Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - pogrom logiki matematycznej Ziemian (2013)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 11:15, 08 Lip 2013    Temat postu: Algebra Kubusia - pogrom logiki matematycznej Ziemian (2013)

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia - pogrom logiki matematycznej Ziemian
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Kopernik - zatrzymał słońce, ruszył Ziemię
Kubuś - zatrzymał cyfry, ruszył symbole

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina i Pana Baryckiego.


Wstęp.

Największą tragedią Ziemian w logice matematycznej jest grzebanie się non-stop w tabelach zero-jedynkowych, podczas gdy cały świat w programowaniu komputerów już wieki temu uciekł do symbolicznej algebry Boole’a. W programowaniu komputerów człowiek myślał w zerach i jedynkach przez mgnienie oka, praktycznie natychmiast skopiował działanie własnego mózgu uciekając do języków symbolicznych, izolowanych od idiotycznych zer i jedynek. Fundamentem wszelkich języków wysokiego poziomu w programowaniu komputerów jest język asemblera, będący w swej istocie 100% symboliczną algebrą Boole’a, czyli algebrą Kubusia. Poza tym każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora biegle posługuje się logiką dodatnią i ujemną w algebrze Boole’a, o czym Ziemianie nie mają bladego pojęcia.

Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Operatory OR i AND w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych
2.1 Definicja operatora OR w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych
2.2 Definicja operatora AND w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych
2.3 Operatory OR i AND - dwa izolowane układy logiczne
2.4 Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
2.5 Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
2.6 Twierdzenia o funkcjach logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
2.7 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ

1.0 Notacja

Znaczenie 0 i 1 w matematycznych fundamentach algebry Kubusia:
1 - prawda
0 - fałsz

Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

~ - symbol negacji

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej

= - tożsamość
Zbiory:
p=q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
Prawami tożsamościowymi w logice matematycznej są prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zbiory p+q i ~(~p*~q) to zbiory tożsame.
Zbiory p*q i ~(~p+q) to również zbiory tożsame.

Każda tożsamość to automatycznie równoważność.
Prawa De Morgana możemy zatem zapisać w formie równoważności:
p+q <=> ~(~p*~q)
p*q <=> ~(~p+~q)

# - różne
Zbiory:
p#q - zbiór p jest różny od zbioru q (zbiory rozłączne)

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

## - różne na mocy definicji
Operator OR ## Operator AND
Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y = p+q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*~q - logika ujemna bo ~Y

Zastosowanie:
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=1) to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiem kiedy skłamię (~Y=1) i odwrotnie.
Mamy tu wynikanie w dwie strony, zatem zachodzi równoważność:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Spełniona jest tu definicja dziedziny:
Y+~Y =1 - zdarzenie (zbiór) ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zdarzenia Y
Y*~Y=0 - zdarzenia Y i ~Y są rozłączne
Tej równoważności nie możemy zapisać w postaci tożsamości.
Tożsamość wynika tu z prawa podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Y = Y
Oczywiście każda tożsamość to automatycznie równoważność:
Y<=>Y


2.0 Operatory OR i AND w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Algorytm Wuja Zbója:
Y = p+q(r+~s)
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y = ~p*[~q+~r*s]
Mnożymy wielomiany:
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s

Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Uniwersum to najszersza dziedzina w której człowiek może się poruszać.

Definicja zbioru:
Zbiór to dowolnie wybrany zbiór, uniwersum lub podzbiór uniwersum.

Człowiek może tworzyć dowolne podzbiory uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Przy tej definicji uniwersum można uznać za zbiór wszystkich zbiorów. Oczywiście uniwersum jest dynamiczne, żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza uniwersum. W praktyce rzadko odwołujemy się do uniwersum ale to pojecie jest dla logiki bezcenne.

W logice można ustawić punkt odniesienia na dowolnym zbiorze.
Taki zbiór nosi nazwę dziedziny.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to zbiór główny w obrębie którego działamy, poza ramy którego nie wychodzimy

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty

Podstawowe operacje na zbiorach
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] =0 - zbiór pusty

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być uniwersum

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka


2.1 Definicja operatora OR w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y = ~(p+q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Równoważny diagram operatora OR:

Y=p*q+p*~q+~p*q
~Y=~p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y = Ya+Yb+Yc
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy że zbiór Y=p+q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p*~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p+q) <=>~(~p*~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q =[1,2,3,4,5,6] =1
to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y = ~p*~q = [7,8] =1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny.
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie.
Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Zatem nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja.

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabala A
   p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =1     =0       0  1   =0      =1
C: 0 1  =1     =0       1  0   =0      =1
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=Y
A1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Y
A2.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Związek równań A1 i A2:
A1: Y = p+q = ~(~p*~q) # A2: ~Y = ~(p+q) = ~p*~q
gdzie:
# - różne (kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne)
Po obu stronach znaku # muszą być identyczne parametry p i q


2.2 Definicja operatora AND w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych

Definicja operatora AND w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja operatora AND w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y = ~(p*q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora AND:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Równoważny diagram operatora AND:

Y=p*q
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
stąd:
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora AND:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Zauważmy że zbiór Y=p*q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p+~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p*q) <=>~(~p+~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y=p*q =[3,4] =1
to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie.
Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Zatem nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja.

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela B
   p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =0     =1       0  1   =1      =0
C: 0 1  =0     =1       1  0   =1      =0
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=Y
B1.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Y
B2.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Związek równań B1 i B2:
B1: Y = p*q = ~(~p+~q) # B2: ~Y = ~(p*q) = ~p+~q
gdzie:
# - różne (kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne)
Po obu stronach znaku # muszą być identyczne parametry p i q


2.3 Operatory OR i AND - dwa izolowane układy logiczne

Serie zdań A (OR) i B (AND) nie mają ze sobą nic wspólnego, to dwa izolowane układy logiczne, różne na mocy definicji.
Definicja operatora OR (Tabela A) ## Definicja operatora AND (Tabela B)
A: Y = p+q = ~(~p*~q) # ~Y = ~(p+q) = ~p*~q ## B: Y = p*q = ~(~p+~q) # ~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać, że układ równań B otrzymujemy wyłącznie poprzez wymianę spójników. Układy te nie mogą być zatem tożsame, to dwa izolowane układy logiczne, lewa strona znaku ## nie ma nic wspólnego z prawą stroną znaku ##. Pod parametry formalne po obu stronach znaku ## możemy podstawiać cokolwiek, nie ma tu wymagania identycznego podstawienia.


2.4 Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR

Ziemianie znają algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a czego dowodem jest [link widoczny dla zalogowanych]
Algorytm Ziemian jest ułomny, brakuje w nim podstawy tego przejścia, praw Prosiaczka.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR wraz z równaniami logicznymi ją opisującymi:
Kod:

   p q  Y | p  q  Y=p+q
A: 1 1 =1 | p* q= Ya - logika dodatnia bo Yx
B: 1 0 =1 | p*~q= Yb
C: 0 1 =1 |~p* q= Yc
D: 0 0 =0 |~p*~q=~Yd - logika ujemna bo ~Yx
   1 2  3

Wspólnym punktem odniesienia we wszelkich równaniach algebry Boole’a są zmienne binarne sprowadzane są do jedynek na mocy praw Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Zmienne w poziomie łączymy spójnikiem „i”(*) natomiast wiersze w tej samej logice spójnikiem „lub”(+).
Równania algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę to:
Y = Ya+Yb+Yc = p*q + p*~q + ~p*q
Minimalizujemy ostatnie równanie:
Y = p*(q +~q) + ~p*q
Y = p + ~p*q
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = p*~p+~p*~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
Stąd otrzymujemy definicję minimalną operatora OR w równaniach algebry Boole’a:
A.
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 (np. q=1) i już funkcja logiczna przyjmie wartość 1.
Y=1
Stan drugiej zmiennej jest w tym momencie bez znaczenia.
B.
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Pełna, zero-jedynkowa definicja operatora OR z opisem w równaniach algebry Boole’a:
Kod:

Tabela A
Brak punktu odniesienia -------------------------------------->
IV ~p  q Y=~p+ q ---------------------------------->         |
III p ~q Y= p+~q ----------------------->         |          |
II ~p ~q Y=~p+~q ------------>         |          |          |
I   p  q Y= p+ q ->         |          |          |          |
                 | Y= p+ q  | Y=~p+~q  | Y=p+~q   | Y=~p+ q  |
           Y     | p  q  Y  |~p ~q  Y  | p ~q  Y  |~p  q  Y  |?p ?q  Y
----------------------------------------------------------------------
A:  1  1  =1     | p* q= Ya |~p*~q= Ya | p*~q= Ya |~p* q= Ya | 1* 1= 1
B:  1  0  =1     | p*~q= Yb |~p* q= Yb | p* q= Yb |~p*~q= Yb | 1* 1= 1
C:  0  1  =1     |~p* q= Yc | p*~q= Yc |~p*~q= Yc | p* q= Yc | 1* 1= 1
D:  0  0  =0     |~p*~q=~Yd | p* q=~Yd |~p* q=~Yd | p*~q=~Yd | 1* 1= 1
    1  2   3       a  b  c    d  e  f    g  h  i    j  k  l    4  5  6

Użyteczną technikę tworzenia równania algebry Boole’a (I, II, III, IV) z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 widać jak na dłoni:
1.
Jeśli na wybranej pozycji widnieje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny
2.
Jeśli na wybranej pozycji widnieje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
3.
Zmienne wejściowe p i q łączymy spójnikiem „i”(*)
Przykład:
Dla tabeli symbolicznej II (ABCDdef) nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD123 to:
Kod:

  ~p ~q Y=~p+~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3

B1=1 stąd Bd=~p - przepisujemy nagłówek kolumny ABCD1
B2=0 stąd Be=~(~q) =q - przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny ABCD2
4.
Wiersze w tej samej logice łączymy spójnikiem „lub”(+).
Wynika z tego że dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa różne równania algebry Boole’a, jedno w logice dodatniej (bo Y) i drugie w logice ujemnej (bo ~Y)
Przykład dla tabeli symbolicznej II (ABCDdef):
Y = Ya+Yb+Yc = ~p*~q + ~p*q+p*~q = ~p+~q
~Y = ~Yd = p*q

Użyteczna technika tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD123 z definicji symbolicznej jest dokładnie odwrotna:
1.
Jeśli na wybranej pozycji mamy zgodność logiki z nagłówkiem kolumny to w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 na odpowiedniej pozycji zapisujemy 1
2.
Jeśli na wybranej pozycji mamy niezgodność logiki z nagłówkiem tabeli to w tabeli zero-jedynkowej na odpowiedniej pozycji zapisujemy 0
Przykład:
Dla tabeli symbolicznej II (ABCDdef) nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD123 to:
Kod:

  ~p ~q Y=~p+~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3

Przykład dla ABCDdef:
Bd=~p, Nagłówek ABCDd=~p stąd na pozycji B1 zapisujemy 1
Be=p, Nagłówek ABCDEe=~p stąd na pozycji B2 zapisujemy 0

Wnioski:
1.
W powyższej tabeli doskonale widać że dokładnie ta sama tabela zero-jedynkowa opisuje cztery, fundamentalnie różne funkcje logiczne:
I. Y=p+q
II. Y=~p+~q
III. Y=p+~q
IV. Y=~p+q
co jest oczywistością, bo tabelę zero-jedynkową wymusza tu użyty spójnik „lub”(+) o znaczeniu:
Yx=1 <=> ?p=1 lub ?q=1
W miejsce ? możemy wstawiać dowolne przeczenia (lub brak przeczenia), ma to ZEROWY wpływ na uzyskaną tabelę zero-jedynkową, która we wszystkich czterech, możliwych przypadkach (I,II,III i IV) jest identyczna.
2.
Tabela ABCD456 pokazuje matematyczną oczywistość, wszędzie mamy same jedynki, bo wszystkie zmienne w tabelach symbolicznych I, II, III i IV mamy sprowadzone do jedynek.
3.
Wynika z tego że w równaniach logicznych cała logika przerzucona jest na równania algebry Boole’a bez żadnego związku z tabelą zero-jedynkową ABCD123.
4.
Wynika z tego że logika Ziemian grzebiąca się w tabelach zero-jedynkowych jest po prostu do bani, jej miejsce jest w śmietniku historii.
cnd


2.5 Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND

Zero-jedynkowa definicja operatora AND wraz z równaniami logicznymi ją opisującymi:
Kod:

   p q  Y | p  q  Y=p*q
A: 1 1 =1 | p* q= Ya - logika dodatnia bo Yx
B: 1 0 =0 | p*~q=~Yb - logika ujemna bo ~Yx
C: 0 1 =0 |~p* q=~Yc
D: 0 0 =0 |~p*~q=~Yd
   1 2  3

Wspólnym punktem odniesienia we wszelkich równaniach algebry Boole’a są zmienne binarne sprowadzane są do jedynek na mocy praw Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Zmienne w poziomie łączymy spójnikiem „i”(*) natomiast wiersze w tej samej logice spójnikiem „lub”(+).
Równania algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę to:
Y = Ya = p*q
~Y = ~Yb+~Yb+~Yc = p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy ostatnie równanie:
~Y = p*~q + ~p(q+~q)
~Y = ~p + p*~q
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p+p*q
Y = p*q
~Y = ~p+~q
Stąd otrzymujemy definicję minimalną operatora AND w równaniach algebry Boole’a:
A.
Y = p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
B.
~Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 (np. ~q=1) i już funkcja logiczna przyjmie wartość 1.
~Y=1
Stan drugiej zmiennej jest w tym momencie bez znaczenia.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Pełna, zero-jedynkowa definicja operatora AND z opisem w równaniach algebry Boole’a:
Kod:

Tabela B
Brak punktu odniesienia -------------------------------------->
IV ~p  q Y=~p* q ---------------------------------->         |
III p ~q Y= p*~q ----------------------->         |          |
II ~p ~q Y=~p*~q ------------>         |          |          |
I   p  q Y= p* q ->         |          |          |          |
                 | Y= p* q  | Y=~p*~q  | Y=p*~q   | Y=~p* q  |
           Y     | p  q  Y  |~p ~q  Y  | p ~q  Y  |~p  q  Y  |?p ?q  Y
----------------------------------------------------------------------
A:  1  1  =1     | p* q= Ya |~p*~q= Ya | p*~q= Ya |~p* q= Ya | 1* 1= 1
B:  1  0  =0     | p*~q=~Yb |~p* q=~Yb | p* q=~Yb |~p*~q=~Yb | 1* 1= 1
C:  0  1  =0     |~p* q=~Yc | p*~q=~Yc |~p*~q=~Yc | p* q=~Yc | 1* 1= 1
D:  0  0  =0     |~p*~q=~Yd | p* q=~Yd |~p* q=~Yd | p*~q=~Yd | 1* 1= 1
    1  2   3       a  b  c    d  e  f    g  h  i    j  k  l    4  5  6

Użyteczną technikę tworzenia równania algebry Boole’a (I, II, III, IV) z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 widać jak na dłoni:
1.
Jeśli na wybranej pozycji widnieje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny
2.
Jeśli na wybranej pozycji widnieje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
3.
Zmienne wejściowe p i q łączymy spójnikiem „i”(*)
Przykład:
Dla tabeli symbolicznej II (ABCDdef) nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD123 to:
Kod:

  ~p ~q Y=~p*~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3

B1=1 stąd Bd=~p - przepisujemy nagłówek kolumny ABCD1
B2=0 stąd Be=~(~q) =q - przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny ABCD2
4.
Wiersze w tej samej logice łączymy spójnikiem „lub”(+).
Wynika z tego że dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa równania algebry Boole’a, jedno w logice dodatniej (bo Y) i drugie w logice ujemnej (bo ~Y)
Przykład dla tabeli symbolicznej II (ABCDdef):
Y = Ya = ~p*~q
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*q + p*~q + p*q

Użyteczna technika tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD123 z definicji symbolicznej jest dokładnie odwrotna:
1.
Jeśli na wybranej pozycji mamy zgodność logiki z nagłówkiem kolumny to w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 na odpowiedniej pozycji zapisujemy 1
2.
Jeśli na wybranej pozycji mamy niezgodność logiki z nagłówkiem tabeli to w tabeli zero-jedynkowej na odpowiedniej pozycji zapisujemy 0
Przykład:
Dla tabeli symbolicznej II (ABCDdef) nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD123 to:
Kod:

  ~p ~q Y=~p*~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3

Przykład dla ABCDdef:
Bd=~p, Nagłówek ABCDd=~p stąd na pozycji B1 zapisujemy 1
Be=p, Nagłówek ABCDEe=~p stąd na pozycji B2 zapisujemy 0

Wnioski:
1.
W powyższej tabeli doskonale widać że dokładnie ta sama tabela zero-jedynkowa opisuje cztery, fundamentalnie różne funkcje logiczne:
I. Y=p*q
II. Y=~p*~q
III. Y=p*~q
IV. Y=~p*q
co jest oczywistością, bo tabelę zero-jedynkową wymusza tu użyty spójnik „i”(*) o znaczeniu:
Yx=1 <=> ?p=1 i ?q=1
W miejsce ? możemy wstawiać dowolne przeczenia (lub brak przeczenia), ma to ZEROWY wpływ na uzyskaną tabelę zero-jedynkową, która we wszystkich czterech, możliwych przypadkach (I,II,III i IV) jest identyczna.
2.
Tabela ABCD456 pokazuje matematyczną oczywistość, wszędzie mamy same jedynki, bo wszystkie zmienne w tabelach symbolicznych I, II, III i IV mamy sprowadzone do jedynek.
3.
Wynika z tego że w równaniach logicznych cała logika przerzucona jest na równania algebry Boole’a bez żadnego związku z tabelą zero-jedynkową ABCD123.
4.
Wynika z tego że logika Ziemian grzebiąca się w tabelach zero-jedynkowych jest po prostu do bani, jej miejsce jest w śmietniku historii.
cnd


2.6 Twierdzenia o funkcjach logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Twierdzenie o różności funkcji logicznych w operatorach OR i AND:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi między nimi prawo De Morgana.

Przykład:
Dana jest funkcja logiczna:
A: Y=p+q*~r
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B: ~Y = ~p*(~q+r) = ~p*~q + ~p*r
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
Y = p+q*~r = ~(~p*~q + ~p*r)

W pozostałych przypadkach funkcje logiczne są różne na mocy definicji.
W szczególności w równaniu A możemy wymienić wszystkie spójniki na przeciwne:
A1: Y = p*q+~r
Matematycznie zachodzi:
A: Y=p+q*~r ## A1: Y=p*q+~r
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Możemy też w równaniu A zanegować wszystkie zmienne:
A2: Y = ~p+~q*r
Matematycznie zachodzi:
A: Y=p+q*~r ## A2: Y=~p+~q*r
gdzie:
## - różne na mocy definicji

W równaniu A możemy nawet zanegować wszystkie zmienne i wymienić spójniki na przeciwne:
A3: Y = ~p*(~q+r)
Matematycznie zachodzi:
A: Y=p+q*~r ## A3: Y = ~p*(~q+r)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dlaczego?
Bo w równaniu A3 nie zmieniliśmy polaryzacji funkcji logicznej z Y na ~Y, dlatego funkcje A i A3 są różne na mocy definicji, nie ma między nimi żadnych związków matematycznych.

Stąd mamy.
Twierdzenie o sprzeczności funkcji logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Dwie funkcje logiczne są wzajemnie sprzeczne wtedy i tylko wtedy gdy występują w tej samej logice (Y,Y albo ~Y,~Y) i zmiana logiki dowolnej z nich na przeciwną uruchomi prawo De Morgana

Nasz ostatni przykład.
Matematycznie zachodzi:
A: Y=p+q*~r ## A3: Y = ~p*(~q+r)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zmieniając logikę po dowolnej stronie znaku ## uruchamiamy prawo De Morgana:
A4: ~Y=p+q*~r # A3: Y = ~p*(~q+r)
gdzie:
# - różne w znaczeniu kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne

mamy A4:
A4: ~Y=p+q*~r
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
A3: Y = ~p*(~q+r)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A3 i A4 mamy prawo De Morgana
Y = ~p*(~q+r) = ~(p+q*~r)

Wniosek:
Funkcje logiczne:
A: Y=p+q*~r ## A3: Y = ~p*(~q+r)
są wzajemnie sprzeczne.


Przykład I

Rozważmy dwie funkcje logiczne:
Y=p+q
Y=p*q
Gdzie p i q są tymi samymi zmiennymi.

Załóżmy zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd uzupełnienia zbiorów p i q do dziedziny:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja operatora OR:
A1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q = ~(~p*~q) = [1,2,3,4,5,6] =1
A2.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację stronami równania A1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q = [7,8] =1
A3.
Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y =1
(p+q) + ~(p+q) =1
Y*~Y =0
(p+q)*~(p+q) =0
Dziedzina ok.
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A1 i A2 mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Definicja operatora AND dla tych samych parametrów p i q:
B1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q = ~(~p+~q) = [3,4] =1
B2.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację stronami równania B1:
~Y = ~(p*q) = ~p+~q = [1,2,5,6,7,8] =1
B3.
Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y =1
(p*q) + ~(p*q) =1
Y*~Y =0
(p*q)*~(p*q) =0
Dziedzina ok.
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając B1 i B2 mamy prawo De Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)

Zauważmy, że równanie B1 otrzymujemy poprzez wymianę spójników na przeciwne w równaniu A1.
Równania A1 i B1 muszą być różne na mocy definicji, bowiem w prawie przejścia do logiki przeciwnej musimy dodatkowo negować zmienne, czego w tym przypadku nie zrobiliśmy.
A1: Y=p+q = ~(~p*~q) = [1,2,3,4,5,6] =1 ## B1: Y=p*q = ~(~p+~q) = [3,4] =1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Lewa strona znaku ## nie jest związana z prawą stroną znaku ## ani jakąkolwiek tożsamością, ani też jakąkolwiek równoważnością.

Matematycznie zachodzi:
A1: Y=p+q = ~(~p*~q) = [1,2,3,4,5,6] =1 ## B1: Y=p*q = ~(~p+~q) = [3,4] =1
A2: ~Y = ~(p+q) = ~p*~q = [7,8] =1 ## B2: ~Y = ~(p*q) = ~p+~q = [1,2,5,6,7,8] =1

Zauważmy, że nie zachodzą związki krzyżowe między Ax i Bx:
A1: Y=p+q = ~(~p*~q) = [1,2,3,4,5,6] =1 ## B2: ~Y = ~(p*q) = ~p+~q = [1,2,5,6,7,8] =1
B1: Y=p*q = ~(~p+~q) = [3,4] =1 ## A2: ~Y = ~(p+q) = ~p*~q = [7,8] =1
W związkach krzyżowych nie jest spełniona definicja dziedziny a tym samym nie zachodzi prawo De Morgana.
Przykład:
A1:B2:
Y +~Y = (p+q) + (~p+~q) = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 ok.
Y*~Y = (p+q)*(~p+~q) = [1,2,5,6] =1 - powinno być 0!
Potwierdzenie poprzez minimalizację ostatniego równania:
Y*~Y = p*~p + p*~q + ~p*q + ~q*q
Y*~Y = p*~q + ~p*q #0 - definicja dziedziny nie jest spełniona
Prawo De Morgana dla A1:B2 nie ma prawa zachodzić bo definicja dziedziny nie jest spełniona.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i B2 mamy:
Y = p+q = ~(~p+~q) =0
To jest oczywisty fałsz co łatwo sprawdzić w tabelach zero-jedynkowych.


Przykład II

Rozważmy dwie funkcje logiczne:
Y=p+q
Y=~p*~q
Gdzie p i q są tymi samymi zmiennymi.

Załóżmy zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd uzupełnienia zbiorów p i q do dziedziny:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja operatora OR:
A1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q = ~(~p*~q) = [1,2,3,4,5,6] =1
A2.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację stronami równania A1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q = [7,8] =1
A3.
Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y =1
(p+q) + ~(p+q) =1
Y*~Y =0
(p+q)*~(p+q) =0
Dziedzina ok.
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A1 i A2 mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Definicja operatora AND dla zanegowanych zmiennych p i q:
B1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y):
Y=~p*~q = ~(p+q) = [7,8] =1
B2.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację stronami równania B1:
~Y = ~(~p*~q) = p+q = [1,2,3,4,5,6] =1
B3.
Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y =1
~(p+q) + (p+q) =1
Y*~Y =0
~(p+q)*(p+q) =0
Dziedzina ok.
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając B1 i B2 mamy prawo De Morgana:
Y = ~p*~q = ~(p+q)

Zauważmy, że w równaniu B1 w stosunku do A1 zanegowaliśmy zmienne i wymieniliśmy spójniki na przeciwne, ale nie zmieniliśmy polaryzacji funkcji logicznej z Y na ~Y.
Równania A1 i B1 są zatem różne na mocy definicji.
A1: Y=p+q = ~(~p*~q) = [1,2,3,4,5,6] =1 ## B1: Y=~p*~q = ~(p+q) = [7,8] =1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Lewa strona znaku ## nie jest związana z prawą stroną znaku ## ani jakąkolwiek tożsamością, ani też jakąkolwiek równoważnością.

Matematycznie zachodzi:
A1: Y=p+q = ~(~p*~q) = [1,2,3,4,5,6] =1 ## B1: Y=~p*~q = ~(p+q) = [7,8] =1
A2: ~Y = ~(p+q) = ~p*~q = [7,8] =1 ## B2: ~Y = ~(~p*~q) = p+q = [1,2,3,4,5,6] =1

Zauważmy, że nie zachodzą związki krzyżowe między Ax i Bx:
A1: Y=p+q = ~(~p*~q) = [1,2,3,4,5,6] =1 ## B2: ~Y = ~(~p*~q) = p+q = [1,2,3,4,5,6] =1
Dlaczego nie ma tu tożsamości zamiast znaku ##?
Bo nie jest spełniona definicja dziedziny:
Y+~Y = (p+q)+(p+q) = p+q = [1,2,3,4,5,6] =0 - bo dziedziną jest tu zbiór D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Y*~Y = (p+q)*(p+q) = (p+q) =[1,2,3,4,5,6] #0 - definicja dziedziny leży i kwiczy
Oczywiście prawo De Morgana nie ma prawa tu zachodzić:
Y = ~(~Y)
Y = p+q # ~(p+q)
Wniosek:
Zdania A1 i B2 to zdania różne na mocy definicji.

Identycznie mamy w drugim związku krzyżowym:
B1: Y=~p*~q = ~(p+q) = [7,8] =1 ## A2: ~Y = ~(p+q) = ~p*~q = [7,8] =1
W związkach krzyżowych nie jest spełniona definicja dziedziny a tym samym nie zachodzi prawo De Morgana.
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i A2 mamy:
B1: Y =~p*~q # ~(~p*~q) - prawo De Morgana leży i kwiczy
Wniosek:
Zdania B1 i A2 to zdania różne na mocy definicji.


Przykład III

Rozważmy dwie funkcje logiczne:
Y=p+~q
Y=p*~q
Gdzie p i q są tymi samymi zmiennymi.

Załóżmy zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd uzupełnienia zbiorów p i q do dziedziny:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja operatora OR:
A1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+~q = ~(~p*q) = [1,2,3,4]+[1,2,7,8] = [1,2,3,4,7,8] =1
A2.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację stronami równania A1:
~Y = ~(p+~q) = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6]=[5,6] =1
A3.
Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y =1
(p+~q) + ~(p+~q) =[1,2,3,4,7,8]+[5,6] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 ok.
Y*~Y =0
(p+~q)*~(p+~q) =[1,2,3,4,7,8]*[5,6] =[] =0 ok.
Dziedzina ok.
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A1 i A2 mamy prawo De Morgana:
Y = p+~q = ~(~p*q)

Definicja operatora AND dla zmiennych p i ~q:
B1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*~q = ~(~p+q) = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1
B2.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację stronami równania B1:
~Y = ~(p*~q) = ~p+q = [5,6,7,8]+[3,4,5,6] =[3,4,5,6,7,8] =1
B3.
Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y =1
p*~q + ~(p*~q) =1
Y*~Y =0
(p*~q)*~(p*~q) =0
Dziedzina ok.
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając B1 i B2 mamy prawo De Morgana:
Y = ~p*~q = ~(p+q)

Zauważmy, że w równaniu B1 w stosunku do A1 zanegowaliśmy tylko jedną zmienną (~q) a nie dwie, i wymieniliśmy spójnik na przeciwny, to wystarczy, aby równania A1 i B1 były różne na mocy definicji ##.
A1: Y=p+~q = ~(~p*q) = [1,2,3,4,7,8] =1 ## B1: Y=p*~q = ~(~p+q) = [1,2] =1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Lewa strona znaku ## nie jest związana z prawą stroną znaku ## ani jakąkolwiek tożsamością, ani też jakąkolwiek równoważnością.

Matematycznie zachodzi:
A1: Y=p+~q = ~(~p*q) = [1,2,3,4,7,8] =1 ## B1: Y=p*~q = ~(~p+q) = [1,2] =1
A2: ~Y = ~(p+~q) = ~p*q = [5,6] =1 ## B2: ~Y = ~(p*~q) = ~p+q = [3,4,5,6,7,8] =1

Zauważmy, że nie zachodzą związki krzyżowe między Ax i Bx:
A1: Y=p+~q = ~(~p*q) = [1,2,3,4,7,8] =1 ## B2: ~Y = ~(p*~q) = ~p+q = [3,4,5,6,7,8] =1
B1: Y=p*~q = ~(~p+q) = [1,2] =1 ## A2: ~Y = ~(p+~q) = ~p*q = [5,6] =1
W związkach krzyżowych nie jest spełniona definicja dziedziny a tym samym nie zachodzi prawo De Morgana.
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i B2 mamy:
A1: Y=p+~q # ~(~p+q) - prawo De Morgana leży i kwiczy
Wniosek:
Zdania A1 i B2 to zdania różne na mocy definicji.

Podobnie podstawiając B1 i A2 mamy:
B1: Y=p*~q # ~(~p*q) - prawo De Morgana leży i kwiczy
Wniosek:
Zdania B1 i A2 to zdania różne na mocy definicji


2.7 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ

Banalny dowód wewnętrznej sprzeczności logiki Ziemian zwanej Klasyczny Rachunek Zdań, która nie widzi banalnej logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a, jest następujący.

Twierdzenie:
Bez rozróżnienia logiki dodatniej i ujemnej algebra Boole’a nie jest jednoznaczna, jest zatem wewnętrznie sprzeczna.

Dowód:
Rozważmy zdanie:
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)

… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
A2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y = ~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T

Znaczenie zmiennych:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)
Zauważmy że zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej mamy matematyczną świętość:
1 - prawda
0 - fałsz

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A1 i B1 mamy prawo de Morgana:
Y = K+T = ~(~K*~T)

Stąd otrzymujemy zdanie tożsame z A1:
A3.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y = ~(~K*~T) = K+T

Zauważmy, że zdania A1 i A3 są tożsame i poprawnie kodowane tą samą funkcją logiczną w logice dodatniej Y:
Y = ~(~K*~T) = K+T

W zdaniach A1 i A3 nie musimy wymawiać słówka „dotrzymam słowa (Y=1)” bowiem w naturalnej logice człowieka jest ono domyśle. W zdaniu A2 natomiast, jeśli mamy na myśli kłamstwo w stosunku do zdania A1 słówko „skłamię (~Y=1)” musimy bezwzględnie wymówić bowiem w naturalnej logice człowieka nie jest ono domyślne.

Jeśli w zdaniu A2 będziemy mieli na myśli kłamstwo w stosunku do zdania A1 to jedyne, poprawne kodowanie matematyczne tego zdania jest następujące:
A2: ~Y=~K*~T

Zdania A2 z pominięciem słówka „Skłamię (~Y=1) oznacza fundamentalnie inne zdanie, zdanie w brzmieniu B1 niżej.

B1.
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y = ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Zdanie tożsame:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y = ~K*~T

… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=K+T
B2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
~Y=K+T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1

Podsumowanie:
Kod:

A1.                                   ## B1.
Jutro pójdę do kina i do teatru       ## Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=K+T                                 ## Y=~K*~T
… a kiedy skłamię?                    ## … a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez   ## Przejście do logiki przeciwnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników ## negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T                              ## ~Y=K+T                         
A2.                                   ## B2.
Skłamię, gdy jutro nie pójdę do kina  ## Skłamię, gdy jutro pójdę do kina
i nie pójdę do teatru                 ## lub pójdę do teatru
~Y=~K*~T                              ## ~Y=K+T

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że między zdaniami krzyżowymi A1-B2 i B1-A2 nie zachodzi prawo De Morgana, co oznacza iż seria zdań Ax jest różna na mocy definicji od serii zdań Bx.

Dowód:
Zdania A1-B2:
A1: Y=K+T ## B2: ~Y=K+T
Prawo De Morgana to banalny związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A1 i B2 nie otrzymujemy prawa De Morgana:
Y=K+T # ~(K+T) - prawo De Morgana leży i kwiczy
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)

Identycznie mamy dla B1-A2:
B1: Y=~K*~T ## A2: ~Y=~K*~T
Prawo De Morgana to banalny związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając B1 i A2 nie otrzymujemy prawa De Morgana:
Y=~K*~T # ~(~K*~T)
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)

Zauważmy, że logika Ziemian zwana KRZ która nie widzi banalnej logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w algebrze Boole’a jest logika niejednoznaczną, zatem jest logiką wewnętrznie sprzeczną.
cnd


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 2:11, 15 Sie 2013, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 17:36, 08 Lip 2013    Temat postu:

..

Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:04, 11 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 0:51, 10 Lip 2013    Temat postu:

.

Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:03, 11 Lip 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20111
Przeczytał: 11 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 20:52, 10 Lip 2013    Temat postu:

...

Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:00, 11 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin