 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Wto 23:00, 08 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Dopieszczanie algebry Kubusia
Wróciłem się do początku AK poprawiając opis kluczowych w logice matematycznej praw Prosiaczka.
Bez praw Prosiaczka niemożliwe jest wędrowanie między tabelami zero-jedynkowymi a równaniami algebry Boole'a.
Ziemscy matematycy de facto podświadomie stosują prawa Prosiaczka nie będąc tego świadomym.
Twardy dowód tego faktu mamy tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/wstep-do-algebry-kubusia-pisany-na-zywo,20453.html#636573
| rafal3006 napisał: | Wstęp do algebry Kubusia
2.7 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego
Spis treści
2.7 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego 1
2.7.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego? 3
2.8 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale 4
2.8.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale 6
2.8.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y 11
2.8.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y 14
2.7 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego
Przepraszam prof. Ludomira Newelskiego za znalezienie błędu czysto matematycznego w jego dowodzie prawa Małpki w podręczniku akademickim dla studentów I roku matematyki "Wstęp do matematyki".
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód prawa Małpki (Uwaga 2.7) w podręczniku „Wstęp do matematyki” autorstwa prof. L. Newelskiego.
[link widoczny dla zalogowanych]
Cytuję słowo w słowo dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego na prostszym przykładzie, co jest bez znaczenia:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z dwoma zmiennymi wejściowymi {p,q} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q)
| Kod: |
p q Y
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 0
|
2.
Z tabeli odczytujemy, że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
3.
Zatem funkcja logiczna Y opisująca tą tabelę to:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
która jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
Uwagi Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Gdzie:
## różne na mocy definicji
b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno-koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy na mocy II prawa Prosiaczka wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy do jedynek.
Alternatywnie, na mocy I prawa Prosiaczka wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zera otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.
Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego: |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/wstep-do-algebry-kubusia-pisany-na-zywo,20453.html#636063
1.4 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Wyprowadzenie praw Prosiaczka:
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=K*~K=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~K+K=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w sposób tożsamy:
| Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF23 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
W wierszach A2 i A3 doskonale widać prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
| Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
I prawo Prosiaczka widać w linii A2-B2:
I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) # B2: (~Y=0)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 0
Stąd mamy zapis tożsamy I prawa Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Stąd:
I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0) = (A2: (Y=1)=>B2: (~Y=0))*(B2: (~Y=0)=>A2: (Y=1)) =1*1 =1
Twierdzenie proste A2: p=>q brzmi:
A2.
Jeśli A2: (Y=1) to na 100% => B2: (~Y=0)
cnd
Twierdzenie odwrotne B2: q=>p brzmi:
B2.
Jeśli B2: (~Y=0) to na 100% => A2: (Y=1)
cnd
Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Szczegółowym dowodem prawa Irbisa zajmiemy się w niedalekiej przyszłości.
Zachodzi tożsamość znaczków logicznych:
<=>, „=”, [=]
które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
Stąd końcowa postać I prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.
I Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=0)=(Y=1)
1.4.2 wyprowadzenie II prawa Prosiaczka
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
| Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
II prawo Prosiaczka widać w linii A3-B3:
II Prawo Prosiaczka:
A3 (Y=0) # B3: (~Y=1)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 0 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 1 (i odwrotnie)
Stąd mamy zapis tożsamy I prawa Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Stąd:
II Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1) = (A3: (Y=0)=>B3: (~Y=1))*(B3: (~Y=1)=>A3: (Y=0)) =1*1 =1
Twierdzenie proste A3: p=>q brzmi:
A3.
Jeśli A3: (Y=0) to na 100% => B3: (~Y=1)
cnd
Twierdzenie odwrotne B3: q=>p brzmi:
B3.
Jeśli B3: (~Y=1) to na 100% => A3: (Y=0)
cnd
Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Szczegółowym dowodem prawa Irbisa zajmiemy się w niedalekiej przyszłości.
Zachodzi tożsamość znaczków logicznych:
<=>, „=”, [=]
które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
Stąd końcowa postać II prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=1)=(Y=0)
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych
Realizacja praw Prosiaczka w bramkach logicznych:
| Kod: |
I prawo Prosiaczka:
(Y=1)<=>(~Y=0)
Y=1 ------ <=> ~Y=0
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=1 musimy negować dwustronnie ~Y=0
## ##
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0)<=>(~Y=1)
Y=0 ------ <=> ~Y=1
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=0 musimy negować dwustronnie ~Y=1
Gdzie:
„o” - symbol negatora (#)
## - różne na mocy definicji
|
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zobaczmy jak działają prawa Prosiaczka na symbolach binarnych.
Przykład 1
Znaczenie symboli binarnych P i ~P:
P - pies
~P - nie pies
I prawo Prosiaczka:
Załóżmy, że pokazujemy palcem psa i mówimy:
P=1 - prawdą jest (=1), że to pies (P)
[=], <=>
~P=0 - fałszem jest (=0), że to nie jest pies (~P)
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(P=1) [=] (~P=0)
##
II prawo Prosiaczka:
Załóżmy, że pokazujemy palcem kozę i mówimy:
P=0 - fałszem jest (=0), że to jest pies (P)
[=], <=>, „=”
~P=1 - prawdą jest (=1), że to nie jest pies (~P)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 2
Znaczenie symboli binarnych Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
I prawo Prosiaczka:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
[=],<=>
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) [=] (~Y=0)
##
II prawo Prosiaczka:
Y=0 - fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Y)
[=], <=>
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
| Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka
Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:04, 09 Mar 2022, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 20:06, 09 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Kolejny przełom w rozszyfrowywaniu algebry Kubusia!
Dzień 2022-03-09 przejdzie do historii matematyki, bowiem dopiero teraz zapisałem w sposób poprawny wszystkie możliwe spójniki logiczne logiki matematycznej.
Chodzi tu o tabelę TF0-15 zaprezentowaną niżej.
Zrezygnowałem z pisania "Wstępu do algebry Kubusia" na rzecz "Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego" gdyż zmuszanie czytelnika do czytania wstępu do AK po czym bo czytania właściwej "Algebry Kubusia" powielającej wiedzę ze wstępu było złym pomysłem
Przed chwilką skończyłem najważniejszą i najtrudniejszą część algebry Kubusia tzn. omówienie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Został mi pikuś, czyli omówienie spójników równoważnościowych p<=>q i "albo"($).
Tworzenie najnowszej wersji AK będę tu relacjonował na bieżąco.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/wstep-do-algebry-kubusia-pisany-na-zywo,20453.html#649277
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.0 Spójniki obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”
Spis treści
7.0 Spójniki logiczne w algebrze Kubusia 1
7.1 Spójniki logiczne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q” 4
7.2 Definicja implikacji prostej p|=>q 7
7.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) 9
7.2.3 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH 10
7.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 11
7.3.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) 13
7.3.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 14
7.4 Definicja równoważności p<=>q 14
7.4.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 17
7.4.3 Przykład operatora równoważności TP|<=>SK 19
7.5 Definicja spójnika „albo”($) 20
7.5.1 Operator „albo”($) p|$q 22
7.5.3 Przykład operatora „albo”($) M|$K 24
7.6 Prawa Prosiaczka w tabeli prawdy obsługujących zdania warunkowe 25
7.0 Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(p,q) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej p
Y = f(p) =p
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
| Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, ~(|~~>q) | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> ~(|~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Zastosujmy prawo negacji funkcji logicznej do tabeli TF2
| Kod: |
TF0-15
-------------------------------------------------------------------
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B9:~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B7: ~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
## ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11: Y =~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0 # B11:~Y= (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
##
--------------------------------------------------------------------
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B12:~Y=~p
## ##
A13: Y = q # B13:~Y=~q
## ##
A14: Y =~p # B14:~Y= p
## ##
A15: Y =~q # B15:~Y= q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) w ilości 16 sztuk to funkcje różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
7.1 Spójniki logiczne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
| Kod: |
TF4-11
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
---------------------------------------------------------------------------
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
---------------------------------------------------------------------------
TF6-7:
Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q:
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
##
---------------------------------------------------------------------------
TF8-9:
Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
##
---------------------------------------------------------------------------
TF10-11:
Spójnik chaosu Y=(p|~~>q)=1 i śmierci Y=~(p|~~>q)=0
A10.
Spójnik chaosu Y=(p|~~>q):
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q,
i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja spójnika chaosu (p|~~>q)=1 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y= (p|~~>q) =p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 # ~Y=~(p|~~>q)=0
##
A11.
Spójnik śmierci Y=~(p|~~>q)=0 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y =~(p|~~>q)= ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0 # ~Y= (p|~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-11 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
7.2 Definicja implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
TF6-7:
Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q:
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
|
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: p|=>q = ~p*q
7.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p) i nie zajdzie q (~q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Stąd:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
7.2.3 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego aby jutro było pochmurno, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
cnd
Podpowiedź:
Niebawem poznamy szczegółowe rozwiązanie tego zadania, ale próba samodzielnego jego rozwiązania przez czytelnika jest ze wszech miar wskazana.
7.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
TF6-7:
Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q:
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
|
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q)=p*~q
Do zapamiętania:
A1B1: p|~>q = p*~q
7.3.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Implikacja odwrotna p|~>q to po stronie p najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’, natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną => w postaci zdania B2.
7.3.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
B1.
Jeśli jutro będzie pochmrno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Podpowiedź:
Niebawem poznamy szczegółowe rozwiązanie tego zadania, ale próba samodzielnego jego rozwiązania przez czytelnika jest ze wszech miar wskazana.
7.4 Definicja równoważności p<=>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
TF8-9:
Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników 7 590
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie
zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
7.4.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q)
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
7.4.3 Przykład operatora równoważności TP|<=>SK
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora równoważności TP|<=>SK
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q zostało udowodnione wieki temu co oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną suma kwadratów (SK)
cnd
Podpowiedź:
Definicja równoważności TP<=>SK:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q mamy udowodnione wyżej.
Pytanie podstawowe brzmi:
Jak udowodnić prawdziwość twierdzenie B1: p~>q?
Podpowiedź:
Najprościej skorzystać z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
Jak widzimy, by udowodnić prawdziwość twierdzenia B1: TP~>SK wystarczy udowodnić prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP, a to zostało zrobione wieki temu.
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Rozpisanie równoważności TP<=>SK w postaci serii czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozostawiam czytelnikowi.
Niebawem poznamy szczegółowe rozwiązanie tego zadania, ale próba samodzielnego jego rozwiązania przez czytelnika jest ze wszech miar wskazana.
7.5 Definicja spójnika „albo”($)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
TF8-9:
Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
|
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Podstawmy definicję spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
TA
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zachodzenie zarówno
warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)= ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: p$q = p*~q + ~p*q
7.5.1 Operator „albo”($) p|$q
| Kod: |
TA
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Z tabeli prawdy spójnika „albo”($) którą jest tabela TA odczytujemy:
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = p<=>~p) = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem ~q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem ~q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>q = p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=~q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem q (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem q (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=~q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów/pojęć ~p=q
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=q która wymusza tożsamość zbiorów p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=q # p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
7.5.3 Przykład operatora „albo”($) M|$K
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora „albo”($) M|$K
M$K:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Gdzie:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
cnd
Jak udowodnić prawdziwość zdania B1?
Na przykład tak:
Prawo Tygryska:
B1: M~>~K = B3: ~K=>M
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd udowodnienie prawdziwości twierdzenia odwrotnego B3 gwarantuje nam prawdziwość warunku koniecznego B1.
B3.
Jeśli dowolny człowiek nie jest kobietą (~K) to na 100% => jest mężczyzną (M)
~K=>M =1
Nie bycie kobietą (~K) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być mężczyzną (M)
cnd
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Analizą zdania A1: M=>~K przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozostawiam czytelnikowi.
Niebawem poznamy szczegółowe rozwiązanie tego zadania, ale próba samodzielnego jego rozwiązania przez czytelnika jest ze wszech miar wskazana.
7.6 Prawa Prosiaczka w tabeli prawdy obsługujących zdania warunkowe
| Kod: |
TF10-11:
Spójnik chaosu Y=(p|~~>q)=1 i śmierci Y=~(p|~~>q)=0
A10.
Spójnik chaosu Y=(p|~~>q):
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q,
i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja spójnika chaosu (p|~~>q)=1 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y= (p|~~>q) =p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 # ~Y=~(p|~~>q)=0
##
A11.
Spójnik śmierci Y=~(p|~~>q)=0 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y =~(p|~~>q)= ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0 # ~Y= (p|~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
W kolumnach A10 i A11 mamy prawa Prosiaczka, co widać dokładnie w poniższym zapisie tożsamym.
| Kod: |
TF10-11:
Spójnik chaosu Y=(p|~~>q)=1 i śmierci Y=~(p|~~>q)=0
A10: Y=1 # A10’: ~Y=0
## ##
A11: Y=0 # A11’: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF10-11 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Prawa Prosiaczka zostały wyprowadzone i szczegółowo omówione w punkcie 1.4
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 19:07, 10 Mar 2022, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 19:12, 10 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia to logika matematyczna przyszłych pokoleń matematyków!
Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein
Upraszczanie przekazu algebry Kubusia zdaje się nie mieć końca.
Gruntownie przebudowałem post wyżej tak, by zawrzeć kompletną obsługę zdań warunkowych "Jeśli p to q" w zaledwie dwóch postach:
1.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3750.html#650601
2.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3775.html#650753
| rafal3006 napisał: | Kolejny przełom w rozszyfrowywaniu algebry Kubusia!
Dzień 2022-03-09 przejdzie do historii matematyki, bowiem dopiero teraz zapisałem w sposób poprawny wszystkie możliwe spójniki logiczne logiki matematycznej.
Chodzi tu o tabelę TF0-15 zaprezentowaną niżej.
Zrezygnowałem z pisania "Wstępu do algebry Kubusia" na rzecz "Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego" gdyż zmuszanie czytelnika do czytania wstępu do AK po czym bo czytania właściwej "Algebry Kubusia" powielającej wiedzę ze wstępu było złym pomysłem
Przed chwilką skończyłem najważniejszą i najtrudniejszą część algebry Kubusia tzn. omówienie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Został mi pikuś, czyli omówienie spójników równoważnościowych p<=>q i "albo"($).
Tworzenie najnowszej wersji AK będę tu relacjonował na bieżąco.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/wstep-do-algebry-kubusia-pisany-na-zywo,20453.html#649277
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.0 Spójniki obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”
|
Mam nadzieję, że po tym uderzeniu ziemscy matematycy przy zdrowych zmysłach muszą przyjąć algebrę Kubusia za jedyną poprawna logikę matematyczną w naszym Wszechświecie.
Ciekawe ilu ich będzie?
Fanatyków gówna zwanego "Klasycznym Rachunkiem Zdań" z definicji zwalniam z obowiązku zrozumienia algebry Kubusia - niech sobie wymrą w spokoju z okrzykiem na ustach.
"KRZ jest moim bogiem, zaś AK gównem"
Algebra Kubusia to logika matematyczna przyszłych pokoleń matematyków.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 19:21, 10 Mar 2022, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 14:09, 13 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
Spis treści
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q 1
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q to najczęściej występujące spójniki logiczne w naszym wszechświecie. Konkurencyjna równoważność p<=>q to kropla w morzu otaczającej ją implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
| Kod: |
TF4-7
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
------
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
---------------------------------------
| TF6-7: |
| Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q |
---------------------------------------
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-7 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 14:10, 13 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Spis treści
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) 1
8.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) 3
8.1.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 5
8.1.3 Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach 8
8.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 9
8.2.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 12
8.2.2 Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 14
8.3 Przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 16
8.3.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 20
8.3.2 Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 21
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q
W tabeli IP na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (A2) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q=1 <=> A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q=0 <=> B2: ~p=>~q =0
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
8.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p) i nie zajdzie q (~q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Stąd:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
8.1.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Dowód tego powyższego można znaleźć w punkcie 5.2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy do czynienia z najzwyklejszym
„rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B2’ i A2
|
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Warunek poprawności dziedziny:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Dowód na podstawie diagramu DIP:
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy za dziedzinę D sumę logiczną zbiorów p i q:
D=p+q
to zbiór ~q będzie zbiorem pustym, czyli będzie nierozpoznawalny, co widać na diagramie DIP
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
Dowód nie wprost iż dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=p+q
W implikacji prostej p|=>q zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>q =1
stąd nasza definicja dziedziny D w zbiorach ulega redukcji do:
D = p+q = q - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
D=q
Obliczamy zaprzeczenie zbioru q (~q) definiowane uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q (q)
~q = [D-q] = [q-q] =[] - zbiór pusty [], zbiór ~q jest nierozpoznawalny
cnd
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
8.1.3 Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z powyższego wynika że:
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|---------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście p i ~q |
|----------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach |
------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q = p*~q=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =0 - zajście q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4:~q~>~p=0 - zajście ~q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Rozwiązanie:
Potrzebne definicje i prawa logiki matematycznej to:
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” z języka potocznego od którego zaczynamy analizę matematyczną przez wszystkie możliwe przeczenia p i q definiuje nam punkt odniesienia gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, gdzie mamy odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2)
Punkt odniesienia dla analizy matematycznej:
W.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p może wyłącznie padać (P) albo nie padać (~P)
Po stronie następnika q może wyłącznie być pochmurno (CH) albo nie być pochmurno (~CH)
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> być pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P) i jest pochmurno (CH)
B.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
~P~~>~CH = ~P*~CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Jak widzimy, w zdarzeniach określenie prawdziwości/fałszywości zdań ABCD jest trywialne.
Po stronie „nie pada” (zdania C i D) nie mamy zdania fałszywego zatem tu na mocy definicji kontrprzykładu wykluczony jest warunek wystarczający =>.
Po stronie „pada” (zdania A i B) mamy zdanie fałszywe B.
Na mocy definicji kontrprzykładu mamy zatem pewność iż w zdaniu A1 (tabela T0) spełniony jest warunek wystarczający.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada (P) są chmury (CH)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>CH=1 determinuje prawdziwość wszystkich zdań w linii Ax w tabeli T0.
| Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q=? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p=? [=] 5: p+~q =?
1: P~> CH=? 2:~P=>~CH=? [=] 3: CH=> P=? 4:~CH~>~P=? [=] 5: P+~CH=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Zdane B3 w zapisie formalnym:
q=>p =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego B3: CH=>P=0 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.
Stąd mamy:
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli IP mamy rozstrzygnięcie, iż badane zdanie
A1’
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH)
Dowód:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’: P~~>~CH=0 (i odwrotnie)
8.2.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Fałszywości zdania A1’ nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego A1.
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
stąd:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Prawdziwość warunku koniecznego A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH) bo jeśli pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~CH=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> B2’: ~P~~>CH=1
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P||=>CH to gwarancja matematyczna => po stronie „pada” (P) o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie „nie pada” (~P) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’.
Czyli:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) o czym mówi zdanie A2 lub może ~~> być pochmrno na mocy zdania B2’.
8.2.2 Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Diagram ogólny implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach jest następujący:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście p i ~q |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q = p*~q=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =0 - zajście q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4:~q~>~p=0 - zajście ~q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P|=>CH w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = P (pada) - poprzednik zdania warunkowego
q = CH (chmury) następnik zdana warunkowego
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach:
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
---------------------------------------------------------------------------
| p=P (pada) | ~p=~P (nie pada) |
|--------------------------|----------------------------------------------|
| q=CH (chmury) | ~q=~CH (nie chmury) |
|------------------------------------------------|------------------------|
| A1: P=>CH=1 (P*CH=1) |B2’: ~P~~>CH=~P*CH=1 |A2:~P~>~CH=1 (~P*~CH=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D= A1: P*CH+A2:~P*~CH+B2’:~P*CH =1 suma logiczna zdarzeń możliwych (=1) |
| A1’: P~~>~CH=P*~CH=[]=0 - zdarzenie niemożliwe (=0) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: P=>CH =1 - padanie P jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur CH
B1: P~>CH =0 - padanie P nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur CH
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: P~~>~CH = P*~CH=[]=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1:P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~P~>~CH=1 - brak padania ~P jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur ~CH
B2:~P=>~CH=0 - brak padania ~P nie jest (=0) wystarczający => ~CH
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~P~~>CH=~P*CH=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń:
nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
A2B2: ~P|~>~CH=(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: CH~>P =1 - chmury CH są (=1) konieczne ~> dla padania P
B3: CH=>P =0 - chmury CH nie są (=0) wystarczające => dla padania P
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: CH~~>~P=CH*~P=1
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń: są chmury (CH) i nie pada (~P)
A3B3: CH|~>P = (A3: CH~>P)*~(B3: CH=>P) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~CH=>~P=1 - brak chmur ~CH jest (=1) wystarczający => dla nie padania ~P
B4:~CH~>~P=0 - brak chmur ~CH nie jest (=0) konieczny ~> dla nie padania ~P
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
B4’: ~CH~~>P=~CH*P=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: nie ma chmur ~CH i pada P
A4B4: ~CH|=>~P = (A4:~CH=>~P)*~(~CH~>~P) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.3 Przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
Rozwiązanie:
Potrzebne definicje i prawa logiki matematycznej to:
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” z języka potocznego od którego zaczynamy analizę matematyczną przez wszystkie możliwe przeczenia p i q definiuje nam punkt odniesienia gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Punkt odniesienia dla analizy matematycznej:
W.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P8 i ~P2 definiowane jako uzupełnienia zbiorów P8 i P2 do dziedziny.
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 8 (P8) albo nie być podzielna przez 8 (~P8) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 2 (P2) albo nie być podzielna przez 2 (~P2) - trzeciej możliwości brak
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..].
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd
Zauważmy, że po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) oba zdania C i D są prawdziwe, co na mocy definicji kontrprzykładu wyklucza tu warunek wystarczający =>.
Po stronie liczb podzielnych przez 2 w zdaniu C najszybszy komputer świata próbował znaleźć wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] przez iterowanie, męczył się biedak cały tydzień i nie znalazł wspólnego elementu zbiorów P8 i ~P2, podejrzewamy zatem ze zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Jak to udowodnić matematycznie?
Zakładamy, że zdanie B jest fałszem:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający A.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
(dowód przez pokazanie)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2=1 determinuje prawdziwość kompletnej linii Ax w tabeli T0.
| Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q =? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p =? [=] 5: p+ ~q =?
1: P8~> P2=? 2:~P8=>~P2=? [=] 3: P2=> P8=? 4:~P2~>~P8=? [=] 5: P8+~P2=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0
Zdane B3 w zapisie formalnym:
q=>p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
(dowód przez pokazanie)
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego B3: P2=>P8=0 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0 [=] 5: p+ ~q =0
1: P8~> P2=0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8=0 4:~P2~>~P8=0 [=] 5: P8+~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli IP mamy rozstrzygnięcie iż badane zdanie
W=B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2=~P8*P2=1
wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2)
Dowód:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~P8=>~P2=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’: ~P8~~>P2=~P8*P2=1
cnd
8.3.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0 [=] 5: p+ ~q =0
1: P8~> P2=0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8=0 4:~P2~>~P8=0 [=] 5: P8+~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8)?
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
(To mamy udowodnione)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
stąd:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
Prawdziwość warunku koniecznego A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Zauważmy, że dowód wprost jest tu dużo trudniejszy, jeśli w ogóle możliwy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Brak podzielności dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla braku jej podzielności przez 2 (~P2) bo jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje prawdziwość kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to gwarancja matematyczna => po stronie liczb podzielnych przez 8 (P8) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie liczb niepodzielnych przez 8 (~P8)
Dowód:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2) - mówi o tym zdanie A1
2.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2) o czym mówi zdanie A2, albo może ~~> być podzielna przez 2 o czym mówi zdanie B2’
8.3.2 Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Diagram ogólny implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest następujący:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P8|=>P2 w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = P8 - poprzednik zdania warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q = P2 - następnik zdana warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=2,4,6,8..]
---------------------------------------------------------------------------
| p=P8 | ~p=~P8 |
|------------------------|------------------------------------------------|
| q=P2 | ~q=~P2 |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
| A1: P8=>P2=1 (P8*P2=1) |B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1 |A2:~P8~>~P2=1 (~P8*~P2=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: P8*P2+A2:~P8*~P2+B2’:~P8*P2=1 - istnieją elementy wspólne zbiorów |
| A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0 - jedyny zbiór pusty to P8*~P2=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16..] i ~P2=[1,3,5..]
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1:P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~P8~>~P2=1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3..]
B2:~P8=>~P2=0 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9] nie jest podzbiorem => ~P2=1,3..]
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P8=[1,2,3..] i P2=[2,4,6..] np. 2
A2B2: ~P8|~>~P2=(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: P2~>P8 =1 - P2=[2,4,6..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
B3: P2=>P8 =0 - P2=[2,4,6..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2=[2,4,6..] i ~P8=1,2,3..] np. 2
A3B3: P2|~>P8 = (A3: P2~>P8)*~(B3: P2=>P8) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~P2=>~P8=1 - ~P2=[1,3..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9]
B4:~P2~>~P8=0 - ~P2=[1,3..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5..]
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5..] i P8=[8,16,24..]
A4B4: ~P2|=>~P8 = (A4:~P2=>~P8)*~(~P2~>~P8) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 14:11, 13 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.4 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Spis treści
8.4 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) 1
8.4.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) 3
8.4.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 5
8.4.3 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach 7
8.5 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 9
8.5.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 12
8.5.2 Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 14
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 16
8.6.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 20
8.6.2 Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 22
8.4 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q)=p*~q
Do zapamiętania:
p|~>q = p*~q
W tabeli IO na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (B2) ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q (A2)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q=0 <=> A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q=1 <=> B2: ~p=>~q =1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
8.4.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Implikacja odwrotna p|~>q to po stronie p najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’, natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną => w postaci zdania B2.
8.4.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B2: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Dowód powyższego można znaleźć w punkcie 5.2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~q~~>p=~q*p=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
|
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek poprawności dziedziny:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Dowód na podstawie diagramu DIP:
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy za dziedzinę D sumę logiczną zbiorów p i q:
D=p+q
to zbiór ~p będzie zbiorem pustym, czyli będzie nierozpoznawalny, co widać na diagramie DIO
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
Dowód nie wprost iż dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=p+q
W implikacji odwrotnej p|~>q zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~>q =1
stąd nasza definicja dziedziny D w zbiorach ulega redukcji do:
D = p+q = p - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
D=p
Obliczamy zaprzeczenie zbioru p (~p) definiowane uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p (p)
~p = [D-p] = [p-p] =[] - zbiór pusty [], zbiór ~p jest nierozpoznawalny
cnd
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
8.4.3 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z powyższego wynika że:
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
------------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|----------------------|-----------------------------------------------|
| p | ~p |
|--------------------------------------------|-------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q = p*~q | B2: ~p=>~q (~p*~q=1) |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~p i q |
|----------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach |
------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1:p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zajście q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zajście ~q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~p
B4:~q~>~p=1 - zajście ~q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
A4’: ~q~~>p=~q*p=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.5 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
Rozwiązanie:
Potrzebne definicje i prawa logiki matematycznej to:
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” z języka potocznego od którego zaczynamy analizę matematyczną przez wszystkie możliwe przeczenia p i q definiuje nam punkt odniesienia gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 albo A2B2, gdzie mamy odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2)
Punkt odniesienia dla analizy matematycznej:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P = CH~~>~P =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p może wyłącznie być pochmurno (CH) albo nie być pochmurno (~CH)
Po stronie następnika q może wyłącznie padać (P) albo nie padać (~P)
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> padać (P)
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jest pochmurno (CH) i pada (P)
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jest pochmurno (CH) i nie pada (~P)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> nie padać (~P)
~CH~~>~P = ~CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie jest pochmurno (~CH) i nie pada (~P)
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*~P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie jest pochmurno (~CH) i pada (P)
Jak widzimy, w zdarzeniach określenie prawdziwości/fałszywości zdań ABCD jest trywialne.
Po stronie „chmury” (zdania A i B) nie mamy zdania fałszywego zatem tu na mocy definicji kontrprzykładu wykluczony jest warunek wystarczający =>.
Po stronie „nie chmury” (zdania C i D) mamy zdanie fałszywe D.
Na mocy definicji kontrprzykładu mamy zatem pewność iż w zdaniu B2 (tabela T0) spełniony jest warunek wystarczający.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P) bo padać może wyłącznie z chmurki
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P determinuje prawdziwość wszystkich zdań w linii Bx w tabeli T0.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? 2:~p~> ~q=? [=] 3: q~> p =? 4:~q=> ~p=? [=] 5:~p+ q =?
1: CH=> P=? 2:~CH~>~P=? [=] 3: P~> CH=? 4:~P=>~CH=? [=] 5:~CH+ P=?
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Wybieramy zdanie A1 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax.
Stąd mamy:
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli IO mamy rozstrzygnięcie iż badane zdanie
A1’
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P)
Dowód:
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’: CH~~>~P=1 (i odwrotnie)
8.5.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
B1.
Jeśli jutro będzie pochmmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Udowodnienie prawdziwości A1’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
cnd
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
stąd:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu
Dowód wprost to:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie chmury (CH) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie „brak chmury” (~CH) o czym mówi zdanie B2.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) (zdanie A1) lub może ~~> nie padać (~P) (zdanie A1’)
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P - mówi o tym zdanie B2.
8.5.2 Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
Diagram ogólny implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach jest następujący:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
-------------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|----------------------|------------------------------------------------|
| p | ~p |
|---------------------------------------------|-------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q = p*~q=1 | B2: ~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
-------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~p i q |
|-----------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach |
-------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1:p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zajście q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zajście ~q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~p
B4:~q~>~p=1 - zajście ~q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
A4’: ~q~~>p=~q*p=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: CH|~>P w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = CH (chmury) - poprzednik zdania warunkowego
q = P (pada) - następnik zdana warunkowego
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach:
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury) - poprzednik zdania warunkowego
q=P (pada) - następnik zdana warunkowego
---------------------------------------------------------------------------
| q=P (pada) | ~q=~P (nie pada) |
|----------------------|--------------------------------------------------|
| p=CH (chmury) | ~p=~CH (nie chmury) |
|---------------------------------------------|---------------------------|
| B1: CH~>P=1 (CH*P=1) | A1’: CH~~>~P=CH*~P=1 | B2: ~CH=>~P=1 (~CH*~P=1) |
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D= B1: CH*P+A1’: CH*~P+B2: ~CH*~P (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~CH~~>P=~CH*P=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~CH i P |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: CH~~>~P=CH*~P=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń: są chmury CH i nie pada ~P
A1B1: CH|~>P= ~(A1:CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~CH~>~P=0 - brak chmur ~CH nie jest (=0) konieczny ~> dla nie padania ~P
B2:~CH=>~P=1 - brak chmur ~CH jest (=1) wystarczający => dla nie padania ~P
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~CH~~>P=~CH*P=[] =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: nie ma chmur ~CH i pada P
A2B2: ~CH|~>~P= ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: P~>CH =0 - padanie P nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur CH
B3: P=>CH =1 - padanie P jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur CH
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: P~~>~CH=P*~CH=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: pada P i nie ma chmur ~CH
A3B3: P|=>CH= ~(A3: P~>CH)*(B3:~P=>~CH)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~P=>~CH=0 - brak padania ~P nie jest (=0) wystarczający => dla ~CH
B4:~P~>~CH=1 - brak padania ~P jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur ~CH
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
A4’: ~P~~>CH=~P*CH=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń: nie pada ~P i są chmury CH
A4B4: ~P|~>~CH= ~(A4:~P=>~CH)*(B4:~P~>~CH)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
Potrzebne definicje i prawa logiki matematycznej to:
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” z języka potocznego od którego zaczynamy analizę matematyczną przez wszystkie możliwe przeczenia p i q definiuje nam punkt odniesienia gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Punkt odniesienia dla analizy matematycznej:
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może nie być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P2 i ~P8 definiowane jako uzupełnienia zbiorów P8 i P2 do dziedziny.
~p=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
~q=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 2 (P2) albo nie być podzielna przez 2 (~P2) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 8 (P8) albo nie być podzielna przez 8 (~P8) - trzeciej możliwości brak
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8=~P2*P8=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~P2 i P8 są rozłączne.
Zauważmy, że po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) oba zdania A i B są prawdziwe, co na mocy definicji kontrprzykładu wyklucza tu warunek wystarczający =>.
Zauważmy, że po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) nie sposób przez iterowanie stwierdzić rozłączność zbiorów ~P2 i P8 bo zbiory te są nieskończone, padnie tu największy komputer stworzony przez człowieka choćby szukał wspólnego elementu w nieskończoność, zatem to jest tylko nasze założenie, które musimy udowodnić.
Jak to udowodnić matematycznie?
Zakładamy że zdanie D jest fałszem:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8=~P2*P8=0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów: ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9…] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Jak udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego => C?
Najprościej dowodem „nie wprost” korzystając z prawa kontrapozycji:
C: ~p=>~q = E: q=>p
Nasz przykład:
C: ~P2=>~P8 = E: P8=>P2
Stąd aby udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego C: ~P2=>~P8 potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego E
E.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
(dowód przez pokazanie)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~P2=>~P8=1
to samo w z zapisie formalnym:
C: ~p=>~q=1
determinuje prawdziwość kompletnej linii Bx w tabeli T0.
Zauważmy bowiem że:
C: ~P2=>~P8 = B2: ~P2=>~P8
Tabela T0 przyjmuje zatem postac:
| Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? 2:~p~> ~q =? [=] 3: q~> p =? 4:~q=> ~p =? [=] 5:~p+ q =?
1: P2=> P8=? 2:~P2~>~P8=? [=] 3: P8~> P2=? 4:~P8=>~P2=? [=] 5:~P2+ P8=?
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: P2~> P8=1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2=1 4:~P8~>~P2=1 [=] 5: P2+~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Wybieramy zdanie A1 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
(dowód przez pokazanie)
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax.
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0 [=] 5:~p+ q =0
1: P2=> P8=0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2=0 [=] 5:~P2+ P8=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: P2~> P8=1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2=1 4:~P8~>~P2=1 [=] 5: P2+~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli IO mamy rozstrzygnięcie iż badane zdanie
W=A1’:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1
wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8)
Dowód:
Z fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1.
cnd
8.6.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0 [=] 5:~p+ q =0
1: P2=> P8=0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2=0 [=] 5:~P2+ P8=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: P2~> P8=1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2=1 4:~P8~>~P2=1 [=] 5: P2+~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 2 (P2)?
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 determinuje prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] bo np. 2
Formalnie tego faktu nie musieliśmy dowodzić bowiem prawdziwość kontrprzykładu A1’ wynika z fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisach formalnych:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Stąd:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8=1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 gwarantuje nam prawo kontrapozycji i łatwość dowodu warunku wystarczającego B3: P8=>P2=1, to jest dowód „nie wprost”.
Zauważmy, że dowód wprost iż zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest tu dużo trudniejszy, jeśli w ogóle możliwy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
Rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] nie musimy dowodzić ponieważ wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 (dowód nie wprost)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna po stronie liczb niepodzielnych przez 2 - mówi o tym zdanie B2
Dowód:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (P8) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8) o czym mówi zdanie A1’
2.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8) - mówi o tym zdanie B2
8.6.2 Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Diagram ogólny implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest następujący:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~q~~>p=~q*p=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P2|~>P8 w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = P2 - poprzednik zdania warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
q = P8 - następnik zdana warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=2,4,6,8..]
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
---------------------------------------------------------------------------
| q=P8 | ~q=~P8 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=P2 | ~p=~P2 - |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: P2~>P8=1 (P2*P8=1) |A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 |B2:~P2=>~P8=1 (~P2*~P8=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=B1: P2*P8+A1’: P2*~P8+B2: ~P2*~P8 (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~P2*P8=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8
B1: P2~>P8 =1 - zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P2 i ~P8 np. 2
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~P2~>~P8=0 - zbiór ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8
B2:~P2=>~P8=1 - zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~P2 i P8
A2B2: ~P2|~>~P8= ~(A2:~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: P8~>P2 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
B3: P8=>P2 =1 - zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: P8~~>~P2=P8*~P8=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów P8 i ~P2
A3B3: P8|=>P2= ~(A3: P8~>P2)*(B3:~P8=>~P2)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~P8=>~P2=0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => ~P2
B4:~P8~>~P2=1 - zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~P8~~>P2=~P8*P2=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np. 2
A4B4: ~P8|~>~P2= ~(A4:~P8=>~P2)*(B4:~P8~>~P2)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 14:12, 13 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.7 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
Spis treści
8.7 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q 1
8.7.1 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 2
8.7.2 Prawo Kameleona 4
8.7.4 Prawo Puchacza dla implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 6
8.7.5 Prawo Kłapouchego = kot Schrödingera 6
8.8 Wzajemna relacja implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 11
8.7 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
A1B1:
Definicja implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH):
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur,
bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur,
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
Stąd mamy definicję implikacji prostej P|=>CH w równaniu logicznym:
A1B1_IP: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1_IP: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) ale nie jest konieczne ~> dla istnienia chmur (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH:
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania,
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w równaniu logicznym:
A1B1_IO: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1_IO: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
Prawą stronę czytamy:
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1), ale nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P:
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q
A1B1: Y=(p|~>q)=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
8.7.1 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Zapiszmy serię zdań definiujących prostą P|=>CH i odwrotną CH|~>P:
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q
A1B1: Y=(p|~>q)=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Doskonale widać, że między implikacją prostą IP: p|=>q a implikacją odwrotną IO: p|~>q występuje jest błąd podstawienia ### w powiązaniu z zapisem aktualnym IP: P|=>CH oraz IO: CH|~>P
Zauważmy że:
1.
Nie ma błędu podstawienia w zapisach formalnych (teoria ogólna):
| Kod: |
IP_A1B1: Y= (p|=>q)=~p* q # A1B1_IO: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
IO_A1B1: Y= (p|~>q)= p*~q # A1B1_IO: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różna na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
2.
W zapisie aktualnym błąd podstawienia ### dotyczy dowolnego zdania serii Ax względem dowolnego zdania serii Bx.
Dowód:
Przykładowo, przyjrzyjmy się kolumnie IP_A1B1 oraz kolumnie IO_A1B1:
| Kod: |
IP_A1B1: | IO_A1B1:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
IP: p=> q=~p+q =1 ## IO: p~>q =p+~q =1
Zapis aktualny: | Zapis aktualny:
IP: P=>CH=~P+CH =1 ### IO: CH~>P=CH+~P =1
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P(pada) ### p=CH(chmury)
q=CH(chmury) ### q=P(pada)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
### - różne na mocy błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.7.2 Prawo Kameleona
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q
A1B1: Y=(p|~>q)=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Doskonale widać, że między implikacją prostą IP: p|=>q a implikacją odwrotną IO: p|~>q występuje jest błąd podstawienia ### w powiązaniu z zapisem aktualnym IP: P|=>CH oraz IO: CH|~>P
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Weźmy zdanie A1 z implikacji prostej IP p|=>q:
IP_A1:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
###
Weźmy zdanie B3 z implikacji odwrotnej IO: p|~>q:
IO_B3.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
B3: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Punkt odniesienia:
q=P (pada)
p=CH (chmury)
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
Jak widzimy zdania IP_A1: P=>CH oraz IO_B3: P=>CH są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, jednak zdania te są różne z powodu błędu podstawienia ###.
Fakt ten wyróżniono pogrubioną czcionką.
cnd
8.7.4 Prawo Puchacza dla implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
Prawo Puchacza dla implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q:
Jeśli zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do implikacji prostej p|=>q to wykluczone jest, aby jednocześnie należało do implikacji odwrotnej p|~>q (i odwrotnie).
Dowód prawa Puchacza dla implikacji prostej p|=>q:
Załóżmy, że zdanie warunkowe x należy do definicji implikacji prostej p|=>q.
Wtedy mamy spełnione:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
a)
Sprawdzamy czy zdanie x może należeć do implikacji odwrotnej p|~>q:
Z założenia, iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0 = 0*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do implikacji odwrotnej p|~>q
Dowód odwrotny pozostawiam czytelnikowi.
8.7.5 Prawo Kłapouchego = kot Schrödingera
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q
A1B1: Y=(p|~>q)=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Doskonale widać, że między implikacją prostą IP: p|=>q a implikacją odwrotną IO: p|~>q występuje jest błąd podstawienia ### w powiązaniu z zapisem aktualnym IP: P|=>CH oraz IO: CH|~>P
Zauważmy że:
W zapisie aktualnym błąd podstawienia ### dotyczy dowolnego zdania serii Ax względem dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że jeśli pominiemy zapisy formalne to seria zdań Ax i Bx będzie identyczna i o żadnym błędzie podstawienia ### mowy być wówczas nie może.
Dowód:
| Kod: |
Jeśli pominiemy zapisy formalne to tabela zdań prawdziwych w implikacji prostej IP: P|=>CH i odwrotnej IO: CH~>P wygląda jak niżej:
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
[=]
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
B: 1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
[=] - bez zapisu formalnego zachodzi tożsamość zdań serii Ax i Bx
|
Bez zapisów formalnych tożsamość zdań serii Ax i Bx jest oczywista, bo zdania możemy dowolnie przestawiać.
Wyobraźmy sobie, że mamy pudełko z czterema zdaniami prawdziwymi:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
|
Dlaczego to jest matematyczny raj 5-cio latka?
Oczywistym jest, że 5-cio latek nie zna teorii algebry Kubusia którą tu poznajemy, jednak doskonale posługuje się w praktyce wszystkimi prawami logiki matematycznej.
Prawa logiki matematycznej w raju zna w praktyce każdy 5-cio latek:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej [=].
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=>
Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Podsumowując:
Wszyscy ludzie, od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszym ziemskim matematyku kończąc podlegają pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić, tylko póki co, o tym nie wiedzą.
Zapiszmy jeszcze raz matematyczny raj 5-cio latka:
| Kod: |
Matematyczny Raj 5-cio latka:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
|
Zauważmy że przykładowe zdanie:
1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH
Może należeć do implikacji prostej P|=>CH albo do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej CH|~>P.
Takie niuanse 5-cio latka zupełnie nie interesują, nie są mu do niczego potrzebne i w niczym nie ograniczają jego biegłego posługiwania się prawami logiki matematycznej.
Inaczej jest z matematykiem, znającym teorię algebry Kubusia którą tu omawiamy.
Matematyka nie może być niejednoznaczna tzn. matematyk A mówi że zdanie P=>CH należy do implikacji prostej P|=>CH (A1: P=>CH), zaś matematyk B twierdzi, że zdanie P=>CH należy do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej CH|~>P (B3: P=>CH)
Jednoznaczność matematyki dla wszystkich matematyków uzyskamy w banalny sposób wprowadzając do logiki matematycznej prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Prawo Kłapouchego = otwarcie drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy powyższe zdanie 1: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej IP: p|=>q czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO: p|~>q matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie 1: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej IP: p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO: p|~>q, bo to jest fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest prawo Puchacza (pkt. 8.7.4)
Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy - to jest matematyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kot Schrödingera napisał: |
Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej. |
8.8 Wzajemna relacja implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
Wzajemna relacja warunku wystarczającego =>, warunku koniecznego ~> implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+ q # ~Y =~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p~>q) = p+~q # ~Y =~(p~>q) =~p* q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|=>q)= ~p* q # ~Y =~(p|=>q)= p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|~>q)= p*~q # ~Y=~(p|~>q) =~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli T1 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 14:14, 13 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.9 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Spis treści
8.9 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 1
8.10 Implikacja prosta p|=>q 3
8.10.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4
8.10.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 5
8.10.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji prostej p|=>q? 9
8.11 Implikacja odwrotna p|~>q 10
8.11.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 10
8.11.2 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 12
8.11.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej p|~>q? 15
8.9 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> generuje język potoczny człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Znając ten fakt łatwo udowodnić twierdzenie odwrotne iż fundamentem języka potocznego są tabele zero-jedynkowe spójników logicznych.
Wychodzi z tego odwieczne pytanie, co było pierwsze „jajko, czy kura”?
Poprawna odpowiedź to „kura”, gdyż jajko nie potrafi myśleć, natomiast „kura” potrafi udowodnić, iż tabele zero-jedynkowe spójników logicznych generuje język potoczny „kury”, znaczy język potoczny 5-cio latka, co niniejszym wykażemy.
W algebrze Kubusia matematycznym fundamentem obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” są zaledwie trzy znaczki ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.
Definicje tych znaczków podaję na gruncie teorii zdarzeń bo jest nieporównywalnie prostsza od teorii zbiorów.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, jest pochurno
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
8.10 Implikacja prosta p|=>q
Przykład implikacji prostej A1B1: P|=>CH na poziomie 5-cio latka omówiliśmy w rozdziale 8.2
Przypomnijmy sobie analizę formalną implikacji prostej A1B1: p|=>q.
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Stąd mamy:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
8.10.1 Operator implikacji prostej p||=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1)
Mówi o tym zdanie A1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania A2 i B2’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
8.10.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1:
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c d e f
|
Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
| Kod: |
T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A1: p=>q =1 |definicja =>
| | | p q A1: p=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
| Kod: |
T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A2:~p~>~q =1 |definicja ~>
| | |~p ~q A2:~p~>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1=>1 =1
B: 1=>0 =0
C: 0=>0 =1
D: 0=>1 =1
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1~>1 =1
B: 1~>0 =1
C: 0~>0 =1
D: 0~>1 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0 =1
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1 =1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
8.10.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji prostej p|=>q?
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1.
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c d e f
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q
Łatwo widzieć, iż definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
wskazuje w analizie T1 jedyny kontrprzykład prawdziwy:
B2’: ~p~~>q=~p*q=1
Znajomość tego faktu, jest warunkiem koniecznym i wystarczającym do otworzenia operatora implikacji prostej p||=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” jak w tabeli T1.
Udowodnienie tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
8.11 Implikacja odwrotna p|~>q
Przykład implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P na poziomie 5-cio latka omówiliśmy w rozdziale 8.5
Przypomnijmy sobie analizę formalną implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q.
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
8.11.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania B1 i A1’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1).
Mówi o tym zdanie B2
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
8.11.2 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1:
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1, albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
| Kod: |
T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |B1: p~>q |definicja ~>
| | | p q B1: p~>q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1 =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
| Kod: |
T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |B2:~p=>~q |definicja =>
| | |~p ~q B2: ~p=>~q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0 =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p~>q = T3: ~p=>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T2: 123) i wystarczającego => (T3: 123).
Oto on:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1~>1 =1
B: 1~>0 =1
C: 0~>0 =1
D: 0~>1 =0
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1=>1 =1
B: 1=>0 =0
C: 0=>0 =1
D: 0=>1 =1
|
Stąd mamy:
| Kod: |
T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1: 1~>1 =1 0=>0 =1
A1’: 1~>0 =1 0=>1 =1
B2: 0~>0 =1 1=>1 =1
B2’: 0~>1 =0 1=>0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1: 1~>1 =1 0=>0 =1 1
A1’: 1~>0 =1 0=>1 =1 1
B2: 0~>0 =1 1=>1 =1 1
B2’: 0~>1 =0 1=>0 =0 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
8.11.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej p|~>q?
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p|~>q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1.
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q)=p*~q
Do zapamiętania:
p|~>q = p*~q
Zauważmy, że definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
wskazuje w analizie T1 jedyny kontrprzykład prawdziwy:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Znajomość tego faktu, jest warunkiem koniecznym i wystarczającym do otworzenia operatora implikacji odwrotnej p||~>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” jak w tabeli T1.
Udowodnienie tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 14:22, 13 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
Dlaczego „Algebra Kubusia” będzie największym wydarzeniem w dziejach ludzkości?
Przed chwilką skończyłem kluczową część algebry Kubusia dotyczącą implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Całość jest wyżej począwszy od tego postu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3775.html#651231
Nie spiesząc się, piszę końcową wersję algebry Kubusia.
Dotychczasowa algebra Kubusia powstawała sukcesywnie w ciągu ostatnich 16 lat na bazie dyskusji, głównie na forum śfinia, to około 30 000 postów wyłącznie w temacie logiki matematycznej (średnio 5 postów dziennie non-stop).
Wszelkie nowinki wyklute w czasie tej dyskusji natychmiast nanosiłem do algebry Kubusia.
Wyszła z tego algebra Kubusia potwornie wielka z milionem różnych szczególików, nie nadająca się jako podręcznik logiki matematycznej do I klasy LO.
Od 17 grudnia 2021 roku piszę algebrę Kubusia zupełnie od nowa, gdzie skupiam się na najprostszym wyłożeniu fundamentów algebry Kubusia a nie mnożeniu przykładów z tysiącem mało istotnych szczególików.
W historii już coś takiego przerobiłem, dzięki czemu wiem jak z tego wybrnąć.
W 1983r, trzy lata po skończeniu elektroniki na Politechnice Warszawskiej zrobiłem fajny, mikroprocesorowy sterownik edukacyjny dla hobbystów (na i8085), który zacząłem sprzedawać na giełdzie elektronicznej w Warszawie.
Szybko okazało się, że moje dziecko jest bardzo słabo sprzedawalne z prostej przyczyny - wiedza ówczesnych hobbystów elektroniki w obszarze mikroprocesorów była praktycznie zerowa.
Wpadłem wówczas na pomysł napisania serii podręczników do elektroniki przy założeniu, że odbiorca nie zna prawa Ohma, czyli z założenie były to podręczniki dla I klasy LO, gdzie po łagodnej równi pochyłej czytelnik był prowadzony od takich pojęć jak napięcie, prąd, prawo Ohma … poprzez elektronikę klasyczną, układy scalone średniej skali integracji, układy mikroprocesorowe, do praktycznego programowania różnych sterowań w j. asemblera Z80 przy pomocy opracowanego przeze mnie sterownika.
Po dwóch latach pracy dzieło ukończyłem z sukcesem, mój sterownik do dziś jest legendą wśród starszej daty elektroników.
Przykładowa dwie recenzje to:
1.
Serdecznie dziękuję za dwa pierwsze podręczniki do nauki elektroniki i mikroelektroniki. Są one naprawdę doskonale napisane. Mimo, że przesyłkę otrzymałem dwa dni temu to już zdążyłem je obie przeczytać - bardzo trudno się od nich oderwać.
Obecnie jestem uczniem I klasy Technikum Elektronicznego …
2.
Jestem zachwycony Pańskimi książkami na temat mikroprocesorów. Książki są wyjątkowo przejrzyście napisane. Takiej metodyki mogą pozazdrościć najlepsze uczelnie w kraju, jednej z nich jestem absolwentem.
Już choćby z powyższego widać, że dokumentacja opracowanego przeze mnie sterownika mikroprocesorowego była pasjonującą lekturą zarówno dla 15 latka, jak i absolwenta wyższej uczelni.
Geneza mojego sukcesu sprzed 37 lat:
Tematem mojej pracy magisterskiej było praktyczne wykonanie systemu dwuprocesorowego (na i8080) ze wspólną pamięcią i wspólną szyną danych (rok 1980!), gdzie na odbiorze zademonstrowałem, iż system ten przetwarza dane z dwukrotnie większą szybkością niż system jednoprocesorowy … po czym bez żadnych pytań dodatkowych dostałem w indeksie 5.
Na studiach elektronicznych wykładana jest bardzo rozległa wiedza szczegółowa z różnych dziedzin elektroniki której nie sposób spamiętać i wykorzystać w przyszłości. Oczywistym jest, że absolwent elektroniki wybiera wąską specjalizację i rozwija się wyłącznie w tej dziedzinie co oznacza, że wiedza mu niepotrzebna jest zapominana mimo że musiał ją zaliczyć na studiach.
Ja wybrałem (już na studiach) specjalizację w zakresie wszelkich sterowań w technice mikroprocesorowej i tylko tą wiedzę przekazałem w moich podręcznikach do nauki elektroniki dla hobbystów.
Fundament mojego sukcesu był następujący:
W trakcie pisania podręczników miałam zakaz zaglądania do jakichkolwiek podręczników akademickich i innej literatury elektronicznej (dotrzymany w 100%) celem przypomnienia sobie tego i owego wychodząc z założenia, iż skoro czegoś tam nie pamiętam to nie jest to potrzebne w praktyce sterowań i programowania mikroprocesorów.
To co zrobiłem 37 lat temu, było fajne, ale w gruncie rzeczy przekazałem znaną wiedzę praktyczną o elektronice w najprostszy możliwy sposób.
Algebra Kubusia to jednak fundamentalnie co innego!
Pisząc od 16 lat algebrę Kubusia ja nie przekazuję aktualnej wiedzy matematycznej z zakresu logiki matematycznej w prostszy sposób jak to zrobiłem z elektroniką 37 lat temu.
Ja, aktualną wiedzę matematyczną z zakresu logiki matematycznej totalnie neguję bowiem w algebrze Kubusia 100% definicji z zakresu logiki matematycznej jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką matematyczną znaną ziemskim matematykom.
Założenie mam identyczne jak 37 lat temu:
Po prostu muszę założyć, że wiedza aktualnych ziemskich matematyków w zakresie jedynej poprawnej logiki matematycznej, jaką jest algebra Kubusia, której naturalnymi ekspertami są 5-cio latki … jest równa zeru absolutnemu!
Mam nadzieję, że osiągnę sukces i koniec końców ziemscy matematycy zaakceptują algebrę Kubusia jako jedyną poprawną logikę matematyczną obowiązującą w naszym Wszechświecie.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:18, 13 Mar 2022, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 15:39, 15 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651563
Dozbrajanie Kubusiowych wojsk 5-cio latków!
Tu nie chodzi o to by siłą niszczyć ziemskich matematyków, tu chodzi o to by ci dobrowolnie porzucili wszelkie znane im logiki matematyczne na rzecz jednej logiki "Algebry Kubusia"
Przez ostatnie 16 lat intensywnie pracowałem (30 000 postów) nad „Algebrą Kubusia”, logiką matematyczną, pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (w tym matematyka). Formalnie algebry Kubusia nie musimy się uczyć bo po prostu pod nią polegamy nie mając żadnych szans, aby się od niej uwolnić. Wynika z tego, że ekspertem algebry Kubusia jest każdy człowiek (od 5-cio latka poczynając) tylko póki co, o tym nie wie.
Algebra Kubusia to również podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Po co komu algebra Kubusia skoro wszyscy jesteśmy jej ekspertami?
Pytanie analogiczne to:
Po co komu znajomość gramatyki języka polskiego, skoro 5-cio latek biegle posługuje się językiem ojczystym nie znając formalnej gramatyki języka?
Osobiście nigdy nie znałem i nie znam formalnej gramatyki języka polskiego tzn. nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek etc. … a po polsku potrafię pisać.
Mam nadzieję, że koniec końców ziemscy matematycy zaakceptują algebrę Kubusia jako jedyną poprawną logikę matematyczną obowiązującą w naszym Wszechświecie.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651495
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: |
Mam nadzieję, że po tym uderzeniu ziemscy matematycy przy zdrowych zmysłach muszą przyjąć algebrę Kubusia za jedyną poprawna logikę matematyczną w naszym Wszechświecie.
Ciekawe ilu ich będzie? |
Może porobimy zakłady?
Patrząc na dotychczasowe sukcesy, to pewnie twoja algebra opanuje matematykę szybciej niż omikron populację. |
Znając cię Irbisolu z góry wiem co powiesz, a powiesz to:
Ten post niżej to nic nowego, to jest Klasyczny Rachunek Zdań doskonale znany ziemskim matematykom.
Czy mam rację?
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-trakcie,20453.html#651483
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.2 Równoważność p<=>q w matematyce klasycznej
Spis treści
9.2 Równoważność p<=>q w matematyce klasycznej 1
9.2.1 Relacje zbiorów w matematycznej definicji równoważności p<=>q 4
9.2.2 Operator równoważności p|<=>q w matematyce klasycznej 9
9.2 Równoważność p<=>q w matematyce klasycznej
Zastanówmy się nad efektywnymi sposobami dowodzenia równoważności p<=>q w matematyce klasycznej, gdzie operuje się wyłącznie na zbiorach nieskończonych.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Dowód powyższego można znaleźć w punkcie 5.2.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy wszystko jest jasne i trywialne.
W ziemskiej matematyce klasycznej, w celu udowodnienia prawdziwości równoważności p<=>q dowodzi się po prostu prawdziwości twierdzenie prostego A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
oraz prawdziwości twierdzenie odwrotnego B3:
B3: q=>p=1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Skąd taki a nie inny wybór?
Po pierwsze:
Warunek wystarczający z niezanegowanymi parametrami p i q dowodzi się najprościej
Po drugie:
Ten wybór wynika z łatwości udowodnienia fałszywości warunku wystarczającego => poprzez podanie jednego kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk bez trudu udowodni.
cnd
Na mody definicji kontrprzykładu z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=1,3,5,7,9…] bo zbiory te są rozłączne.
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać w sposób bezpośredni iż zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..], bowiem dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
Wróćmy do matematycznej definicji równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>1=1 i twierdzenia odwrotnego B3: q=>p=1
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czyli mamy podstawową definicję równoważności p<=>q doskonale znaną wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
9.2.1 Relacje zbiorów w matematycznej definicji równoważności p<=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Dowód powyższego można znaleźć w punkcie 5.2.
Weźmy matematyczną definicję równoważności doskonale znaną wszystkim matematykom.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: p=>q=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: q=>p=1)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Innymi słowy:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście q jest wystarczające => dla zajścia p (B3)
Innymi słowy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Zauważmy że prawa strona to znana absolutnie każdemu matematykowi (sic!) definicja tożsamości zbiorów p=q
Stąd mamy:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Innymi słowy:
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p I q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
| Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Gdzie w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
A1: p=>q=1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q=1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2: ~p~>~q=1) i jednocześnie zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2: ~p=>~q=1)
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów q=p:
Dwa zbiory q i p są tożsame q=p wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p (A3: q~>p=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
q=p <=> (A3: q~>p)*(B3: q=>p) = A3B3: q<=>p
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów ~q=~p:
Dwa zbiory ~q i ~p są tożsame ~q=>~p wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~q jest podzbiorem => zbioru ~p (A4: ~q=>~p=1) i jednocześnie zbiór ~q jest nadzbiorem ~> zbioru ~p (B4: ~q~>~p=1)
~q=~p <=> (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) = A4B4: ~q<=>~p
Przemienność tożsamości zbiorów jest oczywista:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Stąd w dalszych rozważaniach wystarczy skupić się na zbiorach A1B1: p=q oraz A2B2: ~p=~q.
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
| Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q=1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q=1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Stąd mamy:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q |
----------------------------------------------------------------------
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q (zbiory rozłączne)
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’:~p~~>q=~p*q=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q (zbiory rozłączne)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=” (np. prawa Kubusia), [=] (np. A1B1: p<=>q [=] A2B2:~p<=>~q), <=> (np. definicja niżej)
Lewa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Prawa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2)
Oczywistym jest, że z faktu zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Wynika iż zbiory p=q i ~p=~q są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny, do widać na diagramie DR.
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
| Kod: |
DMR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność p<=>q: [=] Równoważność ~p<=>~q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
Dziedzina D w równoważności to dwa zbiory niepuste i wzajemnie rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Stąd:
D=p+~p =1
Zapis tożsamy:
D=q+~q=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=~q
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
~p=[D-p]=[p+~p-p]=~p
~q=[D-q]=[q+~q-q]=~q
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Zachodzi oczywiście prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p) - zbiór p to zaprzeczenie zbioru ~p w obrębie dziedziny D
q = ~(~q) - zbiór q to zaprzeczenie zbioru ~q w obrębie dziedziny D
oraz:
~p=~(p) - zbiór ~p to zaprzeczenie zbioru p w obrębie dziedziny D
~q=~(q) - zbiór ~q to zaprzeczenie zbioru q w obrębie dziedziny D
Oczywistym jest, że z powodu tożsamości zbiorów p=q wymuszającej tożsamość zbiorów ~p=~q w powyższych zapisach można sobie „rzucać monetą”, czyli dowolnie zamieniać p z q albo ~p z ~q.
9.2.2 Operator równoważności p|<=>q w matematyce klasycznej
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
| Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q=1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q=1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 16:17, 15 Mar 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 20:09, 17 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651835
| Irbisol napisał: | Ile lat już to piszesz?
Ilu matematyków przeszło na twoją stronę? |
Irbisolu, ważne jest ilu matematyków w przyszłości przejdzie do obozu algebry Kubusia, czyli nie jest ważne że do tej pory oficjalnie żaden matematyk nie przeszedł
Możesz być pewien jednego, wkrótce na nową religię, algebrę Kubusia, przejdzie 100% ziemskich matematyków.
Na czym polega największa tragedia ziemskiej matematyki?
Dopisałem właśnie kluczową część algebry Kubusia (pkt. 9.1) szczegółowo omawiającą największą tragedię ziemskiej matematyki tzn. opisałem w sposób który nawet słaby matematyk zrozumie o co chodzi w znanej wszystkim równoważności p<=>q, której ziemscy matematycy TOTALNIE nie rozumieją, mimo ze poprawnie dowodzą.
Będę przebudowywał AK od punktu 8.0 bo nie podoba mi się kolejność przekazywanej wiedzy, poza tym pisząc jak najprostszą AK wyskoczyło mi wiele FANTASTYCZNYCH nowości, służących lepszemu przekazowi AK tzn. lepszemu dotarciu do serc ziemskich matematyków.
Największa tragedia ziemskiej matematyki:
Największa tragedia ziemskiej matematyki polega na tym, że ziemscy matematycy dowodzą poprawnie równoważności Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych w postaci dowodu twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK=1 i dowodu twierdzenie odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP=1, ale nie maja pojęcia co w trawie piszczy!
Formalnie w ziemskiej matematyce ziemscy matematycy bezwzględnie tępią pojęcie „Równoważność Pitagorasa” co można sprawdzić w Wikipedii.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„Równoważność Pitagorasa”
Wynik jest jeden, oczywiście z przekierowaniem na sfinię:
Szach-mat który przejdzie do historii matematyki! - ŚFiNiA
http://www.sfinia.fora.pl › forum-kubusia,12 › szach-m...
24 mar 2020 — Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) Równoważność TP<=>SK jest prawdziwa, bo twierdzenie ...
Co więcej!
Nawet jak zapiszemy równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych zgodnie z rzeczywistym dowodem ziemskich matematyków jako:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1=1
To i tak nie znajdziemy w Wikipedii poprawnego odczytu lewej strony w postaci:
„Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów”
TP<=>SK
Dowód:
Klikamy na googlach:
„Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy”
Wyników tyle co kot napłakał, w większości są to odsyłki do dyskusji ze mną na różnych forach np. na matematyce.pl
Przykład błędnego zapisu równoważności Pitagorasa mamy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy kwadrat długości najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków (twierdzenie Pitagorasa).
Musimy zatem sprawdzić czy jest spełniony ten warunek.
Błąd polega tu na tym że powinno być:
Równoważność Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy kwadrat długości najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.
Czyli bez tego błędu czysto matematycznego w nawiasie (twierdzenie Pitagorasa)
W innym linku znajdziemy już poprawny zapis równoważności Pitagorasa:
[link widoczny dla zalogowanych]
[i]Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat NAJDŁUZSZEGO boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.
Po prostu sprawdź, czy to zachodzi.
To jest zapis poprawny równoważności Pitagorasa:
TP<=>SK
ale z bardzo dużym prawdopodobieństwem można wątpić czy człowiek który to zapisał rozróżnia „Twierdzenie Pitagorasa” od „Równoważności Pitagorasa”
… a przecież różnica jest tu fundamentalna i tą różnicę powinien znać każdy 8-klasista szkoły podstawowej, bowiem jeśli wymaga się od niego znajomości dowodu twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK oraz dowodu twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP to psim obowiązkiem nauczyciela matematyki powinno być wytłumaczenie dziecku o co chodzi w równoważności Pitagorasa.
Definicja równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat NAJDŁUZSZEGO boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: SK=>TP) =1*1=1
Doskonale tu widać, że człowiek nie odróżniający równoważności Pitagorasa TP<=>SK od twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK jest matematycznym idiotą.
Podsumowując:
Nauczyciel matematyki który w 8 klasie szkoły podstawowej nie wytłumaczy dziecku trywialnej, ale fundamentalnej różnicy między „równoważnością Pitagorasa TP<=>SK” a „twierdzeniem prostym Pitagorasa A1: TP=>SK” jest matematycznym idiotą.
cnd
Który nauczyciel to robi?
Czy ktokolwiek zna podręcznik matematyki do 8 klasy szkoły podstawowej tłumaczący dziecku różnicę między „równoważnością Pitagorasa TP<=>SK” a „twierdzeniem prostym Pitagorasa A1: TP=>SK”?
Zauważmy, że używanie w zadaniach matematycznych równoważności Pitagorasa jest właściwsze, bowiem wypowiadając równoważność Pitagorasa sygnalizujemy światu zewnętrznemu, że znamy dowód twierdzenie prostego Pitagorasa A1: TP=>SK=1 oraz dowód twierdzenie odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP=1
Natomiast wypowiadając wyłącznie twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK=1 nie sygnalizujemy światu zewnętrznemu, czy twierdzenie odwrotne Pitagorasa jest prawdziwe/fałszywe:
B3: SK=>TP=?
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-trakcie,20453.html#651281
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.1 Równoważność p<=>q w zbiorach
Spis treści
9.1 Równoważność p<=>q w zbiorach 1
9.2 Fundamenty obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q” w teorii zbiorów 1
9.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 1
9.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 2
9.2.3 Kluczowe tożsamości pojęć w algebrze Kubusia 3
9.2.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 3
9.3 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach w matematyce klasycznej 4
9.3.1 Prawo Irbisa 7
9.3.2 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 10
9.3.3 Operator równoważności p|<=>q w teorii zbiorów 17
9.1 Równoważność p<=>q w zbiorach
Przypomnijmy sobie kluczowe definicje z zakresu obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q” operujących na zbiorach, szczegółowo omówione w punkcie 5.2
9.2 Fundamenty obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q” w teorii zbiorów
Poznajmy fundamenty obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q” operujących na zbiorach.
9.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
9.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Dowód prawa Tygryska:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Dowód prawa Tygryska:
B1: p~>q = p+~q = ~q+p = B3: q=>p
cnd
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
9.2.3 Kluczowe tożsamości pojęć w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Bardziej szczegółowy dowód poprawności powyższej tożsamości znajdziemy w punkcie 5.2
9.2.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk bez trudu udowodni.
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=1,3,5,7,9…] bo zbiory te są rozłączne.
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać w sposób bezpośredni iż zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..], bowiem dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
9.3 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach w matematyce klasycznej
Zastanówmy się nad efektywnymi sposobami dowodzenia równoważności p<=>q w matematyce klasycznej, gdzie operuje się wyłącznie na zbiorach nieskończonych.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Jak dowodzi się prawdziwość równoważności w zbiorach p<=>q w matematyce klasycznej?
Na mocy prawa Sowy wszystko jest jasne i trywialne.
Definicja równoważności p<=>q którą akceptuje absolutnie każdy ziemski matematyk:
W matematyce klasycznej, w celu udowodnienia prawdziwości równoważności p<=>q dowodzi się prawdziwości twierdzenie prostego A1:
A1: p=>q =1
oraz prawdziwości twierdzenie odwrotnego B3:
B3: q=>p=1
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q=1 i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p=1
Na czym polega największa tragedia ziemskiej matematyki?
Odpowiadam:
Na nieznajomości tożsamości matematycznej poniższych pojęć w zbiorach.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Dopiero na mocy powyższej tożsamości pojęć możemy zapisać szczegółowo o co chodzi w definicji równoważności p<=>q w zbiorach.
Definicja równoważności p<=>q w ziemskiej matematyce klasycznej:
W ziemskiej matematyce klasycznej, w celu udowodnienia prawdziwości równoważności p<=>q dowodzi się prawdziwości twierdzenie prostego A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
oraz prawdziwości twierdzenie odwrotnego B3:
B3: q=>p=1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek wystarczający A1: p=>q=1 i jednocześnie spełniony jest warunek wystarczający B3: q=>p
Innymi słowy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek wystarczający => w dwie strony.
Innymi słowy:
Tożsama definicja równoważności p<=>q w ziemskiej matematyce klasycznej:
W ziemskiej matematyce klasycznej, w celu udowodnienia prawdziwości równoważności p<=>q dowodzi się prawdziwości twierdzenie prostego A1:
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
oraz prawdziwości twierdzenie odwrotnego B3:
B3: q=>p=1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
Innymi słowy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru => w dwie strony.
Ostatni zapis to znana absolutnie każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów!
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
Skąd taki a nie inny wybór dowodzenia prawdziwości równoważności p<=>q w matematyce klasycznej?
Po pierwsze:
Warunek wystarczający p=>q z niezanegowanymi parametrami p i q dowodzi się najprościej, bo to jest to samo co dowodzenie iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Po drugie:
Wybór ten wynika z łatwości udowodnienia fałszywości warunku wystarczającego p=>q=0 poprzez podanie jednego kontrprzykładu.
Wróćmy do matematycznej definicji równoważności p<=>q którą akceptuje każdy ziemski matematyk:
Równoważność to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>1=1 i twierdzenia odwrotnego B3: q=>p=1
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czyli mamy podstawową definicję równoważności p<=>q doskonale znaną wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
9.3.1 Prawo Irbisa
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Weźmy matematyczną definicję równoważności doskonale znaną wszystkim matematykom.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: p=>q=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: q=>p=1)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q=1 i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p=1
Innymi słowy:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście q jest wystarczające => dla zajścia p (B3)
Innymi słowy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
Innymi słowy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru => w dwie strony.
Zauważmy, że prawa strona to znana absolutnie każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Innymi słowy:
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p I q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy:
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności p<=>q:
AB: 1: p<=>q = 2:~p<=>~q [=] 3: q<=>p = 4:~q<=>~p [=] 5: p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =(~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2: ~p~>~q=1) i jednocześnie zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2: ~p=>~q=1)
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów q=p:
Dwa zbiory q i p są tożsame q=p wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p (A3: q~>p=1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p=1)
q=p <=> (A3: q~>p)*(B3: q=>p) = A3B3: q<=>p
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów ~q=~p:
Dwa zbiory ~q i ~p są tożsame ~q=>~p wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~q jest podzbiorem => zbioru ~p (A4: ~q=>~p=1) i jednocześnie zbiór ~q jest nadzbiorem ~> zbioru ~p (B4: ~q~>~p=1)
~q=~p <=> (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) = A4B4: ~q<=>~p
Przemienność tożsamości zbiorów jest oczywista, stąd mamy tożsamości:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony we wspólnej dziedzinie D
Wspólna dziedzina D to suma logiczna zbiorów niepustych:
D=p*q+~p*~q
9.3.2 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Zacznijmy od znanego nam diagramu implikacji prostej DIP: p|=>q:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ A2:~p*~q+ B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
|
Wniosek z powyższego diagramu w odniesieniu do poniższej równoważności p<=>q
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W równoważności A2B2:
A2B2: ~p<=>~q=(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
warunek wystarczający B2 jest prawdą:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
B2: ~p=>~q=1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Z prawdziwości warunku wystarczającego B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =[]=0
Nie istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Stąd w diagramie implikacji prostej DIP: p|=>q musimy usunąć pole B2’ bo w równoważności zbiór B2’ jest zbiorem pustym [].
Po usunięciu pola B2’ z diagramu implikacji prostej DIP otrzymujemy poprawny diagram równoważności DR.
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Wniosek z diagramów DIP: p|=>q i DR: p<=>q:
Diagram implikacji prostej DIP: p|=>q gdzie jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła (zdania A2 i B2’) to fundamentalnie co innego niż diagram równoważności DR: p<=>q gdzie o żadnym „rzucaniu monetą” mowy być nie może.
Z diagramu DR doskonale widać, że dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q
D>p+q
Dowód:
Jeśli przyjmiemy dziedzinę D=p+q to oba zbiory ~p i ~q będą zbiorami pustymi, czyli będą nierozpoznawalne.
Dowód tożsamy metodą „nie wprost”:
Załóżmy dziedzinę:
D=p+q = p =q - bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów ~p i ~q definiowane jako uzupełniania zbiorów p i q do dziedziny D
~p=[D-p]=[p-p]=[]
~q=[D-q]=[q-q]=[]
Jak widzimy, oba zbiory ~p i ~q są zbiorami pustymi, czyli są nierozpoznawalne.
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności p<=>q:
AB: 1: p<=>q = 2:~p<=>~q [=] 3: q<=>p = 4:~q<=>~p [=] 5: p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4: ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Omówimy teraz szczegółowo wyprowadzony wyżej diagram równoważności w zbiorach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych p*q i ~p*~q: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q (zbiory rozłączne)
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’:~p~~>q=~p*q=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q (zbiory rozłączne)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
II
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
A3 i B3 definiuje tu tożsamość zbiorów q=p
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p (zbiory rozłączne)
A3B3: q<=>p=(A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność q<=>p definiuje tożsamość zbiorów q=p
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => zbioru ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~p
A4 i B4 definiuje tu tożsamość zbiorów ~q=~p
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~q i p (zbiory rozłączne)
A4B4: ~q<=>~p=(A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~~>p)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność ~q<=>~p definiuje tożsamość zbiorów ~q=~p
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
| Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q=1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q=1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dodatkowego wyjaśnienia wymagają wnioski w części I przed zamianą p i q oraz w części II po zamianie p i q.
Tożsamość zbiorów jest przemienna:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Z powyższego wynika, że wystarczy omówić wnioski z części I przed zamiana p i q
| Kod: |
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q (zbiory rozłączne)
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => ~q
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’:~p~~>q=~p*q=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q (zbiory rozłączne)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
|
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=” (np. prawa Kubusia), [=] (np. A1B1: p<=>q [=] A2B2:~p<=>~q), <=> (np. definicja niżej)
Lewa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów p=q:
p=q <=> A1B1: (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Prawa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2)
Oczywistym jest, że z faktu zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Wynika iż zbiory p=q i ~p=~q są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny, do widać na diagramie DR.
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
| Kod: |
DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność p<=>q: [=] Równoważność ~p<=>~q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
Dziedzina D w równoważności to dwa zbiory niepuste i wzajemnie rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd:
D=p+~p =1
Zapis tożsamy:
D=q+~q=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=~q
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
~p=[D-p]=[p+~p-p]=~p
~q=[D-q]=[q+~q-q]=~q
Zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Zbiór p w logice dodatniej (bo p) to negacja # zbioru ~p w logice ujemnej (bo ~p) w dziedzinie D
p=~(~p)
Zbiór q w logice dodatniej (bo q) to negacja # zbioru ~q w logice ujemnej (bo ~q) w dziedzinie D
q=~(~q)
Oczywiście zachodzi również:
Zbiór ~p w logice ujemnej (bo ~p) to negacja # zbioru p w logice dodatniej (bo p) w dziedzinie D
~p=~(p)
Zbiór ~q w logice ujemnej (bo ~q) to negacja # zbioru q w logice dodatniej (bo q) w dziedzinie D
~q=~(q)
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
9.3.3 Operator równoważności p|<=>q w teorii zbiorów
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:29, 17 Mar 2022, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 22:20, 18 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651919
Dlaczego 100% matematyków przejdzie wkrótce do obozu algebry Kubusia?
Dla zrozumienia niniejszego postu konieczne jest zrozumienie fragmentu algebry Kubusia z którym na pewno zgodzi się 100% ziemskich matematyków przy zdrowych zmysłach!
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-trakcie,20453.html#649275
| Algebra Kubusia napisał: |
6.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
6.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
6.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie proste „Jeśli p to q” =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład twierdzenia matematycznego:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
6.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
6.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk bez trudu udowodni.
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=1,3,5,7,9…] bo zbiory te są rozłączne.
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać w sposób bezpośredni iż zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..], bowiem dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
|
| Irbisol napisał: |
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: | Ile lat już to piszesz?
Ilu matematyków przeszło na twoją stronę? |
Irbisolu, ważne jest ilu matematyków w przyszłości przejdzie do obozu algebry Kubusia, czyli nie jest ważne że do tej pory oficjalnie żaden matematyk nie przeszedł
Możesz być pewien jednego, wkrótce na nową religię, algebrę Kubusia, przejdzie 100% ziemskich matematyków. |
Zdefiniuj "wkrótce". Po kilkanaście lat temu też pisałeś, że "wkrótce".
Zresztą - tak na logikę - jeżeli 100% miałoby przejść na to twoje AK, to już jakieś ruchy powinny się chyba zaczynać? A tu stałe i niezmienne 0.0000
No chyba że jest to zgodne z twoją logiką - wtedy bym się nie zdziwił. "100% definicji sprzecznych", co powtarzasz niczym zacięta płyta - czyli wg twojej logiki przejdzie 100% matematyków, a wg ziemskiej - 0%.
I wszystko się zgadza. |
Wkrótce oznacza „wcześniej czy później”.
Po raz pierwszy w historii matematyki przejście to będzie miało charakter skokowy, trochę wbrew zasadom fizyki tzn. wystarczy że kilku znaczących matematyków oficjalnie napisze „zrozumiałem algebrę Kubusia”, jest prosta i piękna, by wszyscy pozostali matematycy rozbili gówno w którym zanurzony jest ich mózg zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań i przeszli do obozu AK.
Wyjaśniam na przykładzie rodem z I klasy LO o co chodzi.
Zadanie matematyczne rodem z I klasy LO.
Udowodnij przez iterowanie prawdziwość matematyczną poniższego zdania:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =?
Wspólna dziedzina dla poprzednika i następnik to:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Rozwiązanie na gruncie algebry Kubusia:
W algebrze Kubusia poprzednik zdania A1 mówi tylko i wyłącznie o liczbach podzielnych przez 8.
Dowód:
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to …
LN*P8=P8- bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Wniosek:
Poprzednik zdania A2 definiuje tylko i wyłącznie zbiór liczb podzielnych przez 8.
P8=[8,16,24..]
Weźmy jeszcze raz całe zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
Następnik zdania A1 mówi tylko i wyłącznie o zbiorze liczb podzielnych przez 2
Dowód:
LN*P2=P2 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest podzbiorem => zbioru LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
cnd
Teraz uważaj Irbisolu!
Na mocy powyższej teorii zrozumiałej dla każdego matematyka przy zdrowych zmysłach, podejmujemy próbę dowodu prawdziwości zdania A1 przez iterowanie.
Na poziomie abstrakcyjnym wolno nam iterować (losować) liczby ze zbioru LN w sposób uporządkowany, czyli podejmujemy próbę dowodu prawdziwości zdania A1 iterując na początek wyłącznie przez zbiór liczb podzielnych przez 8 P8=[8,16,24..] o których mówi poprzednik zdania A1.
Na poziomie abstrakcyjnym po przeiterowaniu ze zbioru LN wszystkich liczb podzielnych przez 8 rozstrzygnięcia mamy następujące:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby naturalnej przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
W matematyce klasycznej prawdziwość zdania A1 dowodzimy poprzez wykazanie, że zbiór P8=8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] co każdy matematyk udowodni.
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 (bo przeiterowaliśmy kompletny zbiór P8) wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8 i ~P2 co zostało udowodnione na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach - nic a nic nie musimy więcej udowadniać!
Podsumowanie:
Po abstrakcyjnym przeiterowaniu w zdaniu A1 kompletnego zbioru P8=[8,16,24..] sytuację mamy następującą:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
… a jeśli dowolna liczba naturalna nie będzie podzielna przez 8 (~P8)?
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający A1: P8=>P2 z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q.
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
stąd mamy:
A2.
Jeśli dowolna liczba naturalna nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 jest konieczna ~> dla jej niepodzielności przez 2 bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
Twardy dowód iż zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2 mamy na mocy prawa Kubusia - nie interesuje nas tu rzeczywista budowa ani zbioru ~P8 ani też zbioru ~P2!
Teraz uważaj Irbisolu:
1.
W algebrze Kubusia rozstrzygnięcie prawdziwości zdań A1 i A2 oraz fałszywości zdania A1’ uzyskaliśmy tylko i wyłącznie iterując na poziomie abstrakcyjnym zdanie A1 poprzez zbiór P8=[8,16, 24..].
2.
W algebrze Kubusia iterując na poziomie abstrakcyjnym poprzednik zdania A1 przez zbiór P8=[8,16,24..] nie rozstrzygnęliśmy tylko i wyłącznie prawdziwości/fałszywości ostatniego możliwego przypadku, czyli nie rozstrzygnęliśmy o prawdziwości/fałszywości zdania B2’
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=~P8*P2=?
W algebrze Kubusia tylko i wyłącznie prawdziwości/fałszywości zdania B2’ nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć po poprzeiterowaniu poprzednika zdania A1 przez kompletny zbiór P8=[8,16,24…]
Pytania do Irbisola:
1.
Czy możesz napisać co kwestionujesz w niniejszym poście?
Jeśli nie jesteś w stanie niczego zakwestionować to jest to dowód iż myślisz algebrą Kubusia, czyli że chcąc nie chcąc należysz już do obozu algebry Kubusia
cnd
2.
Jeśli napiszesz „dokładnie tak samo jest w KRZ” to proszę o udowodnienie tego faktu na gruncie KRZ!
Czy już rozumiesz dlaczego KRZ jest gównem i dlaczego wcześniej czy później 100% matematyków przejdzie do obozu AK?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 6:51, 19 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651937
Dowód wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań na poziomie iterowania po elementach w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”!
Część II
Część I jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651919
| Irbisol napisał: |
"Wcześniej czy później" - to na pewno nie jest "wkrótce". "Wkrótce" to "wcześniej" niż "później".
Może pokusisz się o podanie jakiejś daty? Za 20 lat? |
Irbisolu, robisz to co zwykle w dyskusji ze mną tzn. ty nie ustosunkowujesz się do meritum mojego postu wyżej, ty szukasz punku zaczepienia by od niej uciec.
Nie pozostaje mi nic innego jak po prostu cię olać i udowodnić wewnętrzną sprzeczność KRZ na gruncie iterowania po elementach matematykom przy zdrowych zmysłach.
Kontynuuję zatem z dedykacją dla matematyków przy zdrowych zmysłach, Irbisola oficjalnie wykluczam z dyskusji … bo panicznie boi się dyskusji.
Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Po abstrakcyjnym przeiterowaniu tego zdania wyłącznie przez zbiór:
P8=[8,16,24…]
na gruncie algebry Kubusia stan naszej wiedzy jest następujący:
| Kod: |
Stan wiedzy na gruncie AK po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 przez zbiór P8=[8,16,24..]
A1: P8=> P2 =1 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
B1: P8~~>~P2=0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> ~P2
B2’: ~P8~~>P2=? - czy zbiór ~P8 ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2?
|
Jak widzimy, na gruncie AK po abstrakcyjnym przeiterowaniu zdania A1 przez kompletny zbiór P8=[8,16,24..] niewiadomą jest tylko i wyłącznie prawdziwość/fałszywość zdania B2’
Kolejna moja próba nawiązania kontaktu z Irbisolem:
Irbisolu, czy zgadzasz się z twardym faktem iż na gruncie KRZ stan twojej wiedzy po abstrakcyjnym przeiterowaniu zdania A1 przez zbiór P8=[8,16,24..] jest następujący.
| Kod: |
Stan wiedzy na gruncie KRZ po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 przez zbiór P8=[8,16,24..]
A1: P8=> P2 =?
B1: P8~~>~P2=?
A2: ~P8~>~P2 =?
B2’:~P8~~>P2 =?
|
czyli:
Wiem, że nic nie wiem!
Kluczowe pytanie do Irbisola:
Czy rozumiesz co do ciebie piszę?
P.S.
Z dedykacją dla Irbisola:
| Luc Bürgin napisał: |
Błędy nauki
Autor: Luc Bürgin
Ludzie mają widocznie skłonność do przedwczesnego i negatywnego oceniania perspektyw rozwojowych pewnych dziedzin nauki. Niektóre rewolucyjne odkrycia lub idee przez lata bojkotowano i zwalczano tylko dlatego, że dogmatycznie nastawieni luminarze nauki nie umieli odrzucić swych ulubionych, choć przestarzałych i skostniałych idei i przekonań. Jednym słowem: „Niemożliwe!" hamowali postęp nauki, a przykładami można dosłownie sypać jak z rękawa:
• Gdy w XVIII wieku Antoine-Laurem de Lavoisier zaprzeczył istnieniu „flogistonu" – nieważkiej substancji, która wydziela się w trakcie procesu spalania i w którą wierzyli wszyscy ówcześni chemicy – i po raz pierwszy sformułował teorię utleniania, świat nauki zatrząsł się z oburzenia. „Observations sur la Physique", czołowy francuski magazyn naukowy, wytoczył przeciwko Lavoisierowi najcięższe działa, a poglądy uczonego upowszechniły się dopiero po zażartych walkach.
• Gdy w 1807 roku matematyk Jean-Baptiste Joseph de Fourier wystąpił przed Paryską Akademią Nauk z wykładem na temat przewodnictwa cieplnego w obwodzie zamkniętym i wyjaśnił, że każdą funkcję okresową można przedstawić w postaci nieskończonej sumy prostych funkcji okresowych (sinus, cosinus), wstał Joseph-Louis de Lagrange, jeden z najwybitniejszych matematyków tamtej epoki, i bez ogródek odrzucił tę teorię. A ponieważ przeciwko Fourierowi wystąpili także inni słynni uczeni, np. Pierre-Simon de Laplace, Jean-Baptiste Biot, Denis Poisson i Leonhard Euler, musiało minąć sporo czasu, zanim uznano doniosłość jego odkrycia. Obecnie nie można sobie wyobrazić matematyki i fizyki bez analizy Fouriera.
• Gdy w latach czterdziestych XIX wieku John James Waterston, nieznany młody fizyk, przedstawił brytyjskiemu Towarzystwu Królewskiemu swój rękopis, dwaj recenzenci nie pozostawili na nim suchej nitki. Gdyby w 1891 roku fizyk i późniejszy laureat Nagrody Nobla John William Rayleight nie odnalazł oryginalnego rękopisu w archiwach tej szacownej instytucji, na próżno szukalibyśmy w podręcznikach fizyki nazwiska Waterstona. A to właśnie on był pierwszym badaczem, który sformułował tak zwaną zasadę ekwipartycji energii dla specjalnego przypadku. W 1892 roku Rayleight napisał: „Bardzo trudno postawić się w sytuacji recenzenta z 1845 roku, ale można zrozumieć, że treść artykułu wydała mu się nadmiernie abstrakcyjna i nie przemówiły do niego zastosowane obliczenia matematyczne. Mimo to dziwi, że znalazł się krytyk, według którego: "Cały artykuł to czysty nonsens, który nie nadaje się nawet do przedstawienia Towarzystwu". Inny opiniujący zauważył: "[...] analiza opiera się – co przyznaje sam autor – na całkowicie hipotetycznej zasadzie, z której zamierza on wyprowadzić matematyczne omówienie zjawisk materiałów sprężystych [...]. Oryginalna zasada wynika z przyjęcia założenia, którego nie mogę zaakceptować i które w żadnym razie nie może służyć jako zadowalająca podstawa teorii matematycznej".
• Gdy pod koniec XIX wieku Wilhelm Conrad Röntgen, odkrywca promieni, bez których trudno sobie wyobrazić współczesną medycynę, opublikował wyniki swoich badań, musiał wysłuchać wielu krytycznych komentarzy. Nawet światowej sławy brytyjski fizyk lord Kelvin określił promienie rentgenowskie mianem .,sprytnego oszustwa''. Friedrich Dessauer, profesor fizyki medycznej, w czasie wykładu wygłoszonego 12 lipca 1937 roku na uniwersytecie w szwajcarskim Fryburgu powiedział w odniesieniu do odkrycia Röntgena: „Nadal widzę sceptyków wykrzykujących: "Niemożliwe!". I nadal słyszę proroków, wielkie autorytety tamtych lat, którzy odmawiali promieniom rentgenowskim jakiegokolwiek, także medycznego, znaczenia".
• Gdy Werner von Siemens, twórca elektrotechniki, zaprezentował przed Scientific Community teorię ładunku elektrostatycznego przewodów zamkniętych i otwartych, wywołał falę gwałtownych sprzeciwów. „Początkowo nie wierzono w moją teorię, ponieważ była sprzeczna z obowiązującymi w tamtych czasach poglądami", wspominał Siemens w autobiografii wydanej pod koniec XIX wieku.
• Podobnych przeżyć doświadczył William C. Bray z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley, gdy w 1921 roku poinformował o zaobserwowaniu oscylującej okresowo reakcji chemicznej. W 1987 roku w fachowym czasopiśmie „Chemical and Engineering News" ukazał się artykuł R. Epsteina, który napisał, że amerykański uczony został wyśmiany i wyszydzony, bo reakcja taka wydawała się niepodobieństwem. I choć odkrycie Braya potwierdzono w teorii i w praktyce, to musiało upłynąć pięćdziesiąt lat, nim uznano znaczenie jego pracy.
Studenci rzadko mają okazję zetknąć się z podobnymi przykładami, ponieważ naukowcy, jak wszyscy inni ludzie, przejawiają osobliwą skłonność do zapominania o rozmaitych „wpadkach", z jakimi na przestrzeni lat musiała się uporać ich dyscyplina wiedzy. Z dumnie wypiętą piersią sprzedają uczniom historię nauki jako pasmo nieustających sukcesów. Wstydliwie przemilczają opowieści o walkach, które poprzedzają wielkie przełomy. |
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 11:32, 19 Mar 2022, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 11:34, 19 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651959
Dowód wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań na poziomie iterowania po elementach w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”!
Część III i ostatnia
Część I jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651919
Natomiast część II jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651937
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
"Wcześniej czy później" - to na pewno nie jest "wkrótce". "Wkrótce" to "wcześniej" niż "później".
Może pokusisz się o podanie jakiejś daty? Za 20 lat? |
Irbisolu, robisz to co zwykle w dyskusji ze mną tzn. ty nie ustosunkowujesz się do meritum mojego postu wyżej, ty szukasz punku zaczepienia by od niej uciec. |
"Meritum" twojego postu wyżej jest nie na temat - jak zwykle mowa jest o jednym, a ty zaczynasz pierdzielić o czym innym, próbując uciec od prawdziwego meritum.
Za 20 lat matematycy hurtowo przejdą na twoją algebrę? Bo na razie coś koło tego chyba mija i nadal dupa ...
Dziwię się tylko, jakim cudem działają te wszystkie algorytmy, programy księgowe, systemy bankowe i sterowania, skoro to wszystko oparte jest na nieprawidłowej logice.
|
Irbisolu, na to nurtujące cię, wytłuszczone pytanie odpowiem ci tak, że na 100% zrozumiesz, bowiem będzie to odpowiedź na poziomie ucznia I klasy LO, tak więc nie ma możliwości byś nie zrozumiał.
Póki co podpowiem ci tylko, że w praktyce żaden człowiek, z tobą włącznie, nigdy nie używa potwornie śmierdzącego gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań - bowiem wszyscy, łącznie z tobą, w praktyce używają tylko i wyłącznie algebry Kubusia.
Póki co udowodnię ci w sposób bezdyskusyjny wewnętrzną sprzeczność KRZ na poziomie iterowania po elementach w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Na początek zacytuję kluczowy fragment z części II:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651937
| Rafal3006 napisał: |
Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Po abstrakcyjnym przeiterowaniu tego zdania wyłącznie przez zbiór:
P8=[8,16,24…]
na gruncie algebry Kubusia stan naszej wiedzy jest następujący:
| Kod: |
Stan wiedzy na gruncie AK po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 przez zbiór P8=[8,16,24..]
A1: P8=> P2 =1 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
A1’: P8~~>~P2=0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> ~P2
B2’: ~P8~~>P2=? - czy zbiór ~P8 ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2?
|
Jak widzimy, na gruncie AK po abstrakcyjnym przeiterowaniu zdania A1 przez kompletny zbiór P8=[8,16,24..] niewiadomą jest tylko i wyłącznie prawdziwość/fałszywość zdania B2’
Kolejna moja próba nawiązania kontaktu z Irbisolem:
Irbisolu, czy zgadzasz się z twardym faktem iż na gruncie KRZ stan twojej wiedzy po abstrakcyjnym przeiterowaniu zdania A1 przez zbiór P8=[8,16,24..] jest następujący.
| Kod: |
Stan wiedzy na gruncie KRZ po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 przez zbiór P8=[8,16,24..]
A1: P8=> P2 =?
A1’: P8~~>~P2=?
A2: ~P8~>~P2 =?
B2’:~P8~~>P2 =?
|
czyli:
Wiem, że nic nie wiem!
Kluczowe pytanie do Irbisola:
Czy rozumiesz co do ciebie piszę?
|
Widzę Irbisolu, że nie rozumiesz co do ciebie piszę, dlatego mój dalszy dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ na poziomie iterowania nie będzie dla ciebie, lecz dla wszystkich matematyków przy zdrowych zmysłach.
Zapiszmy wynik wojny AK vs KRZ po kompletnym przeiterowniu po dziedzinie obowiązującej w zdaniu A1:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
czyli po zbiorze liczb niepodzielnych przez 8 (~P8) bo:
P8+~P8=LN
| Kod: |
Stan wiedzy na gruncie AK po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 przez kompletną dziedzinę LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
A1: P8=> P2 =1 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
A1’: P8~~>~P2=0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> ~P2
B2’: ~P8~~>P2=1 - bo zbiór ~P8 ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2 np. 2
|
vs
| Kod: |
Stan wiedzy na gruncie KRZ po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 przez kompletną dziedzinę LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
A1: P8=> P2 =1
A1’: P8~~>~P2=0
A2: ~P8~>~P2 =1
B2’:~P8~~>P2 =1
|
Jak widzimy, póki o co jakiejkolwiek sprzeczności miedzy AK a KRZ mowy być nie może, bowiem oba iterowania, po abstrakcyjnym przeiterowaniu przez kompletną dziedzinę LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] wypluwają identyczny wynik końcowy.
Weźmy jednak takie zdanie warunkowe „Jeśli p to q”.
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ na poziomie iterowania po elementach w zdaniu warunkowym A1: TP=>SK:
A1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
Minimalna, wspólna dziedzina dla zdania A1 to oczywiście:
ZWT - zbiór wszystkich prostokątów
Oczywistym jest że poprzednik w zdaniu A1 mówi wyłącznie o zbiorze TP bo:
ZWT*TP=TP - bo ZWT jest nadzbiorem ~> TP
Natomiast następnik w zdaniu A1 mówi wyłączne o zbiorze SK bo:
ZWT*SK=SK - bo ZWT jest nadzbiorem ~> SK
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Zdanie A1 to twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu, zatem prawdziwość powyższego opisu jest w 100% pewna.
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP~~>~SK =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów TP i ~SK, czyli zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Dowód tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, absolutnie nic więcej nie musimy udowadniać.
… a jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny?
Prawo Kubusia mówiące o związku warunku wystarczającego => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q.
Prawo Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
Stąd mamy prawdziwe zdanie A2.
A2.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~>~SK=1
Nie bycie trójkątem prostokątnym (~TP) jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby w tym trójkącie nie zachodziła suma kwadratów (~SK), bo jak trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~TP~>~SK = A1: TP=>SK
Podsumowanie:
Po abstrakcyjnym przeiterowaniu zdania A1: TP=>SK wyłącznie po kompletnym zbiorze trójkątów prostokątnych (TP) mamy absolutną pewność prawdziwości zdań A1 i A2 oraz pewność absolutną fałszywości kontrprzykładu A1’.
Stan na placu boju w wojnie AK vs KRZ jest na tą chwilę następujący:
| Kod: |
T1
Stan wiedzy na gruncie AK po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 wyłącznie przez kompletny zbiór trójkątów prostokątnych TP
A1: TP=> SK =1 - bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
A1’: TP~~>~SK=0 - bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
A2: ~TP~>~SK =1 - bo zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> ~SK
B2’: ~TP~~>SK=? - Czy zbiór ~TP ma element wspólny ze zbiorem SK?
oto jest, absolutnie kluczowe pytanie!
|
vs
| Kod: |
T2
Stan wiedzy na gruncie KRZ po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 wyłącznie przez kompletny zbiór trójkątów prostokątnych TP
A1: TP=> SK =?
A1’: TP~~>~SK=?
A2: ~TP~>~SK =?
B2’: ~TP~~>SK=?
|
Innymi słowy na gruncie KRZ mamy:
Wiem, że nic nie wiem!
Temu co wyżej, żaden matematyk przy zdrowych zmysłach, wiedzący jak w KRZ przebiega iterowanie po elementach w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” nie ma prawa zaprzeczyć.
Irbisol nie jest matematykiem przy zdrowych zmysłach bo nie ma pojęcia jak przebiega iterowanie po elementach w KRZ.
Czy mam rację Irbisolu?
Dokończmy teraz iterowanie na poziomie abstrakcyjnym po kompletnej dziedzinie dla zdania A1:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Wtedy mamy:
| Kod: |
T1”
Stan wiedzy na gruncie AK po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 wyłącznie przez kompletną dziedzinę ZWT
A1: TP=> SK =1 - bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
A1’: TP~~>~SK=0 - bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
A2: ~TP~>~SK =1 - bo zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> ~SK
B2’: ~TP~~>SK=0 - nie istnieje element wspólny zbiorów ~TP i SK
Innymi słowy: zbiory ~TP i SK są rozłączne
Dowód fałszywości B2’:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3: SK=>TP=1 - oczywiście udowodnione wieki temu
Prawo kontrapozycji:
B3: SK=>TP = B2: ~TP=>~SK =1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
Stąd mamy:
B2’: ~TP~~>SK = ~TP*SK=[] =0 - na 100% zbiory ~TP i SK są rozłączne
cnd
|
vs
| Kod: |
T2”
Stan wiedzy na gruncie KRZ po abstrakcyjnym przeiterowniu
zdania A1 wyłącznie przez kompletną dziedziną ZWT
A1: TP=> SK =1
A1’: TP~~>~SK=0
A2: ~TP~>~SK =1
B2’: ~TP~~>SK=1
|
Doskonale widać, że tabele prawdy T1” i T2” są wzajemnie sprzeczne, czyli zestaw wynikowych zer i jedynek na gruncie KRZ jest tu z dupy wzięty!
Wniosek:
Klasyczny Rachunek Zdań jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie iterowania po elementach w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”
cnd
Pytanie do Irbisola:
Czy już rozumiesz dlaczego twój bóg, potwornie śmierdzące gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie iterowania po elementach w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”?
Czy ktoś ma nadzieję, że Irbisol odpowie?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 14:58, 19 Mar 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 15:43, 19 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
W tym poście cytuję trzy kolejne posty z dyskusji z Irbisolem, fanatykiem KRZ, który za wszelka cenę chce obalić algebrę Kubusia ... a próbuje tej sztuki z przerwami od 15 lat - dzięki Irbisolu!
... za "obalanie" oczywiście.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651969
Czy Irbisol zdobędzie się na minimum odwagi cywilnej?
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651965
| rafal3006 napisał: |
ok
Czy interesuje cię odpowiedź na twoje własne pytanie niżej?
| Irbisol napisał: |
Dziwię się tylko, jakim cudem działają te wszystkie algorytmy, programy księgowe, systemy bankowe i sterowania, skoro to wszystko oparte jest na nieprawidłowej logice.
|
Oczywistym jest, że boisz się jak diabeł święconej wody mojej odpowiedzi i będziesz uciekał szybciej niż struś Pędziwiatr, byle nikt nie zauważył, że zadałeś to wytłuszczone pytanie wyżej. |
Jak wszyscy widzą, Irbisol jest do bólu przewidywalny.
| Irbisol napisał: |
| Cytat: | | Oczywistym jest, że boisz się jak diabeł święconej wody mojej odpowiedzi |
Wg AK - na pewno.
Niestety, muszę cię zmartwić - wszystkie systemy bankowe czy flowy biznesowe albo cyfrowe sterowania działają stricte wg KRZ. |
Ponowię moją propozycję:
Czy chcesz zobaczyć mój dowód, iż mylisz się jakoby wszystkie systemy bankowe, biznesowe, cyfrowe etc. działały w oparciu o gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Oczywistym jest, że pozwalam ci na obalenie mojego dowodu, wtedy bezdyskusyjnie skasuję AK.
Czy zdobędziesz się na to minimum odwagi cywilnej i powiesz:
„Pokaż ten dowód”?
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651973
Czy Irbisol zdobędzie się na minimum odwagi cywilnej?
| Irbisol napisał: | | Facecik, ja te systemy tworzę. I ja wiem, że one używają KRZ. |
Mylisz się Irbisolu, ty w praktyce jesteś ekspertem algebry Kubusia i tylko i wyłącznie jej używasz w swoich systemach, tylko tym nie wiesz.
Czy chcesz bym ci to udowodnił w sposób, który na 100% zrozumiesz, bo będzie to dowód na poziomie ucznia I klasy LO - dowód będzie bardzo krótki i dla ciebie zrozumiały!
Oczywistym jest że mój dowód możesz po fakcie jego zapisania obalać.
Czy stać cię na minimum odwagi cywilnej i napisać:
"Pokaż ten dowód"
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651979
Czy Irbisol przyzna się do błędu czysto matematycznego?
| Irbisol napisał: | | Irbisol napisał: | | Kiedy matematycy przejdą na twoją algebrę? To jest temat główny - jeżeli nadal będziesz od niego spierdalał, to kończę swoje wypowiedzi w tym wątku. |
Zgodnie z zapowiedzią - brandzluj się tu sam. |
Napisałem ci już wiele razy:
Wcześniej czy później na pewno 100% ziemskich matematyków przejdzie na nową wiarę, algebrę Kubusia.
Dokładnej daty ci nie podam, bo Bogiem nie jestem.
Jeśli chodzi o te twoje systemy finansowe które niby tworzysz w KRZ to miałbyś rację gdyby zachodziła tożsamość:
Implikacja rodem z KRZ => = warunek wystarczający =>
Wiem, że ty jesteś wyznawcą powyższej fałszywej matematycznie tożsamości.
Mówił ci Fiklit (dla mnie bezdyskusyjny ekspert KRZ w najwyższej półki), że ta twoja tożsamość wyżej jest fałszem - dokładnie to samo powiedzą ci matematycy na forum matematyka.pl.
Zatem po pierwsze:
Czy przyznajesz się do błędu czysto matematycznego i odwołujesz swoją FAŁSZYWĄ tożsamość:
Implikacja rodem z KRZ => = warunek wystarczający =>
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 15:48, 19 Mar 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 22:31, 19 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#652077
| Irbisol napisał: |
Co do dalszego pytania - jest tak głupie, że nie będę na nie odpowiadał. Zresztą - odpowiedzi możesz się domyśleć. |
[link widoczny dla zalogowanych]
| sjp napisał: | | podzbiór - w matematyce: zbiór będący częścią jakiegoś zbioru |
Moje "głupie" pytanie brzmiało:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651979
| rafal3006 napisał: |
Czy przyznajesz się do błędu czysto matematycznego i odwołujesz swoją FAŁSZYWĄ tożsamość:
Implikacja rodem z KRZ => = warunek wystarczający => |
Moje pytanie wyżej sprowadza się do pytania następującego:
Czy zgadzasz się na poniższą definicję warunku wystarczającego p=>q w zbiorach?
Wstęp:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Finał:
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie proste „Jeśli p to q” =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład twierdzenia matematycznego:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 23:00, 19 Mar 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 11:51, 20 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652127
Czy ziemscy matematycy okażą się matematycznymi tłukami?
Tak, jeśli nie zrozumieją algebry Kubusia, logiki matematycznej pod którą sami podlegają!
| Irbisol napisał: |
Nadal spierdzielasz od tematu głównego. |
Twój główny temat to temat matematycznego tłuka, żądasz ode mnie bym podał ci czas kiedy ziemscy matematycy przejdą w 100% na algebrę Kubusia.
Napisałem ci: wcześniej czy później przejdą, i to jest moja ostateczna odpowiedź.
Uzasadnienie:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Kiedy odkryto liczby ujemne?
Czy liczb ujemnych używano tak samo wcześnie jak liczb dodatnich? Nie! To zaskakujące, że liczby ujemne znamy od całkiem niedawna (szczególnie w Europie), a pełne zasady arytmetyki opracowano dopiero na początku XIX wieku.
Liczby ujemne stosowano od bardzo dawna dla określenia długu. Pierwsza wzmianka o liczbach ujemnych pojawia się w okresie II w. p.n.e. - I w. n.e. w Chinach w dziele wielu autorów w Matematyce w dziewięciu księgach - Jiuzhang suanshu. |
Teraz uważaj Irbisolu.
Algebra Kubusia to między innymi odkrycie logiki dodatniej i ujemnej w logice matematycznej - to jest co innego niż znana ziemianom logika dodatnia i ujemna w sprzęcie (bramkach logicznych).
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
W układach logicznych, gdzie są zdefiniowane tylko dwie wartości liczbowe, rozróżnia się dwa przedziały napięć: wysoki (ozn. H, z ang. high) i niski (ozn. L, z ang. low); pomiędzy nimi jest przerwa, dla której nie określa się wartości liczbowej – jeśli napięcie przyjmie wartość z tego przedziału, to stan logiczny układu jest nieokreślony.
Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwanej pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (lub negatywną). |
Pomyśl teraz logicznie Irbisolu:
Jeśli znana jest ziemianom logika dodatnia i ujemna na poziomie sprzętu (jak wyżej) to musi istnieć logika dodatnia i ujemna na poziomie matematyki - to jest to główne odkrycie w algebrze Kubusia, to jest fundament algebry Kubusia!
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w logice matematycznej:
Zmienna binarna p zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Zmienna binarna p zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona (~).
Podsumowując:
Jeśli ziemscy matematycy są tłukami to ich akceptacja logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) może trwać tyle, co akceptacja przez europejskich matematyków liczb ujemnych w matematyce, czyli około 2000 lat, jak w cytacie wyżej.
W dobie Internetu na 100% na akceptację AK nie będziemy tyle czekać przede wszystkim dlatego, że wszyscy jesteśmy ekspertami algebry Kubusia, od 5-cio latka poczynając - łącznie z tobą Irbisolu!
W moim ostatnim poście masz dowód że ty też Irbisolu jesteś ekspertem algebry Kubusia, bowiem nie zrozumieć mojego postu wyżej może wyłącznie matematyczny tłuk.
Cytuję zatem mój ostatni post prosząc cię o odpowiedź na zawarte w nim pytanie:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#652077
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
Co do dalszego pytania - jest tak głupie, że nie będę na nie odpowiadał. Zresztą - odpowiedzi możesz się domyśleć. |
[link widoczny dla zalogowanych]
| sjp napisał: | | podzbiór - w matematyce: zbiór będący częścią jakiegoś zbioru |
Moje "głupie" pytanie brzmiało:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1525.html#651979
| rafal3006 napisał: |
Czy przyznajesz się do błędu czysto matematycznego i odwołujesz swoją FAŁSZYWĄ tożsamość:
Implikacja rodem z KRZ => = warunek wystarczający => |
Moje pytanie wyżej sprowadza się do pytania następującego:
Czy zgadzasz się na poniższą definicję warunku wystarczającego p=>q w zbiorach?
Wstęp:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Finał:
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie proste „Jeśli p to q” =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład twierdzenia matematycznego:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie) |
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 13:51, 20 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652159
Precyzyjne pytanie do Irbisola
| Irbisol napisał: | To może podaj najpóźniejszą datę, kiedy matematycy przejdą na twoją algebrę.
Co do pytania - napisz je po ludzku, zamiast przerośniętego pierdolenia z jąkaniem się w kółko o tym samym. |
Jesli chodzi o datę kiedy matematycy zaakceptują AK to mogę podać datę optymistyczną.
Odpowiadam:
Po skończeniu AK (jej przekaz ciągle jest ulepszany) będzie to od 2 do 24 miesięcy po zaatakowaniu algebrą Kubusia forów matematycznych - póki co jestem na elitarnej śfinii i nie zamierzam się stąd ruszać.
Tu też zależy wszystko od stanowiska adminów forów matematycznych - jeśli będą wyznawcami iż wszystko co nie jest zgodne z KRZ jest matematycznie błędne i będą mnie banować to oczywistym jest że akceptacja AK przez matematyków odwlecze się w czasie ...
Optymistycznie planuję skończyć AK i wejść na fora matematyczne na święta Wielkiej Nocy ... problem w tym że takich terminów zakończenie miałem w przeszłości multum i do tej pory zawsze okazywało się, że to falstart, bo po prostu znajdowałem istotne uleszenia przekazu algebry Kubusia - dopóki takowe będą się pojawiały, dopóty nie ma sensu wychodzić z AK poza śfinię.
... i jeszcze jedna ważna rzecz.
Przed wejściem na fora matematyczne całość musi być opublikowana w pdf, bowiem to jedyny sensowny punkt zaczepienia w dyskusji z ziemskimi matematykami.
Przejść w sposób prymitywny na wersję w pdf to "chwila moment", ale fajnie byłoby opublikować to w formie książkowej, a tego póki co nie wiem jak to zrobić. Są w Internecie firmy specjalistyczne które się tym zajmują, możliwe że skorzystam z ich pomocy - ten krok wymaga jednak uprzedniego, perfekcyjnego po względem przekazu zapisania AK ... a to może zająć z kilka miesięcy, lub dłużej?
W każdym razie tu nie wolno się spieszyć i wyjść z niedopracowaną do perfekcji AK poza forum śfinia.
Jeśli chodzi o pytanie do ciebie to precyzuję je najkrócej jak to tylko możiiwe.
Czy zgadzasz się na poniższą definicję warunku wystarczającego p=>q w zbiorach?
Wstęp:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Finał:
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie proste „Jeśli p to q” =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład twierdzenia matematycznego:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 14:09, 20 Mar 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 14:35, 20 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652163
Kiedy algebra Kubusia zostanie opublikowana?
Właśnie wpadłem na fajny pomysł.
36 lat temu byłem autorem, wydawcą i sprzedawcą moich książek dla hobbystów elektroników, pojedyńczy nakład oscylował od 2000-5000, wznowień było około 4.
Wiem że cena książki przy nakładzie około 3000 jest śmiesznie niska.
Oczywiście, nie ma sensu publikować AK w takich ilościach bowiem z definicji będą to prezenty (bezpłatne) dla ludzi zainteresowanych AK.
Myślę, że nakład 200-300 byłby w sam raz (jak na Polskę) - ciekawe ile to będzie kosztowało?
Chyba na taki wariant się skuszę - niech to nawet potrwa ze 2 lata - myślę, że warto na takie coś poczekać.
P.S.
Przykładowa firma zajmująca się drukowaniem prywatnych publikacji:
[link widoczny dla zalogowanych]
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 16:08, 20 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652179
Czy kiedykolwiek Irbisol odpowie na moje trywialne pytania z zakresu logiki matematycznej?
Mam nadzieję ze tak - nadzieja umiera ostatnia.
| Irbisol napisał: |
| Cytat: | Czy zgadzasz się[/b] na poniższą definicję warunku wystarczającego p=>q w zbiorach?
Wstęp:
Definicja podzbioru =>: |
To też wywal.
Po prostu przestań pierdzielić niczym nawiedzony guru, bo i tak się wykrzaczasz na każdym kroku. |
Irbisolu, nic nie będę wywalał bo to są naczynia połączone których istotą jest zaakceptowanie przez ciebie poniższej, arcyważnej tożsamości pojęć.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie proste „Jeśli p to q” =>
Zatem mogę tylko i wyłącznie powtórzyć w całości najważniejsze pytanie logiki matematycznej.
Jeśli chcesz abym cokolwiek z poniższego pytania wywalił to proszę o udowodnienie, że poniższa definicja podzbioru => jest fałszem.
Oczywiście gówno-prawdą jest jakoby definicji się nie obalało - wystarczy pokazać jeden kontrprzykład na którym dana definicja się załamuje.
Czy zgadzasz się na poniższą definicję warunku wystarczającego p=>q w zbiorach?
oraz kluczową tu tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie proste „Jeśli p to q” =>
Wstęp:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Finał:
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie proste „Jeśli p to q” =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład twierdzenia matematycznego:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:50, 20 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652201
Problem milenijny Słonia - najważniejszy problem w historii matematyki!
| Irbisol napisał: | Wciąż za długie to jest - tak ok. 20x za długie.
Przestań pierdzielić niczym nawiedzony guru. |
Irbisolu, jeśli twierdzisz że problem milenijny Słonia da się zapisać 20 razy krótszym tekstem to po prostu to zrób!
Na 100% zaakceptuję twój opis, jeśli będzie matematycznie poprawny.
P.S.
Dzięki za współpracę w sformułowaniu problemu milenijnego Słonia.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: | Problemy milenijne (ang. Millennium Prize Problems) – zestaw siedmiu zagadnień matematycznych ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya 24 maja 2000 roku; za rozwiązanie każdego z nich wyznaczono milion dolarów nagrody. Do dziś rozwiązano tylko jeden problem: hipoteza Poincarégo została potwierdzona w 2006 roku przez rosyjskiego matematyka Grigorija Perelmana, który odmówił przyjęcia tej i innych nagród
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652177
| Irbisol napisał: |
Strasznie posrana musi być ta algebra, skoro tyle nad nią ślęczysz, a jest ona domeną 5-latków i gospodyń domowych. |
Irbisolu, ekspertami algebry Kubusia są 5-cio latki i gospodynie domowe … oczywiście na przykładach dla nich odpowiednich. Niżej masz dowód, że ekspertami algebry Kubusia są uczniowie I klasy LO bo jest tu mowa o zbiorach nieskończonych, czyli o przykładach nieodpowiednich dla 5-cio latków i gospodyń domowych
Problem milenijny Słonia:
Znajdź kontrprzykład dla Słoniowej tożsamości pojęć w zbiorach
Prawo Słonia:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Za znalezienie kontrprzykładu dla powyższej tożsamości pojęć Kubuś, stwórca naszego Wszechświata, wyznaczył nagrodę w wysokości 1 mld dolarów, a nie głupi ziemski 1 mln dolarów.
Konieczne definicje dla rozstrzygnięcia problemu milenijnego Słonia to matematyka ścisła na poziomie ucznia I klasy LO!
1.
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Prawo Słonia:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna dla zbiorów:
1: Warunek wystarczający => = 2: relacja podzbioru => = 3: twierdzenie „Jeśli p to q” =>
Gdzie:
„=” - znaczek tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej wynika, że zapis tożsamy powyższej tożsamości pojęć jest następujący
Prawo Słonia:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna dla zbiorów:
1: Warunek wystarczający => <=> 2: relacja podzbioru => <=> 3: twierdzenie „Jeśli p to q” =>
Gdzie:
<=> - ten znaczek czytamy „wtedy i tylko wtedy”
„=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Z definicji tożsamości logicznej <=> wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej (1 albo 2 albo 3) gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej (1 albo 2 albo 3) gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Przykład twierdzenia matematycznego „Jeśli p to q””.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Oczywistym jest, że każdy matematyk potrafi udowodnić prawdziwość twierdzenia A1.
Innymi słowy, każdy matematyk potrafi udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego 3: „Jeśli p to q”
Co jest istotą problemu milenijnego Słonia?
Istotą problemu milenijnego Słonia jest rozstrzygnięcie, czy możliwe jest obalenie logiki matematycznej, zwanej algebrą Kubusia, w której zachodzi prawo Słonia dla zbiorów.
Algorytm rozstrzygający jest następujący:
a)
Logika matematyczna zwana algebrą Kubusia zostaje obalona, gdy po udowodnieniu prawdziwości twierdzenia matematycznego 3: „Jeśli p to q”=1, co każdy matematyk potrafi zrobić, udowodnimy fałszywość warunku wystarczającego 1: p=>q=0 albo fałszywość relacji podzbioru 2: p=>q=0
ALBO($)
b)
Logika matematyczna zwana algebrą Kubusia zostaje obalona, gdy po udowodnieniu fałszywości twierdzenia matematycznego 3: „Jeśli p to q”=0, co każdy matematyk potrafi zrobić, udowodnimy prawdziwość warunku wystarczającego 1: p=>q=1 albo prawdziwość relacji podzbioru 2: p=>q=1
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
Jak widzimy, prawo Słonia jest tu perfekcyjnie spełnione:
1: P8=>P2=1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
<=>
2: P8=>P2=1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
<=>
3: Prawdziwe jest twierdzenie matematyczne 3: „Jeśli p to q”:
A1=3:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:28, 20 Mar 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:09, 20 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652211
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | Problem milenijny Słonia - najważniejszy problem w historii matematyki!
| Irbisol napisał: | Wciąż za długie to jest - tak ok. 20x za długie.
Przestań pierdzielić niczym nawiedzony guru. |
Irbisolu, jeśli twierdzisz że problem milenijny Słonia da się zapisać 20 razy krótszym tekstem to po prostu to zrób! |
Mowa nie jest o problemie milenijnym Słonia. |
Irbisolu, ty o najważniejszych problemach ziemskiej logiki matematycznej po prostu nie chcesz dyskutować - zafiksowałeś się niedawno na problemie kiedy ziemscy matematycy zrozumieją AK - ja ci to tłumaczę a do ciebie nic nie dociera.
Teraz tez nie wiem o czym chcesz rozmawiać jeśli problem Słonie do ciebie nie dociera - nie rozumiesz go czy co?
Ty na najprostsze pytania nie chcesz odpowiadać, najprostszych rzeczy z podstawowej logiki matematycznej nie chcesz zrozumieć.
Nie chcesz, bo absolutnie nie wierzę w to, że nie rozumiesz o co chodzi w problemie milenijnym Słonia.
Na normalnym forum matematycznym problem milenijny słonia wyłożę na samym początku bo to jest po pierwsze: nieprawdopodobnie trywialne, a po drugie i najważniejsze: roznosi w puch gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Tak z ciekawości zapytam:
| Irbisol napisał: | | Mowa nie jest o problemie milenijnym Słonia. |
To o czym według ciebie teraz rozmawiamy czy też mamy rozmawiać?
Możesz to zapisać?
Wszystkich biorę za świadków, że Irbisol nigdy nie zapisze o czym niby teraz rozmawiamy, bo sam nie wie ... albo się zafiksuje na jakimś nieistotnym gównie w stylu: powiedz kiedy AK zrozumieją ziemscy matematycy.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:30, 20 Mar 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:31, 20 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652227
Czy Irbisolowi należy się pała z trzema wykrzyknikami za nierozumienie prawa Słonia?
Na 100% tak, ale mam nadzieję że Irbisol zrozumie banalne prawo Słonia, bo to poziom matematyczny co najwyżej ucznia I klasy LO.
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | Irbisolu, ty o najważniejszych problemach ziemskiej logiki matematycznej po prostu nie chcesz dyskutować - zafiksowałeś się niedawno na problemie kiedy ziemscy matematycy zrozumieją AK - ja ci to tłumaczę a do ciebie nic nie dociera.
Teraz tez nie wiem o czym chcesz rozmawiać jeśli problem Słonie do ciebie nie dociera - nie rozumiesz go czy co? |
Nie o nim jest mowa.
Miałeś zadać jakieś pytanie - ale w jednym zdaniu, ale nie w 50. |
Zupełnie nie rozumiesz świata fizyki, nie rozumiesz że pojedyńczymi definicjami bez szukania związku miedzy tymi definicjami można sobie co najwyżej dupę w kiblu podcierać.
Przykłady:
Możesz podać definicję prądu, możesz podać oddzielną definicję napięcia, oddzielną definicję rezystora … i gówno z tego wynika dopóki nie poznasz prawa Ohma wiążącego te pojęcia!
Podobnie:
Co z tego że znasz oddzielnie I i II prawo Kirchhoffa jak nie rozumiesz gdzie oba te prawa można wykorzystać, a tylko te dwa prawa łącznie mają zastosowanie np. przy układaniu równań liniowych opisujących sieci elektryczne - nie rozwiążesz sieci elektrycznej przy pomocy jednego tylko (dowolnego) prawa Kirchhoffa.
etc, etc..
Identycznie jest prawem Słonia.
Prawo Słonia:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna dla zbiorów:
1: Warunek wystarczający => <=> 2: relacja podzbioru => <=> 3: twierdzenie „Jeśli p to q” =>
Gdzie:
<=> - ten znaczek czytamy „wtedy i tylko wtedy”
„=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Z definicji tożsamości logicznej <=> wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej (1 albo 2 albo 3) gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej (1 albo 2 albo 3) gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możesz dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jesli p to q" metodą "nie wprost"
Przykładowe zadanie matematyczne w I klasie LO.
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy tu prawdziwości relacji podzbioru => tzn.
Badamy czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => tu zachodzi:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Zdanie A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
Podsumowując:
Irbisolu, czy rozumiesz to co zapisałem ciut wyżej?
Czy rozumiesz że gołe definicje podzbioru => i warunku wystarczającego => gówno w matematyce znaczą, dopóki nie poznasz prawa Słonia!
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego "Jeśli p to q" ma FUNDAMENTALNE znaczenie.
Oczywiście jak opiszesz problem prawa Słonia krócej niż ja to zrobiłem i będzie to opis poprawny i alternatywny do mojego, to będę ci bił brawo.
Póki co jednak, za twój ośli upór w niechęci zrozumienia prawa Słonia, dostajesz pałę z trzema wykrzyknikami w dzienniku ucznia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:46, 20 Mar 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 1:16, 21 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652237
Dzięki Irbisolu, właśnie dopisałem w algebrze Kubusia punkt 6.5.4 - dołożyłeś kolejną, ważną cegiełkę.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-trakcie,20453.html#649275
6.5.4 Prawo Słonia
Prawo Słonia:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Przypomnijmy sobie definicje o których mówi prawo Słonia
1.
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Prawo Słonia:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna dla zbiorów:
1: Warunek wystarczający => = 2: relacja podzbioru => = 3: twierdzenie „Jeśli p to q” =>
Gdzie:
„=” - znaczek tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej wynika, że zapis tożsamy powyższej tożsamości pojęć jest następujący
Prawo Słonia:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna dla zbiorów:
1: Warunek wystarczający => <=> 2: relacja podzbioru => <=> 3: twierdzenie „Jeśli p to q” =>
Gdzie:
<=> - znaczek równoważności „wtedy i tylko wtedy”
„=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Z definicji tożsamości logicznej <=> wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej (1 albo 2 albo 3) gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej (1 albo 2 albo 3) gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Przykładowe zadanie matematyczne w I klasie LO.
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru => tzn.
Badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Zdanie A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia!
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego "Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej
Zauważmy, że identycznie mamy w świecie fizyki.
Przykłady:
Możemy podać definicję prądu, możemy podać oddzielną definicję napięcia, oddzielną definicję rezystora … i nic z tego wynika dopóki nie poznamy prawa Ohma wiążącego te pojęcia!
Podobnie:
Co z tego że znamy oddzielnie I i II prawo Kirchhoffa jak nie rozumiemy gdzie oba te prawa można wykorzystać, a tylko te dwa prawa łącznie mają zastosowanie np. przy układaniu równań liniowych opisujących sieci elektryczne - nie rozwiążemy sieci elektrycznej przy pomocy jednego tylko (dowolnego) prawa Kirchhoffa.
etc, etc..
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 33021
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 9:26, 21 Mar 2022 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652247
Czy Irbisol obali prawo Słonia?
| Irbisol napisał: | Czyli nawet w jednym zdaniu nie potrafisz napisać o co ci chodzi.
Piszesz o jakimś gównianym prawie z dupy. Nic się u ciebie nie zmienia - w kółko te same przykłady i pytania. |
Niech ci będzie że prawo Słonia jest z dupy wzięte tak jak E=mc^2, ale prawo Słonia w logice matematycznej działa FENOMENALNIE.
Jeśli ci się nie podoba to jaki masz problem z obaleniem prawa Słonia?
Algorytm obalenia prawa Słonia masz w tym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1550.html#652201
Pamiętaj że Kubuś, stwórca naszego Wszechświata, za obalenie prawa Słonia wyznaczył nagrodę w wysokości 1 mld dolarów.
Potrafię zapisać w jednym zdaniu o co chodzi.
Prawo Słonia:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna dla zbiorów:
1: Warunek wystarczający => <=> 2: relacja podzbioru => <=> 3: twierdzenie „Jeśli p to q” =>
Gdzie:
<=> - ten znaczek czytamy „wtedy i tylko wtedy”
„=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
KONIEC!
Tak samo jak potrafię w jednym zdaniu zapisać prawo Ohma:
U=I*R
Napięcie odkładane na rezystorze R jest iloczynem płynącego przez niego prądu I oraz rezystancji R
KONIEC!
Masz w jednym zdaniu to co chciałeś.
Oczywiście dla kogoś kto wie o co chodzi w tych prawach, zna definicję pojęć użytych w tych prawach, taki zapis jest wystarczający.
Pytanie do Irbisola:
Czy znasz definicję pojęć o których mówi prawo Słonia?
P.S.
Ukryte prawo Słonia w postaci wytłuszczonego zdania niżej stosuję od zawsze i mówi ono że aby udowodnić prawdziwość zdania A1: P8=>P2 potrzeba i wystarcza udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zdanie wyżej to Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
Dowód:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
Jak widzimy, prawo Słonia jest tu perfekcyjnie spełnione:
1: P8=>P2=1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
<=>
2: P8=>P2=1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
<=>
3: Prawdziwe jest twierdzenie matematyczne 3: „Jeśli p to q”:
A1=3:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 10:54, 21 Mar 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
