ŚFiNiA

Genkaku

Czy 1/2 i 2/4 to ta sama liczba, czy dwie liczby, które są sobie równe?

wujzboj

A co rozumiesz pod słowem "liczba"?

krowa

(wykasowano)

wujzboj

To, co opisałeś, nie jest liczbą, lecz działaniem na liczbach. Wynikiem działania na liczbach jest liczba, ale działanie na liczbach liczbą nie jest.

Genkaku pyta, czy jeśli w dwóch różnych działaniach uzyska się liczbę zapisaną tym samym symbolem, to czy uzyskuje się w ten sposób tę samą liczbę, czy dwie różne liczby. Poprosiłem, żeby wyjaśnił, co rozumie pod pojęciem liczby, aby można było wspólnie rozważyć, czy przy takim rozumieniu tego pojęcia chodzi o jedną czy o dwie liczby. Nie bardzo wiem, jak zrobić, by były to dwie liczby, ale kto wie, może jakiś sposób się znajdzie.

krowa

(wykasowano)

wujzboj

Liczba znaczy zazwyczaj to, co znaczy w dziale matematyki, w którym jest używana. I wtedy 1/2 i 2/4 to ta sama liczba. Każdą liczbę możesz natomiast stosować w wielu różnych sytuacjach; wtedy 2 i 2 są czym innym, na przykład jedno 2 to dwie krowy, a drugie 2 to krowa i byk.

Genkaku

Czyli to by oznaczało, że operator '=' oznacza identyczność, w sensie "to ten sam obiekt", a nie w sensie "te obiekty są równe". Czy zgadza się? Czy zawsze tak jest?

Johnny99

To chyba zależy od sensu: w wyrażeniu "krowa = krowa" operator oznacza, że jedna krowa jest tak samo krową jak druga krowa, ale nie oznacza, że wszystkie krowy są równe albo że mówimy o tym samym obiekcie

Albo "ta krowa = tamta krowa" na targowisku oznacza np. że obie krowy są w tej samej cenie ;)

wujzboj

Równość liczb oznacza jednak, że po obu stronach mamy tę samą liczbę. Po prostu nie ma niczego, co by te liczby rozróżniało. Różne są sposoby otrzymania tej liczby, i o tym mówią różne wzory znajdujące się po obu stronach znaku równości. Natomiast wynik (tj. ta liczba) jest identyczny i to właśnie symbolizuje znak równości.

Genkaku

Dowiedziałem się czegoś ciekawego.

Otóż podobno profesor Tadeusz Batóg powiedział niegdyś, że matematyk utożsamia dwie rzeczy tylko, gdy zna różnice między nimi.
To znaczy znak równości "=" nie jest znakiem określającym identyczność w sensie "ten sam obiekt", ale w sensie tożsamości własności (oczywiście nie wszystkich, ale z jakiegoś względu, w danym momencie istotnych).

Przykładowo, wartość jakiejś funkcji f, czyli f(x) może być równa 3, ale w sensie tożsamości własności właśnie.
Inny przykład: Jest wiele liczb "2" - liczba naturalna, liczba rzeczywista, liczba zespolona, itd. Każda z liczb "2" jest definiowana inaczej, ale zwykle zachodzi tożsamość pomiędzy nimi - utożsamia się je, ale zdając sobie sprawę, że nie są to te same obiekty.

Co o tym sądzicie?

wujzboj

Nie widzę związku

Budyy

Ten post wujek jest dowodem na absurdalność próby zaprzęgnięcia filozofii do wyjaśniania rzeczywistości.

Genkaku

W tym przypadku być może znak "=" nie ma dyskusyjnego znaczenia, ale być może jest tak, że nie zawsze jego znaczenie jest takie samo...

wujzboj

Nie widzę jednak żadnego powodu, aby uważać wynik tych działań za "różne lecz równe sobie liczby". W matematyce liczba jest obiektem; na przykład, w algebrze jest to element pewnego zbioru posiadającego pewną dobrze określoną strukturę, określającą związki pomiędzy tymi elementami. Zapis równości wyników działań oznacza po prostu tyle, że podano dwa różne sposoby, za pomocą których można w tej strukturze odnaleźć związki łączące ten sam element (wynik działania) z innymi elementami (występującymi w działaniu po prawej stronie znaku równości i w działaniu po lewej stronie znaku równości). Patrz pojęcie funkcji (dziedzina i wartość) i pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów.