ŚFiNiA

[mikon]

Nie wiem, czy nie zmyslam teraz, bo nie pamietam dokladnie, ale chyba to wszystko jest jeszcze troche bardziej skomplikowane.

To znaczy chyba sa takie rozszerzenia logiki intuicjonistycznej, ktore sa sprzeczne z logika klasyczna, ale nie sa sprzeczne z doswiadczeniem. Zdaje sie, ze jedno z takich rozszerzen formalizuje Newtonowskie rozumieniem rozniczek (takich z kropkami, ale moge bredzic) i warosci infinitezmalnie malych, etc. i jest calkiej fajne do opisu mechaniki, ale jest sprzeczne z logika klasyczna plus standardowe aksjomaty (w tym aksomat zupelnosci) liczb rzeczywistych. Chyba ta logika i logika klasyczna roznia sie dopiero na wlasnociach opisujacych zbiory nieprzeliczalne, czyli takie, ktorych chyba w naszym swiecie nie ma, a w kazdym razie trudno je doswiadczalnie chwycic. Czyli obie sa adekwatne, a sa ze soba sprzeczne.

Ciekawa historycznie rzecz, ze te rozniczki Newtona zostaly z czasem wysmiane i wyparte przez matematykow, bo sie nie zgadzaja z logika klasyczna, a tu sie raptem okazalo, ze one jednak sa poprawne, tylko w innej logice... ;> Mieli nosa niektorzy fizycy, ktorzy wbrew matematykom dlugo trzymali sie tego jezyka z warosciami infinitezmalnymi, mimo ich sprzecznosci ze standardowa analiza matematyczna. Ale chyba juz za pozno, bo juz fizyka jest od dawna opisywana logika klasyczna i trudno teraz robic rewolucje. A moze tez twierdzenia w analizie klasycznej sa ciekawsze, a na pewno latwiejsze do dowiedzenia, nawet jesli wartosci infinitezymalne ulatwiaja zrozumienie rownan rozniczkowych poczatkujacym studentom...

Ale numer. Mam tylko nadzieje, ze moj wywod nie jest sprzeczny.

[Pan Gąsienica]

Zaciekawił mnie Twój post, mikonie

Co to są "newtonowskie różniczki" i czym się różnią od tych "zwykłych różniczek" (wartość pochodnej w punkcie pomnożona przez przyrost argumentów)?

No i gdzie ich sprzeczność z "klasyczną logiką"? Wiem, że różniczki obśmiewano jako "nie dające się wyobrazić", ale o sprzeczności z logiką jako żywo nie słyszałem... :?

Jeśli zapowiada się dłuższy wykład, możemy przenieść się do odpowiedniego działu z tym tematem.

[wujzboj]

Mikron, jesli chodzi o logiki wielowartosciowe, to rzecz jest prosta: kazda taka logike mozna traktowac jako teorie matematyczna (nazwijmy ja WL) zbudowana na zdefiniowanych w niej elementach i dowodzona za pomoca praw logiki dwuwartosciowej, w szczegolnosci za pomoca prawa niesprzecznosci (zasady wylaczonego srodka). Zadne twierdzenie teorii WL nie przeczy temu prawu. Po prostu WL definiuje pojecia "prawda" i "falsz" o nazwach rownobrzmiacych z tymi uzywanymi w logice dwuwartosciowej, ale bedace innymi konstruktami matematycznymi. Powtarzam: slusznosc twierdzen formulowanych z uzyciem tych konsstruktow jest dowodzona na podstawie logiki dwuwartosciowej (i, rzecz jasna, z uzyciem zalozen, lematow i twierdzen zawierajacych wspomniane nowe pojecia).

To moze na pierwszy ogien tyle.

[mikon]

[mikon]

[wujzboj]

Matematykiem to ja nie jestem, ale problemu nie widze.

Po pierwsze, nie rozumiem, na czym polega problem w interpretowaniu wielkosci takich jak dx jako dowolnie malej zmiany x.

Po drugie, pojecie formy rozniczkowej mozna wprowadzic po prostu za pomoca pojec pochodnych czastkowych. Z formalizmu wynikaja potem takie wzory, ktoe wygladaja dokladnie tak, jakby dzielilo sie przez "liczbe dowolnie bliska zeru", czyli przez infinityzymalia jakies.

[mikon]

[wujzboj]

[mikon]

[wujzboj]

[mikon]

[wujzboj]

[Pan Gąsienica]

Zrobiłem małego researcha o panach Newtonie i Leibnitz'u

[wujzboj]

W sumie wiele przydatnych pojec matematycznych powstawalo nie w formalnie poprawny, matematyczny sposob, lecz wlasnie jako skutek myslenia intuicyjnego, niescislego ale za to przynoszacego oczekiwane skutki. Myslenia "inzynierskiego" (niektorzy mowia po prostu: myslenia fizycznego). Ciekawym przykladem jest pojecie delty Diraca. Potrzeba (a raczej chec) uporzadkowania tego pojecia, bardzo przydatnej "funkcji", ktora z matematycznego punktu widzenia nie jest zadna funkcja, stala sie motywacja do sformulowania teorii dystrybucji.

Zreszta chyba kazde kreatywne myslenie, rowniez matematyczne, idzie na poczatku droga intuicyjna. Dopiero potem, gdy cel zostal intuicyjnie poznany, nastepuje uscislenie samego rozumowania. W ten sposob formuluje sie nie tylko nowe teorie, ale i nowe twierdzenia w ramach starych teorii. A nawet szkicuje dowody tych twierdzen.

I nie ma w tym nic dziwnego. Matematyka stanowi bowiem po prostu kwintescencje ludzkiego rozumowania. To staranna analiza krok po kroku tego, co umysl nierzadko robi skokami, nie przekazujac do swiadomosci krokow posrednich. Jesli umysl jest sprawny i doswiadczony, to kroki posrednie sa czynione poprawnie i intuicyjny wniosek jest formalnie sluszny. Ale poprawnie sluszny byc nie musi - i tez nierzadko nie jest. Dlatego dobrym zwyczajem jest podbudowywanie intuicyjnie osiagnietych rozwiazan scislymi dowodami. Co, jak pokazuje historia nauki, niekiedy bynajmniej nie jest trywialnem zadaniem.

[mikon]

[mikon]

[wujzboj]

Alez mikronie, zasad logiki klasycznej nie zmienia sie; co najwyzej mozna w NIEPORZADNYM, INTUICYJNYM rozumowaniu machnac reka na pojawiajace sie dziwadla w rodzaju "podziel przez zero" w nadziei na to, ze jakos to sie tam ulozy i ze bezsensownosc pewnych operacji to tylko wrazenie biorace sie z nieporzadnosci i intuicyjnosci wlasnie.

Jak pokazuje zycie, dokladnie cos takiego zachodzi. Nieporzadne definicje daja sie uporzadkowac i nieporzadnie wprowadzone obiekty dadza sie wprowadzic w taki sposob, zeby zadnych niescislosci i nielogicznosci nie bylo.

A ze intuicyjny "dowod" jest prostszy? To oczywiste. Jest przeciez nieporzadny, po lebkach i na skroty!

[mikon]

[wujzboj]

Pojecia mechaniki kwantowej sa uscislone. Logika tam sie nie rozpada.

Dopisywanie do stalej kosmologicznej nie ma tu nic do rzeczy. Z logika lub jej brakiem nie ma to bowiem nic wspolnego.

Z Tertium Non Datur nie trzeba korzystac explicite w kazdym rozumowaniu, ale zadne nie moze byc z tym aksjomatem sprzeczne, bo oznaczaloby to jednoczesne przyjecie za prawdziwe twierdzenia T i jego zaprzeczenia ~T. Sama teoria moze byc jednak uratowana, bo takie zjawisko moze oznaczac po prostu, ze pojecia zawarte w twierdzeniu T sa nieporzadnie zdefiniowane. Tak nieporzadnie, ze ~T jest w gruncie rzeczy jedynie werbalnym zaprzeczeniem, ale nie zaprzeczeniem tresci. Innymi slowy, elementy konstytujace T i ~T sa sobie rowne wylacznie werbalnie, ale nie tresciowo.

[mikon]

[wujzboj]

Sprzecznosc z Tertium Non Datur znaczy po prostu: zawierajace sprzecznosc logiczna (zarowno p jak i nie-p przyjete za prawdziwe).

Logika intuicjonistyczna to po prostu logika po lebkach.

[mikon]

[wujzboj]

Jesli zachodzi sprzecznosc, to zachodzi na raz p oraz ~p. Czyli p = 1, oraz ~p = 1.

Wobec tego, po zaprzeczeniu mamy: ~p = 0, oraz p=0.

Wobec tego mamy p OR ~p = 0. Innymi slowym, mamy ~(p OR ~p).

Co przeczy prawu wylaczonego srodka, mowiacemu p OR ~p (czyli mowiacemu, ze p OR ~p = 1).

Naturalnie, mozna sobie definiowac rozne formalne logiki, rozne od zerojedynkowych. Ale wtedy natychmiast przedefiniowywuje sie pojecia prawdy i falszu. Natomiast u podloza calej zabawy i tak lezy takie budowanie definicji, ktore spelnia zerojedynkowe kryteria prawda/falsz. Logiki wielowartosciowe (i podobne) to teorie zbudowane nad logika zerojedynkowa, a nie obok niej.

[mikon]

[wujzboj]

Jak rozumiem, caly dowcip logiki intuicyjnej polega na tym, zeby umozliwic obecnosc w teorii (intuicyjnej) zarowno twierdzenia jak i jego zaprzeczenia i nie robic z tego powodu rabanu. Zgadza sie?

(Kontynuacja dopiero jutro wieczorem, teraz musze sie sprezac bo jutro wjezdzam i troche z tym balaganu)