Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia pisana na żywo - dyskusja z Fiklitem C.III
Idź do strony 1, 2, 3 ... 34, 35, 36  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 7:58, 07 Lis 2013    Temat postu: Algebra Kubusia pisana na żywo - dyskusja z Fiklitem C.III

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Myśląc kategoriami ziemskimi autorami „Algebry Kubusia” są:
1. Rafal3006 - medium, poprzez które Kubuś kontaktował się z Ziemianami
2. Wuj Zbój - niezapomniany, cierpliwy nauczyciel małego Kubusia
3. Fiklit - współautor 15-miesięcznej dyskusji wszech czasów z Kubusiem

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina, Pana Baryckiego i Zbigniewamillera.

Specjalne podziękowania dla dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie od których Kubuś nauczył się logiki matematycznej. Zawsze, gdy nie był pewien czy dobrze rozumuje udawał się do przedszkola i otrzymywał odpowiedź, maluchy nigdy go nie zawiodły.


Historia powstania algebry Kubusia

Bezpośrednim przyczynkiem do powstania algebry Kubusia było starcie z Wujem Zbójem na forum [link widoczny dla zalogowanych]
Poszło o zdanie:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Wuj twierdził że na mocy tego zdania może być zbawiony każdy, nawet ateista.
Kubuś natomiast twierdził że na mocy tego zdania wszyscy niewierzący muszą do piekła.
… tak to się zaczęło.
Musiało minąć chyba z 6 miesięcy zaciętej dyskusji, aby Kubuś zmienił zdanie.
Kiedy pierwszy raz zapisał prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj od razu skomentował to tak: fajne wzorki, poprawne matematycznie.
Kubuś odpisał: to jest tak piękne, że musi być prawdziwe.
Notabene ten znaczek „~>” zaproponował Wuj jako znaczek groźby (jadowity wąż) - tak się to wtedy nazywało.
Wuj był wspaniałym nauczycielem małego Kubusia, na PW zaliczyliśmy niezliczoną ilość nocek dyskutując o algebrze Boole’a. Kubuś znał technikę bramek logicznych (operatory logiczne) perfekcyjnie z racji swego wykształcenia (elektronika na PW-wa), ale operator implikacji to było coś absolutnie nowego i mu nieznanego, coś co kompletnie nie występuje w technice bramek logicznych.
Dlaczego?
Operator implikacji to w jednej połówce 100% pewność (warunek wystarczający =>), natomiast w drugiej połówce operator implikacji to najzwyklejsze „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>).
Operatory implikacji prostej i odwrotnej to między innymi matematyczny opis „wolnej woli” wszystkich istot żywych. Z tego powodu w technice operatory te są totalnie bezużyteczne i nigdy nie znajdą zastosowania, trudno bowiem sobie wyobrazić aby urządzenie miało „wolną wolę”. Przykładowo kierowca hamuje, samochód prawie zawsze go słucha, ale czasami dodaje gazu zamiast hamować - to jest istota „wolnej woli” w świecie żywym.
Kiedy na matematyce.pl pierwszy raz powiązałem znaczki obietnicy => i groźby ~> z warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>, Wuj od razu skomentował: to jest dobre, idź w tym kierunku.
Wuj zawsze podpowiadał Kubusiowi co robi źle, czyli kiedy idzie w maliny, dzięki czemu AK mogła się rozwijać.
Ważnym okresem w historii powstawania algebry Kubusia była dwuletnia bijatyka na forum [link widoczny dla zalogowanych] (2800 postów), gdzie wszyscy starali się obalić powstającą, nową ideę. Tu algebra Kubusia rosła w siłę a Kubuś który nigdy nie widział nawet okładki podręcznika do logiki matematycznej poznał „logikę” Ziemian, głównie dzięki Fizykowi, Windziarzowi, Sogorsowi i Quebabowi.
Zacięta dyskusja i zdecydowana odmowa Kubusia do przejścia na jedynie słuszną wiarę, matematykę Ziemian, tak rozwścieczyła administratorów ateisty.pl że zamknęli wszystkie tematy jakie kiedykolwiek Kubuś tu założył, zakazując dyskusji na temat AK.
Chcąc nie chcąc Kubuś skorzystał z zaproszenia Sogorsa i pojawił się na forum Yrizona, będącego własnością Sogorsa (tu Daggera) i Słupka, starych znajomych z dyskusji na ateiście.pl.
Tu również zaczęło się od bijatyki, ale w pewnym momencie doszło do [link widoczny dla zalogowanych] który przyciągnął na Yrizonę tajemniczego przybysza z [link widoczny dla zalogowanych] [link widoczny dla zalogowanych] który podobnie jak Wuj w czasach małego Kubusia z wielką cierpliwością wskazywał słabe punkty algebry Kubusia, dzięki czemu ta stawała się coraz doskonalsza. Ponad roczna dyskusja z Fiklitem była decydująca, bez niej algebra Kubusia nie zostałaby zauważona.
Co jest warta idea, nawet najwspanialsza, której nikt poza jej autorem nie rozumie?

Dzięki wszystkim,
Kubuś


Spis treści:

Część I
Fundamenty matematyczne

1.0 Notacja
1.1 Definicja operatora logicznego

2.0 Nowa teoria zbiorów
2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach
2.2 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów
2.3 Czy zbiór pusty istnieje?
2.4 Podstawowe operacje na zbiorach
2.5 Logika matematyczna w przedszkolu
2.6 Twierdzenie 5-cio latka
2.7 Zbiory jednoelementowe
2.8 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego
2.9 Metodyka dowodzenia twierdzeń matematycznych
2.10 Symboliczne definicje kluczowych operatorów logicznych
2.11 Samodzielny warunek wystarczający

3.0 Operatory jednoargumentowe
3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
3.2 Prawa Prosiaczka
3.3 Wykresy czasowe w algebrze Kubusia
3.4 Operator transmisji
3.5 Operator negacji
3.6 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji

4.0 Rachunek zero-jedynkowy
4.1 Operatory dwuargumentowe
4.2 Maszynowe definicje operatorów logicznych
4.3 Prawa przemienności argumentów w operatorach OR i AND
4.4 Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
4.5 Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
4.6 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND
4.7 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
4.8 Twierdzenie śfinii
4.9 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
4.10 Prawo Sowy
4.11 Niejednoznaczność tabel zero-jedynkowych w logice matematycznej

5.0 Definicje operatorów OR i AND w zbiorach
5.1 Definicja symboliczna operatora OR w zbiorach
5.2 Definicja symboliczna operatora AND w zbiorach
5.3 Funkcja logiczna n-argumentowa w zbiorach
5.4 Analiza zdania ze spójnikiem „lub”(+)
5.5 Analiza zdania ze spójnikiem „i”(*)
5.6 Analiza zdania złożonego ze spójnikiem „lub”(+)
5.7 Sterowanie windą autorstwa 5-cio Latków

6.0 Operatory implikacji i równoważności
6.1 Podstawowe właściwości operatorów implikacji i równoważności
6.2 Operator chaosu w zbiorach
6.3 Najważniejsze twierdzenie w logice matematycznej
6.4 Implikacja prosta w zbiorach
6.5 implikacja odwrotna w zbiorach
6.6 Równoważność w zbiorach
6.7 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
6.8 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ


1.0 Notacja

Znaczenie symboli 0 i 1 poza nową teoria zbiorów:
1 = prawda
0 = fałsz

Znaczenie symboli 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (istnieje)
0 - zbiór pusty (nie istnieje)
Naturalnymi ekspertami nowej teorii zbiorów są humaniści, którzy doskonale posługują się nią w praktyce nie będąc tego świadomym.

Operacje na zbiorach:
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]
2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]
3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

~ - symbol negacji, przeczenie „nie” w naturalnej logice człowieka

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Zmienna binarna:
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna:
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytych spójników logicznych.
Przykład funkcji logicznej:
Y=p*q+~r
gdzie:
„*”, „+” - spójniki logiczne
Y - funkcja logiczna

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń)
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów (zdarzeń)

Przykłady:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymam słowa, oczywiście mogę iść i tu i tu.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest zdarzenie chmury i pada stąd wartość logiczna zdania jest równa 1 (zdarzenie możliwe)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Nie jest możliwe, aby jutro nie było pochmurno i padało stąd wartość logiczna zdania jest równa 0 (zdarzenie niemożliwe)

Definicja dziedziny:
p+~p=1 - zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiory p i ~p muszą być rozłączne

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
zakładamy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=[3,4]
Definicja dziedziny:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =D =1 (1 - zbiór niepusty)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (0 - zbiór pusty)


Operatory transmisji i negacji

Operatory transmisji i negacji to operatory jednoargumentowe.

Definicja operatora jednoargumentowego:
Operator jednoargumentowy to funkcja logiczna jednej zmiennej
Y= p

Logika dodatnia i ujemna w operatorach jednoargumentowych:
Y=p - logika dodatnia gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana
~Y =~p - logika ujemna gdy funkcja logiczna Y jest zanegowana

Operator transmisji:
Y = p
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Przykład:
Jutro pójdę do kina
Y=K
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~K
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K)
~Y=~K

Operator negacji:
Y=~p
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=p
Matematycznie zachodzi:
Y=~p # ~Y=p
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Przykład:
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=K
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K)
~Y=K

Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji:
Operator transmisji ## Operator negacji
Y = p # ~Y=~p ## Y=~p # ~Y=p
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p)


Operatory OR i AND:

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana
Y=p+(q*~r) - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(~q+r) - logika ujemna do ~Y

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
A: Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B: ~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y = ~K+~T

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
A: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B: ~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q
gdzie:
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~K+~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y = ~K+~T

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Operator OR ## Operator AND
Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w rachunku zero-jedynkowym są różne
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku # musimy mieć identyczne p i q
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)


Operatory implikacji i równoważności:

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:

p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):

p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x).
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:

p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego ~> nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka, o matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3
Dowód:
P8~~>P3 =1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3 =1 bo 5
~P8~~>P3 =1 bo 3

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
P=>4L = P*4L =P
Zbiór pies (P=pies) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 1 bo pies
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
4L~>P = 4L*P = P
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór psów (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tożsamościach „=” musimy mieć to samo p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

W równoważności zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p[~>]~q
p[~>]q = ~p=>~q
gdzie:
Wirtualny warunek konieczny [~>] o definicji:
Zbiór na podstawie wektora [~>] zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja warunku koniecznego ~> znanego z implikacji jest tu spełniona, nie ma jednak mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji.

Stąd popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p[~>]q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego [~>] i wystarczającego => między p i q
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP[~>]SK)
Aby trójkąt był prostokątny potrzeba [~>] i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów.

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zauważmy, że prawdziwości równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni.
Możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1


1.1 Definicja operatora logicznego

Definicję operatora logicznego poznamy na przykładzie.

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń)
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów (zdarzeń)

Przykłady:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymam słowa, oczywiście mogę iść i tu i tu.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest zdarzenie chmury i pada stąd wartość logiczna zdania jest równa 1 (zdarzenie możliwe)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Nie jest możliwe, aby jutro nie było pochmurno i padało stąd wartość logiczna zdania jest równa 0 (zdarzenie niemożliwe)

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami (zdarzeniami) w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami (zdarzeniami): p, ~p, q, ~q

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymałem słowa.

Wszystkie możliwe sytuacje w których dotrzymam słowa (dziedzina) to:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Ya=K*T
co matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> K=1 i T=1
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Yb=K*~T
co matematycznie oznacza:
Yb=1 <=> K=1 i ~T=1
C.
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru
Yc=~K*T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~K=1 i T=1
Wystarczy że jutro którekolwiek ze zdań Ya, Yb, Yc będzie prawdziwe i już dotrzymam słowa. Zauważmy, że wyłącznie jedno z powyższych zdań może być jutro prawdziwe, wykluczona jest równoczesna prawdziwość dowolnych dwóch zdań.

Suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń w których dotrzymam słowa to:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Matematycznie zachodzi:
(W: Y=p+q) = (ABC: Y=Ya+Yb+Yc)
czyli:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do teatru i nie pójdę do kina
~Yd=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Dziedzina dla naszego przykładu to wszystkie możliwe zdarzenia jakie jutro mogą wystąpić, wszystkie możliwe relacje między zdarzeniami K, ~K, T, ~T.
Zauważmy że zdania składowe operatora OR (Ya, Yb, Yc i Yd) to cztery różne zdania, cztery różne na mocy definicji funkcje logiczne.

Na mocy powyższego mamy:
Operator OR ## Spójnik logiczny „lub”(+)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Spójnik logiczny „lub”(+) to wyłącznie zdania Ya, Yb i Yc (bez zdania Yd):
W: Y = K+T
ABC: Y=Ya+Yb+Yc = K*T + K*~T + ~K*T
stąd:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
Natomiast operator logiczny OR to wszystkie cztery zdania Ya, Yb, Yc i Yd

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to zero-jedynkowe kodowanie definicji symbolicznej operatora względem dowolnie wybranego punktu odniesienia.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia.
W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach jest zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku.

Przejdźmy z naszym przykładem na zapis formalny podstawiając:
p=K
~p=~K
q=T
~q=~T

Definicja parametrów formalnych:
Parametry formalne, w logice zwykle p i q, to symboliczne nazwy zmiennych nie związane z żadnym konkretnym przykładem.

Definicja parametrów aktualnych:
Parametry aktualne to zmienne występujące w konkretnym przykładzie, podstawiamy je w miejsce parametrów formalnych p i q.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Ya
B:  p*~q= Yb
C: ~p* q= Yc
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p+q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y)
U.
~Y=~p*~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora OR:
Kod:

                   |Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
                   |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej OR (Y)
                   |W: Y=p+q       |U: ~Y=~p*~q   |bez wyróżnionego
Definicja          |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
symboliczna OR (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
   p  q   Y=p+q    | p  q   Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q|
---------------------------------------------------------------
W: Y=p*q+p*~q+~p*q |               |              | p q  Y=p+q
A: p* q = Ya       | 1+ 1  =1      | 0* 0   =0    | 1*1 =1 / Ya
B: p*~q = Yb       | 1+ 0  =1      | 0* 1   =0    | 1*1 =1 / Yb
C:~p* q = Yc       | 0+ 1  =1      | 1* 0   =0    | 1*1 =1 / Yc
U: ~Y=~p*~q
D:~p*~q =~Y        | 0+ 0  =0      | 1* 1   =1    | 1*1 =1 /~Y
   1  2   3          4  5   6        7  8    9      a b  c

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów, tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p+q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD456

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD789

W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) wszystkie linie kodujemy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla sumy logicznej:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Nasz przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 i T=1
Zdanie tożsame na mocy prawa De Morgana:
WD.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
Y = ~(~K*~T)

Definicja maszynowa wynika z definicji symbolicznej, odwrotnie nie zachodzi tzn. nie da się na podstawie gołej tabeli zero-jedynkowej (bez opisu) odtworzyć jednoznacznie funkcji logicznej którą ta tabela opisuje.

Dowód poprzez pokazanie kontrprzykładu.

Kontrprzykład:
W1.
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Tabela zero-jedynkowa dla tego zdania będzie identyczna jak ABCD789 jednak w tabeli wyżej mamy ~Y (skłamię) a nie Y (dotrzymam słowa) z naszego kontrprzykładu W1.
Matematycznie zachodzi:
W: ~Y=~p*~q ## W1: Y=~p*~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
p+~p =1 - zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Dziedzina dla zmiennej K z naszego przykładu:
A.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
K+~K =1
Zdanie zawsze prawdziwe, cokolwiek jutro nie zrobię to dotrzymam słowa
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
K*~K =0
Zdanie wewnętrznie sprzeczne, zdarzenia (zbiory) K i ~K są rozłączne, nie mogę być jednocześnie w kinie i nie być w kinie, stąd ich iloczyn logiczny jest równy 0


2.0 Nowa teoria zbiorów

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Nowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach. Każdy aksjomat powinien być intuicyjnie prawdziwy, im dla szerszego kręgu ludzkości, tym lepiej.

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.


2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach

Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach.

Operatory jednoargumentowe

Logika dodatnia i ujemna w operatorach jednoargumentowych:
Y=p
~Y=~p
Y - logika dodatnia gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana
~Y - logika ujemna gdy funkcja logiczna Y jest zanegowana

Dowolny zbiór jednoelementowy musi mieć swoje dopełnienie do dziedziny, inaczej nie jest rozpoznawalny (w naszym wszechświecie).
p=[1,2]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4]
Dopełnienie do dziedziny:
~p=[3,4]

Operator transmisji:
Y = p
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Przykład:
Założenia:
p=[1,2]
D=[1,2,3,4]
~p=[3,4]
Y = p = [1,2] =1 (1-zbiór niepusty)
~Y = ~p = [3,4] =1 (1 - zbiór niepusty)
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Dowód:
Y = [1,2]
~(~Y)=~[3,4]= [1,2] =Y
cnd


Operator negacji:
Y=~p
~Y=p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Przykład:
Założenia:
p = [3.4]
D=[1,2,3,4]
~p=[1,2]
Y = ~(~Y)
Y = ~p = [1,2] =1 (1 - zbiór niepusty)
~Y = p = [3,4] =1 (1 - zbiór niepusty)
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Dowód:
Y = [3,4]
~(~Y)= ~[1,2] = [3,4] = Y
cnd


Operatory dwuargumentowe

Operatory OR, AND:

Logika dodatnia i ujemna w operatorach OR i AND:
Y=p+q - logika dodatnia gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana
~Y =~p*~q - logika ujemna gdy funkcja logiczna Y jest zanegowana

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q = ~(p+q)
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p+q <=> ~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Definicja operatora OR n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q = ~(p*q)
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p*q <=> ~Y=~p+~q = ~(p*q)
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Definicja operatora AND n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.


Operatory implikacji i równoważności:

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Operator chaosu
p~~>q
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Implikacja prosta:
p=>q =~p~>~q
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]

Implikacja odwrotna:
p~>q =~p=>~q
p~>q
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]

Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i być tożsamy ze zbiorem q
p=q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,3,4]
p=q
Załóżmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd:
~p=~q =[5,6,7,8]

XOR
Y = p*~q + ~p*q
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
p=[1,2], q=[3,4]


2.2 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka

Oczywiście Uniwersum jest dynamiczne ale to bez znaczenia na mocy definicji.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny podzbiór Uniwersum z wykluczeniem Uniwersum (o definicji wyżej).

Uniwersum to również najszersza możliwa dziedzina, jednak w logice precyzyjne definicje jak wyżej są potrzebne.
Dlaczego?
Dziedzinę człowiek może sobie ustalać absolutnie dowolnie, natomiast z Uniwersum nic nie może zrobić, czyli Uniwersum nie można ani poszerzyć, ani też zmniejszyć - na mocy definicji Uniwersum.

Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

Definicja zdania złożonego warunkowego:
Jeśli p to q
p - poprzednik (założenie)
q - następnik (teza)

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Poprzednik precyzyjnie wyznacza tu dziedzinę:
D = zbiór wszystkich zwierząt (ZWZ)

… a interesujące nas podzbiory to:
Poprzednik:
P - zbiór jednoelementowy pies [P] =1
~P - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa [ZWZ-P] =1
Następnik:
4L - zbiór zwierząt z czterema łapami [4L]=1
~4L - zbiór zwierząt nie mających czterech łap [ZWZ-4L]=1

W obrębie zwierząt z czterema łapami można tworzyć kolejne podzbiory np.
- zwierzęta dzikie
- zwierzęta domowe
… albo zwierzęta szczekające, miauczące, beczące itp.


2.3 Czy zbiór pusty istnieje?

Do przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie zawitał wysłannik obcej cywilizacji, Kubuś, z tajemniczym koszykiem pełnym pluszowych zabawek. Usiadł wygodnie na fotelu po czym wysypał wszystkie zabawki i pokazując pusty koszyk zapytał.
Co to jest?

Jaś:
To jest koszyk Kubusiu.

Kubuś:
Dobrze, ale jaki jest ten koszyk?

Jaś:
Ten koszyk jest pusty.

Kubuś.
Dobrze.
Jasiu, czy widzisz w tym koszyku pieska?

Jaś:
W tym koszyku nie ma pieska bo koszyk jest pusty.

Kubuś:
Dobrze, zatem zapisz że zbiór piesków w tym koszyku jest zbiorem pustym
K=[] =0 - zbiór pusty, wartość logiczna zbioru pustego [] to zero.
… i podkreśl to wężykiem, wężykiem.
Kubuś wkłada do koszyka pluszowego pieska i pyta:
Co to jest mój chłopcze?

Jaś:
To jest piesek Kubusiu.

Kubuś:
.. a dlaczego nie powiedziałeś że to jest pusty koszyk w którym znajduje się piesek?

Jaś:
.. bo w tym momencie Kubusiu, ten koszyk mnie guzik z pętelką obchodzi.

Kubuś:
Świetnie, zapisz więc definicje.

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie istnieje, to zbiór który ma zero elementów.
K=[] =0 - zbiór pusty, wartość logiczna zbioru pustego [] to 0.
Zauważmy, że zbiór pusty to pustka w koszyku, że koszyk w tej definicji jest totalnie bez znaczenia.

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór w którym istnieje co najmniej jeden element np. nasz piesek w pustym koszyku.
K = [P] =1 - zbiór niepusty, wartość logiczna zbioru niepustego [x] to jeden
Również tu ten koszyk nam wisi, nie bierze on udziału w definicjach zbioru pustego i niepustego.

Zauważmy że na mocy definicji dowolny zbiór może mieć wartość logiczną jeden:
[x] =1 - zbiór istnieje, jest zbiorem niepustym
albo wartość logiczną zero:
[] =0 - zbiór nie istnieje, jest zbiorem pustym
Nie ma innych możliwości!
Otrzymaliśmy więc dwuelementową algebrę zbiorów - algebrę Kubusia.

Jaś:
Kubusiu, czy nie można za zbiór pusty uznać „koszyk który jest pusty”, a za zbiór niepusty „koszyk który nie jest pusty”?

Kubuś:
Co to jest zbiór pusty?
Czy zbiór pusty to jest istniejący (czyli niepusty) zbiór "koszyk", czy też to NIC, które w tym koszyku się znajduje?
Ja rozumiem problemy Ziemian z Wielkim Wybuchem, rozumiem że nie mogą pojąć w jaki sposób nasz niepusty Wszechświat powstał ze zbioru pustego, czyli z tego NIC.

Czy materia mogła sama się stworzyć?
W operatorach logicznych jest operator śmierci, same zera w wyniku, kiedy to żadne pojęcie w naszym Wszechświecie nie było jeszcze zdefiniowane - to jest stan naszego Wszechświata przed Wielkim Wybuchem.
W jaki jednak sposób z tego NIC, powstało COŚ, czyli nasz Wszechświat?
Tego żaden śmiertelnik nigdy nie pojmie - może tylko gdybać na nieskończoną ilość sposobów.

Zapisz to Jasiu i podkreśl wężykiem, wężykiem …
http://www.youtube.com/watch?v=z4dMWaI6MBY


2.4 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Podsumowanie:
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.


2.5 Logika matematyczna w przedszkolu

Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są 5-cio latki i humaniści. Zawsze, gdy Kubuś nie był pewien czy dobrze rozumuje udawał się do przedszkola i otrzymywał odpowiedź, maluchy nigdy go nie zawiodły.
Ten punkt to stenogram z najważniejszej wizyty Kubusia w przedszkolu, weryfikującej końcową wersję algebry Kubusia. Nie przejmujmy się jeśli nie wszystko będzie zrozumiałe za pierwszym razem, gdyż jest to streszczenie całej algebry Kubusia.

Pani:
Dzieci, czy potraficie opisać pieska?

Jaś (lat 5):
Piesek ma cztery łapy, szczeka i jest przyjacielem człowieka.
P=>4L*S*PC
Zauważmy że ta definicja jest wystarczająco jednoznaczna, człon PC eliminuje zwierzęta dzikie (np. wilk)

Pani:
Czy piesek może być jakimkolwiek innym zwierzątkiem np. słoniem?

Jaś:
Pani zwariowała?
Oczywiście że nie może, każde dziecko odróżni psa od nie psa.

Stąd mamy definicję dziedziny dla pieska:
P*~P =0 - żaden pies nie może być równocześnie nie psem
P+~P = 1 - zbiór ~P (kura, wąż, słoń..) jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru P (pies)
Ustalamy dziedzinę:
Dziedzina = zbiór wszystkich zwierząt (ZWZ)

Uwaga:
Równie dobrze moglibyśmy przyjąć dziedzinę:
Dziedzina = Uniwersum
gdzie:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Dlaczego przyjęliśmy zdecydowanie zawężoną dziedzinę?
D=ZWZ
... by nie napracować się jak bury osioł biegając po całym Uniwersum w dowodzeniu czegokolwiek w świecie zwierząt.

Dla logiki matematycznej to kompletnie bez znaczenia.
Dowód:
1.
Dziedzina: ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
ZWZ*P=>4L = P=>4L
ZWZ*P =P - bo zbiór ZWZ zawiera w sobie zbiór P
Definicje warunku wystarczającego => w zdaniu A1 spełniona bo:
Zbiór psów (P) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L)
2.
Dziedzina: Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
A2.
Jeśli coś jest psem to na pewno => ma cztery łapy
U*P=>4L = P=>4L
U*P =P - bo zbiór Uniwersum (U) zawiera w sobie zbiór P
Definicje warunku wystarczającego => w zdaniu A2 spełniona bo:
Zbiór psów (P) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L)
Doskonale widać że matematycznie zachodzi:
A1=A2
cnd

Pani:
Drogie dzieci, czy możecie podać przykłady zwierząt które nie są psami?

Zuzia (lat 5):
Słoń!

Pani:
Brawo Zuzia, dobrze.
B.
Nie pies może~> być słoniem.
~P~>S =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór „nie pies” (~P) zawiera w sobie ~> zbiór „słoni” (S).
Zabieram zbiór „nie psów” (~P) i znika mi zbiór „słoni” (S).
Dowód prawdziwości zdania B w zbiorach:
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
stąd:
~P=(ZWZ-P) - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Zdanie B w zbiorach:
~P~>S = ~P*S = (ZWZ-P)*S = S =1
Zbiór „nie psów” (ZWZ-pies) zawiera w sobie zbiór „słoni” (S)
cnd

Pani:
Powiedzcie mi dzieci, czy nie bycie psem jest konieczne ~> aby być słoniem?

Jaś:
B1.
Nie bycie psem jest konieczne ~> aby być słoniem bo jak zabiorę wszystkie zwierzątka które nie są psami to zniknie mi słoń.

Zuzia:
Masz rację Jasiu, tylko dlaczego kombinujesz jak koń po górkę, przecież to można powiedzieć prościej.
B2.
Nie bycie psem jest konieczne ~> aby być słoniem, bo jak się jest psem to na pewno => nie jest się słoniem.
Prawo Kubusia:
~P~>S = P=>~S =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór „psów” (P) zawiera się w zbiorze „nie słoni” (~S), stąd z lewej strony tożsamości zachodzi warunek konieczny ~>.
Dowód prawdziwości prawej strony równania Kubusia:
B3.
Pies na pewno => nie jest słoniem
P=>~S =1
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
stąd:
~S=(ZWZ-S) - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem słonia
Zdanie B3 w zbiorach:
P=>~S = P*~S = P*(ZWZ-S) =P =1
Zbiór „psów” (P) zawiera się w zbiorze ZWZ-S.
Prawdziwość prawej strony równania Kubusia wymusza prawdziwość lewej strony, czyli prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B:
B.
Nie pies może ~> być słoniem.
~P~>S =1
cnd

Pani:
Jasiu, jakim zwierzątkiem może ~> jeszcze być „nie pies”?

Jaś:
„Nie pies” może ~> jeszcze być kurą, wężem lub tygryskiem
~P~>K+W+T
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór K+W+T

Wsiadamy teraz do wehikułu czasu i przenosimy się do pierwszej klasy LO w 100-milowym lesie gdzie uczy się ten sam Jaś.

Pani:
Jasiu, czy potrafisz przeanalizować matematycznie zdanie które 10 lat temu powiedziałeś w przedszkolu.

Jaś:
To pestka proszę pani …
A.
Zapis formalny: ~p~>q
Nie pies może ~> być kurą, wężem lub tygrysem
~P~>K+W+T
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór K+W+T
Zabieram zbiór ~P i znika mi zbiór K+W+T
Zdanie A w zbiorach:
~P~>(K+W+T) = (~P)*(K+W+T) = (K+W+T)
Dowód:
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
~P= ZWZ-P - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Zbiór ZWZ-P zawiera w sobie zbiór (K+W+T)
stąd:
~P~>(K+W+T) = (~P)*(K+W+T) = (K+W+T)
cnd

Uwaga:
W zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~> co właśnie udowodniliśmy:
A: ~P~>(K+W+T)
Zapis formalny: ~p~>q
Dodatkowo zbiory ~p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
~p~>q = p=>~q

LUB

Obliczenie zanegowanego następnika dla potrzeb zdania B:
~q = ~(K+W+T) = ~K*~W*~T - prawo De Morgana

Udowodniliśmy wyżej że zdanie A wchodzi w skład implikacji odwrotnej, zatem prawdziwe musi być zdanie B:
B.
Zapis formalny: ~p~~>~q
Nie pies może ~~> nie być ani kurą, ani wężem, ani tygrysem
~P~~>~K*~W*~T =1 bo hipopotam
Warunek konieczny w zdaniu B nie zachodzi.
Dowód nie wprost z wykorzystaniem prawa Kubusia:
Prawo Kubusia:
(~P~>~K*~W*~T) = (P=>K+W+T) =0
Prawa strona tożsamości jest fałszem z czego wynika fałszywość lewej strony.
Dowód fałszywości prawej strony równania Kubusia:
(P=>K+W+T) =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona, bo zbiór P nie zawiera się w zbiorze K+W+T
Te zbiory są rozłączne.
cnd
Stąd konieczność użycia w zdaniu B naturalnego spójnika może ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q.
Zdanie B w zbiorach:
B.
~P~~>~K*~W*~T = (~P)*(~K*~W*~T) =1 bo hipopotam
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów ~P i ~K*~W*~T, co właśnie zrobiliśmy, niczego więcej nie musimy dowodzić.

Pani:
Jasiu, a jeśli zwierzę jest psem?

Jaś:
Mamy zdanie A w którym spełniony jest warunek konieczny ~>:
A: ~P~>K+W+T
Zapis formalny: ~p~>q
Dowód warunku koniecznego ~> w zdaniu A plus brak tożsamości zbiorów ~p i q (co wyklucza równoważność w której ~p=q) wymusza prawdziwość prawa Kubusia.

Przejście do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
P=>~K*~W*~T
Zapis formalny: p=>~q
Oczywiście to jest prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty:
~P~>(K+W+T) = P=>(~K*~W*~T)
Zapis formalny: ~p~>q = p=>~q

Z prawa Kubusia wynika prawdziwość zdania C:
C.
Zapis formalny: p=>~q
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest ani kurą, ani wężem, ani też tygrysem
P=>~K*~W*~T =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P zawiera się w zbiorze ~K*~W*~T
Dowód:
Dziedzina:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
~K= (D-K)
~W=(D-W)
~T = (D-T)
stąd:
~K*~W*~T = (D-K)*(D-W)*(D-T) = D-(K+W+T)
Oczywiście zbiór pies (P) zawiera się w zbiorze D-(K+W+T)
cnd
Zdanie C w zbiorach:
P=>~K*~W*~T = (P)*(~K*~W*~T) = P
bo zbiór P zawiera się w zbiorze ~K*~W*~T co udowodniono wyżej.

Uwaga:
W zdaniu C zachodzi warunek wystarczający =>:
P=>~K*~W*~T
Zapis formalny: p=>~q
Dodatkowo zbiory p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
p=>~q = ~p~>q

Bezpośrednio ze zdania C wynika fałszywość zdania D:
D.
Zapis formalny: p~~>q =0
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być kurą, wężem lub tygrysem
P~~>K+W+T =0
Zdanie D w zbiorach:
P~~>K+W+T = (P)*(K+W+T) = 0
Oba zbiory istnieją (P=1 i (K+W+T) =1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A musimy otrzymać zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
A: ~p~>q
~p=1, p=0
q=1, ~q=0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C musimy otrzymać zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: p=>~q
p=1, ~p=0
~q=1, q=0

Sprawdzamy budując tabelę prawdy:
Kod:

Analiza      |Kodowanie zero-jedynkowe |Kodowanie zero-jedynkowe
Symboliczna  |dla punktu odniesienia:  |Dla punktu odniesienia:
             |A: ~p~>q                 | C: p=>~q
             | ~p   q ~p~> q           | p  ~q p=>~q
A: ~p~> q =1 |  1~> 1   =1             | 0=> 0  =1
B: ~p~~>~q=1 |  1~> 0   =1             | 0=> 1  =1
C:  p=>~q =1 |  0~> 0   =1             | 1=> 1  =1
D:  p~~>q =0 |  0~> 1   =0             | 1=> 0  =0
    1   2  3    4   5    6               7   8   9

Uwaga:
W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) używamy identycznego znaczka z nagłówka tabeli we wszystkich liniach. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
~p~>q = p=>~q


2.6 Twierdzenie 5-cio latka

Twierdzenie 5-cio latka składa się z dwóch części:
I.
Dowolne zdanie ze spójnikiem „na pewno” => jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy spełnia definicję warunku wystarczającego =>, inaczej zdanie ze spójnikiem „na pewno” => jest fałszywe.
II.
Dowolne zdanie ze spójnikiem „może” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>, inaczej zdanie ze spójnikiem „może” jest fałszywe.

Spójnikiem domyślnym w logice matematycznej jest spójnik „na pewno” => (wyjątkiem są tu groźby).
Spójnik domyślny nie musi być jawnie wypowiedziany.

Algebra Kubusia to naturalna logika człowieka zgodna z intuicją każdego 5-cio latka i każdego humanisty.

Żaden humanista nie zaakceptuje zdań typu:
A.
Jeśli zwierzę nie jest psem to jest kurą
~P=>K

Zdania tożsame:
B.
Nie-pies to kura
C.
Nie pies na pewno => jest kurą
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => jest kurą
~P=>K

Matematycznie zachodzi:
A=B=C=D

Na mocy twierdzenia 5-cio latka zdania A=B=C=D są matematycznie fałszywe.

Dowód braku zachodzenia warunku wystarczającego => w zdaniu D:
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => jest kurą
~P=>K
Przyjmijmy najszerszą możliwa dziedzinę:
D = Uniwersum

Zauważmy, że w naszym Wszechświecie precyzyjne zbiory Pies i nie-Pies są takie.

Założona dziedzina w której operujemy to U=Uniwersum:
U = [pies, kura, wąż, słoń, „reszta pojęć z obszaru Uniwersum”]

P=Pies
Pies to zbiór jednoelementowy, unikalny w całym Uniwersum tzn. nie pomylimy psa z czymkolwiek innym np. kotem, samolotem, galaktyką etc
U = [pies ## kura ## wąż ## słoń ## „reszta pojęć z obszaru Uniwersum”]
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Natomiast precyzyjnie zapisany zbiór nie-pies jest taki:
~P = U-P (Uniwersum - pies)
~P = [kura, wąż, słoń, „reszta pojęć z obszaru Uniwersum”]

Zdanie D w zbiorach:
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => jest kurą
~P=>K = (U-P)=>K = (U-P)*K = K
Zbiór na podstawie wektora => (~P=U-P) zawiera w sobie ~> zbiór wskazywany przez strzałkę wektora => (K).

Definicja warunku wystarczającego => wymaga czegoś dokładnie odwrotnego!

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Stąd na mocy twierdzenia 5-cio latka nasze zdanie D jest fałszywe:
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => jest kurą
~P=>K =0
cnd


2.7 Zbiory jednoelementowe

Zbiory jednoelementowe to zbiory mające unikalną definicję i nazwę w obszarze Uniwersum, dzięki której są wyróżnione.
Jeśli wiemy co to jest zbiór p to automatycznie potrafimy zdefiniować zbiór ~p

Przykład:
P - zbiór psów
W najszerszej możliwej definicji nasz zbiór ~P to:
~P - wszelkie możliwe pojęcia (Uniwersum) z wykluczeniem psa
~P = [Uniwersum-P] =1 - zbiór niepusty
Dziedzina:
D = Uniwersum

W przypadku psa naturalną dziedziną jest:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy:
~P to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~P = [ZWZ-P] =1 - zbiór niepusty

Od strony czysto matematycznej jest wszystko jedno czy dla psa przyjmiemy:
Dziedzina = Uniwersum
czy też:
Dziedzina = zbiór wszystkich zwierząt (ZWZ)
W obu tych zbiorach pojęcie „pies” jest jednoznaczne, bo w obu tych zbiorach wiemy co to jest „nie pies”
Dowód w poprzednim punkcie.

Zauważmy, że jest fizycznie niemożliwe, abyśmy znając dowolne pojęcie p wyróżnione w obszarze Uniwersum nie potrafili określić zbioru ~p.

Przyjmijmy dla psa taką dziedzinę:
D = [pies, kura, słoń, wąż]
Wiemy co to jest „pies” bo to pojęcie występuje w naszej dziedzinie.
Znamy też zaprzeczenie pojęcia „pies”
~P = [kura, słoń, wąż]
Oczywiście spełniona jest tu definicja dziedziny:
P*~P=0
P+~P =D
Dla naszej dziedziny jednoznaczna w 100% definicja „nie psa” (~P) jest taka:
Nie pies może ~> być kurą, słoniem lub wężem
~P ~> K+S+W
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie ~> zbiór K+S+W
gdzie:
~P = D-P = [pies, kura, słoń, wąż] - [pies] = [kura, słoń, wąż]

Przyjmijmy teraz taką dziedzinę:
D = [kura, słoń, wąż]
W tej dziedzinie nie występuje pojęcie „pies” zatem matematycznie w tej dziedzinie będziemy mieli:
P=0 - fałsz (śmieć)
Nie wiemy co to jest pojęcie „pies” w założonej dziedzinie.

Przykład pojęcia niezdefiniowanego:
blabla - abstrakcyjne pojęcie niezdefiniowane.
Nie wiemy co to jest babla, tym samym nie znamy jego zaprzeczenia. To pojęcie jest śmieciem dopóty, dopóki go nie zdefiniujemy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 19:46, 20 Sty 2019, w całości zmieniany 37 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 12:16, 07 Lis 2013    Temat postu:

2.8 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego poznamy na przykładzie konkretnego zbioru.

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Dowód na naszym przykładzie:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
1. p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
2. p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
1. p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
2. p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)
stąd mamy fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
0=~1 - zbiór pusty to zaprzeczenie dziedziny
1= ~0 - zbiór pełny (dziedzina) to zaprzeczenia zbioru pustego
Wynika z tego że:
W dowolnym równaniu logicznym jedynka oznacza zbiór pełny (dziedzinę), natomiast zero oznacza zbiór pusty.

Dowód na przykładach mamy w kolejnych punktach:
3. p+0 =p
4. p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
3. p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
0 -element neutralny dla sumy logicznej
4. p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

4. p*1=p
5. p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
5. p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
6. p*0 = [1,2]*[] = [] =0 (zbiór pusty)

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach.
Suma logiczna zbiorów:
7.
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
7.
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

Iloczyn logiczny zbiorów:
8.
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
8.
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)

9. 1=~0
10. 0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
9.
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
10.
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

11. p+p =p
12. p*p=p
Dowód na naszym przykładzie:
11. p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)
12. p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)


2.9 Metodyka dowodzenia twierdzeń matematycznych

Punkty 2.9, 2.10 i 2.11 to zastosowanie algebry Kubusia w matematyce, to streszczenie całej algebry Kubusia istotne z punktu widzenia matematyki. Nie przejmujmy się zatem jeśli nie wszystko będzie zrozumiałe za pierwszym razem.

Premiera kluczowych dla całej algebry Kubusia punktów 2.9, 2.10 i 2.11 miała miejsce na Yrizonie.

[link widoczny dla zalogowanych]

Nowa era w logice matematycznej!
Prezent od św. Mikołaja dla wszystkich Ziemskich dzieci, małych i dużych.
Po raz pierwszy opublikowano w dniu 6 grudnia roku Pańskiego 2013.

Pewne jest, że rano Ziemianie obudzą się w fundamentalnie innym, matematycznym Wszechświecie, w który nie sposób nie uwierzyć, bo algebra Kubusia to logika matematyczna wszystkich 5-cio latków i humanistów, naturalnych jej ekspertów.

Historyczne twierdzenie:
Do obsługi całej logiki matematycznej jest potrzebny [~>] i wystarczający => wyłącznie kwantyfikator mały ~~>.

W tym przypadku w dowodzeniu prawdziwości/fałszywości zdania p=>q posługujemy się wyłącznie kontrprzykładem. Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie aby alternatywnie dowodzić prawdziwości/fałszywości zdania p=>q klasycznie, z użyciem kwantyfikatora dużego.

Metodyka dowodzenia twierdzeń matematycznych w algebrze Kubusia i logice Ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]

W algebrze Kubusia bez najmniejszego problemu rozpoznajemy następujące operatory logiczne:
1.
Implikację prostą
p=>q = ~p~>~q
2.
Implikację odwrotną
p~>q = ~p=>~q
3.
Równoważność
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
4.
Operator chaosu
p~~>q =1
5.
Samodzielny warunek wystarczający p=>q, który może istnieć samodzielnie i nie wchodzi w skład ani implikacji, ani też równoważności.
Warunek wystarczający => nie jest operatorem logicznym!

Ciekawostką jest fakt, że w algebrze Kubusia dowodzimy wszystkiego co wyżej nie widząc na oczy ani jednej, zero-jedynkowej definicji jakiegokolwiek operatora logicznego. Algebra Kubusia to algebra równań logicznych, gdzie na mocy definicji mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, czyli do nowej teorii zbiorów, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.

Kwantyfikator mały jest identyczny w algebrze Kubusia i aktualnej logice Ziemian, wszystko inne mamy totalnie inne, od podstawowych definicji zaczynając.

Od strony czysto matematycznej także kwantyfikator duży w logice matematycznej Ziemian jest tożsamy z kwantyfikatorem dużym w algebrze Kubusia, bo mimo błędnej definicji wypluwa identyczne wyniki.

Ziemianie żyją w złudzeniach, iż każde zdanie ujęte w spójnik „Jeśli p to q” jest implikacją prostą, czyli spełnia pełną zero-jedynkową definicję implikacji prostej.

Okrutna rzeczywistość jest fundamentalnie inna!

Matematycznie, znaczek => nie jest znaczkiem implikacji prostej ale tylko i wyłącznie warunku wystarczającego => o banalnej definicji w zbiorach.

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Definicja warunku wystarczającego jest tylko i wyłącznie taka:
Kod:

A: p=> q =1
B: p~~>~q=0

To nie jest operator logiczny, to zaledwie fragment implikacji lub równoważności.
Definicja warunku wystarczającego to wyłącznie zdanie A.
Zdanie B to tylko pokłosie zdania A które można uznać za nieodłączną część definicji warunku wystarczającego.

Warunek wystarczający => to po prostu kwantyfikator duży:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x /\x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)

Chodzi tu o to, że każdy element zbioru p(x) musi się zawierać w zbiorze q(x).
Nigdy zaś o to, jak się Ziemianom zdaje, że z prawdy to musi wynikać prawda, a z fałszu to może wynikać cokolwiek.

Implikacja to zawsze w jednej połówce 100% pewność (warunek wystarczający =>), natomiast w drugiej połówce to najzwyklejsze „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>). Matematyka Ziemian kompletnie tego nie widzi bredząc jakoby „z fałszu mogło wynikać cokolwiek”.
Operatory implikacji to matematyczny opis „wolnej woli” wszystkich istot żywych, człowiek nie jest tu wyjątkiem.


2.10 Symboliczne definicje kluczowych operatorów logicznych

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie linia A.
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) to wyłącznie linia C.
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C


Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie => zbór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A:
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C.
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C


Definicja równoważności
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

RA:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie linia A
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) to wyłącznie linia C
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C


Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Symboliczna definicja operatora chaosu na przykładzie:
Kod:

A: P8~~>P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3=1 bo 8
C:~P8~~>~P3=1 bo 5
D:~P8~~>P3 =1 bo 3


2.11 Samodzielny warunek wystarczający

Definicja:
Samodzielny warunek wystarczający => to warunek wystarczający => nie wchodzący ani w skład implikacji, ani też w skład równoważności.

Ciekawy jest wyjątek w implikacji zbiorów rozłącznych:
p=>~q
gdzie q jest zbiorem pustym:

Przeanalizujmy przez definicję implikacji następujące zdanie:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
stąd zbiory:
P=>~ML = P*~ML = P
P=>~ML = P*~ML=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~ML=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze ~ML
czyli:
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap

Wyjaśnienia:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
ML=0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
~ML = 1 - zbiór wszystkich zwierząt
Uzupełnienie zbioru pustego do dziedziny to zbiór wszystkich zwierząt
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P~>ML = ~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A:
P=>~ML
P=1, ~P=0
~ML=1, ML=0
mamy taką sekwencje zer i jedynek:
Kod:

                   |P ~ML P=>~ML
A: P=>~ML=1        |1  1   =1
B: P~~>ML=0        |1  0   =0
C:~P~> ML=0        |0  0   =0
D: bez znaczenia
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
                   |P=1, ~P=0
                   |~ML=1, ML=0

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.


3.0 Operatory jednoargumentowe

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, ~r

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna (Y) jednej zmiennej binarnej

Możliwe są dwa użyteczne operatory jednoargumentowe:
Y=p - operator transmisji
Y=~p - operator negacji
Zwyczajowo w logice funkcję logiczną oznaczamy dużą literą Y.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana:
Y=p - logika dodatnia bo Y
~Y=~p - logika ujemna bo ~Y


3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego

Abstrakcyjna budowa operatorów logicznych rodem z technicznej algebry Boole’a.
Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę w której pracuje dwóch krasnoludków, Transmiterek i Negatorek.
Na przedniej ściance skrzynki zamontowany jest najzwyklejszy wyłącznik światła sterujący lampką człowieka typu zaświeć/zgaś. Po przeciwnej stronie skrzynki znajduje się lampka sterowana wyłącznie przez krasnoludka pracującego w środku skrzynki.

Po stronie człowieka dostępne są jeszcze dwa tajemnicze przyciski z opisem:
A - zezwalaj na pracę Transmiterka
A=1 - zezwalaj
A=0 - zabroń
B - zezwalaj na pracę Negatorka
B=1 - zezwalaj
B=0 - zabroń

Ustawmy na początek krasnoludkowe przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
1.
Jak widzimy lampką człowieka możemy sterować zaświecając ją i gasząc przełącznikiem, jednak lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona.
2.
Pozwólmy na pracę wyłącznie Transmiterka ustawiając przełączniki:
A=1 i B=0
Jak widzimy, jeśli zaświecimy lampkę człowieka to automatycznie zapali się lampka krasnoludka, jeśli ją zgasimy to lampka krasnoludka również zgaśnie.
3.
Ustawmy teraz przełączniki w pozycję:
A=0 i B=1
pozwalając pracować wyłącznie Negatorkowi
Tym razem każde zaświecenie lampki człowieka skutkuje wygaszeniem lampki krasnoludka i odwrotnie.
4.
Ostatnia możliwość to zezwolenie na jednoczesną pracę obu krasnoludków poprzez ustawienie przełączników w pozycję:
A=1 i B=1
Ajajaj!
Jak widzimy możemy bez problemów zapalać i gasić lampkę człowieka jednak żarówka krasnoludka ledwie się pali, na dodatek z pudła wydobywa się czarny dym co jest dowodem walki na śmierć i życie między Tansmiterkiem a Negatorkiem. Jeden za wszelką cenę chce zaświecić lampkę, a drugi za wszelką cenę ją zgasić.
Ustawmy szybko przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
Nie możemy przecież dopuścić do zagłady krasnoludków, bo co powiedzą nasze dzieci?

W naszym abstrakcyjnym modelu wejściową zmienną binarną p jest lampka człowieka.
Wyjściem w tym modelu jest lampka krasnoludka którą oznaczamy Y.

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja operatora transmisji:
Y=p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka też się świeci (Y=1)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to również lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)

Stąd mamy zero-jedynkową definicje operatora transmisji:
Y=p
Kod:

p  Y=p
1 =1
0 =0

Stąd mamy definicję zgodną z teorią zbiorów:
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1

Definicja operatora negacji:
Y=~p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to lampka krasnoludka się świeci (Y=1)

Stąd mamy zero-jedynkową definicję operatora negacji:
Y=~p
Kod:

p ~p Y=~p
1  0  =0
0  1  =1

Stąd mamy definicję zgodną z teorią zbiorów:
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1

… a jeśli nie wiemy który krasnoludek aktualnie pracuje, to czy możemy rozszyfrować który?
Oczywiście że tak.
Na wejściu p wymuszamy wszystkie możliwe stany. Odpowiedź na wyjściu Y jednoznacznie definiuje nam operator. Najważniejsze operatory jednoargumentowe właśnie poznaliśmy.

Definicja maszynowa (zero-jedynkowa) operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.

Nie jest prawdą, że możemy zdefiniować wyłącznie dwa operatory jednoargumentowe jak wyżej.

Dwa kolejne operatory jednoargumentowe to:
1.
Jednoargumentowy operator chaosu o definicji:
Kod:

p  Y=1
1  =1
0  =1

Jak widzimy, tu lampka krasnoludka pali się cały czas, bez względu na stan wejściowej lampki człowieka p.
2.
Jednoargumentowy operator śmierci:
Kod:

p  Y=0
1  =0
0  =0

Tu lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona, bez wzglądu na to co też ten człowiek na wejściu p sobie wyprawia.

W logice wyróżniamy:
1.
Operatory jednoargumentowe o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
2.
Operatory dwuargumentowe o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y.
Przy dwóch wejściach p i q możliwe są cztery różne wymuszenia na wejściach p i q.

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:
Kod:

p q  Y=?
1 1  =x
1 0  =x
0 1  =x
0 0  =x

Jak widzimy przy dwóch wejściach p i q możemy zdefiniować 16 (2^4) różnych stanów na wyjściu Y, czyli 16 różnych na mocy definicji operatorów logicznych.

Najważniejsze operatory dwuargumentowe to:
Kod:

p q   OR AND => ~> <=> XOR ~~>
1 1   1  1   1  1   1  0   1
1 0   1  0   0  1   0  1   1
0 1   1  0   1  0   0  1   1
0 0   0  0   1  1   1  0   1

Niebawem je poznamy.


3.2 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0) - prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1) - fałsz (=0) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy że zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej mamy matematyczną świętość:
1 - prawda
0 - fałsz

Prawa Prosiaczka wyjaśnimy na przykładzie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1

.. a kiedy skłamię?
Negujemy równanie A dwustronnie:
~Y=~K - funkcja zapisana w logice ujemnej (bo ~Y)
stąd:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Tabela prawdy dla naszego zdania w nowej teorii zbiorów:
Kod:

Zapis symboliczny      |Kodowanie
Równanie |Znaczenie    |zero-jedynkowe
logiczne |równania     | K Y=K  ~K ~Y=~K
A: Y= K  | Y=1<=> K=1  | 1  1    0   0
B:~Y=~K  |~Y=1<=>~K=1  | 0  0    1   1
   1  2     3      4   | 5  6    7   8

Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
bo kolumny wynikowe AB6 i AB8 są różne

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Dowód twierdzenia śfinii w całym obszarze logiki będziemy poznawać sukcesywnie na przykładach.
Oczywiście w operatorach jednoargumentowych nie ma spójników „i”(*) i „lub”(+), ale twierdzenie śfinii musi tu działać, bo działa w całym obszarze logiki.

Na mocy twierdzenia śfinii mamy:
Y = K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>K=1
W tabeli zero-jedynkowej AB56 to wyłącznie linia A56

~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
W tabeli zero-jedynkowej AB78 to wyłącznie linia B78

Genezą twierdzenia sfinii są prawa Prosiaczka, które właśnie poznajemy.

Znaczenie zer i jedynek w logice dodatniej (Y) w kolumnie AB6:
A6: Y=1<=> K=1 - dotrzymam słowa
B6: Y=0 <=> K=0 - skłamię
Szczegółowo czytamy:
A6: Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y)
B6: Y=0 - fałszem jest (=0), że dotrzymam słowa (Y)

Znaczenie zer i jedynek w logice ujemnej (~Y) w kolumnie AB8:
B8: ~Y=1 <=> ~K=1 - skłamię
A8: ~Y=0 <=> ~K=0 - dotrzymam słowa
Szczegółowo czytamy:
B8: ~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
A8: ~Y=0 - fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)

Stąd zdanie:
A6: Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y)
Jest tożsame ze zdaniem:
A8: ~Y=0 - fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)

Podobnie zdanie:
B8: ~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
Jest tożsame ze zdaniem:
B6: Y=0 - fałszem jest (=0), że dotrzymam słowa (Y)

Prawa Prosiaczka w postaci tożsamości:
I prawo Prosiaczka
A6: (Y=1) = A8: (~Y=0)
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
II prawo Prosiaczka
B8: (~Y=1) = B6: (Y=0)
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)

W dowolnej tożsamości zachodzi wynikanie w dwie strony.
Stąd prawa Prosiaczka to również równoważność:
A6: (Y=1) <=> A8: (~Y=0)
B8: (~Y=1) <=> B6: (Y=0)

Prawa Prosiaczka mówią o matematycznych tożsamościach zachodzących między logiką dodatnią (Y) i ujemną (~Y) i nie mają nic wspólnego z definicją operatora negacji.

Definicja naturalnej logiki człowieka:
Naturalna logika człowieka to funkcja logiczna gdzie wszystkie zmienne wejściowe sprowadzone są do jedynek.

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a, albo odwrotnie.

W linii A za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie:
A: Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>K=1
Obsługiwane zero-jedynkowo w linii A56.

W linii B za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie:
B: ~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1
Obsługiwane zero-jedynkowo w linii B78.

Dlaczego w zdaniu B musimy zmienić punkt odniesienia?
Problem w tym, że jeśli w zdaniu B nie zmienimy punktu odniesienia, uznając zdanie A za świętą krowę do której wszystko musi się odnosić to zlikwidujemy logikę ujemną w algebrze Boole’a i stracimy możliwość opisania zdania B równaniem logicznym.

W tym przypadku tabela prawdy dla zdania A będzie wyglądała tak:
Kod:

Zapis symboliczny      |Kodowanie
Równanie |Znaczenie    |zero-jedynkowe
logiczne |równania     | K Y=K
A: Y= K  | Y=1<=> K=1  | 1  1
B: Y= K?!| Y=0<=> K=0  | 0  0
   1  2     3      4   | 5  6

Matematycznie zachodzi:
Y=1 # Y=0
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) # Fałszem jest (=0) że dotrzymam słowa (Y)

Zdanie A przyjmie tu brzmienie identyczne jak poprzednio:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
A.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy prawdą będzie (=1), że jutro pójdę do kina

Natomiast leżymy i kwiczymy na banalnym pytaniu 5-cio latka:
… tata, a kiedy skłamię?

Spróbujmy odpowiedzieć na to pytanie zgodnie z aktualną tabelą:
B.
Y=0 <=> K=0
Czytamy:
B.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy fałszem będzie (=0) że jutro pójdę do kina (K).

Zauważmy, że zdanie A bez problemu opisaliśmy równaniem algebry Boole’a (Y=K), natomiast nie mamy szans na opisanie równaniem zdania B bez skorzystania z prawa Prosiaczka, czyli bez przejścia do logiki ujemnej.

Opis linii B wyżej w postaci równania:
B: Y= K?!
to błąd czysto matematyczny, bowiem zdanie B to zupełnie co innego niż zdanie A i nie może być opisane tym samym równaniem logicznym.

Logika to równania algebry Boole’a a nie tabele zero-jedynkowe. Wszelkie prawa logiczne zapisane są w równaniach algebry Boole’a, nigdy w tabelach zero-jedynkowych.


3.3 Wykresy czasowe w algebrze Kubusia

Prawo Prosiaczka można ładnie przedstawić na wykresie czasowym.

Wyobraźmy sobie trzylatka który poznaje otaczający go świat.
W przedszkolu od pani nauczycielki dostaje worek zawierający najróżniejsze zwierzątka, jego zadaniem jest segregacja zwierząt na „psy” i „nie psy”.
Dzieciak ma dwa pudełka, zielone i brązowe, do zielonego musi wkładać „psy”, natomiast do brązowego „nie psy”.
Z: P - pies
B: ~P - nie pies

Zadanie dla trzylatka można przedstawić na wykresie czasowym, bowiem kolejne losowanie zwierząt odbywa się w czasie. Nie jest możliwa segregacja zwierząt w czasie nieskończenie krótkim.



Kolejne losowania opisane wykresem to:
I.
A.
Logika dodatnia obszar Y:
Wylosowano: Słoń
A: P=0
Fałszem jest (=0), że wylosowano „psa” (P)
B.
Logika ujemna bo obszar ~Y:
Wylosowano: Słoń
B: ~P=1
Prawdą jest (=1) że wylosowano „nie psa” (~P)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
A: (P=0) = B: (~P=1)

II.
A.
Logika dodatnia bo obszar Y:
Wylosowano: Pies
A: P=1
Prawdą jest (=1), że wylosowano „psa” (P)
B.
Logika ujemna bo obszar ~Y:
Wylosowano: Pies
B: ~P=0
Fałszem jest (=0), że wylosowano „nie psa” (~P)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
A: (P=1) = B: (~P=0)

III.
A.
Logika dodatnia obszar Y:
Wylosowano: Kura
A: P=0
Fałszem jest (=0), że wylosowano „psa” (P)
B.
Logika ujemna bo obszar ~Y:
Wylosowano: Kura
B: ~P=1
Prawdą jest (=1) że wylosowano „nie psa” (~P)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
A: (P=0) = B: (~P=1)

Objaśnienia do wykresu czasowego w algebrze Kubusia:
1.
Logika dodatnia (bo Y) to obszar ponad linią czasu
Logika ujemna (bo ~Y) to obszar poniżej linii czasu

2.
Świętość symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia):
1 = prawda
0 = fałsz
zachowana jest zawsze, niezależnie od tego czy mamy do czynienia z logiką dodatnią (bo Y), czy też ujemną (bo ~Y).

3.
Doskonale widać, że zmienna ~P jest lustrzanym odbiciem zmiennej P.
Zauważmy, że lustrzane odbicie nie dotyczy poziomów logicznych 0 i 1 w logice ujemnej.
Dlaczego?
W przypadku lustrzanego odbicia także 0 i 1 dla wylosowanego „psa” mielibyśmy:
IIA.
A.
Logika dodatnia bo obszar Y:
Wylosowano: Pies
A: P=1
Prawdą jest (=1), że wylosowano „psa” (P)
B.
Logika ujemna bo obszar ~Y:
Wylosowano: Pies
B: ~P=1
Prawdą jest (=1), że wylosowano „nie psa” (~P)

Matematyka ścisła, prawo Prosiaczka leży tu w gruzach, mamy sprzeczność czysto matematyczną:
A: (P=1) # B: (~P=1)
Nie można jednocześnie wylosować „psa” (P=1) i „nie psa” (~P=1) - obszar zielony.

4.
Wszelkie tabele zero-jedynkowe algebry Boole’a można przedstawić na wykresach czasowych jak wyżej, bowiem nic w przyrodzie nie dzieje się w czasie nieskończenie krótkim.

Rozpatrzmy teraz konkretne zdanie z naturalnego języka mówionego człowieka.

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Zdanie tożsame:
Dotrzymam słowa (Y=1), wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)

O dotrzymaniu słowa w zdaniu A decyduje wyłącznie jutro, obszar zielony.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (Y=K) to zatrzymujemy czas na czerwonej linii A-A, dalsze nasze działania nie mają żadnego znaczenia, poszliśmy do kina zatem dotrzymaliśmy słowa.

Na czerwonej linii A-A dla zmiennej K mamy tu sytuacje.
A1:
Logika dodatnia (bo Y):
K=1
Prawdą jest (=1), że byłem w kinie (K)

Zdanie tożsame w logice ujemnej (bo ~Y):
A2:
Logika ujemna (bo ~Y):
~K=0
Fałszem jest (=0), że nie byłem w kinie (~K)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
A1: (K=1) = A2: (~K=0)

Jeśli jutro nie pójdę do kina to skłamię.
B1.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1

Tą sytuację widać w białym obszarze pojutrze.
Mamy tu następujące sytuacje dla zmiennej K.
B1:
Logika ujemna (bo ~Y):
~K=1
Prawdą jest (=1), że nie byłem w kinie (~K)

Zdanie tożsame w logice dodatniej (bo Y):
B2:
K=0
Fałszem jest (=0), że byłem w kinie (K)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
B1: (~K=1) = B2: (K=0)

W zdaniu wyżej mamy sytuację gdzie o dotrzymaniu słowa/skłamaniu decyduje pewna chwila w skali nieskończonego czasu - jutro.
Tylko i wyłącznie jutro człowiek może ustawić zmienną K na dowolną wartość logiczną:
K=1 - pójdę do kina
co wymusi:
~K=0 - prawo Prosiaczka się kłania
albo:
~K=1 - nie pójdę do kina
co wymusi:
K=0 - prawo Prosiaczka się kłania
W dniu dzisiejszym nie znamy jaką wartość logiczną przyjmie zmienna K, jutro zmienna K może przyjąć dowolną wartość, dlatego matematycznie K jest zmienną binarną.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjąć w osi czasu dowolną wartość 0 albo 1

Zauważmy, że skalowanie osi czasu jest tu nieistotne.
Jutro może wystąpić chwila czasowa t1 gdzie pójdziemy do kina dotrzymując tym samym słowa. Jeśli chwila czasowa t1 nie zaistnieje to skłamiemy.

Oczywiście pojutrze mamy już świat totalnie zdeterminowany, gdzie możliwe są tylko i wyłącznie dwie możliwości.
A.


A.
Wczoraj byłem w kinie
czyli:
A1.
Dotrzymałem słowa (Y=1) bo wczoraj byłem w kinie
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
A2
Prawdą jest (=1), że dotrzymałem słowa (Y) bowiem (wtw) prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K)

W logice ujemnej (bo ~Y) na mocy prawa Prosiaczka ten przypadek opisuje równanie:
~Y=0 <=> ~K=0
Czytamy:
A3.
Fałszem jest (=0) że skłamałem (~Y) bowiem (wtw) fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie
Tożsame matematycznie zdania to:
A1=A2=A3

Zauważmy, że w logice ujemnej nie możemy tu zapisać równania:
~Y=~K - to jest błąd czysto matematyczny
bowiem matematycznie znaczy ono:
~Y=1<=>~K=1 - co nie jest zgodne z prawdą

albo:
B.

B.
Wczoraj nie byłem w kinie
czyli:
B1.
Skłamałem (~Y=1) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B2.
Prawdą jest (=1) że skłamałem (~Y) bowiem (wtw) prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K)

W logice dodatniej (bo Y) na mocy prawa Prosiaczka ten przypadek opisuje równanie:
Y=0 <=> K=0
Czytamy:
B3.
Fałszem jest (=0), że dotrzymałem słowa (Y) bowiem (wtw) fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)
Zdania tożsame matematycznie to:
B1=B2=B3

Zauważmy, że w logice dodatniej nie możemy tu zapisać równania:
Y=K - to jest błąd czysto matematyczny
bowiem matematycznie znaczy ono:
Y=1<=>K=1 - co nie jest zgodne z prawdą

Czasu nie można cofnąć, zmienna K (~K) ma tu wartość zdeterminowaną (znaną z góry) której nie możemy już zmienić.
Wniosek:
Pojutrze zmienna K nie jest już zmienną binarną.
… a czym jest?
Pojutrze K jest stałą symboliczną o znanej z góry wartości logicznej.

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to symbol którego wartość logiczna jest niezmienna w czasie i znana z góry.
Nie jesteśmy w stanie zmienić wartości logicznej stałej symbolicznej.

Wniosek:
Oś czasu jest koniecznie potrzebna dla zaistnienia zmiennej binarnej.
Nie istnieje pojęcie zmiennej binarnej bez osi czasu. W czasie nieskończenie krótkim wszystko w naszym Wszechświecie „stoi w miejscu”, zatem nie ma mowy o zmiennych binarnych bez osi czasu.

Dowód wyżej.

Inny przykład stałej symbolicznej:
W trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Oczywiście w tym przypadku trójkąt prostokątny (TP) w którym zachodzi suma kwadratów jest stałą symboliczną o wartości logicznej 1, niezależną od czasu.
TP=>SK =1 - prawda
gdzie:
=> - na pewno
Nie jesteśmy w stanie znaleźć trójkąta prostokątnego, w którym suma kwadratów nie byłaby spełniona.
TP~~>~SK =0 - fałsz
gdzie:
~~> - może się zdarzyć
Ten przypadek jest niemożliwy.


3.4 Operator transmisji

Definicja operatora transmisji:
A1: Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne (tu ich nie ma):
A2: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Stąd mamy definicję operatora transmisji w układzie równań logicznych:
A1: Y=p
A2: ~Y=~p
Tabela zero-jedynkowa operatora transmisji:
Kod:

Definicja   |co matematycznie |Definicje zero-jedynkowe
symboliczna |oznacza          |dla Y=p   |dla ~Y=~p
            |                 | p   Y=p  |~p  ~Y=~p
A1:  Y= p   | Y=1<=> p=1      | 1  =1    | 0  =0
A2: ~Y=~p   |~Y=1<=>~p=1      | 0  =0    | 1  =1
     1  2                       3   4      5   6

Dla kodowania definicji symbolicznej Ax12 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A1 otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora transmisji w logice dodatniej (bo Y) w obszarze Ax34.
A1: Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
stąd:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0

Dla kodowania definicji symbolicznej Ax12 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A2 otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora transmisji w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze Ax56.
A2: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
stąd:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p = ~(~p)
Stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 mamy zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p = ~(p)

Przykład:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Synek (lat 5):
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~K
A2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Synek:
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy zdanie tożsame do A1:
Y = K = ~(~K)
Tata:
A3.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K = ~[~(K)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Oczywiście punktem odniesienia jest tu logika dodatnia (bo Y) i sygnał K.
Stąd wartościowanie zdania A3:
Y = 1 = ~[~(1)] = ~[0] = 1

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 otrzymujemy zdanie tożsame do A2:
~Y = ~K = ~(K)
A4.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=~K=~(K)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1
Punktem odniesienia jest tu logika ujemna (bo ~Y) i sygnał ~K.
W zdaniu A4 musimy odtworzyć sygnał odniesienia ~K korzystając z prawa podwójnego przeczenia:
K=~(~K)
Nasze równanie A4 przybiera postać potrzebną do wartościowania dla ~K=1:
A4: ~Y = ~K = ~[~(~K)] = 1 = ~[~(1)] = ~[0] =1


3.5 Operator negacji

Definicja operatora negacji:
B1: Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne (tu ich nie ma):
B2: ~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Stąd mamy definicję operatora negacji w układzie równań logicznych:
B1: Y=~p
B2: ~Y=p
Tabela zero-jedynkowa operatora negacji:
Kod:

Definicja   |co matematycznie |Definicje zero-jedynkowe
symboliczna |oznacza          |dla Y=~p  |dla ~Y=p
            |                 |~p   Y=~p | p  ~Y=p
B1:  Y=~p   | Y=1<=>~p=1      | 1  =1    | 0  =0
B2: ~Y= p   |~Y=1<=> p=1      | 0  =0    | 1  =1
     1  2                       3   4      5   6

Dla kodowania definicji symbolicznej Bx12 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu B1 otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora negacji w logice dodatniej (bo Y) w obszarze Bx34.
B1: Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>~p=1
stąd:
Y=1, ~Y=0
~p=1, p=0

Dla kodowania definicji symbolicznej Bx12 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu B2 otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora negacji w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze Bx56.
B2: ~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
stąd:
~Y=1, Y=0
p=1, ~p=0

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy zdanie tożsame do B1:
B3: Y = ~p = ~(p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 mamy zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = p = ~(~p)
Stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)

Przykład:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Synek (lat 5):
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=K
B2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Synek:
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy zdanie tożsame do B1:
Y = ~K = ~(K)
Tata:
B3.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro pójdziemy do kina (K)
Y = ~K = ~(K)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Punktem odniesienia jest tu logika dodatnia (bo Y) i sygnał ~K.
W zdaniu B3 musimy odtworzyć sygnał odniesienia ~K korzystając z prawa podwójnego przeczenia:
K=~(~K)
Nasze równanie B3 przybiera postać potrzebną do wartościowania dla ~K=1:
B3: Y = ~K = ~[~(~K)] = 1 = ~[~(1)] = ~[0] =1

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 otrzymujemy zdanie tożsame do B2:
~Y = K = ~(~K)
B4.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y= K=~(~K)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Oczywiście punktem odniesienia jest tu logika ujemna (bo ~Y) i sygnał K.
Stąd wartościowanie zdania B4 dla sygnału odniesienia K=1:
~Y = K = ~(~K) = 1 = ~[~(1)] = ~[0] = 1


3.6 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji

Równanie ogólne logiczne dla operatorów transmisji i negacji:
Kod:

Definicja symboliczna operatora transmisji Y=p ## Definicja symboliczna operatora negacji Y=~p
A1: Y=p                                        ## B1: Y=~p
… kiedy skłamię?                               ## … a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)            ## Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)
poprzez negację zmiennych                      ## poprzez negację zmiennych
A2: ~Y=~p                                      ## B2: ~Y=p

W operatorze transmisji zachodzą następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p = ~(~p)
Stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 mamy zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p = ~(p)

W operatorze negatora zachodzą następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy zdanie tożsame do B1:
B3: Y = ~p = ~(p)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 mamy zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = p = ~(~p)
stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zauważmy, że miedzy operatorem transmisji a operatorem negacji nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej między dowolnymi dwoma punktami.
Dowód:
W powyższej tabeli prawo przejścia do logiki przeciwnej może zachodzić wyłącznie po przekątnej A1-B2:
A1: Y=p
B2: ~Y=p
albo po przekątnej B1-A2:
B1: Y=~p
A2: ~Y=~p
Doskonale widać, że w obu przypadkach nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Wniosek:
Operator transmisji i operator negacji to dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Sygnały Y i p z operatora transmisji nie mają nic wspólnego z sygnałami Y i p z operatora negacji. Pod parametr p w obu operatorach możemy sobie podstawiać co nam dusza zagra, w szczególności parametr p może być identyczny w obu operatorach, to bez znaczenia.

Identyczne równania ogólne obowiązywać będą w pozostałych symetrycznych operatorach, co za chwilę zobaczymy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 22:02, 06 Gru 2013, w całości zmieniany 27 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 21:08, 08 Lis 2013    Temat postu:

4.0 Rachunek zero-jedynkowy

Definicje podstawowe.

Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - operatory logiczne
Y, p=>q - funkcje logiczne

Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściach układu

Maszynowe (zero-jedynkowe) definicje operatorów logicznych to tabele zero-jedynkowe z opisem wyłącznie w nagłówkach tabel.
W rachunku zero-jedynkowym nie ma takich pojęć jak:
1 = prawda
0 = fałsz
W rachunku zero-jedynkowym porównujemy kompletne kolumny wynikowe. Jeśli są tożsame to zachodzi prawo logiczne.

Fundamentem rachunku zero-jedynkowego są maszynowe definicje dwuargumentowych operatorów logicznych (hardware). Nie interesuje nas tu znaczenie zer i jedynek wewnątrz jakiegokolwiek operatora logicznego. Symboliczne prawa algebry Boole’a (równania algebry Boole’a) zapisane są w nagłówkach porównywanych tabel zero-jedynkowych i wynikają z tożsamości odpowiednich kolumn wynikowych.

Możliwe są też symboliczne definicje operatorów logicznych (software), inne niż definicje maszynowe, gdzie znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatora logicznego ma kluczowe znaczenie.

Kluczowym w algebrze Kubusia jest rozróżnianie maszynowych definicji operatorów logicznych (zero-jedynkowych) używanych wyłącznie w rachunku zero-jedynkowym, od definicji symbolicznych opisujących dowolne tabele zero-jedynkowe (w tym tabele operatorów) na poziomie poszczególnych linii w tabeli zero-jedynkowej.

W symbolicznej algebrze Kubusia dowolną linię tabeli zero-jedynkowej opisuje unikalne i niepowtarzalne równanie algebry Boole’a. Wynika z tego, że każda linia tabeli zero-jedynkowej to niezależna funkcja logiczna zapisana równaniem algebry Boole’a (niezależne zdanie).


4.1 Operatory dwuargumentowe

Maszynowa definicja operatora logicznego (hardware):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Abstrakcyjna definicja operatora dwuargumentowego:
Operator dwuargumentowy to czarna skrzynka o dwóch wejściach p i q oraz tylko jednym wyjściu Y.

Na wejściach p i q wymuszamy wszystkie możliwe stany 0 i 1 zapisując odpowiedzi na wyjściu Y.

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:
Kod:

p q  Y=?
1 1  =x
1 0  =x
0 1  =x
0 0  =x

Jak widzimy przy dwóch wejściach p i q możemy zdefiniować 16 (2^4) różnych stanów na wyjściu Y, czyli 16 różnych na mocy definicji operatorów logicznych.

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka technicznej algebry Boole’a to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1

Operator logiczny to kompletna wynikowa kolumna będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Operatory logiczne możemy podzielić na operatory w logice dodatniej i operatory w logice ujemnej:
Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym, w swojej naturalnej logice.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

Komentarz:
Kolumna pNORq to zanegowana kolumna OR:
Y=p+q
Stąd:
~Y = ~(p+q)
pNORq = ~(p+q)
itd
W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


4.2 Maszynowe definicje operatorów logicznych

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja dowolnego operatora jest tożsama ze spójnikiem użytym w nagłówku tej definicji. Oznacza to, że w tabeli zero-jedynkowej używamy identycznego znaczka z nagłówka tabeli we wszystkich kombinacjach zer i jedynek na wejściach p i q operatora logicznego.

Zauważmy, że dzięki definicji operatora maszynowego jak wyżej, dysponując zaledwie jedną linią dowolnego operatora z łatwością odtworzymy kompletny operator logiczny.

Przykład:
1+1 =1
Jest oczywistym, że jest to pierwsza linia kodu maszynowego operatora OR. Powyższy zapis to fragment operatora OR a nie jego kompletny zapis, kompletny zapis musi zawierać wszystkie cztery linie jak niżej.

Maszynowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3

Abstrakcyjnie maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest kompletnie nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.

Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.

W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V

Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.

Przykłady maszynowych definicji operatorów logicznych.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora OR:
Kod:

Tabela 1
   p q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3

Maszynowa definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0

Wersja najprostsza do zapamiętania:
Y=p+q
Y=0 <=> p=0 i q=0
inaczej:
Y=1
W rachunku zero-jedynkowym obowiązuje maszynowa definicja spójnika „lub”(+) który jest tożsamy z definicją zero-jedynkową operatora OR.

Podstawowe prawa zero-jedynkowe algebry Boole’a wynikłe z definicji operatora OR, konieczne i wystarczające dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
1+1=1
1+0=1
0+1=1
0+0=0

Symboliczna definicja operatora OR którą niebawem poznamy:
Y=p+q
~Y=~p*~q

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora AND:
Kod:

Tabela 2
   p q Y=p*q
A: 1*1  =1
B: 1*0  =0
C: 0*1  =0
D: 0*0  =0
   1 2   3

Maszynowa definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0
Maszynowa definicja spójnika „i”(*) jest jednocześnie najprostszą definicją do zapamiętania.
W rachunku zero-jedynkowym obowiązuje maszynowa definicja spójnika „i”(*) który jest tożsamy z definicją zero-jedynkową operatora AND.

Podstawowe prawa zero-jedynkowe algebry Boole’a wynikłe z definicji operatora AND, konieczne i wystarczające dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
1*1=1
1*0=1
0*1=1
0*0=0

Symboliczna definicja operatora AND, którą wkrótce poznamy:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Maszynowa definicja implikacji prostej =>:
Kod:

Tabela 3
p   q  Y=p=>q
1=> 1   =1
1=> 0   =0
0=> 0   =1
0=> 1   =1

Najprostsza definicja znaczka => do zapamiętania to:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
inaczej:
p=>q =1
W rachunku zero-jedynkowym obowiązuje maszynowa definicja warunku wystarczającego =>, który jest tożsamy z definicją zero-jedynkową operatora implikacji prostej.

Symboliczna definicja implikacji prostej, którą niebawem poznamy:
p=>q = ~p~>~q

Maszynowa definicja implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

Tabela 4
p   q  p~>q
1~> 1   =1
1~> 0   =1
0~> 0   =1
0~> 1   =0

Najprostsza definicja znaczka ~> do zapamiętania:
p~>q =0 <=> p=0 i q=1
inaczej:
p~>q=1
W rachunku zero-jedynkowym obowiązuje maszynowa definicja warunku koniecznego ~>, który jest tożsamy z definicją zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.

Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej, którą wkrótce poznamy:
p~>q = ~p=>~q

Maszynowa definicja równoważności <=>:
Kod:

Tabela 5
p   q  Y=p<=>q
1<=> 1   =1
1<=> 0   =0
0<=> 0   =1
0<=> 1   =0

Najprostsza definicja maszynowa do zapamiętania:
p<=>q =1 <=> p=1 i q=1
lub
p<=>q =1 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q =0

Symboliczna definicja równoważności, którą niebawem poznamy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Maszynowa definicja operatora NP:
Kod:

Tabela 6
p    q  pNPq
1 NP 1   =0
1 NP 0   =0
0 NP 0   =1
0 NP 1   =1

Najprostsza definicja znaczka NP do zapamiętania:
pNPq = ~p
Wejście q jest bez żadnego znaczenia, kabelek q w środku „czarnej skrzynki” nigdzie nie jest podłączony (wisi w powietrzu).
itd


4.3 Prawa przemienności argumentów w operatorach OR i AND

Maszynowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0
W rachunku zero-jedynkowym spójnik „lub”(+) jest tożsamy z definicją operatora logicznego OR.
Dowód przemienności argumentów w spójniku „lub”(+):
Kod:

   p q Y=p+q   q p Y=q+p
A: 1+1  =1     1+1  =1
B: 1+0  =1     0+1  =1
C. 0+1  =1     1+0  =1
D: 0+0  =0     0+0  =0
   1 2   3     4 5   6

Definicją jest tu obszar ABCD123:
Każdej, uporządkowanej parze cyfr (0,1) odpowiada jednoznaczna i zawsze ta sama wartość funkcji Y.
Tożsamość kompletnych kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR.

Przykład:
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
2.
Jutro pójdę do teatru lub do kina
Y=T+K
Zdania 1 i 2 są matematycznie tożsame, zachodzi przemienność argumentów.
K+T = T+K

Maszynowa definicja operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1*1  =1
B: 1*0  =0
C: 0*1  =0
D: 0*0  =0

Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0
W rachunku zero-jedynkowym spójnik „i”(*) jest tożsamy z definicją operatora logicznego AND.

Dowód przemienności argumentów w spójniku „i”(*):
Kod:

   p*q Y=p*q  q*p Y=q*p
A: 1*1  =1    1*1  =1
B: 1*0  =0    0*1  =0
C. 0*1  =0    1*0  =0
D: 0*0  =0    0*0  =0
   1 2   3    4 5   6

Definicją jest tu obszar ABCD123:
Każdej, uporządkowanej parze cyfr (0,1) odpowiada jednoznaczna i zawsze ta sama wartość funkcji Y.
Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR

Przykład:
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
2.
Jutro pójdę do teatru i do kina
Y=T*K
Zdania 1 i 2 są tożsame, zachodzi przemienność argumentów
K*T = T*K


4.4 Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 1
   p+q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p*~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q) Y+~Y  Y*~Y
A: 1+1  =1     =0       0* 0   =0      =1         =1    =0
B: 1+0  =1     =0       0* 1   =0      =1         =1    =0
C: 0+1  =1     =0       1* 0   =0      =1         =1    =0
D: 0+0  =0     =1       1* 1   =1      =0         =1    =0
   1 2   3      4       5  6    7       8          9     0

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=Y
A1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Y
A2.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
A1: Y = p+q = ~(~p*~q) # A2: ~Y = ~(p+q) = ~p*~q
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe są różne

Bezpośrednio z A1 i A2 wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

A1: Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A2: ~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Równania A1 i A2 to symboliczna definicja operatora OR:
A1: Y=p+q
A2: ~Y=~p*~q
Dowód formalny wynika z algorytmu tworzenia równań algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej, który wkrótce poznamy.

Twierdzenie:
Prawo De Morgana zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo De Morgana mówi o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y).
Logika dodatnia Y to zanegowana logika ujemna ~Y
Y = ~(~Y)
Logika ujemna ~Y to zanegowana logika dodatnia Y
~Y = ~(Y)

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p+q = ~(~p*~q)
Dowodem formalnym w tabeli zero-jedynkowej jest tu tożsamość kolumn wynikowych ABCD3 i ABCD8

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Dowodem formalnym w tabeli zero-jedynkowej jest tu tożsamość kolumn wynikowych ABCD4 i ABCD7.

Zauważmy, że prawa De Morgana zachodzą zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej, można je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń. Nieistotne jest, czy aktualnie jesteśmy w logice dodatniej (bo Y), czy w ujemnej (bo ~Y).

Prawo przejścia do logiki przeciwnej wymusza spełnienie definicji dziedziny zarówno po stronie wejścia p i q jak i wyjścia Y.

Definicja dziedziny:
Kolumna wynikowa ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla kolumny Y
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Doskonale widać, że nasze funkcje logiczne spełniają definicję dziedziny po stronie wyjścia Y, czego dowód mamy w dwóch ostatnich kolumnach ABCD9 i ABCD0.

Po stronie wejścia p i q także spełniona jest definicja dziedziny.
Kolumny ABCD1 i ABCD5:
p+~p=1
p*~p=0
Kolumny ABCD2 i ABCD6:
q+~q =1
q*~q =0

Zauważmy, ze kolumna ABCD4 to de facto definicja operatora NOR w odniesieniu do sygnałów p i q:
pNORq = ~(p+q)
Czyli zamiast wymawiać zdanie:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie p lub zajdzie q
~(p+q)
Możemy powiedzieć:
Zajdzie p NOR q
pNORq

Natomiast kolumna ABCD8 to de facto definicja operatora NAND w odniesieniu do sygnałów ~p i ~q:
~pNAND~q = ~(~p*~q)
Zamiast wymawiać zdanie:
Nie może się zdarzyć ~(…) że zajdzie ~p i ~q
~(~p*~q)
Możemy powiedzieć:
Zajdzie ~p NOR ~q
~pNOR~q
W naturalnej logice człowieka operatory ujemne, NOR i NAND nie są używane bo można je w trywialny sposób zastąpić spójnikami „lub”(+) i „i”(*) zrozumiałymi dla każdego 5-cio latka, co pokazano wyżej. Żaden normalny człowiek nie zrozumie zdania typu pNORq, czy pNANDq.


4.5 Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 2
   p*q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p+~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q) Y+~Y  Y*~Y
A: 1*1  =1     =0       0+ 0   =0      =1         =1    =0
B: 1*0  =0     =1       0+ 1   =1      =0         =1    =0
C: 0*1  =0     =1       1+ 0   =1      =0         =1    =0
D: 0*0  =0     =1       1+ 1   =1      =0         =1    =0
   1 2   3      4       5  6    7       8          9     0

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=Y
B1.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Y
B2.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
B1: Y = p*q = ~(~p+~q) # B2: ~Y = ~(p*q) = ~p+~q
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe są różne

Bezpośrednio z powyższego wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B1: Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
B2: ~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Równania B1 i B2 to symboliczna definicja operatora AND:
B1: Y=p*q
B2: ~Y=~p+~q
Dowód formalny wynika z algorytmu tworzenia równań algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej, który wkrótce poznamy.

Twierdzenie:
Prawo De Morgana zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo De Morgana mówi o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y).
Logika dodatnia Y to zanegowana logika ujemna ~Y
Y = ~(~Y)
Logika ujemna ~Y to zanegowana logika dodatnia Y
~Y = ~(Y)

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do B1:
B3: Y = p*q = ~(~p+~q)
Dowodem formalnym w tabeli zero-jedynkowej jest tu tożsamość kolumn wynikowych ABCD3 i ABCD8

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = ~p+~q = ~(p*q)
Dowodem formalnym w tabeli zero-jedynkowej jest tu tożsamość kolumn wynikowych ABCD4 i ABCD7.

Zauważmy, że prawa De Morgana zachodzą zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej, można je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń. Nieistotne jest, czy aktualnie jesteśmy w logice dodatniej (bo Y), czy ujemnej (bo ~Y).

Prawo przejścia do logiki przeciwnej wymusza spełnienie definicji dziedziny zarówno po stronie wejścia p i q jak i wyjścia Y.

Definicja dziedziny:
Kolumna wynikowa ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla kolumny Y
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Doskonale widać, że nasze funkcje logiczne spełniają definicję dziedziny po stronie wyjścia Y, czego dowód mamy w dwóch ostatnich kolumnach ABCD9 i ABCD0.

Po stronie wejścia p i q także spełniona jest definicja dziedziny.
Kolumny ABCD1 i ABCD5:
p+~p=1
p*~p=0
Kolumny ABCD2 i ABCD6:
q+~q =1
q*~q =0


4.6 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Kod:

Definicja symboliczna operatora OR    ## Definicja symboliczna operatora AND
A1: Y=p+q                             ## B1: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez   ## Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników ## negację zmiennych i wymianę spójników
A2: ~Y=~p*~q                          ## B2: ~Y=~p+~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Z symbolicznej definicji operatora OR wynikają następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p+q = ~(~p*~q)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Z symbolicznej definicji operatora AND wynikają następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do B1:
B3: Y = p*q = ~(~p+~q)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Zauważmy, że miedzy operatorem OR a operatorem AND nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej między dowolnymi dwoma punktami.
Dowód:
W powyższej tabeli prawo przejścia do logiki przeciwnej może zachodzić wyłącznie po przekątnej A1-B2:
A1: Y=p+q
B2: ~Y=~p+~q
albo po przekątnej B1-A2:
B1: Y=p*q
A2: ~Y=~p*~q
Doskonale widać, że w obu przypadkach nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Wniosek:
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)
Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.

Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykład:
Y=p+q
Parametry formalne to:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Parametry aktualne to:
K = Kino
T=Teatr


4.7 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p+q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1  0 1 0  1   1   1
B: 0  1 1 0  1   0   1
   1  2 3 4  5   6   7

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p*q Y=p*q
A: 1*1  =1
B: 1*0  =0
C: 0*1  =0
D: 0*0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1  0 1 0  1   0   0
B: 0  1 1 0  0   0   0
   1  2 3 4  5   6   7

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i (~q=1 lub ~r=1 i s=1)

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.

Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.

Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.

Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:

Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
-----------------------------------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.

Przydatne sztuczki matematyczne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
2.
To samo inaczej:
Y = p*q
Prawo De Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
stąd:
Y = ~(~p+~q)
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~p+~q
Dowolny fragment funkcji logicznej możemy ująć w nawias poprzedzony negacją, zaś w środku nawiasu zanegować wszystkie zmienne i wymienić spójniki na przeciwne(prawo De Morgana)
3.
Prawo De Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Prawo De Morgana dla dowolnie długiej funkcji logicznej:
Y = p+q*(r+~s)
Y = ~(~p*~q+~r*s)
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~p*~q + ~r*s
4.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej dla funkcji złożonej:
Y = p+~p*q*r
Y = p+~p*(q*r)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
Mnożenie zmiennej przez wielomian:
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
bo:
~p*p=0
0+x=x
Przejście do logiki przeciwnej:
Y = p+q*r - funkcja minimalna
Uwagi:
W miejscu (q*r) mogłaby być dowolnie złożona funkcja logiczna z dowolną ilością zmiennych, nawet nieskończona, to bez znaczenia.

Na zakończenie ciekawostka w postaci wyprowadzenia prawa De Morgana bez użycia rachunku zero-jedynkowego.

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna Y=1

Algorytm wyprowadzenia prawa De Morgana bez użycia rachunku zero-jedynkowego:
A.
Y=p+q
Wprowadzenie podwójnych negacji w dowolną linię operatora OR niczego nie zmieni na mocy prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Negujemy podwójnie wszystkie sygnały w powyższej definicji A:
~(~Y)=~(~p)+~(~q)
Podstawmy:
Z=~Y
r=~p
s=~q
Stąd mamy:
~Z = ~r+~s
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
Z=r*s
Przywracamy oryginalne zmienne:
B.
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:
Y=p+q = ~(~p*~q)

Twierdzenie:
W algebrze Kubusia nie są potrzebne ani zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, ani rachunek zero-jedynkowy, bowiem wszystko można udowodnić w równaniach algebry Boole’a, izolowanych od definicji zero-jedynkowych i rachunku zero-jedynkowego.

Pytanie, co było pierwsze:
Tabele zero-jedynkowe, czy równania algebry Boole’a?

Jest pytaniem w stylu:
Co było pierwsze, jajko czy kura?


4.8 Twierdzenie śfinii

Rozważmy zdanie wypowiedziane:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~K+~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (`Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Matematycznie zdanie W opisane jest tabela zero-jedynkową operatora AND:
Kod:

   K  T  Y=K*T
A: 1  1   =1
B: 0  0   =0
C: 0  1   =0
D: 1  0   =0
   1  2    3

Znaczenie bezwzględnych zer i jedynek jest w powyższej tabeli:
P: 1 - prawda (dotrzymam słowa)
F: 0 - fałsz (skłamię)

Znaczenie wyjścia Y jest dla każdego matematyka oczywistością:
P1: Y=1 - dotrzymam słowa (prawda)
F1: Y=0 - skłamię (fałsz)
Zauważmy, że w ostatnim zapisie w zerach i jedynkach rozróżniamy prawdę (=1) od fałszu (=0), czego nie możemy powiedzieć o zapisie symbolicznym Y. Jeśli z ostatniego zapisu usuniemy 0 i 1 to zostaniemy z niejednoznacznym symbolem Y.

Przyjmijmy że symbol Y jest jednoznaczny i oznacza:
Y - dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
Na mocy tego założenia zdanie P1 i F1 czytamy:
P1.
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y)
Y=1
F1.
Fałszem jest (=0) że dotrzymam słowa (Y)
Y=0

Wprowadźmy teraz nowy symbol:
~Y - skłamię (wystąpi fałsz)

Zdanie tożsame do P1 przy użyciu symbolu ~Y przyjmie brzmienie:
P2.
Fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)
~Y=0
P1=P2
Stąd mamy:
I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)

Zdanie tożsame do F1 przy użyciu symbolu ~Y brzmi:
F2.
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
~Y=1
F1=F2
Stąd mamy:
II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Prawda (=1) w logice ujemnej (~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)

Zauważmy, że w prawach Prosiaczka znaczenie bezwzględnych 0 i 1 jest identyczne, niezależne od logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1 = prawda (dotrzymam słowa)
0 = fałsz (skłamię)

Prawda jest w logice matematycznej (logice człowieka) domyślna dlatego słówko „prawda” możemy usunąć z dowolnego miejsca gdzie ono występuje nic nie tracąc na jednoznaczności.

W zdaniu P1 możemy usunąć słówko „prawda” nic nie tracąc na jednoznaczności:
P1A:
Dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy …
matematycznie zachodzi:
P1 = P1A

W zdaniu F1 nie możemy pominąć słówka „fałsz” bo dostaniemy zupełnie co innego:
F1A.
Dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy …
Matematycznie zachodzi:
F1 ## F1A
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wróćmy do naszej tabeli zero-jedynkowej opisującej zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T

Matematycznie zdanie to opisane jest operatorem AND:
Kod:

   K  T  Y=K*T
A: 1  1   =1
B: 0  0   =0
C: 0  1   =0
D: 1  0   =0
   1  2    3

Jedyny przypadek kiedy dotrzymam (Y=1) słowa opisuje linia A:
A: Ya=1 <=> K=1 i T=1
W pozostałych przypadkach skłamię (Y=0)
B: Yb=0 <=> K=0 i T=0
lub
C: Yc=0 <=> K=0 i T=1
lub
D: Yd=0 <=> K=1 i T=0
W przypadku opisywania poszczególnych linii musimy używać indeksów bo każda linia to inny przypadek.
Matematycznie zachodzi:
Y=1 <=>Ya=1 - bo jest tylko jedna linijka z jedynką w wyniku
oraz:
Y=0 <=> Yb=0 lub Yc=0 lub Yd=0

Przetłumaczmy te zdania na język człowieka w jego naturalnej logice:
A.
Y=1 czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K=1 - prawdą będzie (=1) że jutro pójdę do kina (K)
i
T=1 - prawdą będzie (=1) że jutro pójdę do teatru (T)

Słówko „prawda” jest w logice matematycznej domyślne i można go usunąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Zróbmy to!
A1.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

W pozostałych przypadkach skłamię bo w tabeli prawdy (tabeli zero-jedynkowej) mamy wszędzie:
Y=0 - skłamię
Rozpiszmy przypadek B:
B: Yb=0 <=> K=0 i T=0
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y=0
Fałszem będzie (=0) że jutro pójdę do kina (K)
K=0
i
Fałszem będzie (=0) że jutro pójdę do teatru (T)
T=0

Wyłącznie słówko „prawda” jest w logice matematycznej domyślne.
Zauważmy że korzystając z praw Prosiaczka możemy wszystkie zmienne sprowadzić do prawdy (do jedynek), dzięki czemu wszystkie słówka „prawda” możemy z tekstu usunąć nic nie tracąc na niejednoznaczności.
Prawa Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
(~Y=0) = (Y=0)

Zdanie tożsame do zdania B po skorzystaniu z prawa Prosiaczka przyjmie brzmienie:
B1: ~Yb=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y=1
Prawdą będzie (=1) że jutro nie pójdę do kina (~K)
K=1
i
Prawdą będzie (=1) że jutro nie pójdę do teatru (~T)
~T=1

Oczywiście matematycznie zachodzi:
B = B1
Zauważmy że w zdaniu B1 mamy wszystkie zmienne sprowadzone do prawdy (do jedynek), która jest w logice domyślna. Ze zdania B1 możemy usunąć wszelkie słówka „prawda” nic nie tracąc na jednoznaczności.
Zróbmy to:
B2: ~Yb=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Szczegółowo czytamy:
Skłamię (~Yb=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~K*~T = 1*1 =1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Zdanie B2 w równaniu algebry Boole’a:
~Yb=~K*~T
B2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Yb=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Yb=1 <=> ~K=1 i ~T=1

W zdaniu B1 mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki. Wylądowaliśmy w logice totalnie symbolicznej, izolowanej od bezwzględnych zer i jedynek, algebrze Kubusia.
Dokładnie tak samo postępujemy z pozostałymi zdaniami C i D.

Spis z natury (piszemy to co widzimy) wszystkich przypadków kiedy skłamię jest następujący:
Skłamię (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=0 <=> K=0 i T=0
lub
C: Yc=0 <=> K=0 i T=1
lub
D: Yd=0 <=> K=1 i T=0

Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
stąd mamy:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb=1 <=> ~K=1 i ~T=1
lub
C: ~Yc=1 <=> ~K=1 i T=1
lub
D: ~Yd=1 <=> K=1 i ~T=1

Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

W tym momencie nasze zdania B, C i D możemy opisać równaniami algebry Boole’a:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
B.
Nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Yb = ~K*~T =1*1 =1
co matematycznie oznacza:
~Yb=1 <=> ~K=1 i ~T=1
lub
C.
Nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
~Yc = ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Yc=1 <=> ~K=1 i T=1
lub
D.
Pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Yd=K*~T
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> K=1 i ~T=1

Kompletne równanie algebry Boole’a opisujące wszystkie możliwe przypadki w których skłamię to:
~Y = ~Yb+~Yc + ~Yd
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T

Przejdźmy na zapis formalny podstawiając:
p=K
q=T
stąd:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Minimalizujemy:
~Y = ~p(~q+q) + p*~q
;~q+q=1
;~p*1 = ~p
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
;p*~p=1
;1+x = x
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
stąd otrzymujemy tożsamość:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + q*~p

Przechodząc na parametry aktualne K i T mamy nasze zdanie U w szczegółowej rozpisce:
U.
~Y = ~K+~T = ~K*~T + ~K*T + K*~T

Stąd otrzymujemy definicję symboliczną operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Yb
C: ~p* q=~Yc
D:  p*~q=~Yd

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie linie B, C, D

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND.
W: Y=p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu U otrzymamy zero-jedynkową definicją operatora OR:
U: ~Y = ~p+~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0
Kod:

Analiza symboliczna |Kodowanie zero-jedynkowe |Kodowanie zero-jedynkowe
                    |dla punktu odniesienia   |dla punktu odniesienia
                    | W: Y=p*q                | U: ~Y=~p+~q
W: Y=p*q            |                         |
Y=Ya=p*q            |  p  q  Y=p*q            | ~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q = Ya        |  1  1   =1              |  0  0   =0
U:~Y=~p+~q          |                         |
~Y=~Yb+~Yc+~Yd      |                         |
B:~p*~q =~Yb        |  0  0   =0              |  1  1   =1
C:~p* q =~Yc        |  0  1   =0              |  1  0   =1
D: p*~q =~Yd        |  1  0   =0              |  0  1   =1
   1  2   3            4  5    6                 7  8    9

Dla punktu odniesienia Y=p*q otrzymujemy definicję operatora AND w logice dodatniej (bo Y) w obszarze ABCD456.
Dla punktu odniesienia ~Y=~p+~q otrzymujemy definicję operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze ABCD789.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Dowód:
Dla tabeli ABCD789 mamy:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Z analizy symbolicznej mamy matematyczny opis obszaru BCD789 z jedynkami w wyniku:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Minimalizujemy:
~Y = ~p*(~q+q) + p*~q
;~q+q=1
;~p*1=~p
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
;p*~p=0
;0+x =x
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q - to jest nagłówek tabeli ABCD789
cnd
Stąd:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Na mocy twierdzenia sfinii dla tabeli ABCD456 od razu zapisujemy:
Y = p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Na mocy twierdzenia śfinii dla tabeli ABCD789 zapisujemy:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q = ~(p*q)
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p*q <=> ~Y=~p+~q = ~(p*q)
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)


4.9 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Naturalną logiką człowieka są postaci: alternatywna, koniunkcyjna, alternatywno-koniunkcyjna

Postać alternatywna:
Y = A1+A2+ … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1

Postać koniunkcyjna:
Y = A1*A2* … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 i A2=1 i … An=1

Postać alternatywno-koniunkcyjna to suma logiczna iloczynów cząstkowych:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Aksjomat:
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)

Definicja logiki sprzecznej z naturalną logiką człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Logiką sprzeczną z naturalną logiką człowieka jest postać koniunkcyjno-alternatywna.

Postać koniunkcyjno-alternatywna to iloczyny logiczne sum cząstkowych:
Y = (p+q)*(r+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p+q)=1 i (r+~q)=1

Twierdzenie:
Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej (logiki człowieka) to po prostu wymnożenie wielomianów.

Przykład:
Y = (p+q)*(r+~q)
Y = p*r + p*~q + q*r + q*~q
Y = p*r + p*~q + q*r
Prawa algebry Boole’a:
q*~q=0
x+0 =x

Dowód sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka poprzez znalezienie kontrprzykładu.

Rozważmy zdanie:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymując postać koniunkcyjno-alternatywną:
U.
~Y = ~K*(~B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Ostatnie równanie to postać alternatywno-koniunkcyjną, naturalna logika człowieka.
Stąd:
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basem lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku
~Y = ~K*~B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już skłamałem (~Y=1), drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
~Y = ~K*~B = 1*1 =1 - nie byłem w kinie (~K=1) i nie byłem na basenie (~B=1)
czyli:
Skłamałem (~Y=1), drugiego członu alternatywy nie muszę sprawdzać

Natomiast postać koniunkcyjno-alternatywna, mimo że prosta, dla normalnego człowieka będzie niezrozumiała.
U1.
~Y=~K*(~B+~P)

Dowód:
U2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)

W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Każdy normalny człowiek słysząc zdanie U2 zrozumie i zapisze je jako:
~Y=~K*~B + ~P
Dostaliśmy zapis kompletnie inny niż w równaniu U1, co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka.
cnd

Nawet jak wstawimy tu nawiasy kwadratowe:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i [nie pójdę na basen lub nie pójdę do parku (~B+~P)=1]
~Y = ~K*[~B+~P]
… to i tak żaden normalny człowiek tego nie zrozumie, mimo że funkcja jest banalnie prosta.

Jeśli zdanie U2 przekształcimy do postaci U poprzez wymnożenie zmiennej przez wielomian to zrozumie je każdy 5-cio latek.

Rozważmy problem postaci alternatywno-koniunkcyjnej i koniunkcyjno-alternatywnej na przykładzie ogólnym, gdzie w tabeli zero-jedynkowej występuje więcej niż jedna linia z jedynkami w wyniku i więcej niż jedna linia z zerami w wyniku.

Zadanie:
Znaleźć wszystkie możliwe postaci funkcji logicznej:
A: Y=p+q*r

Krok 1
Wszystkie możliwe funkcje minimalne:
A: Y=p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice dodatniej (bo Y)
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
D: ~Y=~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice ujemnej (bo ~Y)
Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymujemy:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice ujemnej (bo ~Y)

Wyłącznie postaci alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiana przez każdego człowieka.

Z równaniem C przechodzimy z powrotem do logiki dodatniej otrzymując minimalną postać koniunkcyjno- alternatywną, oczywiście sprzeczną z logiką człowieka.
B: Y = (p+q)*(p+r)

Matematycznie zachodzą tożsamości w postaciach minimalnych:
Y = Y
A: Y = p+q*r = B: Y = (p+q)*(p+r)
~Y = ~Y
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r = D: ~Y = ~p*(~q+~r)

A i C to postaci alternatywno-koniunkcyjne.
B i D to postaci koniunkcyjno-alternatywne

Dowód sprzeczności równania B z naturalną logiką człowieka:
A.
Jutro pójdę do kina lub pójdę na basen i do parku
Y = K+B*P
To rozumie każdy 5-cio latek.
Zdanie matematycznie tożsame:
B.
Y = (K+B)*(K+P)
Wypowiedzmy zdanie B w naturalnej logice człowieka:
B1.
Jutro pójdę do kina lub pójdę na basen i pójdę do kina lub pójdę do parku

Kolejność spójników w naturalnej logice człowieka to:
„i”(*), „lub”(+)
Stąd każdy normalny człowiek zrozumie i zapisze zdanie jako:
B1: Y = K + B*K + P
Oczywiście funkcja logiczna B1 to zupełnie co innego niż funkcja B co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjnej z naturalną logiką człowieka
cnd

Podsumowując, postaci minimalne dla naszej funkcji logicznej A to:
A: Y = p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna (naturalna logika człowieka)
B: Y = (p+q)*(p+r) - postać koniunkcyjno- alternatywna (funkcja sprzeczna z naturalną logiką człowieka)

Postaci minimalne dla naszej funkcji A w logice ujemnej (bo ~Y):
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno koniunkcyjna (naturalna logika człowieka)
D: ~Y = ~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno- alternatywna (funkcja sprzeczna z naturalną logiką człowieka)

Naturalna logika człowieka

Zbudujmy tabelę zero-jedynkową dla naszej funkcji logicznej w naturalnej logice człowieka:
W: Y = p+q*r
Kod:

   p q r q*r Y=p+q*r          |~p ~q ~r ~q+~r ~Y=~p*(~q+~r)
A: 1 1 1  1  1  / Ya= p* q* r | 0  0  0   0     =0  / Ya= p* q* r
B: 1 1 0  0  1  / Yb= p* q*~r | 0  0  1   1     =0  / Yb= p* q*~r
C: 1 0 1  0  1  / Yc= p*~q* r | 0  1  0   1     =0  / Yc= p*~q* r
D: 1 0 0  0  1  / Yd= p*~q*~r | 0  1  1   1     =0  / Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1  1  1  / Ye=~p* q* r | 1  0  0   0     =0  / Ye=~p* q* r
F: 0 1 0  0  0  /~Yf=~p* q*~r | 1  0  1   1     =1  /~Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1  0  0  /~Yg=~p*~q* r | 1  1  0   1     =1  /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0  0  0  /~Yh=~p*~q*~r | 1  1  1   1     =1  /~Yh=~p*~q*~r
   1 2 3  4  5    a   b  c  d   6  7  8   9      0    e   f  g  h

Algorytm tworzenia równań cząstkowych abcd w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Uwaga:
Dla tabeli zero-jedynkowej ABCDEFGH123 korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Przykład:
E1: p=0 stąd: Eb: ~p (~p=1) - przepisujemy zanegowane p
E2: q=1 stąd: Ec: q (q=1) - przepisujemy q z nagłówka kolumny
Natomiast dla tabeli zero-jedynkowej ABCDEFGH678 korzystamy z tego:
Jeśli ~p=0 to p=1
Przykład:
C6: ~p=0 stąd Cf: p (p=1) - przepisujemy zanegowane ~p [p=~(~p)]
C7: ~q=1 stąd: Cg: ~q (~q=1) - przepisujemy ~q z nagłówka kolumny
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Doskonale widać identyczność definicji symbolicznych abcd i efgh niezależnie od przyjętego punktu odniesienia:
Y=p+q*r - dla tabeli 12345
i
~Y=~p*(~q+~r) - dla tabeli 67890

Naszą tabelę opisuje układ równań logicznych:
ABCDE123:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
FGH123:
~Y = ~Yf + ~Yg+~Yh
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Z twierdzenia śfinii wynika, że równania w logice dodatniej (bo Y) opisują wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli ABCDEFGH123:
A: Y = p+q*r
B: Y = (p+q)*(p+r)
Dowód:
ABCDE123:
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
Y=p*q*(r+~r) + p*~q(r+~r) + ~p*q*r
Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Y = p*(q+~q) + ~p*q*r
Y = p+~p*q*r
~Y = ~p*(p+~q+~r)
~Y = ~p*p+~p*~q + ~p*~r
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
D: ~Y = ~p*(~q+~r)
Przejście z równaniem D do logiki przeciwnej:
A: Y = p+q*r
Przejście z równaniem C do logiki przeciwnej:
B: Y = (p+q)*(p+r)
cnd
Jak widzimy, wszystko nam się bombowo zgadza, równania A i B wyprowadziliśmy wcześniej nie potrzebując tabeli zero-jedynkowej.

Z twierdzenia śfinii wynika, że równania w logice ujemnej (bo ~Y) opisują wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli ABCDEFGH678:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
D: ~Y=~p*(~q+~r)
Dowód:
FGH678:
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r)
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q
~Y = ~p(q*~r+~q)
~Y = ~p*(z)
z=(q*~r) + ~q
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q
~z = r*q
~z = q*r
z = ~q + ~r
~Y = ~p*(z)
D: ~Y = ~p*(~q + ~r)
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
cnd
Tu również wszystko genialnie się zgadza, równania C i D wyprowadziliśmy wcześniej bez pomocy tabeli zero-jedynkowej.

Nasz przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+B*P

Zauważmy, że w zdaniu tym mamy totalny brak determinizmu, nie mamy pojęcia jakie wartości logiczne przyjmą w tym zdaniu zmienne K, B i P w dniu jutrzejszym, dlatego są to zmienne logiczne a nie stałe symboliczne.

Definicje:
1.
Zmienna logiczna (binarna):
Zmienna logiczna to zmienna która w funkcji czasu może przyjmować dowolne wartości 0 albo 1
Przykłady: K, B, P
2.
Stała symboliczna:
Stała symboliczna to symboliczna nazwa konkretnej wartości logicznej znanej z góry która nigdy nie może być zmieniona.

Załóżmy, że jest pojutrze i znamy już wartości logiczne wszystkich zmiennych np.
A.
K=0 - wczoraj nie byłem w kinie
B=0 - wczoraj nie byłem na basenie
P=1 - wczoraj byłem w parku
Czasu nie można cofnąć, zmienne K, B, i P z przedwczoraj przeszły w stałe symboliczne dzisiaj.
Niemożliwa jest jakakolwiek zmiana stałej symbolicznej.

Najprostsze rozstrzygnięcie czy wczoraj dotrzymałem słowa/skłamałem otrzymamy bezpośrednio ze zdania wypowiedzianego (nagłówek tabeli):
Y = K + B*P = 0 + 0*1 = 0+0 =0
Y=0 - skłamałem w logice dodatniej (bo Y)

Alternatywnym rozwiązaniem jest sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
~K=1 - wczoraj nie byłem w kinie
~B=1 - wczoraj nie byłem na basenie
P=1 - wczoraj byłem w parku
Dopiero teraz możemy wypowiedzieć zdanie w naturalnej logice człowieka izolowanej od jakichkolwiek zer i jedynek.
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i nie byłem na basenie, ale byłem w parku
Y? = ~K*~B*P
Aby uzyskać odpowiedź czy dotrzymałem słowa wymawiając obietnicę przedwczoraj musimy znaleźć funkcję logiczną zapisaną z prawej strony w tabeli zero-jedynkowej wyżej.

Łatwo znajdujemy rozwiązanie w linii G:
Gabcd = Gefgh:
~Yg = ~p*~q*r
W przełożeniu na nasz przykład mamy:
~Yg = ~K*~B*P
Oczywiście ~Yg oznacza że nie dotrzymałem przedwczorajszej obietnicy, skłamałem.


4.10 Prawo Sowy

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Doskonale to widać na naszym przykładzie.
Jest pojutrze i zaszło:
Wczoraj nie byłem w kinie i nie byłem na basenie, ale byłem w parku
~Y = ~K*~B*P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~B=1 i P=1
W równaniu wyżej nie mamy już do czynienia ze zmiennymi binarnymi (tu wartości logiczne mogą być zmieniane), lecz ze stałymi symbolicznymi gdzie nie mamy najmniejszych szans na zmianę ich wartości logicznych - czasu nie można cofnąć, klamka zapadła.

Wartości logiczne stałych symbolicznych mamy tu następujące:
~K=1 stąd K=0
~B=1 stąd B=0
P=1 stąd ~P=0

Nasza tabela zero-jedynkowa w świecie zdeterminowanym (pojutrze) przybiera postać:
Kod:

  ~p ~q  r ~Y=~p*~q*r
A: 1  1  1   1        /~Ya=~p*~q* r
B: 1  1  0   0        / Yb=~p*~q*~r
C: 1  0  1   0        / Yc=~p* q* r
D: 1  0  0   0        / Yd=~p* q*~r
E: 0  1  1   0        / Ye= p*~q* r
F: 0  1  0   0        / Yf= p*~q*~r
G: 0  0  1   0        / Yg= p* q* r
H: 0  0  0   0        / Yh= p* q*~r
   1  2  3   4          a   b  c  d

Doskonale widać definicję operatora logicznego AND co oznacza że prawo Sowy działa doskonale.
~Y = ~p*~q*r
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i r=1

Nasza tabela spełnia również twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku.

W świecie zdeterminowanym, na mocy prawa Sowy i twierdzenia śfinii spójnik „i”(*) to wyłącznie pierwsza linia naszej tabeli zero-jedynkowej.

Udajmy się do przedszkola gdzie trwa konkurs „zgadywanka”.
Pani:
Co to jest: ma cztery nogi?
Jaś:
Czy to jest stół?
Pani:
To nie jest stół
Y=>~S
Zuzia:
Czy to jest zwierzę?
Pani:
Tak, to jest zwierzę.
Y=>~S*Z
Jaś:
Czy to zwierzę miauczy?
Pani:
Nie miauczy.
Y => ~S*Z*~M
Jaś:
Czy to jest pies?
Pani:
Tak, to jest pies.
Y=> ~S*Z*~M*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 => ~S=1 i Z=1 i ~M i P=1
Rozwiązanie zagadki to:
Y<=>P (pies)
Zauważmy, że zanegowane wyżej zmienne są w iloczynie logicznym neutralne, bo ich wartość logiczna jest równa 1. Tego typu zmienne mają sens wyłącznie w zagadkach jak wyżej.

Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci, opiszcie proszę psa.
Dowcipny Jaś:
Pies nie jest stołem, nie ćwierka, nie jest księżycem…
P=>~S*~C*~K ...
co matematycznie oznacza:
P=1 => ~S=1 i ~C=1 i ~K=1
Pani:
Jaaasiu, dość!
Prawdą jest to co mówisz, ale jeśli opisujemy znanego nam doskonale psa to musimy wymieniać cechy psa, a nie zanegowane cechy dowolnych innych pojęć których jest nieskończenie wiele.
Jaś:
Pies ma cztery łapy, ogon i szczeka
P=>4L*O*S
co matematycznie oznacza:
P=1 => 4L=1 i O=1 i S=1
Pani:
Brawo Jasiu, dokładnie o to chodzi w definiowaniu znanego wszystkim przedmiotu.
Jaś:
… ale odstawiłem głupola.


4.11 Niejednoznaczność tabel zero-jedynkowych w logice matematycznej

Weźmy nasz przykład analizowany wyżej:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1

Zróbmy jego minimalną modyfikację negując K:
W1.
Jutro nie pójdę do kina lub pójdę na basen i do parku
Y = ~K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

Zauważmy że między W a W1 zachodzi:
W: Y=K+B*P ## W1: Y=~K+B*P
Zapis naszych zdań w parametrach formalnych:
W: Y = p+q*r ## W1: Y = ~p+q*r
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
W1 i W to dwa fundamentalnie różne zdania, różne funkcje logiczne.
Parametry formalne z lewej strony znaku ## (Y,p,q,r) nie maja nic wspólnego z parametrami formalnymi po prawej stronie znaku ## (Y,~p,q,r).

Oczywiście matematycznie możemy podstawić:
s=~p
stąd mamy:
W1: Y = p+q*r ## W: Y = s+q*r
gdzie:
## - różne na mocy definicji (nowa zmienna s)
Stąd analiza matematyczna naszego nowego zdania W1:
W1: Y=s+q*r
Będzie identyczna jak w poprzednim punkcie, w szczególności tabela zero-jedynkowa będzie identyczna, jednak opis tej tabeli funkcją W1 będzie fundamentalnie inny.

Jest oczywistym że aby otrzymać rzeczywistą tabelę zero-jedynkową dla zdania W1:
W1: Y = ~p+q*r
Musimy w całej tabeli W zanegować absolutnie wszystkie zmienne p.

Rzeczywista tabela dla zdania W1 będzie więc następująca.
W: Y = ~p+q*r
Kod:

  ~p q r q*r Y=~p+q*r         | p ~q ~r ~q+~r ~Y=p*(~q+~r)
A: 1 1 1  1  1  / Ya=~p* q* r | 0  0  0   0     =0  / Ya=~p* q* r
B: 1 1 0  0  1  / Yb=~p* q*~r | 0  0  1   1     =0  / Yb=~p* q*~r
C: 1 0 1  0  1  / Yc=~p*~q* r | 0  1  0   1     =0  / Yc=~p*~q* r
D: 1 0 0  0  1  / Yd=~p*~q*~r | 0  1  1   1     =0  / Yd=~p*~q*~r
E: 0 1 1  1  1  / Ye= p* q* r | 1  0  0   0     =0  / Ye= p* q* r
F: 0 1 0  0  0  /~Yf= p* q*~r | 1  0  1   1     =1  /~Yf= p* q*~r
G: 0 0 1  0  0  /~Yg= p*~q* r | 1  1  0   1     =1  /~Yg= p*~q* r
H: 0 0 0  0  0  /~Yh= p*~q*~r | 1  1  1   1     =1  /~Yh= p*~q*~r
   1 2 3  4  5    a   b  c  d   6  7  8   9      0    e   f  g  h

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Sprawdzamy twierdzenie śfinii dla tabeli zero-jedynkowej ABCDEFGH123 opisanej w nagłówku funkcją logiczną:
W1: Y = ~p+q*r
Jedynki w tej tabeli opisuje równanie:
W1: Y = Ya+Yb+Yc+Yd+Ye
Stąd nasze równanie przyjmuje postać:
W1: Y = ~p*q*r + ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r + p*q*r
Doskonale widać że jeśli dokonamy podstawienia:
s=~p
to otrzymamy równanie W które wyżej już zminimalizowaliśmy.
W: Y=s+q*r
cnd

Niedowiarkom pozostaje minimalizacja funkcji W1 w oryginale, Kubuś do takich należy.
Zatem jedziemy:
W1.
Y = ~p*q*r + ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r + p*q*r
Minimalizujemy:
Y=~p*q*(r+~r) + ~p*~q(r+~r) + p*q*r
Y = ~p*q + ~p*~q + p*q*r
Y = ~p*(q+~q) + p*q*r
Y = ~p+p*q*r
~Y = p*(~p+~q+~r)
~Y = p*p+p*~q + p*~r
C: ~Y = p*~q + p*~r
D: ~Y = p*(~q+~r)
Przejście z równaniem D do logiki przeciwnej:
A: Y = ~p+q*r
Przejście z równaniem C do logiki przeciwnej:
B: Y = (~p+q)*(~p+r)
cnd
Oczywiście to był Kubusiowy żarcik, bowiem znając matematyczne banały przepisał żywcem minimalizację tej funkcji zaprezentowaną wyżej negując wszędzie zmienną p, kompletnie przy tym nie myśląc. Zauważmy że tego typu sztuczki są doskonałe dla głupiego komputera, bez problemu sobie z tym poradzi.

Wniosek:
Wszelkie tabele zero-jedynkowe nie są matematycznie jednoznaczne.

Dowód:
Doskonale widać, że nasza tabela zero-jedynkowa ABCDEFGH123 opisuje aż 16 różnych na mocy definicji funkcji logicznych.

Wypiszmy pierwsze 8:
1. Y = p+q*r
2. Y = p+q*~r
3. Y = p+~q*r
4. Y = p+~q*~r
5. Y = ~p+q*r
6. Y = ~p+q*~r
7. Y = ~p+~q*r
8. Y = ~p+~q*~r
Jak widzimy mamy 8 różnych funkcji logicznych przy założeniu że:
Y=1 - dotrzymam słowa
Kolejne 8 funkcji otrzymamy przy założeniu że:
~Y=1 - skłamię

W sumie dla czterech zmiennych mamy aż 16 różnych funkcji logicznych, opisanych przez identyczną tabelę zero-jedynkową.

Ogólnie:
Dla n-zmiennych mamy identyczną tabelę zero-jedynkową dla 2^n różnych funkcji logicznych

Dla naszych czterech zmiennych (Y,p,q,r) mamy 16 różnych funkcji logicznych opisanych przez IDENTYCZNĄ tabelę zero-jedynkową.
2^4 = 16
Wszystko się zgadza.
cnd

Zauważmy, że mając naszą gołą tabelę zero-jedynkową ABCDEFGH123 prawdopodobieństwo że odgadniemy jaką funkcję logiczną opisuje ta tabela wynosi zaledwie 6,25%.
1/16 = 0,0625


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:15, 05 Gru 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 21:09, 08 Lis 2013    Temat postu:

5.0 Definicje operatorów OR i AND w zbiorach

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

Ta sama definicja w układzie równań logicznych:
Y=p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1
1 0  =0
0 1  =0
0 0  =0

Ta sama definicja w układzie równań logicznych:
Y=p*q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q


5.1 Definicja symboliczna operatora OR w zbiorach

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y = ~(p+q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora OR:
A: Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1
B: ~Y=~(p+q) = ~[1,2,3,4,5,6] = [7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Dziedzina:
Y+~Y = [1,2,3,4,5,6]+[7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1
Y*~Y = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] = [] =0

Równoważny diagram operatora OR:

Y=p*q+p*~q+~p*q
~Y=~p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y = Ya+Yb+Yc
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy że zbiór Y=p+q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p*~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p+q) <=>~(~p*~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q =[1,2,3,4,5,6] =1
to automatycznie wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y = ~p*~q = [7,8] =1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny.
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie.
Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Zatem nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja.

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Ya = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: Yb = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
C: Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty

Zauważmy, że spójnik „i”(*) to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)*q(x) =1*1 =1
Istnieje takie x, które należy do zbiorów p(x) i q(x).
Znajdziemy jedno takie x i już zbiór wynikowy nie jest zbiorem pustym, zatem wartość logiczna zdania jest równa 1.

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora OR:
Y = Ya+Yb+Yc
Y=p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6]=[1,2,3,4,5,6]=1
~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8]=[7,8]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora OR w korelacji z naszym diagramem.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Ya
B:  p*~q= Yb
C: ~p* q= Yc
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p+q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y)
U.
~Y=~p*~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora OR:
Kod:

                   |Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
                   |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej OR (Y)
                   |W: Y=p+q       |U: ~Y=~p*~q   |bez wyróżnionego
Definicja          |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
symboliczna OR (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
   p  q   Y=p+q    | p  q   Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q|
---------------------------------------------------------------
W: Y=p*q+p*~q+~p*q |               |              | p q  Y=p+q
A: p* q = Ya       | 1+ 1  =1      | 0* 0   =0    | 1*1 =1 / Ya
B: p*~q = Yb       | 1+ 0  =1      | 0* 1   =0    | 1*1 =1 / Yb
C:~p* q = Yc       | 0+ 1  =1      | 1* 0   =0    | 1*1 =1 / Yc
U: ~Y=~p*~q
D:~p*~q =~Y        | 0+ 0  =0      | 1* 1   =1    | 1*1 =1 /~Y
   1  2   3          4  5   6        7  8    9      a b  c

Na mocy techniki tworzenia równań algebry Boole’a dla dowolnej linii w tabeli zero-jedynkowej wszystkie zmienne w definicji symbolicznej mamy sprowadzone do jedynek, co widać w obszarze ABCDabc. W definicji symbolicznej w zerach i jedynkach nie ma zatem żadnej logiki, cała logika zakodowana jest w równaniach algebry Boole’a w obszarze ABCD123.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p+q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD456

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD789

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.

W definicji maszynowej dowolnego operatora logicznego wykorzystywanej w rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki znaczymy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej od góry do dołu.

Znaczenie spójników w definicji symbolicznej jest inne.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Twierdzenie śfinii działa tu doskonale.
Definicja symboliczna operatora OR (obszar ABCD123):
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej bo Y (obszar ABC123):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Odpowiednią definicję zero-jedynkową widzimy wyłącznie w obszarze ABC456.

ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej bo ~Y (linia D123):
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Odpowiednią definicję zero-jedynkową widzimy wyłącznie w linii D789

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “lub”(+) bierze udział wyłącznie obszar ABC456, bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “lub”(+) w obsłudze zdania wypowiedzianego W.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Linia D nie bierze w ogóle udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), jest „martwa”.

Linia D jest aktywna wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p*~q
Zauważmy że w linii D poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii D789 i tylko ta część całej powyższej tabeli zero-jedynkowej jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


5.2 Definicja symboliczna operatora AND w zbiorach

Definicja operatora AND w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja operatora AND w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y = ~(p*q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora AND:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora AND:
A: Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1
B: ~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1
C: ~Y=~(p*q) = ~[3,4] = [1,2,5,6,7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
bo to dwa rozłączne obszary
Dziedzina:
Y+~Y = [3,4]+[1,2,5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1
Y*~Y = [3,4]*[1,2,5,6,7,8] = [] =0

Równoważny diagram operatora AND:

Y=p*q
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
stąd:
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora AND:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Zauważmy że zbiór Y=p*q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p+~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p*q) <=>~(~p+~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y=p*q =[3,4] =1
to automatycznie wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie.
Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Zatem nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja.

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: ~Yb =~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty
C: ~Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Yd = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora AND:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]=[1,2,5,6,7,8]]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora AND.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Yb
C: ~p* q=~Yc
D:  p*~q=~Yd

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie linie B, C, D

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice dodatniej bo Y:
W.
Y=p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora OR w logice ujemnej bo ~Y:
U.
~Y=~p+~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora AND:
Kod:

                    |Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
                    |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej AND
                    |Y=p*q          |~Y=~p+~q      |bez wyróżnionego
Definicja           |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
symboliczna AND (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
   p  q   Y=p*q     | p  q   Y=p*q  |~p ~q ~Y=~p+~q|
-----------------------------------------------------------------------
W: Y=p*q            |               |              | p q Y=p+q
A: p* q = Y         | 1* 1  =1      | 0+ 0   =0    | 1*1  =1
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q|               |              |
B:~p*~q =~Yb        | 0* 0  =0      | 1+ 1   =1    | 1*1  =1
C:~p* q =~Yc        | 0* 1  =0      | 1+ 0   =1    | 1*1  =1
D: p*~q =~Yd        | 1* 0  =0      | 0+ 1   =1    | 1*1  =1
   1  2   3           4  5   6        7  8    9      a b   c

Na mocy techniki tworzenia równań algebry Boole’a dla dowolnej linii w tabeli zero-jedynkowej wszystkie zmienne w definicji symbolicznej mamy sprowadzone do jedynek, co widać w obszarze ABCDabc. W definicji symbolicznej w zerach i jedynkach nie ma zatem żadnej logiki, cała logika zakodowana jest w równaniach algebry Boole’a w obszarze ABCD123.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p*q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD456

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p+~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD789

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.

W definicji maszynowej dowolnego operatora logicznego wykorzystywanej w rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki znaczymy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej od góry do dołu.

Znaczenie spójników w definicji symbolicznej jest inne.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Twierdzenie świnii działa tu doskonale.
Definicja symboliczna operatora AND (obszar ABCD123):
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej bo Y (linia A123):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Odpowiednią definicję zero-jedynkową widzimy wyłącznie w linii A456.

ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej bo ~Y (obszar BCD123):
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Odpowiednią definicję zero-jedynkową widzimy wyłącznie w obszarze BCD789

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “i”(*) w logice dodatniej (bo Y) bierze udział wyłącznie linia A456 bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “i”(*).
W obsłudze zdania wypowiedzianego W:
W: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Linie B, C i D nie biorą w ogóle udziału, są „martwe”.

Linie B, C i D są aktywne wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zauważmy, że poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze BCD789 i tylko ta część całej powyższej tabeli jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


5.3 Funkcja logiczna n-argumentowa w zbiorach

Ogólna definicja operatorów OR i AND w zbiorach:
Wszystkie rozważane zbiory mają części wspólne i żaden zbiór nie zawiera się w drugim.

Udowodnijmy następujące prawa Nowej Teorii Zbiorów:
Z1: p*q+p*~q = p
Z2: p+~p*q*r = p+q*r

Dowód praw Z1 i Z2 w zbiorach ilustruje poniższy diagram.


Prawa Nowej Teorii zbiorów:
I.
Z1: p*q + p*~q =p
A: Zbiór p*q to kolor żółty plus szary.
B: Zbiór p*~q to kolor zielony
Suma logiczna A i B to cały zbiór p
cnd
II.
Z2: p+~p*q*r = p+q*r
Lewa strona tożsamości:
Z2L: p+~p*q*r
A: Zbiór p to kolory zielony plus żółty plus szary
B: Zbiór ~p*q*r to kolor niebieski
Zbiór Z2L to cały zbiór p plus zbiór niebieski
Prawa strona tożsamości:
Z2P: p+q*r
C: Zbiór p to kolory zielony plus żółty plus szary
D: Zbiór q*r to kolory szary plus niebieski
Zbiór Z2P to cały zbiór p plus zbiór niebieski
stąd:
Z2L = Z2P
cnd

Dowód praw Z1 i Z2 w równaniach algebry Boole’a:
Z1:
Y = p*q+ p*~q
Y = p*(q+~q)
Y = p
cnd
Z2:
Y = p+~p*(q*r)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y = p+q*r
cnd

Jak widzimy, prawa algebry Boole’a możemy dowodzić za pomocą:
A: Zbiorów
B: Równań algebry Boole’a
C: Tabel zero-jedynkowych

Zadanie:
Udowodnić prawa Z1 i Z2 przy pomocy tabel zero-jedynkowych


5.4 Analiza zdania ze spójnikiem „lub”(+)

W rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki nie mają żadnych znaczeń typu prawda/fałsz, są kompletnie bezpłciowe. Logika to poprawnie zbudowane nagłówki w przemiatanych tabelach zero-jedynkowych, o czym było wyżej.

Rozważmy wzorcowe zdanie ze spójnikiem „lub”(+).
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Zdanie tożsame:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
Y=K+T
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
Y=K+T
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce (np. T=1) i już dotrzymałem słowa, drugi człon jest bez znaczenia.

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
A2: ~Y=~K*~T
stąd:
A2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y = ~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T

Uwaga!
Słówko „dotrzymam słowa” jest w logice domyślne, dlatego w zdaniu A1 nie musimy go wypowiadać. Wynika z tego, że słówko „skłamię” nie jest domyślne i w zdaniu A2 musimy je wypowiedzieć, inaczej zdanie to będzie znaczyło zupełnie co innego.

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y).
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = K+T = ~(~K*~T)
A3.
Nie może się zdarzyć ~(…), ze jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
Y = K+T = ~(~K*~T)
Zdanie tożsame:
A3.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
Y = K+T = ~(~K*~T)

Zauważmy, że zdanie A3 jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka jednak sprytnie uniknęliśmy tu wartościowania dla ~K i ~T.

Dlaczego?
Punktem odniesienia w zdaniu A3 jest zdanie:
A1: Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
stąd:
Wartościowania dla których zdanie A3 jest prawdziwe (dotrzymam słowa) są następujące:
1.
K=1, T=0
Y = K+T = ~(~K*~T) = 1+0 = ~[~(1)*~(0)] = ~[0*1] = ~[0] =1
2.
K=0, T=1
Y = K+T = ~(~K*~T) = 0+1 = ~[~(0)*~(1)] = ~[1*0] = ~[0] =1
3.
K=1, T=1
Y=K+T = ~(~K*~T) = 1+1 = ~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~[0] =1
Doskonale widać, że matematycznie w zdaniu A3 wszystko nam się genialnie zgadza pod warunkiem że rozumiemy jak należy wartościować zdanie A3.

Dla ostatniego wartościowania które nam zostało zdanie A3 musi być fałszywe (skłamaliśmy):
4.
K=0, T=0
Y = K+T = ~(~K*~T) = 0+0 = ~[~(0)*~(0)] = ~[1*1] = ~[1] =0

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y).
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y=~(Y)
Podstawiając A2 i A1 mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo~ Y):
~Y = ~K*~T = ~(K+T)
A4.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), ze jutro pójdę do kina (K) lub pójdę do teatru (T)
~Y = ~K*~T = ~(K+T)
Zdanie tożsame:
A4.
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdę do kina (K) lub pójdę do teatru (T)
~Y = ~K*~T = ~(K+T)
Punktem odniesienia w zdaniu A4 jest zdanie:
A2: ~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1 i ~T=1
stąd:
Warunkiem koniecznym dla poprawnego wartościowania zdania A4 jest sprowadzenie sygnałów wejściowych do wspólnego punktu odniesienia (~K, ~T) korzystając z prawa podwójnego przeczenia:
K= ~(~K)
T=~(~T)
Stąd nasze równanie A4 przybiera postać:
A4: ~Y = ~K*~T = ~[~(~K)+~(~T)]
Dopiero teraz możemy poprawnie wartościować zdanie A4:
1.
~K=1, ~T=1
A4: ~Y = ~K*~T = 1*1 =1
A4: ~Y = ~[~(~K)+~(~T)] = ~[~(1)+~(1)] = ~[0+0] = ~[0] = 1

Oczywiście w każdym innym przypadku zdanie A4 musi być fałszywe:
2.
~K=1, ~T=0
A4: ~Y = ~[~(~K)+~(~T)] = ~[~(1)+~(0)] = ~[0+1] = ~[1] = 0
3.
~K=0, ~T=1
A4: ~Y = ~[~(~K)+~(~T)] = ~[~(0)+~(1)] = ~[1+0] = ~[1] = 0
4.
~K=0, ~T=0
A4: ~Y = ~[~(~K)+~(~T)] = ~[~(0)+~(0)] = ~[1+1] = ~[1] = 0
cnd


5.5 Analiza zdania ze spójnikiem „i”(*)

Rozważmy wzorcowe zdanie ze spójnikiem „i”(*):
B1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Zdanie tożsame:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T

… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników w zdaniu B1:
~Y=~K+~T
stąd:
B2.
Skłamię (~Y=1), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y= ~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Wystarczy że nie pójdę w dowolne miejsce (np. ~T=1) i już skłamałem (~Y=1), stan drugiego członu jest nieistotny.
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) przypadki kiedy skłamię to:
1.
~K=1, ~T=0
~Y = ~K+~T = 1+0 =1
2.
~K=0, ~T=1
~Y = ~K+~T = 0+1 =1
3.
~K=1, ~T=1
~Y = ~K+~T = 1+1 =1
Ostatnia możliwa kombinacja ~K i ~T to jedyny przypadek w którym dotrzymam słowa:
4.
~K=0, ~T=0
~Y = ~K+~T =0
Patrz prawo Prosiaczka:
(~Y=0) = (Y=1)
Fałsz (=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo Y)

Uwaga!
Słówko „dotrzymam słowa” jest w logice domyślne, dlatego w zdaniu B1 nie musimy go wypowiadać. Wynika z tego, że słówko „skłamię” nie jest domyślne i w zdaniu B2 musimy je wypowiedzieć (inaczej zdanie B2 będzie znaczyło zupełnie co innego).

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y).
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = K*T = ~(~K+~T)
B3.
Nie może się zdarzyć ~(…), ze jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Y = K*T = ~(~K+~T)
Zdanie tożsame:
B3.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Y = K*T = ~(~K+~T)

Zauważmy, że zdanie B3 jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka jednak sprytnie uniknęliśmy tu wartościowania dla ~K i ~T.

Dlaczego?
Punktem odniesienia w zdaniu B3 jest zdanie:
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

Stąd jedyne wartościowanie dla którego zdanie B3 będzie prawdziwe jest następujące:
1.
K=1, T=1
Y = K*T = ~(~K+~T) = 1*1 = ~[~(1)+~(1)] = ~[0+0] = ~[0] =1

Oczywiście dla pozostałych wartościowań K i T zdanie B3 będzie fałszywe.
2.
K=1, T=0
Y=K*T = ~(~K+~T) = 1*0 = ~[~(1) + ~(0)] = ~[0+1] =~[1] =0
3.
K=0, T=1
Y=K*T = ~(~K+~T) = 1*0 = ~[~(0) + ~(1)] = ~[1+0] =~[1] =0
4.
K=0, T=0
Y=K*T = ~(~K+~T) = 0*0 = ~[~(0) + ~(0)] = ~[1+1] =~[1] =0
Doskonale widać, że matematycznie w zdaniu B3 wszystko nam się genialnie zgadza pod warunkiem że rozumiemy jak należy wartościować zdanie B3.

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y).
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y=~(Y)
Podstawiając B2 i B1 mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo~ Y):
~Y = ~K+~T = ~(K*T)
B4.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), ze jutro pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)
~Y = ~K+~T = ~(K*T)
Zdanie tożsame:
B4.
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)
~Y = ~K+~T = ~(K*T)
Punktem odniesienia w zdaniu B4 jest zdanie:
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1 lub ~T=1
stąd:
Warunkiem koniecznym dla poprawnego wartościowania zdania A4 jest sprowadzenie sygnałów wejściowych do wspólnego punktu odniesienia (~K, ~T) korzystając z prawa podwójnego przeczenia:
K= ~(~K)
T=~(~T)
Stąd nasze równanie B4 przybiera postać:
B4: ~Y = ~K+~T = ~[~(~K)*~(~T)]
Dopiero teraz możemy poprawnie wartościować zdanie B4:
1.
~K=1, ~T=1
B4: ~Y = ~K+~T = 1+1 =1
B4: ~Y = ~[~(~K)*~(~T)] = ~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~[0] = 1
2.
~K=1, ~T=0
B4: ~Y = ~K+~T = 1+0 =1
B4: ~Y = ~[~(~K)*~(~T)] = ~[~(1)*~(0)] = ~[0*1] = ~[0] = 1
3.
~K=0, ~T=1
B4: ~Y = ~K+~T = 0+1 =1
B4: ~Y = ~[~(~K)*~(~T)] = ~[~(0)*~(1)] = ~[1*0] = ~[0] = 1

Oczywiście w ostatnim możliwym przypadku zdanie B4 musi być fałszywe:
4.
~K=0, ~T=0
B4: ~Y = ~K+~T = 0+0 =0
B4: ~Y = ~[~(~K)*~(~T)] = ~[~(0)*~(0)] = ~[1*1] = ~[1] = 0

W ten oto sposób, wyprzedzając czas, poznaliśmy sedno naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisanej matematycznie przez algebrę Kubusia.


5.6 Analiza zdania złożonego ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y1
co matematycznie oznacza:
Y1=1 <=> E=1 i Az=1 i Af=1
lub
2: E*Az*~Af=Y2
co matematycznie oznacza:
Y2=1 <=> E=1 i Az=1 i ~Af=1
lub
3: E*~Az*Af=Y3
co matematycznie oznacza:
Y3=1 <=> E=1 i ~Az=1 i Af=1
lub
4: E*~Az*~Af=Y4
co matematycznie oznacza:
Y4=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1
lub
5: ~E*Az*Af=Y5
co matematycznie oznacza:
Y5=1 <=> ~E=1 i Az=1 i Af=1
lub
6: ~E*Az*~Af=Y6
co matematycznie oznacza:
Y6=1 <=> ~E=1 i Az=1 i ~Af=1
lub
7. ~E*~Az*Af=Y7
co matematycznie oznacza:
Y7=1 <=> ~E=1 i ~Az=1 i Af=1

… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y8
co matematycznie oznacza:
~Y8=1 <=> ~E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y4 = E*~Az*~Af
Y4=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y1
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y2
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y3
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y4
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y5
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y6
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y7
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y8
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y2=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y1=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.

Ogólnie:

Definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
W.
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1 (Y=1), stan pozostałych zmiennych jest nieistotny.

W przeciwnym wypadku Y=0 czyli:
U.
Y=0 <=> A1=0 i A2=0 i … An=0
Na mocy prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1
Funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną 1 (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne po prawej stronie przyjmą wartość 1.

Oczywiście to jest nic innego jak definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa 1.

Stąd mamy równanie przeciwne do W:
U.
~Y = ~A1*~A2* … ~An
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Pełna definicja n-argumentowego operatora logicznego OR to komplet równań W+U a nie tylko samo W albo samo U.
W:
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U:
~Y = ~A1*~A2* … ~An
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) -prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
A1+A2 + … An = ~(~A1*~A2* … ~An)

W równaniach W i U doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.

Uwaga!
Zmienne A1, A2… An wcale nie muszą być pojedynczymi zmiennymi!
W ogólny przypadku pod dowolną zmienną A1…An możemy podstawić dowolnie złożoną funkcję logiczną, nawet nieskończoną, to bez znaczenia.
Zauważmy, że dowolna zmienna binarna zachowuje się identycznie jak funkcja logiczna - może przyjmować wyłącznie wartości logiczne 0 albo 1


5.7 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków

Poprawna logika matematyczna to naturalna logika każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając. Wynika z tego że dowolne logiczne myślenie człowieka musi mieć przełożenie 1:1 na matematykę, co można łatwo udowodnić udając się do przedszkola gdzie 5-cio latki bez problemu zaprojektują nam najprawdziwsze sterowanie windą dwoma równoważnymi metodami, posługując się logiką dodatnią i ujemną.

Zacznijmy zatem od wizyty w przedszkolu, w 100-milowym lesie:
Pani:
Powiedzcie mi dzieci co trzeba zrobić aby, jechać windą?
Jaś:
A.
Aby jechać windą (J=1) trzeba wejść do windy, zamknąć drzwi (D=1) i nacisnąć przycisk piętro (P=1)
J = D * P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Pani:
Brawo Jasiu!
Zatem winda pojedzie (J=1) tylko wtedy, gdy zamkniemy drzwi (D=1) i wciśniemy przycisk piętro (P=1)

Powiedzcie mi teraz dzieci kiedy winda na pewno nie pojedzie?
Zuzia:
B.
Winda na pewno nie pojedzie (~J=1) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1

Zauważmy, że między rozumowaniem Jasia i Zuzi zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
Jaś:
J=D*P
Zuzia:
~J=~D+~P

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
J = ~(~J)
Podstawiając A i B mamy tożsamość matematyczną, prawo de Morgana:
J = D*P = ~(~D+~P)
Fizyczna realizacja sterowania Jasia to banalna bramka AND(*) o definicji:
Y = p*q
Tożsama, fizyczna realizacja sterowania Zuzi to trzy negatory „~” plus bramka OR(+):
Y = ~(~p+~q)

Jak widzimy, Jaś zaprojektował sterowanie windą w logice dodatniej (bo J), natomiast Zuzia zaprojektowała sterowania windą w logice ujemnej (bo ~J).

Dokładnie w tak banalny sposób elektronicy praktycy projektują wszelkie sterowania w naturalnej logice człowieka, w logice bramek logicznych:
1.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „i”(*) używamy bramki AND(*)
2.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „lub”(+) używamy bramki OR(+)

To jest cała filozofia projektowania układów logicznych w naturalnej logice człowieka.
Zauważmy, że Jasia kompletnie nie interesuje sytuacja ~J, natomiast Zuzi nie interesuje sytuacja J.

Zobaczmy to wszystko w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

   D  P J=D*P  ~D ~P ~J=~D+~P
A: 1* 1  =1     0+ 0   =0
B: 1* 0  =0     0+ 1   =1
C: 0* 1  =0     1+ 0   =1
D: 0* 0  =0     1+ 1   =1
   1  2   3     4  5    6

Doskonale widać, że Jasia interesuje wyłącznie wynikowa jedynka w tabeli operatora AND (linia A123), natomiast logika Zuzi to wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli operatora OR (obszar BCD456).
Na mocy prawa Prosiaczka oraz prawa przejścia do logiki przeciwnej zachodzą tożsamości:
Linia A123 = Linia A456
Obszar BCD123 = Obszar BCD456

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Jak widzimy twierdzeniem śfinii perfekcyjnie posługuje się każdy 5-cio latek:
Symboliczna definicja spójnika „i”(*) to zaledwie jedna linia w tabeli zero-jedynkowej operatora AND (A123):
J=D*P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> J=1 i P=1

Symboliczna definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie trzy linie w tabeli zero-jedynkowej operatora OR (BCD456):
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej Jasia i Zuzi.

Definicje symboliczne spójników „i”(*) i „lub”(+) są tu kluczowe.
Definicje maszynowe tych spójników to oczywiście kompletne, zero-jedynkowe tych spójników jak w tabelach wyżej (operatory logiczne).


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:16, 05 Gru 2013, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 2:20, 11 Lis 2013    Temat postu:

6.0 Operatory implikacji i równoważności

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami: p, ~p, q, ~q

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia.
W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku.

Definicja maszynowa wynika z definicji symbolicznej, odwrotnie nie zachodzi tzn. nie da się na podstawie gołej tabeli zero-jedynkowej (bez opisu) odtworzyć jednoznacznie funkcji logicznej którą ta tabela opisuje.

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:

p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):

p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x), zatem ta definicja kwantyfikatora dużego jest poprawna.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:

p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka. O matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3
Dowód:
P8~~>P3 =1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3 =1 bo 5
~P8~~>P3 =1 bo 3

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
P=>4L = P*4L =P
Zbiór pies (P=pies) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 1 bo pies
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
4L~>P = 4L*P = P
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór psów (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Oczywiście w tożsamościach „=” musimy mieć to samo p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

W równoważności zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p[~>]~q
p[~>]q = ~p=>~q
gdzie:
Wirtualny warunek konieczny [~>] o definicji:
Zbiór na podstawie wektora [~>] zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja warunku koniecznego ~> znanego z implikacji jest tu spełniona, nie ma jednak mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji.

Stąd popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p[~>]q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego [~>] i wystarczającego => między p i q
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP[~>]SK)
Aby trójkąt był prostokątny potrzeba [~>] i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów.

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Zauważmy, że prawdziwości równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni.
Możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1


6.1 Podstawowe właściwości operatorów implikacji i równoważności

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, gdzie nie ma ani jednej tabeli zero-jedynkowej. Cała logika zakodowana jest w równaniach algebry Boole’a (zbiorach) izolowanych od tabel zero-jedynkowych. Fakty są jednak takie, że bez definicji zero-jedynkowych operatorów logicznych i rachunku zero-jedynkowego nie doszłoby do odkrycia algebry Kubusia. Podstawowe właściwości wszystkich operatorów, w tym operatorów implikacji i równoważności wynikają z rachunku zero-jedynkowego.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Maszynowe (zero-jedynkowe) definicje operatorów logicznych to tabele zero-jedynkowe z opisem wyłącznie w nagłówkach tabel, bez wnikania co oznaczają poszczególne linie.
W rachunku zero-jedynkowym nie ma takich pojęć jak:
1 = prawda
0 = fałsz
Porównujemy tu kompletne kolumny wynikowe, jeśli są tożsame to zachodzi prawo logiczne.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: 1=> 1  =1
B: 1=> 0  =0
C: 0=> 0  =1
D: 0=> 1  =1

Dokładnie ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a (algebrze Kubusia):
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q). Po obu stronach tożsamości muszą być te same parametry p i q.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p   q p~>q
A: 1~> 1  =1
B: 1~> 0  =1
C: 0~> 0  =1
D: 0~> 1  =0


Dokładnie ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a (algebrze Kubusia):
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q). Po obu stronach tożsamości muszą być te same parametry p i q.

Matematycznie zachodzi:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
W tym przypadku po obu stronach znaku ## mogą być dowolne parametry p i q, nie muszą być te same.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej w równaniach algebry Boole’a to jednocześnie prawa Kubusia.

I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - implikacja prosta w logice dodatniej (bo q)
Oczywiście powyższe prawo możemy zapisać tak:
~p~>~q = p=>q - implikacja odwrotna w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.

Dowód formalny I prawa Kubusia:
Kod:

   p   q p=>q  ~p   ~q ~p~>~q
A: 1=> 1  =1    0~>  0   =1
B: 1=> 0  =0    0~>  1   =0
C: 0=> 0  =1    1~>  1   =1
D: 0=> 1  =1    1~>  0   =1
   1   2   3    4    5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.

II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q)
Oczywiście powyższe prawo możemy zapisać tak:
~p=>~q = p~>q - implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.

Dowód formalny II prawa Kubusia:
Kod:

   p   q p~>q  ~p   ~q ~p=>~q
A: 1~> 1  =1    0=>  0   =1
B: 1~> 0  =1    0=>  1   =1
C: 0~> 0  =1    1=>  1   =1
D: 0~> 1  =0    1=>  0   =0
   1   2   3    4    5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.

W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów.

Przemienność argumentów w implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q   q   p  q=>p
A: 1=> 1  =1    1=> 1   =1
B: 1=> 0  =0    0=> 1   =1
C: 0=> 0  =1    0=> 0   =1
D: 0=> 1  =1    1=> 0   =0
   1   2   3    4   5    6

Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
p=>q = ~p~>~q # q=>p = ~q~>~p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p=>q jest prawdziwe to zdanie q=>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami (4L=pies, słoń..)
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P =0 bo kontrprzykład: słoń
A: P=>4L # AO: 4L=>P
W tym przypadku ze zdania fałszywego AO, po zamianie argumentów wynika zdanie prawdziwe A.

… ale nie zawsze tak musi być (odwrotnie nie zachodzi):
B.
Jeśli pies ma cztery łapy to na pewno => kura ma skrzydła
P4L=>KS =0
P4L - zbiór psów z czterema łapami
KS - zbiór kur ze skrzydłami
Zbiory:
P4L=>KS = P4L*KS = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P4L=1 i KS=1), ale są rozłączne, stąd w wyniku 0.
Definicja znaczka => nie jest tu spełniona bowiem zbiór P4L nie zawiera się w zbiorze KS.
Oczywiście po zamianie argumentów to zdanie również pozostanie fałszywe.

Przemienność argumentów w implikacji odwrotnej:
Kod:

   p   q p~>q   q   p  q~>p
A: 1~> 1  =1    1~> 1   =1
B: 1~> 0  =1    0~> 1   =0
C: 0~> 0  =1    0~> 0   =1
D: 0~> 1  =0    1~> 0   =1
   1   2   3    4   5    6

Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
p~>q = ~p=>~q # q~>p = ~q=>~p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p~>q jest prawdziwe to zdanie q~>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 4L*P =P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór pies (P=pies)
4L jest konieczne ~> dla P, zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
AO:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~> mieć cztery łapy
P~>4L =0
bo:
Prawo Kubusia:
P~>4L = ~P=>~4L =0
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: słoń
W tym przypadku ze zdania fałszywego AO, po zamianie argumentów wynika zdanie prawdziwe A.

… ale nie zawsze tak musi być (odwrotnie nie zachodzi):
B.
Jeśli pies ma cztery łapy to kura może ~> mieć ma skrzydła
P4L~>KS =0
P4L - zbiór psów z czterema łapami
KS - zbiór kur ze skrzydłami
Zbiory:
P4L~>KS = P4L*KS = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P4L=1 i KS=1), ale są rozłączne, stąd w wyniku 0.
Definicja znaczka ~> nie jest tu spełniona bowiem zbiór P4L nie zawiera w sobie zbioru KS.
Oczywiście po zamianie argumentów to zdanie również pozostanie fałszywe.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja równoważności:
Kod:

   p    q p<=>q   q    p q<=>p
A: 1<=> 1   =1    1<=> 1   =1
B: 1<=> 0   =0    0<=> 1   =0
C: 0<=> 0   =1    0<=> 0   =1
D: 0<=> 1   =0    1<=> 0   =0
   1    2    3    4    5    6

Tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w równoważności.
p<=>q = q<=>p
Przykład:
R1.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK
R2.
Suma kwadratów w trójkącie zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy jest on prostokątny
SK<=>TP

Ostatnim operatorem logicznym typu „Jeśli p to q” jest operator chaosu od którego wystartujemy.


6.2 Operator chaosu w zbiorach

Definicja operatora chaosu w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść q
p~~>q =1
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:[/b]
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Operator chaosu ## naturalny spójnik „może” ~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element należący do zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość zajścia.
Nie ma tu wymagania, aby zbiory p i q były ze sobą w takiej czy nie innej korelacji.

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

Prosty przykład operatora chaosu w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Na mocy definicji musi to być operator chaosu.

Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q:
A: p~~>q = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
B: p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
C: ~p~~>~q = ~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] =[7,8] =1 - zbiór niepusty
D: ~p~~>q = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 zbiór niepusty
stąd:
Symboliczna definicja operatora:
Kod:

A: p~~> q = p* q =1
B: p~~>~q = p*~q =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1
D:~p~~> q =~p* q =1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p~~>q
p=1 stąd ~p=0
q=1 stąd ~q=0
Kod:

Symboliczna definicja        |Kodowanie
operatora chaosu             |zero-jedynkowe
p~~>q                        |definicji symbolicznej
                             |  p    q  p~~>q
---------------------------------------------
A: p~~> q = p* q =1*1 =1     |  1~~> 1   =1
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =1     |  1~~> 0   =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1*1 =1     |  0~~> 0   =1
D:~p~~> q =~p* q =1*1 =1     |  0~~> 1   =1
   1    2   3  4  5 6  7        8    9    0

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
Symboliczna definicja operatora chaosu to wyłącznie zapis symboliczny w zbiorach ABCD127 bez żadnego punktu odniesienia.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Maszynowa definicja operatora chaosu to wyłącznie tabela zero-jedynkowa ABCD890 z ustalonym punktem odniesienia, w tym przypadku na zdaniu A.
A: p~~>q
p=1 stąd ~p=0
q=1 stąd ~q=0

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia.
W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku. Efekt końcowy to tabela maszynowa ABCD890.

Obszar ABCD890 to zero-jedynkowa definicja operatora chaosu, matematycznego śmiecia bez żadnej gwarancji matematycznej.
Operator chaosu jest przemienny, czyli wszystko jedno co nazwiemy p a co nazwiemy q.
Dowód:
O prawdziwości zdania p~~>q decyduje jeden wspólny element zbiorów p i q, koniunkcja zbiorów jest oczywiście przemienna.
cnd

Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć, bez żadnej gwarancji matematycznej.

Twierdzenie:
W operatorze chaosu argumenty są przemienne, zatem jeśli zdanie p~~>q spełnia definicję operatora chaosu to zdanie q~~>p również spełnia definicję operatora chaosu.

Nasze zdanie A po zamianie p i q przyjmuje postać:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24

Dowód formalny przemienności argumentów w operatorze chaosu:
Kod:

   p q p~~>q  q p  q~~>p
A: 1 1  =1    1 1   =1
B: 1 0  =1    0 1   =1
C: 0 1  =1    1 0   =1
D: 0 0  =1    0 0   =1
   1 2   3    4 5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w operatorze chaosu.


6.3 Najważniejsze twierdzenie w logice matematycznej

Twierdzenie o warunku koniecznym ~> prawdziwości dowolnego zdania „Jeśli p to q”:
Warunkiem koniecznym ~> prawdziwości dowolnego zdania „Jeśli p to q” jest prawdziwość tego zdania zapisanego kwantyfikatorem małym.

Kwantyfikator duży to warunek wystarczający => w algebrze Kubusia
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Dokładnie tą sytuację bardzo dobrze opisuje kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x)=1 to na pewno => zajdzie q(x)=1

Kwantyfikator mały to naturalny spójnik „może” ~~> w algebrze Kubusia
p~~>q
Definicja naturalnego spójnika może ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Dokładnie tą sytuację bardzo dobrze opisuje kwantyfikator mały:
\/x p(x) ~~> q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Ta sytuacja jest możliwa, możliwy jest stan chmury i nie pada.

Kwantyfikator mały jest przez matematyków błędnie rozumiany bo:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK =1
Na mocy definicji naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy że znajdę jeden wspólny element zbiorów TP i SK.
Koniec dowodu prawdziwości tego zdania.

Matematycznie zachodzi:
Kwantyfikator mały = naturalny spójnik „może” ~~>
Kwantyfikator mały jest w 100% identyczny w AK i matematyce Ziemian.

Niby dlaczego zdania A nie wolno mi opisać kwantyfikatorem małym?
Oczywiście wolno!
Zdanie tożsame do A zapisane kwantyfikatorem małym:
A.
\/x TP(x) ~~> SK(x)
Istnieje takie x, że jeśli x jest trójkątem prostokątnym TP(x)=1 to może ~~> zachodzić suma kwadratów SK(x)=1
Znalazłem jeden wspólny element zbiorów TP(x) i SK(X)
Zdanie A jest prawdziwe.
Koniec dowodu.
Dopiero w tym momencie jest sens formułować twierdzenie Pitagorasa zapisane kwantyfikatorem dużym.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Zdanie tożsame pod kwantyfikatorem dużym:
/\x TP(x) => SK(x)
dla każdego trójkąta x, jeśli x jest prostokątny TP(x)=1 to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów SK(x)=1

Twierdzenie o warunku koniecznym ~> prawdziwości dowolnego zdania „jeśli p to q”:
Warunkiem koniecznym ~> prawdziwości dowolnego zdania „jeśli p to q” jest prawdziwość tego zdania zapisanego kwantyfikatorem małym.

W matematyce Ziemian jest oczywisty czysto matematyczny błąd.

Dowód:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Dlaczego nie wolno mi zapisać tego zdania kwantyfikatorem małym?
Oczywiście wolno!
Zatem zdanie tożsame brzmi:
\/x P8(x) ~~> P3(x)
Istnieje taka liczba x, że jeśli liczba x jest podzielna przez 8 P8(x)=1 to może ~~> być podzielna przez 3 P3(x)=1
Znalazłem jedną taka liczbę (24) co kończy dowód prawdziwości zdania A zapisanego kwantyfikatorem małym.

Na mocy definicji kwantyfikatora małego zdanie A jest ewidentnie prawdziwe.
Błędem czysto matematycznym jest zatem twierdzenie, że nie da się określić czysto matematycznej prawdziwości zdania A
cnd

Oczywiście inną bajką jest dociekanie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie P8~~>P3.
Matematycznie założyć możemy cokolwiek np. że zdanie A jest częścią operatora chaosu.
Dowodzimy zatem prawdziwość zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

A: P8~~>P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 =1 bo 8
C: ~P8~~>~P3 =1 bo 5
D: ~P8~~>P3 =1 bo 3

Jak widzimy, trafiliśmy w dziesiątkę założeniem iż zdanie A jest częścią operatora chaosu
cnd

Dlaczego matematyka Ziemian nie potrafi określić prawdziwości zdania zapisanego kwantyfikatorem małym?
Oto jest pytanie.

Zauważmy, że matematyka Ziemian bez problemu określa prawdziwość/fałszywość zdań zapisanych kwantyfikatorem dużym. Nie wolno od strony czysto matematycznej inaczej traktować kwantyfikatora dużego i małego.

Jeśli daje się bez problemu określać prawdziwość/fałszywość zdań zapisanych kwantyfikatorem dużym, to musi się dać określać prawdziwość/fałszywość zdań zapisanych kwantyfikatorem małym.

W matematyce Ziemian mamy więc ewidentny błąd czysto matematyczny.
cnd

Podsumowanie:
Nie ma sensu zajmowanie się jakimkolwiek zdaniem „Jeśli p to q” jeśli to zdanie zapisane kwantyfikatorem małym jest fałszywe, bo fałszu w logice matematycznej nie analizujemy.
Możemy co najwyżej stwierdzić czy dane zdanie fałszywe wchodzi w skład jakiegoś operatora logicznego.

Przykład:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>~SK
Zdanie B zapisane kwantyfikatorem małym jest fałszywe:
\/x TP(x)~~> ~SK(x) =0
W logice wszelkie zdania fałszywe wyrzucamy do kosza, możemy co najwyżej zabawić się dociekaniem czy to zdanie wchodzi w skład jakiegoś operatora logicznego negując następnik i zapisując to zdanie spójnikiem „na pewno” =>
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Zdanie A zapisane kwantyfikatorem dużym:
/\x TP(x) => SK(x)

Oczywiście tu oba zdania A i B są częścią następującej równoważności:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)


6.4 Implikacja prosta w zbiorach

Zapiszmy definicję implikacji prostej w zbiorach, korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1
Kod:

Wejścia p i q  |Wejścia p i q
zero-jedynkowo |Symbolicznie
   p q  p=>q   | p  q
A: 1 1  =1     | p* q =1*1=1
B: 1 0  =0     | p*~q =1*1=0
C: 0 0  =1     |~p*~q =1*1=1
D: 0 1  =1     |~p* q =1*1=1
   1 2   3       4  5      6

Algorytm tworzenia symbolicznych wejść p i q:
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny (do ABCD45)
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny (do ABCD45)

Jak widzimy wszystkie zmienne wejściowe p i q w tabeli ABCD456 zostały sprowadzone do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Z obszaru AB456 doskonale widać, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie w zbiorach:
p*~q =0
Z obszaru CD456 widzimy, że zbiory p i q nie mogą być tożsame, bowiem jak zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q (C456)albo q (D456).
Stąd mamy definicję implikacji prostej w zbiorach.

Definicja implikacji prostej w zbiorach:

Definicja implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład z diagramu:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Założona dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
A.
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)
C.
~p~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] = [5,6] =~q =1 (zbiór niepusty)
Doskonale widać, że w koniunkcji zbiorów nie ma tu żadnej tożsamości w zbiorach (p#~q).

Co zatem oznacza tożsamość w definicji implikacji prostej?
W znaczkach => i ~> chodzi o coś zupełnie innego.

Fundament nowej teorii zbiorów to zaledwie trzy definicje:
I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Nasz przykład:
A.
p=>q = [1,2]=>[1,2,3,4] = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] =p
Doskonale widać iż definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona bo:
Zbiór [1,2] zawiera się => w zbiorze [1,2,3,4]
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame, co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Z prawdziwości znaczka => po lewej stronie tożsamości wynika prawdziwość znaczka ~> z prawej strony tożsamości.
Dowód:
C.
~p~>~q = [3,4,5,6]~>[5,6] = [3,4,5,6]*[5,6] = [5,6] = ~q
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo:
Zbiór [3,4,5,6] zawiera w sobie ~> zbiór [5,6]
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q) o definicji:
~p~>~q = p=>q

Bezpośrednio ze zdania A wynika fałszywość zdania B.
B.
p~~>~q = p*~q = [1,2]*[5,6] = [] =0
Oba zbiory istnieją (p=[1,2] i ~q=[5,6]), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Bezpośrednio ze zdania C wynika prawdziwość zdania D:
D.
~p~~>q = ~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] = [3,4] =1 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie jest spełniona definicja warunku koniecznego bo zbiór:
~p=[3,4,5,6]
nie zawiera w sobie zbioru:
p=[1,2,3,4]
W zbiorze ~p brakuje elementów [1,2].
Najprostszy sposób rozstrzygnięcia czy w zdaniu D zachodzi warunek konieczny to prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q =0 bo:
p=>~q = [1,2]*[5,6]=[] =0
Prawa strona tożsamości jest fałszem, zatem wykluczony jest warunek konieczny ~> w zdaniu D.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i q (np. 3).

Abstrakcyjny przykład na zbiorach jak wyżej zrozumie każdy matematyk, ale nie każdy przedszkolak. Algebra Kubusia to naturalna logika przedszkolaków, dlatego pełną definicję implikacji prostej omówimy za chwilę na przykładzie z życia, doskonale rozumianym przez każdego 5-cio latka. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.

Definicja implikacji prostej jest jednocześnie prawem Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Interpretacja:
Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
Dowód:
[p=>q = ~p~>~q] = [~p~>~q = p=>q]
p=>q = p=>q = ~p~>~q = ~p~>~q
p=>q = ~p~>~q
cnd

Znaczenie tożsamości w definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
W tożsamości tej chodzi o tożsamość czterech niezależnych zdań wchodzących w skład definicji implikacji prostej, są one identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, niezależnie od punktu odniesienia z którego patrzymy na te zdania. Szczegóły w przykładzie z życia niżej.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L

Definicja implikacji prostej:
P=>4L = ~P~>~4L
P=>4L
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
Nasz przykład spełnia definicję implikacji prostej.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L = P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P (pies) zawiera się w zbiorze 4L (pies, słóń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji
P=>4L = ~P~>~4L
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P (słoń, kura, wąż..) zawiera w sobie zbiór ~4L (kura, wąż..)
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L

Bezpośrednio ze zdania A wynika fałszywość zdania B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 0 - twardy fałsz, wynikły ze zdania A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Bezpośrednio ze zdania C wynika prawdziwość zdania D:
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L):
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
Kod:

Analiza symboliczna       |Kodowanie maszynowe    |Kodowanie maszynowe
                          |dla punktu odniesienia |dla punktu odniesienia
                          | A: P=>4L              | C: ~P~>~4L
                          |  P  4L  P=>4L         | ~P ~4L ~P~>~4L
A: P=> 4L = P* 4L =1*1 =1 |  1=> 1   =1           |  0~> 0   =1
B: P~~>~4L= P*~4L =1*1 =0 |  1=> 0   =0           |  0~> 1   =0
C:~P~>~4L =~P*~4L =1*1 =1 |  0=> 0   =1           |  1~> 1   =1
D:~P~~>4L =~P* 4L =1*1 =1 |  0=> 1   =1           |  1~> 0   =1
   a    b   c   d  1 2  3    4   5    6              7   8    9

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami: p, ~p, q, ~q
Nasz przykład:
P - pies
~P - słoń, kura, waż..
4L - pies, słoń ..
~4L - kura, wąż ..

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia. W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.

Definicja maszynowa wynika z definicji symbolicznej, odwrotnie nie zachodzi tzn. nie da się na podstawie gołej tabeli zero-jedynkowej (bez opisu) odtworzyć jednoznacznie funkcji logicznej którą ta tabela opisuje.
Przykład:
Tabela ABCD456 opisuje funkcję logiczną:
P=>4L
… ale identyczna tabela zero-jedynkowa będzie opisywała funkcję logiczną:
~P=>~4L
Na mocy definicji zachodzi:
P=>4L ## ~P=>~4L
To samo w zapisie formalnym:
p=>q ## ~p=>~q
## - różne na mocy definicji

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów - ABCD12), w zerach i jedynkach nie ma żadnej logiki.

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L).
Tabela ABCD789 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Nasz przykład w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q

Zauważmy, że opis implikacji prostej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) zgodnie z obszarem ABCDcd3 jest matematycznie błędny, mimo że wiemy które zdania zapisane spójnikiem „i”(*) są w implikacji prawdziwe (A, C i D) a które jest fałszywe (B).
Dlaczego?

Linia Aab:
Wyłącznie w linii Aab mamy spełniony warunek wystarczający => w zbiorach:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P (pies) zawiera się => w zbiorze 4L (pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zamienimy miejscami P i 4L (4L=>P) to nie mamy prawa użyć znaczka warunku wystarczającego => bo jego definicja nie będzie spełniona (4L=>P =0)
Zauważmy że pełny opis linii A w zbiorach jest następujący:
A: P=>4L = P*4L = P =1
Człon P=>4L nie jest przemienny co udowodniono wyżej, natomiast koniunkcja zbiorów P*4L jest przemienna. Doszliśmy zatem do sprzeczności czysto matematycznej, co jest dowodem błędności opisu implikacji prostej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Wniosek:
Poprawnie opisana linia Aab (P=>4L) nie jest przemienna co w kodzie maszynowym odpowiada sekwencji:
A456 ( 1 1 =1) = A789(0 0 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
A456(P=1, 4L=1, =1) = A789(~P=0, ~4L=0, =1)
cnd
Analogicznie.

Linia Cab:
Wyłącznie w linii Cab mamy spełnioną definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~P (kura, wąż, słoń..) zawiera w sobie zbiór ~4L (kura, wąż..)
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L
Jeśli zamienimy miejscami ~P i ~4L to nie mamy prawa użyć znaczka warunku koniecznego ~> bo jego definicja nie będzie spełniona:
Zbiór ~4L (kura, wąż..) zawiera się w zbiorze ~P (słoń, kura, wąż ..)
~4L~>~P =0
Definicja znaczka ~> wymaga czegoś dokładnie odwrotnego, stąd:
~4L~>~P=0
Zauważmy że pełny opis linii C w zbiorach jest następujący:
C: ~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Człon ~P~>~4L nie jest przemienny co udowodniono wyżej, natomiast koniunkcja zbiorów ~P*~4L jest przemienna. Doszliśmy zatem do sprzeczności czysto matematycznej, co jest dowodem błędności opisu implikacji odwrotnej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Wniosek:
Poprawnie opisana linia Cab (~P~>~4L) nie jest przemienna co w kodzie maszynowym odpowiada sekwencji:
C789( 1 1 =1) = C456(0 0 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
C789(~P=1, ~4L=1, =1) = C456(P=0, 4L=0, =1)
cnd

Zauważmy że linia B jest przemienna:
B: P~~>~4L = P*~4L =1
bowiem przemienne są oba znaczki: ~~> i „i”(*).
Kod maszynowy dla linii B to:
B456(1 0 =0) = B789(0 1 =0)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
B456(P=1, 4L=0, =0) = B789(~P=0, ~4L=1, =0)

Podobnie przemienna jest linia D:
D: ~P~~>4L = ~P*4L =1
bowiem przemienne są oba znaczki: ~~> i „i”(*).
Kod maszynowy dla linii D to:
D456(0 1 =1) = D789(1 0 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
D456(P=0, 4L=1, =1) = B789(~P=1, ~4L=0, =1)

Wniosek:
W algebrze Kubusia w liniach A i C mamy brak przemienności argumentów, natomiast w liniach B i D przemienność argumentów występuje, co dowiedziono wyżej. W „logice” Ziemian jest dokładnie odwrotnie, nie jest to zatem poprawna logika matematyczna.

Z tabeli ABCDab3 odczytujemy jedyne zdanie fałszywe w implikacji prostej:
B.
Y = P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Zdanie B wyrażone spójnikiem „i”(*) czytamy:
Fałszem jest (=0), że istnieje zwierzę (Y) które jest psem (P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) =(~Y=1)
stąd mamy:
B1.
~Y = ~(P*~4L) =1
Prawdą jest (=1), że nie może się zdarzyć ~(..), iż zwierzę jest psem (P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
~(P*~4L)=1
Prawda jest w logice domyślna, zatem pierwszy człon możemy pominąć.
Zdanie tożsame do B1:
B2:
Nie może się zdarzyć ~(..), że zwierzę jest psem (P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
~(P*~4L)

Oczywiście to jest gwarancja dla implikacji prostej A: P=>4L wyrażona spójnikiem „i”(*):
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = ~(P*~4L)

Dokładnie to samo otrzymamy w rachunku kwantyfikatorów.

Zauważmy, że bezpośrednio ze zdania A wynika zdanie B:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = P*4L = P =1
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Zdanie tożsame zapisane kwantyfikatorem dużym:
A1.
/\x P(x) =>P(x)=>4L(x) = P(x)*4L(x) = P(x) =1
Dla każdego zwierzęcia x, jeśli zwierzę x jest pasem P(x)=1 to na pewno => zwierzę x ma cztery łapy 4L(x)=1
Zdanie tożsame do A1.
A2.
/\x P(x)=>4L(x) = P(x)*4L(x) = P(x) =1
Prawdą jest (=1), że dla każdego zwierzęcia x, jeśli zwierzę x jest pasem P(x)=1 to na pewno => zwierzę x ma cztery łapy 4L(x)=1
Prawda jest w logice domyślna stąd w zdaniu A2 możemy pominąć początek otrzymując A1
Zdanie tożsame do A1=A2:
A3.
~/\x P(x)=>4L(x) = P(x)*4L(x) = P(x) =0
Fałszem jest (=0) że nie dla każdego zwierzęcia x (~/\x) zdarzy się, że jeśli zwierzę x jest pasem P(x)=1 to na pewno => zwierzę x ma cztery łapy 4L(x)=1
Stąd otrzymujemy prawo Prosiaczka dla kwantyfikatora dużego:
[/\x P(x)=>4L(x) = P(x)*4L(x) = P(x) =1] = [~/\x P(x)=>4L(x) = P(x)*4L(x) = P(x) =0]

Bezpośrednio ze zdania A wynika zdanie B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty).

Zdanie B możemy opisać kwantyfikatorem małym na dwa tożsame sposoby:
B1.
\/x P(x)~~>~4L(x) =0
Fałszem jest (=0), że istnieje takie zwierzę x (\/x), że jeśli x jest psem (P(x)=1) to może~~> nie mieć czterech łap (~4L(x)=1)
Zdanie tożsame do B1:
B2.
~\/x P(x) ~~> ~4L(x) =1
Prawdą jest (=1), że nie istnieje takie zwierzę x (~\/x), że jeśli x jest psem (P(x)=1) to x może~~> nie mieć czterech łap (~4L(x)=1)

W ten sposób odkryliśmy prawo Prosiaczka dla kwantyfikatora małego:
[\/x p(x)~~>q(x) =0] = [~\/x p(x)~~>q(x) =1]

W naturalnej logice człowieka prawda jest domyślna, stąd zdanie tożsame do B2:
B3.
~\/x P(x)~~>~4L(x)
Nie istnieje takie zwierzę x (~\/x), że jeśli zwierzę x jest psem P(x) to x może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)

Ze zdania B3 wynika zdanie B4:
B4.
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem (P=1) i nie ma czterech łap (4L=1)
~(P*~4L) =1
Zauważmy, że otrzymaliśmy tu gwarancję dla zdania A: P=>4L wyrażoną spójnikiem „i”(*).

Nasze rozważania i wnioski są zgodne z naturalną logiką człowieka.
Tata:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Jaś lat 5:
… tata, a czy może się zdarzyć że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap?
P=>4L = ~(P*~4L)
Tata:
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap.
~(P*~4L) =1

Podsumowanie.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie linia A.
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) to wyłącznie linia C.
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C

gdzie:
1.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
2.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w linii A.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
3.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji wyłącznie w linii C.
Definicja warunku koniecznego:
~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Z prawa Kubusia wynika, że zamiast dowodzić trudny w dowodzeniu warunek konieczny ~> możemy dowodzić dużo łatwiejszy w dowodzeniu warunek wystarczający =>. Dowodzenie warunku wystarczającego => jest łatwiejsze ze względu na kontrprzykład w linii B.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie linia A:
A.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Zbiory:
p=>q = p*q = p =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego w linii A zbiór p zawiera się w zbiorze q, z czego wynika iż zbiory p i ~q są rozłączne.
B.
p~~>~q=0
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Zbiory:
p~~>~q = p*~q =0
bo zbiory p i ~q są rozłączne na mocy definicji w A.

Stąd mamy definicję kontrprzykładu:
K: p~~>~q= p*~q =1
Jeśli znajdziemy jeden element wspólny zbiorów p i ~q to będzie to oznaczało iż te zbiory nie są rozłączne, co jest sprzeczne z definicją w linii A.

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
1.
A: p=>q =1
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q= p*q = p =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbioru p i zbioru ~q:
K: p~~>~q= p*~q =1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
Uwaga:
Jeśli dowodzimy prawdziwości zdania A poprzez wykluczenie kontrprzykładu to musimy uprzednio pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q, brak takiego elementu oznacza iż zbiory p i q są rozłączne, zatem zdanie A jest fałszywe.
A1: p~~>q = p*q =1 - musi istnieć co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
cnd

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P
Na mocy definicji kontrprzykładu mamy:
4L~~>~P = 4L*~P =1*1 =1 bo słoń
Istnieje zwierzę które ma cztery łapy i nie jest psem, stąd zdanie A jest fałszywe.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Analiza symboliczna     |Kodowanie maszynowe    |Kodowanie maszynowe
                        |dla punktu odniesienia |dla punktu odniesienia
                        | A: p=>q               | C: ~p~>~q
                        |  p  q  p=>q           | ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q = p* q =1*1 =1 |  1=> 1   =1           |  0~> 0   =1
B: p~~>~q= p*~q =1*1 =0 |  1=> 0   =0           |  0~> 1   =0
C:~p~>~q =~p*~q =1*1 =1 |  0=> 0   =1           |  1~> 1   =1
D:~p~~>q =~p* q =1*1 =1 |  0=> 1   =1           |  1~> 0   =1
   a   b   c  d  1 2  3    4   5    6              7   8    9

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) - linia A:
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame (p#q) to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są różne (p#q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p=>q wchodzi w skład definicji implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w linii A determinuje warunek konieczny ~> w linii C.

Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q) - linia C:
C.
~p~>~q
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame (~p#~q) to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek konieczny w zbiorach plus pokazać że zbiory ~p i ~q są różne (~p#~q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie ~p~>~q wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
Warunek konieczny ~> w linii C determinuje warunek wystarczający => w linii A.

Zauważmy że warunki wystarczający => i konieczny ~> nie są operatorami logicznymi, to tylko połówki odpowiednich operatorów logicznych.
Matematycznie zachodzi:
Warunek =>, ~> ## Operator logiczny
p=>q ## p=>q=~p~>~q
~p~>~q ## ~p~>~q = p=>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, iż definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy go prawo użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
Podobnie, definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - bo zbiory p i ~q istnieją, ale są rozłączne
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i q.

Uwaga:
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego p=>q w linii A o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji prostej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić.
Równoważność, gdzie „rzucanie monetą” nie występuje, to zupełnie inna bajka niż implikacja, gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji prostej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
p=>q ## p=>q = ~p~>~q ## p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:16, 05 Gru 2013, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 15:06, 11 Lis 2013    Temat postu:

6.5 Implikacja odwrotna w zbiorach

Zapiszmy definicję implikacji odwrotnej w zbiorach, korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1
Kod:

Wejścia p i q  |Wejścia p i q
zero-jedynkowo |Symbolicznie
   p q  p~>q   | p  q
A: 1 1  =1     | p* q =1*1=1
B: 1 0  =1     | p*~q =1*1=1
C: 0 0  =1     |~p*~q =1*1=1
D: 0 1  =0     |~p* q =1*1=0
   1 2   3       4  5      6

Algorytm tworzenia symbolicznych wejść p i q:
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny (do ABCD45)
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny (do ABCD45)

Jak widzimy wszystkie zmienne wejściowe p i q w tabeli ABCD456 zostały sprowadzone do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Z obszaru CD456 doskonale widać, że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie w zbiorach:
~p*q =0
Z obszaru AB456 widzimy, że zbiory p i q nie mogą być tożsame, bowiem jak zajdzie p to może zajść cokolwiek q (A456) albo ~q (B456).
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej w zbiorach.

Definicja implikacji prostej w zbiorach:

Definicja implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład z diagramu:
p=[1,2,3,4]]
q=[1,2]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6]
~q=[3,4,5,6]
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
A.
p~>q = p*q = [1,2,3,4]*[1,2] = [1,2] =q =1 (zbiór niepusty)
C.
~p=>~q = ~p*~q = [5,6]*[3,4,5,6] = [5,6] =~p =1 (zbiór niepusty)
Doskonale widać, że w koniunkcji zbiorów nie ma tu żadnej tożsamości w zbiorach (q#~p).

Co zatem oznacza tożsamość w definicji implikacji prostej?
W znaczkach => i ~> chodzi o coś zupełnie innego.

Fundament nowej teorii zbiorów to zaledwie trzy definicje:
I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Nasz przykład:
A.
p~>q = [1,2,3,4]=>[1,2] = [1,2,3,4]*[1,2] = [1,2] =q
Doskonale widać iż definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo:
Zbiór [1,2,3,4] zawiera w sobie ~> zbiór [1,2]
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame, co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Z prawdziwości znaczka ~> po lewej stronie tożsamości wynika prawdziwość znaczka => z prawej strony tożsamości i odwrotnie.
Dowód:
C.
~p=>~q = [5,6]=>[3,4,5,6] = [5,6]*[3,4,5,6] = [5,6] = ~p
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo:
Zbiór [5,6] zawiera się ~> w zbiorze [3,4,5,6]
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q) o definicji:
~p=>~q = p~>q

Bezpośrednio ze zdania A wynika prawdziwość zdania B.
B.
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 (zbiór niepusty)
Oba zbiory istnieją (p=[1,2,3,4] i ~q=[3,4,5,6]), i mają część wspólną [3,4] co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu B nie jest spełniona definicja warunku koniecznego bo zbiór:
p=[1,2,3,4]
nie zawiera w sobie zbioru:
~q=[3,4,5,6]
W zbiorze p brakuje elementów [5,6].
Najprostszy sposób rozstrzygnięcia czy w zdaniu B zachodzi warunek konieczny to prawo Kubusia:
p~>~q = ~p=>q =0 bo:
~p=>q = [5,6]*[1,2]=[] =0
Prawa strona tożsamości jest fałszem, zatem wykluczony jest warunek konieczny ~> w zdaniu B.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i ~q (np. 3).

Bezpośrednio ze zdania C wynika fałszywość zdania D:
D.
~p~~>q = ~p*q = [5,6]*[1,2] = [] =0 (zbiór pusty)

Abstrakcyjny przykład na zbiorach jak wyżej zrozumie każdy matematyk, ale nie każdy przedszkolak. Algebra Kubusia to naturalna logika przedszkolaków, dlatego pełną definicję implikacji prostej omówimy za chwilę na przykładzie z życia, doskonale rozumianym przez każdego 5-cio latka. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.

Definicja implikacji odwrotnej jest jednocześnie prawem Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Interpretacja:
Implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
Dowód:
[p~>q = ~p=>~q] = [~p=>~q = p~>q]
p~>q = p~>q = ~p=>~q = ~p=>~q
p~>q = ~p=>~q
cnd

Znaczenie tożsamości w definicji implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
W tożsamości tej chodzi o tożsamość czterech niezależnych zdań wchodzących w skład definicji implikacji odwrotnej, są one identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, niezależnie od punktu odniesienia z którego patrzymy na te zdania. Szczegóły w przykładzie z życia niżej.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P

Definicja implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~P
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór pies (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P).
Nasz przykład spełnia definicję implikacji odwrotnej.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór 4L (pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór P (pies)
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem, zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Zbiory:
4L~>P = 4L*P=P
4L~>P = 4L*P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P

.. a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~4L (kura, wąż..) zawiera się w zbiorze ~P (słoń, kura, wąż ..)
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Zbiory:
~4L=>~P = ~4L*~P = ~4L
~4L=>~P = ~4L*~P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza implikację prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji:
~4L=>~P = 4L~>P

Bezpośrednio ze zdania A wynika prawdziwość zdania B:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
4L~~>~P = 4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
4L~>~P= ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Bezpośrednio ze zdania C wynika fałszywość zdania D:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
~4L~~>P = ~4L*P = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
A: 4L~>P
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P):
C: ~4L=>~P
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0
Kod:

Analiza symboliczna       |Kodowanie maszynowe    |Kodowanie maszynowe
                          |dla punktu odniesienia |dla punktu odniesienia
                          | A: 4L~>P              | C: ~4L=>~P
                          |  4L  P  4L~>P         | ~4L ~P ~4L=>~P
A: 4L~> P = 4L* P =1*1 =1 |  1~> 1   =1           |  0=> 0   =1
B: 4L~~>~P= 4L*~P =1*1 =1 |  1~> 0   =1           |  0=> 1   =1
C:~4L=>~P =~4L*~P =1*1 =1 |  0~> 0   =1           |  1=> 1   =1
D:~4L~~>P =~4L* P =1*1 =0 |  0~> 1   =0           |  1=> 0   =0
   a    b    c  d  1 2  3    4   5    6              7   8    9

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami: p, ~p, q, ~q
Nasz przykład:
4L - pies, słoń ..
~4L - kura, wąż ..
P - pies
~P - słoń, kura, waż..

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia. W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.

Definicja maszynowa wynika z definicji symbolicznej, odwrotnie nie zachodzi tzn. nie da się na podstawie gołej tabeli zero-jedynkowej (bez opisu) odtworzyć jednoznacznie funkcji logicznej którą ta tabela opisuje.

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów - ABCD12), w zerach i jedynkach nie ma żadnej logiki.

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P).
Tabela ABCD789 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Nasz przykład w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q

Zauważmy, że opis implikacji odwrotnej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) zgodnie z obszarem ABCDcd3 jest matematycznie błędny, mimo że wiemy które zdania zapisane spójnikiem „i”(*) są w implikacji prawdziwe (A, B, C) a które jest fałszywe (D).
Dlaczego?

Linia Aab:
Wyłącznie w linii Aab mamy spełniony warunek konieczny ~> w zbiorach:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór psów (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
Jeśli zamienimy miejscami 4L i P (P~>4L) to nie mamy prawa użyć znaczka warunku koniecznego ~> bo jego definicja nie będzie spełniona (P~>4L =0)
Zauważmy że pełny opis linii A w zbiorach jest następujący:
A: 4L~>P = 4L*P = P
Człon 4L~>P nie jest przemienny co udowodniono wyżej, natomiast koniunkcja zbiorów 4L*P jest przemienna. Doszliśmy zatem do sprzeczności czysto matematycznej, co jest dowodem błędności opisu implikacji odwrotnej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Wniosek:
Poprawnie opisana linia Aab (4L~>P) nie jest przemienna co w kodzie maszynowym odpowiada sekwencji:
A456 ( 1 1 =1) = A789(0 0 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
A456(4L=1, P=1, =1) = A789(~4L=0, ~P=0, =1)
cnd
Analogicznie.

Linia Cab:
Wyłącznie w linii Cab mamy spełnioną definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L (kura, wąż..) zawiera się w zbiorze ~P (kura, wąż, słoń..)
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji:
~4L=>~P = 4L~>P
Jeśli zamienimy miejscami ~4L i ~P to nie mamy prawa użyć znaczka warunku wystarczającego => bo jego definicja nie będzie spełniona:
Zbiór ~P (słoń, kura, wąż ..) zawiera w sobie zbiór ~4L (kura, waż..)
~P=>~4L =0
Definicja znaczka => wymaga czegoś dokładnie odwrotnego, stąd:
~P=>~4L=0
Zauważmy że pełny opis linii C w zbiorach jest następujący:
C: ~4L=>~P = ~4L*~P = ~4L =1
Człon ~4L=>~P nie jest przemienny co udowodniono wyżej, natomiast koniunkcja zbiorów ~4L*P jest przemienna. Doszliśmy zatem do sprzeczności czysto matematycznej, co jest dowodem błędności opisu implikacji spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Wniosek:
Poprawnie opisana linia Cab (~4L=>~P) nie jest przemienna co w kodzie maszynowym odpowiada sekwencji:
C789( 1 1 =1) = C456(0 0 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
C789(~4L=1, ~P=1, =1) = C456(4L=0, P=0, =1)
cnd

Zauważmy że linia B jest przemienna:
B: 4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
bowiem przemienne są oba znaczki: ~~> i „i”(*).
Kod maszynowy dla linii B to:
B456(1 0 =1) = B789(0 1 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
B456(4L=1, P=0, =1) = B789(~4L=0, ~P=1, =1)

Podobnie przemienna jest linia D:
D: ~4L~~>P = ~4L*P =0
bowiem przemienne są oba znaczki: ~~> i „i”(*).
Kod maszynowy dla linii D to:
D456(0 1 =0) = D789(1 0 =0)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
D456(4L=0, P=1, =1) = B789(~4L=1, ~P=0, =1)

Wniosek:
W algebrze Kubusia w liniach A i C mamy brak przemienności argumentów, natomiast w liniach B i D przemienność argumentów występuje, co dowiedziono wyżej. W „logice” Ziemian jest dokładnie odwrotnie, nie jest to zatem poprawna logika matematyczna.

Z tabeli ABCDab3 odczytujemy jedyne zdanie fałszywe w implikacji odwrotnej:
D.
Y = ~4L~~>P = ~4L*P =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Zdanie D wyrażone spójnikiem „i”(*) czytamy:
Fałszem jest (=0), że istnieje zwierzę (Y) które nie ma czterech łap (~4L=1) i jest psem (P=1)
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) =(~Y=1)
stąd mamy:
D1.
~Y = ~(~4L*P) =1
Prawdą jest (=1), że nie może się zdarzyć ~(..), iż zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) i jest psem (P=1)
~(P*~4L)=1
Prawda jest w logice domyślna, zatem pierwszy człon możemy pominąć.
Zdanie tożsame do D1:
D2:
Nie może się zdarzyć ~(..), że zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) i jest psem (P=1)
~(~4L*P)

Oczywiście to jest gwarancja dla implikacji prostej A: 4L~>P wyrażona spójnikiem „i”(*):
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Gwarancja matematyczna:
4L~>P = ~4L=>~P = ~(~4L*P)
Rzeczywistą gwarancją jest tu warunek wystarczający =>.

Nasze rozważania i wnioski są zgodne z naturalną logiką człowieka.
Tata:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Jaś lat 5:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Tata:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Jaś.
Tata, a czy może się zdarzyć że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem?
Tata:
Nie może się zdarzyć ~(..), że zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) i jest psem (P=1)
~(~4L*P)

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A:
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C.
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
1.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
2.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między ~p i ~q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w linii C.
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
3.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji wyłącznie w linii A.
Definicja warunku koniecznego:
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Z prawa Kubusia wynika, że zamiast dowodzić trudny w dowodzeniu warunek konieczny ~> możemy dowodzić dużo łatwiejszy w dowodzeniu warunek wystarczający =>. Dowodzenie warunku wystarczającego => jest łatwiejsze ze względu na kontrprzykład w linii D.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo q) to wyłącznie linia C:
C.
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika, że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego w linii C zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, z czego wynika iż zbiory ~p i q są rozłączne.
D.
~p~~>q=0
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q =0
bo zbiory ~p i q są rozłączne na mocy definicji w C.

Stąd mamy definicję kontrprzykładu:
K: ~p~~>q= ~p*q =1
Jeśli znajdziemy jeden element wspólny zbiorów ~p i q to będzie to oznaczało iż te zbiory nie są rozłączne, co jest sprzeczne z definicją w linii C.

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
A: ~p=>~q =1
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q= ~p*~q = ~p =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbioru ~p i zbioru q:
K: ~p~~>q= ~p*q =1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: ~p=>~q =1
Uwaga:
Jeśli dowodzimy prawdziwości zdania A poprzez wykluczenie kontrprzykładu to musimy uprzednio pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i ~q, brak takiego elementu oznacza iż zbiory ~p i ~q są rozłączne, zatem zdanie A jest fałszywe.
A1: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - musi istnieć co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
cnd
Przykład:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Kontrprzykład:
~4L~~>P = ~4L*P =0
Zbiory ~4L i P są rozłączne, z czego wynika brak kontrprzykładu dla zdania C.
Wynika z tego że w zdaniu C zachodzi warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P):
C: ~4L=>~P =1
cnd

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Analiza symboliczna     |Kodowanie maszynowe    |Kodowanie maszynowe
                        |dla punktu odniesienia |dla punktu odniesienia
                        | A: p~>q               | C: ~p=>~q
                        |  p  q  p~>q           | ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q = p* q =1*1 =1 |  1~> 1   =1           |  0=> 0   =1
B: p~~>~q= p*~q =1*1 =1 |  1~> 0   =1           |  0=> 1   =1
C:~p=>~q =~p*~q =1*1 =1 |  0~> 0   =1           |  1=> 1   =1
D:~p~~>q =~p* q =1*1 =0 |  0~> 1   =0           |  1=> 0   =0
   a   b   c  d  1 2  3    4   5    6              7   8    9

Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) - linia A:
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywanym przez strzałkę wektora ~>
Jeśli dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame (p#q) to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek konieczny w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są różne (p#q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p~>q wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w linii A determinuje warunek wystarczający ~> w linii C.

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) - linia C:
C.
~p=>~q
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame (~p#~q) to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający => w zbiorach plus pokazać że zbiory ~p i ~q są różne (~p#~q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie ~p=>~q wchodzi w skład definicji implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
Warunek wystarczający => w linii C determinuje warunek konieczny ~> w linii A.

Zauważmy że warunki konieczny ~> i wystarczający => nie są operatorami logicznymi, to tylko połówki odpowiednich operatorów logicznych.
Matematycznie zachodzi:
Warunek ~>, => ## Operator logiczny
p~>q ## p~>q=~p=>~q
~p=>~q ## ~p=>~q = p~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, iż definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy go prawo użyć:
A: p~>q = p*q = q =1
Podobnie, definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i ~q.
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =0 - bo zbiory ~p i q istnieją, ale są rozłączne

Uwaga:
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego ~p=>~q w linii C o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji odwrotnej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić.
Równoważność, gdzie „rzucanie monetą” nie występuje, to zupełnie inna bajka niż implikacja, gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje.
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
~p=>~q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja odwrotna ## równoważność
~p=>~q ## p~>q = ~p=>~q ## p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji


6.6 Równoważność w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja równoważności sprowadzona do teorii zbiorów na mocy prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1
Kod:

Definicja     |Definicja symboliczna
zero-jedynkowa|Zbiory po stronie p i q
   p q p<=>q  |
A: 1 1  =1    | p* q =1*1=1
B: 1 0  =0    | p*~q =1*1=0
C: 0 0  =1    |~p*~q =1*1=1
D: 0 1  =0    |~p* q =1*1=0
   1 2   3      4  5      6

Algorytm tworzenie definicji symbolicznej ABCD456 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
1.
Jeśli na wybranej pozycji jest jeden to przepisujemy nagłówek kolumny
2.
Jeśli na wybranej pozycji jest zero to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

A.
Z obszaru AB456 wynika że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie:
p*~q =0 - zbiory p i ~q rozłączne
Zajście p wystarcza => do tego aby zaszło q
B.
Analogicznie, z obszaru CD456 wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie:
~p*q =0 - zbiory ~p i q rozłączne
Zajście ~p wystarcza => do tego aby zaszło ~q

Jednoczesne zajście A i B wymusza tożsamość zbiorów p i q (p=q) co pociąga za sobą tożsamość zbiorów ~p i ~q (~p=~q)

Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia wynikająca bezpośrednio z powyższej definicji zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

RA:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie linia A
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) to wyłącznie linia C
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Warunek wystarczający w zbiorach:
p=>q = p*q = p
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q, czyli zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
W równoważności oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q.
2.
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
Zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
3.
Definicja warunku wirtualnego koniecznego [~>] występującego wyłącznie w równoważności:
p[~>]q
Zbiór na podstawie wektora [~>] musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
Wirtualny warunek konieczny w zbiorach:
p[~>]q = p*q = q
Zabieram p i musi zniknąć q, czyli p jest konieczne[~>] dla q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q w równoważności

Zauważmy, że w implikacji gdzie zbiory p i q są różne (p#q) warunek konieczny ~> to zawsze „rzucanie monetą”. W równoważności mamy jednak tożsamość zbiorów p=q i ~p=~q, stąd rzucanie monetą nie jest tu możliwe, mimo iż ogólna definicja warunku koniecznego jest spełniona. Zauważmy że w równoważności między dowolnymi punktami zachodzi jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny wirtualny [~>]. Ten warunek musi mieć zatem inną nazwę i inny symbol bowiem jest to coś fundamentalnie innego niż warunek konieczny ~> znany nam z implikacji („rzucanie monetą”).

Stąd mamy popularną definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p[~>]q)
Równoważność to jednoczesna zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego wirtualnego [~>] między dowolnymi dwoma punktami.

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP[~>]SK)
Do tego aby w dowolnym trójkącie zachodziła suma kwadratów potrzeba [~>] i wystarcza => aby trójkąt ten był prostokątny.
TP=>SK = TP*SK = TP
Wymuszam dowolny trójkąt prostokątny i musi => pojawić się suma kwadratów
TP[~>]SK = TP*SK = SK
zabieram zbiór trójkątów prostokątnych i znika mi zbiór trójkątów w których zachodzi suma kwadratów, czyli zajście TP jest konieczne dla SK.

Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka => spełniona jest w liniach A i C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
C: ~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bowiem zbiory p i q są tu rozłączne, czyli nie jest spełniony ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny [~>].
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - oba zbiory istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =0 - oba zbiory istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) - linia A:
A: p=>q
=> - zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame (p=q) to mamy do czynienia z równoważnością w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q) *(~p=>~q)
p=>q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są tożsame (p=q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p=>q wchodzi w skład definicji równoważności w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q) *(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w linii A plus tożsamość zbiorów p=q determinuje warunek wystarczający => w linii C.

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
p=>q = p*q = p =1
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów p i ~q:
B: p~~>~q= p*~q =1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
Uwaga:
Jeśli dowodzimy prawdziwości zdania A poprzez wykluczenie kontrprzykładu to musimy uprzednio pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q, brak takiego elementu oznacza iż zbiory p i q są rozłączne, zatem zdanie A jest fałszywe.
AW: p~~>q = p*q =1 - musi istnieć co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q

Przykład:
Fałszywe jest zdanie A typu:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK =0
W tym przypadku prawdziwe jest zdanie B1 ze spójnikiem ~~> i zanegowanym następnikiem:
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK=1
Oczywiście pokazując jeden taki trójkąt udowodnimy prawdziwość zdania B1. Fałszem jest jednak że tym samym udowodniliśmy prawdziwość zdania A1.
cnd

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) - linia C:
C: ~p=>~q
=> - zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli dodatkowo zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) to mamy do czynienia z równoważnością.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie ~p=>~q wchodzi w skład definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w linii C plus tożsamość zbiorów ~p=~q determinuje warunek wystarczający => w linii A.

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
~p=>~q= ~p*~q = ~p =1
Jeśli tak to:
~p=>~q =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów ~p i q:
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
Uwaga:
Jeśli dowodzimy prawdziwości zdania C poprzez wykluczenie kontrprzykładu to musimy uprzednio pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i ~q, brak takiego elementu oznacza iż zbiory ~p i ~q są rozłączne, zatem zdanie C jest fałszywe.
CW: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - musi istnieć co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i ~q

Przykład:
Fałszywe jest zdanie C typu:
C1.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK =0
W tym przypadku prawdziwe jest zdanie D1 ze spójnikiem ~~> i zanegowanym następnikiem:
D1.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
~TP~~>~SK=1
Oczywiście pokazując jeden taki trójkąt udowodnimy prawdziwość zdania D1. Fałszem jest jednak że tym samym udowodniliśmy prawdziwość zdania C1.
cnd

Zauważmy, że warunki wystarczające => w logice dodatniej i ujemnej nie są operatorami logicznymi, to tylko połówki odpowiednich operatorów logicznych.

Matematycznie zachodzi:
Równoważność ## warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji w A ## warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w C
p<=>q ## p=>q ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Aksjomatyczna definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja tożsamości zbiorów:
Jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p to zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q (p=q)
Jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p to zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q (~p=~q)

Stąd dwie równoważne definicje równoważności:
B.
p=q
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
C.
~p=~q
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Twierdzenie o tożsamości zbiorów:
Jeśli zbiory p i q są tożsame (p=q) to tożsame są zbiory ~p i ~q (~p=~q)

Odwrotnie też zachodzi zatem jest to równoważność:
p=q <=> ~p=~q
Oczywiście tej równoważności nie możemy zastąpić tożsamością.
Wniosek:
Każda tożsamość to automatycznie równoważność, ale nie każda równoważność to automatycznie tożsamość.

Prawo algebry Boole'a:
D.
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony są tożsame, co kończy dowód.

Wyżej mamy udowodnione:
D: p<=>q = ~p<=>~q
C: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Stąd otrzymujemy tożsamość:
E.
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z A i B mamy pierwsze prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
B: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
A i B to tożsamość, zatem musi zachodzić:
q=>p = ~p=>~q

Z A i E mamy drugie prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
E: p<=>q = (~q=>~p)* (~p=>~q)
A i E to tożsamość, zatem musi zachodzić:
p=>q = ~q=>~p

Definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Prawa kontrapozycji poprawne w równoważności:
p=>q= ~q=>~p
~p=>~q =q=>p
Pełna definicja równoważności z uwzględnieniem praw kontrapozycji.
p<=>q = {(p=>q)=(~q=>~p)}*{(~p=>~q)=(q=>p)}
Stąd możliwe równoważne definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q = (q=>p)*(~q=>~p)
etc

W równoważności wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q zachodzą wirtualne prawa Kubusia:
p=>q = [~p~>q]
[p~>q] = ~p=>~q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności
Wirtualny warunek konieczny [~>] istnieje, ale nie jest to znane nam z implikacji „rzucanie monetą” ~> bowiem wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q jest to fizycznie niemożliwe, stąd konieczność innej nazwy i innego symbolu warunku koniecznego w równoważności.

Pełna definicja równoważności z uwzględnieniem praw Kubusia:
p<=>q = {(p=>q)=[~p~>~q]}*{(~p=>~q)=[p~>q]}
stąd:
Przykładowe definicje równoważne:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p<=>q = [p~>q]*[~p~>~q]
etc

Oczywiście prawa kontrapozycji i wirtualne prawa Kubusia można dowolnie mieszać skąd otrzymujemy kilkadziesiąt tożsamych definicji równoważności. Na gruncie nowej teorii zbiorów wszystkie te definicje są oczywistością i z każdej można korzystać (definicje znaczków => i [~>]). Najpopularniejsze są trzy definicje:
I. p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
II. p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
III. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] =1*1=1
Do tego aby w trójkącie kąty były równe potrzeba [~>] i wystarcza => aby był on równoboczny.
Dowód na mocy definicji znaczków [~>] i =>:
Wymuszam dowolny TR i pojawia mi się KR
TR=>KR=1
Zabieram (wszystkie) TR i znika mi zbiór KR
[TR~>KR]=1

Dla porównania implikacja:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Sprawdzamy czy zachodzi równoważność:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*[P8~>P2] =1*0 =0
Wymuszam dowolne P8 i pojawia się P2
P8=>P2 =1 ok.
Zabieram (wszystkie) P8 i nie znika mi P2
P8~>P2 =0 bo 2

Spójrzmy na definicję implikacji i równoważności w równaniach Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że warunki wystarczające => w implikacji i równoważności są identyczne.
Zatem jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający np.
p=>q=1
to wiem ze nic nie wiem, bo nie wiem czy to jest warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji, czy też to jest warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna ## Równoważność
p=>q = ~p~>~q     ## p~>q = ~p=>~q       ## p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)


Przykład równoważności :


Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.

RA.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) to wyłącznie linia A:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = TP*SK = TP =1
Zbiór TP zawiera się w zbiorze SK, zajście TP jest wystarczające dla zajścia SK.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
Zbiory:
TP~~>~SK = TP*~SK = 1*1=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

RC.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK) to wyłącznie linia C:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = ~TP*~SK = ~TP =1
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK, zajście ~TP jest wystarczające dla zajścia ~SK.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = ~TP*SK = 1*1=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i C.
To nie są operatory logiczne, to zaledwie „połówki” operatora równoważności.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA otrzymamy definicję równoważności w logice dodatniej (bo SK):
RA: TP<=>SK
TP=1, ~TP=0
SK=1, ~SK=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RC otrzymamy definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~SK):
RA: ~TP<=>~SK
~TP=1, TP=0
~SK=1, SK=0
Kodowanie zero-jedynkowe:
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja        |Kodowanie         |Kodowanie
równoważności                |zero-jedynkowe    |zero-jedynkowe
Relacje między zbiorami      |dla RA:TP<=>SK    |dla RC:~TP<=>~SK
                             | TP  SK  TP<=>SK  | ~TP ~SK ~TP<=>~SK
-------------------------------------------------------------
A: TP=>  SK = TP* SK =1*1 =1 |  1<=> 1   =1     |   0<=> 0   =1
B: TP~~>~SK = TP*~SK =1*1 =0 |  1<=> 0   =0     |   0<=> 1   =0
C:~TP=> ~SK =~TP*~SK =1*1 =1 |  0<=> 0   =1     |   1<=> 1   =1
D:~TP~~> SK =~TP* SK =1*1 =0 |  0<=> 1   =0     |   1<=> 0   =0
    1    2     a   b       3    4    5    6         7   8     9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                             |TP=1, ~TP=0       |~TP=1, TP=0
                             |SK=1, ~SK=0       |~SK=1, SK=0

W tabelach zero-jedynkowych wszystkie linie kodujemy znaczkiem widocznym w nagłówku tabeli, dotyczy to wszystkich operatorów.
Zauważmy, że w tabeli zero-jedynkowej równoważności nie możemy w nagłówku tabeli użyć TP=>SK bo wtedy musielibyśmy przelecieć znaczkiem => od góry do dołu tej tabeli, co oczywiście jest błędem czysto matematycznym.

Definicję symboliczną warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo SK) widzimy w linii A123, natomiast jego zero-jedynkowe kodowanie w linii A456.
TP=>SK =1
co matematycznie oznacza:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na pewno => zachodzi suma kwadratów (SK=1)
TP=1 => SK=1
Kodowanie tego warunku wystarczającego widzimy w linii A456
Linia B wynika z linii A i możemy ją potraktować jako nieodłączną część warunku wystarczającego o definicji wyłącznie w A. Linie C i D są martwe i nie biorą udziału w obsłudze tego warunku.

Definicję symboliczną warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~SK) widzimy w linii C123, natomiast jego zero-jedynkowe kodowanie w linii C789.
~TP=>~SK =1
co matematycznie oznacza:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)
~TP=1 => ~SK=1
Kodowanie tego warunku wystarczającego widzimy w linii C789.
Linia D wynika z linii C i możemy ją potraktować jako nieodłączną część warunku wystarczającego o definicji wyłącznie w C. Linie A i B są martwe i nie biorą udziału w obsłudze tego warunku.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Równoważność: TP<=>SK  ## warunek wystarczający: TP=>SK  ## warunek wystarczający: ~TP=>~SK
TP<=>SK                ## TP=>SK                         ## ~TP=>~SK

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że fałszywość w linii B wynika wyłącznie z prawdziwości warunku wystarczającego zdefiniowanego w linii A.
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Zbiory:
TP=>SK = TP*SK = TP =1
Zbiór TP zawiera się w zbiorze SK, zajście TP jest wystarczające dla zajścia SK.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
Zbiory:
TP~~>~SK = TP*~SK = 1*1=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Ostatnie zdanie możemy wypowiedzieć tak:
B1.
Fałszem jest (=0), że istnieje trójkąt prostokątny (TP=1) w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)
Y = TP*~SK=0
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
stąd otrzymujemy zdanie tożsame do B1:
B2.
~Y = ~(TP*~SK) =1
Prawdą jest (=1), że nie może się zdarzyć ~(..), że trójkąt jest prostokątny (TP=1) i nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~(TP*~SK)
Prawda jest w logice domyślna, sąd możemy pominąć początek B2.
B3.
Nie może się zdarzyć ~(..), że trójkąt jest prostokątny (TP=1) i nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~(TP*~SK)

Oczywiście matematycznie zachodzi:
B1 = B2 = B3

Zdanie B3 to gwarancja w warunku wystarczającym A, wyrażona spójnikiem „i”(*), stąd:
TP=>SK = ~(TP*~SK)

Analogicznie.

Zauważmy, że fałszywość w linii D wynika wyłącznie z prawdziwości warunku wystarczającego zdefiniowanego w linii C.
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Zbiory:
~TP=>~SK = ~TP*~SK = ~TP =1
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK, zajście ~TP jest wystarczające dla zajścia ~SK.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = ~TP*SK = 1*1=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Ostatnie zdanie możemy wypowiedzieć tak:
D1.
Fałszem jest (=0), że istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP=1) w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1)
Y = ~TP*SK=0
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
stąd otrzymujemy zdanie tożsame do D1:
D2.
~Y = ~(~TP*SK) =1
Prawdą jest (=1), że nie może się zdarzyć ~(..), że trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) i zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
~(~TP*SK)
Prawda jest w logice domyślna, sąd możemy pominąć początek D2.
D3.
Nie może się zdarzyć ~(..), że trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) i zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
~(~TP*SK)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
D1 = D2 = D3

Zdanie D3 to gwarancja w warunku wystarczającym C, wyrażona spójnikiem „i”(*), stąd:
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Z definicji równoważności wynika, że nie można jej dowieść w sposób bezpośredni. Dowieść prawdziwości równoważności możemy wyłącznie w sposób pośredni dowodząc prawdziwości niezależnych twierdzeń (warunków wystarczających) p=>q i ~p=>~q.

Błędne są zatem wszystkie zadania matematyczne zaczynające się od frazy:
„Wiemy że równoważność p<=>q jest prawdziwa …”
Jeśli wiemy że jest prawdziwa to uprzednio musieliśmy dowieść dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q czyli wiemy wszystko i matematycznie nie mamy szans na cokolwiek więcej.

Podobnie bez sensu jest twierdzenie iż z prawdziwości równoważności wynika prawdziwość zdań p=>q i ~p=>~q, bowiem aby udowodnić prawdziwość równoważności musimy uprzednio udowodnić właśnie te warunki wystarczające p=>q i ~p=>~q.

Sensowne jest więc wyłącznie twierdzenie, iż z prawdziwości warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q wynika prawdziwość równoważności. Odwrotnie to bezsens, bowiem nie da się udowodnić równoważności w sposób bezpośredni.


6.7 Alternatywne definicje implikacji i równoważności

Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego miedzy p i q:
A: p=>q=1
B: p~>q = ~p=>~q=0

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
A: p=>q=1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
Warunek wystarczający => spełniony

Na mocy tej definicji badamy warunek konieczny ~> między P i 4L
B: p~>q = ~p=>~q=0
Jeśli zwierze jest psem to może~> mieć cztery łapy
P~>4L = ~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: koń
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A możemy nazwać implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to tylko i wyłącznie warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji implikacji prostej:
P=>4L = ~P~>~4L
Definicja warunku wystarczającego:
A: P=>4L=1
B: P~~>~4L=0
cnd

Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q:
A: p~>q = ~p=>~q =1
B: p=>q=0

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Sprawdzamy warunek konieczny ~>:
4L~>P= ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Prawa strona jest prawdą, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Sprawdzamy warunek wystarczający:
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń
Warunek wystarczający nie zachodzi.
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w żargonie możemy powiedzieć że zdanie A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to wyłącznie zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Alternatywna definicja równoważności
Równoważność to jednoczesna zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego warunku koniecznego [~>]
A: p=>q=1
B: [p~>q] = ~p=>~q =1

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
A: p=>q=1
Warunek wystarczający A zachodzi.

Sprawdzamy zachodzenie wirtualnego warunku koniecznego:
B: [p~>q] = ~p=>~q =1
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to „może” [~>] zachodzić suma kwadratów
[TP~>SK] =?
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Wniosek:
Zdanie A i zdanie B to warunki wystarczające wchodzące w skład równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1


6.8 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia:

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

Dokładnie ta sama definicja w pełnym równaniu logicznym:
A: p=>q = ~p~>~q
Oczywiście po obu stronach tożsamości musimy mieć to samo p i q

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0

Dokładnie ta sama definicja w pełnym równaniu logicznym:
B: p~>q = ~p=>~q
Oczywiście po obu stronach tożsamości musimy mieć to samo p i q

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
A: p=>q = ~p~>~q ## B: p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tożsamości „=” musimy mieć identyczne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ustalmy sztywny punkt odniesienia na zdaniu A zakładając jego prawdziwość:
A: p=>q = ~p~>~q =1
czyli:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Jeśli zdanie A: p=>q jest prawdziwe to zdanie B jest fałszywe:
B: p~>q = ~p=>~q =0
p~>q
bowiem zbiór p z założenia zawiera się w zbiorze q (A: p=>q), natomiast zdanie B wymaga czegoś dokładnie odwrotnego, aby zbiór p zawierał w sobie zbiór q.

Nasze równanie implikacji dla sztywnego punktu odniesienia A: p=>q przyjmuje więc postać:
A: p=>q = ~p~>~q =1 ## B: p~>q = ~p=>~q =0
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywistym jest, że aby uczynić zdanie B prawdziwym musimy zamienić parametry p i q w zdaniu B:
B: q~>p = ~q=>~p =1
q~>p
Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiór q zawiera w sobie zbiór p i nie jest tożsamy ze zbiorem p.
Punkt odniesienia: A: p=>q =1 (to bardzo ważne)

Podstawiamy to do naszego równania ogólnego implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q =1 ## B: q~>p = ~q=>~p =1
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Jeśli cokolwiek jest różne na mocy definicji to pod parametry p i q po obu stronach znaku ## możemy sobie podstawiać co nam dusza zagra, w szczególności możemy zamienić p i q, co właśnie zrobiliśmy. Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi, pomiędzy którymi nie występują żadne tożsamości matematyczne.

Na mocy nowej teorii zbiorów fałszywe są następujące „prawa” rachunku zero-jedynkowego.

1.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
A: p=>q =1
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: q~>p = ~q=>~p
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

A: p=> q ##  q~> p
B: p=> q ## ~q=>~p
C:~p~>~q ##  q~> p
D:~p~>~q ## ~q=>~p

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje błędny w implikacji znak tożsamości.

2.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
B: p~>q =1
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: q=>p = ~q~>~p ## B: p~>q = ~p=>~q
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

E: q=> p ##  p~> q
F: q=> p ## ~p=>~q
G:~q~>~p ##  p~> q
H:~q~>~p ## ~p=>~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje błędny w implikacji znak tożsamości.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji wygląda zatem tak:
p=>q ## ~q=>~p
q=>p ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład:
Wzorcowa implikacja prosta:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P (pies) zawiera się w zbiorze 4L (pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą o definicji.
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P (słoń, kura, waż..) zawiera w sobie zbiór ~4L (kura, wąż..)

Wzorcowa implikacja odwrotna:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór 4L (pies, słoń..)zawiera w sobie zbiór P (pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~4L (kura, wąż..) zawiera się w zbiorze ~P (słoń, kura, wąż..)

Jeśli przyjmiemy za poprawne definicje znaczków => i ~> w zbiorach (oczywistość), to konsekwencją tego faktu jest takie a nie inne równanie ogólne implikacji.

A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dlaczego?
Bo tylko i wyłącznie w tym przypadku spełnione są definicje znaczków => i ~> po obu stronach znaku ##.
Prawa kontrapozycji w formie tożsamości są fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności.
Dlaczego nawet w implikacji możemy stosować prawo kontrapozycji?

Definicja równoważności wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Jeśli udowodnimy warunek wystarczający p=>q o definicji:
A: p=>q =1
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Zdanie A zapisane kwantyfikatorem dużym:
A: /\x p(x) => q(x)
To mamy prawo założyć, że to jest warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności.
Na podstawie takiego założenia możemy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => wynikłego z prawa kontrapozycji:
B: ~q=>~p
Udowadniając A automatycznie udowodnimy B (albo odwrotnie).

Problem w tym, że w implikacji zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q ## ~q=>~p
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu p=>q zajście p=>q wymusza zajście ~q=>~p, ale w implikacji nie możemy tu postawić znaku tożsamości z powodu trzeciego zbioru, który jest poza wszelką logiką:
~p~~>q = q~~>~p

Natomiast w równoważności zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q =~q=>~p
bo tu mamy wyłącznie dwa zbiory, nie ma tego trzeciego, paskudnego, poza wszelką logiką.

Zauważmy, że prawem kontrapozycji niczego sensownego nie udowodnimy.
Jeśli mamy udowodniony warunek wystarczający p=>q to bez sensu jest dowodzenie prawdziwości warunku wystarczającego ~q=>~p, bo ten warunek wystarczający zachodzi zarówno w implikacji jak i równoważności (i odwrotnie).

W matematyce szukamy warunków wystarczających wchodzących w skład definicji równoważności między dowolnymi przeczeniami p i q. Równoważność udowodnimy wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu równoważności.

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

A1: p=> q =1         A2: q=> p =1
B1: p~~>~q=0         B2: q~~>~p=0



C1:~p=>~q =1         C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =0         D2:~q~~>p =0

Definicje równoważności w pionach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q= (q=>p)*(~q=>~p)
Definicje równoważności w poziomach:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q= (~p=>~q)*(~q=>~p)

Porównanie kwadratów logicznych równoważności i implikacji.

Kwadrat logiczny implikacji ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
Kod:

A1: p=> q =1      ##   A2: q~> p =1
B1: p~~>~q=0      ##   B2: q~~>~p=1


Prawo Kubusia:    ##   Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q       ##   q~>p = ~q=>~p


C1:~p~>~q =1      ##   C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =1      ##   D2:~q~~>p =0

W implikacji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji.

Warunki wystarczające => w punktach A1 i C2 są identyczne w implikacji i równoważności.
W implikacji zbiory p i q nie są tożsame, natomiast w równoważności zbiory p i q są tożsame.

Oczywiście nie wykryjemy równoważności udowadniając dowolny w warunków wystarczających po przekątnych.
A1: p=> q =1
czy też:
C2: ~q=>~p =1
bo te warunki są identyczne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów, i w implikacji gdzie tożsamość zbiorów nie zachodzi.

Aby dowieść iż zdanie A1: p=>q jest implikacją prostą musimy dodatkowo udowodnić C1 albo A2
C1: ~p~>~q =1
D1: ~p~~>q =1
Oczywiście w tym przypadku wystarczy znaleźć jeden przypadek spełniający C1 i jeden przypadek spełniający D1.

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że zdanie:
A1: p=>q
spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą prawdziwą.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:26, 06 Gru 2013, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 15:50, 14 Lis 2013    Temat postu:

.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 15:53, 14 Lis 2013    Temat postu:

..
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 15:55, 14 Lis 2013    Temat postu:

...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 15:56, 14 Lis 2013    Temat postu:

....
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 15:58, 14 Lis 2013    Temat postu:

......
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:01, 14 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
Cytat:

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q

Ja tego kompletnie nie rozumiem.
Przykład: dziedzina 1,2,3,4
zbiór p=[1,2], q=[2,3]
I teraz oznacza napis p OR q?
Zgodnie z definicją taki napis oznacza, że "Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim". Tak? Czyli jest to stwierdzenie jakiejś zależności między tymi zbiorami, a nie określenie jakiegoś zbioru? Jest to coś zupełnie innego niż suma zbiorów?

Tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych to na mocy definicji relacje między zbiorami.
Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q
Ta definicja na zbiorach liczbowych jest omówiona w pkt. 5.1 wyżej.
Tylko przy tej definicji otrzymasz PEŁNĄ zero-jedynkową definicję operatora OR.
Tabela zero-jedynkowa operatora OR zbudowana jest dokładnie dla tej definicji w zbiorach, co nie oznacza że nie wolno ci używać spójników „lub”(+) i „i”(*) gdziekolwiek indziej.

Weźmy twój przykład:
p=[1,2], q=[3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4]
~p=~[1,2] = [3,4] =q
~q=~[3,4] = [1,2] =p
Definicja dziedziny dla p:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =D - ok.
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] = 0 ok.
Definicja dziedziny dla q:
q+~q=[3,4]+[1,2] = [1,2,3,4]=D ok.
q*~q=[3,4]*[1,2] = [] =0 ok.

Matematycznie zachodzi:
p = ~q
q=~p
Doskonale widać że jedna ze zmiennych jest tu zbędna.

Twój przykład po minimalizacji jest taki:
p=[1,2], ~p=[3,4]
Założona dziedzina:
D=[1,2,3,4]
Definicja dziedziny spełniona bo:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (Dziedzina)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
Prawo podwójnego przeczenia w zbiorach:
p=~(~p)
Dowód:
p=~[3,4] = [1,2]
cnd

Przykład z życia:
A.
Dowolny trójkąt jest prostokątny lub nie jest prostokątny
DT = TP+~TP =1 (dziedzina)
B.
Dowolny trójkąt jest prostokątny i nie jest prostokątny
TP*~TP=[] =0 (zbiór pusty)

Definicja dziedziny w zdaniach A i B spełniona.

Definicje operatorów logicznych w zbiorach:
Równoważność = dwa zbiory niepuste w obrębie dziedziny (TP, ~TP - nasz przykład)
Implikacja = trzy zbiory niepuste w obrębie dziedziny
Operator chaosu = cztery zbiory niepuste w obrębie dziedziny

Nasza równoważność to:
TP = ~(~TP)
To jest matematyczna tożsamość zbiorów, a tym samym równoważność

Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie jest nie prostokątny
TP<=>~(~TP)
Równoważność tożsama:
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy jest prostokątny
TP<=>TP
Oczywiście nie da się z jednym parametrem TP udowodnić iż jest to równoważność, ale ..

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame, co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością.
Naszą równoważność RA możemy zatem zapisać tak:
p=TP - poprzednik
q=TP - następnik
… i po bólu.

Definicja znaczka =>:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
stąd:
p=>q = p*q = p =1 (zbiór niepusty)

Definicja znaczka ~~>:
jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q
Zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać JEDEN element należący do p i należący do q
Koniec dowodu prawdziwości zdania ze znaczkiem ~~> !

Analiza matematyczna naszej równoważności:
RA.
TP<=>TP = (TP=>TP)*(~TP=>~TP)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => jest prostokątny
p=>q = p*q = p =1
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie być prostokątny
TP~~>~TP = TP*~TP =0
… a jeśli nie jest prostokątny?
RC.
~TP<=>~TP = (~TP=>~TP)*(TP=>TP)
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie jest prostokątny
~TP=>~TP = ~TP*~TP = ~TP =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> być prostokątny
~TP~~>TP = ~TP*TP =[] =0

Podstawiając wszędzie w poprzedniku:
p=TP
i wszędzie w następniku:
q=TP
Mamy zero-jedynkową definicję równoważności:
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja       |Kodowanie        |Kodowanie
równoważności               |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe
Relacje między zbiorami     |dla RA:p<=>q     |dla RC:~p<=>~q
                            |  p   q  p<=>q   |  ~p ~q ~p<=>~q
-------------------------------------------------------------
RA: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)   |
A: p=>  q = p* q =1*1 =1    |  1   1   =1     |   0   0   =1
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0    |  1   0   =0     |   0   1   =0
RC: ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q) |
C:~p=> ~q =~p*~q =1*1 =1    |  0   0   =1     |   1   1   =1
D:~p~~> q =~p* q =1*1 =0    |  0   1   =0     |   1   0   =0
    1    2             3       4   5    6         7   8    9

Kodowanie tabeli symbolicznej:
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA otrzymujemy tabelę równoważności ABCD456:
RA: p<=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RC mamy tabelę równoważności ABCD789:
RC: ~p<=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Tożsamość kolumn 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:28, 15 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:

Powtórzę pytanie co oznacza, czym jest, napis p OR q?
Piszesz o szczegółach, ale nigdzie nie napisałeś czym jest ogólnie operator, co on robi. W KRZ jest prosto operator logiczny (2 argumentowy) tworzy nowe zdanie z dwóch znań. Co robią Twoje operatory?
Mógłbyś napisać co konkretnie robi Twój operator OR z pkt. 5.1.?

Kluczowym jest tu twierdzenie śfinii.

W kodzie maszynowym znaczek „+” to kompletny operator logiczny, czyli goła tabela zero-jedynkowa bez jakiegokolwiek opisu:
Kod:

1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku
Kod:

Tabela W      |Tabela U
   p q Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q  | W: Y=Ya+Yb+Yc=p*q+p*~q+~p*q
A: 1+1 =1     | 0* 0   =0      | Ya= p* q
B: 1+0 =1     | 0* 1   =0      | Yb= p*~q
C: 0+1 =1     | 1* 0   =0      | Yc=~p* q
                               | U: ~Y=~Yd =~p*~q
D: 0+0 =0     | 1* 1   =1      |~Yd=~p*~q
   1 2  3       4  5    6

Na mocy twierdzenia śfinii znaczek „+” w równaniu:
Y=p+q (tabela ABCD123)
to wyłącznie obszar ABC123 a nie cała tabela ABCD123.

Podobnie:
Na mocy twierdzenia śfinii znaczek „*” w równaniu:
~Y=~p*~q
to wyłącznie linia D567 a nie cała tabela ABCD456.

Zauważmy, że to jest w 100% zgodne z naturalną logika człowieka, od 5-cio latka poczynając. Wszyscy znamy perfekcyjnie symboliczną algebrę Boole’a (algebrę Kubusia).

Pani w przedszkolu:
W.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Powiedzcie mi dzieci, kiedy skłamię?
… przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Jaś lat 5:
U.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Wracając do naszej tabeli ogólnej matematycznie zachodzi:
Y = Ya+Yb+Yc
gdzie:
Funkcje logiczne Ya+Yb+Yc to na mocy definicji różne funkcje logiczne:
Ya=p*q
Yb=p*~q
Yc=~p*q
Ya ## Yb ## Yc
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
stąd:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~Yd
~Y = ~p*~q
Na mocy twierdzenia śfinii zapisujemy:
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale widać że to jest wyłącznie obszar ABC123 w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zapis tożsamy tego obszaru to:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Jak wyglądają definicje MASZYNOWE funkcji Ya, Yb, Yc?
Kod:

Ya=p*q
    p  q  Ya=p*q
A1: 1* 1   =1
B1: 1* 0   =0
C1: 0* 1   =0
D1: 0* 0   =0

Na mocy twierdzenia sfinii znaczek „*” w równaniu:
Ya=p*q
matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> p=1 i q=1
czyli to jest wyłącznie linia A w tabeli W, ani grama więcej!
W kodzie maszynowym (w rachunku zero-jedynkowym) używamy pełnej zero-jedynkowej definicji operatora AND jak wyżej.
Kod:

Yb=p*~q
    p ~q  Yb=p*~q
A2: 1* 1   =1
B2: 1* 0   =0
C2: 0* 1   =0
D2: 0* 0   =0

Na mocy twierdzenia sfinii znaczek „*” w równaniu:
Yb=p*~q
matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> p=1 i ~q=1
czyli to jest wyłącznie linia B w tabeli W, ani grama więcej!
W kodzie maszynowym (w rachunku zero-jedynkowym) używamy pełnej zero-jedynkowej definicji operatora AND jak wyżej.
Kod:

Yc=~p*q
   ~p  q  Yc=~p*q
A3: 1* 1   =1
B3: 1* 0   =0
C3: 0* 1   =0
D4: 0* 0   =0

Na mocy twierdzenia sfinii znaczek „*” w równaniu:
Yc=~p*q
matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
czyli to jest wyłącznie linia C w tabeli W, ani grama więcej!
W kodzie maszynowym (w rachunku zero-jedynkowym) używamy pełnej zero-jedynkowej definicji operatora AND jak wyżej.

Oczywiście jedynki w tabeli W opisane są równaniem:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Na mocy twierdzenia śfinii to jest opis wyłącznie obszaru ABC123 w tabeli W, bez ostatniej linii!

Ostatnia linia w tabeli W opisana jest spójnikiem „i”(*) w tabeli ABCD456.
na mocy twierdzenia śfinii spójnik z nagłówka tej tabeli „i”(*):
~Y=~p*~q
to zaledwie ostatnia linia w tej tabeli!

Matematycznie zachodzi tożsamość:
[Tabela W: D: 0 0 =0] = [Tabela U: D: 1 1 =1]
W powiązaniu z nagłówkiem tabeli nasza tożsamość wygląda tak:
[Tabela W: D: p=0 i q=0 <=> Y=0] = [ Tabela U: ~p=1 i ~q=1 <=> ~Y=1]
Tabelę W możemy odczytać:
W.
Tabela W: D: p=0 i q=0 <=> Y=0
Fałszem jest (=0) że zajdzie Y <=> fałszem będzie (=0) że zajdzie p i fałszem będzie (=0) że zajdzie q

Tego zdania za Chiny Ludowe nie da się zapisać w naturalnej logice człowieka, w równaniu algebry Boole’a!
Fałsz nie jest w logice pojęciem domyślnym i nie możemy go ze zdania wyżej usunąć!
W logice domyślna jest prawda, co oznacza że we wszelkich zdaniach gdzie występuje słówko „prawda” możemy to słówko pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.

Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)

Zauważmy że na podstawie praw Prosiaczka, możemy wszystkie zmienne sprowadzić do jedynek uzyskując zdanie U.
Tabela U: ~p=1 i ~q=1 <=> ~Y=1
Prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y <=> prawdą będzie (=1) że zajdzie ~p i prawdą będzie (=1) że zajdzie ~q

Pojęcie prawda jest w logice domyślne i możemy je usunąć nic nie tracąc na jednoznaczności:
Tabela U: ~p=1 i ~q=1 <=> ~Y=1
Zajdzie ~Y=1 <=> zajdzie ~p=1 i zajdzie ~q=1

Oczywiście to jest definicja spójnika „i”(*):
~Yd=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Kod:

Yd=~p*~q
   ~p ~q  ~Yd=~p*~q
A4: 1* 1   =1
B4: 1* 0   =0
C4: 0* 1   =0
D4: 0* 0   =0

Na mocy twierdzenia sfinii znaczek „*” w równaniu:
~Yd=~p*~q
matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1
czyli to jest wyłącznie linia D w tabeli U, ani grama więcej!
W kodzie maszynowym (w rachunku zero-jedynkowym) używamy pełnej zero-jedynkowej definicji operatora AND jak wyżej.
fiklit napisał:

Przykłady z normalnej matematyki:
1. P,Q: zbiory
+: operator sumy zbiorów
P+Q: jakiś nowy zbiór, konkretnie zawierający wszystkie i tylko te elementy, które należą przynajmniej do jednego ze zbiorór P,Q.

Identycznie jest w AK
fiklit napisał:

2. p,q: zdania
+: operator sumy logicznej
p+q: jakieś nowe zdanie, konkretnie to to zdanie jest prawdziwe gdy przynajmniej jedno ze zdań p,q jest prawdziwe.

Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Na mocy twierdzenia sfinii spójnik logiczny „i”(*) nie jest tożsamy z kodem maszynowym operatora OR, zatem nie jest tożsamy ze wszystkimi czterema zdaniami wchodzącymi w skład symbolicznej definicji operatora OR.

Na mocy twierdzenia śfinii w tabeli W wyżej spójnik („+”)z nagłówka tej tabeli:
Y = p+q
opisuje wyłącznie połówką operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator OR (ABCD123).

Twierdzenie:
Jest fizycznie niemożliwe opisanie wszystkich czterech linii operatora OR równaniem algebry Boole’a!

Maszynowa definicja operatora OR (cała tabela ABCD123) to nie jest definicja znaczka „+” z nagłówka tabeli:
Y=p+q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku
fiklit napisał:

3. x,y: liczby
<: operator mniejszości
x<y: jakieś zdanie, prawdziwe gdy x jest mniejsze od y

Identycznie jest w AK.
Komentarz:
Jeśli zdanie x<y jest prawdziwe to fałszywe jest zdanie:
x>=y
czyli:
x>y lub x=y
Koniec!
fiklit napisał:

4. P,Q: zbiory
<: operator zawierania zbiorów (z braku odpowiedniego symbolu)
P<Q: zdanie, prawdziwe gdy P jest podzbiorem Q.

Identycznie jest w AK
Uwaga!
Przede wszystkim w logice nie ma sensu podkreślać iż w zdanie jest prawdziwe bo to zachodzi na mocy aksjomatu:
Domyślnym pojęciem w logice matematycznej jest pojecie „prawda”, zatem zdanie tożsame do powyższego brzmi:
P<Q - zbiór p jest podzbiorem Q
P<Q - zbiór P zawiera się w zbiorze Q

Zauważmy jednak że jeśli zbiory P i Q są tożsame to zachodzi równoważność!
Definicja równoważności:
Równoważność to zbiory lub pojęcia tożsame

Oczywiście tożsamość zbiorów P=Q co wymusza tożsamość zbiorów ~P=~Q

Dlaczego?
Warunkiem rozpoznawalności dowolnego obiektu w naszym wszechświecie jest znajomość P i znajomość ~P.
Przykład:
Aby zrozumieć do oznacza pojęcie:
TP - trójkąt prostokątny
musimy rozumieć pojęcie:
~TP - trójkąt nie prostokątny
Wtedy i tylko wtedy pojęcie TP jest rozpoznawalne.
Co więcej!
Pojęcie TP musi być JEDNOZNACZNIE rozpoznawalne w całym Uniwersum!
gdzie:
Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka.

Zauważmy że możliwe relacje wzajemnego zawierania się zbiorów są następujące.

I.
Naturalny spójnik może ~~>:
p~~>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
To jest nic innego jak kwantyfikator mały.
\/x p(x) ~~>q(x)
Istnieje takie x że jeśli zajdzie p(x) to może ~> zajść q(x)
Wystarczy wskazać jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x) i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Dlaczego logika Ziemian nie potrafi określić prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym?
Oto jest pytanie!
Wynika z tego że matematyka Ziemian inaczej traktuje kwantyfikator mały (tu nie może określić prawdziwości zdania) od kwantyfikatora dużego (tu bez problemu określa prawdziwość/fałszywość).
To jest oczywisty błąd czysto matematyczny.

II.
Warunek wystarczający =>:
p=>q = p*q = p
Zbiór wskazywany przez strzałkę wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
To jest nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno zajdzie q(x)

III.
Warunek konieczny ~>:
p~>q = p*q =q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora zawiera w sobie ~> zbiór wskazywany przez strzalke wektora

Możliwe są tu trzy przypadki:

Implikacja prosta w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Implikacja odwrotna w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Równoważność w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i jest tożsamy ze zbiorem q

W sumie wylądowaliśmy w algebrze Kubusia!


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 16:23, 15 Lis 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 21:25, 15 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
Pierdu pierdu a na pytanie nie odpowiedziałeś.

fiklit napisał:

Piszesz o szczegółach, ale nigdzie nie napisałeś czym jest ogólnie operator, co on robi. W KRZ jest prosto operator logiczny (2 argumentowy) tworzy nowe zdanie z dwóch zdań. Co robią Twoje operatory?

Twierdzenie:
Operator OR to seria czterech niezależnych funkcji logicznych Ya, Yb, Yc i Yd różnych na mocy definicji.

czyli:
Operator OR to seria czterech niezależnych zdań, czterech różnych na mocy definicji funkcji logicznych:
1. Ya = p*q
co matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> p=1 i q=1
2. Yb=p*~q
co matematycznie oznacza:
Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
3. Yc=~p*q
co matematycznie oznacza:
~Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
Matematycznie zachodzi:
Y = Ya+Yb+Yc = p+q
4. ~Yd = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Oczywiście spójniki „lub”(+) i „i”(*) nie są KOMPLETNYMI operatorami logicznymi, to tylko fragmenty operatorów OR i AND.

Wszelkie szczegóły są w poprzednim moim poście.

Mam nadzieję że przykład z przedszkola będzie przekonujący.

Pani w przedszkolu:
Y:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Powiedzcie mi dzieci kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~K*~T
Jaś:
Yd:
Panie skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Yd=~K*~T

Pani:
Powiedz mi Jasiu szczegółowo kiedy jutro dotrzymam słowa?
Jaś:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya:
Jutro pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
Ya=K*T
co matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> K=1 i T=1
LUB
Yb:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Yb=K*~T
co matematycznie oznacza:
Yb=1 <=> K=1 i ~T=1
LUB
Yc.
Jutro nie pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
Yc =K*~T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> K=1 i ~T=1

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y = K+T = Ya+Yb+Yc = K*T + K*~T + ~K*T
Zauważmy że spójnik „lub”(+) ma związek wyłącznie z trzema zdaniami: Ya, Yb, Yc

Zdanie Yd opisuje zupełnie inny spójnik logiczny, spójnik „i”(*).

Jak widzimy operator OR to cztery FUNDAENTALNIE różne zdania, cztery FUNDAMENTALNIE różne funkcje logiczne.

Matematycznie zachodzi:
Ya ## Yb ## Yc ## ~Yd
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Powyższe twierdzenie można uogólnić.

Twierdzenie:
Dowolny operator logiczny X to seria czterech niezależnych zdań (różnych na mocy definicji funkcji logicznych) opisujących wszystkie zbiory w diagramie logicznym operatora X.

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:
Operator logiczny dwuargumentowy to matematyczny opis relacji wszystkich możliwych, wzajemnych położeń zbiorów p i q lub wszystkich możliwych zdarzeń (jak w naszym przykładzie wyżej).

Definicje operatorów logicznych w zbiorach:
1.
Operatory OR i AND:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
Y=p+q
~Y= ~p*~q
Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y=~p+~q

2.
Operator chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

3.
Implikacja prosta:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

4.
Implikacja odwrotna:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

5.
Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

6.
XOR
p XOR q = p*~q + ~p*q
Zbiory p i q są rozłączne

W operatorach dwuargumentowych możliwe są cztery i tylko cztery zbiory:
p, ~p, q, ~q

Twierdzenie:
Relacje między zbiorami są operatorem logicznym wtedy i tylko wtedy, gdy opisują WSZYSTKIE obszary diagramu logicznego wynikającego z powyższych definicji.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 9:16, 16 Lis 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 16:11, 17 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
"Operator OR to seria czterech niezależnych funkcji logicznych Ya, Yb, Yc i Yd różnych na mocy definicji."
Dla mnie operator to jakiś symbol występujący w wyrażeniu, mający jakieś znaczenie, zdefiniowane jak należy nowe wyrażenie. To symbol jakiejś operacji, wykonywanej na argumentach.

Zupełnie nie widzę tych cech w twojej def. operatora. Nie wiem czy wprowadzasz zamieszanie terminologiczne celowo, czy nie widzisz różnicy?

Dzięki Fiklicie że drążysz temat, myślę że wiem jak napisać:
„Algebrę Kubusia dla LO”
Tu trzeba całą algebrę Kubusia wyłożyć na banalnych przykładach rodem z przedszkola (dosłownie!) z których wynikają ogólne prawa logiczne jak to zrobiłem w pkt. 1.1 na końcu tego postu, myślę że w LO to wystarczy.

Najnowszy mały-wielki przełom to zmiana definicji maszynowej (zero-jedynkowej) dowolnego operatora , oraz oderwanie definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) od IDIOTYCZNYCH tabel zero-jedynkowych - teraz to są po prostu elementarne działania na zbiorach (zdarzeniach).


1.1 Definicja operatora logicznego

Definicję operatora logicznego poznamy na przykładzie.
W matematyce Ziemian operator logiczny błędnie utożsamiany jest ze spójnikiem logicznym.

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń)
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów (zdarzeń)

Przykłady:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest zdarzenie chmury i pada stąd wartość logiczna zdania jest równa 1 (zdarzenie możliwe)
B.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Nie jest możliwe, aby jutro nie było pochmurno i padało stąd wartość logiczna zdania jest równa 0 (zdarzenie niemożliwe)
C.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymam słowa, oczywiście mogę iść i tu i tu.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami (zdarzeniami) w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami (zdarzeniami): p, ~p, q, ~q

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymałem słowa.

Wszystkie możliwe sytuacje w których dotrzymam słowa (dziedzina) to:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Ya=K*T
co matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> K=1 i T=1
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Yb=K*~T
co matematycznie oznacza:
Yb=1 <=> K=1 i ~T=1
C.
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru
Yc=~K*T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~K=1 i T=1
Wystarczy że jutro którekolwiek ze zdań Ya, Yb, Yc będzie prawdziwe i już dotrzymam słowa. Zauważmy, że wyłącznie jedno z powyższych zdań może być jutro prawdziwe, wykluczona jest równoczesna prawdziwość dowolnych dwóch zdań.

Suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń w których dotrzymam słowa to:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
(W: Y=p+q) = (ABC: Y=Ya+Yb+Yc)
czyli:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do teatru i nie pójdę do kina
~Yd=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Dziedzina dla naszego przykładu to wszystkie możliwe zdarzenia jakie jutro mogą wystąpić, wszystkie możliwe relacje między zdarzeniami K, ~K, T, ~T.
Zauważmy że zdania składowe operatora OR (Ya, Yb, Yc i Yd) to cztery różne zdania, cztery różne na mocy definicji funkcje logiczne.

Na mocy powyższego mamy:
Operator OR ## Spójnik logiczny „lub”(+)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Spójnik logiczny „lub”(+) to wyłącznie zdania Ya, Yb i Yc (bez zdania Yd):
W: Y = K+T
ABC: Y=Ya+Yb+Yc = K*T + K*~T + ~K*T
stąd:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
Natomiast operator logiczny OR to wszystkie cztery zdania Ya, Yb, Yc i Yd

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to zero-jedynkowe kodowanie definicji symbolicznej operatora względem dowolnie wybranego punktu odniesienia.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia.
W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach jest zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku.

Przejdźmy z naszym przykładem na zapis formalny podstawiając:
p=K
~p=~K
q=T
~q=~T

Definicja parametrów formalnych:
Parametry formalne, w logice zwykle p, q, to symboliczne nazwy zmiennych nie związane z żadnym konkretnym przykładem.

Definicja parametrów aktualnych:
Parametry aktualne to zmienne występujące w konkretnym przykładzie, podstawiamy je w miejsce parametrów formalnych p i q.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Ya
B:  p*~q= Yb
C: ~p* q= Yc
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p+q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y)
U.
~Y=~p*~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora OR:
Kod:

                   |Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
                   |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej OR (Y)
                   |W: Y=p+q       |U: ~Y=~p*~q   |bez wyróżnionego
Definicja          |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
symboliczna OR (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
   p  q   Y=p+q    | p  q   Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q|
---------------------------------------------------------------
W: Y=p*q+p*~q+~p*q |               |              | p q  Y=p+q
A: p* q = Ya       | 1+ 1  =1      | 0* 0   =0    | 1*1 =1 / Ya
B: p*~q = Yb       | 1+ 0  =1      | 0* 1   =0    | 1*1 =1 / Yb
C:~p* q = Yc       | 0+ 1  =1      | 1* 0   =0    | 1*1 =1 / Yc
U: ~Y=~p*~q
D:~p*~q =~Y        | 0+ 0  =0      | 1* 1   =1    | 1*1 =1 /~Y
   1  2   3          4  5   6        7  8    9      a b  c

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów, tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p+q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD456

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD789

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla sumy logicznej:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Nasz przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Zdanie tożsame na mocy prawa De Morgana:
WD.
Nie może się zdarzyć `(…), że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y = ~(~K*~T)

Definicja maszynowa wynika z definicji symbolicznej, odwrotnie nie zachodzi tzn. nie da się na podstawie gołej tabeli zero-jedynkowej (bez opisu) odtworzyć jednoznacznie funkcji logicznej którą ta tabela opisuje.

Dowód poprzez pokazanie kontrprzykładu.

Kontrprzykład:
W1.
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Tabela zero-jedynkowa dla tego zdania będzie identyczna jak ABCD789 jednak w tabeli wyżej mamy ~Y (skłamię) a nie Y (dotrzymam słowa) z naszego kontrprzykładu W1.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
W: ~Y=~p*~q ## W1: Y=~p*~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
p+~p =1 - zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Dziedzina dla zmiennej K z naszego przykładu:
A.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
K+~K =1
To zdanie jest zdaniem zawsze prawdziwym, cokolwiek jutro nie zrobię to dotrzymam słowa
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
K*~K =0
To zdanie jest sprzeczne, zdarzenia (zbiory) K i ~K są rozłączne, nie mogę być jednocześnie w kinie i nie być w kinie, stąd ich iloczyn logiczny jest równy 0
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 16:12, 17 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:

Ok. Z tego co zrozumiałem, wynika, że w normalnej matematyce byłby to zwykły operator relacji na zbiorach:
Dwa zbiory p,q są w relacji OR (co zapisujemy p OR q) gdy p i q mają część wspólną i nie zawierają się w sobie.

Mam jednak wątpliwość do tego co ostatnio napisałeś:
Cytat:
1. Ya = p*q
co matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> p=1 i q=1
2. Yb=p*~q
co matematycznie oznacza:
Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
3. Yc=~p*q
co matematycznie oznacza:
~Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
Matematycznie zachodzi:
Y = Ya+Yb+Yc = p+q
4. ~Yd = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Weźmy zbiory p=[1], q=[2] w dziedzinie [1,2,3], wtedy ~p=[2,3], ~q=[1,3]
Mamy zatem p=1, q=1, ~p=1, ~q=1
Więc Ya=1, Yb=1, Yc=1, ~Yd=1
Zgodnie więc z Twoją definicją zbiory p i q są w relacji OR, chociaż nie mają części wspólnej? W czym jest błąd?

Nie ma błędu bo tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych zbudowane są dla świata TOTALNIE niezdeterminowanego gdzie wszystkie możliwe na mocy definicji sytuacje mogą się zdarzyć, co nie wyklucza przypadków szczególnych, jak twój.

Zdaniem TOTALNIE niezdeterminowanym jest zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Twój przykład to ciekawy przykład z obszaru „lub(+) vs albo($)”

[link widoczny dla zalogowanych]
pytanie napisał:

lub i albo
Lub/i – czy ta forma jest poprawna? Spotkałem się w Wiedzy i Życiu z opinią, że spójniklub zawiera w sobie jednocześnie albo oraz i. Tzn. (lub = albo + i). Przykładowo, mówiąc: „Do sklepu pójdę ja albo ty”, mogę mieć na myśli następujące możliwości:
1. Do sklepu pójdę tylko ja,
2. Do sklepu pójdziesz tylko ty.
Natomiast mówiąc: „Do sklepu pójdę ja lub ty”, biorę pod uwagę, że:
1. Do sklepu pójdę tylko ja,
2. Do sklepu pójdziesz tylko ty,
3. Do sklepu pójdziemy obaj, ty i ja.
W tym świetle używanie formy lub/i byłoby błędne, gdyż wystarczy samo lub zawierające już w sobie i.
Jeśli mam rację, to nie mogę też powiedzieć: „Przeżyję lub umrę”, bo to wyrażenie zawiera, zgodnie z proponowanym przeze mnie znaczeniem lub, możliwość przeżycia i śmierci jednocześnie, a to niemożliwe. Czy mam rację? Czy myślę poprawnie?
Jeśli zaś się mylę, to proszę mi wyjaśnić, czym różni się słowo lub od albo? Czy jest różnica semantyczna?

poradania.pwn napisał:

Ja też nie jestem zwolennikiem formy i/lub (w tej kolejności częściej niż na odwrót), jednak nie ze względów znaczeniowych, lecz czysto stylistycznych. Wydaje mi się ona pseudonaukowym wtrętem, brzydkim, a niepotrzebnym. W znaczeniu słowa lub – jak Pan słusznie zauważył – mieści się znaczenie słowa i. Jeśli mówię: „Zrobił to Piotr lub Paweł”, to nie wykluczam, że zrobili to obaj. Oczywiście kontekst może niekiedy udaremniać taką interpretację, por. „Pierwszy zrobił to Piotr lub Paweł”.
Ma Pan rację i co do tego, że ze słowem albo łączymy zwykle tzw. alternatywę wykluczającą, czyli dysjunkcję. Dowodem na to jest potoczne użycie słowa albo-albo, np.: „Otóż trzeba rozstrzygać albo-albo, zwłaszcza w sytuacji tak kryzysowej jak obecna” (Wprost). Mówimy tu jednak o tendencjach, nie o bezwględnie obowiązujących regułach. Użycie spójnika lub w zdaniach takich, jak „Przeżyję lub umrę”, nie jest błędem. Można się jedynie spierać o to, czy nie trafniej, dobitniej, wyraziściej itd. byłoby użyć w nim synonimicznego albo.
— Mirosław Bańko

To wytłuszczone świadczy o tym że odpowiadający zna algebrę Kubusia, tylko o tym nie wie.

Pełna definicja spójnika „lub”(+) w nowej teorii zbiorów (nie operatora OR!):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach:
„i”(*) = p*q
Definicja spójnika albo($) w zbiorach:
„albo”($) = p*~q + ~p*q

Matematycznie zachodzi:
Y=p+q = p*q + p$q

Twierdzenie:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q zachodzi matematyczna redukcja:
„lub”(+) := „albo”($)
gdzie:
:= - redukcja funkcji na mocy teorii zbiorów

Przykład:
W.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
P+K => 4L

Zajmijmy się poprzednikiem:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
Y=P+K = P*K + P*~K + ~P*K := P*~K+~P*K
gdzie:
:= - redukcja funkcji na mocy teorii zbiorów
bo:
P*K = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Oczywiście:
0+x =x - prawo algebry Boole’a

Zauważmy dalej że na mocy nowej teorii zbiorów zachodzi:
P*~K = P
~P*K = K

Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
uniwersum - wszystkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka
P = pies
~P = (U-P) = uniwersum - pies
K = kot
~K = (U-K) = uniwersum-kot

Stąd mamy:
P*~K = P*(U-K) = P
K*~P = K*(U-P) = K

Na mocy powyższego otrzymujemy:
Y=P+K = P*K + P*~K + ~P*K := P*~K+~P*K := P+K

Wniosek:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q jest wszystko jedno czy użyjemy spójnika „lub”(+) czy też albo($)

Zauważmy że warunkiem koniecznym rozpoznawalności dowolnego pojęcia „p” w obszarze uniwersum jest jego 100% jednoznaczność, czyli musi być spełniona dziedzina:
p - pojecie znane
~p=U-p
Definicja dziedziny:
p*~p = p*(U-p) = p*(U-p) = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i (U-p)=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
p+~p = p+(U-p) = U =1
Zbiór U-p jest uzupełnieniem do uniwersum dla zbioru p, stąd w wyniku mamy kompletną dziedzinę (uniwersum).

Dokładnie z powodu wyżej ludzie używają spójnika „lub”(+) w zastępstwie spójnika „albo”($).

Zauważmy, że zdanie tożsame do naszego zdania W będzie brzmiało:
W1.
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to na pewno => ma cztery łapy
P$K => 4L

Oczywiście praktycznie nikt w ten sposób nie powie, bo mózg człowieka to nie komputer.

Problem podobny:
Jan wszedł i padł martwy = Jan padł martwy i wszedł
W*M = M*W

Wyłącznie w świecie niezdeterminowanym możliwe jest zajście członu „p*q” w definicji spójnika „lub”(+) … a to dotyczy wyłącznie przyszłości (lub nieznanej przeszłości), czyli wyłącznie zdań związanych z „wolną wolą” człowieka.
Przykład:
A.
Wczoraj byłam w kinie lub w teatrze
Y=K+T
Zgadnijcie dzieci gdzie wczoraj mogłam być?
To jest bardzo dobre zadania dla przedszkolaków, sprawdzające czy dzieci poprawnie rozumieją spójnik „lub”(+).

Oczywiście pani wyjdzie na idiotkę gdy poprzedzi zdanie A stwierdzeniem:
Wczoraj byłam w kinie

Zauważmy, że użycie spójnika „lub”(+) jest bezpieczniejsze od spójnika „i”(*) czy też „albo”($).

A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Definicja spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
Y=K+T = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> {K=1 lub T=1} = {K*T=1 lub K*~T=1 lub ~K*T =1}
Zauważmy, że dowolny człon z prawej strony może jutro się zdarzyć - dotrzymam słowa

Oczywiście jeśli nam zależy na podkreśleniu faktu że jutro pójdziemy wyłącznie w jedno miejsce to możemy użyć:
B.
Jutro pójdę do kina albo do teatru
Y=K$T

Natomiast jeśli zależy nam na podkreśleniu faktu że pójdziemy i tu i tu to użyjemy spójnika „i”(*):
C.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T

Oczywiście zdania A, B i C to różne na mocy definicji funkcje logiczne:
A: Y=K+T ## B: Y=K$T ## C: Y=K*T
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Najbezpieczniejszym zdaniem, jeśli chodzi o możliwość kłamstwa w przyszłości jest tu zdanie A (prawdopodobieństwo najmniejsze).

Zauważmy na koniec że w zdaniu:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T = K*T + K*~T + ~K*T
człon:
K*T =1
ma szansę zajść (=1) tylko i wyłącznie dlatego że rozszerzyliśmy działanie zdania:
A: Y=K+T
na cały jutrzejszy dzień.

Oczywiście nie jest to możliwe w przypadku takiego zdania:
Jutro punktualnie o 12:00 będę w kinie lub w teatrze
Y=K+T
tu człon:
K*T=0
bo niemożliwe jest abyśmy byli równocześnie w kinie i w teatrze.

To jest niezbity dowód że algebra Boole’a jest nierozerwalnie związana z czasem i mówić o jakichkolwiek zmiennych binarnych (które mogą przyjmować wartości wyłącznie 1 albo 0) jest sens wyłącznie w powiązaniu z czasem.
W czasie nieskończenie krótkim cały nasz wszechświat „stoi w miejscu”, niemożliwe jest zaobserwowanie jakiejkolwiek zmiany - nie istnieją zmienne binarne.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 18:52, 17 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
Nie. Masz oczywisty błąd w swoich rozwnięciach "co matematycznie oznacza"
Ya = p*q
"co matematycznie oznacza"
Ya=1 <=> p=1 i q=1

Ya = p*q
Zbiory p i q mają część wspólną lub zdarzenie możliwe.

Spójrz na kompletną definicję spójnik “lub”(+):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> {p=1 lub q=1} = {p*q=1 lub p*~q=1 lub ~p*q=1}
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już dotrzymam słowa np.
p*q =1
W zapisie ogólnym nie wiesz z jakim zdaniem masz do czynienia.
Wszelkie tabele zero-jedynkowe zbudowane są dla świata niezdeterminowanego gdzie wszystko może się zdarzyć.
Definicja OR w zbiorach to:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim

Definicja spójnika „lub”(+)
„lub”(+) = „i”(*) + „albo”($)
co matematycznie oznacza:
„lub”(+)=1 <=> „i”(*)=1 lub „albo”($)=1
Nie ma znaczenia czy zostanie spełniona definicja spójnika „i”(*) czy „albo”($)

Aby zaszło:
„lub”(+) =1
może zajść cokolwiek:
„i”(*)=1 lub „albo”($)=1

Przykład z trzema zmiennymi:

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y1
co matematycznie oznacza:
Y1=1 <=> E=1 i Az=1 i Af=1
lub
2: E*Az*~Af=Y2
co matematycznie oznacza:
Y2=1 <=> E=1 i Az=1 i ~Af=1
lub
3: E*~Az*Af=Y3
co matematycznie oznacza:
Y3=1 <=> E=1 i ~Az=1 i Af=1
lub
4: E*~Az*~Af=Y4
co matematycznie oznacza:
Y4=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1
lub
5: ~E*Az*Af=Y5
co matematycznie oznacza:
Y5=1 <=> ~E=1 i Az=1 i Af=1
lub
6: ~E*Az*~Af=Y6
co matematycznie oznacza:
Y6=1 <=> ~E=1 i Az=1 i ~Af=1
lub
7. ~E*~Az*Af=Y7
co matematycznie oznacza:
Y7=1 <=> ~E=1 i ~Az=1 i Af=1

… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y8
co matematycznie oznacza:
~Y8=1 <=> ~E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y4 = E*~Az*~Af
Y4=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y1
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y2
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y3
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y4
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y5
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y6
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y7
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y8
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y2=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y1=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


Ogólnie:

Definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
W.
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1 (Y=1), stan pozostałych zmiennych jest nieistotny.

W przeciwnym wypadku Y=0 czyli:
U.
Y=0 <=> A1=0 i A2=0 i … An=0
Na mocy prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1
Funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną 1 (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne po prawej stronie przyjmą wartość 1.

Oczywiście to jest nic innego jak definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa 1.

Stąd mamy równanie przeciwne do W:
U.
~Y = ~A1*~A2* … ~An
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Pełna definicja n-argumentowego operatora logicznego OR to komplet równań W+U a nie tylko samo W albo samo U.
W:
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U:
~Y = ~A1*~A2* … ~An
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) -prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
A1+A2 + … An = ~(~A1*~A2* … ~An)

W równaniach W i U doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.

Uwaga!
Zmienne A1, A2… An wcale nie muszą być pojedynczymi zmiennymi!
W ogólny przypadku pod dowolną zmienną A1…An możemy podstawić dowolnie złożoną funkcję logiczną, nawet nieskończoną, to bez znaczenia.
Zauważmy, że dowolna zmienna binarna zachowuje się identycznie jak funkcja logiczna - może przyjmować wyłącznie wartości logiczne 0 albo 1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 19:05, 17 Lis 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 20:57, 18 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
Co w napisie "Ya=1 <=> p=1 i q=1"
oznacza "p=1"?

Byłem w delegacji (1000km samochodem), miałem czas na myślenie …
… i wymyśliłem.

Kompletna aksjomatyka algebry Kubusia

I.
Operacja AND na zbiorach:

Y = p AND q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
p=1 - zbiór niepusty, zdarzenie możliwe
q=1 - zbiór niepusty, zdarzenie możliwe
Y=? - wynik operacji na zbiorach p i q
Y=1 - zbiór wynikowy niepusty
Y=0 - zbiór wynikowy pusty

II.
Operacja OR na zbiorach:

Y = p OR q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
p=1 - zbiór niepusty, zdarzenie możliwe
q=1 - zbiór niepusty, zdarzenie możliwe
Y =? - wynik operacji na zbiorach p i q
Y=1 - zbiór wynikowy niepusty
Y=0 - zbiór wynikowy pusty

III.
Różnica zbiorów p i q

Y = p-q
Wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zawartych w q

KONIEC aksjomatyki!

Z tego bez problemu da się wyprowadzić zero-jedynkowe definicje wszystkich operatorów logicznych, matematyczny fundament nowej teorii zbiorów który prezentuję niżej, i całą resztę, na rozszyfrowaniu matematycznych fundamentów naturalnej logiki człowieka kończąc!

Weźmy kilka luźnych zdań i na bazie powyższej aksjomatyki określmy prawdziwość/fałszywość zdań:
1.
Jeśli coś jest trójkątem prostokątnym to zachodzi w tym cosiu suma kwadratów
U*TP=>SK = (U*TP)*(SK) = TP*SK = TP =1
U - uniwersum
Oczywiście operacje na zbiorach są przemienne, U jest tu elementem neutralnym (U=1).
2.
Jeśli trójkąt nie prostokątny jest trójkątem prostokątnym to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP*~TP~~>SK = (TP*~TP)*(SK) = 0*SK =0 - zdanie fałszywe
3.
Jeśli 2+2=4 to 4+4=8
Zdanie tożsame:
Jeśli 4 to 8
4=>8 = [4]*[8] = 1*1 =0
Oba zbiory jednoelementowe istnieją ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
4.
Jeśli 2+2=4 to 8:2=4
Zdanie tożsame:
Jeśli 4 to 4
4=>4 = [4]*[4] = [4] =1
Oba zbiory jednoelementowe istnieją i są tożsame, stąd wynik jest zbiorem niepustym, wartość logiczna tego zdania =1
5.
Jeśli coś nie jest krową to może ~~> być psem
(U-K)~~>P = (U-K)*P = P =1
U - uniwersum, wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka
U-K - wszelkie możliwe pojęcia minus „krowa” - ten zbiór zawiera w sobie „psa” stąd w wyniku:
P =1
etc

Fundament algebry Kubusia który da się wyprowadzić w powyższych aksjomatów!

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:

p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):

p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x).
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:

p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego ~> nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka. O matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3
Dowód:
P8~~>P3 =1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3 =1 bo 5
~P8~~>P3 =1 bo 3

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
P=>4L = P*4L =P
Zbiór pies (P=pies) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 1 bo pies
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
4L~>P = 4L*P = P
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór psów (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tożsamościach „=” musimy mieć to samo p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

W równoważności zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p[~>]~q
p[~>]q = ~p=>~q
gdzie:
Wirtualny warunek konieczny [~>] o definicji:
Zbiór na podstawie wektora [~>] zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja warunku koniecznego ~> znanego z implikacji jest tu spełniona, nie ma jednak mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji.

Stąd popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p[~>]q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego [~>] i wystarczającego => między p i q
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP[~>]SK)
Aby trójkąt był prostokątny potrzeba [~>] i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów.

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zauważmy, że prawdziwości równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni.
Możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1

P.S.
Bou-bou, możesz usunąć ten swój "dowcip" wyżej?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 9:42, 19 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
Cytat:
Nie widzę problemu, wziąłeś dwa zbiory rozłączne, zatem ich iloczyn logiczny:
Y=0
Dowód:
Y=p*q = [1]*[2] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne, zatem w wyniku mamy 0 (zbiór pusty)

I nie widzisz sprzeczności w tym, że Y=0 i Y=1 jednocześnie?
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), czyli zgodnie z (Y=1 <=> p=1 i q=1) mamy (Y=1).
Mam wrażenie, że cała AK jest tak samo spójna.

Fiklicie, sytuacja o której piszesz:
Y=p*q = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne może mieć miejsce wyłącznie jako efekt zachodzenie warunku wystarczającego => czyli tylko w operatorach implikacji i równoważności plus operator XOR.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Definicja naturalnego spójnika może ~~>:
p~~>q = p*q =1
Zbiór p musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q

Definicje operatorów logicznych:
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
~p~>~q = p=>q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Dowolny operator logiczny to zestaw czterech niezależnych zdań, różnych na mocy definicji.

Weźmy przykładowy warunek wystarczający z dowolnego operatora wyżej.
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP zawiera się w zbiorze SK
Zdanie A w zbiorach:
TP=>SK = TP*SK = TP =1
Koniec dowodu prawdziwości tego zdania!

Czy zgadzasz się z faktem że z prawdziwości zdania A wynika fałszywość poniższego zdania B?
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK
Na mocy definicji warunku wystarczającego w zdaniu A zbiór TP musi zawierać się w zbiorze SK, z czego wynika że zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Stąd mamy zdanie B w zbiorach:
TP~~>~SK = TP*~SK =1*1 =0

To jest twój przykład w 100% bo:
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, zatem zachodzi matematycznie dokładnie to o czym piszesz:
p=[1], q=[2]
Y=p*q = [1]*[2] =[] =0
Y=p*q = 1*1 =0
Nie jest zatem prawdą że w logice zbiorów nie może zajść sekwencja 1 1 =0.

Wracając do naszej dyskusji rozumiem że masz wątpliwości co do prawdziwości tej sekwencji:
Y=p*q = 1*1 =0
w spójniku „lub”(+).

Zatem zaczynamy.

Definicja spójnika „lub”(+) w teorii zbiorów:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Y = p+q = p*q + p$q
gdzie:
p$q = p*~q + ~p*q
$ - spójnik „albo”
stąd:
„lub”(*) = „i”(*) + „albo”($)
co matematycznie oznacza:
„lub”(*)=1 < => „i”(*)=1 lub „albo”($)=1

Matematycznie zdanie:
Zajdzie p lub zajdzie q
Y=p+q
Jest tożsame ze zdaniem:
Zajdzie p i zajdzie q lub zajdzie p albo zajdzie q
Y=p+q = p*q + p$q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 <=> p*q=1 lub p$q=1
Doskonale widać że dla prawdziwości (Y=1):
Y=p+q = p*q + p$q
Nie jest konieczna prawdziwość zdania p*q=1
Wystarczy jeśli będzie zachodziło:
p$q=1
i już ustawi Y=1
Zauważ, że to co wyżej to jest czysta matematyka, nie do obalenia.

Jeśli jutro zamierzasz iść do kina i do teatru ale nie jesteś pewien to użyjesz bezpiecznej formy:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T = K*T + K$T
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już dotrzymałeś słowa, czyli:
Y=K*T=1*1=1 - dotrzymasz słowa jeśli jutro pójdziesz do kina i do teatru
Dotrzymasz też słowa jeśli pójdziesz w jedno miejsce:
K$T =1

Jeśli jesteś pewien że pójdziesz i tu i tu to powiesz:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Na matematyczny opis tej sytuacji mamy zupełnie inną funkcję logiczną.

Z tego powodu spójnik „lub” kojarzony jest błędnie wyłącznie ze spójnikiem „albo”(+).

Czy popełniam błąd matematyczny mówiąc:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Mimo że w momencie wypowiadania tego zdania jestem pewien na 90% że pójdę i do kina i do teatru?

Oczywiście NIE!
Guzik z pętelką odbiorcę obchodzi iż w momencie wypowiadania zdanie ze spójnikiem „lub”(+) byłem w 90% pewien że jutro pójdę i tu i tu a dla bezpieczeństwa walnąłem sobie „lub”.

Weźmy twoje zdanie w formie z naturalnego języka mówionego.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
P+K =>4L

Oczywiście purysta wypowie to zdanie w formie:
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to na pewno => ma cztery łapy
P$K => 4L
bo:
P*K = 1*1 =0
oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Podobnie zadanie matematyczne:
W urnie mamy kule białe i czarne
Wyciągnięto jedną kulę.
Jasiu jaką kulę wyciągnięto?
Jaś:
Wyciągnięto kulę białą lub czarną

Oczywiście matematyk hiper precyzyjny walnie tu pałę mówiąc:
Jasiu jesteś głupi bo kula nie może być jednocześnie biała i czarna, zatem użycie tu spójnika „lub”(+) jest matematycznie błędne.

Ściśle matematycznie musi tu być:
Wyciągnięto kulę białą albo czarną

Oczywiście nauczyciel matematyki nie ma tu racji, to zdanie ze spójnikiem „lub”(+) także jest prawdziwe - wyjaśnienie wyżej.

Bardzo często nawet w zadaniach matematycznych spójnik „lub” używany jest w zastępstwie spójnika „albo” … bo nasz mózg to na szczęście nie komputer, nie musi dostawać informacji hiper precyzyjnej.

Czy Jaś używając spójnika „lub”(+) popełnił w zdaniu wyżej błąd?
Czy rzeczywiście zasługuje na „pałę”?
NIE!
Jaś nie popełnił błędu matematycznego wyjaśnienie wyżej.

Uwaga:
Praktycznie wszystkie podręczniki matematyki trzeba natychmiast spalić, bo w nich roi się od tego typu ewidentnych „błędów” czysto matematycznych - użycie mało precyzyjnego „lub” zamiast hiper precyzyjnego „albo”!

Oczywiście nigdy nie będzie:
Spójnik „lub”(+) = spójnik „albo”($)
bo:
„lub”(+) = „i”(*) + „albo”($)
Matematycznie zachodzi:
„lub”(+) ## „albo”($)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważ że w języku mówionym człowiek praktycznie zawsze używa spójnik „lub”(+) chociaż matematycznie precyzyjnie powinien użyć spójnika „albo”.
A.
Jutro o 12:00 będę w kinie lub w teatrze
Y=K+T

B.
Precyzyjnie matematycznie powinno tu być:
Jutro o 12:00 będę w kinie albo w teatrze
Y=K$T
bo nie możemy być jednocześnie w dwóch miejscach w kinie i w teatrze:
Ya=K*T = 1*1 =0

Jeśli działanie tego zdania rozszerzymy na cały jutrzejszy dzień to ..
C.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
W tym przypadku jest już możliwe że jutro pójdę i do kina i do teatru
Ya=K*T =1*1 =1

Na koniec zauważmy, że dowolne pojęcia zrozumiałe dla człowieka są unikalne w całym obszarze Uniwersum, zatem iloczyn logiczny tych pojęć zawsze będzie zbiorem pustym.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S =>4L
Oczywiście pojęcia P, K i S są unikalne zatem iloczyn logiczny dowolnych dwóch pojęć wymusi fałszywość całego członu w poprzedniku.

Dlaczego?
Na mocy definicji spójnika „lub” rozwijamy poprzednik:
Y = P+K+S =
1. P*K*S =0
lub
2. P*K*~S =0
lub
3. P*~K*S =0
lub
4. P*~K*~S = P =1
lub
5. ~P*K*S = 0
lub
6. ~P*K*~S = K =1
lub
7. ~P*~K*S = S =1

Matematycznie hiper precyzyjnie powinniśmy powiedzieć:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem albo słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P$K$S =>4L

W pewnych sytuacjach czai się tu perfida w rodzaju:
Zakładamy dziedzinę:
D = kraje leżące wyłącznie w Europie, Azji i Afryce

Weźmy zdanie:
B.
Dowolny kraj leży w Europie lub Azji lub w Afryce
DK = E+A+Af
Oczywiście dowolny kraj ma indywidualną nazwę w całym Uniwersum, nigdy nie będzie:
Polska * Rosja = 1*1=1
Oczywiście musi być:
Polska * Rosja = 1*1=0
Nazwy obu krajów istnieją ale są rozłączne co wymusza zbiór pusty (=0)

Weźmy zdanie B z pozornie poprawnym spójnikiem „albo”($)
B1.
Dowolny kraj leży w Europie albo Azji albo w Afryce
DK = E$A$Af
Doskonale widać, że na Rosji spójnik „albo”($) się załamuje natomiast spójnik „lub”(+) w zdaniu B działa GENIALNIE!

Szczegóły w tym poście wyżej:
[link widoczny dla zalogowanych]

Podsumowując:
Spójniki „lub”(+) i „albo”($) to spójniki niepewności, opisujące nieznaną przyszłość lub nieznaną przeszłość.
Spójnik „lub”(+) jest pojęciem szerszym od spójnika „albo”($) na mocy definicji spójnika „lub’(+):
Definicja spójnika „lub”(+):
„lub”(+) = „i”(*) + „albo”($)
Matematycznie zachodzi:
„lub”(+) ## „albo”($)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zdanie B ma sens wyłącznie wtedy gdy nie wiemy jaki kraj wylosujemy.

Jeśli znamy wylosowany kraj np. Polska

To jedynym prawdziwym zdaniem skolerowanym z naszym zdaniem B będzie zdanie:
Polska leży w Europie i nie leży w Azjii i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
co matematycznie oznacza:
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Dla Polski wszelkie inne zdania wynikające z definicji spójnika „lub”(+) w zdaniu B będą fałszywe.
Patrz:
[link widoczny dla zalogowanych]


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 17:01, 19 Lis 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 19:18, 19 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
Napisałeś jedynie jak Ty to rozumiesz, a nie wskazałeś błędu w moich "obliczeniach", które wykazują sprzeczność AK. Odniesiesz się do tego?


fiklit napisał:
Cytat:
Nie widzę problemu, wziąłeś dwa zbiory rozłączne, zatem ich iloczyn logiczny:
Y=0
Dowód:
Y=p*q = [1]*[2] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne, zatem w wyniku mamy 0 (zbiór pusty)

I nie widzisz sprzeczności w tym, że Y=0 i Y=1 jednocześnie?
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), czyli zgodnie z (Y=1 <=> p=1 i q=1) mamy (Y=1).
Mam wrażenie, że cała AK jest tak samo spójna.

Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach jest taka:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Wyżej jest oczywisty błąd, bo to jest definicja operatora AND a nie spójnika „i”(*)
Dzięki.
Powinno być.

Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach jest taka:
Zbiory p i q mają część wspólną
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
KONIEC definicji!
Jeśli do tego dołożymy warunek że zbiory nie mogą się wzajemnie zawierać to otrzymamy definicję operatora AND w zbiorach.

Twój przykład nie spełnia definicji spójnika „i”(*) bo podałeś zbiory rozłączne.
Jest oczywistością w algebrze zbiorów że jeśli zbiory są rozłączne to zachodzi:
Y=p*q = 1*1 =0
cnd

Nie widzę gdzie tu mam jednocześnie Y=1 i Y=0?
Dla zbiorów rozłącznych masz Y=0
Dla zbiorów które mają część wspólną masz Y=1
Nie ma mowy o żadnej jednoczesności!

Weźmy kolejny przykład z życia:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S
co matematycznie oznacza:
P=1 => 4L*S=1
Losujemy dowolnego psa P=1 i stwierdzamy iż zachodzi dla niego 4L*S =1
stąd:
1=>1 - zdanie A jest zawsze prawdziwe.
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór psów zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami które szczekają
zdanie A w zbiorach:
P=>4L*S = P*(4L*S) = P =1 - zbiór niepusty

Warunek wystarczający w zdaniu A wymusza fałszywość zdania B niżej, z zanegowanym następnikiem.
Obliczamy zanegowany następnik:
~(4L*S) = ~4L+~S
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap lub nie szczekać
P~~>~4L+~S
co matematycznie oznacza:
P=1 ~~> ~4L=1 lub ~S=1
z prawej strony mamy matematyczną DEFINICJĘ spójnika „lub”(+).
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już całe zdanie B jest prawdziwe, drugiego członu nie musimy sprawdzać. Dokładnie tak musi działać spójnik „lub”(+).

Bierzemy pierwszy człon:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L
co matematycznie oznacza:
P=1 ~~> ~4L=1
~4L=1
Szukamy psa który nie ma czterech łap.
Wynika poszukiwań:
~4L=0
… no i co z tego że w definicji spójnika „lub”(+) mamy:
~4L=1
NIC!
To tylko założenie, że jak znajdziemy przypadek:
~4L=1
To KONIEC dowodu prawdziwości zdania B - wszystko inne jest bez znaczenia!
… ale w rzeczywistości wyszło nam:
~4L=0
cała nadzieja na uzyskanie prawdziwości zdania B spoczywa zatem na drugim członie.

Bierzemy drugi człon:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie szczekać
P~~>~S
co matematycznie oznacza:
P=1 ~~> ~S=1
~S=1
Szukamy psa który nie szczeka.
Wynik poszukiwań:
~S=0
… no i co z tego że w definicji spójnika „lub”(+) mamy:
~S=1
NIC!
To tylko założenie, że jak znajdziemy przypadek:
~S=1
To KONIEC dowodu prawdziwości zdania B - wszystko inne jest bez znaczenia!
… ale w rzeczywistości wyszło nam:
~S=0

W sumie po analizie wszystkich możliwych członów otrzymujemy:
P=1 ~~> ~4L=0 lub ~S=0
stąd:
P=1 ~~> x=0
Wszystkie człony z prawej strony okazały się twardym fałszem.
Mamy:
1~~>0
co oznacza że zdanie B jest fałszywe, bo nie ma zgodności poziomów logicznych poprzednika z następnikiem.

Definicja spójnika „lub”(+) pokazuje nam tylko kiedy zdanie B będzie prawdziwe:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap lub nie szczekać
P~~>~4L+~S
co matematycznie oznacza:
P=1 ~~> ~4L=1 lub ~S=1
z prawej strony mamy matematyczną DEFINICJĘ spójnika „lub”(+).
Wcale nie oznacza to że zdanie B MUSI być prawdziwe!
W naszym przypadku nie jest.

Dokładnie to samo otrzymujemy prościej w teorii zbiorów.
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L+~S = P*(~4L+~S) = P*~4L + P*~S = 0+0 =0
Mamy:
P*~4L = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 (pies) i ~4L=1 (kura, wąż..) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Identycznie mamy dla drugiego członu:
P*~S = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 (pies) i ~S=1 (kot, kura ..) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Oba człony z prawej strony są fałszywe, co oznacza fałszywość zdania B.
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 9:54, 20 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
Cytat:
Zbiory p i q mają część wspólną
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Ja to rozumiem tak, że jak p i q mają część wspólną to musi mi wyjść Y=1, a jak nie mają części wspólnej to Y=0 czyli ~Y=1.
No i biorąc p=[1], q=[2] niestety się to nie sprawdza.
Dlaczego?

Myślę, że wiem gdzie jest problem.
Ty patrzysz na logikę poprzez pryzmat maszynowych definicji operatorów logicznych i rachunku zero-jedynkowego.
Tymczasem algebra Kubusia to nieprawdopodobnie banalna algebra zbiorów.

Kompletną aksjomatykę AK podałem wyżej.
To zaledwie trzy operacje na zbiorach:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów
„-„ - różnica zbiorów
KONIEC!

Zapomnij proszę o kodach maszynowych (zero-jedynkowych) operatorów logicznych bo one wynikają z banalnego rachunku zbiorów.
Prawa Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
(Y=1) = (~Y=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z rachunku zbiorów do tabel zero-jedynkowych i odwrotnie.

Algebra Kubusia to wyłącznie równania algebry Boole’a, czyli nowa teoria zbiorów gdzie wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek.
A algebrze Kubusia nie ma więc śladu jakiejkolwiek logiki zero-jedynkowej - AK jest IZOLOWANA od idiotycznych zer i jedynek.

Myślę że po tych wyjaśnieniach zaakceptujesz to:
p=[1], q=[2]

Y=p*q = [1]*[2] = []

Definicje:
[1] - zbiór niepusty zawierający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty nie zawierający żadnego elementu

Znaczenie zer i jedynek w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty []

Na mocy powyższego twoje równanie w zerach i jedynkach wygląda tak:
Y = p*q = [1]*[2] = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=[1], q=[2]) ale są rozłączne, zatem ich iloczyn logiczny jest zbiorem pustym []
gdzie:
[] =0

AK jest nieprawdopodobnie banalna, popatrz na trochę bardziej złożony przykład.

12.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P+K zawiera się w zbiorze 4L*~C
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to może ~~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
P+K ~~> ~4L+C =0
p~~>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty:
Mamy:
p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
~p~>~q = ~P*~K ~> ~4L+C
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P*~K zawiera w sobie zbiór ~4L+C
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
Kod:

Definicja
Symboliczna    |p q p=>q
A: p=> q=1     |1 1  =1
B: p=>~q=0     |1 0  =0
C:~p~>~q=1     |0 0  =1
D:~p~~>q=1     |0 1  =1
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A wchodzi w skład definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji prostej => to wszystkie cztery zdania wyżej, generujące tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla punktu odniesienia ustalonym na zdaniu A.

Oczywiście jeśli punkt odniesienia ustawimy na zdaniu C to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej:
~p~>~q = p=>q

Oczywiście matematycznie zachodzi:
(p=>q = ~p~>~q) = (~p~>~q = p=>q)
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 16:41, 20 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

Kompletna aksjomatyka algebry Kubusia

Poniższa aksjomatyka działa zawsze, niezależnie od korelacji zbiorów p i q (ta wyżej nie była dobra).
Zbiory p i q mogą się dowolnie zawierać jeden w drugim, mogą być rozłączne, a nawet puste [], to bez znaczenia.

Definicje:
[x] - zbiór niepusty zawierający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty nie zawierający żadnego elementu

Znaczenie zer i jedynek w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty []

I.
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica zbiorów p i q

Y = p-q
Wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zawartych w q

KONIEC aksjomatyki algebry Kubusia!

Z tego bez problemu da się wyprowadzić zero-jedynkowe definicje wszystkich operatorów logicznych, matematyczny fundament nowej teorii zbiorów: =>, ~>, ~~>, i całą resztę, na rozszyfrowaniu matematycznych fundamentów naturalnej logiki człowieka kończąc.

fiklit napisał:
Jeden sposób jest jak piszesz taki:
Cytat:
p=[1], q=[2]

Y=p*q = [1]*[2] = []
...
Na mocy powyższego twoje równanie w zerach i jedynkach wygląda tak:
Y = p*q = [1]*[2] = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=[1], q=[2]) ale są rozłączne, zatem ich iloczyn logiczny jest zbiorem pustym []
gdzie:
[] =0


Wychodzi że Y=[], czyli Y=0
ale piszesz też:

Cytat:
Zbiory p i q mają część wspólną
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Co oznacza
Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=1
Rozwijając dalej (p=1 znaczy że p jest niepuste) oznacza to:
Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy p jest niepuste i q jest niepuste.
Gdy wezmę p=[1] i q=[2] prawdą jest że p jest niepuste i q jest niepuste
Zatem Y=1.
Ewidentna sprzeczność z wcześniejszy Y=0. Dlaczego? Gdzie jest błąd?

Jeśli pierwsza część jest banalna i oczywista to w drugiej nie może być błędu.

Problem jest w założeniu którego nie dostrzegasz.

Sformułujmy definicję spójnika „i”(*) w zbiorach w postaci twierdzenia.

Twierdzenie o zbiorach mających część wspólną:
Jeśli zbiory p i q mają część wspólną to na pewno => zachodzi:
Y=p*q =1*1 =1
co matematycznie w nowej teorii zbiorów oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
gdzie:
Y=1 - istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q (zbiór Y nie jest zbiorem pustym)

Twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe:
Jeśli zachodzi:
Y=p*q =1*1 =1
co matematycznie w nowej teorii zbiorów oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
to na pewno => zbiory p i q mają część wspólną.

Symetryczne twierdzenia są następujące.

Twierdzenie o zbiorach rozłącznych:
Jeśli zbiory p i q są rozłączne to na pewno => zachodzi:
Y=p*q =[]
Y=p*q = 1*1 =0
oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku zbiór pusty.
Matematycznie w nowej teorii zbiorów oznacza to:
Y=0 <=> p=1 i q=1
gdzie:
Y=0 - oznacza, że zbiór wynikowy Y jest zbiorem pustym (zdanie fałszywe).

Twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe:
Jeśli dla zbiorów p i q zachodzi:
Y=p*q =[]
Y=p*q =1*1 =0
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=> p=1 i q=1
to na pewno => zbiory p i q są zbiorami rozłącznymi.

Bardzo ważna uwaga:
Zbiór wynikowy Y ustawiany jest przez operację iloczynu logicznego dwóch dowolnych zbiorów p i q.
Nie jest to zatem jakiś wynik Y przyniesiony w teczce, jak to ma miejsce w logice Ziemian.
W algebrze Kubusia nie są potrzebne (nie istnieją!) żadne tabele zero-jedynkowe.
Wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów) - w zerach i jedynkach nie ma tu ŻADNEJ logiki.

W algebrze Kubusia wykonujemy operację X na zbiorach p i q i odczytujemy wynik tej operacji:
[x] - zbiór niepusty, zatem logiczna jedynka (zdanie prawdziwe)
[] - zbiór pusty, zatem logiczne 0 (zdanie fałszywe).

Nie ma tu fizycznej możliwości zaglądania do jakichś IDIOTYCZNYCH tabel zero jedynkowych!

W algebrze Kubusia o prawdziwości zdania X nie decyduje idiotyczna tabela zero-jedynkowa (bo tej tu NIE MA!), ale banalna operacja logiczna na zbiorach.

Podsumowanie:
Myślałem że w AK nic mnie już nie zaskoczy … a jednak.
Nigdy bym nie przypuszczał, że całą aksjomatykę logiki (a tym samym całej matematyki) można zredukować do trzech banalnych operacji logicznych na zbiorach.
Oczywiście nie ma żadnego znaczenia fakt, że liczymy w systemie dziesiętnym bo mamy 10 palców, kiedyś popularny był system 12-kowy (10 palców plus dwie nogi).
Gdybyśmy mieli tylko dwa palce, najpewniej liczylibyśmy w systemie binarnym znając tylko dwie cyferki - 0 i 1.
Tak więc cyferki 0 i 1 to najważniejsze cyferki naszego wszechświata, stoi na nich cała logika i cała matematyka Ziemian.
Cyferki 0 i 1 są wystarczające do opisu całej logiki i całej klasycznej matematyki, cała reszta 2,3,4,5,6,7,8,9 jest psu na budę potrzebna.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 17:42, 20 Lis 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 23:01, 20 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

Kompletna aksjomatyka algebry Kubusia

Poniższa aksjomatyka działa zawsze, niezależnie od korelacji zbiorów p i q.
Zbiory p i q mogą się dowolnie zawierać jeden w drugim, mogą być rozłączne, a nawet puste [], to bez znaczenia.

Definicje:
[x] - zbiór niepusty zawierający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty nie zawierający żadnego elementu

Znaczenie zer i jedynek w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty []

I.
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica zbiorów p i q

Y = p-q
Wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zawartych w q

KONIEC aksjomatyki algebry Kubusia!

fiklit napisał:
Próbuję odtworzyć Twój tok rozumowania ale tak czy siak wychodzą bzdury.
p=1 oznacza p jest niepuste
q=1 oznacza q jest niepuste
Cytat:
(...)Y=1 - istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q (zbiór Y nie jest zbiorem pustym)

Twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe:
Jeśli zachodzi:
Y=p*q =1*1 =1
co matematycznie w nowej teorii zbiorów oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
to na pewno => zbiory p i q mają część wspólną.

Weźmy to twierdzenie w drugiej formie:
"Jeśli zachodzi
Y=1 <=> p=1 i q=1
to na pewno zbiory p i q mają cześć wspólną."
Podstawmy pod symbole ich znaczenia:
Jeśli zachodzi:
istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
wtedy i tylko wtedy gdy
p jest niepuste i q jest niepuste
to na pewno
zbiory p i q mają cześć wspólną.

Tak naprawdę "istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q" to jest to samo co "zbiory p i q mają cześć wspólną"

mamy zatem:

Jeśli zachodzi:
(1)zbiory p i q mają cześć wspólną
wtedy i tylko wtedy gdy
(2)p jest niepuste i q jest niepuste
to na pewno
(3)zbiory p i q mają cześć wspólną.

Czyli żeby stwierdzyć czy zachodzi (3) musimy między innymi stwierdzić czy zachodzi (1)
tylko to jest to samo.
Czyli, żeby stwierdzić czy zbiory mają cześć wspólną musimy stwierdzić czy zbiory mają część wspólną!?
O co w tym chodzi?

Fiklicie, AK powstaje na żywo i dzięki naszej dyskusji jest korygowana, jak choćby aktualna aksjomatyka AK wyżej.

Operowanie na jakichś abstrakcyjnych zbiorach i abstrakcyjnej dziedzinie to sztuka dla sztuki, poprawna matematycznie ale niczemu nie służąca.
Po co komu takie twierdzenie:
P=[2], q=[2,3]
p*q = [2]*[2,3] = [2]
Poza demonstracją dla niemowlaków o co chodzi w iloczynie logicznym.

Fizyk na ateiście.pl udowadniał kiedyś że dla zbioru liczb podzielnych przez 8 zachodzi równoważność:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8) =1*1 =1
bo mamy tylko dziedzinę:
D=[8,16,24 …]
Oczywiście to są brednie bo w takim zbiorze nie mamy pojęcia co to jest podzielność przez 2, nie ma pojęcia 2 w zbiorze liczb P8.

Zacznijmy zatem od sensownych przykładów z naturalnej logiki człowieka.

Przykłady:
A.
Pies ma cztery łapy
Pies na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
To są zdania tożsame i jedyne poprawne kodowanie matematyczne takiego zdania to kodowania warunkiem wystarczającym =>.
Oczywiście dla udowodnienia prawdziwości tego zdania nie jest nam potrzebna wiedza co się dzieje po stronie:
~P - nie psów
Badamy wyłącznie czy każdy pies ma cztery łapy
Jeśli tak to zdanie twierdzące jest prawdziwe.
Koniec dowodu.
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L = P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
cnd

Nie wolno jak to jest w logice Ziemian określać prawdziwość zdań twierdzących na czuja, „bo tak uważam i tak musi być” - wszystko musi być matematycznie UDOWODNIONE!

Weźmy takie zdanie:
B.
Pies może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L
Zdanie w zbiorach:
Y = P~~>~4L = P*~4L = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 (pies) i ~4L=1 (kura, wąż..) ) ale są rozłączne co wymusza w wyniku Y zbiór pusty (zdanie fałszywe).
Weźmy jeszcze jedno zdanie:
C.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P = 1*1 =1 bo słoń

Niby dlaczego matematyka Ziemian udowadnia matematycznie prawdziwość zdania A a nie potrafi ściśle matematycznie rozstrzygnąć fałszywości/prawdziwości zdań B i C?
Oto jest pytanie.

Jeśli w powyższych analizach zostawimy wyłącznie spójnik „i”(*) to dostaniemy sensowne wzorce ze świata fizyki dokładnie tego o czym tu dyskutujemy.

Oczywiście zabawa w jakieś abstrakcyjne zbiory jednoelementowe czy wieloelementowe i abstrakcyjną dziedzinę to sztuka dla sztuki, ale możemy się pobawić korzystając ze wzoru wyżej.

W nowej teorii zbiorów funkcja logiczna Y jest niewiadomą, może przyjmować wyłącznie dwie wartości w zależności od aktualnych zmiennych wejściowych p i q.
Doskonale to widać w powyższych przykładach z życia.

Wzorując się na naszych przykładach możemy zapisać równanie ogólne dla zbiorów:
(p=? (spójnik) q=?) = (Y=?)

W naszym równaniu ogólnym mamy do dyspozycji zaledwie trzy spójniki w zbiorach o definicji na początku postu:
„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka
„lub”(+) - spójnik „lub” z naturalnej logiki człowieka
„-„ - różnica zbiorów
Różnicą zbiorów zwykle definiujemy pojęcia p i ~p w zadanej dziedzinie.
Przykład:
P = pies
~P = (ZWZ-P)
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt (założona dziedzina)

Oczywiście pod znakiem zapytania kryją się dowolne zbiory, niepuste lub puste, w dowolnych konfiguracjach wzajemnego zawierania się, to KOMPLETNIE bez znaczenia.

Reguła ogólna jest taka, że w zdaniach „Jeśli p to q” z naturalnej logiki człowieka najpierw definiujemy zbiory p i q, z czego wynika nam zbiór Y w zależności od użytego spójnika.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
Y = P~~>~4L = P*~4L = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku Y zbiór pusty (zdanie fałszywe).

Przykład I
Zbiory rozłączne

W czystej abstrakcji (sztuce dla sztuki) mamy:
p=[2], q=[3]
Y = p*q = [2]*[3] = []
To samo w zerach i jedynkach:
Y = p*q = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=[2], q=[3]) ale są rozłączne co wymusza w wyniku zbiór pusty:
Y=[] =0
stąd dla tego konkretnego przykładu mamy w zbiorach:
Y=[] <=> p=[2] i q=[3]
Dopiero teraz podstawiamy logiczne zera i jedynki z aksjomatyki AK na początku postu.
Y=0 <=> p=1 i q=1
Dla tego konkretnego przykładu zdanie jest fałszywe bo:
Y=[] =0

Przykład II
Zbiory mające cześć wspólną

… oczywiście w sztuce dla sztuki, czyli z ZEROWYM związkiem z jakakolwiek sensowną logiką - ale sztuka matematycznie poprawna.

p=[2], q=2,3]
Y = p*q = [2]*[2,3] = [2]
To samo w zerach i jedynkach:
Y = p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=[2], q=[2,3]) i mają część wspólną co wymusza w wyniku zbiór niepusty:
Y=[2] =1
stąd dla tego konkretnego przykładu mamy w zbiorach:
Y=[2] <=> p=[2] i q=[2,3]
Dopiero teraz podstawiamy logiczne zera i jedynki z aksjomatyki AK na początku postu.
Y=1 <=> p=1 i q=1
Dla tego konkretnego przykładu zdanie jest prawdziwe bo:
Y=[2] =1

Przykład III
Jeden ze zbiorów jest pusty

W bezsensownej (oderwanej od życia) sztuce dla sztuki będziemy tu mieli.
p=[], q=[2,3]
Y = p*q = []*[2,3] = []
To samo w zerach i jedynkach:
Y = p*q = 0*1 =0
Zbiór p jest zbiorem pustym (p=[]) co wymusza w wyniku zbiór pusty (Y=[]) bez względu na zawartość zbioru q. Zbiór q może być czymkolwiek, zbiorem pustym a nawet uniwersum, to bez znaczenia.
stąd dla tego konkretnego przykładu mamy w zbiorach:
Y=[] <=> p=[] i q=[2,3]
Dopiero teraz podstawiamy logiczne zera i jedynki z aksjomatyki AK na początku postu.
Y=0 <=> p=0 i q=1
Dla tego konkretnego przykładu zdanie jest fałszywe bo:
Y=[] =0

Zauważmy jak nieporównywalnie sensowniejszy dla ostatniego przypadku jest prosty przykład z życia wzięty.
A.
Jeśli trójkąt nie prostokątny jest trójkątem prostokątnym to zachodzi suma kwadratów
~TP*TP => SK = (~TP*TP)*SK = 0*SK =0
To zdanie jest ewidentnie fałszywe, czyli fałsz w poprzedniku wymusza fałszywość całego zdania bez względu na zawartość następnika.
cnd

P.S.
Przy okazji obaliliśmy sobie całą logikę matematyczną Ziemian - to taki banalny efekt uboczny.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 2:38, 21 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

Kompletna aksjomatyka algebry Kubusia

Poniższa aksjomatyka działa zawsze, niezależnie od korelacji zbiorów p i q.
Zbiory p i q mogą się dowolnie zawierać jeden w drugim, mogą być rozłączne, a nawet puste [], to bez znaczenia.

Definicje:
[x] - zbiór niepusty zawierający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty nie zawierający żadnego elementu

Znaczenie zer i jedynek w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty []

I.
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica zbiorów p i q

Y = p-q
Wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zawartych w q

KONIEC aksjomatyki algebry Kubusia!

fiklit napisał:

Cytat:
Operowanie na jakichś abstrakcyjnych zbiorach i abstrakcyjnej dziedzinie to sztuka dla sztuki, poprawna matematycznie ale niczemu nie służąca.

To mi zalatuje propozycją, "nie mówmy o problemie to go nie będzie".
Pokazałem Ci, że coś nie działa, mamy sprzeczność, błąd. Nie można tego zamieść pod dywan.


fiklit napisał:
Próbuję odtworzyć Twój tok rozumowania ale tak czy siak wychodzą bzdury.
p=1 oznacza p jest niepuste
q=1 oznacza q jest niepuste
Cytat:
(...)Y=1 - istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q (zbiór Y nie jest zbiorem pustym)

Twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe:
Jeśli zachodzi:
Y=p*q =1*1 =1
co matematycznie w nowej teorii zbiorów oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
to na pewno => zbiory p i q mają część wspólną.

Weźmy to twierdzenie w drugiej formie:
"Jeśli zachodzi
Y=1 <=> p=1 i q=1
to na pewno zbiory p i q mają cześć wspólną."
Podstawmy pod symbole ich znaczenia:
Jeśli zachodzi:
istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
wtedy i tylko wtedy gdy
p jest niepuste i q jest niepuste
to na pewno
zbiory p i q mają cześć wspólną.

Weźmy to na przykładzie:
p=[2], q=[2,3]
A.
Istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
<=>
B.
p jest niepuste i q jest niepuste
p=[2], q=[2,3] - ok.
to na pewno:
C.
zbiory p i q mają część wspólną
Y=p*q = [2]*[2,3] = [2]

Zauważ, że gdyby zbiory p i q były rozłączne to automatycznie A jest fałszem.
Czyli to twierdzenie nie dotyczy zbiorów rozłącznych.
fiklit napisał:

Tak naprawdę "istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q" to jest to samo co "zbiory p i q mają cześć wspólną"

Oczywiście że to jest to samo.

fiklit napisał:

mamy zatem:

Jeśli zachodzi:
(1)zbiory p i q mają cześć wspólną
wtedy i tylko wtedy gdy
(2)p jest niepuste i q jest niepuste
to na pewno
(3)zbiory p i q mają cześć wspólną.

Nie ma tu żadnej różnicy między tym co napisałeś wyżej.
Powtarzam mój przykład.
Weźmy to na przykładzie:
p=[2], q=[2,3]
A.
Zbiory p i q mają część wspólną
<=>
B.
p jest niepuste i q jest niepuste
p=[2], q=[2,3] - ok.
to na pewno:
C.
zbiory p i q mają część wspólną
Y=p*q = [2]*[2,3] = [2]

Zauważ, że gdyby zbiory p i q były rozłączne to automatycznie A jest fałszem.
Czyli to twierdzenie nie dotyczy zbiorów rozłącznych.

fiklit napisał:

Czyli żeby stwierdzyć czy zachodzi (3) musimy między innymi stwierdzić czy zachodzi (1)
tylko to jest to samo.
Czyli, żeby stwierdzić czy zbiory mają cześć wspólną musimy stwierdzić czy zbiory mają część wspólną!?
O co w tym chodzi?

Nie, bo:

Jeśli zachodzi C to na pewno => zachodzi A
C=>A

Jeśli zachodzi A to na pewno => zachodzi C
A=>C

W każdym przypadku zbiory p lub q puste musimy wyeliminować, stąd B.
W zasadzie zastrzeżenie B jest tu zbędne.

Mamy zatem:

Weźmy to na przykładzie:
p=[2], q=[2,3]
A.
Zbiory p i q mają część wspólną
<=>
C.
gdy zbiory p i q mają część wspólną
Y=p*q = [2]*[2,3] = [2]

Rzeczywiście że to twierdzenie jest do kitu.
Dokładnie ten przykład pokazuje, że najlepiej pokazać co tu nie gra na banalnym przykładzie.

… ale definicja spójnika „i”(*) z aksjomatu na początku postu jest ok.
Definicje:
[x] - zbiór niepusty zawierający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty nie zawierający żadnego elementu

Znaczenie zer i jedynek w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty []

I.
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Na mocy tej definicji dla zbiorów rozłącznych mamy:
Y=p*q = 1*1=0
Przykład:
p=[2], q=[3]
Y=p*q = [2]*[3] =[]
stąd na mocy aksjomatyki AK mamy:
Y=p*q = 1*1 =0

Na mocy tej definicji dla zbiorów które mają część wspólną mamy:
Y=p*q = 1*1 =1
Przykład:
p=[2], q=[2,3]
Y=p*q = [2]*[2,3] =[2]
stąd na mocy aksjomatyki AK mamy:
Y=p*q = 1*1 =1

cnd

fiklit napisał:

Cytat:
Fizyk na ateiście.pl udowadniał kiedyś że dla zbioru liczb podzielnych przez 8 zachodzi równoważność:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8) =1*1 =1
bo mamy tylko dziedzinę:
D=[8,16,24 …]
Oczywiście to są brednie bo w takim zbiorze nie mamy pojęcia co to jest podzielność przez 2, nie ma pojęcia 2 w zbiorze liczb P8.

Idąc tym tropem mając zbiór różnokolorowych kul nie można sprawdzić czy wylosowana kula jest czerwona, bo kolor czerwony nie należy do dziedziny. To są brednie.

Twój przykład jest czym innym.
Analogiczny byłby taki. Wiesz że w urnie są same białe kule, czy masz szansę na wyciągnięcie jakiejkolwiek innej. Niepotrzebny offtop - zostawmy to.

P.S.
Jeśli w zbiorze są wyłącznie liczby podzielna przez 8 to nie ma ani jednej niepodzielnej przez 8, zatem żadnego operatora logicznego na tym nie zbudujesz.
Zbiór liczb niepodzielnych przez 8 jest zbiorem pustym ~P8=[] stąd:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(~P8=>~P2)
~P8=>~P2 = ~P8*~P2 = []*~P2 = [] =0
stąd:
P8<=>P2 = 1*0 =0 (równoważność wykluczona)
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 3:19, 21 Lis 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25121
Przeczytał: 13 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:28, 21 Lis 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit napisał:
Cytat:
Jeśli twierdzisz że AK do nieczego się nie nadaje to poproszę o obalenie poniższego twierdzenia.

Ale to żart jakiś? Pokazuję Ci błąd dyskwalifikujący NTI (która jest ściśle powiązana z AK), a Ty mi mówisz, że żeby obalić AK muszę obalić jakieś konkretne twierdzenie?
Jak jedziesz na przegląd samochodu i słyszysz, że Ci nie podbiją bo ma przegniłą karoserię to też mówisz, że do niepodbicia muszą wykazać, że nie ma zbieżności kół? To jakiś absurd jest.
W jakiejkolwiek algebrze niedopuszczalne jest aby 1*1=0 i 1*1=1 gdzie 1 i 0 to różne stałe. No bo jak? 0=1*1=1*1=1 czyli 0=1. Wspaniałe to jest. Wspaniała bzdura. Moim zdaniem problem jest w tym, że [zbiór niepusty]=1, []=0. Zatem [1]=1 i [2]=1, 1=1 zatem [1]=1=1=[2]. Wychodzi, że [1]=[2]. Bardzo ciekawa właściwość.

Nie masz racji Fiklicie:
Dla zbiorów p i q rozłącznych zachodzi:
A: Y = p*q = 1*1 =0
Dla zbiorów p i q mających cześć wspólną zachodzi:
B: Y = p*q = 1*1 =1
Żaden z symboli ze zdania A nie ma nic wspólnego z symbolami ze zdania B.

Zbiory rozłączne p i q ## zbiory p i q mające część wspólną
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Żaden symbol z lewej strony znaku ## nie ma nic wspólnego ze symbolem po prawej stronie znaku ##

Weźmy banalny przykład.
A1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
A2.
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K

Z powyższego mamy:
Y=1 - dotrzymam słowa
~Y=1 - skłamię

Twój dowód Fiklicie jakoby 1=1 wymuszało Y=~Y jest oczywiście błędny.
Czy zgadzasz się z tym?

Zauważ, że w symbolicznej algebrze Boole’a (algebrze Kubusia) jedynki w równaniu wyżej pomijamy bo „prawda” jest w logice domyślna, tylko i wyłącznie dlatego te jedynki możemy pominąć zostawiając sobie symbole:
A: Y - dotrzymam słowa
B: ~Y - skłamię

Weźmy teraz kodowanie tego samego w logice Ziemian:
C: Y=1 - dotrzymam słowa
D: Y=0 - skłamię
Zauważmy, że tu nie wolno nam usunąć tego głupiego zera, ani też na mocy prawa Prosiaczka sprowadzić zmienną w równaniu C do zera.
Prawa Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
(Y=0) = (~Y=1)
stąd nasze równania C i D po sprowadzeniu C do zera przyjmą postać:
C1: ~Y=0 - dotrzymam słowa
D: Y=0 - skłamię
Tu już teoretycznie możemy usunąć te IDIOTYCZNE zera i jedynki. Teoretycznie bo zero (fałsz) w logice nie jest domyślny. Usuwając te zera wchodzimy w konflikt logiczny z całym światem bo mamy:
A: ~Y - dotrzymam słowa
B: Y - skłamię
Patrz nasz przykład wyżej.
Fałsz w logice nie jest domyślny i zawsze musi być wypowiedziany.

Aktualna logika Ziemian:
C: Y=1 - dotrzymam słowa
D: Y=0 - skłamię
Najgłupszą rzeczą jaką możemy tu zrobić to usunąć symbole Y zostając z najgłupszymi w naszym wszechświecie zerami i jedynkami.
Dlaczego?
Bo w zerach i jedynkach nie mamy żadnych szans na opis logiki równaniami algebry Boole’a.

Weźmy nasz przykład:
B1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
… a kiedy skłamię?
W logice ziemian mamy dogmat:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
Stąd odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię będzie taka:
B2.
Dotrzymam słowa (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=0)

Matematycznie czytamy:
B3.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy fałszem będzie (=0) że jutro pójdę do kina (K).

Jak widzimy, jesteśmy o lata świetlne od naturalnej logiki człowieka mimo że matematycznie zachodzi:
B2=B3
Oczywiście fałsz w logice nie jest domyślny, w zdaniu B3 jest on jawnie wypowiedziany zatem matematycznie możemy tu wszelkie zmienne i zera opuścić nic nie tracąc na jednoznaczności.
B4.
Fałszem będzie że dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy fałszem będzie że jutro pójdę do kina.

Pytanie zasadnicze - Kto tak mówi?
Oczywiście chodzi o zdania B2=B3=B4 … oto jest pytanie!

Oczywiście matematycznie zachodzi:
B2=B3=B4
Pod warunkiem że nie usuniemy tego zapisu:
Y=0, K=0
z równania B2!

Porównajmy sobie serię zdań tożsamych Ax w logice w 100% symbolicznej bez śladu idiotycznych zer i jedynek z serią zdań Bx operujących w logice zero-jedynkowej.

Czyż trzeba lepszego komentarza?

Podsumowanie:
Logika zero-jedynkowa Ziemian:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię

Idziemy do przedszkola:
Pani.
C1.
Dzieci jutro pójdziemy do teatru
Y=T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> T=1

Jaś,
Proszę Pani:
… a kiedy Pani skłamie?

Jedyną poprawną matematycznie odpowiedzią w logice Ziemian jest tu zdanie:
Pani.
C2.
Jasiu dotrzymam słowa (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do teatru (T=0)
Czytamy:
C3.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy fałszem będzie (=0) że jutro pójdziemy to teatru (T).

Matematycznie zachodzi:
C2=C3

Oczywiście, jeśli Pani odpowie zdaniem C3 to mały Jaś co najwyżej popuka się w czółko dziwiąc się dlaczego Pani używa tak skomplikowanej formy w wyrażeniu tożsamego banału.
C4.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Horror w przedszkolu zacznie się jak Pani wypowie zdanie C2.
Dlaczego?
Bo nie ma jak odbiorcy przekazać zapisu symbolicznego ukrytego wewnątrz tego zdania:
Y=0 i T=0
Pani może wypowiedzieć to zdanie tylko i wyłącznie tak:
Jaś,
Proszę Pani:
… a kiedy Pani skłamie?

Pani może powiedzieć tylko i wyłącznie tak:
Pani.
C2A.
Jasiu dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do teatru

Bo symboli:
Y=0 i T=0
Nie jest w stanie w tym zdaniu PRZEKAZAĆ!

W tym momencie Jaś totalnie zgłupieje, nie tylko zacznie się pukać w czółko ale dodatkowo fiknie ze śmiechu … natomiast kurator oświatowy natychmiast wyśle panią przedszkolankę do szpitala psychiatrycznego.

Jaś:
Proszę Pani, dlaczego pani bredzi?

Pani:
Już ci Jasi tłumaczę.
Poprawny matematycznie zapis tego zdania w logice ziemian jest taki:
C2.
Pani:
Dotrzymam słowa (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do teatru (T=0)
… no i jak mam przekazać to Y=0 i T=0 w naturalnym języku mówionym, … no jak!
… tego się po prostu nie da.

Jaś:
… a słyszała Pani o prawach Prosiaczka?
(p=0) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0)

Pani:
Jasiu, zwariowałeś to są brednie a nie matematyka, każdy matematyk prawa Prosiaczka wyśmieje.

Jaś:
Spokojnie proszę Pani, przyjdzie czas że matematycy je zrozumieją - to pewne.
… a teraz popatrzy pani jak one GENIALNIE działają.
Nasze zdanie:
Y=0 = ~Y=1
T=0 = ~T=1
gdzie:
~Y=1 - skłamię
~T =1 - gdy jutro nie pójdziemy do kina

Pani:
Jaaasiu, to jest GENIALNE, bo po zastosowaniu prawa Prosiaczka mogę powiedzieć zdanie tożsame do C2 w tej formie.
Pani:
C2A.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K

Jaś:
Brawo proszę Pani, chyba najwyższy czas, aby Ziemscy matematycy przeszli na nowa wiarę - algebrę Kubusia!

Pani:
Ale wtedy legnie w gruzach ta piękna i jedynie słuszna matematyka Ziemian!
Z fałszu to może wynikać prawda
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Jeśli świnie latają to Kopernik był polakiem
etc.

Jaś:
To są brednie proszę pani a nie matematyka, wynikła dokładnie z tego że Ziemscy matematycy jeszcze nie wyszli z logiki zero-jedynkowej.
Ich koledzy po fachu, inżynierowie, porzucili logiką zero jedynkową milion lat temu wymyślając symboliczny język asemblera izolowany od idiotycznych zer i jedynek.
Kto dzisiaj pisze program komputerowy bezpośrednio w zerach i jedynkach?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Idź do strony 1, 2, 3 ... 34, 35, 36  Następny
Strona 1 z 36

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin