Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Nowa definicja implikacji

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 20:45, 15 Lut 2009    Temat postu: Nowa definicja implikacji

Proste jest piękne


Nowa definicja implikacji


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Definicja algebry Boole’a
1.2 Istota dzisiejszej algebry Boole’a w zakresie implikacji
1.3 Algebra Kubusia
1.4 Prawa matematyczne implikacji
1.5 Prawa matematyczne równoważności
1.6 Naturalne kodowanie zdań
1.7 Symboliczne definicje operatorów

2.0 Nowa definicja implikacji
2.1 Definicje operatorów
2.2 Definicje spójników zdaniowych
2.3 Matematyczne kodowanie zdań
2.4 Pełny kwadrat logiczny implikacji
2.5 Równoważne definicje implikacji prostej
2.6 Równoważne definicje implikacji odwrotnej
2.7 Uproszczony kwadrat logiczny implikacji
2.8 Algorytm działania implikacji prostej
2.9 Algorytm działania implikacji odwrotnej
2.10 Kwadrat logiczny równoważności

3.0 Istota implikacji
3.1 Planeta implikacji
3.2 Implikacja w praktyce

4.0 Obietnice i groźby
4.1 Obietnice
4.2 Groźby
4.3 Kary niezależne od nadawcy

5.0 Implikacja w bramkach logicznych
5.1 Bramka implikacji prostej
5.2 Bramka implikacji odwrotnej
5.3 Dowód prawdziwości praw Kubusia w implikacji
5.4 Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji
5.5 Dowód prawdziwości prawa kontrapozycji w równoważności

6.0 Fundament dzisiejszej logiki w zakresie implikacji jest chory
6.1 Zdrowy fundament implikacji



Wstęp.

W artykule zaproponowano zmianę definicji implikacji. Nie ma tu podziału na implikację materialną i implikację logiczną. Jest jedna spójna i jednoznaczna definicja implikacji, dzięki której naturalny język mówiony człowieka to po prostu 100% algebra Boole’a.

Celem artykułu jest udowodnienie że:
Logika człowieka = algebra Boole’a

Jeśli powyższe równanie jest prawdziwe, to logika człowieka jest niezależna od jakiegokolwiek języka mówionego, zaś człowiek posługuje się nią doskonale od czasów Adama i Ewy, będzie to rozwiązanie problemu nad którym ludzkość głowi się od 2500 lat.



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

Spójniki zdaniowe:
=> - „musi”, implikacja prosta, warunek wystarczający między p i q
~> - „może”, implikacja odwrotna, warunek konieczny między p i q
~~> - MOŻE, wystarczy pokazać jeden przypadek dla którego zdanie jest prawdziwe, warunek konieczny tu nie zachodzi zatem nie jest to implikacja odwrotna prawdziwa.


1.1 Definicja algebry Boole’a

Lista operatorów logicznych:
Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ


Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu: AND, NAND, OR, NOR, <=>, XOR.

Definicja algebry Boole’a:
Dwuelementowa algebra Boole’a (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra legalnych operatorów logicznych z których najważniejsze to OR(+), AND(*), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus definicja negacji (~) oraz pojęcie zmiennej binarnej i funkcji logicznej.

Definicja negacji:
1=~0
0=~1
Zmienna binarna - zmienna przyjmująca wartości wyłącznie 0 albo 1
Funkcja logiczna - to funkcja zmiennych binarnych połączonych operatorami logicznymi przyjmująca wartości wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnych wartości tych zmiennych.

Wszelkie prawa logiczne tylko i wyłącznie z powyższej definicji wynikają. Niniejszy artykuł jest w 100% zgodny z powyższą definicją, wszelkie nowe prawa i wnioski tu podane wynikają bezpośrednio z definicji zero-jedynkowych odpowiednich operatorów oraz logicznego myślenia.


1.2 Istota dzisiejszej algebry Boole’a w zakresie implikacji

Fundament dzisiejszej algebry Boole’a:
p=>q # p~>q AND p=>q = q~>p

W dzisiejszej logice punkt odniesienia ustawiony jest sztywno na implikacji prostej p=>q. Implikacja odwrotna do p=>q jest kodowana zawsze jako q~>p. Powoduje to, że definicja implikacji odwrotnej p~>q z lewej strony AND jest zawsze fałszywa co łatwo udowodnić (pkt.6.0) i co samo w sobie jest idiotyzmem, bo po co komu definicja zawsze fałszywa ?

Dzisiejsza algebra Boole’a wygląda tak.

Definicja implikacji prostej:
p=>q=~p+q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
Warunek wystarczający wynika bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej.

implikacja odwrotna do powyższej wedle dzisiejszej logiki to:
q~>p = q+~p = ~p+q
czyli:
p=>q = q~>p

ale przecież w logice klasycznej mamy równie dobrze zdefiniowaną implikacje odwrotną:

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q=p+~q
p musi być konieczne dla q
Warunek konieczny wynika bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej.

implikacja odwrotna do powyższej wedle dzisiejszej logiki to:
q=>p = ~q+p = p+~q
czyli:
p~>q = q=>p

Oczywiście w logice klasycznej mamy:
p=>q # p~>q

… ale jednocześnie na podstawie powyższego dzisiejsza algebra Boole’a generuje dwa równania:
p=>q = q~>p
i
p~>q = q=>p

czyli na podstawie powyższych równań mamy:
q=>p # q~>p

Zero-jedynkowo wszystko ładnie się zamknęło jednak są tu dwa problemy fundamentalne:
1.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy komunistyczne p=>q (dzisiejsza logika) to implikacją odwrotną będzie zawsze q~>p. Definicja p~>q będzie wówczas zawsze fałszywa. Po co komu zawsze fałszywa definicja p~>q ?
2.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy kapitalistyczne p~>q to implikacją odwrotną będzie zawsze q=>p. Definicja p=>q będzie wówczas zawsze fałszywa. Po co komu zawsze fałszywa definicja p=>q ?

Dowody w pkt. 6.0.


1.3 Algebra Kubusia

Algebra Kubusia jest identyczna jak opisana wyżej algebra Boole’a z maleńką różnicą. W algebrze Kubusia punktem odniesienia jest zawsze wypowiedziane zdanie czyli po „Jeśli…” zawsze jest poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy następnik q. O fakcie czy wypowiedziane zdanie jest implikacją prostą => czy też odwrotną ~> decyduje treść zdania. Algorytmy rozpoznawania za chwilę.

Oczywiście identycznie jak w algebrze Boole’a możemy mówić, że implikacją odwrotną do p=>q jest q~>p, oraz że implikacją odwrotną do p~>q jest q=>p bo to jest oczywista prawda.

Jeśli jednak wypowiadamy implikację odwrotną to kodujemy ją zawsze jako p~>q np.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne aby być psem
p=4L
q=P
p~>q = p+~q

natomiast jeśli wypowiadamy implikację prostą to kodujemy ją zawsze jako p=>q np.

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest wystarczające dla czterech łap
p=P
q=4L
p=>q = ~p+q

Oczywiście na podstawie definicji implikacji prostej i odwrotnej mamy:
p~>q # p=>q
czyli:
4L~>P # P=>4L

W algebrze Kubusia punkt odniesienia nie jest ustalony sztywno ani na implikacji prostej, ani też na implikacji odwrotnej, ale na wypowiedzianym zdaniu.

Małe, ale robi wielką różnicę … algebra Boole’a w obsłudze języka mówionego jest w 100% jednoznaczna !


1.4 Prawa matematyczne implikacji

Fundament logiki implikacyjnej:

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Jeżeli zdanie jest implikacja prostą to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający zaś w drugą stronę q~>p zachodzi warunek konieczny.
Jeśli zdanie jest implikacja odwrotną to w stronę p~>q zachodzi warunek konieczny zaś w drugą stronę q=>p na pewno zachodzi warunek wystarczający.

Jeśli zdanie p=>q jest implikacją prostą to zdanie q=>p jest zawsze fałszywe czyli:
(p=>q)(q=>p) = 1*0 =0
(p=>q)(~p=>~q)=1*0=0
(p~>q)(q~>p) =1*0=0
Dwustronny warunek konieczny jest fizycznie niemożliwy do zaistnienia, w przeciwieństwie do warunku wystarczającego w równoważności.


1.5 Prawa matematyczne równoważności

Fundament logik równoważnościowych:

Definicja równoważności:
p<=>q = p*q+~p*~q

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Jeśli zdanie jest równoważnością to zachodzi warunek wystarczający w obie strony.

Możliwe, równoważne definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)(q=>p)=1*1=1 - dwustronny warunek wystarczający
p<=>q = (p=>q)(~p=>~q)=1*1=1


1.6 Naturalne kodowanie zdań

* - spójnik „i” (AND)
+ - spójnik „lub” (OR)
=> - spójnik „na pewno” (zachodzi dla każdego elementu po „Jeśli…)
~~> - spójnik „może” (wystarczy jedna prawda)

Matematyczny zapis zdań jest w 100% zgodny z naturalną logiką człowieka. W zapisie matematycznym rozstrzygamy czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe lub kiedy w przyszłości zdanie będzie prawdziwe/fałszywe.

Przykłady:
Pies ma cztery łapy - prawda
Pies nie ma czterech łap - fałsz

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1 bo każdy pies ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - oczywisty fałsz
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~~>~4L =1 bo kura
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo koń

Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy
Zdanie fałszywe bo brak związku między księżycem a psem.


1.7 Symboliczne definicje operatorów

Istotę symbolicznej definicji dowolnego operatora pokażemy na przykładzie operatora OR(+).

Zero-jedynkowa definicja operatora OR(+):
Kod:

p q  Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1


Oczywiście kolejność wierszy nie ma znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać.

Symboliczna definicja operatora OR(*).

Przyjmujemy:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q
Kod:

 p  q  Y=p+q

 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =0
~p  q =1


Z definicji symbolicznej bardzo łatwo wygenerować realizowaną funkcję logiczną w równaniu algebry Boole’a sprowadzając wszystkie sygnały do jedynek (definicja AND) albo wszystkie sygnały do zera (definicja OR). Powyższą tabelę sprowadziliśmy do jedynek dlatego zawsze korzystamy z definicji operatora AND. Możliwe są dwie równoważne funkcje logiczne opisujące powyższą tabelę.

A.
W linii 3 mamy samotne zero zatem:
~p*~q = ~Y - obie strony równania sprowadzamy do 1
czyli:
Y = ~(~p*~q) = p+q - prawo de’Morgana
gdzie:
Y - funkcja logiczna zmiennych binarnych p i q
czyli:
Prawda (Y) jeśli zajdzie p lub q
… a kiedy zdanie będzie fałszywe ?
~Y = ~(p+q)=~p*~q
Fałsz (~Y) jeśli zajdzie ~p*~q

B.
Równoważną funkcję logiczną otrzymamy opisując jedynki w powyższej tabeli:
Y = p*q+p*~q+~p*q
… a kiedy zdanie będzie fałszywe ?
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
2.
Przechodzimy do logiki ujemnej (~Y) negując wszystkie zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
czyli:
Zdanie będzie fałszywe (~Y) jeśli zajdą jednocześnie trzy zdarzenia ujęte w nawiasy czyli:
~p+~q=1
~p+q=1
p+~q=1

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Y - logika dodatnia jeśli funkcja logiczna Y niezanegowana (Y)
~Y - logika ujemna jeśli funkcja logiczna Y zanegowana (~Y)

W praktyce języka mówionego najczęściej korzystamy z równania A bo jest prostsze.

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - zapis naturalny zgodny z językiem mówionym
p=K
q=T

Równanie A
Dotrzymam słowa (Y) jeśli pójdę do kina lub do teatru
… a kiedy skłamię ?
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Nie dotrzymam słowa (~Y) jeśli nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)

Równanie B
Równanie B jest równoważne zatem podstawiając p i q z wypowiedzianego zdania mamy:
Y = K*T+K*~T+~K*T - kolejność wykonywania działań AND(*), OR(+)
Dotrzymam słowa (Y) jeśli pójdę do kina i do teatru lub pójdę do kina i nie pójdę do teatru lub nie pójdę do kina i pójdę do teatru.
czyli:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli zajdzie jakiekolwiek zdarzenie połączone spójnikiem „lub” (OR).

… a kiedy skłamię ?
1.
Uzupełniamy nawiasy w powyższym równaniu
Y=(K*T)+(K*~T)+(~K*T)
2.
Przechodzimy do logiki ujemnej (~Y) negując wszystkie zmienne i odwracając operatory (AND na OR i odwrotnie)
~Y=(~K+~T)*(~K+T)*(K+~T)

Czyli skłamię (~Y) jeśli zajdą jednocześnie wszystkie zdarzenia ujęte w nawiasy czyli:
~K+~T =1
~K+T=1
K+~T=1

Jak widać wyższość symbolicznej definicji sumy logicznej jest bezdyskusyjna. Symboliczna definicja dowolnej funkcji logicznej to po prostu język asemblera języka mówionego. Otrzymujemy zapisy zgodne z językiem mówionym mające 100% pokrycie w kodzie maszynowym (zerach i jedynkach).


2.0 Nowa definicja implikacji

Narodziny nowej definicji implikacji na SFINII trwały 3 lata …


2.1 Definicje operatorów

Definicja implikacji prostej:
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
p=>q = ~p+q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - warunek wystarczający między p i q, spójnik „musi” w języku mówionym

Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p+~q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - warunek konieczny między p i q


2.2 Definicje spójników zdaniowych

MUSI =>
p=>q=1
Dla każdego elementu spełniającego warunek p musi zajść q
MUSI = warunek wystarczający =>

MOŻE ~>
Warunek konieczny spełniony
p~>q=1
Istnieje element spełniający warunek p i q i zdanie spełnia warunek konieczny, implikacja odwrotna jest prawdziwa
MOŻE = warunek konieczny ~>

MOŻE ~~>
Warunek konieczny niespełniony
p~~>q=1
Istnieje element spełniający warunek p i q ale zadnie nie spełnia warunku koniecznego, implikacja odwrotna jest fałszywa

Kryterium prawdziwości zdania dla spójnika może:
(p ~~>q) + (p~>q)
Zdanie jest prawdziwe jeśli zajdzie MOŻE ~~> lub MOŻE ~>


Wniosek:
Nie każde zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~> jest implikacją odwrotną, czyli spełnia warunek konieczny ~>

Przykład:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń...
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika MOŻE ~~>, implikacja odwrotna fałszywa bo 4 łapy nie są konieczne by nie być psem bo pies
4L~>~P=0 - implikacja odwrotna fałszywa.

Możemy użyć prawa Kubusia by uprościć rozstrzygnięcie o warunku koniecznym/wystarczającym. Dobre prawo matematyczne zawsze zamieni prawdę w prawdę albo fałsz w fałsz - nie ma innej możliwości.
Prawo Kubusia:
4L~>~P (warunek konieczny) = ~4L => P (warunek wystarczający)

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
Oczywisty fałsz, zatem warunek wystarczający nie zachodzi, co oznacza także brak warunku koniecznego w zdaniu 4L~>~P.


2.3 Matematyczne kodowanie zdań

1. Sprawdzamy czy z zdaniu występuje warunek wystarczający, jeśli tak to idziemy do pkt. A
2. Sprawdzamy czy w zdaniu występuje spójnik może ~~>, jeśli tak to idziemy do pkt. B
3. Jeśli żaden z powyższych warunków nie zachodzi to zdanie jest fałszywe lub niepoprawne

Zdanie niepoprawne - zdanie któremu nie da się przypisać ani prawdy, ani fałszu np. wszelkie zdania pytające.

A. Implikacja prosta:
Do prawidłowej obsługi warunku wystarczającego => konieczne są dwa symbole:
=> - warunek wystarczający, spójnik MUSI
<=> - równoważność
Po stwierdzeniu p=>q musimy wykluczyć q=>p aby mieć pewność, że p=>q to implikacja prosta

B. Implikacja odwrotna:
Do prawidłowej obsługi warunku koniecznego ~> również potrzebujemy dwóch symboli:
~> - warunek konieczny, jeśli zachodzi to implikacja jest prawdziwa, zdanie oczywiście prawdziwe
~~> zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika MOŻE ~~>, ale nie zachodzi warunek konieczny ~>, implikacja odwrotna jest fałszywa
Po stwierdzeniu prawdziwości zdania na mocy spójnika MOŻE ~~> musimy dodatkowo stwierdzić warunek koniczny by mieć pewność że zdanie jest implikacją odwrotną prawdziwą.

UWAGA !
Dowolne zdanie „Jeśli…to…” kodujemy matematycznie w następujący sposób:
p - poprzednik implikacji, zawsze po spójniku „Jeśli…”
q - następnik implikacji, zawsze po spójniku „to…”

Poprzednik p i następnik q łączymy ze sobą jednym z czterech możliwych operatorów =>, <=>, ~>, ~~>. Jednoznaczne rozstrzygnięcie z jakim zdaniem mamy do czynienia umożliwia algorytm przedstawiony wyżej.


2.4 Pełny kwadrat logiczny implikacji

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

Implikacja prosta           Implikacja odwrotna

A1:p=>q=~p+q=1              A2:p~>q=p+~q=1
   p*q=1                       p*q=1
   1 1=1                       1 1=1
W.Wystarczający             W.Konieczny

B1:p=>~q=~p+~q=0            B2:p~~>~q=1
                               p~>~q=p+~q=0
   p*~q=0                      p*~q=1
   1 0=0                       1 0=1



Prawa Kubusia:              Prawa Kubusia:
p=>q=~p~>~q                 p~>q=~p=>~q
p=>~q=~p~>q                 p~>~q=~p=>q


                             
C1:~p~>~q=~p+q=1            C2:~p=>~q=p+~q=1
  ~p*~q=1                     ~p*~q=1
   0 0=1                       0 0=1
W.Konieczny                 W.Wystarczający

D1:~p~~>q=~p+~q=1           D2:~p=>q=p+q=0
   ~p~>q=~p+~q=0
  ~p*q=1                      ~p*q=0
   0 1=1                       0 1=0

Prawdziwość zdania dla linii D1:
(~p~~>q)+(~p~>q) = 1+0 =1
Prawdziwość zdania dla linii B2:
(p~~>~q)+(p~>~q) = 1+0 =1

Kwadrat logiczny implikacji, to dwa izolowane układy logiczne, implikacja prosta z lewej strony i implikacja odwrotna z prawej strony, pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne, w szczególności prawa kontrapozycji, co widać w powyższej tabeli.

Pełny kwadrat logiczny implikacji zawiera w sobie trzy równoważne definicje implikacji:
A.
Definicja zero-jedynkowa - kod maszynowy implikacji
B.
Definicja symboliczna implikacji
C.
Definicja operatorowa implikacji - zgodna z naturalnym językiem mówionym

Równoważność tych definicji udowodnimy w dwóch następnych punktach


2.5 Równoważne definicje implikacji prostej

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:

Kod:
p q  p=>q

1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Definicja symboliczna implikacji prostej:

Kod:
 p  q  p=>q

 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1


Gdzie:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q

Jak widać w definicji symbolicznej wszystkie sygnały sprowadzamy do jedynki. Definicja symboliczna to nic innego jak rozpisane wszystkie przypadki jakie mogą się wydarzyć. Na jej podstawie najprościej można ułożyć równania algebry Boole’a opisujące implikację.

Najłatwiej to zrobić dla linii drugiej bo w wyniku mamy samotne zero:
p*~q = ~(p=>q) - wynik też musimy sprowadzić do jedynki
Stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q - na podstawie prawa de’Morgana

Równoważne równanie otrzymujemy dla linii będących w wyniku jedynkami:
p=>q = p*q+~p*~q+~p*q

Definicja operatorowa wynika z naturalnego opisu tabeli symbolicznej metodą, piszemy to co widzimy.

1.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q, twarda prawda bo druga linia jest twardym fałszem
p=>q=1
2.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q, twardy fałsz bo wyżej twarda prawda
p=>~q=0
Wniosek:
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej zdanie p=>~q nie będzie twardym fałszem, definicja implikacji leży w gruzach.
3.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q, bo kolejna linia też jest prawdą
~p~>~q=1
LUB
4.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q, bo linia wyżej też jest prawdą
~p~~>q=1

Komentarz:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
Dobre prawo matematyczne przekształca prawdę w prawdę oraz fałsz w fałsz, nie ma innych możliwości.
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia dla linii 3
Spełniony warunek wystarczający w zdaniu p=>q (linia 1) wymusza spełniony warunek konieczny w zdaniu ~p~>~q (linia 3)

p=>~q = ~p~>q - prawo Kubusia dla linii 4
Ewidentny fałsz w zdaniu p=>~q (linia 2) wymusza fałszywą implikację odwrotną ~p~>q (linia 4).
Oczywiście warunek wystarczający w zdaniu p=>~q nie jest spełniony co wymusza brak warunku koniecznego w zdaniu ~p~>q.
Warunek prawdziwości zdania dla linii 4:
(~p~~>q) + (~p~>q) = 1 + 0 =1
Zdanie w linii 4 jest prawdziwe na mocy definicji spójnika MOŻE ~~> (wystarczy jedna prawda), implikacja odwrotna ~p~>q jest tu oczywiście fałszywa.


2.6 Równoważne definicje implikacji odwrotnej

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:

Kod:
p q  p~>q

1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Definicja symboliczna implikacji odwrotnej:

Kod:
 p  q  p~>q

 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0

Gdzie:
1=p, 0=~p
1=q, 0=~q

Tu również wszystkie sygnały sprowadzamy do jedynki.

Najprostsze równanie implikacji odwrotnej uzyskamy z ostatniej linii bo w wyniku mamy tu samotne zero:
~p*q = ~(p~>q) - wynik też musimy sprowadzić do jedynki
Stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q - na podstawie prawa de’Morgana

Równoważne równanie otrzymujemy dla linii będących w wyniku jedynkami:
p~>q = p*q+p*~q+~p*~q

Definicja operatorowa wynika z naturalnego opisu tabeli symbolicznej w logice człowieka.

1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q, bo druga linia też może być prawdą
p~>q=1
LUB
2.
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q, bo linia wyżej też może być prawdą
p~~>~q=1
Wniosek:
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia jest twardym fałszem, definicja leży w gruzach.

3.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q, bo ostatnia linia jest twardym fałszem
~p=>~q=1
4.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q, fałsz bo wyżej twarda prawda
~p=>q=0

Komentarz:
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q (linia 1) to zajście ~p wymusza zajście ~q (linia 3). W sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia dla linii 3.
p~>q = ~p=>~q
Oczywiście spełniony warunek konieczny w p~>q wymusza spełniony warunek wystarczający w zdaniu ~p=>~q. Jeśli linia 3 jest twardą prawdą (zachodzi zawsze) to linia 4 musi być twardym fałszem.

Prawo Kubusia dla linii 4:
~p=>q = p~>~q
Oczywisty brak warunku wystarczającego w ~p=>q (bo fałsz) wymusza brak warunku koniecznego w linii 2. Zdanie w linii 2 jest prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~> (wystarczy jedna prawda), implikacja odwrotna p~>~q jest tu oczywiście fałszywa.
Prawdziwość zdania dla linii 2:
(p~~>~q) + (p~>~q) = 1 + 0 =1


2.7 Uproszczony kwadrat logiczny implikacji

W praktyce posługiwania się implikacją z reguły wystarczy uproszczony kwadrat logiczny implikacji w którym wszystkie zdania są implikacjami.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

Implikacja prosta           Implikacja odwrotna

A1:p=>q=~p+q=1              A2:p~>q=p+~q=1
W.Wystarczający             W.Konieczny


Prawa Kubusia:              Prawa Kubusia:
p=>q=~p~>~q                 p~>q=~p=>~q

                       
C1:~p~>~q=~p+q=1            C2:~p=>~q=p+~q=1
W.Konieczny                 W.Wystarczający
 

W poprawnym kwadracie logiki jak wyżej logika człowieka jest matematycznie jednoznaczna. Nie ma tu mowy aby matematycznie na zadane pytanie możliwa była więcej niż jedna odpowiedź.

Implikacja prosta:

Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jeśli ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1
LUB
Jeśli ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, GWARANCJA
… a jak nie jest psem ?

Prawo Kubusia:
P=>4L= ~P~>~4L

Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura …

… a czy są zwierzątka które nie są psami i mają cztery łapy ?

Tak !
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń … - na podstawie definicji spójnika MOŻE ~~> (wystarczy jedna prawda)
To nie jest implikacja bo:
(~P~>4L) = (P=>~4L) =0 - oczywisty fałsz

Implikacja odwrotna:

Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1
LUB
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~~>~q=1 - zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~> (wystarczy jedna prawda)
… a jeśli nie zajdzie p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli nie zajdzie p to na pewno nie zajdzie q
~p=>~q=1

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1 bo pies…
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń… - na podstawie definicji spójnika MOŻE ~~> (wystarczy jedna prawda)
To nie jest implikacja bo:
(4L~>~P) = (~4L=>P) =0

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P=1, GWARANCJA

Implikacja prosta jest w logice gwarancją na mocy jej definicji.


2.8 Algorytm działania implikacji prostej

Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.
Kod:

                        musi
         Jeśli         |-----  q --- p=>q=1
        |-----  p -----|musi
        |              |----- ~q --- p=>~q=0
        |
        |
X => ---|
        |
        |               może
        |Jeśli         |----- ~q --- ~p~>~q=1
        |----- ~p -----|może
                       |-----  q --- ~p~>q=1
 

Jak widać, w pierwszym takcie podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.

2.9 Algorytm działania implikacji odwrotnej

Kod:

                        może
         Jeśli         |-----  q --- p~>q=1
        |-----  p -----|może
        |              |----- ~q --- p~>~q=1
        |
        |
Y ~> ---|
        |
        |               musi
        |Jeśli         |----- ~q --- ~p=>~q=1
        |----- ~p -----|musi
                       |-----  q --- ~p=>q=0
 

Tu także implikacja obsługiwana jest w dwóch taktach. W pierwszym następuje decyzja czy iść linią p czy też ~p w zależności od wylosowanego elementu Y. W drugim takcie mamy do wyboru zawsze dwie możliwości czyli cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.


2.10 Kwadrat logiczny równoważności

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q] = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = ~p*~q+q*p = p*q+~p*~q
bo:
~p*p = q*~q =0

Kod:

A1:p=>q=~p+q=1              A2:q=>p=q+~p=1
W.Wystarczający             W.Wystarczający
                       
C1:~p=>~q=~p+q=1            C2:~q=>~p=q+~p=1
W.Wystarczający             W.Wystarczający
 

Oczywiście w równoważności zachodzi warunek wystarczający w dwie strony. Można tu zamieniać p i q, zatem zachodzi prawo kontrapozycji.
p=>q = ~q=>~p


3.0 Istota implikacji

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Gwarancje w implikacji prostej i odwrotnej są fundamentalnie różne co wynika z różnych definicji.

Definicja implikacji prostej:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

p=>q = ~p+q = q+~p = ~(p*~q) = ~(~q*p)

Wszystkie możliwe zapisy matematyczne implikacji prostej mamy po prawej stronie. Oczywiście zapisy te wynikają z prawa de’Morgana oraz przemienności sumy logicznej i iloczynu logicznego.
Implikacja jest wektorem kierunkowym, zatem przed podstawieniem konkretnych danych należy umieścić „p” po lewej stronie zaś „q” po prawej stronie czyli zgodnie z definicją p=>q, inaczej wylądujemy w definicji implikacji odwrotnej będącej czymś fundamentalnie innym niż implikacja prosta.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest wystarczające aby mieć cztery łapy

Poprawny matematycznie zapis dla tego przykładu to:
P=>4L = ~P+4L = ~(P*~4L)

Gwarancja:
~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć ~(..), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

W implikacji na mocy definicji gwarancją jest sama definicja implikacji prostej czyli:
P=>4L - jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy

Oczywiście te gwarancje są identyczne:
P=>4L = ~(P*~4L)

GWARANCJA 1
Powyższa gwarancja obejmuje wszystkie psy, nie mówi nic o pozostałych zwierzakach


Definicja implikacji odwrotnej
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q

p~>q = p+~q = ~q+p = ~(~p*q) = ~(q*~p)

Mamy tu sytuację identyczną jak w implikacji prostej. Dla konkretnego przykładu możemy skorzystać tylko i wyłącznie z zapisów matematycznych w których poprzednik „p” jest z lewej strony, inaczej wylądujemy w implikacji prostej, będącej z definicji czymś zupełnie innym.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P

Poprawny matematycznie zapis dla tego przykładu to:
4L~>P = 4L+~P = ~(~4L*P)

Gwarancja:
~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć ~(..), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem

Gwarancja równoważna dla tego zdania wynika z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Oczywiście na mocy definicji implikacji prostej mamy natychmiastowy dowód prawa Kubusia:
~4L=>~P = ~(~4L)+~P = 4L+~P = ~(~4L*P)

GWARANCJA 2
Powyższa gwarancja obejmuje wszystkie zwierzaki nie mające czterech łap:
koń, kura, wąż, stonoga … - te zwierzaki na pewno nie są psami

Jak widzimy, gwarancja 1 wynikająca z implikacji prostej jest fundamentalnie inna niż gwarancja 2 wynikająca z implikacji odwrotnej.

Mamy tu bezdyskusyjny dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji:
P=>4L # ~4L=>~P
bo gwarancje po obu stronach są fundamentalnie inne.


3.1 Planeta implikacji

Podsumujmy rozważania w poprzednim punkcie budując kwadrat logiczny dla tego przykładu.
Wyobraźmy sobie planetę na której żyją zaledwie trzy gatunki zwierząt: psy, konie i kury.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

Implikacja prosta           Implikacja odwrotna

A1:P=>4L=~(P*~4L)=Pies      A2:4L~>P=~(~4L*P)=Pies
W.Wystarczający             W.Konieczny
                            LUB
                            B2: 4L~~>~P=koń


Prawa Kubusia:              Prawa Kubusia:
P=>4L=~P~>~4L               4L~>P=~4L=>~P

                       
C1:~P~>~4L=~(P*~4L)=kura    C2:~4L=>~P=~(~4L*P)=kura
W.Konieczny                 W.Wystarczający
LUB
D1:~P~~>4L=koń
 

Zapisy połączone naturalnym spójnikiem MOŻE ~~> (wystarczy jedna prawda) nie są implikacjami, bo nie spełniają definicji implikacji.
W pionach mamy tu dwa zamknięte układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.

Oczywiście dla konkretnego przypadku zabroniona jest zamiana argumentów w iloczynie logicznym bowiem:
P=>4L=~(P*~4L) # 4L~>P = ~(~4L*P)
bo:
p=>q # p~>q
na mocy odpowiednich definicji:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Dla lewego pionu mamy gwarancję psa w zdaniu A1. W zdaniach C1 i D1 mamy opisane pozostałe zwierzęta żyjące na planecie implikacji czyli kury i konie.

Gwarancja dla lewego pionu:
p=>4L - jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy

W prawym pionie zdania A2 i B2 mówią nam że na planecie żyją psy i konie Zdanie A2 jest równoważne zdaniu C2 na mocy prawa Kubusia. Zdanie C2 gwarantuje iż na planecie żyją kury.

Gwarancja dla prawego pionu:
~4L=>~P - jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno nie ma czterech łap

W obu przypadkach wyżej mamy opisane wszystkie zwierzęta jakie żyją na planecie implikacji.

Zauważmy, że prawo kontrapozycji nie opisuje wszystkich zwierząt.
P=>4L=~4L=>~P
Lewa strona tego równania to gwarancja że na planecie implikacji żyją psy, zaś prawa strona to gwarancja że na planecie żyją kury.

Co się stało z końmi ?
Konie oczywiście wyparowały czyli nasza planeta implikacji przeistoczyła się w planetę równoważności bo żyją tu tylko dwa gatunki zwierząt psy i kury. Oczywiście prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności.

Wyparowania koni jest sprzeczne z I prawem Kirchhoffa które mówi:
W przyrodzie nic nie może zginąć ! … czyli w węźle elektrycznym suma prądów wpływających jest równa sumie prądów wypływających.



3.2 Implikacja w praktyce

Analizę przykładowego zdania pokażemy w naturalnym języku mówionym człowieka przy pomocy spójników zdaniowych (definicje pkt. 2.2). Przy każdym zdaniu zapiszemy jego wersję symboliczną oraz wersję zero-jedynkową.

Implikacja prosta:

Analiza zdania:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy

A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies - twarda prawda, GWARANCJA !
P*4L=1
1 1 =1
Po nieskończonej ilości losowań w tym pudełku mamy wszystkie psy
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym dla czterech łap
B.
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - twardy fałsz
P*~4L=0
1 0 =0
To pudełko będzie puste niezależnie od ilości losowań

… a jak nie jest psem ?

Prawo Kubusia:
P=>4L=~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura - miękka prawda bo niżej też jest jedynka
~P*~4L=1
0 0 =1
Po nieskończonej ilości losowań tu będą zwierzaki które nie są psami i nie mają czterech łap
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może to może mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo koń - miękka prawda
~P*4L=1
0 1 =1
Zdanie prawdziwe na podstawie definicji spójnika MOŻE ~~> (wystarczy jedna prawda).
Prawo Kubusia dla przypadku B:
P=>~4L = ~P~>4L =0
Implikacja P=>~4L jest oczywistym fałszem, fałszywa jest zatem również ~P~>4L
Prawdziwość zdania D określa wzór:
(~P~~>4L) + (~P~>4L) = 1 + 0 = 1
W tym pudełku będą zwierzęta nie będące psami, mające cztery łapy

Na podstawie powyższego mamy:

Tabela A
P=>4L=1
P=>~4L=0
~P~>~4L=1
~P~~>4L=1

Na podstawie definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji linie w powyższej tabeli możemy sobie dowolnie przestawiać. Ułóżmy je tak ….

Tabela B
~P~>~4L=1
~P~~>4L=1
P=>4L=1
P=>~4L=0

Tabele A i B są oczywiście matematycznie równoważne. To żywy dowód poprawności praw Kubusia w implikacji.

W tabeli B mamy analizę zdania:

Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1

Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L

Implikacja odwrotna

Analiza zdania:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są warunkiem koniecznym dla bycia psem

A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1bo pies - miękka prawda bo niżej też jest jedynka
4L*P=1
1 1 =1
Po nieskończonej ilości losowań w tym pudełku będą wyłącznie psy
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń - miękka prawda
4L*~P=1
1 0 =1
Po nieskończonej ilości losowań w tym pudełku będą zwierzaki które mają cztery łapy i nie są psami
Zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~> (wystarczy jedna prawda)
Implikacja 4L~>~P jest oczywiście fałszywa bo prawo Kubusia
4L~>~P = ~4L=>P=0
Implikacja ~4L=>P jest oczywistym fałszem.
Prawdziwość zdania B określa wzór:
(4L~~>~P) + (4L~>~P) = 1 + 0 = 1

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura - twarda prawda. GWARANCJA !
~4L*~P=1
0 0 =1
W tym pudełku będą zwierzaki które nie maja czterech łap
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to jest psem
~4L=>P=0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
~4L*P=0
0 1 =0
To pudełko będzie puste po dowolnej ilości losowań

Dla dowolnego przypadku tylko i wyłącznie jedno ze zdań implikacyjnych może być prawdziwe, pozostałe będą fałszywe. Jedynki w definicji implikacji oznaczają tylko tyle, że po nieskończonej ilości losowań pudełka które zaznaczono jedynkami będą pełne. Pudełko z wynikiem zero będzie puste po dowolnej ilości losowań, gwarancja fałszu.

Na podstawie powyższego mamy:

Tabela C
4L~>P=1
4L~~>~P=1
~4L=>~P=1
~4L=>P=0

Na podstawie definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji wiersze w powyższej tabeli możemy sobie dowolnie przestawiać.

Tabela D
~4L=>~P=1
~4L=>P=0
4L~>P=1
4L~~>~P=1

Tabele C i D są matematycznie równoważne. Tabela D to analiza zdania:

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P

Prawo Kubusia:
~4L=>~P = 4L~>P

Z powyższego przykładu widać, że w świecie rzeczywistym istotny jest warunek wystarczający w implikacji prostej i konieczny w implikacji odwrotnej. Definicje implikacji prostej i odwrotnej możemy zatem zapisać w takiej formie.

Oznaczmy:
p - podstawa wektora => lub ~>
s - strzałka wektora => lub ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>s = ~p+s
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść s
=> - warunek wystarczający między podstawą a strzałką wektora =>

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>s = p+~s
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść s
~> - warunek konieczny między podstawą a strzałką wektora ~>

Oczywiście:
p=>s # p~>s
na mocy powyższych definicji.

Przepiszmy tabele zero-jedynkowe dokładnie z przykładu wyżej:

Tabela A
p s p=>s
1 1 =1 / P=>4L=1
1 0 =0 / P=>~4L=0
0 0 =1 / ~P~>~4L=1
0 1 =1 / ~P~~>4L=1

Tabela C
p s p~>s
1 1 =1 / 4L~>P=1
1 0 =1 / 4L~~>~P=1
0 0 =1 / ~4L=>~P=1
0 1 =0 / ~4L=>P=0

Powyższe tabele nie są matematycznie równoważne. Na podstawie definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji linie w tabelach A i C możemy dowolnie przestawiać, ale zawsze otrzymamy.
p=>s # p~>s
… bo istotny jest warunek wystarczający w implikacji prostej => i warunek konieczny w implikacji odwrotnej ~>.

Z tabel A i C wynikają fundamentalne wnioski:
P=>4L # 4L~>P
czyli:
p=>s # p~>s
oraz:
P=>4L # ~4L=>~P - dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji
czyli:
p=>s # ~s=>~p

Wnioski:
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji
Prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności


4.0 Obietnice i groźby

Jednym z przykładów zastosowania implikacji prostej i odwrotnej jest matematyczna obsługa obietnic i gróźb.

4.1 Obietnice

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Przykład:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz

… a jeśli nie będę grzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~>~C
Jeśli nie będziesz grzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C =1
LUB
Jeśli nie będziesz grzeczny to możesz dostać czekoladę
~G~~>C =1 - zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~>
~G~>C=0 - implikacja odwrotna fałszywa
(~G~~>C)+(~G~>C) = 1+0=1
~~> - nadawca ma prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody (akt miłości)

Uwaga:
W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” jest pomijany gdyż osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności gdyż wszystko co żyje musi odróżniać nagrodę od kary, to warunek przetrwania.


4.2 Groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~>
B~>~L=0 - implikacja odwrotna fałszywa
(B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1
~~> - nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski)

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
C: ~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
LUB
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lania
D: ~B => L =0 - twardy fałsz


4.3 Kary niezależne od nadawcy

Ostrzeżenia
Wszelkie ostrzeżenia to też groźby analizowane przez implikację odwrotną ale wykonanie kary nie zależy tu od nadawcy.

Przykład:
Jak skoczysz z 10 pietra do się zabijesz
Odbiorca ma wolną wolę i na pewno najpierw skoczy z krzesełka, później z 2 metrów itd. ... ustalając doświadczalnie czy to prawda. Oczywiście jak złamie nogę skacząc z 4 metrów to dojdzie do wniosku że dalej nie warto próbować. Nie oznacza to że jak skoczy z 10 piętra to na 100% się zabije bo to jest przyszłość której nie znamy.

Złamanie obowiązującego prawa
Jeśli odbiorca złamie prawo to nadawca nie ma wpływu na darowanie kary. O winie i karze rozstrzyga tu sąd.

Prawo jest formułowane w formie zbliżonej do równoważności czyli za określone przestępstwo określona kara. Prawo to nie człowiek. Ali Agca został skazany ale JPII mu przebaczył. Prawo każdego człowieka do przebaczenia to też przykład implikacji odwrotnej. W implikacji nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego - oczywiście nie musi tego robić.

Kierownik do kierowcy TIRa:
Jak przyjdziesz do pracy pijany to cie zwolnię
Jeśli kierowca przyjdzie do pracy pijany i kierownik to odkryje to na pewno nie dopuści go do kierowania TIRem. W tym przypadku może go zwolnic ale nie musi (implikacja odwrotna) bo na przykład jest jedynym żywicielem rodziny.
Jeśli kierownik nie zauważy że kierowca przyszedł pijany i ten wyruszy w trasę to wszystko może się zdarzyć. Jeśli policjant go złapie i stwierdzi 0,6 promila alkoholu to doszło do przestępstwa. Zgodnie z prawem policjant musi zabrać prawo jazdy, o winie i karze rozstrzyga tu sąd. Zabranie prawa jazdy jest tu obligatoryjne, wyrzucenie z pracy nie zawsze.


5.0 Implikacja w bramkach logicznych

Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych.

5.1 Bramka implikacji prostej

Tabela zero-jedynkowa implikacji prostej.
Kod:

Tabela A
p q  p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Równanie opisujące powyższą tabelę najłatwiej uzyskać z drugiej linii sprowadzając sygnały do jedynki.
p*~q = ~(p=>q)
stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q

Stąd bramka implikacji prostej.
Kod:

 p=> q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q=~p+q

Kółko w linii p oznacza negator wbudowany w układ scalony, niewidoczny dla świata zewnętrznego.
W implikacji prostej strzałka wektora wskazuje linię niezanegowaną.


5.2 Bramka implikacji odwrotnej

Tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
Kod:

Tabela A
p q  p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Równanie opisujące powyższą tabelę najłatwiej uzyskać z ostatniej linii sprowadzając sygnały do jedynki.
~p*q = ~(p~>q)
stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q

Stąd bramka implikacji odwrotnej.
Kod:

 p~> q
 |   |
 |~> O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p~>q=p+~q

Kółko w linii q oznacza negator wbudowany w układ scalony niewidoczny dla człowieka.
W implikacji odwrotnej strzałka wektora wskazuje linię zanegowaną.


5.3 Dowód prawdziwości praw Kubusia w implikacji

Dowód prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q


Bramka implikacji prostej
Kod:

Bramka A Definicja
 p=> q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p=>q=~p+q

Oczywiście kółka negacji wbudowanej w układ nie widzimy.

W dowolną linię układu cyfrowego możemy wstawić dwa negatory i układ nie ulegnie zmianie na mocy prawa podwójnego przeczenia A=~(~A).
Wstawiamy po dwie negacje w linie wejściowe bramki implikacji prostej.
Kod:

Bramka B
 p=> q
 |   |
 O   O
 O   O
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p=>q=~p+q


Co ciekawego możemy uzyskać tym manewrem ?
Oczywiście jeśli te dwie negacje wepchniemy do bramki lub do nazw to totalnie NIC !

Ciekawe rzeczy będą się działy gdy jedną negację wprowadzimy do bramki zaś drugą do nazwy własnej sygnału.

Otrzymamy wówczas układ:

Kod:

Bramka C
~p~>~q
 |   |
 |~> O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=~p~>~q

Jak widać negator w bramce „powędrował” na drugą linię co oznacza, iż bramka zmieniła się z => na ~>.

Układy A i C są równoważne bo:
p=>q=~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q=p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Bramka A
p=>q = ~p+q
Bramka C
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q
Prawe strony równań są identyczne zatem zachodzi prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q


5.4 Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Kod:

Bramka A
 p=> q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q=~p+q


W prawie kontrapozycji wstawiamy tylko po jednym negatorze w linie wejściowe bramki. Możemy je wprowadzić albo do układu scalonego, albo do nazw własnych sygnałów.

Kod:

Bramka B
 p=> q
 |   |
 O   O
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q=~p+q


Prawa Kubusia dotyczące implikacji to zamiana bramki => na ~> i odwrotnie. Wprowadźmy zatem te dwie negacje do układu scalonego by uzyskać zmianę bramki.
Kod:

Bramka C
 p~> q
 |   |
 |~> O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=p~>q=p+~q

Jak widać kółko z linii p powędrowało do linii q. Strzałka implikacyjna wskazuje teraz kółko czyli mamy do czynienia z bramką implikacji odwrotnej.

Oczywiście zachodzi:
p=>q # p~>q
bo w linie wejściowe wstawiliśmy tylko po jednej negacji. Aby spełnić prawo kontrapozycji musimy teraz zamienić sygnały p i q na wejściu bramki czyli:

Kod:

Bramka D
 q~> p
 |   |
 |~> O
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   r=q~>p=q+~p


Dla bramek C i D mamy.

Bramka C:
p~>q=p+~q

Bramka D:
q~>p=q+~p

Różne prawe strony równań oznaczają, że nie wolno zamieniać sygnałów na wejściu bramki p~>q (lub p=>q) i stosować ten sam operator logiczny. Prawo kontrapozycji w implikacji jest zatem błędne. Nie uda się przy jego pomocy przejść z układu => na układ ~> i z powrotem.
Prawa kontrapozycji są poprawne wyłącznie w równoważności. W matematyce świetnie działają bo wszystkie twierdzenia matematyczne to równoważności


5.5 Dowód prawdziwości prawa kontrapozycji w równoważności

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Kod:

Bramka A
 p=> q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q=~p+q


W prawie kontrapozycji wstawiamy tylko po jednym negatorze w linie wejściowe bramki.

Kod:

Bramka B
 p=> q
 |   |
 O   O
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   p=>q= ???

Wykorzystajmy ostatnią możliwość i wprowadźmy te dwie negacje do nazw własnych p i q.
Kod:

Bramka C
~p=>~q
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   ~p=>~q=~(~p)+~q = p+~q

Jak widać układy A i C nie są jeszcze równoważne. Łatwo widać, że doprowadzimy do równoważności układów A i C zamieniając sygnały na wejściu.
Kod:

Bramka D
~q=>~p
 |   |
 O=> |
-------
| OR  |
|     |
-------
   |
   |
   ~q=>~p=~(~q)+~p = q+~p = ~p+q

Tym razem prawe strony równań w bramkach A i D są identyczne zatem prawo kontrapozycji zachodzi.
p=>q = ~q=>~p
Prawo to jest poprawne w logikach równoważnościowych, gdzie operator implikacji odwrotnej ~> nie jest używany.

W dzisiejszej logice prawo kontrapozycji jest stosowane zarówno w równoważności jak i implikacji co prowadzi do niejednoznaczności matematyki, bowiem to samo prawo nie może być stosowane w dwóch fundamentalnie różnych układach odniesienia.


6.0 Fundament dzisiejszej logiki w zakresie implikacji jest chory

Jeśli implikacje będziemy kodować zgodnie z naturalnym językiem mówionym czyli po „Jeśli …” mamy zawsze poprzednik p zaś po „to…” mamy zawsze następnik q, to otrzymamy poprawną algebrę Boole’a bez żadnych ograniczeń, z przemiennością sumy logicznej i iloczynu logicznego na czele. Do tej pory tak właśnie przyjmowaliśmy i wszystko było piękne i jednoznaczne.

Jeśli ustalimy sztywny, jedynie słuszny punkt odniesienia na implikacji prostej => albo odwrotnej ~>, to zaczną się kłopoty z przemiennością sumy i iloczynu logicznego.

Irbisol napisał:
rafal3006 napisał:
Rozumiem, że według Ciebie zachodzą takie równania:
p=>q= q~>p
i
p=>q # p~>q

Zgadza się ?

Tak


volrath napisał:
Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to samo co prosta.
Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)

Czyli według Volratha również zachodzi:
p=>q # p~>q
i
p=>q=q~>p

Fundamentem dzisiejszego rozumienia implikacji są dwa równania:
p=>q # p~>q AND p=>q=q~>p

Dowody:
A.
p=>q # p~>q
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Zauważmy, że przemienność sumy logicznej niczemu tu nie przeszkadza, zawsze otrzymamy prawidłowe p=>q # p~>q

B.
p=>q = q~>p
p=>q = ~p+q
q~>p = q+~p = ~p+q - na podstawie prawa przemienności sumy logicznej.
Prawe strony są równe zatem zachodzi:
p=>q=q~>p

Dowód A jest oczywiście poprawny bo to są definicje implikacji prostej i odwrotnej.

Uznanie dowodu B za poprawny natychmiast prowadzi do absurdu:
p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p
czyli implikacja staje się generatorem liczb losowych od 1 do 4.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ? … to na podstawie powyższego równania możemy sobie rzucać monetą i losować dowolne zdanie z trzech pozostałych.

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Wszyscy normalni ludzie wyśmieją taką odpowiedź jako kompletnie nie na temat …

Gdzie tkwi błąd ?

Błędne jest kodowanie implikacji odwrotnej jako q~>p.

W algebrze Boole’a zachodzi:
p=>q = q~>p

Fundament dzisiejszej logiki w zakresie implikacji:
p=>q # p~>q AND p=>q=q~>p
jest wewnętrznie sprzeczny.

I.
W implikacji obowiązują poniższe równania:
p=>q=1
q=>p=0 - twardy fałsz dla punktu odniesienia p=>q
p~>q=1
q~>p=0 - twardy fałsz dla punktu odniesienia p~>q

Jeśli ustalimy sztywny punkt odniesienia na implikacji p=>q to zdanie q~>p=1 będzie prawdziwe, co jest w kolizji z powyższym q~>p=0. Jeśli komunista ustawi punkt odniesienia na p=>q to niby czemu kapitalista nie ma prawa ustawienia punktu odniesienia na p~>q ? Dojdzie oczywiście do wojny bo w komunizmie q~>p=1 zaś w kapitalizmie q~>p=0, zgodnie z powyższą tabelą.

II.
Warunki wystarczający i konieczny wynikają bezpośrednio z tabel zero-jedynkowych => i ~>.
Lewa strona AND:
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
p=>q - implikacja prosta prawdziwa, czyli p jest wystarczające dla q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q - implikacja odwrotna prawdziwa, czyli p jest konieczne dla q
Oczywiście:
p=>q # p~>q

Prawdziwa implikacja odwrotna do p=>q jest tylko jedna, powstaje poprzez zamianę p i q w implikacji prostej p=>q czyli możemy ją zapisać tak:
Jeśli zajdzie q to może ~> zajść p
q~>p
gdzie:
q, p - wzięte z jedynie słusznej świętej krowy p=>q

Implikacja odwrotna prawdziwa do p=>q może być tylko jedna zatem jeśli prawdziwa jest q~>p to musi być fałszywa p~>q czyli nie istnieje prawdziwa implikacja odwrotna p~>q co jest nonsensem … albo:
q~>p=p~>q
co również jest nonsensem.

III.
Człowiek A może wypowiedzieć zdanie p~>q i zakodować je jako p~>q, zaś komunista C wypowiada to samo zdanie p~>q ale koduje je nie wiedzieć czemu jako q~>p … no i mamy matematyczną bzdurę:
A: p~>q = C: q~>p
bo kodowanie dotyczy tego samego zdania.

Przykład:
Osoba A wypowiada implikacje prostą:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
p=P
q=4L
p=>q

Osoba B wypowiada implikację odwrotną:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
p=4L
q=P
p~>q

Oczywiście na podstawie powyższych zapisów mamy prawidłowo:
p=>q # p~>q
czyli:
A.
P=>4L # 4L~>P

Komunista C wypowiada implikację odwrotną:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
… ale nie wiedzieć czemu koduje to zdania jako:
q=4L
p=P
czyli:
q~>p
Po czym korzysta z matematycznej zależności:
p=>q = q~>p
… i mamy dwa nonsensy:
B..
4L~>P = P=>4L
co jest sprzeczne z równaniem A wyżej
C.
Nie istnieje implikacja p~>q bo ta zawsze będzie kodowana przez komunistę C jako q~>p zaś równanie:
p~>q = q~>p
jest oczywistą matematyczną bzdurą

WNIOSKI:
1.
Jeśli ustalimy jedynie słuszny punkt odniesienia na implikacji prostej => (lub ~>) to natychmiast mamy implikację opisaną generatorem liczb losowych od 1 do 4 i dowód prawdziwości fałszywego sloganu znanego wszystkim logikom „Logika człowieka nie istnieje”.
2.
Jeśli wypowiedzianą implikację będziemy kodować zgodnie z naturalnym językiem mówionym czyli po „Jeśli…” mamy zawsze poprzednik p zaś po „to…” mamy zawsze następnik q to otrzymamy prawidłową algebrę Boole’a. Wtedy okaże się, że prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności, zaś prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji. W sumie otrzymamy piękną, kryształowo czystą algebrę Boole’a, zgodną z naturalnym językiem mówionym.

Aktualny stan dzisiejszej logiki w zakresie implikacji można znaleźć tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
Implikacja odwrotna według dzisiejszej chorej logiki brzmi q=>p czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno=> jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
q=>p =0
W implikacji zdanie q=>p będzie zawsze fałszywe, decyduje o tym operator => oraz brak warunku wystarczającego między podstawą a strzałką wektora =>.

Zdanie q=>p będzie prawdziwe wyłącznie w równoważności, dlatego cały kwadrat logiczny w dzisiejszej logice dotyczy równoważności, z prawami kontrapozycji na czele.

Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność.


6.1 Zdrowy fundament implikacji

Zdrowy fundament implikacji jest wyłącznie taki:
p~>q # p=>q
o fakcie czy zdanie jest implikacją prostą => czy też odwrotną ~> decyduje użyty operator => lub ~>.
gdzie:
=> - warunek wystarczający zachodzący między podstawą a strzałką wektora
~> - warunek konieczny zachodzący miedzy podstawą a strzałką wektora

Przy zdrowym fundamencie jak wyżej matematyka w zakresie implikacji jest w 100% jednoznaczna zaś logika człowieka = algebra Boole’a.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Oczywiście:
p=>q # p~>q - na mocy odpowiednich definicji

W algebrze Boole’a opartej na zdrowym fundamencie mamy:
Logika człowieka = algebra Boole'a
co mam nadzieję, zostało tu udowodnione.

Koniec 2009-03-08


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 18:37, 09 Mar 2009, w całości zmieniany 86 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 10:42, 17 Lut 2009    Temat postu:

Implikacyjne ciekawostki

Autor: Kubuś

Kubuś = wirtualny Internetowy Miś

Spis treści:
1.0 Analiza implikacji wypowiedzianej w logice ujemnej w oryginale
2.0 Matematyczne byki współczesnej logiki

3.0 Szanse zaistnienia nowej definicji implikacji
3.1 Światełko w tunelu

4.0 Podsumowanie


1.0 Analiza implikacji wypowiedzianej w logice ujemnej w oryginale

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja:
Implikacja wypowiedziana jest w logice ujemnej jeśli wyjście q jest zanegowane (~q).

Na podstawie praw Kubusia takich implikacji nie musimy analizować. Implikację w logice ujemnej (~q) możemy zamienić na równoważną implikację w logice dodatniej, łatwiejszą do analizy.

Przykład:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P

Prawo Kubusia:
~4L=>~P = 4L~>P
czyli:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne dla psa zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa

Cytat z tytułowego postu:
podpis pkt.6.3 napisał:

Tabela A
p q p=>q
1 1 =1 / P=>4L=1
1 0 =0 / P=>~4L=0
0 0 =1 / ~P~>~4L=1
0 1 =1 / ~P~~>4L=1

Tabela C
p q p~>q
1 1 =1 / 4L~>P=1
1 0 =1 / 4L~~>~P=1
0 0 =1 / ~4L=>~P=1
0 1 =0 / ~4L=>P=0

Oczywiście tabele te nie są matematycznie równoważne. Na podstawie definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji linie w tabelach A i C możemy dowolnie przestawiać, ale zawsze otrzymamy.
p=>q # p~>q

Z powyższych tabel wynikają fundamentalne wnioski:
P=>4L # 4L~>P - obalenie fundamentu dzisiejszej logiki p=>q = q~>p
oraz:
P=>4L # ~4L=>~P - dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji

UWAGI:
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji
Prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności

Wypowiadamy takie zdanie:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P


Analiza I

Korzystamy z prawa Kubusia:
~4L=>~P = 4L~>P
Zdanie 4L~>P mamy przeanalizowane w tabeli C wyżej zatem nic nie musimy robić


Analiza II

Bądźmy jednak bardziej ambitni i przeanalizujmy wypowiedziane zdanie w oryginale.

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym aby nie być psem, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa.

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd mamy symboliczną definicję implikacji prostej (język asemblera):
Kod:

 p  q p=>q

 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1

gdzie p i q to parametry formalne pod które podstawiamy parametry aktualne zgodne z wypowiedzianym zdaniem.

Parametry aktualne dla wypowiedzianego zdania to:
p=~4L
q=~P

Wstawiamy je do definicji symbolicznej otrzymując:

(~4L) (~P) =1
(~4L) ~(~P)=0
~(~4L) ~(~P) =1
~(~4L) (~P) =1

Opuszczamy nawiasy korzystając z prawa podwójnego przeczenia A=~(~A):

A: ~4L ~P =1
B: ~4L P =0
C: 4L P =1
D: 4L ~P=1

Odczytujemy tabelę zgodnie z zasadą, piszemy to co widzimy:

A.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura - twarda prawda bo linia niżej jest twardym fałszem
B.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P=0 - oczywisty twardy fałsz wobec twardej prawdy wyżej
C.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1bo pies - miękka prawda bo niżej też jest jedynka
D.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń - miękka prawda bo wyżej też jest jedynka

Oczywiście implikacja odwrotna 4L~>~P jest fałszywa bo nie zachodzi tu warunek konieczny co najłatwiej sprawdzić korzystając z prawa Kubusia:
4L~>~P (warunek konieczny) = ~4L=>P (warunek wystarczający)

Zdanie:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P
Jest oczywistym fałszem, zatem nie zachodzi tu warunek wystarczający co automatycznie oznacza brak warunku koniecznego w zdaniu 4L~>~P czyli:
4L~>~P=0 - implikacja odwrotna fałszywa bo brak warunku koniecznego

Prawdziwość zdania D określa wzór:
(4L~~>P)+(4L~>P) = 1 + 0 =1
gdzie:
~~> - naturalny spójnik MOŻE (wystarczy jedna prawda), implikacja odwrotna jest tu fałszywa

Na podstawie powyższej analizy zapisujemy:

Tabela D
~4L=>~P =1
~4L=>P =0
4L~>P =1
4L~>~P =1

Tabele C i D są oczywiście równoważne ponieważ na podstawie definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji linie w tabelach C i D możemy dowolnie przestawiać.


2.0 Matematyczne byki współczesnej logiki

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

math.edu.pl napisał:

Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja p ⇒ q jest twierdzeniem, to jego poprzednik p nazywamy założeniem, następnik q - tezą założenia.

Jeżeli implikacja p ⇒ q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.

Dla danej implikacji p ⇒ q, którą nazywamy prostą, implikację q ⇒ p nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej.


Komentarz:

Po pierwsze:
To bardzo ciekawe stwierdzenie iż „twierdzenia matematyczne maja na ogół postać implikacji”. Ciekawe ile jest tych twierdzeń będących implikacjami. Faktem jest że prawie wszystkie twierdzenia mają spójnik „Jeśli…to…”. Faktem jest tez, że twierdzenia matematyczne to prawie w 100% równoważności.
Coś tu jest zatem chore. Przecież wedle Macjana spójnik „Jeśli…to…” wymusza implikację bo treść jest nieistotna. Macjan gdzieś ubolewał jak wielką krzywdę robi się dzieciom podając im twierdzenie Pitagorasa w formie implikacji bo przecież to oczywista równoważność, zatem twierdzenie Pitagorasa musi brzmieć:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej :shock:
Macjanie, kiedy zmienisz zdanie ? Jest dokładnie odwrotnie, twoja logika to wariatkowo … Miejmy nadzieję, że ludzie w końcu załapią to co pisze Kubuś i nasze dzieci nie będą musiały uczyć się „matematyki” po Macjanowemu.

Po drugie:
Twierdzenia matematyczne to równoważności. W równoważności w obie strony zachodzą warunki wystarczające, mówienie tu o warunku koniecznym jest matematycznym błędem. Kuriozalny przykład implikacji to twierdzenie Pitagorasa.
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/algebra-boole-a-ciekawe-cytaty-z-matematyki-pl,3483.html#70437
Twierdzenie Pitagorasa jest oczywiście implikacją, tyle że w świecie IDIOTÓW.

Po trzecie:
Poniższe twierdzenie jest implikacją.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2

W tym przypadku fałszywe są dwa ostatnie zdania z cytatu.
Nie ma implikacji odwrotnej q=>p bo q=>p jest prawdziwe wyłącznie w równoważności która jest fundamentalnie czymś innym niż implikacja. Operator implikacji odwrotnej jest fundamentalnie inny niż operator implikacji prostej.
Jeśli zdanie jest implikacją to w jedną stronę zachodzi warunek wystarczający => (p=>q), zaś w stronę przeciwną warunek konieczny ~> (q~>p).

Zdanie q=>p jest w implikacji zawsze fałszywe:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - po wsze czasy

Mówienie zatem w ostatnim zdaniu że:
Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej.

Jest błędem matematycznym bo prawdziwość p=>q pociąga w implikacji fałszywość q=>p !!!

Cała dzisiejsza logika jest popieprzona, amen


3.0 Szanse zaistnienia nowej definicji implikacji

Każde nowe rodzi się w bólach. Rzymianie zaakceptowali cyfrę 0 dopiero po kilkuset latach, w średniowieczu za głoszenie herezji iż ziemia jest okrągła można było spłonąć na stosie. Myślę, że podobnie będzie z podpisem Kubusia :grin:

Ostatni post Volratha:
volrath napisał:

W sumie to ciekawy problem - poprawne skonstruowanie logiki trójwartościowej tak, by nie potrzeba było rachunku predykatów do przetwarzania zdań "istnieje" i "dla każdego" oraz zawierał trzy wartości "prawda" = twarda prawda, "fałsz" = twardy fałsz i "może" = miękki fałsz/prawda.

Ludzie na co dzień przetwarzają zdania typu "istnieje X" i "dla każdego ze zbioru Y zachodzi Z". I część tych zdań nie mieści się w logice podstawowej (wymaga rachunku predykatów) - a może powinna.

W podpisie nie ma żadnej logiki trójwartościowej. Jest rzeczywista logika dwuwartościowa i wirtualna logika czterowartościowa co wynika z faktu, że implikację mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach (pkt. 2.8 i 2.9)

Dyskusja z Vorathem była kluczowa dla ostatecznej wersji podpisu.

W punkcie 6.3 podpisu jest kluczowy dowód iż w implikacji:
p=>q # q~>p

To rozwala całą dzisiejszą logikę, bo dowodzi że implikacji odwrotnej nie można zastąpić implikacją prostą tzn. jest ona niezbędna w logice.
Teoretycznie można żyć bez implikacji odwrotnej na podstawie praw Kubusia identycznie jak można żyć bez sumy logicznej na podstawie praw de’Morgana … tylko co to będzie miało wspólnego z naturalnym językiem mówionym ?
Teoretycznie można sobie wyobrazić króla Idiotolandii który pod karą śmierci zakazuje używania spójnika „lub”, wtedy każdy kto nie chce być skrócony o głowę musi mówić:

K+T = ~(~K*~T)

Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~(~K*~T)

W świecie normalnych każdy powie tak:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
K+T

Dzisiejsza logika to generator liczb losowych a przyczyną tego jest cytowane niżej równanie wynikające bezpośrednio z tego fałszu:
p=>q = q~>p

Generator liczb losowych wygląda tak:
volrath napisał:
Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to samo co prosta.
Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)

Oczywistym jest na podstawie powyższego iż:

Logika człowieka nie istnieje ... a ludzie to głupole

Myślę, że publikacja podpisu jest bez szans jeśli się trafi na redaktora Macjana. W ogóle są chyba małe szanse ale jak powiedział Emde „szukać można i należy”:

emde napisał:

Przyznaję Panu rację, że zastosowanie logiki (logiki matematyczej) ogranicza się w zasadzie do samej matematyki (lub innych dziedziń ściśle sformalizowanych). Ale nie zbuduje Pan logiki naturalnej (możliwej do stosowania w innych dziedzinach) przez modyfikację znaczenia spójników i operatorów logicznych w taki sposób, który Pan proponuje. Sprawa jest dużo bardziej złożona. Przecież gdyby to było takie proste, ktoś dawno by to zrobił. W grę wchodzą generalnie właściwości logiczne języka, którym się posługujemy a to są naprawdę trudne sprawy i od 2500 lat szereg ludzi głowiło się, jak to ugryźć. Do tej pory bez powodzenia. Ale szukać można i należy.

Zgoda, nie zbuduję logiki możliwej do zastosowania w innych dziedzinach bo implikacja to między innymi opis wolnej woli człowieka. Na 100% żaden konstruktor nie życzy sobie aby projektowane przez niego urządzenie miało jakiekolwiek oznaki wolnej woli.

Implikacja to jednak matematyka ścisła z powodu gwarancji.

Jeśli będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Chmury sa warunkiem koniecznym deszczu, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa.
Jeśli chmury to możemy sobie rzucać monetą, spadnie deszcz czy nie spadnie.

Gwarancję w implikacji odwrotnej opisuje prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać
~CH=>~P


3.1 Światełko w tunelu

… czyli szanse na akceptację podpisu przez dzisiejszych logików.

W spójnikach AND i OR podpis jest całkowicie zgodny z dzisiejszą logiką klasyczną i tu nie ma problemu.

W spójnikach => i ~> są fundamentalne różnice, najważniejsza to:

Fundament logiki klasycznej:
p=>q=q~>p AND p=>q # p~>q

Fundament podpisu:
p=>q # q~>p AND p=>q # p~>q
... bo między p i q istotny jest warunek wystarczający => w implikacji prostej i warunek konieczny ~> w implikacji odwrotnej, literki p i q są bez znaczenia. Operatory => i ~> są różne na mocy odpowiednich definicji.
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

Powyższe wymaga przestawienia myślenia o implikacji na zupełnie inne tory, a to może okazać się niewykonalne.

Przykłady logików którzy nigdy nie zaakceptują podpisu ….
Irbisol:
obietnica=groźba=równoważność
Macjan:
obietnica=groźba=implikacja prosta

Poprawne równania są w podpisie:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna

Światełko w tunelu to …
Volrath i Emde - logicy którzy zdaniem Kubusia będą w stanie zrozumieć i zaakceptować podpis.


4.0 Podsumowanie

Cały problem implikacji jest na poziomie przedszkolaka.

Dzisiejsze pojęcie logiki języka mówionego jest totalnie chore, czego dowód jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

Ciekawe czy logicy kiedykolwiek zrozumieją że prawdziwymi ekspertami algebry Boole'a w zakresie implikacji są ... dzieci w przedszkolu.

Algebra Boole'a praktyków w cyfrówce to operatory logiczne AND(*), OR(+), negacji (~) plus cyfry 0 i 1 oraz definicja zmiennej binarnej i funkcji logicznej - wszelkie prawa logiczne tylko i wyłącznie z tego wynikają.

Jeśli u matematyków jest inaczej to mamy dwie konkurencyjne algebry Boole'a - jedna z nich jest na pewno fałszywa.

Ze zrozumiałych względów operatory => i ~> są nieprzydatne w technice cyfrowej bo żaden praktyk nie życzy sobie by projektowany przez niego układ wykazywał jakiekolwiek oznaki wolnej woli. Skoro operatory OR(+), AND(*) i negacji(~) są w 100% zgodne z naturalną logiką człowieka, inaczej człowiek nie mógłby wymyśleć czegokolwiek sensownego ani nawet funkcjonować, to nie ma żadnych przesłanek aby w operatorach => i ~> było inaczej.

Logika człowieka = algebra Boole'a

co mam nadzieję, zostało tu udowodnione.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 19:31, 07 Mar 2009, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Irbisol




Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 6917
Przeczytał: 30 tematów


PostWysłany: Wto 14:03, 17 Lut 2009    Temat postu:

Jedno pytanie: dlaczego wklejasz fragmenty niedokończonej dyskusji?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 9:20, 18 Lut 2009    Temat postu:

Co tu dokańczać jeśli fundament całej dzisiejszej logiki w zakresie implikacji jest idiotyczny i chory ?
Chory fundament to:
p=>q = q~>p
i
p=>q # p~>q

Na zdrowym fundamencie:
p=>q # p~>q
masz matematykę w zakresie implikacji w 100% jednoznaczną, zaś na chorym implikacja to generator liczb losowych od 1 do 4. :shock:

Dalszy cytat z:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/gwarancje-matematyczne-w-rownowaznosci-i-implikacji,3845-20.html#78645

Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:
Poprawnie masz zawsze po "Jeśli'''" poprzednik p, zawsze po "to.."następnik q

A skąd ci do głowy wpadła taka głupota?
Nie mogę napisać
p=>q <==> q~>p
a może nie mogę też napisać
a - b = - (b - a)
??

Nie bo operator => to coś fundamentalnie innego niż ~> na mocy definicji. W obu operatorach na podstawę wektora podajesz poprzednik p zaś na strzałke następnik q. Operator => to warunek wystarczający, zaś ~> to warunek konieczny.

Czy AND to jest to samo co OR ?
a OR b = b AND a ???

p=P8
q=P2
Zapiszmy to co proponujesz:
P8=>P2 = P2~>P8
p=>q <==> q~>p

Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:
p=>q # p~>q
P8=>P2 # P2~>P8

proste jak cep ... i poprawne matematycznie.

Czy ty w ogóle wiesz sam o co ci chodzi? Przecież właśnie to opisałem, więc po kiego mi piszesz że to proste jak cep?

Porównaj zatem sobie to proste jak cep:
P8=>P2 # P2~>P8

z tym co na początku postu:
P8=>P2 = P2~>P8

Wszystko w porządku ?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 19:26, 22 Lut 2009, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Irbisol




Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 6917
Przeczytał: 30 tematów


PostWysłany: Śro 21:10, 18 Lut 2009    Temat postu:

rafal3006 napisał:
Co tu dokańczać jeśli fundament całej dzisiejszej logiki w zakresie implikacji jest idiotyczny i chory ?
Chory fundament to:
p=>q = q~>p
i
p=>q # p~>q

Na zdrowym fundamencie:
p=>q # p~>q
masz matematykę w zakresie implikacji w 100% jednoznaczną

Nie wiem czy czegoś nie dopatrzyłem, ale mam wrażenie że wg ciebie częśc chorego fundamentu jest tym zdrowym.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 8:28, 02 Mar 2009    Temat postu:

2009-03-01
W tytułowm poście "Nowa definicja implikacji" dopisano bardzo ważny punkt 6.4.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Irbisol




Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 6917
Przeczytał: 30 tematów


PostWysłany: Pon 23:14, 02 Mar 2009    Temat postu:

rafal3006 napisał:
2009-03-01
W tytułowm poście "Nowa definicja implikacji" dopisano bardzo ważny punkt 6.4.


Napisałeś:
Cytat:
Konia z rzędem temu kto wykaże matematyczną równość tabel A i B z którąkolwiek tabelą C lub D. Doskonale widać, że linie w tabelach można sobie przestawiać w nieskończoność i zawsze uzyskamy:

P=>4L # 4L~>P


Z tabeli A i D biorę P=>4L i 4L~>P, w obu przypadkach jest 1, a więc
P=>4L = 4L~>P
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 23:25, 02 Mar 2009    Temat postu:

Najpierw załap na czym polega równość tabel A i B oraz równość tabel C i D.

Nastepnie naucz się co to jest iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji .... dowód zero-jedynkowy iż Tabela A # Tabela C tez tam jest, możesz sobie obalać. Porównujesz pełne definicje zero-jedynkowe implikacji => i ~> a nie wybrany jeden element.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:50, 07 Mar 2009, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Irbisol




Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 6917
Przeczytał: 30 tematów


PostWysłany: Czw 23:26, 05 Mar 2009    Temat postu:

rafal3006 napisał:
Najpier załap na czym polega równość tabel A i B oraz równość tabel C i D.

Nastepnie naucz się co to jest iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji .... dowód zero-jedynkowy iż Tabela A # Tabela C tez tam jest, możesz sobie obalać. Porównujesz pełne definicje zero-jedynkowe implikacji => i ~> a nie wybrany jeden element.


Najpierw załap co napisałeś:
Cytat:

Doskonale widać, że linie w tabelach można sobie przestawiać w nieskończoność i zawsze uzyskamy:

P=>4L # 4L~>P

Zgodnie z tym co napisałeś, przestawiłem linie w tabelach i
uzyskałem że P=>4L = 4L~>P

Wyjaśnij mój błąd na podstawie iloczynu kartezjańskiego, pojęcia funkcji i dowodów zero-jedynkowych.

Poza tym twój punkt 6.4 gdzieś zniknął.
I to jest niezłe:
"Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:50, 05 Mar 2009, w całości zmieniany 67 razy"
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 13:06, 07 Mar 2009    Temat postu:

Nic ci nie zniknęło. Kluczowy punkt 6.4 to po małym przemeblowaniu punkt 6.1 - nic się tu nie zmieniło.

Fragment:
w świecie rzeczywistym istotny jest warunek wystarczający w implikacji prostej i konieczny w implikacji odwrotnej. Definicje implikacji prostej i odwrotnej możemy zatem zapisać w takiej formie.

Oznaczmy:
p - podstawa wektora => lub ~>
s - strzałka wektora => lub ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>s = ~p+s
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść s
=> - warunek wystarczający między podstawą a strzałka wektora =>

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>s = p+~s
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść s
~> - warunek konieczny między podstawą a strzałka wektora ~>

Oczywiście:
p=>s # p~>s
na mocy powyższych definicji.

Przepiszmy tabele zero-jedynkowe dokładnie z przykładu wyżej:

Tabela A
p s p=>s
1 1 =1 / P=>4L=1
1 0 =0 / P=>~4L=0
0 0 =1 / ~P~>~4L=1
0 1 =1 / ~P~~>4L=1

Tabela C
p s p~>s
1 1 =1 / 4L~>P=1
1 0 =1 / 4L~~>~P=1
0 0 =1 / ~4L=>~P=1
0 1 =0 / ~4L=>P=0

Powyższe tabele te nie są matematycznie równoważne. Na podstawie definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji linie w tabelach A i C możemy dowolnie przestawiać, ale zawsze otrzymamy.
p=>s # p~>s
czyli:
P=>4L # 4L~>P
… bo istotny jest warunek wystarczający w implikacji prostej => i warunek konieczny w implikacji odwrotnej ~>.

Porównujesz pełne definicje czyli wszystkie cztery linie - możesz sobie teraz przestawiać


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 12:49, 08 Mar 2009, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Irbisol




Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 6917
Przeczytał: 30 tematów


PostWysłany: Nie 22:14, 08 Mar 2009    Temat postu:

rafal3006 napisał:
p=>s # p~>s
czyli:
P=>4L # 4L~>P

Pytanie to samo co w wątku obok - czym jest p i s w tej nierówności?

rafal3006 napisał:
Porównujesz pełne definicje czyli wszystkie cztery linie - możesz sobie teraz przestawiać

Pisałeś o jednej linii.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:22, 08 Mar 2009    Temat postu:

Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:
p=>s # p~>s
czyli:
P=>4L # 4L~>P

Pytanie to samo co w wątku obok - czym jest p i s w tej nierówności?

Masz napisane wyżej.
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:
Porównujesz pełne definicje czyli wszystkie cztery linie - możesz sobie teraz przestawiać

Pisałeś o jednej linii.

Masz tu słynna implikację ze świata idiotów, twierdzenie Pitagorasa.

Jeśli trójkąt jest prostokątny to kwadrat przyprostokątnych jest równy kwadratowi przeciwprostokątnej.
K90=>KW

Zarówno w równoważności jak i implikacji pierwsza linia jest identyczna.

Jak rozstrzygniesz czy twierdzenie Pitagorasa jest implikacją czy równoważnością po pierwszej linii ?

Czekam na odpowiedź :grin:
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Irbisol




Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 6917
Przeczytał: 30 tematów


PostWysłany: Pon 22:25, 09 Mar 2009    Temat postu:

rafal3006 napisał:
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:
p=>s # p~>s
czyli:
P=>4L # 4L~>P

Pytanie to samo co w wątku obok - czym jest p i s w tej nierówności?

Masz napisane wyżej.

Nie mam napisane wyżej.
Napisz czemu równa się p a czemu s.
Masz 2 wyjścia:
p = P
s = 4L
albo
p = 4L
s = P
wybieraj.

rafal3006 napisał:
Zarówno w równoważności jak i implikacji pierwsza linia jest identyczna.

Jak rozstrzygniesz czy twierdzenie Pitagorasa jest implikacją czy równoważnością po pierwszej linii ?

Czekam na odpowiedź :grin:

To mnie nie obchodzi. Pisałeś o jednej linii w tabeli a ja znalazłem takie linie które zaprzeczają temu co twierdziłeś.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:50, 09 Mar 2009    Temat postu:

Irbisol napisał:

Nie mam napisane wyżej.
Napisz czemu równa się p a czemu s.
Masz 2 wyjścia:
p = P
s = 4L
albo
p = 4L
s = P
wybieraj.

Masz napisane wróć ....
To ty masz kwadraturę koła i nie masz pojęcia jak zakodowac powyższe zdania, nie ja. Identyczny przykład jest w wątku obok, może najpierw tam to rozstrzgnijmy.

Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:
Zarówno w równoważności jak i implikacji pierwsza linia jest identyczna.

Jak rozstrzygniesz czy twierdzenie Pitagorasa jest implikacją czy równoważnością po pierwszej linii ?

Czekam na odpowiedź :grin:

To mnie nie obchodzi. Pisałeś o jednej linii w tabeli a ja znalazłem takie linie które zaprzeczają temu co twierdziłeś.

Pisałem o impliakcji prostej prawdziwej. każdy przedszkolak wie iż w tym przypadku należy rozpatrzyc całą definicję czyli wszystkie 4 przypadki inaczej wyjdą idiotyzmy, jak choćby z tym twierdzeniem Pitagorasa.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Irbisol




Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 6917
Przeczytał: 30 tematów


PostWysłany: Wto 22:41, 10 Mar 2009    Temat postu:

rafal3006 napisał:
Pisałem o impliakcji prostej prawdziwej. każdy przedszkolak wie iż w tym przypadku należy rozpatrzyc całą definicję czyli wszystkie 4 przypadki inaczej wyjdą idiotyzmy, jak choćby z tym twierdzeniem Pitagorasa.

Pisałeś tak jak napisałeś i na podstawie tego co napisałeś udowodniłem ci że twoje twierdzenie jest błędne.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 10:16, 11 Mar 2009    Temat postu:

Irbisorze, moja odpowiedź w pkt. 1.2 i 1.3 w podpisie - to już drugi kluczowy post powstały z twojej inspiracji, dzięki.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 10:21, 11 Mar 2009, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Irbisol




Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 6917
Przeczytał: 30 tematów


PostWysłany: Śro 23:02, 11 Mar 2009    Temat postu:

Twoja odpowiedź z podpisu jest zbyt długa jak na zagadnienie które tu rozpatrujemy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin