Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia pisana na żywo - dyskusja z Fiklitem C.III
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3 ... 6, 7, 8 ... 34, 35, 36  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 16:42, 14 Lut 2014    Temat postu:

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:

p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>. Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt. Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):

p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x).
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:

p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego ~> nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka, o matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

fiklit napisał:
Może i na pewno mogą być częścią zdań składowych (prostych). To jest inny poziom niż KRZ. Na poziomie łączenia zdań w zdania złożone, nie ma może i na pewno. Jest "=>" czytane zawzwyczaj jako "jeśli ... to ...". Z mojej strony tyle w tym temacie. Jeśli chcesz rozmawiać o KRZ to o KRZ. Jest ściśle zdefiniowany. Dorzucam zdania z "na pewno =>" w kontekście KRZ do ignore-listy.

Nie chcę rozmawiać o KRZ i wprowadzam sobie zakaz używania skrótu KRZ.

Chcę rozmawiać o matematyce która ma 100% przełożenie na naturalną logikę człowieka, czyli o algebrze Kubusia której matematyczny fundament to zaledwie trzy definicje znaczków =>, ~> i ~~> przedstawione wyżej.

Rozważmy algebrę Kubusia z algorytmem rozpoznawania prawdziwości zdań „Jeśli p to q” z rozbiciem na dwa niezależne zdania p i q.
Oczywiście prawdziwość/fałszywość poniższych zdań czy to w postaci pojedyńczego zdania "jeśli p to q", czy też w postaci zdań twierdzących p i q jest oczywista dla każdego człowieka i w 100% zgodna z algebrą Kubusia.

Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to jutro może ~~> nie padać
CH~~>~P= CH*~P =1 - bo możliwe jest jednoczesne CH=1 i ~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.

Jeśli wrzucimy to „może” do następnika to dostaniemy dwa zdania niezależne:
p=CH
Jutro będzie pochmurno
q=~P
Jutro może nie padać

Zdanie p w naturalnej logice człowieka jest tożsame z:
p=CH
Jutro na pewno => będzie pochmurno
J=>CH =0
Oczywiście p jest w naturalnej logice człowieka fałszem

Zdanie tożsame z q:
q=~P
Jutro może ~~> nie padać
J~~>~P =1 - zdanie prawdziwe bo jest możliwy taki stan
Mamy:
p=0, q=1
Zaglądamy do tabeli implikacji prostej gdzie dostajemy odpowiedź:
CH~~>~P=1 - zdanie A jest prawdziwe
ok.

Weźmy kolejne możliwe tu zdanie B:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to jutro może ~> padać
CH~>P =CH*P =1 - bo możliwe jest jednoczesne P=1 i CH=1
Dwa niezależne zdania to:
p=CH
Jutro będzie pochmurno
Zdanie tożsame:
Jutro na pewno => będzie pochmurno
J=>CH =0 - oczywisty fałsz
q=P
Jutro może ~> padać
J~>P =1 - jest to możliwe, stąd zdanie prawdziwe
Mamy:
p=0, q=1
Zaglądamy do tabelki implikacji odczytując
CH~>P =1 - zdanie B jest prawdziwe
ok

Rozważmy kolejne możliwe tu zdanie:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to jutro na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P = ~CH*~P =1 - bo możliwe jest jednoczesne ~CH=1 i ~P=1
Rozbijamy na dwa zdania:
p=~CH
Jutro nie będzie pochmurno
Zdanie tożsame:
Jutro na pewno => nie będzie pochmurno
J=>~CH =0
q=~P
Jutro na pewno => nie będzie padać
J=>~P =0 - oczywisty fałsz
Mamy:
p=0, q=0
Zaglądamy do tabelki implikacji gdzie odczytujemy:
~CH=>~P =1 - zdanie C jest prawdziwe

Weźmy ostatnie możliwe zdanie:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to jutro może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - bo nie jest możliwe jednoczesne zajście ~CH i P=1
Rozbijamy na dwa zdania:
p=CH
Jutro na pewno => nie będzie pochmurno
J=>~CH =0 - oczywisty fałsz
q=P
Jutro może ~~> padać
J~~>P =1 - sytuacja możliwa
Mamy:
p=0, q=1
Zaglądamy do tabelki implikacji gdzie odczytujemy:
~CH~~>P =1 - zdanie D jest prawdziwe
… co jest oczywistym nonsensem, bo zdanie D jest ewidentnie fałszywe.

Wnioski:
1.
W algebrze Kubusia nie wolno zdania „Jeśli p to q” rozbijać na dwa niezależne zdania bo wychodzi nonsens, jakoby zdanie D było prawdziwe.
2.
Rozbicie zdania „Jeśli p to q” na dwa niezależne zdania, to wygenerowanie nieskończonej do potęgi nieskończonej matematycznych śmieci, bowiem w algebrze Kubusia musiały by być prawdziwe zdania typu:
Jeśli kapusta jest zielona to słoń ma trąbę
Jeśli 2*2=5 to jestem papieżem
Jeśli 2+2=5 to świnie latają w kosmosie
etc.

W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik i następnik może być związany tylko i wyłącznie dwoma łącznikami, jak to pokazałem w poście wyżej:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-pisana-na-zywo-dyskusja-z-fiklitem-c-iii,6929-125.html#205346
Te dwa jedynie możliwe łączniki to:
„na pewno” = 100% pewność
„może” = nie 100% pewność (brak 100% pewności)

Algebra Kubusia - przykład matematyczny:
A.
Jeśli w przyszłości wylosuję liczbę podzielną przez 8 to mam 100% pewność że ta liczba będzie podzielna przez 2
P8=>P2 =1 - 100% pewność, gwarancja matematyczna
P8=[8,16,24 ..]
Na mocy definicji mamy:
„na pewno” = 100% pewność
Stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli w przyszłości wylosuję liczbę podzielną przez 8 to na pewno => ta liczba będzie podzielna przez 2
P8=>P2 =1 - 100% pewność, gwarancja matematyczna
P8=[8,16,24 ..]

D.
Jeśli w przyszłości wylosuję liczbę niepodzielną przez 8 to nie mam 100% pewności iż będzie ona podzielna przez 2
~P8 ~~>P2 =1 - nie mam 100% pewności, brak gwarancji matematycznej
~P8 = [1,2,3,4,5,6,7..9,10...]
Na mocy definicji mamy:
„może” = nie ma 100% pewności
stąd zdanie tożsame:
Jeśli w przyszłości wylosuję liczbę niepodzielną przez 8 to może ~~> będzie ona podzielna przez 2
~P8 ~~>P2 =1 - nie mam 100% pewności, brak gwarancji matematycznej
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2,4,6 …
~P8 = [1,2,3,4,5,6,7..9,10...]

Zdania A i D do oczywiście logika dwuwartościowa:
„na pewno” = 100% pewność
„może” = nie 100% pewność (brak 100% pewności)

KONIEC!
To jest kompletna logika człowieka, algebra Kubusia, logika dwuwartościowa.

Jeśli w algebrze Kubusia dopuścimy trzeci stan:
„bz=brak związku” = nie ma związku między p i q
czyli:
Jeśli p bz q
p bz q =1

To natychmiast ktoś zada pytanie:
… a co to za operator logiczny „bz”, gdzie on jest w tabeli zero-jedynkowej operatorów?
… i to pytanie jest jak najbardziej sensowne!

Odpowiedź:
Jeśli w algebrze Kubusia uwzględnimy operator „brak związku” to lądujemy w logice trójwartościowej tzn. prawdziwe mogą być zdania „Jeśli p to q” gdzie między p i q zachodzą związki:
1.
„na pewno” = 100% pewność
„na pewno” => - warunek wystarczający o definicji na początku postu, wchodzący w skład operatora implikacji prostej
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 ok.
2.
„może” = nie 100% pewność (brak 100% pewności)
„może” ~> - warunek konieczny o definicji na początku postu wchodzący w skład operatora implikacji odwrotnej
„może” ~~> - naturalny spójnik "może" o definicji na poczatku postu wchodzący w skład operatora chaosu
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P =1 ok.
3.
Operator „bez związku”:
Jeśli p bz q
Przykład:
Jeśli pies jest różowy bz krowa śpiewa w operze

Oczywistym jest że pkt.3 stoi w totalnej sprzeczności z naturalną logiką człowieka i rozwala doszczętnie algebrę Kubusia, naturalną logikę człowieka.
Jeśli zaakceptujemy wyłącznie 1 i 2 to algebra Kubusia jest wspaniała, w 100% zgodna z logiką człowieka, która jest ewidentnie dwuwartościowa, może zajść wyłącznie 1 albo 2 - trzeciej możliwości nie ma (tertium non datur).

W algebrze Kubusia wszystkie używane znaczki: =>, ~>, ~~> (początek tego postu) mają swoje odpowiedniki w tabelach zero-jedynkowych operatorów logicznych - są więc matematycznie legalne.

Natomiast znaczek „bz=bez związku” jest matematycznie nielegalny, nie ma takiego operatora w logice matematycznej … i nigdy nie będzie.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 20:40, 14 Lut 2014, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 21:19, 14 Lut 2014    Temat postu:

To jeśli AK jest dwuwartościowa, tymi wartościami są "może" i "na pewno", to jakią wartość logiczną ma zdanie P2=>~P2
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 7:25, 15 Lut 2014    Temat postu:

Twierdzenie Lwa

Definicja logiki matematycznej:
Logika to matematyczny opis nieznanego, czyli przyszłości lub nieznanej przeszłości.

Wbrew pozorom przeszłośc nie musi być znana np. poszukiwanie mordercy

Twierdzenie Lwa:
Dowolne zdanie prawdziwe „Jeśli p to q” na pewno wchodzi w skład operatora chaosu, implikacji prostej, implikacji odwrotnej, równoważności, samodzielnego warunku wystarczającego albo samodzielnego warunku koniecznego. Dowolne zdanie fałszywe może wchodzić w skład jednego z wyżej wymienionych operatorów, ale nie musi.

Logika matematyczna to nie tylko rozstrzyganie prawdziwości/fałszywości zdań, ale również rozstrzyganie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane, także fałszywe.

Definicje dla potrzeb twierdzenia Lwa:

Implikacja prosta:
Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
KONIEC definicji
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
To wytłuszczone zastrzeżenie to właściwość implikacji
Brak tożsamości zbiorów p#q wymusza brak tożsamości zbiorów ~p#~q

Implikacja odwrotna:
Definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
KONIEC definicji
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
To wytłuszczone zastrzeżenie to właściwość implikacji
brak tożsamości zbiorów p#q wymusza brak tożsamości zbiorów ~p#~q

Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
To wytłuszczone zastrzeżenie to właściwość równoważności
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Nie oznacza to oczywiście że zbiory p i ~p są tożsame:
p## ~p
## - różne na mocy definicji

W równoważności zachodzi tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Negujemy wszystkie sygnały p i q:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Prawe strony są tożsame co kończy dowód:
p<=>q = ~p<=>~q

Co oznacza tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q
Oznacza tylko tyle, że dowodząc jednej strony tożsamości automatycznie dowodzimy drugiej strony.
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Każdy element zbioru TP zawiera się => w zbiorze SK i każdy element zbioru SK zawiera się => w zbiorze TP.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Na mocy definicji zachodzi:
TP=SK ## ~TP=~SK
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości zbiorów ~TP=~SK:
Każdy element zbioru ~TP zawiera się => w zbiorze ~SK i każdy element zbioru ~SK zawiera się => w zbiorze ~TP.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(~SK=>~TP)
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK
Na mocy definicji zachodzi:
~TP=~SK ## TP=SK
gdzie:
## - różna na mocy definicji

Co oznacza tożsamość:
p=>q = ~p~>~q

Lewa strona oznacza że zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Prawa strona oznacza że zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q
W implikacji zbiory p i q są różne co wymusza różność zbiorów ~p i ~q
Znaczek ~> oznacza tu najzwyklejsze rzucanie monetą po stronie ~p

p=>q = ~p~>~q
Udowadniając iż lewa strona tożsamości wchodzi w skład definicji implikacji prostej w logice dodatniej (bo q), czyli:
p=>q
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i zbiory p i q nie są tożsame
automatycznie dowodzimy prawdziwości prawej strony tożsamości:
~p~>~q

i odwrotnie:

~p~>~q = p=>q
Udowadniając iż lewa strona tożsamości wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q), czyli:
~p~>~q
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q i zbiory ~p i ~q nie są tożsame
automatycznie dowodzimy prawdziwości prawej strony tożsamości:
p=>q

Zauważmy że:
Niemożliwa jest poprawna definicja implikacji prostej bez znaczka ~>, bo sam zapis:
p=>q
Oznacza tylko tyle, że zbiór p zawiera się w zbiorze q, co jest spełnione także w równoważności.
Równoważność (zbiory p i q tożsame = brak „rzucania monetą”) to fundamentalnie co innego niż definicja implikacji gdzie rzucanie monetą występuje na mocy definicji (zbiory p i q różne = „rzucanie monetą”)

W równoważności zachodzi tożsamość:
p=>q = ~p[~>]~q

Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólne definicje znaczków => i ~> nadal są spełnione ale nie ma tu mowy o rzucaniu monetą po stronie ~p jak to jest w implikacji prostej.
Spójnik „może” ~> (rzucanie monetą) charakterystyczny dla implikacji, nie występuje w równoważności.

Dlatego w równoważności ten znaczek ~> musi mieć inny symbol i nazwę.
Algebra Kubusia:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności
Ogólna definicja znaczka ~> jest tu spełniona:
p[~>]q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
~p[~>]~q
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
ale!
nie jest to spójnik „może” ~> (rzucanie monetą) znany z implikacji.

Operator chaosu:
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z tych zbiorów nie zawiera się w drugim
p~~>q =1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
Z definicji operatora chaosu wynika, że istnieje cześć wspólna wszelkich możliwych zbiorów p, q, ~p i ~q.

Definicja samodzielnego warunku wystarczającego =>:
Następnik jest tu zanegowanym zbiorem pustym
p=>~q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona:
Zbiór p zawiera się w zbiorze ~q, ale nie jest spełniona zero-jedynkowa definicja ani implikacji, ani też równoważności.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma miliona łap
P=>~ML
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ML=[] =0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
~ML=~[] = ~0 = [ZWZ] =1
Negacja zbioru pustego to dziedzina na której operujemy.
Zdanie A w zbiorach:
A: P=>~ML = P*~ML = P*[ZWZ] =P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P [pies] zawiera się w zbiorze wszystkich zwierząt [ZWZ]
Prawo Kubusia tu niezachodni:
P=>~ML = ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć milion łap
~P~>ML
Zdanie C w zbiorach:
~P~>ML = ~P*ML = ~P*[] =[] =0
Prawa strona równania Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony mamy do czynienia z samodzielnym warunkiem wystarczającym nie wchodzącym w skład implikacji prostej.


Definicja samodzielnego warunku koniecznego ~>:
Poprzednik jest tu zanegowanym zbiorem pustym
~p~>q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona:
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór q, ale nie jest spełniona zero-jedynkowa definicja ani implikacji, ani też równoważności.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę nie ma miliona łap to może być psem
~ML~>P
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ML=[] =0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
~ML=~[] = ~0 = [ZWZ] =1
Negacja zbioru pustego to dziedzina na której operujemy.
Zdanie A w zbiorach:
A: ~ML~>P = ~ML*P = [ZWZ]*P =P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór wszystkich zwierząt [ZWZ] zawiera w sobie zbiór P [pies].
Prawo Kubusia tu nie zachodzi:
~ML~>P = ML=>~P
C.
Jeśli zwierzę ma milion łap to na pewno => nie jest psem
ML=>~P
Zdanie C w zbiorach:
ML=>~P = ML*~P = []*~P = 0*~P =0
bo:
ML=0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym

Prawa strona równania Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony mamy do czynienia z samodzielnym warunkiem koniecznym ~> nie wchodzącym w skład implikacji odwrotnej.

fiklit napisał:
To jeśli AK jest dwuwartościowa, tymi wartościami są "może" i "na pewno", to jakią wartość logiczną ma zdanie P2=>~P2

może = nie (na pewno)
na pewno = nie może

Podobnymi wartościami są:
prawda i fałsz
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda

dobro i zło
dobro = nie zło
zło = nie dobro

kara i nagroda - fundament obsługi obietnic i gróźb
kara = nie nagroda
nagroda = nie kara

W AK zapis symboliczny pozwala na precyzyjne odtworzenie zdania wypowiedzianego.

A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => ta sama dowolna liczba nie jest podzielna przez 2
P2=>~P2
W zdaniach ze znaczkiem => najprościej jest znaleźć kontrprzykład.

Kontrprzykład dla zdania A:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 2
P2~~>P2 = P2*P2 =1
Kontrprzykład znaleziony zatem zdanie A jest fałszywe:
P2=>~P2 =0

W logice Ziemian w tym momencie przestajemy się interesować zdaniem fałszywym P2=>~P2.

W AK z twierdzenia Lwa wynika że fałsz może być tak samo cenny jak prawda, bo może wchodzić w skład jakiegoś operatora logicznego.

W 100-milowym lesie, na lekcjach matematyki wymaga się udowodnienia czy przypadkiem zdanie fałszywe X nie wchodzi w skład jakiegoś operatora logicznego.

Skoro udowodniliśmy że P2=>~P2 =0 to spróbujmy udowodnić czy:
P2~~>~P2 =0

B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 2
P2~~>~P2 = P2*~P2 = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P2=1 i ~P2=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Zdanie B to ewidentny kontrprzykład dla zdania prawdziwego A które musi brzmieć:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 2
P2=>P2 =P2*P2 =P2 =1
Jak widzimy zbiory w poprzedniku i następniku są identyczne co jest wystarczającym dowodem iż zdanie A to warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji równoważności:
P2<=>P2 = (P2=>P2)*(~P2=>~P2)

Analiza matematyczna:
RA: P2<=>P2 = (P2=>P2)*(~P2=>~P2)
P2=>P2
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo P2)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 2
P2=>P2 = P2*P2 = P2 =1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P2~~>~P2 = P2*~P2 =0
Oba zbiory istnieją (P2=1 i ~P2=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
RC: ~P2<=>~P2 = (~P2=>~P2)*(P2=>P2)
~P2=>~P2
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P2)
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
~P2=>~P2 = ~P2*~P2 = ~P2 =1
stąd:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 2
~P2~~>P2 = ~P2*P2 = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P2=1 i ~P2=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Całość to oczywista równoważność o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA:
RA: P2<=>P2
P2=1, ~P2=0
Otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo P2)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RC otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~P2)
RC: ~P2<=>~P2
~P2=1, P2=0

Kod:

Analiza symboliczna     |Kodowanie dla     |Kodowanie dla
                        |RA: P2=>P2        |RC: ~P2=>~P2
                        | P2   P2  P2<=>P2 |~P2  ~P2  ~P2<=>~P2
A: P2=> P2 = P2* P2 =1  |  1<=> 1   =1     |  0<=> 0     =1
B: P2~~>~P2= P2*~P2 =0  |  1<=> 0   =0     |  0<=> 1     =0
C:~P2=>~P2 =~P2*~P2 =1  |  0<=> 0   =1     |  1<=> 1     =1
D:~P2~~>P2 =~P2*P2  =0  |  0<=> 1   =0     |  1<=> 0     =0
    1    2           3     4    5    6        7    8     9

Tożsamość kolumn 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q

Tego typu zdania, gdzie p jest identyczne jak q funkcjonują w języku mówionym człowieka:

dolar to dolar
Jeśli kocha to kocha
Koń to koń, jaki jest każdy widzi
pies to pies, może ugryźć
etc.

P.S.
Właśnie sobie pomyślałem, że wstęp do tego postu to kompletna algebra Kubusia, idealnie opisująca naturalną logikę człowieka, jego naturalny język mówiony.
Na Ziemi jest nieskończenie wiele logik formalnych, jak powiedział Bogdan Miś w swoim felietonie jest nieskończenie wiele poprawnych matematyk (oczywiście nie wszystkich na raz).
Algebra Kubusia redukuje to wszystko do jednej matematyki, matematyki naszego Wszechświata.

Czy są jakieś przeszkody aby spopularyzować algebrę Kubusia wśród Ziemian?

Definicje to definicje można przyjąć jakie się chce, Kubuś ma totalnie inne niż w logice Ziemian (patrz początek postu). Myślę, że na początek można by zaprezentować AK światu, jako jedną z nieskończonej ilości różnych matematyk tu panujących - niech ludzie zagłosują nogami co jest dla nich najlepsze, co się im bardziej podoba.

Ile jest różnych logik na Ziemi?
http://www.youtube.com/watch?v=b4ETfNUo_S8

Dlaczego nie wolno dołożyć AK do powyższego zbioru?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:45, 15 Lut 2014, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:25, 16 Lut 2014    Temat postu:

Odpowiedziałeś na moje pytanie?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:25, 17 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:
Odpowiedziałeś na moje pytanie?

fiklit napisał:
To jeśli AK jest dwuwartościowa, tymi wartościami są "może" i "na pewno", to jakią wartość logiczną ma zdanie P2=>~P2

P2=>~P2 = P2*~P2 =0
Bo zbiory P2 i ~P2 są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty).
Szczegółowa analiza matematyczna tego zdania w poprzednim poście.

Algebra Kubusia:
„może” (~> + ~~>) i „na pewno”
To spójniki implikacyjne w zdaniach „Jeśli p to q, dokładane tuż po słówku „to”.

W algebrze Kubusia spójników „może” i „na pewno” nie wolno wpychać ani do poprzednika ani do następnika.
Spójnik „na pewno” jest w logice domyślny (wyjątek groźby), zatem z faktu że w naturalnym języku mówionym nie widać spójnika „na pewno” nie wynika że go w zdaniu nie ma.

Przykład zdań twierdzących tożsamych:
Pies ma cztery łapy
Pies na pewno => ma cztery łap
P=>4L

Przykład zdań „Jeśli p to q” tożsamych:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Zdania twierdzące to tylko uproszczona wersja zdania „Jeśli p to q” gdzie dajemy do zrozumienia iż nie interesuje nas co się dzieje po stronie ~P.

W algebrze Kubusia prawdziwości zdania twierdzącego dowodzi się identycznie jak prawdziwości zdania "Jeśli p to q".
/\x P(x) => 4L(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego =>:
Badamy czy zbiór P(x) zawiera się w zbiorze 4L(x)

Oczywiście wystarczy rozpatrzeć wyłącznie psy.

Dowód iż spójnik „na pewno” => jest w logice domyślny jest banalny.
Nikt i nigdy nie znajdzie zdania prawdziwego bez spójnika „może” w którym nie można uwidocznić domyślnego spójnika „na pewno” => - to obowiązuje także w matematyce, która nie może być świętą krową, nie podlegającą pod algebrę Kubusia.

Przykład z matematyki:
Trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe
Trójkąt równoboczny na pewno => ma wszystkie kąty równe
TR=>KR

Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma wszystkie kąty równe
TR=>KR

Zdanie twierdzące to tylko uproszczona wersja zdania „Jeśli p to q” gdzie dajemy do zrozumienia iż nie interesuje nas co się dzieje po stronie ~TR.
W algebrze Kubusia prawdziwości zdania twierdzącego dowodzi się identycznie jak prawdziwości zdania „Jeśli p to q”.

/\x TR(x) => KR(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego =>:
Badamy czy zbiór TR(x) zawiera się w zbiorze KR(x)

Oczywiście wystarczy rozpatrzeć wyłącznie trójkąty równoboczne.

Spójniki implikacyjne „na pewno”=> i „może” (~> lub ~~>) mają swoje precyzyjne definicje w zbiorach:
1.
Warunek wystarczający =>, spójnik „na pewno” o definicji:
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
Warunek konieczny ~>, spójnik „może” o definicji:
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów wskazywanych przez podstawę i strzałkę wektora ~~>

Definicje spójników implikacyjnych „może” i „na pewno” w zbiorach są analogiczne do spójników „lub”(+) i „i”(*).

Uwaga!
Algebra Kubusia to także mała rewolucja w lingwistyce.
Humaniści powinni zaliczyć spójniki implikacyjne „na pewno” i „może” do legalnych spójników w lingwistyce których działanie jest analogiczne do „lub”(+) i „i”(*) - też banalne operacje na zbiorach!

Dlaczego to jest mała rewolucja?
… bo humaniści to eksperci AK, mimo że nie wiedzą iż „na pewno” => „może” (~>+~~>) to w lingwistyce spójniki zdaniowe, to doskonale się nimi posługują w praktyce.

Synonimy:
„na pewno” = „na 100%”, „musi”, „nie ulega wątpliwości”, „nie jest możliwe że nie” etc
„może” = „nie na 100%”, „prawdopodobnie”, „prawie na pewno”, „możliwe” etc

Przykłady:
Jeśli zwierzę jest psem to "nie jest możliwe, że nie" ma czterech łap
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest "możliwe" że jest psem


Dodatek extra - fragment z podpisu (całość dzisiaj zaktualizowałem):


6.0 Definicje operatorów OR i AND w zbiorach

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora AND:
Kod:

   p  q  Y=p*q
A: 1* 1   =1
B: 1* 0   =0
C: 0* 1   =0
D: 0* 0   =0
   1  2    3

Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora OR:
Kod:

   p  q  Y=p+q
A: 1+ 1   =1
B: 1+ 0   =1
C: 0+ 1   =1
D: 0+ 0   =0
   1  2    3

Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Fundamentem operatorów OR i AND są definicje spójników „i”(*) i „lub”(+).

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń)
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów (zdarzeń)

Definicja spójnika „i’(*):
Iloczyn logiczny (koniunkcja) dwóch zmiennych binarnych p i q jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne są równe 1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora AND:
Kod:

   p  q  Y=p*q
A: 1* 1   =1
B: 1* 0   =0
C: 0* 1   =0
D: 0* 0   =0
   1  2    3


Definicja spójnika “i”(*) to wyłącznie linia A123 w tabeli zero-jedynkowej operatora AND, linie BCD123 będące uzupełnieniem do pełnego operatora AND są martwe i nie biorą udziału w obsłudze spójnika „i”(*). To uzupełnienie jest konieczne wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Definicja spójnika „lub’(+):
Suma logiczna (alternatywa) dwóch zmiennych binarnych p i q jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora OR:
Kod:

Definicja maszynowa  |Definicja symboliczna
spójnika „lub”(+)    |spójnika „lub”(+)
   p  q  Y=p+q       |
A: 1+ 1   =1         | Ya= p* q
B: 1+ 0   =1         | Yb= p*~q
C: 0+ 1   =1         | Yc=~p* q
D: 0+ 0   =0
   1  2    3


Algorytm tworzenia symbolicznej definicji spójnika „lub”(+):
Robimy spis z natury, czyli opisujemy dokładnie to co widzimy w kodzie maszynowym:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Prawda (1) jest w logice domyślna i możemy ją pominąć, stąd mamy równanie logiczne opisujące spójnik „lub”(+) w powyższej tabeli zero-jedynkowej:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q) =1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna:
Y=1
Stan pozostałych członów po prawej stronie jest nieistotny.

Wniosek:
Definicja spójnika „lub”(*) to wyłącznie obszar ABC123 w tabeli zero-jedynkowej operatora OR, linia czerwona będąca uzupełnieniem do pełnego operatora OR jest martwa i nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+). To uzupełnienie jest konieczne wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Dowód iż linia D nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+):
Y = Ya+Yb+Yc - to równanie opisuje wyłącznie obszar ABC123 (czyli bez linii D)
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*q
;q+~q=1
;p*1 =p
Y = p + (~p*q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
;~p*p =0
;0+x =x
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
Wniosek:
Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC123 w tabeli zero-jedynkowej operatora OR.


6.1 Definicja symboliczna operatora OR w zbiorach

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.


Diagram 1
Y = p+q - (R1=zielony + R2=niebieski) => (R3=zielony)
~Y = ~(p+q) - (R3= nie zielony => R3=żółty)

Diagram 2
Ya=p*q - (R1=zielony * R2=niebieski) => (R4=brązowy)
Yb=p*~q - (R1=zielony * R2=czerwony) => (R4=zielony)
Yc=~p*q - (R1=czerwony * R2=niebieski) => (R4=niebieski)
~Y=~p*~q - (R1=czerwony + żółty) * (R2=czerwony + żółty) => (R4=żółty)

Definicja operatora OR:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q - (R3=obszar zielony)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*~q - (R4=obszar żółty)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora OR:
A: Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1
B: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Dziedzina:
Y+~Y = [1,2,3,4,5,6]+[7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1
Y*~Y = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] = [] =0

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy że zbiór Y=p+q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p*~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p+q) <=>~(~p*~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q =[1,2,3,4,5,6] =1
to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y = ~p*~q = [7,8] =1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny.
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie.
Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Wniosek:
Nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja (wkrótce poznamy).

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem 2:
A: Ya = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: Yb = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
C: Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty

Zauważmy, że spójnik „i”(*) to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)*q(x) =1*1 =1
Istnieje takie x, które należy do zbiorów p(x) i q(x).
Znajdziemy jedno takie x i już zbiór wynikowy nie jest zbiorem pustym, zatem wartość logiczna zdania jest równa 1.

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora OR:
Y = Ya+Yb+Yc
Y=p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6]=[1,2,3,4,5,6]=1
~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8]=[7,8]=1

Przykład z naturalnego języka mówionego:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
P+K => 4L
gdzie:
Warunek wystarczający =>, spójnik „na pewno” o definicji:
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Dodatkowo zbiory (P+K) i 4L są różne co wymusza definicję implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
(P+K)=> 4L = ~P*~K~>~4L
Nasz przykład:
Zbiór P+K (pies lub kot) zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora => (4L=pies, kot, słoń ..)
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona, co wymusza prawdziwość zdania A.
Zapis:
P+K - oznacza wyłącznie psa lub kota

… a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej (bo ~4L) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~P*~K ~> ~4L =1 bo kura
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap
~P*~K ~> ~4L =1
gdzie:
Warunek konieczny ~>, spójnik „może” o definicji:
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Nasz przykład:
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
Y = P+K - wyłącznie pies lub kot
Dopełnienie zbioru do dziedziny ZWZ:
~Y = ~(P+K) = ~P*~K - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa i kota
Definicja dziedziny:
Y+~Y =1
Y*~Y =0
Stąd:
Zbiór ~P*~K zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~> ~4L=wąż, kura ..
Definicja warunku koniecznego ~> w zdaniu C jest spełniona, co wymusza prawdziwość zdania C.

Brak tożsamości zbiorów ~P*~K i ~4L wymusza prawdziwość zdania D:
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy
~P*~K ~~> 4L =1 bo słoń
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów wskazywanych przez podstawę i strzałkę wektora ~~>

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora OR w korelacji z naszym diagramem.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Ya
B:  p*~q= Yb
C: ~p* q= Yc
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p+q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y)
U.
~Y=~p*~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora OR:
Kod:

                   |Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
                   |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej OR (Y)
                   |W: Y=p+q       |U: ~Y=~p*~q   |bez wyróżnionego
Definicja          |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
symboliczna OR (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
   p  q   Y=p+q    | p  q   Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q|
---------------------------------------------------------------
W: Y=p*q+p*~q+~p*q |               |              | p q  Y=p+q
A: p* q = Ya       | 1+ 1  =1      | 0* 0   =0    | 1*1 =1 / Ya
B: p*~q = Yb       | 1+ 0  =1      | 0* 1   =0    | 1*1 =1 / Yb
C:~p* q = Yc       | 0+ 1  =1      | 1* 0   =0    | 1*1 =1 / Yc
U: ~Y=~p*~q
D:~p*~q =~Y        | 0+ 0  =0      | 1* 1   =1    | 1*1 =1 /~Y
   1  2   3          4  5   6        7  8    9      a b  c


W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów, tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) wszystkie linie kodujemy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p+q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD456.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdaniu W to wyłącznie obszar ABC456, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD456 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linie te zaznaczone na czerwono (tu tylko D456) nie biorą udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD789
Definicja spójnika „i”(*) w zdaniu U to wyłącznie linia D789, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD789 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli („*”). Linie te zaznaczone na czerwono (ABC789) nie biorą udziału w obsłudze spójnika „i”(*), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.

W definicji maszynowej dowolnego operatora logicznego wykorzystywanej w rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki znaczymy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej od góry do dołu.

Znaczenie spójników w definicji symbolicznej jest inne.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Twierdzenie śfinii działa tu doskonale.

Definicja symboliczna operatora OR (obszar ABCD123):
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej bo Y (obszar ABC123) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej bo ~Y (linia D123):

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika „lub”(+) bierze udział wyłącznie obszar ABC456, bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “lub”(+) w obsłudze zdania wypowiedzianego W.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Linia D nie bierze w ogóle udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), jest „martwa”.

Linia D jest aktywna wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p*~q
Zauważmy że w linii D poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii D789 i tylko ta część całej powyższej tabeli zero-jedynkowej jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:52, 17 Lut 2014, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 13:37, 17 Lut 2014    Temat postu:

Dalej nie mogę doszukać się odpowiedzi na moje pytanie. Ale zauważyłem fragment " "wartość logiczna zdania jest równa 1". To jak trzeba liczyć te wartości logiczne żeby wyszło, że są dwie?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 18:30, 17 Lut 2014    Temat postu:

Kompletna algebra Kubusia w definicjach dla zdań twierdzących oraz „Jeśli p to q”

Operatory implikacji i równoważności:

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>. Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt. Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x).
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego ~> nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka, o matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3
Dowód:
P8~~>P3 =1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3 =1 bo 5
~P8~~>P3 =1 bo 3

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
P=>4L = P*4L =P
Zbiór pies (P=pies) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 1 bo pies
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
4L~>P = 4L*P = P
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór psów (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tożsamościach „=” musimy mieć to samo p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

W równoważności zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p[~>]~q
p[~>]q = ~p=>~q
gdzie:
Wirtualny warunek konieczny [~>] o definicji:
Zbiór na podstawie wektora [~>] zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja warunku koniecznego ~> znanego z implikacji jest tu spełniona, nie ma jednak mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji.

Stąd popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p[~>]q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego [~>] i wystarczającego => między p i q
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP[~>]SK)
Aby trójkąt był prostokątny potrzeba [~>] i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów.

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności
Równoważność to warunek wystarczający zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
Równoważność w równaniu aksjomatycznym, wynikającym z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni, możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1

Dokładnie ta sama równoważność w wersji uwielbianej przez matematyków.
Definicja:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
RM.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni, możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
B.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na pewno => jest prostokątny
SK=>TP =1


fiklit napisał:
Dalej nie mogę doszukać się odpowiedzi na moje pytanie. Ale zauważyłem fragment " "wartość logiczna zdania jest równa 1". To jak trzeba liczyć te wartości logiczne żeby wyszło, że są dwie?


Zatrzymajmy się na tym wytłuszczonym.
W algebrze Kubusia, w zdaniach „Jeśli p to q” prawdziwość zdania to zawsze iloczyn logiczny zbiorów wskazywanych przez poprzednik i następnik.

Uwaga:
Jeśli nie będziemy uwzględniać wzajemnego zawierania się zbiorów (znaczki => i ~>) to wtedy będzie:
Algebra Kubusia = aktualna logika Ziemian
… w której definicja implikacji odwrotnej jest zbędna.

Tylko czy Bóg tworzy rzeczy zbędne?

Jeśli pominiemy warunek wystarczający => konieczny ~> to dowód zbędności implikacji odwrotnej jest trywialny.

Implikacja prosta:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => na to aby były chmury

Definicja implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
P=>CH = P*CH + ~P*~CH + ~P*CH
co matematycznie oznacza:
(P=>CH)=1 <=> (P*CH)=1 lub (~P*~CH)=1 lub (~P*CH)=1

Implikacja odwrotna:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
P~>CH =1
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> na to aby padało

Definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
CH~>P = CH*P + CH*~P + ~CH*~P
co matematycznie oznacza:
(CH~>P)=1 <=> (CH*P)=1 lub (CH*~P)=1 lub (~CH*~P)=1

Operacje na zbiorach w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne.
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
P=>CH = CH~>P

Problem w tym, że definicje implikacji wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) pokazują nam poprawnie wszystkie możliwe zdarzenia jakie w przyszłości mogą wystąpić, ale nie są to poprawne definicje implikacji. Nie można na podstawie tych definicji rozstrzygać o prawdziwości/fałszywości zdań p=>q czy też p~>q, to jest błąd czysto matematyczny.

W matematyce można sobie założyć cokolwiek:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8
Zakładamy, że to jest implikacja prosta i korzystamy z definicji implikacji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
P2=>P8 = P2*P8 + ~P2*~P8 + ~P2*P8
W jaki sposób korzystając z tej durnej definicji mamy tu cokolwiek dowodzić?

Zupełnie czym innym jest ta definicja implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka =>:
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

A: P2=>P8 = 0
bo istnieje kontrprzykład:
B: P2~~>~P8 = P2*~P8=1 bo 2
Kontrprzykład znaleziony, zdanie A jest fałszywe.
cnd

Udajmy się na koniec do ekspertów algebry Kubusia, do przedszkola:

Pani:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Zdanie A w zbiorach (sytuacjach możliwych)
CH~>P = CH*P =1 - jest taka możliwość
Powiedz mi Jasiu czy chmury są warunkiem koniecznym ~> na to aby jutro padało?

Jaś:
Tak proszę Pani, chmury są warunkiem koniecznym na to aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać
CH~>P = ~CH=>~P

… a teraz Pani robi podpuchę, zdanie jest pozornie identyczne.

Pani:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P
Zdanie B w sytuacjach możliwych (zbiorach):
CH~~>~P = CH*~P =1 - bo jest to możliwe
Powiedz mi Jasiu czy chmury są warunkiem koniecznym ~> na to aby jutro nie padało?

Jaś, zadowolony jak mu wyżej pięknie poszło rusza według standardowego szablonu:
Jaś:
Tak proszę Pani, chmury są warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie padało, bo jak nie będzie chmur to na pewno => będzie padać:
CH~>~P = ~CH=>P =0

Pani:
Pomyśl Jasiu logicznie, czy zdanie:
D.
Jeśli jutro nie będzie chmur to na pewno=> będzie padać
~CH=>P
… jest zdaniem prawdziwym czy fałszywym?
Jaś:
.. ale głupotę strzeliłem, zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie ma prawa zachodzić warunek konieczny ~>.

Podsumowując:
Chmury nie są warunkiem koniecznym na to aby jutro nie padało bo prawo Kubusia:
CH~>~P=~CH=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>:
B: CH~>~P =0

Oczywiście zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy że jest taka możliwość.

Żaden humanista nie będzie miał problemu z rozstrzygnięciem fałszywości zdania D.
Co więcej!
Żaden humanista nie będzie miał problemów z rozstrzygnięciem iż fałszywe jest nawet takie zdanie:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =1*1 =0
Oba zdarzenia są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, w wyniku mamy zatem zbiór pusty (zdanie D jest fałszywe)

Matematyk musi wiedzieć, że fałszywość zdania D ze spójnikiem „może”~~> to brak kontrprzykładu dla zdania C:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P
Zdanie C w zbiorach (zdarzeniach możliwych):
~CH=>~P = ~CH*~P = ~CH =1
Oba zdarzenia są możliwe (~CH=1 i ~P=1) i zdarzenie wynikowe też jest możliwe … ale to nie jest wystarczające aby uznać zdanie ze znaczkiem => za prawdziwe !

Decydujący jest tu brak kontrprzykładu, czyli fałszywość zdania D, to brak kontrprzykładu D jest warunkiem wystarczającym na to aby zdanie C uznać za prawdziwe - to jest oczywiście dowód nie wprost.

Dowód wprost to dowód zdania C zapisanego kwantyfikatorem dużym:
C.
/\x ~CH(x) => ~P(x)
Dla każdej sytuacji x, jeśli nie ma chmur to na pewno => nie pada

Oczywiście sytuacje gdy są chmury są bez znaczenia bo z góry wiemy że dla CH(x) mamy najzwyklejsze rzucanie monetą. Jak będą chmury (CH=1) to może padać lub nie padać - to jest właśnie rzucanie monetą po stronie CH.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 18:40, 17 Lut 2014, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 23:38, 17 Lut 2014    Temat postu:

Cytat:
W algebrze Kubusia, w zdaniach „Jeśli p to q” prawdziwość zdania to zawsze iloczyn logiczny zbiorów wskazywanych przez poprzednik i następnik.

Cytat:
Zupełnie czym innym jest ta definicja implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka =>:
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

A: P2=>P8 = 0
bo istnieje kontrprzykład:
B: P2~~>~P8 = P2*~P8=1 bo 2
Kontrprzykład znaleziony, zdanie A jest fałszywe.

A przecież iloczyn P2*P8=[między innymi 8]=1
To 1 czy 0?

Mam wrażenie, że w zależności od sytuacji przyjmujesz sobie różne definicje i nie potrafisz trzymać się ich konsekwentnie.

Ile jest tych wartości logicznych i jakie one są? Zwięźle.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 1:14, 18 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:

Cytat:
W algebrze Kubusia, w zdaniach „Jeśli p to q” prawdziwość zdania to zawsze iloczyn logiczny zbiorów wskazywanych przez poprzednik i następnik.

Cytat:
Zupełnie czym innym jest ta definicja implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka =>:
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

A: P2=>P8 = 0
bo istnieje kontrprzykład:
B: P2~~>~P8 = P2*~P8=1 bo 2
Kontrprzykład znaleziony, zdanie A jest fałszywe.

A przecież iloczyn P2*P8=[między innymi 8]=1
To 1 czy 0?

Mam wrażenie, że w zależności od sytuacji przyjmujesz sobie różne definicje i nie potrafisz trzymać się ich konsekwentnie.

Ile jest tych wartości logicznych i jakie one są? Zwięźle.


rafal3006 napisał:

W algebrze Kubusia, w zdaniach „Jeśli p to q” prawdziwość zdania to zawsze iloczyn logiczny zbiorów wskazywanych przez poprzednik i następnik.

Uwaga:
Jeśli nie będziemy uwzględniać wzajemnego zawierania się zbiorów (znaczki => i ~>) to wtedy będzie:
Algebra Kubusia = aktualna logika Ziemian
… w której definicja implikacji odwrotnej jest zbędna.

Tylko czy Bóg tworzy rzeczy zbędne?

Jeśli pominiemy warunek wystarczający => konieczny ~> to dowód zbędności implikacji odwrotnej jest trywialny.


Sorry, napisałem nieściśle.
Pisząc pierwsze zdanie miałem na myśli dalszą część po „Uwaga”.

W tym kontekście precyzyjne pierwsze zdania powinno brzmieć:
W algebrze Kubusia (jeśli pominiemy znaczki => i ~>), w zdaniach „Jeśli p to q” prawdziwość zdania to zawsze iloczyn logiczny zbiorów wskazywanych przez poprzednik i następnik.

W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~> - tego znaczka ewidentnie brakuje w logice Ziemian, bez niego logika jest bez sensu, nie da się go opisać ani kwantyfikatorem małym, ani dużym, ani jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
3.
Naturalny spójnik „może” ~~>:
Zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
~~> - to jest kwantyfikator mały w AK

fiklit napisał:

Rafal3006 napisał:

Wracając do naszego zdania:
A: P2=>P8 = 0
bo istnieje kontrprzykład:
B: P2~~>~P8 = P2*~P8=1 bo 2
Kontrprzykład znaleziony, zdanie A jest fałszywe.

A przecież iloczyn P2*P8=[między innymi 8]=1
To 1 czy 0?

Wszystko jest w porządku, zaprezentowałem dowód fałszywości zdania:
A: P2=>P8 =0
nie wprost, poprzez pokazanie iż istnieje kontrprzykład:
B: P2~~>~P8 = P2*~P8=1 bo 2
Kontrprzykład znaleziony, zdanie A jest fałszywe.

To jest poprawny dowód fałszywości zdania A i nie do obalenia.

Dowód tożsamy wprost wygląda tak:
A: P2=>P8 = P2*P8 = P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => wymaga, aby zbiór P2 zawierał się w zbiorze P8.
W naszym przypadku jest dokładnie odwrotnie, dlatego zdanie A jest fałszywe.

Jakie mutacje zdania A są prawdziwe w algebrze Kubusia?
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1 bo 8
Znalazłem jeden przypadek prawdziwy, koniec dowodu.
Na mocy definicji znaczka ~~> zdanie 1 jest prawdziwe.

2.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
A: P2~>P8 = P2*P8 = P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2 zawiera w sobie ~> zbiór P8
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame, co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P8):
P2~>P8 = ~P2=>~P8

Tożsamość to tożsamość, udowodniłem wyżej prawdziwość zdania:
P2~>P8
plus wykazałem iż zbiory P2 i P8 nie są tożsame i wiem o zdaniu A absolutnie wszystko.

Bez żadnego dodatkowego dowodu wiem że zdanie A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej i znam z automatu treść oraz prawdziwość/fałszywość wszystkich pozostałych zdań wchodzących w skład implikacji odwrotnej!!!

Pozostałe zdania, które bez problemu może zapisać nawet głupi komputer to:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 4
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 = ~P2*~P8 = ~P2 =1
Zbiór ~P2 zawiera się => w zbiorze ~P8
Dodatkowo zbiory ~P2 i ~P8 nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice ujemnej (bo ~P8):
~P2=>~P8 = P2~>P8
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8 = 1*1 =0 - bo zbiory rozłączne

Żadnego ze zdań B, C i D nie muszę dowodzić!
Zarówno ich treść jak i wzajemne relacje zbiorów w zdaniach B, C i D na określeniu prawdziwości/ fałszywości zdań B, C i D kończąc są mi znane z góry po udowodnieniu tego co udowodniłem w zdaniu A!

Dokładnie to samo uzyskam udowadniając to co zapisałem w zdaniu C.
Dowód prawdziwości zdania C przedstawiony wyżej determinuje 100% wiedzę na temat pozostałych zdań A, B i D!

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P8):
A: P2~>P8
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P8):
C: ~P2=>~P8
~P2=1, P2=0
~P8=1, P8=0
Kod:

Analiza symboliczna         |Kodowanie maszynowe    |Kodowanie maszynowe
                            |dla punktu odniesienia |dla punktu odniesienia
                            | A: P2~>P8             | C: ~P2=>~P8
                            |  P2  P8  P2~>P8       | ~P2 ~P8 ~P2=>~P8
A: P2~> P8 = P2* P8 =1*1 =1 |  1~> 1   =1           |  0=> 0   =1
B: P2~~>~P8= P2*~P8 =1*1 =1 |  1~> 0   =1           |  0=> 1   =1
C:~P2=>~P8 =~P2*~P8 =1*1 =1 |  0~> 0   =1           |  1=> 1   =1
D:~P2~~>P8 =~P2* P8 =1*1 =0 |  0~> 1   =0           |  1=> 0   =0
   a    b    c    d  1 2  3    4   5    6              7   8    9


Tożsamość kolumn 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8


P.S.
Dlaczego bez znaczka ~> logika jest bez sensu?

Dokładnie z tego powodu który zauważyłeś …
fiklit napisał:

Rafal3006 napisał:

Wracając do naszego zdania:
A: P2=>P8 = 0
bo istnieje kontrprzykład:
B: P2~~>~P8 = P2*~P8=1 bo 2
Kontrprzykład znaleziony, zdanie A jest fałszywe.

A przecież iloczyn P2*P8=[między innymi 8]=1
To 1 czy 0?

P2~>P8 = P2*P8 = P8 =1 - zdanie ewidentnie prawdziwe
W logice Ziemian brakuje znaczka ~>.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:31, 18 Lut 2014, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 9:41, 18 Lut 2014    Temat postu:

Cytat:
W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~> - tego znaczka ewidentnie brakuje w logice Ziemian, bez niego logika jest bez sensu, nie da się go opisać ani kwantyfikatorem małym, ani dużym, ani jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.

Nie rozumiem tego.
A,B - zbiory
Czy w NTZ "A zawiera się w B" nie oznacza dokładnie tego samego co "B zawiera w sobie A"? Jeśli to co innego to opisz precyzyjnie różnicę. Jeśli to to samo to nie można się zgodzić ze stwierdzeniem, że brak ~> jest wadą, skoro z powodzeniem może być zastąpiony przez równoważny => czy też <=. I nie zasypuj mnie teraz przykładami z języka popularnego. Skup się na definicjach które napisałeś i na wnioskach z nich płynących.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 23:30, 19 Lut 2014    Temat postu:

Kompletna teoria implikacji prostej i odwrotnej w AK i co z niej wynika

fiklit napisał:
Cytat:
W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~> - tego znaczka ewidentnie brakuje w logice Ziemian, bez niego logika jest bez sensu, nie da się go opisać ani kwantyfikatorem małym, ani dużym, ani jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.

Nie rozumiem tego.
A,B - zbiory
Czy w NTZ "A zawiera się w B" nie oznacza dokładnie tego samego co "B zawiera w sobie A"? Jeśli to co innego to opisz precyzyjnie różnicę. Jeśli to to samo to nie można się zgodzić ze stwierdzeniem, że brak ~> jest wadą, skoro z powodzeniem może być zastąpiony przez równoważny => czy też <=. I nie zasypuj mnie teraz przykładami z języka popularnego. Skup się na definicjach które napisałeś i na wnioskach z nich płynących.

Rozmawiajmy o algebrze Kubusia i definicjach tu obowiązujących.
W algebrze Kubusia do opisu logiki matematycznej niezbędne są definicje znaczków =>, ~> i ~~> podane niżej.

W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~> - tego znaczka ewidentnie brakuje w logice Ziemian, bez niego logika jest bez sensu, nie da się go opisać ani kwantyfikatorem małym, ani dużym, ani jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
3.
Naturalny spójnik „może” ~~>:
Zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
~~> - to jest kwantyfikator mały w AK

W AK błędem czysto matematycznym jest mówienie o wzajemnych relacjach zbiorów p i q bez uwzględnienia zbiorów ~p i ~q bo:

Definicja operatora logicznego w AK:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi możliwymi zbiorami w obrębie rozpatrywanej dziedziny.

W operatorach dwuargumentowych mamy do czynienia z czterema możliwymi zbiorami p, q, ~p, ~q.

Jest fizycznie niemożliwym abyśmy znając zbiór p nie wiedzieli co to jest zbiór ~p (to samo dla q). Wynika to z warunku rozpoznawalności pojęć w AK.

Twierdzenie:
Dowolne pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy znamy jego zaprzeczenie ~p

Przykład:
p = pies
~p = uniwersum-pies

Pies to unikalne pojęcie w całym uniwersum.


7.3 Implikacja prosta

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Dziedzina (zbiory istniejące):
A: p*q =p =1 - zbiór brązowy
C: ~p*~q = ~q =1 - zbiór żółty
D: ~p*q =1 - zbiór niebieski

Stąd mamy:
Definicja implikacji w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne w obrębie rozpatrywanej dziedziny

Zauważmy, że w definicji implikacji w zbiorach nie rozróżnimy implikacji prostej od implikacji odwrotnej, są identyczne.

Bezpośrednio z powyższego diagramu odczytujemy pełną, symboliczną definicję implikacji prostej.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=> q = p* q =p =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q.
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję
implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję
implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i q (obszar niebieski)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo:
Prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = p*~q =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D wykluczony jest warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>
bowiem zbiór p*~q fizycznie istnieje (zbiór niebieski)

gdzie:
1.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
2.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w linii A.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
3.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji wyłącznie w linii C.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja implikacji prostej w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
A: p=>q
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zauważmy, że ze zdania A spełniającego definicję implikacji prostej wynikają wszystkie inne zdania: B, C i D

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
C: ~p~>~q
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
Zauważmy że ze zdania C spełniającego definicję implikacji odwrotnej wynikają wszystkie inne zdania: A, B i D

Podsumowując:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Aby udowodnić warunek wystarczający => w zdaniu:
A: p=>q
Wystarczy udowodnić warunek konieczny ~> w zdaniu:
C: ~p~>~q

… i odwrotnie:

C: ~p~>~q = A: p=>q
Aby udowodnić warunek konieczny ~> w zdaniu:
C: ~p~>~q
Wystarczy udowodnić warunek wystarczający => w zdaniu:
A: p=>q

Wynika to z matematycznej tożsamości:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q = p=>q

W matematyce warunki wystarczające => dowodzi się dużo prościej z powodu występującego tu kontrprzykładu. Operator implikacji prostej tworzą cztery zdania A, B, C i D wchodzące w skład definicji implikacji prostej.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=1
Kod:

Definicja symboliczna  |Definicja      |Definicja
                       |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
                       |dla A:p=>q     |dla C:~p~>~q
                       | p   q   p=>q  | ~p   ~q ~p~>~q
A: p=> q = p* q = p =1 | 1=> 1    =1   |  0~> 0    =1
B: p~~>~q= p*~q     =0 | 1=> 0    =0   |  0~> 1    =0
C:~p~>~q =~p*~q =~q =1 | 0=> 0    =1   |  1~> 1    =1
D:~p~~>q =~p* q     =1 | 0=> 1    =1   |  1~> 0    =1
   a   b   c  d      e   1   2     3      4   5     6


Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to jednocześnie definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a.
Matematyczny związek występuje wyłącznie między zdaniami A i C, to definicja implikacji prostej.
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania D jest wymuszona przez definicję implikacji prostej w zbiorach.
Zdania C i D to w implikacji najzwyklejsze „rzucanie monetą”, jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q albo q.

Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy wyłącznie w obszarze AB123 bowiem tylko tu widzimy p=1.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy wyłącznie w obszarze CD456 bowiem tylko tu widzimy ~p=1.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami: p, ~p, q, ~q
Definicja symboliczna implikacji prostej to obszar ABCDabe.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej (ABCDabe) wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia. W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.


7.4 Implikacja odwrotna

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Dziedzina (zbiory istniejące):
A: p*q =p =1 - zbiór brązowy
C: ~p*~q = ~q =1 - zbiór żółty
D: ~p*q =1 - zbiór niebieski

Stąd mamy definicję implikacji w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste w obrębie rozpatrywanej dziedziny

Zauważmy, że w tej definicji nie rozróżnimy implikacji prostej od implikacji odwrotnej, są identyczne.

Bezpośrednio z powyższego diagramu odczytujemy pełną, symboliczną definicję implikacji odwrotnej.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję
implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i ~q (obszar niebieski)
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo:
Prawo Kubusia:
p~>~q = ~p=>q = ~p*q =0 - zbiory rozłączne
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu B wykluczony jest warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>
bowiem zbiór ~p*q fizycznie istnieje (zbiór niebieski)
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q = ~p*~q =~p =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q.
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję
implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne

gdzie:
1.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
2.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między ~p i ~q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w linii C.
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
3.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji wyłącznie w linii A.
Definicja warunku koniecznego:
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
A: p~>q
Zbiór p zawiera => w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zauważmy, że ze zdania A spełniającego definicję implikacji prostej wynikają wszystkie inne zdania: B, C i D

Definicja implikacji prostej w zbiorach w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
C: ~p=>~q
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
Zauważmy że ze zdania C spełniającego definicję implikacji prostej wynikają wszystkie inne zdania: A, B i D

Podsumowując:
A: p~>q = C: ~p=>~q
Aby udowodnić warunek konieczny ~> w zdaniu:
A: p~>q
Wystarczy udowodnić warunek wystarczający => w zdaniu:
C: ~p=>~q

… i odwrotnie:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Aby udowodnić warunek wystarczający => w zdaniu:
C: ~p=>~q
Wystarczy udowodnić warunek konieczny ~> w zdaniu:
A: p~>q

Wynika to z matematycznej tożsamości:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q = p~>q

W matematyce warunki wystarczające => dowodzi się dużo prościej z powodu występującego tu kontrprzykładu. Operator implikacji odwrotnej tworzą cztery zdania A, B, C i D wchodzące w skład definicji implikacji odwrotnej.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=1
Kod:

Definicja symboliczna  |Definicja      |Definicja
                       |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
                       |dla A:p~>q     |dla C:~p=>~q
                       | p   q   p~>q  | ~p   ~q ~p=>~q
A: p~> q = p* q = q =1 | 1~> 1    =1   |  0=> 0    =1
B: p~~>~q= p*~q     =1 | 1~> 0    =1   |  0=> 1    =1
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 | 0~> 0    =1   |  1=> 1    =1
D:~p~~>q =~p* q     =0 | 0~> 1    =0   |  1=> 0    =0
   a   b   c  d      e   1   2     3      4   5     6


Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia to jednocześnie definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a.
Matematyczny związek występuje wyłącznie między zdaniami A i C, to definicja implikacji odwrotnej.
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość zdania B jest wymuszona przez definicję implikacji odwrotnej w zbiorach.
Zdania A i B to w implikacji najzwyklejsze „rzucanie monetą”, jeśli zajdzie p to może zajść cokolwiek q albo ~q.

Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się sanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy wyłącznie w obszarze AB123 bowiem tylko tu widzimy p=1.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się sanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy wyłącznie w obszarze CD456 bowiem tylko tu widzimy ~p=1.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami: p, ~p, q, ~q
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej to obszar ABCDabe.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej (ABCDabe) wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia. W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.


7.5 Równanie ogólne implikacji

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

Definicja implikacji prostej:
   p  q p=>q
A: 1=>1 =1
B: 1=>0 =0
C: 0=>0 =1
D: 0=>1 =1


Ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a wyprowadzona w pkt. 7.3:
p=>q = ~p~>~q


Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

Definicja implikacji odwrotnej:
   p  q p~>q
A: 1~>1 =1
B: 1~>0 =1
C: 0~>0 =1
D: 0~>1 =0


Ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a wyprowadzona w pkt. 7.4:
p~>q = ~p=>~q

Matematycznie na mocy definicji zachodzi równanie ogólne implikacji:

A.
Równanie ogólne implikacji bez stałego punktu odniesienia


Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym przypadku parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne.

Kluczowe twierdzenie w algebrze Kubusia:
W naturalnej logice człowieka, w jego naturalnym języku mówionym możliwe są tylko i wyłącznie dwa rodzaje zdań ze spójnikiem „Jeśli p to q”.

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
p=>q
B.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
p~~>q


Oczywiście matematyka nie jest i nie może tu być wyjątkiem, jak ktoś znajdzie kontrprzykład to natychmiast kasuję AK.
W logice spójnik „na pewno” => jest domyślny, zatem z faktu że go nie widzimy nie oznacza iż w rzeczywistości nie ma go w zdaniu.

Zdania tożsame matematycznie:
Pies ma cztery łapy
Pies na pewno => ma cztery łapy

Definicje znaczków =>, ~> i ~~>.

W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~> - tego znaczka ewidentnie brakuje w logice Ziemian, bez niego logika jest bez sensu, nie da się go opisać ani kwantyfikatorem małym, ani dużym, ani jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
3.
Naturalny spójnik „może” ~~>:
Zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
~~> - to jest kwantyfikator mały w AK

Kluczowe podsumowanie:
W algebrze Kubusia jeśli słyszymy dowolne zdanie „Jeśli p to q” to badamy wzajemną relację zbiorów p i q.

1.
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q i zbiory p i q są różne
p=>q
To musimy stosować definicję implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
bowiem w tym przypadku będzie:
p~>q = ~p=>~q =0

2.
Jeśli zbiór p zawiera w sobie zbiór q i zbiory p i q są różne
p~>q
To musimy stosować definicję implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
bowiem w tym przypadku będzie:
p=>q = ~p~>~q =0

3.
Jeśli zbiory p i q mają przynajmniej jeden punkt wspólny ale relacje wyżej nie zachodzą, to w kodowaniu matematycznym musimy stosować znaczek ~~> o definicji:
p~~>q
Zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny

Koniec teorii implikacji prostej i odwrotnej w AK.


Najważniejsze pytanie:
Czy zgadzasz się na kluczowe równanie ogólne implikacji prostej i odwrotnej zapisane niżej?

A.
Równanie ogólne implikacji bez stałego punktu odniesienia


Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym przypadku parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 0:41, 20 Lut 2014, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 23:52, 19 Lut 2014    Temat postu:

Cytat:
Rozmawiajmy o algebrze Kubusia i definicjach tu obowiązujących.

Dokładnie o to pytam. Chcę zrozumieć definicje warunków wyst. i kon.
Nie przemawia do mnie argumentacja o konieczności istnienia symbolu ~> i bezsensie przy jego braku.
Czy "A zawiera w sobie B" oznacza coś innego niż "B zawiera się w A"?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 0:12, 20 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:
Cytat:
Rozmawiajmy o algebrze Kubusia i definicjach tu obowiązujących.

Dokładnie o to pytam. Chcę zrozumieć definicje warunków wyst. i kon.
Nie przemawia do mnie argumentacja o konieczności istnienia symbolu ~> i bezsensie przy jego braku.
Czy "A zawiera w sobie B" oznacza coś innego niż "B zawiera się w A"?

Cały mój post wyżej to odpowiedź na to co pytasz, jak widzisz nie użyłem ani jednego przykładu, są same definicje.

Kluczowe jest tu ostatnie pytanie.

Najważniejsze pytanie:
Czy zgadzasz się na kluczowe równanie ogólne implikacji prostej i odwrotnej zapisane niżej?

A.
Równanie ogólne implikacji bez stałego punktu odniesienia


Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym przypadku parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne.

Jeśli na nie odpowiesz to automatycznie zrozumiesz wszystko.

Kluczowe podsumowanie:
W algebrze Kubusia jeśli słyszymy dowolne zdanie „Jeśli p to q” to badamy wzajemną relację zbiorów p i q.

1.
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q i zbiory p i q są różne
p=>q
To musimy stosować definicję implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
bowiem w tym przypadku będzie:
p~>q = ~p=>~q =0

2.
Jeśli zbiór p zawiera w sobie zbiór q i zbiory p i q są różne
p~>q
To musimy stosować definicję implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
bowiem w tym przypadku będzie:
p=>q = ~p~>~q =0

3.
Jeśli zbiory p i q mają przynajmniej jeden punkt wspólny ale relacje wyżej nie zachodzą, to w kodowaniu matematycznym musimy stosować znaczek ~~> o definicji:
p~~>q
Zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny


Wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1


Operator logiczny to kompletna wynikowa kolumna będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

W algebrze Kubusia na mocy definicji zachodzi:
OR ## NOR ## AND ## NAND ## <=> ## XOR ## => ## ~> ## ~~> …
gdzie:
## - różne na mocy defincji

Operatory logiczne możemy podzielić na operatory w logice dodatniej i operatory w logice ujemnej:
Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ


Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym, w swojej naturalnej logice.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)


Komentarz:
Kolumna pNORq to zanegowana kolumna OR:
Y=p+q
Stąd:
~Y = ~(p+q)
pNORq = ~(p+q)
itd
W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 0:40, 20 Lut 2014, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 1:31, 20 Lut 2014    Temat postu:

W tych definicjach używasz znaczków => i ~> których definicji nie mogę zrozumieć. Tzn. coś jest nie tak. Bo z jednej strony piszesz, że są znacząco różne, że bezsensem jest brak jednego z nich. Ale z drugiej strony z tego jak rozumiem te definicje to one znaczą to samo tylko mają inną kolejność argumentów. To trochę tak jakby w arytmetyce upierać się przy konieczności zdefiniowana drugiego odejmowania gdzie pierwszy argument odejmuję od drugiego (np 2_5=3).

Nie mogę analizować pozostałych definicji nierozumiejąc tych podstawowych.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:24, 20 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:
W tych definicjach używasz znaczków => i ~> których definicji nie mogę zrozumieć. Tzn. coś jest nie tak. Bo z jednej strony piszesz, że są znacząco różne, że bezsensem jest brak jednego z nich. Ale z drugiej strony z tego jak rozumiem te definicje to one znaczą to samo tylko mają inną kolejność argumentów. To trochę tak jakby w arytmetyce upierać się przy konieczności zdefiniowana drugiego odejmowania gdzie pierwszy argument odejmuję od drugiego (np 2_5=3).

Nie mogę analizować pozostałych definicji nierozumiejąc tych podstawowych.

Twierdzenie:
Nie da się zrozumieć algebry Kubusia (i Boole’a) szukając analogii do matematyki klasycznej, do działań arytmetycznych tu obowiązujących.

Teoria i praktyka bramek logicznych to jedyny poprawny kierunek szukania analogii (tu Kubuś jest ekspertem).

Zacznijmy od najprostszego znaczka ~~>, legalnego znaczka w algebrze Kubusia (i Boole’a) którego póki co, Ziemianie nie znają.

Definicja operatora chaosu:
Kod:

   p    q  p~~>q
A: 1~~> 1   =1
B: 1~~> 0   =1
C: 0~~> 0   =1
D: 0~~> 1   =1

Oznaczmy:
Y = p~~>q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) równanie w nagłówku tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Patrz przykładowo algorytm tworzenia równania logicznego prof. Newelskiego (Uwaga 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]

W wielu miejscach spotkałem się z poprawnym przejściem z tabeli zero-jedynkowej do równania algebry Boole’a poprzez sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek. Wszędzie dobywa się to na zasadzie:
„czary mary i proszę, mam gotowe i poprawne równanie logiczne”

Niestety, nie są znane Ziemianom prawa matematyczne dzięki którym to przejście jest możliwe.
Te prawa to prawa Prosiaczka umożliwiające przejście z tabeli zero-jedynkowej do równania algebry Boole’a i z powrotem.

Prawa Prosiaczka:
I prawo
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II prawo
Fałsz (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

W logice prawda jest domyślna, jeśli zatem w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy wszystkie zmienne do jedynek, to te jedynki możemy opuścić otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące tą tabelę.

Spisujemy z natury (piszemy to co widzimy) na załączonym obrazku:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1

Korzystając z II prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek, to teorii zbiorów.

Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q

Odtwarzamy nasze podstawienie wyżej:
p~~>q =Y

Nanieśmy nasze równanie na tabelę zero-jedynkową:
Definicja operatora chaosu:
Kod:

   p    q  p~~>q
A: 1~~> 1   =1    | Ya= p* q
B: 1~~> 0   =1    | Yb= p*~q
C: 0~~> 0   =1    | Yc=~p*~q
D: 0~~> 1   =1    | Yd=~p* q

Operator chaosu to suma logiczna równań cząstkowych:
p~~>q = Ya+Yb+Yc+Yd
Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Ya ## Yb ## Yc ## Yd
## - różne na mocy definicji

Matematycznie wszystko musi się zgadzać, czyli minimalizując naszą funkcję logiczną musimy dostać jedynkę w wyniku.
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
;p+~p=1
;p*1 =p
Y = p+~p
Y=1
cnd

Z równania logicznego opisującego powyższą tabelę doskonale widać że:
Jeśli zajdzie p to może zajść cokolwiek q lub ~q
Jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q lub q

UWAGA!
W przełożeniu na nową teorię zbiorów taka sytuacja ma miejsce wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

… a jak przejść z powrotem?
Symboliczna definicja operatora chaosu wyprowadzona wyżej:
Kod:

Definicja
symboliczna
A: p~~> q =1
B: p~~>~q =1
C:~p~~>~q =1
D:~p~~> q =1

Prawa Prosiaczka:
I prawo
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II prawo
Fałsz (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

Oczywiście prawa Prosiaczka możemy stosować do woli wybiórczo do dowolnych zmiennych.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora chaosu:
A: p~~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Powyższy zapis to nic innego jak skrócona wersja prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(q=1) = (~q=0)
Ponieważ w nagłówku tabeli zero-jedynkowej z założenia mam sygnały:
A: p~~>q
To wszystkie zmienne zamieniam na 0 i 1 w taki sposób, aby były one zgodne z nagłówkiem.
De facto po prostu wstawiamy żywcem 0 i 1 w odpowiednie miejsca zmiennych:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

W przykładowym punkcie B5 zapis:
q=0
jest tożsamy z punktem B2:
~q=1
… oczywiście na mocy prawa Prosiaczka:
(q=0) = (~q=1)

Kodujemy naszą tabelę symboliczną wstawiając w miejsce symboli odpowiednie 0 i 1.
Kod:

Definicja    |Kodowanie
symboliczna  |dla A: p~~>q
             | p   q  p~>q
A: p~~> q =1 | 1~~>1   =1
B: p~~>~q =1 | 1~~>0   =1
C:~p~~>~q =1 | 0~~>0   =1
D:~p~~> q =1 | 0~~>1   =1
   1    2  3   4   5    6

Obszar ABCD123 to definicja symboliczna operatora chaosu, zgodna w 100% z naturalną logiką człowieka.
Obszar ABCD456 to definicja zero-jedynkowa operatora chaosu mająca ZERO wspólnego z naturalną logiką człowieka, myślącego równaniami algebry Boole’a gdzie wszystkie zmienne na mocy praw Prosiaczka mamy sprowadzone do jedynek.

Wniosek:
W równaniach algebry Boole’a logika zero-jedynkowa to absolutna fikcja i chciejstwo człowieka - takowa tu nie istnieje!


Fragment z podpisu:

7.2 Operator chaosu w zbiorach

Definicja operatora chaosu w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść q
p~~>q =1
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim.



Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:[/b]
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Operator chaosu ## naturalny spójnik „może” ~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element należący do zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość zajścia.
Nie ma tu wymagania, aby zbiory p i q były ze sobą w takiej czy nie innej korelacji.

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych będą to relacje między zbiorami: p,~p, q, ~q

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q

Definicja operatora chaosu w zbiorach:

Operator chaosu:
A: p~~>q = p*q (R1=zielony * R2=zielony => R3=zielony)
B: p~~>~q = p*~q (R1=zielony * R2=niebieski => R3=brązowy)
C: ~p~~>~q = ~p*~q (R1=żółty+niebieski * R2=żółty+zielony => R3=żółty)
D: ~p~~>q = ~p*q (R1=niebieski * R2=niebieski => R3=niebieski)

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q

Definicja symboliczna operatora chaosu odczytana z powyższej tabeli:
A.
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i q
B.
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to „może” ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje element wspólny zbiorów ~p i ~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to „może” ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów ~p i q

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p~~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Symboliczna definicja        |Kodowanie
operatora chaosu             |zero-jedynkowe
p~~>q                        |definicji symbolicznej
                             |  p    q  p~~>q
---------------------------------------------
A: p~~> q = p* q =1*1 =1     |  1~~> 1   =1
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =1     |  1~~> 0   =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1*1 =1     |  0~~> 0   =1
D:~p~~> q =~p* q =1*1 =1     |  0~~> 1   =1
   1    2   3  4  5 6  7        8    9    0


Definicja operatora chaosu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~~>q = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) równanie w nagłówku tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Patrz przykładowo algorytm tworzenia równania logicznego prof. Newelskiego (Uwaga 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]

Prawa strona powyższej definicji pokazuje wszystkie możliwe przypadki jakie mogą się zdarzyć w przyszłości pod warunkiem, że uprzednio udowodnimy iż rzeczywiście mamy do czynienia z operatorem chaosu, czyli zbadamy odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q (obszar ABCD12)

Dlaczego?
Na mocy definicji spójników „i”(*) i „lub”(+) wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna:
p~~>q =1
Problem w tym, że człony p*q oraz ~p*~q są wspólne dla definicji operatora chaosu, implikacji prostej, implikacji odwrotnej i równoważności. Prawa strona tożsamości nie jest zatem poprawną definicją operatora chaosu bo nie definiuje jednoznacznie operatora chaosu.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

Symboliczna definicja operatora chaosu to wyłącznie zapis symboliczny w zbiorach ABCD127 bez żadnego punktu odniesienia.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Maszynowa definicja operatora chaosu to wyłącznie tabela zero-jedynkowa ABCD890 z ustalonym punktem odniesienia, w tym przypadku na zdaniu A.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej (ABCD127) wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia. W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku. Efekt końcowy to tabela maszynowa ABCD890.

Obszar ABCD890 to zero-jedynkowa definicja operatora chaosu, matematycznego śmiecia bez żadnej gwarancji matematycznej.

W operatorze chaosu argumenty są przemienne, zatem jeśli zdanie p~~>q spełnia definicję operatora chaosu to zdanie q~~>p również spełnia definicję operatora chaosu.

Dowód formalny przemienności argumentów w operatorze chaosu:
Kod:

   p   q p~~>q  q   p  q~~>p
A: 1~~>1  =1    1~~>1   =1
B: 1~~>0  =1    0~~>1   =1
C: 0~~>1  =1    1~~>0   =1
D: 0~~>0  =1    0~~>0   =1
   1   2   3    4   5    6


Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w operatorze chaosu.

Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć, bez żadnej gwarancji matematycznej.

Na zakończenie rozpatrzmy abstrakcyjny przykład matematyczny gdzie zbiory p i q oraz dziedzinę możemy sobie ustalać absolutnie dowolnie byleby spełniały definicję operatora chaosu. W przykładzie wybraliśmy jakieś tam cyferki, równie dobrze mogą to być zbiory z dowolnej dziedziny np. zwierząt, roślin, samochodów etc. Takie analizy mają zerowy związek ze światem rzeczywistym, pokazują jednak poprawnie działanie algebry Kubusia, tyle że wyłącznie w celach edukacyjnych.

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Na mocy definicji musi to być operator chaosu.

Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q:
A: p~~>q = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
B: p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
C: ~p~~>~q = ~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] =[7,8] =1 - zbiór niepusty
D: ~p~~>q = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 - zbiór niepusty

Jeśli coś jest w tym poście niejasne to proszę o sygnał.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 17:36, 20 Lut 2014    Temat postu:

To o czym pisałem poprzednio nie opiera się na ~~>. Nie idz do przodu i nie rób mi powtórki materiału. Jest tam tylko kilka prostych terminów. Definicja => wyrażona przez zawieranie się odpowiednich zbiorów i definicja ~> również wyrażona w terminach zawierania sie zbiorów. Nie ma w tych definicjach odniesień do innych operatorów, znaczków ani nic. Wyciągasz tam wniosek moim zdaniem zupełnie nieuprawniony. Dlaczego? Skup się na tym co napisałem. Nie zamierzam skakać za Tobą po tematach. Piszę Ci że coś jest nie tak, to usiłujesz zmienić temat, to droga do nikąd. W ten sposób nie ukryjesz tego że jednak AK się kupy nie trzyma.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 20:24, 20 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:
To o czym pisałem poprzednio nie opiera się na ~~>. Nie idz do przodu i nie rób mi powtórki materiału. Jest tam tylko kilka prostych terminów. Definicja => wyrażona przez zawieranie się odpowiednich zbiorów i definicja ~> również wyrażona w terminach zawierania sie zbiorów. Nie ma w tych definicjach odniesień do innych operatorów, znaczków ani nic. Wyciągasz tam wniosek moim zdaniem zupełnie nieuprawniony. Dlaczego? Skup się na tym co napisałem. Nie zamierzam skakać za Tobą po tematach. Piszę Ci że coś jest nie tak, to usiłujesz zmienić temat, to droga do nikąd. W ten sposób nie ukryjesz tego że jednak AK się kupy nie trzyma.

Zacząłem od znaczka ~~> (kwantyfikatora małego) i to nie był wyskok do przodu, znaczek ten jest kluczowy we wszystkich operatorach typu ‘Jeśli p to q” czyli: w operatorze chaosu, implikacji prostej, implikacji odwrotnej i równoważności.
We wszystkich tych definicjach kwantyfikator mały ~~> jest kluczowy, popatrz.



Definicja implikacji prostej w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
To wytłuszczone zastrzeżenia wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
To wytłuszczone zastrzeżenie jest kluczowe, bowiem jak zachodzi tożsamość zbiorów p=q to mamy do czynienia z równoważnością, zupełnie inną bajką niż implikacja.
Zdanie A w zbiorach, co doskonale widać na diagramie implikacji prostej:
p=>q = p*q = p =1

Zdanie A zapisane kwantyfikatorem dużym:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => x należy do zbioru q(x)

Oczywiście w AK, aby udowodnić prawdziwość zdania A, wystarczy sprawdzić wszystkie elementy p(x).

Z diagramu doskonale widać, że równoważny dowód prawdziwości zdania A to dowód nie wprost poprzez wykazanie braku kontrprzykładu .. i tu właśnie ten znaczek ~~> kwantyfikator mały odgrywa kluczową rolę.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla zdania A ze znaczkiem =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
A: p=>q
Zdanie A w zbiorach:
A: p=>q = p*q = p (patrz diagram wyżej)

jest zdanie B z zanegowanym następnikiem i użytym znaczkiem ~~> (kwantyfikatorem małym):
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
B: p~~>~q
Zdanie B w zbiorach:
B: p~~>~q = p*~q (patrz diagram wyżej)

Algorytm dowodu nie wprost dla zdania:
A: p=>q
1.
Jeśli istnieje kontrprzykład B to zdanie A jest fałszywe
B: p~~>~q = p*~q =1
Istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i ~q, co jest dowodem fałszywości zdania A:
A: p=>q =0
2.
Jeśli nie istnieje kontrprzykład B to zdanie A jest prawdziwe
B: p~~>~q = p*~q =0
Brak choćby jednego elementu wspólnego zbiorów p i ~q, wymusza prawdziwość zdania A:
A: p=>q =1

Ten algorytm jest poprawny w całym obszarze logiki bez żadnych wyjątków, sam jesteś Fiklicie jego zwolennikiem.

Jak więc widać ten znaczek ~~> (kwantyfikator mały) odgrywa w logice kluczową rolę.

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej w zbiorach z tabeli zero-jedynkowej.

Postępujemy identycznie jak w operatorze chaosu!
Co więcej w identyczny sposób postępujemy we wszystkich kluczowych operatorach logiki:
AND, OR, =>, ~>, <=>, ~~>
Znaczek ~~> omówiliśmy wyżej.

Definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

   p    q  p=>q
A: 1=> 1   =1
B: 1=> 0   =0
C: 0=> 0   =1
D: 0=> 1   =1

Oznaczmy:
Y = p=>q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) równanie w nagłówku tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Patrz przykładowo algorytm tworzenia równania logicznego prof. Newelskiego (Uwaga 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]

Prawa Prosiaczka:
I prawo
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II prawo
Fałsz (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

W logice prawda jest domyślna, jeśli zatem w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy wszystkie zmienne do jedynek, to te jedynki możemy opuścić otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące tą tabelę.

Spisujemy z natury (piszemy to co widzimy) na załączonym obrazku:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1

Korzystając z II prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek, to teorii zbiorów.

Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q

Odtwarzamy nasze podstawienie wyżej:
p=>q =Y

Nanieśmy nasze równanie na tabelę zero-jedynkową:
Definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

   p    q  p=>q
A: 1=> 1   =1    | Ya= p* q
B: 1=> 0   =0    |
C: 0=> 0   =1    | Yc=~p*~q
D: 0=> 1   =1    | Yd=~p* q

Operator implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to suma logiczna równań cząstkowych:
p=>q = Ya+Yc+Yd
Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Ya ## Yc ## Yd
## - różne na mocy definicji

Z równania logicznego opisującego powyższą tabelę doskonale widać że:
Jeśli zajdzie p to może zajść wyłącznie q, bo linia B jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q lub q

UWAGA!
W przełożeniu na nową teorię zbiorów taka sytuacja ma miejsce wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.

W następnym kroku rysujemy sobie diagram jak na początku tego postu i spisujemy dokładnie to co widzimy na tym diagramie, otrzymując symboliczną definicję implikacji prostej szczegółowo omówiona w tym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-pisana-na-zywo-dyskusja-z-fiklitem-c-iii,6929-150.html#205475

Identycznie postępujemy z zero-jedynkową definicją operatora implikacji odwrotnej.



Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Definicja znaczka ~>:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q (patrz diagram)
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną o definicji:
p~>q = ~p=>~q

Wyprowadzenie powyższego diagramu w zbiorach z definicji zero-jedynkowej.

Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q  p~>q
A: 1~> 1   =1
B: 1~> 0   =1
C: 0~> 0   =1
D: 0~> 1   =0

Oznaczmy:
Y = p~>q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) równanie w nagłówku tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Patrz przykładowo algorytm tworzenia równania logicznego prof. Newelskiego (Uwaga 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]

Prawa Prosiaczka:
I prawo
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II prawo
Fałsz (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

W logice prawda jest domyślna, jeśli zatem w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy wszystkie zmienne do jedynek, to te jedynki możemy opuścić otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące tą tabelę.

Spisujemy z natury (piszemy to co widzimy) na załączonym obrazku:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=0

Korzystając z II prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek, to teorii zbiorów.

Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q

Odtwarzamy nasze podstawienie wyżej:
p~>q =Y

Nanieśmy nasze równanie na tabelę zero-jedynkową:
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q  p~>q
A: 1~> 1   =1    | Ya= p* q
B: 1~> 0   =1    | Yb= p*~q
C: 0~> 0   =1    | Yc=~p*~q
D: 0~> 1   =0    |

Operator implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to suma logiczna równań cząstkowych:
p~>q = Ya+Yb+Yc
Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Ya ## Yb ## Yc
## - różne na mocy definicji

Z równania logicznego opisującego powyższą tabelę doskonale widać że:
Jeśli zajdzie p to może zajść cokolwiek q lub ~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q (bo linia D jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić)

UWAGA!
W przełożeniu na nową teorię zbiorów taka sytuacja ma miejsce wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.

W następnym kroku rysujemy sobie diagram implikacji odwrotnej i spisujemy dokładnie to co widzimy na tym diagramie, otrzymując symboliczną definicję implikacji prostej szczegółowo omówioną w tym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-pisana-na-zywo-dyskusja-z-fiklitem-c-iii,6929-150.html#205475

Bezpośrednio z diagramów implikacji prostej i odwrotnej otrzymujemy równanie ogólne implikacji.

Definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

   p    q  p=>q
A: 1=> 1   =1
B: 1=> 0   =0
C: 0=> 0   =1
D: 0=> 1   =1

Ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q

Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

   p   q   p~>q
A: 1~> 1   =1
B: 1~> 0   =1
C: 0~> 0   =1
D: 0~> 1   =0

Ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q

Stąd mamy równanie ogólne implikacji:
Implikacja prosta ## implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym przypadku parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności zamienione miejscami to bez znaczenia.

W algebrze Kubusia znaczki => i ~> są kluczowe:
1.
Jeśli stwierdzimy że zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q to mamy definicję implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q =1
dla tego przypadku definicja implikacji odwrotnej będzie fałszem:
p~>q = ~p=>~q =0
2.
Jeśli stwierdzimy że zbiór p zwiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q to mamy definicję implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q =1
Dla tego przypadku definicja implikacji prostej będzie fałszem:
p=>q = ~p~>~q =0

Podsumowując:
Nie da się usunąć z logiki ani znaczka => ani też znaczka ~>, ani nawet znaczka ~~> bowiem te trzy znaczki występują w obrębie zero-jedynkowej definicji implikacji prostej i odwrotnej, czego dowód jest w tym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-pisana-na-zywo-dyskusja-z-fiklitem-c-iii,6929-150.html#205475

Analogicznie:
Nie da się usunąć z logiki ani znaczka „i”(*) ani znaczka „lub”(+) ponieważ oba te znaczki występują zarówno w zero-jedynkowej definicji operatora OR jak i operatora AND, co łatwo udowodnić.

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q

Doskonale widać że operator OR i AND zawierają w swoich definicjach oba znaczki: „lub”(+) oraz „i”(*). Jest zatem fizycznie niemożliwym usunięcie z logiki któregokolwiek znaczka.
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:33, 20 Lut 2014, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 20:42, 20 Lut 2014    Temat postu:

No i ciągle piszesz coś niespójnego z tym co napisałeś wcześniej:
Cytat:
W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Przy takich definicjach spokojnie można jeden z => lub ~> wywalić.
A~>B w świetle powyższych definicji oznacza dokładnie to samo co B=>A.
Jeśli nie to wyjaśnij na czym polega różnica w tych dwóch wyrażeniach. Tylko nie wklejaj połowy AK. Wyjaśnij konkretnie jaka jest różnica.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 22:03, 20 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:
No i ciągle piszesz coś niespójnego z tym co napisałeś wcześniej:
Cytat:
W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Przy takich definicjach spokojnie można jeden z => lub ~> wywalić.
A~>B w świetle powyższych definicji oznacza dokładnie to samo co B=>A.
Jeśli nie to wyjaśnij na czym polega różnica w tych dwóch wyrażeniach. Tylko nie wklejaj połowy AK. Wyjaśnij konkretnie jaka jest różnica.

Szczegóły dlaczego nie możesz wywalić są w tym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-pisana-na-zywo-dyskusja-z-fiklitem-c-iii,6929-125.html#205325

Skupię się na innym aspekcie dlaczego z logiki nie da się usunąć znaczków =>, ~> i ~~>.
Nie możesz wywalić żadnego ze znaczków =>, ~>, ~~>, bo wszystkie są częścią definicji implikacji prostej i odwrotnej … tak samo jak nie da się z logiki wywalić ani spójnika „i”(*), ani „lub”(+) bo oba te spójniki są częścią operatorów zarówno OR jak i AND.

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q


Definicja implikacji prostej:
P=>4L = ~P~>~4L
P=>4L
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
Nasz przykład spełnia definicję implikacji prostej.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Zdanie A w zbiorach:
A: P=>4L = P*4L = P =1 (P=[pies] - zbiór niepusty)
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P (pies) zawiera się => w zbiorze 4L (pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

Bezpośrednio ze zdania A wynika fałszywość zdania B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 0 - twardy fałsz, wynikły ze zdania A
Zdanie B w zbiorach:
B: P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0 (zbiór pusty)
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Zdanie B to kontrprzykład dla zdania A.

Z prawdziwości zdania A wynika fałszywość kontrprzykładu B i odwrotnie, z fałszywości kontrprzykładu B wynika prawdziwość zdania A.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla zdania A:
A: p=>q
jest zdanie B:
B: p~~>~q
powstałe ze zdania A w którym zanegowano następnik i użyto naturalnego spójnika „może” ~~>.

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Zdanie C w zbiorach:
C: ~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1 (~4L=[kura, wąż ..] - zbiór niepusty)
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P (kura, wąż, słoń ..) zawiera w sobie ~> zbiór ~4L (kura, wąż..)
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L

Bezpośrednio ze zdania C wynika prawdziwość zdania D:
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
Zdanie D w zbiorach:
D: ~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń (~P*4L=[słoń, koń ..] - zbiór niepusty)
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P i 4L (np. słoń).

Zauważmy, że z prawdziwości zdania A wynikają wszystkie inne zdania (B, C i D) pokrywające całą założoną dziedzinę (zbiór wszystkich zwierząt).
Podobnie:
Z prawdziwości zdania C wynikają wszystkie inne zdania (A, B i D) pokrywające całą założona dziedzinę (zbiór wszystkich zwierząt).
Stąd zachodzi tożsamość w zbiorach:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L

Stąd mamy definicję implikacji w zbiorach.

Definicja implikacji w zbiorach:
Implikacja to zawsze trzy rozłączne zbiory niepuste i jeden pusty w obrębie wybranej dziedziny.

Nasz przykład:
A: P=>4L = P*4L = P =1 (P=[pies] - zbiór niepusty)
B: P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0 (zbiór pusty)
C: ~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1 (~4L=[kura, wąż ..] - zbiór niepusty)
D: ~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń (~P*4L=[słoń, koń ..] - zbiór niepusty)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L):
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
Kod:

Analiza symboliczna       |Kodowanie maszynowe    |Kodowanie maszynowe
                          |dla punktu odniesienia |dla punktu odniesienia
                          | A: P=>4L              | C: ~P~>~4L
                          |  P  4L  P=>4L         | ~P ~4L ~P~>~4L
A: P=> 4L = P* 4L =1*1 =1 |  1=> 1   =1           |  0~> 0   =1
B: P~~>~4L= P*~4L =1*1 =0 |  1=> 0   =0           |  0~> 1   =0
C:~P~>~4L =~P*~4L =1*1 =1 |  0=> 0   =1           |  1~> 1   =1
D:~P~~>4L =~P* 4L =1*1 =1 |  0=> 1   =1           |  1~> 0   =1
   a    b   c   d  1 2  3    4   5    6              7   8    9


Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się sanie jeśli zajdzie P (P=1) mamy wyłącznie w obszarze AB456 bowiem tylko tu widzimy P=1.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się sanie jeśli zajdzie ~P (~P=1) mamy wyłącznie w obszarze CD789 bowiem tylko tu widzimy ~P=1.

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów - ABCD12), w zerach i jedynkach nie ma żadnej logiki.

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L).
Tabela ABCD789 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Nasz przykład w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q

Zauważmy, że opis implikacji prostej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) zgodnie z obszarem ABCDcd3 jest matematycznie błędny, mimo że wiemy które zdania zapisane spójnikiem „i”(*) są w implikacji prawdziwe (A, C i D) a które jest fałszywe (B).
Dlaczego?

Linia Aab:
Wyłącznie w linii Aab mamy spełniony warunek wystarczający => w zbiorach:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P (pies) zawiera się => w zbiorze 4L (pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zamienimy miejscami P i 4L (4L=>P) to nie mamy prawa użyć znaczka warunku wystarczającego => bo jego definicja nie będzie spełniona (4L=>P =0)
Zauważmy że pełny opis linii A w zbiorach jest następujący:
A: P=>4L = P*4L = P =1
Człon P=>4L nie jest przemienny co udowodniono wyżej, natomiast koniunkcja zbiorów P*4L jest przemienna. Doszliśmy zatem do sprzeczności czysto matematycznej, co jest dowodem błędności opisu implikacji prostej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Wniosek:
Poprawnie opisana linia Aab (P=>4L) nie jest przemienna co w kodzie maszynowym odpowiada sekwencji:
A456 ( 1 1 =1) = A789(0 0 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
A456(P=1, 4L=1, =1) = A789(~P=0, ~4L=0, =1)
stąd na mocy prawa Prosiaczka:
A456(P=1, 4L=1, =1) = A789(P=1, 4L=1, =1)
cnd

Analogicznie:
Linia Cab:
Wyłącznie w linii Cab mamy spełnioną definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~P (kura, wąż, słoń..) zawiera w sobie zbiór ~4L (kura, wąż..)
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L
Jeśli zamienimy miejscami ~P i ~4L (~4L~>~P) to nie mamy prawa użyć znaczka warunku koniecznego ~> bo jego definicja nie będzie spełniona:
Zbiór ~4L (kura, wąż..) zawiera się w zbiorze ~P (słoń, kura, wąż ..)
~4L~>~P =0
Definicja znaczka ~> wymaga czegoś dokładnie odwrotnego, stąd:
~4L~>~P=0
Zauważmy że pełny opis linii C w zbiorach jest następujący:
C: ~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Człon ~P~>~4L nie jest przemienny co udowodniono wyżej, natomiast koniunkcja zbiorów ~P*~4L jest przemienna. Doszliśmy zatem do sprzeczności czysto matematycznej, co jest dowodem błędności opisu implikacji odwrotnej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Wniosek:
Poprawnie opisana linia Cab (~P~>~4L) nie jest przemienna co w kodzie maszynowym odpowiada sekwencji:
C789( 1 1 =1) = C456(0 0 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
C789(~P=1, ~4L=1, =1) = C456(P=0, 4L=0, =1)
stąd na mocy prawa Prosiaczka:
C789(~P=1, ~4L=1, =1) = C456(~P=1, ~4L=1, =1)
cnd

Zauważmy że linia B jest przemienna:
B: P~~>~4L = P*~4L =1
bowiem przemienne są oba znaczki: ~~> i „i”(*).
Kod maszynowy dla linii B to:
B456(1 0 =0) = B789(0 1 =0)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
B456(P=1, 4L=0, =0) = B789(~P=0, ~4L=1, =0)

Podobnie przemienna jest linia D:
D: ~P~~>4L = ~P*4L =1
bowiem przemienne są oba znaczki: ~~> i „i”(*).
Kod maszynowy dla linii D to:
D456(0 1 =1) = D789(1 0 =1)
Tożsamość wynika tu z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
bowiem w powiązaniu z nagłówkami tabel zero-jedynkowych mamy:
D456(P=0, 4L=1, =1) = B789(~P=1, ~4L=0, =1)
Stąd na mocy prawa Prosiaczka:
D456(P=0, 4L=1, =1) = B789(P=0, 4L=1, =1)

Wniosek:
W algebrze Kubusia w liniach A i C mamy brak przemienności argumentów, natomiast w liniach B i D przemienność argumentów występuje, co dowiedziono wyżej. W „logice” Ziemian jest dokładnie odwrotnie, nie jest to zatem poprawna logika matematyczna.

Zauważmy, iż definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy go prawo użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
Podobnie, definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - bo zbiory p i ~q istnieją, ale są rozłączne
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i q.

Uwaga:
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego p=>q w linii A o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji prostej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić.
Równoważność, gdzie „rzucanie monetą” nie występuje, to zupełnie inna bajka niż implikacja, gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji prostej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
p=>q ## p=>q = ~p~>~q ## p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Weźmy na zakończenie jeszcze raz tabelę prawdy dla naszego przykładu:
Kod:

Analiza symboliczna       |Kodowanie maszynowe    |Kodowanie maszynowe
                          |dla punktu odniesienia |dla punktu odniesienia
                          | A: P=>4L              | C: ~P~>~4L
                          |  P  4L  P=>4L         | ~P ~4L ~P~>~4L
A: P=> 4L = P* 4L =1*1 =1 |  1=> 1   =1           |  0~> 0   =1
B: P~~>~4L= P*~4L =1*1 =0 |  1=> 0   =0           |  0~> 1   =0
C:~P~>~4L =~P*~4L =1*1 =1 |  0=> 0   =1           |  1~> 1   =1
D:~P~~>4L =~P* 4L =1*1 =1 |  0=> 1   =1           |  1~> 0   =1
   a    b   c   d  1 2  3    4   5    6              7   8    9


Jeśli wywalimy z logiki znaczek ~> to automatycznie znikną nam z logiki dwie ostatnie linie tabeli zero-jedynkowej i operator implikacji prostej będzie wyglądał tak:
Kod:

   P  4L  P=>4L
A: 1=> 1  =1
B: 1=> 0  =0

Koniec!

Analogia do operatorów OR i AND jest tu 100%.

Symboliczna definicja operatora AND:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A: p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Yb
C: ~p* q=~Yc
D: p*~q=~Yd

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie linie B, C, D

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice dodatniej bo Y:
W.
Y=p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora OR w logice ujemnej bo ~Y:
U.
~Y=~p+~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora AND:
Kod:

                    |Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
                    |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej AND
                    |Y=p*q          |~Y=~p+~q      |bez wyróżnionego
Definicja           |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
symboliczna AND (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
   p  q   Y=p*q     | p  q   Y=p*q  |~p ~q ~Y=~p+~q|
-----------------------------------------------------------------------
W: Y=p*q            |               |              | p q Y=p*q
A: p* q = Y         | 1* 1  =1      | 0+ 0   =0    | 1*1  =1
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q|               |              |
B:~p*~q =~Yb        | 0* 0  =0      | 1+ 1   =1    | 1*1  =1
C:~p* q =~Yc        | 0* 1  =0      | 1+ 0   =1    | 1*1  =1
D: p*~q =~Yd        | 1* 0  =0      | 0+ 1   =1    | 1*1  =1
   1  2   3           4  5   6        7  8    9      a b   c


W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów, tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) wszystkie linie kodujemy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p*q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD456.
Definicja spójnika „i”(*) w zdaniu W to wyłącznie linia A456, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD456 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linie BCD456 nie biorą udziału w obsłudze spójnika „i”(*), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p+~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD789.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdaniu U to obszar BCD789, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD789 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linia A789 nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), potrzebna jest wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.

W definicji maszynowej dowolnego operatora logicznego wykorzystywanej w rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki znaczymy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej od góry do dołu.

Znaczenie spójników w definicji symbolicznej jest inne.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Twierdzenie świnii działa tu doskonale.

Definicja symboliczna operatora AND (obszar ABCD123):
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej bo Y (linia A123) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej bo ~Y (obszar BCD123):

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “i”(*) w logice dodatniej (bo Y) bierze udział wyłącznie linia A456 bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “i”(*).
W obsłudze zdania wypowiedzianego W:
W: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Linie B, C i D nie biorą w ogóle udziału, są „martwe”.

Linie B, C i D są aktywne wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zauważmy, że poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze BCD789 i tylko ta część całej powyższej tabeli jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Podsumowując:
Jeśli z definicji operatora AND wywalimy ewidentną definicję spójnika „lub”(+) - obszar BCD789 - to automatycznie zrobimy z definicji operatora AND karykaturę, bo zostaniemy wyłącznie z linią A, czyli nasza definicja operatora AND będzie taka:
Kod:

   p  q  Y=p*q
A: 1* 1  =1

To jest nasza definicja zero-jedynkowa operatora AND po wywaleniu w kosmos definicji spójnika „lub”(+) wbudowanej w operator AND.

Jak więc widać, nie da się usunąć z logiki ani spójnika „lub”(*), ani „i”(*) i prawo De Morgana nie ma tu nic do rzeczy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 22:09, 20 Lut 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:54, 20 Lut 2014    Temat postu:

Skoro twierdzisz, że nie możesz ich wywalić to masz kolejną sprzeczność w AK.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 4:16, 21 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:
Skoro twierdzisz, że nie możesz ich wywalić to masz kolejną sprzeczność w AK.


Spróbujmy ustalić punkt wspólny.

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q


Zero-jedynkowa definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

   p    q  p=>q
A: 1=> 1   =1
B: 1=> 0   =0
C: 0=> 0   =1
D: 0=> 1   =1

Oznaczmy:
Y = p=>q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) równanie w nagłówku tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Patrz przykładowo algorytm tworzenia równania logicznego prof. Newelskiego (Uwaga 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]

Prawa Prosiaczka:
I prawo
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II prawo
Fałsz (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

W logice prawda jest domyślna, jeśli zatem w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy wszystkie zmienne do jedynek, to te jedynki możemy opuścić otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące tą tabelę.

Spisujemy z natury (piszemy to co widzimy) na załączonym obrazku:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1

Korzystając z II prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek, to teorii zbiorów.

Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza (patrz równanie wyżej):
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Odtwarzamy nasze podstawienie wyżej:
p=>q =Y

Nanieśmy nasze równanie na tabelę zero-jedynkową:

Definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

   p    q  p=>q
A: 1=> 1   =1    | Ya= p* q
B: 1=> 0   =0    |
C: 0=> 0   =1    | Yc=~p*~q
D: 0=> 1   =1    | Yd=~p* q

Operator implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to suma logiczna równań cząstkowych:
p=>q = Ya+Yc+Yd
Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Ya ## Yc ## Yd
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji prostej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
p=>q =1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Wystarczy że którykolwiek z członów po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna:
p=>q =1
Pozostałych przypadków nie musimy badać - tak działają spójniki „lub”(+) i „i”(*).

Podstawa matematyczna w zbiorach:
Iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem niepustym wtedy i tylko wtedy gdy zbiory te mają przynajmniej jeden element wspólny.
Wniosek:
Iloczyn logiczny zbiorów = kwantyfikator mały
p*q=1
\/x p(x)*q(x)
Istnieje takie x które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Czyli:
Dla wykazania prawdziwości członu:
p*q=1
Wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów p i q


Identycznie wyprowadzamy definicję implikacji odwrotnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q


Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q  p~>q
A: 1~> 1   =1
B: 1~> 0   =1
C: 0~> 0   =1
D: 0~> 1   =0

Oznaczmy:
Y = p~>q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) równanie w nagłówku tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Patrz przykładowo algorytm tworzenia równania logicznego prof. Newelskiego (Uwaga 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]

Prawa Prosiaczka:
I prawo
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II prawo
Fałsz (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

W logice prawda jest domyślna, jeśli zatem w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy wszystkie zmienne do jedynek, to te jedynki możemy opuścić otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące tą tabelę.

Spisujemy z natury (piszemy to co widzimy) na załączonym obrazku:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=0

Korzystając z II prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek, to teorii zbiorów.

Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza (patrz wyżej):
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Odtwarzamy nasze podstawienie wyżej:
p~>q =Y

Nanieśmy nasze równanie na tabelę zero-jedynkową:
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q  p~>q
A: 1~> 1   =1    | Ya= p* q
B: 1~> 0   =1    | Yb= p*~q
C: 0~> 0   =1    | Yc=~p*~q
D: 0~> 1   =0    |

Operator implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to suma logiczna równań cząstkowych:
p~>q = Ya+Yb+Yc
Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Ya ## Yb ## Yc
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „lub”(+) i „i’(*):
p~>q = p*q + p*~q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
p~>q =1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*~q) =1
Wystarczy że którykolwiek z członów po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna:
p=>q =1
Pozostałych przypadków nie musimy badać - tak działają spójniki „lub”(+) i „i”(*).

Podstawa matematyczna w zbiorach:
Iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem niepustym wtedy i tylko wtedy gdy zbiory te mają przynajmniej jeden element wspólny.
Wniosek:
Iloczyn logiczny zbiorów = kwantyfikator mały
p*q=1
\/x p(x)*q(x)
Istnieje takie x które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Czyli:
Dla wykazania prawdziwości członu:
p*q=1
Wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów p i q

Podsumowując:
Ja się zgadzam z faktem, że jeśli będziemy wyrażali definicje implikacji prostej i odwrotnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to jeden ze znaczków => albo ~> (wszystko jedno który) jest matematycznie zbędny.

Dowód na przykładzie:

Implikacja prosta:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH = 1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => na to aby były chmury

Definicja implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
P=>CH = P*CH + ~P*~CH + ~P*CH
co matematycznie oznacza:
(P=>CH)=1 <=> (P*CH)=1 lub (~P*~CH)=1 lub (~P*CH)=1

Implikacja odwrotna:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało

Definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
CH~>P = CH*P + CH*~P + ~CH*~P
co matematycznie oznacza:
(CH~>P)=1 <=> (CH*P)=1 lub (CH*~P)=1 lub (~CH*~P)=1

Operacje na zbiorach w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne.
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
P=>CH = CH~>P
czyli:
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonego na zdaniu p=>q zbędny jest znaczek ~>:
p=>q = q~>p
ALBO:
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonego na zdaniu p~>q zbędny jest znaczek =>:
q=>p = p~>q

Czy zgadzasz się z tym faktem?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 5:26, 21 Lut 2014, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 10:20, 21 Lut 2014    Temat postu:

Znowu odchodzisz od problemu.
Cytat:
W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Opierając się na tym fragmencie, (na niczym innym nie trzeba) można stwierdzić, że symbole => i ~> mogą się nawzajem wyrażać. Jeden jest zbędny. Tak? Jesli nie mogą to powyższe definicje są błędne. Więc co?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 20:01, 21 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:
Znowu odchodzisz od problemu.
Cytat:
W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Opierając się na tym fragmencie, (na niczym innym nie trzeba) można stwierdzić, że symbole => i ~> mogą się nawzajem wyrażać. Jeden jest zbędny. Tak? Jesli nie mogą to powyższe definicje są błędne. Więc co?

Oba znaczki => i ~> są w logice niezbędne i nie ma tu żadnego błędu, żadnej sprzeczności.

Wstęp teoretyczny.

W algebrze Kubusia do opisu logiki matematycznej niezbędne są definicje znaczków =>, ~> i ~~> podane niżej.

W algebrze Kubusia definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach są niesłychanie precyzyjne i trywialne:
1.
Warunek wystarczający =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
=> - to jest kwantyfikator duży w AK
2.
Warunek konieczny ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~> - tego znaczka ewidentnie brakuje w logice Ziemian, bez niego logika jest bez sensu, nie da się go opisać ani kwantyfikatorem małym, ani dużym, ani jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
3.
Naturalny spójnik „może” ~~>:
Zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
~~> - to jest kwantyfikator mały w AK

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q


Definicja implikacji prostej wyrażona spójnikami „lub”(+) i ‘i”(*) odczytana z diagramu:
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
Ta definicja jest do bani, bo nie spełnia definicji definicji, czyli z prawdziwości prawej strony, nawet wszystkich jej członów, nie wolno wnioskować o prawdziwości lewej strony.
Dowód:
P8=>P3 = P8*P3 + ~P8*~P3 + ~P8*P3
Z faktu że wszystkie człony po prawej stronie są prawdziwe nie wynika prawdziwość zdania P8=>P3.

Definicja implikacji prostej w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> odczytana z diagramu:
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
C: ~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
D: ~p~~>q = ~p*q =1

Warunek wystarczający => to wyłącznie linia A w powyższej definicji.
Jeśli uznamy ten symbol ~> za zbędny w logice to nie mamy żadnych szans na opisanie obszaru poza zbiorem brązowym. Dopiero opis wszystkich obszarów generuje definicję zero-jedynkową implikacji prostej.

Zgadzam się na taką definicję implikacji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
Ta definicja jest poprawna i pokazuje wszystkie możliwe zdarzenia jakie w przyszłości mogą wystąpić pod warunkiem, że wiemy na pewno iż zdanie p=>q wchodzi w skład definicji implikacji prostej … czyli jesteśmy bogiem … bo bez żadnego dowodu to wiemy.

Żądanie wyrzucenia znaczka ~> jest tożsame z żądaniem usunięcia z tej definicji dwóch ostatnich członów, czyli zostaje nam taka definicja znaczka =>.
A: p=>q = p*q =p =1
Oczywiście to jest prawidłowa definicja warunku wystarczającego =>, ale to nie jest operator logiczny implikacji prostej, to zaledwie pierwsza linia w definicji tego operatora oraz druga linia B, która wynika bezpośrednio z pierwszej.
B: p~~>~q =p*~q = 0 - bo zbiory p i q są rozłączne.
Linie A i B to wszystkie możliwe przypadki jakie mogą zajść po stronie p.

Po stronie ~p może być cokolwiek.
Po stronie ~p może być „rzucanie monetą” jak w definicji implikacji prostej wyżej.
ALBO!
Po stronie ~p może być kolejny warunek wystarczający:
C: ~p=>~q =~p*~q =~p =1
Z którego wynika fałszywość linii D:
D: ~p~~>q = ~p*q = 0 - tu zbiory ~p i q
Oczywiście całość to w tym przypadku definicja równoważności, gdzie z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q nie mamy najmniejszych szans na „rzucanie monetą” - diagram będzie tu fundamentalnie inny niż powyższy.

Pełna definicja implikacji prostej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) pokazująca poprawnie wszystkie możliwe zdarzenia jest oczywiście poprawna:
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
pod warunkiem iż mamy uprzednio udowodnione iż rzeczywiście zdanie p=>q jest tą pierwszą linią implikacji prostej … a nie np. pierwszą linią operatora równoważności.

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q


Definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) odczytana z diagramu:
p~>q = p*q + p*~q + ~p*~q

Definicja implikacji odwrotnej w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> odczytana z diagramu:
A: p~>q = p*q = q =1
B: p~~>~q = p*~q =1
C: ~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
D: ~p~~>q = ~p*q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne

Warunek konieczny ~> to wyłącznie linia A w powyższej definicji:
A: p~>q = p*q =q =1
Bezpośrednio z definicji znaczka ~> plus z definicji implikacji gdzie zbiory p i q muszą być różne wynika prawdziwość linii B.
B: p~~>~q =p*~q =1 - ten zbiór istnieje na mocy definicji implikacji odwrotnej ( a nie na mocy definicji znaczka ~>)

Linie A i B to papużki nierozłączki, linia A wymusza tu prawdziwość linii B. Dopiero te linie razem opisują poprawnie wszystkie możliwe przypadki po stronie p.
Po stronie ~p w tym przypadku może już być wyłącznie warunek wystarczający => (o ile zbiory p i q nie są puste).

Podsumowując:

Dlaczego z logiki nie da się usunąć ani znaczka =>, ani też znaczka ~>?

W implikacji prostej warunek wystarczający => to 100%, absolutna pewność:
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q rozłączne
Czyli:
A: Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
A: p=>q = p*q = p =1
Bowiem przypadek:
B: Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q jest wykluczony.
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q rozłączne


W implikacji odwrotnej warunek konieczny to najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
A: p~>q = p*q = q =1
B: p~~>~q = p*~q =1 - w implikacji zbiór p*~q też istnieje!
Czyli:
Jeśli zajdzie p to może zajść cokolwiek q lub ~q - najzwyklejsze „rzucanie monetą”.

Zauważmy że:
1.
Jeśli z implikacji wywalimy absolutną pewność, warunek wystarczający =>, to zostaniemy w absurdalnym świecie gdzie dookoła mamy wyłącznie „rzucanie monetą”, warunek konieczny ~>.
2.
Jeśli z implikacji wywalimy najzwyklejsze „rzucanie monetą”, warunek konieczny ~>, to zostaniemy w równie absurdalnym świecie, gdzie dookoła mamy wyłącznie 100% pewność, warunek wystarczający =>.

Podsumowując ostatecznie:
W świecie absurdalnym (nie naszym świecie) możemy w implikacji wywalić jeden ze znaczków => albo ~>, w świecie rzeczywistym (naszym) NIE!

Warunek konieczny ~>, w implikacji najzwyklejsze „rzucanie monetą” to też jest matematyka ścisła!

… bo chyba żaden matematyk nie twierdzi, że definicje implikacji prostej i odwrotnej to nie jest matematyka ścisła.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 21:13, 21 Lut 2014, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 3 tematy


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 8:11, 22 Lut 2014    Temat postu:

No i wciąż klepiesz to samo, bez jakiegokolwiek odniesienia się do meritum.
Jeśli zbiór A który zawiera się w zbiorze B,
to zbiór B zwiera w sobie zbiór A
Jeśli zbiór B zawiera w sobie zbiór A,
to zbiór A zawiera się w zbiorze B.
To jest to samo, ta sama sytuacja.
Zgodnie z definicją mogę tę sytuację opisać
A=>B, ale równie dobrze mogę zamiast ego napisać B~>A.
Mogę napisać B~>A ale równie dobrze A=>B.
Oba te napisy wg definicji wyrażają dokładnie to samo.

Przy takich definicjach A=>B jest tożsame z B~>A. Mogą się wzajemnie zastępować. Więc jeden z nich jest zbędny. Nie znaczy to, że jest nieprzydatny, ale nie jest niezbędny, jak piszesz.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25180
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 9:16, 22 Lut 2014    Temat postu:

fiklit napisał:

No i wciąż klepiesz to samo, bez jakiegokolwiek odniesienia się do meritum.
Jeśli zbiór A który zawiera się w zbiorze B,
to zbiór B zwiera w sobie zbiór A
Jeśli zbiór B zawiera w sobie zbiór A,
to zbiór A zawiera się w zbiorze B.
To jest to samo, ta sama sytuacja.
Zgodnie z definicją mogę tę sytuację opisać
A=>B, ale równie dobrze mogę zamiast ego napisać B~>A.
Mogę napisać B~>A ale równie dobrze A=>B.
Oba te napisy wg definicji wyrażają dokładnie to samo.

Przy takich definicjach A=>B jest tożsame z B~>A. Mogą się wzajemnie zastępować. Więc jeden z nich jest zbędny. Nie znaczy to, że jest nieprzydatny, ale nie jest niezbędny, jak piszesz.

Nigdy nie będzie tożsamości znaczków => i ~> bo:
1.
W implikacji znaczek ~> to najzwyklejsze „rzucanie monetą”, warunek konieczny ~>, w mowie potocznej spójnik „może” ~>.
2.
W implikacji znaczek => to 100% pewność, warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno” =>

Nigdy nie będzie:
100% pewność => = „rzucanie monetą” ~>
To nonsens.
To są fundamentalnie inne w swoim znaczeniu znaczki i żadnego z nich nie wolno wywalać z logiki bo dojdziemy do świata absurdów zaprezentowanego w moim cytacie niżej.

Dojdziemy do sedna twojego pytania, musimy jednak wcześniej uzgodnić fundamenty.

Pytanie podstawowe:
Czemu rozpatrujesz wyłącznie zbiory A i B a nie uwzględniasz zbiorów ~A i ~B?

To jest błąd czysto matematyczny bo …

Twierdzenie:
Jeśli znamy wyłącznie pojęcie p a nie znamy pojęcia ~p to pojęcie p jest w naszym Wszechświecie nierozpoznawalne.
czyli:
Nie ma sensu dyskutować o pojęciu p!

Przejdźmy na klasykę algebry Boole’a i używajmy znaczków p, q, ~p, ~q.

Zauważ, że w twoich rozważaniach na temat zbiorów A i B nie widzisz matematycznych banałów zaprezentowanych w poprzednim poście (nie widzisz zbiorów ~A i ~B):
rafal3006 napisał:

Podsumowując:

Dlaczego z logiki nie da się usunąć ani znaczka =>, ani też znaczka ~>?

W implikacji prostej warunek wystarczający => to 100%, absolutna pewność:
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q rozłączne
Czyli:
A: Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
A: p=>q = p*q = p =1
Bowiem przypadek:
B: Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q jest wykluczony.
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q rozłączne

W implikacji odwrotnej warunek konieczny to najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
A: p~>q = p*q = q =1
B: p~~>~q = p*~q =1 - w implikacji zbiór p*~q też istnieje!
Czyli:
Jeśli zajdzie p to może zajść cokolwiek q lub ~q - najzwyklejsze „rzucanie monetą”.

Zauważmy że:
1.
Jeśli z implikacji wywalimy absolutną pewność, warunek wystarczający =>, to zostaniemy w absurdalnym świecie gdzie dookoła mamy wyłącznie „rzucanie monetą”, warunek konieczny ~>.
2.
Jeśli z implikacji wywalimy najzwyklejsze „rzucanie monetą”, warunek konieczny ~>, to zostaniemy w równie absurdalnym świecie, gdzie dookoła mamy wyłącznie 100% pewność, warunek wystarczający =>.

Podsumowując ostatecznie:
W świecie absurdalnym (nie naszym świecie) możemy w implikacji wywalić jeden ze znaczków => albo ~>, w świecie rzeczywistym (naszym) NIE!

Warunek konieczny ~>, w implikacji najzwyklejsze „rzucanie monetą” to też jest matematyka ścisła!
… bo chyba żaden matematyk nie twierdzi, że definicje implikacji prostej i odwrotnej to nie jest matematyka ścisła.


Zajmijmy się najważniejszym twierdzeniem logiki matematycznej.

Twierdzenie:
Jeśli znamy wyłącznie pojęcie p a nie znamy pojęcia ~p to pojęcie p jest w naszym Wszechświecie nierozpoznawalne.
czyli:
Nie ma sensu dyskutować o pojęciu p!

Dowód na przykładzie:
Definicja:
Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Matematycznie zachodzi:
U =1 - Uniwersum to zbiór pełny (nasz Wszechświat)
~U=0 - zaprzeczenie Uniwersum to zbiór pusty (nasz Wszechświat nie istnieje)

Weźmy pojecie:
P=[pies] =1 - bo zbiór niepusty
Zbiór nie pies to w najszerszej możliwej dziedzinie zbiór uniwersum-pies
~P=[U-P] =1 bo zbiór niepusty

Oczywiście tu sensowne jest zawężenie dziedziny do zbioru wszystkich zwierząt:
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
W tej dziedzinie pojęcie nie pies definiujemy jako:
~P = [ZWZ-P] =1 - bo zbiór niepusty

Matematycznie zachodzi:
ZWZ =1 - zbiór pełny
~ZWZ =0 - zbiór pusty

Dla naszego psa definicja dziedziny to:
P+~P=1
P*~P=0

Dowód:
P=[P] =1 - zbiór niepusty
~P = [ZWZ-P] =1 - zbiór niepusty
P+~P = [P] + [ZWZ-P] = ZWZ =1 - pełna dziedzina
P*~P = [P] * [ZWZ-P] = [] =0 - bo zbiory rozłączne (zbiór wynikowy pusty).

To są absolutne fundamenty logiki matematycznej, bez których nie ma co się bawić w logikę.

Wniosek:
Bez sensu jest rozpatrywanie zbiorów p i q bez zbiorów ~p i ~q bo zbiory p i q nie będą wówczas rozpoznawalne w naszym Wszechświecie.

Podsumowując:
Dla dowolnych zbiorów p i q musimy zdefiniować dziedzinę (przykłady wyżej), bez tego logika nie ma sensu, bo nie będziemy wiedzieć co to jest ~p i ~q.

Czy się z tym zgadzasz?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 9:32, 22 Lut 2014, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3 ... 6, 7, 8 ... 34, 35, 36  Następny
Strona 7 z 36

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin