Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2020-08-19)

 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 5:43, 16 Lip 2020    Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2020-08-19)

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-08-19
Wersja finalna!

Niniejszy podręcznik zakłada, że wiedza czytelnika w temacie logika matematyczna jest równa zeru.
Innego założenia nie mogłem zrobić bowiem praktycznie 100% definicji w algebrze Kubusia i Klasycznym Rachunku Zdań jest sprzecznych.
Definicje:
Algebra Kubusia - logika matematyczna obowiązująca w 100-milowym lesie
Klasyczny Rachunek Zdań - fundament wszelkich logik „matematycznych” ziemskich matematyków

Algebra Kubusia w pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]

Link dla niezalogowanych (usuń gwiazdkę):
*https://www.dropbox.com/s/qjrwq50oruu71nq/Algebra%20Kubusia%20-%20matematyka%20j%C4%99zyka%20potocznego.pdf?dl=0

Polecam też przedostatnią wersję algebry Kubusia w innym ujęciu gdzie w każdej z siedmiu części skupiłem się na innym zagadnieniu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/ak1-algebra-boole-a,16325.html#524199


Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein


Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem ponad 14-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.



Części:
1.0 Nieznana algebra Boole’a
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
4.0 Równoważność p<=>q
5.0 Operator chaosu p|~~>q
6.0 Teoria zdarzeń
8.0 Teoria transformacji
9.0 Teoria zbiorów w logice matematycznej
10.0 Bramy matematycznego Raju
11.0 Paradoks kruka
12.0 Obietnice i groźby


Wstęp:

Po 14 latach z okładem wreszcie jestem zadowolony z końcowej wersji algebry Kubusia.
Szczególnie polecam wersję pdf - chyba łatwiej się czyta.
[link widoczny dla zalogowanych]

Oczywiście każdy wielki program (np. Win10) jak również nową, nieznaną ziemianom teorię matematyczną, algebrę Kubusia, można udoskonalać w nieskończoność.
Tu nie chodzi o znalezienie wewnętrznej sprzeczności w algebrze Kubusia bo tej na 100% nie ma, ale o formę jej przekazu, by ziemscy matematycy ją zrozumieli - reszta ludzkości jest bez znaczenia, bowiem ta reszta ludzkości, od 5-cio latka poczynając to naturalni eksperci algebry Kubusia w praktyce, czyli nie muszą jej się uczyć.

Sprawa jest tu podobna do teorii języka mówionego.
Czy teoria języka mówionego jest komukolwiek potrzebna aby sprawnie posługiwać się językiem ojczystym?
Oczywiście zdecydowanie NIE!
Osobiście nigdy nie znałem teorii języka polskiego, nadal nie wiem co to jest jakiś podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
... a mimo wszystko bez problemu dogaduję się w moim ojczystym języku, wyssanym z mlekiem matki.

Identycznie ma się sprawa z algebrą Kubusia! - absolutnie wszyscy ludzie na ziemi, od 5-cio latka poczynając na prof. matematyki kończąc są jej naturalnymi ekspertami w praktyce i nie muszą poznawać teorii algebry Kubusia.

Sprawa rozbija się tylko i wyłącznie o zawodowych matematyków.
Jak ich przekonać, że są naturalnymi ekspertami doskonale znanej im w praktyce teorii matematycznej, algebry Kubusia?
... oto jest pytanie.

Podstawowy problem jaki tu mamy to praktycznie 100% sprzeczność definicji w zakresie logiki matematycznej między algebrą Kubusia a aktualnymi logikami „matematycznymi” (wszystkimi!) ziemskich matematyków.
Jedyne wspólne definicje jakie mamy to definicje podzbioru => i nadzbioru ~> - reszta naszych definicji jest TOTALNE sprzeczna.

Miejmy nadzieję, że matematycy nie będą zasłaniać się gówno-dogmatem z poniższego cytatu:
[link widoczny dla zalogowanych]
mimuw napisał:

Twierdzenia matematyczne uważane są za prawdziwe, albowiem w niczyim interesie nie leży, by uważać je za fałszywe.
Monteskiusz

Co w przełożeniu na fundament wszelkich logik „matematycznych” ziemskich matematyków brzmi:
Klasyczny Rachunek Zdań uważany jest za prawdziwy, albowiem w niczyim interesie nie leży by uważać go za fałszywy.

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock


Niniejszy podręcznik zakłada, że wiedza czytelnika w temacie logika matematyczna jest równa zeru.
Innego założenia nie mogłem zrobić bowiem praktycznie 100% definicji w zakresie logiki matematycznej w AK i KRZ jest sprzecznych.

Już pierwszy rozdział niniejszego podręcznika zatytułowany jest:
„Nieznana algebra Boole’a”

Dlaczego nieznana?
Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(|*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).

Jeśli chodzi o pozostałe, kluczowe znaczki logiki matematycznej (=>, ~> i ~~>) to jedynym punktem wspólnym algebry Kubusia z logiką matematyczną ziemian są definicje podzbioru => i nadzbioru ~>. Pozostałe definicje w logice matematycznej mamy sprzeczne.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzą tożsamości matematyczne:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zbiorów pojęcia warunek wystarczający => i konieczny ~> są w logice matematycznej ziemian fundamentalnie inne i na tym polu nie ma szans na dogadanie się.
W teorii zdarzeń natomiast pojęcia warunek wystarczający => i konieczny ~> mamy wspólne bo tu nie sposób rozumieć banału na poziomie 8 klasy szkoły podstawowej na dwa sprzeczne ze sobą sposoby.

1.
Definicja podzbioru =>:

Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
inaczej:
p=>q =0 - gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona, zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = spełniona relacja podzbioru =>

Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Dowód iż definicja podzbioru z algebry Kubusia jest identyczna jak w teorii zbiorów ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

podzbiór - część danego zbioru


2.
Definicja nadzbioru ~>

Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona, zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = spełniona relacja nadzbioru ~>

Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Dowód iż definicja nadzbioru z algebry Kubusia jest identyczna jak w teorii zbiorów ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

nadzbiór - w matematyce, dla danego zbioru: każdy zbiór zawierający wszystkie jego elementy


3.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Dowód iż definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> funkcjonuje niejawnie w teorii zbiorów ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
mathedu napisał:

Zbiory rozłączne
Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym, nazywamy rozłącznymi:
p*q =[]

Oczywisty wniosek:
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p*q nie jest zbiorem pustym to zbiory mają element wspólny ~~>.

Podsumowanie:
Jak widzimy, na gruncie teorii zbiorów kluczowe i najważniejsze znaczki w algebrze Kubusia (=>, ~> i ~~>) mają swoje odpowiedniki w logice matematycznej ziemian.
Problem w tym, że ziemianie nie znają poprawnych definicji tych znaczków dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego, nie potrafią zatem wyprowadzić praw matematycznych wynikających z tego rachunku.

Kim jest Rafał3006?
Rafał3006 to absolwent wydziału elektroniki Politechniki Warszawskiej (1975-1980).
To był szczytowy okres rozwoju techniki bramek logicznych. Pierwszy przyzwoity mikroprocesor i8080 z roku 1974 (plus następcy) błyskawicznie wyeliminował bramki z jakichkolwiek poważnych zastosowań w świecie techniki.
Jednak fundamentem logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy nadal są zdecydowanie bramki logiczne, w szczególności nieznane ziemskim matematykom operatory implikacyjne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”.

Operatorów implikacyjnych obsługujących wszelkie zdania warunkowe „Jeśli p to q” używane przez człowieka jest zaledwie cztery:

1.
Definicja podstawowa operatora implikacji prostej p|=>q:

Operator implikacji prostej p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

2.
Definicja podstawowa operatora implikacji odwrotnej p|~>q:

Operator implikacji odwrotnej p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1

3.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to spełniony zarówno warunek wystarczający => jak i warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony
stąd::
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

4.
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:

Operator chaosu p|~~>q to nie spełniony ani warunek wystarczający =>, ani też warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony
stąd:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Zacytujmy definicję równoważności z Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym, jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykład:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4 (równoważność prawdziwa)

Pierwsza część definicji równoważności jest zgodna w 100% z algebrą Kubusia … natomiast ten przykład to największa tragedia ziemskich matematyków zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań

W praktyce wszyscy ziemianie używają definicji podstawowej równoważności zgodnej z algebrą Kubusia.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 1 470
„warunkiem koniecznym i wystarczającym”
Wyników 9 170
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
matemaks napisał:

Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => podzielności tej liczby przez 6.
P2*P3<=>P6 = (B1: P2*P3~>P6)*(A1: P2*P3=>P6)=1*1=1

Powyższą równoważność matematycy udowodnili (nie ważne jak) zatem musi zachodzić tożsamość zbiorów:
P2*P3=P6
Niestety, ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia że w dowolna równoważność prawdziwa w zbiorach definiuje tożsamość zbiorów. Uznanie tego oczywistego faktu natychmiast posyła Klasyczny Rachunek Zdań tam gdzie jego miejsce - do piekła, na wieczne piekielne męki.

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy są w relacji równoważności p<=>q:
p=q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q = p<=>q =0 - zbiory p i q nie są tożsame, co oznacza, że są różne na mocy definicji ##:
p##q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Koniec!
Cała logika matematyczna pod którą podlega nasz Wszechświat żywy i martwy (z matematyką klasyczną włącznie) to tylko i wyłącznie powyższe, cztery operatory implikacyjne.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) i związane z nimi operatory AND(|*) i OR(+) pełnią w logice matematycznej wyłącznie funkcję pomocniczą (przygotowawczą).
W analogii do programu komputerowego spójniki „i”(*) i „lub”(+) to bloki funkcjonalne (przygotowawcze), natomiast bloki decyzyjne dzięki którym jakikolwiek program jest sensowny i działa to w logice matematycznej zdefiniowane wyżej, cztery operatory implikacyjne.

Przede wszystkim:
Człowiek to zdecydowanie nie komputer!

Dowód:
W całym świecie techniki, w tym w komputerach operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q są idiotyzmem ze względu na występujące tu „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Tymczasem w matematycznej obsłudze świata żywego operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q są kluczowe i najważniejsze bowiem obsługują matematycznie wszelkie obietnice i groźby.
Obietnice i groźby to fundament wszelkiego życia na ziemi, zwierzątka które nie odróżniały obietnicy od groźby dawno wyginęły.

Definicja obietnicy =>:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodząca w skład implikacji prostej W|=>N:
W|=>N = (A1: W=>N)*~(B1: W~>N) =1*~(0) =1*1 =1

Definicja groźby ~>:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K:
W|~>K = ~(A1: W=>K)*(B1: W~>K) = ~(0)*1 =1*1 =1

To są definicje obietnicy i groźby zatem tu nic a nic nie musimy udowadniać, jedyne co musimy to rozstrzygnąć czy w następniku mamy nagrodę (obietnica), czy karę (groźba).

Matematyczny manifest Kubusia!

Raj dnia 21-08-2020
Dzisiejszej nocy dostałem podpowiedź od Kubusia, by na bazie paradoksu kruka wyłożyć ziemskim matematykom algebrę Kubusia od A do Z tzn. wszystko co najważniejsze, reszta to pikuś.

Ostateczna wersja rozwiązania paradoksu kruka, którego w istocie NIE MA, napisana przed chwilą jest w punkcie 11.0

Paradoks kruka skupia w sobie wszelkie niuanse logiki matematycznej z Rajskim twierdzeniem na czele (punkt 10.0).
Zrozumienie paradoksu kruka to matematyczny poziom co najwyżej ucznia I klasy LO który nic a nic o logice matematycznej jeszcze nie słyszał - w szczególności nie wie co to za potwornie śmierdzące gówno zwane implikacją materialną rodem z Klasycznego Rachunku Zdań.

Jaka jest szansa by algebrę Kubusia zrozumieli ziemscy matematycy?

Zdaniem twardogłowych, ziemskich matematyków od siedmiu boleści żadna.

Dowód:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:
Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
Irbisol napisał:
Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz.


Wierzę jednak, że nie wszyscy ziemscy matematycy są twardogłowi.
Na tak maleńkim i elitarnym forum jak nasza śfinia spotkałem ziemskich logików matematycznych z którymi dyskusja na temat algebry Kubusia była dla mnie bezcenna i rzeczowa, są to w kolejności zaistnienia: Wuj Zbój, Volrath (wykładowca logiki), Macjan (moim zdaniem jeden z najlepszych ziemskich logików) oraz Fiklit (tu jestem pewien - najlepszy ziemski logik matematyczny którego spotkałem).
Skoro na sfinii spotkałem czterech logików matematycznych na najwyższym poziomie to ilu im podobnych jest w skali całej naszej ziemi?

Ja po prostu nie wierzę i nigdy nie uwierzę, że algebra Kubusia nie będzie wkrótce oficjalną logiką matematyczną nauczaną w I klasie LO, zastępując takie gówna jak:

Przykład implikacji prawdziwej z podręcznika matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Podręcznik matematyki do I klasy LO napisał:

Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi

To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:
p: „pies ma osiem łap”,
q: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.
Wiemy, że pierwsze p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania p=>q wynosi 0=>1. Otrzymana wartość logiczna tego zdania wynosi 1

Przykład równoważności fałszywej i prawdziwej z tego samego gówno-podręcznika:
[link widoczny dla zalogowanych]
Podręcznik matematyki do I klasy LO napisał:

Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap.

Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania p i q:
p: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
q: „pies ma osiem łap”
Wartość logiczna zdania p wynosi 1, a q wynosi 0. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi 0.

Jednak gdyby to zdanie brzmiało:
Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap

… wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby 0.

Drodzy ziemscy matematycy, powiem po chłopsku, weźcie cep do ręki, walnijcie się nim w głowę - mam nadzieję, że wtedy przestaniecie robić z naszych dzieci debili jak w pseudo-podręczniku matematyki wyżej cytowanym.

W całej ponad 14-letniej mojej przygodzie z logiką matematyczną, spotkałem zaledwie jednego matematyka który wygarnął kawę na ławę tzn. napisał szczerze co myśli o aktualnej gówno-logice ziemian zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Tego odważnego matematyka (bo stado twardogłowych matematyków natychmiast zaczęło go gryźć) cytuję z wielką przyjemnością.

[link widoczny dla zalogowanych]

Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013

Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.

Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.

Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.

Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.

Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?

Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.

Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.

A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.

Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?

Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.

Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.

Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 11:58, 15 Gru 2020, w całości zmieniany 63 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 5:45, 16 Lip 2020    Temat postu:

1.0 Nieznana algebra Boole’a


Spis treści
1.0 Nieznana algebra Boole’a 1
1.1 Zmienna binarna i stała binarna 2
1.2 Prawa Prosiaczka 5
1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 5
1.2.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 6
1.3 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 7
1.4 Algorytm Wuja Zbója 9
1.5 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 11
1.6 Operator OR(|+) w świecie fizyki 12
1.6.1 Definicja spójnika „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym 15
1.6.2 Właściwości operatora OR(|+) w świecie fizyki 18
1.7 Operator AND(|*) w świecie fizyki 19
1.7.1 Definicja spójnika „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym 22
1.7.2 Właściwości operatora AND(|*) 25
1.8 Definicja spójnika „albo”($) 26



1.0 Nieznana algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego ten rozdział nosi nazwę nieznanej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

1.1 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
M=[mężczyzna]

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona
Przykład:
~M=~[mężczyzna]

Dla dziedziny:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
mamy:
C=M+K
Gdzie:
M = [mężczyzna] - zbiór wszystkich mężczyzn
K = [kobieta] - zbiór wszystkich kobiet
Stąd mamy:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K

Wnioski to:
Twierdzenie proste p=>q:
Człowiek nie będący mężczyzną (~M) na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
… i odwrotnie:
Twierdzenie odwrotne q=>p:
Człowiek będący kobietą (K) na 100% => nie jest mężczyzną (~M)
K=>~M =1
Ogólna definicja równoważności znana każdemu ziemskiemu matematykowi:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1

Stąd prawdziwa jest równoważność:
Człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy <=> gdy jest kobietą (K)
~M<=>K = (~M=>K)*(K=>~M) =1*1 =1
Oczywistość dla każdego 5-cio latka

Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:
Kod:

1: A:=A+B    ;Wykonaj operację dodawania.
2: JP C,ET2  ;Jeśli CY=1 skocz do ET2, inaczej wykonaj rozkazy niżej
- - - - - - -

Co oznacz rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład:
Zdefiniujmy na początku programu symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
Oczywistym jest, że w tym momencie nasz „program dodawania” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.

Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych

Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, bo po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.

Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz, że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak

Doskonale tu widać, że logika matematyczna działa także w stosunku do zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?

Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
ma mniej więcej taki sens jak stwierdzenie:
Kopernik była kobietą.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję logiki matematycznej.

Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy na podstawie znanych faktów w nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie mordercy)

1.
Opis nieznanej przyszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Przewidywanie nieznanego: wiemy kiedy jutro pani dotrzyma słowa a kiedy skłamie
2.
Opis nieznanej przeszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Opis nieznanego: Jaś nie wie czy dzieci były wczoraj w kinie, dlatego wszczyna prywatne śledztwo by ustalić zaistniały fakt.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolny symbol binarny zapisany jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowany (bo p) inaczej jest symbolem binarnym w logice ujemnej (bo ~p)

W logice dodatniej i ujemnej mogą być zapisane zarówno zmienne binarne jak i stałe binarne.

Przykład:
Stała binarna „pies” zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
p = pies
Stała binarna „pies” zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~p=nie pies

1.2 Prawa Prosiaczka

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

1.2.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

1.3 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym prawie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.

Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.

Znaczenie 1 i 0 w algebrze Boole’a:
1 = prawda
0 = fałsz
Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka

Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd


1.4 Algorytm Wuja Zbója

Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Co w logice jedynek, będącej naturalną logiką matematyczną człowieka oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Prawo tożsamości funkcji alternatywno-koniunkcyjnych i koninkcyjno-alternatywnych:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej

Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Kameleona.

Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.

Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Żadna z funkcji koniunkcyjno-alternatywnych nie jest zrozumiała dla człowieka.
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)

Jak widzimy stało się coś strasznego.
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.

1.5 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej

Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.

Trudne (tzn. do pominięcia w czytaniu):
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, “i”(*), “lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd


1.6 Operator OR(|+) w świecie fizyki

Fizyczna realizacja operatora OR(|+) w świecie fizyki to żarówka sterowana dwoma przyciskami p i q połączonymi równolegle.

Kod:

Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora OR(|+):
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             Y        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - żarówka nie świeci
;
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0) - przycisk p nie wciśnięty
;
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~q=1)=(q=0) - przycisk q nie wciśnięty

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniają relację równoważności <=>
p=q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1 - pojęcia p i q są tożsame
inaczej:
p=q = p<=>q =0 - pojęcia p i q nie są tożsame

Operator OR(|+) w świecie fizyki to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1)?


Ze schematu ideowego łatwo odczytujemy kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1):
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p lub wciśnięty jest przycisk q
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy”

Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p+q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) lub wciśnięty przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Jaś (lat 10) może tu zapytać:
Czy może się zdarzyć, że żarówka świeci się (Y=1) gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (q=1)?
Prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Stąd mamy odpowiedź:
1dm
Nie może się zdarzyć (~) że żarówka świeci się (Y=1) gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
Y = ~(~p*~q)

Jak widzimy, w języku potocznym (w tym w matematyce) z prawa De Morgana korzystamy bardzo rzadko, w specyficznych okolicznościach jak pytanie Jasia.
Powód:
1: Y = p+q [=] 1dm: Y=~(~p*~q)
Każdy człowiek mając do wyboru dwa tożsame zdania 1 i 1dm wybierze prościutkie zdanie 1 zamiast skomplikowanego z punktu widzenia naszego mózgu zdania 1dm wynikającego z prawa De Morgana.

Prawa De Morgana:
Prawa De Morgana opisują wzajemny związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~(~Y) - logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy
Y = p+q = ~(~p*~q)

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~(Y) - logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=~p*~q + ~(p+q)

Zdanie matematycznie tożsame do 1 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka świeci się (Y=1):
Innymi słowy:
1’.
Żarówka świeci (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = p*q=1*1=1 - jest wciśnięty p (p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
B: Yb = p*~q =1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: Yc = ~p*q=1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)

Funkcje Ya, Yb, i Yc nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
1’.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 1 i 1’.
Minimalizujemy funkcję logiczną 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=p+q
cnd

stąd mamy matematyczną tożsamość:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Stąd mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w postaci sumy logicznej trzech rozłącznych zdarzeń:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Uwaga:
Powyższą definicję warto zapamiętać, bowiem w logice matematycznej dość często się przydaje przy rozpisce co może się wydarzyć w obszarze dwóch zmiennych p i q połączonych spójnikiem „lub”(+)


2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?


Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
2.
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1

Również ze schematu ideowego odczytujemy że:
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y<=>~p*~q
<=> - symbol równoważności
Tu mamy identycznie:
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~Y = ~p*~q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka nie świeci” (~Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „nie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie wciśnięty przycisk q (~q=1)”
Innymi słowy:
Z faktu nie świecenia się żarówki (~Y=1) wnioskujemy iż nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
D: ~Yd = ~p* ~q
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1

1.6.1 Definicja spójnika „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym

Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

T1          |T11                  |
Tabela      |Co w logice jedynek  |
symboliczna |oznacza              |
            |                     |
            |                     |
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|
   a  b  c     d      e      f

Jak widzimy, w języku potocznym wygenerowaliśmy tabelę symboliczną T1.
Przejście z tabeli symbolicznej języka potocznego T1 do definicji zero-jedynkowej spójnika „lub”(+) możliwe jest tylko i wyłącznie na mocy praw Prosiaczka które mamy prawo stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Spójnik „lub”(+) w powyższej tabeli symbolicznej opisany jest w trzech pierwszych liniach:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Y=p+q
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Jak łatwo się domyśleć, aby uzyskać zero-jedynkową definicje spójnika „lub”(+) musimy, korzystając z prawa Prosiaczka, sprowadzić wszystkie zmienne do logiki dodatniej (bez przeczeń).
Zróbmy to:
Kod:

T1          |T11                  |T12                  |T13
Tabela      |Co w logice jedynek  |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |ABC: Y=p+q mamy      |tożsama
            |                     |                     | p  q  Y=p+q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1+ 1   1
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|( p=1)*( q=0)=( Yb=1)| 1+ 0   1
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=1)| 0+ 1   1
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=0)*( q=0)=( Yd=0)| 0+ 0   0
   a  b  c     d      e      f       g      h      I      1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | (~p =1)=( p =0)     |
                                  | (~q =1)=( q =0)     |
                                  | (~Yx=1)=( Yx=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu zdefiniowanym obszarem ABCabc w tabeli symbolicznej.
ABC: Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
ABC: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 w tabeli T13 (Y=p+q) pokazuje obszar ABCabc tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa.
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru ABC123, co doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1 (tabela T11).
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego zrozumiałego dla człowieka:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
D: ~Y=~p*~q
która opisuje linię D w tabeli symbolicznej.
Z przyjętego punktu odniesienia wynika, że tym razem wszystkie zmienne będziemy musieli sprowadzić do logiki ujemnej (z przeczeniami).
Zatem prawa Prosiaczka jakie będą nam tu potrzebne to:
(Yx=1)=(~Yx=0)
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Kod:

T2          |T21                  |T22                  |T23
Tabela      |Co matematycznie     |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |D:~Y=~p*~q mamy      |tożsama
            |                     |                     |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0* 0   0
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)| 0* 1   0
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)| 1* 0   0
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)| 1* 1   1
   a  b  c     d      e      f       g      h      I      1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | ( p =1)=(~p =0)     |
                                  | ( q =1)=(~q =0)     |
                                  | ( Yx=1)=(~Yx=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na linii Dabc.
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna linia ~Yd w tabeli ABCDabc
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.

Nagłówek kolumny wynikowej 3 tabeli T23 (~Y=~p*~q) odnosi się do linii D w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
D: ~Y=~p*~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii D123 - widać to doskonale w samej tabeli ABCD123.

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Obszar ABCabc w tabeli symbolicznej T1
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
Linia D w tabeli symbolicznej T2
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

1.6.2 Właściwości operatora OR(|+) w świecie fizyki

Kod:

Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora OR(|+):
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             Y        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Podsumujmy nasze rozważania:
I.
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:

Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Definicja do zapamiętania:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej


II.
Operator OR(|+) to układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):

1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A lub przycisk B
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
Żarówka nie świeci się wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A i nie jest wciśnięty przycisk B
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Jaś (lat 10):
Czy może się zdarzyć, że nie jest wciśnięty przycisk A i nie jest wciśnięty przycisk B i żarówka świeci się?
Odpowiedź:
Prawo De Morgana:
Y = ~(~p*~q)
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (~) że nie jest wciśnięty przycisk A i nie jest wciśnięty przycisk B i żarówka świeci się (Y)
Jak widzimy, w języku potocznym prawo De Morgana używane jest rzadko jako odpowiedź na nietypowe pytanie jak wyżej.

III
Prawa De Morgana

1.
Matematyczny związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana dla logiki dodatniej (bo Y)
Y = p+q = ~(~p*~q)
2.
Matematyczny związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

IV.
Pełna definicja spójnika „lub”(+)
opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q


1.7 Operator AND(|*) w świecie fizyki

Fizyczna realizacja operatora AND(|*) w świecie fizyki to żarówka sterowana dwoma przyciskami p i q połączonymi szeregowo.

Kod:

Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora AND(|*)
             Y               p          q       
       -------------       ______     ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------

Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - żarówka nie świeci
;
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0) - przycisk p nie wciśnięty
;
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~q=1)=(q=0) - przycisk q nie wciśnięty

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniają relację równoważności <=>
p=q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1 - pojęcia p i q są tożsame
inaczej:
p=q = p<=>q =0 - pojęcia p i q nie są tożsame

Operator AND(|*) w świecie fizyki to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1)?


Ze schematu ideowego łatwo odczytujemy kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1):
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p i wciśnięty jest przycisk q
A: Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy”

Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p*q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) i wciśnięty przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Stąd mamy tożsamość:
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Jaś (lat 10) może tu zapytać:
Czy może się zdarzyć, że żarówka świeci się (Y=1) gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (q=1)?
Prawo De Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Stąd mamy odpowiedź:
1dm
Nie może się zdarzyć (~) że żarówka świeci się (Y=1) gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
Y = ~(~p+~q)

Jak widzimy, w języku potocznym (w tym w matematyce) z prawa De Morgana korzystamy bardzo rzadko, w specyficznych okolicznościach jak pytanie Jasia.
Powód:
1: Y = p*q [=] 1dm: Y=~(~p+~q)
Każdy człowiek mając do wyboru dwa tożsame zdania 1 i 1dm wybierze prościutkie zdanie 1 zamiast skomplikowanego z punktu widzenia naszego mózgu zdania 1dm wynikającego z prawa De Morgana.

Prawa De Morgana:
Prawa De Morgana opisują wzajemny związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~(~Y) - logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy
Y = p*q = ~(~p+~q)

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~(Y) - logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=~p+~q + ~(p*q)

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?


Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 lub ~q=1
Czytamy:
2.
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y=~p+~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 lub ~q=1
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków nie jest wciśnięty (~x=1) i już żarówka nie świeci się.

Zdanie matematycznie tożsame do 2 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka nie świeci się (~Y=1).
Będą to wszystkie możliwe przypadki z wykluczeniem przypadku A kiedy to żarówka świeci się:
A.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p i wciśnięty jest przycisk q
Y = p*q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Innymi słowy:
Wszystkie pozostałe przypadki w których żarówka nie świeci się to:
2’.
Żarówka nie świeci (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb = ~p*~q=1*1=1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: Yc = ~p*q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
D: Yd = p*~q=1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)

Funkcje Yb, Yc, i Yd nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan nie świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2’.
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1

Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 2 i 2’
Minimalizujemy funkcję 2’:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*(~q+q)+p*~q
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
cnd

stąd mamy matematyczną tożsamość:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q

1.7.1 Definicja spójnika „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym

Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

Tabela 1    |T11                  |
Tabela      |Co w logice jedynek  |
symboliczna |oznacza              |
            |                     |
            |                     |
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|
   a  b  c     d      e      f

Powyższą tabelę symboliczną, wynikłą z języka potocznego człowieka kodujemy zero-jedynkowo korzystając z praw Prosiaczka.
Punkt odniesienia ustawiamy na spójniku „i”(*) zdefiniowanym w linii A.
A: Y=p*q
W tabeli T11 wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki dodatniej (bez przeczeń), stąd potrzebne nam będą prawa Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Kodujemy:
Kod:

Tabela 1    |T11                  |T12                  |T13
Tabela      |Co w logice jedynek  |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |A: Y=p*q mamy        |tożsama
            |                     |                     | p  q  Y=p*q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1* 1   1
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|( p=0)*( q=0)=( Yb=0)| 0* 0   0
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=0)| 0* 1   0
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=1)*( q=0)=( Yd=0)| 1* 0   0
   a  b  c     d      e      f    |  g      h      I    | 1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | (~p =1)=( p =0)     |
                                  | (~q =1)=( q =0)     |
                                  | (~Yx=1)=( Yx=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A:
A: Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 (Y=p*q) pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której kodowana jest tabela zero-jedynkowa, czyli tu wskazuje wyłącznie linię A.
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123 - jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii A.
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
Y=1<=>p=1 i q=1

Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1.
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego zrozumiałego dla człowieka:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q

Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
która opisuje obszar BCDabc tabeli symbolicznej.
Z powyższego punktu odniesienia wynika, że tym razem wszystkie zmienne będziemy musieli sprowadzić do logiki ujemnej (z przeczeniami).
Zatem prawa Prosiaczka jakie będą nam tu potrzebne to:
(Yx=1)=(~Yx=0)
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Kod:

Tabela 2    |T21                  |T22                  |T23
Tabela      |Co w logice jedynek  |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |BCD:~Y=~p+~q mamy    |tożsama
            |                     |                     |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0+ 0   0
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)| 1+ 1   1
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)| 1+ 0   1
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yd=1)| 0+ 1   1
   a  b  c     d      e      f    |  g      h      I    | 1  2   3
                                  | Prawa Prosiaczka    |
                                  | ( p =1)=(~p =0)     |
                                  | ( q =1)=(~q =0)     |
                                  | ( Ya=1)=(~Ya=0)     |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na obszarze BCDabc tabeli symbolicznej definiującej spójnik „lub”(+)
BCD: ~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
BCD: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 (~Y) odnosi się do obszaru BCDabc w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
BCD: ~Y=~p+~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru BCD123.
Widać to doskonale w samej tabeli ABCD123:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1

Z tabeli symbolicznej ABCDabcd odczytujemy:
BCDabc: ~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
BCDabc: ~Y=~p+~q = B: ~p*~q+ C: ~p*q+ D: p*~q

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora AND(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

1.7.2 Właściwości operatora AND(|*)

Podsumujmy nasze rozważania w niniejszym rozdziale:
I.
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:

Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Definicja do zapamiętania:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej


II.
Operator AND(|*) tu układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):

1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

III
Prawo De Morgana

Matematyczny związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana dla logiki dodatniej (bo Y)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Matematyczny związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y = ~p+~q = ~(p*q

IV.
Pełna definicja spójnika „lub”(+)
opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla ~p i ~q negujemy wszystkie zmienne w definicji wyżej:
~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

1.8 Definicja spójnika „albo”($)

Kod:

Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora OR(|+):
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             Y        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Operator OR(|+) odpowiada na pytania 1 i 2:
2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?


Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p lub wciśnięty jest przycisk q
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy”

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?


Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1

Między pojęciami Y i ~Y zachodzi definicja spójnika „albo”($)[/b]
3.
Żarówka może się świecić (Y=1) albo($) może się nie świecić (~Y=1)
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak.
Sprawdźmy czy zdanie 1 jest zawsze prawdziwe.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y$~Y = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y =1
cnd
Na tym przykładzie doskonale widać, dlaczego i kiedy w języku potocznym zamiast precyzyjnego spójnika „albo”($) możemy użyć spójnika „lub”(+).

Wypowiedzmy zdanie 4:
4.
Żarówka może się świecić (Y=1) lub(+) może się nie świecić (~Y=1)
Y+~Y
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Zauważmy, że jeśli zdarzenia p i q są rozłączne (p*q=0) to możemy zapisać:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q := p*~q + ~p*q := p$q
bo:
p*q =0 - z założenia zdarzenia (lub zbiory) rozłączne
Gdzie:
:= - redukcja wyrażenia dla zdarzeń (zbiorów) rozłącznych p i q

Podsumowanie:
Nasz mózg to nie komputer, zatem:
Jeśli w świecie rzeczywistym zdarzenia p i q są rozłączne to spójniki „albo”($) i „lub”(+) można używać zamiennie.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p$q = ~(p<=>q)
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej [bo ~(p<=>q)] poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p+~q + ~p*q = p$q
cnd

Z powyższego wynika że równoważność dla Y i ~Y musi tu być fałszem:
p<=>q =0
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Sprawdźmy dla naszego przykładu podstawiając:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y<=>~Y = Y*~Y + ~Y*Y =0+0 =0
cnd

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa pojęcie (zbiory) są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi między nimi relacja równoważności
p=q <=> (p=>q)*(~p=>~q) = p<=>q =1
inaczej:
p<=>q =0
Nasz przykład:
Y<=>~Y =0 - pojęcia Y i ~Y nie są matematycznie tożsame
Między pojęciami Y i ~Y spełniona jest definicja wspólnej dziedziny
D - wszystkie możliwe stany jakie może przyjąć żarówka (dziedzina)
Y+~Y =D =1 - żarówka może świecić (Y=1) lub może nie świecić (~Y=1)
Y*~Y =[] =0 - żarówka nie może jednocześnie świecić (Y=1) i nie świecić (~Y=1)

Ciekawostka:
Weźmy obietnicę pani przedszkolanki
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy, że chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień z czego wynika, że możliwe jest zdarzenie:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Wniosek:
Matematycznie, w tym przypadku pani nie ma prawa użycia spójnika „albo”($) w miejsce spójnika „lub”(+).

Zauważmy jednak, że gdyby pani miała na myśli iż jutro pójdziemy do kina i do teatru to w swojej obietnicy użyłaby spójnika „i”(*).
1’
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

Możliwy wniosek:
Skoro pani w swojej obietnicy nie użyła spójnika „i”(*) to można w przybliżeniu domniemywać że w oryginalnej obietnicy:
1: Y=K+T
chodziło jej o pójście w dniu jutrzejszym do kina albo ($) to teatru.

Podkreślmy jednak, że to jest nasze domniemanie a nie matematyczna precyzja.
Pani wypowiadając precyzyjnie swoja obietnicę:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
ma prawo iść z dziećmi w dniu jutrzejszym także do kina i do teatru i matematycznym kłamcą nie będzie.

Podsumowując:
1.
Jeśli pani nie jest pewna co jutro zrobi w temacie kina i teatru to najbezpieczniejszym dla niej spójnikiem logicznym będzie spójnik „lub”(+) dający najmniejszą szansę na zostanie w dniu jutrzejszym matematycznym kłamcą.
2.
Dokładnie z powodów tu opisanych spójnik „lub”(+) w języku potocznym najczęściej kojarzony jest ze spójnikiem „albo”($) co nie zawsze odpowiada matematycznej tożsamości zdarzeń (zbiorów) - patrz obietnica pani przedszkolanki wyżej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 11:48, 09 Paź 2020, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 5:46, 16 Lip 2020    Temat postu:

Spis treści
1.9 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami logicznymi 1
1.9.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 1
1.9.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 2
1.9.3 Twierdzenie 5-cio latka 3
1.10 Algebra Boole’a w służbie techniki 3
1.11 Logika dodatnia w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) widziana oczami 5-cio latka! 5
1.11.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym 10
1.11.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym 10
1.11.3 Logika dodatnia vs logika ujemna! 12



1.9 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami logicznymi

Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności A<=>S:
Kod:

T1
   p  q   Y=p<=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

1.9.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania  |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe |w zdarzeniach
                    |                    |          |możliwych ~~>
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |          |               Y
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2.
~Y=B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

1.9.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer

W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice zer       |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza               |cząstkowe
                    |                      |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                      |
A: 1  1  0  0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   a       b        c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy dla Y:
Y = Yb*Yd
Po rozwinięciu mamy równanie koniunkcyjno-alternatywne:
1’.
Y = B: (~p+q) * D: (p+~q)
Przejście do równania alternatywno-koniunkcyjnego poprzez wymnożenie wielomianu:
Y = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q +q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
1.
Y = p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy dla ~Y:
~Y=~Ya*~Yc
Po rozwinięciu mamy równanie koniunkcyjno-alternatywne:
2’.
~Y= A: (~p+~q)* C: (p+q)
Przejście do równania alternatywno-koniunkcyjnego poprzez wymnożenie wielomianu:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
2.
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Jak widać efekt końcowy po przejściu do równań alternatywno-koniunkcyjnych jest identyczny jak w logice jedynek.

Biorąc jednak pod uwagę że równań koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie jest w stanie zrozumieć, natomiast równania alternatywno-koniunkcyjne rozumiemy wszyscy od 5-cio latka poczynając, przedstawioną tu logikę zer należy traktować jako ciekawostkę.
W praktyce logika zer może się przydać gdy w dużej tabeli zero-jedynkowej w kolumnie wynikowej jest dużo jedynek i mało zer - wtedy równanie końcowe w logice zer będzie prostsze.

1.9.3 Twierdzenie 5-cio latka

Algebra Kubusia ma w dupie rozumienie zer i jedynek w sposób, jak to robi potwornie śmierdzące gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań prowadzący do deblizmów typu:
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
etc

Algebra Kubusia to tylko i wyłącznie logika symboli w logice niezanegowanej (bo p) i zanegowanej (bo ~p) - żadnych tabel zero-jedynkowych w sposób jawny w algebrze Kubusia nie ma!
Który 5-cio latek, ekspert algebry Kubusia, by dyskutować z rodzicem sięga do kieszeni po te potwornie debilne z punktu odniesienia języka potocznego, tabele zero-jedynkowe?

Z definicji wszystkie symbole w algebrze Kubusia sprowadzone są do logicznych jedynek na mocy praw Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)

Twierdzenie 5-cio latka:
Logika matematyczna jest zgodna z naturalną logiką 5-cio latka wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka.
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych

Alternatywnie, w logice symbolicznej korzystając praw Prosiaczka wszystkie zmienne możemy sprowadzić do zer, co prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których przełożenia na język potoczny żaden człowiek nie zrozumie od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszym prof. matematyki kończąc.

1.10 Algebra Boole’a w służbie techniki

Jako przybysz ze świata techniki udowodnię teraz jak piękna jest symboliczna algebra Boole’a totalnie izolowana od tabel zero-jedynkowych w której nie ma ani jednego zera, bowiem myślimy tu symbolicznie w naturalnej logice człowieka gdzie wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek.

Weźmy typowe zdanie w laboratorium techniki cyfrowej.
Kod:

S4 Schemat 4
                                          C
                                    ---o__|__o----
                                    |            |
             S                      |     A      |
       -------------          B     |  _______   |
  -----| Żarówka   |-------o__|__o-----o     o----
  |    -------------                             |
  |                                              |
______                                           |
 ___    U (źródło napięcia)                      |
  |                                              |
  |                                              |
  ------------------------------------------------

A - przycisk normalnie rozwarty
B, C - przyciski normalnie zwarte
S - żarówka
Polecenie:
Odpowiedz na dwa fundamentalne pytania:
1.
Kiedy żarówka S się świeci (S=1)?
2.
Kiedy żarówka S się nie świeci (~S=1)?

Rozwiązanie na gruncie algebry Kubusia:
1.
Przyjmujemy standard zgodny z naturalną logiką człowieka (przeciwny matematycznie tez byłby dobry, ale trudniejszy):
A=1 - prawdą jest (=1) że przycisk A jest wciśnięty (A)
~B=1 - prawdą jest (=1) że przycisk B nie jest wciśnięty (~B)
~C=1 - prawdą jest (=1) że przycisk C nie jest wciśnięty (~C)
Doskonale tu widać, ze w logice jedynek wszystkie przyciski ustawiamy na „zwarcie”

Rozwiązanie:
1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
S=~B*(A+~C)
Logika jedynek obowiązuje dla równań alternatywno-koniunkcyjnych, stąd wymnażamy:
S=~B*A + ~B*~C
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> ~B=1 i A=1 lub ~B=1 i ~C=1
Czytamy:
Żarówka świeci (S=1) wtedy i tylko wtedy, gdy nie wciśnięty B (~B=1) i wciśnięty A (A=1) lub nie wciśnięty B (~B=1) i nie wciśnięty C (~C=1)
2.
Kiedy żarówka się nie świeci (~S=1)?
Przechodzimy z 1 do logiki ujemnej (bo ~S) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~S = B + ~A*C
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> B=1 lub ~A=1 i C=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci (~S=1) wtedy i tylko wtedy, gdy wciśnięty B (B=1) lub nie wciśnięty A (~A=1) i wciśnięty C (C=1)

Na tym przykładzie doskonale widać, że rozwiązanie tego prościutkiego zadania w technice zero-jedynkowej byłoby prawdziwym horrorem.
Jak kto nie wierzy, to może spróbować.

Zauważmy, że w algebrze Kubusia będziemy tu mieli trywialne zadanie bez względu na ilość zmiennych oraz bez względu jakie przyciski będziemy tu używać „normalnie włączone” czy też „normalnie wyłączone” - w rozwiązaniu praktycznym przyciski tu użyte mogą na przykład sterować ruchomymi elementami windy itp.
W dniu dzisiejszym sterowanie układu przy pomocy bramek logicznych nie ma już sensu bowiem potężne jednoukładowe mikrokontrolery kosztują dosłownie grosze.
Przykład to moduły Arduino.

1.11 Logika dodatnia w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) widziana oczami 5-cio latka!

To jest po prostu przerażające, że ziemscy matematycy nie odróżniają operatora OR(|+) od spójnika „lub”(+) z języka potocznego człowieka, jak również nie odróżniają operatora AND(|*) od spójnika „i”(*) z języka potocznego człowieka.
Winę za ten stan rzeczy ponosi potwornie śmierdzące gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Miejmy nadzieję, że czytając niniejszy punkt ziemscy matematycy nie będą zasłaniać się gówno-dogmatem z poniższego cytatu:
[link widoczny dla zalogowanych]
mimuw napisał:

Twierdzenia matematyczne uważane są za prawdziwe, albowiem w niczyim interesie nie leży, by uważać je za fałszywe.
Monteskiusz

Co w przełożeniu na fundament wszelkich logik „matematycznych” ziemskich matematyków brzmi:
Klasyczny Rachunek Zdań uważany jest za prawdziwy, albowiem w niczyim interesie nie leży by uważać go za fałszywy.

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock


Trzęsienie ziemi to fakt, iż w niniejszym poście wojska 5-cio latków pod dowództwem Kubusia roznoszą w puch gówno-logikę ziemskich matematyków zwaną Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

I.
Operator OR(|+) w języku potocznym:


Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie ABC (Y) dwustronnie:
D.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Definicja operatora logicznego OR(|+):
Operator logiczny OR(|+) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Operator OR(|+):
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
##
spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p+q
#
spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
Operator OR(|+) ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q


II.
Operator AND(|*) w języku potocznym:


Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
A:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie A (Y) dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych:
K=p
T=q
stąd:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
minimalizujemy funkcję logiczną ~Y:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p + (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
cnd


Definicja operatora logicznego AND(|+):
Operator logiczny AND(|*) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Operator AND(|*):
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
##
spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p*q
#
spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
Operator AND(|*) ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q

Podsumowanie:
Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*):

Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q

###

Operator AND(|*) to układ równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Definicja znaczka różne na mocy definicji operatorowych ###:
Znaczek różne na mocy definicji operatorowych ### oznacza, że między układami związanymi tym znaczkiem nie zachodzą absolutnie żadne związki matematyczne tzn. wykluczone są jakiekolwiek tożsamości logiczne jak również wykluczone jest aby jedna strona znaczka ### była negacją drugiej strony #.

1.11.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

1.11.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym

Definicja logiki ujemnej w języku potocznym:
W logice ujemnej w języku potocznym kodowanie wszelkich zmiennych binarnych jest przeciwne do kodowania w logice dodatniej.

Przykład kodowania zdania pani przedszkolanki w logice ujemnej.

Przykład kodowania w logice ujemnej:
K=1 - nie idziemy do kina
~K=1 - idziemy do kina
T=1 - nie idziemy do teatru
~T=1 - idziemy do teatru
Y=1 - pani nie dotrzyma słowa
~Y=1 - pani dotrzyma słowa (~Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC’:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (~K=1) lub do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie wszystko jest tu jak najbardziej w porządku jednak ktoś kto nie wie iż zdanie ABC’ kodowane jest w logice ujemnej nie zrozumie tego kodowania.

W sumie dla trzech zmiennych binarnych Y, K, T możemy ustalić osiem różnych punktów odniesienia.
Łatwo wyobrazić sobie dyskusję ośmiu ludzi z których każdy patrzy na to samo zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru

… z innego punktu odniesienia - będzie to po prostu jeden kociokwik niezrozumiały dla postronnych widzów.

Ten fakt opisałem już 35 lat temu w moich podręcznikach do nauki techniki mikroprocesorowej podając twierdzenie ogólne.

Twierdzenie o ilości możliwych punktów odniesienia:
W równaniu logicznym n-zmiennych binarnych możliwych jest 2^n różnych punktów odniesienia
Gdzie:
2^n = 2 do potęgi n

Dla trzech zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^3 =8
Dla 8 zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^8 = 256

Wniosek:
Jedynym sensownym punktem odniesienia w języku potocznym jest logika dodatnia o definicji:

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

1.11.3 Logika dodatnia vs logika ujemna!

Przykład z techniki cyfrowej:
Definicja operatora OR(|+) w logice dodatniej (bramka SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana:
Y = ~(~p+~q)
Gdzie w technice TTL 1 i 0 to poziomy napięć:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Zauważmy że nieprzypadkowo pionier układów TTL firma Texas Instruments obok wzorku:
Y=A+B
Y= ~(~A*~B) - na mocy prawa De Morgana
pisze:
pisitive logic = logika dodatnia.

UWAGA!
Przyjęcie logiki ujemnej dla dokładnie tej samej bramki logicznej SN7432 to przypisanie do symboli logicznych 1 i 0 napięć odwrotnych:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Wtedy mamy:
Bramka logiczna OR(|+) SN7432 w logice dodatniej:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q

Dokładnie ta sama, fizyczna bramka SN7432 widziana w logice ujemnej to:
1: ~Y=~p+~q
2: Y = p*q
bowiem w logice ujemnej wszystkie poziomy napięć są odwrotne.

Wniosek:
Dokładnie ta sama bramka logiczna OR(|+) typu SN7432 w logice ujemnej jest fizyczną realizacją bramki AND(|*)!
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Tu Texas Instruments musiałby napisać:
Y=p*q
Y = ~(~p+~q) - na mocy prawa De Morgana
negative logic = logika ujemna
Gdzie:
Logika ujemna oznacza tu odwrotne przypisanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Doskonale tu widać, dlaczego w jednym rozumowaniu logicznym nie wolno mieszać logiki dodatniej i ujemnej.
Zauważmy bowiem że bramka AND(|*) SN7408 w logice dodatniej opisana jest układem równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Karta katalogowa fizycznej bramki AND(|*) SN7408 jest tu taka:
[link widoczny dla zalogowanych]
Opis bramki AND(|*) w katalogu TI jest następujący:
Y=p*q
Y=~(~p+~q) - prawo De Morgana
Tu obok powyższych wzorków firma Texas Instruments pisze:
Positive logic = logika dodatnia
co oznacza następujące przyporządkowanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Jest oczywistym, że jeśli w jednym rozumowaniu logicznym będziemy mieszać logikę dodatnią z logiką ujemną to wyjdą nam potworne głupoty, czyli że zaprojektowany układ nie ma prawa działać poprawnie.

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Przedziały napięć w układzie logicznym
Ze względu na różne czynniki, takie jak wahania napięcia zasilającego, zakłócenia zewnętrzne, rozrzut parametrów itp., sygnały przetwarzane w układach cyfrowych nie mają ściśle określonych wartości, stąd też liczby przypisuje się nie wartościom napięć, ale przedziałom napięć.

W układach logicznych, gdzie są zdefiniowane tylko dwie wartości liczbowe, rozróżnia się dwa przedziały napięć: wysoki (ozn. H, z ang. high) i niski (ozn. L, z ang. low); pomiędzy nimi jest przerwa, dla której nie określa się wartości liczbowej – jeśli napięcie przyjmie wartość z tego przedziału, to stan logiczny układu jest nieokreślony.

Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwanej pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (lub negatywną).


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 17:43, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 5:48, 16 Lip 2020    Temat postu:

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów



Spis treści
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.1.1 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 2
2.2 Zbiór wszystkich zbiorów 3
2.2.1 Nazwa własna zbioru 4
2.3 Dziedzina 4
2.3.1 Zaprzeczenie zbioru 4
2.3.2 Dziedzina minimalna 5
2.3.3 Definicja znaczka różne # 6




2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2]+[2,3]=[1,2,3] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
r=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2]*[2,3]=[2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2]*[3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2]-[2] =[1] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[2]-[1,2]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty


2.1.1 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną pojęć lub zbiorów (+).

Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywnie:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór pusty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.2 Zbiór wszystkich zbiorów

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne


2.2.1 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]


2.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

2.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
p=[1] - definiujemy zbiór p
D=[1,2] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[2]

2.3.2 Dziedzina minimalna

Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji

Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla „psa” P=[pies] to zbiór wszystkich zwierząt - przypadek A.

Przykład:
Kod:

------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn  | K - zbiór kobiet |
| M=~K                | K=~M             |
|                     |                  |
------------------------------------------
|         Dziedzina: C (człowiek)        |
|         Zbiór wszystkich ludzi         |
|                   C=M+K                |
------------------------------------------

Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie nie mężczyzna (~M) byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd

2.3.3 Definicja znaczka różne #

Nawiązując do przykładu wyżej matematycznie zachodzi też:
M=~K # K=~M

Definicja znaczka różne #:
Dwa pojęcia (zbiory) są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy”
M =~(K) = ~(~M) =M
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:49, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 12 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 5:49, 16 Lip 2020    Temat postu:

3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń


Spis treści
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
3.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
3.1.2 Prawa Kobry, Pytona i Zaskrońca dla zbiorów 3
3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
3.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
3.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 5
3.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
3.4 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcie układu 8
3.5 Badanie dziedziny fizycznej w przykładach 9
3.5.1 Dziedzina fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q 9
3.5.2 Dziedzina fizyczna w implikacji prostej p|=>q 13
3.6 Teoria ogólna równoważności 17
3.6.1 Dziedzina fizyczna w równoważności p<=>q 18
3.6.2 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 20
3.6.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 21
3.7 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 23
3.8 Definicja operatora implikacyjnego 27
3.8.1 Zasady tworzenia definicji symbolicznej operatora implikacyjnego 28




3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.1.2 Prawa Kobry, Pytona i Zaskrońca dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Prawo Pytona dla zbiorów:
Dla dowolnego zdania „Jeśli p to q” nie ma sensu iterowane po elementach spoza dziedziny minimalnej definiowanej treścią zdania „Jeśli p to q” bowiem na mocy prawa Kobry wszystkie takie zdania będą na 100% fałszywe.

Prawo Zaskrońca:
W dowolnym prawie logiki matematycznej dziedzina musi być wspólna i minimalna

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzie w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B4: SK=>TP) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
Twierdzenia proste Pitagorasa A1: TP=>SK oraz twierdzenie odwrotne Pitagorasa B4: SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, stąd ta równoważność jest prawdziwa.

Weźmy prawo kontrapozycji wynikłe z równoważności Pitagorasa:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Na mocy prawa Zaskrońca dziedzina dla zdań związanych tożsamością logiczną musi być wspólna i minimalna, zdefiniowana treścią zdania.
Dla twierdzenia Pitagorasa dziedziną minimalną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja dziedziny:
TP+~TP =1 - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP=[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne

Zauważmy że:
Nie ma podręcznika matematyki, gdzie przy omawianiu twierdzenia Pitagorasa przyjęta byłaby dziedzina szersza niż zbiór wszystkich trójkątów (ZWT).
Wynika z tego, że wszyscy ziemscy matematycy doskonale znają i stosują w praktyce prawo Zaskrońca, tylko o tym nie wiedzą.

3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


3.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  0
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego linie definiujące znaczki =>, ~> i „lub”(+) można dowolnie przestawiać, matematycznie to bez znaczenia.

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q = p<=>q =0 - zbiory (pojęcia) są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
p##q <=> p=q = p<=>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Weźmy prawo Kubusia odczytane z tabeli B.
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony.

3.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji


3.4 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcie układu

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Właściwości dziedziny matematycznej:
1
Zdarzenia ABCD są rozłączne:
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C =(p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
itd.
2.
W dziedzinie matematycznej wszystkie cztery zdarzenia są rozłączne i uzupełniają się do dziedziny.
Dowód:
D = p*q+p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

3.5 Badanie dziedziny fizycznej w przykładach

Rozważymy badanie dziedziny fizycznej w trzech przykładach:
- implikacji odwrotnej CH~>P
- implikacji prostej P|=>CH
- równoważności A<=>S

3.5.1 Dziedzina fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Przykład:
Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli są chmury to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =?
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „chmurką” i „deszczem”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „chmurki” i „deszczu” korzystając z historii meteorologii na naszej planecie.

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Rozwiązanie:
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „chmurki” i „deszczu”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „chmurką” i „deszczem”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Kod:

T1.
Zdjęcie chmurki vs deszcz
A: CH~~> P = CH* P =1 - Jeśli są chmury to może ~~> padać
B: CH~~>~P = CH*~P =1 - Jeśli są chmury to może ~~> nie padać
C:~CH~~>~P =~CH*~P =1 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> nie padać
D:~CH~~> P =~CH* P =0 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> padać  (fałsz)
                        Nigdy w historii nie zanotowano takiego przypadku

Dziedzina matematyczna DM dla pojęć „chmurka” i „deszcz” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: CH*P + B: CH*~P + C: ~CH*~P + D: ~CH*P = CH*(P+~P) + ~CH*(~P+P) = CH+~CH =1

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna DF to fragment dziedziny matematycznej z rzeczywistym wartościowaniem równym jeden.

Stąd mamy odpowiedź odnośnie dziedziny fizycznej dla pojęć „chmurka” i „deszcz”
DF=A: CH*P + B: CH*~P + C: ~CH*~P

Kluczową definicją w analizie zdjęcia T1 jest definicja kontrprzykładu w zdarzeniach.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~CH~~>P=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~CH=>~P=1
2.
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
C: ~CH=>~P = A: CH~>P =1
Zauważmy, że warunek wystarczający => C wymusza nam warunek konieczny ~> A i odwrotnie.

Stąd mamy końcową tabelę T2.
Kod:

T2.
A: CH~>  P =1 - Jeśli są chmury to może ~> padać
                Chmury są konieczne ~> do tego by padało
LUB
B: CH~~>~P =1 - Jeśli są chmury to może ~~> nie padać, zdarzenie możliwe
… a jeśli nie ma chmur?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C:~CH=>~P
stąd:
C:~CH=>~P  =1 - Jeśli nie ma chmur to na 100% => nie będzie padało
                Brak chmur jest wystarczający => by nie padało
D:~CH~~> P =0 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> padać (fałsz)

Analiza tożsama do tabeli T2 dokładniej rozpisana to seria czterech zdań ABCD z opisem matematycznym.

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to seria czterech zdań ABCD dających odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (zdania A i B)?
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno (zdania C i D)?

1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno?

A.
Jeśli będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> aby padało, bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: CH~>P = C:~CH=>~P
lub
B.
Jeśli będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno?


… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => bez zamiany CH i P:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
Stąd:
C.
Jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie padało (~P=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~CH=>~P=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu D:~CH~~>P=1 (i odwrotnie)
stąd:
D.
Jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: „nie ma chmur” (~CH=1) i „pada” (P=1)

Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej CH|~>P:
1.
Po stronie chmur mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli są chmury to może ~> padać (zdanie A) albo może ~~> nie padać (zdanie B) - trzeciej możliwości nie ma.
Mamy tu ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
2.
Po stronie braku chmur mamy do czynienia z gwarancją matematyczną =>.
Zdanie C daje nam gwarancje matematyczną =>, że jeśli nie ma chmur to na 100% => nie pada
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: CH=>P =0
B1: CH~>P =1
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w równaniu logicznym:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawmy nasz przykład do powyższej tabeli otrzymując wszystkie możliwe związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej A|~>S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji A|~>S
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH =0
##
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Łatwo udowodnić, że seria zdań Bx jest prawdziwa, zaś seria zdań Ax jest fałszywa.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T2 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji CH|~>P:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0   [=] 3: P~>CH  =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: CH~~>~P=1                 [=]                4:~P~~>CH =1                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1   [=] 3: P=>CH  =1 = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~CH~~>P=0   [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: CH=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~CH=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że w obszarze AB12 mamy wszystkie cztery zdania ABCD które użyliśmy w naszej analizie operatora implikacji odwrotnej CH|~>P nie znając teorii matematycznej, czyli nie znając tabeli T3.
Wynika z tego, że nasz mózg podlega pod algebrę Kubusia i nie mamy żadnych szans, by się od niej uwolnić.

3.5.2 Dziedzina fizyczna w implikacji prostej p|=>q

Przykład:
Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli pada to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „deszczem” i „chmurką”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „deszczu” i „chmurki” korzystając z historii meteorologii na naszej planecie.

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Rozwiązanie:
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „deszczu” i „chmurki”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „deszczem” i „chmurką”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Kod:

T1.
A: P~~> CH = P* CH =1 - Jeśli pada to może ~~> być pochmurno
B: P~~>~CH = P*~CH =0 - Jeśli pada to może ~~> nie być pochmurno
                        Nigdy w historii nie zanotowano takiego przypadku
C:~P~~>~CH =~P*~CH =1 - Jeśli nie pada to może ~~> nie być pochurno
D:~P~~> CH =~P* CH =1 - Jeśli nie pada to może ~~> być pochmurno

Dziedzina matematyczna DM dla pojęć „deszcz” i „chmurka” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH = P*(CH+~CH) + ~P*(~CH+CH) = P+~P =1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej DF:
Dziedzina fizyczna to fragment dziedziny matematycznej z rzeczywistym wartościowaniem równym jeden.

Stąd mamy odpowiedź odnośnie dziedziny fizycznej dla pojęć „śnieg” i „chmurka”
DF=A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH

Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: P~~>~CH=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: P=>CH =1
2.
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
A: P=>CH = C: ~P~>~CH =1
Zauważmy, że warunek wystarczający => A wymusza nam warunek konieczny ~> C i odwrotnie.

Stąd mamy końcową tabelę T2.
Kod:

T2.
A: P=> CH = P* CH=1 - Jeśli pada to na 100% => jest pochmrno
                      Padanie wystarcza => by było pochmurno
B: P~~>~CH= P*~CH=0 - Jeśli pada to może ~~> nie być pochmurno
                      Kontrprzykład dla A musi być fałszem
.. a jeśli nie pada?
Prawo Kubusia:
A: P=>CH = C:~P~>~CH
C:~P~>~CH =~P*~CH=1 - Jeśli nie pada to może ~> nie być pochmurno
                      Brak padania jest konieczny ~> by nie było pochmurno
lub
D:~P~~> CH=~P* CH=1 - Jeśli nie pada to może ~~> być pochmurno
                      Możliwe jest zdarzenie: nie pada i są chmury


Analiza tożsama do tabeli T2 dokładniej rozpisana to seria czterech zdań ABCD z opisem matematycznym.

Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to seria czterech zdań ABCD dających odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie padało (zdania A i B)?
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padało (zdania C i D)?

1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie padało (P=1)?

A.
Jeśli będzie padało (P=1) to na 100% będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego, by było pochmurno
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B: P~~>~CH=0 (i odwrotnie)
B.
Jeśli będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH =P*~CH =0
Nigdy w historii meteorologii nie zanotowano takiego przypadku

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padało (~P=1)?


.. a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
A: P=>CH = C: ~P~>~CH
C.
Jeśli nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
lub
D.
Jeśli nie będzie padało (~P=1) to może ~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada i jest pochmurno

Cechy charakterystyczne implikacji prostej P|=>CH:
1.
Po stronie padającego deszczu (P) mamy do czynienia z gwarancją matematyczną =>
Zdanie A daje nam gwarancje matematyczną =>, że jeśli pada to na 100% => jest pochmurno
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
2.
Po stronie nie padania (~P) mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli nie pada to może ~> nie być pochmurno (zdanie C) albo może ~~> być pochmurno (zdanie D) - trzeciej możliwości nie ma.
Mamy tu ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Definicja implikacji prostej P|=>CH w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1
B1: P~>CH =0
Stąd mamy definicje implikacji prostej P|=>CH w równaniu logicznym:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawmy nasz przykład do powyższej tabeli otrzymując wszystkie możliwe związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej A|~>P
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji P|=>CH:
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P =1
##
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Łatwo widać, że seria zdań Ax jest prawdziwa, zaś seria zdań Bx jest fałszywa.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T2 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji CH|~>P:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1   [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: P~~>~CH=0                 [=]                4:~CH~~>P =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0   [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~P~~>CH=1   [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P=>~CH=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że w obszarze AB12 mamy wszystkie cztery zdania ABCD które użyliśmy w naszej analizie operatora implikacji prostej P|=>CH nie znając teorii matematycznej, czyli nie znając tabeli T3.
Wynika z tego, że nasz mózg podlega pod algebrę Kubusia i nie mamy żadnych szans, by się od niej uwolnić.

3.6 Teoria ogólna równoważności

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony q#~q
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora równoważności p|<=>q (dla I i II):
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania:
1
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
I. p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
II. ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~p=~q

Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności to:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)

3.6.1 Dziedzina fizyczna w równoważności p<=>q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Przykład:
Dany jest najprostszy obwód elektryczny sterowania żarówką:
Kod:

S1 Schemat 1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~~> się świecić
A~~>S = A*S =?
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „przyciskiem A” i „żarówką S”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: schemat elektryczny S1
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje między „przyciskiem A” i „żarówką S” na podstawie schematu S1.

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Rozwiązanie:
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w relacji „przycisk A” i „żarówka S”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „przyciskiem A” i „żarówką S”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: schemat elektryczny S1
Kod:

T1
A: A~~> S= A* S=1 - jest możliwy ~~> (=1) przypadek:
                    przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka świeci (S=1)
B: A~~>~S= A*~S=0 - nie jest możliwy ~~> (=0) przypadek:
                    przycisk A wciśnięty i żarówka nie świeci (~S=1)
C:~A~~>~S=~A*~S=1 - jest możliwy ~~> (=1) przypadek: przycisk A
                    nie wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
D:~A~~> S=~A* S=0 - nie jest możliwy ~~> (=0) przypadek: przycisk A
                    nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)

Dziedzina matematyczna DM dla pojęć „przycisk A” i „żarówka S” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: A*S + B: A*~S + C:~A*~S+ D: ~A*S = A*(S+~S) + ~A*(~S+S) = A+~A =1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej DF:
Dziedzina fizyczna DF to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Stąd:
Dziedzina fizyczna dla schematu S1 to:
DF=A: A*S + C:~A*~S

Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: A~~>~S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: A=>S =1
2.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~A~~>S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~A=>~S =1
Stąd mamy końcową tabelę T2.
Kod:

T2
A: A=> S =1 - Wciśniecie A jest wystarczające => dla świecenia S
B: A~~>~S=0 - Kontrprzykład B dla zdania A musi być fałszem
C:~A=>~S =1 - Nie wciśniecie A jest wystarczające => dla nie świecenia S
D:~A~~>S =0 - Kontrprzykład D dla zdania C musi być fałszem

Definicja aksjomatyczna równoważności:
A<=>S = (A: A=>S)*(C: ~A=>~S) =1*1 =1
Dla C stosujemy prawo Kubusia:
~A=>~S = A~>S

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Przeszliśmy tu na standardowe indeksy A1, B1 związane z tabelą matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> co matematycznie jest bez znaczenia.

3.6.2 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Dowód w poprzednim punkcie.
Stąd:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =1
Podstawmy to do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności p<=>q:
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności A<=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
       A=S      #   ~A=~S         #     S=A      #   ~S=~A
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony S#~S
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

3.6.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
A=S
Zdarzenie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

1.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~A=~S
Zdarzenie „klawisz A nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?

III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
S=A
Zdarzenie „żarówka S świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
S<=>A = A*S+~A*~S

2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?

IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~S=~A
Zdarzenie „żarówka S nie świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A nie wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>A = A*S+~A*~S

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV

Zauważmy, że tu również teoria równoważności zapisana w tabeli T3 perfekcyjnie pasuje do fizycznej realizacji równoważności A<=>S, czyli do schematu S1.

3.7 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna

Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu

Analiza podstawowa zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:

Operator implikacyjny to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada”

Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień.
Zauważmy, że:
W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera.
Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze.
Czyli:
A: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie A: CH*P =1 to zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0
i odwrotnie:
B: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie B: CH*~P=1 to zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0
Stąd mamy:

Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej:
Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi.
Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu

Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B.

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?


.. a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie padało (~P)
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero
Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności.

Definicja twardej prawdy:
Jeśli p to q
Z twardą prawdą mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Przykład to zdanie C wyżej.
Koniec analizy podstawowej.

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Stąd mamy tabelę zdarzeń możliwych które mogą zajść jutro:
Kod:

T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zauważmy, że:
1.
Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie.
Wniosek:
Zdarzenie D to fałsz absolutny który nie ma szans stać się prawdą (jakąkolwiek prawdą)
2.
Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie.
Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC:
A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0
A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0
B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0
3.
Z powyższego wynika, że:
Jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych A, B lub C (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym.
W tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu.
Żadna logika matematyczna nie ma prawa zmienić zaistniałego faktu.

Przykładowo:
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie:
CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało
W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym.

Dowód:
Z założenia wiemy że:
CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak:
Kod:

T2
A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało
C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie.
Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka była pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie.
Tylko i wyłącznie dla mieszkańców spoza Warszawy, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i jest sensowna.
Innymi słowy:
Jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika dalej działa w postaci identycznej serii zdań jak w naszej analizie podstawowej, tylko w zdaniach zapisanych w czasie przeszłym.

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz.

Przykład:
Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.

Definicja fałszu absolutnego:
Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą
W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć.

Zauważmy, że w czasie przyszłym (lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu) zdanie C jest twardą prawdą.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Innymi słowy:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało.
~CH=>~P =1 - twarda prawda
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
To samo zdanie w czasie przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu:
C1.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na 100% => nie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania

Jak widzimy z naszego przykładu twarda prawda w czasie przyszłym może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym gdy zajdzie jedna z miękkich jedynek, w naszym przykładzie gdy zajdzie zdarzenie B.

Jak powyższe rozważania udowodnić matematycznie?
Mamy naszą tabelę prawdy T1 opisująca naszą rzeczywistość w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy faktów.
Kod:

T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.

Dowód czysto matematyczny naszych rozważań to po prostu iloczyn logiczny zaistniałego faktu CH*~P w każdej z linii ABCD.
Kod:

T3
Tabela prawdy dla zaistniałego zdarzenia CH*~P
A: CH~~> P=( CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
B: CH~~>~P=( CH*~P)*( CH*~P)=1 - prawda absolutna
C:~CH~~>~P=(~CH*~P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
D:~CH~~> P=(~CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny

Czytamy:
A.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny
B.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało?
TAK - prawda absolutna
C.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i nie padało?
NIE - fałsz absolutny
D.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny

Podsumowując:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Prawda ta może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym.
Kontrprzykład D dla prawdziwego warunku wystarczającego C musi być fałszem.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)

Zauważmy że:
1.
Twarda prawda w czasie przyszłym (zdanie C) może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym (tabela T3, zdanie C)
2.
Twardy fałsz w czasie przyszłym (zdanie D) nie może przejść w twardą prawdę w czasie przeszłym, bowiem niemożliwe jest (=0) zajście zdarzenia D w czasie od minus do plus nieskończoności.


3.8 Definicja operatora implikacyjnego

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12             |     AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, dająca odpowiedź na następujący zestaw pytań:

Dla zdania „Jeśli p to q” zadajemy dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
Tabela AB12:
1. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

W zdaniu „Jeśli p to q” zamieniamy p i q.
Dla zdania „Jeśli q to p” zadajemy kolejne dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
Tabela AB34:
3. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
4. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?

3.8.1 Zasady tworzenia definicji symbolicznej operatora implikacyjnego

Zasady tworzenia definicji symbolicznej:
1.
W tabeli T1 zdania warunkowe fałszywe zapisujemy wtedy i tylko wtedy gdy nie da się danego miejsca uzupełnić zdaniem prawdziwym.
2.
Jeśli na danej pozycji mamy do wyboru jednocześnie spełniony warunek wystarczający => i konieczny ~> co może się zdarzyć wyłącznie w równoważności definiującej tożsamość zbiorów (zdarzeń) p=q, to zawsze wybieramy warunek wystarczający =>.
Uzasadnienie:
Warunek wystarczający => daje nam gwarancję matematyczną =>, iż jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q w całym obszarze logiki matematycznej, natomiast warunek konieczny ~> daje identyczną gwarancję wyłącznie dla zbiorów (zdarzeń) tożsamych p=q.
Dokładnie z tego powodu spójnik warunku wystarczającego => jest w logice matematycznej spójnikiem domyślnym.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:50, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 5:51, 16 Lip 2020    Temat postu:

4.0 Operator równoważności p|<=>q



Spis treści
4.0 Równoważność p<=>q 1
4.1 Teoria zbiorów i zdarzeń dla potrzeb logiki matematycznej 1
4.1.1 Teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej 1
4.1.2 Teoria zdarzeń dla potrzeb logiki matematycznej 2
4.1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>j 3
4.2 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 4
4.3 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q 6
4.3.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 6
4.3.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q 7
4.3.3 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 8
4.3.4 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q 9
4.4 Operatory równoważności 12
4.4.1 Operator równoważności p|<=>q 13
4.4.2 Operator równoważności q|<=>p 13
4.5 Tożsamość logiczna w równoważności 14
4.5.1 Definicja matematycznej poprawności definicji 16
4.6 Tożsamości równoważnościowe 17
4.6.1 Tożsamość równoważnościowa dla zbiorów 17
4.6.2 Tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń 20



4.0 Równoważność p<=>q

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

4.1 Teoria zbiorów i zdarzeń dla potrzeb logiki matematycznej

4.1.1 Teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Teoria zdarzeń dla potrzeb logiki matematycznej

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>j

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

4.2 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Zauważmy, że identycznie będziemy mieli dla zdarzeń:
Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.3 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q

Trzy najważniejsze definicje równoważności w logice matematycznej to:
1.
Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
2.
Matematyczna definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
3.
Aksjomatyczna definicja równoważności (generująca tabelę zero-jedynkową równoważności)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)

4.3.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q

Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
p<=>q = p*q+~p*~q

Zauważmy, że argumenty w równoważności są przemienne:
p<=>q = p*q+~p*~q [=] q<=>p = q*p + ~q*~p
bowiem iloczyn logiczny „i”(*) jest przemienny

W logice matematycznej zachodzą tożsamości nazw:
p=>q - warunek wystarczający => zwany także dostatecznym =>
p~>q - warunek konieczny ~> zwany także warunkiem potrzebnym ~>

W praktyce języka potocznego najczęściej korzystamy z podstawowej definicji równoważności.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarczy”
Wyników: 5 380
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 910
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 140
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 160

Przykład:
Równoważność dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Równoważność tożsama:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów

4.3.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste prawdziwe
##
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne prawdziwe
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
W matematyce najczęściej korzystamy z matematycznej definicji równoważności co nie oznacza, że nie wolno nam skorzystać z dowolnej z 16 tożsamych definicji równoważności.

Przykład:
Równoważność dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, stąd ta równoważność jest prawdziwa

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (~p+q)*(~q+p) = ~p*~q + ~p*p + q*~q + q*p
p<=>q = p*q+~p*~q
Zauważmy, że równoważność matematyczna definiuje de facto tożsamość zbiorów p=q.

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q:
p=>q =1
oraz
Każdy element zbioru q należy => do zbioru p:
q=>p =1
Stąd:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Stąd mamy matematycznie użyteczną definicję tożsamości matematycznej p=q oraz kluczową definicję znaczka różne na mocy definicji ##:

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q = p<=>q =0 - zbiory (pojęcia) są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
p##q <=> p=q = p<=>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład:
A1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p=>q = ~p+q
##
B1.
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowód:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Kiedy równoważność p<=>q jest prawdziwa?
Odpowiedź:
Równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy w wyniku mamy jedynkę:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =?
Dla p=q mamy:
p<=>p = (p=>p)*(p~>p) = (~p+p)*(p+~p) =1*1 =1

4.3.3 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach

Stąd mamy:

Tożsama definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Zauważmy, że wyłącznie dla zbiorów tożsamych p=q zachodzi jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dowód:
Definicja podzbioru =>:
Podzbiór to dowolna część danego zbioru
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja nadzbioru ~>:
Nadzbiór - dla danego zbioru każdy zbiór zawierający ten zbiór
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Istotne zastrzeżenie:
W równoważności p<=>q dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q co jest warunkiem koniecznym i wystarczającym rozpoznawalności wszystkich pojęć p, q, ~p i ~q.

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Równoważność tożsama:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
Dziedziną minimalną jest tu:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd dla TP=SK mamy:
Dziedzina ZWT=TP+~TP jest szersza do sumy zbiorów TP+SK = TP dzięki czemu rozpoznawalne są wszystkie zmienne TP, SK, ~TP, ~SK
~TP=[ZWT-TP]
~SK=[ZWT-SK]

4.3.4 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q

Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Aksjomatyczna definicja równoważności:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q

Przykład:
Równoważność dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B2:~TP=>~SK) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
p<=>q = p*q+~p*~q

Tabela zero-jedynkowa definicji równoważności wynika bezpośrednio z aksjomatycznej definicji równoważności.

Dowód:
Analiza symboliczna aksjomatycznej definicji równoważności.

Na mocy tabeli symbolicznej T2 mamy:
RA1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
stąd mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (~q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q =0
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście p i ~q

Z tabeli T2 odczytujemy też aksjomatyczną definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
RB2: ~p<=>~q = (B2: ~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście ~p i q

Cecha charakterystyczna równoważności:
Równoważność p<=>q to jedyny spójnik logiczny gdzie mamy gwarancję matematyczną => zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

Równoważność to jedyny sensowny spójnik logiczny w świecie techniki, tylko i wyłącznie dzięki niemu działają wszelkie urządzenia techniczne od lodówki poczynając na komputerach i promie kosmicznym kończąc.
Dlaczego?
W operatorach implikacji prostej p|=>q, odwrotnej p|~>q i chaosu p|~~>q które niebawem poznamy mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” które wyklucza zastosowanie tych operatorów w świecie techniki.

Zakodujmy powyższą analizę w punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RA1: p<=>q
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja    |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna  |Jedynek oznacza   |RA1: p<=>q        |
RA: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A: p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
B: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
RC:~p<=>~q   |                  |                  |
C: ~p=>~q=1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
D:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
  a    b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                | Prawa Prosiaczka |
                                | (~p=1)=(p=0)     |
                                | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko „równoważnością” p<=>q

Kodowanie tabeli symbolicznej T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RB2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q, by uzyskać końcową tabelę zero-jedynkowa 123.
Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T4.
Definicja    |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna  |Jedynek oznacza   |RB2: ~p<=>~q      |
RA: p<=>q    |                  |                  |~p  ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0   =1
B: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1   =0
RC:~p<=>~q   |                  |                  |
C: ~p=>~q=1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=> 1   =1
D:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0   =0
  a    b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                | Prawa Prosiaczka |
                                | (p=1)=(~p=0)     |
                                | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko „równoważnością” ~p<=>~q

Zauważmy, że w tabelach T3 i T4 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

4.4 Operatory równoważności

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów ~~>. Kontrprzykłady dotyczą wyłącznie warunku wystarczającego.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



4.4.1 Operator równoważności p|<=>q

Obszar AB12:

Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

I.
Kiedy zajdzie p (p=1)?

p (p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) q
p=q
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q +~p*~q

II.
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?

Nie p (~p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) ~p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~q
~p=~q
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q = p*q +~p*~q

4.4.2 Operator równoważności q|<=>p

Obszar AB34:

Operator równoważności q|<=>p to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

III.
Kiedy zajdzie q (q=1)?

q (q=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1)
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) q jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) p
q=p
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
q<=>p = p*q +~p*~q

IV.
Kiedy zajdzie ~q (~q=1)?

Nie q (~q=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1)
~q<=>~p = (A4:~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) ~q jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~p
~q=~p
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~q<=>~p = p*q +~p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna równoważności I, II, III i IV
I. p<=>q = II. ~p<=>~q = III. q<=>p = IV. ~q<=>~p = p*q + ~p*~q


4.5 Tożsamość logiczna w równoważności

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

W języku potocznym zachodzi matematyczna tożsamość:
Równoważność p<=>q = spójnik równoważności p<=>q

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Z tabeli T2 odczytujemy

AB12:
Definicja operatora równoważności p|<=>q:

Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź spójnikiem równoważności p<=>q na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
I.
Równoważność dla p (p=1):

Zajdzie p (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q
Zbiór (pojęcie) p jest matematycznie tożsamy ze zbiorem (pojęciem) q

2.
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?
II.
Równoważność dla ~p (~p=1):

Zajdzie ~p (~p=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~p=~q
Zbiór (pojęcie) ~p jest matematycznie tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~q

Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego zachodzi tożsamość logiczna:
p<=>q = ~p<=>~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Jak widać tożsamość logiczna to co innego niż tożsamość matematyczna.
Z faktu że zachodzi tożsamość logiczna:
p<=>q = ~p<=>~q
Nie wynika że zbiór (pojęcie) p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) pojęciem ~p

Podsumowanie:
Kod:

Równoważność dla p:            |   Równoważność dla ~p:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)   [=] ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
p=q                            #  ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Znaczek różne # w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony jest tożsamy z definicją spójnika „albo”($).
Definicja spójnika „albo”($):
a$b = a*~b + ~a*b
Podstawmy z naszej równoważności:
a=p
b=~p
Stąd mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~(p)*~p = p*p+~p~p=p+~p =1
cnd
Stąd mamy:
p#~p = p$~p
Oczywiście równoważność a<=>b definiująca tożsamość zbiorów a=b musi tu być fałszywa.
Sprawdzenie:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
a<=>b = a*b + ~a*~b
Podstawmy z naszej równoważności:
a=p
b=~p
stąd mamy:
p<=>~p = p*~p + ~(p)*~(~p) = p*~p + ~p*p =0+0 =0
cnd

Spełniona jest definicja dziedziny dla p i q:
p+~p =D =1 - zdarzenia (zbiory) uzupełniają się wzajemnie do dziedziny
p*~p =[] =0 - zdarzenia (zbiory) p i ~p są rozłączne
Matematycznie zachodzi:
q=p # ~q=~p - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie nie p (~p) = prawdą jest że zajdzie p (p)
~(~p) =p

4.5.1 Definicja matematycznej poprawności definicji

Zauważmy, że równoważność dla p (p<=>q) definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q, zaś równoważność dla ~p (~p<=>~q) definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) dla ~p=~q.
Nie jest zatem prawdą, że jedna z tych równoważności jest zbędna bowiem matematycznie zachodzi:
Zbiór (pojęcie) p jest różne na mocy definicji ## od zbioru (pojęcia) ~p
p ## ~p

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwa pojęcia p i q są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi miedzy nimi relacja równoważności.
p<=>q = p*q + ~p*~q
Dla q=~p mamy:
p<=>~p = p*~p + ~p*p =0
Stąd:
Pojęcia p i ~p są różne na mocy definicji

Prawo Kruka:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
innymi słowy:
Znamy definicję pojęcia p wtedy i tylko wtedy gdy znamy definicję pojęcia ~p

Definicja poprawności matematycznej definicji:
Dowolna definicja jest poprawna matematycznie wtedy i tylko wtedy gdy jest definicją równoważnościową

Dowód na przykładzie.
Definicja:
Zwierzę szczekające
Ta definicja nie jest jednoznaczna bo szczekać może pies lub wilk
Weźmy kolejna definicję:
Zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
Tu każdy 5-cio latek rozpozna jednoznacznie psa.

Jednoznaczna definicja psa brzmi zatem:
Pies to zwierzą szczekające, przyjaciel człowieka
P=S*PC
Każda tożsamość to równoważność.
Stąd mamy matematyczną definicje psa:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy szczeka i jest przyjacielem człowieka
P<=>S*PC

4.6 Tożsamości równoważnościowe

Rozróżniamy dwa rodzaje tożsamości równoważnościowych:
- tożsamość równoważnościowa dla zbiorów
- tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń

4.6.1 Tożsamość równoważnościowa dla zbiorów

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem ta równoważność jest prawdziwa
Podstawmy równoważność Pitagorasa do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla równoważności:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]               = 4:~SK~~>TP =0                 
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
       TP=SK      #   ~TP=~SK      #     SK=TP      #   ~SK=~TP
         I               II               III              IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 - A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1 -B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

I.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)

II.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~TP=~SK
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)

Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Jak widać tożsamość logiczna to co innego niż tożsamość matematyczna.
Z faktu że zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Nie wynika iż zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem ~TP

Podsumowanie:
Kod:

Równoważność dla                   |  Równoważność dla
trójkątów prostokątnych:           |  trójkątów nieprostokątnych:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
definiująca tożsamość zbiorów:     |  definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK                              #  ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony
| - rozdziela komentarz

Zauważmy, ze znaczek # jest tożsamy z definicją spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawiając:
p=TP
q=~TP
mamy:
Dowolny trójkąt może być prostokąty (TP) „albo”($) nieprostokątny (~TP)
TP$~TP = TP*~(~TP) + ~(TP)*~TP = TP+~TP =1
Wniosek:
Zachodzi tożsamość znaczków:
# = „albo”($)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony

Oczywistym jest, że równoważność TP<=>~TP definiująca tożsamość zbiorów musi być fałszywa.
Sprawdzenie:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=TP
q=~TP
stąd mamy:
TP<=>~TP = TP*~TP + ~(TP)*~(~TP) = TP*~TP + ~TP*TP =0
cnd

Dziedzina minimalna:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dla dziedziny minimalnej zachodzi:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Matematycznie zachodzi:
TP=SK # ~TP=~SK - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Zaprzeczeniem (~) zbioru trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest zbiór trójkątów prostokątnych TP
~(~TP)=TP
Innymi słowy:
Nie jest prawdą (~) że trójkąt x nie jest prostokątny (~TP) = prawdą jest że trójkąt x jest prostokątny (TP)
~(~TP) = TP

4.6.2 Tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń

Rozważmy poniższy schemat sterowania żarówką:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż schemat S1 jest fizyczną realizacją równoważności.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)

Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego a mimo to są to zdania różne na mocy definicji - taki przypadek możliwy jest wyłącznie w równoważności.
O tym z jakim zdaniem mamy w rzeczywistości do czynienia informują nas wyłącznie znaczki => i ~> w zapisie słownym tych zdań.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na mocy rachunku zero-jedynkowego dla układu równoważności A<=>S:
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności A<=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)


Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź spójnikiem równoważności p<=>q na dwa pytania:
1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
A=S
Pojęcie przycisk A jest wciśnięty (A=1) jest tożsame z pojęciem żarówka świeci (S=1)

1.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
~A=~S
Pojęcie przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) jest tożsame z pojęciem żarówka nie świeci (~S=1)

Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S = ~A<=>~S

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Jak widać tożsamość logiczna to co innego niż tożsamość matematyczna.
Z faktu że zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S = ~A<=>~S
Nie wynika że przycisk wciśnięty (A=1) to jest to samo co przycisk nie wciśnięty (~A=1)
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)

Podsumowanie:
Kod:

Równoważność dla A:           [=]  Równoważność dla ~A:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)   [=] ~A<=>~S=(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
A=S                            #  ~A=~S
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Zauważmy, ze znaczek # jest tożsamy z definicją spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawiając:
p=S
q=~S
mamy:
Żarówka może się świecić (S) „albo”($) nie świecić (~S)
S$~S = S*~(~S) + ~(S)*~S = S+~S =1
Wniosek:
Zachodzi tożsamość znaczków:
# = „albo”($)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony

Oczywistym jest, że równoważność S<=>~S definiująca tożsamość zdarzeń musi być fałszywa.
Sprawdzenie:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=S
q=~S
stąd mamy:
S<=>~S = S*~S + ~(S)*~(~S) = S*~S + ~S*S =0
cnd

Spełniona jest definicja dziedziny dla A i S:
A+~A =D =1 - zdarzenia uzupełniają się wzajemnie do dziedziny
A*~A =[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne
Matematycznie zachodzi:
S=A # ~S=~A - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że klawisz A nie jest wciśnięty (~A) = prawdą jest że klawisz A jest wciśnięty (A)
~(~A) =A


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:51, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 5:53, 16 Lip 2020    Temat postu:

Spis treści
4.5 Równoważność w zbiorach 1
4.5.1 Równoważności Pitagorasa 2
4.5.2 Analiza symboliczna równoważności Pitagorasa 4
4.5.3 Odkrycie błędu fatalnego w logice matematycznej ziemian 7
4.6 Równoważność p<=>q w zdarzeniach 11
4.6.1 Operator równoważność p|<=>q w zdarzeniach 12
4.7 Operator równoważności A|<=>S 13
4.7.1 Równoważność A<=>S dla przycisku A 16




4.5 Równoważność w zbiorach

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q = p<=>q =0 - zbiory (pojęcia) są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
p##q <=> p=q = p<=>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



4.5.1 Równoważności Pitagorasa

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem ta równoważność jest prawdziwa
Podstawmy równoważność Pitagorasa do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla równoważności:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]               = 4:~SK~~>TP =0                 
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
       TP=SK      #   ~TP=~SK      #     SK=TP      #   ~SK=~TP
         I               II               III              IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 - A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1 -B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Obszar AB12:

Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności TP<=>SK:

1.
Kiedy trójkąt jest prostokątny (TP=1)?

I.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)

2.
Kiedy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)?

II.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~TP=~SK
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)

Obszar AB34:

Operator równoważności SK|<=>TP to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności SK<=>TP:

1.
Kiedy w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1)?

III.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1):

W trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
SK=TP
Zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów prostokątnych (TP)

2.
Kiedy w trójkącie nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)?

IV.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów z nie spełnioną sumą kwadratów (~SK=1):

W trójkącie nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~SK=~TP
Zbiór trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów nieprostokątnych (~TP)

4.5.2 Analiza symboliczna równoważności Pitagorasa

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności TP<=>SK
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]               = 4:~SK~~>TP =0                 
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
       TP=SK      #   ~TP=~SK      #     SK=TP      #   ~SK=~TP
         I               II               III              IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 - A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1 -B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)


Definicja operatora równoważności TP|<=>SK po stronie TP to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie TP?
I.
Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawo Kubusia:
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
Stąd mamy tożsamą równoważność aksjomatyczną Pitagorasa z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika równoważności TP<=>SK.
RA1.
Równoważność aksjomatyczna Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)

Analiza zdań składowych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1), bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK.
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż zachodzi w nim suma kwadratów
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
Prawdziwy warunek wystarczający A1: TP=>SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’: TP~~>~SK=0 (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =[] =0
Definicja element wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.

2.
Kiedy zajdzie ~TP?
RB2:
Równoważność aksjomatyczna Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*( A1: TP=>SK)
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
Analiza zdań składowych:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1), bo zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK.
Nie bycie trójkątem prostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zachodzi w nim suma kwadratów.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
Prawdziwy warunek wystarczający B2:~TP=>~SK=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’:~TP~~>SK=0 (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.

Z powyższej analizy symbolicznej wynika zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności TP<=>SK.

Dowód:
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=TP
q=SK
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza     |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
            |
RA1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
;
RB2:~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
D:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0

3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
RA1: p<=>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |RA1: p<=>q        |
              |                  |                  |       p<=>q=
              |                  |                  | p   q (p=>q)*(~p=>~q)
RA1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1  =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0  =0
;
RB2:~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0  =1
B2’:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1  =0
   a    b   c    d        e    f    g        h    I   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=(p=0)      |
                                 |(~q=1)=(q=0)      |

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 jest linia RA1: p<=>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko „równoważnością” p<=>q

Tabelę symboliczną T2 abc możemy również zakodować z punktu odniesienia:
RB2: ~p<=>~q
W tym przypadku wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x).
Prawa Prosiaczka z których tu musimy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q, by uzyskać końcową tabelę zero-jedynkowa 123 ~p<=>~q
Kod:

T3
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |RB2:~p<=>~q       |
              |                  |                  |      ~p<=>~q=
              |                  |                  |~p  ~q (~p=>~q)*(p=>q)
RA1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0  =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1  =0
;
RB2:~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=> 1  =1
B2’:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0  =0
   a    b   c    d        e    f    g        h    I   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(p=1)=(~p=0)      |
                                 |(q=1)=(~q=0)      |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko „równoważnością” ~p<=>~q

Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

4.5.3 Odkrycie błędu fatalnego w logice matematycznej ziemian

Definicja błędu fatalnego:
Błąd fatalny w dowolnej teorii matematycznej to błąd dyskwalifikujący całą teorię matematyczną.

Zacytujmy definicję równoważności z Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym, jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykład:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4 (równoważność prawdziwa)


Pierwsza część definicji równoważności jest zgodna w 100% z algebrą Kubusia … natomiast ten przykład to największa tragedia ziemskich matematyków zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań.

W praktyce wszyscy ziemianie używają definicji podstawowej równoważności zgodnej z algebrą Kubusia.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 1 470
„warunkiem koniecznym i wystarczającym”
Wyników 9 170
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => podzielności tej liczby przez 6.
P2*P3<=>P6 = (B1: P2*P3~>P6)*(A1: P2*P3=>P6)=1*1=1


Powyższą równoważność matematycy udowodnili (nie ważne jak) zatem musi zachodzić tożsamość zbiorów:
P2*P3=P6
Niestety, ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia że dowolna równoważność definiuje tożsamość zbiorów.

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy są w relacji równoważności p<=>q:
p=q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q = p<=>q =0 - zbiory p i q nie są tożsame, co oznacza, że są różne na mocy definicji ##:
p##q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Rozpatrzmy podstawowe równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1) i nieprostokątnych (~TP=1).

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności TP<=>SK
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]               = 4:~SK~~>TP =0                 
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
       TP=SK      #   ~TP=~SK      #     SK=TP      #   ~SK=~TP
         I               II               III              IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 - A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1 -B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Obszar AB12:

Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności TP<=>SK:

1.
Kiedy trójkąt jest prostokątny (TP=1)?
I.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)

2.
Kiedy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)?
II.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~TP=~SK
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)

Zajmijmy się wyłącznie równoważnością Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.
I.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)

Jeden z dowodów prawdziwości tej równoważności to udowodnienie prawdziwości zdań składowych A1 i B1.
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => spełniona jest suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
stąd:
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
cnd
##
Dowód prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> spełniona jest suma kwadratów (SK=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
stąd:
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego.
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że słownie zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.
Matematyczną różność ## tych zdań rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach => i ~> wbudowanych w treść tych zdań.

Identycznie mamy u humanistów:
może ## morze
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Logika matematyczna oparta wyłącznie na treści słownej zdań (logika ziemian niestety) jest fałszywą logiką matematyczną, bo znaleźliśmy jeden kontrprzykład - to wystarczy, by uznać logikę matematyczną ziemian za fałszywą w 100%.
Matematyka nie zna pojęcia litości, jeden fałszywy ruch (prawdziwy kontrprzykład) i wszystko ląduje w koszu na śmieci.
Dowód:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/2-2-4,3832.html#76453
konrado5 napisał:

Konrado5
Ja słyszałem, że Russell podał jakiś dowód na to, że "2+2=4", który zajmował 200 stron i zawierał jeden błąd. Na czym ten dowód polegał?


4.6 Równoważność p<=>q w zdarzeniach

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

4.6.1 Operator równoważność p|<=>q w zdarzeniach

Definicja operatora równoważności p|<=>q (dla I i II):
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania:
1
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
I. p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
II. ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~p=~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Kod:

Równoważność:                  |  Równoważność:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p*~q)
Tożsamość zdarzeń:             |  Tożsamość zdarzeń:
p=q                            #  ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej
| - komentarz

p # ~p
~(~p)=p
~(p)=~p
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie zdarzenie ~p = prawdą jest że zajdzie zdarzenie p
~(~p)=p
Prawo negacji p:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie p = prawdą jest że zajdzie ~p
~(p)=~p

Uwagi:
1.
Matematycznie zachodzi:
Operator równoważności p|<=>q ## Spójnik równoważności p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Spójnik równoważności <=> w formie skróconej nazywamy równoważnością <=>
3.
Zauważmy, że udowodnienie prawdziwości jednego zdania serii Ax i jednego zdania serii Bx jest potrzebne i wystarczające dla prawdziwości wszystkich możliwych spójników równoważności.
4.
Równoważność jest przemienna, zatem dokładnie to samo możemy zapisać dla kwarty III i IV.
5.
Zauważmy, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności <=> w logice dodatniej p<=>q (bo q) i w logice ujemnej ~p<=>~q (bo ~q):
1.
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)


4.7 Operator równoważności A|<=>S

Rozważmy poniższy schemat sterowania żarówką:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż schemat S1 jest fizyczną realizacją równoważności.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)

Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
cnd

Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę.
cnd

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności A<=>S z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> obowiązującej wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0 =
       A=S      #   ~A=~S         #     S=A      #   ~S=~A
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Obszar AB12:

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
A=S
Zdarzenie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~A=~S
Zdarzenie „klawisz A nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Obszar AB34:

Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?

III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
S=A
Zdarzenie „żarówka S świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?

IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~S=~A
Zdarzenie „żarówka S nie świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A nie wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV

4.7.1 Równoważność A<=>S dla przycisku A

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1: A=>S =1
B1: A~>S =1
Stąd mamy:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0 =
       A=S      #   ~A=~S         #     S=A      #   ~S=~A
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Operator równoważności A|<=>S musi odpowiada na dwa pytania 1 i 2

Analiza symboliczna w operatora równoważności A|<=>S.

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź w spójnikach równoważności A<=>S na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?

I.
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się
Dowód: Nie ma szeregowej zmiennej wolnej B która mogłaby zgasić żarówkę niezależnie od A
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?

II.
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Dowód: Nie ma równoległej zmiennej wolnej C która mogłaby zaświecić żarówkę niezależnie od A
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Zauważmy że w operatorze równoważności A|<=>S zachodzi:
Kod:

Równoważność:                   |  Równoważność:         
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)  [=] ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
Definiuje tożsamość pojęć:      | Definiuje tożsamość pojęć:
A=S                             #  ~A=~S
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S [=] ~A<=>~S

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Zauważmy, ze znaczek # jest tożsamy z definicją spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawiając:
p=S
q=~S
mamy:
W dowolnym momencie żarówka świeci się (S) „albo”($) nie świeci się (~S)
S$~S = S*~(~S) + ~(S)*~S = S+~S =1
Wniosek:
Zachodzi tożsamość znaczków:
# = „albo”($)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony

Oczywistym jest że równoważność S<=>~S definiująca tożsamość zdarzeń musi być fałszywa.
Sprawdzenie:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=S
q=~S
stąd mamy:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy nie świeci się (~S)
S<=>~S = S*~S + ~(S)*~(~S) = S*~S + ~S*S =0
cnd

Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
DM= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej DF:
Dziedzina fizyczna DF to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Dziedzina matematyczna dla naszego układu to wszystkie możliwe zdarzenia między wciskaniem klawisza A świeceniem żarówki S bez analizy czy dane zdarzenie jest możliwe w badanym układzie.
DM = A: A*S + B: A*~S + C~A*~S + D: ~A*S
Dowód iż to jest poprawna dziedzina matematyczna:
DM = A*S + A*~S + ~A*~S + ~A*S = A*(S+~S) + ~A(~S+S) = A+~A =1
cnd
Dziedzina fizyczna dla naszego układu to zdarzenia fizycznie możliwe:
DF= A: A*S + C: ~A*~S

Matematycznie dla naszego przykładu spełniona jest definicja dziedziny oddzielnie dla A i oddzielnie dla S
Wszystkie możliwe zdarzenia dla A:
A+~A =D =1 - klawisz A może być wciśnięty (A=1) albo nie wciśnięty (~A=1)
A*~A =[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne.
Zwróćmy uwagę, że matematycznie zachodzi:
A # ~A
Stąd:
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że klawisz A nie jest wciśnięty (~A) = prawdą jest, że klawisz A jest wciśnięty (A)
~(~A)=A
Nie jest prawdą (~) że klawisz A jest wciśnięty (A) = prawda jest że klawisz A nie jest wciśnięty (~A)
~(A) =~A

Wszystkie możliwe zdarzenia dla S:
S+~S =D =1 - żarówka może świecić (S=1) albo nie świecić (~S=1)
S*~S =[] =0 - zdarzenia S i ~S są rozłączne.
Zwróćmy uwagę, że matematycznie zachodzi:
S # ~S
Stąd:
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~), że żarówka nie świeci (~S) = prawdą jest, że żarówka świeci (S)
~(~S)=S
Nie jest prawdą (~) ze żarówka świeci = prawdą jest, że żarówka nie świeci (~S)
~(S) =~S


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:52, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 20:18, 25 Lip 2020    Temat postu:

5.0 Operator chaosu p|~~>q

Spis treści
5.0 Operator chaosu p|~~>q 1
5.1 Operator chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 4
5.1.1 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 7
5.2 Operator chaosu A|~~>S w zdarzeniach 8
5.2.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 8
5.2.2 Złożona równoważność Y<=>S w świecie techniki 11
5.3 Złożony operator chaosu A|~~>S 13
5.4 Złożony operator chaosu A|~~>S vs złożony układ równoważności Y|<=>S 18




5.0 Operator chaosu p|~~>q

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator chaosu p|~~>q jest całkowitym przeciwieństwem operatora równoważności p|<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
stąd:
Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
stąd mamy:
Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) = 1*1 =1
Zdania składowe równoważności to:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q

Jak widzimy, w równoważności p<=>q mamy gwarancję matematyczną => zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.
Operator chaosu p|~~>q jest całkowitym przeciwieństwem operatora równoważności p|<=>q
W operatorze chaosu p|~~>q zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w operatorze chaosu p|~~>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Zauważmy, że identycznie będziemy mieli dla zdarzeń:
Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                                    4:~q~~>~p=1               
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1        3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwagi:
Zdania A1” i B2” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zdarzeniem możliwym ~~>) muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją operatora chaosu p|~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
Wynikowe zero oznacza tu, że w operatorze chaosu p|~~>q nie ma żadnej gwarancji matematycznej, ani po stronie p, ani tez po stronie ~p.

Operator chaosu jest przemienny:
p|~~>q = p*q [=] q|~~>p = q*p
bo spójnik logiczny „i”(*) jest przemienny


5.1 Operator chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)

Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład zdania wchodzącego w skład operatora chaosu p|~~>q:
A10.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w operatorze chaosu z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> obowiązującej wyłącznie w warunku wystarczającym => dla zdania A.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P8|~~>P3:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: P8=>P3  =0 = 2:~P8~>~P3=0  [=] 3: P3~>P8  =0 = 4:~P3=>~P8 =0
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: P8~~>P3 =1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1                 
       ##              ##          |     ##            ##
B:  1: P8~>P3  =0 = 2:~P8=>~P3 =0 [=] 3: P3=>P8  =0 = 4:~P3~>~P8 =0
B’:                 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”:                 2:~P8~~>~P3=1     3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P8=>P3=0 -fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P8=>~P3=0-fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Mamy nasze zdanie:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24

Na początek musimy udowodnić, iż zdanie A1” rzeczywiście wchodzi w skład operatora chaosu P8|~~>P3.
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd obliczamy początkowe wartości wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
P8=[8,16,24..]
P3=[3,6,9..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..]
Aby udowodnić iż mamy tu do czynienia z operatorem chaosu P8|~~>P3 wystarczy udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Tu wszystkie dowody są trywialne, wybierzmy zdania A1 i B3.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest podzbiorem => P3.
Dowód na kilku pierwszych elementach:
P8=[8,16,24..] => P3=[3,6,9..] =0
Liczba 8 należy do zbioru P8 i nie należy do zbioru P3
cnd

B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 3 to na 100% => jest podzielna przez 8
P3=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 3 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo zbiór P3 nie jest podzbiorem => P8.
Dowód na kilku pierwszych elementach:
P3=[3,6,9..] => P8=[8,16,24 ..] =0
Liczba 3 należy do zbioru P3 i nie należy do zbioru P8
cnd

Stąd mamy pewność że nasze zdanie A1”: P8~~>P3 wchodzi w skład operatora chaosu P8|~~>P3.
W tym momencie analizę symboliczną operatorach chaosu P8|~~>P3 według szablonu matematycznego może wykonać komputer.

Operator chaosu P8|~~>P3 odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(P3=1) =1
Warunek wystarczający => nie jest tu spełniony:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => P3=[3,6,9..]
lub
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(P3=1) =1

Podsumowanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy dowolna liczbą podzielną przez 8 (P8=1) to ta liczba może wpaść do pudełka:
A1”: P8*P3 =1
Zbiór liczb podzielnych przez 8 i podzielnych przez 3
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie A1” i fałszywe A1’
lub
A1’: P8*~P3 =1
Zbiór liczb podzielnych przez 8 i niepodzielnych przez 3
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie A1” i prawdziwe A1’
Trzeciej możliwości nie ma (łac. tertium non datur)
Wnioski:
1.
Po stronie liczb podzielnych przez 8 mamy tu do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
2.
Wynikowe jedynki są tu miękkimi jedynkami tzn. w zależności od losowania mogą być miękkimi jedynkami albo miękkimi zerami.

2.
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?

B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2
Co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(~P3=1) =1
Warunek wystarczający => nie jest tu spełniony:
B2: ~P8=>~P3 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest podzbiorem => ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
lub
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(P3=1)=1

Podsumowanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy dowolną liczbą niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może wpaść do pudełka:
B2”: ~P8*~P3 =1
Zbiór liczb niepodzielnych przez 8 i niepodzielnych przez 3
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie B2” i fałszywe B2’
lub
B2’: ~P8*P3 =1
Zbiór liczb niepodzielnych przez 8 i podzielnych przez 3
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie B2” i prawdziwe B2’
Trzeciej możliwości nie ma (łac. tertium non datur)
Wnioski:
1.
Po stronie liczb niepodzielnych przez 8 mamy tu do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
2.
Wynikowe jedynki są tu miękkimi jedynkami tzn. w zależności od losowania mogą być miękkimi jedynkami albo miękkimi zerami.

Podsumowanie generalne:
Zauważmy, że w operatorze chaosu P8|~~>P3 zarówno po stronie zbioru P8 jak i zbioru ~P8 mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

5.1.1 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Dowód iż mamy tu do czynienia z legalnym, matematycznym spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~>
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=P8
q=P3
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
              |
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1

3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A10:
A10: p~~>q =1
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadanie jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1”: p~~>q        |
              |                  |                  | p   q p~~>q
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1  =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0  =1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0  =1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1  =1
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=(p=0)      |
                                 |(~q=1)=(q=0)

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 jest linia A1”: p~~>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Operator chaosu p|~~>q to co innego niż zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> to tabela zero-jedynkowa 123, gdzie:
p~~>q = A1”: p*q + A1: p*~q + B2”:~p*~q + B2’:~p*q =0

Natomiast:
Operator chaosu p|~~>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: p~~>q =1
A1’: p~~>~q =1
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: ~p~~>~q =1
B2’: ~p~~> q =1

5.2 Operator chaosu A|~~>S w zdarzeniach

Operator chaosu p|~>q to całkowite zaprzeczenie operatora równoważności p|<=>q, czyli zero jakiejkolwiek gwarancji matematycznej.
Zacznijmy zatem od przypomnienia operatora równoważności w zdarzeniach.

5.2.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach

Zacznijmy od operatora równoważności w zdarzeniach.
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż schemat S1 jest fizyczną realizacją równoważności.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)

Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
cnd

Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę.
cnd

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności A<=>S z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> obowiązującej wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0 =
       A=S      #   ~A=~S         #     S=A      #   ~S=~A
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Obszar AB12:

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
A=S
Zdarzenie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci”

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~A=~S
Zdarzenie „klawisz A nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci”

Obszar AB34:

Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?

III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
S=A
Zdarzenie „żarówka S świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A wciśnięty”

2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?

IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~S=~A
Zdarzenie „żarówka S nie świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A nie wciśnięty”

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV

5.2.2 Złożona równoważność Y<=>S w świecie techniki

Mamy nasz podstawowy układ równoważnościowy:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y<=>S w zdarzeniach:
Y<=>S=(A1: Y=>S)*(B1: Y~>S)=1*1=1
             S               Y       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: Y, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Zauważmy, że przycisk Y jest zmienną binarną, bo może przyjmować wartości logiczne zarówno:
Y=1 - przycisk wciśnięty
jak i:
Y=0 - przycisk nie wciśnięty (~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka

Dowolnie skomplikowana funkcja logiczna Y też jest zmienną binarną pod warunkiem, że dla wejściowych zmiennych binarnych jest zdolna przyjąć wartość logiczną zarówno 1 jak i 0.

Innymi słowy:
Przycisk Y może być układem zastępczym takiej przykładowo funkcji logicznej:
Y = D*(C+A*B)

Narysujmy schemat sterowania żarówką powyższym układem zastępczym przycisków Y.
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y<=>S w zdarzeniach:
Y<=>S=(A1: Y=>S)*(B1: Y~>S)=1*1=1
Gdzie:
Y = D*(C+A*B)
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o---------------
                                   |                      |
             S               D     |    B          A      |
       -------------       ______  |  ______     ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----o    o----
  |    -------------                                      |
  |                                                       |
______                                                    |
 ___    U (źródło napięcia)                               |
  |                                                       |
  |                                                       |
  ---------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, D, S
Y = D*(C+A*B)
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Operator logiczny równoważności S<=>Y to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (S=1)?
2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?

Odpowiedź jest tu trywialna:

1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (S=1)?


Równanie logiczne opisujące świecącą się żarówkę jest następujące:
S = D*(C+A*B)
Jedyną postacią zrozumiałą dla człowieka jest postać alternatywno-koniunkcyjna.
Stąd musimy wymnożyć logicznie wielomian:
S = D*C + D*A*B
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> D=1 i C=1 lub D=1 i A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D*C=1*1 =1 - wciśnięty jest klawisz D (D=1) i wciśnięty jest klawisz C (C=1)
lub
D*A*B=1*1*1=1 - wciśnięty jest klawisz D (D=1) i wciśnięty jest klawisz A (A=1) i wciśnięty jest klawisz B (B=1)

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?


Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~S) algorytmem Wuja Zbója:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
S = D*(C+(A*B))
b)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~S = ~D + (~C*(~A+~B)) = ~D + ~C*~A + ~C*~B
Stąd postać alternatywno-koniunkcyjna zrozumiała dla człowieka:
~S = ~D + ~C*~A + ~C*~B
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~D=1 lub ~C=1 i ~D=1 lub ~C=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~D=1 - nie jest wciśnięty klawisz D
lub
~C*~A = 1*1 =1 - nie jest wciśnięty klawisz C (~C=1) i nie jest wciśnięty klawisz A (~A=1)
lub
~C*~B=1*1 =1 - nie jest wciśnięty klawisz C (~C=1) i nie jest wciśnięty klawisz B (~B=1)

5.3 Złożony operator chaosu A|~~>S

Na złożony układ równoważnościowy przedstawiony w punkcie wyżej możemy spojrzeć z innego punktu odniesienia np. z punktu odniesienia operatora chaosu p|~~>q.

Dokładnie ten sam fizyczny układ połączeń widziany z punktu odniesienia operatora chaosu A|~~>S może być następujący.
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o---------------
                                   |                      |
             S               D     |    B          A      |
       -------------       ______  |  ______     ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----o    o----
  |    -------------                                      |
  |                                                       |
______                                                    |
 ___    U (źródło napięcia)                               |
  |                                                       |
  |                                                       |
  ---------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: B, C, D
Istotą operatora chaosu są zmienne wolne.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być przybierać dowolną wartość logiczną 1 albo 0 poza świadomością człowieka. Abstrakcyjnie możemy sobie wyobrazić że zmienną wolną ustawia w sposób losowy krasnoludek poza naszą świadomością. W dowolnej chwili człowiek może odebrać krasnoludkowi sterowanie zmienną wolną by zobaczyć jak zachowuje się układ ze zmienną wolną ustawioną na 1 oraz jak zachowuje się układ ze zmienną wolną ustawiona na 0. To wystarczy by zrobić „zdjęcie” układu, czyli dowiedzieć się o nim absolutnie wszystkiego.
W przypadku operatora chaosu A|~~>S żarówka będzie po prostu losowo migać niezależnie od tego czy klawisz A będzie wciśnięty (A=1), czy też nie będzie wciśnięty (A=0) co za chwilę udowodnimy.
Fizyczna realizacja powyższego operatora chaosu w laboratorium techniki cyfrowej to po prostu sterowanie generatorami cyfr losowych (1 albo 0) wszystkich przycisków z wykluczeniem przycisku A.
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach
w laboratorium techniki cyfrowej:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                       Gc=C
                                      ______
                                   ---o    o---------------
                                   |                      |
             S              Gd=D   |   Gb=B        A      |
       -------------       ______  |  ______     ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----o    o----
  |    -------------                                      |
  |                                                       |
______                                                    |
 ___    U (źródło napięcia)                               |
  |                                                       |
  |                                                       |
  ---------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: B, C, D sterowane generatorami cyfr losowych Gx
Istotą operatora chaosu są zmienne wolne.

Rozważmy zdanie:
A1”.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Zdarzenie możliwe (=1) bo może się zdarzyć ~~> że ustawienie przycisków jest takie:
D=1 i C=1
Wtedy żarówka się świeci niezależnie od stanu przycisku A.

Na początek musimy udowodnić iż rzeczywiście mamy tu do czynienia z operatorem chaosu A|~~>S, czyli że zdanie A1” jest częścią operatora chaosu.

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w operatorze chaosu p|~~>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                                    4:~q~~>~p=1               
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1        3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwagi:
Zdania A1” i B2” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zdarzeniem możliwym ~~>) muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją operatora chaosu p|~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

Podstawmy nasze zdanie A1” to tabeli ogólnej T2 podstawiając:
p=A
q=S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|~~>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S =0    [=] 3: S~>A  =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]             = 4:~S~~>A =1
A”: 1: A~~>S =1                                    4:~S~~>~A=1               
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S =0    [=] 3: S=>A  =0 = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~A~~>S =1    [=] 3: S~~>~A=1
B”:               2:~A~~>~S=1        3: S~~>A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)


Definicja podstawowa operatora chaosu A|~~>S:
A|~>S = ~(A1: A=>S)* ~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Dowodzimy fałszywości warunku wystarczającego A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo kontrprzykład D=0

Dowodzimy fałszywości warunku koniecznego ~> B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S bowiem żarówka S może się świecić niezależnie od stanu przycisku A, gdy D=1 i C=1

Stąd mamy pewność iż nasze zdanie A1” wchodzi w skład operatora chaosu A|~~>S.
A1”.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o---------------
                                   |                      |
             S               D     |    B          A      |
       -------------       ______  |  ______     ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----o    o----
  |    -------------                                      |
  |                                                       |
______                                                    |
 ___    U (źródło napięcia)                               |
  |                                                       |
  |                                                       |
  ---------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: B, C, D
Istotą operatora chaosu są zmienne wolne.

Analiza matematyczna operatora chaosu A|~~>S.

Operator chaosu odpowiada na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się dziać z żarówką jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?


A1”.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Zdarzenie możliwe (=1) niezależnie od stanu przycisku A.
Może się zdarzyć ~~> że ustawienie zmiennych wolnych jest takie:
D=1 i C=1
Wtedy żarówka się świeci niezależnie od stanu przycisku A.
lub
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Zdarzenie możliwe (=1) niezależnie od stanu przycisku A.
Może się bowiem zdarzyć że ustawienie zmiennych wolnych jest takie:
D=0
To wystarczy, aby żarówka nie świeciła się, niezależnie od stanu przycisku A

Podsumowanie:
Po stronie wciśniętego przycisku A mamy (A=1) tu do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „ na dwoje babka wróżyła”:
A1”: A~~>S = A*S =1
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~~> się świecić
Dla tego przypadku prawdziwe będzie zdanie A1” i fałszywe A1’
lub
A1’: A~~>~S=A*~S=1
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~~> się nie świecić
Dla tego przypadku fałszywe będzie zdanie A1” i prawdziwe A1’

2.
Co może się dziać z żarówką jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?


B2”.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
Zdarzenie możliwe (=1) niezależnie od stanu przycisku A.
Może się bowiem zdarzyć, że ustawienie zmiennych wolnych jest takie:
D=0
To wystarczy, aby żarówka nie świeciła się, niezależnie od stanu przycisku A
lub
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Może się zdarzyć ~~> że ustawienie zmiennych wolnych jest takie:
D=1 i C=1
Wtedy żarówka się świeci niezależnie od stanu przycisku A.

Podsumowanie:
Po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) mamy tu do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „ na dwoje babka wróżyła”:
B2”: ~A~~>~S = ~A*~S =1
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
Prawa Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0) - przycisk a nie jest wciśnięty (A=0)
(~S=1)=(S=0) - żarówka nie świeci się (S=0)
Dla tego przypadku prawdziwe będzie zdanie B2” i fałszywe B2’
lub
B2’: ~A~~>S=~A*S=1
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
Dla tego przypadku fałszywe będzie zdanie A2” i prawdziwe B2’

Podsumowanie generalne:
1.
Zauważmy, że w operatorze chaosu A|~~>S zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
2.
Z punktu widzenia techniki patrzenie na układ S2 z punktu odniesienia operatora chaosu A|~~>S nie ma sensu bowiem z powyższej analizy matematycznej nie da się jednoznacznie odtworzyć schematu S2. Przykładowo, nigdzie w opisie operatora chaosu A|~~>S nie występuje przycisk B
3.
Poza tym żadne urządzenie techniczne nie działa na zasadzie „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Fundamentalnie inaczej mają się sprawy, jeśli na układ S2 spojrzymy z punktu odniesienia równoważności Y<=>S

5.4 Złożony operator chaosu A|~~>S vs złożony układ równoważności Y|<=>S

Weźmy jeszcze raz omówiony wyżej złożony układ równoważności Y|<=>S.

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y<=>S w zdarzeniach:
Y<=>S=(A1: Y=>S)*(B1: Y~>S)=1*1=1
Gdzie:
Y = D*(C+A*B)
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o---------------
                                   |                      |
             S               D     |    B          A      |
       -------------       ______  |  ______     ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----o    o----
  |    -------------                                      |
  |                                                       |
______                                                    |
 ___    U (źródło napięcia)                               |
  |                                                       |
  |                                                       |
  ---------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, D, S
Y = D*(C+A*B)
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Oznaczmy:
Y = D*(C+A*B) - wirtualny przycisk Y, układ zastępczy przycisków A,B,C i D

Stąd nasz schemat przybiera postać:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y<=>S w zdarzeniach:
Y<=>S=(A1: Y=>S)*(B1: Y~>S)=1*1=1
Gdzie:
Y = D*(C+A*B)
             S               Y       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: Y, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Definicja podstawowa równoważności Y<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: Y=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: Y~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
Y<=>S=(A1: Y=>S)*(B1: Y~>S)=1*1=1
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności A<=>S z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> obowiązującej wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności Y<=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: Y=>S  =1 = 2:~Y~>~S=1     [=] 3: S~>Y  =1 = 4:~S=>~Y =1
A’: 1: Y~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>Y =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: Y~>S  =1 = 2:~Y=>~S=1     [=] 3: S=>Y  =1 = 4:~S~>~Y =1
B’:             = 2:~Y~~>S=0     [=] 3: S~~>~Y=0 =
       Y=S      #   ~Y=~S         #     S=Y      #   ~S=~Y
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: Y=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~Y=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Obszar AB12:

Operator równoważności Y|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk Y jest wciśnięty (Y=1)?

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku Y (Y=1):
Przycisk Y jest wciśnięty (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Y<=>S = (A1: Y=>S)*(B1: Y~>S) =1*1 =1
Prawo Kubusia:
B1: Y~>S = B2: ~Y=>~S
Stąd aksjomatyczna równoważność tożsama:
Y<=>S = (A1: Y=>S)*(B2: ~Y=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
Y=S
Zdarzenie „wciśnięty klawisz Y” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci”

Analiza warunku wystarczającego A1:
A1.
Jeśli przycisk Y jest wciśnięty (Y=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
Y=>S =1
Wciśnięcie przycisku Y jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Dowód: schemat S1
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
A1’
Jeśli przycisk Y jest wciśnięty (Y=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
Y~~>~S = Y*~S =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: przycisk Y jest wciśnięty (Y=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dowód ekstra: schemat S1

2.
Kiedy przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1)?

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku Y (~Y=1):
Przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~Y<=>~S = (A2: ~Y~>~S)*(B2: ~Y=>~S) =1*1 =1
Prawo Kubusia:
A2: ~Y~>~S = A1: Y=>S
Stąd aksjomatyczna równoważność tożsama:
Y<=>S = (A1: Y=>S)*(B2: ~Y=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~Y=~S
Zdarzenie „klawisz Y nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci”

Analiza warunku wystarczającego B2:
B2.
Jeśli przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~Y=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku Y (~Y=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Prawa Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - przycisk Y nie jest wciśnięty (Y=0)
(~S=1)=(S=0) - żarówka nie świeci się (S=0)
Dowód: schemat S1
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’
Jeśli przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~Y~~>S = ~Y*S =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1) i żarówka świeci się (S=1)
Dowód ekstra: schemat S1

Podsumowanie:
Jedynym operatorem logicznym mającym zastosowanie w technice jest operator równoważności Y|<=>S.
Dlaczego?
1.
W opisie matematycznym równoważności Y|<=>S (analiza wyżej) nie ma śladu „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które mieliśmy w matematycznym opisie operatora chaosu A|~~>S
2.
W opisie matematycznym równoważności Y|<=>S nie gubimy informacji o badanym układzie.
Układ zastępczy wirtualnego przycisku Y jest tu precyzyjnie opisany:
Y = D*(C+A*B)
i nie ulega zmianie w czasie całej analizy matematycznej równoważności Y|<=>S
Porównanie:
W tym samym układzie opisanym matematycznie operatorem chaosu A|~~>S zgubiliśmy informację o przycisku B tzn. przycisk ten nie występuje w analizie matematycznej A|~~>S, co łatwo sprawdzić wyżej.
3.
Z „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” będziemy też mieć do czynienia w dwóch pozostałych operatorach implikacyjnych tzn. opisanych seria czterech zań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
a)
Operator implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
b)
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

To tłumaczy fakt, dlaczego kończąc elektronikę na Politechnice Warszawskiej nigy nie słyszałem takich pojęć jak:
- operator chaosu p|~~>q
- implikacja prosta p|=>q
- implikacja odwrotna p|~>q

Po prostu:
W świecie techniki powyższe operatory logiczne są idiotyzmem ze względu na występujące w nich najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Przykładowo:
Sterownie samochodem zrealizowanym na fundamencie implikacji prostej p|=>q wyglądało by tak:
1.
Jeśli skręcamy kierownicą w prawo to samochód zawsze skręca w prawo
2.
Jeśli skręcamy kierownicą w lewo to samochód „rzuca sobie monetą” (wywołuje generator cyfr losowych):
orzełek - samochód skręca w lewo zgodnie z życzeniem kierowcy
reszka - samochód mówi kierowcy „figa z makiem” i skręca w prawo wbrew oczekiwaniu kierowcy

Czy trzeba więcej tłumaczyć dlaczego w świecie techniki operatory chaosu p|~~>q, implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q są najzwyklejszym idiotyzmem i nigdy nie znajdą tu zastosowania?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:53, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 20:20, 25 Lip 2020    Temat postu:

6.0 Teoria zdarzeń



Spis treści
6.0 Ogólna teoria zdarzeń 1
6.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 3
6.1.1 Złożony operator równoważności Y|<=>S 6
6.1.2 Analiza symboliczna operatora równoważności Y|<=>S w zdarzeniach 9
6.1.3 Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności Y<=>S w zdarzeniach 10
6.1.4 Analiza równoważności S|<=>Y w zdarzeniach 11



6.0 Ogólna teoria zdarzeń

Teoria zdarzeń to logika matematyczna na poziomie co najwyżej 8 klasy szkoły podstawowej bo:
1.
W teorii zdarzeń wszystkie zmienne z definicji są zmiennymi binarnymi mogącymi w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1. Nie ma tu zbiorów nieskończonych na których operuje matematyka klasyczna
2.
W teorii zdarzeń warunki wystarczające => i konieczne ~> rozumiane są identycznie w algebrze Kubusia i logice matematycznej ziemian, bowiem z racji prostoty nie sposób tu wymyśleć sprzecznych z algebrą Kubusia definicji warunków wystarczających => i koniecznych ~> jak to ma miejsce na gruncie teorii zbiorów nieskończonych.

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach ~~>, =>, ~>

Teoria zdarzeń dla potrzeb logiki matematycznej

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia p i q są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy najważniejsze prawa logiki matematycznej:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

6.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach

Jedynym sensownym operatorem logiki matematycznej do zastosowań w świecie techniki (w tym w świecie komputerów) jest operator równoważności p|<=>q - to jedyny operator gdzie z opisu matematycznego możemy odtworzyć precyzyjnie opisywany układ.
Operator chaosu p|~~>q nie ma tej właściwości z czym zapoznaliśmy się wyżej.
Nie mają tej własności także operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p~>q, co za chwilkę udowodnimy.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #   ~q=~p
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawowy schemat układu realizującego równoważność p<=>q w zdarzeniach jest następujący.
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż powyższy schemat jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Badamy prawdziwość zdań A1 i B1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
Zawsze, gdy wciśnięty jest klawisz A żarówka świeci się
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się bowiem nie ma w układzie zmiennej wolnej W która by zaświeciła żarówkę niezależnie od przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S bowiem jak przycisk A nie jest wciśnięty to żarówka na 100% => nie świeci się.
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
Matematycznie zachodzi:
A1: A=>S ## B1: A~>S
gdzie:
## - różne na mocy definicji

6.1.1 Złożony operator równoważności Y|<=>S

Rozważmy teraz bardziej złożony układ równoważności:
Kod:

S1A Schemat 1A
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y|<=>S w zdarzeniach:
Y|<=>S=(A1: Y=>S)*~(B1: Y~>S)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
Y=(A*B)+C+D
                                          D
                                        ______
                      ------------------o    o------
                      |                   C        |
                      |                 ______     |
                      ------------------o    o------
             S        |      B            A        |
       -------------  |    ______       ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zstępczy schemat tożsamy:
             S               Y=(A*B)+C+D
       -------------       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------------------
  |    -------------                               |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Y=(A*B)+C+D
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności Y|<=>S jest brak zmiennych wolnych
Gdzie:
Y - zastępczy przycisk Y opisany funkcją logiczną Y=(A*B)+C+D

Definicja zastępczego przycisku Y:
Przycisk zastępczy Y jest poprawnie zdefiniowany matematycznie wtedy i tylko wtedy gdy funkcja logiczna Y może przyjmować zarówno wartość logiczną 1 jak i wartość logiczną 0 w zależności od zmiennych wejściowych.

Nasz przykład:
Y=(A*B)+C+D
Łatwo widzieć, że nasz przycisk zastępczy Y jest matematycznie poprawny bo:
Jeśli A*B=0 i C=0 i D=0 to Y=0
Jeśli C=1 to Y=1 niezależnie od stanu pozostałych przycisków
cnd

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności Y<=>S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności Y<=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: Y=>S  =1 = 2:~Y~>~S=1     [=] 3: S~>Y  =1 = 4:~S=>~Y =1
A’: 1: Y~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>Y =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: Y~>S  =1 = 2:~Y=>~S=1     [=] 3: S=>Y  =1 = 4:~S~>~Y =1
B’:             = 2:~Y~~>S=0     [=] 3: S~~>~Y=0 =
       Y=S      #   ~Y=~S         #     S=Y      #   ~S=~Y
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: Y=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~Y=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

AB12:
Operator równoważności Y|<=>S to odpowiedź w spójniku równoważności Y<=>S na dwa pytania:
1.
Kiedy przycisk Y będzie wciśnięty (Y=1)?
Podstawową definicję równoważności odczytujemy z ćwiartki I:
Przycisk Y będzie wciśnięty (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Y<=>S = (A1: Y=>S)*(B1: Y~>S) =1*1 =1
Prawo Kubusia:
B1: Y~>S = B2: ~Y=>~S
stąd mamy tożsamą, aksjomatyczną definicję równoważności generującą tabelę zero-jedynkową spójnika równoważności:
Y<=>S = (A1: Y=>S)*(B2: ~Y=>~S) =1*1 =1
Równoważność Y<=>S definiuje tożsamość pojęć:
Y=S
Pojęcie „przycisk Y jest wciśnięty (Y=1)” jest tożsame z pojęciem „żarówka świeci się” (S=1)
2.
Kiedy przycisk Y nie będzie wciśnięty (~Y=1)?
Podstawową definicję równoważności odczytujemy z ćwiartki II:
Przycisk Y nie będzie wciśnięty (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~Y<=>~S = (A2:~Y~>~S)*(B2:~Y=>~S) =1*1 =1
A2:~Y~>~S = A1: Y=>S
stąd mamy tożsamą, aksjomatyczną definicję równoważności generującą tabelę zero-jedynkową spójnika równoważności:
~Y<=>~S = (A1: Y=>S)*(B2:~Y=>~S) =1*1 =1
Równoważność ~Y<=>~S definiuje tożsamość pojęć:
~Y=~S
Pojęcie „przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1)” jest tożsame z pojęciem „żarówka nie świeci się (~S=1)”

Prawe strony 1 i 2 są matematycznie tożsame z czego wynika tożsamość logiczna „=”:
1: Y<=>S = 2: ~Y<=>~S

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Zależności matematyczne są tu następujące:
Kod:

Równoważność Y<=>S             [=] Równoważność ~Y<=>~S
Y<=>S = (A1: Y=>S)*(B2:~Y=>~S) [=] ~Y<=>~S = (A1: Y=>S)*(B2:~Y=>~S)
oznacza tożsamość pojęć:        |  oznacza tożsamość pojęć:
Y=S                             #  ~Y=~S
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony

Matematycznie zachodzi:
D=S+~S - dziedziną D dla żarówki jest tu zbiór wszystkich możliwych stanów świecenia żarówki
S+~S =D=1 - pojęcie żarówka nie świeci (~S) jest uzupełnieniem do dziedziny dla żarówka świeci (S)
S*~S=[] =0 - żarówka nie może jednocześnie świecić (S=1) i nie świecić (~S=1)
Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia:
S=~(~S)
Żarówka świeci (S) = nieprawdą jest (~) że żarówka nie świeci (~S)

Podsumowując:
Tożsamość logiczna <=> to co innego niż tożsamość matematyczna „=” (tu tożsamość „pojęć”)

Nadmierna precyzja:
Można się tu przyczepić iż zamiast zapisu:
A: Y<=>S = ~Y<=>~S
matematycznie powinien być zapis:
B: Y<=>S<=>~Y<=>~S
Wadą zapisu B są trzy szeregowe znaczki <=> co czyni zapis niezbyt czytelnym - nie widać ważnej tu hierarchii znaczków <=>.
Ze wzglądu na przejrzystość zapisu w algebrze Kubusia będziemy konsekwentnie stosować zapis A.

Użyteczna maksyma:
Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności.

Przykład z życia:
W początkach rozwoju techniki mikroprocesorowej stosowano precyzyjną notację:
(A) := ((HL)) - wpisz do rejestru o nazwie A zawartość komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru o nazwie HL
Programiści szybko walnęli się gumowym młotkiem w głowę gdyż powyższa precyzja utrudnia czytanie a nie ułatwia czytanie - powyższa precyzja błyskawicznie zniknęła z katalogów układów mikroprocesorowych i podręczników programowania.
Obecnie dokładnie to samo wszyscy programiści zapisują tak:
A := (HL)
olewając fakt, że w tym zapisie nazwa rejestru A jest tożsama z zawartością rejestru A.

6.1.2 Analiza symboliczna operatora równoważności Y|<=>S w zdarzeniach

Wracając do tematu powtórzmy w skrócie:
Kod:

S1A Schemat 1A
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y|<=>S w zdarzeniach:
Y|<=>S=(A1: Y=>S)*~(B1: Y~>S)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
Y=(A*B)+C+D
             S               Y=(A*B)+C+D
       -------------       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------------------
  |    -------------                               |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Y=(A*B)+C+D
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności Y|<=>S jest brak zmiennych wolnych
Gdzie:
Y - zastępczy przycisk Y opisany funkcją logiczną Y=(A*B)+C+D

AB12:
Operator równoważności Y|<=>S to odpowiedź w spójniku równoważności Y<=>S na dwa pytania:
1.
Kiedy przycisk Y będzie wciśnięty (Y=1)?
RA1:
Przycisk Y będzie wciśnięty (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Y<=>S = (A1: Y=>S)*(B2: ~Y=>~S) =1*1 =1
2.
Kiedy przycisk Y nie będzie wciśnięty (~Y=1)?
RB2:
Przycisk Y nie będzie wciśnięty (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~Y<=>~S = (A1: Y=>S)*(B2:~Y=>~S) =1*1 =1

Doskonale widać, że matematyczny dowód prawdziwości równoważności 1: Y<=>S będzie tożsamy z matematycznym dowodem prawdziwości 2: ~Y<=>~S bowiem prawe strony (A1 i B2), decydujące o prawdziwości 1 i 2 są identyczne.

Dowodzimy prawdziwości zdania A1:
A1.
Jeśli przycisk Y jest wciśnięty (Y=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Y=>S =1
Zawsze gdy wciśniemy przycisk Y żarówka zaświeci się.
Wciśnięcie przycisku Y jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S.
Dowód:
W układzie S1A nie ma zmiennej wolnej (dodatkowego przycisku) połączonej szeregowo z przyciskiem Y która by powodowała fałszywość zdania A1.
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk Y jest wciśnięty (Y=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
Y~~>~S = Y*~S =0 - zdarzenie niemożliwe, co widać na schemacie S1A
Niemożliwe jest zdarzenie:
Przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1) i żarówka świeci się (S=1)

Dowodzimy prawdziwości zdania B2:
B2.
Jeśli przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~Y=>~S =1
Zawsze, gdy nie wciśniemy przycisku Y żarówka nie będzie się świecić.
Nie wciśnięcie przycisku Y (~Y=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1).
Dowód:
W układzie S1A nie ma zmiennej wolnej (dodatkowego przycisku) połączonej równolegle z przyciskiem Y która by powodowała fałszywość zdania B2.
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1) to żarówka może się świecić (S=1)
~Y~~>S = ~Y*S =0 - zdarzenie niemożliwe, co widać na schemacie S1A
Niemożliwe jest zdarzenie:
Przycisk Y nie jest wciśnięty (~Y=1) i żarówka świeci się (S=1)

Podsumowanie:
1.
Zdanie A1 to gwarancja matematyczna => że jeśli wciśnięty będzie przycisk Y (Y=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)
2.
Zdanie B2 to gwarancja matematyczna => że jeśli przycisk Y nie będzie wciśnięty (~Y=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)

Zauważmy że zarówno po stronie wciśniętego przycisku Y (Y=1) jak również po stronie nie wciśniętego przycisku Y (~Y=1) mamy tu gwarancje matematyczne, czyli zero jakiegokolwiek śladu „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, które występuje w implikacji prostej Z|=>S i implikacji odwrotnej Z|~>S.
Dokładnie z tego powodu równoważność Y|<=>S to jedyny operator logiczny używany w świecie techniki, po prostu, żaden program komputerowy (urządzenie techniczne) przy podejmowaniu decyzji nie ma prawa rzucać monetą poza kontrolą programisty.

6.1.3 Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności Y<=>S w zdarzeniach

Przejdźmy z naszą analizą układu S1A na zapisy ogólne podstawiając:
p=Y
q=S
Zapiszmy naszą analizę w postaci symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
układu S1A    |
RA1: p<=>q    |
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
RB2:~p<=>~q
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo w punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RA1: p<=>q
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |RA1: p<=>q        |
RA1: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
RB2:~p<=>~q   |                  |                  |
B2: ~p=>~q=1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (~p=1)=(p=0)     |
                                 | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q, zwanego krótko „równoważnością” p<=>q
Kodowanie tabeli symbolicznej T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RB2: ~p<=>~q
pozostawiam czytelnikowi.
Podpowiedź:
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q, by uzyskać końcową tabelę zero-jedynkowa 123.

6.1.4 Analiza równoważności S|<=>Y w zdarzeniach

Weźmy jeszcze raz nasz układ S1A:
Kod:

S1A Schemat 1A
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y|<=>S w zdarzeniach:
Y|<=>S=(A1: Y=>S)*~(B1: Y~>S)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
Y=(A*B)+C+D
                                          D
                                        ______
                      ------------------o    o------
                      |                   C        |
                      |                 ______     |
                      ------------------o    o------
             S        |      B            A        |
       -------------  |    ______       ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zstępczy schemat tożsamy:
             S               Y=(A*B)+C+D
       -------------       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------------------
  |    -------------                               |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Y=(A*B)+C+D
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności Y|<=>S jest brak zmiennych wolnych
Gdzie:
Y - zastępczy przycisk Y opisany funkcją logiczną Y=(A*B)+C+D

Definicja zastępczego przycisku Y:
Przycisk zastępczy Y jest poprawnie zdefiniowany matematycznie wtedy i tylko wtedy gdy funkcja logiczna Y może przyjmować zarówno wartość logiczną 1 jak i wartość logiczną 0 w zależności od zmiennych wejściowych.

Nasz przykład:
Y=(A*B)+C+D
Łatwo widzieć, że nasz przycisk zastępczy Y jest matematycznie poprawny bo:
Jeśli A*B=0 i C=0 i D=0 to Y=0
Jeśli C=1 to Y=1 niezależnie od stanu pozostałych przycisków
cnd

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności Y<=>S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności Y<=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: Y=>S  =1 = 2:~Y~>~S=1     [=] 3: S~>Y  =1 = 4:~S=>~Y =1
A’: 1: Y~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>Y =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: Y~>S  =1 = 2:~Y=>~S=1     [=] 3: S=>Y  =1 = 4:~S~>~Y =1
B’:             = 2:~Y~~>S=0     [=] 3: S~~>~Y=0 =
       Y=S      #   ~Y=~S         #     S=Y      #   ~S=~Y
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: Y=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~Y=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Każdy nauczyciel fizyki zada tu dwa pytania definiujące operator równoważności S|<=>Y, mimo że nie ma pojęcia o matematycznym podkładzie swoich pytań - bo tego po prostu ziemscy matematycy nie nauczyli go w I klasie LO.

AB34:
Operator równoważności S|<=>Y odpowiada na dwa pytania w spójnikach równoważności S<=>Y:
1.
Kiedy żarówka na schemacie S1A będzie się świecić (S=1)?

RB3:
Żarówka będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk Y (Y=1)
S<=>Y = (A3: S~>Y)*(B3: S=>Y)
Prawo Kubusia:
A3: S~>Y = A4:~S=>~Y
stąd zapis tożsamy w warunkach wystarczających =>:
RB3: S<=>Y = (A4:~S=>~Y)*(B3: S=>Y)

2.
Kiedy żarówka na schemacie S1A nie będzie się świecić (~S=1)?

RA4:
Żarówka nie będzie się świecić (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk Y (~Y=1)
~S<=>~Y = (A4:~S=>~Y)*(B4:~S~>~Y)
Prawo Kubusia:
B4:~S~>~Y = B3: S=>Y
stąd zapis tożsamy w warunkach wystarczających =>:
RA4: ~S<=>~Y = (A4:~S=>~Y)*(B3: S=>Y)

Doskonale widać, że prawe strony równoważności RB3: S<=>Y oraz RA4:~S<=>~Y są identyczne, stąd dla odpowiedzi na interesujące nas pytania 1 i 2 uzyskamy korzystając z dowolnej z równoważności RB3 albo RA4.

Weźmy równoważność RB3:
RB3:
Żarówka będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk Y (Y=1)
RB3: S<=>Y = (A4:~S=>~Y)*(B3: S=>Y)

Odtwórzmy podstawienie przycisku zastępczego Y:
Y = (A*B)+C+D
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A=1 i B=1 lub C=1 lub D=1
Podstawiając do RB3 mamy:
RB3: S<=> (A*B)+C+D
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów) i odwrotnie, stąd mamy:
RB3:
S = (A*B)+C+D
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1 lub C=1 lub D=1

Stąd mamy odpowiedzi szczegółowe na dwa interesujące nas pytania.
Kod:

S1A Schemat 1A
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y|<=>S w zdarzeniach:
Y|<=>S=(A1: Y=>S)*~(B1: Y~>S)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
Y=(A*B)+C+D
                                          D
                                        ______
                      ------------------o    o------
                      |                   C        |
                      |                 ______     |
                      ------------------o    o------
             S        |      B            A        |
       -------------  |    ______       ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Y=(A*B)+C+D
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności Y|<=>S jest brak zmiennych wolnych
Gdzie:
Y - zastępczy przycisk Y opisany funkcją logiczną Y=(A*B)+C+D


Operator równoważności S|<=>Y to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy żarówka na schemacie S1A będzie się świecić (S=1)?


Odczytujemy:
RB3:
Żarówka będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przyciska A i wciśnięty będzie przycisk B lub wciśnięty będzie przycisk C lub wciśnięty będzie przycisk D
S = (A*B)+C+D
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1 lub C=1 lub D=1
W naturalnej logice jedynek, czyli w naturalnej logice człowieka kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Stąd słowna wersja równoważności RB3 jest matematycznie jednoznaczna mimo że nie zawiera nawiasów w treści zdania.

2.
Kiedy żarówka na schemacie S1A nie będzie się świecić (~S=1)?


Negujemy dwustronnie równanie RB3:
~S = ~[(A*B)+C+D]
W tym przypadku wygodnie jest skorzystać ze skróconego przejścia do logiki ujemnej (bo ~S) bezpośrednio z równania RB3.
RB3: S = (A*B)+C+D
Przechodzimy z równaniem RB3 do logiki ujemnej (bo ~S) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
RA4:
~S = (~A+~B)*~C*~D
Każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając, doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne gdzie z definicji wszystkie zmienne sprowadzone są do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka:
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny po prawej stronie:
RA4:
~S=~A*~C*~D + ~B*~C*~D
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 i ~C=1 i ~D=1 lub ~B=1 i ~A=1 i ~D=1
Odczytujemy:
żarówka nie będzie się świecić (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk A i nie będzie wciśnięty przycisk C i nie będzie wciśnięty przycisk D lub nie będzie wciśnięty przycisk B i nie będzie wciśnięty przycisk C i nie będzie wciśnięty przycisk D
~S=~A*~C*~D + ~B*~C*~D
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 i ~C=1 i ~D=1 lub ~B=1 i ~A=1 i ~D=1

Podsumowanie:
1.
Zauważmy, że poznana teoria matematyczna (algebra Kubusia) absolutnie genialnie opisuje otaczający nas świat fizyczny.
W algebrze Kubusia patrząc na schemat S1A z punktu odniesienia równoważności:
RB3: S<=>Y = RA4: ~S<=>~Y
nie gubimy informacji o opisywanym układzie co oznacza, że taki opis doskonale nadaje się w technikach komputerowych.
2.
Operator równoważności p|<=>q to jedyny sensowny operator logiczny w programowaniu komputerów, bowiem pozostałe operatory logiczne implikacji prostej p|=>q, implikacji odwrotnej p|~>q nie są matematycznie jednoznaczne, czyli ich opis nie zawiera pełnej informacji o badanym układzie.
3.
Przed wszystkim:
W świecie techniki operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q są idiotyzmem ze wzglądu na „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” tu występujące.
Przykładowo samochód sterowany na fundamencie implikacji prostej p|=>q działał by tak:
Jak skręcam kierownicą w lewo to samochód zawsze skręca w lewo (nie ma „wolnej woli”)
ale:
Jak skręcam kierownicą w prawo to samochód „rzuca sobie monetą”:
orzełek - samochód skręca w prawo zgodnie z rozkazem kierowcy
reszka - samochód skręca w lewo wbrew oczekiwaniom kierowcy (ma „wolną wolę”)
Czyż trzeba kogokolwiek dodatkowo przekonywać że implikacja prosta p|=>q jest w świecie techniki idiotyzmem i nigdy nie znajdzie tu zastosowania?
Z implikacją odwrotną p|~>q jest identycznie, co za chwilę udowodnimy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:54, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:07, 26 Lip 2020    Temat postu:

Spis treści
6.2 Operator implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach 1
6.2.1 Złożony operator implikacji prostej Z|=>S 3
6.2.2 Tożsamość logiczna w implikacji prostej Z|=>S 6
6.2.3 Wygenerowanie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => 7
6.2.4 Analiza implikacji odwrotnej S|~>Z w zdarzeniach 10



6.2 Operator implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
Kod:

T1.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z implikacją prostą p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach jest następujący.
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej A|=>S:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1   = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]               = 4:~S~~>A =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S=0     [=] 3: S=>A  =0   = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~A~~>S=1     [=] 3: S~~>~A=1
Legenda:
## - różne na mocy definicji

Dowód iż powyższy schemat S3 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)

Badamy prawdziwość zdań A1 i B1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Zawsze, gdy wciśnięty jest (=1) klawisz A żarówka świeci się
Wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie klawisza A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się bowiem żarówkę może zaświecić zmienna wolna W (W=1) niezależnie od stanu przycisku A.

Stąd mamy dowód, iż schemat S3 rzeczywiście jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.

6.2.1 Złożony operator implikacji prostej Z|=>S

Rozważmy teraz bardziej złożony układ implikacji prostej Z|=>S
Kod:

S3A Schemat 3A
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej Z|=>S w zdarzeniach:
Z|=>S=(A1: Z=>S)*~(B1: Z~>S)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
Z=A*B - zastępcza zmienna związana
W=C+D - zastępcza zmienna wolna
                                          D
                                        ______
                      ------------------o    o------
                      |                   C        |
                      |                 ______     |
                      ------------------o    o------
             S        |      B            A        |
       -------------  |    ______       ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zstępczy schemat tożsamy:
                                       W=C+D
                                       ______
                               --------o    o-------
                               |                   |
             S                 |       Z=A*B       |
       -------------           |       ______      |
  -----| Żarówka   |-------------------o    o-------
  |    -------------                               |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Z=A*B
Zmienna wolna: W=C+D
Istotą implikacji prostej Z|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku Z

Definicja zastępczego przycisku Z:
Przycisk zastępczy Z jest poprawnie zdefiniowany matematycznie wtedy i tylko wtedy gdy funkcja logiczna Z może przyjmować zarówno wartość logiczną 1 jak i wartość logiczną 0 w zależności od zmiennych wejściowych.

Nasz przykład:
Z=A*B
Łatwo widzieć, że nasz przycisk zastępczy Z jest matematycznie poprawny bo:
Jeśli A=0 to Z=0 - niezależnie od stanu przycisku B
Jeśli A=1 i B=1 to Z=1
cnd

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej Z|=>S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w Z|=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: Z=>S  =1 = 2:~Z~>~S=1     [=] 3: S~>Z  =1   = 4:~S=>~Z =1
A’: 1: Z~~>~S=0 =                [=]               = 4:~S~~>Z =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: Z~>S  =0 = 2:~Z=>~S=0     [=] 3: S=>Z  =0   = 4:~S~>~Z =0
B’:             = 2:~Z~~>S=1     [=] 3: S~~>~Z=1
-------------------------------------------------------------------
 GM=A1: Z=>S=1  # ~GM=A2:~Z~>~S=1 | ~GM=A3: S~>Z=1 # GM=A4:~S=>~Z=1
~RM=A1: Z=>S=1  #  RM=A2:~Z~>~S=1 |  RM=A3: S~>Z=1 #~RM=A4:~S=>~Z=1
 GM=A1[=]~RM=A1 # ~GM=A2[=]RM=A2  | ~GM=A3[=]RM=A3 # GM=A4[=]~RM=A4
Legenda:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony
GM - gwarancja matematyczna
RM - „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
AB12:
 GM=A1: Z=>S =1 - w A1: Z=>S jest gwarancja matematyczna (GM=1)
~RM=A1: Z=>S =1 - w A1: Z=>S nie ma (~) „rzucania monetą” (~RM=1)
GM=A1[=]~RM=A1
#
~GM=A2:~Z~>~S=1 - w A2:~Z~>~S nie ma (~) gwarancji matematycznej (~GM=1)
 RM=A2:~Z~>~S=1 - w A2:~Z~>~S jest „rzucanie monetą” RM (RM=1)
~GM=A2[=]RM=A2


AB12:
Operator implikacji prostej Z|=>S to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” na dwa pytania:

1.
Co się stanie jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1)?


Odpowiedź na to pytania dają zdania A1 i A1’ z tabeli T2:
A1.
Jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1) to żarówka na 100% => zaświeci się (S=1)
Z=>S =1
co w logice jedynek oznacza:
(Z=1)=>(S=1) =1
Zawsze, gdy wciśnięty jest (=1) klawisz Z (Z=1) żarówka świeci się (S=1)
Wciśnięcie klawisza Z jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie klawisza Z daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
Z~~>~S = Z*~S=0 - zdarzenie niemożliwe
co w logice jedynek oznacza:
(Z=1)~~>(~S=1)=0
Nie jest możliwe (=0) aby przycisk Z był wciśnięty i żarówka nie świeciła się.
Dowód:
Na schemacie S3 nie ma zmiennej wolnej W1 połączonej szeregowo z przyciskiem Z która by powodowała fałszywość zdania A1 (przy W1=0).

2.
Co się stanie jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1)?


Odpowiedź na to pytanie dają zdania A2 i B2’ w tabeli T2.
Prawo Kubusia:
A1: Z=>S = A2: ~Z~>~S
stąd:
A2.
Jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~Z~>~S =1
co w logice jedynek oznacza:
(~Z=1)~~>(~S=1)=1
Nie wciśnięcie przycisku Z (~Z=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1).
Koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na wartość W=0.
Nie wciśnięcie przycisku Z (~Z=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk Z jest wciśnięty (Z=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~Z~>~S = A1: Z=>S
LUB
B2’
Jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~Z~~>S = ~Z*S =1 - zdarzenie możliwe (=1) gdy zmienna wolna W=1
co w logice jedynek oznacza:
(~Z=1)~~>(S=1)=1

Podsumowanie:
1.
W zdaniu A1 mamy gwarancję matematyczną => iż jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1) to na 100% => żarówka będzie się świecić (S=1)
2.
Natomiast zdania A2 i B2’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „ na dwoje babka wróżyła”, czyli:
A2.
Jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~Z~>~S =1 - nie wciśnięcie Z jest konieczne ~> dla ~S
Konieczne ~> dlatego, że dodatkowo zmienna wolna musi być ustawiona na W=0.
LUB
Jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~Z~~>S = ~Z*S =1 - zdarzenie możliwe, gdy zmienna wolna ustawiona jest na W=1
Trzeciej możliwości brak - „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” widać tu jak na dłoni.

6.2.2 Tożsamość logiczna w implikacji prostej Z|=>S

Prawo Kubusia:
A1: Z=>S = A2:~Z~>~S

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Zdanie A1 to gwarancja matematyczna GM:
GM=A1: Z=>S =1 - wciśnięcie Z (Z=1) gwarantuje (GM=1) świecenie S (S=1)
#
Zdanie A2 to „rzucanie monetą” (RM), czyli brak gwarancji matematycznej (~GM)
~GM=A2:~Z~>~S=1 - nie wciśnięcie Z (~Z=1) nie gwarantuje (~GM=1) nie świecenia S (~S=1)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony:
GM # ~GM
Prawo podwójnego przeczenia:
Prawdą jest, że w zdaniu X zachodzi gwarancja matematyczna (GM) = nie jest prawdą (~) że w tym samym zdaniu X nie zachodzi gwarancja matematyczna (~GM)
GM = ~(~GM)

Opiszmy tożsamość logiczną w implikacji prostej Z|=>S w tabeli prawdy:
Kod:

Prawo Kubusia:              |  Prawo Kubusia:
A1: Z=>S = A2:~Z~>~S       [=] A2: ~Z~>~S = A1: Z=>S
A1: Z=>S =1                [=] A2: ~Z~>~S=1
                            |  LUB
A1’: Z~~>~S=0               |  B2’:~Z~~>S=1
GM=A1: Z=>S [=]~RM=A1: Z=>S # RM=A2:~Z~>~S [=] ~GM=A2:~Z~>~S
Gdzie:
# - różne w znaczeniu że jedna strona # jest negacją drugiej strony
GM - gwarancja matematyczna => = warunek wystarczający =>
RM - „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
Matematycznie zachodzi:
D=GM+~GM=1 - dziedzina D to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń
W zdaniu może być zawarta gwarancja matematyczna (GM=1) albo nie (~GM=1)
GM+~GM =1 - ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM
GM*~GM =0 - GM nie może być jednocześnie spełniona GM i niespełniona ~GM
Prawo podwójnego przeczenia:
Gwarancja GM = nie jest prawdą (~) że nie ma gwarancji matematycznej (~GM)
GM=~(~GM)

Uwaga:
Opisana wyżej tożsamość logiczna w implikacji prostej Z|=>S zachodzi tylko tu i nigdzie więcej.

W szczególności opisana tu zależność definiowana znaczkiem #:
Kod:

GM=A1: Z=>S [=]~RM=A1: Z=>S # RM=A2:~Z~>~S [=] ~GM=A2:~Z~>~S
Gdzie:
# - różne w znaczeniu że jedna strona # jest negacją drugiej strony

nie zachodzi ani w operatorze równoważności p|<=>q, ani też w operatorze chaosu p|~~>q

6.2.3 Wygenerowanie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>

Kod:

S3A Schemat 3A
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej Z|=>S w zdarzeniach:
Z|=>S=(A1: Z=>S)*~(B1: Z~>S)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
Z=A*B - zastępcza zmienna związana
W=C+D - zastępcza zmienna wolna
                                       W=C+D
                                       ______
                               --------o    o-------
                               |                   |
             S                 |       Z=A*B       |
       -------------           |       ______      |
  -----| Żarówka   |-------------------o    o-------
  |    -------------                               |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Z=A*B
Zmienna wolna: W=C+D
Istotą implikacji prostej Z|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku Z

Zapiszmy naszą analizę symboliczną układu S3A przedstawioną w poprzednim punkcie w tabeli prawdy:
Kod:

Operator implikacji prostej Z|=>S to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co się stanie jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1)
A1:  Z=> S =1 - wciśnięcie Z daje gwarancję matematyczną => świecenia S
A1’: Z~~>~S=0 - zdarzenie niemożliwe
2.
Co się stanie jeśli przycisk Z nie zostanie wciśnięty (~Z=1)?
Prawo Kubusia:
A1: Z=>S = A2:~Z~>~S
stąd:
A2:  ~Z~>~S =1 - nie wciśnięcie Z jest konieczne dla nie świecenia S (~S=1)
                 konieczne ~> bo dodatkowo zmienna wolna musi być W=0
lub
B2’: ~Z~~>S =1 - możliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty Z i świeci S (S=1)
                 możliwe ~~> gdy zmienna wolna ustawiona jest na W=1

Przejdźmy z analizą układu S3A na zapisy ogólne podstawiając:
p=Z
q=S
Zapiszmy powyższą analizę w postaci symbolicznej w tabeli prawdy:
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
układu S3A    |
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Prawo Kubusia:
A1: p=>q =A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo w punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1:
A1: p=>q
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (punkt odniesienia) jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy naszą tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |A1: p=>q          |
p|=>q         |                  |                  | p   q  p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0~> 0   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1   =1
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (~p=1)=(p=0)     |
                                 | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanego wyłącznie w linii A1.
Innymi słowy:
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3: p=>q wskazuje linię w definicji symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zakodujmy tabelę symboliczną T3 abc z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~> widniejącym w linii A2:
A2: ~p~>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q, by uzyskać końcową tabelę zero-jedynkowa 123 definiującą warunek konieczny ~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Kod:

T4.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |A2:~p~>~q         |
p|=>q         |                  |                  |~p  ~q ~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1   =0
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~> 1   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~~>0   =1
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanego wyłącznie w linii A2.

Zauważmy że:
Definicje symboliczne abc w tabelach T3 i T4 są identyczne, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w obu tabelach jest dowodem formalnym prawa Kubusia.

Prawo Kubusia:
T3: p=>q = T4: ~p~>~q
cnd

6.2.4 Analiza implikacji odwrotnej S|~>Z w zdarzeniach

Weźmy jeszcze raz nasz układ S3A:
Kod:

S3A Schemat 3A
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej Z|=>S w zdarzeniach:
Z|=>S=(A1: Z=>S)*~(B1: Z~>S)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
Z=A*B - zastępcza zmienna związana
W=C+D - zastępcza zmienna wolna
                                          D
                                        ______
                      ------------------o    o------
                      |                   C        |
                      |                 ______     |
                      ------------------o    o------
             S        |      B            A        |
       -------------  |    ______       ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zstępczy schemat tożsamy:
                                       W=C+D
                                       ______
                               --------o    o-------
                               |                   |
             S                 |       Z=A*B       |
       -------------           |       ______      |
  -----| Żarówka   |-------------------o    o-------
  |    -------------                               |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Z=A*B
Zmienna wolna: W=C+D
Istotą implikacji prostej Z|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku Z

Przyjmijmy za punkt odniesienia schemat zstępczy implikacji prostej Z|=>S.
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej Z|=>S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w Z|=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: Z=>S  =1 = 2:~Z~>~S=1     [=] 3: S~>Z  =1   = 4:~S=>~Z =1
A’: 1: Z~~>~S=0 =                [=]               = 4:~S~~>Z =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: Z~>S  =0 = 2:~Z=>~S=0     [=] 3: S=>Z  =0   = 4:~S~>~Z =0
B’:             = 2:~Z~~>S=1     [=] 3: S~~>~Z=1
       I             II                 III             IV
Legenda:
## - różne na mocy definicji

Na początek udowodnijmy, że implikacja prosta Z|=>S jest matematycznie tożsama z implikacją odwrotną S|~>Z:
AB12:
Z|=>S = (A1: Z=>S)*~(Z~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
AB34:
S|~>Z = (A3: S~>Z)*~(B3: S=>Z) = 1*~(0)=1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
AB12:
Z|=>S = (A1: Z=>S)*~(Z~>S) = (~Z+S)*~(Z+~S) = (~Z+S)*(~Z*S) = ~Z*S
AB34:
S|~>Z = (A3: S~>Z)*~(B3: S=>Z) = (S+~Z)*~(~S+Z) = (S+~Z)*(S*~Z) = S*~Z = ~Z*S
stąd mamy:
AB12: Z|=>S = ~Z*S [=] AB23: S|~>Z = ~Z*S
cnd

Rozważmy dwie ostatnie ćwiartki tabeli T2 (III i IV):
AB34:
Operator implikacji odwrotnej S|~>Z to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” na dwa pytania:

1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (S=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w zdaniach A3 i B3’ w tabeli T2,
A3.
Jeśli żarówka będzie się świecić (S=1) to przycisk Z może ~> być wciśnięty (Z=1)
S~>Z =1
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla wyciągnięcia wniosku iż wciśnięty jest klawisz Z (Z=1)
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla wyciągnięcia wniosku iż przycisk Z jest wciśnięty (Z=1) bo jak żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => przycisk Z nie jest wciśnięty (~Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A3: S~>Z = A4:~S=>~Z
LUB
B3’
Jeśli żarówka będzie się świecić (S=1) to przycisk Z może ~~> nie być wciśnięty (~Z=1)
S~~>~Z = S*~Z =1 - zdarzenie możliwe gdy zmienna wolna będzie ustawiona na W=1

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w zdaniach A4 i A4’ w tabeli T2
Prawo Kubusia:
A3: S~>Z = A4:~S=>~Z
stąd:
A4.
Jeśli żarówka nie będzie się świecić (~S=1) to na 100% => przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1)
~S=>~Z =1
Brak świecenie się żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => do wyciągnięcia wniosku iż nie jest wciśnięty przycisk Z.
Dowód:
Zauważmy, że przycisku Z i W połączone są równolegle.
Jeśli zatem żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => nie jest wciśnięty przycisk Z (~Z=1) i nie jest wciśnięty przycisk W (~W=1).
Prawo Prosiaczka:
(~Z=1)=(Z=0)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’.
Sprawdzenie:
A4’.
Jeśli żarówka nie będzie się świecić (~S=1) to przycisk Z może ~~> być wciśnięty (Z=1)
~S~~>Z = ~S*Z =0 - zdarzenie niemożliwe
Nie jest możliwe (=0) by przycisk Z był wciśnięty (Z=1) i żarówka nie świeciła się (~S).
Spójnik zdarzenia możliwego ~~> jest przemienny.

Jak przenieść powyższą analizę na pełny schemat układu S3A widziany z punktu odniesienia implikacji prostej Z|=>S?
Pod układ zastępczy klawisza Z trzeba podstawić funkcje logiczną:
Z=A*B
zaś pod układ zastępczy klawisza W trzeba podstawić funkcje logiczną:
W=C+D
… i po bólu.

Zauważmy, że w pełnej analizie pełnego schematu nie zgubimy żadnej zmiennej z funkcji logicznej związanej:
Z=A*B
Natomiast w funkcji logicznej zmiennej wolnej W interesuje nas wyłącznie przypadek kiedy W=1 a kiedy W=0.
Jeśli zatem założymy, że nie znamy funkcji zmiennej wolnej W, co jest standardem w dowodzeniu twierdzeń matematycznych to nie mamy żadnych szans na odtworzenie zmiennej wolnej W.
Wniosek:
Implikacja prosta Z|=>S nie zawiera informacji o zmiennej wolnej W.
Po prostu:
Dla analizy układu implikacji prostej Z|=>S wystarczy nam informacja iż zmienna wolna W może przyjąć wartość logiczną 1 albo 0, co musi być spełnione z definicji poprawności matematycznej przycisku zastępczego W.
Szczegółowa budowa funkcji logicznej W nie jest nam potrzebna w analizie implikacji prostej Z|=>S.

Przykład z otaczającego nas świata gdzie z definicji nie znamy zmiennej wolnej W:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania
Zauważmy, że gdybyśmy w zdaniu B1 znali dokładną budowę funkcji logicznej W (zmienna wolna) to moglibyśmy zapisać zdanie B1 w formie równoważności i przewidywać jaka będzie jutro pogoda z dokładnością absolutną, minuta po minucie.
Niestety, znamy tylko przybliżenie zmiennej wolnej W w postaci obserwacji pogody w punktach obserwacyjnych na naszej planecie.

Wnioski:
1.
Implikacja zarówno prosta Z|=>S jak i tożsama implikacja odwrotna S|~>Z nie zawierają szczegółowej budowy funkcji logicznej W (zmienna wolna).
Zauważmy że:
Szczegółowa budowa zmiennej wolnej W nie jest nam potrzebna w analizie zarówno implikacji prostej Z|=>S jak i tożsamej z nią implikacji odwrotnej S|~>Z.
2.
Operator implikacji prostej Z|=>S nie nadaje się do zastosowań w świeci techniki bo nie zawiera informacji o budowie funkcji logicznej zmiennej wolnej W.
3.
Przede wszystkim:
W świecie techniki operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q są idiotyzmem ze wzglądu na „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” tu występujące.
Przykładowo samochód sterowany na fundamencie implikacji prostej p|=>q działał by tak:
Jak skręcamy kierownicą w lewo to samochód zawsze skręca w lewo (nie ma „wolnej woli”)
ale:
Jak skręcam kierownicą w prawo to samochód „rzuca sobie monetą”:
orzełek - samochód skręca w prawo zgodnie z rozkazem kierowcy
reszka - samochód skręca w lewo wbrew oczekiwaniom kierowcy (ma „wolną wolę”)
Czyż trzeba kogokolwiek dodatkowo przekonywać że implikacja prosta p|=>q jest w świecie techniki idiotyzmem i nigdy nie znajdzie tu zastosowania?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:54, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:48, 27 Lip 2020    Temat postu:

Spis treści
6.3 Operator implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach 1
6.3.1 Złożony operator implikacji odwrotnej Z|~>S 3
6.3.2 Tożsamość logiczna w implikacji odwrotnej Z|~>S 6
6.3.3 Wygenerowanie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> 7
6.3.4 Analiza implikacji prostej S|=>Z w zdarzeniach 10
6.3.1 Implikacja odwrotna Z|~>S widziana z punktu odniesienia Z|<=>S 13



6.3 Operator implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach jest następujący.
Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji prostej odwrotnej A|~>S dla naszego układu:
A|=>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1 =1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej A|~>S:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|~>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S=0     [=] 3: S~>A  =0   = 4:~S=>~A =0
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]               = 4:~S~~>A =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1   = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
Legenda:
## - różne na mocy definicji

Dowód iż powyższy schemat S3 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S

Definicja podstawowa implikacji prostej odwrotnej A|~>S dla naszego układu:
A|=>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1 =1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)

Badamy prawdziwość zdań A1 i B1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S bowiem dla W=0 żarówka nie będzie się świecić mimo wciśnięcia przycisku A.
Innymi słowy:
Nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A (A=1) żarówka zaświeci się (S=1)
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się.
Koniecznym ~> dlatego, że dodatkowo zmienna wolna musi być ustawiona na W=1.

Stąd mamy dowód, iż schemat S4 rzeczywiście jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S.

6.3.1 Złożony operator implikacji odwrotnej Z|~>S

Rozważmy teraz bardziej złożony układ implikacji odwrotnej Z|~>S
Kod:

S4A Schemat 4A
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej Z|~>S w zdarzeniach:
Z|~>S=~(A1: Z=>S)*(B1: Z~>S)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
Z=A*B - zastępcza zmienna związana
W=C+D - zastępcza zmienna wolna
                                                      D
                                                    ______
                                                ----o    o----
             S               A            B     |     C      |
       -------------       ______       ______  |   ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------o    o----
  |    -------------                                         |
  |                                                          |
______                                                       |
 ___    U (źródło napięcia)                                  |
  |                                                          |
  |                                                          |
  ------------------------------------------------------------
Zstępczy schemat tożsamy:
             S              Z=A*B            W=C+D
       -------------       ______            ______
  -----| Żarówka   |-------o    o------------o    o------
  |    -------------                                    |
______                                                  |
 ___    U (źródło napięcia)                             |
  |                                                     |
  -------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Z=A*B
Zmienne wolna: W=C+D
Istotą operatora implikacji odwrotnej Z|~>S jest zmienna wolna W połączona szeregowo z przyciskiem Z
Gdzie:
Z - zastępczy przycisk Z opisany funkcją logiczną Z=A*B
W - zastępczy przycisk W opisany funkcją logiczną W=C+D

Definicja zastępczego przycisku Z:
Przycisk zastępczy Z jest poprawnie zdefiniowany matematycznie wtedy i tylko wtedy gdy funkcja logiczna Z może przyjmować zarówno wartość logiczną 1 jak i wartość logiczną 0 w zależności od zmiennych wejściowych.

Nasz przykład:
Z=A*B
Łatwo widzieć, że nasz przycisk zastępczy Z jest matematycznie poprawny bo:
Jeśli A=1 i B=1 to Y=1
Jeśli A=0 to Y=0 niezależnie od stanu przycisku B
cnd

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej Z|~>S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w Z|~>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: Z=>S  =0 = 2:~Z~>~S=0     [=] 3: S~>Z  =0   = 4:~S=>~Z =0
A’: 1: Z~~>~S=1 =                [=]               = 4:~S~~>Z =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: Z~>S  =1 = 2:~Z=>~S=1     [=] 3: S=>Z  =1   = 4:~S~>~Z =1
B’:             = 2:~Z~~>S=0     [=] 3: S~~>~Z=0
-------------------------------------------------------------------
 RM=B1: Z~>S=1  # ~RM=B2:~Z=>~S=1 |  GM=B3: S=>Z=1  #~GM=B4:~S~>~Z=1
~GM=B1: Z~>S=1  #  GM=B2:~Z=>~S=1 | ~RM=B3: S=>Z=1  # RM=B4:~S~>~Z=1
 RM=B1[=]~GM=B1 # ~RM=B2[=]GM=B2  |  GM=B3[=]~RM=B3 # RM=B4:[=]~GM=B4
Legenda:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony
GM - gwarancja matematyczna
RM - „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
AB12:
 RM=B1: Z~>S =1 - w B1:Z~>S jest „rzucanie monetą” RM (RM=1)
~GM=B1: Z~>S =1 - w B1:Z~>S nie ma (~) gwarancji matematycznej (~GM=1)
RM=B1[=]~GM=B1
#
 GM=B2:~Z=>~S=1 - w B2:~Z=>~S jest gwarancja matematyczna (GM=1)
~RM=B2:~Z=>~S=1 - w B2:~Z=>~S nie ma (~) „rzucania monetą” (~RM=1)
~RM=B2[=]GM=B2


AB12:
Operator implikacji odwrotnej Z|~>S to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” na dwa pytania:

1.
Co się stanie jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1)?


Odpowiedź na to pytania dają zdania B1 i A1’ z tabeli T2:
B1.
Jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
Z~>S =1
co w logice jedynek oznacza:
(Z=1)~~>(S=1)=1
Wciśnięcie przycisku Z (Z=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na wartość W=1.
Wciśnięcie przycisku Z (Z=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk Z nie jest wciśnięty (~Z=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: Z~>S = B2: ~Z=>~S
LUB
A1’.
Jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
Z~~>~S = Z*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1) gdy zmienna wolna W=0
co w logice jedynek oznacza:
(Z=1)~~>(~S=1)=1

2.
Co się stanie jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1)?


Odpowiedź na to pytanie dają zdania B2 i B2’ w tabeli T2.
Prawo Kubusia:
B1: Z~>S = B2: ~Z=>~S
stąd:
B2.
Jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1) to żarówka na 100% => nie zaświeci się (~S=1)
~Z=>~S =1
co w logice jedynek oznacza:
(~Z=1)=>(~S=1) =1
Zawsze, gdy nie jest wciśnięty przycisk Z (~Z=1) żarówka nie świeci się (~S=1)
Nie wciśnięcie klawisza Z jest wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S
Nie wciśnięcie klawisza Z daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia się żarówki S
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~Z~~>S = ~Z*S=0 - zdarzenie niemożliwe
co w logice jedynek oznacza:
(~Z=1)~~>(S=1)=0
Nie jest możliwe (=0) aby przycisk Z nie był wciśnięty (~Z=1) i żarówka świeciła się (S=1)
Dowód:
Na schemacie S4A nie ma zmiennej wolnej W1 połączonej równolegle z przyciskiem Z która by powodowała fałszywość zdania B2 (przy W1=1).

Podsumowanie:
1.
Zdania B1 i A1’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „ na dwoje babka wróżyła”, czyli:
B1.
Jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
Z~>S =1
Wciśnięcie przycisku Z (Z=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Koniecznym ~> dlatego, że dodatkowo zmienna wolna musi być ustawiona na W=1.
LUB
A1’.
Jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
Z~~>~S = Z*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1) gdy zmienna wolna W=0
Trzeciej możliwości brak - „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” widać tu jak na dłoni.
2.
Natomiast w zdaniu B2 mamy gwarancję matematyczną => iż jeśli przycisk Z nie będzie wciśnięty (~Z=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)

6.3.2 Tożsamość logiczna w implikacji odwrotnej Z|~>S

Prawo Kubusia:
B1: Z~>S = B2: ~Z=>~S

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Zdanie B2 to gwarancja matematyczna GM:
GM=B2: ~Z=>~S =1 - nie wciśnięcie Z (~Z=1) gwarantuje (GM=1) nie świecenie S (~S=1)
#
Zdanie B1 to „rzucanie monetą” (RM), czyli brak gwarancji matematycznej (~GM)
~GM=B1: Z~>S=1 - wciśnięcie Z (Z=1) nie gwarantuje (~GM=1) świecenia S (S=1)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony:
GM # ~GM
Prawo podwójnego przeczenia:
Prawdą jest, że w zdaniu X zachodzi gwarancja matematyczna (GM) = nie jest prawdą (~) że w tym samym zdaniu X nie zachodzi gwarancja matematyczna (~GM)
GM = ~(~GM)

Opiszmy tożsamość logiczną w implikacji odwrotnej Z|~>S w tabeli prawdy:
Kod:

Prawo Kubusia:              |  Prawo Kubusia:
B1: Z~>S = B2:~Z=>~S       [=] B1: Z~>S = B2:~Z=>~S
B1: Z~>S =1                [=] B2: ~Z=>~S=1
LUB                         |
A1’: Z~~>~S=1               |  B2’:~Z~~>S=0
RM=B1:Z~>S [=] ~GM=B1:Z~>S  #  GM=B2:~Z=>~S [=]~RM=B2:~Z=>~S
Gdzie:
# - różne w znaczeniu że jedna strona # jest negacją drugiej strony
GM - gwarancja matematyczna => = warunek wystarczający =>
RM - „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
Matematycznie zachodzi:
D=GM+~GM=1 - dziedzina D to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń
W zdaniu może być zawarta gwarancja matematyczna (GM=1) albo nie (~GM=1)
GM+~GM =1 - ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM
GM*~GM =0 - GM nie może być jednocześnie spełniona GM i niespełniona ~GM
Prawo podwójnego przeczenia:
Gwarancja GM = nie jest prawdą (~) że nie ma gwarancji matematycznej (~GM)
GM=~(~GM)

Uwaga:
Opisana wyżej tożsamość logiczna w implikacji odwrotnej Z|~>S zachodzi tylko tu i nigdzie więcej.

W szczególności opisana tu zależność definiowana znaczkiem #:
Kod:

RM=B1:Z~>S [=] ~GM=B1:Z~>S  #  GM=B2:~Z=>~S [=]~RM=B2:~Z=>~S
Gdzie:
# - różne w znaczeniu że jedna strona # jest negacją drugiej strony

nie zachodzi ani w operatorze równoważności p|<=>q, ani też w operatorze chaosu p|~~>q

6.3.3 Wygenerowanie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>

Kod:

S4A Schemat 4A
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej Z|~>S w zdarzeniach:
Z|~>S=~(A1: Z=>S)*(B1: Z~>S)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
Z=A*B - zastępcza zmienna związana
W=C+D - zastępcza zmienna wolna
Zstępczy schemat tożsamy:
             S              Z=A*B            W=C+D
       -------------       ______            ______
  -----| Żarówka   |-------o    o------------o    o------
  |    -------------                                    |
______                                                  |
 ___    U (źródło napięcia)                             |
  |                                                     |
  -------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Z=A*B
Zmienne wolna: W=C+D
Istotą operatora implikacji odwrotnej Z|~>S jest zmienna wolna W połączona szeregowo z przyciskiem Z
Gdzie:
Z - zastępczy przycisk Z opisany funkcją logiczną Z=A*B
W - zastępczy przycisk W opisany funkcją logiczną W=C+D

Zapiszmy naszą analizę symboliczną układu S4A przedstawioną w poprzednim punkcie w tabeli prawdy:
Kod:

Operator implikacji prostej Z|=>S to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co się stanie jeśli przycisk Z będzie wciśnięty (Z=1)
B1:  Z~> S =1 - wciśnięcie Z (Z=1) jest konieczne dla świecenia S (S=1)
                konieczne ~> bo dodatkowo zmienna wolna musi być W=1
lub
A1’: Z~~>~S=1 - możliwe jest zdarzenie: wciśnięty Z i nie świeci S (~S=1)
                możliwe ~~> gdy zmienna wolna ustawiona jest na W=0
2.
Co się stanie jeśli przycisk Z nie zostanie wciśnięty (~Z=1)?
Prawo Kubusia:
B1: Z~>S = B2:~Z=>~S
stąd:
B2: ~Z=>~S =1 -nie wciśnięcie Z (~Z=1) gwarantuje => nie świecenie S (~S=1)
B2’:~Z~~>S =0 - nie jest możliwe zdarzenie:
                nie wciśnięty Z (~Z=1) i świeci S (S=1)

Przejdźmy z analizą układu S4A na zapisy ogólne podstawiając:
p=Z
q=S
Zapiszmy powyższą analizę w postaci symbolicznej w tabeli prawdy:
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
układu S4A    |
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo w punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~> B1:
B1: p~>q
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego (punkt odniesienia) jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |B1: p~>q          |
p|~>q         |                  |                  | p   q  p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~> 1   =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0   =1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (~p=1)=(p=0)     |
                                 | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanego wyłącznie w linii B1.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Kodowanie tabeli symbolicznej T2 z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym:
B2: ~p=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q, by uzyskać końcową tabelę zero-jedynkowa 123 definiującą warunek wystarczający ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Kod:

T4.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |B2: ~p=>~q        |
p|~>q         |                  |                  |~p  ~q ~p=>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0~> 0   =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0~~>1   =1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=> 1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0   =0
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanego wyłącznie w linii B2.
Zauważmy, że analiza symboliczna abc implikacji odwrotnej p|~>q w tabelach T3 i T4 jest identyczna co jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
T3: p~>q = T4: ~p=>~q

6.3.4 Analiza implikacji prostej S|=>Z w zdarzeniach

Weźmy jeszcze raz nasz układ S4A:
Kod:

S4A Schemat 4A
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej Z|~>S w zdarzeniach:
Z|~>S=~(A1: Z=>S)*(B1: Z~>S)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
Z=A*B - zastępcza zmienna związana
W=C+D - zastępcza zmienna wolna
                                                      D
                                                    ______
                                                ----o    o----
             S               A            B     |     C      |
       -------------       ______       ______  |   ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------o    o----
  |    -------------                                         |
  |                                                          |
______                                                       |
 ___    U (źródło napięcia)                                  |
  |                                                          |
  |                                                          |
  ------------------------------------------------------------
Zstępczy schemat tożsamy:
             S              Z=A*B            W=C+D
       -------------       ______            ______
  -----| Żarówka   |-------o    o------------o    o------
  |    -------------                                    |
______                                                  |
 ___    U (źródło napięcia)                             |
  |                                                     |
  -------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Z=A*B
Zmienne wolna: W=C+D
Istotą operatora implikacji odwrotnej Z|~>S jest zmienna wolna W połączona szeregowo z przyciskiem Z
Gdzie:
Z - zastępczy przycisk Z opisany funkcją logiczną Z=A*B
W - zastępczy przycisk W opisany funkcją logiczną W=C+D

Przyjmijmy za punkt odniesienia schemat zstępczy implikacji odwrotnej Z|~>S
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej Z|~>S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w Z|~>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: Z=>S  =0 = 2:~Z~>~S=0     [=] 3: S~>Z  =0   = 4:~S=>~Z =0
A’: 1: Z~~>~S=1 =                [=]               = 4:~S~~>Z =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: Z~>S  =1 = 2:~Z=>~S=1     [=] 3: S=>Z  =1   = 4:~S~>~Z =1
B’:             = 2:~Z~~>S=0     [=] 3: S~~>~Z=0
       I             II                 III             IV
Legenda:
## - różne na mocy definicji

Na początek udowodnijmy, że implikacja odwrotna Z|~>S jest matematycznie tożsama z implikacją prostą S|=>Z:
AB12:
Z|~>S = ~(A1: Z=>S)*(B1: Z~>S) = ~(0)*1 =1*1 =1
AB34:
S|=>Z = ~(A3: S~>Z)*(B3: S=>Z) = ~(0)*1 =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
AB12:
Z|~>S = ~(A1: Z=>S)*(B1: Z~>S) = ~(~Z+S)*(Z+~S) = (Z*~S)*(Z+~S) = Z*~S
AB34:
S|=>Z = ~(A3: S~>Z)*(B3: S=>Z) = ~(S+~Z)*(~S+Z) = (~S*Z)*(~S+Z) = ~S*Z = Z*~S
stąd mamy:
AB12: Z|~>S = Z*~S [=] AB34: S|=>Z = Z*~S
cnd

Rozważmy dwie ostatnie ćwiartki tabeli T2 (III i IV):
AB34:
Operator implikacji prostej S|=>Z to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” na dwa pytania:

1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (S=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w zdaniach B3 i B3’ w tabeli T2.
B3.
Jeśli żarówka będzie się świecić (S=1) to na 100% => przycisk Z jest wciśnięty (Z=1)
S=>Z =1
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => do wyciągnięcia wniosku iż wciśnięty jest przycisk Z (Z=1)
Dowód:
Zauważmy że przyciski Z i W połączone są szeregowo.
Jeśli zatem żarówka świeci się (S=1) to na 100% => jest wciśnięty przycisk Z (Z=1) i jest wciśnięty przycisk W (W=1).
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’.
Sprawdzenie:
B3’.
Jeśli żarówka będzie się świecić (S=1) to przycisk Z może ~~> nie być wciśnięty (~Z=1)
S~~>~Z = S*~Z =0 - zdarzenie niemożliwe
Nie jest możliwe (=0) by przycisk Z nie był wciśnięty (~Z=1) i żarówka świeciła się (S=1).
Spójnik zdarzenia możliwego ~~> jest przemienny.

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w zdaniach B4 i A4’ w tabeli T2
Prawo Kubusia:
B3: S=>Z = B4:~S~>~Z
stąd:
B4.
Jeśli żarówka nie będzie się świecić (~S=1) to przycisk Z może ~> nie być wciśnięty (~Z=1)
~S~>~Z =1
Nie świecenie się żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla wyciągnięcia wniosku iż nie jest wciśnięty przycisk Z (~Z=1).
Nie świecenie się żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla wyciągnięcia wniosku iż przycisk Z nie jest wciśnięty (~Z=1) bo jak żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk Z jest wciśnięty (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B4:~S~>~Z = B3: S=>Z
LUB
A4’
Jeśli żarówka nie będzie się świecić (~S=1) to przycisk Z może ~~> być wciśnięty (Z=1)
~S~~>Z = ~S*Z =1 - zdarzenie możliwe gdy zmienna wolna będzie ustawiona na W=0

Jak przenieść powyższą analizę na pełny schemat układu S4A widziany z punktu odniesienia implikacji odwrotnej Z|~>S?
Pod układ zastępczy klawisza Z trzeba podstawić funkcje logiczną:
Z=A*B
zaś pod układ zastępczy klawisza W trzeba podstawić funkcje logiczną:
W=C+D
… i po bólu.

Zauważmy, że w pełnej analizie schematu S4A nie zgubimy żadnej zmiennej z funkcji logicznej związanej:
Z=A*B
Natomiast w funkcji logicznej zmiennej wolnej W interesuje nas wyłącznie przypadek kiedy W=1 a kiedy W=0.
Jeśli zatem założymy, że nie znamy funkcji zmiennej wolnej W, co jest standardem w dowodzeniu twierdzeń matematycznych to nie mamy żadnych szans na odtworzenie zmiennej wolnej W.
Wniosek:
Implikacja odwrotna Z|~>S nie zawiera informacji o zmiennej wolnej W.
Po prostu:
Dla analizy układu implikacji odwrotnej Z|~>S wystarczy nam informacja iż zmienna wolna W może przyjąć wartość logiczną 1 albo 0, co musi być spełnione z definicji poprawności matematycznej przycisku zastępczego W.
Szczegółowa budowa funkcji logicznej W nie jest nam potrzebna w analizie implikacji odwrotnej Z|~>S.

Przykład z otaczającego nas świata gdzie z definicji nie znamy zmiennej wolnej W:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania
Zauważmy, że gdybyśmy w zdaniu B1 znali dokładną budowę funkcji logicznej W (zmienna wolna) to moglibyśmy zapisać zdanie B1 w formie równoważności i przewidywać jaka będzie jutro pogoda z dokładnością absolutną, minuta po minucie.
Niestety znamy tylko przybliżenie zmiennej wolnej W w postaci obserwacji pogody w punktach obserwacyjnych na naszej planecie.

Wnioski:
1.
Implikacja zarówno odwrotna Z|~>S jak i tożsama implikacja prosta S|=>Z nie zawierają szczegółowej budowy funkcji logicznej W (zmienna wolna).
Zauważmy że:
Szczegółowa budowa zmiennej wolnej W nie jest nam potrzebna w analizie zarówno implikacji odwrotnej Z|~>S jak i tożsamej z nią implikacji prostej S|=>Z.
2.
Operator implikacji odwrotnej Z|~>S nie nadaje się do zastosowań w świeci techniki bo nie zawiera informacji o budowie funkcji logicznej zmiennej wolnej W.
3.
Przede wszystkim:
W świecie techniki operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q są idiotyzmem ze wzglądu na „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” tu występujące.
Przykładowo samochód sterowany na fundamencie implikacji prostej p|=>q działał by tak:
Jak skręcamy kierownicą w lewo to samochód zawsze skręca w lewo (nie ma „wolnej woli”)
ale:
Jak skręcam kierownicą w prawo to samochód „rzuca sobie monetą”:
orzełek - samochód skręca w prawo zgodnie z rozkazem kierowcy
reszka - samochód skręca w lewo wbrew oczekiwaniom kierowcy (ma „wolną wolę”)
Czyż trzeba kogokolwiek dodatkowo przekonywać że implikacja prosta p|=>q jest w świecie techniki idiotyzmem i nigdy nie znajdzie tu zastosowania?


6.3.1 Implikacja odwrotna Z|~>S widziana z punktu odniesienia Z|<=>S

Weźmy nasz złożony układ implikacji odwrotnej Z|~>S
Kod:

S4A Schemat 4A
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej Z|~>S w zdarzeniach:
Z|~>S=~(A1: Z=>S)*(B1: Z~>S)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
Z=A*B - zastępcza zmienna związana
W=C+D - zastępcza zmienna wolna
                                                      D
                                                    ______
                                                ----o    o----
             S               A            B     |     C      |
       -------------       ______       ______  |   ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------o    o----
  |    -------------                                         |
  |                                                          |
______                                                       |
 ___    U (źródło napięcia)                                  |
  |                                                          |
  |                                                          |
  ------------------------------------------------------------
Zstępczy schemat tożsamy:
             S              Z=A*B            W=C+D
       -------------       ______            ______
  -----| Żarówka   |-------o    o------------o    o------
  |    -------------                                    |
______                                                  |
 ___    U (źródło napięcia)                             |
  |                                                     |
  -------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Z=A*B
Zmienne wolna: W=C+D
Istotą operatora implikacji odwrotnej Z|~>S jest zmienna wolna W połączona szeregowo z przyciskiem Z
Gdzie:
Z - zastępczy przycisk Z opisany funkcją logiczną Z=A*B
W - zastępczy przycisk W opisany funkcją logiczną W=C+D

Na powyższy układ możemy spojrzeć z punktu odniesienia równoważności Y|<=>S opisując wszystkie zmienne w układzie, czyli nie pozostawiając ani jednej zmiennej wolnej W.
Kod:

S1A Schemat 1A
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y|<=>S w zdarzeniach:
Y|<=>S=(A1: Y=>S)*(B1: Y~>S)=1*1=1
Gdzie:
Y=A*B*(C+D)
                                                      D
                                                    ______
                                                ----o    o----
             S               A            B     |     C      |
       -------------       ______       ______  |   ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------o    o----
  |    -------------                                         |
  |                                                          |
______                                                       |
 ___    U (źródło napięcia)                                  |
  |                                                          |
  |                                                          |
  ------------------------------------------------------------
Zstępczy schemat tożsamy:
             S               Y=A*B*(C+D)
       -------------       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------------------
  |    -------------                               |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Y=A*B*(C+D)
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności Y|<=>S jest brak zmiennych wolnych
Gdzie:
Y - zastępczy przycisk Y opisany funkcją logiczną Y=A*B*(C+D)

Definicja zastępczego przycisku Y:
Przycisk zastępczy Y jest poprawnie zdefiniowany matematycznie wtedy i tylko wtedy gdy funkcja logiczna Y może przyjmować zarówno wartość logiczną 1 jak i wartość logiczną 0 w zależności od zmiennych wejściowych.

Nasz przykład:
Y=A*B*(C+D)
Łatwo widzieć, że nasz przycisk zastępczy Y jest matematycznie poprawny bo:
Jeśli A=1 i B=1 i (C+D)=1 to Y=1
Jeśli A=0 to Y=0 niezależnie od stanu pozostałych przycisków
cnd

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności Y<=>S
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności Y<=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: Y=>S  =1 = 2:~Y~>~S=1     [=] 3: S~>Y  =1 = 4:~S=>~Y =1
A’: 1: Y~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>Y =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: Y~>S  =1 = 2:~Y=>~S=1     [=] 3: S=>Y  =1 = 4:~S~>~Y =1
B’:             = 2:~Y~~>S=0     [=] 3: S~~>~Y=0 =
       Y=S      #   ~Y=~S         #     S=Y      #   ~S=~Y
       I             II                 III           IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: Y=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~Y=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Każdy nauczyciel fizyki zada tu dwa pytania definiujące operator równoważności S|<=>Y, mimo że nie ma pojęcia o matematycznym podkładzie swoich pytań - bo tego po prostu ziemscy matematycy nie nauczyli go w I klasie LO.

AB34:
Operator równoważności S|<=>Y odpowiada na dwa pytania w spójnikach równoważności S<=>Y:
1.
Kiedy żarówka na schemacie S1A będzie się świecić (S=1)?

RB3:
Żarówka będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk Y (Y=1)
S<=>Y = (A3: S~>Y)*(B3: S=>Y)
Prawo Kubusia:
A3: S~>Y = A4:~S=>~Y
stąd zapis tożsamy w warunkach wystarczających =>:
RB3: S<=>Y = (A4:~S=>~Y)*(B3: S=>Y)

2.
Kiedy żarówka na schemacie S1A nie będzie się świecić (~S=1)?

RA4:
Żarówka nie będzie się świecić (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk Y (~Y=1)
~S<=>~Y = (A4:~S=>~Y)*(B4:~S~>~Y)
Prawo Kubusia:
B4:~S~>~Y = B3: S=>Y
stąd zapis tożsamy w warunkach wystarczających =>:
RA4: ~S<=>~Y = (A4:~S=>~Y)*(B3: S=>Y)

Doskonale widać, że prawe strony równoważności RB3: S<=>Y oraz RA4:~S<=>~Y są identyczne, stąd dla odpowiedzi na interesujące nas pytania 1 i 2 uzyskamy korzystając z dowolnej z równoważności RB3 albo RA4.

Weźmy równoważność RB3:
RB3:
Żarówka będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk Y (Y=1)
RB3: S<=>Y = (A4:~S=>~Y)*(B3: S=>Y)

Odtwórzmy podstawienie przycisku zastępczego Y:
Y = A*B*(C+D)
Każdy człowiek bez problemu rozumie wyłącznie funkcję alternatywno-koniunkcyjną (logika jedynek), stąd powyższy wielomian musimy wymnożyć.
Y = A*B*C + A*B*D
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A=1 i B=1 i C=1 lub A=1 i B=1 i D=1
Podstawiając do RB3 mamy:
RB3: S<=> (A*B*C + A*B*D)
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów) i odwrotnie, stąd mamy:
RB3:
S = (A*B*C + A*B*D)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A=1 i B=1 i C=1 lub A=1 i B=1 i D=1

Stąd mamy odpowiedzi szczegółowe na dwa interesujące nas pytania.
Kod:

S1A Schemat 1A
Fizyczna realizacja operatora równoważności Y|<=>S w zdarzeniach:
Y|<=>S=(A1: Y=>S)*(B1: Y~>S)=1*1=1
Gdzie:
Y=A*B*(C+D)
                                                      D
                                                    ______
                                                ----o    o----
             S               A            B     |     C      |
       -------------       ______       ______  |   ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------o    o----
  |    -------------                                         |
  |                                                          |
______                                                       |
 ___    U (źródło napięcia)                                  |
  |                                                          |
  |                                                          |
  ------------------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: Y=A*B*(C+D)
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności Y|<=>S jest brak zmiennych wolnych
Gdzie:
Y - zastępczy przycisk Y opisany funkcją logiczną Y=A*B*(C+D)


Operator równoważności S|<=>Y to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy żarówka na schemacie S1A będzie się świecić (S=1)?


RB3:
Żarówka będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przyciska A i wciśnięty będzie przycisk B i wciśnięty będzie przycisk C lub wciśnięty będzie przycisk A i wciśnięty będzie przycisk B i wciśnięty będzie przycisk D.
S = (A*B*C + A*B*D)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A=1 i B=1 i C=1 lub A=1 i B=1 i D=1
W naturalnej logice jedynek, czyli w naturalnej logice człowieka kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Stąd słowna wersja równoważności RB3 jest matematycznie jednoznaczna mimo że nie zawiera nawiasów w treści zdania.

2.
Kiedy żarówka na schemacie S1A nie będzie się świecić (~S=1)?


Negujemy dwustronnie równanie RB3:
~S = ~[(A*B*C + A*B*D)]
W tym przypadku wygodnie jest skorzystać ze skróconego przejścia do logiki ujemnej (bo ~S) bezpośrednio z równania RB3.
RB3: S = A*B*(C+D)
Przechodzimy z równaniem RB3 do logiki ujemnej (bo ~S) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
RA4:
~S = ~A+~B+~C*~D
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B= lub ~C=1 i ~D=1
Odczytujemy:
żarówka nie będzie się świecić (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk A lub nie będzie wciśnięty przycisk B lub nie będzie wciśnięty przycisk C i nie będzie wciśnięty przycisk D.
~S = ~A+~B+~C*~D
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B= lub ~C=1 i ~D=1

Podsumowanie:
1.
Zauważmy, że poznana teoria matematyczna (algebra Kubusia) absolutnie genialnie opisuje otaczający nas świat fizyczny.
W algebrze Kubusia patrząc na schemat S1A z punktu odniesienia równoważności:
RB3: S<=>Y = RA4: ~S<=>~Y
nie gubimy informacji o opisywanym układzie co oznacza, że taki opis doskonale nadaje się do realizacji w technice komputerowej.
2.
Operator równoważności p|<=>q to jedyny sensowny operator logiczny w programowaniu komputerów, bowiem pozostałe operatory logiczne implikacji prostej p|=>q, implikacji odwrotnej p|~>q nie są matematycznie jednoznaczne, czyli ich opis nie zawiera pełnej informacji o badanym układzie.
3.
Przed wszystkim:
W świecie techniki operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q są idiotyzmem ze wzglądu na „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” tu występujące.
Przykładowo samochód sterowany na fundamencie implikacji prostej p|=>q działał by tak:
Jak skręcam kierownicą w lewo to samochód zawsze skręca w lewo (nie ma „wolnej woli”)
ale:
Jak skręcam kierownicą w prawo to samochód „rzuca sobie monetą”:
orzełek - samochód skręca w prawo zgodnie z rozkazem kierowcy
reszka - samochód skręca w lewo wbrew oczekiwaniom kierowcy (ma „wolną wolę”)
Czyż trzeba kogokolwiek dodatkowo przekonywać że implikacja prosta p|=>q jest w świecie techniki idiotyzmem i nigdy nie znajdzie tu zastosowania?
Z implikacją odwrotną p|~>q jest identycznie, co za chwilę udowodnimy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:55, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 8:20, 28 Lip 2020    Temat postu:

Spis treści
7.0 Rodzaje implikacji 1
7.1 Operatory implikacji z wyróżnionym wejściem i wyjściem 1
7.1.1 Przykład implikacji prostej A|=>S 1
7.1.2 Przykład implikacji odwrotnej A|~>S 2
7.1.3 Porównanie implikacji prostej A|=>S z implikacją odwrotną A|~>S 4
7.2 Operatory implikacji bez wyróżnionego wejścia i wyjścia 6
7.2.1 Analiza Implikacji prostej p|=>q bez wyróżnionego wejścia i wyjścia 7
7.2.2 Analiza Implikacji odwrotnej p|~>q bez wyróżnionego wejścia i wyjścia 11
7.2.3 Porównanie implikacji p|=>q z p|~>q bez wyróżnionego wejścia i wyjścia 14



7.0 Rodzaje implikacji

Rozróżniamy dwa rodzaje implikacji:
1.
Implikacje z wyróżnionym wejściem i wyjściem
2.
Implikacje bez wyróżnionego wejścia i wyjścia

7.1 Operatory implikacji z wyróżnionym wejściem i wyjściem

Ten rodzaj implikacji omówiliśmy w poprzednim rozdziale.
Przypomnijmy.

7.1.1 Przykład implikacji prostej A|=>S

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q

Podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach jest następujący.
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
zawsze, gdy wciśnięty jest przycisk A żarówka świeci się
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
żarówkę może zaświecić zmienna wolna W (gdy W=1)

Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej A|=>S:
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1   = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]               = 4:~S~~>A =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S=0     [=] 3: S=>A  =0   = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~A~~>S=1     [=] 3: S~~>~A=1
    A|=>S=~A*S  = ~A|~>~S=~A*S   [=] S|~>A=S*~A    = ~S|=>~A=S*~A
Legenda:
## - różne na mocy definicji


7.1.2 Przykład implikacji odwrotnej A|~>S

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q

Podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach jest następujący.
Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Definicja podstawowa implikacji prostej odwrotnej A|~>S dla naszego układu:
A|=>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1 =1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
bo dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na 1
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla zaświecenia S
bo dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na 1

Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej A|~>S:
Kod:

T4
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|~>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S=0     [=] 3: S~>A  =0   = 4:~S=>~A =0
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]               = 4:~S~~>A =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1   = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
    A|~>S=A*~S  = ~A|=>~S=A*~S   [=] S|=>A=~S*A    = ~S|~>~A=~S*A
Legenda:
## - różne na mocy definicji


7.1.3 Porównanie implikacji prostej A|=>S z implikacją odwrotną A|~>S

Porównanie implikacji prostej A|=>S z implikacją odwrotną A|~>S:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Kod:

T3: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~A*S
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|=>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1   = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1   = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]               = 4:~S~~>A =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0   = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S=0     [=] 3: S=>A  =0   = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~A~~>S=1     [=] 3: S~~>~A=1
    A|=>S=~A*S  = ~A|~>~S=~A*S   [=] S|~>A=S*~A    = ~S|=>~A=S*~A
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=A
q=S

###
Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Kod:

T4: A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=A*~S
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|~>S:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0   = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S=0     [=] 3: S~>A  =0   = 4:~S=>~A =0
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]               = 4:~S~~>A =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1   = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1   = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
    A|~>S=A*~S  = ~A|=>~S=A*~S   [=] S|=>A=~S*A    = ~S|~>~A=~S*A
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=A
q=S

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Uzasadnienie:
Połączenie równoległe przycisków A i W (schemat S3):
S3: p|=>q = ~p*q - zapis w zmiennych formalnych
Podstawmy fizyczną rzeczywistość (schemat S3):
S3: p|=>q = A|=>S = ~A*S - fizyczna rzeczywistość
###
to nie to samo co połączenie szeregowe przycisków A i W (schemat S4):
S4: p|~>q = p*~q - zapis w zmiennych formalnych
Podstawmy fizyczną rzeczywistość (schemat S4):
S4: p|~>q = A|~>S = A*~S - fizyczna rzeczywistość
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
Zauważmy, że w tabelach T3 i T4 nie ma błędu podstawienia.
Wszędzie jest:
p=A - wejście (przycisk A)
q=S - wyjście ( żarówka S)

Jak widzimy w tym przypadku matematycznie wszystko perfekcyjnie gra i buczy, bowiem na obu schematach S3 i S4 łatwo możemy odróżnić wejścia funkcji logicznej (przyciski A,W) od wyjścia funkcji logicznej (żarówka S).

Schemat S3 widziany z punktu odniesienia równoważności opisany jest równoważnością:
Żarówka świeci wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A lub wciśnięty jest przycisk W
S3: S<=>(A+W)
co w logice jedynek oznacza:
S=1<=>A=1 lub W=1

Schemat S4 widziany z punktu odniesienia równoważności opisany jest równoważnością:
Żarówka świeci wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A i wciśnięty jest przycisk W
S4: S<=>(A*W)
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i W=1

Tu również matematycznie wszystko gra i buczy bo połączenie równolegle przycisków A i W (schemat S3) to nie to samo co połączenie szeregowe przycisków A i W (schemat S4).
S3: p<=>(q+r) ### S4: p<=>(q*r) - w zapisach formalnych
Podstawmy fizyczną rzeczywistość:
S3: p<=>(q+r) = S<=>(A+W) ### S4: p<=>(q*r) = S<=>(A*W)
gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

7.2 Operatory implikacji bez wyróżnionego wejścia i wyjścia

Zróbmy dokładnie to samo co wyżej na implikacjach gdzie nie ma wyróżnionego wejścia i wyjścia.
Oprzemy się tu na wzajemnych relacjach chmurki i deszczu P|=>CH i CH|~>P bo będzie to zrozumiałe nawet dla 5-cio latka.
Dokładnie to samo będziemy mieć w relacji zbiorów nieskończonych np. P8|=>P2 i P2|~>P8.

Wybieramy chmurkę i deszcz bo:
Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein


Teoria zdarzeń:
1.
Implikacja prosta:
p|=>q =~p*q
P|=>CH=~P*CH
Bazowe zdanie składowe implikacji prostej P|=>CH to warunek wystarczający => A1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur, zawsze gdy pada, są chmury
###
2.
Implikacja odwrotna:
p|~>q = p*~q
CH|~>P = CH*~P
Bazowe zdanie składowe implikacji odwrotnej CH|~>P to warunek konieczny ~> B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania, nie ma chmur, nie ma padania
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Matematyka formalna (ogólna):
1: p|=>q=~p*q ### 2: p|~>q=p*~q
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowej

Świat rzeczywisty w implikacji bez wyróżnionego wejścia/wyjścia:
1: p|=>q = P|=>CH =~P*CH ### 2: p|~>q = CH|~>P =CH*~P
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowej
Zachodzi tu relacja różne na mocy definicji operatorowej ### bo mamy błąd podstawienia po obu stronach znaczka ###.
Lewa strona znaczka ###:
p=P
q=CH
Prawa strona znaczka ###:
p=CH
q=P

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
1: p|=>q = P|=>CH = ~P*CH [=] 3: q|~>p = CH|~>P = CH*~P
Po obu stronach tożsamości logicznej [=] mamy to samo p i q, zatem nie ma tu błędu podstawienia.
Lewa strona tożsamości logicznej [=]:
p=P
q=CH
Prawa strona tożsamości logicznej [=]:
q=CH
p=P
W tym przypadku dopuszczalny jest zapis domyślny:
1: P|=>CH = ~P*CH [=] 3: CH|~>P = CH*~P

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony

Rozważmy szczegółowo relację deszcz vs chmurka z punktu widzenia definicji operatorowych:
1: p|=>q = P|=>CH = ~P*CH ### 2: p|~>q = CH|~>P = CH*~P
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowej, bo błąd podstawienia.

7.2.1 Analiza Implikacji prostej p|=>q bez wyróżnionego wejścia i wyjścia

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Stąd na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1   = 4:~q=>~p =1
p’: 1: p~~>~q=0 =                [=]               = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0   = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=] q|~>p=q*~p    = ~q|=>~p=q*~p
Legenda:
## - różne na mocy definicji


Operator implikacji prostej który będziemy badać to:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1
Stąd mamy:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur

Sprawdźmy, czy rzeczywiście mamy tu do czynienia z implikacją prostą P|=>CH
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zawsze gdy pada, są chmury
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień
##
Zgodnie z definicją implikacji prostej p|=>q badamy, czy spełniony jest warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może być pochmurno ale nie musi padać.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.

Zauważmy, że słownie zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##
Matematyczną różność tych zdań rozpoznajemy po znaczkach => i ~> wbudowanych w treść zdań.

Identycznie mamy u humanistów:
może ## morze
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>CH są następujące.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P|=>CH:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q  =1   [=] 3: q~>p  =1   = 4:~q=>~p =1
A:  1: P=>CH =1  = 2:~P~>~CH =1   [=] 3: CH~>P =1   = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]               = 4:~CH~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q  =0   [=] 3: q=>p  =0   = 4:~q~>~p =0
B:  1: P~>CH =0  = 2:~P=>~CH =0   [=] 3: CH=>P =0   = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~P~~>CH =1   [=] 3: CH~~>~P=1
R3: P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P  = ~CH|=>~P=CH*~P
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=P
q=CH

Z punktu widzenia definicji implikacji prostej p|=>q interesuje nas wyłącznie obszar AB12 bowiem definicje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q są w tym przypadku następujące.

Świat rzeczywisty w implikacji bez wyróżnionego wejścia/wyjścia:
1: p|=>q = P|=>CH =~P*CH ### 2: p|~>q = CH|~>P =CH*~P
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowej

Zachodzi tu relacja różne na mocy definicji operatorowej ### bo mamy błąd podstawienia po obu stronach znaczka ###.
Lewa strona znaczka ###:
p=P
q=CH
Prawa strona znaczka ###:
p=CH
q=P

Obszar AB12:
Symboliczna definicja implikacji prostej P|=>CH to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” dająca odpowiedź na dwa zasadnicze pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie padało (P=1)?


Wszystkie cztery niżej występujące zdania odczytujemy z obszaru AB12 w tabeli T3:
A1.
Jeśli będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zawsze gdy pada, są chmury
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH=P*~CH=0
Niemożliwe jest zdarzenie: pada i nie ma chmur
Zdane A1 doskonale rozumie każdy 5-cio latek natomiast matematyk nie widzi związku A1’ z A1 i to jest jego tragedia.

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padało (~P=1)?


… a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH
A2.
Jeśli nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
B2’.
Jeśli nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =0
Możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

Zapiszmy naszą analizę AB12 w tabeli prawdy.
Analiza słowna podstawowej implikacji prostej P|=>CH wynikła z obszaru AB12:
Kod:

T3: AB12
A1:  P=> CH =1 - padanie (P) wystarcza => dla istnienia chmur (CH)
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest zdarzenie: pada (P) i nie ma chmur (~CH)
A2: ~P~>~CH =1 - brak opadów (~P) jest konieczny ~> aby nie było pochmurno
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)


Podsumowanie:
1.
Przypadek: pada (P=1)
Zdanie A1: P=>CH daje nam gwarancję matematyczną, że jak będzie padło to na 100% => będzie pochmurno
2.
Przypadek: nie pada (~P=1):
Zdania A2 i B2’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
A2.
Jeśli nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 - zdarzenie możliwe ~>
LUB
B2’
Jeśli nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - zdarzenie możliwe ~~>

Zdarzenia A2 i B2’ są matematycznie rozłączne:
(A2: ~P*~CH)*(B2’: ~P*CH) = [] =0
co oznacza że nie może w tym samym czasie jednocześnie padać (P=1) i nie padać (~P=1):
P*~P=[] =0

7.2.2 Analiza Implikacji odwrotnej p|~>q bez wyróżnionego wejścia i wyjścia

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Stąd na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

T4
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0   = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]               = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1   = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=] q|=>p=~q*p    = ~q|~>~p=~q*p
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej CH|~>P który będziemy badać to:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1
stąd mamy:
CH=>P =0 - chmury nie są wystarczające => dla opadów, nie zawsze gdy są chmury, pada
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla opadów

Sprawdźmy, czy rzeczywiście mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną CH|~>P:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla opadów bo nie zawsze gdy są chmury, pada
##
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla opadów
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej CH|~>P są następujące.
Kod:

T4
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w CH|~>P:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: p=>q  =0  = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p  =0   = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P =0  = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH =0   = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>CH =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1  = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p  =1   = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P =1  = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH =1   = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~CH~~>P =0   [=] 3: P~~>~CH=0
    CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P [=] P|=>CH=~P*CH  = ~P|~>~CH=~P*CH
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=CH
q=P

Z punktu widzenia definicji implikacji odwrotnej p|~>q interesuje nas wyłącznie obszar AB12 bowiem definicje implikacji odwrotnej p|~>q i prostej p|=>q są w tym przypadku następujące.

Świat rzeczywisty w implikacji bez wyróżnionego wejścia/wyjścia:
2: p|~>q = CH|~>P =CH*~P ### 1: p|=>q = P|=>CH =~P*CH
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowej

Zachodzi tu relacja różne na mocy definicji operatorowej ### bo mamy błąd podstawienia po obu stronach znaczka ###.
Lewa strona znaczka ###:
p=P
q=CH
Prawa strona znaczka ###:
p=CH
q=P

AB12:
W tabeli T4 szczegółową definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w postaci czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z części AB12.

Operator implikacji odwrotnej CH|~>P daje odpowiedź na dwa kluczowe pytania:

1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?

A3.
Jeśli będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania, bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada.
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
LUB
B3’.
Jeśli będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada

1.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?

… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
A4.
Jeśli nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania
Brak chmur daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A4’ musi być fałszem.
A4’
Jeśli nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur i pada

Zapiszmy naszą analizę symboliczną w tabeli prawdy:
Kod:

T3: AB34
A3:  CH~> P =1 - chmury (CH) są konieczne ~> dla opadów (P)
B3’: CH~~>~P=1 - możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
A4: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH) jest wystarczający dla braku opadów (~P)
A4’:~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)


Podsumowanie:
1.
Przypadek: są chmury (CH=1)

Zdania A3 i B3’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
A3.
Jeśli będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - zdarzenie możliwe ~>
LUB
B3’
Jeśli będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P =1 - zdarzenie możliwe
Dla przypadku „chmur” trzeciej możliwości brak, stąd mamy tu realizację przysłowia „na dwoje babka wróżyła”
2.
Przypadek: nie ma chmur (~CH=1)

Ten przypadek obsługuje zdanie A4.
A4.
Jeśli nie będzie pochmurno to mamy gwarancję matematyczną => że nie będzie padało.


7.2.3 Porównanie implikacji p|=>q z p|~>q bez wyróżnionego wejścia i wyjścia

Porównajmy omówione wyżej kompletne obsługi implikacji prostej P|=>CH i odwrotnej CH|~>P.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Przykład implikacji prostej p|=>q bez wyróżnionego wejścia/wyjścia:
p|=>q = P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =~P*CH
W implikacji prostej p|=>q mamy podstawienie:
p=P - „pada”
q=CH - „chmury”

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>CH są następujące.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P|=>CH:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q  =1   [=] 3: q~>p  =1   = 4:~q=>~p =1
A:  1: P=>CH =1  = 2:~P~>~CH =1   [=] 3: CH~>P =1   = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]               = 4:~CH~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q  =0   [=] 3: q=>p  =0   = 4:~q~>~p =0
B:  1: P~>CH =0  = 2:~P=>~CH =0   [=] 3: CH=>P =0   = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~P~~>CH =1   [=] 3: CH~~>~P=1
R3: P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P  = ~CH|=>~P=CH*~P
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=P
q=CH

Z punktu widzenia definicji implikacji prostej p|=>q interesuje nas wyłącznie obszar AB12 bowiem definicje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q są w tym przypadku następujące.

Świat rzeczywisty w implikacji bez wyróżnionego wejścia/wyjścia:
1: p|=>q = P|=>CH =~P*CH ### 2: p|~>q = CH|~>P =CH*~P
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowej
Zachodzi tu relacja różne na mocy definicji operatorowej ### bo mamy błąd podstawienia po obu stronach znaczka ###.
Lewa strona znaczka ###:
p=P
q=CH
Prawa strona znaczka ###:
p=CH
q=P

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Przykład implikacji odwrotnej p|~>q bez wyróżnionego wejścia/wyjścia:
p|~>q = CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = CH*~P
W implikacji odwrotnej p|~>q mamy podstawienie:
p=CH - „chmury”
q=P - „pada”

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej CH|~>P są następujące.
Kod:

T4
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w CH|~>P:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: p=>q  =0  = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p  =0   = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P =0  = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH =0   = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>CH =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1  = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p  =1   = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P =1  = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH =1   = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~CH~~>P =0   [=] 3: P~~>~CH=0
    CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P [=] P|=>CH=~P*CH  = ~P|~>~CH=~P*CH
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=CH
q=P

Z punktu widzenia definicji implikacji odwrotnej p|~>q interesuje nas wyłącznie obszar AB12 bowiem definicje implikacji odwrotnej p|~>q i prostej p|=>q są w tym przypadku następujące.

Świat rzeczywisty w implikacji bez wyróżnionego wejścia/wyjścia:
2: p|~>q = CH|~>P =CH*~P ### 1: p|=>q = P|=>CH =~P*CH
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowej
Zachodzi tu relacja różne na mocy definicji operatorowej ### bo mamy błąd podstawienia po obu stronach znaczka ###.
Lewa strona znaczka ###:
p=P
q=CH
Prawa strona znaczka ###:
p=CH
q=P


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:56, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:05, 02 Sie 2020    Temat postu:

8.0 Teoria transformacji

Spis treści
8.0 Teoria transformacji 1


8.0 Teoria transformacji

Definicja:
Teoria transformacji to teoria uwzględniająca zależności czasowe w logice matematycznej.

Z natury rzeczy występuje ona wyłącznie w świecie żywym, bo wyłącznie świat żywy potrafi myśleć, potrafi wiązać przyczynę ze skutkiem.

Definicja zdania warunkowego w teorii transformacji:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
p=>q

Teorię transformacji poznamy na naszym sztandarowym zdaniu.

A1.
Jeśli będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
##
Badamy to samo zdanie z wymienionym warunkiem wystarczającym => na warunek konieczny ~>.
B1.
Jeśli będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur bo może nie padać, a chmury mogą sobie być.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Jak widzimy, zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.
Różność tą rozpoznajemy po znaczkach => i ~> wbudowanych w treść zdań.

W tym momencie cała logika „matematyczna” ziemian leży i kwiczy bowiem opiera się ona na fałszywym dogmacie:
Dwa zdania identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.

Zdania A1 i B1 to kontrprzykład dla tego dogmatu, zdania te rozróżniamy wyłącznie po znaczkach => i ~>.

U humanistów jest identycznie:
morze ## może
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Słownie oba „może” są identycznie, pojęcia te rozpoznajemy po znaczkach „rz” vs „ż”

Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne dla istnienia chmur

Stąd mamy definicję implikacji prostej P|=>CH w równaniu logicznym:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
P=>CH = ~P+CH
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
P~>CH =P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej P|=>CH wiążącą warunki wystarczające => i konieczne ~> na mocy praw rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P|=>CH:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q  =1   [=] 3: q~>p  =1   = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH =1  = 2:~P~>~CH =1   [=] 3: CH~>P =1   = 4:~CH=>~P =1
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q  =0   [=] 3: q=>p  =0   = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH =0  = 2:~P=>~CH =0   [=] 3: CH=>P =0   = 4:~CH~>~P =0
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=P (pada)
q=CH (chmury)

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T3 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P|=>CH:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q  =1   [=] 3: q~>p  =1   = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH =1  = 2:~P~>~CH =1   [=] 3: CH~>P =1   = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]               = 4:~CH~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q  =0   [=] 3: q=>p  =0   = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH =0  = 2:~P=>~CH =0   [=] 3: CH=>P =0   = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~P~~>CH =1   [=] 3: CH~~>~P=1
R3: P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P  = ~CH|=>~P=CH*~P
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=P (pada)
q=CH (chmury)

Schemat działania teorii transformacji na bazie tabeli T3 jest następujący:
Kod:

T3A - schemat teorii transformacji
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P|=>CH:

Przyszłość/przeszłość              | Przeszłość
------------------------------------------------------------------
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q  =1   [=] 3: q~>p  =1   = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH =1  = 2:~P~>~CH =1   [=] 3: CH~>P =1   = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]               = 4:~CH~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q  =0   [=] 3: q=>p  =0   = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH =0  = 2:~P=>~CH =0   [=] 3: CH=>P =0   = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~P~~>CH =1   [=] 3: CH~~>~P=1
R3: P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P  = ~CH|=>~P=CH*~P
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=P (pada)
q=CH (chmury)

Wnioski na gruncie teorii transformacji gdzie uwzględniamy zależności czasowe:
1.
Czas przyszły:

Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
Zdania wypowiedziane w czasie przyszłym w teorii transformacji opisuje wyłącznie obszar AB12, bowiem w czasie przyszłym musi być zachowane następstwo czasowe jak wyżej - przyczyna p musi poprzedzać skutek q.
2.
Czas przeszły bez zamiany p i q:

Jeśli zaszła przyczyna p to zaszedł skutek q
Jeśli nie zamienimy p i q to zdanie warunkowe w czasie przeszłym opisuje obszar AB12
3.
Czas przeszły z zamianą p i q:

Jeśli zaszedł skutek q to zaszła przyczyna p
Wyłącznie w czasie przeszłym mamy dostęp to zaistniałego skutku, zatem jeśli w zdaniu warunkowym zamienimy przyczynę p ze skutkiem q jak wyżej, to zdanie będzie matematycznie prawdziwe wyłącznie w czasie przeszłym opisanym w obszarze AB34.

Zobaczmy jak działa teoria transformacji na przykładzie:
1.
Czas przyszły:

Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
Zdania wypowiedziane w czasie przyszłym w teorii transformacji opisuje wyłącznie obszar AB12.
A1.
Jeśli jutro w Warszawie będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur.

Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy jaka wczoraj była pogoda w Warszawie bo mieszkamy w Gdańsku. Jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika matematyczna działa dalej.
2.
Czas przeszły bez zamiany p i q:

Jeśli zaszła przyczyna p to zaszedł skutek q
Bez zamiany przyczyny p ze skutkiem q zdania będą identyczne jak w obszarze AB12, tyle że wypowiedziane w czasie przeszłym.
Jaś:
… a jeśli wczoraj w Warszawie padało?
Zdanie A1 przyjmie tu brzmienie:
A1.
Jeśli wczoraj w Warszawie padało to na 100% => było pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur.
3.
Czas przeszły z zamianą p i q:

Jeśli zaszedł skutek q to zaszła przyczyna p
Po zamianie przyczyny p ze skutkiem q wszystkie zdania będą w czasie przeszłym opisanym wyłącznie obszarem AB34.
Jaś:
… a jeśli wczoraj w Warszawie było pochmurno?
A3.
Jeśli wczoraj w Warszawie było pochmurno to mogło ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania
LUB
B3’.
Jeśli wczoraj w Warszawie było pochmurno to mogło ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada

Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy na podstawie znanych faktów w nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie mordercy)

1.
Opis nieznanej przyszłości:

A1.
Jeśli jutro w Warszawie będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur.
2.
Opis nieznanej przeszłości:

Załóżmy, że jest już pojutrze:
Jaś:
… a jeśli wczoraj w Warszawie było pochmurno?
A3.
Jeśli wczoraj w Warszawie było pochmurno to mogło padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania
LUB
B3’.
Jeśli wczoraj w Warszawie było pochmurno to mogło ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada

Zauważmy, że gdyby Jaś wiedział jaka pogoda była wczoraj w Warszawie to jego pytanie byłoby bez sensu, bo Jaś znałby prawdę absolutną np.
Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
CH*~P =1 - zaistniała prawda absolutna

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany fakt (zaistniały fakt) niezmienny do końca życia naszego Wszechświata.
Żadna logika matematyczna nie ma prawa zmienić zaistniałej prawdy absolutnej (znanego faktu), dlatego używanie logiki matematycznej jest tu bez sensu.
Przykład:
Żadna logika matematyczna nie zmieni zaistniałego faktu (prawdy absolutnej) np. że był taki ktoś jak Hitler etc.

Przykład analogiczny:
Do znalezienia nieznanego mordercy logika matematyczna jest detektywom absolutnie konieczna.
Po znalezieniu mordercy logika matematyczna której celem było złapanie mordercy umiera - przestaje działać, bo po co detektywom logika mająca na celu złapanie znanego im mordercy?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:57, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:07, 02 Sie 2020    Temat postu:

9.0 Teoria zbiorów w logice matematycznej


Spis treści
9.0 Teoria zbiorów w logice matematycznej 1
9.1 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 4
9.1.1 Wygenerowanie tabeli zero-jedynkowej spójnika równoważności p<=>q 7
9.1.2 Operatory równoważności TP|<=>SK i SK|<=>TP 9
9.1.3 Analiza równoważności Pitagorasa TP<=>SK 11
9.1.4 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q 14



9.0 Teoria zbiorów w logice matematycznej

Teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej to zupełnie co innego niż klasyczna teoria zbiorów.
Dlaczego?
Logika matematyczna z definicji nie zajmuje się algebraicznym liczeniem elementów w zbiorach, nie zajmuje się ciągami, porządkowaniem zbiorów etc.
Dowód:
Z definicji nie da się liczyć elementów zbioru przy pomocy spójników logicznych „i”(*) i „lub”(+)

Najważniejsze definicje teorii zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej to:

1.
Definicja podzbioru =>:

Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
inaczej:
p=>q =0 - gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona, zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = spełniona relacja podzbioru =>

Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

2.
Definicja nadzbioru ~>

Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona, zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = spełniona relacja nadzbioru ~>

Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Powtórzmy najważniejsze:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzą tożsamości matematyczne:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Obsługa zbiorów w logice matematycznej jest analogiczna do teorii zdarzeń bez wyróżnionego wejścia i wyjścia którą poznaliśmy szczegółowo na przykładzie relacji chmurki i deszczu.
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Teoria ogólna zbiorów w logice matematycznej

Teoria zbiorów w logice matematycznej jest następująca:

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

9.1 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podstawowa definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+ q*~q=p*q+~p*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
       p=q      #   ~p=~q         #     q=p      #  ~q=>~p       
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

1.
Definicja matematyczna równoważności dla zbioru p:

Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
A1: p=>q =1
B3: q=>p =1
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy dowód iż dowolna równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
p=q

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1
Inaczej zbiory p i q nie są tożsame ##, czyli są różne na mocy definicji ##.
p##q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =0
## - zbiory p I q są różne na mocy definicji (nie są tożsame)

Analogicznie możemy zapisać.
2.
Definicja matematyczna równoważności dla zbioru ~p:

Równoważność ~p<=>~q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
B2:~p=>~q =1
A4: ~q=>~p=1
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (B2:~p=>~q)*(A4:~q=>~p)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~p=~q

Dla definicji 2 zastosujmy prawa kontrapozycji:
B2:~p=>~q = B3: q=>p
A4:~q=>~p = A1: p=>q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności dla zbioru ~p:
3.
~p<=>~q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Prawe strony równań 1 i 3 są identyczne, stąd mamy tożsamość logiczną:
1: p<=>q = 3: ~p<=>~q

Znaczenie tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Wniosek:
Po udowodnieniu równoważności p<=>q nie musimy dowodzić równoważności ~p<=>~q bowiem na 100% zachodzi ona na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego:
1: p<=>q = 3: ~p<=>~q

Podsumujmy nasze rozważania w tabeli prawdy:
Kod:

Równoważność dla zbioru p      |  Równoważność dla zbioru ~p
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) [=] ~p<=>~q = (B2:~p=>~q)*(A4:~q=>~p)
Definiuje tożsamość zbiorów:   |  Definiuje tożsamość zbiorów:
p=q                            #  ~p=~q
               ----------------------------------
               |p=q:           # ~p=~q:         |
               |     p=~(~p)   #       ~p=~(p)  |
               |     q=~(~q)   #       ~q=~(q)  |
               ----------------------------------
               |  Dziedzina dla p: p+~p =1      |
               |  Dziedzina dla q: q+~q =1      |
               ----------------------------------
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony
Gdzie:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla p
p*~p =[]=0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Stąd mamy:

Definicja równoważności w teorii zbiorów:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
Sprawdzenie dla powyższej równoważności:
p+q =p - bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q
Dziedzina: suma logiczna zbiorów p+~p jest szersza od zbioru p
cnd
Spełnienie powyższego warunku jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>, aby rozpoznawalne były wszystkie pojęcia p, ~p, q, ~q.
Przykład:
Pojęcie „pies” jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy wiemy co znaczy pojęcie „nie pies”

9.1.1 Wygenerowanie tabeli zero-jedynkowej spójnika równoważności p<=>q

Definicja równoważności aksjomatycznej:
Równoważność aksjomatyczna to równoważność z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika równoważności:
RA1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1

Z tabeli T3 odczytujemy diagram równoważności aksjomatycznej w zbiorach:
Kod:

T4.
Diagram równoważności aksjomatycznej
RA1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
RA1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
A1:  p=> q =1 - z definicji zbiór p jest podzbiorem => q
                Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład A1’ dla prawdziwego A1 musi być fałszem
RB2:~p<=>~q = (B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
RB2:~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
B2: ~p=>~q =1 - z definicji zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
                Każdy zbiór jest nadzbiorem => siebie samego
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem


Dowód iż z diagramu równoważności wynika tabela zero-jedynkowa spójnika równoważności p<=>q
1.
Wszystkie zbiory wejściowe p, ~p, q, ~q są niepuste, zatem z definicji mają wartość logiczną 1.
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy bez komentarzy:
Kod:

T5.
Analiza     |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
            |
RA1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
;
RB2:~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
D:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0

3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia równoważność dla zboru p:
RA1: p<=>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
Kod:

T5
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |RA1: p<=>q        |
              |                  |                  |       p<=>q=
              |                  |                  | p   q (p=>q)*(~p=>~q)
RA1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1  =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0  =0
;
RB2:~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0  =1
B2’:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1  =0
   a    b   c    d        e    f    g        h    I   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=(p=0)      |
                                 |(~q=1)=(q=0)      |

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej 123 jest linia RA1: p<=>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q zwanego krótko: równoważnością <=>.

6.
Tabelę symboliczną T2abc możemy również zakodować z punktu odniesienia:
RB2: ~p<=>~q
W tym przypadku wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x).
Prawa Prosiaczka z których tu musimy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Wygenerowanie zero-jedynkowej definicji równoważności z punktem odniesienia ustawionym na:
RB2:~p<=>~q
Kod:

T6
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |RB2:~p<=>~q       |
              |                  |                  |      ~p<=>~q=
              |                  |                  |~p  ~q (p=>q)*(~p=>~q)
RA1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0  =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1  =0
;
RB2:~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=> 1  =1
B2’:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0  =0
   a    b   c    d        e    f    g        h    I   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(p=1)=(~p=0)      |
                                 |(q=1)=(~q=0)      |

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej 123 jest linia RB2: ~p<=>~q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zwanego krótko: równoważnością <=>.
Zauważmy, że w tabelach T5 i T6 tablica wymuszeń na wejściach abc jest identyczna.
Zero-jedynkowe kolumny wynikowe 123 w tabelach T5 i T6 również są identyczne.
Te dwa fakty są dowodem formalnym (ogólnym) iż w równoważności zachodzi tożsamość logiczna:
T5: p<=>q = T6: ~p<=>~q

9.1.2 Operatory równoważności TP|<=>SK i SK|<=>TP

O co chodzi w operatorach równoważności p|<=>q i q|<=>p poznamy na przykładzie równoważności Pitagorasa, będzie łatwiej zrozumieć.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem ta równoważność jest prawdziwa
Podstawmy równoważność Pitagorasa do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla równoważności:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]               = 4:~SK~~>TP =0                 
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
       TP=SK      #   ~TP=~SK      #     SK=TP      #   ~SK=~TP
         I               II               III              IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 - A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1 -B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Obszar AB12:

Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności TP<=>SK:

1.
Kiedy trójkąt jest prostokątny (TP=1)?

I.
Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)

2.
Kiedy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)?

II.
Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~TP=~SK
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)

Obszar AB34:

Operator równoważności SK|<=>TP to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności SK<=>TP:

1.
Kiedy w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1)?

III.
Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1):

W trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
SK=TP
Zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów prostokątnych (TP)

2.
Kiedy w trójkącie nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)?

IV.
Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów z nie spełnioną sumą kwadratów (~SK=1):

W trójkącie nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~SK=~TP
Zbiór trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów nieprostokątnych (~TP)

9.1.3 Analiza równoważności Pitagorasa TP<=>SK

Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem ta równoważność jest prawdziwa
Podstawmy równoważność Pitagorasa do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla równoważności:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]               = 4:~SK~~>TP =0                 
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
       TP=SK      #   ~TP=~SK      #     SK=TP      #   ~SK=~TP
         I               II               III              IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 - A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1 -B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zajmijmy się najczęściej używaną w matematyce równoważnością Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP.

Obszar AB12:

Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności TP<=>SK:

1.
Kiedy trójkąt jest prostokątny (TP=1)?

I.
Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)
Przejście do równoważności aksjomatycznej z której bezpośrednio wynika tabela zero-jedynkowa równoważności to sprowadzenie prawej strony do warunków wystarczających w tym samym kierunku.
Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B2:~TP=>~SK
Stąd mamy:
Równoważność aksjomatyczna Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):[/b]
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B2:~TP=>~SK))=1*1=1
Gdzie:
A1: TP=>SK =1
##
B2:~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Analiza zdania A1:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =[] =0
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~SK=~TP
Stąd:
TP~~>~TP = TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne

2.
Kiedy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)?

II.
Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~TP=~SK
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)
Przejście do równoważności aksjomatycznej z której bezpośrednio wynika tabela zero-jedynkowa równoważności to sprowadzenie prawej strony do warunków wystarczających w tym samym kierunku.
Prawo Kubusia:
A2:~TP~>~SK = A1: TP=>SK
Stąd mamy:
Równoważność aksjomatyczna Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):[/b]
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A1: TP=>SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1
Gdzie:
A1: TP=>SK =1
##
B2:~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Analiza zdania B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzie w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym jest warunkiem wystarczającym => aby nie zachodziła w nim suma kwadratów
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK =[] =0
Zachodzi tożsamość zbiorów:
SK=TP
Stąd:
~TP~~>TP = ~TP*TP =[] =0 - bo zbiory TP i ~TP są rozłączne

Podsumowanie:
1.
Zauważmy, że dopiero po udowodnieniu równoważności Pitagorasa możemy zapisać:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
2.
Równoważność aksjomatyczna Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):[/b]
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B2:~TP=>~SK))=1*1=1
Gdzie:
A1: TP=>SK =1
##
B2:~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności TP<=>SK.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]               = 4:~SK~~>TP =0                 
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
       TP=SK      #   ~TP=~SK      #     SK=TP      #   ~SK=~TP
         I               II               III              IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 - A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1 -B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością wystarczy udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Innymi słowy:
W matematyce wystarczy udowodnić równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Aby mieć pewność prawdziwości wszystkich 16 możliwych mutacji równoważności wynikłych z tabeli T2.

9.1.4 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q

Najważniejsze równoważności to:
1.
Równoważność podstawowa twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Odczyt matematycznie tożsamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B1: TP~>SK) i wystarczającym => (A1: TP=>SK) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)

Dowód powszechnej znajomości tej definicji wśród ziemian.
Klikamy na googlach:
„warunkiem koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 7740

2.
Równoważność matematyczna powszechnie używana w matematyce.
Równoważność matematyczna twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1 =1
Odczyt matematycznie tożsamy:
Równoważność, to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: TP=>SK =1 - twierdzenie proste
B3: SK=>TP =1 - twierdzenie odwrotne

3.
Równoważność aksjomatyczna z której wynika bezpośrednio tabela zero-jedynkowa równoważności.
Równoważność aksjomatyczna twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B2: ~TP=>~SK)=1*1 =1
Odczyt matematycznie tożsamy:
Równoważność to warunek wystarczający => (A1: TP=>SK) w logice dodatniej bo SK i zachodzący jednocześnie warunek wystarczający => (B2: ~TP=>~SK) w logice ujemnej (bo ~SK) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:58, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:09, 02 Sie 2020    Temat postu:

Spis treści
9.2 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach 1
9.2.1 Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q 3
9.2.2 Analiza matematyczna implikacji prostej P8|=>P2 4
9.2.3 Cechy charakterystyczne implikacji prostej P8|=>P2 7
9.2.4 Tożsamość implikacyjna w implikacji prostej P8|=>P2 8
9.2.5 Właściwości implikacji prostej P8|=>P2 9
9.2.6 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 10
9.2.7 Warunek wystarczający => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 12
9.2.8 Od definicji warunku wystarczającego P8=>P2 do operatora P8|=>P2 15
9.2.9 Analiza rozszyfrowanego operatora implikacji prostej P8|=>P2 18
9.2.10 Prawo transformacji dla implikacji prostej P8|=>P2 19



9.2 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach

Zacznijmy od definicji implikacji odwrotnej p|~>q, bowiem to pojęcie będzie nam potrzebne przy omawianiu implikacji prostej p|=>q.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p jest nie jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q =p*~q
Gdzie:
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)

Zajmijmy się teraz właściwą definicją która nas interesuje.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Gdzie:
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


9.2.1 Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q

Aksjomatyczną definicję implikacji prostej p|=>q z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika warunku wystarczającego => mamy tu jak na dłoni w obszarze AB12.
Kod:

T3: AB12 - symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
A1:  p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q (z definicji)
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład A1’ dla prawdziwego A1 musi być fałszem
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 - na mocy prawa Kubusia zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~>q =1 - istnieje wspólna część zbiorów ~p i q


9.2.2 Analiza matematyczna implikacji prostej P8|=>P2

W dalszej części przejdziemy na konkretny przykład implikacji prostej P8|=>P2, będzie łatwiej zrozumieć.
Nie ma to wpływu na tłumaczenie teorii ogólnej implikacji prostej p|=>q bowiem wystarczy podstawić:
p=P8
q=P2

Rozważmy zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru P8=[8,16,24..] wylosujemy dowolną liczbę to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie ona w zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Aby udowodnić iż zdanie A1 jest częścią operatora implikacji prostej P8|=>P2 musimy dodatkowo udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii B1234.
Wybieramy zdanie B3 bo mamy tu najprostszy warunek wystarczający =>, łatwy w dowodzeniu.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że nasze zdanie A1 jest częścią operatora implikacji prostej P8|=>P2. Szczegółową analizę implikacji prostej P8|=>P2 wykona w tym momencie każdy komputer w oparciu o szablon implikacji prostej P8|=>P2. Edukacyjnie musimy przynajmniej raz udawać komputer by zrozumieć o co chodzi w implikacji prostej P8|=>P2.

Dojście do alternatywnego wniosku iż zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P8|=>P2.

Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach:
Zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 i nie jest tożsamy ze zbiorem P2
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów P8+P2 bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia P8, ~P8, P2 i ~P2 będą rozpoznawalne.
A1: P8=>P2 =1 - zbiór P8=[8,16,24 ..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] (z definicji)
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..] (z definicji)
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) = 1*1 =1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Badamy czy suma logiczna zbiorów p=P8 i q=P2 jest mniejsza od dziedziny LN
P8+P2 = P8 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Doskonale widać, że spełniony jest tu warunek:
Dziedzina LN jest szersza od sumy zbiorów P8+P2=P8
cnd

Na początek podstawmy do tabeli T2 udowodnioną implikację prostą P8|=>P2.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P8|=>P2:
       AB12:                          |     AB34:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q   =1    [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=> P2 =1 = 2:~P8~>~P2 =1    [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: P8~~>~P2=0 =                  [=]               = 4:~P2~~>P8 =0   
       ##              ##             |     ##              ##
B:  1: p~>q    =0  = 2:~p=>~q   =0   [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0  = 2:~P8=>~P2 =0   [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:                = 2:~P8~~>P2 =1   [=] 3: P2~~>~P8=1
-------------------------------------------------------------------------
R3: P8|=>P2=~P8*P2 =~P8|~>~P2=~P8*P2 [=] P2|~>P8=P2*~P8 =~P2|=>~P8=P2*~P8
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2


Analizujemy obszar AB12:
Operator implikacji prostej P8|=>P2 to odpowiedź na dwa pytania:

1.
Co się stanie jeśli ze zbioru LN wylosujemy dowolną liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?

A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)=>(P2=1)=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => (=1) dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Poprzednik mówi tu o zbiorze P8, zaś następnik o zbiorze P2.
Wyznaczmy na początek wszystkie zbiory potrzebne nam do analizy matematycznej:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=[]=0 - gdy zbiór pusty
p=[x]=1 - gdy zbiór niepusty

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[]=0
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(~P2=1) = (P8=1)*(~P2=1) =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P2 nie jest (=0) spełniona, bo każdy dowolny zbiór liczb parzystych (P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (~P2)

2.
Co się stanie jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?


.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
stąd:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~>(~P2=1) =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem koniecznym ~> (=1) dla jej niepodzielności przez 2, bo jak liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przesz 2
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Innymi słowy:
Warunek konieczny ~> w zdaniu A2 jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9 ..]
Pobieżnie widać, że relacja nadzbioru ~> jest tu spełniona.
Oczywiście nie musimy tego faktu dowodzić, bo prawdziwość zdania A2 gwarantuje nam prawo Kubusia.
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(P2=1) = (~P8=1)*(P2=1) =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona, bo Istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] (np.2), co kończy dowód prawdziwości zdania D.

Na mocy matematyki ścisłej, algebry Kubusia jesteśmy pewni, że w zdaniu B2’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~>
1: ~P8=>P2 =0
2: ~P8~>P2 =0
Sprawdzić, czy AK jest poprawna zawsze możemy:
Ad.1
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] =>P2=[2,4,6,8..] =0 - ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => P2 bo kontrprzykład 3
Ad.2
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stad dla zdania 2 mamy:
P2=>~P8
P2= [2,4,6,8..] => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] =0 - P2 nie jest (=0) podzbiorem => ~P8 bo kontrprzykład 8

9.2.3 Cechy charakterystyczne implikacji prostej P8|=>P2

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Stąd przy wyznaczaniu jakie zbiory zawiera każde z czterech możliwych pudełek posłużymy się definicja elementu wspólnego zbiorów p~~>q w której wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q. Matematycznie nic jednak nie stoi na przeszkodzie, abyśmy wyznaczyli kompletny zbiór dla każdego z czterech pudełek, czyli wykonali pełne mnożenie logiczne zbiorów p i q. Zauważmy, że w przypadku zbiorów rozłącznych p i q i tak musimy wykonać pełne mnożenie logiczne tych zbiorów aby być pewnym, iż zbiór wynikowy będzie zbiorem pustym.

Przepiszmy naszą analizę w postaci tabeli prawdy:
Kod:

T4
A1:  P8=> P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
                  P8=>P2:=P8~~>P2=P8*P2=P8 - zawartość pudełka A1
A1’: P8~~>~P2=0 - zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
                  P8*~P2=[] - zawartość pudełka A1’ (zbiór pusty)
.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2:~P8~>~P2
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> ~P2
                  ~P8~>~P2:=~P8~~>~P2=~P8*~P2=~P2 - zawartość pudełka A2
B2’:~P8~~>P2 =1 = zbiory mają część wspólną np.2
                  ~P8~~>P2=~P8*P2 - zawartość pudełka B2’ (śmietnik)
:= - wyznaczanie pełnego iloczynu logicznego zbiorów na mocy prawa Kobry

Cechy charakterystyczne implikacji prostej P8|=>P2:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
1.
Zauważmy, że jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2)
Wylosowana liczba trafi do pudełka A:
A: P8=>P2 := P8~~>P2 = P8*P2 =P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8 (P8)
Mówi o tym warunek wystarczający A1: P8=>P2 =1
Wynikowa jedynka w zdaniu A1 jest tu twardą jedynką co oznacza, że dla każdego losowania, jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to na 100% => będzie ona podzielna przez 2.
Twarda jedynka w zdaniu A1 wymusza twarde zero w zdaniu A1’.

2.
Zauważmy, że zdania A2 i B2’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Wynikowe jedynki w zdaniach A2 i B2’ są miękkimi jedynkami:
a)
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 2 (np. 1) i trafić do pudełka A2:
A2: ~P8~>~P2 := ~P8~~>P2 = ~P8*~P2 =~P2 - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (~P2)
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie A2: ~P8~>~P2=1 i fałszywe zdanie B2’: ~P8~~>P2=0
LUB
b)
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] to ta liczba może ~~> być podzielna przez 2 (np. 2) i trafić do pudełka B2’:
B2’: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (~P8) i podzielnych przez 2 (P2)
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie A2: ~P8~>~P2=0 i prawdziwe zdanie B2’: ~P8~~>P2=1
Podsumowanie:
Wylosowana liczba niepodzielna przez 8 może wylądować w pudełku A2 albo w pudełku B2’ - trzeciej możliwości brak (tertium non datur)
1=prawa
0=fałsz
Wynikowe jedynki w zdaniach A2 i B2’ nazywamy miękkimi jedynkami, pociągającymi za sobą istnienie miękkich zer
Miękkie jedynki i miękkie zera mogą zajść ale nie muszą, wszystko zależy tu od konkretnej, wylosowanej liczby.


9.2.4 Tożsamość implikacyjna w implikacji prostej P8|=>P2

Przepiszmy związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej P8|=>P2 wzbogacając je o pojęcia:
=> - gwarancja matematyczna GM
~> - rzucanie monetą RM w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Prawa Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2:~P8~>~P2 =1
B1: P8~>P2 = B2:~P8~>~P2 =0

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Kod:

T4IP
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P8|=>P2:
       AB12:                          |     AB34:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q   =1    [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=> P2 =1 = 2:~P8~>~P2 =1    [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: P8~~>~P2=0 =                  [=]               = 4:~P2~~>P8 =0
       GM              RM                   RM              GM 
       ##              ##             |     ##              ##
B:  1: p~>q    =0  = 2:~p=>~q   =0   [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0  = 2:~P8=>~P2 =0   [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:                = 2:~P8~~>P2 =1   [=] 3: P2~~>~P8=1
      ~RM              ~GM                 ~GM             ~RM
    A1: GM=B1:~RM  # A2: RM=B2:~GM    |  A3: RM =B3:~GM # A4: GM=B4:~RM
-------------------------------------------------------------------------
R3: P8|=>P2=~P8*P2 =~P8|~>~P2=~P8*P2 [=] P2|~>P8=P2*~P8 =~P2|=>~P8=P2*~P8
Legenda:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
=> - gwarancja matematyczna GM
~> - rzucanie monetą RM
AB12:
A1: P8=>P2=1 - gwarancja matematyczna GM=1
B1: P8~>P2=0 - brak rzucania monetą ~RM=1
Między punktami P8 i P2 zachodzi tożsamość:
A1: GM = B1:~RM
#
A2:~P8~>~P2=1 - rzucanie monetą RM=1
B2:~P8=>~P2=0 - brak gwarancji matematycznej ~GM=1
Między punktami ~P8 i ~P2 zachodzi tożsamość:
A2: RM = B2:~GM
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
A1: GM=B1:~RM # A2: RM = B2:~GM
-----------------------------------------------------------------
AB34:
A3: P2~>P8=1 - rzucanie monetą RM=1
B3: P2=>P8=0 - brak gwarancji matematycznej ~GM=1
Między punktami P2 i P8 zachodzi tożsamość:
A3: RM = B3:~GM
#
A4:~P2=>~P8=1 - gwarancja matematyczna GM=1
B4:~P2~>~P8=0 - brak rzucania monetą ~RM=1
Między punktami ~P2 i ~P8 zachodzi tożsamość:
A4: GM = B4:~RM
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
A3: RM = B3:~GM # A4: GM = B4:~RM

Matematycznie zachodzi:
D=GM+~GM=1 - dziedzina D to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń
W zdaniu może być zawarta gwarancja matematyczna (GM=1) albo nie (~GM=1)
GM+~GM =1 - ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM
GM*~GM =0 - gwarancja GM nie może być jednocześnie spełniona GM i niespełniona ~GM
Prawo podwójnego przeczenia:
Jest gwarancja GM = nie jest prawdą (~) że nie ma gwarancji matematycznej (~GM)
GM=~(~GM)

9.2.5 Właściwości implikacji prostej P8|=>P2

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T4
A1:  P8=> P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
                  P8=>P2:=P8~~>P2=P8*P2=P8 - zawartość pudełka A1
A1’: P8~~>~P2=0 - zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
                  P8*~P2=[] - zawartość pudełka A1’ (zbiór pusty)
.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2:~P8~>~P2
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> ~P2
                  ~P8~>~P2:=~P8~~>~P2=~P8*~P2=~P2 - zawartość pudełka A2
B2’:~P8~~>P2 =1 = zbiory mają część wspólną np.2
                  ~P8~~>P2=~P8*P2 - zawartość pudełka B2’ (śmietnik)
:= - wyznaczanie pełnego iloczynu logicznego zbiorów na mocy prawa Kobry

Właściwości operatora implikacji prostej P8|=>P2:
1.
Zbiory A1, A2 i B2’ są wzajemnie rozłączne.
Dowody wzajemnej rozłączności zbiorów:
A1*A2 = P8*~P2 = [] =0 - bo P8 jest rozłączny z ~P2
A1*B2’ = P8*(~P8*P2) =[] =0 - bo P8*~P8 =[]
A2*B2’ =~P2*(~P8*P2) =[] =0 - bo ~P2*P2 =[]
cnd
2.
Suma logiczna zbiorów A2+B2’ musi być tożsama ze zbiorem zapisanym w poprzedniku (~P8):
Y = A2+B2’ = ~P2 + (~P8*P2)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = P2*(P8+~P2)
~Y = P2*P8 + P2*~P2
~Y = P2*P8
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = A2+B2’ = ~P2+~P8 = ~P8 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
cnd
3.
Dziedzina fizyczna dla naszej analizy to suma logiczna zawartości pudełek A1, A2 i B2’:
A1+A2+B2’ = P8+(A2+B2’) = P8+~P8 =1
A2+B2’ mamy policzone wyżej, to zbiór P8.

9.2.6 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q

Przepiszmy naszą analizę w postaci tabeli prawdy T4
Kod:

T4
A1:  P8=> P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
                  P8=>P2:=P8~~>P2=P8*P2=P8 - zawartość pudełka A1
A1’: P8~~>~P2=0 - zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
                  P8*~P2=[] - zawartość pudełka A1’ (zbiór pusty)
.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2:~P8~>~P2
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> ~P2
                  ~P8~>~P2:=~P8~~>~P2=~P8*~P2=~P2 - zawartość pudełka A2
B2’:~P8~~>P2 =1 = zbiory mają część wspólną np.2
                  ~P8~~>P2=~P8*P2 - zawartość pudełka B2’ (śmietnik)
:= - wyznaczanie pełnego iloczynu logicznego zbiorów na mocy prawa Kobry

W naszej analizie implikacji prostej P8|=>P2 zbiory P8, ~P8, P2, ~P2 są zbiorami niepustymi.
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P8=[8,16,24..] =1 - prawdą jest (=1) że istnieje zbiór P8
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] =1 - prawdą jest (=1) że istnieje zbiór ~P8
P2=[2,4,6,8..] =1 - prawdą jest (=1) że istnieje zbiór P2
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] =1 - prawdą jest (=1) że istnieje zbiór ~P2

Przejdźmy teraz na zapisy formalne (ogólne) niezależne od przykładu podstawiając:
p=P8
q=P2

Zapiszmy tabelę prawdy T4 z uwzględnieniem wartości logicznych zbiorów:
Kod:

T5
Analiza     |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
            |
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 - bo p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 - zbiory p i ~q są rozłączne
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
;
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 - bo ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 - zbiory ~p i q mają element wspólny ~~>

3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający:
A1: p=>q
i zakodujmy tabelę T5 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Kodowania zero-jedynkoweg4 tabeli symbolicznej T5 dla punktu odniesienia:
A1: p=>q
Kod:

T6
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q          |
              |                  |                  | p   q  p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1  =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0  =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0~> 0  =1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1  =1
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej 123 jest linia A1: p=>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że:
Jeśli ustawimy punkt odniesienia na warunku koniecznym A2:~p~>~q to otrzymamy zero-jedynkową definicje warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
Sprawdźmy to:
Prawa Prosiaczka których tu będziemy potrzebować to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x) bowiem takie zmienne występują w naszym nowym punkcie odniesienia:
A2: ~p~>~q

Realizacja kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T5 dla punktu odniesienia:
A2:~p~>~q
Kod:

T7
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q         |
              |                  |                  |~p  ~q ~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0  =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1  =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~> 1  =1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~~>0  =1
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej 123 jest linia A2:~p~>~q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy że:
W tabelach T6 i T7 analiza symboliczna implikacji prostej p|=>q (abc) którą jest seria czterech zdań A1, A1’, A2, B2’ jest identyczna.
W tabelach T6 i T7 zero-jedynkowe kolumny wynikowe 3 też są identyczne, co jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
T6: p=>q = T7: ~p~>~q

9.2.7 Warunek wystarczający => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Wyprowadziliśmy wyżej zero-jedynkową definicje warunku wystarczającego p=>q.
Kod:

T1A
   p  q   Y=(p=>q)
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1


Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego:
Y=(p=>q)
Kod:

T2A
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania  |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe |w zdarzeniach
                    |                    |          |możliwych ~~>
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |          |               Y ~Y
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1  0
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0  1
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1  0
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =1  0
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f   g    h  i  j  k  l

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Minimalizujemy funkcje logiczna Y:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p + (q*p)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = p*(~q+~p)
~Y=p*~q + p*~p
~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = (p=>q) = ~p+q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Y = ~p+q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p=1 I q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb - bo jest tylko jedna zmienna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yx)
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = ~(p=>q) = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Przykład:

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
W obietnicy nic a nic nie musimy udowadniać, bo obietnica z mocy definicji warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Ojciec wypowiada do syna warunek wystarczający A:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) możemy zadać dwa fundamentalne pytania 1 i 2:
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

Z powyższej analizy ogólnej warunku wystarczającego E=>K mamy:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Podstawiając zdanie ojca mamy:
Y = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Odczytujemy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: E*K =1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
C: ~E*~K=1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
lub
D: ~E*K =1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E) i dostanie komputer (K=1)
Ostatnie możliwe zdarzenie to powszechnie znany w przyrodzie (nie tylko u ludzi) akt miłości, czyli wręczenie nagrody (komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (syn nie zdał egzaminu).

2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1), czyli kiedy skłamie?

Z analizy ogólnej warunku wystarczającego p=>q mamy:
~Y = ~(p=>q) = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Podstawiając obietnicę ojca mamy:
~Y = ~(E=>K) = B: E*K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1), czyli skłamie, wtedy i tylko wtedy gdy:
B: E*~K=1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)

9.2.8 Od definicji warunku wystarczającego P8=>P2 do operatora P8|=>P2

Warunek wystarczający => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) definiuje wszystkie możliwe relacje wyrażone elementem wspólnym zbiorów ~~> p i q pokazany w tabeli T2A.

Z tabeli T2A w zdarzeniach możliwych odczytujemy:
Kod:

T3A.
A: p~~>q = p* q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbirów p i q
B: p~~>~q= p*~q=0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
D:~p~~>q =~p* q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q

Przełóżmy tą tabelę na nasz warunek wystarczający P8=>P2 wyrażony spójniami „i”(*) i „lub”(+) podstawiając:
p=P8
q=P2
Kod:

T3A.
Zdjęcie układu P8~~>P2 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P8~~> P2= P8* P2=1 - bo zbiory P8 i P2 mają element wspólny ~~> (np.8)
B: P8~~>~P2= P8*~P2=0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
C:~P8~~>~P2=~P8*~P2=1 - bo zbiory ~P8 i ~P2 mają element wspólny ~~> (np.1)
D:~P8~~> P2=~P8* P2=1 - bo zbiory ~P8 i P2 mają element wspólny ~~> (np.2)

Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania warunkowego „Jeśli p to q” spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.

Dokładnie to opisuje tabela prawdy T3A.
Z poprawnego zdjęcia dowolnego układu, którym zawsze jest seria czterech zdań ABCD przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w trywialny sposób dochodzimy do operatora implikacyjnego który opisuje ten układ.

Od strony czysto-teoretycznej problem jest banalny.
Jedyne potrzebne nam definicje to:
1.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach


Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Zacznijmy od przepisania tabeli prawdy T3A bez komentarzy:
Kod:

T3A
Zdjęcie układu P8~~>P2 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P8~~> P2= 1
B: P8~~>~P2= 0
C:~P8~~>~P2= 1
D:~P8~~> P2= 1

Wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów (punktem odniesienia jest dla nas zdanie A):
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
Przyjmujemy dziadzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd obliczamy przeczenia zbiorów (~) rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny LN:
~P8=[LN-P8] = {1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)

Dalej mamy bułkę z masłem, czyli pikuś:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: P8~~>~P2=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
2.
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1
Prawdziwość warunku A: P8=>P2=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D:~P8~~>P2=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C1:
C1: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
4.
Fałszywość warunku wystarczającego C1:~P8=>~P2=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu D1:
D1: ~P8~~>P2 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np.2
5.
Prawo Kubusia:
C1: ~P8=>~P2 = A1: P8~>P2 =0
Fałszywość warunku wystarczającego C1:~P8=>~P2=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~>:
A1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T3A:
Kod:

T4A.
Analiza symboliczna implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach =>, ~> i ~~>.
A: P8=>  P2= 1    ##  A1: P8~> P2 =0
B: P8~~>~P2= 0    [=] B1: P8~~>~P2=0
C:~P8~> ~P2= 1    ##  C1:~P8=>~P2 =0
D:~P8~~> P2= 1    [=] D1:~P8~~>P2 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
[=] - tożsamość zbiorów bo spójnik elementu wspólnego zbiorów ~~> jest przemienny.

Z tabeli T4A odczytujemy:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to wyłącznie warunek wystarczający => zachodzący między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A: P8=> P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=0) podzbiorem => P2
##
A1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję implikacji prostej P8|=>P2 w równaniu logicznym:
P8|=>P2 = (A: P8=>P2)*~(A1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1 =1

Z tabeli T4A odczytujemy także:
Definicja implikacji odwrotnej ~P8~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2):
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
C: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2
##
C1: ~P8=>~P2=0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej ~P8|~>~P2 w równaniu logicznym:
~P8|~>~P2 = (C: ~P8~>~P2)*~(C1: ~P8=>~P2) = 1*~(0) =1*1 =1

9.2.9 Analiza rozszyfrowanego operatora implikacji prostej P8|=>P2

Z tym rozszyfrowaniem mamy tu na myśli dojście od definicji warunku wystarczającego P8=>P2 (tabela T1A) do definicji symboliczne operatora implikacji prostej P8|=>P2 widocznego w tabeli T4A.
W tabeli T4A mamy definicję symboliczną operatora implikacji prostej P8|=>P2 w postaci serii zdań ABCD.
Kod:

T4A.
Analiza symboliczna implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach =>, ~> i ~~>.
A: P8=>  P2= 1 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => P2
B: P8~~>~P2= 0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C:~P8~>~P2
C:~P8~> ~P2= 1 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
D:~P8~~> P2= 1 - bo zbiory ~P8 i P2 mają element wspólny

Analiza w skróconej tabeli prawdy T4A:

Definicja operatora implikacji prostej P8|=>P2:
Operator implikacji prostej P8|=>P2 to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?


A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=> P2= 1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[81,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6.]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2= 0 - zdarzenie niemożliwe bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne

2.
Co się stanie jeśli liczba będzie niepodzielna przez 8 (~P8=1)?

Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C:~P8~>~P2
stąd:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
LUB
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[2,4,6,8..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że w logice matematycznej można wędrować także od tabeli zero-jedynkowej warunku wystarczającego (tabela T1A) do symbolicznej definicji operatora implikacji prostej P8|=>P2 (tabela T4A).
2.
Doskonale widać, że kluczowe w rozszyfrowywaniu algebry Kubusia było dojście od języka potocznego do zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => co miało miejsce w tabelach od T1 to T7.
3.
Doskonale widać, że mózg człowieka zatopiony w gównie zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań nie miał żadnych szans na poprawne, matematyczne rozszyfrowanie algebry Kubusia, logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy


9.2.10 Prawo transformacji dla implikacji prostej P8|=>P2

Na implikację prostą p|=>q możemy spojrzeć poprzez funkcję czasu (nie musimy tego robić).

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości.
Jeśli znajdziemy się w przeszłości to nie mamy szans by wrócić do przyszłości - co się stało to się nie odstanie.

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w prawie transformacji przyjmuje brzmienie:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

Prawo transformacji:
1.
Implikacja prosta w czasie przyszłym p|=>q po zamianie p i q transformuje się do implikacji odwrotnej q|~>p w czasie przeszłym.
Oczywistość bowiem w zdaniu warunkowym:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
skutek q znamy wyłącznie w czasie przeszłym.
2.
Implikacja prosta w czasie przyszłym p|=>q bez zamiany p i q transformuje się do implikacji prostej p|=>q w czasie przeszłym - tu przyczyna ze skutkiem nie jest zamieniona.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) = 1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej P8|=>P2:
Kod:

T3A Prawo transformacji
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P8|=>P2:
---------------------------------------------------------------------
Przyszłość/przeszłość                 | Przeszłość
---------------------------------------------------------------------
       AB12:                          |     AB34:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q   =1    [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=> P2 =1 = 2:~P8~>~P2 =1    [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: P8~~>~P2=0 =                  [=]               = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##              ##             |     ##              ##
B:  1: p~>q    =0  = 2:~p=>~q   =0   [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0  = 2:~P8=>~P2 =0   [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:                = 2:~P8~~>P2 =1   [=] 3: P2~~>~P8=1
-------------------------------------------------------------------------
R3: P8|=>P2=~P8*P2 =~P8|~>~P2=~P8*P2 [=] P2|~>P8=P2*~P8 =~P2|=>~P8=P2*~P8
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2

Zobaczmy na przykładzie jak działa prawo transformacji na naszym przykładzie P8|=>P2.

Zdanie A1 w czasie przyszłym:
A1.
Jeśli ze zbioru liczb podzielnych przez 8 wylosujemy dowolną liczbę to ta liczba na 100% => będzie podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Zdanie A1 w czasie przeszłym bez zamiany P8 i P2 mamy w obszarze AB12:
A1’’:
Jeśli ze zbioru liczb podzielnych przez 8 wylosowaliśmy dowolną liczbę to ta liczba na 100% => była podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Zdanie A1 w czasie przeszłym z zamianą P8 i P2 transformuje się do obszaru AB34:
A3.
Jeśli ze zbioru liczb podzielnych przez 2 wylosowaliśmy dowolną liczbę to ta liczba mogła ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
LUB
B3’
Jeśli ze zbioru liczb podzielnych przez 2 wylosowaliśmy dowolną liczbę to ta liczba mogła ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=P2*~P8 =1 bo 2
Dla prawdziwości zdania zakodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden element wspólny tych zbiorów.

Podsumowanie:
Zauważmy, że w teorii transformacji (z której nie musimy korzystać) różnica między zdaniem A1 (czas przyszły) a zdaniem A3 lub B3’ (czas przeszły) jest zasadnicza.
1.
W zdaniu A1 znajdujemy się przed losowaniem, czyli jeszcze nie włożyliśmy ręki do worka ze zbiorem liczb naturalnych z którego być może wylosujemy liczbę podzielną przez 8 P8=[8,16,24..].
Jeśli już taką liczbę wylosujemy to mamy gwarancję matematyczną iż ta liczba jest podzielna przez 2.
2.
Natomiast w zdaniach A3 i B3’ opisujemy byłe losowanie które już miało miejsce.
Jeśli nie znamy wyników byłego losowania to logika matematyczna dalej działa, właśnie w czasie przeszłym jak wyżej.
Byłe losowanie to jednak świat zdeterminowany którego nie jesteśmy w stanie zmienić, możemy tylko i wyłącznie nie znać wyników byłego losowania.

Przykład z życia:
Załóżmy że puściliśmy toto-lotka, dopóki nie zaszło nasze losowanie, mamy realne szanse na trafienie szóstki w totolotka.
Jeśli takie losowanie się odbyło to klamka zapadła, znamy wynik np. nie trafiliśmy żadnej liczby i możemy co najwyżej sobie pochlipać.
Załóżmy że losowanie zaszło wczoraj, ale z jakichś tam przyczyn nie znamy wyników tego losowania - tylko w tym przypadku logika matematyczna działa dalej i nakazuje nam podjęcie wszelkich starań, by poznać wyniki wczorajszego losowania.
Z naszego punktu widzenia (gdy nie znamy wyniku) dalej mamy „na dwoje babka wróżyła”, możemy tą szóstkę trafić albo nie trafić.

Podsumowując:
W świecie żywym rzeczywistość determinuje ten, kto zna fakty.

Zauważmy, że bez znaczenia jest kiedy to nasze losowanie się odbyło - przykładowo, możemy znaleźć zaginiony kupon toto-lotka pół roku po losowaniu i stwierdzić że pół roku temu trafiliśmy szóstkę - naszą wściekłość łatwo sobie wyobrazić … dlatego nigdy nie grałem w toto-lotka, bo gubienie różnych rzeczy to moja specjalność.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:59, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:10, 02 Sie 2020    Temat postu:

Spis treści
9.3 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach 1
9.3.1 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q 3
9.3.2 Analiza matematyczna implikacji odwrotnej P2|~>P8 4
9.3.3 Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej P2|~>P8 7
9.3.4 Tożsamość implikacyjna w implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8 9
9.3.5 Właściwości implikacji odwrotnej P2|~>P8 10
9.3.6 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego P2~>P8 11
9.3.7 Warunek konieczny ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 13
9.3.8 Od definicji warunku koniecznego P2~>P8 do operatora P2|~>P8 16
9.3.9 Analiza rozszyfrowanego operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 19
9.3.10 Prawo transformacji dla implikacji odwrotnej P2|~>P8 20
9.4 Porównanie implikacji P8|=>P2 z P2|~>P8 bez wyróżnionego wejścia i wyjścia 23



9.3 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach

Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q, bowiem to pojęcie będzie nam potrzebne przy omawianiu implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q=~p*q
Gdzie:
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)

Zajmijmy się teraz właściwą definicją która nas interesuje.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|=>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p jest nie jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q=p*~q
Gdzie:
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


9.3.1 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q

Aksjomatyczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika warunku koniecznego ~> mamy tu jak na dłoni w obszarze AB12.
Kod:

T3: AB12 - symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
A1:  p~> q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q (z definicji)
A1’: p~~>~q=1 - istnieje wspólna część zbiorów p i ~q
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =1 - na mocy prawa Kubusia zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem


9.3.2 Analiza matematyczna implikacji odwrotnej P2|~>P8

W dalszej części przejdziemy na konkretny przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8, będzie łatwiej zrozumieć.
Nie ma to wpływu na tłumaczenie teorii ogólnej implikacji odwrotnej p|~>q bowiem wystarczy podstawić:
p=P2
q=P8

Rozważmy zdanie:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być ~> podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
stąd w łatwiejszym dowodzie tożsamym możemy dowodzić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Aby udowodnić iż zdanie B1 jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 musimy dodatkowo udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234.
Wybieramy zdanie A1 bo mamy tu najprostszy warunek wystarczający =>, łatwy w dowodzeniu.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że nasze zdanie B1 jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8. Szczegółową analizę implikacji odwrotnej P2|~>P8 wykona w tym momencie każdy komputer w oparciu o szablon implikacji odwrotnej P2|~>P8. Edukacyjnie musimy przynajmniej raz udawać komputer by zrozumieć o co chodzi w implikacji odwrotnej P2|~>P8.

Alternatywny dowód iż zdanie B1 jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8 jest następujący:

Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach:
Zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8 i nie jest tożsamy ze zbiorem P8
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów P2+P8 bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia P2, ~P2, P8 i ~P8 będą rozpoznawalne.
A1: P2=>P8 =0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] (z definicji)
B1: P2~>P8 =1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..] (z definicji)
P2|~>P8 = ~(A1: P2~>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1 = 1*1 =1
Dodatkowo wiemy iż zbiory P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] są różne na mocy definicji co jest kończącym dowodem iż zdanie B1 jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8
Sprawdźmy poprawność dziedziny.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Doskonale widać, że spełniony jest tu warunek:
Dziedzina LN jest szersza od sumy zbiorów P2+P8=P8 (bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2)
cnd

Na początek podstawmy do tabeli T2 udowodnioną implikację odwrotną P2|~>P8.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P2|~>P8
       AB12:                           |      AB34:
A:  1: p=>q    =0  = 2:~p~>~q  =0     [=] 3: q~>p    =0  = 4:~q=>~p =0
A:  1: P2=>P8  =0  = 2:~P2~>~P8=0     [=] 3: P8~>P2  =0  = 4:~P8=>~P2 =0
A’: 1: P2~~>~P8=1  =                  [=]                = 4:~P8~~>P2 =1                   
       ##               ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1  = 2:~p=>~q  =1     [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: P2~>P8  =1  = 2:~P2=>~P8=1     [=] 3: P8=>P2  =1  = 4:~P8~>~P2 =1
B’:                = 2:~P2~~>P8=0     [=] 3: P8~~>~P2=0
---------------------------------------------------------------------------
    P2|~>P8=P2*~P8 = ~P2|=>~P8=P2*~P8 [=] P8|=>P2=~P8*P2 = ~P8|~>~P2=~P8*P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1:  P2=>P8=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2: ~P2=>~P8=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
B2’:~P2~~>P8 =~P2*P8=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Analizujemy obszar AB12:

Definicja operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Operator implikacji odwrotnej P2|~>P8 to odpowiedź na dwa pytania:

1.
Co się stanie jeśli ze zbioru LN wylosujemy dowolną liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?

B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(P2=1)~>(P8=1)=1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) bo jak liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8
Dowód alternatywny:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Poprzednik mówi tu o zbiorze P2, zaś następnik o zbiorze P8.
Wyznaczmy na początek wszystkie zbiory potrzebne nam do analizy matematycznej:
P2=[2,4,6,8..] =1
P8=[8,16,24..] =1
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] =1
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..] =1
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=[]=0 - gdy zbiór pusty
p=[x]=1 - gdy zbiór niepusty

LUB

Odczytujemy z tabeli T3 z obszaru AB12:
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
P2~>~P8 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(P2=1)~>(~P8=1)=1
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np.2.

2.
Co się stanie jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?


.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8
stąd:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P2=1)=>(~P8=1) =1
Oczywiście nie musimy tego faktu dowodzić, bo prawdziwość zdania B2 gwarantuje nam prawo Kubusia.
Nie musimy nie oznacza że nie możemy, zatem jedziemy z dowodem:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 jest wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Uwaga:
Łatwiejszy dowód dostaniemy korzystając z prawa kontrapozycji:
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
Nieporównywalnie łatwiej jest dowodzić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8 =~P2*P8 =[] =0
Co w logice jedynek oznacza:
(~P2=1)~~>(P8=1) =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów nie jest spełniona bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne.
Dowód:
Dowolny zbiór liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7..] jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych P8=[8,16,24..]
cnd

Na mocy matematyki ścisłej, algebry Kubusia jesteśmy pewni, że w zdaniu:
A1’: P2~~>~P8=1
nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~>
1: P2=>~P8 =0
2: P2~>~P8 =0
Sprawdzić, czy AK jest poprawna zawsze możemy:
Ad.1
~P2=[1,3,5,7,9..] => P8=[8,16,24..] =0
P2=[2,4,6,8..] => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] =0 - P2 nie jest (=0) podzbiorem => ~P8 bo kontrprzykład 8
Ad.2
Prawo Tygryska:
p~>~q = ~q=>p
Stad dla zdania 2 mamy:
~P8=>P2 =?
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] => P2= [2,4,6,8..] =0 - ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => P2 bo kontrprzykład 1

9.3.3 Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej P2|~>P8

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Stąd przy wyznaczaniu jakie zbiory zawiera każde z czterech możliwych pudełek posłużymy się definicja elementu wspólnego zbiorów p~~>q w której wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q. Matematycznie nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy wyznaczyli kompletny zbiór dla każdego z czterech pudełek, czyli wykonali pełne mnożenie logiczne zbiorów p i q. Zauważmy, że w przypadku zbiorów rozłącznych p i q i tak musimy wykonać pełne mnożenie logiczne tych zbiorów aby być pewnym, iż zbiór wynikowy będzie zbiorem pustym.

Przepiszmy naszą analizę w postaci tabeli prawdy T4
Kod:

T4
B1:  P2~>P8  =1 - bo zbiór P2 jest nadzbiorem ~> P8
                  P2~>P8:=P2~~>P8=P2*P8=P8 - zawartość pudełka B1
LUB
A1’: P2~~>~P8=1 - zbiory P2 i ~P8 mają część wspólną np. 2
                  P2~~>~P8=P2*~P8 - zawartość pudełka A1’ (śmietnik)
.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - bo zbiór ~P2 jest podzbiorem => ~P8
                  ~P2=>~P8:=~P2~~>~P8=~P2*~P8=~P2 - zawartość pudełka B2
B2’:~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2 o P8 są rozłączne
                  P8*~P2=[] - zawartość pudełka B2’ (zbiór pusty)
Gdzie:
:= - na mocy prawa Kobry wyznaczamy kompletny zbiór wynikowy

Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Obliczenia używanych zbiorów:
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
stąd:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]

1.
Zauważmy, że zdania B1 i A1’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Wynikowe jedynki w zdaniach B1 i A1’ są miękkimi jedynkami:
a)
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 P2=[2,4,6,8..] to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (np. 8) i trafi do pudełka B1:
B1: P2~>P8 := P2~~>P8=P2*P8=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie B1: P2~>P8=1 i fałszywe zdanie A1’: P2~~>~P8=0
LUB
b)
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 P2=[2,4,6,8..] to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 8 (np. 2) i trafi do pudełka A1’:
A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 - zbiór liczb podzielnych przez 2 (P2) i niepodzielnych przez 8 (~P8)
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie A1’: P8~~>~P8=1 i fałszywe zdanie B1: P2~>P8=0
Podsumowanie:
Wylosowana liczba podzielna przez 2 może wylądować w pudełku B1 albo w pudełku A1’ - trzeciej możliwości brak (tertium non datur)
1=prawa
0=fałsz
Wynikowe jedynki w zdaniach B1 i A1’ nazywamy miękkimi jedynkami, pociągającymi za sobą istnienie miękkich zer
Miękkie jedynki i miękkie zera mogą zajść ale nie muszą, wszystko zależy tu od konkretnej, wylosowanej liczby.

2.
Zauważmy, że jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą niepodzielną przez 2 (~P2) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8)
Wylosowana liczba niepodzielna przez 2 na 100% => trafi do pudełka B2:
B2: ~P2=>~P8 := ~P2~~>~P8=~P2*~P8 =~P2 - bo zbiór ~P2 jest podzbiorem => ~P8
Mówi o tym warunek wystarczający B2: ~P2=>~P8 =1
Wynikowa jedynka w zdaniu B2 jest tu twardą jedynką co oznacza, że dla każdego losowania, jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to na 100% => nie będzie ona podzielna przez 8 (~P8)
Twarda jedynka w zdaniu B2 wymusza twarde zero w zdaniu B2’.

9.3.4 Tożsamość implikacyjna w implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8

Przepiszmy związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej P2|~>P8 wzbogacając je o pojęcia:
=> - gwarancja matematyczna GM
~> - rzucanie monetą RM

Prawa Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8 =1
A1: P2=>P8 = A2: ~P2~>~P8 =0

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Kod:

T4IO
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P2|~>P8
       AB12:                           |      AB34:
A:  1: p=>q    =0  = 2:~p~>~q  =0     [=] 3: q~>p    =0  = 4:~q=>~p =0
A:  1: P2=>P8  =0  = 2:~P2~>~P8=0     [=] 3: P8~>P2  =0  = 4:~P8=>~P2 =0
A’: 1: P2~~>~P8=1  =                  [=]                = 4:~P8~~>P2 =1                   
      ~GM              ~RM             |    ~RM              ~GM
       ##               ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1  = 2:~p=>~q  =1     [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: P2~>P8  =1  = 2:~P2=>~P8=1     [=] 3: P8=>P2  =1  = 4:~P8~>~P2 =1
B’:                = 2:~P2~~>P8=0     [=] 3: P8~~>~P2=0
    B1: RM=A1:~GM  # B2: GM=A2:~RM     |  B3: GM=A3:~RM  # B4: RM=A4:~GM
---------------------------------------------------------------------------
    P2|~>P8=P2*~P8 = ~P2|=>~P8=P2*~P8 [=] P8|=>P2=~P8*P2 = ~P8|~>~P2=~P8*P2
Legenda:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
=> - gwarancja matematyczna GM
~> - rzucanie monetą RM
AB12:
B1: P2~>P8=1 - rzucanie monetą RM=1
A1: P2=>P8=0 - brak gwarancji matematycznej ~GM=1
Między punktami P2 i P8 zachodzi tożsamość:
B1: RM = A1:~GM
#
B2:~P2=>~P8=1 - gwarancja matematyczna GM=1
A2:~P2~>~P8=0 - brak rzucania monetą ~RM=1
Między punktami ~P2 i ~P8 zachodzi tożsamość:
B2: GM = A2:~RM
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
B1: RM=A1:~GM # B2: GM=A2:~GM
-----------------------------------------------------------------
AB34:
B3: P8=>P2=1 - gwarancja matematyczna GM=1
A3: P8~>P2=0 - brak rzucania monetą ~RM=1
Między punktami P8 i P2 zachodzi tożsamość:
B3: GM = A3:~RM
#
B4:~P8~>~P2=1 - rzucanie monetą RM=1
A4:~P8=>~P2=0 - brak gwarancji matematycznej ~GM=1
Między punktami ~P8 i ~P2 zachodzi tożsamość:
B4: RM = A4:~GM
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
B3: GM=A3:~RM # B4: RM=A4:~GM

Matematycznie zachodzi:
D=GM+~GM=1 - dziedzina D to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń
W zdaniu może być zawarta gwarancja matematyczna (GM=1) albo nie (~GM=1)
GM+~GM =1 - ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM
GM*~GM =0 - gwarancja GM nie może być jednocześnie spełniona GM i niespełniona ~GM
Prawo podwójnego przeczenia:
Jest gwarancja GM = nie jest prawdą (~) że nie ma gwarancji matematycznej (~GM)
GM=~(~GM)

9.3.5 Właściwości implikacji odwrotnej P2|~>P8

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T4
B1:  P2~>P8  =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
                  P2~>P8:=P2~~>P8=P2*P8=P8 - zawartość pudełka B1
LUB
A1’: P2~~>~P8=1 - zbiory P2 i ~P8 mają część wspólną np. 2
                  P2~~>~P8=P2*~P8 - zawartość pudełka A1’ (śmietnik)
.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - bo zbiór ~P2 jest podzbiorem => ~P8
                  ~P2=>~P8:=~P2~~>~P8=~P2*~P8=~P2 - zawartość pudełka B2
B2’:~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2 o P8 są rozłączne
                  P8*~P2=[] - zawartość pudełka B2’ (zbiór pusty)
Gdzie:
:= - na mocy prawa Kobry wyznaczamy kompletny zbiór wynikowy

Obliczenia używanych zbiorów:
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
stąd:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Właściwości operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8:
1.
Zbiory B1, A1’ i B2 są wzajemnie rozłączne.
Dowody wzajemnej rozłączności zbiorów:
B1*A1’ = P8*(P2*~P8) =[] =0 - bo P8 jest rozłączny z ~P8
B1*B2 = P8*~P2 =[] =0 - bo P8 jest rozłączny z ~P2
A1’*B2 = (P2*~P8)*~P2 =[] =0 - bo P2 jest rozłączny z ~P2
cnd
2.
Suma logiczna zbiorów B1+A1’ musi być tożsama ze zbiorem zapisanym w poprzedniku, zbiorem P2:
Y = B1+A1’ = P8 + (P2*~P8)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~P8*(~P2+P8)
~Y=~P8*~P2+~P8*P8
~Y=~P8*~P2
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = P8+P2 =P2 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Y = B1+A1’ =P2
cnd
3.
Dziedzina fizyczna dla naszej analizy to suma logiczna zawartości pudełek B1, A1’ i B2
[B1+A1’]+B2 = [P8 + (P2*~P8)] + ~P2 = [P2]+~P2 =1
B1+A1’ mamy policzone wyżej, to zbiór P2
cnd

9.3.6 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego P2~>P8

Przepiszmy naszą analizę w postaci tabeli prawdy T4
Kod:

T4
B1:  P2~>P8  =1 - bo zbiór P2 jest nadzbiorem ~> P8
LUB
A1’: P2~~>~P8=1 - zbiory P2 i ~P8 mają część wspólną np. 2
.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - bo zbiór ~P2 jest podzbiorem => ~P8
B2’:~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2 o P8 są rozłączne

W naszej analizie implikacji odwrotnej P2|~>P8 zbiory P2, ~P2, P8, ~P8 są zbiorami niepustymi.
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2=[2,4,6,8..] =1 - prawdą jest (=1) że istnieje zbiór P2
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] =1 - prawdą jest (=1) że istnieje zbiór ~P2
P8=[8,16,24..] =1 - prawdą jest (=1) że istnieje zbiór P8
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] =1 - prawdą jest (=1) że istnieje zbiór ~P8

Przejdźmy teraz na zapisy formalne (ogólne) niezależne od przykładu podstawiając:
p=P2
q=P8

Zapiszmy tabelę prawdy T4 z uwzględnieniem wartości logicznych zbiorów:
Kod:

T5
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
              |
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 - bo p jest nadzbiorem ~> q
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 - zbiory p i ~q mają część wspólną ~~>
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
;
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 - bo ~p jest podzbiorem => ~q
B2’:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 - zbiory ~p i q są rozłączne

3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny:
B1: p~>q
i zakodujmy tabelę T5 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli symbolicznej T5 dla punktu odniesienia:
B1: p~>q
Kod:

T6
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |B1: p~>q          |
              |                  |                  | p   q  p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~> 1  =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0  =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0  =1
B2’:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1  =0
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej 123 jest linia B1: p~>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że:
Jeśli ustawimy punkt odniesienia na warunku wystarczającym B2:~p=>~q to otrzymamy zero-jedynkową definicje warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q)
Sprawdźmy to:
Prawa Prosiaczka których tu będziemy potrzebować to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x) bowiem takie zmienne występują w naszym nowym punkcie odniesienia:
B2:~p=>~q

Realizacja kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T5 dla punktu odniesienia:
B2:~p=>~q
Kod:

T7
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |B2:~p~>~q         |
              |                  |                  |~p  ~q ~p~>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0~> 0  =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0~~>1  =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=> 1  =1
B2’:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0  =0
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej 123 jest linia B2:~p=>~q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy że:
W tabelach T6 i T7 analiza symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q (abc) którą jest seria czterech zdań B1, A1’, B2, B2’ jest identyczna.
W tabelach T6 i T7 zero-jedynkowe kolumny wynikowe 3 też są identyczne, co jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
T6: p~>q = T7: ~p=>~q

9.3.7 Warunek konieczny ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Wyprowadziliśmy wyżej zero-jedynkową definicje warunku koniecznego p~>q.
Kod:

T1A
   p  q   Y=(p~>q)
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0


Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku koniecznego:
Y=(p~>q)
Kod:

T2A
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania  |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe |w zdarzeniach
                    |                    |          |możliwych ~~>
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |          |               Y ~Y
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1  0
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =1  0
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1  0
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0  1
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f   g    h  i  j  k  l

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy funkcje logiczna Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = ~p*(p+q)
~Y=p*~p + ~p*q
~Y=~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = (p~>q) = p+~q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Y =(p~>q) = p+~q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p=1 I ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna zmienna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yx)
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = ~(p~>q) = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Przykład:

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K.
W groźbie nic a nic nie musimy udowadniać, bo groźba z mocy definicji to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Ojciec wypowiada groźbę:
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1

W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) możemy zadać dwa fundamentalne pytania 1 i 2:
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

Z powyższej analizy ogólnej warunku koniecznego ~> mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Podstawiając zdanie ojca mamy:
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Odczytujemy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: B*L =1*1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
lub
B: B*~L =1*1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
lub
C: ~B*~L = 1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)

Zdanie B to powszechnie znany w przyrodzie (nie tylko u ludzi) akt łaski, czyli prawo nadawcy do odstąpienia wykonania kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1), czyli kiedy skłamie?

Z powyższej analizy ogólnej warunku koniecznego B~>L mamy:
~Y = ~(p~>q) = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1
Podstawiając groźbę ojca mamy:
~Y = ~(B~>L) = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D:~B=1 i L=1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1), czyli skłamie, wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~B*L=1*1=1 - syn wróci w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)
Uwaga:
Tylko i wyłącznie z powodu czystych spodni, z dowolnego innego powodu ojciec może lać, takie lanie nie będzie miało nic wspólnego z obsługą wypowiedzianej groźby A.

9.3.8 Od definicji warunku koniecznego P2~>P8 do operatora P2|~>P8

Warunek konieczny ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) definiuje wszystkie możliwe relacje wyrażone elementem wspólnym zbiorów ~~> p i q pokazany w tabeli T2A.

Z tabeli T2A w zdarzeniach możliwych odczytujemy:
Kod:

T3A.
A: p~~>q = p* q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbirów p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
D:~p~~>q =~p* q=0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q

Przełóżmy tą tabelę na nasz warunek konieczny P2~>P8 wyrażony spójniami „i”(*) i „lub”(+) podstawiając:
p=P2
q=P8
Kod:

T3A.
Zdjęcie układu P2~~>P8 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P2~~> P8= P2* P8=1 - bo zbiory P2 i P8 mają element wspólny ~~> (np.8)
B: P2~~>~P8= P2*~P8=1 - bo zbiory P2 i ~P8 mają element wspólny ~~> (np.2)
C:~P2~~>~P8=~P2*~P8=1 - bo zbiory ~P2 i ~P8 mają element wspólny ~~> (np.1)
D:~P2~~> P8=~P2* P8=0 - bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne

Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania warunkowego „Jeśli p to q” spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.

Dokładnie to opisuje tabela prawdy T3A.
Z poprawnego zdjęcia dowolnego układu, którym zawsze jest seria czterech zdań ABCD przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w trywialny sposób dochodzimy do operatora implikacyjnego który opisuje ten układ.

Od strony czysto-teoretycznej problem jest banalny.
Jedyne potrzebne nam definicje to:
1.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach


Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Zacznijmy od przepisania tabeli prawdy T3A bez komentarzy:
Kod:

T3A
Zdjęcie układu P2~~>P8 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P2~~> P8= 1
B: P2~~>~P8= 1
C:~P2~~>~P8= 1
D:~P2~~> P8= 0

Wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów (punktem odniesienia jest dla nas zdanie A):
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmujemy dziadzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd obliczamy przeczenia zbiorów (~) rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny LN:
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
~P8=[LN-P8] = {1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8

Dalej mamy bułkę z masłem:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~P2~~>P8=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~P2=>~P8 =1 - bo zbiór ~P2=[1,3,5,7..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
2.
Prawo Kubusia:
C: ~P2=>~P8 = A: P2~>P8 =1
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~P2=>~P8=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B: P2~~>~P8=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A1:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
4.
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B1:
B1: P2~~>~P8 = P2*~P8 =0 - bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mają co najmniej jeden element wspólny.
5.
Prawo Kubusia:
A1: P2=>P8 = C1: ~P2~>~P8 =0
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~>:
C1: ~P2~>~P8 =0 - bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T3A:
Kod:

T4A.
Analiza symboliczna implikacji odwrotnej P2|~>P8 w spójnikach =>, ~> i ~~>.
A: P2~>  P8= 1    ##  A1: P2=> P8 =0
B: P2~~>~P8= 1    [=] B1: P2~~>~P8=1
C:~P2=> ~P8= 1    ##  C1:~P2~>~P8 =0
D:~P2~~> P8= 0    [=] D1:~P2~~>P8 =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
[=] - tożsamość zbiorów, bo spójnik elementu wspólnego zbiorów ~~> jest przemienny.

Z tabeli T4A odczytujemy:
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to wyłącznie warunek konieczny ~> zachodzący między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A: P2~> P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> P8
##
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem => P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 w równaniu logicznym:
P2|~>P8 = (A: P2~>P8)*~(A1: P2=>P8) = 1*~(0) =1*1 =1

Z tabeli T4A odczytujemy także:
Definicja implikacji prostej ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P2):
Implikacja prosta ~P2|=>~P8 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
C: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => ~P8
##
C1: ~P2~>~P8=0 - zbiór ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję implikacji prostej ~P2|=>~P8 w równaniu logicznym:
~P2|=>~P8 = (C: ~P2=>~P8)*~(C1: ~P2~>~P8) =1*~(0)=1*1 =1

9.3.9 Analiza rozszyfrowanego operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8

Z tym rozszyfrowaniem mamy tu na myśli dojście od definicji warunku koniecznego ~> (tabela T1A) do definicji symboliczne operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 widocznego w tabeli T4A.
W tabeli T4A mamy definicję symboliczną operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 w postaci serii zdań ABCD.
Kod:

T4A.
Analiza symboliczna implikacji odwrotnej P2|~>P8 w spójnikach =>, ~> i ~~>.
A: P2~>  P8= 1 - bo zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
B: P2~~>~P8= 1 - bo zbiory P2 i ~P8 mają element wspólny ~~>
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
A: P2~>P8 = C:~P2=>~P8
C:~P2=> ~P8= 1 - bo zbiór ~P2 jest podzbiorem => zbioru ~P8
D:~P2~~> P8= 0 - bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne

Definicja operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Operator implikacji odwrotnej P2|~>P8 to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli liczba będzie podzielna przez 2 (P2=1)?


A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Tygryska:
P2~>P8 = P8=>P2
Stąd alternatywnie możemy dowodzić łatwiejszej w dowodzeniu relacji podzbioru => P8=>P2
LUB
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów P2 i ~P8 jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mają co najmniej jeden element wspólny (np. 2)

2.
Co się stanie jeśli liczba nie będzie podzielna przez 1 (~P2=1)?


Prawo Kubusia:
A: P2~>P8 = C: ~P2=>~P8
stąd:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Prawo kontrapozycji:
~P2=>~P8 = P8=>P2
Stąd alternatywnie możemy dowodzić łatwiejszej w dowodzeniu relacji podzbioru => P8=>P2
Kontrprzykład D dla warunku wystarczającego C musi być fałszem
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 =~P2*P8 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych ~P2 jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych np. P8.

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że w logice matematycznej można wędrować także od tabeli zero-jedynkowej warunku koniecznego P2~>P8 (tabela T1A) do symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 (tabela T4A).
2.
Doskonale widać, że kluczowe w rozszyfrowywaniu algebry Kubusia było dojście od języka potocznego do zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => co miało miejsce w tabelach od T1 to T7.
3.
Doskonale widać, że mózg człowieka zatopiony w gównie zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań nie miał żadnych szans na poprawne na matematyczne rozszyfrowanie algebry Kubusia, logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy


9.3.10 Prawo transformacji dla implikacji odwrotnej P2|~>P8

Na implikację odwrotną P2|~>P8 możemy spojrzeć poprzez funkcję czasu (nie musimy tego robić).

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości.
Jeśli znajdziemy się w przeszłości to nie mamy szans by wrócić do przyszłości - co się stało to się nie odstanie.

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w prawie transformacji przyjmuje brzmienie:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

Prawo transformacji:
1.
Implikacja odwrotna w czasie przyszłym p|~>q po zamianie p i q transformuje się do implikacji prostej q|=>p w czasie przeszłym.
Oczywistość bowiem w zdaniu warunkowym:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
skutek q znamy wyłącznie w czasie przeszłym.
2.
Implikacja odwrotna w czasie przyszłym p|~>q bez zamiany p i q transformuje się do implikacji odwrotnej p|~>q w czasie przeszłym - tu przyczyna ze skutkiem nie jest zamieniona.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1 =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej P2~>P8:
Kod:

T3T - prawo transformacji
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P2|~>P8
------------------------------------------------------------------------
Przyszłość/przeszłość                  | Przeszłość
------------------------------------------------------------------------
       AB12:                           |      AB34:
A:  1: p=>q    =0  = 2:~p~>~q  =0     [=] 3: q~>p    =0  = 4:~q=>~p   =0
A:  1: P2=>P8  =0  = 2:~P2~>~P8=0     [=] 3: P8~>P2  =0  = 4:~P8=>~P2 =0
A’: 1: P2~~>~P8=1  =                  [=]                = 4:~P8~~>P2 =1                   
       ##               ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1  = 2:~p=>~q  =1     [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: P2~>P8  =1  = 2:~P2=>~P8=1     [=] 3: P8=>P2  =1  = 4:~P8~>~P2 =1
B’:                = 2:~P2~~>P8=0     [=] 3: P8~~>~P2=0
---------------------------------------------------------------------------
R3: P2|~>P8=P2*~P8 = ~P2|=>~P8=P2*~P8 [=] P8|=>P2=~P8*P2 = ~P8|~>~P2=~P8*P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
A1: P2=>P8=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
B2:~P2=>~P8=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8

Zobaczmy na przykładzie jak działa prawo transformacji na naszym przykładzie P2|~>P8.

Zdanie B1 w czasie przyszłym:
B1.
Jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Zdanie B1 w czasie przeszłym bez zamiany P2 i P8 mamy w obszarze AB12:
B1’’:
Jeśli ze zbioru LN wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba mogła ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Zdanie B1 w czasie przeszłym z zamianą P2 i P8 transformuje się do obszaru AB34:
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
B3.
Jeśli ze zbioru LN wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 (P8) to ta liczba na 100% => była podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Podsumowanie:
Zauważmy, że w teorii transformacji (z której nie musimy korzystać) różnica między zdaniem B1 (czas przyszły) a zdaniem B3 (czas przeszły) jest zasadnicza.
1.
W zdaniu B1 znajdujemy się przed losowaniem, czyli jeszcze nie włożyliśmy ręki do worka ze zbiorem liczb naturalnych LN z którego być może wylosujemy liczbę podzielną przez 2 P2=[2,4,6,8..]
Jeśli już taką liczbę wylosujemy to klamka zapadła, wylosowana liczba może należeć do zbioru P8 bo:
B1: P2~>P8 := P2~~>P8 = P2*P8 = P8 =1
Lub do zbioru P2*~P8 bo
A1’: P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
2.
Natomiast w zdaniu B3 opisujemy byłe losowanie które już miało miejsce.
B3.
Jeśli ze zbioru LN wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 (P8) to ta liczba na 100% => była podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1

Jeśli nie znamy wyników byłego losowania to logika matematyczna dalej działa, właśnie w czasie przeszłym jak wyżej.
Byłe losowanie to jednak świat zdeterminowany którego nie jesteśmy w stanie zmienić, możemy tylko i wyłącznie nie znać wyników byłego losowania.

Przykład z życia:
Załóżmy że puściliśmy toto-lotka, dopóki nie zaszło nasze losowanie, mamy realne szanse na trafienie szóstki w totolotka.
Jeśli takie losowanie się odbyło to klamka zapadła, znamy wynik np. nie trafiliśmy żadnej liczby i możemy co najwyżej sobie pochlipać.
Załóżmy że losowanie zaszło wczoraj, ale z jakichś tam przyczyn nie znamy wyników tego losowania - tylko w tym przypadku logika matematyczna działa dalej i nakazuje nam podjęcie wszelkich starań, by poznać wyniki wczorajszego losowania.
Z naszego punktu widzenia (gdy nie znamy wyniku) dalej mamy „na dwoje babka wróżyła”, możemy tą szóstkę trafić albo nie trafić.

Podsumowując:
W świecie żywym rzeczywistość determinuje ten, kto zna fakty.

Zauważmy, że bez znaczenia jest kiedy to nasze losowanie się odbyło - przykładowo, możemy znaleźć zaginiony kupon toto-lotka pół roku po losowaniu i stwierdzić że pół roku temu trafiliśmy szóstkę - naszą wściekłość łatwo sobie wyobrazić … dlatego nigdy nie grałem w toto-lotka, bo gubienie różnych rzeczy to moja specjalność.

9.4 Porównanie implikacji P8|=>P2 z P2|~>P8 bez wyróżnionego wejścia i wyjścia

Porównajmy omówione wyżej kompletne obsługi implikacji prostej P8|=>P2 (pkt. 9.2) i odwrotnej P2|~>P8 (pkt.9.3)

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Operator logiczny który będziemy badać to:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Operator logiczny który będziemy badać to:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1 =1*1 =1

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych w implikacji prostej P8|=>P2 są następujące.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P8|=>P2:
       AB12:                          |     AB34:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q   =1    [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=> P2 =1 = 2:~P8~>~P2 =1    [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: P8~~>~P2=0 =                  [=]               = 4:~P2~~>P8 =0   
       ##              ##             |     ##              ##
B:  1: p~>q    =0  = 2:~p=>~q   =0   [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0  = 2:~P8=>~P2 =0   [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:                = 2:~P8~~>P2 =1   [=] 3: P2~~>~P8=1
-------------------------------------------------------------------------
R3: P8|=>P2=~P8*P2 =~P8|~>~P2=~P8*P2 [=] P2|~>P8=P2*~P8 =~P2|=>~P8=P2*~P8
Legenda:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2

###
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych w implikacji odwrotnej P2|~>P8 są następujące.
Kod:

T4
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P2|~>P8
       AB12:                           |      AB34:
A:  1: p=>q    =0  = 2:~p~>~q  =0     [=] 3: q~>p    =0  = 4:~q=>~p =0
A:  1: P2=>P8  =0  = 2:~P2~>~P8=0     [=] 3: P8~>P2  =0  = 4:~P8=>~P2 =0
A’: 1: P2~~>~P8=1  =                  [=]                = 4:~P8~~>P2 =1                   
       ##               ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1  = 2:~p=>~q  =1     [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: P2~>P8  =1  = 2:~P2=>~P8=1     [=] 3: P8=>P2  =1  = 4:~P8~>~P2 =1
B’:                = 2:~P2~~>P8=0     [=] 3: P8~~>~P2=0
---------------------------------------------------------------------------
R4: P2|~>P8=P2*~P8 = ~P2|=>~P8=P2*~P8 [=] P8|=>P2=~P8*P2 = ~P8|~>~P2=~P8*P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych.
Po obu stronach znaczka ### p i q nie muszą być tymi samymi p i q

W naszych tabelach T3 i T4 mamy tożsamość logiczną tych tabel bo:
T3: P8|=>P2 =~P8*P2 [=] T4: P2|~>P8 = P2*~P8

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Zauważmy, że logicznie w zapisach aktualnych (nasz przykład) tabele T3 i T4 są tożsame, ale w zapisach formalnych mamy tu błąd podstawienia.
Dowód:
W zapisach formalnych (ogólnych) zachodzi:
Kod:

T3: p|=>q = ~p*q  ### T4: p|~>q=p*~q
    p=P8          ###     p=P2
    q=P2          ###     q=P8
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
p i q po obu stronach znaczka ### nie muszą być tymi samymi p i q

Jak rozwiązać ten problem?
Bardzo prosto, dyrektywą iż między definicjami operatorowymi ### p i q mogą nie być tymi samymi p i q po obu stronach znaczka ###.

Zauważmy że:
1.
Implikacje z wyróżnionym wejściem i wyjściem (punkt 7.1):
A|=>S ### A|~>S
W implikacjach z wyróżnionym wejściem i wyjściem p i q były tymi samymi p i q także w definicjach operatorowych ### A|=>S i A|~>S (punkt 7.1)
2.
Implikacje bez wyróżnionego wejścia wyjścia w zdarzeniach (punkt 7.2)
Teoria zdarzeń:
P|=>CH ### CH~>P
W implikacjach bez wyróżnionego wejścia i wyjścia musimy przyjąć iż w definicjach operatorowych ### p i q mogą nie być tymi samymi p i q (punkt 7.2)
3.
Implikacje bez wyróżnionego wejścia wyjścia w zbiorach (niniejszy punkt):
Teoria zbiorów:
P8|=>P2 ## P2|~>P8
W implikacjach bez wyróżnionego wejścia i wyjścia musimy przyjąć iż w definicjach operatorowych ### p i q mogą nie być tymi samymi p i q

Podsumowanie:
1.
Definicja znaczka ## (niniejszy punkt):
T3: P8=>P2=~P8+P2 ## T3: P8~>P2=~P8+P2
T4: P2~>P8=P2+~P8 ## T4: P2=>P8=~P2+P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji wewnątrz definicji operatorowej
p i q po obu stronach znaczka ## muszą być tymi samymi p i q
2.
Definicja znaczka ###:
Kod:

T3: p|=>q = ~p*q  ### T4: p|~>q=p*~q
    p=P8          ###     p=P2
    q=P2          ###     q=P8
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
p i q po obu stronach znaczka ### nie muszą być tymi samymi p i q


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:00, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 0:12, 19 Sie 2020    Temat postu:

Spis treści
9.5 Operator chaosu p|~~>q w zbiorach 1
9.5.1 Operator chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 3
9.5.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 6


9.5 Operator chaosu p|~~>q w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniony (=0)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w operatorze chaosu p|~~>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1.
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q
AB12                              |  AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q            [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
      ##        ##                |     ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q            [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~> q =1                 [=]               4:~q~~>~q=1
                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1 =
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwagi:
Zdania A1” i B2” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją operatora chaosu p|~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2”, A4” i B3”.



Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
p|~~>q =0
Wynikowe zero oznacza tu, że w operatorze chaosu p|~~>q nie ma żadnej gwarancji matematycznej, ani po stronie p, ani tez po stronie ~p.

Operator chaosu jest przemienny:
p|~~>q = p*q [=] q|~~>p = q*p
bo spójnik logiczny „i”(*) jest przemienny

9.5.1 Operator chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)

Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład zdania wchodzącego w skład operatora chaosu p|~~>q:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w operatorze chaosu z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> obowiązującej wyłącznie w warunku wystarczającym => dla zdania A.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P8|~~>q:
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: P8=>P3  =0 = 2:~P8~>~P3=0  [=] 3: P3~>P8  =0 = 4:~P3=>~P8 =0
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1                 
A”: 1: P8~~> P3=1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1
       ##              ##          |     ##            ##
B:  1: P8~>P3  =0 = 2:~P8=>~P3=0  [=] 3: P3=>P8  =0 = 4:~P3~>~P8 =0
B’:               = 2:~P8~~>P3=1  [=] 3: P3~~>~P8=1 =
B”:                 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P8=>P3=0 -fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P8=>~P3=0-fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Mamy nasze zdanie:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24

Na początek musimy udowodnić, iż zdanie A1 rzeczywiście wchodzi w skład operatora chaosu P8|~~>P3.
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd obliczamy początkowe wartości wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
P8=[8,16,24..]
P3=[3,6,9..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..]
Aby udowodnić iż mamy tu do czynienia z operatorem chaosu P8|~~>P3 wystarczy udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Tu wszystkie dowody są trywialne, wybierzmy zdania A1 i B3.
A1: P8=>P3
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest podzbiorem => P3.
Dowód na kilku pierwszych elementach:
P8=[8,16,24..] => P3=[3,6,9..] =0
Liczba 8 należy do zbioru P8 i nie należy do zbioru P3
cnd

B3: P3=>P8
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 3 to na 100% => jest podzielna przez 8
P3=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 3 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo zbiór P3 nie jest podzbiorem => P8.
Dowód na kilku pierwszych elementach:
P3=[3,6,9..] => P8=[8,16,24 ..] =0
Liczba 3 należy do zbioru P3 i nie należy do zbioru P8
cnd

Stąd mamy pewność że nasze zdanie A1”: P8~~>P3 wchodzi w skład operatora chaosu P8|~~>P3.
W tym momencie analizę symboliczną operatorach chaosu P8|~~>P3 według szablonu matematycznego może wykonać komputer.

Operator chaosu P8|~~>P3 odpowiada na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?


A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(P3=1) =1
Warunek wystarczający => nie jest tu spełniony:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => P3=[3,6,9..]
lub
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(P3=1) =1

Podsumowanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy dowolna liczbą podzielną przez 8 (P8=1) to ta liczba może wpaść do pudełka:
A1”: P8~~>P3 = P8*P3 =1 np.8
Zbiór liczb podzielnych przez 8 i podzielnych przez 3
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie A10 i fałszywe A1’
lub
A1’: P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 np. 8
Zbiór liczb podzielnych przez 8 i niepodzielnych przez 3
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie A10 i prawdziwe A1’
Trzeciej możliwości nie ma (łac. tertium non datur)
Wnioski:
1.
Po stronie liczb podzielnych przez 8 mamy tu do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
2.
Wynikowe jedynki są tu miękkimi jedynkami tzn. w zależności od losowania mogą być miękkimi jedynkami albo miękkimi zerami.

2.
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?


B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2
Co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(~P3=1) =1
Warunek wystarczający => nie jest tu spełniony:
B2: ~P8=>~P3 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest podzbiorem => ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
lub
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(P3=1)=1

Podsumowanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy dowolną liczbą niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może wpaść do pudełka:
B2”: ~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 np.2
Zbiór liczb niepodzielnych przez 8 i niepodzielnych przez 3
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie B2” i fałszywe B2’
lub
B2’: ~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1
Zbiór liczb niepodzielnych przez 8 i podzielnych przez 3
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie B2” i prawdziwe B2’
Trzeciej możliwości nie ma (łac. tertium non datur)

Wnioski:
1.
Po stronie liczb niepodzielnych przez 8 mamy tu do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
2.
Wynikowe jedynki są tu miękkimi jedynkami tzn. w zależności od losowania mogą być miękkimi jedynkami albo miękkimi zerami.

Podsumowanie generalne:
Zauważmy, że w operatorze chaosu P8|~~>P3 zarówno po stronie zbioru P8 jak i zbioru ~P8 mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

9.5.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Dowód iż mamy tu do czynienia z legalnym, matematycznym spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~>
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=P8
q=P3
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
              |
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1

3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A1”:
A1”: p~~>q =1
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadanie jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |A: p~~>q          |
              |                  |                  | p   q p~~>q
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1  =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0  =1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0  =1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1  =1
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=(p=0)      |
                                 |(~q=1)=(q=0)

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 jest linia A1”: p~~>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Operator chaosu p|~~>q to co innego niż zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> to tabela zero-jedynkowa 123, gdzie:
p~~>q = A1”: p*q + A1: p*~q + B2”:~p*~q + B2’:~p*q =0

Natomiast:
Operator chaosu p|~~>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: p~~>q =1
A1’: p~~>~q =1
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: ~p~~>~q =1
B2’: ~p~~> q =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:01, 04 Paź 2020, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25762
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 9:03, 19 Sie 2020    Temat postu:

Bramy matematycznego Raju

Spis treści
10.0 Bramy matematycznego Raju 1
10.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
10.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
10.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 2
10.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
10.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 3
10.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
10.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
10.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
10.4 Rajskie twierdzenie 7
10.4.1 Rajskie twierdzenie w obsłudze implikacji prostej p|=>q 11
10.4.2 Rajskie twierdzenie w obsłudze implikacji odwrotnej p|~>q 16
10.4.3 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q 20




10.0 Bramy matematycznego Raju

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

10.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

10.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

10.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

10.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

10.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

10.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


10.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  0
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego linie definiujące znaczki =>, ~> i „lub”(+) można dowolnie przestawiać, matematycznie to bez znaczenia.

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q = p<=>q =0 - zbiory (pojęcia) są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
p##q <=> p=q = p<=>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Weźmy prawo Kubusia odczytane z tabeli B.
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony.

10.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

10.4 Rajskie twierdzenie

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Matematycznie zachodzi:
p=>q=~p+q ## p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Rajskie twierdzenie - część I:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” prawdziwe może być tylko i wyłącznie częścią jednego z czterech rozłącznych operatorów implikacyjnych:

1.
Równoważność p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = p*q+~p*~q

2.
Implikacja prosta p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q) = ~p*q

3.
Implikacja odwrotna p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q) = p*~q

4.
Operator chaosu p|~~>q:

Operator chaosu p|~~>q to nie spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q)= (p*~q)*(~p*q) =0

Rajskie twierdzenie - część II:
Do rozszyfrowania w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest potrzebna i wystarczająca znajomość treści tego zdania.
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wypowiedziane jako pierwsze traktujemy jako punkt odniesienia zapisując w matematyce formalnej (ogólnej) po „Jeśli ..” p (poprzednik) zaś po „to..” q (następnik), bo takie mamy punkty odniesienia w powyższych definicjach.

Zauważmy, że w tym momencie cała logika matematyczna ziemian leży w gruzach.
Dowód:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
macjan jeden z najlepszych ziemskich logików matematycznych napisał:

Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "jeśli ... to ..." jest implikacją.


Zauważmy, że z punktu widzenia Rajskiego twierdzenia na samym początku (przed analizą) interesują nas prawa rachunku zero-jedynkowego dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie w poprzedniku mamy p, zaś w następniku q.

1.
Równoważność p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
##
B1: p~>q =1
Zapis tożsamy na mocy praw Kubusia plus definicja kontrprzykładu dla A1 i B2:
Kod:

Równoważność: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*q+~p*~q
A1:  p=>q   =1 [=] A2: ~p~>~q =1
A1’: p~~>~q =0
     ##                ##
B1:  p~>q   =1 [=] B2: ~p=>~q =1
                   B2’:~p~~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
     p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


###

2.
Implikacja prosta p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1
##
B1: p~>q =0
Zapis tożsamy na mocy praw Kubusia plus definicja kontrprzykładu dla A1 i B2:
Kod:

Implikacja prosta: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
A1:  p=>q   =1 [=] A2: ~p~>~q =1
A1’: p~~>~q =0
     ##                ##
B1:  p~>q   =0 [=] B2: ~p=>~q =0
                   B2’:~p~~>q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
     p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


###

3.
Implikacja odwrotna p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0
##
B1: p~>q =1
Kod:

Implikacja odwrotna: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
A1:  p=>q   =0 [=] A2: ~p~>~q =0
A1’: p~~>~q =1
     ##                ##
B1:  p~>q   =1 [=] B2: ~p=>~q =1
                   B2’:~p~~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
     p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


###

4.
Operator chaosu p|~~>q:

Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0
##
B1: p~>q =0
Kod:

Operator chaosu: p|~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0
A1:  p=>q   =0 [=] A2: ~p~>~q =0
A1’: p~~>~q =1
A1”: p~~> q =1
     ##                ##
B1:  p~>q   =0 [=] B2: ~p=>~q =0
                   B2’:~p~~>q =1
                   B2”:~p~~>~q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
     p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwagi:
Zdania A1” i B2” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zdarzeniem możliwym ~~>) muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją operatora chaosu p|~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2”.

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Matematycznie zachodzi:
1: p<=>q=p*q+~p*~q ### 2: p|=>q=~p*q ### 3: p|~>q=p*~q ### 4: p|~~>q = [] =0
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych ###
p i q w dowolnej z definicji operatorowych ### mogą należeć tylko i wyłącznie do jednej z czterech, rozłącznych definicji operatorowych p<=>q, p|=>q, p|~>q albo p|~~>q.
Innymi słowy:
Te same p i q nie mogą należeć równocześnie do dwóch różnych na mocy definicji ### operatorów logicznych.

Dowód iż definicje operatorów implikacyjnych <=>, |=>, |~> i |~~> są wzajemnie rozłączne:
1: p<=>q * 2: p|=>q = (p*q+~p*~q)*(~p*q) = (p*q*~p*q)+(~p*~q*~p*q) = []+[] = [] =0
cnd
1: p<=>q * 3: p|~>q = (p*q+~p*~q)*(p*~q) = []+[] = [] =0
cnd
1: p<=>q * 4: p|~~>q = (p*q + ~p*~q)*[] = []+[] = [] =0
cnd
itd.

10.4.1 Rajskie twierdzenie w obsłudze implikacji prostej p|=>q

Zadanie z logiki matematycznej w I klasie LO w 100-milowym lesie:

Zbadaj do jakiego operator logicznego należy zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur.
Padanie deszczu daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wypowiedziane jako pierwsze traktujemy jako punkt odniesienia dla logiki matematycznej zawsze zapisując po „Jeśli ..” p zaś po „to..” q.

Seria zdań prawdziwych wynikłych z rachunku zero-jedynkowego to:
Prawo Kubusia dla A1:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH =1
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1 - prawo rachunku zero-jedynkowego
Prawo Tygryska dla A1:
A1: P=>CH = A3: CH~>P =1
A1: p=>q = A3: q~>p =1 - prawo rachunku zero-jedynkowego
Prawo Kubusia dla A3:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P =1
A3: q~>p = A4: ~q=>~p =1 - prawo rachunku zero-jedynkowego

Seria czterech zdań prawdziwych wynikłych z rachunku zero-jedynkowego to:
Kod:

T1A
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q  =1   [=] 3: q~>p  =1   = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH =1  = 2:~P~>~CH =1   [=] 3: CH~>P