zawiera się => w zbiorze P2
B: P8~~>~P2 = P8*~P2 = 1*1=0 - zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C: ~P8~>~P2 = ~P8*~P2 = ~P2 =1 - zbiór ~P8 zawiera w sobie ~> zbiór ~P2
D: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2

Równanie Fiklita dla operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q)*(~p*~q)*(~p*q)

P8=>P2 = ~(P8*~P2)*(~P8*~P2)*(~P8*P2) = ~(0)*1*1 = 1*1*1 =1
Jak widzimy, równanie Fiklita bezbłędnie rozpoznaje operator implikacji prostej.

Operator implikacji odwrotnej

Równanie Fiklita dla implikacji prostej:
p=>q=~p~>~q = ~(p*~q)*(~p*~q)*(~p*q)
stąd:
Równanie Fiklita dla zanegowanych p i q:
~p=>~q = p~>q = ~(~p*q)*(p*q)*(p*~q)
Wyłącznie zanegowaliśmy p i q zatem równania nie są tożsame.
Stąd:
Równanie Fiklita dla implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q = (p*q)*(p*~q)* ~(~p*q)

Zauważmy, że w logice bezdyskusyjnie zachodzi:
Operator implikacji prostej ## Operator implikacji odwrotnej
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - rożne na mocy definicji

Przykład implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór P2 zawiera w sobie zbiór P8
Dodatkowo P2#P8 co wymusza implikację odwrotną.

Analiza skrócona przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A: P2~>P8 = P2*P8 = P8 =1 - zbiór P2 zawiera w sobie ~> zbiór P8
B: P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 2
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C: ~P2=>~P8 = ~P2*~P8 = ~P2 =1 - zbiór ~P2 zawiera się w zbiorze ~P8
D: ~P2~~>P8 = ~P2*P8 =1*1=0 - bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne

Równanie Fiklita dla implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q = (p*q)*(p*~q)* ~(~p*q)
Nasz przykład:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = (P2*P8)*(P2*~P8) ~(~P2*P8) = 1*1*~(0)=1*1*1 =1
ok.

Operator równoważności

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Kod:

Symboliczna definicja   |Kodowanie              |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe         |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej |definicji symbolicznej
p<=>q                   |dla p<=>q              |dla ~p<=>~q
   p    q               |  p  q  p<=>q          | ~p ~q ~p<=>~q
---------------------------------------------------------------
A: p=>  q = p* q =1     |  1  1   =1            |  0  0   =1           
B: p~~>~q = p*~q =0     |  1  0   =0            |  0  1   =0
C:~p=> ~q =~p*~q =1     |  0  0   =1            |  1  1   =1
D:~p~~> q =~p* q =0     |  0  1   =0            |  1  0   =0
   1    2   3  4  5        6  7    8

Gwarancja w logice dodatniej z linii A i B wyrażona spójnikiem „i”(*) jest tu identyczna jak w implikacji:
A: p=>q = ~(p*~q)

Równanie Fiklita dla implikacji prostej:
p=>q = A:~(p*~q)*C: (~p*~q)*D: (~p*q)

Zauważmy, że w równoważności w liniach C i D mamy kolejny warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q), zatem o żadnym rzucaniu monetą nie może być mowy.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q= ~p*~q = ~p =1 - zbiór niepusty
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =0 - oba zbiory istnieją ~p=1 i q=1, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Twardy fałsz w linii C wynika tylko i wyłącznie z twardej prawdy w linii A, bowiem na mocy definicji znaczka => (warunek wystarczający) zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q. Wynika z tego że zbiory ~p i q są rozłączne.

Jeśli zatem zanegujemy twardy fałsz w linii D to musimy wylądować w twardej prawdzie, linia C.
D: ~p~~>q = ~p*q =0
Negujemy wszystko stronami otrzymując równanie opisujące linię C:
C: ~p=>~q = ~(~p*q) =1

Stąd równanie Fiklita dla równoważności przybiera postać:
p<=>q = A:~(p*~q)*C:~(~p*q)

To jest nic innego jak definicja równoważności wyrażona koniunkcją warunków wystarczających => (gwarancjami matematycznymi).
p<=>q = A: (p=>q)*C: (~p=>~q)

Gwarancja I w równoważności:
A: p=>q = ~(p*~q)

C: Gwarancja II w równoważności
C: ~p=>~q = ~(~p*q)

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1

Gwarancja I w spójniku „i”(*):
TP=>SK = ~(TP*~SK)
A1.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów
~(TP*~SK)

C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1

Gwarancja II w spójniku „i”(*):
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)
C1.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów
~(~TP*SK)

Zauważmy że równanie Fiklita bez problemu rozpozna równoważność:
TP<=>SK = ~(TP*~SK)*~(~TP*SK) = 1*1 =1


9.12 Obietnice i groźby

Zastosowanie algebry Kubusia w służbie lingwistyki to oddzielny rozdział podręcznika. Myślę, że możemy wyprzedzić czas i zapoznać się z istotą problemu już teraz, bowiem to jest najważniejsze zastosowanie algebry Kubusia na naszej planecie, Ziemi.

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.


Definicje obietnicy i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Znaczenie znaczków => i ~>:
W=>N - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę, z powodu że spełniłeś warunek nagrody
~W~>~N - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody lub możesz ~~> dostać nagrodę
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

Znaczenie znaczków ~> i =>:
W~>K - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany, lub możesz ~~> nie zostać ukarany.
~W=>~K - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli nie spełnisz warunku kary to na pewno => nie zostaniesz ukarany, z powodu że nie spełniłeś warunku kary
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Wyprowadzenie definicji groźby

Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta
To jest nasz pierwszy aksjomat.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność

2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność

Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N

Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N

Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K

2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K

Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna na mocy definicji


Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C

C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach spójnik „może” ~> jest domyślny i z reguły jest pomijany.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.


Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Ameryce Północnej żyje sobie żółw sępi który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


9.13 Prawa przejścia z implikacji prostej do implikacji odwrotnej (i odwrotnie)

I Prawo Żabki:
Implikacje czasowe:
A.
Implikacja prosta w czasie przyszłym po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną w czasie przeszłym.
Przyszłość (0% determinizmu) ## Przeszłość (100% determinizmu)
p=>q ## q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
B.
Implikacja odwrotna w czasie przyszłym po zamianie argumentów przechodzi w implikację prostą w czasie przeszłym.
Przyszłość (0% determinizmu) ## Przeszłość (100% determinizmu)
p~>q ## q=>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

II Prawo Żabki:
Implikacje bezczasowe:
A.
Implikacja prosta po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną
p=>q ## q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
B.
Implikacja odwrotna po zamianie argumentów przechodzi w implikacje prostą
p~>q ## q=>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

I Prawo Żabki
Implikacja prosta w czasie przyszłym po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną w czasie przeszłym.

IA.
Rozważmy implikację prostą czasową (obietnicę).
A.
Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę
P=>OP =1 - obietnica
B.
Jeśli będzie padało to mogę ~> nie otworzyć parasolki
P~~>~OP =0 - złamanie obitnicy
… a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>OP = ~P~>~OP
C.
Jeśli nie będzie padało to mogę ~> nie otworzyć parasolki
~P~>~OP =1
Brak deszczu jest warunkiem koniecznym ~> abym nie otworzył parasolki
lub
D.
Jeśli nie będzie padało to mogę ~~> otworzyć parasolkę
~P~~>OP =1
np. w celu ochrony przed słońcem albo dla zabawy etc.
Na mocy prawa Żabki implikacja prosta w czasie przyszłym przechodzi w implikację odwrotną w czasie przeszłym.

Mamy zatem:
AO.
Jeśli otworzyłem parasolkę to mogło ~> padać
OP~>P =1
Jeśli padało to musiałem => otworzyć parasolkę
lub
BO.
Jeśli otworzyłem parasolkę to mogło ~~> nie padać
OP~~>~P =1
np. ochrona przed słońcem

… a jeśli nie otworzyłem parasolki?
Prawo Kubusia:
OP~>P = ~OP=>~P
CO.
Jeśli nie otworzyłem parasolki to na pewno => nie padało
~OP=>~P =1
DO.
Jeśli nie otworzyłem parasolki to mogło ~~> padać
~OP~~>P =0 - złamanie obietnicy A

Oczywiście matematycznie zachodzi:
A: P=>OP=~P~>~OP ## AO: OP~>P = ~OP=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zobaczmy co się stanie jeśli nie zamienimy implikacji odwrotnej na czas przeszły stosując znane Ziemianom „prawo” kontrapozycji w implikacji.
A.
Jeśli będzie padało to na pewno => otworzę parasolkę
P=>OP =1 - obietnica
Prawo kontrapozycji:
P=>OP = ~OP => ~P
CO.
Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padało
~OP=>~P=1
Doskonale widać że zmiana na czas przeszły wynikająca z I prawa Żabki jest tu konieczna.

Zauważmy, że w przeciwieństwie do logiki Ziemian zwanej Klasyczny Rachunek Zdań algebra Kubusia się tu nie ośmiesza bowiem w AK prawo kontrapozycji w implikacji obowiązuje w takiej formie:
Przyszłość (0% determinizmu) ## Przeszłość (100% determinizmu)
A: P=>OP ## CO: ~OP=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji


I Prawo Żabki
Implikacja odwrotna w czasie przyszłym po zamianie argumentów przechodzi w implikację prostą w czasie przeszłym.

IB.
Rozważmy implikację odwrotną czasową (groźbę).
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L=1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> lania.
Implikacja odwrotna na mocy definicji groźby.
lub
B.
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania
B~~>~L =1
Akt łaski = akt miłości
… a jeśli nie ubrudzę spodni?
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
C.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Uwaga:
… z powodu że nie ubrudziłeś spodni, czyli z powodu że przyszedłeś w czystych spodniach.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej, lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe i nadawca nie jest kłamcą.
stąd:
D.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B~~>L =0
Zakaz lania z powodu czystych spodni!

Na mocy prawa Żabki implikacja odwrotna w czasie przyszłym przechodzi w implikację prostą w czasie przeszłym.

AO.
Jeśli dostałeś lanie to na pewno => ubrudziłeś spodnie
L=>B =1
Lania z innego powodu nas nie interesują bo groźba A dotyczyła wyłącznie lania z powodu brudnych spodni.
BO.
Jeśli dostałeś lanie to mogłeś ~~> nie ubrudzić spodni
L~~>~B =0
Obowiązywał zakaz lania z powodu czystych spodni.
… a jeśli nie dostałem lania?
Prawo Kubusia:
L=>B = ~L~>~B
CO.
Jeśli nie dostałeś lania to mogłeś nie ubrudzić spodni
~L~>~B =1
Jeśli nie ubrudziłeś spodni to na pewno nie dostałeś lania z powodu czystych spodni - obietnica A.
lub
DO.
Jeśli nie dostałeś lania to mogłeś ~~> ubrudzić spodnie
~L ~~>B =1
Akt łaski = akt miłości

Oczywiście matematycznie zachodzi:
A: L~>B = ~L=>~B ## AO: B=>L = ~B~>~L
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zobaczmy co będzie jak nie zmienimy czasu w implikacji odwrotnej AO na czas przeszły:
AO.
Jeśli dostaniesz lanie to na pewno => ubrudzisz spodnie
L=>B =1

Jak widzimy, kompletnie bez sensu, I prawo Żabki działa więc doskonale.


II Prawo Żabki
Implikacje bezczasowe:
A.
Implikacja prosta po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną

IIA.
Rozważmy nasz sztandarowy przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
lub
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń

Na mocy prawa Żabki po zamianie argumentów implikacja prosta przechodzi w implikację odwrotną.
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
lub
BO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P =1 bo słoń
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stad:
CO.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
stąd:
DO.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P =0

Doskonale widać, że w tym przypadku implikacja odwrotna AO bez problemu przechodzi w implikację prostą A, bowiem nie ma tu następstwa czasowego.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
A: P=>4L = ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Jak widzimy wszystko idealnie pasuje:
Logika człowieka = matematyka ścisła = algebra Kubusia


9.14 Prawo Sowy

Symboliczna definicja operatora logicznego (algebra Kubusia):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani q. Wynika to bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora i prawa Sowy.

Przykład przedszkolaka:

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Nasz przykład spełnia tą definicję.

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” (P) zawiera się w zbiorze „zwierząt z czterema łapami” (4L)
Jeśli wymusimy P to na pewno pojawi się 4L
Zajście P jest warunkiem wystarczającym dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami i nie jest z nim tożsamy
P#4L
co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P
P=>4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =0
P~~>~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie.
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L
~P~>~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń, słoń, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L
~P~~>4L= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>:
Prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd

Kodowanie zero-jedynkowe:
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej.
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
Kod:

                    |P=>4L          |~P~>~4L
Zapis      |        |Kodowanie      |Kodowanie
symboliczny| Zbiory |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
           |        | P  4L  P=>4L  |~P ~4L ~P~>~4L
A: P=> 4L = P* 4L=1 | 1   1  =1     | 0   0   =1
B: P~~>~4L= P*~4L=0 | 1   0  =0     | 0   1   =0
C:~P~>~4L =~P*~4L=1 | 0   0  =1     | 1   1   =1
D:~P~~>4L =~P* 4L=1 | 0   1  =1     | 1   0   =1
   1    2         3   4   5   6       7   8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                    | P=1, ~P=0     |~P=1, P=0
                    |4L=1, ~4L=0    |~4L=1, 4L=0

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo 4L):
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo 4L) widzimy wyłącznie w obszarze AB456, zatem warunek wystarczający w definicji implikacji prostej obsługują wyłącznie linie A i B.

Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~4L):
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~4L) widzimy wyłącznie w obszarze CD789, zatem warunek konieczny w definicji implikacji prostej obsługują wyłącznie linie C i D.

Zastanówmy się jaka będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.

1.
Załóżmy, że wylosowaliśmy: psa


Dla psa mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano psa to na pewno => pies jest psem i ma cztery łapy
P=>P*4L = 1*1=1
Dla psa nasz świat jest zdeterminowany:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

                    P=>P*4L
A: P=>  P* 4L = 1*1 =1
B: P~~> P*~4L = 1*0 =0
C: P~~>~P*~4L = 0*0 =0
D: P~~>~P* 4L = 0*1 =0

Jak widzimy, dla psa wyłącznie zdanie A jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

2.
Załóżmy, że wylosowaliśmy: kurę

Dla kury mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kurę to na pewno => kura nie jest psem i nie ma czterech łap
K=>~P*~4L = 1*1=1
Dla kury nasz świat jest zdeterminowany:
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

                    K=>~P*~4L
A: K~>  P* 4L = 0*0 =0
B: K~~> P*~4L = 0*1 =0
C: K=> ~P*~4L = 1*1 =1
D: K~~>~P* 4L = 1*0 =0

Jak widzimy, dla kury wyłącznie zdanie C jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

3.
Załóżmy, że wylosowaliśmy: słonia

Dla słonia mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano słonia to na pewno => słoń nie jest psem i ma cztery łapy
S=>~P*4L = 1*1=1
Dla słonia nasz świat jest zdeterminowany:
~P=1, P=0
4L=1,~ 4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

                    S=>~P*4L
A: S~~> P* 4L = 0*1 =0
B: S~~> P*~4L = 0*0 =0
C: S~~>~P*~4L = 1*0 =0
D: S=> ~P* 4L = 1*1 =1

Jak widzimy, dla słonia wyłącznie zdanie D jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

Oczywistym jest, że zwierzaka któryby spełniał linię B nie jesteśmy w stanie wylosować, bo nie istnieje pies który nie ma czterech łap, dlatego w tej linii mamy twardy fałsz.
Jak widzimy po zaledwie trzech iterowaniach mamy odpowiedź iż zdanie A: P=>4L spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, jednak tylko w żargonie matematycznym możemy powiedzieć iż zdanie A jest implikacją prostą.
W rzeczywistości zdanie A to tylko warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach A i B.
P=>4L
Zbiór P zawiera się => w zbiorze 4L, dodatkowo zbiór P nie jest tożsamy ze zbiorem 4L co wymusza implikację prostą:
P=>4L = ~P~>~4L
Linie C i D to warunek konieczny:
~P~>~4L
Zbiór ~P zawiera w sobie ~> zbiór ~4L, dodatkowo zbiór ~P nie jest tożsamy ze zbiorem ~4L co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~q):
~P~>~4L = P=>4L

Nasza analiza to dowód iż zdanie A spełnia definicję implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
P=>4L = ~P~>~4L
W ogólnym przypadku po stronie ~p możemy mieć kolejny warunek wystarczający:
C: ~p=>~q (na przykład twierdzenie Pitagorasa C: ~TP=>~SK =1)
Wtedy zdanie A: p=>q, to warunek wystarczający, wchodzący w skład operatora równoważności o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja prosta. W równoważności mamy 100% determinizm (warunek wystarczający =>) zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
W implikacji prostej natomiast:
p=>q = ~p~>~q
mamy 100% determinizm (warunek wystarczający =>) po stronie p i totalny brak determinizmu (warunek konieczny ~> = „rzucanie monetą”) po stronie ~p.
Równoważnym dowodem prawdziwości zdania A jest sprawdzenie czy każdy element zbioru P zawiera się w zborze 4L, przypadki ~P (zdania C i D) nas w ogóle nie interesują, bo nie mają nic do prawdziwości zdania A.

Operator logiczny to suma logiczna wszystkich wynikowych jedynek, gdzie zmienne wejściowe zakodowane są względem konkretnego punktu odniesienia.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A: P=>4L to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L).
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C: ~P~>~4L to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L).

Z naszej analizy wynika że wynikowe jedynki będą wyłącznie w liniach A, C i D.
Kod:

Zapis       |             |Kodowanie      |Kodowanie
Symboliczny | Zbiory      |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
            |             | P 4L P=>4L    |~P ~4L ~P~>~4L
A: P=> 4L =  P* 4L=1*1 =1 | 1  1  =1      | 0   0   =1
B: P~~>~4L=  P*~4L=1*1 =0 | 1  0  =0      | 0   1   =0
C:~P~>~4L = ~P*~4L=1*1 =1 | 0  0  =1      | 1   1   =1
D:~P~~>4L = ~P* 4L=1*1 =1 | 0  1  =1      | 1   0   =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                          | P=1, ~P=0     |~P=1, P=0
                          |4L=1, ~4L=0    |~4L=1, 4L=0

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego
Prawo Sowy potwierdzają nasze trzy tabele cząstkowe wyżej, dla psa, kury i słonia.

Podsumowując:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q nie istnieje żaden operator logiczny poza operatorem AND. W świecie zdeterminowanym gdzie znamy wartości logiczne dosłownie wszystkiego nie ma żadnej logiki, niczego nie jesteśmy w stanie zmienić!

Przykład filozoficzny:
Bóg filozofów to taki Bóg który wie że wszystko wie od minus do plus nieskończoności ale nie wie skąd wie.

Bóg filozofów ma dostęp do każdej stop-klatki z filmu „Nasz Wszechświat” od minus do plus nieskończoności ale nie może niczego w scenariuszu tego filmu zmienić, jest niezdolny do jakiegokolwiek twórczego działania, jego wolna wola nie istnieje, na pewno nie On jest autorem tego filmu.

Z algebry Kubusia wynika, że w naszym punkcie odniesienia człowiek ma matematyczną wolną wolę (warunek konieczny ~> w definicji implikacji = „rzucanie monetą”). Nie da się zatem przewidzieć przyszłych zachowań człowieka ze 100% dokładnością.

Prawo Sowy dotyczy wszystkich operatorów logicznych:
OR, AND, =>, ~>, <=>, <=>

Weźmy przykładowe zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

   K  T Y=K+T               K  T  Y=K+T | ~K ~T ~Y=~K*~T |
A: 1  1  =1    | Ya = K* T =1* 1 =1     |  0  0   =0     |
B: 1  0  =1    | Yb = K*~T =1* 1 =1     |  0  1   =0     |
C: 0  1  =1    | Yc =~K* T =1* 1 =1     |  1  0   =0     |
D: 0  0  =0    |                        |  1  1   =1     |~Yd=~K*~T
   1  2   3      4    5  6  7  8  9        a  b    c

Symboliczna tabela „zero-jedynkowa” w zbiorach (stanach) to obszar ABC78 i Dab a nie obszar ABCD12.
Oczywiście wszystkie stany na wejściach p i q mogą zaistnieć, stąd same jedynki w obszarze ABC78 i Dab.

Układ równań opisujący powyższą tabelę
Dotrzymam słowa (Y):
Y = Ya+Yb+Yc = K*T + K*~T + ~K*T
Skłamię (~Y):
~Y = ~Yd = ~K*~T

Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
Yc =~K* T =1*1 =1 - wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1).

W tym przypadku mamy 100% determinizm:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0
Nasza tabela zero-jedynkowa przyjmie tu postać:
Kod:

                    Yc=~K*T
A: Ya = K* T =0* 1 =0
B: Yb = K*~T =0* 0 =0
C: Yc =~K* T =1* 1 =1
D:~Yd =~K*~T =1* 0 =0         

Doskonale widać że w czasie przeszłym nasze zdanie uległo redukcji do operatora AND i brzmi:
C.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Yc = ~K*T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~K=1 i T=1

W tym przypadku nie możemy już wypowiedzieć zdania pierwotnego mówiąc:
W.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y =K+T
Bowiem doskonale wiemy że wczoraj nie byliśmy w kinie i byliśmy w teatrze, tu już nie może być pytań kiedy w przyszłości dotrzymam słowa a kiedy skłamię, bo mamy 100% determinizm.

Człowiek w swojej logice jest matematycznie nieprawdopodobnie precyzyjny, czego przykład niżej.

Rozważmy dwa zdania:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
Zdanie matematycznie tożsame:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy lub szczeka
P=>(4L+S) =?
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
Zdanie matematycznie tożsame:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>(4L+~S) =?

Za dowolne z powyższych zdań każdy humanista postawi pałę.
Dlaczego?
Z powodu błędnie użytego spójnika „lub”(+).

Dowód:
Zdanie A.
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy lub szczeka
P=>(4L+S) = ?
Pełna definicja spójnika "lub"(+) wynikająca z tabeli zero-jedynkowej:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
4L+S = (4L*S)=1 + (4L*~S)=0 + (~4L*S)=0
co matematycznie oznacza:
(4L+S) := 4L*S
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów
Stąd
P=>(4L+S) := 4L*S
Poprawne matematycznie i lingwistycznie zdanie powinno brzmieć:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S

Zdanie B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=?
Redukcja następnika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
(4L+~S) = (4L*~S)=0 + (4L*S)=1 + (~4L*~S)=0
co matematycznie oznacza:
(4L+~S) := 4L*S
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów
Stąd
P=>(4L+~S) := 4L*S
Poprawne matematycznie i lingwistycznie zdanie powinno brzmieć:
B1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S

Każdy humanista za zdanie A lub B postawi pałę i nie ma przeproś co jest dowodem iż jest ekspertem algebry Kubusia. W obu zdaniach chodzi o błędnie użyty spójnik "lub"(+). W przypadku psa następnik jest w 100% zdeterminowany i jedynym poprawnym spójnikiem, zgodnie z prawem Sowy, jest tu spójnik „i”(*) co widać w zdaniach A1 i B1.


9.15 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych.

Na początku było:
Kod:

1=1

i stał się cud:
Kod:

(p+~p)=(q+~q)

p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
q+~q=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
Kod:

A: p=>(q+~q)
C: ~p=>(~q+q)

stąd mamy …

Równoważność

Operatorowa definicja równoważności:
Kod:

   p   q p<=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q=0    /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =0    /o definicji w C i D

Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


Implikacja prosta

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności. Możliwe jest rozczepienie linii A i B albo linii C i D.

Implikacja prosta to rozczepienie linii C i D w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~>~q =0    /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1


Implikacja odwrotna

Implikacja odwrotna to rozczepienie linii A i B w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q p~>q
A: p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~> q =0    /o definicji w C i D

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


Operator chaosu

Możliwe jest totalne rozczepienie definicji równoważności, zarówno po stronie p jak i ~p.
Nie ma wtedy żadnej gwarancji, mamy tu zdanie ZAWSZE PRAWDZIWE, pełną przypadkowość

Operator chaosu, czyli definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
B: p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
C:~p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
D:~p~~> q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q

p~~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q

Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu ~~> dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1


Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.
Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =0    /zbiór pusty
B: p~~>~q =0    /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty
D:~p~~> q =0    /zbiór pusty


Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 23:03, 24 Lip 2013, w całości zmieniany 13 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:02, 13 Cze 2013    Temat postu:

10.0 Pozostałe operatory logiczne w zbiorach

Najciekawszym wśród pozostałych operatorów logicznych jest operator XOR, który może być spójnikiem „albo”($) z naturalnej logiki człowieka lub też nietypową równoważnością.


10.1 Operator XOR w zbiorach

Operator XOR opisuje właściwości zbiorów rozłącznych.

Możliwe są tu dwa przypadki:
1.
Istnieje część wspólna zbiorów ~p*~q.
Dziedzina:
p*~q + ~p*q + ~p*~q
2.
Nie istnieje cześć wspólna zbiorów ~p*~q.
Dziedzina:
p*~q + ~p*q

Przypadek 1.
Definicja XOR1 w zbiorach:

Zbiory p i q są rozłączne i istnieje zbiór ~p*~q:
~p*~q=1
Z czego wynika dziedzina:
D=p*~q + ~p*q + ~p*~q

Definicja XOR1 w równaniu algebry Kubusia:
Y=p$q = p*~q+~p*q
~Y=~(p$q)=~p*~q
Gdzie:
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Przykład:
Zdefiniujmy dwa zbiory rozłączne:
p=[1,2]
q=[3,4]
Oraz dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[1,2,5,6]

Prawa nowej teorii zbiorów dla zbiorów rozłącznych:
1.
p*~q =p
Dowód:
p*~q = [1,2]*[1,2,5,6] =[1,2] =p
cnd
2.
~p*q =q
Dowód:
~p*q = [3,4,5,6]*[3,4] = [3,4] =q
cnd

Stąd otrzymujemy:
p$q = p*~q + ~p*q := p+q
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Wniosek:
W przypadku XOR1 nie ma znaczenia czy użyjemy spójnika „albo”($) czy też spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka.
Na mocy nowej teorii zbiorów oba te spójniki znaczą dokładnie to samo.

Realny przykład z życia:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
P+K=>4L
Oczywiście zbiory pies i kot są rozłączne, ale należą do tej samej dziedziny, tu:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Oczywiście zachodzi:
P*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0.

Zobaczmy co się zmieni jak w naszym przykładowym zdaniu zmienimy P+K na precyzyjne P$K:
A.
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to na pewno ma cztery łapy
P$K=>4L
Oczywiście zbiory pies i kot są rozłączne, ale należą do tej samej dziedziny, tu:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
P$K = P*~K + ~P*K
ale!
Na mocy nowej teorii zbiorów mamy:
P*~K = P
~P*K = K
stąd:
P$K = P*~K + ~P*K := P+K
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Jak widzimy jest rybka, czyli wszystko jedno czy w zdaniu A wyżej, użyjemy spójnika „albo”($), czy też spójnika „lub”(+).
Z tego powodu większość ludzi (prawie wszyscy) używa spójnika „lub”(+) w znaczeniu „albo”($).

Rozważmy zdanie gdzie zbiór ~p*~q jest zbiorem pustym, a nie jak wyżej zbiorem niepustym.
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Y = M$K
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo” w algebrze Kubusia
Oczywiście nie ma więcej możliwości, bo wykluczony jest przypadek, aby człowiek był jednocześnie kobietą i mężczyzną.
Tu dziedzina:
D=K+M
Nie ma innych możliwości.
Oczywiście dwa zbiory i brak trzeciej możliwości wymusza równoważność o której będzie za chwilę.

Zauważmy, że prawa nowej teorii zbiorów również tu obowiązują:
M$K = M*~K + ~M*K := M+K
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy NTZ

Z tego względu większość ludzi powie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną lub kobietą
Y=M+K
Zauważmy, że tu również obowiązuje prawo przejścia do logiki ujemnej.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y=~M*~K
czyli:
Zdanie będzie fałszywe (~Y=1) gdy powiemy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną i nie jest kobietą
~Y=~M*~K

Prawa przejścia do logiki ujemnej w obu przypadkach są niezależne od tego czy użyjemy spójnika „albo”($) czy też spójnika „lub”(+), w obu przypadkach działają doskonale.

Zauważmy, że spójnik „albo”($) jest podzbiorem spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q

Stąd definicja spójnika „lub”(+) zapisana z wykorzystaniem „albo”($)
Y= p+q = p$q + p*q

Oczywiście mózg człowieka doskonale wyłapie że w przypadku naszego zdania:
K*M=0
p*q=0

Zauważmy, że dla określenia przypadku kiedy zachodzi:
Y=p*q
Mamy specjalny, precyzyjny spójnik „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Z tego powodu nasz mózg używa prawie zawsze spójnika „lub”(+) i prawie zawsze rozumie go jako spójnik „albo”($).

„Prawie” … bo w przykładowym zdaniu wzorcowym dla spójnika „lub”(+) może zajść p*q=1 o czym wszyscy wiemy.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) mamy:
Y=K+T = K*T + K*~T +~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1

Wszyscy doskonale wiemy, iż tu możliwy jest przypadek pójścia i do kina i do teatru i nie ma tu mowy o żadnym kłamstwie.
Y=K*T =1*1 =1 - przypadek możliwy (oczywiście nie skłamię jak pójdę i tu i tu)

Podobny przykład z naturalnej logiki człowieka:
A.
Jan wszedł i padł martwy
Y=W*P
Spójnik „i”(*) jest w logice przemienny zatem zdanie tożsame:
B.
Jan padł martwy i wszedł
Y=P*W
W zdaniu A mamy następstwo czasowe gdzie nie zachodzi przemienność argumentów. Nasz mózg o tym doskonale wie i używa spójnik krótkiego „i”(*) zamiast długiego „po czym”.


10.2 Nietypowa równoważność

Przypadek 2.
Zbiory p i q są rozłączne z dziedziną:
D=p+q
czyli:
Nie istnieje zbiór ~p*~q:
~p*~q=0

Z założenia mamy tu wyłącznie dwa zbiory p i q, co wymusza nietypową równoważność:
p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)

Przykład takiego zdania to oczywiście klasyka:
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą
M$K = M*~K+~M*K
Nie ma innych możliwości!

Diagram nietypowej równoważności:

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Zamiast założonych zbiorów jak w diagramie zrobimy to od razu na przykładzie z życia, będzie ciekawiej.

RA.
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)
Sprawdzamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~K):
M=>~K
A.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to na pewno => nie jest kobietą
M=>~K=1
Zbiory:
M=>~K = M*~K=M
M=>~K = M*~K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (M=1 i ~K=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zbiór M zawiera się w zbiorze ~K
Z czego wynika że bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => aby nie być kobietą
stąd:
B.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to może ~~> być kobietą
M~~>K =0
Zbiory:
M~~>K = M*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (M=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 1

… a jeśli człowiek nie jest mężczyzną.
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Wyłącznie negujemy zmienne w równaniu RA:
~M<=>K = (~M=>K)*(M=>~K)
Prawe strony tożsame, co kończy dowód.
RC
~M<=>K = (~M=>K)*(M=>~K)
Sprawdzamy warunek wystarczający w logice dodatniej (bo K):
~M=>K
C.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną, to na pewno => jest kobietą
~M=>K =1
Zbiory:
~M=>K = ~M*K = ~M = K
~M=>K = ~M*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~M=1 i K=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór ~M zawiera się w zbiorze K bo:
~M=K - zbiory tożsame
Co oznacza że:
Nie bycie mężczyzną wystarcza => aby być kobietą
stąd:
D.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną to może ~~> nie być kobietą
~M~~>~K =0
Zbiory:
~M~~>~K = ~M*~K = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~M=1 i ~K=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Dowód:
~M=K
~K=M
stąd:
~M~~>~K = ~M*~K = K*M = 1*1=0
cnd

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
RA:
M<=>~K
stąd:
M=1, ~M=0
~K=1, K=0
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja   |Kodowanie
równoważności           |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~K  |definicji symbolicznej
M<=>~K                   |
   M    ~K               |  M  ~K  M<=>~K
---------------------------------------------
A: M=>  ~K =1            |  1  1   =1
B: M~~>  K =0            |  1  0   =0
C:~M=>   K =1            |  0  0   =1
D:~M~~> ~K =0            |  0  1   =0
   1     2  3               4  5    6



10.3 Nietypowa implikacja prosta

Przykład:

Załóżmy dwa zbiory:
p=[1,2]
q=[3,4]
Oraz dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[1,2,5,6]

Przeanalizujmy zdanie:
p=>~q
zakładając że mamy do czynienia z implikacją o definicji:
p=>~q = ~p~>q

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=1
Zbiory:
p=>~q = p*~q = [1,2]*[1,2,5,6]=[1,2] =p
p=>~q = p*~q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka => spełniona bo:
[1,2]=>[1,2,5,6]
Zbiór p zawiera się w zbiorze ~q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
stad:
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q=0
Zbiory:
p~~>q = p*q = [1,2]*[3,4] =0
p~~>q = p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli nie zajdzie p?
Z założenia mamy do czynienia z implikacją, zatem stosujemy prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>q
stąd:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p~>q =1
Zbiory:
~p~>q = ~p*q = [3,4,5,6]*[3,4] =~p
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
[3,4,5,6]~>[3,4]
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia q
Zabieram ~p i znika mi q
lub (ostatnia możliwość przeczeń)
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q =1
Zbiory:
~p~~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[1,2,5,6] = [5,6] =1
~p~~>~q = ~p*~q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo:
[3,4,5,6]~>[1,2,5,6]
Zbiór ~p nie zawiera w sobie zbioru ~q
stąd:
~p~>~q=0
cnd
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów ~p i ~q.

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1 bo pies
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory:
P=>~K = P*~K=P
P=>~K = P*~K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~K=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „nie kot”
stąd:
Bycie psem wystarcza => aby nie być kotem

Uzasadnienie:
K=1 - istnieje zbiór kotów
~K = ZWZ-K
Oczywiście w takim zbiorze zawiera się zbiór „pies”
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> jest kotem
P~~>K=0 - zbiory rozłączne
Zbiory:
P~~>K = P*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

... a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być kotem
~P~>K=1 bo kot
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem
Zbiory:
~P~>K = ~P*K = K
~P~>K = ~P*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i K=1) i maja cześć wspólną (K) co wymusza w wyniku 1
Zbiór ~P*K jest konieczny dla K bo zabieram ~P*K i znika mi zbiór K
Uzasadnienie:
P=1 - istnieje zbiór „pies”
~P = ZWZ-P - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o zbiór psów
~P*K = K
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> nie być kotem
~P~~>~K=1 bo koń, mrówka, wąż..
Zbiory:
~P~~>~K = ~P*~K = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~K=1) i mają część wspólną (ogromną!) co wymusza w wyniku 1
Zbiór ~P nie jest konieczny dla ~K bo zabieram zbiór ~P i zostaje mi jeden element … „pies” który mieści się w zbiorze ~K.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Kod:

               |P ~K P=>~K
A: P=>~K=1     |1  1  =1
B: P~~>K=0     |1  0  =0
C:~P~> K=1     |0  0  =1
D:~P~~>~K=1    |0  1  =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
               |P=1, ~P=0
               |~K=1, K=0

Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej, w skrócie „jest implikacją prostą”


10.4 Samodzielny warunek wystarczający

Definicja:
Samodzielny warunek wystarczający => to warunek wystarczający => nie wchodzący ani w skład implikacji, ani też w skład równoważności.

Ciekawy jest wyjątek w implikacji zbiorów rozłącznych:
p=>~q
gdzie q jest zbiorem pustym:

Przeanalizujmy przez definicję implikacji następujące zdanie:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
stąd zbiory:
P=>~ML = P*~ML = P
P=>~ML = P*~ML=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~ML=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze ~ML
czyli:
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap

Wyjaśnienia:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
ML=0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
~ML = 1 - zbiór wszystkich zwierząt
Uzupełnienie zbioru pustego do dziedziny to zbiór wszystkich zwierząt
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P~>ML = ~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek:
Kod:

                   |P ~ML P=>~ML
A: P=>~ML=1        |1  1   =1
B: P~~>ML=0        |1  0   =0
C:~P~> ML=0        |0  0   =0
D: bez znaczenia
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
                   |P=1, ~P=0
                   |~ML=1, ML=0

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.


10.5 Pseudo-operator Słonia

Pseudo-operator Słonia umożliwia matematyczny opis figury geometrycznej X przy pomocy definicji figury Y. Pseudo operator Słonia to odpowiednik makro rozkazu w języku asemblera.

Definicja pseudo operatora Słonia:
(~p*r)&p = p&(~p*r) = p*r
Algorytm działania pseudo operatora Słonia:
Ustawiamy polaryzację zmiennych w nawiasie na zgodną z polaryzacją po przeciwnej stronie znaku &


Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=(KW)&~BR = (KR*BR)&~BR = KR*~BR

Każda nowa teoria matematyczna potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania, zrozumiałego dla przeciętnie zdolnego matematyka.

Przykład zastosowania algebry Kubusia znajdziemy w V części podręcznika:
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

W dzisiejszej matematyce definicje banalnych czworokątów rodem z pierwszych klas szkoły podstawowej są matematycznie do bani, bo nie są jednoznaczne.


10.6 Definicje operatorów w bramkach logicznych

Definicja operatora OR:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p*~q
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =1    0  1   =0
C: 0 1  =1    1  0   =0
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to tabela prawdy ABC123 (bramka OR)
Spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to linia D456 (bramka AND)

Próbnik stanów logicznych to probówka z dwoma diodami świecącymi:
Zielona - logiczne „0”
Czerwona - logiczne „1”

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p+q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze ABC123, cały czas dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po dojściu do linii D zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w linii D456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p*~q
Musi być:
~p=1
~q=1
~Y=~p*~q=1


Definicja operatora AND:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Kod:

   p q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =0    0  1   =1
C: 0 1  =0    1  0   =1
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to linia A123 (bramka AND)
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to tabela prawdy BCD456 (bramka OR)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p*q
Na wejściach p i q wymuszamy stan logiczny pokazany w linii A123, dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po przejściu do linii B zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w obszarze BCD456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p+~q
Musi być dokładnie to co w tabeli.
Przykładowo dla linii B musi być:
~p=0
~q=1
~Y=~p+~q=1


Definicja bramki „musi”=>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi”=> to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Definicja bramki „może” ~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może”~> to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Definicja operatora implikacji prostej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „musi”=>:
p=>q =1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „może”~>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0   0  1   =0
C:~p~> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =1   1  0   =1
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji prostej to obszar ABCD123:
p=>q = ~p~>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii B456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p=>q) = p*~q
stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q
Fizyczna budowa operatora implikacji prostej to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=>)
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „może”~>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p=>q = ~p~>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B musi zaświecić się dioda zielona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek konieczny ~>).
Przykładowo dla linii D789 musi być:
~p=1
~q=0
~p~>~q =1

Definicja operatora implikacji odwrotnej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „może” ~>:
p~>q =1
p~~>~q=1
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „musi”=>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =1   0  1   =1
C:~p=> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =0   1  0   =0
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej to obszar ABCD123:
p~>q = ~p=>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii D456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p~>q) = ~p*q
stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q
Fizyczna budowa operatora implikacji odwrotnej to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „może”~>)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p~>q = ~p=>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek konieczny ~>). Oczywiście cały czas musi zaświecić się dioda czerwona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0

Definicja równoważności:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) mamy w bramce „musi”=> po lewej stronie:
p=>q=1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) mamy w bramce „musi”=> po prawej stronie:
~p=>~q=1
~p~~>q=0
Kod:

             p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1  1 1  =1    0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0    0  1   =0
C:~p=> ~q=1  0 0  =1    1  1   =1
D:~p~~> q=0  0 1  =0    1  0   =0
   1    2 3  4 5   6    7  8    9

Symboliczna definicja operatora równoważności to obszar ABCD123:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=> po lewej stronie)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=> po prawej stronie)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p<=>q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B dioda musi zaświecić się na zielono.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0

Bardzo ważne doświadczenie:
Sprawdzić w laboratorium układów logicznych rzeczywiste działanie wszystkich operatorów logicznych.


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 10:27, 18 Lip 2013, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:04, 13 Cze 2013    Temat postu:

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

11.0 Obietnice i groźby

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.


11.1 Definicje obietnicy i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Znaczenie znaczków => i ~>:
W=>N - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę, z powodu że spełniłeś warunek nagrody
~W~>~N - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody lub możesz ~~> dostać nagrodę
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

Znaczenie znaczków ~> i =>:
W~>K - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany, lub możesz ~~> nie zostać ukarany.
~W=>~K - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli nie spełnisz warunku kary to na pewno => nie zostaniesz ukarany, z powodu że nie spełniłeś warunku kary
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Wyprowadzenie definicji groźby

Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta
To jest nasz pierwszy aksjomat.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność

2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność

Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N

Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N

Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K

2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K

Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna na mocy definicji


11.2 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C

C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach spójnik „może” ~> jest domyślny i z reguły jest pomijany.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.


11.3 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


11.4 Obietnica w równaniach logicznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych. Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


11.5 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


11.6 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym dla dostania czekolady i obejrzenia dobranocki.
B.
p~~>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Zakaz karania z powodu spełnienia warunku nagrody.
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=0 - tu również jest kara (~D)
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody

… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
Mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~>.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
Jeśli warunek ukarania jest spełniony to mama może wybrać dowolny z poniższych przypadków:
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=1 - to jest 100% kary
B: ~C*D =1 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=1 - tu również jest kara (~D)
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


11.7 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać karę w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


11.8 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 11.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


11.9 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


12.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).
Zdania A i B to świat totalnie zdeterminowany bo znamy z góry wartości logiczne p i q.
Dla psa mamy:
4L=1, ~4L=0
S=1, ~S=0

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1
Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego. Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Prawo Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”.

Zdanie:
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
… a jeśli Jan nie był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


12.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
11. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


12.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P+K zawiera się w zbiorze 4L*~C
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to może ~~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
P+K ~~> ~4L+C =0
p~~>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty:
Mamy:
p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
~p~>~q = ~P*~K ~> ~4L+C
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P*~K zawiera w sobie zbiór ~4L+C
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
Kod:

Definicja
Symboliczna    |p q p=>q
A: p=> q=1     |1 1  =1
B: p=>~q=0     |1 0  =0
C:~p~>~q=1     |0 0  =1
D:~p~~>q=1     |0 1  =1
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja następnika.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w następniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

P+K=> 4L*~C=1*1=1
P+K=> 4L* C=1*0=0
P+K=>~4L*~C=0*1=0
P+K=>~4L* C=0*0=0

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy następnika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd

Rozważmy na koniec prawdziwość takiego zdania:
W.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem lub wróbelkiem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K+W=>4L*~C =0 bo kontrprzykład: wróbelek
Definicja znaczka => nie spełniona bo zbiór P+K+W nie zawiera się w zbiorze 4L*~C.
Poza zbiór 4L*~C wystaje wróbelek - kontrprzykład.


12.3 Złożona implikacja odwrotna

Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu, możemy to robić wyłącznie w implikacjach bezczasowych. Oba zdania będą prawdziwe, ale nie równoważne matematycznie (pkt. 6.1).
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K
Po stronie poprzednika mamy tu prawdę powstałą z negacji fałszu (~C=1) którą możemy sunąć ale nie musimy tego robić.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
p~>q=1
Posiadanie czterech łap i brak umiejętności ćwierkania jest warunkiem koniecznym aby być psem lub kotem.
Zbiory:
(4L*~C)*(P+K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (P+K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
Obliczanie ~q:
q=P+K
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~q = ~P*~K
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~~> nie być psem i nie być kotem
4L*~C ~~> ~P*~K =1 bo słoń, koń, hipopotam ...
p~~>~q=1
Zbiór zwierząt mających cztery łapy i nie ćwierkających ma część wspólną ze zbiorem zwierząt nie będących psami i nie będących kotami (słoń, koń, hipopotam...).
Zbiory:
(4L*~C)*(~P*~K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (~P*~K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

... a jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
4L*~C ~> P+K
stąd:
~4L+C => ~P*~K
To jest prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Dowód:
p~>q = ~p=>~q
mamy:
p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
Stąd:
~p=>~q
~4L+C => ~P*~K
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => nie jest psem i nie jest kotem
~4L+C => ~P*~K =1 bo wąż, mrówka, wróbelek ...
~p=>~q=1
Brak czterech łap lub ćwierkanie jest warunkiem wystarczającym => aby nie być psem i nie być kotem.
Zbiory:
(~4L+C)*(~P*~K)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (~P*~K)=1)]i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to może ~~> być psem lub kotem
~4L+C ~~> P+K =0
~p~~>q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap lub ćwierkających jest rozłączny ze zbiorem psów lub kotów, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(~4L+C)*(P+K)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (P+K)=1)] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
B: (4L*~C) ~> (~P*~K) = D: (~4L+C) => (P+K) =0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
Kod:

Definicja       |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna     |p q p~>q
A: p~> q =1     |1 1  =1
B: p~~>~q=1     |1 0  =1
C:~p=>~q =1     |0 0  =1
D:~p~~>q =0     |0 1  =0
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w skrócie jest implikacją odwrotną

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja poprzednika.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w poprzedniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

 4L*~C=1*1=1 ~~>P+K
 4L* C=1*0=0 ~~>P+K
~4L*~C=0*1=0 ~~>P+K
~4L* C=0*0=0 ~~>P+K

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy poprzednika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd

Raj, 2013-07-15


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 10:35, 18 Lip 2013, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:07, 13 Cze 2013    Temat postu:

...

Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 19:19, 27 Cze 2013    Temat postu:

....

Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 22:27, 16 Lip 2013    Temat postu:

.

Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 22:31, 16 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin